Методы измерения параметров полупроводниковых материалов - Павлов Л.П.

Автор: Павлов Л.П.
Теги: электротехника электротехнические материалы и изделия микроэлектроника полупроводники измерительные приборы
Год: 1987
Похожие
Методы измерений параметров излучающих систем в ближней зоне
Методы измерения характеристик антенн СВЧ
Методы оптимизации параметров кабельных линий связи
Текст
                    Л.П.ЛАВЛОВ
МЕТОДЫ
ИЗМЕРЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
МАТЕРИАЛОВ
з. ~	~	~
!П ,г-' ББК 31.233
П12
УДК 621.315.592.08
•^1^5-5973
Рецензенты: кафедра «Материаловедение полупроводников» Москов-
ского института стали и сплавов (зав. кафедрой — д-р техн, наук, проф.
С. С. Горелик); кафедра «Диэлектрики и полупроводники» Ленинградского
электротехнического института им. В. И. Ульянова (Ленина) (зав. кафед-
рой— д-р техн, наук, проф. Ю. М. Таиров)
Павлов Л. П.
П12 Методы измерения параметров полупроводниковых мате-
риалов: Учеб, для вузов по спец. «Полупроводниковые и мик-
роэлектронные приборы». — 2-е изд., перераб. и доп. — М.:
Высш, шк., 1987.— 239 с.: ил.
В книге изложены основы методов измерения электрофизических параметров
полупроводниковых материалов, рассматриваются вопросы их практической реали-
зации; даны условия и границы применения методов измерения; проведен анализ
причин возникновения погрешностей измерения и т. д. Во 2-е издание (1-е— 1975 г.)
включен раздел, посвященный оптическим методам измерении параметров, расши-
рены сведения о вольт-фарадных методах измерения и др.
2403000000 (4309000000)—469	ББК 31.233
1 ------------------------- 196—87
001(01)—87	6П2.1.06
© Издательство «Высшая школа», 1975
© Издательство «Высшая школа», 1987, с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ
Научно-технический прогресс немыслим без электроники, в ча-
стности микроэлектроники. В современной микроэлектронике ши-
роко применяют полупроводниковые материалы и многослойные
структуры, на основе которых изготавливаются различные полу-
проводниковые приборы и микросхемы. Дальнейшее совершенст-
вование технологии производства полупроводниковых материалов
связано с повышением эффективности лабораторного и промыш-
ленного контроля их качества. От этого зависят и размеры техно-
логических потерь на различных этапах производства, и материаль-
ные затраты на производственный контроль их качества Поэтому
оснащение промышленности высокоточными и производительными
средствами измерений, разработка и освоение прогрессивных, не-
разрушающих методов контроля непосредственно связаны с проб-
лемой повышения экономической эффективности производства по-
лупроводниковых материалов и структур.
Целью курса «Методы измерения параметров полупроводнико-
вых материалов» является изучение экспериментальных методов
измерения параметров, которые являются основными для произ-
водственного контроля качества полупроводниковых материалов
и структур и составляют основу многих методов исследования в
области физики полупроводников и полупроводниковых приборов.
Основное внимание в книге уделено методам измерения удель-
ной электрической проводимости, концентрации носителей заряда
и легирующих примесей, подвижности основных и неосновных но-
сителей заряда, коэффициента диффузии, диффузионной длины и
объемного времени жизни неосновных носителей заряда, объемного
генерационного времени неравновесных носителей заряда, скорости
поверхностной рекомбинации, параметров глубоких уровней и не-
которых других параметров.
Изложение базируется главным образом на материалах пре-
дыдущих курсов «Физика полупроводников» и «Радиотехника и
радиоизмерения». Вопросы технологии изготовления полупроводни-
ковых образцов 1и структур, а также создания контактов и обра-
ботки поверхности не рассматриваются, так как они подробно
анализируются в курсе «Технология полупроводниковых приборов
и интегральных микросхем».
3
Для того чтобы книгу можно было изучать не обращаясь к
учебникам по физике полупроводников, в тексте даны определения
основных параметров и необходимые теоретические соотношения.
В основу учебника положен курс лекций, читаемый автором
для студентов специальности «Полупроводниковые и микроэлек-
тронные приборы» в Московском ордена Ленина и ордена Ок-
тябрьской революции энергетическом институте, с учетом тех из-
менений, которые имеются в типовой программе дисциплины «Ме-
тоды измерения параметров полупроводниковых материалов»
действующего учебного плана. По сравнению с учебным пособием
«Методы определения основных параметров полупроводниковых
материалов», вышедшим в издательстве «Высшая школа» в 1975 г.,
материал книги существенно переработан и дополнен с учетом со-
временных тенденций развития полупроводниковой техники.
При подготовке рукописи были широко использованы научные
статьи советских и зарубежных ученых, книги по контролю пара-
метров полупроводниковых материалов, а также монографии по
отдельным вопросам физики полупроводников и полупроводнико-
вых приборов.
Автор выражает глубокую благодарность рецензентам: кол-
лективу кафедры «Материаловедение полупроводников» Москов-
ского института стали и сплавов под руководством д-ра техн,
наук, проф. С. С. Горелика и коллективу кафедры «Диэлектрики
и полупроводники» Ленинградского электротехнического институ-
та им. В. И. Ульянова (Ленина) под руководством д-ра техн, наук,
проф. Ю. М. Таирова за полезные замечания и советы, способст-
вовавшие улучшению рукописи.
Замечания и пожелания просим направлять по адресу: 101430,
Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая
школа».
Автор
ВВЕДЕНИЕ
Измерение — это последовательность экспериментальных и вы-
числительных операций, осуществляемая с целью нахождения зна-
чения физической величины, характеризующей некоторый объект
или явление.
Измерение включает в себя следующие элементы: физический
объект (явление), свойство или состояние которого характеризует
измеряемая величина; единицу этой величины; технические сред-
ства измерения, проградуированные в выбранных единицах; метод
измерения; наблюдателя или устройство, регистрирующее резуль-
таты измерений; полученное значение измеряемой величины и оцен-
ку его отклонения от истинного значения, т. е. погрешность изме-
рения.
Принцип измерения — совокупность физических явлений, на
которых основано данное измерение.
Средство измерения — техническое средство, применяемое при
измерениях и имеющее нормированные метрологические свойства.
Метод измерения — совокупность приемов использования прин-
ципов и средств измерений.
Погрешность измерения — отклонение результата измерения от
истинного значения измеряемой величины. Точность измерения —
качество измерения, отражающее близость его результатов к
истинному значению измеряемой величины. Высокая точность
измерений соответствует малым погрешностям. Погрешность изме-
рения физической величины складывается из составляющих, обус-
ловленных отличием реального объекта измерения от теоретиче-
ской 'модели, положенной в основу метода измерения, погрешностя-
ми измерения величин, входящих в расчетную формулу, и
погрешностями, вызванными условиями проведения измерений.
При исследовании физических явлений, как правило, проводят
косвенные измерения, поскольку прямые измерения не всегда воз-
можны или достаточно точны.
Косвенное измерение — измерение, при котором искомое зна-
чение величины находят на основании известной зависимости меж-
ду этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измере-
ниям.
Важную группу физических величин, характеризующих полу-
5
проводниковые материалы, составляют их электрофизические па-
раметры. К ним относятся концентрации основных и неосновных
носителей заряда, подвижности и коэффициенты диффузии основ-
ных и неосновных носителей заряда, объемное и поверхностное
время жизни неравновесных носителей заряда, диффузионная
длина неосновных носителей заряда, скорость поверхностной ре-
комбинации, концентрации донорных и акцепторных примесей,
объемное генерационное время неравновесных носителей заряда,
параметры глубоких уровней. Кроме того, все полупроводниковые
материалы характеризуют удельным электрическим сопротивле-
нием (удельной электрической проводимостью).
В зависимости от содержания и типа примесей эти параметры
могут изменяться в очень широких пределах. Возможность вариа-
ции этих параметров во многом предопределяет применение полу-
проводниковых материалов для изготовления полупроводниковых
приборов с нужными характеристиками.
Методы измерения .перечисленных параметров являются основ-
ными методами контроля качества полупроводниковых материалов
и структур, на основе которых изготавливают различные виды по-
лупроводниковых приборов и микросхем, а также составляют
основу многих экспериментальных методов исследования в обла-
сти физики полупроводников.
В качестве объектов измерения используют объемные образцы,
пластины, тонкие слои, полупроводниковые структуры с диффу-
зионными, эпитаксиальными и ионно-легированными слоями на
подложках того же и противоположного типа электропроводности,
структуры металл — полупроводник, металл — диэлектрик — полу-
проводник и некоторые другие.
Глава 1
ИЗМЕРЕНИЕ
УДЕЛЬНОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1.1. Методы измерения
удельного сопротивления.
Двухзондовый метод измерения
При исследовании электрических свойств полупроводников и
производстве полупроводниковых материалов, структур и прибо-
ров возникает необходимость измерения удельного электрического
сопротивления или удельной электрической проводимости полу-
проводниковых материалов в виде монокристаллических слитков,
образцов различной геометрической формы, пластин, диффузион-
ных, эпитаксиальных и ионно-легированных слоев, составляющих
часть полупроводниковых структур. Измерение удельного сопро-
тивления осуществляется не только для установления его значения,
но также для определения других важных параметров полупровод-
никового материала на основе теоретических расчетов или допол-
нительных экспериментальных данных.
Выбор метода измерения осуществляют с учетом получения
требующейся информации, особенностей исследуемого материала,
возможности изготовления электрических контактов, геометриче-
ской формы образца, метрологических характеристик метода изме-
рения. В идеальном случае измерение характеристик материалов
не должно приводить к разрушению образца и не должно требо-
вать его специальной обработки.
Многие методы измерения удельного электрического сопротив-
ления полупроводниковых материалов основаны на измерении раз-
ности электрических потенциалов на некотором участке образца,
через который пропускается электрический ток. Исторически одним
из первых методов измерения удельного сопротивления был двух-
зондовый метод, применявшийся для измерения удельного сопро-
тивления металлов. Измерения с помощью методов, для которых
необходима строго определенная геометрия образца, сопряжены со
значительными затратами времени, главным образом на изготов-
7
Рис. 1.1. Схема измерения
удельного сопротивления
двухзондовым методом
ление образцов и контактов к ним. Для быстрого измерения удель-
ного сопротивления используют четырехзондовый метод, метод
сопротивления растекания точечного контакта, а также метод Ван-
дер-Пау. Указанные методы удобны, позволяют выполнять изме-
рения не только на однородных образцах, но и на диффузионных,
эпитаксиальных и ионно-легированных слоях, а также исследовать
пространственное изменение удельного сопротивления. Для зондо-
вых методов силовые линии напряженности электрического поля
непараллельны и распределены неод-
нородно по сечению образца, ввиду че-
го сначала необходимо теоретически
рассчитывать распределение электри-
ческого потенциала в образце, а затем
находить взаимосвязь между удельным
сопротивлением и измеряемыми вели-
чинами— током и напряжением.
При использовании зондовых мето-
дов нужен непосредственный контакт
с полупроводниковым образцом. По-
этому эти методы приводят к разруше-
нию образцов. Например, при измере-
ниях четырехзондовым методом или
методом сопротивления растекания металлические зонды разру-
шают поверхность образца; для применения же метода Ван-дер-
Пау необходимо создание четырех контактов. Поэтому существует
потребность в методах измерения, не требующих непосредственного
контакта с образцом и получивших название бесконтактных. Име-
ется несколько подходов к осуществлению бесконтактных измере-
ний. Они основаны на использовании отражения или поглощения
электромагнитной волны, индуктивной .или емкостной связи образ-
ца с измерительной схемой. В силу этого бесконтактные методы
являются оптическими или высокочастотными.
Двухзондовый метод применяют для измерения удельного со-
противления образцов, имеющих правильную геометрическую
форму и постоянное поперечное сечение. При этом на торцевых
гранях образца, например в виде прямоугольной пластины, изго-
тавливают омические контакты. Через эти контакты вдоль образца
пропускают электрический ток. На одной из поверхностей образца
вдоль линий тока устанавливают два контакта в виде металличе-
ских иголок — зондов, имеющих малую площадь соприкосновения
с поверхностью и позволяющих измерить разность потенциалов
(рис. 1.1). Если образец однороден, то его удельное сопротивление
(Ом-см)
Р — Е/ (2>5/(/5),
где / — сила тока, протекающего через образец, A; U\2 — разность
потенциалов между измерительными или потенциальными зонда-
ми, В; s— расстояние между зондами, см; S — площадь попереч-
ного сечения, см2.
Ток через образец подается от регулируемого источника по-
стоянного тока, гарантирующего достаточную его стабильность во
времени. Сила тока измеряется миллиамперметром, разность по-
тенциалов — полуавтоматическим компенсирующим потенциомет-
ром или электронным цифровым вольтметром с высоким входным
сопротивлением.
Погрешность измерений напряжения и тока при использовании
приборов с цифровой индикацией не превышает 0,1%. Однако
систематическая погрешность измерения напряжения между по-
тенциальными зондами зависит от сопротивления контакта зонда
с образцом, которое может в 103—10“ раз превышать сопротивле-
ние образца. Чтобы устранить влияние сопротивлений контактов
на результаты измерений, необходимо предельно уменьшить про-
текающий через них ток. Для этого используют вольтметры с высо-
ким входным сопротивлением (108 Ом и больше), причем сопро-
тивление изоляции каждого из зондов относительно любого эле-
мента измерительной установки должно быть много больше этого
значения.
Неточное соблюдение геометрических размеров образца ведет
к отклонению формы эквипотенциальных поверхностей от плоских
поверхностей, параллельных торцевым граням образца, и возник-
новению систематической погрешности. Искажение формы экви-
потенциальных поверхностей и одномерного пространственного
распределения линий тока имеет место в обпазце правильной гео-
метрической формы вблизи омических контактов, если они неодно-
родны по площади. В предельном случае использования точечных
токовых контактов эту погрешность можно свести к значению, не
превышающему 0,5%, при следующих соотношениях геометриче-
ских размеров образца: a^>3b, s^.a/2, b/2t£Zws£ib, где a, b, w —
длина, ширина и толщина образца. При этом потенциальные зонды
следует располагать на расстоянии от торцевых граней образца,
большем ЗЬ.
Отклонение реального контакта зонда от теоретической модели
точечного потенциального контакта также вносит систематическую
погрешность в результат измерения.
Случайная составляющая относительной погрешности измере-
ний, обусловленная невоспроизводимостью расстояния между зон-
дами при независимой фиксации каждого из зондов со средне-
квадратическим отклонением As, определяется соотношением
бр/р= 1,41 (2As/s) при доверительной вероятности 0,95.
На контакте металл — полупроводник при протекании электри-
ческого тока может возникать ряд физических эффектов и явле-
ний, которые вносят существенную погрешность в результаты из-
мерений. Основными из них являются: инжекция носителей заряда
контактом, влияющая на проводимость образца; эффект Пельтье,
приводящий к возникновению градиента температуры на образце
9
и соответствующей этому градиенту термо-ЭДС; нагрев образца
электрическим током, протекающим через образец. Указанные яв-
ления необходимо учитывать не только при измерении удельной
проводимости, но и во всех случаях, когда через измеряемый обра-
зец с металлическими контактами протекает электрический ток.
Чтобы уменьшить погрешности, вызванные этими явлениями, ток
через образец выбирается минимальным, но обеспечивающим необ-
ходимую точность, измерения тока и напряжения. Торцевые грани
образца шлифуются абразивным порошком, после чего электроли-
тически металлизируются. Абразивная обработка обеспечивает по-
давление инжекции носителей заряда.
Влияние неоднородности удельного сопротивления образца.
Практически любой полупроводниковый образец обладает некото-
рой неоднородностью в распределении удельного сопротивления.
Измеренное на неоднородном образце значение удельного сопро-
тивления характеризуется эффективным удельным сопротивлением
рэф и представляет собой значение, усредненное по некоторой обла-
сти образца. Интерпретация результатов измерений эффективного
удельного сопротивления на неоднородном образце, т. е. нахожде-
ние соотношения между эффективным и действительным или сред-
ним значением удельного сопротивления, предполагает знание
конкретной функции р(х, у, z) и требует выполнения соответствую-
щих теоретических расчетов. Решение этой задачи в аналитической
форме возможно для простых одномерных случаев: линейного,
экспоненциального и периодического распределения удельного со-
противления. В ряде практически важных случаев для образцов с
одномерной неоднородностью, а именно: для диффузионных, эпи-
таксиальных и ионно-легированных слоев, распределение удельно-
го сопротивления по толщине слоя измеряют с помощью последо-
вательного удаления слоев (см. § 1.4).
В объемных образцах наиболее часто встречаются локальные флуктуации
удельного сопротивления, распределенные по объему образца и обусловленные
флуктуациями концентрации и подвижности носителей заряда. Если линейный
размер локальных неоднородностей превышает длину свободного пробега носи-
телей заряда н дебаевскую длину экраиироваиия, но мал по сравнению с геомет-
рическими размерами образца, то эффективная удельная проводимость а,ф свя-
зана с ее средним значением а соотношением
Оэф = а[1-(а-;)2/(3?)].	(1.1)
Второе слагаемое в квадратной скобке представляет собой локальное сред-
неквадратическое отклонение удельной проводимости от ее среднего значения а.
Из (1.1) следует, что измеряемое значение удельной проводимости отличается от
ее среднего значения.
§ 1.2. Четырехзондовый метод измерения
Четырехзондовый метод измерения удельного сопротивления
полупроводников является самым распространенным. Кроме высо-
ких метрологических показателей преимущество четырехзондового
10
метода состоит в том, что для его применения не требуется созда-
ния омических контактов к образцу, возможно измерение удельно-
го сопротивления объемных образцов самой разнообразной формы
и размеров, а также удельного сопротивления слоев полупровод-
никовых структур. Условием для его применения с точки зрения
формы образца является наличие плоской поверхности, линейные
размеры которой превосходят линейные размеры системы зондов.
Теория метода. Рассмотрим теоретические основы четырехзон-
Рис. 1.2. Электрическая схе-
ма измерения удельного со-
противления четырехзондо-
вым методом:
ИН — источник постоянного на-
пряжения; V — вольтметр
Рис. 1.3. Модель
зонда
дового метода измерения удельного сопротивления применительно
к образцу, представляющему собой полубесконечный объем, огра-
ниченный плоской поверхностью.
На плоской поверхности образца вдоль прямой линии разме-
щены четыре металлических зонда с малой площадью соприкосно-
вения (рис. 1.2), расстояния между которыми Si, s2, s3. Через два
внешних зонда 1 и 4 пропускают электрический ток М, на двух
внутренних зондах 2 и 3 измеряют разность потенциалов 1/23. По
измеренным значениям разности потенциалов между зондами 2 и
3 и тока, протекающего через зонды 1 и 4, можно определить
удельное сопротивление образца.
Чтобы найти аналитическую связь между удельным сопротив-
лением р, током /и и напряжением t/23, необходимо сначала ре-
шить более простую задачу, связанную с протеканием тока через
отдельный точечный зонд, находящийся в контакте с плоской по-
верхностью полупроводникового образца полубесконечного объема
(рис. 1.3).
Так как пространственное распределение электрического по-
тенциала U (г) в образце имеет сферическую симметрию, то для его
определения достаточно решить уравнение Лапласа в сферической
системе координат, в котором оставлен лишь член, зависящий от г,
11
MJ (r)=~ — ^г2-^Л=0 при условии, что потенциал в точке
г2 dr \ dr у
г=0 положителен и стремится к нулю при очень больших г. Ин-
тегрирование этого уравнения с учетом указанных граничных усло-
вий позволяет получить следующее решение: U(r) =—С/r. Кон-
станту интегрирования можно вычислить из условия для напря-
женности электрического поля # при некотором значении г=г0:
#w=-^2| .
dr I г=г.
Так как плотность тока, протекающего через полусферу радиусом
Го, /=//(2лго2), а в соответствии с законом Ома /=#7р, то
ё' (го) =7р/(2лг0). Окончательно получим
77 (г)=/р/(2лг).	(1.2)
Очевидно, что распределение потенциала будет таким же, когда
форма контакта зонда с поверхностью образца имеет вид полусфе-
ры конечного диаметра.
Пусть радиус контакта равен rt. Тогда электрическое напряже-
ние на образце равно электрическому потенциалу зонда:
77(г1)=/р/(2лг1).	(1.3)
Из сравнения напряжения на приконтактном слое толщиной
г2—л	U (Гу)—U (г2)= ~~ --2~-1 - и напряжения на образце
2л гуГч
(1.3) следует, что основное изменение потенциала происходит вбли-
зи зонда. Например, при г2= Юл напряжение на образце превос-
ходит напряжение на слое толщиной г2—л всего лишь на 10%.
Это означает, что значение протекающего через зонд тока опреде-
ляется главным образом сопротивлением приконтактной области,
протяженность которой тем меньше, чем меньше радиус контакта.
Линейное расположение зондов. Сформулируем
предположения, на которых основан четырехзондовый метод изме-
рения удельного сопротивления: 1) зонды расположены на пло-
ской поверхности однородного изотропного образца полубесконеч-
ного объема; 2) зонды имеют контакты с поверхностью образца в
точках, которые расположены вдоль прямой линии; 3) инжекция
носителей заряда в объем образца отсутствует.
По принципу суперпозиции электрический потенциал в любой
точке образца равен сумме потенциалов, создаваемых в этой точке
током каждого зонда. При этом потенциал имеет положительный
знак для тока, втекающего в образец (зонд 7), и отрицательный
знак для тока, вытекающего из образца (зонд 4). Для системы
зондов, расстояния между которыми Si, s2 и S3, потенциалы изме-
рительных зондов 2и 3
:72==_^р_________L_V
2 л	S2 + S3/
12
и3=±-^-(— --------Ц.
2л \ Sj + s2	S3 z
Разность потенциалов
u23=u2-us=1-^ р--------Л-------1—+-U.	(t4)
2Л \ Si S2 + S3 Sj -f S2 S3 /
Согласно (1.4), удельное сопротивление образца
2л	U2з
р 1 i i Г "77 *
—_--------_ —.— + —
«1 s2 + S3 Si~i-S2 S3
Если расстояния между зондами одинаковы, т. е. s1=s2=s3==s,
то
P=2ns-^L.	(1.5)
hi
Используя другие комбинации включения токовых и потенци-
альных зондов, можно получить аналогичные выражения для
удельного сопротивления, которые отличаются от (1.5) значения-
ми числовых коэффициентов, приведенными в табл. 1.1.
Таблица 1.1
№ п/п	Зонды	Ток	Зонды	Напряжение	Числовой коэффициент
1	1—4	л.	2—3	и 23	2л
2	1—2	/12	3—4	Чц	6л
3	1—3	/13	2—4	£/24	Зл
4	2—3	/23	1—4	<7.4	2л
5	2—4	hi	1—3	1Лз	Зл
6	3—4	/зч	1—2	U и	6л
Как следует из табл. 1.1, предпочтительны комбинации вклю-
чения зондов 1 и 4, так как они обеспечивают максимальное реги-
стрируемое напряжение.
Расположение зондов по вершинам квадрата.
Линейное расположение зондов на поверхности полупроводнико-
вого образца не является единственно возможным. Можно, напри-
мер, использовать систему четырех зондов, расположенных по
вершинам квадрата. В этом случае ток пропускают через зонды,
образующие одну из сторон квадрата, например через зонды 1
и 2, а напряжение измеряют на другой паре зондов 3 и 4. Исполь-
зуя соотношение (1-2), легко рассчитать, что при таком располо-
жении зондов удельное сопротивление
Цц
2-/2	/12
13
Расположение зондов по вершинам квадрата обеспечивает сни-
жение случайных ошибок в два раза. Это достигается за счет вы-
полнения измерений при пропускании тока последовательно через
каждую пару соседних зондов, изменения полярности приложен-
ного напряжения и последующего вычисления среднего значения
удельного сопротивления по результатам восьми измерений. С по-
мощью современной электронной измерительной аппаратуры такие
измерения легко могут быть автоматизированы.
Электрическая схема и методика измерения. Электрическая
схема измерения удельного сопротивления четырехзондовым мето-
дом проста (см. рис. 1.2). Ток 1 от регулируемого источника по-
стоянного напряжения ИН пропускается через зонды 1 и 4. Жела-
тельно, чтобы источник напряжения имел высокое выходное
сопротивление, т. е. являлся генератором тока. Напряжение, возни-
кающее при этом между зондами 2 и 3, регистрируется вольтмет-
ром V. Сила тока фиксируется миллиамперметром или находится
путем измерения напряжения на эталонном резисторе, включен-
ном последовательно в цепь зондов 1 и 4. Наименьший рабочий
ток определяется возможностью измерения малых напряжений;
наибольший рабочий ток ограничивается нагревом образца.
Система из четырех зондов конструктивно оформляется в виде
четырехзондовой головки. Расстояния между зондами строго фик-
сированы, угол заточки острия зонда составляет 45—150°. Четы-
рехзондовую головку крепят к манипулятору, с помощью которого
зонды устанавливаются на поверхности образца. Зонды индиви-
дуально прижимаются к поверхности с силой до 2 Н. В качестве
материала зондов используют твердые металлы и сплавы.
При проведении измерений в интервале высоких температур
вплоть до 950°С для ряда полупроводниковых материалов для из-
готовления зондов используют карбид вольфрама. Чтобы умень-
шить разрушение поверхности, применяют зонды из жидких ме-
таллов— ртути и галлия (при температурах выше температуры
плавления галлия 29,8°С). Материал зонда не должен химически
реагировать с полупроводниковым материалом.
Чтобы контактные сопротивления потенциальных зондов не
влияли на результаты измерений, разность потенциалов необходи-
мо фиксировать в отсутствие тока через них. Поэтому измерения
проводят компенсационным методом с помощью полуавтоматиче-
ских потенциометров. Целесообразно также применение электрон-
ных цифровых вольтметров с высоким . входным сопротивлением.
В таком случае ток через измерительные зонды пренебрежимо мал,
что позволяет отказаться от использования компенсационных ме-
тодов измерений. Применение милливольтметра с входным сопро-
тивлением порядка 108 Ом дает возможность измерять удельное
сопротивление на слитках и пластинах кремния до 3000 Ом-см.
Погрешность измерения удельного сопротивления четырехзон-
довым методом определяется как составляющими погрешности
входящих в формулу (1.5) величин, так и размером контактной
14
площадки зонда, сопротивлением контактов, нестабильностью
температуры образца, термо-ЭДС, освещенностью образца, инжек-
цией носителей заряда и др.
Различие в расстояниях между зондами ведет к погрешности
измерения р. Если, например, каждый из зондов смещен относи-
тельно своего номинального положения на Дх;, то относительная
погрешность
= —— (ЗД — 5Дх2 4- 5Дх3 — ЗД л4).
р 4s
Это соотношение можно использовать для коррекции значения
удельного сопротивления, если Дх, .известны.
Когда конструкция зондовой головки допускает независимое
смещение каждого зонда относительно своего номинального поло-
жения, которое характеризуется среднеквадратическим отклоне-
нием As, то случайная погрешность измерения 6р/р=2,06(2Д$/$)
при доверительной вероятности 0,95.
Неточечность контакта, т. е. конечные размеры контактной пло-
щадки, вносит систематическую погрешность в результаты измере-
ний. Эта погрешность зависит от (го/$)2, она различна для токо-
вых и потенциальных контактов. Практически этой погрешностью
можно пренебречь, если отношение ro/s<O,O5.
Чтобы избежать .погрешностей при измерениях тока и напряже-
ния, которые могут возникнуть вследствие утечек тока и возникно-
вения напряжения на контактных сопротивлениях, необходимо
обеспечивать высокое сопротивление изоляции и использовать
приборы для измерения напряжения с входным сопротивлением,
превышающим сопротивление образца и контактов в 105 раз.
Источником погрешности могут служить фотопроводимость и
фото-ЭДС, возникающие под действием освещения и особенно
сильно проявляющиеся в образцах с высоким удельным сопротив-
лением.
Так как полупроводники имеют относительно высокий темпера-
турный коэффициент сопротивления, то при измерениях за счет
протекания через образец тока может произойти не только локаль-
ный нагрев, но и повышение температуры всего образца. Напри-
мер, повышение температуры кремния с удельным сопротивлением
10 Ом-см на 5°С приводит к изменению удельного сопротивления
на 4,0%. Поэтому для уменьшения нагрева образца необходимо
выбирать рабочий ток минимально возможным, а температуру
образца поддерживать постоянной. Рабочий ток, однако, должен
обеспечивать необходимую точность измерений разности потенциа-
лов. Измерение разности потенциалов производят при двух на-
правлениях тока и полученные значения усредняют, исключая та-
ким способом продольную термо-ЭДС, возникающую иа образце
вследствие градиента температуры. Уменьшение рабочего тока од-
новременно снижает модуляцию проводимости образца, вызван-
ную инжекцией носителей заряда при протекании тока.
15
Для уменьшения влияния инжекции и получения малых кон-
тактных сопротивлений металлических зондов поверхность образ-
ца, на которой производят измерения, механически обрабатывают
(например, шлифуют). Однако подобная обработка, особенно для
высокоомных образцов, иногда недостаточна. Например, механи-
чески обработанная поверхность германия позволяет получить ма-
лое сопротивление контакта, а поверхность кремния с металличе-
ским зондом, наоборот,— очень высокое сопротивление. Высокое
сопротивление контакта не только ограничивает протекающий
ток, но, как правило, нестабильно во времени и в значительной
степени затрудняет проведение измерений. Поэтому нередко кон-
такты подвергают электрической формовке.
Следует отметить, что высокое контактное сопротивление меж-
ду зондом и образцом является одной из основных причин, ограни-
чивающих применение четырехзондового метода для измерения
удельного сопротивления широкозонных полупроводников типа
А3В5 и А2В6. В технических условиях на монокристаллический
кремний в слитках в соответствии с ГОСТ 19658—81 предусмотре-
на следующая методика измерения удельного сопротивления. Она
распространяется на слитки монокристаллического кремния, полу-
чаемые по методу Чохральского и предназначенные для изготовле-
ния пластин-подложек, используемых в производстве эпитаксиаль-
ных структур и структур металл — диэлектрик — полупроводник.
Методика предназначена для измерения удельного электрического
сопротивления на торцевой поверхности слитков кремния от 10 4
до 103 Ом-см. Измерения проводят на плоских поверхностях, имею-
щих шероховатость не более 2,5 мкм при фиксированной темпера-
туре (23±2)°С. Используют четырехзондовую измерительную
головку типа С2080 с четырьмя линейно расположенными зонда-
ми из карбида вольфрама с межзондовым расстоянием (1,3±
±0,01) мм и максимальным линейным размером рабочей площад-
ки зонда не более 60 мкм. Усилие прижима зонда к поверхности
слитка составляет 0,5—2,0 Н. Измерительные приборы обеспечи-
вают измерение силы электрического тока с погрешностью не бо-
лее 0,5%, а электрического напряжения —с погрешностью не бо-
лее 1% при необходимом для правильного измерения входном
сопротивлении. Предельные значения рабочих токов и измеряе-
мых напряжений, а также входных сопротивлений в зависимости
от удельного сопротивления кремния приведены в табл. 1.2.
Удельное сопротивление вычисляют как среднеарифметическое
значений, полученных три двух измерениях, различающихся на-
правлением тока. Измерение слитков с удельным сопротивлением
более 200 Ом-см проводят при их затемнении.
При выполнении всех требований к применяемым средствам
измерения и соблюдении необходимых условий интервал, в кото-
ром находится случайная погрешность измерения удельного со-
противления, характеризующая сходимость результатов, равен
±2% при доверительной вероятности 0,95. Интервал, в котором
16
находится погрешность измерения, определяющая воспроизводи-
мость измерений при соблюдении требований стандарта, равен
±5% при доверительной вероятности 0,95.
Таблица 1.2
Удельное		Измеряемое	Входное
сопротивление р, Ом-см	1, А	напряжение и. В	сопротивление Л, Ом, не менее
IO-3	1,0-10-1	1,2-10-'	1-Ю3
IO-2	1,0-10-'	1,2-10-3	1-104
10-'	1,0-10 1	1,2-10-2	1-10=
1,0	8,2-10 2	1,0-10-'	110®
10'	8,2-Ю-з	1,0-10-'	1-Ю7
10®	8,2-10-'	1,0-10-'	1-10®
103	8,2-10 5	1,0-10-'	2-10®
§ 1.3. Применение четырехзондового метода
к образцам простой геометрической формы
Образец полубесконечного объема с проводящей или изоли-
рующей границей. Соотношение (1.5) пригодно для вычисления
удельного сопротивления образца полубесконечного объема, т. е.
для образца, линейные размеры которого
ния между зондами s. Этот критерий
применимости формулы (1.5), по сущест-
ву, является полуколичественным, так
как не указывает точного соотношения
между размерами образца и расстояни-
ем s. Для получения более строгих кри-
териев применимости (1.5) рассмотрим
частные случаи измерения удельной про-
много больше расстоя-
и=о
Рис. 1.4. Система источни-
ков изображения для образ-
ца полубесконечного объема
с проводящей границей
водимости образцов ограниченных раз-
меров, которые имеют и самостоятельное
значение, так как часто встречаются на
практике.
Проанализируем следующий случай.
Образец полубесконечного объема имеет
плоскую проводящую границу; зонды расположены на линии, пер-
пендикулярной этой границе (рис. 1.4). Наличие проводящей грани-
цы на одной из граней образца обусловливает его шунтирование и,
следовательно, увеличение тока /, что приводит к уменьшению из-
меренного в соответствии с (1.5) значения р по сравнению с истин-
ным. Практическим примером такой модели может служить обра-
зец, на одной из плоских граней которого создан омический кон-
такт. Ввиду того что сопротивление омического контакта очень ма-
ло, можно считать потенциал контакта постоянным.
17
Используем метод зеркальных изображений, который широко
применяется в электростатике. Для этого на продолжении линии
зондов симметрично относительно проводящей границы поместим
два таких мнимых источника тока 5 и 6, чтобы удовлетворить
условию на проводящей границе U=0. Условие на проводящей
границе будет выполнено, если, считая образец бесконечным, в
точку 5 поместить положительный источник тока 7, а в точку 6—
отрицательный —7. В силу единственности решения задачи при
данном граничном условии решение для системы источников тока
7, 4, 5 и 6 будет искомым. Вычисление потенциалов в точках 2 и 3
с учетом четырех источников тока позволяет определить удельное
сопротивление образца:
о , ( I \ U
p=2nsj\ j-y- ’
где
1
1______________1_________________1
2+2//S	5 + 2Z/S l + 2Z/s ‘ 4+2Z/S.
(1.6)
— поправочная функция, зависящая от отношения l/s. При /=0,
т. е. в случае, когда зонд 4 установлен на проводящей границе
образца, f(//s)«2; при /^3s функция f(l/s) практически не отли-
чается от 1. Таким образом, в рассмотренном случае выражение
(1.5) можно использовать, если выполняется соотношение 7^3s.
Поправочную функцию, подобную (1.6), можно легко вычис-
лить и для случая, когда граница является не проводящей, а изо-
лирующей. При этом, используя метод зеркальных изображений,
необходимо учесть, что на изолирующей границе должно выпол-
няться иное граничное условие: нормальная составляющая тока, а
следовательно, и нормальная составляющая электрического поля
на границе равны нулю. Это граничное условие будет выполнено,
если знаки зеркальных источников тока совпадают со знаками
реальных токов, протекающих через зонды 7 и 4. В результате
вычислений получим
,	„ Г, .	1	1	1.11-1
/2 (is) = 1Ч------------------------------
72 '	[ я 1 + 2Z/S 2 + 2Z/S 4-+-2Z/S 1 5-f-2Z/sJ
Для образца полубесконечного объема при параллельном рас-
положении линии зондов относительно изолирующей границы
/з (*/«)={1 + (] +(2z/s)2]V2 + [1 +(Z/s)2]V2 } ’
относительно проводящей границы
/4 (//S) = { 1 — + (2Z/s)2]V2 + [1 + (Z/s)2]1/2 I
Числовые значения функций fi (l/s), f2(l/s), f^l/s) и ft(l/s)
приведены в табл. 1.3.
18
Таблица 1.3
Us	f.Ws)	M/s)	M/s)	Mils'!
0	1,82	0,69	0,5	oo
0,2	1,365	0,79	0,533	8,07
0,5	1,182	0,882	0,658	2,08
1,0	1,06	0,947	0,842	1,232
2,0	1,01	0,992	0,965	1,038
5.0	1,004	0,996	0,9974	1,003
10,0	1,0005	0,9995	0,9996	1,0004
Анализ поправочных функций, полученных для образца полу-
бесконечного объема с изолирующей или проводящей границей
при параллельном и перпендикулярном расположении линии зон-
дов относительно границы, показыва-
ет, что во всех случаях поправка пре-
небрежимо мала, если Z^5s.
Тонкая пластина. Определение
удельного сопротивления тонкой пла-
стины, как и образца полубесконечного
объема с границей, сводится к вычис-
лению поправочной функции. Однако
ее расчет для тонкой пластины более
сложен, так как тонкая пластина оп-
ределенной геометрической формы
имеет большое число поверхностей и
для каждой из них должно выполнять-
ся соответствующее граничное условие.
Рассмотрим простой случай тонкой
пластины бесконечных размеров, ниж-
няя граница которой является прово-
дящей (рис. 1.5)'. Используя метод зер-
кальных изображений, расположим на
расстоянии w ниже проводящей грани-
цы мнимые источники тока 1 и —I, что
Л=2 !+-------4-~—
I	।	»
.n=i -г4------—--
1	1 т
П=-1 -7-Ф----------------->----------
I	1_ г ,
л=-2 1+----------
Zzv
п^-3 -Z-f--------#—--
Рис. 1.5. Система источников
изображения для тонкой плас-
тины с нижией проводящей гра-
ницей
обеспечивает выполнение на нижней проводящей границе гранич-
ного условия 17=0. Однако при этом нарушается требование ра-
венства нулю нормальной составляющей тока на верхней поверхно-
сти пластины. Чтобы выполнить граничное условие на верхней по-
верхности пластины, введем на расстоянии 2w выше пластины два
мнимых источника тока: —/ и I. При этом граничное условие на
верхней поверхности будет выполнено, но нарушится граничное
условие на нижней проводящей границе. Чтобы удовлетворить ус-
ловию на нижней границе, введем два мнимых источника / и —/
на расстоянии 3w от нижней поверхности. Очевидно, введение мни-
мых источников тока для выполнения граничных условий нужно
продолжать до бесконечности.
19
Значения потенциалов на измерительных зондах 2 и 3 можно
вычислить путем суммирования потенциалов, создаваемых в
ной точке каждым источником тока:
дан-
П= од
2(“1)4 ![s2+(2wh)2J-V2 - [(2s)2+(2wn)2]-i/2};
П —— 00
^(~l)n {[(2S)2 + (2wn)2]-1A_[S2_|_(2m)2J-l/2}>
В результате удельное сопротивление пластины
P==2nsg1(w/sXtr//).
Функция поправок gt(w/s) зависит только от отношения тол-
щины пластины w к расстоянию между зондами s:
Если w~^>s, то пластину можно считать образцом полубесконечно-
го объема; gi(w/s) = l. Значения функции gi(w/s) представлены
в табл. 1.4. При w;>5s функция gi(w/s) отличается от единицы
менее чем на 0,5%. С достаточной для практических целей точ-
ностью поправочную функцию можно принимать равной единице
при w^3s.
Таблица 1.4
tills	gl(w/s)	giM»	w)s	gdtuls}	
0,1	0,0000019	13,863	1,414	0,848	1,223
0,141	0,00018	9,704	2,0	0,983	1,094
0.2	0,00342	6,139	3,333	0,988	1,0228
0,333	0,0604	4,159	5,0	0,9948	1,007
0,5	0,228	2,78	10,0	0,9993	1,00045
1,0	0,683	1,504			
Аналогичным образом вычисляют функцию поправок для пла-
стины с двумя изолирующими границами (ее значения также при-
ведены в табл. 1.4):
График поправочной функции £2(u>/s) представлен на рис. 1.6.
При	ее значение близко к единице. По мере уменьшения
толщины слоя и достижения значения, примерно равного 4s, на
20
линиях тока начинает сказываться наличие нижней грани. В очень
тонких пластинах ток распределен практически однородно по
толщине, о чем свидетельствует линейная зависимость поправочной
функции от w/s в интервале значений от 0 до 0,4. В этом интерва-
ле поправочная функция стремится к значению (2In 2)-1tt»/s, так
nw U
что р= -- — , и не зависит от расстояния между зондами.
Реальные пластины имеют боковые грани, которые влияют на
распределение тока, и потому должны быть учтены соответствую-
щими поправочными функциями. Поправочные функции в ряде
случаев могут быть вычислены в ре-
зультате решения уравнения Лапласа
с соответствующими граничными усло-
виями на боковых поверхностях пла-
стин.
Двухслойная структура. Если допустить,
что тонкая пластина с удельным сопротивле-
нием pi находится в контакте с образцом по-
лубесконечного объема с удельным сопротив-
лением рг, то два рассмотренных ранее вари-
анта, различающиеся граничными условиями,
представляют собой предельные случаи с ну-
левым и бесконечно большим удельным сопро-
тивлением р2. В общем случае, когда рг имеет
некоторое конечное значение, удельное сопро-
тивление pi можно также выразить через по-
правочную функцию.
Рис. 1.6. Поправочная функ-
ция giitm/s) для пластины с
двумя изолирующими гра-
Чтобы найти решение этой задачи, необхо- иицами.
димо прежде всего знать распределение элек-
трического потенциала при протекании тока через точечный контакт в двухслой-
ной структуре, состоящей из полубесконечной подложки с удельным сопротив-
лением р2 и слоя толщиной w и удельным сопротивлением рь Можно показать,
что в предположении сферической симметрии распределение потенциала
U (г.
*) =
Л>1
2л
- + kn -г 4да2П2)~»/2
п-1
(1-7)
где £= (р2—pi)/(p2+pi).
Используя выражение (1.7) и принцип суперпозиции, .нетрудно получить реше-
ние задачи для четырех зондов. При этом удельное сопротивление слоя
С7
Pi = — 2nsg3(w/s, Л),
где
^3(w/s, Л) =
kn
kn
[4 + (2nw/s)2]1/2
Тонкий слой. Четырехзондовый метод можно использовать для
определения поверхностного сопротивления диффузионных, эпи-
таксиальных, ионно-легированных слоев и других тонких слоев.
21
Для получения аналитической зависимости удельного сопротив-
ления слоя от тока и напряжения рассмотрим бесконечный тонкий
слой, толщина которого много меньше расстояния между зондами:
u/<0,4s. При соблюдении этого соотношения можно считать, что
распределение тока и потенциала в слое двумерное. Тогда, учиты-
вая цилиндрическую симметрию распределения потенциала, полу-
чаем решение двумерного уравнения Лапласа
-,,. „	1 d I dU \ п
----—— |г—— )=0
г dr \ dr }
в виде
U (г)=С\ lnr-f-C2.
Константу интегрирования Ct найдем по напряженности электри-
ческого поля при некотором значении г.
Так как в более общем случае концентрация и подвижность
носителей заряда зависят от координаты у по толщине слоя, то
сила тока, протекающего через цилиндрическую поверхность ра-
диусом г,
/=2лг С ehQ(y)\>-n(y)S di/ = 2nr<Fan=2nr<^’p^1,	(1.8)
о
где По, Цл — концентрация и подвижность электронов; е — заряд
W
электрона; <з„~е ^п0(у)р.„(у)йу —поверхностная проводимость;
о
рп = стп~1 — поверхностное сопротивление, относящееся к слою тол-
щиной w, имеющему форму квадрата, Ом.
Объемное удельное сопротивление однородного образца связа-
но с поверхностным сопротивлением соотношением р=рпщ, а
удельная проводимость o=on/w. Значение удельной проводимо-
сти, вычисленное по этой формуле для слоя с неоднородным рас-
пределением концентрации носителей заряда, соответствует удель-
ной проводимости слоя, усредненной по его толщине. Согласно
(1.8), напряженность электрического поля <?Г=/рп/(2л). Тогда
С^-Ур^л); 4/(г)=-^1пг+С2.	(1.9)
Для системы, состоящей из двух источников тока / и —/, по-
тенциал в любой точке слоя
1п-^-,
2л rj
где л и гд— координаты точки, находящейся на расстоянии и и
Гд от токовых зондов 1 и 4.
Вычислив по (1.9) значения потенциалов зондов 2 и 3, созда-
ваемых положительным и отрицательным токами через зонды 1
22
(1.10)
(1.11)
и 4, определим поверхностное сопротивление слоя:
Р11=—	4,532-^- .
In 2 /14	Z14
Для однородного слоя
р=™ _^23_— 4 532а/^22-.
In 2 Z14	/14
Иногда удобно проводить измерения, пропуская ток через иную
пару зондов. В результате вычислений получают числовой коэф-
фициент, равный 21,84, если ток протекает через зонды 1 и 2 или
3 и 4, а измерение разности потенциалов производится на зондах
3 и 4 или I и 2, и равный 15,5, если ток протекает через зонды 1
и 3 или 2 и 4, а разность потенциалов измеряется на зондах 2 и 4
или / и 3. Формула (1.10) справедлива также и в том случае, если
изменить назначение зондов и измерять разность потенциалов на
зондах 1 и 4.
Для более толстых слоев или пластин, когда w/s>0,4, соотно-
шение (1.11) нужно уточнить с помощью поправочной функции
f(w/s), зависящей от толщины слоя ш:
P=PIIay=Yv/(®'/s)“3" ’
In z	/14
При малых значениях отношения w/s функция f (w/s) «1. Значения
функции f(w/s) приведены в табл. 1.5.
Таблица 1.5
w/s	К w/s)	।	w/s	И w/s)	W/S	f(w/s)
0,4	0,9995	0,8333	0,9600	1,4286	0,7938
0,5	0,9974	1,0	0,9214	1,6660	0,7225
0,6250	0,9898	1,25	0,8490	2,0	0,6336
0,7143	0,9798				
Для тонких слоев и пластин прямоугольной и круглой формы с
изолирующими границами также можно вычислить поправочные
функции, которые зависят от соотношения их размеров.
Для пластины прямоугольной формы при симметричном распо-
ложении зондов вдоль центральной линии, параллельной длинной
стороне прямоугольника, поверхностное сопротивление
pn=f(a/b, b/s)-^-,
•14
где а — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.
При малых значениях b/s поверхностное сопротивление
6 х -и.* Utz___ь U2з
S /14
г .	. Uоз
P«= /(a/*)—2i-
S	Il4
23
Для пластины круглой формы при симметричном расположении
системы зондов
pn=/(rf/s)-y^- .
'14
где d — диаметр образца.
Значения поправочных функций для прямоугольных и круглых
образцов представлены в табл, 1.6.
Таблица 1.6
b/s d/s	tWs)	/(a/i; b]s)			
		a/b—1	a/b=2	a/b-3	a/t>»4
1,0 1,25 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0	2,266	2,457	1,4788 1,7196 1,9454 2,3532 2,7000	0,9988 1,2467 1,4893 1,7238 1,9475 2,3541 2,7005	0,9994 1,2248 1,4893 1,7238 1,9475 2,3541 2,7005
4,0	2,929	3,114	3,2246	3,2248	3,2248
5,0	3,362	3,51	3,5749	3,575	3,575
7,5	3,927	4,0095	4,0361	4,0362	4,0362
10,0	4,172	4,2209	4,2357	4,2357	4,2357
15,0	4,365	4,3882	4,2947	4,3947	4,3947
20,0	4,436	4,4516	4,4553	4,4553	4,4553
40,0	4,508	4,512	4,5129	4,5129	4,5129
оо	4,532	4,532	4,5324	4,5325	4,5324
Функции поправок f(a/b, b/s) и f(d/s) совместно с функцией
f(w/s) можно использовать для определения объемного сопротивле-
ния однородного тонкого слоя или пластины толщиной w, имею-
щей правильную геометрическую форму.
При расположении зондов в вершинах квадрата поверхностное
сопротивление бесконечного слоя
2л U
Рп ~ In 2 1
(1-12)
Это выражение отличается от (1.10) коэффициентом 2. Если
слой имеет форму квадрата или круглую форму, то в (1.12) необ-
ходимо ввести поправочную функцию, учитывающую конечные
геометрические размеры слоя и зависящую от отношения размера
стороны квадрата или диаметра круглого образца к расстоянию
между зондами.
24
§ 1.4. Измерение удельного сопротивления
диффузионных, эпитаксиальных
и ионно-легированных слоев
четырехзондовым методом
Четырехзондовый метод применяют для измерения удельного
сопротивления тонких слоев на подложках, отличающихся от
слоя значением удельного сопротивления или типом электропро-
водности. Обычно проводят измерения не только поверхностного
сопротивления, характеризующего слой в целом, но и распределе-
ние удельного сопротивления по толщине слоя, которое непосред-
ственно связано с характером распределения легирующей приме-
си, т. е. профилем легирования. В наиболее простом случае слой
расположен на изолирующей или высокоомной подложке. Приме-
ром такой структуры может служить слой кремния на сапфировой
подложке, т. е. структура КНС. Если слой имеет противоположный
по сравнению с подложкой тип электропроводности, то образую-
щийся на границе между ними р-п-переход изолирует слой и под-
ложку друг от друга. Тем не менее при измерении слоев, изоли-
рованных р-п-переходом, возникает ряд трудностей.
В том случае, когда удельная проводимость подложки больше
удельной проводимости тонкого слоя, т. е. для структур п-п+ и
р-р+, возможности четырехзондового метода ограничены вследст-
вие того, что для очень тонких слоев электрический ток практиче-
ски полностью течет по подложке, а сопротивление слоя не влияет
на результаты измерений.
При проведении измерений на двухслойных структурах поверх-
ностное сопротивление любого слоя можно определить, если из-
вестно поверхностное сопротивление другого слоя. Считая задачу
двумерной, т. е. полагая, что толщина двухслойной структуры
w—wi + w2 много меньше расстояния между зондами s, найдем
соотношение между поверхностными сопротивлениями слоев pni
и рП2- Очевидно, что ток /, протекающий через зонды 1 и 4, равен
сумме токов h и /2, текущих по каждому из слоев, а распределение
потенциала одинаково, т. е.
/=/,+4;	(1.13)
=/2ри2—-	(1-14)
rt	п
Согласно (1.13) и (1.14),	1 =4,532 —. С помощью
\ Pi Рг /	I
этого соотношения можно, например, определять параметры эпи-
таксиальных слоев, выращенных на подложках того же типа
электропроводности, что и тип электропроводности эпитаксиаль-
ной пленки, т. е. структур типа п+-п, р+-р Данная методика боль-
ше подходит для нахождения удельного сопротивления более низ-
коомного слоя структуры.
25
Последовательное удаление слоев. Обычный способ измерения
распределения удельного сопротивления по толщине слоя основан
на последовательном удалении с исследуемого образца очень тон-
ких параллельных слоев. Рассмотрим этот способ применительно
к диффузионному слою, изолированному р-л-переходом (рис. 1.7).
Пусть удельная проводимость слоя зависит от координаты у. На
слое выполнены измерения поверхностной проводимости четырех-
зондовым методом:
W
4,53 U £ J
Часть слоя, толщина которого Дщ, удаляют с помощью меха-
нической или химической обработки и снова проводят измерение
поверхностной проводимости:
W—Aw
f епо(у)\>.п(у)6у.
4,53 U2	J
О
Согласно результатам этих измерений
поверхностная проводимость удаленно-
го слоя
Рис. 1.7. Модель диффузионно-
го слоя, изолированного р-л-пе-
реходом
W
Л°П1 = ОП1—^.2= J еп0(у)\>.п(у)Ау.
ZV--Aw
При необходимости конечные размеры
и геометрическая форма образца мо-
гут быть учтены введением соответст-
вующей поправочной функции. Средняя удельная проводимость
удаленного слоя O|= (oni— чщ)	Проводя измерения
поверхностной проводимости после каждой последующей операции
удаления слоя толщиной Ди/, можно определить зависимость о(у).
Ее можно вычислить по углу наклона зависимости оп(у):
" --^- — з(у). Однако этот способ чувствителен к погрешностям
dy
измерения поверхностной проводимости и координаты у. Поэтому
используют следующий прием. Сначала наносят эксперименталь-
ные точки в координатах 1поп(р) от у, затем проводят плавную
кривую по методу наименьших квадратов и вычисляют а (у):
о(р)=ап(р)-------— . Гак как угол наклона логарифмической за-
d'/
висимости изменяется незначительно, то удельная проводимость
о(р) определяется в большей степени значением аГ1(у); следова-
тельно, этот способ менее чувствителен к разбросу эксперимен-
тальных данных.
Описанная методика используется для исследования слоев на
изолирующих подложках и слоев, изолированных р-л-переходом.
26
как с целью нахождения распределения концентрации примеси по
глубине слоя, так и при изучении процессов диффузии примесей в
полупроводниковые материалы и расчета их термодинамических
характеристик.
Применение четырехзондового метода для измерения поверхно-
стного сопротивления слоев, изолированных р-п-шереходом, основа-
но на предположении, что в процессе измерений происходит самоза-
пирание р-и-перехода. С увеличением приложенного к зондам на-
пряжения, а следовательно, и тока возрастает обратное смещение
р-п-перехода и происходит расширение области пространственного
заряда. Этот эффект уменьшает толщину слоя тем значительнее,
чем выше удельное сопротивление слоя по сравнению с подложкой.
На тонких и высокоомных эпитаксиальных слоях систематическая
погрешность, обусловленная уменьшением толщины слоя, ведет к
завышению измеренного значения удельного сопротивления слоя на
10—20%. Изолирующие свойства р-п-перехода сохраняются лишь
до некоторых допустимых значений тока через зонды, после чего
возникают токи утечки через р-«-переход. Шунтирующее действие
подложки может проявиться при прокалывании металлическим зон-
дом тонкого эпитаксиального слоя. Чтобы избежать погрешностей
измерения из-за токов утечки, рекомендуется проводить измерения
при таких токах через измерительные зонды, при которых значение
измеряемого поверхностного сопротивления не зависит от них.
Влияние поверхностной проводимости. При измерении удельно-
го сопротивления и других параметров тонких полупроводниковых
слоев, толщина которых соизмерима с дебаевской длиной экрани-
рования, необходимо учитывать наличие на их поверхности обед-
ненных или обогащенных слоев, удельная проводимость которых
отличается от удельной проводимости объема полупроводника (см.
§ 5.1). Возникновение этих слоев обусловлено существованием
вблизи поверхности полупроводника области пространственного
заряда, которая определяется приповерхностным изгибом энерге-
тических зон и характеризуется положением уровня Ферми на по-
верхности и в объеме полупроводника. Проводимость слоя объем-
ного заряда вдоль поверхности называют поверхностной проводи-
мостью Аоп. Поверхностная проводимость обусловлена избыточ-
ной (по сравнению с объемной) концентрацией электронов Afi(y)
и дырок Ар (у) в приповерхностном слое:
W	1£J
Дап=е р.„(р)Дп(р)с1р+<? Рр(У) bp(y)dy—epnilbN +^рпДР,
о	о
w	w
где Д7У= j Д«(р)бу;Д/3=|йр(у)<\у —избыточные поверхностные
6	о
концентрации электронов и дырок, которые могут иметь как поло-
жительные, так и отрицательные значения; п и цр п — поверхност-
ные подвижности электронов и дырок. Поверхностный потенциал,
27
а следовательно, и избыточная поверхностная проводимость изме-
няются в широких пределах в зависимости от характера обработки
поверхности и состава окружающей среды вследствие химического
и физического взаимодействия поверхности слоя с окружающей
атмосферой, а также процессов окисления поверхности. Изменение
состава окружающей атмосферы, например после извлечения эпи-
таксиальной структуры из реактора технологической установки,
ведет к изменению поверхностного потенциала во времени и появ-
лению двух составляющих погрешности: систематической, вызван-
ной закономерным изменением поверхностного потенциала, и слу-
чайной, связанной с неконтролируемыми изменениями условий
внешней среды.
Как известно, поверхностный потенциал реальной поверхности
полупроводников мало зависит от типа электропроводности и кон-
центрации легирующей примеси и определяется химическим соста-
вом окружающей среды и характером обработки поверхности.
Поэтому с течением времени поверхностный потенциал стабилизи-
руется. Например, как показывают результаты исследований, на
воздухе в результате роста естественного слоя оксида на свежей
поверхности эпитаксиального слоя кремния поверхностный потен-
циал изменяется: для кремния л-типа первоначальный изгиб зон,
не превышающий 4kT, после длительной выдержки на воздухе
увеличивается до (18—2G)kT\ толщина обедненной области про-
странственного заряда приближается к своему максимальному
значению; для кремния p-типа изгиб зон от (22—25)kT, что соот-
ветствует сильному обеднению приповерхностной области основны-
ми носителями заряда, уменьшается до значения, не превышающе-
го 2kT. Таким образом, составляющая систематической погрешно-
сти при измерении удельного сопротивления после длительной вы-
держки эпитаксиальной структуры на воздухе, обусловленная
влиянием избыточной поверхностной проводимости, невелика для
кремния p-типа и возрастает для кремния «-типа. Рассмотренный
пример относится к кремнию л-типа с р=0,1~16 Ом-см и р-типа
с р<50 Ом- см.
Количественные оценки максимально возможной систематиче-
ской погрешности можно осуществить на основе допущения, что
ширина области обеднения максимальна, а проводимость ее равна
нулю. Если зависимость максимальной ширины области простран-
ственного заряда wm от удельной проводимости ст0 известна из
теоретических расчетов, то истинное значение удельной проводимо-
сти
<’0 = °ПИ/(«’—И'т).
где опи — измеренное значение поверхностной проводимости слоя
толщиной w. Тогда измеренное значение удельной проводимости
слоя
=	аи/а0=1-™тМ	(1.15)
28
Используя теоретическую зависимость wm(co), в соответствии
с (1.15) можно оценить ожидаемую систематическую погрешность.
Один из способов снижения систематической погрешности со-
стоит в создании на поверхности эпитаксиальной структуры таких
условий, при которых изгиб зон незначителен. В ряде случаев
этого можно достичь с помощью специальной химической обработ-
ки поверхности. Например, для кремния n-типа измерение реко-
мендуется проводить непосредственно после освежения поверхно-
сти в плавиковой кислоте, включая операции промывки в деиони-
зованной воде и сушки. Такая химическая обработка поверхности
кремния п-типа с р< 16 Ом-см устраняет приповерхностный изгиб
зон. Однако .и этот способ в полной мере не устраняет трудностей
при контроле параметров тонких эпитаксиальных слоев. Случай-
ная погрешность измерений составляет ±10% при доверительной
вероятности 0,95 для слоев с поверхностным сопротивлением мень-
ше 10 кОм, и она резко возрастает при увеличении поверхностного
сопротивления.
Способы удаления слоев. Наиболее распространенными мето-
дами последовательного удаления слоев являются химическое
травление, механическая вибрационная полировка, анодирование
и ионное травление.
Химическое травление осуществляется в подходящем для дан-
ного полупроводникового материала травителе в течение фиксиро-
ванного интервала времени. Этот метод успешно используется для
легированного арсенида галлия. К недостаткам химического трав-
ления относится зависимость скорости травления от температуры,
ориентации образца и нарушений кристаллической структуры
ионно-легироваНных слоев.
Механическая вибрационная полировка применяется для обра-
ботки ряда полупроводниковых материалов. Однако наиболее ши-
роко на практике используется анодирование, с помощью которого,
удаление тонких параллельных слоев происходит в две стадии. На
первой стадии образуется анодный оксид, толщина которого конт-
ролируется разностью потенциалов между образцом и электроли-
тической ванной, после чего оксид подвергают травлению.
Удаление тонких слоев с помощью анодирования используют
для определения профиля легирования диффузионных, эпитакси-
альных и ионно-легированных слоев в кремнии, арсениде галлия,
антимониде индия, фосфиде галлия и других материалах. На точ-
ность расчета профиля легирования влияет взаимосвязь между
толщинами удаленного оксида и удаляемого слоя полупроводника..
Эта взаимосвязь зависит от состава оксида.
Контроль воспроизводимости слоев по толщине осуществляют
с помощью интерферометрических и эллипсометрических измере-
ний. Быстрое измерение толщины отдельных слоев возможно с по-
мощью резерфордовского рассеяния, а также путем измерения
наведенной активности слоев, подвергнутых активации нейтро-
нами.
29
Недостатком анодирования является его многоступенчатость
(перемещение образца в травитель, промежуточное промывание и
сушка, перемещение в измерительное оборудование). Некоторых
из этих операций можно избежать, применяя ионное травление.
В основе ионного травления лежит бомбардировка образца
ионами газов, например азота или кислорода. Процесс обеспечи-
вает необходимую скорость удаления материала и применим к
большинству полупроводниковых материалов. Для обеспечения
постоянства скорости травления необходима стабильность источ-
ника ионов. Основной недостаток метода состоит в том, что на по-
верхности образца в результате бомбардировки быстро образуется
разрушенный слой. Однако потенциальная универсальность метода
в сочетании с удобством и большой скоростью проведения изме-
рений делает его перспективным для более широкого использо-
вания.
Диффузионный слой, изолированный р-л-переходом. Опреде-
ление характеристик диффузионных слоев кремния, созданных на
подложках с противоположным типом электропроводности, произ-
водят непосредственно по результатам измерения их поверхност-
ного сопротивления четырехзондовым методом. В основе этого ме-
тода лежит эмпирическая зависимость удельного сопротивления
кремния от концентрации ионов примеси р(М), рассчитанная с
использованием огромного количества экспериментальных данных
по измерению концентрации и подвижности носителей заряда. Эта
зависимость в широком интервале концентраций примесей (1014—
1020 см-3) имеет вид
p-i(^)=B^,	(1.16)
что соответствует в пределах 10% экспериментальным значениям
удельного сопротивления. На рис. 1.8 приведены эмпирические за-
висимости удельного сопротивления кремния п- и p-типа электро-
проводности от концентрации носителей заряда.
Для различных интервалов концентрации донорной или акцеп-
торной примеси константа В и показатель степени а имеют свои
значения. Эмпирическая зависимость (1.16) относится к кремнию
л-типа, легированному мышьяком, фосфором и сурьмой, и к крем-
нию p-типа с примесями алюминия, бора и галлия.
Если диффузионный слой создан на подложке с целью образо-
вания р-л-перехода, то такой слой характеризуют четырьмя пара-
метрами: поверхностным сопротивлением р„, поверхностной кон-
центрацией примеси Nn, глубиной образования р-и-перехода w и
концентрацией примеси Na в исходном материале, которая опре-
деляет степень компенсации диффундирующей примеси. В зависи-
мости от источника диффундирующей примеси ее распределение
по толщине диффузионного слоя, т. е. профиль легирования, опре-
деляется дополнительной функцией ошибок
^dW=^„erfc(z//2/D?)	(1.17)
30
или распределением Гаусса
Nd (у)= Nn exp [ —t/2/(4£>/)],
(1.18)
где у, D и t — координата по глубине диффузионного слоя, коэф-
фициент и время диффузии. Распределение примеси, описываемое
(1.17), справедливо, когда диффузия происходит с поверхности,
где концентрация примеси поддерживается постоянной. Распреде-
ление (1.18) соответствует случаю, когда полное количество диф-
фундирующей примеси постоянно.
Рис. 1.8. Эмпирические зависи-
мости удельного сопротивления
кремния электропроводности
п- и p-типа от концентрации но-
сителей заряда
Рис. 1.9. Распределение приме-
си в образце
Средняя удельная проводимость диффузионного слоя, изолиро-
ванного от подложки р-п-переходом,
0=— [e^n(y)x[Nd(y)~Na]6y,	(1.19)
W I
о
где Nd(y)—Na — концентрация нескомпенсированной примеси;
у — доля нескомпенсированной диффундировавшей примеси, нахо-
дящейся в ионизированном состоянии; y[Nd(y)—Na] — концентра-
ция носителей заряда. Распределение примеси в образце показано
на рис. 1.9. В пределах диффузионного слоя концентрация примеси
представляет собой сумму Nd(y) +Na; концентрация ионов равна
Y[Nd(y) +Na], где у' — доля примесей, находящихся в ионизирован-
ном состоянии. Для концентрации примеси, равной Nd(y) +Na,
должно в соответствии с эмпирической зависимостью выполняться
соотношение
|7Vd(y)+ ATJ = В [Nd(f/)+7Va]“.
31
Подставляя pn(r/) в (1.19), получим соотношение, связывающее
среднюю проводимость диффузионного слоя
«=— ((Y/Y')	(1.20)
о
с диффузионным профилем Na(y) и поверхностной концентрацией
примеси Мп- Отношение у/у' близко к единице во всем диффузион-
ном слое, за исключением узкой области в непосредственной бли-
зости к р-п-переходу, где Nd(y) и Na соизмеримы. Поэтому в (1.20)
можно положить у/у'=1.
Очевидно, средняя проводимость слоя, ограниченного с одной
стороны р-л-переходом, а с другой — плоскостью, параллельной
ему и отстоящей на расстоянии yt от внешней поверхности диффу-
зионного слоя,
W
0=—^— [ [Л^(4/)-М.] [Mr(1.21)
W — Ух J
У>	‘
Графики зависимости концентрации примеси на поверхности
диффузионного слоя от средней проводимости слоя, рассчитанные
по (1.20) я (1-21) при различных значениях параметра yjw и
фиксированных значениях концентрации Na, нашли широко? при-
менение при обработке результатов измерений на диффузионных
слоях. Эти зависимости называют эмпирическими кривыми Ир-
вина.
