Автор: Дмитриев В.Г.
Теги: оптика физика нелинейная оптика квантовая электроника
ISBN: 5-9221-0080-7
Год: 2003
Текст
УДК 535
Д53
ББК 22.343
Издание осуществлено при поддержке
и Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 00-02-30048
Дмитриев В.Г. Нелинейнам оптика и обращение волнового
фронта — М.: Физматлит, 2003. — 256 с. — ISBN 5-9221-0080-7.
Монография посвящена изложению основ процесса обращения волнового
фронта (ОВФ) лазерного излучения методами нелинейной оптики. Рассмотрены
основные физические эффекты и особенности процесса ОВФ при вырожденном
трехволновом взаимодействии в квадратично-нелинейной среде, вырожденном
четырехволновом взаимодействии в кубически-нелинейных средах, при выну-
вынужденных рассеяниях света (ВКР, ВРМБ и т.п.). Даны необходимые сведения из
физической оптики, в том числе по оптическим аберрациям и возможностям
их компенсации с помощью процесса ОВФ, а также основные аспекты фурье-
оптики. Кратко изложены методы определения качества ОВФ, даны некоторые
практические схемы ОВФ и кратко обсуждается история открытия ОВФ.
Книга предназначена для специалистов, работающих в области лазерной физи-
физики, квантовой электроники, оптического и оптико-электронного приборостроения,
а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
Научное издание
ДМИТРИЕВ Валентин Георгиевич
НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА И ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
Редактор Д. А. Миртова
Оригинал макет: И. В. Шутов, В. В. Худяков
ЛР№ 071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 29.11.02. Формат 60 х 90 1/\q.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 17,6. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0080-7
9 785922 100809
ISBN 5-9221-0080-7
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
© В.Г. Дмитриев, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора .......................
ГЛАВА I
АДАПТИВНАЯ ОПТИКА И ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
§1.1 Что такое адаптивная оптика? ..................... 7
§1.2 Необходимые сведения из физической оптики ............ 16
§1.3 Аберрации в оптике и искажения волнового фронта ......... 24
§ 1.4 Обращение волнового фронта и возможности компенсации аберра-
аберраций ................................... 33
§1.5 Общие закономерности преобразования волнового фронта и его обра-
обращения в оптике ............................. 40
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом устройстве ..... 51
ГЛАВА II
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ ВЫРОЖДЕННОМ
ТРЕХВОЛНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
§2.1 Обращение волнового фронта при генерации разностной частоты . 66
§ 2.2 Качественное сравнение двух схем ОВФ при трехволновом вырож-
вырожденном взаимодействии в квадратично-нелинейной среде ...... 73
§ 2.3 К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия в квадратич-
квадратично-нелинейной среде .......................... 76
§2.4 Компенсация фазовых искажений при трехчастотном параметриче-
параметрическом взаимодействии .......................... 89
§ 2.5 Трехволновый параметрический преобразователь как пространствен-
пространственный фильтр ............................... 93
§2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты ........... 104
§2.7 Дополнительные сведения ....................... 120
§2.8 Практические схемы ТВВ-ОВФ .................... 123
§2.9 Угловые характеристики ТВВ-ОВФ .................. 129
ГЛАВА III
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ ВЫРОЖДЕННОМ
ЧЕТЫРЕХВОЛНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В КУБИЧЕСКИ-НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
§ 3.1 Общие соображения по ОВФ при четырехволновом взаимодействии.
Различные подходы к рассмотрению проблемы ........... 134
§ 3.2 О возможности ОВФ на нелинейности среды произвольного порядка 139
Оглавление
§3.3 Общие положения теории четырехволнового нелинейного взаимо-
взаимодействия (уравнения и интегралы движения) ............. 141
§3.4 О выполнении условий синхронизма при четырехволновом взаимо-
взаимодействии в кубически-нелинейной среде ............... 144
§3.5 Теория четырехволнового вырожденного взаимодействия световых
волн в кубически-нелинейной среде .................. 149
3.5.1. Приближение заданных полей накачки в отсутствие самовоздействия
A52). 3.5.2. Учет самовоздействия волн в приближении заданных полей на-
накачки A54). 3.5.3. Учет расстройки A56). 3.5.4. Некоторые результаты чис-
численного расчета A57). 3.5.5. Дополнительные замечания A60). 3.5.6. Вырож-
Вырожденное четырехволновое взаимодействие в среде с инерционной нелинейно-
нелинейностью A66).
§3.6 Обращение волнового фронта в процессе четырехволнового выро-
вырожденного взаимодействия с пространственно-модулированными вол-
волнами ................................... 169
3.6.1. Общие соображения. Функция разброса для неограниченного по попе-
поперечным координатам объема взаимодействия A69). 3.6.2. Функция разброса
при ограниченном взаимодействии по поперечным координатам A72). 3.6.3.
Влияние расходимости волн накачки A74). 3.6.4. О влиянии дифракции на
процесс ОВФ-ЧВВ A77). 3.6.5. Оптические схемы ЧВВ-ОВФ A83).
§3.7 Некоторые дополнительные вопросы ЧВВ .............. 185
3.7.1. Еще раз о механизмах ОВФ в голографическом изложении A85). 3.7.2.
О выполнении условий синхронизма при невырожденном ЧВВ A87). 3.7.3.
О связи ЧВВ с самофокусировкой света в кубически-нелинейных средах A88).
3.7.4. ОВФ при резонансных четырехфотонных взаимодействиях A92).
ГЛАВА IV
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХ
РАССЕЯНИЯХ СВЕТА
§4.1 Введение ................................ 194
§ 4.2 Общая характеристика процесса взаимодействия электромагнитных
волн с колебаниями решетки кристаллов ............... 197
§ 4.3 Вынужденное комбинационное рассеяние света ........... 204
§ 4.4 Вынужденное рассеяние Манделыитама-Бриллюэна ........ 209
§4.5 Вынужденное рассеяние света на поляритонах ............ 216
§4.6 Вынужденное рассеяние света в крыле линии Рэлея ......... 218
§ 4.7 Механизм ОВФ при вынужденных рассеяниях света ......... 223
§ 4.8 Качественная теория ОВФ при ВР света (общие соображения) ... 228
§4.9 Особенности ОВФ при ВКР ...................... 233
§4.10 Дополнительные замечания по ОВФ-ВР ............... 235
4.10.1. Об ОВФ-ВР с неполной пространственной модуляцией накачки B35).
4.10.2. О голографической интерпретации ОВФ-ВР B35). 4.10.3. ОВФ-ВР
в сфокусированных пучках накачки B36). 4.10.4. О возможности ОВФ с ис-
использованием антистоксовой компоненты ВКР B37). 4.10.5. О нестационар-
нестационарных процессах ВР B39). 4.10.6. Вынужденное температурное (энтропийное)
рассеяние B40). 4.10.7. О поляризационных свойствах ОВФ-ВР B43). 4.10.8.
К истории открытия эффекта ОВФ B43).
§4.11 Методы определения качества ОВФ-ВР и практические схемы . . . 245
Список литературы .............................. 251
МОИМДЕТЯМ
ПОСВЯЩАЮ
ОТ АВТОРА
Когда я писал эту книгу, в печати уже появился целый ряд монографий
по обращению волнового фронта и адаптивной оптике — прекрасные книги
Б.Я. Зельдовича, Н.Ф. Пилипецкого и В.В. Шкунова «Обращение волново-
волнового фронта», М.А. Воронцова и В.И. Шмальгаузена «Принципы адаптивной
оптики», Э.А. Витриченко «Введение в адаптивную оптику», В.В. Рагуль-
ского «Обращение волнового фронта при вынужденном рассеянии света»,
ряд зарубежных монографий на эту же тему. Ведущие научные журналы
мира продолжают публиковать отдельные статьи и обзоры по адаптивной
оптике и обращению волнового фронта. На этом ярком фоне появление
новой книги может показаться избыточным.
Вместе с тем, более детальный анализ опубликованных в печати статей,
обзоров и монографий показывает, что далеко не все вопросы адаптивной
оптики и обращения волнового фронта освещены адекватно и однородно.
Прежде всего это касается методов нелинейной оптики при обраще-
обращении волнового фронта лазерного излучения — трехволнового вырожден™
ного взаимодействия в квадратично-нелинейных средах (генерация раз-
разностной частоты с комплексно-сопряженным полем в вырожденном по
частоте режиме), четырехволнового вырожденного взаимодействия в ку-
кубически-нелинейных средах, вынужденных рассеяний света (комбинаци-
(комбинационного, Мандельштама^Бриллюэна, Рэлеевского, энтропийного и т.д.).
С другой стороны, идея написания данной книги родилась у автора пос-
после опубликования им в 1982 г. (совместно с Л.В. Тарасовым) книги «При-
«Прикладная нелинейная оптика», где были рассмотрены вопросы генерации
второй гармоники лазерного излучения и параметрической генерации све-
света. Предполагалось, что «Прикладная нелинейная оптика» будет состоять
из двух частей, причем во второй части основное внимание будет уделе-
уделено генерации разностных и суммарных частот в квадратично-нелинейной
среде, процессам преобразования частоты в кубически-нелинейных средах
(генерация третьей гармоники, эффекты самовоздействия и т.п.), а также
вынужденным рассеяниям света. Точно так же, как и в первой части, рас-
рассмотрение этих процессов предполагалось дать на базе единого математи-
математического аппарата и единых физических воззрений. По ряду причин издание
второй части этой книги задержалось.
Развитие методов обращения волнового фронта, прежде всего на базе
четырехволновых вырожденных взаимодействий в кубически-нелинейных
средах и вынужденных рассеяний света, естественным образом предопре-
предопределило объединение описания вышеперечисленных нелинейных процессов
под флагом обращения волнового фронта методами нелинейной оптики.
От автора
Это объединение и послужило основой появления данной книги — «Нели-
«Нелинейная оптика и обращение волнового фронта».
Тем самым, книга является фактически второй частью вышеупомяну™
той монографии «Прикладная нелинейная оптика». «Нелинейная оптика
и обращение волнового фронта», по мнению автора, сможет удачно допол-
нить вышеперечисленные монографии по адаптивной оптике и обращению
волнового фронта.
Автор надеется, что материал этой книги поможет разработчикам при-
приборов и устройств нелинейной адаптивной оптики, во-первых, разобраться
в физических основах нелинейных методов обращения волнового фронта,
и, во-вторых, четко представить себе основные факторы, ограничивающие
эффективность обращения волнового фронта, связанные с сопутствующи-
сопутствующими физическими механизмами и процессами.
Следует отметить, что, например, генерация разностной частоты в ква-
квадратично-нелинейной среде, соответствующая трехволновому вырожден™
ному взаимодействию, с точки зрения фазового синхронизма, различных
ширин последнего (температурной, спектральной и угловой), коэффици-
коэффициентов эффективной нелинейности, типов синхронизмов, типов используе-
используемых кристаллов и т.п. полностью эквивалентна генерации второй опти-
оптической гармоники в квадратично-нелинейных средах. По этой причине
данную книгу будут успешно дополнять материалы таких монографий
с участием автора, как «Прикладная нелинейная оптика» (В.Г. Дмитриев,
Л.В. Тарасов, Советское Радио, 1982), «Справочник по нелинейным кри-
кристаллам» (Г.Г. Гурзадян, В.Г. Дмитриев, Д.Н. Никогосян, Радио и Связь,
1991), "Handbook on Nonlinear Optical Crystals" (V.G. Dmitrlev, G.G. Gurza-
dyan, D.N. Nlcogosyan, Springer-Verlag, 1st ed. - 1991, 2nd ed. - 1996, 3rd ed. -
1999).
Автор приносит искреннюю благодарность профессорам Л.В. Тарасову
и Н.В. Кравцову за полезные дискуссии и замечания по материалам этой
книги.
Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность Россий-
Российскому фонду фундаментальных исследований за поддержку издания этой
книги. Автор благодарен также директору Физматлита Андреевой М.Н.
за благожелательное содействие. Автор полагает, что данная книга будет
полезна ученым и разработчикам, работающим в области исследований
и создания устройств нелинейной оптики и обращения волнового фрон-
фронта, а также студентам и аспирантам ВУЗов по специальностям «Лазерная
физика», «Квантовая электроника», «Оптическое приборостроение».
Сентябрь 1999 г.
ГЛАВА I
АДАПТИВНАЯ ОПТИКА И ОБРАЩЕНИЕ
ВОЛНОВОГО ФРОНТА
§ 1.1 Что такое адаптивная оптика?
Известно, что трудно, а подчас и невозможно, сформулировать исчер-
исчерпывающее определение многих физических понятий, имеющих достаточно
глубокое содержание. Это тем более верно для понятий, которые возникли
сравнительно недавно, не устоялись в должной степени, не освободились от
синонимов. К таким понятиям относится, в частности, понятие «адаптив-
«адаптивная оптика», имеющее синонимы «живая оптика» и «активная оптика». Оно
появилось в научной литературе недавно, в середине 70-х годов, и не так-то
просто дать ему четкое определение.
Всякое новое понятие формируется не на пустом месте. Оно всег-
всегда имеет предысторию. Предыстория адаптивной оптики — это так
называемая «жесткая оптика», под которой обычно подразумевается
обычная, классическая оптика. Для последней характерна твердость
(жесткость) применяемых оптических материалов, исключительная
точность, выдерживаемая при изготовлении из них тех или иных оп-
оптических элементов. В оптике мы практически всегда имеем дело
с интерференционными явлениями. Даже прямолинейное распростра™
пение света наглядно объясняется с позиций интерференции световых
волн. Вполне понятно, что для реализации необходимых интерферен-
ционных эффектов в оптике нужно обеспечить очень высокую точность
обработки поверхностей оптических деталей — до долей длины волны
света. При этом твердость и прочность оптических материалов должна
быть достаточной, чтобы обеспечить сохраняемость точных параметров
в течение длительного времени, несмотря на воздействия возмущаю-
возмущающих факторов (изменений температуры, механических сотрясений
и т.д.). В оптике всегда с большой точностью изготавливались дета-
детали, выполняющие функции поддержания определенных межлинзовых,
фокусных и других расстояний, обеспечения необходимой юстиров™
ки. Недаром понятия «оптика» и «точная механика» всегда стояли
рядом.
Именно «жесткость» классической оптики обусловила, в конечном сче-
счете, важнейшие свойства оптических инструментов — высокую разрешаю-
разрешающую способность, большую светосилу, высокие значения коэффициентов
безаберрационного увеличения изображений и т.д. Однако, именно та же
самая «жесткость» все чаще оказывается своеобразной ахиллесовой пятой
современной оптики. Сегодня она оборачивается явным тормозом дальней-
дальнейшего прогресса оптических систем. Яркий пример — все более возрастаю-
возрастающие и практически непреодолимые трудности создания (в рамках «жесткой
оптики») крупногабаритных наземных оптических телескопов. Дело в том,
что конструкции и элементы «жесткой оптики» являются всякий раз жестко
8 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
заданными, приспособленными к выполнению строго определенных функ-
функций. Вследствие жесткой детерминированности они не в состоянии реаги-
реагировать на изменения внешних условий, которые могут потребовать соот-
ветствующих изменений выполняемых функций.
Разумеется, многие оптические системы имеют юстирующие, наетраи-
вающие приспособления, однако использование подобных приспособлений
вступает в противоречие с требованиями обеспечения точности и высоких
параметров качества оптических инструментов. Недаром эти приспособле-
приспособления имеют относительно малый диапазон регулировки.
Выход из наметившегося тупика состоит в отказе от «жесткой опти-
ки», в развитии оптики, способной подстраиваться, приспосабливаться
к изменяющимся условиям или входным сигналам. Вот здесь и возникает
естественным образом понятие «адаптивная оптика», что означает оптику
гибкую, приспосабливающуюся. Применяемые также термины «живая оп-
тика» и «активная оптика» выглядят как очевидное противопоставление
термину «жесткая оптика».
Одна из первых в истории человечества практических реализаций прин-
ципов адаптивной оптики была, по-видимому, осуществлена задолго до воз-
возникновения собственно адаптивной оптики. Согласно известной легенде,
знаменитый Архимед с помощью зеркал, отражавших свет, поджег враже-
вражеский флот, угрожавший Сиракузам. Это произошло в 212 г. до н.э. Долгое
время считали, что легенда не соответствует действительности. Простей™
шие расчеты [1] показывали, что с помощью одного зеркала, отражающего
солнечный свет, невозможно сконцентрировать на объекте, удаленном на
сотни метров, плотность мощности, необходимую для того, чтобы загоре-
загорелось сухое дерево (около 5 Вт/см2). Однако весьма правдоподобна версия,
недавно подтвержденная экспериментально [2], согласно которой сожже-
сожжение деревянных кораблей солнечным светом могло быть осуществлено при
помощи большого количества зеркал при условии, что все зеркала фоку™
сиру ют свет в одну и ту же точку на поверхности выбранного объекта.
Зеркалами у Архимеда могли служить полированные металлические щиты
воинов. По команде каждый воин ориентировал свой щит таким образом,
чтобы направить «солнечный зайчик» в определенную точку поверхности
мишени. Совокупность большого числа таких щитов представляла собой
своеобразное адаптивное зеркало, поверхность которого образована мно™
жеством индивидуально настраиваемых отражающих элементов.
Этот пример показывает, что адаптивная оптика может использовать
(как и обычная оптика) «жесткие» оптические элементы. В данном слу-
случае принципиально, что оптическая система является нежесткой, гибкой
в целом. Весьма важно обратить на это внимание, чтобы не создавалось
впечатление, будто адаптивная оптика вообще не приемлет «жесткости».
Жесткость может присутствовать; однако при этом должна быть обеспечена
необходимая гибкость системы в целом, что позволяет ей адаптироваться
к изменяющимся условиям.
Теперь можно попытаться дать определение понятию «адаптивная
оптика».
§1.1 Что такое адаптивная оптика? 9
Адаптивная оптика — новое направление физической и технической оп-
оптики; она изучает физико-технические проблемы создания оптических си-
систем, параметры, режим работы и даже сама структура которых могут
приспосабливаться (адаптироваться) к изменяющимся внешним условиям.
Адаптация осуществляется с целью улучшения характеристик системы, оп-
оптимизации ее поведения в тех или иных условиях.
Природа создала прекрасный образец адаптивной оптической систе-
системы — человеческий глаз. Достаточно отметить способность глаза к са-
монастройке на резкость за счет изменения оптической силы хрусталика,
а также способность изменять диаметр зрачка, что позволяет регулировать
доступ света внутрь глаза и глубину резкости с поистине гигантским дина-
динамическим диапазоном.
Исходя из сформулированного определения, к адаптивным оптическим
системам следует отнести все оптические системы, которые имеют цепи
обратной связи, позволяющие корректировать параметры системы. Приме™
рами подобных систем могут служить автоматизированные системы слеже-
ния оптических телескопов за перемещающимися небесными объектами,
системы автоюстировки резонатора лазера, автоподстройки фазового син-
синхронизма при генерации оптических гармоник в нелинейных кристаллах,
автоматической стабилизации длины волны излучения перестраиваемых
лазеров и т.п.
Человек, управляющий тем или иным оптическим устройством с це-
целью оптимальной подстройки его под внешние условия, фактически также
представляет собой (вместе с настраиваемым устройством) адаптивную
оптическую систему с обратной связью, осуществляемой через глаза, мозг
и руки оператора. Надо признать, что термин «адаптивная оптика» оказы-
оказывается очень емким. Получается, что с адаптивной оптикой мы фактиче-
фактически имеем дело очень давно — поистине со времен Архимеда. Можно ли
в таком случае говорить сегодня об адаптивной оптике как о новом научно-
техническом направлении?
Как специальное научно-техническое направление адаптивная оптика
стала формироваться только в последние годы — на основе достижений
современной нелинейной и лазерной оптики, вычислительной техники, ки-
кибернетики, оптоэлектроники. В рамках этого направления мы можем сего-
сегодня рассматривать важные в практическом плане задачи корректировки вол-
волнового фронта световых пучков, подвергающегося каким-либо искажаю-
искажающим воздействиям.
Представим себе, не вникая в детали, световой пучок, распростра-
распространяющийся от некоего излучателя к приемнику. На пути от излучателя
к приемнику световое излучение взаимодействует со средой и различны-
различными оптическими элементами, например линзами, зеркалами, специальными
кристаллами, диафрагмами. Совокупность всех этих элементов вместе со
средой, через которую распространяется световой пучок, будем называть
оптическим трактом. Что происходит с пучком света по мере прохождения
его по оптическому тракту? Во-первых, постепенно падает интенсивность
из-за поглощения и ухода части излучения за пределы оптического тракта.
10 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Во-вторых, накапливаются искажения волнового фронта светового пучка;
они обусловлены турбулентностью среды, неоднородностью материала оп-
тических элементов, различными деформациями этих элементов (в том чие-
ле деформациями, наведенными за счет температурных и механических на™
пряжений). Используя методы адаптивной оптики, можно в существенной
мере исправить (скомпенсировать) искажения волнового фронта светового
пучка. Исправление этих искажений осуществляют по всему полю изобра-
изображения, передаваемого по оптическому тракту, т.е. по всей апертуре свето-
светового пучка. При этом важно успевать отслеживать изменения искажений во
времени (корректировка в реальном времени). Например, характерное вре-
время изменения искажений, связанных с турбулентностью атмосферы, лежит
в диапазоне 10"—10~~3 с; это предъявляет соответствующие требования
к быстродействию адаптивной системы.
Учитывая сказанное, мы можем сформулировать более узкое (неже-
(нежели приведенное выше) определение адаптивной оптики. Согласно этому
определению, адаптивная оптика изучает физико-технические проблемы
создания оптических систем, в которых осуществляется корректировка
в реальном времени волнового фронта световых пучков, подвергающегося
искажающим воздействиям в том или ином оптическом тракте. Разуме-
Разумеется, при этом заметно сужается термин «адаптивная оптика», коль скоро
он стал ограничен проблемами корректировки волнового фронта световых
пучков.
По мере развития науки и техники будет расширяться круг задач, ко-
которые могут практически решаться в рамках адаптивной оптики. Соответ-
Соответственно будет возрастать и емкость применяемого на практике термина
«адаптивная оптика». Сегодня содержание этого термина в основном сво-
сводится к проблеме корректировки волнового фронта.
Следует подчеркнуть, что предоставляемая адаптивной оптикой (на сего-
сегодняшнем уровне ее развития) возможность компенсации искажений волново-
го фронта светового пучка, распространяющегося в воздушной либо водной
среде, имеет исключительное практическое значение. Это важно, в частно-
частности, для задач наземной или подводной передачи оптических изображений.
По данному поводу американский исследователь Д.Фрид выразился следую-
следующим образом: «Так же, как о погоде, многие имели обыкновение рассуждать
о турбулентности земной атмосферы, но никто не пытался с ней бороться.
Однако теперь ситуация быстро меняется. Оптическая техника достигла та-
такого уровня развития, что у нее появилась возможность как-то противостоять
вредному влиянию турбулентности на распространение оптического сигнала.
Это «как-то» получило название «адаптивная оптика» [3, 4].
Заметим, что определение Д. Фрида приводит к еще большему суже-
сужению термина «адаптивная оптика», и, разумеется, адаптивная оптика уже
сегодня не ограничивается рассмотрением лишь тех искажений волново-
волнового фронта, которые связаны с турбулентностью атмосферы. Исследуются
возможности учета широкого комплекса искажающих факторов. Например,
следует указать задачи создания современных оптических телескопов. Те-
Телескопы третьего поколения имеют диаметр главного зеркала около 5 м.
§1.1 Что такое адаптивная оптика? 11
Теоретическая величина предельного разрешения таких телескопов поряд-
порядка 0,01 угловой секунды. Однако, как известно, реальное разрешение ока-
оказывается равным нескольким угловым секундам, т.е. в сто раз хуже теоре-
тического. Это объясняется как турбулентностью атмосферы, так и дефор-
деформациями, неизбежно возникающими в рефлекторе телескопа. Для улучше-
улучшения разрешения стремятся ослабить влияние турбулентности атмосферы,
устанавливая телескопы в высокогорных районах или даже за пределами
атмосферы (в космосе). Другой путь предполагает увеличение размеров
рефлектора (к концу столетия планировалось создание телескопа с рефлек-
рефлектором диаметром 25 м). Очевидно, что оба указанных пути связаны с ие-
ключительно высокими затратами средств и требуют решения сложнейших
технических проблем [5]. Неудивительно, что разработчики современных
телескопов проявляют возрастающий интерес к адаптивным оптическим
системам. В адаптивном телескопе возможно эффективно скомпенсировать
искажения волнового фронта светового пучка, вносимые атмосферой. Кро-
ме того, адаптивная оптика позволяет скомпенсировать дефекты самого
рефлектора, возникшие как при его изготовлении, так и в процессе экс-
эксплуатации. В итоге оказывается возможным получить угловое разрешение,
близкое к предельному теоретическому. Адаптивная оптика позволяет так-
также устранить ошибки, возникающие при наведении телескопа на объект
и при сопровождении объекта [6].
Отметим еще одну проблему — проблему осуществления лазерного
термоядерного синтеза. В специальных лазерных установках, создаваемых
для решения этой проблемы, используются мощные импульсные лазеры
и сложные системы многокаскадного усиления световых импульсов в боль-
большом числе параллельных каналов — с последующей фокусировкой излу-
излучения на термоядерную мишень (содержащую во внутренней своей части
смесь дейтерия и трития). Активные среды усилителей, многочисленные
светоделители, элементы фокусирующих устройств, а также воздушные
промежутки вносят накапливающиеся искажения в волновой фронт свето-
светового импульса; поэтому оказывается невозможной достаточно эффективная
фокусировка излучения на мишень. Используя методы адаптивной оптики,
можно, в принципе, скомпенсировать искажения волнового фронта и обес-
обеспечить эффективную жесткую фокусировку [7, 8].
Круг вопросов, относящихся к адаптивной оптике, уже сегодня доста-
достаточно широк. Приведенные примеры показывают это вполне четко. Однако
разговор о том, что такое адаптивная оптика, будет неполным, если не
коснуться общих принципов реализации корректировки волнового фронта
световых пучков.
Для корректировки волнового, или фазового, фронта надо, прежде все-
всего, получить информацию о характере искажений фронта, вносимых дан-
данным оптическим трактом. Затем на излучающем конце тракта необходимо
внести в передаваемый оптический сигнал соответствующие противофаз-
противофазные искажения («предыскажения»), которые бы скомпенсировали все те
изменения волнового фронта, которые внесет оптический тракт. Можно
поступить иначе: скорректировать переданный сигнал на приемном конце
12
Адаптивная оптика и обращение волнового фронта
Гл.1
тракта и скомпенсировать искажения волнового фронта, внесенные трак-
трактом. В первом случае мы имеем дело с излучающей (передающей) адап-
адаптивной системой, а во втором — с принимающей. Пример передающей
адаптивной системы — лазерная установка термоядерного синтеза; при™
мер принимающей системы — оптический телескоп.
В передающих адаптивных системах используют два метода — обра-
обращения волнового фронта (фазового сопряжения) и апертурного зондиро-
зондирования. В системах с обращением волнового фронта (рис. 1.1) излучение,
посланное на мишень (объект, находящийся на приемном конце тракта),
образует на ней совокупность относительно ярких бликов (так называемый
Устройство воздействия
на волновой фронт
Оптический
тракт
Объект
Анализатор
волнового фронта
Устройство
обработки данных
Рис. 1.1
«спекл» — структуру, от английского слова «specie» — пятно). Каждый
блик должен быть достаточно мал, с тем, чтобы его можно было рассматри-
рассматривать как точечный излучатель, посылающий назад по тракту сферическую
световую волну. Распространяясь по тракту в обратном направлении, эта
волна испытывает те же искажающие воздействия, что и волна от основного
излучателя, проходящая тракт в прямом направлении. На излучающем кон-
конце тракта, снабженном узкопольным оптическим приемником, искаженная
волна, пришедшая от блика, сравнивается (в анализаторе волнового фронта)
с неискаженной, т.е. сферической, волной. На основании этого сравнения
устройство обработки данных рассчитывает необходимое предыскажение
(противофазное искажение), которое надо ввести в излучаемый волновой
фронт, чтобы скомпенсировать искажения, вносимые трактом. Данный ме-
метод называют методом фазового сопряжения или методом обращения вол-
волнового фронта, поскольку сопряженную по фазе световую волну можно
интерпретировать как волну с обращенным фронтом. Этой волне соответ-
соответствуют световые лучи, имеющие точно такие же траектории, что и в исход™
ной волне, но распространяющиеся в обратном направлении.
§1.1
Что такое адаптивная оптика?
13
В системах, работающих по методу апертурного зондирования (рис. 1.2),
измеряют мощность света, отраженного единичным бликом от мишени. Про™
изводятся многократные пробные возмущения излучаемого волнового фронта
и всякий раз измеряется мощность света, отраженного бликом, на фотопри-
фотоприемнике. Устройство обработки данных выявляет возмущения, приводящие
к увеличению этой мощности, а прочие возмущения отбрасывает. Происхо-
Происходит своеобразный процесс итераций (последовательных приближений), ко™
торый заканчивается тогда, когда не удается более повысить яркость блика.
Пробные возмущения волнового фронта производят в различных точках поля
изображения; отсюда и название метода — апертурное зондирование.
Устройство воздействия
на волновой фронт
Оптический
тракт
Лазер
Устройство
обработки
данных
••¦ .-•'''" I !риемник
интенсивности
Рис. 1.2
В принимающих адаптивных системах используются методы компен-
компенсации волнового фронта и повышения резкости изображения. В системах
с компенсацией волнового фронта (рис. 1.3) часть светового пучка, несущего
искаженное оптическим трактом изображение, поступает в анализатор вол™
нового фронта, где происходит сравнение с неискаженным изображением.
Анализатор производит двумерный (в плоскости изображения) анализ иска™
жений; создается «карта ошибок», поступающая затем в устройство обработ™
ки данных, которое вырабатывает необходимую коррекцию для устройства
воздействия на искаженное изображение. В результате такой коррекции сиг-
сигнал ошибки в анализаторе волнового фронта обращается в нуль.
В системах с повышением резкости изображения устройство воздей-
воздействия на волновой фронт производит пробные возмущения фронта прини-
принимаемого изображения. Устройство обработки данных выявляет возмуще-
возмущения, приводящие к увеличению резкости изображения. Процесс итераций
заканчивается по достижении максимального «качества» изображения.
14
Адаптивная оптика и обращение волнового фронта
Гл.1
Нетрудно заметить сходство метода компенсации волнового фронта
с методом обращения фронта; точно также налицо сходство метода по™
вышения резкости изображения с методом апертурного зондирования [6].
Напрашивается вывод, что создание адаптивных оптических систем
с корректировкой волнового фронта требует решения ряда достаточно
Устройство воздействия
на волновой фронт
Оптический тракт
) i
Устройство
обработки
данных
Рис. 1.3
Приемник
изображения
7
Анализатор
волнового
фронта
сложных технических задач, связанных с расчетом и конструировани-
конструированием устройств обработки данных и воздействия на волновой фронт. Во
всех системах фазовая коррекция осуществляется при помощи специаль-
специально сформированных сигналов, подаваемых в устройство воздействия на
волновой фронт.
Последнее замечание справедливо по отношению к линейным адаптив-
адаптивным системам. Существуют, однако, нелинейные системы с обращением
волнового фронта. Анализ искажений и коррекция фронта осуществляет-
осуществляется в таких системах в известном смысле «автоматически»; в этом случае
не нужно специально формировать корректирующий сигнал. Он реализу™
ется для данного оптического тракта автоматически — в результате обра-
обращения волнового фронта светового пучка в нелинейной среде. Обращение
фронта происходит на основе некоторых нелинейно-оптических эффектов
и представляет собой, пожалуй, наиболее интересное физическое явление
в адаптивной оптике на современном этапе ее развития [6].
Говоря об обращении волнового фронта в нелинейной среде, часто ис-
используют термин «нелинейное зеркало». Такое «зеркало» отражает каж-
каждый падающий на него световой луч строго назад, как бы поворачивает
его точно на 180°. В отличие от обычных зеркал, зачастую здесь нет какой™
либо отражающей поверхности. Отраженная световая волна с обращенным
§1.1
Что такое адаптивная оптика?
15
Нелинейное
зеркало
Рис. 1.4
фронтом генерируется в объеме нелинейной среды. Представление о «нели-
«нелинейном зеркале» дает рис. 1.4; сплошными стрелками показаны световые
лучи, падающие на «зеркало», а штриховыми стрел-
- отраженные лучи (им отвечает световая вол™
ками-
камина с обращенным фронтом).
Таким образом, линейная передающая адаптив-
адаптивная система включает в себя анализатор фронта,
устройство обработки данных, устройство воздей-
воздействия на волновой фронт. В нелинейной передаю-
передающей системе все эти сложные в техническом отно-
отношении блоки заменяет «нелинейное зеркало», со-
содержащее нелинейную среду (нелинейный кристалл
или жидкость в кювете). Естественно, что с технической точки зрения адап-
адаптивная оптическая система в данном случае весьма упрощается.
Для обращения волнового фронта в «нелинейных зеркалах» используются
в основном две группы нелинейных эффектов — параметрические процессы
взаимодействия световых волн в нелинейных средах и процессы вынужден-
вынужденного рассеяния света; возможно использование и других процессов [9].
Говоря о параметрических процессах, выделим, во-первых, так называе-
называемое вырожденное трехфотонное взаимодействие в квадратично-нелиней-
квадратично-нелинейных средах и, во-вторых, вырожденное четырехфотонное взаимодействие
в кубически-нелинейных средах. В дальнейшем мы подробно рассмотрим
каждый из этих процессов с точки зрения обращения волнового фронта.
Отдельно будет рассмотрено обращение волнового фронта на основе про-
процессов вынужденного рассеяния света.
В заключение обратимся к структурной схеме нелинейной адаптивной
оптической системы; она представлена на рис. 1.5. Лазер-излучатель по-
посылает на мишень световой пучок, волновой фронт пучка претерпевает
Оптический тракт
Нелинейное
зеркало
Мишень
Лазер-излучатель
Рис. 1.5
на пути к мишени определенные искажения. Вид этих искажений, впро-
впрочем, совершенно несуществен; важно лишь, чтобы на мишени в составе
спекл-структуры возник яркий блик, являющийся источником сферической
волны. Сферическая световая волна проходит через усилитель и попадает
16
Адаптивная оптика и обращение волнового фронта
Гл.1
в нелинейное зеркало. Проходя по оптическому тракту от мишени до «зерка-
«зеркала», волна как-то искажается. В «нелинейном зеркале» генерируется обра-
обращенная по фазе световая волна, которая, взаимодействуя с искажающей
волновой фронт средой, образует на мишени усиленную неискаженную
(сферическую) световую волну. Иными словами, отраженная бликом сфе-
сферическая волна, распространяясь по тракту (и при этом усиливаясь), пре™
терпевает искажения, а волна с обращенным фронтом, распространяясь по
тому же тракту в обратном направлении, эти искажения компенсирует.
Система
фокусировки
Лазер
Мишень
Система
фокусировки
Рис. 1.6
Подобные адаптивные системы могут использоваться, в частности, в ла-
лазерных установках управляемого термоядерного синтеза. Принципиальная
структурная схема такой лазерной установки показана на рис. 1.6.
§ 1.2 Необходимые сведения из физической оптики
Плоская волна. Из уравнений Максвелла следует хорошо известное
волновое уравнение для электромагнитного поля Е (г, t):
4тг<92Р
—
(l.i)
§ 1.2 Необходимые сведения из физической оптики 17
где r,t — пространственная и временная координаты соответственно, Р —
диэлектрическая поляризация (см., например, [10]). В простейшем случае
линейной однородной среды (Р = хЕ, где к = Dтг) (е — 1) —линейная
диэлектрическая восприимчивость, е — диэлектрическая проницаемость)
и отсутствия зависимости поля Е от поперечных координат ж, у уравнение
A.1) имеет вид
9^Е ^^Е
к ' }
dz2 с2 dt2 '
Хорошо известно, что замена переменных вида z — ct/y/ё = rj9 z +
+ ct/л/е = ? приводит уравнение A.2) к виду
' =0, A.3)
общим решением которого служит выражение типа
Е = Ei G7) + Е2 (f) = E1(z- vt) + E2 (z + <», A.4)
где г; = с/л/ё — фазовая скорость распространения волны.
Аргумент функции Еь т.е. величина z — vt, не изменяется, если z и t
заменить на z + vt и t + т соответственно, где т — произвольная величина
времени: z + vt — v (t + т) = z — vt. Отсюда следует, что возмущение
Ei распространяется в положительном направлении оси z со скоростью
v = с/л/Е, называемой фазовой скоростью распространения волны, а воз™
мущение Е2 распространяется с той же скоростью v в отрицательном на-
направлении оси z. Так как в каждый момент времени t величина Е постоянна
в плоскости z = const, такую волну называют плоской волной.
Наибольший практический интерес представляют решения вида A.4),
обладающие периодичностью по координатам rj, ?, т.е. гармонические ре-
решения вида exp (jourj/v); exp (ju)?/v).
Тогда решение уравнения A.2) может быть записано в виде
Е = Ai exp [j (out - kz)} + A2 exp [j (ut + kz)], A.5)
где к = ooyfe/c — волновое число, Ai;2 — комплексные амплитуды. В об-
общем случае в A.5) вместо kz следует писать скалярное произведение вида
кг, где г — радиус-вектор данной точки, к — волновой вектор.
Очевидно, что решение A.5) не изменится, если заменить z на z + А,
где Л = 2тге/ (шл/е) = 2тт /к — длина волны света в среде с показателем
преломления п = л/е. Соответствующая длина волны в вакууме Aq =
= Лу^ = 2тгс/ш.
Рассматривая только волну, распространяющуюся в положительном на-
направлении, запишем более общее выражение для плоской линейно-поляри-
линейно-поляризованной волны в виде
Е (г, i) = - {еАещз [j (cut — kr)l + к.с.} , A-6)
2
2 В. Г. Дмитриев
18 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
где единичный вектор е характеризует направление колебаний электриче-
электрического поля, т.е. поляризацию волны (не путать с поляризацией диэлектри-
ка, описываемой вектором Р!), а обозначение к.с. означает комплексно-
сопряженный член.
В каждый момент времени величина поля Е постоянна в плоскостях
кг = const, перпендикулярных вектору к. Эти плоскости, очевидно, пред-
представляют собой поверхности постоянной фазы или волновую поверхность,
волновой фронт. Для плоской волны волновая поверхность и поверхность
постоянной амплитуды совпадают, так как А = const. Такая гармониче-
гармоническая волна называется однородной волной.
Квазиплоскам волна. Во многих практически важных случаях необ-
необходимо записать решение волнового уравнения A.1) в более общем виде
(сравнить с A.6)):
E(r,t) = i{eA(r)exp[j(a;t-^(r))]+ к.с.}, A.7)
где А(г)шд (г) — скалярные функции пространственной координаты. Здесь
волновая поверхность определяется уравнением д (г) = const, а поверх-
поверхность постоянной амплитуды — уравнением А (г) = const. Очевидно, что
в общем случае эти поверхности не совпадают. Такая волна называется
неоднородной.
При g (r) = кг и некоторых дополнительных условиях, накладыва-
накладываемых на функцию А (г), волну A.7) можно считать квазиплоской, т.е.
соответствующей плоской волне с модулированной по пространству
амплитудой. Такие волны встречаются, например, в теории нелинейно-
оптических явлений Г131 и носят название плоских волн с пространственно™
модулированной амплитудой, или квазиплоских волн.
Рассмотрим эти дополнительные условия, при которых можно считать
волну квазиплоской. Для простоты рассмотрим периодическую синусои-
синусоидальную модуляцию амплитуды поля по пространству, например, по оси х:
А (г) = Ао cos (kxx). A.8)
Волна при этом распространяется по оси z с волновым числом kz; при
этом ку = 0 (кх, ky,kz — составляющие вектора к по осям x,y,z;r = \г =
= л/х2 + у2 + z2).
Выражение A.8) описывает стоячую волну по оси х; хорошо известно,
что такая волна является суперпозицией двух бегущих по оси х навстречу
друг другу волн:
A cos (кхх) = -А (ехр (jkxx) + exp (-jkxx))
(временной множитель содержится в выражении для полного поля Е A.7)
при g (г) = кг, где к = |к| = Jk% + Щ + к%). Тогда поле Е (г, i) можно
§1.2
Необходимые сведения из физической оптики
19
представить в виде
Е (г, t) = -eA0{exp\j (u;t - kxx - kzz)}
exp[j (out + kxx - kzz)}
с.}. A.9)
Из выражения A.9) следует, что полное поле есть сумма двух истинно
k2ZJ распространяющихся под
плоских волн с волновым числом к =
углами (а) и (—а) относительно оси z
(рис. 1.7), где а = arctg(kx/kz) =
= amsm(kx / к).
Мы будем называть суммарное по™
ле квазиплоской волной при выполне-
нии условия а « kx/kz « kx/k <C 1.
Другими словами, волну с синусои-
синусоидально модулированной по простран™
ству (в поперечном сечении) ам-
амплитудой мы будем называть квази-
квазиплоской волной, если расходимость,
характеризуемая углом а и появляю-
появляющаяся, очевидно, вследствие дифрак-
дифракционного расплывания пучков, прене-
пренебрежимо мала.
В более сложном, но практически
более часто встречающемся, случае
пространственная модуляция ампли-
амплитуды поля описывается более слож-
сложной функцией, характеризующей по-
поперечное распределение амплитуды
поля в реальном световом пучке; примером может служить пучок с равно-
равномерным распределением амплитуды по всему сечению пучка с конечным
диаметром а:
А (ж, у) = Aq при —а/2
А (ж, у) = 0 при
Другой пример — гауссовы пучки:
/ х<
А(х,у) = Аоехр
^ ж,у ^ а/2,
х\,\у\ > а/2.
A.10)
-\- у2
A.11)
где wq — радиус пучка по уровню е интенсивности.
Разлагая пучки A.10), A.11) в интеграл Фурье по пространственным
частотам, нетрудно найти пространственный спектр этих пучков; так, для
20 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
«прямоугольного» пучка A.10) имеем
S(kx,ky) =
+а/2 +а/2
sm(kxa/2) sm(kyaf2)
= Ао I exp[-j(kxx + kyy] dx dy = Aoa
J J
-a/2 -a/2
Для гауссова пучка A.11) имеем
кхкуа2/4
-а/2 -а/2
S (kx, ky) = л/пш0 exp [-(kl + k2y) wl/A] .
Определяя ширину спектра как такую величину, в которой сосредото-
сосредоточено 90% энергии (разумеется, что это число выбрано произвольно), для
величины спектра АкХ9 Аку, т.е., тем самым, для максимальных (для за-
заданного критерия в 90%) значений fe™ax и ^™ах получаем значения 5,1 /а
и 1,64/гоо для прямоугольного и гауссова пучков соответственно. Для угла а
получим, соответственно, значения 0,81Л/аиО,26Л/гоо.
Таким образом, как и следовало ожидать, расходимость 2а представляет
собой дифракционную расходимость пучка диаметром а (или 2wq). Вол-
Волну можно считать квазиплоской, если дифракционная расходимость пучка
пренебрежимо мала (например, не приводит к существенному расплыва™
ншо пучка на заданном расстоянии или существенно меньше естественной
расходимости пучка).
Сферическая волна. В случае сферически-симметричного приближе-
1 д2
ния rot rot E = ^АЕ = -^^- (гЕ) уравнение A.1) принимает вид
г orz
г or
д2 е д2
AЛ2)
(величина г = л/х2 + у2 + z2 внесена из левой части исходного уравнения
в правую под знак дифференцирования).
Сравнивая A.12) и A.2) видим, что оба уравнения совпадают, если в A.2)
заменить Е на гЕ; поэтому решение уравнения A.12) по аналогии с A.4)
следует записать в общем виде
E(r,t) = -[E1(z-vt) + E2{z + vt)}. A.13)
Решение A.13) представляет собой сумму сферических волн, одна из
которых распространяется в положительном направлении радиуса г {расхо-
{расходящаяся сферическая волна), другая, соответственно, является сходящейся
сферической волной. Обе волны распространяются со скоростью v = с/л/е.
Для гармонической расходящейся сферической волны, по аналогии
с A.6), получаем
1 Г А ]
E(r,t) = - ie—exp\j(u)t-kr)] + к.с. L A.14)
2 [ г J
§ 1.2 Необходимые сведения из физической оптики 21
Очевидно, что амплитуда волны с ростом г убывает по гиперболическо™
му закону. Поверхности равной фазы в сферической волне определяются
условием г = const.
Приближение геометрической оптики. Поскольку длина волны света
в видимом и ближних ИК- и УФ-диапазонах весьма мала (^ 10~4—10~5 см),
то во многих практически важных приложениях можно пренебречь конеч-
конечной величиной длины волны; в этом случае А —>• 0. Поскольку оптические
законы в этом приближении можно описать на языке геометрии, соответ-
соответствующий раздел оптики называется геометрической оптикой. Энергия
света в геометрической оптике распространяется вдоль так называемых
световых лучей, причем поведение лучей в среде идентично поведению
плоских волн (включая поляризационные явления). Геометрическая опти-
оптика не описывает явлений, подобных дифракции. Можно сказать, что гео-
геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики или
волновой оптикой в приближении очень коротких длин волн. Подробнее
о геометрической оптике см. [10].
Заметим, что явление возникновения «боковых» плоских волн, возни-
возникающих вследствие пространственной модуляции основной волны в попе-
поперечном сечении и распространяющихся под углом дифракции а (см. преды-
предыдущий пункт), исчезает при А —>• 0 (при к —>• оо), т.е. именно в приближении
геометрической оптики. Световой луч есть математическая абстракция, во
многих случаях она адекватна реальной ситуации; однако следует помнить,
что свет представляет собой волновое явление и что необходимо обосно-
ванно пользоваться законами геометрической оптики.
Принцип Ферма: траектория светового луча между двумя точками ми-
минимизирует время распространения между ними. Отсюда следует, что изме-
изменение направления распространения не изменяет траектории луча. Другими
словами (см. [10]), оптическая длина L реального луча между любыми дву-
р2
мя точками Pi ш Р2, равная L = J n ds9 короче оптической длины любой
Pi
другой кривой, соединяющей эти точки и лежащей в некоторой регулярной
окрестности луча; здесь п — коэффициент преломления, s — путь луча.
Под регулярной окрестностью понимается
область, которую можно заполнить лучами Зеркало
таким образом, что через каждую ее точку
будет проходить один и только один луч. 0т-
р2 р2
сюда следует, что J n ds = с J dt; поэтому
Pi Pi
принцип Ферма называют также принципом
наименьшего времени.
В случае невыполнения условия регу™
лярности, оптическая длина пути может ока-
оказаться не минимальной (рис. 1.8). Через точку Р^ проходят два луча: Р\Р^
и PiMP2; из них абсолютно минимален Р1Р2, а Р\МР2 минимален лишь
22 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
по отношению к произвольным лучам в некоторой окрестности луча
РгМР2.
Из принципа Ферма непосредственно следует, что оптическая длина
пути между любыми двумя волновыми фронтами одинакова для всех лу-
лучей (после любого числа отражений и преломлений луча) — это принцип
равного оптического пути. Этот результат сохраняет свою силу и при
распространении в среде с непрерывно изменяющимся коэффициентом
преломления.
Принцип Гюйгенса. Этот принцип был выдвинут в XVII веке вы™
дающимся физиком Гюйгенсом и может быть сформулирован в следующей
форме [10]: каждая точка, до которой доходит световое возбуждение, яв™
ляется в свою очередь центром вторичных волн; поверхность, огибающая
в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение
(к этому моменту времени) фронта действительно распространяющей™
ся волны.
В несколько иной формулировке: каждый элемент волнового фронта
можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего
вторичные сферические волны. Волновым фронтом в любой последующий
момент времени служит огибающая этих вто-
х i x Sf S S" ричных волн.
lx'hxl Заметим, что в однородной среде можно
строить вторичные сферические волны ко-
конечного, а в неоднородной — только бес™
конечно малого радиуса (рис. 1.9). Принцип
Гюйгенса предполагает наличие как прямых,
так и отраженных (обратных) волн; другими
словами, исходя из принципа Гюйгенса, каж-
каждой из прямых волн можно сопоставить вол-
волну, распространяющуюся в обратном направ-
направлении.
Френель дополнил принцип Гюйгенса ин-
интерференцией волн: вторичные волны интерферируют между собой. В этой
формулировке этот принцип называется принципом Гюйгенса-Френеля.
Таким образом, принцип Гюйгенса в первоначальной формулировке явля™
ется принципом геометрической оптики и указывает лишь направление
распространения лучей. Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить
и дифракционные явления, т.е. относится уже к волновой теории света.
Формально введенная Гюйгенсом огибающая поверхность вторичных
сферических волн благодаря идее Френеля об интерференции последних
приобрела ясный физический смысл как поверхность, где вследствие взаим™
ной интерференции вторичных сферических волн результирующая волна
имеет заметную интенсивность [10]. Вследствие этого, принцип Гюйгенса-
Френеля является основным принципом волновой оптики.
Принципу Гюйгенса в первоначальной форме была присуща трудность,
состоящая в том, что из него следует наличие двух волн — прямой и обрат-
обратной, причем обратная волна распространяется обратно к источнику (см. [11]
§ 1.2 Необходимые сведения из физической оптики 23
и рис. 1.9). Понять отсутствие отраженной волны, т.е. фронта Sn\ можно из
тех соображений, что возмущение от S идет вперед и назад, т.е. к S1 и S'1 со-
соответственно. Но перед S, т.е. в S\ возмущения еще нет, а сзади 5, т.е. в 5;/,
оно уже пришло, и действие от S сводится к тому, чтобы это пришедшее
возмущение скомпенсировать. В результате возмущение проходит через S
и идет дальше. В теории Кирхгофа отсутствие обратной волны получает™
ся автоматически; Френелю же пришлось ввести специальное допущение,
запрещающее обратную волну.
Итак, принцип Гюйгенса не дает обратной (обращенной) волны, но
показывает возможность ее появления. Тем самым, этот принцип указывает
на возможность существования волны с обращенным волновым фронтом.
Эйконал; геометрический волновой фронт как поверхность посто-
постоянного эйконала. Эйконалом в геометрической оптике называют оп-
оптическую длину пути L, которая в общем случае является функцией
пространственной координаты г:
L (г) = га (г) dS.
j
s
Выведем общее уравнение для эйконала, являющееся основным в гео™
метрической оптике. Подставляя плоскую электромагнитную волну A.6)
в уравнение A.1) и используя равенство rot rot E = ^АЕ получаем (пре-
(пренебрегая векторным характером волн)
АЕ + ек2Е = 0. A.15)
Предположим, что Е = EQ(x, у, z) exp(juji), где функция Е0(х, у, z) =
= А(х, у, z) e^p[—jkL(x, t/, z)\ и что величина е = п2 зависит от ж, у, z, т.е.
будем рассматривать неоднородную среду. Из A.15) получаем
А^о + ?к2Е0 = 0.
Подставляя сюда Ео (ж, у, z) и производя вычисления лапласиана, имеем
[10, 12]:
к2А{е - |VL\2} - jk {2 (VA) (VL) + AAL} + AA = 0, A.16)
где V — оператор «набла». Устремляя !с^оо(А^0),т.е. переходя к при™
ближению геометрической оптики, получаем
к к
X7L = gradL = —\[е = —п,
где вектор к определяет направление нормали к поверхности Ь(ж, у, z).
Заменяя градиент производной по направлению, получаем решение для
эйконала: Ь(х, y,z) = J п(ж, у, z)k dS/k.
s
Заметим, что когда мы производили операцию перехода к приближе™
нию геометрической оптики в A.16), мы пренебрегли там тремя членами,
24 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
исчезающими при к —>• оо. Точный расчет показывает, что при к Ф оо, т.е.
в реальных ситуациях, тем не менее можно пользоваться приближением
эйконала (уравнение которого является геометрическим аналогом волно-
волнового уравнения) при выполнении следующих условий [10, 12]: 1) измене-
изменение амплитуды на длине волны света должно быть много меньше самой
амплитуды: V'А <С к An; 2) радиус кривизны волнового фронта должен
быть много больше длины волны света; 3) радиус кривизны поверхности
равных амплитуд должен быть много больше квадрата отношения длины
волны света к амплитуде; 4) изменение показателя преломления на длине
волны света должно быть много меньше самой величины коэффициен-
коэффициента преломления; 5) линейные размеры волнового фронта должны быть
много больше длины волны.
Поверхность L (г) = const является поверхностью равных оптических
путей, геометрической волновой поверхностью или геометрическим волно-
волновым фронтом. Таким образом, в геометрической оптике волновой фронт
есть поверхность постоянного эйконала.
Принцип Ферма в терминах теории эйконала звучит так: при распро-
распространении света эйконал минимизируется:
^2
L(P1,P2)= |
На теории эйконала базируются расчеты идеальных и аберрационных
(реальных) оптических систем, в том числе расчеты сферических аберра-
аберраций, комы, астигматизма, дисторсии и т.п., светосилы оптических систем
и многих других их параметров. Еще раз подчеркнем, что такие параметры
этих систем, как разрешающая способность, могут быть рассчитаны только
на базе волновой теории.
Заметим, что в последнее десятилетие в литературе появились работы,
адекватно трактующие существенно волновые явления, например дифрак-
дифракцию, на языке геометрической оптики. В частности, в работах В.П. Быкова
получена каустика гауссова луча (традиционно получаемая только мето-
методами волновой оптики) с использованием методов геометрической оптики
[20]; построенная таким образом каустика напоминает знаменитую Шу-
ховскую башню, которая, как известно, является гиперболоидом вращения,
состоящим из прямых линий.
§ 1.3 Аберрации в оптике и искажения волнового фронта
Аберрации в оптике; свмзь. аберраций с искаженимми волнового
фронта. Итак, волновой фронт представляет собой трехмерную поверх™
ность, ортогональную заданному семейству лучей, все точки которой ха-
характеризуются одинаковой длиной оптического пути до источника света
[11]. Изображение точечного источника может быть создано в однород-
однородной (п (ж, у, z) = const) среде только с помощью сферического волнового
§1.3
Аберрации в оптике и искажения волнового фронта
25
фронта, который, очевидно, сходится в точку. Эта точка, естественно, яв-
является математической абстракцией, характерной для геометрической оп-
оптики. Реальное же изображение точечного источника будет определяться
дифракцией на апертуре (например, круглая апертура дает широко извест-
известный дифракционный круг Эйри), а наличие аберраций, т.е. искажений вол™
нового фронта, обусловленных несовершенством оптических элементов,
формирующих требуемый волновой фронт, приведет к дополнительным
искажениям изображения.
Геометрическая оптика позволяет успешно рассчитывать идеальные оп-
оптические системы, удовлетворяющие, в совокупности с пучками света, еле™
дующим условиям [11, 14]:
— пучки света в оптической системе являются параксиальными, весьма
узкими и приосевыми;
— отсутствует дисперсия показателя преломления (или используется
монохроматический свет).
В реальной оптике эти условия не выполняются вообще или выполняются
лишь в определенном приближении. В результате первоначально идеальный
волновой фронт при распространении волны сквозь реальные аберрационные
(т.е. искажающие) оптические системы деформируется, что приводит, в свою
очередь, к уменьшению резкости и деформации изображения.
Каждую светящуюся точку источника мы можем рассматривать как
вершину расходящегося гомоцентрического (т.е. имеющего общий центр)
пучка. Если оптическая система не вносит аберраций, пучок остается го-
гомоцентрическим, т.е. каждая точка источника отображается также точкой.
Изображение источника будет в этом случае адекватно оригиналу (уве-
(увеличено или уменьшено — это здесь несущественно); такие изображения
называются стигматическими. Если после прохода оптических элементов
пучок перестал быть гомоцентрическим, точка уже не изображается точкой,
и изображение уже не адекватно оригиналу; точка в этом случае изобража-
изображается астигматически. Нетрудно видеть, что нарушение гомоцентричности
пучка после оптической системы эквивалент-
эквивалентно искажению первоначально сферического
фронта, т.е. превращению сферического фрон-
фронта в асферический.
Рассмотрим аберрации оптических систем,
пользуясь понятием каустики, или каусти-
каустической поверхности, т.е. поверхности, оги-
огибающей совокупность световых лучей. На
рис. 1.10 а видно, что идеально сфериче-
сферический фронт образует точечное изображение
Q (каустика здесь вырождается в точку). На
рис. 1.10 6 показана каустика для случая сферической аберрации, характер-
характерной для таких деформаций волнового фронта, при которых каустика остает-
остается осесимметричной, т.е. имеющей ось симметрии (для сравнения укажем,
что каустика идеального сферического фронта имеет высшую симметрию,
т.е. центр симметрии, рис. 1.10а).
S'
Рис. 1.10
26 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Нетрудно видеть, что изображение на экране точечного источника при
наличии сферической аберрации имеет в общем случае вид небольшого
кружка (кружкарассеяния); в частном случае помещения экрана в точку Q
(рис. 1.10 6) изображение в геометрическом приближении должно было бы
быть в виде геометрической точки, однако, наличие дифракции приводит
к тому, что в точке Q кружок рассеяния имеет наименьший размер (это
просто центр круга Эйри).
В оптических инструментах традиционной «жесткой» оптики сфериче-
сферическую аберрацию исправляют введением дополнительных оптических эле-
элементов, имеющих знак сферической аберрации, противоположный таково-
таковому для искажающего элемента.
Кома есть аберрация, возникающая в широких световых пучках, когда
точечный источник не находится на оптической оси системы; его изображение
имеет вид неравномерного пятна, напоминающего комету с хвостом. Каустика
в случае комы понижает свою симметрию (по сравнению с каустикой при
сферической аберрации) и имеет лишь плоскость симметрии, проходящую
через источник и оптическую ось.
Астигматизм изображения возникает в случаях, когда изображение то™
чечного источника формируется внеосевыми наклонными пучками; точка
изображается в этом случае двумя линиями, лежащими в разных фокаль-
фокальных плоскостях, а на экране — в виде кружка рассеяния, меняющего свою
форму при перемещении экрана по оси. Каустика в этом случае имеет две
взаимно перпендикулярные плоскости симметрии.
Влияние наклонных пучков проявляется также в искривлении плоско-
плоскости изображения, благодаря чему часть изображения получается нерез-
нерезкой, а также в появлении дисторсии изображения (изменение увеличения
от центра изображения к периферии).
Еще раз заметим, что в геометрической оптике все аберрации оптиче-
оптических систем сводятся к наложению на выходящий из них волновой фронт
искажений, препятствующих получению изображения точечного источника
в виде точки. «Жесткая» оптика добилась замечательных успехов в пробле-
проблеме устранения аберраций, и, тем не менее, эта проблема остается в целом
ряде случаев не решенной; главное здесь в том, что на традиционных путях
«жесткой» оптики не видно разумных путей решения этого ряда проблем.
В заключение отметим хроматические аберрации, определяемые дис-
дисперсией коэффициента преломления, т.е. его зависимостью от длины волны.
В этом случае следует говорить о наложении различных волновых фронтов,
соответствующих различным длинам волн.
Искажении волнового фронта в неоднородных средах. Это явление
хорошо известно читателям. При наблюдении звезд или отдаленных то-
точечных источников света на земле через турбулентную атмосферу хорошо
видно их «мерцание», связанное с флуктуациями рефракции (преломле-
(преломления) в атмосфере. При наблюдении в этих условиях когерентных точечных
источников (лазеров) мерцание значительно усиливается за счет «включе-
«включения» интерференционных эффектов (см. ниже). В конечном счете влияние
оптически неоднородной среды, ярким примером которой служит земная
§ 1.3 Аберрации в оптике и искажения волнового фронта 27
турбулентная атмосфера, сводится к наложению аберраций на волновой
фронт, и, соответственно, к искажению изображения источника или объ™
акта. Отметим, что методами «жесткой» оптики устранение такого рода
аберраций практически, а в ряде случаев и принципиально, невозможно.
Ситуация резко усложняется тем фактом, что аберрации волнового фрон-
та в турбулентной атмосфере принципиально нестационарны, т.е. меняются
во времени; «жесткая» оптика способна исправить стационарные (постоян-
ные или регулярные) аберрации, но бессильна перед аберрациями, носящи-
ми нерегулярный нестационарный характер. Сказанное, впрочем, относится
и к аберрациям оптических систем, появляющимся в силу непредсказуемого
влияния механических и климатических факторов на оптические элементы;
примерами могут служить наведенные аберрации большого зеркала наземно-
наземного телескопа, появляющиеся при изменении температуры воздуха, под воз™
действием ветра или изменяющихся механических нагрузок на зеркало при
перемещениях (наклонах и поворотах) телескопа.
В заключение отметим, что проблема уменьшения аберраций волнового
фронта, возникающих вследствие влияния турбулентной атмосферы, воз-
возникает даже в лабораторных (комнатных) условиях, например, в установ-
ках для лазерного термоядерного синтеза. Было установлено, что тепловые
нестационарные потоки в помещении лаборатории, наряду с аберрациями
фокусирующих систем и искажениями волнового фронта излучения в са-
самих лазерах, не позволяют добиться оптимальной фокусировки лазерного
излучения на мишень.
Аберратор как среда или система, искажающая волновой фронт.
Мы видели, что волновой фронт световой волны, распространяясь сквозь
искажающие оптические элементы (оптические системы) и сквозь неодно-
неоднородные нестационарные среды типа турбулентной атмосферы, значительно
деформируется. В частности, световой пучок, несущий информацию о то-
точечном источнике, будучи первоначально гомоцентричным (что в однород-
однородной среде эквивалентно сферическому фронту), проходя через такие среды,
теряет гомоцентричность, и изображение светящейся точки уже не адекват-
адекватно оригиналу.
Обобщая понятие искажающей среды, можно ввести термин «абер-
«аберратор», включающий в себя класс оптических сред, систем, элементов,
вносящих аберрации (искажения) в волновой фронт световых волн
(турбулентные атмосферы Земли и планет, неоднородные активные,
электрооптические, акустооптические и нелинейные элементы лазеров,
аберрационные оптические системы, воды морей и океанов и т.п.). Степень
искажений, вносимых в волновой фронт аберратором, можно охарактери-
охарактеризовать некоторой функцией аберрации, описывающей отличие искаженного
волнового фронта от первоначального (идеального).
Функция аберрации и волновой расчет интенсивности в осевой
точке плоскости изображении точечного источника. Рассмотрим про-
процесс формирования изображения точечного источника волновым фронтом,
прошедшим через аберратор. Первоначально-сферический фронт, который
в однородной невозмущающей среде создал бы изображение точечного
28
Адаптивная оптика и обращение волнового фронта
Гл.1
м
источника в точке Р, искажен аберратором, так что реальный фронт значи-
значительно отличается от сферического (рис. 1.11). Пусть R — радиус неиска™
женного волнового фронта, a R + Ф —
радиус реального (деформированного)
фронта, где Ф — функция аберрации, ве-
личина которой меняется от точки к точ~
ке. Волновой фронт в некоторой про-
произвольной точке Q можно представить
в виде: Аещу [jk (R + Ф (Q))]. Исполь-
Используя дифракционную формулу Френеля-
Кирхгофа [10], для величины оптического
возмущения в точке Р, расположенной на
оптической оси в плоскости изображения,
получаем
Реальный
(искаженный)
волновой фронт
Идеальный
сферический
фронт
Рис. 1.11
U(P) = -
XR2
exp (-jkR) [ [ exp [-jk (R + Ф)] dS,
где dS — элемент площади поверхности волнового фронта, а интегриро-
интегрирование ведется по всей площади. Интенсивность в точке Р равна квадрату
модуля оптического возмущения, т.е.
2
= \U(P)\2 =
V АД2
1 271
exp [jk<& (г, Э)] г dr dQ
о о
A.17)
(здесь элемент площади dS заменен на г dr dQ, D — радиус апертуры
фронта, т.е. оптического отверстия, или выходного зрачка системы, соз-
создающего изображение).
Полагая Ф = 0, из A.17) находим интенсивность в точке Р, создаваемую
идеальным волновым (безаберрационным) фронтом:
Величину J(P) можно нормировать на безаберрационную интенсив™
ность Jo; такая нормированная интенсивность носит название фактора
Штреля [10] (в литературе используется также термин «интенсивность
Штреля» [10, 11, 14]) и имеет вид
2
Н{Р) =
J(P)
Jo
2-к
dr r dO exp ЦкФ (г, В)]
A.18)
Фактор Штреля иногда называют критерием качества изображения;
его физический смысл очевиден: он выражает степень уменьшения мак-
максимальной интенсивности в плоскости изображения вследствие наличия
аберраций волнового фронта.
§ 1.3 Аберрации в оптике и искажения волнового фронта 29
Если величина аберраций волнового фронта мала, т.е. при Ф <СЙ, можно
воспользоваться разложением подынтегральной функции в A.18) в ряд:
ехр (^Ф) « 1 + jk^ + - {зЩ2 + ... A.19)
Оставляя в разложении A.19) члены до квадратичного включительно,
имеем ряд интегралов:
1 2тг
rdrdB = 7r1 A.20)
о о
1 2тг
Г Г
jk\ Фг dr dB = jk (Ф) тг, A.21)
j j
о о
1 2тг
2rdrde = -ifc2^2Or, A.22)
О О
где знаком (...) заменено интегрирование по г.
Подставляя A.20)—A.22) в A.18), для фактора Штреля получаем
« 1 - к2 [(Ф)]2 + 2jk (Ф) - fc2 (Ф2) + ... , A.23)
или
ReH(P) = 1 - к2[((Ф)J - (Ф2)] = 1 - ^2(АФJ,
где (АФJ — среднеквадратичная деформация волнового фронта.
Таким образом, при малых (Ф <С К) аберрациях волнового фронта фак™
тор Штреля не зависит от вида аберраций, а определяется лишь волновым
числом (или длиной волны) и величиной среднеквадратичной деформации
волнового фронта:
Я(Р)«1- Bтг/АJ (АФJ . A.24)
Пользуясь A.24), можно оценить влияние аберраций на уменьшение
интенсивности в точке Р. Например, при (АФJ « (ОДАJ, т.е. при сред™
неквадратичном отклонении реального волнового фронта от идеального
сферического всего на одну десятую длины волны получаем Н(Р) = 0,6,
что соответствует уменьшению интенсивности почти вдвое. В работе [3]
отмечается, что зачастую такая потеря интенсивности на практике недо-
недопустима, что еще раз подчеркивает исключительно высокую критичность
параметров изображения к аберрациям волнового фронта. Нетрудно ви-
видеть, что наибольшее влияние оказывают деформации волнового фронта
30 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
на интенсивность в фокусе, что становится определяющим и наиболее су-
существенным ограничивающим фактором в таких проблемах, как жесткая
фокусировка лазерного излучения на мишень в лазерном термоядерном
синтезе, передача световой энергии на расстояние и т.п.
При разложении в ряд вида A.19) следует помнить, что некоторые
из аберрационных интегралов могут оказаться равными нулю, и влияние
аберраций на интенсивность в фокусе может начаться с аберраций более
старшего порядка. С другой стороны, может возникнуть такая ситуация,
когда аберрации старшего порядка могут быть скомпенсированы аберраци-
ями более низких порядков [10].
Согласно критерию Марешаля [10], можно считать, что аберратор хо-
хорошо скорректирован, т.е. не вносит существенных деформаций волнового
фронта, если интенсивность в фокусе падает не более, чем на 20%. Из
выражения A.24) следует, что Н{Р) ^ 0,8 при условии ^(АФJ ^ Л/14.
Итак, по критерию Марешаля, предложенному в 1947 г., реальный водно™
вой фронт может отличаться от идеального (сферического) не более, чем
на Л/14. Такие точности обычно требуются в астрономических телескопах,
микроскопах высшего качества и других прецизионных оптических при-
приборах. В приборах низкого класса аберрации могут достигать 40-50 длин
волн; естественно, что расчет интенсивности в фокусе таких систем должен
вестись по полной формуле A.17), если, конечно, это требуется (для таких
приборов падением интенсивности пренебрегают).
Связь аберраций с полиномами Цернике; виды аберраций. В гео-
геометрической оптике аберрации волнового фронта рассчитываются с по-
помощью теории возмущенного эйконала (напомним, что эйконал есть длина
оптического пути от волнового фронта до точки, в которой необходимо рас-
рассчитать оптическое возмущение). Шварцшильдом A905 г.) было показано,
что возмущенный эйконал может быть разложен в ряд по полиномам сте-
степени 2к9 где к = 1, 2,3,..., по четырем переменным. Аберрации низшего
порядка, т.е. при 2к = 4, называются первичными, или аберрациями Зайде-
ля; к ним относятся сферическая аберрация, кома, астигматизм, кривизна
поля изображения, дисторсия. Более сложные аберрации описываются чле-
членами 6-й, 8-й и т.п. степеней, соответствующими случаям к > 1.
Более полная теория аберраций может быть дана только в рамках вол-
волновой теории, учитывающей дифракционные и интерференционные явле-
явления. Дело в том, что с уменьшением величины аберрации на первое место
выступают дифракционные члены; например, при устранении всех видов
аберраций геометрическая оптика предсказывает бесконечную интенсив-
интенсивность в фокусе и нулевую интенсивность во всех других точках фокальной
плоскости, в то время как дифракционная теория для случая круглого отвер-
отверстия (круглой апертуры) дает круг Эйри, состоящий из яркого центрального
пятна с конечной интенсивностью, окруженного темными и светлыми кон-
концентрическими кольцами.
Если в геометрической оптике функцию аберрации (возмущенный эй-
эйконал) разлагают в степенной ряд, то в строгой дифракционной теории по
ряду причин, которые мы здесь не рассматриваем, более удобно разлагать
§1.3
Аберрации в оптике и искажения волнового фронта
31
функцию аберраций Ф(г, В) в ряд по системе полиномов Цернике [10]. Эти
полиномы имеют вид
где радиальные функции R^ (г) суть полиномы по г, содержащие степени
гп, гп^2, гп™4,..., г'1', причем I, п — целые числа, п ^ 0,1 — знакопере-
знакопеременное число, n ^ |Z|, n — |Z| —четное число.
В теории Нижбера-Цернике A942-1949 гг.) функцию аберраций Ф мож-
можно представить в виде [1]
1
Ф(г,в) = Аоа + -щ
A.25)
n=2
n=l m=l
(коэффициент l/v 2 введен для упрощения последующих формул, А^
коэффициенты разложения).
Итак, типичный член, описывающий аберрацию в A.25), имеет вид
^mni{r, В) = ?nmAmlnR™(r) cosmB.
Здесь введен коэффициент епт, равный l/v 2 при т = 0, п ф 0, и рав-
равный 1 при остальных значениях тшп.
Будем рассматривать только первичные аберрации, или аберрации низ-
низшего порядка; в этом случае 21 + т + п = 4. Ниже приведена табл. 1.1,
взятая из работы [10], иллюстрирующая представление различного вида
аберраций по полиномам Цернике.
Таблица 1.1
№
1
2
3
4
5
Вид аберраций
Сферическая аберрация
Кома
Астигматизм
Кривизна поля изображения
Дисторсия
I
0
0
0
1
1
п
4
3
2
2
1
га
0
1
2
0
1
Представление в виде полинома
Ао4о(бИ-6г2 + 1)/^2
ЛшCг2 - 2r)cosB
AJ2r2Bcos2B- 1)
A120Br2 -l)/>/2
iinr cos В
Таким образом, представление функции аберрации в виде полиномов
Цернике позволяет в явном виде выделить радиальную и угловую зависи-
зависимости аберраций волнового фронта (напомним, что г, В — координаты
точки на апертуре волнового фронта).
32 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
При достаточно малых аберрациях, используя условие ортогональности
радиальных полиномов
где Snn' — символ Кронекера (Snn/ = 1 при п = п\ 8nni = 0 при п ф п!),
получаем
(Ф) = Аоо,
1 °° п А2 (\ 1(л\
Подставляя A.26) в A.23), для фактора Штреля получаем
П=1 171 = 0
На основании выражения A.27) и критерия Марешаля можно оценить
допустимые величины аберраций различного вида. Например, если абер™
ратор дает только сферические аберрации низшего порядка (I = 0, п = 4,
т = 0), из A.27) при Н(Р) ^ 0,8 следует |_А0401 ^ 0,22А; более жесткие
требования к сферичности фронта накладываются аберрациями типа комы
и особенно астигматизма.
