И. Р. ШАФАРЕВИЧ
ОСНОВЫ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Том I
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
москва «наука»
главная редакция
физико-математической; литературы
19 8 8

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. Основные понятия . '. . 5
§ 1. Плоские алгебраические кривые 5
1. Плоские кривые E). 2. Рациональные кривые (9). 3. Связь
с теорией полей A3). 4. Рациональные отображения A6).
5. Особые и простые точки A9). 6. Проективная плоскость B3).
Задачи C0).
§ 2. Замкнутые подмножества аффинных пространств . . 31
1. Определение замкнутых подмножеств C1). 2. Регулярные
функции на замкнутом множестве C3). 3. Регулярные ото-
отображения C6). Задачи D3).
§ 3. Рациональные функции ......... 45
1. Неприводимые множества D5). 2. Рациональные функции
D7). 3. Рациональные отображения D9). Задачи E3).
§ 4. Квазипроективпые многообразия ... . . . . . 54
1. Замкнутые подмножества проективного пространства E4).
2. Регулярные функции F1). 3. Рациональные функции F7).
4. Примеры регулярных отображений F9). Задачи G1).
§ 5. Произведения и отображения квазипроективных много-
ооразий . ¦ ' 72
1. Произведения G2). 2. Замкнутость образа проективного мно-
многообразия G6). 3. Конечные отображения (80). 4. Нормализа-
ционные теоремы (85). Задачи (86).
§ 6. Размерность S&
1. Определение размерности (86). 2. Размерность пересечения
с гиперповерхностью (90). 3. Теорема о размерности слоев
(97). 4. Прямые на поверхностях (99). Задачи A03).
Глава II. Локальные свойства 105
§ 1. Простые и особые точки 105
1. Локальное кольцо точки A05). 2. Касательное пространст-
пространство A07). 3. Инвариантность касательного пространства A09).
4. Особые точки A16). 5, Касательный конус A19). Задачи
A20).
§ 2. Разложение в степенные ряды 122
1. Локальные параметры в точке A22). 2. Разложение в сте-
степенные ряды A25). 3. Многообразия над полем действитель-
действительных и полем комплексных чисел A30). Задачи A32).
§ 3. Свойства простых точек 133
1. Подмногообразия коразмерности 1 A33). 2. Гладкие под-
подмногообразия A37). Задачи A39).
§ 4. Строение бирациональных изоморфизмов .... 140
1. 0-процесс в проективном пространстве A40). 2. Локальный
0-процесс A43). 3. Поведение подмногообразий при а-процес-
се A45). 4. Исключительные подмногообразия A47). 5. Изо-
Изоморфизм и бирационаяьныи изоморфизм A48). Задачи A53).

350
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Нормальные многообразия 154
1. Нормальность A54). 2. Нормализация аффинных многооб-
многообразий A59). 3. Нормализация кривых A61). 4 Проективные
вложения гладких многообразий A68). Задачи A70).
-§ 6. Особенности отображений 171
1. Неприводимость A71). 2. Гладкость A73). 3. Ветвление
A75). 4. Примеры A79). Задачи A82).
Глава III. Дивизоры и дифференциальные формы . . . 184
¦| 1. Дивизоры 184
1. Дивизор функции A84). 2. Локально главные дивизоры A89).
3. Как сдвинуть носитель дивизора с точек A93). 4. Дивизоры
и рациональные отображения A94). 5. Пространство, ассо-
ассоциированное с дивизором A96). 6. Пучок коник над Р1 B00).
Задачи B03).
| 2. Дивизоры на кривых 205
1. Степень дивизора на кривой B05). 2.-Теорема Безу на кри-
кривой B09). 3. Размерность дивизора B11). Задачи B12).
§ 3. Плоская кубика 213
1. Группа классов B13). 2. Групповой закон B16). 3. Отобра-
Отображения B20). 4. Приложения B22). 5. Алгебраически незам-
незамкнутое поле B24). Задачи B27).
§ 4. Алгебраические группы 227
1. Алгебраические группы B28). 2. Факторгруппы. Теорема
Шевалле B29). 3. Абелевы многообразия B30). 4. Многообра-
Многообразие Пикара B32). Задачи B34).
§ 5. Дифференциальные формы 234
1. Одномерные регулярные дифференциальные формы B34).
2. Алгебраическое описание модуля дифференциалов B39).
3. Дифференциальные формы высших степеней B40). 4. Ра-
Рациональные дифференциальные формы B44). Задачи B46).
% 6. Примеры и применения дифференциальных форм . . 247
1. Поведение при отображениях B47). 2. Инвариантные диф-
дифференциальные формы на группе B50). 3. Канонический класс
B52). 4. Гиперповерхности B54). 5. Гиперэллиптические кри-
кривые B58). 6. Теорема Римана — Роха на кривых B60). 7. Про-
Проективные погружения поверхностей B63).'Задачи B65).
Глава IV. Индексы пересечения 267
§ 1. Определение и основные свойства 267
1. Определение индекса пересечения B67). 2. Аддитивность
индекса пересечения B71). 3 Инвариантность относительно
эквивалентности B73). 4. Общее определение индекса пересе-
пересечения B78). Задачи B82).
§ 2. Приложения индексов пересечения 282
1. Теорема Безу в проективном пространстве и произведении
проективных пространств B82). 2. Многообразие над полем
действительных чисел B85). 3. Род гладкой кривой на по-
поверхности B88). 4. Неравенство Римана — Роха на поверхно-
поверхности B93). 5. Гладкая кубическая поверхность B94). 6. Коль-
Кольцо классов циклов B98). Задачи C00).
§ 3. Бирациональные изоморфизмы поверхностей . . . 300
1. а-процессы поверхностей C01). 2. Некоторые индексы пе-
пересечения C02). 3. Разрешение точек нерегулярности C03).
4. Разложение на а-процессы C05). 5. Замечания и примеры
C08). Задачи <311).
ОГЛАВЛЕНИЕ
351
§ 4. Особенности ¦
* п^йчр т„,™ кпивых C12). 2. Особые точки поверхностей
C15) 3 Особенности Дю Валя C17). 4. Вырождения кривых
C22). Задачи C25).
Алгебраическое приложение •
1. Линейная алгебра C27). Многочлены C29) 3 По^линей-
ные преобразования C30). 4. Поля C31). 5. Инварианты (dw.
6. Кольца C35). 7. Однозначность разложения на простые
множители C38). 8. Целые элементы C39). 9. Длины мо-
модулей C40).
СписоК литературы
Предметный указатель
312
327
343
345-

ББК 22.147
ШЗО
УДК 512.7
Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии:
В 2-х т. Т. 1. Алгебраические многообразия в проективном прост-
пространстве.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1988.— 352 с— ISBN 5-02-14412-6 (Т. 1)
Посвящепа систематическому изложению основ алгебраиче-
алгебраической геометрии. Дает общее представление об этой области и ос-
основу для чтения более специальной литературы. Изложение иллю-
иллюстрировано большим числом примеров и приложений.
Соответствует первой части первого издания книги A972 г.).
Впесепы измепения, цель которых — отразить сдвиги в точках зре-
зрения на алгебраическую геометрию, наметившиеся за 15 лет, про-
прошедших со времени выхода первого издания. В их числе — более
подробпая теория особепностей; изучение конкретных, важных для
приложений, алгебраических многообразий; теоретико-числовые
приложения. . _.
Для математиков — студентов, аспирантов и научных работ-
работников.
Ил. 18. Библиогр. 31 назв.
Ш
1702040000—133
053@2)-88 4
\ Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1988
ISBN 5-02-14412-6 (Т. 1)
ISBN 5-02-013729-4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Первое издание этой книги появилось как раз в тот
момент, когда аппарат алгебраической геометрии достиг
уровня, который давал возможность прозрачно и сжато
изложить основы этой науки. Автор не стоял больше
перед мучительным выбором: жертвовать ли строгостью
изложения или загромождать ясную геометрическую кар-
картину сложным алгебраическим аппаратом.
Действительно, за 15 лет, прошедших со времени
первого издания, появилось много прекрасных книг, из-
излагающих различные разделы алгебраической геометрии.
Однако та цель, которую ставила себе эта книга: не за-
заходя далеко в глубь различных теорий, дать общее пред-
представление о разнообразных аспектах алгебраической гео-
геометрии, не привлекла, насколько мне известно, других
авторов. Это и дает некоторое основание для второго
издания. При подготовке его я включил в книгу допол-
дополнительно довольно разнообразный материал и кое-что из
нее исключил, хотя общий характер ее остался прежним.
Сейчас книга появляется в двух томах. Первый том
соответствует главам I—IV первого издания. В него до-
добавлено довольно много конкретно-геометрического мате-
материала: сильно расширен первый параграф, образующий
мост между аналитической геометрией и теорией плос-
плоских алгебраических кривых. Больше места уделено кон-
конкретным алгебраическим многообразиям: грассманианам,
плоской кубике, кубической поверхности. В первом изда-
издании особые точки играли в основном роль строгого опре-
определения тех ситуаций, которых мы хотим избегать.
Теперь изложены различные вопросы, связанные с вы-
вырождениями слоев семейств: вырождения квадрик и эл-
эллиптических кривых, теоремы Бертини. Рассказано о по-
понятии бесконечно-близких точек алгебраических кривых
и о нормальных особенностях поверхностей. Наконец,
добавлены некоторые теоретико-числовые приложения:
дзета-функции алгебраических многообразий над конеч-
конечным полем, аналог гипотезы Римана для эллиптических
кривых.
1*