§ 1.5. Метод сопротивления растекания
Теория метода. Метод сопротивления растекания точечного
контакта основан на измерении сопротивления структуры, состоя-
щей из полупроводникового образца и металлического зонда, уста-
новленного на его плоской поверхности. Если металлический зонд
имеет с поверхностью полупроводника омический контакт малой
площади, то сопротивление структуры, измеряемое при пропуска-
нии тока через этот контакт, называют сопротивлением растека-
ния. Предполагается, что второй контакт к полупроводнику пред-
ставляет собой контакт большой площади с пренебрежимо малым
сопротивлением, расположенный на большом расстоянии от метал-
лического зонда.
Метод сопротивления растекания получил широкое распростра-
нение для измерения удельного сопротивления различных полу
проводниковых материалов в широком диапазоне измеряемых
значений при очень высокой локальности измерений, для контроля
эпитаксиальных структур, а также для определения распределения
удельного сопротивления по толщине диффузионных и ионно-леги-
рованных слоев.
32
Структура, которая используется в методе сопротивления расте-
кания, была рассмотрена в § 1.2; ее модель представлена на
рис. 1.3.
Как следует из закона распределения электрического потен-
циала в образце полубесконечного объема (1.2), сопротивление
растекания
RV=UII=р/(2лг0),
где го — радиус полусферического металлического контакта.
Если допустить, что оксидный слой на поверхности образца и
приповерхностный слой полупроводника существенно не влияют на
Рис. 1.10. Двухзондовая (а) и трехзондовая (б) схе-
мы измерения сопротивления растекания
сопротивление структуры, то его можно считать равным сопротив-
лению растекания /?р.
Действительную геометрическую форму и размеры контакта
между металлическим зондом и плоской поверхностью полупро-
водника установить трудно вследствие механической деформации
того и другого материала. Они зависят от радиуса контакта, ме-
ханических свойств материалов и силы, приложенной к зонду.
В отличие от четырехзондового метода обычно считают, что
по форме контакт представляет собой плоский круг некоторого
радиуса, причем его радиус может быть рассчитан по известным
значениям модулей Юнга обоих материалов и приложенной силе.
Закон распределения электрического потенциала в полубеско-
нечном однородном образце с круглым плоским омическим контак-
том радиусом го можно найти решив уравнение Лапласа, анало-
гично тому, как это было сделано для структуры с полусфериче-
ским контактом. Сопротивление растекания такой структуры
^р=Р/(4г0).	(1.22)
На практике для измерения сопротивления растекания исполь-
зуют двухзондовую схему измерений (рис. 1.10, а). Если распре-
деление потенциала в образце — известная функция U(r), то
R
1 Аг 2/j2	/12
2—1438
33
где s— расстояние между зондами; ±U(r0)—потенциалы зон-
дов 1 и 2. При s»r0 U(s) -+0, Rp='Ui2/21i2.
Кроме того, применяется трехзондовая схема измерений (рис.
1.10, б). В этом случае ток пропускают через зонды 2 и 3, а раз-
ность потенциалов измеряют между зондами 1 и 2. Сопротивление
„ r. U2l . U(s)  U (2s) гт
растекания зонда 2A’p=-£i--|--— 4-------. При использовании
^23	Л>3 Ija
трехзондовой схемы измерения не требуется, чтобы зонды были
идентичными. Существует, однако, несколько причин, по которым
сопротивление реальной структуры металл — полупроводник мо-
жет отличаться от сопротивления растекания идеализированной
структуры. Из-за разности работ выхода полупроводника и метал-
ла в приконтактной области полупроводника существует обеднен-
ный или обогащенный слой, который влияет на сопротивление
структуры. Обычно контакт металл — полупроводник неомичен, и
при протекании через него электрического тока сопротивление
контакта возрастает за счет сопротивления обратносмещенного
запирающего слоя или уменьшается вследствие инжекции носите-
лей заряда при прямом смещении. Из-за малой площади контакта
электрическое поле в приконтактной области может быть доста-
точно большим, что приводит к уменьшению подвижности носите-
лей заряда. По этой же причине может происходить заметный элек-
трический нагрев приконтактной области, сопровождающийся
изменением удельного сопротивления полупроводника и образова-
нием термо-ЭДС. Перечисленные явления нарушают основные
предположения об однородности полупроводника и омичности кон-
такта, с учетом которых проведено вычисление сопротивления
растекания. Поэтому трудно ожидать, что реальное сопротивление
растекания структуры будет достаточно точно соответствовать
значению (1-22).
Часть отмеченных явлений можно свести к минимуму, если про-
водить измерения при малых токах (10~2 и 10~ 7 А) и малых (мень-
ших kTle) приложенных напряжениях, т. е. в той области контак-
та, где она почти линейна. Как показывают расчеты, для кремния
при радиусе контакта 4 мкм и напряжении менее 15 мВ нагрев
контакта не превосходит 0,1°С, а напряженность электрического
поля <§Г<103 В/см-1, что ниже того значения, при котором сущест-
венны зависимости pn(<F) и jip(^). Влияние приповерхностного
слоя не устраняется уменьшением приложенного напряжения, и
потому измеряемое сопротивление структуры Ru отличается от
(1.22); оно может быть записано через эмпирический коэффициент
k(p) в виде
Яи=*(р)р/(4г).	(1.23)
Это обстоятельство, а также значительные трудности, которые
возникают при определении действительного радиуса контакта,
приводят к необходимости предварительной калибровки сопротив-
ления растекания по эталонным образцам для получения зависи-
34
мости р(/?и)- Для того чтобы результаты измерений были воспро-
изводимыми, необходимо установить определенные стандарты на
качество поверхности, на которой производятся измерения, а также
на конструкцию и размеры зонда, что обеспечивало бы воспроизво-
димую площадь контакта.
В большинстве случаев используют зонды из твердых материа-
лов с полусферическими наконечниками из осмия, карбида воль-
фрама, сплавов рутения. Радиус кривизны типичных полусфериче-
ских наконечников зондов составляет примерно 25 мкм, а радиус
контакта — около 4 мкм. Поверхность наконечников должна
иметь высокий класс точности обработки. Для получения воспро-
изводимых свойств контакта к зондам прикладывают усилия до
102—103 Н-см~2, причем нагрузка на зонд должна быть строго
фиксирована. При таких давлениях острие зонда прокалывает
поверхностный слой оксида, в результате чего в точке соприкосно-
вения создается удовлетворительный омический контакт. Конструк-
ция манипулятора должна обеспечить плавное перемещение зон-
дов строго по вертикали, чтобы предотвратить механическое по-
вреждение поверхности полупроводника.
Так как сопротивление растекания определяется в основном
приконтактной областью толщиной в несколько г0, то методу при-
суща высокая локальность измерений. Пространственная разре-
шающая способность метода соответствует диаметру контакта,
т. е. составляет примерно 10 мкм. Объем области, где определяется
удельное сопротивление, может быть равен 10~10 см-3. Это позво-
ляет применять рассматриваемый метод для • исследования ра-
диальных флуктуаций удельного сопротивления в пластинах крем-
ния.
Составляющие погрешности измерений обусловлены невоспро-
изводимостью размеров контакта зонд — полупроводник, влиянием
сопротивления контакта за счет присутствия оксидного слоя, на-
гревом приконтактной области и снижением подвижности носите-
лей заряда в сильных электрических полях. При больших значе-
ниях удельного сопротивления заметное влияние оказывают воз-
никающая на поверхности область пространственного заряда и
нестабильность во времени поверхностного потенциала. Источники
погрешности из-за невоспроизводимости размеров контакта можно
ограничить использованием твердого материала для зонда, при-
работкой острия зонда к поверхности полупроводника путем его
многократного опускания, созданием нагрузки на зонд, а также
тщательной обработкой поверхности измеряемого образца.
Для различных полупроводниковых материалов разработаны
рекомендации по режимам обработки поверхности при подготовке
образцов для калибровки и рабочих измерений. При соблюдении
всех рекомендаций случайная погрешность измерения не превы-
шает 3—5% при доверительной вероятности 0,95.
Измерение распределения удельного сопротивления. Основная
область применения метода сопротивления растекания — измере-
2*	35
ние удельного сопротивления по толщине диффузионных, эпитак-
сиальных и ионно-легированных слоев. Измерения проводят путем
последовательного удаления тонких параллельных слоев или на
косом шлифе, изготовленном на основе исследуемой эпитаксиаль-
ной или диффузионной структуры.
Выполняя измерения сопротивления растекания вдоль косого
шлифа, получают зависимость /?и(х), которую затем преобразуют
в зависимость причем толщина слоя у связана следующим
соотношением с координатой точки х: z/=xsina, где а — угол
между плоскостью косого шлифа и поверхностью структуры. Для
получения необходимой разрешающей способности по глубине
используют косой шлиф с малым углом. Для точного вычисления
толщины слоя по измеренной горизонтальной координате нужно,
чтобы поверхность подложки была максимально плоской. Для
глубоких диффузионных профилей используют клин с отношением
сторон 1: 100. Однако для мелких диффузионных профилей или
ионно-легированных слоев это отношение должно составлять
1: 1000. В этом случае достигается разрешение по глубине 250 А.
При вычислении удельного сопротивления р(у) по зависимости
Rn(y) необходимо учитывать неоднородное распределение приме-
си в слое и влияние подложки на характер растекания тока. Это
влияние учитывают введением в (1.20) поправочной функции,
рассчитываемой теоретически. Для тонких слоев на изолирующей
подложке или тонких слоев, изолированных р-п-переходом, на
значение Ru влияет сопротивление слоя между зондом и вторым
электродом, которое возрастает по мере уменьшения толщины
слоя. Для слоев на подложках с высокой удельной проводимостью,
напротив, измеряемое сопротивление стремится к сопротивлению
цилиндрической области слоя между зондом и подложкой.
Поправочная функция зависит от вида зависимости р(у) в структуре. Она
связывает сопротивление растекания Ии, измеренное иа образце с неоднородным
распределением удельного сопротивления, с сопротивлением растекания однород-
ного образца полубесконечиого объема. Вычисление поправочной функции пред-
ставляет собой довольно сложную математическую задачу и основывается на оп-
ределенной модели структуры. В простом случае слой с неоднородным распреде-
лением удельного сопротивления представляют в виде однородного слоя той же
толщины, а всю структуру — в виде двухслойной структуры (рис. 1.11). На слое
толщиной w с удельной проводимостью О| расположен омический контакт радиу-
сом Го- Через контакт протекает ток /. Второй слой — подложка — имеет удельную
проводимость аг, тот же тип электропроводности и достаточную толщину, чтобы
его можно было считать слоем полубесконечиого объема. Распределение электри-
ческого потенциала в верхнем слое (Див подложке t/2 удовлетворяет уравнению
Лапласа. Граничные условия следующие: на металлическом контакте потенциал
постоянен; иа верхней поверхности структуры нормальная составляющая тока
равна нулю; в плоскости контакта слоя и подложки нормальная составляющая
тока и потенциал изменяются непрерывно. Эти условия соответствуют предполо-
жению об однородности свойств слоя и подложки и отсутствии объемных заря-
дов на их границе. Второе предположение не является физически оправданным,
однако учет объемного заряда ведет к такому усложнению задачи, что им
обычно пренебрегают. Решение уравнения Лапласа для распределения потенциа-
лов (7| и U? позволяет вычислить сопротивление растекания контакта. По ре-
зультатам вычислений на основе описанной модели, которую называют одно-
36
слойиой моделью или однослойной аппроксимацией (см. рис. 1.11), построена
кривая иа рис. 1.12. На графике рис. 1.12 показана зависимость 4го01Лн от отноше-
ния ш/г0 при различных значениях параметра k= (oi—a2)/(Oi + a2), где О] — из-
меряемая величина; о2 — удельная проводимость подложки, т. е. известная ве-
личина. По существу, иа рис. 1.12 представлена поправочная функция f(k, w/r0),
Pl
если ее ввести с помощью соотношения /?и = ~;---/(*, w/ro)- При й=0, т. е.
4го
в случае Oi = a2, имеем однородный образец полубесконечиого объема, для кото-
Рис. 1.11. Однослойная
модель неоднородного
образца
Рис. 1.12. Зависимость 4r0<3xRu от
w/r0 при различных значениях па-
раметра fe=(oi—a2)/(ai+o2)
рого /(О, w/r0) = l. Из рис. 1.12 следует, что если r0>ui, а удельные проводимости
слоя и подложки существенно различаются, то поправочная функция значитель-
но отличается от единицы (тем больше, чем выше удельная проводимость под-
ложки). Последнее обстоятельство наиболее важно при измерении иа косом шли-
фе вблизи поверхности раздела слой — подложка. Если радиус контакта мал по
сравнению с толщиной слоя, то поправочная функция близка к единице при лю-
бых значениях а, и а2.
Несмотря на усложнение метода сопротивления растекания за
счет введения поправочной функции и необходимости проведения
расчетов на ЭВМ, он наиболее удобен для измерения удельного
сопротивления по толщине слоя из-за отсутствия существенных ог-
раничений как на толщину, так и на удельное сопротивление. Ме-
тод успешно применяется для измерений на эпитаксиальных слоях
кремния и арсенида галлия, для чего создано соответствующее про-
мышленное оборудование. Наибольшие составляющие погрешности
измерений связаны с плохой воспроизводимостью площади контак-
та, неомичностью контакта, влиянием приповерхностной области
пространственного заряда, что зависит от качества обработки по-
верхности полупроводника.
§ 1.6. Метод Ван-дер-Пау
и двухкомбинационный четырехзондовый метод
Метод Ван-дер-Пау. Удельное сопротивление образцов правиль-
ной геометрической формы, как отмечалось, можно рассчитать, вво-
дя поправочные функции, учитывающие геометрическую форму и
37
соотношение размеров образца. В общем случае для пластины про-
извольной геометрической формы расчет удельного сопротивления
возможен при использовании видоизмененного четырехзондового
метода измерения. В соответствии с этим методом по периметру
плоской пластины вдоль образующих боковой поверхности разме-
щают контакты 1—4 (рис. 1.13). Сначала пропускают ток через
контакты 1 и 4, измеряют разность потенциалов между зондами 2
Рис. 1.13. Схема раз-
мещения контактных
зондов прн измерении
удельного сопротивле-
ния пластины произ-
вольной геометриче-
ской формы
Рис. 1.14. Система зон-
дов на полуплоскости
и 3 и вычисляют сопротивление Ri=Uzi/Iii', Затем пропускают ток
через контакты 1 и 2 и по разности потенциалов между зондами 4
и / находят сопротивление /?2 = (Аз//(2. Эти измерения позволяют
рассчитать удельное сопротивление пластины.
Чтобы получить аналитическое выражение, связывающее удель-
ное сопротивление образца с измеряемыми величинами, рассмот-
рим случай пластины в виде полуплоскости. Пусть на боковой по-
верхности пластины находятся контакты 1—4. Через контакты 1 и 4
протекает ток 1ц (рис. 1.14). Воспользовавшись распределением
потенциала на плоскости, которое для системы двух источников
тока соответствует выражению (1.9), вычислим потенциалы кон-
тактов 2 и 3:
Z72==£h₽ in	.
KW	51
Z73 = 21iLln—.
KW «1 + S2
Сопротивление
==£^£1=^ln
/14	nw
(Si 4- «2) (s2 + 5з)
(1.24)
S1S3
Аналогично,
__ U* — Uj    Р |п $2 (S1 + $2 + S3)
*Г2	nw («1 + S2) («2 + S3)
Из соотношений (1.24) и (1.25) получим равенство
-TW D
е р 1 -|- е р *== 1.
(1.25)
(1.26)
Представим сопротивления /?t и /?2 следующим образом:
Ri=0,5 [(/?j + R2)+(/?!- /?2)],
[(^1 ~Ь R?)— (^?i — ^г)]-
Уравнение (1.26) примет вид
ехр ( — nw	с h ( tiw	~	.	-	(1.27)
\	2р /	\ 2р j 2
Пусть
где функция f зависит от сопротивлений /?t и /?3. Тогда выражение
(1.27) запишем в виде
( _ ln2^ ch Г (^1/^2)-1 1п2 1 = _1_
\	/ 7 L (Я1/Я2) +1	/1	2
(1.29)
Из (1.29) следует, что функция f зависит только от отношения
R1/R2. Согласно (1.28), удельное сопротивление
» A±&/(W
In Z Z
(1.30)
График поправочной функции f(Ri/Ri), вычисленный по (1.29),
представлен на рис. 1.15.
С помощью теории конформных преобразований доказано, что
соотношение (1.26), а следовательно, и (1.29) справедливы для
плоской фигуры произвольной геометрической формы. Таким обра-
зом, соотношение (1.30) характеризует удельное сопротивление
пластины произвольной формы. Описанный метод известен в лите-
ратуре как метод Ван-дер-Пау. Этот метод можно применять для
измерения удельного сопротивления круглых, прямоугольных и
квадратных пластин. При симметричном расположении измеритель-
ных контактов по периферии пластины сопротивления Rt и /?2 оди-
наковы: Ri — R2=R, а функция f (R1/R2) — 1. Тогда р=4,532/?=
= 4,532(7/7 и для определения р достаточно одного измерения. Од-
нако из-за неточности в расположении зондов сопротивления Rt и
R2 могут несколько различаться между собой. Функцию f(/?i/#2)
при RJR2~ 1 можно аппроксимировать следующим образом:
f (р /р )== ] _Z^i-^2 У In 2  / /?! - /?2 УГ(1п2)2  (|п2р-1
\ /?1 Ь R2 / 2	\7?i+7?2/l 4	12J
39
Если отношение сопротивлений отличается от единицы не бо-
лее чем на 10%, то поправочная функция с точностью 0,1% может
быть принята равной единице.
Метод позволяет измерять удельное сопротивление тонких пла-
стин и слоев с высокой точностью. Погрешность измерений, однако,
быстро возрастает, если контакт занимает на боковой поверхности
некоторую протяженную область или расположен не только на бо-
ковой поверхности, но частично и на поверхности пластины. Для
уменьшения этой погрешности используют образцы специальной
геометрической формы. Их можно разделить на две группы. К од-
ной группе (рис. 1.16, а, б) относятся образцы в форме клеверного
листа, т. е. имеющие такую геометрическую форму, при которой
протяженность границы вытянута настолько, что контакты конеч-
ных размеров вносят пренебрежимо малую погрешность в резуль-
таты измерений. Другую группу составляют симметричные образ-
цы правильной геометрической формы с протяженными контакта-
ми (рис. 1.16, в—е), для которых влияние контактов на результаты
измерений рассчитано теоретически, т. е. определены соответствую-
щие поправочные функции.
Схема измерения с помощью этого метода не отличается от схе-
мы измерения четырехзондовым методом (см. рис. 1.2).
40
На основе рассмотренного метода разработаны автоматические
устройства для разбраковки пластин на группы по значению удель-
ного сопротивления.
Образцы типа представленных на рис. 1.16, е используют для
контроля микронеоднородностей поверхностного сопротивления
диффузионных и ионно-легированных слоев, а также в качестве
тестовых структур для контроля ухода размеров и совмещения ри-
сунков при фотолитографии.
Двухкомбинационный четырехзондовый метод. Данный метод
представляет собой разновидность четырехзондового метода при
линейном расположении системы эквидистантных зондов, но в от-
личие от него измерения проводят дважды при различных комби-
нациях токовых и потенциальных зондов. Сначала измеряют, на-
пример, сопротивление = затем сопротивление /?2=^24/Лз-
В соответствии с (110) поверхностное сопротивление бесконеч-
ной пластины или тонкого слоя рп = л/?1/1п2. Если, однако, пласти-
на имеет конечные размеры и правильную геометрическую форму,
то необходимо ввести поправочную функцию. В общем случае при
произвольном расположении и ориентации системы зондов на пла-
стине поправочная функция зависит от параметров, характеризую-
щих геометрическую форму образца, местоположение и ориента-
цию системы зондов. Кроме того, пластину с линейной системой
зондов можно рассматривать как совокупность двух образцов,
имеющих общую границу, для каждого из которых проводятся из-
мерения методом Ван-дер-Пау. Например, для бесконечной плас-
тины линия зондов делит ее на две полуплоскости, для которых
справедливо соотношение (1.27) с учетом того, что через каждую
полуплоскость протекает половина тока. Соотношение (127) спра-
ведливо и для симметричной пластины произвольной формы, если
линия зонда проходит через ось симметрии.
Для пластины круглой формы при расположении линии зондов
вдоль радиуса выполняется соотношение, аналогичное (1.27):
_ ZkwR1	2r.w/?2
е“ р ~=1.	(1.31)
Произведя тождественное преобразование Rt и /?2, получим
z	z L ^1/^2	^1/^2 J
2	2 L ЛГ1/К2	J
После подстановки этих выражений в (1.31) определим
ехрГ - ™ а», 'W + 1 1 ch Г«w R _giff2-i 1=JL .
L р	J L р Ri/ъ J 2
Аналогично (1.28), положим
™ R *i/>?2+l =L „1п2	.	k32
Р	2 f{Ri!R2)
41
Тогда соотношение
1 г In 2 1	, Г In 2	1
— exp I------- = сп-------------------
представляет собой уравнение для функции f(RilRz). Из (132)
найдем
In 2 \	П1/«2/
Таким образом, сомножитель [1 + (Ri/R2)~']f (Ri/R?) представля-
ет собой поправочную функцию, учитывающую геометрическую
форму образца. Преимущество такого способа введения поправоч-
ной функции заключается в том, что функция не зависит от рас-
стояния между зондами, в результате чего исключаются случайная
погрешность, обусловленная невоспроизводимостью межзондовых
расстояний, и связанная с этим погрешность определения числового
значения поправочной функции.
Для поправочной функции f(/?i//?2) с погрешностью не более
0,05% в интервале I,2</?i//?2< 1.32 справедлива аппроксимация в
виде полинома второй степени
11 +(/?1//?2)-Ч f ~ 14,696 + 25,173 (RXIR2)~
- 7,872 (ад2Я.	(1.33)
Интервал изменения отношения Ri/R2 выбран вблизи значения
/?,//?2=1п 4/|п 3=1,262, определяемого четырехзондовым методом.
Расчеты показывают, что функция (1.33) применима и при про-
извольной ориентации линии зондов, если система зондов находит-
ся на некотором расстоянии от края пластины. При расстоянии 5s
и более от края круглой пластины погрешность расчета поверхно-
стного сопротивления не превышает 0,1%.
Благодаря высокой точности и упрощению процедуры измере-
ний двухкомбинационный четырехзондовый метод используют для
изучения распределения поверхностного сопротивления ионно-леги-
рованных слоев по площади пластины. На основе этого метода соз-
даны автоматизированные измерительные устройства с шаговым
перемещением зондовой головки по поверхности образца.
§ 1.7. Высокочастотные
бесконтактные методы измерения
Описанные ранее методы измерения удельного сопротивления
являются, по существу, разрушающими. Это обусловлено тем, что
все они используют непосредственный электрический контакт с об-
разцом.
Важным направлением при разработке бесконтактных методов
контроля является использование токов высокой частоты (ВЧ).
Связь между образцом и измерительной схемой при использовании
токов ВЧ бывает индуктивной или емкостной.
42
Индуктивный метод. Для измерения удельного сопротивления
индуктивным методом применяют катушку индуктивности, по ко-
торой пропускают переменный ток, а также регистрирующее уст-
ройство, позволяющее определить значение и фазу этого тока. При
измерениях в зависимости от типа катушки (датчика) исследуемый
образец помещают внутрь катушки или катушку прижимают к по-
верхности исследуемого образца. В обоих случаях осуществляется
индуктивная связь образца с катушкой. Исследуемый образец вли-
яет на электрические параметры катушки индуктивности, в резуль-
тате чего протекающий через нее ток несет информацию о свойст-
вах образца.
Рассмотрим, как катушка индуктивности реагирует на введение
образца. Качественно картину этого явления можно получить с по-
мощью простой и наглядной физической модели. При помещении
цилиндрического образца в магнитное поле катушки в образце ин-
дуцируется вихревой ток, плотность которого падает в направлении
к центру образца. При этом цилиндрический образец можно рас-
сматривать как катушку индуктивностью L? и сопротивлением /?2-
Таким образом, катушку (датчик) вместе с образцом можно пред-
ставить в виде эквивалентной схемы связанных контуров с коэф-
фициентом взаимной индукции М. По второму закону Кирхгофа
можно определить изменение параметров катушки при ее взаимо-
действии с образцом. Активное сопротивление катушки возрастает
на
Д/?!
о>2Л12
^+(ыД2)2
индуктивное сопротивление уменьшается на
Л / / \ <a2Af2
Д	2	О)А2.
°2 (“Д2)2
Вносимые активное A/?t и реактивное iA(<oM) сопротивления
зависят от эквивалентного сопротивления образца /?2, которое свя-
зано с его удельным сопротивлением. Эта зависимость дает воз-
можность определять удельное сопротивление образца на основе
измерения ARi и A(wLi) или связанных с ними величин.
Точные расчеты, связывающие параметры катушек индуктивно-
сти с характеристиками исследуемого образца, сложны и выполни-
мы только для некоторых частных случаев. Поэтому обычно при
использовании индуктивных методов пользуются калибровочными
зависимостями.
Конструкция катушки (датчика) зависит от формы и измеряе-
мых параметров образца. Для контроля свойств монокристаллов,
имеющих форму стержней круглого сечения, применяют проходные
катушки. Большей универсальностью обладают накладные катуш-
ки, которые располагают на поверхности измеряемого образца. Их
изготавливают небольшого диаметра с применением магнитопро-
43
водов и специальных экранов, локализующих магнитное поле дат-
чика.
Схемы устройств для измерения удельного электрического со-
противления полупроводников аналогичны схемам для неразру-
шающего контроля качества металлов с использованием вихревых
токов. Однако измерение параметров полупроводников в отличие от
металлов осуществляют при более высоких частотах (вплоть до со-
тен мегагерц), что обусловлено значительно меньшей их удельной
проводимостью. Вместе с мостовыми схемами, в которых комплекс-
ное сопротивление датчика уравновешивается по активной и ре-
активной составляющим, осуществляют включение катушки в цепь
обратной связи схемы высокочастотного генератора. С помощью
датчика задают коэффициент обратной связи электронной схемы,
в результате чего генератор является элементом, реагирующим на
сопротивление образца.
Широко распространены приборы, в основу работы которых по-
ложен принцип вариации параметров колебательного контура. При
введении полупроводникового образца изменяются добротность и
резонансная частота колебательного контура. По этим изменениям
можно определить удельное сопротивление образца. Калибровку
прибора выполняют по образцам с известным удельным сопротив-
лением.
Емкостный метод. Согласно этому методу, связь образца с из-
мерительной схемой осуществляется с помощью плоских, U-образ-
ных или кольцевых металлических контактов, отделенных от об-
разца слоем диэлектрика. Металлический контакт и поверхность
образца образуют емкость Ск. Если контактные емкости одинако-
вы, то образец с контактами можно представить эквивалентной
схемой в виде последовательно включенных емкости Ct = CK/2 и
сопротивления Ro части образца, заключенной между контактами.
Так же как и в случае индуктивной связи, при использовании
емкостной связи наиболее часто применяют устройства, которые
созданы на базе измерителя добротности и основаны на принципе
вариации параметров колебательного контура. Образец через ем-
костные контакты подключают параллельно или последовательно
с колебательным контуром.
В одном из вариантов измерительных схем датчик представля-
ет собой коаксиальный фидер с цилиндрическим конденсатором.
Комплект сменных конденсаторов при рабочей частоте 20 МГц по-
зволяет измерять удельное сопротивление образцов в широком ин-
тервале значений: от 10~4 до 103 Ом-см. Примерные значения по-
грешностей приборов, основанных на использовании резонанского
метода измерения, составляют 1—5%; на высоких частотах до
300 МГц погрешности увеличиваются до 20%. Погрешности прибо-
ров, имеющих контур с ударным возбуждением, 3—5%.
Глава 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
ПУТЕМ ИЗМЕРЕНИЯ ЭДС ХОЛЛА
И МАГНИТОСОПРОТИВЛЕНИЯ
§ 2.1. Эффект Холла
и магниторезистивный эффект
Среди множества явлений, связанных с переносом носителей за-
ряда, гальваномагнитные явления зарекомендовали себя как наи-
более ценные для определения параметров полупроводников.
К гальваномагнитным явлениям относятся эффект Холла и маг-
ниторезистивный эффект, возникающие при совместном действии
на полупроводник электрического и магнитного полей.
Эффект Холла. Обычно гальваномагнитные явления рассматри-
вают для изотропного полупроводника в изотермических условиях.
Предположим, что в прямоугольной системе координат электриче-
ское и магнитное поле направлены вдоль осей х иг. Под действием
электрического поля напряженностью 8Х через полупроводниковый
образец, имеющий форму прямоугольной пластины толщиной w,
протекает электрический ток, плотность которого jx. На носители
заряда, например электроны, дрейфующие со скоростью р.п&х в
магнитном поле с индукцией Bz, в направлении у действует сила
Fy = epn&xBz, причем ее направление одинаково для электронов и
дырок. Если составляющая тока jy=0, то накопившийся у граней
образца в направлении у объемный заряд создает электрическое
поле напряженностью &у, которое уравновешивает ток, протекаю-
щий под действием силы Fy. Возникающее в образце электриче-
ское поле напряженностью &у и соответствующая ему разность по-
тенциалов между гранями образца представляют собой эффект
Холла. В общем случае напряженность электрического поля ё>у и
ЭДС Холла Ux выражаются соотношениями
^==/?х/\Вг; £/х==Ях-^,	(2.1)
W
где /?х — коэффициент Холла; 1Х — сила тока, протекающего через
образец.
Если процессы рассеяния носителей заряда описываются в при-
ближении времени релаксации т, то для зонной модели с одной па-
раболической зоной в результате решения кинетического уравнения
Больцмана можно получить выражения для указанных гальвано-
магнитных явлений при слабых и сильных магнитных полях.
Критерий слабого и сильного магнитного поля, как показывает
теория, зависит не только от значения магнитной индукции, но и
от значения подвижности носителей заряда. Для слабого магнит-
ного поля
(2.2а)
45
для сильного
(2.26)
Для примесного полупроводника с одним типом носителей за-
ряда коэффициент Холла связан с концентрацией носителей заря-
да н0, р0 и факторами рассеяния гп, гр:
Rxn=—rn/(en0);	(2.3)
RP=rpKep0),	(2.4)
где гя=	>1;гр=	- '>-1. Усреднение времени ре-
лаксации производится в рамках соответствующей статистики но-
сителей заряда. Коэффициент Холла имеет отрицательное значе-
ние для электронного полупроводника и положительное — для ды-
рочного.
Для невырожденных полупроводников, для которых применимы
классическая статистика Больцмана и степенной закон зависимости
времени релаксации от энергии, средние величины, входящие в вы-
ражение для коэффициента г, вычислены для различных механиз-
мов рассеяния носителей заряда. Значения этого коэффициента
приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Механизмы рассеяния	Г	а	
Ионизированные примеси	1,93	2,15	5,89
Нейтральные примеси	1	1	1
Акустические фоноиы	1,18	0,381	1.77
В сильных магнитных полях r= 1 независимо от механизма рас-
сеяния, а отношение коэффициентов Холла в слабом и сильном
магнитных полях позволяет найти значение г, если условие силь-
ного магнитного поля можно реализовать.
Если полупроводник имеет смешанную электропроводность, то
в слабом магнитном поле коэффициент Холла
_ г ^рР6~^ппо __ Г РО — ПО&	(2 5)
е (НрРо + Нпл0)2 е (ръ-\-пйЬУ-
где Ь = рп/рр. При лгоЗ>Ро выражение (2.5) переходит в (2.3), а при
Ро>«о—В (2.4).
Для собственного полупроводника по=Ро—Л1. где щ — собствен-
ная концентрация носителей заряда. При этом
ff'!1?-!1-!* =Л,	(2.6)
еп, (Нр 4- Ни)	еп1 1 + Ь
46
В выражениях (2.5) и (2.6) сделано допущение, что гп = гр. Это
справедливо для любого механизма рассеяния при упругом рассея-
нии.
В сильном магнитном поле, когда выполняется условие (2.2),
для полупроводника при наличии электронов и дырок коэффициент
Холла
___1_ Ро —	(р0 — п0)
Х е (рсг + М^ + ^НрВЧА)—ло)
При В->оо коэффициент Холла
Ях= 1/[е(р0 — Пр)].	(2.8)
Для примесных полупроводников выражение (2.8) переходит
в (2.3) и (2.4) при г=1.
Как следует из равенств (2.3), (2.4) и (2.5) — (2.8), коэффици-
ент Холла определяется такими параметрами полупроводникового
материала, как концентрация и подвижность носителей заряда.
Поэтому эффект Холла является эффективным методом определе-
ния этих параметров.
Если полупроводник имеет сложную зонную структуру, то вы-
ражение для коэффициента Холла усложняется. С учетом реальной
структуры зоны проводимости кремния, имеющей шесть эквива-
лентных минимумов энергии с поверхностями постоянной энергии
в виде эллипсоидов вращения, характеризуемых продольной и по-
перечной эффективными массами, в выражение для коэффициента
Холла вводят сомножитель, зависящий от зонной структуры. Число-
вое значение этого сомножителя равно 0,866: Rn = —0,866г/ (еи0).
Валентная зона кремния состоит из зоны легких и тяжелых ды-
рок; поверхности равной энергии для зоны тяжелых дырок явля-
ются гофрированными. Поэтому коэффициент Холла вычисляют с
учетом концентрации легких и тяжелых дырок.
Магниторезистивный эффект. Этот эффект возникает вследствие
искривления пути носителей заряда в магнитном поле и отклоне-
ния направления их движения от направления продольного элект-
рического поля. В образце конечных размеров электрическая сила,
создаваемая электрическим полем Холла, оказывает компенсирую-
щее действие на силу Лоренца, в результате чего магниторезистив-
ный эффект выражен слабее. Компенсирующее действие поля Хол-
ла тем меньше, чем меньше отношение длины образца к его
ширине, что связано с шунтирующим действием токовых контактов
на это поле.
Относительное магнитосопротивление, обусловленное искривле-
нием пути носителей заряда в магнитном поле, при /x=const, jy=0
Др 	Й\(0) гГж(В) 1	z9nx
Р	#х(0)	#х(0)
47
Для образца конечных размеров относительное магнитосопро-
тивление измеряют при const; ffv=0:
Дрг = ггх(Д)- ^х(О) = Jx(B) _ 1	(2 10)
Р	#х(0)	Д(0)
В отличие от (2.9) магнитосопротивление, определяемое по
(2.10), называют геометрическим магнитосопротивлением.
В обоих случаях для полупроводника с одним типом носителей
заряда магнитосопротивление в области слабых магнитных полей
пропорционально (р,пВ)2 или (рРВ)2; оно выражается через коэф-
фициенты а и аг, зависящие от механизма рассеяния носителей за-
ряда. Для электронного полупроводника
Др/р==ар.£52; Дрг/р = агр^52,	(2.11)
где
а . <т3> <т> - <т2)2 .
< Т>4
«г= <^3>/<t>3-
Значения коэффициентов а и аг приведены в табл. 2.1.
В области сильных магнитных полей геометрическое магнито-
сопротивление сохраняет квадратичную зависимость от рПрВ, тогда
как магнитосопротивление (2.9) насыщается до значения, не зави-
сящего от подвижности носителей зарядов. Для полупроводников
с большими значениями подвижности носителей зарядов уже при
небольших значениях магнитной индукции реализуется условие
сильного магнитного поля, поэтому для таких полупроводников
метод геометрического магнитосопротивления, как метод опреде-
ления характеристик материала, предпочтительнее. Кроме того,
магнитосопротивление (2.9) зависит от разности различным обра-
зом усредненных значений времени релаксации и может быть очень
мало.
Сопутствующие явления. Рассмотрим ряд физических явлений,
которые возникают совместно с эффектом Холла и, следовательно,
могут вносить систематические и случайные погрешности при его
измерении. К этим явлениям относятся: поперечный термогальва-
номагнитный, термогальванический, термомагнитный эффекты.
Поперечный термогальваномагнитный эффект возникает на по-
мещенном в магнитном поле образце, по которому протекает элек-
трический ток; он состоит в появлении градиента температуры в
направлении, перпендикулярном магнитному полю и току. Если,
как и в случае эффекта Холла, вектор магнитной индукции направ-
лен вдоль оси г, а электрический ток — вдоль оси х, то вдоль оси у
возникает градиент температуры, пропорциональный магнитной
индукции и плотности электрического тока:
дт к о •
где km — коэффициент пропорциональности.
48
Физически поперечный термогальваномагнитный эффект обус-
ловлен тем, что магнитное поле действует на «горячие» (быстрые)
носители зарядов с большей силой, чем на «холодные» (медлен-
ные). Поэтому происходит пространственное разделение носителей
зарядов по скоростям. В результате обмена энергией носителей за-
рядов с кристаллической решеткой возникает градиент темпера-
туры. Знак градиента температуры не зависит от типа носителей
заряда, а зависит от направления магнитного поля и тока, так же
как и полярность ЭДС Холла. Поэтому возникающая как следствие
градиента температуры термо-ЭДС суммируется с ЭДС Холла и
не может быть отделена от него при изменении направления тока
или магнитного поля.
Термогальванический эффект возникает при следующих усло-
виях. Если образец, по которому в направлении х проходит тепло-
вой поток, поместить в магнитное поле, направленное по оси z, то
в направлении оси у возникает электрическое поле. При наличии
градиента температуры потоку теплоты соответствует преимущест-
венное движение «быстрых» носителей заряда от «горячего» конца
образца к «холодному».
Напряженность электрического поля пропорциональна градиен-
ту температуры и магнитной индукции:
&y=k„Bz¥~,
а	ох
где /гтг — коэффициент пропорциональности.
При этих же условиях возникает градиент температуры дТ)ду,
пропорциональный В2 и дТ/дх:
+ k в
оу	ох
где /гТм — коэффициент пропорциональности.
Этот эффект называют термомагнитным. Знак градиента темпе-
ратуры зависит от типа носителей заряда.
Таким образом, ЭДС термогальванического эффекта и тер-
мо-ЭДС, обусловленная термогальваномагнитным и термомагнит-
ным эффектами, возникают совместно с ЭДС Холла и суммируются
с ней. Градиент температуры дТ/дх, обусловливающий возникнове-
ние этих эффектов, как правило, существует на образце при прове-
дении холловских измерений в результате протекания тока через
контакты к образцу и выделения на них некоторого количества
теплоты. Знак градиента температуры, обусловленный эффектом
Пельтье или нелинейностью ВАХ токовых контактов, зависит от на-
правления тока через образец. Следовательно, знаки этих эффектов
зависят от направления протекающего через образец тока
Кроме того, существование градиента температуры дТ/дх может
быть обусловлено неравномерным нагревом образца при проведе-
нии, например, температурных измерений или его неоднородно-
стью.
49
Относительная оценка этих эффектов показывает, что наиболее
важным является поперечный термогальваномагнитный эффект,
для которого термо-ЭДС может составлять 10% от ЭДС Холла.
Другие эффекты менее существенны и играют более важную роль
в металлах.
§ 2.2. Методы измерения ЭДС Холла
Геометрия образцов и расположение контактов. ЭДС Холла ча-
сто измеряют на пластинах прямоугольной формы. Для прямо-
угольного образца с размерами а, b и w (соответственно по направ-
лениям х, у и г) ЭДС Холла определяют по (2.1). Если при изме-
рении входящих в эту формулу величин использовать единицы СИ
(вольт, ампер, метр и тесла), то коэффициент Холла будет иметь
размерность м3/Кл:
Таким образом,
обходимо измерить
Рис. 2.1. Модель об-
разца для измерения
ЭДС Холла
ки или
для определения коэффициента Холла /?х не-
холловскую разность потенциалов, ток, проте-
кающий через образец, магнитную индукцию
и геометрический размер образца w в направ-
лении магнитного поля.
В соответствии с теорией эффекта Холла
металлические контакты с образцом, предна-
значенные для измерения ЭДС Холла, долж-
ны иметь очень малую площадь, чтобы не ис-
кажать линии тока в образце. Практически в
качестве контактов используют металлические
зонды или сплавные контакты малых разме-
ров. Применяют также боковые отростки, из-
готовленные с помощью ультразвуковой рез-
) травления (рис. 2.1). Образцу и боковым от-
росткам придают гантелеобразную форму. При этом технология
изготовления контактов упрощается, облегчаются операции метал-
лизации и вплавления. Такие контакты не искажают линии тока в
образце и за счет большой площади имеют малое сопротивление
контакта и более низкий уровень шума. Наличие нескольких боко-
вых отростков позволяет одновременно с ЭДС Холла измерять
удельное сопротивление образца. При измерении параметров диф-
фузионных и эпитаксиальных слоев можно использовать стандарт-
ную технологию с применением фотолитографши.
Соотношение геометрических размеров образца и местораспо-
ложение контактов могут существенно влиять на измеряемую ЭДС
Холла. Поскольку торцевые токовые контакты закорачивают ЭДС
Холла, образец должен быть достаточно длинным. При симмет-
ричном расположении двух холловских контактов отношение
50
a/b^4, в противном случае необходимо вводить поправочную функ-
цию, зависящую от этого отношения.
Для образца с двумя парами боковых гантелеобразных контак-
тов во избежание закорачивания ими ЭДС Холла и искажения
линий тока необходимо соблюсти ряд требований на соотношение
длины и ширины образца, расположение и размеры боковых от-
ростков: отношение ширины образца b к размеру отростка вдоль
оси х должно быть не менее 3; расстояние от холловского контак-
та до токового контакта и расстояние между холловскими контак-
тами— не менее 2Ь при длине образца 1 см ^а^1,5 см и толщине
ш^0,1 см.
На пластинах произвольной геометрической формы ЭДС Холла
измеряют аналогично измерению удельного сопротивления методом
Ван-дер-Пау (см. рис. 1.13). Электрический ток пропускают через
контакты 1 и 3, а на контактах 2 и 4 измеряют разность потенциа-
лов £724(0) в отсутствие и при наличии магнитного поля U24(B).
ЭДС Холла
Ux=U24(B)-U2A(0) =RX .	(2.12)
W
Из свойств векторного поля следует, что отклонение носителей
зарядов магнитным полем и возникновение объемных зарядов на
боковой поверхности образца не изменяют линий тока в образце,
т. е. линии тока остаются теми же, как и в отсутствие магнитного
поля. ЭДС Холла образуется за счет возникновения электрического
поля ёп, перпендикулярного линиям плотности тока. Разность по-
тенциалов между произвольными точками образца 2 и 4 в отсутст-
вие магнитного поля равна разности потенциалов между точками 5
и 4, если точки 2 и 5 находятся на одной эквипотенциали. Эквипо-
тенциальная поверхность показана на рис. 2.2 пунктиром. При на-
личии магнитного поля изменение разности потенциалов между
точками 2 и 4 выражается интегралом от ёп по пути, ортогональ-
ному линиям тока, между точками 2 и 5 и по пути вдоль линии тока
между точками 5 и 4. Второй интеграл не изменяет разности по-
тенциалов и, следовательно,
4	5
^25 = t/24(B)-^24(0)=pnds = /?xfi f/dS=/?X^-,
2	2
что совпадает с (2.12).
Так как описанный метод измерения ЭДС Холла, так же как и
аналогичный метод измерения удельного сопротивления, чувстви-
телен к размерам контактов, то для уменьшения влияния контактов
измерения проводят на образцах, имеющих форму, показанную на
Рис. 1.16, а—в. Использование таких образцов снижает погрешно-
сти при измерении удельного сопротивления и ЭДС Холла во много
раз.
51
Четырехзондовый метод измерения. Для измерения ЭДС Холла
применяют также метод, аналогичный четырехзондовому методу
измерения удельного сопротивления с расположением зондов в вер-
шинах квадрата. Если, например, образец — круглая пластина
(рис. 2.3) и зонды размещены симметрично по ее краю, то этот
случай аналогичен измерению ЭДС Холла на пластине произволь-
ной формы. Следовательно, применимо соотношение (2.12). Одна-
Рис. 2.3. Распо-
ложение зоидов
на пластине
круглой формы
Рис. 2.2. Линии тока в пластине, нахо-
дящейся в поперечном магнитном поле
ко по мере уменьшения расстояния между зондами при расположе-
нии системы зондов в центре пластины возникает закорачивание
ЭДС Холла периферийной областью образца. Это явление называют
вторичным эффектом Холла. Поэтому в формулу (2.12) необ-
ходимо вводить поправочную функцию f (d/s), зависящую от отно-
шения диаметра пластины к расстоянию между зондами. При уве-
личении отношения d/s образец приближается к пластине бесконеч-
ных размеров и, следовательно, ЭДС Холла уменьшается. Значения
поправочной функции f (d/s) приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
d[s	f(d/s)	d/s	f(d/s)	d/s	f(d/s)
V2	1	4,0	0,158	10,0	0,0255
2,0	0,59	5,0	0,102	20,0	0,0064
3,0	0,279				
Поправочные функции рассчитаны также для пластин, представ-
ляющих собой половину или четверть круглой пластины, при рас-
положении токовых зондов вдоль радиальной линии симметрии об-
разца, причем потенциальные зонды лежат на линии, перпендику-
лярной линии симметрии и проходящей через ее середину.
Аналогичным образом применяют четырехзондовый метод из-
мерения ЭДС Холла для пластин прямоугольной формы. Та же
52
Рис. 2.4. Схема измерения ЭДС
Холла при постоиниом токе и
магнитном поле
Тл. Изменение магнитной
самая система зондов может использоваться для измерения удель-
ного сопротивления пластин с учетом соответствующих поправоч-
ных функций.
Четырехзондовый метод измерения ЭДС Холла целесообразно
применять для низкоомных образцов, когда влияние контактных
сопротивлений не препятствует осуществлению измерений, позво-
ляя избежать трудоемких операций изготовления контактов.
Использование постоянного, переменного тока и магнитного
поля. Согласно (2.1), ЭДС Холла t/х. а следовательно, и коэффи-
циент Холла можно измерить по крайней мере четырьмя различны-
ными способами, используя постоянный
или переменный ток, а также постоян-
ное или переменное магнитное поле.
Постоянное магнитное по-
ле и постоянный ток. Этот
метод измерения ЭДС Холла является
самым простым и наиболее распрост-
раненным. От источника постоянного
напряжения ИН (рис. 2.4) через обра-
зец прямоугольной формы пропускают
постоянный ток. Образец помещают
между полюсами постоянного магнита
или электромагнита, создающего в ра-
бочем зазоре магнитную индукцию до 1
индукции в рабочем зазоре магнита осуществляют меняя расстоя-
ние между полюсами магнита, регулируя ток электромагнита, а
также применяя магнитные концентраторы.
Чтобы исключить влияние контактных сопротивлений на резуль-
таты измерений, необходимо использовать компенсационный метод
измерения ЭДС Холла или применять электронные вольтметры с
высоким входным сопротивлением.
Как отмечалось, при измерении ЭДС Холла разность потенциа-
лов на контактах складывается из четырех составляющих: ЭДС
Холла t/х, термо-ЭДС поперечного термогальваномагнитного эф-
фекта (?пт, ЭДС термогальванического эффекта С/тг и термо-ЭДС
термомагнитного эффекта t7TM. Существует еще одна составляю-
щая, которая также влияет на измеряемую разность потенциалов,—
напряжение Uo, возникающее за счет неточного расположения хол-
ловских контактов друг против друга, т. е. на разных эквипотенци-
альных поверхностях образца.
В общем случае разность потенциалов на контактах равна сум-
ме пяти составляющих. Предполагая, что продольный градиент
температуры дТ/дх вызван неравномерным нагревом образца за
счет внешнего нагревателя и, следовательно, не зависит от направ-
ления тока через него, можно записать систему уравнений для раз-
ности потенциалов, которая соответствует всем возможным сочета-
ниям направлений тока и магнитного поля:
при+Д+В Z71==^x+4/nT+Z7Tr+Z7tM + Z70;
53
при —	U2 = —Ux — ^/Пт + ^тг + ^тм~^о!
при — I,—rB U^Ux-i-U^ — lJ^ — U^ — Uo;
при-|-Д — В U4= — Ux — Um—^Ат—^тм + ^Л)-
Проведя простые преобразования, получим
£7Х +t7nT=(Z7i-tA+^з-U№
Таким образом, выполнив четыре измерения при различных на-
правлениях магнитного поля и тока через образец, из результатов
измерений можно исклю-
чить ЭДС от всех сопут-
ствующих эффектов, кро-
ме термо-ЭДС поперечно-
го термогальваномагнит-
ного эффекта. Необходи-
мость выполнения четы-
рех измерений, требу-
ющих большого времени,
является существенным
недостатком этого метода
измерения ЭДС Хойла.
На практике не всег-
да можно избавиться от
влияния неэквипотенци-
альности контактов, осо-
бенно для высокоомттых
образцов. Чтобы пропу-
стить через высокоомный
образец достаточный ток,
увеличивают приложенное к образцу напряжение, что увеличивает
разность потенциалов Uq. Если эта разность потенциалов значи-
тельно превосходит ЭДС Холла, то точность измерения t7x может
снизиться настолько, что сделает невозможным ее измерение. По-
этому стремятся не только уменьшить неэквипотенциальность кон-
тактов за счет их точной установки друг против друга, но и осу-
ществить их электрическую балансировку.
Неэквипотенциальность холловских контактов можно устранить
с помощью трехзондовой схемы измерения (рис. 2.5, а). Если по-
тенциал зонда 1 меньше потенциала зонда 3, но больше потенциала
зонда 2, то на потенциометре можно найти точку, потенциал ко-
торой равен потенциалу зонда 1. Чтобы потенциометр не шунти-
ровал часть образца, заключенную между зондами 2 и 3, а ток
через эти зонды был пренебрежимо мал, необходимо выполнить ус-
ловие Ri^>R23. Однако при этом следует учесть, что последователь-
ное включение в измерительную цепь резистора с большим сопро-
тивлением уменьшает чувствительность схемы измерения. Трех-
54
зондовую схему используют при измерении ЭДС Холла на
низкоомных образцах.
На рис. 2.5, б представлена мостовая схема измерения холлов-
ской разности потенциалов. Части образца слева и справа от зонда
/ вместе с резисторами Ri и /?2 составляют плечи моста. ЭДС Хол-
ла измеряют между зондом 1 и точкой 2. Потенциал точки 2 можно
сделать равным потенциалу зонда 1, регулируя сопротивления 7?t
и /?2* К недостаткам схемы относится уменьшение чувствительности
за счет измерения половины ЭДС Холла.
Схему, приведенную на рис. 2.5, в, называют схемой смещения
зквипотенциалей. Как видно из рисунка, один из токовых контактов
представляет собой, по существу, два отдельных контакта. С по-
мощью потенциометра Ri можно изменять протекающие через эти
контакты токи и таким образом влиять на распределение электри-
ческого поля вдоль образца, добиваясь устранения неэквипотенци-
альности контактов.
'Схема с отдельным источником компенсации (рис. 2.5, г) позво-
ляет устранить неэквипотенциальность холловских контактов за
счет компенсации Uo разностью потенциалов на компенсирующем
резисторе RK при протекании через него тока от внешнего источни-
ка питания. В этой схеме сопротивление RK можно выбрать неболь-
шим, чтобы не уменьшать чувствительности измерительной схемы.
Переменный ток или переменное магнитное по-
ле. В этом случае возникает переменная ЭДС Холла с частотой
тока или магнитного поля. При прохождении через образец пере-
менного тока и использовании постоянного магнитного поля ЭДС
Холла измеряют непосредственно с помощью селективного вольт-
метра.
Ввиду инерционности тепловых процессов ЭДС сопутствующих
эффектов уменьшается уже при низких частотах (единицы герц),
а усреднение измеряемой ЭДС Холла по двум направлениям маг-
нитного поля устраняет влияние напряжения неэквипотенциально-
сти холловских контактов. Если, кроме того, принять во внимание,
что селективный усилитель не регистрирует постоянных состав-
ляющих напряжения, то постоянные во времени градиенты темпе-
ратуры не влияют на результаты измерений.
При прохождении через образец постоянного тока в переменном
магнитном поле и усреднении измеренного напряжения по двум
направлениям тока неустранимой остается лишь ЭДС термогаль-
ванического эффекта, обусловленная градиентом температуры
вследствие эффекта Пельтье.
Переменный ток и переменное магнитное поле.
Пусть магнитный поток и электрический ток в образце изменяются
следующим образом:
В=BQ cos (о)1/ -|- 01);
1 = COS (U)^ -ф 02).
55
причем частоты <0i#=<02> фазы 6i=/='02- В этом случае ЭДС Холла
/7Х =/?х —=Ях Zofiicos(tU1Z_|_6i) cos(<o/+e2)=
w	tv
= Rx. (COS [(lOj-—U)2)/-|~(®1 —M]~bcos l(“l “Ь‘°2)^_Ь(®1 “Ь®2)](
2w
может быть измерена при суммарной или разностной частоте:
t/X [К —<О2)Л = А?Х	COS [(<*>! — <02)* + (61 — М;
zw
^Х [(“14-<«2)Л — ^?х -^-COS ((‘01+<02)^+(е1 + е2)1-
2W
При измерении среднеквадратичного значения ЭДС Холла /о —
среднеквадратичное значение тока; Во — амплитудное значение
магнитной индукции. При <0]=<02=ы ЭДС Холла складывается из
постоянной составляющей ЭДС и переменной составляющей удво-
енной частоты:
<7х=Ях ^cos(6!+62)+/?x ^cos^+^+M-
2w	2w
Если проводить измерения постоянной составляющей ЭДС или
переменной составляющей удвоенной частоты, то измеренная раз-
ность потенциалов будет суммой ЭДС Холла и ЭДС, возникающей
за счет термо-ЭДС поперечного термогальваномагнитного эффекта.
Остальные эффекты не будут оказывать влияния, так как создают
ЭДС на частоте со. Таким образом, для определения ЭДС Холла
достаточно однократного измерения.
Большими достоинствами обладают схемы измерения ЭДС Хол-
ла, использующие электрический ток и магнитное поле, изменяю-
щиеся с различными частотами. Применяя селективный вольтметр,
регистрирующий, например, сигнал только на разностной частоте,
можно отсеять все сопутствующие ЭДС. Однако при выборе рабо-
чих частот следует иметь в виду возможность появления сигналов
с частотой ЭДС Холла в результате возникновения гармоник пер-
вичных частот <t>i, юг. а также гармоник частоты сети переменного
тока и их комбинационных частот. Одним из основных источников
появления таких сигналов являются нелинейность входных цепей
измерителя ЭДС Холла и контактов самого образца, на которых
могут смешиваться напряжения с частотами <1)( и <о2. например на-
пряжение неэквипотенциальности холловских контактов (со2) и
напряжение электромагнитной наводки, создаваемое магнитным
полем на частоте оц.
Упрощенная схема одного из вариантов такой измерительной
установки представлена на рис. 2.6. Схема имеет следующие основ-
ные элементы: низкочастотный генератор переменного тока Г с
низкоомным симметричным выходом; измеритель тока А образца,
включенный в середину выходной обмотки трансформатора Тр, се-
56
лективный усилитель-У с узкой полосой пропускания, фазочувстви-
тельный детектор ФД, двухкоординатный самописец Сп и смеси-
тель См. Для создания магнитного поля, в которое помещают обра-
зец, используют электромагнит, питаемый от промышленной сети
переменного тока или от низкочастотного генератора. Источник
магнитного поля на схеме не показан.
Измерительная схема работает следующим образом. Перемен-
ное напряжение частотой а>2 от генератора Г через трансформатор
Тр подается на образец. ЭДС,	.
возникающая на холловских	| 7
контактах образца, один из ко-
торых заземлен, усиливается
усилителем У, настроенным на
разностную частоту оц—ы2.
Напряжение неэквипотенци-
альности холловских контак-
тов имеет частоту тока <о2 н
потому не регистрируется уси-
лителем. Высокое входное со-
противление усилителя (Ю6Ом
и более) достигается благода-
ря использованию электромет-
Рис. 2.6. Структурная схема измерения
ЭДС Холла при переменном токе и пе-
ременном магнитном поле
рического входного каскада и
максимального уменьшения паразитных входных емкостей. Узкая
полоса пропускания снижает, кроме того, уровень шумов усилите-
ля. ЭДС Холла регистрируется самописцем Сп. Применение двух-
координатного самописца позволяет осуществить автоматическую
регистрацию температурной зависимости ЭДС Холла, если, на-
пример, измерять температуру образца, находящегося в криостате,
с помощью термопары.
Смеситель См, на который одновременно подаются напряжения
с частотами оц и <о2, служит для создания опорного напряжения с
частотой oil—о)2 для ФД. В качестве смесителя частот используют
датчики Холла из антимонида индия. Тип электропроводности об-
разца определяют по знаку фазы ЭДС Холла относительно фазы
опорного напряжения.
Перечислим факторы, влияющие на систематическую погреш-
ность измерения ЭДС Холла: неэквипотенциальность холловских
контактов; термо-ЭДС, обусловленная внешним градиентом темпе-
ратуры и эффектом Пельтье; сопутствующие явления; соотношение
между геометрическими размерами образца, расположение и раз-
меры токовых и потенциальных контактов; электромагнитные на-
водки и ЭДС на комбинационных частотах.
Кроме того, на погрешность измерений влияют и следующие
факторы, рассмотренные ранее применительно к методам измере-
ния удельного сопротивления: фотопроводимость и фото-ЭДС, воз-
никающая за счет освещения образца; инжекция носителей заряда
через контакты при протекании тока через образец; поверхностные
57
токи утечки как в измерительной цепи, так и по поверхности об-
разца; увеличение температуры образца в процессе измерений за
счет нагрева образца электрическим током.
Влияние многих источников погрешностей измерений можно
уменьшить, используя минимальный ток через образец. Рекомен-
дуется устанавливать такой ток, чтобы напряженность электриче-
ского поля в образце не превышала 102 В-см-1.
§ 2.3. Определение концентрации доноров
и акцепторов по температурной зависимости
концентрации носителей заряда
Анализ температурной зависимости концентрации носителей
заряда, определенной по результатам холловских измерений, яв-
ляется одним из основных способов изучения примесей в полупро-
водниках. Цель такого анализа состоит в определении типа и числа
примесей, имеющихся в полупроводниковом материале, их концен-
траций и энергий ионизации, вклада каждого из локальных уров-
ней в общую концентрацию носителей заряда, спектра возбужден-
ных состояний уровней и других характеристик. Основные причи-
ны, ограничивающие применение этого метода, связаны, например,
с электропроводностью по примесным уровням в области низкой
температуры и вырождением при больших концентрациях примесей.
В общем виде анализ температурной зависимости концентрации
носителей заряда в полупроводнике представляет собой сложную
задачу. Полупроводник может содержать несколько видов донор-
ных и акцепторных примесей, что соответствует определенной сте-
пени его компенсации. Некоторые примеси могут отдавать или при-
соединить не один, а несколько электронов. Примесный атом может
находиться не только в основном энергетическом состоянии, но и в
возбужденном. Основное и возбужденное состояния характеризу-
ются соответствующими факторами спинового вырождения. В не-
которых полупроводниковых материалах валентная зона в центре
зоны Бриллюэна оказывается вырожденной, что проявляется в уве-
личении фактора вырождения акцепторного состояния. Поэтому
в каждом конкретном случае следует решить, чем можно прене-
бречь.
Предположим, что в запрещенной зоне полупроводникового ма-
териала имеются донорные и акцепторные примесные уровни с
энергией Ej, Еа и концентрацией Nd, Na, причем Nd>Na. Концент-
рация отрицательных зарядов определяется суммарной концент-
рацией электронов По в зоне проводимости и концентрацией элек-
тронов на уровнях акцепторной примеси. Будем считать, что каж-
дый атом акцепторной примеси захватывает только один электрон.
Концентрация положительных зарядов складывается из дырок ва-
лентной зоны ро и тех атомов донорной примеси, которые отдали
свои электроны в зону проводимости. Концентрация электронов на
58
уровнях донорной примеси, т. е. концентрация нейтральных доно-
ров,

Nd
\+gdl exp
Ed — Ep
kT
а концентрация отрицательно заряженных ионов акцепторной при-
меси
Еа-Ер
l + 4fflexp-——
kl
где gd, ga — факторы спинового вырождения примесных уровней;
k — постоянная Больцмана.
По условию электрической нейтральности, число положитель-
ных зарядов равно числу отрицательных зарядов; следовательно,
уравнение электронейтральности имеет вид
По~\~Ма = (N d —	Pq.	(2.13)
Уравнение (2.13) позволяет анализировать температурную за-
висимость концентрации носителей заряда.
Для невырожденного донорного полупроводника в температур-
ной области примесной электропроводности концентрацией дырок
в валентной зоне можно пренебречь по сравнению с концентрацией
электронов (Ло^ро). Кроме того, можно считать, что все акцепторы
ионизированы, т. е. Na~=Na. При этих предположениях уравнение
электронейтральности приобретает следующий вид:
(no + 7V0) =g-iexp	.	(2.14)
Nd—N а —По	\ kT J
Следует отметить, что уравнение (2.14) справедливо для любого
закона дисперсии в разрешенных зонах и произвольного вырожде-
ния. Это уравнение описывает одну из наиболее простых моделей
примесей в полупроводниках. Если экспериментальные данные не
соответствуют этой модели, то нужно искать способы уточнения
модели и расширения экспериментальных возможностей, хотя со-
ответствие экспериментальных данных выбранной модели еще не
означает, что модель выбрана правильно. Вопрос о применимости
использованной модели является одним из основных вопросов при
интерпретации экспериментальных результатов.
Если предположить, что полупроводник невырожден и что за-
кон дисперсии в разрешенных зонах энергии квадратичен, то при
«о = Nc exp ( - £с~£И	(2.15)
\ к/ )
И
(Ed — Ер \	(	Ес — Ed\	/Ес — Ер\	Nс /	\
ехр — ---— =ехр------------ ехр|— ------ ——-ерх|-------—
\ kT )	. kT )	( kT J	л0	1 \	kT )
59
уравнение электронейтр^льности примет вид
+	,	(2.16)
Nd — Na — riQ	\ kl )
где Ec—Ed=\E<i — энергия ионизации доноров;
TV — 2 ( 2nmnkT \3/2 —4 83. Ю15(EhL\3/2 т3/2—АТ3/2
c \	№	)	’	\ m0 )
— эффективная плотность квантовых состояний в зоне проводимо-
сти; тп — эффективная масса электрона в зоне проводимости; т0 —
масса свободного электрона.
Замена функции Ферми в выражении для концентрации носите-
лей заряда в зоне проводимости h0	на экспо-
ненту (2.15) дает хорошее приближение, если Е- <С—3. Урав-
нение (2.16) можно использовать во всем интервале температур,
где выполняется это неравенство. По таблицам функции Ферми
можно определить положение уровня Ферми, если концентрация
носителей заряда известна.
Для невырожденного акцепторного полупроводника соотноше-
ние, соответствующее (1.16), имеет вид
Po(Po + Nd), =g N ехр(_ j
Na-Nd-Pa	\ kT )
где Nv — эффективная плотность квантовых состояний в валентной
зоне; ДЕа=Еа—Ev — энергия ионизации акцепторов.
Если концентрация компенсирующей акцепторной примеси не-
велика, а температура полупроводника такова, что уровень донор-
ной примеси далек от истощения, т. е.
^»«о»^а,	(2.17)
то, пренебрегая Na по сравнению с п0 в числителе и Na и п0 по
сравнению с Nd в знаменателе (2.16), получаем
n0=(gd lNdNc)lfte^[-^^ .	(2.18)
Преобразуем выражение (2.18):
[In gd+21п(/г0Г^)-ln(Z7Vd)(.	(2.19)
Продифференцировав (2.19) по 1/7, определим
ДEd = — ‘2k d 1«п(»оГ-_3/4)] _	(2.20)
d(l/Z)
Экспериментальную зависимость In (л0) из соображений удоб-
ства масштаба изображают графически в виде функции от 1000/7*
60
или ЮО/Т. Поэтому при анализе выражение (2.20) целесообразно
представить в более общем виде:
ЬЕа= — O,43fe7o —	3/4)1 ,
d	d(T0/T)
(2.21)
где То — температура, которая выбирается с учетом удобства по-
строения графика.
В форме конечных разностей выражение (2.21) приобретает вид
ЬЕа= -3,968- КНГо
ig[n2y/4/(^^r3/4)]
Тй/Т2-Т01Т1
где Л=8,62-10~5 эВ/K; Д£<г— в эВ. Таким образом, энергия иониза-
ции примеси может быть определена по тангенсу угла наклона пря-
молинейного участка зависимости lg(«o7')_3/4 от Т0ГГ. После того
как значение энергии ионизации примеси будет установлено, зна-
чение gd~lNd можно вычислить по (2.18):
2
-1»г по п ( ЬЕа \
JV-=^“phr- •
При сильной компенсации концентрация компенсирующей при-
меси Na сравнима с концентрацией основной примеси Nd, хотя
Na<Nd. Если в некотором интервале температур концентрация
электронов много меньше концентрации компенсирующей примеси
и разности между основной и компенсирующей примесями, т. е.
п0<£Мя,	(2.22)
то, согласно (2.16),
—iNd— Na	\
Отсюда
—[ Ingd-pin («o7'-3/2)H-ln---------------1 .
Т [ КЙ1 о	A(Nd_Na)\
Аналогично случаю слабой компенсации,
-0.43Щ dlg(no7,-------—}.
° d (Го/Г)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
В форме конечных разностей выражение (2.26) имеет вид
ЫЕа—~ 0.43Щ
lg [п2Т-^/(П1Т~^)]
TdTi-TJTx
или в электрон-вольтах
ЬЕа=-1,984- 1О-4Г0
1g [^^/("^Г372)]
61
Таким образом, для определения энергии ионизации примеси в
данном случае необходимо построить зависимость lg(noT-3/2) от
То/Т и по ее линейному участку вычислить тангенс угла наклона.