Отметим, что в дифракционной теории аберраций имеет место теоре-
теорема смещения [10, 14], согласно которой добавление к функции аберрации
полинома вида
М (г, В) = от2 + f3r sin 8 + 7^ cos В + ?,
где а, /3, 7? С — постоянные порядка длины волны А, не изменяет трех™
мерного распределения интенсивности вблизи фокуса, а лишь смещает его
как целое по трем координатам. Отсюда, в частности, следует тот интерес-
интересный факт, что такие первичные аберрации, как кривизна поля изображения
и дисторсия (для первого /3 = 7 = 0, для второго а = E = ? = 0), при™
водят лишь к смещению фокуса, а фактор Штреля для них равен единице,
как в безаберрационной системе. Поэтому для этих первичных аберраций
критерий Марешаля использован быть не может.
В заключение приведем пример огромного влияния аберраций на ин-
интерференционную картину [16].
Пусть пучок состоит из плоской световой волны единичной амплитуды
и малой A % по энергии) примеси другой плоской волны, волновой фронт
которой наклонен по отношению к первой на угол а « kx/kz:
Е (х, у) = exp (jkz) + 0,1 exp [j (kzz + kxx)), где k^ + k2z = k2.
§ 1.4 Обращение волнового фронта и возможности компенсации аберраций 33
Интенсивность J (ж, z) = ЕЕ* = \Е (ж, z)| равна
J (ж, z) = [exp (jkz) + ОД exp (j (kzz + &жж))] х
х [exp (-jkz) + ОД exp (-j (fezz + &яя))] =
= 1 + 0,1 exp [j (kz - kzz - kxx)} + 0,1 exp [j (kzz + kxx - kz)] + 0,01 =
= 1,01 + 0, 2 cos (kz - kzz - kxx).
Таким образом, 1 % примеси наклонной волны приводит к изменению
интенсивности от 0,81 до 1,21, т.е. примерно на 40 %, что еще раз убеждает
нас в том, что даже слабые возмущения волнового фронта при интерферен-
интерференции приводят к очень сильным эффектам.
§ 1.4 Обращение волнового фронта и возможности
компенсации аберраций
В адаптивной оптике весьма существенную роль играет понятие обра-
щения волнового фронта (ОВФ), или, другими словами, получение оп-
оптического излучения с волновым фронтом, комтексно-сопряженным по
отношению к волновому фронту исходного излучения. При этом часто
говорят о сопряженном волновом фронте, или об обращенном (по фазе)
волновом фронте.
Легко видеть, что комплексно-сопряженная волна распространяется
в направлении, противоположном направлению распространения исход-
исходной волны, и с фазой, инвертированной (изменившей знак) по отношению
к фазе исходной волны.
Рассмотрим квазиплоскую волну, распространяющуюся по оси z и имею-
имеющую пространственно-неоднородные амплитудный и фазовый фронты:
2Е (ж, у, z,t) = А (ж, у) exp {+j [wt - kz + <р (х, у)]} + к.с,
где А (ж, у) — амплитуда (действительная) и ip(x,y) — фаза поля волны,
к.с. — комплексно-сопряженный член. Фазово-сопряженная волна может
быть записана в виде
2Ефс (ж, у, z,t) = A (ж, у) exp {+j [ut + kz - <р (ж, у)]} + к.с. A.28)
Таким образом, процесс фазового сопряжения (или, что то же, обра-
обращения волнового фронта) может быть представлен в виде суперпозиции
процессов отражения (изменение знака при z) и обращения по фазе (изме-
(изменения знака фазы). Отметим, что процесс ОВФ приводит к комплексному
сопряжению только пространственной части быстро осциллирующей экс-
экспоненты поля, не изменяя временной части. С другой стороны, заметим, что
совершенно эквивалентным сказанному является утверждение, что ОВФ
соответствует изменению знака временной части экспоненты, без измене-
изменения пространственной ее части; другими словами, пространственное ОВФ
эквивалентно повороту течения времени.
3 В. Г. Дмитриев
34 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Отметим, что обращение по фазе не есть сдвиг по фазе на тг, как иногда
ошибочно полагают. Действительно, сдвиг фазы на тг равносилен умножению
волны A.28) на множитель ег7Т = — 1, т.е. сдвиг на тг приводит к изменению
знака поля, но не к появлению комплексно-сопряженной волны.
Из рассмотрения выражения A.28) следует, что отражение назад све-
товой волны с одновременным изменением знака фазы (т.е. процесс ОВФ)
принципиально отличается от обычного отражения света классическим зер-
зеркалом. Действительно, для отраженной обычным плоским идеальным зер-
зеркалом волны получаем
2Еотр (ж, у, z,t) = А (ж, у) exp {+j [ut + kz + ip (x, у) + ф}} + к.с,
где ф — дополнительный сдвиг фазы, вносимый при отражении (как прави-
правило, ф не зависит от поперечных координат). Таким образом, в отраженной
волне произошло изменение знака только у координаты z, но не у фазы.
Поскольку наличие зависимости фазы от поперечных координат эк™
вивалентно появлению составляющих волнового вектора к волны в на-
направлениях ж, у, то величина <р(ж, у) в определенном смысле характеризует
отличие рассматриваемой нами реальной квазиплоской волны от истинно
плоской. Другими словами, (р(х, у) характеризует расходимость (понимае-
(понимаемую в широком смысле слова) оптического излучения, т.е. описывает волно-
бой фронт луча. Для плоской волны ip(x,y) = ipo = const (без ограничения
общности можно принять (fo = 0); для сферической волны следует учесть
изменение амплитуды поля по мере удаления от точечного источника (па-
(падение амплитуды обратно пропорционально радиусу г), а фаза такой волны
постоянна на сфере г = const. Для волн с искаженным (по отношению
к плоской или сферической волнам)
волновым фронтом (р{х^у) ф 0.
/*ч~ Сказанное подтверждает, что от™
•'' / ражение света от зеркала, обращаю-
обращающего волновой фронт, принципиаль-
принципиально отличается от отражения от обыч-
обычного зеркала. Расходящаяся свето-
световая волна, падая на обычное зеркало
ш/шш/шшш 'Ш//Ш//Ш/ШШ, П°Д Углом е' покидает его под уг-
Обычное зеркало Обращающее зеркало лом (-в) и продолжает расходиться.
Напротив, при падении на адаптив-
адаптивное зеркало расходящаяся волна по с™
ле отражения превращается в сходящуюся волну, которая повторяет путь
падающей волны (рис. 1.12).
Возможность компенсации аберраций при обращении волнового
фронта. Покажем, как процесс ОВФ позволяет значительно или полно-
полностью скомпенсировать аберрации волнового фронта. Рассмотрим первона™
чально сферическую волну, поступающую в аберратор. На выходе аберра-
тора волна будет иметь искаженный волновой фронт вида exp [jk (R + Ф)],
где Ф — функция аберрации, R — текущий радиус идеально сферического
фронта (Ф <С R). Отразим эту искаженную волну адаптивным зеркалом,
§ 1.4 Обращение волнового фронта и возможности компенсации аберраций 35
обращающим волновой фронт. Волна, распространяющаяся в обратном на-
направлении, будет иметь комплексно-сопряженный фронт вида ехр[^ jk(RJr
+ Ф)]. Если аберратор за время распространения до зеркала и обратно
не успел изменить своих свойств, на обращенную волну наложатся те же са-
мые аберрации, описываемые той же функцией аберрации Ф. На выходе из
аберратора волновой фронт будет иметь вид exp [—jk (R + Ф)] • ехр ЦкФ] =
= ехр [—jkR]9 т.е. отраженная волна станет идеально сферической.
Таким образом, чтобы скомпенсировать искажения, вносимые в вол™
новой фронт аберратором, нужно отразить искаженный волновой фронт
адаптивным зеркалом (т.е. зеркалом, обращающим волновой фронт) и снова
пропустить через аберратор. После такого двукратного прохождения через
аберратор с промежуточным ОВФ волна снова становится неискаженной,
но распространяющейся в обратном направлении.
Очевидно, можно поступить по-другому: можно наложить на идеаль-
идеальную (неискаженную) волну искажения в противофазе по отношению к тем
искажениям, которые наложит на волну аберратор. Тогда при прохождении
такой первоначально искаженной волны через аберратор искажения, вно-
вносимые аберратором, будут скомпенсированы первоначально наложенными
противофазными искажениями. В этом и состоит, по сути дела, основная
идея адаптивной оптики.
Отметим, что при реализации этой идеи на практике возникают осо-
особенности, в зависимости от того, передаем или принимаем мы оптическое
излучение, т.е. в зависимости от того, какова практическая задача: передать
оптический сигнал (изображение) через аберратор на другой конец опти-
оптической трассы или, наоборот, принять оптический сигнал (изображение),
прошедший через аберратор. Соответствующие адаптивные оптические си™
стемы мы будем называть, соответственно, передающими (или излучающи-
излучающими) и приемными (или принимающими).
В излучающей системе необходимо наложить на излучаемый волновой
фронт предыскажения, противофазные тем искажениям, которые световой
луч претерпит при его прохождении через оптический тракт и турбулент-
турбулентную среду, причем наложить их таким образом, чтобы на приемном конце
трассы возникло излучение с требуемым волновым фронтом (например,
плоским или сферическим). В принимающей системе поступившее в си-
систему оптическое изображение, искаженное трассой и оптическим трак-
трактом, необходимо скорректировать дополнительными (противофазными) ис~
кажениями до полного восстановления неискаженного изображения (или
до получения изображения, удовлетворяющего некоторому критерию каче™
ства). Вообще говоря, в обоих случаях необходимо либо иметь подробную
информацию о свойствах оптического тракта и передающей среды, либо
информацию о дошедшем до объекта волновом фронте (для передающей
системы) и о неискаженном изображении (для приемных систем).
Ярким примером передающей системы является лазер с фокусирую™
щей оптикой, используемый для нагрева мишени в установках управляе-
управляемого термоядерного синтеза; столь же очевиден пример принимающей
системы — это наземный или космический телескопы. В первом случае
36
Адаптивная оптика и обращение волнового фронта
Гл.1
аберратором служит система, состоящая из неоднородных лазерных эле™
ментов, аберрационной фокусирующей оптики и неоднородной (и даже
турбулентной) воздушной среды между лазером и мишенью, а во втором —
турбулентная земная атмосфера (для наземного телескопа) и аберрационная
оптика (для обоих видов телескопов).
Таким образом, основная идея адаптивной оптики настолько проста, что
представляется поначалу парадоксальной и практически невыполнимой: для
компенсации искажений оптического сигнала надо просто знать характер
этих искажений и наложить на них искажения в противофазе. Остается
выяснить, каким способом получить информацию об этих искажениях; си-
ситуация резко (и практически всегда!) осложняется тем обстоятельством, что
возникающие на пути оптического сигнала искажения являются сложными
функциями времени и пространственных координат, т.е. компенсацию этих
искажений необходимо производить по всему полю изображения, причем
настолько быстро, чтобы успевать отслеживать изменения этих искажений
во времени (в этом случае говорят о компенсации искажений в реальном
масштабе времени).
В связи с возможностью компенсации атмосферных искажений небезын-
небезынтересно упомянуть об одном из определений термина «адаптивная оптика»,
данном Д. Л. Фрид ом [3]:
«Так же, как о погоде, многие имели обыкновение рассуждать о турбу-
турбулентности земной атмосферы, но никто не пытался с ней бороться. Одна-
Однако теперь ситуация быстро меняется. Оптическая техника достигла такого
уровня развития, что у нас появилась возможность как-то противостоять
вредному влиянию турбулентности на распространение оптического сиг-
сигнала. Это «как-то» получило название «адаптивная оптика».
Заметим, что это остроумное определение грешит узостью, так как
ограничивается компенсацией искажений, вносимых турбулентной атмо-
атмосферой.
Примеры ОВФ; трудности ОВФ для случая полм со сложной про-
пространственно-временной структурой. Реализация процесса ОВФ для
небольшого класса электромагнит-
Волновой фронт
плоской волны
Волновой фронт
сферической волны
Плоское
зеркало
Вогнутое зеркало
с источником S
в центре кривизны
Рис. 1.13
пых полей с простои пространствен-
пространственно-временной структурой достаточно
проста. Отражение нормально-па-
нормально-падающей плоской волны от плоского
зеркала или отражение от вогну-
вогнутого зеркала сферической волны,
исходящей из точечного источника,
расположенного в центре кривизны
зеркала (рис. 1.13), — вот про-
простейшие примеры реализации ОВФ
[9]. Именно процессу ОВФ обязаны
своим существованием устойчивые
открытые оптические резонаторы
с двумя (или более) зеркалами [15];
§ 1.4 Обращение волнового фронта и возможности компенсации аберраций 37
в таких резонаторах фаза поля на зеркалах постоянна, и поэтому отраженная
от них волна имеет обращенный волновой фронт. Аналогичные примеры
можно привести для случаев использования отражателя, выполненного
в форме «кошачьего глаза» или триппель-призмы (так называемые
ретроотражатели). Вместе с тем, следует оговориться, что процесс ОВФ
в таких отражателях, как плоское или вогнутое зеркала (соответственно,
для плоской или сферической волн) или ретроотражатели и т.п., имеет
место лишь для простейших конфигураций светового поля, т.е. для
идеальных волн: фронт этих волн должен быть оптически параллелей
поверхности отражателя. Малейшее нарушение идеальности совпадения
волновых фронтов с поверхностями отражателей, например, привнесение
в волну незначительной фазовой модуляции (фазовых искажений) приведет
к немедленному нарушению процесса ОВФ.
Тем самым мы подошли к наиболее важным трудностям при ОВФ —
трудностям обращения волнового фронта волн со сложной пространствен-
пространственно-временной структурой. С принципиальной точки зрения обратить фронт
такой волны тоже нетрудно — необходимо только отразить эту волну та-
таким отражателем (зеркалом), поверхность которого б точности повторяет
фронт падающей волны в непосредственной близости от зеркала (рис. 1.14).
Тогда отраженная таким зеркалом волна будет обращенной по фазе и при
Зеркало
Среда™ аберратор
Рис. 1.14
Рис. 1.15
обратном прохождении через аберратор снова примет вид идеальной сфе-
сферической волны. Вся трудность состоит в том, что, во-первых, необходимо
знать распределение фазы по фронту волны вблизи зеркала и, во-вторых,
придать поверхности зеркала форму, оптически параллельную падающему
на зеркало волновому фронту. Как уже говорилось, ситуация резко ослож-
осложняется тем, что форма волнового фронта является сложной функцией про-
пространства, и, главное, времени, т.е. существенно нестационарна во многих
практически важных случаях.
Заметим, что в принципе методами классической жесткой оптики можно
обратить волновой фронт любой заранее заданной (известной) простран-
пространственной конфигурации, но только такой, которая стационарна во времени.
38 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Действительно, оставляя в стороне технические трудности изготовления на
практике таких отражателей, можно реализовать зеркало с поверхностью
в форме точно такой пространственной конфигурации (рис. 1.14). Однако
весьма трудно представить себе такую стационарную картину поля на прак-
практике. Любопытный пример реализации «жесткого» обращенного зеркала,
пригодного для обращения волнового фронта с произвольными фазовыми
аберрациями (в том числе нестационарными), принадлежит Ю.А. Ананье-
Ананьеву [15]. Предложенное им устройство весьма напоминает «кошачий глаз»
(рис. 1.15), но отличается от него наличием на зеркале, расположенном
в фокальной плоскости линзы, выступа (или выемки, что безразлично)
высотой в четверть длины волны и с площадью, перекрывающей только
центральный максимум дифракционного круга Эйри на апертуре линзы.
Предположим, что падающий на линзу почти параллельный1 пучок имеет
волновой фронт вида: т4ехр(^Ф), где Ф — функция аберрации, причем
\кЩ < 1. Тогда, в первом приближении, А ехр (]кФ) « А + А]кФ. Первый
член соответствует идеальной плоской волне, и большая ее часть соберет-
соберется линзой на выступе (или на выемке), т.е. соответственно в центральном
максимуме дифракционной картины. Второй член соответствует волнам,
идущим под углом к главной оптической оси (ибо именно он ответствен за
расходимость почти параллельного луча), и большая часть интенсивности
этих волн распределится по остальной площади зеркала. Обе части пучка,
в полном соответствии с принципом действия отражателя типа «кошачий
глаз», будут отражены назад строго в том же направлении, откуда пришли
исходные волны. В частности, волна, отраженная выступом (или выемкой),
даст снова плоскую волну с амплитудой А, а волны, отраженные остальной
частью зеркала, сформируют снова «боковые» волны (см. § 1.2). Наличие
выступа в четверть длины волны приведет к тому, что сдвиг фаз между эти-
этими двумя составляющими составит тг, что равносильно умножению второй
части волны на (—1). Таким образом, отраженное назад поле будет иметь
волновой фронт А — А]кФ « Aexp(-jk^), т.е. произойдет обращение
волнового фронта. Заметим, что реализация этого метода ОВФ на практике
вряд ли возможна, однако, эта идея показывает, что возможности «жесткой»
оптики не следует недооценивать.
Таким образом, мы убедились в том, что ОВФ излучения со сложной
пространственно-временной структурой является сложной и, по-видимому,
не всегда реализуемой физико-технической задачей. Проблема здесь распа-
распадается на две части: проблема измерения аберраций, вносимых аберратором
в идеальный волновой фронт, и проблема компенсации этих аберраций; как
мы уже видели, вторая часть проблемы решается методом обращения вол-
волнового фронта.
1 Термин «почти параллельный пучок» мы здесь употребляем в смысле квази-
квазиплоской волны. Действительно, в § 1.2 мы убедились, что наличие любой модуляции
по пространству приводит к появлению «боковых» плоских волн и расходимости
излучения.
§ 1.4 Обращение волнового фронта и возможности компенсации аберраций 39
Заметим, что мы здесь намеренно расширяем область действия тер-
термина «обращение волнового фронта». Действительно, например, в при-
принимающих адаптивных оптических системах, служащих для компенсации
аберраций, вносимых в оптическое изображение турбулентной атмосфе-
атмосферой, обращения волнового фронта как такового не происходит; специаль-
специальное устройство накладывает (методом проб и ошибок) на аберрационное
изображение дополнительные аберрации в такой форме, чтобы изображе-
изображение стало максимально качественным. Однако когда этот процесс сходится
(заканчивается), неизбежно оказывается, что повышение качества изобра-
изображения до идеального адекватно прохождению аберрационного изображения
с комплексно-сопряженным волновым фронтом снова через аберратор. Та-
Таким образом, вопрос использования термина «ОВФ» в широком или узком
смысле является чисто терминологическим.
Нетрудно видеть, что в случае нестационарного аберратора с характер-
характерным минимальным периодом изменения его свойств т, время срабатывания
всей цепочки - анализ аберраций + ОВФ — должно быть меньше т. Мы
уже говорили, что в этом случае имеет место компенсация аберраций в ре-
реальном масштабе времени. Например, для компенсации квазистационар-
квазистационарных искажений, вносимых турбулентной атмосферой, это время составляет
^ 10~3 с, а в ряде случаев — еще меньше; в импульсных режимах лазерной
генерации в наносекундном и тем более в пикосекундном диапазонах дли-
длительностей импульсов процесс ОВФ должен быть практически безынер-
безынерционным. В зависимости от времени релаксации аберратора используются
различные методы и устройства анализа и компенсации аберраций, кото-
которые будут рассмотрены ниже. Сформулируем еще раз основные причины
и источники аберраций оптических сигналов и изображений:
— деформации оптических элементов (зеркал, линз, окон, активных
и управляющих элементов лазеров и т.п.) как присущие самим материа-
материалам этих элементов (или возникающие в них вследствие несовершенства
технологии), так и наведенные за счет температурных и механических на-
напряжений;
— турбулентность среды, через которую передается оптический сигнал
или изображение наблюдаемого объекта (атмосферы Земли и планет, воды
морей и океанов, неоднородные тепловые потоки и т.п.).
Расширяя области применимости термина «адаптивная оптика», сюда
же следует отнести такие причины аберраций, как изменяющиеся усло-
условия наблюдения в оптике (например, освещенности при фотографировании
объекта или расстояния до объекта при его перемещении и т.п.), разъюсти-
ровка резонатора лазера, «уход» температуры нелинейного элемента для
генерации оптических гармоник и т.д. Компенсация аберраций в этом слу-
случае может быть решена методами классической «жесткой» оптики путем
введения цепей обратной связи и, например, механического перемещения
диафрагмы или одного из компонентов объектива для получения требуе-
требуемых параметров изображения. Разумеется, в такого рода адаптивных си-
системах бессмысленно говорить об обращении волнового фронта. Прекрас-
Прекрасным примером таких систем являются органы зрения человека и животных,
40 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
способные приспосабливаться к изменяющимся внешним условиям в ши-
широком диапазоне воздействий; оставаясь адаптивными оптическими си-
системами, органы зрения скорее относятся к устройствам «живой» оптики,
подстраивающим структуру и параметры оптики под изменяющиеся усло-
условия, но не к устройствам, обращающим волновой фронт изображений.
Фундаментальные предпосылки возможности обращения волново-
волнового фронта. Возможность реализации ОВФ электромагнитного излучения
непосредственно вытекает из фундаментальных принципов физической оп-
тики и электродинамики. Прежде всего отметим, что волновое уравнение,
непосредственно вытекающее из фундаментальных уравнений Максвелла,
инвариантно по отношению к изменению знака времени, что, как мы видели
ранее, адекватно обращению обобщенной фазы kr+Ф. Таким образом, если
решение для прямой волны удовлетворяет уравнениям Максвелла, то и ре-
решение, соответствующее обращенной по фазе волне, также удовлетворяет
этим уравнениям. Возможность существования обращенной волны следует
также из принципов Ферма и Гюйгенса. В частности, из принципа Ферма
следует, что изменение направления распространения не меняет траекто-
рии луча [ 10]. Из принципа Гюйгенса также вытекает возможность обраще-
обращения волнового фронта. Однако, как мы уже отмечали, Гюйгенс и Френель
считали этот факт слабым пунктом этого принципа и вводили весьма искус-
искусственные постулаты, запрещающие обращенную волну. В теории Кирхгофа
отсутствие этой волны получалось автоматически. Таким образом, можно
полагать, что возможность существования обратной (обращенной) волны,
вообще говоря, связана с принципом Гюйгенса, но лишь с той оговоркой,
что должен быть указан механизм генерации обратной волны; следует по-
помнить, что принцип и теория Гюйгенса^Френеля-Кирхгофа в их чистом
виде не допускают генерацию обращенной волны.
§ 1.5 Общие закономерности преобразовании волнового
фронта и его обращения в оптике
Для изучения основных физических закономерностей обращения вол-
волнового фронта (ОВФ) в различных оптических системах и устройствах
нам необходимо знать общие закономерности преобразования волновых
фронтов и изображений в оптике. В дальнейшем мы ограничимся случаем
линейных оптических систем, для которых изображение объекта, описыва-
описываемое некоторой функцией пространственных координат, линейно зависит
от функции самого объекта.
Пусть функция gi (x, у) описывает распределение амплитуды электри-
электрического поля изображения объекта в плоскости ху, перпендикулярной
направлению распространения световой волны z, а функция ^2 (ж? 2/) —
аналогичное распределение для изображения объекта, созданного неко-
некоторой оптической системой (рис. 1.16). Плоскость объекта соответствует
координате z\, изображения — координате Z2.
В качестве оптической системы могут быть использованы линзы,
сложные объективы, другие устройства оптики, в том числе диафрагмы,
§ 1.5 Общие закономерности преобразования ВФ и его обращения в оптике 41
Рис. 1.16
экраны, параметрические оптические системы и т.п. По аналогии с радио™
техникой, функцию д\ (ж, у) можно назвать входным сигналом,
выходным сигналом оптической систе-
системы. Заметим, что свободное простран-
ство между плоскостями объекта z\ и
изображения z^ не заполненное опти-
оптической системой, как правило, также
трансформирует изображение, поэтому
в оптике функции дг^(х,у), равно как
и положение оптической системы в про-
пространстве, следует привязывать к опре-
определенным точкам оси z.
Функции gi(x,у) и д2(х, у) связаны между собой некоторым операто-
оператором Р, характеризующим свойства преобразования изображения оптиче-
оптической системой и свободным пространством, расположенными между плос-
плоскостями zi, Z2:
92 (х,у) = Р{дг(х,у)}.
Система линейна в случае линейности оператора Р, которая может быть
выражена математически следующим образом:
Р {А91 (х, у) + Bh (я, У)} = АР {дг (х, у)} + ВР {Д (я, у)} ,
где gi(x,y), fi(x,y) — два разных объекта, д2(х,у) = P{gi(x,y)}
и /2(^5у) = P{fi(x,у)} — их изображения, А и В — некоторые произ-
произвольные (в общем случае комплексные) постоянные. Другими словами,
линейная система удовлетворяет принципу суперпозиции: выходной сигнал
от суммы двух входных сигналов равен сумме выходных сигналов, взятых
по отдельности; постоянные А, В характеризуют увеличение (уменьшение)
изображения (объекта), при котором принцип суперпозиции не наруша-
нарушается. Естественно, что реальные оптические системы могут считаться
линейными лишь условно, в определенных пределах.
Линейные системы, по их определению, обладают одним важнейшим
свойством, которое позволяет использовать при их анализе мощный аппарат
преобразований Фурье, Ганкеля, Фурье-Бесселя и др.
Реакцию линейной системы на какое-либо сложное воздействие мож-
можно выразить через отклики на некоторые элементарные воздействия. Таким
образом, если воздействие можно представить в виде линейной комбинации
элементарных воздействий, каждое из которых вызывает отклик известного
простого вида, то благодаря линейности системы полная ответная реакция
может быть найдена в виде соответствующей линейной комбинации (су-
(суперпозиции) таких откликов. Это и есть принцип суперпозиции.
Попутно заметим, что в оптических системах, если мы имеем дело
с пространственно-когерентным светом, то свет целесообразно описывать
в терминах пространственного распределения комплексных амплитуд; если
свет полностью некогерентен, то следует использовать пространственное
42 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
распределение действительных интенсшностей. В дальнейшем везде, где
противоположное не оговорено специально, мы будем иметь в виду коге-
когерентный свет и пользоваться распределением комплексных амплитуд, т.е.
действительных амплитуд и их фаз:
9 (xi у) = \9 (х^ у)\ ехР Мч> (xi У)} •
В качестве элементарного воздействия в радиотехнике используют им-
импульс (импульсную функцию, или ^-функцию Дирака) или ступенчатую
функцию (функцию Хэвисайда). По аналогии, для осуществления элемен-
элементарного воздействия в оптике можно использовать двумерную <5-функцию
Дирака, или, другими словами, точечный (светящийся) источник.
Рассмотрим основные свойства 8-функции Дирака и ее основные пред-
представления, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Эта функция определяется уравнениями:
8 (х) = 0 при х ф О,
оо
Г
8 (х) dx = 1.
— оо
Фильтрующее действие 5-функции определяется уравнением
/ (х) 8 (х ~~ a) dx = / (а).
Таким образом, умножение функции f(x) на функцию 8(х — а) и по-
последующее интегрирование произведения по всем х эквивалентно замене
х на а. Выпишем без доказательств ряд формул:
х8 (х) = О,
д(-х)=5(х),
8 (ах) = -.—6 (х),
5 (х2 - а2) = — {6 (х - а) + 6 (х + а)} ,
сю
8 (а — х) 8 (х — Ь) dx = 8 (а — 5),
5' (х) = -6' {-х),
х8' (х) = -6 (х).
§ 1.5 Общие закономерности преобразования ВФ и его обращения в оптике 43
Функция Дирака является производной функции Хевисайда, или ступен-
ступенчатой (единичной) функции, определяемой как
U (х) = 0 при х < О,
U (х) = 1 при х ^ О,
поэтому
dU(x)
5(х) =
dx
Определение через интеграл Фурье:
оо
1 Г
5 (ж) = — exp (—jkx) dk.
2тг J
— оо
Таким образом, 5-функция есть фуръе-образ единицы. Обратное преобра-
преобразование дает:
оо
Г
5 (х) exp (jkx) dx = 1.
Трехмерная 5-функция, определяемая как
5(r)=S{x,y,z)=0 при х
ОО ОО ОО
Г Г Г
6(x,y,z) dx dy dz = 1,
— oo —oo —oo
удовлетворяет уравнениям:
oo oo oo
/ (ж, |/5 z) 5 (x — a,y — 5, z — c) dx dy dz = / (a, Ь, с),
— oo —oo —oo
oo oo oo
5 (x,y,z) = з exp (—jkr) dkx dky dkzi
oo oo oo
E (ж, i/, z) exp (jkr) dx dy dz = 1.
— oo —oo —oo
Точечный источник, размещенный в точке ?, 77 плоскости жг/, описы-
описывается двумерной ^-функцией 5 (х — ?,у — rj). Излучение этого источника,
44 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
пройдя сквозь оптическую систему, создает изображение источника, опи-
описываемое некоторым распределением комплексной амплитуды в плоскости
ху, которое является в общем случае функцией координат точечного источ-
ника h(x, у, ?, 77). Это изображение называется функцией рассеяния точки
или импульсной характеристикой оптической системы.
Пусть теперь имеется некоторый объект, распределение комплексной
амплитуды поля которого описывается функцией /(ж,у). Тогда изобра-
изображение некоторой точки объекта (?,77) c амплитудой /(?,77) описывается
функцией
Результирующее изображение объекта д(х,у) по принципу суперпози-
суперпозиции, применимому для линейных систем, является суперпозицией элемен-
элементарных изображений:
со со
г г
д{х,у)= f (?,r])h(x,y,?,ri) d? drj. A.29)
Более строго это соотношение доказывается так. Если оператор L опи™
сывает воздействие линейной оптической системы, то функция h(x,y) =
= L{S(x,y)} есть импульсный отклик системы, т.е. реакция системы на
J-функцию. Если объект есть произвольная функция /(ж, г/), то ее можно
представить интегралом свертки:
/0,2/) = f(€,v)8(x-?,y-'n)d?dri.
—00 —00
Выходная реакция системы есть д(х, у) = L{f(x, у)}, т.е.
оо со
g(x,y) = L \
—00 —00
00 00
—00 —00
—00 — 00
что совпадает с формулой A.29).
Оптическая система инвариантна к сдвигу объекта, если при сдвиге
объекта f(x,y) на величины жо,2/о (так°й сдвинутый объект, очевидно,
описывается функцией /(х — хо^у — у®)) изображение д(х^у) описывается
§ 1.5 Общие закономерности преобразования ВФ и его обращения в оптике 45
функцией д(х — х®,у — г/о)- Реальные оптические системы инвариантны
к сдвигу лишь при относительно малых смещениях объекта, однако, ин-
инвариантность к сдвигу является во многих случаях вполне допустимым
разумным приближением. Инвариантные к сдвигу системы в литературе
часто называют изопланарными.
Для инвариантной к сдвигу системы можно рассмотреть только функ-
функцию рассеяния вида /г(ж,г/, 0,0) = h(x,y), описывающую изображение
точечного источника, помещенного в начале координат и описываемого
функцией 5(х, у) = S(x)S(y). Тогда в силу инвариантности к сдвигу
h(x, у, С, rj) = КХ~^У- V),
и из A.29) получаем интеграл свертки:
Таким образом, мы пришли к выводу, что изображение объекта в линей™
ной, инвариантной к сдвигу, оптической системе является сверткой объек-
объекта с функцией рассеяния точки. Часто используют обозначение: д(х^ у) =
= f(xJ у) * *h(x, у). (Двойная звездочка означает интегрирование по двум
координатам; одномерная свертка обозначалась бы как * .)
Система является совершенной (идеальной), если h(x,y) = 5(х,у).
В этом случае в силу фильтрующего свойства <5-функции имеем
— оо —оо
Таким образом, идеальная оптическая система формирует изображение
объекта, тождественное самому объекту.
Естественно, реальные системы не являются идеальными, или совер-
совершенными, поскольку вследствие дифракции изображение точечного источ-
источника является размытым, т.е. функция рассеяния точки не есть 5-функция.
Тем не менее, представляется разумным считать систему идеальной, если
функция рассеяния точки в такой системе обусловлена только апертурой
системы (например, дифракцией на линзах объектива).
Величина д(х,у) может быть записана в ином виде:
оо оо
— оо —оо
46 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Пространственно-частотнам характеристика (ПЧХ). Запишем изо™
бражение в виде пространственно-периодической функции: / (х,у) =
= exp [j (kxx + kyy)]; подставляя /(ж, у) в д(х, у), имеем
д(х,у)= j j h^^expiJlk^x-O + kyiy-v^d^dr]. A.30)
— оо —оо
Вводя функцию
оо оо
Н(кх,ку)= | J Мб»?) exp [-j (** + *„)] d?dr,, A.31)
— ею —ею
из A.30) получаем
д (ж, у) = Н (кХ1 ку) exp [j (^жж + куу)\.
Функция Н{кХ1ку) есть двумерный фурье-образ функции рассеяния
h(x,y) и называется пространственно-частотной характеристикой си-
системы. Производя обратное фурье-преобразование, находим
H(kx, ky) exp [j (кхх + куу)\ dkx dky.
— оо —оо
Итак, подведем итоги.
1. В линейной оптической системе действие создающих изображение
объекта предметов — линз, диафрагм и т.п., полностью описывается су-
суперпозицией комплексных изображений точечных световых источников,
расположенных по всему полю объекта.
2. Линейная оптическая система полностью характеризуется функцией
рассеяния точки (импульсной характеристикой), т.е. откликом на импульс-
импульсное воздействие.
3. В линейной инвариантной к сдвигу оптической системе изображение
есть свертка объекта с импульсной характеристикой системы.
4. В линейной инвариантной к сдвигу оптической системе изображе-
изображение пространственно-периодического (в поперечной плоскости) объекта
есть произведение объекта на пространственно-частотную характеристику,
представляющую собой фурье-образ импульсной характеристики.
Угловой спектр и его распространение. Пусть некоторый объект опи-
описывается распределением комплексной амплитуды поля в точке z = 0 в виде
функции А(х, у, 0). Найдем соответствующее распределение (будем назы-
называть его оптическим возмущением) в произвольной плоскости z, т.е. функ-
функцию A(x,y,z). Применим к А(х, у, 0) фурье-преобразование:
оо оо
=
S{kx,ky,O)= A(x,y,0)e^p[-j(kxx^kyy)} dxdy. A.32)
— оо —оо
§ 1.5 Общие закономерности преобразования ВФ и его обращения в оптике А1
Фурье-образ распределения А(х, г/, 0), т.е. функция S(kXJ kyj 0), заданная
A.32), называется угловым спектром оптического возмущения А(ж,г/, 0).
Для выяснения его физического смысла рассмотрим обратное фурье-преоб™
разование:
о схэ схэ
А (х, у, 0) = I — 1 S(kx,ky,0) exp [j (kxx + kyy)] dkx dky
— схэ —схэ
A33)
и вспомним, что к2 = к2 + к2 + к2, где к = |к| = шп(ш)/с — модуль
волнового вектора монохроматической волны, к{ — компоненты вектора к
по осям координат, причем z — направление распространения.
Очевидно, что функция
В (х, у, z) = exp (jkr) = exp [j (kxx + kyy + kzz)\
описывает плоскую волну единичной амплитуды, распространяющуюся
в направлении, характеризующемся направляющими косинусами углов:
cosa = kx/k, cosf3 = ky/k^ cos 7 = kz/k.
Как правило, кХ1ку <^ikz ^ к. При z = 0 функция exp [j (kxx -\- kyy)\
представляет плоскую волну, распространяющуюся в направлении векто-
вектора к. Таким образом, выражение A.33) есть не что иное, как разложе-
разложение функции А (ж, у, 0) по плоским волнам с некоторой весовой функцией
S (кх, ку,0). Каждая из таких парциальных плоских волн имеет свой набор
составляющих kxikyikz = J к2 — (к1*. + Щ) и распространяется в своем
соответствующем направлении, а величина S (кх,ку,О) есть амплитуда
такой парциальной волны.
В произвольной точке z имеем пару преобразований Фурье:
оо со
S(kx,ky,z)= A(x,y,z)exp[-j (kxx + куу)} dxdy,
— сю —схэ
о оо сю
A(x,y,z)= l—J \ S {кХ1 ку, z) exp [j (kxx + куу)\ dkx dky.
— сю —сю
Оптическое возмущение A(x,y,z)B свободной однородной изотропной
среде удовлетворяет уравнению Гельмгольца, являющемуся прямым след-
следствием уравнений Максвелла для монохроматической волны АА+к2А = О,
где А — оператор Лапласа; в декартовых координатах
д2 д2 д
~ Ъх^ + %2 +^2"
48 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Из изложенного выше следует, что угловой спектр должен удовлетво-
удовлетворять уравнению
^ + k2S-(k2x + k2y)S=^ + k2zS = 0. A.34)
Одно из решений A.34) есть
S (kXJ kyjz) = S (kXJ kyj 0) exp (jkzz), A.35)
при этом граничный (при z = 0) угловой спектр определяется граничным рас™
пределением комплексной амплитуды A.32), a kz = Jk2 — (k*. + ky). При-
Применяя к A.35) фурье-преобразование, найдем искомую функцию А(х, у, z):
exp [j Aсжж + ^t/+ ^z)] dkxdky,
— CXD — OO
или, в сокращенной записи
оо оо
2
I (
S (ж, 0) exp (jkr) с!ж,
2тг^
— оо —оо
где ж = (kxi ky) — вектор поперечных составляющих волнового вектора,
k = (M,kz),r — трехмерный радиус-вектор.
Для случая kXJky <C ^ имеем
k2 ~k 2k
Поэтому A.35) можно переписать в виде
/ jfe
S (kx, ky, z)^S (kx, ky, 0) exp (jkz) exp ( ~3J
(последний множитель в A.36) определяет влияние дифракции).
Из A.35) следуют два важных вывода.
1. При распространении углового спектра в свободном (от поверхно-
поверхностей, объемов и пр.) пространстве (например, в вакууме) модуль спектра,
т.е. амплитуда плоской парциальной волны, не меняется. Это легко видеть
из того факта, что
Изменения углового спектра происходят только при дифракции на препят-
препятствиях.
§ 1.5 Общие закономерности преобразования ВФ и его обращения в оптике 49
2. Эффект распространения сказывается лишь на фазе углового спек-
спектра, что отражается фазовым множителем ex.p(jkzz). Набег фазы на пути z
парциальной плоской волны с набором (kXJky) определяется произведем
нием kzz и зависит от kxiky, так как kzz = kzJl — (к% + Щ) /к2. Чем
больше составляющие kXJky, тем меньше kz и, следовательно, меньше на™
бег фазы этой волны.
Пример использования углового спектра. Пусть в плоскости z = О
задано гауссово распределение амплитуды:
Найдем его угловой спектр:
оо оо
Г Г Г Ж2+2/21
So (kx,ky) = Ао exp ^— exp [j (kxx + kyy)] dx dy =
J J I wo 1
— сю —oo
oo oo
f / X2 \ f / y2 \
= A0 exp f jkxx - — J dx exp f jkyy - — 1 dy.
Используя известную формулу
exp (—p2x2 + qx) dx = exp ™-^r
(у нас q = jkX9 p2 = +1/wq, p = l/wo)9 имеем
o (kx, ky) = Ao (wq-^/ж) exp [(-k2x - Щ) Wq/A] =
exp [- (k2x + k2y) w2Q/A\ .
Производя обратное преобразование, получим
A(x,y,z) =
Z7T
I J \^X^ > гьуУ
оо оо
II
— оо —со
(h Y 4- k
ехр
exp
— oo —oo
2 - k2x -
dkx dky. A.37)
4 В. Г. Дмитриев
50 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
В A.37) интегралы уже не разделяются. Поскольку kXjV <C к, имеем
В этом случае р2 = Wq/4 + jz/Bk)9 q = jx или jy9 и из A.37) получаем
(ж2 + I/2) ( Wq + -j^- J = (ж2 + |/2) I wl — J I Wq + — J =
1 2jz
Вводя го (z) = wqJi + z2/z^; zq = kw\J2 [21], получим
' = (z2 + у2) г, (г) - jzz^1 (Ж2 + у2) u; (г).
A.38)
Введем радиус кривизны волнового фронта Д = z (l + Zq/z2) и прямой
подстановкой убеждаемся, что вместо A.38) можно записать:
х2^у2 _ ж2 + |/2
шЦг) 3
Ц) 2R
Далее:
= wl/w2{z) -JzZq1
откуда tg^ = w2 (z) (z/zo)wq1 ^1 +
Итак, окончательно имеем
Л (ж, 1/, z) = ^у^ ехр < j \kz + arctg — +
W(Z) { [ Z
у^ ехр < j \kz + arctg + ^р 2/ >
W(Z) { [ ZQ 2R J W2 (z)
A39)
Выражение A.39) совпадает полностью с формулой C.14) из моногра™
фии [20]. Член j arctg (z/z®) обусловливает отличие фазы гауссова пучка от
фазы плоской волны (из-за дифракции), последний член в A.39) определяет
изменение амплитуды пучка, третий — изменение фазового фронта с ростом z.
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом устройстве 51
Фазовая поверхность пучка может быть найдена, если приравнять ко-
коэффициент при чисто мнимом показателе экспоненты в A.39) к постоян-
постоянной kz\:
kz^k (х2 + у2) I BR) + arctg (z/z0) = kzx.
Пренебрегая малым, по сравнению с другими членами, смещением фа-
фазы arctg (z/zq), получаем поверхность вращения (х2 + у2~) /[2R) = z± — z9
где R — радиус кривизны этой поверхности.
Выше мы рассмотрели в общем виде и для конкретного примера гаус-
гауссова пучка распространение углового спектра в свободной (от различных
диафрагм, линз, фильтров и пр.) среде. При наличии на пути распростране-
распространения спектра различных оптических устройств спектр, естественно, транс-
трансформируется. Рассмотрим такую трансформацию в общем виде и приме-
применительно к конкретным системам.
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом
устройстве
Применим к обеим частям соотношения для д(х^у) на стр. 45 преоб™
разование Фурье. Пусть G(kx, ky) — фурье-образ изображения, F(kxi ky)
и H(kx,ky) — фурье-образы, соответственно, объекта и импульсной ха~
рактеристики системы, причем H(kXJ ky) есть пространственно-частотная
характеристика системы. Уравнение при этом может быть записано в виде
важного соотношения
G(кх,ку) = F(кх,kv) H(кх,ку). A.40)
Строгое доказательство соотношения A.40) проведем, используя интеграл
свертки:
д(х,у)= \
— оо — оо
Произведем преобразование Фурье (здесь а = х — ?, /3 = у — г]):
оо оо
\ д(х, у) exp [-j (кхх + куу)] dx dy = G (кх, ку) =
оо сю оо сю
ш
оо оо оо оо
¦ И J Ь-
— оо —оо —оо —оо
4*
52 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
х exp [—j (kx^ + kyfj)} d^ drj dx dy =
oo oo
\ h (a, f3) exp [-j (akx + /3ky)] da d/3 x
exp [-j (kx? + kyV)] didr1 = H (kx,ku) F (kx, kv)
— oo —oo
Соотношение A.40) означает, что фурье-образ (спектр) изображения
есть произведение фурье-образа (спектра) объекта и пространственно-
частотной характеристики (или, что то же самое, произведение фурье-
образов объекта и импульсной характеристики системы). Это соотношение
известно в теории оптической обработки информации как теорема
о свертке.
Пространственно-частотнаи характеристика свободного простран-
пространства. При рассмотрении распространения углового спектра мы получили
соотношение A.35). Из формулы A.31) в соответствии с A.35) получаем
выражение для пространственно-частотной характеристики (ПЧХ) свобод-
свободного пространства (или ПЧХ'распространения):
H(kx,kv) = exp(jkzz) = exp Lyp-(fc2+fc2)J . A.41)
При kXJky <C k9 т.е. при малых пространственных частотах объекта из
A.41) имеем
H(kx,ky)^eXp{jkz)exp (-J^^zj . A.42)
При k^, + ky > к2 показатель эскпоненты в A.42) становится действи-
действительным и отрицательным, что соответствует затухающим в пространстве
волнам. Затухание оказывается весьма большим уже на расстояниях по-
порядка нескольких длин волн, поэтому затухающими волнами, соответству-
соответствующими столь большим пространственным частотам, можно пренебречь.
Итак, ПЧХ распространения имеет вид
ч+ч**. (ЫЗ)
0 при kl + Щ > к2.
Таким образом, свободное пространство эквивалентно линейному филь™
тру с пространственной дисперсией, т.е. с зависимостью ПЧХ от простран-
пространственных частот. Фильтр полностью не пропускает излучение в области
к^ + ку > к2, т.е. в области вне круга радиусом к в плоскости кхку; внутри
круга модуль ПЧХ равен единице, однако имеются фазовые сдвиги, зави-
зависящие от пространственных частот. Особенно заметна эта зависимость
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом устройстве 53
(пространственная дисперсия) на высоких пространственных частотах.
Напомним, что высокие пространственные частоты соответствуют эле-
элементам объекта с малым характерным размером а, малые частоты —
наоборот, элементам с большим а. Связь между кх ш а может быть запи-
записана в виде кх ~ 2тг/а, или Хк « акх; в соответствии с этим, из условия
кх < к (в противном случае волны становятся затухающими, см. A.43)),
получаем, что наименьший пространственный период объекта должен
быть больше длины волны света. Очевидно, этому условию отвечает
большинство реальных объектов.
Применяя к ПЧХ распространения A.43) обратное фурье-преобразова-
ние и используя A.42), получим импульсную характеристику свободного
пространства:
— оо —оо
х exp [j (кхх + куу)] dkx dky
— оо —оо
Используя табличный интеграл при р2 = —jz/Bk), q = jx (или jy\
имеем
fe(^2/)^eXP(ifc!)-27rfcexp
. f кх ку
2z 2z
В справедливости A.44) можно убедиться, получив функцию A.42)
обратным фурье-преобразованием соотношения A.44). Функция h{x^y)
описывает изображение точечного источника, созданное оптической систе-
системой, и дает распределение амплитуды поля точечного источника единичной
амплитуды, т.е. сферическую волну. Точное решение уравнения Гельмголь-
ца есть сферическая волна
^ A.45)
где R = у'х2 + у2 + z2, С — константа. Если мы, как и следует из вывода
A.44), рассматриваем поле вблизи оси z, в силу чего
то очевидно, что решения A.44) и A.45) совпадают (при этом С = jk/Bп)9
а квадратичными по ж, у членами в знаменателе множителя C/R в A.45),
естественно, можно пренебречь [18, 19]).
54 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Искажении углового спектра в реальных оптических системах.
Рассмотрим искажения углового спектра, вызванные наличием кон-
конкретных оптических систем (диафрагм, линз, фильтров и т.п.). Пусть
в непрозрачном бесконечном экране, расположенном в плоскости ху при
z = 0, имеется отверстие площадью So с амплитудным коэффициентом
пропускания t(x,y) = 1 при ж, у Е Sq (естественно, t(x^y) = 0 в осталь™
ной области экрана). Пусть S® (kXJkyj0) — угловой спектр излучения,
падающего на экран и Ао (ж, у, 0) — соответствующее распределение
комплексной амплитуды (в плоскости экрана, т.е. при z = 0). Естественно,
что эти две величины связаны фурье-преобразованием. Непосредственно
за отверстием (т.е., по-прежнему, при z = 0) амплитудное распределение
прошедшего через отверстие света равно
Аг (х, у, 0) = Ао (ж, у, 0) t (x, у). A.46)
Угловой спектр прошедшего излучения Si (kx, ky, 0) есть фурье-образ
распределения Ai(x,y,0)9 заданного формулой A.46), или что то же
самое, — свертка углового спектра падающего излучения Sq (kx,ky,O)
и фурье-образа Т (&ж, ку) функции пропускания t(x, у), где
оо оо
г г
Т(кХ1ку)= t(xJy)e^p[—j(kxx^kyy)]dxdy.
J J
— оо —оо
Таким образом,
оо оо
Si (kXJ ky, 0) = Ai (ж, |/, 0) exp [-j (кхх + куу)] dx dy =
— оо —оо
оо оо
f f
J J
Нетрудно видеть, что последний интеграл соответствует операции
свертки. В качестве примера возьмем прямоугольное и круглое отверстия
в непрозрачном экране.
Прямоугольное отверстие. Определим коэффициент пропускания (по
амплитуде) экрана с таким отверстием в виде функции [18]:
(^) A.47)
где функция rect ? определяется из условия:
rect? = 1 при |f| ^ 1/2,
rect ? = 0 в остальной области.
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом устройстве 55
Фурье-образ функции A.47) имеет вид
ос ос
Г Г / X \ / У \
Т (kxky) = rect ( — ) rect ( — ) exp [-j (kxx + kyy)] dx dy =
J J V Ad / \ Аи /
— оо —оо
f
=
J
exp (-jkyy) dy = 4а6™
= 4a6sinc (akx) ¦ sine (bky),
где sine ? = sin ?/?.
Предположим, что отверстие освещено плоской волной, распространяв
ющейся по оси z9 т.е. кх = ку = О, А; = kz. Тогда спектр падающего на
экран излучения есть <5™функция, т.е.
^о (кх, fcy, 0) = S @,0,0) 6(кхN (ку).
В этом случае фильтрующее действие S-функции приводит к следующе-
следующему выражению углового спектра прошедшего через отверстие излучения:
Si (кХ1 ку, 0) = S @,0,0) Т (кх, ку) =
= 4тт2abS @, 0, 0) sine (akx) sine (Ъку). A.48)
Таким образом, если входной (падающий на экран) угловой спектр пред-
представляет собой E-функцию, т.е. соответствует плоской волне, то прошедший
через отверстие угловой спектр, в соответствии с A.48), оказывается уши™
ренным. Ширина центрального максимума функции sine (akx), например,
по нулевому уровню, составляет 2v = 2тг/а; таким образом, составляющие
кх и ку прошедшего спектра удовлетворяют соотношениям:
^тг/а ^ кх ^ тт/щ ^тт/Ь ^ кх ^ тг/Ь.
После отверстия угловой спектр распространяется в свободном про-
пространстве и, согласно A.35), в произвольной плоскости z имеем
Si (kx, kyi z) = 4w2abS @, 0, 0) sine (akx) sine (bky) exp (jkzz), A.49)
Распределение комплексной амплитуды в плоскости z найдем преобра-
преобразованием Фурье:
оо оо
1 Г Г
At (ж, у, z) = —^ Si (кх, ку, z) exp [j (kxx + куу)} dkx dky.
— ехэ —ехэ
A.50)
56
Адаптивная оптика и обращение волнового фронта
Гл.1
Вычисление интеграла A.50) с учетом A.49) весьма затруднительно,
так как дает общую картину дифракции на прямоугольном отверстии,
включающую два известных приближения, а именно, дифракцию Френеля
и дифракцию Фраунгофера [10].
Рассмотрим более простое при-
приближение дифракции Фраунгофе-
ра(рис. 1.17).
В точке Pq(x0, I/O, zq) располо-
расположен точечный источник света; для
простоты примем, что он находит™
ся на оси z, т.е. xq = г/о = 0-
В плоскости ху при z = 0 в беско-
бесконечном экране Mq находится пря-
прямоугольное отверстие со сторона-
сторонами 2а и 25 и центром в начале ко™
ординат. Для вычисления распре-
распределения амплитуды поля в произвольной плоскости М\ при z = z\ доста-
достаточно найти амплитуду в произвольной точке Р(ж, г/, z\) этой плоскости.
Функция пропускания экрана имеет вид
Рис. 1.17
t(x, у) = 1 при — а ^ х ^ а; —
t(x,y) = 0 в остальной области.
A.51)
Весьма распространенный случай дифракции Фраунгофера реализуется
при zo,zi ^> а, Ъ. Вычисляя интеграл Кирхгофа [10] по апертуре отверстия,
получим распределение комплексной амплитуды поля в плоскости Mi, т.е.
функцию импульсного отклика экрана с отверстием в виде
h(x,y) = К
sin(akax)
akax
jkby
A.52)
где sq = ab — площадь прямоугольника, К — несущественная для нас
комплексная постоянная, К = ——^— exp [jk (zq + s)]; для точечного ис-
AZqS
точника единичной амплитуды интенсивность в центре дифракционной
картины равна Jq = \К\ Sq9 где s
¦ площадь отверстия, а = 7 = s г;
при этом поскольку s = л/х2 + у2 + z\, то в приосевой части s « z\, т.е.
а = j = z^1 (это приближение вполне оправдано, поскольку отклонения
дифрагированного света при а, Ь >> Л весьма малы).
Интенсивность дифракционной картины в точке Р равна:
(akax) sin2 (akby)
Т
где Jq — интенсивность в точке Oi@,0, zi). График функции
представлен на рис. 1.18, Jq = \K\ Sq .
§1.6
Трансформация углового спектра в оптическом устройстве
57
Таким образом, дифракционная картина имеет вид яркого (в точке О{)
центрального пятна с размерами 2Аж = 2nzi/(ka) и 2At/ = 27rzi/(kb)
и ряда вторичных максимумов, интенсивность которых быстро спадает по
мере удаления от точки О± (рис. 1.18). Таким обра-
образом, характерные размеры дифракционной картины
есть Xzi/a и Xz\/b.
Круглое отверстие. Аналогичным образом
можно проанализировать дифракцию на круглом
отверстии с радиусом uq в непрозрачном экране
[10]. Импульсная характеристика этого отверстия
(формула Эйри):
Г
h(p) =
r2Ji (akaop)
0 7Г 2тг Зтг
Рис. 1.18
где р =
¦ радиус в полярной системе
координат (дифракционная картина, естественно, имеет круговую симмет-
симметрию в плоскости ху\ Ji(x) — функция Бесселя первого порядка, К —
комплексная постоянная. Интенсивность дифракционной картины равна
J(p) = J@)
Вид этой функции (рис. 1.19) весьма схож с видом функции (sin?/?)
(рис. 1.18), но вторичные максимумы уже неэквидистантны. Дифракцион™
ная картина имеет вид яркого кругового пятна (так называемый централь™
ный диск Эйри, или кружок рассеяния)
и вторичных колец-максимумов, интенсив™
ность которых быстро спадает с ростом р. Ра-
Радиус первого темного кольца (или, что то же
самое, диска Эйри) равен
1,0
0,61Az
= l,22Azi/Ba0).
Рис. 1.19
Первый нуль Ji(?) достигается при ? =
= 1,22тг = 3,832 ... Радиус диска Эйри ока™
зывается несколько большим, чем соответствующая полуширина централь™
ного пятна дифракционной картины для прямоугольного отверстия, где она
равна Xzi/Ba) или Xzi/Bb)9 причем 2а, 26 сравнимы по величине с диа™
метром круглого отверстия 2а0- В диске Эйри содержится примерно 84%
полной мощности света, падающего на отверстие.
В заключение отметим, что угловой спектр A.48) прошедшего через пря™
моугольное отверстие излучения (аналогично можно рассчитать этот спектр
и для круглого отверстия) непосредственно за отверстием соответствует одно-
однородному распределению комплексной амплитуды, т.е. чисто геометрической
тени отверстия. По мере распространения этого света от отверстия мы от
геометрической тени переходим через ближнюю зону (дифракция Френеля)
58 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
в дальнюю зону (дифракция Фраунгофера). Из соотношения A.52) видно, что
функция вида sine ?, непосредственно у экрана соответствующая угловому
спектру при однородном распределении амплитуды, в дальней зоне соответ™
ствует уже амплитудному распределению (дифракция Фраунгофера, формула
A.52)). По ряду соображений приближению дифракции Фраунгофера A.52)
нельзя сопоставить пространственно-частотную характеристику (хотя бы по™
тому, что приближение Фраунгофера не отвечает условию пространственной
инвариантности уравнения дифракции). Поэтому и в этом приближении сле-
следует пользоваться ПЧХ A.42) или A.43) (для узкого углового спектра); это
выражение справедливо для всей области за экраном.
Можно дать общий совет, каким образом — с помощью амплитудных
распределений или угловых спектров — производить расчет распростране-
распространения излучения через оптические системы. Очевидно, что для распространен
ния света в свободном пространстве целесообразно произвести фурье~пре™
образование амплитудного распределения и, получив угловой спектр, поль-
пользоваться ПЧХ вида A.41). При расчете влияния оптических систем лучше
пользоваться амплитудными распределениями, сделав предварительно (на
входе системы) обратное фурье-преобразование углового спектра.
Синусоидальные одномерные решетки [18]. Если в отверстии разме™
щен транспарант с пропусканием t(x, у), то для амплитудной решетки (для
простоты берем квадратное отверстие со стороной а):
1 / ТС \ / 1J \
t (ж, у) = - [га cos (kgx) + 1] rect f — j rect ( — J , A.53)
для фазовой решетки:
[ТП 1 / X X f У \
j — sin (kox) rect - rect ( - ) , A.54)
где m — коэффициент модуляции, ко — пространственная частота моду-
модуляции.
Фурье-образ амплитудного распределения A.53), A.54) есть свертка
фурье-образов соответствующих множителей; обратное фурье-преобразо-
вание дает амплитудное распределение в зоне дифракции Фраунгофера.
Это распределение достаточно сложно, и мы его здесь не приводим. За-
Заметим только, что для амплитудной решетки дифракция приводит к пере™
распределению энергии плоской волны, освещающей транспарант, между
центральным (нулевого порядка) и двумя вторичными (первого порядка)
дифракционными максимумами. Для фазовой решетки число вторичных
максимумов может быть достаточно велико, а при определенных условиях
нулевой (центральный) максимум исчезает.
Преобразование угловых спектров при обращении волнового фронта.
Рассмотрим схему, содержащую искажающую среду (аберратор), участок
свободного пространства и устройство ОВФ (его принцип действия пока
не конкретизируем). Пусть в плоскости z = 0 первоначально плоская вол-
волна (будем называть ее сигналом) с амплитудой Aw, распространяющаяся
по оси z, приобрела (после прохождения через аберратор) неоднородный
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом устройстве 59
набег фазы, описываемый множителем exp [j<p (р)], где р — радиус-вектор
в плоскости ху9 т.е. р2 = х2 + у2. Тогда в плоскости z = 0 комплексная
амплитуда сигнала имеет вид
Аг (х, у, 0) = А10 exp \j(p (p)].
Угловой спектр сигнала в этой же плоскости равен
|Ai(p,O)exp(jxip) dp, A.55)
где Xi = ^1Ж1 + kiyin — волновой вектор сигнала в плоскости ху9 |xi| =
= JЩ_х -\- k\y9 причем I, m — единичные векторы по осям х, у; х\р =
= к\хх + к\уу\ условная запись A.55) будет означать следующее:
оо оо
Iff
Si (fax, fay, 0) = —^ Аг (ж, |/, 0) exp [j (faxx + favy)\ dx dy.
4ttz J J
— oo —oo
В некоторой плоскости z\ имеем
или
/ 2 \
= Si (xi,0)exp(jfci2?i)exp ( ^ix^^i )
Пусть в результате процесса ОВФ возникает новая волна с комплексно-сопря™
женным фронтом по отношению к Si, т.е. (для некоторой плоскости z^)\
S2 (k2x, k2y, z2) = S2 {м2, z2) = К (xi, x2, zuz2) S^ (мъгг). A.56)
Величина K(xi,Zi) есть коэффициент преобразования устройства,
обращающего волновой фронт, из волны Sf в волну S2. Этот коэффициент
вычисляется, как нетрудно видеть, по амплитудам соответствующих пар-
парциальных плоских волн, т.е. по угловым спектрам. Нетрудно также видеть,
что величина К отнюдь не есть фурье-образ коэфффициента преобразова™
ния по амплитуде поля rj, где
A2(x,y,z2)
77 = 77 (ж, 2/, zuz2) = -г— г.
Atix.y.zt)
Амплитудное распределение поля обращенной волны найдем обратным
фурье-преобразованием углового спектра S2 (m2j z2):
А2 (ж, 2/, z2) = А2 (р, z2) = S2 (x2, z2) exp [-jx2p] dx2.
60 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Эта запись означает следующее:
оо оо
г г
М О, у, z2) = S2 (k2x, k2y, z2) exp [-j (k2xx + k2yy)] dk2x dk2y.
j j
— OO — OO
Подставим сюда A.56):
A2 (p, z2) = \K (xb x2, zuz2) SI (xb zi) exp [-jx2p] dn2 =
x exp +^77^2:1 exp (-jx2p) с1ж2 = exp (-jfci^i) exp
Г (( , Л
= Q\K(ki, ж2, гъ z2) { \Ал(р ,O)exp(^jj€ip )ф >
J U J
= Q \\ К (xi, х2, zi, z2) ^-i (p, 0) exp [—j {ж\р + х2р)]
j j
A.57)
(Здесь мы ввели обозначение 4tt2Q = exp {—jk\Z\) exp {jk\ z\j Bk\))
и подставили A.55)).
Переменная интегрирования в A.55) обозначена через //, чтобы отли™
чить ее от параметра р в интеграле A.57). Забегая несколько вперед, заме™
тим, что независимо от вида устройства ОВФ (трех- или четырехфотонный
нелинейный преобразователь) для случая плоских волн накачки следует
положить Xi = —m2. (Например, для трехфотонного параметрического
генератора разностной частоты имеем k3 = ki + к2, где к3 — волновой
вектор накачки. Отсюда Жз = Ж\ + х2. Если накачка — плоская волна,
распространяющаяся по z, то х3= 0, и, следовательно, Н\ = —ж2.)
Введем функцию
Г (р-р;, ^i,^) = \K(MUM2,zuz2)e^p[-JM2(p-pf)} du2 A.58)
j
и назовем ее функцией разброса. Тогда из A.57) получаем
*1(p',0)r(p-p',z1,z2) dp'. A.59)
Нетрудно показать (см. ниже), что функция разброса Г есть в данном
случае не что иное, как отклик на импульсную функцию (<5-функцию), т.е.
функция рассеяния точки (или, что то же, импульсная характеристика пре-
преобразователя). Таким образом, это есть отклик (реакция) преобразователя
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом устройстве 61
на точечный световой источник. Точно так же фурье-образ функции раз-
разброса, т.е. коэффициент преобразования по угловому спектру К, есть ПЧХ
преобразователя.
Итак, можно сделать вывод, что обращенное поле есть свертка ком-
комплексно-сопряженного поля сигнала с функцией разброса устройства ОВФ.
Из A.58) следует, что функция разброса есть фурье-образ коэффициента
преобразования при ОВФ по угловому спектру.
Подставляя А\ (ж, у, 0) в A.59), имеем
А2 (р, z2) = QA10 exp [-j<p (pf)} Г (р ^ p\ zuz2) dp1.
Если начальное распределение волны сигнала было задано в виде
Аг (р, 0) = А10 exp [-jxop + j(p (p)], A.60)
т.е. если волна сигнала распространяется не по оси z (есть отличный от
нуля поперечный волновой вектор Xq, где \mq\ = ykfx + kfy, и величины
kix и k\y постоянны), то для амплитуды А^ имеем более общий случай:
г
А2 (р, z2) = QAW exp [JMOpf - jif (p1)} Г (p - p\ zuz2) dp1. A.61)
Угловой спектр волны A.60) найдем фурье-преобразованием:
S2(m2,z2)= f^J j A2(p,z2)exp[j>f2p] dp. A.62)
Подставим A.61) в A.62):
Z2) =
= ^^ exp lJMOpf - JLp {р')} exp (jk2p) Г (p - p;, zb z2) dp dp' =
exp [-j<p (pf)} T(p^ p\ Zl,z2) exp (+jx2p + jxop') dp dp1.
A.63)
Вычислим фурье-образ функции A.60):
1 f
Si (xi, 0) = ^io^ exp [-jxop + j<p (p)]
62 Адаптивная оптика и обращение волнового фронта Гл. I
Поэтому спектр A.63) равен
S2 (х2, z2) = Q\ Si (х2, 0) Г (р - р\ zuz2) exp (JM2p - jx2pf) dpf =
>2,*l,Z2). (L64)
Мы получили то же выражение, что и раньше A.56), что просто под-
подтверждает правильность наших вычислений.
Спектр A.64) возвращается к плоскости z = 0, где находится аберратор,
что эквивалентно умножению S2 (m2j z2) на величину
( к2
exp (+jk2z2) х exp f -Jt^-z
Введем
г ., ., .я\
g = exp \-jk1z1 +jk2z2 + Зтгг^ "
. 2fc2
Тогда
S2(m2,0) = qK(M2izuz2)Sl (*2,0).
Вычислим угловой спектр функции аберрации if (p):
1 Г
4тг2 J
Для нахождения углового спектра волны, вторично прошедшей через
аберратор при z = 0, воспользуемся теоремой о свертке (см. [18]); прошед-
прошедший спектр помечен штрихом:
г
S2 (х2,0) = \S2 (m2j 0) Ф (х2 - м2) йк2 =
Г (м2, zi, z2) Si (m2j 0) Ф (х2 — ж2) ёж2. A.65)
Итак, спектральный состав восстановленного после прохождения по™
лем аберратора, устройства ОВФ и снова аберратора равен S2 (x2,0) =
= S2 (—Xi, 0). Спектральный состав первоначального поля имеет вид плос-
плоской волны: /пх
^0) (кг) = Ат8 (xi - х0), A.66)
где 5 (к) — дельта-функция. Можно ввести коэффициент компенсации фа™
зовых искажений при ОВФ как отношение функции A.65) к A.66); при этом
необходимо провести нормировку этого коэффициента на максимальную
величину коэффициента преобразования Ко. Таким образом, коэффициент
компенсации равен
К0А106(х- xi) ~ i^o-4io
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом устройстве 63
Более точную оценку качества компенсации искажений дает так назы-
называемый интеграл перекрытия [16]:
\$A1(p,z)A2{p,z) dp\2
?1 =
^z)]2 dp-$\A2(p,z)\' dp
Экспериментальное определение Н достаточно сложно, и зачастую поль™
зуются более наглядным параметром г A.67). Можно условно принять, что
компенсация искажений с помощью ОВФ удовлетворительна, если восстанови
TV |2 lex
ленная волна несет не менее, чем К$\ /2 энергии первоначальной волны,
т.е. \т\2 ^ 1/2.
Величина т существенно определяется типом устройства ОВФ и спек™
тральным угловым составом функции аберрации. Параметр т будет вычис-
вычислен ниже для конкретных видов систем и функций <р(р).
Рассмотрим общее выражение A.61) для распределения поля, попе-
поперечные компоненты волнового вектора которого обращены, т.е. измени™
ли знак. Можно показать, что если устройство ОВФ является идеальным
линейным фильтром, то его функция разброса есть величина, пропор-
пропорциональная S-функции, т.е.
T(p-p/,z1,z2)=?5(p-p').
Тогда из A.61) получаем, пользуясь фильтрующим свойством ^-функции:
А2 (р, z) = QA10 exp lJMOp ~~ j(p (p)],
т. е. учитывая A.60):
A2(p,z)=QA*1(p,0).
Таким образом, в данном случае мы имеем полное ОВФ по поперечным
волновым векторам (обращение продольной составляющей волнового векто-
ра может быть осуществлено, например, отражением от плоского зеркала).
Коэффициент пропорциональности Q, равный
Q = 1гч ехР (-Jkizi) ехР ( с,1 )
и являющийся чисто фазовым множителем, здесь может пока не прини-
приниматься во внимание (первый множитель есть просто фазовая задержка всего
спектра, а второй множитель, как мы увидим ниже, может быть скомпен™
сирован при формировании изображения оптическими системами).
Итак, имеем
А2 (р, z) - А10 exp \jxop - j(p (p)]. A.68)
Проходя вторично через аберратор, вносящий неоднородную (в попе-
поперечной плоскости) фазовую задержку (набег фазы), описываемую функцией
64
Адаптивная оптика и обращение волнового фронта
Гл.1
exp [j(p (p)]9 амплитудное распределение A.68) приобретает вид первона-
первоначальной плоской волны:
Аг2 (р, z) ^ А10 exp [JMOp - j(p (p)] exp [j> (p)] = Ai0 exp (jxop).
A.69)
Первоначальное поле (до аберратора) также имело вид плоской волны:
Аг (р, 0) = А10 exp (- J
Восстановленное поле A.69), возникшее вследствие прохождения плос-
плоской волны через аберратор, устройство ОВФ (включая изменение знака
продольной составляющей) и снова через аберратор, есть плоская волна,
результирующий волновой вектор которой имеет противоположный знак
по отношению к первоначальной плоской волне. Это и есть эффект пол-
полного ОВФ по всем трем пространственным координатам, характерный для
рассматриваемого здесь идеального случая.
Применительно к этому же случаю отметим, что коэффициент преоб-
преобразования устройства ОВФ, который может быть выражен через функцию
разброса, равен
K(x,zuz2) = -^ \Т (р ^ pf, гъ z2) e^p[^JM (p ^ pf)] d (p ^ pf) =
= 4^ J S (p) eXP ^JKp) dp
Итак, величина К (к) идеального фильтра постоянна для всех спек-
спектральных компонент, а угловой спектр преобразованного поля пропорцио-
нален комплексно-сопряженному (обращенному) угловому спектру волны,
прошедшей через аберратор.
В общем случае устройство ОВФ не является идеальным линей™
ным фильтром с функцией разброса в виде E-функции (или, что
то же самое, с коэффициентом преобразовав
ния, постоянным для всего углового спектра
преобразуемого излучения). Так, например,
устройство ОВФ в виде параметрическо-
параметрического трехфотонного вырожденного преобра-
преобразователя с генерацией разностной частоты
(см. гл. II) имеет коэффициент преобразо-
преобразования вида К (к) = Kq sine (ax2), суще-
существенно зависящий от ж, что определяет™
ся физикой трехфотонных взаимодействий
в анизотропной среде [13, 17] (рис. 1.20).
( /)
2тг Зтг
Рис. 1.20
р р [ ]
Нетрудно видеть, что такой преобразователь эффективно (К )
преобразовывает лишь достаточно узкую полосу угловых частот, опреде-
определяемую условием sine (ах2) = у/Т/2, или ак2 « 1,4. (При таком опреде-
определении ширина эффективно преобразуемого спектра определяется по поло-
половине интенсивности, так называемая полуширина углового спектра. Часто
Трансформация углового спектра в оптическом устройстве 65
эту ширину определяют из условия а к2 = тг/2 = 1,57..., что эквива-
эквивалентно определению ширины преобразования по уровню @,6366J « 0,405
интенсивности.) Здесь а — параметр, определяемый свойствами нелиней-
нелинейного кристалла (в частности, длиной, дисперсионными коэффициентами
и т.п.) и длиной волны излучения. Не вдаваясь в подробности (детально
этот вопрос будет обсуждаться в гл. II), нетрудно видеть, что угловой спектр
исходного излучения, прошедшего через аберратор, выходящий за пределы
ширины центрального максимума, не будет эффективно преобразован и,
следовательно, останется необращенным. Другими словами, в восстанов-
восстановленном поле окажется значительный фон необращенного (т.е. фактически
невосстановленного) поля. На практике это приведет к тому, что изобра-
изображение, прошедшее через аберратор, устройство ОВФ и вторично через
аберратор, окажется существенно размытым; при этом особенно размы-
размытыми окажутся мелкомасштабные детали изображения, спектральные уг™
ловые составляющие которых выходят за пределы центрального максиму™
ма. Можно грубо оценить разрешение из следующих соображений. Пусть
а — поперечный масштаб деталей изображения; ему соответствует по™
перечное волновое число ка &тг/Bа). Тогда получаем, что разрешение
(минимальный размер элемента изображения) в восстановленном изобра-
изображении определяется условием а ^ тг2а/5,6 « 1,76а. Поскольку величина
а прямо пропорциональна длине волны А и длине нелинейного кристалла I,
то разрешение падает с ростом А и I. Точно так же будут сильно размытыми
резкие контрастные края (границы) элементов изображения, содержащие
также высокие пространственные «частоты» углового спектра. Крупные
элементы изображения с достаточно плавными (неконтрастными) граница-
границами окажутся восстановленными практически полностью.
ГЛАВА II
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ
ВЫРОЖДЕННОМ ТРЕХВОЛНОВОМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
§ 2.1 Обращение волнового фронта
при генерации разностной частоты
Рассмотрим квазиплоскую волну с плоским амплитудным и искажен™
ным волновым (фазовым) фронтами
Е=-\А\ {exp{i [out - kz + Ф (ж, у)]} + к.с.},
где Ф(ж, у) — функция аберрации в поперечном сечении (ж, у); будем по-
полагать Ф(ж, у) настолько малой, чтобы можно было принять приближенно
ехр (^Ф) « 1 + ]Ф. Таким образом, в этом приближении поле Е является
суперпозицией двух волн
Е=-\А\ {ехр [j (out - kz)} + к.с.} +
+ -|А|{^Ф(ж,у)ехр[Я"*-Ь)] + к.с.}, B.1)
т.е. плоской волны с амплитудой А и квазиплоской, модулированной в по™
перечном сечении, волны с амплитудой j^A. Заметим, что коэффициент j
означает умножение на величину ехр (jV/2), что соответствует наличию
сдвига фаз в тг/2 между плоской и квазиплоской волнами.
