NONLINEAR FIBER OPTICS
Govind P. Agrawal
The Institue of Optics University of Rochester
Rochester, New York
ACADEMIC PRESS, INC
Harcourt Brace Jovanovich, Publishers
Boston Snn Diego New York
London Sydney Tokyo Toronto
Published by arrangement with AT&T
ГАгравал
НЕЛИНЕЙНАЯ
ВОЛОКОННАЯ
ОПТИКА
Перевод с английского
С. В. Черникова, И. Ю. Хрущева,
Д. В. Коробкина
Под редакцией канд. физ.-мат. наук
П. В. Мамышева
Москва «Мир» 1996
ББК 22.336
А25
УДК 681.7.068
A-Z-5
Агравал Г.
А25 Нелинейная волоконная оптика: Пер. с англ.-М.:
Мир, 1996.-323 с., ил.
ISBN 5-03-002418-2
В книге специалиста из США систематизированы результаты по нелинейной
волоконной оптике за первые 20 лет ее развития, с единых позиций рассмотрены
вопросы формирования оптических солитонов, компрессия лазерных импульсов,
параметрические процессы, а также различные цриложения указанных эффектов
в разных информационных системах. Большое внимание уделено хроматической
дисперсии из-за ее важности в изучении нелинейных эффектов, возникающих при
распространении ультракоротких оптических импульсов.
Для специалистов в области нелинейной оптики, исследователей и инже-
неров, работающих в области волоконно-оптической связи, студентов и аспи-
рантов.
ББК 22.336
Редакция литературы по физике и астрономии
БИБЛИОТЕКА
.	Ленин'--
» тнститута тс-	{ики
.^иНЗ.52	((	я оптики
библиотек- / "*
Издание выпущено в свет при содействии Комитета РФ по печати
ISBN 5 03 002418 2 (русск.) © 1989, by AT&T Bell Laboratories
ISBN 0 12 045140 9 (англ.) © Перевод на русский язык Черников С. В.,
Хрущев И. Ю., Коробкин Д. В., 1996.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Нелинейная волоконная оптика как направление нелинейной
оптики возникла в начале 70-х годов с появлением стеклянных
волоконных световодов с низкими потерями. Первоначально воло-
конные световоды разрабатывались как пассивная линейная среда для
передачи оптического излучения (в основном для целей связи,) но
очень скоро стало ясно, что они представляют собой качественно
новый уникальный материал для нелинейной оптики. Исключитель-
ная перспективность волоконных световодов определяется их свойст-
вами, а они такие: неизменность поперечного размера лазерного
излучения на больших длинах распространения по световоду и низкие
потери лазерного излучения, уникальные дисперсионные характе-
ристики и возможность как одномодового, так и многомодового
режимов распространения лазерного излучения по световоду.
За 20 лет существования нелинейной волоконной оптики были
достигнуты большие успехи как в решении прикладных задач кван-
товой электроники, так и в изучении фундаментальных физических
явлений. Такие нелинейные процессы, как парамет рическое усиление,
вынужденное комбинационное рассеяние и вынужденное рассеяние
Мандельштама Бриллюэна, успешно используются в создании и
разработке волоконных лазеров, усилителей и преобразователей па-
раметров излучения. В волоконных световодах изучаются сжатые
состояния света, генерация и распространение оптических солитонов,
явление фоточувствительности стекла.
Особую роль играют нелинейные эффекты в волоконнооптических
линиях связи. С одной стороны, нелинейные эффекты в световодах
ограничивают возможную скорость и дальность передачи информа-
ции по световодам и их необходимо учитывать при создании линий
связи. С другой стороны, при определенных условиях нелинейные
эффекты могут быть использованы для увеличения скорости и даль-
ности передачи информации. Особо здесь следует упомянуть передачу
информации оптическими солитонами лазерными импульсами, ко-
торые за счет совместного действия нелинейных и дисперсионных
эффектов распространяются по световоду без дисперсионного уши-
рения.
6
Предисловие редактора перевода
Из сказанного выше следует, что область применений нелинейных
явлений в волоконных световодах очень широка и не ограничивается
лишь одной оптической связью В связи с этим наблюдается все
возрастающий интерес к нелинейной волоконной оптике со стороны
ученых и специалистов, работающих в различных областях физики.
Однако долгое время информация по нелинейной волоконной оптике
оставалась рассредоточенной в научных статьях, а количество об-
зоров было невелико. Книга проф. Агравала-это первая и на
сегодняшний день наиболее полная монография, в которой сделана
довольно удачная попытка систематизировать результаты по нели-
нейной волоконной оптике за первые 20 лет ее развития Автору
удалось найти такую форму изложения, что книга интересна и по-
лезна как для специалистов (которые найдут в ней богатый спра-
вочный материал), так и для лиц, лишь начинающих изучать предмет.
Отметим, что на Западе книга проф. Агравала пользуется неизменной
популярностью среди студентов, аспирантов и специалистов, рабо-
тающих в различных областях квантовой электроники и нелинейной
птики.
Книга вышла в свет на английском языке в 1989 г. С того времени
прошел немалый срок для такой бурно развивающейся области, как
нелинейная волоконная оптика, но книга не устарела, поскольку в ней
изложены основы нелинейной волоконной оптики.
Перевод выполнили: канд. физ.-мат. наук С. В. Черников (пре-
дисловие и гл. 1-4), Д. В. Коробкин (гл. 5-7) и И. Ю. Хрущев
(гл. 8-10).
П. Мамышев
Анне, Сипре и Каролине
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние 15 лет изучение нелинейных эффектов в оптических
волокнах привело к созданию новой области нелинейной оптики,
получившей название нелинейной волоконной оптики. Результаты
интенсивных исследований в этой области важны как для фундамен-
тальной науки, так и для технических приложений. Использование
волоконных световодов для сжатия импульсов позволило получить
оптические импульсы длительностью ~ 6 фс. Были разработаны но-
вые типы лазеров: волоконные ВКР-лазеры и солитонные лазеры,
в которых используются нелинейные эффекты в волоконных свето-
водах. Тем не менее, несмотря на то, что нелинейная волоконная
оптика уже достигла определенного уровня зрелости, в научной
литературе есть лишь несколько обзоров, а большинство материалов
осталось рассредоточенным в оригинальных статьях. Цель данной
книги-дать общий обзор различных нелинейных явлений в воло-
конных световодах. Это современная монография, и, возможно, она
стимулирует дальнейшие работы в области нелинейной волоконной
оптики, поскольку в ней сконцентрирован материал, рассеянный по
многим источникам.
Книга предназначена как для тех, кто уже занимается нелинейной
волоконной оптикой, так и для тех. кто желает ознакомиться с ней.
Книга, наверное, будет полезна ученым и инженерам, интересую-
щимся волоконно-оптической связью, поскольку применению раз-
личных нелинейных эффектов в работе оптических систем в ней
уделено особое внимание. Некоторые главы книги могут также быть
полезны для университетских курсов, в которых изучаются нелиней-
ная оптика, волоконная оптика или оптическая связь. В ней для этого
есть вся необходимая информация, так что студенту, знакомому
с теорией электромагнетизма, текст будет понятен. Кроме того,
каждая глава содержит много ссылок на соответствующие ориги-
нальные статьи, которые нужны для углубленного изучения вопроса.
Прямо или косвенно свой вклад в написание этой книги внесли
многие,, и все имена здесь перечислить невозможно. Я особенно
благодарен Р. Альфано, П. Балдэку, М. Лаксу и М. Потасеку за
плодотворную совместную работу и многочисленные обсуждения.
Хочется также поблагодарить Р. Альфано, П. Балдэка, Г. Хасегаву,
Предисловие
Р. Смита и Р. Столена за полезные обсуждения рукописи этой книги.
Автор признателен руководству AT&T Bell Laboratories за поддержку
проекта этой книги. Я особенно благодарен Р. Смиту, Дж. Геусику,
П. Энтони и А. Бобеку за поддержку. Текст был написан в AT&T Bell
Laboratories; набран с использованием операционной системы
UNIX®. Автор отмечает работников Центра обработки текстов за
хорошо выполненную работу.
Г. Агравал
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
В данной главе будет дан самый общий обзор тех характеристик
волоконных световодов, которые важны для понимания нелинейных
эффектов, обсуждаемых в последующих главах. В разд. 1.1 кратко
дается ретроспектива развития волоконной оптики. В разд. 1.2 об-
суждаются оптические потери, хроматическая дисперсия и двулуче-
преломление волоконных световодов. Особое внимание уделено хро-
матической дисперсии из-за ее важности в изучении нелинейных
эффектов, возникающих при распространении ультракоротких опти-
ческих импульсов. В разд. 1.3 кратко описаны различные нелинейные
эффекты, которые обусловлены нелинейным преломлением и вы-
нужденным неупрутим рассеянием света. Среди нелинейных эффек-
тов, широко изученных при использовании волоконных световодов
в качестве нелинейной среды,- фазовая самомодуляция, фазовая кросс-
модуляция, четырехволновое взаимодействие, вынужденное комби-
национное рассеяние и вынужденное рассеяние Мандельштама-
Бриллюэна. Каждый из этих эффектов подробно рассматривается
в отдельных главах. В разд 1.4 рассказывается о структуре обсуж-
дения в книге большого разнообразия нелинейных эффектов в воло-
конных световодах.
1.1. РЕТРОСПЕКТИВА
Явление полного внутреннего отражения, управляюшее распрост-
ранением света в оптических волокнах, было известно еще в XIX в.
[1]. Первые стеклянные волокна без оболочки [2-4] были изготов-
лены в 20-х годах нашего столетия, тем не менее развитие волоконной
оптики начинается только в 50-е годы, когда использование оболо-
чечного слоя [5 7] привело к значительному улучшении! характе-
ристик световодов. Волоконная оптика тогда быстро развивалась
главным образом с целью использования оптических кабелей из
стеклянных волокон для передачи изображений. В книге Капани [8],
изданной в 1967 г., дан обзор успехов, достигнутых к тому времени
в области волоконной оптики. Первые волоконные световоды по
современным меркам имели очень большие потери (типичные потери
составляли ~1000 дБ/км). Однако ситуация резко изменилась в
10
Глава 1
1970 г., когда благодаря высказанным ранее идеям [9] потери квар-
цевых световодов были уменьшены до ~20 дБ/км [10]. Дальнейший
прогресс в технологии изготовления [11, 12] привел к появлению
в 1979 г. волоконного световода с потерями около 0,2 дБ/км вблизи
длины волны 1,55 мкм [13]. Этот уровень потерь ограничен в основ-
ном фундаментальным процессом рэлеевского рассеяния.
Возможности таких волоконных световодов с низкими потерями
привели не только к революции в области волоконно-оптической
связи [14 17], но и к возникновению новой области науки нелиней-
ной волоконной оптики. Первые нелинейные явления (вынужденное
комбинационное рассеяние и рассеяние Мандельштама Бриллюэна)
были экспериментально [18. 19] и теоретически [20] исследованы
в одномодовых волоконных световодах еще в 1972 г. Эти работы
стимулировали изучение других нелинейных явлений оптически
индуцированного двулучепреломления [21], параметрического четы-
рехфотонного смешения [22, 23], фазовой самомодуляции [24, 25].
Важный результат был получен в 1973 г., когда было теоретически
показано, что в оптических волокнах могут существовать солитоно-
подобные импульсы, которые обусловлены совместным действием
эффектов дисперсии и нелинейности [26]. Оптические солитоны позже
наблюдались в эксперименте [27]. Их использование привело к
большим успехам в области генерации и управления параметрами
ультракоротких оптических импульсов [28-32]. В равной степени
важное развитие получило использование оптических волокон для
сжатия импульсов [33- 36]. Были получены импульсы длительностью
6 фс при использовании волоконных нелинейно-оптических методов
сжатия [37] Недавно большое внимание привлекла фазовая кросс-
модуляция, возникающая, когда два импульса совместно и одновре-
менно распространяются в волоконном световоде [38-42]. Нели-
нейная волоконная оптика очень быстро развивалась последние 15
лет. Многие результаты, полученные в этой области, важны как для
фундаментальной науки, так и для технологии. Некоторые из них
обсуждались в недавних обзорных статьях [43-50]. Как ожидается,
нелинейная волоконная оптика будет интересна в связи с развитием
оптической обработки информации.
1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛОКОННЫХ СВЕТОВОДОВ
В самом простом случае волоконный световод состоит из сердце-
вины и оболочки. Показатель преломления оболочки немного
меньше показателя преломления сердцевины. Такие световоды
обычно называют световодами со ступенчатым профилем показателя
преломления, чтобы отличать их от градиентных волоконных све-
товодов, у которых показатель преломления сердцевины плавно
уменьшается от ее центра к границе. На рис. 1.1 схематически
Введение
11
Радиус
Рис. 1.1. Схема поперечного сечения и профиля показателя преломления
волоконного световода со ступенчатым профилем показателя преломления.
показаны поперечное сечение и профиль показателя преломления
волоконного световода со ступенчатым профилем показателя пре-
ломления. Такой волоконный световод характеризуется двумя пара-
метрами относительной разностью показателей преломления серд-
цевины и оболочки:
и нормированной частотой (параметром V):
V= koa(nl - nl)112 ,	(1.2.2)
где к0 = 2л/Х, а-радиус сердцевины, X-длина волны света [51-53].
Параметр V определяет число мод, которые могут распростра-
няться в волоконном световоде. Моды волоконного световода об-
суждаются в разд. 2.2, где показано, что световоды со ступенчатым
профилем показателя преломления поддерживают только одну моду,
когда V < 2,405. Световоды, удовлетворяющие этому условию, на-
зываются одномодовыми. Главное различие между одномодовыми
и многомодовыми световодами состоит в том, что они имеют разные
радиусы сердцевины. Для обычных многомодовых световодов радиус
сердцевины а = 25-30 мкм, тогда как для одномодовых световодов
с типичным значением Д ~ 30-10“3 требуется, чтобы а было равно
2-4 мкм. Величина внешнего радиуса Ь менее критична. Просто он;-
должна быть достаточно велика, чтобы удерживать в себе полностью
поле излучения моды волоконного световода. Обычно Ь = 50-60 мкм
как для одномодовых, так и для многомодовых волоконных свето-
водов. Поскольку нелинейные эффекты главным образом изучаются
в одномодовых световодах, термин оптический волоконный свето-
12
Глава 1
вод далее в тексте будет относиться к одномодовым световодам, если
не оговорено другое. В следующих подразделах мы обсудим: 1) про-
цесс изготовления, 2) оптические потери, 3) хроматическую диспер-
сию и 4) двулучепреломление одномодовых волоконных световодов.
1.2.1.	МАТЕРИАЛЫ И ИЗГОТОВЛЕНИЕ
Волоконные световоды с низкими потерями изготавливают из
кварцевого стекла, состоящего из плавленого (аморфного) кварца
SiO2. Чтобы получить разные показатели преломления сердцевины
и оболочки, в процессе изготовления применяют различные примеси.
Такие добавки, как GeO2 и Р2О5, увеличивают показатель прелом-
ления чистого кварца и пригодны для сердцевины. В оболочке
в качестве добавок преимущественно используют фториды, так как
они уменьшают показатель преломления кварца.
Изготовление кварцевых волокон происходит в два этапа. На
первом этапе методом осаждения из газообразной фазы [54 56]
изготавливается цилиндрическая заготовка с заданными профилем
показателя преломления и соотношением размеров сердцевины и
оболочки. Обычно заготовка имеет длину 1 м и диаметр 2 см. На
второй стадии заготовку вытягивают в волокно, используя преци-
зионный механизм подачи заготовки в печь с некоторой определен-
ной скоростью [57, 58]. Во время вытяжки соотношение размеров
оболочки и сердцевины сохраняется. Оба этапа (заготовка и вытяжка
Волокна) технологически очень сложны [54-58], так как размер
сердцевины и профиль показателя преломления необходимо под-
держивать строго постоянными.
Для изготовления заготовки можно применять несколько мето-
дов. Обычно используют три модифицированный метод химического
осаждения из газовой фазы (MCVD) [54], метод внешнего осаждения
из газовой фазы (OVD) [55], метод аксиального осаждения из газовой
фазы (VAD) [56] Наиболее широко применяется метод MCVD. На
рис. 1.2 представлена схема соответствующего процесса. На внут-
реннюю поверхность трубки из кварцевого стекла последовательно
осаждают слои SiO2 при пропускании сквозь трубку пара SiCl4 и О2
при температуре около 1800е С. Чтобы обеспечить однородность,
многофакельная горелка должна перемещаться взад-вперед вдоль
врашаюшейся трубки. Величиной показателя преломления слоев
оболочки при этом управляют, добавляя в трубку фториды. Когда
после многократных прохождений факела осажденная оболочка
достигает достаточной толщины, к смеси паров добавляют пары
GeCl4 либо РОС13, чтобы сформировать сердцевину. После осажде-
ния всех слоев температуру факела увеличивают так, чтобы трубка
схлопнулась в твердую цилиндрическую заготовку.
Введение
13
Регулятор
расхода
газов
SFg, Cfa.'PpeOH
SiCA
ОД
[Многофакельная
’горелка
— oz
— н2
Сосуды с
хлоридами
Опорная трубка из
кварцевого стекла
Перемещение
Рис. 1.2. Схематическая диаграмма модифицированного метода химического
осаждения из газовой фазы (MCVD), широко применяемого для изготовления
волоконных световодов [54].
Изложенное выше описание очень краткое и дает только общее
представление. При изготовлении волоконных световодов необхо-
димо принимать во внимание много технологических особенностей.
Интересующийся читатель может обратиться к обширной литературе
по этому вопросу [54 58].
1.2.2.	ОПТИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
Важным параметром волоконного световода является мера по-
тери мощности при распространении оптических сигналов внутри
волокна. Если Ро - мощность, вводимая в волоконный световод
длиной L, прошедшая мощность Рт дается выражением
Рт = Роехр(— aL),	(1.2.3)
где а-постоянная затухания, обычно называемая потерями свето-
вода. Потери в световоде удобно выражать в единицах дБ/км.
используя соотношение
Ю ( Рт\
“дБ = - у 10g J = 4Л43а;	О'2’4)
здесь для связи а,1Б и а использовано уравнение (1.2.3).
Потери в световоде зависят от длины волны света. На рис. 1.3
представлен спектр потерь в современном одномодовом волоконном
световоде, изготовленном по MCVD-методу [54]. Волокно имеет
минимальные потери 0,2 дБ/км вблизи длины волны 1,55 мкм. По-
тери значительно возрастают с уменьшением длины волны, достигая
уровня 1 10 дБ/км в видимой области спектра. Отметим, однако,
что даже при потерях 10 дБ/км постоянная затухания не выше
ай210’5см"1. По сравнению с большинством других материалов
это чрезвычайно низкая величина.
Несколько факторов вносят свой вклад в спектр потерь световода,
14
Глава 1
изображенный на рис. 1.3, но среди них преобладают поглощение
в веществе и рэлеевское рассеяние. Чистый кварц поглощает либо в
ультрафиолетовой области, либо в далекой инфракрасной области
спектра (> 2 мкм). Однако в области длин волн 0,5-2 мкм даже
относительно малое количество примесей может дать существен-
ное поглощение. С практической точки зрения на потери в воло-
конном световоде наиболее сильно влияют примеси гидроксильных
групп ОН “. так как они имеют основной пик поглощения световых
волн при X i 2,73 мкм. Поглощением на обертонах соответствую-
щего ОН-колебания объясняются потери вблизи 1,37 мкм и более
слабый пик поглощения вблизи 1,23 мкм (рис. 1.3). Чтобы снизить
содержание примесей ионов ОН до уровня менее чем одной части на
миллион, в процессе изготовления волоконных световодов приме-
няются специальные меры [54-56].
Рэлеевское рассеяние - один из фундаментальных механизмов по-
терь-происходит на случайных флуктуациях плотности, «вморожен-
ных» в кварцевое стекло при изготовлении. Образующиеся в резуль-
тате этого локальные флуктуации показателя преломления рассеи-
вают свет во всех направлениях. Потери, обусловленные рэлеевским
рассеянием, уменьшаются с длиной волны по закону ~Х-4 и преоб-
ладают в области коротких длин волн. Поскольку эти потери прин-
ципиально неустранимы для волоконных световодов, они определяют
уровень минимальных потерь. Он оценивается как
aR = С/Х4 (в дБ/км),	(1.2.5)
где постоянная С лежит в пределах 0,7-0,9 дБ/(км • мкм4) в зависи-
мости от состава сердцевины волоконного световода [59]. На длине
волны X = 1,55 мкм ак = 0,12-0,15 дБ/км, поэтому в спектре потерь
световода, изображенном на рис. 1.3, преобладает рэлеевское рас-
сеяние. Другими факторами, которые вносят вклад в общие потери,
могут быть потери на изгибах и «граничные» потери (из-за рассеяния
Рис. 1.3. Экспериментально измеренный спектр оптических потерь одномо-
дового волоконного световода. Штриховой линией показан спектр мини-
мальных потерь, связанных с рэлеевским рассеянием и поглощением в чистом
кварце [54].
Введение
15
на границе между сердцевиной и оболочкой) [51] Общие потери для
волокна в оптических линиях связи включают также потери на
соединениях двух концов световода друг с другом. Успехи в совре-
менной технологии позволили уменьшить эти потери до уровня
~0,01 дБ/км.
1.2.3.	ХРОМАТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ
При взаимодействии электромагнитной волны со связанными
электронами диэлектрика отклик среды зависит от оптической ча-
стоты со. Это свойство, называемое хроматической дисперсией, про-
является как частотная зависимость показателя преломления и (со).
Возникновение хроматической дисперсии связано с характерными
частотами, на которых среда поглощает электромагнитное излучение
вследствие осцилляций связанных электронов. Вдали от резонансных
частот среды поведение показателя среды хорошо описывается урав-
нением Ссллмейера [51]
»2(со)= 1 + X 2	2’	d-2.6)
А ОД - со2
где и,-резонансная частота и Bt- величина j-го резонанса. Суммиро-
вание в уравнении (1.2.6) производится по всем резонансным часто-
там вещества, которые вносят вклад в интересующей нас области
спектра. В случае оптических волокон параметры Bj и <£>j опреде-
ляются путем подгонки измеренных дисперсионных критериев [60]
к уравнению (1 2.6) при т = 3, они зависят от состава сердцеви-
ны [53]. Для объемного кварцевого стекла эти параметры такие:
В, = 0,696163, В2 = 0,4079426, В3 = 0,8974794,	= 0,0684043 мкм,
Х2 = 0,1162414 мкм, Х3 = 9.896161 мкм, где X, = 2лс/о), и с скорость
света в вакууме [61].
Дисперсия в волоконном световоде имеет определяющее значение
при распространении коротких оптических импульсов, так как раз-
личные спектральные компоненты спектра импульса распростра-
няются с разными скоростями с/и(со). Даже в тех случаях, когда
нелинейные эффекты не важны, дисперсионное уширение импульса
может быть вредным для оптических линий связи. В нелинейном
режиме сочетание дисперсии и нелинейности может привести к ка-
чественно другой картине, которая обсуждается в следующих главах.
При математическом описании эффекты дисперсии в световоде учи-
тываются разложением постоянной распространения моды 0 в ряд
Тейлора вблизи несущей частоты соо:
Р(ю) = и(со)—= Ро + р3 (со - соо) + 02 (со - соо)2 + ... , (1.2.7)
с	2
16
Глава 1
где
(т = 0,1,2,3 ...).
(1.2.8)
Jmp
Как показано в разд. 2.3, огибающая импульса движется с групповой
скоростью (уд = 1/PJ, а параметр р2 определяет уширение импульса.
С показателем преломления п и его производными параметры р] и р2
связаны соотношениями
1 (	dn\n„	1
₽i =-1 п + а ] = -& = -,
с \	ato / с	vg
1/ dn d2n\ ad2n X3 d2n
c\ Ло + С°Ло2/ cda1 lnc2d'k2'
(1.2.9)
(1.2.10)
где n -групповой показатель преломления.
На рис. 1.4 и 1.5 показаны зависимости п, пд, р2 от длины волны
X для кварцевого стекла, полученные с использованием уравнений
(1.2.6), (1.2.9), (1.2.10). Замечательно то. что р2 стремится к нулю на
длине волны приблизительно 1,27 мкм и становится отрицательным
для больших длин волн. Длина волны, на которой Р2 = 0, часто
называется длиной волны нулевой дисперсии XD. Тем не менее
следует отметить, что при X = XD дисперсия не равна нулю. Описа-
ние распространения импульсов вблизи X = Хв требует включения в
разложение (1.2.7) кубического слагаемого. Такие дисперсионные
эффекты более высокого порядка могут искажать сверхкороткие
оптические импульсы как в линейном, так и в нелинейном режимах
Рис. 1.4. Зависимость показателя преломления п и группового показателя
преломления пд кварцевого стекла от длины волны.
Введение
17
Рис. 1.5. Зависимость р2 и di2 для кварцевого стекла от длины волны. Дис-
персионный параметр Р2 = О вблизи 1,27 мкм. Параметр di2 = р, (?.,) — р2 (Х2)
представлен как функция ?.2 при Z, = 0,532 мкм.
[51, 62]. Однако их рассмотрение необходимо только тогда, когда
длина волны импульса X приближается к значению в пределах
нескольких нанометров.
Кривые, представленные на рис. 1.4 и 1.5, построены для объем-
ного кварцевого стекла. Поведение дисперсии для реальных стек-
лянных световодов, вообще говоря, отличается от показанного на
этих рисунках по следующим двум причинам. Во-первых, сердцевина
световода может иметь небольшое количество примесей, таких, как
GeO2 и Р2О5. Уравнение (1.2.6) в этом случае следует использовать
с параметрами, соответствующими определенному количеству при-
месных уровней [53]. Во-вторых, наличие волноводной структуры
несколько уменьшает эффективный показатель преломления моды по
сравнению с показателем преломления в объемном материале и (со),
причем это уменьшение зависит от частоты со [51-53]. В результате,
чтобы получить полную дисперсию в волоконном световоде, к ма-
териальной дисперсии нужно добавить волноводную компоненту.
Вообще говоря, волноводный вклад в 02 пренебрежимо мал во всей
спектральной области, за исключением области вблизи длины волны
нулевой дисперсии XD, где волноводная дисперсия и материальная
дисперсия становятся сравнимыми. Основной эффект волноводного
вклада состоит в небольшом смещении "KD в длинноволновую об-
ласть; =: 1,31 мкм для типичных световодов. На рис. 1.6 показана
измеренная полная дисперсия в одномодовом волоконном световоде
[54]. Для количественного выражения дисперсии используется дис-
персионный параметр D. обычно используемый в литературе по
волоконной оптике вместо р2. Следующее соотРМБ&ЖДуЛАнавли-
Ленинг>-
инсп1тута то-	<нкм
18
Глава 1
Рис. 1.6. Измеренная зависимость дисперсионного параметра D одномодо-
вого световода от длины волны. Длина волны нулевой дисперсии смещена
к длине волны 1,312 мкм вследствие вклада волноводной дисперсии в полную
дисперсию световода [54].
вает связь между и D:
D =
d).
Inc X d2n
(1.2.11)
Интересный чертой волноводной дисперсии является то, что ее
вклад в D (или р2) зависит от параметров волокна: радиуса сердце-
вины а и разности показателей преломления сердцевины и оболочки
Дп. Этот факт может использоваться для смещения длины волны
нулевой дисперсии XD к 1,55 мкм, где световоды имеют минимальные
потери. Такие световоды со смещенной дисперсией [63] могут в
перспективе применяться в оптических системах связи. Можно созда-
вать волоконные световоды с весьма пологой дисперсионной кривой,
имеющие малую дисперсию в широком спектральном диапазоне
1,3-1,6 мкм. Это достигается путем использования многих слоев
оболочки. На рис. 1.7 показаны измеренные дисперсионные кривые
[64] для двух таких световодов с несколькими оболочками, имеющих
двух- или трехслойные оболочки вокруг сердцевины. Для сравнения
дисперсионная кривая для световода с однослойной оболочкой также
показана (штриховой линией). Световод с четырехслойной оболочкой
характеризуется низкой дисперсией (| D | < 1 пс/км  нм) в широкой
спектральной области от 1,25 до 1,65 мкм. Световоды с модифици-
рованными дисперсионными характеристиками полезны для изучения
нелинейных эффектов, когда в эксперименте требуются специаль-
ные дисперсионные свойства.
Нелинейные эффекты в оптических волокнах могут быть качест-
венно совершенно разными в зависимости от знака дисперсионных
Введение
19
1 dve
v2 da '
(1.2.12)
Рис. 1.7. Зависимость дисперсионного параметра D от длины волны для трех
разных типов волоконных световодов. Метки SC, DC, QC относятся соот-
ветственно к световодам с одной, двумя и четырьмя оболочками.
параметров р2 или D. Поскольку
2 dto d(0\ vg
параметр 02 обычно называют дисперсией групповых скоростей. На
длинах волн X < параметр Р2 > 0 (см. рис. 1.5), и говорят, что
световод обладает нормальной дисперсией1*. В режиме нормальной
дисперсии высокочастотные компоненты (сдвинутые в синюю об-
ласть) спектра оптического импульса распространяются медленнее,
чем низкочастотные компоненты. Обратная ситуация возникает в
режиме так называемой аномальной дисперсии, т. е. когда р2 < 0. Как
видно из рис. 1.5, стеклянные волоконные световоды обладают ано-
мальной дисперсией в области длин волн, больших длины волны
нулевой дисперсии 1	. Режим аномальной дисперсии представ-
ляет значительный интерес для изучения нелинейных эффектов, так
как в этом режиме в оптических волокнах могут существовать
солитоны - оптические импульсы, для которых дисперсионные и не-
линейные эффекты в точности компенсируют друг друга [26. 27].
Важной чертой хроматической дисперсии является то, что им-
пульсы разных длин волн распространяются с разными скоростями
из-за разности групповых скоростей. Это приводит к прохождению
импульсов друг сквозь друга, что существенно при описании нели-
нейных явлений, в которых рассматривается взаимное перекрытие
двух или более оптических импульсов [39 42]. Говоря конкретнее,
нелинейное взаимодействие двух оптических импульсов прекра-
щается, когда импульс, движущийся быстрее, полностью проходит
*’ В отечественной литературе нормальную дисперсию групповых ско-
ростей (Р2 > 0) часто называют положительной дисперсией, а аномальную
(Р2 < 0) отрицательной дисперсией. Прим, перев.
20
Глава I
сквозь импульс, движущийся более медленно. Расстояние между
двумя импульсами определяется параметром расстройки групповых
скоростей dl2:
d12 = ₽, (X,) - ₽1 (Х2) = v~l (Xt) - v-1 (Х2),	(1.2.13)
где и Х2 - длины волн, соответствующие несущим частотам двух
импульсов; 01 на этих длинах волн оценивается с помощью уравнения
(1.2.9). Для импульсов длительностью То можно определить длину
дисперсионного разбегания двух импульсов Lw следующим отно-
шением:
Lw=T0/\dl2\.	(1.2.14)
На рис. 1.5 показана зависимость d12 от Х2 для плавленого кварца
(использовано уравнение (1.2.13) при = 0,532 мкм). В режиме
нормальной дисперсии импульс с большей длиной волны движется
быстрее, тогда как обратный случай имеет место в режиме ано-
мальной дисперсии. Например, если импульс на длине волны
12 = 1,06 мкм распространяется совместно с импульсом на длине
волны X, = 0,532 мкм, то они будут разбегаться со скоростью около
80 пс/м. Это соответствует длине разбегания Lw около 25 см при
То = 20 пс. Разность групповых скоростей играет важную роль в слу-
чае нелинейных эффектов, в которых имеет место фазовая кросс-мо-
дуляция [39 42].
1.2.4.	МОДОВОЕ ДВУЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ
Даже одномодовый волоконный световод, строго говоря, не
является одномодовым, так как может поддерживать две вырожден-
ные моды, которые преимущественно поляризованы в двух ортого-
нальных направлениях. При идеальных условиях совершенной ци-
линдрической геометрии и изотропии вещества та мода, которая
возбуждена с поляризацией в .^-направлении, не будет возбуждать
ортогональную у-поляризованную моду. Однако в реальных усло-
виях малые отклонения от цилиндрической геометрии или малые
флуктуации в анизотропии вещества приводят к смешиванию двух
поляризационных состояний, снимая вырождение мод. Постоянные
распространения 0 становятся несколько различными для мод, по-
ляризованных в х- и у-направлениях. Это свойство называется дву-
лучепреломлением мод. Степень модового двулучепреломления В
определяется как [65, 66]
д =	н	(1.2.15)
к0
где пх и пу- эффективные показатели преломления мод в двух орто-
гональных поляризационных состояниях. Можно показать [66], что
при распространении в волоконном световоде происходит периоди-
Введение
21
(1.2.16)
ческий обмен мощностью между этими двумя модами; при данном
значении В соответствующий период LB равен
2л _ 1
Lb ~ 1₽Х-₽У1 ~ В
LB называется длиной биений. Ось, вдоль которой эффективный
показатель преломления моды меньше, называют быстрой осью,
потому что для света, поляризованного в этом направлении, группо-
вая скорость больше. По той же причине ось с большим модовым
показателем преломления называют медленной осью.
В обычных одномодовых волоконных световодах величина В не
постоянна вдоль световода, а изменяется случайным образом из-за
флуктуаций в форме сердцевины и анизотропии, вызываемой стати-
ческими напряжениями. Поэтому линейно-поляризованный свет, вво-
димый в волоконный световод, быстро теряет первоначальное со-
стояние поляризации. Для некоторых применений желательно, чтобы
свет проходил через волоконный световод, не изменяя своего со-
стояния поляризации. Такие световоды называют световодами, со-
храняющими состояние поляризации [65 69]. В них преднамеренно
создается сильное двулучепреломление, так что малые случайные
флуктуации двулучепреломления сушественно не влияют на поляри-
зацию света. Один из способов создания двулучепреломления состоит
в нарушении цилиндрической симметрии и создании световодов с
эллиптической формой либо сердцевины, либо оболочки. Дости-
гаемая таким способом величина двулучепреломления довольно мала
(В ~ 10 6). В другом методе двулучепреломление вызывается ста-
тическими упругими напряжениями, что позволяет достичь В ~ 10 4.
Часто при изготовлении световода в заготовку с двух противопо-
ложных сторон от сердцевины вводятся два стержня из боросили-
катного стекла. Модовое двулучепреломление В, вносимое этими
элементами, вызывающими статические напряжения, зависит от их
положения и толщины. На рис. 1.8 показана зависимость В от
толщины d для четырех форм элементов, вызывающих напряжения,
расположенных на расстоянии, равном пяти радиусам сердцевины
[69] Величина В = 2-10 4 может быть достигнута при d в диапазоне
50- 60 мкм. Волоконные световоды такого типа часто имеют назва-
ние «панда» или «галстук-бабочка», указывающее на форму попе-
речного сечения волокна. Существуют и другие подходы [68], в ко-
торых двулучепреломление создается деформированием заготовки.
Использование волоконных световодов, сохраняющих состояния
поляризации, требует идентификации медленной и быстрой осей,
прежде чем линейно-поляризованный свет будет введен в световод.
Если на входе направление поляризации излучения совпадает с
быстрой или медленной осями, поляризация при распространении не
изменяется. Если же поляризация направлена под углом к этим осям,
22
Глава 1
Рис. 1.8. Изменение параметра
двулучепреломления В в зави-
симости от толщины d напря-
гающих элементов для четырех
типов сохраняющих поляриза-
цию световодов. На вставке к
рисунку показаны различные
формы напрягающих элементов
[69]
поляризация непрерывно изменяется вдоль световода с периодом,
равным длине биений, определяемой уравнением (1.2.16). На рис. 1.9
схематически показана эволюция состояния поляризации на длине
биений двулучепреломляющего волокна. На половине длины биений
состояние поляризации меняется от линейной к эллиптической, от
эллиптической к круговой, от круговой к эллиптической и от эллип-
тической снова к линейной, но повернутой на угол 90е к направлению
поляризации на входе. Процесс повторяется на оставшейся половине
длины биений, так что начальное состояние восстанавливается при
z = LB и ее кратных. Длина биений составляет величину порядка 1 см
для световодов с сильным двулучепреломлением В ~ 10”4.
Медленная
й'стда
ось
Рис. 1.9. Схема эволюции состояния поляризации
света вдоль двулучепреломляющего световода,
когда излучение вводится под углом 45° к медлен-
ной и быстрой осям.
Введение
23
1.3.	НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ВОЛОКОННЫХ
СВЕТОВОДАХ
Отклик любого диэлектрика на световое воздействие становится
нелинейным в сильном электромагнитном поле, и оптические воло-
конные световоды не составляют исключения. С теоретической точки
зрения возникновение нелинейного отклика связано с ангармониче-
ским движением связанных электронов при воздействии приложен-
ного поля Е. В результате индуцированная поляризация Р электри-
ческих диполей уже не является линейной, а удовлетворяет более
общему соотношению [70]
Р = е0(х1Е + х2:ЕЕ + х3;ЕЕЕ + ...),	(1.3.1)
где е0-диэлектрическая проницаемость вакуума, xj (7= К 2, ...)-
восприимчивость у-го порядка, xJ~ тензор ранга 7+1, вводимый для
учета поляризационных эффектов. Главный вклад в Р вносит линей-
ная восприимчивость хП)- Она определяет показатель преломления
и и постоянную затухания а. обсуждавшиеся в разд. 1.2. С воспри-
имчивостью второго порядка х<2> связаны такие эффекты, как гене-
рация второй гармоники и генерация суммарной частоты [71].
Однако эта восприимчиость ненулевая только для сред, в которых на
молекулярном уровне отсутствует симметрия инверсии. Так как в
кварцевых стеклах молекула SiO2 обладает центром симметрии,
Х<2) = 0. Поэтому в оптических световодах не могут иметь место
эффекты второго порядка. Тем не менее слабые нелинейные эффекты
второго порядка могут возникать из-за электрических квадрупольных
и магнитных дипольных моментов. Примеси внутри сердцевины
волокна могут также при определенных условиях приводить к гене-
рации второй гармоники (см. гл. 10).
1.3.1.	НЕЛИНЕЙНОЕ ПРЕЛОМЛЕНИЕ
Нелинейные эффекты низшего порядка в оптических световодах
возникают из-за восприимчивости третьего порядка, которая от-
ветственна за такие явления, как генерация третьей гармоники,
четырехфотонное смешение, нелинейное преломление [71]. Однако,
если не созданы специальные условия фазового синхронизма, нели-
нейные процессы, связанные с генерацией новых частот (например,
генерация третьей гармоники или четырехволновое смещение), в
светоодах не эффективны. Большинство нелинейных эффектов в во-
локонных световодах возникают из-за нелинейного преломления
(зависимости показателя преломления от интенсивности) как ре-
зультат вклада х<3), т.е. показатель преломления световода стано-
вится равен
и(о>,|£|2) = и(со) + и2|£|2 ,
(1.3.2)
24
Глава 1
где и (со)-линейная часть, определяемая уравнением (1.2.6), |£|2-ин-
тенсивность поля внутри волокна и п2-нелинейный показатель пре-
ломления, связанный с х<3’ следующим отношением (см. разд. 2.3):
3
«2=—Zxxxx-	(1.3.3)
При получении уравнения (1.3.3) предполагалось, что электрическое
поле линейно поляризовано, так что только одна компонента Ххххх
тензора четвертого ранга вносит вклад в показатель преломления. То,
что х<3)- тензор, может влиять на поляризационные свойства опти-
ческого пучка через нелинейное двулучепреломление [21, 45]. Такие
нелинейные эффекты рассматриваются в гл. 7.
Зависимость показателя преломления от интенсивности приводит
к множеству интересных нелинейных эффектов. Два наиболее широко
изученных эффекта-это фазовая самомодуляция (ФСМ) и фазовая
кросс-модуляция (ФКМ). ФСМ обусловлена самонаведенным набе-
гом фазы, который оптическое поле приобретает при распростране-
нии в волоконном световоде. Его величину можно получить, заметив,
что фаза оптического поля изменяется как
ф = nk0L = (п + n2\E\2)k0L,	(1-3.4)
где к0 = 2лД и L-длина световода. Зависящий от интенсивности
набег фазы фЛТ = n2k0L[E[2 возникает вследствие ФСМ. Помимо
всего прочего, ФСМ приводит к спектральному уширению коротких
импульсов [25] и к существованию оптических солитонов в области
аномальной дисперсии групповых скоростей световода [26, 27]. Эти
вопросы обсуждаются в гл. 4 и 5.
ФКМ обусловлена нелинейным набегом фазы оптического поля,
который наведен другим полем на другой длине волны, распро-
страняющимся совместно [38-42]. Его появление можно понять,
представив полное электрическое поле Е в уравнении (1.3.1) как
Ех ехр(— icijj t) + E^expf— О + компл. сопр. , (1.3.5)
когда два оптических поля на разных частотах оц и со2, поляризован-
ных вдоль оси х, вместе и одновременно распространяются в волокне.
Нелинейный набег фазы поля на частоте tOj тогда будет (см. разд. 7.1)
равен
Фм. = п2 k0L(\ Er I2 + 21Е212),	(1.3.6)
где мы пренебрегли всеми членами, возбуждающими поляризацию не
на частотах coj и со2, потому что для них отсутствует фазовый
синхронизм. Два члена в правой части уравнения (1.3.6)-это ФСМ
и ФКМ соответственно.
1
Е = -
2
Введение
25
Важной характерной чертой ФКМ является то, что для двух полей
одинаковой интенсивности вклад ФКМ в нелинейный набег фазы
в 2 раза больше чем вклад ФСМ. Помимо всего прочего ФКМ
вызывает асимметричное спектральное уширение совместно распро-
страняющихся импульсов. В гл. 7 обсуждаются связанные с ФКМ
нелинейные эффекты.
1.3.2.	ВЫНУЖДЕННОЕ НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ
Вышеупомянутые нелинейные эффекты, связанные с восприимчи-
востью третьего порядка %3, можно назвать упругим рассеянием
света в том смысле, что не происходит обмена энергией между
электромагнитным полем и диэлектрической средой. Второй класс
нелинейных эффектов вызван вынужденным неупругим рассеянием,
при котором оптическое поле передает часть своей энергии не-
линейной среде. В эту категорию попадают два важных нелинейных
эффекта; оба они связаны с возникновением колебательных мод
кварца. Это эффекты вынужденного комбинационного рассеяния
(ВКР) и рассеяния Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ); они были
среди первых нелинейных эффектов, обнаруженных в оптических
волокнах [18 -20]. Основное различие между этими эффектами со-
стоит в том, что в ВКР принимают участие оптические фононы, тогда
как в ВРМБ - акустические. В простой квантовомеханической модели,
применимой и к ВКР, и к ВРМБ, фотон падающего поля (часто
называемый накачкой) распадается на фотон меньшей (стоксовой)
частоты и фонон, имеющий такие энергию и количество движения,
которые соответствуют законам сохранения энергии и количества
движения. Конечно, фотон с большей энергией (на так называемой
антистоксовой частоте) может возникнуть, если может быть погло-
щен фонон с надлежащими энергией и количеством движения. Вместе
с тем, хотя ВКР и ВРМБ по своей природе очень похожи, различие
дисперсионных свойств акустических и оптических фононов приводит
к некоторым принципиальным различиям между ними. Основное
различие заключается в том, что ВРМБ в волоконных световодах
происходят только в обратном направлении, а ВКР преимуществен-
но по направлению распространения.
Полное описание ВКР и ВРМБ в волоконных световодах довольно
сложное, но для начального роста стоксовой волны существует
простое соотношение. Для ВКР оно дается уравнением
^ = gRipis,	(1-3-7)
az
где /s-интенсивность стоксовой волны, /р - интенсивность накачки
и gR-коэффициент ВКР-усиления. Такое же уравнение имеет место
и для ВРМБ, если заменить gR на коэффициент ВРМБ-усиления дв.
26
Глава 1
Величины gR и дв в кварцевых световодах измерены эксперименталь-
но. Спектр ВКР-усиления очень широкий, ~ 30 ТГц [18]. Максимум
усиления при длине волны накачки 1 мкм gR 1 • 10“11 см/Вт и
находится на стоксовом частотном сдвиге около 13 ТГц. Наоборот,
спектр ВРМБ-усиления очень узкий ~ 10 МГц. Максимум ВРМБ-
усиления находится на стоксовом сдвиге ~ 10 ГГц и составляет
величину около 6-10-9 см/Вт для узкой линии накачки [19]. Эта
величина уменьшается в Аир/Агв раз в случае, когда накачка имеет
широкий спектр; здесь Дгр-ширина линии накачки и Агв-ширина
линии ВРМБ-усиления.
Важная особенность ВКР и ВРМБ в гом, что эти эффекты
пороговые, т. е. существенное преобразование энергии накачки в
энергию стоксовой волны происходит, только когда интенсивность
накачки превышает некоторый пороговый уровень. Для ВКР в одно-
модовом световоде с aL » 1 пороговая интенсивность накачки равна
[20]
16(a/<7B).	(1.3.8)
Обычно 1'р ~ 10 МВт/см2 и ВКР может наблюдаться при мощности
накачки 1 Вт. Подобные вычисления для ВРМБ показывают, что
пороговая интенсивность накачки равна
I* 2Ца/дв).	(1.3.9)
Коэффициент ВРМБ-усиления дв более чем на 2 порядка величины
больше gR, поэтому обычная величина порога ВРМБ < 10 мВт.
Нелинейные явления ВКР и ВРМБ и их применение к оптической
волоконной связи рассматриваются в книге в гл. 8 и 9 соответственно.
1.3.3.	ВАЖНОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ
Измерения Нелинейного показателя преломления в кварцевых
световодах [25] дают величину около 1,1 • 10“13 ед. СГСЭ или
2,3 • 10“22 м2/В2 ед. МКС. В более привычных единицах п2 =
= 3,2-10“16 см2/Вт. Эта величина в кварце по сравнению с другими
нелинейными средами по крайней мере на 2 порядка величины
меньше. Точно так же и измерения коэффициентов ВКР- и ВРМБ-
усилений показывают, что их значения по порядку величины на 2 или
более порядка меньше, чем в других обычных нелинейных средах
[43]. Несмотря на малые величины нелинейных коэффициентов в
кварцевом стекле, нелинейные эффекты могут наблюдаться при
относительно низких мощностях. Это возможно благодаря двум
важным характеристикам одномодового волоконного световода-
малому размеру моды (~ 2-4 мкм) и чрезвычайно низким потерям
(< 1 дБ/км). Характерный параметр эффективности нелинейного
Введение
27
процесса в объемных средах-это произведение /Е.,фф, где /-оптичес-
кая интенсивность и £.,фф-эффективная длина взаимодействия [72].
Если излучение фокусируется в пятно радиуса и’о, то I = P/nwo, где
Р-оптическая мощность. Ясно, что I можно увеличить, сильнее
фокусируя излучение, уменьшив тем самым и’о- Однако это ведет
к уменьшению Еэфф, так как длина области фокусировки уменьшается
при увеличении фокусировки. Для гауссовского пучка Еэфф ~ ли'о/Х
и произведение
Р ЯИ’о	Р
it	—_________"	—	_
'^зфф —	2	1	~	1
ЯИ’о	Л	Л
(1.3.10)
не зависит от размера пятна и’о- В одномодовых световодах размер
пятна и’о определяется радиусом сердцевины а. Кроме того, диэлект-
рическим волноводам свойственно то, что постоянный размер пятна
сохраняется вдоль всей длины световода L. В этом случае длина
взаимодействия Е.1фф ограничивается потерями световода а. Исполь-
зуя уравнение Це) = /оехр(— az), где Io = P/kwq и Р-введенная
в волокно мощность, для произведения /£эфф получаем
L. Р	, Р /1 — ехр(—aL)\
^эфф = J —г ехр(- az)dz = —j I----------------I. (1.3.11)
о ли’о	nwo \ a /
Сравнение уравнений (1.3.10) и (1.3.11) показывает, что эффектив-
ность нелинейного процесса в волоконных световодах (ВС) может
быть увеличена во много раз [72]:
„(^Ф*)ВС = ^,	(1-3.12)
н^эфф (объем ли’оа
где предполагается, что aL» 1. В видимой области спектра, обычно
при X = 0,53 мкм и и’о = 2,5-10-5 см-1 (10 дБ/км), этот коэффициент
составляет ~ 107. Увеличение эффективности может быть и в ~ 109
раз на длине волны вблизи 1,55 мкм, где световод имеет минималь-
ные потери а = 5-10“7 см-1 (0,2 дБ/км). Именно это огромное
увеличение эффективности нелинейных процессов делает оптические
волноводы пригодной нелинейной средой для наблюдения большого
разнообразия нелинейных эффектов при относительно низких мощ-
ностях.
1.4.	СТРУКТУРА КНИГИ
Цель этой книги-дать всесторонний обзор нелинейных явлений
в оптических волокнах. Расположение материала не соответствует
хронологическому порядку, в котором разные нелинейные эффекты
были впервые изучены в волоконных световодах. Главы расположены
так, чтобы по возможности сделать минимальными повторения.
28
Глава 1
В частности, в гл. 1-3 даются обзорный материал и математический
аппарат, необходимый для понимания разных нелинейных эффектов.
- В гл. 4-7 обсуждаются нелинейные эффекты, приводящие к спект-
ральному и временным изменениям оптической волны, не изменяя ее
энергии. В гл. 8-10 рассматриваются нелинейные эффекты генерации
новых оптических волн по средствам передачи им энергии волн
накачки. Ниже следует краткий обзор каждой главы, дающий пред-
ставление о содержании книги.
В гл. 2 развит математический аппарат, необходимый для теоре-
тического понимания нелинейных явлений в волоконных световодах.
Начинается теоретическое описание уравнениями Максвелла; далее
при обсуждении мод световода и получении основного уравнения для
распространения амплитуды огибающей импульса используется
волновое уравнение в нелинейной среде с дисперсией. При выводе
уравнения отмечаются производимые приближения. Затем обсуж-
даются численные методы, используемые при решении основного
уравнения распространения; особенно выделяется фурье-метод с раз-
делением по физическим факторам.
Г лава 3 посвящена дисперсионным эффектам, которые возникают,
когда вводимая мощность и длина световода таковы, что нелиней-
ными эффектами можно пренебречь. Главным образом действие
дисперсии групповых скоростей (ДГС) состоит в уширении оптичес-
кого импульса при его распространении в волокне. Такое вызванное
дисперсией уширение рассматривается для нескольких форм им-
пульса; уделяется особое внимание действию частотной модуляции,
наведенной на входном импульсе. Обсуждаются также дисперсион-
ные эффекты высших порядков, важные вблизи длины волны нулевой
дисперсии световода.
В гл. 4 рассматривается нелинейное явление фазовой самомодуля-
ции ФСМ, являющееся результатом зависимости показателя прелом-
ления от интенсивности. Главным образом действие ФСМ состоит
в уширении спектров оптических импульсов, распространяющихся
в световоде. Если ФСМ и ДГС действуют совместно в оптическом
волокне, то их действие сказывается также и на форме импульса.
Особенности спектрального уширения наводимого ФСМ без эффекта
ДГС и с ним обсуждаются в отдельных разделах. Также рассматри-
ваются нелинейные и дисперсионные эффекты высших порядков,
важность которых нарастает, когда импульсы становятся короче 1 пс.
Глава 5 посвящена оптическим солитонам, привлекающим особое
внимание благодаря их фундаментальным свойствам, а также, в
перспективе, применениям в волоконно-оптической связи. В начале
главы рассматривается эффект модуляционной неустойчивости, что-
бы подчеркнуть важность взаимного влияния дисперсионных и не-
линейных эффектов, которое может иметь место в области аномаль-
ной ДГС оптических волокон. Затем вводится понятие фундаменталь-
Введение
29
ного солитона и солитонов высших порядков; для решения основного
уравнения распространения, известного как нелинейное уравнение
Шредингера, используется метод обратной задачи рассеяния. При-
менениям солитонов в солитонных лазерах и в оптических солитон-
ных системах связи посвящаются два раздела. В заключение рас-
сматриваются нелинейные и дисперсионные эффекты высшего поряд-
ка, приводящие к распаду солитонов.
В гл. 6 рассматривается сжатие импульсов, важное с техно-
логической точки зрения, так как это нелинейное явление было
использовано для получения импульсов длительностью 6 фс. Ис-
пользуются два типа оптических компрессоров в зависимости от
того, длина волны X больше или меньше длины волны нулевой
дисперсии волокна. В видимой и ближней инфракрасной областях
(А < 1,3 мкм) оптические импульсы можно сжимать в волоконно-
решеточном компрессоре до 100 раз. Подробно обсуждаются теория
и конструкция таких компрессоров. В области длин волн 1,3-1,6 мкм
в компрессорах, основанных на солитонном эффекте, можно сжимать
оптические импульсы в ~ 100 раз, используя фундаментальное свой-
ство солитонов высших порядков. Сочетая эти два метода сжатия
в области длин волн вблизи 1,3 мкм и используя световод со
смещенной дисперсией, можно получить сжатие в ~ 5000 раз. Дается
обзор экспериментальных достижений в этой области, а также теория
компрессоров, основанных на солитонном эффекте.
В гл. 7 сосредоточено внимание на эффекте фазовой кросс-
модуляции ФКМ, которое возникает, когда два оптических поля
распространяются одновременно и действуют друг на друга по-
средством зависимости показателя преломления от интенсивности.
Нелинейная связь, вызванная ФКМ, может иметь место, не только
когда два излучения на разных длинах волн вводятся в волокно, но
также и вследствие взаимодействия между ортогонально поляризо-
ванными компонентами одного излучения в двулучепреломляющем
световоде. Рассмотрению последнего случая предшествует рассмотре-
ние таких нелинейных эффектов, как оптический эффект Керра и
вызванное двулучепреломлением изменение формы импульса. Не-
линейное двулучепреломление ведет к поляризационной неустойчи-
вости, так как длина биений в световоде становится зависимой от
интенсивности. Обсуждается также его воздействие на оптические
солитоны. В следующих двух разделах рассмотрен случай, когда
в световод вводится излучение на двух разных длинах волн. Инду-
цируемая ФКМ-связь этих двух излучений может вызвать модуля-
ционную неустойчивость в области нормальной дисперсии групповых
скоростей световода. Эффект ФКМ, рассматриваемый в комбинации
с эффектами ФСМ и ДГС. может привести к несимметричным
спектральным и временным изменениям. Вслед за этим рассматрива-
ется взаимодействие между волнами, распространяющимися навстре-
30
Глава 1
ЧУ ДРУГ ДРУГУ, появляющееся вследствие ФКМ, и отмечается в этой
связи важность ФКМ для оптического волоконного гироскопа.
В последней части обсуждаются применения ФКМ для волоконно-
оптической связи.
В гл. 8 рассмотрено вынужденное комбинационное рассеяние
ВКР явление генерации стоксовой волны (смещенной на 13 ТГЦ)
в поле волны накачки при распространении накачки в световоде. Это
происходит, только когда мощность накачки превышает пороговый
уровень. Сначала обсуждаются усиление и порог вынужденного
комбинационного рассеяния Затем в двух отдельных разделах
описывается ВКР для случая непрерывной или квазинепрерывной
накачки и для случая сверхкоротких импульсов накачки. В последнем
случае сочетание ФСМ, ФКМ и ДГС приводит к качественно новым
особенностям. Эти особенности могут быть совершенно разными
в зависимости от того, находится накачка в области нормальной или
аномальной ДГС. Случай аномальной ДГС рассматривается в
последнем разделе, особенно выделены волоконно-оптические ВКР-
лазеры. Также обсуждаются применения ВКР-усилителей в волокон-
но-оптической связи.
Глава 9 посвящена ВРМБ, которое проявляется в волоконных
световодах подобно ВКР, но с важными отличиями. ВРМБ пре-
образует часть энергии накачки в стоксовых волнах, распространяю-
щуюся во встречном направлении и смещенную по частоте всего на
~ 10 ГГц. Из-за малой ширины линии ВРМБ-усиления (~ 10 МГц)
ВРМБ возникает эффективно только при непрерывной накачке или
накачке импульсами, имеющими спектральную ширину меньше
ширины линии усиления. Сначала описаны характеристики ВРМБ-
усиления в кварцевых световодах. Затем изложена теория ВРМБ,
рассматривающая такие вопросы, как порог ВРМБ, истощение
накачки и насыщение усиления. Обсуждаются также связанные с
ВРМБ неустойчивости. В обсуждении экспериментальных результа-
тов особое внимание уделено волоконным ВРМБ-лазерам и усили-
телям. Последний раздел посвящается применениям ВРМБ для
волоконно-оптической связи.
В гл. 10 рассмотрены параметрические процессы, при которых
происходит обмен энергиями между несколькими оптическими вол-
нами без активного участия нелинейной среды. Параметрические
процессы эффективно происходят, только когда выполнено условие
фазового синхронизма. Эти условия относительно легко выполнить
для нелинейного процесса четырехволнового смешения. И ему
посвящена основная часть главы. Теория параметрического усиления
следует из рассмотрения нелинейного взаимодействия четырех волн
Подробно обсуждаются экспериментальные результаты и способы
получения фазового синхронизма. Вслед за этим рассматриваются
параметрическое усиление и его применения. Последний раздел
Введение
31
посвящен генерации второй гармоники в световодах явлению, кото-
рое привлекло недавно большое внимание из-за его важных техно-
логических применений
ЛИТЕРАТУРА
1.	Tyndall J. Proc. Roy. Inst., 1, 446, (1854).
2.	Baird J. L., British Patent, 285, 738 (1927).
3.	Hansell C W., U. S. Patent, 1, 751, 584 (1930).
4.	Lamm H.. Z. Instrumentenk, 50, 579 (1930).
5.	van Hell A.C.S., Nature, 173, 39 (1954).
6.	Hirschowitz В. I. et al.. Gastroenterology, 35, 50 (1958).
7.	Kapany N.S., J. Opt. Soc Am., 49, 779 (1959)
8	Kapany N. S., Fiber Optics: Principles and Applications, Academic, New York,
1967.
9.	Kao K.C., Hockham G.H., Proc. IEE, 113, 1151 (1966).
10.	Kapron F. P. Keck D. B„ Maurer R. D„ Appl. Phys. Lett., 17, 423 (1970).
11.	Payne D. N., Gambling W.A., Electron. Lett., 10, 289 (1974).
12.	French W. G. et al.. Bell Sys. Tech. J. 53, 951 (1974).
13.	Miya T. et al., Electron, Lett., 15, 106 (1979).
14	Suemastu Y, Proc. IEEE, 71, 692 (1983).
15.	Li T, IEEE J. Sei. Areas Commun., SAC 1, 356 (1983).
16.	Basch E. E., ed., Optical Fiber Transmission, Sams, Indianapolis, 1986.
17	Miller S.E., Kaminow I P., eds., Optical Fiber Telecommunications II, Aca-
demic, Boston, 1988.
18.	Stolen R. H., Ippen E. P„ Tynes A. R.. Appl. Phys. Lett., 20, 62 (1972).
19.	Ippen E.P., Stolen R.H., Appl. Phys. Lett., 21, 539 (1972).
20.	Smith R.G., Appl. Opt., 11, 2489 (1972).
21	Stolen R.H., Ashkin A., Appl. Phys. Lett., 22, 294. (1973).
22.	Stolen R.H., Bjokholm J E, Ashkin A., Appl Phys. Lett., 24, 308 (1974).
23	Stolen R.H., IEEE J. Quantum Electr., QE 11, 100 (1975).
24	Ippen E. P., Shank C.V., Gustafson T.K. Appl. Phys. Lett., 24, 190 (1974).
25.	Stolen R. H., Lin C., Phys. Rev., A17, 1448 (1978).
26.	Hasegawa A.. Tappert F„ Appl. Phys. Lett., 23, 142 (1973).
27.	Mollenauer L. F., Stolen R. H„ Gordon J. P., Phys. Rev. Lett., 45, 1095 (1980).
28.	Mollenauer L.F., Stolen R.H., Opt. Lett., 9, 13 (1984).
29.	Mollenauer L. F., Gordon J. P„ Islam M. N., IEEE J. Quantum Electr., QE-22,
157 (1986).
30.	Kafka J. D., Baer T Opt. Lett., 12, 181 (1987).
31	Islam M.N. et al., Opt. Lett., 12, 814 (1987).
32.	Gouveia Neto A. S., Gomes A.S.L., Taylor J R. Opt. Quantum Electr., 20. 165
(1988).
33.	Nakatsuka H„ Grischkowsky D„ Balant A.C., Phys. Rev. Lett., 47, 910 (1981).
34.	Shank С. V. et al., Appl. Phys. Lett., 40, 761 (1982).
35.	Nikolaus B„ Grischkowsky D„ Appl. Phys. Lett., 42, 1 (1983).
36.	Gomes A.S.L.. Gouveia Neto A.S., Taylor J. R., Opt. Quantum. Electr., 20, 95
(1988).
37.	Fork R.L. et al.. Opt. Lett., 12, 483 (1987).
38.	Alfano R. R. el al.. Opt. Lett., 14, 626 (1986)
39.	Alfano R. R. et al.. Appl. Opt.. 26, 3491 (1987).
40.	Islam M.N. et al., Opt. Lett., 12, 625 (1987).
41.	AgrawalG.P.. Phys. Rev. Lett., 59, 880 (1987).
42.	Schadt D.. Jaskorzynska B., J. Opt. Soc. Am., B4, 856 (1987).
43.	Stolen R.H.. Proc. IEEE, 68, 1232 (1980).
44.	Сисакян И.Н., Шварцбург A B. Квант, электрон., 1984, т. 11, с. 1703.
32
Глава 1
45.	Winful Н. G„ in: Optical Fiber Transmission, ed. by E. E. Basch, Sams,
Indianapolis, 1986.
46.	Ахманов C.A., Выслоух В. А., Чиркин А. С. УФН, 1986, т. 99, с. 169.
47.	Cotter D., Opt. Quant. Electr., 19, 1 (1987).
48.	Blow К J . Doran N.J. IEE Proc., 134, Pt. J, 138 (1987).
49.	Marcuse D., in: Optical Fiber Telecommunications II, ed. by S. E. Miller,
l.P. Kaminow, Academic, Boston, 1988.
50.	Цианов E.M., Мамышев П.В. Прохоров А. М. Квант, электрон., 1988,
т. 15, с. 5.
51.	Marcuse D„ Light Transmission Optics, van Nostrand Reinhold, New York,
1982, Ch. 8, 12.
52.	Snyder A. W.. Love J. D., Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall,
London, 1983. [Имеется перевод: Снайдер А В Лав Ц. Д. Теория опти-
ческих волноводов. М.: Мир, 1987]
53.	Adams М J, An Introduction to Optical Waveguides, Wiley, New York, 1981,
Ch. 7.
54.	Nagel S. R.. MacChesney J. B.. Walker K. L., in: Optical Fiber Communications,
vol. 1, ed. by T. Li, Academic, Orlando, 1985, Ch. 1.
55.	Morrow A. J.. Sarkar A., Schultz P. C„ in: Optical Fiber Communications, vol. 1,
ed. by T. Li, Academic, Orlando, 1985, Ch. 2.
56.	Niizeki N., Inagaki N., Edahiro T„ in: Optical Fiber Communications, vol. 1, ed.
by T. Li, Academic, Orlando, 1985, Ch. 3.
57.	DiMarcello F. V., Kurkjian C. R. Williams J C., in: Optical Fiber Communi-
cations, vol. 1, ed. by T. Li, Academic, Orlando, 1985, Ch. 4.
58.	Paek U.C.. J. Lightwave Technol., LT 4, 1048 (1986).
59.	Kanamori H. et al., J. Lightwave Technol., LT 4, 1144 (1986).
60.	Cohen L.G., J. Lightwave Technol., LT 3, 958 (1985).
61.	Malitson I. H.. J. Opt. Soc. Am.. 55, 1205 (1965).
62.	Agrawal G.P., Potasek M.J., Phys. Rev., A33, 1765 (1986).
63.	Ainslie B.J. Day C.R., J. Lightwave Technol., LT 4. 967 (1986).
64.	Cohen LG. Mammel W.L Jang S.J., Electron. Lett., 18, 1023 (1982).
65.	Stolen R H et al., Appl. Phys. Lett., 33, 699 (1978).
66.	Kaminow I. P., IEEE J Quantum Electr., QE 17, 15 (1981).
67.	Payne D.N., Barlow A. J., Hansen J J. R., IEEE J. Quantum Electr., QE 18,
477 (1982).
68.	Stolen R. H., Pleibel W., Simpson J. R„ J. Lightwave Technol., LT 2, 639 (1984).
69.	Noda J., Okamoto K„ Sasaki Y, J. Lightwave Technol., LT 4, 1071 (1986).
70.	Bloembergen N., Nonlinear Optics, Benjamin, Reading, Mass., 1977, Ch. 1.
71.	Shen Y.R., Principles of Nonlinear Optics, Wiley, New York, 1984 [Имеется
перевод: Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука. 1989.]
72.	Ippen Е. Р in: Laser Applications to Optics and Spectroscopy, vol. 2, ed. by
S. F Jacobs, M. Sargent III, J. F. Scott, M.O. Scully, Addison-Wesley, Reading,
Mass., 1975, Ch. 6.
Глава 2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛОКОННЫХ
СВЕТОВОДАХ
Для понимания нелинейных явлений в волоконных световодах
необходимо рассмотреть теорию распространения электромагнитных
волн в нелинейной среде с дисперсией. Цель этой главы получить
основное уравнение распространения оптических импульсов в одно-
модовых световодах. В разд. 2.1 вводятся уравнения Максвелла
и основные понятия, такие, как линейная и нелинейная индуцирован-
ная поляризация и диэлектрическая проницаемость, зависящая от
частоты. Понятие мод волоконного световода вводится в разд. 2.2,
в котором обсуждается также, при каком условии световод будет
одномодовым В разд. 2.3 рассматривается теория распространения
импульсов в нелинейной среде с дисперсией в приближении медленно
меняющихся амплитуд в предположении, что ширина спектра им-
пульса много меньше частоты электромагнитного поля. В разд. 2.4
обсуждаются численные методы, используемые для решения уравне-
ния распространения. Особое внимание уделено методу расщепления
по физическим факторам с использованием быстрого преобразования
Фурье на дисперсионном шаге (SSFM): он отличается большей
скоростью счета по сравнению с большинством разностных схем.
2.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Как и все электромагнитные явления, распространение оптичес-
кого поля в волокне описывается уравнением Максвелла. В системе
СИ эти уравнения имеют вид [1]
(5В
VxE =--------,	(2.1.1)
dt
VxH = Jz + —,	(2.1.2)
VD=P/,	(2.1.3)
V-B=O,	(2.1.4)
где E и H-векторы электрического и магнитного полей, a D и В
векторы электрической и магнитной индукции соответственно. Источ-
никами электромагнитного поля являются вектор плотности тока Jf
34
Глава 2
и плотности заряда ру. При отсутствии свободных зарядов в среде,
например, как в волоконном световоде, Jy = 0 и pf = 0.
Векторы электрической и магнитной индукции D и В возникают
как отклик среды » на электрическое и магнитное поля Е и Н,
распространяющиеся в среде, и связаны с ними следующими соотно-
шениями:
D = e0E + P,	(2.1.5)
В=р0Н + М,	(2.1.6)
где £0 и ц0-диэлектрическая и магнитная постоянные вакуума,
Р и М электрическая и магнитная поляризации. В случае волокон-
ного световода, являющегося немагнитным веществом, М = 0.
Уравнения Максвелла могут быть использованы для получения
уравнения, описывающего распространение света в волоконных
световодах:
„	1 д2Е д2Р
Vx (2L7)
где используется соотношение ц0£0 = 1/с2, с-скорость света в
вакууме. Чтобы завершить описание, нужно ввести связь между
индуцированной поляризацией Р и электрическим полем Е. Вообще
говоря, чтобы определить Р, нужно использовать квантовомехани-
ческую теорию. Однако такой подход часто бывает необходим только
тогда, когда частота оптического поля близка к резонансным часто-
там среды. В противном же случае, вдали от резонансных частот, для
связи Р и Е можно использовать феноменологическое соотношение
(1.3.1), которое справедливо в волоконных световодах в области длин
волн 0,5-2 мкм. представляющей интерес для изучения нелинейно-
оптических эффектов. Рассмотрим нелинейные эффекты только
третьего порядка, определяемые /<3). Индуцированная поляризация
состоит из двух частей:
Р(г, 0 = PL(r, O + Pwt(r, О,	(2-Е8)
где Pt-линейная и РЛ7 - нелинейная части, связанные с электрическим
полем в самом общем случае соотношениями [2, 3]
PL(г, /) = £0 f х<п(/- П Е(г, Г) Л',	(2-1.9)
— оо
00
Pjvr(r 0 = £0 f f f X<3)U - ti, t - t2, t - /3): E(r, zj E(r, z2) x
x E(r. t3) dt} dt2 dt3.	(2.1.10)
Эти соотношения справедливы в дипольном приближении, когда
предполагается, что отклик среды является локальным.
Распространение волн в волоконных световодах
35
Уравнения (2.1.7)—(2.1-10) составляют общий формализм описа-
ния нелинейных эффектов низшего порядка в волоконных световодах.
Ввиду их сложности необходимо сделать несколько упрощающих
приближений. Наиболее общее упрощение состоит в том, что
нелинейная поляризация РЛ/ в (2.1.8) считается малым возмущением
полной индуцированной поляризации. Такое предположение оправ-
данно, так как в волоконных световодах |PNL|«|PL|. Поэтому
первым шагом будет решение уравнения (2.1.7) при РЛ{ = 0. Так как
уравнение (2.1.7) линейно по Е, оно имеет простой вид в спектраль-
ном представлении:
V х V х Ё(г, со) + е(со) Ё(г, со) = 0,	(2.1.11)
с
где Ё (г, со) - фурье-компоненты E(r, t), определяемые как
Ё(г, со) = j Е(г,z) exp(zcoz) dt, •	(2.1.12)
а е(со)-диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты сле-
дующим образом:
£(со)= 1 + х<1’(ы);	(2-1.13)
здесь х(1) (со) фурье-преобразование функции x(1,(z). Вообще х(1,(со),
а следовательно, и £ (со) комплексные величины. Используя опре-
деление
£ = (и + i а с/2со)2,	(2.1.14)
показатель преломления и и коэффициент поглощения а можно
выразить через действительную и мнимую части х<п (со) как
и(со) = 1 + | Ке[Х<п(к>)],	(2.1.15)
а(со) = — Im [х*11 (со)];	(2.1.16)
пс
здесь Re и Im обозначают соответственно действительную и мнимую
части. Частотная зависимость и и а в волоконных световодах
обсуждалась в разд. 1.2.
Прежде чем решать уравнение (2.1.11), сделаем еще два упроще-
ния. Во-первых, пренебрежем мнимой частью е (со), так как ввиду
низких потерь в световодах мнимая часть мала по сравнению с
действительной. Тогда £(со) можно заменить на и2 (со). Во-вторых,
полагая и (со) независимым от пространственных координат в оболоч-
ке и сердцевине (для световода со ступенчатым профилем показателя
преломления), можно считать, что
V х V х Е = V(V E)- V2E= - V2E; (2.1.17)
36
Глава 2
здесь используются равенства V • D = eV  Е = 0. При таких упроще-
ниях уравнение (2.1.11) принимает вид
У2Ё + и2(со)^Ё = О.	(2.1.18)
с
В следующем разделе уравнение (2.1.18) решается в случае световода
со ступенчатым профилем показателя преломления; находя гея моды
такого световода.
2.2. МОДЫ ВОЛОКОННОГО СВЕТОВОДА
При любой частоте со волоконный световод может иметь конечное
число направляемых мод, пространственные распределения полей
Ё(г, со) которых являются решениями волнового уравнения (2.1.18)
при соответствующих граничных условиях. Кроме того, световод
может иметь континуум (счетное число) ненаправляемых излучатель-
ных мод. Излучательные моды не играют важной роли в обсуждении
нелинейных эффектов, поскольку предполагается, что световод имеет
совершенную (идеальную) цилиндрическую геометрию, хотя излуча-
тельные моды важны в задачах, рассматривающих передачу энер-
гии между связанными и излучательными модами [4]. В этом раз-
деле кратко обсуждаются направляемые моды волоконных светово-'
дов [4, 5].
Принимая во внимание цилиндрическую симметрию волоконного
световода, удобно записать волновое уравнение (2.1.18) в цилиндри-
ческих координатах р, ф и г:
г2Ё 1гЁ	1 г2Е г2Е
'д—2	—2 дТг + “ГТ + п ^оЕ —0,
др	р с>р	р дф	dz
где к0 = со/с = 2л/Х и Ё фурье-компоненты электрического поля Е,
т. е.
(2.2. Ь)
1 ® ~
Е(г,г) =— Г Ё(г,со)ехр(—ссог)с/со.	(2.2.2)
2л-о,
Аналогичные соотношения выполняются и для магнитного поля
Н(г, t). Так как Е и Н удовлетворяют уравнениям Максвелла (2.1.1)
(2.1.4), только две компоненты из шести независимы. Удобно вы-
брать Ё2 и Н. как независимые компоненты и выразить остальные Ёр,
Ёф, Нр и Нф через Ё2 и Н,. удовлетворяющие уравнению (2.2.1). Для
решения волнового уравнения относительно Ёг используется под-
становка
£2(г,со) = Л(со)£(р)ехр(с/пф)ехр(трг),	(2.2.3)
где А - нормировочная постоянная, р постоянная распрос транения
Распространение волн в волоконных световодах
37
и т-целое число. Подставляя (2.2.3) в (2.2.1), для функции F(р)
получаем следующее уравнение:
d2 F \dF
, 2 + Т“ +
dp р dp
(2-2.4)
где
к = и2Ц-р2.
(2.2.5)
Показатель преломления п волокна с радиусом сердцевины а имеет
вид
J «1, Р < «,
и = )
( и2, р > а.
Уравнение (2.2.4)-хорошо известное дифференциальное уравне-
ние, решением которого являются функции Бесселя. Общее решение
в сердцевине можно выразить как линейную комбинацию функции
Бесселя 7т(кр) и функции Неймана Лгт(кр). Функция ЛГт(кр) имеет
сингулярность при р = 0, поэтому физический смысл имеет только
решение
F (Р) = К (к р), р < а,	(2.2.6)
где к получается из уравнения (2.2.5) заменой и на nt; это показатель
преломления сердцевины. В оболочке (р > а) решение F (р) должно
экспоненциально убывать с увеличением р. Таким решением являют-
ся модифицированные функции Бесселя Кт .
F(p) = Km(yp), Р>«,
(2.2.7)
где
Y = (₽2-"W/2.	(2.2.8)
Следуя такой же процедуре, можно получить компоненту магнит-
ного поля Hz. Граничное условие требует, чтобы тангенциальные
компоненты Е и Н были непрерывны на поверхности, разделяющей
сердцевину и оболочку, т. е. £., Hz, Ё$ и при р = а должны быть
непрерывными функциями.
Непрерывность этих компонент поля на границе сердцевины
и оболочки (р = а) приводит к характеристическому уравнению,
решение которого определяет постоянную распространения р для
моды световода. Так как процедура получения характеристического
уравнения хорошо известна [4, 5], сразу выпишем его:
J'm(Ka) + (уд)	+ »2^^(уд)	= жр/с0(и? - nj) 2
-KJm(Ko) уКт(уо)Л_к7т(к«) HjyKm(ya)J cn^y2^ J
(2.2.9)
где штрих означает дифференцирование по аргументу. Уравнение
38
Глава 2
(2.2.9) получено с использованием важного соотношения
к2 + у2 = (л? - nl)ko ,	(2.2.10)
которое может быть получено из уравнений (2.2.5) и (2.2.8).
Характеристическое уравнение (2.2.9) в общем случае может иметь
несколько решений для каждого целого значения т. Удобно выра-
жать эти решения как рти, где т и «-целые числа. Каждое собствен-
ное значение соответствует моде волоконного световода. Со-
ответствующее решение уравнения (2.2.1) дает распределение поля
моды. Оказывается [4, 5], что существуют два типа мод световода,
обозначаемые Н Етп и Е Нтп. При т = 0 эти моды аналогичны
поперечной электрической (ТЕ) и поперечной магнитной (TH) модам
планарного волновода, так как аксиальные компоненты электричес-
кого и магнитного полей равны нулю. Однако при т > 0 моды
волоконного световода гибридные, т. е. все шесть компонент электро-
магнитного поля отличны от нуля.
Число мод, поддерживаемых световодом на данной длине волны,
зависит от его параметров - радиуса сердцевины а и разности
показателей преломления для сердцевины и оболочки — п2.
Важным параметром каждой моды является ее частота отсечки. Эта
частота определяется условием у = 0. Величина к, для которой у = 0,
для данной моды определяет частоту отсечки из уравнения (2.2.10).
Полезно определить нормализованную частоту V соотношением
Е=кг« = коп(и?-«1)1/2,	(2.2.11)
где хс находится из уравнения (2.2.10) при подстановке у = 0.
Параметр V был введен в разд. 1.2; изложенное выше показывает,
откуда он возникает и каков его физический смысл.
Характеристическое уравнение (2.2.9) позволяет определить вели-
чины Е-параметра отсечки разных мод. Эта довольно сложная
процедура описана во многих работах [4, 5]. Мы будем главным
образом рассматривать одномодовые световоды, поэтому ограни-
чимся обсуждением только условия отсечки, при котором волокно
может поддерживать только одну моду. В одномодовых световодах
поддерживается только Н £и-мода, называемая основной модой. Все
другие находятся за пределами отсечки, если параметр V < Vc, где
Vc- наименьший корень уравнения Jo(Ec) = 0 или Vc ~ 2,405. При
изготовлении волокон значение V является критическим параметром.
Если V/Vc становится малым, то увеличиваются потери на микро-
изгибах в волокне. Поэтому на практике обычно делают волокна так,
чтобы параметр V был вблизи Vc. Длину волны отсечки для
одномодового волоконного световода получаем, подставляя в
уравнение (2.2.11) к0 = 2п/'кс и V = 2,405. Для обычных значений
разности показателей преломления сердцевин и оболочки ni—n1 =
= 0,005, \ = 1,2 мкм при а = 4 мкм. Такое волокно поддерживает
Распространение волн в волоконных световодах
39
только одну моду для X > 1,2 мкм. Для того чтобы получить одно-
модовое волокно в видимой области, нужно, чтобы радиус сердце-
вины был менее 2 мкм.
Поле Е(г, t), соответствующее моде НЕц, имеет три ненулевые
компоненты £р, £ф и £2, или, в декартовых координатах, Ех, Еу и £z,
среди которых либо £Л, либо Еу преобладает. Таким образом,
с большой точностью основную моду можно считать линейно-
поляризованной в х- или v-направлении в зависимости от того, £х или
Еу преобладает. В этом отношении даже одномодовые волокна,
вообще говоря, не являются одномодовыми, так как они могут
поддерживать две ортогонально-поляризованные моды. Иногда
используют обозначение LP^ для линейно-поляризованных мод,
являющихся приближенным решением уравнения (2.2.1). В этих
обозначениях основная Н £и-мода соответствует £Р01-моде [5].
При идеальных условиях две ортогонально-поляризованные моды
вырожденны (т. е. они имеют одинаковые постоянные распростране-
ния). На практике нерегулярности, такие, как случайные изменения
диаметра сердцевины вдоль длины волокна, снимают вырождение
мод, приводят к случайному смешиванию двух поляризационных
компонент' и к изменению поляризации вводимого излучения при
распространении его вдоль волоконного световода. Как было сказано
в разд. 1.2.4, световоды, сохраняющие состояние поляризации,
получаются путем создания сильного двулучепрсломления, снимаю-
щего вырождение мод. Такие волокна могут сохранять линейное
состояние поляризации, если излучение вводится поляризованным
в направлении одной из главных осей световода. Предполагая, что
вводимое излучение поляризовано вдоль главной оси (например,
л-оси), электрическое поле основной моды Н Ех , приближенно можно
представить как
Ё(г, со) = х {А (со) F (х, г)ехр (i р (со) z)},	(2.2.12)
где .4 (со) нормировочная постоянная. Поперечное распределение
поля в сердцевине следует из уравнения (2.2.6):
F(x,y) = J0(Kp), р^о,	(2.2.13)
где р = (х2 4- г2)12 радиальное расстояние. Снаружи сердцевины
световода поле экспоненциально спадает, как [4]
F(x,y) = (a/p)t/2J0(Ka)exp[-y(p - я)], р > а, (2.2.14)
где Кт(ур) в уравнении (2.2.7) приближено первым членом асимпто-
тического разложения и добавлен постоянный множитель, чтобы
выполнялось условие равенства F(x,y) при р = а в уравнении (2.2.13)
и (2.2.14). Постоянная распространения р (со) в уравнении (2.2.12)
является решением характеристического уравнения (2.2.9). Частотная
зависимость р (со) определяется не только частотной зависимостью пх
40
Глава 2
и п2, называемой материальной дисперсией, но и зависимостью к от
частоты; такая зависимость называется волноводной дисперсией. Как
было показано в разд. 1.3, материальная дисперсия преобладает
в спектральной области вдали от длины волны, отвечающей нулевой
дисперсии. Чтобы определить р (со), вообще говоря, требуется числен-
ное решение уравнения (2.2.9), однако в определенных частных
случаях можно получить приближенные аналитические выражения
[4]. Эффективный показатель преломления связан с р соотноше-
нием пэфф = рД0.
Так как распределение поля моды F(x,y), определяемое уравне-
ниями (2.2.13) и (2.2.14), громоздко и неудобно, на практике основную
моду часто приближенно описывают гауссовским распределением
F(x,y) = exp
(х2+у2)~
.л.2
(2.2.15)
где параметр размера моды iv определяется путем подгонки точного
распределения к гауссовской форме или вариационным методом. На
рис. 2.1 показана зависимость w/a от параметра V, определяемого
уравнением (2.2.11). Сравнение действительного распределения поля
с гауссовским приближением также показано при V = 2,4. Качество
приближения обычно довольно хорошее [6], особено для значений
V вблизи 2. Из рис. 2.1. видно, что w ~ а при V = 2, поэтому радиус
сердцевины является неплохой оценкой размера моды. Отмстим, что
w становится значительно больше а при И <1,8. Использование
гауссовского приближения (2.2.15) с соответствующей величиной
и' широко используется на практике ввиду относительной простоты.
Рис. 2.1. Изменение размера пятна моды и в зависимости от параметра V,
полученное полгонкой основной моды волоконного световода к гауссовскому
распределению. Рисунок справа показывает качество этой подгонки при
V= 2,4 [6].
Распространение волн в волоконных световодах
41
2.3. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
Большинство нелинейных эффектов в волоконных световодах
изучаются с использованием импульсов длительностью от ~ 10 нс до
~ 10 фс. Когда такие импульсы распространяются в световоде, на их
форму и спектр влияют как дисперсионные, так и нелинейные
эффекты. В этом разделе мы выведем основное уравнение, описываю-
щее распространение оптических импульсов в волоконных свето-
водах, как в нелинейной среде с дисперсией. Начнем вывод с волно-
вого уравнения (2.1.7). Используя уравнения (2.1.8) и (2.1.17), его
можно записать в виде
V2F
1 <?2 е г2рь г2рЛ(
Тг W ~ ~ Ио ~ Ио ~дё~ ’
(2.3.1)
где линейная Р£ и нелинейная Рм части индуцированной поляризации
связаны с электрическим полем Е соотношениями (2.1.9) и (2.1.10).
Для того чтобы решить уравнение (2.3.1), нужно сделать не-
сколько упрощающих предположений. Во-первых, Рм будем считать
малым возмущением по отношению к PL . Во-вторых, предположим,
что состояние поляризации оптического поля сохраняется вдоль
длины волокна, так что справедлив скалярный подход. В-третьих,
будем считать оптическое поле квазимонохроматическим, т. е. спектр
с ценз ром на частоте соо имеет ширину Асо, такую, что Асо/юо « 1. Так
как соо ~ 1015 с-1, последнее допущение верно для импульсов дли-
тельностью >0,1 пс (Асо < 1013 с-1).
Используя приближение медленно меняющихся амплитуд, можно
выделить быстро изменяющуюся часть электрического поля, записав
Е(г,/) = -х[£(r,t)exp( — ia>oi) + компл. сопр], (2.3.2)
где «компл. сопр.» обозначает комплексно-сопряженное выражение,
х-единичный вектор в направлении поляризации электрического
поля, которое предполагается линейно-поляризованным в направле-
нии оси х. £(г, 1)-медленно изменяющаяся функция времени (по
отношению к периоду оптической волны). Поляризации Pz и PNL
также можно выразить подобным же образом, записав
Pt(r,r) =-x[PL(r,г)ехр( —zco0z) + компл. сопр.], (2.3.3)
Рль(г,Z) =-х[/\L(r,/)ехр( — (И0Z) + компл. сопр.] (2.3.4)
Лнейную часть поляризации PL можно получить, подставляя уравне-
ние (2.3.3) в уравнение (2.1.9). В результае имеем
42
Глава 2
РЬ(Г,/) = ЕО f - r')£(r.f)exp[/co0(/-	=
— 00
= E0 f Xxx (co) £(r,co — <o0)exp[—i(co — co0)r]</w,	(2.3.5)
“ OD
где Ё(г, co) -фурье-преобразование £(r, i), определяемое так же, как
в уравнении (2.1.12).
Подставив уравнение (2.3.4) в уравнение (2.1.10), получаем уравне-
ние для нелинейной поляризации Pv,(r, z), которое существенно
упрощается, если предположить, что нелинейный отклик мгновенный.
Тогда зависимость х<3> от времени в уравнении (2.1.10) будет в виде
трех дельта-функций 6(/ — г,). В результате получаем, что
РмДгО = еох<3> : Е(г,/)Е(г,/)е(г, 0.	(2.3.6)
Приближение мгновенного нелинейного отклика означает пренебре-
жение дисперсией /(3’. Оно допустимо для импульсов длительностью
> 0,1 пс, так как электронный вклад в %(3) проявляется в волоконных
световодах во временном масштабе 1 —10фс. Подставив уравнение
(2.3.2) в уравнение (2.3.6), находим, что РЛ/ (г, г) состоит из одной
части, осциллирующей на частоте со0, и другой, осциллирующей на
частоте третьей гармоники Зсо0, которой обычно пренебрегают в
световодах (см. гл. 10). Используя уравнение (2.3.4), для P(r, t)
получаем
PNl.(T,t) = еоем.£(г,П,	(2.3.7)
где	£Л,	нелинейный	вклад в диэлектрическую	проницаемость,
определяемый как
е^ = ^ХЙ?хх|Ё(г,0|2.	(2.3.8)
Чтобы	получить	волновое уравнение для медленно	меняющейся
амплитуды £(г,/)_ более удобно использовать спектральное пред-
ставление. В общем случае это невозможно, так как уравнение (2.3.1)
нелинейное ввиду зависимости £м от интенсивности. Поэтому
приближенно enl считается постоянной при выводе уравнения распро-
странения для £(г,/) [7, 8]. Это приближение' оправдано с точки
зрения приближения медленно меняющихся амплитуд и того, что PNI
считается малым возмущением. Подставляя уравнения (23.2)-(2.3.4)
в уравнение (2.3.1), находим, что фурье-компоненты £(г,со —соо),
определяемые как
£(г,со — соо) = ( £(г, г)ехр[/(со — со0)г]<Л,	(2.3.9)
— 00
удовлетворяют уравнению
V2 £+е(со)/соЁ = 0,	(2.3.10)
Распространение волн в волоконных световодах
43
где к0 = м/с, а
Е (со) = 1 + х'А* (со) + enl	(2.3.11)
есть диэлектрическая проницаемость, нелинейная часть которой
определяется уравнением (2.3.8). Так же как и в уравнении (2.1.14),
можно из диэлектрической проницаемости определить показатель
преломления п и коэффициент поглощения а. Величина п получается
зависимой от интенсивности из-за , поэтому удобно использовать
определение
й(со) = и(со) + и2|£|2 .	(2.3.12)
Используя выражение в = (й +/а/2/с0)2 и уравнения (2.3.8), (2.3.11)
и (2.3.12), получаем нелинейный показатель преломления
«2 = |-Z^x.	(2.3.13)
8и
Линейный показатель. преломления п и коэффициент поглощения
а связаны с действительной и мнимой частями как и в уравнениях
(2.1.15) и (2.1.16).
Уравнение (2.3.10) можно решить, используя метод разделения
переменных. Будем искать решение в виде
£(г, со - со0) = F(х.у)Л(г,со - co0)exp(/p0z),	(2.3.14)
где A (z,со)-медленно меняющаяся функция z, р0-волновое число,
которое будет определено позднее. Уравнение (2.3.10) сводится к
двум следующим уравнениям для F(x,y) и A(z, со):
52F	г , к,
7-2- + TT+[£(“)fco-₽2]F = 0,	(2.3.15)
сх су
дА -
2/Роу- + (₽2 - РоМ = 0. .	(2.3.16)
CZ
Получая уравнение (2.3.16), мы пренебрегли второй производной
А/с?2, используя предположение, что A (z, со) медленно меняющая-
ся функция z. Волновое число 0 определяем как решение уравнения
(2.3.15) для мод волоконного световода, следуя тому же способу,
который использовался в разд. 2.2. Диэлектрическую проницаемость
е (со) в уравнении (2.3.15) можно приближенно выразить так:
£ = (и + Ди)2 ~ и2 + 2иАи,	(2.3.17)
где Ди- малое возмущение:
Ал = л2|£|+^-	(2.3.18)
44
Глава 2
Уравнение (2.3.15) решается с использованием теории возмущений
первого порядка [9]. Сначала находятся распределение поля моды
F(x,y) и соответствующая постоянная распространения 0 (со) при
е = п2. Для одномодового световода F(x, у) соответствует основной
моде НЕ1Г, определяемой уравнениями (2.2.13) и (2.2.14) или. в
гауссовском приближении, уравнением (2.2.15). Затем в уравнении
(2.3.15) учитывается эффект Ди. В первом приближении Ди не влияет
на распределение поля моды F(x,y), но изменяет собственное значе-
ние 0:
Р (со) = Р (со) + ДР,	(2.3.19)
где
М J Ди|Г(л-,у’)|2</л-</у
ДР =-----=f------------------.	(2.3.20)
f f I F(x,y)[2 dxdy
На этом завершается формальное решение уравнения (2.3.1) в
низшем порядке возмущений Рл,. Используя уравнения (2.3.2) и
(2.3.12), электрическое поле Е можно записать в виде
Е(г. t) = x-{F(x,y)A (z, r)exp[c(Poz — co0r)] + компл. сопр.} .
(2.3.21)
Фурье-преобразование A (z, со — со0) медленно меняющейся амплиту-
ды A(z,t) удовлетворяет уравнению (2.3.16), которое может быть
записано как
дА
— = 1[р(со) + Др-р0]Л,	(2.3.22)
cz
где было использовано уравнение (2.3.19) и приближения р2 — р(2 ~
2ро (Р — Ро). Обратное фурье-преобразование уравнения (2.3.22)
дает уравнение распространения для A (z, t). С этой целью разложим
Р (со) в ряд Тейлора в окрестности со0:
Р(со) = р0 4- (со - со0) Pi 4- (со - со0)2 р2 + |(со - со0)3 Рз + . . . ,
2	О
(2.3.23)
где
(2Л24)
Кубическим слагаемым и слагаемыми более высокого порядка в этом
Распространение волн в волоконных световодах
45
разложении обычно пренебрегают, если ширина спектра Дю « ю0.