В соответствии с (2.24) при установленном значении Afd
-1 Ng — Ng
d Na
(2.27)
Основное преимущество описанных графических способов опре-
деления энергии ионизации примеси по данным эффекта Холла за-
ключается в простоте вычисления искомых величин. Однако с их
помощью нельзя найти остальные параметры локальных уровней
и, что особенно важно, нельзя однозначно выбрать необходимое
для расчета уравнение. Так как соотношение между величинами Ng,
Na и п0 заранее не известно, то неизвестно, какое из уравнений
(2.18) или (2.24) следует использовать.
Выбор способа расчета становится однозначным в том случае,
когда в исследованном температурном интервале удается экспери-
ментально наблюдать переход от зависимости (2.24) в интервале
низких температур к зависимости (2.18) в интервале более высоких
температур, что подтверждается уменьшением угла наклона экспе-
риментальной зависимости 1g п0 (1/Т) примерно в два раза. Для
этого, однако, необходимо, чтобы в широком температурном интер-
вале действовал только один локальный уровень и условия (2.22),
(2.23) и (2.17) выполнялись последовательно при повышении тем-
пературы. При дальнейшем росте температуры концентрация элек-
тронов стремится к насыщению: tio=Ng—Na-
На рис. 2.7 представлены зависимости 1пп0(Ю2/7) для полупро-
водника, содержащего некоторое число доноров и акцепторов. Для
наглядности предположим, что Ng—/Va=1016 см-3 во всех рассмат-
риваемых случаях. Донорные уровни расположены на 0,01 эВ ниже
дна зоны проводимости, gd=2, mn = O,25mo. Кривым на рис. 2.7 со-
ответствуют различные степени компенсации. Кривая / рассчитана
при Л/а=0 (компенсация отсутствует), кривая 2— при Na=
= 1014 см-3 (степень компенсации около 1%), кривая 3—при Na=
= 1015 см-3 (степень компенсации около 9%); кривая 4— при Na=
= 1016 см-3 (степень компенсации 50%). Ход кривых 2 и 3 свиде-
тельствует о том, что влияние компенсации начинает проявляться
лишь при достаточно низких температурах, когда концентрация
электронов становится сравнимой с Na. При этом угол наклона
кривых возрастает, достигая значения AEg/k. При этих температу-
рах справедливо соотношение (2.25). В сильно компенсированных
материалах (кривая 4) почти во всем интервале температур при-
менимо выражение
п0=
Ng - Na
Na
---s--exp
S7lNc
&Eg \
. kT J
62
Таким образом, температурная зависимость концентрации но-
сителей заряда позволяет по предельному значению концентрации
в области насыщения определить Nd—Na; по углу наклона зависи-
мости при низких температурах можно с достаточной точностью
оценить энергию ионизации примеси, а по известным значениям
(Nd~Na) и AEd, согласно (2.27), найти Na/gd-\ Если фактор спи-
нового вырождения известен, то параметры Nd, Na и NEd определе-
ны (рис. 2.8).
Рис. 2.7. Теоретически рас-
считанные зависимости ло-
гарифма концентрации элек-
тронов «о от 100/Т
Рис. 2.8. Эксперименталь-
ная зависимость 1g п0 от
1000/Т для образца из
арсенида галлия:
,Vd-7.7610” см-’: Л'О = 1,86Х
Х10м см—3; AEd==4,28 мэВ
В более общем случае, когда фактор спинового вырождения
неизвестен, для определения параметров используют уравнение
(2.16). Подбором параметров добиваются совпадения теоретиче-
ской и экспериментальной зависимостей во всей области темпера-
тур. Если параметры подобраны правильно, то зависимость
1п[г~3/г (по +] от \[Т будет линейной. НаилучшеГо
L A(Nd~Na-n0) ]	У	У
совпадения теоретической и экспериментальной зависимости доби-
ваются при использовании метода наименьших квадратов.
При вычислении концентрации носителей заряда в зависимости
от температуры по коэффициенту Холла согласно (2.3) или (2.4)
следует принимать во внимание температурную зависимость холл-
фактора г(Т). Незнание механизмов рассеяния, зонной структуры
и закона дисперсии ведет к возникновению систематических по-
грешностей при нахождении концентрации носителей зарядов, при-
месей, их энергии ионизации и других параметров. Однако на прак-
тике определение механизмов рассеяния, т. е. учет холл-фактора,
63
представляет собой трудную задачу, поэтому часто полагают
г(7-) = 1.
В настоящее время для анализа температурной зависимости
концентрации носителей заряда используют ЭВМ. С помощью ЭВМ
можно легко обрабатывать большое количество исходных данных,
рассчитывать уравнения (2.14) любой степени сложности, анали-
зировать сложные модели примесных уровней. В ряде работ, по-
священных исследованию кремния, арсенида галлия, германия про-
анализированы экспериментальные данные с помощью модели,
учитывающей возбужденные состояния и расщепление основного
состояния примеси, с учетом влияния глубоких примесных уровней,
многовалентных примесей и примесей двух различных типов.
При наличии возбужденных примесных состояний концентрация
свободных носителей заряда уменьшается вследствие их распреде-
ления по возбужденным уровням. Основное состояние соответст-
вует фиксированному значению энергии ниже дна зоны проводи-
мости (для донорной примеси). Увеличение концентрации доноров
приводит к уширению сильновозбужденных состояний, перекрытию
волновых функций этих состояний и образованию зоны непрерыв-
ного спектра, соприкасающейся с зоной проводимости.
Следовательно, дно зоны проводимости опускается и энергия
термической активации понижается. Для оставшихся дискретных
возбужденных уровней разности энергии не изменяются. Структура
возбужденных состояний водородоподобной модели описывается
формулой Eh — (1—k~2)Ei, где k^2 — целое число; Е{ = ЕС—Ed
фиксировано в пределе при малой концентрации примеси. Напри-
мер, для арсенида галлия n-типа с концентрацией доноров более
8-1014 см-3 уширение уровней настолько велико, что все возбуж-
денные состояния перекрываются и не влияют на функцию распре-
деления. При концентрации доноров 1014 см-3 нужно учитывать
лишь первое возбужденное состояние.
С учетом возбужденных состояний уравнение (2.16) имеет вид
-1Л7 f ДМ
/	. xr X ed Nce*p —"77“
п0 (п0 + ^д) ____	\ kT )
Nd — Na — n^~	1 + F
со
где F— -ЕЕ ехр (—; gh gh— факторы вырождения основ-
gk \ kT J
Л = 2
ного и возбужденных состояний.
Наличие нескольких примесей различного типа усложняет ана-
лиз экспериментальных данных. Однако он упрощается, когда со-
ответствующие энергетические уровни хорошо разделены, т. е. в
некотором температурном интервале только один из уровней из-
меняет свое заполнение. При определенных условиях ненаблюдае-
мыми могут оказаться все уровни одного и того же типа. Рассмот-
рим, например, компенсированный полупроводник p-типа с двумя
акцепторными уровнями. Структура энергетических уровней такого
64
полупроводника приведена на рис. 2.9,а. Если концентрация ком-
пенсирующих доноров Nd меньше концентрации мелких акцепторов
Л/а, то оба акцепторных уровня проявляются в температурной зави-
симости ро(Т). Если Nd>Nai, то мелкие акцепторные уровни будут
заполнены при любой температуре и можно набюдать активаци-
онный переход только на второй акцепторный уровень Eai. Таким
образом, оба типа акцепторных уровней могут быть зарегистриро-
----------------Ес
+ + +-»- + Wd,Ed
-----------------Naz.EaZ
е - е е - е eNai,Eai
+ + + + + + + Nd,Ел
© Na,Ea.
— Еу
е е е
Рис. 2.9. Зонные диаграммы полупроводников р-типа:
а _ (v+ Nd<Na; 6-N~=Na-, Nd>No
ваны лишь при	В противоположном случае наличие иони-
зированных акцепторов может повлиять на подвижность дырок.
В полупроводнике p-типа с мелкими акцепторными и глубокими
донорными уровнями, расположенными в нижней половине запре-
щенной зоны, глубокие доноры могут проявлять себя как акцеп-
торы (рис. 2.9, б). Кроме того, если Nd>Na, то при нулевой темпе-
ратуре мелкие акцепторные уровни заполнены электронами и их
нельзя обнаружить с помощью эффекта Холла. Нужно отметить,
что глубокий донорный уровень можно отличить от глубокого ак-
цепторного уровня (рис. 2.9, а), поскольку при захвате электрона
донор из состояния с положительным зарядом переходит в ней-
тральное состояние, тогда как акцептор из нейтрального состояния
переходит в состояние с отрицательным зарядом. Хотя температур-
ная зависимость ЭДС Холла позволяет выделить глубокие уровни
по их влиянию на концентрацию носителей заряда, чувствитель-
ность этих измерений относительно глубоких примесных центров
невелика. Она ограничена точностью измерения коэффициента Хол-
ла и обычно не превышает десятой доли концентрации носителей
заряда, т. е. значения 0,1 (Nd—Na). Поэтому глубокие примесные
уровни исследуют с помощью емкостных методов, обладающих
большей чувствительностью.
§ 2.4. Измерение распределения концентрации
и подвижности носителей заряда
в диффузионных, эпитаксиальных
и ионно-легированных слоях
Значение поверхностного сопротивления слоя дает недостаточ-
ную информацию для описания свойств полупроводникового мате-
3—1438	65
риала. Для полного описания свойств материала необходимо знать
распределение концентрации примеси по глубине, т. е. профиль ле-
гирования. Это прежде всего относится к тонкослойным структу-
рам, полученным с помощью эпитаксии, диффузии или ионного
легирования. В структурах специального применения часто требу-
ется создавать резкие границы между сильно- и слаболегирован-
ными областями или распределение примеси, отвечающее заданным
требованиям. Поэтому при изучении диффузионных, эпитаксиаль-
ных и ионно-легированных слоев возникает необходимость в опре-
делении профиля легирования. Такие
Рис. 2.10. Модель полупровод-
никового образца с неоднород-
ным распределением концен-
трации носителей заряда
структуры характеризуются неодно-
родным распределением примеси, при-
чем обычно полагают, что концентра-
ция примеси зависит только от одной
координаты. Для образцов с неодно-
родным распределением примеси ни
одно из выражений для коэффициента
Холла, выведенное для однородного
образца, не применимо. В случае не-
однородных образцов можно судить
лишь об эквивалентном значении ко-
эффициента Холла, который характе-
ризует весь слой.
ЭДС Холла неоднородного образца. Рассмотрим эффект Холла
для неоднородного образца и выясним, какие характеристики об-
разца можно определить при измерении ЭДС Холла.
Пусть образец имеет форму прямоугольной пластины, по кото-
рой в направлении х протекает электрический ток 1Х (рис. 2.10).
Концентрация и подвижность носителей заряда не зависят от ко-
ординат х и у, но зависят от координаты г: и (г), ц„(г). Выделим
в образце слой толщиной Awj. Можно считать, что в пределах это-
го слоя концентрация и подвижность носителей заряда остаются
постоянными. Напряженность электрического поля в слое ^yi =
= RijxiBl. Учитывая, что jxi=Gi&’x', К1О1=гцц, получаем &yi=t=
— г ;ц1Й’ xBz.
Разность потенциалов между точками у—0 и у=Ь слоя Дьу,-
найдем, умножив напряженность электрического поля на размер
образца в направлении у.
Uyt = bEyi = Ьг&^хВг.
С2.2&)
Образец представим в виде суммы слоев толщиной Дк>,. Так
как значение ЭДС Холла различно для каждого слоя, то вдоль
отдельных слоев в плоскости yz потечет электрический ток, в ре-
зультате чего в образце возникнет выравнивающий ток. Если раз-
мер образца w вдоль оси г значительно меньше его размера вдоль
оси y(w<^b), то разностью потенциалов, вызванной протеканием
выравнивающего тока, вблизи граней образца у = 0 и у=Ь (крае-
66
вой эффект) можно пренебречь. Таким образом, можно считать,
что между этими поверхностями устанавливается некоторая раз-
ность потенциалов, которая представляет собой ЭДС Холла Ux
образца и измеряется экспериментально.
В направлении у вдоль i-ro слоя единичной длины по оси х про-
текает выравнивающий ток
l^lyi={Ux-Uyi)LGyl,
где
AG1/f=^.-^.=^£	(2.29)
— проводимость t-слоя в направлении у.
Сумма токов через все слои равна нулю, так что
к	k
4=2	(^x-^yi)AGw=O.	(2.30)
t=i	t=i
Согласно выражению (2.30), с учетом (2.28) и (2.25) ЭДС Хол-
ла образца
ft	к
ь 2 rinilfawi	У,
Ux=-^-------------SxBz=-±±----------^IXB, (2.31)
у n^iLwi	el У I
t = l	4 = 1	/
Из соотношения (2.31) следует, что если подвижность носителей
заряда не зависит от координаты, то Gx = Qinb#xBz, т. е. ЭДС Хол-
ла неоднородного образца связана с подвижностью носителей за-
ряда так же, как и для однородного образца. В обратном случае
большее влияние на ЭДС Холла оказывают носители заряда с
большой подвижностью, так как числитель (2.31) зависит от квад-
рата подвижности носителей заряда.
Последовательное удаление слоев. Измерение зависимости кон-
центрации и подвижности носителей заряда от координаты с по-
мощью эффекта Холла основано на последовательном удалении
тонких слоев. Для удобства вычислений вводят эффективный ко-
эффициент Холла |/?Эф—lRx/w, относящийся к слою конечной толщи-
ны W, И используют поверхностную проводимость On = UW.
Для образца, состоящего из k тонких однородных параллель-
ных слоев толщиной Дш, с локальными концентрациями и подвиж-
ностями tit и поверхностная проводимость
к	к
°п = 2
1=1	1=1
эффективный коэффициент Холла
3*	67
/?эф = -
е
к
У,
т
k
что следует из (2.31).
Согласно этим выражениям, эффективная подвижность носите-
лей заряда в слое рэф«=гщ/=/?афКТт.
Рассмотрим эксперимент с удалением /'-го слоя. Измерение по-
верхностной проводимости перед и после удаления /-го слоя позво-
ляет найти поверхностную проводимость удаленного слоя;
k	к
д<°п)/=2 а-'_2
(2.32)
3i.z = H*/M®’7==an/-
14 i~J+i
По результатам измерений ЭДС Холла перед и после удаления
/-го слоя найдем коэффициенты Холла и вычислим произведения
^эфоп2; разность между ними равна произведению r/p/Onj удален-
ного слоя:
к
Д (^эф3п)/=(^эф3п)/ — (/?9ф3п);+1=^ 2 riniV-2i^i —
k
— е 2 rini^'wi==er)rii^j^j==.rjV-p»)-
(2.33)
(2.34)
(2.35)
С учетом (2.32) и (2.33) получим
__ Д (Яэф°пЬ

А(’и)/
П/ =----------- .
еИэф/Aw/
Эти выражения лежат в основе экспериментов с удалением сло-
ев; они объединяют два последовательных измерений для опреде-
ления подвижности и концентрации носителей заряда в удаленном
слое.
Все изложенное в § 1.4 относительно возможности последова-
тельного удаления слоев в полной мере относится и к данному
случаю.
Если толщина удаленного слоя достаточно мала, то вычислен-
ные по (2.34) и (2.35) значения совпадают с локальными концент-
рацией и подвижностью носителей заряда. Многократно удаляя по-
верхностный слой и выполняя измерения ЭДС Холла и по-
верхностной проводимости, можно определить зависимость кон-
центрации и подвижности носителей заряда от координаты z.
В случае полной ионизации доноров и акцепторов концентрация
68
носителей заряда совпадает со значением Nd—Na (для электронно-
го полупроводника) и характеризует зависимость Nd(z).
Так как на эффективную подвижность носителей заряда (2.34)
влияют области слоя с большей подвижностью, то вычисленная
данным способом подвижность больше среднего значения подвиж-
ности, найденного из удельной проводимости. Следовательно, кон-
центрация носителей заряда оказывается меньше действительного
значения, что наиболее существенно для резких профилей легиро-
вания, например для ионно-легированных слоев.
Как показали расчеты для диффузионных слоев кремния при
гауссовском распределении легирующей примеси, систематическая
погрешность результатов измерения концентрации носителей заря-
да зависит от уровня легирования и достигает 18% для электронов
и 12% для дырок при концентрациях 1018—1019 см-3 и уменьшается
при снижении концентрации носителей заряда. При этом измерен-
ные значения меньше средних.
Описанная последовательность определения параметров неод-
нородных образцов пригодна для измерений диффузионных, эпи-
таксиальных и ионно-легированных слоев, которые отделены от
остального кристалла электронно-дырочным переходом, играю-
щим роль изолятора, или созданы на подложках с высоким удель-
ным сопротивлением. В обоих случаях необходимо, чтобы через
слой протекала большая часть тока, а через остальной кристалл —
только его незначительная часть. При изоляции слоя от подложки
с помощью электронно-дырочного перехода измерения следует
проводить в темноте, а к переходу должно быть приложено обрат-
ное напряжение. Открытая грань р-п-перехода часто приводит к
большим токам утечки, которые можно уменьшить химическим
травлением. Некоторые трудности при измерениях связаны не толь-
ко с зависимостью свойств образца от тока из-за его утечки в под-
ложку, но и с уменьшением толщины слоя за счет расширения
обедненного слоя р-п-перехода. Основное правило состоит в том,
что измерения следует проводить при малых значениях тока. Слои
на проводящих подложках вследствие сильного влияния подложки
нельзя исследовать с помощью методов, при которых направление
тока параллельно границе раздела слой — подложка.
Интерпретация результатов измерений концентрации и подвиж-
ности носителей заряда в ионно-легированных слоях наталкивается
на значительные трудности. Это связано прежде всего с тем, что
распределение носителей заряда в таких слоях неоднородно ввиду
гауссовского профиля легирования. В этих условиях наиболее важ-
ный параметр слоя — концентрация носителей заряда на единицу
площади, которую можно сравнивать с количеством внедренных
примесей. Если подвижность носителей заряда не зависит от их
концентрации, то концентрация носителей заряда на единицу пло-
щади не зависит от формы и глубины профиля легирования. Обыч-
но подвижность носителей заряда зависит от глубины, однако
предположение, что локальная подвижность соответствует локаль-
69
ной концентрации носителей заряда, не всегда справедливо. Если
распределение концентрации носителей заряда по толщине слоя
известно, то полную концентрацию определяют путем интегрирова-
Рис. 2.11. Зависимости хол-
ловской подвижности элек-
тронов и дырок в кремнии
от концентрации основных
носителей заряда
ния профиля по всей толщине образца.
Вследствие неполной ионизации примебей
при их высокой концентрации количест-
во носителей заряда в слое может быть
меньше количества внедренных примесей.
На рис. 2.11 приведены зависимости
холловской подвижности электронов и
дырок в кремнии от их концентрации;
сплошными линиями представлены зави-
симости для некомпенсированного одно-
родного материала, пунктиром — для ион-
но-легированных слоев.
Измерения на структурах с
барьером Шотки. Одним из вари-
антов описанного метода измерения про-
филя концентрации и подвижности носи-
телей заряда является метод, разрабо-
танный для структур с барьером Шотки.
В этом случае удаляемым слоем являет-
ся обедненный слой объемного заряда,
толщина которого изменяется в зависимо-
сти от постоянного обратного напряжения, поданного на контакт
Шотки. Изменение толщины обедненного слоя при изменении об-
ратного напряжения определяют, измеряя емкость структуры. Из-
мерения этим методом не разрушают образец.
§ 2.5. Определение концентрации доноров
и акцепторов по холловской подвижности
носителей заряда
Анализ температурной зависимости холловской подвижности
носителей заряда, полученной на основе экспериментальных дан-
ных по измерениям ЭДС Холла и удельной проводимости, пред-
ставляет собой еще одну возможность определения концентрации
электрически активных примесей в полупроводнике. Она связана
с влиянием ионов примесных атомов на рассеяние носителей за-
ряда, что в наибольшей степени сказывается на подвижности но-
сителей заряда при низких температурах. Этот метод наиболее
эффективен при высокой концентрации примесей, когда уширение
возбужденных состояний приводит к образованию зоны непрерыв-
ного спектра, смыкающейся с исходной зоной. В этом случае раз-
дельное определение концентрации доноров и акцепторов может
быть осуществлено путем измерения холловской подвижности, если
известны механизмы рассеяния носителей заряда. Метод, основан-
70
ный на анализе температурной зависимости концентрации носите-
лей заряда, здесь неприменим.
Для частично компенсированного электронного полупроводника
при любой температуре концентрация ионизированных примесей
^.=^ + ^=п04-2ЛГа.
При сравнительно высокой температуре, когда все доноры иони-
зированы,
nQ=Nd—Na-,	(2.36)
Ni=Na+Na.	(2.37)
Если п0 и Ui известны, то концентрацию доноров и акцепторов
можно найти из уравнений (2.36) и (2.37). Концентрацию носите-
лей заряда вычисляют по ЭДС Холла при определенной темпера-
туре (например, при температуре кипения жидкого азота 77 К),
а концентрацию ионов примесей-^ по значению холловской по-
движности носителей заряда при той же температуре. Однако на
практике такой способ не распространен вследствие сложности
теоретических расчетов, возникающих при учете одновременного
действия нескольких механизмов рассеяния.
Наиболее полно метод определения полной концентрации при-
месей по подвижности носителей заряда разработан применитель-
но к арсениду галлия n-типа; он имеет строгое количественное
обоснование. Рассмотрим его применительно к арсениду галлия.
В соединениях А3В5 зона проводимости параболическая, одна-
ко вычисления подвижности электронов наталкиваются на трудно-
сти, связанные с необходимостью учета рассеяния носителей за-
ряда на продольных оптических фононах, которое нельзя рассмат-
ривать в приближении времени релаксации. В наиболее простом
случае концентрацию ионизированных примесей вычисляют по
экспериментально измеренному значению подвижности носителей
заряда при определенной температуре, комбинируя подвижность,
связанную с рассеянием на ионах примеси и рассчитанную по
формуле Брукса — Херринга, с подвижностью, обусловленной рас-
сеянием носителей заряда кристаллической решеткой. Можно так-
же анализировать подвижность, измеренную при такой низкой
температуре (например, при 20 К), когда влияние полярного опти-
ческого рассеяния пренебрежимо мало. Для образцов с высокой
концентрацией примеси при низкой температуре возможны прыж-
ковая электропроводность, электропроводность по примесной зо-
не, вырождение полупроводника. Эти процессы ведут к тому, что
измеренная при низкой температуре подвижность оказывается
меньше подвижности при рассеянии носителей заряда ионами
примеси. Для образцов с низкой концентрацией примеси подвиж-
ность носителей заряда при низкой температуре может быть мень-
ше подвижности при рассеянии ионами примеси из-за влияния
рассеяния на Нейтральных атомах примеси или дефектах кристал-
71
лической решетки. Влияние этих механизмов рассеяния уменьша-
ется с увеличением Температуры, в то время как рассеяние кри-
сталлической решеткой становится сильнее. Поэтому должен су-
ществовать оптимальный интервал температур, в котором влияние
рассеяния ионами примеси проявляется в наибольшей степени, а
другие механизмы рассеяния оказывают минимальное воздейст-
вие на подвижность носителей заряда. Таким образом, анализ
температурной зависимости подвижности носителей заряда с по-
мощью формулы Брукса — Херринга позволяет выявить оптималь-
ный температурный интервал и определить концентрацию ионов
примеси.
Формула Брукса — Херринга определяет подвижность электронов или ды-
рок:
3,68-1020	1
= Nl Z2
где eZ — заряд иона;
0,43402 -|-1
s
16
₽ =
I/2 /2,08-1018\ 1/2
п
Коэффициент р зависит от эффективной концентрации экранирующих ион заря-
ДОВ /7эф'
Пэф = п0 + [(«о + ЛГд) (Nd — Na — no)/Nd].
Эффективная концентрация экранирующих зарядов превышает среднюю кон-
центрацию электронов; при больших концентрациях примесей заряд ионов при-
месей влияет на экранирование. Экранирование резко уменьшает электростатиче-
ский потенциал иона на расстояниях, больших дебаевской длины экранирования.
Для арсенида галлия с эффективной массой электронов m„/mo=0,072, отно-
сительной диэлектрической проницаемостью ег=12,5 при Z=1 и Л',=п0+2Л'а вы-
ражение (2.38) приобретает вид
3,26-1015(то/тп)1/2 ггТ3'г
(2.39)
(л0 + 2Na) [In (1 + 02) _ 02/(] + 02)] ’
где
1,29-ЮИ (m„/fflo)err2
02 =
«эф
Выражение (2.38) основано на приближении Борна и справедливо при р23>1. Вы-
полнение этого неравенства ограничивает максимальные значения концентрации
носителей заряда значением 31017 см-3.
Поскольку уравнение (2.39) нельзя решить в явной форме относительно Nd
и Na, нужно подбирать Na и Na таким образом, чтобы сделать разность между
измеренной холловской подвижностью и подвижностью, определенной по (2.39),
минимальной при любой температуре. Так вычисляют значения Na н Na во всем
интервале температур, причем минимальные значения концентраций соответству-
ют наилучшему совпадению с действительными значениями.
Температурные зависимости Nd и Na, определенные по уравне-
Брукса — Херринга для образцов а, Ь, с, представлены на
2.12. Как видно из рис. 2.12, значения Nd и Na уменьшаются
снижении температуры до минимальных значений, которые
НИЮ
рис.
при
72
Рис. 2.12. Температурные зави-
симости концентрации доноров
Nd (сплошные кривые), акцеп-
торов Na (пунктирные кривые),
определенные с помощью урав-
нения Брукса — Херринга для
образцов а, Ь, с
совпадают со значениями, полученными из температурной зависи-
мости концентрации (горизонтальные прямые на рис. 2.12). Та-
ким образом, для данного образца существует оптимальный ин-
тервал температур, в пределах которого анализ холловской под-
вижности позволяет получить истинные значения концентрации
примеси. Закономерно, что температурный интервал, соответст-
вующий минимальным концентрациям примесей, смещается в сто-
рону более высокой температуры при
увеличении концентрации примесей,
так как электропроводность по при-
месной зоне, так же как и влияние
вырождения, становится более сущест-
венной, а следовательно, относительное
влияние рассеяния на колебаниях
кристаллической решетки уменьшает-
ся.
Согласно экспериментальным дан-
ным, для образцов с концентрацией
Nd-{-Na<Z7 1015 см-3, для которых мо-
жет быть выполнен как анализ темпе-
ратурной зависимости концентрации
носителей заряда, так и анализ хол-
ловской подвижности, значения Nd и
Na, вычисленные этими способами,
совпадают. При таких концентрациях
примесей интервал температур, соот-
ветствующий минимальным концен-
трациям примесей, лежит в пределах
от 5 до 40 К- Для образцов с более вы-
сокой концентрацией примесей 4Х
Х1016—3-1017 см-3) этот интервал температур находится вблизи
77 К. При этой температуре все примеси полностью ионизированы
и эффективная концентрация экранирующих зарядов равна кон-
центрации электронов. Следовательно, из соотношения (2.39) мож-
но в явном виде найти Na. Определенные таким способом концен-
трации ионов примеси могут быть сопоставлены со значениями
подвижности электронов при 77 К- Зависимость подвижности элек-
тронов при 77 К от концентрации ионов примеси представлена-на
рис. 2.13.
Результаты теоретических расчетов подвижности, выполненные
с учетом рассеяния носителей заряда ионами примеси, колебаний
атомов кристаллической решетки и полярного оптического рас-
сеяния, хорошо согласуются с кривыми рис. 2.13.
Максимальная погрешность при определении концентрации
ионов примесей с помощью рис. 2.13 обусловлена погрешностью
измерения подвижности, изменением фактора рассеяния в зависи-
мости от температуры и концентрации и влиянием других меха-
низмов рассеяния (кроме рассеяния на ионах примеси). Погреш-
73
ность измерений подвижности обычно не превосходит ±10%. Тео-
ретически рассчитанный фактор рассеяния для арсенида галлия
Рис. 2.13. Зависимость под-
вижности электронов в
арсениде галлия прн 77 К от
концентрации ионов приме-
си Nd + Na, помноженной на
коэффициент F=ln(6,94X
X1017/n)—1, учитывающий
териалов.
изменяется при рассеянии на ионах
примеси от 1,29 при высоких концен-
трациях примеси и температуре до 1,6
при низких концентрациях примеси и
температуре. Допущение, что фактор
рассеяния равен 1,0, ведет к заниже-
нию концентрации ионов примерно на
20% при высоких и на 10% при низких
концентрациях. Погрешность, обуслов-
ленную пренебрежением другими ме-
ханизмами рассеяния, оценить трудно;
она завышает концентрацию ионов (ее
можно свести к минимуму выбором
оптимальной температуры). Погреш-
ность определения концентрации при-
месей с помощью графика рис. 2.13 со-
ставляет ±20%.
Вычисления подвижности носите-
экранирование	лей зарЯда При 300 и 77^ в антимони-
де, арсениде и фосфиде индия в зави-
симости от концентрации носителей заряда и степени компенсации
свидетельствуют о том, что данный метод пригоден и для этих ма-
§ 2.6. Измерение подвижности носителей заряда
методами тока Холла
и геометрического магнитосопротивления
Метод тока Холла. Эффект Холла можно исследовать не толь-
ко с помощью традиционного измерения ЭДС Холла, но также с
помощью определения тока Холла. Метод тока Холла был предло-
жен и впервые реализован советскими учеными В. Н. Доброволь-
ским и Ю. И. Гриценко. Этот метод основан на измерении электри-
ческого тока, возникающего в образце при отклонении носителей
заряда силой Лоренца, который по аналогии с электрическим по-
лем Холла называют током Холла.
Как было отмечено в § 2.2, токовые металлические контакты
закорачивают ЭДС Холла. По этой причине в приконтактной об-
ласти образца магнитная составляющая силы, действующая на
носители заряда, не компенсируется силой холловского электриче-
ского поля и носители заряда перемещаются под некоторым углом
относительно продольного электрического поля. Электрическое
поле Холла полностью закорачивается контактами у концов образ-
ца, имеет максимальное значение в его средней части. Электри-
ческий ток, наоборот, максимален у концов образца и минимален
в его середине, так как поле Холла действует на носители заряда
74
в направлении, противоположном силе Лоренца, уменьшая попе-
речную составляющую тока. Очевидно, что чем короче образец,
тем сильнее шунтирующее действие токовых электродов. Для
очень короткого образца холловское поле полностью закорочено и
носители заряда перемещаются под действием силы Лоренца под
углом Холла относительно внешнего электрического поля. Закора-
чивание поля Холла металлическими электродами лежит в основе
зависимости ЭДС и тока Холла от соотношения геометрических
размеров образца и определяет
эффект геометрического магнито-
сопротивления.
Проведем расчет тока Холла.
Пусть прямоугольный полупро-
водниковый образец p-типа с оми-
ческими контактами на торцевых
гранях помещен в магнитное поле
с индукцией В (рис. 2.14). Раз-
меры образца вдоль осей х, у и г
обозначим соответственно а, Ь и
Рис. 2.14. Модель полупроводни-
кового образца
и>; координаты граней образца:
х=±а/2; у—±Ь12-,	z=±w/2.
Магнитное поле направлено вдоль
оси z; по образцу течет ток 1Х,
обусловленный внешним источником тока.
Составляющая плотности тока jy является функцией коорди-
нат х, у и в однородном образце не зависит от z. Пусть
rot<^=0; div j = 0; div<^=0.
(2.40)
Тогда плотность тока в образце
| = а<^4-агр.р|Эв],	(2.41)
Ограничимся приближением для слабого магнитного поля
гцрВ<С 1. Условия (2.40) означают, что электрическое поле в образ-
це безвихревое, поток носителей заряда постоянен и объемный
заряд отсутствует. Вычислив rot rot=j, получим Aj=O. Таким
образом, задача нахождения j сводится к решению уравнения Лап-
ласа Aj=O; применительно к составляющей плотности тока вдоль
оси у
Ajy=O.	(2-42)
Граничные условия на боковых гранях образца можно записать
в виде
/&=0 при у=+Ь]2,	(2.43)
что соответствует отсутствию нормальной составляющей тока на
указанных поверхностях:
<Fp=0 при х— ±а/2,	(2.44)
75
так как холловское поле полностью закорачивается контактами.
Условие (2.44) с учетом уравнения (2.41) дает выражение для
iv'-
ju = —ry.pjxBz при х=+а/2.
Применение метода разделения переменных к уравнению
(2.42) с граничными условиями (2.43) и (2.44) позволяет полу-
чить решение для плотности тока вдоль оси у.
Jy = ~rv-PJXBZ ±
fe=0
h 2fe + 1
(—l)ft C b	[2k+ \
2k + 1	(2k + 1	\ C°S b
Ch
(2.45)
ny
Проинтегрировав (2.45) по x от —a/2 до a/2, найдем полный
ток, текущий через любое сечение образца, перпендикулярное
оси у:
Iу(У}——гу-р1 xBzc(a/b', у/Ь),
где
c(a/b\ у/Ь) —
60
- У
Л2
Л=0
(— 1)*	(2k 4- 1
——-— th I —— ла
(2k + I)2	\ 2b
2k + 1
b
ny
— безразмерный коэффициент, зависящий от отношения длины
образца к его ширине а/b, а также от у/Ь.
Из выражения для тока 1У видно, что он зависит от координа-
ты у и максимален при i/=0, когда cos (	Проанали-
зируем предельные случаи: а^>Ь и а<^Ь для у—0. При а^>Ь
,. (2k + 1	\	.
th 1 —— па	1;
(26	)
/ у = ~0,742г\>.р/XBZ.
При а-^Ь
,. (2k + 1
th -----— ла
( 2Ь
_2А4-1	.
2
/у— —— ry. IXBZ.
ь
(2.46)
(2.47)
График функции с(а/Ь\ у=0) представлен на рис. 2.15. Как
видно из рис. 2.15, условие а^>Ь практически реализуется уже при
а>2Ь, а условие а<^Ь — при a/h<0,3. В случае а<^&, т. е. для ко-
роткого и широкого образца, электрическое поле полностью зако-
рачивается торцевыми контактами и ток Холла возникает в ре-
зультате отклонения носителей заряда лишь за счет магнитной
составляющей силы Лоренца. Ток Холла при a<gib можно найти,
76
не решая уравнения (2.42), а приняв в уравнении (2.41) <^=0:
jff==	xBz-
Соотношения (2.46) и (2.47) используют для определения под-
вижности основных носителей заряда по результатам измерения
тока Холла. Для получения сведений о концентрации носителей
заряда необходимо проводить измерения тока Холла совместно с
измерениями удельной проводимости.
Рассмотрим схему, предназначенную для измерения тока Хол-
ла (рис. 2.16).
Рис. 2.15. График функ-
ции c(a!b\ j/=0)
Рис. 2.16. Схема для из-
мерения тока Холла
Ток Холла равен сумме токов, протекающих вдоль токовых
контактов; он может быть измерен, если расщепить токовые элек-
троды и между их половинами включить токоизмерительные при-
боры. Поэтому основная особенность образца для измерения тока
Холла заключается в том, что один из токовых контактов выпол-
няют в виде двух равных половинок 2 и 3, разделенных узким за-
зором. В отсутствие магнитного поля через образец протекает ток
от источника напряжения ИН. Если контакты 2 и 3 одинаковы и
то они эквипотенциальны и ток через гальванометр G
не протекает. При наличии тока через гальванометр, изменяя со-
противления резисторов Ri и /?2, можно довести его до нулевого
значения. Чтобы весь ток Холла протекал через гальванометр и
измерялся им, сопротивление гальванометра должно быть много
меньше сопротивления области образца между контактами 2 и 3
и сопротивлений Ri и /?2. При соблюдении этих требований и на-
личии магнитного поля гальванометр покажет ток, равный 0,5/1,.
Такой же ток потечет по контакту 1.
По существу, рис. 2.16 представляет собой мостовую схему, в
которой два плеча моста образованы двумя половинами образца,
а два другие — резисторами /?1 и R2. Мост балансируется в отсут-
ствие магнитного поля, а при его наличии производится измере-
ние тока Холла. Вместо гальванометра в измерительной схеме мо-
77
жет быть использован дифференциальный усилитель постоянного
тока. При прохождении через образец переменного тока условие
короткого замыкания можно легко реализовать, используя усили-
тель с трансформаторным входом. Это особенно важно при прове-
дении измерений на образцах с низким удельным сопротивлением,
для которых сопротивление между половинками контактов может
оказаться очень малым. При этом емкостное сопротивление при-
контактного слоя можно сделать небольшим, тем самым уменьшив
влияние контактов, обусловленное как повышенным их сопротив-
лением, так и инжекцией носителей заряда. Повышение чувстви-
тельности измерительной схемы при переменном токе позволяет
уменьшить напряжение на образце и проводить измерения в пре-
делах линейного участка ВАХ контактов.
Метод тока Холла позволяет проводить измерения на более вы-
сокоомных материалах, чем метод ЭДС Холла. Этому способству-
ет такое соотношение геометрических размеров образца, при ко-
тором его сопротивление между токовыми контактами ниже, чем
при измерении ЭДС Холла. Небольшое различие в характеристи-
ках половинок контактов практически не влияет на результаты
измерений в высокоомных образцах, тогда как небольшая асим-
метрия в расположении холловских контактов при измерении ЭДС
приводит к образованию их значительной неэквипотенциальности,
которая затрудняет измерения. Так как ток, протекающий через
поперечное сечение образца, складывается из объемной и поверх-
ностной составляющих, то оказывается возможным разделить эти
составляющие и исследовать их раздельно. С помощью рассмат-
риваемого метода можно исследовать распределение подвижности
носителей заряда вдоль неоднородного по длине канала МДП-
структур. Одно из преимуществ метода тока Холла состоит в том,
что- он менее подвержен влиянию захвата носителей заряда.
Использование метода тока Холла ограничено в связи с жест-
кими требованиями, предъявляемыми к качеству омических кон-
тактов. Кроме того, данный метод подвержен влиянию контакт-
ных шумов, что обусловлено проведением измерений на тех же
контактах, через которые течет продольный ток образца. Это об-
стоятельство также предопределяет повышенные требования к од-
нородности и сопротивлению контактов.
Метод геометрического магнитосопротивления. Измерение под-
вижности носителей заряда данным методом основано на исполь-
зовании соотношения (2.11), когда реализованы условия (2.10).
Если образец короткий, холловское поле замыкается металличе-
скими электродами, а электрическое поле направлено вдоль образ-
ца, то электрический ток протекает под углом Холла к направле-
нию электрического поля. При этом эффект геометрического маг-
нитосопротивления наблюдается даже в том случае, если эффект
магнитосопротивления (2.9) при jy—O в материале полностью
отсутствует. Если, однако, этот эффект имеет место, то возникаю-
щее магнитосопротивление является комбинацией обоих эффек-
78
тов. Во многих случаях эффект (2.9) много слабее эффекта гео-
метрического магнитосопротивления. Например, в арсениде галлия
при комнатной температуре и магнитной индукции 1 Тл Др/р со-
ставляет лишь 2%, тогда как Др,/р — около 50%.
Рассмотрим взаимосвязь между холловской подвижностью
носителей заряда и подвижностью цг, определяемой методом гео-
метрического магнитосопротивления для полупроводника п-типа:
1 ГДр(Я)11/2
т = — ———	=а, р_.
В L Р(0) ]
Пусть У?(0) характеризует сопротивление образца в виде пла-
стины, отнесенное к единице площади поверхности, при В=0, а
ДР(В)—изменение этого сопротивления, обусловленное магнит-
ным полем с индукцией В. В соответствии с (2.11) в слабых маг-
нитных полях
^>=((хгв)2=(егрявя ,
где
S = af/2/r=pr/(rp„).
(2.48)
(2.49)
Соотношение (2.49) указывает на экспериментальную возмож-
ность определения коэффициента £. Значения коэффициента вы-
числены для различных механизмов рассеяния по известным зна-
чениям г и аг (см. табл. 2.1): £=1 в приближении постоянного
времени релаксации по импульсу; £= 1,13 при рассеянии на аку-
стических фононах; g=l,26 при рассеянии на ионах примеси.
Выражения (2.41) и (2.48) справедливы для образца бесконеч-
ных размеров, когда электрическое поле Холла отсутствует. Если
пластина имеет конечные размеры, то электрическое поле Холла
шунтируется металлическими контактами в меньшей степени и
эффект геометрического магнитосопротивления уменьшается по
сравнению с бесконечной пластиной. Таким образом, эффект гео-
метрического магнитосопротивления зависит от геометрических
размеров образца.
Для образца, имеющего форму прямоугольной пластины, вво-
дят функцию f, учитывающую степень закорачивания ЭДС Холла
контактами, которую определяют из уравнения
ГД/?(В)1	д/?(В)
L А*(0) J,.~ Я(0)
(2.50)
Левая часть уравнения характеризует относительное геометри-
ческое магнитосопротивление образца конечных размеров, изме-
ряемое экспериментально. В наиболее простом случае функция f
зависит от отношения длины образца к его ширине: а/b. Для
а/6<0,39 с точностью не менее 10% функция f= 1—0,543 a/b. При
произвольном отношении а/b функция f изменяется и становится
79
зависящей от усредненных значений различных степеней времени
релаксации. Следовательно, подвижность цг можно определить
лишь для примесных полупроводников со сферическими изоэнерге-
тическими поверхностями.
Значения функции f вычислены для образцов других конфигу-
раций, кроме пластин с двумя плоскопараллельными контактами,
которые применяют для измерения подвижности носителей заряда
на высокоомных слоях, составляющих
часть многослойных полупроводнико-
вых структур п-п+- и п+-п-п+-типа.
Для этих структур измерение подвиж-
ности носителей заряда с помощью эф-
фекта Холла не может быть осущест-
влено вследствие шунтирующего дей-
ствия сильнолегированной подложки.
Для обеспечения большей точности
измерения подвижности методом гео-
метрического магнитосопротивления
необходимо, чтобы образец имел низ-
коомные контакты. Хотя сопротивле-
ние контактов не влияет на магнитосо-
Рис. 2.17. Эксперименталь-
ная зависимость Л7?/7?(О) от
В2 для образца арсенида
галлия: р„=5840 см2/(В-с)
противление образца, но оно увеличи-
вает сопротивление образца /?(0), что
занижает измеренную подвижность
носителей заряда, т. е. вносит система-
тическую погрешность.
Теоретически доказано, что градиент концентрации примеси в
образце в направлении электрического поля не приводит к каким-
либо изменениям магнитосопротивления. Сопротивление образца
как при наличии, так и в отсутствие магнитного поля пропорцио-
нально среднему значению сопротивления образца. Это важно,
например, для слоев, изготовленных по эпитаксиальной техно-
логии.
Требования к ориентации магнитного поля относительно на-
правления электрического поля или плоскости контакта не слиш-
ком жесткие. Например, при отклонении магнитного поля на 26°
ошибка в измерении подвижности не превышает 10%.
Для измерения сопротивления образца в магнитном поле ис-
пользуют мостовые схемы постоянного и переменного тока. Изме-
рения проводят при различных значениях индукции магнитного
поля с учетом условия (2.26). При этом Д/?(В)//?(0) линейно за-
висит от В2 (рис. 2.17). В соответствии с (2.48) и (2.50)
п______1 |~Д/?(В)р/2
В [ /?(0) ]
1 Г А/? (В) у/2
в L /?(0)
Благодаря применению электронной схемы извлечения квадрат-
ного корня выходной сигнал мостовой схемы можно сделать пря-
80
мо пропорциональным подвижности носителей заряда, что делает
возможной разработку прямопоказывающих приборов для измере-
ния подвижности методом геометрического магнитосопротивления.
Глава 3
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
§ 3.1. Параметры неравновесных носителей заряда
Параметры неравновесных носителей заряда характеризуют
электрофизические свойства полупроводникового материала и во
многом определяют возможности его использования для изготов-
ления полупроводниковых приборов. Кроме того, измерение этих
параметров является важным направлением исследования полу-
проводникового материала.
Описанные в этой главе методы измерения основаны на реги-
страции дрейфа, диффузии и рекомбинации неравновесных носи-
телей заряда, созданных в полупроводнике с помощью биполяр-
ной световой генерации или инжекции при пропускании через
полупроводник электрического тока. Некоторые из них широко
применяются в промышленности в качестве методов контроля па-
раметров монокристаллического кремния, германия и соедине-
ний А3В5.
К параметрам неравновесных носителей заряда относятся вре-
мя жизни, амбиполярная дрейфовая подвижность, амбиполярный
коэффициент диффузии, диффузионная длина и скорость поверх-
ностной рекомбинации.
Во многих случаях параметры неравновесных носителей заря-
да характеризуют неосновные носители заряда, т. е. электроны в
дырочных полупроводниках и дырки в электронных полупровод-
никах.
Распределение неравновесных носителей заряда в полупровод-
никовом образце описывается системой уравнений непрерывности
с начальными условиями и граничными условиями на поверхно-
сти, в которые входят все перечисленные параметры. Поэтому ме-
тоды определения этих параметров основаны на решении соответ-
ствующих уравнений непрерывности с некоторыми упрощающими
предположениями. Проанализируем связь параметров неравновес-
ных носителей заряда с параметрами основных и неосновных рав-
новесных носителей заряда.
Время жизни неравновесных носителей з а р я-
д а. Рассмотрим процессы, происходящие в полупроводниковом
образце, в котором создана однородная концентрация неравновес-
ных носителей заряда. В отсутствие электрического поля и гра-
81
диента концентрации изменение концентрации носителей заряда
во времени за счет процессов генерации и рекомбинации описыва-
ется следующими уравнениями:
для электронов
^-=~—+s-	(3.1=)
для дырок
-77 = -—+Я.	(3-16)
Gt	Т
где Ал. Др — избыточные концентрации носителей заряда; т —
объемное время жизни неравновесных носителей заряда; g— ско-
рость генерации электронно-дырочных пар.
Избыточной концентрацией носителей заряда называют избы-
ток концентрации неравновесных носителей заряда над концентра-
цией равновесных носителей заряда п0, ро, т. е.
йп=п — Hq, йр—р—р0.
Объемным временем жизни неравновесных носителей заряда
называют среднее время между генерацией и рекомбинацией не-
равновесных носителей заряда в объеме полупроводника.
Если предположить, что g — постоянная величина, не завися-
щая от времени, то, согласно (3.1а) и 3.16), для стационарного
процесса Дрс=Д«с=т£, где Дпс, Дрс — стационарные избыточные
концентрации носителей заряда.
В общем случае значения Дпс и Дрс зависят от характера про-
цессов захвата и рекомбинации носителей заряда в полупроводни-
ке и не равны друг другу. Однако при Дпс=Дрс спад избыточной
концентрации носителей заряда во времени после мгновенного
прекращения генерации происходит в соответствии с выражением
Др(^) =Дп(^) =Длс ехр (—t/r), где т — время жизни неравновес-
ных электронно-дырочных пар.
Рассмотрим условия, при которых время жизни неравновесных
носителей заряда имеет постоянное значение. В общем случае
время жизни неравновесных электронов и дырок зависит от кон-
центрации носителей заряда; вид этой зависимости определяется
механизмом рекомбинации. Например, при межзонной излучатель-
ной рекомбинации изменение концентрации носителей заряда во
времени в отсутствие генерации можно выразить в виде
= — Y«/’+y«o/’o=— уДга(ло+/’о+Д/’)=— — >
Си	Т
где
т=--------------;	(3.2)
Y (по + Ро + Д”)
у — коэффициент рекомбинации.
82
При низком уровне возбуждения Ап=Др<^Но+Ро время т не
зависит от избыточной концентрации носителей заряда, являясь
постоянной величиной. В электронном полупроводнике («оЗ>Ро)
Тр=1/(уп0) не зависит от концентрации дырок и характеризует
время жизни неосновных носителей заряда — дырок. Аналогичное
соотношение справедливо для дырочного полупроводника.
При высоком уровне возбуждения, когда избыточная концен-
трация носителей заряда сравнима с концентрацией основных но-
сителей заряда, значениями Дп и Др в (3.2) нельзя пренебречь по
сравнению с суммой по+ро', время жизни неравновесных носителей
заряда не будет постоянной величиной; решения уравнений (3.1а),
(3.16) примут иной, неэкспоненциальный вид. В этом случае мгно-
венное время жизни носителей заряда
т(/) =
Дп(О
dknt
s — —vr
at
что следует из (3.1а).
Межзонная излучательная рекомбинация наиболее существен-
на для полупроводников с узкой запрещенной зоной при комнат-
ной температуре и выше. При более низких температурах преобла-
дают другие процессы, такие, как межзонная ударная рекомбина-
ция и рекомбинация носителей заряда через ловушки.
Атомы примеси образуют в полупроводниках энергетические
уровни, расположенные в запрещенной зоне. Эти атомы служат
ловушками захвата, если они способны захватывать подвижные
носители заряда с последующим их освобождением, и рекомбина-
ционными ловушками, если на них происходит нейтрализация за-
хваченных носителей заряда. Как правило, рекомбинационные ло-
вушки характеризуются более глубокими энергетическими уров-
нями.
В наиболее простом случае рекомбинации носителей заряда
через ловушки, когда в полупроводнике имеется один тип лову-
шек, создающих моноэнергетический уровень в запрещенной зоне,
при малом отклонении концентрации носителей заряда от равно-
весной время жизни является постоянной величиной, не зависящей
от Дп и Др.
Если концентрация ловушек захвата не мала, то концентрация
электронов (дырок), захваченных ловушками Дп3, составляет зна-
чительную часть. При этом условие Дп=Др не выполняется; в
данном случае справедливо соотношение Дп+Дп3=Др. Неравен-
ство избыточных концентраций электронов и дырок ведет к нера-
венству времени жизни неравновесных электронов и дырок.
При высоком уровне возбуждения время жизни неравновесных
носителей заряда зависит от концентрации и свойств рекомбина-
ционных ловушек и является величиной постоянной.
Обычно измеряют время жизни неосновных носителей заряда
83
в условиях слабого возбуждения, хотя в ряде случаев желательно
знать время жизни неравновесных носителей заряда при большом
уровне возбуждения или инжекции, так как многие мощные полу-
проводниковые приборы работают при больших уровнях инжекции.
Время жизни неравновесных носителей заряда определяется
процессами излучательной и безызлучательной рекомбинации и
как параметр полупроводникового материала характеризуется
наибольшей чувствительностью к примесям и дефектам структу-
ры, а также к особенностям технологии получения и термообработ-
ки полупроводникового материала. Для различных полупровод-
никовых материалов время жизни изменяется в широких пределах
(от 10~8 до 10-3 с) и зависит от температуры.
Подвижность носителей заряда и коэффи-
циент диффузии. Рассмотрим особенности диффузии и дрей-
фа неравновесных носителей заряда в условиях квазиэлектроней-
тральности, когда кп~Ь.р. Изменение концентрации носителей
заряда во времени, обусловленное протеканием электрического
тока и процессами генерации и рекомбинации, записывают в виде
уравнений непрерывности:
для электронов
-^-=—Y- + ydivj„4-g;	(3.3а)
для дырок
~-=—^-divjp+g.	(3.36)
В этих уравнениях jn и jp — плотности электронного и дыроч-
ного диффузионно-дрейфового тока:
jn=^n«^ +	grad fi;
ip=e^pp^—eDp grad p.
(3.4a)
(3.46)
Ограничиваясь для простоты одномерным случаем, будем счи-
тать, что градиент концентрации и электрическое поле направле-
ны вдоль оси х. После подстановки (3.4а), (3.46) в (3.3а), (3.36)
уравнения непрерывности для области, где генерация отсутствует,
примут вид
е)Дп	дп л п		д2Дп	। .. „ d%		. п d\n <,* 	(3.5а)
dt	т	1	дх2	Г гл'*	дх		
д\р _ dt	Ьр т	+£₽	д2Др дх2	v-pp	dS dx		(3.56)
84
Величина div$’=-^ связана с избыточными концентрациями
носителей заряда уравнением Пуассона:
dx	в,«о
где ЕГ — относительная диэлектрическая проницаемость полупро-
водника; ео — электрическая постоянная.
Уравнения (3.5а), (3.56) и (3.6) составляют систему уравнений
для определения трех неизвестных функций: Дп(х, t), &р(х, /),
&(х, t).
Несмотря на то что разность Дя—Др можно считать небольшой,
слагаемыми, содержащими д&/дх, в уравнениях (3.5а) и (3.56)
пренебречь нельзя, поскольку коэффициенты, стоящие перед
дИЯ/дх, велики. Однако эти слагаемые можно исключить, если урав-
нение (3.5а) помножить на оР=ец₽р, а уравнение (3.56) — на
Сп=е\1Пп, после чего почленно сложить эти уравнения. В резуль-
тате получают одно уравнение для избыточной концентрации ды-
рок (электронов)
^Р-= —,	(3.7)
dt	т 1 дх^ г дх
где
D = a"DP+a»D" в________1±Р_____	(3,8)
°п + °р	п/Р>р + PlDn
—	коэффициент амбиполярной диффузии;
1== 't-Р_____	(3.9)
°П + °р	n/ltp + Р/[Х„
—	амбиполярная дрейфовая подвижность носителей заряда. В вы-
ражениях (3.8), (3.9) использовано соотношение Эйнштейна
Коэффициенты D и ц характеризуют движение совокупности
неравновесных носителей заряда в условиях электронейтрально-
сти. В частном случае примесного полупроводника коэффициент
амбиполярной диффузии равен коэффициенту диффузии неоснов-
ных носителей заряда, а амбиполярная дрейфовая подвижность
совпадает с подвижностью неосновных носителей заряда. Поэтому
уравнение непрерывности в виде (3.7) всегда записывают для
неосновных носителей заряда.
DnDp
Для собственного полупроводника D=2—-------—— ; р—0. Пос-
Оп + Dp
леднее означает, что дрейф совокупности неравновесных носителей
заряда во внешнем электрическом поле отсутствует.
85
Качественно полученные результаты можно пояснить следую-
щим образом. Пусть в некоторой области примесного полупровод-
ника, например n-типа, генерируются носители заряда. Допустим,
что происходит независимая диффузия неравновесных носителей
заряда в соответствии с коэффициентами диффузии Dn и Dp. Если
Dn>Dp, то диффузионный поток электронов превышает диффу-
зионный поток дырок, в результате чего происходит образование
объемного заряда электронов. В той части образца, откуда проис-
ходит диффузия, накапливается положительный объемный заряд
дырок. В возникшем вследствие образования объемных зарядов
электрическом поле потечет ток, обусловленный как основными,
так и неосновными носителями заряда, который нейтрализует объ-
емные заряды. Поскольку ток основных носителей заряда во мно-
го раз превышает ток неосновных носителей заряда, электроней-
тральность восстанавливается за счет перераспределения в про-
странстве основных носителей заряда. Это происходит для основ-
ных носителей заряда за время максвелловской релаксации: тм—
=еео/оп.
Аналогичный процесс происходит при дрейфе совокупности не-
равновесных носителей заряда. Вследствие быстрого перераспре-
деления основных носителей заряда совокупность неравновесных
носителей заряда дрейфует в условиях электронейтральности в
направлении и со скоростью неосновных носителей заряда.
Восстановление электроцейтралыюсти при соизмеримых кон-
центрациях носителей заряда, т. е. для полупроводника со смешан-
ной или собственной электропроводностью, происходит за счет
пространственного перераспределения носителей заряда обоих
типов.
Диффузионная длина носителей заряда. Как из-
вестно, диффузионная длина носителей заряда определяется соот-
ношением
L=(Dt)42.
Для примесного полупроводника длина L соответствует диф-
фузионной длине неосновных носителей заряда.
Диффузионная длина определяется коэффициентом диффузии
и временем жизни неосновных носителей заряда; она зависит от
уровня легирования полупроводника и для различных полупровод-
никовых материалов находится в пределах от 10~5 см до несколь-
ких миллиметров.
Скорость поверхностной рекомбинации. Условия
на поверхности полупроводника влияют на характер распределе-
ния неравновесных носителей заряда вследствие процесса поверх-
ностной рекомбинации. В неравновесном состоянии существует
диффузионный поток неравновесных носителей заряда к поверх-
ности, которые рекомбинируют на поверхности образца. Этот по-
ток, направленный к поверхности, полагают пропорциональным
86
избыточной концентрации носителей заряда на поверхности:
^г|п= ±яД^"’	(3,10)
где s— коэффициент пропорциональности, называемый скоростью
поверхностной рекомбинации. Это соотношение используют в ка-
честве граничного условия совместно с уравнением непрерывности
(3.7). Скорость поверхностной рекомбинации зависит от условий
обработки поверхности, а также от внешних условий. Она может
изменяться в широких пределах, для кремния, например, ее зна-
чение лежит в пределах от единицы до 106 см/с.
§ 3.2.	Методы измерения дрейфовой подвижности
неосновных носителей заряда
Дрейф неравновесных носителей заряда. Методы измерения
дрейфовой подвижности неосновных носителей заряда основаны
на регистрации дрейфа совокупности неравновесных носителей за-
ряда в электрическом поле. Они различаются лишь способами их
регистрации в некоторой точке образна.
Прежде чем касаться конкретных методов измерения дрейфо-
вой подвижности, рассмотрим процесс дрейфа совокупности нерав-
новесных носителей заряда в электрическом поле. Для этого зада-
дим закон генерации носителей заряда и решим уравнение непре-
рывности (3.7). Для простоты и наглядности проанализируем
одномерную задачу.
Пусть в плоскости х=;0 в момент времени t=0 в образце л-ти-
па электропроводности были генерированы пары электрон — дыр-
ка. Считая электрическое поле в образце постоянным, подставим в
уравнение (3.7) x=xi + pp&t, т. е. введем новую, движущуюся со
скоростью рр& систему координат Xi, t. В этой системе координат
уравнение непрерывности приобретает вид
дДр п
~дГ р dxi —
(3.11)
Пренебрегая процессом рекомбинации носителей заряда, полу-
чим уравнение	•=Dp  А, которое представляет собой вто-
рой закон диффузии Фика. Решение этого уравнения для мгновен-
ного точечного источника хорошо известно:
-х	/	\
Zft-V2exp J .	(3.12)
Из (3.12) следует, что в любой момент времени ширина обла-
сти образца, в пределах которой избыточная концентрация носи-
телей заряда спадает в е раз, равна 4(Dpf)l/2.
87
С учетом процесса рекомбинации решением уравнения (3.11)
будет произведение функции (3.12) и ехр(—t/rp):
t)=Bt~li2 ехр(—)ехр I—.
При наличии рекомбинации распределение избыточной кон-
центрации носителей заряда расширяется, а максимальное значе-
ние концентрации уменьшается во времени по закону
Д/?(0, 0=Z?/_V2exp
Общее число избыточных носителей заряда изменяется во вре-
мени пропорционально ехр(—tptp). Перейдя к неподвижной систе-
ме координат, получим
Д/?(х, t)—Bt~1^2 exp,
t \
----exp
4Dp^ J ’
(3.13)
Таким образом, в условиях электронейтральности совокупность
неравновесных носителей заряда дрейфует в направлении электри-
ческого поля со скоростью р.р#’, расширяясь по мере движения за
счет процесса диффузии и уменьшаясь по амплитуде в результате
рекомбинации.
Наряду с указанными изменениями распределение неравновес-
ных носителей заряда изменяет свой вид, что связано с модуля-
цией проводимости. В той области образца, где имеется избыточ-
ная концентрация носителей заряда, возрастает удельная проводи-
мость. Вследствие этого возникает неоднородность электрического
поля и в результате дрейфа носителей заряда происходит наруше-
ние симметрии распределения неравновесных носителей заряда..
Упомянутый эффект не описывается решением (3.13), так как в
уравнении непрерывности электрическое поле предполагалось по-
стоянным.
Схема измерения. Впервые измерения дрейфовой подвижности
носителей заряда были выполнены американскими учеными
Дж. Р. Хайнсом, В. Шокли в 1949 г. Схема установки показана
на рис. 3.1. Образец германия, на котором производятся измере-
ния, представляет собой прямоугольную пластину. На поверхности
образца на расстоянии s установлены два металлических зонда.
Образец закрепляется на столике микроскопа. Установка зондов
производится с помощью винтовых устройств, расстояние между
зондами измеряется по шкале микроскопа.
Один из вольфрамовых зондов (эмиттер Э) предназначен для
инжекции носителей заряда в образец, другой (коллектор К) —
для регистрации дрейфа неравновесных носителей заряда. К кол-
лекторному зонду приложено напряжение от батареи Б в обрат-
ном направлении. Ток коллектора пропорционален концентрации
неосновных носителей заряда. Если в результате дрейфа неравно-
88
весные носители заряда достигают коллектора, то ток коллектора
возрастет; это увеличение тока пропорционально избыточной кон-
центрации неосновных носителей заряда.
Рассмотрим работу схемы. В цепь коллектора включен резистор
нагрузки /?н, напряжение на котором пропорционально току кол-
лектора. Это напряжение подается на схему регистрации, состоя-
щую из усилителя У и импульсного осциллографа О. На экране
осциллографа можно наблюдать изменение коллекторного тока и
Рис. 3.1. Схема установки для
измерения дрейфовой подвиж-
ности неосновных носителей за-
ряда
Рис. 3.2. Осциллограммы:
а — импульса напряжения на об-
разце; о — импульса тока эмиттера;
в — напряжения на коллекторе; г —
продифференцированного напряже-
ния на коллекторе
по меткам времени определять время дрейфа неосновных носите-
лей заряда от эмиттера к коллектору.
В некоторый момент времени (t=0) от генератора Г\ на обра-
зец через торцевые омические контакты подается импульс напря-
жения U прямоугольной формы, который создает в образце элек-
трическое поле (рис. 3.2, а). Через некоторый интервал времени,
соответствующий времени задержки, в момент времени h на эмит-
терный контакт подается импульс тока прямоугольной формы
(рис. 3.2, б), который инжектирует носители заряда в объем ис-
следуемого образца. Неравновесные носители заряда начинают
дрейфовать в электрическом поле, созданном в образце импульсом
напряжения от генератора Л. К моменту времени /пр передний
фронт совокупности неравновесных носителей пройдет расстояние
s, достигнет коллектора и будет зафиксирован на осциллограмме
(рис. 3.2, в). В момент времени t2 импульс от генератора Г2 закон-
чится и дальнейшая инжекция носителей заряда прекратится.
Однако носители заряда, введенные в образец в момент окончания
этого импульса, будут продолжать движение в сторону коллектора
89
и достигнут его в момент ty. В течение времени, равного длитель-
ности эмиттерного импульса, ток коллектора остается неизменным.
В момент времени ty задний фронт распределения избыточной кон-
центрации носителей заряда уйдет за коллектор. Подъем на ос-
циллограмме в моменты t=0 и t=t\ и спад при t==t2 и t=to соот-
ветствуют импульсам от генераторов Л и Г2. Они фиксируются
осциллографом, потому что создают напряжение на участке образ-
ца между коллектором и контактом, который включен последова-
тельно в коллекторную цепь.
Время дрейфа переднего фронта распределения избыточной
концентрации носителей заряда до коллектора определяется по
осциллограмме как время /пр—Л. а время дрейфа заднего фрон-
та — как время /у—12. Времена дрейфа носителей заряда, опреде-
ленные таким образом, не равны друг другу. Это объясняется тем,
что дрейф носителей заряда до момента окончания импульса тока
от генератора Г2 происходил в электрическом поле, образованном
совместно генераторами Ft и Г2, а задний фронт перемещается в
поле, созданном генератором Л. Это электрическое поле можно
измерить импульсным вольтметром в отсутствие инжекции, поэто-
му вычисление подвижности производится по времени ухода носи-
телей заряда за коллектор.
Диффузия неравновесных носителей заряда приводит к размы-
тию фронтов импульса коллекторного тока и делает неопределен-
ным время /Пр и ty. Поэтому время дрейфа определяют по точке
перегиба осциллограммы коллекторного тока. Для удобства от-
счета времени дрейфа коллекторный сигнал дифференцируется.
Точкам <Пр и /у соответствуют экстремумы осциллограммы dt/K/dt
(рис. 3.2, г).
Вычисленные таким способом значения дрейфовой подвижности
тем ближе к истинным значениям, чем меньше избыточная кон-
центрация носителей заряда. Это связано с нарушением однород-
ности электрического поля, возникающим в результате модуляции
проводимости образца неравновесными носителями заряда. Поэто-
му для точного определения дрейфовой подвижности измеряют
время дрейфа при уменьшающемся токе эмиттера. Затем строят
зависимость дрейфовой подвижности от тока эмиттера и экстрапо-
лируют ее к нулевому току эмиттера. Из этого графика находят
точное значение дрейфовой подвижности носителей заряда.
Существующие модификации метода измерения дрейфовой
подвижности отличаются от изложенного способами генерации и
регистрации неравновесных носителей заряда.
Рассмотрим некоторые из них. Систематическая погрешность
при измерениь^-дрейфовой подвижности носителей заряда, как от-
мечалось, связана с эффектом модуляции проводимости, возни-
кающей при инжекции носителей заряда. Изменение проводимости
образца тем заметнее, чем больше избыточная концентрация носи-
телей заряда. Ее можно снизить за счет уменьшения тока эмитте-
ра или длительности эмиттерного импульса тока. В одной из мо-
90
дификаций метода измерения дрейфовой подвижности использует-
ся короткий (длительностью 1—2 мкс) импульс эмиттерного тока.
При этом измерительная схема и последовательность ее работы
остаются прежними. Осциллограмма коллекторного тока для это-
го случая приведена на рис. 3.3. Время дрейфа импульса от эмит-
тера до коллектора равно t2—1\.