Большей частью этот материал взят из моих старых
лекций и семинаров, записки которых мне предоставили
их участники. Некоторые улучшения доказательств я за-
заимствовал из книг Мамфорда и Фултона. Ряд опечаток
и неточностей в нервом издании был сообщен мне его
читателями, а также читателями английских изданий
этой книги. Особенно полезны были советы А. Н. Тюри-
Тюрина и В. С. Куликова — последнему, в частности, принад-
принадлежит доказательство теоремы 3 в § 4 гл. IV. Всем им я
приношу искреннюю благодарность.
Характер книги требовал ограничиться минимальным
алгебраическим аппаратом. Кроме университетского кур-
курса алгебры предполагаются известными основы теории
полей: трансцендентных и конечных расширений (но не
теория Галуа) и теории колец: идеалы, факторкольца.
В некоторых изолированных местах мы ссылаемся на.
алгебраическую литературу. Эти ссылки подобраны так,
чтобы соответствующее место можно было понять неза-
независимо от предшествующих частей книги, в которой оно
содержится. Несколько более специальных алгебраиче-
алгебраических вопросов собрано в «Алгебраическом приложении»,
помещенном в конце первого тома. При ссылках оно на-
называется «Приложение». Предисловие ко второму тому
содержит рекомендации для дальнейшего чтения в об-
области алгебраической геометрии.
Список литературы в конце первого тома содержит
работы, на которые есть ссылки в этом томе, а список,
помещенный в конце второго тома, относится к обоим
томам. Предметный указатель — отдельный для каждого
тома: в нем приведены термины, определение которых
содержится в этом томе.
Редактор второго издания книги В. Л. Попов внес в
нее много существенных улучшений. Я очень благодарен
ему за большую и вдумчивую работу.
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Плоские алгебраические кривые
Первая глава будет посвящена ряду основных поня-
понятий алгебраической геометрии. В первом параграфе мы
разберем некоторые примеры, которые подготовят вве-
введение этих понятий.
1. Плоские кривые. Плоская алгебраическая кривая
состоит из точек плоскости, координаты которых удов-
удовлетворяют уравнению
/(*, У) = 0, A)
где / — непостоянный многочлен. Мы фиксируем некото-
некоторое поле к и будем предполагать, что координаты точек
и коэффициенты многочлена принадлежат этому полю.
Аффинную плоскость, состоящую из точек вида (а, Ь),
а, Ъ <= к, мы будем обозначать через А2. Плоскость А2 —
не единственное объемлющее множество, в котором мы
будем рассматривать алгебраические кривые — с другим
вариантом мы скоро встретимся — ввиду этого опреде-
определенные выше алгебраические кривые будут называться
аффинными.
Степень уравнения A) (т. е. многочлена f(x, у)) на-
называется также степенью определяемой им кривой. Кри-
Кривые степени 2 называются кониками, степени 3 — ку-
кубиками.
Как известно, в кольце многочленов ЩХ, У] любой
многочлен / однозначно (с точностью до постоянных
множителей) разлагается на неприводимые множители
/ = /i . . ./г , где неприводимые многочлены /,- не пропор-
пропорциональны: /г Ф <xfu <х ^ к, если г Ф /. Тогда алгебраиче-
алгебраическая кривая X с уравнением / = 0 является объединени-
объединением кривых Хг с уравнениями ft = 0. Кривая, уравнение
которой — неприводимый многочлен, называется непри-
неприводимой. Полученное выше разложение I = IiU...UIr
называется разложением на неприводимые компоненты.
Введенные понятия в некоторых случаях оказывают-
оказываются некорректно определенными или резко расходятся с

Большей частью этот материал взят из моих старых
лекций и семинаров, записки которых мне предоставили
их участники. Некоторые улучшения доказательств я за-
заимствовал из книг Мамфорда и Фултона. Ряд опечаток
и неточностей в первом издании был сообщен мне его
читателями, а также читателями английских изданий
этой книги. Особенно полезны были советы А. Н. Тюри-
Тюрина и В. С. Куликова — последнему, в частности, принад-
принадлежит доказательство теоремы 3 в § 4 гл. IV. Всем им я
приношу искреннюю благодарность.
Характер книги требовал ограничиться минимальным
алгебраическим аппаратом. Кроме университетского кур-
курса алгебры предполагаются известными основы теории
полей: трансцендентных и конечных расширений (но не
теория Галуа) и теории колец: идеалы, факторкольца.
В некоторых изолированных местах мы ссылаемся на.
алгебраическую литературу. Эти ссылки подобраны так,
чтобы соответствующее место можно было понять неза-
независимо от предшествующих частей книги, в которой оно
содержится. Несколько более специальных алгебраиче-
алгебраических вопросов собрано в «Алгебраическом приложении»,
помещенном в конце первого тома. При ссылках оно на-
называется «Приложение». Предисловие ко второму тому
содержит рекомендации для дальнейшего чтения в об-
области алгебраической геометрии.
Список литературы в конце первого тома содержит
работы, на которые есть ссылки в этом томе, а список,
помещенный в конце второго тома, относится к обоим
томам. Предметный указатель — отдельный для каждого
тома: в нем приведены термины, определение которых
содержится в этом томе.
Редактор второго издания книги В. Л. Подов внес в
нее много существенных улучшений. Я очень благодарен
ему за большую и вдумчивую работу.
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Плоские алгебраические кривые
Первая глава будет посвящена ряду основных поня-
понятий алгебраической геометрии. В первом параграфе мы
разберем некоторые примеры, которые подготовят вве-
введение этих понятий.
1. Плоские кривые. Плоская алгебраическая кривая
состоит из точек плоскости, координаты которых удов-
удовлетворяют уравнению
/(*, У)-0, A)
где / — непостоянный многочлен. Мы фиксируем некото-
некоторое поле к и будем предполагать, что координаты точек
и коэффициенты многочлена принадлежат этому полю.
Аффинную плоскость, состоящую из точек вида (а, Ь),
а, 6 е к, мы будем обозначать через А2. Плоскость А2 —
не единственное объемлющее множество, в котором мы
будем рассматривать алгебраические кривые — с другим
вариантом мы скоро встретимся — ввиду этого опреде-
определенные выше алгебраические кривые будут называться
аффинными.
Степень уравнения A) (т. е. многочлена f(x, у)) на-
называется также степенью определяемой им кривой. Кри-
Кривые степени 2 называются кониками, степени 3 — ку-
кубиками.
Как известно, в кольце многочленов h[X, У] любой
многочлен / однозначно (с точностью до постоянных
множителей) разлагается на неприводимые множители
/ = /i1. . -frr, где неприводимые многочлены /,- не пропор-
пропорциональны: /г Ф afc, а <= к, если i Ф /. Тогда алгебраиче-
алгебраическая кривая X с уравнением / = О является объединени-
объединением кривых Х{ с уравнениями /{= 0. Кривая, уравнение
которой — неприводимый многочлен, называется непри-
неприводимой. Полученное выше разложение X = Х± U ... U Хг
называется разложением на неприводимые компоненты.
Введенные понятия в некоторых случаях оказывают-
оказываются некорректно определенными или резко расходятся с

6 Г.П. f. бСЙОвныЁ
нашей интуицией. Связано это со спецификой того поля
к, которому принадлежат точки кривой. Например, если
k = R, то мы должны, следуя введенной терминологии,
называть кривой точку @, 0), так как она определяется
уравнением х2 + у2 — 0. При этом степень этой «кривой»
равна 2, но одновременно и любому другому четному
числу, так как та же точка определяется уравнением
х2п + у2п = 0. Кривая неприводима, если за ее уравнение
взять х2 + у2 = 0, и приводима, если уравнение — х6 +
¦+- 7У6 = Г) ¦ v''"'::i:<i?.-
> У У>- . А •-« «it Ч.Ч1.
Такие трудности не возникают, если поле к алгебраи-
алгебраически замкнуто. В основе лежит следующий простой
факт.
Лемма. Пусть к — произвольное поле, f^k[x, у] —
неприводимый, a g^k\x, у] — любой многочлен. Если g
не делится на /, то система уравнений f(x, y)=0,
g(x, z/)=0 имеет лишь конечное число решений.
Пусть х входит в многочлен / в положительной сте-
степени. Рассмотрим / и g как элементы кольца к (у) [ж],
т. е. как многочлены от одной переменной х, коэффици-
коэффициенты которых — рациональные функции от у. Легко про-
проверить, что / остается неприводимым и в этом кольце:
разложение его на множители после умножения на об-
общий знаменатель a(z/)<s k[z/] коэффициентов входящих
в это разложение многочленов приводит к соотношению,
противоречащему неприводимости / в к[ж, у]. Точно так
же g не делится на / и в новом кольце к (у) [ж]. Поэтому
существуют такие два многочлена и, v e k (у){ж], что
fu+gv — 1. Умножая это равенство на общий знамена-
знаменатель а ^ к{г/] всех коэффициентов многочленов и и v, мы
получим, что fu + gv = а, и = аи, v = av, и, v e k[x, у],
аФО. Отсюда следует, что если /(а, $) = g(a, P)=0, то
а($) = 0, т. е. для второй координаты [J имеется только
конечное число возможностей. Для каждого такого зна-
значения первая координата является корнем многочлена
f(x, p). Многочлен }(х, р) не равен тождественно ну-
нулю— иначе f{x, у) делился бы на у — р — и поэтому для
а также имеется лишь конечное число возможностей.
Лемма доказана.
Если поле к алгебраически замкнуто, то оно беско-
бесконечно. Поэтому из леммы следует, что кривая с уравне-
уравнением f(x, z/)=0 имеет бесконечное число точек, если
многочлен / отличен от постоянной. Ввиду этого неприво-
неприводимый многочлен однозначно (с точностью до постоянного
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ 7
множителя) определяется той кривой, уравнением кото-
которой он является. То же верно и для произвольного мно-
многочлена, в разложение которого на неприводимые мно-
множители не входят кратные множители. Мы всегда мо-
жем выбрать в качестве уравнения кривой такой много-
многочлен. При таком выборе степень кривой и понятие не-
неприводимости определены уже корректно.
Другая причина, по которой алгебраическая геомет-
геометрия становится естественной лишь после привлечения
алгебраически замкнутого поля, связана с вопросом о
числе точек пересечения кривых. С этим явлением мы
встречаемся уже в алгебре: теорема о том, что число
корней многочлена равно его степени, верна лишь, если
корни рассматриваются в алгебраически замкнутом по-
поле. Обобщением этой теоремы является так называемая
теорема Везу, согласно которой число точек пересечения
двух различных неприводимых алгебраических кривых
равно произведению их степеней. Доказанная выше лем-
лемма показывает, что число это, во всяком случае, конеч-
конечно. Теорема о числе корней многочлена является ее
частным случаем, когда уравнения кривых имеют вид
y — f(x) = 0, г/ = 0.
Теорема Безу верна лишь после некоторых уточне-
уточнений. Первое из них заключается в том, что мы должны
рассматривать точки с координатами в алгебраически
замкнутом поле. Так, на рис. 1 изображены три случая
Рис. 1
взаимного расположения двух кривых степени 2 (эллип-
(эллипсов) на вещественной плоскости. При этом в случае в)
теорему Безу выполнена, а в случаях а) и б) — нет.
Дальше мы будем предполагать поле к алгебраически
замкнутым: противное будет всегда оговариваться. Это
не значит, что алгебраическая геометрия не может быть
применена к изучению вопросов, связанных с алгебраи-
алгебраически незамкнутым полем к0. Однако, как правило, это
связано с переходом к алгебраически замкнутому полю