Это соответствует квазимонохроматическому приближению, исполь-
зованному при выводе уравнения (2.3.22), и справедливо для им-
пульсов длительностью >0,1 нс. Если 02 — 0 для некоторого значе-
ния ю0 (вблизи длины волны нулевой дисперсии световода, как
отмечалось в разд. 1.3.3), может возникнуть необходимость включить
в рассмотрение кубический член. Подставим уравнение (2.3.23) в
уравнение (2.3.22) и сделаем обратное фурье-преобразование:
а	1 00 ~
A(z,t) = — f A(z,to — ю0)ехр[ — ((ю — ю0)г]</ю.	(2.3.25)
2л-00
Фурье-преобразование оператора ю — ю0 заменяется оператором
дифференцирования i(8/8t). В результате получаем
8 А	8 A	i 82 А
& = -₽^-2₽^ + М₽Л-	(2-3‘26)
Член с ДР описывает эффект оптических потерь и нелинейные
эффекты. Использовав уравнения (2.3.18) и (2.3.20) для Др, после
подстановки их в уравнение (2.3.26) получаем
8 А	82 A i 82 А а	,
& + р'гД + 5|’г-гД + 5л-'"|'М| А-
где нелинейный коэффициент у определяется выражением
«2 “о
y = ~;—•
^»фф
Параметр Лэфф называется эффективной площадью моды;
f f
Лэфф=—:
f f IF(x,y)l4dxdy
(2.3.27)
(2.3.28)
он равен
(2.3.29)
Для определения эффективной площади моды в основном исполь-
зуют распределения поля основной моды F(x,y) из уравнений (2.2.13)
и (2.2.14). Ясно, что Лэфф зависит от параметром волокна: радиуса
сердцевины и разности показателей преломления сердцевины и
оболочки. Ее можно без труда оценить, используя гауссовское
приближение основной моды (2.2.15):
Лэфф = яи’2.	(2.3.30)
Параметр гауссовской моды w зависит от параметров световода
и может быть определен из рис. 2.1 и уравнения (2.2.11). Обычно
46
Глава 2
Лэфф = 10-20 мкм2 в видимой области спектра и в диапазоне
50-80 мкм2 в области 1,5 мкм. Поэтому у может изменяться в диапа-
зоне 2-30 Вт”1 км-1 в зависимости от длины волны, если положить
/;2 = 3,2-10 16 см2/Вт.
Уравнение (2.3.27) описывает распространение оптических им-
пульсов в одномодовых световодах. Оно описывает эффекты опти-
ческих потерь (а), хроматической дисперсии (0j и р2) и нелинейности
(у). Физический смысл параметров р, и Р2 рассматривается в разд.
1.2.3. В частности, огибающая импульса распространяется с группо-
вой скоростью t>g = 1/Pj , а Р2 характеризует дисперсию групповых
скоростей (ДГС). ДГС может быть положительной или отрицатель-
ной в зависимости от того, длина волны X больше или меньше длины
волны нулевой дисперсии Хв световода (см. рис. 1.5). В области
аномальной дисперсии (X > Хв) величина Р2 отрицательная, и в
волоконном световоде могут распространяться оптические солитоны
(гл. 5). Обычно параметр 02 ~ 60 пс2/км в видимой области спектра
и равен —20 пс2/км на длине волны 1,55 мкм; смена знака происходит
около 1,3 мкм.
Уравнение распространения (2.3.27) хорошо описывает многие
нелинейные эффекты, тем не менее его в некоторых случаях в зависи-
мости от условий эксперимента следует модифицировать. Например,
уравнение (2.3.27) не учитывает эффектов вынужденного неупругого
рассеяния ВРМБ и ВКР, обсуждавшихся в разд. 1.3.2. Если пиковая
мощность импульса больше некоторого порогового уровня, под
действием ВКР и ВРМБ энергия этого импульса накачки может быть
передана стоксову импульсу, распространяющемуся совместно с
импульсом накачки (в прямом или противоположном направлении).
Эти два импульса взаимодействуют друг с другом посредством ВКР
или ВРМБ усиления и фазовой кросс-модуляции. Похожая ситуация
возникает, когда два импульса на разных длинах волн (спектральное
расстояние между ними больше, чем их ширины спектров) вводятся
в световод. Распространение нескольких импульсов описывается
системой уравнений, подобных уравнению (2.3.27), модифицирован-
ных так, чтобы учесть эффекты ФКМ и ВКР или ВРМБ-усиления.
Нлинейные эффекты, связанные с распространением одновременно
в волокне многих импульсов, обсуждаются в гл. 7-9.
Уравнение (2.3.27) также следует модифицировать, если рас-
сматривается распространение сверхкоротких импульсов длитель-
ностью < 100 фс. Ширина спектра таких импульсов Асо становится
сравнимой с несущей частотой со0, и некоторые приближения, сделан-
ные при выводе уравнения (2.3.27), становятся необоснованными.
Кроме того, спектр таких коротких импульсов достаточно широкий
(> 5 ТГц), так что под действием ВКР низкочастотные компоненты
спектра могут усиливаться, получая энергию от высокочастотных
компонент спектра того же импульса. В результате спектр короткого
Распространение волн в волоконных световодах
47
импульса смещается в длинноволновую область спектра при распро-
странении в световоде. Это явление называется вынужденным комби-
национным саморассеянием [10]. Физически этот эффект объясняется
запаздывающим нелинейным откликом среды [11]. При выводе
уравнения (2.3.27) в этом случае нельзя использовать уравнение
(2.3.6), нужно использовать более общую форму записи нелинейной
поляризации (2.1.10).'Включение в рассмотрение этих эффектов в
приближении малых возмущений [12] дает три дополнительных
члена в уравнении (2.3.27). Обобщенное уравнение распространения
принимает вид
сА „ЗА i ё2 А а	,	1 д3 А
& + ₽‘й+2|,2г?- + 2-4-/уН| 'V’T?--
(2.3.31)
8t\	/	St
Легко объяснить смысл последних трех членов более высокого
порядка малости в уравнении (2.3.31). Член, пропорциональный 03,
характеризует кубическое слагаемое в разложении постоянной рас-
пространения в уравнении (2.3.23). Этот член описывает дисперсион-
ные эффекты высшего порядка, которые становятся важными для
сверхкоротких импульсов с их широкими спектрами, даже когда
длина волны X находится далеко от длины волны нулевой дисперсии
[13, 14]. Член, пропорциональный , характеризует первую произ-
водную медленно меняющейся части PNL нелинейной поляризации
в уравнении (2.3.1). Этот член вызывает самоукручение крыла им-
пульса (образование ударной волны огибающей), явление, привлек-
шее большое внимание [15-23]. Параметр приближенно равен
2у
<?!=—,	(2.3.32)
®о
где у определяется в уравнении (2.3.38).
Последний член уравнения (2.3.31), пропорциональный а2, возни-
кает как результат запаздывающего нелинейного отклика и описы-
вает эффект самосмещения частоты (вынужденного комбинационного
саморассеяния) [10, 11]. В общем выражении (2.1.10) для нелинейной
поляризации фурье-преобразование восприимчивости третьего по-
рядка х,3>-комплексная, зависящая от частоты функция. Мнимая
часть х<3) связана с ВКР-усилением и вносит вклад в мнимую часть а2,
а действительная часть х<3) вносит вклад в действительную часть а2.
Моделируя этот эффект, часто пренебрегают действительной частью
а2 [22-26], записав а2 в виде
a2 = iyTR,	(2.3.33)
где у-параметр нелинейности, определенный в уравнении (2.3.28),
48
Глава 2
и TR связано с наклоном линии ВКР-усиления [11], если предполо-
жить, что оно линейно изменяется вблизи несущей частоты (см. разд.
8.1). Величина TR порядка ~5 фс.
Прежде чем решать уравнение (2.3.31), полезно перейти в систему
координат, движущуюся с групповой скоростью vg импульса (так
называемые бегущие координаты). Выполним преобразование
Т = t-z/vg=t-^z
и, использовав уравнения (2.3.31)(2.3.33), получим
8 A a i 82 А \	83 А
~8z+2A + ^ST2 ~ (,8т3 =
3	21 8 (	,
= zy |Л|2 А +— —I |Л|2Л
L	со0сГ\
(2.3.34)
(2.3.35)
сНЛ|21
- TrA „
R дт
Это уравнение можно использовать для изучения распространения
импульсов длительностью до ~ 10 фс. В случае импульсов длитель-
ностью То < 100 фс, такой, что со0Т0»1 и TR/T0 « 1, можно ис-
пользовать более простое уравнение
8 A	i	1 82 А	.
i — =--aA + -p2—I-7\A\2A,	(2.3.36)
vZ	Z	Z	v 1
которое также можно получить из уравнения (2.3.27), используя
преобразование (2.3.34). В особом случае а = 0 уравнение (2.3.36)
называется нелинейным уравнением Шредингера, подробно изучен-
ным в связи с солитонами [27 30]. Проводя аналогию, уравнение
(2.3.35) иногда называют обобщенным нелинейным уравнением
Шредингера.	,
Важно отметить, что уравнение (2.3.35) описывает эффект за-
держанного нелинейного отклика среды приближенно. В более общем
случае нелинейная часть Ди показателя преломления рассматривается
зависящей от времени. Тогда уравнение (2.3.35) заменяется на уравне-
ние [26]
8А a i 82 А 1 с!3 Л
~8z + 2А + 2*2~8Т2 “бРз^ ~
«2
2i 8
(Дп)А + —--(ДпА)
<оосТ 
(2.3.37)
где Ди удовлетворяет уравнению
TR ——I- Ди = и, \А |2 .
гС Лт	Z 1 I
(2.3.38)
Время отклика TR оценивается величиной 2-4 фс путем сопоставле-
Распространение волн в волоконных световодах
49
ния результатов эксперимента [26] и предсказаний уравнений (2.3.37).
Уравнение (2.3.38) предполагает экспоненциальный спад нелинейного
отклика, и его решение имеет вид
fl
Дп(Т) ехр(-Т7Тя)|Л(Г- T')l2dT'.	(2.3.39)
-* R О
Уравнение (2.3.35) можно получить, разлагая |Л(Т — Т')|2 в ряд
Тейлора в окрестности Т и сохраняя только член первого порядка.
В обшем случае экспонента в уравнении (2.3.39) заменяется на
функцию отклика h(T'), которая находится на основании спектра
ВКР-усиления.
2.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциаль-
ное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря,
нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных
случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассея-
ния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в свето-
водах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно
использовать множество численных методов [31-38], которые
можно отнести к одному из двух классов: 1) разностные методы и 2)
псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные
методы на порядок или даже более быстрее при той же точности
счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов реше-
ния задачи распространения импульсов в нелинейной среде с диспер-
сией является фурье-метод расщепления по физическим факторам
(SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом
по сравнению с большинством методов конечных разностей достига-
ется благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-
зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с
расщеплением по физическим факторам, а также его применение для
задачи распространения импульсов в волоконном световоде.
Чтобы понять принцип метода SSFM, удобно формально
записать уравнение (2.3.35) в виде
с/1
— = (D + N)A,	(2.4.1)
8z
где D- дифференциальный оператор, учитывающий дисперсию и
поглощение в линейной среде, a N- нелинейный оператор, описываю-
щий действие нелинейностей световода на распространение импульса.
Эти операторы записываются следующим образом:
i	82	1	83	а
£>=--₽,—? + -Рз—т-->	(2.4.2)
2	8Т2 6	8Т3	2
50
Глава 2
Распространение волн в волоконных световодах
51
N = iy Г| A |2 + — j-(\A |2 л) - TR ^1.	(2.4.3)
L	w0AcT \	/ cl J
Вообще говоря, дисперсия и нелинейность действуют в световоде
совместно. В методе SSFM приближенное решение получают, пред-
полагая, что при распространении оптического поля на малое рас-
стояние h в световоде нелинейные и дисперсионные эффекты дейст-
вуют независимо, а именно распространение от точки z к z + h
описывается в два уже последовательных шага. На первом действует
только нелинейность и D = 0 в уравнении (2.4.1). На втором шаге
действует только дисперсия и N = 0 в уравнении (2.4.1). Математи-
чески
A (z + ft, Т) exp (Л D) exp (Л N) A (z, Т).	(2.4.4.)
Действие экспоненциального оператора exp(ftD) можно выполнить
в фурье-представлении, следуя формуле
ехр (Л D) Ж Т) = {F-lexp[ЛD(ico)]F} B(z, Т),	(2.4.5)
где F обозначает оператор фурье-преобразования, D(uo) можно
получить из уравнения (2.4.2), заменяя дифференциальный оператор
d/dt на /со, где со-частота в спектральном представлении. Так как
D (/со) в фурье-пространстве есть просто число, уравнение (2.4.5)
решается непосредственно. Использование алгоритма БПФ [40]
делает решение уравнения (2.4.5) относительно быстрым. Именно по
этой причине данный метод быстрее (вплоть до двух порядков
величины) для большинства разностных методов [39].
Чтобы оценить точность SSFM-метода, заметим, что формально
точное решение уравнения (2.4.1) дается уравнением
A (z + Л, Т) = exp [ft (D + N) A (z, Т),	(2.4.6)
если предположить N независимым от z. Здесь полезно вспомнить
формулу Бейкера Хаусдорфа [41] для двух некоммутирующих
операторов <2 и />:
ехр (я) ехр (5) = ехр
<3 + £+^[4£] +
£,[<?>£] + • • • ,
а
(2.4.7)
где [а,£] = аЬ — 8а. Сравнение уравнений (2.4.4) и (2.4.6) показывает,
что БПФ игнорирует некоммутативность операторов D и N. Под-
ставляя в уравнение (2.4.7) а — hD и 8 = Л/V, находим, что слагаемое,
содержащее наибольшую ошибку, происходит из одинарного ком-
мутатора 1/2 Л2 [А А]. Таким образом, SSFM имеет точность до
второго порядка по шагу Л.
Точность метода может улучшить, применив другую процедуру
прохождения оптическим импульсом одного шага (от z до z + Л).
В этой процедуре уравнение (2.4.4) заменяется следующим уравне-
нием:
’ft /
ГЛ	-
A (z + Л, Т) ~ ехр - D exp f N (z') dz
’Л /
exp - D A(z,T).
L2
(2.4.8)
Главное отличие состоит в том, что действие нелинейности учиты-
вается в середине, а не на краю шага. Из-за симметричной формы
экспоненциального оператора в уравнении (2.4.8) этот метод назы-
вают симметричным [42]. В интеграле в центральной экспоненте
полезно включить зависимость от z нелинейного оператора N.
Если шаг ^достаточно мал, интеграл можно приближенно записать
как ехр (Л А) так же, как в уравнении (2.4.4). Наибольшее преиму-
щество этой симметризованной формы уравнения (2.4.8) состоит
в том, что ошибка в этом случае будет третьего порядка малости по
Л, так как она будет определяться двойным коммутатором в уравне-
нии (2.4.7). Это можно доказать, применив уравнение (2.4.7) дважды
к уравнению (2.4.8).
Точность метода можно еще улучшить, если приблизить интеграл
в уравнении (2.4.8) более того, нежели величиной hN(z). Самый
простой способ-это применение для вычисления интеграла правила
трапеций:
ЛГ
N(z')dz'~-
N(z) + N(z + Л)
(2.4.9)
Однако применить уравнение (2.4.9) не просто, так как A (z + Л)
неизвестно в центре сегмента в точке z + Л/2. Нужно воспользоваться
методом итераций, который начинается заменой A (z + Л) на N (z).
Затем находится A(z + h,T) из уравнения (2.4.8), которое в свою
очередь используется для нахождения величины A (z + Л). Итерацион-
ная процедура требует дополнительных затрат времени, тем не менее
полное время расчета можно сократить увеличив размер шага
ft благодаря увеличению точности численного алгоритма. На прак-
тике достаточно всего двух итераций.
Применять SSFM-метод относительно просто. Как показано на
рис. 2.2, длина световода делится на множество сегментов, которые
не обязательно должны быть одинаковой длины. Оптический им-
пульс преобразуется от сегмента к сегменту в соответствии с уравне-
нием (2.4.8). А именно, оптическое поле A (z, Т) сначала проходит
расстояние Л/2, на котором действует только дисперсия групповых
скоростей; при этом используются алгоритм БПФ и уравнение (2.4.5).
В точке z + Л/2 поле умножается на нелинейный фактор, который
характеризует действие нелинейности на полной длине сегмента Л, и,
52
Глава 2
Рис. 2.2. Схема симметризованного SSF-метода, используемого для числен-
ного моделирования. Длина световода разбивается на большое количество
сегментов длины Л. Внутри сегмента действие нелинейности учитывается
в центральной точке, указанной штриховой линией.
наконец, поле проходит оставшееся расстояние й/2, где действует
только дисперсия; в результате получается A(z + Л, Т). Таким обра-
зом, предполагается, что нелинейность действует только в средней
точке каждого сегмента (штриховые линии на рис. 2.2).
SSFM-метод применялся для решения многих разнообразных
задач оптики, таких, как распространение волн в атмосфере [42, 43],
в световодах с градиентным профилем показателя преломления [44,
45], в полупроводниковых лазерах [46-48], в неустойчивых резона-
торах [49, 50] и в волноводных ответвителях [51, 52]. Этот метод
часто называют методом распространения пучка [44 52], если его
применяют для описания стационарного распространения, когда
дисперсия заменяется дифракцией. В частном случае опирания
распространения импульсов в волоконных световодах он впервые
применялся в 1973 г. [28]. В настоящее время SSFM-метод широко
распространен [53-64] ввиду его большей скорости по сравнению
с разностными методами [39]. Он относительно прост в применении,
но требует осторожности в выборе размеров шагов по г и Г, чтобы
сохранить нужную точность. В частности, нужно проверять точность,
вычисляя сохраняющиеся величины, такие, как энергия импульса (в
отсутствие поглощения), вдоль длины волокна. Оптимальный выбор
размера шага зависит от степени сложности задачи. Существует
несколько рекомендаций в выборе шага; иногда необходимо повто-
рять вычисления, уменьшив шаг, чтобы быть уверенным в точности
численного моделирования.
ЛИТЕРАТУРА
1.	М cigid L.M., Electromagnetic Fields, Energy and Waves Wiley, New York,
1972, Ch. 9.
2.	Shen Y.R., Principles of Nonlinear Optics, Wiley, New York, 1984. [Имеется
Распространение волн в волоконных световодах
53
перевод: Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики.- М.: Наука, 1989.]
3	Schubert М. Wilhelmi В., Nonlinear Optics and Quantum Electronics, Wiley,
New York, 1986, Ch. 1
4.	Marcuse D., Light Transmission Optics, van Nostrand Reinhold, New York,
1982, Ch. 8.
5.	Snyder A W., Love J- D„ Optical Waveguide Theory, Chapman and Hall,
London, 1983, Ch. 12 15. [Имеется перевод: Снайдер А. В., Лав Д.Д. Тео-
рия оптических волноводов,- М.: Мир, 1987.]
6.	Marcuse D., J. Opt. Soc. Am. 68. 103 (1978).
7.	Agrawal G. P., in: Supercontinuum Laser Source, ed by R R. Alfano,
Springer-Verlag, Heidelberg, 1989, Ch. 3.
8.	Haus H. A., Waves and Fields in Optoelectronics, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, 1984, Ch 10.
9.	Morse P.M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, New
York, 1953, Ch. 9.
10.	Mitschke F.M., Mollenauer L.F., Opt. Lett., 11, 659 (1986).
11.	Gordon J.P. Opt Lett., 11, 662 (1986).
12.	Kodama Y„ Hasegawa A. IEEE J Quantum Electron., QE-23, 510 (1987).
13.	Bourkoff E„ Opt. Lett., 12, 272 (1987).
14.	Головненко E. А. и <)р,-Письма в ЖЭТФ, 1987, т. 45, с. 73.
15.	DeMartini F. et al.. Phys. Rev., 164, 312 (1967).
16.	Grischkowsky D., Courtens E.. Armstrong J. A.. Phys. Rev. Lett, 31, 422 (1973).
17.	Tzoar N.. Jain M., Phys. Rev., A23, 1266 (1981).
18.	Anderson D., Lisak M., Phys. Rev. A27, 1393 (1983).
19.	Yang G., Shen Y.P., Opt. Lett., 9, 510 (1984).
20.	Manassah J. T. et al., IEEE J. Quantum Electron., QE-22, 197 (1986).
21.	Головненко E.A. и др.-ДАН СССР, 1986, т. 288, с. 851 856.
22.	Ohkuma К., Ichikawa Y.H., Abe Y., Opt. Lett., 22, 516 (1987).
23.	Kodama Y., Nozaki K., Opt. Lett., 12, 1038 (1987).
24.	Beaud'P. et al., IEEE J. Quantum Electron., QE-23, 1938 (1987).
25.	Tai K., Hasegawa A., Bekki N., Opt. Lett., 13, 392 (1988).
26.	Грудинин А. Б и др. Письма в ЖЭТФ, 1987, т. 45, с. 211.
27	Захаров В. Е., Шабат А. Б. ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 118.
28.	Hasegawa A.. Tapped F., Appl. Phys. Lett., 23. 142 (1973).
29.	Satsuma J.. Yajinia N„ Prog. Theor. Phys. Suppl., 55, 284 (1974).
30.	Dodd R.K. et al.. Solitons and Nonlinear Wave Equations, Academic, New
York (1982).
31.	Карп.иан В. И., Крушкаль Е. Л/. ЖЭТФ, 1969, т. 55, с. 530.
32.	Yajima N., Outi A.. Prog. Theor. Phys., 45, 1997 (1971).
33.	Hardin R.H., Tappert F.D. SIAM Rev. Chronicle, 15, 423 (1973).
34.	Fisher R.A.. Bischel W.K., Appl. Phys. Lett., 23, 661 (1973), J. Appl. Phys., 46,
4921 (1975).
35.	Ablowitz M.J., Ladik J Kv Stud. Appl. Math., 55, 213 (1976).
36.	Greig I.S.. Morris J.L., J. Comp. Phys., 20, 60 (1976).
37..	Fomberg B., Whitham G.B.. Phil. Trans. Roy. Soc., 289, 373 (1978).
38.	Delfour M„ Fortin M., Payee G., J. Comp. Phys., 44, 2П (1981).
39	Taha T.R., Ablowitz M.J., }. Comp. Phys., 55, 203 (1984).
40.	Cooley J. W.. Tukey J. W„ Math. Comput., 19, 297 (1965).
41.	ffeivs G.H., Maradudin A. A.. J. Math. Phys., 3, 771 (1962).
42.	Fleck J. A.. Morris J. R.. Feit M.D.. Apl. Phys., 10, 129 (1976).
43	Lax M.. Batteh J.H.. Agrawal G P.. J. Apl. Phys., 52, 109 (1981).
44.	Feit M.D.. Fleck J. A., Appl. Opt., 17, 3990 (1978).
45.	Feit M.D.. Fleck J. A.. Appl. Opt., 18, 2843 (1979).
46.	Agrawal G.P., J Appl. Phys., 56, 3100 (1984).
47.	Meissner P. Patzak E. Yevick D. IEEE J. Quantum Electron., QE-20, 899
(1984).
54
Глава 2
Agrawal G.P., J. Lightwave Technol., LT-2, 537 (1984).
Sziklas E.A., Siegman A.E., Appl. Opt., 14, 1874 (1975).
Lax M. et al.. J. Opt. Soc. Am., A2, 732 (1985).
Hermansson B. Y evick D., Danielsen P IEEE J. Quantum Electron, QE-19,
1246 (1983).
Thylen L. et al.. Opt. Lett., 11, 739 (1986).
Yevick D.. Hermansson B.. Opt. Commun, 47, 101 (1983).
j*t. Выслоух В. А., Матвеева T.A. Квант, электрон., 1983, т. 10, с. 1688.
55.	Blow К. J., Doran N.J., Cummins Е.. Opt. Commun., 48, 181 (1983).
56.	Hasegawa A.. Opt. Lett., 9, 288 (1984).
57.	Lassen H.E. et al.. Opt. Lett., 10, 34 (1985).
58.	Potasek M.J.. Agrawal G.P.. Pinault S.C., J. Opt. Soc. Am., B3, 205 (1986).
59.	Agrawal G. P.. Potasek M.J., Phys. Rev., A33, 1765 (1986).
60.	Dianov E.M.. Prokhorov A.M., Serkin V. N„ Opt. Lett., 11, 168 (1986).
61.	JVaiP.K. et al., Opt. Lett., 11, 464 (1986).
62.	Menyuk C.R., Opt. Lett., 12, 614 (1987).
63.	Выслоух В. А., Матвеева T.A. Квант, электрон., 1987, т. 14, с. 792.
64.	Kriikel D.. Phys. Rev. Lett., 60, 29 (1988).
65.	ran Roey J., van tier Donk J.. Lagasse P. E., J. Opt. Soc. Am. 71, 803 (1981).
66.	Thylen L., Opt. Quantum Electron., IS, 433 (1983).
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Глава 3
ДИСПЕРСИЯ ГРУППОВЫХ СКОРОСТЕЙ
В предыдущей главе было показано, что совместное действие
эффектов дисперсии групповых скоростей (ДГС) и фазовой само-
модуляции (ФСМ) на оптический импульс, распространяющийся
внутри световода, можно изучать, решая основное уравнение рас-
пространения. Прежде чем рассматривать общий случай, будет
поучительно сначала рассмотреть действие только ДГС на эволюцию
импульса в световоде. В этой главе мы исследуем задачу о распро-
странении импульса в световоде, считая его линейной средой. В разд.
3.1 обсуждаются условия, при которых эффекты ДГС преобладают
над нелинейными эффектами. С этой целью вводятся две характерные
длины, связанные с ДГС и ФСМ. Дисперсионное уширение опти-
ческих импульсов рассматривается в разд. 3 2 для импульсов разных
форм. В разд. 3.2 также обсуждается, как влияет начальная частотная
модуляция импульса на действие ДГС. В разд. 3.3 результаты
распространяются на случай уширения импульсов из-за дисперсии
высшего порядка. В заключение в разд. 3.4 показано, что эффекты
ДГС ограничивают функционирование оптических систем связи при
скорости передачи информации порядка нескольких Гбит/с.
3.1, РАЗНЫЕ РЕЖИМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
В разд. 2.3 было получено основное уравнение, описывающее
распространение оптических импульсов в одномодовом волоконном
световоде. Если длительность импульсов > 0.1 пс, можно воспользо-
ваться уравнением (2.3.36), имеющим Ьид
дА	i	1 ё1 Л4	,
iy-= - ^А+^2 -2-у\А\гА,	(3 1.1)
cz	2	2 сТ
где А -медленно изменяющаяся амплитуда огибающей импульса,
Т время, измеряемое в системе отсчета, движущейся с импульсом
с его групповой скоростью rg(T = t — z/rg). Три члена в правой части
уравнения (3.1.1) описывают соответственно действие поглощения,
дисперсии и нелинейности на распространение импульсов в световоде.
В зависимости от начальной длительности То и пиковой мощности Ро
начального импульса либо дисперсионные, либо нелинейные эффекты
56
Глава 3
Дисперсия групповых скоростей
57
преобладают в эволюции импульса вдоль световода Полезно ввести
две характерные длины [1-3]: дисперсионную длину LD и нелинейную
длину Lnl . В зависимости от соотношения между LD, Lnl и длиной
световода L можно различать четыре различных режима эволюции
импульсов.
Введем нормировку времени на начальную длительность им-
пульса:
т_. Т t~z/ve
То То
(3.1.2)
Одновременно можно ввести нормированную амплитуду U, исполь-
зуя определение
A(z,t) = y/P^exp(-az/2)U(z,T),	(3.1.3)
где Ро- пиковая мощность начального импульса. Экспонента в
уравнении (3.1.3) учитывает оптические потери в световоде. Из
уравнений (3.1.1) (3.1.3) следует, что нормированная амплитуда
U (z,t) удовлетворяет следующему уравнению распространения:
SU sgh(₽2)c!2U exp(-az)
------------------и v
где sgh (Р2) = ±1 в зависимости от знака ДГС Р2 и
L -Ik L -J
* 1И
(3.1.4)
(3.1.5)
Дисперсионная длина LD и нелинейная длина Lnl характеризуют
длину, на которой дисперсионные или нелинейные эффекты становят-
ся важными для эволюции импульса вдоль длины L световода
В зависимости от соотношения величин L, LB и Lnl характер
распространения можно отнести к одной из следующих четырех
категорий.
Если L«Lnl и L«Ld, то ни дисперсионные, ни нелинейные
эффекты не играют существенной роли в процессе распространения
импульсов. Это можно понять из того, что обоими членами в правой
части уравнения (3.1.4) можно пренебречь в этом случае (предполага-
ется, что импульс достаточно гладкий, так что с2 U /дт2 ~ 1) В
результате U (z, т) = U (0, т), т. е. импульс сохраняет свою форму при
распространении. В этом режиме волокно играет пассивную роль
и просто передаст оптические импульсы (за исключением уменьшения
энергии импульса из-за оптических потерь). Этот режим пригоден для
оптических систем связи. Длина L обычно ~ 50 км в таких системах,
поэтому Ld и Lnl должны быть > 500 км для хорошей передачи
импульсов. Из уравнения (3.1.5) можно оценить То и Ро для
некоторых определенных параметров Р2 и у На длине волны
А = 1,55 мкм, | Р2 | ~ 20 пс2/км и у ~ 20 Вт-1 -км Используя эти
значения в уравнении (3.1.5), получаем, что нелинейные и дисперсион-
ные эффекты пренебрежимо малы при L< 50 км, если То > 100 пс
и Ро ~ ^’1 мВт. Ld и Lnl становятся тем меньше, чем короче и
интенсивнее импульсы. Например, LD и Lnl порядка ~ 50 м при
То = 1 пс и Ро = 1 Вт В случае пикосекундных импульсов нужно
учитывать и нелинейные, и дисперсионные эффекты, если длина
световода превышает длину в несколько метров.
Если L« Lnl и L> Ld, то в уравнении (3.1.4) можно пренебречь
последним членом по сравнению с двумя другими. Тогда эволюция
импульса определяется эффектом ДГС и нелинейные эффекты играют
относительно малую роль. В этой главе будет обсуждено влияние
эффекта ДГС на распространение импульса. Режим, при котором
дисперсия преобладает, имеет место всегда, когда параметры свето-
вода и импульса такие, что
Тр _ У Рр Т о « [
Tnl I 02 I
(3.1.6)
В грубом приближении Ро должно быть « 1 Вт для импульса
длительностью 1 пс при типичных значениях параметров световода
у и | Р21 на длине волны А = 1,55 мкм.
Если L« Ld , но L> Lnl , в уравнении (3 1.4) дисперсионный член
пренебрежимо мал по сравнению с нелинейным членом (пока им-
пульс имеет гладкую временную огибающую, чтобы d2U/?т2 ~ 1).
В этом случае эффект ФСМ определяет эволюцию импульса в
волокне, приводя к спектральному уширению импульса. Это явление
будет рассмотрено в гл. 4. Режим, при котором нелинейность доми-
нирует, имеет место всегда, когда
Тр	У РрТо
-— = . „ . » 1
Тцр | Р2 I
(3 1.7)
Этого условия просто достичь для относительно широких импульсов
(То > ЮО пс) с пиковой мощностью 1 Вт. Отметим, что ФСМ может
приводить к изменению формы импульса даже в присутствии слабого
•ффекта ДГС. Если импульс имеет крутой передний или задний
фронты, то дисперсионный член может стать важным, даже если
вначале удовлетворяется условие (3.1.7).
Если длина световода L больше или порядка LD и Lnl , то
дисперсия и нелинейность вместе действуют при распространении
импульса вдоль световода. Совместное влияние эффектов ДГС и
ФСМ может приводить к качественно другому поведению в сравне-
нии с тем, если только ДГС или- ФСМ действуют. В области
аномальной дисперсии групповых скоростей (р2 < 0) в световоде
могут существовать солитоны; в гл. 5 обсуждаются свойства и
58
Глава 3
Дисперсия групповых скоростей
59
применения оптических солитонов. В области нормальной дисперсии
(Р2 > 0) можно использовать эффекты ФСМ и ДГС для сжатия
импульсов. Этот вопрос обсуждается в гл. 6. Уравнение (3.1.4)
исключительно полезно для изучения эволюции импульсов в свето-
водах, когда нужно учитывать и дисперсионные, и нелинейные
эффекты. Часто бывает необходимо решать это уравнение численно,
используя те методы, которые обсуждались в разд. 2.4, чтобы
смоделировать полученные экспериментально результаты.
3.2. ДИСПЕРСИОННОЕ УШИРЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ
В этом разделе мы рассматриваем действие ДГС на распростране-
ние импульсов в линейной дисперсионной среде [4-18], полагая
в уравнении (3.1.1) у = 0. Если определить нормированную амплиту-
ду U(z, Т) в соответствии с уравнением (3.1.3), то U(z, Т) будет
удовлетворять следующему дифференциальному уравнению в част-
ных производных:
SU _ 1 д2И
~dz~l'l>1lT2'
(3.2.1)
Это уравнение совпадает с уравнением, которое описывает дифрак-
цию света в поперечном направлении в одномерном случае. В самом
деле, эффекты во времени, связанные с дисперсией, имеют близкие
аналогии с пространственными дифракционными эффектами [2].
Уравнение (3.2.1) легко решить, используя фурье-метод. Если U (z.m)-
фурье-преобразование U (z, Т), такое, что
U(z,T)=— ( 17 (z, со) ехр ( — ко Г) (йо,	(3.2.2)
2п
то оно удовлетворяет простому дифференциальному уравнению
лЛ	1
/ —= --₽2со2(7,	(3.2.3)
cz	2
решение которого записывается в виде
С (z, со) = 17 (0, со) ехр
р2 co2z
(3.2 4)
Уравнение (3.2.4) показывает, что ДГС изменяет фазу в каждой
спектральной компоненте импульса на величину, зависящую от
частоты и длины распространения. Хотя такие изменения не влияют
на спектр импульса, они могут изменить форму импульса. Подстав-
ляя уравнение (3.2.4) в уравнение (3.2.2), получаем общее решение
уравнения (3.2.1).
U(z,T)=~ ( 17(0,со)ехр
2я
- P2co2z — ко Г (ЙО,
(3.2.5)
где (7(0, со) есть фурье-преобразование начального импульса при
z = 0:
ОО
L'(0,co) = f (7 (0, Г)ехр (ко?) t/T
— со
(3.2.6)
Для простоты рассмотрим случай гауссовского импульса, имею-
щего вначале вид [9]
V (О, Т) = ехр
Т2
Tfl.
(3.2.7)
где То - полуширина импульса (по уровню интенсивности \/е от
максимальной), введенная в разд. 3.1. На практике вместо То удобно
использовать полную длительность по уровню половины максималь-
ной интенсивности (FWHM). Для гауссовского импульса эти две
величины связаны соотношением
Tpwhm = 2 (In 2)1/2 То ~ 1,665 То.	(3 2.8)
Используя уравнения (3.2.5)-(3.2.7) и выполнив интегрирование,
амплитуду на любой длине z световода можно записать в виде
Гб	т2
U (z, Г) =	---— ехр -	.
Го-ф22 L 2(ro-z₽2z)J
(3 2 9)
Таким образом, гауссовские импульсы сохраняют свою форму, но его
длительность увеличивается:
Tl = T0[l+(z/LB)2]1'2,	(3.2.10)
где дисперсионная длина LD = To/IPil- Уравнение (3.2.10) показы-
вает, что ДГС уширяет импульс. Степень уширения определяется
дисперсионной длиной LD. При определенной длине световода более
короткий импульс уширится больше, так как его дисперсиЬннаяу
длина меньше. При z = LD гауссовский импульс уширяется в ^/2 раз
На рис. 3.1 показаны | U(z, Г)|2 при трех длинах z = 0,2LD и 4£г, что
демонстрирует степень дисперсионного уширения гауссовского им-
пульса.
Сравнение уравнений (3.2.7) и (3.2.9) показывает, что импульс,
вначале не имеющий частотной модуляции, приобретает частотную
модуляцию, проходя через световод. Это можно ясно увидеть,
записав U (z, Г) в форме
U (z, Г) = | U(z, Г)ехр [/ф(г, Г)],
(3.2.11)
Дисперсия групповых скоростей
61
60
Глава 3
где
Рис. 3.1. Дисперсионное уширение гауссовского импульса в световоде при
: = 2Ld и z = 4Ld. Дисперсионная длина LD = Т2/\ Р21, где Р2 параметр
ДГС. Штриховая линия показывает начальный импульс при z = 0.
обратное. Длительность импульса может оставаться неизменной,
если только все спектральные компоненты распространяются с одной
скоростью или, что то же самое, если 02 = 0. Любые временные
задержки разных спектральных компонент приводят к уширению
импульса.
Из уравнения (3.2.10) следует, что уширение гауссовского им-
пульса, на входе не обладавшего частотной модуляцией, не зависит
от знака параметра дисперсии 02 . Таким образом, при определенной
величине дисперсионной длины LD импульс уширяется одинаково
в области как нормальной, так и аномальной дисперсии в световоде.
Поведение изменяется, однако, если гауссовский импульс вначале
имеет некоторую частотную модуляцию [10]. В случае линейной
частотной модуляции гауссовского импульса начальное поле записы-
вается в вице (ср. уравнение (3.2.7))
С/(0, Г) = ехр
1 + iC Т2~
2 Tl_ ’
(3.2.14)
фи,Т) =
sgh(p2)(z/Ld) Г2	Р’
1+(z/Ld) Г2	Llb_
(3.2.12)
Зависимость фазы ф(~, Г) от времени означает, что мгновенная
частота вдоль импульса отлична от несущей частоты со0. Эта разница
частот 8со равна производной — сф/<'Т (знак «минус» появляется
вследствие выбора зависимости ехр( — (со01) в уравнении (2.3.2))
и выражается уравнением
гф 2sgh(p2)(z/LD) Т
ОСО =-----=------------------, .	(3.2.13)
?Т \+(z/Ld) Т2о
где С-параметр модуляции. Используя уравнение (3.2.11), находим,
что частота увеличивается линейно от переднего фронта импульса
к заднему, если С > 0, и уменьшается, если С < 0. Будем называть
частотную модуляцию положительной и отрицательной в зависи-
мости от того, положителен или отрицателен параметр С. Величину
С можно оценить, исходя из ширины спектра гауссовского импульса.
Подставляя уравнение (3.2.14) в уравнение (3.2.6), получаем для
С (0, со) выражение
U (0, со)
~2яТ20
J + iC
exp
co2Tg
_ 2(1+/С)_
(3.2.15)
Полуширину спектра (по уровню интенсивности 1/е от максималь-
ной) находим из уравнения (3.2.15):
Асо = (1 + С2)12/ГО.	(3.2.16)
Уравнение (3.2.13) показывает, что частота изменяется линейно по
импульсу. Этот случай называется линейной частотной модуляцией.
Частотная модуляция 8со зависит от знака 02. Разница частот 8со
отрицательна на переднем фронте импульса (Г< 0) и линейно
увеличивается по импульсу в области нормальной дисперсии (02 > 0);
в области аномальной дисперсии (02 < 0) наблюдается противо-
положное поведение.
Процесс дисперсионного уширения импульса состоит в том, что,
как отмечалось в разд. 1.2.3, из-за ДГС разные частотные компонен-
ты импульса распространяются по световоду с несколько различны-
ми скоростями. А именно, длинноволновые компоненты движутся
быстрее, чем коротковолновые в области нормальной дисперсии
(Р2 > 0); в области аномальной дисперсии (Р2 < 0) наблюдается
В отсутствие частотной модуляции (С = 0) импульс спектрально-
ограниченный и выполняется соотношение ДсоГ0 = 1. Ширина спектра
увеличивается в (1 + С2)1'2 раз, если есть линейная частотная модуля-
ция. Из измерений Асо и То, используя уравнение (3.2.16), можно
получить | С |.
Прошедшее через световод поле находится, если подставить
Г(0,со) из уравнения (3.2.15) в уравнение (3.2.5). Уравнение можно
проинтегрировать аналитически и получить выражение
тн	Г (1+>QT2	1 П717,
(Z’ } Го — Ф2?(1 + (С) еХР L 2 [Го — »Р2 z(l + (С)] J
Таким образом, даже частотно-модулированный гауссовский им-
62
Глава 3
пульс сохраняет гауссовскую форму при распространении. Длитель-
ность импульса 7j после прохождения длины z световода связана
с начальной длительностью То соотношением [10]
Д
Тг
(3.2.18)
Из этого уравнения видно, что уширение зависит от знаков параметра
ДГС Р2 и параметра частотной модуляции С. Гауссовский импульс
монотонно уширяется с увеличением z, если Р2 С > 0. Если же Р2 С < 0,
то импульс сначала снимается. Рис. 3.2 иллюстрирует это зави-
симостью коэффициента уширения импульса TJTq от z/Ld (при
С = 2). Дисперсионная длина LD определена в уравнении (3.1.5). В
случае Р2 С < 0 длительность импульса становится минимальной при
^мин
с
ТТс2^’
(3.2.19)
Минимальная величина длительностью импульса при z = гмии равна
|умии
То
(1 +С2)1'2’
(3.2.20)
Используя уравнения (3.2.16) и (3.2.10), находим, что при z = zM„„
импульс спектрально ограничен, так как ЛсоТ1,ии = 1.
Начальное сжатие импульса в случае Р2 С < 0 можно объяснить на
Рис. 3.2. Коэффициент уширения импульса в зависимости от расстояния для
частотно-модулированного гауссовского импульса. Штриховая линия соот-
ветствует гауссовскому импульсу без частотной модуляции. В случае Р2 < 0
имеют место точно такие же кривые, если поменять знак коэффициента
частотной модуляции С.
Дисперсия групповых скоростей
63
основании уравнения (3.2.13), описывающего наводимую дисперсией
частотную модуляцию на гауссовский импульс, сначала модуляцией
не обладавший. Когда импульс имеет вначале частотную модуляцию
при условии Р2 С <0, наводимая дисперсией частотная модуляция
противоположна по знаку по сравнению с начальной частотной
модуляцией. В результате частотная модуляция импульса при
распространении в световоде уменьшается, а импульс сжимается.
Минимальной длительность импульса становится в точке, где две
частотные модуляции компенсируют друг друга. При последующем
увеличении длины распространения частотная модуляция из-за
дисперсии начинает преобладать над начальной частотной модуля-
цией и импульс начинает уширяться. Результирующую частотную
модуляцию как функцию z можно получить из уравнения (3.2.17),
используя определение (3.2.11) и (3.2.13). Это решение подтверждает
качественную картину, описанную выше.
Импульсы, излучаемые многими лазерами, можно приближенно
считать гауссовскими, тем не менее часто бывает необходимо
рассмотреть другие формы импульсов. Обобщенный интерес пред-
ставляют импульсы, имеющие форму гиперболического секанса,
которые естественно возникают в связи с оптическими солитонами
(см. гл. 5). Амплитуда поля таких импульсов на входе в световод
имеет форму
V (0, Т) = sech
Т
-~То-
ехр
iCT2
2TFJ’
(3.2.21)
где коэффициент частотной модуляции С определяет начальную
частотную модуляцию, аналогичную той, что описывается уравне-
нием (3.2.14). Поле U(z,T) находится из уравнений (3.2.5), (3.2.6)
и (3.2.21). К сожалению, для негауссовских импульсов не всегда
можно вычислить интеграл в уравнении (3.2.5) аналитически. По-
этому на рис. 3.3 показаны результаты численных вычислений формы
импульсов, прошедших расстояния z = 2LD и 4LD при отсутствии
частотной модуляции в начале световода (С = 0). Сравнение рис. 3.1
и 3.3 показывает, что качественные черты дисперсионного уширения
почти одинаковы для гауссовского импульса и импульса формы
гиперболического секанса. Отметим, что То, появляющееся в уравне-
нии (3.2.21), с полной длительностью на уровне половины максималь-
ной интенсивности FWHM связано соотношением
rFWHM = 21n (1 + v 2) То 1,763 То.	(3.2.22)
Этим выражением следует пользоваться, если при сравнении ис-
пользуется FWHM. Аналогичное выражение для гауссовского им-
пульса дается уравнением (3.2.8).
До сих пор рассматривались импульсы с относительно широкими
64
Глава 3
Дисперсия групповых скоростей
65
Рис. 3.3. Формы импульсов при z — 2LV и z = 4LV. возникающие в процессе
дисперсионного уширения импульса, у которого при z = О была форма
гиперболического секанса (штриховая линия). Сравните рис. 3.1, где показан
случай гауссовского импульса
Следовательно, параметр m можно определить из измерений Тг и То.
На рис. 3.4 показаны формы импульсов в точках z = 0, LD и 2LV
в случае супергауссовского импульса без частотной модуляции
(С = 0) с m = 3. Его нужно сравнить с рис. 3.1, где показан случай
гауссовского импульса (m = 1). Различие между этими случаями
можно отнести к более крутым переднему и заднему фронтам
супергауссовского импульса. При распространении гауссовский им-
пульс сохраняет свою форму, а супергауссовский импульс, кроме того
что уширяется с большей скоростью, еще и искажает свою форму.
Дальше уширение супергауссовского импульса можно объяснить его
более широким спектром по сравнению с гауссовским импульсом
вследствие большей крутизны фронтов. Задержка каждой спектраль-
ной компоненты, вызываемая ДГС, непосредственно связана с раз-
ностью ее частоты и средней частоты го0, поэтому, чем больше
спектр, тем больше скорость уширения импульса.
Для импульсов сложной формы, подобной той, которая показана
на рис. 3.4, не совсем правильно измерять длительность импульса
по уровню половины максимальной интенсивности Точнее будет
описывать длительность таких импульсов среднеквадратичной шири-
ной о, определяемой уравнением [8, 9]
передним и задним фронтами. Но, как и можно было ожидать,
дисперсионное уширение оказалось чувствительным к крутизне фрон-
тов импульса. Вообще говоря, импульс с более крутыми передним
и задним фронтами уширяется быстрее просто потому, что такой
импульс имеет более широкий начальный спектр. Импульсы, излу-
чаемые полупроводниковыми лазерами, попадают в эту категорию
и не могут, вообще говоря, быть аппроксимированы гауссовским
импульсом. При моделировании влияния крутизны фронтов им-
пульса на дисперсионное уширение можно использовать импульсы
супергауссовской формы. В случае супергауссовского импульса
уравнение (3.2.14) принимает обобщенную форму [17]
2т~
(3.2.23)
U (О, Т) = ехр
<Т2>_<Г>2
(3.2.25)
где параметр т определяет степень крутизны фронта. Случай т = 1
соответствует случаю гауссовских импульсов с частотной модуля-
цией. При больших т форма импульса приближается к прямо-
угольной с резким передним и задним фронтами. Если определить
время нарастания импульса Тг как длительность увеличения интен-
сивности с 10 до 90% от пикового значения, то из уравнения (3.2.23)
можно получить, что
Т Т
Т = (1п9)-^~-5.	(3.2.24)
2m m
Рис. 3.4. Формы импульсов, получающиеся в точках z = LD и z = 2L D, когда
начальный импульс при z = 0 имеет супергауссовскую форму (штриховая
линия). Сравните рис. 3.1, где показан случай гауссовского импульса.
66
Глава 3
где
f T"\U(z,T)\2dT
(3.2.26)

f \U(z,T)\2dT
С целью показать, как уширение импульса зависит от крутизны
фронтов импульса, на рис. 3.5 представлен коэффициент уширения
с/о0 для супергауссовских импульсов как функция длины распро-
странения для m в диапазоне от 1 до 4. Здесь о0-это начальная
среднеквадратичная длительность импульса при z — 0. Случай m = 1
соответствует гауссовскому импульсу; с увеличением m фронты
импульса становятся более крутыми. Как следует из уравнения
(3.2.24), время нарастания импульса обратно пропорционально т,
поэтому ясно, что импульс, время нарастания которого короче,
уширяется быстрее. Кривые на рис. 3.5 представлены для случая
начального импульса, не имеющего частотной модуляции (С = 0).
Если в начале импульсы частотно модулированы, то величина их
уширения зависит от знака произведения р2 С. Качественное поведе-
ние подобно случаю гауссовского импульса (т = 1), показанному на
рис. 3.2. В частности, даже супергауссовский импульс сначала сжима-
ется, если р2 С < 0. Можно аналитически определить коэффициент
уширения импульса. Используя уравнения (3.2.5) и (3.2.23) (3.2.26),
получаем [18]
а
Сто
Г(1/2пз) CP2z _
Г(3/2ж)'тТ +
1 +
Г(2 - 1/2ш)(1 + C2)(«ip2z)211/2
Г(3/2ш)	Т?,
(3.2.27)
где Г-гамма-функция. Для гауссовского импульса (т = 1) это
уравнение переходит в уравнение (3.2.18).
Начальное сжатие импульсов, обладающих частотной модуля-
цией, наблюдалось в экспериментах [11, 12] по распространению
в световоде оптических импульсов, излучаемых полупроводниковым
лазером с непосредственной прямой модуляцией. В первом экспери-
менте [11] входной импульс на длине волны 1,54 мкм имел положи-
тельную частотную модуляцию (С > 0). После 104 км распростране-
ния в световоде в области аномальной дисперсии (Р2 ~ — 20 пс2/км)
импульс уширился почти в 5 раз. Во втором эксперименте [12]
полупроводниковый лазер излучал импульсы на длине волны
1,21 мкм, обладающие отрицательной частотной модуляцией (С < 0).
После 1,5 км распространения в световоде при нормальной дисперсии
(Р2 =15 пс2/км) импульс сжался от 190 до 150 пс. Когда длина
световода была увеличена до 6 км, длительность импульса увеличи-
лась до 300 пс в соответствии с показанным на рис. 3.2 качественным
поведением. В другом эксперименте [16] был получен значительно
Дисперсия групповых скоростей
67
Рис. 3.5. Коэффициент уширения ст/о„ в зависимости от длины для несколь-
ких супергауссовских импульсов с разными значениями т. Случай т — 1
соответствует гауссовскому импульсу. Фронты импульсов становятся круче
с увеличением т.
более короткий импульс (длительностью ~ 26 пс (FWHM)) на длине
волны 1,3 мкм от полупроводникового лазера с распределенной
затравкой путем переключения усиления. Импульсы обладали от-
рицательной частотной модуляцией (С < 0), поэтому применялся
световод со смещенной дисперсией, имеющей положительную ДГС
на длине волны 1,3 мкм (Р2 ~ 12 пс2/км). Импульс сжимался в 3 раза
в световоде длиной 4,8 км, а потом, при увеличении длины световода,
начинал уширяться.
3.3. ДИСПЕРСИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Дисперсионное уширение импульсов, обсуждавшееся в разд. 3.2,
обусловлено членом низшего порядка ДГС Р2 в разложении (2.3.23).
Хотя вклад этого члена в большинстве практически значимых случаев
преобладает над другими, иногда необходимо учитывать член более
высокого порядка, пропорциональный Р3. Например, если длина
волны излучения X близка к длине волны нулевой дисперсии XD, то
Р2 — 0; при этом основной вклад в эффекты ДГС дает рз [5 7].
В случае ультракоротких импульсов, когда То <0,1 пс, часто бывает
необходимо учитывать дисперсию высшего порядка Р3, даже если
Р2 # 0, так как параметр разложения Ла)/ю0 уже не настолько мал,
чтобы в разложении (2.3.23) пренебрегать членами выше Р2.
В этом разделе будут рассмотрены вместе эффекты ДГС, связан-
ные с Р2 и рз, без учета нелинейных эффектов. Соответствующее
68
Глава 3
уравнение распространения для амплитуды A (z, Г) получается из
уравнения (2.3.35) в пренебрежении нелинейными членами. Из уравне-
ния (3.1.3) следует, что нормализованная амплитуда U (z, Т) удовлет-
воряет уравнению
 SV _ 1 r S2U ' r
1	~ 2 ^2 сТ2 + 6 ^3 ST3
(3.3.1)
Это уравнение можно решить, используя метод Фурье (разд. 3.2).
Вместо уравнения (3.2.5) получается следующее уравнение для про-
шедшего поля:
1 00 ~
U(z,T) = — f 1/(0,®) exp
(ко)2 z 4-- Р,О)3z —/о) Г da,
|_2 2	6	J
(3.3.2)
где фурье-преобразование U (0, со) входного поля определяется в
уравнении (3.2.6). Если определено начальное поле U (О, Т), то на
основании уравнения (3.3.2) можно изучить дисперсионные эффекты
высшего порядка. В частности, можно рассмотреть гауссовский,
супергауссовский импульсы или импульс формы гиперболического
секанса аналогичным образом, как в разд. 3.2. Для гауссовского
импульса можно получить аналитическое решение в виде функций
Эйри [6].
Как и следует ожидать, эволюция импульса в световоде зависит от
относительных величин Р2 и р3, которые в свою очередь зависят от
соотношения между Х.о и XD. Если Хо = то Р2 — 0 и обычно
Рз ~ 0,1 пс3/км. Однако | Р21 — 1 пс2/км, даже когда Хо отличается от
'Кь всего на 10 нм. Для того чтобы сравнивать относительную
важность Р2 и Р3 в уравнении (3.3.1), удобно ввести дисперсионную
длину, связанную с дисперсионным членом высшего порядка, которая
определяется уравнением
ьь=^/|р3|,
(3.3.3)
где То характеризует длительность импульса. Дисперсионная длина
Ld, связанная с Р2, определяется как LD= ТЦ\ Р21. Дисперсионные
эффекты высшего порядка играют существенную роль, только когда
L'd < Ld или То | Р2/Рз | < 1. Для 100-пикосекундного импульса это
условие означает, что р2 < 10 3 пс2/км при типичном значении
Рз = 0,1 пс3/км. Такие величины р2 принимает, только когда Хо
отличается от не более чем на 10 2 нм! На практике фиксировать
Хо и с такой точностью очень трудно, поэтому вклад Р3 обычно
пренебрежимо мал по сравнению с Р2. Это на самом деле имеет место
в эксперименте [19, 20], где пикосекундные импульсы на длине волны
X = 1,32 мкм распространяются на несколько километров. Ситуация
коренным образом изменяется для сверхкоротких импульсов с дли-
Дисперсия групповых скоростей
69
Рис. 3.6. Формы импульсов при z — 5L'd в присутствии дисперсии высшего
порядка, имевших при z = 0 гауссовскую форму (штриховая линия). Сплошная
линия соответствует случаю Ло =	. Пунктирной линией показан эффект
малых р2, когда Хо и точно не совпадают и LD= L'v.
тельностью в фемтосекундном диапазоне. Например, Р2 может быть
порядка ~ 1 пс2/км при То = 0,1 пс, пока вклад рз еще существен. Так
как L'd ~ 10 м для таких величин То, то влияние дисперсии высшего
порядка можно экспериментально увидеть при распространении
100-фемтосекундных импульсов на несколько метров в световоде
вблизи XD, так чтобы |Х0 — XD| < 10 нм.
На рис. 3.6 показаны формы импульсов при z = 5L'D для началь-
ного гауссовского импульса без частотной модуляции [С = 0 в
уравнении (3.2.14)] для двух случаев р2 = 0 (сплошная линия) и
величины Р2, такой, что LD = L'D (штриховая линия). Гауссовский
импульс остается гауссовским, когда в уравнении (3.3.1) ДГС опре-
деляется только вкладом Р2; действие дисперсии высшего порядка,
определяемое вкладом Р3, искажает форму импульса. Он становится
асимметричным и имеет осциллирующую структуру на одном из
своих фронтов. В случае положительной величины Р3 (он показан на
рис. 3.6) осцилляции появляются на заднем фронте импульса. Когда
Рз отрицательно, осцилляции развиваются на переднем фронте
импульса. В случае Р2 = 0 возрастает глубина осцилляций, так что
интенсивность спадает до нуля между соседними периодами. Однако
даже относительно малая величина р2 существенно сглаживает эти
осцилляции. В случае LD = L'v (Р2 = Р3/То),
показанном на рис. 3.6, осцилляции почти исчезают и импульс имеет
длинный хвост на заднем фронте. Для больших величин Р2, таких,
70
Глава 3
Рис. 3.7. Эволюция супергауссовского импульса при т = 3 вдоль световода
в случаях р2 = 0 и Р3 > 0. Осцилляции на заднем фронте импульса появляются
под действием дисперсии высшего порядка.
что Ld « L'd, форма импульса становится близкой к гауссовской
и дисперсия высшего порядка играет относительно малую роль.
Уравнение (3.3.2) можно использовать для анализа эволюции
импульсов с другими формами огибающей и начальной частотной
модуляцией. В качестве примера на рис. 3.7 показана эволюция
супергауссовского импульса без начальной частотной модуляции на
длине волны нулевой дисперсии (Р2 = 0) при С = 0 и m = 3 в уравне-
нии (3.2.23). Ясно, что формы импульсов могут сильно меняться
в зависимости от начальных условий. На практике чаще представляет
интерес не детальная структура импульса, а степень его дисперсион-
ного уширения. Так как длительность импульсов, показанных на
рис. 3.6, 3.7, измерять на уровне половины максимальной интенсив-
ности не совсем правильно, будем использовать среднеквадратичную
длительность, определяемую уравнением (3.2.25). В случае входного
гауссовского импульса можно получить простое аналитическое выра-
жение для о, которое учитывает действие Р2, рз и начальной частот-
ной модуляции С на дисперсионное уширение [10].
Чтобы вычислить о из уравнения (3.2.25), нужно определить <Т">,
используя уравнение (3.2.26). Так как фурье-преобразование U (z, ю)
функции U (z, Т) определяется в уравнении (3.3.2), удобно вычислять
в спектральном представлении. Используя фурье-преобразова-
ние 7(z,o>) интенсивности импульса |l/(z, Т)|2
7(z,co) = f |t/(z,T)|2exp(/o)T) dT	(3.3.4)
— ос
и дифференцируя его п раз, получаем
Я”	00
lim — I (z, в» = (/)" f Г” | U (z, Т) |2 dT. (3.3.5)
w-O&o"
Используя уравнение (3.3.5), из уравнения (3.2.26) найдем, что
Дисперсия групповых скоростей
71
<Т">
4 ' N
д" ~
hm ТГп
ш->0 &о"
где нормировочная постоянная определяется как
00	00
N = J |U(z,T)|2 dT= J \U(0,T)\2dT.
— oo	— 00
(3.3.6)
(3.3.7)
Из теоремы о свертке следует, что
00
T(z,(o)= f U(z,a> — со')U*(z,(£>')da>'.	(3.3.8)
— oo
Выполняя дифференцирование и переходя к пределу в уравнении
(3.3.6), получаем
z ч (0" г -	5" -
<Т"> = ^ f G*(z,co)—U(z,co) Jco.	(3.3.9)
В случае гауссовского импульса частотной модуляцией для U (z, со)
из уравнений (3.2.15) и (3.3.2) можно получить следующее уравнение:
tf(z,co) =
2пТо11/2
_1 + iC
ехр
гео2
Т
;т2 ~1 ;
Р, z Ч----— + - Рз со3 z
Н2 1 + zCj 6 Нз
(3.3.10)
Один или два раза дифференцируя это уравнение и подставляя
результат в уравнение (3.391, находим, что интегрирование по со
можно выполнить аналитически. Таким способом можно получить
и (Г), и СТ2'). Подставляя получающиеся выражения в уравнение
(3.2.25), находим [10], что
о
<*о
( cp,z\2 /p,z\2	, /p,z\2ni/2
1+-Ц- +	+(1+C) p-J , (3.3.11)
A T20 J \T2J	\2T3J J
где o()-начальная среднеквадратичная длительность гауссовского
импульса (о() = TJj/^/2), обладающего частотной модуляцией. Как
и должно быть, уравнение (3.3.11) сводится к уравнению (3.2.18) при
Рз = 0. Похожее уравнение для о/о0 можно получить и в случае
супергауссовского импульса [18]. Полученное выражение обобщает
уравнение (3.2.27) на случай дисперсии высшего порядка.
Из уравнения (3.3.11) следует несколько интересных выводов.
Вообще говоря, свой вклад в уширение импульса вносят и Р2,и рз, но
зависимость их относительно вклада от параметра частотной
модуляции С качественно разная. Вклад р2 зависит от знака Р2С,
тогда как вклад рз не зависит ни от знака рз, ни от знака С. Таким
образом, в сравнении с поведением, показанным на рис. 3.2, частот-
но-модулированный импульс на длине волны нулевой дисперсии
72
Глава 3
Рис. 3.8. Коэффициент уширения частотно-модулированного гауссовского
импульса вблизи такой, что Ll) = 1L'u в зависимости от длины распрост-
ранения. Штриховая линия соответствует случаю Хо =	, так что Lv стано-
вится бесконечной (02 = 0).
никогда не может сжиматься. Тем не менее даже небольшое смещение
частоты от частоты нулевой дисперсии может привести к начальному
сжатию импульса. Эта ситуация иллюстрируется рис. 3.8, на котором
изображен коэффициент уширения о/о() как функция длины распро-
странения при С = 2 и Ld = 2L'B. Для сравнения штриховой линией
показано уширение, имеющее место в случае точного совпадения
длины волны импульса с длиной волны нулевой дисперсии (Р2 = 0).
В области аномальной дисперсии групповых скоростей вклад р2
может компенсировать вклад 03, так что дисперсионное уширение
уменьшается по сравнению со случаем Р2 = 0 при z < L'D. При
больших значениях z, таких, что z » LD/\ С|, уравнение (3.3.11) можно
аппроксимировать следующим образом:
(3.3.12)
здесь мы использовали уравнения (3 1.5) и (3.3.3). Линейная зависи-
мость среднеквадратичной длительности импульса от длины распро-
странения при больших z-основная черта, присущая всем импульсам
независимо от формы.
Уравнение. (3.3.11) можно обобщить на случай частично когерент-
ного света [10] Спонтанное излучение всех источников света вызыва-
ет случайные амплитудные и фазовые флуктуации, которые приводят
к некоторой конечной ширине линии 6о> спектра источника на частоте
сл0. Если ширина линии бсо много меньше ширины спектра Aid
Дисперсия групповых скоростей
73
(определяемой уравнением (3.2.16) для частотно-модулированного
гауесовского импульса), ее влиянием на уширение импульса можно
пренебречь. Однако многие источники света, используемые в опти-
ческой связи (такие, как светодиоды и многомодовые полупроводни-
ковые лазеры), не удовлетворяют этому условию; становится необхо-
димым учитывать действие ширины линии источника. В случае
гауссовского спектра уравнение (3.3.11) принимает обобщенную фор-
му [10]
СУ
(1+^у + 11 + и(Рду + 1, + с. + и(Ь|уТ'1.
1 о /	\ 1 о /	\ 2г о / J
(3.3.13)
где V= 8юГ0 и Зсо - полуширина на уровне 1/е гауссовского спектра.
Это уравнение описывает уширение частотно-модулированного гаус-
совского импульса в линейной среде с дисперсией в наиболее общем
случае. В следующем разделе с помощью этого уравнения обсуждает-
ся влияние эффекта ДГС на работу волоконно-оптических систем
связи.
3.4. ПРИМЕНЕНИЯ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ СВЯЗИ
В волоконно-оптических системах связи информация передается
по волокну в виде закодированной последовательности оптических
импульсов, длительность которых определяется скоростью передачи
В (бит/с) системы. Дисперсионное уширение импульсов нежелатель-
но, так как оно мешает приему сигналов, приводя к ошибкам при
передаче информации. Ясно, что ДГС будет ограничивать скорость
передачи В и длину линии передачи L волоконно-оптической системы
связи. Удобной мерой, характеризующей информационную емкость
линии связи, является произведение скорости передачи на длину
линии передачи информации BL. В этом разделе рассматривается, как
ДГС ограничивает величину BL
Сначала рассмотрим случай, когда уширение импульса определя-
ется главным образом большой спектральной шириной 8и источника
(8<вГ0 » 1). Для гауссовского импульса без частотной модуляции
коэффициент уширения можно получить на основании уравнения
(3.3.13). Предполагая вклад Р3 пренебрежимо малым и считая V» 1,
получаем
к = —
о
/ P2L6co\2l1'2
L V То J J
(3.4 1)
где L длина световода. Если В = (2Т0) 1, то благодаря ДГС произ-
ведение BL ограничено величиной
BL <(к20- I)1 2/(2л | р2 11Г),	(3.4.2)
74
Глава 3
где W = бсо/л- полная спектральная ширина и к0-максимально до-
пустимый коэффициент уширения. В качестве иллюстрации рассмот-
рим случай, когда источником является многомодовый полупровод-
никовый лазер [21], для которого W~ 1 ТГц. Если система работает
на длине волны, соответствующей минимальным потерям в светово-
де, то Р2 л — 20 пс2/км. Предположим, что конструкция системы
требует, чтобы импульс уширялся не более чем на 20% от начальной
длительности при распространении в световоде, т е. к0 = 1,2. Для
таких значений из уравнения (3.4.2) следует, что BL< 5 ГбитДс км).
Для световода длиной 50 км ДГС ограничивает скорость передачи
относительно низкой величиной, около 100 Мбит/с. Однако если
многомодовый полупроводниковый лазер работает на длине волны
вблизи нуля дисперсии (1,3 мкм), то можно добиться величины
дисперсии | Р21 < 1 пс2/км, что позволит увеличить предел произведе-
ния BL до 100 Гбит/(с км). Тогда многомодовые лазеры можно
использовать вплоть до скоростей передачи 2 Гбит/с на 50 км.
В волоконно-оптических системах связи, работающих на длине
волны 1,55 мкм. чтобы уменьшить действие ДГС, можно идти двумя
путями. Во-первых, использовать световоды со смещенной диспер-
сией (см. разд. 1.2.3), в которых длина волны минимальной дисперсии
совпадает с длиной волны минимальных потерь. И, во-вторых,
использовать полупроводниковые лазеры, работающие преимущест-
венно на одной продольной моде, так чтобы спектральная ширина
источника в непрерывной генерации была ниже 100 МГц [21]. Для
таких лазеров в уравнении (3.4.2) под W понимается уже ширина
спектра импульса. Если гауссовский импульс не имеет частот-
ной модуляции, то 1Г~ В. Тогда из уравнения (3.4.2) следует,
что при L=50km ДГС некритична вплоть до скоростей передачи
10 Гбит/с.
Таких впечатляющих параметров, вообще говоря, трудно достичь,
если для получения закодированной последовательности битов полу-
проводниковый лазер модулируется непосредственно. Дело в том,
что импульсы, излучаемые лазером с прямой модуляцией током,
обладают частотной модуляцией, поэтому при рассмотрении диспер-
сионного уширения импульсов необходимо учитывать влияние час-
тотной модуляции. В случае частотно-модулированного гауссовского
импульса выходная длительность импульса 1\ связана с начальной
длительностью Т() уравнением (3.2.18). В разд. 3.2 было показано, что
такие импульсы сначала могут сжиматься в зависимости от соотно-
шения знаков параметра ДГС Р2 и параметра частотной модуляции
С. Произведение BL можно получить из уравнения (3.2.18) при данной
величине максимально допустимого уширения. На рис. 3.9 показан
предел произведения как функция параметра частотной модуляции
С при Р2 = — 20 пс2/км. Для сравнения также приведена кривая,
полученная для частотно-модулированных супергауссовских импуль-
Дисперсия групповых скоростей
75
Рис. 3.9. Oi раниченное дисперсией произведение скорости передачи на длину
передачи для случаев частотно-модулированного гауссовского импульса
(сплошная линия) и супергауссовского импульса (штриховая линия) в зави-
симости от параметра частотной модуляции С.
сов при,ш = 3 в уравнении (3.2.23). В обоих случаях длина L, на
который импульс уширяется на 20%, получается при То = 125 пс
(длительности импульса, соответствующей скорости передачи 4 Гбит/с).
Как и следует ожидать, произведение BL меньше для супергауссов-
ского импульса, поскольку при распространении в световоде такие
импульсы уширяются быстрее, чем гауссовские (см. рис. 3.5).
На рис. 3.9 особенно заметно, что величина произведения BL при
отрицательных значениях частотной модуляции С резко падает. Это
происходит из-за того, что уширение импульса растет, когда Р2 С
положительно (см. рис. 3.2). К сожалению, для полупроводниковых
лазеров с непосредственной модуляцией, работающих на длине
волны 1,55 мкм, С обычно отрицательно и имеет типичную величину
около 5-6 [21]. Из рис 3.9 видно, что для таких значений С BL
ограничено величиной < 100 ГбитДс-км). Поэтому оптические сис-
темы связи на длине волны 1,55 мкм часто ограничены дисперсией,
даже если в качестве источников используются одномодовые полу-
проводниковые лазеры. При L — 50 км такие системы могут работать
со скоростью В < 2 Гбит/с. Дальнейшее увеличение скорости воз-
можно на пути использования либо лазеров без частотной модуля-
ции. либо световодов со смещенной дисперсией. Отметим, что произ-
ведение BL максимально при положительном значении Cs 1, по-
скольку, когда Р2 С отрицательно, импульс сначала несколько сни-
жается (см. рис. 3.2). Так как С в полупроводниковых лазерах
главным образом отрицательно, наилучшее функционирование
76
Глава 3
достигается при использовании световодов, имеющих небольшую
положительную величину ДГС.
1.
2.
3.
4.
5.
6
7.
8.
ЛИТЕРАТУРА
Сисакян ИН., Шварцбург А. Б. Квант, электрон., 1984, т. 11, с. 1703.
Ахманов С. А.. Выслоух В. А.. Чиркин А. С. УФН. 1986, т. 149, с. 450.
Agrawal G. Р„ in: Supercontinuum Laser Source, ed. by R. R. Alfano. Springer-
Verlag, Heidelberg, 1989.
Garrett C.G.B.. McCumher D. E„ Phys. Rev., Al, 305 (1970).
Unger H.G.. Arch. Electron. Uebertragungstech., 31, 518 (1977).
Miyagi M.. Nishida S.. Appl. Opt., 18, 678 (1979).
Miyagi M„ Nishida S.. Appl. Opt., 18, 2237 (1979).
Gloge D., Electron. Lett., 15, 686 (1979).
9.	Marcuse D., Appl. Opt., 19, 1653 (1980).
10.	Marcuse D. Appl. Opt., 20, 3573 (1981).
11.	Iwashita K. et al., Electron. Lett., 18, 873 (1982).
12.	Lin C., Tomita A.. Electron. Lett., 19, 837 (1983).
13.	Anderson D., Lisak M„ Anderson P.. Opt. Lett., 10, 134 (1985).
14.	Koyama F., Suematsu Y„ IEEE J. Quantum Electron.. QE-21, 292 (1985).
15.	Tajima K„ Washio K., Opt. Lett., 10, 460 (1985).
16.	Takada A., Sugie T.. Saruwatari M., Electron. Lett., 21, 969 (1985).
17.	Agrawal G. P., Potasek M.J., Opt. Lett., 11, 318 (1986).
18.	Anderson D.. Lisak M., Opt. Lett., 11, 569 (1986).
19.	Bloom D.M. et al.. Opt. Lett., 4, 297 (1979).
20.	Lin C. et al., Electron. Lett., 18, 882 (1982).
21.	Agrawal G.P.. Dutta N.K., Long-Wavelength Semicondustor Lasers, Van
Nostrand Reinhold, New York, 1986.
Глава 4
ФАЗОВАЯ САМОМОДУЛЯЦИЯ (ФСМ)
Интересным проявлением зависимости показателя преломления
нелинейной среды от интенсивности является фазовая самомодуляция
(ФСМ) явление, которое ведет к спектральному уширению опти-
ческих импульсов [1-9]. ФСМ эго аналог самофокусировки, но
развивающийся во времени. В самом деле, он впервые наблюдался
в связи с изучением нестационарной самофокусировки оптических
импульсов, распространяющихся в ячейке, заполненной CS2. Исполь-
зуя пикосекундные импульсы, Альфано и Шапиро наблюдали ФСМ
в твердых телах и стеклах [4]. Самые первые наблюдения ФСМ
в волоконных световодах были проведены с использованием волокон,
сердцевина которых была заполнена CS2. Систематическое изучение
ФСМ в кварцевых световодах было проведено Столеном и Лином
[9]. В этой главе ФСМ обсуждается применительно к оптическим
волокнам, в которых значительную роль играет дисперсия групповых
скоростей (ДГС). В разд. 4.1 мы рассматриваем случай чистого
эффекта ФСМ, пренебрегая влиянием ДГС. Совместное действие
ДГС и ФСМ рассматривается в разд. 4.2; особенно подчеркивается
возникновение частотной модуляции из-за ФСМ. В разд. 4.3 обсуж-
даются нелинейные эффекты высших порядков, такие, как эффект
самоукручения волнового фронта импульса, возникающий из-за зави-
симости групповой скорости от интенсивности [2].
4.1. СПЕКТРАЛЬНОЕ УШИРЕНИЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ФСМ
Полное описание ФСМ в световодах требует численного решения
сравнения распространения (2.3.31), полученного в разд. 2.3. Для
импульсов длительностью >0,1 пс можно использовать более прос-
тое уравнение (2.3.36). Если пренебречь влиянием ДГС на ФСМ,
можно еще более упростить уравнение (2.3.36), положив Р2 равным
нулю. Условия, при которых можно пренебречь ДГС, были получены
в разд. 3.1, где для импульса вводятся нелинейная Lnl и дисперсион-
ная Ld длины (см. уравнение (3.1.5)). Длительность импульса и пико-
вая мощность должны быть такими, чтобы LD» Lnl < L, где
Е-длина световода. Из уравнения (3.1.7) следует, что ДГС можно
78
Глава 4
пренебречь для относительно широких импульсов (То > 100 пс) с
большой пиковой мощностью (Ро > 1 Вт).
Если использовать нормализованную амплитуду U (z, Т), опреде-
ленную в уравнении (3.1.3), то уравнение распространения (3.1.4)
в приближении Р2 = 0 принимает вид
= ——ехр( —az)| 17|2 U,	(4.1.1)
сг Lnl
где а учитывает оптические потери в световоде. Нелинейная длина
LNL=(yPoyl,	(4.1.2)
где Р„ пиковая мощность и у-параметр, связанный с нелинейным
показателем преломления п2 уравнением (2.3.28). Решение уравнения
(4.1.1) имеет вид
U (z, Т)= U (0, Т) ехр [/ф^ (z, Т) ] ,	(4.1.3)
где U (0, Т) - амплитуда поля при z — 0 и
ф„£ (z, Т) = | U (0, Т) |2 (z^/Lnl ),	(4.1.4)
где
2эфф = -[1-exp(-az)].	(4.1.5)
a
Из уравнения (4.1.3) следует, что ФСМ вызывает набег фазы,
зависящий от интенсивности, тогда как форма импульса, определя-
емая |17(л, Т)|2, остается неизменной. Нелинейный набег фазы
Фль = Ф/vr (- Т), согласно уравнению (4.1.4), увеличивается с увеличе-
нием длины распространения z. Величина играет роль эффективной
длины, которая из-за потерь меньше z. В световоде без потерь a = 0
и 2эфф = 2- Максимальный набег фазы возникает в центре импульса
при Т= 0. Ввиду того что U нормирована так, что | U (0,0) | = 1,
Фмакс ~~ ^эфф/Avi. УРо - »ФФ 	(4.1.6)
Физический смысл нелинейной длины Lnl ясен из уравнения (4.1 6):
это эффективная длина распространения, на которой фмажс = 1. Для
типичного значения нелинейного параметра у = 20 В^'-км1 в ви-
димом диапазоне Lnl = 50 м при мощности Ро = 1 Вт и уменьшается
обратно пропорционально с увеличением мощности.
Уширение спектра из-за ФСМ возникает вследствие зависимости
Фм ('• Т) от времени, так как изменение фазы импульса во времени
означает сдвиг мгновенной оптической частоты от основной частоты
го0 при перемещении вдоль импульса. Изменение частоты 8<о опреде-
ляется уравнением
(4.1-7)
ST	ST Lnl
Фазовая самомодуляция
79
где знак минус возникает вследствие выбора ехр( — i(oot) в уравне-
нии (2.3.2) Как отмечалось в разд 3.2, изменение So во времени
можно рассматривать как частотную модуляцию импульса. Частот-
ная модуляция наводится ФСМ и растет по величине с длиной
распространения. Другими словами, генерация новых частотных
компонент происходит непрерывно по мере распространения по
световоду, вызывая уширение спектра по отношению к его начальной
ширине при z = 0.
Степень спектрального уширения зависит от формы импульса.
Рассмотрим, например, случай супергауссовского импульса, началь-
ное поле U (0, Т) которого задается уравнением (3.2.23). Частотная
модуляция 8<о (Г) вследствие ФСМ для такого импульса будет тогда
8(о (Г) =
2т эфф
Т0 ^NL
2m
ехр
(4.1.8)
Т
J
1
Параметр m для гауссовского импульса равен 1. Для больших
величин m начальный импульс приближается к прямоугольной фор-
ме, увеличивая крутизну своих переднего и заднего фронтов. На
рис. 4.1 показаны изменения нелинейного набега фазы и частоты 8ю
вдоль импульса при — Lnl в случаях гауссова (m= 1) и супер-
гауссова (т = 3) импульсов. Так как фм прямо пропорционален
|17(0, Т)|2 в уравнении (4.1.4), то его изменение во времени точно
совпадает с формой интенсивности импульса. Изменение во времени
Рис. 4.1. Изменение во времени
набега фазы и частотной
модуляции бсо, наводимой ФСМ
для гауссовского (штриховая
линия) и супергауссовского
(сплошная линия) импульсов.
т/т0
80
Глава 4
частотной модуляции 8е> имеет несколько интересных особенностей.
Во-первых, 8а> отрицательно на переднем фронте (красное смещение)
и становится положительным на заднем фронте (синее смещение).
Во-вторых, частотная модуляция линейна и положительна в большой
центральной части гауссовского импульса. В-третьих, частотная мо-
дуляция значительно больше для импульсов с более крутыми фрон-
тами. В-четвертых, поведение супергауссовского импульса отличается
от поведения гауссовского, гак как частотная модуляция на нем
появляется только на склонах импульса и не имеет линейного
участка.
Оценить величину спектрального уширения, вызываемого ФСМ,
можно на основе пиковых величин 8со (см. рис. 4.1). Количественно
эти пиковые значения можно найти, вычисляя максимумы 5ю(Т)
в уравнении (4.1.8). Полагая первую производную 8со(Т) по времени
равной нулю, находим максимальное значение Зсомажс:
ЗС0макс Фмакс »	(4.1.9)
*0
где фМакс определено в уравнении (4.1.6), константа f равна
(I \ 1 - 1/2т Г /	J \ ”]
1-— exp - I---	.	(4.1.10)
2т /	L \	2си / J
Значение f слабо зависит от m;f= 0,86 при т = 1 и уменьшается до
0,74 при увеличении т. Чтобы получить коэффициент уширения
спектра, нужно связать начальную ширину спектра Асо и длитель-
ность То. В случае гауссовского импульса без частотной модуляции
Асо = Т„1 (уравнение (3.2.16)), где Асо - полуширина по уровню 1/е.
Уравнение (4.1.9) тогда принимает вид
ЗЮмакс = 0,8бАсоф макс •	(4.1.11)
Из этого уравнения следует, что коэффициент уширения спектра
приблизительно равен величине максимального набега фазы фмакс-
В случае супергауссовского импульса оценить Асо трудно из-за того,
что его спектр негауссовский. Тем не менее если предположить, что
Асо приблизительно равно Тг“1, где Tr = Т0/т - время нарастания
импульса, определяемое уравнением (3.2.24), то из уравнения (4.1.9)
следует, что коэффициент уширения также равен максимальному
фазовому набегу фмакс. ФСМ может значительно уширить спектр, так
как можно достичь фмакс ~ 100. В случае интенсивных сверхкоротких
импульсов уширенный спектр может иметь ширину 100 ТГц и более
[4]; это явление иногда называют генерацией суперконтинуума.
Действительную форму спектра импульса можно получить, вы-
полнив обратное преобразование Фурье уравнения (4.1.3) следующим
образом:
Фазовая самомодуляция
81
,А АтхЖ
ё 0 °-57г	1.51г
LAA.7WV
2.5тг	3,5 тг
Частота
Рис. 4.2. Рассчитанное ФСМ-уширение спектра гауссовского импульса без
частотной модуляции. На спектрах указаны максимальные набеги фазы фмакс,
соответствующие пику импульса [9].
S(co) = |C(z,<o)|2 = | j С(0,Т)ехр[/ф„£(г, Т)+z(w-®0)T]JT|2.
(4.1.12)
В общем случае спектр зависит не только от формы импульса, но и от
начальной частотной модуляции импульса. На рис. 4.2 показаны
спектры гауссовских импульсов без начальной частотной модуляции
для нескольких величин максимального набега фазы фмакс. При
фиксированной длине световода фмакс линейно зависит от пиковой
мощности Ро в соответствии с уравнением (4.1.6). Таким образом,
эволюцию спектров, показанную на рис. 4.2, можно наблюдать экс-
периментально, увеличивая пиковую мощность. На рис. 4.3 изобра-
жены экспериментальные спектры импульса (близкого к гауссовско-
му, То ~ 90 пс), излучаемого аргоновым лазером, после прохождения
световода длиной 99 м с размером сердцевины 3.35 мкм (К =2,53)
[9]. На спектрах обозначена величина фма11С для каждого случая, что
дает возможность сравнивать их с вычисленными спектрами (рис. 4.2).
Небольшая асимметрия, наблюдаемая в эксперименте, может быть
связана с асимметрией формы входного импульса [9]. Видно полное
совпадение результатов теории и эксперимента.
Наиболее характерной особенностью спектрального уширения,
вызываемого ФСМ (рис. 4.2 и 4.3), является осциллирующая структу-
ра в центральной части спектра. Как правило, спектр состоит из
многих пиков, крайние пики - наиболее интенсивные. Число пиков
линейно зависит от фмакс. Возникновение осцилляций можно объяс-
нить на основе рис. 4.1, где показана зависимость частотной модуля-
ции, наводимой ФСМ, от времени. Одна и та же частотная модуляция
наблюдается при двух значениях Т, т. е. импульс имеет одинаковую
82
Глава 4
_Ал/\
3,5 г
_W/\_
4,5-тг
I 1 1 ‘ 1 I
—| 50.0ГГЦ Н-
Частотный спектр
Рис. 4.3. Экспериментальные спектры импульса, близкого по форме к гаус-
совскому, на выходе из 99-метрового световода. На спектрах указаны макси-
мальные набеги фазы фмажс, линейно зависящие от пиковой мощности им-
пульса [9].
мгновенную частоту в двух разных точках импульса. На качествен-
ном уровне эти две точки можно представить как две волны на одной
частоте, но с разными фазами, которые могут интерферировать
конструктивно или деструктивно в зависимости от их относительной
разности фаз. Многопиковая структура спектра импульса-результат
такой интерференции [1]. Математически в фурье-интеграл (уравне-
ние (4.1.12)) наибольший вклад вносят именно те два значения
времени, при которых мгновенная частота одна и та же. Эти вклады,
будучи комплексными величинами, могут складываться в фазе или
в противофазе. На самом деле, можно воспользоваться методом
стационарной фазы, чтобы получить аналитическое выражение для
S(co), верное при больших значениях фмажс. Из этого выражения
следует, что число пиков М на ФСМ-уширенном спектре импульса
приближенно можно выразить следующим соотношением [3]:
Фмакс (М - 0 П .	(4.1.13)
Уравнение (4.1.13) вместе с уравнением (4.1.11) можно использо-
вать для оценки начальной ширины спектра Дсо или длительности То
Фазовая самомодуляция
83
импульса, если он не обладал частотной модуляцией [6]. Однако
такой метод является точным, если фма1[с» 1. Более точную меру
спектрального уширения можно получить с использованием средне-
квадратичной ширины спектра (Aco)rms, определяемой уравнением
(Aco)rms = <(<о - <о0)2 > - О - со0>2 ,	(4.1.14)
где угловые скобки обозначают среднее по ФСМ-уширенному спект-
ру, определяемому уравнением (4.1.12). Более конкретно можно
записать, что
f (со со0)и S (со) с/со
<(со - со0)"> =	-----------------
j S (со) с/со
— ос
(4.1.15)
Используя процедуру, подобную той, что применялась в разд. 3.3,
можно получить коэффициент спектрального уширения
(Ato)rms
(Асо)0
(4.1.16)
где (Асо)о начальная среднеквадратичная ширина спектра.
Как упоминалось выше, следует ожидать зависимости ФСМ-уши-
рения спектра от формы импульса и начальной частотной модуляции,
если таковая имеется. На рис. 4.4 сравниваются спектры гауссовского
(т = 1) и супергауссовского импульсов (т = 3), полученные числен-
ным интегрированием с использованием уравнений (3.2.23) и (4.1.12).
(i/-i/o) т0
(i/-iz0> То
Рис. 4.4. Сравнение ФСМ-уширения спектров для случаев гауссовского и
супергауссовского импульсов без начальной частотной модуляции при пико-
вой мощности, соответствующей фмаж<: = 4,5л. Начальный спектр расположен
на несущей частоте v0 (соо = 2лv0).
84
Глава 4
Рис. 4.5. Влияние начальной частотной модуляции на ФСМ-уширение спект-
ров гауссовского импульса при С = 5 (положительная частотная модуляция)
и С = — 5 (отрицательная частотная модуляция). Эти спектры следует срав-
нить с левым спектром на рис. 4.4. где С = 0. Во всех случаях фмаге = 4,5л.
В обоих случаях предполагается, что начальный импульс не имеет
частотной модуляции (С = 0). Длина волокна и пиковая мощность
подбираются таким образом, чтобы фтах = 4,5л. Качественное разли-
чие между двумя спектрами можно пояснить на основании рис. 4.1,
где была показана частотная модуляция, наводимая ФСМ, для
гауссовского и супергауссовского импульсов. Область частот, где
расположен спектр супергауссовского импульса, почти в три раза
шире из-за того, что максимальная частотная модуляция, определя-
емая уравнением (4 1.9), в случае супергауссовского импульса почти
в три раза больше. Несмотря на то, что каждый из спектров на
рис. 4.4 имеет 5 максимумов в соответствии с уравнением (4.1.13),
в случае супергауссовского импульса большая часть энергии остается
в центральном пике. Это происходит потому, что частотная модуля-
ция почти равна нулю в центральной части супергауссовского им-
пульса (рис. 4.1) вследствие того, что его интенсивность почти од-
нородна при | Т| < То. Частотная модуляция возникает главным
образом вблизи переднего и заднего фронтов. С увеличением крутиз-
ны фронтов хвосты спектра на рис. 4.4 расширяются на больший
частотный диапазон, но в то же время они несут меньше энергии, так
как частотное модулирование будет возникать в меньшей временной
области.
Начальная частотная модуляция также может приводить к су-
щественным изменениям спектров импульсов, уширенных вследствие
ФСМ. Это иллюстрируется рис. 4.5, где показаны спектры гауссовско-
го импульса с положительной и отрицательной частотными модуля-
циями (С = ± 5 в уравнении (3.2.23)) при таких же условиях, что и на
Фазовая самомодуляция
85
рис. 4.4, т. е. фма11с = 4,5л. Сравнение этих спектров со спектром
гауссовского импульса без частотной модуляции (левая часть
рис. 4.4) показывает, что начальная частотная модуляция может
привести к качественным изменениям в спектральном уширении,
вызываемом ФСМ. Положительная частотная модуляция увеличива-
ет число максимумов на спектре, тогда как в случае отрицательной
частотной модуляции (ЧМ) имеет место обратное. Это объясняется
тем, что частотная модуляция, наводимая ФСМ, линейна и положи-
тельна (частота увеличивается с увеличением Т) в центральной части
импульса (см. рис. 4.1). Таким образом, она складывается с началь-
ной частотной модуляцией при С > 0, приводя к увеличению осцил-
ляций. В случае С < 0 два вклада в частотную модуляцию имеют
разные знаки в центре импульса. Крайние максимумы на рис. 4.5 для
С = — 5 возникают вследствие остаточной частотной модуляции на
переднем и заднем фронтах.
4.2. ВЛИЯНИЕ ДИСПЕРСИИ ГРУППОВЫХ СКОРОСТЕЙ
Эффекты ФСМ, обсуждавшиеся в разд. 4.1, реально описывают
распространение только относительно длинных импульсов (Го >
> 100 пс), для которых дисперсионная длина LD много больше длины
световода L и нелинейной длины Lnl . С укорочением импульсов
дисперсионная длина становится сравнимой с длиной световода,
и теперь необходимо рассмотреть совместное действие эффектов ДГС
и ФСМ [8]. В области аномальной дисперсии световода под дейст-
вием этих двух эффектов в совокупности в световоде могут существо-
вать оптические Солитоны [11, 12], которые будут обсуждаться в
гл. 5. В области нормальной дисперсии [13-15] совместное действие
эффектов ФСМ и ДГС нашло применение в компрессии оптических
импульсов. Эта тема обсуждена в гл. 6. В этом разделе рассматрива-
ются спектральные и временные изменения, которые происходят,
когда эффект ДГС учитывается при описании ФСМ [13 28].
Отправной точкой будет уравнение распространения (3.1.4), кото-
рое можно переписать в следующей нормализованной форме:
„ 1 д2 U
i-- = sgn(p2)-—---N2e-^\U\2U,	(4.2.1)
сс,	2 Рт
где Е, и т-нормированные переменные длины и времени
£ = z/LD, т = ТГ0 ,	(4.2.2)
параметр N вводится следующим образом:
Ч =	(4.2.3)
I Р2 I
86
Г.’ава 4
Физический смысл N станет ясен в гл. 5, где показывается, что целые
величины N связаны с порядком солитона. Практическое значение
параметра N состоит в том, что решения уравнения (4.2.1), получен-
ные для определенной величины N, можно применить во многих
практических ситуациях, используя изменение масштаба в соответст-
вии с уравнением (4.2.3). Например, если N = 1 при То = 1 пс,
Ро = 1 Вт, то вычисленные результаты также хорошо применимы для
То = 10 пс и Ро = 10 мВт или То = 0,1 пс и Ро = 100 Вт. Как следует
из уравнения (4.2.3), N определяет относительное влияние эффектов
ФСМ и ДГС на эволюцию импульсов в волоконном световоде. При
N « 1 преобладает дисперсия, тогда как ФСМ доминирует при N » 1.
Если N — 1, то и ФСМ, и ДГС играют одинаково важную роль
в процессе эволюции импульса. В уравнении (4.2.1) sgn(p2) = + 1
в зависимости от того, нормальна (р2 > 0) или аномальна (р2 < 0)
ДГС. Для численного решения уравнения (4.2.1) можно воспользо-
ваться методом SSFM, описанным в разд. 2.4.
На рис. 4.6 показана эволюция формы импульса и его спектра
в случае начального гауссовского импульса без частотной модуляции
в области нормальной дисперсии световода при N = 1 и а = 0.
Рис. 4.6. Эволюция формы импульса (верхний график) и спектра импульса
(нижний график) на расстоянии z = 5LD гауссовского импульса без начальной
частотной модуляции, распространяющегося в области нормальной дисперсии
световода (Р2 > 0) при N = 1.
Фазовая самомодуляция
87
Качественное поведение в этом случае сильно отличается от случаев,
когда либо ДГС, либо ФСМ доминируют. В частности, импульс
уширяется значительно быстрее, чем в случае N = 0 (в отсутствие
ФСМ). Это объясняется тем, что ФСМ приводит к генерации новых
частотных компонент, смещенных в длинноволновую (красную) об-
ласть на переднем фронте и в коротковолновую (синюю) область на
заднем фронте импульса. Так как красные компоненты движутся
быстрее, чем синие в области нормальной дисперсии, ФСМ ведет
к увеличению скорости уширения импульса по сравнению с диспер-
сионным уширением. Это в свою очередь влияет на спектральное
уширение, так как фазовый набег флт из-за ФСМ уменьшается в
сравнении со случаем, когда форма импульса остается неизменной.
В самом деле, фмакс = 5 при z = 5LB, и в отсутствие ДГС возникает
«двугорбый» спектр. То, что спектр импульса при z/D D = 5 на рис. 4.6
имеет один максимум, означает, что эффективный фмакс меньше
л из-за уширения импульса.
Ситуация изменяется, если импульс распространяется в области
аномальной дисперсии световода. На рис. 4.7 показаны формы им-
Рис. 4.7. Эволюция формы импульса (верхний рисунок) и спектра (нижний
рисунок) при тех же условиях, что и на рис. 4.6, за исключением того, что
гауссовский импульс распространяется в области аномальной дисперсии
88	Глава 4
Фазовая самомодуляция
89
Рис 4 8 Коэффициент уширения гауссовского импульса для случаев нор-
мальной (Р2 > 0) и аномальной (р, < 0) ДГС. N = 1 для обоих случаев Для
сравнения штриховой линией показано уширение в случае отсутствия ФСМ
(N = 0).
пульсов и спектры при тех же условиях, что и на рис. 4.6, за
исключением того что знак ДГС меняется на противоположный
(Р2 < 0). Импульс сначала несколько уширяется со скоростью много
меньшей, чем при дисперсионном уширении (без ФСМ), и затем
приходит к стационарному состоянию при z > 4LD. В то же время
спектр сужается, а не уширяется, как в случае только ФСМ без ДГС.