Очевидно, что инжекция носителей заряда с помощью импульса
тока через эмиттерный контакт может быть заменена световой ге-
нерацией носителей заряда от постоянного или импульсного источ-
Рис. 3.3. Осциллограмма то-
ка коллектора при коротком
инжектирующем импульсе
эмиттерного тока

Рис. 3.4. Схема уста-
новки для измерения
дрейфовой подвижно-
сти неосновных носи-
телей заряда
ника света. Эффективные размеры области, где локализованы не-
равновесные носители заряда, в стационарных условиях определя-
ются суммой ширины освещенной области и четырех диффузионных
длин.
Рассмотрим возможные способы регистрации неравновесных
носителей заряда, дрейфующих в электрическом поле. Предполо-
жим, что в некоторой области образца в момент времени t=0 в
результате инжекции возникли неравновесные носители заряда:
электроны Ди и дырки Др. По условию электронейтральности,
&.п=\р в каждой точке образца в любой момент времени. Увели-
чение концентрации носителей заряда приводит к возрастанию
удельной проводимости в той области образца, где Ап и Др отлич-
ны от нуля. Если к образцу приложено внешнее напряжение и по
нему протекает ток, то в результате инжекции происходит увели-
чение тока. Если, например, поперечное сечение однородного по
удельному сопротивлению образца резко изменяется в некоторой
точке Xi, то соответственно изменяется электрическое поле в этой
точке. В момент времени, когда неравновесные носители заряда
достигнут точки Xi, произойдет изменение протекающего в цепи
тока. Аналогичным образом изменяется ток в цепи при достижении
неравновесными носителями заряда области с повышенным или
пониженным удельным сопротивлением. Созданная в образце не-
однородность удельного сопротивления или электрического поля
позволяет регистрировать момент прихода неравновесных носите-
лей заряда.
91
Таким образом, существует много возможных способов реги-
страции времени дрейфа неравновесных носителей заряда, напри-
мер: изменение поперечного сечения образца, использование кон-
такта малой площади, создание высокоомной или низкоомной об-
ласти, а также р-п-перехода в образце. Схема измерительной
установки, в которой используется один из этих методов, приведе-
на на рис. 3.4. Носители заряда генерируются с помощью освеще-
ния образца импульсами света длительностью в несколько микро-
секунд от импульсной лампы, световой поток которой фокусирует-
ся на поверхности образца в виде узкой линии или пятна малого
диаметра. Генерация избыточных носителей заряда в результате
поглощения квантов света подробно изложена в § 4.1.
Изменение тока через образец во времени регистрируется ос-
циллографом, на вход которого подается напряжение с резистора
нагрузки, включенного последовательно в цепь образца. Часть
светового потока попадает на фотоэлемент и формирует электри-
ческий импульс, который запускает ждущую развертку осцилло-
графа (на схеме не показаны). По меткам времени определяют
время дрейфа неравновесных носителей заряда и строят кривую
зависимости этого времени от расстояния между освещенной об-
ластью и коллектором. По углу наклона этой кривой для любой
точки х находят значение дрейфовой скорости. Знай распределение
потенциала в образце, определяют напряженность электрического
поля и вычисляют подвижность неосновных носителей заряда. Как
и в предыдущем методе, для снижения систематической погреш-
ности, связанной с уменьшением электрического поля в области
генерации, необходимо проводить измерения при малых избыточ-
ных концентрациях носителей заряда. Кроме того, во время дрей-
фа в результате диффузии и рекомбинации изменяется вид рас-
пределения неравновесных носителей заряда. Чтобы уменьшить
влияние этих факторов, необходимо проводить измерения в после-
довательно увеличивающихся электрических полях. Напряжен-
ность электрического поля, при котором диффузионное размытие
распределения избыточных носителей заряда не вносит сущест-
венной погрешности в результаты измерений, можно оценить исхо-
дя из следующих соображений. Если дрейфовая скорость
носителей заряда значительно больше их диффузионной скорости
L/x— (D/x), то подвижность носителей заряда можно определить
достаточно точно. При этом	(— У/2 - ; количественная оцен-
ит/ и
ка показывает, что напряженность электрического поля не должна
быть меньше 5—10 В/см.
§ 3.3.	Измерение коэффициента диффузии
В рассмотренных ранее методах дрейфовую подвижность неос-
новных носителей заряда находят, измеряя время дрейфа неравно-
весных носителей заряда в электрическом поле между двумя точ-
92
ками образца. Существует еще один метод измерения подвижности
неосновных носителей заряда, основанный на измерении коэффи-
циента диффузии по диффузионному размытию совокупности не-
равновесных носителей заряда с последующим вычислением по-
движности по соотношению Эйнштейна. Метод предполагает изу-
чение распределения неравновесных носителей заряда, возникшего
в отсутствие электрического поля в результате диффузии через не-
которое время после окончания процесса генерации. Сравнение экс-
периментально полученного распределения неравновесных носите-
лей заряда с вычисленным по уравнению непрерывности позволяет
найти коэффициент диффузии.
Рассмотрим диффузию неравновесных носителей заряда. Пусть
в момент времени t=0 на плоской поверхности х=0 полубесконеч-
ного образца в виде узкой полосы длиной I и шириной w с помо-
щью мгновенного источника генерируются носители заряда. Для
нахождения распределения неравновесных носителей заряда нужно
решить уравнение непрерывности, содержащее диффузионный и
рекомбинационный члены. Если неосновные носители заряда —
дырки, то уравнение записывается в виде
-^-=—— 4-^л div grad Д/2.	(3.14>
dt тр
Аналогично решению (3.13) одномерного уравнения (3.7), из-
быточную концентрацию носителей заряда на поверхности образ-
ца для мгновенного точечного источника, помещенного в точку с
координатами х'у', можно представить следующим образом:
Д/2(х', у’, 0=^-»ехрГ---(х ~ х>Я (У ~ у )2 1 ехр Г--М ,
L	^^р*	J L т-р J
(3.15)
где п — показатель степени, равный 1/2, 1 или 3/2 в соответствии
с одномерным, двумерным или трехмерным характером диффузи-
онного процесса.
Мгновенный источник в виде узкой полосы размерами I и w
представляет собой совокупность точечных мгновенных источников,
создающих распределение носителей заряда (3.15). Проинтегриро-
вав (3.15) по х' и у’ в области —w/2^x'^w/2, —Z/2^t/z^//2,
получим решение задачи с заданными начальными и граничными
условиями:
Д/?(х, у, t)=
w/2	1/2
p _w/2 —1/2
-const exp (-Д-) <-<•-> [erf +^)~
93
где
У_______1
2 УПу '	4 У Dpt
X	W
2 У Dy	4 У Dy
чу Dpt Т 4 у Dpi
(3.16)
9
er,(“>“7s
j* exp (—р2) dp —интеграл ошибок,
о
Рассмотрим два предельных случая при малом и большом зна-
чениях W.
1. Если 4	то, воспользовавшись разложением функ-
ции erf (а) в ряд, можно показать, что решение (3.16) упрощается
до
Дрсх. О=Ф(». Оу^-ехр (-^-)
(3.17)
при выполнении условия
I	—------1-^<6.	(3.18)
I 4Dpt	2 I 4Dpt
Из формулы (3.17) следует, что на основе экспериментально из-
меренной зависимости Ар (х, у0, t0) от координаты х при постоянных
значениях уо и t0 можно найти коэффициент диффузии Dp. Дейст-
вительно,
d[lnap(x, у0, r0)] __ d [conct _ -у2 1,	1__
d (х2)	d (х2) [	4Dpt0 J 4Dpt0 ’
так что
^р = |4/0^-—-|1пДр(х, t/p,/°)]1 1	(3.19)
определяется в соответствии с углом наклона зависимости
In Ар(х, уо, t0) в функции от х2. Неравенство (3.18) позволяет по-
лучить критерий, ограничивающий возможные изменения величин х,
to и w. Если, например, измерения проводятся до значения х=
=4 \Dpt, обеспечивает изменение концентрации в несколько де-
сятков раз, то (3.18) обусловливает следующее Соотношение между
W И to'.
(3.20)
DptQ
Вид функциональной зависимости избыточной концентрации
носителей заряда на поверхности, как следует из (3.17), не зависит
от координаты у, функция Ар(х, у, t) максимальна при у=0; она
возрастает при увеличении длины I. Область генерации носителей
заряда можно считать бесконечно длинной при у^>4]/ГОуа. То-
гда решение (3.17) не зависит от координаты у.
54
2VDpt
2	. Проанализируем случай, когда	Для этого вве-
дем новую систему координат х, у, в которой область генерации но-
сителей заряда имеет координаты —w^.x^.0, —l/2^.y^.l/2. Со-
множитель в (3.16), зависящий от х, равен [1 —erf t Jj
учетом того, что при больших значениях w и положительных х
erf (-£=-|-----
2VDpt 1 2VDpt
При w=4]/£>p/0 выражение (3.21) практически равно едини-
це. Функция
Др(х, уо, /0)=Ф(у0, /0) [1 — erf ( 2
= Фй/0, /0) erf с Г—Д_
\»о> о/ L 2/0^0
с
(3.21}
(3.22>
представляет собой решение для полубесконечиого' мгновенного ис-
точника. Для определения коэффициента диффузии на основании
решения (3.22) необходимо построить семейство кривых In Ар в
Рис. 3.5. Схема установки для из-
мерения коэффициента диффузии
неосновных носителей заряда
Рис. 3.6. Осциллограмма тока
коллектора
функции от координаты х при различных значениях коэффициента
диффузии Dp и фиксированном to, совместив экспериментально по-
лученную кривую с одной из теоретических.
Схема измерительной установки, реализующая описанный метод
измерения, изображена на рис. 3.5. Световой поток от импульсной
лампы с помощью оптической системы ОС и щелевой диафрагмы Д
фокусируется на поверхности образца в виде узкой полоски (100—
500 мкм). Световые импульсы следуют с частотой 50 Гц. Генериро-
ванные светом носители заряда диффундируют в объем образца, ре-
гистрируются зондом— коллектором, смещенным в обратном на-
правлении. Напряжение с сопротивления нагрузки /?„ подается на
импульсный усилитель У и осциллограф О. Развертка осциллогра-
фа запускается импульсом синхронизации от блока питания им-
пульсной лампы одновременно со световым импульсом (на схеме
не показан).
95
Измерения проводят следующим образом. Сначала регистриру-
ют серию осциллограмм тока коллектора при различных расстоя-
ниях до световой полосы (рис. 3.6), затем на осциллограммах из-
меряют координаты, соответствующие фиксированному времени
t = to, и наносят их на график в логарифмическом масштабе в за-
висимости от х2. По тангенсу угла наклона прямой, рассчитанной
по (3.19), определяют коэффициент диффузии. Момент времени t0
нужно выбирать с учетом того, что расчетные формулы получены
для мгновенного источника, когда длительность светового импуль-
са значительно меньше to- Необходимо, чтобы выполнялось усло-
вие (3.20). Но максимальное значение to ограничивается минималь-
ным сигналом, который может быть надежно измерен. Максималь-
ное значение to возрастает при увеличении чувствительности схемы
и уровня возбуждения. Минимальное значение эффективного вре-
мени жизни, при котором метод применим, ограничивается дли-
тельностью светового импульса. Например, при полуширине свето-
вого импульса, равной 3 мкс, оно составляет около 10 мкс.
В отличие от дрейфовой подвижности носителей заряда, кото-
рая определяется путем измерений времени дрейфа неравновесных
носителей заряда в электрическом поле, в данном случае значение
подвижности носителей заряда, вычисляемое из соотношения Эйн-
штейна, представляет собой амбиполярную диффузионную подвиж-
ность.
По сравнению с методами измерения дрейфовой подвижности
рассмотренный метод обладает следующими преимуществами: не
требуется изготовление образцов правильной геометрической фор-
мы, можно производить измерения на очень низкоомных образцах
и на образцах с собственной электропроводностью при использова-
нии более простой экспериментальной установки. Установка менее
чувствительна к уровню возбуждения и достаточно измерения лишь
при одном уровне возбуждения.
Невозможность реализации строго поверхностной генерации но-
сителей заряда и влияние поверхностной рекомбинации на распре-
деление носителей заряда в образце приводят к возникновению
значительной систематической погрешности измерения. Обработка
поверхности образца с целью уменьшения скорости поверхностной
рекомбинации и использование сильнопоглощающегося излучения
для генерации носителей заряда (см. гл. 4) снижают систематиче-
скую погрешность измерения коэффициента диффузии неосновных
носителей заряда.
§	3.4. Методы измерения диффузионной длины
неосновных носителей заряда
Метод подвижного светового зонда. Для измерения диффузион-
ной длины неосновных носителей заряда используют метод по-
движного светового зонда с точечным регистрирующим контактом.
Суть метода заключается в следующем. Плоская поверхность по-
S6
лупроводникового образца освещается узкой длинной полоской све-
та — световым зондом с энергией фотонов, большей ширины запре-
щенной зоны. Свет, поглощаясь в тонком приповерхностном слое,
генерирует электронно-дырочные пары, которые перемещаются из
освещенной области посредством диффузии. На некотором расстоя-
нии от светового зонда находится точечный коллекторный контакт,
который дает возможность регистрировать диффундирующие носи-
тели заряда в данной точке образца. К коллекторному контакту
приложено напряжение в обратном направлении. Ток в цепи кол-
лектора прямо пропорционален концентрации неосновных носите-
лей заряда.
Теоретически задача состоит в том, чтобы найти распределение
неравновесных носителей заряда в образце. Будем полагать, что
световой зонд представляет собой бесконечно узкую и длинную
линию, а рекомбинация на поверхности образца отсутствует. В этом
случае неравновесные носители заряда диффундируют в радиаль-
ных направлениях. Если, кроме того, освещенная область достаточ-
но удалена от боковых границ образца, что практически реализует-
ся при расстояниях значительно больших диффузионной длины, то
влиянием боковых поверхностей можно пренебречь.
В отсутствие внешнего электрического поля уравнение непре-
рывности для дырок в электронном полупроводнике можно запи-
сать аналогично (3.14). Поскольку имеется цилиндрическая сим-
метрия распределения носителей заряда, уравнение непрерывности
удобно представить в цилиндрической системе координат. Для ста-
ционарного случая
1 d' / г d\p \ _ Др __
г dr I dr ) Dptp
d2Ap . 1 dAp . Др _
dr2	r dr	Lp
где
—Е)рТр.
Если ввести переменную x=rlLp, то уравнение (3.24) преобра-
зуется в уравнение Бесселя:
£дд„Д/7_о.
dx2 х dx
Решением этого уравнения является функция Ганкеля нулевого по-
рядка первого рода от мнимого аргумента
<ir!Lp).	(3.25)
Цилиндрические функции комплексного аргумента являются
комплексными; напротив, функции i"+1//n(1)(t’x) при целом п и дей-
ствительном х представляют собой действительные монотонные
функции.
4 — 1438	97
(3.23)
Величина Др0 определяется значением Др (г) при г=г0, т. е. вы-
ражением
Др(го)=дРо^о1) <ir0ILp),	(3.26)
которое имеет смысл граничного условия, поскольку решение (3.26)
стремится к бесконечности при г->-0. При больших значениях r/Lp
функция Ганкеля переходит в экспоненциальную функцию того же
аргумента.
Более общее рассмотрение задач с учетом конечных размеров
освещенной полосы показывает, что выражение (3.26) представля-
ет собой достаточно хорошую аппроксимацию точного решения для
значений г, ограниченных условием 5и><г<//4, где w— ширина
световой полосы, I — ее длина.
Чтобы найти диффузионную длину, на основании соотношения
(3.25) строят систему однопараметрических кривых 1п [Др(г)/Др0] =
= 1п [iHol) (ir/Lp)] в функции r/Lp для различных значений диффу-
зионной длины. Так как экспериментально измеренное напряжение
коллекторного зонда пропорционально избыточной концентрации
носителей заряда, т. е. t/(r) ».Др(г), то в полулогарифмическом
масштабе экспериментальная зависимость смещена относи-
тельно теоретической на некоторое постоянное значение. Поэ-
тому, совмещая экспериментальную зависимость с одной из
теоретических кривых, можно определить диффузионную дли-
ну. Очевидно, что достаточно , точного совмещения кривых
следует добиваться только в интервале значений координат,
удовлетворяющих условию 5tw<r<//4. Параметр, соответствую-
щий совмещенным кривым, дает искомое значение диффузионной
длины неосновных носителей заряда. Совмещение эксперименталь-
ной зависимости с одной из теоретических кривых и, следователь-
но, однозначное определение диффузионной длины возможны бла-
годаря тому, что угол наклона теоретических кривых зависит от
значения LB, т. е.
-7- 1пДр(г) = -у-
dr	Lp
H\"(irlLp)
Схема установки для измерения диффузионной длины показана
на рис. 3.7. Световой поток от источника света проходит через све-
тофильтр Ф н с помощью оптической системы ОС фокусируется в
виде узкой полоски на поверхности измеряемого образца. Ширина
световой полосы регулируется щелевой диафрагмой Д в пределах
50—500 мкм. Световой поток модулируется вращающимся диском
нлн барабаном с прорезями М. Использование модулированного
освещения позволяет выделить часть коллекторного тока, которая
обусловлена диффузией неравновесных носителей заряда. Длитель-
ность и частота следования световых импульсов, а также частота
модуляции при синусоидальном законе изменения интенсивности
света выбираются из условия стационарности концентрации нерав-
98
Рис. 3.7. Схема установки для
измерения диффузионной длины
неосновных носителей заряда
новесных носителей заряда. При импульсной модуляции необходи-
мо, чтобы длительность светового импульса была велика по срав-
нению с лт и больше, чем г2/ (40) и г/ (D/tY12. Так же можно оце-
нить интервал между световыми импульсами. Частота модуляции
светового потока обычно составляет 30— 300 Гц.
Схема регистрации неравновесных носителей заряда состоит
из металлического зонда — коллектора К, к которому приложено
напряжение в обратном направлении, селективного усилителя У
и вольтметра V. Вблизи коллектора концентрация неосновных но-
сителей заряда возрастает за счет диффузии неравновесных носи-
телей заряда, вызывая приращение то-
ка через коллектор, пропорциональное
увеличение концентрации неосновных
носителей. Вольтметр измеряет значе-
ние этого тока по переменной состав-
ляющей напряжения на резисторе
который включен последовательно в
цепь коллектора.
Полупроводниковый образец за-
крепляют в кристаллодержателе, кото
рый с помощью манипулятора может
перемещаться .относительно светового
зонда. Зонд устанавливают в любой
точке поверхности образца, он переме-
щается вместе с образцом; давление на зонд регулируется. Для
уменьшения уровня шумов и повышения стабильности контакта
производят его формовку импульсами тока. Амплитуду импульсов
тока при этом постепенно увеличивают до тех пор, пока не достига-
ется необходимое отношение сигнал/шум. Измерения прекращают,
когда измеряемый сигнал становится соизмеримым с напряжением
шума или нарушается условие применимости решения (3.25).
Описанный метод используют для измерений диффузионной дли-
ны носителей заряда для германия, которая в данном случае до-
статочно велика. Кроме того, легко образуются запирающие слои
на прижимных металлических контактах. Подобные измерения на
кремнии затруднены из-за высокой скорости поверхностной реком-
бинации носителей заряда, высокого уровня шумов, нелинейности
ВАХ коллекторного контакта и возникновения инверсных поверх-
ностных слоев. При выполнении измерений на германии с электрон-
ной электропроводностью используют вольфрамовые зонды, а для
германия с дырочной электропроводностью — сплав на основе се-
ребра. Для уменьшения скорости поверхностной рекомбинации но-
сителей заряда перед измерениями поверхность образца тщательно
шлифуют и подвергают химической обработке в соответствующем
травителе. Метод позволяет измерять диффузионную длину в пре-
делах от 0,1 до нескольких миллиметров с погрешностью 15—20%.
При измерении малых диффузионных длин в узкозонных полу-
проводниках А3В5 регистрация неосновных носителей заряда осу-
99
ществляется с помощью р-л-перехода или перехода Шотки. Для их
создания используют методы планарной технологии.
Разновидности метода подвижного светового зонда. Определение распреде-
ления избыточной концентрации носителей заряда усложняется, если учитывать
конечную скорость рекомбинации на поверхности образца. Для этого, как и в пре-
дыдущем случае, необходимо решить уравнение непрерывности (3.23) с соот-
ветствующим граничным условием.
Эта задача с учетом скорости поверхностной рекомбинации носителей заряда
решена для светового зонда в виде бесконечной линии, полубесконечной линии,
а также полуплоскости.
Пользуясь этими решениями, можно построить семейства зависимостей
\p(x!L) для различных значений s. Оказывается, что вид этих зависимостей для
разных значений s различается незначительно. Поэтому скорость поверхностной
рекомбинации носителей заряда этим способом обычно не измеряют. Экспери-
ментальные данные сравнивают с теоретическими кривыми, полученными при
s«^(D/t)*/2 или sx2>D. Измерения диффузионной длины проводят на образцах
с очень малой или очень большой скоростью рекомбинации носителей заряда на
поверхности.
Полубескоиечиый линейный источник используют для измерений на узких
длинных образцах. При генерации носителей заряда освещенной полуплоскостью
значительно повышается избыточная концентрация носителей заряда, а по срав-
нению с линейным источником (при одинаковой освещенности) — н измеряемый
сигнал. Для генерации носителей заряда применяют световые зонды иной гео-
метрической конфигурации, например круглое световое пятно или кольцо.
Измерение диффузионной длины методом подвижного светового зонда дает
возможность определить диффузионную длину и скорость поверхностной реком-
бинации по результатам измерений фототока в двух точках образца.
Для светового зонда в виде бесконечной линии при малых значениях скоро-
сти поверхностной рекомбинации s<s:(D/t),/2 избыточная концентрация носителей
заряда иа расстоянии х от светового зонда
g
Ьр(х) = — Ko(x/L),
пи
где
Ко(у) = ~ [е^*/(4<)Щ.
О
Отношение избыточных концентраций носителей заряда в точках с коорди-
натами Х\ и х2
&p(xi) Ko(.Xi/L)
--------=---------— — а.	(3.27>
Др (-*г2) Ко (x2/L)
Если координата х, и параметр а фиксированы, то уравнение (3.27) позво-
ляет рассчитать диффузионную длину L в функции координаты х2. Решение это-
го уравнения достаточно просто можно получить графическим путем. Таким об-
разом, измерение диффузионной длины сводится к измерению того расстояния,
на котором фототок коллектора в а раз меньше фототока в фиксированной точ-
ке. По известной координате хг из графика нли таблицы зависимости Z.(x2) оп-
ределяют диффузионную длину. Координаты обеих точек, в которых производят
измерения, должны удовлетворять условию s«C(D/t)1/2 или sx/D^>\.
С помощью этого метода можно вычислить скорость поверхностной рекомби-
нации носителей заряда или произвести коррекцию измеряемой диффузионной
длины L в зависимости от значения s на повеохности. Приняв за нулевое при-
ближение предельное решение и разложив выражение (3.27) в ряд по степеням
100
bL/L, найдем в первом приближении ту погрешность AL/Z-o, с которой определя-
ется при s<g (О/т)1/2:
д£.	sL
-7—= —/1(*1> *2. А),	(3.28)
г-0	D
Аналогично, при sx/D-^i
ДА	I D \2
— = 3 — /2(хь x2, L),	(3.29)
Ao	\ s J
где ft, ft—известные функции аргументов xh x2, L, которые можно вычислить
теоретически.
Истинное значение диффузионной длины
(д£ \
1 Ч—~ ) = Aq Ч- АД	(3.30)
До /
зависит от скорости поверхностной рекомбинации носителей заряда. Поскольку
с увеличением расстояния х, отношение АД/До уменьшается, согласно измерени-
ям фототока в точках x^^L можно с достаточной точностью найти диффузи-
онную длину L. Измерения иа меньших расстояниях х|2, где влияние поверх-
ностной рекомбинации более существенно, .позволяет определить эффективную
диффузионную длину До. По известным значениям L и До из уравнения (3.28)
или (3.29) с учетом (3.30) вычисляют скорость поверхностной рекомбинации
носителей заряда.
Одним из вариантов метода измерения диффузионной длины по двум точ-
кам является метод, основанный на использовании двух световых полос в качест-
ве источника генерации носителей заряда.
Как следует из соотношения (3.27), изменяя одновременно интенсивность све-
тового зоида и его расстояние до коллекторного контакта, можно добиться того,
что стационарный ток коллектора будет одинаков для каждого из световых
зондов. Поэтому, изменяя интенсивность света с помощью модулятора таким об-
разом, чтобы колебания иитенсивиости двух световых зондов находились в про-
тивофазе, можно подобрать условия, при которых переменная составляющая тока
коллектора станет равной нулю. Тогда диффузионную длину можно определить,
если известны х2 и отношение интенсивностей световых зондов.
Освещение образца создается клиновидными светопроводами с фокусирую-
щей поверхностью, на которые направляется параллельный пучок света от источ-
ника света через конденсор. Освещенность ближней к коллекторному контакту
световой полоски регулируется с помощью диафрагмы.
Преимущество метода двух световых зондов состоит в использовании нуле-
вого способа отсчета, при котором нестабильность и нелинейность ВАХ коллек-
торного контакта ие оказывают существенного влияния.
§ 3.5. Метод движущегося светового луча
Метод движущегося светового луча позволяет измерять коэф-
фициент диффузии неосновных носителей заряда, а при использо-
вании двух образцов также скорость поверхностной рекомбинации,
диффузионную длину и объемное время жизни носителей заряда.
Согласно этому методу, на исследуемый образец в виде прямо-
угольной пластины падает узкий луч света, движущийся по его по-
верхности с постоянной скоростью. Носители заряда однородно ге-
нерируются в объеме образца и диффундируют из области генера-
ции. Вследствие движения светового луча пространственное рас-
пределение неравновесных носителей заряда перемещается вдоль
101
образца вместе со световым лучом. При постоянной скорости дви-
жения светового луча с характер распределения неравновесных но-
сителей заряда в образце не зависит от времени, т. е. в системе ко-
ординат, движущейся вместе со световым лучом, оно является
стационарным.
Пусть имеется полупроводниковый образец n-типа (рис. 3.8).
Толщина образца w много меньше двух других его размеров:
<^b; w<^a; следовательно, поверхностной рекомбинацией носите-
лей заряда на боковой поверхности образца можно пренебречь.
В этом случае концентрации неравно-
весных электронов и дырок являются
функциями только двух координат х
и 2 и времени t. Уравнение непрерыв-
ности вне области генерации и гранич-
ные условия имеют следующий вид:
div grad Др — — ; (3.31)
dt р	тс
Рис. 3.8. Модель полупровод-
никового образца
DP^~\	=~S^0’	<3’32>
dz |z=o
Dp ^1	=»ДЛ...	(3.33)
р dz L <Е)
Учитывая, что в системе координат, движущейся вместе со све-
товым лучом, распределение носителей заряда является стацио-
нарным, в результате решения уравнения (3.31) методом разделе-
ния переменных получим для неосвещенной области образца пра-
вее светового луча
Др(х, z, zf)=C1C3exp(—x/ljexpfctllj =1-^— sin c^z-J-cos ctiz) ;
wiai	I
(3.34a)
левее светового луча
Др(х, z, Z)=C2C3exp(x/Z2)exp( —cZ/Z2)(—sin az+cos ajz),
£>p<xi
(3.346)
где Ci, Cz, C3 — постоянные интегрирования;
Z1 = {[(e/(2Dp))2+ l/£o21]V2+c/(2£)p)}-i,	(3.35)
Z2=[[(c/(2Dp))2-f- l/L2al]1,2-c/(2Dp)}->,	(3.36)
lllz — Lai.
Величины La и a связаны соотношением 1/(£>ртР) — 1/L2ai—a2t-
Использование граничных условий приводит к уравнению для
102
определения возможных значений а:
(D„a--— ) tg aw=2s.	(3.37)
\ F	Dpa )
Трансцендентное уравнение (3.37) имеет множество корней а„,
которым соответствует множество значений Lan, 1\п и /2п. Анализ
корней этого уравнения показывает, что значения 11п и 12п быстро
уменьшаются с возрастанием п. Поэтому на расстояниях, больших
/12 и /22, справедливы решения в виде (3.34) и (3.35).
Таким образом, в произвольной точке с координатой х избыточ-
ная концентрация носителей заряда изменяется во времени соглас-
но уравнениям (3.34), (3.35). Действительно, если световой луч пе-
ремещается слева направо вдоль оси х, то в некоторой точке, рас-
положенной на поверхности образца правее светового луча, кон-
центрация носителей заряда возрастает по мере приближения све-
тового луча. Как показывает решение (3.34), это изменение проис-
ходит по экспоненциальному закону с постоянной времени Ц/с.
Когда световой луч минует эту точку поверхности, концентрация
избыточных носителей заряда начинает спадать. Спад, так же как
и нарастание концентрации, подчиняется экспоненциальному зако-
ну, но имеет другую постоянную времени /2/с. Установив в некото-
рой точке на поверхности образца измерительный зонд — коллек-
тор, можно экспериментально наблюдать, каким образом изменя-
ется во времени избыточная концентрация носителей заряда, и из-
мерить величины с, 1\, 12. Если они известны, то, согласно (3.35) и
(3.36),
D^c-Щ-.	(3.38)
‘2 —*1
Скорость поверхностной рекомбинации и диффузионную длину
можно определить из системы уравнений для двух образцов. Для
образцов толщиной Wi и w2 с одинаковой скоростью поверхностной
рекомбинации s на всех поверхностях
tgai«;1=2s;
(3.39)
( dp«2 — -77—) tg a2w2 = 2s;
X " Dpa21
\IL2^\IL2P+al;
1/1*2= 1/Zp+d.
При малой скорости поверхностной рекомбинации система урав-
нений (3.39) упрощается:
Dpalwi = Dp<ww2— 2s;
X/Lh^l/L^ + al;	(3.40)
l/Za2-l/Ap+ai

Dpai
103
Согласно полученной системе уравнений, скорость поверхност-
ной рекомбинации $ =—- —- *W2 - (1 /£22 — 1/Z.ai). По найденному
2 wl — wj
значению скорости поверхностной рекомбинации из (3.40) опреде-
лим диффузионную длину:
L I LlxDpWx У/2
р \ Dpwx—2sL2A /
д __ /	\1/Z
( Dpw2-2sL22 )
После этого вычислим время жизни и амбиполярную диффузион-
ную подвижность носителей заряда.
В том случае, когда скоростью поверхностной рекомбинации
можно пренебречь, решение задачи значительно упрощается. Дей-
Рис. 3.10. Осциллограмма фото-ЭДС коллектора в ли-
нейном (и) и в полулогарифмическом (б) масштабах
igu
Рис. 3.9. Схема ус-
тановки для изме-
рения параметров
методом движуще-
гося светового лу-
ча
ствительно, при s=0 отпадает необходимость учитывать граничные
условия (3.32) и (3.33), задача становится одномерной и коэффи-
циент а=0. Тогда Lp— (Л/2),/г. Коэффициент диффузии определя-
ем по (3.38), время жизни тР— (Z'i—/2)/с.
Измерение указанных параметров методом движущегося свето-
вого луча производят с помощью измерительной установки, схема
которой показана на рис. 3.9. Монохроматический световой поток
с помощью системы зеркал 3( и 32 и щелевой диафрагмы Д на-
правляется на поверхность образца, образуя освещенную полосу
шириной от 10-2 до 1,0 мм. Движение световой полосы по поверх-
104
ности образца создается за счет отражения света от вращающегося
зеркала. Напряжение, пропорциональное току коллектора, подает-
ся на усилитель У и осциллограф О. Осциллограмму перестраива-
ют в полулогарифмическом масштабе; при этом ее экспоненци-
альные участки преобразуются в две прямые линии с различными
углами наклона. Слева от светового луча — In Др(х,/)= e//lt
справа от светового луча — In Др(лг, t)=c/l2. Масштаб осцилло-
dt
граммы по горизонтальной оси определяется по меткам времени
развертки осциллографа, масштаб по вертикальной оси — произ-
вольный (рис. 3.10).
Чтобы определить скорость перемещения светового луча, на по-
верхности образца на некотором расстоянии от первого зонда-кол-
лектора устанавливается второй. Время прохождения светового лу-
ча между зондами находят с помощью осциллограммы. Увеличение
размеров освещенного участка приводит к возрастанию сигнала,
однако в связи с условием малости сигнала требуется выбирать
такую освещенность образца, при которой Др<С«о-
Поскольку метод движущегося светового луча относится к не-
стационарным методам измерения, форма осциллограммы может
быть более сложной, если существенны явления захвата свободных
носителей заряда. (Эти явления экспериментально наблюдались
при измерениях на антимониде индия, германии и других материа-
лах.)
§ 3.6. Измерение времени жизни носителей заряда
методом модуляции проводимости
в точечном контакте
Измерение времени жизни неравновесных носителей заряда ме-
тодом модуляции проводимости в точечном контакте (т. е. сопротив-
ления растекания точечного контакта) заключается в следующем.
Через точечный контакт на поверхности образца, служащий эмит-
тером, пропускается в прямом направлении прямоугольный им-
пульс тока С помощью этого импульса тока в объем образца ин-
жектируются неравновесные носители заряда. По окончании ин-
жектирующего импульса тока избыточная концентрация носителей
заряда в образце уменьшается за счет их рекомбинации.
Спустя некоторое время (время задержки) после окончания
действия инжектирующего импульса тока через точечный контакт
пропускается второй импульс тока, с помощью которого произво-
дится измерение. Напряжение на образце в момент подачи измери-
тельного импульса тока зависит от концентрации неравновесных
носителей заряда, которые не успели еще прорекомбинировать.
Изменяя время задержки в пределах 0—3-г, можно по зависимости
напряжения на образце от времени задержки проследить процесс
рекомбинации и определить время жизни неосновных носителей
105
заряда в образце. Если пренебречь рекомбинацией носителей за-
ряда на поверхности образца и контакте, то можно считать, что
уменьшение концентрации носителей заряда происходит только за
счет их рекомбинации в объеме. В этом случае, учитывая сфери-
ческую симметрию распределения неравновесных носителей заря-
да, из уравнения непрерывности для неосновных носителей заря-
да, например для дырок
дЬр (г, t) __Др (г, t)
dt	т р
определим зависимость их концентрации от времени для любой
точки образца с координатой г:
Д/?(г, /)=Др(г, 0)ехр(—//гр).
Время /=0 соответствует моменту окончания инжектирующего
импульса тока и началу отсчета времени задержки.
Найдем закон изменения напряжения на образце во времени на
основе модели точечного контакта, использованной в гл. 1 при рас-
смотрении зондовых методов измерения удельной проводимости, с
той лишь разницей, что при наличии инжекции удельную проводи-
мость образца необходимо считать функцией координаты г и t.
Обозначим максимальное напряжение на образце, соответст-
вующее переднему фронту импульса тока, через t/(oo), а напряже-
ние в момент подачи измерительного импульса тока — через U(t).
Очевидно, что эти напряжения при одинаковых по амплитуде им-
пульсах тока различаются за счет эффекта модуляции проводимо-
сти приконтактной области инжектированными носителями заряда,
т. е. разность этих напряжений является функцией времени за-
держки:
со
MJ (t)=/7(оо)-U(t)=— С —-------
2да0 J г2
г0
2ла0 ) Г	Да (г, /)1 *	'	’
г0 г2 1 +-------I
L ’о J
Если избыточная концентрация носителей заряда мала по срав-
нению с концентрацией основных носителей заряда, то До<^оо- Раз-
ложив знаменатель во втором интеграле в ряд, получим
д{/(/) = _£_ f <?р.р(6-|-1)Др (г, 0)-^ ехр(——) .	(3.42)
лЛСо J	\ Тр )
Lfo
Интеграл в квадратной скобке не зависит от t, и, следовательно,
напряжение Д(7 (/) спадает во времени по экспоненциальному за-
кону при условии, что время задержки не слишком мало. Это ог-
раничение связано с тем, что практически время нарастания им-
пульса тока отлично от нуля.
106
Таким образом, фиксируя значение V (оо) и изменяя время за-
держки измерительного импульса тока, можно в соответствии с
(3.42) найти время жизни неосновных носителей заряда по углу
наклона прямой In &U(t) в функции времени задержки:
—=-----
d/
Чтобы приблизиться к реальным условиям, нужно учесть по-
верхностную рекомбинацию и диффузию носителей заряда, а так-
же влияние точечного контакта. Влияние поверхностной рекомби-
нации сводится к нарушению сферической симметрии распределе-
ния неравновесных носителей заряда, которая сохраняется до тех
пор, пока дрейфовый поток носителей заряда преобладает над их
диффузионным потоком к поверхности, т. е. до тех пор, пока в об-
разце имеется достаточно большое электрическое поле. Для по-
верхности образца это условие записывается так:
или —r^p^s.	(3.43)
ZJXr2
Во время протекания тока для образцов с малой скоростью по-
верхностной рекомбинации носителей заряда неравенство (3.43) в
приконтактной области выполняется, а следовательно, рекомбина-
цией на поверхности можно пренебречь. Диффузию носителей за-
ряда также можно не учитывать, потому что напряженность элект-
рического поля в области контакта достаточно велика. Таким об-
разом, распределение носителей заряда в образце к моменту окон-
чания инжектирующего импульса тока можно определить из урав-
нения
дкр _	^р1 дкр  Др	(3.44)
dt	2ласг2 дг	тр
при граничном условии на контакте Ap(r, t) |г=Гс=Др(г0). Ре-
шив уравнение (3.44) методом разделения переменных, получим,
что к моменту окончания инжектирующего импульса (н концент-
рация избыточных носителей заряда достигает значения
дР(Г1)=Д/Дго)ехр[—1^7 (и—го)] .	(3.45)
L Зр.р/	J
Функция (3.45) в явном виде не зависит ни от времени, ни от
длительности инжектирующего импульса. Однако от этих величин
зависит л, так как расстояние, на которое проникают носители за-
ряда в глубину образца, однозначно определяется временем их
дрейфа, т. е. длительностью инжектирующего импульса тока. Ана-
литически зависимость между глубиной проникновения инжектиро-
ванных носителей заряда и длительностью импульса несложно най-
, .	dr о Рр! „
ти из дифференциального уравнения ---=М =---------• Проинтег-
At р 2лг2о0
107
рировав это уравнение, найдем
, 2лап /з з\
Таким образом, функция (3.45) описывает распределение носи-
телей заряда в образце в интервале значений г:
где величина, стоящая в правой части неравенства, определяет гра-
ницу области, в пределах которой сосредоточена избыточная кон-
центрация носителей заряда.
В интервале времени от момента окончания инжектирующего
импульса до момента подачи измерительного импульса тока, т. е.
в течение времени задержки, распределение неравновесных носи-
телей заряда, определяемое выражением (3.45), претерпевает из-
менения вследствие диффузии и рекомбинации. Распределение не-
основных носителей заряда через время t может быть найдено из
решения диффузионного уравнения с учетом рекомбинации в объ-
еме образца:
^£.= _^£. + п	(3.46)
dt	tp р dt*
где в качестве начального условия следует взять функцию (3.45).
Пренебрегая, как и прежде, рекомбинацией на поверхности образ-
ца, рассмотрим предельный случай бесконечно большой скорости
рекомбинации носителей заряда на контакте, что можно записать
в виде граничного условия
Др (G О|г=г0=0.	(3.47)
При сделанных допущениях распределение носителей заряда
остается сферически-симметричным, поэтому уравнение (3.46) и ус-
ловие (3.47) зависят только от одной координаты г и времени t.
С помощью подстановки Др(г, /)=ДРо(г> Оехр[ —^уравнение
\ Ър /
(3.46) сводится к диффузионному уравнению
дДро(/~, О _д д2Др0(г, t)	о 48
dt	р dr*	V '
при граничном условии Др0(г, О|г=г<, = 0 и начальном условии
Лр0(г, t) |<=0=Др(г).
Методы решения уравнения типа (3.48) хорошо разработаны.
Решением уравнения служит функция
Др0 (г,/)=-——1==- f (В+го)Др«+го)Х
zr у пиJ
О
х (exp Г—Г ~1 ехр Г —+ £)2 1] d£,
ILL *Dpt J *L lDpt Jf
где g — переменная интегрирования.
108
Следовательно,
ехр(—t/Tp) п
bp(r, =	(Н+Го)ДРо(^ + Го)Х
zr у tiLLt J
о
X [ехр [ — (r ~£)2 1 ехр Г —(г + £)2 d£-
I 1 *Dpt J	ID pt J)
(3.49)
Чтобы вычислить напряжение Дп(/), необходимо в (3.46) под-
ставить (3.49), что после некоторых преобразований приводит к
выражению
ехр (—tlx п) о 1
ДГ/ (t)=U (сю)— U (t)—const —-— i ~ехР
(r-roy 1
4Dpt J
X
г	/	r1'2 \	/ Г _ Г,. \
X \(г'+г0)ехр I— —-Jsh( ——Д r'jApo(r'-|-r0)dr'dr. (3.50)
J	у t:U pt j	у Л Lt pt j
Анализ выражения (3.50) показывает, что при выполнении ус-
ловия r0	оно значительно упрощается и в том случае, ког-
да глубина проникновения инжектированных носителей заряда ма-
ла, т. е.
+ г3о)1/з « 2 VDj,	(3.51)
\ 2Ла0
записывается в виде
Д£/ (/)=const ехр (—tlxp) (Цхр)~*12.	(3.52)
При очень большой глубине проникновения неравновесных но-
сителей заряда напряжение
Д(7 (/)=const ехр (—7/тр).	(3.53)
Практически закон изменения Д(7 (() соответствует (3.53) при
соблюдении условия
2яаД. (4D/F2	•	(3.54)
При достаточно большом токе и времени задержки, находящем-
ся в пределах от тР до Зтр, это условие обычно нетрудно реализо-
вать.
Структурная схема установки для измерения времени жизни но-
сителей заряда методом модуляции проводимости в точечном кон-
такте представлена на рис. 3.11. Прямоугольный импульс тока от
генератора Г\ поступает на образец. Спустя некоторое время, ре-
гулируемое с помощью линии задержки ЛЗ, на образец от генера-
тора Г2 подается второй импульс тока. Генераторы Г\ и Г2 сов-
местно с ЛЗ образуют генератор спаренных импульсов. Напряже-
109
ние на образце через ограничитель импульсов Ог подается на ос-
циллограф О. Так как импульсы напряжения, возникающие на об-
разце, значительно больше изменения напряжения, вызванного мо-
дуляцией проводимости образца, то сначала импульсы напряжения
подаются на Ог, который оставляет лишь часть импульса, изме-
няющуюся в результате инжекции и рекомбинации носителей за-
ряда. Частоту следования импульсов выбирают невысокой (поряд-
ка 50—200 Гц), чтобы за интервал времени между двумя последо-
Рис. 3.11. Структурная схе-
ма установки для измерения
времени жизни неравновес-
ных носителей заряда
Рис. 3.12. Импульсы то-
ка (а) я напряжения (б)
на образце
вательными импульсами образец успел прийти в равновесное со-
стояние. Форма импульсов напряжения, наблюдаемых на экране
осциллографа, и соответствующие им импульсы тока показаны на
рис. 3.12, а, б. Пунктирные линии иллюстрируют изменение напря-
жения U (/).
Метод модуляции проводимости в точечном контакте имеет ряд
преимуществ по сравнению с другими методами, например с мето-
дом подвижного светового зонда: 1) не требует использования кол-
лекторного контакта, нелинейность которого осложняет измерения;
2) менее чувствителен к состоянию поверхности и позволяет изме-
рять локальное время жизни, характерное для небольшой прикон-
тактной области как на специальных образцах, так и непосредст-
венно на слитках; 3) позволяет просто измерить температурную
зависимость времени жизни носителей заряда. Метод используется
для измерения времени жизни носителей заряда на кремнии, гер-
мании и других материалах в интервале от единиц до сотен микро-
секунд на образцах с удельным сопротивлением от 10“’ до
102 Ом-см.
ПО
При измерениях необходимо учитывать влияние параметров им-
пульсов тока и времени задержки на результаты измерений. Как
следует из выражений (3.52),	(3.53) и условий (3.51),
(3.54), по мере увеличения длительности инжектирующего импуль-
са должен происходить рост измеряемых значений времени жизни
носителей заряда. Экспериментальные данные показывают, что,
когда длительность импульса тока достигает значения, большего
объемного времени жизни носителей заряда, измеряемое значение
времени жизни перестает зависеть от длительности импульса и да-
лее не изменяется. Аналогичным образом время жизни носителей
заряда зависит от тока; при увеличении тока оно растет, достигая
постоянного значения. Эти данные находятся в качественном соот-
ветствии с теорией. Напротив, при малых значениях времени за-
держки измеряемое время жизни оказывается заниженным. При-
чиной несоответствия, возможно, является то, что при рассмотре-
нии не учитывалась рекомбинация носителей заряда на поверхно-
сти модели.
В соответствии с ГОСТ 19658—81 метод модуляции проводимо-
сти в точечном контакте используют для измерения времени жизни
неравновесных носителей заряда в слитках монокристаллического
кремния с удельным сопротивлением 5-10-1—5-102 Ом-см в сле-
дующих диапазонах: более 2,8 мкс — для кремния p-типа, более
7,7 мкс — для кремния «-типа. Измерительный зонд изготавливают
для образцов p-типа из фосфористой бронзы, для образцов «-ти-
па — из алюминия. Формовку контакта измерительного зонда осу-
ществляют кратковременной подачей на измерительный зонд по-
стоянного напряжения от источника с напряжением 300—400 В.
Поверхность монокристалла шлифуют абразивным или алмазным
порошком; при недостаточной инжекции допускается химическое
травление. На боковой поверхности монокристалла создают оми-
ческий контакт площадью не менее 1 см2 путем нанесения палла-
дия, никеля, индий-галлиевой или алюминий-галлиевой пасты.
Длительность инжектирующего импульса тока выбирают в зависи-
мости от марок образцов и ожидаемого значения времени жизни
носителей заряда; при малых значениях времени жизни Она состав-
ляет 50 мкс. При соблюдении всех требований к средствам измере-
ния и вспомогательным устройствам, а также к условиям проведе-
ния измерений погрешность измерения времени жизни носителей
заряда не превышает ±20%.
Глава 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
ПУТЕМ ИЗМЕРЕНИЯ ФОТОПРОВОДИМОСТИ,
ФОТОТОКА, ФОТО-ЭДС, ФОТОЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ
И ФОТОМАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА
§ 4.1. Определение параметров полупроводников
путем измерения стационарной фотопроводимости
Стационарная фотопроводимость. Изменение электрического со-
противления или проводимости полупроводника, обусловленное
действием оптического излучения и не связанное с его нагревани-
ем, называют фоторезистивным эффектом. Длинноволновая грани-
ца собственного фоторезистивного эффекта, связанного с межзон-
ными переходами электронов, совпадает с краем собственного по-
глощения и для многих полупроводников, таких, как кремний, гер-
маний, соединения типа А3В5, находится в инфракрасной и видимой
областях спектра.
При наличии избыточной концентрации электронов Дп и дырок
Др удельная проводимость полупроводника
где п=п0+Дп, р=р0+Др— неравновесные концентрации носите-
лей заряда. Фотопроводимость До определяют как разность между
значениями удельной проводимости при освещении и в темноте:
Д а = о — а0=е ( Дтгр„ + Д р|*р).
Подвижности неравновесных носителей заряда считаются равными
подвижностям равновесных носителей заряда.
Для хорошо проводящих полупроводников значения Дп и Др
меньше значений темновых концентраций носителей заряда п0 и р»
или по крайней мере одного из этих значений. Поэтому в результа-
те воздействия излучения на полупроводник происходит малое из-
менение удельной проводимости полупроводника. В изоляторах и
полупроводниках с большой шириной запрещенной зоны, напротив,
значения Ап и Др велики по сравнению с п0, ро.
Если свет, падающий на полупроводник, генерирует g электрон-
но-дырочных пар в 1 с в единице объема, то стационарная фото-
проводимость
Да=рте!хр(1 + &).	(4.1)
Эта формула используется для оценки времени жизни по ре-
зультатам измерений фототока на тонких образцах, для которых
величину g определяют по поглощению оптического излучения.
112
Во многих реальных кристаллах кроме рекомбинационных ло-
вушек присутствуют еще ловушки захвата. Их наличие приводит к
тому, что часть возбужденных носителей заряда захватывается эти-
ми ловушками. Времена жизни электронов и дырок в этом случае
не равны друг другу. Действительно, если число захваченных но-
сителей заряда, например электронов, обозначить Дп3, то из усло-
вия электронейтральности получаем Др=Дп+Дп3. Так как скоро-
сти рекомбинации носителей заряда равны, то
*р1*п= 1 +	(4.2)
Как следует из (4.2), времена жизни носителей заряда не сов-
падают. Это приводит к изменению стационарной фотопроводимо-
сти, а также отражается на характере не-
стационарных процессов нарастания и спа-
да фототока. В этом случае уже нельзя
воспользоваться соотношением (4.1) для
их определения. Однако на основе выраже-
ний (4.1) и (4.2) вводится новая характери-
стическая величина — эффективное стацио-
нарное время жизни носителей заряда по
фотопроводимости, которое определяется из
условия
gev-p	=g^ePp (1 + b);
Тф-(тр + ^гя)/(1+^)-	Рис. 4 1. Поглощение
В общем случае время жизни Тф, найденное света в обРазце
по фотопроводимости, зависит от времени
жизни электронов и дырок и отношения их подвижностей. В част-
ном случае, когда процессы захвата носителей заряда несуществен-
НЫ, Тл—“Тф ——-Т»
Спектральная зависимость фотопроводимости. Проанализируем
спектральную зависимость фотопроводимости.
Пусть полупроводниковая пластина, имеющая толщину w, осве-
щается монохроматическим светом, падающим нормально к по-
верхности пластины (рис. 4.1). Свет, поглощаясь, генерирует в
объеме образца электронно-дырочные пары. Число генерируемых
светом пар в любой точке образца пропорционально интенсивности
света в этой точке, т. е. мощности, приходящейся на единицу пло-
щади поверхности. В соответствии с законом поглощения света
J (х) = Joe~ax интенсивность света J (х) в слое dx связана с коэффи-
циентом поглощения и и толщиной слоя соотношением
dJ~—aJ(x)dx,	(4.3)
так что энергия, поглощаемая в единице объема за единицу вре-
мени, равна
*L=-aJ(Xy	(4.4)
dx
113
Знак минус в выражениях (4.3) и (4.4) означает, что интенсив-
ность света в глубине вещества уменьшается. Число электронно-
дырочных пар, генерируемых в единице объема за единицу време-
ни фотонами с энергией hv, пропорционально J и равно 0aJ/(/rv),
где 0 — коэффициент квантового выхода. Коэффициент квантового
выхода показывает, сколько электронно-дырочных пар  создает
один поглощенный фотон. В области собственного поглощения при
условии, что другими механизмами поглощения можно пренебречь,
0 = 1. Согласно (4.4), скорость генерации носителей заряда на рас-
стоянии х от освещенной поверхности полубесконечного образца
(X)=p?/°(1 — Я) ехр (— ах)—g exp (—ax'),	(4.5)
hv
где R — коэффициент отражения света от поверхности полубеско-
,	a^0(l— R)
нечного образца; gQ= ------- •
hv
Если образец достаточно тонкий, то закон изменения интенсив-
ности света в образце усложняется за счет многократного отраже-
ния света от поверхностей образца. Расчеты показывают, что если
du><Cl, то интенсивность света в образце постоянна и скорость ге-
нерации пар
g=a0Jo/(M.	(4.6)
В общем случае для образца произвольной конечной толщины w
1^Р<-^>+^ехр[-«<2»-х)Ц.
Это выражение переходит в (4.5) или (4.6) в двух указанных
предельных случаях.
Избыточная концентрация носителей заряда увеличивает
проводимость пластины, т. е. создает фотопроводимость, значение
которой в направлении, перпендикулярном х, AiG=qip(6 + 1)ДР,
где ДР= J Ap(x)dx.
о
Распределение неравновесных носителей заряда в образце соз-
дается в результате наложения нескольких процессов; световой ге-
нерации, диффузии, объемной и поверхностной рекомбинации. Оче-
видно, чтобы найти фотопроводимость, необходимо определить
функцию Др (х) при учете всех перечисленных процессов.
Предположим, что концентрация ловушек захвата мала. Учи-
тывая, что генерация носителей заряда в образце происходит по
закону (4.5), запишем стационарное одномерное уравнение непре-
рывности для дырок
^_D7+f'exp(_“)=0	(4J)
йХ UpXp Up
114
при граничных условиях на поверхностях
Dp	=^p{Qy,
dx
_£)p_^£_l	=$Др(ау).
dx 'x^w
Общее решение уравнения (4.7) имеет вид
Др(х)=А ехр(—х/Л )-}-£ ехр(х/Лр)+~т/г
м	1 — си£
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Чтобы определить постоянные интегрирования А и В, нужно вос-
пользоваться граничными условиями (4.8) и (4.9). В результате по-
лучим
, So^p (saDp) (s + Dp/Lp) е P—(s 4- Dp/L p) (s— aDp)e
—	(s+DplLpy™ILP -(s~DplLp)ie~w/LP
(4.11)
(s + &Dp) (s — Dp/Lp) e P — (s + Dp/Lp/) (s qZ?p) e
X *	/	rtiff	*	1
(s+Dp/rp)2ew/£P-(s-Dp/Zp)2e w/t₽
Избыточное число дырок в расчете на единицу освещаемой пло-
щади найдем после интегрирования (4.10) по х:
ДР= С Др(х)с1х=£р [A(l-e~w/£₽)+^(e~W/£p- D1 +
(4.13)
2Ч (1 -е—)	( 1~e~aW—
a (1 — аЧ2р)	1 — a2£2 I a
Lp [s (l+e-a/w)+aDp(l-e-nw)] [(Dp/£p)sh (w/Ap)+s(ch w/£p-l)] |
“ 2 [(£>p/Zp) ch (®/(2Zp))] [{Dp/Lp) sh (w/(2£p)) + s ch (w/(2Z.p))]	J
= 8°Xp f 1 - e -aw - asrp (1 + e“aw) + ctf/.2 (1 - e-“w)
a (1 — a?L 2) (	j stp/Lp cth (w/2ZLp)
Выражение (4.13) описывает спектральную зависимость фото-
проводимости полупроводникового материала, так как коэффици-
ент поглощения а зависит от длины волны света. В области собст-
венного поглощения, где поглощение фотона сопровождается гене-
рацией свободных электрона и дырки, коэффициент а= 103-т-
~106 см-1. Кроме коэффициента поглощения еще две величины за-
висят от длины волны: коэффициент квантового выхода р и коэф-
фициент отражения R. При энергиях фотонов, меньших ширины за-
115
прещенной зоны, резко падают коэффициент поглощения и избы-
точная концентрация носителей заряда. В интервале энергий фото-
нов от одной до двух значений ширины запрещенной зоны р«1.
Выражение (4.13) является сложным, однако на его основе
можно провести анализ многих частных случаев и получить более
простые соотношения, пригодные для определения ряда параметров
полупроводникового материала. Следует заметить, что при выво-
де каждой формулы приходится использовать целый ряд предполо-
жений, соответствие которых реальным условиям нужно в каждом
конкретном случае проверять.
Методы определения параметров. Поверхностная генерация но-
сителей заряда осуществляется, когда коэффициент поглощения
очень велик. Она реализуется в коротковолновой области спектра
за краем собственного поглощения и предполагает выполнение ус-
ловия aw 1. Тогда
1 + 2£l_J_
«0тр DP 1 + aLP
др =----"-----------
a	SLp w
Если к тому же образец имеет достаточно большую толщину,
т. е. w3>2Lp (достаточно w/Lp^4), то cth w/(2Lp) «1 и выраже-
ние (4.14) упрощается:
-----1----(1	.	(4.15)
При более сильном поглощении, когда aLp^>\,
1 +--------
g°Xp . Dp а
a	sLp
Если допустить, что в (4.5) коэффициент квантового выхода и
коэффициент отражения не зависят от длины волны, а поток фото-
нов Jo/ (hv) постоянен в некотором спектральном диапазоне, то из-
быточная концентрация носителей заряда, а следовательно, и фото-
проводимость линейно зависят от значения а-1. По мере увеличе-
ния коэффициента поглощения ДР асимптотически стремится к по-
стоянному значению, не зависящему от а, но зависящему от скоро-
сти поверхностной рекомбинации (и тем меньшему, чем больше s).
При а—>-оо
ДР(ОО)=1^________!___=	.	(4.17)
a	sLp	hv	sLp
116
В длинноволновой области за краем собственного поглощения
фотопроводимость резко падает за счет уменьшения коэффициен-
та поглощения. Таким образом, при промежуточных значениях а,
соответствующих краю поглощения, фотопроводимость достигает
максимального значения. Спектральные зависимости фотопроводи-
мости образца, качественно отражающие описанные особенности,
представлены на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Спектральное распре-
деление фотопроводимости об-
разца из германия p-типа с р=
=47 Ом-см при двух обработ-
ках поверхности:
1 — травление в СР-4; 2 — травле-
ние в Н2О2
AG(oa)
AG(cr)-AG(oo)
-1/LP О
а, см-’
Рис. 4.3. Зависимость отно-
шения ДО(оо)/[ДО(а)—
—ДО(оо)] от коэффициента
поглощения а
По экспериментальным данным спектральной зависимости фо-
топроводимости несложно найти отношение разности фотопрово-
димости AG(a)—AG(oo) в интервале, где фотопроводимость умень-
шается при увеличении а, к ее предельному значению AG(oo) и по-
строить график -------1— -----в функции коэффициента поглоще-
дб (а) — ДО (оо)
ния (рис. 4.3). Согласно (4.15) и (4.16),
Дб (оо)
Дб (а) — Дб (оо)
____ДР(оо)
ДР (а)— ДР(оо)
(4.18)
(1 -]~aLp).
Следовательно, на горизонтальной оси эта прямая отсекает от-
резок а ——Lp-', а на вертикальной оси — отрезок Dp/(sLp). Таким
образом, по спектральному распределению фотопроводимости мож-
но определить диффузионную длину и скорость поверхностной ре-
комбинации, если коэффициент диффузии неосновных носителей
заряда известен. Нужно отметить, что в выражение (4.17) не вхо-
дит скорость генерации неравновесных носителей зраяда, а потому
фотопроводимость выражают в относительных единицах. Коэффи-
циент поглощения может быть измерен по пропусканию тонких
образцов (см. § 6.2).
Основные условия применимости (4.18) заключаются; во-пер-
вых, в наличии прямолинейного участка на графике AG(a), свиде-
117
тельствующего о том, что действительно достигается значение
AG(oo), и, во-вторых, о малой зависимости коэффициента отраже-
ния от характера обработки поверхности и длины волны в исполь-
зуемой области спектра. Зависимость коэффициента отражения от
способа травления образца осложняет практическое использование
метода.
Воспользовавшись графиком спектральной зависимости фото-
проводимости, несложно найти отношение фотопроводимостей об-
разца на двух длинах волн, для которых выполняется условие по-
верхностной генерации носителей заряда. Из этого отношения с
учетом (3.16) получим
ДО(М)
— а(Х1)=------^2----------,
Dp	, ДО(М а(Х1)
ДО (Х2) ‘ а(Х2)
т. е. для расчета s достаточно знать Dp.
Измерив спектральную зависимость фотопроводимости на од-
ном и том же образце при двух различных значениях скорости по-
верхностной рекомбинации Sj и s2, из графиков .AG(a-1) определим
Dp/s\, Dp/s2, hi, h2. Согласно (4.18),L=---2~~**----, Когда
₽ h^/Dp-^IDp
образец тонкий w<2Lp и cth w/(2Lp) ^2Lp/w, to
h\S\/Dp — h2s2[Dp 2
Следует отметить, что изложенные ранее методы определения
параметров полупроводников с помощью спектральных характери-
стик фотопроводимости получены на основе анализа фотопроводи-
мости при выполнении условия электронейтральности как в объеме;
так и на поверхности образца. Другими словами, при анализе пред-
полагалось, что обязательно существующая вблизи поверхности об-
разца область пространственного заряда не оказывает существен-
ного влияния на рекомбинацию носителей заряда и фотопроводи-
мость, а состояние поверхности можно характеризовать скоростью
поверхностной рекомбинации. Введение скорости поверхностной
рекомбинации предполагает наличие квазиравновесия между но-
сителями заряда на поверхности и в объеме полупроводника. Из
анализа следует, что существование приповерхностных изгибов
энергетических зон, значительно превышающих среднюю тепловую
энергию носителей заряда, нарушает такое равновесие уже при
низких интенсивностях процессов рекомбинации на поверхности.
Это приводит к качественным изменениям характеристик фотопро-
водимости.
Если у освещенной поверхности полупроводника образуются
значительные изгибы энергетических зон, то люкс-амперные, спект-
ральные и кинетические характеристики фотопроводимости имеют
определенные особенности, которые не могут быть описаны теори-
118
ей фотопроводимости, основанной на квазиравновесном распреде-
лении носителей заряда. Они объясняются изменением процессов
рекомбинации носителей заряда на поверхности и в приповерхност-
ной области объемного заряда, состоящим в возрастании эффектив-
ного времени жизни неравновесных носителей заряда.
Экспериментальные исследования фотопроводимости на крем-
нии, арсениде галлия и германии, проведенные в условиях больших
приповерхностных изгибов энергетических зон, позволили опреде-
лить ряд особенностей характеристик фотопроводимости этих ма-
териалов. Большие изгибы энергетических зон возникают при неко-
торых обработках поверхности, воздействии электрического поля
(эффект поля), а также при поляризации в электролите. В послед-
нем случае приповерхностный изгиб зон, например для кремния и
германия, может быть в несколько раз больше ширины запрещен-
ной зоны. В соответствии с рис. 4.4 при большом изгибе зон спект-
ральное распределение фотопроводимости кремния значительно из-
меняется: в коротковолновой области спектра появляется новый
максимум, который превосходит обычный максимум на краю соб-
ственного поглощения. При этом электрическое поле объемного за-
ряда препятствует притоку к поверхности основных носителей за-
ряда, ограничивая интенсивность процессов рекомбинации на по-
верхности. Одновременно с этим происходит снижение интенсивно-
сти объемной рекомбинации в приповерхностной области объемно-
го заряда. Эти процессы увеличивают эффективное время жизни
носителей заряда по сравнению с его значением в условиях элект-
ронейтральности; они влияют на характеристики фотопроводимо-
сти полупроводника.
Методика измерения стационарной фотопроводимости. Часто
для измерения стационарной фотопроводимости и параметров, ее
характеризующих, используется установка, схема которой пред-
ставлена на рис. 4.5. Одна из поверхностей полупроводникового
образца, имеющего форму прямоугольной пластины, освещается
модулированным светом. Световой поток проходит через оптиче-
скую систему ОС, монохроматор Мх и прерывается модулятором
М. Фототок, изменяющийся с частотой модуляции света, создает
напряжение на резисторе R,„ включенном последовательно с образ-
цом. Это напряжение усиливается усилителем У и измеряется
электронным вольтметром переменного тока V.
Важным элементом измерительной установки является модуля-
тор света. При экспериментальном изучении стационарных фото-
электрических явлений в полупроводниках к модуляторам света
предъявляются следующие основные требования: за время, равное
длительности светового импульса при прямоугольной модуляции
света, фотоэлектрический процесс должен достигнуть стационарно-
го состояния, а в интервале между двумя последовательными све-
товыми импульсами образец должен успеть вернуться в состояние
термодинамического равновесия. Только в этом случае измеренный
сигнал будет соответствовать стационарному значению фотопрово-
119
димости или другого фотоэлектрического эффекта. Для выполнения
этих требований необходимо, чтобы длительность светового им-
пульса значительно превосходила характеристические времена ре-
лаксации фотоэлектрических эффектов. Если используется синусо-
идальная модуляция света, то ее период должен быть настолько
велик, чтобы в любой момент времени процесс можно было считать
квазистационарным.
Рис. 4.4. Спек-
тральное распреде-
ление фотопрово-
димости образца
из кремния п-типа
с р=160 Ом-см
при малом (кривая
а) и большом
(кривая Ь) припо-
верхностном изги-
бе энергетических
эон
Рис. 4.5. Схема ус-
тановки для изме-
рения стационар-
ной фотопроводи-
мости
Для получения световых прямоугольных импульсов достаточно
большой длительности применяют различные механические моду-
ляторы. В § 3.4 при описании метода измерения диффузионной дли-
ны уже упоминался механический модулятор, выполненный в виде
диска с секторными вырезами, при вращении которого световой
поток периодически пересекается секторами диска, осуществляя
прямоугольную модуляцию света. Другие разновидности механиче-
ских модуляторов состоят из зеркальных модуляторов и электро-
динамических затворов. В простейшем зеркальном модуляторе ис-
пользуется луч света, отраженный от вращающегося зеркала, ко-
торый пересекает входную щель оптической системы, формируя
прямоугольный световой импульс.
Принцип действия электродинамических затворов основан на
взаимодействии катушки, по которой протекает электрический ток,
с магнитным полем. Если через катушку пропустить импульс тока,
то она переместится в магнитном поле и приведет в действие штор-
ку, перекрывающую световой поток.
120
Упомянутые разновидности механических модуляторов света
широко используются в установках для измерения стационарных
значений фотоэлектрических и оптических величин и, как правило,
непригодны для анализа кинетики фотоэлектрических процессов
из-за относительно больших значений времени нарастания и спада
импульсов света (104—10 s с).
При изучении малоинерционных процессов, а также при измере-
нии малых времен жизни носителей заряда применяют другие спо-
собы модуляции и создания световых импульсов с малыми време-
нами нарастания и спада.
В качестве источников света для фотоэлектрических и оптиче-
ских измерений в видимой и ближней инфраскрасной областях
спектра используют лампы накаливания и газонаполненные лампы.