8
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
к => к0. В случае поля R мы переходим к полю комплекс-
комплексных чисел С. Это часто дает возможность угадать или
доказать чисто вещественные соотношения. Вот самый
элементарный пример. Если точка Р лежит вне окруж-
окружности С, то через нее можно провести две касательныо
к этой окружности. Прямая L, соединяющая точки каса-
касания, называется полярой точки Р относительно окружно-
окружности С (рис. 2, а). Все эти операции могут быть выра-
выражены в виде алгебраических соотношений между коор-
координатами и уравнениями. Поэтому они применимы и к
случаю, когда точка Р лежит внутри окружности. Конеч-
Конечно, координаты точек касания теперь будут комплексны-
комплексными и на рисунке не видны. Но так как исходные данные
Рис. 2
были вещественны, то совокупность полученных точек
(т. е. обе точки касания) должна быть инвариантна при
замене всех чисел комплексно сопряженными, т. е. обе
точки касания комплексно сопряжены. Поэтому прохо-
дящая через них прямая L вещественна. Она также на-
называется полярой точки Р относительно окружности С.
Легко найти и ее чисто вещественное определение: это
геометрическое место -точек, лежащих вне окружности,
поляры которых проходят через точку Р (рис. 2, б).
Вот другие ситуации, в которых возникают вопросы,
связанные с алгебраической геометрией над алгебраиче-
ски незамкнутым полем (и при исследовании которых
обычно приходится переходить к алгебраически замкну-
тому полю).
1) k = Q. Исследование точек алгебраической кривой
с уравнением f(x, z/) = 0, где /<=Q[a:, ?/] и координаты
точек содержатся в Q,—это одна из основных задач тео-
рии чисел: теории неопределенных уравнений (напри-
мер, теорема Ферма требует описания точек (х, y)^Q2
на кривой хп + уп = 1).
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ 9
2) к — конечное поле Fp вычетов по модулю р. Изу-
Изучение точек с координатами из к на алгебраической
кривой с уравнением f(x, z/) = 0— это другой вопрос
теории чисел: о решениях сравнения f(x, y) = 0 (modp).
3) k = C(z). Рассмотрим алгебраическую поверхность
в А3 с уравнением F(x, у, z)=0, F <s С[х, у, z]. Отнеся
в этом уравнении переменную z к коэффициентам, мы
можем рассмотреть нашу поверхность как кривую, опре-
определенную над полем C(z). Это очень плодотворный спо-
способ изучения алгебраических поверхностей.
2. Рациональные кривые. Как известно, кривая, зада-
задаваемая уравнением
у2 = х2 + х3, A)
обладает тем свойством, что координаты ее точек могут
быть выражены в виде рациональных функций одного
параметра. Чтобы вывести это выражение, заметим, что
проходящая через начало координат прямая у = tx пере-
пересекает кривую A), кроме начала координат, в одной
единственной точке. Действительно, подставим уравне-
уравнение y = tx в A). Мы получим, что x2(t2— х — 1) = 0.
Корень ж = 0 соответствует точке 0=(О, 0). Кроме того,
мы имеем еще один корень х = t2— 1. Из уравнения
прямой мы получаем, что z/ = ?(?2 — 1). Таким образом,
имеем искомую параметризацию
= t(f— 1),
B1
причем мы выяснили и ее геометрический смысл: t есть
угловой коэффициент прямой, проходящей через точки
(х, у) ж О, а х ж у, соответствующие t,— координаты
отличной от О точки пересечения прямой у = tx и кри-
кривой A). Еще нагляднее можно представить себе эту па-
параметризацию, если провести какую-либо прямую, не
проходящую через точку О (например, задаваемую урав-
уравнением х = 1), и сопоставить точке Р точку пересечения
Q прямой ОР с выбранной прямой (проектирование
кривой из точки О) (рис. 3). При этом роль параметра
t будет играть координата па выбранной прямой. Как из
этого геометрического истолкования, так и из формул
B) видно, что параметр t однозначно определяется (при
хфО) точкой (х, у).
Дадим теперь общее определение плоских алгебраи-
алгебраических кривых, для которых возможно такое пред-
представление.

10
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Плоская неприводимая алгебраическая кривая X, оп-
определенная уравнением f(x, y) = 0, называется рацио-
рациональной, если существуют две такие рациональные
функции ф@ и г|:(?), хотя бы одна из которых непо-
непостоянна, что
/(ф(^)> 11>('0)==0 C)
тождественно относительно t. Очевидно, что если t =
= tQ — значение параметра, отличное от конечного числа
значений, обращающих в О
знаменатели функций ф и ф,то
точка (ф(г0), ф(М) принадле-
принадлежит кривой X. Дальше мы по-
покажем, что для надлежащим
образом выбранной параметри-
параметризации ф, т|? устанавливаемое та-
таким образом соответствие меж-
между значениями параметра t и
точками кривой будет взаимно
однозначным, если исключить
как из значений параметра,
так и из точек кривой некото-
некоторые конечные множества. При
этом параметр t может быть
выражен как рациональная
функция х(х, у) от координат
х и у. Если коэффициенты
рациональных функций ф и \р
принадлежат некоторому подполю к0 поля к и t9 ^ к0,
(ф(?0), М-'(М) принадлежат
то
Рис. 3
координаты
П
точки
полю ко. Последнее обстоятельство показывает на
одно из возможных применений понятия рациональной
кривой. Пусть многочлен f(x, у) имеет рациональные
коэффициенты. Если мы знаем, что кривая A) п. 1 ра-
рациональна, а коэффициенты функций ф и г|> принадле-
принадлежат полю рациональных чисел, то параметризация х —
= ф@> У = Ф(*) Дает нам все точки этой кривой,— кро-
кроме, быть может, конечного их числа,— когда t пробегает
все рациональные значения. Например, все решения не-
неопределенного уравнения A) можно получить из фор-
формул B), когда t пробегает все рациональные значения.
Другое применение рациональных кривых связано с
интегральным исчислением. Будем считать, что уравне-
уравнение A) п. 1 рациональной кривой определяет у как ал-
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
И
гебраическую функцию от х. Тогда любая рациональная
функция g(x, у) является (сложной) функцией от х.
Из рациональности кривой A) п. 1 вытекает следующее
важное обстоятельство: для любой рациональной функ-
функции g(x, у) неопределенный интеграл
J g ix, У) dx
D)
может быть выражен через элементарные функции. Дей-
Действительно, ввиду рациональности кривой A) п. 1 для
нее возможна параметризация х = ф (t), у = \f (t), где
фиф — рациональные функции. Подставив эти выраже-
выражения в интеграл D), мы приведем его к виду J g (ф (?),
Ф@) ф' (f) dt, который является интегралом от рациональ-
рациональной функции. Такой интеграл, как известно, выражается
через элементарные функции. Подставляя выражение
t = %(x, у) параметра через координаты, мы получим
выражение интеграла D) через элементарные функции
координат.
Приведем теперь некоторые примеры рациональных
кривых. Кривые 1-й степени, т. е. прямые, являются,
очевидно, рациональными кривыми.
Докажем, что неприводимая коника рациональна.
Выберем точку (х0, уа) на кривой X. Рассмотрим пря-
прямую, проходящую через точку (х0, у0) и имеющую угло-
угловой коэффициент t. Ее уравнение имеет вид
У — уа = t(x — Хо). E)
Найдем точки пересечения кривой и этой прямой. Для
этого достаточно подставить у, определенное из E),
в уравнение кривой X. Мы получим уравнение для х
f(x, yo + t(x — xo)) = O, F)
которое, как легко видеть, имеет степень 2. Нам извес-
известен один корень квадратного уравнения: х = х0, так как
точка (х0, у о) по условию лежит на кривой. Обозначим
через А коэффициент при х в уравнении, получающемся
после деления уравнения F) на коэффициент при х2.
Тогда для оставшегося корня получаем х + ха = — А,
х = —ха — А. Так как в коэффициенты уравнения F)
входит t, то А будет рациональной функцией от t. Под-
Подставляя это выражение для х в E), мы получим и для
у выражение в виде рациональной функции от t. Эти
выражения, как видно из хода рассуждения, удовлетво-

12
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
X
Рис. 4
ряют уравнению кривой и, значит, показывают, что-кри-
что-кривая рациональна.
Приведенная параметризация имеет очевидный гео-
геометрический смысл — точке (х, у) сопоставляется угло-
угловой коэффициент прямой, соединяющей ее с точкой
(^о, г/о), а параметру t — точка пересечения прямой, про-
проходящей через (х0, у о) и имеющей угловой коэффициент
t, с кривой. Эта точка опре-
определяется однозначно именно
потому, что мы имеем дело
с неприводимой кривой 2-го
порядка. Так же как мы это
делали в связи с кривой
A), эту параметризацию
можно интерпретировать как
проектирование кривой X из
точки (х0, у о) на некото-
некоторую прямую, не проходящую
через эту точку, (рис. 4).
Заметим, что при построении параметризации мы
пользовались точкой (х0, у0) на кривой X. Если коэффи-
коэффициенты многочлена f(x, у) и координаты ха, у0 этой точ-
точки принадлежат некоторому подполю к0 поля к, то ко-
коэффициенты функций, дающих параметризацию, также
принадлежат к0. Например, мы можем найти общий вид
решения в рациональных числах неопределенного урав-
уравнения 2-й степени, если нам известно хотя бы одно
решение.
Вопрос о существовании хотя бы одного решения
является довольно тонким. Он решается так называемой
теоремой Лежандра (см., например, [6], гл. I, § 7, п. 2).
Рассмотрим другое применение найденной параметри-
параметризации. Уравнение 2-й степени у2 = ах2 + Ъх+ с, как мы
видели, определяет рациональную кривую. Отсюда сле-
следует, что, какова бы ни была рациональная функция
g(x, у), интеграл J g {x, У^ах2 + Ъх + с) dx может быть
выражен через элементарные функции. Выведенная на-
нами параметризация дает и явную форму подстановки,
сводящей этот интеграл к интегралу от рациональной
функции. Легко убедиться, что таким образом мы прихо-
приходим к известной подстановке Эйлера.
.., Рассмотренные примеры приводят нас к следующему
общему вопросу: как узнать, рациональна ли нроизволь-
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
ная плоская алгебраическая кривая? Этот вопрос, как
мы увидим дальше, связан с довольно тонкими понятия-
понятиями алгебраической геометрии.
3. Связь с теорией полей. Мы покажем сейчас, что
вопрос, поставленный в конце предыдущего пункта, мо-
может быть сформулирован как вопрос теории полей. Для
этого мы свяжем с каждой плоской неприводимой алгеб-
алгебраической кривой некоторое поле, аналогично тому, как
с каждым неприводимым многочленом связывается по-
поле — наименьшее расширение, в котором многочлен име-
имеет корень.
Пусть неприводимая кривая X задана уравнением
A) п. 1. Рассмотрим такие рациональные функции
и (х, у) = р ' . (р и д — многочлены с коэффициентами
из к), что многочлен д(х, у) не делится на f(x, у). Та-
Такие функции мы будем называть определенными на кри-
, у)
и
определенные на
вой X. Две функции . . ~ . .,
X, называются равными на кривой X, если многочлен
Р(х, y)<ldx, У)—<l(x, y)Pi(x,y) делится на f(x, у).
Легко проверить, что рациональные функции, рассмат-
рассматриваемые с точностью до равенства на кривой X, обра-
образуют поле. Это поле называется полем рациональных
функций на X и обозначается через к (X).
Рациональная функция и (х, у) = р\х' у определена
Ч \xi У)
во всех точках кривой X, для которых д(х, у)?=0. Так
как по условию q не делится на /, то согласно лемме
из п. 1 таких точек, где и (х, у) не определена, только
конечное число. Поэтому можно рассматривать элементы
поля к(Х) и как функции на X, но определенные всюду,
кроме, может быть, конечного числа точек. Может ока-
„ „ п Р-,
заться, что для двух разных записей функции и = — = —
и некоторой точки (а, р) </(а, fi) = 0, но gt (а, $)?=0.
Например, для функции и =—-— на окружности
хг + у2 — 1 и точки @, 1) существует другая запись
и = ¦—, для которой зпамепатель в этой точке в 0 не
обращается. Если для некоторой записи и =—, <
то функция и называется регулярной в точке Р.