Такое поведение объясняется тем, что частотная модуляция, наводи-
мая ФСМ (уравнение (4.1.8)), положительна, тогда как частотная
модуляция, наводимая дисперсионным уширением (уравнение (3.2.13)),
отрицательна при Р2 < 0. Эти две частотные модуляции почти ком-
пенсируют друг друга в центральной части гауссовского импульса,
когда Ld = Lnl (N = 1). Форма импульса перестраивается при рас-
пространении таким образом, чтобы эта компенсация была как
можно более полной. Таким образом, совместное действие ДГС
и ФСМ приводит к возникновению импульса без частотной модуля-
ции. Описанная ситуация соответствует эволюции солитона; началь-
ное уширение гауссовского импульса обусловлено тем, что солитон
имеет негауссовскую форму. Если же начальный импульс имеет
форму гиперболического секанса (уравнение (3.2.21), С = 0), то ни
форма импульса, ни его спектр не изменяются при распространении.
Подробно этот вопрос будет рассмотрен в гл. 5.
Из рис. 4.6 и 4.7 следует, что основной эффект ФСМ-это измене-
ние скорости уширения импульса, вызванного ДГС. На рис. 4.8
показана зависимость коэффициента уширения о/о0 от z/LB при.
TV 1, когда в световод вводится гауссовский импульс без частотной
модуляции. Величина о-среднеквадратичная длительность, опреде-
ляемая уравнением (3.2.25), и о0-ее начальная величина. Для сравне-
ния штриховой прямой показан коэффициент уширения в отсутствие
ФСМ (N = 0). ФСМ приводит к увеличению скорости уширения
в области нормальной дисперсии и уменьшает ее в области аномаль-
ной дисперсии. Меньшая скорость уширения при 02 < 0 может быть
использована в оптических системах связи, работающих на длине
волны 1,55 мкм, где Р2 — — 20 пс2/км. Как отмечалось в разд. 3.4,
возможности таких систем ограничиваются дисперсией такой степе-
ни, что произведение скорости передачи на длину BL, обычно ниже
100 Гбит/с-км для частотно-модулированных импульсов с С ~ —5.
Было показано [25], что BL можно увеличить почти в 2 раза,
увеличив пиковую мощность до 20—30 мВт, что обусловливается
действием ФСМ, проиллюстрированным на рис. 4.8 (случай 02 < 0).
Обычно, чтобы изучить совместное действие эффектов ДГС и
ФСМ, бывает необходимо численно решить уравнение (4.2.1). Тем не
менее было бы полезно даже приближенное аналитическое выражение
для длительности импульса, чтобы понять, как скорость уширения
функционально зависит от физических параметров. Для приближен-
ного решения уравнения (4.2.1) использовалось несколько методов.
В одном из методов уравнение сначала решают, пренебрегая ДГС.
Затем результат используется как начальное условие и уравнение
(4.2.1) снова решается, но на этот раз пренебрегают ФСМ. Этот
метод аналогичен фурье-методу с расщеплением по физическим
факторам (разд. 2.4) с той лишь разницей, что размер дисперсионного
шага равен длине световода. Таким образом можно аналитически
вычислить среднеквадратичную длительность импульса, следуя про-
цедуре, обсуждавшейся в разд. 3.3. В случае гауссовского импульса
без частотной модуляции при z = 0 коэффициент уширения выра-
жается как [23]
о
1 + \/2 фМакс ~ Ь ( 1 Ч-------ф 2	I ——
V тмакс _	\	Г~ т макс / г 2
^в \	3 х/3	/	_
(4-2.4)
Где Фмакс, т. е. максимальный ФСМ,—набег фаз, определяемый урав-
нением (4.1.6). Это выражение довольно точно при ф„акс < 1.
В другом методе уравнение (4.2.1) решается в спектральном
представлении [16, 24]. В этом спектральном методе ФСМ рассмат-
ривается как четырехфотонный процесс [16], в котором из двух
фотонов на частоте накачки образуются два фотона: один на частоте,
смещенной в коротковолновую область, а другой—в длинноволно-
вую. Осциллирующая структура ФСМ-спектра обусловлена требова-
ниями фазового синхронизма (см. разд. 10.1). Вообще говоря, уравне-
ние, описывающее эволюцию спектральных компонент, следует ре-
90
Глава 4
шать численно, тем не менее в некоторых случаях, если предполо-
жить, что форма импульса меняется незначительно, его можно
решить и аналитически [24].
Третий метод основан на предположении, что импульс сохраняет
свою форму при распространении, но его длительность и частотная
модуляция могут изменяться при движении вдоль оси z. В случае
гауссовского импульса в форме уравнения (3.2.14) параметры То
и С могут меняться по z. Их изменение с координатой z можно
определить, используя вариационный метод [18] или через интеграл
по траекториям [20]. Этот метод довольно мощный, так как он
позволяет физически описать эволюцию импульса даже в случае
частотно-модулированного импульса. Однако его применение огра-
ничивается величиной N < 1, когда форма импульса сильно не изме-
няется.
Если TV » 1, то в уравнении (4.2.1) ФСМ преобладает над ДГС по
крайней мере на начальной стадии эволюции импульса в световоде.
Однако оказывается, что ДГС нельзя рассматривать как возмущение.
Дело в том, что из-за большой частотной модуляции, наводимой
ФСМ, даже слабое влияние дисперсии ведет к существенному измене-
нию формы импульса. В случае нормальной дисперсии (|32 > 0)
импульс становится близким к прямоугольному с относительно
резкими фронтами. Он имеет линейную частотную модуляцию на
всей своей ширине [14]. Именно эта линейная частотная модуляция
способствует сжатию импульсов в дисперсионных линиях задержки.
Этому вопросу посвящена гл. 6. Влияние ДГС имеет еще один аспект.
Изменение формы импульса ведет к тому, что эффективность ДГС
возрастает, так как вторая производная по Т в уравнении (4.2.1) на
фронтах импульса увеличивается. Как следствие, на импульсе вблизи
Рис. 4.9. Эволюция гауссовского импульса без начальной частотной модуля-
ции на расстоянии z = O,1LD в области нормальной дисперсии световода при
N = 30.
Фазовая самомодуляция
91
№30, $ = 0,08, С=0
-10	-5 О 5	10
Частота (V-Vo)T0
Рис. 4.10. Форма и спектр импульса на длине z/LD = 0.08; вначале импульс
был гауссовской формы и не имел частотной модуляции (С = 0). Все пара-
метры идентичны тем, которые соответствуют рис. 4.9. Крылья на спектре
и тонкая структура на импульсе вблизи его фронтов вызваны эффектом
распада огибающей оптической волны.
-4	-2	0	2	4
Время т/Т0
его краев развивается гонкая структура. На рис. 4.9 показана эволю-
ция импульса при N = 30: вначале импульс был гауссовским и не
имел частотной модуляции. Осцилляции на импульсе вблизи его
краев существуют уже при z/LD = 0,06. Дальнейшее увеличение z ве-
дет к уширению пьедестала импульса. На рис. 4.10 показаны форма
импульса и его спектр в точке z/LD = 0,08. Особенностью, заслужи-
вающей внимания, является то, что быстрые осцилляции фронтов
импульса всегда сопровождаются образованием дополнительных
компонент на краях спектра. Центральная часть спектра, состоящая
из многих пиков, существенно модифицируется ДГС. В частности,
минимумы оказываются не столь глубокие, как те, что вызываются
тишь одним эффектом ФСМ.
Физические причины возникновения временных осцилляций вбли-
зи фронтов импульса связаны с волновой неустойчивостью новым
явлением, называемым распадом оптической волны [22]. Смещенный
в длинноволновую область свет вблизи переднего фронта движется
быстрее (при 02 > 0) несмещенного света на переднем крае импульса
и обгоняет его. Обратное происходит для света, смещенного в корот-
коволновую область, на заднем фронте импульса. В обоих случаях на
переднем и заднем фронтах импульса волны на разных частотах
интерферируют. В результате этой интерференции формируются
осцилляции вблизи фронтов импульса на рис. 4.9. Это явление можно
интерпретировать и как четырехволновой процесс (см. разд. 10.1).
Нелинейное смещение двух разных частот го, и го2 на краях импульса
приводит к генерации новых частот: 2го, — го2 и 2го2 — го,. Эти новые
частотные компоненты формируют «крылья» на краях спектра
92
Глава 4
(рис. 4.10). Таким образом, осцилляции во времени вблизи фронтов
импульса и образование крыльев на краях спектра это проявление
одного и того же эффекта.
Результаты, приведенные на рис. 4.9 и 4.10, соответствуют случаю
импульсов, не имеющих начальной частотной модуляции (С = 0).
Практически импульсы, генерируемые лазерными источниками, часто
бывают частотно-модулированными, и поэтому их эволюция в свето-
воде может быть совершенно иной [21] и зависит от знака и величины
параметра частотной модуляции С. На рис. 4.11 показаны форма
импульса и спектр при тех же условиях, что и на рис. 4.10, за тем
исключением, что начальный импульс обладал частотной модуляцией
С = 20. Сравнение этих двух рисунков иллюстрирует, как сильная
начальная частотная модуляция может изменить характер распрост-
ранения. Для частотно-модулированного вначале импульса его фор-
ма становится похожей на треугольную, а не прямоугольную. В то же
время спектр имеет осцилляции на крыльях, тогда как структура
в центре спектра, характерная для ФСМ-спектров (см. рис. 4.10 для
случая импульса без частотной модуляции), почти исчезает. Эти
изменения формы импульса и спектра можно качественно объяснить
тем, что положительная начальная частотная модуляция складывает-
ся с модуляцией, наводимой ФСМ. Поэтому распад оптической
волны возникает раньше для частотно-модулированных импульсов.
На эволюцию импульсов также оказывают влияние оптические поте-
ри [21, 22]. Для количественного сравнения теоретических и экспери-
ментальных результатов необходимо учесть в численном моделиро-
вании и частотную модуляцию, и потери.
Совместное действие эффектов ФСМ и ДГС в оптических волок-
N=30, £=О,О8, С=20
Т/70
^~^Т0
Рис. 4.11. Форма импульса и спектр, формирующиеся при тех же условиях,
что и в случае рис. 4.10, за исключением того, что входной гауссовский
импульс имел частотную модуляцию с С = 20.
Фазовая самомодуляция
93
Рис. 4.12. Экспериментально наблюдавшийся спектр импульса на выходе из
93,5-метрового световода, когда в него вводился 35-пикосекундный импульс.
Этот спектр иллюстрирует спектральное уширение, вызываемое ФСМ. Для
сравнения на рисунке также приведен начальный спектр. Крылья на краях
спектра объясняются эффектом распада огибающей оптической волны. Вход-
ная пиковая мощность 235 Вт соответствует N ~ 173 [27].
нах впервые исследовалось в эксперименте [13] по распространению
5,5-пикосекундных (FWHM) импульсов (на длине волны 587 нм)
излучения лазера на красителе с синхронизацией мод в 70-метровом
световоде. При входной мощности 10 Вт (N ~ 7) выходной импульс
имел близкую к прямоугольной форму и положительную линейную
частотную модуляцию. Форма импульса определялась из измере-
ний автокорреляционной функции, так как импульс был слишком
короткий, чтобы его форму можно было измерить непосредст-
венно. В более позднем эксперименте [17] более широкие импульсы
длительностью ~ 150 пс от Nd:YAG-лазера, работающего на длине
волны 1.06 мкм, пропускались через 20-километровый световод. По
мере увеличения пиковой мощности импульсов, вводимых в световод
°т 1 до 40 Вт (что соответствует изменению N в диапазоне от 20 до
150), выходные импульсы уширялись, становились почти прямоуголь-
ными, и затем на них появлялась структура на краях, картина
эволюции была подобна представленной на рис. 4.9. Для столь
оольших длин световода необходимо учитывать потери в световоде;
экспериментальные результаты оказались в хорошем соответствии
с результатами численного моделирования уравнения (4.2.1) [17, 21].
Доказательство существования явления распада оптической волны
оыло получено в эксперименте [27], где 35-пикосекундные (FWHM)
импульсы на длине волны 532 нм (излучение Nd: YAG-лазера на
Удвоенной частоте) с пиковой мощностью 235 Вт распространялись
94
Глава 4
в 93,5-метровом световоде с сохранением поляризации. На рис. 4.12
приведен спектр, наблюдавшийся в этом эксперименте. Несмотря на
то что в этом эксперименте N 173, очевидно его принципиальное
совпадение со спектром, изображенным на рис. 4.10. Фактически
эффект распада оптической волны был открыт Томлинсоном и др.
[22] при попытке объяснить наличие крыльев на рис. 4.12. При
прямых измерениях распада волны [28] было обнаружено, что
крылья спектра в самом деле связаны с i енерацией новых частотных
компонент вблизи краев импульса.
В заключение этого раздела вкратце рассмотрим случай распрост-
ранения импульса вблизи длины волны нулевой дисперсии (Хв
= 1,3 мкм) световода [29 34]. Если оптическая длина волны 10 почти
совпадает с [I, =0 и дисперсионные эффекты низшего порядка
будут определяться членом р3 в разложении (2.3.23). Соответству-
ющее уравнение распространения следует из уравнения (2.3.35), если
положить Р2 = 0 и пренебречь нелинейными членами высшего поряд-
ка. Если ввести дисперсионную длину L'a из уравнения (3.3.3) и опре-
делить = z/L'd как нормированную длину, получим
ёи	i ё3 U
'-^ = sgn(P3)--r-r-N2e-a-’|Lrl2n,	(4.2.5)
ёЕ,	6 ст
где
= <4-2-6)
^NL IРзI
Так же как и в уравнении (4.2.1), параметр N определяет соотношение
между эффектами ДГС и ФСН в процессе эволюции импульса: ДГС
преобладает, если N « 1, тогда как если N » 1, то доминирует ФСМ.
Уравнение (4.2.5) можно решить численно, используя фурье-метод
с разделением по физическим факторам, описанный в разд. 2.4.
В последующих рассуждениях предполагается, что р3 > 0. и пренеб-
регается влиянием оптических потерь (а = 0).
На рис. 4.13 показаны форма и спектр импульса на длине £' = 5
для случая N = 1. если начальный импульс был гауссовским без
частотной модуляции. Сравним получающиеся формы импульсов
в этом случае со случаем, когда отсутствует ФСМ (N = 0), показан-
ным на рис. 3.6. Действие ФСМ состоит в увеличении числа осцилля-
ций на заднем фронте импульса. В то же время интенсивность не
спадает до нуля в минимумах. Влияние ДГС также ясно видно на
рис. 4.13. В отсутствие ДГС формируется симметричный двухпико-
вый спектр, похожий на тот, что показан на рис. 4.2 для случая
Фмакс =	так как фмакс = 5 для параметров, использованных па
рис. 4.13. Действие ДГС приводит к асимметрии спектра, не изменяя
двухпиковую структуру. Эта ситуация резко отличается от той, что
показана на рис. 4.6 для случая нормальной дисперсии, в котором
Фазовая самомодуляция
95
Рис. 4.13. Форма импульса и спектр, формирующиеся—из гауссовского им-
пульса без частотной модуляции на длине z = 5L'D при N = 1, если его длина
волны была точно равна длине волне нулевой дисперсии, а значит, при Р2 = О
и Рз > 0.
ДГС препятствует расщеплению спектра.
Эволюция импульса принимает качественно иные черты для
больших величин N. В качестве примера на рис. 4.14 показаны форма
и спектр импульса при ^' = 0.1. сначала имевшего гауссовскую форму
без частотной модуляции, для случая N = 10. На импульсе формиру-
ется осциллирующая структура с глубокой модуляцией. Из-за быст-
рых изменений огибающей во времени третья производная в уравне-
нии (4.2.5) локально становится большой и возрастает роль ДГС при
распространении импульса в волокне. Самой примечательной осо-
бенностью спектра является то, что энергия концентрируется в двух
спектральных областях. Эта черта общая для всех значений N 1.
Так как одна из частей спектра лежит в области аномальной диспер-
сии, в этой области могут формироваться солитоны [34]. Энергия
в другой спектральной области, находящейся в области нормальной
дисперсии световода, рассеивается в процессе распространения. Осо-
бенности, связанные с солитонами, в дальнейшем будут обсуждены
в гл. 5. Важно отметить, что вследствие спектрального уширения
в действительности импульс не распространяется при нулевой дис-
персии, даже если сначала Р2 ~ 0. На самом деле импульс создает
свою собственную Р2 посредством ФСМ. Грубо говоря, эффектив-
ную величину Р2 можно определить как
1₽21 Рз|8®макс/2л|,	(4.2.7)
где 8<омакс максимальное смешение частоты, определяемое из урав-
нения (4.1.9). Параметр Р2 определяется положением доминирующих
крайних пиков в спектре, уширенном под действием ФСМ.
96
Глава 4
Т/То	(р-^о^То
Рис. 4.14. Форма импульса и его спектр, формирующиеся в точке z/L'D = 0,1
при условиях, идентичных случаю, показанному на рис 4.13, с тем отличием,
что N = 10.
4.3. ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОГИБАЮЩЕЙ
До сих пор обсуждение ФСМ было основано на упрощенном
уравнении (2.3.36), которое учитывало только эффекты низшего
порядка ФСМ и ДГС. В случае сверхкоротких импульсов (длитель-
ностью То < 100 фс) необходимо учитывать дисперсионные и нели-
нейные эффекты высшего порядка, используя уравнение (2.3.35).
Важным нелинейным эффектом высшего порядка является образова-
ние ударной волны огибающей, определяемое вторым членом в пра-
вой час гн этого уравнения. Этот эффект обусловлен зависимостью
групповой скорости от интенсивности [35 38]. Впервые его влияние
на ФСМ было рассмотрено в жидких нелинейных средах [2] и впо-
следствии расширено на случай распространения импульсов в воло-
конных световодах [39-42]. Образование ударной волны ведет к
асимметрии ФСМ-уширения спектра [1-5] и в этой связи привлекло
большое внимание. В этом разделе рассматривается влияние данного
эффекта на форму и спектр сверхкоротких импульсов, распространя-
ющихся в одномодовых световодах.
Если пренебречь в уравнении (2.3.35) последним членом, предпо-
ложив, что нелинейный отклик мгновенный, и воспользоваться урав-
нением (3.1.3) для нормированной амплитуды U, то можно получить
следующее уравнение:
,cU sgn(P2)<?2t7	. sgn(Рз) <?3 С/
1	5z 2Ld 8т2 + 6L'd ст3
e-az
^NL
| U|2 и + «|-(| t/|2 U)
ст
(4.3.1)
Фазовая самомодуляция
97
где Ld. L'd и Lnl-три характерные длины, которые были введены
в гл. 3; они определяются как
Л г' - Л г _ L
1Р2Г ° 1₽31’ NL УРО'
(4.3.2)
Образование ударной волны описывается последним членом уравне-
ния (4.3.1), параметр л определяется как
2 = Топт
То л?о
(4.3.3)
1Де Дпт период оптической волны 2л/соо. В видимой области спектра
Топт — 2 фс, поэтому s-малая величина, превышающая 0,01 только
при Го < 60 фс.
Прежде чем рассматривать численные решения уравнения (4.3.1),
поучительно рассмотреть сначала бездисперсионный случай, положив
Р2 = Р3 = 0. В этом частном случае уравнение (4.3.1) можно решить
аналитически [37, 40]. Для простоты мы пренебрежем потерями
в световоде (п = 0). Если определить нормированную длину как
Z = z/Lnl , уравнение (4.3.1) принимает вид
SU д
— + s--(\U\2U) = i\U\2U.	(4.3.4)
cZ ст
Подставив в уравнение (4.3.4) U = х,//ехр(/ф) и разделив действи-
тельную и мнимую части, получим
д!	д!
+ 3.?/	0,	(4 3.5)
oz	от
Так как уравнение для интенсивности (4.3.5) оказывается не связан-
ным с уравнением для фазы (4.3.6), его можно легко решить методом
характеристик. Общее решение имеет вид [37, 39]
I (Z, т) = f (т - 3sIZ),	(4.3.7)
где используется начальное условие
7(0,т)=/(т)	(4.3.8)
11	/ (т) описывает начальную форму импульса при z = 0. Из уравнения
(4.3.7) следует, что каждая точка т движется вдоль прямой линии от
начального значения и наклон этой линии зависит от интенсивности.
Это ведет к искажению формы импульса. Например, рассмотрим
случай гауссовского импульса
98
Глава 4
7(0,т) =/(т) = ехр(— т2).
'(4.3.9)
Из уравнений (4.3.7) и (4.3.9) находим, что форма импульса после
прохождения расстояния Z принимает вид
I (Z, т) = ехр [- (т - 3sIZ)2] .	(4.3.10)
Чтобы получить форму импульса для некоторой величины I (Z, т),
нужно выразить из этого неявного выражения т для каждого Z. На
рис. 4.15 показаны рассчитанные формы импульсов для случаев
sZ = 0,1 и 0,2 при 5 = 0,01. Распространяясь в световоде, импульс
становится несимметричным, его максимум смещается на задний
фронт. В результате задний фронт становится все круче и круче
с увеличением Z. С физической точки зрения групповая скорость
зависит от интенсивности таким образом, что пик импульса движется
с меньшей скоростью, чем его крылья.
Укручение заднего фронта импульса в конце концов приводит
к образованию оптической ударной волны аналогично тому, как
развивается акустическая ударная волна на переднем фронте звуковой
волны [37]. Критическую длину формирования ударной волны оги-
бающей можно определить из уравнения (4.3.10); устремляя в точке
образования ударной волны 57/йт к бесконечности, получаем [40]
z.
(4.3.11)
£	' 2	~ Q уд ^NL ~
_2j За 5 ~уР0Топт'
Рис. 4.15. Образование ударной волны огибающей гауссовского импульса
в бездисперсионном случае. Штриховой линией показана форма начального
импульса при z = 0. Сплошными линиями показана деформация его формы
при распространении.
Фазовая самомодуляция
99
0,2
Л
о
X
сП
50,1
.../к	° °’2 •: s = 0,01
о
-4	-2	0	2	4	6
(1Z-VC0 То
Рис. 4.16. Спектр гауссовского импульса на расстоянии z = 0,2Lnl/s, где
5 = 0.01 и Lnl нелинейная длина. Дисперсия нелинейности вызывает асим-
метрию спектра, уширенного ФСМ. Прснебрегается эффектом ДГС.
Подобное соотношение остается справедливым и для импульса в
форме гиперболического секанса с той лишь разницей, что численный
коэффициент 0.39 следует заменить на 0,43. Для пикосекундных
импульсов с То = 1 пс и Ро ~ 1 Вт длина zs ~ 100 км. Однако для
фемтосекундных импульсов То < 100 фс и Ро > 1 кВт zs обычно ста-
новится < 1 м. В результате значительное укручение волнового
фронта импульса может иметь место уже на длине в несколько
сантиметров. Оптическая ударная волна, соответствующая бесконеч-
но резкому заднему фронту, никогда не формируется на практике
из-за ДГС; чем круче становится волновой фронт импульса, тем
большее значение имеет дисперсионный член в уравнении (4.3.1), и его
нельзя игнорировать. Влияние ДГС на укручение волнового фронта
будет рассмотрено в этом разделе несколько ниже. На длину форми-
рования zs ударной волны также оказывают влияние и потери.
В бездисперсионном случае потери световода ц задерживают образо-
вание оптической ударной волны, а если azs> 1, то ударная волна
вообще не формируется [40].
Укручение волнового фронта также оказывает воздействие на
спектральное уширение, вызываемое ФСМ. В бездисперсионном слу-
чае фазу ф(с,т) можно получить аналитически, решая уравнение
(4.3.6). Спектр можно получить, взяв фурье-преобразование функции
б (с,т) или воспользовавшись соотношением
ос>
S(co) = | f [/(г,т)]1/2ехр[/ф(г,т) + г(со — ш0)т]</т|2 . (4.3.12)
— со
На рис. 4.16 показан спектр, вычисленный для случая sz/Lnl = 0,2
и а' = 0,01. Самая примечательная черта этого спектра его асим-
метрия: пиковая интенсивность больше для красных компонент
спектра, чем для синих. Другая особенность - это большее уширение
спектра в синей области (часто говорят «в антистоксовой области»,
используя терминологию, принятую для вынужденного комбина-
100
Глава 4
ционного рассеяния), чем в красной (стоксовой) области. Эти две
особенности спектра качественно объясняются изменениями формы
импульса вследствие укручения волнового фронта. Во-первых, спектр
асимметричен, так как асимметрична форма импульса. Во-вторых,
более крутой задний фронт импульса дает большее уширение спектра
в синей области, так как из-за ФСМ синие компоненты образуются на
заднем фронте (рис. 4.1). При отсутствии укручения волнового фрон-
та (л = 0) при параметрах, соответствующих рис. 4.16, фмажс =: 6,4л,
и формируется шестипиковый ФСМ-спектр. Из-за укручения волно-
вого фронта синяя часть спектра вытягивается. Амплитуда высоко-
частотных компонент спектра уменьшается, так как та же энергия
теперь распределяется в более широкой спектральной области.
На спектр, показанный на рис. 4.16, сильное влияние оказывает
ДГС, которую нельзя игнорировать, если в световоде распространя-
ются сверхкороткие импульсы. В этом случае эволюцию импульса
исследуют методом численного решения уравнения (4.3.1). На
рис. 4.17 показаны формы импульса и спектры при z!LD = 0,2 и 0,4
для случая импульса, распространяющегося в области нормальной
дисперсии (р2 > 0) и 03 = 0; на входе был гауссовский импульс без
частотной модуляции. Параметр N, определяемый уравнением (4.2.3),
принимается равным 10, что соответствует LD = 1ОО/.ЛТ. Чтобы легче
Рис. 4.17. Формы импульсов и их спектры при z/LD , равном 0,2 (верхний ряд)
и 0,4 (нижний ряд), в случае гауссовского импульса, распространяющегося
в области нормальной дисперсии световода. Остальные параметры а = 0,
Р3 = 0, s = 0,01, N = 10.
Фазовая самомодуляция
101
было сравнивать результат с бездисперсионным случаем, параметр
v принимается равным 0,01. Форма импульса и его спектр на верхней
части рис. 4.17 при sz!Lnl = 0,2 в бездисперсионном случае (р2 = 0)
соответствуют рис. 4.15 и 4.16. Из непосредственного сравнения
хорошо видно, что ДГС сильно влияет на форму импульса и спектр
даже при длине распространения меньше дисперсионной длины
(z'LD = 0,2). В нижней части рис. 4 17 показаны форма импульса
и спектр при z/Ld = 0,4; налицо качественные изменения, вызываемые
ДГС. Для этих величин z/LD длина распространения z превышает
критическую длину формирования ударной волны zs, определяемую
уравнением (4.3.11). Именно ДГС ослабляет ударную волну, уширяя
крутой задний фронт, что ясно видно из асимметрии формы импульса
на рис. 4.17. Хотя на спектре нет глубоких осцилляций (см. рис. 4.16
для бездисперсионного случая), удлиненный хвост в синей области
означает укручение волнового фронта. При увеличении длины рас-
пространения г импульс продолжает уширяться, а спектр почти не
изменяется.
Эффект образования ударной волны огибающей наблюдался экс-
периментально [2, 4] в жидкостях и твердых телах как большее
уширение спектра в синей области по сравнению с красной. В этих
ранних экспериментах ДГС играет относительно малую роль и
структура спектра похожа на ту, что показана на рис. 4.16. В случае
световодов эффект ДГС достаточно сильный, так что в эксперименте
Гис. 4.18. Экспериментально наблюдаемые спектры 40-фемтосекундных
входных импульсов на выходе из 7-миллиме грового световода Указаны
пиковые значения интенсивностей входных импульсов. Верхний спектр соот-
ветствует значению N ~ 7,7 для параметров эксперимента [47].
102
Глава 4
должен наблюдаться спектр, как на рис. 4.17. В экспериментах по
сжатию импульсов [47] 40-фемтосекундные оптические импульсы на
длине волны 620 нм проходили через световод длиной 7 мм. На
рис. 4.18 показаны экспериментальные спектры на выходе из светово-
да при разных величинах пиковых интенсивностей. Спектр асиммет-
рично уширяется, и хвост спектра в синей области длиннее, чем
в красной, что объясняется укручением волнового фронта. В экспери-
менте параметр s ~ 0,026 и дисперсионная длина была LD 1 см,
если считать То = 24 фс (соответствующее FWHM 40 фс) для гауссов-
ского импульса. Полагая эффективную площадь сердцевины равной
10 мкм2, найдем, что пиковая мощность, соответствующая верхней
кривой на рис. 4.18, равна 200 кВт. Поэтому нелинейная длина
= 0,16 мм и N ~ 7,7. Уравнение (4.3.1) можно использовать для
численного моделирования эксперимента, используя приведенные
выше параметры. Учет 03, вообще говоря, необходим [42], чтобы
воспроизвести детальную структуру наблюдавшихся в эксперименте
спектров на рис. 4.18.
Уравнение (4.3.1) предполагает мгновенность нелинейного откли-
ка и справедливо, только если время отклика TR много меньше
длительности импульса То. Влияние конечного времени отклика на
ФСМ было исследовано, в частности, для жидких нелинейных сред,
таких, как CS2, где TR = 8 10 пс, и может быть больше длительности
пикосекундных импульсов То [2, 5]. В случае волоконных световодов
TR ~ 5 фс из-за электронной природы нелинейности. Если длитель-
ности оптических импульсов То < 100 фс, необходимо учитывать
конечность времени нелинейного отклика. В самой простой модели
предполагается, что нелинейный отклик спадает экспоненциально,
и эволюция импульса изучается на основе уравнений (2.3.37) и (2.3.39)
[48]. Несколько другой подход использовать вместо уравнения
(4 3.39) уравнение (2.3.35) [49]. Связь и справедливость двух подходов
обсуждались в разд. 2.3. Влияние конечного времени отклика наибо-
лее примечательно в сь 13И с солитонами; оно приводит к распаду
солитонов [48, 49] и смещению частоты [50, 51]. Эти эффекты будут
рассмотрены в гл. 5.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Shimizu F„ Phys. Rev. Lett., 19, 1097 (1967).
2.	Gustafson TK et al., Phys. Rev., 177, 306 (1969).
3.	Cubeddu R. et al., Phys. Rev., A2, 1955 (1970).
4.	Alfano R. R„ Shapiro S.L... Phys. Rev. Lett., 24. 592 (1970); 24, 1217 (1970).
5.	Shen YR Loy M.M. T. Phys. Rev., A3, 2099 (1971)
6	Lin C.H., Gustafson TK IEEE J. Quantum Electron., QE-8, 429 (1972).
7	Ippen E.P. Shank С. V, Gustafson T.K., Appl. Phys. Lett., 24, 190 (1974).
8.	Fisher R. A., Bischel WK., J. Appl. Phys., 46, 4921 (1975).
9.	Stolen R.H., Lin C., Phys. Rev., A17, 1448 (1978).
Фазовая самомодуляция
103
10.	Pinault S.C., Potasek M.J., J. Opt. Soc. Am., B2, 1318 (1985).
11.	Hasegawa A., Tappert F„ Appl. Phys. Lett., 23, 142 (1973); 23, 171 (1973).
12.	Mollenauer L.F., Stolen R.H., Gordon J.P., Phys. Rev. Lett., 45, 1095 (1980).
13.	Nakatsuka H., Grischkowsky D„ Balant A.C.. Phys. Rev. Lett., 47, 910 (1981).
14.	Grischkowsky D.. Balant A.C., Appl. Phys. Lett., 41, 1 (1982).
15.	Tomlinson W.J.. Stolen R. H., Shank С. V, J. Opt. Soc. Am, 1, 139 (1984).
16.	Botineau J., Stolen R. H., J. Opt. Soc. Am., 72, 1592 (1982).
17.	Nelson В. P., Cotter D„ Blow K.J. Doran N.J., Opt. Commun, 48, 292 (1983).
18.	Anderson D.. Phys. Rev., A27, 3135 (1983).
19	Сисакян И. И.. Шнарцбург А. В. Квант, электрон., 1984, т. 11, с. 1703.
20.	Фаттахов А.М., Чиркин А. С-Квант, электрон., 1984, т. 11, с. 2349.
21.	Lassen НЕ. et al.. Opt. Lett., 10, 34 (1985).
22.	Tomlinson W.J., Stolen R.H., Johnson A.M., Opt., Lett., 10, 457 (1985).
23.	Potasek M.J.. Agrawal G. P . Pinault S.C.. J. Opt. Soc. Am., B3, 205 (1986).
24.	Pask C., Vatarescu A., J. Opt. Soc. Am., B3, 1018 (1986).
25.	Potasek M.J.. Agrawal G.P., Electron. Lett., 22, 759 (1986).
26.	Potasek M.J. Agrawal G.P.. Phys. Rev., A36, 3862 (1987).
27.	Johnson A.M.. Simpson W.M., J. Opt. Soc. Am., B2, 619 (1985).
28.	Hamaide J.-P., Emplit P.. Electron. Lett., 24, 818 (1988).
29.	Blow K.J.. Doran N.J., Cumins E., Opt. Commun., 48, 181 (1983).
30.	Вислоух В. Я. Квант. электрон., 1983, т. 10, с. 1688.
31.	Agrawal G.P., Potasek M.J.. Phys. Rev., A33, 1765 (1986).
32.	Wai P.K.A., Menyuk C. R., Lee Y.C., Chen H.H.. Opt. Lett., 11, 464 (1986).
33.	Bover G. R., Carlotti X. E, Opt. Commun., 60, 18 (1986).
34.	Wai P.K.A., Menyuk C.R., Chen H. H . Lee Y.C., Opt. Lett., 12, 628 (1987).
35.	Островский Л. А. ЖЭТФ, 1966, t. 51, c. 1189.
36.	Jonek R.J.. Landauer R.. Phys. Lett., A24, 228 (1967).
37.	DeMartini F., Townes C.H., Gustafson T.K., Kelley P.L., Phys. Rev., 164, 312
(1967).
38.	Grischkowsky D., Courtens E., Armstrong J. A., Phys. Rev. Lett., 31, 422 (1973).
39.	Tzoar N., Jain M.. Phys. Rev., A23, 1266 (1981).
40.	Anderson D., LisakM., Phys. Rev., A27, 1393 (1983).
41.	Головненко E.A. и др,- Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 42, с. 74; ДАН СССР,
1986, т. 288, с. 851.
42.	Bourkoff Е., Zhao W., Joseph R. L.. Christodoulides D. N.. Opt. Lett., 12, 272
(1987).
43.	Fork R.L. et al.. Opt. Lett., 8, 1 (1983).
44.	Yang G.. Shen Y. R„ Opt. Lett., 9, 510 (1984).
45.	Manassah J.T.. Mustafa M.A.. Alfano R. R.. Но P.P., Phys. Lett., A113, 242
(1985); IEEE J. Quantum Electron., QE-22, 197 (1986).
46.	Mestdagh D., Haelterman M., Opt. Commun., 61, 291 (1987).
47	Knox W.H.. et al.. Appl. Phys. Lett., 46, 1120 (1985).
48.	Грудинин А.Б. и Op. Письма в ЖЭТФ, 1987, т. 45. с. 211.
49.	Hodel W.. Weber Н.Р., Opt. Lett., 12, 924 (1987).
50.	Mitschke F.M., Mollenauer L.F., Opt. Lett., 11, 659 (1986).
51.	Gordon J.P., Opt. Lett., 11, 662 (1986).
Глава 5
ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ
Нелинейные свойства оптических световодов самым ярким обра-
зом проявляются в области аномальной (отрицательной) дисперсии.
Здесь могут существовать так называемые солитоны образования,
обусловленные совместным действием дисперсионных и нелинейных
эффектов. Сам термин «солитон» относится к специальному типу
волновых пакетов, которые могут распространяться на значительные
расстояния без искажения своей формы и сохраняются при столкно-
вениях друг с другом. Солитоны изучаются также во многих других
разделах физики [1-5]. Солитонный режим распространения в воло-
конных световодах интересен не только как фундаментальное явле-
ние, возможно практическое применение солитонов в волоконно-оп-
тических линиях связи. В данной главе изучается распространение
импульсов в области отрицательной дисперсии групповых скоростей,
особое внимание уделяется солитонному режиму распространения.
В разд. 5.1 рассматривается явление модуляционной неустойчивости.
Показано, что при наличии нелинейной фазовой самомодуляции
(ФСМ) стационарная гармоническая волна неустойчива относительно
малых возмущений амплитуды и фазы. В разд. 5.2 обсуждается метод
обратной задачи рассеяния (ОЗР), который может быть использован
для нахождения солитонных решений уравнения распространения.
Здесь же рассматриваются свойства так называемого фундаменталь-
ного солитона и солитонов высших порядков. Следующие две главы
посвящены применению солитонов в некоторых системах. В разд. 5.3
рассматривается солитонный лазер; разд. 5.4 посвящен использова-
нию солитонов в волоконно-оптических линиях связи. Нелинейные
эффекты высших порядков, такие, как дисперсия нелинейности и
задержка по времени нелинейного отклика, рассматриваются в
разд. 5.5.
5.1. Модуляционная неустойчивость
Во многих нелинейных системах стационарное волновое состояние
оказывается неустойчивым: совместное действие нелинейных и дис-
персионных эффектов приводит к его модуляции [6-31]. Такое
явление, называемое модуляционной неустойчивостью, исследова-
Оптические солитоны
105
лось в самых разных областях физики: гидродинамике [7, 8], нели-
нейной оптике [9 11], физике плазмы [12 15]. Что касается волокон-
ной оптики, то для наблюдения модуляционной неустойчивости
требуется отрицательная дисперсия; сам эффект проявляется как
распад непрерывной или квазинепрерывной периодической волны на
последовательность сверхкоротких импульсов [16-23]. Отрицатель-
ная дисперсия необходима и для существования оптических солито-
нов. В действительности оба этих явления тесно связаны, что было
от мечено уже в ранних работах [6 11]. В данном разделе явление
модуляционной неустойчивости рассматривается как введение в тео-
рию солитонов.
Вначале рассмотрим упрощенное уравнение распространения
(2.3.36). Если пренебречь потерями, уравнение приобретает вид
дА 1 д2А
2А	С"')
и в литературе, посвященной солитонному режиму распространения,
называется нелинейным уравнением Шредингера [1-5]. Как уже
обсуждалось в разд. 2.3, A (z, Т)-амплитуда огибающей волнового
пакета, Р2-величина дисперсии групповых скоростей, у параметр
нелинейности при ФСМ. В случае непрерывного излучения амплитуда
А в начале световода (z = 0) не зависит от Т. Предполагая, что
функция A(z,T) продолжает оставаться независимой от времени
Т при распространении по световоду, мы можем получить ста-
ционарное решение уравнения (5.1.1)
Л = ч^ехрОф^),	(5.1.2)
где Ро мощность излучения при z = 0 и фЛ7 фазовый сдвиг, опреде-
ляемый выражением
<i>NL=yPoz-	(5.1.3)
Выражение (5.1.2) показывает, что непрерывное излучение должно
распространяться по световоду без изменения, за исключением до-
полнительного фазового сдвига, зависящего от интенсивности. (При
наличии потерь в световоде мощность излучения, естественно,
уменьшается.)
Выясним вопрос об устойчивости стационарного решения (5.1.2).
Для этого рассмотрим малое возмущение стационарного решения
А =	ехР ОФм)	(5.1.4)
и исследуем динамику малого возмущения a(z, Т). Подставляя (5.1.4)
в (5.1.1) и линеаризуя по а. получаем
да 1	д2а
,Т = 5^2йт2~уР°(-а + а*'>-	(515)
cz 2	с Г
106
Глава 5
Представим общее решение в виде
a(z, Т) = cos(Kz — QT) + M2sin(Kz — QT),	(5.1.6)
где К и Q волновое число и частота возмущения Уравнение (5.1.5)
переходит в систему двух однородных уравнений для и а2- Эта
система имеет нетривиальное решение только в том случае, если
К и Q удовлетворяют дисперсионному соотношению
±||02|£l[£l2 + sgn(02)£l2]1'2,	(5.1.7)
где
Нелинейная длина Lnl определена в уравнении (3.1.5). Из диспер-
сионного соотношения (5.1.7) видно, что устойчивость стационарного
состояния существенно зависит от того, в области положительной
(нормальной) или отрицательной дисперсии световода распространя-
ется излучение. В случае положительной дисперсии групповых ско-
ростей (02 > 0) волновое число К действительно при всех значениях
£2 и стационарное состояние устойчиво относительно малых возму-
щений. С другой стороны, в случае отрицательной дисперсии группо-
вых скоростей (02 < 0) К становится мнимым при й <Йси возмуще-
ние «(z, Т) экспоненциально нарастает по с. В результате непрерывное
решение (5.1.2) является неустойчивым в случае 02 < 0. Данный вид
неустойчивости называется модуляционной неустойчивостью, так как
при этом возникает спонтанная модуляция стационарного состояния.
Похожие виды неустойчивости встречаются во многих других нели-
нейных системах. Их часто называют неустойчивостями, вызванными
самовоздействием [32, 33].
Рассмотрим частотную зависимость коэффициента усиления для
модуляционной неустойчивости. Значение коэффициента усиления (по
мощности) на частоте £2 можно получить из (5.1.7), используя условие
sgn(02)= — 1. Соответствующее выражение для коэффициента уси-
ления
<Д£2) = 21ш(К) = 1021£2(£22 — £22)1/2 ,	(5.1.9)
где </(£2) значение коэффициента усиления (на частоте со0 + £2) для
возмущения, сдвинутого на частоту £2 относительно частоты пада-
ющего излучения соо. Усиление отлично от нуля для случая |£2| £2С.
На рис. 5.1 изображены кривые усиления при трех различных
уровнях мощности. Величины 02 = — 20 пс2/км и у = 2 Bi1 км”1
соответствуют обычным световодам кварцевого стекла на длине
волны 1,55 мкм. Кривая усиления симметрична относительно £1 = 0,
так что усиление исчезает при £1 = 0. Максимум усиления дост игается
Оптические солитоны
107
Рис. 5.1. Кривые усиления модуляционной неустойчивости при трех уровнях
мощности излучения. Параметры световода: Р2 = — 20 пс2/км и у = 2 Вт-1 -км'.
при двух значениях частот
и имеет величину
.(/макс = 0(^ма«) = | I ₽2 I = 2уР0
(5.1.10)
(5.1.11)
где было использовано выражение (5.1.8). Пиковое значение коэффи-
циента усиления не зависит от дисперсии р2 и возрастает линейно
с мощностью падающего излучения.
При выводе уравнения (5.1.9) мы пренебрегли влиянием потерь
в световоде а на модуляционную неустойчивость. Действие потерь
в основном заключается в том, что коэффициент усиления модуля-
ционной неустойчивости уменьшается по длине световода из-за
уменьшения мощности излучения [19]. В уравнении (5.1.9) Q, следует
заменить на Qt.exp(— az/2). Модуляционная неустойчивость развива-
ется до тех пор, пока остается aLNL <1. т. е. нелинейная длина
меньше, чем длина затухания а ~ 1. Можно исследовать также влияние
образования ударной волны огибающей [24], если вместо уравнения
(3 1.1)
использовать (2.3.35). Основное действие этого эффекта на
модуляционную неустойчивость заключается в том, что скорость
Развития неустойчивости уменьшается, а спектральный интервал ее
существования сужается по сравнению с величинами, изображенными
108
Глава 5
на рис. 5.1. В работах [28, 30] рассматривались эффекты, обусловлен-
ные учетом дисперсионных членов высших порядков и нелинейных
членов. Уравнение (5 1.9) позволяет оценить коэффициент усиления
для модуляционной неустойчивости лишь в первом приближении,
чего, однако, достаточно для большинства практически значимых
случаев.
Как будет показано в разд. 10.3.2, модуляционная неустойчивость
может трактоваться как четырехволновое смешение с синхронизмом
за счет ФСМ. Если сигнал с частотой со, = со0 + Q распространяется
совместно с непрерывным излучением накачки с частотой со0, то
сигнал должен усиливаться (коэффициет усиления определяется из
уравнения (5.1.9)), если |fi|<fic. С физической точки зрения два
фотона интенсивного излучения накачки с частотой го0 преобразуют-
ся в два различных фотона: один на частоте сигнала <Dj, а другой на
холостой частоте 2со0 — tOj. Случай, когда сигнал вводится одновре-
менно с излучением накачки, иногда называют индуцированной
модуляционной неустойчивостью [18, 23] в отличие от случаев одной
волны излучения.
Даже когда в световоде распространяется лишь одно излучение
накачки, модуляционная неустойчивость может привести к спонтан-
ному распаду стационарной гармонической волны на периодическую
последовательность импульсов. Спонтанно испущенные или тепло-
вые фотоны действуют в этой ситуации в качестве сигнального
излучения, усиливающегося за счет модуляционной неустойчивости.
Поскольку наибольшее значение коэффициента усиления наблюдает-
ся для частот со0 + Ома1[с (где Пмакс определяется выражением (5.1.10)),
эти частотные компоненты усиливаются больше всего. Поэтому
прямым доказательством спонтанной модуляционной неустойчивос-
ти может служить наличие двух дополнительных спектральных ком-
понент, расположенных симметрично по обе стороны от центральной
частоты ю0 со спектральной отстройкой + Во временном
представлении стационарная гармоническая волна преобразуется в
периодическую последовательность импульсов с периодом Тт =
ГДе У макс ^макс 2Л.
Модуляционная неустойчивость в области отрицательной диспер-
сии волоконных световодов наблюдалась в эксперименте [22]. когда
100-пикосекундные (FWHM) импульсы Nd: YAG-лазера (длины вол-
ны генерации 1,319 мкм) проходили через световод длиной 1 км
с дисперсией р2 — 3 пс2/км. На рис. 5.2 изображены автокорреля-
ционная функция (АКФ) и спектр излучения на выходе из световода
при пиковой мощности излучения Ро = 7,1 Вт. Расположение боковых
спектральных компонент находится в согласии с предсказанным
уравнением (5.1.10). Расстояние между максимумами в АКФ обратно
пропорционально fMal:c в соответствии с теорией. Боковые спектраль-
ные компоненты второго порядка, которые видны на рис. 5.2, также
>
Оптические солитоны
109
Временная задержка
Длина волны (нм)
Рис. 5.2. Автокорреляционная функция АКФ и спектр излучения на выходе из
световода длиной 1 км (длительность начальных импульсов 100 пс, пиковая
мощность излучения 7,1 Вт). Модуляция в АКФ и наличие боковых спект-
ральных компонент обусловлены модуляционной неустойчивостью [22].
описываются теорией [16]. В данном эксперименте для того, чтобы
избежать ВРМБ, используются 100-пикосекундные импульсы, а не
непрерывное излучение. Тем не менее, поскольку период модуля-
ционной неустойчивости ~ 1 пс, относительно широкие 100-пико-
секундные импульсы обеспечивают условие квазинепрерывности для
наблюдения этого явления.
В аналогичных экспериментах [23] модуляционная неустойчи-
вость индуцировалась введением сигнала наряду с импульсами
YAG-лазера. Сигналом служило излучение InGaAsP-лазера. работа-
ющего в режиме одной продольной моды. Данный лазер мог пере-
страиваться в диапазоне нескольких нанометров вблизи длины волны
генерации YAG-лазера. Мощность сигнала 0,5 мВт была много
меньше пиковой мощности излучения импульсов YAG-лазера Ро =
= 3 Вт. Тем не менее наличие сигнала приводило к распаду импуль-
сов YAG-лазера на периодическую последовательность импульсов,
период которой составлял величину, обратную разности частот
сигнала и излучения накачки. Более того, данный период можно было
регулировать перестройкой длины волны InGaAsP-лазера. На
рис. 5.3 изображены АКФ для двух различных длин волн сигнала.
Поскольку длительность наблюдаемых импульсов менее 1 пс, данный
метод позволяет генерировать субпикосекундные импульсы, частотой
следования которых можно управлять, перестраивая длину волны
сигнала.
Когда длительность импульсов излучения накачки менее 100 пс,
возможно возникновение модуляционной неустойчивости при дейст-
вии других механизмов, при этом отпадает необходимость в спон-
танной эмиссии или в сигнальном излучении. Одним из таких меха-
низмов является ФСМ. Если уширение спектра за счет ФСМ прибли-
жается к Пмакс, то спектральные компоненты в окрестности Омакс на-
чинают действовать в качестве сигнального излучения, усиливаясь за
счет модуляционной неустойчивости. Можно оценить длину светово-
да, на которой ширина спектра приближается к Омакс, используя
по
Глава 5
1,8 пс —|
ллЛллл
ШШ.
Рис. 5.3. АКФ, демонстрирующие индуцированную модуляционную не-
устойчивость при двух различных длинах волн сигнального излучения. Период
модуляций можно регулировать перестройкой полупроводникового лазера,
работающего в качестве источника сигнала [23].
8юмакс из уравнения (4.1.9) и приравнивая Ямакс — 8сомакс. В случае
импульса гауссовской формы это условие удовлетворяется, когда
(2Т« \,/2
’ (5,12)
где Ld дисперсионная длина, введенная в разд. 3.1. Численное
решение уравнения (5.1.1) подт верждает, что модуляционная неустой-
чивость оптических импульсов, вызванная ФСМ, существует [29].
В частности, на входном импульсе развивается глубокая модуляция
с частотой ЯмакС/2л, и в спектре излучения появляются боковые
компоненты с той же частотой отстройки. Чтобы подтвердить, что
модуляционная неустойчивость может возникать подобным образом,
были также проведены эксперименты [29].
Анализ устойчивости стационарного решения уравнения (5.1.1)
в линейном приближении показывает, что малые возмущения перво-
начально будут нарастать по экспоненциальному закону, определя-
емому уравнением (5.1.9). Ясно, что экспоненциальный рост не может
продолжаться до бесконечности, поскольку спектральные компонен-
ты на частотах со0 + Я растут за счет излучения накачки на частоте
со0; истощение накачки в конце концов замедляет скорость роста [26].
Динамика модулированного состояния определяется уравнением
(5.1.1). Численное решение этого уравнения для начального условия
в виде синусоидальной модуляции, наложенной на стационарное
состояние, показывает [18], что синусоидальная модуляция преобра-
зуется в последовательность узких импульсов, разделенных периодом
начальной модуляции. Расстояние, необходимое для образования
Оптические солитоны
111
такой последовательности, зависит от начальной глубины модуляции
и обычно составляет величину ~ 1 5LU. При дальнейшем распрост-
ранении пиковая структура деформируется и в конце концов воз-
вращается к первоначальному состоянию. Аналитическое решение
уравнения (5.1.1) показывает, что данное поведение является общим
для произвольной периодической модуляции стационарного состоя-
ния [21]. При соответствующем выборе длины световода можно
использовать явление индуцированной модуляционной неустойчи-
вости для генерации последовательности коротких оптических им-
пульсов, частотой повторения которых можно управлять. Также
было предложено использовать данное явление для полностью воло-
конного оптического переключателя [31]. Однако данное явление
имеет и свою отрицательную сторону. Модуляционная неустойчи-
вость может оказаться ограничивающим фактором для когерентных
систем связи [19, 20, 25], поскольку она приводии к нежелательной
амплитудной модуляции сигнала.
Существование модуляционной неустойчивости в области отрица-
тельной дисперсии трупповых скоростей указывает на то, что харак-
тер решения уравнения (5.1.1) существенно отличается в случае
Р2 < 0. Оказывается, что это уравнение имеет особые решения,
которые либо не меняются по z, либо являются периодичными
[34-36]. Что же касается волоконных световодов, то данные решения
известны как оптические солитоны, которые возникают благодаря
совместному действию дисперсионных и нелинейных эффектов. Сле-
дующий раздел посвящен свойствам оптических солитонов.
5.2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СОЛИТОНЫ И СОЛИТОНЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) (5.1.1) принадлежит
к специальному классу уравнений, которые можно точно решить,
используя метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Этот метод был
открыт Гарднером и др. [37]. Захаров и Шабат [34] использовали его
Для решения НУШ; данный метод стал важным инструментом
в математической физике [1 5]. Метод ОЗР по духу похож на метод
преобразования Фурье, который обычно используют для решения
нелинейных уравнений в частных производных. Этот подход состоит
в определении подходящей задачи рассеяния, потенциал которой
и есть искомое решение. Значение поля входного излучения (z = 0)
используется для получения начальных данных рассеяния, динамика
которых вдоль оси z легко находится из решения линейной задачи
рассеяния. Поскольку метод ОЗР в деталях изложен во многих книгах
[1 5], мы лишь кратко опишем, как он используется для решения
Уравнения (5.1.1).
112
Глава 5
Используя в уравнении (5.1.1) замены
и = ^^ = Г
JK LD
(5.2.1)
мы получаем
dU	1 д2 U
i— = sgn(P2) -— IV211712 (7 ,	(5.2.2)
ct	2 ст
где Ро значение пиковой мошности, То длительность начального
импульса, параметр N определяется как
N2=L^ = Y£oTg
Lnl ip2|
Дисперсионная длина LD и нелинейная длина Lnl были определены
формулами (3.1.5). Уравнение (5.2.2) идентично уравнению (4.2.1)
с той лишь разницей, что здесь мы пренебрегли потерями в световоде
(а = 0). В области отрицательной дисперсии групповых скоростей
sgn(P2)= — 1. Параметр N можно исключить из уравнения (5.2.2)
заменой
/ уТ о \1/2
и =NU = (ini) А ’	(5-24)
V IР2I >
В этом случае уравнение (5.2.2) принимает стандартную форму
нелинейного уравнения Шредингера:
1 <?2и	,
+ э + w = 0-	(5.2.5)
се, 2 ст
Для уравнения (5.2.5) справедливо следующее соотношение подобия.
Если п(^, т)- решение этого уравнения, то еп(е2^, ст) также является
решением; е произвольный нормировочный множитель.
В методе ОЗР прямая задача рассеяния, связанная с уравнением
(5.2.5), сводится к системе [34]
eV.
— +	= uv2,	(5.2.6)
ст
cv,
~-^v2=-w*v1,	(5.2.7)
где v, и v2-амплитуды волн, рассеянных на потенциале п(^, т),
^-собственное значение. Уравнения (5.2.6) и (5.2.7) используются,
чтобы для данного начального условия w(0, т) получить начальные
данные рассеяния. Прямая задача рассеяния характеризуется коэффи-
циентом отражения r(Q, который играет роль, аналогичную коэффи-
Оптические солитоны
113
циенту Фурье в фурье-анализе. Он также характеризуется наличием
связанных состояний, которые соответствуют полюсам г (Q на комп-
лексной ^-плоскости. Таким образом, начальные данные рассеяния
состоят из коэффициента отражения. r(Q комплексных полюсов
и их вычетов Cj, где / = 1, ..., N, если существует N таких полюсов.
Хотя параметр N в (5.2.3) не обязательно является целым числом,
такое же обозначение используется для числа полюсов для того,
чтобы подчеркнуть, что целые величины определяют количество
полюсов. Динамику данных рассеяния по длине световода получают
из (5.2.6) и (5.2.7), используя хорошо известные методы [3, 34].
Потенциал п(Е„ т) восстанавливается из данных рассеяния при
использовании метода ОЗР. В общем случае для этого требуется
решить сложное линейное интегральное уравнение. Однако в частном
случае, когда для начального потенциала п(0, т) r(Q обращается
в нуль, и(1;, т) может быть определено при решении системы алгеб-
раических уравнений. Данный случай и соответствует солитонам.
Порядок солитона характеризуется числом полюсов N или собствен-
ных значений (/ = 1.....N).	Общее решение имеет вид [34]
N
и(^п = - 2 Y Ч V*;,	(5.2.8)
7=1
где
Ч = ^ехР('^т +	(5-2.9)
и у/?; получаются из решения следующей системы линейных уравне-
ний:
n )
V17-+ Z и tr*V*t = 0’
к - 1	^зк
N 1*4
V!,- Z	=
к - 1 Sj Sk
(5.2.10)
(5.2.11)
В общем случае собственные значения комплексны (£ - = - + гт) -).
Действительная часть Е,у определяет изменение скорости солитона по
сравнению с групповой скоростью v0. Для того чтобы А'-солитонное
состояние оставалось связанным, необходимо, чтобы все компоненты
распространялись с одинаковыми скоростями. Математически это
означает, что все полюса должны лежать на прямой, параллельной
мнимой оси. Не нарушая общности, можно предположить, что они
лежат на мнимой оси, так что Е,у = 0. Подставляя = /Ду в уравнение
(5.2.9), для Х7 получаем
ехР (~ П;т -	£) 	(5.2.12)
Из (5.2.8) (5.2.12) видно, что солитон N-ro порядка определяется Цу
и Су(/ = 1, ..., N), где с-у в общем случае комплексны. Тем не менее 3N
114
Глава 5
действительных постоянных не являются независимыми. В частности,
если предполагается, что солитон симметричен относительно т = О,
то вычеты связаны с собственными значениями соотношениями [38]
л
П (Г); + Пи)
=	.	(5.2.13)
п Inj-nJ
Фундаментальный солитон соответствует случаю единственного
собственного значения ц, (Д' = 1). Как это следует из (5.2.8) (5.2.12),
фундаментальный солитон имеет вид
м(£,т) = 2ц j sech (2ц, т)ехр(2(т|^).	(5.2.14)
Собственное значение ц, определяет амплитуду солитона. Канони-
ческий вид фундаментального солитона получается при выборе
w(0,0) = 1, так что 2'п, = 1. Уравнение (5.2.14) соответственно приоб-
ретает вид
w (£, т) = sech (т) ехр (/£/2).	(5.2.15)
Для волоконных световодов решение (5.2.15) означает, что импульс
в форме гиперболического секанса с длительностью То и пиковой
мощностью Ро выбраны такими, что в уравнении (5.2.3) N = 1 будет
распространяться в идеальном световоде (без потерь) без искажения
своей формы на произвольно большие расстояния. Именно это
свойство фундаментальных солитонов делает их привлекательными
для передачи информации в системах оптической связи [35]. Значение
пиковой мощности фундаментального солитона Pt определяется из
формулы (5.2.3) при подстановке N = 1:
1Р< 3,11|р2|
У I О У Т FWHM
(5.2.16)
где Ti wum ~ 1,76Т0 определяется из (3.2.22); TFWhm~длительность
импульса на полувысоте по интенсивности, величина, обычно исполь-
зуемая на практике. Для значений параметров р2 и у, типичных для
световодов из кварцевого стекла на длине волны 1,55 мкм, пиковая
мощность Pt ~ 5 Вт при То = 1 пс, а при То = 10 пс она уменьшается
до 50 мВт. При использовании световодов со смещенной дисперсией
с р2 ~ — 2 пс2/км значение Рг уменьшается в 10 раз.
Солитоны высших порядков также описываются общим решением
(5.2.8). Различные комбинации собственных значений т^ и вычетов
дают бесконечное множество форм солитонов. Среди них особую
роль играют солитоны, имеющие начальную форму при £,=.-()
и (0, т) = N sech (т),	(5.2.17)
Оптические солитоны
Н5
где порядок солитона N- целое число. Значение пиковой мощности,
необходимой для создания солитона N-ro порядка, определяется из
уравнения (5.2 3) и оказывается в N2 раз больше мощности, необхо-
димой для возбуждения фундаментального солитона. Для солитона
второго порядка (N = 2) распределение поля получается из уравнений
(5.2.8)-(5.2.13) при выборе = 1/2 и т)2 = 3/2. Соответствующее
выражение для амплитуды поля [36]:
м(р т) = 4 lcosh (Зт) + 3ехР (4^)cosh <т>] ехР№/2)	zs 7 18)
[cosh (4т) + 4cosh (2т) + 3cos (4^)]
Интересным свойством этого решения является то, что |м(^, т)|2
периодична с периодом = тг/2. Такую же периодичность имеют все
солитоны высших порядков [34]. Используя определение S, = z/LD из
(5.2.1), можно записать период солитона как
я. п То „---^TfwHM
= - Ln —--= 0,322--------,
° 2 D 2|р2|	2|р2|
(5.2.19)
где TFWHM ~ 1,76 То. Периодичность динамики солитонов высших
порядков проиллюстрирована рис. 5.4 для частного случая N = 3.
Здесь показано изменение формы импульса на одном периоде соли-
тона. При распространении импульса по световоду его длительность
Рис. 5.4. Динамика формы трехсолитонного импульса на одном периоде
солитона. Обратите внимание на расщепление импульса вблизи z0 = 0,5 и
последующее восстановление.
116
Глава 5
Рис. 5.5. Динамика спектра трехсолитонного импульса на одном периоде
солитона.
первоначально уменьшается, затем на расстоянии z0/2 он расщепля-
ется на два, далее обе компоненты сливаются, формируя при z = z0
первоначальный импульс. Эта картина повторяется на каждом пе-
риоде солитона. Эффект сокращения длительности импульса на
начальном этапе его распространения может быть использован для
сжатия импульсов (см. гл. 6).
Для того чтобы понять физический смысл наблюдаемого явления,
полезно взглянуть на динамику спектра, изображенного на рис. 5.5
для случая N = 3. Изменения в форме импульса и его спектре
возникают при совместном действии фазовой самомодуляции (ФСМ)
и дисперсии групповых скоростей. При ФСМ получается положи-
тельная частотная модуляция, так что передний фронт смещается
в стоксову (относительно несущей частоты) область, а задний фронт
в антистоксову область. Уширение спектра за счет ФСМ ясно видно
на рис. 5.5 при z/z0 = 0,2; хорошо заметна типичная для ФСМ
модуляция. При отсутствии дисперсии 1рупповых скоростей форма
импульса оставалась бы неизменной (см. разд. 4.1). Отрицательная
дисперсия, однако, сжимает импульс, так как он имеет положитель-
ную частотную модуляцию (см. разд. 3.2). Сокращает свою длитель-
ность только центральная область импульса, поскольку только там
сдвиг частоты практически линеен. Из-за того что интенсивность
импульса в центральной его области существенно увеличивается,
спекзр его также значительно изменяется (см. рис. 5.5 для z/z0 = 0,3).
Именно совместным действием дисперсионных и нелинейных эффек-
тов объясняется характер динамики импульса, изображенной на
рис. 5.4. В случае фундаментального солитона (N = 1) дисперсия
и ФСМ компенсируют друг друга таким образом, что ни форма
импульса, ни его спектр не изменяются при распространении по
Оптические солитоны
117
световоду. В случае солитонов высших порядков на начальном этапе
доминируют эффекты, связанные с ФСМ, но вскоре дисперсионные
эффекты «наверстывают упушенное», что приводит к сжатию им-
пульса (см. рис. 5.4). Теория солитонов показывает, что для импуль-
сов с формой в виде гиперболического секанса, имеющих пиковую
мощность, определяемую формулой (5.2.3), совместное действие этих
эффектов приводит к тому, что динамика импульса оказывается
периодичной; первоначальная форма восстанавливается на расстоя-
ниях, кратных периоду солитона z0, определенному согласно (5.2.19).
Для обычных световодов на основе плавленого кварца Р2 =
= — 20 пс2/км на длине волны 1,55 мкм. Период солитона составляет
величину порядка 80 м для То = 1 пс И изменяется как То, становясь
равным 8 км при То = 10 пс. Для световодов со смещенной диспер-
сией Р2 ~ — 2 пс2/км, и z0 возрастает на порядок при тех же значе-
ниях То.
Возникает естественный вопрос: что случится, если начальная
форма импульса или значение пиковой мощности отличаются от тех,
которые требуются по соотношению (5.2.17). Вначале рассмотрим
случай, когда значение пиковой мощности не точно соответствует
мощности солитона и величина N, полученная из (5.2.3), не является
целым числом. Сапума и Яджима [36] использовали теорию возму-
щений для решения уравнений (5.2.6) и (5.2.7). Оказывается, что
импульс в процессе распространения по световоду «подстраивает»
свою длительность, становясь солитоном. При этом часть его энер-
гии рассеивается. Импульс асимптотически преобразуется в солитон,
порядок которого есть целое число N, ближайшее к начальному
значению N. Если записать
N = N + e, |е|<1/2,	(5.2.20)
то солитонная часть соответствует форме начального импульса
ц(0,т) = (N + 2e)sech[(l + 2e/N)t] .	(5.2.21)
Длительность импульса в уравнении (5.2.21)
N
То=^-еТо.	(5-2.22)
Для фундаментального солитона (N = 1) длительность возрастает,
если е < 0; в случае N < 1/2 солитон вообще не образуется. С другой
стороны, если е > 0, то импульс сужается.
Влияние начальной формы импульса на формирование солитона
может быть исследовано при численном решении уравнения (5.2.5).
На рис. 4.7 из гл. 4 изображена динамика гауссовского импульса,
имеющего начальное распределение поля в виде
ы (0,т) = ехр(— т2/2).	(5.2.23)
118
Глава 5
Хотя N = 1, форма импульса изменяется при его распространении,
поскольку вначале она отличается от гиперболического секанса фун-
даментального солитона. Интересной особенностью рис. 4.7 является
то, что гауссовский импульс здесь асимптотически стремится к фун-
даментальному солитону. Эволюция фактически заканчивается при
z/Ld = 5, что соответствует примерно трем периодам солитона.
Похожая картина имеет место и для импульсов с другими начальны-
ми формами, например с супергауссовской. Длительность солитона
в конечном состоянии и расстояние, необходимое для эволюции
импульса в солитон, зависит от начальной формы, но качественно
поведение остается одним и тем же. Ясно, что солитон может быть
сформирован в том случае, если пиковая мощность начального
импульса превышает пороговую величину.
Хасэгава и Тапперт первыми указали на возможност ь солитонно-
го режима распространения в волоконных световодах [35]. Впервые
в экспериментах солитоны наблюдались Молленауэром и др. [39].
В этом эксперименте использовался лазер на центрах окраски, рабо-
тающий в режиме синхронизации мод (длительность импульсов
Tfwhm — 7 пс); длина волны генерации 1,55 мкм, что находится в об-
ласти минимальных потерь световода. Импульсы распространялись
по одномодовому световоду длиной 700 м, диаметр сердцевины
световода 9,3 мкм. Параметры световода, использованного в экспе-
рименте: р2 ~ — 20,4 пс2/км, у ~ 1,3 Вт'1 км-1. Подставляя То =
= 4 пс в выражение (5.2.16), получаем значение пиковой мощности
фундаментального солитона порядка 1 Вт. В эксперименте значение
пиковой мощности изменялось в пределах 0,3 25 Вт, форма импуль-
сов и спектр измерялись на выходе световода. Поскольку прямое
измерение формы пикосекундных импульсов затруднительно, обычно
пользуются измерением автокорреляционной функции (АКФ). На
-1ОО Юпс -юоюпс
Ро-О,ЗВт Р0-1,2Вт
-10 0 Юпс -10 О Юпс -100Юпс
Ро-5,ОВт Р0»11,4Вт	Р0-22,ЭВт
Рис. 5.6. Автокорреляционные функции (нижний ряд) и соответствующие
спектры (верхний ряд) на выходе световода при различных значениях пиковой
мощности Ро на входе. Спектр и АКФ начального импульса показаны
в прямоугольной рамке. Масштаб интенсивностей произвольный, так как все
кривые были приведены к одной и той же высоте [39].
Оптические солитоны
119
рис. 5.6 изображены автокорреляционные функции и спектры им-
пульсов при разных уровнях входной мощности. Для сравнения там
же показаны АКФ и спектр лазерных импульсов (без световода).
Ширина спектра начальных импульсов 25 ГГц соответствует практи-
чески спектрально-ограниченным импульсам без частотной мод\ тя-
ции.
При малых уровнях вводимой мощности (0.3 Вт) импульсы при
распространении испытывают дисперсионное уширение, что находит-
ся в согласии с результатами разд. 3.2. При возрастании вводимой
мощности импульсы на выходе сужались; конечная длительность
совпадала с начальной при значении вводимой мощности в Ро —
= 1.2 Вт. Этот уровень мощности соответствует формированию фун-
даментального солитона; теоретически рассчитано значение 1 Вт.
Налицо достаточно хорошее согласие, если учесть наличие ряда не
очень хорошо известных отклонений от идеального случая. В част-
ности, форма импульса на входе в световод не является точным
гиперболическим секансом.
При более высоких уровнях вводимой мощности в форме импуль-
са на выходе световода обнаруживается многопичковая структура.
Например, при 11,4 Вт АКФ представляет собой трехпичковую
структуру, которая соответствует расщеплению самого импульса на
два, что аналогично поведению трехсолитонного импульса вблизи
точки z/z0 = 0.5 (см. рис. 5.4). Наблюдаемый спектр также имеет
характерные особенности (рис. 5.5) вблизи z/z0 = 0.5. Период солитона
для экспериментальных параметров составляет 1,26 км. Таким обра-
зом, для использованного в эксперименте 700-метрового отрезка
световода z/z0 = 0,55. Поскольку уровень мощности 11,4 Вт также
практически в 9 раз превышает мощность фундаментального солито-
на, то данные на рис. 5.6 действительно соответствуют случаю N = 3.
Этот вывод подтверждается автокорреляционной функцией при
Ро = 22,5 Вт. Наблюдаемая пятипичковая структура соответствует
расщеплению лазерного импульса на три, что соответствует предска-
заниям солитонной теории для солитона четвертого порядка (А = 4).
Периодичность солитонов высших порядков означает, что такие
импульсы должны восстанавливать первоначальную форму и спектр
на расстояниях, кратных периоду солитона. Такое восстановление
наблюдалось для солитонов второго и третьего порядков в экспери-
ментах [40], где длина световода 1,3 км соответствовала примерно
одному периоду солитона. В другом эксперименте [41] эффект сжатия
солитонов высших порядков на начальном этапе распространения,
изображенный на рис. 5.4 для случая А = 3. наблюдался для значений
А вплоть до 13. Подробнее это обсуждается в гл. 6. Солитоны
высших порядков также наблюдались на выходе лазера на красителе
с синхронизацией мод на сталкивающихся пучках, работающего
в видимом диапазоне (длина волны генерации 620 нм), посредством
120
Глава 5
внесения в лазерный резонатор оптических элементов с отрицатель-
ной дисперсией групповых скоростей [42]. В этой системе также
наблюдались асимметричные солитоны второго порядка [43]. Про-
странственные моды нелинейного планарного волновода тоже могут
быть интерпретированы как солитоны высших порядков [44].
Поскольку для формирования солитонов требуется отрицательное
значение дисперсии групповых скоростей, солитоны не могу! сущест-
вовать в волоконных световодах на длинах волн, меньших длины
волны нулевой дисперсии (^ 1,3 мкм). Тем не менее существование
другого типа солитона, известного как «темный» солитон, было
предсказано в [45] как решение уравнения (5.2.2) при условии р2 > 0.
Данный факт привлек значительное внимание [46- 50]. Решение имеет
вид отдельного провала на однородном фоне. Если наложить гранич-
ное условие, что |м(^,т)| стремится к конечной величине для больших
значений | т |, то для нахождения солитонных решений первого и выс-
ших порядков можно пользоваться методом ОЗР [46] Фундамен-
тальный солитон (N = 1) имеет вид
п(£,,т) = tanh (т)ехр(г^).	(5.2.24)
Поведение солитонов высших порядков в случае положительной
дисперсии групповых скоростей коренным образом отличается от
случая отрицательной [48]. Существование темных солитонов было
подт верждено в экспериментах [49, 50]. В эксперименте [49] 26-пико-
секундные импульсы (на 595 нм) с провалом в центре шириной 5 пс
распространялись по световоду длиной 52 м. В другом эксперименте
[50] на вход 10-метрового световода поступали относительно длин-
ные 100-пикосекундные импульсы с провалом шириной 0,3 пс, слу-
жащим темным импульсом. Импульсы на выходе имели параметры,
предсказанные уравнением (5.2.2).
Интересной задачей также является исследование распрост ранения
импульса вблизи длины волны нулевой хроматической дисперсии, так
что Р2 — 0. Тогда дисперсионные эффекты низшего порядка опреде-
ляются членом с Рз в разложении (2.3.23). Данный случай рассматри-
вался в разд. 4.2. Динамика импульса определяется уравнением
(4.2.5). Если пренебречь потерями в световоде (а = 0) и считать, что
коэффициент рз положителен, это уравнение приобретает вид
i д3 и ,,
----=- + \ и 2 и = 0 .
6 ?т3	1 1
где = z/L’d, и = NU, N определяется как
М2=±Ь = уРоП
LNl IРзI
Дисперсионная длина L’D= T'o/I Рз I определена в формуле (3.3.3).
си
(5.2.25)
(5 2 26)
Оптические солитоны
121
Т7Т0	(1/-1/0)Т0
Рис. 5.7. Форма импульса и его спектр в точке z/L'B = 3 при распространении
на длине волны нулевой дисперсии импульса, имеющего форму гиперболи-
ческого секанса и такую пиковую мощность, что N = 2. Штриховые кривые
представляют исходный импульс и его спектр (даны для сравнения).
Уравнение (5.2.25) трудно решить методом ОЗР Численное решение
показывает [51], что в случае N > 1 начальный импульс, имеющий
форму гиперболического секанса, преобразуется на длине Е,' ~ 1O/JV2
в фундаментальный солитон, в котором содержится примерно поло-
вина энергии начального импульса. Оставшаяся доля энергии перено-
сится осцилляционной структурой у заднего фронта, постепенно
рассеиваясь на распространении.
На рис. 5.7 изображены форма импульса и его спектр при £' = 3
для случая N = 2; также приведены данные для начального импульса
при = 0. Самой замечательной особенностью является расщепле-
ние спектра на два ясно различимых пика [52] Эти пики соответст-
вуют двум самым удаленным от несущей частоты компонентам
в спектре при ФСМ (см. рис. 4.2). Так как длинноволновая компонен-
та лежит в области отрицательной дисперсии групповых скоростей,
возможно формирование солитона в этой спектральной области.
Энергия из другой спектральной компоненты рассеивается из-за того,
что эта часть импульса распространяется в области положительной
дисперсии. Именно задняя часть импульса и рассеивается при распро-
странении, так как при ФСМ спектральные компоненты на заднем
фронте сдвигаются в коротковолновую область Из рис 5.7 видно,
что импульс имеет длинную осциллирующую огибающую в задней
части, которая продолжает отделяться от переднего фронта с увели-
чением При ^' > 5 из передней части импульса формируется
фундаментальный солитон Важно отметить, что поскольку сущест-
вует спектральное уширение из-за ФСМ, входной импульс в действи-
тельности не распространяется на длине волны нулевой дисперсии,
даже если вначале было Р2 = Фактически импульс создает себе
122
Глава 5
свою собственную | Р21 через ФСМ. Эффективная величина |Р2|
определяется уравнением (4.2.7) и больше для импульсов с большими
значениями пиковой мощности. Вообще говоря, солитонам на длине
волны нулевой дисперсии требуется меньшая мощность, чем тем,
которые распространяются в области отрицательной дисперсии груп-
повых скоростей. Это видно из сравнения уравнений (5.2.3) и (5.2.26).
Для достижения одинаковых значений N и N для случая длины волны
нулевой дисперсии требуется мощность в То | Р2/₽з I Раз меньше.
В обычном световоде для формирования 1-пикосекундного солитона
на 1,3 мкм требуется в 100 раз меньшая мощность, чем на 1,55 мкм,
если длина волны излучения в первом случае хорошо совпадает
с длиной волны нулевой дисперсии [51].
В данном разделе были рассмотрены эффекты, связанные с куби-
ческим членом нелинейной поляризации, записанным в виде (2.3.6).
При очень больших уровнях мощности нелинейный отклик начинает
насыщаться, поэтому необходимо включать члены высших порядков.
Каплан [53] обобщил нелинейное уравнение Шредингера (5.2.5),
заменив | С'|2 в нелинейном члене на произвольную функцию/(| С'|2).
Оказывается, что при определенных условиях поведение солитона
становится бистабильным. При заданном значении энергии импульса
бистабильные солитоны могут распространяться в двух состояниях;
при этом можно осуществлять переключение из одного состояния
в другое [54]. Вопросы устойчивости бистабильных состояний при-
влекли большое внимание [55]. В волоконных световодах бистабиль-
ное поведение пока не наблюдали, поскольку для этого необходимы
чрезвычайно высокие значения мощности. Для этой цели более
подходящими могут быть среды с легко насыщающейся нелиней-
ностью. В заключение отметим, что солитоны могут существовать
в волноводах с пространственно-периодичной величиной показателя
преломления, так как волна, распространяющаяся в такой среде, также
описывается нелинейным уравнением Шредингера [56].
5.3.	СОЛИТОННЫЕ ЛАЗЕРЫ
Интересным и полезным использованием возможности волокон-
ных световодов формировать солитоны является разработка соли-
тонных лазеров [57 59]. Основная идея-использование волоконного
световода для осуществления синхронной подачи части энергии об-
ратно в резонатор лазера, работающего в режиме синхронизации
мод. Поскольку световод изменяет форму импульса, формируя в за-
висимости от пиковой мощности фундаментальный солитон или
солитон высшего порядка, инжектируемый импульс отличается по
форме от импульса, генерируемого самим лазером. После нескольких
циклов формируется стационарное состояние, в котором импульсы
являются солитонами данного световода. Длительностью импульсов
Оптические солитоны
123
Рис. 5.8. Схема солитонного лазера. М,, М2 и М3 зеркала со 100%-ным
отражением, Мо-зеркало с отражением ~70%. Пластинка S служит для
деления пучка и имеет пропускание ~50%. Двулучепреломляющие пластинки
В используются для перестройки длины волны лазера. Микроскопические
объективы Lj и L2 используются для ввода излучения в отрезок одномодо-
вого поддерживающего поляризацию световода [57].
можно управлять, изменяя длину световода. При этом их длитель-
ность может быть гораздо меньше, чем в случае одного лазера без
световода. Используя данный метод, можно получить импульсы
длительностью 50 фс [59].
В первой экспериментальной реализации солитонного лазера
Молленауэр и Столен [57] связали резонатор синхронно накачива-
емого лазера на центрах окраски с синхронизацией мод с другим
резонатором, содержащим отрезок одномодового световода, под-
держивающего поляризацию. На рис. 5.8 изображена схема экспери-
ментальной установки. При отсутствии волоконного резонатора сам
лазер на центрах окраски генерирует импульсы длительностью 8 пс
(длительность на полувысоте по интенсивности), перестраиваемые
в диапазоне 1,4-1,6 мкм. Тем не менее, когда для обеспечения
синхронной обратной связи используется волоконный световод, дли-
тельность лазерных импульсов сокращается в зависимости от длины
световода до 0,2-2 пс. Автокорреляционные измерения показывают,
что импульсы имеют форму, близкую к гиперболическому секансу;
это подтверждает, что в световоде импульсы являются солитонами.
Дальнейшие измерения показали, что солитонный лазер работает
так, что в световоде распространялись солитоны второго порядка
(N = 2), а не фундаментальные солитоны. Длина световода составля-
ла примерно z0/2, так что входной импульс восстанавливается после
одного полного обхода по световоду. На рис. 5.9 показано измерен-
ное изменение длительности импульсов TFWHM (кружки) в зависимос-
ти от длины световода. Сплошная линия показывает зависимость z0/2
из уравнения (5.2.19); использовано значение Р2 ~ — 20 пс2/км.
Штриховой линией показано значение пиковой мощности двухсоли-
тонного импульса (N = 2; Р2 = 4/’1), рассчитанное по формуле
124
Глава 5
Рис. 5.9. Зависимость длительности импульса TFWHM от длины волны све-
товода (кружки). Сплошная линия гависимость с0/2 от TFWHM (теория).
Штриховая линия зависимость пиковой мощности Р2 двухсолитонного
импульса (N = 2) от его длительности. Точки полученные из эксперимента
значения Р2 [57].
(5.2.16).	Экспериментальные значения Р2 (точки) находятся в хоро-
шем согласии с предсказанием теории солитонов.
Для теоретического описания работы солитонного лазера ис-
пользуют теорию синхронизации мод и теорию солитонов. В при-
ближении [38] солитонный лазер (см. рис. 5.8) рассматривался как
однорезонаторное устройство. Хотя эта модель смогла объяснить
многие особенности эксперимента, она оказалась не полностью удов-
летворительной. В частности, эта модель требовала, чтобы длина
световода L была равна периоду солитона z0, в то время как
экспериментально было найдено [58], что L может быть в целое
число раз меньше z0. По-видимому, для теоретического моделиро-
вания работы солитонного лазера необходимо использовать прибли-
жение связанных резонаторов, хотя данный метод требует значи-
тельных численных расчетов [60-62]. В другом приближении [63]
солитонный лазер рассматривался как лазер с синхронизацией мод за
счет инжектируемой затравки.
Что же касается экспериментов, то стабильность работы солитон-
Оптические солитоны
125
него лазера была значительно улучшена благодаря использованию
петли обратной связи с сервоуправлением, при помощи которой
осуществлялась динамическая подстройка длины резонатора. При
этом поддерживалась постоянной фаза излучения, направляемого
обратно в лазерный резонатор [58]. Такая схема стабилизации
сделала солитонный лазер надежным лабораторным устройством.
Длительность импульсов солитонного лазера зависит от таких
параметров световода, как его длина и значение дисперсии групповых
скоростей р2 на рабочей длине волны. Для обычных световодов,
имеющих р2 — — 20 пс2/км в области 1,55 мкм, период солитона для
0,1-пикосекундных импульсов составляет величину z0 ~ 20 см, и по-
этому трудно получить импульсы короче. Тем не менее при исполь-
зовании световода с плоской дисперсионной характеристикой р2 ~
~ — 2,5 пс2/км в диапазоне длин волн 1,4 1,6 мкм длительность
импульсов, генерируемых солитонным лазером, составила 50 фс [59].
5.4.	СОЛИТОННЫЕ ЛИНИИ СВЯЗИ
Как ранее обсуждалось в разд. 3.4, работа высокоскоростных
линий связи обычно ограничена эффектом дисперсии групповых
скоростей, из-за которого импульс уширяется, теряя энергию в би-
товом промежутке. Поскольку солитоны могут сохранять свою
форму благодаря балансу между нелинейными и дисперсионными
эффектами, их использование могло бы улучшить работу таких
систем связи. Хотя использовать солитоны для оптической связи
было предложено еще в 1973 г. [35], только после экспериментально-
го наблюдения оптических солитонов в 1980 г. [39] эта идея при-
влекла широкое внимание [64-75]. Однако, прежде чем создавать
солитонные линии связи, необходимо рассмотреть эффекты, способ-
ные наложить ограничения на конструкцию подобных систем. На-
иболее важными из них являются: 1) потери в световоде, 2) наличие
частотной модуляции в начальном импульсе, 3) взаимодействие
соседние импульсов. В этом разделе обсуждаются ограничения,
накладываемые этими явлениями, а также рассматриваются вопросы,
связанные с конструированием реальных солитонных линий связи.
5.4.1.	Потери в световоде
Поскольку солитон существует благодаря балансу нелинейных
и дисперсионных эффектов, для того чтобы сохранить солитонные
свойства импульса, необходимо поддерживать его пиковую мощ-
ность. Поэтому потери в световоде вредны, так как из-за >ййх пиковая
мощность экспоненциально убывает по длине световода [см. (1.2.3)].
В результате длительность фундаментального солитона также воз-
растает при распространении. Математически потери в световоде
126
Глава 5
можно описать, включив дополнительный член, описывающий зату-
хание, в уравнение (5.1.1), так что оно принимает форму уравнения
(2.3.36). Если использовать безразмерную амплитуду н(^, т), введен-
ную в разд. 5.2, уравнение (5.2.5) принимает вид
где	ди 1 д2и Z4?+nT^ + lMl м= -гГм’	(5.4.1) йг; 2 ст а	а Тр r = 2L° = W	<54-2'
Уравнение (5.4.1) можно решить, используя метод ОЗР, если рас-
сматривать Г как малое возмущение [36]. Для начального импульса
в форме а (О, т) = sech(t) приближенное в первом порядке по Г реше-
ние имеет вид [64]
где	а(^, т) = sech (ajT)exp(zo),	(5.4.3) М1=ехр(-2Г^),	(5.4.4) о = -^[1-ехр(-4Гад.	(5.4.5) Й1
Как и следовало ожидать, возмущенное решение (5.4.3) сводится
к невозмущенному (5.2.15) при Г = 0. Если записать HjT как Т/Т{
и использовать условие т = Т/То, то можно получить зависимость
длительности импульса TY от длины световода
Л = То ехр (2ГЕ,) = То exp (az).	(5.4.6)
Однако не следует ожидать, что экспоненциальное увеличение дли-
тельности фундаментального солитона по z будет иметь место для
произвольно больших расстояний. Это можно увидеть, исследуя
уравнение (3.3.12), которое предсказывает линейное увеличение дли-
тельности по z в том случае, когда нелинейными эффектами можно
пренебречь. Численное решение уравнения (5.4.1) показывает [76], что
возмущенное решение (5.4.3) является достаточно точным только для
тех значений z, для которых выполняется условие az « 1. На рис. 5.10
изображен коэффициент уширения Т\/То как функция от в случае,
когда фундаментальный солитон возбужден в световоде с потерями
Г = 0.035. Результат теории возмущений справедлив вплоть до
ГЕ, ~ 0,7. В асимптотике (^ » 1) длительность импульса увеличивается
линейно более медленно, чем в линейной среде [77]. Похожее пове-
дение наблюдается и у солитонов высших порядков [76]. Однако их
длительность претерпевает несколько колебаний, прежде чем начи-
нает монотонно расти. Этот факт можно понять, если вспомнить
о периодичности эволюции солитонов высших порядков.
Оптические солитоны
127
Рис. 5.10. Изменение длительности фундаментального солитона с расстоя-
нием в световоде с потерями. Показан также результат, который дает теория
возмущений. Штриховой прямой показано поведение при отсутствии нели-
нейных эффектов [76].
Использовать солитоны в высокоскоростных линиях связи можно
двояко. В первом случае цель довольно скромная: солитонный эффект
используют для того, чтобы увеличить длину световода (так назы-
ваемое расстояние между ретрансляторами) по сравнению с расстоя-
нием для линейной системы (малые уровни мощности, отсутствие
нелинейных эффектов). Как видно из рис. 5.4, длительность солитона
высшего порядка первоначально уменьшается. Начальное сжатие
происходит даже при наличии потерь в световоде, и это может
скомпенсировать уширение солитона из-за потерь [74]. Поскольку
период солитона для 100-пикосекундных импульсов, распространяю-
щихся на длине волны 1,55 мкм, относительно велик (> 500 км),
такие импульсы могут распространяться на расстояния ~ 100 км,
прежде чем они значительно уширятся по сравнению с начальной
длительностью. В работе [73] было предсказано, что расстояние
между ретрансляторами можно увеличить более чем в 2 раза, когда
пиковая мощность входного импульса достаточна для создания
солитонов высшего порядка. Требуемые значения пиковой мощности
для передачи импульсов без частотной модуляции со скоростью
8 Гбит/с относительно невелики (~ 3 мВт). Так как такой уровень
мощности вполне достижим для полупроводниковых лазеров, соли-
тонный эффект легко можно использовать для улучшения работы
оптических линий связи.
Во втором случае солитоны используются для передачи инфор-
мации на расстояния ~ 1000 км без использования электронных
ретрансляторов [66-72]. Для того чтобы избежать эффектов, связан-
ных с потерями в световоде, необходимо периодически усиливать
солитоны и восстанавливать их первоначальные форму и значение
128	Глава 5
Оптические солитоны
129
пиковой мощности. В простой схеме [66] оптический усилитель
приводит энергию солитона к первоначальному уровню. Затем со-
литон сам приводит свою длительность к начальному значению. Тем
не менее во время этой фазы сжатия теряется часть энергии в виде
дисперсионной волны. Появление такой рассеянной волны нежела-
тельно, поскольку при большом числе каскадов усиления в этой волне
может скопиться значительная энергия. Она может быть уменьшена
за счет сокращения расстояния между усилителями, так что ГЕ,« 1
или L« 1,а Практически это условие ограничивает величину L рас-
стояниями порядка 10 км или менее для а = 0,2 дБ/км [66].
Альтернативная схема [67] использует эффект ВКР (см. гл. 8) для
усиления солитонов; при этом используется излучение накачки, сдви-
нутое выше по частоте на 13 ТГц (оно периодически инжектируется
в световод). Поскольку ВКР-усиление распределено по всей длине
световода, можно адиабатически усилить солитон, приблизительно
поддерживая N = I: выполнение данного условия значительно умень-
шает рассеянную долю энергии. С этой точки зрения схема, исполь-
зующая ВКР-усиление, наиболее перспективна в реальных системах
[68, 72].
Возможность данной схемы была продемонстрирована в экспе-
рименте [69], где солитонные импульсы длительностью 10 пс рас-
пространялись по 10-километровому световоду с ВКР-усилением
и без него. На рис. 5.11 изображена схема экспериментальной уста-
новки. Там также показаны АКФ лазерного импульса (без световода)
в сравнении с АКФ, полученной на выходе световода. При отсутствии
ВКР-усиления солитонный импульс уширяется примерно на 50%
из-за наличия потерь. Это находится в согласии с формулой (5.4.6),
которая предсказывает Т\/Т(, = 1,51 для параметров световода, ис-
пользованного в эксперименте, а именно z— 10 км и а = 0,0414 км-1
(0,18 дБ/км). ВКР-усиление осуществлялось за счет инжектирования
непрерывного излучения накачки на 1,46 мкм от лазера на центрах
окраски в направлении, противоположном распространению соли-
тонов. Мощность излучения накачки составляла 125 мВт. Как видно
из рис. 5.11, импульс на выходе практически идентичен по форме и по
энергии входному импульсу, что указы в,- т на практически полное
восстановление солитона. Малоинтенсив! ле «крылья» в восстанов-
ленном солитоне приписаны рассеянной доле энергии, возникающей
из-за отличия формы входного импулыа от гиперболического се-
канса. Возможности схемы с ВКР-усиление • были продемонстриро-
ваны Молленауэром и Смитом в эксперименте [75], где 55-пико-
секундные импульсы могли 96 раз обращаться по 42-километровой
волоконной петле без значительного изменения своей длительности.
Это соответствовало эффективной длине распространения более чем
4000 км. Конструктивная сторона таких солитонных линий связи,
использующих ВКР-усиление, будет рассмотрена далее в этом раз-
деле.
К автокоррелятору
Импульсы
Юпс,
1,56 мкм
Световод-
0 ретранслятор Л
(~5м) V
Одномодовый
световод
Непрерывное излучение
накачки 1,46 мкм
10км
Рис. 5.11. Схема экспериментальной установки (вверху), использованной для
получения автокорреляционных функций (внизу), демонстрирующих восста-
новление солитонов в световоде длиной 10 км при ВКР-усилении. Высота
кривой в случае без усиления была увеличена примерно в пять раз для того,
чтобы облегчить сравнение соответствующих длительностей [69].
5.4.2.	ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
В идеальной солитонной линии связи начальный импульс в све-
товоде должен быть без частотной модуляции, иметь форму гипер-
болического секанса, его пиковая мощность должна быть такова, что
А = 1 в уравнении (5.2.16). На практике импульсы будут отличаться
от идеального случая, требуемого для формирования фундаменталь-
ного солитона, поэтому требуется определить допустимый уровень
отличия. Отличия от точной формы и точного значения энергии были
рассмотрены в разд. 5.2, где было показано, что эти эффекты имеют
минимальное воздействие на формирование солитона, пока N нахо-
дится в пределах 0,5 1,5. В данном разделе рассмотрено, как дей-
ствует частотная модуляция начального импульса на формирование
солитона [78-86]. Частотная модуляция начального импульса может
оказаться вредной хотя бы потому, что, накладываясь на частотную
модуляцию, обусловленную ФСМ. она может нарушить точный
баланс между дисперсионными и нелинейными эффектами, необхо-
димый для существования солитонов.
Можно исследовать, как действует начальная частотная модуля-
130
Глава 5
Рис. 5.12. Формирование солитона при наличии начальной линейной частот-
ной модуляции для случая N = 1 и С = 0,5.
ция, численно решая уравнение (5.2.5) при начальной амплитуде
и (0, т) = N sech (т) ехр (— /Ст2/2),	(5.4.7)
где С-параметр частотной модуляции, введенный в разд. 3.2. Квад-
ратичное изменение фазы соответствует линейной частотной моду-
ляции, такой, что оптическая частота нарастает со временем (поло-
жительная частотная модуляция) для положительных значений С. На
рис. 5.12 изображена динамика фундаментального солитона (N = 1)
в случае относительно небольшой частотной модуляции С = 0,5.