Наиболее широкое распространение как источники инфракрасного
излучения в оптических приборах нашли штифт Нернста и глобар
(см. § 6.3). Все большее значение как источники излучения в экс-
периментальных исследованиях приобретают лазеры и инжекцион-
ные полупроводниковые источники света из карбида кремния, ар-
сенида галлия, твердых растворов некоторых соединений А3В5.
Для выделения нужного спектрального интервала излучения источ-
ника применяют монохроматоры с линзовой и зеркальной оптикой.
Для создания однородной генерации носителей заряда во всем
объеме образца используют оптические фильтры, с помощью кото-
рых выделяют узкий интервал длин волн, приходящийся на край
собственного поглощения, где коэффициент поглощения невелик.
Самым подходящим для этого является фильтр из того же полу-
проводникового материала, что и исследуемый образец. При этом
толщина фильтра должна быть больше толщины образца.
§ 4.2. Определение диффузионной длины
по фототоку короткого замыкания р-п-перехода
В основе данного метода измерения диффузионной длины не-
основных носителей заряда лежит измерение тока короткого замы-
кания р-п-перехода или структуры с барьером Шотки при освеще-
нии его светом. Преимущество метода состоит в возможности из-
мерения малых диффузионных длин неосновных носителей заряда
в тонких эпитаксиальных слоях. Метод использует принцип работы
фотодиода. Рассмотрим данный метод применительно к эпитак-
сиальным слоям арсенида галлия.
Пусть однородный эпитаксиальный слой p-типа электропровод-
ности толщиной w, составляющий часть структуры р-п-перехода,
в плоскости х=0 освещается монохроматическим светом интен-
сивностью Jo- Световой поток генерирует носители заряда. Для не-
основных носителей заряда Дп(х) стационарное одномерное урав-
нение непрерывности в отсутствие внешнего электрического поля
12)
имеет вид
d2AnW дп^ х)=0	(4.19)
dx2 т„
На освещенной поверхности эпитаксиального слоя диффузион-
ный поток электронов в плоскости х=0, направленный в сторону
этой поверхности, определяется скоростью поверхностной реком-
бинации s. При этом граничное условие
D АКп(х) I = s^n (Q)	(4.20)
dx Iх=о
Следует отметить, что в реальных структурах для уменьшения
скорости поверхностной рекомбинации на поверхность эпитаксиаль-
ного слоя наносят еще один эпитаксиальный слой того же типа
электропроводности, но иного химического состава. Образующая-
ся при этом гетероструктура препятствует прохождению потока
электронов к поверхности, а условие на границе слоев описывает-
ся уравнением, аналогичным (420). Генерация носителей заряда
в этом слое пренебрежимо мала вследствие того, что ширина его
запрещенной зоны больше, а поглощение света незначительно.
В соответствии с теорией фотодиода плотность тока короткого
замыкания /к р-п-перехода равна плотности диффузионного тока
неосновных носителей заряда на границе эпитаксиального слоя в
плоскости x=w:
jK=eDp^^L\ ,	(4.21)
dx |Л=а,
а избыточная концентрация электронов
Дя(да)=0	(4.22)
Решение дифференциального уравнения (4.19) с учетом гранич-
ных условий (4.21) и (4.22) и генерационного члена (4.5) имеет
вид
д/>(х)=Д ex,Ln-\-B(TxlLn----е~ах,	(4.23)
где
Д =	|e-«we-w/£n —
а2^-1 I
_	+ a^n)e“'/£"+(£)n/^n—s) е gw] sech w/Ln	.
2 (i„/t„ + s th w/Ln)	J ’
g= g^n (s + а£>п) ею/£п + (JDn/Ln — s) e~ °w sech w/Ln
2(Z.„/T„ + Sthw/£„)
122
Согласно (4.21) и (4.23), плотность тока короткого замыкания
j =—+а£_е-“ю —
[(s + а£>я) ew,Ln + (Dn!Ln — s) e~ttW] sech w/Ln c~w/£„l _
(£п/т«+sthw/£„)	J
_ eSoLn (_ ($ +o£>n)sechw/£n 
—1 I (£«/*« +«th w[Ln)
-}-Га£„-J- .К+£«/т?№*/Ц 1 e-^«I.	(4.24)
L	(A„/T„+^thw/Z„) J J
При определении диффузионной длины на основе соотношения
(4.24) используют следующие упрощающие предположения:
aw > 5;	(4.25а)
а£„ > 3;	(4.256)
з=0	(4.25в)
При этом вторым слагаемым в (4.24) можно пренебречь. Тогда
ук=	^Dnxn sechw/£  е/0(1 — л?) sech	(4 26)
а2£„ Ln	Av
Если а=4,4-104 см-1 (GaAs; Л=6328 А), то условие (4.25a) вы-
полняется при толщине эпитаксиального слоя 2—10 мкм. Мини-
мальное значение диффузионной длины, которое удовлетворяет
условию (4.256), составляет 1 мкм. При нарушении условия
(4.256), когда £п<1 мкм, а£п<3 и
aD«sech«’/Z»= ~ С/0(д7^)~ Х
а2£2
X уц2£2 2.!) sech	(4.27)
В результате измерений диффузионной длины в слоях арсенида
галлия толщиной 1—10 мкм, выращенных с помощью жидкостной
эпитаксии, были получены концентрационные зависимости диффу-
зионной длины электронов и дырок. Значения диффузионной дли-
ны лежат в интервале от десятых долей до единиц микрометров
при концентрации основных носителей заряда 1016—1019 см-3. За-
висимость диффузионной длины электронов и дырок в эпитакси-
альных слоях арсенида галлия от концентрации основных носите-
лей заряда представлена на рис. 4.6.
С целью уменьшения скорости поверхностной рекомбинации на
слое арсенида галлия выращивают слой GaAlAs. Для эксперимен-
тально полученных значений диффузионной длины анализ соотно-
123
шения (4.24) показывает, что приближения (4.25а) и (4.256) спра-
ведливы при скорости поверхностной рекомбинации до 104 см/с. При
этом условие (4.25в) можно заменить на s< 104 см/с.
Измерения тока короткого замыкания проводились при осве-
щении р-м-перехода светом от гелий-неонового лазера с hv—
= 1,96 эВ (Л=6328 А), освещенная площадь составляла 5-10~4 см2,
Рис. 4.6. Зависимость диффузи-
онной длины электронов и ды
рок в эпитаксиальных слоях ар-
сенида галлия от концентрации
основных носителей заряда:
1 — для арсенида галлия p-типа, ле-
гированного германием; 2 — для ар-
сенида галлия л-типа, легированно-
го оловом
]к,отн.ед.
Рис. 4.7. Зависимость тока
короткого замыкания р-н-пе-
реход а из арсенида галлия
от толщины р-слоя:
1—р=1,1-101й см—3; £п=5,5 мкм;
2 —рб.ОЮ” см—®;	£п-
-200 мкм
сопротивление нагрузки 1,0 Ом. Поскольку в решения (4.26) и
(4.27) входит коэффициент	, необходимо измерять свето-
hv
вой поток и знать коэффициент отражения на данной длине волны.
Толщина эпитаксиального слоя может быть определена непосред-
ственно с помощью растрового микроскопа или методом косого
шлифа.
Следует отметить, что использование уравнения (4.19) пред-
полагает отсутствие процессов переизлучения и перепоглощения,
которые могут сопровождать диффузию носителей заряда. Тео-
ретически показано, что эти оптические процессы в прямозонных
полупроводниках приводят к дополнительной диффузии носителей
заряда. Степень их влияния на диффузию зависит от того, какую
часть составляет избыточная концентрация носителей заряда, ре-
комбинирующих излучательно, от общей концентрации рекомби-
нирующих носителей заряда.
Другой способ определения диффузионной длины по фототоку
р-п-перехода основан на анализе зависимости тока короткого за-
мыкания /к от толщины слоя w при перемещении луча лазера вдоль
косого шлифа. Фототок короткого замыкания р-п-перехода при
aw > 1; aLn > 1
(4.28)
124
где
& S/Dn 11 Ln	।
S/Dn + I’/^n
Для слоев, толщина которых больше диффузионной длины (ю>
>Ln), первое слагаемое в знаменателе (4.28) преобладает, а диф-
фузионную длину можно вычислить по зависимости In /к от w. Вид
функции в интервале w^iLn зависит от s/Dn и l/Ln. Если Ln
определена в интервале w>Ln, то в соответствии с (4.28) k и, сле-
довательно, s/Dn можно найти из условия совпадения эксперимен-
тальной зависимости с теоретической. Значения Dn можно прибли-
женно рассчитать по значению подвижности на основе предполо-
жения, что подвижность электронов в материале p-типа соответ-
ствует подвижности электронов в материале n-типа с той же кон-
центрацией носителей заряда. Таким образом, зная Ln, k и Dnr
можно найти скорость поверхностной рекомбинации. Зависимость
фототока короткого замыкания р-п-перехода от толщины р-слоя
показана на рис. 4.7.
Часто вместо светового применяют электронный луч и измере-
ния выполняют с помощью сканирующего электронного микро-
скопа.
§ 4.3. Измерение диффузионной длины
по спектральной зависимости возбуждения
и излучения фотолюминесценции
Измерения диффузионной длины и времени жизни носителей за-
ряда, основанные на люминесценции, обязаны своим развитием ис-
пользованию полупроводниковых соединений в светодиодах и ла-
зерах. В основе методов лежит измерение интенсивности люминес-
ценции в зависимости от длины волны возбуждающего света,
определение точной формы края линии люминесценции, интенсив-
ности катодолюминесценции, скорости гашения люминесценции
после импульсного возбуждения, фазового сдвига между возбуж-
дением и испусканием.
Люминесцентные методы измерения применимы для полупро-
водниковых материалов, обладающих интенсивной фотолюминесцен-
цией; их используют для исследования таких материалов, как
GaAs, GaP, GaAsP.
При возбуждении фотолюминесценции фотонами с энергией,
большей ширины запрещенной зоны, носители заряда генерируют-
ся вблизи освещенной поверхности полупроводника. Поверхностная
рекомбинация уменьшает эффективность излучательной рекомби-
нации тем больше, чем ближе к поверхности генерируются носите-
ли заряда. При увеличении длины волны возбуждающего света
коэффициент поглощения уменьшается, область генерации носите-
125
лей заряда расширяется и эффективность излучательной реком-
бинации возрастает, приближаясь к своему объемному значению.
Таким образом, эффективность излучательной рекомбинации за-
висит от длины волны возбуждающего света. В основе данного ме-
тода измерения диффузионной длины лежит спектральная зависи-
мость эффективности фотолюминесценции.
Для вычисления интенсивности фотолюминесценции необходи-
мо знать распределение неравновесных носителей заряда при по-
глощении возбуждающего излучения. Концентрацию носителей
заряда можно рассчитать, решив уравнение непрерывности, учи-
тывающее генерацию, рекомбинацию и диффузию носителей заря-
да. Для материала p-типа уравнение непрерывности и генерацион-
ное слагаемое имеют вид (4.19) и (4.5). Время жизни неосновных
носителей заряда связано с излучательным временем жизни тг и
объемным квантовым выходом т] соотношением т)=тп/тг.
Пренебрегая наличием поверхностного слоя, сформулируем
граничные условия: в плоскости х=0 на освещенной поверхности
Dn—— I	=«Дл(О)и вдали от нееДп(оо)=9. В данном случае об-
ах |х=0
щим решением уравнения непрерывности является функция
kn(x)—Ae~x/L"-\-C егах;
д _ So-tn l+aDn/s .
«2^-1 l+Dn/(Lns) ’
£	SpTn .
«2^-1 ’
Ьп(х)=- g°-n- Г--+ aD*'s	.
a2£2_i [1+£)п/(£я8)	]
Полная скорость излучательной рекомбинации
(4.29)
bn(x) .	goxn	Г 1 + aDn/s ,_____11
тг	(<^-1)гг 11 + Dn/(Lns)Ln	aj~
= 7] Jo (J ~_g)------J------f _Qn_ _|--.	(4.30)
ftv	1 -I- Pn/(Lns) \ sLn \/a-{-Ln)
Интенсивность фотолюминесценции /л, регистрируемая фото-
приемником, пропорциональна Rr: J„=kRT, где k — постоянный
коэффициент, зависящий от геометрических размеров фотоприем-
ника, угла 6 между фотоприемником и нормалью к поверхности
образца, показателя преломления образца пг и окружающей среды.
Приближенное выражение k=—> учитывающее уг-
ловое распределение интенсивности фотолюминесценции, справед-
ливо при следующих допущениях:
126
1)	расстояние между образцом и фотоприемником велико по
сравнению с размерами образца, а пространственный угол Q, в
пределах которого излучение попадает на ФП, мал;
2)	образец имеет плоскую поверхность и достаточную толщи-
ну, так что многократное отражение излучения от поверхностей
образца отсутствует;
3)	излучение изотропно и некогерентно.
Как следует из (4.30), для образца с конкретными значениями
параметров интенсивность фотолюминесценции зависит от коэф-
Рис. 4.8. Зависимость интенсивности
фотолюминесценции /л от обратного
коэффициента поглощения а'1
Рис. 4.9. Схема установки для из-
мерения интенсивности фотолюми-
несценции в зависимости от длины
волны возбуждающего излучения
фициента поглощения. При увеличении а“' интенсивность фото-
люминесценции возрастает (рис. 4.8) и стремится к Jn^=kRr=kt\y_
/О (1 — 7?) fl I Dn \ 1 £>П	'ГЛ	и
X——------— |1Ч----—	—— .если а—>-оо. Таким образом, если kr
Av \ sLn ) sLn
Jo, R и Dn известны, то по совпадению теоретической зависимости
с экспериментальной можно определить параметры т), s и Ln. При
этом необходимо также знать зависимость коэффициента поглоще-
ния от длины волны для образца с соответствующим уровнем ле-
гирования.
С длинноволновой стороны спектральный диапазон возбужда-
ющего излучения, в пределах которого возможно проводить изме-
рения, ограничен спектральным диапазоном фотолюминесценции.
Этому условию соответствует минимальное значение коэффициента
поглощения атщ возбуждающего излучения. Изменение интенсив-
ности фотолюминесценции при увеличении а-1 тем больше, чем
меньше диффузионная длина при Ln>a~l. Следовательно, макси-
мальное значение диффузионной длины, которое может быть изме-
рено, определяется amin , и тем больше, чем больше длина волны
возбуждающего света.
При более точном анализе учитывают конечную толщину об-
разца, поверхностную рекомбинацию на второй поверхности и на-
личие приповерхностной области пространственного заряда. В слу-
чае сильного поглощения возбуждающего излучения, когда
127
aLn^>\, а протяженность области пространственного заряда неве-
лика, интенсивность фотолюминесценции пропорциональна (4.16).
Из (4.16) следует, что, экстраполируя линейную зависимость ин-
тенсивности фотолюминесценции /л(а-1) до пересечения с осью а-1,
можно определить Dnls\ Dn/s=—а~1 при /л=0.
Ha рис. 4.9 представлена упрощенная схема эксперименталь-
ной установки для измерения интенсивности фотолюминесценции
в зависимости от длины волны возбуждающего излучения. Свето-
вой поток от источника света с помощью оптической системы ОС
фокусируется на входную щель монохроматора Мх. Монохромати-
ческий световой поток возбуждает фотолюминесценцию образца О.
Часть светового потока излучения образца регистрируется фото-
приемником ФП. Сигнал от фотоприемника подается на усилитель
У и регистрируется самописцем Сп.
Применение описанного метода для исследования арсенида и
фосфида галлия позволило измерить диффузионную длину менее
1 мкм. Вместе с тем было показано, что различные способы обра-
ботки поверхности, ее химическое травление и полировка сущест-
венно влияют на экспериментально определяемые значения диффу-
зионной длины, что является недостатком данного метода измере-
ния.
Другой метод измерения диффузионной длины основан на ана-
лизе спектральной зависимости краевой люминесценции при по-
стоянной длине волны возбуждающего излучения.
Фотоны, испускаемые при люминесценции, частично перепогло-
щаются, и степень их перепоглощения зависит от расстояния х до
•освещенной поверхности, где происходит испускание этих фотонов.
Координата х, в свою очередь, связана с диффузией носителей за-
ряда. Если коэффициент поглощения этих фотонов достаточно ве-
лик, т. е. полоса излучения возникает вблизи края поглощения, то
перепоглощение будет достаточным, чтобы изменить форму поло-
сы излучения. В обратном случае, т. е. при малом коэффициенте
поглощения, перепоглощение будет мало и не приведет к заметным
изменениям формы полосы излучения.
Предполагая, что распределение неравновесных носителей за-
ряда определяется, как в предыдущем случае, и учитывая пере-
тюглощение фотонов, получим выражение для полной скорости из-
лучательной рекомбинации:
оо
^Г(Ь)=	(4.31)
о Xr
где a0(Av) —коэффициент поглощения испускаемых фотонов, при-
чем a>a0(hv).
В (4.31) knjx соответствует решению (4.29), поэтому
n /hvj_ a/oCI — /?) Г a 4-ар (Ду) 4-l/£n 4-s/£>n	1
' Dnxr(hv)B [ (a 4-a0) (a + 1/£„)(!//.„+«£>„) J’
где (Av) в — энергия кванта возбуждающего излучения.
128
Таким образом, измеряя спектральную зависимость интенсив-
ности фотолюминесценции Rr(hv), коэффициент поглощения «о (/iv),
можно определить Ln и s/Dn и, зная а для возбуждающего излуче-
ния, сравнить экспериментальную зависимость с теоретической. Од-
нако если $ADn-|-l/Ln+a2>a0(/2v), то s/£>n-|-l/Ln-|-a+ao(/iv) прак-
тически не зависит от hv ч диффузионную длину можно рассчи
тать, используя зависимость [<х-|-<хо (ftv) ] [a0(ftv) + 1/L„] от hv.
Этот метод был использован при изучении кристаллов арсенида
галлия, легированных теллуром, с концентрацией электронов
2-1016—6,5-1018 см-3. Возбуждение фотолюминесценции производи-
лось на длине волны 6328 А с помощью гелий-неонового лазера.
Энергия возбуждающего фотона ftv=l,96 эВ превосходила шири-
ну запрещенной зоны, а коэффициент поглощения был равен
4-Ю4 см-1. Диапазон измеренных значений диффузионной длины
составил 0,02—2,0 мкм.
Описанные люминесцентные методы позволяют определить ре-
комбинационные параметры с погрешностью 20—30% и пригодны
для исследования соединений А3В5 и многослойных структур на
основе этих соединений.
Для определения диффузионной длины и скорости поверхност-
ной рекомбинации можно использовать катодолюминесценцию.
Проникающая способность электронов зависит от плотности твер-
дого тела и возрастает с увеличением их энергии. Следовательно,
глубина, на которой вследствие люминесценции генерируются фо
тоны, зависит от энергии электронов. Поэтому измерения интенсив-
ности катодолюминесценции выполняют в зависимости от энергии
электронного пучка в интервале 5—50 кэВ. Эти измерения удобно
проводить с помощью сканирующего электронного микроскопа.
Основная проблема при интерпретации результатов состоит в оп-
ределении истинного распределения возбуждения по глубине. Из-
мерение диффузионной длины можно выполнить, согласно ее ко-
личественным оценкам, с точностью ±30%.
§ 4.4. Измерение диффузионной длины
методом стационарной поверхностной фото-ЭДС
Объемный образец. Метод стационарной поверхностной фото4
ЭДС основан на измерении разности потенциалов между освещен-
ной и неосвещенной поверхностями полупроводникового образца.
Электростатический потенциал поверхности полупроводника опре-
деляется приповерхностным изгибом энергетических зон. Измене-
ние электростатического потенциала поверхности в результате ге-
нерации носителей заряда называют поверхностной фото-ЭДС.
Это изменение обусловлено в основном двумя причинами. Во-пер-
вых, оно связано с пространственным перераспределением объем-
ного заряда из-за наличия неравновесных носителей заряда в при-
поверхностной области и, во-вторых, с захватом Носителей заряда
поверхностными состояниями. Влияние неравновесных носителей
5—1438
129
заряда заключается в уменьшении поверхностного электростатиче-
ского потенциала по сравнению с его термодинамически равновес-
ным значением. Как следует из теории, поверхностная фото-ЭДС
пропорциональна избыточной концентрации носителей заряда на
освещенной поверхности образца при малых ее значениях в слу-
чае хорошо выраженных слоев инверсии или обогащения. В других
случаях она растет с увеличением избыточной концентрации носи-
телей заряда сублинейно.
Пусть полупроводниковый образец в виде тонкой пластины ос-
вещается монохроматическим светом из области собственного по-
глощения. Протяженность области объемного заряда вблизи по-
верхности мала по сравнению с диффузионной длиной и а-1. При
этом определение избыточной концентрации носителей заряда, на-
пример дырок, аналогично рассмотренному в § 4.1, т. е. избыточ-
ную концентрацию носителей заряда рассчитывают по (4.10) с уче-
том коэффициентов (4.11) и (4.12). Если предположить, что обра-
зец достаточно толстый, т. е. w^>Lp и w^>l/a, то избыточная
концентрация носителей заряда на поверхности
4,(0)=	.	(4.32)
Av (s Dp/Lp) (1 -|- а£р)
Так как поверхностная фото-ЭДС Un является функцией кон-
центрации Лр(0), то
^п==/ [Л/? (0)] [const ,/"---.1.
L *v(l 4- a£p)J
где f,[Ap (0) ] —некоторая монотонная функция.
Вид этой функции может изменяться от образца к образцу, мо-
жет зависеть от типа электропроводности образца, его поверхност-
ной обработки и может быть неизвестен. Если R и р — постоянные
величины, то эту зависимость можно представить в виде
___/о»
ftv (1 + aLp)
U.33)

Из (4.33) следует, что одно и то же значение Un может быть
получено для различных значений Jo и а. Например, для двух длин
волн Х| и Аг в соответствии со значениями коэффициентов погло-
щения ai(Ai) и «2(Л2) можно выбрать интенсивности света Jt и J2
такими, чтобы поверхностная фото ЭДС осталась неизменной.
Тогда
Л_______«1	___ /2 а2 .
hVi 1 -|- atLp hv2 1 +
hvi hv2
r   ^iai
p Av2	Avj
h /1
130
В общем случае соотношение (4.33) можно представить в виде
линейной зависимости
•/o/(^)=A(Z.p4-l/a),	(4.34)
где k — постоянный коэффициент, соответствующий определенному
значению Un. Как следует из (4.34), график зависимости Jo/(hv)
от а-1 пересекает осью-1 в точке Lp, т. е. —a~l = Lp при Jo/(/iv)=O.
Поверхностную фото-ЭДС измеряют с помощью контакта, име-
ющего емкостную связь с освещенной поверхностью полупровод-
ника, т. е. контакт и полупроводник представляют собой конденса-
тор, причем освещение образца осуществляется сквозь электрод,
который с этой целью делают полупрозрачным. Важно, чтобы свет
не достигал второй поверхности образца, так как поверхност-
ная фото-ЭДС второй поверхности должна быть пренебрежимо
мала.
Поверхностная фото-ЭДС не единственная ЭДС, которая регист-
рируется емкостным контактом. ЭДС Дембера также возникает
в объеме полупроводника и суммируется с поверхностной
фото-ЭДС. Однако наличие ЭДС Дембера не нарушает условий
применимости метода, так как при измерениях поверхностная фо-
то-ЭДС, а следовательно, и ЭДС Дембера остаются постоянными.
Так как метод измерения предполагает постоянство избыточной
концентрации носителей заряда на поверхности, то скорость по-
верхностной рекомбинации не влияет на результаты измерения
диффузионной длины. Кроме того, показано, что эффекты захвата
основных носителей заряда и умеренный захват неосновных носи-
телей заряда также не влияют на поверхностную фото-ЭДС. Это
является важным преимуществом данного метода измерения.
Эпитаксиальная структура. Метод стационарной поверхностной
фото-ЭДС, позволяющий измерять диффузионную длину неоснов-
ных носителей заряда однородного объемного образца, можно ис-
пользовать для измерений на тонких эпитаксиальных слоях, вы-
ращенных на подложках того же типа электропроводности, т. е.
для структур типа п-п+ и р-р+.
Пусть на образец в виде подложки электропроводности n-типа нанесен эпи-
таксиальный слой того же типа электропроводности толщиной гиц диффузионная
длина неосновных носителей заряда в эпитаксиальном слое Lt, в подложке L-i,
толщина подложки w2^>iL2. Образец со стороны эпитаксиального слоя в плоско-
сти х=0 освещается монохроматическим светом из области собственного погло-
щения. Для освещенной поверхности образца выполняется следующее условие:
dAoi I
Dl-^|^o = sApi(°).	(4.35)
Для границы слой — подложка при х=и» справедливо условие непрерывно-
сти диффузионного потока избыточных носителей заряда
„ <1Д/ь(.х)|	бДр2(х) I
£>1—=D—.	(4.36)
ах |	ах	| x=*w
5*
131
Общее решение уравнения непрерывности в пределах эпитаксиального слоя
Ай(х) = Ле X/£‘+Bex/t, + ₽^((11_^1 е “
тогда как для более толстой подложки
(4.37)
Д/>2 (X) = с е
цт2
Av(l —
Избыточная концентрация носителей заряда на границе слой — подложка
со стороны подложки Ap2(w) связана с избыточной концентрацией носителей за-
ряда в слое &pt(w) и равновесной концентрацией дырок в подложке р2 соотно-
шением
--ту	ей
&Р2 (“О = Api (®0 е + Р2 •
(4.38)
где фк — контактная разность потенциалов между слоем и подложкой; U — раз-
ность потенциалов, обусловленная освещением структуры. Константы интегри-
рования А, В н С можно определить, используя граничные условия (4.35), (4.36),
(4.38). Воспользовавшись решением (4.37), получим выражение, аналогичное
(4.34), характеризующее зависимость интенсивности света /0 от коэффициента
поглощения а-1 при фиксированном значении фото-ЭДС, т. е. при Api (0) = const:
/о
Av
ДР1 (0)
₽(1—Я)П«
, w sL\ .
•h— + V
'•ек
к.
(l-a2Z.J)Q,
Q =
W £>2^1
1Г+ е
{W	W
sh —— — aL ch —— 4-
Z-l	Z-j
^2^1
£>,17-2
+ 2e-aw
1/(«£1)2_ 1 1|
l/(aZ.2)21 J J
(4.39)

+
Зависимость J0/(/2v) от a 1 в соответствии с (4.39) линейна. На
рис. 4.10 представлены теоретически рассчитанные зависимости
интенсивности Jol(hv) от а1 для образца толщиной 10 мкм при
различных значениях диффузионной длины. Зависимость, получен-
ная для эпитаксиального слоя кремния n-типа электропроводно-
сти с удельным сопротивлением 5,0 Ом-см и толщиной 10 мкм на
подложке с удельным сопротивлением 0,0095 Ом-см толщиной
250 мкм, полностью совпадает с теоретической. Измерения выпол-
нены в интервале длин волн 0,8—1,0 мкм. В этой области спектра
коэффи ци ент а-1=0,526367— 1,14425V1 +0,58368V+0,039958V.
Спектральная зависимость коэффициента отражения существенна
при малых значениях диффузионной длины, что можно учесть,
построив зависимость /0[1—7?(Z,)]/(ftv) от ст4, где 1-—=
= 0,6786+0,03565V—0,03149V. Требования к точности измере-
132
ний ужесточаются при определении малых значений диффузионной
длины.
Таким образом, данный метод пригоден для измерения диффу-
зионной длины в эпитаксиальных
слоях структур п-п+-, р-р+-типа,
если толщина слоя w^4Lt. При
w^0,5L| измеряется диффузион-
ная длина в подложке.
Схема измерения поверхност-
ной фото-ЭДС подобна схеме из-
мерения спектральной зависимо-
сти фотопроводимости (см.
рис. 4.5). Для увеличения чувст-
вительности схемы используют
фазочувствительный усилитель,
синхронизованный с модулятором
света. Образец освещается со
стороны эпитаксиального слоя.
Рис. 4.10. Зависимость Zo/^v от а—1
для образца толщиной 10 мкм при
различных значениях диффузионной
длины
§ 4.5. Измерение параметров полупроводников
методом затухания фотопроводимости
Измерение времени затухания фотопроводимости, так же как
и ее стационарного значения, используется для определения ре-
комбинационных параметров полупроводников. Метод затухания
фотопроводимости наряду с методом модуляции проводимости яв-
ляется одним из основных методов измерения времени жизни не-
равновесных носителей заряда. Метод затухания фотопроводимо-
сти позволяет измерять время жизни носителей заряда на образ-
цах различных полупроводниковых материалов в интервале от не-
скольких микросекунд до единиц миллисекунд при точности 20%,
а также скорость поверхностной рекомбинации и коэффициент диф-
фузии.
В основе метода затухания фотопроводимости лежит процесс
рекомбинации неравновесных носителей заряда. В некоторый мо-
мент времени полупроводниковая пластина, через которую пропус-
кается небольшой электрический ток, освещается коротким им-
пульсом света. После прекращения светового импульса возбуж-
денные светом носители заряда рекомбинируют в объеме и на по-
верхности образца. Изменение напряжения на образце отражает
закономерности процессов рекомбинации и диффузии носителей
заряда и дает возможность определить ряд параметров полупровод-
никового материала.
Если фотопроводимость невелика, то изменение напряжения на
образце пропорционально избыточному числу носителей заряда и
потому зависимость напряжения на образце от времени после
прекращения импульса света соответствует тому же закону, что и
уменьшение числа носителей заряда. Анализируя форму осцилло-
133
граммы напряжения на образце, можно установить закон измене-
ния концентрации носителей заряда во времени.
Пусть имеется однородный полупроводниковый образец в виде
прямоугольного параллелепипеда, ограниченный плоскостями х=
= ±а, у= ±Ь, г— ±w. Полупроводник имеет электропроводность
p-типа, поэтому диффузия носителей заряда определяется диффу-
зией электронов. Кроме того, ловушки захвата отсутствуют, а уро-
вень возбуждения низкий. Примем длительность светового импуль-
са столь малой, что в момент окончания импульса, который прини-
мается за начало отсчета времени (/=0), неравновесные носители
заряда равномерно распределены по всему объему образца (начи-
наются процессы рекомбинации и диффузии). При наличии элек-
трического поля в направлении х, необходимого .для измерений,
уравнение непрерывности имеет вид
дДй
~дГ
ЬМ’’ ----div grad An.
дх
(4.40)
Предположим, что в уравнении (4.40) напряженность электри-
ческого поля равна нулю. При любом начальном распределении
неравновесных носителей заряда и граничных условиях, заданных
на поверхностях образца значениями скорости поверхностной ре-
комбинации, общее решение уравнения (4.40) записывается в виде
линейной комбинации собственных функций.
Решая уравнение (4.40) методом разделения переменных, т. е.
считая Ди= (х, у, г, t)=An(x)An(y)An(z)An(t), получим
Дп(х, у, z, t)—G cos (Ах) cos (By) cos (Cz) x
X exp(-/[— 4-l>„(A2+B2 4-C2)
I I Tn
Для нахождения коэффициентов А, В и С следует воспользовать-
ся граничными условиями на поверхностях образца:
п бдп(х) ,	, , .
---——=+ shn(x) при х— + а-,
ах
В>п	sbn(y) при у=± Ь;	(4.41)
a&n(z) j * z х
£>я — 1 г  — + $An(z) при z— ± м.
dz
j
Соотношения (4.41) приводят к трансцендентным уравнениям,
которые определяют набор возможных значений Л,, В, и С\. Введя
обозначения Л,а=|, Bjb—n\j и Cftby==^ft, произведем суммирование
и найдем общее решение уравнения (4.40):
Дп(л, у, z, t) =	Ggk cos cos (~Т~) х
ijk	ijk
ftkz \	(	, Г 1 I
хсо8Ыехргч^+^
134
где
AWrjfe — та часть избыточной концен-
трации носителей заряда, которая описывается данной собственной
функцией с амплитудой Сць- Коэффициенты вычисляют по на-
чальному условию, т. е. по распределению носителей заряда в об-
разце при t=0.
Зависимость Дпць от времени т содержит две экспоненциальные
составляющие: ехр (—t!xn), связанную с рекомбинацией носителей
заряда в объеме образца, и ехр (—vuht), связанную с поверхност-
ной рекомбинацией.
Учет граничных условий (4.41) позволяет получить следующие
соотношения, связывающие величины тр-, £& и s:
^-$,.=ctg5z; тц=ctg Cft=ctgtft.
as	bs	ws
Как показывает анализ, трансцендентные уравнения, которые оп-
ределяют значения тр- и £&, имеют первое решение в интервале
О—л/2, второе решение — в интервале л—1,5л и т. д., причем
g1=TjI=^1=O при s=0 и ^1=т]1=^1=л/2 при s->-oo. Таким обра-
зом, основная гармоника Дпш соответствует наименьшим собствен-
ным значениям |1( тр и £i и характеризуется эффективным време-
нем жизни
тЭф=(1/т„+^111)-1,	(4.42)
где Vin=Dn(^i2la2+‘r\i2/b2 + ll2/w2) определяется поверхностной ре-
комбинацией и представляет собой наименьшее значение из всех
ВОЗМОЖНЫХ Vijk-
По мере восстановления термодинамического равновесия основ-
ная гармоника спада vin начинает преобладать над остальными
гармониками, так как она характеризуется наибольшей постоянной
времени. Интервал времени, по истечении которого величина
l/tn+vijfc становится достаточно близкой к l/Tn4-vin, зависит от со-
отношения амплитуд гармоник Сц^. В самом простом случае дель-
та-образного импульса света и однородного начального распределе-
ния носителей заряда в начале спада основная гармоника описы-
вает релаксацию около двух третей избыточной концентрации носи-
телей заряда при s-»-oo; 2b=2w<^2a. Это значение растет с тече-
нием времени, быстро приближаясь к единице.
Значительно сложнее проанализировать спад фотопроводимо-
сти, когда генерация носителей заряда происходит в течение неко-
торого времени, так как начальное распределение носителей заря-
да не является однородным. Если же генерация происходит с по-
стоянной скоростью в течение длительного времени, то в образце
устанавливается стационарное распределение носителей заряда и
задача упрощается.
В рассматриваемом случае основная часть процесса релаксации
фотопроводимости, за исключением ее небольшого начального эта-
135
па, описывается зависимостью
Да (/)=Да0 ехр [ — t (1/т„ + vln)],
где значение v1H зависит от геометрических размеров образца и
скорости поверхностной рекомбинации на каждой из поверхностей.
Относительное влияние поверхностной рекомбинации на постоян-
ную времени (4.42) тем меньше, чем больше геометрические разме-
ры образца и чем ниже скорость поверхностной рекомбинации на
его свободных поверхностях.
Проанализируем частные случаи, для которых величина vm
выражается более простыми формулами. Если принять, что ско-
рость поверхностной рекомбинации бесконечно велика на гранях
х—+а, что обычно реализуется на границе с омическим контак-
том, и равна нулю на других плоскостях, то
•*111 = ''юо=л2^п/'(4а2).
(4.43)
Очевидно, что формулу (4.43) можно использовать для вычис-
ления объемного времени жизни, если эффективное время жизни
1/тЭф= 1/Tn+viii известно из измерений:
1	1	1 n2Dn
——— — — м100 — —----—- .	(4.44)
тэф	ТЭф
Такая же возможность возникает и в том случае, когда на всех
поверхностях скорость рекомбинации очень велика:
_L=_L_^l(_L+_L+_L) .	(4.45)
т„ тэф 4 а2 1 Ь2 1 W2)
Если воздействию импульса света подвергнется часть образца,
расположенная на таком расстоянии от контактов, когда они не
оказывают влияния на процессы рекомбинации, то
Для образца в виде тонкой пластины различие между объем-
ным и эффективным временем жизни, т. е. разность 1/тп—1/тЭф, за-
висит в основном от толщины пластины, поскольку b. На
рис. 4 11 представлены теоретически рассчитанные в соответствии
с (4.44) зависимости минимальной толщины пластины Ющщ от объ-
емного времени жизни, при которой измеренное значение тэф зани-
жено по сравнению с объемным временем жизни не более чем на
20% Эти зависимости рассчитаны для различных коэффициентов
диффузии.
В том случае, когда скорость поверхностной рекомбинации при-
нимает одинаковые малые конечные значения на свободных по-
верхностях, sb/Dn=:rf; sw/Dn=t'’• При этом
1Лэф=1/т„+«(!/*+!/«')•
(4.46)
136
Для измерения скорости поверхностной рекомбинации на осно-
вании (4.46) необходимо выполнить условие $ f—-р-—,
\ b w / хп
при котором поверхностная рекомбинация будет играть основную
роль в процессе спада фотопроводимости. Этого можно добиться,
если использовать образец, один из размеров которого мал (ьу<СЬ).
Как следует из (4.45) и (4.46), 1/тЭф линейно зависит от сомно-
жителя, заключенного в круглых скобках. График функции 1 /т3ф в
Рис. 4.11. Зависимость мини-
мальной толщины пластины от
объемного времени жизни при
различных значениях коэффи-
циента диффузии
зависимости от (l/a2-(-l/b2+l/w2),
согласно (4.45), представляет собой
прямую, отсекающую на верти-
кальной оси отрезок 1/тп, с танген-
сом угла наклона, равным nDn2l$.
Следовательно, время жизни и ко-
Рис. 4.12. Схема установки для измере-
ния времени жизни, коэффициента диф-
фузии и скорости поверхностной реком-
бинации носителей заряда методом за-
тухания фотопроводимости
эффициент диффузии можно определить графическим способом,
если провести измерения на образцах различных геометрических
размеров при одинаковой обработке поверхности, создающей вы-
сокую скорость поверхностной рекомбинации. Аналогичным обра-
зом графически не сложно найти тп и s на основе формулы (4.46).
Условие swjDn«С 1, которое должно выполняться применительно
к (4.46), практически ограничивает значение s значениями поряд-
ка 108 см/с для образцов из кремния и порядка 104 см/с для образ-
цов из германия.
Схема установки для измерения релаксации фотопроводимости
представлена на рис. 4.12. С помощью короткого светового им-
пульса от импульсного источника света в образце генерируются
носители заряда. Через образец от источника постоянного напря-
жения ИН, работающего в режиме генератора тока, пропускается
небольшой постоянный ток. Увеличение проводимости образца,
возникающее под действием светового возбуждения, приводит к
уменьшению напряжения на нем. По окончании светового импуль-
са напряжение на образце принимает первоначальное значение
согласно закону рекомбинации носителей заряда. Импульс напря-
жения от образца подается на широкополосный усилитель У и вос-
производится в виде осциллограммы на экране осциллографа О.
137
Анализируя форму кривой спада импульса напряжения, несложно
найти постоянную времени ее экспоненциального участка. При
этом следует учитывать, что начальный более быстрый спад им-
пульса напряжения определяется высшими гармониками спада и
потому не должен приниматься во внимание.
В качестве импульсных источников света обычно используют
лазеры и газоразрядные импульсные лампы, наполненные инерт-
ными газами — ксеноном и криптоном (или их смесями). Примене-
ние импульсных лазеров с малым фронтом нарастания импульса и
стробоскопических осциллографов позволило снизить нижний пре-
дел измеряемых значений времени жизни до значения, меньшего
10-7 с.
Из других способов получения импульсов света с малой дли-
тельностью фронта нарастания и спада необходимо отметить моду-
ляторы с ячейками Керра и Поккельса. Работа ячейки Керра осно-
вана на электрооптическом эффекте Керра, при котором в
оптически изотропном веществе под действием однородного элек-
трического поля возникает двойное лучепреломление. Линейно по-
ляризованный свет, попадая в среду с двойным лучепреломлением,
становится эллиптически поляризованным и частично проходит че-
рез анализатор, который в отсутствие электрического поля не про-
пускает его. Время срабатывания устройства составляет 10~9 с.
Принцип действия модуляторов на основе эффекта Поккельса ана-
логичен.
Значительные погрешности при измерениях могут появиться из-
за влияния фото-ЭДС, возникающей в образце при освещении
контакта или из-за неоднородности образца. Чтобы предотвратить
эти погрешности, необходимо контролировать однородность образ-
ца и тщательно экранировать контакты от попадания на них света.
Расстояние от контакта до освещенной области образца должно
быть больше нескольких диффузионных длин, чтобы процессы ре-
комбинации на контактах не влияли на спад фотопроводимости.
Метод затухания фотопроводимости используется для измере-
ния объемного времени жизни носителей заряда в слитках и пла-
стинах высокоомного кремния с р>200 Ом-см в интервале 10 —
—3-103 мкс при случайной погрешности 10%.
§ 4.6. Фазовый и частотный методы
измерения времени жизни носителей заряда
Фазовый и частотный методы измерения времени жизни осно-
ваны на использовании инерционности процессов нарастания и спа-
да избыточной концентрации носителей заряда, связанной с конеч-
ным значением их времени жизни. При возбуждении носителей
заряда светом, интенсивность которого изменяется во времени,
например по синусоидальному закону, фотопроводимость и фото-
ток образца изменяются согласно закону изменения интенсивности
света, но с некоторым запаздыванием, т. е. возникает сдвиг фаз
138
между световым возбуждением и фототоком. При этом сдвиг фаз
зависит от объемного времени жизни носителей заряда и скорости
поверхностной рекомбинации. Таким образом, измеряя сдвиг фаз,
можно определить время жизни носителей заряда в образце.
При увеличении частоты модуляции света начинает проявлять-
ся частотная зависимость фототока. Амплитуда фототока, так же
как и фазовый угол, связана с временем жизни носителей заряда,
и его можно найти по зависимости амплитуды фототока от частоты
модуляции света.
Рассмотрим фазовый и частотный методы на примере синусо-
идальной модуляции света. Пусть световой поток интенсивностью
Jo модулируется по закону 7(<о() =О,57овхр (iwt) +О,57о- Тогда при
однородной генерации носителей заряда генерационный член урав-
нения непрерывности запишется в виде
= а^о exp(/o)/)==g	exp(rW).	(4.47)
hv hv
Для упрощения анализа протекающих процессов пренебрежем
в уравнении непрерывности слагаемыми, описывающими дрейф и
диффузию носителей заряда:
—=——+5го+«гоехр(«®0.	(4.48)
а/ тп
В данном случае представляет интерес не общее решение урав-
нения (4.48), а та его часть, которая определяет переменную со-
ставляющую фотопроводимости в установившемся режиме. Для ее
нахождения представим концентрацию носителей заряда Ал в виде
суммы двух концентраций:
Дп=Длс-[-Д л (<«/),	(4.49)
где Длс соответствует постоянной составляющей go', Дл(А() — пере-
менной составляющей генерационного члена (4.47). При подста-
новке (4.49) в (4.48) это уравнение распадается на два незави-
симых. Уравнение для переменной составляющей концентрации но-
сителей заряда приобретает вид
din (<>/)	Дл(ш/) ,	,. ,.
—	=-----L_2. -ф£0ехр(цо().
dZ	т„
Решением этого уравнения является функция
Дл(urf)=е'(4.50)
1+^т„	/ц-<^
Выражение (4.50) представляет собой функцию, подобную
функции генерации, но отличающуюся от нее амплитудой и смещен-
ную относительно нее по фазе. В установившемся режиме как ам-
плитуда, так и фаза
0= — arctg(wrn)	(4.51)
139
перем~енной составляющейизбыточной концентрации носителей
заряда зависят от времени жизни носителей заряда в образце. Бо-
лее точный анализ с учетом поверхностной рекомбинации показы-
вает, что ее наличие ведет к уменьшению сдвига фаз между фото-
проводимостью и возбуждающим светом. Условие (4.51) справед-
ливо только при s=0; при наличии поверхностной рекомбинации
сдвиг фаз выражается сложной функцией, зависящей от многих па-
раметров.
На исследовании зависимости амплитуды переменной составля-
ющей фототока от частоты модуляции света основан частотный ме-
тод определения времени жизни носителей заряда.
При малой частоте модуляции, когда выполняется условие
амплитуда переменной составляющей фототока достигает
максимального значения. Если измерить частотную зависимость
амплитуды переменной составляющей фототока, то по отношению
фототока при достаточно большой частоте модуляции к фототоку
при (о->0 /(«/)//(0)=Дп(<«/)/Дп(0)== 1/]/^ 1-|-w2tп найдем время
жизни носителей заряда. Например, при <отп=1
7 («/)//(0)= 1/)Л 1+= К2/2 — 0,71,	(4.52)
и для вычисления хп по (4.52) достаточно определить частоту мо-
дуляции, при которой отношение амплитуд сигналов равно 0,71.
Определить время жизни можно также путем измерения сдвига
фаз между фототоком и световым сигналом. Для этого световой
сигнал преобразуется в тождественный ему по фазе электрический
сигнал с помощью безынерционного приемника излучения, после
чего измеряется разность фаз между двумя электрическими сиг-
налами.
Фототок через контакт Шотки. Фазовый метод измерения вре-
мени жизни неравновесных носителей заряда в эпитаксиальных
слоях, нанесенных на подложку того же типа электропроводности,
основан на измерении сдвига фаз между возбуждающим модули-
рованным по интенсивности светом и фототоком, протекающим
через контакт Шотки, созданный на поверхности эпитаксиального
слоя. Метод применим для определения времени жизни в слоях,
толщина которых больше диффузионной длины.
На рис. 4.13 представлена структура п-п+-типа, на которой вы-
полняются измерения. Со стороны подложки структура освещается
монохроматическим модулированным по интенсивности светом с
малым коэффициентом поглощения, так что генерация носителей
заряда имеет однородный характер. Генерированные светом неос-
новные носители заряда (дырки) диффундируют в сторону контак-
та Шотки, создавая фототок. Избыточная концентрация носителей
заряда на границе области объемного заряда может считаться рав-
ной нулю, если измеряется ток короткого замыкания. Протяжен-
ностью области объемного заряда можно пренебречь, если диффу-
зионная длина велика. Тогда граничное условие для контакта Шот-
140
ки можно записать в виде
ДА(0)=0.
(4.53)
Если предположить, что скорость поверхностной рекомбинации
на поверхности эпитаксиального слоя за пределами контакта бес-
конечно высока, то условие (4.53) будет справедливо для всей по-
верхности структуры и задача станет одномерной. При конечной
скорости поверхностной рекомбинации следует учитывать неодно-
родное граничное условие и требует-
ся решить трехмерную задачу.
На границе подложки и эпитак-
сиального слоя соотношение между
избыточными концентрациями ды-
рок описывается двумя уравнения-
ми, одно из которых учитывает на-
личие потенциального барьера меж-
ду подложкой и эпитаксиальным
слоем
Др2(®1)=Др1(®))е кТ,	(4.54)
Рис. 4.13. Модель эпитаксиаль-
ной структуры п-л+-типа с
барьером Шотки
а другое — непрерывность диффузи-
онного потока:
dx I	4х
X-W
(4.55)
Индекс 1 относится к параметрам эпитаксиального слоя, ин-
декс 2 — к параметрам подложки. Условия на свободной поверх-
ности подложки не влияют на распределение носителей заряда в
эпитаксиальном слое, если толщина подложки достаточно велика.
Так как возбуждающее излучение модулировано по интенсивно-
сти с частотой и, то уравнение для гармонической составляющей
избыточной концентрации носителей заряда имеет вид
.	<12Др	Др
г<йД р = D --------------4- g0-
р dx2	хр
(4.56)
Оно относится как к эпитаксиальному слою, так и к подложке.
В выражении (4.56) значение g0 не зависит от координаты и пред-
ставляет собой амплитуду гармонической составляющей генераци-
онного члена (4.47). Решение уравнения (4.56) имеет для эпитак-
сиального слоя вид
дА(х)==Ле-л/д>-1-Ве-г/Д1-4-—,
1 + lu>Xi
ДЛЯ подложки вид
Ьр2(х)=Се~^ -----.
1 1+й»т2
141
Коэффициенты А, В и С вычисляются из граничных условий
(4.53) — (4.55). С учетом граничного условия (4.53)
А=-В-------
1 + itoTj
др (х)= В sh 4“ Н—(1 — е-х/Л‘ )•
1 4*
Согласно граничному условию (4.53),
etK	t WX «4>к
C=Bsh—е «Ч—(1—-е £>) е *т-----------.
£•1	1 4- »ь>Т1	14- Za>Ti
Подставив значение С в (4.55), найдем
-F	D2^
д2-^е	--777-^	+ 7~7Г
B- g0 —
--
4 ьт
ее
*'fK
Dr wi D2 . w ~-bf
7rch-^+’77shV e
,2	£--i
bi _£i__________________
Di g ch w/L^ 4- sh w[L\
где
Z1=P1T1/(1+№T1)]°>5; £2-[ад(1+/шт2)]0.5; В—
4^2
Амплитуда фототока короткого замыкания, протекающего через
контакт Шотки,
/;=_ eD ,d.Wx) I = — е^- B—eLiga=
dx lx—o £i
= — eg^Ly
W	i sh—— 4-	f w Л2 \ [£shX+vJ	Hi
w	w
Ech—— 4-sh——-
Z-l	L\
При отношении концентрации основных носителей заряда в
подложке и слое более 103 ехр [е<рк/ (kT) ] > 103,	и выражение
для тока упрощается:
/к=— ego Ui th |-£2sch-^-l .	(4.57>
L м	mJ
Первое слагаемое (4.57) характеризует влияние на фототок но-
сителей заряда, генерированных в эпитаксиальном слое, второе —
избыточных носителей заряда подложки, инжектированных из нее
142
в эпитаксиальный слой и перенесенных к собирающему контакту
Шотки. Вторым слагаемым можно пренебречь.
Амплитуду фототока можно вычислить из выражения
0,5	w	,
Ук	. I th ———	•	(4.58)
\ 1 4-t<oTi/ ( -6*1X1	у-5
\ 1 4- ia>Ti /
Сдвиг фазы фототока на низких частотах при
tg6= Г1-------------2^-csh —^1 .	(4.59)
2 L (OiTi)0'5	(Л>1Х!)0’5 J	*	’
Если (£)1т1)°’5/ьу^2, то вторым слагаемым (4.59) по сравнению
с единицей можно пренебречь. В результате получим tg0=—иТ1/2.
Рис. 4.14. Зависимость tgO
и амплитуды фототока jK от
частоты модуляции
Рис. 4.15. Схема установки для изме-
рения времени жизни носителей заря-
да фазовым методом по фототоку
структуры с контактом Шотки
На рис. 4.14 представлена зависимость tgB и амплитуды фото-
тока /к от частоты модуляции и для эпитаксиального слоя кремния
л-типа толщиной 50,2 мкм с удельным сопротивлением 28 Ом-см
и диффузионной длиной 18,5 мкм. Контакт Шотки образован ва-
куумным напылением золота, диаметр контакта 250 мкм. Экспери-
ментальные и теоретические зависимости полностью совпадают.
Схема экспериментальной установки для измерения времени
жизни носителей заряда представлена на рис. 4.15. В качестве ис-
точника света использован лазер Л. Модуляция света лазера осу-
ществляется ячейкой Поккельса П. Образец О освещается со сто-
роны подложки, что делает несложным изготовление контакта
Шотки. Структура с контактом Шотки соединена параллельно с
резонансным контуром, который улучшает отношение сигнал/шум.
Световой поток попеременно поступает на высокочастотный фото-
приемник ФП (например, фотодиод), который формирует опорный
сигнал со стандартной фазой, и на образец О. Измеряется отноше-
ние амплитуд и сдвиг фаз сигналов фотоприемника и образца. Из-
менение интенсивности света лазера или качества резонансного
143
контура на частоте модуляции не влияет на результаты измерений,
К достоинствам метода относятся простота вычисления време-
ни жизни носителей заряда и слабая чувствительность к условиям
на поверхности образца. Нижний предел времени жизни, который
можно измерить, зависит от максимальной частоты модуляции, оп-
ределяемой емкостью и последовательным сопротивлением струк-
туры.
Фотолюминесценция. Фазовый метод основан на измерении
сдвига фаз между модулированным световым потоком и потоком
фотолюминесценции, который возбуждается этим световым пото-
ком.
Пусть полупроводник в плоскости х=0 освещается монохро-
матическим светом, интенсивность которого изменяется во времени
по закону 7=71-|-7оехр (tW), т- е- содержит гармоническую состав-
ляющую. Скорость генерации носителей заряда, обусловленная по-
глощением этого светового потока,
g(x, 0=^^-1Л+/о(^)]аехр(-ах).
Если распределение генерированных светом носителей заряда
обусловлено диффузией и рекомбинацией, то уравнение непрерыв-
ности
д&п(х, t) =	&&п(х, Q Дп(х, О . f
dt	п дх2	т„ “Гб* ’ '
распадается на два, одно из которых является стационарным с ге-
/| ____________________________р\
нерационным членом £Лх)= —------- J,e~ax и не зависит от <dL
hv
Другое уравнение описывает гармоническую составляющую кон-
центрации избыточных носителей заряда, зависящую от х и и:
г<рДп(х)=£)—-----------—\-go^-ax.	(4.60)
dx2	тп
В случае толстого образца w~^>Ln, когда избыточной концен-
трацией носителей заряда на неосвещенной поверхности образца
можно пренебречь, полным решением уравнения (4.60) является
функция
Дп (х)=А ехр
X (1 + t<atn)0’5
ф-С ехр (--ах),
где
д . gQT« _______________________s + аРп .
а.212 — 1 — za>T„ Dn (1 + iwrn)°’5
s +-----------------
Ljn
(4.61)
gQtne ах
a2L2n — 1 — /ытп
(4.62)
144
Коэффициент С вычислен из условия на освещенной поверхно-
сти при х=0:
йх |
где s — скорость поверхностной рекомбинации. С учетом (4.61)
и (4.62)
==sAn(O),
Sp^n
Ln(x)=------7
а2£„ — 1 — »<дтп
— ехр(—ах) -(-------—5-------------
s 4- - (14- 1<отп)0’5
Ln
L	J
Если перепоглощение испускаемых фотонов незначительно, т. е.
ooLi<Cl, где ао — коэффициент поглощения люминесценции, то по-
ток испускаемых фотонов

(4.63)
J
о
где т] — отношение внешнего квантового выхода фотолюминесцен-
ции к внутреннему.
При достаточно низком уровне возбуждения излучательное вре-
мя жизни тг — постоянная величина. После интегрирования найдем
(s 4- aDn) L2n
'	r‘g°Xn J_______________________________________j_
Ojl xr (a2L2n — 1 — t<oT„) I Dn (1 4- i“T„) 4- sLn (1 4- 1а>т„)0,5	а
“7“ |а£„ + (1 4-«“Тя)°’5]~ 1
Уп.________
sLn
4- «<от„ +
Анализ выражения (4.64) упрощается, если предположить, что
выполняются следующие условия:
aLn^> I 1+^т„ I °>5;
Dn
При этом числитель (4.64) —действительная величина, поэтому
вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь по сравне-
нию с первым. В результате получим
г_____gptn aLn „ gpxn Ьп(1 — штп)
0 л	11	~—* Ч	•/	>
axr 1 4 1<лтп xr 1 4-
.^gQ-Cn
атг
tg60=—«>т„,
.0,5
(4.64)
(4.65)
(4.66)
(4.67)
145
где 0о — разность фаз при выполнении условия (4.66). По (4.67),
время жизни неравновесных носителей заряда хп=-------------— tg0o
(О
sL
В противоположном случае при - "	1
т>?	1 т п)
Для малых значений углов, когда tg0=0, значения времени
жизни, полученные для двух предельных случаев s=0 и s->-oo,
Рис. 4.16. Схема установки для
измерения времени жизни но-
сителей заряда фазовым мето-
дом по фотолюминесценции
различаются не более чем в два
раза.
Схема установки для измерения
времени жизни носителей заряда
представлена на рис. 4.16. Обра-
зец О возбуждается лучом лазера
Л с модулированной добротностью.
Интенсивность падающего потока
регулируется ослабителем ОИ. Из-
лучение образца направляется на
систему оптических фильтров Ф,
которая пропускает краевую лю-
минесценцию, и фокусируется на фо-
тоэлектронный умножитель ФЭУ.
С фотоумножителя напряжение по-
дается на первый вход фазочувствительного вольтметра ФВ. На
второй вход ФВ подступает опорное напряжение от фотоприемни-
ка ФП. На ФП направляется часть светового потока от лазера, вы-
деляемая полупрозрачным зеркалом 32. Зеркало 3t служит для из-
менения направления хода светового луча. Фазочувствительный
вольтметр измеряет разность фаз этих напряжений. Разность фаз
между возбуждающим излучением лазера и опорным напряжени-
ем от фотодиода измеряется при прохождении рассеянного образ-
цом излучения лазера по тому же оптическому пути, что и реком-
бинационное излучение образца. По результатам этих измерений
вычисляют сдвиг фаз между возбуждающим световым потоком и
потоком фотолюминесценции. Точность измерения сдвига фаз со-
ставляет примерно 5%.
Описанный метод с успехом был использован для исследования
тонких слоев арсенида галлия, выращенных методом жидкостной
эпитаксии на подложках л-типа электропроводности. Возбуждение
фотолюминесценции осуществлялось излучением гелий-неонового
лазера с частотой модуляции 75, 32 МГц. При комнатной темпера-
туре соотношение (4.65) обычно выполняется.
§ 4.7. Определение параметров полупроводников
путем измерения ЭДС
и тока фотомагнитоэлектрического эффекта
ФотомагнитоэЛектрический эффект, или эффект Кикоина —
Носкова, наблюдается при освещении полупроводникового образ-
ца, помещенного в магнитное поле; он состоит в возникновении
ЭДС. Если образец имеет форму прямоугольной пластины и маг-
нитное поле параллельно его освещенной поверхности, то в на-
правлении, перпендикулярном направлению светового потока и
магнитного поля, в образце возникает фотомагнитная ЭДС. Фото-
магнитоэлектрический эффект можно рассматри-
вать как эффект Холла, обусловленный диффу-
зией носителей заряда, возбужденных оптиче-
ским методом. Возникновение эффекта объясня-
ется следующим образом.
Свет, падающий на образец, генерирует в
приповерхностной области электроны и дырки
(рис. 4.17). Вследствие градиента концентрации
носители заряда диффундируют в глубину об-
разца по направлению к неосвещенной поверх-
ности вдоль оси х. Магнитное поле, направлен-
ное перпендикулярно диффузионным потокам
электронов и дырок, воздействует на движущиеся
носители заряда, отклоняя их в противоположные
стороны по оси у. В результате в направлении
оси у в образце возникают электронный и ды-
рочный токи, которые в сумме составляют маг-
иитодиффузийнный ток, плотность которого
уменьшается по мере удаления от освещенной
поверхности. Если торцевые контакты образца
4 о»
X
Рис. 4.17. Модель
образца, иллюстри-
рующая образова-
ние фотом агиито-
электрического эф-
фекта
замкнуты, то в цепи протекает ток короткого за-
мыкания. При разомкнутой внешней цепи электронный и дырочный
токи в направлении у протекают в образце до тех пор, пока не про-
изойдет пространственное разделение зарядов и не установится
стационарное электрическое поле. В этом случае ток проводимости,
обусловленный электрическим полем объемного заряда, скомпен-
сирует магнитодиффузионный ток, в результате чего между кон-
тактами образца возникает разность потенциалов.
Измерение времени жизни и скорости поверхностной рекомби-
нации носителей заряда с помощью фотомагнитоэлектрического эф-
фекта возможно благодаря его зависимости от рекомбинационных
параметров.
Экспериментальные исследования фотомагнитоэлектрического
эффекта выполнены на большом числе полупроводниковых мате-
риалов, в том числе на кремнии и германии, многих соединениях
А3В5 и А2В6. Во многих случаях экспериментальные данные совпа-
дают с теоретическими.
147
Рассмотрим фотомагнитоэлектрический эффект.
Поверхность х==0 полупроводникового образца (рис. 4.17) ос-
вещается монохроматическим светом, который поглощается в тон-
ком поверхностном слое. Возникающие при этом неравновесные
носители заряда диффундируют в направлении оси х. Приложенное
в направлении оси z магнитное поле с индукцией В отклоняет диф-
фундирующие носители в направлении оси у и создает холловский
ток электронов и дырок, который выражается через холловские
углы бп, ер:
(4Ю)
Jny'—ПХ1 j ру-^pjpx-
При этом jnx=—jpx, так как jx=jnx+jpx=O.
Ток короткого замыкания фотомагнитоэлектрического эффек-
та, отнесенный к единице ширины образца (размер в направлении
оси г), найдем, проинтегрировав ток jy=jpy+jny=iQpjpx—Qnjpx
по всей толщине образца (в направлении х):
W	W
-е(6р~ва) DJ^dx =
о	о L
= er (р-р+р„) BD [Др (0)— Др (да)],	(4.69)
где jpx= ~eD^~ .
*	dx
Градиент концентрации неравновесных носителей заряда при на-
личии магнитного поля и при условии электронейтральности ха-
рактеризуется эффективным коэффициентом диффузии
D =-----5----п + --ч------•
(1+6р) n/Dp + (1 + в2) p/Dn
Как известно, в слабых магнитных полях 0<С1, так что
эффективный коэффициент диффузии равен амбиполярному коэф-
фициенту диффузии.
Таким образом, ток короткого замыкания при фотомагнитоэлек-
трическом эффекте пропорционален разности избыточных концен-
траций носителей заряда на освещенной и противоположной осве-
щенной поверхностях образца.
Для нахождения фотомагнитной ЭДС используем условие
f jy(x)6x=l^+$y f a(x)dx=0,	(4.70)
о	о
согласно которому полный ток, протекающий через поперечное се-
чение образца в направлении у, равен нулю. В соответствии
с (4.70)
148
. . о /	;Ф«э	elr(y.n+ Pp)BD [ Дро — Ар (“01
,L/ фмэ—® у1----• —-------------------------£--------- ’
J а (х) dx	aow + е (н„ + Ир) f Др (х) dx
о	о
(4.71)
где I — длина образца. Второе слагаемое в знаменателе (4.71) ха-
рактеризует фотопроводимость образца.
Уравнение непрерывности для избыточной концентрации носи-
телей заряда при фотомагнитоэлектрическом эффекте выразится
через дивергенцию диффузионного тока jpx, что в одномерном слу-
чае ведет к уравнению
О _^__^_+g(z)=0.	(4.72)
и dx2 хр
Если уровень возбуждения полупроводникового образца счи-
тать низким, а граничные условия на поверхностях образца опи-
сывать обычными уравнениями с помощью скорости поверхностной
рекомбинации, то решение уравнения (4.72) будет тождественно
определению распределения носителей заряда в образце при вы-
числении фотопроводимости (см. § 4.1).
Ток короткого замыкания пропорционален интенсивности света
как при слабом, так и при сильном возбуждении. Однако эффек-
тивная диффузионная длина и некоторые другие параметры раз-
личны в этих случаях, так как косвенно также зависят от интенсив-
ности света. Тангенсы холловских углов (4.68), на которые откло-
няются потоки электронов и дырок магнитным полем, входящие в
выражение для /фМЭ, пропорциональны индукции магнитного поля
в случае сильных и слабых магнитных полей. Поэтому при анализе
зависимости тока /фМЭ от индукции магнитного В поля можно ис-
пользовать выражение (4.69) в обоих случаях.
Зависимость ЭДС фотомагнитоэлектрического эффекта от ин-
тенсивности света и индукции магнитного поля по сравнению с той
же зависимостью тока короткого замыкания носит более сложный
характер, так как следует учитывать зависимость фотопроводимо-
сти образца от интенсивности света. Когда фотопроводимость ма-
ла, напряжение С/фМЭ изменяется пропорционально интенсивности
света. При высоком уровне возбуждения, когда фотопроводимость
значительно превышает темновую проводимость образца, фото-
магнитная ЭДС стремится к насыщению.
Найдем выражение для тока короткого замыкания и ЭДС при
фотомагнитоэлектрическом эффекте в условиях, когда генерация
носителей заряда происходит вблизи освещенной поверхности.
Как отмечалось, уравнение непрерывности для носителей заряда
при фотомагнитоэлектрическом эффекте имеет тот же самый вид и
те же граничные условия, что и при вычислении фотопроводимости.
Поэтому можно использовать уже полученные аналитические реше-
ния, имея, однако, в виду различия в определении коэффициента
диффузии и диффузионной длины.
149
В случае сильного поглощения 1) и при использовании
толстого образца (&у^>£)Лр(0) записывается в виде (4.32), так что
/фмэ=е(|*я+[*.)В р/о(1~-??)- -----—---------.	(4.73)
фмэ	ГГР> Av (sL/D+ l)(H-aL)
При дальнейшем увеличении коэффициента поглощения, когда
достигается условие аЬр^>1, ток короткого замыкания стремится к
постоянному значению
(4.74>
не зависящему от коэффициента поглощения, а для образца с малой
скоростью поверхностной рекомбинации (s<^.D/L) — к значению
(р„ +ир)В	L.	(4.75)
При очень больших значениях s (s^>Z)/L) ток
2 фмэ	Av s 
При малых холловских углах, т. е. при таких магнитных полях^
когда р2В2< 1, эффективная диффузионная длина и коэффициент
диффузии при наличии магнитного поля не отличаются от своих зна-
чений в его отсутствие. Ток короткого замыкания прямо пропорцио-
нален диффузионной длине и сумме подвижностей носителей заряда.
Формулы (4.74) и (4.75) используют для нахождения диффузи-
онной длины по результатам измерения тока короткого замыкания.
Чтобы определить L на основании (4.74) или (4.75), кроме /фМЭ и В
необходимо найти значения подвижностей носителей заряда, интен-
сивность света и другие величины (из независимых измерений) или
воспользоваться известными данными.
Так как L= (От)'/=, то, как следует из (4.75), фотомагнитный ток
с уменьшением времени жизни убывает пропорционально т',г. В этом
и состоит важное преимущество фотомагнитоэлектрического эффек-
та как метода определения малых значений времени жизни носите-
лей заряда по сравнению с другими методами. Этот метод исполь-
зуют для определения времени жизни носителей заряда многих по-
лупроводниковых материалов (вплоть до 10~9 с).