14
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Очевидно, что все элементы поля к(Х) выражаются
в качестве рациональных функций от х и у. При этом
х и у алгебраически зависимы — они связаны соотноше-
соотношением f(x, y) = 0. Исходя из этого, легко проверить, что
степень трансцендентности поля к(Х) равна 1.
Если X — прямая, заданная, например, уравнением
у = 0, то всякая рациональная функция (р(х, у) равна
на X рациональной функции ср (х, 0) от одного только х,
и поэтому поле рациональных функций на прямой сов-
совпадает с полем рациональных функций от одной пере-
переменной х: k(X) —k(;r).
Предположим теперь, что кривая X рациональна
и имеет параметризацию x = cp(t), y = ^(t). Сопоставим
любой рациональной функции и = — ' . рациональную
Ч \xi У)
функцию от t, u(cp(t), ф(?))> получаемую подстановкой
Ф и ф вместо х и. у. Прежде всего, убедимся, что эта
подстановка имеет смысл, т. е. что знаменатель <?(ср(?),
¦ф(?)) дает функцию от t, не равную тождественно нулю.
Предположим, что q(cp(t), \|;(?)) = 0. Сравним это равен-
равенство с равенством C) п. 2. Мы получим, придавая t раз-
различные значения в поле к, что уравнения f(x, y) = 0,
q(x, y) = 0 имеют бесконечно много общих решений (на-
(надо помнить, что поле алгебраически замкнуто и, значит,
бесконечно). Но это возможно ввиду леммы из п. 1,
только если многочлены / и q имеют общий множитель.
Таким образом, наша подстановка дает определенный
результат для любой функции и (х, у), определенной на
кривой X. Более того, так как ср и ф удовлетворяют со-
соотношению C) п. 2, то функции и и Bi, равные на X,
дают после подстановки одинаковые рациональные функ-
функции от t. Таким образом, любому элементу поля к (X)
сопоставляется определенный элемент поля к (t). Это
сопоставление является, очевидно, изоморфизмом поля
к(Х) и некоторого подполя поля к(?). При этом изомор-
изоморфизме элементы поля к переходят сами в себя.
В этом месте мы воспользуемся одной теоремой о ра-
рациональных функциях. Это — так называемая теорема
Люрота, которая утверждает, что подполе поля рацио-
рациональных функций к(?), содержащее поле к, имеет вид
к(#@)» гДе g(t)—некоторая рациональная функция,
т. е. это подполе состоит из всех рациональных функций
от функции g(t). Если функция g(t) непостоянна, то со-
сопоставление /(»)-*-/(fiT @.) определяет, очевидно, изо-
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
15
морфизм поля рациональных функций к(гг) и поля
к (#¦(?))• Поэтому теореме Люрота можно придать сле-
следующую формулировку: подполе поля рациональных
функций к (?), содержащее поле к и отличное от к, само
изоморфно полю рациональных функций. Теорема Лю-
Люрота может быть доказана, исходя из простых свойств
расширений полей (см. [8], § 63). Применяя теорему
Люрота к нашей ситуации, мы видим, что если кривая
X рациональна, то поле к (X) изоморфно полю рацио-
рациональных функций к (?). Предположим, что, наоборот,
для некоторой кривой X, заданной уравнением A) п. 1,
поле к(Х) изоморфно полю рациональных функций
к (г). Пусть при этом изоморфизме х и у соответствуют
функции ср(?) и "ф@- Так как в к(Х) выполнено соот-
соотношение }{х, г/) = 0, то оно сохраняется при изоморфиз-
изоморфизме и дает f((p(t), i|?(?)) = 0, а это и значит, что кривая
X рациональна.
Легко видеть, что любое поле К => к, имеющее сте-
степень трансцендентности 1 над к и порожденное двумя
элементами х и у, изоморфно полю к (X), где X — неко-
некоторая плоская алгебраическая неприводимая кривая.
Действительно, так как степень трансцендентности поля
К над к равна 1, то х и у должны быть связаны алгеб-
алгебраическим соотношением. Если f(x, у) = 0—связываю-
0—связывающее их -соотношение с неприводимым многочленом /, то
за X, очевидно, может быть принята алгебраическая
кривая, определенная этим уравнением. Отсюда следует,
что сформулированный в конце п. 1 вопрос о рациональ-
рациональных кривых эквивалентен следующему вопросу теории
полей: когда поле К =э к, степени трансцендентности 1
над к и порожденное над к двумя элементами, изоморф-
изоморфно полю рациональных функций от одной переменной
к (?)? Требование, чтобы поле К было порождено над к
двумя элементами, с алгебраической точки зрения мало
естественно. Естественнее было бы рассматривать рас-
расширения, порожденные любым конечным числом элемен-
элементов. Однако мы докажем дальше, что при этом мы не
получим более общего понятия.
В заключение заметим, что предшествующие рассуж-
рассуждения дают возможность решить воярос об однозначно-
однозначности параметризации рациональной кривой. Пусть X —
рациональная кривая. Согласно теореме Люрота поле
к(Х) изоморфно полю рациональных функций k (it).
Пусть х и у в этом изоморфизме соответствуют функции

16
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ф(?) и ф(?). Мы получаем тогда параметризацию кривой
X: x = q>(t), y = '$(t). Докажем, что эта параметризация
обладает следующими свойствами:
1) любая точка (х0, у„)<^Х, кроме, может быть, ко-
конечного их числа, представима в виде xo = <p(to), у0 =
= ф(?о) при некотором t0;
2) для всех точек, кроме, может быть, конечного их
числа, такое представление единственно.
Пусть при изоморфизме k(X)->-kB) в t переходит
функция х(х, у). Тогда обратный изоморфизм к (?)-*-
-^-к(Х) задается формулой u(t) ->- и(%(х, у)). Записывая
то, что оба соответствия обратны друг другу, мы прихо-
приходим к соотношениям
х = <р(%(х, у)), у=$(%(х, у)), A)
* = Х(Ф(О, t(t)). B)
Первые соотно1иения дают утверждение 1). Действи-
Действительно, если % (х, у) = ? *' у и q(x0, yo)?=Q (таких то-
точек (х0, y,)el, что д(х0, z/0) = 0, имеется конечное чис-
число ввиду того, что многочлены q(x, у) и f(x, у) взаимно
просты), то мы можем рассмотреть значение x(xoi У о)'
Пусть точка (х0, у0) такова, что х(х0, У о) отлично от
корней знаменателей функций ф(?) и ф(?) (точек
(хо, у0), для которых это не так, по тем же соображе-
соображениям только конечное число). Тогда формулы A) дают
для точки (х0, уа) искомое представление. Аналогично
из B) следует, что значение параметра t, если он суще-
существует, однозначно определяется точкой (х0, уа), кроме,
может быть, конечного числа точек, для которых
д(ха, у») = 0.
Заметим, что мы доказали свойства 1) и 2) не для
любой параметризации рациональной кривой, а для не-
некоторой специально построенной. Для произвольной
параметризации свойство 2) может и не быть верным:
например, кривая A) п. 2 имеет наряду с параметри-
параметризацией, задаваемой формулой B) п. 2, и параметриза-
параметризацию х = ?4—1, y = tz(t^—1), получающуюся из B) п. 1
заменой t на tz. Очевидно^ что в ней значениям пара-
параметра t и —t соответствует одна и та же /точка кривой.
4. Рациональные отображения. Рациональная пара-
параметризация является частным случаем более общего по-
понятия. Пусть X и Y — две неприводимые плоские алгеб-
алгебраические кривые, и, ve=k(X). Отображение ф(Р) =
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
17
= (u(P), v(P)), определенное в точках Р, где обе функ-
функции ф и г|> определены, называется рациональным ото-
отображением кривой X в кривую F, еслп ф(Р)е Y при
Р е X. Ксли Y имеет уравнение g = 0, то функция
g(u, y)ek(I) должна обращаться в 0 во всех точках
кривой X, кроме конечного числа, и, значит, должна
быть равной 0 в к (X).
Например, проектирование из точки Р, рассмотрен-
рассмотренное в п. 2, является рациональным отображением кри-
кривой X на прямую. Рациональная параметризация рацио-
рациональной кривой X — это рациональное отображение пря-
прямой на X.
Рациональное отображение ф: X-*-У называется би-
рационалъным изоморфизмом кривых X и Y, если оно
имеет обратное, т. е. существует такое рациональное ото-
отображение yJp: Y-*• X, что ф • "ф и -ф - ф являются тожде-
тождественными (в точках, где они определены). Кривые X
и Y называются бирационалъно изоморфными.
Бирациональный изоморфизм — не постоянное ото-
отображение, т. е. хотя бы одна из задающих его функций
не является элементом поля к.
Действительно, постоянное отображение определено
всюду и отображает кривую в одну точку Q e Y. Взяв
любую точку Q' Ф Q, в которой определено отображение,
обратное отображению ф, мы получям противоречие с
определением. Отсюда следует, что для любой точки
Q ^ Y ее прообраз ф~* (Q), т. е. множество точек Р ^ X,
для которых cp(P) = Q, конечен — это сразу вытекает из
леммы в п. 1. Пусть S — конечное множество точек кри-
кривой X, в которых не определен бирациональный изомор-
изоморфизм ф, U — его дополнение, а Т и V имеют аналогич-
аналогичный смысл для if и У. Из сказанного выше следует, что
дополнения множества ф"(Т^г)П U до X и ¦\$~l{U)r\ V до
Y конечны, а ф устанавливает взаимно однозначное со-
соответствие между ф~1(У)П U и ^~i(U)f\ V.
Бирациональный изоморфизм — основное отношение
эквивалентности, с точностью до которого алгебраиче-
алгебраические кривые классифицируются в алгебраической геомет-
геометрии. Мы видели, что рациональные кривые — это в точ-
точности кривые, бирационально изоморфные прямой.
Пусть уравнение неприводимой кривой степени п —
многочлен, содержащий только члены степени п — 1 и
п относительно х и у. Тогда проектирование из начала
координат определяет бирациональный изоморфизм нашей
2 и, Р, Шафаревич, т, 1