Как известно, пространственная амплитудная модуляция идентична по™
явлению плоских волн, распространяющихся под углами к направлению z.
Рассмотрим для простоты периодическую одномерную модуляцию, т.е.
Ф (х) = (Фо/2) [ехр (-jkxx) + ехр (jkxx)} = Фо cos (kxx). B.2)
Спектр пространственных частот этой функции содержит два значения:
кхш—кх; другими словами, модуляция вида B.2) эквивалентна появлению
двух плоских волн, распространяющихся под углом а^ кх/к по обе сто-
стороны от направления z. Поле B.1) в этом случае имеет вид (к% + к^ = к2):
\А\ \А\ A
Е « Y 1ехР \3 И ^ kz)] + к.с.} + ^.7'Фо { 2 (ехР U (ut ~ k-z ~ k^x)} +
ехр [j (ujt - kzz + кхх)} + к.с.) |. B.3)
В выражении B.3) вместо kz в квазиплоской волне мы записали kzz,
подчеркнув, что наличие модуляции в поперечном направлении приводит
§2.1 ОВФ при генерации разностной частоты 61
к повороту направления составляющих плоских волн, т.е. к уменьшению
составляющей волнового числа к по оси z\ сама величина к определяется
лишь дисперсией к = шп (о;)/с и (в пренебрежении анизотропией) не ме-
меняется с направлением.
Покажем, что при генерации разностной частоты в квадратично-нели™
нейной среде в вырожденном по частоте режиме генерируется комплекс-
комплексно-сопряженная волна, т.е. происходит ОВФ. Рассмотрим взаимодей-
взаимодействие вида 2ш—ш = ш. Так как режим по сигнальной и разностной волнам
вырожден по частоте, необходимо как-то отличать разностную (т.е. гене-
генерируемую в среде) волну от сигнальной (т.е. от поступающей в среду) вол-
волны, фронт которой необходимо обратить. Здесь можно воспользоваться
двумя способами:
1) применить взаимодействие вида «оее» [1], т.е. волну накачки на ча-
частоте 2ш и одну из двух других волн, например, сигнальную волну на ча-
частоте ш, взять необыкновенными, тогда разностная волна окажется обыкно-
обыкновенной; разделение сигнальной и разностной волн может быть произведено
поляризатором1 до или после возвращающего зеркала (рис. 2.1 а);
2) применить векторное взаимодействие любого вида («оое» или «оее»)
[2]; в этом случае разделение падающей (сигнальной) и обращенной (раз™
ностной) волн происходит автоматически (они разнесены в пространстве,
рис. 2.1 б); фронт обращенной волны смещен относительно фронта сигналь-
сигнальной волны на величину а, зависящую от угла векторного синхронизма /3,
длины кристалла и расстояния от кристалла до возвращающего зеркала.
Рассмотрим процесс генерации разностной частоты в квадратично-нели-
квадратично-нелинейной среде более подробно. Представим электрический вектор поля в среде
в виде суперпозиции трех волн: накачки на частоте 2lj, сигнальной и разност-
разностной волн на частоте ш. Волнам сигнальной, разностной и накачки припишем
индексы 1,2,3, соответственно:
Е (г, i) = -{pi-Ai (г) exp [j (uot — кц*)] -f p2A2 exp [j (out — k2r)] +
+ рз А3 (г) exp [j But - k3r)] + k.c.}. B.4)
Поле вида B.4) является решением волнового уравнения
?q 92Е 4тг 92Рнл
С (if С Ct
где Рнл = %ЕЕ — нелинейная (в данном случае — квадратичная) поляри-
зованность, % — тензор квадратичной поляризуемости.
Запомним [2], что поляризации обыкновенной и необыкновенной волн орто-
ортогональны. При таком выборе поляризатор, настроенный на обыкновенную волну,
«отрежет» и волну накачки. Если же сигнальная волна выбрана обыкновенной, то
разностная будет необыкновенной, как и накачка; поляризатор в этом случае про-
пропустит и накачку, которая может быть отрезана простым фильтром.
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
Сигнал
Накачка
Разностная
обращенная волна
Разностная
волна
Плоское возвращающее зеркало
Разностная
Накачка
2ш
Сигнал
V/
Разностная
(обращенная) волна ш
Рис. 2.1
Уравнение B.5) следует решать с учетом граничных условий; полагая,
что разностная частота на входе нелинейной среды отсутствует, имеем
А3@) = А
-30-
B.6)
В дальнейшем будем предполагать, что А2 (г) «С Аю^А^о- Это уело™
вие означает, что процесс генерации разностной частоты (ГРЧ) происходит
в приближении заданных полей накачки и сигнальной волны, т.е. А\ (г) =
= Аю] А% (г) = Азо. Величины Aw, A%0 суть, вообще говоря, функции
поперечных координат.
В этом приближении уравнения для амплитуды волны разностной ча-
частоты A2(z) имеют вид (z — направление распространения этой волны):
dA2/dz = ja2A30A*10,
= -ja2A*30A
30Aw.
B.7)
§2.1 ОВФ при генерации разностной частоты 69
Из уравнений B.7) видно, что генерируемая частота имеет фазовый
фронт, комплексно-сопряженный по отношению к падающей сигнальной
волне. В дальнейшем будем полагать волну накачки плоской (это условие,
вообще говоря, не обязательно; важно лишь, чтобы возвращающее зеркало
имело поверхность, совпадающую с волновым фронтом накачки [3], при
плоской волне накачки возвращающее зеркало также должно быть плос™
ким), а волну сигнала — квазиплоской с волновым фронтом вида
А10(х,у) = \А10\ехрЦФ(х,у)],
где Ф(ж, у) — функция аберрации; при этом введем A3q (х,у) = \А%® | = азо,
\AW\ = аю, так что из B.7) следует:
dA2/dz = ja2awa30 exp (-./Ф), дАЦдг = -jd2a10am exp (^Ф). B.8)
Здесь а2 — коэффициент нелинейной связи [1]. Будем искать решение
уравнений B.8) в виде
А2 (х, у, z) = a2 (z) exp [j> (x, у)}. B.9)
Мы, тем самым, предполагаем, что фазовый фронт волны разностной
частоты не является плоским, но наличие фазовой пространственной мо~
дуляции еще не приводит к модуляции плоско-амплитудного фронта.
Подставляя B.9) в первое уравнение B.8), получаем
да2 / • \ • , .
— exp (j(p) = ja2awa30 exp (-.;Ф) ,
«2 (/) = j(T2aioa3ol exp [-j (Ф + ф)\ .
Поскольку в левой части второго уравнения B.10) стоит действительная
константа (амплитуда волны разностной частоты на выходе z = I нели-
нелинейной среды), а в правой части в показателе экспоненты стоит функция
поперечных координат ж, у, то с очевидностью имеем
у>(я,у) = -Ф(а;,2/)+7г/2. B.11)
В B.11) мы воспользовались соотношением j = exp (jV/2).
С учетом B.10), B.11) имеем а2 (I) = <Т2^юазо^ •> а комплексная ампли-
амплитуда разностной волны равна:
А2 (ж, t/, I) = ja2ama30l exp [-^'Ф (ж, у)] =
= а2 (I) exp {-j [Ф(х, у) - тг/2]} . B.12)
Итак, фаза разностной волны имеет знак, противоположный знаку той
части фазы сигнальной волны, которая зависит от поперечных координат
(т.е. Ф(ж, г/)) и дополнительно сдвинута на тг/2.
Конечно, решение B.12) непосредственно следует и из первого уравне-
уравнения B.8). Для того чтобы вся обобщенная фаза сигнальной волны —kz +
+ Ф(ж5 у) изменила свой знак, т.е. для полного ОВФ, необходимо отразить
волну B.12) от плоского зеркала (см. рис. 2.1).
70 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Заметим, что сдвиг фазы на тг/2 не имеет существенного значения для
ОВФ, по крайней мере в данном случае. Действительно, пусть сигнальная
волна была первоначально идеально плоской, а искажения приобрела при
прохождении через аберратор с функцией аберрации Ф(ж, у). Поэтому поле
сигнальной волны Е[ (ж, у) на выходе аберратора имеет вид
y)}. B.13)
Поле разностной волны, генерируемой в квадратично-нелинейной ере™
де, имеет то же распределение фазы, но с обратным знаком, и при вторич-
вторичном (обратном, после отражения от зеркала) прохождении через аберратор
полностью восстанавливает плоский волновой фронт; так, на выходе абер-
аберратора для волны разностной частоты, точно так же, как и для B.13), имеем
Е2 (ж, у) = Е2 (ж, у) exp [j# (ж, у)] ,
но, в соответствии с B.12):
Е2 (ж, у) = а2 exp [-j (out + k2z - Ф (ж, у) + тг/2)],
и поэтому
^2 (х? У) = а2 exp [—j (out + k2z + тг/2)] .
Таким образом, отраженная назад волна разностной частоты имеет ту же
самую частоту, что и сигнальная, и полностью восстановленный исходный
плоский волновой фронт.
Заметим, что процессам взаимодействия волн в нелинейных средах во-
вообще свойственно перенесение пространственной модуляции с одной вол-
волны на другую. При этом необходимо только помнить, что процесс такого
перенесения происходит без дополнительных искажений (применительно
к случаю ГРЧ) только в приближении заданных полей накачки и сигналь-
сигнальной волны, т.е. в существенно линейном режиме, когда можно пренебречь их
истощением. Безусловным признаком линейности этого режима является
линейный рост амплитуды разностной волны с расстоянием вдоль направ-
направления распространения волн. При заметном нарастании этой амплитуды
процесс уже не описывается приближением заданного поля, необходимо
учитывать изменение с расстоянием не только амплитуд, но и фаз всех
трех взаимодействующих волн, в результате чего линейный рост ампли-
амплитуды с расстоянием переходит в нелинейный (появляется тенденция к на-
насыщению), а перенос фазовой модуляции (т.е. функции аберрации) с сиг-
сигнальной волны на разностную сопровождается дополнительными искаже-
искажениями. В конце концов, отраженная от зеркала волна разностной частоты
будет не полностью, неточно воспроизводить волновой фронт сигнальной
волны, и, следовательно, процесс ОВФ частично (а иногда и практически
полностью) не будет иметь места.
В литературе процесс ГРЧ (при вырождении частот) в нелинейной сре-
среде называют трехфотонным (трехчастотным, трехволновым) параметриче-
параметрическим процессом (см., например, [1, 3]), подчеркивая тот факт, что ГРЧ
в приближении заданных полей по сути дела есть не нелинейный, а чисто
§2.1 ОВФ при генерации разностной частоты 71
параметрический линейный процесс; с точки зрения физики колебаний та-
такой процесс (при вырождении частот сигнальной и разностной волн) ничем
не отличается от процесса возбуждения и нарастания колебаний в любой
параметрической системе, например, в качелях. Нелинейность среды в дан™
ном случае является лишь средством для модуляции одного из параметров
среды (например, е или п) на частоте 2и. Существенная нелинейность
процесса проявляется лишь при отходе от приближения заданных полей
накачки и сигнала.
Возвратимся к случаю периодической модуляции по пространству функ-
функции аберрации, заданной выражением B.2), и рассмотрим процесс ОВФ
с несколько другой точки зрения. Из B.3) следует, что сигнальная волна,
фронт которой нужно обратить, состоит, по сути дела, из трех плоских волн:
волны, распространяющейся только по z, и двух волн, распространяющихся
под углами а = kx/kz к направлению z.
Пусть направление z совпадает с направлением синхронизма для гене™
рации вырожденной по частоте сигнальной волны (и = 2ш — и). Аберра-
Аберрационное поле сигнальной волны можно представить, с учетом B.2), в виде
(ж, у, z) = -Ц^ <ехр [j (ut - k!z)]-\—-?- exp [j (ut - klxx - klzz)] +
Л I Zi
+ 3-?- exp [j (ut + klxx ~~ klzz)} + k.c. i. B.14)
Геометрическое расположение векторов взаимодействующих волн для
случая почти коллинеарного взаимодействия типа «оее» (волны накачки
и сигнала — необыкновенные) показано на рис. 2.2. Обозначим через кц
и ki2 векторы сигнальных составляющих плоских волн (вектор кц состав-
составляет угол +а с осью z и с вектором кз), а через k2i и к22 — векторы
соответствующих плоских разностных волн. Имеем следующие соотно-
соотношения: скалярное к\ + Щ = Щ и два векторных kf х + к^ = к| + Ai,
к12+к22 =к| + А2.
Поскольку угол а весьма мал и, как правило, значительно меньше уг-
угловой ширины синхронизма (в том числе векторного) для процесса ГРЧ,
все процессы идут практически в синхронизме. Таким образом, в процессе
ГРЧ фактически идут три процесса.
1. ГРЧ между плоскими волнами накачки и сигнала, при этом волна
сигнала распространяется точно по z, ей соответствует вектор к^; и первая
экспонента в выражении B.14).
2. ГРЧ между плоской волной накачки и плоской волной сигнала, рас™
пространяющейся под углом (+о) к оси z9 ей соответствует вектор kf x
и вторая экспонента в B.14).
3. ГРЧ между плоской волной накачки и плоской волной сигнала, рас™
пространяющейся под углом (—а) к оси z9 ей соответствует вектор к^2
и третья экспонента в B.14).
Векторами волновой расстройки Ai>2, в силу малости дифракционного
угла а, можно пренебречь.
72
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
С первым процессом ГРЧ все очевидно: и волна сигнала, и волна накач-
накачки распространяются коллинеарно, и волна разностной частоты, отражен-
отраженная от зеркала, остается плоской, ее фаза (k2z) просто изменяет знак; эту
составляющую можно было бы и не преобразовывать в разностную волну,
а просто отразить от плоского зеркала.
Плоская волна
накачки Bw)
///////////////
Квазиплоская
волна сигнала (w)
Плоское зеркало
kf! + к§1 = kl + A, kf2 + к^2 = k| + А Векторы в обращенной волне
Рис. 2.2
В двух других процессах ГРЧ после преобразования в разностную волну
и отражения от зеркала возникают две плоские волны разностной частоты,
комплексно-сопряженные исходным составляющим волнам сигнала. Дру-
Другими словами, компоненты по х и z векторов кц и ki2 меняют знак на
противоположный, т.е. меняет знак и угол а. Вследствие этого отраженную
от зеркала волну разностной частоты можно представить в виде
Е2 (ж, у, I) = ^-^— U exp
Z {
?
faz)}-— exp [j (ut + k2xx + k2zz)}-
r + k2zz)\ + k.c. >.
Фп
- — exp [j (ut -
§ 2.2 Качественное сравнение двух схем ОВФ 73
Второй и третий члены дают:
- - exp [j (ut + k2zz)] {exp (jk2xx) + exp (-jk2xx)} =
= - cos (k2xx) exp [j (ut + k2zz)] .
Итак, поле разностной частоты имеет такое же распределение фазы,
что и исходная волна сигнала, но сама волна при этом распространяется
в противоположном сигналу направлении
(рис. 2.3); при этом обращенная волна име™ Волновой фронт
ет ту же частоту (и) и тот же (с точностью обращенной волны
до двулучепреломления к° — ке = Ак <С к)
волновой вектор.
В общем, два этих рассмотрения абсо-
абсолютно идентичны. В случае более сложной
модуляции необходимо прибегать к разложе-
разложению в ряд Фурье для периодической функции Волновой фронт сигнала
Ф(х, у) или интеграл Фурье для непериодиче™
ской функции. ис* "
Отметим, что во всех случаях расстояние от кристалла до зеркала
должно быть меньше характерного расстояния, на котором происходит
расплывание неоднородностей пучка сигнала; значительную мешающую
роль может сыграть двулучепреломление (диафрагменный апертурный
эффект, или снос энергии необыкновенной волны).
§ 2.2 Качественное сравнение двух схем ОВФ
при трехволновом вырожденном взаимодействии
в квадратично-нелинейной среде
При трехволновом ОВФ, вообще говоря, требуется опорная волна с вол-
волновым фронтом высокого качества; роль такой волны играет плоская волна
накачки с частотой 2ш. Это весьма жесткое, вытекающее из практики, требо™
вание. Действительно, пусть волновой фронт накачки имеет вид (оставляем
только пространственную часть показателя экспоненты):
^зо = «зо exp [-j (k3z - <р3 (ж, у))],
т.е. волновой фронт такой волны искажен аберрациями.
Волновой фронт сигнала определится формулой:
Ею = aw exp [-j (кгг - (рг (ж, у))] .
Из первого уравнения B.7) с учетом того, что Aw = aioexp(—j(fi (ж, у)),
^зо = «зо exp (-j(f3 (x, у)), получаем
-о— = i^2«io«3O exp [+j (<рз (х, у) - (pi (ж, у))}.
74
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
Отсюда следует, что волновой фронт разностной волны определяет-
определяется разностью распределений (в поперечном сечении) функций аберрации
волны накачки и сигнальной волны:
«2 exp [j(f2 (ж, у)] = j(J2awa30l exp [j (<р3 (ж, у) - <рг (ж, у))] . B.15)
Для обращения поперечной составляющей фазы сигнальной волны, т.е.
для выполнения условия ^ (ж, y) =—(fi (ж, у), можно воспользоваться дву-
двумя способами:
1) выбрать опорную волну (волну накачки) плоской, тогда (р% (ж, у) = 0;
2) учитывая тот факт, что для обращения продольной составляющей
фазы сигнальной волны необходимо применить возвращающее зеркало,
можно применить зеркало, поверхность которого точно совпадает с по™
верхностью волнового фронта накачки; другими словами, такое зеркало
производит над волной накачки операцию обращения, умножая волну B.15)
на оператор exp (—j(f3 (ж, у)). В этом случае на волне разностной частоты
сохраняется лишь распределение [—(fi(x,y)], обратное по знаку функции
аберрации сигнальной волны.
Еще раз подчеркнем, что в вырожденном по частоте трехволновом вза-
взаимодействии в квадратично-нелинейной среде происходит обращение (из-
(изменение знака) только поперечной составляющей обобщенной фазы поля
kz + Ф(ж, у), т.е. только функции Ф(х1у). Для обращения продольной со-
составляющей фазы, т.е. функции kz, необходимо введение дополнительной
операции — отражения от зеркала, поверхность которого точно воспроиз-
воспроизводит фронт опорной волны (т.е. волны накачки).
Заметим, что реализация зеркала с такой поверхностью технически весьма
трудна; фактически надо создать зеркало, обращающее ВФ опорной волны
и не обращающее ВФ разностной волны. Поэтому и требуется использовать
плоскую волну накачки, позволяющую применить плоское зеркало.
Накачка
Обращенная
волна ш
Обращенная
волна ш
Рис. 2.4
Рассмотрим две схемы ОВФ при вырожденном трехволновом взаимо™
действии (рис. 2.4), отличающиеся направлениями распространения падаю-
падающей сигнальной волны. Схема рис. 2.4 а соответствует векторному синхро-
синхронизму при генерации разностной частоты. Плоская волна накачки падает
§ 2.2 Качественное сравнение двух схем ОВФ 75
нормально к входной грани нелинейного кристалла; волна сигнала, под™
лежащая обращению, распространяется под углом к направлению распро-
распространения накачки. Комплексно-сопряженная волна разностной частоты,
несущая обращенную поперечную составляющую фазы, распространяет™
ся в направлении волнового вектора кг; продольная составляющая фазы
обращается при отражении разностной волны от плоского зеркала.
Нетрудно видеть, что схема на рис. 2.4 а пригодна только для случая
весьма однородных нелинейных кристаллов. Если же кристалл неодно-
неоднороден, то процесс ОВФ значительно нарушается, так как на разностную
волну дополнительно накладываются аберрации за счет неоднородности.
Кроме того, в схеме рис. 2.4 а обращенная и сигнальная волны сдвинуты
относительно друг друга в пространстве, что не всегда допустимо.
Схема рис. 2.4 б выгодно отличается от предыдущей тем, что волна
сигнала прежде, чем вступить во взаимодействие с плоской волной накач-
накачки, проходит через нелинейный кристалл, приобретая дополнительные
аберрации за счет неоднородности кристалла. Зеркало в этой схеме пол-
полностью отражает волну частоты ш,ъе. Щш) = 1,и полностью пропускает
волну накачки, т.е. R{2uj) = 0.
Сигнальная волна, «сфотографировав» на прямом проходе фазовые
неоднородности кристалла, отражается от зеркала и на обратном про-
проходе, взаимодействуя с накачкой 2ш, рождает комплексно-сопряженную
волну частоты ш, распространяющуюся точно в обратном направлении
по отношению к падающей сигнальной волне. Проходя в этом обратном
направлении и будучи полностью обращенной, разностная волна на вы™
ходе нелинейного кристалла будет иметь волновой фронт, совпадающий
по форме с волновым фронтом падающей сигнальной волны, поскольку
аберрации, внесенные неоднородным кристаллом, на обратном проходе
разностной волны полностью скомпенсировались. Поясним это простей-
простейшими оценками.
Пусть сигнальная волна после прохождения через аберратор из плос-
плоской превратилась в квазиплоскую с волновым фронтом
«1 exp [-j (kz - Ф (х, у))],
где Ф(х,у) — функция аберрации. После прохождения через неодно-
неоднородный искажающий нелинейный кристалл навстречу волне накачки
волна сигнала приобретает дополнительное искажение ВФ, описыва-
описываемое функцией аберрации кристалла (р(х,у)9 так что вблизи зеркала
волна сигнала имеет ВФ вида а\ exp [—j (kz — Ф (ж, у) — (р (ж, у))]. После
отражения от зеркала эта волна вступает во взаимодействие с плоской
волной накачки, в результате чего генерируется разностная волна с со-
сопряженным волновым фронтом вида ja2 exp [j (kz — Ф (ж, у) — (р (ж, у))].
Проходя еще раз через кристалл в направлении, обратном направле-
направлению падающей сигнальной волны, разностная волна вновь получает
дополнительное искажение волнового фронта, описываемое функ-
функцией (р(х,у)9 так что на выходе кристалла разностная волна имеет
76
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
волновой фронт вида ja^ exp [j (kz — Ф (ж, у) — (р (ж, у))] exp [jtp (ж, у)] =
= ja,2 exp [j (fez — Ф (ж, t/))]. Таким образом, разностная волна как бы
не замечает неоднородностей нелинейного кристалла. Само собой ра-
разумеется, что все это справедливо лишь в приближении заданных полей
накачки и сигнальной волны. До-
Дополнительным достоинством схемы
рис. 2.46 является отсутствие про-
пространственного сдвига между пучка™
ми сигнальной и обращенной волн.
Нетрудно представить себе реали-
реализацию схемы рис. 2.46 в чисто кол-
линеарном варианте, когда все волны
Накачка
ке
1
Сигнал
Разностная
волна ш
RB(o) = О
R(co) = 1
распространяются в одном направле-
р 2 5 нии'отшчать отраженную зеркалом
сигнальную волну от обращенной раз-
разностной можно за счет различных их поляризаций, используя взаимодей-
взаимодействие «оее» или «еое» [2]. На описании конкретной схемы, пригодной для
практического использования, мы здесь не останавливаемся (рис. 2.5).
§ 2.3 К теории вырожденного трежфотонного
взаимодействия в квадратично-нелинейной среде
Мы убедились в том, что при генерации разностной частоты в вырож-
вырожденном режиме (ш = 2ш — ш) с последующим отражением от зеркала,
поверхность которого совпадает с поверхностью волнового фронта накач-
накачки с частотой 2и, волновой фронт сигнальной волны полностью обраща-
обращается. При этом мы пользовались приближением заданных полей накачки
и сигнальной волны. Ниже мы дадим более полную теорию вырожденного
трехфотонного взаимодействия в квадратично-нелинейной среде, восполь-
воспользовавшись следующими допущениями:
— все взаимодействующие волны являются квазиплоскими, т.е. мы
будем пренебрегать расплыванием неоднородностей волн на всей длине
взаимодействия в нелинейной среде; другими словами, мы учитываем
распределение фаз по поперечным координатам ж, у, но сохраняем лишь
производные амплитуд и фаз по продольной координате z;
— отсутствуют эффекты сноса энергии (диафрагменные апертурные
эффекты), вызванные наличием двулучепреломления в анизотропных нели-
нелинейных кристаллах (см., например, [2]); такое допущение справедливо при
углах синхронизма, близких к 90°;
— отсутствует поглощение в кристаллах.
Нетрудно видеть, что принятые допущения не сильно ограничивают
общность проблемы; вместе с тем, позднее мы обсудим влияние тех эффек-
эффектов, которыми мы здесь пренебрегли.
Укороченные уравнения для действительных амплитуд а\, 0,2, «з и обоб™
щенной фазы Ф имеют вид [2, 4]
§ 2.3 К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия 11
бтФ, B.16)
da^jdz = G2aia3 sin1!/, B.17)
da^/dz = —азахаг sin^, B.18)
= А — (<Т1а2аз/а1 + сг2а1аз/а2 — <т3ai«2/«з) cos Ф. B.19)
Здесь ai (z) и а2 (z) — амплитуды разностной и сигнальной волн, аз (z) —
амплитуда волны накачки; Ф (х, г/, z) = (рз(х,у, z) — (p2(x,y, z) — <pi(x,y, z) —
— Az — обобщенная фаза, представляющая комбинацию фаз ^п(ж? 2Л г) вза™
имодействующих волн; А — модуль вектора волновой расстройки А = к3 —
— к2 — ki; an — коэффициенты нелинейной связи:
2
ап = —т— < Р2Х (^) РхРз Для «1, «2 и а3 соответственно, B.20)
пплп
рп - единичные векторы поляризаций волн, % — тензор третьего ранга, опи-
описывающий квадратичную поляризуемость среды. Система B.16)—B.19) долж-
должна решаться с учетом граничных (z = 0) условий: an@) = ano, Ф@) = Фо-
Сделаем ряд замечаний о фазах волн (рп (ж, г/, z). Для каждого сечения z =
= const = zq функции tpn{x^ у, zq) описывают аберрации волновых фронтов
взаимодействующих волн. Отсутствие производных по поперечным коорди-
координатам в уравнении для фаз B.19) и, следовательно, в уравнениях для ам-
амплитуд B.16)—B.18) с очевидностью означает, что в нашем приближении мы
пренебрегаем расшиванием неоднородностей волнового (фазового) и, следо-
следовательно, амплитудного фронтов по всей длине взаимодействия в нелиней-
нелинейной среде. Другими словами, неоднородности волновых фронтов мы считаем
достаточно крупными (крупномасштабными), так что их дифракционная рас-
расходимость (дифракция на периоде неоднородности) не успеваем сказаться по
всей длине распространения: в среде, между средой и зеркалом и на обратном
пути. Угол дифракционной расходимости (соответствующий, как мы видели
ранее, углу, под которым распространяются боковые составляющие волны)
мы будем считать меньшим, чем угловая ширина центрального максимума
интерференционной кривой синхронизма. Поэтому мы будем считать волно-
волновую расстройку не зависящей от пространственных координат, в связи с чем
волновая расстройка, как и в теории плоских волн, останется функцией толь-
только углового отклонения направления распространения волн от направления
синхронизма. Без существенного ограничения общности мы можем принять
волну накачки плоской, так что <^з (ж, г/, z) |z=o = ^з (ж, у, 0) = 0 (плоский
фазовый фронт) и <рз(#, У-> z) = ^з(^).
Фазы остальных волн будем отсчитывать от волны накачки. Заметим,
что, так как разностная волна на входе (z = 0) нелинейной среды, как пра~
вило, отсутствует, то ai@) = 0, и, следовательно, фаза <pi(x, г/, 0) при этом
не определена; однако, как мы увидим позже, при бесконечно малом отли™
чии амплитуды а\ от нуля фаза (р\ (ж, г/, z) становится вполне определенной.
78 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Рассмотрим пространственные зависимости амплитуд и фаз взаимодей-
взаимодействующих волн, для чего необходимо решить уравнения B,16)—B.19) при
следующих граничных условиях:
«1 @) = «ю, а2 @) = а20, «з @) = а30,
<рз (xj у, 0) = 0, <р2 (х, у, 0) = (р2 (ж, у), Ф (ж, |/, 0) = тг/2.
Как нетрудно видеть из B.21), разностная волна на входе среды (z = 0)
отсутствует, волна накачки имеет плоский фазовый фронт, волна сигнала
на входе среды имеет волновой фронт, искажения которого описываются
функцией аберрации (р2(х1у). Особо следует остановиться на граничном
условии Ф(ж,г/, 0) = тг/2, показывающем, что для всех точек плоскости
z = 0 (входной грани нелинейного кристалла) обобщенная фаза Ф посто-
постоянна и равна тг/2, несмотря на то, что волновой фронт сигнальной волны
не является плоским. Прежде всего покажем, что выбор такого граничного
условия для Ф правилен и вытекает из самого механизма трехволнового
взаимодействия в нелинейной среде.
Умножая B.16) на cr2ai, B.18) на а\а2 и вычитая первое из второго,
получим
2 (z) ~ ®2a\ (z) = const = 0"ia20 — сг2«10 = (JiCq. B.22)
Проводя аналогичные операции с тройкой уравнений B.16)^B.18), по™
лучаем
ага1 (z) + a3al (z) = const = <т\а\ц + cr3af0 = ^l^o^ B.23)
a2aj (z) + a3al (z) = const = a2aj0 + a3al0 = cf2BI. B.24)
Уравнения B.22)^B.24) представляют собой первые интегралы систе-
системы B.16)-B.18), выражающие интегральные соотношения Мэнли^Роу, кото™
рые, в свою очередь, суть обобщение закона сохранения энергии на нели-
нелинейные и параметрические системы. Независимыми являются только два
из трех первых интегралов. С их помощью можно выразить а2 и аз через
а\ и тем самым свести уравнения B.16)—B.19) к двум уравнениям
СОвФ
х ( о"! (Cq + а\а2/аг) (А^ ¦
Aq — п^п^/(J\j — О"з<2х (Cq + <2]_<72/Gij ) . B.26)
§ 2.3 К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия 79
В дальнейшем будем полагать aw = 0, т.е. Ао = а3(ъ Со = я2о- Из B.20)
следует, что, так как все три векторнотензорных произведения в B.20)
равны, можно с точностью до дисперсии коэффициентов преломления п
и нелинейности х положить o~i = <Т2 = <тз/2. С учетом этого, разделив
почленно B.26) на B.25), получим
с?Ф d cos Ф А
^D) + а?)(а§0-2а2)зтФ
:) sin Ф (аз0 — 2a\) sin Ф
Сокращая на sin Ф, получаем уравнение для функции w = cos Ф
dw А Г 1 ai 2ai
- ™ — + 9
сояФ.
«so —
B.27)
Сгруппируем члены B.27):
dw Г 2ai ai 1 1 d(wF) dw dlnF
+ w = = + W
откуда получаем
2ai
(iai a3Q — 2a a
Интегрируем
V (aio + al) («lo -
Решение B.28) имеет вид
A
L2^
ln{a?°(aI0+a^(a§0/2-a?O}, B.29)
a= 2/(ol0a|0), /3= - [a|0 D, + alo/2)], 7= 2 [a|0 (a|0 + a§0/2)] -1.
Соотношение B.29) справедливо в любой плоскости z, т.е. и при z = 0;
а так как аю = 0, то cos Фо = 0, Фо = 7Г/2 /три любой расстройке. Этим
и объясняется выбор граничного условия для обобщенной фазы в виде
Фо = тг/2.
Соотношение B.29) позволяет установить еще одно весьма важное
свойство трехволнового взаимодействия. Так, из B.29) следует, что в отсут-
отсутствие волновой расстройки (при А = 0) имеем cos Ф (ai) = 0, Ф (z) = тг/2
(этот же вывод можно получить и из B.28) при А = 0, так как в этом случае
80 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
wF = const, что может быть при w = cos Ф = 0, так как F есть функция
переменной по z величины ai).
Рассмотрим пространственную динамику амплитуды разностной волны
при А = 0. В этом случае следует: sin^(z) = 1 (так как cos^(z) = 0),
уравнения для амплитуд освобождаются от фазовой зависимости и имеют
вид
dd\/ dz = (Jiu2d3j dd2/ dz = 0<21Bз, dds/ dz = ~~-o'^uiu21
а фазовое уравнение исчезает. Полагая &\ = а2 = 0"з/2, из B.22)^B.24)
получаем
а\ (z) - а\ (z) = a|0, a§ (z) + 2a? (z) = a230j
a|(z) + 2a|(z) = a|0 + 2ai0.
Таким образом, амплитуда разностной частоты а\ не может быть боль-
больше, чем азо/\/2, в противном случае интенсивность волны накачки ag
становится отрицательной; вместе с тем, интенсивность сигнальной волны
всегда больше интенсивности разностной волны на величину а|0- Оче™
видно, что поскольку знаки производных а\ и п2 в B.27) совпадают, то
и сигнальная, и разностная волны с ростом z возрастают, черпая энергию
из волны накачки, амплитуда которой, естественно, с ростом z убывает.
Подставляя п2 и «з? выраженные с помощью B.30) через ai, в уравнение
B.16), получаем
dai/ dz = 0"iу («20 ~^~ ai) (азо ""
Введем вспомогательные обозначения, нормируя функцию «i, на ее
максимально возможное значение а^о/л/2: с\ = аху^/азо, rj =
р2 = 2а|0/а|0. Тогда вместо последнего уравнения имеем
dc1/dV=^(l-cf)(p2+cf).
Вводя еще одну переменную г/ = yl+p2^, получим
И, наконец, вводя к2 = A + р2) и учитывая, что p2(l+p2) = 1 —
— к2, окончательно получаем уравнение для нормированной амплитуды
разностной волны:
(dCl/dyJ = A - 4) A - к2 + к24). B.31)
Уравнение B.31) определяет эллиптический косинус Якоби [5]: с\ =
= сп (у; к). Косинус Якоби есть двупараметрическая функция, т.е. функ-
функция, определяемая однозначно двумя параметрами:
у = ^iу«зо + 2aio^ k , 2
V%0
§2.3
К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия
81
Итак, полное решение уравнения для a\{z) имеет вид
u =
:cn I a1^a%Q + 2a2Qz-K
B.32)
dx
где К — полный эллиптический интеграл вида
1
К =
о
При z = 0 имеем а± @) = (а%®/\/Щ спК = 0. Полезно также напом™
нить, что сп0 = 1, спBК) = 1. Первый максимум a\{z) достигается на
длине нелинейной среды zq, равной
К
zo = ^ о -
При этом, естественно, а\ (zq) = aimax = «зо/у^. Подчеркнем, что
максимальная мощность (интенсивность) разностной волны определяется
лишь интенсивностью волны накачки; интенсивность же сигнальной волны
влияет лишь на темп нарастания интенсивности разностной волны. Мак-
Максимумы интенсивностей сигнальной и разностной волн совпадают; при
z = zq имеем
(ZO) = a2max = \j«|0/2 + а20 = \Jal i
Для расчетов амплитуд в различных сечениях z удобно пользоваться
номограммой, приведенной на рис. 2.6 и иллюстрирующей зависимость
величин к2 и К от параметра ? =
/а20. Принцип пользования
— 2а20
номограммой прост: по значению
? находится величина fe2 (точка
М); затем из точки М проводит™
ся прямая, параллельная оси ? до
пересечения с кривой К (к2), и из
точки пересечения (точка N) опус™
кается перпендикуляр на верхнюю
горизонтальную ось абсцисс (зна-
(значений К). В частности, при рав-
равных интенсивностях волн сигналь-
сигнальной и накачки (а|0 = а|0) величи-
величина ? = 2, fc2 « 0,335 -г- 0,34 и К
hk
|20,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5JL
Рис. 2.6
1,72. Если принять
в-
(ниобат лития) и азо ~ Ю4 В/см, что соответствует плотности мощно-
мощности ~ 300 кВт/см2, то для величины zq (точка первого максимума ампли™
туд ai,2) имеем zq « 12 см. Напомним, что плотность мощности S, измеря-
измеряемая в Вт/см2, определяется по формуле S = па2/752, где п — показатель
преломления среды, а амплитуда измеряется в В/см. Заметим, что в этой
6 В. Г. Дмитриев
82 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
точке аз(^о) = 0, т.е. вся энергия волны накачки «перекачалась» в энергию
волн сигнальной и разностной частот; при этом u2(zq) « 1,225азо-
Приближение заданных полей накачки и сигнальной волны. В этом
приближении ai(z)<Ca2o, азо9т.е. a2(z)~a2(b аз(^)~азо? поэтому при А =
= 0 имеем da\j dz « aia2Oa3o, откуда аг (z) = (Tia2®a%®z. Таким образом,
амплитуда разностной частоты растет линейно с расстоянием z. Методи™
чески полезно проследить предельный переход к приближению заданных
полей из общего решения B.32). Полагая о-\/азо + ^aio = P> запишем
B.32) в виде
азо , R ^х «зо сп К cn i$z) + sn К sn (P) (^)
= — en [I3z -K) = -j= l^k2sn2Ksn2(/3z)
B.33)
где sn, dn—эллиптические синус и тангенс соответственно. Воспользуемся
следующими очевидными соотношениями:
cnK = 0, snK = l, dnK =
cn (fiz) « dn (pz) « 1, sn (/3z) « /3z, k2Pz <C 1,
в результате чего вместо B.33) имеем
л/2
как и следовало ожидать.
Введем плотности мощностей взаимодействующих волн
Si (z) = а\ (z) cni/(87r), 52o = a20cn2/(87r), Я3о = «зос?гз/(87г).
Преобразуя B.34), для плотности мощности разностной волны на вы-
выходе (z = I) нелинейной среды получаем
S20S30l2. B.35)
Напомним, что если а\ измеряется в обратных вольтах, I — в сантимет-
сантиметрах, S — в Вт/см2, то переводной коэффициент 8тг/с = 752 В2/В.
В процессе ОВФ нас будет интересовать коэффициент преобразования
мощности сигнальной волны в мощность разностной (обращенной после
отражения от зеркала) волны. Определим эту величину как
@ = ^ = ^^2. B.36)
Таким образом, коэффициент преобразования при ОВФ определяется
нелинейностью (ai) кристалла, плотностью мощности накачки Eзо) и квад-
квадратом длины взаимодействия, но не зависит от плотности мощности сиг-
сигнальной волны. Численный пример: полагая о~\ = 10^5 В^1 (ниобат лития),
| = 3 см, 5зо = Ю5 Вт/см2, получим щ « 7 %.
§ 2.3 К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия 83
Естественно, с ростом 5зо и I коэффициент преобразования быстро растет;
однако, начиная со значения щ ^ 10% ш выше, пользоваться приближением
заданных полей уже нельзя, так как становится существенной реакция полей
сигнальной волны и накачки на возросшую по интенсивности разностную
волну.
Отметим, что если зеркало отражает все три волны (а на практике имен-
именно так чаще всего и обстоит дело), то на обратном (после отражения) про™
ходе все условия для взаимодействия сохраняются, и мощность разностной
волны продолжает нарастать. Нетрудно видеть, что в этом случае вместо
I в формулах B.35), B.36) следует подставлять 21 (условия для ОВФ так™
же сохраняются). Однако здесь следует учесть следующее обстоятельство.
Если отражающее зеркало нанесено непосредственно на нелинейный кри~
стал л в плоскости z = I, то никаких новых явлений не возникает. Если
же между нелинейной средой и зеркалом имеется воздушный промежуток
длиной L, то в этом случае может сказаться дисперсия воздуха, т.е. отличие
коэффициентов преломления воздуха на частотах ш и 2ш, характеризуемое
величиной An = \п (ш) — п Bш)|. Для изменения обобщенной фазы Ф на
тг на длине 2L величина An определится формулой: An = ttAi/ (SttL) =
= Ai/(8L). При Ai = 1СГ4 см, L = 3 см имеем An = 4 • 1СГ6, что по
порядку величины сравнимо с величиной дисперсии воздуха.
Величина An есть, к тому же, сильная функция температуры и давления
в воздушном промежутке. Вышесказанное позволяет сделать несомненный
вывод о необходимости либо нанесения отражающего зеркала непосредствен™
но на выходную грань нелинейного кристалла, либо вакуумирования проме™
жутка между кристаллом и зеркалом. Заметим, что аналогичная проблема воз™
никает и при внутрирезонаторной генерации второй оптической гармоники [2].
К чему приведет изменение фазы Ф на тг? Поскольку при обратном
падении трех волн на нелинейный кристалл входная амплитуда уже не равна
нулю, граничное значение фазы будет определяться выходным (при z =
= I) значением Ф на прямом проходе (при А = 0 имеем Ф(/) = тг/2)
и сдвигом фаз в воздушном промежутке на тг. Таким образом, для обратного
прохода граничное значение Ф будет равно Зтг/2 (при А = 0 оно сохранится
и на всей протяженности кристалла), так что sInCTr/2) = — 1. Поэтому
знаки производных в амплитудных уравнениях B.16)—B.18) поменяются
на обратные, и на обратном проходе начнется противоположный процесс
генерации суммарной частоты (cj+cj = 2ш), т.е. обратная перекачка энергии
из сигнальной и разностной волн в энергию волны накачки.
Обратимся снова к процессу ОВФ в рассмотренном случае отсутствия
волновой расстройки (А = 0). Мы показали, что при А = 0 обобщенная
фаза Ф во всех сечениях z постоянна и равна тг/2. Так как волна накачки
имеет плоский фазовый фронт, то имеем следующие простые соотношения:
<p3(x,y,z) =0,
Ф (ж, у, z) = <р3 (ж, 2/, z) - (f2 (ж, 2/, z) - if г (ж, у, z) = тг/2, B.37)
(рг (х, у, z) = -(f2 (x, у, z) - тг/2.
6*
84 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Наиболее важным является последнее соотношение в B.37), показы-
показывающее, что распределение фазы разностной волны в поперечном сечении
имеет противоположный знак по отношению к поперечному распределен
нию фазы сигнальной волны и «отстает» на тг/2 (постоянный сдвиг фазы
при ОВФ не существен). Весьма важен тот факт, что при А = 0 обраще-
обращение поперечной составляющей фазы сохраняется и в нелинейном режиме,
а не только в приближении заданных полей сигнала и накачки. Здесь полез-
полезно напомнить, что, во-первых, обращение продольной составляющей фазы
(kz) осуществляется при дополнительном отражении от плоского зеркала,
и, во-вторых, все вышесказанное справедливо только в случае достаточ-
достаточно крупномасштабных фазовых аберраций волнового фронта, когда можно
пренебречь их расплыванием на всей длине взаимодействия.
Кратко обсудим возможное влияние ненулевой волновой расстройки
(А ф 0) на процесс ГРЧ с ОВФ. Для простоты рассмотрим приближение
заданных полей сигнала и накачки; из B.16)—B.19) имеем
dai/dz = сг1«2О«зо зтФ, d^/dz = А — а\ («2О«зо/«1) cos Ф.
Введем нормированные величины: v\ = 0,1/0,20, С = ^i^so^? Д =
= A/(criaso)- Нетрудно видеть, что v\ есть не что иное, как коэффици-
коэффициент преобразования по амплитуде в разностную волну из сигнальной; ве-
величина ? есть отношение длины z к так называемой длине нелинейного
взаимодействия zHQJl = (сг^азо)- В этих координатах
B.38)
= А - (cos*)/vi. B.39)
Деля почленно B.39) на B.38) и интегрируя полученное уравнение от-
относительно cos Ф, имеем: cos Ф = —Дг;х ln^i, и из B.39) получаем
dv1/d?t = у 1 - Д2^2 In2 уг. B.40)
Из B.39) аналогично получим
= Д A + lnvi). B.41)
Уравнения B.40), B.41) не решаются в аналитическом виде; однако из
выражения для совФ можно сделать определенные выводы о поведении
фазы Ф. При малых амплитудах v\ очевидно, что сояФ не слишком отли-
отличается от нуля. С ростом v\ (при этом сохраняется условие v\ <С 1) cos Ф
быстро отходит от нуля, нарастает (при А > 0) до максимального значения
(положительного), а при v-\_ = l снова достигает нуля.
Максимум амплитуды v\ достигается в точке, где dv\/d^ = 0, т.е. при
Д^1 ln^i = 1. Нетрудно оценить графически, что это соотношение дает
максимальное значение v™ax « 1 только при весьма больших значени-
значениях А = 10,..., 20, но такие высокие значения v\ уже не соответствуют
§ 2.3 К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия 85
приближению заданного поля сигнальной волны. При малых же значе-
значениях А (обычно А ^ 1) в приближении заданных полей максимум v\
не достигается.
Случай приближении заданного поля только волны накачки. Если
«20 <С «зо, то наряду с ростом амплитуды волны разностной частоты, растет
амплитуда и сигнальной волны, так что пользоваться приближением задан-
заданного поля сигнальной волны уже нельзя. В этом случае, если а\^ (z) <C азо,
говорят о приближении заданного поля волны накачки. Решения системы
B.16)—B.19) в этом приближении имеют вид (при аю = 0, а2о ф 0):
т
= -гa2osh(Az),
а2 (z) = а20фк2 (Az) + I — ) sh2 (Az),
BЛ2)
/ / 2
где 7 = V<JicJ2a3o, A = 7^ 1 - (Д/B7)) .
Решения B.42) существуют только в области А < 2j. При достаточно
малых Az из B.42) следует:
Таким образом, при Az <С 1 расстройка влияет только на рост амплитуды
2, но не а\. Наоборот, при больших Az имеем
так что
B.43)
а2 (z) = -азоЛ/1 + (А/ BЛ)) ехР (Az) > B-44)
т.е. амплитуды обеих волн нарастают экспоненциально. Перепишем B.44)
в виде
а2 (z) = ^ (A) [l (A/B)J]
exp (Az) = a20 [l - (A/B7)J] exp (Az) = аг (z).
Таким образом, при Az >> 1 амплитуды волн сигнальной и разностной
частот просто равны при любом z. Сделаем численные оценки. Для ниобата
лития л/aia^ « 10~5В~1; азо ~ Ю5 В/см, 7^1 см™1, 1^3^-4 см, и при
А = 0 имеем А = 7, А/ « 3, ch 3 « 10,07, sh 3 « 10,02; ^ exp 3 ^ 10,04, т.е.
это приближение хорошо работает уже при М ^ 3.
86 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Фазовая плоскость для амплитуды разностной волны. Используя
нормированные безразмерные переменные, из общих уравнений B.25),
B.26) получаем
B.45)
(I + Pvj) cos ф
B.46)
Деля почленно B.46) на B.45), имеем
Ф dcos^f -Д
Представим левую часть B.47) в виде
dv\ F dv\ dv\ dv\ F d
откуда получаем
dbiF 7V1 f3vi 1
dv\ 1 — jvf 1 + f3v\
Интегрируя, имеем
Сокращая на sin Ф и вводя w = cos Ф, имеем
Ь — 1 1 1 го = — B.47)
Для упрощения дальнейших расчетов учтем, что ст\ = о, т.е. /3 = 1;
кроме того, примем, что граничные значения амплитуд волн сигнала и на™
качки выбраны в соответствии с соотношениями Мэнли-Роу, т.е. а^а\п =
= <Т2«зо и» следовательно, 7 = 1. Тогда F = v\ л/T^vf, и из B.47) получим
§2.3
К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия
87
Заметим, что соотношение 0"з«2о = о^зо — это не просто математи™
ческое упрощение, оно означает равенство чисел фотонов на двух длинах
волн, а^о/ш = a|0/Bcj). Это оптимальный режим, так как один фотон раз-
разностной волны рождается из двух фотонов (накачки и сигнала — по одной
штуке). Поэтому если это соотношение не выполняется, некоторые фотоны
одной из этих волн (например, 2ш) оказываются лишними (им не хватает
«пары» в сигнале).
(для Дi=l,0)
Vt COS Ф
Рис. 2.7
Интегрируя B.48), получаем
COS* =
B.49)
Уравнение B.49) представляет собой точное решение для «фазового
портрета» системы в существенно нелинейном режиме (т.е. с учетом обрат™
ной реакции волн сигнала и накачки на разностную волну) и при наличии
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
волновой расстройки. Параметр С в B.49) равен
С =
При vio= 0 имеем С = 0, т.е.
где Ai = А/2.
B.50)
Фазовая плоскость для амплитуды разностной волны при vw = 0 по-
построена для различных Ai > 0 на рис. 2.7 как в координатах (сояФ, vi),
так и в полярных координатах (vi, Ф). Там же представлена зависимость
максимальной величины v™ax от Дь Очевидно, что v\ = tj™ax при Ф = 0,
т.е. при cos Ф = 1. Из B.50) при этом получаем
= А?
«ахJ
откуда
V, = \ -
¦А|/4.
B.51)
Заметим, что информации о пространственных масштабах vt(Q фазовая
плоскость не дает. Эта теория лишь дает информацию об энергетических
характеристиках процесса распространения трех волн. Тем самым, v\ есть
коэффициент отражения по мощности от обращающего зеркала. Однако
следует помнить, что формула B.51) дает максимальную амплитуду поля,
реализуемую либо для определенной длины I (разной для разных Ai —
это весьма существенно!), либо для определенных значений <j\ (и — тоже
разных, зависящих от Ai) при I = const.
Естественно, что на практике нас интересует другая картина, а именно,
зависимость амплитуды поля разностной ча-
частоты от расстройки при постоянных I и а\.
Как мы увидим ниже, эта зависимость факти-
фактически дает полосу пропускания преобразова-
преобразователя в разностную частоту; знание величины
этой полосы необходимо при расчете пара-
параметров процесса ОВФ.
Рассматривая вырожденный (uj\ = W2,
ai « {j2) режим, примем азо = «20 = ао1 то™
гда можно положить S20 = изо = 1? йю = О-
Численные расчеты дают следующие резуль-
результаты (рис. 2.8). Для малых значений парамет-
параметра ст = dia^o(a ^ 1) кривая а\ (Ail) повторя-
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
аь отн. ед.
\
" \
- \
2 4 6
Рис.2
а =
Г
1
а =
8
.8
= 3
\ G= 1
щ
10 Ai
ет функцию sine2 (Ai 1/2), для которой величинами вторичного и тем более
других побочных максимумов можно пренебречь. Тем самым их вклад в по-
полосу пропускания преобразователя оказывается несущественным.
Однако с ростом параметра а вторичный максимум может оказаться
сравнимым с центральным, и его вклад в полосу пропускания оказывается
§2.4
Компенсация фазовых искажений
89
весьма заметным (рис. 2.8, кривая для а = 3). Не следует забывать, что эта
полоса характерна для плоскости синхронизма, в то время как в перпенди-
перпендикулярной плоскости она весьма широка [2].
§ 2.4 Компенсация фазовых искажений при
трежчастотном параметрическом взаимодействии
Трехволновое взаимодействие (ТВВ) в квадратично-нелинейной среде
может быть эффективно использовано в случае, когда искажения, вносимые
аберратором, невелики, как, например, в случае активных элементов твер™
дотельных лазеров. Существуют серьезные ограничения применения ТВВ
для ОВФ из-за наличия жесткого синхронизма (ограничение по угловой
апертуре), но ТВВ может дать высокие коэффициенты преобразования.
Рассмотрим обобщенную схему на рис. 2.9. Пусть сигнальная плоская
волна с амплитудой Ео проходит через неоднородную среду при z = 0, где
приобретает фазовый набег exp[j(p(p)]9 (р — радиус в полярной системе
координат, р2 = х2 + у2).
Неоднородная среда
Преобразователь
частоты
Рис. 2.9
Оптическая система
отображения плоскости
оптимальной фокусировки
В приближении заданного поля, когда преобразователь частоты явля-
является линейным пространственным фильтром, поле преобразованной волны
в некоторой произвольной плоскости z, независимо от вида преобразования
(трех- или четырехволнового) можно записать в виде [2]:
Ег (р, z) = Е* jY (р - р', z) ехр [-зч> (/>') + 3*ор'] dp', B.52)
где ко — поперечная составляющая волнового вектора сигнального излу™
чения, Г (р — р;, z) — функция разброса преобразователя, т.е. фурье-образ
коэффициента преобразования.
90 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
По теории плоских волн амплитуда преобразованного поля есть
?i = EZtje, B.53)
где tje — коэффициент преобразования по амплитуде (здесь мы сохраняем
обозначения амплитуд через Е9 принятые в [7]). Например, в частном случае
генерации разностной частоты (EQ — сигнал, Е\ — разностная, Ея —
накачка частоты 2ш)
В приближении заданных полей накачки и сигнала Е\{1) = а-\_Е^@) х
х Ен@I. Коэффициент преобразования (относительно сигнала) по ампли-
амплитуде равен комплексной (в общем случае) величине tje = Ег A)/[Е$ @)] =
= (TiEH@)l, откуда получаем B.53). Но в нашем случае волна сигнала не
является плоской, так как она имеет фазовый сдвиг exp (j(p (p)). Полная
запись поля такой волны имеет вид
Дзигн (*, Р, z) = ^Eo exp [j (ut -kz + (p (p))] + к.с. B.54)
В приближении заданных полей накачки и сигнала мы можем прене™
бречь уменьшением их амплитуд вследствие нелинейного взаимодействия.
При взаимодействии типа «оее» уравнения для комплексных амплитуд
волн (для определенности примем А\ — сигнал на обыкновенной волне,
А2 — разностная и А% — накачка, обе необыкновенные волны) в стацио-
стационарном режиме с учетом сноса и дифракции имеют вид [2]
«А, , f*Al+»?\B B,5)
dz 2кг V дх2 ду
дА2 дА2 j (д2А2 д2А2
дА3 дА3 j (д*А3 ,д*А
Произведем фурье-преобразование комплексных амплитуд:
Si (kxikyiz)ex.p [j (kxx + kyy)] dkx dky, B.58)
где Si — угловой спектр, причем
сю сю
Ai(x,y,z)exp[-j (kixx + kiyy)} dx dy. B.59)
— oo —oo
§ 2.4 Компенсация фазовых искажений 91
Подставим B.58) в B.56):
х exp [j (k2xx + k2yy)] dk2x dk2y =
CO CO OO OO
— oo —oo —oo —oo
x exp [j (k3x -klx)x + j (k3y - kly) y) dk3x dk3y dklx dkly. B.60)
Положим ^ж = k^x — kix, ^y = k%y — k\y. Тогда интеграл в правой части
можно записать в виде
k3y
— OQ—OQ
оо ос
и
dk3x dk3y I dklx dklyS3S^ I exp j (^x
(УО CO CO CO
x exp j (^xx + ?yy) dklx dkly d^x d^y =
CO CO / CO CO \
Г Г / Г Г * 1
1 ^* (^lxj^ij/)^ (hx.hy) dklx dkiy I x
-co -co — со — oo ^
x exp j Цхх + ^|/) <*?* dfy. B.61)
Подставляя B.61) в B.60) и приравнивая подынтегральные выражения,
получим (при этом, естественно, ?х = к2х, ^у = к2у):
— со —со
Причем ^зж = fclx + ^2x, fey = fclj/ + ^2у
Теперь рассмотрим аналогичные уравнения для Ai, А$
яя k2 +k2 яя k2 +k2
ио\ lx ^^ li/ ^^З Зх ^^ 3i/
-^ 1- j—к} -Si = 0, — jp%hxS3 + j—— -S3 = 0.
UZ Zfb\ OZ Zfb'i
92
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
Введем замену
= М^ exp
^ix "г ^%
Тогда
exp
В итоге получаем
" "т" fb'
B.62)
— oo —oo
где A = f33k3x -
dklxdkly, B.63)
= 0,
b2 J- b2 h2 Л- b2 h2 4- h2
B.64)
¦ расстрой-
fe fc2 fei
ка, обусловленная сносом и дифракцией (напомним, что C\= 0, так как
сигнал — обыкновенная волна).
Из B.62Н2.64) следует
Мг (z) = Мг @) = 8г @),
М3 (z) = М3 @) = ^з @),
B.65)
где 5*1,3 @) = ^1,з (^1,зж? ^1,зу? 0) — входные угловые спектры сигнала
и накачки соответственно.
Из B.65) следует
, feiy, 0) exp -j
z,
. fax
^з (fax, fay, z) = 53 (fax, fay, 0) exp -
V ^ j
Предположим, что амплитудные фронты сигнала и накачки на входе
(z = 0) преобразователя являются гауссовыми, волновой фронт накачки
§ 2.5 Трехволновый параметрический преобразователь 93
плоский (это означает, что передняя грань преобразователя находится в ме-
месте перетяжки гауссова пучка накачки), а волновой фронт сигнала является
квазиплоским с функцией аберрации ip(x,y):
х2
- зч> (х? у) >
Вычислим входные угловые спектры, полагая А\ @,0,0) = Aw; А% @,0,0) =
Ж2 + |/2
— со —оо
2 л ( ^Зж
= тг^зАзо ехр I
w
3 I ,
х2
j (fclx
— СЮ ™ СХЭ
-j<p(x,y)\ dxdy.
Для дальнейших расчетов необходимо задать в явном виде функцию
аберрации ip{x,y).
§ 2.5 Трежволновый параметрический преобразователь
как пространственный фильтр
В работе [7] описывается случай генерации суммарной частоты (ГСЧ,
up-converter), но теория практически идентична со случаем ГРЧ. Естествен-
Естественно, при ГСЧ нет ОВФ, но это в данном случае несущественно. Схема расчета
преобразователя показана на рис. 2.10.
В плоскости z\ задано распределение комплексных амплитуд сигнала
(и2)9 а вдоль кристалла почти в направлении z распространяется плоская
волна накачки частоты ш\. Суммарная частота ш% = ш\ + и2. Пусть оптиче™
екая ось кристалла лежит в плоскости xz. Будем рассматривать поляризо-
поляризованный свет, тогда сигнал (необыкновенная волна) будет иметь компоненту
поля E2xl если же синхронизм выполняется для обыкновенной волны, то
это будет Е2У; эти компоненты мы будем обозначать через А2, но будем
иметь в виду два возможных вида синхронизма.
94
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
Представим комплексную амплитуду А2(х, у, zi) в виде углового спектра
1
, 2/, ?i) exp [j (k2xx
dx dy.
— сю —сю
B.66)
Накачка является плоской волной с волновым вектором ki и его
составляющими к\х, к\у; результатом преобразования сигнала будет волна
Нелинейный
кристалл
Рис. 2.10
Объектив
наблюдателя
суммарной частоты, причем
гьЗх — ж ~т~ f^2xi ^Зу — "'12/ ' ^2у \A.\j I)
Отнесем эту волну (шз) к некоторой плоскости z2, на которую сфоку™
сирован объектив наблюдателя. Введем коэффициент преобразования по
спектрам амплитуды:
К =
= K(k2x,k2y).
Величина К зависит только от k2xik2y, так как к\х^\у — константы
(плоская волна) и в силу B.67). Физический смысл К (к2х1 к2у) достаточно
очевиден: мы разлагаем амплитуду поля по плоским волнам, a S (kXJ ky^ z)
есть амплитуда парциальной волны. При распространении по оси z этой
волны величина S умножается на величину exp (jkzz)9 т.е. фазовый сдвиг
этой плоской волны зависит от kz и, следовательно, различен для разных
парциальных волн. А величина K(k2xjk2y) есть коэффициент преобра-
преобразования по амплитуде для парциальной плоской волны с определенным
набором кзХ9 кзу, по отношению к сигнальной волне с соответствующим
(этому набору) набором к2х, к2у в соответствии с B.67).
Итак, 5з = KS2. Применяя к 5з обратное фурье-преобразование, полу-
получаем
оо
1 Г
z2) = —
Z7T J
к3уу)}
— сю —сю
§ 2.5 Трехволновый параметрический преобразователь 95
Воспользуемся тем, что накачка — плоская волна, т.е. kix, к\у — кон-
константы. Поэтому dk^x^y = d {к\Х)У + к2Х,у) = dk2X}y, т.е.
оо оо
A3(x,y,z2) = —
— со — со
х exp [-j (к1х + к2х) х- з (к1у + к2у) у] dk2x dk2y =
оо оо
= exp [-j (к1хх + к1уу)] • — К (к2х, к2у) S2 (к2х, к2у, zt) x
™оо ™оо
х exp [—j {к2хх + ^2у2/)] dk2x dk2y. B.68)
Подставим B.66) в B.68):
2
X
1 \ Г Г
— \ exp [-j (klxx + &1Уу)] K(k2xj
к/ J J
— оо —оо
оо оо
^2 (ж;, |/;, zi) exp [j (k2xxf + ^1/')] ^' dy' > x
x exp [-j (fc2x^ + k2yy)] dk2x dk2y. B.69)
Штрихи в центральном интеграле (в фигурных скобках) ух, у взяты для
того, чтобы различать эти переменные интегрирования в этом интеграле от
параметров ж, у в интеграле по ^2ж? к2у.
Введем функцию разброса
2
х
Y{x-x',y-y',zuz2) = ( —
\Ztt
оо со
х dk2x dk2yK (k2xj k2y) exp [-j (x - x') k2x - j (y - yr) k2y].
j j
— oo -co
B.70)
С учетом B.70), из B.69) получаем
А3 (ж, t/, z2) = exp [-j (klxx + klyy)] x
со со
X
— оо —оо
со со
j | A2(x',y',z1)T(x-x',y-y',z1,z2) dx'dy'. B.71)
Таким образом, свертка распределения в плоскости z\ комплексной ам-
амплитуды сигнальной волны A2{x,y,z\) с функцией Г B.70), умноженная
96 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
наехр [—j (k\xx + kiyy)]9 дает распределение комплексной амплитуды сум-
суммарной частоты в плоскости z2.
Из B.70) следует, что функция разброса Г(?, 77, zi, z2) есть фурье-образ
коэффициента преобразования по угловым спектрам амплитуды. Заметим,
что Г не есть двойное фурье-преобразование коэффициента преобразова-
преобразования rj = А3 (ж, 2/, z2)/A2 (ж, 2/, zi) по амплитуде.
Термин «функция разброса», по-видимому, пришел из статистической
радиофизики (при интегралах типа свертки).
Для дальнейшего продвижения необходимо разобраться с процессом
ГСЧ в нелинейном кристалле с учетом расстройки или, другими словами,
с учетом полосы пропускания преобразователя по углам. Преобразователь
есть пространственный фильтр (или, если угодно, фильтр углов). Дей-
Действительно, угловая кривая синхронизма есть функция вида sine (Д//2)
в плоскости синхронизма (т.е. по углу В), где А = 7 (В — Вс), вс — угол
синхронизма, j — угловой дисперсионный коэффициент первого порядка
[2], и постоянна в плоскости углов (р (перпендикулярной к плоскости син-
синхронизма). Но нам этих знаний, коими ограничивалась традиционная не ли™
нейная прикладная оптика, теперь недостаточно. Нам надо знать кривую
синхронизма во всем пространстве, а не только в двух взаимноперпенди-
кулярных плоскостях.
Пусть в — угол между оптической осью кристалла и направлением z\
тогда для компоненты kz вектора необыкновенной волны имеем [7]
- k2y(l + v)/Bk), B.72)
где к = |к|, /3 — угол анизотропии для данного В,
1 + ? cos2 В ~ л ? sin26
1 + у л 1 2rv ? nolnl L
1+? Sin В
В выражении B.72) kz определена с точностью до членов второго по-
порядка малости по кХ9 ку. Так как вектор накачки ki направлен по оси z9
то k\z = |ki| = к\9 т.е. к\х = к\у = 0. Поэтому из B.67) следует, что
кзх = ^2х> кзу = к2У. Вектор волновой расстройки А имеет существенную
для нас компоненту по оси z:
А = klz + k2z ~~ k3z = кг + к2-к3- к2х tg/32 - klx{\ + fi2)/Bk2) -
- k22y(l + i/2)/Bfe2) + hx tg/33 + kjx(l + //3)/Bfe3) + k23y(l + i/3)/Bfc3)-
Введем обозначения: к2х = k%x = kX9 k%y = k2y = ky; тогда
A = fci + fc2 - A* - ** (tg/32 - tg/?3) - k2x [A + /x2)/Bfc2) -
] - fe2 [A + i/2)/Bfe2) - A + i/3)/Bfc3)] =
= кг + k2 - k% - a (kx + kJ + ax2 — jky,
§ 2.5 Трехволновый параметрический преобразователь 97
где
Н 2а (tg
Обозначим До = к\
р2 L»gP3j
7 (^
7 1 2)
= -a (kl
V 2fe;
1 + ^3^
'2, тогда
1 +
2 2JC3
1
1-
-Ао-
B.73)
Если сигнал ш2 является обыкновенной волной, в B.73) следует поло™
жить е2 = tg72 = 0. Без ограничения общности можно положить До = 0,
что может быть выполнено специальным выбором угла G.
Запишем укороченные уравнения в приближении заданного поля накач-
накачки {А\ = const):
dA2/dz = -ja2A3Al exp (jAz), B.74)
dA3/dz = -ja3A1A2 exp (-jAz). B.75)
В [7] приведено сразу выражение для коэффициента преобразования
K(k2Xj fay). Нам необходимо предварительно решить B.74), B.75). Так как
накачка — плоская волна, то А\ = А\ = Aw. Обозначим ^ = (Т{Аю; тогда
dA2/dz = ^JbA3 exp {jAz), B.76)
dA3/dz = -j?3A2 exp (-jAz). B.77)
Введем новые обозначения:
/ Д \ / Д \
А2 = а2 exp ^j^z I , А3 = а3 exp -j — z . B.78)
B.79)
Тогда из
da2
Полагая
B.76),
= -з-
di г^> Ь.
А
l + j~2
откуда получаем
B.77) получаем
Д
i exp (rjz), имеем (
)b2+ieab3 = o,
da%
hi = const)
( -A
У J2
= 0,
a2 (z) = A exp (jqz) + Б exp (-jqz),
a3 (z) = С exp (jgz) + D exp (—jqz).
7 В. Г. Дмитриев
98 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Полагая а2@) = а2о (сигнал), а3@) = 0 (суммарная частота), опреде-
определяем постоянные интегрирования:
Л 1 (л А
Итак, решения уравнений B.74), B.75) для действительных амплитуд
имеют вид
«3 = YaW f6XP (~^*) ~ еХР ^^ = ~^'~а20 sin (^) j
«2 = - ( 1 - — ) «20 exp (jqz) + - ( 1 + — ) а20 exp (-jqz),
или, для комплексных амплитуд:
A2(z) = A2Q cos (qz) -j— sin (gz) exp ( j —^
L Z{? J \ z
A (z) j sin (qz) exp I -j — J ,
sin (qz) exp I j
где g =
Величина А20 представляет собой распределение комплексной ампли™
туды сигнала в плоскости z = 0, т.е. А20 = ^.2 (ж, г/, 0).
Угловой спектр суммарной частоты на выходе нелинейного кристалла,
т.е. при z = zq:
00 00
I
S(hh)
— OO — OG
OO OO
x exp [j (кзхх + кзуУ)\ «ж dy = ^3^ sm (Qzo) exP
\/ Q (h h f\\ A Q(Y\
A O2 \гь2х1 "/2ti •) Vj \^Z,.O\JJ
(поскольку k2x = k3x, k2y = к3у), где S2 (k2x, k2yj 0) —угловой спектр сиг-
сигнала в плоскости z = 0, или, другими словами, это амплитуда парциальной
плоской волны с составляющими к2х, к2у. Так как исходный сигнал задан
распределением в плоскости z\ (см. B.66)), а спектр распространяется как
плоская волна, то
S2 (k2x, k2yj 0) = 52 (k2xj k2y, z\) exp (jk2zz\).
§2.5
Трехволновый параметрический преобразователь
99
Поскольку
то
, 0) exp
k2x + k2y
5p
B.81)
(штрихом здесь отмечен тот факт, что спектр из плоскости z\ до плоско-
плоскости zq распространяется в свободном пространстве, т.е. к'2 = ш2/с; к2 =
= ои2п2/с, где п2 — коэффициент преломления кристалла).
Аналогично рассмотрим преобразование спектра суммарной частоты
из плоскости zq, где он задан функцией B.80), в некоторую плоскость z2,
полагая, что это преобразование также осуществляется в свободном про™
странстве:
, к3у, z2) = S2 (k3xj k3yj z0) exp [jk3z (z0 - z2)] =
2k'
- z2)
B.82)
Коэффициент преобразования равен
exp {-jz0 А/2) Я2 (^2ж? &2у; 0) exp [jk3z (z0 - z2)} _
S2 (k2xj k2y, 0) exp (-jk2zz1)
exP ( ^3zo^ ) exP \jkf3 {zo - z2)} exp (jkf2zi) x
x exp
j (Z2 - Zq) ¦
2k'
exp -j
k2y
2k'
B.83)
(при выводе B.83) мы использовали выражения B.81) и B.82)).
При этом с учетом B.73):
А = А (кх, ку) = А0^а(к2х^кJ^ jk2y
(напомним, что к2х = к3х = кХ9 к2у = к3у = ку). При малой анизотропии
кристалла (yS<Cl,//<^l,i/<Cl) имеем
а :
100 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Тогда (при Ао = 0)
[^^]^ + 2^+-2 + ^- B-84)
Положим в B.83) с учетом B.84) фазовый множитель, зависящий от
, Щ9 равным единице; это означает, что
! ~~ ^О Z\ 1 / Zq Zq
Отсюда определяем соответствующее положение плоскости изображе-
(о)
ния z\ :
J0) _ у кЗ , Л *3 , *3 V П on
Исключение фазового множителя, зависящего от к%9 ку9 значительно
уменьшает разброс (размывание) элементов изображения за счет дифрак-
дифракции, т.е. в плоскости z2 ' (см. B.85)) осуществляется наибольшая разре-
разрешающая способность изображения.
Итак, с учетом B.85):
К (k2xj к2у) = -j6^^ exp [j| (tg/?2 - tg/Зз) *я] х
х exp \jk'3 (z0 - z2) + jfc^x]. B.86)
Применяя к B.86) фурье-преобразование и отбрасывая не существен™
ный для нас последний экспоненциальный множитель, не зависящий
от kXjV, в соответствии с B.70) получаем
4тг2Г (ж, у) = | \ К (к2х, к2у) exp [-j (к2хх + к2уу)) dk2x dk2y =
j
ю — oo
С© С©
n n • / \
exp [(jxokx) - j (k2xx + k2yy)] dh
'•2x dk2yj
B.87)
Интеграл B.87) не берется аналитически. Поэтому для получения ана-
аналитических решений решим систему B.74), B.75) в приближении заданных
полей не только накачки, но и сигнала, т.е. считая, что их угловые спектры
распространяются без взаимодействия с волной суммарной частоты. Тогда
А\ = А\ = Аю, \А2 (ж, y,z)\ = \А2 (ж, у, 0)|. Здесь поставлен знак модуля,
поскольку в приближении заданных полей заданными являются только дей-
действительные амплитуды. Положим а2 (ж, г/, 0) = а2о (ж, у) = \А2 (ж, t/, 0)|,
a3(x,y,z) = \A3(x,y,z)\.
§2.5 Трехволновый параметрический преобразователь 101
Тогда
А2 = а20 exp(j>2), А3 = а3 exp(j>3),
где (^2,з — функции ж, t/, z, определяющие пространственные распределен
ния фаз полей (напомним, что накачка А\ — плоская волна).
Из B.74), B.75) имеем (А10 = aw):
dA2 . d(p2 . г-/л i м
= J« = jcraa exp [j (Az + (p3 - (p2)\ ,
dz J ^ d
dA3 da3
+
dz dz dz
Приравнивая действительные и мнимые части и полагая Ф = (р2 — (р% —
— Az, имеем
cos*, B.88)
cos*, B.89)
dz a30
= а3а10а20 sin Ф. B.90)
Уравнения B.88), B.89) можно объединить:
йФ dy?2 cf^3 д Л 1Т
^^ = — А = -А — а2 cos ФЬ cr3cos*
dz dz dz a2® «з
Пренебрегая здесь членом о-2а%аю/а2о <С сгзаю«2о/аз? имеем
^ 3 ()
dz a3
Решая B.91) относительно cos Ф и обозначая^ = сгзаю^о (ж5 2/)9 имеем
cos Ф = (Aaj + С) /а3,
А = А/Bр).
Так как а3@) = 0, то С = 0, т.е. cos Ф = Аа3 = а3Д/Bр), и
А
откуда a3 (x, y,z) = —
Из B.89) находим:
p[A/Bp)]a3 А А 7Г
= , т.е. <^з = z .
102 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Так как мы пренебрегли членом а2 3 10 cos Ф, то из этого следует ^2 =
«20
= 0, Ф = -рз - Az = | + Щ- - Az = | - Щ-, при этом Ф@) = \.