Выражение (4.75) справедливо и при высоком уровне возбуж-
дения, если время жизни и скорость поверхностной рекомбинации —
постоянные величины. При сильном возбуждении избыточные кон-
центрации носителей заряда значительно превосходят равновесные
(Дп=Др^>гг0, ро), так что коэффициент диффузии перестает зави-
сеть от концентрации:
D________________________
~ (1 + в’)Ов + (1 + в«)°/’ ’
150
Следует отметить, что при высоком уровне возбуждения найден-
ная из,,(4.75) диффузионная длина имеет однозначный смысл лишь
в том случае, когда избыточная концентрация носителей превышает
равновесную концентрацию в любой точке образца, в том числе и
вблизи неосвещенной поверхности. В противном случае измеряется
некоторое значение L, усредненное по уровню возбуждения.
Рассмотрим возможности для определения параметров, которые
возникают при измерении фотомагнитной ЭДС. Если фотопроводи-
мость невелика, то согласно (4.71) и (4.75) при s<$;£)/£ получим
।	। ---22-----------.
Ф е(Р-п + М «В
Если в результате сильного возбуждения фотопроводимость
•образца значительно превосходит равновесную проводимость, то
время жизни неравновесных носителей заряда
т=О1^/и1ыэ,	(4.76)
или амбиполярная диффузионная длина
L^DeBIU^.	(4.77)
Формулы (4.76), (4.77) справедливы при а£^>1 и a^s/D.
В случае тонкого образца (w<^2L) и не очень больших значе-
ний скорости поверхностной рекомбинации (s^zD/L)
ифыэ=1В*.	(4.78)
Как следует из этого выражения, измерение фотомагнитной
ЭДС тонкого образца в условиях высокого уровня возбуждения
позволяет определить s. Нужно отметить, что измеренная таким
способом скорость поверхностной рекомбинации относится к неос-
вещенной поверхности образца, что следует из более общего рас-
смотрения фотомагнитного эффекта, когда условия на освещенной
и неосвещенной поверхностях образца характеризуются различ-
ными скоростями поверхностной рекомбинации.
Качественно это можно пояснить так. Если образец тонок, то
градиент концентрации носителей заряда зависит в основном от
условий рекомбинации на неосвещенной поверхности и мало зави-
сит от рекомбинации в объеме. Скорость поверхностной рекомби-
нации на освещенной поверхности образца влияет лишь на скорость
генерации электронно-дырочных пар и не изменяет фотомагнитную
ЭДС при высоком уровне возбуждения. Это справедливо лишь
при строго поверхностной генерации носителей заряда, т. е. когда
коэффициент поглощения очень велик. По мере уменьшения ко-
эффициента поглощения увеличивается глубина проникновения
света в образец, уменьшается градиент концентрации носителей
заряда, а следовательно, и магнитодиффузионный ток. При малом
коэффициенте поглощения градиент концентрации может даже из-
менить свое направление, если интенсивность рекомбинации на ос-
вещенной поверхности будет больше, чем на неосвещенной. В этом
151
случае основной диффузионный поток неравновесных носителей
заряда будет направлен в сторону освещенной поверхности и фото-
магнитная ЭДС изменит свой знак, т. е. будет иметь полярность,,
противоположную той, которая наблюдается при поверхностной
генерации носителей заряда.
Часто для определения времени жизни измеряют фотомагнит-
ный ток и фотопроводимость, точнее — их отношение. При поверх-
ностной генерации носителей заряда с учетом (4.17), (4.74)
1фмэ	1фмэ
ДОф « (Р-п + Ир) ]' Д/> (х) dx
=	(4.79>
т \ т )
В это выражение не входят величины, характеризующие ско-
рость генерации носителей заряда. Кроме того, оно не зависит от
скорости поверхностной рекомбинации. С экспериментальной точ-
ки зрения это удобно, так как не требуется проводить измерений
абсолютной интенсивности света, не нужно знать коэффициент
квантового выхода; это выражение можно использовать при любом
качестве травления поверхности образца.
Для тонкого образца при £>>Д/х^>ш/2 отношение фотомаг-
нитного тока к фотопроводимости также имеет простой вид и по-
зволяет найти скорость поверхностной рекомбинации на неос-
вещенной поверхности образца:
$= /фмэ .	(4.80>
еВДОфи
В отличие от выражения (4.71) формула (4.79) справедлива
при слабом возбуждении и совпадает с ним при сильном возбуж-
дении образца.
Спектральную зависимость фотомагнитного тока можно проана-
лизировать на основании уравнений (4.73) и (4.74). На краю соб-
ственного поглощения по мере уменьшения длины волны излучения
коэффициент поглощения возрастает, что ведет к росту фотомаг-
нитного тока. Однако по сравнению с фотопроводимостью рост фо-
томагнитного тока начинается при больших энергиях фотонов и
происходит более круто. Это связано с тем, что для возникновения
фотомагнитоэлектрического эффекта необходима не только гене-
рация носителей заряда, но и возникновение градиента их концен-
трации, что возможно лишь в том случае, когда поглощение света
происходит в приповерхностной области образца. Из соотношений
(4.73) и (4.74) следует, что при а£=1 ток короткого замыкания в
два раза меньше, чем при а->оо. Это справедливо при любой ско-
рости поверхностной рекомбинации. В отличие от 1фМЭ фотопрово-
димость уменьшается вдвое при значении aL, зависящем от других
параметров.
В спектральной области, где коэффициент поглощения значи-
тельно изменяется при изменении длины волны, а коэффициент от-
152
ражения и коэффициент квантового выхода мало зависят от длины
волны, 1//фМЭ, как следует из (4.73), линейно зависит от а-1:
1______* + D________hv fa ,____1_ _1_\
^фмэ е (Р'п + Н-р) BL р?о (1—R) \ L а )
(4.81)
Рис. 4.18. Схема установки для измерения ЭДС
и тока короткого замыкания фотомагнитоэлектри-
ческого эффекта
Построив график/фм:, -1 (а-1) и продлив его до пересечения с осью
абсцисс, по отрезку а-1, отсекаемому полученной прямой на гори-
зонтальной оси, найдем диффузионную длину.
По сравнению с методом определения диффузионной длины по
спектральной характеристике фотопроводимости фотомагнитный
метод дает более точ-
ный результат, так как
7фмэ с увеличением ко-
эффициента поглоще-
ния быстро насыщает-
ся и зависимость
/фМ’э (а)~* представля-
ет собой линейную
функцию в широкой
области изменений а.
Сравнение экспери-
ментальных результа-
тов, полученных мето-
дами, основанными на
измерении тока фотомагнитоэлектрического эффекта и фотопро-
водимости, показывает их хорошее совпадение. Напротив, при оп-
ределении s в некоторых случаях наблюдается значительный раз-
брос.
Схема измерения ЭДС и тока короткого замыкания фотомаг-
нитоэлектрического эффекта изображена на рис. 4.18. Световой по-
ток от источника света через оптическую фокусирующую систему
ОС и фильтр Ф направляется на образец, помещенный между по-
люсами магнита. Образец, имеющий форму прямоугольной пласти-
ны, включен в электрическую цепь, состоящую из источников по-
стоянного напряжения ИН, резистора с переменным сопротивле-
нием Ri и миллиамперметра (мА). Световой поток модулируется с
помощью вращающегося диска с вырезами М. Переменное напря-
жение на образце, возникающее за счет протекания фототока и фо-
томагнитного тока, усиливается селективным усилителем У и ре-
гистрируется вольтметром V или осциллографом О.
При измерении тока короткого замыкания внешнее напряжение
равно нулю Если сопротивление образца настолько низкое, что
выполнить условия короткого замыкания нельзя, то измеряют фо-
томагнитную ЭДС и проводимость освещенного образца в магнит-
ном поле. При этом ток короткого замыкания /фмэ=ПфмЭС.
Фотомагнитную ЭДС измеряют при использовании модулиро-
ванного освещения. Поскольку предусмотрены стационарные усло-
153
вия, частота модуляции света должна быть такой, чтобы фотомаг-
нитная ЭДС успевала установиться за время, равное длительности
светового импульса, и спадать до нуля в интервале между импуль-
сами.
Обычно фотомагнитная ЭДС мала и в ряде случаев может со-
ставлять 10-6—10~7 В и меньше. Поэтому для измерений необхо-
димо выбирать образцы с высокой степенью однородности, а от-
сутствие объемной фото-ЭДС при освещении образца проверять при
выключенном магнитном поле. Освещение приконтактной области
образца, в которой существуют градиенты концентраций носителей
заряда, создает наибольшую опасность возникновения паразитной
объемной фото-ЭДС.
Измерение времени жизни и скорости поверхностной рекомби-
нации на основании соотношений (4.79) и (4.80) удобно произво-
дить с помощью компенсации фотомагнитного тока фототоком. Как
следует из этих соотношений, для определения тих достаточно
измерить отношение /фмэ/Дбф. Это отношение измеряют следующим
способом. Через образец, освещенный модулированным светом и
помещенный в магнитное поле, пропускают ток от внешнего источ-
ника постоянного напряжения. Ток, текущий через образец, равен
сумме тока короткого замыкания и тока проводимости:
/ = /фМЭ+7/(О0 + ДОф).	(4.82>
Ток t/ДОф, соответствующий фотопроводимости образца, зави-
сит от освещенности образца и изменяется с частотой модуляции
светового потока, так же как фотомагнитный ток. Можно так по-
добрать значение и знак напряжения U, чтобы фототоком скомпен-
сировать ток короткого замыкания:
/фмэ+идсф=о.	(4.83)
При этом в режиме компенсации переменная составляющая то-
ка через образец отсутствует и через него протекает только по-
стоянный ток. Согласно (4.83), напряжение компенсации (7К=
= —/фмэ/ДОф. Следовательно, для нахождения отношения
нужно измерить постоянное напряжение, приложенное к образцу,
при котором переменная составляющая тока через образец равна
нулю. При малой интенсивности света и слабых магнитных полях
напряжение компенсации значительно превосходит фотомагнитную
ЭДС:
^к/^фмэ— (^оЧ-Д^фУД^ф.
При большой интенсивности света компенсирующее напряже-
ние близко по значению к фотомагнитной ЭДС.
Применение сильных магнитных полей приводит к тому, что фо-
топроводимость начинает существенно зависеть от магнитного поля
и компенсация фотомагнитного тока фототоком становится не-
возможной.
154
Фотомагнитоэлектрический эффект используют для измерения
времени жизни неравновесных носителей заряда в широком диа-
пазоне значений от 10-9 до 10~4 с со случайной погрешностью 30—
35%. Однако основное применение он находит для определения
малых значений времени жизни носителей заряда в соединениях
А3В5 и А2В6. Наиболее важные ограничения фотомагнитоэлектри-
ческого эффекта как метода измерения времени жизни связаны с
наличием ловушек захвата, концентрация которых в соединениях
А3В5 и А2В6 значительно больше, чем в элементарных полупровод-
никах, а также с влиянием приповерхностной области пространст-
венного заряда.
Глава 5
ВОЛЬТ-ФАРАДНЫЕ МЕТОДЫ
ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 5.1. Электронная теория
приповерхностной области пространственного заряда
Для измерения параметров полупроводниковых материалов, со-
ставляющих часть структуры металл — полупроводник, металл —
диэлектрик—полупроводник (МДП-структура) или р-п-перехода,
широкое распространение получили вольт-фарадные методы. С их
помощью проводят измерения концентрации легирующих примесей,
глубоких уровней и их характеристик, генерационного времени не-
равновесных носителей заряда, плотности поверхностных состояний
и их распределения по энергиям.
Вольт-фарадные методы измерения параметров полупроводни-
ков основаны на определении зависимости емкости структуры,
обусловленной наличием объемного заряда в приповерхностной об-
ласти полупроводника, от приложенного к ней напряжения. Одно-
временно на структуру могут оказывать влияние другие факторы,
которые могут варьироваться при измерениях. К ним относятся воз-
действие на структуру внешнего фотоактивного излучения и ее на-
гревание по определенному закону. В первом случае емкость, воз-
никающую за счет поглощения излучения, называют фотоемкостью,
а во втором — термостимулированной емкостью.
В основе вольт-фарадных методов измерения лежит электрон-
ная теория приповерхностной области пространственного заряда и
дифференциальной поверхностной емкости.
Обогащенный, обедненный и инверсный слои. Проанализируем
случай идеальной МДП-структуры в состоянии термодинамическо-
го равновесия, для которой пространственный заряд, сосредоточен-
ный в приповерхностной области, обусловлен лишь приложенным
155
к структуре напряжением и равен заряду противоположного знака
на металлическом электроде.
Для наглядности воспользуемся энергетической диаграммой
приповерхностной области полупроводника n-типа (рис. 5.1). Элек-
трический потенциал Ч* определим из выражения
eW=EF — Eh
Рис. 5.1. Энергетическая диаграм-
ма приповерхностной области по-
лупроводника п-типа
где Ер — уровень Ферми в полупроводнике; Ei— уровень, совпада-
ющий с уровнем Ферми в собственном полупроводнике при той же
температуре. При наличии изгиба энергетических зон в приповерх-
ностной области положение уровней Ес и Ev зависит от координа-
ты х, т. е. они являются функция-
ми х. Уровень Ei и потенциал Ч*"
также зависят от координаты х:
Ei(x), Ч'(х). Вдали от поверхности
полупроводника, где изгиб энерге-
тических зон отсутствует, уровень
Ei совпадает с уровнем Ферми для
собственного полупроводника.
Пусть потенциал в произвольной
точке х равен сумме потенциалов:
Т(х)=То+(р(х). Потенциал Ч'о от-
носится к объему полупроводника,
где искривление энергетических зон
отсутствует; на поверхности полу-
проводника Т (0) =Чгп.
Изгиб энергетических зон вбли-
зи поверхности полупроводника
обусловлен объемным зарядом приповерхностной области и в про-
извольной точке х определяется электростатическим потенциалом
<р(х), связанным с электрическим полем объемного заряда. На по-
верхности полупроводника потенциал ср (0) =срп соответствует по-
верхностному электростатическому потенциалу, причем величина
—«срп равна приповерхностному изгибу энергетических зон. Вдали
от поверхности электростатический потенциал 0. Если поверх-
ностный электростатический потенциал равен нулю, т. е. <р=0, то
изгиб энергетических зон отсутствует; это условие называют усло-
вием плоских зон. Если же на поверхности потенциал 4f(0) ~Ч'ц—
=0 (это означает, что уровень Ферми на поверхности совпадает
с уровнем Ei), то на поверхности реализуются условия собственно-
го полупроводника.
В невырожденном полупроводнике концентрации электронов и
дырок можно представить через потенциалы <р (х) и Чг (х) следую-
щим образом:
_ Е с W-~gF	е>г (х)	еу (х)
n(x)=Nce kT — *т *т .
ET~Et> W _ eV (х)	еу (х)
p(x)=Nve 117	—п^ *т	*г .
156
В зависимости от того, какие значения и знаки имеют потенциа-
лы <рп и То, можно сформулировать несколько характерных усло-
вий для приповерхностного слоя. Если <рп и 4fo имеют одинаковые
знаки, то вблизи поверхности имеется повышенная концентрация
основных носителей заряда. В этом случае слой объемного заряда
называют обогащенным. Если <рп и То имеют разные знаки, то мо-
гут реализоваться два случая, различающиеся соотношением кон-
центраций основных и неосновных носителей заряда на поверхно-
сти. Если одновременно концентрации обоих типов носителей заря-
да меньше концентрации основных в объеме, то имеется слой
с пониженной проводимостью, называемый обедненным слоем.
Если концентрация неосновных носителей заряда на поверхности
превосходит концентрацию основных в объеме, то возникает ин-
версный слой, располагающийся у поверхности полупроводника, в
то время как обедненный носителями заряда слой оттесняется от
поверхности.
Пусть имеется кристалл полубесконечного объема, поверхность
которого имеет координату х=0 (рис. 5.1). Полупроводник содер-
жит доноры и акцепторы, концентрации которых Na и Na. Изгиб
энергетических зон соответствует etpn, поверхность характеризуется
потенциалом Ч'п. Определим распределение плотности объемного
заряда, полагая, что акцепторные и донорные примеси полностью
ионизированы. В объеме полупроводника вдали от поверхности,
где ее влияние уже не сказывается, соблюдается условие электро-
нейтральности
«о—Po=Na~ Na.	(5.1)
В приповерхностной области это условие нарушается и плот-
ность объемного заряда
Р(х)= — е	+ е [р(х) + ^],
или с учетом (5.1)
р(х)= — е\п(х)— п0]-[-е[р(х) — /?0].
Если ввести безразмерные потенциалы u=e4f/(fe7’); u=eq](kT), то
плотность объемного заряда
р(х)= —еп0(е“ —1)-)-е/70(е-“— 1).
Электростатический потенциал ср(х) в зависимости от коорди-
наты вычислим, решив уравнение Пуассона
~~=е\р(х)~ р0] — е[п(х)— «0],	(5.2)
которое через безразмерный потенциал и запишем в виде
е2п.
= -т=г-НМе-“- 1)-Х-Че“-1)],
*TerSo
157
где
к=Ро/«,=п,/«0=(р0//г0)1/2 = е-’«.
Первый интеграл этого уравнения можно легко получить, если
•обе части уравнения помножить на 2 — и проинтегрировать,
dx
_	л
приняв во внимание граничное условие  =0 при х->ос;
dx
—=±2/^ (к, и),
dx
(5.3)
тде
F (к, и)=[к (е~“ -|- « — 1)+к-1 (е“ — и — 1)]1/2 > 0.
Это выражение берется со знаком плюс при н>0 и со знаком ми-
нус при и<0. Знак и считается положительным при изгибе энерге-
/ 2trB0kT U/2
тических зон вниз. Величина Q= —7--------1 , имеющая размер-
\ е ni !
ность длины, представляет собой дебаевскую длину экранирования
электрического поля в собственном полупроводнике.
Уравнение (5.3) связывает напряженность электрического поля
в области объемного заряда с изгибом энергетических зон. Зави-
симость потенциала от координаты можно определить, интегрируя
уравнение (5.3):
и
х(и)= + 4- f ——— .	(5.4)
- 2 J F(X, u)
“n
Уравнение (5.4) допускает решение в аналитическом виде толь-
ко в частных случаях. Рассмотрим некоторые из них для примес-
ного электронного полупроводника. При существовании обогащен-
ного слоя концентрация основных носителей заряда в примесном
полупроводнике настолько превосходит концентрацию неосновных,
что влиянием последних на объемный заряд можно пренебречь:
F(k, «)=[Х~!(е“ — и —1)]1/2.
При большом изгибе энергетических зон, когда un^3, F(k, и) =
= (k-1eu)1/2 и интегрирование уравнения (5.4) позволяет получить
распределение потенциала
х=1п (е~и/2 — e~V2).	(5.5)
Из выражения (5.5) следует, что поверхностный потенциал и
быстро уменьшается по мере увеличения координаты х и большая
часть объемного заряда сосредоточена в слое толщиной
in—(~-rB°kT V/2, где In — дебаевская длина экранирования в при-
\ е2л0 J
158
месном полупроводнике, которая определяется концентрацией ос-
новных носителей заряда (в данном случае электронов).
При изгибе энергетических зон в интервале 0>ип>—2и0 для
полупроводника л-типа, когда концентрация основных носителей
заряда в приповерхностной области значительно меньше равновес-
ной п0, а концентрация неосновных носителей заряда еще невелика,,
объемный заряд обедненного слоя создается ионами примеси.
В этом случае при ип<—3
х=/„[(-йп-1)1/2-(_и_ l)i/2j.	(5.6>
Это соотношение описывает параболическое изменение электро-
статического потенциала с расстоянием, соответствующим барь-
еру Шотки.
При наличии инверсного слоя, когда концентрация неосновных
носителей заряда вблизи поверхности преобладает, F=(Z,e“u—
—V(«+l)]1/j. При больших значениях и
(5.7).
Распределение потенциала инверсного слоя согласно (5.4) и
(5.5) при больших и характеризуется выражением
х=/Де“/2-е“п/2),
где
(58>
\ е*Ро I
Приведенные приближенные выражения для функции F с хоро-
шей точностью соответствуют решению уравнения (5.2), за ис-
ключением переходной области от обедненного слоя к инверсному;
они используются при анализе экспериментальных данных, для вы-
числения избытка электронов и дырок, поверхностного заряда и
соответствующей ему поверхностной напряженности электрическо-
го поля.
Приповерхностный объемный заряд и дифференциальная по-
верхностная емкость. Если в соотношение (5.3) подставить значе-
ние поверхностного потенциала, то оно будет определять напря-
женность электрического поля на поверхности кристалла:
»	kT d® I	, о kT .—Xr.
&n=-------—	=± 2-----h F(X, u„).
e dx | x_o	e
Согласно теореме Остроградского — Гаусса, объемный заряд в
приповерхном слое Q, отнесенный к единице площади поверх-
ности, связан с напряженностью электрического поля на поверх-
ности соотношением
или с учетом (5.8)
Q - ± 2 -^-	(X, «п).	(5.9)
159
Выражение (5.9) связывает значение объемного заряда в при-
поверхностной области с поверхностным потенциалом.
Так как на поверхности полупроводника практически всегда
имеются поверхностные уровни, то их заполнение электронами
существенно влияет как на приповерхностный объемный заряд, так
и на дифференциальную поверхностную емкость. Рассмотрим крат-
ко их влияние.
Пусть в запрещенной зоне на поверхности полупроводника име-
ются поверхностные уровни энергии Еп с концентрацией Na- Их
гп
Рис. 5.2. Зависимость
дифференциальной емко-
сти кремния примесной
электропроводности от
поверхностного электро-
заполнение электронами описывается функ-
цией Ферми— Дирака. Концентрацию уров-
ней, занятых электронами, можно выразить
через поверхностный потенциал. Поверхно-
стные уровни могут быть двух типов: донор-
ные и акцепторные. Заполнение поверхност-
ных уровней электронами влияет на положе-
ние уровня Ферми в запрещенной зоне и из
гиб энергетических зон в приповерхностной
области. Поскольку и в отсутствие и при на-
личин поверхностных уровней полупровод-
ник электронейтрален, поверхностные уров-
ни могут быть заполнены только за счет пе-
рераспределения носителей заряда между
ними и поверхностным объемным зарядом.
В результате суммарный пространственный
статического потенциала заряд Qn, распределенный в области объ-
емного заряда Qoa и сосредоточенный на по-
верхностных уровнях Qnc, равен нулю: (?п=<2оз+<2пс=0.
При приложении внешнего электрического поля перпендику-
лярно поверхности полупроводника происходит изменение электро-
статического потенциала поверхности, объемного заряда, поверх-
ностной проводимости и емкости, причем Qn становится отличным
от нуля.
Изменение заряда в слое объемного заряда Qo3 и на поверхно-
стных уровнях Qnc при изменении поверхностного электростатиче-
ского потенциала можно охарактеризовать путем введения диффе-
ренциальной емкости
Рассмотрим емкость, обусловленную слоем объемного заряда в
отсутствие поверхностных уровней. С учетом (5.9)
03 —г _	'
kT
<4, |
X)
е
—1
X—1 (e“"1) + X (1 — e “n)
2F(«„, X)
(5.10)
160
Зависимость Соз(ип) можно получить в аналитическом виде для
ряда ранее рассмотренных частных случаев. На рис. 5.2 представ-
лены зависимости дифферециальной емкости слоя объемного заря-
да от электростатического поверхностного потенциала для примес-
ного кремния п- и p-типа. Как следует из рис. 5.2, диффе-
ренциальная поверхностная емкость растет при увеличении как
положительных, так и отрицательных значений поверхностного
потенциала. Минимум дифференциальной емкости достигается при
условии, близком к условию собственной проводимости на поверх-
ности. Поэтому положение минимума сдвинуто для образцов «-ти-
па в сторону отрицательных, а для образцов р-типа — в сторону
положительных значений поверхностного потенциала.
§ 5.2. Дифференциальная емкость МДП-структуры
Вольт-фарадная характеристика МДП-структуры. Структура ме-
талл — диэлектрик — полупроводник представляет собой конден-
сатор. Чтобы вычислить емкость этого конденсатора, представим
его в виде соединения нескольких конденсаторов, соответствующих
емкости слоя объемного заряда, емкости заряда поверхностных
состояний и геометрической емкости диэлектрика.
Так как напряжение U, приложенное между полупроводником
и металлом, индуцирует заряд Qn, то дифференциальная емкость
МДП-структуры, по определению,
С=|^|.	(5.11)
I ли I
Напряжение (7 равно сумме напряжения на диэлектрике (7Д и
поверхностного электростатического потенциала <рп:
(7=£7Д+<₽П.	(5.12)
Из (5.11) и (5.12) следует, что
1 йи I- J I I I d% l.-J I 1
С I dtfu I I dQn | Ч dQ„ I Ся Сп ’
где Ся= — емкость, равная емкости конденсатора, обра-
зованного диэлектриком с двумя металлическими пластинами, или
геометрическая емкость диэлектрика; Сп= I d^" I — поверхностная
I d<fn I
емкость, обусловленная изменением электростатического потен-
циала поверхности.
Так как индуцированный в полупроводнике заряд Qn склады-
вается из заряда поверхностных состояний Qnc и объемного заряда
приповерхностной области <2оз, то поверхностную емкость можно
представить как суммарную емкость, обусловленную этими заря-
6—1438
161
дами:
Сп= 1-^-| = |^п£.|+| ^lUc„c + Co3,	(5.13)
I d<fn I I d<f., I | d“n I
а емкость МДП-структуры — в виде
1/0= 1/Сл+ 1/(Спс+Соз).	(5-14)
Согласно (5.13), емкость МДП-структуры образована последо-
вательно соединенными емкостями Ся и Сп, а поверхностная ем-
кость Сп—параллельно соединенными емкостями Соэ и Спс- Ем-
кость Сд определяется толщиной диэлектрика, его диэлектрической
проницаемостью и не зависит от приложенного напряжения. По-
верхностная емкость, напротив, характеризуется изменением по-
верхностного электростатического потенциала, которое зависит от
приложенного напряжения. Таким образом, дифференциальная
емкость МДП-структуры
С=СДС„/(СД+СП)	(5.15)
зависит от внешнего приложенного напряжения.
Задаваясь значением поверхностного электростатического по-
тенциала фп, можно в соответствии с (5.10) и (5.14) рассчитать
вольт-фарадные характеристики МПД-структуры без учета поверх-
ностного заряда на границе раздела диэлектрик — полупроводник.
Качественно зависимость емкости МДП-структуры от прило-
женного постоянного напряжения можно проследить, воспользо-
вавшись графиком рис. 5.2 и формулой (5.15). Так как при боль-
ших значениях |фп| поверхностная емкость растет, то при больших
внешних напряжениях любой полярности емкость C(U) стремится
к Сд. При малых значениях |(/| поверхностная емкость относи-
тельно мала и достигает своего минимального значения, которому
соответствует минимальная емкость структуры. Зависимость отно-
шения емкости МДП-структуры С]СЯ (т. е. нормированная емкость
структуры) от напряжения для полупроводника л-типа показана
на рис. 5.3.
Наличие контактной разности потенциалов фк между металлом
и полупроводником в отсутствие поверхностных состояний приводит
к сдвигу зависимости С((7) по оси абсцисс на значение контактной
разности потенциалов. Если фк<0, то происходит сдвиг в сторону
положительных значений внешнего напряжения, если фк>0, то в
противоположную сторону.
Зависимость дифференциальной емкости от частоты. Обычно
дифференциальную емкость определяют с помощью малого по ам-
плитуде переменного напряжения, наложенного на постоянное
смещение. Такие измерения проводят с помощью стандартных из-
мерительных приборов: мостов переменного тока, предназначенных
для измерения емкости, или полных проводимостей как на низких,
так и на высоких частотах. Часто измерения вольт-фарадных ха-
рактеристик производят на высокой частоте в диапазоне 1 —10 МГц
при медленно изменяющемся смещении. Кривая 1 на рис. 5.3 соот-
162
ветствует случаю, когда при изменении внешнего напряжения ус-
певает установиться равновесное распределение носителей заряда
в структуре, т. е. предполагается, что измерения проводятся при
достаточно низкой частоте переменного сигнала. Вычисленная в
соответствии с (5.10) емкость представляет собой квазистатиче-
скую поверхностную емкость, по своему физическому смыслу реали-
зующуюся при очень медленных измене-
ниях напряжения, т. е. при очень низких
частотах.
Форма кривой C(U) зависит от час-
тоты малого переменного сигнала, с по-
мощью которого проводятся измерения,
и изменяется с ее повышением.
Полный анализ зависимости диффе-
ренциальной емкости от частоты доста-
точно сложен и выполняется с помощью
расчета частотных свойств эквивалентных
электрических схем, которые моделируют
процессы, протекающие в образце. Одна-
ко основные особенности поведения ем-
кости на высоких частотах можно выяс-
нить, проведя простой качественный ана-
лиз.
Если под воздействием внешнего на-
пряжения в полупроводнике образовался
обедненный слой, то объемный заряд, со-
здаваемый малым переменным напря-
Рис. 5.3. Зависимость нор-
мированной емкости от на-
пряжения для полупровод-
ника р-типа:
1 — кваэкстатическая, или низ-
кочастотная, емкость; 2 — высо-
кочастотная емкость; 3 — нерав-
новесная высокочастотная ем-
кость
жением, возникает на границе обедненного слоя с нейтральным
объемом полупроводника. Таким образом, дифференциальная ем-
кость обедненного слоя связана с периодическим смещением внут-
ренней границы обедненного слоя под действием переменного на-
пряжения. Периодические изменения заряда происходят за счет
протекания тока основных носителей через объем полупроводника.
Максвелловское время релаксации тм, характеризующее процесс
установления электронейтральности, определяется в этом случае
той частью электропроводности, которая обусловлена основными
носителями заряда. Пока частота переменного напряжения <о мно-
го меньше тм-1, основные носители вблизи границы обедненного
слоя перемещаются в соответствии с изменениями напряжения.
Инверсный слой образуется за счет накопления неосновных но-
сителей заряда вблизи поверхности полупроводника, причем этот
слой отделен от объема полупроводника обедненным слоем. Кон-
центрация неосновных носителей заряда в инверсном слое возра-
стает за счет двух процессов: 1) диффузии неосновных носителей
из объема полупроводника; 2) тепловой генерации носителей за-
ряда в области объемного заряда и через поверхностные уровни.
При достаточно высоких частотах процесс накопления неоснов-
ных носителей заряда не успевает за изменением переменного на-
6*
163
Рис. 5.4. Вольт-фарадиые характе-
ристики МДП-структуры:
1 — идеальная структура; 2 — структу-
ра с донорными поверхностными со-
стояниями; 3 — структура с положи-
тельным зарядом в диэлектрике
пряжения, а следовательно, не влияет на поверхностную емкость.
Поверхностная емкость по-прежнему будет определяться измене-
нием заряда на внутренней границе обедненного слоя, и, поскольку
протяженность обедненного слоя при наличии инверсного слоя
почти не зависит от приложенного постоянного напряжения, по-
верхностная емкость достигает минимального значения и не из-
меняется при дальнейшем увеличении приложенного напряжения.
Емкость МДП-структуры на высо-
ких частотах также остается посто-
янной. Зависимость дифференциаль-
ной емкости структуры на высоких
частотах от постоянного напряже-
ния показана на рис. 5.3 (кривые
2 и 3).
Предположение, что на высоких
частотах заряд инверсного слоя не
изменяется, не вполне справедливо.
Более точный количественный ана-
лиз показывает, что некоторые изме-
нения в распределении заряда ин-
версного слоя происходят и на
высоких частотах. Оставаясь посто-
янным, заряд неосновных носителей
успевает перераспределяться с час-
тотой приложенного напряжения,
вследствие чего емкость несколько изменяется.
Кривая 2 на рис. 5.3 представляет собой зависимость емкости
структуры от напряжения, когда распределение неосновных носи-
телей заряда соответствует постоянному смещению, но не успевает
устанавливаться с частотой переменного сигнала. Кривая 3 на
рис. 5.3 характеризует нестационарный случай, который будет рас-
смотрен далее.
Наличие поверхностных уровней, заполнение которых зависит
от приложенного к структуре постоянного напряжения, в общем
случае обусловливает смещение и искажение формы зависимости
C(U). Если, однако, заполнение поверхностных уровней не зави-
сит от приложенного напряжения, то происходит смещение зависи-
мости C(U) по оси абсцисс. Это смещение характеризует заряд
поверхностных уровней. Такие уровни могут присутствовать на
границе раздела диэлектрик — полупроводник, но вне запрещен-
ной зоны полупроводника, или в диэлектрике.
Если заполнение поверхностных уровней зависит от постоянного
напряжения, но не изменяется под действием переменного напря-
жения высокой частоты, что характерно для поверхностных уровней
внутри запрещенной зоны полупроводника, то зависимость С (U)
искажается по форме и смещается вдоль оси абсцисс. Искажение
формы вольт-фарадной характеристики связано с тем, что лишь
часть индуцированного заряда ведет к изменению емкости слоя
164
Сй,нкф/сн2
Рис. 5.5. Зависимость иормироваиной
минимальной емкости МДП-структу-
ры от удельной емкости и толщины
диэлектрика:
1 — IQ14 СМ-3; 2 — 1015 СМ-3; 3 — 4  1015 СМ-3;
4 — 1015 см-3
объемного заряда. Однако значение минимальной высокочастот-
ной емкости структуры остается неизменным. На рис. 5.4 показано,
как изменяются вольт-фарадные характеристики МДП-структуры
в этих случаях.
В том случае, когда заполнение уровней на границе раздела
диэлектрик — полупроводник изменяется под действием перемен-
ной составляющей внешнего на-
пряжения, происходит как сме-
щение, так и изменение формы
зависимости C(U).
Минимальная высокочастот-
ная емкость. Измерение вольт-
фарадных характеристик МДП-
структур и сравнение их с теоре-
тически рассчитанными позволя-
ют получить сведения о парамет-
рах приповерхностных слоев по-
лупроводника, свойствах грани-
цы раздела диэлектрик — полу-
проводник и самого диэлектрика.
Определение минимальной вы-
сокочастотной емкости структуры
дает возможность найти концен-
трацию основных носителей заря-
да. Минимальное значение емко-
сти структуры соответствует ми-
нимальной дифференциальной
емкости слоя объемного заряда:
^гаЩ ^д^0з111!п/(^-''д-Н^озП|!п)*
Минимальное значение CO3min
верхности полупроводника инверсного слоя, когда протяженность
всей области объемного заряда, включающей области инверсии и
обеднения, не зависит от изменения постоянного напряжения. Мак-
симальную толщину слоя объемного заряда можно вычислить по
значению поверхностного электростатического потенциала, при ко-
тором концентрация неосновных носителей заряда на поверхности
полупроводника достигает значения объемной концентрации основ-
ных носителей заряда. Минимальное значение емкости слоя объ-
емного заряда зависит от концентрации основных носителей заряда:
(5.16)
достигается при наличии на по-
.	1 Г 3fs0e2n0 Ц/2
т1п	2 [ йГ 1п (п0/п,)]
(5.17)
Таким образом, минимальное значение емкости структуры мож-
но рассчитать по (5.16) или (5.17) в зависимости от емкости ди-
электрика, использовав концентрацию основных носителей заряда
в качестве параметра.
На рис. 5.5 представлены зависимости нормированной мини-
мальной емкости структуры Сн=Стт/Сд от удельной емкости Сд
165
и толщины диэлектрика при ед=3,82 для МДП-структур на крем-
нии. В качестве параметра использована концентрация основных
носителей заряда, электронов или дырок.
§ 5.3. Измерение объемного генерационного времени
носителей заряда
Метод релаксации инверсного слоя. Измерение объемного гене-
рационного времени носителей заряда в МДП-структурах основано
на исследовании процесса генерации носителей заряда в обеднен-
ной области структуры при ее переходе из неравновесного состоя-
ния глубокого обеднения в квазиравновесное состояние с образо-
ванием инверсного слоя.
Исследование этих процессов с помощью определения времен-
ной зависимости емкости позволяет найти объемное генерационное
время носителей заряда. Кроме того, измерение неравновесной ем-
кости, соответствующей большей толщине обедненного слоя, по-
зволяет определить распределение легирующих примесей на боль-
ших расстояниях от поверхности полупроводника, чем при измере-
нии квазиравновесной высокочастотной поверхностной емко-
сти.
Измерение зависимости емкости МДП-структур от времени ис-
пользуют для контроля планарной технологии с целью получения
информации о наличии рекомбинационно-активных дефектов в
приповерхностной области.
Неравновесное обеднение. Состояние неравновесного
обеднения возникает в приповерхностной области полупроводника
при подаче на структуру импульса напряжения достаточно большой
амплитуды и длительности с полярностью, соответствующей выве-
дению из полупроводника основных носителей заряда. Формиро-
вание обедненного слоя происходит за время порядка времени
максвелловской релаксации, связанного с основными носителями
заряда. Поэтому начальная толщина обедненной области в момент
подачи импульса напряжения соответствует его амплитуде и боль-
ше толщины области объемного заряда в квазиравновесном состоя-
нии. С течением времени неосновные носители заряда, формирую-
щие инверсный слой, накапливаются вблизи поверхности благо-
даря их генерации. По мере их накопления вблизи поверхности
полупроводника объемный заряд, образуемый ионами примеси,
уменьшается, а следовательно, также уменьшается толщина обед-
ненного слоя, стремясь к квазиравновесному значению. Время, в
течение которого образуется равновесный инверсный слой, назы-
вается временем релаксации инверсного слоя. Например, в кремнии
при комнатной температуре время релаксации инверсного слоя
может достигать десятков секунд.
Объемное генерационное время. В модели Шокли —
Рида при рекомбинации носителей заряда через однозарядный ре-
166
комбинационный уровень Ег с концентрацией Nr скорость рекомби-
нации
=(пр — til )/[т„0 (р + Pl) 4-ТрО (П + nf)I,
где
тро= 1/(У/Л,); тп0=1/(у„Лгл).
В обедненной области, где концентрация свободных носителей за-
ряда пренебрежимо мала по сравнению с щ, скорость генерации
носителей заряда
(5.18)
где
[ Ет— Ei \ ,	[ Ег — Е/ \ к
Tg^Tnoexp I---rkT	J+Троехр I——1 —объемное генера-
ционное время носителей заряда.
Если уровень рекомбинации Ег соответствует середине запре-
щенной зоны Ei и Тпо=Тро, то Tg=2TPo, т. е. объемное генерацион-
ное время в полупроводнике л-типа примерно равно времени жизни
неосновных носителей заряда. Если Ег и Ei различаются на не-
сколько kT И TnO^Tpo, ТО Tg>Tpo-
Время релаксации инверсного слоя примерно в п0/пг раз больше
объемного генерационного времени. Например, для кремния оно
в 104—108 раз больше Tg.
Неравновесная высокочастотная емкость. Для
вычисления емкости неравновесного обедненного слоя обратимся
к выражениям (5.5) и (5.6). Пренебрегая в функции Д(X, и) слагае-
мыми с сомножителем X, мы не учитываем объемный заряд неос-
новных носителей заряда, а пренебрегая слагаемым е“—Л по срав-
нению с —и (ц<0), не учитываем размытие границы между обед-
ненным слоем и примыкающим к нему объемом, где сохраняется
электронейтральность. Допущение наличия резкой границы между
обедненным слоем и электронейтральным объемом вместе с допу-
щением отсутствия в обедненном слое носителей заряда составля-
ют приближение обедненного слоя. При этом
ах
Решением этого уравнения является функция
о	и
С	dx _ Р	d (—и)
J In ~	(~«)1/2 ’
х	и(х)
—U (Х) = [(—«п)1/2— Х/(2/„)]2.
На границе слоя объемного заряда и(ау)=0 и u>=2/n(—«п)7’, где
«п—поверхностный потенциал, изменяющийся во времени и стре-
мящийся к своему равновесному значению. В момент подачи им-
167
пульса напряжения, т. е. в момент времени ( = 0, ua(t) = ип(0). Раз-
ность потенциалов, приходящаяся на обедненный слой,
t/ocW = -—«п(0=-—	(5.19)
е	е 41*п
Объемный заряд обедненного слоя, создаваемый ионами донор-
ной примеси,
Qoc(f)=e«0w(O,	(5.20)
а высокочастотная дифференциальная емкость слоя объемного за-
ряда, по (5.19) и (5.20),
Сос(0=|—ос (0 |=еп0| dW(0 1=-^ .	(5.21)
ldtZoc(Ol °1<М7ОС(0| w(O
Таким образом, дифференциальная емкость обедненного слоя
равна емкости плоского конденсатора с толщиной диэлектрика,
равной толщине обедненного слоя, и абсолютной диэлектрической
проницаемостью полупроводника.
Емкость МДП-структуры определяется соотношением
— = —+-^.	(5.22)
С (О	егео
Напряжение на диэлектрике при данном значении заряда Ua=
=—enqwICn, а полное напряжение на МДП-структуре
IT IT I IT	enow kT ...w2..
^-t/д+^ос-------£-------- •
4 e n
По мере образования инверсного слоя толщина w(t) обедненно-
го слоя уменьшается и стремится к квазиравновесному значению
w(oo). Так как толщина инверсного слоя мала по сравнению с тол-
щиной обедненного слоя, то толщина всей области объемного за-
ряда практически равна минимальной толщине обедненного слоя.
Значение w(oo) является максимальным значением щтах, которое
может быть достигнуто в квазиравновесных условиях. Его можно
вычислить, сформулировав такие условия на поверхности полупро-
водника, которые осуществляются при w = wiaiiX. Обычно считают,
что максимальное значение wmax соответствует такому условию,
когда концентрация неосновных носителей заряда на поверхности
становится равной концентрации основных носителей заряда в объ-
еме полупроводника. Для полупроводника n-типа условию р(0) = п0
соответствует высокочастотная емкость обедненного слоя [см.
(5.17)].
Так как высокочастотная дифференциальная емкость приповерх-
ностной области полупроводника связана с толщиной обедненного
слоя w(i) соотношением (5.21), а емкость структуры — (5.22), то
изменение толщины обедненной области во времени описывается
выражением
w(/)=e,eo[l/C(O— 1/Сд].	(5.23)
168
Приложенное к структуре напряжение U складывается из на-
пряжения Un на диэлектрике, напряжения U„ на инверсном и на-
пряжения иос на обедненном слоях: U = UR + UK + Uoc. Так как
Сд = I I , где dQ — изменение заряда в полупроводнике, обус-
I de/я I
ловленное изменением заряда Qp в инверсном и обедненном слоях
и заряда Qnc на поверхностных состояниях, то
^/д=—^“(Qp+e/Zo^+Qnc)-	(5.24>
Полное напряжение на структуре получим суммированием (5.24)
и (5.19):
и=ил+иС1:= -_L(Qp4-e«0«,4-Qnc)_	.	(5.25>
^д	е
Согласно (5.25),
QP+Qnc = -CJJ - enQw	=
е п
=_С//_гао(«+^-с.)=-С//-^[4-г 1].
Изменение числа носителей заряда во времени в инверсном
слое и на поверхностных состояниях определяется производной это-
го заряда по времени:
- £«?,+<?„)-	‘ f-^гГ •	(5.26>
е dr	2Сд dr (О J
Генерируемые в обедненном слое неосновные носители заряда
(дырки) расходуются на образование инверсного слоя и заполнение
поверхностных состояний, тогда как основные носители заряда
(электроны) нейтрализуют положительный объемный заряд иони-
зированных доноров на границе обедненного слоя, вызывая тем
самым уменьшение его толщины.
Таким образом, экспериментально скорость генерации носите-
лей заряда во времени в обедненном слое определяется углом на-
клона зависимости (5.26) в каждой точке t и не зависит -от кон-
кретных механизмов генерации.
Как отмечалось, можно выделить несколько источников неос-
новных носителей заряда:
1)	генерация в объеме обедненного слоя. В соответствии с
(5.18) число генерируемых в обедненном слое в единицу времени
носителей заряда пропорционально толщине обедненного слоя и
площади структуры, т. е. равно gw(t) —tiiW(t)/xg,
2)	генерация через поверхностные уровни под металлическим:
электродом. Число генерируемых в единицу времени носителей за-
ряда пропорционально площади структуры. Как показывает ана-
169
лиз, оно быстро снижается до пренебрежимо малого значения с ро-
стом поверхностной концентрации дырок;
3)	диффузионный поток от границы обедненного слоя. Диффу-
зионный поток пропорционален площади структуры и постоянен во
времени, если концентрация носителей заряда на противоположной
стороне структуры постоянна;
4)	генерация в объеме и на поверхности краевой части обеднен-
ного слоя. Если предположить, что толщина области глубокого
обеднения на поверхности равна оф), то скорость объемной гене-
рации в краевой области структуры пропорциональна w2(t) и пе-
риметру структуры, а скорость поверхностной генерации пропор-
циональна w(t) и периметру структуры.
Так как изменение числа неосновных носителей заряда в ин-
версном слое обусловлено одновременным действием перечислен-
ных процессов, то это приводит к более сложной зависимости
e~xAQpld.t от времени, чем это следует из (5.26). Более точный рас-
чет емкости структуры с учетом краевых эффектов производят при
решении двумерного уравнения Пуассона. Тем не менее различная
функциональная зависимость генерационных потоков от w(t), пло-
щади и периметра структуры дает возможность выделить отдель-
ные составляющие процесса генерации носителей заряда, восполь-
зовавшись (5.26).
Для кремниевых МДП-структур характерно преобладание про-
цессов генерации через локальные уровни в обедненном слое и
поверхностной генерации в краевой области. Поэтому, если по-
строить зависимость отношения С2Д/С2(/), пропорционального
dQp/d/, от[!/С(/) — 1/Сд], пропорционального ы(/), то на ней можно
выделить линейный участок. Угол наклона линейного участка ха-
рактеризует скорость генерации носителей зарядов в обедненном
слое и поверхностной генерации в краевой области. Чтобы их раз-
делить, анализируют аналогичные зависимости для МДП-структур,
изготовленных на одном кристалле, но имеющих разное отношение
площади к периметру структуры. Если преобладает скорость гене-
рации носителей заряда в объеме обедненного слоя, то на линей-
ном участке в соответствии с (5.23) и (5.26)
___£ Г р	я,2Сд Г I_____.
di k(0 |	|С(/)	Ся J ’
2Сдп,-
ел0
А (1/С(<) - 1/Сд]
. Г d Сд 1
Л I d< C2(t) J
(5.27)
Экстраполяция линейного участка до пересечения с осью орди-
нат по размеру отсекаемого отрезка позволяет определить диффу-
зионный поток.
На рис. 5.6 показана зависимость--— |CJC(O]2 от [CJC(I)—•
d/
— 1], иллюстрирующая способ вычисления тй. На рис. 5.7 приведена
170
экспериментальная зависимость нормированной емкости МДП-
структуры от времени для кремния л-типа с концентрацией доно-
0,2 мкм. Переходный про-
Рис. 5.6. Зависимость
d
[Сд/С(I)]2 от [Сд/С(/)-1]
dr
ров 105 см-3 и толщиной диэлектрика
цесс длится 10 с, генерационное вре-
мя жизни составляет 7,6 мкс.
Описанный способ вычисления
в соответствии с (5.27) весьма трудо-
емок, поэтому разработаны различные
модификации метода измерения объ-
емного генерационного времени носи-
телей заряда. В МДП-структуре мож-
но реализовать такие условия, когда
становится возможным измерение и
рекомбинационного времени жизни.
Схема установки представлена на
рис. 5.8. Она позволяет измерить на-
пряжение высокой частоты на эталон-
ном резисторе R3, включенном после-
довательно с исследуемой МДП-струк-
турой С. Если эталонный резистор выбран таким, что 1/(ыС),
то напряжение на нем пропорционально току, протекающему через
емкость МДП-структуры. Поэтому изменение напряжения на ре-
зисторе во времени пропорционально изменяющейся во времени
емкости структуры.
Рис. 5.7. Эксперименталь-
ная зависимость норми-
рованной емкости МДП-
структуры от времени
Сп — У —*
Рис. 5.8. Схема установки
для измерения объемного
генерационного времени но-
сителей заряда
Установка содержит следующие основные элементы. Постоян-
ное напряжение на структуру подается от регулируемого источника
постоянного напряжения ИЙ\ или ИН2, переменное напряжение —
через разделительный конденсатор С( от генератора переменного
171
напряжения Г. Наличие двух источников постоянного напряжения
дает возможность посредством их переключения подавать на струк-
туру напряжение нужной полярности и значения. Для разделитель-
ного резистора /?] выполняется соотношение 1/((оС). Перемен-
ное напряжение на резисторе R3 усиливается селективным усилите-
лем У и регистрируется самописцем Сп с временной разверткой.
Измерение происходит в несколько этапов. Сначала определяют
вольт-фарадную характеристику C(U) МДП-структуры, напряже-
ние плоских зон и напряжение, при котором структура достигает
необходимой глубины инверсии, т. е. требуемой концентрации неос-
новных носителей заряда на поверхности. Затем на МДП-структуру
подается напряжение от источника ИН^, соответствующее условию
плоских зон или слабому обогащению, после чего переключением
на источник ИН2 структура переводится в состояние глубокого
обеднения. Во время измерений образец должен быть тщательно
затемнен. Самописец Сп регистрирует зависимость емкости струк-
туры во времени. В том случае, когда время релаксации инверс-
ного слоя невелико (меньше 0,1 с), в качестве источника напряже-
ния, переводящего структуру в состояние глубокого обеднения,
применяют генератор прямоугольных импульсов, а напряжение ре-
гистрируют с помощью осциллографа. Генератор прямоугольных
импульсов включают последовательно с источником внешнего на-
пряжения, а синхронизация осциллографа осуществляется импуль-
сами генератора.
§ 5.4.	Измерение распределения
концентрации легирующей примеси
Вольт-фарадные методы широко используются для измерения
распределения концентрации легирующей примеси в МДП-струк-
турах, структурах с контактом Шотки и в резких р-л-переходах.
Основное отличие МДП-структуры от контакта металл — полу-
проводник и р-п-перехода заключается в том, что в приповерхност-
ной обедненной области МДП-структуры может происходить на-
копление неосновных носителей заряда. В структуре металл — по-
лупроводник, так же как и в р-л-переходе, генерируемые в области
объемного заряда неосновные носители заряда удаляются из этой
области электрическим полем и образование инверсного слоя ока-
зывается невозможным.
Теоретическую основу вольт-фарадного метода измерения про-
филя легирования составляет приближение обедненного слоя.
Определение профиля концентрации и подвижности носителей
заряда. Исходя из приближения обедненного слоя, покажем, что
соотношение (5.21) для емкости обедненного слоя справедливо не
только при однородном распределении легирующей примеси, но и
в случае, когда это распределение выражается произвольной функ-
цией.
172
Пусть в полупроводнике n-типа плотность объемного заряда в
пределах обедненного слоя O^x^w p—e[Na{x) —Л^а(х)]. Если
граница обедненной области при увеличении напряжения структуры
на dU переместилась на dx, то объемный заряд увеличился на
dQ03=e [Л\,(х) —Л^Дх)] dx.	(5.28)
Изменение напряжения dU складывается из изменения напря-
жения на диэлектрике dUR и изменения напряжения на слое объ-
емного заряда dt7n: dL/=dt^+dt/n. Так как заряд поверхностных
состояний не изменяется под действием напряжения высокой ча-
стоты, то
dU,= —di/=—^-4-dt/n.	(5.29)
*	С, т "
Кроме того, при изменении заряда на dQ03 напряженность элек-
трического поля на границе области объемного заряда возрастает
на
dQ°* =	e[Ma(w)-^(w)j
ErE0	ErE0
а потенциал на поверхности полупроводника — на
dUB^‘®d^ - ...e^.^)-AHw)iw dw	(5 30)
ErE0
Согласно (5.28) и (5.30), дифференциальная емкость слоя
объемного заряда, отнесенная к единице площади поверхности,
r —	.1 d<?03 I	_ ErE0	(5.31)
^03	1 dt/n 1	w	
			
совпадает с (5.20) и не зависит от характера распределения при-
месей в обедненной области. Подставив (5.30) в (5.29), получим
Емкость МДП-структуры
F==I^L1='F'+F"==T"+— ’	(5-32)
С |oQ03 I сл С03 Ьл Еге0
что совпадает с (5.22).
Найдем производную от 1/C2 по dU:
d / 1 V Q 1	d / 1 \	2	dw _
dU \ С ) ~~ C dU \C ere0C dlf ~
e^{Nd{x) — Na(x)]
173
По (5.33) с учетом площади структуры S распределение леги-
рующей примеси (профиль легирования)
<5.34>
esre0S2 L dl/ \ С 1 J
может быть найден по экспериментальной зависимости емкости
структуры от напряжения. Соотношение (5.34) означает, что про-
филь легирования можно вычислить по углу наклона зависимости
l/C^U). Знак минус характеризует полупроводник /г-типа, знак
плюс — полупроводник p-типа. Координата х, к которой относится
вычисленная по (5.34) концентрация примеси, также рассчитыва-
ется по измеренному значению емкости структуры с использовани-
ем (5.31) и (5.32): х=5еле0 — — V	Если производная
\ С СЛI
d(l/C2)I&U имеет постоянное значение, то распределение примеси
в структуре является однородным.
В ряде случаев соотношение (5.34) удобно представить в виде
Nd(x)-Na(x)=±—.	(5.35)
eerso52 \ аи J
Соотношения (5.34) и (5.35) справедливы не только для
МДП-структуры, но также и для контакта металл — полупровод-
ник и резкого р-л-перехода, с той лишь разницей, что приложенное
к структуре внешнее напряжение полностью приходится на слой
объемного заряда.
Влияние поверхностных состояний на измеряемую посредством
(5.33) концентрацию примеси можно учесть, если кроме высокоча-
стотной емкости структуры измерить низкочастотную (квазистати-
ческую) емкость.
При измерении низкочастотной емкости Снч изменение напря-
жения на структуре связано с изменением поверхностного потен-
циала полупроводника: (Соз+Спс) d<pn = CH4d(7.
Соответственно
d / 1 \2___	d	/ 1 \2 d<7	^Соз + Спс <!	/	1 \2
d®,, \Соз /	dt/	\ С оз / d<pn Снч	dtZ	\ Соз /
Л С™ У1 d / 1 \2
Сд J dU \ Соз } ’
В выражении (5.36) учтено, что при
= 1/(Соя+Спс) = 1/Снч— 1/Сд, что следует из (5.14).
Так как на высоких частотах емкость структуры изменяется
лишь за счет изменения емкости слоя объемного заряда, то
низкой частоте
(5.36)
1/Сп=
(5.37)
174
Подставив (5.37) в (5.36), окончательно получим для структу-
ры площадью S
9
Nd{x)—N а(х)= +------—
eer£0S2
(1-Снч/Сд)
(1 — Свч/Сд)
Соотношение (5.38), учитывающее изменение заряда в поверх-
ностных состояниях, отличается от (5.34) лишь сомножителем, за-
висящим от отношения Снч/Сл, СВч/Сл.
Определение распределения концентрации носителей заряда в
соответствии с (5.34) и (5.35) совместно с измерением поверхност-
ной проводимости позволяет найти распределение подвижности но-
сителей заряда по толщине образца, т. е. профиль подвижности но-
сителей заряда.
Пусть имеется двухслойная структура, образующая р-п-пере-
ход, например, вследствие диффузии донорной примеси в подложку
p-типа. Поверх диффузионного слоя нанесены диэлектрик и метал-
лическая пленка, так что диффузионный слой, слой диэлектрика и
металлическая пленка образуют МДП-структуру. Если к структуре
приложить внешнее напряжение, то в результате образования обед-
ненного слоя толщиной х поверхностная проводимость слоя, заклю-
ченного между границей обедненного слоя и границей р-п-перехо-
да Хп,
оп=е I p.„(x)n(x)dx.
Она связана с удельной проводимостью соотношением
а (х)== ер.„ (х) п (х)= —•	(5.39)
ах
Выражение (5.39) удобно записать в виде
d°n(x)  d°n dC _ С2 don
dx	dC dx	dC ’
откуда
ep„(x)n(x)=-^-	.	(5.40)
ere0S dC
Таким образом, профиль подвижности можно вычислить по
(5.40), если провести измерение поверхностной проводимости струк-
туры в зависимости от емкости и использовать результаты вычис-
ления п(х) по (5.34).
По принципу измерения этот способ определения профиля кон-
центрации и подвижности носителей заряда аналогичен способу
последовательного удаления слоев, однако в этом случае не тре-
буется измерения ЭДС Холла и можно ограничиться измерениями
поверхностной проводимости, например методом Ван-дер-Пау.
Основные соотношения, которые используются для определения
профиля легирования, как было отмечено, основаны на приближе-
175
нии обедненного слоя. Поэтому применимость вольт-фарадных ме-
тодов измерения ограничена прежде всего из-за нарушения при-
ближения обедненного слоя.
Если концентрация примеси в полупроводнике зависит от коор-
динаты, то вследствие диффузии носителей заряда устанавлива-
ется распределение концентрации примеси и в результате возника-
ет отклонение от электронейтральности. В этом случае на из-
менение заряда вблизи границы обедненного слоя влияют все
свободные носители заряда, так что измеренное согласно (5.34)
распределение Ми (х) будет соответствовать распределению концент-
рации свободных носителей заряда п(х). Взаимосвязь между кон-
центрацией свободных носителей заряда и концентрацией примеси
при нарушении электронейтральности за счет диффузии носителей
заряда характеризуется соотношением
хг, \	, । kT e.tn d Г 1 dn(x)l
7V(x)=n(x)H--------,	(5.41)
e e dx [n (x) dx J
которое можно использовать для вычисления N(x). При малых
градиентах концентрации примеси практически n(x)=/V(x), поэто-
му N„(x)=N(x). При больших градиентах концентрации, т. е. при
резких изменениях концентрации примеси, NH(x) не соответствует
ни W(x), ни п(х) и поправка с учетом (5.41) будет лишь прибли-
женной. Случай, когда вычисление N (х) по зависимости C(U) за-
труднительно, часто реализуется применительно к ионно-внедрен-
ным слоям. Тем не менее для нахождения /V(x) по зависимости
C(U) пользуются численным решением обратной задачи, когда
распределение примеси подгоняется под экспериментально изме-
ренную вольт-фарадную характеристику.
Граница между обедненной областью и областью электроней-
тральности не является резкой вследствие некоторого размытия,
обусловленного функцией распределения носителей заряда. По этой
причине в однородном примесном полупроводнике концентрация
носителей заряда уменьшается практически до нуля на расстояниях
около пяти дебаевских длин экранирования 1Я и, следовательно, х
определяется с точностью ±2/э- Таким образом, пространственное
разрешение вольт-фарадных методов принципиально ограничено
значением дебаевской длины экранирования в данном полупровод-
никовом материале.
Наличие глубоких уровней в запрещенной зоне полупроводни-
кового материала в общем случае может искажать измеряемый
профиль легирования в структуре.
Существует ряд требований, ограничивающих практическую
возможность нахождения профиля легирования с помощью измере-
ния емкости структуры. Одно из них связано с электрическим про-
боем на поверхности полупроводника, ограничивающим макси-
мальное электрическое поле и, следовательно, максимальную тол-
щину обедненного слоя, при которой возможно измерение концен-
трации примеси. В кремнии и арсениде галлия она определяется
176
приближенным соотношением xmax п=2-1012 см~2, зависящим от
концентрации легирующей примеси. Наличие туннельного эффекта
для структур с барьером Шотки ограничивает максимальную кон-
центрацию примеси значением 1017 см-3. Минимальное расстояние
до поверхности, на котором можно измерить профиль легирования,
зависит от толщины обедненного слоя при нулевом смещении
структуры.
Для ионно-внедренных слоев необходимо соблюдать требование
на разрешение по толщине, зависящее от двух дебаевских длин
экранирования. Например, для кремния с концентрацией электро-
нов 1015 см-3 дебаевская длина составляет 0,13 мкм, что может
оказаться сравнимым с толщиной ионно-внедренного слоя.
Для МДП-структур более точные вычисления емкости слоя объ-
емного заряда с учетом влияния основных носителей заряда при-
водят к результатам, которые справедливы вплоть до границы
раздела полупроводник — диэлектрик и включают случай плоских
зон.
Определению профиля легирования МДП-структур препятству-
ет перезарядка поверхностных состояний, влияние которых можно
уменьшить повышением частоты напряжения или понижением тем-
пературы при измерениях. Влияние поверхностных состояний про-
является и для структур с барьером Шотки, поскольку в реальном
контакте Шотки на поверхности полупроводника имеется переход-
ный слой в виде тонкой пленки естественного оксида.
Частота высокочастотного напряжения, при которой влияние по-
верхностных состояний на измеряемую емкость пренебрежимо ма-
ло, зависит от их кинетических характеристик. Например, для по-
верхности раздела кремний — диоксид кремния поверхностные со-
стояния, расположенные в середине запрещенной зоны, имеют при
комнатной температуре времена релаксации 10~4—10~5 с, в то вре-
мя как поверхностные состояния вблизи разрешенных зон харак-
теризуются меньшими временами релаксации—10-6—10~8 с. Со-
ответственно нижняя граница частоты составляет в первом случае
примерно 106 Гц, а во втором смещается в область более высоких
частот.
Экспериментальные методы измерения. Дифференциальный ме-
тод определения профиля легирования основан на измерении зависи-
мости емкости структуры от напряжения и использовании теоре-
тических соотношений (5.34) и (5.35). Производную, например, в
(5.34) находят путем графического дифференцирования зависимо-
сти —методом конечных приращений:
N <Х) -	2 (5 42)
^52	Д(1/С2)- eefB0S2 l/Cl-1/C? 
При этом координата, относящаяся к измеренному значению
W (х), x=2ereo/(C1 + C2), т. е. она соответствует середине интервала
ДС=С2—Сь выбираемого при графическом дифференцировании.
7—1438	177
Нужные расчеты удобнее выполнять с помощью номограмм или с
использованием ЭВМ.
Измерение зависимости емкости структуры от напряжения вы-
полняют с помощью схемы емкостно-омического делителя, анало-
гичной рис. 5.8. Отличие состоит лишь в том, что на МДП-структу-
ру подается медленно изменяющееся напряжение, которое одно-
временно поступает на вход двухкоординационного самописца.
Чтобы избежать графического дифференцирования, применяют
дифференцирование аппаратурным методом, обеспечивающим по-
лучение напряжения, пропорционального dC(U)/dU. Зависимости
С((7) и dC((7)/d(7 могут быть зарегистрированы одновременно с
помощью двухкоординатных самописцев. Это повышает произво-
дительность и точность измерений.
Для определения зависимости C(U) используют также высоко-
частотные измерительные мосты, позволяющие измерять не только
емкость, но и проводимость структуры. Если одновременно с изме-
рением высокочастотной вольт-фарадной характеристики структу-
ры необходимо измерить ее низкочастотную характеристику, то
обычно применяют квазистатический метод. В этом случае на по-
следовательно соединенные МДП-структуру и резистор подается
линейно возрастающее во времени (пилообразное) напряжение.
Сила тока в этой последовательной цепи пропорциональна емкости
структуры, а напряжение на резисторе пропдрционально току. На-
пряжение на резисторе усиливается электрометрическим усилите-
лем и регистрируется двухкоординационным самописцем.
Метод измерения с использованием второй гармоники напряже-
ния основан на нелинейном взаимодействии внешнего переменного
электрического поля с носителями заряда для генерации напря-
жения на удвоенной частоте. Через структуру с барьером Шотки
пропускают небольшой переменный ток высокой частоты, который
создает осциллирующий пространственный заряд. Глубина обед-
ненной области задается постоянным обратным смещением струк-
туры. Напряжение на структуре, обусловленное протеканием пере-
менного тока, имеет составляющие на частоте тока и на удвоенной
частоте, зависящие от толщины обедненного слоя и концентрации
примеси.
Вычислим напряжение на структуре на частотах <о и 2ю. Про-
текающий через структуру ток /=/osinw( обусловлен изменением
заряда dQ при смещении границы обедненного слоя в пределах
х0—AxsgJx^Xo+Ax. Так как/=//S = dQ/d(=pdx/d(, то
dx  /Osia<o/
dz	SeNd(x0)
ДХ0:
/0 COS <oZ
euSNd (x0)
Дх0 cos
10 COS <11Z
eu>SNd(x0)
(5.43)
(5.44)
178
пропорциональна толщине
Рис. 5.9. Структурная схема ус-
тановки для измерении распре-
деления концентрации примеси
с использованием второй гар-
моники напряжения
из источника постоянного
где Ax0 — постоянная величина, зависящая от протекающего тока,
его частоты и плотности объемного заряда. Величина 2Лх0 опреде-
ляет разрешающую способность метода по глубине. Рассчитав на-
пряжение на структуре, получим
W = -М(х0)х0--д-^о) Дх=	Х0_ РЩАДГ Дх>
2	МО	2еге0
или после подстановки (5.43) и (5.44) найдем
/	1 у2
MJ=—x0------— cos то/--------------2— (cos 2то/ 4- 1). (5.45)
erE0Sw	Nd (х0) 4e«rsoS2o>2
В (5.45) первое слагаемое соответствует составляющей напря-
жения на частоте тока, ее амплитуда i
обедненного слоя х0. Второе слага-
емое, характеризующее напряжение на
удвоенной частоте, обратно пропорцио-
нально концентрации примеси на гра-
нице области объемного заряда. Третье
слагаемое определяет постоянную со-
ставляющую напряжения, возника-
ющую на структуре.
Выражение (5.45), определяющее
амплитуду второй гармоники напряже-
ния, вместе с условием на необходи-
мую разрешающую способность мето-
да по глубине накладывает ограниче-
ние на значение максимальной частоты
тока.