Первоначально импульс сжимается главным образом из-за положи-
тельной частотной модуляции; начальное сжатие происходит даже
при отсутствии нелинейных эффектов. Далее импульс уширяется, но
в конце концов он сжимается второй раз; при этом за главным пиком
образуется второй, менее интенсивный и постепенно отдаляющийся
от основного. Главный пик преобразуется в солитон на расстояниях
> 15. Похожее поведение имеет место и для отрицательных значе-
ний С. Предполагается, что солитоны формируются при малых
значениях |С|, поскольку они обычно стабильны к слабым возму-
щениям. Однако солитон может разрушиться, если |С| превышает
некоторую критическую величину С,р. В случае N = 1 солитон,
изображенный на рис. 5.12, не образуется, если увеличить С от 0,5
до 2.
Критическое значение параметра частотной модуляции может
быть получено, если воспользоваться методом ОЗР [82 84]. Точнее,
решают уравнения (5.2.6) и (5.2.7) и получают собственное значение £,
используя и из начального условия (5.4.7). Солитоны существуют до
тех пор, пока мнимая часть £ положительна. Критическое значение
зависит от N; оказалось, что в случае N = 1 Сгр ~ 1,64 [82]. Оно
также зависит от вида фазового коэффициента в условии (5.4.7) [84].
Оптические солитоны
131
Что же касается систем связи, то здесь начальную частотную моду-
ляцию следует уменьшить, насколько это возможно. Сделать это
необходимо потому, что, хотя частотная модуляция и нс приносит
вреда при | С | < Скр, часть энергии теряется в дисперсионном «хво-
сте» во время формирования солитона [82]. Например, только 83%
начальной энергии преобразуется в солитон в случае С — 0,5 (изо-
бражен на рис. 5.12), и эта доля уменьшается до 62% при С = 0,8.
5.4.3.	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СОЛИТОНОВ
Интервал времени Тв между соседними информационными бита-
ми или импульсами определяет скорость передачи информации В в
системе связи (Й=1/Тв). Поэтому необходимо определить, на-
сколько близко два солитона могут находиться друг относительно
друга, чтобы между ними нс было взаимодействия [87 99]. Та же
самая нелинейность, которая необходима для существования одного
солитона, приводит к взаимодействию между соседними солитонами.
В этом разделе кратко рассматриваются те аспекты взаимодействия
солитонов, которые имеют отношение к созданию солитонных линий
связи.
Амплитуда пары солитонов на входе в световод может быть
записана в безразмерном виде
н(0, т) = sech (т — q0) + г sech [г (т + 40)] е'°,	(5.4.8)
где г относительная амплитуда, 0-относительная фаза, а начальное
расстояние между солитонами q0 связано со скоростью передачи
информации соотношением
2^О^О tfo'frwHM
Можно исследовать взаимодейтвие солитонов, численно решая урав-
нение (5.2.5) при начальных условиях, определяемых условием (5.4.8).
Однако для прояснения физического смысла полезно воспользоваться
методом ОЗР, используя его для решения уравнений (5.2.6) и (5.2.7)
с начальным условием н(0, т) в виде (5.4.8). Такие исследования
показывают [88, 98], что взаимодействие зависит не только от
расстояния между солитонами q0, но и от относительной фазы
0 и относительной амплитуды г. Для частного случая 0 = 0, г = 1
и q0 » 1 расстояние q между солитонами на трассе распространения
s равно [88]
ехр[2(4 - </,>)] = -[1 + cos(4^e «о)] .	(5.4.10)
Из данного соотношения видно, что q (£) периодически изменяется по
132
Глава 5
длине световода с периодом
£P = 2exp(f/o)’
(5.4.11)
Теория возмущений приводит к тому же результату [87]. Более
точное выражение, справедливое для произвольных величин q0, най-
дено в [98]
= л sinh (2gu)cosh(go)
р 2<у0 + sinh(2</0)
Соотношение (5.4.11) является достаточно точным при q0 3, что
также найдено численно [89]. На рис. 5.13 изображена динамика
взаимодействия, демонстрирующая периодический коллапс пары со-
ли гонов при q0 = 3.5, 0 = 0 и г = 1 [97].
Периодический коллапс соседних солитонов нежелателен с точки
зрения системы связи. Можно решить данную проблему, увеличивая
расстояние между солитонами так, что zp» LT, где LT расстояние,
на которое перс ыется информация, zp = zoexp(r/o)- расстояние, на
котором происходит коллапс, z0 период солитона, определяемый
соотношением (5.2.19). Поскольку zp/z0 ~ 22000 при q0 = 10, такое
расстояние более чем достаточно для большинства систем связи.
Скорость передачи информации в этом случае ограничена уравнением
(5.4 9).' но может достигать 45 Гбит/с. если использовать для передачи
информации 2-пикосекундные солитоны.
Можно значительно сократить расстояние между солитонами,
используя несколько различных схем Оказывается, что сила притя-
жения между солитонами очень чувствительна к относительной фазе
6 и относительной амплитуде г. Фактически сила притяжения стано-
вится силой отталкивания при 0^0, так что в конце концов солитоны
Рис. 5.13. Динамика пары солитонов, демонстрирующая периодический кол-
лапс, обусловленный взаимодействием. Значение параметров: N = I, 6 = 0,
г = 1, <70 = 3.5 [98].
Оптические солитоны
133
Рис. 5.14. Динамика пары солитонов при 0 = я/4, так что солитоны при J; = О
находятся нс в фазе [98]. Остальные условия идентичны условиям рис. 5.13.
удаляются друт от друга даже при относительно малом значении 6.
На рис. 5.14 изображена динамика пары солитонов при условиях,
идентичных условиям на рис. 5.13, за исключением того, что 0 = л/4,
а не нулю. Для предельного случая 0 = л расстояние между соли-
тонами q(^) определяется выражением, получаемым из уравнения
(5.4.10) заменой косинуса на гиперболический косинус [88]. Если пара
солитонов имеет одну и ту же фазу (0 = 0), но различные амплитуды,
то взаимодействие по-прежнему периодично, но уже без коллапса
[98]. Даже при г = 1,1 расстояние между солитонами не изменяется
более чем на 10% на каждом периоде, если q0 ^4. Ясно, что этот
метод может быть полезен для увеличения скорости передачи ин-
формации или пропускной способности. Взаимодействие между со-
литонами может быть также видоизменено многими другими фак-
торами, такими, как начальная частотная модуляция [95. 97], дис-
персионные эффекты высших порядков [91] и нелинейные эффекты
высших порядков [96, 99]. Другой фактор, который следует учесть,-
это влияние потерь и периодического усиления на взаимодействие
между солитонами. Оказывается [97], что можно достичь надежной
передачи информации, если амплитуды соседних солитонов неодина-
ковы.
5.4.4.	ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С КОНСТРУИРОВАНИЕМ
КОНКРЕТНЫХ СОЛИТОННЫХ линий связи
Солитонные линии связи способны передать информацию на
расстояния ~ 1000 км со скоростью, приближающейся к 100 Гбит/с,
при условии, что потери в световоде скомпенсированы за счет
134
Глава 5
Рис. 5.15. Схема солитонной линии связи. Солитоны вводятся в «цепочку»
световодов, состоящую из многих сегментов длиной L На конце каждого
сегмента через частотно-зависимый направленный ответвитель в обоих на-
правлениях вводится излучение накачки от непрерывного лазера.
должного усиления солитонов. Наиболее перспективной, по-видимо-
му, является схема с ВКР-усилением [67], схематично изображенная
на рис. 5.15. Передача информации осуществляется вблизи длины
волны минимальных потерь в световоде (с± 1,56 мкм). Периодически
с интервалом L, используя частотно-зависимый направленный от-
ветвитель, в световод по обоим направлениям вводят непрерывное
излучение лазера на длине волны 1,46 мкм. Важными параметрами
системы являются скорость передачи информации В, длительность
импульса 7pWHM, период усиления L и полная длина системы LT,
которая определяется числом каскадов усиления, при превышении
которого распространение солитонов становится неустойчивым. В
данном разделе рассматриваются те основные аспекты конструиро-
вания, которые определяют параметры системы.
Сначала рассмотрим, существует ли фундаментальное ограниче-
ние, накладываемое на систему схемой ВКР-усилсния. Когерентное
усиление всегда сопровождается спонтанным шумом. Этот шум
может приводить к флуктуации времени прихода импульса на детек-
тор. Физически это происходит из-за случайного изменения группо-
вой скорости, возникающего из-за малого случайного сдвига несущей
частоты на каждой стадг « усиления [100]. Если импульс не поступает
в промежуток времени, предназначенный для его (импульса) обна-
ружения, происходит ошибка. Если вероятность ошибки поддержи-
вается на уровне ниже 10 9, то оказывается [72, 100], что произве-
дение скорости передачи информации на длину системы BLT для
световода со смещенной дисперсией (р2 — — 2 пс2/км) ограничена
величиной
BLT < 3-104(Гбит/с)км.	(5.4.13)
Эта величина примерно на два порядка больше предела, ограничи-
вающего работу линейных систем (см. разд. 3.4). Неравенство (5.4.13)
показывает, что по солитонной линии связи можно передавать
информацию в пределах 3000 км со скоростью 10 Гбит/с или в пре-
делах 300 км со скоростью 100 Гбит/с; при этом временные флук-
туации еще не приведут к ошибке.
Оптические солитоны
135
Выбор скорости передачи информации определяет расстояние
L между каскадами усиления, и обычно L изменяется как В2. Это
ясно из того, что увеличение В, согласно (5.4.9), приводит к умень-
шению длительности импульса T) WHm (или То), что в свою очередь
уменьшает период солитона z0, определяемый соотношением (5.2.19).
Более точные численные расчеты многокаскадного усиления показы-
вают [68, 72], что распространение солитонов на большие расстояния
становится неустойчивым при L~8z0. На практике следует ограни-
чить L до величин L< 6z0. Используя (5.2.19) и (5.4.9), можно связать
L со скоростью передачи информации соотношением
L ~ 392 IР21 й2 ’
(5.4.14)
где q0 относительное расстояние между солитонами. Для сведения
к минимуму взаимодействия между солитонами обычно берут
9о = 10- Если использовать световод со смещенной дисперсией
(р2 = — 2 пс2/км на длине волны X = 1,55 мкм) и использовать зна-
чение q0 = 10, то произведение B2L из неравенства (5.4.14) ограничено
величиной
B2L< 1 • 104 (Гбит/с2)км.	(5.4.15)
Величина L ограничена потерями в световоде as и ар на сигналь-
ной длине волны и на длине волны излучения накачки соответствен-
но. Поскольку мощность излучения накачки непостоянна вдоЛь све-
товода, энергия солитона может значительно изменяться по длине
световода, даже если она и полностью восстанавливается в конце
каждого каскада усиления. Численные исследования указывают [68,
72], что для стабильной передачи солитона на большие расстояния
вариации в его энергии должны быть менее 20%. При а, = 0,18 дБ/км
и ар = 0,29 дБ/км (наименьшие значения, достигнутые к настоящему
времени) данные требования ограничивают L значениями меньше
50 км. Из экономических соображений L должна быть как можно
больше. Таким образом, ожидается, что в большинстве случаев
L находится в пределах 30 50 км.
Рассмотрим пример конкретной конструкции. Для обычного све-
товода с Р2 ~ — 20 пс2/км как величина BLT, так и B2LT умень-
шаются в 10 раз по сравнению с соотношениями (5.4.13) и (5.4.15).
В результате необходимо будет использовать более низкие скорости
передачи информации. Если выбрать рабочее значение периода уси-
ления L = 40 км, го скорость передачи информации В = 5 Гбит/с.
Выбирая q0 = 10, из уравнения (5.4.9) получаем длительность им-
пульса Tfwhm = 17,6 пс. Значение пиковой мощности, требуемой для
возбуждения фундаментального солитона, оценивается из уравнения
(5.2.16). Если использовать типичные значения у = 5 Вт 1 км-’ (со-
ответствующие эффективной площади сердцевины порядка 25 мкм2),
136
Глава 5
то = 40 мВт. Полная длина системы ограничена величиной около
600 км из-за шумовых флуктуаций.
Работа солитонной линии связи может быть значительно улуч-
шена за счет использования световодов со смещенной дисперсией
(Р2 ~ — 2 пс2/км). Если принять значение скорости передачи инфор-
мации равной 15 Гбит/с, то из неравенства (5.4.15) следует, что
период усиления L = 44 км, в то время как из неравенства (5.4.13)
видно, что полная длина системы LT = 2000 км. Необходимые дли-
тельность импульса и значение пиковой мощности для такой системы
Tfwhm = 5,87 пс и Pj = 36 мВт соответственно. Полная длина си-
стемы может быть увеличила до 6000 км за счет уменьшения ско-
рости передачи информации до 6 Гбит/с. Если необходимы более
высокие скорости, В можно увеличить до 20 30 Гбит/с, но только за
счет уменьшения и L. и LT. Солитонные линии связи, очевидно,
способны обеспечить передачу информации на расстояния ~ 1000 км
со скоростями ~ 10 Гбит/с. Практической демонстрацией такой воз-
можности явился эксперимент [75], в котором 55-пикосекундныс
импульсы могли циркулировать по 42-километровой волоконной
петле до 96 раз без значительного увеличения своей деятельности. Во
время каждого цикла ВКР-усиление практически компенсировало
потери в световоде. В этом эксперименте было показано, что соли-
тоны можно передавать на расстояние более 4000 км. Реализация
солитонных систем связи потребует тем не менее дальнейшей раз-
работки частотно-зависимых ответвителей и лазеров накачки.
5.5.	НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Свойства оптических солитонов, рассмотренные до сих пор в этой
главе, основаны на упрощенном уравнении распространения (5.1.1).
Как показано в разд. 2.3, в случае когда длительность импульса
короче 100 фс, необходимо учитывать нелинейные и дисперсионные
члены высших порядков и использовать уравнение (2.3.35). Необхо-
димость учета дисперсии нелинейности (второй член в правой части)
была осознана довольно давно [101-106]. Необходимость учесть
эффект, связанный с конечным временем отклика нелинейности (по-
следний член в правой части), стала очевидной, когда было открыто
новое явление, известное как вынужденное комбинационное саморас-
сеяние [107]. С тех пор нелинейным эффектам высшего порядка,
возникающим из-за задержки нелинейного от клика в световоде, стали
уделять значительное внимание [108-117] В данном разделе рас-
смотрено влияние нелинейностей высших порядков на свойства со-
литонов.
В терминах безразмерных переменных 17, и т, определенных
соотношениями (5.2.1), уравнение (2.3.35) приобретает следующий
Оптические солитоны
137
вид:
= -N2
ги \г2и ,.д3и
'cl, + 2 <Ч2 сх3
\U\2U + is-(\U\2U)-xRU~^(\U\2)
сх	сх сх
(5.5.1)
где предполагается, что импульс распространяется в области отри-
цательной дисперсии групповых скоростей (Р2 < 0); полагая а = 0, мы
пренебрегаем потерями в световоде. Параметр N определен в фор-
муле (5.2.3). Параметры 3, s и тк определяют соответственно эффекты
дисперсии высшего порядка, дисперсии нелинейности и задержки
нелинейного отклика. Их явное выражение:
Р3___	2	_ TR
6 I Р2I	То
(5.5.2)
Все три параметра изменяются обратно пропорционально длитель-
ности импульса; ими можно пренебречь при То 1 пс. Они становят-
ся заметными для фемтосекундных импульсов. Например, 3 ~ 0,03,
V ~ 0.05 и xR ~ 0,1 для 50-фемтосекундного импульса (7^ ~ 30 фс),
распространяющегося на 1.55 мкм в обычном световоде из кварцево-
го стекла, если принять TR = 3 фс.
Рассмотрим сначала влияние дисперсии нелинейности, опреде-
ляемое параметром .v. При условии 8 = 0итк = 0в уравнении (5.5.1)
динамика импульса определяется следующим уравнением:
ги i?2u , г
-V+tj-t + N2 I [/|2П + tvv(|U|2L) =0.
rt; 2 Лг L	от J
(5.5.3)
Как было показано в разд. 4.3, действие дисперсии нелинейности при
отсутствии дисперсии групповых скоростей приводит к образованию
ударной волны на заднем фронте импульса. Это обусловлено зави-
симостью групповой скорости от интенсивности: вершина импульса
начинает двигаться медленнее, чем его края. Дисперсия групповых
скоростей ослабляет укручение фронта волны, но из-за дисперсии
нелинейности центр импульса все равно сдвигается. Это свойство
проиллюстрировано рис. 5.16, где изображена форма импульса при
ъ = 0, 5 и 10 для 5 = 0,2 и N = 1; результат получен численным
решением уравнения (5.5.3) при начальном условии U (0, т) = sech(r).
Поскольку при s ф 0 вершина импульса движется медленнее, чем
края, она сдвигается к заднему фронту. Задержка хорошо аппрокси-
мируется выражением xd = si, при .v < 0,3. Хотя при распространении
импульс немного уширяется (примерно на 20% при = 10), он тем нс
менее сохраняет солитонную природу. Это позволяет предположить,
что уравнение (5.5.3) имеет солитонное решение, к которому импульс
асимптотически эволюционирует. Такое решение действительно су-
138
Глава 5
Рис. 5.16. Формы импульсов при = 5 и = 10 для фундаментального соли-
тона при учете дисперсии нелинейности (s = 0,2). Для сравнения штриховой
кривой показана начальная форма импульса. Сплошные кривые совпадают
с штриховой в том случае, когда s = 0.
шествует и имеет вид [102]
(£, т) = К(т - ME,) exp [;(КЕ, - Мт)] ,	(5.5.4)
где М связано со сдвигом несущей частоты. В результате этого сдвига
изменяется групповая скорость. Сдвиг вершины на рис. 5.16 как раз
и обусловлен изменением групповой скорости. Явная форма Г(т)
зависит от М и других параметров: N и s. В пределе 5 = 0 она
переходит в гиперболический секанс (5.2.15). Следует также отметить,
что уравнение (5.5.3) может быть преобразовано в так называемое
модифицированное нелинейное уравнение Шредингера (аналогичное
(5.5.3), но без третьего члена), чьи солитоноподобные решения ши-
роко изучались в физике плазмы [118 121].
Действие дисперсии нелинейности на солитоны высших порядков
знаменательно тем, что оно приводит к развалу таких солитонов на
составные части; это явление называется распадом связанного со-
стояния солитонов [104]. На рис. 5.17 изображен распад солитона
второго порядка (N = 2) при s = 0,2. При таком большом значении
параметра s два солитона полностью разделяются на расстоянии
в два периода солитона и продолжают удаляться друг от друга при
дальнейшем распространении по световоду. Качественно похожее
поведение имеет место и при меньших значениях 5, за исключением
того, что для распада требуется большее расстояние. Понять физику
распада можно, используя метод ОЗР с дисперсией нелинейности,
действующей как возмущение [36]. В отсутствие дисперсии нелиней-
ности (х = 0) два солитона образуют связанное состояние, поскольку
они распространяются с одинаковой скоростью (собственные значе-
Оптические солитоны
139
Рис. 5.17. Распад солитона второго порядка (N = 2), вызванный дисперсией
нелинейности (.S = 0.2). Показана динамика импульса на пяти периодах соли-
тона.
ния имеют одинаковые действительные части). Эффект дисперсии
нелинейности снимает вырождение так, что два солитона распро-
страняются с различными скоростями. В результате они простран-
ственно разделяются, и это разделение увеличивается практически
линейно с расстоянием [106]. Отношение высот на рис. 5.17 практи-
чески равно 9, что находится в согласии с ожидаемым отношением
(BzAli)2, гДе Л1 и Г]2 —мнимые части собственных значений, опре-
деленных в разд. 5.2. Солитоны третьего и высших порядков демон-
стрируют похожую картину распада. В частности, солитон третьего
порядка (N = 3) распадается на три солитона [106]; высота их вершин
также находится в согласии с теорией ОЗР.
Действие дисперсии высшего порядка на распад солитона может
быть учтено включением члена с третьей производной в уравнение
(5.5.1). Качественно поведение остается тем же самым. Фактически
дисперсия высшего порядка сама может приводить к распаду связан-
ного состояния даже при отсутствии нелинейных эффектов высшего
порядка при условии, что параметр 6 превышает пороговую величину
[122]. Для солитона второго порядка (N = 2) пороговая величина
б = 0,022, но она уменьшается до 0,006 для N = 3. Для обычных
кварцевых световодов на длине волны 1,55 мкм 5 превышает 0,022
Для импульсов короче 70 фс. Тем не менее этот порог может быть
достигнут для импульсов длиннее в 10 раз, если использовать
световод со смещенной дисперсией.
Эффект задержки нелинейного отклика описывается последним,
пропорциональным членом в уравнении (5.5.1). На качественном
Уровне влияние этого члена на распад аналогично действию дис-
персии нелинейности. В частности, даже относительно небольшое
140
Глава 5
Рис. 5.18. Распад солитона второго порядка (N = 2). вызванный задержкой
нелинейного отклика световода (тк = 0.01).
значение тк приводит к распаду солитонов высших порядков [114,
117]. На рис. 5.18 изображен распад солитона второго порядка
(N = 2) при тк = 0,01. Чтобы выделить особенности, связанные с за-
держкой нелинейного отклика, остальными эффектами высшего по-
рядка пренебрегли, положив 5 = 0 и .v = 0. Сравнение рис. 5.17 и 5.18
показывает сходство и различие в картине распада, обусловленного
двумя различными механизмами. Важное отличие заключается в том,
что относительно меньшие по сравнению с s значения могут
вызвать распад связанного состояния на данном расстоянии. На-
пример. если на рис. 5.17 взять, .v = 0,01, то солитон не расщепляется
в пределах с = 5~0. Эта особенность указывает на то, что эффект тк на
практике доминирует над дисперсией нелинейности.
Еще одно важное отличие рис. 5.17 от 5 18 заключается в том, что
в случае дисперсии нелинейности оба солитона задерживаются, в то
время как в другом случае малоинтенсивный солитон ускоряется
и оказывается на переднем фронте начального импульса. Физический
смысл такого поведения можно понять из рис. 5.19, где дано срав-
нение спектра импульса при г = 5z0 с исходным спектром солитона
второго порядка, динамика которого представлена на рис. 5.18.
Сдвинутый в длинноволновую область спектральный пик соответ-
ствует интенсивному солитону, сдвинутому вправо на рис. 5.18, в то
время как спектральная компонента, сдвинутая в коротковолновую
область, соответствует другому пику, сдвинутому влево на рис. 5.18.
Поскольку коротковолновые компоненты распространяются быстрее
чем длинноволновые, они сдвигаются вперед, в то время как осталь-
ные задерживаются по сравнению с начальным импульсом. Именно
это и видно на рис. 5.18.
Наиболее важная особенность на рис. 5.19 значительный сдвиг
солитонного спектра в длинноволновую область, примерно в 4 раза
Оптические солитоны
141
превышающий начальную ширину спектра при тк = 0,01 и z/z0 = 5.
Такой длинноволновый сдвиг действительно наблюдался в экспери-
менте [107], где 500-фсмтосекундные импульсы распространялись по
392-метровому отрезку одномодового световода. Этот эффект на-
зывают самосдвигом частоты солитона (вынужденным комбинаци-
онным саморассеянисм), поскольку он вызван самим импульсом.
Попытка объяснить наблюдаемый длинноволновый сдвш как воз-
действие задержки нелинейного отклика на распространение субпи-
косекундных импульсов была дана в [108]. С физической точки
зрения сдвиг в длинноволновую область можно объяснить, исходя из
эффекта ВКР. Для импульсов короче 1 пс начальная ширина их
спектра достаточно велика для того, чтобы комбинационное усиление
могло эффективно усиливать длинноволновые компоненты за счет
коротковолновых, действующих в качестве накачки (см. гл. 8) Этот
процесс продолжается по длине световода так, что энергия из длин-
новолновых компонент передается к коротковолновым. Такая пере-
качка энергии проявляется в виде длинноволнового сдвига солитон-
ного спектра, увеличивающегося с расстоянием. Простая модель
[108] показывает, что длинноволновый сдвиг зависит от длитель-
ности импульса как Го 4. Такой вывод также можно сделать, исходя
из рис. 5.18, где задержка солитона Td возрастает как (z/z0)2. Так как
период солитона z0 пропорционален То [см. (5.2.19)], изменяется
как То4. Поскольку т,( прямо пропорционально длинноволновому
сдвигу, то последний изменяется гак же как Го4.
В общем случае для импульсов короче 100 фс в уравнение (5.5 1)
необходимо включать все три члена высшего порядка, поскольку
здесь уже нельзя пренебречь всеми тремя параметрами 5, s и тк [114].
Частота (V-V0)T0
Рис- 5.19. Спектр импульса при z/z0 = 5 для тех же параметров, что и на
рис. 5.18. Штриховой кривой показан спектр начального импульса
142
Глава 5
Рис. 5.20. Динамика формы импульса и его спектра для случая N = 2.
Остальные параметры: 5 = 0,03, 5 = 0,05, xR = 0,1.
На рис. 5.20 изображены формы импульсов и их спектры для случая
солитона второго порядка при б = 0,03, л = 0,05 и = 0,1. Эти
величины примерно соответствуют 50-фемтосекундному импульсу
(То ~ 30 фс), распространяющемуся по обычному кварцевому све-
товоду на длине волны 1,55 мкм. Распад солитона происходит на
одном периоде солитона (z0	5 см); при этом основной пик сдвига-
ется к заднему фронту со значительной скоростью, увеличивающейся
с расстоянием. Этот сдвиг обусловлен уменьшением групповой ско-
рости, которое в свою очере ть вызвано длинноволновым сдвигом
спектрального максимума солитона. Если использовать То = 30 фс
для преобразования результатов рис. 5.20 в физические единицы, то
50-фемтосекундный импульс сдвигается почти на 40 ТГц, или 20%
своей несущей частоты при распространении на ~ 15 см.
В случае когда входной пиковой мощности достаточно для воз-
буждения солитона высшего порядка, так что N » 1, спектр импульса
трансформируется в несколько компонент, каждая из которых соот-
ветствует фундаментальному солитону, возникающему при расщеп-
лении исходного импульса. Подобная картина наблюдалась в экспе-
рименте [115], где 830-фемтосекундные импульсы с пиковой мощ-
ностью до 530 Вт распространялись в световодах длиной до 1 км.
Самый длинноволновый пик связывался с солитоном, чья длитель-
Оптические солитоны
143
ность была наименьшей (~ 55 фс) после 12 м. а затем нарастала при
увеличении длины световода. Экспериментальные результаты нахо-
дились в согласии с предсказаниями уравнения (5.5.1). Данный случай
рассмотрен в разд. 8.4 в контексте солитонных эффектов при вынуж-
денном комбинационном рассеянии. Там также описываются комби-
национные солитонные лазеры.
Хотя уравнение (5.5.1) и описывает успешно распространение
фемтосекундных импульсов в волоконных световодах, оно является
лишь приближенным. Как показано в разд. 2.3, при более точном
подходе необходимо использовать уравнение (2.3.27), где в Ал учи-
тывают зависящий от времени отклик нелинейности световода. В
простом приближении предполагают, что Ал подчиняется уравнению
(2.3.38), соответствующему экспоненциальному затуханию нелиней-
ного отклика со временем релаксации TR. Численные расчеты пока-
зывают [112], что картина динамики качественно похожа на изобра-
женную на рис. 5.20. В частности, найдено, что длинноволновый
сдвиг солитона возрастает линейно по TR. Численная модель исполь-
зовалась для подгонки результатов эксперимента [113], где 70-фемто-
секундные импульсы распространялись в световоде со смещенной
дисперсией. Эксперимент позволил оценить время релаксации вели-
чиной 2 -4 фс. Однако понимание того, как ведет себя солитон в
фемтосекундном диапазоне длительностей, еще далеко от полного.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Lamb G.L., Jr., Elements of Soliton Theory, Wiley, New York, 1980. [Имеется
перевод: Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983.]
2.	Bullough R.K., Caudrey P.J.. eds.. Solitons, Springer-Verlag, Heidelberg, 1980.
[Имеется перевод: Солитоны/под ред. Р. Буллаф, Ф. Кодри. М.: Мир,
1983.]
3.	Ahlowitz M.J., Segur Н., Solitons and the Inverse Scattering Transform,
Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1981. [Имеется
перевод: Абловиц M.. Сегур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.:
Мир, 1987.]
4.	Dodd R. К. et al.. Solutons and Nonlinear Wave Equations, Academic, New
York, 1984. [Имеется перевод: Додд P и др. Солитоны и нелинейные
волновые уравнения. М.: Мир. 1988.]
5.	Ablowitz М., Fuchssteiner В.. Kruskal М„ eds.. Topics in Soliton Theory and
Exactly Solvable Nonlinear Equations, World Scientific, Singapore, 1987.
6.	Островский Л. А. ЖТФ, 1963, t. 33, c. 905; ЖЭТФ, 1966, t. 51, c. 1189.
7.	Whitham G.B.. Proc. Roy. Soc., 283, 238 (1965); J. Fluid Meeh., 27, 399 (1967).
8.	Benjamin ТВ.. Feir J. E., J. Fluid Meeh., 27, 417 (1967).
9-	Беспалов В. И., Таланов В. И. Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 3, с. 471.
Ю. Хартман В. Я. Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 6, с. 829.
11	Карпман В. И., Крушкаль Е.М. ЖЭТФ, 1969, т. 55, с. 530.
12.	Taniuti Т. Washimi И. Phys. Rev. Lett., 21, 209 (1968).
13.	Tam C.K.W.. Phys. Fluids, 12, 1028 (1969).
4. Hasegawa A.. Phys. Rev. Lett., 24, 1165 (1970); Phys. Fluids, 15, 870 (1971).
15	Hasegawa A.. Plasma Instabilities and Nonlinear Effects, Springer-Verlag,
Heidelberg, 1975.
144
Глава 5
16.	Hasegawa A., Brinkman W. F.. IEEE J. Quantum Electron., QE-16, 694 (1980).
17.	Anderson D. R.. Datta S.. Gunshor R.L.. J. Appl. Phys., 54, 5608 (1983).
18.	Hasegawa A., Opt. Lett., 9, 288 (1984).
19.	Anderson D„ Lisak M., Opt. Lett., 9, 468 (1984).
20.	Hermansson B., Yevick D.. Opt. Commun., 52, 99 (1984).
21.	Ахмедиев H.H.. E. конский В. M.. Кулагин H. E. ЖЭТФ, 1985 т. 89,
с. 1542.
22.	Tai К.. Hasegawa A., Tomita A., Phys. Rev. Lett., 56, 135 (1986).
23.	Tai К. et al. Appl. Phys. Lett., 49, 236 (1986)
24.	ShuklaP.K.. Rasmussen J. J.. Opt. Lett., 11. 171 (1986).
25.	Tajima K.. J. Lightwave Technol.. LT-4, 900 (1986).
26.	Kothari N.C., Opt. Commun., 62, 247 (1987).
27.	Agrawal G.P.. Phys. Rev. Lett., 59. 880 (1987).
28.	Potasek M.J.. Opt. Lett., 12, 921 (1987).
29.	Potasek M.J.. Agrawal G. P.. Phys. Rev.. A36. 3862 (1987).
30.	Выслоух B.A.. CvxomcKoea H. А. Квант, электрон., 1987, т. 14, с. 2371.
31.	Islam M.N., DijadiS.P., Gordon J.P., Opt. Lett., 13, 518 (1988).
32.	Boyd R. W.. Raymer M.G.. Narducci L.M.. eds.. Optical Instabilities, Cambrid-
ge University Press, London. 1986.
33.	Arecchi F T, Harrison R. G.. eds., Instabilities and Chaos in Quantum Optics.
Springer-Verlag, Heidelberg, 1987.
34.	Захаров B.E. Шабат А.Б. ЖЭТФ 197), г. 61, с. 118.
35.	Hasegawa A.. Tappert F., Appl. Phys. Lett., 23, 142 (1973).
36.	Satsuma J.. Yajima N.. Prog. Theor. Phys. Suppl., 55. 284 (1974).
37.	Gardner C.S., et al.. Phys. Rev. Lett., 19, 1095 (1967); Commun. Pure Appl.
Math., 27, 97 (1974).
38.	Haus H.A.. Islam M.N.. IEEE J. Quantum Electron., QE-21, 1172 (1985).
39.	Mollenauer L.F.. Stolen R.H.. Gordon J.P.. Phys. Rev. Lett., 45, 1095 (1980).
40.	Stolen R. H„ Mollenauer L. F., Tomlinson W.J.. Opt. Lett.. 8. 186 (1983).
41.	Mollenauer L.F.. et al.. Opt. Lett., 8, 289 (1983).
42.	Salin F. et al.. Phys. Rev. Lett., 56. 1132 (1986).
43.	Salin F. et al.. Phys. Rev. Lett., 60 569 (1988).
44.	Maneuf S.. Desailly R.. Froehly C.. Opt Commun., 65, 193 (1988).
45.	Hasegawa A., Tappert F„ Appl. Phys. Lett., 23, 171 (1973).
46.	Захаров B.E.. Шабат А.Б. ЖЭТФ 1973, т. 64. с. 1627.
47.	Bendow В. et а!.. J. Opt. Soc. Am., 70. 539 (1980).	<•
48.	Blow К. J.. Doran N.J., Phys. Lett.. 107 A, 55 (1985).
49.	Emplit P. et al.. Opt. Commun., 62, 374 (1987).
50.	Krokel D. et al.. Phys. Rev. Lett., 60, 29 (1988).
5). Wai P. K. A. et al., Opt. Lett., 12. 628 (1987); IEEE J. Quantum Electron.,
QE-24. 373 (1988).
52.	Agrawal G.P.. Potasek M.J.. Phys. Rev., A3, 1765 (1986).
53.	Kaplan A. E„ Phys. Rev. Lett., 55, 1291 (1985); IEEE J. Quantum Electron.,
QE-21, 1538 (1985).
54.	Enns R H Rangnekar S.S., Opt 1 ett. 12. 108 (1987); IEEE J. Quantum
Electron., QE-23. 1199 (1987).
55.	Enns R H. Rangnekar S. E.. Kaplan I. E Phys. Rev., A35, 446 (1987); 36, 1270
(1987).
56.	Sipe J. £.. Winful H.G.. Opt. Lett., 13. 132 (1988).
57.	Mollenauer IF. Stolen R. H„ Opt. Lett., 9, 13 (1984).
58.	Mitsehke F.M., Mollenauer L. F.. IEEE J. Quantum Electron., QE-22, 2242
(1986).
59.	Mitsehke F.M.. Mollenauer L.F.. Opt. Lett., 12, 407 (1987).
60.	Blow K.J.. Wood D.. IEEE J. Quantum Electron., QE-22, 1109 (1986); J. Opt.
Soc. Am., B5, 629 (1988).
61.	If F. et al. Opt Commun., 57, 350 (1986); Physica, 320, 362 (1986).
Оптические солитоны
145
62.	Berg Р. et al.. Phys. Rev., A35, 4167 (1987).
63.	Belanger P.A., J. Opl. Soc. Am., B5, 793 (1988).
64.	Hasegawa A.. Kodama Y., Proc. IEEE, 69 1145 (1981). [Имеется перевод:
Хасэгава А.. Кодами Ю. ГИИЭР, 1981, т. 69 (9), с. 57.]; Opt. Lett., 7, 285
(1982).
65.	Doran N.J.. Blow К.J., IEEE J. Quantum Electron., QE-J9, 1883 (1983); Opt.
Commun. 42, 403 (1982).
66.	Kodama Y.. Hasegawa A.. Opt. Lett., 7, 339 (1982); 8, 342 (1983).
67.	Hasegawa A.. Opt. Lett., 8, 650 (1983).
68.	Hasegawa A.. Appl. Opt., 23, 3302 (1984).
69.	Mollenauer L.F.. Stolen R.H.. Islam M.N., Opt. Lett., 10. 229 (1985).
70.	Метик C.R., Chen H.H.. Lee Y.C.. Opt. Lett.. 10. 451 (1985).
71.	Дионов E.M. и dp.-ДАН СССР, 1985, т. 283. с. 1342.
72.	Mollenauer L.F., Gordon J. Р., Islam M.N.. IEEE J. Quantum Electron.,
QE-22. 157 (1986).
73.	Potasek M.J.. Agrawal G.P.. Electron. Lett., 22, 759 (1986).
74.	Tajima K.. Opt. Lett., 12, 54 (1987).
75.	Mollenauer L.F..Smith K.. Opt. Lett., 13. 675 (1988).
76.	Bion K.J., Doran N.J.. Opt. Commun., 52, 367 (1985).
"77 Anderson D„ Lisak M.. Opt Lett., 10, 390 (1985).
78.	Meinel R.. Opt. Commun., 47, 343 (1983).
79.	ДиановЕ.М.. Прохоров A. M.. Серкин B.H. ДАН СССР, 1983, т. 273,
с. 1112.
80.	Фаттахов А. М.. Чиркин А.С. Квант, электрон., 1984. т. 11, с. 2349.
81.	Lassen Н.Е. et aL. Opt. Lett., 10, 34 (1985).
82.	Desem C„ Chu P.L.. Opt. Lett., 11, 248 (1986).
83.	Blow K.J.. Wood D., Opt. Commun.. 58, 349 (1986).
84.	Майлшстов А. И., Скляров IO. M. Квант, электрон.. 1987. т. 14. с. 796.
85.	Белов М.Н. Квант, электрон., 1987, т. 14. с. 1627.
86.	Gouveia-Neto A. S.. Gomes A. S. L.. Taylor J. R., Opt. Commun., 64, 383 (1987).
87.	Karpman V.I.. Solovev V.V.. Physica, 3D, 487 (1981).
88.	Gordon J. P.. Opt.. Lett., 8 596 (1983).
89	Blow K.J.. Doran N.J.. Electron. Lett., 19, 429 (1983).
90.	Hermansson B„ Yevick D.. Electron. Lett., 19, 570 (1983).
91	ChuP.L., Desem C.. Technical Digest IOOC’83, Tokyo, 52 (1983); Electron
Lett.. 21, 228 (1985).
92.	Shiojiri E.. Fujii Y.. Appl. Opt., 24, 358 (1985).
93.	Chu P.L.. Desem C, Electron. Lett., 21, 1133 (1985).
94.	Anderson D.. Lisak M.. Phys. Rev.. A32, 2270 (1985); Opt. Lett., 11, 174 (1986).
95.	Пианов E.M.. Никонова 3.C.. Серкин B.H. Квант, электрон.. 1986. т. 13.
с. 1740.
96.	Mitsehke F.M.. Mollenauer L.F.. Opt. Lett., 12. 355 (1987).
97.	Chu P. L„ Desem C.. Opt. Lett., 12. 349 (1987); Electron. Lett., 23. 260 (1987).
98.	Chu P.L.. Desem С. IEE Proc.. 134. Pt. J. 145 (187).
99	Kodama Y.. Nozaki K. Opt. Lett. 12, 1038 (1987).
100	Gordon J.P.. Найт H. A . Opt Lett., 11, 665 (1986).
101.	Tzoar N„ Jain M.. Phys. Rev. A23, 1266 (1981).
Ю2. Anderson D.. Lisak M. Phys. Rev, A27, 139.3 (1983).
103.	Christodoulides D.N.. Joseph R. L. Appl. Phys. Lett.. 47, 76 (1985).
104.	Го.ювченко E.A. и dp.-Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 42, с. 74; ДАН СССР,
1986. т. 288, с. 851.
105.	Го.ювченко Е. А. и др. Письма в ЖЭТФ, 1987. т. 45, с. 73.
106.	Ohkuma К.. Ichikawa Y.H.. Abe Y, Opt. Lett., 12, 516 (1987).
107.	Mitsehke F.M.. Mollenauer L. F.. Opt. Lett., 11, 659 (1986).
108.	Gordon J.P.. Opt. Lett., 11. 662 (1986).
Ю9. Kodagia Y„ Hasegawa A.. IEEE j. Quantum Electron., QE-23, 510 (1987).
146	Глава 5
ПО. Zysset В.. Beaud Р., Hodel W., Appl. Phys. Lett., 50, 1027 (1987).
Ill	Выслоух В. А., Матвеева ТА. Квант, электрон., 1987, т. 14, с. 792.
112.	Серкин В.Н Письма в ЖТФ, 1987, т. 13, с. 772; 1987, т 13, с. 878.
113.	Грудинин А. Б. и др. Письма в ЖЭТФ, 1987, т. 46, с. 175.
114.	Hade! W., Weber HP., Opt. Lett., 12, 924 (1987).
115.	Beaud P. et al.. IEEE J. Quantum Electron., QE-23, 1938 (1987).
116.	Gouveia-Neto A.S., Gomes A. S.L., Taylor J. R.. IEEE J. Quantum Electron.,
QE-24, 332 (1988).
117.	Tai K. Hasegawa A., Bekki N.. Opt. Lett., 13, 392 (1988).
118.	Mjolhus E„ J. Plasma Phys., 16, 321 (1976); 19, 437 (1978).
119.	Mio K. et al., J. Phys. Soc. Jpn., 41, 265 (1976).
120.	Wadati M. Konno K„ Ichikawa F H„ J. Phys. Soc. Jpn., 46, 1965 (1979).
121.	Ichikawa YH et al., J. Phys. Soc. Jpn., 48, 279 (1980).
122.	Wai P.K.A. et al. Opt. Lett., 11, 464 (1986).
Глава 6
СЖАТИЕ ОПТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ
Одним из важнейших применений нелинейных эффектов в воло-
конных световодах является сжатие оптических импульсов; экспери-
ментально были получены импульсы длительностью вплоть до 6 фс.
В данной главе рассмотрены методы компрессии импульсов, их
теоретические и экспериментальные аспекты. В разд. 6.1 изложена
основная идея, представлены два вида компрессоров, обычно исполь-
зуемых для сжатия импульсов,- волоконно-решеточные компрессоры
и компрессоры, основанные на эффекте многосолитонного сжатия.
В волоконно-решеточном компрессоре используется отрезок воло-
конного световода с положительной дисперсией групповых скоро-
стей, за которым следует дисперсионная линия задержки с отрица-
тельной дисперсией групповых скоростей, представляющая собой
пару дифракционных решеток. Дисперсионная линия задержки рас-
смотрена в разд. 6.2, в то время как в разд. 6.3 представлены теория
и обзор экспериментальных результатов. В компрессорах, основан-
ных на эффекте многосолитонного сжатия, используются солитоны
высших порядков, которые существуют в световоде благодаря сов-
местному действию фазовой самомодуляции (ФСМ) и отрицательной
дисперсии. Теория такого компрессора представлена в разд. 6.4, далее
следуют экспериментальные результаты. Следует отметить, что в од-
ном из экспериментов по компрессии оптические импульсы были
сжаты в 5000 раз; при этом была использована двухкаскадная схема
сжатия, в которой за волоконно-решеточным компрессором следовал
оптимизированный компрессор, основанный на эффекте многосоли-
тонного сжатия.
6.1.	ВВЕДЕНИЕ
Идея, лежащая в основе компрессии оптических импульсов, заим-
ствована из физики сканирующих радаров, где импульсы на микро-
волновых частотах, имевшие частотную модуляцию, сжимались,
проходя через дисперсионную линию задержки [1]. Физический меха-
низм компрессии можно понять, обратившись к разд. 3.2, где рас-
сматривается распространение импульсов с частотной модуляцией
в линейной диспергирующей среде.
148
Глава 6
Такая среда при распространении по ней импульса вызывает
свипирование его частоты, обусловленное дисперсией. Если началь-
ная частотная модуляция противоположна по знаку частотной мо-
дуляции за счет дисперсии групповых скоростей, возможно их взаим-
ное сокращение, что приводит к тому, что конечный импульс стано-
вится короче начального. Так как частотная модуляция, вызванная
дисперсией, линейна [см. уравнение (3.2.13)], то для максимального
сжатия начальный импульс должен иметь линейную частотную мо-
дуляцию. Более того, точная компенсация частотной модуляции
происходит только на определенной длине [см. уравнение (3.2.19)].
Во временном представлении процесс сжатия можно представить
следующим образом. При наличии дисперсии групповых скоростей
различные частотные компоненты распространяются с разными ско-
ростями. Если передний фронт импульса задержать должным обра-
зом (так, чтобы он приходил одновременно с задним фронтом),
выходной импульс сжимается. Для сжатия импульса с положитель-
ной частотной модуляцией (частота нарастает к заднему фронту)
требуется отрицательная дисперсия групповых скоростей; при этом
длинноволновый передний фронт замедляется. С другой стороны, для
импульса с отрицательной частотной модуляцией требуется поло-
жительная дисперсия, для того чтобы замедлить коротковолновый
передний фронт.
В ранних работах по сжатию оптических импульсов [2 10] ис-
пользовались как положительная, так и отрицательная дисперсии
в зависимости от того, как на импульс накладывалась начальная
частотная модуляция. В случае отрицательной частотной модуляции
[3] средой с положительной дисперсией служили жидкости или газы
В случае положительной частотной модуляции оказалось, что наибо-
лее подходящим устройством с отрицательной дисперсией является
пара дифракционных решеток [4, 7]. В этих экспериментах при
сжатии импульсов не использовались нелинейные эффекты. Хотя
использовать ФСМ для компрессии импульсов было предложено еще
в 1969 г. [11, 12], эксперименты по сжатию импульсов при помощи
ФСМ начали проводиться лишь в 80-х годах, когда одномодовые
световоды из кварцевого стекла нашли широкое применение в ка-
честве нелинейной среды [13 38]. Были получены импульсы длитель-
ностью 6 фс на длине волны 620 нм [20], а также достигнут коэф-
фициент сжатия 5000 на длине волны 1,32 мкм [38]. Такой прогресс
был достигнут только благодаря детальному описанию динамики
импульса в волоконном световоде и оптимизации параметров све-
товода при помощи численного моделирования [39 47].
Компрессоры, основанные на нелинейных эффектах в волоконных
световодах, можно разделить на две категории, называемые здесь
волоконно-решеточными компрессорами и компрессорами, основан-
ными на эффекте многосолитонного сжатия. В волоконно-решеточ-
Сжатие оптических импульсов
149
ном компрессоре импульс сначала распространяется в световоде
в области положительной дисперсии групповых скоростей, а затем
происходит его сжатие при помощи пары дифракционных решеток.
Задача световода - наложить практически линейную частотную мо-
дуляцию за счет комбинации нелинейных и дисперсионных эффектов
[39]. Пара дифракционных решеток создает отрицательную диспер-
сию групповых скоростей, необходимую для сжатия импульсов с
положительной частотной модуляцией [4, 7]. С другой стороны,
компрессор, основанный на эффекте многосолитонного сжатия, со-
стоит только из отрезка световода специально подобранной длины.
Начальный импульс распространяется в области отрицательной дис-
персии световода и сжимается за счет совместного действия ФСМ
и дисперсии. Компрессия здесь обусловлена фазой начального сжа-
тия, через которую проходят все солитоны высших порядков до того,
как их начальная форма восстановится после одного периода соли-
тона (см. разд. 5.2). Коэффициент сжатия зависит от пиковой мощ-
ности импульса, определяющей порядок солитона N. Оба типа
компрессоров взаимно дополняют друг друга, работая обычно в раз-
ных областях спектра; граница определяется длиной волны нулевой
дисперсии (~ 1,3 мкм для кварцевых световодов). Таким образом,
волоконно-решеточный компрессор используется для сжатия импуль-
сов в видимой и ближней инфракрасной областях спектра, в то время
как компрессоры, основанные на эффекте многосолитонного сжатия,
используются в области 1,3-1,6 мкм. В области 1,3 мкм за счет
использования световодов со смещенной дисперсией можно приме-
нять компрессоры обоих типов. Двухкаскадная схема сжатия, где
использовались оба типа компрессоров, позволила получить коэф-
фициент сжатия 5000 в области 1,32 мкм [38].
6.2.	ПАРА ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК
В видимой и ближней инфракрасных областях спектра
(л $ 1,3 мкм) для сжатия импульсов обычно используют волоконно-
решеточный компрессор [14 33]. Задача пары дифракционных ре-
шеток создавать отрицательную дисперсию групповых скоростей [4,
7] для импульсов, имеющих положительную частотную модуляцию
после прохождения через световод. В данном разделе кратко описан
принцип действия пары дифракционных решеток [48 51]. На рис. 6.1
показана схема дисперсионной линии задержки, состоящей из пары
решеток; представлены соответствующие обозначения. Импульс па-
аает на первую из двух параллельных дифракционных решеток.
Различным частотным компонентам в спектре импульса соответ-
ствуют разные углы дифракции В результате разные частотные
компоненты испытывают различную временную задержку при про-
хождении через пару решеток. Оказывается, что оптический путь
150
Глава 6
Рис. 6.1. Схема дисперсионной линии задержки, состоящей из пары решеток
и обозначения для пары решеток.
коротковолновых компонент меньше, чем длинноволновых. В им-
пульсе с положительной частотной модуляцией коротковолновые
компоненты находятся у заднего фронта, в то время как передний
фронт состоит из длинноволновых. Таким образом, проходя через
пару решеток, передний фронт «встречается» с задним и происходит
сжатие импульса.
Частотная зависимость угла дифракции 0г определяется уравне-
нием дифракционной решетки. В случае дифракции первого порядка
6Г определяется уравнением
2тгс
sin 0Г = — — sin 0,,
соЛ
(6.2.1)
где 0,-угол падения и Л-период решетки (расстояние между штри-
хами). Предполагается, что как 0г. так и 0, находятся по одну сторону
от нормали к решетке.
Временная задержка определяется [7, 51]
/(со) </фс
td(to) =-----------------------= —,
с аы
(6.2.2)
где /(со) -оптический путь и фс((о) фазовый сдвиг. Оптический путь
можно определить из рис. 6.1, используя простые геометрические
соотношения [50],
cos (0_ — 0.)
/(со) = /, + /2 = d0
cos (0г)
Для дальнейшего анализа в разд. 6.3 получим выражения для
фазового сдвига, приобретаемого спектральной компонентой с ча-
стотой to. Полезно разложить это выражение в ряд в окрестности
несущей частоты соо:
(6.2.3)
фДсо) = ф0 + zj(o - (оо) - ас(со - со0)2 + Ьс(ы - соо)3 + ..., (6.2.4)
где ф0 постоянная, 1С— постоянная задержка, ас и Ьс принимают
Сжатие оптических импульсов
151
в расчет дисперсионные эффекты в паре решеток. Параметры ас и Ьс
можно получить, используя (6.2.1)-(6.2.4) и разлагая /(со) в ряд
Тейлора. В результате
4п2сЬ0
с (OqA2 cos2 0^, ’
4тг2с7>0(1 + sin 0, sin 0гО)
о>оЛ cos4 0rO
(6.2.5)
(6.2.6)
где 0гО определяется из (6.2.1) при условии о» = <о0, Ьо расстояние
между центрами решеток (Ло = d0 sec (0гО)). Для большинства прак-
тически значимых случаев ширина спектра Асо « соо, кубичным чле-
ном и членами высших порядков в разложении (6.2.4) можно пре-
небречь. Если пренебречь постоянным и линейным членами, фазовый
сдвиг приобретает вид
фс(ю) - ас(со - w0)2.
(6.2.7)
Поскольку ас в (6.2.5) есть положительная величина, ф,.((о)-отри-
цателен. Отрицательное значение фазового сдвига соответствует
отрицательной дисперсии групповых скоростей. Это легко понять,
рассмотрев поле на выходе после пары решеток. Если (7вх(Т)-поле
на входе, поле на выходе имеет вид
(Л = 7- f (<о - со0) ехр [/ф,(to) - zcoTJ Jw,	(6.2.8)
где (7ВЬ1Х (со) фурье-образ 12ВХ(Т), который определяется способом,
аналогичным уравнению (3.2.2). Сравнивая уравнения (6.2.8) и (3.2.5),
мы видим, что пара дифракционных решеток создает отрицательную
дисперсию групповых скоростей с эффективным дисперсионным па-
раметром:
Р^фф=-2«с/Л0.	(6.2.9)
Можно также определить эффективную дисперсионную длину,
используя при этом соотношение £/фф = То/|Р?Н1,|, где То-длитель-
ность начального импульса. Оценим порядок величины Р]фф, исполь-
зуя уравнения (6.2.5) и (6.2.9). В видимой области (Хо = 2тгс/соо
— 0,5 мкм) р]фф ~ 1 пс2/м, если принять А ~ 1 мкм. Это соответ-
ствует L]** ~ 1 м при То ~ 1 пс. Расстояние между решетками, необ-
ходимое для сжатия импульсов, зависит от величины частотной
модуляции; обычно Ьо составляет какую-то долю Е^фф [см. уравнение
(3.2.19)]. Для субпикосекундных импульсов Ьо ~ 10 см. Тем не менее
оно становится значительным (~ Юм) при То > 10 пс. Можно уве-
личить Ргфф, используя в уравнении (6.2.5) углы падения 0гО, близкие
к л/2. Однако, как видно из уравнения (6.2.6), в такой схеме возрастает
вклад дисперсионных членов высших порядков; необходимо поэтому
152
Глава 6
в уравнении (6.2.4) учитывать кубический член [48]. Также необходи-
мо учитывать кубический член для ультракоротких импульсов
(То < 10 фс), когда ширина спектра Лео становится сравнимой с со0
[49].
Недостатком пары решеток является то, что спектральные ком-
поненты импульса диспергируют не только во времени, но и в про-
странстве. В результате оптический пучок расходится между двумя
решетками; поперечное сечение его напоминает вытянутый эллипс,
а не круг. Такая деформация пучка явно нежелательна и становится
просто недопустимой при больших расстояниях между решетками.
Самое простое решение - отразить пучок обратно на решетки [52].
Такая двухпроходная схема не только восстанавливает исходное
поперечное сечение пучка, но и удваивает величину дисперсии груп-
повых скоростей, тем самым уменьшая расстояние между решетками
в 2 раза [21]. Небольшой наклон отражаюшего зеркала позволяет
разделить траектории сжатого и входного импульсов. На практике
почти повсеместно применяется двухпроходная схема.
Другой недостаток пары решеток-это ее дифракционные потери.
При дифракции первого порядка в импульсе обычно остается 60 80%
всей энергии. Это приводит к тому, что за один проход энергия
в импульсе уменьшается в 2 раза, а в двухкаскадной схеме в 4 раза.
Существуют две альтернативные схемы, которые могут создавать
отрицательную дисперсию при относительно меньших потерях; в не-
которых случаях они могут служить достойной заменой. Первая
схема использует интерферометр Жира Турнуа [2], предложенный
в 1964 г. для сжатия импульсов. Такой интерферометр может отра-
жать почти всю энергию импульса, при этом различные спектральные
компоненты приобретают дисперсионный фазовый сдвиг в виде
(6.2.7). Недавно было показано, что пара призм может создавать
отрицательную дисперсию при отражении [53]. Тем не менее тре-
буемое расстояние между призмами обычно на два порядка больше,
чем между решетками, из-за относительно малого значения диспер-
сии в кварцевом стекле. Это расстояние можно уменьшить, используя
такие материалы, как стекло из тяжелого флинта [54] или кристалл
ТеО2 [55]. Для призм из кристалла ТеО2 расстояние между ними
становится сравнимым с расстоянием между дифракционными ре-
шетками. В эксперименте [55] 800-фемтосекундные импульсы были
сжаты до 120 фс; при этом использовалась пара призм на расстоянии
25 см друг от друга. Поскольку потери энергии в паре призм можно
сократить до 2% и менее, их использование, вероятно, станет обще-
принятым. В качестве альтернативы паре решеток в работе [56] было
предложено использовать фазовую решетку, индуцированную в крис-
талле ультразвуковой волной со свипированной частотой. Если све-
товод обладает фоторефракцией, то, пользуясь стандартными мето-
дами голографии, внутри его сердцевины можно создать постоянную
Сжатие оптических импульсов
153
дифракционную решетку [57]. Такая фазовая решетка может со-
здавать отрицательную дисперсию в том же самом световоде, кото-
рый используется для создания линейной положительной частотной
модуляции в оптическом импульсе. При этом необходимость в паре
решеток отпадает [57].
6.3.	ВОЛОКОННО-РЕШЕТОЧНЫЕ КОМПРЕССОРЫ
В данном разделе изложена теория волоконно-решеточного ком-
прессора,, а также приведен обзор экспериментальных результатов по
сжатию сверхкоротких импульсов в видимой и ближней инфракрас-
ной областях спектра. Так как обычные кварцевые световоды имеют
положительную дисперсию только при длинах волн X 1,3 мкм,
такие компрессоры используются до длин волн порядка 1,32 мкм. На
рис. 6.2 показана схема волоконно-решеточного компрессора в двух-
проходной конфигурации [21]. Исходный импульс вводится в одно-
модовый, сохраняющий поляризацию волоконный световод через
микрообъектив; здесь импульс спектрально уширяется и приобретает
положительную частотную модуляцию по всей своей длине. Выход-
ной импульс попадает на пару решеток, где он сжимается благодаря
ее отрицательной дисперсии. Проходя пару решеток в противопо-
ложном направлении, импульс восстанавливает свое первоначальное
поперечное сечение. Зеркало Mj слегка наклонено для того,' чтобы
разделить входной и выходной пучки. Зеркало М2 выводит сжатый
импульс из компрессора без внесения каких-либо дополнительных
потерь.
6.3.1. ТЕОРИЯ
Хотя идея данной схемы довольно проста для того, чтобы
добиться оптимальной работы волоконно-решеточного компрессора,
необходимо ответить на несколько вопросов. Самыми основными
Рис. 6.2. Схема волоконно-решеточного компрессора, действующего по двух-
проходной схеме. Зеркало М2 (показано штриховой линией) находится выше
плоскости чертежа. Зеркало М, слегка наклонено для того, чтобы отделить
отраженный луч от падающего.
154
Глава 6
являются: 1) существует ли оптимальная длина световода, соответ-
ствующая данным значениям параметров импульса? 2) существует ли
оптимальное расстояние между решетками для получения высокока-
чественных импульсов с максимальной степенью сжатия? Чтобы
ответить на эти вопросы, следует рассмотреть, как исходный импульс
с определенными длительностью и пиковой мощностью распро-
страняется по световоду при наличии фазовой самомодуляции и дис-
персии групповых скоростей. Динамика импульса при данных усло-
виях была рассмотрена в разд. 4.2. Полезно использовать безразмер-
ный вид (4.2.1) уравнения распространения. При положительной
дисперсии (02 >0) это уравнение приобретает вид
2 dU ld2U
i-^—~--— + N2e-^\U\2U = 0,	(6.3.1)
nd(z/z0) 2 ст2
где т = Т/То,
л тгТо
z0 = -L„ =----°,	(6.3.2)
0 2 ° 2|р2|	1	'
а параметр JV, с учетом уравнения (4.2.3), определяется следующим
выражением:
, Ld уР^То
N=,=4rr-	(б.з.з)
t-NL I Р2 I
В (6.3.1)-(6.3.3) I/-безразмерная амплитуда, Ро пиковая мощ-
ность исходного импульса длительностью То, у нелинейный пара-
метр. Величины Ld и Lnl определены формулой (3.1.5). Параметр
z0 период солитона, введенный в разд. 5.2. Данное понятие оказы-
вается полезным и в области положительной дисперсии в том смысле,
что длительность импульса практически удваивается на этой длине
(z = z0) при отсутствии ФСМ [41].
Работа волоконно-решеточного компрессора может быть промо-
делирована следующим образом. Численно решается уравнение
(6.3.1) и получается U(z, т) на выходе световода. Далее данное
значение используется в качестве начального поля в преобразовании
(6.2.8), и получается сжатый импульс. Значение параметра ас в фор-
муле (6.2.7) можно изменять для того, чтобы оптимизировать работу
компрессора. Оптимальным компрессором является тот. у которого
расстояние между решетками соответствует оптимальной величине ас
так, что пиковая мощность сжатого импульса является наибольшей.
На практике волоконно-решеточный компрессор оптимизируется
именно таким способом. В дальнейшем мы пренебрегаем потерями
в световоде, поскольку необходимые длины световодов обычно малы
по сравнению с длиной поглощения (aL« 1).
Сначала рассмотрим случай чистой ФСМ без дисперсионных
Сжатие оптических импульсов
155
эффектов. В разд. 4.1 было показано, что при отсутствии дисперсии
форма импульса остается неизменной, в то время как его спектр
уширяется при распространении. С точки зрения компрессии импуль-
сов тем не менее более важной является частотная модуляция за счет
ФСМ.
На рис. 4.1 показано, что для гауссовского импульса в случае
ФСМ без дисперсии частотная модуляция линейна только в цен-
тральной части импульса. Когда такой импульс проходит через пару
решеток, отрицательная дисперсия сжимает только его центральную
часть. Так как значительная доля энергии остается в «крыльях»,
сжатый импульс получается не самого высокого качества.
Оказывается, что дисперсия световода может существенно улуч-
шить качество импульса [39]. Как показано в рис. 4.2, дисперсия
уширяет импульс так, что он становится почти прямоугольным (см.
рис 4.9). В то же самое время у импульса образуется практически
линейная частотная модуляция вдоль всей длины. В результате пара
решеток может сжать всю энергию импульса в узкий пик. На рис. 6.3
показаны [41] форма импульса на выходе световода, его частотная
модуляция и сжатый импульс при N = 5 и z/z0 = 0,5. Для сравнения
в верхнем ряду даны соответствующие рисунки при отсутствии
дисперсии для длины световода, выбранной так, что импульс сжима-
ется в одно и то же число раз в обоих случаях (N2z/z0 = 4.5). Хотя ни
Рис. 6.3. Форма импульса на выходе из световода, соответствующая частот-
ная модуляция и сжатый импульс при наличии (нижний ряд) и при отсутствии
(верхний ряд) дисперсии групповых скоростей. Параметры таковы, что
N2z/z0 = 4,5 для верхнего ряда, в то время как Л' = 5 и :/z0 = 0,5 для нижнего
Ряда [41]
156
Глава 6
N2, ни z0 не являются величинами, ограниченными в пределе Р2 = О,
их отношение остается конечным и его можно использовать для
сравнения обоих случаев. При сравнении двух рядов на рис. 6.3 видно
благотворное воздействие дисперсии на качество сжатого импульса,
что определяется линейностью его частотной модуляции. Данное
преимущество тем не менее достигается только за счет уменьшения
степени сжатия при данном значении начальной пиковой мощности
[41].
Для количественного описания работы волоконно-решеточного
компрессора полезно ввести два параметра
Fe = Tfwhm/^, Qc = | UBMX(0) | 2/Fc ,	(6.3.4)
где Тсжа1 длительность сжатого импульса на полувысоте (по интен-
сивности), 7J;WHM аналогичная величина для исходного импульса.
Ясно, что Ft-коэффициент сжатия. Параметр Qc является мерой
качества сжатых импульсов. На входе в световод данная величина
равна 1, и для сжатого импульса желательно Qc ~ 1, чтобы практи-
чески вся энергия была сосредоточена в центральном пике. Численное
моделирование показывает [41], что существует оптимальная длина
световода, для которой как Fc, так и Qc максимальны. На рис. 6.4
показана зависимость Fc и Qc от z/z0 при значениях N в диапазоне
1 20; предполагается, что начальный импульс имеет форму гипер-
болического секанса. Для относительно больших значений N(N 5)
максимумы для Fc и Qc очевидны, так что необходимо оптимизиро-
вать длину световода. Качественно наличие такой оптимальной
длины zopl можно понять следующим образом. При z < zopt частотная
модуляция за счет ФСМ еще не линеаризуется, в то время как при
z > zopt дисперсионные эффекты настолько уширяют импульс, что
ФСМ теряет свою эффективность. Действительно, zopl хорошо ап-
проксимируется (бСрСл,,.)1 2, что указывает на важность как дис-
персионных, так и нелинейных эффектов для сжатия импульса.
Для практического создания компрессоров полезно выписать ряд
простых правил, которыми и определяются длина световода и опти-
мальное расстояние между решетками; при выполнении этих правил
достигается максимальная степень сжатия при заданных значениях
параметров световода и параметров импульса. Можно использовать
численные результаты рис. 6 4 для получения следующих соотноше-
ний, справедливых при N » 1 [41]:
-„Р./-0	1-6/N,	(63.5)
— 1-6 /V,	(6.3.6)
1,FC~1,6/W,	(6.3.7)
где параметр решеток aL связан с оптимальным расстоянием между
ними соотношением (6.2.5). Численный коэффициент зависит от
Сжатие оптических импульсов
157
Рис. 6.4. Коэффициент сжатия Fc и параметр качества Qc как функции длины
световода при значениях N в диапазоне 1 20. Расстояние между решетками
в каждом случае оптимизировано гак, что пиковая мощность сжатого им-
пульса максимальна [41].
формы входного импульса, при этом он будет немного отличаться от
1.6. если форма импульса отличается от гиперболического секанса.
Тем не менее уравнения (6.3.5) — (6.3.7) дают хорошее приближение
для любых форм импульса при N 10. Похожие соотношения были
получены при аналитическом решении (6.3.1); был использован метод
ОЗР и сделаны определенные предположения о форме импульса и его
частотной модуляции [40]. Когда уравнения (6.3.5) (6.3.7) приме-
няют на практике, сначала оценивают параметр N для данных
значений пиковой мощности Ро и длительности (7]?WHM ~ 1,76ТО для
гиперболического секанса) Затем, используя (6.3.2) и (6.3.5). находят
Длину световода zopl, в то время как из (6.2.5) и (6.3.6) находят
расстояние между решетками. В конце концов из соотношения (6.3.7)
оценивают коэффициент сжатия.
Вышеизложенную теорию сжатия импульсов можно применять
в большинстве практически важных случаев, но не следует забывать
° ее ограничениях. Начнем с того, что предполагается отсутствие
частотной модуляции в исходном импульсе. В противном случае
158
Глава 6
эффект линейной частотной модуляции легко учесть, если решать
уравнение (6.3.1) численно при начальном условии вида (3.2.21), где
С-параметр частотной модуляции [47]. Для импульсов с отрица-
тельной частотной модуляцией (С < 0) оптимальная длина световода
возрастает, поскольку положительная частотная модуляция, созда-
ваемая световодом, должна скомпенсировать начальную отрицатель-
ную. В то же время коэффициент сжатия немного уменьшается
потому, что такая компенсация не является полной по всей длине
импульса. Обратное происходит в случае с положительной частотной
модуляцией (С > 0). Тем не менее для больших значений N (N > 10)
изменения в zop, и Fc относительно малы (< 10%) для импульсов,
ширина спектра которых не более чем в 2 раза превышает ширину
спектра импульса при отсутствии частотной модуляции. С этим
также связан вопрос о том, как будет влиять на сжатие импульсов
случайная частотная модуляция, возникающая из-за флуктуаций
амплитуды и фазы начальных импульсов. Моделирование по методу
Монте-Карло показывает [45], что среднее значение коэффициента
сжатия уменьшается на величину, зависящую от изменения шума, но
оптимальная длина световода остается практически неизменной.
Кроме того, теория ограничена также тем, что ее результаты (см.
рис. 6.4) следуют из уравнения (6.3.1), в котором пренебрегается
нелинейными и дисперсионными эффектами высших порядков. Это
оправданно, пока ширина спектра Aw « соо и результаты достаточно
точны для длительностей 0,1 пс. Для более коротких импульсов
следует использовать более общее уравнение распространения (2.3.35)
из разд. 2.3. Действие дисперсии нелинейности на динамику импульса
было рассмотрено в разд. 4.3. В общем случае как форма импульса,
так и его спектр становятся несимметричными (см. рис. 4.17 и 4.18).
Большее уширение спектра в коротковолновой части на рис. 4.18
обусловлено большей частотной модуляцией у заднего фронта по
сравнению с передним. Поэтому частотная модуляция перестает быть
линейной, как это было бы без дисперсии нелинейности; в общем
случае для фемтосекундных импульсов коэффициент сжатия умень-
шается по сравнению с предсказаниями рис. 6.4.
При То < 50 фс на работу волоконно-решеточного компрессора
накладывается еще более жесткое ограничение, связанное с тем, что
пара решеток уже не действует как квадратичный компрессор. Для
таких коротких импульсов ширина спектра настолько велика, что
кубичный член в разложении (6.2.4) становится сравнимым с квадра-
тичным, и его следует включить в уравнение (6.2.8). Численные
результаты показывают [46], что значительная часть энергии в сжа-
тых импульсах распространяются в форме осциллирующего заднего
фронта (аналогично рис. 3.7). В результате коэффициент сжатия
уменьшается по сравнению с рис. 6.4. Это ограничение является
фундаментальным, и его можно обойти [20], лишь найдя способ
Сжатие оптических импульсов
159
преодолеть действие кубичного члена в уравнении (6.2.4). Но, с дру-
гой стороны, можно использовать кубичный член для частичной
компенсации нелинейной частотной модуляции, вызванной диспер-
сией нелинейности [58].
Максимальное ограничение на работу волоконно-решеточных
компрессоров накладывается вынужденным комбинационным рас-
сеянием [59 62] (см. гл. 8). Хотя в соответствии с соотношением
(6.3.7) коэффициент сжатия Fc ~ N и его можно увеличивать, повы-
шай пиковую мощность начального импульса, на практике степень
сжатия ограничена. Это обусловлено тем, что пиковую мощность
импульса необходимо поддерживать ниже порога ВКР для того,
чтобы избежать перекачки энергии в стоксову компоненту. Более
того, даже если допустимы некоторые потери энергии, импульс,
соответствующий стоксовой компоненте, может взаимодействовать
с импульсом накачки через фазовую кросс-модуляцию; при этом
деформируется линейность частотной модуляции. Можно достичь
значительных коэффициентов сжатия даже в присутствии ВКР, оп-
тимизируя параметры конструкции [62]. Численные расчеты пока-
зывают [59, 60], что из-за взаимодействия стоксова импульса и им-
пульса накачки значительная доля энергии в импульсе остается вне
компрессии.
Работу компрессора можно усовершенствовать, используя метод
спектральной фильтрации [24], в котором для селектирования спект-
ра импульса рядом с зеркалом М, на рис. 6.2 помещается соответ-
ствующая диафрагма. Метод спектральной фильтрации достаточно
мощен [63-65], его можно использовать не только для того, чтобы
улучшить работу волоконно-решеточных компрессоров, но и для
того, чтобы управлять формой импульса, модифицируя спектр вну-
три компрессора. Это возможно, так как пара решеток простран-
ственно разделяет спектральные компоненты, и их можно модифи-
цировать (как по амплитуде, так и по фазе), используя маски,
расположенные у зеркала М, на рис. 6.2. Метод спектральной фильт-
рации рассмотрен в следующем подразделе.
6.3.2. ЭКСПЕРИМЕНТЫ
В первом эксперименте по сжатию импульсов в оптических све-
товодах [13] 5,5-пикосекундные (FWHM) начальные импульсы на
587 нм с пиковой мощностью 10 Вт распространялись через световод
Длиной 70 м. 20-пикосекундные выходные импульсы были почти
прямоугольны по форме и имели уширенный за счет ФСМ спектр
с практически линейной частотной модуляцией. Это свойство пред-
полагалрсь [39] из совместного действия дисперсии и нелинейности
(см. рис. 6.3). В качестве дисперсионной линии задержки вместо пары
Решеток использовался газ атомов натрия. Сжатые импульсы имели
160
Глава 6
длительность 1,5 пс. Коэффициент сжатия составлял 3,7, что нахо-
дится в согласии с результатами рис. 6.4, если учесть, что значения
параметров эксперимента соответствовали 7V 7 и z/z0 ~ 0,25. Дей-
ствительно, даже форма импульса на выходе из световода была
в хорошем согласии с численными решениями уравнения (6.3.1).
Данный метод получил распространение в фемтосекундную об-
ласть в работах Шенка и др. [14], которые использовали пару
решеток в качестве дисперсионной линии задержки. В их экспери-
ментах 90-фемтосекундные импульсы на 619 нм проходили через
15-сантиметровый отрезок световода и сжимались примерно до 30 фс
после прохождения через пару решеток. Параметры световода и па-
раметры импульса были таковы, что N ~ 3 и z/z0 = 1,5. Из рис. 6.4
ожидается коэффициент сжатия порядка 3. Данный эксперимент
привел к серии рекордных результатов [16-19], в которых длитель-
ность импульса была сокращена до примерно 8 фс, что соответство-
вало примерно четырем оптическим периодам. В экспериментах по
получению 8-фемтосекундных импульсов [19] 40-фемтосекундные
импульсы на 620 нм с пиковой мощностью ~ 1012 Вт/см2 проходили
через световод длиной 7 мм и затем сжимались до 8 фс на паре
решеток. На рис. 6.5 показана автокорреляционная функция сжатых
импульсов. Соответствующий спектр показан на рис. 4.18 (самый
верхний рисунок). Ширина спектра была примерно 70 нм, что ука-
зывает на то, что при идеальных условиях можно получить спек-
Рис. 6.5. Измеренная автокорреляционная функция импульса, сжатого при
помощи волоконно-решеточного компрессора (длительность начального
импульса составляла 40 фс). 12-фемтосекундная ширина АКФ соответствует
8-фемтосекундной длительности импульса в предположении, что начальный
импульс имеет форму гиперболического секанса [19].
Сжатие оптических импульсов
161
трально-ограниченные импульсы длительностью 6 фс. Оказывается,
что наиболее важным фактором, ограничивающим компрессию, яв-
ляется кубичное искажение фазы, возникающее из последнего члена
в разложении (6.2.4). В более позднем эксперименте [20] кубическая
фаза пары решеток была скомпенсирована за счет использования
последовательности призм, и импульс был действительно сжат до
6 фс. Такой импульс на 620 нм состоит только из трех оптических
периодов; в настоящее время это рекордно короткая длительность
импульса света!
Целью других экспериментов было достижение максимального
коэффициента сжатия. Коэффициент сжатия 12 был достигнут в экс-
перименте [15], где 5,4-пикосекундные начальные импульсы лазера на
красителе сжимались до 0,45 пс; при этом использовался световод
длиной 30 м. Большее значение коэффициента сжатия 65 было полу-
чено в двухкаскадной схеме компрессии, где импульсы последова-
тельно сжимались в двух волоконно-решеточных компрессорах. В
другом эксперименте [21] было осуществлено сжатие 33-пикосекунд-
ных импульсов второй гармоники Nd: YAG-лазера на 532 нм в од-
нокаскадной схеме; получен коэффициент сжатия 80. Данные импуль-
сы проходили через световод длиной 105 м, за ним следовала пара
решеток (оптимальное расстояние между ними Ьо = 7,24 м); в резуль-
тате сжатые импульсы имели длительность 0,41 пс. В этом экспери-
менте использовалась двухпроходная схема сжатия (см. рис. 6.2);
сейчас она общепринята. На рис. 6.6 показан сжатый импульс в срав-
нении с начальным. Соответствующие спектры аналогичны изобра-
женным на рис. 4.12. Входная пиковая мощность 240 Вт соответст-
вие. 6.6. Измеренные автокорреляционные функции исходного и сжатого
импульсов; коэффициент сжатия на одной стадии составляет значение 80 [21]
162
Глава 6
вует N ~ 145. Из формулы (6.3.7) следует коэффициент сжатия 90. что
находится в разумном согласии с экспериментальным значением 80.
Хотя в принципе возможны большие значения коэффициента сжатия,
на практике нельзя сильно увеличивать пиковую мощность, посколь-
ку возникает ВКР.
Эксперименты, описанные выше, были осуществлены в видимой
области спектра. Метод волоконно-решеточного сжатия получил
распространение и в ближнюю инфракрасную область спектра, где
были получены сверхкороткие импульсы на длинах волн 1,06 и
1,32 мкм [22—34]. Генерация исходных импульсов на этих длинах
волн обычно осуществляется Nd: YAG-лазером в режиме синхрони-
зации мод, при этом типичные значения длительности составляют
100 пс. В результате дисперсионная длина или параметр z0 относи-
тельно велики (~ 100 км). Из формулы (6.3.5) следует, что даже для
значений N — 100 оптимальная длина световода превышает 1 км
Оптимальное расстояние между решетками так же относительно
велико (b0 > 1 м), как это видно из (6.2.5) и (6.3.6).
• В первом эксперименте на длине волны 1,06 мкм [22] 60-пикосе-
кундные импульсы были сжаты в 15 раз после прохождения 10-мет-
рового световода и пары решеток (Ьо = 2,5 м). В другом эксперименте
[23] был достигнут коэффициент сжатия 45; использовались световод
длиной 300 м и компактная дисперсионная линия задержки из пары
решеток. Обычно в сжатых импульсах на 1,06 мкм значительная доля
энергии переносится в несжатых «крыльях» импульса, поскольку для
уменьшения оптических потерь обычно используют меньшие длины
световодов, чем те, которые предписаны уравнением (6.3.5). Когда
дисперсионные эффекты не проявляются до конца, только централь-
ная часть импульса имеет линейную частотную модуляцию и энергия
в «крыльях» остается несжатой. Для устранения этих «крыльев»
применяется метод спектральной фильтрации [24]. При этом исполь-
зуется тот факт, что «крылья» содержат спектральные компоненты
крайних частот спектра импульса; их можно устранить, помещая
диафрагму (или фильтр) рядом с зеркалом МА на рис. 6.2. На рис. 6.7
сравниваются автокорреляционные функции сжатых импульсов, по-
лученные со спектральной фильтрацией и без нее [64]. Начальные
75-пикосекундные импульсы были сжаты до ~ 0,8 пс в обычном
волоконно-решеточном компрессоре; при этом коэффициент сжатия
был более 90. При использовании метода спектральной фильтрации
«крылья» в сжатом импульсе были устранены, при этом длительность
импульса увеличилась лишь до 0,9 пс. Данный метод был исполь-
зован для генерации импульсов заданной фопмы за счет использо-
вания специального амплитудно-фазового экрана вместо обычной
диафрагмы [63-65]. Кроме того, для этих целей можно также
использовать [66] модуляцию по времени импульсов с частотной
модуляцией сразу на выходе из световода (до прохождения пары
Сжатие оптических импульсов
163
Время (пс)
Рис. 6.7. Измеренные автокорреляционные функции сжатых импульсов при
наличии (штриховая кривая) и при отсутствии (сплошная линия) спектральной
фильтрации. За счет спектральной фильтрации устраняются «крылья», в то
время как длительность импульса возрастает лишь до 0,9 пс [64].
решеток), с помощью таких методов волоконно-решеточный ком-
прессор можно преобразовать в многопрофильное устройство, ко-
торое можно использовать для формирования импульсов заданной
формы. Энергию в «крыльях» импульса можно также уменьшить,
используя эффект нелинейного двулучепреломления, в котором све-
товод действует как нелинейный дискриминатор [68].
Трудно получить коэффициенты сжатия более 100 для импульсов
на длине волны 1,06 мкм, это обусловлено возникновением ВКР.
В эксперименте [33] был достигнут коэффициент сжатия 110; 60-пико-
секундные импульсы при этом распространялись в 880-метровом
световоде. Можно достичь даже больших значений степени сжатия,
используя последовательность из двух волоконно-решеточных ком-
прессоров [26, 31]. В эксперименте [31] 90-пикосекундные импульсы
были сжаты до 0,2 пс; при этом общий коэффициент сжатия состав-
лял 450. В то же время пиковая мощность возросла с 480 Вт до 8 кВт.
Каждый из компрессоров давал коэффициент сжатия 21. Необходимо
упомянуть, что, хотя после первого компрессора в «крыльях» им-
пульса была сосредоточена значительная доля энергии, импульсы
после второго компрессора имели высокую контрастность. Причина
заключалась в том, что импульсы имели различную начальную
Длительность. 4,2-пикосекун <ные импульсы, вводимые во второй
компрессор, достаточно коротки, и дисперсия способна линеаризо-
164
Глава 6
вать частотную модуляцию вдоль всего импульса. Результаты экс-
перимента находятся в хорошем согласии с теорией.
Метод волоконно-решеточного сжатия был распространен на
1,32 мкм, длину волны, на которой Nd: YAG-лазер с синхронизацией
мод способен генерировать мощные импульсы примерно 100-пико-
секундной длительности [27, 30]. Тем не менее, так как обычные
кварцевые световоды имеют положительную дисперсию только при
X < 1.3 мкм. необходимо использовать световоды со смещенной дис-
персией (см. разд. 1.2) с длиной волны нулевой дисперсии вблизи
1,55 мкм. Оптимальная длина световода в формуле (6.3.5) обычно
превышает 2 км. Тем не менее из-за малых потерь в световоде на
1,32 мкм (~ 0,4 дБ,'км) данная величина не накладывает ограничений
на длину световода. В эксперименте [30] был реализован коэффици-
ент сжатия 50; 100-пикосекундные импульсы сначала распространя-
лись через 2-километровый световод со смещенной дисперсией (нуле-
вая дисперсия на 1,59 мкм). Для того чтобы уменьшить расстояние
между решетками до разумных величин, длина световода была
выбрана меньше оптимальной (сор| ~ 3,3 км). Уравнение (6.3.7) пред-
сказывает коэффициент сжатия 80, если длина световода и расстояние
между решетками являются оптимальными (N ~ 130 для параметров
эксперимента).
Использование длины волны 1,32 мкм имеет то преимущество,
что пару решеток можно заменить отрезком световода, так что
возможно реализовать полностью волоконный компрессор [27]. Два
световода с положительным и отрицательным коэффициентами дис-
персии Р2 свариваются вместе и образуют компрессор. Световод
с положительным |32 создает линейную частотную модуляцию, в то
время как световод с отрицательным р2 сжимает этот импульс.
Необходимо оптимизировать длину обоих световодов согласно урав-
нениям (6.3.5) и (6.3.6). Параметр а, заменяется на — p2L2/2 согласно
(6.2.9), где L2 оптимальная длина второго световода с отрицатель-
ным Р2. При экспериментальном осуществлении этой концепции [27]
130-пикосекундные импульсы были сжаты до ~ 50 пс; использовался
2-километровый световоде Р2 ~ 18.4 пс2/км и 8-километровый свето-
вод с Р2 — — 4,6 пс2 -км. В экспериментах [36 38] использовался
метод двухкаскадного сжатия, в котором за волоконно-решеточным
компрессором следует световод с отрицательной дисперсией; получен
общий коэффициент сжатия 5000. В этих экспериментах сокращение
длительности импульса во втором каскаде происходило из-за эффек-
та многосолитонного сжатия; данный вопрос рассматривается в сле-
дующем разделе.
Сжатие оптических импульсов
165
6.4. КОМПРЕССОРЫ, ОСНОВАННЫЕ
НА ЭФФЕКТЕ МНОГОСОЛИТОННОГО СЖАТИЯ
Когда импульсы с длиной волны более 1,3 мкм распространяются
в световодах, изготовленных из кварцевого стекла, на их динамику
обычно оказывают влияние ФСМ и отрицательная дисперсия. Такой
световод может сам действовать как компрессор; при этом исчезает
необходимость в паре решеток. Механизм компрессии связан с фун-
даментальным свойством солитонов высших порядков. Как показано
в разд. 5.2, эти солитоны имеют периодичную картину эволюции, при
этом в начале каждого периода происходит сжатие (см. рис. 5.4).
Соответствующим выбором длины световода можно сжать началь-
ные импульсы; коэффициент сжатия при этом зависит от порядка
солитона N. Такой компрессор называется компрессором, основан-
ным на эффекте многосолитонного сжатия (или просто солитонным
компрессором), чтобы подчеркнуть роль солитонов. В данном раз-
деле изложены теория и экспериментальные результаты, полученные
при использовании солитонных компрессоров.
6.4.1. ТЕОРИЯ
Если для простоты пренебречь потерями в световоде, то динамика
солитона порядка N описывается уравнением (5.2.2). Пренебрежение
потерями оправдано тем, что рабочие длины световодов обычно
составляют малую долю длины поглощения (aL« 1). Вводя период
солитона г0 из уравнения (6.3.2) и используя условие Р2 < 0, можно
привести уравнение (5.2.2) к виду
2 eV lc2U
i-——-~T + N2\U\2U = 0,	(6.4.1)
лс(д/с0) 2 от2
где параметр N определен в (6.3.3). Хотя солитоны высших порядков
имеют периодичное поведение лишь при целых значениях N, для того
чтобы описать динамику импульса, можно решать уравнение (6.4.1)
при любых значениях N. Вобщем случае исходный импульс испы-
тывает сжатие на начальном этапе распространения при всех значе-
ниях N > 1. Оптимальная длина световода г()р1 соответствует точке,
в которой длительность центрального пика минимальна. Коэффици-
ент сжатия есть отношение длительностей исходного и сжатого
импульсов.
Чтобы найти коэффициент сжатия Fc и оптимальную длину
световода сор| как функции N. использовались численные методы [34].
Чтобы получить данные величины при целых N, можно использовать
метод ОЗР. На рис. 6.8 показаны зависимости F~' и -Ор1/-о от N для
величин N в диапазоне 1 15. На рисунке также изображен параметр
качества Q(., определенный как доля энергии начального импульса,
166
Глава 6
Рис. 6.8. Зависимость коэффициента сжатия Fc, оптимальной длины свето-
вода zonT и параметра качества Qc от параметра N. Светлые кружки соот-
ветствуют целым значениям IV. Данные соответствуют экспериментам, вы-
полненным с 320-метровым (крестики) и 100-метровым (темный кружок)
световодами [34].
сосредоточенная в сжатом пике. В противоположность волоконно-
решеточному компрессору, (£с здесь значительно меньше, чем идеаль-
ная величина 1, и монотонно уменьшается с ростом N. Данный
недостаток присущ солитонным компрессорам. Оставшаяся доля
энергии оказывается в . крыльях» импульса в форме широкого пье-
дестала вокруг сжатого пика. Можно следующим образом пояснить
происхождение такого пьедестала. В начальной стадии многосоли-
тонного сжатия доминирующее воздействие оказывает ФСМ. По-
скольку частотная модуляция, вызванная ФСМ, линейна только
в центральной части импульса, только центральная область его
сжимается за счет отрицательной дисперсии. Энергия в «крыльях»
импульса остается несжатой и проявляется в виде широкого пье-
дестала.
Результаты рис. 6.8 и численное моделирование до N = 50 пока-
зывают, что коэффициент сжатия Fc и оптимальная длина световода
для солитонного компрессора хорошо аппроксимируются эмпири-
ческими соотношениями [43]
FC~4,UV,
(6.4.2)
Сжатие оптических импульсов
167
0,32	1,1
~JT+N2'
(6.4.3)
Данные зависимости справедливы с точностью до нескольких про-
центов при N > 10 и могут служить простыми правилами, анало-
гичными уравнениям (6.3.5) (6 3 7) для волоконно-решеточных ком-
прессоров. Непосредственное сравнение показывает, что при одних
и тех же значениях N и z0 солитонный компрессор дает коэффициент
сжатия в 6,5 раз больше; при этом длина световода короче в 5 раз.
При этом, однако, качество сжатого импульса ниже, так как в нем
находится лишь доля начальной шергии. Оставшаяся энергия со-
держится в широком пьедестале.
6 4.2. ЭКСПЕРИМЕНТЫ
В первом эксперименте [34] 7-пикосекундные исходные импульсы
от лазера на центрах окраски с синхронизацией мод, работающего
вблизи 1,5 мкм, распространялись через 320-метровый световод
(д/з0 = 0,25). Когда пиковая мощность начальных импульсов пре-
вышала 1,2 Вт (уровень мощности, соответствующий фундаменталь-
ному солитону), выходные импульсы становились короче начальных
на величину, которая возрастала при увеличении N. Наблюдаемые
значения коэффициента сжатия показаны на рис. 6.8 (крестики) для
трех значений N. Коэффициент сжатия был близок к теоретическому
Время (пс)
1’ис. 6.9. Автокорреляционная функция импульса, сжатого до 0.26 пс (дли-
тельность исходного импульса составляла 7 пс): использовался эффект мно-
1осолитонного сжатия. Штриховая и сплошная кривые даны для сравнения
пьедестала при наличии и при отсутствии нелинейного двулучепреломления
168
Глава 6
(~ 8) при N = 3, но становился существенно меньше теоретического
при больших значениях N. Это можно понять, вспомнив, что длина
световода 320 м близка к оптимальной при N = 3, но становится
слишком большой при больших значениях N. Действительно, умень-
шив длину световода до 100 м (z/z0 ~ 0,077), коэффициент сжатия
увеличили до 27 при N = 13. Автокорреляционная функция 0,26-пико-
секундного сжатого импульса показана на рис. 6.9.
Оказалось, что при наилучших условиях эксперимента можно
подавить широкий пьедестал, характерный для сжатого импульса.
Такое подавление приписано нелинейному двулучепреломлению све-
товода, которое заставляет его работать в качестве нелинейного
дискриминатора [68, 69].
Данный механизм в принципе может полностью устранить пье-
дестал [68]. Можно также устранить пьедестал, отфильтровав низко-
частотные компоненты сжатого импульса, которые и связаны с пье-
десталом. Численные расчеты показывают [70], что полоса про-
пускания Avz такого фильтра связана с параметром N и длитель-
ностью начального импульса 7FVVHM соотношением
Avj ~ 0,2(A/Tfwhm),	(6.4.4)
где численный коэффициент несущественно зависит от формы на-
чального импульса.
Солитонные компрессоры можно использовать для получения
очень больших коэффициентов сжатия. В эксперименте [35] был
продемонстрирован коэффициент сжатия ПО, когда 30-пикосекунд-
ные импульсы от параметрического генератора света (длина волны
генерации около 1,6 мкм) были сжаты до 275 фс при распространении
через световод длиной 250 м. Длина световода была близка к опти-
мальной, если предположить N ~ 28 (соответствует пиковой мощно-
сти 0,6 кВт) и учесть, что z0 ~ 20 км для 30-пикосекундных начальных
импульсов. Наблюдаемое сжатие также находится в близком со-
гласии с (6.4.2).
В экспериментах [36-38] были получены коэффициенты сжатия
~ 1000; при этом использовалось сжатие в две стадии, когда за
волоконно-решеточным компрессором следовал солитонный ком-
прессор. В этих экспериментах использовались 100-пикосекундные
импульсы Nd: YAG-лазера с синхронизацией мод, работающего на
длине волны 1,32 мкм. На первой стадии использовался волоконно-
решеточный компрессор; здесь получены импульсы длительности
порядка 1-2 пс. Затем эти импульсы направлялись в солитонный
компрессор; длина световода при этом была тщательно подобрана,
что позволило получить коэффициент сжатия порядка 50. В экспе-
рименте [38] исходные 90-пикосекундные импульсы были сжаты до
18 фс (содержат только четыре оптических периода) при компрессии
в две стадии, общий коэффициент сжатия составлял 5000. На рис. 6.10
Сжатие оптических импульсов
169
К*	2 пс	Н	’ длина ВоЛны (мкм)
Рис. 6.10. Автокорреляционная функция и спектр 18-фемтосекундного им-
пульса, полученного при сжатии начального 90-пикосекундного импульса
в две стадии [38]
показаны автокорреляционная функция и спектр 18-фемтосекундного
импульса. Узкий центральный пик в спектре соответствует пьедесталу
в автокорреляционной функции; в нем содержится 69% всей энергии.
Оказалось, что в экспериментах по получению фемтосекундных
импульсов [37, 38] оптимальная длина световода более чем в 2,5 раза
превышает предсказанную соотношением (6.4.3). Это неудивительно,
поскольку соотношение (6.4.3) основано на численном решении урав-
нения (6.4.1), где пренебрегается дисперсионными и нелинейными
эффектами высших порядков, что недопустимо при импульсах короче
100 фс. Чтобы точно определить оптимальную длину световода,
следует использовать уравнение (5.5.1), где учтены эффекты кубичной
исперсии, дисперсии нелинейности и задержки нелинейного отклика
в волоконных световодах. Как было показано в разд. 5.5, решающий
вклад вносится задержкой нелинейного отклика (член, пропорцио-
нальный времени отклика TR). Данный эффект проявляется в виде
сдвига спектра импульса в длинноволновую область (см. рис. 5.20).
С длинноволновым сдвигом связана задержка оптического импульса.
Такая задержка существенно влияет на взаимодействие между дис-
персией и ФСМ (что определяет сжатие импульса). Численные рас-
четы действительно показывают, что оптимальная длина световода
больше, чем предсказано уравнением (6.4.1).