Окончательно находим
А / X 2 / X • AZ f ¦ А\
А3 (ж, 2/, z) = — <73аю «20(ж, 2/) sin — exp I -jz — 1 .
Найдем угловой спектр суммарной частоты на выходе (z =
сю сю
Iff
А ( ) exp [j Aсзжж + кзуу)] dx dy =
¦ sin exp
LA 2
где 52 (^2ж5 k2yj 0) — спектр входного сигнала (мы воспользовались соот-
соотношением к2х = ^зж? к2у = ^з^)-
Аналогично B.83), для коэффициента преобразования имеем
К (к2х, к2у) = (-2#з/Д) sin (Д^/2) exp [-jz0 (Д/2 + fc^)] x
х exp j {k'2zx - k'3z2) exp [j(k2x + k2y) {z2 - zo)/Bk'3)] x
Отбрасывая несущественные множители, не зависящие от кХ9 ку, получаем
К (к2х,к2у) ~ B/А) sin (Azo/2) exp [-jAzo/2] x
x exp [j {k2x + k2y) (z2 - zo)/Bk'3)] x exp [-j (k2x + k\) Zl/Bk'2)]
Из B.84) следует
Положим фазовый множитель, зависящий от к\, ку, т.е. определяющий
дифракцию (размытие) изображения, равным единице. С учетом B.92) имеем
2k2 2k3)+ 2k'3 2
Отсюда 40) = (k'3/k2)Zl + A - k'J{2k2) + k'J{2kz)) z0.
Итак, при Z2 = z\
К (k2x,k2y) - | sin ^ exp Yi (^ - 2^) H +
§2.6
Трехволновый параметрический преобразователь
103
2 . Az0 \kx . 1
= д sin -у exp yjz0 (tg/32 - tg/?3) =
= д sin -^ exp (jxokx), B.93)
где xQ = (zo/2) (tg/32 - tg/Зз).
Применяя к B.93) фурье-преобразование, получим для функции разбро-
разброса
Г (ж, у) =
К (к2х, к2у) exp [-j (кхх -
— oo —oo
oo oo
П
™оо ™оо
o д7
A Sin ~2^
Из B.92) имеем А « ^a (^ж + x) +
+ к = ^-\/az(}/2, ky = ?7
множители, не зависящие от
. Введем новые переменные 1сж +
^ и опустим в B.94)
— жо = x
Т(х,у)
и"
¦ ехр -
drj.
— oo —oo
Интегрируем сначала по ? и, полагая при этом rj = const, получим интеграл:
~ sin (С2 + а2)
J =
В [7] найдено:
Г (ж, 2/) = ?з exp (j
2
az0
Из графика функции тг/2 — Si g (рис. 2.11)
видно, что первый корень этой функции ^
равен q = argSi«l,4. Отсюда для разре™ 1
шающей способности получаем Ах « Ay « q ^
р^ 1,4^0^0 и при zq « 1 см, Ах « C ^- 5) х
х 10™3 см, т.е. на апертуре кристалла d
максимальное число разрешимых элемен- ^0,5
тов равно {d/ Ах) . Видно, что с ростом дли™
ны кристалла разрешение падает.
1 2 3 4 ж
Рис. 2.11
104
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты
Рассмотрим трехволновое вырожденное взаимодействие (ТВВ) в бес-
бесконечном (по поперечным координатам) нелинейном слое толщиной I по
оси z, нормальной к граням слоя. Пусть на входную грань нелинейно™
го слоя падают волна накачки с частотой 2ш и комплексной амплитудой
Аз(р) (р2 = ж2 + |/2), и волна сигнала А\ на частоте ш. Волна сигна™
ла несет информацию, записанную аберратором в амплитудно-фазовом
фронте. В слое в процессе ТВВ генерируется разностная волна А2 на
частоте сигнала ш. Тем самым рассматривается процесс вырожденной по
частоте ГРЧ.
Комплексные амплитуды Ai(p, z) являются в общем случае функция-
функциями поперечных и продольной координат и связаны укороченными урав-
уравнениями [4]:
дА2
2к2
д2А
д2А2 д2А,
дх2 ду2
j (д2А3
2к3 \
д2А
ду1
дАг
ВА2
дА2
дх
B.95)
1Jt43 exp (jAoz),
B.96)
B.97)
где До = |ki + k2 - k3|z
Уравнения B.95)^B.97) являются параболическими укороченными
уравнениями и соответствуют квазиоптическому приближению в тео-
теории нелинейных волн [8]. Они описывают стационарное (во времени)
нелинейное взаимодействие дифрагирующих волновых пучков. Решение
этих уравнений в аналитическом виде, как правило, не представляется
возможным. Однако их можно существенно упростить, если перейти от
комплексных амплитуд к угловым спектрам.
Разложим комплексные амплитуды -А 1,2,3 B интегралы Фурье по плос-
плоским волнам, или, иными словами, запишем выражения для фурье-спек-
тров комплексных амплитуд (г = 1, 2, 3):
Si (kix, kiyj z) =
(?*)
оо оо
J J
(x, y, z) exp [j (kixx + kiyy)} dx dy,
или, в условно-векторной записи в полярных координатах
1
i5 z) =
(p, z) exp (jxp) dp,
§2.6
Теория ОВФ при генерации разностной частоты
105
где Mi — вектор к^ в поперечной плоскости, т.е. щ = кх\ + кут A, m —
единичные вектора по ж, у).
Обратное преобразование дает распределение комплексных амплитуд
в поперечной плоскости z:
Ai(x,y,z)=
— oo —oo
dkix dkiyj
B.98)
oo
(p, z)= I Si (Mi, z) exp
Подставим B.98) в B.95):
оо оо
и
. klx + kl
ly
dz
kix Si
oo oo oo oo
x exp [-j (klxx + kiyy)] dklx dkly = -jai S^
— oo —oo —oo —oo
x exp {-j [(k3x - k2x) x + (k3y - k2y) y}} dk3x dk3y dk2x dk2y.
Положим ix = k3x - k2x, iy = k3y - k2y. Тогда, приравнивая ix = klx,
= kiy, имеем
г
. klx + k
j
ly
dz
Введем замену
Si (Mi, z) = Mi (Mi, z) exp
^2x dk2y.
— oo —oo
к2 4- к2
ix "г ^iy
JPl^lX
В итоге вместо B.95)-B.97) имеем
М"зМ| exp (jAz) dk2x dk2y,
— oo —oo
oo oo
BMo Г Г
-gf = -3*2 M3M*exP(iAz) dklx dklyj
B.99)
B.100)
— oo —oo
106 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
дМ3
оо оо
и
dz
— оо —оо
где обобщенная расстройка А равна:
А
А = Ап-
dklx dkly, B.101)
B.102)
Нетрудно видеть, что выражение B.102) определяет расстройку, обуслов-
ленную в том числе диафрагменным апертурным эффектом и дифракцией
[9].
Из уравнений B.99)—B.101) видно, что модифицированные угловые
спектры волн, т.е. амплитуды соответствующих парциальных плоских
волн, фазовые множители которых как бы «исправлены» на дифракцию
и снос, определяются интегралом — суперпозицией соответствующих
нелинейных произведений спектров двух других волн — по всем направ-
направлениям волновых векторов в поперечной плоскости.
Для простоты вычислений и без особого ограничения общности при™
мем волну накачки плоской волной, распространяющейся по оси z9 т.е.
положим к%х = к%у = 0, k^z = к9 /Зз = 0, отсюда следует, что к\х = ^к2х,
к\у = —к2у, а угловой спектр накачки имеет вид ^-функции:
Вследствие этого интегралы в уравнениях B.99)—B.101) исчезают;
далее, если волна накачки является достаточно мощной, справедливо
приближение заданного поля (Ai^iz) <C ^зо)? и уравнения B.99), B.100)
примут вид
ЮМ2* exp (jAz), B.103)
J0M*exp(jAz). B.104)
dz
dM2
Заметим, что если пренебречь дифракцией и анизотропией, то Mi=Si9
и тогда эти уравнения примут вид
dSi
-L • О О* ( ' \ \ /О 1 П^чЛ
dz 2
dS2
dz
= -JV2S30SZ exp (jAoz). B.106)
С точки зрения математики все равно, какую систему решать: B.103),
B.104) или B.105), B.106); только не следует забывать, что эти уравне-
уравнения записаны для угловых спектров, т.е. для амплитуд парциальных плос-
плоских волн с компонентами векторов k\x = ~k2xj k\y = ~к2у (рис. 2.12).
§2.6
Теория ОВФ при генерации разностной частоты
107
Поэтому при нахождении амплитудных распределений с помощью обрат-
обратного фуръе-преобразования результат, естественно, будет существенно
различным в зависимости от того, используем мы функции Si или Mi.
1 X
^^
Ч:——
\
<к2х \
k2z
-
"*-*——-^^^
—
|lci21 — k\z + кч
\
\
\
1^
к2
До
кз
у
Ао
До
z
~*—
Рис. 2.12
Будем полагать, что входная грань нелинейного слоя-кристалла рас-
расположена при z = 0. Тогда граничные условия для комплексных амплитуд
в уравнениях B.95)—B.97) примут вид: А\ (ж, г/, 0) = Aw (ж, г/) = Aw (р),
А2 (х,у,0) = 0, А3 (ж,у,0) = А3о (ж, у) = А30 (р). Соответственно для
угловых спектров получим
Mi (klxj kly, 0) = Mi
М2 (fc2x, fey, 0) = М2
^з (^зж, к3у, 0) = М3
= — А10 (р) exp (jxip) dp,
= ^2
Так как мы приняли волну накачки плоской, то ^4зо (р) = ^-зо и
Ач
108 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Решая систему B.103), B.104), имеем
М2 (х2,0 = jM* (^)a2S30 sh | V«2 - (Л/2П х
(A/2J)/2exp(jAZ/2), B.107)
где и2 = <Ti«72*Sf0, sh ж—гиперболический синус, А определяется B.102),
I — длина кристалла.
Если волна сигнала настолько мощная (кроме волны накачки), что
можно рассматривать приближение заданного поля сигнала и накачки
одновременно, то решение B.107) упрощается (при этом Mi (xi,z) =
-^ = ^j^SwMt (мг) exp (jAz),
OZ
М2 {я2, z) = -^S'soMi (^i) [exp (jAZ) - 1], B.108)
|M2 (x2,2)|2 = ^S^M.M* sin2 ^.
Расстройка А вида B.102) в выражении B.108) определяет ширину
преобразуемого углового спектра сигнального излучения; так, величина
М~2 обращается в нуль при выполнении условия AI/2 = тг, где I — длина
нелинейного кристалла, или с учетом B.102) при условии
До - C2к2х - 0iklx + я1/{2к2) + н21/{2к1) = 2тг/1, B.109)
где щ = 41ЩХ + к2у. Другими словами, ТВВ-преобразователь эффектив™
но обращает только ту часть углового спектра, которая попадает в цен™
тральный максимум кривой синхронизма.
Соотношение B.109) ограничивает спектр угловых пространствен-
пространственных «частот» величиной, попадающей в центральный максимум кривой
sine2 (AI/2); остальными пространственными частотами можно прене™
бречь в большинстве практических случаев, так как амплитуды соответ-
соответствующих волн не превышают величины первого вторичного максимума
функции sine (AI/2).
Проецируя волновые векторы на ось z, в анизотропной среде получим [7]:
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты 109
(мы ограничились членами второго порядка малости по кХ9 ку). Здесь
введены обозначения (V — оптическая ось кристалла):
1 + 6 cos2 В п2 1 + 6 л п2о
1 + /З2 l + 1 + ^
/3=
l + esin26
е cos В sin В ^ -—-
B ;
5> B zz.
6sin2B
При малой анизотропии можно пренебречь величинами /х, i/<C 1, тогда
Л Р^ж "оТ" *
Рассмотрим случай 90°-ного синхронизма, т.е. положим /?i}2 = 0,
Ао = 0, тогда из B.102) имеем (так как накачка является плоской волной
и ж3 = 0, то жг = -я2, \*i\ = \x*\ = п)
к\ к\ к2 , , 2тг
Итак,
— = х2— = х2 = ах2, B.110)
где а = А//Dтта), Л — длина волны на разностной частоте в вакууме,
п — коэффициент преломления. Подставляя B.110) в B.107), получаем
sh \/(ul) — (ак2)
M2 (ж, I) = jM{ (ж) S30ul exp (jaK2) ; ^^ B.111)
(здесь уже сняты индексы \,2у щ).
Соотношения B.107) и B.111) четко показывают, что угловой спектр
разностной волны с точностью до некоторого множителя является ком-
комплексно-сопряженным, т.е. обращенным, по отношению к спектру исход™
ного сигнала. Естественно, обращение здесь происходит только для попе-
поперечных составляющих волнового вектора (ж, т.е. кх и ку); по продольной
компоненте вектора к обращение отсутствует. Мы еще вернемся к во-
вопросу об обращении продольной составляющей к, а сейчас рассмотрим
сигнальное излучение.
Пусть в плоскости z = 0, т.е. вплотную к нелинейному слою, нахо™
дится тонкий транспарант, имитирующий аберратор и имеющий фазовое
пропускание, описываемое множителем exp [jip (/?)]. Если транспарант-
аберратор освещается слева плоской волной, распространяющейся по оси
z с амплитудой Ао, то поле сигнала непосредственно за транспарантом
имеет вид
Аю (р) = Ао exp [jip (p)].
110 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Угловой спектр входного поля сигнала равен:
9 оо оо
( 1 \ Г Г
Si (xi, 0) = Mi (xi) = — Ao exp [jip (p)] exp [jxip] dp,
V^T-y J J
— OO —CXD
ИЛИ
OO OO
Si(xi,0) = —9 exp {j [ip (ж, i/) + ^Жш + куу]} dx dy.
4ttz J J
™CXD — OO
Вводя обозначение
Qo = jS30«Z sh ^{ulf - (ax*J y/(ulJ - (
из B.111) имеем
M2 (x2,1) = QoSl (xi, 0) exp (jax2) ,
или при A = 0
52 (x2,0 = Q0Sr (xi, 0) exp (ja^2) exp [-J^jA . B-112)
или, так как a = А1/Dтт) = I/Bk) ш k\ = k2 = к, то
S2(x2,0 = QoSi(xb0). BЛ13>
Итак, решение B.113), полученное в приближении заданного поля на™
качки, показывает, что в этом приближении спектр разностной частоты
с точностью до мнимого множителя Qq, не содержащего зависимости от
кх, ку, равен комплексно-сопряженному спектру входного сигнала. Это
и означает, что при ГРЧ происходит процесс ОВФ, причем «обращается»
только поперечная компонента волнового вектора. Для полного обраще-
обращения необходимо изменить направление составляющей kZ9 т.е. отразить
волну разностной частоты зеркалом, перпендикулярным оси z.
Заметим, что если в исходных уравнениях B.95)—B.97) пренебречь
дифракцией, т.е. исключить члены со вторыми производными по попе™
речным координатам, то в приближении заданного поля накачки мы при™
дем к уравнениям для спектров в форме B.105), B.106). В этом случае
в решении B.112) последняя экспонента обращается в единицу, и мы
имеем
^2 (x2,Z) = Q0S* (xi,0)exp [зам2) . B.114)
Таким образом, мы сохранили экспоненциальный член, по порядку
величины равный единице (обе экспоненты — отброшенная в пренебре-
пренебрежении дифракцией и оставленная в B.114) — это равные члены). Отсюда
следует, что либо надо отбросить и вторую экспоненту, либо строго учесть
дифракцию с самого начала. В любом случае мы получим B.113).
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты 111
Помня о том, что и продольная компонента «обращена», и продолжая
работать с поперечными (угловыми) спектрами, рассмотрим конкретные
распределения комплексной амплитуды сигнала на входе нелинейного
слоя. Вначале выведем некоторые общие закономерности.
Пусть световой пучок вида
распространяется через линейную неоднородную среду-аберратор с по™
казателем преломления п (г), зависящим от пространственной коорди-
координаты г, где г = \Jх1 + у2 + z2. Уравнение для амплитуды А (г) имеет
вид [101
яд
АА _ 2jkjp + [ш2п2 (г)/с2 ^к2]А = 0.
CJ Z
Общее решение, связывающее амплитуды полей на входе неоднород-
неоднородной среды (аберратора), т.е. при z = 0, А (р, 0), где р2 = ж2 + у2, и на
выходе среды, z = L, A(p,L) имеет вид
A(p,L)= [A(p',0)G(p,p') dp'. B.115)
Здесь G (p, //) — функция Грина искажающей среды (аберратора).
Ее физический смысл нетрудно понять, рассматривая структуру форму-
формулы B.115). Оптическое возмущение в некоторой фиксированной точке р
выходной (z = L) плоскости аберратора определяется суперпозицией
элементарных возмущений, исходящих из точек с произвольными ко-
координатами р1 = (х1\у') на входной плоскости, т.е. интегралом по р;,
а функция Грина G (р, //) показывает, как трансформировалось это воз™
мущение на пути через аберратор. В общем случае G (р, р;) является
комплексной функцией. Заметим, что для случая произвольной зависи-
зависимости п (г) аберратора вид функции Грина, естественно, неизвестен. На™
помним, что B.115) расшифровывается следующим образом:
со со
A(x,y,L)= | | A(a;',j/',O)G(a:,y,a;',i/') dar'dj/'. B.116)
— со —oo
Пропустим искаженное поле, прошедшее через аберратор и описьь
ваемое формулами B.115), B.116), через устройство ОВФ. Не задаваясь
его конкретным видом, введем функцию Г (р, р7), описывающую отклик
устройства ОВФ на дельта-образный сигнал, т.е. на импульсное воздей-
воздействие (точечный источник света). В этой функции нетрудно узнать уже
знакомую нам импульсную характеристику, или функцию рассеяния точ™
ки. Сигнал на выходе устройства ОВФ (в плоскости z^) в фиксированной
точке этой плоскости р определяется суперпозицией оптических возму-
возмущений, пришедших из всех точек входной плоскости устройства ОВФ z\:
A{p,z2)=JA'(p',z1)T{p,p') dp'. B.117)
112
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
\ш//А
Аберратор
Устройство
'ОВФ У
О
Нетрудно видеть, что функция Г (р, р;), которую в литературе часто
называют функцией разброса, является функцией Грина устройства ОВФ.
Плоскости zi, z2 могут совпадать или на-
находиться перед входной гранью устройства
ОВФ (рис. 2.13).
Пропустим поле, прошедшее устройство
ОВФ, снова через аберратор, предполагая,
естественно, что распределение п (г) и, еле™
довательно, функция Грина аберратора за
время прохождения светом трассы — аберра-
аберратора, устройства ОВФ и вновь аберратора —
не изменилось; в этом случае говорят о стаци-
стационарном аберраторе, если функция п (г) вообще не изменяется во време™
ни, или о квазистационарном аберраторе, если время прохода светом всей
трассы существенно меньше характерного времени изменения функции
п (г) (так называемый «замороженный» аберратор, например, «заморо-
«замороженная» турбулентность атмосферы).
В силу обратимости задачи амплитуда поля на входной (z = 0) штос™
кости аберратора выразится через амплитуду на выходной (z = L) плос-
плоскости следующими соотношениями:
Рис. 2.13
A(p,0)= \A(p',L)G(p,p')dp'.
B.118)
B.119)
Смысл B.118) состоит в том, что мы для простоты рассуждений сов™
МССТИЛИ ВЫХОДНуЮ ПЛОСКОСТЬ уСТрОЙСТВа ОВФ Z2 С ВЫХОДНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ
аберратора z = L.
Совместим zi, z2 и L; тогда описание промежутка (вакуум) войдет
в функцию разброса Г (р, pf). Сопоставляя B.115), B.117) и B.119),
окончательно получим связь между входным полем Ai(p,0) и выход™
ным полем А2 (р, 0) (оба поля — в плоскости z = 0) после прохождения
входного поля через аберратор, вакуум, устройство ОВФ (здесь пучок
поворачивается на 180°), вакуум и вновь аберратор:
А2 (р, 0) = JjJ А\ (рь 0) G (р, р3) С* (ръ р3) Г (р2, р3) dPl dp2 dp3
B.120)
(мы ввели обозначения pi,2,3 и А чтобы различить переменные интегри-
интегрирования).
Если функция разброса устройства ОВФ пропорциональна S-
функции, то его можно считать устройством идеального ОВФ (или
идеальным линейным фильтром). В этом случае интеграл по р2 в B.120)
исчезает (работает фильтрующее действие S-функции):
A2(p,0)=
dPldp3.
B.121)
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты 113
Наконец, если на входе аберратора излучение представляет собой пло-
плоскую волну, т.е. если A\(pi10) = А®, то из B.121) получаем
p1,p3) dPldp3, B.122)
где /3 — коэффициент усиления (ослабления) идеального устройства
ОВФ. Полное восстановление плоской волны, т.е. равенство
А2 (р, 0) = АоаC B.123)
будет иметь место при выполнении условия
JG(p,p3)G*(Pl,p3) dP3 = aS(p-Pl), B.124)
где а — коэффициент пропорциональности; тогда при интегрировании
B.122) по pi получаем B.123).
Соотношение B.124) может быть выполнено в аберраторе, искажения
которого чисто фазовые, т.е. функция п (г) действительна, или, другими
словами, когда нет зависимости усиления или ослабления аберратора от
поперечной координаты.
Если в плоскости z = 0, т.е. на входе аберратора, в некоторой точке
Pi находится точечный источник, то из всего вышеизложенного следу-
следует, что импульсный отклик всей трассы (аберратор^вакуум^устройство
ОВФ-вакуум-аберратор), т.е. функция рассеяния точки (или, если угод™
но, функция разброса трассы), имеет вид
g{p,pi)=^r{p2,p3)G(p,p3)G*(p1,p3) dP2dp3. B.125)
Все дальнейшие действия связаны с конкретным видом функции Три™
на аберратора и функции разброса устройства ОВФ. Заметим, что если
устройство ОВФ инвариантно к сдвигу (изопланарно), то во всех выраже-
выражениях функцию Г (р2, Рз) можно заменить на Г (р2 — рз); в этом случае
вместо B.125) имеем
ГГ
g (p, pi) = Г (р2 - рз) G (р, рз) G* (pi, рз) dp2 dp3.
j j
Тонкий аберратор. Если неоднородная среда (аберратор) имеет на™
столько малую протяженность по оси z, что можно пренебречь дифрак-
дифракционным расплыванием лучей на длине аберратора, то аберратор можно
считать тонким, и его действие на первоначально плоскую волну можно
описать фазовым множителем вида: exp [j(p (p)]. Если входное распреде-
распределение поля соответствует плоской волне, падающей наклонно на тонкий
аберратор, то
А (р, 0) = Ао exp (JMOp),
8 В. Г. Дмитриев
114 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
где ж® — поперечный волновой вектор плоской волны с угловым спек™
тром
Непосредственно за аберратором поле имеет вид
После прохода через устройство ОВФ с функцией разброса Г (р - pf)
поле имеет вид (для произвольной плоскости z)
Ах (р, ;гО = AJ5 Г (р - р', *) exp [-jy? (р;) + jxop'] dpf
(в этом выражении мы предполагаем, что устройство ОВФ является ли-
линейным пространственным фильтром).
Без вывода приведем ряд выражений, полученных в работах [20, 37].
В параксиальном приближении 1г = у' х2 + у2 + z2 « z [l + p2/Bz)] J
функция разброса всей трассы (с учетом участка свободного простран-
пространства длиной z) имеет вид
9 (Р5 Pi) = ( ^ J г (Р2 ^ Рз, ^) exp \j<p (р2) - j> (р3)] х
j— у(р2 - pf - (pi - рзJ] | dp2 с^Рз- B.126)
Соответственно восстановленное (после прохождения обращенной волны
вновь через аберратор) поле имеет амплитуду
f
А2 (р, 0) = L4* (рь 0) ? (р, pi) dpi,
где ^ (р, Pi) задано формулой B.126).
Вернемся к расчету ОВФ в режиме трехчастотного вырожденного
взаимодействия. В приближении заданного поля накачки коэффициент
преобразования устройства ОВФ в виде трехчастотного вырожденного
параметрического преобразователя имеет вид
k(">^ = Wf3t)=q<» BЛ27)
где величина Qo, введенная ранее, определена в плоскости оптимальной
фокусировки гОШ9 в которой в выражении для К отсутствуют квадра-
квадратичные по к экспоненциальные множители [12]. При отстройке от этой
плоскости выражение B.127) примет вид
К (ж, z) = Qo exp Н/?х2) , B.128)
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты 115
где параметр C характеризует отстройку плоскости, в которой мы на™
блюдаем поле обращенной волны, от плоскости оптимальной фокуси-
фокусировки zonT, в которой ширина функции разброса устройства ОВФ име-
имеет наименьшую ширину, а фронт обращенной волны наиболее близок
к фронту искаженного аберратором поля. Очевидно, что /3 = /3(z), при™
чем /3(zonT) = 0.
Производя фурье-преобразование функции B.128), найдем функцию
разброса трехчастотного параметрического преобразователя, характери-
характеризующую отклик преобразователя на точечный световой источник:
iSintii f sh \/(ul) — (ак2)
Г (Р, Й = ^Г ехР {-ЗР"? - 3*Р) У - dx B.129)
J W2
(напомним, что запись B.129) является на самом деле двукратным ин-
интегралом по кх, ку в бесконечных пределах). Полагая ? = ая2, N =
— Бзои1/(8тта), запишем интеграл Фурье—Бесселя:
T(p,f3)=N\ exp -jH Jo А Др У d?, B.130)
J 'V «7 VVa-y .l{ulf_e
где Jo(a) — функция Бесселя нулевого порядка.
Заметим, что коэффициент преобразования B.128), как и функция
разброса B.130), не зависит от спектра сигнального излучения. В этом
случае говорят об однородной модели трехчастотного устройства ОВФ.
Разумеется, если мы примем в расчет влияние конечной апертуры нели™
нейного слоя, то однородность снимается.
В случае ul <C 1, т.е. при малой эффективности преобразования в раз-
разностную частоту, интеграл B.130) может быть вычислен с помощью ин-
интегральной показательной функции:
В работе [2] интеграл B.130) рассчитывался (рис. 2.14) для значений
ul = 0,5 (толстые линии) и ul = 5 (тонкие) при различных значени™
ях параметра /3. Из рассмотрения графиков можно сделать следующие
выводы:
1) при малой отстройке от плоскости оптимальной фокусировки ши-
ширина функции разброса минимальна и уменьшается с ростом ul, т.е.
с ростом коэффициента преобразования ф = 0; 0,2а); это означает, что
в этих режимах реализуются наибольшие контрастность и разрешение
восстановленного изображения точечного источника;
116
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
2) с увеличением отстройки /3 ширина функции разброса увеличи™
вается, т.е. изображение точечного источника все более расплывается,
причем с ростом коэффициента преобразования разрешение и контраст
падают.
= 0,2
Аберратор с параболической зависимостью п(р). Рассмотрим мо-
модель аберратора длиной L, характеризующуюся квадратичной зависимо™
стыо коэффициента преломления от радиуса:
п (р) = п0 - пгр2/2.
B.131)
Такой зависимостью можно, например, аппроксимировать оптиче™
ский усилитель с усилением 7 на единицу длины, в котором под дей-
действием тепла лампы накачки наводится регулярная тепловая линза вида
B.131).
Пусть на входе аберратора задан гауссов пучок
Aw 0,0) = 1/гу0 • л/2/пежр (-р2/wl) ,
где w® — ширина пучка по уровню е^1 амплитуды при z = 0, и пусть
функция разброса определяется формулой:
Г (р) =
¦ ехр
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты 117
(эта функция с достаточной точностью описывает функции разброса ре™
альных преобразователей).
Тогда коэффициент восстановления при ОВФ для трассы вида аберра-
тор^усилитель^аберратор, определяемый как отношение амплитуд спек-
спектров восстановленного и исходного полей, будет равен [13]
B.132)
(при этом мы нормируем г на коэффициент усиления усилителя).
Полагая ОВФ удовлетворительным при г ^ 0,7, найдем из B.132):
Это и есть критерий качества восстановления.
Лберратор — одномернам фазовая решетка. Пусть аберратор пред-
представляет собой регулярную одномерную фазовую решетку, для которой
(р (р) = acosG^), B.133)
где а — амплитуда изменений набега фазы, а j^1 характеризует попереч-
ный размер неоднородностей; период решетки равен 2n/j.
Фурье-образ функции ex.p[j(p(p)] с учетом B.133) имеет вид [14]
ф (и) = y^ exp ^а cos ^x^+ iH*^ df} =
+ ОО
J2 kx), B.134)
т= — схэ
Коэффициент восстановления равен
Q ( \ 1 °°
г = Л2Х{— г = — У2 J^(a)K(kOx + mj,kOy), B.135)
где Kg — максимальное значение коэффициента пропускания преобразо™
вателя в разностную частоту (напомним, что К есть фурье-образ функции
разброса преобразователя), S2 (—**o) — спектр восстановленного поля,
Mq — волновой вектор исходной плоской волны, падающей на аберра-
аберратор, кох, коу — его поперечные составляющие, Jm (x) — функция Бесселя
т-то порядка.
При Kq <С 1 можно записать
v 9 J B.136)
118
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
(приближение заданных полей сигнала и накачки), и из B.135) следует
(положим для простоты Mq = 0, т.е. допустим, что волна падает нормаль™
но на входную грань аберратора):
ос
Е
то= — сю
Jm(a)
(с
sin [am
9 9\
B.137)
1,0
0,5
а=1
Коэффициент восстановления, вычисленный по формуле B.137), пред™
ставлен на рис. 2.15, в зависимости от поперечного размера неоднород™
ностей для различных глубин модуляции регулярной фазовой решетки
в плоскости оптимальной фокусировки.
Из соотношений B.134)—B.137) следует ряд интересных выводов. Во-
первых, спектр рассеянного (искаженного) аберратором поля является
эквидистантным B.134): кх = ^mj. Во-вторых, с ростом амплитуды
решетки (а) все большая часть мощности па-
падающей на аберратор плоской волны после
рассеяния перекачивается в боковые макси-
максимумы (га ф 0); вместе с тем, основная часть
энергии рассеянного аберратором поля со™
держится в нескольких максимумах углово-
углового спектра (в том числе, естественно, в цен-
центральном, т = 0, соответствующем нерас-
нерассеянному свету, т.е. прошедшему без откло™
нения от первоначального направления рас-
распространения плоской волны, задаваемого
вектором Ко). Из общих соображений ясно,
что коэффициент восстановления углового
спектра тем больше, чем большее количество боковых максимумов спек™
тра попадет в полосу пропускания преобразователя B.136). В частности,
из B.136) можно оценить полуширину пропускания преобразователя по
угловому спектру по уровню
0
10 15 20
Рис. 2.15
(такое определение соответствует sin ак2 = 1 или ам2 = тг/2); эта полу-
полуширина (обозначим ее через Ах) равна
Ах= у/к/{2а),
или, так как решетка аберратора имеет место только по оси ж,
Akx = y/ir/Ba).
В полуширину (Акх) умещается число максимумов рассеянного поля
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты 119
Всего (в обе стороны по х) в полосу преобразователя попадает число
максимумов рассеянного поля (включая центральный), равное
Мо = 2m0 + 1 = 1 -
при устремлении периода решетки 2тг/7 к нулю, т.е. с увеличением про-
пространственной частоты решетки j, М —>• 1, т.е. в полосу преобразователя
попадает только центральный (ненулевой) максимум, или, иными слова-
словами, только нерассеянное поле, распространяющееся точно в направлении
синхронизма для разностной частоты. Ясно, что если в Мо максимумах
рассеянного поля содержится большая часть его мощности, то восстанов-
восстановление искаженного аберратором поля плоской волны будет достаточно
удовлетворительным; в противном случае эффект ОВФ резко ухудша-
ухудшается, так как восстанавливаются только центральный и, например, два
боковых максимума, что недостаточно для удовлетворительного восста-
восстановления. Заметим, что с уменьшением а ширина кривой синхронизма
Акх возрастает, что позволяет эффективно преобразовывать все большее
число максимумов рассеянного поля и повышать тем самым эффектив-
эффективность ОВФ. При уменьшении амплитуды решетки (а) все большая часть
энергии рассеянного поля сосредотачивается в центральном максимуме.
Читателю должно быть очевидно, почему мы добиваемся, чтобы в по-
полосу преобразователя попало большее количество вторичных максиму-
максимумов искаженного поля. Действительно, если «обращенная» часть про-
пространственного спектра искаженной волны (т.е. попавшая в полосу пре-
преобразователя) при вторичном прохождении через аберратор полностью
восстанавливается до плоской волны, то «необращенная» часть, несущая,
возможно, заметную часть мощности рассеянного поля, при вторичном
прохождении через аберратор не восстанавливается и даже искажается
дополнительно. Таким образом, восстановленная плоская волна выхо-
выходит из аберратора (после вторичного прохождения) на невосстановлен-
невосстановленном пространственно-модулированном фоне (на плоской волне появится
«остаточная» решетка с периодом 2tt/j).
Аналогично, если на вход аберратора поступает пространственно-
модулированная регулярным образом волна (например, несущая изобра-
изображение), то на выходе аберратора изображение оказывается размазанным,
искаженным. Если результирующий угловой спектр этого искаженного
изображения практически полностью попадает в полосу преобразовате-
преобразователя, то он практически весь обращается, и при вторичном прохождении
его через аберратор искажения практически полностью снимаются.
В результате мы имеем практически неискаженное изображение. Если
же пространственные детали изображения в совокупности с наложен-
наложенными на него аберратором искажениями образуют угловой спектр,
превышающий по ширине полосу преобразователя, то в восстановлен-
восстановленном изображении «чистыми», неискаженными останутся лишь крупные
детали, плавные переходы. «Мелкие» же детали, резкие переходы и «мел-
«мелкая» (по пространству) «рябь» от аберратора, спектр которых «выпал» за
120 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
пределы полосы преобразователя, не будут обращены; в восстановлен™
ном изображении эти аберрации полностью проявятся, т.е. изображение
восстановится на фоне помех и искажений, внесенных аберратором.
Контраст и четкость восстановленного изображения окажутся в этом
случае существенно худшими, чем в исходном изображении.
Следует просто понимать, что даже в отсутствие аберратора парамет™
рический ТВВ-преобразователь не полностью переносит пространствен™
ную модуляцию с волны сигнала на волну разностной частоты. Если
модуляции (изображения) вообще нет, т.е. если сигнал является плоской
волной, то волна разностной частоты тоже оказывается плоской (остается
лишь вопрос, с каким коэффициентом преобразования по интенсивности,
но это чистая энергетика). Если сигнальная волна несет изображение, то
в разностную частоту преобразуется лишь та часть углового спектра, ко™
торая попадает в полосу пропускания преобразователя. Например, при
90°-ном синхронизме полоса ТВВ-ОВФ определяется параметром Qo,
а точнее, параметром
/х = sh \/{ulf - (ак2J I'у\ulf - (ак2J.
Вспоминая, что а = А//Dтта), и = у/(т-\_<72 5зо = у/а± <72 A3q / Dтг2),
иполагаяЛ = 10~4см, п = 1,5,1 = 1 см, у/аг^А^о = 1см, получим а«
^5,3-10^6 см2, ul = 2,5 -10~2, и полоса преобразователя по уровню /л = 0
определится значением хтах^67 см, что соответствует максимальному
углу дифракции (на самом мелком масштабе изображения) порядка В «
~ ^max/^ ~ 1G~3 рад « 3', что соответствует размеру изображения 1 мм.
Поскольку а = А1/Dтт), то уменьшение а может быть достигнуто
за счет уменьшения длины нелинейного слоя. При этом энергетические
потери (т.е. потери в коэффициенте преобразования) могут быть ском-
скомпенсированы увеличением плотности мощности накачки, в том числе
фокусировкой при 90°-ном синхронизме.
§ 2.7 Дополнительные сведения
Итак, в идеальной трехволновой ОВФ-системе обращенное поле есть
точная комплексно-сопряженная копия падающего поля, прошедшего че-
через аберратор. В реальной системе используемый для ОВФ нелинейный
трехволновый процесс фильтрует пространственный спектр излучения,
поэтому падающее и обращенное поля уже не совпадают (точнее, совпа-
совпадают лишь частично), что характеризуется коэффициентом восстановле-
восстановления.
Преимущества трехволнового ОВФ очевидны: быстродействие и воз-
возможность высокой эффективности преобразования в сопряженную волну,
отсутствие порога; недостаток — наличие условий синхронизма, сужаю-
сужающих полосу пропускания преобразователя по угловому пространствен-
пространственному спектру.
§2.7 Дополнительные сведения 121
Параметр а = Л//Dтгп) = 1/Bк), где к берется в среде, характеризует
ширину угла фазового синхронизма. Действительно, по нулевому уровню
функции sinc(a>f2), описывающей полосу преобразования, имеем ак® =
= тг, щ = д/тг/а — угловая ширина синхронизма. Эта же величина
характеризует и разрешающую способность преобразователя.
Трехволновое ОВФ наиболее целесообразно использовать в случаях,
когда аберратор вносит сравнительно небольшие искажения [11].
Если выбранная плоскость не есть плоскость оптимальной фокуси-
фокусировки (отстройка C /0), то для случая регулярной фазовой решетки вме-
вместо B.136) следует записать
/ о\
Sill \OLK , ох
К (м) « Ко ^2 } exp i^jpK2) , B.138)
где /3 = f3(z) = А/Dтг) • [z - 2zk — I B/n - 1)] — отстройка некоторой
плоскости z от плоскости оптимальной фокусировки z = zq, для которой
/3(zq) = 0, причем Zk — координата входной плоскости нелинейного слоя
длиной I. Функция разброса такого преобразователя, т.е. функция рассе-
рассеяния точечного источника (или, что то же, отклик на пространственно-
импульсное световое воздействие), есть фурье-образ коэффициента пре-
преобразования B.138)
2 2
r(p,/?)=si , Р, -, + sign(а-Р) -si P
4 (а + /3) 6 у И> 4 (а - /3)
2
Здесь sign(x) — функция знака:
si ж и с! к — интегральные синус и косинус [5].
Что такое плоскость оптимальной фокусировки? При прохождении
аберратора свет рассеивается на его неоднородностях. Направления рас-
рассеяния могут быть «перехвачены» линзой (объективом), и этот рассе-
рассеянный свет должен быть сфокусирован в преобразователь (нелинейный
слой). Плоскость оптимальной фокусировки находится из условия при™
равнивания нулю показателя в экспоненте коэффициента преобразования
К (ж) при квадратичных по к показателях; например, в B.138) следует
положить /3 = 0, откуда находим для плоскости zq оптимальной фоку™
сировки zq = 2zk + I B/n — 1). При Zk = 0 (входная поверхность нели™
нейного слоя находится в начале координат) zq = I B/n — 1). При п « 1,5
имеем zq « 0,51, т.е. фокусировать рассеянный свет следует примерно
в середину нелинейного слоя.
122 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
Важно, что при z = zq (т.е. при /3 = 0) волновой фронт обращенного
поля наиболее близок к комплексно-сопряженному волновому фронту
рассеянного (т.е. вышедшего из аберратора) поля. Из B.139) при /3 = 0
следует:
т.е. функция разброса имеет минимальную ширину и действительна. На
языке отклика на импульсное световое воздействие это означает, что
в плоскости оптимальной фокусировки изображение точечного свето-
светового источника Г (р, 0) имеет минимальные размеры и не имеет фазовых
искажений.
Для того чтобы восстановить первоначальное (неискаженное) изобра-
жение, специальной оптической системой следует перенести изображе-
ние из плоскости z® (плоскости оптимальной фокусировки) в ту плос-
плоскость, где находится тонкий аберратор.
Если /3 Ф 0, то у восстановленной (например, плоской) волны по™
явится дополнительный фазовый набег, зависящий от направления ее
распространения, т.е. появятся искажения изображения.
К вопросу об однопроходовых схемах ТВВ-ОВФ. Традиционные
схемы ТВВ-ОВФ являются двухпроходовыми, так как для снятия ис-
искажений, внесенных аберратором, обращенную (разностную) волну
необходимо вновь пропустить через тот же аберратор, по той же неод-
неоднородной трассе, по которой прошла первоначально неискаженная
(сигнальная) волна. Такой метод, очевидно, предполагает, что неодно-
неоднородности аберратора за время прохода волны через преобразователь не
меняются во времени (приближение так называемой «замороженной»
неоднородности аберратора). Сам метод, как и последнее требование,
естественно, сужают области применения метода ТВВ-ОВФ.
Рассмотрим случай, когда плоская волна накачки с амплитудой А%®
прежде, чем попасть в преобразователь, проходит через тот же аберратор,
через который проходит и сигнальная волна А\ (р), несущая информацию
(изображение). Здесь принципиально важно, чтобы аберратор был тон-
тонким, т.е. чтобы дифракционное расплывание фазовых неоднородностей
не привело к амплитудной модуляции, которая уже не может быть ском-
пенсирована этим методом. Итак, на выходе тонкого аберратора с функ-
функцией аберрации (р(р) амплитуды полей накачки и сигнала будут иметь
вид соответственно
Ат exp \j(p (р)] и Аг (р) exp [j> (p)]
(напомним, что полезная информация заложена в комплексной ампли-
амплитуде сигнала А\{р), а экспоненциальный множитель описывает фазовые
искажения, вносимые аберратором). Рассматривая для простоты прибли-
приближение заданных полей сигнала и накачки и в пренебрежении дифракцией,
сносом и расстройкой из B.96) получаем, что
А2 (р, I) = -j(T2lA\ (р) А30 exp [-j<p (p)] exp [j> (p)} = -ja2lA\ (p) А30.
B.140)
§2.8
Практические схемы ТВВ-ОВФ
123
Таким образом, поперечное распределение комплексной амплитуды
разностной волны на выходе нелинейного преобразователя с точностью
до постоянного множителя совпадает с аналогичным (только комплекс-
комплексно-сопряженным) распределением амплитуды сигнальной волны, несу™
щей изображение. В формуле B.140) пропорциональность амплитуды
А2 именно комплексно^сопряженной волне А* значения уже не имеет.
Заметим, что расстояние от аберратора до преобразователя должно быть
небольшим по той же причине, по которой аберратор должен быть тон-
тонким.
Однопроходовые схемы были предложены в [13]. Там же отмечалось,
что такие схемы перспективны в случае, когда в аберраторе имеют место
процессы самовоздействий, при наличии которых двухпроходовые схемы
вообще не работают.
§ 2.8 Практические схемы ТВВ-ОВФ
Принципиальные оптические схемы ТВВ-ОВФ были представлены
ранее, там же обсуждались их достоинства и недостатки. Ниже мы обсу™
дим конкретные практические схемы ОВФ при ТВВ.
14
15
Рис. 2.16. 1 — лазер; 2 — нелинейный кристалл LiNbOs; 3 — поляризационная
призма; 4, 5, 12, 14, 17 — линзы; 6, 7, 8, 16 — зеркала; 9 — объектив; 10, 15 —
призмы; 11 — аберратор; 13 — нелинейный кристалл ОВФ 1 = 4 см, а - НЮз;
18 — транспарант; 19 — ЭОП
На рис. 2.16 представлена схема физического эксперимента по ОВФ
в квадратично-ыелинейных кристаллах, осуществленная авторами [14].
Лазер G) на АИГ с неодимом генерирует излучение на одной основной
124 ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии Гл. II
поперечной моде, которое удваивается по частоте в нелинейном кристал-
кристалле B) из ниобата лития (взаимодействие типа «оое»). Поскольку излу-
излучения основной (ш) и второй Bа;) гармоник поляризованы взаимно пер-
перпендикулярно, они могут быть разделены поляризационной призмой (8)
по двум разным направлениям. Пучок второй гармоники Bа;) проходит
к объективу D, 5), который фокусирует этот пучок во второй нелинейный
кристалл из а-НЮз A3). Пучок основной частоты (о;) направляется приз™
мами (8, 10) и зеркалами F, 7, 8) в тот же кристалл A8); при этом этот
пучок проходит через тонкий фазовый аберратор A1), в котором вол-
волновой фронт пучка искажается, так что пучок перестает быть плоской
волной. Искаженный пучок фокусируется объективом A2) в нелинейный
кристалл A8). Взаимодействие вида «оее» прямых волн ш и 2ш разных
поляризаций в кристалле A8) приводит к генерации разностной волны ш
с «е»-поляризацией, распространяющейся под углом к волне накачки.
Разностная волна имеет волновой фронт, комплексно-сопряженный вол-
волновому фронту исходной волны той же частоты ш (но с другой поляри-
поляризацией); такое ОВФ в кристалле с ТВВ происходит только для попереч-
поперечной составляющей волнового вектора. Для обращения его продольной
составляющей используется система из призмы полного внутреннего от-
отражения A5) и зеркала A6). Разностная волна с полностью обращенным
волновым фронтом снова проходит через кристалл A3), отражается от
зеркала G) и проходит через аберратор A1). При этом (после прохо-
прохождения через аберратор) восстанавливается первоначальный (исходный)
плоский фазовый фронт.
Если на пути исходной квазиплоской волны поставить прозрачный
транспарант A8), то исходный пучок будет нести изображение транспа-
транспаранта. После первого прохождения аберратора изображение исказится
(на него «наложится» функция аберрации). В нелинейном кристалле A8)
изображение переложится на разностную волну, а после прохождения
последней через аберратор в обратном направлении произойдет снятие
искажений и восстановление неискаженного изображения транспаран-
транспаранта A8). Наблюдение восстановленного изображения может быть осуще-
осуществлено с помощью ЭОП A.9); поскольку поляризации исходной (сигналь-
(сигнальной) и разностной волн различны, то призма-поляризатор A0) пропустит
разностную волну на зеркало (8), линзу (9) и на ЭОП A9).
В работе [14] был реализован коэффициент преобразования К® «
«1 и разрешающая способность около 8 линий на 1 мм (теория дает
0,8 и 7 лин/мм соответственно при Б2Ш = 1,7 • 105 Вт/см2, а = 1,5 х
х 1СГ5 см2). В качестве неоднородной среды-аберратора использовалась
плоскопараллельная стеклянная пластинка, протравленная в плавиковой
кислоте. Степень искажения волнового фронта аберратором оценивалась
в контрольном эксперименте, в котором зеркало G) устанавливалось нор-
нормально к лучу исходной (сигнальной) волны частоты ш, так что пучок,
несущий информацию об изображении транспаранта A8), дважды про-
проходил через аберратор.
§2.8 Практические схемы ТВВ^ОВФ 125
Эксперименты работы [14] показали, что система компенсации иска™
жений волнового фронта на базе ТВВ в квадратично-нелинейном кри-
сталле позволяет осуществить восстановление исходного поля при попе-
поперечных неоднородно стях аберратора порядка 0,1 мм и фазовых набегах
до 2тг. Естественно, что при уменьшении длины I нелинейного кристал™
ла эти характеристики могут быть улучшены, а получение необходимо™
го коэффициента преобразования может быть достигнуто увеличением
плотности мощности накачки S^.
Поскольку в этой работе 7^Х ~ 0,01см, а = 1,5 • 10^5см2, то ве-
личина (aj2)^1 « 7. При этом, согласно теоретическим зависимостям
(см. рис. 2.15), например, для случая а = Б (амплитуда флуктуации фазо-
вого набега меньше 2тг) имеем для коэффициента восстановления г « 0,5.
Отметим, что авторам этой работы пришлось найти оптимальную
геометрию лучей накачки и сигнальной и разностной волн в нелинейном
кристалле. Поскольку для пространственного разделения пучков целе-
целесообразно использовать векторный синхронизм [2], то авторы рассчита-
рассчитали угловые перестроечные характеристики взаимодействия «оее» в кри-
кристалле а-НЮз в зависимости от угла ф между волновыми векторами
накачки к| и сигнала к^; при этом оказалось, что допустимая угловая
расстройка этого угла (величина Аф)9 равная примерно 0,8°, реализуется
именно при векторном синхронизме для ф « —1,7°.
Попутно заметим, что использование задающего лазера на АИГ с неоди-
неодимом позволило осуществить весь процесс на частоте 25 Гц (возможно повы-
повышение частот до 100-150 Гц), т.е. практически в квазинепрерывном режиме.
Определение разрешающей способности (лин/мм) может быть осу-
осуществлено фотометрированием края восстановленного изображения.
Еще раз подчеркнем, что для эффективного восстановления волново-
волнового фронта необходимо, чтобы информация, переносимая световым пуч-
пучком, содержалась в пространственных модах, пространственный спектр
которых попадает в полосу преобразователя [12].
Нетрудно видеть, что в этой работе была использована схема (рис. 2.17 а),
принципиально обсужденная ранее. В принципе нетрудно представить себе
схему, эквивалентную представленной на рис. 2.17 6, где одновременно
происходит «снятие» фазовых искажений, вносимых самим нелинейным
ОВФ-кристаллом. «Специальное» зеркало F) полностью пропускает из-
излучение накачки Bа;) и полностью отражает излучение на частоте ш. Эта
схема является двухпроходовой, т.е. для компенсации искажений, вноси™
мых в изображение аберратором, необходим двойной проход излучения
через аберратор. Зеркало F) одновременно обращает и продольную
компоненту волнового вектора. Достоинства и недостатки этой схемы
очевидны: сигнальная волна на частоте ш° перед ОВФ проходит через
нелинейный кристалл G), так что на нее накладываются и искажения,
вызванные неоднородностями этого кристалла, а обращенная волна на
той же частоте, но с другой поляризацией (ше), на обратном проходе
эти искажения (кристалла) снимает, как бы не замечая неоднородностей
в самом кристалле — это достоинство; недостатком является наличие
126
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
дополнительной обратной связи на частоте w° за счет дополнительного
связанного резонатора, образованного выходным зеркалом лазера (I)
и зеркалом F); наличие в этом резонаторе транспаранта A3) и аберратора
A1) может исказить волновой фронт излучения лазера. Вместе с тем,
простейшие меры (использование векторного синхронизма при гене™
рации вырожденной разностной частоты), как показано на рис. 2.17 6,
позволяют устранить этот недостаток за счет пространственного раз™
12
7
8
13
10
11
Рис. 2.17. 1 — лазер; 2 — нелинейный кристалл; 3, 10 — поляризац. призма; 4, 5,
8 — линзы; 6 — спец. зеркало; 7 — нелинейный кристалл ОВФ; 9, 12, 14 — зеркала;
11 — аберратор; 13 — транспарант; 15 — объектив; 16 — ЭОП; 17 — измеритель
энергии (мощности) или поглотитель
деления лучей. Использование поглотителей A7) позволяет устранить
использованные лучи сигнала и накачки. Отметим, что специальное зер-
зеркало F) часто в литературе называют параметрическим, так как именно
такие зеркала используются в параметрических генераторах света.
Попытаемся представить себе гипотетическую однопроходовую ТВВ-
ОВФ схему (рис. 2.18). В основных чертах она совпадает с ранее рассмо-
рассмотренными схемами. Отличие состоит в том, что через аберратор (8) здесь
§2.8
Практические схемы ТВВ-ОВФ
127
проходят обе волны — накачка и сигнал, однако сигнальная волна предвари-
предварительно с помощью системы из двух поляризационных призм C, 4) и зеркал
E, 6) пропускается через транспарант G), создающий полезное изображение.
В дальнейшем призма (.9) вновь разделяет пучки накачки и сигнала, которые
15 16
Рис. 2.18. 1 — лазер; 2, 11 — нелинейные кристаллы; 3, 4 — поляризаторы; 5, 6, 10,
13, 18, 19 — зеркала; 7 — транспарант; 8 — аберратор; 9, 14 — призмы Глана; 12,
15 — линзы; 16 — измеритель энергии (мощности)
взаимодействуют в нелинейном кристалле A1), где реализуется вычитание
функции аберрации с переложением полезного изображения, свободного от
искажений аберратора, с сигнальной волны на разностную (эффект «кросс™
модуляции»). Поскольку разностная и сигнальная волны поляризованы ор™
тогонально, то призма A4) пропускает разностную волну на ЭОП A6), где
с помощью объектива A5) наблюдается восстановленное изображение.
Несмотря на гипотетичность и сравнительно условную практическую
полезность схемы рис. 2.18, следует отметить перспективность предло-
предложенного в [ 13] метода однопроходового ОВФ с точки зрения возможности
управления операцией комплексного сопряжения за счет модуляции (про-
(пространственной, временной) волны накачки (заметим, что в этой работе
предложенный метод обсуждался применительно к четырехволновому
ОВФ).
Таким образом, однопроходовые схемы ОВФ имеют следующие пре™
имущества:
— не требуется двойного прохода волн, несущих информацию, через
аберратор;
— нет ограничений на временные параметры флуктуации неодно-
неоднородности аберратора;
— в определенных условиях в таких схемах может быть скомпенси-
скомпенсировано влияние различного рода самовоздействий.
128
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
В схеме, подобной изображенной на рис. 2.18, но для четырехволново™
го взаимодействия с ОВФ (ЧВВ-ОВФ), авторы [13] в качестве аберратора
использовали как матированную
стеклянную пластинку, ухудшаю-
ухудшающую расходимость более чем на
порядок, так и пластинку из арсе™
нида галлия толщиной 5 мм, в ко™
торой наблюдались эффекты са-
самовоздействия (самофокусировки
с нелинейным фокусным расстоя-
расстоянием около 45 см).
Недостатком однопроходовых
схем является очевидное увеличе-
увеличение расходимости накачки после
аберратора и за счет этого — неко-
некоторое уширение функции разброса
преобразователя (и, следовательно,
ухудшение контраста и разрешаю-
разрешающей способности).
Использование векторного син-
синхронизма, общая схема которого
Рис. 2.19
дана на рис. 2.19 (см. [2]), позволяет реализовать весьма перспектив™
ную практическую схему мощного лазера с ОВФ, представленную на
рис. 2.20.
Выходное
излучение
Квадратично-
нелинейная
среда
Это схема лазерной адаптивной системы, позволяющей получать
мощное излучение с высокими когерентными свойствами (на основе
§2.9 Угловые характеристики ТВВ-ОВФ 129
трехволнового взаимодействия в нелинейной среде). Излучение часто™
ты ш от маломощного лазера разделяется светоделительной пластиной
СП-1 на два луча. Интенсивный луч проходит сквозь пластину, уси-
усиливается и возбуждает в нелинейном кристалле вторую гармонику
(световую волну частоты 2а/). Через зеркала 3± и З2 (отражающие на
частоте ш и прозрачные на частоте 2ш) вторая гармоника проходит
в нелинейную среду, где и реализуется трехволновое взаимодействие
(это есть опорная волна Е\ с частотой 2ш и волновым вектором ki).
Световой пучок, отражаемый от пластины СП-1, затем частично отра-
отражается от пластины СП™2, проходит через систему усилителей и после
зеркала З2 возвращается в нелинейную среду (это — световая волна Еч
с частотой ш и волновым вектором кг). Взаимодействие волн Е\ и Еч
приводит к появлению в нелинейной среде переизлученной световой
волны Е$ с частотой ш и волновым вектором кз (кз = ki — кг). Волна
Е$ распространяется навстречу волне, идущей от СП-1 через систему
усилителей; волна Е% имеет по отношению к ней обращенный фронт
и поэтому снимает искажения, вносимые усилителями. В результате из
системы выходит усиленное излучение на частоте ш, имеющее в то же
время практически идеальный волновой фронт.
§ 2.9 Угловые характеристики ТВВ-ОВФ
Процесс ГРЧ в вырожденном (ш\ = Ш2 = с^з/2) режиме удовлетво™
ряет условию синхронизма (мы ограничиваемся случаем отрицатель™
ных одноосных кристаллов): ki + k2 = k3, где |ki| = шп\/с, |k2| =
= ШП2/С, Iкз | = 2шп%/с. Для взаимодействия типа «оое» имеем ni = П21
для «оее»-взаимодействия коэффициенты преломления ni^ различаются
вследствие анизотропии. Ниже мы рассмотрим угловые характеристик
ки (углы синхронизма и ширины углового синхронизма, определяющие
полосу преобразователя) для разных типов взаимодействия.
Взаимодействие «оое». Угол коллинеарного синхронизма в^ов (син-
(синхронизм для вырожденной ГРЧ совпадает с таковым для ГВГ) выража™
ется формулой:
где п\о = П2О — коэффициент преломления обыкновенной волны на
частоте ш9 п%о — то же на частоте 2ш, п%е — главное значение показателя
преломления необыкновенной волны на частоте 2ш.
Общий случай векторного синхронизма показан на рис. 2.19. В общем
случае вектора к^ образуют с оптической осью z1 кристалла разные плос-
плоскости, повернутые относительно кристаллографической оси кристалла у'
на углы (fi.
Условие векторного синхронизма имеет вид
9 В. Г. Дмитриев
130
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
где фг = в3 — 6ь Ф2 = в2 — В3; для «оое»-взаимодействия фг = ф2 = Ф,
п1о = п2о- Величина rig есть функция угла Вз и описывается формулой
эллипса:
где ез — эксцентриситет эллипса,
Отсюда определим cos ^ :
= 1 —
cos-0 =
П1оу/1 - ?3 COS2 в3
Итак, для данного направления плоской волны накачки, определяе-
мого углом вз, существуют два и только два направления, по которым
могут распространяться волны сигнала и разностной частоты; эти две
волны в векторном синхронизме при «оое>ьвзаимодействии различаются
лишь по направлениям, в то время как в коллинеарном синхронизме они
вообще неразличимы.
Ширину центрального максимума определим по уровню 0,5 интен-
интенсивности (в приближении заданных полей накачки и сигнала и ко длине™
арного синхронизма): sine (AqI/2) = 0,5, откуда для ширины централь™
ного максимума получим 2 |А0| « 5,56/1.
Нам необходимо выразить расстройку в угловых координатах; для
этого используем разложение параметра расстройки по степеням малого
отклонения от угла синхронизма в — вс (для плоскости синхронизма):
дА
в=вс
+ 2
д2А
в=вс
Учтем, что А(вс) = 0, и введем угловые дисперсионные коэффици™
енты первого и второго порядков:
7i =
дА
72 =
д2А
т.е. ограничимся членами порядка не более второго; тогда
А (в - вс) « 7i (в - вс) + 72 (в - всJ ,
и, следовательно,
До (в - вс) = ±2,78// = 7i (в - ЭсH + 72 (в - всJ0 ,
§2.9 Угловые характеристики ТВВ-ОВФ 131
откуда для угловой ширины центрального максимума получаем
± (в - всH = лЬ? ± 472 |Ло| - 71 B7:
При достаточно большом удалении вс от тг/2 величиной 72 можно
пренебречь (так называемый критичный синхронизм), т.е.
2 (в - всH = 2 | До|/71 = 5,56/Gi0- B-141)
Наоборот, при вс = тг/2 имеем 71 = 0 (некритичный, или касатель-
касательный, синхронизм), так что
± (в - всH = у/\А0\/-Г2 = л/2,78/G20- B.142)
Сравнивая B.141) и B.142), видим, что угловая ширина преобразо-
преобразования при 90°-ном (некритичном) синхронизме гораздо шире, чем для
критичного.
Величина 7i°e равна (для коллинеарного синхронизма):
а величину 7l°e необходимо рассчитывать численно.
Взаимодействие «оое». Угол коллинеарного синхронизма:
—, где ei = 1 - (nio nie) , г = 1,2.
з -nioei
Дисперсионный коэффициент коллинеарного синхронизма первого
порядка:
оее
7Г =
/ nlonle (n\o - п\е) %п3оп3е (njo - nle)
2 _(rJ _ „2
lo \nlo П1е
3o \ПЗо ПЗе)
Углы векторного «оее»-синхронизма могут быть найдены из системы
уравнений:
(fc2oJ = {
Для оценки ширины преобразования по углу мы пользовались здесь
функцией sine2 (AI/2). Вообще говоря, эта функция годится для ГВГ
в приближении заданного поля основного излучения. Для вырожденной
132
ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии
Гл. II
ГРЧ в приближении заданных полей сигнала (ш) и накачки Bа;) амплитуда
разностной частоты Si удовлетворяет уравнению
= A-Jfr
Л/2
B.143)
/ = А/(а1л/а2оазо), С = ^1 \/а2оазо^ откуда вид-
но, что Si (?) имеет более сложную, чем sine (AI/2), зависимость. Вме-
Вместе с тем, можно с помощью численного решения B.143) показать, что
возникающие при этом ошибки невелики, и для приближенных оценок
ширины полосы преобразования можно все же пользоваться функцией
sinc(AZ/2).
Векторный синхронизм при вырожденной ГРЧ может дать некоторые
новые свойства преобразователю. При векторном синхронизме имеем
= k3.
Теория ГРЧ в вырожденном режиме позволяет найти зависимости
углов 01, 02 (характеризующих направления сигнала и накачки относи-
относительно оси z') от угла ©з, под которым распространяется плоская волна
©12 Ji
в
Рис. 2.21
накачки. Эти зависимости качественно представлены на рис. 2.21. Точ-
Точка М соответствует случаю коллинеарного вынужденного синхронизма,
при котором ©1 = ©2 = ©|ол. В области углов Вз < В|ол синхронизм для
Угловые характеристики ТВВ-ОВФ 133
вырожденной ГРЧ вообще отсутствует, при Вз> 6з°л имеется только век™
торный синхронизм. Данному значению вз соответствует одна и только
одна пара значений Bi, В2; например, значению О3 соответствует пара
/-\@) ^@) т, л
щ , щ • Угол "ь соответствующий волновому вектору одной из пара™
метрических волн, лежащему ближе к оптической оси, чем вектор накач™
ки, может заходить в область 0i < 0§ол. Для В2 всегда имеем В2 > 6§ол.
Напомним, что ось z в нашем случае всегда совпадает с направлением
распространения плоской волны накачки, т.е. всегда Вз = zz!
Если угловой спектр сигнала (пусть сигналу соответствует ©2, напри™
мер) составляет некоторую величину вблизи угла ©2 , равную ДВ2, то
эффективное преобразование всего этого спектра в разностную частоту
(РЧ) возможно только в двух случаях: 1) если АВ2 меньше угловой шири-
ширины центрального максимума кривой синхронизма ГРЧ при плоской волне
накачки, распространяющейся под углом Bg ; 2) если спектру сигнала
АВ2 может быть сопоставлен эквивалентный спектр накачки АВз (это
необходимо при АВ2, большем, чем ширина центрального максимума);
тогда спектр АВ2 сигнала преобразуется в спектр ABi РЧ в точном син-
синхронизме. Нетрудно видеть, что во втором случае в силу нелинейности
и разного наклона кривых ©1,2F3) ширины исходного (Д62) и преоб-
разованного (A@i) спектров различны (ABi < AB2); таким образом,
преобразователь в РЧ работает как своеобразный трансформатор уг-
углового спектра. Уменьшение ширины углового спектра, вообще говоря,
соответствует увеличению поперечных размеров луча (изображения). Уг-
Угловой спектр АВз может быть создан в нелинейном кристалле, например,
фокусировкой накачки. Неудачная ситуация с преобразованием спектров
возникнет в случае, когда при векторном синхронизме угловой спектр РЧ
попадает на участок кривой ©1(@з) с горизонтальной касательной (этот
случай показан на рис. 2.21 для углов В^1 , В;,1 , б| ; спектр РЧ в этом
случае может оказаться искаженной трансформацией спектра сигнала,
а изображение на РЧ — искаженным, сильно увеличенным и размытым.
В заключение этой главы отметим, что многие характерные свойства
ОВФ^ТВВ преобразователей сохраняются и при переходе к четырехвол-
новым взаимодействиям (ОВФ-ЧВВ), обсуждаемым в следующей главе.
ГЛАВА III
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ
ВЫРОЖДЕННОМ ЧЕТЫРЕХВОЛНОВОМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В КУБИЧЕСКИ-НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
§3.1 Общие соображения по ОВФ при
четырехволновом взаимодействии. Различные
поджоды к рассмотрению проблемы
Комплексно-сопряженное поле может быть получено при четырехвол-
новом взаимодействии (ЧВВ) в кубически-нелинейных средах. В таких
средах вектор диэлектрической поляризованное™ имеет вид [1,2]
Р = ж0Е + 8ЕЕЕ,
где жив — тензоры линейной и кубической, соответственно, восприим-
чивостей. Расматривая для простоты вырожденный режим, в котором все
четыре волны имеют одну и ту же частоту ш, для диэлектрической поляри-
зованности на частоте ш, вызванной кубической нелинейностью, получаем,
в частности:
что соответствует процессу ш + и — ш —>> ш (напомним, что в процессе ТВВ
в квадратично-нелинейной среде аналогично было 2ш — ш —>> а;). В общем
случае все четыре волны различны по направлениям (и, вообще говоря, по
волновым векторам).
Предположим, что на кубически-нелинейную среду падают две про™
странственно-одыородные (по поперечным пространственным координа™
там) опорные световые волны Е\ и Е^ с одинаковой частотой ш; волновые
векторы ki и к2 этих волн направлены в противоположные стороны. Если
на такую среду направить также световую волну Е$ с пространственно-
неоднородным полем, частотой ш и волновым вектором кз, то в среде
на частоте ш появится волна поляризованности с амплитудой, пропор-
пропорциональной Е\Е2Е1. Наличие комплексно^сопряженной амплитуды Е?
отражает тот факт, что пространственная структура волны поляризован™
ности имеет волновой фронт, обращенный по отношению к фронту ис™
ходной волны 1^з. Распространяясь в среде, волна поляризованности пере™
излучит световую волну Е^. Волна 1^4? как и волна поляризованности, будет
иметь частоту ш и волновой фронт, обращенный по отношению к фронту
волны Е$, причем переизлученная волна будет распространяться навстречу
волне Е%. Действительно, ее волновой вектор к4 связан с другими волно-
волновыми векторами соотношением ki + k2 = k3 + k4; поскольку ki = ^k2,
то кз = ^к4.
§ 3.1 Общие соображения по ОВФ при ЧВВ 135
Расположение векторов показано на рис. 3.1. Процесс четырехволно-
вого взаимодействия в кубической среде в вырожденном режиме мы бу-
будем называть четырехволновым вырожденным взаимодействием (ЧВВ).
Часто употребляются также термины «четырех™
волновое параметрическое вырожденное взаимо- к3
действие» (ЧПВВ), «четырехволновое смешение»
(ЧВС).
Сразу отметим, что в отличие от ТВВ, процесс
ЧВВ не требует специальных мер по выполнению
условий фазового синхронизма. Действительно, ку-
кубическая нелинейность свойственна всем изотропным Ж4
средам—изотропным твердым телам (стеклам, пласт- рис 3 \
массам и пр.), газам, жидкостям; поэтому в таких сре-
средах при равенстве частот всех четырех волн волновые векторы по модулю так™
же равны. При наличии встречных волн Е\ и Е2 для волны Е^, направленной
в любом произвольном направлении, всегда найдется волна Е±, замыкающая
ромб (рис. 3.1) и распространяющаяся строго навстречу волне Е^, т.е., тем
самым, находящаяся в синхронизме.
Итак, поскольку при ЧВВ условие синхронизма выполняется всегда, т.е.
поскольку для всех пространственных составляющих сигнальной волны Е%
всегда найдется комплексно-сопряженная ей волна Е±9 то такой четырех-
волновый преобразователь уже не является узкополосным пространствен-
пространственным фильтром, как в случае ТВВ. Его полоса пространственных частот, та-
таким образом, весьма широка, точнее, она определяется только его апертурой
(поперечными размерами), как и в случае отверстия в экране (см. гл. 1).
Весьма важным и интересным является вопрос о механизме кубической
нелинейности среды; однако, наиболее существенно именно само наличие
кубического отклика поляризованное™ Р на поле Е. Это может быть и кер-
ровская нелинейность (эффект Керра есть появление нелинейной добавки
к коэффициенту преломления, пропорциональной квадрату электрическо-
электрического поля волны — в данном случае это так называемый «высокочастотный»
эффект Керра [3D, либо кубическая нелинейность электронной поляризуе-
поляризуемости, либо другие эффекты, зависящие от поля квадратично (для коэффи-
циента преломления) или, что то же, кубично — для поляризованности.
Итак, 1-я компонента вектора кубической поляризованности может быть
записана в виде
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам j9 к, L
В частности, две встречные плоские волны (их можно назвать опорны-
опорными) вида [Ei exp (jkz) + Е2 exp (—jkz)] exp (—jut) и волна сигнала, несу™
щая изображение вида Ез (г) exp (—jut), наводят в среде поляризованность
вида
Pi (ш) -> егзк1Е1,Е2кЕ;1 (г) exp (-jut), C.1)
где г — радиус-вектор (в полном выражении для поляризованности присут-
присутствуют также и другие члены, но нас интересует в первую очередь слагаемое
136 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
вида C.1)). Это слагаемое, являясь «вынуждающей» силой в волновом урав-
нении [1,2], возбуждает во всем объеме обращенную (по отношению к Ез)
волну на той же частоте ш. Заметим, что здесь, в отличие от ТВВ, про-
процесс ОВФ идет полностью, т.е. обращаются одновременно и поперечные,
и продольная составляющие волнового вектора сигнальной волны.
Процесс ОВФ-ЧВВ можно рассмотреть и с «голографической» точки
зрения. Взаимодействие волн Ei и Е3 (г) приводит к появлению нелиней-
нелинейной добавки в диэлектрической восприимчивости вида
Дх13 (г) = GEjE* (г) = QA,Л* (г) exp [j (k3 - kx) r] C.2)
(эта величина постоянна в том смысле, что она не зависит от «быстрых» пе-
переменных поля, входящих в экспоненциальный член вида exp j (out — кг),
и появилась вследствие того, что в кубически-нелинейной среде диэлек-
диэлектрическая восприимчивость зависит от поля квадратично):
к = к0 + BEE.
Добавка к постоянной части восприимчивости, вызванная кубической
поляризованностью среды, равна
Ак = ж - щ = BEE*. C.3)
Это — не что иное, как самовоздействие светового поля в кубически-
нелинейной среде. Из C.3), в частности, следует C.2).
Таким образом, из C.2) следует, что одна из плоских опорных волн,
например Ei, и неоднородная (несущая информацию или изображение)
волна Ез (г) через механизм кубической нелинейности записывают «го™
лограмму» в виде неоднородного по пространству распределения добавки
C.2) к диэлектрической восприимчивости (или, иными словами, простран-
пространственного распределения добавки к коэффициенту преломления). Эта го-
голограмма в случае электронной кубической нелинейности является чисто
фазовой («записаны» неоднородности действительной части коэффициен-
коэффициента преломления); если же среда является фоточувствительной (фотопленка
или объемная среда с фоточувствительным красителем), то после прояв-
проявления (или другой соответствующей процедуры) голограмма оказывается
записанной в амплитудном распределении.
«Считывание» записанной информации может быть проведено встреч-
встречной плоской опорной волной, например Е2; восстановленная волна Е4
будет порождена диэлектрической поляризованностью вида
i А* (г) Е2 exp[j (k3 - kx) r] =
= х0Е2 + Beie3Ai^ (г) Е2 exp[j (k3 - kx) г] =
= е2 \к0 + ёеге3АгА1 (г) ^2exp[j (out - k4r)],
где е^ — единичные векторы поляризации волн.
§ 3.1 Общие соображения по ОВФ при ЧВВ 137
Таким образом, восстановленное поле имеет вид
Е4 - e2Beie3AiA2Al (r) exp[j (ut - k4r)],
и так как волны Ei52 — плоские и вектор к4 направлен строго противопо™
ложно кз, то восстановленное поле имеет пространственное распределение
амплитуды, комплексно-сопряженное исходному полю Ез, т.е. поле Е4 есть
обращенное (по отношению к Ез) поле.
Точно так же можно рассмотреть «запись» голограммы изображения
Ез (г) при взаимодействии полей Е2 и Ез (г):
Ах23 (г) = ёе2е3А2А1 (г) exp [j (k3 - k2) r].
При считывании волной Ei возникают добавка к поляризованности
АР = eiee2e%A1A2Al (r) exp [j (out ~~ k4r)]
и обращенное поле Е4.
В дальнейшем вместо тензора в будем использовать общепринятое обо™
значение %C).
Таким образом, любая из плоских встречных волн (Ei или Ег) мо~
жет быть опорной «записывающей» или «считывающей»; «считывающей»
волне безразлично, каким образом записана голограмма в нелинейной ере™
де — за счет Ак^ (г) или Ак2% (г).