На рис. 5.9 представлена структур-
турная схема установки для измере-
ния профиля легирования. Она состоит
напряжения ИН, генератора переменного тока Г на 5 МГц, селек-
тивных усилителей У] и У2, настроенных на частоты ю и 2и. Ре-
зультаты измерений, т. е. зависимость Nd\x0), записывают с по-
мощью двухкоординатного самописца Сп. Чтобы переменный ток
через структуру С оставался постоянным, полное сопротивление
измерительной цепи должно быть много больше полного сопротив-
ления структуры на обеих частотах. К высокочастотным усилите-
лям предъявляются жесткие требования по стабильности и изби-
рательности. Переменный ток должен быть наложен на постоянную
составляющую тока. Установка не должна содержать нелинейных
элементов во избежание генерации ими второй гармоники напря-
жения, так как ее амплитуда очень мала.
Данный метод точнее дифференциального метода, так как ис-
ключает необходимость вычисления угла наклона dC/dt/ по экспе-
риментальным данным зависимости C(t/). Наиболее серьезный не-
достаток рассматриваемого метода, ограничивающий его примене-
7*
179
ние, заключается в его высокой чувствительности к паразитным ем-
костям. Это затрудняет измерения на образцах, расположенных вне
измерительного блока устройства.
Модуляционный метод измерения профиля легирования основан
на использовании соотношения (5.35). На исследуемую структуру
подается переменное напряжение высокой частоты. Напряжение,
пропорциональное dC/dU, получают за счет амплитудной модуля-
ции высокочастотного сигнала на низкой частоте (1 кГц).
Сигналы, пропорциональные С и dC/dU, выделяются фазочувст-
вительным детектором и обрабатываются аналоговыми устройст-
вами, так что на их выходе создаются напряжения, пропорциональ-
ные х и N(x). Достоинство модуляционного метода, состоящее в
слабом влиянии емкости подводящих проводов, позволяет выпол-
нять измерения на образцах, вынесенных за пределы измеритель-
ной установки, а также применить ртутные контакты (зонды). Мо-
дуляционный метод решает проблему измерения малых изменений
емкости при больших толщинах обедненного слоя, существующую
при использовании дифференциального метода. Вместе с тем при
этом требуется относительно большой уровень высокочастотного
сигнала (150 мВ), что ухудшает разрешение по глубине, устанав-
ливаемое дебаевской длиной экранирования, и предопределяет
большое минимальное постоянное смещение.
Метод обратной связи основан на использовании цепи обратной
связи для управления смещением границы обедненной области под
действием переменного напряжения. Амплитуду напряжения мож-
но выбрать таким образом, чтобы сохранялось постоянным смеще-
ние границы обедненной области или изменение напряженности
электрического поля при любой толщине обедненной области. Со-
отношение, связывающее изменение напряженности электрического
поля при смещении границы обедненной области с концентрацией
примеси, имеет вид
д^ = _£ЛЧх)_Дх>
*г®0
Если электрическое поле изменяется так, что Дх остается постоян-
ным, то А(х) пропорционально Д^Г, и, наоборот, если поддержи-
вать постоянным Д^Г, то Дх пропорционально l/N(x). В данном ме-
тоде используют обе эти возможности с помощью системы обрат-
ных связей в измерительном устройстве.
Практически метод обратной связи имеет ряд преимуществ: воз-
можность измерений на образцах, смонтированных иа конце ко-
аксиального кабеля достаточной длины, что позволяет выполнять
их во время технологических операций, температурные измерения
с применением криостатов, а также простота калибровки измери-
тельной системы.
Погрешности измерений. При вычислении концентрации носи-
телей заряда по (5.34) производную dfl/C2)/dU определяют с по-
мощью графического дифференцирования экспериментальной за-
180
висимости \/C2(U) по методу конечных приращений. Случайная
погрешность измерения концентрации носителей заряда склады-
вается из погрешностей измерения величин, входящих в расчетную
формулу (5.34):
Первое слагаемое в (5.46) характеризует погрешность измере-
ния диаметра структуры d, а второе — погрешность измерения уг-
ла наклона зависимости 1/С2((7). Погрешность измерения напряже-
ния не учитывается, так как точность измерения может быть очень
высокой. Погрешность измерения площади структур диаметром бо-
лее 0,5 мм может составлять не более 0,5%. Поскольку применяе-
мые прецизионные емкостные мосты имеют точность ЪС)С—
= 0,14-1,0%, то погрешность при дифференцировании эксперимен-
тальной кривой зависит от приращения АС. Аппроксимация соотно-
шения (5.34) с помощью (5.42) приводит к возникновению систе-
матической погрешности, учет которой затруднен ввиду того, что
неизвестен вид функции C(U). Эта погрешность имеет положитель-
ный знак и приводит к систематическому завышению измеренной
концентрации носителей заряда. При однородном распределении
примеси она очень мала и составляет доли процента. Приведенный
анализ погрешности применим и для модуляционного метода изме-
рения.
Другие источники погрешности измерений связаны с отклоне-
нием свойств реальной структуры от свойств модели, для которой
справедливы исходные соотношения (5.34) и (5.35). К ним отно-
сится: ток утечки, который увеличивается с увеличением уровня
легирования полупроводника; сопротивление объема полупровод-
ника; краевой эффект (т. е. отклонение структуры от одномерной
модели), который сильнее всего проявляется для структур на вы-
сокоомных подложках, имеющих малую площадь.
В ряде случаев в качестве материала контакта для создания
барьера Шотки используют ртуть. Применение капилляра с ртутью
уменьшает трудоемкость изготовления образцов и повышает про-
изводительность измерений. По этой причине метод вольт-фарадных
характеристик с использованием ртутного контакта нашел широкое
распространение в производственной практике при измерениях на
кремнии и арсениде галлия. Применение ртутного контакта создает
дополнительную погрешность как систематического, так и случай-
ного характера. Причиной ее появления служит зависимость пло-
щади ртутного контакта от давления ртути. Задавая давление рту-
ти в капилляре диаметром 1 мм более 2,67-104 Па при воспроизво-
димости ±2,67-102 Па, можно довести систематическую погреш-
ность измерения концентрации носителей заряда до —4%, а слу-
чайную— до ±1,5%.
181
§ 5.5. Методы измерения
параметров глубоких ловушек
Параметры глубоких ловушек. К глубоким ловушкам относят
дефекты кристаллической решетки, образующие в запрещенной зо-
не полупроводникового материала глубокие энергетические уровни.
Глубокие ловушки имеются в полупроводнике вследствие наличия
атомов примесей, радиационных дефектов, дефектов термообработ-
ки. Влияние глубоких ловушек заключается в том, что они дейст-
вуют как рекомбинационные ловушки либо как ловушки захвата.
В первом случае это приводит к резкому уменьшению времени жиз-
ни и диффузионной длины неосновных носителей заряда, что влияет
на различные характеристики полупроводниковых приборов. Одно
из наиболее важных проявлений влияния глубоких уровней как
безызлучательных рекомбинационных ловушек состоит в уменьше-
нии эффективности излучения в светодиодах и лазерах. Как ловуш-
ки захвата глубокие уровни могут влиять на эффекты накопления
заряда. Контролируемое введение глубоких ловушек в ряде случа-
ев придает полупроводниковым материалам и приборам нужные
свойства. Примером этого может служить легирование арсенида
галлия хромом с целью получения полуизолирующего материала
или введение примеси золота в кремний для уменьшения времени
жизни носителей заряда при производстве быстродействующих
диодов и тиристоров. Тот факт, что с глубокими ловушками свя-
заны как желательные, так и нежелательные эффекты, указывает
на важность понимания их свойств, необходимость контроля их
наличия или возникновения в процессе производства полупроводни-
ковых приборов. Поэтому исследование свойств глубоких ловушек
и их идентификация как примесных атомов или дефектов является
одним из важных направлений современной физики полупровод-
ников.
В зависимости от зарядового состояния до и после захвата но-
сителя заряда глубоким ловушкам приписывают донорный или ак-
цепторный характер. Эта классификация аналогична классифика-
ции мелких примесных уровней.
Глубокие уровни кроме их концентрации и положения в запре-
щенной зоне характеризуют коэффициентами теплового испуска-
ния (ионизации) для электронов еп и дырок ер и сечениями захвата
для электронов и дырок тр. Коэффициенты захвата сп, ср свя-
заны с сечениями захвата и следующим образом:
cB=W cp=vpvt,	(5.47)
\ лт )
— средняя тепловая скорость носителей заряда. Сечения захвата
для носителей заряда зависят от зарядового состояния ловушки.
182
Заряженная ловушка в качестве кулоновского притягивающего
центра имеет сечение захвата порядка 10~14 см2, оно значительно
больше, чем у нейтральной ловушки (10~16—10-17 см2). Заряжен-
ная ловушка в качестве кулоновского отталкивающего центра име-
ет еще меньшее сечение захвата (10~19 см2); указанные значения
могут иметь значительный разброс.
Пусть в полупроводнике имеются глубокие ловушки с концент-
рацией NT, которые характеризуются энергетическим уровнем Ег в
запрещенной зоне. Составим уравнение, описывающее процесс за-
полнения и опустошения глубоких уровней электронами. В соответ-
ствии со статистикой рекомбинации Шокли — Рида изменение во
времени концентрации электронов на уровнях
-^=cnNr(l~A)n^epNr(\-f1)-eaNTfl-cpNTflP. (5.49)
Первое и второе слагаемые (5.49) описывают увеличение кон-
центрации электронов за счет захвата электронов из зоны прово-
димости и испускания дырок в валентную зону, третье и четвертое
учитывают уменьшение концентрации электронов за счет испуска-
ния электронов в зону проводимости и захвата дырок из валентной
—--------------)— неравновесная функция распределения.
kT J
Если полупроводник находится в состоянии термодинамическо-
го равновесия, то функция распределения равна равновесной
функции распределения /0 и иа основании принципа детального рав-
новесия
>	/0)ло=^г/0;
epNT (1 — /0)=cpNTfopo,
откуда
Л=с<'Лгг'1>
А=^ехр(—
\ R1
(5.50)
(5.51)
(5.52)
(5.53)
В стационарном состоянии при ——=0, согласно (5.49), ста-
dt
ционарная концентрация электронов иа глубоких уровнях
п =N сп>к+еР	сппс+сРРх
спп0 + еп + срРс + ер Г сп (пс + П1) + Ср(Рс 4- Pl)
1 В обедненном слое структуры металл — полупроводник при на-
личии обратного смещения концентрация свободных носителей за-
183
ряда очень мала, поэтому, пренебрегая захватом носителей заряда,
получим
яг=?/г----е---=7Vr----.	(5.54)
еп+ер	cnnl+cpPl
Вследствие экспоненциальной зависимости п} и pi от энергии
(Ес—Ет) и (Ег—Ev) значения Л1 и pi, как правило, различаются;
обычно еп^>ер либо, наоборот, ер^>еп. Для глубокого уровня, рас-
положенного в верхней половине запрещенной зоны, еп^>ер при ус-
ловии, что сп и ср различаются незначительно. Тогда из (5.54)
следует, что уровень Ег в пределах обедненного слоя почти пуст.
Глубокий уровень, расположенный в нижней половине запрещен-
ной зоны, для которого ер^еп, в стационарном состоянии почти
полностью заполнен электронами. Эти неравенства упрощают ана-
лиз экспериментальных данных и могут быть использованы для
классификации глубоких уровней как ловушек для основных или
неосновных носителей заряда. В материале я-типа ловушки для
основных носителей заряда с наибольшей вероятностью располо-
жены выше середины запрещенной зоны и для них еп^>ер, тогда
как ловушки для неосновных носителей заряда находятся в нижней
половине запрещенной зоны и для них ер^>еп. Для материала
p-типа справедливы обратные неравенства.
В нестационарном процессе при образовании обедненного слоя
концентрация электронов в зоне проводимости устанавливается
значительно быстрее, чем концентрация электронов на глубоком
уровне. Испускание электронов в зону проводимости и дырок в ва-
лентную зону не нарушает их стационарного распределения бла-
годаря наличию сильного электрического поля, которое удаляет их
из области объемного заряда. Поэтому, полагая концентрации
электронов и дырок в зонах равными их стационарным значениям
п = пс и р=рс и учитывая, что концентрация электронов на глубо-
ких уровнях нестационарна и стремится к своему стационарному
значению, т. е. nr(t) =Лгс+Дяг((), в соответствии с (5.49) получим
=cnNTn—сппспт (t)+сpPiN— cnnxtir (О—с pQnx
= — Дя,. (0 [с„(«с+«1)+ср(рс-|- pj)].	(5.55)
В выражении (5.55) учтено, что в стационарном состоянии
cnN тп—сппсптс-\-срр^т—срргптс — сппхпгс~ сррсптс=О.
Из уравнения (5.55) следует, что опустошение глубокого уровня
происходит по экспоненциальному закону Дя..(/) =Дяг(0)е-г/т с по-
стоянной времени r=[cn(nc + rii) +Cp(pc+pi)]~l, которая не зависит
от начального заполнения и концентрации глубоких ловушек, но
зависит от координаты области объемного заряда вследствие зави-
симости стационарных концентраций носителей заряда от коорди-
наты. Постоянную времени т называют временем релаксации за-
полнения уровня.
184
После включения обедняющего напряжения в образовавшейся
области объемного заряда при еп^^р электроны испускаются глу-
бокими уровнями с постоянной времени г=еп~1= (Сргц)-' и быстро
удаляются электрическим полем из этой области. При этом во
вновь образующемся слое объемного заряда плотность заряда воз-
растает во времени за счет ионизации глубоких ловушек. Постоян-
ная времени с учетом (5.47) и (5.48)
r=(vn-uTNe)-i ехр ( —~£г )=(^^2Г1 ехр	>	(5-56>
где b — константа (для кремния 5 = 6,6-1021 см-2 • с-1 • К-2) • При
возрастании температуры время релаксации заполнения уровня
возрастает.
Соотношение (5.56) лежит в основе многих методов измерения
энергии глубоких уровней. Если предположить, что сечение захвата
ип не зависит от температуры, то зависимость
1п(тТ2)=—1п(иж5)-}~ Ее~^	(5.57)
RJ
от 1/7 позволяет найти энергию ионизации глубокой ловушки как
тангенс угла наклона этой зависимости, а по отрезку, отсекаемому
на оси ординат,— значение un.
Значение Ес—Ет, рассчитанное с помощью (5.57), характеризу-
ет энергию ионизации глубокой ловушки с неопределенностью
±kT, так как при вычислении соотношений (5.50) и (5.52) не были
учтены факторы спинового вырождения уровня до и после захвата
электрона. Кроме того, возможен значительный франк-кондонов-
ский сдвиг уровня энергии ловушки вслед за захватом электрона
из-за решеточной релаксации с последующим изменением стати-
стики его заполнения. Энергии, входящие в соотношения (5.51) и
(5.53), полученные на основе принципа детального равновесия, с
учетом решеточной релаксации следует заменить на Ес—(E0+Ei)/2,
где Ео, Ei — энергии ловушки до и после релаксации. Примером
такого сдвига является второй донорный уровень кислорода в фос-
фиде галлия. При определении энергии уровня необходимо учиты-
вать то, что любой дефект или примесь могут создавать два (или
более) уровня в запрещенной зоне. Какой из этих уровней будет
проявляться, зависит от положения уровня Ферми. Примером этого
могут служить уровни золота в запрещенной зоне кремния: акцеп-
торный, расположенный на 0,56 эВ ниже дна зоны проводимости,
и донорный, расположенный на 0,45 эВ выше потолка валентной
зоны.
Изменение степени заполнения глубоких уровней электронами
может происходить из-за фотоионизации глубоких ловушек, т. е.
вследствие оптических переходов между глубокими уровнями и зо-
ной проводимости или валентной зоной. В этом случае вводят ко-
эффициенты испускания электронов е°п и дырок е°р при оптических
переходах. Тогда суммарный коэффициент испускания равен еп +
185
Рис. 5.10. Зонная диаграмма
структуры металл — полу-
проводник при обратном на-
пряжении в стационарном
состоянии (а), распределе-
ние плотности объемного за-
ряда в момент времени /=0
(б) и плотности объемного
зарида в стационарном со-
стоянии (в)
+ е°п или ep + e°p. При низкой температуре, когда скорость тепло-
вого испускания невелика, легко выполняется условие еоп>еп или
е°р>ер, поскольку скорость испускания при оптических переходах
пропорциональна интенсивности светового потока и не зависит от
температуры. Преимущество оптических способов изменения сте-
пени заполнения уровней заключается
в непосредственном измерении энергии
уровня по энергии фотонов.
Метод релаксации емкости. Рас-
смотрим основные свойства емкости
структуры металл — полупроводник
при нестационарном процессе. Пусть в
полупроводнике имеется основная до-
норная примесь с концентрацией Nd и
энергией Ed, а также глубокие доноры
с концентрацией NT и энергией £г. Для
глубокого уровня выполняется соотно-
шение еп^>ер. Полупроводник одно-
роден, т. е. концентрации примесей не
зависят от координаты. В состоянии
термодинамического равновесия мел-
кие доноры полностью ионизированы,
а глубокие доноры практически пол-
ностью заполнены электронами, т. е.
для глубокого уровня выполняется не-
равенство Ef—Er>4kT. Хотя структу-
ра при обратном смещении не находит-
ся в состоянии термодинамического
равновесия, тем не менее используем
статистику равновесной системы.
На рис. 5.10, а приведена зонная
диаграмма для структуры металл —
полупроводник при обратном напряже-
нии U. Напряжению U в стационарном
состоянии соответствует обедненный слой, граница которого нахо-
дится в точке wc и является резкой. Уровень Ферми пересекает уро-
вень Ег в точке x=wc—1С. В стационарном состоянии глубокие до-
норы в области 0<х<®с—/с расположены выше уровня Ферми,
находятся в ионизированном состоянии и влияют на плотность
объемного заряда (рис. 5.10, б) p=e(Nd-[-Nr+). В области
И'с—lc<Zx<Zwc глубокие уровня заполнены, плотность объемного
заряда равна eNd', она имеет скачок в плоскости x—wc—1С- На
емкость структуры влияют только глубокие уровни в пределах об-
ласти 0<х<йУс—/с.
При нестационарном процессе после приложения к структуре в
момент времени t = 0 обратного напряжения (7 обедненный слой
расширяется, достигая глубины ьу(О). Так как скорость опустоше-
ния глубоких уровней невелика, то в начальный момент времени
186
t — О после подачи обратного напряжения плотность объемного за-
ряда обусловлена только ионами донорной примеси и равна eNd
(рис. 5.10,в). Опустошение глубоких уровней, которое происходит
со скоростью еп=т'1, ведет к изменению плотности объемного за-
ряда с течением времени. По мере ионизации глубоких уровней
электроны, переходящие в зону проводимости, быстро выносятся
электрическим полем из области объемного заряда, что обеспечи-
вает малую скорость обратного захвата электронов на глубокие
уровни. По истечении некоторого времени устанавливается ста-
ционарное распределение плотности объемного заряда. Протяжен-
ность области объемного заряда w(t) также уменьшается до своего
стационарного значения wc. Изменение плотности и толщины слоя
объемного заряда приводит к изменению емкости структуры во
времени.
Интегрирование уравнения Пуассона в пределах области объ-
емного заряда позволяет вычислить разность потенциалов:
<РК- U=-^— [(Wd+A^)®>24-AUZ2- 2wZ)].	(5.58)
2е,е0
где <рк— контактная разность потенциалов; U — приложенное на-
пряжение (Z/<0).
Изменение емкости во времени можно определить эксперимен-
тально, если проводить измерение на достаточно высоких частотах,
таких, при которых глубокие уровни не влияют на изменение плот-
ности объемного заряда за счет изменения степени их заполнения.
Емкость структуры, площадь которой S, C=eteoS/w, где
1	|	(eN+l)2	e(Nd + N+)	|1/2
w I [2еЛе0(?к—ZZ)]2 2гг&0(ук — и) — еГЖ+ J
eN+l
---------,	(5.59)
2^0^K-U)-ePN+
откуда
C__ (Г e^0N+lS 12 e (Nd + ЛГ+) S* 1 ^2_
~tl 2Мо(Ук-Ю-^+ J + 2^0(<fK^U)-ePN+rl
eN+rxr£()lS
2ers0 (?к — ZZ) — eZ2ZV+
В этом соотношении концентрация ионизированных глубоких
доноров Nr+ зависит от времени и определяет временную зависи-
мость емкости. В момент времени t = 0 после подачи обратного на-
пряжения, когда объемный заряд, обусловленный глубокими уров-
нями, еще равен нулю,
С (0, Z/)=C0=S Г- F ,	(5.60)
L 2 (¥к — U) J
что следует из (5.59) при Л''г+=0.
187
Вследствие тепловой ионизации концентрация положительно
заряженных глубоких уровней в области 0<x<w—I после прило-
жения обратного напряжения возрастает во времени по закону
N ?(/)—[ 1— ехр (—£,/)].	(5.61)
Вычислив разность потенциалов, приходящуюся на область /
(О’ — l<zx<Zw), с учетом того, что в соответствии с энергетической
диаграммой она равна (EF—Ег)/е, получим
Z = 2Мо(Ег-£г) р2.	(5.62)
Из (5.62) следует, что I не зависит от приложенного напряжения
и определяется только положением уровней Ег и EF в запрещенной
зоне. Подставив в (5.59) соотношения (5.60) — (5.62), найдем вы-
ражение для емкости структуры в функции от приложенного на-
пряжения и времени:
С(/,
Со
g(fK-tZ) IV2
EF~Er I
.e_П_е~У)
(EF-Er)Nr (
И e(yK-U)
U EF — Er
e^~U)Nd j _e,n< PA_ ! _।
(EF~ET)NT	J	j
(5.63)
Концентрацию доноров можно определить с помощью соотноше-
ния (5.60), построив график зависимости С<г2 (<рк—U), представ
ляющей собой линейную функцию, для которой
__ 1
d (4>к — U) e»rtoSNd
Для вычисления концентрации глубоких ловушек можно вос-
пользоваться выражением (5.63). Решив (5.63) относительно Nd/Nr,
получим
Г EF — Er Ц/2 /_Сс _ \2
Nd __ L е (?к — б/) ]	\ Ср___/	zg
/vr / cq2 _ t
\ Co /
где Ср, Cc — значения емкости при t—0 и Z->-oo, которые должны
быть получены из измерений.
Для нахождения еп необходимо использовать экспериментально
полученную зависимость емкости структуры от времени. Если на
графике C(t) (рис. 5.11) провести касательную в точке 1=0, то точ-
ка ее пересечения с линией Сс будет характеризовать постоянную
времени п, для которой выполняется соотношение
_L=(Cc-C0)-i-^-|	.	(5.65)
dt [/=о
188
\ Однако скорость эмиссии электронов еп—т-1 можно найти по
(5163). После дифференцирования этого выражения по времени и
вычисления производной при (=0
2Wd
dCI
" C0Nr [1 - V{Ef— ET)/e (?к - £О12 dt |t=0
(5.66)
Из сравнения (5.65) и (5.66) следует, что еп=—k, где k — ко-
эффициент, зависящий от отношения е(<рк—U)/(EF—Ет). Из (5.65)
и (5.66) его можно вычислить как функцию е(<рк—U)J(EF—Ет).
Значение Ес—Ет может быть найдено из зависимости (5.57), по-
строенной по результатам измерений Т] в температурном интер-
вале, в пределах которого величины vn,
vT, Nc и b могут считаться постоянны-
ми. Значение Ес—EF определим по из-
меренному значению концентрации
носителей заряда п0: Ес — EF=kTy^
Xln(Nc/n0). Поперечное сечение захва-
та vn можно рассчитать по (5.57), так
как остальные величины известны.
Описанный метод определения па-
раметров глубоких уровней был ис-
пользован для ряда полупроводнико-
вых материалов и дал хорошие ре-
зультаты. В частности, с его помощью
Рис. 5.11. Изменение емко-
сти структуры во времени
после подачи обратного .на-
пряжения
были исследованы глубокие уровни,
создаваемые кислородом в арсениде галлия. Ионизация уровней
кислорода, расположенных примерно на 0,7 эВ ниже зоны прово-
димости, соответствовала изменению емкости в течение десятков
секунд. Измерения проводились на частоте 1,0 МГц при напряже-
нии 15 мВ; зависимость емкости от времени регистрировалась са-
мописцем.
Для проведения измерений удобным является емкостный мост,
в котором ток пропорционален изменению емкости, так как в этом
случае измеряется непосредственно разность C(t)—Со; сигнал мо-
жет быть преобразован в цифровую форму или зарегистрирован с
помощью самописца.
Метод постоянной емкости. Данный метод основан на сохранении емкости
структуры постоииной за счет изменения обратного наприження, приложенного
к структуре. По мере того как происходит испускание или захват носителей за-
ряда глубокими уровиими, соответствующее этим процессам изменение емкости
компенсируется изменением напряжении с помощью обратной свизи в измери-
тельном устройстве Так как требуемое для этого напряжение &U=AQ/C, то мож-
но определить изменение объемного заряда AQ. В этом случае интерпретация
экспериментов упрощается, особенно когда концентрации глубоких уровней срав-
нима с концентрацией легирующей примеси. Пусть в полупроводнике с концен-
трацией доноров Na глубокие ловушки с концентрацией N? и энергией Ег пред-
ставляют собой акцепторы. Обедненная область структуры простирается до x—w
(0<х<и>). В стационарном состоянии в части обедненного слои шириной I (х>
>w—/) глубокие уровни отрицательно заряжены, а в области x<w—I—ней-
189
тральиы. В точке x=w—I квазиуровень Ферми пересекает уровень Ег. Это^у
обедненному слою соответствует обратное смещение U, которое можно вычислить,
дважды проинтегрировав уравнение Пуассона:
W W	W
и=--^— \ dx С (Na - Wr) dx' = —— f x(Nd-NJAx =
J J	*rE0 J
Ox	0
e
Er®0
(5.67)
Продифференцировав это выражение no w и полагая, что высокочастотная ем-
кость C=ereoS/titi, получим
AU	е
—— = ---------w(Nd-lNry,	(5.68)
dw	еге0
d (С-2)	d (С-2)	dw dr w2 1 dw 2w dw
dU = dw "dtZ = dw~ [ (e^S)2 J ~dU = 7«г«о$)2	’
— Nr = —-------------------.
w	eer^S2 d (C~2)
(5.69)
Соотношение (5.69) справедливо и в том случае, когда Nd и Nr зависят от
координаты х. Дли Nr(x) выполияетси условие
w dJVr(x)
dx
(5.70>
При Nr=0 выражение (5.69) переходит в (5.34), используемое для опреде-
ления профиля легирования.
Дли структуры, достигшей стационарного состоиния при некотором обрат-
ном смещении, осуществляется короткое замыкание иа время т, после чего на
нее подается импульс обратного напряжения и она снова достигает стационарного
состоянии. Пока структура находитси в короткозамкнутом состоянии, ширина
обедненного слоя уменьшается до w0 и глубокие уровни в области w0<x<w—I
захватывают электроны, которые при подаче обратного смещения переходит в зону
проводимости. Изменение концентрации электронов на глубоких уровнях во време-
ни при поступлении обратного напряжения описывается уравнением
dAr~
—^- = enn(Nr-N^)-enN~.	(5.71>
Для области обедненного слоя woCx<w—l в состоянии короткого замыка-
ния (—т</<0) спЮ>еп прн К—т, А'г->0; при подаче обратного напряжения
вп^СпП. Последнее условие справедливо вследствие низкой концентрации элек-
тронов в обедненном слое. В соответствии с уравнением (5.71) к моменту оконча-
ния короткого замыкания концентрации достигает значения Аг(1 — е~с’1ЛгХ
после чего при подаче обратного напряжения спадает по закону
^Г(О = АГг(1_е^яя<).
При ОО к структуре должно быть приложено таксе изменяющееся во времени
обратное напряжение, при котором толщина обедненного слоя оставалась бы не-
изменной и равной тому значению, которое достигается в момент f=0. Этому
условию соответствует постоянное значение емкости обедненного слоя. Разность
190
между этим напряжением и первоначальным напряжением, определяемым со-
отношением (5.67), равна
\	w—l
\dJ (t, т) = —-— \ x/Vr (1 — е CnBt) е dx.
\	Мо -5
\
(5.72)
При большом значении т
ЛГ1У(О = ^е_е«/;
w—l
р р	_g t
tdJ(t, оо)=------ I xWre л dx.
ErE0 J
Wo
Продифференцировав (5.72) no w и разделив
результат на (5.68), получим
d^U (0, оо) I
dU Lo
—-—t»(l — l/w) Nr',
Er«0
dA£Z(O, сю)	(l—l/w)Nr
dU	Nd — Nrl/w '	1	'
Уравнение (5.74) совместно с (5.69) позво-
ляет определить распределении концентраций
доноров Nd(x) и глубоких ловушек Лг(х) с уче-
том (5.70) посредством измерения ДЙ(0, оо) и
емкости С как функции обратного напряжения U.
Так как изменение напряжения Д£7 можно опре-
делить достаточно точно даже если Д17сП, то
можно измерить концентрацию глубоких ловушек,
которая в 103—10* раз меньше концентрации ле-
гирующей примеси. Соотношение (5.72) служит
основой для расчета е„ и Спп по измерениям за-
висимостей ДП(т) и Д1/(0. аналогично тому, как
Рис. 5.12. Структурная
схема установки для из-
мерении параметров глу-
боких ловушек методом
постоянной емкости
это описано в § 5.4
На рис. 5.12 представлена структурная схема установки дли измерения па-
раметров глубоких ловушек. Принцип действия установки следующий. Емкость
структуры С с барьером Шотки илн р-л-перехода измеряется мостовым измери-
телем емкости МИЕ. При изменении емкости сигнал разбаланса подается на уп-
равляемый источник напряжения ИН, который изменяет напряжение на структу-
ре так, чтобы сохранить сигнал разбаланса, а следовательно, и емкость структу-
ры постоянными. Последовательно с ИН включено устройство У КЗ, которое,
отключая источник напряжения, замыкает структуру С накоротко. Этим устрой-
ством управляет импульсный генератор Г. Напряжение иа структуре регистриру-
ется с помощью самописца Сп. Этот метод был с успехом применен для опреде-
лении парамегров глубоких ловушек, создаваемых в кремнии л- и p-типа такими
примесями, как золото, платина, палладий, родий.
§ 5.6. Метод термостимулированной емкости
и фотоемкости
Термостимулированная релаксация емкости структуры. Метод
измерения параметров глубоких уровней с помощью термостимули-
рованной релаксации емкости основан на регистрации изменения
емкости структуры с барьером Шотки или резкого р-и-перехода при
191
повышении температуры, которое обусловлено тепловой перезаряд-
кой глубоких уровней.	(
Пусть в полупроводнике л-типа имеется глубокий уровень до-
норного типа, для которого	При постоянном обратном,на-
пряжении охладим структуру до низкой температуры 7\. При ох-
лаждении первоначальное стационарное заполнение уровня Элек-
тронами не изменяется. Емкость структуры Сс соответствует
стационарному заполнению уровня электронами птс. Если охладить
Рис. 5.13. Термостимулн-
рованнаи релаксация ем-
кости структуры
структуру до той же температуры в отсутст-
вие внешнего напряжения, а затем подать
обратное напряжение, то значение емкости
Сп при температуре Т\ будет ниже, чем в
первом случае, так как будет соответство-
вать большей степени заполнения уровней.
Заполненные уровни не будут испускать
электронов, так как скорость соответству-
ющих процессов при низких температурах
невелика. При последующем повышении
температуры емкость структуры может из-
мениться лишь в том случае, когда начнет
изменяться степень заполнения уровней. По'
мере повышения температуры время релак-
сации заполнения уровня (5.73) уменьша-
ется и начинается термостимулированный
разряд уровня, т. е. тепловое испускание
электронов с уровня в зону проводимости.
Этот процесс ведет к быстрому возрастанию1
емкости структуры по мере повышения температуры, которое на-
зывают термостимулированной релаксацией емкости (рис. 5.13).
Когда температура структуры повышается до первоначальной, кон-
центрация электронов и емкость структуры принимают свои ста-
ционарные значения пгс и Сс. Термостимулированный разряд уров-
ня приводит также к увеличению обратного тока структуры, до-
стигающего максимального значения при некоторой темпера-
туре.
Зависимость емкости структуры от времени обусловлена времен-
ной зависимостью плотности объемного заряда в обедненном слое.
Концентрация ионов, составляющих объемный заряд, одинакова во
всем обедненном слое: N+(t)=Na++Nr+(t), причем концентрация
ионизированных глубоких доноров возрастает по закону 7VIb(/)=
I
— Nr 1 — exp
Соответственно уменьшается кон-
[t
—J	df .
о
Обратный ток пропорционален числу электронов, переходящих
в зону проводимости с глубоких уровней:
о
н
к
192
\2Ш=Л_^ехр - ea(t)dt ==е„(Опг(П.	(5.75)
\ аг ас	I J	i
\ 0 .
Так как термостимулированныи ток достигает максимального
значения при некоторой температуре 7М, то производная от (5.75).
по времени при Т=ТМ, равна нулю:
-f Нл(ОМП] = -^пг-^=0.
Учитывая (5.75), получим
dea/dt—e2n.	(5.76)
Поскольку термостимулированный разряд уровня происходит в
узком температурном интервале, можно считать, что в этом интер-
вале температура увеличивается во времени по линейному закону:
T(t)=7\ + V,
(5.77)
где р — коэффициент, характеризующий скорость повышения тем-
пературы, К-с-1. Поэтому дифференцирование по времени в (5.76)
можно заменить на дифференцирование по температуре, имея в
виду, что d7=pdt Использовав выражение (5.56), найдем
In ————LH-ln
Р ЬГи '
Аналогичный результат можно получить, если вычислить темпе-
ратуру, соответствующую максимальному углу наклона зависимо-
сти емкости структуры от температуры dC/dT, положив d2C/d7’2=0.
При выводе соотношения (5.77) не было учтено, что ширина
области объемного заряда уменьшается по мере разряда глубоких
уровней. Этот эффект пренебрежимо мал, если Nr^Na-
Во многих реальных случаях выражение (5.77) упрощается, ес-
ли 2kTK<g.Er. Тогда
₽ kT„ 1 kbb
и значения Д£г и b можно определить, воспользовавшись линейной
зависимостью 1п (7м4/0) от Тм-1. По углу наклона этой зависимости
найдем ЛЕг/k, а по точке пересечения с осью Тк~1 — vb. Для полу-
чения этой зависимости необходимо провести серию измерений тер-
мостимулированного тока или емкости при различных скоростях
нагрева 0.
Концентрацию глубоких уровней можно найти несколькими спо-
| собами. Если структуру при обратном напряжении U охладить до
низкой температуры Tlt а затем уменьшить обратное напряжение
до Ui, то ширина области объемного заряда уменьшится на неко-
I торое значение, причем в пределах этой области заряды глубоких
уровней будут скомпенсированы электронами из зоны проводимо-
193
сти. При восстановлении обратного напряжения до U эта область
вновь будет обеднена основными носителями заряда, однако глу-
бокие уровни не будут влиять на плотность объемного заряда. Еусли
•структуру нагреть до первоначальной температуры Ту, то в ре-
зультате термостимулированного разряда уровней плотность 'объ-
емного заряда также примет свое первоначальное значение. При
этом толщина области объемного заряда w(U, Ту) и емкость обед-
ненного слоя С(U, Ту) вернутся к своим первоначальным значени-
ям w(U, Т), C(U, Т). Когда структура охлаждена до температуры
Ту для емкости и толщины области объемного заряда при напря-
жениях U и Uy, выполняются следующие соотношения:
JmoF _l!do)t=7e/2(f/ 7'1)-®2(^1Л);	(5.78)
C^(U) СЦЦ\) k 1	1 u
<w2(U,Ty)—w(Up	(5.79)
e (Nd + Nr)
После уменьшения напряжения до Uy и восстановления до U
w2(U, Ty)=w2(Uy, Тг) -4- 2Mo(^-^i) .
eNd
Из (5.78) и (5.79) следует, что
дг	w2(U,T) — w2(U, Т)
r	а w2(U,T)-w2(Uy,Ty)
= _N с1 (Uy, Ту) [С2(U, Ту) - С2(U, Г)]
d C2(U, Ту) [С2 (Uy, Ту) — сци, Г)]
Если Uy=O, w(Uy, 7’1)=0 и значения емкостей структуры C(U, Т)
и С(U, Ту) мало отличаются друг от друга, то.
аг _9AZ C(U,T)-C(U,Ty)
г а C(U,Ty)
Обобщенным методом термостимулированной емкости является
нестационарный метод спектроскопии глубоких уровней. Отличи-
тельная особенность данного метода состоит в применении элек-
тронных устройств, чувствительных лишь к глубоким уровням, для
которых скорость испускания носителей зарядов находится в уз-
кой заданной области ее значений. Для этих целей разработаны
различные электронные устройства, среди которых наиболее ши-
рокое распространение получил двойной стробоскопический нако-
питель.
Поскольку скорость испускания носителей заряда сильно изме-
няется с изменением температуры, тепловое сканирование позво-
ляет зарегистрировать наличие глубоких уровней различного типа
при характерных для них температурах, когда скорость испускания
попадает в заданную область ее значений. Подавая на структуру
повторяющиеся импульсы обратного напряжения, можно воспроиз-
водить степени заполнения глубоких уровней и измерять скорость
194
изменения емкости после каждого импульса. Таким образом, при
любой заданной температуре глубокие уровни опустошаются со свои-
ми\скоростями испускания. Повторяющийся характер процесса ве-
дет\к увеличению чувствительности и повышению стабильности из-
мерений за счет усреднения сигналов. Процессы, протекающие в
структуре, зависят от характера подаваемого на структуру импуль-
са напряжения. При этом эксперимент позволяет зафиксировать
испускание основных или неосновных носителей заряда по знаку
изменения емкости для каждого случая.
Нестационарный метод спектроскопии глубоких уровней позво-
ляет быстро обнаружить глубокие уровни в широком интервале
энергий, легко интерпретировать экспериментальные данные и точ-
но определить параметры уровней. Отмеченные достоинства метода
сочетаются с его высокой чувствительностью.
Метод фотоемкости. Определение параметров глубоких ловушек
с помощью фотоемкости основано на измерении емкости обеднен-
ного слоя структуры металл — полупроводник или р-и-перехода
при освещении образца светом с различной длиной волны. Темпе-
ратуру выбирают достаточно низкой (например, 11 К), чтобы ско-
рости теплового испускания были невелики. Сначала исследуемую
структуру помещают в оптический криостат и охлаждают без осве-
щения при нулевом напряжении, чтобы первоначально все глубокие
уровни были заполнены электронами. Затем к структуре приклады-
вают обратное напряжение и освещают монохроматическим светом
из области примесного поглощения. Так как скорости теплового ис-
пускания слишком малы, то изменение емкости структуры обуслов-
лено лишь изменением плотности объемного заряда за счет фото-
ионизации глубоких ловушек. Это условие при температуре 77 К
обычно выполняется для уровней с Д£'>0,18 эВ в германии, крем-
нии, арсениде галлия.
Спектральный диапазон фотоемкости можно разделить на три
области. При энергии кванта, меньшей энергии ионизации глубо-
кого уровня: hv<A£'r,— оптическая перезарядка уровня невозмож-
на (еоп = е°Р) и степень заполнения уровня не изменяется. В спек-
тральной области	(Eg—&ЕГ) в зависимости от положе-
ния уровня в верхней или нижней половине запрещенной зоны
е°п>0, е°р = 0 либо е°р>0, е°п=0. Если энергия фотона hv доста-
точна для перехода электрона с глубокого уровня в зону проводи-
мости или из валентной зоны на глубокий уровень, то при доста-
точно длительном освещении происходит полное опустошение или
заполнение уровня. В спектральной области (Eg—AEr)^hv<Eg
возможны двойные оптические переходы (е°и, е°р>0).
Скорость фотоионизации глубоких донорных уровней, т. е. ис-
пускания электронов в зону проводимости, при Ег—Ev>hv^Ec—Ег
пропорциональна потоку квантов света J/(hv) и равна e°nnrJ/hv.
При наличии излучения с энергией квантов Eg>hv>ET—Ev про-
исходит испускание дырок, т. е. переход электронов из валентной
зоны на глубокий уровень со скоростью e°p(Nr—nr)J/(hv). Для оп-
195
ределения изменения концентрации электронов на глубоком уровне
во времени необходимо в уравнении (5.49) учесть их изменение,
обусловленное фотоионизацией:
-	^-=canr(l — fi)n+epNr(l — fx)—enNTfx —
-	cpNTflP+e°pNT (1-/0 JKhv)-[eonNTfxJ]/(h^.
При квазистационарных условиях, когда скоростью теплового
испускания электронов можно пренебречь, а захват свободных но-
сителей заряда в обедненной области отсутствует из-за их низкой
концентрации, изменение концентрации электронов на уровне обус-
ловлено лишь фотоионизацией электронов и дырок:
ер (Nr - nr) У/(Л v) - (е°Лг/)/(Лэ).	(5.80)
ot
В стационарном состоянии dnr/d(=0, а стационарная концентра-
ция электронов на глубоких уровнях, обусловленная фотоиониза-
цией, согласно (5.80), nK=Nг—0	0 . При нестационарном
ер 4" еп
процессе
(ЛГГ - пгс - Д пг) У 1/(Л v) -
Ot
—	е°п (лгс + Д«г)	[—Длг (/) (Ср + е£) /]/(Лм);
Дпг(/)=Д«г(0)ехр[----у-]’
Начальная нестационарная концентрация электронов пг(0) в мо-
мент (=0 создается в результате заполнения уровней и охлаждения
структуры и равна Nr. Поэтому
пт (0)=N г=лгс + Д пт (0);
Дпг(0=(ЛГг-лгс)ехрГ------* „ -у-1 ;
L ер + еп J J
е°
пг (0=йгс+(0= Nr 0 * „ 4-^ —оу-о- е~'/т,
ер + еп	ер+ еп
тде постоянная времени
т = [(^+е")//(Ь)]-1.	(5.81)
Аналогично, для глубокого акцепторного уровня, который не
заполнен электронами (пг=0), при (=0
196
При энергии поглощаемых фотонов &Er^hv(Eg—Д£г) для донор-
ных глубоких уровней е°п>0, е°р=0. Поэтому происходит полное
опустошение уровней. Напротив, акцепторные глубокие уровни пол-
ностью заполняются электронами (е°р>0; е°« = 0).
Изменение степени заполнения глубокого уровня электронами
влечет за собой изменение плотности объемного заряда структуры,
толщины обедненного слоя при постоянном обратном напряжении
и, как следствие, емкости структуры.
Изменение концентрации электронов на глубоком уровне проис-
ходит по экспоненциальному закону с постоянной времени (5.81),
если интенсивность света во всей области объемного заряда одина-
кова. Это условие реализуется, если коэффициент поглощения све-
та достаточно мал. Энергию ионизации глубоких уровней можно
найти из спектра фотоемкости по минимальной энергии фотона, при
которой происходит изменение емкости. Однако точное определе-
ние положения уровня возможно лишь на основе теории, описываю-
щей форму линии поглощения для рассматриваемых переходов.
Многие примеси в полупроводниковых материалах создают мно-
гозарядные глубокие ловушки. Они могут находиться в различных
состояниях в кристаллической решетке и образовывать комплексы
и ассоциации атомов. Спектр фотоемкости представляет собой сум-
му спектров фотоемкости каждого глубокого уровня. По характеру
изменения емкости определяют, измеряется ли энергия уровня от-
носительно дна зоны проводимости или потолка валентной зоны.
В первом случае емкость структуры возрастает (изменение емко-
сти положительно) за счет увеличения плотности объемного заря-
да при опустошении глубоких центров, во втором — уменьшается
(изменение емкости отрицательно) за счет испускания дырок в ва-
лентную зону. Расчет параметров ловушек для неосновных носи-
телей заряда является достоинством метода фотоемкости.
На рис. 5.14 приведена зависимость фотоемкости от энергии фо-
тона для эпитаксиального слоя арсенида галлия и-типа, выращен-
ного из газовой фазы. Измерения выполнены при температуре 77 К.
Из графика видно, что в полупроводнике имеется несколько уров-
ней: 0,465, 0,74, 0,78 и 1,2 эВ. Увеличение емкости при hv = 0,73 эВ
и уменьшение при 0,78 эВ соответствуют опустошению и заполне-
нию одного и того же уровня, расположенного на 0,73 эВ ниже дна
зоны проводимости. Это следует из того факта, что сумма энергий
равна ширине запрещенной зоны арсенида галлия: 1,5 эВ при 77 К.
На рис. 5 15 представлена схема установки для измерения спек-
тральной зависимости фотоемкости. Исследуемая структура С ос-
вещается светом с помощью оптической системы ОС. Она подклю-
чена последовательно с блокирующим конденсатором Ci на вход
измерительного моста переменного тока МПТ. Измерение емкости
структуры производится с помощью малого переменного напря-
жения, подаваемого от генератора Г и наложенного на большое
обратное постоянное напряжение от источника постоянного напря-
жения ИН. Напряжение разбаланса моста усиливается селектив-
197
ным усилителем У, подается на вход фазового детектора ФД и ре-
гистрируется самописцем Сп. Контроль баланса моста осуществля-
ется также с помощью осциллографа О.
Особенность метода фотоемкости состоит в измерении малых
изменений емкости под действием освещения при больших емко-
стях структуры и входных емкостях измерительной схемы. Реаль-
ная чувствительность определяется как чувствительностью измери-
тельной схемы, так и стабильностью вольт-амперной характерис-
тики исследуемой структуры. Ми-
кие. 5.14. Зависимость фотоем-
кости от энергии фотона для
эпитаксиального слоя арсенида
галлия л-типа
нимальное изменение емкости
ДС/С при использовании мосто-
вых методов измерения приблизи-
тельно равно 10’ 3. Поэтому ми-
нимальная концентрация глубо-
Рис. 5.15. Схема установки для из-
мерения спектральной зависимости
фотоемкости
ких центров, которую возможно обнаружить методом фотоемкости,
Мг«Ма2ДС/С=2Лгй-10-3; она зависит от чувствительности измери-
тельной установки, емкости структуры, сечения фотоионизации
уровня, интенсивности используемого монохроматического светово-
го потока и других факторов. Во многих случаях при использовании
тепловых источников излучения с непрерывным спектром плот-
ность монохроматического светового потока не превышает 1015—
1016 квант/(см2-с)-1, что для уровней с сечением ионизации 1020 см2
создает постоянную времени оптической перезарядки 104 с. Для
измерения таких медленных процессов требуется высокая стабиль-
ность измерительной установки и исследуемой структуры. При оп-
ределении фотоемкости необходимо тщательно экранировать об-
разец от рассеянного света, особенно коротковолнового, попада-
ющего на образец из монохроматора. Поэтому непосредственно пе-
ред образцом помещают светофильтры, не пропускающие коротко-
волновую часть излучения.
Одна из модификаций метода фотоемкости основана на при-
менении дополнительного источника света с фиксированной дли-
ной волны для создания исходного стационарного заполнения глу-
198
боких уровней, что устраняет медленный дрейф емкости структуры
из-за теплового испускания электронов и дырок. Исходное стаци-
онарное заполнение может изменяться под действием второго ис-
точника света с переменной длиной волны. Для улучшения разре-
шения сигнал дифференцируется с помощью электронной схемы.
Глава 6
ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 6.1. Оптические константы
В основе оптических явлений в полупроводниках лежит взаимо-
действие электромагнитного излучения со связанными и свободны-
ми носителями заряда, атомами кристаллической решетки, примес-
ными атомами, электронно-дырочной плазмой. Поэтому оптические
явления включают широкий круг процессов, протекающих в по-
лупроводниковых кристаллах под действием электромагнитного из-
лучения в интервале длин волн от 0,2 до 100 мкм.
Экспериментально измеряемыми параметрами, характеризую-
Шнми взаимодействие света с веществом, являются коэффициент
отражения R и коэффициент пропускания Т.
Коэффициент отражения /?(Х) определяет долю отраженного от
поверхности кристалла света. Если на кристалл падает световой
лоток монохроматического излучения с длиной волны X интенсив-
ностью /о(Х), а интенсивность отраженного светового потока /Н(Х),
то коэффициент отражения
/W)==W0(*)-
Зависимость коэффициента отражения от длины волны называют
спектром отражения.
Коэффициент пропускания Т (X) характеризует долю прошед-
шего через образец света 1Т (X):
К (T}—Jу (k)/JQ (X).
Зависимость коэффициента пропускания от длины волны назы-
вают спектром пропускания.
Коэффициенты отражения и пропускания являются безразмер-
ными величинами и часто выражаются в процентах.
В соответствии с законом поглощения света Бугера — Ламбер-
та интенсивность светового потока J (х) на расстоянии х от осве-
тленной поверхности полубесконечного образца выражается через
коэффициент поглощения а (х):
J(x)=W0(x)(l-/?)e-“'.	(6.1)
199
Коэффициент поглощения а имеет размерность обратной длины
(см-1). Зависимость коэффициента поглощения от длины волны
называют спектром поглощения. Часто вместо зависимости от дли-
ны волны в спектрах отражения, пропускания и поглощения ис-
пользуют зависимости от волнового числа k = 2nl'k, частоты © или
энергии Йо фотонов [h — постоянная Планка, й=Л/(2л)].
Указанные спектральные зависимости различны для разных по-
лупроводниковых материалов и связаны с особенностями их зон-
ной структуры, концентрациями носителей заряда и примесей, ха-
рактером процессов рассеяния носителей заряда. Это обстоятель-
ство обусловливает принципиальную возможность изучения физи-
ческих процессов и явлений в полупроводниках и измерения их
важнейших параметров с помощью измерения их оптических
свойств, в первую очередь спектров отражения и пропускания в ши-
роком интервале частот.
Распространение света в полупроводниках описывается систе-
мой уравнений Максвелла. В полупроводниковых кристаллах удель-
ная проводимость о, абсолютные диэлектрическая еа и магнитная цп
проницаемости являются функциями направления распространения
волн относительно осей кристалла. Если рассматривать оптические
явления в кубических кристаллах, то эти параметры можно счи-
тать скалярными величинами. Величины <т, еа, |ia являются также
функциями частоты падающего света. В оптическом диапазоне час-
тот большинство полупроводников обладают слабыми магнитными
свойствами и для них цг= 1.
В этом случае уравнения Максвелла записывают в виде
rot -ц0-25-;	(6.2>
at
rot Н = а<^ -4-е,е0 - —- ;	(6.3>
dt
divH=0; div^=0,
где <S и Н — векторы напряженности электрического и магнитного
полей; е0= (4л-9-109)-> Ф/м; ро=4л-1О“7 Гн/м — электрическая и
магнитная постоянные.
Из (6.2) и (6.3) следует, что
• (6'4>
Аналогичное уравнение получается для вектора Н. Уравнение (6.4)
имеет частное решение в виде функции, описывающей плоскую вол-
ну. Запишем решение для компоненты ёх в виде выражения для
волны, распространяющейся в направлении z с постоянной рас-
пространения п:
ё(х)=ёоехр Г/ю(t—— Y1 .	*	(6.5)
L \ с \
200
Решение (6.5) удовлетворяет уравнению (6.4) при
п2=с2 (ereopo — i	,	(6.6)
где п — комплексная величина. Для диэлектрика о=0; п — вещест-
венная величина, и отношение с/n представляет собой скорость рас-
пространения волны, а п отождествляется с показателем преломле-
ния пт. Таким образом, для среды с конечной удельной проводи-
мостью можно ввести комплексный показатель преломления
h—nr—ik,	(6.7)
для которого справедливо уравнение (6.6).
Подставив (6.7) в (6.6), получим
(пг — ik)2=er — i—— ,	(6.8)
ые0
или
tl2r — Л2=ег(<й);	(6.9)
2nrA=a/(a>e0)=ez(u>).	(6.10)
В выражении (6.8) с2|лоЕо=1. Согласно равенствам (6.8) — (6.10)
вводится комплексная диэлектрическая проницаемость е=ег—ie(.
Решение (6.5) волнового уравнения (6.4) с комплексным показа-
телем преломления (6.7) <^„=<?oexpf—ехрГг«> (t-----------— Н
\ с /	[ \ с J]
описывает волну, распространяющуюся со скоростью с/пг, амплиту-
да которой затухает по экспоненциальному закону. Величина k ха-
рактеризует поглощение в среде и носит название коэффициента
экстинкции. Так как интенсивность (мощность) / электромагнитной
волны пропорциональна квадрату ее амплитуды, то коэффициент
экстинкции k и коэффициент поглощения a (6.1) связаны соотно-
шением
a = ‘Ztokjc
При переходе световой волны из одной среды в другую на грани-
це раздела этих сред происходит разделение падающей волны на
отраженную и преломленную. Различают два вида отражения: зер-
кальное и рассеянное. Зеркальное отражение наблюдается в том
случае, когда размеры неоднородности структуры отражающей по-
верхности много меньше длины волны падающего излучения и про-
странственный угол, в пределах которого распространяется падаю-
щее излучение, сохраняется после отражения. В противоположном
случае, когда размеры неоднородности структуры сравнимы с дли-
ной волны, происходит рассеянное отражение. В дальнейшем бу-
дем считать, что на границе раздела сред происходит зеркальное
отражение. Согласно формулам Френеля, амплитуды падающей ё и
201
отраженной S' волн при углах падения <р и преломления q>" связа-
ны следующими соотношениями:
для волны, поляризованной в плоскости падения,
----
sin (<f> + <р")
для волны, поляризованной в плоскости перпендикулярной плос-
кости падения,
tg + ¥")
В случае нормального падения световой волны на границу раз-
дела сред
Л1Г
— Г и Rp=
Ss I р
(6.11)
(6.12)
к
8р I
одинаковы и связаны с пг и k соотношением
р_р _р — ^Пг ~	+ fe2
* р (пг + 1)2 + А2
При больших значениях показателя преломления, так же как и
в случае сильного поглощения, /?«1, т. е. на границе раздела про-
исходит почти полное отражение света. При слабом поглощении
(/г<с«г—1) коэффициент отражения
/?=(rt,-l)2/(«,+ lF-
(6.13)
§ 6.2. Экспериментальные методы
определения оптических констант
Метод определения коэффициента поглощения. В области спек-
тра, где коэффициент k мал, для расчета показателя преломления
измеряют коэффициенты отражения плоскопараллельного образца
при нормальном падении света [в соответствии с (6.13)].
При измерении интенсивности отраженного света угол паде-
ния светового луча обычно отличен от нуля и составляет 5—10°,
поскольку коэффициент отражения при таких углах падения прак-
тически не отличается от его значения при нормальном падении.
Условие k<^nr выполняется для многих полупроводников в широ-
ком спектральном интервале в длинноволновой области за краем
собственного поглощения даже при наличии значительной концен-
центрации свободных носителей заряда. Это обстоятельство позво-
ляет использовать формулу (6.13) для вычисления показателя пре-
ломления.
Если поглощение пренебрежимо мало, то показатель прелом-
ления можно определить, измерив интенсивность прошедшего
сквозь образец света. При отсутствии поглощения
Г+/?Е=1,
202
где /?£ — суммарный коэффициент отражения, обусловленный обе-
ими границами плоскопараллельного образца (без учета интерфе-
ренции).
Коэффициент пропускания и суммарный коэффициент от-
ражения образца связаны с коэффициентом однократного отраже-
ния и показателем преломления следующим образом:
Г=(1 — /?)/(! +/?)=2лД«?+1),	(6.14)
ЯЕ=2/?/(1 +/?)=(«,- 1)2/(«г+ О-
Согласно (6.14),
/?=(1-7’)/(1+Г);
п	1+*1/2 _ Ч-[(1-Г)/(1 + П]1/2
'	Х—ЯУ2 1 — [(1 — Г)/(1 + Т)]1/2
Коэффициент пропускания пластинки толщиной w при отсут-
ствии интерференции и в случае слабого поглощения в области
прозрачности больше 10%
Т- -
I — /?2е-2”»
(6.15)
Для расчета коэффициента поглощения, как следует из (6.15),
необходимо провести измерение коэффициентов пропускания и от-
ражения.
Когда пропускание образца менее 10%, то в (6.15) можно пре-
небречь вторым слагаемым в знаменателе по сравнению с единицей.
Тогда коэффициент поглощения.
1 .	(1 —/?)2	/С
а — — In  ------.	(6.16)
w Т
Измерение коэффициента поглощения по отражению и пропуска-
нию осуществляют следующим образом. Сначала в целях исклю-
чения отражения от задней поверхности образца определяют ко-
эффициент отражения образца с одной полированной поверхностью
(передней). Толщина образца должна быть достаточной, чтобы
выполнялось условие сильного поглощения au’^1. Затем толщину
образца уменьшают шлифованием или травлением, для того чтобы
интенсивность прошедшего сквозь образец света была достаточной
для ее надежного измерения. Для этого нужно выполнить условие
I _____________
aw<;i или   —->7>10%, причем коэффициент поглощения
вычисляют по формуле (6.15) при 7’>10% и по (6.16) при Т<
<10%.
Так как коэффициент поглощения (6.16) логарифмически за-
висит от отношения (1—R)2!T, то изменению коэффициента про-
пускания в очень широких пределах соответствует значительно
меньшее изменение коэффициента поглощения. Поэтому для из-
203
2/?
1-R
(6.17)
мерения с достаточной точностью коэффициента поглощения, из-
меняющегося в широких пределах, необходим набор образцов раз-
личной толщины. Наибольшее значение аш, которое можно изме-
рить этим способом, ограничивается интенсивностью рассеянного
света на выходе монохроматора. Если интенсивность рассеянного
света сравнима с интенсивностью света, прошедшего сквозь обра-
зец (или отраженного), то погрешность измерения а резко воз-
растает.
Относительная погрешность измерения коэффициента поглоще-
ния, по (6.16),
8о=^=6ш +(_^_ w +,г)[|„И]-’=
— %W
Значение максимально допустимой погрешности измерения оп-
ределяет минимальный коэффициент поглощения атш, который мо-
жет быть измерен для образца данной толщины w. Наибольшее
значение коэффициента поглощения атах ограничивается возмож-
ностью измерения минимального пропускания. Например, при /? =
= 35% условие измерения коэффициента поглощения с погреш-
ностью, равной сумме погрешностей составляющих величин: 6а=
= t>R-{-bw-\-bT, приводит к соотношению «тш= 1/^-
Как следует из (6.17), погрешность измерения а возрастает с
уменьшением aw и ограничивает определение малых aw значения-
ми 0,05 при погрешности измерения интенсивности света 1%. При
малых значениях коэффициента поглощения (а<1 см-1) необхо-
димо увеличивать толщину образца, однако в образцах длиной бо-
лее 5 см происходит искажение светового луча и наименьшее из-
меримое значение amin= 10-2 см-1.
Так как коэффициент поглощения а в коротковолновой области
за краем собственного поглощения достигает больших значений
(104—105 см-1), то для исследований необходимы образцы толщи-
ной примерно 10-4—10~5 см. Изготовление образцов такой толщи-
ны обычными способами механической шлифовки и полировки
представляет собой довольно сложную задачу. Наименьшая тол-
щина образца, которую можно получить путем механической обра-
ботки для многих полупроводниковых кристаллов, составляет при-
мерно 1 мкм. С помощью последующего химического травления
это значение может быть уменьшено. Получение тонких образцов
производят методами вакуумного напыления или по технологии
производства монокристаллических эпитаксиальных слоев. Для
кристаллов, обладающих слоистой структурой, тонкие образцы
можно получить путем отщепления поверхностного слоя с помощью
наклеенной на поверхность кристалла пленки.
Кроме того, определить коэффициент поглощения можно путем
измерения прозрачности двух образцов различной толщины. Если
204
толщина одного образца t&i, а другого w2 при au>i>l,	то
в соответствии с (6.16)
a=_l_inlL^^_LinALz^ ;
W1 Г1	Ш>2 Г 2
1	1 Л	1	1	/1
V>2 — V>1	? 2 W2 — Wi J 2
Вычисление коэффициента поглощения тонких слоев, нанесен-
ных на подложку из другого материала, значительно усложняется
из-за необходимости учета оптических свойств материала подлож-
ки и отражения от границ слой — подложка и подложка — воздух.
При слабом поглощении в подложке и сильном — в материале
тонкого слоя
a=_Lln (1-^1) (1-^2) (1-^12) ,
w	Т	’
где У?] — коэффициент отражения от границы тонкий слой — воздух;
R.2 — коэффициент отражения от границы подложка — воздух;
/?12 — коэффициент отражения от границы тонкий слой — подлож-
ка.
Отражение света при нормальном падении. Как следует из классической и
квантово-механической теорий дисперсии, действительная и мнимая составляющие
диэлектрической проницаемости определяются при данной частоте одними и
теми же параметрами. Следовательно, между этими составляющими существу-
ет функциональная зависимость, называемая соотношением Крамерса— Крони-
та. Из него следует, что если одна из составляющих известна в интервале частот
0<ы<оо, то другую можно вычислить для любой частоты в этом же интер-
вале. Аналогичные соотношения существуют между показателем преломления и
коэффициентом экстинкции, а также между фазой и амплитудой комплексного
коэффициента отражения. Они являются следствием принципа релятивистской
причинности, согласно которому никакой сигнал не может распространяться со
скоростью, большей скорости света, и основаны иа свойствах функции комплек-
сных переменных.
Рассмотрим соотношение между амплитудой и фазой отраженного луча. Ком-
плексная отражательная способность г, характеризующая комплексную амплиту-
ду волны, отраженную от поверхности полупроводника, связана с оптическими
константами пг и k следующим образом:
г (ш) =
nr-ik-\
Пг — ik + 1
(6.18>
причем коэффициент отражения при нормальном падении
nr — ik — 1 |2
nr — ik + 1 |
что после приведения выражения к вещественному виду позволяет получить
(6.12). Параметр г может быть записан в виде
г = /?1/2е~'в = /?,/2 (cos 6 — i sin 6),
(6.19)
где 0(«) — изменение фазы при отражении волны.
205
Прологарифмировав (6.19), получим 1пг=1п/?,/2—16, где действительная и
•мнимая части связаны между собой соотношением
2а	f	In/?1'2	л а	Г In/?
= —— — 1 ---------------du = — — 1 -----------------
Л	J	ы2 — а2	Л	J	ft>2 — д2
О	О
(6.20)
Как следует из (6.20), фазовый угол 0О определяется значением коэффнци
<ента отражения /? в интервале частот от 0 до оо и может быть вычислен для лю-
бой частоты. Приравняв правые части г (6.18) и (6.19), получим
п» —— ik — 1	। ,9
------------= /?*'2 (cos 6 — i sin 6).
nr —ik 4- 1
Приравнивая действительные и мнимые части, получим оптические константы:
1 — /?	2R sin 6
^2	, _	..—....  	।
'	1 +/? — 2/?1/2cos 6 ’	1 4- /?—2/?1/2cos6
Таким образом, на основании измеренной спектральной зависимости коэффи-
циента отражения можно найти спектральные зависимости пт и k. Однако, как пра-
вило, в распоряжении экспериментатора имеются возможности для определения /?
в более узком частотном диапазоне. Оказывается, что в ряде случаев этого быва-
ет достаточно.
Запишем соотношение (6.20) в виде
| In/?
о
du
л выполним интегрирование по частям:
Так как первое слагаемое в (6.21) равно нулю, то
(6.21)
оо
С ( со — а \ d
2л0а = 1 In I---------) —— (In /?) dw.
J \ w 4 я / dw
о
(6.22)
Особенность этого выражения состоит в том, что под знаком интеграла нахо-
дится производная In R по частоте. Если в некоторой области частот /?= const, то
производная по частоте от In/? равна нулю и этот частотный интервал не влияет
на фазовый угол и поглощение. Вместе с тем функция 1п[(«>—а)/(<о4-я)1 велика
при ы~а и стремится к нулю при частотах, достаточно удаленных от а. Поэтому
а
наибольшее влияние на значение интеграла оказывает -—(1п/?)	при ы~а. Эти
du
причины облегчают применение соотношения (6.22). Вследствие этого для ана-
лиза поглощения в некотором спектральном интервале достаточно провести из-
мерение коэффициента отражения в такой спектральной области, на границах
которой коэффициент отражения становится постоянным. Для полупроводников
большое влияние на коэффициент поглощения оказывают области спектра от
ближней ультрафиолетовой до ближайшей инфракрасной. Эта область спектра
чаще всего используется при экспериментальных исследованиях. Если пренебречь
дисперсией, обусловленной фононным поглощением, то при энергиях фотонов,
меньших энергии прямого перехода, диэлектрическая проницаемость изолятора
равна действительной части (er=const), а мнимая ее часть равна нулю (е<=0).
206
Поглощение решетки нетрудно учесть, использовав аппроксимацию в виде дис-
персионной зависимости осциллятора. Если поглощение решетки лежит в области
частот, далеко отстающей от области собственного поглощения, то при вычисле-
нии оптических параметров им можно пренебречь. Влияние свободных носителей
заряда на диэлектрическую проницаемость можно учесть аналитически. Для
нахождения фазового угла осуществляют численное интегрирование методом
Симпсона. Для экстраполяции в области высоких частот обычно берется функция
«~ы4.
Для выполнения экспериментальных измерений отражения требуются поверх-
ности очень хорошего качества. После механической шлифовки н полировки по-
верхности не годятся для проведения измерений. Удаление нарушенного поверх-
ностного слоя с помощью химического травления ухудшает плоскостность, уве-
личивая уровень диффузного отражения поверхности. Поэтому требуется тща-
тельный подбор химических травителей для каждого полупроводникового мате-
риала. В ряде случаев для измерений отражения пригодны поверхности, полу-
ченные путем скалывания, эпитаксиального выращивания, а также нанесением-
вещества в вакууме.