В заключение отметим, что методы компрессии оптических им-
пульсов представляют прекрасную иллюстрацию того, как можно
практически использовать нелинейные явления в волоконных свето-
водах. Это имеет и огромную практическую значимость. Данные
методы позволяют получать импульсы длительностью лишь в не-
сколько оптических периодов как в видимой, так и в ближней
инфракрасной областях спектра. Такие фемтосекундные импульсы
могут быть полезны для исследования сверхбыстрых процессов в
170
Глава 6
атомах, молекулах и кристаллах. С практической точки зрения
волоконно-решеточные компрессоры разработаны настолько хоро-
шо, что производятся в промышленных условиях.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Klauder J. R. et al.. Bell. Syst. Tech. J., 39, 745 (I960).
2.	Gires F., Tournois P„ Compt. Rend. Acad. Sei., 258 6112 (1964).
3.	Giordmaine J. A.. Duguay M.A., Hansen J. W., IEEE J. Quantum Electron.,
QE-4, 252 (1968).
4.	Treaty E. B„ Phys. Lett., A28, 34 (1968).
5.	Duguay M.A., Hansen J. W„ Appl. Phys. Lett., 14, 14 (1969).
6.	Laubereau A.., Phys. Lett., A29, 539 (1969).
7.	Treaty E.B. IEEE J. Quantum Electron., QE-5, 454 (1969).
8.	Laubereau A., von der Linde D., Z. Naturforsch., A25, 1626 (1970).
9.	Grischkowsky D Appl. Phys. Lett., 25, 566 (1974).
10.	Wigmore J. K„ Grischkowsky D„ IEEE J Quantum Electron., QE-14, 310 (1978).
II.	Fisher R.A., Kelley P. L., Gustafson T. K.. Appl. Phys. Lett., 14, 140 (1969).
12.	Зельдович Б.Я., Собелъмап И. И -Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 13, с. 182.
13.	Nakatsuka Н„ Grischkowsky D„ Balant А. С., Phys. Rev. Lett., 47, 910 (1981).
14.	Shank С. V. et al., Appl. Phys. Lett., 40, 761 (1982).
15.	Nikolaus B., Grischkowsky D., Appl. Phys, lett., 42, 1 (1983); Appl. Phys. Lett., 43,
228 (1983).
16.	Fujimoto J. G„ Weiner A.M., Ippen E.P., Appl. Phys. Lett,, 44, 832 (1984).
17.	Halbout J. -M Grischkowsky d„ Appl Phys. Lett., 45, 1281 (1984).
18.	Palfrey S.L. Grischkowsky D.. Opt. Lett., 10, 562 (1985).
19.	Knox W.H. et al.. Appl. Phys. Lett., 46, 1120 (1985).
20.	Fork R.L. et al Opt. Lett.. 12, 483 (1987).
21.	Johnson A.M.. Stolen R. H., Simpson W.M., Appl. Phys. Lett., 44, 729 (1984).
22.	Диаиов E.M. и др. Квант, электрон., 1984, т. 11, с. 1078
23.	Kafka J. D. et al., Opt. Lett., 9, 505 (1984).
24.	Heritage J.P. et al., Appl. Phys. Lett., 47, 87 (1985).
25.	Damm T. et al.. Opt. Lett., 10, 176 (1985).
26.	Gomes A.S.L., Sibbett W„ Taylor J. R., Opt. Lett., 10, 338 (1985).
27.	Blow K.J., Doran N.J.. Nelson B.P., Opt. Lett., 10, 393 (1985).
28.	Gomes A. S.L. et al.. Opt. Commun., 53, 377 (1985).
29.	Strickland B.. Mourou G., Opt. Commun., 55, 447 (1985).
30.	Tai K„ Tomita A., Appl Phys. Lett., 48 309 (1986).
31.	Zyssct B. et al.. Opt. Lett., 11, 156 (1986).
32.	Talk B.. Filhelmsson K., Salour M.M., Appl. Phys. Lett., 50, 656 (1987).
33.	Диаиов E.M. и dp.-Квант. электрон., 1987, т. 14, с. 662.
34.	Mollenauer L.F. et al.. Opt. Lett., 8, 289 (1983).
35.	Диаиов E.M. и Эр.-Письма в ЖЭТФ, 1984, т. 40, с. 148.
36.	Tai К., Tomita А„ Appl. Phys. Lett., 48, 1033 (1986).
37.	Gouveia-Neto A.S., Goines A.S.L., Taylor J.R., Opt. Lett., 12, 395 (1987).
38.	Gouveia-Neto A.S., Gomes A.S.L., Taylor J. R., J. Mod. Opt., 35, 7 (1988).
39.	Grischkowsky D Balant A.C.. Appl. Phys. Lett., 41, 1 (1982).
40.	Meinel R.. Opt. Commun., 47, 343 (1983).
41.	Tomlinson W.J.. Stolen R.H., Shank C. V„ J. Opt. Soc. Am., Bl, 139 (1984).
42.	Выслоух В. А. и др Изв. АН СССР, сер физ , 1985, т. 49 (3), с 573
43.	Диаиов Е.М. и др Письма в ЖТФ, 1986, т. 12, с. 756.
44.	Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А.С.УФН, 1986, т. 149. с. 449.
45.	Выслоух В. А., Мурад чи Л. X. Квант, электрон., 1987, т. 14, с. 1437.
46.	Tomlinson W.J., Knox W Н„ J. Opt. Soc. Am., B4, 1404 (1987).
47.	Mestdagh D„ Appl. Opt., 26, 5234 (1987).
Сжатие оптических импульсов
171
48.	McMullen J.M.. Appl. Opt., 18, 737 (1979).
49	Cristov J.P.. Tomov I. V., Opt. Commun., 58, 338 (1986).
50.	Brorson S.D., Haus H.A Appl. Opt., 27, 23 (1988).
51	Brorson S.D., Haus H.A , J Opt. Soc. Am., B5. 247 (1988).
52.	Dehois J., Gires F„ Tournois P., IEEE J. Quantum Electron., QE-9, 213 (1973).
53.	Martinez O.E.. Gordon G.P Fork R.L., J. Opt. Soc Am., Al, 1003 (1984).
54.	Kafka J. D., Baer T. Opt. Lett., 12, 401 (1987).
55.	Nakazawa M. et al., J. Opt. Soc. Am, B5, 215 (1988).
56.	Пожар B E., Пустовойт В. И. Квант, электрон., 1987, т. 14, с. 811.
57.	Winful H.G. Appl. Phys. Lett., 46, 527 (1985).
58.	Kubota H„ Nakazawa M„ Opt. Commun. 66, 79 (1988).
59.	Nakashima T. et al., Opt. Lett., 12, 404 (1987).
60.	Weiner A.M., Heristage J. P„ Stolen R.H., J. Opt. Soc. Am., B5, 364 (1988).
61.	Gomes A.S.L., Gouveia-Neto A.S., Taylor J.R., Opt Quantum Ecectron., 20, 95
(1988).
62.	Kuckartz M„ Schulz R„ Harde H„ J. Opt. Soc. Am., B5, 1353 (1988).
63	Heritage J. P„ Weiner A M Thurston R.N., Opt. Lett., 10, 609 (1985).
64.	Weiner A.M., Heritage J. P„ Thurston R.N.. Opt. Lett., 11, 153 (1986).
65.	Thurston R.N. et al., IEEE J. Quantum Electron., QE-22, 682 (1986).
66.	Haner M., Warren W.S., Appl. Phys. Lett., 52, 1458 (1988).
67.	Halas N.J.. Grischkowsky D„ Appl. Phys. Lett., 48, 823 (1986).
68.	Stolen R.H.. Botineau J., Ashkin A., Opt. Lett., 7, 512 (1982).
69.	Nikolaus B„ Grischkowsky D„ Balant A.C., Opt. Lett., 8, 189 (1983).
70.	Цианов E.M. и 0р.-Письма в ЖТФ, 1986, т. 12, с. 752.
Глава 7
ФАЗОВАЯ КРОСС-МОДУЛЯЦИЯ (ФКМ)
Когда две и более оптические волны вместе распространяются по
световоду, из-за нелинейности световода они могут взаимодейство-
вать друг с другом. Вообще, в результате этого за счет таких
эффектов, как вынужденное комбинационное рассеяние, вынужденное
рассеяние Мандельштама Бриллюэна, генерация гармоник, четырех-
волновое смешение, при определенных условиях могут возникать
новые волны; все эти процессы рассматриваются в гл. 8-10. В то же
время нелинейность световода вызывает взаимодействие между
распространяющимися волнами за счет эффекта, называемого фа-
зовой кросс-модуляцией (ФКМ). ФКМ всегда сопровождается фа-
зовой самомодуляцией (ФСМ) и возникает из-за того, что эффектив-
ный показатель преломления какой-либо волны зависит не только от
интенсивности самой этой волны, но и от интенсивности других волн,
распространяющихся с ней совместно [1, 2].
Взаимодействие оптических волн в световоде за счет ФКМ при-
водит к интересным нелинейным эффектам. В разд. 7.1 рассматри-
вается подобная связь между двумя волнами с одинаковыми поля-
ризациями, но с разными частотами, а также между волнами с одной
и той же частотой, но с различными состояниями поляризации.
В последнем случае нелинейное двулучепреломление за счет ФКМ
находит свое практическое применение в керровских затворах и
нелинейных дискриминаторах. В то же время оно является причи-
ной поляризационной неустойчивости. Это явление рассмотрено
в разд. 7.2. В разд. 7.3 рассматривается модуляционная неустойчи-
вость, вызванная ФКМ; примечательно, что она может возникать
даже в области положительной дисперсии световода. В разд. 7.4
рассматривается влияние ФКМ на форму и спектр попутно рас-
пространяющихся сверхкоротких импульсов. В разд. 7.5 рассмотрены
взаимодействие встречно распространяющихся волн за счет ФКМ,
а также его воздействие на работу лазерных гироскопов. В разд. 7.6
рассказано о значении ФКМ для систем волоконной связи.
Фазовая кросс-модуляция
173
7.1. НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ,
ОБУСЛОВЛЕННОЕ ФКМ
В данном разделе развита теория из разд. 2.3 применительно
к случаю двух оптических импульсов, распространяющихся вместе
в одномодовом световоде. Будет рассмотрено происхождение ФКМ.
В общем случае два оптических поля могут отличаться не только
своими длинами волн, но и состояниями поляризации. Далее,
поляризация каждого поля может при распространении изменяться
в результате оптически индуцированного нелинейного двулучепре-
ломления. Такие самоиндуцированные поляризационные эффекты
наблюдались еще в 1964 г. [3, 4], и с тех пор они широко исследуются
применительно к оптическому эффекту Керра [5 11]. В данном
разделе оба случая рассмотрены отдельно. Сначала мы рассмотрим
случай, когда две оптические волны с разными длинами волн линейно
поляризованы вдоль одной из главных осей световода, поддержи-
вающего поляризацию, так что они могут сохранять свою поля-
ризацию при распространении. Ниже рассмотрена связь между ком-
понентами вектора поляризации одной и той же оптической волны,
вызванная ФКМ; при этом учитывается действие как собственного
межмодового двулучепреломления, так и оптически индуцированного
нелинейного двулучепреломления.
7.1.1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН,
ИМЕЮЩИХ РАЗЛИЧНЫЕ ЧАСТОТЫ
В квазимонохроматическом приближении полезно отделить быст-
роменяющуюся часть вектора электрического поля, записав его
в виде
Е(г, г) = -.v [С, ехр( — ItOj t) + £2ехр( — zto2/)] + компл. сопр.. (7.1.1)
1Де д единичный вектор гс тяризации. coL и со2 несущие частоты
твух импульсов; предполагается, чго соответствующие амплитуды Е±
и Е2 являются медленно меняющимися функциями времени в
масштабе времени со/ 1 (J - 1 или 2). Данное предположение экви-
валентно предположению \<о7« где Дю—ширина спектра; это
справедливо для импулы.эв длительностью >0.1 пс. Динамика
медленно меняющихся амплитуд Ег и Е2 определяется волновым
Уравнением (2.3.1) с линейной и нелинейной поляризациями, опре-
деляемыми (2.3.5) и (2.3.6).
Для того чтобы понять причину ФКМ. подставим уравнение
(7.1.1) в (2.3.6); в результате получим
P/vl(E 0 = |л{Рм.(оэ1)ехр(-/оэ10 + /\Дсо Лехр(-код) +
174
Глава 7
+ PNL(2a1 - со2)ехр[-/(2со1 - co2)z] +
+ PNL(2(&2 — cojexpf —j(2<o2 — c£>i)Z]} + компл. conp.,
(7.1.2)
где
PNL^> = X^d^i I2 + 21 E2\2) E,,	(7.1.3)
Pnl (®2) = Хэфф (I E212 + 2| £t |2) E2,	(7.1.4)
PNL(2al-a2) = x^E2lEl,	(7.1.5)
Pnl(2®2 —' ®i) = ХэффP2P-*	(7 1 -0
или
Хэфф^Ххххх-	<71’7)
Явная зависимость тензора xSxx от частоты не показана, по-
скольку его дисперсией мы пренебрегли.
Индуцированная нелинейная поляризация в (7.1.2) имеет члены,
осциллирующие с новыми частотами 2<о1 — со2 и 2со2 —со,. Эти члены
возникают из-за четырехволнового смешения, что будет рассмотрено
в гл. 10. Для эффективной генерации новых частотных компонент
необходимо удовлетворить условию фазового синхронизма, чего на
практике обычно не происходит, если не принять специальных мер.
Предполагая, что фазовый синхронизм отсутствует, мы пренебрежем
в данной главе четырехволновым смешением. Оставшихся два члена
создают вклад в показатель преломления. Определить его можно,
записав PNL(<f>j) в виде (J = 1,2)
PNL(<aj) = Eo^LEj	(7.1.8)
и комбинируя ее с линейной частью так, что полная поляризация
записывается в виде
Р(<оу) = EoEjEj,	(7.1.9)
где
е. = е} + e*L = (и. + Д„ ,)2,	(7.1.10)
«^-линейная часть показателя преломления и Дл;-его изменение,
вызванное нелинейными эффектами третьего порядка. При условии
Д«7« нелинейная часть показателя преломления определяется как
Длу^е^/глу^ л2(|£/ + 2|£3_у|2),	(7.1.11)
где нелинейный коэффициент показателя преломления
«2 = |-х^хх;	(7-1.12)
8и
здесь предполагается, что показатели преломления сердцевины
Фазовая кросс-модуляция
175
и оболочки световода практически совпадают и равны п. Параметр п2
тот же самый, что и в (2.3.13).
Формула (7.1.11) показывает, что показатель преломления оп-
тической волны зависит не только от интенсивности самой волны, но
также и от интенсивности других волн, распространяющихся вместе
с данной. Так как волна распространяется по световоду, она
приобретает зависящую от интенсивности нелинейную фазу
= Дл). = _^_20£.|2 + 2|£з ,|2Ъ	(7.1.13)
где7=1 или 2. Первое слагаемое отвечает за ФСМ (см. гл. 4). Второе
возникает из-за фазовой модуляции одной волны другой волной,
распространяющейся вместе с ней, и отвечает за ФКМ. Коэффициент
2 в правой части (7.1.13) показывает, что ФКМ в 2 раза эффективнее
ФСМ при той же интенсивности [2]. Причину этого можно просле-
дить по числу слагаемых, которые приводят к утроенной сумме,
означающей в (2.3.6) нелинейную поляризацию. Грубо говоря, когда
оптические частоты двух волн различны, число слагаемых удваивает-
ся по сравнению с вырожденным случаем.
Можно получить уравнение распространения для двух оптических
волн, следуя методу из разд. 2.3. Предполагая, что нелинейные
эффекты существенно не воздействуют на модовое распределение,
можно выделить поперечную зависимость, записав Е, (г, /) в виде
Е}(г, t) = Fj(x, y)Aj(z, r)exp(zp0>z),	(7.1.14)
где Fj(x, у)-модовое распределение для j-ro поля ( /= 1.2), Aj(z, t)-
медленно меняющаяся амплитуда, 0Oj-соответствующая постоянная
распространения на частоте <о7. Дисперсионные эффекты учитывают
при разложении частотно-зависимой постоянной распространения
Р,(со) для каждой волны таким же образом, как и в (2.3.23), но
ограничиваются только квадратичными членами.
При этом возникает уравнение распространения для A Az, /)
с'Л;	SA;	i	С2 A,	a,	w7g).	,	,	1
77 + W + Э + iA>=	+ 2/л1Л12)Л- (7115)
* **	1/1	Л.	1/1	х.	С
где к j, ptJ. = 1/гя>, rgJ-групповая скорость, p2j-дисперсионный
коэффициент, ау-коэффициент затухания. Интеграл перекрытия
fJk определяется (j, к = 1 или 2)
сю
f j lFjU >’)|21^»(^ y)\2dxdy
f* = .	----------------• (7116)
(f f |Fj(x, y)|2dxt/y)(j f |F*(x, y)|2dxc/y)
— CO
— CO
176
Глава 7
Разница между интегралами перекрытия может быть значитель-
ной в многомодовом световоде, где две волны могут распростра-
няться в разных модах. В случае одномодового световода /115
fi2 и /12 обычно отличаются друг от друга из-за частотной за-
висимости распределения моды Fj(x, у). Однако эта разница мала,
и на практике ею можно пренебречь. В этом случае уравнение (7.1.15)
может быть записано в виде системы связанных уравнений
дА.	1 дА.	i	д2А,	а.	.
—1 +------г1 + -₽21	= 'Ь (Mil2 + 2|Я2|2)А,
dz	Г] dt	L	ct	2
(7.1.17)
дА,	1 дА,	I	д2 А,	а,	,	,
+----т2 + 7₽22+ ~Л2 = /у2(|Я2|2 + 21Л |2)Л2,
dz v 2 ct 2 dr 2
(7.1.18)
где нелинейный коэффициент у- введен аналогично (2.3.28), именно
Yi = “	(7=1,2),	(7-1.19)
Су^эфф
и предполагается, что эффективная площадь сердцевины	=
= 1//ц) для обеих волн одинакова. В видимом диапазоне обычно
,4,фф = 10 2) мкм2. Соответствующие значения и у2 лежат в об-
ласти 20 30 Вт *1  км ~1 в зависимости от частот «>, и <в2. Обычно два
импульса не только имеют разные коэффициенты дисперсии, но
и скорости их распространения не совпадают из-за разницы в
групповых скоростях. Неравенство групповых скоростей играет
важную роль, поскольку оно ограничивает взаимодействие при ФКМ,
гак как импульсы «разбегаются». Используя (1.2 14), можно опре-
делить длину разбегания L„; это длина световода, на которой два
первоначально совпадающих по времени импульса разделяются
полностью из-за разницы в групповых скоростях
7.1.2.	СВЯЗЬ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ВЕКТОРА
ПОЛЯРИЗАЦИИ ОДНОЙ ВОЛНЫ
Электрическое поле эллиптически поляризованной волны может
быть записано в виде
Е(г, г) = “(('£л + у Д,)ехр( — /<в0/) + компл. сопр., (7.1.20)
где Ед и Еу комплексные амплитуды компонент вектора поляри-
зации волны с несущей частотой соо. Как и прежде, получим выраже-
ние для нелинейной поляризации Рд/, подставляя выражение (7.1.20)
Фазовая кросс-модуляция
177
в уравнение (2.3.6). В изотропной среде РЛТ можно записать в общем
виде:
1
Р^Дг, 0 = _(^Рх + >'7‘Jexp( — t(oQt) + компл. сопр., (7.1.21)
где Рх и Р определяются [11] как
Л =	+ X^EjE^ + X^UW- <7 122)
где /, j = х или у.
Три независимые компоненты %<3) связаны с xixxx соотношением
у(3)	_ у(3)	,	(3)	.	(3)	/у | 23)
Относительная величина трех компонент зависит от конкретных
физических механизмов, вносящих вклад в х,3>- В кварцевых свето-
водах, где х,3) имеет в основном электронное происхождение [6], эти
три компоненты почти одинаковы по величине. Если для простоты
предположить, что они одинаковы, «поляризационные компоненты»
Рх и Р из выражения (7.1.22) приобретают вид
Зе	Г(	2	\	1
|£xl2 + ~т\Еу\2)Ех + ~(Е* Еу)Еу J,	(7.1.24)
Зе	Г/	2	\	1
Л = —9Х*Ц(|£,12 + -|£х12)^ + -(£,*ЕХ)ЕХ . (7.1.25)
Последнее слагаемое (7.1.24) и (7.1.25) аналогично тому, что (7.1.2)
возникает из-за четырехволнового смешения, но из-за вырождения
поляризационных компонент (ю, = со2 — юо) Дает вклад на одной
частоте. Его влияние на динамику поляризационных компонент
зависит от степени фазового согласования между ортогонально-по-
ляризованными модами, определяемой длиной биений LB\ LB вводит-
ся согласно (1.2.16). Если длина световода L » LB, что имеет место
в сильно двулучепреломляющих световодах, то из-за большого
фазового рассогласования последние члены в выражениях (7.1.24)
и (7.1 25) вносят пренебрежимо малый вклад. С другой стороны, для
слабо двулучепреломляющих световодов этот член необходимо
включать, если L « LB.
Нелинейный вклад в показатель преломления Апх определяется
членом, пропорциональным Ех в (7 1.24). Используя соотношения,
аналогичные уравнениям (7.1.9) и (7.1.10). можно вывести выражения
для и Л,пу. Они такие:
Ahx = «2(j£x|2 + -|'E,|2J,	(7 1-26)
178
Глава 7
( , 2 Л
A«, = H2(j£/+-|£x|2J;
(7.1.27)
здесь п2 определяется согласно (7.1.12). Сравнение с (7.1.11) по-
казывает, что формально оба случая схожи. Нелинейный фазовый
сдвиг получается при использовании соотношения, аналогичного
выражению (7.1.13). Оказывается, что ФКМ между двумя поляри-
зационными компонентами менее эффективна, чем между двумя
волнами на различных частотах, так как она включает коэффициент
2/3, а не 2. Качественная картина тем не менее остается той же самой.
В частности, нелинейная связь между компонентами поля Ех и Еу,
индуцированная ФКМ, создает нелинейное двулучепреломление,
которое изменяет состояние поляризации, если входное излучение
эллиптически поляризовано. Это явление называется вращением
эллипса поляризации [3].
Можно вывести уравнение распространения, определяющее ди-
намику двух поляризационных компонент, используя метод из разд.
2.3. Медленно меняющиеся амплитуды Ах и Ау, определенные
в (7.1.14), удовлетворяют следующей системе связанных уравнений:
SA
SAX i	д2Ах а
St	2	Sr	2
/	2	\ iy
= n(jAI2 + jIAIj А + у А*Ауехр( — 2/Apz),
SA„ SAV i S2Av a
^ + ^ + 2^ + 2A’ =
/	2	\ iy
= iy (И/ + jIAIj A + уЛ;Л2ехр(2/АМ,
(7.1.28)
(7.1.29)
где Ар = Pj* — P ^ расстройка синхронизма из-за линейного или
модового двулучепреломления световода (см. разд. 1.2.4). Следует
отметить, что то же самое линейное двулучепреломление также
приводит к расстройке групповых скоростей между двумя поляри-
зационными компонентами. Уравнения (7.1.28) и (7.1.29) аналогичны
уравнениям (7.1.17) и (7.1.18), за исключением последнего члена.
И следует подчеркнуть, что из-за вырождения по частоте нелинейный
параметр у одинаков для обеих поляризационных компонент.
7.2.	ЭФФЕКТЫ, СВЯЗАННЫЕ
С НЕЛИНЕЙНЫМ ДВУЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕМ
Как следует из результатов разд. 7.1, нелинейная связь между
двумя ортогональными компонентами вектора поляризации опта-
Фазовая кросс-модуляция
179
ческой волны изменяет соответствующие компоненты показателя
преломления на различные величины Анх и Лпу. Это явление
называется самоиндуцированным, или нелинейным, двулучепрелом-
лением; оно имеет множество приложений. В данном разделе
рассмотрены эффекты нелинейного двулучепреломления в волокон-
ных световодах и их практическое использование.
7.2.1.	ОПТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ КЕРРА
В оптическом эффекте Керра двулучепреломление, индуцирован-
ное мощным излучением накачки, используется для того, чтобы
изменить состояние поляризации слабого сигнала при прохождении
через изотропный нелинейный диэлектрик [5, 6]. Данный эффект
можно применять в оптических затворах с пикосекундными време-
нами срабатывания [8]. В световодах его впервые наблюдали в 1973 г.
[12]; с тех пор этот эффект привлекает большое внимание [13-20].
Принцип действия керровского затвора показан на рис. 7.1. На входе
в световод излучения накачки и сигнальное излучение поляризованы
линейно: угол между направлениями их поляризаций равен 45 °.
Скрещенный поляризатор на выходе световода блокирует прохожде-
ние сигнала в отсутствие накачки. Когда накачка включается, разница
показателей преломления для параллельных и перпендикулярных
поляризационных компонент сигнала (по отношению к направлению
поляризации накачки) становится другой из-за двулучепреломления,
вызванного излучением накачки. Дополнительная разность фаз для
двух компонент на выходе из световода проявляется в виде изменения
состояния поляризации сигнального излучения, и часть сигнала про-
ходит через поляризатор. Коэффициент прохождения сигнала зависит
от интенсивности излучения накачки, и им можно управлять, просто
изменяя эту интенсивность. Поскольку сигнал на одной длине волны
может быть промодулирован накачкой на другой длине волны, этот
прибор называется также керровским модулятором, и его можно
применять в системах оптической связи и в оптических переключа-
телях.
Разность фаз между х- и v-компонентами сигнального излучения
Рис, 7.1. Керровский затвор На входе в световод излучение накачки и сиг-
нальное излучение линейно-поляризованы под 45“ друг относительно друга.
Поляризатор блокирует прохождение сигнала в отсутствие накачки.
180
Глава 7
на выходе из световода длиной L определяется
2 л L
Лф =—— (лх-иЛ),	(7.2.1)
Л
где X длина волны сигнального излучения и
пх = пх + Д/гх, пу = пу + Л/г,,.	(7.2.2)
Линейные части показателей преломления пх и пу обычно раз-
личны из-за внутримодового двулучепреломления в световодах,
поддерживающих поляризацию (см. разд. 1.2.4). Нелинейные части
Лнх и Апу различны из-за двулучепреломления, обусловленного
излучением накачки.
Рассмотрим случай накачки, линейно поляризованной вдоль оси х.
Компонента х сигнала поляризована параллельно вектору поля-
ризации накачки. Соответствующее изменение Лих находим из вы-
ражения (7.1.11). Если пренебречь вкладом сигнала, то
Лнх = 2и2 |£р|2,	(7.2.3)
где |£р|2 интенсивность излучения накачки. Когда накачка и сигнал
поляризованы ортогонально друг относительно друга, только первый
член в выражении (7.1 22) дает вклад Ли,. из-за разницы в длинах волн
сигнала и накачки [И]. Снова пренебрегая самовоздействием, по-
лучаем для Лпу
\пу=Ъ12Ь\Ер\2,	(7.2.4)
где
Л = Х^,/Х*3Лх-	(7.2.5)
Если х(3) имеет чисто электронную основу, то Ь= 1,3. Комби-
нируя (7.2.1)-(7,2.4). получаем для разности фаз
2л L
Лф = — (Л/г, + п2в | £р|2) = Лф,. + Лфль, (7.2.6)
Л
где Д//ь = пх — п определяется линейным двулучепреломлением,
а керровский ко ффициент п2В определяется выражением
п2В = 2n2(l - Ь).	(7.2.7)
Коэффициент пропускания сигнала Тр связан с Лф простым
соотношением
Тр = ып2(Дф,2).	(7.2.8)
Пропускание керровского затвора становится равным 100%. когда
Лф = л или нечетному числу л. С другой стороны, сдвиг фазы на
четное число л полностью блокирует сигнал.
Для наблюдения оптического эффекта Керра обычно используют
Фазовая кросс-модуляция
181
световод, поддерживающий поляризацию, чюбы сохранять состоя-
ние поляризации излучения накачки. Постоянный сдвиг фазы Лф,,
возникающий из-за линейного двулучепреломления, можно ском-
пенсировать [13], поместив четвертьволновую пластинку перед
поляризатором (рис. 7.1). На практике, однако, из-за изменения
температуры и давления Лф, флуктуирует, поэтому четвертьвол-
новую пластинку необходимо постоянно подстраивать. Альтерна-
тивным подходом является использование двух одинаковых отрезков
световода поддерживающего поляризацию, соединенных вместе так,
что их «быстрые» (или «медленные») оси находятся под прямым
углом друг к другу [17]. Так как Ли, меняет знак во втором
световоде, суммарный сдвиг фазы Лф,, обусловленный линейным
двулучепреломлением, компенсируется.
При идеальных условиях постоянная времени керровского затвора
ограничена временем отклика нелинейности ~ 2 4 фс. На практике
тем не менее дисперсия в световоде ограничивает постоянную
времени до величин от ~ 1 пс до ~ 1 нс в зависимости от значения
рабочих параметров [13]. Ограничивающий фактор расстройка
групповых скоростей сигнального излучения и излучения накачки.
Относительная групповая задержка определяется как
A/fl = |L/r91-L/r92|	(7.2.9)
и может превысить 1 нс для 100-метрового световода, если не принять
специальных мер предосторожности для уменьшения данной рас-
стройки. Первая возможность выбрать длину волны сигнала и
длину волны накачки с противоположных сторон от длины волны
минимальной дисперсии (вблизи 1,3 мкм). Линейное двулучепрелом-
ление световода накладывает другое ограничение на постоянную
времени затвора. Из-за разницы А//, ортогональные поляризацион-
ные компоненты сигнала распространяются с различными скорос-
тями. Относительная задержка между ними
Az„ = LAzjl/c.	(7.2.10)
Для 100-метрового световода с Анг = 5 10 5, Azp = 17 пс. Ее
можно уменьшить, используя световод с меньшим двулучепреломле-
нием. Использование двух световодов, соединенных так, что их
«быстрые» оси оказываются под прямым углом друг к другу,
позволяет почти полностью устранить Агр. Фундаментальное огра-
ничение на постоянную времени затвора накладывается дисперсией
групповых скоростей, которая уширяет импульс накачки при рас-
пространении по световоду. Уширение импульса можно свести
До 1 пс и менее, либо уменьшая длину световода, либо исполь-
зуя накачку с длиной волны, близкой к длине волны нулевой
Дисперсии.
Можно оценить мощность накачки, необходимую для 100%-ного
182
Глава 7
пропускания сигнала, из формул (7.2.6) и (7.2.8):
р _ ^Дфф
р 2Ln2B
(7.2.11)
где ЛЭфф-эффективная площадь сердцевины. Потери в световоде
можно учесть, заменив L на эффективную длину
1
^эфф = “ [1 - exp(-aL)].	(7.2.12)
a
Используя п2В = 4,5-10“16 см2/Вт, ЛЭфф = 10 мкм2, X = 1,06 мкм,
получаем мощность излучения накачки Рр ~ 1 Вт для 100-метрового
световода. Мощность можно уменьшить, увеличивая длину свето-
вода, но при этом увеличится постоянная времени затвора (7.2.9).
В эксперименте [14] Рр ~ 0,39 Вт при L = 580 м и Лэфф = 22 мкм2.
В другом эксперименте эффективная площадь сердцевины была
уменьшена до 2 мкм2 и в качестве накачки использовалось излучение
полупроводникового лазера на 1,3 мкм. Был получен сдвиг фазы
в 17° при мощности накачки только 27 мВт. Оценка PpL = 11 Вт м,
сделанная в этом эксперименте, указывает на то, что мощности
накачки ~ 50 мВт может оказаться достаточно для 100%-ного
пропускания сигнала, если в каждом плече интерферометра Маха
Цандера использовать 200-метровые отрезки световода.
Уравнение (7.2.11) можно использовать для оценки постоян-
ной Керра п2В. Большинство измерений указывает [12-20],
что п2в = 4 — 6 -10 16 см2/Вт с погрешностью порядка 20%. Данная
величина находится в согласии с (7.2.7), если использовать п2 —
~ 3,2-10“16 см2/Вт и b ~ Г/3. Параметр В был измерен в экспери-
менте [19], что позволило независимо определить отношение вос-
приимчивостей, указанное в (7.2.5). Исходя из того что измеренное
значение b равно 0,34, ложно полагать, что в кварцевых световодах
доминирует электронный вклад в /3). Это находится в согласии
с измерениями, сделанными в объемных стеклах [7].
Полностью оптический керровский затвор использовался для
экспериментальной демонстрации оптического стробирования [15].
На рис. 7.2 схематично изображена экспериментальная установка.
Для компенсации линейного двулучепреломления световода исполь-
зовался компенсатор Бабине-Солейля. В качестве поляризатора
использовался отрезок световода с большим двулучепреломлением
(коэффициент экстинкции около 20 дБ). Он также служил в качестве
фильтра, поскольку этот световод имел высокие потери на длине
волны накачки 1.06 мкм. В качестве сигнала служило излучение
лазерного диода на длине волны 0,84 мкм. Стробируемый сигнал на
выходе имел форму последовательности импульсов, расстояние меж-
ду которыми и длительность определялись импульсами накачки-
Фазовая кросс-модуляция
183
Сигнал на
A. = As
Полупрозрачное
зеркало Линза
t -^-0_7^3ерка/'0
Компенсатор
Бабине-Солейля
Световод
Волоконный поляризатор
и фильтр
.г Линза
Приемник
Стробированный
выход на х=лБ ||||
Рис. 7.2. Полностью оптический керровский затвор, использованный для
оптического стробирования [15].
В этом эксперименте стробирующие импульсы накачки были до-
вольно длинными (примерно 300 пс). В другом эксперименте [17]
30-пикосекундные сигнальные импульсы с частотой следования 1,97
ГГЦ (полученные при использовании полупроводникового лазера
с распределенной обратной связью и модуляцией усиления, рабо-
тающего в области 1,3 мкм) демультиплексировались при исполь-
зовании 85-пикосекундных импульсов накачки от Nd:YAG-лазера
с синхронизацией мод.
7.2.2.	ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ИМПУЛЬСОВ
Нелинейное двулучепреломление, вызванное каким-либо импуль-
сом, может быть использовано для изменения его же формы,
поскольку пропускание через световод и поляризатор становится
зависящим от интенсивности. Например, световод может работать
как нелинейный дискриминатор [21]. В разд. 6.4.2 отмечалось, что
данное явление можно использовать для устранения пьедестала,
связанного с импульсом, сжатым в компрессоре [21-23]. Его также
можно использовать Для создания волоконно-оптических логических
ячеек [24, 25].
В работе нелинейного дискриминатора используется по существу
тот же принцип, что и для керровского затвора, показанного на рис.
7.1. Основное отличие заключается в том, что сигнал сам создает
нелинейное двулучепреломление и изменяет собственное состояние
Поляризации. Рассмотрим случай, когда входное излучение линейно-
поляризовано под углом 0 по отношению к одной из главных осей
(оси л) световода. Его компоненты Ех и Еу изменяют показатели
преломления пх и пу на величины Алх и Лпу, определяемые вы-
ражениями (7.1.26) и (7.1.27) соответственно. Результирующий сдвиг
фазы между двумя компонентами на выходе световода равен
2лЕ л,
Дфль = - т(|£х|2 - |£/)-	(7.2.13)
A j
184
Глава 7
Фазовая кросс-модуляция	185
Здесь предполагается, что постоянный сдвиг фазы Дф£, возникающий
из-за линейного двулучепреломления, скомпенсирован за счет ис-
пользования четвертьволновой пластинки, и прохождение малого
сигнала блокируется. Экспериментально измеренное значение нели-
нейного сдвига фазы [26] находится в согласии с (7.2.13). Инду-
цированное нелинейное двулучепреломление позволяет излучению
проходить через поляризатор; коэффициент пропускания при этом
[21]
Тр = s*n2^6 Y^o^cos(26)^sin2(20),	(7.2.14)
где Ро начальная мощность, а нелинейный параметр у тот же, что
и в разд. 7.1, т. е. определяется формулой (2.3.28):
^эфф
В случае когда по световоду распространяются оптические импульсы,
произведение yP(lL связано с максимальным сдвигом фазы ф„акс,
вызванным ФСМ [см. (4.1.6)]; его также можно связать с нелинейной
длиной l^L через соотношение
Фмакс =	= L/Lnl-	(7.2.16)
Изменение формы импульса происходит из-за того, что при
Рис. 7.3. Коэффициент
пропускания Тр как функ-
ция угла входной поляри-
зации 0 при трех различ-
ных значениях пиковой
м< щности, соответствую-
щих фыакс =10, 20 и 30
[21]
данном значении угла 0 пропускание Тр зависит от мощности. Если
выбрать угол 0 так, чтобы максимизировать пропускание вершины
импульса, его «крылья» блокируются из-за относительно меньшего
уровня мощности; при этом выходной импульс оказывается короче
начального. 1акое поведение наблюдалось экспериментально [22].
Оптимальное значение 0 зависит от пиковой мощности Ро. На рис. 7.3
представлен коэффициент пропускания Тр как функция 0 при трех
значениях фмакс. Пропускание может достичь 90% для 0 = 36,2° при
Фмакс = 30-
Экспериментальные результаты по изменению формы импульсов
указывают [22, 24], что наблюдаемое поведение не всегда согласуется
с тем, что следует из (7.2.14). В частности, это уравнение предска-
зывает. что Тр = 0 при 0 = 45'°, т. е. входное излучение блокируется
поляризатором, когда компоненты Ех и Еу возбуждены с равными
амплитудами. На самом деле это не так. Подобное несоответствие
объясняется тем, что мы пренебрегли последним членом в уравнениях
(7.1.28) и (7.1.29). В более точной теории его следует учесть. Для
случая непрерывного или квазинепрерывного излучения, когда дис-
персионными эффектами можно пренебречь, уравнения (7.1.8) и
(7.1.29) можно решить аналитически [27], пренебрегая производными
по времени и потерями. Результаты показывают, что, исключая
область 0«45°, формула (7.2.14) является достаточно точной в
случае световодов с сильным двулучепреломлением (Д₽Е » 1). В слу-
чае же слабого двулучепреломления формула (7.2.14) неприменима.
На рис. 7.4 представлен коэффициент пропускания Тр как функция
0 при Apt = 2я и Фмакс = 7,5л. Сравнивая соответствующий график
с выражением (7.2.14), мы видим, как важно учитывать линейное
двулучепреломление. Физически это означает, что линейный и не-
Угол входной поляризации (градусы)
Рис. 7.4. Коэффициент пропускания Тр как функция угла входной поляри-
зации 0, когда учтен эффект линейного двулучепреломления при = 2л
н Фмакс = 7,5л Штриховой кривой показано пропускание в случае А[1 — 0 [27].
186
Глава 7
линейный вклады в показатель преломления конкурируют друг
с другом и их необходимо учитывать вместе.
7.2.3.	ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Как показано выше, точное описание нелинейных поляризацион-
ных эффектов требует одновременного учета как собственного
линейного двулучепреломления, так и индуцированного нелинейного
двулучепреломления. В общем случае динамика состояния поля-
ризации излучения при распространении по световоду определяется
уравнениями (7.1.28) и (7.1.29) и их решения широко исследуются
[27-44]. В случае непрерывного излучения была обнаружена неустой-
чивость. известная как поляризационная [29 31]. Данная неустой-
чивость проявляется в виде значительного изменения выходного
состояния поляризации, когда входные мощность или состояние
В
поляризации изменяются незначительно.
частности,
явление
поля-
ризационной неустойчивости показывает, что «медленная» и «быст-

рая» оси световода, поддерживающего состояние поляризации, не
полностью эквивалентны.
Происхождение поляризационной неустойчивости можно понять
исходя из следующих качественных соображений [30]. Когда входное
излучение поляризовано близко к «медленной» оси световода (оси х,
если пх > иу), нелинейное двулучепреломление добавляется к собст-
венному линейному, что делает световод более двулучепреломляю-
щим. С другой стороны, когда входное излучение поляризовано
вблизи «быстрой» оси, нелинейное двулучепреломление уменьшает
собственное двулучепреломление на величину, зависящую от входной
мощности. В результате световод становится менее двулучепрелом-
ляющим и эффективная длина биений /.„** возрастает. При кри-
тическом значении входной мощности нелинейное двулучепрелом-
ление может полностью скомпенсировать собственное и ста-
новится бесконечной. При дальнейшем увеличении входной мощ-
ности световод снова становится двулучепреломляющим, но «мед-
ленная» и «быстрая» оси меняются местами.
Ясно, что большие
изменения выходного состояния поляризации могут возникать, когда
входная мощность близка к критической мощности, необходимой для
баланса линейного и нелинейного двулучепреломления. Грубо гово-
ря. поляризационная неустойчивость возникает, когда входная пи-
ковая мощность достаточно велика для того, чтобы сделать нели-
нейную длину Lnl сравнимой с собственной длиной биений LB.
Точное значение критической мощности получается при решении
уравнений (7.1.28) и (7.1.29). В случае непрерывного излучения
производные по времени можно положить равными нулю. Если для
простоты пренебречь потерями в световоде, эти уравнения можно
решить аналитически в виде эллиптических функций Якоби. Период
Фазовая кросс-модуляция
187
эллиптической функции определяет эффективную длину биений [30]
Lb** 2К(т)
лг?1/2
(7.2.17)
где К (ш)- четверть периода эллиптической функции и
1/
т = -( 1 —
2\
q = 1 + р ехр (2/0).
(7.2.18)
Здесь 0-угол входной поляризации, измеренный от «медленной» оси,
и р- нормированная входная мощность, определяемая как р = Р0/Ркр,
где
В отсутствие нелинейных эффектов р = 0, q = 1 и
Л’** = Лв = 2л/Др.	(7.2.20)
На рис. 7.5 показана зависимость L^/LB от входной мощности
при 0 = 0' и 0 = 90 . Как и ожидалось, эффективная длина биений
становится бесконечной при Ро = Ркр при 0 = 90° из-за того, что
происходит полное взаимное сокращение собственного и нелинейного
двулучепреломления [31]. Это и является причиной поляризационной
неустойчивости. В результате значительного изменения выход-
ное состояние поляризации может существенно изменяться в том
случае, когда Ро близко к Ржр и входное излучение поляризовано
близко к «быстрой» оси. На рис. 7.6 коэффициент пропускания Т
показан как функция входной мощности при нескольких значениях
Рис. 7.5. Эффективная длина биений как функция входной мощности для
излучения, поляризованного вдоль «быстрой» (сплошная кривая) и «медлен-
ной» (штриховая кривая) осей [30]
188
Глава 7
Рис. 7.6. Коэффициент пропускания двулучепреломляющего световода дли-
ной L = LB как функция входной мощности при различных значениях углов
входной поляризации [30].
0 в предположении, что скрещенный поляризатор на выходе све-
товода блокирует излучение малой интенсивности (см. рис. 7.1).
Когда 0 = 0 или 90°. Тр = 0 при любых значениях мощности. Малые
изменения 0 вблизи «медленной» оси все еще оставляют Тр равным
нулю. Однако 71 изменяется резко при слабых изменениях 0 вблизи
«быстрой» оси Отметим, что область высокой чувствительности Тр
к углу входной поляризации 0 находится в пределах от 89 до 90е.
Рис. 7.6 отвечает случаю А[ЗЛ = 2л, т. е. L = LB, но и для других длин
световода качественная картина остается той же самой.
Поляризационная неустойчивость наблюдалась в эксперименте
[34], где 80-пикосекундныс импульсы на длине волны 532 нм
проходили через световод длиной 53 см (измеренная собственная
длина биений LB ~ 50 см). Входные импульсы были циркулярно
поляризованы и проходили через циркулярный анализатор, распо-
ложенный на выходе световода; анализатор пропускал излучение,
поляризованное по кругу в противоположном направлении. Когда
пиковая мощность превышала критическую величину, форма выход-
ных импульсов значительно изменялась. Измеренные критическая
мощность и форма выходных импульсов находились в согласии
с теорией, основанной на уравнениях (7.1.28) и (7.1.29).
Зависимость пропускания от мощности, представленную на рис.
7.6, можно использовать для формирования импульсов и оптического
переключения. Однако для световодов с высоким двулучепреломле-
нием входная мощность, требуемая для переключения, велика. Так,
если в (7.2.19) использовать значение у ~ 10 Вт1-км \ то для
световода с длиной биений LB = 1 м нужна мощность Ро ~ 1 кВт. Для
световодов с большим двулучепреломлением (LB =1 — 10 см) эффек-
Фазовая кросс-модуляция
189
Ть1, связанные с поляризационной неустойчивостью, становятся
несущественными, так как в большинстве экспериментов Ро не
превышает 1 кВт.
Если собственное двулучепреломление промодулировано вдоль
длины световода, то поляризационная неустойчивость может при-
вести к хаосу в выходном состоянии поляризации [38]. Модули-
рованное двулучепреломление может возникать, если световод од-
нородно скручен при намотке на барабан. Его также можно специаль-
но внести в процессе производства, периодически раскачивая за-
готовку или периодически создавая напряжения. Можно исследовать
действие модулированного линейного двулучепреломления на ди-
намику состояния поляризации излучения в световоде, полагая Др
в уравнениях (7.L28) и (7.L29) периодической функцией z. Это
полезно проделать для того, чтобы оценить область, в которой
должны находиться параметры, при которых удается избежать
хаотического переключения, если световод используется в качестве
оптического переключателя [36 -39].
7.2.4.	ДЕЙСТВИЕ ДВУЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЯ
НА СОЛИТОНЫ
Когда оптические солитоны рассматривались в гл. 5, предпо-
лагалось, что входной импульс линейно-поляризован вдоль одной из
главных осей световода, поддерживающего поляризацию. В данном
разделе мы рассмотрим, что происходит с солитонами, когда
идеальные условия (угол входной поляризации 0 = 0 или 90°) не
выполняются. Существуют два важных вопроса. Во-первых, в све-
товоде со слабым двулучепреломлением пиковая мощность может
превысить критическую, необходимую для поляризационной не-
устойчивости [см. (7.2.19)], что может в свою очередь воздействовать
на солитоны, поляризованные вдоль «быстрой» оси. Во-вторых,
в световоде с сильным двулучепреломлением расстройка групповых
скоростей между ортогонально-поляризованными компонентами
излучения может привести к расщеплению импульса, что также
может воздействовать на характеристики солитона. Оба этих вопроса
рассмотрены ниже.
Сначала рассмотрим эффект поляризационной неустойчивости
солитонов в световодах со слабым двулучепреломлением [40]. Если
пренебречь расстройкой групповых скоростей, то в уравнениях
(7.1.28) и (7.1.29) можно положить Р1Л = Р1у. Аналогично Р2х — Рг? =
Р?- Два связанных уравнения можно переписать, используя без-
размерные переменные из (5.2.1); можно ввести параметры соли-
тонной теории N и z0 (см разд. 5 2), используя определения
. , Ld	л	То
= L^l’ Z° = 2Ld’ Ld = \M
(7.2.21)
190
Глава 7
где Ld-дисперсионная длина и То-длительность импульса. Получен-
ные связанные нелинейные уравнения Шредингера решаются числен-
но; при этом используется метод SSFM (см. разд. 2.4).
Численные результаты показывают [40], что поляризационная
неустойчивость воздействует на устойчивость солитона так же, как
и в случае непрерывного излучения, описанного в разд. 7.2.3. Если
входная мощность не превышает пороговую величину или, что
эквивалентно, нелинейная длина Lnl больше длины биений LB,
солитон остается устойчивым, будучи возбужденным как вдоль
«медленной», так и вдоль «быстрой» осей. С другой стороны, если
Lnl « LB, солитоны остаются устойчивыми вдоль «медленной», но
неустойчивыми вдоль «быстрой» оси. Фундаментальный солитон
(N = 1), возбужденный вблизи «быстрой» оси с Lnl « LB, следует
следующему сценарию [40]. Начинается поляризационная неустой-
чивость, и большая часть энергии импульса из «быстрой» моды
переходит в «медленную» на трассе в несколько периодов солитона,
в то время как часть энергии рассеивается. Энергия импульса
несколько раз «переключается» из одной поляризационной моды
в другую; этот процесс аналогичен релаксационным колебаниям.
Большая часть энергии в конце концов оказывается в солитоно-
подобном импульсе, распространяющемся вдоль «медленной» оси.
Солитоны высших порядков следуют несколько иному сценарию.
Пройдя через фазу начального сжатия, они распадаются на от-
дельные компоненты, данный распад аналогичен описанному в разд.
5.5. Затем часть энергии передается в «медленную» моду В конце
концов вдоль «медленной» моды появляется фундаментальный
солитон с длительностью меньше начальной. Связанные нелинейные
уравнения Шредингера также имеют точное решение, соответствую-
щее фундаментальному солитону, чьи «медленные» и «быстрые»
поляризационные компоненты распространяются без изменения
формы [44]. Обе компоненты обычно имеют асимметричную форму,
а «медленная» компонента к тому же имеет структуру с двойной
вершиной.
Для того чтобы получить условие для поляризационной неустой-
чивости солитона, можно использовать условие неустойчивости
непрерывного излучения. Если использовать формулу (7.2.19), то
условие Ро > Р*р может быть записано в виде
A0Lnl<2/3.	(7.2.22)
Используя условие А0 = 2л, LB и формулу (7.2.21), можно записать
это условие в виде
zo<X-N2Lb.	(7.2.23)
О
Численные результаты в основном согласуются с неравенством
Фазовая кросс-модуляция
191
(7.2.23) [40] Обычно LB 1 м даже для световодов со слабым
двулучепреломлением. Если использовать значение Р2 = — 20 пс2/км
для фундаментального солитона (N = 1), распространяющегося на
длине волны 1,55 мкм, z0 становится меньше 1 м только для
фемтосекундных импульсов (То < 100 фс). Таким образом, поляри-
зационная неустойчивость не должна быть существенной для соли-
тонных линий связи (см. разд. 5.4), где предполагаемая длительность
импульса То ~ 10 пс и z0 ~ 1 км.
В световодах с сильным двулучепреломлением нельзя пренебречь
расстройкой групповых скоростей между «быстрой» и «медленной»
поляризационными компонентами входного импульса. Такая рас-
стройка должна расщепить солитон на отдельные компоненты вдоль
обеих осей при условии, что угол входной поляризации 0 не совпадает
с 0 или 90е. Продолжают ли эти компоненты удаляться друг от друга
или остаются «поблизости», зависит от начальных параметров.
Эффект расстройки групповых скоростей исследовался при числен-
ном решении уравнений (7.1.28) и (7.1.29). Если предположить
02* = ₽2У = ₽2 и использовать безразмерные переменные из разд. 5.2,
эти уравнения приобретают вид [42]
(ди	1 д2и	(	3	2	, \
'Ь + 6Г +эТ^+ Iй +чМ “ = 0’	<7-2-24)
\сс,	дт/	/дт	\	3	)
(ди	odv\	1 d2v	(	,	2
' Ж “	+ 0^2 + |V| + ?|И1 )V = °’	<7-2-25)
\ дс,	дт /	2 дт	\	3	/
где и и v- безразмерные амплитуды вдоль осей х иг соответственно и
5 = (₽1х-₽1,)Т0/2|₽2|.	(7.2.26)
Последним членом в уравнениях (7.1.28) и (7.1.29) мы пренебрегли
в предположении относительно большого двулучепреломления, так
что пиковая мощность значительно ниже порога поляризационной
неустойчивости. Для простоты мы также пренебрегли потерями
в световоде. Для начального импульса, возбужденного с углом
входной поляризации 9, уравнения (7.2.24) и (7.2.25) решались
с начальными условиями
и (0, т) = N cos 0 sech (т),	v (0, т) = N sin 0 sech (т).	(7.2.27)
Можно следующим образом обобщить численные результаты
[43]. Когда обе моды возбуждены одинаково (0 = 45"), две поля-
ризационные компоненты остаются связанными, если N превышает
пороговое значение Nth, зависящее от 8; Nth = 0,7 при 6 = 0,15; N,h = 1
При 8 = 0,5. Когда обе моды возбуждены неодинаково и N превышает
^кР’ то динамика имеет качественно иной характер и зависит от
величины 8. На рис. 7.7 показаны амплитуды импульсов в обеих
Модах для 0 = 30‘ при £ = 5л и Юл. Левая колонка соответствует
192
Глава 7
Рис. 7.7. Амплитуды импульсов | и | (сплошная линия) и | v | (штриховая линия)
при Е, = 5тг (верхний ряд) и Е, = 10тс (нижний ряд) при 0 = 30 . Значения
параметров N = 0,8 и 5 = 0,15 в левой колонке N = 1.1 и 5 = 0.5 в правой
колонке [43].
6 = 0.15 и N = 0,8, в то время как 8 = 0,5 и N = 1,1 соответствуют
правой колонке Для случая 8 = 0,15 оказывается, что меньший
импульс захватывав гея большим и они распространяются вместе.
В случае 8 = 0,5 только часть энергии меньшего импульса захва-
тывается большим, оставшаяся доля энергии рассеивается при
распространении. Более сложное поведение имеет место при больше
значениях 8 и N.
Ясно, что нелинейное двулучепреломление в волоконных све-
товодах может воздействовать на динамику солитонов различным®
способами. С практической точки зрения интересно, как расстройка
групповых скоростей будет воздействовать на работу солитонной
линии связи. Для световодов, поддерживающих поляризацию, необ-
ходимо возбуждать солитоны с состоянием поляризации вдоль
главных осей. Результаты данного раздела говорят о том, что малые
отклонения от идеальных условий не будут сильно воздействовать на
характеристики солитонов, поскольку поляризационная мода I
большей амплитудой способна захватить другую поляризационную
моду, так что они могут распространяться вместе, несмотря на
разницу в групповых скоростях. Воздействие случайных флуктуацй
двулучепреломления на распространение солитонов в обычны
световодах, не поддерживающих поляризацию, еще не до конц
понято.
Фазовая кросс-модуляция
193
7.3.	МОДУЛЯЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ,
ВЫЗВАННАЯ ФКМ
Рассмотрим взаимодействие при фазовой кросс-модуляции двух
оптических волн с одинаковыми поляризациями, но с неперекры-
ваюшимися спектрами [46 61]. Следует особо выделить два случая.
В первом случае излучение лишь одной длины волны вводится
в световод, а остальные возникают внутри при вынужденном
комбинационном рассеянии; этот случай рассмотрен в гл. 8. В другом
случае оба луча вводятся в световод, распространяясь без обмена
энергией друг с другом. Во втором случае ФКМ иногда называют
индуцированной фазовой модуляцией [57, 58]. Поскольку два опти-
ческих луча или импульса распространяются по световоду совместно,
ФКМ вызывает взаимодействие между ними, что может привести
к временным и спектральным изменениям. Эффекты, вызванные
ФКМ, описываются уравнениями (7.1 17) и (7.1.18). В данном разделе
рассмотрено стационарное решение в виде непрерывной волны, в то
время как разд. 7.4 посвящен зависящим от времени решениям,
соответствующим сверхкоротким импульсам.
В случае двух непрерывных волн производные по времени в урав-
нениях (7.1.17) и (7.1.18) можно положить равными нулю. Если для
простоты пренебречь потерями в световоде, то эти уравнения имеют
следующее стационарное решение:
= У^ехрОф^),	(7.3.1)
где j= 1 или 2, Pj значение входной мощности, а ф —нелинейный
фазовый сдвиг, определяемый соотношением
ф7 = у7(/>, + 2Р3	(7.3.2)
Сдвиг фазы зависит от мощности обеих волн. Уравнение (7.3.1)
показывает, что обе волны распространяются без изменения, за
исключением сдвига фазы, линейно нарастающего с расстоянием.
Прежде чем сделать такой вывод, следует рассмотреть устойчивость
стационарного решения к малым возмущениям. Воспользуемся
методом, аналогичным описанному в разд 5.1. Напомним, что там
было показано, что одна непрерывная волна становится неустойчивой
в области отрицательной дисперсии световода из-за модуляционной
неустойчивости. Оказывается, что при совместном распространении
двух непрерывных волн модуляционная неустойчивость может раз-
виться не только в области отрицательной дисперсии, но так же
и в области положительной дисперсии из-за взаимодействия двух
волн при ФКМ [54].
Следует методу из разд.5.1, исследуем устойчивость стационар-
ного состояния, представив зависящее от времени решение в виде
AJ =	+ «;)ехР('Фр >	(7.3,3)
194
Глава 7
где Oj(z, /)-слабое возмущение. Подставляя выражение (7.3.3) в
уравнения (7.1.17) и (7.1.18) и линеаризуя их по и а2, получаем
систему из двух уравнений для возмущений ах и а2.
да. 1 да. г „ д2а.
~дГ + ~^~дГ + 2^4^ =
= IYjPj («! + at) + 2iY1 (ЛР2)1/2 (а2 + «?),	(7.3.4)
да? 1 да2 i „ д2а7
17 + ^“а7 + 2(322‘аР”==
'Y2p2(«2 + «*) + ггуДР^г)1'2^! + о?),	(7.3.5)
где последний член обусловлен ФКМ. Ищем общее решение в виде
aj = UjCos^Kz - Qj(t - z/u9J-)] + fysin[Kz - Q/t - z/vsj)], (7.3.6)
где К -волновое число, Qj-частота возмущения (j = 1 или 2).
Уравнения (7.3.4)-(7.3.6) дают систему из четырех однородных
уравнений для wt, и2, vt, v2. Эта система имеет нетривиальное
решение только тогда, когда возмущения удовлетворяют следую-
щему дисперсионному соотношению:
(К2-/1)(К2-/2) = Сфкм,	(7.3.7)
где
fj = 2	Q ₽2 А + 2ъЛ-)	(7.з.8)
при 7=1 или 2: параметр связи Сфкм
Сфкм = 4р21 Р22 7172^*1 ^*2^1 ^2 •	(7.3.9)
Стационарное решение становится неустойчивым, если при неко-
торых значениях и П2 волновое число К имеет мнимую часть.
Тогда возмущения и а2 экспоненциально нарастают по длине
световода.
Уравнение (7.3.7) легко решается для К2 [54]:
к2 =	+/2) ± [(А +/2)2 + 4(СФКМ -Щ)]1'2}.	(7.3.10)
Данное решение показывает, что К2 становится отрицательным,
когда Сфкм>/1/2- Это-необходимое условие для модуляционной
неустойчивости. Используя уравнения (7.3.8) и (7.3.9), можно записать
это условие в виде
Ш2> ± 1)(Qi/Q22 ± 1) < 4,	(7.3.11)
где знаки «плюс» или «минус» выбираются в зависимости от того,
положительной или отрицательной дисперсии групповых скоростей
Фазовая кросс-модуляция
195
это соответствует. Значения частот Пс1 и Пс2 определяются соот-
ношением
= (4YjPj/I Pzjl)1'2,	(7.3.12)
где у= 1 или 2. Когда условие (7.3.11) удовлетворяется для частот
модуляции и(12, коэффициент усиления возмущения по мощности
имеет вид	„ „
0(£21,£22)= 21m (К).	(7.3.13)
Условие (7.3.11) показывает, что существует область параметров
и П2, где коэффициент д(П1.П2) существует. Стационарное ре-
шение (7.3.3.) неустойчиво к слабым возмущениям на этих частотах.
Самый важный вывод, вытекающий из условия (7.3.11), заключается
в том, что модуляционная неустойчивость может возникать не-
зависимо от знака коэффициента дисперсии. Таким образом, в то
время как для модуляционной неустойчивости одной волны требуется
отрицательная дисперсия групповых скоростей (см. разд. 5.1), в
случае двух волн она может возникать, даже если обе волны рас-
пространяются в области положительной дисперсии. Диапазон
частот зависит от того, являются ли 021 и 022 положительными,
отрицательными или имеют разные знаки. Наименьший диапазон
частот соответствует случаю, когда обе волны распространяются
в области положительной дисперсии световода [оба знака в условии
(7.3..11) положительны]. Поскольку в этом случае модуляционная
неустойчивость обусловлена лишь ФКМ, его мы и будем рассмат-
ривать ниже.
Следует различать два случая. В случае индуцированной моду-
ляционной неустойчивости на непрерывную волну накладывается
внешнее возмущение при возбуждении, например, сигнальной волны
с частотой cOj +	. Эта модуляция создает модуляцию второй волны
с частотой П2, такую, что 0(П1,П2) максимально, и условие (7.3.11)
удовлетворяется. В результате в спектрах этих волн появляются
модуляционные компоненты с частотами со, + и co2+Q2. Во
временном представлении непрерывные волны испытывают глубо-
кую модуляцию с периодом 2л/П^. В целом процесс можно рас-
сматривать как четырехволновое смешение с фазовым синхронизмом
за счет ФКМ.
В случае спонтанной модуляционной неустойчивости возмущение
возникает из шума. Спонтанно испущенный или тепловой фотон
Действует в качестве сигнала и усиливается за счет модуляционной
неустойчивости. Модуляция с частотами П')’г"<с и П2а,‘с, соответст
вующими максимуму д, нарастает наиболее быстро. Максимальный
коэффициент усиления дмакс и частота (/ = 1 или 2) можно
определить, решая
дд дд
— = 0, эА = 0,
(7.3.14)
196
Глава 7
Рис. 7.8. Максимальный коэффициент усиления и соответствующая частота
модуляции как функции отношения мощности Р2/Р\ ПРИ Pi — *00 Вт,
Рз 1 — ₽22 = 0,06 пс7м и у, ~ у, = 30 Вт 1 - км 1. Модуляционная неустой-
чивость, вызванная ФКМ, возникает даже в области положительной диспер-
сии световода.
где 9(О,,Л2) определяется выражениями (7.3.10) и (7.3.13). На рис. 7.8
изображены gMaiiC и П“акс/2п как функции отношения мощностей
Р2/Рх для Р, = 100 Вт. Параметры световода р21 ~ р22 = 0,06 пс2/м
и у1 = у2 = 0,03 Вт *-м 1 соответствуют случаю двух волн вблизи
530 нм, распрост раняющихся в одномодовом световоде с диаметром
сердцевины порядка 3 мкм. В этом случае Q7aitc ~ П2акс. Как и следо-
вало ожидать, частоты модуляции зависят от мощности излучения
каждой волны и стремятся к нулю, если либо Р1 = 0, либо Р2 = 0. Для
значения пиковой мощности ~ 100 Вт возникающие боковые компо-
ненты разнесены примерно на 1 ТГц. Во временном рассмотрении
каждая волна превращается в последовательность сверхкоротких
импульсов, разнесенных на ~ 1 пс. Так как 0макс — 5 м-1, модуля-
ционная неустойчивость может развиться из шумов даже в световоде
длиной несколько метров [54].
Модуляционная неустойчивость, вызванная ФКМ. недавно на-
блюдалась. В эксперименте [60] вторая волна создавалась непосред-
ственно в световоде за счет ВКР излучения накачки (длина волны
накачки 0,53 мкм). Хотя и импульсы накачки, и импульсы ВКР
распространялись в области положительной дисперсии световода,
в их спектрах образовывались боковые спектральные компоненты на
расстоянии 2-10 ТГц в зависимости от мощности накачки и длины
световода. Этот эксперимент подробнее рассмотрен в разд. 8.3.2.
В другом эксперименте [61] использовалась конфигурация сигнал-
накачка, так что импульсы накачки на длине волны 1,06 мкм
Фазовая кросс-модуляция
197
распространялись в области положительной дисперсии, в то время
как сигнальные импульсы на длине волны 1,32 мкм распространялись
в области отрицательной дисперсии групповых скоростей световода.
Когда сигнальные импульсы и импульсы накачки вводились в
световод одновременно, в спектре сигнального излучения развивают-
ся боковые компоненты на расстоянии 290 ГГп, что является
результатом модуляционной неустойчивости, индуцированной ФКМ.
В конце этого раздела рассмотрим воздействие ФКМ на мо-
дуляционную неустойчивость одной непрерывной волны в двулу-
чепреломляющем световоде. Нелинейное двулучепреломление, вы-
званное ФКМ, связывает две компоненты вектора поляризации,
динамика которых определяется уравнениями (7 1.28) и (7.1.29).
Устойчивость их стационарного решения (обсуждалась в разд. 7.2.3)
можно исследовать, пользуясь вышеупомянутым методом при
£2, = £22 = П в выражении (7.3.6). Результаты сильно зависят от
соотношения между входной пиковой мощностью и порогом по-
ляризационной неустойчивости Ркр, определяемым выражением
(7.2.19). При Р < Р.р модуляционная неустойчивость возникает
только в области отрицательной дисперсии, а результаты аналогичны
результатам разд. 5.1. Действие ФКМ заключается в уменьшении
коэффициента усиления [41] по сравнению с (5.1.9), но максимальное
усиление возникает на той же частоте П (см. рис. 5.1).
При Ро > Ркр спектр усиления модуляционной неустойчивости
зависит от того, поляризовано ли излучение вдоль «медленной» или
«быстрой» осей [62]. Модуляционная неустойчивость может возни-
кать даже в области положительной дисперсии световода. В отличие
от кривой усиления на рис. 5.1 мы видим, что коэффициент усиления
Рис. 7.9. Спектр усиления модуляционной неустойчивости для непрерыв-
ного излучения, распространяющегося в двулучепреломляющем световоде
с длиной биений LB= 2 м. Входная поляризация вдоль «быстрой» оси
Р’ = 0,06 пс2/м, а у = 38 Вт 1 •км ' [62].
198
Глава 7
не обращается в нуль вблизи П = 0 в том случае, когда излучение
поляризовано вдоль «быстрой» оси. Эта зависимость изображена на
рис 7 9 при LB = 2 м, 02 = 0’0^ пс2/м и у = 0,038 Вт-1  м \ Относи-
тельно большое значение коэффициента усиления при 0 = 0 указыва-
ет на то. что низкочастотные или постоянные флуктуации могут
быстро нарастать. Так здесь проявляется поляризационная неустой-
чивость, рассмотренная в разд. 7.2.3. При Р1?^ > 3 максимальный
коэффициент усиления возникает при О/2л ~ 1 ТГц. В этом случае
непрерывная волна испытает глубокие модуляции, возникнут боко-
вые спектральные компоненты аналогично случаю в разд. 5.1.
7.4.	СПЕКТРАЛЬНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ
В данном разделе рассматриваются спектральные и временные
изменения, возникающие при взаимодействии за счет ФКМ между
двумя -импульсами с неперекрывающимися спектрами, которые
распространяются вместе. В уравнения (7.1.17) и (7.1.18), описываю-
щие их динамику в световоде, включены эффекты расстройки груп-
повых скоростей, дисперсии групповых скоростей ФСМ и ФКМ. Если
для простоты пренебречь потерями в световоде, эти уравнения
приобретают вид
+ ^₽21Й= '71(И112 + 2|А12)^!’	(7-4.1)
CZ 2 (Г
^ + ^ + ^1!Й-#У2(|Ла|2 + 2|^1|!М1.	(7.4.2)
cz сТ 2 дТ*
где
T=t~—, <Z = Vgl ~ Vg2	(7.4.3)
V91	V91 V92
и T время, измеряемо в системе отсчета, движущейся с импуль-
сом 1.
Для импульса длительностью То можно ввести длину диспер-
сионного разбегания Lw и дисперсионную длину LD, а именно
В зависимости от относительных величин Lw, LD и длины
световода L динамика обоих импульсов может значительно разли-
чаться. Если L мало по сравнению как с Lw, так и с LD, дис-
персионные эффекты несущественны и ими можно пренебречь. Это
может иметь место при То > 1 нс и L < 10 м, если длины волн двух
импульсов находятся ближе 10 нм друг к другу (| d\ < 10 пс/м). В этом
квазинепрерывном случае стационарное решение из разд. 7.3 прием-
Фазовая кросс-модуляция
199
лемо. Если Lw < L, но LD>> L, вторыми производными в уравнених
(7.4.1) и (7.4.2) можно пренебречь, но первые производные следует
оставить. Хотя форма импульса не меняется, комбинация расстройки
групповых скоростей и частотной модуляции, обусловленной нели-
нейностью, может значительно воздействовать на спектр. Это обыч-
но имеет место при То ~ 100 пс, 10 м и d^ 10 пс/м. Для
сверхкоротких импульсов (То < 10 пс) дисперсионные члены также
следует включить; ФКМ в этом случае воздействует как на форму
импульса, так и на его спектр. Оба этих случая рассмотрены ниже.
7.4.1.	АСИММЕТРИЧНОЕ УШИРЕНИЕ СПЕКТРА
Этот раздел посвящен важному случаю, когда членами со
вторыми производными в уравнениях (7.4.1) и (7.4.2) можно пре-
небречь в предположении, что L«LD. Расстройка групповых ско-
ростей учитывается через параметр d(Lw L). Поскольку форма
импульсов не меняется, уравнения (7.4.1) и (7.4.2) можно решить
аналитически. Общее решение имеет вид
Ar (L, Г) = А2 (0, T)exp(i^j),	(7.4.5)
A2(L, Г) = Л2(0, Т— Тб/)ехр(/ф2),	(7.4.6)
где
ф1 (Г) = 71 (L| А, (0, Т) |2 + 2 f | Л2 (0, Т- zd) |2 dz),	(7.4.7)
О
ф2 (Г) = у2 (L| А2 (0, Г) I2 + 2 f IAt (0, т+ zd)\2 dz).	(7.4.8)
о
Физический смысл данных выражений ясен. По мере того как импульс
распространяется по световоду, его фаза модулируется из-за зави-
симости показателя преломления от интенсивности. Промодулиро-
ванная фаза имеет два слагаемых. Первое слагаемое в уравнениях
(7.4.7) и (7.4.8) обусловлено ФСМ (см. разд. 4.1). Второе происходит
из-за ФКМ. Его вклад изменяется вдоль длины световода из-за
расстройки групповых скоростей [52]. Полный вклад ФКМ в фазу
получается при интегрировании по длине световода.
Интеграл в выражениях (7.4.7) и (7.4.8) можно взять для им-
пульсов специальной формы. В качестве иллюстрации рассмотрим
случай двух гауссовских импульсов одинаковой длительности То без
частотной модуляции. Начальные амплитуды имеют вид
\ Z. 1 о /
(Т- Та)2
2Т2
(7.4.9а)
(7.4.96)
200
Глава 7
где Р, и Р2 значения пиковой мощности и 7} начальная задержка по
времени между двумя импульсами. Подставив систему (7.4.9) в (7.4.7),
получим явные выражения для нелинейной фазы фр
Ф1(т) = Yi С(Р,ехр(— т2) + Р2~ [erf(r - тД-егЦт - тл - 8)]), (7.4.10)
о
где erf-функция ошибок и

т = —
То
То'
То
(7.4.11)

Аналогичное выражение получается для ф2('Г).
Как показано в разд. 4.1, зависимость фазы от времени прояв-
ляется в виде уширения спектра. Таким образом, спектр каждого
импульса будет уширяться, в нем будет наблюдаться многопичковая
структура, форма которой определяется относительным вкладом
ФСМ и ФКМ. На рис. 7.10 показаны спектры двух импульсов для
конкретного случая 'flPlL = 40, Р2/Р2 = 0,5, Y2/Y1 = 1,2, rd = 0, 5 = 5.
Эти параметры соответствуют случаю, когда импульс мощностью
100 Вт на длине волны 630 нм возбужден вместе с 50-ваттным
импульсом на длине волны 530 нм с Td = 0, То = 10 пс и L = 5 м.
Наиболее заслуживающая внимания особенность рис. 7.10-асим-
метрия спектра, обусловленная исключительно ФКМ. При отсутст-
вии взаимодействия за счет ФКМ обе спектра должны быть сим-
метричными и испытывать меньшее уширение. Спектр импульса
2 более асимметричен, поскольку вклад ФКМ больше именно для
этого импульса (Р{ = 2Р2). Можно на качественном уровне понять
особенности спектра на рис. 7.10, рассмотрев нелинейный сдвиг
частоты. Для импульса 1 он имеет вид
.	1 £Ф1
Av,(t) = - — — =
2л сТ
= Pt техр(— т2) - ^[ехр(- (т - тД2) - ехр(- (т - тл - 8)2)] ),
лГ0 \	8	/
(7.4.12)
где использовалось выражение (7.4.10). При vd = 0 и 18|| « 1 (L« Lw)
сдвиг частоты определяется простым соотношением
у L
Av, (т) = —ехр(—т2)[Р,т + Р2(2т -8)].	(7.4.13)
л Тр
Сдвиг частоты для импульса 2 можно получить, следуя похожей
процедуре:
Av2(t) = -Цгехр(- т2)[Р2т + Pi (2т + 8)].	(7.4.14)
Фазовая кросс-модуляция
201
Рис. 7.10. Оптические спектры двух импульсов, распространяющихся вместе
и испытывающих асимметричное уширение спектра, вызванное ФКМ. Зна-
чения параметров: ylPl L = 40, P2IPi = 0,5. у2/У\ = 1-2. = 0. L/L„ = 5.
Асимметрия в спектре возникает, поскольку Av,(— т) # Av (т)(/ = 1
или 2 до тех пор, пока 6/0). Для положительных значений 8 сдви1
частоты больше вблизи переднего фронта для импульса 1, в то время
как обратное имеет место для импульса 2. Поскольку передний
и задний фронты переносят соответственно длинноволновые и
коротковолновые компоненты, спектр импульса 1 сдвинут в длин-
новолновую область. Это и видно на рис. 7.10. Спектр импульса
2 испытывает больший сдвиг потому, что вклад ФКМ больше из-за
того, что Р2 > Р2. Когда Р2 = Р2 и у, ~ у2, спектры обоих импульсов
будут зеркальным отображением друг друга.
Картина спектрального уширения может быть качественно иной,
если оба импульса в начальный момент не перекрываются, а разде-
лены (что соответствует некоторой временной задержке). Для того
чтобы выделить эффект ФКМ, полезно рассмотреть случай, когда
Pt « Р2. Сдвиг частоты, индуцированный накачкой и накладываемый
на сигнальный импульс, вычисляется из выражения (7.4.12); вкладом
ФСМ пренебрегаем.
Av, (т) = sgn (8) AvMaKC {exp [- (т - тД2] - exp [- (т - rd - 8)2]},
(7.4.15)
где AvMaKC- максимальное значение сдвига частоты за счет ФКМ:
д _ У	У Ьц-
~ лТ0|8| “ яТ0
(7.4.16)
Отметим, что AvMaac определяется длиной дисперсионного раз-
бегания Lw, а не фактической длиной световода L. Этого и следовало
ожидать, так как взаимодействие за счет ФКМ возникает только
тогда, когда импульсы перекрываются.
202
Глава 7
Рис. 7.11. Оптические спектры (левая колонка) и индуцированные ФКМ фаза
и сдвиг частоты (правая колонка) для сигнального импульса, распростра-
няющегося вместе с импульсом накачки, движущимся быстрее сигнального.
Форма сигнального импульса показана штриховой линией. Три ряда соот-
ветствуют начальной задержке импульса: Td = 0, 2 и 4 соответственно. Другие
параметры: у1Р2Р = 40, L'L„ = 4.
Из уравнения (7.4.15) следует, что индуцированный ФКМ сдвиг
частоты сигнала может значительно варьироваться, если rd и 8 имеют
противоположные знаки. В результате спектр сигнального излучения
может иметь качественно различные особенности в зависимости от
относительной величины и 6. Рассмотрим случай, когда импульс
накачки распространяется быстрее сигнала (6 < 0), но вначале он
задержан (Td 0). На рис. 7.11 показаны спектр сигнального из-
лучения, фаза ф( и сдвиг частоты Avt при 6 = — 4 и = 0, 2 и 4.
Длина световода L и пиковая мощность излучения накачки Р2
выбраны так, что y1/>2L=40 и L/Lw = 4. Для примера 10-пико-
Фазовая кросс-модуляция
203
секундный импульс накачки с расстройкой групповых скоростей
d = 10 пс/м имеет Lw = 1 м. Спектр сигнального излучения на рис.
7.11 при rd = 0 сдвинут в длинноволновую область и сильно асиммет-
ричен. При Td = 2 он становится опять симметричным, в то время как
при Td = 4 он снова асимметричен и сдвинут в коротковолновую
область. Фактически спектры при Td = 0 и Td = 4 зеркально симмет-
ричны относительно центральной частоты v( =
Можно понять физический смысл особенностей спектров сигналь-
ного излучения, рассмотрев сдвиг частоты, вызванный ФКМ (что
изображено в правой колонке на рис. 7.11). При = 0. сдвиг частоты
положителен вдоль всего сигнального импульса, и максимальное его
значение возникает в центре импульса. В случае ФСМ, в отличие от
этого (см. рис. 4.1), сдвиг частоты отрицателен вблизи переднего
фронта, нулевой у центра импульса и положителен у заднего фронта.
Разница для случаев ФСМ и ФКМ обусловлена расстройкой груп-
повых скоростей. При Td = 0 медленно движущийся сигнальный
импульс взаимодействует в основном с задним фронтом импульса
накачки. В результате индуцированный ФКМ сдвиг частогы поло-
жителен, спектр сигнального излучения имеет только компоненты,
сдвинутые в коротковолновую область. При rd = 4 импульс накачки
«догоняет» сигнальный импульс только в конце световода. Передний
фронт импульса накачки взаимодействует с сигнальным импульсом;
поэтому сдвиг частоты отрицателен и спектр сдвигается в длинно-
волновую область. При Td = 2 у импульса накачки есть время не
только догнать сигнальный импульс, но и пройти сквозь него
симметричным образом. Сдвиг частоты равен нулю в центре им-
пульса. Его величина мала и внутри всего импульса. В результате
спектр сигнала симметрично уширяется, но в «крыльях» заключена
относительно малая доля энергии. В этом симметричном случае
спектр сигнала сильно зависит от отношения L/Lw. При Td = 1, если
LiLw = 2, спектр сигнального излучения шире и имеет более сложную
структуру. С другой стороны, если L» Lw, спектр сигнального
излучения остается практически неизменным.
Уширение спектра, вызванное ФКМ, наблюдалось эксперимен-
тально в конфигурации «накачка-сигнал». В эксперименте [52]
10-пикосекундные импульсы накачки были полуены от лазера на
центрах окраски, работающего на длине волны 1,51 мкм, в то время
как сигнальные импульсы на длине волны 1,61 мкм генерировались
в волоконном ВКР-лазере (см. разд. 8.2.2). Длина дисперсионного
разбегания составляла 80 м, в то время как дисперсионная длина
превышала 10 км. Наблюдались как симметричные, так и асим-
метричные спектры сигнального излучения, по мере того как длина
световода возрастала с 50 до 400 м. Эффективная задержка между
импульсами изменялась за счет расстройки резонатора волоконного
ВКР-лазера.
204
Глава 7
В другом эксперименте [59] Nd :YAG-лазер использовался для
генерации 33-пикосекундных импульсов накачки на длине волны
1.06 мкм и 25-пикосекундных сигнальных импульсов на длине волны
0,53 мкм. Первоначальная задержка между сигнальными импульсами
и импульсами накачки осуществлялась при помощи интерферометра
Маха-Цандера. Из-за относительно большой расстройки групповых
скоростей (d ~ 80 пс/м) длина дисперсионного разбегания составляла
лишь 25 см. Для световода длиной 1 м, используемого в экспери-
менте, L/ Lw = 4. Спектры сигнального излучения измерялись при
изменении задержки Та и пиковой мощности излучения накачки.
Спектр сигнального излучения испытывал сдвиг как в длинновол-
новую, так и в коротковолновую области при некотором уширении.
Отметим, что спектральное разрешение не позволяло наблюдать
многопичковую структуру спектра. Такой вызванный ФКМ сдвиг
был назван индуцированным сдвигом частоты [59]. На рис. 7.12
изображен индуцированный сдвиг как функция задержки по времени
Та. Сплошная линия теоретическая зависимость из выражения
(7.4.15). Сдвиг частоты при данной временной задержке получается
при максимализации Av,(t). Максимум находится вблизи т = 0,
и сдвиг частоты определяется выражением
Av, = AvMalfc {ехр ( —tj) — ехр [—(^ + б)2]},	(7.4.17)
где 5 ~ -4 для экспериментальных значений параметров и та = Та/ То
при То ~ 20 пс. Уравнение (7.4.17) показывает, что максимальный
Рис. 7.12. Индуцированный ФКМ сдвиг длины волны сигнального импульса
на 0,53 мкм как функция начальной задержки 1.06-микрометрового импульса
накачки. Кружки представляют экспериментальные данные, в то время как
сплошная линия представляет теоретическую зависимость [59].
Фазовая кросс-модуляция
205
Рис. 7.13. Индуцированный ФКМ сдвиг длины волны сигнального импульса
на длине волны 0,53 мкм как функция пиковой мощности 1,06-микрометро-
вого импульса накачки, распространяющегося вместе с сигнальным, для
случая, когда нет начальной задержки по времени (Га = 0) между двумя
импульсами [59].
сдвиг AvMaltc возникает при = 0 и Td = 4, в то время как его значение
стремится к нулю при Td = 2. Эта особенность находится в согласии
с экспериментальными данными. В соответствии с (7.4.16) макси-
мальный сдвиг должен линейно возрастать при увеличении пиковой
мощности излучения накачки. Данная зависимость действительно
наблюдается экспериментально, как это следует из рис. 7.13. Сдвиг
длины волны сигнального излучения, вызванный ФКМ, имеет
величину примерно 0,1 нм/кВт. Эта величина ограничена длиной
дисперсионного разбегания; ее можно увеличить на порядок и более,
если уменьшить разницу в длинах волн между сигнальным излуче-
нием и излучением накачки до нескольких нанометров. Индуци-
рованный ФКМ сдвиг частоты может быть использован в системах
оптической связи или в оптических компьютерах.
7.4.2.	АСИММЕТРИЧНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ
До сих пор мы предполагали, что дисперсионная длина LD много
больше длины световода L. В результате оба импульса сохраняли
свою форму при распространении по световоду. Если LD становится
сравнимой с L или с длиной дисперсионного разбегания Lw, совмест-
ное действие ФКМ, ФСМ и дисперсии групповых скоростей может
привести к качественно новым временным изменениям, которые
сопровождают изменения в спектре, рассмотренные в разд. 7.4.1.
206
Глава 7
Можно исследовать эти временные изменения, численно решая урав-
нения (7.1.17) и (7.1.18) Здесь полезно ввести безразмерные перемен-
ные, как в разд. 4.2.

т _7 -
т0

и записать связанные уравнения для амплитуд в виде
ас/, i d2U,
-'- + ? ^f‘ = /N2(|C/1|2 + 2|C/2|2)C/1,
ас/2 Ld cU2 i р22 d2U2 7 <о2	7	,
aT^lT^h^2-iN	2 + 2^12^
(7 4 18)
(7 4.19)
(7.4.20)
где Ld и Lw определены выражениями (7 4 4), а параметр N введен
так же, как и в разд. 4.2,
, Ld у, Р. То
N = / =лгтт£-	<7-4-21>
lnl I Рз I
Потерями в световоде мы пренебрегли, полагая a7L« 1 (j = 1 или 2).
Второй член в уравнении (7.4.20) описывает расстройку групповых
скоростей обоих импульсов. Выбор плюса или минуса зависит от
знака параметра d, определенного в (7.4.3).
Для того чтобы выделить эффекты, связанные с ФКМ, полезно пе-
рейти к конфигурации «накачка-сигнал». Предполагая |С/2|2 « |С/,|2,
в уравнениях (7.4.19) и (7.4.20) можно пренебречь членами, содержа-
щими |С/2|2. Тогда сигнал не воздействует на динамику импульса
накачки, определяемую уравнением (7.4.19). Тем не менее импульс
накачки значительно воздействует на динамику сигнала за счет ФКМ.
Уравнение (7.4.20) описывает совместное действие эффектов ФКМ
и дисперсии групповых скоростей на форму и спектр сигнального
импульса. Эти уравнения можно решить численно, используя частич-
но видоизмененный метод SSFM, описанный в разд. 2.4.
На рис. 7.14 показаны форма импульсов и спектры для сигналь-
ного излучения и излучения накачки при Е, = 0,4 в случае N = 10,
LdILw = 10, to2/<o, = 1.2 и Р22 ~ р21 > 0. Предполагается, что оба
импульса на входе в световод имеют гауссовскую форму при
одинаковой длительности, между ними нет временной задержки,
и импульс накачки распространяется быстрее сигнала (d > 0). Форма
и спектр импульса накачки обладают свойствами, возникающими из
совместного действия ФСМ и дисперсии групповых скоростей (см.
разд. 4.2). С другой стороны, форма и спектр сигнального импульса
определяются совместным действием ФКМ и дисперсии. Для срав-
нения на рис. 7.15 изображены спектры сигнала и накачки при
отсутствии дисперсии групповых скоростей; асимметричное уширение
Фазовая кросс-модуляция
207
Накачка
Сигнал
0,3
0,2
0,1
о
«	-5 О 5	10	15	-10	-5 О 5	10
х
ш
0,2
0,08
0,04
О
-4	-2	0	2	4	-4	2	0	2	4
(k-v2) То
Рис. 7.14. Формы импульсов (верхний ряд) и спектры (нижний ряд) для
сигнального импульса и импульса накачки при § = 0.4 для N — 10. LDILW = 10
и Wj/ra, = 1.2. Штриховой линией показано положение начального импульса.
Оба импульса имеют гауссовскую форму при одной и той же длительности
и полностью перекрываются при Е, = 0.
спектра сигнального излучения в коротковолновую область при
отсутствии дисперсии рассмотрено в разд. 7.4.1. Наличие дисперсии
уменьшает степень асимметрии; при этом часть энергии переносится
длинноволновыми спектральными компонентами (см. рис. 7.14).
Заметнее всего дисперсия воздействует на форму сигнального
импульса (см. рис. 7.14). При отсутствии дисперсии форма сигнала
остается неизменной, так как ФКМ действует лишь на оптическую
фазу. Тем не менее, когда дисперсия есть, разные части сигнального
импульса распространяются с разными скоростями из-за сдвига
частоты, индуцированного ФКМ и накладываемого на сигнальный
импульс. Это приводит к асимметризации формы импульса и появ-
лению значительной субструктуры. На сигнальном импульсе разви-
ваются быстрые осцилляции вблизи заднего фронта, в то время как
передний фронт остается практически неизменным. Эти осцилляции
вызваны так называемым эффектом распада огибающей оптической
208
Глава 7
Рис. 7.15. Спектры сигнального импульса и импульса накачки при условиях,
идентичных указанным на рис. 7.14, за исключением того, что дисперсион-
ными эффектами пренебрегается. Форма импульсов не показана, так как она
остается неизменной.
волны, рассмотрены в разд. 4.2. Осцилляция на «крыльях» импульса
обусловлены там комбинацией ФСМ и дисперсии (см. рис. 4.10).
В данном случае именно комбинация ФКМ и дисперсии приводит
к осцилляциям по всему заднему фронту сигнального импульса.
С физической точки зрения данные процессы образования осцилляций
обусловлены следующим. Сдвиг частоты, индуцированный ФКМ,
максимален в центре импульса, как это следует из рис. 7.11 (верхний
ряд). Из-за положительной дисперсии вершина сигнального импульса
замедляется по отношению к его «крыльям». Распад огибающей
оптической волны возникает из-за того, что вершина отстает
и начинает интерферировать с задним фронтом. В данном случае
импульс накачки, двигаясь быстрее сигнала, взаимодействует с его
задним фронтом. Если же длины волн излучения накачки и сигнала
поменять местами так, что более медленный импульс накачки
взаимодействовал в основном с передним фронтом сигнального
импульса, то осцилляции возникнут вблизи переднего фронта, так как
индуцированный ФКМ сдвиг частоты ускорит вершину сигнального
импульса по отношению к его «крыльям». Наличие начальной
задержки между импульсом накачки и сигнальным импульсом может
привести к возникновению особенностей, качественно отличающих
дисперсионную ФКМ от случая, изображенного на рис. 7.11. На-
пример, можно значительно сжать сш нальный импульс, оптимизируя
начальную задержку. Механизм компрессии аналогичен многосо-
литонному сжатию (см. разд. 6.4), за исключением того, что
индуцированное ФКМ-сжатие может происходить даже в области
положительной дисперсии световода.
Для экспериментального наблюдения асимметричных временных
эффектов, вызванных ФКМ, потребуется использовать фемтосекунд-
Фазовая кросс-модуляция
209
ные импульсы. Это происходит из-за тою, что LD 1 км для
То > 5 пс, в то время как длина дисперсионного разбегания Lw ~ 1 м
для типичных значений |<7| ~ 10 пс/м. Поскольку ФКМ возникает
только на трассах порядка нескольких длин дисперсионного разбега-
ния, взаимодействие между ФКМ и дисперсионными эффектами
может происходить, если LD и Lw становятся сравнимыми. Напри-
мер. если То = 100 фс, Ld и 1.ц становятся - 10 см, и временные
эффекты, описанные выше, могут возникать в световоде длиной менее
метра. Для таких коротких импульсов необходимо учитывать нели-
нейные эффекты высших порядков, такие, как дисперсия нелиней-
ности или задержка нелинейного отклика (см. разд. 2.3). Воздействие
ФКМ на динамику фемтосекундных импульсов находится в ранней
стадии исследований и заслуживает дальнейшего внимания.
7.5.	НЕВЗАИМНОСТЬ, ВЫЗВАННАЯ ФКМ
До сих пор в этой главе мы рассматривали ФКМ двух волн,
распространяющихся в одном и том же направлении; эти волны
отличались друг от друга длинами волн или состояниями поля-
ризации. Третий возможный случай когда две волны с одинаковыми
частотами и состояниями поляризации распространяются по све-
товоду в противоположных направлениях. Прямая и обратная волны
будут взаимодействовать друг с другом за счет ФКМ. Такое
взаимодействие может привести к качественно новым свойствам,
проявляющимся в виде оптической бистабильности [63 66], когда
волоконный световод используется для создания нелинейного коль-
цевого резонатора. Также это может привести к оптическим
неустойчивостям и хаосу [67, 68]. Особый интерес представляет
невзаимность, вызванная ФКМ; она может воздействовать на работу
волоконных гироскопов [69-74] и волоконных ВКР-лазеров [75].
Чтобы понять причину невзаимности между волнами, распрост-
раняющимися навстречу друг другу, воспользуемся методом из
разд. 7.1. Если А, и Л,-амплитуды прямой и обратной волн, то они
Удовлятворяют уравнениям связанных амплитуд, аналогичным урав-
нениям (7.1.17) и (7.1.18). В частности, Aj удовлетворяет уравнению
?Aj 1 сА- i д2А, а	,	,
+ Г if + 2 ₽2 1^ + 2 Aj = /У(1^ + 2 Мз-) Л,-,
(7.5.1)
!Де «плюс» или «минус» соответствует j = 1 или 2 соответственно.
8 случае непрерывного излучения эти уравнения легко решаются.
Если для простоты пренебречь потерями в световоде, решение имеет
вид
aj(z) = х/рэехР(±'Фэ)’
(7.5.2)
210
Глава 7
Многовитковая
волоконная петля
Рис. 7.16. Схема волоконного гироскопа. Излучение лазера вводится через
50%-ный ответвитель, возбуждая встречные волны в многовитковой воло-
конной петле. Сдвиг фазы, вызванный вращением, измеряется фазочувстви-
тельным детектором.
где Pj-значение пиковой мощности, нелинейный сдвиг фазы опре-
деляется выражением
ф2 = уг(/< + 2Р3_2).	(7.5.3)
Если Р, # Р2, то для двух волн, распространяющихся навстречу
друг другу, сдвиги фазы ф1 и ф2 неодинаковы. Эта невзаимность
вызвана наличием коэффициента 2 в члене с ФКМ в выражении
(7.5.3).
Невзаимность, обусловленная ФКМ, может оказаться вредной
для высокоточных волоконных гироскопов [76], используемых для
измерения скоростей вращения меньше 0,01 °/ч. На рис. 7.16 показана
схема конструкции волоконного гироскопа. Его действие основано на
эффекте Саньяка [77], при котором между волнами, распространя-
ющимися навстречу друг другу, возникает зависящий от скорости
вращения сдвиг фазы. Суммарный сдвиг фазы определяется вы-
ражением
Дф = Ф1 - ф2 = YL(/>2 -/>1) + sn,	(7.5.4)
где L-полная длина световода, ^ скорость вращения и S масштаб-
ный коэффициент, зависящий от длины световода и радиуса во-
локонной петли [76]. Если мощности Рх и Р2 постоянны, то член
с ФКМ в выражении (7.5.4) несуществен. Но на практике уровень
мощности может флуктуировать. Даже при разнице в мощности
между встречными волнами в 1 мкВт сдвиг фазы Дф может
измениться на ~1-10-6рад, если принять у ~ 10 Вт '-км 1 и
L ~ 100 м. Эта величина обычно соответствует эквивалентной
скорости вращения ~0,1 °/ч, что указывает на то, что ФКМ может
значительно ограничить чувствительность волоконного гироскопа,
если не контролировать уровень мощности с точностью до 10 нВт.