Итак, мы рассмотрели принцип ЧВВ-ОВФ с «нелинейной» точки зре-
зрения и на «голографическом» языке; к последнему следует добавить, что
речь здесь идет о так называемых динамических голограммах, которые
существуют только при наличии полей Ei (или Е2) и Е3 (г) и исчезают
при выключении полей. Обычные голограммы являются стационарными,
статичными, поскольку информация в них записывается в фотослое, ре-
реагирующем на интенсивность, причем амплитудно-фазовая информация
записана в форме интерференционной картины, проявляющейся после со-
соответствующей химической обработки фотослоя. Эта интерференционная
картина может быть записана в фотослое амплитудным образом (за счет
почернения фотослоя) либо фазовым образом (за счет изменения коэффи-
коэффициента преломления среды). Для динамической голографии могут быть ис-
использованы среды типа затемняющихся или просветляющихся красителей,
фотохромных стекол и вообще любых сред, в которых диэлектрическая
восприимчивость зависит квадратично от поля (к последним, естествен-
но, относятся и кубически-нелинейные среды). Впервые динамические го-
голограммы в растворах красителей были продемонстрированы советскими
учеными Б.И. Степановым, Е.И. Ивакиным, А.С. Рубановым в 1970 г. [4].
Наряду с «нелинейным» и «голографическим» рассмотрениями ОВФ-
ЧВВ, можно использовать «параметрический» («модуляционный») язык. Дей-
Действительно, для смешения частот и получения обращенной волны нет необ-
необходимости (во всяком случае, принципиальной) использовать нелинейные
среды; достаточно иметь среду, один из параметров которой модулирован во
138 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
времени (другое дело, что трудно себе представить, каким образом промоду™
лировать параметр среды, например коэффициент преломления, на оптиче-
ской частоте иначе, чем с помощью нелинейности; однако, в радиодиапазоне,
на низких частотах, это можно делать даже механическим путем).
В кубически-нелинейной среде возникает добавка к диэлектрической
проницаемости, пропорциональная квадрату напряженности электрическо-
электрического поля; в том числе, при взаимодействии двух плоских встречных волн
одинаковой частоты ш возникает модуляция диэлектрической восприимчи-
восприимчивости на удвоенной частоте
к (Е) = щ +
= к0 + 2ХC)АгА2 exp (-j2wt) + ...
Отклик среды, один из параметров которой модулирован во времени, на
некоторую зондирующую («пробную») волну Е3 (г) определяется поляри-
зованностью (уже линейной!) среды на частоте ш:
= щЕ3 (г) + 2ХC)А1 A*3A2 exp [-j (out + k3r)] + ... ,
т.е. возникает и обращенная по фазе (по отношению к волне Ез (г)) волна
Е4 (напомним, что к3 = — к4).
Таким образом, процесс четырехволнового параметрического взаимо-
взаимодействия в кубически-нелинейной среде и процесс ОВФ-ЧВВ можно рас™
сматривать и обсуждать с любой удобной для читателя точки зрения: «нели-
«нелинейной» (возникновение нелинейной поляризованное™), «параметриче-
«параметрической» или «модуляционной» (временная модуляция линейной восприим-
восприимчивости на удвоенной частоте), «голографической» (запись динамической
«голограммы» и ее последующее считывание).
Рассмотрим принципиальную схему ОВФ-ЧВВ. Геометрия волновых век™
торов для этой схемы изображена на рис. 3.1. Из рассмотрения схемы на
рис. 3.2 и вышеприведенных формул ясно, что опорные волны Ei?2 должны
быть плоскими (или сферическими) или, дру™
Нелинейная среда гими словами, волнами высокого дифракци-
„ I I „ онного качества, а также достаточно большой
^ги ' 2 мощности (последнее — из-за малости вели-
величины х^)- Только в этом случае наблюдается
«чистый» и эффективный процесс ОВФ. Оче™
? видно, что если одна из волн Е\ ?2 (или, тем бо-
^3(г) лее, обе) является пространственжьнеоджь
рис з 2 родной, то эта пространственная модуляция
переложится на разностную волну Е±9 в ре-
результате чего процесс ОВФ исказится или прекратится вовсе. Исключение
составляет гипотетический случай, когда волны Е\ и Е2 сами являются
взаимно-обращенными по фазе, т.е. Е\ (г) = Е2 (г); в этом случае процесс
ОВФ сохраняет силу. Заметим, что встречные плоские волны всегда строго
§ 3.2 О возможности ОВФ на нелинейности среды произвольного порядка 139
обращены по фазе по отношению друг к другу. Учитывая, что волны Ei?2
являются встречными (т.е. k\z и kiz направлены навстречу друг другу),
можно сформулировать более общее условие существования чистого про-
процесса ОВФ: опорные волны Е\^ должны быть сопряжены по поперечным
составляющим волновых векторов, т.е. Е\ (р) = Е\ (р), где \р\ = х2 + у2.
Плоские встречные волны, очевидно, вполне подпадают под это условие.
Отметим также тот факт, что процесс ОВФ-ЧВВ (как и ОВФ^ТВВ) эф-
эффективно обращает не только пространственно-неоднородную, но и пло-
плоскую сигнальную волну. Это замечание нам понадобилось в связи с тем,
что другие методы ОВФ, описанные в следующих разделах книги и осно-
основанные на эффектах вынужденного рассеяния света, принципиально обра-
обращают только пространственно-неоднородные волны; для плоской волны
процесс ОВФ в этих случаях не имеет места. Мы обсудим причины этого
явления позже (см. также [5]).
§ 3.2 О возможности ОВФ на нелинейности среды
произвольного порядка
По аналогии с квадратично-нелинейной и кубически-нелинейной среда™
ми можно предположить, что процесс ОВФ световых волн возможен в сре-
средах с нелинейностью любого порядка. Этот вопрос достаточно подробно
исследован в работе [6].
Пусть на среду действует поле, состоящее из нескольких спектральных
компонент
E = ^2,Ai (r, z) exp[j (ujit - hz)} + к.с,
i
частоты которых удовлетворяют соотношению:
uji = О, ^ gj = g,
где qi — число волн с частотой oj^q — полное число взаимодействующих
частот, или, что то же, — ранг тензора нелинейной восприимчивости. Для
квадратично-нелинейной среды q = 3, для кубичной q = 4 и т.п. При этом
uji = ^ш^г, Е (иг) = Е* (а;_<). C.4)
Примем, что процесс ОВФ происходит без смещения частоты. Это озна-
означает, что в процессе нелинейного взаимодействия имеется две волны с оди-
одинаковой частотой (обозначим ее cjq), причем одна из них — падающая,
вторая — обращенная (на той же частоте); припишем этим волнам индексы
1, 2 соответственно. Для обращенной волны с амплитудой Ач в отсутствие
расстройки имеем укороченное уравнение:
140
ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах
Гл. III
где знак f| обозначает произведение амплитуд полей с индексами от еди-
i/2
ницы до q9 исключая 2, причем, в соответствии с частотным условием C.4),
если некоторая частота входит в это условие со знаком минус, у амплитуды
соответствующей волны следует ставить знак сопряжения.
Например, для квадратично-нелинейной среды, для которой выраже™
ние C.4) принимает вид а;з = 2uq9 величина произведения в C.5) примет
вид 2х^ А$А\. Аналогично, для кубичной среды имеем два случая а и б
(табл. 3.1).
Таблица 3.1
Частотное условие
Условие синхронизма
YI пропорционально
а
1 О
к3 + к4 = ki + k2
X{3)AlAsAi
б
Шз — Ш4 :=:: 2c<Jq
кз = ki + кг + к4
ХC)А\А3А1
Для среды с нелинейностью четвертого порядка одним из возможных
вариантов является случай, в котором шз + Ш4 + ш§ = 2wq, кз + к4 +
+ ks = ki + к2? П ^ X^^-i^-3^4.4^4.5 и т.п. По аналогии с приведенными
примерами можно утверждать, что процесс ОВФ вида C.5) может иметь
твв
ЧВВ
Ш2
00!
шо
Ш1
Л2)
Л3)
Л4)
Рис. 3.3
место в средах с нелинейностью любого порядка; заметим, что обращенная
волна на частоте ш® с амплитудой А2 рождается в процессе взаимодействия,
если, конечно, выполняются условия синхронизма. Представленные выше
примеры проиллюстрированы на рис. 3.3.
§3.3
Общие положения теории нелинейного ЧВВ
141
§ 3.3 Общие положении теории четырежволнового
нелинейного взаимодействия (уравнения
и интегралы движения)
Пользуясь традиционной методикой вывода укороченных уравнений
(см., например, [1, 2]) для четырехволнового взаимодействия вида ш4 =
= ш\ + Ш2 + о;з (случай 1) и a;i + Ш2 = ш%+ш4 (случай 2), причем волновые
векторы направлены по оси z, получим (см. также [7]):
А,.
C.6)
где
A1A2A3exp(-jAz)
А2А\Аг exp (jAz),
А2А*3Аг exp (jAz),
г = 2
г = 4
г = 1
i = 2
г = 3
г = 4
Случай 1,
C.7)
Случай 2,
г = 1-4, 71,2 — коэффициенты нелинейной связи, пропорциональные х^3\
А — волновая расстройка вида А = к\ + къ + к$ — к4 (случай 1) и А = к4 +
+ ^з ~ ^i ~ &2 (случай 2), Пг — показатель преломления на частоте ш^. Здесь
для простоты поляризации волн приняты одинаковыми, поэтому использо™
ваны скалярные величины. Напомним, что оператор Li в форме C.7) учи™
тывает (в квазиоптическом приближении) дифракцию, что является необ-
необходимым из-за фокусировки излучения в нелинейную среду, применяемой
вследствие малости х^-
В работе [8] получены интегралы системы уравнения C.6). Прежде
всего, это интегральные соотношения для мощностей взаимодействующих
пучков:
\Ai(x,y,z)\2 dxdy,
— оо —оо
142
ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах
Гл. III
или, другими словами, соотношения Мэнли-Роу:
^4^2 (z) + UJ2P4 {z) = COnst,
(z) + Ш3Р4 (z) = COnst,
(z) + Ш4Р1 (z) = const
C.8)
(знаки ± соответствуют случаям 1 и 2 соответственно).
Из C.8) следует, во-первых, очевидный закон сохранения полной мощ-
мощности взаимодействующих пучков:
J\ =
C.9)
Во-вторых, это закон сохранения поперечного импульса волновых пуч-
пучков:
-A?V±Ai) dxdy = const, C.10)
ii
%~L -00 — ex)
и, наконец, в-третьих, это интеграл:
4
Е;
- 7l
—00 —00
-72
^
C.11)
Здесь Vj_ = id/дх + j д/ду, где i, j — орты по осям ж, г/.
Использование интегралов движения C.9)—C.11) и введенных в [8] цен-
центральных моментов некоторой величины е, пропорциональной плотности
мощности взаимодействующих полей, где
? =
позволяет получить весьма полезную информацию о процессе взаимодей-
взаимодействия пучков и волн без расчетов уравнений на ЭВМ. В дальнейшем пола-
полагается А = 0.
Момент нулевого порядка от величины е есть величина, пропорцио-
пропорциональная полной мощности пучка:
^0 =
е (ж, |/, z) dx dy.
—00 —00
§ 3.3 Общие положения теории нелинейного ЧВВ 143
Момент первого порядка, нормированный на Мо, есть величина, имею-
имеющая смысл координаты «энергетического центра» пучков:
оо оо
Iff
Mi = — (ix+}y)e(x,y,z) dx
dy.
— оо —сю
Наконец, момент второго порядка, нормированный на Мо, имеет смысл
квадрата средней эффективной ширины пучков:
схэ ос
Iff
М2 = — (х2 + y2)e(x,y,z) dxdy.
М0 J J
— оо — оо
Используя C.6) и выражения для интегралов C.9)—C.11), можно пока™
зать, что имеют место следующие соотношения:
дМо/dz = О, Мо (z) = const,
т.е. мощность пучков в любом сечении постоянна; это естественно, так как
в C.6) нет членов с затуханием.
Далее, имеем
Интегрируя C.12), получаем закон изменения положения энергетиче™
ского центра пучков с ростом z в виде
где Mi @) — положение центра пучков на входной грани среды.
Аналогично получаем
d2M2 с
= 4—J3,
dz2 Mo
откуда имеем закон изменения средней ширины пучков в виде
М2 = ^- J3z2 + Coz + M2 @), C.13)
Мо
где величины М2 @) шСо = (dM2/dz) \z=o характеризуют диаметр и рас-
расходимость пучков (в среднем) на входе среды.
Интересно, что при J% < 0 из C.13) следует так называемая «коллек-
«коллективная самофокусировка» пучков, пучки «схлопываются в целом». При
некоторой длине среды z = z$, где
4c|J3
144 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
а, эффективная ширина пучков М2 обращается в нуль. Если более внима-
внимательно рассмотреть строение интеграла J% (см. C.11)), то видно, что чле-
члены, пропорциональные параметру 72, отвечают за самофокусировку, так
как они связаны с изменением коэффициента преломления вида п (А) =
= по + П2 \А\ (величина П2 ~ 72)- Интеграл J% может принимать отрица™
тельные значения даже в отсутствие самофокусировочных членов (т.е. при
72 = 0). Это возможно, если на вход подаются достаточно мощные и ши-
широкие пучки с гладким профилем (т.е., другими словами, если третий член
превосходит первый, пропорциональный поперечному градиенту амплиту-
амплитуды). В этом случае самофокусировка происходит из-за изменений фазовых
фронтов взаимодействующих волн, т.е. из-за действия сугубо параметри-
параметрических членов в C.6).
Заметим, что если J% = 0, то эффективная ширина пучков растет ли-
линейно с ростом z в соответствии с граничной (z = 0) расходимостью;
тем самым, здесь реализуется квазиволноводный характер распростране-
распространения пучков в целом, хотя, конечно, отдельные пучки могут осциллировать
по ширине. При J3 > 0 эффективная ширина пучков быстро увеличивается,
так что дифракционное расплывание пучков не подавляется в этом случае
само- и взаимофокусировкой пучков.
Таким образом, использование интегралов системы C.6) и центральных
моментов величины е дает весьма своеобразную и полезную информацию.
Отметим, что метод моментов в нелинейной оптике для описания поведения
пучка в нелинейной среде был применен впервые в работе [9].
§ 3.4 О выполнении условий синхронизма при
четырехволновом взаимодействии
в кубически-нелинейной среде
При четырехволновом ОВФ широко используется схема взаимодей-
взаимодействия попарно-встречных волн; эта схема, в частности, обсуждалась в § 3.1
настоящей главы (рис.3.1). В такой схеме имеется две встречных волны на-
накачки Ei72 и два встречных поля Е$^ (одно из них — падающее, другое —
рассеянное с ОВФ). Если среда изотропна и частоты всех волн одинаковы,
то условие синхронизма выполняется в такой среде автоматически (§ 3.1).
Естественно, если угол между направлениями волн накачки отличается от тг,
условие синхронизма может быть выполнено в изотропной среде только для
невырожденного по частоте взаимодействия.
Можно ли осуществить синхронизм при ЧВВ для попутно-распростра-
няющихся волн? На первый взгляд, это возможно, если все четыре волны
(с одинаковой частотой) распространяются коллинеарно (рис. 3.4а). Усло-
Условие синхронизма имеет, например, вид ki + k2 = k3 + k4. Совершенно
аналогично можно представить себе выполнение синхронизма при невыро-
невырожденном четырехволновом взаимодействии (рис. 3.4 б). Однако, поскольку
среди четырех волн имеются «сильные» и «слабые» волны (например, вол-
волны накачки — «сильные», сигнальная волна и, тем более, разностная — как
§3.4
О выполнении условий синхронизма при ЧВВ
145
правило, являются «слабыми»), то нетрудно показать, что коллинеарный
синхронизм, графически представленный на рис. 3.4, в реальной ситуации
не осуществляется.
Вырожденный случай
Невырожденный случай
Рис. 3.4
Действительно, рассматривая для простоты вырожденный случай, при-
примем, что в кубически-нелинейной среде распространяется сильная волна
накачки с волновым вектором, модуль которого равен ^о = шпо/с, где
uq — показатель преломления среды в отсутствие светового поля (почему
здесь взят именно невозмущенный коэффициент преломления, мы увидим
позднее), а также две слабых волны с волновыми векторами ki?2. Посколь-
Поскольку частоты всех волн одинаковы, на первый взгляд, выполняется равенство
klj2 = ^о; однако, на самом деле это не так. Рассмотрим добавки к коэф-
коэффициенту преломления, вызванные кубической нелинейностью среды. Для
сильной волны с амплитудой Aq и волновым вектором ко имеем
= п2АгА\ + п2А2А
2.
Аналогично для «слабых» волн с амплитудами А\^ имеем
Поскольку Aij2 <C Д), то An(kij2,uj) >> Дп(ко,о;). Другими слова-
словами, волновые векторы слабых волн имеют нелинейно-кубическую добавку,
значительно превышающую таковую для сильной волны:
& ^ + |Л|2
Таким образом, для сильной волны можно пренебречь нелинейной до-
добавкой (именно поэтому мы взяли для силь-
сильной волны невозмущенный волновой век-
вектор к0). Поскольку ki?2 > k0, то синхро-
синхронизм коллинеарного типа, изображенный на
рис. 3.4а, невозможен, а реализуется лишь
неко длине арный (векторный) синхронизм,
представленный на рис. 3.5 (в равной степе-
степени это относится и к невырожденному слу-
случаю, рис. 3.46). Условие синхронизма здесь
имеет вид 2ko = ki + h2.
На дифракционном языке появление слабых волн с векторами ki52
(нетрудно показать, что они появляются и в отсутствие на входе среды
10 В.Г.Дмитриев
146 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
волны кь т.е. из шумов) соответствует первому небрэгговскому порядку
дифракции. Другими словами, это не что иное, как нелинейная самодифрак-
самодифракция [10]: распространение сильной волны (к0) в кубически-нелинейной
среде приводит к появлению слабых, но заметных «дифракционных» мак-
максимумов, т.е. к дифракции света под углом а. Этот угол часто называют
характерным углом нелинейного взаимодействия при ЧВВ, углом синхро-
синхронизма при ЧВВ, оптимальным углом и т.п. Представляется, что наиболее
целесообразно называть его все же углом синхронизма, что наиболее полно
отражает суть дела — наличие фазового синхронизма.
Нетрудно видеть, что здесь весьма ярко проявляется один из нелиней-
нелинейных эффектов самовоздействия света, реализующийся в данном случае на
кубической электронной поляризуемости среды. Рассмотрим этот эффект,
сопровождающийся изменением средних оптических характеристик среды
(в частности, коэффициента преломления), более подробно.
Пусть в среде распространяются три плоских волны с частотой ш и вол™
новыми векторами к0, кь к2, причем выполняется условие синхронизма
2к0 = ki +k2:
Е (z, t) = - [Ао exp[j (out - koz)} + Аг exp[j (out - ktz)} +
+ A2 exp[j (out - k2z)} + k.c] .
Волновое уравнение имеет вид [2]
е0
д2Е 47Г
е0 дЕ = 47Г дРш
dz2 с2 dt2 с2 dt2 ' { ' '
где РНл — х^Е3 — нелинейная (кубичная) поляризованность среды. Имея
в виду, что д2Е/dt2 — —ui2E и
д2Е 1-Х ( dAi , 2 , \ г . , ..
g-r^-jL 2jki~dz~+ :'¦¦ ')exp[i^~ iz)] + кх"
г=0 ^ '
вместо C.14) имеем (г = 0,1, 2):
dAli2
Вводя традиционную замену [2] А{ = aiex.p(j(pi)9 щ = \Ai\9 где
— фазы волн, и учитывая, что в отсутствие расстройки выполняется
§3.4 О выполнении условий синхронизма при ЧВВ 147
равенство: <pi + tp2 = 2^0, получаем фазовые уравнения:
C.15)
. C.16)
Поскольку амплитуды слабых волн сравнимы (если вообще не равны),
т.е. а\ « а,2, то для слабой волны имеем
dz
Отсюда
<pi,2 = -Зттк0х{3)Щ- C.17)
Линейное изменение фазы эквивалентно появлению постоянной добав-
добавки к величине волнового вектора для слабой волны:
Поскольку ai?2 <С ао? то из C.15) следует, что величина волнового векто-
вектора для сильной волны практически не изменяется. Именно по этой причине
(&i,2 > ко) синхронизм при попутном взаимодействии реализуется некол-
линеарным (векторным) образом (см. рис. 3.5).
Величина угла синхронизма а легко вычисляется из рис. 3.5:
а2 ко 1 1
2 кг l^Aki/ko
а ',
Полный угол между векторами слабых волн определяет двойной (пол™
ный) угол нелинейного взаимодействия:
6НЛ = 2а = ^жХ^аЦе0. C.18)
Этот угол определяет так называемую нелинейную расходимость при
распространении в кубически-нелинейной среде первоначально плоской
сигнальной волны, или, другими словами, это есть угол между двумя «са-
«самодифракционными» максимумами.
Диэлектрическая проницаемость среды для слабой волны равна е =
= е® + ?2«о? где €2 = Зтгх^- Для сильной волны е = eg.
Перейдем к рассмотрению других возможностей обеспечения волново-
волнового синхронизма при попутном распространении сильных и слабых волн.
148
ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах
Гл. III
Мы видели, что взаимодействие типа 2к0 = ki + k2 осуществляется лишь
под углом нелинейного взаимодействия C.18). Возможно ли эффективное
взаимодействие попутных волн при В ^> Внл? Такая возможность была
показана в работе [11]. Действительно, пусть в изотропной среде распро-
распространяются четыре плоских волны одинаковой частоты а; и с волновыми
векторами к^ (г = 1, 2, 3,4), причем |к^ | = ко = шщ/с. Вследствие кубиче-
ской нелинейности среды три волны Е\, Еч, ^з возбуждают, в частности,
поляризованность вида х^^гЩЕ% с пространственной зависимостью ви™
да exp [j (ki - k2 + k3) r].
Если вектор k4 = ki — k2 + кз совпадает по длине с ко, то волна
с пространственной зависимостью вида exp (jh^r) будет резонансно возбу-
возбуждаться соответствующей нели-
нейной поляризованностью, т.е.,
тем самым, осуществится эффек-
эффективный энергообмен между вол™
нами. Таким образом, условие
синхронизма здесь примет вид
ki + кз = к2 + к4. Отметим,
что амплитуда рождающейся вол™
ны E± комплексно сопряжена ам-
амплитуде ВОЛНЫ Е2.
Нетрудно видеть, что послед-
последнее условие синхронизма реали-
реализуется в том и только в том случае,
если концы всех векторов, отло-
отложенных из одной точки, находят™
ся на сфере радиуса ко, и основание пирамиды, образованной векторами к^,
является прямоугольным (рис. 3.6). Это эквивалентно двум соотношениям:
Рис. 3.6
К1 — К2 =
— Ко = К л —
C.19)
где щ — проекции векторов к^ на плоскость, перпендикулярную биссектрисе
пространственного угла между векторами к^ (оси z, рис. 3.6). Такое взаимо™
действие можно назвать некожинеарно-некомтанарным взаимодействием.
Очевидно, что вместо плоских волн можно рассматривать один пучок
достаточно большой интенсивности, угловой спектр которого содержит
поперечные компоненты волнового вектора ki^^. Вследствие описанно™
го явления самодифракции (самовоздействия, ЧВВ) возникает компонента
Х4, причем интенсивность ее существенно зависит от выполнения условий
синхронизма C.19).
Отметим немаловажную роль влияния различных механизмов куби-
кубической нелинейности на протекание описываемых процессов, например
безынерционного механизма электронной кубической поляризуемости
и инерционного теплового механизма нелинейности (для последнего
механизма, как известно, добавка к коэффициенту преломления пропор-
пропорциональна интенсивности световой волны). Наиболее интересен случай,
когда величина е2 для этих механизмов различна по знаку; например, для
§ 3.5 Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде 149
нитробензола электронная часть ef1 > 0 (самофокусирующая жидкость),
а тепловая часть efajl < 0, как для большинства жидкостей. При опреде-
определенной интенсивности вклады обоих механизмов могут взаимно скомпен-
сироваться, в результате чего среда станет фактически «линейной».
В работе [11] методом фазовой плоскости показано, что если в кубической
среде распространяются две мощных волны под углом G друг к другу (в >>
>» внл), то такая ситуация неустойчива по отношению к возникновению (из
шумов, естественно) двух новых волн под тем же углом В между ними. При
этом вновь возникающие волны распространяются в направлениях, лежащих
на огибающей поверхности конуса, в основании которого лежит окружность
с диаметром, соединяющим концы волновых векторов исходных пучков.
Очевиден и тот факт, что возможность существования такого вида син-
синхронизма в кубичной среде должна учитываться при анализе ОВФ и вообще
при анализе распространения пучков со сложной угловой структурой в изо-
изотропных средах. Наиболее важно здесь то, что благодаря кубической нели-
нелинейности (в том числе тепловой!) может произойти существенное энерге-
энергетическое перераспределение неоднородного углового спектра (перекачка
из одних угловых компонент в другие, возникновение новых угловых ком-
компонент).
Подведем итоги. В процессе ЧВВ могут быть реализованы три типа
волновых синхронизмов:
— синхронизм для попарно-встречных волн (реализуется автоматиче-
автоматически, рис. 3.1);
— синхронизм для попутных волн вида 2k0 = ki +к2 под углом внл <С 1
(рис. 3.5);
— синхронизм для попутных волн вида ki + кз = к2 + к4 под углом
е,где1«е« енл (рис. з.б).
Все перечисленные процессы могут быть реализованы и для невырожден-
невырожденного по частоте взаимодействия с соответствующей коррекцией углов синхро-
синхронизма, а также для различных поляризаций взаимодействующих волн.
§ 3.5 Теория четырежволнового вырожденного
взаимодействии световых волн в кубически-
нелинейной среде
Ниже мы рассмотрим наиболее общий случай ЧВВ в рамках плоских
волн, следуя, в основном, работе [12]. Расположение волн примем попарно
встречным и коллинеарным (рис. 3.7), самофокусировкой пренебрегаем (но
не самовоздействием!).
Введем нормированные величины
s := Т'
Г ^[А*@) + А%A)]/2
Тем самым, поля нормированы на корень квадратный из средней ин-
интенсивности волн накачки, входящих с двух сторон в нелинейную среду
150 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
(? = 1 при z = I). Укороченные уравнения для нормированных амплитуд
имеют вид (эти уравнения, конечно, можно получить и из общего волно-
Накачка .Е-
Накачка
Сигнал
Сопряженная
волна
Рис. 3.7
вого уравнения в пренебрежении там дифракцией и дополнительно введя
линейные потери):
?1
f
2
Ы2 +
2
2
2
е4 +
2
?4
2
^3
C.20)
C.21)
C.22)
C.23)
Здесь 5 — нормированные коэффициенты линейных потерь, a, /3, 7 ¦
коэффициенты, пропорциональные х^, например:
a =
Отметим, что для полноты картины величину а следует записывать по-
разному для разных уравнений C.20)^C.23); так, для уравнения C.21):
a(D =
СТЪ
[А\ @) + А\ A)] ,
для уравнения C.22):
ТГ(лI
СП
§ 3.5 Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде 151
и т.д., где величины в фигурных скобках суть произведения соответствую-
соответствующего единичного вектора поляризации волны на нормированный вектор
кубической поляризованное™ среды. Однако для нашего рассмотрения,
как и во всех практических случаях, эти различия несущественны.
Рассмотрим роль различных членов в правых частях уравнений C.20)-
C.23). Первый член описывает линейное поглощение среды. Второй член
отвечает за четырехволновое параметрическое взаимодействие и описыва-
описывает такие эффекты, как параметрическое смешение, истощение волн (или их
усиление) за счет перекачки энергии, одновременно ОВФ. Третий и четвер-
четвертый члены описывают самовоздействие волн, т.е. дают добавку к коэффи-
коэффициенту преломления за счет кубической нелинейности.
Мы пренебрегли самофокусировкой, т.е. искривлением и изменением
амплитудного фронта волны, но учитываем фазовое самовоздействие, т.е.
искривление и изменение фазового (волнового) фронта. Другими слова™
ми, мы считаем, что характерный радиус самофокусировки много больше
длины нелинейной среды. Заметим, что описываемая третьими и четверты-
четвертыми членами в C.20L3.23) нелинейная добавка есть проявление электрон™
ной кубической нелинейности (этот эффект часто называют оптическим
эффектом Керра), в то время как на практике аналогичное изменение ко-
коэффициента преломления может происходить и по другим причинам (или
одновременно с эффектом Керра), например вследствие тепловых самовоз™
действий.
К уравнениям C.20)^C.23) следует добавить граничные условия, т.е.
значения амплитуд Si при ? = 0; 1, равные ?i@), ?2A)9 ?з@)> ?4A)- В даль-
дальнейшем будем полагать, что обращенная волна на правом (? = 1) конце
нелинейной среды отсутствует, т.е. ?4 A) = 0.
Традиционно введем замену Si (?) = щ (?) exp [j(fi (?)], где щ = \ei
и (fi — действительные амплитуды и фазы волн, и обозначение для обоб-
обобщенной фазы Ф (?) = (р3 (?) + (р4 @ ~~ (pi (С) ~~ (f2 (О-
Разделяя мнимую и действительную части, из C.20)^C.23) получим
—Scli + a«2<
-\-Su2 — аац
-Sa3 - aav
-\-Sa4 + аац
23a4sm*,
2304 зшФ,
l2fl4Sin*,
^2аз зшФ,
C.24)
C.25)
C.26)
C.27)
б?Ф а^а|а| + а\а\а\ а\ а\а\ а\а\а\
d^ aia2«3a4
- /3 (а\ + а\ - а\ - а\) /2. C.28)
Заметим, что параметр j из этих уравнений выпал. Введем удобное для
дальнейших расчетов обозначение:
Н = ~Р (а\ + а24~а22~ а\)/2.
152 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
Граничные значения здесь определены лишь для амплитуд, причем для
а1,з — при ? = 0, а для а2,4 — при ? = 1. Поэтому мы не можем сразу
определить обобщенную фазу на границах нелинейной среды. Достаточно
просто это достигается методом фазовой плоскости, но можно сделать и по-
другому. Положив 8 = 0 и подставляя C.24)^C.27) в фазовое уравнение
C.28), получим
d ( d^f \
—In {а1а2аъа4) + -г- - Я tg Ф = 0. C.29)
di \ di )
Поскольку «4 A) = 0, то первый член в C.29) расходится, а так как
/ и Н конечны, то надо предположить, что tg Ф при z = 1 бесконе-
бесконечен, т.е. Ф A) = ±тг/2. Надо брать отрицательный знак, т.е. полагать, что
Ф A) = ^тг/2, так как только тогда волна оц начинает черпать энергию из
других волн; в этом случае slxi Ф|^=1 = — 1, производная da^/d^ < 0, что
соответствует нарастанию амплитуды а^ при распространении обращен-
обращенной волны Е?4 в направлении к левому концу нелинейной среды. Отметим,
что, как и в случае ТВВ, динамика процесса ЧВВ определяется только
обобщенной фазой Ф, а не парциальными фазами <^.
Очевидно, что системы уравнений C.20)^C.23), равно как и C.24)-
C.29), аналитическому решению не поддаются. Поэтому мы вначале рас-
рассмотрим случаи, в которых можно получить и проанализировать аналитиче-
аналитические решения, а затем приведем результаты расчета на ЭВМ, выполненного
в работе [12]. Ряд аналитических решений был получен в работе [13].
3.5.1. Приближение заданных полей накачки в отсутствие самовоз-
самовоздействия. При аз,4 <С«1,2 можно воспользоваться приближением заданных
полей накачки, т.е. пренебречь изменением амплитуд волн накачки а\^ по
длине нелинейной среды. Считая амплитуды волн накачки одинаковыми,
а\ @) = п2 A) = 1, получаем ai}2 @^1-Кроме того, пренебрежем измене-
изменением коэффициента преломления, вызванным кубической нелинейностью,
т.е. самовоздействием. В результате останутся лишь два уравнения (Ф =
= ^тг/2):
da3 da4
— = +aa4, — = -аа3 C.30)
d d?
при «4 A) = 0, аз @) = азо- Их решение имеет вид
«4 (С) = «30 LJ —, C31)
cos a
аз@ = азоС08[аA]. C32)
cos a
Первый интеграл системы C.30), имеющий смысл соотношения сохра-
сохранения плотности мощности, может быть записан в виде
аз @ + а!(О=4, sec2 a. C.33)
§ 3.5 Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде 153
В выражении C.30) отсутствуют потери; они могут быть снова введены
путем следующей замены переменных:
а^ = щ ехр (+<5?), и = A/5) [1 - ехр (-
в результате чего уравнения с потерями вновь сводятся к виду уравнений
C.30) без потерь. Поэтому с учетом потерь, например, решение C.31) будет
иметь вид
п4 (?) = <з,зо ехр (—??) sin {а [1 — A/5) A — ехр (—5?))]}/cos a.
аз,4 |
азо/cos а
Вид решений C.31), C.32) качественно
показан на рис. 3.8, где стрелки указыва™ a3otga
ют направления распространения волн (сиг-
(сигнальной и обращенной). Из решений C.31),
C.32), в частности, следуют выражения для
граничных значений амплитуд усиленной азо_
волны сигнала и обращенной волны: О
а4 @) = а3о tg а, а3 A) = «зо sec а. Рис. 3.8
Полезно ввести коэффициент отражения R при ОВФ и коэффициент
усиления G для сигнальной (прямой необращенной) волны по интенсив™
ности:
«зо у V «зо
Для рассматриваемого здесь случая имеем
R = tg2 a; G = sec2 a.
Следует помнить, что в процессе прямого усиления сигнальной вол-
волны все фазовые искажения, имевшиеся в исходной сигнальной волне,
полностью сохраняются. Видно, что коэффициент R в sin2 а раз меньше,
чем коэффициент усиления прямой волны; при а > тг/4 коэффициент
отражения становится больше единицы. При а = тг/2 обе величины R
и G становятся бесконечными. Естественно, что при таких значениях а
полученные выше решения неприменимы, так как приближение заданно™
го поля теряет силу (заметим, что этот факт был, по-видимому, впервые
отмечен в работе [14]).
Несколько слов о характерном значении а = тг/2. Смысл этого значения
совсем не в том, что выходные (граничные) значения амплитуд становятся
при этом бесконечными; дело в том, что при таком значении а оба решения
C.31), C.32) становятся тождественно (при всех ?!) бесконечными, в том
числе и вблизи граничных (? = 0; 1) плоскостей, где приближение задан™
ных полей, как можно было ожидать, заведомо выполняется (для аз при
малых ?, для «4 — при ? вблизи единицы). Именно эта тождественность
является принципиально новым фактом, вносимым самим эффектом взаи-
взаимодействия встречных волн в нелинейной среде. Другими словами, здесь
154 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
приближение заданного поля нарушается по всей нелинейной среде одно™
временно, в отличие от случая взаимодействия попутных волн, где такое
нарушение имеет место лишь в некоторой области среды, а вблизи входной
границы выполняется заведомо всегда. Все дело в том, что при взаимо-
действии встречных волн всегда имеется так называемая распределенная
положительная обратная связь; такая связь имеется между любыми двумя
точками среды. Действительно, рассмотрим на оси ? две точки А в. Б (точ-
(точка А ближе к левой границе). Волна «з бежит от А к Б, волна а^ — от Б к А.
Пусть в точке Б по какой-то причине увеличилась амплитуда а±\ это уве-
личение, «добежав» до А в соответствии с C.30), увеличит производную
das/d?9 и, следовательно, на пути к Б волна аз получит дополнительное
(«незапланированное») приращение. В точке Б это приращение аз увели™
чит производную da^/d^, величина а4 еще более возрастет и т.д.
Налицо действие положительной обратной связи, которая действует для
любых соседних точек нелинейной среды, т.е. эта связь является распреде-
распределенной. Ее можно интерпретировать и в рамках распределенного отража-
отражающего «зеркала». Теперь можно понять, что при определенных значениях
нелинейности среды и мощностей волн накачки, а именно, при а —>• тг/2, эта
обратная положительная связь приводит к генерации, когда вся среда «воз-
«возбуждается» по всей своей длине. Таким образом, при а —>> тг/2 нарушение
справедливости приближения заданных полей в нашем случае встречного
ЧВВ, в отличие от попутных взаимодействий, происходит вследствие ге-
генерации по всей длине сразу. Такой генератор при а = тг/2, естественно,
имеет стационарную амплитуду генерации, определяемую только парамет-
параметрами среды и накачки и не зависящую от входной амплитуды сигнала азо.
Вычисление стационарных амплитуд генерации должно быть проведено
в нелинейном режиме, т.е. с учетом подавления волн накачки и самовоз-
самовоздействия. К аналогичному вопросу мы еще вернемся при рассмотрении
вынужденных рассеяний.
3.5.2. Учет самовоздействия волн в приближении заданных полей
накачки. Из уравнений C.24)^C.28) следует, что учет самовоздействия
сводится к совместному решению всей системы этих уравнений. Другими
словами, поскольку в фазовом уравнении C.28) при этом имеется величи-
величина Н9 зависящая от координаты ?, то первоначально оптимальная для роста
амплитуды п4 фаза Ф A) = ™тг/2 с уменьшением ? (т.е. при распростра-
распространении обращенной волны справа налево) будет отходить от оптимального
значения ^тг/2, уменьшая тем самым производную в C.26), C.27) и «тормо-
«тормозя» рост амплитуд сигнального и обращенного полей. Не учитывая потери
и пренебрегая рядом членов в C.28), например членом а^а^а^ <С а\а\а%
или а^4 <С а\ 2, и полагая а\^ (С) = 1> имеем
da3 . da4 . с№ /а3 «Л
ortLsinw a«smw —7 = ам cosW.
rf?
C.34)
§ 3.5 Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде 155
Нетрудно видеть, что в приближении заданных и симметричных полей
накачки (а\ @) = а 2 A) = 1) величина Н = 0, т.е. самовоздействие сим-
симметричных волн накачки взаимно компенсируется. Величину Н с полным
правом можно назвать нелинейной расстройкой, зависящей, вообще говоря,
от продольной координаты. Однако, как следует из вида Н, члены самовоз-
самовоздействия для попарно-встречных волн входят в нелинейную расстройку
с разными знаками, что априори приводит к практически полной их взаи-
взаимокомпенсации. Отличие Н от нуля наблюдается в приближении заданных
полей только при несимметричных полях, а в нелинейном режиме — только
при несимметричном убывании (возрастании) попарно-встречных полей.
Из системы C.34) непосредственно следует второй интеграл движения
(заметим, что первый интеграл C.33) сохраняется и для системы C.34)):
= const. C.35)
cos*
Для получения C.35) умножим первое уравнение C.34) на а4у второе на
, и сложим:
= а (а3 — а4) sin*. C.36)
Из третьего уравнения C.34) следует:
Деля почленно C.37) на C.36), имеем
d(a3a4)
откуда следует C.35). Заметим, что C.35) можно получить и из C.30), по-
положив там ai52 = 1 и Н = 0.
Из C.35) следует, в частности, что при ? = 1 мы должны, учитывая
п4 A) = 0, положить cos* A) = 0, т.е. Ф A) = ±тг/2 (выбрать следует
—тг/2). С другой стороны, при ? = 0 имеем аз = азо, «4 = «зо tg а, так что
а3(С)а4(?) _ 2 tg<*
а
Однако величина cos Ф @) у нас не определена. Покажем, что для систе-
системы C.34) выполняется тождество cos Ф (?) = 0. Используя интеграл C.33)
и деля почленно фазовое уравнение на уравнение для сц, получаем
а _ 2а1) <*** C.38)
а4 (ago sec a ~ а4)
Уравнение C.38) легко интегрируется:
04 у «з
cos* = =, C.39)
156 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
где С — константа интегрирования, равная
С = «4\/а?о sec2 а — а\ cos
Величина С может быть вычислена, например при ? = 1. Так как
а4 A) = 0, то и С = 0. Поэтому из C.39) следует, что cos Ф (?) = 0, Ф (?) =
= ^тг/2, т.е. система C.34) полностью идентична системе C.30).
Таким образом, в приближении заданного поля при симметричной на™
качке (равные амплитуды полей накачки) самовоздействие не проявляется,
будучи полностью скомпенсированным. Более того, и в нелинейном режи-
режиме, когда амплитуды аз и а4 в произвольной точке ?, вообще говоря, не
равны (они отличаются на величину, определяемую первым интегралом
C.33)), величина Н должна оставаться незначительной, так как самовоз™
действие попарно сильных и слабых волн в Н входит с разными знаками.
То же относится и к волнам а\^ Этот факт, однако, может быть доказан
только строгим решением C.24)^C.28) на ЭВМ.
3.5.3. Учет расстройки. При коллинеарном попарно-встречном выро-
вырожденном четырехволновом взаимодействии (см. рис. 3.4а) плоских волн
в изотропной среде условие синхронизма выполняется автоматически:
ki + k2 = k3 + k4 = 0.
Рассмотрим случай квазиколлинеарного распространения волн накачки,
когда ki + k2 Ф 0. Этот случай возникает при учете расходимости волн
накачки или их неточной юстировки в нелинейной среде. Тогда возникает
волновая расстройка:
А = ki + k2 - k3 - k4.
Без учета потерь и самовоздействия и в приближении заданных полей
накачки система C.24)^C.28) примет вид {а\^ ~ 1):
das . т da^ . _ d# A1 (а3 а4 \
—г— = ^сш4 sin Ф, —— = ааз sin Ф, —- = Д/ + а \ cos Ф,
а^ at; at; \а4 «з/
C.40)
где А — составляющая вектора А по оси z. Применяя тот же метод, что
и в п. 3.5.2, получаем
йФ _ Al (aj ^ 2aj)
da4 a^/al - a|sin* «4
где uq = a|0 sec2 а. Интегрируя, имеем
2а
§3.5
Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде
157
При А = 0 это выражение переходит в C.39). Вычислим С, для чего
положим ? = 1. Так как а^ A) = 0, то С = О (С = сц л/oq — а\ cos Ф +
и, следовательно,
C.41)
Из C.41) следует, что при наличии расстройки фаза отходит от опти-
оптимальной Ф A) = ^тг/2, cos Ф A) = 0; этот факт тормозит рост аз,4-
Подставляя C.41) во второе уравнение C.40) и используя C.33), полу-
получаем а
а4@ = —sin[a7(l-0L C.42)
t 7
где 7 = у 1 + (А//2а) при А = 0 решение C.42) переходит в C.31) и
если ? = 0, то
sin (
а4@) = а30
R,G
азо = 0,1
0,2
7 cos а
Таким образом, в приближении заданного поля расстройка приводит к умень-
уменьшению выходной амплитуды обращенной волны в sin (cry)/G s*n a) Раз-
3.5.4. Некоторые результаты численного расчета. Как уже указыва™
лось, системы уравнений C.20)^C.23) и C.24)^C.27) не поддаются аналити-
аналитическому решению. Поэтому в общем случае эти уравнения необходимо решать
на ЭВМ. Некоторые результаты численного
счета, полученные в работе [12], мы приведем
ниже.
На рис. 3.9 представлены зависимости ко™
эффициентов отражения R для ОВФ-волны
(сплошные кривые) и усиления G (штрихо-
(штриховые) для прямой (необращенной, или сигналь-
сигнальной) волны в зависимости от параметра нор-
нормированной мощности Рт = 2а/ж для раз™
ных значений входной нормированной ампли-
амплитуды азо- Эти расчеты выполнены в отсут-
отсутствие потерь (S = 0), при симметричной на-
накачке (ai @) = «2 A) = 1) и без учета само-
самовоздействия (нелинейной добавки к коэффи-
коэффициенту преломления).
Нетрудно видеть, что при фиксированном
значении амплитуды входной волны азо коэф™
фициенты отражения и усиления растут, при
этом при малых значениях Рт (или а), соответствующих приближению
заданных полей (по крайней мере, для значений Рт ^0,5 для всех азо), ре-
результаты численного счета совпадают с аналитическими решениями, полу-
полученными в приближении заданных полей накачки. Естественно, что область
таких значений Рт с уменьшением азо расширяется.
1,5
158
ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах
Гл. III
На рис. ЗЛО показано, как падает коэффициент ОВФ-отражения R
от приведенной входной амплитуды «зо для разных значений Рт; здесь,
как и на рис. 3.9, потери и самовоздействие не учитывались. Видно, что
при фиксированном значении приведенной мощности Рт коэффициент R
с ростом азо падает тем круче и заметнее, чем больше Рт, т.е. чем больше
нелинейность среды и амплитуда волн накачки. На уровне Рт ^ 0,5
величина R практически перестает зависеть от азо, что соответствует
приближению заданных полей накачки.
Если усиление прямой и отражение обращенной волн становят-
становятся достаточно сильными (аз,4 ^ 1)? то должно сказаться явление
самовоздействия, т.е. к коэффициенту преломления должна появиться
нелинейная добавка. В результа™
те этого появляется волновая рас-
расстройка Н в фазовом уравнении
C.28) и соответствующее измене-
изменение величин R, G. Однако мы уже
указывали на предполагаемое сла-
слабое влияние самовоздействия на
процесс ЧВВ из-за характерного
вида нелинейной расстройки Н.
Действительно, численный расчет
показал, что в области значений
азо ^ 1 и Рт ^ 1,4 относитель-
относительное изменение R, вызванное эф™
фектом самовоздействия, не пре-
превышает 7%. Таким образом, чис-
численный расчет подтвердил общий
вывод о слабом влиянии самовоз-
самовоздействия в приближении плоских
волн на процесс ЧВВ; при этом указанные 7 % следует отнести на счет
различного распределения амплитуд волн щ по длине среды, вследствие
чего появляется зависимость Н от расстояния ? и, вообще, отличие Н от
нуля. Естественно, учет самовоздействия приводит к уменьшению R.
Рассмотрим поведение обобщенной фазы Ф(?)> положив Ф A) = —тг/2
(нетрудно, вообще говоря, показать, что при а^ A) = 0 граничное зна-
значение фазы Ф A) может быть любым, однако, это значение в бесконечно
тонком слое среды у границы (? = 1) становится равным оптимальному
значению —тг/2). Легко видеть (см., например, формулу C.41) при А = 0,
п4 A) = 0), что в отсутствие самовоздействия, при пренебрежении кубиче-
кубическими1 членами в C.28), т.е. при Н = 0, мы получим Ф (?) = Ф A) = ^тг/2.
Любое отклонение Ф от оптимального значения означает появление вол-
R
20-
15-
10
5-
1 Автор надеется, что здесь у читателя не возникнет недоразумений: члены в Н
квадратичны по амплитуде поля, но появились они вследствие кубичного характера
соответствующих членов поляризованности.
§3.5
Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде
159
новой расстройки, либо вследствие ее внесения за счет неколлинеарности
волн, либо вследствие учета кубических членов в C.28), т.е. при Н ф 0.
Поведение обобщенной фазы по длине нелинейной среды z для раз™
ных значений азо и Рш иллюстрируется рисунками 3.11, 3.12. Из графиков
рис. 3.11, в частности, видно, что в приближении заданного поля Рт ^ 0,5
фаза Ф (z) практически не меняется с расстоянием z и не отходит от опти-
оптимального значения ^тг/2. Отклонение от значения (—тг/2) возрастает с ростом
Рт и азо, однако, самые большие значения обобщенной фазы не превыша-
превышают значения (—2); это соответствует изменению величины этФ, входящей
в правые части амплитудных уравнений и определяющей значение произ-
1,60-
1,70-
1,80-
1,90-
2,00~
-Ф, рад
1
V 0,1
^--~ —-^
0,2
^--—--^
0,4
0,6
,8 /
/1
/
/
V
6 = 0
ai@) = a2(l) =
Pm = 0,8
1,57
1,60-
1,70-
1,80-
1,90-
2,00-
i w
Рт
\
\\
V
\
, рад
= 0,(
0
0
V
1
\
V
\ 1
V
1
,9 /
У
,1 //
у/
,3 /
/ озо = 0,1
,5
Рис. 3.11
Рис. 3.12
водных, от значения (—1), соответствующего оптимальной фазе, до значения
sin (—2) ~ —0,91. Отсюда следует весьма важный для исследования процес-
процесса ЧВВ вывод: даже в существенно нелинейном режиме можно пренебречь
изменением обобщенной фазы Ф вдоль нелинейной среды и с приемлемой
точностью полагать Ф(^) = ^тг/2. Дополнительно отметим вытекающий из
рис. 3.11,3.12 факт, что среднее по длине I значение обобщенной фазы, кото™
рое, по сути дела, и определяет в целом поведение процесса ЧВВ, оказывается
весьма близким к оптимальному; так, для азо = 0,1; Рт = 1,5 (рис. 3.11)
ФМин ^ —1,98, но Фсредн = —1,61. Все вышесказанное еще раз подтверждает,
что влияние самовоздействия при ЧВВ проявляется весьма слабо.
Наконец, обратимся к изучению влияния потерь E ф 0) и асимметрии
волн накачки. Из рис. 3.13 видно, что с ростом потерь коэффициент отраже-
отражения ОВФ-волны падает, причем весьма заметно. Графики рис. 3.14 иллюстри-
иллюстрируют влияние фактора асимметрии амплитуд входных полей накачки а\ @)
160
ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах
Гл. III
и 0,2 A) при сохранении постоянной общей (полной) интенсивности накачки
(а\ @) + а| A) = const = 2) и для разных значений S. Видно, что макси™
мальное значение R достигается при симметрии волн накачки (а\ @) = 1);
при а\ @) = \/2 вторая волна накачки просто отсутствует, и R = 0.
3.5.5. Дополнительные замечании. Выше мы рассмотрели процесс
обмена энергией между четырьмя плоскими попарно-встречными волна-
волнами и установили, что происходит, как правило, однонаправленная передача
энергии от волн накачки в сигнальную и обращенную (отсутствующую
на правой границе среды) волны. В работе [13], в частности, отмечается,
R
50
40
30
20
10
0
ai@) = a2(l)
5 = 0
5 = 0,05
E = 0,01-
у
0,5
Рис.ЗЛ.3
= 1 // /
///
///
1
1
у
/
1,0 Pm
Рт =
/
/
0,6 0,7
0,8
/
/
0,8
/ 6"
5-
3-
2-
1-
5 =
0,9 1,0 1
Рис.
3.14
2 /г-
\
\
\
\
= 0
,1
))-а!A)-2
\
\\
,05\\
1,2 1,3 ai@)
что такая однонаправленная передача осуществляется независимо от со™
отношения интенсивностей взаимодействующих волн; более того, волны
накачки Ег^ могут быть слабее сигнальной волны Е%, важно только то,
что обращенная волна Е^ отсутствует на правом входном (? = 1) конце
нелинейной среды. В пределе возможна полная передача энергии между
попарно-попутными волнами A —>- 3, 2 —>• 4).
Процесс ЧВВ в существенно нелинейном режиме (с учетом перекачки
между волнами и самовоздействия) исследован в работе [4] в рамках дина™
мической голографии. Напомним, что голографическая интерпретация ЧВВ
состоит в том, что каждые две волны записывают в кубически-нелинейной
среде динамическую голограмму, которая в силу безынерционности и локаль™
ности нелинейного отклика среды совпадает с интерференционной картиной
световых полей; третья волна рассеивается на этой динамической голограм-
голограмме, образуя четвертую волну. При этом оказывается, что интерференционная
картина дифрагирующих (рассеиваемых) на этой голограмме волн сдвинута
по фазе относительно этой записываемой голограммы на угол, близкий к тг/2.
Нетрудно видеть, что этот сдвиг на языке четырехволнового взаимодействия
§3.5
Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде
161
волн означает не что иное, как оптимальную обобщенную фазу взаимодей™
ствия (напомним, что даже в существенно нелинейном режиме эта фаза не
слишком уходит от ее оптимального значения, см. п. 3.5.4 и рисунки 3.11,
3.12). На языке голографии оптимальное (по энергии) считывание происхо-
дит именно благодаря наличию этого фазового сдвига.
Поясним этот процесс более подробно [13]. Попарно-встречное взаи-
взаимодействие четырех волн обусловлено процессами записи и считывания
динамических голограмм, совпадающих с интерференционной структурой
для попарно-интерферирующих волн. В результате такой сложной интер-
интерференции возникают четыре голограммы:
Таблица 3.2
Номер голограммы
Г-1
Г~2
Г~3
Г-4
Интерферирующие (записывающие) поля
Ei, Ез
-Е/2? Е4
Е2, Е%
Ег,Е4
Для дальнейшего целесообразно разобраться, как образуется голограм-
голограмма; ограничимся случаем записи голограммы двумя плоскими волнами [15].
Е\
ВФЕг
;|
\
У
Q
I
щ
\
\
\
Пусть две световые волны Е\^ с комплексными амплитудами Ai =
= щ exp (j(fi) интерферируют в среде, распространяясь в ней под углом 2в
симметрично относительно оси х (рис. 3.15). При |ki?2| = k имеем ki^r =
— fe^cosB. Суммарная интенсивность интерференционной
11 В. Г. Дмитриев
162 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
картины в среде равна:
J = -?-ЕЕ* = -|- {а\ exp [j But - 2кгт)] + А\ exp [j But - 2k2r)] +
47Г 1О7Г I
+ к.с. квадраты + 2А1А2 exp {j [2wt — (ki + кг) г]} + к.с. +
-\-2A1Al-\-2A2A2-\-2A1A2 exp [j (ki - k2) r] + 2Aiv42 exp [j (k2 - ki) r]}.
C.43)
Нетрудно видеть, что первые шесть членов представляют собой бегу™
щие волны на удвоенной световой частоте и, следовательно, не дают вкла-
вклада в среднюю (за период световых колебаний) интенсивность. Члены типа
cAi А* /8тг = Ji суть средние парциальные интенсивности волн, т.е. общий
фон (Ji + J2) интерференционной картины. Собственно интерференцион-
интерференционную структуру дают члены типа 2Ai^A^2 exP [=tj (k\ — ki)].
Отметим (см. рис. 3.15), что плоскости равных фаз перпендикулярны
направлениям распространения волн и образуют волновые фронты, при-
причем поверхности ВФ являются поверхностями постоянной фазы, соответ-
соответствующими положительным максимумам поля. На вертикальных линиях,
положение которых обозначено жирными точками, амплитуды волн в этих
точках складываются — это точки максимальной результирующей ампли™
туды света, а соединяющие их вертикальные линии делят пополам угол
2в между волнами. Эти плоскости локализованы там, где частота верти-
вертикальной штриховки максимальна. Рассматривая треугольник на рис. 3.15,
нетрудно получить связь между периодом интерференционной картины d,
длиной волны А и углом схождения G в виде 2dsm G = А. С возрастанием
В период уменьшается; при в = 0 период становится бесконечно большим.
Поскольку мы имеем дело с волнами, то точки, где результирующая
амплитуда поля максимальна, перемещаются по вертикальной линии, где
частота штриховки максимальна. Скорость их перемещения отличается от
скорости света в среде в cos в раз. Если усреднить по времени квадрат
результирующей амплитуды, то мы получим интенсивность, величина ко™
торой максимальна уже на всей вертикальной полосе, соединяющей жир-
жирные точки. Глаз или любой другой инерционный прибор увидит в среде
неподвижные вертикальные линии интерференции (линии максимумов),
расстояние между которыми равно d. Если мы хотим зафиксировать ин-
интерференцию в фотослое, то разрешение фотоэмульсии должно быть не
хуже \jd линий на единицу длины (например, при А = 0,633 мкм, в = 30°
имеем d = А = 0,633 мкм, при в = 15° d = 1,22 мкм, рис. 3.16).
Из C.43) следует (для простоты положим В = тг/4):
J = J! + J2 + ^ага2 cos [2\[2kz + ^2 - (рЛ . C.44)
Выражение C.44) описывает косинусоидальную пространственную мо-
модуляцию интенсивности интерференционной картины. В частности, при
z = 0 имеем
J =
§3.5
Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде
163
При равенстве фаз ((pi = (р2) получаем J = {\/7\ + л/JT) — сложе-
сложение амплитуд полей, при (р2 — <?i = тг/2 имеем J = J\ + J2 — сложение
интенсивностей (максимум), при ^2 — <?i = ^ имеем вычитание полей, т.е.
J = (\/7l" — л/^2*) (минимум). В общем случае когерентных полей (<?>2 —
— (fi = const) изменение постоянной разности фаз приведет лишь к сдвигу
всей интерференционной картины по оси z; поэтому без ограничения общ™
ности можно принять (fi = (f2, так что
J = Jl
¦ J<i + 2 у/JiJ2 cos f\/2fczl .
C.45)
Рис. 3.16
Период интерференционной картины, т.е. расстояние между максиму™
мами интенсивности, будет равен d = 2тг/(л/2&) = Л/\/2.
Несколько слов о записи в среде полученной интерференционной
картины, т.е. о записи голограммы. Для фотослоя вопрос ясен; фото-
фотоэмульсия реагирует на интенсивность, т.е. на средний квадрат резуль-
результирующей амплитуды, поэтому после обработки фотослоя голограмма
имеет вид, представленный на рис. 3.16. Если мы имеем дело со средой,
которая реагирует на электрическое
поле световой волны только через
безынерционную (электронную) куби-
кубическую нелинейность: напомним, что
время релаксации этой нелинейности
составляет < 10^16 с, что много мень-
ше периода световых колебаний. Таким
образом, безынерционная кубически™
нелинейная среда реагирует на поле че-
рез добавку к показателю преломления
вида п = щ + п2Е2. Нетрудно видеть, что если Е = Е\ + E2j то добавки
вида П2Е1Е1 = П2п\ и П2Е2Е2 = ^2«I? гДе ai,2 — действительные ам-
амплитуды, приводят к сдвигу величины п на постоянную (т.е. зависящую от
интенсивности и не содержащую быстро осциллирующих световых множи-
множителей) величину. В то же время члены вида, например, П2Е^2 осциллируют
с двойными световыми частотами, а пространственно-временная структура
интерференционных членов типа П2Е1Е2 зависит от соотношений между
частотами, волновыми векторами и, естественно, фазами интерферирую-
интерферирующих волн. Здесь важно отметить, что голограмма, т.е. запись интерферен-
интерференции двух волн, в безынерционной кубически-нелинейной среде является
существенно динамической: голограмма перемещается по среде с высокой
(почти световой) скоростью. В терминах рис. 3.15 жирные точки перемеща-
перемещаются по вертикальным линиям, но при этом нет механизма, который помнил
бы о максимальном значении результирующего поля в данной точке пос-
после того, как этот максимум из данной точки ушел. Фотопленка и вообще
любая инерционная среда, время отклика которой много больше периода
световых колебаний, осуществляет это запоминание, благодаря чему в сре-
среде записываются линии, образованные перемещением жирных точек —
164 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
это стационарная голограмма. По сути дела, кубически-нелинейный ме-
механизм инерционной среды интегрирует квадрат амплитуды по времени.
Фотопленка есть пример кубической среды, причем весьма инерционной,
а, например, кристаллы ЫМЬОз или СаСОз — примеры безынерционной
кубически-нелинейной среды. Читатель, разумеется, понимает, что когда
мы говорим о «точках», «линиях», «плоскостях» — это все абстракции; на
самом деле пространственное распределение интерференционной картины
на рис. 3.15 имеет синусоидальный характер по интенсивности, и вместо
«линии» более правильным было бы говорить о полосе некоторой ширины
по определенному уровню интенсивности.
Отметим, что процесс ЧВВ соответствует процессу одновременной за-
записи и считывания именно динамических голограмм.
Итак, волны Е\ и Е% образуют динамическую голограмму Г-1; обмен
энергией между этими волнами, естественно, отсутствует, однако, фазы их
изменяются вследствие самовоздействия. Встречная волна накачки Е2 ди-
дифрагирует на динамической голограмме Г-1 и рождает дифрагированную
(рассеянную) волну Е±. Из элементарной теории дифракции и гологра-
голографии [14] следует, что рассеянная волна Е± комплексно-сопряжена волне Е%
и сдвинута по фазе на тг/2 относительно волны Е2 (напомним, что голограм-
голограмма Г-1 — чисто фазовая; сдвиг по фазе отсутствовал бы, если голограмма
Г-1 была бы амплитудной). Другими словами, интерференционная картина
волн Е2 и E^9 т.е. их динамическая голограмма Г-2, сдвинута относительно
Г-1 на тг/2. В свою очередь, волны Е\ и Е% дифрагируют на голограмме Г-2.
Взаимная дифракция приводит к обмену энергией между четырьмя волна-
волнами, причем если волна Е± на входной грани среды (при ? = 1) отсутствует,
то трансформация энергии идет от волн Ei, Е2к волнам Е%, Е±.
Очень часто волны накачки Е\ и Е2 образуются от одного и того же
источника; например, Е2 может быть образована отражением Е\ от зер~
кала. Поэтому волну Е2 можно считать когерентной с волнами Е\ь Е%.
В силу этого надо учесть еще две голограммы: волн Е2 и Е% (Г-3) и волн
Ei и Е± (Г-4); естественно, учет этих голограмм полностью произведен
в уравнениях C.20)^C.23).
В работе [13] в приближении заданных полей накачки получены форму-
формулы для случая неравных (несимметричных) амплитуд накачки ai?2- В част™
ности, для волны Е$ получено уравнение второго порядка:
^ - j [а\ @) - а\ A)] ^ + а\3а1 @) а\ A) = 0. C.46)
Для случая симметричных волн накачки, т.е. при ai@) = «2A) = 1?
соответствующие решения были получены ранее в п. 3.5.1. При ai@) Ф
Ф а,2A) характеристические корни C.46) таковы, что величины R и G
не обращаются в бесконечность при cos а = 0, т.е. генерация на распреде-
распределенной обратной связи не возникает; с другой стороны, величины R и G
максимальны именно при симметричной накачке.
§ 3.5 Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде 165
Сделаем еще ряд замечаний. Рассмотрим систему уравнений C.24)-
C.28). При 5=0 система имеет ряд интегралов:
a\-al = а\ @) = Ju al + a\ = а\ A) = J2,
а? + а\ = а\ @) + а\ A) = J12, а\ + а^ = а^о = Л
(естественно, не все интегралы, выписанные в C.47), являются незави-
независимыми). Использование интегралов C.47) позволяет свести C.24)-C.28)
к одному уравнению, например для а^ [13], являющемуся уравнением Яко-
би [16]. Решения его суть сложные комбинации эллиптических функций
Якоби. Следовательно, зависимость амплитуды «4 от приведенной длины ?
в общем случае будет периодической, т.е. интенсивности волн аз,4? как
и величины R и G, на выходе нелинейной среды будут осциллировать при
изменении ее толщины (длины) I. Как и в случае ГВГ [2], фазовые соотно-
соотношения на входах среды (? = 0; 1) не влияют на процесс ЧВВ, если хотя бы
одна из волн (в нашем случае сц) на входе отсутствует. Фаза этой рождаю-
рождающейся волны (в нашем случае ^) с неизбежностью устанавливается такой,
что Ф A) = ^тг/2, что соответствует оптимальному усилению.
В случае же «4A) ф 0, «зо ф 0 фазовые соотношения на входах нели-
нелинейной среды становятся определяющими. Однако и здесь многое зависит
от самих величин 124A), азо- Если, например, «4A) не сильно отличается от
нуля, а граничная фаза ^A) такова, что ФA) неоптимальна для роста «4
(например, худший случай Ф A) = +тг/2,т.е. при^ = 1 имеем da^j d^ > 0,
что соответствует уменьшению «4 вдоль отрицательного направления ?),
то процесс ЧВВ быстро переходит через нуль величины «4, а затем фаза
Ф становится оптимальной (—тг/2), и амплитуда а4 начинает нарастать.
Если же величина «4A) достаточно велика, а фаза ФA) не оптимальна,
то на всей длине I может происходить процесс лишь уменьшения «з,4, так
что R <С 1, G <С 1. Наконец, заметим, что существуют среды, в которых
голограммы записываются уже в сдвинутом на тг/2 виде относительно
интерференционной картины записывающих полей [17]. Процесс ЧВВ
в таких средах, очевидно, будет весьма неэффективным, так как он требует
возникновения дополнительного сдвига на тг/2 для оптимального усиления
(дифракции), а в данном случае этот сдвиг будет полностью или частично
компенсироваться сдвигом за счет механизма записи.
В качестве последнего замечания отметим, что до сих пор мы опери-
оперировали терминами плоских волн. При наличии пространственной моду-
модуляции по поперечным координатам (например, для квазиплоских полей
со сложной пространственной структурой, или при рассмотрении пучков,
сфокусированных полей и т.п.) в процесс ЧВВ может существенным обра-
образом вмешаться дифракционное расплывание пучков или неоднородностей
пространственной структуры. В этом случае оператор d/dz должен быть
д j
заменен на — ± -=у Aj_, где А^ — лапласиан по поперечным координатам.
Вопрос об энергетический эффективности ЧВВ для этого случая рассмо-
рассмотрен в ряде работ (см., например, [18]).
166 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
3.5.6. Вырожденное четырехволновое взаимодействие в среде
с инерционной нелинейностью. Выше мы рассматривали кубически-
нелинейные среды с безынерционной (электронной) нелинейностью.
Вместе с тем, во многих средах имеет место поглощение оптического
излучения. Учет коэффициентов линейных потерь в амплитудных урав-
нениях C.24L3.27) прямым образом, т.е. без учета вторичного эффекта
тепловыделения в среде, не приведет к заметному качественному измене™
ншо свойств процесса ЧВВ; количественные изменения иллюстрируются
графиками рисунков 3.13, 3.14. Однако более важно учесть нагрев среды
поглощенным оптическим (лазерным) излучением, который приведет
к неоднородному по пространству изменению коэффициента преломления,
и, следовательно, к существенному влиянию этого изменения на фазовые
характеристики (а через них — и на амплитудные) процесса ЧВВ. В каче-
качестве примера важности учета тепловых самовоздействий на нелинейные
взаимодействия световых волн укажем на процесс ГВГ, энергетические
характеристики которого во многом определяются тепловыми процессами
в нелинейных кристаллах [2].
Поглощенная в единице объема мощность (тепловыделение) q про-
пропорциональна коэффициенту поглощения по мощности 28 и интенсивно™
сти света J (напомним, что 5 — коэффициент поглощения по амплитуде):
q = 28 J.
Рассмотрим тепловую картину в среде, вызванную пространствен™
но-модулированной интерференционной структурой вида C.45). Тепло™
выделение в среде также оказывается промодулированным в простран-
пространстве; характерный масштаб этой тепловой неоднородности, естествен™
но, близок к длине волны света. Вместе с пространственной модуляци-
модуляцией тепловыделения возникают и соответствующие профили температу-
температуры, плотности и показателя преломления. На языке голографии можно
считать, что световые волны, частично поглощаясь в нелинейной сре-
среде, создают в ней динамические голограммы (фазовые решетки). Уста-
Установившиеся амплитуды таких решеток определяются нестационарным
уравнением теплопроводности (см., например, [19]):
¦1-ДГ = VV2 (AT) + — C.48)
dt cpp,
где V2 = д2 /дх2 + д2 /ду2 + д2 /dz2 — лапласиан, AT — пространствен-
пространственный профиль температуры, Ад — аналогичный профиль тепловыделения,
t — время, к1 — коэффициент температуропроводности, р — плотность,
ср —удельная теплоемкость. Естественно, мы считаем, что амплитуды волн
меняются по продольной координате z медленно по сравнению с простран-
пространственным периодом тепловой голограммы.
В общем случае профиль тепловыделения Ад является функцией ам-
амплитуд Ai взаимодействующих волн, которые, в свою очередь, являются
функциями параметров голограммы (тепловой фазовой решетки), этими
же волнами и создаваемой. Таким образом, задача, вообще говоря, являет-
является самосогласованной, и уравнение C.48) следовало бы решать совместно
§ 3.5 Теория ЧВВ световых волн в кубически-нелинейной среде 167
с уравнениями для медленно меняющихся амплитуд C.20)^C.23). Случай
ЧВВ облегчается тем, что условие синхронизма выполняется автоматиче™
ски и роль тепловыделения сводится лишь к созданию тепловой динамиче-
динамической решетки, а не к нарушению фазового синхронизма, как при ГВГ [2];
поэтому уравнение теплопроводности можно решать независимо, правиль-
правильно задавшись дополнительным тепловыделением Aq.
Очевидно, что при бесконечной теплопроводности неоднородность
в пространстве интерференционной картины полей не приведет к тем-
температурной неоднородности и, следовательно, не приведет к появлению
фазовой решетки коэффициента преломления. Так как теплопроводность
все же конечна, то «решетка» AT приведет к появлению «решетки»
An = {dn/dT)AT. Если длительность импульса светового излучения
существенно превышает характерное время установления теплового ре-
режима, то в среде устанавливается квазистационарный режим теплового
поля (напомним, что это характерное время обратно пропорционально
скорости звука в среде, туст « X/v9 где v — скорость звука; при Л = 10™4 см
иг; = 105 см/с туст « 10~9 с) и, следовательно, устанавливается квазиста-
квазистационарная тепловая «решетка» (голограмма). Слово «квазистационарная»
здесь следует понимать в том смысле, что голограмма квазистатически
отслеживает огибающую импульсов световых волн, следя за мгновенной
интенсивностью результирующего поля J(t). Но тогда можно решать
стационарное уравнение теплопроводности:
kV2T(t) = -q. C.49)
Так как интерференционная структура C.45) зависит только от коорди-
координаты z, уравнение C.49) имеет вид
d2TB
dz2
Общее решение уравнения C.50) имеет вид
}(V2kz)\25. C.50)
Т (z) = ^^ + ClZ + ^ cos(V2kz) + C2, C.51)
где А = 28{Jt + J2)/x, В = 25са1а2/D,ттк). Так как dT/ dz\z=0 = 0
(это следует из симметрии тепловой задачи), то Ci = 0. Постоянная С2
определяется граничными условиями.
Из C.51) видно, что периодический (по z) вклад в поле температур
вносит лишь член вида
AT(z) = ^cos(V2kz). C.52)
Итак, вследствие интерференции двух плоских волн в поглощающей
среде в ней возникает периодическое температурное поле AT(z) с пери™
од ом решетки Х/л/2. Соответственно возникает и периодическая решетка
показателя преломления или диэлектрической проницаемости:
ds A de В
168 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
Учитывая, что для кубически-нелинейной среды е^ = Зтг%C), мы мо-
можем сопоставить тепловой нелинейности эффективную кубическую нели-
нелинейность:
(з) Sc de Sen dn
Хэ* = 12тт2кк2^Т = 6тг2жР^Т' (J }
которая, очевидно, тем больше, чем больше потери в среде и de/dT и чем
меньше теплопроводность ж (последнее очевидно, так как при бесконечно
большой теплопроводности решетка температуры мгновенно выравнива-
выравнивается и периодичность исчезает).
Нестационарная теория процесса ЧВВ на тепловой нелинейности рас-
рассмотрена в работе [20] (напомним, что решения C.51), C.52) получены
в стационарном режиме).
В дальнейшем, следуя [20], вычислим амплитуду обращенной волны сц
в приближении заданных полей остальных трех волн (накачку считаем
симметричной, а\ = аг). Полагая tga « а, имеем сц @) « азо«? а для
коэффициента ОВФ-отражения:
\ СП6 )
Подставляя C.53) в C.54), имеем
что с точностью до п2 совпадает с результатом, полученным в работе [20]
предельным переходом из решения нестационарного уравнения теплопро-
теплопроводности. Отметим сильную зависимость эффективности ОВФ R от коэф-
коэффициента теплопроводности среды.
В качестве примера рассмотрим ЕЬО, для которой S = 0,15 см^1 (Л =
= 1,06 мкм), dn/ dT - 10^4град^1, к = 6,4 • 10 Дж/(см-с-град). Полу-
Получим R « 2 - 10^14J2I2.
Для J ^ 106 Вт/см2 (достигается даже в непрерывном режиме лазера),
I = 2 см имеем R = 8 %. Напомним, что формула C.55) справедлива лишь
в области малых R, т.е. в заданных полях волн накачки и сигнала.
Таким образом, тепловая нелинейность может обеспечить заметные
(^ 0,1) значения эффективности ОВФ. В заключение заметим, что вслед-
вследствие достаточной инерционности тепловых процессов пространственная
структура волн накачки и сигнала не должна существенно меняться за вре-
время релаксации тепловой фазовой решетки. При рассмотрении, например,
ОВФ на электронной кубической поляризуемости в поглощающей среде
необходим совместный учет двух процессов ОВФ — теплового и нетеп-
нетеплового.
§ 3.6 ОВФ в процессе чешырехволнового вырожденного взаимодействия 169
§ 3.6 Обращение волнового фронта в процессе
четырежволнового вырожденного взаимодействии
с пространственно-модулированными волнами
До сих пор мы рассматривали процесс ЧВВ в приближении плоских
волн. Однако явление ОВФ для плоских волн (напомним, что в процес-
процессе ЧВВ рассеянная волна Е± является комплексно-сопряженной исходной
волне сигнала) особого практического интереса не представляет; вместе
с тем, параметрические процессы в нелинейной среде — ТВВ, ЧВВ —
обращают ВФ плоских волн, в то время как в явлении вынужденного рас-
рассеяния процесс ОВФ плоских волн места не имеет (см. гл. IV).