18
1\Л. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
кривой и прямой: это доказывается непосредствен-
непосредственным обобщением рассуждения по поводу кривой A) в
п. 2. Пусть теперь уравнение содержит члены степени
п — 2, п — 1 и п, т. е. имеет вид / = ип_2 + ип1^, + ип, где
и{ — однородный многочлен степени i. Полагая опять
у = tx и сокращая уравнение на хп~г, мы приведем его
к виду a(t)x2 + b(t)x + c{t)= 0, где a{t)= ияA, t), b(t) =
= uri_1(l, t), c(?)=un_2(l, t). Полагая s = 2ax + b
(и предполагая, что характеристика поля к отлична от
2), мы видим, что наша кривая бирационально изоморф-
изоморфна кривой с уравнением s2 = p{t), р = bz — 4ас. Кривые
такого вида называются гиперэллиптическими.
Если многочлен p(t) имеет четную степень 2га, то,
записав его в виде p(t) = q(t)(t— а) и разделив обе
части уравнения кривой на (t — аJ'1, мы получим, что
кривая бирациопально изоморфпа кривой с уравнением
2 — &(!), где| = (?— а) ¦" — *•/еч _ '/(О
Т]
, ц
ч2" —1'
г —а)"' х' (г — аI
в котором многочлен h уже имеет степень, не большую
2гс—1.-Эти рассуждения, в частности, применимы к лю-
любой кубике, если выбрать начало координат в любой ез
точке. Мы видим, что неприводимая кубика бирациональ-
бирационально изморфна кривой с уравнением yz=f(x), где /—¦
многочлен степени =S3 (если характеристика- поля к от-
отлична от 2). Если многочлен имеет степень *S2, то ку-
бика рациональна. Если его степень 3, то старший ко-
коэффициент можно считать равным 1. Тогда уравнение
примет вид
у2 = х3 + ах2 + Ьх + с.
Оно называется вейерштрассовой нормальной формой
уравнения кубики. Если характеристика поля к отлична
от 3, то за счет сдвига х -»- х — ^- можно привести это
уравнение к виду
у2 = х3 + рх + q. A)
Пусть X и Y — две бирационально изоморфные непри-
неприводимые плоские алгебраические кривые и пусть их ото-
отображения друг в друга задаются формулами
(U, I7) = (cp(^ y)f ^(^ у))? (^ у) = (Ъ(и, У), Г] (U, 17)).
Как и при исследовании рациональных кривых, мы можем
установить связь между полями рациональных функций
к(Х) и к (Г) на этих кривых. Для этого сопоставим
любой рациональной функции w(x, у), определенной на
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
19
кривой X, функцию и;(|(и, v), r\(u, у)), рассматривае-
рассматриваемую на кривой Y. Легко проверить, что таким образом
мы получаем отображение поля к(Х) в поле k(F), кото-
которое является изоморфизмом этих полей. Наоборот, если
поля к (X) и к (Y) изоморфны, то функциям х и у е
ek(I) должны соответствовать при этом изоморфизме
функции Ь,(и, v), r\(u, v)^k(Y), а функциям и, v e
e=k(F)—функции ср(х, у), г|){х, у)^~к(Х), и опять три-
тривиальная проверка показывает, что пары функций ср, г|)
и |, л определяют бирациональный изоморфизм кривых
X и Y. Таким образом, две кривые тогда и только тогда
бирациопально изоморфны, когда их поля рациональных
функций изоморфны.
Мы видим, что задача о классификации алгебраиче-
алгебраических кривых с точностью до бирационального изоморфиз-
изоморфизма является геометрическим аспектом естественной алгеб-
алгебраической задачи классификации (с точностью до
изоморфизма) расширепий поля к, имеющих над ним
степень трансцендентности 1 и порожденных конечным
числом элементов.
В последней задаче естественно не ограничиваться
полями степени трансцендентности 1, а рассмотреть поля
произвольной конечной степени трансцендентности. Мы
увидим дальше, что эта более широкая постановка во-
вопроса имеет также геометрическую интерпретацию. Од-
Однако при этом мы должны выйти за пределы теории
алгебраических кривых и рассмотреть алгебраические
многообразия произвольного числа измерений.
5. Особые и простые точки. Мы заимствуем опреде-
определение из аналитической геометрии: точка Р называется
особой точкой кривой с уравнением /(ж, у)=0, если
f'x (P) = f'y (P) = 0. Сдвинув начало координат в точку
Р, мы можем сказать, что точка @, 0) является особой,
если многочлен / не содержит постоянного и линейных
членов. Точка, не являющаяся особой, называется про-
простой. Кривая, все точки которой простые, называется
гладкой. Если кривая неприводима, то fx = 0 в конечном
числе ее точек или /ж делится на /. Но так как степень
f'x меньше степени /, то последнее возможно лишь, когда
fx равно 0 тождественно. То же верно и для fv. Но если
f'x = f'y = 0, то / ^ к, если характеристика поля к равна
0, и содержит х ж у лишь в степенях, делящихся на р,
если оно имеет характеристику р > 0. В последнем случае
2*

20
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
/ =2 ay^PVW==B a\jPx z/)p, что противоречит неприво-
неприводимости кривой. Мы видим, что неприводимая кривая
имеет лишь конечное число особых точек.
Как известно, неприводимая коника — гладкая. Про-
Простейший пример особой точки дает кривая A) в п. 2.
Если /> = ((), 0) и уравнение кривой начинается с членов
степени г, то Р называется г-кратной точкой, а г — ее
кратностью. Таким образом, простая точка
имеет кратность 1. Если кратность точки Р —
= @, 0) равна 2 и члены степени 2 в уравне-
уравнении кривой имеют вид ах2 + Ъху + су2, то воз-
возможны два случая: 1) многочлен ах2 + Ъху +
+ су2 разлагается на два разных линейных
Рис. 5 множителя и 2) он является полным квадра-
квадратом. В первом случае особая точка называется
узлом. Она изображена на рис. 3, а во втором — острием
(рис. 5).
Из определения следует, что кривая степени п не
может иметь особой точки кратности >п. Если особая
точка имеет кратность п, то уравнение кривой является
однородным многочленом от г и у степени п и, значит,
разлагается в произведение линейных, так что кривая
приводима. В п. 4 мы доказали, что неприводимая кри-
кривая степени п, имеющая особую точку кратности п — 1,
рациональна, а имеющая точку кратности п — 2 — гипер-
эллиптична. Кубика, записанная в вейерштрассовой нор-
нормальной форме A) п. 4, является гладкой тогда и только
тогда, когда кубический многочлен в правой части не
имеет кратных корней, т. е. 4р3 + 27q2 Ф 0. В этом случае
она называется эллиптической кривой.
Если k = R, Р — простая точка кривой с уравнением
i(xi У)^® и> например, /у(Р)=^0, то по теореме о не-
неявных функциях мы можем в некоторой окрестности
точки Р выразить у как функцию от х. Подставляя это
выражение, мы представим и любую рациональную функ-
функцию на кривой как функцию от х. В общем случае мы
можем, хотя и в более скромном объеме, использовать
функцию х для описания всех рациональных функций
на кривой. Для простоты положим Р = @, 0). Тогда / =
= ах + by + g, где g содержит лишь члены степени ^2
и Ъ Ф 0. Выделим в / члены, содержащие только степени
х: f = xcp(x)+ by + yh, h@, 0) = 0. Отсюда на кривой
/ = 0 мы имеем у (Ъ +¦ Л)==» — хср(х), т. е. у = xv, где
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
21
v — — ъ -Сh — функция, регулярная в точке Р (так как
Ъ Ф 0). Пусть и — любая рациональная функция на на-
нашей кривой, регулярная в точке Р и обращающаяся в
ней в 0. Тогда w= -|-, где р, q<=k[x, у], р(Р) = 0, д(Р)Ф
Ф 0. Подставляя сюда наше выражение для у, мы полу-
получим (так как р не имеет свободного члена), что р (х, у) =
= р(х, v{x)) = xr, где г — регулярная функция на кри-
кривой и и = х — = хи±. Если ul(P) — Q, то мы можем повто-
повторить рассуждение и получим, что и—х2и2. Покажем, что
этот процесс оборвется, если функция и не равна тож-
тождественно 0 на кривой. Для этого вернемся к представ-
р
ленйю и = ¦?—, ъ котором по условию р не делится на /•
Поэтому существуют такие многочлены | и r\ ^ k [х, у]
и a s к [х], а Ф 0, что /^ + рг\ = а (мы пользовались этим
при доказательстве леммы в п. 1). Пусть a=xhb, Ъ{0)Ф
Ф 0. Тогда на нашей кривой рц = а и представление р =
= xlw с 1>к приводило бы к противоречию: xh(xl~hw —
— Ъ) = 0 на кривой, т. е. x'~kw — 6 = 0. Если w = —=-,
с, d<= k [х, у], d(P)Ф0, то x'~hc—bd — O на кривой, т. е.
x'~hc — bd делится на /. Но это невозможно, так как xl~h
обращается в 0 в точке Р, a bd — нет. Так как любая
рациональная функция есть отношение регулярных, то
мы доказали следующий результат.
Теорема 1. В любой простой точке Р неприводимой
алгебраической кривой существует такая регулярная и
обращающаяся в 0 в этой точке функция t, что любая
рациональная, не равная тождественно 0 функция и за-
записывается в виде
и = thv,
A)
где v регулярна в точке Р и и(Р)Ф 0. Функция и регу-
регулярна в точке Р тогда и только тогда, когда в записи
A) к^0.
Такая функция t называется локальным параметром
в точке Р. Очевидно, что два локальных параметра свя-
связаны соотношением t' = tv, где v регулярна в точке Р
и и(Р)Ф0. Мы видели при доказательстве теоремы, что
если fv (P) ^= 0, то за локальный параметр можно при-
принять х.

22
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Число к в представлении A) называется кратностью
нуля функции и в точке Р. Оно не зависит от выбора
локального параметра.
Пусть X и Y — алгебраические кривые с уравнениями
/ = 0 и # = 0, X неприводима, Y не содержит х, точка Р
принадлежит X Л Y и является простой на X. Тогда g
определяет регулярную и не равную тождественно 0 на
X функцию. Кратность ее нуля в точке Р называется
кратностью пересечения кривых X и Y в этой точке Р.
Введение этого понятия необходимо для точной форму-
формулировки теоремы Безу: ведь и теорема о том, что число
корней многочлена равно его степени, неверна без учета
кратности корней! Сейчас мы проанализируем понятие
кратности пересечения для случая, когда кривая X явля-
является прямой.
Пусть Р = (а, Р), Р^Х и уравнение кривой X запи-
записано в виде f(x, у) = а(х — <х)+ Ь(у — $)+g, где много-
многочлен g, будучи разложен по степеням х — <х. и у — (J, со-
содержит только члены степени ^2. Запишем уравнение
прямой L, проходящей через точку Р, в виде
x=a. + kt, y=z$ + \it. B)
Функция t является локальным параметром на L в точ-
точке Р. Многочлен /, будучи ограничен на L, принимает
вид
Отсюда мы видим, что если точка Р — особая, т. е. а =
= 6 = 0, то любая прямая имеет кратность пересечения
с X в точке Р, большую 1. Если же точка — неособая,
то такая прямая есть только одна: та, для.которой аХ +
+ b\i = 0. Ее уравнение имеет вид а(х — а) + Ъ(у — р) = 0.
Очевидно, что а = f'x(P), Ъ = f'y(P), и поэтому то же
уравнение записывается в виде
/* (Р) (*-«) + К (Р) (у - Р) = о. C)
Прямая с этим уравнением называется касательной к
кривой X в простой точке Р.
Выясним теперь, когда прямая имеет кратность пе-
пересечения ^3 с кривой в простой точке Р = (а, ?). Для
этого запишем уравнение кривой в виде
f(x, у)=>а(х-а) + Ъ(у-$)+с(х-аJ +
+ d(x-a)(y-$) + e(y-?,y + h, D)
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
23
где h — многочлен, который, будучи записан по степеням
х — а и у — Р, содержит только члены степени ^3.
Ограничивая многочлен / на кривую, заданную уравне-
уравнением B), мы получим, что / = (аЛ, -+- $ц) t + (ел.2 + dX\i +
+ e\iz)tz + 1?-§{i). Поэтому кратность пересечения будет
^=3 при выполнении двух условий: аХ + Ьц — О и ел-2 +
+ dk\i + е\х2 — 0. Первое из них, как мы видели, означа-
означает, что прямая L является касательной к кривой X в
точке Р, а второе означает, что многочлен си2 + duv 4- ev2
делится на аи + bv. Вместе они показывают, что много-
многочлен q = аи + bv + си2 + duv + ev2 приводим: он делится
на аи + bv. Наоборот, если q приводим, q — г ¦ s, то г и s
должны иметь степень 1 и один из них (пусть это будет
г) должен обращаться в 0 при и = v = 0, а другой — нет.
Но тогда г пропорционален аи + bv и си2 -+- duv + ev2 де-
делится на аи + bv. Таким образом, приводимость коники
аи + bv + си2 + duv + ev2 = 0 — необходимое и достаточное
условие того, что в точке Р некоторая прямая имеет с
кривой X пересечение кратности ^3. Такая точка назы-
называется точкой перегиба кривой X. Из аналитической гео-
геометрии известно условие приводимости коники. Вспомнив
(предполагая характеристику поля к отличной от 2), что
b = f'y(P), c=^.f'x
E)
e = -~- fvy (P)t мы можем записать это условие в виде
'ху
f'x
I ху
fyy
(Р) = 0.
6. Проективная плоскость. Вернемся к теореме Безу,
сформулированной в п. 1. Даже если рассматривать точ-
точки с координатами в алгебраически замкнутом поле и
учитывать кратности точек пересечения, она нарушается
в некоторых очень простых случаях и нуждается в даль-
дальнейших уточнениях. Это видно уже на примере двух
прямых, которые, если они параллельны, не имеют точек
пересечения. Однако на проективной плоскости парал-
параллельные прямые пересекаются — в точке бесконечно уда-
удаленной прямой. Точно так же, хотя окружности — кри-
кривые степени 2, они имеют не более двух точек пересе-
пересечения, а не четыре, как предсказывает теорема Безу. Это
следует из того, что квадратичные члены в уравнении