Для того чтобы уменьшить эффект ФКМ и улучшить работу
гироскопа, можно воспользоваться рядом схем. В первой схеме [70]
Фазовая кросс-модуляция
211
лазерное излучение модулируется до того, как в волоконной петле
будут возбуждены встречные волны. Так как возникает явная за-
висимость от времени, анализ этого случая осуществляется решением
уравнения (7.5.1) с соответствующими граничными условиями [70,
74]. Результаты показывают, что эффект невзаимности можно
значительно уменьшить, если должным образом выбрать частоту
модуляции. Это понятно, так как ФКМ возникает только тогда, когда
два импульса перекрываются по времени. Невзаимность, вызванная
ФКМ, возникает из-за интерференции между встречными волнами.
Модуляция уменьшает связь между ними, тем самым уменьшая
эффективность такой интерференции. Действительно, тот же самый
результат можно получить, используя широкополосные источники
с ограниченным временем когерентности [71 -73]. Для этих целей
использовались тепловые источники или светодиоды [76].
Кратко рассмотрим воздействие ФКМ на оптическую бистабиль-
ность. Любая нелинейная среда, помещенная внутрь резонатора,
может проявлять бистабильность [78, 79], и волоконные световоды
не являются исключением. Если для этой цели использовать воло-
конный кольцевой резонатор, оптическая бистабильность может воз-
никать вне зависимости от того, распространяется ли излучение по
или против часовой стрелки. Интересная ситуация возникает, когда
оптические волны возбуждаются в обоих направлениях. Из-за вза-
имодействия между встречными волнами за счет ФКМ устройство
действует как две связанные бистабильные системы, и оно может
обладать качественно новыми свойствами [63 66]. Хотя оптическую
бистабильность наблюдали [68] для случая однонаправленного
распространения в волоконном кольцевом резонаторе, исследование
двунаправленного случая не привлекло большого внимания. Воз-
можно, оптическая бистабильность в одномодовых волоконных
световодах будет использоваться для быстрых оптических переклю-
чений.
7.6.	ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМ ОПТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Поскольку волоконные световоды обычно используются для
передачи каких-либо данных и телефонных разговоров, важно понять,
как ФКМ воздействует на работу систем оптической связи [47, 48].
В многоканальной (с частотным уплотнением информации) системе
как ФКМ, так и ФСМ будут изменять фазу оптической волны
в каждом из каналов. В случаях когда информация передается за сче.
амплитудной модуляции и некогерентно демодулируется. а также
в системах связи с прямым детектированием нелинейные изменения
Фазы малосущественны. Однако, если используются методы коге-
рентной демодуляции, такие изменения фазы могут сильно ограни-
чить работу системы. Для того чтобы лучше понять это ограничение,
212
Глава 7
рассмотрим М-канальную систему связи. Амплитуда А; излучения
в каждом канале (/ = 1 — М) подчиняется уравнению распростра-
нения, аналогичному (7.1.17). Для типичных скоростей передачи
информации ~1 Гбит/с импульс, соответствующий битовому про-
межутку, достаточно широк, и при рассмотрении нелинейных эф-
фектов дисперсионные эффекты оказываются несущественными.
В этом случае уравнение (7.1.17) может быть записано в виде
ос	м
^ + ~А^ /у(|Л/ + 2 Y	(7.6.1)
dz 2 1
где предполагается, что потери в световоде а и нелинейный параметр
у одинаковы для всех каналов. Вклад ФКМ от всех каналов включен
в уравнение (7.6.1). Возникающая система М связанных уравнений
может быть решена аналитически; результат решения
/ = У^ехр^фр,	(7.6.2)
где Pj- мощность излучения, распространяющегося в j-м канале.
м
Ф, = уЕэфф(/< + 2 X РЛ	(7-6.3)
т#/
Гэфф определяется выражением (7.2.12). Обычно длина световода
L превышает длину поглощения (L» 1/а), и можно считать, что
эффективная длина Г.,фф к 1/а.
В зависимости от того, осуществлялась для передачи информации
модуляция амплитудная или фазовая, следует различать два случая.
Сначала рассмотрим случай фазовой модуляции. Поскольку мощ-
ность в каждом канале остается постоянной, нелинейное изменение
фазы одинаково для всех битовых импульсов. Вообще говоря,
фундаментальное ограничение для системы с фазовой модуляцией
возникает из-за флуктуации фазы. Но поскольку ф7, согласно (7 6.3),
зависит от мощности, флуктуации мощности приводят к флуктуа-
циям фазы, а это уменьшает отношение сигнал/шум на выходе
световода. Если для простоты предположить, что средняя мощность
во всех каналах одинакова, одинаково и стандартное отклонение стр.
Тогда стандартное отклонение флуктуаций фазы принимает вид [47]
У£р+2уоР(м_1)1/^	(7.6.4)
а а
если в (7.6.3) подставить Тэфф ~ 1/а. Два слагаемых представляют
вклады ФСМ и ФКМ в стф. Оценивая порядок величины, получаем
устр/а~ 0.02 при у~ 1 Вт-1-км-1, а = 0,046 км ’ (0,2 дБ/км) и
Ср = 0,1 мВт (это обычные значения для оптических систем связи
в диапазоне 1,55 мкм). Вклад ФСМ в стф пренебрежимо мал. Вклад
Фазовая кросс-модуляция
213
ФКМ может стать значительным в зависимости от числа каналов.
Оценки показывают, что Стф = 0,15 соответствует ухудшению чув-
ствительности примерно на 0,5 дБ [80]. Из выражения (7.6.4) видно,
что действие ФКМ на работу системы связи становится угрожаюшим
только при М > 20.
Теперь рассмотрим случай когерентной системы связи с ампли-
тудной модуляцией. Если используется фазочувствительное (гомо-
динное) детектирование, фаза фу будет изменяться от одного би-
тового импульса к другому в зависимости от битовой структуры
соседних каналов. В худшем случае сдвиг фазы, вызванный ФКМ,
принимает вид
Лф = 2(у/а)(Л1-1)Р,	(7.6.5)
где предполагается, что мощность Р одинакова во всех каналах. Если
в качестве приемлемой величины принять Лф 0,1, мощность
в каждом канале будет ограничена величиной
0,05а
у(М - 1)’
(7.6.6)
Это ограничение означает Р < 1 мВт даже при М = 5.
Эффекты ФКМ наблюдались в эксперименте с двумя каналами
[48] Излучение от двух полупроводниковых лазеров, работающих на
длинах волн вблизи 1,3 и 1,5 мкм, вводилось в 15-километровый
отрезок одномодового световода. Сдвиг фазы излучения на длине
волны 1,5 мкм, вызванный излучением на 1,3 мкм, измерялся при
помощи интерферометра. При Р = 1 мВт был экспериментально
зарегистрирован сдвиг фазы Лф = 0,024. Это значение находится
в хорошем согласии с величиной 0,022, которая следует из (7.6.5).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ахманов С. А., Сухоруков А П Чиркин А. С. ЖЭТФ, 1968, т. 55, с. 1430.
2.	Akhmanot S. A., Khokhlov R. V, Sukhorukov А. Р„ in: Laser Handbook, vol. 2,
ed. by F. T. Arecchi, E. O. Schulz-Dubois, North-Holland, Amsterdam. 1972,
Ch. E3.
3.	Maker P.D., Terhune R. W„ Savage C.M. Phys. Rev. Lett., 12, 507 (1964).
4.	Maker P.D., Terhune R. W., Phys. Rev., A137, A801 (1965).
5.	Mayer G.. Gires F.. Compt. Rend. Acad. Sci., 258, 2039 (1964).
6	Duguay M. A.. Hansen J IV. Appl Phys. Lett., 15, 192 (1969).
Owyoung A.. Helhvarth R. W.. George N., Phys. Rev., B5 628 (1972).
Duquai M.A., in: Progress in Optics, vol. 14, ed. by E. Wolf, North-Holland,
Amsterdam, 1976, p. 163.
9. Helhvarth R. W.. Prog. Quantum Electron., 5, 1 (1977).
0 Phu-Xuan NG.. Rivoire G„ Opt. Acta, 25, 233 (1978).
' Shen Y.R., The Principles of Nonlinear Optics, Wiley, New York, 1984. Ch. 16
[Имеется перевод: Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука,
12	Stolen R.H.. Ashkin A., Appl. Phys. Lett., 22, 294 (1973).
214
Глава 7
13.	Dziedzic J.M., Stolen R. H., Ashkin A., Appl. Opt.. 20. 1403 (1981).
14.	Aryal J.L., et al.. Opt. Commun., 49, 405 (1984).
15.	Kitayama K„ Kimura Y. Seikai S., Appl Phys. Lett. 46, 623 (1985).
16.	Диаиов E. M. и др. Квант, электрон., 1987, т. 14. с. 822.
17.	Morioka Т. Saruwatari М„ Takuda A.. Elektron. Lett.. 23, 453 (1987).
18.	Byron K.C., Election. Lett., 23, 1324 (1987).
19.	Morioka T. Saruwatari M„ Electron. Lett., 23, 1330 (1987).
20.	IV/nte I H. Penty R.V., Epworth RE.. Electron. Lett., 24, 340 (1988).
21	Stolen R H. Botineau J.. Ashkin A.. Opt. Lett., 7, 512 (1982).
22.	Nikolaus B.. Grischkowsky D.. Balant A.C., Opt. Lett., 8, 189 (1983).
23.	Halos N.J.. Grischkowsky D.. Appl. Phys. Lett., 48. 823 (1986).
24.	Kitavama K.. Kimura Y, Seikai S., Appl. Phys. Lett.. 46, 317 (1985); 46, 623
(1985).
25	Kimura Y. et al., Electron. Lett., 22, 277 (1986).
26.	Crosignani B. et al.. Opt. Lett., 10, 89 (1985).
27.	Winful H.G.. Appl Phys. Lett., 47, 213 (1985).
28.	Crosignani B.. Di Porto P., Opt. Acta, 32, 1251 (1985).
29.	Daino B.. Gregori G.. Wabnitz S.. J. Appl. Phys. 58, 4512 (1985); Opt. Lett., 11,42
(1986).
30.	Winful H.G.. Opt. Lett., 11, 33 (1986).
31.	Gregori G.. Wabnitz S.. Phys. Rev. Lett., 56, 600 (1986).
32.	Matera F„ Wabnitz S.. Opt, Lett., 11, 467 (1986).
33.	Winfid H.G.. Hu A.. Opt. Lett., 11. 668 (1986).
34.	Trillo S. et al.. Appl. Phys., 49, 1224 (1986).
35.	Vatarescu A., Appl. Phys. Lett., 49. 61 (1986).
36.	Wabnitz S.. Phys. Rev. Lett., 58. 1415 (1987).
37.	Mecozzi A. et al.. Opt. Lett.. 12, 275 (1987).
38.	Kimura Y, Makazawa M.. Jpn. J. Appl. Phys., 26. 1503 (1987).
39.	Caglioti E„ Trillo S.. Wabnitz S.. Opt. Lett., 12, 1044 (1987).
40.	Blow K.J.. Doran N.J.. Wood D .. Opt. Lett., 12, 202 (1987).
41.	Menvuk C.R.. IEEE J. Quantum Electron.. QE 23, 174 (1987).
42.	Memuk C.R., Opt. Lett., 12, 614 (1987).
43.	Menyuk C.R.. Opt. Soc. Am, B5, 392 (1988).
44.	Christodoulides D.N., Joseph R.I., Opt. Lett., 13. 53 (1988).
45.	Boardman A. D.. Cooper G. S.. J. Opt. Soc. Am, B5, 403 (1988); J. Mod. Opt, 35.
407 (1988).
46.	Gersten J. I.. Alfano R. R.. Belie M., Phys. Rev., A21, 1222 (1980).
47.	Chraplyvy A. R„ Marcuse D . Henry P.S., J Lightwave Technol, LT-2, 6 (1984).
48	Chraplyty A.R.. Stone J Electron. Lett, 20. 996 (1984).
49.	Manassah J.T. et al.. Phys. Lett, A133, 242 (1985).
50.	Alfano R.R. et al.. Opt. Lett., 14, 626 (1986).
51.	Schadt D.. Jaskorzynska B.. Osterberg U.. J. Opt. Soc. Am, B3, 1257 (1986).
52.	Islam M.N. et «/..Opt. Lett.. 12, 625 (1987).
53.	Alfano R.R. et al.. Appl. Opt, 26, 3491 (1987).
54.	Agrawal G.P.. Phys. Rev. Lett, 59, 880 (1987)
55.	Schadt D., Jaskorzynska B.. Electron. Lett, 23. 1090 (1987); J. Opt. Soc. Am, B4,
856 (1987); 5, 2374 (1988).
56.	Manassah J.T. Appl. Opt, 26, 3747 (1987); Opt. Lett.. 13. 755 (1988).
57.	Baldeck P.L., Ho P P. Alfano R. R. Rev. Phys. Appl, 22. 1677 (1987).
58.	Alfano R.R.. Ho PR. IEEE J. Quantum Electron, QE-24, 351 (1988).
59.	Baldeck P.L.. Alfano R. R.. Agrawal G. P Appl. Phys. Lett, 52, 1939 (1988).
60.	Baldeck P.L., Alfano R. R.. Agrawal G.P. Int. Conf. LJltrafast Phenomena.
Paper PD2, July 12 15 (1988).
61.	Gouveia-Neto A.S. et al.. Opt. Lett, 13, 901 (1988).
62.	Wabnitz S.. Phys. Rev, A38, 2018 (1988).
63.	Agrawal G.P.. Appl. Phys. Lett, 38, 505 (1981).
Фазовая кросс-модуляция	215
64.	Kaplan А. IEEE J. Quantum Electron . QE-17, 118/(1981); Opt. Lett., 6, 360
(1981).
65.	Kaplan A. E.. Meystre P.. Opt. Lett., 6, 590 (1981); Opt. Commun. 40, 229 (1982).
66.	Agrawal G.P., IEEE J. Quantum Electron., QE-18, 214 (1982).
67.	Silberberg Y.. Bar-Joseph I.. Phys. Rev. Lett., 48, 1541 (1982); J. Opt. Soc. Am.,
Bl, 662 (1984).
68.	Nakatsuka H. et al.. Phys. Rev. Lett., 50, 109 (1983).
69.	Esekiel S. Davis J.L., Hellwarth R. U7. Opt. Lett., 7. 457 (1982).
70.	Bergh R.A., Lefevre H.C.. Shaw H.J., Opt. Lett., 7, 282 (1982).
71.	Bergh R.A.. et al.. Opt. Lett., 7, 563 (1982).
72.	Petermann K., Opt. Lett., 7, 623 (1982).
73.	Frigo N.J. et al.. Opt. Lett., 8, 119 (1983).
74.	Crosignani B.. Yariv A., J. Lightwave Technol., LT-3, 914 (1985).
75.	Кравцов H.B.. Серкин В. H. Квант, электрон., 1983, т. 10, с. 182.
76.	Bergh R. A Lefevre Н.С.. Shaw И. J. J Lightwave Technol., LT-2, 91 (1984).
П. Sagnac G., Compt. Rend. Acad. Sci., 95, 708 (1913).
78.	Lugiato L.A.. in; Progress in Optics, vol. 21, ed. by. E. Wolf, North-Holland,
Amsterdam, 1984.
79.	Gibbs H. M., Optical Bistability; Controlling Light with Light, Academic,
Orlando, 1985. [Имеется перевод: Гиббс X. Оптическая бистабильность;
Управление светом с помощью света. М.: Мир. 1988].
80.	Prabhu V.K., IEEE Trans. Aero. Elect. Syst., AES-12, 275 (1976).
Глава 8
ВЫНУЖДЕННОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ
РАССЕЯНИЕ (ВКР)
Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) нелинейный
процесс, который позволяет использовать световоды в качестве
широкополосных ВКР-усилителей и перестраиваемых ВКР-лазеров.
Но, с другой стороны, этот же процесс может резко ограничить
характеристики многоканальных оптических линий связи из-за пе-
реноса энергии из одного канала в соседние каналы. В этой главе
рассматриваются как применения ВКР, так и паразитные эффекты,
связанные с ним. В разд. 8.1 представлены основы теории ком-
бинационного рассеяния, причем подробно обсуждается понятие
порога ВКР. В разд. 8.2 рассмотрено ВКР непрерывного или
квазинепрерывного излучения. Там же обсуждаются характеристики
волоконных ВКР-лазеров и усилителей и рассматриваются пере-
крестные помехи в многоканальных оптических линиях связи, обус-
ловленные ВКР. ВКР сверхкоротких импульсов (СКИ), возникающее
при импульсах накачки длительностью менее ЮОпс, рассмотрено
в разд. 8.3 и 8.4. В разд. 8.3 рассматривается случай положительной
дисперсии групповых скоростей, а разд. 8 4 посвящен изучению
солитонных эффектов при ВКР, возникающем в области отрица-
тельной дисперсии групповых скоростей волоконного световода.
Особое внимание уделено совместному действию дисперсионного
уширения импульса с фазовой самомодуляцией (ФСМ) и фазовой
кросс-модуляцией (ФКМ).
8.1.	КОМБИНАЦИОННОЕ (РАМАНОВСКОЕ) УСИЛЕНИЕ
И ПОРОГ ВКР
При спонтанном комбинационном рассеянии во многих средах
небольшая часть (обычно ~ 10 6) мощности излучения накачки
преобразуется в излучение с более низкой частотой, причем величина
частотного сдвига определяется колебательными модами среды.
Этот процесс, называемый также эффектом Рамана [1], в квантовой
механике описывается как рассеяние фотона на молекуле, в процессе
которого молекула совершает переход между колебательными со-
стояниями, а частота фотона уменьшается. Исходное излучение
служит накачкой для генерации излучения на смещенной частоте.
Вынужденное комбинационное рассеяние
217
Рис. 8.1. Измеренный спектр комбинационного усиления для плавленого
кварца при накачке с длиной волны = 1 мкм. Максимальное значение
усиления уменьшается с ростом [11].
называемого также стоксовым излучением. В 1962 г. было замечено
[2], что при очень интенсивной накачке может возникать новое
явление-ВКР, при котором интенсивность стоксовой волны воз-
растает внутри среды так быстро, что в эту волну переходит большая
часть энергии накачки. После опубликования данного результата
ВКР широко исследовалось [3 8]. В случае непрерывной накачки
начальный рост интенсивности стоксовой волны описывается соот-
ношением
df
^ = gRIpls,	(8.1.1)
az
где Is интенсивность стоксовой волны, 1 -интенсивность волны
накачки, а gR-коэффициент комбинационного усиления (рамановский
коэффициент). Последний связан с сечением спонтанного КР [3, 7],
которое можно измерить экспериментально. Из общей теории сле-
дует, что gR связан с мнимой частью нелинейной восприимчивости
[8]. которая может быть вычислена в квантовомеханическом при-
ближении.
Коэффициент комбинационного усиления gR в одномодовых
еветоводах из кварцевого стекла был измерен Столеном и др. [9, 10]
в ранних экспериментах по ВКР. В общем случае gR зависит от
е'остава сердцевины световода и может существенно меняться в
218
Глава 8
зависимости от использования различных добавок. На рис. 8.1
показана зависимость gR плавленого кварца от частотной отстройки
при накачке на длине волны 1 мкм. Величину дк для других длин волн
накачки можно получить, используя обратную зависимость дк от Хр.
Спектр на рис. 8.1 был получен из измерений сечения спонтанного
КР. Измерение дк с использованием рамановского усиления в схеме
с накачкой и затравочным сигналом дает примерно те же значения
[Ю].
Самое существенное свойство комбинационного усиления в све-
товодах из плавленого кварца большой частотный диапазон gR (до
40 ТГц) с широким максимумом усиления возле 13 ТГц. Такое
поведение связано с некристаллической природой стекла. В аморфных
материалах, таких, как плавленый кварц, полосы частот молеку-
лярных колебаний перекрываются и создают континуум [12]. В ре-
зультате комбинационное усиление в кварцевых световодах существует
в широком диапазоне частот в отличие от большинства сред, где оно
возникает на специфических, вполне определенных частотах. Благо-
даря этому свойству световоды могут действовать как широкополос-
ные усилители, о чем будет сказано ниже.
Чтобы увидеть, как возникает процесс ВКР. рассмотрим непре-
рывное излучение накачки на частоте <ор, распространяющееся
в световоде. Если пробное излучение на частоте ws перекрывается
с накачкой на входе световода, оно будет усиливаться за счет ВКР,
пока разница частот ир — ©5 лежит внутри комбинационной полосы
усиления (см. рис. 8.1). Если в световод вводится только излучение
накачки, спонтанное КР дает слабый сигнал, который действует как
пробный и усиливается по мере распространения. Поскольку КР
генерирует фотоны на всех частотах внутри полосы усиления,
усиливаются все частотные компоненты. Однако частотная компо-
нента, для которой коэффициент gR максимален, возрастает быстрее
всего. В случае чистого плавленого кварца gR максимален для
частоты, смещенной от частоты накачки приблизительно на 13.2 ТГц
(440 см1). Оказывается, когда мощность накачки превышает по-
роговое значение [13], эта компонента усиливается почти экспо-
ненциально. Таким образом, ВКР приводит к генерации стоксовой
волны, частота которой определяется пиком комбинационного
усиления. Соответствующее смещение частоты называют иногда
стоксовым (или рамановским) частотным сдвигом.
Для нахождения порога ВКР следует рассмотреть взаимодействие
между волной накачки и стоксовой волной. В случае непрерывного
излучения это взаимодействие подчиняется системе двух связанных
уравнений:
dls
j 9К 1 p^s
(8.1.2)
Вынужденное комбинационное рассеяние
219
di
(8.1.3)
где коэффициенты as и ар относятся к потерям в световоде на
стоксовой частоте и на частоте накачки. Эти уравнения могут быть
строго выведены из уравнений Максвелла (разд. 2.1). Их также
можно получить, рассмотрев процессы рождения и уничтожения
фотонов в каждой волне. Легко проверить, что в отсутствие потерь
- /,+ -57р) = 0.
dz \ <ор р)
(8.1.4)
Это уравнение означает, что общее число фотонов при ВКР остается
постоянным.
Хотя для полного описания процесса ВКР уменьшение интенсив-
ности волны накачки за счет оттока энергии в стоксову волну
(истощение накачки) должно быть учтено, при оценке порога ВКР им
можно пренебречь [13]. Если в уравнении (8.1.3) отбросить первый
член, ответственный за истощение накачки, оно легко решается.
Подставив решение в уравнение (8.1.2), получаем
—? =	70 ехр (— a z) 7 — as 7S,
dz
(8.1.5)
где /0 - исходная интенсивность накачки при с = 0. Результатом
интегрирования (8.1.5) является
Л(Ь) = 4(0)ехр(Ск7оЬ,фф - asL),	(8.1.6)
где
Еэфф = — [1 — ехр(—a L)].	(8.1.7)
“Р
Из-за поглощения волны накачки в (8.1.6) вместо действительной
длины световода L входит эффективная длина Е)фф из (8.1.7).
Для использования (8.1.6) требуется значение 7,(0) при z = 0. На
практике ВКР вырастает из спонтанного КР, возникающего на всем
протяжении световода. Смитом [13] было показано, что это эквива-
лентно наличию на входе в световод одного фотона на моду. Можно
рассчитать мощность стоксовой волны, рассмотрев усиление каждой
частотной компоненты с энергией Л<о в соответствии с (8 1 6) и затем
выполнив интегрирование по всему спектру комбинационного уси-
ления, т. е.
Л(Ь)= f Л<оехр[0л(<о)/оЕэфф-asL]Jw,
— со
(8.1.8)
220
Глава 8
где световод предполагается одномодовым. Частотная зависимость
дк(<о) показана на рис. 8.1. Несмотря на то что функциональная
форма gR неизвестна, интеграл в (8.1.8) можно оценить методом
наискорейшего спуска, поскольку главный вклад в интеграл дает
узкая область вблизи пика усиления на частоте ю = cos. В результате
PS(L) = Р$*ехр Ьк(ы5)/0Лэфф - ctsL];	(8.1.9)
здесь эффективная входная мощность при z = 0
Р'№ = 7zci)sH1(№,
(8.1.10)
где
2л
£,ФФ \|0к(^)/оЬЭфФ|
1/2
(8.1.11)
д2дД
. Ло2 /
<0 = <05
По физическому смыслу В,фф эффективная ширина полосы стоксова
излучения с центром в пике усиления при <о = <os. Хотя Вэфф зависит
от интенсивности накачки и длины световода, спектральная ширина
пика максимального усиления (рис. 8.1) позволяет оценить ее по
порядку величины.
Порог ВКР определяется как такая мощность накачки в начале
световода, при которой на выходе световода мощность стоксовой
волны становится равной мощности накачки [13], или
где
PS(L) = Pp(L) = Poexp(-a„L),	(8.1.12)
Bq	lо ^эфф ,
(8.1.13)
P„-входная мощность накачки и Лэфф- эффективная площадь сердце-
вины. Более строгая оценка показывает, что Лэфф приблизительно
дается соотношением (2.3.29), если предположить, что волна накачки
(стоксова волна) распространяются в одной моде. В случае мно-
гомодового световода 1/Л.,фф равняется интегралу перекрытия
(7.1.16). Используя (8.1.9) и (8.1.12) и подстановку аа ар, получаем
условие порога в виде
Pffi ехр (gR Р„ £ЭффМЭфф) = Ро.	(8.1.14)
где зависит от Ро также и через (8.1.10) и (8.1.11). Решение (8.1.14)
дает критическую мощность накачки, требуемую для достижения
порога ВКР. В предположении лоренцевой формы спектра усиления
критическая мощность накачки с хорошей точностью дается вы-
ражением [13]
^ПчЬ,ФфМэФФ-16-	(8115>
Аналогичный образ можно провести для случая, когда стоксова
волна распространяется навстречу волне накачки. Пороговое условие
в этом случае также дается выражением (8.1.15), но с числовым
Вынужденное комбинационное рассеяние
221
фактором 20 вместо 16. Поскольку при заданной мощности накачки
первым достигается порог для ВКР в прямом направлении. ВКР
в обратном направлении в световодах обычно не наблюдается.
Конечно, комбинационное усиление можно использовать для уси-
ления встречного сигнала. Отметим также, что при выводе (8.1.15)
поляризация стоксовой волны и волны накачки в световоде пред-
полагается неизменной. Если поляризация не сохраняется, порог ВКР
возрастает в 1-2 раза. В частности, для полностью деполяризо-
ванного излучения он возрастает в 2 раза.
Несмотря на различные приближения, сделанные при выводе
условия (8.1.15), оно позволяет предсказать порог ВКР довольно
точно. Для длинных световодов, таких, что ар L » 1, Т.1фф 1 ар. На
длине волны 1,55 мкм, в области минимальных оптических потерь
световодов (около 0,2 дБ/км), £эфф ~ 20 км. Если принять типичное
значение Лэфф = 50 мкм2, предсказанный порог ВКР составит около
600 мВт. В одноканальных системах оптической связи возникновение
ВКР маловероятно, поскольку типичная мощность, вводимая в све-
товод, составляет ~ 1 мВт. Для солитонных систем оптической связи
требуется более высокая мощность около 40 50 мВт (см. разд. 5.4).
Эта величина все еще ниже критической. В видимом и ближнем
ИК-диапазонах типичные значения Лэфф 10-20 мкм2. Для такого
световода длиной 1 м формула (8.1.15) дает Ptf ~ 100 Вт. Поскольку
такие мощности легкодостижимы (например, от ИАГ-Nd-лазеров),
ВКР можно наблюдать в световодах длиной всего несколько метров.
В рамках изложенного рассмотрения нельзя объяснить рост
стоксовой волны выше порога ВКР, поскольку до сих пор мы
пренебрегали эффектом истощения накачки. Для учета этого эффекта
следует решить систему уравнений (8.1.2), (8.1.3). Эти уравнения
могут быть решены аналитически [14] в специальном случае as = ap.
Результаты показывают, что в этом случае пороговое условие (8.1.15)
остается довольно точным. Но когда порог ВКР достигнут, энергия
из волны накачки быстро перекачивается в стоксову волну. Теория
предсказывает полное перекачивание мощности накачки в стоксову
волну (исключая потери в световоде). На практике, однако, стоксова
волна, если ее мощность становится достаточной для того, чтобы
Удовлетворить (8.1.15), служит накачкой для генерации стоксовой
волны второго порядка. Такой процесс каскадного ВКР может
приводить к генерации многих порядков стоксовых волн, число
которых зависит от входной мощности накачки.
Изложенная теория ВКР непрерывного излучения (накачка по-
стоянной интенсивности) требует модификации, когда в качестве
накачки используются оптические импульсы. Почти всегда в све-
товодах используется именно импульсная накачка, поскольку при
накачке непрерывным излучением доминируют вынужденное рассея-
ние Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ), которое благодаря более
222
Глава 8
низкому порогу подавляет ВКР (сМ гл. 9). ВРМБ может быть
уменьшено или подавлено при использовании импульсов накачки
длительностью < 10 нс. Если порог ВКР достигнут, каждый импульс
накачки генерирует стоксов импульс с центральной частотой cos,
смещенной вниз от частоты накачки примерно на 13 ТГц. Дина-
мическое описание ВКР в световодах заметно упрощается, если
считать отклик среды мгновенным. Справедливость такого допу-
щения подтверждается тем, что широкий спектр усиления на рис. 8.1
предполагает время отклика, лежащее в фемтосекундном диапазоне.
Для импульсов накачки длительностью более 100 фс время отклика
много меньше длительности импульса Тогда взаимодействие между
стоксовым импульсом и импульсом накачки подчиняется системе
связанных уравнений, учитывающих эффекты комбинационного
усиления, истощения накачки, ФСМ, ФКМ и дисперсии. Эти уравне-
ния можно вывести из соответствующих уравнений разд. 2.3 в пред-
положении х(3) комплексной, в которой мнимая часть отвечает за
комбинационное усиление. Процедура аналогична той, что исполь-
зовалась в разд. 7 1.1 для получения (7-1-17) и (7.1.18). Действительно,
те же уравнения получаются, если коэффициенты поглощения о, и а2
рассматривать как полные коэффициенты поглощения и заменить на
=ар + 0р|А12Л’	<8116)
a2 = VMl4-	(8.1.17)
Если вместо индексов 1 и 2 мы будем использовать индексы р и s для
обозначения соответственно полей стоксовой волны и волны накачки
и подставим (8.1.16) и (8.1.17) в (7.1.17) и (7.1.18), уравнения связанных
амплитуд примут вид
Sz + vgp St +2₽2р St2 +2
= iyP(\Ap\2 + 2\As\2)Ap-^\As\2Ap,
SA.	1 SA.	i	S2A,	as	л
cz	v„. ct	2	ct	2.
(8.1.18)
а
= ПД1Л12 + 2|/1р|2)Л + уМР|2Л,
(8.1.19)
где vw—групповая скорость, р2;-диспсрсия групповых скоростей,
- коэффициент нелинейности (определенный в (7.1.19)) и / = р или х.
Коэффициенты усиления gs и др связаны с пиковым значением дк:
Qs = 0rIA^, д„ = (®p/cos)0,.	(8.1.20)
Решения уравнений (8.1.18) и (8.1.19) обсуждаются в разд. 8.3, где
Вынужденное комбинационное рассеяние
223
мы рассмотрим ВКР пикосекундной накачки. Важная новая деталь
здесь - разница групповых скоростей, которая ограничивает процесс
ВКР временем, в течение которого стоксов импульс к импульс
накачки перекрываются. Новый масштаб длины длина группового
разбегания -может быть введена выражением (1.2.14) или
^=T0/|v9;‘-гг’1,	(8.1.21)
где То-длительность импульса накачки. Характерна Lw ~ 1 м в види-
мой области для То ~ 5 пс. Для импульсов накачки длительностью
Тп 1 нс Lw превышает 200 м и обычно больше длины световодов,
используемых для наблюдения ВКР. Для таких импульсов дисперси-
онные эффекты пренебрежимо малы, и в таком квазинепрерывпом
режиме работает теория, развитая для непрерывного излучения на-
качки. Действительно, уравнения (8.1.2) и (8.1.3) можно получить из
(8.1.18) и (8.1.19), если пренебречь производными по времени и при-
нять Ij = | Aj\2/Аэфф (J = р или .?)- Экспериментальные результаты по
ВКР квазипостоянной накачки обсуждаются в следующем разделе,
а в разд. 8.3 рассматривается ВКР пикосекундных импульсов накачки.
Следует подчеркнуть, что уравнения (8.1,18) и (8 1.19) неприменимы
для накачки фемтосекундными импульсами, ширина спектра которых
превышает величину комбинационного сдвига. В таком случае следует
использовать обобщенное уравнение распространения (2.3.35).
8.2.	КВАЗИНЕПРЕРЫВНОЕ ВКР
После первого наблюдения ВКР [9] в световодах широко прово-
дились исследования ВКР при накачке импульсами длительностью
~1 100 нс, что соответствует квазинепрерывному режиму [15 30].
Параллельно проводились работы по многопроходному ВКР, когда
световод, помещенный внутрь резонатора, образует перестраиваемый
ВКР-лазер [31 49]. Третье направление использование ВКР для
усиления сигналов и создание в итоге волоконных ВКР-усилитслей
[50 70] В этом разделе обсуждаются все три направления исследова-
ний ВКР в световодах. В отдельном подразделе рассматривается
также применение ВКР-усиления для многоканальных систем оптиче-
ской связи.
8.2.1.	ОДНОПРОХОДНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ СТОКСОВЫХ
КОМПОНЕНТ
Первая экспериментальная демонстрация [9] ВКР в световодах
была проведена в видимой области при накачке импульсами второй
гармоники Nd: ИАГ-лазсра на длине волны 532 нм. Для генерации
стоксова излучения на 545 нм в одномодовом световоде длиной 9 м
с Диаметром сердцевины 4 мкм требовалась накачка мощностью
224
Глава 8
около 75 Вт. В последующих экспериментах [16, 18] для генерации
ВКР использовались импульсы ИК-излучсния ИАГ-лазера длитель-
ностью 150 нс на длине волны 1.06 мкм. В одном из экспериментов
[18] стоксова линия первого порядка на 1,12 мкм наблюдалась при
мощности накачки 70 Вт. Стоксовы линии высших порядков возника-
ли при более высоких мощностях накачки, когда мощность стоксовой
компоненты становилась достаточной для накачки компоненты сле-
дующего порядка. На рис. 8.2 показан спектр при накачке мощ-
ностью 1 кВт с отчетливо различными пятью стоксовыми линиями.
Каждая следующая стоксова линия шире предыдущей. Такое ушире-
ние, обусловленное конкурирующими нелинейными процессами, пре-
пятствует генерации стоксовых линий высших порядков. Недавние
эксперименты показали, что в видимой области возможна генерация
стоксовых линий вплоть до 15-го порядка [21, 22].
В этих экспериментах не делалось попыток измерить спектр
каждой стоксовой линии с высоким разрешением. В недавней работе
[27] для изучения развития процесса ВКР в кварцевых световодах
изучалась форма стоксовой компоненты первого порядка, получен-
ной при распространении по световоду длиной 100 м импульсов
накачки длительностью 1 нс от аргонового лазера с синхронизацией
мод (кр — 514,5 км). На рис. 8.3 показаны спектры, наблюдавшиеся
при трех уровнях мощности накачки. На всех спектрах заметны два
пика -широкий на 440 см-1 (13,2 ТГц) и узкий на 490 см-1 (14,7 ТГц).
При увеличении мощности накачки пиковая мощность широкой
линии достигает насыщения, в то время как узкий пик продолжает
Рис. 8.2. Спектр ВКР с
пятью стоксовыми компо-
нентами S, — S5 при накачке
импульсами на длине волны
1,06 мкм. Вертикальная ли-
ния показывает выходную
мощность излучения накач-
ки. Пиковая мощность из-
мерялась после монохрома-
тора с разрешением 1,5 нм
[18].
Вынужденное комбинационное рассеяние
225
а	'	6
Рис. 8.3. Зависимость спектра стоксовой линии первого порядка от средней
мощности накачки. Пиковая мощность накачки приблизительно в 12 раз
превышает среднюю, а стоксовы спектры при трех мощностях накачки;
б зависимость мощностей пиков спектра стоксовой линии от мощности
накачки [27].
возрастать. Эти изменения также показаны на рис. 8.3.
Двухпиковая структура спектра ВКР становится понятной, если
обратить внимание на то, что основной пик спектра комбинационного
усиления на рис. 8.1 в действительности состоит из двух пиков,
положение которых точно соответствует пикам спектра ВКР на
рис. 8.3. Подробная численная модель (в которой учитывается форма
спектра комбинационного усиления и эффекты как вынужденного, так
и спонтанного КР) предсказывает форму линии, соответствующую
результатам эксперимента [27]. Качественно описать процесс можно
следующим образом. За счет спонтанного КР происходит генерация
излучения во всей полосе комбинационного усиления. После прохож-
дения отрезка световода эти слабые сигналы усиливаются с соответ-
ствующими коэффициентами усиления и к ним добавляется спонтан-
ное излучение на данном отрезке. При небольших мощностях накачки
спектр стоксова излучения .Ц<о) выглядит как спектр КР, искаженный
процессом экспоненциального усиления, т. е.
s (и) ~ ехр (gR (<о)).	(8.2.1)
При увеличении мощности накачки компонента с отстройкой
440 см"1, как более высокочастотная, может служить накачкой
для ВКР-усиления низкочастотной компоненты, отстроенной на
490 см-1. Это в точности соответствует картине рис. 8.3. В конце
концов мощность стоксова излучения становится достаточной для
накачки стоксовой компоненты второго порядка. Данная модель
построена в приближении постоянной накачки, однако она достаточ-
но точна для качественного объяснения графиков на рис. 8.3, посколь-
ку для импульсов длительностью > I нс дисперсионные эффекты
226
Глава 8
незначительны. Когда используются импульсы накачки короче 1 нс.
становится необходимым учет дисперсионных эффектов, в частности
группового запаздывания, приводящего к разбеганию импульсов.
Эти эффекты рассмотрены в разд. 8.3.
8.2.2.	ВОЛОКОННЫЕ ВКР-ЛАЗЕРЫ
Важным применением явления ВКР в световодах стало развитие
волоконных ВКР-лазеров [31-49]. Такие лазеры не только
имеют более низкий порог, чем однопроходное ВКР, но и могут
перестраиваться в широком частотном диапазоне (~ 10 ТГц). На
рис. 8.4 схематически показан волоконный ВКР-лазер. Отрезок одно-
модового световода помещен внутрь резонатора Фабри - Перо, обра-
зованного частично отражающими зеркалами М, и М2. Резонатор
обеспечивает резонансную частотно-избирательную обратную связь
для стоксова излучения, возникающего в световоде благодаря ВКР.
Внутрирезонаторная призма позволяет перестраивать длину волны
лазерного излучения путем поворота зеркала М2. Порот генерации
лазера соответствует мощности накачки, при которой комбинацион-
ное усиление за обход резонатора компенсирует потери в резонаторе,
состоящие из потерь на зеркалах и потерь при переводе отраженного
от зеркал излучения обратно в световод. Если принять потери за
обход резонатора равными обычному значению 10 дБ, то пороговым
условием будет
G = ехр(2<7яР0Еэфф/ Лэфф) = 10,	(8.2.2)
где ЕЭфф для световода длиной L дается уравнением (8.1.7). Если
световод не поддерживает поляризацию, то gR в (8.2.2) понижается
вдвое из-за относительной деполяризации волны накачки и стоксовой
волны вдоль световода [40]. Сравнение условий (8.1.15) и (8.2.2)
показывает, что пороговая мощность накачки в волоконном ВКР-
лазере по крайней мере на порядок меньше, чем при однопро-
ходном ВКР.
При первой демонстрации [9] волоконного ВКР-лазера использо-
вался короткий световод (L = 1,9 м) и пороговая мощность была
Рис. 8.4. Схема перестраиваемого ВКР-лазера. Зеркала М, и М2 образуют
резонатор Фабри Перо. Микролинзы служат для ввода и вывода излучения из
световода. Внутрирезонаторная призма обеспечивает перестройку лазера при
вращении зеркала М2 [34].
Вынужденное комбинационное рассеяние
227
относительно высока (около 500 Вт). В недавних экспериментах [31,
32] использовались световоды большей длины (L 10 м) и порог был
понижен до уровня 1 Вт. Это позволило получить непрерывный
режим работы волоконных ВКР-лазеров в области 0.50-0.53 мкм при
постоянной накачке от аргонового лазера. ВРМБ подавлялось благо-
даря тому, что спектральная ширина многомодовой накачки была
много больше ширины линии ВРМБ-усиления (см. разд. 9.1). Исполь-
зование призмы позволяло перестраивать длину волны лазерного
излучения в диапазоне около 10 нм (% 10 ТГц) [32. 33]. При высоких
мощностях накачки в световоде генерировались стоксовы компонен-
ты высших порядков, которые отклонялись призмой. При добавле-
нии в схему отдельных зеркал для каждой стоксовой компоненты
можно получить одновременную генерацию на нескольких длинах
волн, каждая из которых может перестраиваться поворотом соот-
ветствующего зеркала [37]. В другой работе [38] в кольцевом
резонаторе были получены пять порядков стоксовых компонент. При
накачке от Nd: ИЛГ-лазсров волоконные ВКР-лазеры работали в
ИК-диапазоне 1,0 1,6 мкм, наиболее подходящем для оптической
связи [35, 39]. Была получена также генерация в УФ при накачке
эксимерными лазерами [45. 46].
Когда ВКР-лазер накачивается цугом импульсов, каждый стоксов
импульс после обхода резонатора должен быть достаточно точно
синхронизован с одним из следующих импульсов накачки. Однако
добиться такой синхронизации относительно легко. Из множества
длин волн, лежащих в широкой полосе ВКР-усиления, в лазере может
генерироваться излучение на некоторой длине волны, удовлетворяю-
щей требованию синхронности накачки. Кроме того, длину волны
генерации можно подстраивать простым изменением длины резона-
тора. Этот метод можно считать основанным на временной диспер-
сии [34], чтобы отличить его от призменной подстройки (см. рис. 8.4),
основанной на пространственной дисперсии в призме. Метод времен-
ной дисперсии весьма эффективен при перестройке импульсных воло-
конных ВКР-лазеров в широком диапазоне длин волн. Скорость
перестройки можно получить следующим образом. Если длина ре-
зонатора меняется на AL, временная задержка А/ должна компенси-
роваться таким изменением длины волны АА, чтобы выполнялось
условие
А/ = AL/c = |D(A)|LAA,	(8.2.3)
где L длина световода и D параметр дисперсии, введенный в
Разд. 1.2.3. Таким образом, скорость перестройки
^=_A_L_=_2L_„	(8.2.4)
AL cL|D(A)| 2лс2Е₽2
1 -1с связь D с р2 взята из выражения (1.2.11). Хотя скорость перестрой-
228
Глава 8
ки зависит от длины световода L и длины волны X, обычно она равна
~ 1 нм/см. В эксперименте [35] была получена скорость перестройки
1,8 нм/см в диапазоне 24 нм при генерации на длине волны 1,12 мкм
в световоде длиной 600 м.
Синхронно-накачиваемые волоконные ВКР-лазеры привлекатель-
ны для генерации сверхкоротких световых импульсов [47]. Когда
такие лазеры накачиваются импульсами длительностью < 100 пс, то,
вообще говоря, необходимо учитывать эффекты дисперсии групповых
скоростей, групповое запаздывание импульсов, ФСМ и ФКМ. Эти
эффекты обсуждаются в разд. 8.3, где синхронно накачиваемые воло-
конные лазеры рассматриваются более подробно в отдельном под-
разделе. Если импульс ВКР попадает в область отрицательной
дисперсии групповых скоростей световода, то солитонные эффекты
могут формировать импульсы длительностью 100 фс и менее. Такие
волоконные лазеры иногда называют солитонными ВКР-лазерами,
подробно они рассматриваются в разд. 8.4. Другое направление
развития волоконных лазеров создание компактных устройств
с зеркалами, интегрированными в волоконный резонатор. Один из
способов добиться этого [49] замена зеркал на волоконные решеточ-
ные отражатели, изготовленные путем травления решетки на сердце-
вине короткого отрезка световода. Другой путь - использование коль-
цевой конфигурации резонатора [48] на основе волоконной петли со
связью через волоконный ответвитель - позволяет получить цельно-
волоконный кольцевой ВКР-лазер с низким порогом.
8.2.3.	ВОЛОКОННЫЕ ВКР-УСИЛИТЕЛИ
Волоконные световоды можно использовать для усиления сигна-
ла, если он распространяется вместе С интенсивной волной накачки
и если его длина волны лежит внутри полосы комбинационного
усиления. (Поскольку в основе действия таких усилителей лежит
эффект ВКР, или эффект Рамана, их называют волоконными комби-
национными (или рамановскими) усилителями.) Такие системы рас-
сматривались вскоре после демонстрации ВКР в световодах [50],
однако большое внимание им стало уделяться в 80-е годы благодаря
их возможному применению в оптической связи [51-70]. Эксперимен-
тальная установка подобна изображенной на рис. 8.4, но без зеркал.
Возможны конфигурации, в которых накачка и сигнал распространя-
ются либо в одном, либо во встречных направлениях.
Величина усиления за один проход по ВКР-усилителю в непрерыв-
ном или квазинепрерывном режиме может быть получена из выраже-
ний (8.1.2) и (8.1 3). Если интенсивность сигнала остается много
меньше интенсивности накачки, то истощением накачки можно пре-
небречь. Тогда интенсивность сигнала на выходе усилителя при z = L
дается равенством (8.1.6). Поскольку в отсутствие накачки /,(£) =
Вынужденное комбинационное рассеяние
229
= /(0)ехр(—asL), усиление дается выражением
/5(С)
GA =-------—--------=exp(0R Ро Ь.,М/АЭ1М),	(8.2.5)
А / (0)exp(—a L) " ° ’фф эфф
где р0 = 10 мощность накачки на входе в усилитель, а эффектив-
ная длина усиления дастся выражением (8.1.7). При типичных пара-
метрах gR = 1 IO"13 м/Вт, Сэфф = 100 м, Аэфф = 10 мкм2 усиление
сигнала будет значительным при Ро > 1 Вт. На рис. 8.5 показана
зависимость GA от Ро в эксперименте [51], где сигнал на длине волны
1,064 мкм усиливался в поле накачки на 1,017 мкм в световоде длиной
1,3 км. Коэффициент усиления (7Л с ростом Ро возрастает сначала
экспоненциально, но затем, при Ро > 1 Вт, отклоняется от экспонен-
ты. Это связано с насыщением усиления, обусловленным истощением
накачки. Сплошные кривые на рис. 8.5 получены численным решени-
ем уравнений (8.1.2) и (8.1.3) с учетом истощения накачки. Результаты
отлично согласуются с экспериментальными данными.
Приближенное выражение для насыщенного усиления ВКР-усили-
теля можно получить, аналитически решая уравнения (8.1.2) и (8.1.3)
в предположении равенства потерь для накачки и сигнала (as = ар).
В результате получим
Рис. 8.5. Зависимость коэффи-
циента усиления GA от мощ-
ности накачки Ро. Различные
значки показывают результаты
эксперимента для трех зна-
чений начальной мощности
ешнала. Сплошные кривые по-
лучены теоретически при
9к = 9,2 10 14 м/Вт [51].
230
Глава 8
Рис. 8.6. Характеристики насыщенного усиления ВКР-усилителя для не-
скольких значений ненасыщенного усиления GA .
где г0 связано с отношением мощностей сигнала и накачки следую-
щим соотношением:
о
Ч Ро
(8.2.7)
На рис. 8.6 показана зависимость GS/GA от GAr0, характеризую-
щая насыщение усиления при нескольких значениях GA. Насыщенное
усиление понижается в 2 раза (или на 3 дБ), когда GA r0 ~ 1. Это
условие удовлетворяется, когда мощность усиленного сигнала начи-
нает приближаться к начальной мощности накачки Ро. Отметим, что
является хорошей мерой мощности насыщения в ВКР-усилитслях.
Поскольку обычно Ро ~ I Вт, мощность насыщения в ВКР-усилите-
лях много больше, чем в полупроводниковых лазерных усилителях
(~1 мВт) [71].
Как видно из рис. 8.5, волоконные ВКР-усилители легко обеспечи-
вают усиление в 1000 раз (30 дБ) при монщости накачки около 1 Вт
[51]. В недавнем эксперименте [54] сшнал от полупроводникового
лазера с длиной волны 1,24 мкм был усилен на 45 дБ в световоде
длиной 2,4 км. В этих экспериментах использовалась попутная накач-
ка. В другом эксперименте [53] сигнал на длине волны 1,4 мкм от
полупроводникового лазера усиливался в поле как попутной, так
и встречной волн накачки. В качестве накачки использовалось излуче-
ние от непрерывного Nd: ИАГ-лазера с длиной волны 1,32 мкм. Было
получено ненасыщенное усиление 21 дБ при мощности накачки около
1 Вт. В обеих конфигурациях усиление было примерно одинаковым
благодаря изотропии процесса ВКР.
Вынужденное комбинационное рассеяние
231
Для оптимального режима работы ВКР-усилителей на основе
световодов из кварцевого стекла разность частот накачки и сигнала
должна соответствовать пику комбинационного усиления на рис. 8.1
(~ 13 ТГц). В ближнем ИК-диапазоне наиболее практичный источник
накачки Nd:ИЛГ-лазер. работающий на 1,06 или 1,32 мкм. Для
этого лазера максимальное усиление возникает на длинах волн
сигнала 1,12 и 1,40 мкм соответственно. Однако с точки зрения
оптической связи наиболее интересны длины волн 1,3 и 1,5 мкм.
Nd: ИАГ-лазер в этом случае можно использовать, если накачкой для
сигнала служат стоксовы компоненты высших порядков. Например,
стоксова компонента третьего порядка с длиной волны 1,24 мкм от
лазера на длине волны 1,06 мкм может служить накачкой для
усиления сигнала па длине волны 1,3 мкм. Действительно, в такой
схеме было получено усиление 20 дБ [56]. Таким же образом первая
стоксова компонента на длине волны 1,4 мкм ВКР от лазера с длиной
волны 1,32 мкм может служить накачкой для сигнала на длине волны
1,5 мкм. Усиление 24 дБ в такой схеме также было получено экспери-
ментально [57]. Эти эксперименты показали также необходимость
согласования направлений поляризации волн сигнала и накачки,
поскольку ВКР почти не проявляется в случае ортогональных поля-
ризаций. Использование световода с высоким содержанием германия
в сердцевине, сохраняющего поляризацию, позволило получить уси-
ление 20 дБ на длине волны 1,25 мкм при входной мощности накачки
лишь 3,7 Вт от лазера с модуляцией добротносги и генерацией на
длине волны 1,34 мкм [58].
Возможное применение волоконных ВКР-усилителей предвари-
тельное усиление сигнала перед его регистрацией на приемнике
системы оптической связи [72]. Измерения в эксперименте показали
[63], что отношение сигнал / шум на приемнике определяется усилен-
ным спонтанным КР, которое неизменно сопутствует процессу уси-
ления. Часть энергии накачки преобразуется в спонтанное стоксо-
во излучение и усиливается вместе с сигналом. Таким образом,
выходное излучение состоит не только из желаемого сигнала, но
также из широкополосного шума с шириной спектра ~ 10 ТГц или
более. В приближении неистощенной накачки можно получить анали-
тическое выражение для мощности усиленного спонтанного излуче-
ния [60]. С практической точки зрения представляет интерес отноше-
ние мощностей сигнала при включенной и выключенной накачках.
Это отношение можно измерить экспериментально. Эксперимент
с накачкой на длине волны 1,34 мкм показал, что это отношение
составляет около 24 дБ для первой стоксовой компоненты на длине
волны 1,42 мкм. но падает до 8 дБ, когда первая стоксова компонента
используется для усиления сигнала на длине волны 1,52 мкм. Это
отношение в схеме со встречными волнами сигнала и накачки
меньше, чем в схеме, где они распространяются в одном направлении
232
Глава 8
[73]	. Отношение усиленного сигнала к неусиленному возрастает, если
излучение после световода проходит сквозь фильтр, пропускающий
сигнал, но уменьшающий ширину спектра усиленного спонтанного
шума.
Привлекательным свойством волоконных ВКР-усилителей являет-
ся широкая полоса усиления (> 5 ТГц). Они могут использоваться
для усиления одновременно нескольких каналов в многоканальной
системе оптической связи. Это было продемонстрировано в экспери-
менте [74], где сигналы от трех полупроводниковых лазеров с распре-
деленной обратной связью в диапазоне 1,57-1,58 мкм одновременно
усиливались в поле накачки с длиной волны 1,47 мкм. В этом
эксперименте излучение накачки было получено от многомодового
полупроводникового лазера, что делает данную схему практически
применимой для систем оптической связи. При мощности накачки
всего 60 мВт было получено усиление 5 дБ. Теоретический анализ
двухканального комбинационного усиления показывает, что в общем
случае существует взаимодействие между каналами [75]. Широкая
полоса усиления волоконных ВКР-усилителей делает их пригодными
для усиления коротких оптических импульсов. Усовершенствованию
систем оптической связи с помощью комбинационного усиления
уделено значительное внимание [76-81]. Наиболее многообещаю-
щим кажется использование комбинационного усиления для передачи
сверхкоротких солитоноподобных импульсов по световодам длиной
несколько тысяч километров [78, 80] (см. разд. 5.4). В эксперименте
[79] импульсы длительностью 10 пс на длине волны 1,56 мкм усили-
вались при накачке непрерывным лазером на центрах окраски с дли-
ной волны 1,46 мкм. Усиление таких коротких импульсов возможно
только благодаря широкой полосе ВКР. Недавно в такой схеме было
продемонстрировано прохождение солитонов длительностью 55 пс
по световоду эффективной длиной 4000 км [81].
8.2.4.	ПЕРЕКРЕСТНЫЕ ПОМЕХИ,
ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ВКР
Тот же эффект ВКР, который применим для усиления сигналов
в системах оптической связи, вреден для многоканальных систем
оптической связи, использующих спектральное уплотнение. Причина
в том, что сигнал в коротковолновом канале может служить накачкой
для сигнала в длинноволновом канале и передавать ему часть
энергии. Это приводит к перекрестным помехам между каналами,
которые могут значительно влиять на характеристики системы [82-
89].
Рассмотрим сначала двухканальную систему с коротковолновым
каналом, сигнал в котором служит накачкой. Перенос энергии между
каналами подчиняется уравнениям (8.1.3) и (8.1.2). Эти уравнения
Вынужденное комбинационное рассеяние
233
решаются аналитически в предположении равных для обоих каналов
потерь (cts = ар), что вполне справедливо для обычных расстояний
между каналами (~ 1,55 мкм). Коэффициент усиления Gs для длинно-
волнового канала дается выражением (8.2.6). Соответствующее
уменьшение мощности коротковолнового канала дается фактором
исгошения накачки
---	- - |,ч	1О.Д.О/
₽ 7р(0)ехр( —ctpL) 1+г0С;+г“
где GA или г0 определены выражениями (8.2.5) и (8.2.7) соответствен-
но. На рис. 8 7 показана величина истощения накачки Dp как функция
Ga для трех значений г0 Эти кривые могут быть использованы для
вычисления потерь мощности, обусловленных ВКР, определяемых
как относительное увеличение мощности накачки, необходимое для
поддержания выходной мощности на том же уровне, что и в отсутст-
вие перекрестных помех, обусловленных ВКР. Потери даются выра-
жением
Д= 101og(l/D„).	(8.2.9)
Потери в 1 дБ соответствуют Dp ~ 0,8. При равных мощностях
в каналах на входе в световод (r0 ~ 1) Dp= 0,8 соответствует
Ga ~ 1,22. Входные мощности в каналах, соответствующие потерям
в 1 дБ, можно получить из (8.2.5). Если использовать обычные
параметры системы оптической связи на длине волны 1,55 мкм
У к = 7-10" 14 м/Вт. А.)фф = 50 мкм2, Еэфф = 1/ар ~ 20 км, то GA = 1,22
соответствует Ро = 7 мВт. Если комбинационное усиление понижает-
ся в 2 раза за счет деполяризации [40], эта величина возрастает до
Рис. 8.7. Зависимость истощения накачки Dp от СА для трех значений г0.
234
Глава 8
Ро = 14 мВт. Измерения потерь энергии в эксперименте с двумя
каналами [88] согласуются с уравнениями (8.2.8) и (8.2.9).
В многоканальных системах ситуация более сложная. Промежу-
точные каналы не только передают энергию в более длинноволновые
каналы, но в то же самое время получают энергию из более
коротковолновых каналов Для М-канальной системы можно полу-
чить мощность на выходе каждого канала, решив М связанных
уравнений, подобных уравнениям (8.1.2) и (8.1.3). Коротковолновые
каналы наиболее подвержены перекрестным помехам, поскольку они
передают часть энергии во все каналы, лежащие внутри полосы
комбинационного усиления. Величина передаваемой энергии, однако,
различна для разных каналов, поскольку она определяется величиной
комбинационного усиления, соответствующей разнице длин волн.
Один из способов оценить эту величину аппроксимация спектра
комбинационного рассеяния на рис. 8.1 треугольным профилем [84].
Результаты показывают, что для 10-канальной системы с расстояни-
ем между каналами 10 нм входная мощность в каждом канале не
должна превышать 3 мВт, чтобы потери мощности оставались менее
0,5 дБ. Действительно, в эксперименте с 10 каналами [89] с расстоя-
нием между каналами 3 нм при входной мощности в каждом канале
менее 1 мВт не наблюдалось потерь мощности, обусловленных ВКР.
8.3	ВКР СВЕРХКОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ
Режим ВКР может считаться непрерывным для импульсов накач-
ки длительностью То > 1 нс, поскольку длина группового разбегания
Lw, определенная выражением (8.1.21), обычно превышает длину
световода L. Однако для сверхкоротких импульсов длительностью
То < 100 пс обычно Lw < L. ВКР, таким образом, ограничивается
разницей групповых скоростей и возникает только на расстояниях
z ~ Lw, даже если действительная длина световода L значительно
больше Lw. В то же время благодаря относительно высоким пиковым
мощностям становятся важными такие нелинейные эффекты, как
ФСМ и ФКМ; они могут существенно влиять на эволюцию импуль-
сов накачки и ВКР. В данном разделе обсуждаются эксперименталь-
ные и теоретические аспекты ВКР сверхкоротких импульсов в области
положительной дисперсии групповых скоростей световодов [90 112].
Следующий раздел посвящен случаю отрицательной дисперсии, где
действуют солитонные эффекты, использование которых привело
к появлению волоконных солитонных лазеров.
8.3.1.	ТЕОРИЯ
В общем случае, когда эффекты дисперсии, ФСМ, ФКМ, группово-
го разбегания и истощения накачки важны, уравнения (8.1.18) и
Вынужденное комбинационное рассеяние
235
(8.119)	решаются численно [94, 99]. Если пренебречь потерями
в световоде в силу относительно малых длин, используемых в экспе-
риментах, и если время отсчитывать в бегущей системе координат,
связанной с импульсом накачки, эти уравнения принимают вид
SA	i	д2А	(j
=	+2|ЛР)Лр-^|А|2Лр, (8.3.1)
dz	2	ВТ2	2
сА (ЗА* i д2А.	,	, Ок ,
~-^ + -₽2,^ = ^(1Л12 + 2\Ap\2)As + ^\Ap\2As, (8.3.2)
cz сТ 2 cl	2
где
T=t-z/vgp, d=vgpl-v-s'.	(8.3.3)
Параметр группового разбегания d отвечает за разницу групповых
скоростей импульсов накачки и ВКР и составляет обычно 2 6 пс/м.
Дисперсия групповой скорости P2j, параметр нелинейности и рама-
новский коэффициент Qj (/ = р или .s) несколько различаются для
импульсов накачки и ВКР из-за стоксова сдвига величиной 13 ТГц
между длинами волн; разница связана с отношением длин волн Xp/Xs.
С учетом выражений (1.2.10), (2.3.28) и (8.1.20) эти параметры отно-
сятся как
X	к	к
=	L = Л =	(8.3.4)
Для определения относительной важности различных слагаемых
в уравнениях (8.3.1) и (8.3.2) можно ввести четыре характерные длины.
Для импульсов накачки длительностью То и пиковой мощностью Ро
они определяются следующим образом:
Т2	То	1	1
Lp = —-,	LH=-, Lnl =-----------, Lo =-----•.	(8.3.5)
° 1Р2рГ * Ml NL 1„PO 9pP0
Дисперсионная длина LD, длина группового разбегания LH,, нелиней-
ная длина Lnl и длина комбинационного усиления Lc задают масш-
табы длин, на которых становятся важными эффекты дисперсии
групповых скоростей, разбегания импульсов, нелинейности (ФСМ
и ФКМ) и комбинационного усиления соответственно. Доминирует
эффект, характерная длина которого минимальна. Типичное значение
составляет 1 м (при То < 10 пс), в то время как Lnl и LG
становятся меньше или сравнимыми с LH при Ро > 10 Вт. Напротив,
Ld ~ 1 км при То = 10 пс. Таким образом, дисперсионные эффекты,
которые в уравнениях (8.3.1) и (8.3.2) описываются членами с произ-
водными второго порядка, пренебрежимо малы для импульсов дли-
тельностью 10 пс. Ситуация меняется для импульсов длительностью
То $ 1 пс, поскольку с уменьшением длительности импульса LD убы-
236
Глава 8
вает быстрее, чем LH,. Тогда дисперсионные эффекты заметно воздей-
ствуют на эволюцию ВКР, в частности в области отрицательной
дисперсии (см. разд. 8.4).
Даже если пренебречь слагаемыми с производными второго по-
рядка в уравнениях (8.3.1) и (8.3.2). для их решения необходимы
численные методы. Аналитическое решение можно получить в при-
ближении неистощенной накачки. Поскольку это приближение спра-
ведливо на ранней стадии ВКР и позволяет понять физику явления,
рассмотрим его более легально. Полученное аналитическое решение
включает эффекты ФКМ и разбегания импульсов. Эффекты группо-
вого разбегания без ФКМ [19, 85] и ФКМ без разбегания [91] были
рассмотрены относительно давно. Позднее в решения уравнений
(8.3.1) и (8.3.2) были включены оба эффекта при Р2р = P2s = 0 и др = 0.
Уравнение (8.3.1) для импульса накачки дает решение
Ap(z, Т) = Лр(0, T)exp[/Yp| Ар(0, T)|2z],	(8.3.6)
где ФКМ не учитывается, поскольку | As |2 « | Ар |2. По той же причине
в уравнении (8.3.2) не учитывается ФСМ стоксовой волны. Решением
уравнения (8.3.2) является [102]
As(z, Т) = Л,(0, Т+ zrf)exp[(»s/2 + iYs)V(z, DL (8.3.7)
где
y(z, T) = fMp((), T + zd - z'd}\2 dz'.	(8.3.8)
о
Выражение (8.3.6) показывает, что импульс накачки начальной
амплитуды /1р((), Т) распространяется без изменения своей формы.
Фазовый сдвиг, обусловленный ФСМ, модулирует частоту импульса
накачки, что уширяет его спектр; уширение спектра при ФСМ
обсуждается в разд. 4.1. При распространении же по световоду
стоксова импульса меняются и его форма, и спектр; изменения формы
обусловлены комбинационным усилением, в то время как спектраль-
ные изменения связаны с ФКМ. Что касается группового разбегания,
то оно вызывает как спектральные, так и временные изменения,
которые зависят от фактора перекрытия у (г, Г), учитывающего
разделение импульсов при распространении вдоль световода. Этот
фактор зависит от формы импульса. Для гауссовского импульса
накачки с начальной амплитудой
Лр(0, Т) = х/^ехр(-Т2/2Т2)	(8.3.9)
интеграл в уравнении (8.3.8) может быть представлен с использовани-
ем функции ошибок с результатом
./Л
ig(z, т) = Poz— [erf (т + б) - егГ(т)],	(8 *3.10)
О
Вынужденное комбинационное рассеяние
237
где т = 'Г/ Т„ и 5- длина распространения в единицах длин разбегания,
т.е.
6 = zd/T0 = zjLw.	(8 3.11)
Выражение (8.3.7), где \|/ задано выражением (8.3.10), описывает
эволюцию стоксова импульса в случае гауссовского импульса накач-
ки с начальными мощностью Ро и длительностью То (TFWHM =
= 1,66 То). Амплитуда затравочного стоксова импульса Л5(0, Т)-это
фиктивная амплитуда, введенная для учета спонтанного КР, возни-
кающего на протяжении всего световода. Чтобы обойтись без введе-
ния фиктивного затравочного стоксова импульса в начале световода,
необходимо квантовомеханическое рассмотрение [113]. В квазиклас-
сическом приближении можно использовать результат, полученный
в разд. 8.1, где эффективная стоксова мощность в начале световода
была получена в предположении: один фотон на одну моду на всех
частотах внутри спектра комбинационного усиления. Выражение
(8.1.10), полученное для непрерывного режима, дает начальную пико-
вую мощность стоксова импульса, в то время как его форма остается
неопределенной. Численное решение уравнений (8.3.1) и (8.3.2) пока-
зывает, что форма и спектр импульса на выходе световода не очень
сильно зависят от выбора формы затравочного импульса. В простей-
шем случае можно предположить, что
Л,(0, Г) = (Р^)1/2,	(8.3.12)
1де Р'о* дается выражением (8.1.10). Альтернативой может служить
гауссовская форма затравочного импульса с пиковой мощностью
Р >ФФ
' «о •
В качестве простого применения аналитического решения (8.3.7)
рассмотрим порог ВКР [96] сверхкоротких импульсов. Пиковая
мощность стоксова импульса на выходе световода (г = L) дается
выражением	_
PS(L) = | A,(L, 0)|2 = P:**exp(&sPox/nL(F), (8.3.13)
где использовалось выражение (8.3.10) при т = 0 и L/Lw » 1. Если
определить пороговое условие ВКР так же, как для непрерывного
режима, то порог достигается при PS(L) = Ро. Сравнение выражений
(8.1.14) и (8.3.13) показывает, что можно использовать условие порога
Для непрерывного режима, если принять
EllM, = \	(8.3.14)
В частности, для расчета критической пиковой мощности импульса
накачки можно использовать (8.1.15), если CJlM1 взять из (8.3.14). Это
изменение естественно, поскольку эффективная длина взаимодействия
между импульсами накачки и ВКР определяется длиной группового
разбегания Lw; ВКР прекращается, когда дв.. импульса разбегаются
238
Глава 8
настолько, что перестают перекрываться. Выражения (8.1.15) и
(8.3.14) показывают, что порог ВКР зависит от длительности импуль-
са и снижается с возрастанием TFWHM. Для импульсов длительностью
~ 10 пс (Lw ~ 1 м) пороговая мощность накачки равна ~ 10 Вт.
На начальной стадии ВКР аналитическое решение (8.3.7) можно
использовать для получения как формы, так и спектра импульса ВКР
[102]. Эволюция спектра определяется модуляцией частоты за ФКМ.
Динамика частотной модуляции обсуждалась в разд. 7.4.1 в связи
с асимметричным уширением спектра, обусловленным ФКМ (см.
рис. 7.11). Модуляция частоты, вызванная ФКМ при ВКР, идентична
приведенной на рисунке, пока накачка остается неистощенной. Заме-
тим, что в области положительной дисперсии стоксов импульс
распространясгся быстрее импульса накачки. В результате частотная
модуляция наиболее сильна в задней части стоксова импульса.
Следует подчеркнуть, что форма и спектр импульса существенно
изменяются, когда в рассмотрение включается истощение накачки
[94, 99]. Возрастающий импульс ВКР воздействует сам на себя через
ФСМ и на импульс накачки через ФКМ. Эти эффекты нельзя описать
простым аналитическим решением, и для понимания эволюции ВКР
необходимо численное решение уравнений (8.3.1) и (8.3.2). Для этой
цели можно использовать обобщение метода Фурье из разд. 2.4.
Метод требует определения стоксова импульса на входе в световод
согласно (8.1.10).
Для численного решения полезно ввести нормированные перемен-
ные. Соответствующую шкалу расстояний вдоль световода можно
задать с помощью длины группового разбегания Lw. Вводя опреде-
ления
и используя (8.3.4), получаем уравнения (8.3.1) и (8.3.2) в виде
dz' 2 Ld St2
= i~(\Up\2 + 2|l7s|2)l/p-^|Us|2l7p,	(8.3.16)
su, ^irLwd2us_
dz' St 2 Ld St2
= «>^(|l/s|2 +2|Cp|2)Cs + ^|Up|2Us,	(8.3.17)
где длины Ld, Lw, Lnl и Lg заданы выражениями (8.3.5). Параметр
г = kp/ks при Хр = 1,06 мкм составляет около 0,95. На рис. 8.8 показа-
Вынужденное комбинационное рассеяние
239
Рис. 8.8. Эволюция импульсов ВКР и накачки на трех групповых длинах для
случая Ld!Lw = 1000, Lw/Lnl = 24, Lw/Lc — 12.
на эволюция импульсов ВКР и накачки на трех групповых длинах.
Импульс накачки гауссовский, а форма стоксова затравочного им-
пульса задана равенством (8.3.12) с мощностью = 2-10-7 Вт.
Используя нормировку (8.3.5) и (8.3.15), результаты, показанные на
рис. 8.8, можно применять для различных длин воли и длительностей
импульсов накачки. Выбор LW/LG = 12 означает, что
у/Я (h РO^w — 21,
и соответствует пиковой мощности, на 30% превышающей поро-
говую.
Несколько черт рис. 8.8 заслуживают внимания. Стоксов импульс
начинает расти после прохождения одной групповой длины. Передача
энергии стоксову импульсу от импульса накачки практически прекра-
щается при z = 3LW, поскольку из-за разницы групповых скоростей
импульсы физически разделены. Так как в области положительной
Дисперсии импульс ВКР распространяется быстрее импульса накачки,
энергия к нему поступает от передней части импульса накачки. Это
отчетливо видно в точке z = 2LW, где перенос энергии приводит
к двухпиковой структуре импульса накачки в результате истощения
последней; провал вблизи переднего края точно соответствует поло-
жению импульса ВКР. Небольшой пик вблизи этого же края исчезает
240
Глава 8
0,06 и и ч и । I | । । ч [ । । । i.
0,05
I -1O	-5	0	5	-10	-5	0	5
Рис. 8.9. Спектры импульсов накачки (верхний ряд) и ВКР (нижний ряд) после
прохождения двух (левая колонка) и трех (правая колонка) групповых длин
для тех же параметров, что и на рис. 8.8.
по мере дальнейшего распространения, когда импульс ВКР проходит
сквозь него. Импульс накачки при z = 3LW асимметричен по форме,
а по длительности несколько короче, чем исходный импульс, посколь-
ку представляет собой только его хвостовую часть. Импульс ВКР
также короче исходного и асимметричен с более острой передней
частью.
Спектры импульсов накали и ВКР проявляют множество интерес-
ных свойств, вытекающих из совместного действия ФСМ. ФКМ,
группового разбегания и истощения накачки. На рис. 8.9 показаны
спектры накачки и ВКР при z/Lw = 2 (левая колонка) и z/Lw = 3
(правая колонка). Асимметричная форма этих спектров обусловлена
ФКМ (см. разд. 7.4.1). В «синей» части спектра проявляются биения,
характерные для ФСМ (см. разд. 4.1). В отсутствие ВКР спектр был
бы симметричен с некоторой структурой, возникающей на «красном»
краю. Поскольку красные компоненты распространяются в передней
части импульса накачки и именно эта часть истощается, энергия
переносится в основном из красных компонент импульса накачки.
Это ясно видно в спектре накачки на рис. 8.9. Отчасти такой же
причиной объясняется длинный хвост на красном краю спектра
импульса ВКР. Спектр ВКР практически сплошной при z = 2LW, но
Вынужденное комбинационное рассеяние
241
приобретает заметную внутреннюю структуру при z = ЗЕ^. Это
связано с совместным действием ФКМ и истощения накачки; частот-
ная модуляция импульса ВКР может быстро менять величину и знак
и приводит к сложной форме спектра [94, 99].
Временная и спектральная структуры на рис. 8.8 и 8.9 зависят от
пиковой мощности исходных импульсов накачки через длины LG
и Lnl в,уравнениях (8.3.16) и (8.3.17). Когда пиковая мощность
возрастает, Lc и Lnl уменьшаются в одинаковой пропорции. Числен-
ные расчеты показывают, что при увеличении мощности накачки
импульс ВКР растет быстрее и переносит больше энергии, чем это
показано на рис. 8.8. Еще более важно, что с уменьшением Lnl
возрастает частотная модуляция за счет как ФСМ, так и ФКМ
и спектры импульсов становятся шире, чем на рис. 8.9. Интересно,
что спектр импульса ВКР становится заметно шире, чем импульс
накачки. Это связано с эффектом ФКМ, более сильным для импульса
ВКР, чем для накачки. Частотная модуляция импульса ВКР, вызван-
ная ФКМ, была предсказана в 1976 г. [90]. Теоретически было
показано [91], что если пренебречь групповым разбеганием и истоще-
нием накачки, то за счет ФКМ спектр импульса ВКР уширяется
в 2 раза больше, чем спектр импульса накачки. Результаты численных
расчетов, включающих эти эффекты, показывают, что уширение
импульса ВКР может превышать уширение импульса накачки в 3 ра-
за. Это согласуется с экспериментом [101], о котором будет сказано
ниже. Прямые измерения частотной модуляции [96, 110] также
показали ее возрастание в импульсе ВКР по сравнению с импульсом
накачки.
8.3.2.	ЭКСПЕРИМЕНТЫ
Спектральные и временные свойства ВКР сверхкоротких импульсов
исследовались в многочисленных экспериментах в видимом и ближ-
нем ИК-диапазонах спектра. В эксперименте [92] импульсы длитель-
ностью 60 пс на длине волны 1,06 мкм от Nd: ИАГ-лазсра с синхро-
низацией мод распространялись по световоду длиной 10 м. Когда
мощность накачки превышала порог ВКР (~ 1 кВт), генерировались
импульсы ВКР. Импульсы и накачки, на ВКР на выходе световода
были короче входного импульса, как и следовало ожидать на основа-
нии результатов, представленных на рис. 8.8. Спектр импульса ВКР
(ширина ~ 2 ТГц) был намного шире, чем спектр импульса накачки.
Величина спектрального уширения импульса ВКР при ФКМ по
сравнению со спектральным уширением импульса накачки была
определена в эксперименте [101], где импульсы длительностью 25 пс
на длине волны 532 нм распространялись по световоду длиной 10 м.
На рис. 8.10 показаны спектры, наблюдавшиеся при четырех различ-
ных значениях энергии импульса накачки. Ширина спектра крыла
242
Глава 8
Рис. 8.10. Спектры, полученные в эксперименте с 25-пикосекундными им-
пульсами на длине волны 532 мкм, распространявшимися в световоде длиной
10 м. Четыре спектра соответствуют различным энергиям импульса накачки,
нормированым на Ео, где Е„ соответствует порогу ВКР [101].
ВКР, расположенного на длине волны 544,5 нм, втрое превосходила
ширину спектра импульса накачки. Это ожидалось из теории и связа-
но с модуляцией частоты импульса ВКР за счет ФКМ [90, 91].
Из-за ограниченного разрешения спектрометра нельзя было раз-
решить тонкую структуру спектров на рис. 8.10. Детальный спектр
накачки был получен в эксперименте [100], где импульсы длитель-
ностью 140 пс на длине волны 1,06 мкм распространялись по свето-
воду длиной 150 м. На рис. 8.11 Показаны наблюдавшиеся спектры
накачки при нескольких значениях пиковой входной мощности. По-
рог ВКР составлял около 100 Вт. При Ро < 100 Вт в спектре прояв-
ляется многопиковая структура, характерная для ФСМ (см. разд. 4.1).
Однако при Ро> 100 Вт спектр накачки уширяется и становится
асимметричным. Действительно, два спектра на рис. 8.11 (средний
ряд) качественно подобны спектрам на рис. 8.9 (верхний ряд). Асим-
метрия спектров связана с совместным действием ФКМ и истощени-
ем накачки.
Другое явление, могущее привести к качественно новым свойст-
вам спектра накачки, это модуляционная неустойчивость, вызванная
ФКМ. Она обсуждалась в разд. 7.3 для случая, когда оба импульса
вводятся в световод извне. Однако это явление должно иметь место
и в случае, когда второй импульс генерируется внутри световода.
Подобно случаю модуляционной неустойчивости, возникающей в об-
ласти отрицательной дисперсии (см разд. 5.1), модуляционная не-
Вынужденное комбинационное рассеяние
243
устойчивость, вызываемая ФКМ, обнаруживает себя появлением
в спектре импульса боковых полос. На рис. 8.12 показаны спектры
импульсов накачки и ВКР, полученные в эксперименте [111] по
распространению импульсов длительностью 25 пс на длине волны
532 нм в отрезке световода длиной 3 м. Диаметр сердцевины свето-
вода был выбран равным лишь 3 мкм для того, чтобы исключить
возможность многомодового четырехволнового смешения (см.
гл. Ю). Центральный пик в спектре накачки (рис. 8.11) имеет сущест-
венную внутреннюю структуру, которая в этом эксперименте оста-
лась неразрешенной. Боковые полосы указывают на очевидное суще-
ствование модуляционной неустойчивости, индуцированной ФКМ.
Положение боковых полос меняется с изменением длины световода
и пиковой мощности накачки. Было установлено, что это изменение
соответствует теории, изложенной в разд. 7.3. В спектре ВКР также
проявляются боковые компоненты, существование которых следует
из теории, хотя из-за ФКМ-уширения спектра они едва разрешены.
Измерения временных характеристик ВКР сверхкоротких импуль-
сов [94-97] показывают, что они подобны приведенным на рис. 8.8.
В эксперименте [95] импульсы от лазера на красителе длительностью
5 пс на длине волны 615 нм распространялись по световоду длиной
53 Вт
25 Вт
0,49нм
Рис. 8.11. Экспериментальные спектры импульсов накачки после прохож-
дения 140-пикосекундных импульсов на длине волны 1,06 мкм через световод
Длиной 150 м при различных значеиях входной мощности. ВКР достигалось
При мощности около 100 Вт [100].
244
Глава 8
Рис. 8.12. Спектры импульсов накачки и ВКР. Боковые полосы возникают
в результате модуляционной неустойчивости, вызванной ФКМ. Шкала ин-
тенсивности произвольна [111].
12 м с диаметром сердцевины 3,3 мкм. На рис. 8.13 показаны кросс-
корреляционные кривые импульсов накачки и ВКР на выходе свето-
вода. Импульс ВКР приходит к выходу световода на 55 пс раныпе,
чем импульс накачки; это соответствует разнице задержки на длине
волны 620 нм и на длине волны накачки. Более важно, что импульс
ВКР оказывается асимметричным с крутым передним фронтом и
длинным хвостом на заднем фронте, подобно тому, как это было
показано на рис. 8.8. Подобные разультаты были получены и в дру-
гих экспериментах, где форма импульсов регистрировалась непосред-
ственно при помощи электронно-оптической камеры [97, 100] или
скоростного фотодиода [109].
Влияние группового разбегания импульсов на ВКР сверхкоротких
импульсов исследовалось в эксперименте [96], где мощность импуль-
сов накачки длительностью 35 пс на длине волны 532 нм варьирова-
лась в пределах 140 210 Вт, а длина световода в пределах 20 100 м.
Временные характеристики измерялись при помощи скоростного
CdTe-фотодиода и осциллографа. Результаты показывают, что гене-
рация импульса ВКР происходит на первых трех-четырех длинах
группового разбегания. Если эффективность преобразования в ВКР
Рис. 8.13. Автокорреляционные функции импульсов накачки и ВКР на вы-
ходе световода длиной 12 м. Шкала интенсивностей произвольная [95].
Вынужденное комбинационное раесеяние
245
составляет 20%, то пик ВКР появляется приблизительно на двух
длинах группового разбегания, а при большей мощности накачки на
меньшей длине. Эти выводы согласуются с результатами вычислений,
представленными на рис. 8.8. Длина группового разбегания в этих
экспериментах определялась согласно (8.3.5). где вместо То использо-
валась 7fwHM-
До сих пор рассматривалось ВКР только первого порядка. Такое
ВКР наблюдалось в эксперименте с импульсами накачки длитель-
ностью 5 пс на длине волны 615 нм пиковой мощностью 1,5 кВт [95].
В ближнем ИК-диапазоне генерация стоксовых компонент высших
порядков может происходить при накачке импульсами на длине
волны 1,06 мкм. Эффективность ВКР может существенно возрасти,
если использовать световоды с сердцевиной, легированной Р2О5, что
обусловлено относительно высоким рамановским коэффициентом
усиления в стеклах, содержащих Р2О5. Возможность использования
таких световодов при ВКР привлекает к ним большое внимание [114,
115].
С практической точки зрения ВКР сверхкоротких импульсов
является фактором, ограничивающим характеристики волоконно-ре-
шеточных компрессоров (см. разд. 6.3), для оптимальной работы
которых пиковая мощность входных импульсов должна быть ниже
порога ВКР. ВКР действует не только как источник потерь, оно
ограничивает качество сжатия импульса [116, 117], поскольку ФКМ
между накачкой и стоксовой волной искажает линейность чирпа. Для
улучшения качества сжатых импульсов при наличии ВКР использова-
лась спектральная фильтрация [109]. При этом был выбран фильтр
с такой асимметричной полосой пропускания, что прошедший через
него импульс имел чирп, близкий к линейному. В недавней работе
[112] было показано, что сжатые импульсы хорошего качества можно
получить и в режиме сильного ВКР, но только ценой значительной
потери энергии.
8.3,3.	ВОЛОКОННЫЕ ВКР-ЛАЗЕРЫ С СИНХРОННОЙ
НАКАЧКОЙ
Предыдущие подразделы были посвящены однопроходному ВКР.
Если поместить световод в резонатор (см. рис. 8.4), то однопроход-
ный усилитель превращается в волоконный ВКР-лазер. Такие лазеры
обсуждались в разд. 8.2.2 в случаях непрерывного или квазинепрерыв-
ного режимов (То > 1 нс). Здесь рассматриваются синхронно накачи-
ваемые волоконные ВКР-лазеры, испускающие импульсы длитель-
ностью - 100 пс. В обычной схеме используются импульсы накачки
Длительностью около 100 пс на длине волны 1,06 мкм от Nd:HAE-
лазера с синхронизацией мод.
На рис. 8.14 временные и спектральные характеристики излучения
246
Глава 8
Рис. 8.14. Временные и спектральные характеристики излучения волоконного
ВКР-лазера (штриховые линии) и в режиме однопроходной генерации (сплош-
ные линии). Шкала интенсивностей произвольная [104].
на выходе однопроходного усилителя сравниваются с аналогичными
характеристиками ВКР-лазера. В этом эксперименте [104] длина
световода составляла 150 м, а длительность импульсов накачки-око-
ло 120 пс (То = 80 пс). В случае однопроходного усиления в спектре
виден пик вблизи 1,12 мкм. Соответствующий стоксов импульс про-
является на 300 пс раньше, чем импульс накачки, что обусловлено
групповым запаздыванием. В режиме лазера основной спектральный
пик возникает на длине волны 1,093 мкм, для которой накачка
действует синхронно. Кроме того, длина волны может перестраивать-
ся более чем на 50 нм посредством изменения длины резонатора на
10 см. Второй пик в спектре на рис. 8.14 соответствует несинхрони-
зованной с накачкой стоксовой компоненте второго порядка. Во
временной структуре излучения видны три пика, соответствующих
импульсу накачки и д»" м стоксовым импульсам первой и второй
стоксовых компонент. Импульс первой стоксовой компоненты доми-
нирует благодаря тому, что для него выполнено условие синхронно-
сти накачки.
Длительность импульсов излучения волоконного ВКР-лазера при-
мерно такая же, как у импульсов накачки (~ 100 пс). Однако из-за
эффектов ФСМ и ФКМ эти импульсы частотно-модулированны, и,
если в достаточно большой части импульса чирп линеен, они могут
быть сжаты в волоконно-решеточном компрессоре (см. разд. 6.3).
Важным достижением было получение импульсов длительностью
0,8 пс при помещении компрессора внутрь резонатора волоконного
ВКР-лазера [47]. Расстояние между решетками регулировалось для
получения слегка отрицательной дисперсии при полном обходе резо-
натора лазера, т. е. пара решеток не только компенсировала положи-
тельную дисперсию световода, но и обеспечивала для импульсов,
Вынужденное комбинационное рассеяние
247
циркулирующих внутри резонатора, отрицательную общую диспер-
сию трассы. С использованием такой методики недавно были получе-
ны импульсы длительностью 0.4 пс [103]. Кроме того, лазер был
перестраиваемым в диапазоне 1,076-1,12 мкм при длительности им-
пульсов 0,4 0.5 пс во всем интервале. Для перестройки длины волны
использовалась диафрагма, помещенная внутрь решеточного ком-
прессора (см. разд. 6.3.2).
Перестраиваемый волоконный ВКР-лазер использовался и для
демонстрации усиления фемтосекундных оптических импульсов в во-
локонном ВКР-усилителе в условиях как попутной, так и встреч-
ной волн накачки [105]. Попутная накачка использовалась в схеме,
где 500-фемтосекундные импульсы сначала проходили через отрезок
световода длиной 100 м, где в результате действия дисперсии они
уширялись до 23 пс. Уширенные импульсы вместе с импульсами
накачки длительностью 50 пс на длине волны 1,06 мкм вводились
в усилитель, состоявший из 1-метрового световода. Усиленные им-
пульсы сжимались в решеточном компрессоре. Сжатые импульсы
были несколько шире (600 700 фс) исходных, но усилены по энергии
в 15000 раз, когда мощность импульсов накачки составляла 150 кВт.
Эксперимент показал, что частотная модуляция 23-пикосекундных
исходных импульсов мало изменяется при усилении. Это указывает
на возможность использования ВКР сверхкоротких импульсов в
световодах не только для генерации фемтосекундных импульсов, но
и для получения высоких пиковых мощностей.
8.4. СОЛИТОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ВКР
Когда длина волны накачки лежит в области отрицательной
дисперсии световода, в импульсах накачки и ВКР могут появляться
солитонные эффекты, возникающие в результате совместного дейст-
вия нелинейности и дисперсии (см. гл. 5). Этот случай, в силу его
большой научной и практической важности, широко исследовался как
теоретически, так и экспериментально [118 138].
Интересная возможность состоит в том, что при некоторых
условиях почти вся энергия импульса передается в стоксов импульс,
который, как фундаментальный солитон, распространяется без иска-
жений. Численный анализ показывает [118], что это действительно
возможно, если стоксов импульс формируется на расстоянии, где
импульс накачки, распространяющийся как солитон высшего поряд-
ка, достигает минимальной длительности во время начальной фазы
сжатия. Для N > 10 это расстояние дается формулой (6 4.3). Напро-
тив. если передача энергии в стоксов импульс задерживается и проис-
ходит, когда импульс накачки уже расщеплен (см. рис. 5.4 для случая
= 3), то стоксов импульс не становится солитоном и его энергия
быстро рассеивается.
248
Глава 8
Уравнения (8.3.16) и (8.3.17) можно использовать в случае отрица-
тельной дисперсии, если просто изменить знак второй производной.
Как и в случае положительной дисперсии, показанном на рис. 8.8,
передача энергии в стоксов импульс происходит вблизи : Lw.
Чтобы из импульса ВКР сформировать солитон, необходимо, чтобы
zopl ~ Lw, где zopI-оптимальная длина световода для компрессора,
обсуждавшегося в разд. 6.4. Это условие подразумевает, что Lw не
должно быть слишком малым по сравнению с дисперсионной длиной
Ld. Например, Ги, = (л/8)Г„ для солитона третьего порядка, если
учесть, что zop4 = z0/4 при N = 3, где z0 = (л/2) LD период солитона.
В разд. 6.4 было показано, что Lw и LD становятся сравнимыми для
фемтосекундных импульсов длительностью То < 100 фс. Для таких
сверхкоротких импульсов различие между импульсами накачки и
ВКР смазывается, поскольку их спектры начинают заметно перекры-
ваться. Это видно, например, из того факта, что пик усиления на
рис. 8 1 соответствует отстройке частоты величиной 13 ТГц, в то
время как ширина спектра 100-фемтосекундного импульса составляет
1 ~ 10 ТГц. Уравнения (8.3.16) и (8.3.17) не дают реалистического
описания ВКР фемтосекундных импульсов, в частности для отрица-
тельной дисперсии, где исходный импульс может заметно укорачи-
ваться в начале распространения.
Альтернативное описание дается обобщенным уравнением рас-
пространения (2.3.35) и разд. 2.3, последний член которого, пропор-
циональный времени нелинейного отклика TR, отвечает за ВКР. Как
обсуждалось выше, для небольших частотных отстроек TR связан
с наклоном кривой комбинационного усиления (см. рис. 8.1). Влияние
члена, отвечающего за комбинационное усиление, на эволюцию
фемтосекундных импульсов внутри световода уже обсуждалось в
разд. 5.5 после рассмотрения других нелинейных эффектов высших
порядков. На рис. 5.20 были показаны форма и спектр импульса,
пиковая мощность которого соответствует солитону второго поряд-
ка. В таком случае исходный импульс расщепляется на два фрагмента
на длине одного периода солитона явление, названное в разд. 5.5
распадом солитона Это явление может быть интерпретировано как
вынужденное комбинационное (ВК) саморассеяние импульса [119],
которое может возникать, даже если порог ВКР с уровня шумовой
затравки еще не достигается. Основная идея состоит в следующем.
Входной импульс, являющийся солитоном высшего порядка, в на-
чальной фазе распространения укорачивается с одновременным уши-
рением спектра Спектральное уширение красного крыла обеспечива-
ет затравку для комбинационного усиления, т. е. через ВКР синие
компоненты импульса служат накачкой для красных компонент. Это
ясно видно на рис. 5.20, где оснорно#' пик спектра непрерывно
смещается в красную сторону. Такое смещение называют самосдви-
гом частоты солитона [121]. Во временном рассмотрении энергия
Вынужденное комбинационное рассеяние
249
в области красных компонент проявляется в виде импульса, запазды-
вающего относительно начального. Это импульс ВКР.
Явление ВК-саморассеяния может возникать даже для пикосе-
кундных импульсов, если порядок солитона Л' достаточно велик,
чтобы исходный спектр уширился (из-за ФСМ) до ~ 1 ТГц. Действи-
тельно, в первом эксперименте, где наблюдалось данное явление
[119], входные импульсы длительностью 30 пс на длине волны
1,54 мкм распространялись по световоду длиной 250 м. На рис. 8.15
показаны спектры, наблюдавшиеся для четырех значений входной
пиковой мощности Ро в пределах 50 900 Вт. При Ро 100 Вт на
красной стороне спектра появляется длинное крыло. Это значение
соответствует N = 30 при данных параметрах системы. Уравнения
(6.4.3) и (6.4.2) предсказывают сжатие выходного импульса приблизи-
тельно в 120 раз после прохождения 300-метровой трассы, если
принять период солитона z0 равным 27 км (Го ~ 17 пс). Ширина
спектра такого сжатого импульса составляет ~ 2 ТГц. На рис. 8.15
приведена также автокорреляционная функция излучения, соответст-
вующая стоксову крылу верхнего спектра, смещенному по частоте на
1,6 ТГц от частоты накачки. Она соответствует стоксову импульсу
длительностью 200 фс.