В этом параграфе мы рассмотрим ОВФ при ЧВВ, когда исходная сиг™
нальная волна несет изображение (или любую другую пространственную
информацию). В этом случае сигнальная волна уже не является плоской,
а содержит целый набор плоских волн, интеграл которых по простран™
ственным поперечным компонентам волновых векторов образует исходное
изображение (ранее мы обсуждали этот вопрос в связи с ОВФ при ТВВ).
3.6.1. Общие соображении. Функция разброса для неограничен-
неограниченного по поперечным координатам объема взаимодействия. Пусть по™
прежнему а\^ — амплитуды плоских волн накачки, аз — сигнальной
и «4 — обращенной волн. Если все волны плоские, то в приближении
заданных полей накачки имеем (см. § 3.5)
dA4 _ . ьАгА2А1 dA3 _ . 1/mA1A2A%
J оТТХ J ТГХ^
_ ь1 _
nz dz
dz nz dz
Полагая j = ^ттхкА^ @) A\ (l)/n2, имеем
^1 ^ C.56)
Решением C.56) является выражение:
C.57)
эквивалентное ранее полученному решению вида а^ @) = азо tg а при
а = "jl и справедливому для плоских или квазиплоских волн при неогра-
неограниченном по поперечной координате р = {х; у} объем взаимодействия.
Соответственно коэффициент нелинейного отражения равен
1^з @)|2
Поскольку выражение C.57) не зависит от пространственной ко-
координаты р = ix + гш/, то фурье-образ коэффициента пребразования
К = А± @)/А* @) = —jtgG0, т.е. функция разброса преобразователя,
170 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
характеризующая разрешающую способность преобразователя по попе-
поперечным координатам, имеет вид
где S (р) — дельта-функция (см. гл. II). Это означает, что преобразованное
изображение находится в той же плоскости по оси z9 что и исходный объект,
и является его точной комплексно-сопряженной копией [21]. Естественно,
Волна Е2
Нелинейная среда
Веер
сигаальных-
' волн Е3 ОВошъ Ei О
Веер обращенных
Рис. 3.17
амплитуда поля обращенной волны отличается от амплитуды сигнального
поля в соответствии с C.57). С первого взгляда, ОВФ при ЧВВ отличает-
отличается от ОВФ-ТВВ только видом этой формулы C.57), т.е. коэффициентом
преобразования. Однако существенным отличием этих двух процессов яв-
является принципиальная угловая некритичносшъ синхронизма при ЧВВ при
наличии двух встречных ко длине арных плоских волн накачки. В этом слу-
случае для любого направления распространения сигнальной волны найдется
встречно-коллинеарное направление обращенной волны, так что волновые
векторы всех четырех волн образуют ромб, наличие которого означает вы-
выполнение синхронизма (рис. 3.17).
Таким образом, каждой угловой составляющей углового спектра сиг-
сигнальной волны найдется соответствующая угловая составляющая углового
спектра обращенной волны, замыкающая ромб синхронизма. Другими сло-
словами, в отличие от случая ОВФ-ТВВ, ЧВВ-преобразователь при наличии
коллинеарно-встречных волн накачки не фильтрует угловой спектр сигналь-
сигнальной волны при обращении ее волнового фронта, а точно вопроизводит этот
угловой спектр в обращенной волне (в связи с этим, напомним, что ТВВ-
преобразователь является пространственным фильтром именно из-за нали-
наличия угловой зависимости синхронизма, так что на угловой спектр сигнала
при его преобразовании в обращенную разностную волну в процессе ТВВ
накладывается угловая зависимость амплитуды этой обращенной волны).
Заметим, что как и в случае ЧВВ при колинеарно-попутном распро-
распространении плоских волн накачки (см. рис. 3.5), модули волновых векторов
для слабых волн (в нашем случае это к^^) получают нелинейную добавку,
т.е. ^з,4 > ^1,2 = к. Это не снимает вышеописанной некритичности син-
синхронизма при встречно-коллинеарных плоских волнах накачки (рис. 3.17),
так как эта добавка чуть удлиняет противоположные стороны ромба (&з,4)>
§ 3.6 ОВФ в процессе чешырехволнового вырожденного взаимодействия 111
превращая ромб в параллелограмм, весьма близкий к ромбу; синхронизм
при этом практически не нарушается.
Иное дело — в случае синхронизма при попутно-коллинеарном распро-
распространении плоских волн накачки (см. рис. 3.4). Угол синхронизма а и со-
соответствующая угловая зависимость синхронизма при отходе от этого угла
не позволяют обращать произвольный угловой спектр сигнальной волны —
в этом смысле попутно-коллинеарное распространение волн накачки при
ЧВВ аналогично ТВВ (кстати, вторая аналогия — необходимость возврат™
ного зеркала для обращения и продольной составляющей к — здесь также
имеет место). Таким образом, при таком ЧВВ на угловой спектр обращае-
обращаемой волны накладывается угловая зависимость синхронизма, или, другими
словами, ЧВВ-преобразователь при коллинеарно-попутных волнах накачки
является пространственным фильтром. В таком ЧВВ-преобразователе, по
сути дела, достаточно иметь только одну мощную волну накачки.
Возвращаясь к коллинеарно-встречным волнам при ЧВВ, в заключение
отметим, что в случае, когда существенным оказывается влияние дифрак-
ции, вместо уравнений C.20L3.23) следует использовать параболические
уравнения.
Поскольку волна Е± комплексно-сопряжена волне Е%9 то с помощью
ОВФ осуществляется полная компенсация фазовых искажений, внесенных
в квазиплоскую сигнальную волну аберратором, если обращенную волну
Е± снова пропустить через аберратор (см. гл. II). Для того чтобы исполь-
использовать выражения для плоских волн, естественно, необходимо, чтобы вне-
внесенные аберрации не требовали бы учета дифракционных явлений.
Итак, пусть на выходе аберратора имеется волна Е$9 образовавшаяся из
первоначально плоской волны, волновой фронт которой промодулирован
по р аберратором, и эта модуляция описывается множителем exp [jip (р)}:
^з @) = - {А3 @) exp [j (ut - k3r + <р (p))] + k.c.} .
Обращенная ЧВВ-преобразователем волна Е± имеет вид
Е* @) = \ {-А\ @) j tg G0 exp [j {wt - k4r - tp (p))] + k.c.}
и при вторичном прохождении через аберратор превращается в плоскую
волну:
^4=2 ЬМз @) tg (jl) exp [j (out - k4r)] + k.c.}
с амплитудой сц, отличающейся от аз@) в tgGO раз. Отметим, что уже
в приближении заданных полей волн накачки получается, что амплитуда
обращенной волны может быть значительно большей, чем амплитуда сиг-
сигнальной световой волны, а как мы видели в § 3.5, при 7^ = тг/2 коэффициент
ОВФ-отражения становится бесконечно большим (этот эффект генерации
имеет место лишь для симметричных волн накачки).
172 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
Если же исходная волна (до входа в аберратор) несла информацию, за-
записанную в виде квазиплоского изображения (т.е. допускающего пренебре-
пренебрежение дифракцией), то в процессе прохода через аберратор, нелинейную
среду и обратно через аберратор изображение полностью «очистится» от
аберраций (в процессе ЧВВ в среде изображение перекладывается с вол-
волны Е% на обращенную волну Е± — это хорошо известный эффект кросс-
модуляции, имеющий место в любой нелинейной системе).
Из приведенных соотношений следует, что, вообще говоря, процесс
ЧВВ отличается от процесса ТВВ лишь некритичностью (в ряде случаев)
синхронизма и коэффициентом преобразования (в приближении заданных
полей, разумеется), а остальные рассуждения, сделанные в гл. II относи-
относительно ОВФ-ТВВ, остаются в силе и для случая ОВФ-ЧВВ. Вместе с тем,
в нелинейном режиме, когда нельзя считать поля накачки заданными, эти
процессы сильно различаются; например, для симметричных встречных
волн накачки в процессе ЧВВ может возникнуть характерный для систем
с распределенной обратной связью эффект генерации (а = тг/2, так на-
называемая абсолютная неустойчивость), не имеющий аналога в процессе
ТВВ.
3.6.2. Функции разброса при ограниченном взаимодействии по по-
поперечным координатам. Объем нелинейного взаимодействия, как прави™
ло, ограничен. На пути взаимодействующих волн могут быть простран-
пространственные фильтры, например диафрагмы; наконец, сами волны могут быть
пространственно-ограниченными (например, гауссовыми пучками). В ка~
честве примера влияния такого ограничения рассмотрим влияние гауссовой
диафрагмы, расположенной на входе (z = 0) нелинейной среды и имеющей
коэффициент пропускания [21] Т (р) = exp (^p2/pf), где р\ — радиус
диафрагмы по уровню 1/е пропускания. В этом случае функция разброса
преобразователя зависит от р, т.е. становится неидеальной:
Г (р) = -з tg GO (тгро) ехР [- С1 - JPo/Pi) P2/pl] >
где р® = 2zo/(pi^), zq — расстояние от плоскости объекта до гауссовой
диафрагмы. Пусть первоначально плоская волна сигнала проходит через
аберратор с коэффициентом прозрачности exp [j(p (р)]. Тогда коэффициент
восстановления волнового фронта (или, другими словами, степень ком-
компенсации внесенных аберраций) можно оценить как отношение амплитуд
падающей и обращенной (восстановленной) плоских волн, равное
со оо
J J B(p)T(p)dp
— сю — сю
т =
где В (р) = exp [j(<p (p) — (p @))]. В отсутствие диафрагмы (pi = oo) r =
= 1; обычно в теории ОВФ принимается, что восстановление волнового
§ 3.6 ОВФ в процессе чешырехволнового вырожденного взаимодействия 173
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
р/ Ро
0
2 4 6 8 10 po/pi
Рис. 3.18
фронта можно считать удовлетворительным при \т\ ^ 0,7. С использова-
использованием этого критерия построен рис. 3.18 (см. [21]), где в безразмерных ко-
координатах представлена зависимость предельно допустимых поперечных
масштабов восстанавливаемых аберраций от величины po/pi-
Из рис. 3.18 видно, что с уменьшени-
уменьшением радиуса входной диафрагмы (или, что
то же, апертуры преобразователя) величина
Pol Pi = 2zo/fcpf растет, а в соответствии
с графиком величина р/ро = kpip/2zg пада-
ет. Следовательно, с уменьшением р\ возра-
возрастает величина той минимальной простран-
пространственной неоднородности (вносимой аберра-
тором в волновой фронт первоначально плос-
плоской сигнальной волны), которую в процессе
ОВФ-ЧВВ еще можно полностью скомпен-
скомпенсировать. И наоборот, с ростом р\ возможна
компенсация все более мелких аберраций.
Таким образом, в процессе ЧВВ с коллинеарно-встречными волна-
волнами накачки угловой спектр обращаемых компонент сигнала определяется
лишь входной апертурой преобразователя, что естественно, если вспомнить
рис. 3.17 и сопутствующие ему рассуждения о некритичности в этом случае
синхронизма ЧВВ к угловому спектру обращаемой (сигнальной) волны.
Физика здесь тоже весьма проста: диафрагма, точнее, входная апертура ЧВВ-
преобразователя не пропускает ту часть углового спектра сигнала, которая
Выходная плоскость
тонкого аберратора
Полный
угловой
спектр
сигнала
Диафрагма
Заштрихована часть углового спектра,
попадающая в ЧВВ—преобразователь
Рис. 3.19
не попадает в диафрагму (рис. 3.19). Немалую роль тут играет и расстояние zq
от плоскости объекта (в данном случае от выходной плоскости тонкого абер-
аберратора) до входной плоскости (z = 0) нелинейной среды. Действительно, чем
ближе аберратор к преобразователю (т.е. чем меньше zq), тем меньше
174 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
(при pi = const), т.е. тем больше р/ро, и, следовательно, тем меньше тот
минимальный поперечный размер неоднородности, вносимой аберратором,
который полностью может быть скомпенсирован в процессе ОВФ-ЧВВ.
Очевидно, что чем ближе преобразователь к аберратору, тем более мел™
кие неоднородности волнового фронта могут быть скомпенсированы. Та-
Таким образом, учет ограниченности преобразователя по р приводит к неиде-
неидеальности преобразователя даже для встречных коллинеарных волн накач-
накачки — диафрагма придает ему характеристики пространственного фильтра
с определенной полосой пропускания.
3.6.3. Влияние расходимости волн накачки. В § 3.5 (п. 3.5.3) мы рас-
рассмотрели влияние волновой расстройки А на эффективность преобразова-
преобразования при ЧВВ в плоских волнах и показали, что исходная амплитуда обра™
щенной волны определяется формулой, которую можно переписать в виде
(С = 0):
. . sine (cry)
а4@) = о3о L^Z, C.58)
cos a.
где sine ж = sinx/x, 7 = \А + [Al/Bot)] . Решение C.58) является точ-
точным в приближении заданных полей накачки и при таких значениях приве-
приведенной нелинейности а, при которых cos а отличается от единицы. Однако
если коэффициент отражения обращенной волны Д<1, решение уравне-
уравнений C.40) можно получить при дополнительном допущении а4 (О <С азо?
т.е. дополнительно и в приближении заданного поля сигнальной волны.
Тогда из C.40), C.41) следует
da4, д I cos a I
Ф A—Асц C.59)
2aa
Решение C.59) очевидно:
_ sin [AI A-0/2]
a4 @ = аа30 '
и при ? = 0 получаем
а4 @) = сшзо sine (AZ/2).
При этом выводе мы полагали a<l, cos a « 1. При этом А = 0,
и последняя формула переходит в решение
а4 @) ^аа3о,
которое, в свою очередь, следует из решения «4 @) = азо tg а при а <С 1.
Несколько слов о расстройке А. Как и в случае ТВВ, А = AZ9 где Az —
z-компонента вектора А = ki + k2 — k3 — k4. Интересно отметить, что
при плоских, но неколлинеарных встречных волнах накачки (точнее, ква-
зико длине арных, так как величина А мала), волновая расстройка по осям
х и у (т.е. по координате р) компенсируется за счет поворота вектора к4;
§ 3.6 ОВФ в процессе четырехволнового вырожденного взаимодействия 175
поэтому Ж\ + Ж2 = Хз + ж4 (напомним, что ж = \кх + тку — поперечная
составляющая волнового вектора к, где I, m — орты по осям ж, у). Этот по-
поворот к4 относительно направления к3 приводит к смещению обращенного
изображения в поперечной плоскости.
Полное выражение для комплексной амплитуды обращенной волны
имеет вид (в приближении заданных полей трех волн) [21]:
А4 (О, ж4) = -jaA% @, х3) ехр (-jAZ/2) sine (AI/2). C.60)
Решение C.60) позволяет в явном виде найти зависимость фазы Ф от
продольной координаты ? (для нахождения этой зависимости можно вое™
пользоваться также и решениями уравнения C.59):
cos Ф (С) = - sin [AI (I - ?)/2]. C.61)
Используя полученные ранее решения C.41), C.42), справедливые
в приближении заданных волн накачки (т.е. учитывающие и изменения
амплитуды аз (О)? нетрудно получить более общее решение, чем C.61):
cos Ф (?) = -Д//Bа) sin [aj A - f)] |V ~~ sin2 (а7 С1 - 0)] ~±/2 >
где 72 = 1 + (А1/Bа)) . Из выражения C.61) следует, что cos^(O) =
= — sin (AI/2) « — AI/2, т.е. при малых AI косинус фазы линейно умень-
уменьшается с ростом AI.
Итак, мы убедились, что расстройка в выполнении строгого синхрониз-
синхронизма ki + k2 = k3 + k4 = 0, т.е. в выполнении строгой коллинеарности
волн накачки, приводит к существенному падению коэффициента ОВФ-
отражения; в частности, из C.58) следует R = sine2 (aj)/cos2 а, а в при-
приближении трех заданных полей R^a2 sine2 (AI/2). Эти выражения можно
назвать кривыми синхронизма ЧВВ.
Вспоминая, что в этом приближении при
строгой коллинеарности волн накачки R =
= а2, получаем, что в простейшем прибли-
приближении коэффициент ОВФ-отражения падает
с ростом расстройки как фактор sine2 (AI/2).
Интересно отметить, что такой же фактор / \ А1/2
имеет место в процессе ГВГ в выражении для ^^~>/"~v—I—ч/^^—хг
интенсивности второй гармоники при нал и- ж ж ^
чии расстройки [21] (рис, 3.20). рис. з.2О
Итак, мы убедились, что расстройка в кол™
линеарности встречных волн накачки может оказать значительное влияние
на процесс ЧВВ. Действительно, уже при AI/2 = тг/2 величина R падает
вдвое. Это означает, что уже при А = тг/I, т.е. при I « 3 см А « 1 см, или
A/fc^lO^5 (это соответствует углу расстройки порядка 3 • 10 ^3 рад., или
около 10 угл. мин.) эффективность ОВФ падает вдвое, а при А = 2тг/1 —до
нуля. Таким образом, расходимость одной из волн накачки (при условии, что
другая волна накачки—плоская) резко снижает эффективность ОВФ. Появ™
ление в теории кривых синхронизма R означает, что ЧВВ-преобразователь
176 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
становится пространственным фильтром — функция разброса преобразо-
преобразователя имеет конечную ширину, даже если изображение формируется непо-
непосредственно на входной грани нелинейной среды. Это естественно, так как
при строго мшлинеарных встречных волнах накачки, как мы видели, в част-
частности, из обсуждения рис. 3.17, угловой спектр обращенной волны всегда
будет соответствовать угловому спектру сигнала. Если же та же мощность
(энергия) накачки «разбросана» по углам (т.е. волна накачки имеет расхо-
димость), то на угловой спектр сигнала належится кривая синхронизма,
искажающая (ограничивающая) угловой спектр преобразованного сигнала
обращенной волны.
Пусть, в частности, волна накачки Е2 имеет плоский фронт [20] А2 (ж2) =
= А28 (Ж2), а Е\ имеет конечный равномерный угловой спектр в пределах
I 0, K\ > Kq.
Используя выражение C.60) и произведя фурье-преобразование, для
функции разброса получим
г / ч _ f «/(^орор2) [exp (jKOp2/po) - exp (JMOp)] , р ^ р0, ^ _
\ 0, р > ро-
где ро = Kolfk. Вид функции C.62) показан на рис. 3.21.
Итак, влияние расходимости накачки проявляется в том, что, так
как мощность ее теперь распределяется по угловым составляющим
спектра (например, равномерно), то эф-
п I | х KFл -л fj01 u фективно участвуют во взаимодействии
только компоненты, лежащие в централь-
центральном максимуме кривой синхронизма R(A)
(см. рис. 3.20), а вся остальная мощность на-
накачки преобразуется неэффективно.
— in Небезынтересно отметить, что если обе
волны имеют расходимость, то может ока-
оказаться, что так как попарно-коллинеарные
JVPo угловые составляющие спектра обеспечива-
О55 10 ют синхронизм для произвольного углово-
углового спектра сигнала, то расходимости волн
Рис. 3.21 накачки будут взаимно компенсироваться.
Полная взаимокомпенсация, очевидно, будет
иметь место при симметричных волнах накачки, т.е. обладающих одинако-
одинаковым равномерным угловым спектром, так что для каждой угловой соста-
составляющей одной волны всегда найдется коллинеарная ей встречная пара.
Подробнее об этом см. п. 3.7.3.
§ 3.6 ОВФ в процессе чешырехволнового вырожденного взаимодействия 111
3.6.4. О влиянии дифракции на процесс ОВФ-ЧВВ. До сих пор при
исследовании ОВФ-ЧВВ мы ограничивались рассмотрением плоских или
квазиплоских волн сигнала, т.е. пренебрегали дифракционными явления-
явлениями. В соответствии с этим, мы использовали укороченные уравнения, не
содержащие дифракционных членов, а аберратор считали тонким.
Влияние дифракции в процессе ОВФ-ЧВВ может проявиться двояко.
Во-первых, при прохождении первоначально плоской сигнальной вол-
волны через аберратор в процессе самого этого прохождения на расстояни-
расстояниях порядка длины аберратора могут развиться дифракционные явления —
т.е. дифракционное расплывание неоднородно стей, внесенных аберрато-
ром; в этом случае аберратор и внесенные им искажения уже не могут
быть охарактеризованы экспоненциальным множителем exp[j(p(p)], т.е.
аберратор не может считаться тонким; другими словами, искажения, вно-
вносимые аберратором, уже не могут считаться чисто фазовыми, как в случае
тонкого аберратора, а вследствие дифракции («перемешивания») фазовые
искажения на выходе аберратора частично или полностью превращаются
в амплитудные; для тонкого аберратора связь полей сигнала на входе Е% (р)
и выходе Е'3 (р) аберратора дается выражением (см. гл. II):
E3{p)=E3(p)exP\j<p(p)], C.63)
в то время как для протяженного аберратора, т.е. в общем случае произ-
произвольной неоднородной среды с учетом, естественно, дифракции, эта связь
осуществляется через функцию Грина аберратора G (р, pf):
')dp' C.64)
(физический смысл функции Грина обсуждался в гл. II); соответственно,
учет дифракции необходим и при повторном прохождении (теперь уже
обращенной) волны через аберратор, так что восстановленное поле на вы™
ходе аберратора имеет вид
ЕА (р) = J G (p,pi) Г (рь р2) G* (р2,р3) Е'*3 (р3) dPl dp2 dp3, C.65)
где Г (pi, P2) — функция разброса преобразователя.
Из C.65) с очевидностью следует, что восстановление волною фронта
в случае протяженного аберратора принципиально не может быть полным;
при анализе общего случая C.64) наибольшую трудность вызывает опре-
определение конкретного вида функции Грина;
Во-вторых, дифракционные явления могут иметь место и в самом ЧВВ-
преобразователе, в связи с чем в укороченные уравнения следует ввести ди-
дифракционные члены; в параболическом приближении в уравнениях C.20)-
C.23) оператор д/dz следует заменить на оператор д/dz — jA±/Bk)9 где
А± — лапласиан по поперечным координатам.
12 В.Г.Дмитриев
178 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
Первый аспект влияния дифракции, связанный с протяженностью абер-
ратора, рассмотрен в ряде работ, например в [22]. Полученная в этой рабо-
те зависимость коэффициента восстановления плоской волны от толщины
(протяженности) аберратора L приведена на рис. 3.22.
Таким образом, протяженность аберратора и, как следствие, проявле-
проявление дифракционного расплывания приводит к сильному падению величи-
величины коэффициента восстановления плоской волны
после прохода по каналу: аберратор-ЧВВ-преобра-
1,0
0,8
0,6
0,4
зователь^аберратор. Нетрудно понять и физическую
причину этого явления, которая непосредственно
связана с физической природой функции Грина абер-
L^ ратора, входящей в C.63), C.64) и обсужденной
5 10 15 20 в гл* ^* Здесь мы лишь кратко повторим основные
аспекты этой природы.
Рис. 3.22 В тонком аберраторе, искажения волнового
фронта в котором описываются формулой C.63), по-
поперечная структура волны сигнала при прохождении через аберратор пол™
ностью сохраняется, только в каждой точке р = {х;у} аберратор вносит
набег фазы (р (р). Этот набег меняется от точки к точке, но важно то, что
поле на выходе аберратора в некоторой точке р полностью определяется
полем на входе аберратора в той лее точке р и сдвигом фазы опять же в
той же точке р. Нетрудно видеть, что изложенное соответствует случаю
геометрической оптики, причем для прямых (нерассеянных) лучей.
В протяженном аберраторе ситуация меняется. Прежде всего отметим,
что неоднородности показателя преломления, которые в тонком аберрато-
аберраторе привели бы только к фазовым искажениям, в протяженном аберраторе
могут привести и к амплитудному перераспределению поля в попереч-
поперечной плоскости, причем как за счет преломления света на неоднородностях
(это явление можно также описать в рамках геометрической оптики), так
и за счет дифракции на неоднородностях. В обоих случаях поле в неко-
некоторой точке р\ в выходной плоскости аберратора будет, вообще говоря,
определяться полем на входной плоскости в некоторой другой точке р2
или даже во многих точках входной плоскости. Это и определяется двой-
двойным интегралом C.64), а при двойном прохождении через аберратор (после
ЧВВ-преобразователя) — шестикратным интегралом C.65). Естественно,
в общем случае не приходится говорить о полном восстановлении перво-
первоначального поля (см. также гл. II).
Теперь кратко обсудим влияние дифракции непосредственно на сам
процесс ЧВВ. В приближении заданных полей накачки в уравнения типа
C.56) следует ввести лапласиан по поперечным координатам р = {х; у}:
^AA {3-66)
где 7 = Зтгх^А| @) А% @)/п2. Перейдем к фурье-образам амплитуд, т.е.
к разложению неоднородного поперечного распределения в угловой спектр
§ 3.6 ОВФ в процессе чешырехволнового вырожденного взаимодействия 179
по плоским волнам (см., например, [23]):
оо оо
1 Г Г
\ Si (ж, z) exp (JMp) dn. C.67)
— оо — оо
Подставляя C.67) в C.66) и учитывая, что ж% = ^^4> dn^ = — dn^
= к\ = х2, получаем, приравнивая подынтегральные выражения {C =
C.68)
^ + i/354 J7S3, ^
dz dz
Граничные условия: 5| @) = 5|0; S4 (I) = 0.
Напомним, что величины Si можно рассматривать как амплитуды пар™
циальных плоских волн углового спектра, распространяющихся под углом
а ^ к/k к направлению волн накачки.
Можно, конечно, сразу решать уравнения C.68), например, следующим
образом. Вводя обозначения и = S4 exp (j/3z)9 v = S% exp (-\-j/3z)9 вместо
C.68) получаем
ди dv*
— = -jjv* exp (j2/3z), — = -ми exp (-j2/3z).
Итак, в этих уравнениях имеются экспоненциальные члены с расстрой-
расстройкой А = 2C = к2/к. Дальнейшее решение уравнений ведется традицион-
традиционными методами.
Переходя к действительным амплитудам и фазам углового спектра с по-
помощью формулы Si = щ exp (j(fi), где щ = |5^|, получаем
du4 . т du% . т
dz dz
C-69)
dz \u3
Как и ожидалось, мы получили уравнения для плоских волн типа C.40).
Любопытно заметить, что роль расстройки здесь играет член 2E = к2/к,
описывающий, как нетрудно видеть, дифракцию и появившийся вследствие
наличия лапласианов в C.66).
Используя интеграл вида и2 (z) + и\ (z) = и2 @) + и\ @) = и$9 где нам
известна только величина гхз@), а 114@) должна быть вычислена, из C.69)
имеем (см. [2])
d cos Ф Г д , 9 х cos Ф
= - ГД + Bа2 - 1)
da sin Ф da [ «л/l — а2
C.70)
12*
180 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
где а = щ/щ, А = —2/3/j. Интегрируя C.70) относительно соэФ, полу-
получаем
Аа2/2 + С
совФ = /
ал/1 — а2
Так как аA) = 0, то постоянная С = 0, поэтому
cos* = Аа/Bл/1-а2). C.71)
Уже из выражения C.71) видно, что влияние дифракции приводит к то-
тому, что фаза Ф отходит от оптимальной Ф (I) = ^тг/2, причем на малых
расстояниях от правой (z = I) границы среды, когда можно пренебречь под
корнем C.71) величиной а2<1, имеем
т . ч Аа x2ii4
cos^(z) = =
1 ; 2
Таким образом, косинус обобщенной фазы линейно с амплитудой обра-
обращенной волны и^ отходит от оптимального значения cos* = 0, причем
тем быстрее, чем больше к (т.е. чем мельче детали изображения или просто
пространственной модуляции сигнальной волны).
Подставляя C.71) в C.69) и интегрируя уравнение для гц, получим
^4 = (щ/р) sin [jp (I - z)}, C.72)
где р = л/1 + ж4/D72^2). Вычисляя 114@) из C.72) и решая полученное
уравнение относительно 114@), имеем
U4 (Uj = |О4 @)| = рзо —I {3.73)
ур2 - sin2 (jpl)
Используя C.73), можно определить г^о, и тогда C.72) запишется в виде
sin [7р (I ^ z)]
р2 - sin2 (jpl)
Коэффициент преобразования в обращенную волну равен
¦ C.74)
\si
р2 — sin ("уpi)
Из C.74) нетрудно получить частные случаи. Если дифракцией можно
пренебречь, то р = 1, и из C.74) следует К @) = tg G^)-
При малых jly когда можно пренебречь членом sin2 (jpl) <C p2 под
корнем C.74), имеем К (ж, 0) ^7^ sinc
§ 3.6 ОВФ в процессе чешырехволнового вырожденного взаимодействия 181
Таким образом, учет дифракции для случая 7^<1 сводится к умно™
жению коэффициента преобразования по амплитуде на величину
sine f jld 1 + K4/Dj2k2) 1 ^ 1, т.е. к быстрому уменьшению эффек™
тивности ОВФ с ростом к (т.е. с уменьшением характерного размера
неоднородности в поперечном сечении сигнальной волны).
В частности, К = 0 при jpl = тг, откуда р = n/jl = yl +
х4/D72^2) = тг2/G2^2) — 15 и для максимально допустимого угла ди-
дифракции а = к/k получаем
к2 72|2 1'
Для 7^ ~ ОД; I = 5 см; к = 6 • 104 см^1 имеем
а4 « 4, 4 • 10^10 или а ^ 16угл.мин.
Таким образом, мелкие детали изображения, соответствующие дифрак-
дифракционному углу порядка или более 16 угл. мин., уже не воспроизведутся
в обращенной волне, т.е. не произойдет и восстановление до плоской вол™
ны после вторичного прохождения аберратора. Отметим, что угол 16 угл.
мин. соответствует размеру d « 1/к = 3,5 • 10^3 см « 35 мкм.
Функция разброса ЧВВ-преобразователя Г (р), являющаяся фурье-об-
разом коэффициента преобразования C.74) и характеризующая качество
обращения волнового фронта, естественно, не будет при этом однород-
однородной. В частности, изображение точки размоется в таком преобразователе
в пятно, а восстановление плоской волны будет тем более неполным, чем
меньшими размерами неоднородности волнового фронта характеризуется
прошедшая через аберратор первоначально плоская волна.
Итак, дифракция света в аберраторе и в ЧВВ-преобразователе ухудшает
качество восстановления мелких пространственных структур в попереч-
поперечном распределении сигнала после его вторичного прохода аберратора. Это
связано как с протяженностью аберратора, так и с дифракционными яв-
явлениями в ЧВВ-преобразователе. Если первоначальная сигнальная волна
несла регулярное изображение (т.е. еще до выхода в аберратор имела по-
полезную пространственную модуляцию), и аберратор внес дополнительную
шумовую (паразитную) модуляцию, то снятие этой паразитной модуляции,
т.е. восстановление исходного изображения методом ОВФ и вторичного
прохождения через аберратор, будет тем более неполным, чем меньшие де-
детали изображения и аберраций имеют место, т.е. чем сильнее проявляется
дифракция.
В заключение заметим, что дифракция не проявляется на расстояниях
z <с Ддиф = kd2/2, где Ктф — характерная дифракционная длина. Так,
для вышеприведенного примера при d = 35 мкм, к = 6 • 104 см^1 имеем
-Кдиф ^0,7 см, что существенно меньше I = 5 см, т.е. дифракция здесь
оказывается существенной.
182 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
Почему дифракция приводит к появлению расстройки? Проследим ре-
решение этого вопроса на примере распространения гауссова пучка, имею-
имеющего на входе (z = 0) среды плоский волновой (фазовый) фронт и гауссово
поперечное распределение амплитуды [24]:
C.75)
Здесь р2 = х2 + у2, а — характерная ширина (радиус) пучка при z = О
¦ уровню е^1 амплитуды.
Уравнение параболического приближения имеет вид
дА
2jklh + А±А = °' C*76)
Решение C.76) при граничном условии C.75) имеет вид
А (р, z) = B (р, z) exp (j№). C.77)
Действительные амплитуда и фаза в C.77) равны
В(р, г) = Ло [l + (z/RaJ] "V2 exp |-g [l + (^/ДдJ] "*} , C.78)
-1
— arctg [z/Rjj) , C.79)
где КД = ко2/2 — характерная дифракционная длина, или волновой пара-
параметр, играющий большую роль в теории дифракции. Мы уже отмечали, что
при I/R-jx <С 1 влияние дифракции пренебрежимо мало, это же следует и из
уравнений C.77)-C.79): в этом случае А (р, z) « А @), т.е. гауссов пучок
распространяется в среде без изменения.
Если же условие l/R^ <C 1 не выполняется, гауссов пучок претерпевает
значительные изменения. Из C.78), в частности, видно, что ширина пучка
растет с ростом z по закону a2 (z) = а2 1 + (z/RA) , а амплитуда падает
как Aq I + {z/Rjj) . Рассмотрение фазы пучка показывает C.79), что
если на входе (z = 0) среды фазовый фронт плоский, т.е. Ф (р, 0) = 0, то при
z > 0 фазовый фронт значительно искривляется. Исследуя полученные ре-
решения, можно показать, что по мере распространения от z = 0 до значений
z таких, что {z/Rjj) >> 1, пучок претерпевает изменение от квазиплоской
волны до сферической.
Такие изменения пучка приводят к двум следствиям. Пучок расширяет-
расширяется, и, следовательно, падает плотность мощности излучения в среде. Кроме
§ 3.6 ОВФ в процессе чешырехволнового вырожденного взаимодействия 183
того, изменяется и фаза пучка: например, на его оси (р = 0) от нуля при
2 = 0до(^тг/2) при z —>• оо. Нетрудно видеть, что оба этих факта при ЧВВ
в гауссовых пучках приведут к сильному изменению характеристик ОВФ.
Угловой спектр распространяющегося излучения изменяется в фазовом
смысле [24]:
S(kx,ky,z) =
C.80)
где ж2 = к2 + ку. Другими словами, это изменение связано со сдвигом
фаз между различными парциальными составляющими, т.е. плоскими вол™
нами, распространяющимися под разными углами к оси z и имеющими,
вследствие этого, разные величины ж и kz = л/к2 — ж2. Итак, фаза каждой
парциальной компоненты изменяется с z, что, вообще говоря, и означает
не что иное, как наличие расстройки чисто дифракционного типа (фаза
уходит от оптимальной, и эффективность ОВФ падает по сравнению со
случаем отсутствия дифракции). Заметим, что при к <^ к
и из C.80) имеем
5 (х, z) = S (х, 0) exp i jkz - j
Это и есть та самая расстройка C = к2/21с, появляющаяся вследствие
учета дифракции.
На падение эффективности ОВФ, естественно, влияет и падение плотно-
плотности мощности из-за расширения пучка, но этот фактор действует слабее,
чем фазовый.
3.6.5. Оптические схемы ЧВВ-ОВФ. Оптические схемы ЧВВ немно-
немногим отличаются от таковых для ТВВ. Например, в схеме с попутным взаимо-
взаимодействием реализуется обращение волнового фронта только для попереч-
ко ко
Обращенная
волна
Рис. 3.23
Рис. 3.24
ных составляющих волнового вектора, и для полного обращения требуется
отражение обращенной волны от зеркала (рис. 3.23).
184
ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах
Гл. III
В обычной встречно-коллинеарной (по волнам накачки) схеме реали-
реализуется полный процесс ОВФ (рис. 3.24). Встречная волна Е2 может быть
введена в нелинейную среду двумя путями — независимо (рис. 3.25 а) и за
счет отражения волны Е\ возвратным зеркалом (рис. 3.25 б). Об особенно-
особенностях использования этих схем, см. п. 3.7.3.
Ег
Е2
у,
Рис. 3.25
С их учетом можно использовать схемы ОВФ-ТВВ, описанные в гл. II.
Приведем также схему ЧВВ с кольцевым резонатором, приведенную в
[22] (рис. 3.26). Сигнал Е% заводится в резонатор через полупрозрачное
зеркало 1. Зеркала 1, 2, 3 резонатора создают положительную обратную
связь как по сигнальной, так и по обра™
щепной волне, что дает значительный
выигрыш по эффективности ОВФ; при
определенных условиях он может со-
составлять, по оценкам, несколько поряд-
порядков. При этом может возникнуть и че~
тырехфотонная параметрическая гене-
генерация.
Так же, как и при ОВФ-ТВВ, в схе-
схемах с ЧВВ могут быть использованы
однопроходовые схемы, в которых вол-
волна сигнала проходит через аберратор и преобразуется в комплексно-со-
комплексно-сопряженную (обращенную) волну в поле накачки, также прошедшей через
аберратор; вторая волна накачки должна быть плоской. Однако вырожден™
ностъ волн в процессе ЧВВ по частоте позволяет реализовать однопро-
однопроходную схему ЧВВ, в которой используется прохождение через аберратор
только сигнальной волны, которая потом делится на два пучка: один яв-
является собственно сигналом, а второй (после прохождения оптимального
пространственного фильтра) является накачкой; другая волна накачки вы-
выбрана плоской. Анализ такой схемы приведен в [25].
Рис. 3.26
§3.7 Некоторые дополнительные вопросы ЧВВ 185
§ 3.7 Некоторые дополнительные вопросы
четырежволновыж взаимодействий
3.7.1. Еще раз о механизмах ОВФ в голографическом изложении.
Как уже указывалось, процесс ЧВВ при встречно-мжлинеарных волнах на™
качки можно рассматривать как голографический. Интерференция попут-
попутных волн а\ и аз (г) записывает в среде голографическую решетку коэф-
коэффициента преломления или диэлектрической проницаемости вида 8е (г) =
= Х13А1А3. Считывание этой голограммы встречной волной накачки А2
дает слагаемое в поляризованности вида xis^-i^b^l- С Другой стороны,
интерференция встречных волн А2 и А3 (г) дает голограмму 5е (г) =
= Х2з^-2^3' а считывание ее волной накачки А\ дает слагаемое в поля™
ризованности вида Х2%А\А2А%>. Кроме того, для случая безынерционной
нелинейности взаимодействие встречных плоских волн накачки приводит
к однородной по пространству модуляции е с удвоенной оптической часто™
той
бе (г, t) = X12 [AiA2 ехр (-2jut) + А*гА* exp Bjut)]. C.81)
Рассеяние сигнального поля А$ (г) на этих возмущениях дает вклад в по™
ляризованность на частотах Зи и ш; при этом член на частоте ш имеет вид
Xi2 А\А2А%. В результате суммирования этих трех процессов возникает поля-
ризованность на частоте ш вида х^ АгА2А3 (г), где %^ ~ Х12 + X13 + Х23-
Для взаимно-сопряженных волн накачки пространственная зависимость этой
поляризованности, возбуждающей волну Aj, соответствует комплексно-со-
комплексно-сопряженной по отношению к волне сигнала, т.е. Е4 ~ Е? [26, 27].
Важно отметить, что первые два процесса, связанные с записью и счи~
тыванием голограмм вида А\ А\ (волной А2) и А2 А^ (волной А{) являются
медленными по отношению к быстрым осцилляциям светового поля:
Eh2E*3 - Ah2A*3 exp [j (k1J - k3) r] и А1>2А*3 (г), C.82)
причем выражение C.82) справедливо при |ki?2| = |k3|. В то же время
третий процесс C.81) содержит модуляцию параметров среды на часто™
те второй гармоники Bа;), т.е. возможен лишь для безынерционных сред
(например, для случая безынерционной кубической электронной нелиней™
ности). Следует обратить внимание, что проведено разделение быстрых (с
оптической частотой 2ш) и медленных (по сравнению со световым перио-
периодом — сверхмедленных) процессов ОВФ. Быстрый процесс можно назвать
параметрическим в том смысле, что две встречных волны накачки создают
модуляцию коэффициента преломления (или диэлектрической проницае-
проницаемости, воприимчивости) на удвоенной оптической частоте, т.е. на часто™
те второй гармоники: к = щ ехр Bjut). Заметим, что здесь отсутствует
пространственное изменение, т.е. в поле двух встречных волн накачки вое™
приимчивость меняется во времени как целое (т.е. сразу, одновременно,
в фазе — по всему объему взаимодействия волн накачки). Для создания та-
такой чисто временной модуляции ?c{t) требуется кубическая нелинейность
186 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
среды, но эта нелинейность нужна лишь как средство создания такой мо-
модуляции. Дальнейший процесс ОВФ «быстрого» типа позволяет «забыть»
нелинейность и обе волны накачки, и процесс ОВФ можно рассматривать
как происходящий в линейной среде, но с переменным во времени парамет-
параметром х, т.е. в линейной среде с переменными параметрами. Если в эту среду
входит волна с частотой и, то возникает чисто параметрический (линей-
(линейный!) процесс генерации разностной частоты:
Р = K(t)E3 = к0 ехрBjut) - -{А3 exp [j (ut - kz)} +
+ Al exp [-j (out - kz)}}. C.83)
Из C.83) следует, что в линейной поляризованное™ возникает член вида
щА^ exp [j (ut + kz)], полностью комплексно-сопряженный волне сигна-
сигнала Е% (изменился знак и у kz, и у фазы). Следовательно, возникает и волна
Е±9 обращенная по фазе по отношению к сигнальной волне Е%. Итак, налицо
процесс ОВФ, происходящий на безынерционной кубической электронной
поляризуемости, причем эта нелинейность лишь обеспечивает модуляцию
диэлектрической восприимчивости на частоте второй гармоники.
Все три механизма дают вклад в одну и ту же обращенную волну Е^.
Если волна сигнала имеет частоту и%, отличающуюся от и, то обращен™
ная волна E± возникает на частоте ш^ = 2и — ш\ (невырожденное ЧВВ).
Для полноты картины укажем, что волны накачки также могут быть невы-
невырожденными, т.е. иметь разные частоты ш\, ш2. В этом случае кубическая
нелинейность приводит к пространственно-временной модуляции к вида
(напомним, что волны Е\^ встречно-коллинеарны):
*(z,t) =xi2(^4i^2exp{-j[a;o*+ (fci - k2) z}} + к.с),
где +
Если частоты и\ и а;2 близки, то k\— k2 <Clci?2, период пространственной
модуляции значительно больше А (Т « 1/(к\ ~~ к2) ^> А = 2ir/k{), и все
вышесказанное о вырожденном случае сохраняет силу. Естественно, случай
существенно разных к\^ приводит к достаточно частой пространственной
модуляции и должен быть рассмотрен особо.
Наконец, вспомним, что при ЧВВ для плоских встречно-коллинеар-
ных волн накачки условие синхронизма выполняется автоматически для
любого направления волны сигнала (мы видели, что характеристики такого
преобразователя определяются лишь апертурными эффектами, например
апертурой нелинейного преобразователя). Если же процесс ЧВВ не выро-
вырожден по частотам взаимодействующих волн, то синхронизм уже не мо-
может быть выполнен автоматически, а выполняется лишь при определенной
геометрии взаимодействия для заданных частот и направлений двух волн
накачки и волны сигнала. Об этом полезно поговорить особо.
§3.7
Некоторые дополнительные вопросы ЧВВ
187
3.7.2. О выполнении условий синхронизма при невырожденном
ЧВВ. Рассмотрим случай невырожденного по частотам ЧВВ, в котором
частоты шх, LJ и направления волновых векторов кь к2 волн накачки
фиксированы. Условие синхронизма для невырожденного ЧВВ имеет вид
2 =
k4.
Если заданы также и направление волнового вектора кз, и частота ш%
сигнальной волны, то вследствие кубической нелинейности возникает по-
ляризованность среды на частоте ш4 = ш\ + Ш2 — ои% вида
Ра (г, t) = 2Х{3)АгА2А; exp [-ju>4t + j (кг + k2 - k3) r], C.84)
но, в отличие от вырожденного по частоте ЧВВ и вследствие дисперсии
среды, т.е. зависимости к(ш), вектор ki + k2 — k3 может не совпадать с век-
вектором к4, определяемым дисперсией среды. Точнее, если взять произволь™
но заданную геометрию векторов ki?2,3 (рис. 3.27), то вектор k4 = q — кз
Вырожденное ЧВВ
Невырожденное ЧВВ
к4
Поверхность
синхронизма
Рис. 3.27
по модулю совершенно не обязан совпасть с величиной собственного, т.е.
определяемого дисперсией среды, вектора
188 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
По аналогии с ГВГ и ТВВ, вектор k4 = q^ k3 можно назвать вынужден-
ным вектором, ибо именно с этим вектором распространяется вынуждаю-
вынуждающая волна поляризованное™ C.84). Очевидно, что условие синхронизма
будет состоять в равенстве собственного и вынужденного векторов \а±, т.е.
Таким образом, произвольная геометрия векторов волн накачки и сигнала
не обеспечивает синхронизма при невырожденном ЧВВ, и это справедли-
справедливо в том числе и для встречно-коллинеарных (невырожденных по частоте)
волн накачки. Процесс ОВФ в этом случае характеризуется, таким образом,
необходимостью выполнения синхронизма и наличием угла а между обра-
обращенной и обращаемой волнами (так называемое ОВФ с поворотом, см. [26] и
рис. 3.27а).
В работе [26] показано, что для фиксированных направлений и частот
волн накачки поверхность синхронизма (рис. 3.27а) образует эллипсоид
вращения с фокусами, расположенными в начале и конце вектора q = ki +
+ k2 = k3 + k4 (это справедливо для среды с малой дисперсией). За счет
геометрии эксперимента можно осуществлять настройку синхронизма на
другую частоту сигнальной волны, а также управлять углом поворота обра-
обращаемого сигнала; то же самое, естественно, можно делать и за счет измене-
изменения частот—даже при вырожденных по частоте волнах накачки. Очевидно,
что такой преобразователь может выполнять роль селективного по частоте
фильтра. Наконец, заметим, что поляризация обращенной волны определя™
ется как поляризацией сигнальной волны, так и поляризацией волн накачки
и геометрией взаимодействия; изменяя эти параметры, можно варьировать
поляризацию обращенной волны. В частности, можно обеспечить полное
пространственно-поляризованное ОВФ, т.е. как пространственное ОВФ,
так и сохранение поляризации сигнальной волны, что необходимо, напри™
мер, для компенсации неоднородностей оптически анизотропных аберрато-
ров. Вопросы, связанные с поляризацией при ОВФ-ЧВВ, рассматривались
в ряде работ, например, [28-31].
3.7.3. О евмзи ЧВВ с самофокусировкой света в кубически-
нелинейных средах. Хорошо известным фактом является неустойчивость
распространяющихся в кубически-нелинейной среде мощных плоских
волн к самофокусировке, появлению «нитей» излучения, характеризую
ющихся весьма высокой плотностью мощности, и, вследствие этого,
к разрушению прозрачных нелинейных и активных сред, а в отсутствие
разрушения — к ухудшению качества ОВФ.
Теория этого явления достаточно сложна. Здесь мы ограничимся полука-
полукачественными соображениями, которые позволят, тем не менее, установить
прямую связь явлений ЧВВ и самофокусировки света в кубических средах.
Рассмотрим кубически-нелинейную среду, на которую слева и справа па-
падают две встречно-коллинеарных мощных плоских волны одной частоты ш:
Е=- {Аг exp [j (ujt - kz)} + А2 exp [j (out + kz)] + к.с.} . C.85)
§3.7 Некоторые дополнительные вопросы ЧВВ 189
Как показывает опыт, такая ситуация весьма характерна, например для
активных элементов твердотельных лазеров, двухпроходовых усилителей;
та же картина, естественно, имеет место в ЧВВ-ОВФ™преобразователях.
Уже на основе вышеизложенного материала по ЧВВ нетрудно сообразить,
что полное поле в среде отнюдь нельзя представить только в виде C.85).
Действительно, мы видели, что при наличии слабой волны сигнала Е% той
же частоты ш возникает четвертая волна (обращенная) Е±\ при этом обе
волны 1?з,4 усиливаются в поле встречных волн накачки (такое усиление
в приближении полей последних описывается уравнениями C.31), C.32)).
Из вида этих уравнений следует, что волны ?^з,4 не возникают, если азо =
= 0, т.е. при этом аз,4 = 0. Но с другой стороны, очевидно, что даже если
волна сигнала не подается извне на среду, то достаточно малейшего рас-
рассеяния одной из мощных волн накачки на неизбежных неоднородностях
среды (или даже на неоднородностях воздуха, окружающего среду) для
того, чтобы создать эту волну сигнала. В общем случае рассеянное поле
можно представить в виде интеграла по всем возможным направлениям
распространения с некоторой функцией распределения М (к):
г
#з ~ М (к) exp [j (cut - кг)] dk. C.86)
Процесс вырожденного ЧВВ, как нам известно, характеризуется авто™
матическим выполнением условий синхронизма. Другими словами, в от-
отсутствие апертур, дифракции и других ограничивающих факторов (т.е. для
случая плоских волн в бесконечной по ж, у нелинейной среде) любая из
компонент сигнального поля C.86) будет усиливаться в поле встречных
волн накачки в равной степени (по крайней мере, в приближении заданных
полей накачки). Сказанное хорошо иллюстрируется параллелограммами
синхронизма на рис. 3.17.
Пусть C (ж) — коэффициент рассеяния мощной волны накачки Ei,
так что сигнальная волна, распространяющаяся в некотором направ-
направлении, характеризующемся вектором ж = {kx;ky} имеет амплитуду
азо (и) = /3 (м) А\ @) (рассеянием волны Е2 для простоты пренебрежем).
Дальнейший расчет в приближении заданных полей накачки полностью
эквивалентен ранее проведенному для плоских волн; в частности, из C.32)
имеем
а,(х,0=азо(х)СОв[аA-^1> C.87)
cos a
где ? = z/l, a — приведенная нелинейность среды (коэффициент нелиней-
нелинейной связи), пропорциональная произведению амплитуд полей накачки и,
вообще говоря, также зависящая от ж, т.е. от угла в между сигнальной вол-
волной и волнами накачки, В ^ cos(kik3). В малоугловом рассеянии величину
а можно считать постоянной.
Таким образом, из C.87) следует, что любая из компонент углового спек™
тра поля Ез усиливается в поле встречных волн накачки. Одновременно,
в соответствии с C.31), усиливаются и соответствующие компоненты по™
ля Е±. Другими словами, угловой спектр как волны Е\ (за счет угловых
190 ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах Гл. III
компонент Е$\ так и волны Е2 (за счет угловых компонент Е^) расши-
расширяется по мере роста z (для Е{) или A — z) — для Е^. В существенно
нелинейном режиме амплитуды волн Ез,4 могут быть сравнимы по вели-
величине с амплитудами волн накачки.
К чему же приводит уширение углового спектра волн накачки за счет
возникновения новых угловых составляющих E^^l Очевидно, к появле-
появлению пространственной модуляции этих волн. Действительно, рассмотрим
интерференцию двух плоских волн с равными амплитудами, распростра-
распространяющихся в среде под равными и противоположными по знаку углами а
к нормали к входной грани среды:
Е = A exp [j (uoi — kzz — кхх)} + A exp [j (out — kzz + kxx)] =
= 2A cos (kxx) exp [j (ut — kzz)}.
Итак, две угловые компоненты, интерферируя, образуют квазиплоскую
волну, распространяющуюся по оси z и пространственно-модулированную
по поперечной координате с простран-
Рассеянноеполеот??1-7 СТВешшм периодом 27ГХ, где Ж =
(т.е. сигнал .Ез) / = {кх] ку} (рис. 3.28).
Если волна Е\ (или Е^) ограниче-
ограничена по пространству на входе среды, то
так как по мере распространения угло-
угловой спектр расширяется, то характер-
Соответствующий спектр -^ ный поперечный размер волны сужа-
обращенной волны Е4 етсж Налицо самофокусировка вслед-
Рис 3 28 ствие процесса ЧВВ. В определенном
смысле эти два процесса идентичны
и неразличимы, поскольку уменьшение диаметра пучка или появление про-
пространственной модуляции эквивалентно расширению углового спектра.
Естественно, дифракция в определенных случаях сильно разрушает
процесс ЧВВ (как было показано выше) и препятствует самофокусировке.
Укажем, что во многих случаях могут развиваться затравочные возмущения
поперечной первоначально однородной структуры поля за счет дифракции
поля на апертурах и на локальных неоднородностях среды — так назы-
называемые дифракционные выбросы поля. В этом смысле дифракция играет
возбуждающую роль при самофокусировке и последующих разрушениях
среды (см. [32]).
Все вышеизложенное позволяет утверждать, что вследствие ЧВВ мощ-
мощные встречные волны в ку биче ски-не линейной среде неустойчивы по от-
отношению к генерации угловых спектров, т.е. к самофокусировке. Нетрудно
видеть, что если процесс ЧВВ используется для ОВФ, то наряду с самим
процессом, как таковым, ОВФ, возникает генерация паразитных (т.е. от-
отсутствующих в угловом спектре сигнала) угловых компонент и, как след-
следствие, — самофокусировка. Тем самым, качество ОВФ неизбежно падает.
Для повышения эффективности ОВФ необходимо повышать мощность
плоских встречных волн накачки или нелинейность среды, но в этом случае
§3.7 Некоторые дополнительные вопросы ЧВВ 191
возникает опасность самофокусировки. Одна из возможностей устранения
самофокусировки состоит в использовании для накачки пространственно™
модулированных («кодированных») волн накачки, т.е. волн накачки Е\^ (г)
сложного вида [33]. Взаимодействие волн накачки и сигнала ?1,2,3 (г) при-
приводит к появлению поляризованное™ вида
P4(r)=XE1(v)E2(v)E*3(v).
Пусть волна Ег (г) имеет сложную структуру в поперечном сечении;
тогда, если волна Еч (г) содержит часть, обращенную (по поперечным ко-
координатам) по отношению к Е\ (г), то произведение Е\ (г) Е2 (г) содержит
ненулевое среднее по пространству значение (Е\Еч). При этом поляризо-
ванность Р^ возбуждает обращенную волну
Е4 (г) ~ (ЕгЕ^Е; (г).
Смысл использования «кодированных» волн состоит в том, что такие
волны более устойчивы к слабым возмущениям пространственной струк-
структуры, т.е. более устойчивы к самофокусировке, чем плоские волны накачки.
Естественно, наилучший результат получается в случае, когда в качестве
волн накачки используются встречные сильно неоднородные взаимосопря-
взаимосопряженные волны. Методы «приготовления» таких волн могут быть разнооб-
разнообразными — например любой метод ОВФ, или метод амплитудных масок
(для «кодирования») с последующим обращением зеркалом; обратим вни-
внимание и на тот факт, что согласно [33], распространяющиеся в резонаторе
лазера встречные волны (для произвольной моды резонатора) являются
взаимно-сопряженными1. В последнем случае для моды с высокими по-
поперечными индексами встречные волны будут иметь необходимую про-
пространственную модуляцию. В работе [33] количественно (теоретически)
показано, что применение взаимно-сопряженных пространственно-моду-
пространственно-модулированных волн накачки позволяет достичь коэффициентов отражения
R ^> 1 для обращенной волны без ухудшения качества ОВФ из-за самофо-
самофокусировки. Схема ОВФ-ЧВВ с такими волнами накачки представлена на
рис. 3.29.
Нам осталось обсудить, почему пространственно-модулированные вол-
волны накачки более устойчивы к самофокусировке, чем плоские волны. Это
нетрудно понять, основываясь на том факте, что в этом случае угловой
спектр волн накачки уже сформирован и не может быть существенно де-
деформирован за счет генерации новых угловых компонент.
В связи с влиянием самофокусировки на процесс ОВФ отметим сообра-
соображения, высказанные в [28], касающиеся способа введения в нелинейную
среду волн накачки — независимо или за счет отражения одной волны
возвратным зеркалом. В схеме с возвратным зеркалом (см. рис. 3.25 б) са-
мофокусировочные искажения, возникшие на прямом и обратном проходах,
!Это утверждение было, по-видимому, впервые высказано B.C. Зуевым.
192
ОВФ при вырожденном ЧВВ в кубически-нелинейных средах
Гл. III
складываются; в схеме с независимыми пучками накачки (см. рис. 3.25 а)
эффекты само- и взаимодействия (при равных амплитудах) не приводят
к пространственной модуляции коэффициента связи.
3.7.4. ОВФ при резонансных четырежфотонныж взаимодействииж.
Коэффициент кубической нелинейности прозрачных диэлектрических
сред, как правило, весьма мал. Поэтому вполне естественным предста-
представляется обращение исследователей к резонансным взаимодействиям,
Ег(т)
Я? (г)
Рис. 3.29
соответствующим случаю совпадения одной или нескольких частот
взаимодействующих волн с частотами резонансных переходов в атомах.
Рассмотрим простую двухуровневую модель с частотой перехода в цен-
центре линии ujq [33, 34]. Восприимчивость такой системы можно записать
в виде
X (Е) = ^2а0 (j + S) k^1 (l + S2 + \Е/ЕИ\
Здесь 8 = 2(ш — dq)/(Auj) — нормированная на ширину линии Аш
отстройка частоты от резонанса (т.е. от центра линии), Еи — поле насыще-
насыщения, «о — коэффициент поглощения или усиления по амплитуде в центре
линии. Множитель (j + 8) соответствует поглощению (мнимая часть) и дис-
дисперсии (действительная часть); заметим, что действительная часть равна
нулю в центре линии. Поляризованность среды имеет вид
Ре- -л/ ( Т?\ Т? A Q€k\
= SqX {-^) -"^- (З.о1/)
Поскольку восприимчивость перехода содержит член, пропорциональ-
пропорциональный \Е\ (это нетрудно проверить, разлагая C.88) в ряд по степеням ко-
коэффициента \Е/ЕН\ ), то и поляризованность C.89) будет содержать член,
пропорциональный Е\Е\ , что, как мы уже знаем, соответствует кубиче-
кубической нелинейности среды. Таким образом, резонансная среда может рассма-
рассматриваться как кубически-нелинейная, причем механизм этой нелинейности
связан с насыщением резонансного перехода. Пусть Ег^, как и раньше,
соответствуют мощным плоским встречно-коллинеарным волнам накачки
Некоторые дополнительные вопросы ЧВВ 193
с частотами oji^ и волновыми векторами kiJ, поле Е$ — волне сигнала
(о;з? кз), поле Е± (шз, к4) — обращенной волне.
Выпишем соотношения для частот и волновых векторов:
шг + ш2 = ш3 + ш4 « 2о;0, ААЧ
C.90)
(ki +k2 -k3 -k4)r<l.
Последнее соотношение в C.90) означает малость волновой расстрой-
расстройки; будем считать режим почти вырожденным, что подчеркнуто первым
уравнением C.90).
В приближении заданных полей накачки решение уравнений дает еле™
дующее выражение для коэффициента отражения обращенной волны:
R =
E4(l)
/3sinGZ)
7 cos GI) + a sin GI)
где a, /?, 7 — коэффициенты, пропорциональные ao и зависящие от 8, Ен
и интенсивностей волн накачки, при этом j = ^//З2 — а2.
При |/3| > |а| параметр 7 веществен, и величина R оказывается си™
нусоидальной; когда же выполняется обратное неравенство, \/3\ < \а\ ,
параметр 7 становится мнимым, а параметр R выражается через гипербо-
гиперболические функции. Нетрудно видеть, что при \/3\ > \а| и при выполнении
условия tg GO = ^7/° знаменатель обращается в нуль и R = оо. Это
означает, что наступает генерация (абсолютная неустойчивость) в том же
смысле, в каком мы обсуждали аналогичный эффект при рассмотрении
эффекта ОВФ в кубически-нелинейной непоглощающей среде. Если |/31 <
< \а\ , условие генерации имеет вид th G/) = ^j/a.
При «о > 0 (поглощающая среда) условие генерации может быть вы™
полнено при jl > тг/2, а при ад < 0 (усиливающая среда) — при 7^ < тг/2.
Условие th GI) = —j/a может быть выполнено только при ао < 0, т.е.
только в усиливающей среде.
Читателя, интересующегося количественными результатами расчета ко™
эффициента отражения R, мы отсылаем к статье [35]. Полезно также обра™
тить внимание на работы [36-38].
В заключение отметим, что в резонансном ЧВВ-ОВФ не наблюдается
появления характерных для самофокусировки мелкомасштабных неодно-
родностей, в связи с чем нет и соответствующих искажений процесса ОВФ.
ГЛАВА IV
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ
ВЫНУЖДЕННЫХ РАССЕЯНИЯХ СВЕТА
§4.1 Введение
Вопросам ОВФ при вынужденных рассеяниях (ВР) света посвящено
неисчислимое количество работ. И это неудивительно, ибо именно в про™
цессе ВР проявились наиболее полно основные физические и техниче-
технические аспекты ОВФ и были реализованы первые эффективные практически
пригодные системы с ОВФ. В другой стороны, именно открытие ОВФ
дало значительный толчок к развитию и практическому использованию
таких, например, явлений, как ВР Манделыптама-Бриллюэна (ВРМБ), вы-
вынужденное рассеяние крыла линии Рэлея (ВРКЛР) и др., в то же время как
вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) в сочетании с методами
активной спектроскопии (АСКР, КАРС) успешно использовалось и ранее
в спектроскопии комбинационного рассеяния.
В данной главе мы изучим основные физические особенности самих про™
цессов ВР света в веществе, а затем рассмотрим аспекты процесса ВР-ОВФ.
Эффекты вынужденных рассеяний и самовоздействий световых волн
привлекают в последнее время все большее внимание исследователей. Этот
интерес объясняется прежде всего тем фактом, что распространение в веще-
веществе интенсивных световых (лазерных) лучей неизбежно сопровождается
воздействием вещества на свет (поглощение, рассеяние, сдвиг длины вол-
волны), а во многих случаях и воздействием света на вещество (изменение по™
казателя преломления, возбуждение характерных собственных колебаний
в веществе). Весьма часто прохождение интенсивного света через веще™
ство приводит к одновременному возникновению не одного, а целого ряда
нелинейных эффектов. Характерной особенностью является воздействие
одного нелинейного эффекта на другой; так, возникновение самофокуеи-
ровки света приводит к резкому возрастанию роли ВКР, а последнее, в свою
очередь, может подавить ВРМБ.
Другой причиной повышенного интереса исследователей к указанным
явлениям является возможность получить значительный объем информа-
информации о строении вещества, который невозможно получить другими спосо-
способами (например, наблюдение рамановских спектров жидкостей и твердых
тел). Попутно заметим, что в большинстве случаев возбуждение упомяну-
упомянутых эффектов не связано с такими специфическими свойствами вещества,
как существование заданного направления синхронизма, наличие анизо-
анизотропии и т.д. Явления вынужденных рассеяний и самовоздействий интен-
интенсивных световых волн возникают и в жидкостях, и в изотропных твердых
телах, и в кристаллах с произвольной симметрией; исключение составляют
отдельные виды процессов вынужденного рассеяния в кристаллах, проте-
протекание которых существенно определяется симметрией кристаллов.
§4/1 Введение 195
Эффекты рассеяния световых волн являются одним из интереснейших
объектов исследования в современной нелинейной оптике и в связи с фак-
фактом наличия ОВФ при ВР света. Действительно, как мы увидим, при ВР
неизбежно возникают световые рассеянные компоненты, комплексно-со-
комплексно-сопряженные падающему на среду исходному полю.
Условимся подразделять эффекты рассеяния света на спонтанные и вы-
вынужденные эффекты. Под термином «спонтанное» рассеяние света мы бу-
будем понимать чисто параметрический процесс модуляции световых волн на
частоте какого-либо другого процесса в веществе. Поясним этот термин на
конкретном примере. Пусть в среде возникла волна давления (плотности)
флуктуационного происхождения:
Q = Go exp [j (Ш - qr)] ,
где О = qv3B — частота волны (частота звука), г;зв — скорость распростра-
распространения волны сжатия и разрежения (волны звука), q — волновой вектор
звука. Под действием этой волны в веществе возникает волна изменения
коэффициента преломления или диэлектрической поляризуемости:
к = к0 {1 + т (Qo) exp [j (Ш - qr)]} + к.с,
где m(Qo) — коэффициент модуляции величины к флуктуационной звуко-
звуковой волной с амплитудой Qq .
Подставляя выражения для электрического поля световой волны и для
диэлектрической поляризуемости в формулу для линейной диэлектриче-
диэлектрической поляризации, имеем
х [рАехр [j(ut - kr)] + к.с] =
= кот (Qo) P-4exP [j (ш + О) t - (k + q) r] +
* (Qo) P^exp [j (ш ~~ п) t - (к - q) г] + ... , D.1)
где р — единичный вектор поляризации светового поля. (В выражении D.1)
мы записали только члены новых частот.)
Итак, в спектре прошедшего через вещество света возникли новые спек-
спектральные составляющие с частотами ш ± О, излучение которых распро-
распространяется в направлениях, определяемых векторами k ± q, соответствен-
соответственно. Таким образом, рассеянный веществом свет претерпевает изменения
как по частоте, так и по направлению распространения. При дальнейшем
взаимодействии возникнут спектральные составляющие на высших комби-
комбинационных частотах ш ± sO, где s = 1, 2, 3,... Спектральные компоненты
рассеянного света, частота которых уменьшается по сравнению с частотой
падающего света (т.е. компоненты с частотами ш — О, ш — 20, ш — 30,...),
принято называть стоксовыми компонентами (так, составляющая на часто-
частоте ш — О называется первой стоксовой компонентой, на частоте ш — 20 —
второй стоксовой компонентой и т.д.); компоненты с частотами ш + sO
соответственно называют антистоксовыми компонентами.
13*
196 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
Рассмотренный выше процесс рассеяния света, сопровождающийся воз™
никновением боковых (стоксовых и антистоксовых) частот под действи-
действием тепловых (звуковых) волн флуктуационного происхождения называется
процессом спонтанного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна. Этот про-
процесс является «спонтанным» в том смысле, что колебания давления (звука)
в среде, вызвавшие появление рассеянных компонент, возникли спонтан-
спонтанно, сами по себе, под действием малых флуктуации давления в некоторой
области вещества.
Сделанное нами предположение о существовании флуктуации давления
на единственной частоте О является, естественно, грубым приближением.
В общем случае в среде существует целый спектр флуктуации давления и,
соответственно, целый спектр рассеянных частот. Здесь мы лишь отметим,
что при рассеянии света должен выполняться закон сохранения импульса,
так что каждая из спектральных компонент рассеянного света наблюдается
в определенном направлении (т.е. под определенным углом к направлению
распространения падающего света).
Источником «модуляции» световых волн могут служить флуктуацион-
ные волны и колебания самой различной физической природы (колебания
атомов и молекул при комбинационном, или рамановском, рассеянии, вол™
ны ориентации молекул при рассеянии Рэлея, волны тепла при тепловом
рассеянии, смешанные электромагнитно-механические волны при рассея-
рассеянии на поляритонах и т.п.). В конечном счете, эти флуктуации приводят
к флуктуациям диэлектрической поляризуемости и, следовательно, к появ-
появлению комбинационных спектральных составляющих.
В большинстве случаев О удовлетворяет соотношению О «С ш, так что
частоты стоксовых и антистоксовых компонент ближнего порядка оказы-
оказываются сравнимыми с частотой падающего света: ш =Ь sO « ш (исключение
составляет эффект комбинационного рассеяния и дальнее крыло при РКЛР).
Под термином «вынужденное» рассеяние света мы будем понимать
сложный процесс нелинейного взаимодействия световых волн и колебаний
неэлектромагнитной природы, например, механических (звуковых) колеба-
колебаний и волн. Наиболее характерным для вынужденного процесса является
обратное воздействие световых волн на вещество, а именно, когерентная
раскачка спонтанных, например, механических колебаний атомов в решет-
решетке. В качестве нелинейного эффекта, обеспечивающего такое воздействие,
могут служить квадратичные по полю эффекты, такие, как эффект Керра,
электрострикция и т.д. Так, в рассмотренном выше примере вследствие
электрострикции (этот эффект заключается в появлении в веществе допол-
дополнительного давления, пропорционального квадрату приложенного к веще-
веществу электрического поля) возникает компонента давления на первоначаль-
первоначальной частоте флуктуации:
Q ~ Е2 = Аг exp [j (ut - кг)] А* ехр {-j [(ш - п) t- (к - q) г]} + ... =
§4.2
Общая характеристика процесса взаимодействия
197
Это, в свою очередь, приводит к возрастанию амплитуды флуктуаци-
онной звуковой волны за счет перекачки в нее энергии из волны падаю-
падающего света и, следовательно, к возрастанию амплитуды первой стоксовой
экспоненты А^ снова к увеличению амплитуды давления (звука) Q и т.д.
В результате происходит интенсивное нарастание в пространстве амплитуд
волн звука Q и первой стоксовой компоненты А\, а в ряде случаев может
возникнуть нарастание указанных амплитуд во времени (генерация). Одно™
временно возникает возбуждение первой антистоксовой и высших комби-
комбинационных спектральных составляющих.
Перейдем к последовательному рассмотрению основных процессов спон-
спонтанных и вынужденных рассеяний света.
§ 4.2 Общая характеристика процесса взаимодействии
электромагнитных волн с колебаниями
решетки кристаллов
Ниже мы рассмотрим взаимодействие электромагнитных (световых)
волн с механическими колебаниями решетки в кристаллах. В литературе
такие взаимодействия часто называют фотон-фононными взаимодействи-
взаимодействиями (фонон-квант поля колебаний кристаллической решетки, по аналогии
с фотоном-квантом электромагнитного поля).
В отсутствие каких-либо внешних сил атомы (или ионы) в кристалле
закреплены в узлах решетки кристалла и могут колебаться около своих
положений равновесия под действием тепловых флуктуации. Атомы (ионы)
очень прочно связаны друг с другом, так что нельзя рассматривать тепловые
колебания отдельно взятого, независимого атома или иона; колебательные
движения атомов носят коллективный характер, в нем принимают участие
все атомы одновременно [1,2].
71+1
+ 1
Рис. 4.1
1. Для более четкого представления о характере таких свободных (теп-
(тепловых) колебаний в кристалле воспользуемся моделью кристалла в виде
одномерной цепочки одинаковых атомов, расположенных на расстояниях
а друг от друга (рис. 4.1). Пусть ?п — смещение п-то атома относительно
198 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
положения равновесия и и (?п) — потенциальная энергия п-то атома в точ-
точке ?п. Атом с номером п будет отталкиваться от соседнего (п + 1)-го атома
и притягиваться соседним (п — 1)-м атомом. Так как межатомные силы
быстро убывают с расстоянием, то взаимодействием п-то атома с другими
(п±2, гг±3, ...) атомами можно пренебречь. В результате воздействия
(п — 1)-го и (п + 1)-го атомов на п-й атом действует сила [2]
Разложим потенциальную энергию и(?п) в ряд по степеням
fin
д2и
Оставляя члены порядка не более второго и учитывая, что в точке
= 0 величина и(?п) имеет минимум (положение равновесия), т.е.
/\^ =0 = 0, получаем
u(?n)«u@) + ix&
где к = д2и/д^ь . _0 — так называемая упругая постоянная кристалла.
Откуда следует, что
Fn = -*?„. D.2)
Выражение D.2) получено в предположении, что при смещении п-то
атома соседние атомы остаются в покое. Однако из-за взаимодействия меж-
между атомами (п + 1)-й атом смещается (отталкивается) на величину ?п+ь
а (п — 1)-й притягивается на величину ^n_i. Полное изменение расстояния
между п-м атомом и соседними равно (?n+i - ?п) + (^n_i - ?n) = Cn+i +
+ ^п^ 1 — 2^п; при этом, в соответствии с D.2), на п-й атом будет действовать
сила
Уравнение движения п-то атома с массой тп имеет вид
m^r^-K(tn+i+Zn-i-4n). D.3)
Смещение (п + 1)-го атома приведет к смещению (п + 2)-го атома и т.д.,
т.е. под действием первоначального смещения п-то атома вся цепочка при™
дет в движение. Так как номер п был выбран нами произвольно, то для
изучения движения всей решетки достаточно исследовать движение п-го
атома. Граничные условия выберем в предположении, что через каждые N
атомов картина движения повторяется (условие периодичности):
Sn = Сп+ЛГ-
Будем искать решение уравнения D.3) в виде бегущих волн:
?n = Aexp\j(u>t-kz)], D.4)
§4.2
Общая характеристика процесса взаимодействия
199
где z = па — текущая координата. Подставляя D.4) в D.3), имеем
тш2^п = к B^п — ^п exp (jka) — ^п exp (—jka)),
или
тш2 = 2к [1 — cos (kа)] = 4xsln2 (ка/2).
Отсюда для частоты волн, способных распространяться в цепочке ато-
атомов, получаем
ш = 2л/к/т8т (ка/2). D.5)
Из условия периодичности с учетом D.4) имеем: exp (jkaN) = ±1,
откуда
ki = ±гтг/аЖ, D.6)
гдег = 1,2,3,... , N.