Определение пг и k при наклонном отражении поляризованных лучей. Исполь-
зование полярнзованиого света создает новые возможности для нахождения пг
и k. При отражении от поверхности кристалла линейно поляризованной световой
волны происходит изменение амплитуды и фазы обеих компонент вектора элек-
трической напряженности как в плоскости падения, т. е. для s-компоиенты, так
н в направлении, перпендикулярном плоскости падения, т. е. для р-компонеиты.
В результате отражения световая волна становится эллиптически поляризован-
ной и для ее характеристики используют два коэффициента отражения: R, и
Rp [см. (6.11)] Применение этого способа целесообразно в том случае, когда коэф-
фициент поглощения велик и трудно изготовить достаточно тонкие образцы, т. е.
для полупроводников в спектральной области собственного поглощения и для
сильнолегированных полупроводников и полуметаллов в более широкой области
спектра.
На границе раздела выполняется условие непрерывности тангенциальных со-
ставляющих электрического и магнитного полей. В результате
nri sin у = лГ1 sin у' = nr2 sin у".	(6.23).
Если для первой среды nri=l, а для второй п2=лг2—ik2—комплексная вели-
чина, то граничное условие преобразуется к виду
П2 cos у" = («2 — sin2 <f>]1/2 = « — i?.
где
ц2 _ £2 = n2, _ £2 _ sjn2 у;	(6.24)
(6.25).
(6.26>
(6.27>
«? = nr2k2-
С учетом этих соотношений из (6.11) следует, что
(а — cos <р)2 + р2
s (а + cos <f)2 + р2
= (а - sin у tg у)2 + pg
р (а + sin у tg у)2 4 р2
Выражения (6.26) и (6.27) позволяют определить величины а и р, если из-
мерены угол падения <р и коэффициенты отражения R, и RP, а п,2 и nk2 вычис-
ляют по (6.24) и (6.25).
Практически, пользуясь анализатором, измеряют интенсивность отраженного;
1 лучка в двух взаимно перпендикулярных направлениях (s- и p-компонент) при
трех углах падения <р, близких к <p=arctgnr2. Вблизи угла минимального отра-
жения значение RP меняется в зависимости от п,2 и k2, поэтому точность изме-
рения этих параметров возрастает. Кроме того, измерение отношения /?₽//?, поз-
207"
воляет избавиться от измерений их абсолютных значений и упростить вычисле-
ния. Углы падения светового луча выбирают таким образом, чтобы один из них
был меньше, а другой — больше угла минимального отражения. Для 3<пгг<6
угол минимального отражения лежит между 31 и 74°. Желательно выполнить
измерения еще при третьем значении угла падения, лежащем между предыдущими
двумя. Это дает возможность усреднить полученные результаты для лг2 и k2 н
судить о точности эксперимента. Вычисление пг2 и k2 производят с помощью но-
мограмм Эвери, по специальным таблицам или способом пересекающихся ок-
ружностей. Так как отражение от диэлектрика происходит в тонком поверхност-
ном слое, составляющем малую часть длины волны (Х/50), то при выполнении
таких измерений большую роль играет состояние поверхности. Поверхностный
слой образца не должен содержать оксидных или других пленок, а также (нару-
шений структуры поверхности, вызванных ее (механической обработкой. Напро-
тив, сильное влияние состояния поверхности образца ,на отражение создает ус-
ловия эффективного изучения и контроля состояния поверхности и процессов, про-
текающих на ней.
§ 6.3. Спектральные приборы и устройства
для исследования оптических свойств
Современные спектральные оптические приборы подразделяют-
ся на спектрографы, спектрометры и спектрофотометры. Спектро-
графом называют оптический прибор, предназначенный для фото-
графирования спектров. В спектрометрах регистрируются длина
волны и интенсивность излучения спектральной линии. Спектраль-
ный прибор с фотометрической регистрацией излучения, предназ-
наченный для измерения коэффициента пропускания, называют
спектрофотометром. Измерение пропускания в спектрофотометрах
ведется по двухлучевой схеме. В двухлучевых приборах излучение
источника делится на два луча, один из которых проходит через
исследуемый образец, а другой — через образец сравнения. Отно-
шение их интенсивностей позволяет определить пропускание об-
разца.
Спектральные приборы характеризуются следующими основ-
ными параметрами: рабочим спектральным интервалом, диспер-
сией, зависимостью дисперсии от длины волны, разрешающей спо-
собностью в рабочем интервале. Дисперсия прибора характеризу-
ет пространственное распределение излучения по длинам волн.
Различают линейную и угловую дисперсии. Линейная дисперсия
определяется расстоянием d/ в фокальной плоскости прибора меж-
ду двумя линиями спектра, которые различаются по длине волны
на d?.. Линейная дисперсия d//dZ выражает линейную ширину еди-
ничного спектрального интервала. Обычно используется обратная
линейная дисперсия dZ/d/, которая показывает, какой спектраль-
ный интервал соответствует линейной единице. Для ряда промыш-
ленных оптических приборов в видимой области спектра обратная
линейная дисперсия находится в интервале от единиц до сотен
ангстрем на миллиметр. Угловая дисперсия характеризует угловое
расхождение линий, имеющих близкие длины волн.
Резрешающая способность 7./d7. спектрального прибора опреде-
ляется как отношение длины волны X к разности длин волн близ-
208
ких спектральных линий одинаковой интенсивности, которые еще
могут быть разделены прибором. Длине волны X соответствует при
этом среднеарифметическое длин волн спектрального интервала.
Рассмотрим устройство спектральных приборов на примере
спектрометра. Он состоит из следующих основных частей: источ-
ника излучения, монохроматора и приемника излучения. Моно-
хроматор предназначен для выделения из широкого спектра излу-
чения источника монохроматического излучения с определенной
длиной волны. Он состоит из диспергирующего элемента, входной
и выходной щелей и оптической системы для фокусировки и вы-
вода монохроматического излучения. Диспергирующий элемент в
спектральном приборе служит для разложения излучения источни-
ка в спектр. В спектральных приборах для видимой и инфракрас-
ной областей спектра в качестве диспергирующих элементов ис-
пользуют призмы и дифракционные решетки.
Диспергирующее действие призмы связано с зависимостью по-
казателя преломления вещества призмы от длины волны dnr/dX.
Материал призмы должен быть прозрачен в рабочей области
спектра. Для изготовления призм в зависимости от рабочей области
спектра используют стекло, кварц, NaCl, LiF и другие материалы.
Каждому углу поворота призмы соответствует на выходе монохро-
матора излучение определенной длины волны.
Для увеличения дисперсии и разрешающей способности приме-
няют сложные призмы или многопризменные системы. В инфра-
красных спектрометрах обычно применяют трехгранную призму с
углом преломления 60°. В идеальном случае при бесконечно узких
спектральных линиях разрешающая способность призменных при-
боров
dX	dX
где b — размер основания призмы; ш —число призм; dnr/dX — дис-
персия вещества призмы.
В инфракрасных спектрометрах обычно применяют отражатель-
ные дифракционные решетки, которые получают путем нанесения
штрихов на металлическое зеркало. Современные дифракционные
решетки имеют от нескольких сотен до нескольких тысяч штрихов
на миллиметр. Дифракционная решетка распределяет излучение
на большое число спектров различных порядков интерференции.
Разрешающая способность дифракционной решетки в пределах пер-
вого порядка интерференции равна полному числу штрихов, участ-
вующих в дифракции, и не зависит от длины волны, тогда как в
призменных приборах она увеличивается в длинноволновой части
спектра.
Для отражательных дифракционных решеток при небольшом
числе штрихов им можно придать такую форму, чтобы излучение
сосредоточилось в узкой области углов дифракции, давая спектр
одного порядка. Отражательные решетки со специальной ступен-
8-1438	209
чатой формой штрихов называют эшелеттами. Дифракционные ре-
шетки применяют в ближней инфракрасной области спектра для
получения высокой разрешающей способности, а также эшелетты
за пределом прозрачности большинства материалов в дальней ин-
фракрасной области спектра.
Так как полупроводниковые образцы имеют небольшие разме-
ры, а большинство серийных спектрофотометров предназначено
для исследования образцов большой площади, то для измерения
пропускания и отражения в широком интервале температур при-
меняют оптические приставки, в которых образец помещают в
плоскости, где сфокусирован пучок лучей. В простейшем случае
образец помещают в непосредственной близости от выходной или
входной щели монохроматора, что, однако, затрудняет проведение
измерений в зависимости от температуры.
При выполнении экспериментальных исследований оптических
свойств в широком интервале температур образец помещают в кри-
остат при низкотемпературных измерениях или в термостат при из-
мерениях для температур выше комнатной.
Простейший криостат представляет собой стеклянный сосуд
Дьюара. Такой криостат можно использовать при температурах от
точки кипения жидкого азота (77 К) до комнатной. Образец по-
гружают непосредственно в жидкий азот или укрепляют на медном
держателе, нижняя часть которого находится в жидком азоте. Кро-
ме серийных приборов часто применяют экспериментальные уста-
новки, созданные на основе монохроматоров. Конструкции таких
установок разнообразны, они зависят от целей экспериментов,
спектрального интервала, температуры и других условий и требо-
ваний
В экспериментальной технике в зависимости от требуемого
спектрального интервала применяют различные источники света:
лампы накаливания, газонаполненные гелиевые, водородные, ртут-
ные, криптоновые, ксеноновые и другие лампы. В серийных промыш-
ленных спектрометрах, предназначенных для работы в инфракрас-
ной области спектра, наиболее часто используют штифты Глобара
(силитовый стержень) и Нернста (трубка из оксидов редкоземель-
ных элементов). Большое значение приобрели в качестве источни-
ков излучения лазеры и инжекционные полупроводниковые источ-
ники света.
Для видимой и ближней инфракрасной областей спектра (0,3—
2,5 мкм) удобны лампы накаливания в стеклянном баллоне. Плав-
леный кварц прозрачен в видимой и ультрафиолетовой областях
спектра, поэтому баллоны ламп для этой области изготавливают
из кварца. Водородные, гелиевые и ртутные лампы используют в
качестве источников в ультрафиолетовой области спектра (0,1—
0,4 мкм). Газонаполненные криптоноксеноновые лампы имеют ин-
тенсивное излучение в ближнем инфракрасном диапазоне длин
волн. Штифт Нернста применяют в инфракрасной области до
10 мкм, а штифт Глобара — до 40 мкм. Для длин волн более
210
<1
50 мкм применяют ртутные лампы высокого давления в кварцевом
баллоне, а также черненую платиновую ленту, нагреваемую элек-
трическим током.
Для регистрации излучения на различных участках спектра ис-
пользуют приемники излучения. Выбор приемника излучения опре-
деляется условиями его работы, которые диктуют требования к его
параметрам: спектральной характеристике, интегральной чувстви-
тельности, постоянной времени, энергетическому порогу, чувстви-
тельности.
В ультрафиолетовой области используют термопары, вакуумные
фотоэлементы и фотоэлектронные умножители. Регистрацию излу-
чения в видимом диапазоне осуществляют также с помощью высо-
кочувствительных фотоумножителей, полупроводниковых фотосо-
противлений и фотодиодов. В инфракрасной области спектра для
абсолютных измерений применяют неселективные (вакуумные тер-
моэлементы, болометры, термисторы и оптико-акустические прием-
ники), а также селективные (полупроводниковые фотосопротивле-
ния и фотодиоды) приемники, работающие в узком спектральном
диапазоне.
Почти все упомянутые источники света излучают неполяризо-
ванные электромагнитные волны. Исключение составляют некото-
рые виды лазеров. Для поляризации излучения используют целый
ряд устройств. Наиболее известными поляризаторами являются
призмы Николя, Волластона, Рошона, Арсена, изготовленные из
анизотропных материалов, таких, как кварц и исландский шпат.
Действие этих призм как поляризаторов основано на различии по-
казателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей,
линейно поляризованных ортогонально друг другу. Эти призмы при-
годны главным образом в видимом диапазоне длин волн. В инфра-
красной области спектра применяют устройства, основанные на по-
ляризации при отражении от границы раздела воздух — диэлек-
трик под углом Брюстера. Отраженный луч оказывается линейно

поляризованным, так что вектор <8 ортогонален плоскости отра-
жения. .
Явление частичной поляризации преломленного луча использу-
ют в поляризаторах, называемых стопами. Набор тонких пленок
селена или полиэтилена, состоящий из 16—20 пленок толщиной
3—5 мкм, представляет собой стопу, прозрачную в области от 1
до 50 мкм.
§ 6.4. Измерение концентрации
и подвижности носителей заряда
оптическими методами
Поглощение света свободными носителями заряда. Поглощение
свободными носителями заряда в полупроводниках наиболее су-
щественно в длинноволновой области спектра за краем собствен-
8*	211
ного поглощения. Механизм поглощения света свободными носи-
телями заряда состоит в превращении кинетической энергии, при-
обретенной ими под действием электрического поля световой волны,
в теплоту в результате взаимодействия носителей заряда с дефек-
тами (т. е. нарушениями периодичности) кристаллической решетки.
С квантово-механической точки зрения электроны, движущиеся в
строго периодическом поле кристаллической решетки, не могут по-
глощать фотоны и переходить в состояние с большей энергией в той
же зоне, что связано с требованием сохранения импульса. Однако
существование колебаний решетки приводит к возникновению по-
глощения.
Зависимость оптических констант от частоты можно получить с
помощью классической теории Лоренца, согласно которой твердое
тело рассматривается как совокупность осцилляторов.
Уравнение движения электрона под действием электрического
поля электромагнитной волны записывают в виде
«o-^7-+w0o>oX-|—-^=—6^0 ехр GW).	(6.28)
dr2	т dr
Второе слагаемое этого уравнения представляет собой возвра-
щающую силу, пропорциональную отклонению от положения рав-
новесия; третье слагаемое — тормозящую силу, или силу трения,
пропорциональную скорости движения носителей заряда; т — время
релаксации импульса.
Так как электроны в зоне проводимости можно рассматривать
как свободные носители заряда с массой, равной эффективной мас-
се, то в уравнении (6.28) можно положить возвращающую силу
равной нулю, а массу — равной их эффективной массе:
= —е^о ехр (Ы).	(6.29)
dr2 т dr
Под действием электрического поля волны электрон совершает
гармонические колебания, причем комплексная амплитуда этих ко-
лебаний в соответствии с уравнением (6.29)
' _ е #о______1
•Aq 	•
тп Ь>2 -|- /сот
Вычисление вектора поляризации Р и комплексной диэлектри-
ческой проницаемости приводит к соотношению
er—/ez= 1 4-Рх/(еЛ)-
Для полупроводника с диэлектрической проницаемостью ет,
концентрацией свободных электронов по и Рх = поехо это выражение
имеет вид
е,_/е|=е£—----------1---.	(6.30)
тпе0 О>2 -f- /со/t
212
Разделив действительную и мнимую части (6.30), получим дей-
ствительную и мнимую части диэлектрической проницаемости:
1____
e.r=rir — &=eL

(6.31)
1 -p о)2т2 J
s[—2nrk
o> (1 4~ o>2T2)
(6.32)
где
V3
/ п0е2
°>р= --5—
\
—плазменная частота. В формулах (6.31) и (6.32) не учтено ус-
реднение по энергиям сомножителей, зависящих от времени релак-
сации. Если т зависит от энергии, то в окончательном виде и
е, будут зависеть от механизма рассеяния энергии электронами в
кристалле. Выражения (6.31) и (6.32) не учитывают также взаимо-
действие электромагнитной волны с колебаниями кристаллической
решетки. Это взаимодействие несущественно для кристаллов с ма-
лой долей ионной химической связи и с большой концентрацией
свободных носителей заряда. В области частот между краем соб-
ственного поглощения и частотой продольных оптических коле-
баний решетки <dg<jw<jcoz высокочастотная диэлектрическая про-
ницаемость обусловлена взаимодействием электромагнитной вол-
ны с узлами кристаллической решетки и является характеристи-
кой решетки. Для чистого кристалла в области частот от e>g до со/
диэлектрическая проницаемость еь практически постоянна и не за-
висит от частоты. В этой области частот для полупроводников с до-
статочно большой подвижностью носителей заряда выполняется ус-
ловие <о2т2^> 1.
Для электронного германия время релаксации составляет при-
мерно 10~13 с, и при длине волны 20 мкм со2т2=400. При этом ус-
ловии выражения (6.31) и (6.32) примут более простой вид:
tr=n2—k3=4( 1-^1
(6.33)
03
(6.34)
(6.35)
(6.36)
e(a>n
£.=,2nrk—^-
To>3
Согласно (6.35), коэффициент поглощения света свободными но-
сителями заряда
а.. _1
С	СПГЬ>2 х
зависит от механизма рассеяния носителей заряда, т. е. от усред-
ненного значения т~1; он возрастает пропорционально квадрату
длины волны ((о~2~Х2). В полупроводниках с разными типами но-
сителей заряда поглощение аддитивно.
213
При низких частотах, когда oj2r2<gc 1, коэффициент поглощения
от частоты не зависит:
----—=—-—;	(6.37)
сл,е0 слово
в постоянном электрическом поле он пропорционален удельной про-
водимости о кристалла.
Зависимость времени релаксации от энергии в виде степенного
закона показывает, что (6.32) нужно умножить на коэффициент
у, связанный с механизмом рассеяния носителей заряда: у=1,13
при рассеянии на колебаниях решетки; у=3,4 при рассеянии на
ионах примеси.
Точные квантово-механические расчеты поглощения свободны-
ми носителями заряда свидетельствуют о том, что зависимость ко-
эффициента поглощения от длины волны в общем случае выра-
жается степенным законом с показателем степени, отличным от
двух. Для ряда полупроводниковых материалов эксперименталь-
ные зависимости коэффициента поглощения от длины волны имеют
сложный вид.
Определение концентрации носителей заряда по поглощению. За-
висимость коэффициента поглощения от концентрации (6.37) сво-
бодных носителей заряда положена в основу экспериментального
метода определения концентрации по коэффициенту поглощения.
Метод используется главным образом, для измерений сильнолеги-
рованных полупроводников.
Коэффициент поглощения a(zio) вычисляют по эксперименталь-
ным результатам измерения коэффициентов отражения и пропуска-
ния образцов (см. § 6.2). Пользуясь функцией (6.36), можно непо-
средственно вычислить концентрацию носителей заряда, однако,
ввиду того что между теоретическими и экспериментальными дан-
ными наблюдается расхождение, концентрацию определяют по ка-
либровочным зависимостям.
На рис. 6.1 приведены теоретические и экспериментальные зави-
симости коэффициента поглощения от концентрации носителей за-
ряда для кремния п- и p-типа. Эти зависимости получены на ос-
нове анализа большого числа результатов измерений на калибро-
вочных образцах. Следует отметить, что в коротковолновой облас-
ти спектра (<dg<(0<(0z) экспериментальные значения хорошо со-
гласуются с теоретическими, тогда как в области больших длин
волн наблюдаются более сильные расхождения.
При выборе спектрального диапазона измерений нужно учи-
тывать, что вместе с поглощением свободными носителями заряда
на определенных участках спектра может влиять поглощение при-
месями и фононами. Для того чтобы избежать ошибок в определе-
нии концентрации носителей заряда, в рабочем спектральном диа-
пазоне другие механизмы поглощения должны проявляться менее
интенсивно.
214
Например, в кремнии в интервале от 6 до 40 мкм проявля-
ется поглощение фононами, причем коэффициент поглощения со-
ставляет 0,3—10 см-1 и соизмерим с коэффициентом поглощения
свободными носителями заряда с концентрацией I018 см-3. Поэтому
при измерениях на кремнии целесообразно выбирать рабочий ИН-
Рис. 6.1. Теоретические (кривые /) и экспериментальные (кри-
вые 2) зависимости коэффициента поглощения от концентрации
носителей заряда для кремния п- и p-типа на длине волны 5 мкм
(а) и 40 мкм (б)
тервал при Х<5 мкм или Х>40 мкм. При этом предпочтитель-
нее использовать коротковолновый диапазон и стандартную изме-
рительную аппаратуру. При низких концентрациях носителей за-
ряда (л0<Ю18 см-3) следует проводить измерения при Z>40 мкм.
Так как коэффициент поглощения растет с увеличением длины вол-
ны, то нижний предел измеряемых концентраций снижается до
1015 см-3. Однако при А>40 мкм усложняется техника измерений.
Большие возможности для определения свойств полупроводни-
ков создает применение лазеров в качестве источников света. С их
215
помощью можно получить световое пятно (световой зонд) малого
диаметра, соизмеримого с длиной волны излучения, и таким обра-
зом исследовать малые участки образцов. Большая спектральная
плотность лазерного излучения позволяет существенно увеличить
чувствительность измерительных методов, причем образец можно
просвечивать как узким, так и широким лазерным лучом.
Преимущества лазеров как источников света дают возможность
улучшить характеристики инфракрасных интроскопов и лазерных
сканирующих микроскопов. С их помощью возможно получение
как качественной информации о распределении неоднородностей
в исследуемом материале, так и количественных данных о распре-
делении концентрации и подвижности носителей заряда не только
по площади, но и в различных сечениях по толщине образца.
Определение концентрации и подвижности носителей заряда по
отражению в области плазменного резонанса. Проанализируем, как
изменяется коэффициент отражения а вблизи частоты плазменного
резонанса <оР. При достижении частоты со = о/Р, определяемой со-
отношением
'	пе2
«>„—--------------
"»«so(e£ — 1)
(6.38)
действительная часть диэлектрической проницаемости равна едини-
це, т. е. ег=пг2—&2=1. Если поглощение мало (k2<^nr), то пока-
затель преломления равен единице и, как следует из (6.38), коэф-
фициент отражения равен нулю. При частоте <о = шр, для которой
«>р=——— , &r=n2 — k2=0. Следовательно, при k2<g.nr2 показа-
тпе£е0
тель преломления равен нулю, а коэффициент отражения — едини-
це. Поэтому при уменьшении частоты от е>Р' до сор происходит рез-
кое увеличение коэффициента отражения от нуля до единицы.
В действительности из-за конечного времени свободного пробега
коэффициент отражения не достигает нуля и единицы, а край от-
ражения размывается.
Такое уменьшение коэффициента отражения до минимального
значения, близкого к нулю, и последующее его возрастание до еди-
ницы при уменьшении частоты обусловлено влиянием свободных
носителей заряда и связано с явлением плазменного резонанса.
Частота соР соответствует частоте собственных колебаний электрон-
ной плазмы. При частоте <ор происходит резонансное поглощение
излучения колеблющейся плазмой. Это явление получило назва-
ние плазменного резонанса. На рис. 6.2 приведены спектры отра-
жения образцов антимонида индия с различной концентрацией но-
сителей заряда в области плазменного резонанса.
Детальный теоретический анализ спектра отражения вблизи
плазменного резонанса показывает, что при таких измерениях мож-
но получить точные значения концентрации, времени релаксации
и подвижности носителей заряда, а также электропроводности ис-
следуемого образца. Рассмотренные методы определения парамет-
216
ров полупроводников основаны на экспериментальном измерении
абсолютного значения коэффициента отражения в области плазмен-
ного резонанса и сравнении его спектральной зависимости с тео-
ретической, рассчитанной с помощью ЭВМ по (6.19), (6.31) и
(6.32). Эти соотношения представ-
ляют собой систему уравнений для
расчета спектральной зависимости
коэффициента отражения.
Для многих полупроводниковых
материалов, в частности для герма-
ния, кремния, соединений А3В5, ди-
электрическая проницаемость eL не
зависит от частоты в широком диа-
пазоне частот, что справедливо
вплоть до частот остаточных лучей,
при которых происходит интенсив-
ное поглощение света колебаниями
кристаллической решетки.
Решив (6.31) и (6.32) относительно пг и
k и выразив их через безразмерные величи-
ны и = ы/соР, d—iUpX,	получим
пг = — F (у, d)G (v, d)-,	(6.39)
<7
k = —- F(y, d) G (v, d),	(6.40)
где
F(v,d) =	+	+
y[d2(t,2_l)]2v2-|..	] V2;
G = (v, d) = [2v (1 + dW)],/2.
При этом коэффициент отражения
(FG-i — g)2 + (rfF-iG-»)2
(FG-1-f-9)2 + (dF-iG-i)2
Puc. 6.2. Спектры отражения
антимонида индия с различной
концентрацией электронов:
7 — 4.101» СМ-’; 2 — 2.8 10" см-’;
3—1,2-101' см_з. 4 — 6,210” см-’;
3 — 3,5-10” см-’
(6.41)
С помощью (6.41) можно рассчитать теоретическую зависимость коэффициента
отражения от ы/и>р для различных полупроводниковых материалов при различ-
ных значениях параметра d=toPlx. Теоретические зависимости для разных по-
лупроводников отличаются значениями ег.: для германия еь= 16; для кремния
бъ—11.7; для арсенида галлия et=10,8, для фосфида галлия еь=8,5, для суль-
фида кадмия еь=5,0 Теоретические зависимости можно сравнивать с экспери-
ментальными и по степени их совпадения судить о применимости теории в це-
лом.
На основе теоретической зависимости R(v, d) можно найти ряд других за-
висимостей, например ЯтиДоты), ^min(d), справедливых для различных полу-
проводниковых материалов. Согласно (6.39) и (6.40), можно рассчитать также
спектральные зависимости показателя преломления и коэффициента экстинкции.
Для вычисления параметров полупроводников нужно знать <ор
и т. Для этого по экспериментальной зависимости /?(<о) сначала
217
находят значения /?тш и %тиъ соответствующие минимуму отраже-
ния, а затем по рассчитанным зависимостям Z?min(^mm) определя-
ют Xp=Zmln (Hmm) и параметр d из ^nin(d). Тогда
r=d/<o ; а0=	т — — еЛе0«> d.
тп тп
Если известна эффективная масса, то
е _ е
Ил =-----т=-------
И1„ тп
«о----------;-----
е2
d .
Спектральное положение минимума %тщ функции Z?(X) можно
связать с концентрацией носителей заряда. Тогда, определив по-
ложение минимума из экспериментальной зависимости зна-
ние. 6.3. Калибровочные
зависимости Х.гат от кон-
центрации носителей за-
ряда По, ро-
а — кремний л-типа; б —
кремний p-типа; в — арсенид
галлия л-типа
чение По находят с помощью зависимостей, вычисленных теорети-
чески или построенных по калибровочным образцам с известным
значением п0. Наиболее важен этот метод в связи с возможностью
измерения поверхностной концентрации носителей заряда для эпи-
таксиальных и диффузионных слоев.
На рис. 6.3, а—в представлены калибровочные зависимости Zmin
от концентрации носителей заряда по для кремния п- и p-типа и
арсенида галлия п-типа, полученные по экспериментальным дан-
ным. Аналитические выражения, описывающие эти зависимости,
приведены в табл. 6.1.
Погрешность измерения концентрации носителей заряда по
спектральному минимуму коэффициента отражения зависит от точ-
218
ности отсчета %mm, которая определяется как характером спек-
тральной зависимости коэффициента отражения вблизи минимума,
так и точностью градуировки спектрального прибора по длине вол-
ны или волновому числу. С уменьшением концентрации носителей
заряда вследствие уширеииЯ экспериментальной зависимости вбли-
зи минимума отражения точность отсчета Xmin уменьшается и по-
грешность измерения возрастает, например для кремния n-типа она
составляет от ±10 до ±50%.
Таблица 6.1
Уравнение для Хга1п, мкм
Материал
Электронный кремний
Дырочный кремний
Электронный арсенид
галлин
Интервал концент-
рации По, см—з
Xmln=3,2908- 1О»По-о8‘8, +1,8153
Xmm= 1,2125- 1015Ло-0-7ИО+3,184
Xmlc=4,1584- 10?Ло-°-3‘51
Jlmin= 1.7231 •1011n0-°-«'75
1,5-1018—1,5-1021
3-1018— 1 -1020
6-101T—2,5-1018
2.5-1018—1-IO1»
Описанные оптические методы определения электрофизических
параметров полупроводниковых материалов позволяют измерить
концентрации и подвижности носителей зарядов однородных об-
разцов, многослойных структур; проводить измерение на отдельных
участках образцов; использовать образцы после выполнения изме-
рений для технологических целей.
§ 6.5. Эффект Фарадея
Вращение плоскости поляризации линейно поляризованной
электромагнитной волны при прохождении ее через полупроводник,
помещенный в магнитное поле, ориентированное в направлении
распространения волны, называют эффектом Фарадея. Он обус-
ловлен различием фазовых скоростей волн левой и правой круго-
вой поляризации.
Эффект Фарадея представляет собой один из магнитооптических
эффектов, которые позволяют исследовать энергетические состоя-
ния (особенно вблизи краев зон), природу примесных центров, на-
дежно измерять эффективные массы носителей заряда, их концент-
рацию и подвижность.
Если эффект Фарадея связан со свободными носителями заряда,
то, с точки зрения их движения его можно рассматривать как эф-
фект Холла, когда носители заряда перемещаются под действием
электрического поля волны, перпендикулярного внешнему магнит-
ному полю.
Когда носитель заряда движется под углом к направлению век-
тора постоянной магнитной индукции, то его траектория имеет вид
спирали вокруг направления поля. Круговую частоту вращения сос
называют циклотронной. Она определяется эффективной массой но-
сителя заряда и индукцией магнитного поля. Для электрона <ос=
= еВ!тп.
219
Пусть линейно поляризованная электромагнитная волна распро-
страняется в немагнитном полупроводнике с концентрацией сво-
бодных электронов по в направлении вектора постоянной магнит-
ной индукции. Линейно поляризованную волну можно представить
в виде суперпозиции двух волн круговой поляризации. Им соответ-
ствуют различные фазовые скорости. После прохождения через
образец толщиной ~w волна вновь оказывается линейно поляризо-
ванной, однако плоскость поляризации поворачивается на некото-
рый угол относительно исходной плоскости. Угол, характеризу-
ющий поворот плоскости поляризации, называют углом Фарадея
0г. Он равен среднему значению углов поворота плоскостей поля-
ризации, на которые поворачивается вектор напряженности электри-
ческого поля волн правой и левой круговой поляризации.
Знак угла Фарадея различен для электронов и дырок и зависит
от направления распространения волны вдоль или против направ-
ления вектора постоянной магнитной индукции. Угол 0г считают
положительным, когда вращение происходит по часовой стрелке,
если направление распространения волны совпадает с направле-
нием вектора магнитной индукции. Положительный угол Фарадея
связан с воздействием свободных электронов на вращение плос-
кости поляризации. Для слабого магнитного поля, когда цикло-
тронная частота мала и выполняется условие <о2^>сос2, угол Фа-
радея
6F=	;	(642)
2л2с3Е0пгт„
где Пг — показатель преломления в отсутствие внешнего магнит-
ного поля; X — длина волны в вакууме.
Из (6.42) следует, что угол поворота плоскости поляризации,
вызванный свободными носителями заряда, растет пропорциональ-
но квадрату длины волны и не зависит от механизма релаксации.
Ограничение на время релаксации о)2т23> 1 выполняется, если из-
мерения проводятся в инфракрасной области спектра.
Многократное внутреннее отражение увеличивает длину пути
светового луча в образце и приводит к увеличению угла Фарадея.
С учетом многократного внутреннего отражения угол 0'г связан с
углом 0г (6.42) соотношением
6F=0' [1-|-2/?2ехр(—агу) cos46f]-1.
Измерение фарадеевского вращения позволяет определить эф-
фективную массу носителей заряда, если их концентрация и пока-
затель преломления материала известны.
Основное ограничение фарадеевского вращения как метода из-
мерения эффективных масс заключается в усреднении измеряемого
значения эффективной массы, если она анизотропна. Вырождение
экстремумов валентной зоны, имеющее место во многих полупро-
водниковых материалах, осложняет интерпретацию результатов
для материалов дырочной электропроводности.
220
При измерении фарадеевского вращения на хорошо изученных
полупроводниках с известными эффективными массами можно оп-
ределить концентрацию носителей заряда. Так как эффективная
масса носителей заряда зависит от их концентрации, то использо-
вание фарадеевского вращения для нахождения концентрации но-
сителей заряда возможно лишь в той области, в пределах которой
•ее значение можно считать постоянным. Для ряда полупроводни-
ков такая область существует. Например, для электронов в арсе-
ниде галлия зависимостью эффективной массы от концентрации
можно пренебречь при по<Ю18 см-3.
В СВЧ-диапазоне, когда реализуется условие <А2<С1, исследо-
вание фарадеевского вращения позволяет определить подвижность
носителей заряда.
Рассмотрим кратко один из наиболее простых примеров исполь-
зования эффекта Фарадея для изучения неоднородности свойств
полупроводниковых материалов, связанных с неоднородным рас-
пределением свободных носителей заряда.
Тонкая пластинка полупроводникового материала локально ос-
вещается монохроматическим светом с требуемой длиной волны.
Плоскополяризованное излучение для освещения образца выделя-
ется с помощью поляризатора, помещенного между источником
света и образцом. В качестве поляризатора применяют призму Ни-
коля. Угол Фарадея прошедшего сквозь пластину излучения изме-
ряют также с помощью призмы Николя, поворачивая ее таким об-
разом, чтобы фотоприемник фиксировал максимальный сигнал. В
этом случае призма Николя служит анализатором. Последователь-
но смещая образец на расстояния, соответствующие поперечным
размерам светового зонда, можно получить картину распределе-
ния свободных носителей заряда в образце.
При измерениях в инфракрасной области спектра с Х>2 мкм
условия применимости соотношения (6.42) выполняются для маг-
нитных полей с В=1 Тл. Так, для арсенида галлия с по=1О15 см~3
при толщине пластины 1 мм и В = 1 Тл на длине волны 10 мкм угол
магнитооптического вращения 6F=0,l°, а ошибка в измерении угла
—0,01°. Для увеличения точности угол 0F измеряют при двух на-
правлениях магнитного поля. Угол Of находят из соотношения
sin 26f=(Jj —	АХ
где 71, 72 — максимальная и минимальная интенсивности света,
фиксируемые фотоприемником.
Так как кроме эффекта Фарадея на свободных носителях заря-
да существует межзонный эффект Фарадея, то при энергиях фото-
нов, близких к ширине запрещенной зоны, магнитооптическое вра-
щение плоскости поляризации происходит в результате действия
обоих эффектов. При малых концентрациях носителей заряда и
малых длинах волн необходимо вводить поправку, учитывающую
межзонный эффект Фарадея. Для этого используют значения угла
6f, измеренные на высокоомных образцах. Упругие механические
221
напряжения в исследуемом образце также служат источниками
погрешности измерений. Они ведут к появлению двойного луче-
преломления, в результате чего линейно поляризованная волна
становится эллиптически поляризованной.
Эффект Фарадея наблюдался и количественно сравнивался с
результатами других измерений для многих полупроводниковых ма-
териалов: германия, антимонида индия и алюминия, фосфида и ар-
сенида галлия и др. В частности, для антимонида индия с помощью
этого эффекта было показано, что эффективная масса электронов
является возрастающей функцией температуры и концентрации
электронов в соответствии с непараболичностью зоны проводимо-
сти.
С учетом эффекта магнитооптического вращения созданы авто-
матизированные установки для экспрессного качественного и ко-
личественного исследования однородности полупроводниковых плас-
тин с фиксацией результатов на экране электронно-лучевой трубки.
§ 6.6. Методы измерения
толщины эпитаксиальных слоев
Рис. 6.4. Отражение светового луча
от эпитаксиальной структуры
Инфракрасная интерференция. Рассмотрим явление интерфе-
ренции света и условия, при которых она возникает, в случае отра-
жения монохроматического излучения от эпитаксиальной структу-
ры с сильнолегированной подложкой.
Пусть световой луч с длиной волны Z и интенсивностью Jo па-
дает на поверхность эпитаксиального слоя в точке А под углом <р
(рис. 6.4). Излучение интенсив-
ностью 7] отражается от поверх-
ности слоя, остальное излучение
распространяется в слое под уг-
лом преломления <pi. После отра-
жения от подложки в точке В
световой луч преломляется в точ-
ке С и распространяется парал-
лельно отраженному лучу. Эф-
фектом многократного внутренне-
го отражения пренебрегаем.
Результирующая разность фаз;
между лучами интенсивностью 71
и J2 определяется разностью сдви-
гов фаз при отражении и вслед-
ствие оптической разности хода
лучей. Эпитаксиальный слон с малой концентрацией носителей за-
ряда в инфракрасной области спектра можно считать непоглоща-
ющей средой. Поэтому в точке А отраженный луч испытывает
сдвиг фазы 61=л. На границе с подложкой в точке В изменение
фазы луча при отражении 62 зависит от оптических постоянных
подложки пг2 и k2, которые изменяются при изменении частоты па-
222
дающего света согласно (6.34), (6.35). В точке С изменение фазы
не происходит.
Разность фаз между интерферирующими лучами в точках С
и D
Д=2л ^АВ + ВС)пп--------2л AD t л _ 0
X	X1 2
Используя закон отражения (6.23) sin <p=nrl sin <р! и геометри-
ческие соотношения AB + BC=2w cos <р' и AD=2w tg <pi sin <p, по-
лучим
Д—4nw (л,1 — sin2 <р)1/2/Х-[-л —62.
Максимумы и минимумы интенсивности отраженного света при
изменении длины волны наблюдаются на тех длинах волн, для ко-
торых разность фаз равна целому числу полуволн. По определе-
нию, порядок наблюдаемого интерференционного экстремума на
длине волны X
Р—Д/(2л);
Р=2w (пл - sin2 <p)V2/x +1/2 - 62/(2л).	(6.43)
Если спектральная зависимость интенсивности отраженного све-
та получена, то по положению каких-либо экстремумов на длинах
волн Zi и Х.2(Х1>Х.2) можно найти разность порядков
т=Р2 — Рр	(6.44)
причем она равна целому или полуцелому числу в зависимости от
того, рассматриваются экстремумы одного или разного типа (мак-
симум-максимум или максимум-минимум).
Два соотношения, записанные для экстремумов на длинах волн
Xi и Х.2, на основании (6.43) и (6.44) позволяют получить систему
трех уравнений с тремя неизвестными: w, Pi, Р2', Хь Хг и т известны
из интерференционной картины. Решение этой системы уравнений
для толщины эпитаксиального слоя дает выражение
/г*	1 । 021 \
=	“Т+~2я/ 2(n2rl-sin2<typ
или
_______w + 62i/(2jx) — 622/(2л)_
1	2(n21-sin2<P)V2(i/X2_ 1/Х1) ’
(6.45)
(6.46)
где
р ___ *пХ2 ________1______621X1 — 622X2
1— Xj —Х2 *2	2л(Х1 —Х2)
Расчет толщины эпитаксиального слоя выполняют в соответст-
вии с (6.45) или (6.46) для всех имеющихся экстремумов, опреде-
ляя ее среднее значение. При расчетах используют вычисленные
223
теоретически и табулированные значения сдвига фазы 62(A),
возникающие при отражении от сильнолегированной под-
ложки.
Обычно измерения проводят с помощью инфракрасных спектро-
фотометров в интервале длин волн от 2 до 50 мкм на эпитаксиаль-
ных структурах с удельным сопротивлением подложки не более
0,02 Ом-см (по^2-1018 см-3), что необходимо для получения ин-
тенсивной интерференции. Эпитаксиальный слой в соответствии с
теоретической моделью должен быть прозрачным в рабочем интер-
вале длин волн. Например, для эпитаксиальных слоев кремния с
удельным сопротивлением более 0,1 Ом-см это условие удовлетво-
ряется в интервале длин волн 6—40 мкм. Нижний предел измеряе-
мых толщин определяется условиями возникновения на интерфе-
ренционной картине по крайней мере двух экстремумов. Так как
эпитаксиальный слой должен быть однородным, а межслойная гра-
ница — резкой, на практике метод ИК-интерференции используется
для измерения толщины слоев больше 1 мкм. Наибольшее значение
измеряемой толщины обычно не превышает 80 мкм, оно ограничи-
вается ухудшением качества интерференционной картины вследст-
вие недостаточной параллельности светового луча. Абсолютная слу-
чайная погрешность измерений для эпитаксиальных структур крем-
ния при толщине слоя более 5 мкм с доверительной вероятностью
0,99 6=0,005и>+0,25 мкм для структур и-л+-типа и б=0,025ш +
+0,25 мкм для структур р-р+-типа.
Описанный метод измерения толщины эпитаксиальных слоев,
применяют и для эпитаксиальных структур со скрытым диффузи-
онным слоем.
В видимой области спектра коэффициент отражения света от
границы эпитаксиального слоя с подложкой настолько мал, что
интерференционная картина для гомоэпитаксиальных структур не
наблюдается. Однако для широкого класса структур с диэлектри-
ческой подложкой интерференция в видимой области спектра на-
ходит применение. Среди них структуры поликристаллический
кремний — диэлектрик — кремний, кремний на сапфире, эпитакси-
альные структуры феррит-гранатов. Поскольку видимая область
спектра лежит в области собственного поглощения полупроводни-
ка, при расчетах необходимо учитывать спектральную зависимость
показателя преломления эпитаксиального слоя. Формула (6.43)
справедлива и в этом случае, с той лишь разницей, что сдвиг фазы
волны при отражении от оптически менее плотной среды не проис-
ходит и 6 = 0. С помощью интерференции в видимой области спек-
тра измеряют толщину эпитаксиальных слоев гетероструктур от
0,2 мкм до нескольких микрометров.
Наряду с традиционными методами спектральной интерферен-
ции для измерения толщины эпитаксиальных слоев получил рас-
пространение метод фурье-спектрометрии, который обеспечивает
более высокую точность измерения. Он основан на использовании
интерферометра Майкельсона.
224
Отраженный от эпитаксиальной структуры световой луч широ-
кого спектрального состава анализируется с помощью интерферо-
метра Майкельсоиа. Одно из зеркал интерферометра совершает
возвратно-поступательное движение около некоторого среднего по-
ложения, для которого оптическая длина пути в обоих плечах оди-
накова. Перемещение зеркала на некоторое расстояние создает
сдвиг фаз между лучами, прошедшими через два плеча интерферо-
метра. Зависимость интенсивности двух интерферирующих лучей
на выходе прибора, которая регистрируется фотоприемником, от
перемещения зеркала и, следовательно, от сдвига фаз называют
интерферограммой. Интерферограмма представляет собой суперпо-
зицию кривых, сответствующих каждой из присутствующих в спект-
ре источника света частот. Среднему положению движущегося зер-
кала на интерферограмме соответствует максимум центральной
серии ее пиков. Когда вводимая движущимся зеркалом разность
фаз компенсирует разность фаз, создаваемую при отражении от
эпитаксиальной структуры, возникает максимум сигнала сопутству-
ющих боковых серий пиков интерферограммы. Толщину эпитакси-
ального слоя определяют с помощью интерферограммы по коорди-
натам хтах сопутствующих боковых пиков относительно централь-
ного. Если пренебречь зависимостью сдвига фаз при отражении
от подложки от длины волны и уровня легирования подлож-
ки, то
w^xmM/nrl.	(6.47>
Влияние спектральной зависимости сдвига фаз на результаты
измерений может быть учтено в виде поправки к формуле (6.47)
в зависимости от выбранного спектрального диапазона и удельного
сопротивления подложки. В методе фурье-спектрометрии за счет
многократного сканирования подвижного зеркала можно сущест-
венно уменьшить случайную погрешность и обеспечить более высо-
кую точность измерения толщины эпитаксиального слоя.
Эллипсометрия. Эллипсометрия как метод анализа основана на
измерении изменения поляризации света вследствие его взаимо-
действия с исследуемым объектом. Изменения поляризации света
зависят как от объемных свойств материала, так и от структуры и
свойств его поверхности. В настоящее время эллипсометрия осно-
вана главным образом на анализе отраженного света. При этом
производится сравнение поляризации падающего и отраженного
световых потоков.
Вследствие комплексного характера показателя преломления
(6.7) при отражении волны от поверхности полупроводника проис-
ходит изменение амплитуд и фаз параллельной р- и перпендику-
лярной s-компонент вектора электрического поля. Эллиптическая
поляризации отраженной волны характеризуется двумя парамет-
рами: А и ф. Первый из них равен относительной разности фаз
между р- и s-компонентами вектора S в отраженной волне, второй
225
определяется соотношением амплитуд р- и s-компонент в отражен-
ной и падающей волнах:
tcr ф=
Rpol / l^sol tg<p0
Если падающая волна линейно поляризована, то разность фаз
между р- и s-компонентами падающей волны отсутствует. Следо-
вательно, соотношение между р- и s-компонентами можно записать
в виде
-^Le,Pp-eS)=tg<pe‘\
SpoI^sO Иро| |3\|	tg-fo
(6.48)
где бр, б5 — изменение фазы р- и s-компоненты при отражении. При
этом
Д=8р-85.	(6.49)
Воспользовавшись комплексными коэффициентами отражения
^=F₽IFpol )е'г₽ и rs=(|X|)e'4 получим
Xg^=rplrs.	(6.50)
Выражение (6.50), эквивалентное (6.48) и (6.49), называют ос-
новным уравнением эллипсометрии. Параметры Д и ф характери-
зуют форму и ориентацию эллипса, который описывает конец век-
тора 8 волны в плоскости, нормальной к направлению ее распро-
странения. Правая часть (6.50) является функцией оптических
констант, длины волны X и угла падения <р.
По результатам измерений ф и Д можно определить Z и <р, если
остальные величины известны. Для чистой поверхности полупро-
водника можно найти оптические константы Пт\ и kx аналогично
тому, как было показано в § 6.2.
Если отражение происходит от поверхности полупроводника,
покрытого диэлектрической пленкой, или от структуры эпитакси-
альная пленка — подложка, то эллипсометрические параметры ф и
Д зависят от показателей преломления и коэффициентов экстинк-
ции подложки и пленки, а также от толщины пленки. В частности,
зависимость ф и Д от толщины пленки положена в основу метода
измерения толщины диэлектрических пленок на поверхности полу-
проводников и толщины эпитаксиальных слоев на сильнолегирован-
ных подложках в структурах п-п+- и р-р+-типа. В инфракрасной об-
ласти спектра, например на длине волны 10,6 мкм, поглощение све-
та происходит в основном на свободных носителях заряда и потому
эпитаксиальные структуры п-п+- и р-р+-типа эквивалентны струк-
туре прозрачная пленка — поглощающая подложка.
Для структуры эпитаксиальная пленка — подложка правая
часть (основного уравнения эллипсометрии может быть вычислена
226
аналитически через коэффициенты отражения р- и s-компонент на
поверхностях раздела воздух — пленка и пленка — подложка, при-
чем изменение фазы волны при ее прохождении через пленку тол-
щиной w
&=(360w/k)(«H — sin2 'f)1/2,
где tin — показатель преломления эпитаксиальной пленки; <р — угол-
падения волны.
Практическая задача эллипсометрии сводится к определению^
толщины эпитаксиального слоя и концентраци носителей заряда в
подложке. Оптические константы полупроводника связаны с кон-
центрацией носителей заряда и временем релаксации (т. е. под-
вижностью) соотношениями (6.31) — (6.33). Удельную проводи-
мость и время релаксации для различных концентраций носителей
заряда можно определить по эмпирическим зависимостям Ирвина
(см. § 1.4). Таким образом, эллипсометрические параметры ф и А
для необходимого интервала значений толщины эпитаксиального
слоя и концентрации носителей заряда в подложке можно рассчи-
тать с помощью уравнения (6.50). Эти вычисления выполняют с по-
мощью ЭВМ, результаты расчетов изображают в виде номограмм
в координатах ф и А. Так как ф и Д являются периодическими
функциями толщины, то зависимости ф(Д) при фиксированных зна-
чениях концентрации носителей заряда имеют вид замкнутых кри-
вых. Каждой паре экспериментально измеренных значений ф и Д
на номограмме соответствует точка, которая попадает на опреде-
ленную циклическую кривую, соответствующую некоторому значе-
нию толщины эпитаксиальной пленки и концентрации носителей
заряда в подложке. Номограмма эпитаксиальной структуры п-п+-
типа из арсенида галлия показана на рис. 6.5.
Наибольшее распространение получил метод измерения толщи-
ны эпитаксиальных слоев арсенида галлия и кремния с использо-
ванием промышленных эллипсометров с лазером на СО2 в качестве
источников излучения на длине волны 10,6 мкм. Применение лазе-
ра обеспечивает высокую локальность измерений.
Эллипсометр состоит из следующих основных элементов: лазе-
ра, четвертьволновой фазовой пластинки для преобразования ли-
нейно поляризованного излучения лазера в поляризованное по кру-
гу, поляризатора, регулирующего плоскость поляризации падающе-
го луча относительно плоскости падения. Линейно поляризованное
излучение после поляризатора отражается от образца и с помощью
компенсатора, в качестве которого используют четвертьволновую
фазовую пластинку, преобразуется из эллиптически поляризован-
ного в линейно поляризованное, проходит через анализатор, моду-
лятор и регистрируется приемником излучения с измерительным
усилителем. Углы поворота трех поляризующих элементов — поля-
ризатора, компенсатора и анализатора — вокруг оптической оси
отсчитываются с точностью 0,05°. Линейность поляризации прошед-
227
шего луча проверяется с помощью анализатора по минимальному
сигналу, регистрируемому усилителем приемника излучения.
В качестве поляризатора и анализатора используют дифракци-
онные решетки (реплики) на полиэтилене с частотой штрихов
Рис. 6.5. Номограмма для определения толщины эпитаксиального слоя
и концентрации электронов в подложке структуры и-п+-типа из арсени-
да галлия при Х= 10,6 мкм и <р=65°:
-	—линия равной толщины, мкм;----------— линия равной концентрации,
см—3
1200 лин/мм, четвертьволновые пластинки изготовляют из моно-
кристаллов сульфида кадмия.
Эллипсометр описанной конструкции применяют для контроля
эпитаксиальных слоев толщиной от 0,01 до 1,6 мкм со случайной
погрешностью измерения толщины ±0,01 мкм при доверительной
вероятности 0,95. Диапазон измеряемых толщин может быть рас-
ширен выбором большей длины волны света.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В современной микроэлектронике широко применяются полу-
проводниковые материалы и структуры, на основе которых разра-
батываются и изготавливаются различные полупроводниковые при-
боры и микросхемы. Измерение характеристик полупроводниковых
материалов важно, так как дает исходную информацию для кон-
струирования полупроводниковых приборов и обеспечивает как ла-
бораторный, так и промышленный контроль их качества. По срав-
нению с ранним периодом развития технологии производства крем-
ниевых приборов, когда измерение характеристик полупроводни-
ковых материалов осуществляли четырехзондовым методом, в на-
стоящее время определение большого числа характеристик мате-
риалов и структур проводят более совершенными методами. По ме-
ре развития полупроводниковой микроэлектроники возникла не-
обходимость изучения таких характеристик материала, как про-
фили легирования, степень компенсации примесей, концентрация
глубоких уровней и др. Методы описания свойств полупроводнико-
вых материалов должны давать полную информацию о свойствах
материалов. В этом отношении важным является установление вза-
имосвязи между измеряемыми параметрами полупроводникового
материала, особенно времени жизни неосновных носителей заря-
да, и характеристиками обнаруживаемых химических примесей,
глубоких уровней и других несовершенств кристаллической ре-
шетки.
Одна из основных особенностей развития методов измерения па-
раметров полупроводниковых материалов состоит в широком ис-
пользовании для измерений тех структур, которые применяют в
полупроводниковых приборах. Прежде всего это относится к струк-
турам металл — диэлектрик—полупроводник и структурам с кон-
тактом Шотки.
Разработка и внедрение в производство новых технологических
процессов изготовления полупроводниковых слоев и структур сти-
мулируют развитие новых методов измерения. Особенно необхо-
димы быстрые неразрушающие методы контроля параметров как
однородных пластин, так и легированных слоев, в том числе ион-
но-внедренных и полученных с помощью молекулярно-пучковой эпи-
таксии.
229
Наряду с физическими методами измерения параметров в по-
следнее время все большее значение приобретают физико-анали-
тические методы исследования и контроля. К ним относятся: вто-
ричная ионная масс-спектроскопия, электронная спектроскопия для
химического анализа, электронная оже-спектроскопия, электронно-
зондовый рентгеновский микроанализ и ряд других методов.
Развитие методов измерения параметров полупроводниковых
материалов и структур с точки зрения применяемой измерительной
аппаратуры и оборудования невозможно без создания сложных
автоматизированных измерительных систем.
Большой объем измерительных операций и их трудоемкость за-
ставляют уделять серьезное внимание автоматизации процесса из-
мерений. Основными направлениями автоматизации процесса из-
мерений являются: автоматизированное управление приборами; по-
вышение точности измерения приборов путем автоматической кор-
рекции их характеристик; расширение функциональных возмож-
ностей аппаратуры.
Значительное повышение производительности измерений, высо-
кую объективность считывания и регистрации данных обеспечи-
вают приборы, имеющие цифровую индикацию исследуемых пара-
метров и предусматривающие возможность регистрации данных на
внешних самопишущих или цифропечатающих устройствах.
Более высокий уровень автоматизации процесса измерений стал
возможен с применением современных электронно-вычислительных
средств, мини- и микроЭВМ, сопряженных с измерительными при-
борами или встроенных в них. Взаимодействие приборов и ЭВМ
осуществляется через устройства сопряжения — интерфейсы. ЭВМ
обеспечивают: повышение производительности процесса измерений
благодаря автоматизации управления приборами; исключение мно-
гочисленных ручных коммутаций органов управления и пересоеди-
нения объектов; увеличение точности измерений; обработку экспе-
риментальных данных и их вывод для индикации или регистрации.
При сопряжении с достаточно мощным вычислительным управ-
ляющим устройством функциональные возможности измеритель-
ных средств расширяются. Становится возможным использование
ЭВМ для анализа экспериментальных данных с введением допол-
нительных данных.
До последнего времени применение ЭВМ для автоматизации из-
мерительного оборудования и установок было экономически целе-
сообразно только при создании отдельных уникальных комплексов
из-за высокой стоимости традиционных средств вычислительной
техники. Положение изменилось с появлением микропроцес-
соров.
Стоимость микропроцессора и системы на его основе в настоя-
щее время незначительна по сравнению со стоимостью любой из-
мерительной установки. Стало экономически выгодно встраивать
микропроцессоры в обычные вольтметры, осциллографы и другие
приборы, обеспечивая новые высокие технические характеристики.
230
Использование встроенных микропроцессоров существенно упро-
щает работу с приборами. Совершенствование микропроцессоров
приведет к созданию приборов, решающих большинство задач, до-
ступных пока комплексам с мини-ЭВМ.
Контрольно-измерительная техника занимает одно из первых
мест по эффективности использования микропроцессоров. Микро-
процессорные системы стали органической частью электронных из-
мерительных приборов, применяемых для измерения параметров
электрических сигналов, а также неэлектрических физических ве-
личин. Использование микропроцессоров в измерительной технике
во много раз повысило точность приборов, значительно расшири-
ло их функциональные возможности, упростило управление их ра-
ботой, повысило надежность, быстродействие, привело к созданию
программируемых, полностью автоматизированных приборов. Бла-
годаря применению микропроцессоров стало возможным создание
измерительно-вычислительных комплексов — автоматизированных
средств измерений, предназначенных для исследования, контроля и
испытаний сложных объектов.
Микропроцессорная система, введенная в состав многофункци-
онального средства измерения, преобразует его в программно-уп-
равляемое устройство. Функциональные возможности такого уст-
ройства определяются выполняемой программой и могут быть лег-
ко изменены при переходе к другой программе, хранимой в посто-
янном запоминающем устройстве (ПЗУ).
Повышение точности измерительных приборов достигается за
счет автоматической компенсации (исключения) систематической
погрешности, в частности автоматической установки нуля перед на-
чалом измерений, автоматического выполнения градуировочной
операции (самокалибровки), осуществления самоконтроля, умень-
шения влияния случайных погрешностей путем проведения много-
кратных измерений с последующим усреднением их результатов,
выявления и исключения грубых погрешностей, выведения на дис-
плей информации о числовых значениях погрешностей по ходу из-
мерений.
При выполнении косвенных измерений микропроцессорная си-
стема автоматически в соответствии с заданной программой выбира-
ет режимы измерений, запоминает результаты прямых измерений,
проводит необходимые вычисления и выводит найденное значение
измеряемой физической величины на дисплей. Хотя измерения по
своей природе остаются косвенными, экспериментатор воспринимает
их как прямые.
Для современных приборов, содержащих микропроцессоры, ха-
рактерна кнопочная система управления, конструктивно оформля-
емая в виде клавиатуры, внешне напоминающей клавиатуру каль-
кулятора. Радикально уменьшает число органов управления авто-
матизация выбора пределов измерения, интервала дискретизации
напряжения иследуемого сигнала и других режимов работы при-
бора.
231
Многие приборы, содержащие микрбпроцессорные системы, поз-
воляют автоматически выполнять запрограммированные функци-
ональные преобразования измеренной физической величины. При-
мерами таких преобразований могут служить вычисление абсолют-
ного и относительного отклонения результата измерения от номи-
нального значения; представление результата измерений в лога-
рифмических единицах; линеаризация нелинейных зависимостей;
дифференцирование математических соотношений; умножение и де-
ление на константу, вычитание константы.
Функциональные возможности встраиваемых в приборы вычис-
лительных средств непрерывно расширяются с развитием элемент-
ной базы цифровой техники, особенно микропроцессоров.
1
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Физические параметры основных полупроводников
233
234
Приложение 2. Параметры Ge, Si и GaAs при температуре 300 К
Параметр	Ge	S1	GaAs
Число атомов в. 1 см3	4,42-1022	5,0 1022	4,42-1022
Атомный вес	72,60	28,09	144,63
Поле пробоя, В-см-1	10*	3-105	4-10=
Кристаллическая структура	Структура	Структура	Структура цин-
	алмаза	алмаза	новой обманки
Плотность, г/см3	5,3267	2,328	5,32
Относительная диэлектрическая проницаемость	16,0	11,9	13,1
Эффективная плотность состоя- ний в эоне проводимости, см-3	1,04'10**	2,8-10»	4,7-10”
Эффективная плотность состоя- ний в валентной зоне, см-3	6,0-1018	1,04-10м	7,0-10”
Эффективная масса: электронов	1.641	0,98*	0,067*
дырок	0,0822 0,044s	0,192 0,16s	0,082s
	0,284	0.494	0,45*
Электронное сродство	4,0	4,05	4,07
Ширина запрещенной зоны, эВ	0,66	1.12	1,424
Собственная концентрация но- сителей, см-3	2,4-1013	1,45-1010	1,79-105
Собственная дебаевская длина, мкм	0,68	24	2250
Собственное удельное сопро- тивление, Ом-см	47	2,3-105	10s
Постоянная решетки, нм	56,4613	54,3095	56,533
Коэффициент линейного расши- рения АД/СДДГ), °C-'	5,8-10-6	2,6-10-«	6,86-10-8
Температура плавления, °C	937	1415	1238
Время ж иэни носителей заряда, с	io-3	2,5-10-3	io-8
Дрейфовая подвижность.	3900	1500	8500
см2-В->--1	1900	450	400
Энергия оптического фонона, эВ	0,037	0,063	0,035
Средняя длина свободного про- бега носителей заряда до ис- пускания оптического фонона, нм	1050	760 (для элек-	580
Теплоемкость, Дж/(г-°С)	0,31	тронов) 550 (дли ды- рок) 0,7	0,35
Коэффициент теплопроводности при 300 К, Вт/(см-°C)	0,6	1,5	0,46
Коэффициент тепловой диффу- зии, см-с-1	0,36	0,9	0,44
235
П родолжение прилож. 2
Параметр	Ge	Si	GaAs
Давление насыщенных паров,
Па	1 при 1330°С	1 при 1650°С	1 при 1050°С
10-« прн 760°С 10-« при 900°С 10~6 при 900°С
1 Продольная эффективная масса.
1 Поперечная эффективная масса.
*	Эффективная масса легких Дырок.
*	Эффективная масса тяжелых дырок.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Батавии В. В., Концевой Ю. А., Федорович Ю. В. Из-
мерение параметров полупроводниковых материалов и струк-
тур. — М.: Радио и связь, 1985. С. 264.
2.	Блад П., Ортой Дж. В. Методы измерения электриче-
ских свойств полупроводников: Пер. с англ.//3арубежная ра-
диоэлектроника. 1981. № 1. С. 3—50; № 2. С. 3—49.
3.	Зи С. Физика полупроводниковых приборов: Пер с
англ./Под ред. Р. А. Суриса. — М.: Мир, 1984. С. 456.
4.	Шалимова К. В. Физика полупроводников. — М.: Энер
гия, 1985. С. 392.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................•............. 3
Введение......................................................... 5
Глава 1
ИЗМЕРЕНИЕ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ	7
§ 1.1.	Методы измерения удельного сопротивления.	Двухзондовый	метод
измерения.................................................. 7
§ 1.2.	Четырехзондовый метод измерения.......................... 10
§ 1.3.	Применение четырехзондового метода к образцам простой геомет-
рической формы............................................. 17
§ 1.4.	Измерение удельного сопротивления	диффузионных,	эпитаксиаль-
ных н ионно-легнрованных слоев четырехзондовым методом ....	25
§ 1.5.	Метод сопротивления растекания........................... 32
§ 1.6.	Метод Ван-дер-Пау и двухкомбннациоиный четырехзондовый метод 37
§ 1.7.	Высокочастотные бесконтактные методы измерения........... 42
Глава 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ПУТЕМ ИЗ-
МЕРЕНИЯ ЭДС ХОЛЛА И МАГНИТОСОПРОТИВЛЕНИЯ........................ 45
§ 2.1.	Эффект Холла и магниторезнстивный эффект................. 45
§ 2.2.	Методы измерения ЭДС Холла............................... 50
§ 2.3.	Определение концентрации доноров и акцепторов по температур-
ной зависимости концентрации носителей заряда .................. 58
§ 2.4.	Измерение распределения концентрации и подвижности носителей
заряда в диффузионных, эпитаксиальных и ионно-легированных
слоях -......................................................... 65
§ 2.5.	Определение концентрации доноров н акцепторов по холловской
подвижности носителей заряда.................................... 70
§ 2.6.	Измерение подвижности носителей заряда методами тока Холла и
геометрического магннтосопротивления............................ 74
Глава 3
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗА-
РЯДА ........................................................... 81
§3.1.	Параметры	неравновесных	носителей заряда................. 81
§ 3.2.	Методы измерения дрейфовой подвижности неосновных носителей
заряда.......................................................... 87
§ 3.3.	Измерение	коэффициента	диффузии.......................... 92
238
§ 3.4.	Методы измерения диффузионной длины неосновных носителей за-
ряда .......................................................... 96
§ 3.5.	Метод движущегося светового луча............................ 101
§ 3.6.	Измерение времени жизни носителей заряда методом модуляции про-
водимости в точечном контакте ................................. 105
Глава 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ПУТЕМ ИЗ-
МЕРЕНИЯ ФОТОПРОВОДИМОСТИ, ФОТОТОКА, ФОТО-ЭДС, ФОТО-
ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ И ФОТОМАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭФ-
ФЕКТА.............................................................. 112
§ 4.1.	Определение параметров полупроводников путем измерения стаци-
онарной фотопроводимости....................................... 112
§ 4.2.	Определение диффузионной длины по фототоку короткого замыка-
ния р-n-перехода............................................... 121
§ 4.3.	Измерение диффузионной длины по спектральной зависимости воз-
буждения и излучения фотолюминесценции......................... 125
§ 4.4.	Измерение диффузионной длины методом стационарной поверх-
ностной фото-ЭДС..............................'................ 129
§ 4.5.	Измерение параметров полупроводников методом затухания фото-
проводимости .................................................. 133
§ 4.6.	Фазовый н частотный методы измерения времени жнзнн носителей
заряда......................................................... 138
§ 4.7.	Определение параметров полупроводников путем измерения ЭДС и
тока фотомагннтоэлектрического эффекта......................... 147
Глава 5
ВОЛЬТ-ФАРАДНЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУ-
ПРОВОДНИКОВ ....................................................... 155
§ 5.1.	Электронная теория приповерхностной области пространственного
заряда......................................................... 155
§ 5.2.	Дифференциальная	емкость	МДП-структуры...................... 161
§ 5.3.	Измерение объемного генерацнониого времени носителей заряда ...	166
§ 5.4.	Измерение распределения концентрации	легирующей примеси ....	172
§ 5.5.	Методы измерения параметров глубоких ловушек................ 182
§ 5.6.	Метод термостнмулнрованной емкости и фотоемкостн............ 191
Глава 6
ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОД-
НИКОВ ............................................................. 199
§ 6.1.	Оптические константы........................................ 199
§ 6.2.	Экспериментальные методы определения оптических констант . . .	202
§ 6.3.	Спектральные приборы и устройства для исследования оптических
свойств........................................................ 208
§ 6.4.	Измерение концентрации и подвижности носителей заряда оптически-
ми методами.................................................... 211
§ 6.5.	Эффект Фарадея.............................................. 219
§ 6.6.	Методы измерения толщины эпитаксиальных слоев............... 222
Заключение......................................................... 229
Приложения.......................................................  2-33
Список литературы . . ........................•.................... 237
Учебное издание
Лев Павлович Павлов
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
Зав. .редакцией В. И. Трефилов
Редактор Е. М. Романчук
Младший редактор С. А. Пацева
Художественный редактор Т. М. Скворцова
Технический редактор Г. А. Фетисова
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 6117
Изд. № ЭР—441. Сдано в набор 15.07.87. Подп. в печать 11.08.87. Т—15668.
Формат 60х88‘/1б- Бум. тнп. 2. Гарнитура литературная. Печать
офсетная. Объем 14,7 усл. печ. л. 14,7 усл. кр.-отт. 15,59 уч.-изд, л.
Тираж 15 000 экз. Зак. № 1438. Цена 85 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4,
Неглинная ул., д. 29/14.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома прн Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли,
101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.