Эффект ВК-саморассеяния привлек к себе значительное внимание
[119 130], так как он дает удобный способ генерации солитонов,
несущая частота которых может перестраиваться путем изменения
либо длины световода, либо входной мощности накачки. В экспери-
менте [127] использование лазера на красителе позволило перестраи-
вать входную длину волны в пределах 1,25-1,35 мкм так, что входной
импульс мог распространяться в областях как положительной, так
и отрицательной дисперсии световода (длина волны нулевой диспер-
сии 1,317 мкм). На рис. 8.16 показаны спектры импульсов при измене-
нии длины волны X от 1,28 до 1,317 мкм. Входной импульс длитель-
ностью 0,83 пс мощностью 530 Вт распространялся по одномодово-
му световоду длиной 150 м. Стоксово крыло не появлялось в случае
= 1,28 мкм из-за положительной дисперсии световода, хотя отчет-
1,60 1,58 1,56 1,54 1,52
Длина волны (мкм)
•- 200<рс
Время <лс)

Рис. 8.15. Спектры импульса
с исходной длительностью
30 пс на длине волны
1.54 мкм после распростра-
нения по световоду с отри-
цательной дисперсией дли-
ной 250 м для четырех раз-
личных значений начальной
мощности в пределах 50
900 Вт. Справа автокорре-
ляционная функция стоксова
крыла верхнего спектра
[Н9].
250
Глава 8
Рис. 8.16. Спектры импульса на выходе световода длиной 150 м. когда в него
вводится импульс длительностью 0,83 пс, мощностью Ро = 530 Вт. Входная
длина волны менялась от 1,28 до 1,317 мкм. Длина волны нулевой дисперсии
световода 1,317 мкм [127].
диво видно уширение спектра из-за ФСМ. При Хр = 1,3 мк.м форми-
руются две стоксовы полосы, несмотря на то что эта длина волны
лежит в области положительной дисперсии, поскольку из-за ушире-
ния спектра, обусловленного ФСМ, значительная часть энергии им-
пульса накачки оказывается в области отрицательной дисперсии. При
Хр = 1,317 мкм стоксовы полосы более интенсивны благодаря более
интенсивному переносу энергии в сторону меньших частот при ВКР.
Изменения спектра импульса, начальная частота коъ&рого лежит
в области отрицательной дисперсии, показаны на рис. 8.17 для случая
Хр = 1,341 мкм и длина световода L= 1 км. Спектр импульса сущест-
венно меняется при увеличении пиковой мощности. При Ро = 530 Вт
появляются три стоксовы полосы (верхний спектр). Возникает также
антистоксова полоса, несущая 5-10% от начальной энергии. Во
временном представлении с каждой стоксовой линией связан отдель-
ный импульс. Автокорреляционные измерения показали [127], что
длительность этих стоксовых импульсов составляет ~ 300 4(Х) фс.
Длительность существенно зависит от длины световода; наименьшая
длительность составляла около 55 фс при длине световода 12 м.
Большинство экспериментальных результатов можно объяснить, ис-
ходя из уравнения (2.3.35).
Вынужденное комбинационное рассеяние
251
Поскольку генерация стоксовых компонент ВКР высших порядков
происходит даже в области положительной дисперсии, возможна
генерация солитонов ВКР даже тогда, когда начальная длина волны
намного меньше длины волны нулевой дисперсии. Это было проде-
монстрировано в эксперименте [122], где импульс с длиной волны
1,06 мкм создавал импульсы длительностью 70 фс на длине волны
1,5 мкм, хотя его длительность составляла 150 пс. Входной пиковой
мощности 5 кВт было достаточно для генерации многих стоксовых
компонент в световоде длиной 20 м. Стоксова компонента ВКР
четвертого порядка вблизи длины волны 1,3 мкм служила накачкой
для генерации континуума, который простирался до 1,7 мкм. В двух-
ступенчатой схеме, где вторая ступень состояла из световода со
смещенной дисперсией длиной 2 м, длительность импульса была
сокращена до 18 фс, т. е. лишь до трех световых периодов.
Солитоны ВКР были также получены при накачке 100-пикосекунд-
ными импульсами от Nd: ИАГ-лазера с синхронизацией мод, рабо-
тавшего на длине волны 1,32 мкм. В эксперименте [129] в обычном
световоде с нулем дисперсии вблизи 1,3 мкм были получены 100-фем-
тосекундные импульсы ВКР на длине волны 1,4 мкм. В другом
Рис. 8.17. Спектры импульсов на выходе световода длиной I км для не-
скольких значений пиковой мощности входного импульса длиной 0,83 пс.
Начальная длина волны 1,341 мкм лежит в области отрицательной дисперсии
252
Глава 8
Рис. 8.18. Схема солитонного ВКР-лазера с кольцевым резонатором.
BS- дихроичная пластинка; М, и М2 зеркала со 100%-ным отражением; Lt
и L2 микролинзы.
эксперименте [128] с тем же лазером использовался световод с нулем
дисперсии, смещенным на 1,46 мкм. Первая стоксова компонента на
длине волны 1,407 мкм служила накачкой для генерации стоксовой
компоненты второго порядка (на 1,516 мкм) в области отрицательной
дисперсии световода. Длительность импульса ВКР, связанного со
второй стоксовой компонентой, составила 130 фс У импульса был
широкий пьедестал, и лишь около 30% энергии распространялось
в виде солитона.
Солитонные эффекты ВКР нашли применение в солитонных ВКР-
лазерах [132- 138]. Подобно солитонным лазерам, обсуждавшимся
в разд. 5 3, такие лазеры дают выходное излучение в виде солитонов
длительностью ~ 100 фс, но на длине волны, соответствующей сток-
совой компоненте первого порядка Кроме того, длина волны может
перестраиваться в довольно больших пределах (~ 10 нм) с помощью
метода временной дисперсии, о котором говорилось в разд. 8.2.2.
Обычно используется кольцевая схема, показанная на рис. 8.18. Ди-
хроичная пластинка с высоким отражением на длине волны накачки
и с частичным на стоксовой длине волны X, используется для ввода
излучения накачки и вывода лазерного излучения.
В первой экспериментальной демонстрации волоконного солитон-
ного ВКР-лазера [132] накачкой служили 10-пикосекундные импуль-
сы от лазера на центрах окраски на длине волны 1,48 мкм. Кольцевой
резонатор включал 500 м сохраняющего поляризацию одномодового
световода со смещенной дисперсией, длина волны нулевой дисперсии
которого находилась около 1,536 мкм. Это позволяло импульсам
ВКР и накачки перекрываться на значительной части световода, так
как их длины волн располагались по разные стороны от на
примерно равном расстоянии (Д ~ 1,58 мкм). Генерировались им-
пульсы длительностью 300 фс с малоинтенсивным, но широким
пьедесталом. Делались попытки удалить пьедестал, для чего схема на
рис. 8.18 была модифицирована: один отрезок световода был заменен
двумя с изменяемым коэффициентом связи между ними. Световод
Вынужденное комбинационное рассеяние
253
длиной 100 м обеспечивал комбинационное усиление, в то время как
другой световод длиной 500 м служил для сжатия импульса (ВКР
в нем не возникало, поскольку при переводе излучения из одного
световода в другой мощность накачки опускалась ниже порога.).
Удавалось получить импульсы без пьедестала длительностью 284 фс,
когда разница длин соответствовала 380 см-1 или 11,4 ТГц. Однако,
когда длины волн отстояли друг от друга на 440 см 1 (что соответст-
вует пику комбинационного усиления), значительная часть энергии
импульса содержалась в широком пьедестале. Такое сложное поведе-
ние связано с эффектом ФКМ [133].
В недавних экспериментах [134 136] для накачки солитонных
ВКР-лазеров использовались импульсы длительностью 100 пс от
Nd ИАГ-лазера с длиной волны генерации 1,32 мкм. Такой выбор
длины волны интересен возможностью использовать обычные свето-
воды с ~ 1,3 мкм. К тому же импульсы и накачки, и ВКР близки
к длине волны нулевой дисперсии и могут перекрываться в световоде
достаточно долго, чтобы обеспечить нужное усиление (длина группо-
вого разбегания ~ 300 м). В эксперименте [134] были получены
импульсы длительностью 160 фс, при этом использовался световод,
не сохраняющий поляризацию, длиной 1.1 км. Импульсы имели
широкий пьедестал, и в солитонной составляющей содержалось лишь
около 20% энергии импульса. В другом эксперименте [136] использо-
вался световод со смещенной дисперсией (>.„	1,46 мкм). При генера-
ции второй и третьей стоксовых компонент вблизи длин волн 1,5
и 1,6 мкм соответственно наблюдались солитоны длительностью
около 200 фс. Этот процесс каскадного ВКР использовался также для
генерации солитонов вблизи длины волны 1,5 мкм при накачке
импульсами на длине волны 1,06 мкм [137]. При этом три первые
стоксовы компоненты расположены в области положительной дис-
персии световода (X;j ~ 1.3 мкм) Четвертая и пятая стоксовы полосы
образуют в спектре широкое крыло в области длин волн 1,3-1,5 мкм,
которое содержит около половины входной энергии. Автокорреля-
ционные функции импульсов на длинах волн 1,35; 1,4; 1,45 и 1,5 мкм
показали, что энергия в пьедестале уменьшается с увеличением длины
волны. Действительно, импульсы вблизи 1,5 мкм почти не имели
пьедестала.
Подводя итоги данной главы, отметим, что ВКР сверхкоротких
импульсов в области отрицательной дисперсии световодов - это нели-
нейное явление, при котором могут генерироваться сверхкороткие
солитоноподобные импульсы длительностью менее ~ 100 фс. Эти
солитоны нужно отличать от солитонов ВКР, возникающих в молеку-
лярных газах [139] Там время отклика среды больше длительности
солитона, и необходимо учитывать динамику колебательных мод,
участвующих в процессе ВКР [139 141]. В случае световодов время
комбинационного отклика много меньше длительности солитона.
254
Глава 8
Теоретическое описание солитонов, возникающих при ВКР в светово-
дах, не завершено, и продолжается работа над новыми моделями
[123].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Raman С. V.. Indian J. Phys., 2, 387 (1928).
2.	Woodbury E.J., Ng WK., Proc. IRE., 50, 2347 (1962).
3.	Hellwarth R.W.. Phys. Rev., 130, 1850 (1963); Appl. Opt., 2, 847 (1963).
4.	Garmire E„ Pandarese E„ Townes C.H., Phys. Rev. Lett., 11, 160 (1963).
5.	Shen Y.R.. Bloemhergen N., Phys. Rev., 137, A1786 (1965).
6.	Bloembergen N„ Am. J. Phys., 35, 989 (1967).
7.	Kaiser W., Maier M., in: Laser Handbook, vol. 2, ed. by F. T. Arecchi,
E. O. Schulz-Dubois, North-Holland, Amsterdam, 1972, Ch. E2.
8.	Shen У. R„ The Principles of Nonlinear Optics, Wiley, New York, 1984, Ch. 10.
[Имеется перевод: ШенИ.Р. Принципы нелинейной оптики.-М.: Мир,
1989.]
9.	Stolen R.H., Ippen Е.Р.. Tynes A.R.. Appl. Phys. Lett., 20, 62 (1972).
10.	Stolen R.H.. Ippen E.P., Appl. Phys. Lett., 22, 276 (1973).
11.	Stolen R.H., Proc. IEEE, 68, 1232 (1980).
12.	Shuker R.f Gammon R. W., Phys. Rev. Lett., 25, 222 (1970).
13.	Smith R.G., Appl. Opt., 11, 2489 (1972).
14.	AuYeung J., Yariv A., IEEE J. Quantum Electron., QE-14, 347 (1978).
15.	Lin C. Stolen R.H., Appl. Phys. Lett., 28, 216 (1976).
16.	Lin C. et al.. Opt. Commun., 20, 426 (1977).
17.	Grigoryants V.V.et al.. Opt. Quantum Electron., 9, 351 (1977).
18.	Cohen L.G., Lin C, IEEE Quantum Electron., QE-14. 855 (1978).
19.	Butylkin V.S., Grigoryants V.V., Smirnov V.L, Opt. Quantum Electron., 11, 141
(1979).
20.	Stolen R. H„ in: Optical Fiber Communications, ed. by S. E. Miller, A. G. Chy-
noweth. Academic, New York, 1979, Ch. 5.
21.	Gao P.-J. et al.. Appl. Phys., 24, 303 (1981).
22.	Rosman G„ Opt. Quantum Electron., 14, 92 (1982).
23.	Ohmori Y., Sesaki Y., Edahiro T, Trans. 1ECE Japan, E66, 146 (1983).
24.	Pini R. et al., Appl. Phys. Lett., 43, 6 (1983).
25.	Rothschild M.. Abad H., Opt. Lett., 8, 653 (1983).
26.	Barbosa F.R., Appl. Opt. Lett., 22, 3859 (1983).
27.	Stolen R.H.. Lee C, Jain R.K., J. Opt. Soc. Am., Bl, 652 (1984).
28.	Suuki K„ Noguchi K., Vesugi N.. Opt. Lett., 11, 656 (1986).
29.	Lin C„ J. Lightwave Technol., LT-4, 1103 (1986).
30.	Gomes A. S.L. et al., Opt. Commun., 64, 373 (1987).
31.	Hill K.O., Kawasaki B.S., Johnson D.C., Appl. Phys. Lett., 28, 608 (1976); 29,
181 (1976).
32.	Jain R.K. et al., Appl. Phys. Lett., 30, 162 (1977).
33.	Johnson D.C. et al.. Electron. Lett., 13, 53 (1977).
34.	Stolen R.H.. Lin C, Jain R.K., Appl. Phys. Lett., 30, 340 (1977).
35.	Lin C, Stolen R.H.. Cohen L.G., Appl. Phys. Lett., 31, 97 (1977).
36.	Lin C. et al.. Opt. Lett., 1, 96 (1977).
37.	Jain R.K. et al.. Appl. Phys. Lett., 31, 89 (1977).
38.	Stolen R.H. et al., IEEE J. Quantum Electron., QE-14, 860 (1978).
39.	Lin C, French W.G., Appl. Phys. Lett., 34, 10 (1979).
40.	Stolen R.H., IEEE J. Quantum Electron., QE-15, 1157 (1979).
41.	Lin C, Glodis P.F., Electron. Lett., 18, 696 (1982).
42.	Kakazawa M„ Masamitsu T, Ichida N., J. Opt. Soc. Am., Bl, 86 (1984).
43.	Chraplyvy A.R., Stone J.. Opt. Lett., 9, 241 (1984).
44.	Nakazawa M„ Opt. Lett., 10, 193 (1985).
Вынужденное комбинационное рассеяние
255
45.	Pini R. et al., Appl. Opt., 25, 1048 (1986).
46.	Mizunami T., Miyazaki T„ Takagi K., J. Opt. Soc. Am., B4, 498 (1987).
47.	Kafka J. D., Head D. F„ Baer T. in: Ultrafast Phenomena V, ed. by G. R.
Fleming, A. E. Siegman, Springer-Verlag, Berlin, 1986, p. 51.
48.	Desurvire E., Imamoglu A., Shaw H.J., J. Lightwave, Technol., LT-5, 89 (1987).
49.	Kean P.N. et al., J. Mod. Opt. 35, 397 (1988).
50.	Lin C„ Stolen R.H., Appl. Phys. Lett., 29, 428 (1976).
51.	Ikeda M„ Opt. Commun., 39, 148 (1981).
52.	Koep G.A., Kalen D.M., Greene K.H., Electron. Lett., 18, 942 (1982).
53.	Aoki Y. et al.. Electron. Lett., 19, 620 (1983).
54.	Desurvire E. et al.. Electron. Lett., 19, 751 (1983).
55.	Chraplyvy A.R., Stone J., Burrus C.A., Opt. Lett., 8, 415 (1983).
56.	Nakazawa M. et al., J. Opt. Soc. Am., Bl, 80 (1984).
57.	Nakamura K. et al., J. Lightwave Technol., LT-2. 379 (1984).
58.	Nakazawa M., Appl. Phys. Lett., 46, 628 (1985).
59.	Nakazawa M., Nakashima T., Seikai S., J. Opt. Soc. Am., B2, 215 (1985).
60.	Dakss M.L., Melman P., J. Lightwave Technol., LT-3, 806 (1985).
61.	Pocholle J.P. et al.. Opt. Eng., 24, 600 (1985).
62.	Durteste Y. Monerie M., Lamouler P.. Electron Lett., 21, 723 (1985).
63.	Olsson N.A., Hegarty J., J. Lightwave Technol., LT-4, 391 (1986).
64.	Vilhelmsson K., J. Lightwave Technol., LT-4, 400 (1986).
65.	Desurvire E., Digonnet M.J.F., Shaw H.J., J. Lightwave Technol., LT-4, 426
(1986).
66.	Aoki Y„ Kishida S., Washio K., Appl. Opt., 25, 1056 (1986).
67.	Seikai S.. Nakashima T„ Shibata N., J. Lightwave Technol., LT-4, 583 (1986).
68.	Mochizuki K., Edagawa N„ Iwamoto Y., J. Lightwave Technol., LT-4, 1328
(1986).
69.	Davies R. W. et al., J. Lightwave Technol., LT-5, 1068 (1987).
70.	Davison A.S., White I.H, Electron. Lett., 23, 1344 (1987).
71.	O'Mahony M.J., J. Lightwave Technol., LT-6, 531 (1988).
72.	Hegarty J., Olsson N.A., Goldner L., Electron. Lett., 21, 290 (1985).
73.	Mochizuki K.. Edagawa N., Iwamoto Y., J. Lightwave Technol., LT-4, 1328
(1986).
74.	Edagawa N., Mochizuki K., Iwamoto Y, Electron. Lett., 23, 196 (1987).
75.	Dakss M.L., Melmann P., IEE Proc., 135, Pt. J. 96 (1988).
76.	Mochiiuki K., J. Lightwave Technol., LT-3, 688 (1985).
77.	Aoki Y., J. Lightwave Technol., LT-6, 1225 (1988).
78.	Hasegawa A., Appl. Opt., 23, 3302 (1984).
79.	Mollenauer L.F., Stolen R.H., Islam M.N., Opt. Lett., 10, 229 (1985).
80.	Mollenauer L. F., Gordon J. P„ Islam M.N.. IEEE J. Quantum Electron.,
QE-22, 157 (1986).
81.	Mollenauer L.F., Smith K., Opt. Lett., 13, 675 (1988).
82.	Chraplyvy A.R., Henry P.S., Electron. Lett., 19, 641 (1983).
83.	Tomita A.. Opt. Lett., 8, 412 (1983).
84.	Chraplyvy A. R., Electron. Lett., 20, 58 (1984).
85.	Cotter D„ Hill A.M., Electron. Lett., 20, 185 (1984).
86.	Hill A.M., Cotter D„ Wright J. V., Electron. Lett., 20, 247 (1984).
87.	Mahlein H.F., Opt. Quantum Electron., 16, 409 (1984).
88.	Hegarty J.. Olsson N.A., McGlashan-Powell M., Electron. Lett., 21, 395 (1985).
89.	Olsson N.A. et al.. Electron. Lett., 21, 105 (1985).
90.	Луговой B.H. ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 1307.
91.	Gersten J. I., Alfano R.R., Belie M., Phys. Rev., A21, 1222 (1980).
92.	Цианов E.M. и dp.-Письма в ЖЭТФ, 1984, т. 39, с. 564.
93.	Lu J.-H, Li Y.-L., Jiang J.-L., Opt. Quantum Electron., 17, 187 (1985).
94.	Цианов E.M. и dp.-ЖЭТФ, 1985, т. 89, с. 781.
256
Глава 8
95.	Talk В. Hodel ИС. Weber HP. Opt. Commun., 54, 363 (1985).
96.	Stolen R.H., Johnson A.M., IEEE J. Quantum Electron., QE-22, 2154 (1986).
97.	French P.M.W. et al., IEEE J. Quantum Electron., QE-22, 2230 (1986).
98.	Schadt D.. Jaskorzynska В. Osterberg U.. J. Opt. Soc. Am., B3, 1257 (1986).
99.	Schadt D. Jaskorzynska B.. J. Opt. Soc. Am., B4, 856 (1987).
100.	Kean P.N.. Smith K., Sibbett W., (EE Proc., 134, Pt. J, 163 (1987).
101.	Alfano R.R. et al.. Appl. Opt, 26, 3492 (1987).
102.	Manassah J.T.. Appl. Opt, 26, 3747 (1987).
103.	Цианов E.M. и др. Письма в ЖЭТФ. 1987, т. 45. с. 469.
104.	Smith К. et al., J Mod. Opt, 34, 1227 (1987).
105	Цианов E.M. и dp. Письма в ЖЭТФ, 1987, т 46. с. 383.
106	Nakazawa М. et al.. J. Opt. Soc. Am, B4, 1412 (1987).
107.	Baldeck P L„ Но P.P.. Alfano R. R.. Rev. Phys. Appl, 22. 1677 (1987).
108.	Alfano R. R.. Ho P. P.. IEEE J. Quantum Electron, QE-24, 351 (1988).
109.	Weiner A.M.. Heritage J. P.. Stolen R.H., J. Opt. Soc. Am, B5, 364 (1988).
110.	Gomes A S. L.. da Silva V.L.. Taylor J. R.. J. Opt. Soc. Am, B5, 373 (1988).
Ill	Baldeck P L.. Alfano R. R.. Agrawal G. P.. Int. Conf. Ultrafast Phenomena,
Paper PD2, July 12 15 (1988).
112.	Kuckartz M.. Schulz R.. Horde A., Opt. Quantum Electron, 19, 237 (1987); J.
Opt. Soc. Am, B5, 1353 (1988).
113.	Raymer M.G. et al.. Phys. Rev, A32, 332 (1985).
114.	Suzuki K., Noguchi K., Uesugi N.. Opt. Lett, 11, 656 (1986); J. Lightwave
Technol, LT-6, 94 (1988).
115.	Gomes A.S.L. et al.. Opt. Commun, 64, 373 (1987).
116.	Nakashima T. et al.. Opt. Lett, 12, 404 (1987).
117.	Gomes A. S. L.. Gouveia-Neto A. S„ Taylor J. R.. Opt. Quantum Electron, 20, 95
(1988).
118.	Выслоух В. А., Серкин В. H Письма в ЖЭТФ, 1983, т. 38, с. 170. Изв. АН
СССР, сер. физ, 1984, т. 48, № 19. с. 1777.
119.	Цианов Е.М. и dp. Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 41. с. 242.
120.	Dianov Е.М., Prokhorov A M.. Serkin V.N., Opt. Lett, 11, 168 (1986).
121.	Mitsehke F.M., Mollenauer L.F.. Opt. Lett, 11, 659 (1986).
122.	Грудинин А.Б. и dp. Письма в ЖЭТФ, 1987, т. 45, с. 211.
123.	Серкин В.Н. Письма в ЖЭТФ, 1987, т. 13, с. 878.
124.	Bodomonioe К.Л. и dp. Квант, электрон, 1987, т. 14 с. 2053.
125.	Zvsset В . Beaud Р.. Hodel W.. Appl. Phys. Lett, 50, 1027 (1987).
126.	Hodel W, Weber H P.. Opt. Lett, 12, 924 (1987).
127.	Beaud P. et al., IEEE J. Quantum Electron, QE-23, 1938 (1987).
128.	Gouveia-Neto A.S. et al.. Electron. Lett, 23. 1034 (1987).
129.	Gouveia-Neto A.S.. Gomes A.S. L„ Taylor J. R.. Opt. Lett, 12, 1035 (1987).
130.	Blow K.J., Doran N.J.. Wood D.. J. Opt. Soc. Am, B5 381 (1988).
131	Gouveia-Neto A S., Gomes A.S. L., Taylor J. R.. IEEE J. Quantum Electron,
QE-24. 332 (1988).
132.	Islam M.N.. Mollenauer L.F.. Stolen R.H., in: Ultrafast Phenomena V. ed by
GR Fleming, A. E. Siegman, Springer-Verlag, Berlin, 1986, p. 46.
133.	Islam M.N. el al., Opt. Lett, 12, 814 (1987).
134.	Kafka J. D.. Baer T. Opt. Lett, 12, 181 (1967).
135.	Gouveia-Neto A.S., Gomes A.S.L„ Taylor J. R., Electron. Lett, 23. 537 (1987);
Opt Quant, Electron, 20, 165 (1988).
136.	Gouveia-Neto A.S. et al.. Opt. Lett, 12, 927 (1987).
137.	da Silva V.L., Gomes A.S.L., Taylor J. R.. Opt. Commun, 66, 231 (1988).
138.	Haus H.A.. Nakazawa M„ J. Opt. Soc. Am, B4, 652 (1988).
139.	Druht К . Wenzel R.G.. Carlsten J.L., Phys. Rev. Lett, 51, 1171 (1983); J. Stat.
Phys, 39, 615 (1985).
140.	Englund J. C, Bowden CM.. Phys. Rev. Lett, 57, 2661 (1986).
141.	MacPherson D. C„ Carlsten J. L.. Druhl K. J., J. Opt. Soc. Am, B4, 1853 (1987).
Глава 9
ВЫНУЖДЕННОЕ РАССЕЯНИЕ
МАНДЕЛЬШТАМА - БРИЛЛЮЭНА (ВРМБ)
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна (ВРМБ)
представляет собой нелинейный процесс, который может возникать
в световодах при мощности излучения много меньшей, чем требуется
для вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР). Оно проявля-
ется в виде генерации стоксовой волны, распространяющейся в обрат-
ном направлении и содержащей наибольшую часть начальной энер-
гии. В системах оптической связи ВРМБ может быть вредным
эффектом. В то же время оно может использоваться в ВРМБ-лазерах
и усилителях. В данной главе будут рассмотрены и применения
ВРМБ, и паразитные эффекты, связанные с ним. В разд. 9.1 представ-
лены основные сведения о ВРМБ, в частности о ВРМБ-усилении.
В разд. 9.2 рассмотрены теоретические аспекты ВРМБ-пороговые
условия, истощение накачки и насыщение усиления. Там же рас-
сматривается динамическое взаимодействие между волной накачки
и стоксовой волной, которое может приводить к неустойчивостям.
Экспериментальные результаты по ВРМБ описаны в разд. 9.3, под-
разделы которого посвящены однопроходному ВРМБ, волокон-
ным ВРМБ-лазерам и волоконным ВРМБ-усилителям. Наконец,
в разд. 9.4 ВРМБ рассматривается с точки зрения оптической связи.
9.1.	ВРМБ-УСИЛЕНИЕ
ВРМБ впервые наблюдалось в 1964 г. и широко исследовалось
в последующие годы [1-8]. Как и ВКР, оно проявляется в виде
генерации стоксова излучения с меньшей, чем у накачки, частотой,
причем величина частотного сдвига определяется нелинейной средой.
Однако между ВРМБ и ВКР существуют важные различия. Напри-
мер, стоксова волна при ВРМБ распространяется навстречу волне
накачки, а при ВКР в обоих направлениях. Стоксово смещение при
ВРМБ (~ 10 ТГц) на три порядка меньше, чем при ВКР. Пороговая
мощность накачки при ВРМБ зависит от ширины ее спектра. При
относительно длинных импульсах накачки (длительностью не менее
1 мкс) или при непрерывном излучении она может составлять всего
1 мВт. При коротких импульсах накачки длительностью менее 10 нс
258
Глава 9
ВРМБ не возникает. Все эти различия обусловлены одним обстоя-
тельством: при ВКР действуют оптические фононы, а при ВРМБ -
акустические.
Процесс ВРМБ можно описать классически как параметрическое
взаимодействие между волнами накачки, стоксовой и акустической.
Благодаря электрострикции накачка генерирует акустическую волну,
приводящую к периодической модуляции показателя преломления.
Индуцированная решетка показателя преломления рассеивает излуче-
ние накачки в результате брэгговской дифракции. Поскольку решетка
движется со звуковой скоростью vA, частота рассеянного излучения
испытывает доплеровский сдвиг в длинноволновую область. В кван-
товой механике такое рассеяние описывается как уничтожение фотона
накачки и одновременное появление стоксова фотона и акустического
фонона. Из законов сохранения энергии и импульса при рассеянии
вытекают соотношения для частот и волновых векторов трех волн:
“л = ир-<о5,	(9.1.1)
кл=кр-К,	(9.1.2)
где <ор и <os-частоты и кр и ks-волновые векторы накачки и стоксовой
волны соответственно. Частота сол и волновой вектор кл акустиче-
ской волны удовлетворяют дисперсионному уравнению
= IkJfx = 2ил | кр | sin (6/2),	(9.1.3)
где 0-угол между направлениями распространения волн накачки
и стоксовой, а в векторном уравнении (9.1.2) было сделано приближе-
ние | кр | ~ |kj. Уравнение (9.1.3) показывает, что смещение частоты
стоксовой волны зависит от угла рассеяния. В частности, оно макси-
мально для обратного направления (0 = л) и исчезает для направле-
ния, совпадающего с вектором накачки (0 = 0). Для обратного на-
правления смещение частоты дается выражением
<ол 2nvA
vB = ~ = ^~,
2л Хр
где использовалось (9.1.3) с подстановкой |кр| = 2ли/Хр, и показа-
тель преломления и Хр-длина волны накачки.
В одномодовом световоде возможны только прямое и обратное
направления распространения. Хотя уравнение (9.1.3) предсказывает
отсутствие ВРМБ в прямом направлении (0 = 0), в световодах в этом
направлении может возникать спонтанное тепловое рассеяние Ман-
дельштама-Бриллюэна (РМБ). Это обусловлено тем. что в световоде
существуют направляемые акустические волны, в силу чего правило
отбора для волновых векторов может нарушаться. В результате
происходит генерация слабого стоксова излучения в прямом направ-
лении [9]. Это явление называют спонтанным РМБ на направляемых
акустических волнах. На спектре стоксова излучения видно множе-
(9.1.4)
Вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна
259
ство линий со сдвигом ~ 10-1000 МГц от частоты накачки. Они
исключительно слабы и далее не рассматриваются. В световодах
спонтанное РМБ с частотным смещением, данным формулой (9.1.4),
возникает только в обратном направлении. Если принять типичные
для световодов из кварцевого стекла значения vA = 5,96 км/с и
п = 1,45, то на длине волны Хр = 1,55 мкм vB = 11,1 ГГц.
Рост интенсивности стоксовой волны характеризуется коэффи-
циентом усиления при ВРМБ gB(v), максимальным при v = vB.
Однако в отличие от ВКР спектральная ширина ВРМБ-усиления AvB
очень мала (~ 10 МГц против ~ 5 ТГц). Ширина спектра связана
с временем затухания акустической волны или временем жизни
фотона Тв. Действительно, если принять затухание акустической
волны экспоненциальным (ехр(— t/TB)), то спектр ВРМБ-усиления
будет иметь лоренпеву форму
(AvB/2)2
дв\У) ,	\2  / А
(v - vB)2 + (AvB/2)2
0в<Ув),
(9.1.5)
где AvB — ширина спектра на полувысоте, связанная с временем
жизни фонона AvB = (л7^)-1. Максимальный коэффициент ВРМБ-
усиления при v = vB дается выражением [4]
£/b(vb) =
2ли7Р|2
‘^pPo^AvB’
(9.1.6)
где р|2-продольный акустооптический коэффициент, ро плотность
материала и Хр-длина волны накачки.
Исследования рассеяния Мандельштама - Бриллюэна в объемных
образцах плавленого кварца были проделаны [10] уже в 1950 г. Более
поздние измерения [11], выполненные с одночастотным аргоновым
лазером, показали, что vB = 34,7 ГГц и Аув = 54МГц на длине
волны Хр = 486 нм. Эти эксперименты также показывают, что A vB
зависит от величины смещения при РМБ и меняется несколько
быстрее, чем vB (квадратичная зависимость следует из теории).
С учетом обратной зависимости vB от Хр в (9.1.4) величина AvB
должна быть пропорциональна Хр 2. Это сужение спектральной поло-
сы с возрастанием Хр компенсирует уменьшение коэффициента
ВРМБ-усиления, следующего из (9.1.6). В результате коэффициент
ВРМБ-усиления почти не зависит от длины волны накачки. Если
подставить в (9.1.6) типичные для плавленого кварца значения пара-
метров, получится дв ~ 5-10“11 м/Вт. Это почти на три порядка
больше комбинационного коэффициента усиления на длине волны
кр = 1,55 мкм (см. 8.1).
Спектр ВРМБ-усиления в кварцевых световодах может суще-
ственно отличаться от того, что наблюдается в объемных образ-
цах, что обусловлено направляющими свойствами световода и при-
260
Глава 9
10,6	10,8	11,0	11,2	11,4
Частота (ГГц)
Рис. 9.1. Спектры ВРМБ-усиления в трех световодах при = 1,525 мкм.
а световод с сердцевиной из плавленого кварца; б-световод с депрессиро-
ванной оболочкой; в световод со смещенной дисперсией. Вертикальная шкала
произвольна [14].
сутствием добавок в сердцевине [12-16]. На рис. 9.1 показаны спект-
ры, измеренные в трех различных световодах с различными структу-
рами и различными концентрациями германия в сердцевине. Источ-
ником служил полупроводниковый лазер с внешним резонатором
с длиной волны генерации 1,525 мкм, а в измерениях использовалось
гетеродинное детектирование с разрешением 3 МГц [14]. Световод
(«) имел сердцевину из почти чистого плавленого кварца (концентра-
ция германия около 0,3 мол.%). Измеренный сдвиг частоты vB =
= 11,25 ГГц соответствует формуле (9.1.4) для этого световода, если
принять скорость звука такой же. как в объемном образце плавленого
кварца. ВРМБ-смещение в световодах уменьшается с ростом концент-
рации германия, что видно на спектрах (б) и (в). ВРМБ-спектр
световода (б) имеет двухпиковую структуру, обусловленную, видимо,
неоднородным распределением германия в сердцевине [14]. В другом
эксперименте [16] наблюдался ВРМБ-спектр с тремя пиками, что
объяснялось разницей скоростей звука в сердцевине и оболочке
световода.
Ширина линии ВРМБ-усиления на рис. 9.1 намного больше, чем
в объемном плавленом кварце (Дув~17МГц на длине волны
Хр = 1,525 мкм). В других экспериментах также обнаружена линия,
в 2 раза более широкая, чем в объемных образцах [15, 16]. Отчасти
такое уширение связано с тем, что в световодах распространяются
направляемые акустические волны [12] Однако в основном уширение
обусловлено неоднородностями сечения световода по длине. По-
скольку такие неоднородности различны в различных световодах,
ширина линии бриллюэновского усиления в них также различается
и может достигать 100 МГц на длине волны 1,55 мкм.
Уравнение (9.1.5) для ВРМБ-усиления получено при стационарных
условиях и действительно для непрерывной или квазинепрерывной
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
261
накачки (То » Тв), ширина спектра которой много меньше ширины
линии ВРМБ-усиления AvB. В случае импульсов накачки длитель-
ностью То < Т„ теория нестационарного ВРМБ [3-5] показывает, что
ВРМБ-усиление существенно понижается по сравнению с тем, что
дает уравнение (9.1.6). Действительно, если длительность импульса
становится меньше времени жизни фонона (То < I нс), то ВРМБ-
усиление становится меньше комбинационного, такой импульс накач-
ки посредством ВКР генерирует ВКР-импульс, что обсуждалось
в разд. 8.4.
Даже в случае непрерывной или квазинепрерывной накачки ВРМБ-
усиление существенно понижается, если Avp превышает AvB. Это
может происходить также с одномодовой накачкой, фаза которой
быстро меняется за время, меньшее чем время жизни фонона Тв.
Детальные вычисления показывают [17-20], что ВРМБ-усиление
в случае широкополосной накачки зависит от относительных величин
длины когерентности накачки Lcoh = с/(п\ vp) и длины ВРМБ-взаимо-
действия Linl, определяемой как расстояние, на котором существенно
меняется амплитуда стоксовой волны. Если Lcoh » L,nl, то процесс
ВРМБ не зависит от модовой структуры накачки, так как расстояние
между модами превышает A vB и ВРМБ-усиление почти такое же, как
для одномодового лазера на нескольких длинах взаимодействия [18].
Если же, Lcoh « Linl, то ВРМБ-усиление существенно понижается.
Последняя ситуация обычно реализуется в световодах, где длина
взаимодействия сравнима с длиной световода L. Если спектр накачки
имеет лоренцев профиль с шириной на полувысоте Avp, то форма
спектра ВРМБ-усиления по-прежнему описывается уравнением (9.1.5),
но пиковое усиление дается выражением [20]
AvB
0в= "7	. *	.9b(vb)>
AvB + Avp
где 9B(vB) дается формулой (9.1.6). Таким образом, в случае Avp»
» AvB ВРМБ-усиление уменьшается в Av /AvB раз.
(9-1.7)
9.2.	ТЕОРИЯ
Как и в случае ВКР, рассмотрение ВРМБ в световодах требует
учета взаимодействия между стоксовой волной и волной накачки.
В стационарных условиях такое взаимодействие подчиняется системе
связанных уравнений, подобных уравнениям (8.1.2) и (8.1.3) из
разд. 8.1. Единственное отличие - другой знак при dljdz в соответ-
ствии с направлением распространения стоксовой волны навстречу
волне накачки. Можно сделать два упрощения. Благодаря относи-
тельно небольшим значениям ВРМБ частотного сдвига можно при-
262
Глава 9
нять сор ~ со,. По той же причине потери в световоде для волны
накачки и стоксовой волны практически одинаковы, т. е. ар as = а.
С учетом этих приближений (8.1.2) и (8.1.3) превращаются в следую-
щую систему:
~ = -gBiPis + ais,
di
-р = -gBIBls-aI,
*"* •’ р s р'
(9.2.1)
(9.2.2)
где дв коэффициент усиления при ВРМБ из разд. 9.1. Легко прове-
рить, что в отсутствие потерь (а = 0)
d
(9.2.3)
как и должно быть в силу сохранения энергии при ВРМБ.
9.2.1.	ПОРОГ ВРМБ
Систему связанных уравнений для интенсивностей (9.2.1), (9.2.2)
можно решить аналитически [4, 21]. Хотя такое решение пригодно
для полного описания ВРМБ, для понимания физики явления полезно
рассмотреть случай без истощения накачки, что позволяет оценить
величину порога ВРМБ. В таком случае стоксова волна, распрост-
раняясь навстречу волне накачки, экспоненциально усиливается в со-
ответствии с уравнением
4 (°) = 4(Г)ёхр(0вРо Гэфф ^эфф ^Г),	(9.2.4)
где Ро = 7р(О)у4эфф. Здесь Лэфф- эффективная площадь сечения, а эф-
фективная длина взаимодействия дается выражением
Гэфф = ~ [1 ~ ехр(-aL)].	(9.2.5)
a
Уравнение (9.2.4) показывает, как стоксов сигнал, возникающий
в точке z = L, усиливается благодаря ВРМБ На практике такой
сигнал обычно отсутствует (если только световод не используется как
ВРМБ-усилитель) и стоксова волна возникает из шумов спонтанного
МБ-рассеяния, возникающего в световоде. Как и в случае ВКР, это
эквивалентно инжекции одного эффективного фотона на одну моду
в точке, где усиление компенсирует потери световода [7]. Методом,
подобным использованному в разд. 8.1, получаем, что порог ВРМБ
достигается при критической мощности накачки Р% [7], получаемой
из выражения
0вПгЬэфф//1эфф^21,	(9.2.6)
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
263
где дв~пиковое значение ВРМБ-усиления, даваемого формулой
(9.1 6). Сравним отношения (9.2.6) с выражением (8.1.15), полученным
для случая ВКР. Численное значение 21 величина приблизительная,
поскольку она зависит от точного значения ширины линии ВРМБ-
усиления. Она может возрастать в 1- 2 раза в зависимости от того,
сохраняют ли стоксова волна и волна накачки поляризацию в свето-
воде или нет. Случаю полной деполяризации соответствует увеличе-
ние численного фактора в 2 раза. Тем не менее выражение (9.2.6)
вполне применимо для оценки порога ВРМБ. Если взять обычные
значения параметров световода для оптической связи на 1,55 мкм:
Лэфф = 50 мкм2, Еэфф 20 км, дв = 5-10“11 м/Вт, то (9.2.6) дает кри-
тическую мощность накачки Р" = 1 мВт. Такой низкий порог делает
ВРМБ доминирующим нелинейным процессом в световодах. Приме-
нения ВРМБ в волоконных системах оптической связи рассматри-
ваются в разд. 9.4.
9.2.2.	ИСТОЩЕНИЕ НАКАЧКИ И НАСЫЩЕНИЕ
УСИЛЕНИЯ
При достижении порога ВРМБ значительная часть энергии накач-
ки преобразуется в энергию стоксовой волны. Для учета истощения
накачки необходимо точно решить уравнения (9.1.1) и (9.1.2). Общее
решение	имеет вид [4, 21]	
	60(1 — Ьо) 1,® = 777 А МО) ехр (-az).	(9.2.7)
	(1 -60)G(z) 7_(z) =	1 (0) ехр (-az), ”	G(:)-b0 p	(9.2.8)
где	G(z) = exp{(l - feo)(0o/«)[l -exp(-az)]},	(9.2.9)
	60 = Is (0) Ip (0),	g0 = gB lp (0).	(9.2.10)
Здесь Ьо	(параметр эффективности ВРМБ) показывает.	какая часть
исходной мощности накачки преобразуется в мощность стоксовой
волны, д0 коэффициент усиления слабого сшнала.
Уравнения (9.2.7) и (9.2.8) описывают изменение интенсивностей
стоксовой волны и волны накачки по длине световода в случае ВРМБ-
усиления сигнала, вводимого в световод в точке z = L поля накачки,
вводимой в точке z = 0 На рис. 9.2 показано изменение интенсивно-
стей стоксовой волны и волны накачки для двух значений входного
сигнала, соответствующих 6ln = 7,(L)//p (0) = 0,001 и 0,01. Потери
в световоде таковы, что aL=0,1. Коэффициент ВРМБ-усиления
(lbL= 10 соответствует однопроходному усилению ехр (10) 2,2-104.
264
Глава 9
Рис. 9.2. Изменение интенсивностей волны накачки и стоксовой волны (нор-
мированных на входную интенсивность накачки) по длине световода для
входных (г = L) интенсивностей стоксовой волны 0,001 (сплошные линии)
и 0,01 (штриховые линии).
Рис. 9.3. Характеристики насыщения волоконных ВРМБ-усилителей при не-
скольких значениях коэффициента ненасыщенного усиления Сл. Параметр
bin мощность входного сигнала, отнесенная к мощности накачки.
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
265
Из-за истощения накачки усиление значительно меньше. Тем не менее
50 и 70% энергии накачки переходят в стоксово излучение при
= 0.001 и 0.01 соответственно. Отметим также, что передача
основной части энергии происходит на первых 20% длины световода.
Характеристики насыщения волоконных ВРМБ-усилителей можно
получить из уравнения (9.2.7). если определить насыщенное и ненасы-
щенное усиление следующим образом:
Л (°)	= л0
/s(L)exp(-aL) bln'
Ga = ехр(<70 С,фф)-
(9.2.11)
На рис. 9.3 показана зависимость GJGA от GAbin для нескольких
значений GA. Сравним этот рисунок с рис. 8.6, где показаны характе-
ристики насыщения ВКР-усилителя. Насыщенное усиление понижает-
ся вдвое (или на 3 дБ), когда GAbin = 0,5 для GA в пределах 20-30 дБ
Эти условия выполняются при мощности усиленного сигнала, состав-
ляющей 50% от входной мощности накачки. Типичная мощность
накачки при ВРМБ-усилении ~ 1 мВт, и, следовательно, мощность
насыщения составляет ~ 1 мВт в отличие от волоконных ВКР-усили-
телей, для которых мощность насыщения ~ 1 Вт.
9.2.3.	ДИНАМИКА ВРМБ
Динамика ВРМБ зависит от соотношения длительности импульса
накачки То и времени жизни фонона Тв. При То < Тв необходимо
учитывать динамику акустической волны, так как ВРМБ-усиление
в этом случае зависит от времени [3, 5]. Однако даже при длительно-
сти импульсов накачки больше Тв в динамическом поведении ВРМБ
проявляется множество интересных свойств. В частности, интенсив-
ность стоксовых компонент испытывает релаксационные колебания
с периодом 2Тг. где Тг-время прохода по трассе [22]. В присутствии
внешней обратной связи эти релаксационные колебания становятся
устойчивыми [23], т. е стоксова волна и волна накачки испытывают
самоиндуцированную модуляцию интенсивности. Эти эффекты хоро-
шо описываются уравнениями связанных амплитуд, подобными урав-
нениям (8.1.18) и (8.1.19). Однако эти уравнения существенно упроща-
ются, если заметить, чго дисперсионные эффекты пренебрежимо
малы из-за относительно больших длительностей импульсов, а эф-
фекты ФСМ и ФКМ также пренебрежимо малы из-за относительно
низких пиковых -мощностей импульсов стоксовой волны и волны
накачки. Определив Ij = \Aj\2 (гае j = р или л) и пренебрегая 02j- и
в уравнениях (8.1.18) и (8.1.19), получим уравнения, описывающие
временную эволюцию ВРМБ, в виде
с! 1 cL
л---	+	(9 2 12)
dz ш dt
266
Глава 9
б/„	1 SIn
^г + - -дв1„Ц + а1р,	(9.2.13)
dz va St
где vg-групповая скорость. В стационарном случае эти уравнения,
сводятся к уравнениям (9.2.1) и (9.2.2).
Хотя групповая скорость одинакова для волны накачки и стоксо-
вой волны, их относительная скорость равна 2гя, так как они
распространяются навстречу друг другу. Релаксационные колебания
возникают как следствие этой эффективной расстройки групповых
скоростей. Частоту и скорость затухания релаксационных колебаний
можно получить, анализируя устойчивость стационарного решения
уравнений (9.2.7) и (9.2.8) аналогично тому, как это делалось в
разд. 5.1 в случае модуляционной неустойчивости. Действие внешней
обратной связи можно учесть, взяв соответствующие граничные
условия на концах световода [23]. Такой линейный анализ устойчиво-
сти дает также условия, при которых непрерывный сигнал становится
неустойчивым. Рассмотрим небольшое возмущение уровня непрерыв-
ного сигнала, затухающее как ехр( — ht), где комплексный параметр
h можно определить, линеаризуя уравнения (9.2.12) и (9.2.13). Если
действительная часть h положительна, возмущение затухает экспо-
ненциально с релаксационными колебаниями частотой vr = 1т(Л)/2л.
Если же действительная часть Л отрицательна, возмущение возраста-
ет со временем и непрерывный сигнал становится неустойчивым.
В этом случае ВРМБ ведет к модуляции интенсивностей накачки
и стоксова излучения даже в случае непрерывной накачки. На рис. 9.4
показаны области устойчивости и неустойчивости при наличии обрат-
ной связи в зависимости от фактора усиления у0 L, определенного
Вис. 9.4. Устойчивая и неустойчивая области ВРМБ при натичии обратной
связи. Сплошной линией показано критическое значение относительной интен-
сивности стоксовой волны (Ьо = 7,(О)/7р(О)). ниже которого непрерывный
сигнал неустойчив как функция фактора усиления g0L [23].
Вынужденное рассеяние Мандельштама - Бриллюэна
267
Рис. 9.5. Временная эволюция интенсивностей стоксовой волны (левая ко-
лонка) и волны накачки (правая колонка) с обратной связью (внизу) и без
обратной связи (вверху). Потери в световоде таковы, что а£ = 0,15 [23].
выражением (9.2.10). Там же определен параметр Ьо.
На рис. 9.5 показана эволюция со временем интенсивностей сток-
совой волны и волны накачки, полученная из численного решения
уравнений (9.2.12) и (9.2.13). На верхних рисунках для goL=30
показаны релаксационные колебания в отсутствие обратной связи.
Период колебаний 2ТГ, где Тг-время прохода. Источником релакса-
ционных колебаний может служить следующий физический механизм
[22]. Быстрый рост стоксовой волны в начале световода истощает
накачку, что приводит к понижению усиления. Затем усиление восста-
навливается, и процесс повторяется.
Нижний ряд на рис. 9.5 соответствует слабой обратной связи
Rt R2 = 5-10' 5, где Rt и R2 коэффициенты отражения от торцов ,.
световода. Усиление g0L= 13 меньше порогового значения. Тем не
менее в результате действия обратной связи порог ВРМБ понижается
и происходит генерация стоксовой волны. Однако процесс не стано-
вится стационарным из-за неустойчивости, показанной на рис. 9.4.
Вместо этого выходные интенсивности волны накачки (_ = L) и сток-
совой волны (; = 0) осциллируют. Интересно, что картина становится
стационарной, если обратная связь усиливается так, что А, Т?2 >
^2-10 2, поскольку для этого значения параметр Ьо лежит в области
устойчивости (см. рис. 9.4). Все указанные динамические свойства
ВРМБ наблюдались экспериментально [23].
Другая неустойчивость может возникать [24-28], когда в светово-
де одновременно распространяются две встречные волны, даже если
268
Глава 9
их мощности лежат ниже порога ВРМБ (9.2.6). Источником такой
неустойчивости служит взаимная связь встречных волн накачки через
акустическую волну с частотой vB. Неустойчивость проявляется
в виде боковых компонент в спектре накачки на частотах vp + vB, где
vp частота накачки [24, 25]. Во временной картине это проявляется
в виде модуляции обеих волн накачки на частоте ВРМБ. Индуциро-
ванная ВРМБ модуляционная неустойчивость аналогична индуциро-
ванной ФКМ модуляционной неустойчивости, описанной в разд. 7.3,
за исключением того, что она возникает в случае волн, распространя-
ющихся во встречных направлениях. Порог неустойчивости зависит
от интенсивностей накачки If и 1Ь, длины световода L и параметров
ВРМБ взаимодействия дв, vB и Л vB. На рис. 9.6 показана зависимость
нормированной интенсивности накачки If, соответствующей поро-
гу неустойчивости [28], от отношения интенсивностей /,,//f при
A vB/vB = 0,06 для нескольких значений нормированной длины свето-
вода 4nnvBLlc. Порог неустойчивости существенно меньше порога
ВРМБ (gBIfL = 21) и при некотором сочетании параметров может
составлять лишь gBIfL=3. Результаты численных исследований
показывают [28], что временная картина интенсивности накачки на
выходе световода может становиться хаотической по сценарию удвое-
ния периода, если ширина линии ВРМБ AvB сравнима с ВРМБ-
сдвигом vB. В спектре рассеянного света возникают субгармоники
частоты ВРМБ с частотной отстройкой, определяемой временем
двойного обхода резонатора. Хаотическое поведение предсказывается
также для случая [26], когда накачка в обратном направлении не
вводится извне, но возникает за счет отражения от зеркала. Индуци-
Рис. 9.6. Порог индуцированной ВРМБ модуляционной неустойчивости
встречных волн накачки с начальными интенсивностями и Ih. Нормиро-
ванная интенсивность gBIfL показана как функция lb/If при At>B/tB = 0,06 для
нескольких значений нормированной длины световода [28].
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
269
рованный ВРМБ хаос в световодах пока не наблюдался эксперимен-
тально.
9.3.	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Результаты экспериментов по ВРМБ можно классифицировать
так же, как это делалось в разд. 8.2 для ВКР, разбив их на три
категории: а) однопроходное ВРМБ, б) ВРМБ-лазеры и в) волокон-
ные ВРМБ-усилители. Они будут рассмотрены в трех соответствую-
щих подразделах.
9.3.1.	ОДНОПРОХОДНЫЕ ВРМБ
В первом эксперименте, где наблюдалось ВРМБ в световодах,
Иппен и Столен [6] использовали в качестве накачки излучение
импульсного ксенонового лазера с длиной волны 535,5 нм. Использо-
вание внутрирезонаторного эталона позволило получить спектраль-
ную ширину накачки меньше ширины линии ВРМБ-усиления (около
100 МГц). Из-за больших потерь (около 1300 дБ'км) в эксперименте
использовались только короткие отрезки световода (L = 5-20 м).
Измеренный порог ВРМБ составил 2,3 Вт для световода длиной 5,8 м
и около 1 Вт для L = 20 м. что хорошо согласуется с (9.2.6) при
/1,фф = 13,5 мкм2. ВРМБ-смещение vB = 32,2 ГГц также согласуется
Рис. 9.7. Форма импульса
накачки на входе и выходе
световода (а) и стоксова им-
пульса (б) при ВРМБ в све-
товоде длиной 5.8 м. Гори-
зонтальная шкала-200 нс на
деление, вертикальная шка-
ла произвольная [6].
270
Глава 9
и прошедшего через световод импульсов накачки и стоксова импульса
при ВРМБ в световоде длиной 5,8 м. Периодическая структура
связана с релаксационными колебаниями, природа которых обсужда-
лась в разд. 9.2.3. Период колебаний около 60 нс соответствует
двойному времени распространения по световоду, как и предсказыва-
ет теория [22]. Стоксов импульс короче импульса накачки, так как
ВРМБ преобразует энергию только центральной части импульса
накачки, где пиковая мощность превышает порог ВРМБ. В результа-
те пиковая мощность стоксова импульса может превышать началь-
ную пиковую мощность импульса накачки. Если пиковая мощность
стоксова импульса значительно превышает начальную мощность
накачки, то ВРМБ может привести к разрушению световода [6].
В большинстве ранних экспериментов порог ВРМБ был относи-
тельно высоким (>100 мВт) из-за больших потерь. Как уже говори-
лось в разд. 9.2.1, при использовании световодов большой длины
с малыми потерями порог ВРМБ может составить лишь 1 мВт.
В эксперименте [29] со световодом длиной 4 км с потерями 4 дБ/км
порог ВРМБ при накачке с длиной волны 0,71 мкм от одночастотного
кольцевого лазера на красителе составил 30 мВт. В недавнем экспери-
менте [30] при накачке непрерывным Nd: ИАГ-лазером на длине
волны 1,32 мкм порог ВРМБ был понижен до 5 мВт. Ширина спектра
накачки (1,6 МГц) была существенно меньше ширины линии ВРМБ-
усиления. В эксперименте использовался световод длиной 13,6 км
с потерями 0,41 дБ/км, что соответствует эффективной длине 7,66 км.
На рис. 9.8 показана схема эксперимента. Изолятор предохраняет
лазер от попадания в него стоксова излучения. В эксперименте
измерялись зависимости прошедшей и отраженной мощностей от
мощности накачки. На рис. 9.9 представлены данные эксперимента.
При небольшой мощности накачки отраженный сигнал обусловлен
просто 4%-ным отражением от торца световода. Порог ВРМБ
достигается при 5 мВт накачки, что проявляется в виде существенно-
го возрастания интенсивности отраженного сигнала, в котором те-
перь доминирует стоксово излучение. В то же время проходящая
мощность уменьшается в результате истощения накачки Она пони-
жается до уровня насыщения (около 2 мВт) при входной мощности
Изолятор Ослабитель
Рис. 9.8. Схема экспериментальной установки для наблюдения ВРМБ в све-
товодах. ФД-фотодетекторы [30].
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
271
Рис. 9.9. Зависимость мощности прошедшего и отраженного излучения от *
мощности накачки, вводимой в одномодовый световод длиной 13,6 км [30].
более 10 мВт. Эффективность ВРМБ при этом составляет около 65%.
Еще в одном из недавних экспериментов [31] наблюдалось ВРМБ
с накачкой на длине волны 1,3 мкм и шириной полосы излучения
около 10 МГц от одночастотного полупроводникового лазера с рас-
пределенной обратной связью. Непрерывное излучение накачки вво-
дилось в 30-километровый световод с потерями 0,46 дБ/км. Эффек-
тивная длина такого световода 9 км. Порог ВРМБ 9 мВт. Проводи-
лись измерения и с накачкой от Nd: И АГ-лазера с шириной линии
20 кГц. Результаты были практически идентичными с теми, что были
получены с полупроводниковой накачкой, из чего можно заключить,
что ширина линии ВРМБ-усиления была заметно больше 15 МГц-
наибольшей измеренной ширины линии полупроводникового лазера
Avp. Оценка ширины ВРМБ-линии при помощи (9.1.7) дает AvB =
= 100 МГц. Как упоминалось в разд. 9.1, линия ВРМБ-усиления
в световодах заметно шире, чем в объемных образцах плавленого
кварца (~ 22 М Гц на длине волны 1,3 мкм) из-за неоднородностей
световода. Эксперимент показал, что ВРМБ может легко возникать
в когерентных линиях связи, где обычно используются полупроводни-
ковые лазеры с Avp $ 10 МГц. На длине волны 1,55 мкм пороговая
мощность минимальна (~ 1 мВт) из-за малых потерь в световодах
(0.2 дБ/км) и, следовательно, большой эффективной длины (~ 20 км).
В большинстве экспериментов по ВРМБ существенно наличие
изолятора между лазером и световодом, что помогает избежать
отражения стоксова излучения от зеркала лазера. В отсутствие
272
Глава 9
Рис. 9.10. Спектры излучения в прямом (верхний рисунок) и обратном (ниж-
ний рисунок) направлениях со стоксовыми и антистоксовыми линиями не-
скольких порядков, генерируемыми без оптической изоляции между лазером
и световодом. Разность частот между соседними линиями 34 ГГц [32].
изолятора заметная часть мощности стоксовой волны может снова
вводиться в световод. В эксперименте [32] в световод возвращалось
около 30% мощности стоксовой компоненты. В результате действия
обратной связи наблюдалась генерация нескольких порядков стоксо-
вых и антистоксовых линий. На рис. 9.10 показаны спектры излуче-
ния. выходящего из световода длиной 53 м в прямом и обратном
направлениях. Расстояние между линиями 34 ГГц точно соответству-
ет величине ВРМБ-смещсния при Хр = 514,5 нм. Антистоксовы ком-
поненты генерируются в результате четырехволнового смещения
накачки и стоксовой волны, распространяющихся в одном направ-
лении (см. разд 10.1). Стоксовы компоненты высшего порядка гене-
рируются, когда мощность компоненты более низкого порядка до-
стигает порога ВРМБ (9.2.6). Каскадное ВРМБ может возникать
и в ВРМБ-лазерах, которые будут обсуждаться в следующем подраз-
деле.
9.3.2.	ВОЛОКОННЫЕ ВРМБ-ЛАЗЕРЫ
ВРМБ-усиление, как и комбинационное, можно использовать
в волоконных лазерах, если поместить световод в резонатор [33-38].
Для этой цели использовались и резонаторы Фабри Перо, и кольце-
вые,-у тех и у других есть свои преимущества. Благодаря обратной
связи пороговая мощность накачки лазера существенно ниже того,
что дает выражение (9.2.6). Для типичного лазера вместо фактора 21
в выражении (9.2.6) нужно подставить 0,1 1 в зависимости от потерь
в резонаторе.
В первом непрерывном волоконном ВРМБ-лазере [33] кольцевой
резонатор состоял из световода длиной 9,5 м с потерями на длине
волны накачки Zp = 514,5 нм около 100 дБ/км. Из-за относит -льно
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
273
высоких потерь в резонаторе (около 70% за обход) пороговая
мощность составляла - 100 мВт. В недавнем эксперименте [38]
использование кольцевого волоконного резонатора, схема которого
приведена на рис. 9.11, позволило снизить пороговую мощность до
0,56 мВт. Благодаря использованию направленного ответвителя по-
тери в резонаторе за один обход составляли лишь 3,5%. При таких
низких потерях мощность накачки внутри кольцевого резонатора
была в 30 раз больше входной мощности. Низкий порог лазера
позволял использовать в качестве накачки излучение гелий-неонового
лазера на длине волны 632.8 нм. Возможным применением таких
лазеров могут стать волоконные гироскопы [39].
Волоконные ВРМБ-лазеры с резонаторами Фабри-Перо качест-
венно отличаются от кольцевых лазеров. Разница в том, что в резона-
торах Фабри Перо в обоих направлениях распространяются и сток-
совы волны, и волны накачки. Генерация стоксовых волн высших
порядков происходит посредством каскадного ВРМБ, когда каждая
стоксова компонента после того, как ее мощность становится больше
порога ВРМБ, служит накачкой для компоненты следующего поряд-
ка. В то же время четырехволновое взаимодействие попутных стоксо-
вых волн и волн накачки приводит к генерации антистоксовых
компонент. Спектр излучения такого лазера похож на спектр, пред-
ставленный на рис. 9.10. Число стоксовых и антистоксовых компо-
нент зависит от мощности накачки. В эксперименте [34], когда
20-метровый световод в резонаторе Фабри Перо накачивался арго-
новым лазером на длине волны 514,5 нм, наблюдались 14 линий
спектра, из которых 10 располагались со стоксовой стороны. Расстоя-
ние между соседними линиями 34 ГГц, что соответствует ВРМБ-
смешению.
Одновременная генерация многих эквидистантных спектральных
линий в ВРМБ-лазере указывает на возможность получения сверхко-
ротких оптических импульсов при условии, что моды лазера удастся
засинхронизировать [40]. В эксперименте [35] для синхронизации
Направленный
ответвитель
Отводящая
пластинка
поляризации
Рис. 9.11. Схема волоконного ВРМБ кольцевого лазера с низким порогом
[38]
274
Глава 9
мод использовался внутрирезонаторный модулятор. Излучение лазе-
ра представляло собой последовательность 7-8-наносекундных им-
пульсов с частотой повторения 8 МГц. соответствующей длине резо-
натора. Эти импульсы соответствуют синхронизации не многих
стоксовых компонент (что дало бы импульсы длительностью короче
30 пс), а нескольких продольных мод резонатора Фабри-Перо внут-
ри стоксовой компоненты первого порядка. Релаксационные колеба-
ния могут обеспечить активный механизм такой синхронизации мод,
поскольку их период равен времени обхода внутри световода. Наблю-
далась частичная самосинхронизация мод волоконного ВРМБ-лазера
[35], но этот процесс не очень устойчив.
9.3.3.	ВОЛОКОННЫЕ ВРМБ-УСИЛИТЕЛИ
ВРМБ-усиление в световодах можно использовать для усиления
слабых сигналов, частота которых смещена от частоты накачки на
величину ВРМБ-сдвига vB. Однако из-за исключительно узкой полосы
ВРМБ-усиления (Д vB < 100 МГц) полоса пропускания такого усили-
теля обычно меньше 100 МГц, в то время как у ВКР-усилителей
полоса пропускания составляет приблизительно 5 ТГц. По этой
причине, несмотря на возможность заметного усиления при мощно-
сти накачки лишь в несколько милливатт, ВРМБ-усилители до
недавнего времени не привлекали большого внимания. Активность,
заметная в этой области в последнее время, объясняется в основном
потенциальной возможностью применения таких усилителей в си-
стемах оптической связи [41-48].
Теория волоконных ВРМБ-усилителей основывается на уравнени-
ях (9.2.1) и (9.2.2), решение которых приводилось в разд. 9.2.2.
Ненасыщенное усиление за один проход GA задается выражениями
(9.2.10) и (9.2.11) и получается в виде
Ga = ехр (дд Ро Тэфф/Дфф).	(9.3.1)
Экспоненциальный рост наблюдается, только если мощность сигнала
остается ниже уровня насыщения. Характеристики насыщения воло-
конных ВРМБ усилителей показаны на рис. 9.3. Насыщенное усиле-
ние Gs понижается на 3 дБ. когда
GA(Pin/Po)^0\	(9.3.2)
для Ga в диапазоне 20 30 дБ и aL = 0,1. Здесь Pin входная мощность
усиливаемого сигнала. Поскольку Ро ~ 1 мВт, мощность насыщения
также составляет около 1 мВт
Полупроводниковый лазер накачки для ВРМБ-усилителя должен
работать в одночастотном режиме, чтобы ширина его спектральной
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
275
Рис. 9.12. Схема волоконного ВРМБ-усилителя. ПЛ, 11 и ФД означают
соответственно полупроводниковый лазер с внешним резонатором, изолятор
и фотодетектор. Сплошные и штриховые линии показывают оптические пути
излучения накачки и сигнала соответственно [41].
линии была меньше ширины линии ВРМБ-усиления. В эксперименте
[41] источниками накачки и сигнального излучения служили два
полупроводниковых лазера с внешними резонаторами и с шириной
линий <10 кГц. Оба лазера работали в непрерывном режиме и пере-
страивались в широком диапазоне вблизи 1,5 мкм. На рис. 9.12
представлена схема эксперимента. Излучение накачки вводилось в
световод длиной 37,5 км через симметричный ответвитель. С проти-
воположной стороны в световод вводилось слабое (~ 10 мкВт) сиг-
нальное излучение. Его длина волны перестраивалась, что позволило
измерить спектр ВРМБ-усиления. Его форма оказалась двухпиковой
с общей шириной около 150 МГц. Измеренное усиление в максимуме
экспоненциально зависело от мощности накачки, как и следует из
уравнения (9.3.1). При мощности накачки 3,7 мВт усиление составило
16 дБ (Ga = 40).
Волоконные ВРМБ-усилители могут обеспечивать усиление на
уровне 20 - 40 дБ при мощности накачки лишь несколько милливатт.
Их узкая полоса усиления (обычно менее 100 МГц) может оказаться
преимуществом для тех применений, где требуется усиление неболь-
шой части спектра сигнала [43, 45]. Эти применения обсуждаются
в следующем разделе. Для получения постоянного усиления в относи-
тельно широком частотном диапазоне (более 100 МГц) можно ис-
пользовать модуляцию лйзера накачки с помощью внешнего модуля-
тора [42]. Конечно, увеличение полосы усиления достигается за счет
понижения пикового усиления. Следовательно, для компенсации та-
кого понижения требуется дополнительная мощность накачки.
276
Глава 9
9.4.	ПРИМЕНЕНИЯ В СИСТЕМАХ ОПТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Поскольку порог ВРМБ в системах оптической связи может быть
довольно низким (~ 1 мВт в световоде с потерями а ~ 0,2 дБ'км),
важно представлять, как действует ВРМБ в таких системах. Эффект
ВРМБ может использоваться в системах связи для усиления, но
может являться и паразитным. Оба случая будут рассмотрены в дан-
ном разделе.
Начнем с нежелательных эффектов, обусловленных ВРМБ: Если
мощность излучения в световоде превышает порог ВРМБ, заметная
часть мощности преобразуется в стоксово излучение, распростра-
няющееся в обратном направлении. Это нежелательно по двум
причинам. Во-первых, в результате истощения накачки мощность
сигнала на приемнике может оказаться намного меньше, чем ожи-
дается в отсутствие ВРМБ. Во-вторых, стоксово излучение создает
обратную связь с передатчиком, которая может дестабилизировать
его работу [49, 50]. Таким образом, важно поддерживать мощность
в световоде ниже порога ВРМБ. Для увеличения уровня сигнала
можно повысить порог ВРМБ, для чего предлагалось несколько схем
[51-53]. Все эти схемы связаны с увеличением эффективной ширины
спектра сигнального излучения, что ведет к падению ВРМБ-усиления
(см. (9.1.7)).
Пороговое условие (9.2.6) было получено для непрерывной накач-
ки, спектральная ширина которой Avp много меньше ширины линии
ВРМБ-усиления AvB. В системах оптической связи ширина спектра
Avp существенно возрастает с возрастанием скорости передачи инфор-
мации В, с которой модулируется несущее излучение. В этом случае
следует ожидать более высокого порога ВРМБ, чем при непрерывном
излучении. Величина, на которую возрастает порог, зависит от типа
модуляции при передаче данных [54. 55]. Используются три типа
модуляции амплитудная (AM), частотная (ЧМ), фазовая (ФМ).
Вычисление порога ВРМБ в общем случае довольно сложное, по-
скольку требует учета временных зависимостей [54]. Ситуация замет-
но упрощается, если предположить, что скорость передачи информа-
ции В много больше полосы ВРМБ-усиления AvB. Правда, и в этом
случае остается трудность, состоящая в том, что в реальной системе
связи последовательность нулей и единиц не задана раз и навсегда, а,
естественно, меняется от передачи к передаче. Чтобы учесть это
обстоятельство, вместо спектра непрерывной накачки можно рас-
смотреть спектр случайной последовательности нулей и единиц.
Такая замена корректна, поскольку ВРМБ, развиваясь навстречу
волне накачки, усредняет флуктуации, зависящие от времени [54, 55].
Неожиданным результатом такого упрощенного анализа является
то, что порог ВРМБ для AM и ФМ возрастает лишь в 2 4 раза
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
277
Рис. 9.13. Зависимость пикового ВРМБ-усиления от частоты следования
импульсов в псевдослучайной ФМ последовательности. Сплошной линией
показана расчетная зависимость для полосы усиления шириной 100 МГц
[55].
независимо от частоты модуляции. Для ФМ же, напротив, ВРМБ
усиление уменьшается с возрастанием скорости передачи Б как [55]
ФМ ^VB непр
0 В — D , Л И’
В + AvB
(9.4.1)
и, следовательно, пороговая мощность должна возрастать с увели-
чением скорости передачи почти линейно. Экспериментальные ре-
зультаты подтверждают этот вывод [55]. На рис. 9.13 показана
измеренная зависимость максимального ВРМБ-усиления от скорости
передачи в случае ФМ псевдослучайной последовательности. Кри-
вая, полученная из выражения (9.4.1) при AvB = 100 МГц, показана
сплошной линией. Видно, что порог ВРМБ для скоростей передачи
В > 1 Гбит/с может возрастать более чем на порядок. При таких
высоких скоростях передачи даже для AM и ЧМ пороговая мощность
может существенно возрастать в результате уширения спектра полу-
проводникового лазера при прямой модуляции [49]. Неоднородность
модуляции также может повышать пороговую мощность, что и на-
блюдалось экспериментально в случае частотной модуляции [55].
Т аким образом, оказывается, что мощность вплоть до 10 мВт может
вводиться в световод без ухудшения характеристик системы, вызван-
ного ВРМБ.
Предыдущие рассуждения относились к одноканальной системе
связи. В случае многоканальной системы мощность в каждом канале
также должна быть ниже порога ВРМБ. Однако ВРМБ в много-
канальных системах может приводить и к перекрестным помехам
между каналами, если связь осуществляется в обоих направлениях
и если разность частот излучения во встречных направлениях близка
к величине ВРМБ-смещения (vB » 11 ГГц на длине волны 1,55 мкм).
278
Глава 9
ВРМБ приводит к усилению сигнала в одном канале за счет другого
[56]. Экспериментально наблюдалось 10%-ное возрастание мощно-
сти сигнала в одном канале при мощности во встречном канале всего
0,3 мВт. Однако в отличие от обусловленных ВКР перекрестных
помех, обсуждавшихся в разд. 8.2.4, от обусловленных ВРМБ пере-
крестных помех легко избавиться благодаря малой ширине полосы
ВРМБ-усиления (~ 100 МГц), в пределах которой такие перекрестные
помехи могут возникать.
Обратимся теперь к возможным применениям ВРМБ в системах
оптической связи. Все эти применения связаны с использованием
ВРМБ-усиления, которое может действовать при мощностях накачки
~ 1 мВт. Например, можно увеличить длину линии связи (или рас-
стояние между ретрансляторами), если непрерывную накачку вводить
в световод навстречу сигналу. Можно также использовать ВРМБ-
усиление для увеличения чувствительности приемника. В эксперимен-
те [46] чувствительность приемника была улучшена на 16 дБ, когда
сигнал с частотой 90 Мбит/с передавался по световоду длиной 30 км
и одновременно усиливался в поле накачки мощностью 2,9 мВт,
вводившейся навстречу сигналу. Увеличение чувствительности прием-
ника почти совпадало с величиной ВРМБ-усиления за один проход,
которое составляло 16,5 дБ. Это было возможно, поскольку мощ-
ность сигнала (~ 1 мкВт) значительно превышала мощность шума
спонтанного МБ-рассеяния в световоде. Если ВРМБ-усиление исполь-
зуется в предусилителе перед приемником, то характеристики усили-
теля будут ограничиваться спонтанным МБ-рассеянием. Шумовой
фактор волоконных ВРМБ-усилителей довольно велик (~ 100) из-за
большой населенности (^-kT/h vB) акустических фононов при комна-
тной температуре [46]. Этот фактор может ограничивать их примене-
ние в качестве предусилителей.
Узкая полоса ВРМБ-усиления может быть полезной для селектив-
ного усиления небольшой порции спектра сигнала. Это свойство
было использовано в сх ме [57], в которой чувствительность прием-
ника увеличивалась за счет усиления несущей частоты, в то время как
боковые полосы не усиливались. По принципу работы схема подобна
гомодинному детектору, за исключением того, что усиленная несущая
выступает в качестве опорного сигнала. Это позволяет обойтись без
осциллятора, сфазированного с передатчиком, что непросто проде-
лать без использования ВРМБ-усиления. При достаточном усилении
несущей можно поднять уровень сигнала по сравнению с шумами
приемника и достичь чувствительности, ограниченной только кванто-
вым шумом. При идеальных условиях максимальное увеличение
чувствительности пропорционально v/Gj4 , где GA усиление за один
проход, даваемое выражением (9.3.1). При демонстрации описанной
выше схемы [43] несущая была усилена на 30 дБ больше, чем
боковые полосы, даже при частоте модуляции всего 80 МГц. Таким
Вынужденное рассеяние Мандельштама Бриллюэна
279
образом, представляется вполне достижимым улучшение чувстви-
тельности на 15 дБ или более при скорости передачи не менее
100 МБит/с. Основным фактором, ограничивающим скорость пере-
дачи в данной схеме, является фазовая кросс-модуляция, поскольку
разница между частотами накачки и несущей не равна величине
ВРМБ-смещения. Согласно вычислениям [44], для того чтобы флук-
|уации фазы не превышали 0,1 рад, необходимо, чтобы отклонение
частоты несущей от пика усиления составляло не более чем 100 кГц.
Нелинейный сдвиг фазы может также приводить к нежелательной
амплитудной модуляции частотно-моАудированного сигнала [47].
Другое применение узкой линии ВРМБ-усиления связано с его
использованием в качестве перестраиваемого узкополосного оптиче-
ского фильтра для селекции каналов в многоканальных системах
связи [45]. Если разность частот соседних каналов больше, а скорость
передачи меньше, чем ширина полосы усиления AvB, то, перестраивая
лазер накачки, можно избирательно усиливать данный канал. Эта
схема была экспериментально продемонстрирована с накачкой от
перестраиваемого лазера на центрах окраски [45]. По световоду
длиной 10 км осуществлялась передача по двум каналам со ско-
ростью 45 Мбит/с. Каждый канал можно было усилить на 20- 25 дБ
при мощности накачки 14 мВт. Важно, что каждый канал можно
было детектировать без ошибок (вероятность ошибки < 10“ 8), когда
разность частот каналов превышала 140 МГц. В световоде, использо-
вавшемся в данном эксперименте, AvB составляла ~ 100 МГц, т. е.
разность несущих частот соседних каналов, при которой еще не
возникают перекрестные помехи, может составлять лишь l,5AvB.
Недавно ВРМБ-усиление с накачкой от серийных полупроводнико-
вых лазеров было использовано для одновременного усиления и де-
модуляции частотно-модулированных сигналов со скоростью пере-
дачи около 250 Мбит/с [48]. Демодуляция была возможной благода-
ря узкой линии ВРМБ-усиления. Данные примеры показывают, что
ВРМБ. кроме негативного действия на системы связи, может быть
использовано и для их улучшения.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Chiao R. Y.. Townes С.Н.. Stoicheff В. Р.. Phys. Rev. Lett., 12. 592 (1964).
2.	Garmire E.. Townes C.H.. Appl. Phys. Lett., 5, 84 (1964).
3.	Kroll N.M.. J. Appl. Phys., 36, 34 (1965).
4.	Tang C.L., J. Appl. Phys., 37, 2945 (1966).
5.	Kaiser W„ Maier M.. in: Laser Handbook, vol. 2, ed. by F. T. Arecchi,
E. O. Schulz-Dubois (North-Holland, Amsterdam, 1972) Chap. E2.
6.	Ippen E.P., Stolen R. H.. Appl. Phys. Lett., 21, 539 (1972).
7.	Smith R.G., Appl. Opt., 11, 2489 (1972).
8.	Cotter D., j. Opt. Commun., 4, 10 (1983).
9.	Shelbv R. M.. Levenson M. D„ Barer P. W, Phys. Rev. Lett., 54, 939 (1985); Phys.
Rev., B31, 5244 (1985).
280
Глава 9
10.	Krishnan R.S., Nature, 165, 933 (1950).
11.	Heiman D.. Hamilton D S Hellwarth R. W., Phys. Rev., B19, 6583 (1979).
12.	Thomas P.J. et al.. Phys. Rev., B19, 4986 (1979).
13.	Stone J., Chraplyvy A. R., Electron. Lett., 19. 275 (1983).
14.	Tkach R. W„ Chraplyvy A. R., Derosier R. M., Electron, Lett., 22, 1011 (1986).
15.	Shibata N„ Waarts R.G., Braun R.P., Opt. Lett., 12, 269 (1987).
16.	A-nma Y. et al.. Electron. Lett., 24, 250 (1988).
17.	Valle) G.C., IEEE J Quantum Electron, QE-22, 704 (1986).
18.	Narum P„ Skeldon M.D. Boyd R. W„ IEEE J. Quantum Electron., QE-22, 2161
(1986).
19.	Lichtman E. et al.. J. Opt. Soc. Am., B4, 1397 (1987).
20.	Lichtman E., Friesem A. A., Opt. Commun., 64, 544 (1987).
21.	Inns R.H., Batra IP., Phys. Lett., A28, 591 (1969).
22.	Johnson R.V.. Marburger J. H„ Phys. Rev., A4, 1175 (1971).
23.	Bar-Joseph I. et al., J. Opt. Soc. Am., B2, 1606 (1985).
24.	Zel’dovich Ya. B.. Shkunov V.V, Sov. J. Quantum Electron., 12, 223 (1982).
25.	Andreev N.F., Besapalov V.I., Kiselev A M . Pasmanik G. A., Shilov A. A., Sov.
Phys. JETP 55, 612 (1982).
26.	Randall C.J., Albritton J. R., Phys. Rev. Lett., 52. 1887 (1984).
27.	Narum P., Boyd R. W, IEEE J. Quantum Electron., QE-23, 1216 (1987).
28.	Narum P. et al., J. Opt. Soc. Am., B5, 623 (1988).
29.	Vesugi N.. Ikeda M.. Sasaki Y., Electron. Lett., 17, 379 (1981).
30.	Cotter D Electron. Lett., 18, 495 (1982).
31.	Aoki Y. Tajima K., Mito I., Opt. Quantum Electron., 19 141 (1987).
32.	Labudde P, Anliker P. Weber H.P., Opt. Commun.. 32. 385 (1980).
33.	Hill K.O., Kawasaki B.S., Johnson D.C., Appl. Phys. Lett., 28, 608 (1976).
34.	Hill K.O., Johnson D.C., Kawasaki B.S., Appl. Phys. Lett., 29, 185 (1976).
35.	Kawasaki B.S. et al., Appl. Phys. Lett., 32, 429 (1978).
36.	Stolen R.H., IEEE J. Quantum Electron., QE-15, 1157 (1979).
37.	Ponikvar D.R., Ezekiel S., Opt. Lett., 6, 398, (1981).
38.	Stokes L.E., Chodorow M., Shaw H.J., Opt. Lett., 7, 509 (1982).
39.	Thomas P.J., Driel H.M., Stegeman G.I.A., Appl. Opt. 19, 1906 (1980).
40.	Lugovoy V. N„ Streltsov V. N., Opt. Acta, 20. 165 (1973).
41.	Olsson N. A., van der Ziel J.P., Appl. Phys. Lett., 48, 1329 (1986).
42.	Olsson N.A., van der Ziel J. P., Electron. Lett., 22, 488 (1986).
43.	Atkins C.G. et al.. Electron. Lett., 22, 556 (1986).
44.	Cotter D. et al.. Electron. Lett., 22. 671 (1986).
45.	Chraplyvy A. R., Tkach R. W„ Electron. Lett., 22, 1084 (1986).
46.	Olsson N.A., van der Ziel J.P.. J. Lightwave Technol., LT-5, 147 (1987).
47.	Waarts R.G., Friesem A. A.. Hefetz Y„ Opt. Lett., 13, 152 (1988).
48.	Tkach R. W. et al.. Electron. Lett.. 24, 260 (1988).
49.	Agrawal G. P„ Dutta N. K.. Long-Wavelength Semiconductor Lasers, Van
Nostrand Reinhold, New York, 1986, Ch. 6.
50.	Tkach R. W, Chraplyvy A.R J. Lightwava Technol. LT-4, 1655 (19^6).
51.	Cotter D.. Electron. Lett.. 18. 638 (1982).
52.	Tsubokawa M. et al., Electronc Lett., 22, 473 (1986).
53.	Hadjifotiou A., Hill G . A IEE Proc., 133, Pt. J. 256 (1986).
54.	Cotter D., Electron. Lett., 18, 504 (1982).
55.	Aoki Y., Tajima K., Mito I., 1 Lightwave Technol. LT-6, 710 (1988).
56.	Waarts R. G.. Braun R. P., Electron. Lett., 21, 1114 (1985).
57.	Arnaud J. A.. IEEE J. Quantum Electron. QE-4, 893 (1968).
Глава 10
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В процессах ВКР и ВРМБ волоконный световод, являясь нелиней-
ной средой, играет активную роль в том смысле, что в этих процессах
участвуют колебания его молекул. Во многих других нелинейных
явлениях световод играет пассивную роль среды, в которой несколько
оптических волн взаимодействуют через нелинейный отклик электро-
нов внешних оболочек. Такие процессы называют параметрическими,
поскольку они обусловлены светоиндуцированным изменением пара-
метров среды, например изменением показателя преломления. К па-
раметрическим процессам относятся генерация гармоник, четырех-
волновое смешение и параметрическое усиление. В разд. 10.1 рас-
сматривается физический механизм четырехволнового смешения, в то
время как в разд. 10.2 обсуждается его теория. Результаты экспери-
ментов и способы достижения фазового синхронизма рассмотрены
в разд. 10.3. Практические аспекты параметрического усиления и его
применения обсуждаются в разд. 10.4. Наконец, разд. 10.5 посвящен
генерации суммарных и кратных частот, в частности генерации
второй гармоники процессу, который становится неожиданно эф-
фективным в световоде, под| отовлснном определенным образом.
10.1. ЧЕТЫРЕХВОЛНОВОЕ СМЕШЕНИЕ
Параметрические процессы обусловлены нелинейным откликом
электронов среды в электромагнитном поле. Зависимость наведенной
поляризации среды от величины приложенного поля содержит как
линейные, так и нелинейные члены, величина которых зависит от
нелинейных восприимчивостей [1 4] (см выражение (1.3.1)). Воз-
можны параметрические процессы различных порядков, причем по-
рядок процесса совпадает с порядком восприимчивости, ответст-
венной за него. Восприимчивость второго порядка %’2’ в изотропной
среде равна нулю (в дипольном приближении) [2 4]. По этой причине
параметрические процессы второго порядка, такие, как генерация
второй гармоники или генерация суммарных частот, в световодах из
плавленого кварца не должны иметь место. В действительности эти
процессы все же наблюдаются благодаря квадрупольному или маг-
нитно-дипольному эффектам, но их эффективность довольно низ-
282	Глава 10
ка. Недавно при определенных условиях в волоконных световодах
наблюдалась генерация второй гармоники с неожиданно большой
эффективностью преобразования (~1%). Более подробно парамет-
рические процессы второго порядка будут рассмотрены в разд. 10.5.
Параметрические процессы третьего порядка обусловлены взаи-
модействием четырех оптических волн и включают в себя явления
генерации третьей гармоники, четырехволнового смешения и пара-
метрического усиления [1-5]. Четырехволновое смешение достаточ-
но интенсивно исследовалось [6-29], поскольку это довольно эффек-
тивный способ генерации новых частот. Его основные свойства
следуют из рассмотрения нелинейной поляризации третьего порядка:
Рм. = еоХ<3) ;ЕЕЕ,	(10.1.1)
где Е электрическое поле, РЛ-,. наведенная нелинейная поляризация,
а е0-диэлектрическая проницаемость вакуума. Рассмотрим четыре
оптические волны с частотами со,, со2, со3 и со4, линейно-поляризо-
ванные вдоль оси х. Суммарное электрическое поле тогда можно
представить в виде
1 4
Е = Jf' — 51 £,ехр [i(kjZ — cojГ)] + компл. сопр., (10.1.2)
2j=i
где
kj = rijOij/c,	(10.1.3)
П: показатель преломления, и все четыре волны распространяются
вдоль направления z. Если подставить (10.1.2) в (10.1.1) и выразить
Рл, в виде
1 4
PNL = х - 51 Р,ехр [с(/с,2 — cOjT)] + компл. сопр., (10.1.4)
2 7=1
то выяснится, что Pj для / = 1, .... 4 состоит из большого числа
членов, включающих произведения трех напряженностей электри-
ческих полей. Например. Р4 можно выразить как
Зе
Р4 = -/ Х&х {[|£J2 + 2 (|£, |2 + |£2|2 + |£3|2)]£4 +
+ 2£, £2£3ехр (Z0+) + 2£, £2 £*exp(Z0 ) + ...},	(10.1.5)
где
0+ = (£, + к2 + к3 - K4)z - (со, + со2 + со3 - со4)г, (10.1.6)
0_ = (£, + к2 — к3 — k4)z — (со, + со2 — со3 — со4)/_	(10.1.7)
Член, пропорциональный £4 в (10.1.5), отвечает за эффекты ФСМ
и ФКМ. Остальные члены отвечают за четырехволновое смешение.
Какие из них эффективно осуществляют параметрическую связь волн.
Параметрические процессы
283
зависит от относительной фазы между Е4 и Р4, равной 0+ , 6 _ или
другому аналогичному углу. Четырехволновое смешение становится
значительным, только когда относительная фаза близка к нулю. Для
этого требуется согласование как частот, так и волновых векторов.
Последнее называют также согласованием фаз или фазовым синхро-
низмом. В терминах квантовой механики четырехволновое смешение
описывается как уничтожение фотонов одной частоты и рождение
фотонов другой частоты, причем сохраняются энергия и импульс.
Основное отличие параметрического взаимодействия от ВКР и ВРМБ
состоит в том, что при процессах рассеяния согласование фаз дости-
гается автоматически. Что же касается согласования фаз при пара-
метрических процессах, то для этого требуется выполнение опре-
деленных условий, налагаемых на частоты и показатели преломления
среды.
В уравнении (10.1.5) можно выделить два типа четырехволнового
смешения. Второй член в правой части соответствует случаю пере-
дачи энергии трех фотонов одному фотону частоты о)4 = ю1 + (02 +
+ со3. Этот член отвечает за генерацию третьей гармоники (когда
coj = со2 = со3) или за преобразование частоты в новую частоту
2со j + со3 (когда со, = 0)2 со3). Однако при таких процессах довольно
трудно обеспечить фазовый синхронизм и, следовательно, получить
высокую эффективность преобразования. Последний член в (10.1.5)
соответствует случаю уничтожения двух фотонов с частотами <£>3 и со2
и одновременного рождения двух фотонов с такими частотами со3
и го4. что
юз + Ю4 — Ю1 + Ю2 	(10.1.8)
Условие фазового синхронизма в этом случае выполняется при
Д/с = 0, где
Д/с = к3 + к4 — /с3 — к2 = (п3 0)3 + л4со4 — C0j — л2со2)/с (10.1.9)
и использовано выражение (10.1.3).
Относительно легко обеспечить выполнение условия Д/с = 0 при
сй1 = (о2. Этот случай частично вырожденного четырехволнового
смешения в волоконных световодах хорошо изучен [6-29]. Прояв-
ляется оно подобно ВКР. Мощная волна накачки с частотой а»,
генерирует две симметрично расположенные боковые полосы с часто-
тами со3 и со4, сдвинутыми от частоты накачки на величину
= с»! — со3 = со4 — Ю],	(10.1.10)
где для определенности взято со3 < со4. По аналогии с ВКР низко-
и высокочастотная спектральные полосы (го3 и ш4) называются
соответственно стоксовой и антистоксовой компонентами. Частично
вырожденное четырехволновое смешение иногда называют трехвол-
новым смешением [6, 8], поскольку только три различные волны
284
Глава 10
участвуют в этом взаимодействии. Однако мы будем относить его
к четырехволновому смешению, оставляя термин «трехволновое сме-
шение» за процессами, обусловленными восприимчивостью х(2). От-
метим также, что стоксову и антистоксову волны часто называют
сигнальной и холостой волнами, заимствуя терминологию из физики
СВЧ; при этом входной сигнал на частоте го3 усиливается за счет
четырехволнового смешения.
10.2.	ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ
Частично вырожденное четырехволновое смешение (го, = ю2) при-
водит к переносу энергии из волны накачки в две волны с частотами,
смещенными от частоты накачки ю, в стоксову и антистоксову
области на величину fls, даваемую выражением (10.1.10). Если в све-
товод вводится только излучение накачки и выполняется условие
согласования фаз, то генерация стоксовой и антистоксовой волн
с частотами со3 и го4 может инициироваться шумами подобно тому,
как это происходит при ВКР и ВРМБ. С другой стороны, если
в световод вместе с накачкой вводится слабый сигнал частоты го3, то
он усиливается, причем одновременно генерируется новая волна
частоты го4. Этот процесс называют параметрическим усилением.
В данном разделе выводится выражение для параметрического уси-
ления. причем рассматривается нелинейное взаимодействие четырех
волн. Рассматривается общий случай (го, со2 )
В качестве исходного берется волновое уравнение (2.3.1) для пол-
ного электрического поля Е(г, г), где PNL дается выражением (10.1.1).
Подставим в волновое уравнение выражения (10.1.2) и (10.1.4) вместе
с аналогичным выражением для линейной части поляризации. Предпо-
ложим, что излучение непрерывно или квазинепрерывно, тогда зависи-
мостью компонент поля Ej (j = 1, ... , 4), от времени можно пренеб-
речь. Пространственная структура поля учитывается выражением
£/г) = Е7(ху)ЛДг).	(10.2.1)
где Е,(.г, у) пространственное распределение поля по сечению све-
товода [12]. Эволюция амплитуд ЛДс) подчиняется системе четырех
связанных уравнений, которые в параксиальном приближении запи-
сываются следующим образом [30]:
=	[(/iiMi|2 + 2 £/и|Л|2М1 +
+ 2/1234^*^3 A exp(ZAfce)]. (10.2.2)
^ = ^3[(Л2М |2 + 2 ^Ьк\Ак\2)А2 +
dz С	к/2
+ 2/2l34^i Л3Л4 ехр(1Д/сз)], (10.2.3)
11араметрические процессы
285
^ = ^[(ЛзМ3р + 2£/з11Л|2мз +
«-	(	к*3
+ 2/3412Л1Л2Л4 ехр( —/ААс)], (10.2.4)
^ = '^[(/441Л12 + 2 Е/4.1Л|2)Л4 +
‘I- с	^4
+ 2/4312 А 1 Аг A* exp(-iAkz)], (10.2.5)
где расстройка волновых векторов Д/с дается выражением
А/с = («3ю3 + Й4СО4 — п1 га, — й2со2 )/с1	(10.2.6)
величины от й] до «4-это эффективные показатели преломления для
соответствующих четырех мод световода. Заметим, что пк и й2 могут
не совпадать, если волны накачки At и Аг, даже совпадающие по
частоте, распространяются в разных модах. Интеграл перекрытия
fjk дается выражением (1.7.16), а новый интеграл перекрытия /^(-вы-
ражением [12]
fijkl = [<l I2 >< IF,. |2 ><| Xl 2>< | F, |2>]1/2 ’	(10’2‘7)
где угловые скобки означают усреднение по поперечным коорди-
натам V и г. При выводе уравнений (10.2.2)-(10.2.5) мы пренебрегли
зависимостью %13’ от частоты. Параметр п2 это нелинейный пока-
затель преломления, определенный выражением (2.3.13), где и со-
ответствует эффективному показателю преломления данной моды.
(Черта сверху введена для отличия й2 от п2, возникающего
в (10.1.9)).
Уравнения (10.2.2) (10.2.5) являются общими в том смысле, что
они включают эффекты ФСМ, ФКМ, истощение накачки и четы-
рехволновое смешение; решаются они, вообще говоря, только чис-
ленно. Однако для понимания физики описываемых данными урав-
нениями процессов полезно рассмотреть упрощенную ситуацию
когда волны накачки значительно интенсивнее стоксовой и антисток-
совой волн и остаются неистощенными в процессе взаимодействия.
Для дальнейшего упрощения предположим, что все интегралы пере-
крытия приблизительно одинаковы, т.е.
fijk, ^fij 1/Яэфф (7, / = 1. 2, 3, 4),	(10.2.8)
•ле Д,фф-эффективная площадь сердцевины, введенная в разд. 2.3.