24
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
любой окружности имеют один и тот же вид: х2 + у2.
Поэтому, вычитая уравнение одной окружности из урав-
уравнения другой, мы получаем линейное уравнение, так что
точки пересечения двух окружностей совпадают с точка-
точками пересечения окружности и прямой. В то же время,
если окружности не касаются, они имеют в точках пере-
пересечения кратности 1. Чтобы увидеть причину этого не-
невыполнения теоремы Везу, запишем уравнение окружно-
окружности (х — аJ¦ + (у — bJ = г2 в однородных координатах,
положив х = -тг, у = -=-. Мы получим уравнение {% — at,J +
+ (tj — bt,)z = г2^2, из которого видно, что бесконечно уда-
удаленная прямая t, = 0 пересекает окружность в точках,
для которых %2 + гJ = 0, т. е. в двух точках A, ±г, 0).
Таким образом, все окружности имеют общими эти две
бесконечно удаленные точки. Вместе с двумя конечными
точками пересечения мы получаем у двух окружностей
четыре общие точки в соответствии с теоремой Безу.
Подобные явления оправдывают переход от аффинной
плоскости к проективной.
Напомним, что точка проективной плоскости Р2 опре-
определяется тремя элементами E, r\, t,) поля Тс, не равными
одновременно 0. Две тройки (|, т\, t) и (?', r\', ?') опре-
определяют одну и ту же точку, если существует такое Яек,
%Ф0, что |' = Я?, т1/ = Ят1, ?' = Я?. Любые три элемента
%, г\ и ?, определяющие точку Р, называются ее однород-
однородными координатами. Тогда пишут Р = (| : r\ : t,).
Мы имеем включение А2 <= Р27 при котором точке
(х, j/)eA2 сопоставляется точка (х:у:1). Так получа-
получаются все точки с t, Ф 0: точка (? : tj: ?)<=P2, Z, Ф 0, соот-
соответствует точке [-р,-Э-J^A2. Точки дополнительного
множества Z, = 0 называются бесконечно удаленными. Это
понятие связано с выбором координаты ?. Мы имеем в
Р2 три подмножества, сопоставляемые аффинной плоско-
плоскости: Ах (IФ0), Аз Сп=И=0)иАз (?=И=0). Конечно, опи
пересекаются, и если в Аз точка Р имеет координаты
х = -|-, у = -у- и притом г) ^= 0, то в
•>_ то
то в Аз точка имеет координаты х" =
Каждая точка
Аг ее координаты
—, а если 1Е,фО,
*=-L a:=^ г/" = —
лежит хоть в одном из множеств
так что х' = —, г/
§ 1. ПЛОСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
25
Ах, А!,; Аз и может быть задана при помощи аффинных
координат, в нем определенных.
Алгебраическая кривая в Р2, или плоская проективная
алгебраическая кривая, задается однородным уравнением
в однородных координатах: F(?,, г\, ?)=(), где F — одно-
однородный многочлен. Тогда выполнение равенства
¦^(i, Л, ?)—:0 не зависит от выбора однородных коорди-
координат точки, т. е. сохраняется при замене %'=Х\, tj' = A,ti,
?'=Я?, Я =#= 0. Однородные многочлены также называют-
называются формами. Аффинная алгебраическая кривая степени
п с уравнением f(x, y) — 0 определяет однородный мно-
многочлен F (|, т), ?) == t,nf |-р, -р)и проективную кривую с
уравнением F(%, ц, ^) = 0. Легко видеть, что эта кривая,
пересеченная с аффинной плоскостью А|, дает нам
прежнюю аффинную кривую, к которой, таким образом,
присоединяются только бесконечно удаленные точки с
? = 0. Если уравнение проективной кривой есть
F(?, tj, ?) = 0, то уравнение соответствующей аффин-
аффинной— f(x, y) = 0, f(x, y) — F(x, у, 1). Так как всякая
точка Р s P2 содержится в некотором аффинном множе-
множестве, А1? Аг или А3, то, пользуясь этим переходом, мы
можем переписать ее свойства, определенные выше для
аффинных кривых, в однородных координатах. Мы сде-
сделаем это сейчас для понятия касательной, особой точки
и точки перегиба алгебраической кривой. Мы всегда бу-
будем предполагать, что Р ^ Аз-
Уравнение касательной в аффинных координатах
имеет вид
По условию, f(x, y) = F(x, у, 1), где F(%, г), ^) = 0 —
однородное уравнение нашей кривой. Поэтому fx = Fx,
f'v = F'w a по теореме Эйлера об однородных функциях
IF'l + "П^л + ^Ft = nF- Так как точка Р = (а : ? : 1) при-
принадлежит кривой, то ccF§ (P) -f- р^ (Р) Ц- Fc (P) = 0,
и поэтому уравнение касательной имеет вид xF% (P) -\-
+ уРц (Р) + F-Q (Р) — 0, или, в однородных коорди-
координатах,
lF't (Р) + т^; (Р) + IF[ (P) = 0.

26
ГЛ. Г. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Особая точка задается в аффинных координатах усло-
условиями fx = fy = / = 0. Отсюда в однородных координатах
Fl = Fr\ = F = 0, а из теоремы Эйлера (так как ? = 1)
и F^ = 0. Если характеристика поля к равна 0, то до-
достаточно требовать условия F'%(P) = F'n(P) = F't(P) =0 —
тогда и F(P) = 0.
Условие, определяющее точку перегиба, дается соотно-
соотношением E) из п 5. Здесь опять f(x,n у) = F(X, у, 1),
7х — -Гх, Ту — *у, Тхх — ^КЗс, /жу = Fxy, fyy = /?VJ/. в од-
однородном многочлене /" мы будем дальше х обозначать
через 1, а у — через г\. Производя эти подстановки в
определителе E) п. 5, воспользуемся теоремой Эйлера:
+
+ f"^ = (и -
Умножим последний столбец нашего определителя на
п — 1 и вычтем из него первый столбец, умноженный на
|, и второй, умноженный на г\. Мы получим определитель
\%
Кг
(Р)
(надо помнить, что F(P) = 0).
Теперь произведем такую же операцию со строками,
и тогда условие того, что Р — точка перегиба, приобре-
приобретет вид
F
к
Fl
= 0.
A)
Определитель в левой части этого равенства называ-
называется гессианом формы F и обозначается Н (F).
Перейдем теперь к рассмотрению рациональных функ-
функций. Рациональная функция р, у\ после подстановки
_ S л J
х — ~?~> У= ~^" и сокращений записывается в виде
"(li "Л) S)/^(§, Л» ?)> где Р и ^—однородные многочле-
§ 1. ППОС&Ш АЯГЕБРАЙ^ЕСЙЙЕ КРИВЫ"]?
27
ны одинаковой степени. Поэтому ее значение в точке
(I • Ц '• S) не зависит от умножения однородных коорди-
координат на общий множитель.
Рациональное отображение (х, у)-*-(и(х, у), v(x, у))
мы сначала перепишем, согласно предшествующему, в ви-
виде и а, л, е)/Л(|, л, 5), У(Ь л, 5)/5A, л, 5), где t/,
У, i?, S — однородные многочлены, причем степень U
равна степени R, а степень V — степени S, а потом, при-
приведя обе дроби U/B и V/S к общему знаменателю,— в ви-
/ А В \ л т>
де I -?-, -?- V, где степени однородных многочленов Л, i>
и С равны. Наконец, вводя однородные координаты
^7 = -?-, -р== -^-» мы запишем отображение в виде
(|:т1:?)-(Л(!, л, ?):5(S, tj, ?):C(|, Л, 6)), где 4, 5
и С — однородные многочлены одинаковой степени. Ото-
Отображение регулярно в точке Р, если один из многочленов
А, В, С в этой точке не обращается в 0. Изучая свой-
свойства, связанные с точками Р, лежащими в аффинном
множестве Af (например), мы можем разделить все
многочлены А, В и С на ?п, где п — их общая степень,
и записать отображение в виде (х, у)^~ (и(х, у), v(x, у),
w(x, у)), где и, v, w — многочлены. Тогда его регуляр-
регулярность означает, что все три многочлена не обращаются
одновременно в 0 в точке Р.
В качестве первой иллюстрации докажем следующий
важный результат.
Теорема 2. Рациональное отображение плоской
проективной кривой регулярно во всех простых точках.
Пусть простая точка Р содержится в аффинном мно-
множестве, в котором координаты обозначены хну. Запи-
Запишем наше отображение в виде (х, у) -*- (и0 : и,. : и2), где
и0, ии и2 — многочлены, и применим к этим функциям
теорему 1. Мы сможем их записать в виде и\ = t XV{, где
t — локальный параметр, vt(P)?=0, ki^O (i =' 0, 1, 2).
Пусть, например, k0 — наименьшее из чисел к0, ки кг.
Тогда то же отображение можно записать в виде (х, у) —*-
>0 )
откуда и следует, что оно регулярно в точке Р.
Следствие. Вирациональный изоморфизм гладких
проективных кривых регулярен во всех точках и являет-
является взаимно однозначным соответствием.
В качестве примера рассмотрим бирациональные ав-
автоморфизмы (т. е. изоморфизмы с собой) проективной