Соотношение D.6) дает значения волновых чисел к{ волн, распростра-
распространяющихся в системе. В соответствии с D.5), частоты этих волн равны
Ui = 2^'к/т sin (ha/2). D.7)
Таким образом, частоты и волновые числа волн, способных распро-
распространяться в системе, пробегают дискретный
ряд значений. Однако, так как число N весьма
велико, то расстояние между соседними вол™
новыми числами равно
Ak = ki+i - ki = 2тг/(aN) < fci?
так что величины Ui и ki можно в первом при™
ближении считать непрерывно изменяющи-
изменяющимися. Зависимость ш(к), т.е. дисперсионная
характеристика цепочки атомов, представле-
представлеш = ak
7Г
а
О
Рис. 4.2
тг к
а
на на рис. 4.2. Значения к изменяются в пределах:
-7г/а = кш-ш ^ к ^ fcmax = +тг/а.
Зону изменений волнового числа на отрезке [—тг/а; +тг/а] называют
первой зоной Бриллюэна; значениям к, выходящим за пределы этой зоны,
в силу D.7), соответствуют те же частоты. Частота колебаний ограничена
сверху значением
Всего в цепочке имеется 2N бегущих волн (половина волн, соответ-
соответствующая положительным значениям к{9 бежит в сторону z > 0, другая
половина — в сторону z < 0). Длины волн определяются соотношением:
Кг = 2тг /ki = 2Na/i.
Самая длинная волна, Ai = 2Na, соответствует случаю г = 1 (на всей
цепочке атомов длиной Na укладывается одна полуволна колебаний). Зна-
Значениям г = 2,3,... соответствуют более короткие волны, но при этом на
200 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
цепочке всегда укладывается целое число полуволн. Подчеркнем, что для
данного номера колебаний г (не путать с номером атома п) все атомы цепоч-
цепочки колеблются с одинаковой частотой ш^, не зависящей от номера атома п.
Скорость распространения г-й волны равна
шг 2 Hi
Vi = — = — \ / — Sin
Для малых скоростей, т.е. для весьма длинных волн (Л^ >» а, А^а <С 1)
скорость распространения на всех типах колебаний одинакова:
: vo = аук/т. D.8)
В формуле D.8) справа стоит не что иное, как скорость распространения
упругих (звуковых) волн в веществе (скорость звука). Таким образом, ско-
скорость распространения длинных колебаний атомов совпадает со скоростью
звука; дисперсионное уравнение D.7) при этом имеет вид
(прямая на рис. 4.2).
Самая короткая длина волны Лдг = 2а соответствует случаю г = N (на
всей цепочке атомов длиной Na укладывается N полуволн). Этой длине
волны соответствуют максимальные значения частоты о;тах и скорости
распространения
^тах = Bа/тг)л/к/т = 2vo/tt < v0.
Таким образом, более короткие волны распространяются медленнее,
чем более длинные; здесь проявляется дисперсия скорости звука.
2. Перейдем к рассмотрению одномерной цепочки неодинаковых ато-
атомов. Такой переход правомерен в связи с тем, что кристаллы, построенные
из одинаковых атомов (молекул), в природе встречаются весьма редко. В со™
став решетки обычно входят атомы с разными массами, разной химической
природой и т.д.
Рассмотрим цепочку из поочередно расположенных на одинаковом рас-
расстоянии атомов с массами mi и rri2 и одинаковой упругой постоянной к
(рис. 4.3).
Уравнения движения в этом случае имеют вид
где ^п и Tjn — смещения атомов от положения равновесия.
§4.2
Общая характеристика процесса взаимодействия
201
Ищем решения уравнений D.9), D.10) в виде
^ = Ai exp[j (uit - kind)
rj$ = Bi exp[j (и? - hna)
D.11)
D Л 2)
ГП2
Рис. 4.3
Подставляя D.11), D.12) в уравнения D.9), D.10) и исключая амплитуды
, Bi, получаем дисперсионное уравнение:
Шл = К
1 1
1
77ll TU2
±
1 1
1
77li TU2
4 sin2 (kid)
ТП1ТП2
D.13)
Как и для случая цепочки одинаковых атомов, дискретный ряд частот
и волновых чисел здесь можно считать непрерывным. Дисперсионная кри-
кривая представлена на рис. 4.4. Она имеет две ветви. Поведение нижней ветви
практически не отличается от поведения дисперсионной кривой для случая
цепочки одинаковых атомов (рис. 4.2); эту ветвь называют акустической.
Оптическая
ветвь
Акустическая
ветвь
0 к
Рис. 4.5
Верхняя ветвь обнаруживает совершенно иное поведение и лежит в обла-
области значительно более высоких частот, чем акустическая ветвь; верхнюю
ветвь называют оптической ветвью.
202 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
При малых ki (^a<C 1) дисперсионная акустическая ветвь соответствует
формуле:
ш\ к, ка\/2
(прямая на рис. 4.4). При к —>¦ 0 мы здесь имеем ш\ —>• 0. Для оптической
ветви при малых ki получим
ш2 « ш™
Нетрудно видеть, что
Минимальная частота оптической ветви равна ш™ш = ^/к/т\, и если
mi <С га2, то а^1п > wfаж.
Дисперсионная кривая для цепочки неодинаковых атомов в случае длин™
ных волн (J^a<Cl) представлена на рис. 4.5. Характерным является тот факт,
что в этой области частота оптических колебаний решетки постоянна и не
зависит от величины к.
Вместо терминов «оптическая ветвь», «акустическая ветвь» часто ис-
используют термины «ветвь оптических фононов», «ветвь акустических фо-
нонов». В том и другом случае речь идет о колебаниях решетки (фононах),
однако если максимальная частота акустических фононов лежит в диапа-
диапазоне 1010 ^ 1011 Гц (гиперзвуковой диапазон), то частота оптических фоно-
фононов составляет величину 1012 -=-1013 Гц и лежит в диапазоне, совпадающем
по частоте с ИК-диапазоном световых волн.
Движение соседних атомов с массами mi и т,2 при акустических коле-
колебаниях происходит в близких фазах и в одном направлении; при оптических
колебаниях соседние атомы с массами mi и т2 движутся навстречу друг
другу
3. До сих пор мы рассматривали одномерную цепочку, колебания ато-
атомов в которой могут происходить только в одном направлении — вдоль
цепочки. Такие колебания целесообразно назвать продольными; соответ-
соответственно, мы имеем продольные акустические и продольные оптические
колебания атомов.
В реальном трехмерном кристалле кроме продольных волн возможны
поперечные волны; в этом случае смещения атомов происходят в перпен-
перпендикулярном направлении. Соответственно должны появиться поперечные
акустические и поперечные оптические колебания атомов.
Очевидно, что величина упругой постоянной к для поперечных и про-
продольных волн (щ и щ, соответственно, от английских слов transverse —
поперечный и longitudinal — продольный) будет различной, щ ф щ.В кри-
кристалле могут распространяться несколько типов волн: продольные акусти-
акустические, продольные оптические, поперечные акустические и поперечные
оптические. Соответственно, дисперсионная кривая будет иметь несколь-
несколько ветвей. Поперечные волны часто совпадают (в таком случае говорят
о вырожденных поперечных волнах); типичный случай показан на рис. 4.6.
§4.2
Общая характеристика процесса взаимодействия
203
В литературе часто используются термины «продольные оптические фоно-
фононы», «поперечные акустические фононы» и т.п.
4. Перейдем к рассмотрению взаимодействия электромагнитных (све-
(световых) и механических колебаний. Сразу же оговоримся, что наибольший
интерес для нас будут представлять длинно-
длинноволновые фононы с длиной порядка длины
волны света (ка < 1G~3); дисперсионные
кривые фононов для этого случая были пока-
показаны на рис. 4.5. Физический смысл интереса
именно к длинноволновым фононам может
быть выяснен на базе следующих достаточно
простых рассуждений. Вся первая зона Брил-
люэна содержит волновые числа колебаний
от нуля до значения 2тг/а « 108 см^1, что со- _
ответствует А = 2тг • 10 8 см « 6 А. В то же
0 ж/2а к
Рис. 4.6
время волновое число света с А « 10 см =
= 1 мкм равно к ~ 6 • 104 см™1. Из общих соображений ясно, что волно-
волновые распределения могут эффективно взаимодействовать лишь при близ-
близких значениях пространственных частот, т.е. при близких значениях волно-
волновых чисел. Именно поэтому нас будут интересовать лишь длинноволновые
области фононных дисперсионных ветвей, представленные на рис. 4.5.
Очевидно, что прямое воздействие электромагнитных колебаний на ме-
механические возможно только в том случае, когда колебания атомов в ре-
решетке сопровождаются изменением дипольного момента, т.е. изменением
диэлектрической поляризованности. Этот случай реализуется, когда сосед-
соседними частицами в решетке оказываются противоположно заряженные ионы
(в качестве примера можно привести решетку кристалла NaCl); колебания
ионов в решетке здесь приводят к их сильному взаимодействию с электро-
электромагнитным полем, если частота последнего совпадает с частотой собствен-
собственных колебаний ионов. В этом случае на этой частоте наблюдается ИК-линия
поглощения поля веществом. Наиболее сильно взаимодействуют с электро-
электромагнитным полем оптические фононы, так как движения соседних ионов
здесь происходят навстречу друг другу; движения соседних ионов на аку-
акустических частотах направлены в одну сторону, и изменение дипольного
момента здесь практически отсутствует.
Если же в узлах решетки закреплены нейтральные атомы, то при их
движении изменение дипольного момента не происходит, и прямое вза-
взаимодействие света с такими колебаниями полностью исключено как для
акустических, так и для оптических фононов. Другими словами, такие ко-
колебания не проявляются в ИК-спектрах поглощения вещества.
В обоих случаях тепловые флуктуационные колебания частиц (атомов
или ионов) в решетке приводят к модуляции коэффициента преломления
вещества во времени на частотах акустических и оптических фононов.
Световая волна, распространяясь в веществе с переменным коэффициентом
преломления, рассеивается на изменениях коэффициента преломления со
204 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
сдвигом частоты — появляются стоксовы и антистоксовы спектральные
компоненты. В таком случае говорят, что «фотон рассеивается на фононе».
Такая чисто модуляционная трактовка процесса рассеяния соответствует
случаю спонтанных рассеяний.
Спонтанное рассеяние световых волн на акустических фононах называ-
называется спонтанным рассеянием Мандельштама-Бриллюэна (СРМБ), а спон-
тайное рассеяние света на оптических фононах — спонтанным комбинаци-
комбинационным рассеянием (СКР); последнее часто называют также романовским
рассеянием.
Если созданы условия для когерентного взаимодействия световых и ме-
механических тепловых колебаний, то последние значительно усиливаются:
возникают мощные волны колебаний ионов (атомов) на частотах акусти-
акустических и оптических фононов. Такие процессы, как уже указывалось, на-
называются вынужденными процессами рассеяния: вынужденное рассеяние
Манделынтама-Бриллюэна (ВРМБ) и вынужденное комбинационное рас™
сеяние (ВКР).
В случае, когда колебания на частотах оптических фононов сопровож-
сопровождаются изменением дипольного момента (в таком случае говорят, что эти
колебания являются оптически активными), в вынужденном процессе рас-
рассеяния света участвуют не только мощные механические колебания, но
и электромагнитная (ИК-еветовая) волна на частоте оптических фононов.
Такой процесс называется вынужденным поляритонным рассеянием (по-
ляритон — квант смешанного электромагнитно-механического поля коле-
колебаний оптических фононов).
Перейдем к рассмотрению отдельных видов вынужденных рассеяний
света.
§ 4.3 Вынужденное комбинационное рассемние света
1. Колебания атомов в молекулах, не приводящие к изменению диполь-
дипольного момента (поляризованное™) вещества, первоначально носят флук-
туационный (тепловой) характер и модулируют во времени коэффициент
преломления среды на частоте оптических фононов. Рассмотрим этот ме-
механизм более подробно. Поскольку коэффициент преломления на часто-
частоте видимого света определяется электронными колебаниями, то влияние
колебаний атомов на показатель преломления может возникнуть только
при учете нелинейного взаимодействия атомов и электронов в молекуле
(в линейном приближении атомные и электронные колебания совершаются
независимо).
Пусть у — смещение электрона, а ? — смещение атома относительно их
положений равновесия. Потенциальная энергия для изотропной молекулы
с учетом нелинейного взаимодействия электронных и атомных колебаний
имеет вид
и ~ 1 ^2 + \у2+ai^+a2yS+а°^2у+а^у2 + • ¦ ¦ DЛ4)
(хи7 — упругие постоянные атомов и электронов соответственно).
§4.3 Вынужденное комбинационное рассеяние света 205
Члены с коэффициентами «i, a2 определяют нелинейную ионную
и электронную квадратичную поляризуемость, члены с коэффициентами
«з? «4 описывают нелинейное взаимодействие атомных и электронных
колебаний. Нас интересует член а^у2, определяющий эффект комбинаци-
комбинационного рассеяния, поэтому остальными членами третьего порядка в D.14)
мы пренебрежем.
Уравнения движения атомов с массой М и электронов с массой т при
наличии светового электромагнитного поля имеют вид
72
d у
D.15)
здесь R — параметр затухания.
При написании D.15) мы учли, что световое поле на атомы непосред-
непосредственно не действует.
Пусть в среде под действием флуктуации возникли колебания атомов
на частоте оптических фононов ш2:
С (t) = - [Со exp (juj2t) + к.с].
Световое поле Е = | [Ae^p(jujQt) + к.с], где ш® — частота света,
раскачивает оптически активные электроны на внешней боровской орбите
атома, так что в отсутствие нелинейности (а4 = 0) электроны совершают
колебания по закону:
У (t) = 2 [2/0 ехР C^ot) + кх*] •
В нелинейной среде из-за наличия нелинейного взаимодействия, опи-
описываемого членами 2а^У в первом уравнении системы D.15), возникают
новые спектральные компоненты колебаний электронов:
2а^у = -а4 {l/oCo exP [i (^о - W2) t] + t/oCo exp [j (w0 + ш2) t] + к.с.} .
Оптически активные колебания электронов на стоксовой и антистоксо-
антистоксовой частотах (ш® ± а^) приводят к появлению электромагнитного светового
поля на этих частотах — в спектре рассеянного света появляются стоксова
и антистоксова компоненты.
Описанный процесс является известным в линейной оптике процессом
спонтанного комбинационного рассеяния (СКР). В процессе СКР тепло-
тепловые колебания в веществе модулируют световые волны, однако обратное
воздействие света на вещество пренебрежимо мало.
Указанное обратное воздействие возникает из-за той же нелинейной свя-
связи колебаний электронов и атомов и описывается членом сед2 во втором
206 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
уравнении системы D.15). Теперь в спектре колебаний электронов содер-
содержатся три частоты — световая, стоксова и антистоксова:
y(t) = - {2/0 exp (jujot) + yi exp [j (ш0 -<J2)t] +
+ у2 exp [j (ljo + o;2) t] + k.c.}.
Нелинейный член сад2 примет вид
^ [o;0 - (о;0 -
= -а4 {2/02/Г ехР (i^) + • • •} D.16)
(остальные члены в D.16) нас не интересуют). Итак, во втором уравне-
уравнении D.15) появилась вынуждающая сила на частоте Ш2 колебаний атомов.
Вследствие этого, последние начинают когерентно раскачиваться, ампли-
амплитуда ^о возрастает во времени, что приводит к росту амплитуд стоксовой
и антистоксовой компонент. В свою очередь, это приводит к возрастанию
амплитуды вынуждающей силы D.16), к еще более быстрому нарастанию
амплитуды ^о и Т-Д- Описанный процесс является уже вынужденным про-
процессом комбинационного рассеяния (ВКР).
2. Рассмотрим процесс ВКР более подробно. Пусть на вещество падают
две световые волны — накачки на частоте шн и стоксова компонента на
частоте шс = шИ — W29 где Ш2 — частота атомных колебаний:
Е = Ен + Ес = - {рнАя exp [j (uHt - kHr)] +
+ рсАс exp [j ((jct - kcr)] + k.c.},
где pH?c — единичные векторы ориентации электрического вектора волн.
В результате вывода укороченных уравнений имеем
dA
Рс-^ = /Зс (р„Рс) Рн^ЛАн, D.17)
dA
Рн —S. = -/Зн (РнРс) РсАИАСА*С, D.18)
UZ
где /3С9 /Зн — коэффициенты нелинейной связи, пропорциональные пара-
параметру нелинейности 04. Интересно отметить, что уравнения D.17), D.18)
не содержат множителей с волновой расстройкой:
А = кн - кс - кф,
где кф — волновой вектор волны оптических фононов. Это связано с тем об-
обстоятельством, что дисперсионная двумерная поверхность uj(kZJ ky) пред™
ставляет собой плоскость, параллельную плоскости kzky и отстоящую от
нее на расстояние а;ф = а;™ах (эта плоскость представлена на рис. 4.7,
см. также рис. 4.5). Поясним рис. 4.7 более подробно.
§43
Вынужденное комбинационное рассеяние света
207
Дисперсионная поверхность электромагнитных волн ш(к) в про-
пространстве w9 kZ9 ку представляет собой конус ш = ск/п. Частоте ОЕ =
= ш = ши соответствует некоторый вектор накачки ОВ9 называемый
дисперсионным вектором накачки. Его про™
екции на плоскость kzky дают составляющие
вектора кн (на рис. 4.7 |кн| = к* = ОС, к^ =
Пусть мы наблюдаем рассеянную стоксо-
ву волну в некотором произвольном направ™
лении, соответствующем волновому векто-
вектору DC = kc. Условие синхронизма состоит
в том, чтобы нашелся вектор OD = кф вол™
ны оптических фононов, который по частоте
Шф = шн — шс замкнет треугольник OCD. Но
так как частота Шф не зависит от вектора к$9 то
такой вектор найдется всегда. Другими сло-
словами, стоксово излучение распространяется
в любом направлении в синхронизме; таким
образом, А = 0 независимо от направления
наблюдения.
При коллинеарном распространении волн
накачки и стокса (наблюдение «вперед») в приближении заданного поля
накачки (Ас (z) <C Ан @)) из уравнения D.17) имеем
Рис. 4.7
Решение этого уравнения имеет вид
Ас (z) = Ас @) ехр (/301Д, @)|2 г) .
D.19)
Из формулы D.19) видна сильная зависимость амплитуды стоксовой компо-
компоненты от интенсивности накачки. Если учесть потери на стоксовой частоте,
то экспоненциальное нарастание будет иметь место лишь при условии:
Экспоненциальный закон роста амплитуды стоксовой волны D.19) по™
зволяет создать генератор на вынужденном комбинационном рассеянии;
для этого исследуемое вещество помещается в интерферометр Фабри-
Перо. Для нахождения стационарных решений для такого генератора
приближение заданного поля неприменимо, необходимо решать полную
систему уравнений D.17), D.18) с учетом граничных условий на зеркалах
интерферометра.
Простейшие формулы, написанные выше, призваны только пояснить
основные характеристики процесса ВКР. В реальных условиях ситуация
осложнена целым рядом факторов, в том числе генерацией стоксовых и ан-
антистоксовых компонент высшего порядка. Для исследования процесса ВКР
208 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
в целом необходимо решать систему связанных уравнений. Ниже мы крат-
кратко рассмотрим влияние на процесс ВКР генерации первой антистоксовой
компоненты.
Пусть дополнительно к полю Е генерируется волна на антистоксовой
частоте:
Е ^A № ^t кI + }
Укороченные уравнения в приближении заданного поля накачки (т.е.
А& (z), Ас (z) < Ая @)) имеют вид
d A
с = /3САН {А1АЯ exp (j Д1Г) + AM , D.20)
dz
dAa
dz
= -Р&АЯ {АКА* exp (jAir) + АаА*и} ,
D.21)
где Ai = кс + ка — 2кн — вектор волновой расстройки.
Полагая 7с = fie \АН @)|2, 7а = fia \AH @)|2, Ai = 0, перепишем урав-
уравнения D.20), D.21) в виде
dAc
dz
Aa) ,
D.22)
—— - -у (А -\-А) D 23)
i — /а \Лс 1 ^aj • yr.^J)
dz
Из уравнений D.22), D.23) получаем, что амплитуды стоксовой и анти-
антистоксовой компонент имеют инкремент, или показатель нарастания:
Q = Тс ~ Та < 0
(так как шс < ша). Следовательно, при выполнении синхронизма усиление
этих компонент ВКР отсутствует, что является следствием весьма сильной
нелинейной связи между стоксовой и антистоксовой
компонентами. Пороговая мощность накачки в на-
направлении точного синхронизма в реальных услови-
условиях не может быть достигнута.
При отходе от направления синхронизма
(рис. 4.8) усиление быстро возрастает, а порог па-
падает. Излучение антистоксовой компоненты харак-
характеризуется наличием темного кольца в направлении
точного синхронизма и яркими кольцами в направ-
направлениях, смещенных относительно направления син-
синхронизма.
Интересно отметить, что описанное явление ис-
исчезает, если в рассмотрение включить еще одну вол-
волну (например, вторую стоксову компоненту). При этом оказывается, что
радиус кольца излучения зависит от частоты антистоксовой волны. В за-
заключение заметим, что реальная картина процесса КР оказывается намного
сложнее (см. ниже).
0
Рис. 4.8
§4.4
Вынужденное рассеяние Мандельштама—Бриллюэна
209
§ 4.4 Вынужденное рассемние Мандельштама—
Бриллюэна
Вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ) возникает
как взаимодействие электромагнитных волн (фотонов) с акустическими ко-
колебаниями решетки (акустическими фононами). Рассматривая дисперсион-
дисперсионные кривые ВРМБ, мы должны взять ниж-
нижние ветви первой зоны Бриллюэна (см. ри-
рисунки 4.5, 4.6). По-прежнему рассматриваем
случай длинноволновых фононов.
Дисперсионные поверхности электромаг-
электромагнитных и гиперзвуковых волн представлены
на рис. 4.9. Световая волна по-прежнему рас-
распространяется по оси z. В отличие от случая
ВКР, здесь частота гиперзвука зависит от вол-
волнового вектора (конус М на рис. 4.9), и на-
наблюдение стоксовой волны заданной частоты
шс = шн — ft, где Q — частота гиперзвука,
возможно лишь в определенном направлении,
определяемом условиями синхронизма.
Перейдем к рассмотрению основных
принципов СРМБ и ВРМБ.
1. Тепловые флуктуации на частоте гипер-
гиперзвука возникают и релаксируют во времени;
например, возникшая флуктуация давления рассасывается со скоростью рас-
распространения упругого возмущения. Временные изменения неоднородностей
приводят к временным изменениям в интенсивности рассеянного света; дру-
другими словами, изменение неоднородно стей среды во времени приводит к мо-
модуляции рассеянного света.
Рассмотрим изотропную среду (жидкость). Если среда предоставлена
самой себе, в ней существуют дебаевские флуктуации давления Ар. Такое
тепловое поле давления можно представить набором волн:
X
Рис. 4.9
Ар
ПА (до,
exp [j (Ш - qnr)] du dqQ,
где ft, qo — частота и волновой вектор акустических фононов, т.е. волны
давления, до = uv^ г,уд — скорость звука в среде на частоте ft; А (до ,0) —
функция распределения интенсивности волн давления.
Диэлектрическая оптическая проницаемость среды складывается из невоз-
невозмущенной части ?о и малой добавки Ае, вызванной флуктуациями давления:
е = ?0 + Де,
где
14 В.Г.Дмитриев
др
дТ
АГ.
D.24)
210 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
А. Эйнштейн показал, что вторым членом в D.24) можно пренебречь,
в связи с чем диэлектрическая проницаемость е среды равна:
де_
dp
т
Соответственно, для вектора поляризованности среды Р = хЕ имеем
ЕАр.
(е0 - 1) Е 1 де
4тг 4тг др
т
Для монохроматической волны, падающей на среду,
Е = р- {Ан exp [j (ujJ - kHr)] + к.с.} ,
вектор поляризованное™ Р содержит компоненты боковых (комбинацион-
(комбинационных) частот шн ± О; следовательно, те же компоненты появятся и в спектре
рассеянного света. При этом данные комбинационные частоты будут уси-
усиливаться только при выполнении условия синхронизма (условия Брегга):
kcH±o = kH±qo. D25)
Условие D.25) можно также трактовать как закон сохранения импуль-
импульса при взаимодействии двух фотонов (возбуждающего рассеянного света)
и акустического фонона.
Поскольку 0<Сшн, то, пренебрегая небольшим изменением волнового
вектора при рассеянии и полагая 1ксин=ьо | ~ |кн|, получаем (рис. 4.10):
ИЛИ ~ ~
П = а;н-—sin-^-, D.26)
где vq и vcb — скорости звука и света в среде. Соотношение D.26) показыва™
ет, что данному углу наблюдения в при заданной частоте возбуждающего
света шн соответствует определенная частота звуковых колебаний (частота
гиперзвука) О; наибольшее смещение световой частоты будет наблюдаться
при В = 180°, т.е. когда смещенная световая компонента распространяет™
ся в направлении, обратном направлению распространения возбуждающей
волны света. Направления распространения возбуждающего света и гипер™
звука в этом случае совпадают (рис. 4.10).
Частота О имеет порядок 2 • 109—1011 Гц; волны звука с такими высокими
частотами названы «гиперзвуковыми».
Фактически, здесь мы имеем дело со своеобразным эффектом Допле-
Доплера; частота света меняется при отражении от бегущей упругой волны, как
от движущегося зеркала. В спектре рассеянного света появляется дублет
Мандельштама^Бриллюэна (рис. 4.11); можно показать, что полуширина
линий дублета 5ш пропорциональна sin (В/2). С ростом коэффициента по™
глощения гиперзвука величина Sou линейно возрастает.
§4.4
Вынужденное рассеяние Мандельштама—Бриллюэна
211
Наблюдение смещенных компонент в явлении СРМБ в направлениях
В = 0 и 180° весьма затруднительно из-за паразитного света накачки, а в на-
направлении В = 0° и из-за того, что частота смещения при этом равна нулю;
как правило, наблюдение СРМБ производится под углами 20-160° к на-
направлению распространения возбуждающего света.
Рис. 4.10
Рис. 4.11
Итак, под спонтанным рассеянием Мандельштама-Бриллюэна следует
понимать рассеяние света на флуктуациях диэлектрической проницаемо-
проницаемости, вызванных, в свою очередь, флуктуациями давления (волнами гипер-
гиперзвука) с частотами 109-—1011 Гц; рассеяние при этом носит «модуляцион-
«модуляционный» характер, а обратное воздействие света на звуковые волны пренебре-
пренебрежимо мало. Явление СРМБ реализуется для слабых световых волн.
2. Перейдем к рассмотрению явления вынужденного рассеяния Ман-
делыптама-Бриллюэна (ВРМБ). Основным отличием ВРМБ от СРМБ явля-
является обратное влияние световых волн на флуктуации давления (плотности);
результатом такого влияния является когерентное нарастание амплитуды
волны гиперзвука. ВРМБ реализуется в сильных световых полях лазеров и,
в отличие от СРМБ, носит пороговый характер.
Механизм обратного влияния света на звук связан с явлением электро-
электрострикции, т.е. с изменением объема (деформацией) тела под действием
электрического поля [3]. При электрострикции деформация пропорцио-
пропорциональна квадрату электрического поля, в отличие от так называемого обрат-
обратного пьезоэффекта, линейного по полю.
Электрострикция характеризуется коэффициентами электрострикции —
в общем случае тензорами 4™го ранга; последние являются коэффициентами
связи между тензором напряжения tij и тензором квадрата напряженности
электрического поля:
Электрострикционная деформация не зависит от знака электрического
поля и имеет место для всех диэлектриков — твердых, жидких, газообраз™
ных. Коэффициенты электрострикции hijmn весьма малы (~ 10™12 СГСЭ),
в связи с чем высокочастотная электрострикция проявляется лишь в интен-
интенсивных лазерных световых полях.
14*
212 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
Избыточное давление в среде под действием поля Е9 названное элек-
трострикционной деформацией, равно [3]:
1 де
D27)
где р — плотность вещества, значок s характеризует адиабатические (изо-
тропийные) флуктуации плотности.
Для сфокусированного солнечного луча (Е ~ Ю5 В/см) избыточное
давление достигает примерно 5 • 1СП3 кг/см2, в то время как в сфокусиро-
сфокусированном лазерном луче (Е ~ Ю8—109 В/см) р ~ 5 • 10+5 кг/см2!! Видно,
что луч лазера способен вызвать гигантские импульсы давления в среде,
так что электрострикция, не играющая роли в обычных условиях, здесь
становится определяющим явлением.
Рассмотрим грубую модель ВРМБ. Под действием случайных флукту-
флуктуации плотности вещества световое поле содержит несмещенную компо-
компоненту рнАн ехР [j (^ut — kHr)] и две смещенных компоненты — стоксо-
ву рсАс exp {j [(шИ — D)t — kcr]} и антистоксову paAaexp{j[(ujQ + Q)t—
™kar]}. Напомним, что смещенные по частоте компоненты с амплитуда-
амплитудами Ас и Аа возникли в результате рассеяния света под углом Брэгга, т.е.
в результате модуляции света звуковой волной с частотой О и волновым
вектором qo- Итак, поле Е в формуле D.27) для электрострикционного
давления имеет три частотные компоненты: ши и шя ± О. Подставляя эти
компоненты в D.27) и производя возведение в квадрат, получаем, что дав-
давление р в среде складывается из составляющих на частотах шн, 2шн, О, 20.
Звуковые волны на частотах шн и 2шИ распространяться не могут; поэтому
можно записать:
Р = ^ (p-jf-) (PhPcA^i exp {j [Ш - (kH - kc) г]} +
+ АИАа exp {j [ut - (ka - kH) r]} + AcAa exp {j [2Ш + (kc - ka) r]}).
Здесь, в силу условия Брэгга, kH — kc = qo, т.е. в результате электро-
стрикции усиливается волна гиперзвука той же частоты и фазы, что и звуко-
звуковая волна, которая вызвала стоксову волну рассеянного света; антистоксова
компонента здесь не усиливается.
3. Полная и последовательная классическая теория ВРМБ в жидкости
может быть дана на основе совместного решения системы уравнений Мак-
Максвелла и гидродинамики. Далее, как и в рассмотренных нами ранее случаях
генерации гармоник, параметрической генерации света и т.п., следует вы-
вывести укороченные уравнения для амплитуд взаимодействующих волн. Рас-
Рассмотрим приближение заданного поля возбуждающего света (изменением
поля АИ по длине z в направлении распространения можно пренебречь).
Для случая наблюдения в интервале 0 ^ В ^ 90° (рис. 4.12, проекции
волновых векторов qo и ki = кШн^о на ось z имеют одинаковое направ-
направление — случай «прямых» волн) получаем два уравнения для амплитуд
§4.4
Вынужденное рассеяние Мандельштама—Бриллюэна
213
давления и поля стоксовои компоненты:
dA
где
де
др
1др
pdp
дп*
* = О, JL. -
Ike
Z @) = 0, D28)
2cos(kcz)
де
др
|qo
16?rcos (qoz)
Решение системы D.28) при граничных условиях Ас@) = 0,р@) =
имеет вид (не путать давление р с векторами поляризации рс!):
[A {z)f =
[AH @) у^^ z]
p2 (z) = pi ch2 [AH @)
z] .
Итак, интенсивности стоксовои компоненты светового поля и давле-
давления (волны гиперзвука) для случая 0 ^ в ^ 90° растут экспоненциально
с расстоянием (рис. 4.12). Для возбуждения генерации такую среду следует
заключить в резонатор.
(г\\
Ро'
0
,p\Al
к>\"
^^
-^
л2
\.
Рис. 4.12
Рис. 4.13
При наблюдении рассеянного света в интервале углов 90 ^ G ^ 180°
(рис. 4.13) проекции волновых векторов qo и кс = кШа-п на ось z противо-
противоположны по направлению (случай «обратной» стоксовои волны), и решение
укороченных уравнений имеет вид (АсA) = 0, р@) = ро)*
-1 2
п р0
н @)
- I)}
cos2 [An @) y^^ l\
2 COS2 [AH @) V<Jc(Jo (Z - I)]
(z)\ =
Зависимости р2 шА2 от z показаны на рис. 4.13. Существенно подчеркнуть,
что при
7Г
, (о)
214 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
система становится неустойчивой во бремени и без резонатора, возможна
генерация гиперзвуковой волны и волны стоксовой частоты (абсолютная
неустойчивость). Термин «абсолютная неустойчивость» противопоставля-
противопоставляется здесь термину «конвективная неустойчивость», которому соответству-
соответствует обычное экспоненциальное усиление волн по длине и обычная «лазер-
«лазерная» генерация при помещении такой среды в резонатор.
Взаимодействие стоксовой и антистоксовой волн с одной и той же упру-
упругой волной возможно только при малых углах рассеяния. Действительно,
в этом случае имеем
= kH, К
D.29)
Рис. 4.14
Если qo — здесь один и тот же вектор, то, складывая почленно D.29), имеем
условие синхронизма для четырех световых волн:
k_l_ ь- — 9к
с i "-а — -¦'"¦ш
что возможно, ввиду близости кс?а и кн, лишь при малых углах (рис. 4.14),
определяемых дисперсией света в среде.
Учитывая затухания на частотах света и гиперзвука 8С и Sq, заметим, что
на практике всегда реализуется случай Sq ^> 5С, т.е. затухание гиперзвука
при комнатных температурах существенно
превосходит потери света. Так, для жидко™
сти 5q « 104смм1, для кристаллов Sq «
« 102-103)см™1 при 4 < Icm^1. Поэтому
порог генерации (абсолютной неустойчиво™
сти) при наблюдении назад A80°) оказыва-
оказывается весьма большим; например, для бензола
при освещении гигантским импульсом рубинового лазера порог абсолют-
абсолютной неустойчивости при ВРМБ равен -^ 7 • 105 МВт/см = 700ГВт/см ,
что на много порядков больше, чем порог обычной генерации ВРМБ
(~ 10 МВт/см2).
Такие высокие пороги объясняются высокими коэффициентами погло™
щения гиперзвука в средах при комнатной
температуре и требуют применения лазеров
с весьма короткими гигантскими импульса™
ми излучения, однако, при этом ВРМБ будет
происходить в существенно нестационарном
режиме. Для получения гиперзвуковой гене™
рации в режиме абсолютной неустойчиво-
неустойчивости необходимо уменьшение коэффициента
потерь гиперзвука Sq. На рис. 4.15 показа™
на зависимость Sq от температуры для квар-
кварца. При температуре жидкого гелия пороге™
вая интенсивность «абсолютной неустойчи™
вости» может быть достигнута для лазеров в режиме свободной генерации
и даже для непрерывного режима.
10'
0
1,5 140
Рис. 4.15
Г, К
§4.5 Вынужденное рассеяние Мандельштама—Бриллюэна 215
Естественно, что при генерации интенсивных гиперзвуковых и стоксо-
вых волн приближение заданного поля возбуждающего света может ока-
оказаться неприменимым, необходимо учитывать изменение поля Ан в про™
странстве и времени. Следует в целом подчеркнуть сходство математиче-
математических аппаратов ВРМБ и параметрического усилителя света (прямой и обрат-
обратной волн).
Явление ВРМБ в твердых телах имеет свои особенности: 1) здесь мо-
могут быть не только продольные, но и поперечные звуковые волны; 2) из-
за анизотропии компоненты ВРМБ в определенных направлениях могут
пропадать; 3) из-за двулучепреломления сдвиг частоты появляется и при
рассеянии вперед (В = 0°); 4) могут наблюдаться более сложные эффек-
эффекты — ВРМБ на магнонах (спиновых волнах в ферромагнетике), плазмонах
(электронах проводимости) и т.д.
Резюмируя, отметим, что основными отличиями ВРМБ от СРМБ яв-
являются: 1) появление в ВРМБ обратного воздействия световых волн на
акустические через эффект электрострикции; 2) когерентное нарастание
гиперзвуковой и стоксовой волн с расстоянием.
Экспериментальное исследование ВРМБ производится, как правило,
под углами В = 180°. Частотный сдвиг регистрируется при помощи ин-
интерферометра Фабри^Перо; при этом на пленке регистрируются кольца как
возбуждающего света, так и стоксовой компоненты. Лазер должен иметь
одну высокостабильную продольную моду, в противном случае картина
на интерферометре замазывается. Если не принять мер предосторожности,
возникают паразитные линии в спектре рассеянного света, затрудняющие
интерпретацию результатов. Эти паразитные линии появляются в резуль-
результате усиления лазером стоксовой компоненты и возбуждения ею новой
(второй) стоксовой компоненты со сдвигом 20 и т.д. Например, при ВРМБ
в сероуглероде CS2 наблюдается до 16 компонент, укладывающихся в ли-
линию усиления рубина. Следует применять различные развязки между лазе-
лазером и образцом или использовать скоростную фоторегистрацию. Хорошим
примером полной развязки является использование для возбуждения ВРМБ
второй гармоники лазера.
С рассеянием Манделынтама-Бриллюэна часто связывают разрушение
твердых диэлектриков под действием интенсивного светового излучения.
Действительно, этот эффект может играть определенную роль в процессе
разрушения, так как довольно значительные мощности светового импульса
перекачиваются в волну гиперзвука, которая сильно поглощается, вызы-
вызывая напряжения взрывного характера. Такие напряжения способны вызвать
разрушения или создать первоначальные условия, необходимые для разру-
разрушения твердого тела.
ВРМБ в различных веществах часто конкурирует с вынужденным ком-
комбинационным рассеянием (ВКР); при превышении низшего порога (либо
ВКР, либо ВРМБ) начинается соответствующее рассеяние. При дальней-
дальнейшем повышении мощности и достижении порога для второго рассеяния,
первое, как правило, подавляется.
216 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
§ 4.5 Вынужденное рассеяние света на поляритонах
Как уже указывалось, в некоторых кристаллах в узлах решетки находят-
находятся ионы — отрицательно или положительно заряженные атомы. Примером
таких ионных кристаллов является NaCl. При распространении в ионном
кристалле волн оптических колебаний решетки (оптических фононов) про™
исходит изменение дипольного момента молекул, а, следовательно, и поля-
ризованности кристалла.
В результате этого явления оптические фононы в ионных кристаллах
сильно взаимодействуют с внешним электромагнитным полем на часто-
частоте оптических фононов или возбуждают соответствующее электромагнит-
ное излучение. Частота возбуждаемых электромагнитных волн попадает
в ИК™диапазон; принято говорить, что такие механические колебания ре™
шетки ИК-оптически активны. Оптическая активность фононов приводит
к тому, что фононные линии проявляются в спектрах поглощения веще™
ства. На этих же фононах происходит и комбинационное рассеяние света.
Можно, таким образом, утверждать, что описываемые колебания решет™
ки ионных кристаллов являются одновременно и оптически-активными,
и комбинационно™активными, они проявляются как в спектрах поглоще™
ния, так и в комбинационных спектрах вещества.
Мы видим, что в среде на частоте оптических фононов наблюдаются как
механические, так и электромагнитные колебания, существует смешанное
электромагаитно-механическое поле колебаний. Квант такого смешанного
поля принято называть поляритоном, а смешанное комбинационно-пара-
метрическое рассеяние света —рассеянием света на поляритонах.
При воздействии на такую среду лазерного излучения с длиной волны,
лежащей, например, в видимом диапазоне, возникает комбинационное рас-
рассеяние на оптических фононах, т.е. возникает стоксова компонента света.
Одновременно с механическими колебаниями решетки на частоте оптиче™
ских фононов Шф возникает низкочастотная электромагнитная волна на той
же частоте ш^. Эта волна взаимодействует с волной накачки на частоте шИ
и стоксовой волной на частоте шс = шИ — Шф уже прямым образом — через
квадратичную нелинейность среды, т.е. параметрически. Вследствие это-
этого, для эффективного протекания процесса ВКР необходимо выполнение
синхронизма для трех световых волн на частотах Шф, шн, шс:
кн = кф + кс D.30)
В этом состоит одно из важнейших отличий поцесса рассеяния света
на поляритонах от обычного процесса комбинационного рассеяния. Точно
так же можно сказать, что отличие процесса рассеяния света на полярито-
поляритонах от обычного (комбинационно-неактивного) процесса параметрической
генерации света состоит в необходимости учета комбинационных членов,
проявляющихся через кубическую нелинейность среды.
Следует отметить, что вследствие сильной связи между механическими
и электромагнитными волнами на частоте оптических фононов нарушение
§4.5
Вынужденное рассеяние света на поляритонах
217
синхронизма D.30) приведет к резкому ослаблению, а часто и к полному
подавлению не только параметрического, но и комбинационного процессов.
Таким образом, для рассеяния на поляритонах в укороченных уравнени-
уравнениях следует учитывать как квадратичные (по полю) параметрические члены,
так и члены третьего порядка, описывающие комбинационное рассеяние.
Запишем суммарное электрическое поле в кристалле в виде
я exp
- кнг)] + рсАс exp [
- ксгс)]
+ РфАф exp [j (шфг - кфг)] + к.с.},
где Аф — амплитуда электрического поля световой (ИК) волны на частоте
оптических фононов Шф. В приближении заданного поля (Аф(г), Ac(z) <C
<С ^4Но) в отсутствие волновой расстройки для амплитуд Аф и Ас имеем
\АН0\2 Ас = 0,
D.31)
Л + №фАЯ0А*
= 0,
D.32)
UJl
где сгс?ф — коэффициенты нелинейной параметрической связи, пропорцио-
пропорциональные тензору квадратичной поляризуемости; Д. — коэффициент нели-
нелинейной связи процесса комбинационного рассеяния, пропорциональный
тензору четвертого ранга. В уравнении
D.31) мы пренебрегли затуханием сток™
совой волны, но не имеем права пре-
пренебречь затуханием волны на частоте
оптических фононов (уравнение D.32)).
Это связано с тем обстоятельством, что
электромагнитная волна на частоте Шф
распространяется вблизи области по-
поглощения кристалла Eф — коэффици™
ент поглощения).
Мы не ставим здесь задачу дать тео-
теорию вынужденного рассеяния света на
поляритонах. Поэтому перейдем непо-
непосредственно к рассмотрению дисперси-
дисперсионных характеристик процесса.
Дисперсионные характеристики по-
ляритонов, т.е. связанных электромагнитных волн и механических коле-
колебаний решетки, оказываются значительно более сложными, чем таковые
для процессов комбинационного рассеяния и параметрической генерации
(рис. 4.16).
На частотах, много меньших частоты оптических фононов, световое
излучение (дальний ИК-диапазон) распространяется со скоростью vH4 =
/ где 6СТ — диэлектрическая постоянная в статическом электри-
о
ш
DE
I
F/l
1
I
/
/a
G/uj =
f
/
kc
n
/
-
M/
kc
N
С
—¦¦—
Рис. 4.16
218 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
ческом поле. На этих частотах решетка может колебаться под действием
низкочастотного электромагнитного поля. Однако, так как эти частоты да-
далеки от резонанса, то смещения ионов и энергия механических колебаний
малы, большая часть всей энергии сосредоточена в электромагнитном поле.
Другими словами, поляритон на этих частотах ведет себя подобно низкоча-
низкочастотному фотону (участок О А, см. рис. 4.16).
В области частот, близких к частоте поперечных оптических фононов wt,
световая волна не распространяется (групповая скорость^ = дш/дк = 0),
имеет место сильное поглощение света, почти вся энергия сосредоточена
в механических колебаниях решетки. Итак, на частоте оптических фононов
поляритон ведет себя как фонон (участок ВС).
В промежуточной области частот (участок АВ) энергия поля сосре-
сосредоточена как в электромагнитном поле, так и в колебаниях решетки. Это
промежуточное состояние системы и соответствует поляритонам — свое-
своеобразной смеси фотонов и фононов.
В запрещенной области частот между частотами поперечных ujt и про-
продольных uji оптических фононов электромагнитные волны не могут распро-
распространяться и поглощаться — в этой области свет полностью отражается.
На частотах продольных оптических фононов щ (участок DE) снова
вся энергия сосредоточена в механических колебаниях решетки, поляри-
тоны являются здесь продольными фононами. На промежуточном участ-
участке EF мы имеем смешанное фотон-фононное (поляритонное) состояние,
а на частотах ш ^> ui (ближний ИК- и видимый диапазоны) поляритон вы-
выступает как высокочастотный фотон (участок FG). Заметим, что скорость
распространения высокочастотного электромагнитного излучения больше,
чем низкочастотного. Это связано с тем, что на низких частотах (участок
О А) вклад решетки в поляризуемость, а, следовательно, и в диэлектриче-
диэлектрическую проницаемость, велик, а на высоких частотах решетка уже не успева-
успевает следить за быстрыми изменениями поля, ее вклад в поляризуемость мал
(поляризуемость здесь носит, в основном, электронный характер); поэтому:
В заключение отметим, что вынужденное рассеяние света на поляри-
тонах весьма перспективно для создания эффективных перестраиваемых
генераторов видимого света и перестраиваемых преобразователей дальне-
дальнего ИК-излучения в видимый диапазон.
§ 4.6 Вынужденное рассеяние света в крыле
линии Рэлея
1. При изучении вынужденного рассеяния Манделыптама^Бриллюэна
(ВРМБ) мы видели, что в спектре света, рассеянного веществом (изо-
(изотропной жидкостью или кристаллами), наблюдается тонкая структура ли-
линии рэлеевского рассеяния — так называемый дублет Мандельштама-
Бриллюэна. Этот дублет не разрешается в обычных спектрографических
§4.6
Вынужденное рассеяние света в крыле линии Рэлея
219
исследованиях и может быть обнаружен лишь при достаточно узкой линии
возбуждающего излучения (около 0,1см™1) с помощью интерферометра
Фабри-Перо. ВРМБ проявляется как взаимодействие света с акустически-
ми фононами (частота порядка 1010 Гц), в связи с чем сдвиг стоксовой
компоненты РМБ не превышает, как правило, величины примерно 0,2 см™1.
Экспериментальные исследования Рамана и др. в 1928 г. показали, что
рэлеевская (несмещенная) компонента рассеянного света заметно уширена
по сравнению с возбуждающей линией; это расширение линии свойствен™
но всем жидкостям и носит название «крыла линии Рэлея». Интенсивность
рассеянного света в крыле Рэлея монотонно спадает в обе стороны от рэле-
евской линии (укажем, что сдвиг линии при РМБ составляет 0,2 см™1, при
комбинационном рассеянии 1000 см™1, см. рис. 4.17).
Рис. 4.17. Линия Рэлея с тонкой структурой A), компоненты дублета
Мандельштама-Бриллюэна ш\, Ш2 B), крыло линии Рэлея C) и линии
шз,4 комбинационного рассеяния (не в масштабе) D)
Крыло Рэлея значительно деполяризовано (примерно на 80-85 %). Вы-
Высказывалось много предположений о природе линии Рэлея — гипотезы
Рамана и Кришнана (комбинационное рассеяние на анизотропных молеку-
молекулах жидкости), Кабанна (столкновение молекул в жидкости, подобно ло-
ренцевскому уширению линии излучения в газе из-за столкновений моле-
молекул), Гросса (рассеяние на вибрациях деформационных остатков кристал-
кристаллической структуры жидкости). Наиболее рациональная точка зрения на
природу крыла принадлежит Ландау и Плачеку (релаксационные явления
в среде); в этой гипотезе ширина крыла обратно пропорциональна време-
времени релаксации дипольного момента. Остальные вышеупомянутые теории
в основном не выдержали критики и сравнения с экспериментом.
Старунов и Фабелинский развили гипотезу Ландау-Плачека. Было по-
показано, что участок крыла, простирающийся на 15—25 см™1 от несмещен-
несмещенной рэлеевской компоненты, обусловлен перескоками молекул жидкости
из одного положения равновесной ориентации в другое (так называемая
поворотная диффузия). Более быстрые апериодические качания молекул
220 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
в промежутках времени между перескоками ориентации приводят к появле-
появлению в спектре рассеянного света более далекой области крыла (до 200 см™1
и более). Нетрудно видеть, что вышеуказанные повороты и качания молекул
вызывают изменения (флуктуации) анизотропии жидкости, в связи с чем
рассеяние света в крыле линии Рэлея часто называют рассеянием света на
флуктуациях анизотропии.
Итак, рассеяние на флуктуациях анизотропии является рассеянием на
нерегулярностях в ориентации молекул жидкости (газа). В жидкости мо-
молекулы очень сильно взаимодействуют между собой; здесь не существует
какого-либо свободного вращения молекулы, которое обладало бы дискрет™
ными уровнями энергии. Поэтому вращение молекул, как и всякое другое
движение, связанное с изменением их взаимного расположения, вносит
вклад в создание общей сравнительно широкой линии рассеяния (крыла
Рэлея). Время релаксации т этих движений существенно связано с вязко™
стью жидкости.
Два вышеупомянутых движения молекул жидкости (поворотная диф-
диффузия и качание молекул) обладают разными временами релаксации. Часть
крыла Рэлея, примыкающая на 15-25 см™1 к центральной (несмещенной)
линии и обусловленная перескоками ориентации молекул, характеризуется
большим временем релаксации; так для бензола т\ « 3 • 10™12 с и соответ-
соответствующая ширина крыла составляет примерно 10п-1012Гц (на 1-2 поряд-
ка шире, чем смещение в рассеянии Мандельштама-Бриллюэна). Далекая
область крыла B00 см™1 и более) связана с быстрыми апериодическими
качаниями молекулы и характеризуется малым временем релаксации; для
бензола это время равно Т2 ~ 2,5 • 10™13 с (на порядок меньше, чем т\)
с соответствующей шириной крыла порядка 1012—-1013 Гц.
Еще более далекая область крыла линии Рэлея может быть связана со
сдвиговыми деформациями; время релаксации последних (фактически это
время релаксации внутреннего трения, или вязкости) составляет, например,
для бензола величину 9 • 10™14 с.
Таким образом, крыло линии Рэлея простирается до частот ^ 1013 Гц.
Рассеяние слабого света в крыле линии Рэлея (на флуктуациях анизотро-
анизотропии) носит, таким образом, чисто модуляционный характер — флуктуации
анизотропии жидкости модулируют возбуждающий свет по частоте, вы-
вызывая появление сшоксовой и антистоксовой частей крыла линии Рэлея.
Такое рассеяние, когда проявляется только влияние флуктуации анизотро-
анизотропии на свет и нет обратного влияния на анизотропию вещества, мы назовем
спонтанным рассеянием крыла линии Рэлея (СРКЛР).
Феноменологическая теория СРКЛР в жидкости дана М.Л. Леонтови-
чем; следует отметить, что спонтанное рассеяние Мандельштама-Бриллю-
эна (СРМБ) в этой теории проявляется как частный (резонансный) случай
СРКЛР. Вдали от дублета СРМБ интенсивность компоненты СРКЛР зави™
сит от частоты по закону:
§4.6
Вынужденное рассеяние света в крыле линии Рэлея
221
Коэффициент
деполяризации
Коэффициент деполяризации имеет характерное распределение по
спектру (рис. 4.18). Видно, что компонента Манделыптама-Бриллюэна
полностью поляризована, в то время как вдали от линии РМБ степень
деполяризации крыла линии Рэлея быстро возрастает.
2. Перейдем к исследованию вынужденного рассеяния света в крыле
линии Рэлея (ВРКЛР). Мы уже видели, что если в среде распространяв
ется волна света с частотой ш®, то флуктуации анизотропии со временем
релаксации т вызывают модуляцию
световой волны, так что появляют-
появляются смещенные компоненты. Для цен™
тральной частоты О = г™1 смещен-
смещенные компоненты имеют частоты
^1,2 = UJq ±п.
Пусть в среде распространяются
основная волна света и стоксова ком-
компонента ш\ = ujq — п. Если интенсив™
ность света на частоте ujq достаточ-
достаточно велика (лазерный луч), то под дей-
действием электрического поля световой
волны молекулы ориентируются по полю. Степень ориентации сильно па-
падает, если частота поля больше т™1 = О. Нетрудно видеть, что для воздей-
воздействия света на среду с частотой п необходимо наличие квадратичного по
полю эффекта; тогда член типа Е0Е^ даст вклад в частоту О.
Таким эффектом является хорошо известный эффект Керра, заключаю-
заключающийся в появлении анизотропии в оптически изотропном теле (жидкости)
под действием электрического поля. Благодаря этому эффекту при рас-
распространении в среде двух волн с разностью частот О в среде возникают
«вынужденные волны анизотропии» на частоте О, т.е. усиливаются началь-
начальные флуктуации анизотропии. Далее, усиливается стоксова компонента, что
приводит к дальнейшему усилению волны анизотропии и т.д.
Теория ВРКЛР дает экспоненциальное усиление стоксовой компоненты
(в приближении заданного поля света Е®):
\ \ / \ / Относительн
Относительная
\ \ / \/ интенсивность
рассеянного света
\х кр_,
Аш/п
Рис. 4.18
Инкремент g(ft) имеет следующую зависимость от частоты О:
От _о
Нетрудно видеть, что усиление максимально при О = т \ где т —
время релаксации анизотропии, и прямо пропорционально интенсивности
возбуждающего света. В спектре рассеянного света должны возбуждаться
линии на частотах О]_ = т-f1 и О2 = т^1 (о временах релаксации т\^ мы
уже говорили ранее).
222 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
При экспериментальном наблюдении ВРКЛР в спектре стоксова крыла
иногда действительно наблюдались максимумы интенсивности. В боль™
шинстве же исследований наблюдается не линия на частоте О = т^1,
а сплошной непрерывный фон со стоксовой стороны от линии возбужда-
возбуждающего света. Было замечено, что линии ВРКЛР проявляются лишь при
интенсивностях света, не превышающих определенное значение; при повы-
повышении интенсивности растут линии ВРМБ, линии ВРКЛР меняются слабо,
затем появляется непрерывное ВРКЛР в стоксовой области.
Одной из возможных причин, вызывающих непрерывный фон ВРКЛР,
является насыщение, при котором молекулы выстраиваются так, что на™
правление их максимальной поляризуемости почти не отклоняется от на-
направления поляризации света. Такое выстраивание происходит уже при
плотности мощности 5 • 1011 Вт/см2 и приводит к уменьшению коэффици™
ента усиления прежде всего на частоте О = г.
Дальнейшее увеличение интенсивности приводит к росту линий ВРКЛР
на частотах О ф т, т.е. при полях Eq > 107 В/см (в фокусе луча лазе™
ра), в спектре рассеянного света наблюдается широкий непрерывный фон
ВРКЛР. Теория показывает, что насыщение наступает тогда, когда интен-
интенсивность крыла Е\ ^ Eq.
Высказанная причина не полностью объясняет явление фона ВРКЛР.
Так, в экспериментах Фабелинского с сотрудниками было показано, что
широкие крылья ВРКЛР наблюдаются и при существенно меньших полях
(порядка 106 В/см), когда насыщение не должно возникать.
Было сделано предположение, что при больших коэффициентах уси-
усиления в ВРКЛР формируются сверхкороткие импульсы излучения с дли™
тельностыо ти ^ т (т — время релаксации анизотропии); при этом ти «
к» 10"1-—10™3 с. Спектр ВРКЛР в этих случаях должен быть уширен на
величину АО ~ т^1 и даже более, если имеет место вторичное рассеяние.
Действительно, указанные сверхкороткие импульсы в ВКР были экспери™
ментально обнаружены.
При достаточно интенсивном вынужденном комбинационном рассея™
нии (ВКР) световое поле ВКР способно создавать вынужденное крыло
Рэлея, что осложняет интерпретацию экспе-
эксперимента.
До сих пор мы касались лишь той сто™
роны явления, когда отсутствует взаимодей-
взаимодействие возбуждающей, стоксовой и антисток-
антистоксовой волн; это реализуется при достаточно
0 ° больших углах наблюдения В по отношению
рис 4 19 к направлению возбуждающего света. При
вынужденном рассеянии под малыми углами
следует учитывать возможность взаимодействия четырех фотонов — двух
лазерных, стоксова и антистоксова. При этом должно выполняться условие
синхронизма (рис. 4.19):
2k0 = ki +k2.
§ 4.7 Механизм ОВФ при вынужденных рассеяниях света 223
Вследствие слабой дисперсии это условие удовлетворяется лишь под
малыми углами; оптимальный угол соответствует максимальному усиле-
усилению для данной частоты п. Наибольший коэффициент усиления реализу-
ется при О = 0 — случай так называемого вырожденного по частоте четы™
рехфотонного взаимодействия (невырождение по направлению остается!).
Подчеркнем, что даже для вырожденного случая (О = 0), когда, казалось
бы, волновые векторы должны быть равными к\ = к2 = ко, и, следователь™
но, треугольник на рис. 4.19 должен вытянуться в линию, на самом деле
волновые векторы слабых волн — стоксовой и антистоксовой — оказыва-
оказываются большими, чем волновой вектор сильной возбуждающей волны.
(Для понимания этого явления вспомним, что вследствие эффекта Керра
n = no+ri2^2, и для добавки An на частоте возбуждающего света (сильная
волна) следует взять слабый член в нелинейной поляризации типа E\E2Eq,
а для добавки на стоксовой частоте (слабая волна) — член типа EqE2 . При
этом Е^Е^ ^ ^iE2Eq, т.е. слабая волна получает заметную нелинейную
добавку в An, в то время как нелинейной добавкой для сильной волны
можно пренебречь.)
Эксперименты подтвердили, что максимум интенсивности при четы™
рехфотонном взаимодействии совпадает с частотой возбуждающего света.
С увеличением угла наблюдения В антистоксова область крыла исчезает.
В реальных условиях происходит конкуренция процессов ВРКЛР и ВКР;
при этом они часто подавляют друг друга. Более детальные сведения по раз™
личным видам ВР света можно найти, например, в монографиях [6-8].
§ 4.7 Механизм ОВФ при вынужденных рассемниях света
Механизм ОВФ при вынужденных рассеяниях света носит принципи-
принципиально иную природу, чем в случае параметрических ТВВ- или ЧВВ-вза-
ЧВВ-взаимодействий. Для сравнения и более глубокого понимания этих отличий
вспомним, что, например, при ТВВ-ОВФ-взаимодействии двух волн — на
удвоенной частоте 2ш — поля Е% ~ А% exp [j Bout — кзгз)] и на основной
частоте — поля Е\ (г) ~ А\ (г) exp [j (out — кхг)] — возникает поляризо-
ванность квадратично^нелинейного диэлектрика вида (см. гл. II)
которая при выполнении условия синхронизма:
к2 = к3 - ki
эффективно возбуждает волну разностной частоты с волновым вектором к2
Е2 (г) - Х{2)А3А1 (г) exp [j (out - к2г)], D.33)
т.е. А2 (г) ~ А\ (г). Напомним, что процесс ТВВ возможен в нелинейных
кристаллах, не обладающих центром инверсии, а для выполнения синхро-
синхронизма необходимы использование анизотропии кристаллов и различные
поляризации взаимодействующих волн.
224 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
Из D.33) следует, что волна разностной частоты оказывается комплекс™
но-сопряженной исходной волне (по поперечным координатам). Для пол-
полного ОВФ необходимо отразить волну Е2 дополнительным зеркалом.
В кубически-нелинейной среде (см. гл. III) при встречных взаимно
комплексно-сопряженных волнах накачки Е\^ взаимодействие последних
с пространственно-неоднородной волной сигнала Е$ (г) рождает поляризо-
ванность диэлектрика вида (для частотно-вырожденного случая, т.е. ЧВВ):
P{u>,r) ~ Х^Е^Е; (г) ~ ХC)
и, следовательно, волну Е^ (г):
точно обращенную (уже по всем трем координатам) волне Е% (г). Ме-
Метод ЧВВ может быть проинтерпретирован и на голографическом языке
(см. гл. III) как рассеяние (дифракция) одной из волн накачки (например,
Е2) на динамической голограмме, созданной взаимодействием другой вол™
ны накачки, например, Е\, и волны сигнала Е$ (г).
Методы ТВВ-ЧВВ-ОВФ, с одной стороны, требуют использования
волн накачки высокого дифракционного качества, т.е. практически плоских
волн [4]. Действительно, если в методе ТВВ волна накачки Е%{2ш) про-
пространственно-неоднородна, то эта неоднородность будет тут же «перело-
«переложена» на разностную волну Е2, и ОВФ будет неполным и некачественным.
То же самое относится и к методу ЧВВ, где исключением является случай
хоть и пространственно-неоднородных, но зато полностью комплексно-со-
пряженных волн накачки: Е\ = Е% (заметим, что в случае, когда обе волны
накачки — плоские, то их комплексное сопряжение выполняется автомати-
автоматически; поэтому требование полного комплексного сопряжения волн накачки
при ЧВВ является общим. С точки зрения устранения самофокусировки,
как мы видели в гл. III, пространственно-неоднородные волны более устой-
устойчивы, чем плоские).
С другой стороны, ТВВ-ЧВВ-ОВФ-методы с успехом обращают не только
пространственно-неоднородные, но и плоские волны сигнала, что не реали-
реализуется при ОВФ за счет ВР света.
Теперь рассмотрим ОВФ при ВР света. Уже из вида уравнений для
комплексных амплитуд, например, для стоксовой компоненты,
^ + Д±Л^ = f А41Л = -§ I A.I2 Л, D.34)
где g — коэффициент усиления, зависящий от природы ВР, видно, что
автоматического выполнения комплексного сопряжения в стоксовой ком-
компоненте по отношению к волне накачки не происходит; в этом проявляется
глубокое принципиальное отличие ОВФ-ВР от ОВФ при параметрических
(ТВВ, ЧВВ и т.д.) взаимодействиях (см. также [9]).
Физический механизм ОВФ при ВР света весьма наглядно дан в обзоре
[4]. Для понимания этого механизма вспомним, на чем базируется ВР света.
§ 4.7 Механизм ОВФ при вынужденных рассеяниях света 225
Пусть в среде распространяются две световые волны: накачки Ен (г) и сток-
сова, или сигнала, ЕС9 причем разность их частот О = шя—шс близка к часто™
те Оо собственных колебаний среды (для ВКР Qq — частота собственных
колебаний атомов или ионов, для ВРМБ — в зависимости от направления
наблюдения — это та частота звукового волнового возбуждения, волновой
вектор которого замыкает треугольник синхронизма, см. гл. III). Сама сток-
сова волна может и не подаваться на вход нелинейной среды; она возникает
вследствие наличия флуктуационной модуляции коэффициента преломле-
преломления (диэлектрической проницаемости) на частоте Qq, поэтому в этом случае
всегда О = Qq, поскольку шс = а;н — Qq. Далее, интерференционный член
вида А^АС exp [j (Ogt — qr)], где q = kH — kc, раскачивает собственные
колебания среды на частоте Qq. В случае ВРМБ эта раскачка осуществля-
осуществляется за счет электрострикции, при ВКР — за счет кубической нелиней-
нелинейности потенциальной энергии молекулы, при ВРКЛР — за счет эффекта
Керра. Можно интерпретировать этот механизм ВР и с голографической
точки зрения: в результате взаимодействия волн Еш и Ес возникает дина-
динамическая решетка, на которой рассеяние той же волны Ея дает слагаемое
в поляризованности среды на частоте ljC9 пропорциональное | Ан (г) | Ас (г)
и эффективно (т.е. в синхронизме) возбуждающее волну на стоксовой ча-
частоте. В приближении заданного поля накачки (Ас (z) <С Ая @) ~ Ая (z))
и пренебрежении дифракцией из D.34) следует, что
В обзоре [4] указывается, что порог регистрации ВР наступает при
соответствующая интенсивность накачки называется пороговой. Если сток-
сова волна не подается на вход (а обычно это именно так), то ВР развивается
из спонтанных шумов с весьма низкой амплитудой. Примем порог обнару-
обнаружения по плотности мощности 10~7 Вт/см2, что соответствует амплитуде
поля 7 • 10^3 В/см; тогда амплитуда спонтанных колебаний на частоте сток™
совой волны Д;@) « 7 • 10™14 В/см.
В стационарном режиме наступает насыщение, что соответствует уси-
усилению по амплитуде порядка е30 « 1013; при таком усилении амплиту-
амплитуда стоксовой волны по порядку величины сравнивается с амплитудой накач-
накачки Ан@).
Если в формуле D.35) \АН @)| выразить в МВт/см2, длину среды I —
в см, то коэффициент усиления д/2 выразится в см/МВт. Для ВРМБ назад
(в = 180°) обычно д ~ 1СГ1 -=- 1СГ2 см/МВт при весьма малом сдвиге
частоты. Принимая д/2 ~ 0,1 см/МВт и \АН @) | 1д/2 ~ 30,1« 5 см, имеем
|Ai@)|2^ 60МВт/см2.
Можно сказать, что в основе механизма ОВФ при ВР лежит факт экс-
экспоненциального усиления и большая величина инкремента |Ан@)| д/2,
15 В.Г.Дмитриев
226 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
пропорционального квадрату амплитуды поля накачки. Нетрудно видеть,
что из-за экспоненциального усиления изменение инкремента, например
вдвое, увеличивает усиление, например, с е15 до е30, т.е. в 106 раз! Другими
словами, небольшое изменение инкремента может качественно изменить
ход процесса ВР. Заметим, что при ТВВ и ЧВВ ничего подобного не про™
исходит, там усиление в приближении заданного поля пропорционально
длине среды и растет линейно с амплитудой накачки (ТВВ) или с квадра-
квадратом ее (ЧВВ).
Если волна накачки при ВР — плоская, то процесс ОВФ не имеет смы-
смысла, как следует из самого вида уравнений D.34), D.35). Если же волна на-
накачки существенно пространственно-неоднородна, то картина резко меня-
меняется. Пространственное распределение интенсивности накачки | АИ @, р) | ,
а вместе с ним и показателя экспоненты в D.35), становится в этом случае
также весьма неоднородным по пространству. Существенную роль начи-
начинает играть и дифракция. Если излучение содержит поперечные неодно-
неоднородности с характерным размером а, то им соответствует нерегулярная ди-
дифракционная расходимость Во ~ А/а, причем излучение за счет дифракции
диффундирует из одной неоднородности в другую на характерной длине
дифракции Rg « A/Gq. Такая сложная интерференционная картина может
быть названа спекл-структурой [4, 5].
Таким образом, локальный коэффициент усиления для стоксовой ком™
поненты D.35), определяемый локальной (т.е. в том же месте!) интенсивно-
интенсивностью накачки, весьма неоднороден по пространству. Совершенно очевидно,
что при «ВР назад» (В = 180°), а именно такая геометрия, очевидно, наи-
наиболее интересна для ОВФ, наибольшее усиление получит такая простран-
пространственная конфигурация поля стоксовой волны, которая совпадает с таковой
для волны накачки, т.е. наиболее усилится стоксова волна, полностью про-
пространственно-коррелированная с волной накачки. Единственной возмож-
возможностью осуществить такую корреляцию между двумя встречными волнами
накачки и стокса является их взаимное комплексное сопряжение, т.е.
Ес (г) = const • Е* (г).
В этом и только в этом случае интерференционная структура (спекл-
структура) обоих полей будет совпадать, причем в процессе дифракции оба
поля согласованно меняют свою спекл-структуру [5].
Как же происходит ОВФ при ВР? Первоначально спонтанно-рассеянная
стоксова компонента имеет весь набор пространственных конфигураций
своего поля, среди которых обязательно имеется затравка поля, полностью
комплексно-сопряженная волне накачки. Именно эта комплексно-сопря-
комплексно-сопряженная спекл-структура и «выживает», так как имеет гораздо большее
усиление, чем остальные составляющие, пространственно-некоррелиро-
пространственно-некоррелированные с волной накачкой. Как показали детальные расчеты, инкремент для
такой стоксовой волны, интерференционные максимумы которой совпада-
совпадают с таковыми для волны накачки, в два раза выше, чем для других, некор-
некоррелированных, компонент этой волны [5]. А такое различие, как мы видели
ранее, приведет к резкому подчеркиванию стоксова поля с обращенным по
§ 4.8 Механизм ОВФ при вынужденных рассеяниях света 227
отношению к волне накачки волновым фронтом. Заметим, что в «линей-
«линейном» режиме (т.е. в приближении заданного поля накачки) все компоненты
стоксова поля (и коррелированная, и все другие) нарастают по длине среды
независимо, но с различными (до двух раз) инкрементами; например, корре-
коррелированная компонента имеет коэффициент усиления е25, а все остальные
е12...е13, т.е. примерно в 105 ... 106 раз меньше. В нелинейном режиме
конкуренция этих компонент резко возрастает, так как «сильная» (полно-
(полностью обращенная) компонента подавляет волну накачки, и коэффициент
усиления для «слабых» (некоррелированных) волн еще более падает.
Из рассмотрения вышеизложенного уже с очевидностью следует тот
факт, что при возбуждении ВР пространственно-неоднородной накачкой
«в генерацию выходит» лишь обращенная компонента стоксовой волны,
а все некоррелированные с накачкой компоненты остаются на много поряд-
порядков ниже по интенсивности. Налицо «дискриминация» некоррелированных
стоксовых полей и «наибольшее благоприятствие» коррелированному по™
лю. Усиление последнего в режиме насыщения примерно в е15 раз больше,
чем для некоррелированного поля. Поэтому на выходе (z = 0) среды и воз-
возникает практически только обращенная стоксова волна, а «необращенный»
фон пренебрежимо мал [5].
Следуя [4, 5], можно окончательно сформулировать механизм ОВФ
приВР:
«Физический механизм ОВФ-ВР состоит в преимущественном усиле-
усилении обращенной конфигурации рассеянного поля за счет того, что локаль-
локальные максимумы ее спекл-структуры совпадают с локальными максимумами
коэффициента усиления во всем объеме взаимодействия».
В заключение подчеркнем, что все вышеизложенное в равной степени
относится ко всем видам ВР (ВКР, ВРМБ, ВРКЛР, ВТР и т.п.). Меняют-
Меняются при этом лишь механизм ВР и величина инкремента. Заметим также,
что пространственно-неоднородная накачка есть по сути дела накачка от
существенно многомодового (по поперечным индексам) лазера.
Наиболее благоприятная ситуация для ОВФ-ВР — в равномерно осве-
освещенном световоде, где одновременно присутствует огромное количество
поперечных мод, создавая хаотическое (по фазе), но равномерное в среднем
(это очень важно) освещение (накачку). Но, будучи в среднем равномерным,
это излучение одновременно очень сильно пространственно-неоднородно
и обладает ярко выраженной спекл-структурой. Чем больше пространствен-
пространственных (поперечных) мод содержится в этом поле, тем меньше характерный
размер пятен (спеклов) интерференции. Если сказать то же другими слова™
ми, радиус поперечной корреляции такого излучения стремится к нулю. Со-
Совершенно аналогичная ситуация возникает в лазере с большим количеством
поперечных мод, см. [10], где получено исключительно равномерное пятно
с большим (^ 4 • 103!) числом поперечных мод при практически полном
отсутствии когерентности по пятну (мелкоструктурная спекл-структура, не
разрешаемая обычными методами). Излучение такого лазера, по-видимому,
было бы чрезвычайно благоприятным для ОВФ.
15*
228 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
§ 4.8 Качественная теория ОВФ при ВР света (общие
соображении)
В приближении заданного поля накачки дифракция и стоксово усиление
обратной (в = 180°) волны описываются уравнениями:
в, . dZ 2k" D.36)
-? ^-A±Ac(p,z) = | \AH(p,z)\2Ac(p,z).
В D.36) учтена дифракция волн в параболическом приближении, что
вполне применимо для узконаправленных полей [11]. Здесь в соответствии
с [4] волна накачки распространяется в направлении (—z), а волна стоксова
сигнала — навстречу ей (+z).
Отметим, что в отсутствие ВР-усиления (д = 0) уравнения D.36) яв-
являются комплексно-сопряженными, т.е. решению Аш можно сопоставить
комплексно-сопряженное решение Ас (р, z) = const • А* (р, z), и это ре™
шение является точным решением второго уравнения D.36) при д = 0,
кс = кя (последнее соотношение для модулей волновых векторов особенно
хорошо выполняется для ВРМБ). Ниже мы будем полагать кс « кя; случай
кс < кн (ВКР) будет рассмотрен позже.
Очевидно, что при наличии пространственно-неоднородного ВР-уси-
ВР-усиления (д ф 0) комплексно-сопряженное решение уже не может быть точ-
точным решением, однако, вследствие усреднения действия достаточно мелких
неоднородностей обращенная волна с амплитудой вида
Ac(p,z)=K(z)A*H(p,z) D.37)
является приближенным решением второго уравнения D.36), причем с до-
достаточной точностью. Покажем это, следуя [4, 5]. Представим правую часть
второго уравения D.36) в виде
| А (р, z)\2 Ас (р, z) = (А,А*Н) Ас + (АА> К + К4>> А* + F (P.z).