Это приближение справедливо для одномодовых световодов. Легко
расширить анализ на случай несовпадающих интегралов перекрытия
[12]. Введем коэффициент нелинейности Yj, используя определение
Y. = ^~Y,	(10.2.9)
286
Глава 10
где у-некоторое среднее значение. (Последнее равенство справед-
ливо, если пренебречь разницей оптических частот.) Решения урав-
нений (10.2.2) и (10.2.3) можно записать в виде
Л1(г) = Л/Лехр[гу(Р1 +2P2)z],	(10.2.10)
Л2(г) = ехр ['7(^2 + 2P,)z].	(10.2.11)
где Pj = |Л,(0)|2 и Р, и Р2-исходные мощности волн накачки в точке
z=0. Это решение идентично тому, что было получено в разд. 7.3,
и показывает, что в отсутствие истощения волны накачки распростра-
няются без искажений, если не считать возмущений фазы, возни-
кающих в результате ФСМ и ФКМ. Подставляя (10.2.10) и (10.2.11)
в (10.2.4) и (10.2.5), получаем
^ = 2/у[(Р1 + Р2)Л3 + (Р, Р2)1/2 ехр ( —<0)Л *], (10.2.12)
dAl
—- = - 2гу [(Р, + Р2) A J + (Рх Р2) ч2 ехр (- Ю) А 3 ], (10.2.13)
dz
где
0 = [Д/с-Зу(Р,+P2)]z.	(10.2.14)
Теперь введем
Bj= TJexp[-2/y(Pl + P2)z]	(10.2.15)
для j = 3 и 4. Используя соотношения (10.2.12) (10.2.15), получаем
~ = 2/у (Р, Р2)1/2 ехр(—fxz)P4 ,	(10.2.16)
dz
dB%	lr>
~= -2гу [(P1P2)1/2exp(-/xz)P3J.	(10.2.17)
dz
где
х = Д^ + у(Р!+Р2).	(10.2.18)
Уравнения (10.2.16) и (10.2.17) определяют рост стоксовой и анти-
стоксовой волн, возникающих в результате четырехволнового сме-
шения. Их общее решение записывается в виде [12]
fi3(z) = (а3еаг + 63e-sz) ехр( —zxz/2),	(10.2.19)
(z) = (п4 eez + />4 e ~ ®z) exp (ncz/2),	(10.2.20)
где a3, b3, п4 и 64 определяются из граничных условий, а коэффициент
параметрического усиления д дается в виде
0 = [(уРоН2-(х/2)2]1'2.	(10.2.21)
Параметрические процессы
287
Здесь введены параметры г и Ро:
r=2(P,P2)ll2/Pf), Р0 = Р1 + Р2;	(10.2.22)
р - суммарная начальная мощность накачки.
При выводе выражения для параметрического усиления предпола-
галось, что две волны накачки различимы. Если же они неразличимы
ни по частоте, ни по поляризации и пространственной структуре,
в сумме (10.1.2) нужно рассматривать только три члена. Коэффициент
параметрического усиления будет по-прежнему дават ься выражением
(10.2.21), только в этом случае Рг = Рг, г = 1, а к заменяется на
х = ДА + 2уР0.	(10.2.23)
На рис. 10.1 показана зависимость д от Д/с для нескольких значений
уР0. Усиление максимально (</макс = уР0) при х = 0 или Д/с = — 2уР0.
Область, в которой существует усиление, определяется неравенством
0 > Д/с > — 4уР0. Все эти свойства следуют из выражений (10.2.21)
и (10.2.23). Смещение максимума усиления от точки Лк = 0 вызвано
вкладом ФСМ и ФКМ в разницу фаз в уравнении (10.2.23). Это
смещение меньше, если в процессе участвуют две различные волны
накачки.
Интересно сравнить коэффициенты параметрического и ВКР-
усиления [7]. Из (10.2.21), взяв г = 1, можно получить выраже-
ние для максимального коэффициента параметрического усиления:
0ма«с = 7^0 = Йк^о/Афф),	(10.2.24)
Рис. 10.1. Зависимость параметрического усиления от расстройки волновых
векторов ДА для нескольких значений мощности накачки Ро. Смешение
максимума усиления от точки ДА = 0 обусловлено эффектами ФСМ и ФКМ.
288
Глава 10
где у взято из выражения (10.2.9), дР определяется выражением
дР = 2nri2/kt,	(10.2.25)
а длина волны накачки k.i =	. Приняв X, = 1 мкм и и2 =
= 3,2'1О-20 м2/Вт, получим дР 2-10“13 м/Вт. Это приблизительно
в 2 раза больше, чем максимальное значение gR (см. рис. 8.1). Таким
образом, пороговая мощность четырехволнового смешения меньше
пороговой мощности ВКР, но только если выполняется условие
фазового синхронизма. На практике, однако, в длинных световодах
доминирует ВКР Это происходит из-за того, что в длинном све-
товоде условие синхронизма трудно выполнить по всей длине из-за
вариаций диаметра сердцевины. Длина когерентности определяется
как
Lcoh = 2л/Дх,	(10.2.26)
где Дх максимальная допустимая расстройка волновых векторов.
Заметное четырехволновое смешение происходи! на длине L < Lcoh.
Полоса параметрического усиления обсуждается в разд. 10.4.1.
10.3.	СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ФАЗОВОГО
СИНХРОНИЗМА И ЭКСПЕРИМЕН1 АЛЬНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ
Параметрическое усиление максимально, когда расстройка волно-
вых векторов (определяемая выражением (10.2.18)) х = 0. Это можно
записать в виде
х — А^,у Ч- АА.'|у 4- Дк^р ~ 0,	(10.3.1)
где Д1Л/, &kw и &kNL соответствуют расстройкам, возникающим
в результате действия материальной дисперсии, волноводной диспер-
сии и нелинейных эффектов соответственно. Вклад Лкм и Д/с„. можно
получить из уравнения (10.2.6), если записать эффективный пока-
затель преломления как
fij =	+ Ди7,	(10.3.2)
где Дпу - изменение показа!еля преломления материала я; , обуслов-
ленное структурой волновода В случае частичного вырождения
(tOj = со,) три слагаемых в равенстве (10.3.1) выражаются следующим
образом:
	= (и3со3 + /;4со4 — 2/^cOi )/с.	(10.3.3)
Д/с^	= [Д//3 со3 + Дл4со4 — (Дл, + Дл)2 )со, ]/с,	(10.3.4)
	= у(Р1 + Р2).	(10.3.5)
Параметрические процессы
289
Для выполнения условия фазового синхронизма необходимо, чтобы
хотя бы один из этих членов был отрицательным. Материальную
составляющую в (10.3.1) &км можно выразить через частотный сдвиг
Q, (см. (10.1.10)), если использовать тождество Р, = лу-со/с (J = 14)
и выражение (2.3.23). В итоге получим
Д^м^р2П2,	(10.3.6)
где Р2-коэффициент дисперсии групповых скоростей на частоте
накачки ю,. Равенство (10.3.6) справедливо, если длина волны накач-
ки (Xt = 2ЛС7СО]) не слишком близка к длине волны нулевой дисперсии
Хп. Поскольку при X, < Хд ~ 1,3 мкм Р2 > 0, расстройка ДАЛ( по-
ложительна в видимой и ближней ИК-областях спектра. При
Xj < 1,3 мкм фазового синхронизма можно достичь, сделав Д/си,
отрицательной, что возможно при распространении взаимодейст-
вующих волн в различных модах многомодового световода. В боль-
шинстве ранних экспериментов использовался этот метод согласова-
ния фаз [6 11].
В случае одномодового световода ДХ^ = 0, поскольку Ди почти
одинаково для всех волн. В этом случае существуют три способа
получения фазового синхронизма. Если длина волны накачки близка
к XD, то ДХМ становится малой. Это позволяет получить фазовый
синхронизм для X, вблизи Хд. Для X] > Хо фазового синхронизма
можно также добиться, изменяя AkNL посредством изменения мощ-
ности накачки. При Xj < XD получить фазовый синхронизм можно
в двулучепреломляющих световодах, если взаимодействующие волны
имеют различные поляризации. Все эти способы обсуждаются ниже
в соответствующих подразделах.
10.3.1.	ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ в многомодовых
СВЕТОВОДАХ
Как уже упоминалось выше, многомодовые световоды позволяют
получить фазовый синхронизм, когда ДХИ- отрицательна и в точности
компенсирует положительный вклад Лкм + &kNL в выражении
(10.3.1). Величина ДХИ. зависит от выбора мод световода, в которых
распространяются волны, участвующие в четырехволновом взаимо-
действии. Для вычисления Ди, (/ = 1 4) каждой моды можно исполь-
зовать характеристическое уравнение (2.2.9). Затем при помощи
уравнения (10.3.4) вычисляется ДХ„.. На рис. 10.2 показана расчетная
зависимость ДХИ. от сдвига частоты (rs = J2s/2n) для световода
с сердцевиной радиусом 5 мкм и разностью показателей преломления
0,006 [7]. Штриховой линией показана квадратичная зависимость
ДХМ, вытекающая из выражения (10.3.6). Частотный сдвиг vs, для
которого выполняется условие фазового синхронизма, определяется
абсциссой точки пересечения сплошной и штриховой кривых (&kNL
290
Глава 10
Рис. 10.2. Диаграммы фазового согласования для многомодовой (а) и одно-
модовой (б) накачки. Сплошные и штриховые линии соответствуют зависи-
мостям |Лки | и от частотного сдвига vs. Их пересечение определяет vs.
Точечные линии соответствуют радиусу сердцевины, увеличенному на 10%.
Кривые обозначены в терминах £Ртп-мод. Над кривыми Л%, даны значения
тип для четырех волн [7].
при этом предполагается пренебрежимо малым). На рис. 10.2 пока-
заны два случая-когда накачка распространяется в одной моде или
в двух различных модах В первом случае сдвиг частоты составляет
около 100 ТГц, а во втором vs ~ 1 10 ТГц. Вообще говоря, условию
фазового синхронизма могут удовлетворять несколько комбинаций
мод световода.
В первой экспериментальной демонстрации [6] четырехволнового
смешения с согласованием фаз импульсы накачки на длине волны
532 нм пиковой мощностью ~ 100 Вт вводились в световод длиной
9 см вместе с непрерывным излучением (мощностью ~ 10 мВт) ла-
Рис. 10.3. Мощность и длина холостой волны как функция сигнальной длины
волны (верхняя шкала). На вставке показаны распределения интенсивности
в дальнем поле излучения, соответствующие двум основным пикам [6]
Параметрические процессы
291
зера на красителе, перестраиваемого в диапазоне 565 640 нм. Четы-
рехволновое смешение в таком параметрическом усилителе приво-
дило к генерации новой волны в голубой области (w4 = 2а t — а3),
которую называют холостой. На рис. 10.3 показаны наблюдавшиеся
спектры холостой волны, полученные при изменении сигнальной
частоты со3. Пять различных пиков соответствуют различным ком-
бинациям мод световода, для которых выполняется условие синхро-
низма. Картина в дальнем поле, наблюдаемая визуально, ясно
указывает на то, что холостая волна генерируется в разных модах.
В этом эксперименте волна накачки распространялась в одной моде.
Как и ожидалось (см. рис. 10.2), фазовый синхронизм возникал для
относительно больших сдвигов частоты в диапазоне 50 60 ТГц.
В другом эксперименте [11] наблюдался сдвиг частоты 130 ТГц, что
составило 23% от частоты накачки.
Четырехволновое смешение с малыми сдвигами частоты (- 1
10 ТГц) может возникать, если мощность накачки разделяется между
двумя различными модами световода (см. рис. 10.2). Такое взаимо-
действие относительно нечувствительно к вариациям диаметра серд-
певины [7]. и длины когерентности составляют ~ 10 м. Для vs ~
~ 10 ТГц четырехволновое смешение может накладываться па ком-
бинационное усиление, поскольку генерируемая стоксова линия попа-
дает в полосу комбинационного усиления. В эксперименте [7], где
импульсы накачки мощностью ~ 100 500 Вт на длине волны 532 нм
распространялись по световоду, в результате комбинационного уси-
ления стоксовы линии были обычно более интенсивными, чем анти-
стоксовы.
Когда пикосекундные импульсы распространяются по многомо-
довому световоду, на протекание четырехволновых процессов дейст-
вует не только ВКР, но и ФСМ, ФКМ и дисперсия групповых
скоростей. В недавнем эксперименте [28] импульсы накачки длитель-
ностью 25 пс на длине волны 532 нм распространялись по световоду
длиной 15 м, поддерживавшему четыре моды на длине волны накач-
ки. На рис. 10.4 показаны спектры излучения на выходе световода.
При мощности накачки ниже пороговой наблюдалась только линия
накачки (спектр а). Три пары стоксовых и антистоксовых линий со
сдвигом частот 1-8 ТГц наблюдались при мощности накачки не-
сколько выше пороговой (спектр б). Стоксовы и антистоксовы линии
примерно одной амплитуды, что говорит об отсутствии заметного
ВКР в этом случае. Однако при увеличении мощности накачки из-за
комбинационного усиления стоксовы линии становятся намного более
интенсивными, чем антистоксовы (спектр в). При дальнейшем увели-
чении мощности накачки стоксовы линии, близкие к пику комбинаци-
онного усиления, сравниваются по интенсивности с накачкой, а анти-
стоксовы остаются слабыми (спектр г). В то же время наб подается
уширение и расщепление накачки и стоксовой линии, характ рное для
292
Глава 10
Рис. 10.4. Спектры 25-пикосекундного импульса накачки на выходе свето-
вода. Мощность накачки, начиная от порога четырехволнового смешения
(~500 МВт см2), прогрессивно возрастает от а к г [28].
ФСМ и ФКМ. Увеличение мощности накачки приводит к генерации
стоксовых линий высших порядков в результате каскадного ВКР. При
мощности накачки 1,5 ГВт/см2 уширенные стоксовы линии сливают-
ся в результате совместного действия ФСМ, ФКМ и ВКР, образуя
спектральный континуум в области 530 580 нм. На рис. 10.5 показан
спектр на выходе световода, полученный при таких условиях. Гене-
рация континуума в области 400 700 нм в объемных образцах стекол
впервые наблюдалась в 1970 г. [5] и в последние годы получила
множество применений [31].
522	532	542	552	562	572	582
Длина волны (нм)
Рис. 10.5. Генерация континуума при условиях, идентичных рис. 10.4, когда
интенсивность накачки составила 1,5 ГВт/см2 [28].
Параметрические процессы
293
10.3.2.	ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ в одномодовых
СВЕТОВОДАХ
В одномодовых световодах для волн одной поляризапии вклад
волноводной дисперсии Д/сц, в расстройку волновых векторов очень
мал по сравнению с вкладом материальной дисперсии ДАИ, за
исключением окрестности длины волны нулевой дисперсии Хо, где
они сравнимы по величине. Существуют три возможности прибли-
зительного согласования фаз в одномодовых световодах: 1) исполь-
зовать взаимодействие волн с небольшими частотами отстройки
и небольшую мощность накачки, с тем чтобы уменьшить Д/см и Д/сЛ4.;
2) работать вблизи нуля дисперсии световода, где &kw приблизитель-
но компенсирует Д1Д| + &kNL, и 3) использовать взаимодействие
в области отрицательной дисперсии групповых скоростей, где Акм
отрицательно и может скомпенсировать AkNL + Эти три случая
обсуждаются в данном разделе. Четвертый способ состоит в исполь-
зовании двулучепреломления световодов, сохраняющих поляриза-
цию, и обсуждается в следующем разделе.
Четырехволновое смешение с неточным согласованием фаз
Из формы спектра усиления, показанного на рис. 10.1, следует, что
четырехволновое смешение возникает и в том случае, когда условие
х .= 0 в выражении (10.3.1) выполняется не строго. Величина до-
пустимой расстройки волновых векторов зависит от длины световода
L и когерентности длины Lcoh . Предполагая, что материальный вклад
&км доминирует в (10.3.1), можно связать Lcoh с частотным сдвигом
Q,, используя выражения (10.2.26) и (10.3.6). В результате имеем
2л 22л
|ДМ = |р2щГ
(10.3.7)
В видимой области типичное значение р, = 50 60 пс2/км, что дает
Lcoh > 1 км для частотных сдвигов v, = Ц./2л	100 ГГц. При такой
большой длине когерентности в одномодовых световодах может
возникать четырехволновое смешение с таким сдвигом частоты vs,
что L < Lcoh.
В раннем эксперименте [8] три непрерывные волны с разностями
частот в диапазоне 1 10 ГГц распространялись по световоду с ша-
метром сердцевины 4 мкм длиной 150 м, одномодовому на длине
волны аргонового лазера 514,5 нм. Четырехволновое смешение при-
водило к генерации десяти новых частот так, что
(о4 = ы, + (о, — шк,	(10.3.8)
где /, J, к = 1, 2 или 3 и j к. Эксперимент показал также, что
четырехволновое смешение может приводить к уширению спектра,
величина которого возрастает с увеличением мощности излучения.
294
Глава 10
Линия непрерывного аргонового лазера шириной 3,9 ГГц уширялась
в световоде до 15,8 ГГц при мощности накачки 1,63 Вт. О таком
уширении спектра говорилось в разд. 4.1, где оно объяснялось про-
цессом ФСМ, но его можно интерпретировать и в терминах четырех-
волнового смешения [32]
С практической точки зрения четырехволновое смешение может
приводить к перекрестным помехам в многоканальных когерентных
системах связи [26], где разность несущих частот каналов лежит
в диапазоне 0,1100 ГГц. В недавнем эксперименте [27] три непре-
рывные волны с частотами, отстоящими друг от друга на ~ 10 ГГц,
распространялись по световоду длиной 3,5 км и мощность девяти
компонент четырехволнового смешения измерялась в зависимости от
мощности и разности частот волн накачки. На рис. 10.6 показаны
измеренные зависимости для волн с частотами/332 и/231, где введены
обозначения
f* =£ +fj -А - /, =	<103-9)
В случае, показанном на рис. 10.6,a, f3—.f1 = И ГГц, f2 — =
= 17,2 ГГц, Pj = 0,43 и Р2 =0,14 мВт, в то время как Р3 изменялась
от 0,15 до 0.60 мВт. В случае б Р3 = 0,55 мВт, а/3 - f2 менялась от 10
до 25 ГГц. Мощность генерируемого излучения Р4 зависела от Р3
линейно для компоненты /231 и квадратично для /332. Это объяс-
няется в рамках теории, изложенной в разд. 10.2, поскольку /231 гене-
рируется в результате невырожденного, а /332-вырожденного по
накачке четырехволнового смешения. Мощность излучения на часто-
те /231 больше, чем на частотах /231 и f32i, также в результате
Рис. 10.6. Зависимость мощности генерируемого при четырехволновом сме-
шении излучения от а) входной мощности Р3 и б) разности частот f 3 —f2-
Длина световода 3,5 км [27].
Параметрические процессы
295
О 30	60 О 30	60 О 30	60
Сдвиг частоты (тгц)
Рис. 10.7. Диаграммы согласования фаз вблизи нуля дисперсии для трех
значений длины волны накачки . Точечные, штриховые и сплошные линии
соответствуют ДКМ, Л/<и- и их сумме [15].
вырождения, но несколько иного рода, а именно в силу того, что
к генерации одной и той же частоты могут приводить четырехвол-
новые процессы с различными комбинациями взаимодействующих
волн. Наконец, мощность Р4 падает с увеличением разности частот
из-за расстройки фазовых скоростей. Следует заметить, что при
мощностях накачки менее 1 мВт мощность генерируемого излучения
составляла 500 пВт. Такое преобразование может заметно ухудшать
характеристики когерентных линий связи, где чувствительность при-
емника может быть ~ 1 нВт или менее в зависимости от скорости
передачи.
Согласование фаз вблизи длины волны нулевой дисперсии
Вклад материальной дисперсии в расстройку волновых векторов
вблизи длины волны нулевой дисперсии, равной в обычных свето-
водах 1,28 мкм, становится малым и меняет свой знак. Волноводный
вклад Д/си зависит от конструкции световода, но обычно положи-
телен для длин волн близи 1,3 мкм. В ограниченной области длин
волн накачки и для определенных значений частотного сдвига vs
расстройка \км может компенсировать величину kkw + kkNL. На
рис. 10.7 показано поведение Д/см и \kw (без учета kkNL) для
световода с диаметром сердцевины 7 мкм и с разностью показателей
преломления 0,006 [15]. Сердцевина легирована германием (мол
6%). Сдвиг частоты зависел от мощности накачки на длине волны X,
и менялся в широком диапазоне - 1 -100 ТГц Он также чувствителен
к вариациям диаметра сердцевины и разницы показателей прелом-
ления. Эти два параметра могут использоваться для подбора частот-
ного сдвига при заданной длине волны накачки [16].
В первом эксперименте [14] по четырехволновому смешению
вблизи длин волн 1,3 мкм использовался световод длиной 30 м
296
Глава 10
и импульсы ИАГ-лазера с модулированной добротностью на длине
волны 1.319 мкм в качестве накачки. Сигнал на длине волны
1,338 мкм (vs = 3,3 ТГц) был усилен на величину до 46 дБ. в то время
как на выходе световода наблюдались три пары стоксовых и анти-
стоксовых линий. Эти равноудаленные линии (v5 ~ 3,3 ТГц) возни-
кали в результате каскадного четырехволнового процесса, в котором
уже сгенерированные частоты взаимодействовали одна с другой,
генерируя новые частоты. В недавнем эксперименте [15] четырех-
волновое излучение возникало без сигнала из спонтанного излучения.
Импульсы от лазера с синхронизацией мод на длине волны 1,319 мкм
пиковой мощностью — 1 кВт распространялись по световоду длиной
50 м. Пиковая мощность превышала порог ВКР. На рис. 10.8 показан
полученный при этом спектр выходного излучения. В результате
четырехволнового смешения генерируются стоксовы и антистоксовы
линии на 1,67 и 1,09 мкм соответственно Большой частотный сдвиг
(vs = 48 ТГц) сравним с тем, что наблюдается в многомодовых
световодах. Подобные эксперименты [16] показывают, что vs может
варьировать в пределах 3 50 ТГц при изменении диаметра сердце-
вины в пределах 7,2 8,2 мкм. Таким образом, фазовый синхронизм
вблизи нуля дисперсии световодов позволяет использовать удобные
источники новых длин волн, накачиваемые ИАГ-лазером с длиной
волны 1,319 мкм.
Фазовый синхронизм, обусловленный ФСМ
Когда длина волны накачки лежит в области отрицательной
дисперсии групповых скорое гей и значительно отстоит от XD, \км
существенно превышает ДАИ и условие согласования фаз не выпол-
няется. Однако если ДАд; + t±kw отрицательно, то его может скомпен-
сировать нелинейный вклад &kNL. Сдвиг частоты П, в этом случае
зависит от входной мощности накачки. Действительно, если взять
выражение (10 2.23) с подставленным в него ДА % ДАМ = р2Лд. то
Антистоксова ,	стоксова
г- волна	Накачка	• волна
(1,09мкм)	(1,319мкм)	/ (1,67мкм)
1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
Длина волны (мкм)
Рис. 10.8. Спектр стоксовых и антистоксовых линий четырехволнового сме-
шения в одномодовом световоде. Видна также полоса ВКР [15].
Параметрические процессы
297
согласование фаз наступает в случае
Qs = (2уР0/| р21)1/2,	(10.3.10)
где Ро-входная мощность накачки. Таким образом, в среде с отрица-
тельной дисперсией синхронизм при четырехволновом смешении
достигается за счет процесса ФСМ, при этом генерируются боковые
спектральные полосы с частотами ю, + Q,.. Этот случай обсуждался
в разд. 5.1, где говорилось о модуляционной неустойчивости. Как уже
упоминалось, модуляционная неустойчивость в частотном представ-
лении может рассматриваться в терминах четырехволнового смеше-
ния, в то время как во временном представлении она возникает
в результате роста слабых возмущений из непрерывной волны.
В самом деле, частота модуляционной неустойчивости (5.1.10) равна
сдвигу частоты Qs (10.3.10), что говорит об эквивалентности этих двух
подходов.
10.3.3.	ФАЗОВОЕ СОГЛАСОВАНИЕ
В ДВУЛУЧЕПРЕЛОМЛЯЮЩИХ СВЕТОВОДАХ
В одномодовых световодах, сохраняющих поляризацию, возмож-
но использование двулучепреломления световода для согласования
фаз волн с разными поляризациями. Разница показателей преломле-
ния для различных поляризаций
би = Д/)х —	(10 3 11)
(где Длх и - разности показателей преломления сердцевины и обо-
лочки для мод, поляризованных вдоль медленной и вдоль быстрой
осей) определяет частотный сдвиг при четырехфотонном смешении
[17]. Полное описание параметрического усиления в двулучепре-
ломляющих световодах требует обобщения формализма, развитого
в разд. 10.2, путем решения волнового уравнения в векторной форме
в приближении, подобном тому, что использовалось в разд. 7.1 2.
Предполагая каждую из четырех волн поляризационной вдоль быст-
рой или медленной оси, получаем выражение для параметрического
усиления в таком же виде, как в (10.2.21), с небольшими изменениями
в определении параметров у и х. В частности, если в уравнении
(7.1.23) в х<3> доминирует электронный вклад, то у уменьшается
в 3 раза по сравнению с величиной, полученной в (10 2 9). Расстройка
волновых векторов х также имеет три составляющих, как и в (10.3.1).
Однако волноводная составляющая Akw теперь уступает модовому
двулучепреломлению 8/г. Нелинейная составляющая &kNL также отли-
чается от того, что дает (10.3.5). В дальнейшем AkNI будет предпола-
гаться пренебрежимо малой по сравнению с ккм и Д/с^,.
Как и в предыдущем рассмотрении, фазовый синхронизм возни-
кает, когда Акм и Д^и- компенсируют друг друга. Каждый из них
298
Глава 10
может быть как положительным, так и отрицательным. При Х( < XD
положительна ДХи, поскольку р2 положительна (10.3.6). Волноводная
составляющая Akw может быть сделана отрицательной, если волна
накачки поляризована вдоль медленной оси, в то время как стоксова
и антистоксова волны поляризованы вдоль быстрой оси. Это видно
из выражения (10.3.4). Поскольку Ли, = Ли4 = Ллу и Ди, = Лл2 = Лях,
волноводная составляющая записывается в виде
&kw = [Алу(ю3 Г со4) — 2Дихсо| ]/с = —2(0, (8и)/с, (10.3.12)
где использовалось (10.3.11) и предполагалось, что со3 + ю4 = 2а)!. Из
выражений (10.3.6) и (10.3.12) следует, что Д/см и Д/с^ взаимно
компенсируются при отстройке Qs

4л8/Л 1/2
Р2
(10.3.13)
где X, = 2лс/а)! [17]. При длине волны накачки X, = 0,532 мкм,
Р2 яе 60 пс2/км и 8и = 1  10“5 частотный сдвш (vs = Qs/2n) составляет
около 10 ТГц. В первом эксперименте [17] по четырехволновому
смешению в двулучепреломляющих световодах сдвиг частоты состав-
лял 10 30 ТГц. Измеренные значения vs хорошо совпадали с вычис-
ленными по формуле (10.3.13).
Выражение (10.3.13) выведено для случая, когда волны накачки А,
и А 2 поляризованы вдоль медленной оси, а А3 и Л4 вдоль быстрой
оси. Существует множество других комбинаций, для которых Д/сж
отрицательно и, следовательно, возможно согласование фаз. Соот-
ветствующий частотный сдвиг Qs можно получить из (10.3.6), взяв
Лкц. из (10.3.4), где Дл2 (/'= 1-4) заменено на Дих или Ди}, в зави-
симости от поляризации волны. В табл. 10.1 приведены пять комби-
наций взаимодействующих волн, для которых в двулучепреломляю-
щих световодах может выполняться условие фазового синхронизма
[20]. В последней колонке приведены величины сдвига частоты для
Таблица 10.1. Пять типов фазового синхронизма в двулучепреломляющих
световодах и соответствующие сдвиги частоты. Символы suf обозначают
поляризацию вдоль медленной и быстрой осей соответственно
Тип процесса	Поляризация волны				Сдвиг частоты n.	f, = П, 2п (ТГц)
	л,		A	A		
I	S	f	s	f	nt = 8л/(Р2с)	4,0
II	S	f	f	f	= (fijCo,)1 “	47,5
III	S	s	f	s	O2 - fi,/2	43.5
IV	S	s	s	f	fi2 4- Cl,/2	51,5
V	S	s	f	f	J2C12	67,2
Параметрические процессы
299
накачки на длине волны X, = 532 нм и при Р2 = 66 пс2/км, 8я =
= 5 • 10 4. Сдвиг частоты в случае I меньше, чем в остальных случаях,
более чем на порядок. Это обстоятельство было использовано для
упрощенной записи для Q, в случаях III и IV: точное значение можно
получить, заменив П2 на Q2 = (Q2 + Q2/4)1 2. Величины частотных
сдвигов также приблизительны, поскольку при их вычислении не
учитывалась дисперсия двулучепреломлеиия 8н. Учет дисперсии дву-
лучепреломления дает поправку к величине частотного сдвига при-
близительно в 10% в сторону уменьшения [20].
С практической точки зрения пять типов взаимодействия, при-
веденные в табл. 10.1, можно разбить на две категории. Первые два
процесса соответствуют случаю, когда мощность накачки разде-
ляется между быстрой и медленной модами. В остальных случаях
накачка поляризована вдоль медленной оси. В первой категории
процессов параметрическое усиление максимально, когда мощность
накачки в двух поляризационных модах равна, т.е. 6 = 45, где
6 угол между направлением поляризации накачки и медленной осью.
Даже в этом случае различные процессы конкурируют между собой,
поскольку значения коэффициентов параметрического усиления для
всех этих процессов приблизительно одинаковы. В эксперименте [21]
наблюдалось четырехволновое смешение с синхронизмом типа I при
накачке импульсами длительностью 15 пс на длине волны 585,3 нм от
лазера на красителе с синхронизацией мод. Доминировал пара-
метрический процесс типа 1, поскольку в этом случае расстройка
групповых скоростей различных волн относительно мала.
На рис. 10.9 показан спектр, наблюдавшийся на выходе световода
длиной 20 м при накачке пиковой мощностью ~ 1 кВт, поляри-
зованной под углом 0 % 44е [21]. Наличие в спектре стоксовой
и антистоксовой полос с частотной отстройкой +4 ТГц обусловлено
четырехволновым смешением типа I. Стоксова волна поляризована
вдоль медленной оси, в то время как антистоксова вдоль быстрой
оси световода. Асимметричное уширение стоксовой линии и линии
накачки вызвано совместным действием эффектов ФКМ и ФСМ (см.
разд. 7.4). Относительное увеличение стоксовой компоненты обус-
ловлено комбинационным усилением. Линия с частотной отстройкой
13 ТГц являезся стоксовой компонентой ВКР. Она поляризована
вдоль медленной оси, поскольку мощность накачки в медленной
поляризационной моде несколько больше, чем в быстрой (6 « 44°).
Увеличение 0 на 2-3' приводит к изменению поляризации излучения
ВКР. Небольшой пик вблизи 10 ТГц возникает в результате невы-
рожденного четырехволнового смешения (со1 со2), в процессе кото-
рого слабая стоксова волна ВКР усиливается в поле накачки и сток-
совой волны вырожденного четырехволнового смешения. Фазовый
синхронизм может возникать только при поляризации излучения ВКР
вдоль медленной оси. Пик вблизи 10 ТГц исчезает при увеличении
300
Глава 10
Рис. 10.9. Спектр излучения на выходе двулучепреломляющего световода
длиной 20 м при накачке импульсами длительностью 15 пс и пиковой мощ-
ностью ~ I кВт. Угол между поляризацией накачки и медленной осью
световода составлял 44 Индексы f и s соответствуют быстрой и медленной
поляризационным модам. Видна также линия ВКР. Небольшой пик вблизи
10 ТГц обусловлен невырожденным четырехволновым смешением [21].
6 до величины, превышающей 45 , так как при этом поляризация
излучения ВКР переключается в быструю поляризационную моду.
Использование двулучепреломления для согласования фаз при
четырехволновом смешении имеет то дополнительное преимущество,
что позволяет перестраивать частотный сдвиг vs в пределах 3-4 ТГц.
Такая подстройка возможна при изменении внешних факторов, таких,
как давление и температура. В эксперименте [18] волокно прижима-
лось к плоской пластине. При давлении 0,3 кг/см2 частотный сдвиг
изменялся на 4 ТГц. В похожем эксперименте [19] дополнительное
напряжение в световоде создавалось путем наматывания его на
цилиндрический стержень. При изменении диаметра стержня частот-
ный сдвиг изменялся в пределах 3 ТГц. Возможна подстройка час-
тотного сдвига и путем изменения температуры, поскольку внутрен-
ние напряжения в двулучепреломляющих световодах зависят от
температуры. При нагревании световода до 700 С была получена
перестройка в диапазоне 2,4 ТГц [22]. Наличие четырехволновых
процессов дает возможность измерят ь усредненное по длине светово-
да двулучепреломление, поскольку сдвиг частоты зависит от 8и [23].
Частотный сдвиг, связанный с четырехволновыми процессами,
зависит также от мощности накачки, о чем говорит наличие нелиней-
Параметрические процессы
301
ной составляющей &kNL в выражении (10.3.1). При выводе выражения
(10.3.13) и других выражений для Q, в табл. 10.1 нелинейный вклад не
учитывался, хотя в общем случае его учет необходим. Обычно Q,
уменьшается с ростом мощности накачки. В эксперименте [24]
с возрастанием накачки Qs уменьшалось на 1,4%/Вт. Нелинейный
член &kNL также можно использовать для согласования фаз. Это
связано с модуляционной неустойчивостью в двулучепреломляющих
световодах, о которой говорилось в разд. 7.4.
10.4.	ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УСИЛЕНИЕ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Четырехволновое смешение так же. как ВКР и ВРМБ, может
использоваться в усилителях и генераторах. Такие устройства при-
влекают внимание в контексте явлений, связанных со сжатыми
состояниями [33-43]. В данном подразделе речь пойдет о таких
важных характеристиках параметрических усилителей, как коэффи-
циент усиления и ширина полосы. Обсуждаются также вопросы
применения параметрических усилителей для получения сжатых со-
стояний и в оптической волоконной связи.
10.4.1.	КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ И ШИРИНА
ПОЛОСЫ
Для полного описания параметрического усиления требуется чис-
ленное решение систем (10.2.2) (10.2.5) с учетом эффекта истощения
накачки [37]. Однако заметно продвинуться в понимании физики
данного явления можно, рассмотрев приближенное решение (10.2.19)
и (10.2.20), которое не учитывает истощения накачки. Константы а3,
b3,c3u d3 в этих решениях определяются из граничных условий. Если
в волокно вводятся волны накачки и сигнала, то мощности сигналь-
ной и холостой волн на выходе световода (z = L) даются выра-
жениями [12]
P3(L)= Р3(0) [1 +(1 +z7V)sinh20L)].	(10.4.1)
P4(L) = Р3(0) (1 + х2/4у2) sinh2 (</L),	(Ю.4.2)
где параметрическое усиление д дается выражением (10.2.21) и х
суммарная расстройка волновых векторов, даваемая выражением
(10.2.18). Как и следовало ожидать, сигнал усиливается и генери-
руется холостая волна.
Ненасыщенное усиление за один проход по параметрическому
усилителю дается выражением
Р (I}	( х2 \
C- = F^ = (1+4?Jsinh2(ffL)	(,0'43)
302
Глава 10
Сравним это выражение с (8.2.5), полученным для ВКР-усилителя.
Основное отличие в том, что параметрическое усиление зависит от
и и может быть довольно малым, если отсутствует фазовый синхро-
низм. В пределе х»уРог из выражений (10.2.21) и (10.4.3) получим
6л^(7Р0г)2
sin2 (xL/2)
(xL/2)2
(10.4.4)
С другой стороны, при точном синхронизме (и = 0) и gL» 1 усиление
выражается в виде
1
6л - exp (уР0 rL).	(10.4.5)
Параметр г дается выражением (10.2.22); г = 1 соответствует случаю
вырождения по накачке, т. е. случаю, когда мощности двух волн
накачки равны.
Ширина полосы усиления Д£2Л может быть определена из выра-
жения (10.4.3) и в общем случае зависит от длины световода Г и мощ-
ности накачки Ро. Рассмотрим сначала предел к » уР0, при котором
Ga определяется выражением (10.4.4). При xL= + л усиление умень-
шается в тс2/4 раз. Определение величины ДП соответствует расстрой-
ке волновых векторов Дх = 2n/L; благодаря этому ширина полосы
усиления несколько больше, чем полная ширина на полувысоте
[12]. Поскольку в х доминирует материальная составляющая, Дх st
а 21 р21П5 ДИЛ, выражение для ширины полосы записывается в виде
Дх л
2Ю^=Юй’
ДПЛ =
(10.4.6)
где разность частот накачки и сигнала, соответствующая случаю
точного фазового синхронизма х = 0. С возрастанием мощности
накачки полоса усиления уширяется. Если использовать выражение
(10.4.3), то ширина полосы усиления ДПЛ будет определяться сле-
дующим образом [12]:
“ 1/2
ДПЛ
+ (7РОГ)2
(10.4.7)
При больших мощностях накачки можно записать приближенное
выражение
ДПЛ st (уР0 г)/\ р2 П21 st (| р21 Qs Lnl) - \	(10.4.8)
где предполагается г = 1 и Lnl = (уР0)Выражение (10.4.8) право-
мерно при Lnl«L. Грубая оценка ширины полосы усиления при
| Р21 = 20 60 пс2/км дает значение ~ 10-100 ГГц. При этом £ls/2n =
= 10 100 ТГц и Lnl ~ 1 м. Данная величина является промежу-
точной между аналогичными величинами ВКР-усилителей (~5 ТГц)
и ВРМБ-усилителей (~ 100 МГц).
Параметрические процессы
303
Ширина полосы усиления параметрических волоконных усили-
телей зависит от того, вводятся в световод вместе с накачкой
сигнальная и холостая волны или нет. В частности, сигнальная
и холостая волны могут как усиливаться, так и ослабляться в зави-
симости от относительной разности фаз. Эта зависимость от фазовых
соотношений наблюдалась в эксперименте [35], где сигнальная и хо-
лостая волны, смещенные по частоте от накачки на 130 МГц, рас-
пространялись по световоду длиной 350 м и относительная разность
фаз на входе в световод изменялась при помощи линии задержки.
Мощность сигнальной волны была минимальной и максимальной
при относительной фазе Аф = л/2 и Зл/2 соответственно и оставалась
постоянной при Аф = 0 и л. Коэффициент усиления при таких
условиях обычно линейно зависит от мощности накачки и длины
световода.
Учет истощения накачки также может привести к изменению
характеристик параметрических волоконных усилителей. В общем
случае систему уравнений (10.2.2)-(10.2.5) нужно решать численно
[37], хотя при специальных условиях возможны аналитические реше-
ния в эллиптических функциях [1]. Будут ли сигнальная и холостая
волны усиливаться или ослабляться, зависит от относительной фазы
0, определяемой выражением
0 = ф1+ф2-ф3-ф4,	(10.4.9)
где ф;-фаза амплитуды Aj (/ = 1-4). Усиление максимально при
0 = —л/2. Однако относительная фаза 0 изменяется в процессе пара-
метрического взаимодействия. Поэтому, даже если 0 = — л/2 на входе
в световод, при распространении по световоду 0 меняется от 0 до л/2,
где сигнальная и холостая волны испытывают уже ослабление. Это
поведение показано на рис. 10.10, где представлена эволюция относи-
тельной фазы 0, мощности холостой волны Р4 и мощности волны
накачки при распространении вдоль световода, причем предпола-
галось, что на входе в световод выполняется условие фазового
синхронизма, мощность накачки составляет 70 Вт, 1\ = Р2 и 0 =
= —л/2. Сплошные и штриховые линии соответствуют случаям
Р3(0) = Р4(0) = 0,1 мкВт и Р3(0) = 6 мВт при Р4(0) = 0,1 мкВт соот-
ветственно. Последний случай соответствует собственно парамет-
рическому усилению, в то время как в первом случае обе волны
вырастают из шума. В обоих случаях холостая и сигнальная волны
периодически усиливаются и затухают. Это связано с тем, что
истощение накачки приводит к изменению величины 0, которая
в начале составляет —л/2. Таким образом, для параметрического
усиления требуется жесткий контроль длины световода даже при
точном фазовом синхронизме.
Предыдущее обсуждение касалось случая четырехволнового сме-
шения непрерывных волн. При накачке световода короткими импуль-
304
Глава 10
Рис. 10.10. Зависимость от длины световода относительной фазы 0, мощности
холостой волны Р4 и мощности накачки Р, при Pt = Р2, Р, (0) = 70 Вт,
0(0) = л/2 и к = 0. Сплошные и штриховые линии соответствуют
Р3(0) = Р4(0) = 0 1 мкВт и Р3(0) = 6 мВт при Р4(0) = 0,1 мкВт соответст-
венно [37].
сами возможны два эффекта, ослабляющих параметрическое взаимо-
действие между волнами. Во-первых, спектр накачки уширяется
вследствие ФСМ. Если ширина спектра накачки превышает ширину
полосы усиления £1Л, то параметрическое усиление понижается по-
добно тому, как это происходит с ВРМБ-усилением, о чем гово-
рилось в разд. 9.1. Во-вторых, разница групповых скоростей им-
пульса накачки, сигнального и холостого импульсов приводит к их
разбеганию. Оба этих эффекта приводят к уменьшению эффективной
длины четырехволнового смешения. В случае пикосекундных импуль-
сов необходимо также учитывать дисперсию групповых скоростей
различных спектральных компонент внутри импульса. Для учета
данных эффектов необходимо включать в левую часть уравнений
(10.2.2) — (10.2.5) первые и вторые производные амплитуд Aj по вре-
мени.
10.4.2.	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
При параметрическом усилении использовались все способы полу-
чения фазового синхронизма, указанные в разд. 10.3. Основное отли-
чие четырехволнового смешения от параметрического усиления со-
стоит в наличии либо отсутствии в световоде введенной извне
сигнальной волны на частоте, для которой выполняется условие
фазового синхронизма. В отсут 1вие такой затравки вместо нее
выступают шумы.
Параметрические процессы
305
В первом эксперименте [6] по параметрическому усилению в све-
товодах фазовый синхронизм был обусловлен использованием мно-
гомодового световода. Пиковая мощность импульсов накачки на
длине волны 532 нм составляла ~ 100 Вт, а длина волны непрерыв-
ного сигнала мощностью ~ 10 мВт перестраивалась вблизи 600 нм.
Усиление было небольшим из-за малой длины световода (9 см).
В недавнем эксперименте [14] использовалась накачка на длине
волны 1,319 мкм, лежащей недалеко от длины волны нулевой диспер-
сии, что и обусловило выполнение условия синхронизма (см.
рис. 10.7). При пиковой мощности импульсов накачки в пределах
30 70 Вт измерялась мощность усиленного непрерывного сигнала
на длине волны 1,338 мкм на выходе световода длиной 30 м. На
рис. 10.11 показано усиление GA как функция мощности накачки Ро
при трех значениях входной мощности сигнала Р3. Отклонение от
экспоненциальной формы кривой обусловлено насыщением усиления
вследствие истощения накачки. Огметим также, что GA существенно
падает при увеличении мощности сигнала от 0,26 до 6,2 мВт. При
мощности накачки Ро = 70 Вт усиление сигнала мощностью 0,26 мВт
составило 46 дБ. Эта цифра говорит о потенциальной возможности
использования волоконных световодов в качестве параметрических
усилителей при выполнении условия фазового синхронизма. Контро-
лировать выполнение этого условия при заданных частотах накачки
и сигнала удобно с помощью двулучепреломляющего световода,
в котором двулучепреломление меняется при воздействии внешнего
Рис. 10.11. Коэффициент
усиления СА параметри-
ческого усилителя в за-
висимости от мощности
накачки при трех различ-
ных значениях входной
мощности сигнала [14].
306
Глава 10
давления или изгиба. Параметрические усилители с такими схемами
были продемонстрированы. В эксперименте [33] усиление сигнала на
длине волны 1,292 мкм составило 38 дБ, причем для согласования
фаз к световоду прикладывалось внешнее давление. В другом экспе-
рименте [34] сигнал на длине волны 1,57 мкм от полупроводникового
лазера с распределенной обратной связью усиливался на 37 дБ в поле
накачки с длиной волны 1,319 мкм.
Параметрическое усиление можно использовать для создания
лазеров, помещая световод в резонатор Фабри-Перо. Такой четы-
рехфотонный волоконный лазер недавно был продемонстрирован
в эксперименте [36]. При накачке импульсами длительностью 100 пс
на длине волны 1,06 мкм от Nd: ИАГ-лазера с модуляцией доброт-
ности и синхронизацией мод на выходе волоконного четырехфо-
тонного лазера наблюдались импульсы длительностью 65 пс на
длине волны 1,15 мкм. Длина резонатора подстраивалась таким
образом, чтобы накачка была синхронной. Ширина спектра генерации
составляла ~ 100 ГГц в соответствии с формулой (10.4.7).
10.4.3.	ПРИМЕНЕНИЯ
Так же как и волоконные ВКР-усилители, параметрические усили-
тели могут оказаться полезными в системах оптической связи. Эти
два типа усилителей отличаются друг от друга по ширине полосы
и по требованиям, предъявляемым к накачке. ВКР-усилители обла-
дают широкой полосой (~ 5 ТГц). но требуют отстройки частоты
сигнала от частоты накачки около 13 ТГц. Параметрические уси-
лители, напротив, имеют меньшую ширину полосы усиления
(~ 100 ГГц), но отстройка частоты сигнала от частоты накачки может
составлять ~ 100 ТГц. Такие параметры дают известную свободу
в выборе накачки, в то время как ширина полосы достаточно велика
для многих применений. Для обеспечения фазового согласования
можно использовать большое двулучепреломление световодов, под-
держивающих поляризацию.
Как и процессы ВКР и ВРМБ, параметрическое усиление может
приводить к перекрестным помехам в многоканальных системах
оптической связи [26] Перекрестные помехи могут сказываться
в системах с разделением каналов 10 ГГц. При таких небольших
частотных сдвигах четырехволновое смешение может возникать
в длинных световодах (~10км) даже при отсутствии фазового
синхронизма. Расчеты показывают [44], что в 100-канальной линии
оптической связи с разностью частот соседних каналов 5 ГГц для
того, чтобы уровень перекрестных помех составлял менее 1%, тре-
буется, чтобы входная мощность в каждом канале была существенно
меньше 1 мВт.
Важным применением четырехволнового смешения стала демон-
Параметрические процессы	307
страция сжатых состояний в световодах [38 41]. Под этим термином
понимают состояния электромагнитного поля, при котором шумовые
флуктуации в одной из квадрупольных компонент понижаются до
уровня ниже уровня квантового шума. Для точного описания сжатых
состояний требуется квантовомеханическое рассмотрение, при кото-
ром амплитуды сигнальной и холостой волн В3 и В4 заменяются
соответствующими операторами уничтожения [38]. Далее, в рассмот-
рение включается квантовый шум, для чего в правую часть уравнений
(10.2.16) и (10.2.17) вводится флуктуационный член, известный как
сила Ланжевена [41]. Должны быть учтены и потери в световоде.
Сжатые состояния могут наблюдаться при ослаблении сигнальной
или холостой волны в поле накачки, фаза которой отличается от фазы
ослабляемой волны на определенную величину [35]. О возможности
такого ослабления говорилось в разд. 10.4.1. Спонтанное излучение
на сигнальной и холостой частотах генерирует фотоны со случайны-
ми фазами. Четырехволновое смешение приводит к увеличению или
уменьшению числа пар фотонов на сигнальной и холостой частотах
в зависимости от их фазы. Когда фаза осциллятора при гомодинном
или гетеродинном детектировании соответствует относительной фазе
между волнами, ведущей к уменьшению числа фотонов в сигнальной
или холостой волне, наблюдается уменьшение шума ниже квантового
уровня.
Наблюдение сжатых состояний в волоконных световодах затруд-
няется наличием конкурирующих процессов, таких, как спонтанное
или вынужденное МБ-рассеяние. Сжатые состояния наблюдаются,
только если уровень шумов этих процессов не превышает величины,
на которую уровень шумов понижается при четырехфотонном сме-
шении. Несмотря на указанные затруднения, в эксперименте [39]
наблюдалось уменьшение уровня шумов на 12,5% ниже квантового
предела при распространении накачки на длине волны 647 нм в свето-
воде длиной 114 м. Для подавления ВРМБ накачка модулировалась
с частотой 748 МГц, что намного больше ширины полосы ВРМБ-уси-
ления. Для подавления теплового МБ-рассеяния на направляемых
акустических волнах световод приходилось охлаждать в жидком
гелии, однако такое рассеяние все же ограничивало характеристики
системы. На рис. 10.12 показан спектр шумов, наблюдавшийся, когда
фаза локального осциллятора соответствовала минимуму шума.
Большие пики обусловлены МБ-рассеянием на радиальных акусти-
ческих модах. Сжатые состояния генерируются в областях частот,
отстоящих на 45 и 55 МГц от частоты накачки. В другом экспе-
рименте [40] по тому же световоду распространялось излучение
накачки с длинами волн 647 и 676 нм. При помощи двухчастотной
гомодинной схемы было зарегистрировано уменьшение шума на 20%
ниже квантового предела. Такое явление называют четырехмодовой
308
Глава 10
Сдвиг частоты (МГц)
Рис. 10.12. Спектр шумов при генерации сжатых состояний. Горизон-
тальная линия соответствует уровню квантовых шумов. Наличие областей
минимума шумов вблизи 45 и 55 МГц указывает на генерацию сжатых
состояний при четырехфотонном смешении [39].
генерацией сжатых состояний, поскольку в процессе участвуют две
пары сигнальных и холостых волн, соответствующих каждая своей
волне накачки. При такой генерации важную роль играют ФСМ
и ФКМ. Использование нелинейностей световода для генерации
сжатых состояний привлекательно с точки зрения их применения
в оптической связи.
10.5.	ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
Четырехволновое смешение, доминирующий параметрический
процесс в волоконных световодах, генерирует спектральные боковые
полосы, отстоящие от частоты накачки вплоть до 100 ТГц. Во многих
экспериментах [45-51] при накачке волоконного световода мощными
импульсами на длине волны 1,06 мкм спектр выходного излучения
простирался в видимую и ультрафиолетовую области. Генерация
спектральных компонент в этих областях обусловлена смешиванием
двух или нескольких волн с частотами, сумма которых равна частоте
генерируемой волны. Так, взаимодействие двух волн с частотами coj
и ш2 может приводить к генерации вторых гармоник 2(9, и 2со2,
третьих гармоник 3cot и Зсо2 и суммарных частот вида со1 + со2,
2<jo, + со2 и 2со2 + со,. Генерация таких частот, как Зсо,, Зсо2,2(0! + со2
и 2w2 + to,, вызывается параметрическими процессами третьего по-
рядка, обусловленными у (31. Эффективность преобразования доволь-
но низка, поскольку обычно для таких параметрических процессов
трудно достичь фазового синхронизма. В эксперименте [50] частоты
Параметрические процессы
309
третьих гармоник и суммарные частоты 2ы1 + со2 и 2w2 + w, генери-
ровались в результате смешивания входной волны накачки и стоксо-
вой волны ВКР с длинами волн соответственно 1,06 и 1,12 мкм.
Двухметровый отрезок световода имел эллиптическую сердцевину
и накачивался импульсами пиковой мощности 5 кВт.
Несколько ранних экспериментов [46-49] показали, что при рас-
пространении по волоконному световоду мощного импульса накачки
на длине волны 1,06 мкм от Nd: ИАГ-лазера с синхронизацией мод
и модуляцией добротности происходит генерация второй гармоники
и суммарной частоты вида сщ + со2. Эффективность преобразования
составляла около 0,1% как для суммарной частоты [49], так и для
второй гармоники [52]. Такая высокая эффективность неожиданна
для параметрических процессов второго порядка, поскольку воспри-
имчивость второго порядка х<2) связана с нелинейным откликом
электрических диполей, следовательно, близка к нулю в изотропных
материалах, каким является плавленый кварц. Существует несколько
нелинейностей высших порядков, которые могут создать эффектив-
ную х(2) для таких процессов; наиболее важны среди них нели-
нейности на дранице сердцевины и оболочки и нелинейности, свя-
занные с квадрупольным и магнитным моментами. Однако деталь-
ные расчеты показывают [53], что эти нелинейности могут дать
увеличение эффективности преобразования максимум до 10 5 даже
при условии фазового синхронизма. Видимо, более высокие эф-
фективности параметрических процессов второго порядка связаны
с другим механизмом.
Ключ к природе такого механизма появился, когда было об-
наружено. что мощность второй гармоники значительно возрастает,
если излучение накачки действует на световод в течение нескольких
часов [54]. На рис. 10.13 показана зависимость средней мощности
второй гармоники от времени при распространении по световоду
длиной 1 м импульсов накачки на длине волны 1,06 мкм, с дли-
тельностью 100 130 пс и со средней мощностью 125 мВт, от
Nd: НАГ-лазера с модуляцией добротности и синхронизацией мод.
Мощность второй гармоники со временем растет почти экспонен-
циально и начинает насыщаться после 10 ч. Максимальная эффек-
тивность преобразования составляла около 3%. Импульсы на длине
волны 0,53 мкм на выходе световода имели длительность около 55 пс
и мощность, достаточную для накачки лазера на красителе [54]. Этот
эксперимент способствовал дальнейшему возрастанию интереса
к ГВГ в световодах, и в последнее время изучению процесса под-
готовки и природы генерации второй гармоники в волоконных
световодах уделяется значительное внимание [55 72]. Уровень по-
нимания этих процессов пока далек от совершенства, и работа
продолжается. Остаток этой главы посвящен обзору состояния дел ко
времени написания.
310
Глава 10
Рис. 10.13. Средняя мощ-
ность второй гармоники,
генерируемой в кварце-
вом световоде, как функ:
ция времени. Средняя
мощность лазера накачки
в режиме модулирован-
ной добротности с синх-
ронизацией мод 125 мВт
на длине волны 1,06 мкм.
На вставке показан экс-
поненциальный рост в
линейном масштабе (по
работе [54]).
Для эффективности генерации второй гармоники в волоконных
световодах требуется инкубационный период, во время которого
происходит так называемый процесс подготовки световода. В ранних
работах [54, 55] световод подготавливался путем ввода мощных
импульсов на длиней . элны 1,06 мкм длительностью около 100 пс.
Время подготовки зависело от мощности накачки и составляло
несколько часов при мощностях накачки порядка 10 кВт. Сердцевина
световода была легирована германием и фосфором. Наличие фос-
фора казалось необходимым для процесса подготовки. В недавнем
эксперименте [60], в котором использовался Кг+-лазер с длитель-
ностью импульсов 100 пс на длине волны 647,1 нм, световод с серд-
цевиной, легированной только Ge, был подготовлен в течение 20 мин
при пиковой мощности всего 720 Вт. В другой работе [57] было
обнаружено важное обстоятельство-световод можно подготовить
в течение лишь нескольких минут даже на длине волны 1,06 мкм,
используя слабый сигнал второй гармоники, распространяющийся
вместе с импульсом накачки и действующий как затравка. При тех же
условиях, но без затравки, световод не удавалось приготовить даже
после 12 ч.
Параметрические процессы
311
Для объяснения генерации второй гармоники было предложено
несколько физических механизмов [56-59]. Все они связаны с пе-
риодическим выстраиванием неких объектов, таких, как центры
окраски [56] или дефекты [57] вдоль световода, таким образом, что
автоматически выполняется условие фазового синхронизма. В одной
модели [57] выстраивание возникает через параметрический процесс
третьего порядка, в котором смешиваются накачка и вторая гар-
моника (генерируемая внутри световода или введенная извне) и со-
здают статическую поляризацию (на нулевой частоте), задаваемую
следующим образом:
Зе
Рас = Re[x(3*E*E*ESHexp(^pz)], (10.5.1)
где Ер-поле накачки на частоте <ор; Е5Н-поле затравочной второй
гармоники на частоте 2m; и Д1р-разность волновых векторов:
№р = [n(2mp) - 2и(шр)]сор/с.	(10.5.2)
Статическая поляризация индуцирует статическое электрическое
. поле, полярность которого периодически меняется вдоль световода
1 с периодом согласования фаз 2л/Акр (~30-40 мкм для накачки
1,06 мкм). Это электрическое поле перераспределяет электрические
заряды и создает периодические массивы диполей. В формировании
диполей могут участвовать дефекты ловушки или центры окраски,
природа которых не вполне понятна. Главное, что такое перерас-
пределение зарядов нарушает центральную симметрию и имеет
период, требуемый для фазового синхронизма. В сущности, волокно
самоорганизуется для генерации второй гармоники. Математически
диполи могут откликаться на приложенное оптическое поле с эффек-
тивной восприимчивостью х<2). В простейшем случае х<2) предпо-
лагается пропорциональной Pdc, т.е.
X(2) = aSH Pdc = | aSH e0 x<3) | Ep |2|ESH | cos (Akpz + фр), (10.5.3)
где aSH константа, величина которой зависит от микроскопического
процесса, отвечающего х<2), а фр-фаза, зависящая от начальных фаз
накачки и затравочной второй гармоники. В силу периодической
природы х,2) говорят о создании в процессе подготовки решетки х(2).
Для рассмотрения генерации второй гармоники на х<2> из (10.5.3)
можно проделать стандартную процедуру [1-4]. Предположим, что
накачка на частоте mt вводится в подготовленное волокно. Частота
cOj может, вообще говоря, отличаться от тр. Тогда поля накачки Е1
и второй гармоники Е2 удовлетворяют уравнениям связанных ампли-
туд [56], именно
i
= MMjl2 + 2)А212)А1 + -х?„Л2/1?ехр(-/хг), (10.5.4)
az	Z
312
Глава 10
-Т2 = *Y(IAI2 + 2|ЛД2)Л2 + iySH Л2ехр(;хг), (10.5.5)
dz
где
ySH = ~ Со <Wi,г х(3) IЕ 121ESHI.	(10.5.6)
4nj с	v
/иг-интеграл перекрытия (см. разд. 10.2) и
х = Дкр - ДА;	(10.5.7)
ДА задано уравнением (10.5.2) после замены сор на tOj . Параметр
х это остаточная расстройка волновых векторов, возникающая при
«1 /юр. Члены, пропорциональные у, связаны с процессами ФСМ
и ФКМ и, вообще говоря, должны учитываться.
Для решения уравнений (10.5.4) и (10.5.5) можно использовать
метод из разд. 10.2. В приближении неистощенной накачки (|Л2|2 «
«МД2) уравнение (10.5.4) имеет решение
A j (z) = ехр (iyPt z),	(10.5.8)
где Р,-вводная мощность накачки. Подставляя
В2 = Л2ехр(—2iyP2z)	(10.5.9)
в уравнение (10.5.5), получаем
dB2
= '7sh Pi ехр (ixz).	(10.5.10)
Эффектами ФСМ и ФКМ в отличие от процесса четырехволнового
смешения можно пренебречь. Это означает, что в приближении
неистощенной накачки нелинейная составляющая расстройки волно-
вых векторов отсутствует. Уравнение (10.5.10) легко решается, что
позволяет получить выражение для мощности второй гармоники
P2(L) = |B2(L)|2 = Iys„PjL|2 а"7^2)-	(10.5.11)
При выводе (10.5.11) предполагалось, что решетка х(2) записана на
всей длине световода L. Так было бы, если бы при записи ис-
пользовалась непрерывная накачка с узким спектром. На практике же
используются импульсы длительностью ~ 100 пс. Использование та-
ких коротких импульсов влияет на процесс формирования решетки
нелинейности по двум причинам. Во-первых, групповое разбегание
импульсов накачки и второй гармоники ведет к тому, что после
прохождения нескольких длин Lw они уже не перекрываются. Для
импульсов накачки длительностью То а 80 пс на длине волны
1,06 мкм длина группового разбегания Lw составляет »1м при
Параметрические процессы
313
дисперсии | J12| ~ 80 пс/м. Таким образом, решетка /<2) формируется
на длине не более 1 м при импульсах накачки длительностью
~ 100 пс. Во-вторых, уширение спектра, обусловленное ФСМ, ведет
к уменьшению длины когерентности накачки и, следовательно,
к уменьшению длины, на которой решетка х’2) генерирует вторую
гармонику когерентно. Оказывается, что именно Lcoh является фак-
тором, ограничивающим длину взаимодействия накачки и второй
гармоники, поскольку на практике Lcoh<Lw. На каждой частоте
накачки записывается, вообще говоря, своя решетка с периодом
2п/Лкр, где Акр дается выражением (10.5.2). Для учета вклада всех
решеток выражение (10.5.1) для Pdc следует проинтегрировать по
всему спектру накачки. Для гауссовой формы спектров накачки
и второй гармоники эффективная постоянная поляризация представ-
ляется в виде [66]
= Лю ехр [-(z/Uh)2],	(10.5.12)
где
Lcoh = 2/M128<Dp|,	(10.5.13)
dl2 дается выражением (1.2.13) и бсор полуширина спектра (на высоте
1/е) [66]. При | J12| = 80 пс/м и ширине спектра на полувысоте 10 Гц
Lcoh а 60 см.
В большинстве экспериментов с накачкой на длине волны
1,06 мкм спек I ральная ширина на входе в световод составляет
~ 10 ГГц. Однако вследствие ФСМ спектр накачки в световоде
уширяется (см. (4.1.6) и (4.1.11)). Это уширение заметно уменьшает
длину когерентности до величины порядка 10 см. При Lcoh < L
выражение (10.5.11) должно быть модифицировано. В простейшем
приближении [56] L просто заменяется на Lcoh в выражении (10.5.11).
Это предполагает, что Pffi = Pdc при z < Lcnh и Р^ = 0 при z > Lcoh 
Это приближение можно уточнить, используя (10.5.12). Для этого ySH
в (10.5.10) нужно домножить на ехр [—(z/Lcoh)2]. При интегрирова-
нии выражение (10.5.10) дает результат [66]:
Рг(и) = I Ysh Pi LCOh|2ехр (-^и2 L2oh^ .	(10.5.14)
Следует подчеркнуть, что выражение (10.5.14) также является при-
ближенным; оно следует из уравнений (10.5.4) и (10.5.5), которые
справедливы только для непрерывного или квазинепрерывного излу-
чения. Эти уравнения можно обобщить на случай нестационарной
накачки, введя первую и вторую производные амплитуд по времени
в левые части уравнений [73, 74].
В нескольких экспериментах была измерена зависимость мощ-
ности второй гармоники от частоты. На рис. 10.14 показаны ре-
зультаты такого измерения [56], в котором длина волны накачки
314
Глава 10
Рис. 10.14. Зависимость эффективности преобразования во вторую гармо-
нику как функция отстройки длины волны накачки от 1,064 мкм. Сплошной
линией показана расчетная кривая [56].
изменялась в пределах 4 нм. Сплошной линией показана расчетная
кривая, полученная из (10.5.11) при L= Lcob. Наилучшее совпадение
с экспериментом дает значение Lcoh =12 см. В этом эксперименте
решетка записывалась импульсами накачки мощностью 10 кВт. Не-
большая длина когерентности обусловлена уширением спектра при
такой большой мощности. В недавнем эксперименте [66] когерентная
длина была увеличена до 35 см за счет использования менее интен-
сивной накачки (пиковая мощность 230 Вт)
Обычная эффективность преобразования в экспериментах по вто-
рой гармонике составляет ~ 1%; максимальная опубликованная циф-
ра 5% [55]. Естественный вопрос: что же ограничивает эффектив-
ность? Как видно из рис. 10.13. мощность второй гармоники экспо-
ненциально растет на начальной стадии записи решетки, но затем
насыщается. Одной из причин может быть интерференция решеток
Х(2), записанных излучением затравочной второй гармоники и излу-
чением, генерируемым уже в световоде. Решетка, записанная генери-
руемым в световоде излучением второй гармоники, будет не в фазе
с основной решеткой [57]. Если это так, то решетка х<2> должна
стираться при пропускании через световод одного излучения второй
гармоники без излучения накачки. Такое стирание в действительности
наблюдалось [65, 67]. Скорость стирания зависит от мощности
второй гармоники, вводимой в световод. В эксперименте [67] эффек-
тивность преобразования уменьшалась в 10 раз после 5-минутной
Параметрические процессы
315
засветки излучением второй гармоники средней мощностью ~ 2 мВт.
Процесс стирания не был экспоненциальным, но зависел от времени
как (1 + Ct)-1, где С-константа. Однако стирание было обратимым,
т. е. световод снова мог быть подготовлен до прежней эффективности.
Эти наблюдения согласуются с моделью [56, 57]. в которой появле-
ние нелинейности второго порядка объясняется ориентацией зарядов,
носителями которых могут быть центры окраски или различные типы
дефектов. Однако до конца микроскопическая картина явления пока
не ясна. Генерация второй гармоники в световодах продолжает
привлекать большое внимание в силу своей как научной, так, воз-
можно, и технологической значимости.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Armstrong J. A. et al., Phys. Rev., 127, 1918 (1962).
2.	Bloembergen N., Nonlinear Optics, Benjamin, Reading, Mass., 1965. [Имеется
перевод: Бломберген H. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966.]
3.	ShenYR.. The Principles of Nonlinear Optics, Wiley, New York, 1984.
[Имеется перевод: Шен И. Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Мир,
1989.]
4.	Schubert М„ Wilhelmi В., Nonlinear Optics and Quantum Electronics, Wiley,
New York. 1986.
5.	Alfano R.R., Shapiro S.L., Phys. Rev. Lett., 24, 584, (1970).
6.	Stolen R.H., Bjorkholm J.E., Ashkin A.. Appl. Phys. Lett., 24, 308 (1974).
7.	Stolen R.H., IEEE J. Quantum Electron., QE-11. 100 (1975).
8.	Hill K.O. et al., J. Appl. Phys. 49, 5098 (1978).
9.	Saisy A. et al., Appl. Opt., 19, 1639 (1980).
10.	Hill К. O.. Johnson D. C.. Kawasaki B.S., Appl. Opt., 20, 1075 (1981).
11.	Lin C., Bosch M.A., Appl. Phys. Lett., 38, 479 (1981).
12.	Stolen R.H., Bjorkholm J.E., IEEE J. Quantum Electron., QE-18. 1062 (1982).
13.	Lin C., J. Opt. Commun., 4, 2 (1983).
14.	Washio K„ Inoue K., Kishida S., Electron. Lett., 16, 658 (1980).
15.	Lin C. et al.. Opt. Lett., 6, 493 (1981).
16.	Lin C. et al.. Electron. Lett., 18, 87 (1982).
17.	Stolen R.H.. Bosch M.A., Lin C., Opt. Lett., 6, 213 (1981).
18.	Kitayama K., Seikai S., Uchida N„ Appl. Phys. Lett., 41, 322 (1982).
19.	Kitayama K„ Ohashi M.. Appl. Phys. Lett., 41, 619 (1982).
20.	Jain R.K., Stenersen K., Appl. Phys. B35, 49 (1984).	\
21.	Stenersen K.. Jain R.K., Opt. Commun., 51, 121 (1984).
22.	Ohashi M. et al.. Opt. Lett., 10, 77 (1985).
23.	Shibata N. et al.. Opt. Lett., 10, 154 (1985).
24.	Park H.G.. Park J.D., Lee S.S., Appl. Opt., 26, 2974 (1987).
25.	Garth S.J.. Pask C.. Opt. Lett., 11, 380 (1986).
26.	Shibata N„ Braun R. P.. Waarts R.G.. Electron. Lett., 22, 675 (1986).
27.	Shibata N., Braun R.P., Waarts R.G., IEEE J. Quantum Electron., QE-23, 1205
(1987)
28.	Baldeck P.L., Alfano R. R„ J. Lightwave Technol., LT-5, 1712 (1987).
29.	Wang Q., Yang T, Shen W, Chin. Phys. Lasers., 15, 46 (198»)-
30.	Pepper D. M„ Yariv A., in: Optical Phase Conjugation, cd. by K. A. Eisner,
Academic, New York, 1983, Ch. 2.
31.	Alfano R.R. ed Supercontinuum Laser Source, Springer-Verlag, Heidelberg,
1989.
316
Глава 14
32.	Botineau J.. Stolen R.H.. J. Opt. Soc. Am., 72, 1592 (1982).
33.	Ohashi M. et al.. Appl. Phys. Lett., 41, Illi (1982).
34.	Pocholle J.P. et al.. Opt. Eng., 24, 6(X) (1985).
35.	Bar-Joseph I. et al.. Opt. Lett., 11, 534 (1986).
36.	Margulis W., Osterberg U., Opt. Lett., 12, 519 (1987).
37.	Vatarescu A., J. Lightwave Technol., LT-5, 1652 (1987).
38.	Levenson M.D. et al. Phys. Rev., A32, 1550 (1985).
39	Shelby R.M. et al.. Phys. Rev., Lett., 57, 691 (1986).
40.	Schumaker B.L. et al., Phys. Rev. Lett., 58, 357 (1987).
41.	Milburn G.J. et al., J. Opt. Soc. Am., B4, 1476 (1987).
42.	Savage С. M.. Walls D.F., J. Opt. Soc. Am., B4, 1514 (1987).
43.	Reid M.D., Drummond P.D.. Phys. Rev. Lett., 60. 2731 (1988).
44	Waarts R.G.. Braun R-Р.. Electron. Lett., 22, 873 (1986).
45.	Lin C., Nguyen V.T., French W.G.. Electron. Lett., 14, 822 (1978).
46.	Fujii Y. et al.. Opt. Lett., 5, 48 (1980).
47.	Sasaki Y.. Ohmori Y. Appl. Phys. Lett., 39, 466 (1981).
48.	Ohmori Y, Sasaki У.. IEEE J. Quantum Electron., QE-18, 758 (1982).
49.	Sasaki Y. Ohmori Г., J. Opt. Commun., 4, 83, (1983).
50.	Gabriagues J. M.. Opt. Lett., 8, 183 (1983).
51.	Nakazawa M.. Nakashima T. Seikai S„ Appl. Phys. Lett., 45. 823 (1984).
52.	Gabriagues J. G„ Fersing L„ in: Digest of Conference on Lasers and Electro-
Optics, Optical Society of America, Washington, D. C., 1984, p. 176.
53.	Terhune R. W. Weinberger D.A.. J. Opt. Soc. Am., B4, 661 (1987).
54.	Osterberg U., Margulis W. Opt. Lett., 11, 516 (1986).
55.	Osterberg U., Margulis W. Opt. Lett., 12, 57 (1987).
56.	Farries M.C. et al.. Electron. Lett., 23, 322 (1987).
57.	Stolen R.H.. Tom H.W.K.. Opt. Lett., 12, 585 (1987).
58.	Gabriagues J. M., Fevrier H.. Opt. Lett., 12, 720 (1987).
59.	Баранова Н.Б.. Зельдович В. Я. Письма в ЖЭТФ, 1987, т. 45, с. 562.
60.	Talk В.. Kim Е.М., Salour М.М., Appl. Phys. Lett., 51, 722 (1987).
61.	Payne F.P.. Electron. Lett., 23, 1215 (1987).
62.	Farries M.C., Fermann M E.. Electron. Lett, 24, 294 (1988).
63.	Mizrahi V. et al., Opt. Lett., 13, 279 (1988).
64.	Fermann M.E. et al.. Opt. Lett., 13, 282 (1988).
65.	Krotkus A.. Margulis W.. Appl. Phys. Lett., 52, 1942 (1988).
66.	Tom H. W. K. et al.. Opt. Lett., 13. 12 (1988).
67.	Ouellette F„ Hill K.O.. Johnson D.c .. Opt. Lett., 13, 515 (1988).
68.	Bergot M.-V. et al.. Opt. Lett., 13, 592 (1988).
69.	Fermann M.E. et al.. Electron. Lett., 24, 894 (19,88).
70.	ChmelaP., Opt. Lett., 13, 669 (1988).
71.	Mizrahi V. et al., Appl. Phys. Lett., 53, 557 (1988).
72.	Saifi M.A., Andrejco M.J., Opt. Lett., 13, 773 (1988).
73	Manassah J.T., Cockings O. R.. Opt. Lett., 12, 1005 (1987).
74	Kothari N.C.. Carlotti X.. J. Opt. Soc. Am., B5, 756 (1988).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В предыдущих главах рассмотрены недавние достижения в об-
ласти нелинейной оптики волоконных световодов. Включить в книгу
самые последние результаты было сложно, во-первых, из-за разум-
ных ограничений на размер текста и, во-вторых, из-за того, что
активно проводимые исследования в этой области дают новую
информацию практически ежедневно. Некоторые важные результаты,
не вошедшие в основной текст, для большей полноты картины
приведены ниже.
В последнее время значительное внимание уделяется исследо-
ваниям нелинейных процессов в планарных световодах [1 -3], что
обусловлено их возможными применениями в интегральной оптике
[4] и в оптическом переключении [5]. Важные результаты получены
с направленными нелинейными ответвителями [6 9], в которых
зависимость показателя преломления от частоты приводит к пере-
ключению света между двумя модами волновода. Нелинейность
световода позволяет создавать цельноволоконные нелинейные на-
правленные ответвители [10 12]. В разд. 7.2 обсуждалось нелинейное
переключение в двулучепреломляющих световодах. Недавно нелиней-
ный направленный ответвитель с субпикосекундпыми временами
переключения был реализован на основе световода с двумя сердце-
винами [II]. В другой работе [13, 14] оптический эффект Керра был
использован для оптического переключения в световоде с одной
сердцевиной, поддерживающем две моды на рабочей длине волны.
Интерферометрическое переключение, обусловленное модуляцион-
ной неустойчивостью в одномодовых световодах (см. разд. 5.1),
наблюдалось в интерферометре Маха Цандера [15]. Интерес к пере-
ключению в волоконно-оптических системах будет, вероятно, сохра-
няться в силу больших надежд, возлагаемых на оптические пере-
ключения вообще [5].
Использование световодов для создания лазеров и усилителей
представляет значительный практический интерес. В гл. 8 и 9 юво-
рилось о том, как такие нелинейные эффекты, как ВКР и ВРМБ,
могут быть использованы для этой цели. Другая возможность со-
стоит в использовании световодов, легированных ионами редко-
земельных элементов [16 38]. Оптическая накачка позволяет по-
318
Заключение
лучить инверсную населенность уровней редкоземельных ионов и,
следовательно, оптическое усиление на длйне волны соответствующе-
го перехода. Легированный световод служит в качестве усилителя
или, при помещении его в резонатор, в качестве лазера. Нелинейности
в таких устройствах в основном связаны с населенностью уровней
легирующего элемента. Световод играет в некотором смысле пас-
сивную роль, выступая лишь в качестве матрицы для легирующих
ионов. Однако спектр усиления редкоземельных ионов в световодах
существенно уширен, что позволяет использовать их в перестраи-
ваемых лазерах и широкополосных усилителях.
Непрерывная генерация в волоконном неодимовом лазере при
комнатной температуре была продемонстрирована в 1974 г. [16].
С тех пор волоконные лазеры заметно усовершенствовались [17-25].
В таких лазерах возможна генерация одной продольной моды с ши-
риной дриии ~1 МГц [23]. При синхронизации мод в волоконном
лазере генерируются импульсы ~100пс [25]. Особенно большим
интересом в последнее время пользуются лазеры и усилители на
основе световодов, легированных ионами эрбия [26 32], поскольку
их рабочая длина волны (вблизи 1,55 мкм) представляет большой
интерес для волоконно-оптической связи. В волоконных лазерах
использовались и другие редкоземельные элементы, такие, как са-
марий и иттербий [33, 34]. Недавно вместо световодов из плавленого
кварца стали использоваться световоды на основе фтороцирконатных
стекол. Такие световоды, легированные неодимом, позволяют полу-
чать усиление и лазерную генерацию в области 1,3 мкм [35, 36]. Они
также применяются для работы в дальнем ИК-диапазоне вблизи
2-2,5 мкм, для чего используется легирование гольмием или тулием
[37, 38].
Некоторые световоды меняют свои оптические свойства под
действием интенсивного светового излучения в течение периода от
нескольких минут до нескольких часов. В разд. 10.5 обсуждалась
генерация второй гармоники в световодах, подвергшихся воздей-
ствию импульсов излучения на длине волны 1,06 мкм. Другой фото-
индуцированный эффект в световодах проявляется в появлении по-
стоянной решетки показателя преломления в световодах, легиро-
ванных германием, после воздействия на них непрерывного излучения
аргонового лазера вблизи 0,5 мкм. Этот эффект впервые наблюдался
Хиллом с соавторами [39] и затем интенсивно изучался [40 50]. Его
механизм, однако, не вполне ясен. Этот эффект фоточувствитель-
ности световода представляет практический интерес, поскольку све-
товод с наведенной в нем решеткой действует как низкополосный
брэгговский фильтр [40]. Кроме того, его дисперсия вблизи длин
волн, на которых формируются решетки показателя преломления,
аномальна (02 < 0). Это свойство можно использовать для ком-
пенсации материальной дисперсии световодов в системах оптической
Заключение
319
связи [46]. Более того, световоды с аномальной  дисперсией в ви-
димой области должны в принципе поддерживать в этой области
солитонный режим распространения импульсов. Они могут также
применяться для сжатия импульсов без внешней пары решеток [48].
Однако измерения показали, что аномальная дисперсия существует
только в узком спектральном диапазоне (~500 МГц) [50]. Для
сжатия пикосекундных импульсов этот диапазон необходимо уве-
личить.
Нелинейные эффекты в одномодовых световодах не должны
приводить к изменению пространственного распределения опти-
ческого поля. Иная ситуация в многомодовых световодах. Недавно
экспериментально наблюдалась самофокусировка импульса ВКР при
распространении импульса накачки длительностью 25 пс по све-
товоду с диаметром сердцевины 100 мкм [51]. В другом эксперименте
[52] распространение импульса ВКР в области аномальной дисперсии
многомодового световода приводило к формированию фемтосекунд-
ных солитонов (длительностью 70-100 фс), которые распространя-
лись в основной моде, хотя импульсами накачки (длительностью
150 пс) возбуждалось множество мод. Интересные результаты были
получены в эксперименте [53] по фазовой самомодуляции в гра-
диентных многомодовых световодах, где она проявляет качественно
новые черты по сравнению с чем, что наблюдалось в одномодовых
световодах (см. гл. 4). Все эти результаты указывают на то, что
систематическое изучение нелинейных эффектов в многомодовых
световодах представляет несомненный интерес. Данные исследования
находятся в начальной стадии и ждут своего продолжения.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Stegeman G.I. et al.. J. Lightwave Technol., 6, 953 (1988).
2.	Thylen L„ J. Lightwave Technol., 6, 847 (1988).
3.	Chemla D.S., Schmitt-Rink S.. Miller D. A. B.. in: Optical Nonlinearities and
Instabilities in Semiconductors, ed. by H. Haug, Academic, Boston, 1988.
4.	Tamir T. ed., Guided-Wavc Optoelectronics, Springer-Verlag, Heidelberg, 1988.
5.	Gustafson T. K.. Smith P. W.. eds., Photonic Switching, Springer-Verlag, Heidel-
berg, 1988.
6.	Jensen S.M., IEEE J. Quantum Electron., QE-18, 1580 (1982).
7.	Майер А. А.- Квант, электрон., т. 11, с. 157, 1984.
8.	Lattes A. et al.. IEEE J. Quantum Electron., QE-19, 1718 (1983).
9.	Wabnitz S. et al.. Appl. Phys. Lett., 49, 838 (1986).
10.	Silberberg S. R., Stegeman G.I.. Appl. Phys. Lett., 50, 801 (1987).
11.	Friberg S. R. et al., Appl. Phys. Lett., 5, 1135, (1987).
12.	Trillo S. et al.. Opt. Lett., 13, 672 (1988).
13.	Park H.G.. Pohalski C.C.. Kim B. Y, Opt. Lett., 13, 776 (1988).
14.	Penty RV„ White I. H., Travis A. R.L., Electron. Lett., 24, 1338 (1988).
15.	Islam M N.. Dijali S.P., Gordon J.P., Opt. Lett., 13, 518 (1988).
320
Заключение
16.	Stone J., Burrus C. A.. Appl. Opt., 13, 1256 (1974).
17.	Mears R.J. et al.. Electron. Lett., 21, 738 (1985).
18.	Alcock I. P. et al.. Electron. Lett., 22, 84 (1986).
19.	Jauncey I.M. el al.. Electron. Lett., 22, 198 (1986).
20.	Alcock I P. et al., Electron. Lett., 22, 268 (1986)
21.	Reekie L. et al., J. Lightwave Technol., LT-4, 956 (1986).
22.	Zian M. et al.. Opt. Lett., 12, 316 (1987).
23.	Jauncey I M. et al Electron. Lett., 24, 24 (1988).
24	Liu K. et al.. Electron. Lett., 24, 838 (1988).
25.	Doling I.N.. Goldberg L.. Weller J. F.. Electron. Lett., 24, 1334 (1988).
26.	Mears R.J. et al.. Electron. Lett., 22, 159 (1986).
27.	Reekie L. et al., Electron. Lett., 23, 1076 (1987).
28.	Hanna D.C., Kazer A., Shepherd D. P., Opt. Commun., 63, 417 (1987); 65, 355
(1988).
29.	Hanna D.C et al.. Electron. Lett., 24, 1068 (1988).
30.	Fermann M.E. et al.. Electron. Lett., 24, 1135 (1988).
31.	Mears R.J. et al.. Electron. Lett., 23, 1026 (1987).
32.	Desurvire E., Simpson J.R Becker P.C., Opt. Lett., 12, 888 (1987).
33.	Farries M.C.. Market P. R., Townsend J. E.. Electron. Lett., 24. 709 (1988).
34.	Hanna D.C. et al.. Electron. Lett., 24, 1111 (1988).
35.	Brierley M.C., Millar C. A.. Electron. Lett., 23, 816 (1987); 24, 438 (1988).
36.	Miniscalco W.J. et al.. Electron. Lett., 24, 28 (1988).
37.	Brierley M.C., France P.W., Millar C.A., Electron. Lett., 24, 539 (1988).
38.	Esterowitz E., Allen R. Aggarwal I.. Electron, Lett.. 24. 1104 (1988).
39.	Hill K.O. et al.. Appl. Phys. Lett., 32, 647 (1978).
40.	Kawasaki B.S. et al.. Opt. Lett., 3, 66 (1978).
41.	Bures J., Lapierre J., Pascale D., Appl. Phys. Lett., 37, 860 (1980).
42.	Lapierre J., Bures J . Pascale D„ Opt. Commun., 40, 95 (1981).
43.	Lam D.K. W., Garside В. K., Appl. Phys. Opt.. 20, 440 (1981).
44.	Lapierre J., Bures J., Chevalier G., Opt. Lett., 7, 37 (1982).
45.	Bures J., Lacroix S Lapierre J., Appl. Opt., 21, 3502 (1982).
46.	Lam D.K. W., Garside В. K„ Hill K.O., Opt. Lett., 7, 291 (1982).
47.	Parent M. et al., Appl. Opt., 24, 354 (1985).
48.	Winful H.G., Appl. Phys. Lett., 46 527 (1985).
49.	Stone J., J. Appl. Phys.. 62. 4371 (1987).
50.	Kuo CP. et al.. Opt. Utt., 13, 1032 (1988).
51	Baldeck P. L.. Raccah F., Alfano R. R.. Opt. Utt., 12, 588 (1987).
52.	Грудинин А.Б. и др. Письма в ЖЭТФ, т. 47, с. 297.
53.	Manassah J. Т. Baldeck P.L.. Alfano R.R., Opt. Lett., 13, 589 (1988).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ...	.....	5
Предисловие	.	.	7
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ	......... 9
1.1.	Ретроспектива ...	....	9
1.2.	Характеристики волоконных светово юв .	. .	.10
1.2.1.	Материалы и изготовление .	. ...	12
1.2.2.	Оптические потери............................. 13
1.2.3.	Хроматическая дисперсия . ...	.	-	15
1.2.4.	Модовое двулучепреломление .	. .	. .	.20
1.3.	Нелинейные эффекты в волоконных световодах .	23
1.3.1.	Нелинейное преломление ....	23
1.3.2.	Вынужденное неупругое рассеяние.	.	25
1.3.3.	Важность нелинейных эффектов ....	26
1.4.	Структура книги .	...	27
Литература .......	31
Глава 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ВОЛОКОННЫХ СВЕТО-
ВОДАХ	.33
2.1.	Уравнения Максвелла ...	33
2.2.	Моды волоконного световода ....	36
2.3.	Основное уравнение распространения	, .	41
2.4.	Численные методы.............................. .	.	49
Литература	.	52
Глава 3. ДИСПЕРСИЯ ГРУППОВЫХ СКОРОСТЕЙ .	.	55
3.1.	Разные режимы распространения	55
3.2.	Дисперсионное уширение импульсов	.	.	58
3.3.	Дисперсия высшего порядка......................... .67
3	4. Применения в оптических системах связи .	73
Литература	•	76
Глава 4. ФАЗОВАЯ САМО МОДУЛЯЦИЯ (ФСМ)	77
4.1.	Спектральное уширение под действием ФСМ	.	77
4.2.	Влияние дисперсии групповых скоростей .	85
4.3.	Образование ударной волны огибающей	96
Литература	.	•	102
Глава 5. ОПТИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ	104
5.1.	Модуляционная неустойчивость...................... 104
5.2.	Фундаментальные солитоны и солитоны	высших порядков 111
УП
Оглавление
5.3	Солитонные лазерьГ "	......... . . .	122
5.4.	Солитонные линии связи.......... ...	.125
5.4.1.	Потери в световоде	125
5.4.2.	Частотная модуляция ....	129
5.4.3.	Взаимодействие солитонов ...	.131
5.4.4.	Вопросы, связанные с конструированием конкретных со-
литонных линий связи....................................133
5.5	Нелинейные эффекты высших порядков.................... 136
Литература................................................ 143
Глава 6. СЖАТИЕ ОПТИЧЕСКИХ ИМПУЛЬСОВ...........................147
6.1.	Введение .....	147
6.2.	Пара дифракционных решеток	149
6.3.	Волоконно-решеточные компрессоры..................... 153
6.3.1.	Теория	.................. . .	153
6.3.2.	Эксперименты.................................... 159
6.4.	Компрессоры, основанные на эффекте многосолитонного сжа-
тия ...................................................... 165
6.4.1.	Теория....................................165
6.4.2.	Эксперименты..................................   167
Литература.......................................... 170
Глава 7. ФАЗОВАЯ КРОСС-МОДУЛЯЦИЯ (ФКМ).................. 172
7.1.	Нелинейное взаимодействие, обусловленное ФКМ	....	173
7.1.1.	Взаимодействие волн, имеющих различные	частоты	173
7.1.2.	Связь между компонентами вектора поляризации одной
волны............................................ 176
7.2.	Эффекты, связанные с нелинейным двулучепреломлением	178
7.2.1.	Оптический эффект Керра......................... 179
7.2.2.	Изменение формы импульсов	.183
7.2.3.	Поляризационная неустойчивость...................186
7.2.4.	Действие двулучепреломления	на солитоны......... 189
7.3.	Модуляционная неустойчивость, вызванная ФКМ . ‘.	193
7.4.	Спектральные и временные эффекты ...	198
7.4.1.	Асимметричное уширение спектра............ 199
7.4.2.	Асимметричные временные изменения . .	....	205
7.5.	Невзаимность, вызванная ФКМ....................209
7.6.	Значение для систем оптической связи . .	211
Литература	....	213
Глава 8. ВЫНУЖДЕННОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ
(ВКР)......................................................... 216
8.1.	Комбинационное (рамановское) усиление и порог ВКР ...	216
8.2.	Квазинепрерывное ВКР..................................223
8.2.1.	Однопроходная генерация стоксовых компонент .	223
8.2.2.	Волоконные ВКР-лазеры............................226
8.2.3.	Волоконные ВКР-усилители........................ 228
8.2.4.	Перекрестные помехи, обусловленные	ВКР	232
8.3.	ВКР сверхкоротких импульсов.......................... 234
8.3.1.	Теория .	....	................. 234
8.3.2.	Эксперименты....................... ...	241
8.3.3.	Волоконные ВКР-лазеры с синхронной	накачкой .	245
8.4.	Солитонные эффекты при ВКР........................... 247
Литература.................................................254
Оглавление
323
Глава 9. ВЫНУЖДЕННОЕ РАССЕЯНИЕ МАНДЕЛЬШТАМА
БРИЛЛЮЭНА (ВРМБ)........................................... 257
9.1.	ВРМБ-усиление	• •	257
9.2.	Теория	...	...	261
9.2.1	Порог ВРМБ..................................  262
9.2.2.	Истощение накачки и насыщение усиления . .	263
9.2.3.	Динамика ВРМБ .	265
9.3.	Экспериментальные результаты	269
9.3.1	Однопроходные ВРМБ	269
9.3.2.	Волоконные ВРМБ-лазеры ...	дл 272
9.3.3.	Волоконные ВРМБ-усилители	....	274
9.4.	Применения в системах оптической связи.............276
Лите	ратура ....	...	. . .	279
Глава 10. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ	.	281
10.1.	Четырехволновое смешение	....	281
10.2.	Параметрическое усиление......................... 284
10.3.	Способы получения фазового синхронизма и эксперименталь-
ные результаты  ........................................288
10.3.1.	Фазовый синхронизм в многомодовых световодах	289
10.3.2.	Фазовый синхронизм в одномодовых световодах	293
10.3.3.	Фазовое согласование в двулучепреломляющих свето-
водах ...	....	297
10.4.	Параметрическое усиление	и его	применения	...	.301
10.4.1.	Коэффициент усиления и ширина полосы .	301
10.4.2.	Экспериментальные результаты.	.	304
10.4.3.	Применения................................. 306
10.5.	Генерация второй гармоники ...	...	308
Литература	.	...	. •. .	315
Заключение ...	.	........... . -	317
Литература..............................................319
Учебное издание
Говинд П.Агравал
НЕЛИНЕЙНАЯ ВОЛОКОННАЯ ОПТИКА
Лицензия Л Р № 010174 от 22.01.92
Заведующий редакцией проф. |А.Н. Матвеев!
Зам. зав. редакцией В. В. Герасимовский
Ведущий редактор Л. И. Третьякова
Редакторы Г. Г. Сорокина, И. А. Зиновьева
Художник А. В. Захаров
Художественный редактор О. Н. Адаскина
Технический редактор Н.И. Борисова
Корректор В. И. Киселева
ИБ № 7827
Сдано в набор 1.02.95 Подписано к лечаiи 25.12.95 г. Форма1 60 х 88*'16. Бумага кн.-журнальная.
Печать офсетная. Гарнитура тайме. Объем 10.25 бум. л. Усл.иеч.л. 20,04. Усл.кр.-отт. 20.29. Уч.-изд.л.
21,89. Изд. № 2/8099. Тираж 1000 экз. Зак. 637
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Комитета Российской Федерации по печати. 129820. ГСП, Москва, И-ПО,
1-й Рижский пер.. 2.
Московская типография № 9 Комитета РФ по печати.
109033, Москва. Волочаевсжая ул. 40.
В издательстве «Мир»
в 1994 году вышла книга
Рамм А. Многомерные обратные задачи рассеяния. Пер. с англ.,
31 л., ил.
Книга известного американского специалиста посвящена изложе-
нию методов решения многомерных обратных задач математической
физики. Она может служить также введением в теорию обратных
задач, в ней сформулирован широкий спектр обратных задач для
дифференциальных уравнений и проведено их замкнутое исследова-
ние. Книга удачно дополняет вышедшие в нашей стране монографии
по этому предмету, пересекаясь с ними лишь незначительно. В ней
проводится новый метод исследования многомерных обратных задач,
развитый автором и основанный на новом понятии: полноте мно-
жества произведений решений дифференциальных уравнений с част-
ными производными. Излагаются также связанные с ними проблемы
обработки сигналов. Дана оценка устойчивости трехмерной обратной
задачи рассеяния на потенциале по данным при фиксированной
энергии.
Для математиков, физиков, инженеров, а также аспирантов и сту-
дентов старших курсов, интересующихся теорией обратных задач и их
приложениями.
Обращаться в отдел реализации издательства «Мир»: 129820,
Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2. Телефоны:
286-83-88, 286-84-55 (оптовая продажа);
286-82-33 (розничная продажа).