28
гл. т. осйойяык
прямой. Как и всякое рациональное отображение, авто-
автоморфизм записывается рациональной функцией: х —>-
—*-р Д, р, q<=~k[x\ (мы считаем, что х — координата на
Я \х)
нашей прямой, заданной, например, уравнением у = 0).
В точку а переходят те точки, для которых p(x)/q(x) —
= а, т. е. р(х)— <xq(x) = 0. Поэтому из взаимной одно-
однозначности автоморфизма следует, что р и q линейны,
т. е. он имеет вид х—*--—r—% (ad— be Ф 0). Как след-
ствие получаем, что автоморфизм имеет на прямой не
более двух неподвижных точек (корни уравнения х(сх +
+ d) = ax + b).
Рассмотрим теперь эллиптическую кривую, заданную
уравнением A) п. 4. Все ее конечные точки — простые.
Переходя к однородным координатам, мы запишем ее
уравнение в виде г\% = Ъ,3 + p?,t2 + it3- Поэтому она име-
имеет единственную точку на бесконечно удаленной прямой
t, — 0 — точку О = @ : 1 : 0). Деля на т}3, мы запишем
уравнение кривой в виде v = и3 + рии2 + qv3, и = -|ч
v — -±-. В координатах и, v точка О = @, 0) тоже явля-
является простой. Поэтому наша кривая — гладкая. Отобра-
Отображение (х, у)-+(х, —у), очевидно, является бирациональ-
ным автоморфизмом кривой. Его неподвижные точки в
конечной части плоскости — это точки с у = 0, х3 + рх +
+ 9 = 0, т. е. этих точек три. Точка О — тоже неподвиж-
неподвижная. Действительно, и=х/у, v = l/y, и в координатах
и и v автоморфизм записывается как (и, v)-+(—u, —v).
Мы построили на эллиптической кривой автоморфизм,
имеющий четыре неподвижные точки. Отсюда следует,
что эллиптическая кривая бирацыоналъно не изоморфна
прямой, т. е. не рациональна. Это показывает, что про-
проблема бирациональной классификации кривых решается
нетривиально: не все кривые друг другу бирационально
изоморфны.
Переход к проективным кривым — это последнее уточ-
уточнение, которое нужно сделать, чтобы сформулировать
теорему Безу. Один ее вариант таков:
Пусть X и Y — проективные кривые, X — гладкая и
Y не содержит X. Тогда сумма кратностей пересечений
X и Y во всех их общих точках равна произведению сте-
степеней кривых X и Y.
КРЙР.Ш
§ i.
Эту теорему и множество ее обобщений мы докажем
позже (п. 2 § 2 гл. III, п. 1 § 2 гл. IV). Сейчас мы
проверим ее в двух простейших случаях — когда X —
прямая и коника.
Пусть X — прямая. Ввиду леммы в п. 1 X и Y имеют
конечное число точек пересечения. Выберем удобную
систему координат: прямую ? = 0 так, чтобы она не про-
проходила через эти точки пересечения и была отлична от
X, а за прямую т] == 0 возьмем прямую X. Тогда точки
пересечения X и Y лежат в аффинной плоскости с ко-
ординатами х =-р-г У = — и уравнение кривой X имеет
вид у = 0. Пусть f(x, у) = 0 — уравнение кривой Y и
/ = /0 + /i(;r, ?/)+ ... + fn(x, у) — запись в виде суммы
однородных многочленов. Точка @:1:0) не лежит на
Y по выбору системы координат, а это значит, что
/„A, 0)Ф0, т. е. в / входит член ахп с а Ф 0. Поэтому
ограничение / на X, т. е. f(x, 0), имеет степень п. В точ-
точке х = а, кривой X функция х — а является локальным
параметром, и кратность пересечения X и Y в этой точ-
точке совпадает с кратностью корня х — ее многочлена
f(x, 0). Значит, сумма этих кратностей равна п.
Пусть X — коника. Возьмем любую точку РеХ, РФ
^7и выберем в качестве прямой t, = 0 касательную к X
в этой точке, а в качестве прямой g = 0 — любую пря-
прямую, отличную от первой и проходящую через Р.
Простая выкладка показывает, что в аффинной плос-
плоскости с координатами х = %/t,, у = ц/t, Х — парабола (она
касается бесконечно удаленной прямой) и ее уравнение
имеет вид y—px2 + qx + r, рФО. Как и раньше, / =
= /„ + ... + /„ (я, у) и теперь /п@, 1)^0, т. е. в f(x, у)
входит член ауп, а Ф 0. Кривая X не имеет других точек
пересечения с прямой ? = 0, кроме точки Р, и, значит,
все точки пересечения кривых X и Y лежат в конечной
части плоскости. В любой точке с х=<х функция х — а
является локальным параметром на X, и кратность пере-
пересечения X и Y в этой точке равна кратности корня х = а
многочлена f(x, pxz+qx + r). Так как в f(x, у) есть
член с ауп, аФО, то степень f(x, рх2 + qx + г) равна
2п, так что сумма кратностей всех точек пересечения
равна 2п.
Уже этот простой частный случай теоремы Безу име-
имеет красивые геометрические применения. Одно из них —
доказательство теоремы Паскаля, утверждающей, что у

I
mz
Рис. 6
30 ^ ГЛ. Т. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЙ
шестиугольника, вписанного в конику X, точки пересе-
пересечения пар противоположных сторон лежат на одной пря-
прямой. (Это доказательство принадлежит Плюккеру.) Пусть
li и ти 12 и т2, 13 и т3 — линейные формы, являющиеся
уравнениями противополож-
противоположных сторон шестиугольника
(рис. 6).
Рассмотрим кубику с урав-
уравнением Д = hl2l3 + Хт1т2т3,
где X — произвольный пара-
параметр. Она имеет с коникой X
шесть точек пересечения —
вершины шестиугольника.
Кроме того, можно выбрать
значение X так, что Д (Р) = О
для любой наперед заданной
точки Р ^ X, отличной от
этих точек пересечения. Мы
получаем кубику Д = О,
имеющую семь точек пересечения с коникой X, и по
теореме Безу она должна распадаться на конику X и
прямую L. На прямой L и лежат точки пересечения
li с ти 12 с т2, 13 с пг3.
ЗАДАЧИ
1. Найти вещественную характеристику прямой, проходящей
через точки пересечения двух окружностей, в случае, когда эти
точки — комплексные. Доказать, что она совпадает с геометриче-
геометрическим местом точек, имеющих одинаковую степень относительно
обеих окружностей. Степенью точки относительно окружности на-
называется квадрат расстояния от точки до точки касания прохо-
проходящей через нее касательной к окружности.
2. Какие рациональные функции p(x)/q(x) регулярны в беско-
бесконечно удаленной точке прямой Р1? Каков порядок нуля такой
функции в этой точке?
3. Доказать, что неприводимая кубика имеет не более одной
особой точки и кратность этой точки равна 2. Если эта точка —
узел, то кубика проективно эквивалентна кривой A) п. 2, а если
острие — то кривой у2 = хъ.
4. Какова максимальная возможная кратность пересечения
двух неособых коник в некоторой общей точке?
5. Доказать, что все прямые, проходящие через начало коор-
координат, касаются кривой у — хр+1, если характеристика основного
поля равна р. Доказать, что над полем характеристики 0 через
заданную точку проходит лишь конечное число касательных к за-
заданной неприводимой кривой.
6. Доказать, что сумма кратностей двух особых точек непри-
неприводимой кривой степени п не превосходит га, а сумма кратностей
пяти точек не превосходит 2га.
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ 31
7 Доказать, что для любых двух точек на неприводимой кри-
кривой существует рациональная функция, регулярная в них, рав-
яая 0 в одной и 1 в другой.
8 Доказать, что для любых простых точек Pi, . .., Рг на не-
неприводимой кривой п чисел ти ..., тпг S* 0 существует рациональ-
рациональная функция, регулярная в этих точках и имеющая в точке Pi
нуль кратности ггц. з 3 3 _ п
9. При каких значениях тп кубика xQ -\-xi +ж2 -{-mxxx2,x0 — 0
гладкая? Найти ее точки перегиба.
10. Найти все автоморфизмы кривой A) п. 2.
11. Доказать, что на проективной прямой и на конике в Р ра-
рациональная функция, регулярная во всех точках, является кон-
константой.
12. Интерпретировать теорему Паскаля в случае, когда пары
вершин шестиугольника сливаются, а соединяющие их прямые
заменяются касательными.
§ 2. Замкнутые подмножества аффинных пространств
Всюда дальше мы будем иметь дело с одним и тем же
алгебраически замкнутым полем к, которое будем назы-
называть основным полем.
1. Определение замкнутых, подмножеств. На различ-
различных этапах развития алгебраической геометрии представ-
представление об ее основном объекте — «естественном понятии
алгебраического многообразия» — менялось. Им считались
проективные и квазипроективные многообразия, абстракт-
абстрактные алгебраические многообразия, схемы, алгебраические
пространства.
В этой книге алгебраическая геометрия будет рас-
рассматриваться постепенно все в большей общности. В пер-
первых главах наиболее общим понятием, охватывающим все
изучаемые в них алгебраические многообразия, является
квазипроективное многообразие. В последних главах
такую роль играют схемы. Сейчас мы определим один
класс алгебраических многообразий, который будет играть
основную роль во всех последующих определениях. Так
как слово многообразие сохраняется для более общих
понятий, мы воспользуемся другим термином.
Обозначим через А" n-мерное аффинное пространство
над полем к. Его точки имеют, следовательно, вид а =
— (¦а.1, ¦ ¦ -, а„), ct,^k.
Определение. Замкнутым подмножеством в А"
называется подмножество X <=¦ Ап, состоящее из всех
совместных нулей конечного числа многочленов с коэф-
коэффициентами из к. Иногда мы будем коротко говорить
о замкнутом множестве.