где угловые скобки означают усреднение по поперечному сечению. Если сток-
стоксово поле сильно коррелировано с полем накачки, т.е. если выполняется D.37),
то
(АяАс)=К(г)(\АИ\2).
С другой стороны, встречные волны накачки и стокса с очевидностью
дают нулевой коррелятор: (А^АС) « 0. Пренебрегая слагаемым F(p,z),
характеризующим случайно модулированную по пространству составляю™
щую, получаем с учетом D.37):
|ЛН|2 Л « (|Аа\2) Ас + К (z) (\Ан\2)А: = 2К (z) (Ш2)А1. D.38)
§ 4.8 Качественная теория ОВФ при ВР света (общие соображения) 229
Подставляя D.38) во второе уравнение D.36), получим
l;K{z) = 2K{z)9-{\Aii\2),
откуда
В то же время из D.36) непосредственно следует, что коэффициент
усиления для необращающих конфигураций вдвое меньше (^(| Д^ )^/2).
Итак, мы приходим (путем довольно качественных рассуждений)
к очень важному выводу, обосновывающему дискриминационный ха-
характер ОВФ—ВР: обращенная конфигурация стоксова поля усиливается
с инкрементом, вдвое большим, чем необращенные (т.е. некоррелирован™
ные с интерференционным полем накачки) компоненты стоксова поля.
А мы уже видели, что эта двойка вносит принципиальное отличие в меха-
механизм усиления: «выживает» именно обращенная (по отношению к накачке)
конфигурация стоксова поля, а остальные, некоррелированые, дискрими-
дискриминируются (е30 и е15 соответственно). Заметим, что эта принципиально
важная двойка в экспоненте была впервые получена в работах [9, 12].
Физической основой всех этих расчетов является тот факт, что спекл-
структура полей получается в результате интерференции большого числа
практически независимых компонент поля, и поэтому общее поле обладает
статистикой гауссова процесса.
Итак, неоднородности в среде в нашем случае созданы пространствен™
но-неоднородным полем накачки \АЯ (р, z) | ; стоксова волна Ас (р, ?) обла-
обладает весьма характерной и необычной структурой, которую авторы работ [4,
5] предложили назвать спеклоном. Согласно D.37) пространственная струк-
структура этой рассеянной волны, т.е. спеклона, согласована с неоднородностями
среды, причем дифракция спеклона на этих неоднородностях не разрушает
этой согласованности. Можно говорить, что спеклон находится в простран-
пространственном резонансе с неоднородно стями среды. Именно этот резонанс уве-
увеличивает вдвое инкремент по сравнению с таковым для некоррелированных
компонент, не находящихся в таком резонансе.
Заметим, что при попутном распространении стоксова поля и про стран™
ственно-неоднородной волны накачки компонента стоксова поля воспроиз-
воспроизводит поле накачки без комплексного сопряжения.
Рассмотрим качественно пространственную структуру ОВФ-ВР более
подробно. В поперечном сечении мы увидим хаотическое распределение
интерференционных пятен; в другом сечении интерференционная структу-
структура, естественно, будет совершенно другой. Можно утверждать, что в про-
процессе распространения по среде эти пятна прочерчивают в среде изогну-
изогнутые «трубки поля», причудливо (вследствие дифракции) переплетающи-
переплетающиеся между собой. Фактически мы имеем дело с усиливающими криво-
криволинейными волноводами, «змейками» (по терминологии Б Л. Зельдовича)
(рис. 4.20).
230 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
Характерная длина одного колена такого волновода равна Rg ~ A/0q,
где Во ^ А/а, а — характерный размер пятна спекл-структуры. При до™
статочно большом усилении, т.е. при GRg > 1, где G = 2^(|AH| ) —
коэффициент усиления спеклона по интенсивности, рассеянная (стоксова)
волна захватывается ближе к оси такого волновода, поскольку усиление
Плоская волна
(или квазиплоская,
несущая изображение)
Аберратор
У/ L
Нелинейная ВР-среда
У/
У/
———
с
У/
V/
Восстановленная Микроволноводы (змейки),
волна возникающие вследствие
диффузии излучения
(дифракции)
Рис. 4.20
Затравка
стоксовой
компоненты
ВР на его оси значительно больше, чем на периферии. Поэтому соотноше-
соотношение D.37), необходимое для качественного ОВФ, нарушается уже на длине
одного колена длиной порядка Rg (подробнее см. [13]).
Для выхода из этой ситуации, т.е. для обеспечения качественного
ОВФ, необходимо потребовать обратного соотношения, т.е. gRg <С 1. Дру~
гими словами, перемешивание спекл-структуры должно производиться
на расстояниях, существенно меньших, чем длина, на которой усиление
станет заметным. А далее вступает в силу тот факт, что ВР-усиление
стоксова сигнала идет когерентно, а искажения, вызванные «захватом»
(«пленением») стоксовой волны волноводом, — некогерентно, т.е. по ин™
тенсивности, в силу случайного характера таких искажений. Поэтому
пространственные «шумы» (авторы [4, 5] называют их «змеечными ис™
кажениями»), вызванные захватом стоксовой волны, оказываются тем
меньшими, чем лучше выполняется условие GRg 4C 1, т.е. чем более
мелко-неоднородна по пространству волна накачки. Оценим влияние
«змеечных искажений» на качество ОВФ при ВР света.
Введем относительные интенсивности спеклона S (z) = \K (z)\ и про™
странственных шумов, или змеечных искажений, N(z). Очевидно, отно-
отношение NS^1 будет характеризовать качество ОВФ-ВР. Шумы N(z) можно
ввести феноменологически из следующих простых соображений. Скорость
§ 4.8 Качественная теория ОВФ при ВР света (общие соображения) 231
(точнее, темп роста по z) интенсивности шумов пропорциональна как са-
самой этой интенсивности, так и интенсивности спеклона S{z). Однако коэф-
фициенты пропорциональности, естественно, различны: спеклон рождает
шумы с некоторым коэффициентом экстинкции (его величину мы опреде-
лим позднее, а пока обозначим ее через М), а сами шумы усиливаются
в пространственно-неоднородной усиливающей ВР-среде с коэффициен-
коэффициентом усиления по интенсивности:
равным среднему по поперечному сечению коэффициенту усиления по ин-
интенсивности; с таким инкрементом усиливаются пространственно-нерезо™
нансные конфигурации стоксова поля, в то время как спеклон усиливается
с коэффициентом усиления (по интенсивности), равным
= 2g{\An\2) = 2G^
>лучаем
:тей спе
dS(z)
Используя сказанное, получаем следующие уравнения для изменения
относительных интенсивностей спеклона и искажений:
dz
D39)
Ш}^ = ^N (z) + MS (z). D.40)
dz 2
Уравнения D.39), D.40) записаны в приближении «заданного поля» спе-
спеклона, т.е. не учитывают обратного влияния создаваемых спеклоном про-
пространственных искажений на сам спеклон. Решения D.39), D.40) имеют
вид
S(z) = S @) exp (Gz),
При Gz ^> 1 граничные шумы iV@) «забываются» (точнее, дискрими™
нируются):
... . 2MS@)
N (z) ~ 7^ ехР (Gz) .
(jr
а относительная доля этих «змеечных искажений» выходит на постоянный
(стационарный) уровень:
МЩ _ 2М _ М
Итак, эта доля, характеризующая качество ОВФ-ВР, определяется от-
отношением коэффициента экстинкции к среднему по пространству коэффи-
коэффициенту усиления.
232 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
Для оценки коэффициента М воспользуемся следующими соображени-
соображениями. Мы видели, что при выполнении условия GRg <C 1 пространственные
искажения спеклона, по всей видимости, будут минимальными; при этом
GRq GRq
exp—«1 + —,
т.е. относительная амплитуда искажений оказывается порядка GRg/2. На
полной длине взаимодействия укладывается число «змеечных участков»
(«колен») порядка Ш~г, а полная интенсивность искажений равна
IR-1 (GRg/2J = Ml,
где М = (G/2) Rg — коэффициент экстинкции, характеризующий темп
возбуждения (возникновения) змеечных искажений. Поскольку Rg
где во — ширина углового спектра накачки, то
G\2 X ttG2
M=UJe|= .
Итак, мы приходим к выводу, что коэффициент экстинкции обратно про™
порционален квадрату ширины углового спектра накачки, т.е. прямо про-
пропорционален квадрату характерного размера пятна неоднородности волны
накачки в поперечном сечении. Далее имеем
Соотношение D.41) еще раз показывает, что качество ОВФ-ВР опре-
определяется шириной углового спектра накачки, т.е. минимальными харак-
терными размерами пространственных неоднородностей накачки. Чем
неоднороднее накачка, тем больше Во, т.е. тем меньше влияние простран™
ственных искажений и тем выше качество ОВФ, поскольку при этом тем
лучше выполняется соотношение D.37).
Как уже указывалось, в режиме ВР-насыщения дискриминация искаже-
искажений усиливается за счет истощения накачки. Этот вывод подтверждается
многими теоретическими работами (см. [4, 5] и библиографию к этим ра-
работам).
Все вышеизложенное, а также более детальное рассмотрение процесса
ОВФ-ВР, изложение результатов которого выходит за рамки данной книги,
позволяет с учетом изложенного выше сформулировать три дискримина-
дискриминационных механизма (процесса), протекающих при ОВФ-ВР и обеспечива-
обеспечивающих высокое качество ОВФ:
1) спонтанные конфигурации стоксова поля, некоррелированные с про™
странственно-неоднородным полем волны накачки, усиливаются с инкре-
инкрементом, вдвое меньшим, чем инкремент для спеклона; тем самым, некор-
некоррелированные конфигурации дискриминируются;
§4.9 Особенности ОВФ при ВКР 233
2) возбуждаемые спеклоном пространственные искажения также дис-
дискриминируются из-за отставания в темпе усиления по продольной коорди-
координате;
3) ОВФ-поля стоксовой волны, распространяющиеся с поворотом на
некоторый угол, также являются спеклонами, однако, инкремент для та-
таких полей падает по сравнению со случаем строго обратного спеклона; тем
самым спеклон устойчив к угловому сдвигу, а угловые (наклонные) компо-
компоненты дискриминируются — это приводит к постепенному выравниванию
огибающей ОВФ-волны (так называемый эффект поперечной когерентиза™
ции огибающей, более подробно см. [14]).
Заметим, что учет обратного влияния «змеечных искажений» на спеклон
сводится к учету подчеркивания усиления стоксовой волны на оси «змееч-
ного волновода» (см. работу [13]); поэтому общий коэффициент усиления
спеклона увеличивается, а именно, на величину порядка относительной
доли «змеечных искажений» D.41):
В работе [15] исследован режим сильного затягивания стоксовой волны
в сердцевину ВР-волновода, реализующийся при GRg > 1.
§ 4.9 Особенности ОВФ при ВКР
До сих пор мы полагали кс^ кн, что хорошо выполняется при ВРМБ
(О0 ~ 109—-1011 Гц <С ш « 1014 Гц). Вынужденное комбинационное рас™
сеяние (ВКР) характеризуется значительно большим сдвигом частоты
стоксовой компоненты, поскольку для ВКР Oq « 1012-1013 Гц. Вслед™
ствие сильного различия волновых векторов кС9 кн законы дифракции
для стоксовой волны и волны накачки оказываются различными, что
приводит к рассогласованию полей Ес и Е*9 даже если они и совпали
в некоторой плоскости. При д = 0 из уравнений следует, что при кс ф
= кн изменяется масштаб одного поля по отношению к другому в чис-
число раз, равное кскп^г. Из сказанного, на первый взгляд, следует, что
в случае ВКР согласование спекл-структур полей Ес и Е* невозможно.
Рассогласование полей происходит на расстояниях порядка [4] Lpacc «
« X/ (аВд), где Вн — расходимость накачки (ширина углового спек-
спектра), а о; — относительный сдвиг частоты а = шя/шс — 1. При ВКР
а « 0,01-0,3. Полагая А = 0,5 мкм; а = 0,1; вн « 1°, имеем Lpacc «
«1,8 см; таким образом, длина рассогласования оказывается весьма за-
заметной.
Возможность ОВФ при ВКР связана, тем не менее, именно с этим.
Если характерная длина усиления обращенной конфигурации, т.е. спеклона,
меньше длины рассогласования, то спеклон будет успевать подстраивать
свою структуру под структуру накачки [16]; это условие можно записать
в виде Ьусил ~ (G — Gcp)~~ = 2/G < Lpacc (здесь мы учли дискриминацию
234 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
в усилении необращенных компонент по отношению к спеклону). Итак, мы
имеем
2 А 2ав2н 1
L D42)
Очевидно, что чем меньше параметр 2aBH/(XG), тем лучше будет ка-
качество ОВФ при ВКР. Перепишем D.42) в виде:
B7ГУ1 каЬушлв2н < 1 D.43)
(в работе [16] B7т)™1 потеряно). Соотношение D.43) было впервые полу-
получено в работе [9]. Отсюда для допустимой величины а, при которой еще
сохраняются эффекты ОВФ, получаем
а< 2тг (кЬушлв1у\
Учитывая, что в реальных условиях наблюдения ВР величина пока™
зателя экспоненты равна GI ~ 25-30, т.е. G = 25/1 = 2/Ьусил, получим
a<12,5A/(Z02).
Полагая А = 0,5 мкм, I = 50 см, Вн ~ 10™2 рад, имеем а < 0,125.
Таким образом, требование высокого качества ОВФ-ВКР накладывает
ограничение на разность частот Да; = шн ~~ шс; в нашем примере а <
< 0,125, т.е. Av < 2000 см^1. Большинство сред имеет меньшие сдвиги
(так, для кислорода Аи = 1552 см™1), так что условия ОВФ для них будут
еще лучше.
Более детальный анализ устойчивости спеклона (т.е. воспроизводящей
ВФ конфигурации стоксова поля), данный в работах [4, 13], приводит к бо™
лее слабому, чем D.42), условию существования ОВФ-ВКР:
y4 - (в2 ) ^ G ^ кв1, D.44)
где в = kXiV/k — угол наклона парциальной составляющей углового спек™
тра накачки к оси z; правое неравенство в D.44) означает уже известное нам
условие малости простанственных шумов («змеечных искажений»). Усред-
Усреднение в D.44) проводится по угловому спектру интенсивности накачки,
например:
||^н (вж, в,). (в2 + ©2) ^вж deyi
где SH (Вх, Ву) — нормированный на единицу угловой спектр интенсивно™
сти накачки.
В работах по ОВФ-ВР часто пользуются понятием «доли обращения
ВФ», выражаемой через интеграл перекрытия полей Ас и Ан*:
A*H(p,z)A(p,z)d*p\2
1.
§4.10 Дополнительные замечания по ОВФ-ВР 235
При отсутствии ОВФ отсутствует и корреляция (перекрытие) полей ^4*
и АС9 т.е. Н = 0; наоборот, если точно выполняется D.37), т.е. имеет место
полное ОВФ, Н = 1. При выполнении D.44) имеем
§ 4.10 Дополнительные замечания по ОВФ-ВР
4.10.1. Об ОВФ-ВР с неполной пространственной модуляцией на-
накачки. Ранее указывалось, что ВР света не позволяет обратить волновой
фронт плоской или квазиплоской волны накачки или вообще накачки со сла-
слабой пространственной (в поперечном сечении) неоднородностью. Вместе
с тем, такой эффект ОВФ наблюдался рядом исследователей эксперимент
тально при возбуждении ВР одномодовым лазером (см., например, [17]),
а в работе [18] обсуждался именно такой случай — задача ВР в поле накач-
накачки, состоящем из плоской волны и малой по интенсивности примеси флук-
туационных искажений, возникающих, например, при дифракции плоской
(квазиплоской) волны на апертурах, что имеет место при попытках возбу-
возбудить ВР плоской волной — из-за ее дифракции на апертурах неизбежно
возникают «крылья» слабой интенсивности, создающие пространственно-
неоднородное (интерференционное) поле накачки, в котором возможно, как
минимум, частичное ОВФ. В этой работе показано, что, например, при доле
интенсивности «крыльев» в мощной плоской волне ^ 5 % инкремент рассе-
рассеянного поля, скоррелированного с полем накачки, т.е. спеклона, возрастает
в 1,25 раза по сравнению с инкрементом для некоррелированных решений.
А это, как мы видели, при инкрементах 20-25 весьма существенно «под-
«подчеркивает» спеклон (примерно в 150 раз!) Величина Н при 5 % равна 0,61.
Сказанное относится как к ВРМБ, так и к ВКР. Ситуация с ОВФ-ВР, когда
волна накачки не обладает стопроцентной хаотической модуляцией по про-
пространству (см. последний абзац § 4.7), количественно рассчитана в работе
[19].
4.10.2. О голографической интерпретации ОВФ-ВР. Эффект ОВФ-
ВР является таким эффектом, который следовало бы назвать эффектом «са~
мообращения» ВФ. Здесь фактически есть только одна волна, несущая изо-
изображение или просто пространственную модуляцию, — это волна накачки.
Никаких «сигнальных» волн, как при ТВВ-ЧВВ, здесь нет. Стоксова (как
правило, обратная) волна, несущая восстановленный фронт, образуется из
спонтанных затравок самых разнообразных пространственных конфигура-
конфигураций, из которых за счет дискриминационных механизмов выживает лишь
обращающая ВФ конфигурация (спеклон).
В ОВФ-ВР, с точки зрения голографии, волну накачки можно одно-
одновременно рассматривать и как «опорную», и как «предметную». Можно
представить себе, что «голограмма» (естественно, динамическая) записы-
записывается в нелинейной среде как интерференционная структура двух полей:
236 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
поля плоской волны накачки, прошедшей через предмет (или аберратор)
без отклонения (опорная волна), и поля дифрагировавших на неоднородно™
стях аберратора угловых компонент (предметная волна). Другими словами,
голограмма в данном случае есть интерференционная структура (спекл™
структура) самой волны накачки. «Считывание» такой голограммы произ-
производится стоксовой волной ВР со всеми вытекающими отсюда последстви-
последствиями, касающимися различия длин волн записывающего и считывающего
излучений (для ВРМБ эти различия не проявляются, а при ВКР — за счет
заметного ВКР-сдвига — могут оказаться заметными).
При ОВФ-ВР восстанавливается действительное изображение объекта
(предмета), ориентированное так же, как и объект, что свидетельствует
о сохранении фазовых соотношений, т.е. об ОВФ.
4.10.3. ОВФ-ВР в сфокусированных пучках накачки. Мы убеди-
убедились, что при возбуждении ВР света полем накачки с сильной поперечной
пространственной неоднородностью возможно эффективное ОВФ накачки
стоксовой волной (спеклоном). В этом случае накачка имеет расходимость,
определяемую минимальными характерными размерами спекл-структуры
накачки. Однако поскольку эти пятна возникают, распространяются и вза-
взаимодействуют нерегулярно, хаотически, то и эта расходимость (точнее,
ширина углового спектра накачки) носит нерегулярный, хаотический ха-
характер. Авторы [20, 21] называют такую расходимость «серой», в отличие
от регулярной расходимости, придаваемой излучению линзой при фоку-
фокусировке его в среду. В этом случае излучение в среде имеет регулярную
(плавную) огибающую амплитуды и фазы.
В реальных ситуациях при возбуждении ВР используется именно фоку-
фокусировка излучения в нелинейную среду, так как в ряде случаев не хватает
плотности мощности для достижения пороговой интенсивности ВР или
для получения требуемой величины эффективности преобразования. По-
Поэтому значительный интерес представляет исследование эффективности
ОВФ в таких условиях [20, 21]. Основная задача — выяснить, сохраняется
ли соотношение точного ОВФ (см. D.37)) в условиях фокусировки накачки
с мелкоструктурными неоднородностями в нелинейную среду.
Из общих соображений ясно, что D.37) не должно выполняться во всех
сечениях z. Действительно, фокусировка излучения в безграничную сре-
среду приводит к тому, что вместо «серой» (однородной в среднем по сече-
сечению) интенсивности накачки, как в рассмотренных выше случаях, здесь мы
имеем явную зависимость средней по сечению интенсивности (\ЕН (р, z)\)
от продольной и поперечных (р) координат. Эта зависимость описывает
изменение в пространстве интенсивности излучения, сфокусированного
линзой. Следовательно, и огибающая локального коэффициента усиления
стоксовой компоненты (как спеклона, так и некоррелированных компонент)
также зависит от z и р. Таким образом, из-за поперечной неоднородности
усиления соотношение D.37) неизбежно нарушается, даже если в некото-
некотором сечении z® оно и выполнялось.
§4/10
Дополнительные замечания по ОВФ-ВР
237
Анализ рассматриваемой ситуации, проведенный в работах [20, 21]
в приближении заданного поля накачки, показал, что в этом приближе-
приближении ОВФ^ВР сфокусированного излучения практически не имеет места.
Величина Н (доля воспроизведения, см. § 4.9) оказывается вблизи порога
весьма малой (Н « 0,1-0,2). Этот анализ показал три источника такой ма-
малой эффективности ОВФ. Во-первых, рассеянное (стоксово) поле, воспро-
воспроизводящее мелкоструктурные неоднородности (т.е. спеклон), имеет другой
(меньший по сравнению с накачкой) гауссов параметр углового спектра;
это поле стягивается к приосевой области из-за преимущественного уси-
усиления приосевой части волны. Во-вторых, стоксово поле после вторичного
(обратного) прохождения линзы и аберратора обладает суммой «серой»
(нерегулярной) и сферической (регулярной) расходимостей, в то время как
исходная плоская волна накачки ими, естественно, не обладала (рис. 4.21).
И, в-третьих, в восстановленном поле присутствует доля пространственных
шумов, связанных с некоррелированными (с накачкой) шумами.
Затравка
Нелинейная среда
Аберратор
или объект Линза
Регулярная огибающая
Рис. 4.21
В этих же работах указывается, что регулярную сферическую составля-
составляющую можно устранить, поставив на пути рассеянного поля собирающую
линзу с определенным фокусным расстоянием, зависящим от параметров
опыта, а амплитудное несоответствие можно устранить, расширяя стоксов
пучок телескопом. Однако все это требует наличия дополнительных опти-
оптических корректирующих элементов в тракте стоксовой волны, что не всегда
возможно (например, следует учесть трудности разделения пучков накачки
и встречного рассеянного поля).
В режиме насыщения ситуация может кардинально измениться. Эффект
насыщения (нелинейный режим) в первую очередь проявится на приосевой
части пучка, что ослабит стягивание стоксовой волны к оси и, следователь-
но, улучшит качество ОВФ.
4.10.4. О возможности ОВФ с использованием антистоксовой ком-
компоненты ВКР. При рассмотрении ВКР нами обсуждалась возможность ге-
генерации антистоксовой компоненты. В приближении заданного поля урав-
уравнения для амплитуд стоксовой Ас и антистоксовой Аа компонент имеют
238 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
вид (здесь рассматривается попутное взаимодействие, см. рис. 4.14):
—г^ = -дс Ш2 Ас - ^дсА2ИА1 exp (jAz),
dl i , ^ D-45)
где #с>а — коэффициенты нелинейной связи, А = ka + &с — 2кИ — волновая
расстройка. В отсутствие расстройки, полагая 7а,с = 9с,&А^@)/2 и считая
амплитуду накачки вещественной, мы имеем
J A А 4*
^=Ъ{АС-К), ^ = ^{Ае-К)- D-46)
Учитывая, что из D.46) следует равенство 7а АС—^СА* =eonst=7a Ас @),
т.е. А1 = 7* [Ас - А*]/7с, получаем
_? = 7с J Л _ Ъ. [Ас _ Л @)] | = Gс - 7а*) Л + 7а*Л @).
Поскольку |7с| < |7а I» инкремент для стоксовой волны оказывается от™
рицательным — в отсутствие расстройки нарастание стоксовой и антисток™
совой компонент невозможно. Поэтому следует рассматривать уравнения
D.45) только с расстройкой.
В работе [22] показано, что уравнения D.45) можно привести к виду
dac j ^2 ^at i г * * л*2
где ac?a, ^,5 — приведенные (нормированные) комплексные амплитуды,
расстояние и расстройка соответственно. Нас здесь не интересуют норми™
ровочные множители. В результате решения этих уравнений получаем
Еа (z) = РА* @) Al exp [j (uai - kaz + /)] + к.с.
При отражении от дополнительного зеркала, обращающего продоль-
продольную компоненту, получаем окончательно, что антистоксово поле оказы-
оказывается комплексно-сопряженным входному стоксову полю (величины C
и / суть функции волновой расстройки, длины среды, ВР~нелинейности,
интенсивности накачки и т.п., вид которых мы здесь не рассматриваем).
Полное ОВФ происходит, естественно, в поле плоской волны накачки
(А^ = const) и со смещением частоты на 2О0? где О0 — частота собствен-
собственных колебаний среды.
Естественно, здесь мы не имеем дело с самообращением накачки, как при
обычном ВКР, и здесь не работают дискриминационные механизмы ВР-ОВФ.
Здесь имеет место существенно параметрический процесс, причем поле анти-
антистоксовой волны является комплексно-сопряженным по отношению к сток-
сову. Однако в отличие от обычных ЧВВ-процессов, процесс ОВФ-АВКР
(антистоксово ВКР) является резонансным параметрическим процессом, так
как он использует молекулярные колебания среды на их собственной частоте
§4.10 Дополнительные замечания по ОВФ-ВР 239
О0, что приводит к увеличению эффективности преобразования. По изло-
изложенным причинам большой сдвиг частоты для восстановленного поля BО0)
здесь несуществен для качества ОВФ, а ограничения на последнее — по сути
дела, те же, что и для обычных параметрических ОВФ-процессов; однако,
этот вопрос требует дополнительных исследований.
4.10.5. О нестационарных процессах ВР. Поскольку достижение
больших интенсивностей накачки, требуемых для эффективного ОВФ-ВР,
возможно от лазеров, работающих в существенно импульсном режиме
(ти ~ Ю^8 с и менее), а времена релаксации таких видов ВР, как ВРМБ
и ВТР (вынужденное температурное, или энтропийное, рассеяние) оказы-
оказываются того же порядка или более, то влияние не стационарности процесса
ВР при таких временах возбуждения становится весьма существенным.
Далее, при возбуждении ВР пикосекундными или субпикосекундными
импульсами пространственный размер импульса lu = ruvTV может ока-
оказаться меньше длины I ВР-среды, в связи с чем влияние границ среды на
протекание ВР становится несущественным. В этом случаем обратное ВР
(затравка стоксовой волны) начинается не с задней (z = I) границы среды,
а с переднего фронта импульса накачки. Нестационарный режим ВР света
и ОВФ-ВР рассматривался в целом ряде работ, из которых можно указать
[23-29].
Отметим, что в нестационарном режиме следует использовать более
полные, чем ранее выписанные, уравнения колебаний в среде, т.е. исполь-
использовать уравнения не только для полей Е = ^ Е{ и поляризованности среды,
но и, например, для случая ВКР, — для молекулярной координаты Q (сме-
(смещение атома из состояния равновесия, ранее мы обозначали его через у)
и для населенности п первого колебательно-возбужденного состояния. Вы™
пишем эти уравнения и поясним их физический смысл:
#Е 1 dHsE) 4тг (da\ d2 {QE)
с2 V dQj dt2 ' l ' }
_ (
dz2 с2 dt2 с2 V dQj dt2
dt2 т dt ' ^ 2n V dQ
dn 1 1 / da
Уравнение D.47) есть волновое уравнение со второй производной
по времени от нелинейной поляризованности среды, пропорциональной
da/dQ — зависимости поляризуемости а от молекулярной координаты.
Уравнение D.48) описывает колебания осциллятора с собственной часто™
той Оо и временем релаксации т, возбуждаемого внешней силой в правой
части D.48), пропорциональной квадрату поля. Специально подчеркнем,
что колебания молекул когерентны, т.е. Q является амплитудой когерент-
когерентных колебаний. Время т в этом смысле есть время фазовой памяти. Урав-
Уравнение D.49) есть уравнение населенности п первого возбужденного со™
стояния со временем жизни tq; как правило, tq > т, т.е. населенность
240 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
10
10
10
10
41 4
г
/
макс
Ж
-10 12
Рис.
-и/Т
X
3
422
= 0,8
¦ = 352
Гаусов импульс
накачки
\
4 t/ru
возбужденного состояния сохраняется и после полной расфазировки мо-
молекулярных колебаний. Уравнения D.47)—D.49) были исследованы в ра-
ботах [31, 32].
На рис. 4.22 показано изменение амплитуды молекулярных колебаний Q
от времени при гауссовом импульсе
возбуждающего излучения [23].
Отметим два обстоятельства, кото™
рые, возможно, выпали из предыду-
предыдущих рассмотрений ВКР.
1) В стационарном режиме мы рас™
сматриваем лишь уравнения для по™
лей, считая колебания Q стационар™
ными и пренебрегая уравнением для
движения населенностей (последнее
вполне справедливо для интенсивно™
стей меньше 1-10ГВт/см2).
2) В уравнении D.48) отсутствует производная по z, и это вполне есте-
естественно, так как атомы закреплены в решетке (структуре) вещества, и волн,
как таковых, в системе нет, есть только колебания атомов во времени. В слу™
чае ВРМБ необходимо также записывать уравнение для волны гиперзву-
гиперзвука [24].
В случае последовательности пикосекундных импульсов (период еле™
дования Т ~ 10~8—10~10 с) может возникнуть еще один эффект, связанный
с конечным временем релаксации колебаний. Например, для ВРМБ время
затухания акустических колебаний порядка нескольких наносекунд. К мо-
моменту прихода следующего импульса акустическое возмущение, вызванное
предыдущим импульсом, еще не успеет затухнуть; поэтому, вообще говоря,
возможно накопление акустических возмущений от импульса к импульсу
вплоть до насыщения [25].
Отметим, что для ВКР и ВРКЛР (для дальнего крыла) аналогичное на™
копление возмущений в поле последовательности импульсов вряд ли воз-
возможно, так как соответствующие времена релаксации весьма малы. Вместе
с тем, для ВТР (ВЭР) этот эффект накопления (в данном случае — темпе-
температурных возмущений) вполне возможен, так как в этом случае т « 10 ~8 с.
4.10.6. Вынужденное температурное (энтропийное) рассемние.
В последнее время этот тип вынужденного рассеяния успешно применя-
применяется для ОВФ, поэтому следует сказать несколько слов об его физическом
механизме.
Прежде всего отметим, что все виды ВР связаны с изменением диэлек-
диэлектрической проницаемости е или коэффициента преломления п. Для пра-
правильного и последовательного описания ВР необходимо учитывать изме™
нение ряда параметров, характеризующих термодинамическое состояние
вещества, которое в конечном счете приводит к изменению е и к появле-
появлению рассеяния. Такая полная и последовательная теория до настоящего
времени не создана. Для описания того или иного вида рассеяния мож™
§4.10 Дополнительные замечания по ОВФ-ВР 241
но пользоваться тем известным фактом, что во многих случаях один вид
рассеяния превалирует над другим, и только в некоторых случаях они кон-
конкурируют и должны рассматриваться совместно.
ВТР было впервые описано в работе [32] и состоит в том, что взаимо-
действие мощной исходной волны света и рассеянной на температурных
неоднородностах среды волны приводит к возникновению в среде мощ-
мощных температурных (тепловых) волн и к перекачке энергии возбуждаю-
возбуждающей световой волны в стоксову (рассеянную) волну. Теория ВТР дана
в работе [26].
ВТР проявляется, таким образом, в нагреве нелинейной среды поглоща-
поглощаемым лазерным излучением. Поглощение света вызывает выделение тепла
(см. также [3]):
e=i
D.50)
Здесь 8 — коэффициент поглощения по амплитуде, То — равновесная
абсолютная температура среды, производная de/dT берется при постоян-
постоянном давлении Р (влиянием ВРМБ, тем самым, пренебрегаем; удельная теп™
лоемкость в связи с этим будет принята в виде Ср); первый член в D.50)
описывает истинное поглощение, второй — так называемый электрокало-
электрокалорический эффект [3].
Количественные характеристики ВТР изучаются при совместном реше-
решении волнового уравнения и нестационарного уравнения температуропро-
температуропроводности среды:
c2 d?^ r^c2 \ dT J dt2
где AT = T (r, t) —To — отклонение температуры от равновесного значе-
значения, р — плотность среды, \ — температуропроводность, А± — лапласиан
по поперечным координатам.
В связи с различием вкладов разных эффектов в тепловыделение D.50)
различают ВТР-1 (из-за электрокалорического эффекта) и ВТР-2 (из-за пря-
прямого поглощения света). Время установления температурной волны для
жидкостей ~ 10™8 с, и для коротких (< 10™8 с) и тем более пикосекундных
импульсов света явления ВТР-1 и ВТР-2 не успевают развиться. Как было
установлено, в таком существенно нестационарном режиме основную роль
в ВТР начинает играть еще один процесс (назовем его ВТР-3), состоящий
в изменении е при постоянной плотности (изобарические флуктуации е)
вследствие возбуждения внутренних степеней свободы молекул при погло-
поглощении света с существенно меньшим, чем 10~8 с, временем установления.
16 В.Г.Дмитриев
242 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
Стационарная теория ВТР применима для времен t ^> тт (а для
ВРМБ — при t ^> Тф), где времена установления температурного равнове-
равновесия в температурной волне тт = B\q2) и жизни акустических фотонов
Тф = Bm;) ~ определяются коэффициентами температуропроводности
X и поглощения гиперзвука а9 скоростью гиперзвука v и его волновым
вектором q = k0 — кь где кОд — волновые векторы возбуждающего
(накачка) и стоксова излучений.
В работе [26] ВТР рассматривается совместно с ВРМБ, для чего к урав-
уравнениям D.51), D.52) добавляется уравнение гидродинамики для плотности
среды.
В приближении заданного поля накачки из D.51), D.52) получаем
где ? — приведенная координата вдоль среды, д(С1) — стационарный ко-
коэффициент усиления (О = ojq — uj{), сложным образом зависящий от пара-
параметров задачи и имеющий два максимума — на частоте О = 0 (т.е. рассе-
рассеяние без сдвига частоты) и при О = О0, где О0 — частота манделыптам-
бриллюэновских акустических фононов. Наиболее существенным здесь
оказывается тот результат, что коэффициент усиления для ВРМБ получает
заметную поправку, связанную с учетом ВТР.
Как и во всех видах ВР, здесь нет прямого комплексного сопряжения
взаимодействующих волн. Эффект ОВФ здесь возникает так же, как и для
ВРМБ и ВКР, вследствие дискриминации некоррелированных с простран-
пространственно-неоднородным полем накачки компонент стоксовой волны и пре-
преимущественным усилением коррелированной конфигурации (спеклона).
Преимуществом ОВФ—ВТР является практическое отсутствие смещения
частоты обращенной компоненты. Явление ОВФ-ВТР наблюдалось в ра-
работах [33, 34]. Наряду с преимуществом отсутствия сдвига частоты при
ОВФ, ВТР обладает очевидным недостатком — большим временем уста-
установления.
Явление ВТР часто интерпретируют как вынужденное энтропийное рас-
рассеяние (ВЭР), обусловленное флуктуационными отклонениями энтропии от
равновесного значения (см. [25]).
В заключение заметим, что для «замыкания» цепи ВР, как известно, тре-
требуется эффект, квадратичный по полю, т.е. пропорциональный Е2 шв том
числе члену EqE*, дающему вклад на частоте собственных колебаний сре-
среды. В случае ВТР таких эффектов три — это прямое поглощение света,
электрокалорический эффект и возбуждение внутренних степеней свободы
молекул при поглощении света.
Заметим, что для жидкостей с достаточно большим коэффициентом по-
поглощения S ~ 0,1-0,01 см^1 влиянием электрокалорического эффекта мож-
можно пренебречь. Оценки показывают, что ВТР (ВЭР) даже в полях наносе-
кундных импульсов — существенно нестационарный процесс.
§4.10 Дополнительные замечания по ОВФ-ВР 243
4.10.7. О поляризационных свойствах ОВФ-ВР. Аберраторы многих
типов, в том числе, например, активные элементы твердотельных лазеров,
могут вносить не только фазовые, но и поляризационные искажения. По™
этому очень важным является вопрос о возможности полного, т.е. простран-
пространственно-поляризационного ОВФ-ВР [4].
Система уравнений D.36) в векторном виде имеет вид
1
cAc (p' ^ = 29 ^G^ Gh '
Из D.53) следует, что обращенная стоксова волна может быть записана
в виде
^САС (р, z) = const • енА* (р, z),
т.е. здесь мы имеем ОВФ пространственной структуры и воспроизведе-
воспроизведение поляризации накачки (без комплексного ее сопряжения!). Тем самым,
в части поляризации ВР-преобразователь действует как обычное зеркало,
превращающее, например, правополяризованное излучение при отражении
в левополяризованное:
(еж - jey) exp (-jkz) -> (ех ~~ jey) exp (+jkz).
Если накачка деполяризована, т.е. вектор поляризации накачки неод™
нороден по поперечному сечению, то наибольшим инкрементом будет
обладать тот спеклон, поляризация которого совпадает с поляризацией
наиболее сильной компоненты возбуждающего излучения, так что спе-
спеклон оказывается полностью поляризованным — налицо явление нелиней-
нелинейной поляризационной селекции. Однако в целом пространственно-неодно-
пространственно-неоднородная по поляризации накачка (именно в таком смысле понимается здесь
деполяризованная накачка, а не как обычно — переменная во времени по-
поляризация) ухудшает характеристики ОВФ по сравнению со случаем одно-
однородной поляризации. В случае ВРМБ полного пространственно-поляриза-
пространственно-поляризационного ОВФ не происходит, поскольку при этом возбуждаются три вол-
волны с разным состоянием поляризации и одинаковым инкрементом. В слу-
случае ВРКЛР при деполяризованной накачке возникает практически полное
пространственно-поляризационное ОВФ в силу дискриминации некорре-
некоррелированных с накачкой (в том числе и по поляризации) конфигураций,
см. также [35].
4.10.8. К истории открытии эффекта ОВФ. История открытия эф-
эффекта ОВФ неразрывно связана с историей открытия и исследований вы-
вынужденных рассеяний (ВР) света. Поэтому будет нелишним привести здесь
важнейшие исторические даты открытия спонтанных и вынужденных рас-
рассеяний света:
16*
244 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
— спонтанное комбинационное (рамановское) рассеяние света A928 г.;
Раман, Индия; Л.И. Мандельштам и ГС. Ландсберг, СССР);
— спонтанное рассеяние Манделыптама-Бриллюэна A918г.; предска-
предсказано Л.И. Мандельштамом, Россия; 1926 г., независимо и повторно иссле-
исследовано Л. Бриллюэном, Франция);
— спонтанное рэлеевское рассеяние (XIX век; лорд Рэлей; 1908 г.,
М. Смолуховский; 1910 г., А. Эйнштейн);
— вынужденное комбинационное рассеяние A935 г.; предсказано
Г. Плачеком, Германия; 1962 г., Вудбери и Нг, США, экспериментальное
обнаружение; 1962 г., Хелвортс, США, правильная интерпретация как
стоксово ВКР; 1963 г., Терхыон, США, антистоксово ВКР);
— вынужденное рассеяние Манделыптама-Бриллюэна A964 г.; Чиао,
Стойчев, Таунс, США);
— вынужденное рассеяние крыла линии Рэлея, или вынужденное рэле-
рэлеевское рассеяние A965 г.; B.C. Старунов и И.Л. Фабелинский, СССР);
— вынужденное тепловое рассеяние A967 г.; B.C. Старунов и И.Л. Фа™
белинский, СССР).
Именно исследования ВР света привели к открытию ОВФ. Еще
в 1965 г. Бревером (США) было обнаружено, что при ВРМБ расходимость
отраженного назад стоксова света близка к расходимости возбуждающего
излучения лазера. В 1967 г. Ранк (США) для ВРКЛР и в 1970 г. М.М. Сущин-
ский (СССР) для ВКР наблюдали аналогичный эффект. Однако, как указал
Н.Г. Басов в 1986 г. в работе [36], «... вопрос о том, с какой точностью
направленность вынужденного рассеянного света соответствует направ-
направленности возбуждающего света (т.е. вопрос о взаимном соответствии их
волновых фронтов), долгое время вообще не ставился. Впервые такой
вопрос был поставлен в 1971 г. в лаборатории квантовой радиофизики
(КРФ) ФИАН. Осуществленные в лаборатории КРФ эксперименты привели
к открытию в 1971 г. явления самообращения волнового фронта при ВР
света (авторы — В.В. Рагульский, В.И. Поповичев, Ф.С. Файзуллов).»
Первая официальная публикация, содержащая и предварительную те-
теоретическую интерпретацию эффекта само-ОВФ относится к 1972 г. [37].
В книге [4] Б Л. Зельдович с соавторами подчеркивает, что «... вопрос
о связи сложной структуры волновых фронтов падающего и рассеянного
излучений впервые был поставлен В.В. Рагульским в 1971 г. Он предло-
предложил и, работая в ФИАН СССР, осуществил с сотрудниками эксперимент,
в котором было обнаружено само-ОВФ при ВР света.».
Соображения, которыми руководствовался В.В. Рагульский, задумывая
и реализуя эти эксперименты, содержатся в его монографии [38], а в ра-
работе [39] ему с сотрудниками впервые удалось получить пучок лазерно-
лазерного излучения с дифракционной, т.е. предельной, расходимостью от лазера
с оптически-неоднородной активной средой. Заметим, что идея такого при™
менения была сформулирована О.Ю. Носачем и В.В. Рагульским в одном
из научных отчетов ФИАН в 1971 г. (его краткое изложение опубликовано
в [40]).
§ 4.11 Методы определения качества ОВФ-ВР и практические схемы 245
Столь подробное изложение истории открытия ОВФ здесь приводится
в связи с тем, что в последнее время имели место определенные попытки ее
пересмотра. В частности, в 1997 г. Оптическое общество Америки награди™
ло Б.Я. Зельдовича (работающего уже долгое время в США) медалью Макса
Борна за «... основополагающие вклады в открытие и теоретическое пони-
понимание оптического фазового сопряжения»; это создало несколько искажен-
ное впечатление об истории открытия ОВФ. Из вышеизложенного ясно, что
честь экспериментального открытия ОВФ принадлежит советским ученым
В.В. Рагульскому, В.И. Поповичеву и Ф.С. Файзуллову, а Б.Я. Зельдовичу
удалось блестяще (теоретически) интерпретировать открытое явление на
базе «полу количественного» [39] соображения о преимущественном у си™
лении или дискриминации некоторых рассеянных волн, развитое впослед-
впоследствии им с сотрудниками в цикле работ (см. [4, 5,13—14,16,18—21,27,35,37
и т.д.]). Справедливости ради следует отметить, что это предположение вы-
выдвигалось еще в 1964 г. Бломбергеном и Шэном, однако, разумеется, тогда
они, как и многие последующие исследователи ВР света, ни разу (до экспе-
экспериментов В.В. Рагульского с сотрудниками) не сделали вывода о том, что
указанная дискриминация в усилении может привести к ОВФ; этот вывод
был в явном виде сформулирован только в отчете ФИАН 1971 г. (см. [40])
и через год в [37].
Подробнее об истории ВР света и ОВФ см. работы [38, 41-42].
§ 4.11 Методы определения качества ОВФ-ВР и
практические схемы
В физических экспериментах [4] для создания пространственно-неод-
пространственно-неоднородной волны накачки используется обычно аберратор в виде тонкой
фазовой пластины. Она приготавливается из стеклянной плоскопараллель-
плоскопараллельной пластины травлением в плавиковой кислоте, в результате чего пластина
приобретает случайное изменение толщины C (р) = h (р) — ho. Набег фазы
(ее пространственно-неоднородное изменение) равен Sip = k (п — 1) /3 (р).
Обычно выбирают /3 (р) таким, чтобы /3(р > 2тг, в противном случае нере-
нерегулярная часть излучения будет иметь незначительную амплитуду. Расхо-
Расходимость, вносимая такой пластиной, имеет порядок В ^ Х/d, где d —
характерный поперечный размер неоднородности (обычно в « 102 рад ^>
> вдиф).
Фазовую пластину можно использовать и как анализатор состояния
обращенного поля. Действительно, обращенная компонента при вторичном
прохождении через аберратор даст исходную плоскую волну, а необращен-
необращенные компоненты — расходящийся пучок. В фокусе линзы (т.е. в дальнем
поле) плоская волна даст яркое дифракционное пятно, а необращенные ком-
компоненты — размытый ореол, вследствие чего эти компоненты могут быть
легко удалены друг от друга, например, диафрагмой. За диафрагмой может
быть установлен измерительный прибор, с помощью которого можно из-
измерить энергию ОВФ-компоненты и тем самым — долю воспроизведения
(обращения) Н. Недостатком этого простого метода является его чувстви-
246 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
тельность к флуктуациям оси лазерного пучка, так как размер диафрагмы
соответствует точно дифракционной расходимости и весьма мал.
Более удобным оказался метод измерения яркости лазерного пучка на-
накачки и отраженной волны в дальней зоне (отраженная волна — после про-
прохождения аберратора) с помощью зеркального клина и фотоматериалов.
Прежде всего, энергии лазерного импульса накачки и импульса восстанов-
восстановленной отраженной волны (собранной в широком телесном угле!) измеря-
измеряются калориметрами (за одну «вспышку»). Одновременно часть излучения
накачки и восстановленной волны направляется на зеркальный клин, со-
состоящий либо из двух полупрозрачных зеркал, либо из одного 100%-го
и другого полупрозрачного (рис. 4.23 а, б соответственно).
100 %
Рис. 4.23
Нетрудно видеть, что такой клин дает серию подобных пучков с после™
довательным ослаблением интенсивности в геометрической прогрессии.
Среди этих пучков всегда найдутся несколько попадающих в линейный
участок кривой почернения фотоматериала. Это позволяет сравнить ярко-
яркости и угловые распределения обоих излучений без влияния типа фотомате-
фотоматериала, режима проявления, флуктуации и т.п.
Если отраженная (восстановленная) волна является точно обращенной
по отношению к накачке, то отношение яркостей Вс стоксовой волны и Вя
накачки должно совпадать с отношением энергий ес и ея этих же волн.
В этом случае, очевидно, доля обращения Н = 1. Если же в отраженной
волне содержится необращенная часть излучения, то указанные соотноше-
соотношения не совпадают. В этом случае Н = енВс/(?сВн) ^ 1.
Полезно рассмотреть практическую схему эксперимента, с помощью
которой было обнаружено явление ОВФ-ВРМБ [27]. Излучение накачки
(А = 0,69мкм)с?н~0,14 Дж, ти = 110 не и 8^ 1СГ4 рад регистрировалось
калориметром и фотоаппаратом методом зеркального клина и поступало на
фазовую пластину ФП (рис. 4.24), после прохождения которой приобрета-
приобретало нерегулярную расходимость ^ 3 • 10~2 рад, т.е. в 300 раз большую, чем
начальная (практически дифракционная) расходимость накачки. С помо-
§ 4.11 Методы определения качества ОВФ-ВР и практические схемы 247
щью линзы изображение ФП переносилось на вход светопровода сечением
4x4 мм и длиной ~ 1м, заполненного метаном под давлением ^130 атм.
В процессе распространения по светопроводу различные угловые ком-
компоненты накачки интерферируют, образуя спекл-структуру с равномерным
освещением световода. В светопроводе (в сжатом метане) возникало ВРМБ
с коэффициентом отражения (преобразования) по энергии Ес/Ен « 0,25.
Система
регистрации
накачки
Лазер
Линза
Аберратор
(ФП)
ВР-кювета
Система регистрации
накачки и стоксовой волны
Рис. 4.24
Сопоставление яркостей накачки и отраженного (восстановленного после
прохождения ФП) излучения также дало отношение 0,25 ± 15 %. Таким
образом, с приемлемой точностью можно полагать Н&1, т.е. полагать, что
в этом случае идет полное пространственное ОВФ.
Интересно отметить, что в отсутствие ФП ОВФ не происходит, хотя
сохраняется высокий коэффициент ВРМБ-преобразования. Очевидно, что
в этом случае условие существования спеклона не выполнено.
Лазер
\А^\ J —|—
Телескоп
Система
регистрации
\
/
/
Линза
р л
^> \]
ВР-кювета
Аберратор
(ФП)
Рис. 4.25
248 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
Мощный
пучок
ВР—кювета
(светопровод)
В целом ряде работ измерялся инкремент для стоксовой волны в усло-
условиях ОВФ (см. библиографию к [4]); с достаточной точностью он оказался
вдвое большим, чем для некоррелированных
волн, что находится в весьма хорошем согла-
согласии с теорией.
Схема с ОВФ-ВР и фокусировкой излуче™
ния накачки в среду приведена на рис. 4.25,
см. [43]. Весьма простая схема, позволяющая
обратить ВФ слабых пучков света, интенсив-
интенсивность которых лежит ниже порога ВР, иссле™
дована в [44] и показана на рис. 4.26. Анало-
Аналогичная схема для светопровода была предло™
жена в [45]. В обычных схемах нельзя обра-
обратить ВФ полей, интенсивность которых ниже
пороговой для ВР. Однако если использовать возбуждение ВР специальным
мощным пучком с интенсивностью выше пороговой, то в его поле слабые
пучки также хорошо обращаются (рис. 4.27 из работы [43]). Угловое рас-
распределение интенсивности исходного лазерного пучка показано в левом
круге, рис. 4.27 а с расходимостью ^ 1,5 • 10^4 рад (по полувысоте). После
прохождения этого пучка через ФП толщиной 1 мм и неоднородностями
Слабый пучок,
ВФ которого
требуется обратить
Рис. 4.26
Рис. 4.27
§ 4.11 Методы определения качества ОВФ-ВР и практические схемы 249
глубиной 1 мкм излучение приобретает «серую» расходимость, в 25 раз
большую по сравнению с начальной F)9 рис. 4.27 6. После ОВФ-ВРМБ
и вторичного прохождения через ФП рассеянная волна вновь приобретает
практически ту же исходную расходимость, т.е. происходит практически
полное ОВФ — рис. 4.27 в в правом круге. Все распределения даны в одном
масштабе. Тот факт, что исправление ВФ происходит с помощью того же
аберратора, который испортил ВФ первоначально плоской волны, означает,
что ВФ падающего и рассеянного излучений совпадают, т.е. происходит
ОВФ. ВРМБ проводилось в кювете с эфиром.
Наличие практически полного ОВФ при сфокусированном пучке накач-
накачки означает существенное влияние нелинейного режима (напомним, что
при фокусировке и ВРМБ в приближении заданного поля накачки ОВФ
практически не имеет места).
Это следует из того факта, что при ОВФ-ВР можно записать Ас (р) =
= Ю* (р), при этом, если ^4Н = А^ + А^\ где А^ > А^\ то Ас (р) =
= К [Аи (р)] * +К [Аи (р)] *, т.е. одинаково эффективно обращаются как
сильная, так и слабая компоненты накачки, причем коэффицент преобра-
преобразования К определяется мощной компонентой. Физика здесь тоже ясна:
мощная компонента возбуждает ВР, т.е. мощные собственные колебания
среды на частоте Оо (например, мощные звуковые волны при ВРМБ), а сла-
слабый пучок, распространяясь по такой «приготовленной» среде, эффективно
рассеивается в стоксову компоненту с ОВФ. Заметим только, что поскольку
некоррелированные накачкой компоненты усиливаются в режиме, близком
к насыщению, причем усиление составляет е12'5^3-105 раз от спонтанных
шумов, а спеклон (обращающая компонента) усиливается в е25 раз, то яр-
яркость шумов в 3 • 105 раз меньше, чем пучка К [А^ '] *. Поэтому мощность
слабого сигнала Pi должна быть в пределах ^ 10^5Рпор < Р\ < Рпор, в про-
противном случае обращенный слабый пучок будет невозможно выделить на
фоне пространственных шумов, некоррелиро-
некоррелированных с накачкой. ' D
Очевидно, что такое беспороговое ОВФ
можно осуществить и для слабого сигнала, дли-
длина волны которого не совпадает с таковой для
сильного сигнала (накачки), если только сдвиг
по длине волны не выйдет за пределы, устанав-
устанавливаемые требованиями к точности ОВФ, на-
например при ВКР, см. § 4.9 и работу [24].
На рис. 4.28 представлена зависимость коэф-
коэффициента отражения слабой волны от ВРМБ-кюветы на стоксовой частоте
от ее интенсивности I в присутствии сильной волны C0 МВт/см2, кри-
кривая 1) и в ее отсутствии (кривая 2). Видно, что сильная волна обеспечивает
практически беспороговое ВРМБ с ОВФ.
В работе [46] предложена схема четырехволнового параметрического
взаимодействия с использованием ВРМБ при встречных пучках накачки.
20
15
10
5
0
5
Рис.
1
2
^———¦
I, МВт/см2
10
4.28
15
250 Обращение волнового фронта при вынужденных рассеяниях света Гл. IV
Рассмотрим эту схему подробно, поскольку порог возбуждения в ней ока-
оказывается в несколько раз меньшим, чем для ВРМБ с одной волной накачки.
Пусть в среде возбуждается ВРМБ под действием волны накачки ш+ =
= uj~ +Oq и пусть в направлении, почти встречном к волне накачки,
распространяется вторая волна накачки uj~ . Взаимодействие волн ш^ и из~
(стоксово почти обратное рассеяние) возбуждает звуковую волну на ча-
частоте Qq, на которой рассеивается встречная волна накачки cj~, излучая
антистоксову волну с частотой ш^~ = ш~ + Qq.
Векторные соотношения имеют вид
к+ = кс + q, к+ = к" + q.
При неравенстве частот ш+ и uj~ и полностью встречно-коллинеарных
волнах накачки имеем
Из диаграммы рис. 4.29 видно, что при Qq <C lj9 как при ВРМБ, на-
направление антистоксовой волны противоположно таковому для стоксовой
волны, а амплитуда антистоксовой волны удовлетворяет условию Aa ~ А*9
т.е. здесь происходит четырехволновое ОВФ. Существенным параметром
при этом является расстройка Ак. Уравнения для описания этого ЧВ-взаи-
модействия имеют вид
Из этих уравнений уже видно, что волны стоксовой и антистоксовой ча-
частот взаимно комплексно-сопряжены. Оказалось, что полное ОВФ наблю-
наблюдается лишь для встречно-коллинеарных волн накачки и его качество резко
падает при перекосе коллинеарности встречных
пучков. Поэтому встречную волну накачки про-
, +""н ще всего получить отражением прямой волны от
зеркала. Антистоксова волна отражается точно
антиколлинеарно стоксовой. Недостатком это-
этого метода является необходимость «приготовле-
Рис. 4.29 ния» стоксовой волны на частоте шс = cj+ — Qq.
Интересной особенностью ВРМБ в поле
встречных волн накачки является возможность возникновения абсолют-
абсолютной (т.е. во времени) неустойчивости (нарастания) рассеянного поля, в от-
отличие от ВРМБ в поле только одной волны, когда неустойчивость (нара-
(нарастание) рассеянного поля возможно только по координате (конвективная
неустойчивость) [28], причем возникновение такой неустойчивости воз-
возможно только при наличии определенной расстройки (например, за счет
различия частот ш^), которая обеспечивает требуемую фазировку волн.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе I
1. Слюсарев Г.Г. О возможном и невозможном в оптике. — М.: Физматгиз, 1960.
2. Claus AC. On Archimedes' burning glass // Appl. Opt. 1973. V. 12. P. A14.
3. Харди Дж. У Активная оптика: новая техника управления световым пучком //
ТИИЭР. 1978. Т. 66, № 6. С. 31.
4. Адаптивная оптика / Сб. статей. Пер. с англ. под ред. Э.А. Витриченко. — М.:
Мир, 1980.
5. Оптические телескопы будущего / Под ред. Ф. Пачини, В. Рихтера, Р. Виль-
Вильсона; Пер. с англ. — М.: Мир, 1981.
6. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Адаптивная оптика//Природа. 1982. Т. 10. С. 89.
7. Басов Н.Г. Состояние, перспективы и проблемы лазерного термоядерного син-
синтеза в энергетике будущего // Природа. 1978. № 6. С. 26.
8. Летохов B.C., Устинов Н.Д. Мощные лазеры и их применение. — М.: Сов.
радио, 1980.
9. Басов Н.Г., Зубарев И.Г. Эффект обращения волнового фронта оптического из-
излучения в нелинейных средах / Сб. научных трудов под ред. В.И. Беспалова. —
Горький, 1979 и 1982.
10. Борн М, Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.
11. ЛандсбергГ.С. Оптика. — М.: Наука, 1976.
12. Ландау Л Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука,
1982.
13. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. — М.: Радио
и связь, 1982.
14. Королев Ф.В. Теоретическая оптика. — М.: Наука.
15. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного из-
излучения. — М.: Наука, 1979; см. также Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы
и лазерные пучки. — М.: Наука, 1990.
16. Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Влияние пространственной интерференции на
усиление при ВР света // Квантовая электроника. 1977. Т. 4, № 11. С. 2353-
2359.
17. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ,
1964.
18. ГудмэнДж. Введение в фурье-оптику. — М.: Мир, 1970.
19. Папулис А. Теория систем и преобразования в оптике. — М.: Мир, 1971.
20. Быков В.П. Излучение и собственные колебания в открытых электромагнитных
системах // Дне. д-ра физ.-мат. наук. — М., 1974.
252 Список литературы
К главе II
1. Адаптивная оптика / Сб. статей. Пер. с англ. под ред. Э.А. Витриченко. — М.:
Мир, 1980.
2. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. — М.: Радио
и связь, 1982.
3. Басов Н.Г., Зубарев И.Г. Эффект обращения волнового фронта оптического из-
излучения в нелинейных средах / Сб. научных трудов под ред. В.И. Беспалова. —
Горький, 1979 и 1982.
4. Ахманов С.А., Хохлов ЕВ. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ,
1964.
5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции / Пер. с нем. под ред.
Л.И. Седова — М.: Наука, 1977.
6. Воронин Э.С., Петникова В.М., Шувалов В.В. Использование вырожденных
параметрических процессов для коррекции волновых фронтов (обзор) // Кван-
Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 5. С. 917-935.
7. Ильинский Ю.А., Янайт Ю.А. Преобразование изображений при генерации
суммарной частоты // Изв. вузов: Радиофизика. 1970. Т. 13, № 1. С. 37-43.
8. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое АЛ. Теория волн. — М.: Наука,
1990.
9. Копылов СМ. Генерация суммарной частоты в поле многомодового лазерного
излучения // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 7. С. 1526-1531.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука,
1982.
11. Воронин Э.С., Ивахник В.В., Петникова В.М., Соломатин B.C., Шувалов В.В.
Компенсация фазовых искажений при вырожденном четырехчастотном взаи-
взаимодействии // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 9. С. 2009.
12. Ивахник В.В. Исследование восстановленного поля при параметрическом обра-
обращении волнового фронта // Дис. канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 1980.
13. Ивахник В.В., Петникова В.М., Соломатин B.C., Шувалов В.В. Компенсация
искажений ВФ в толстой неоднородной среде // Квантовая электроника. 1980.
Т. 7, №3. С. 652-655.
14. Воронин Э.С., Ивахник В.В., Петникова В.М., Соломатин B.C., Шувалов В.В.
Компенсация фазовых искажений при трехчастотном параметрическом взаи-
взаимодействии // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 6. С. 1304.
К главе III
1. Ахманов С.А., Хохлов ЕВ. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ,
1964.
2. Дмитриев В.Г., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. — М.: Радио
и связь, 1982.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука,
1982.
4. Степанов БМ,Ивакж ЕМ, Рубанов А. С //ДАН СССР. 1971. Т. 196. С. 567.
Список литературы 253
5. ЗельдовичБ.Я.,ПилипецкийН.Ф.,ШкуновВ.В. ОВФприВРсвета//УФН. 1982.
Т. 138, Вып. 2. С. 249^288.
6. Белъдюгин КМ., Семиногов В.Н., Земское Е.М. II Квантовая электроника. 1979.
Т. 6, №3. С. 638.
7. Гринъ Ю.Г., Карамзин ЮЛ., Сухорукое АЛ. Об интегралах движения нелиней-
нелинейного четырехфотонного взаимодействия // Квантовая электроника. 1977. Т. 4,
№3. С. 700-703.
8. Карамзин ЮЛ., Сухорукое АЛ. //ЖЭТФ. 1975. Т. 68. С. 835.
9. Власов С.Н., Петрищев В.А., Таланов ВЛ. II Изв. вузов: Радиофизика. 1971.
Т. 14. С. 1353.
10. ВинецкийВ.Л., КухтарееН.В., Одулов СТ., Соскин М.С. Динамическая самоди-
самодифракция когерентных световых пучков // УФН. 1979. Т. 129, вып. 1. С. 113-137.
11. Большое Л.А., Власов Д.В., Гараев Р.А. О пространственном резонансе при че-
тырехфотонном взаимодействии попутных волн в кубичной среде // Квантовая
электроника. 1982. Т. 9, № 1. С. 83-91.
12. Yao Jian-quan, Zhou Guosheng, Siegman A.E. Large Signal Results for Degenerate
Four»Wave Mixing and Phase Conjugate Resonators // Appl. Phys. B. 1983. № 1.
P. 11-18.
13. Соскин М. С, Хижняк АЛ. О встречном взаимодействии четырех плоских волн
в среде с безынерционной кубической нелинейностью // Квантовая электрони-
электроника. 1980. Т. 7, № 1.С. 42-49.
14. YarivA., Pepper DM. II Optics Letts. 1977. V. 1. P. 16.
15. Колъер Р., Беркхарт К, Лин Л. Оптическая голография / Пер. с анг. — М.:
Мир, 1973.
16. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции / Пер. с нем. под ред.
ЛИ. Седова. — М.: Наука, 1977.
17. Соскин М.С / В сб.: Фундаментальные основы оптической памяти и среды. —
Киев, 1978. Вып. 9. С. 3.
18. Лазарук A.M., Рубанов АС. Энергетическая эффективность ОВФ при выну-
вынужденном четырехволновом параметрическом рассеянии // Квантовая электро-
электроника. 1980. Т. 7, № 9. С. 1992-1995.
19. Юдаев Б.Н. Теплопередача. — М.: Высшая школа, 1973.
20. Васильев Л.А., Галушкин М.Г., Серегин A.M., Чебуркин Н.В. ОВФ при ЧВ-взаи-
модействии в среде с тепловой нелинейностью // Квантовая электроника. 1982.
Т. 9, №8. С. 1571-1575.
21. Воронин Э. С., Ивахник В.В., Петникова В.М., Соломатин В. С., Шувалов В.В. II
Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 9. С. 2009.
22. Воронин Э.С., Петникова В.М., Шувалов В.В. Использование вырожденных
параметрических процессов для коррекции волновых фронтов (обзор) // Кван-
Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 5. С. 917-935.
23. ГудмэнДж. Введение в фурье-оптику. — М.: Мир, 1970.
24. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое АЛ. Теория волн. — М.: Наука,
1990.
25. Барашков М.С., Матвеев И.Н., Петникова В.М. и др. Компенсация фазовых
искажений в однопроходной схеме ОВФ при вырожденном четырехфотонном
взаимодействии // Квантовая электроника. 1982. Т. 9, № 11. С. 2340—2341.
254 Список литературы
26. Гюламирян А.Л., Зельдович Б.Я., Мамаев А.В., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В.
Четырехволновое обращение фронта с селекцией и управлением сигналом /
В сб.: Эффект ОВФ оптического излучения в нелинейных средах; под ред.
В.И. Беспалова. — Горький, 1982. С. 91-110.
27. ВинецкийВ.Л., КухтаревН.В., Одулов СТ., Соскин М.С. Динамическая самоди-
самодифракция когерентных световых пучков //УФН. 1979. Т. 129, вып. 1. С. 113-137.
28. Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. ОВФ излучения в нелинейных средах // ИПФ АН
СССР. Горький, 1979. С. 23-43.
29. Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Пространственно-поляризованное ОВФ при че-
тырехфотонном взаимодействии // Квантовая электроника. 1979. Т. б, № 3.
С. 629-631.
30. Большое Л.А., Бункин Ф.В., Власов Д.В. О компенсации нелинейных искажений
пучков с произвольным состоянием поляризации // Квантовая электроника.
1980. Т. 7, № 9. С. 2057-2059.
31. Беспалов В.И., Бетин А.А., Кулагина С.Н., Пасманик Г.А., Шилов А.А. ОВФ
излучения с пространственно-неоднородным состоянием поляризации при че-
тырехволновом комбинационном взаимодействии // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 6,
вып. 21. С. 1288-1291.
32. Баранова Н.Б., Быковский Н.Е., Зельдович Б.Я., Сенатский Ю.В. Дифракция
и самофокусировка излучения в усилителе мощных световых импульсов //
Квантовая электроника. 1974. №11. С. 2435-2458.
33. Блащук В.Н., Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Четырехволновое ОВФ в поле коди-
кодированных опорных волн // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, № 12. С. 2559-
2567.
34. Зельдович Б.Я., Яковлева Т.В. Влияние линейного поглощения и отражения на
характеристики четырехволнового ОВФ // Квантовая электроника. 1981. Т. 8,
№'9. С. 1891-1898.
35. bind R.C, Steel D.G., Dunning G.J. Phase conjugation by resonantly enhanced
degenerate four-wave mixing // Optical Engineering. 1982. V. 21, № 2. P. 190-198.
36. Ораевский А.К О возможности применения резонансно-возбуждаемых сред
для ОВФ // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 1. С. 218-224.
37. Беспалов В.К, Бетин А.А., Дятлов AM. и др. ОВФ при четырехквантовых
процессах в условиях двухквантового резонанса // ЖЭТФ. 1980. Т. 79, вып. 2(8).
С.378-390.
38. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фрон-
фронта. — М.: Наука, 1985. С. 247.
К главе IV
1. Пантел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники. — М.: Мир, 1972.
2. Борн М, Кунъ X. Динамическая теория кристаллических решеток. — М.: ИЛ,
1958.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука,
1992.
4. Зельдович Б.Я., Пилипецкий К Ф., Шкунов В.В. ОВФ при ВР света // УФН. 1982.
Т. 138, вып. 2. С. 249^288.
Список литературы 255
5. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фрон-
фронта. — М.: Наука, 1985.
6. Фабелинский И.Л. Молекулярное рассеяние света. — М.: Наука, 1965.
7. Келих С Молекулярная нелинейная оптика. — М.: Наука, 1981.
8. Сущинский М.М. Комбинационное рассеяние света и строение вещества. — М.:
Наука, 1981; см. также Сущинский М.М. Вынужденное рассеяние света. — М.:
Наука, 1985.
9. Белъдюгин И.М., Галушкин М.Г., Земское Е.М., Мандросов В.И. О комплекс-
комплексном сопряжении полей при ВРМБ // Квантовая электроника. 1976. Т. 3, № 11.
С.2467-2470.
10. Ахманов С.А., Голяев ЮЛ, Дмитриев ВТ. IIЖЭТФ. 1972. Т. 62, № 1. С. 13.
11. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое АЛ. Теория волн. — М.: Наука,
1990.
12. Сидорович ВТ. IIЖТФ. 1976. Т. 46. С. 2168
13. Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. О границах существования эффекта ОВФ при ВР
света // Квантовая электроника. 1978. Т. 5. С. 36-43.
14. Баранова КБ., Зельдович Б.Я. II Квантовая электроника. 1980. Т. 7. С. 229.
15. Сидорович ВТ, Шкунов В.В. II ЖТФ. 1979. Т. 49. С. 81.
16. Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. О воспроизведении ВФ при ВКР света // Квантовая
электроника. 1977. Т. 4, № 5. С. 1090-1098.
17. Бреховских Г.Л., Кудрявцева А.Д., Соколовская AM. Восстановление ВФ свето-
световых пучков при ВКР // Квантовая электроника. 1978. Т. 5, № 8. С. 1812-1815.
18. Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Влияние пространственной интерференции на
усиление при ВР света // Квантовая электроника. 1977. Т. 4. № 11. С. 2353-
2359.
19. Зельдович Б.Я., Яковлева Т.В. Мелкоструктурные искажения при ОВФ пучка
с неполной пространственной модуляцией // Квантовая электроника. 1980. Т. 7,
№2. С. 316-325.
20. Баранова КБ., Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. ОВФ при ВР-света в сфокусирован-
сфокусированном пространственно-неоднородном пучке накачки // Квантовая электроника.
1978. Т. 5, №5. С. 973-985.
21. Баранова КБ., Зельдович Б.Я. ОВФ сфокусированных пучков (ВРМБ назад,
теория) // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, № 5. С. 973-982.
22. Белъдюгин КМ., Земское Е.М., Клушин В.К, Семиногов В.К Эффект ОВФ на
основе антистоксова ВКР // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 11. С. 2481—
2483.
23. Кайзер В. Нестационарное ВР света. Времена релаксации молекулярных коле-
колебаний // Квантовая электроника. 1974. № 9. С. 2036-2042.
24. Ефимков В.Ф. и др. // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, вып. 2(8). С. 526-536.
25. Беспалов В.К,Пасманик Г. А. //ЖЭТФ. 1970. Т. 58, вып. 1. С. 309-323.
26. СтаруновВ.С //ЖЭТФ. 1969. Т. 57, вып. 3(9). С. 1012-1023.
27. Зельдович Б.Я., Поповичев В.К, Рагульский В.В., Файзуллов Ф.С. II Письма
в ЖЭТФ. 1972. Т. 15. С. 160.
28. Беспалов В.К, Бубис Е.Л. и др. ВРМБ в поле встречных световых волн // Кван-
Квантовая электроника. 1982. Т. 9, № 12. С. 2367-2372.
256 Список литературы
29. Пасманик ЕА. Воспроизведение ВФ сложных сигналов при обратном ВР //
Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 4, вып. 9. С. 504^507.
30. Ахманов С.А.,ДрабовичКН.9 Сухорукое АЛ., ЧиркинА.С //ЖЭТФ. 1970. Т. 59,
№2. С. 485.
31. Carman R.L, Shimizu Е, Wang C.S., Bloembergen N. II Phys. Rev. 1970. V. A2.
P. 60.
32. Зайцев Г.И., Кызыласов Ю.И., Старунов B.C., Фабелинский ИЛ. II Письма
в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 802.
33. Кртощеков ЕВ., Стунан М.Ф., Тимофеев Т.Т. II Письма в ЖТФ. 1981. Т. 7.
С. 506.
34. Белоусов В.Н., Большое Л.А., Ковальский НЕ, Низиенко ЮЖ. II ЖЭТФ. 1980.
Т. 79. С. 2119.
35. Зельдович Б.Я., Яковлева Т.В. Пространственно-поляризационное ОВФ при ВР
крыла линии Рэлея // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, №. 4. С. 880^887.
36. Басов Н.Е II Труды ФИАН. 1986. Т. 172. С. 6.
37. Зельдович Б.Я., Поповичев В.И., Рагулъский В.В., Файзуллов Ф.С. II Письма
в ЖЭТФ. 1972. Т. 15, вып. 3. С. 160; там же, Т. 15, вып. 6. С. 363.
38. Рагулъский В.В. Обращение волнового фронта при вынужденном рассеянии
света. — М.: Наука, 1990.
39. Носач О.Ю., Поповичев В.К, Рагулъский В.В., Файзуллов Ф.С. II Письма
в ЖЭТФ. 1972. Т. 16, вып. 11. С. 617.
40. Носач О.Ю., Рагулъский В.В. II Оптика и спектроскопия, 1998. Т. 85, № 6. С. 999.
41. Дмитриев В.Е История нелинейной оптики. / В кн.: Современная радиоэлек-
радиоэлектроника E0»е^80»е годы). — М.: Наука, 1993. С. 91-118.
42. К истории открытия эффекта ОВФ // Оптика и спектроскопия. 1998. Т. 85, № 6.
С. 997.
43. Блащук В.Н., Зельдович Б.Я., Мельников НА., Пилипецкий Н. Ф., Поповичев В.И.,
Рагулъский В.В. ОВФ при ВР сфокусированных световых пучков // Письма
в ЖТФ. 1977. Т. 3, вып. 5. С. 211-215.
44. Рагулъский В.В. ОВФ слабых пучков при ВР света // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5,
вып. 4. С. 251-254.
45. Басов НЕ, Зубарев НЕ и др. ОВФ слабых сигналов при беспороговом отра-
отражении от бриллуеновского зеркала // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 2.
С. 394-397.
46. Беспалов В.И, Бетин А.А., Пасманик Г.А., Шилов А.А. ОВФ при комбинаци-
комбинационном преобразовании стоксовой волны в поле встречных пучков накачки //
Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5, вып. 4. С. 242-246.