32
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Многочлен от п переменных 7\, ..., Тп мы будем
записывать дальше в виде F(T), подразумевая под Т
набор переменных 7\, .. ., Тп. Если замкнутое множе-
множество X состоит из всех совместных нулей многочленов
Л (Г), ..., Fm(T), то равенства F, (Т) = ... = Fm(T)*~ О
мы будем называть уравнениями множества X.
Множество X, определяемое бесконечной системой
уравнений Fa(T)~ О, также будет замкнутым. Действи-
Действительно, идеал St кольца многочленов от Т\, ..., Тп, по-
порожденный всеми многочленами Fa(T), имеет конечный
базис: 21 —(B1? ..., Gm). Легко проверить, что X опреде-
определяется системой уравнений G± = . .. = Gm = 0.
Отсюда следует, что пересечение любого числа замкну-
замкнутых множеств замкнуто. Действительно, если Ха замкну-
замкнуты, то для того, чтобы получить систему уравнений,
определяющих X = Г\Ха, достаточно объединить вместе
системы, определяющие все Ха.
Объединение конечного числа замкнутых множеств
также замкнуто. Очевидно, что достаточно проверить это
для случая двух множеств. Если X = XiUX2, Х± опреде-
определяется системой уравнений Ft(T) = 0 (? = 1, ..., m),
а Х2 — системой 6^(Г) = 0 G = 1, .. ., I), то X, как легко
проверить, определяется системой Fi(T)Gj(T)=:0 (г =
= 1, ..., m; 7 = 1, ..., I).
Пусть X — замкнутое подмножество аффинного про-
пространства. Множество U cz X называется открытым, если
его дополнение X—U замкнуто. Любое открытое мно-
множество U ^ х называется окрестностью точки х. Пере-
Пересечение всех замкнутых подмножеств множества X, со-
содержащих заданное подмножество М <= X, замкнуто. Оно
называется замыканием М и обозначается через М. Под-
Подмножество М называется плотным в X, если М = X. Это
значит, что М ие содержится ни в каком замкнутом под-
подмножестве Ус!, У^1,
Пример 1. Все аффинное пространство А™ замкну-
замкнуто — оно задается пустым множеством уравнений или
уравнением 0 = 0.
Пример 2. Подмножество ХсА1, состоящее из
всех точек А1, кроме точки 0, не замкнуто — всякий мно-
многочлен F(Т), обращающийся в 0 для всех Т Ф 0, должен
быть равен 0 тождественно.
Пример 3. Определим все замкнутые подмножест-
подмножества X <= А1. Такое множество задается системой уравнений
Ft (Т) = 0, ..., Fm (Т) = 0 от одного неизвестного Т. Если
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ 33
все Ft тождественно равны 0, то Х=А1. Если многочлены
Fi(T) взаимно просты, то они не имеют общих корней и
X не содержит ни одной точки. Если же эти многочлены
имеют общий наибольший делитель D{T), то D{T) =
— (Т — cti). . . (Т — а„) и X состоит из конечного числа
точек Т = cti, . . ., Т = ап.
Пример 4. Определим замкнутые подмножества
X<=z А2. Они задаются системой уравнений
0, A)
где теперь Т7 —G\, Тг). Если все Ft тождественно равны
0, то Х = А2. Пусть это не так. Если многочлены F±, ...
..., Fm не имеют общего делителя, то, как следует из
леммы в п. 1 § 1, система A) имеет только конечно»
(может быть, пустое) множество решений. Пусть, нако-
наконец, все многочлены F((T) имеют общий наибольший
делитель D{T). Тогда Fi(T) = D(T)Gi(T), где теперь
многочлены Gi(T) не имеют общего делителя. Очевидно,
что X = Xi U Х2, где Х± задается системой уравнений
Gt — ... = Gm = 0, а Хг — одним уравнением D = 0. Как
мы видели, Х^ — конечное множество точек. Замкнутые
множества, задаваемые в А2 одним уравнением, являются
плоскими алгебраическими кривыми. Таким образом,
замкнутое множество X с: А2 или состоит из конечного
(быть может, пустого) множества точек, или является
объединением плоской алгебраической кривой и конеч-
конечного множества точек, или совпадает с А2.
Пример 5. Сопоставим точке а. ^ Аг с координата-
координатами («1, ..., аг) и точке J3 ^ А3 с координатами (р1? ..., CS)
точку (а, Р)еА'н с координатами (cti, ..., <хг, ^, .. ., р.).
Таким образом, Ar+S отождествляется с множеством пар
(а, р), аенАг, реА!. Пусть X <= Аг и У <= А' — замкну-
замкнутые множества. Множество пар (х, у)^Аг+\ х^Х, у е
^ Y, называется произведением X и Y и обозначается
через 1ХУ. Это — также замкнутое множество. Действи-
Действительно, если X задается уравнениями Рг{Т) — 0, a Y —
уравнениями Gj(U)~0, то X X Y задается в Аг+" урав-
уравнениями Fi (Т) = 0, G}{U) = 0.
Пример 6. Множество Х<=Ап, заданное одним
уравнением F(Tlt . . ., Тп) = 0, называется гиперповерх-
гиперповерхностью.
2. Регулярные функции на замкнутом множестве.
Пусть X — замкнутое множество в аффинном простран-
пространстве А", к — основное поле.
3 и. Р. Шафаревич, т. 1

34
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение. Функция /, заданная на X и при-
принимающая значения в к, называется регулярной, если
существует такой многочлен F (Т) с коэффициентами из
к, что f(x) — F(x) для всех точек х е X.
При заданной функции / многочлен F определяется,
вообще говоря, не однозначно: к нему можно прибавить,
не изменив функции /, любой многочлен, входящий в
систему уравнений множества X.
Совокупность регулярных функций на заданном
замкнутом множестве X образует кольцо и алгебру над
полем к, если определить действия сложения, умножения
и умножения на элементы поля к так, как это делается
в анализе — при помощи тех же действий над значениями
в каждой точке х щ X. Полученное кольцо обозначается
через к [X] и называется координатным кольцом замкну-
замкнутого множества X.
Обозначим через kfT7] кольцо многочленов с коэффи-
коэффициентами из к от переменных Ти ..., Тп. Каждому мно-
многочлену F «^ к[Г], очевидно, можно сопоставить функ-
функцию /е к[Х], рассматривая F как функцию на мно-
множестве точек X. Таким образом, мы получим гомомор-
гомоморфизм кольца к [Т] на кольцо к [X]. Ядро этого гомомор-
гомоморфизма состоит из всех многочленов F s к [Т], обращаю-
обращающихся в 0 во всех точках х <= X. Как всякое ядро гомо-
гомоморфизма, это множество является идеалом кольца к[Т].
Оно называется идеалом замкнутого множества X и обо-
обозначается через 31^. Очевидно, что
к [X] = к [Т] №х.
Таким образом, кольцо к [X] определяется идеалом %х-
Пример 1. Если X — это точка, то к [X] = к.
Пример 2. Если X = А", то «х = 0, к[Х] = к[Г]-
Пример 3. Пусть X <= А2 и задается уравнением
ТхТг = 1. Тогда к [X] = к [Тх, Т^1] и состоит из всех
G(T)
рациональных функций от Т± вида
грУЬ
л 1
где п Э= О,
G(Tt) — многочлен.
Пример 4. Докажем, что UX X Г] = k[X] ® kk[F]
для любых замкнутых множеств X и Y. Определим го-
гомоморфизм ср: k[X] ® kk[F] -»- kfXX Y] условием
Ф B h ®gi\ (*, У) = 2 U (*) gi (у)-
Очевидно, что так мы действительно получаем регуляр-
регулярные функции на множестве JXF. Ясно, что ф — эпи-
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ 35
морфизм, так как функции а* и рз- (в обозначениях при-
примера 5 п. 1) принадлежат его образу, а они порождают
все кольцо к [X X Y]. Для доказательства его мономорф^
ности достаточно проверить, что если {/<} линейно неза-
независимы над к в k{Z], a {gji в kf Y], то ф (ft ® &¦) линейно
независимы в к [X X Y]. Равенство
2 djfi (*) gj (У) = О
влечет за собой при любом фиксированном у соотноше-
соотношение 2 cijgj (у) = 0, а отсюда следует, что су = 0.
Так как кольцо к [X] является гомоморфным образом
кольца многочленов k [T], то в нем имеет место теорема
о конечности базиса идеалов. В нем верен также следую-
следующий аналог теоремы Гильберта о корнях (ср. предложе-
предложение 1 п. 6 Приложения): если функция f e k [X] обраща-
обращается в 0 во всех точках х <= X, в которых обращаются
в 0 функции gu . .., gm, то f (=(gu ..., gm) при некотором
г>0. Действительно, пусть / задается многочленом F(T),
gi — многочленами С,(Г) и пусть ^ = 0 (; == 1, ..., Z) —
уравнения X. Тогда многочлен F(Т) обращается в 0 во
всех точках а^А", в которых обращаются в 0 многочле-
многочлены 6ч, ..., Gm, Fu ..., Fi. Действительно, так как F}{a.) =
— 0, то «еХ, а тогда F(a) = 0 по условию. Применяя
теорему Гильберта к кольцу многочленов, мы получим
что Fr^(Gu ..., Gm, Fu ..., Ft) и, значит, fe=(gu ...
..., gm) в k[X].
Как связан идеал 2tx замкнутого множества X с си-
системой уравнений Ft = ...== Fm —¦ 0 этого множества? По
определению идеала Slx, Ft ^ Stx, и поэтому (Fu ..., Fn) <=
<=%х. Однако не всегда (Fu ..., Fm) = %x. Например, если
X <= А1 и задается уравнением Г2 = 0, т. е. состоит из
точки Т = 0, то %х состоит из многочленов без свободного
члена. Таким образом, ШХ=>(Т), а (Fu ..., Fm) = (T2).
Можно, однако, всегда задать то же самое множество
такой системой уравнений Gt ==... = Gt — 0, что (Gu
..., Gi) — %x. Для этого достаточно вспомнить, что любой
идеал в кольце к [Т] имеет конечный базис. Пусть Gu
..., Gt — базис идеала Шх, т. е. &х =*(GU ..., Gt). Тогда
уравнения Gt ==...== Gt = 0, очевидно, определяют то же
самое множество X и обладают нужным свойством. Иног-
Иногда удобно даже считать, что замкнутое множество опре-
определяется бесконечной системой уравнений F =» 0 где F
3*

fid vn. т. оопо1нп>п! пшттия
все многочлены идеала Шх. Действительно, если (Fu ...
. .., Fm) = ЗГх, то все эти уравнения являются следствиями
уравнений Ft =.. . = Fm = 0.
Соотношения между замкнутыми множествами часто
отражаются в их идеалах. Например, если X и Y —
замкнутые множества в аффинном пространстве А™, то
X => Y тогда и только тогда, когда 3lx <= 5ly- Отсюда сле-
следует, что любому замкнутому множеству Y, содержаще-
содержащемуся в X, можно сопоставить идеал ау кольца к [X] —
этот идеал состоит из образов многочленов Fге31у при
гомоморфизме к [Т] ->- к [X]. Наоборот, любой идеал а
кольца к [X] определяет идеал 31 в кольце к [Г]: 31 состоит
из всех прообразов элементов а при гомоморфизме
к [Т] ->- к [X]. Очевидно, что 31 => %х. Уравнения F = О, где
F — все многочлены из %, определяют замкнутое множе-
множество Y<=X.
Из теоремы Гильберта о корнях следует, что Y пусто
тогда и только тогда, когда ау = к[Х]. Идеал <xY <= к [X]
иначе можно описать как совокупность всех функций
/е к [X], которые равны О во всех точках подмногообра-
подмногообразия Y.
В частности, каждая точка х е X является замкнутым
подмножеством и, значит, определяет идеал Шх <= к [X].
По определению этот идеал является ядром гомоморфиз-
гомоморфизма к [X] -»- к, сопоставляющего каждой функции /ejc [X]
ее значение в точке х. Так как к [X] /тх — поле, то идеал
01* максимален. Наоборот, любой максимальный идеал
m. <= k [X] соответствует некоторой точке х ^ X. Действи-
Действительно, он определяет замкпутное подмножество Y <= X.
Для любой точки у ^ Y, ту => Ш, а так как ш — макси-
максимальный идеал, то шу = т. Если в^кЩ то множество
точек х se X, в которых и(а:) = 0, замкнуто. Оно обозна-
обозначается V (и) и называется гиперповерхностью в -X".
3. Регулярные отображения. Пусть X <= А" и Y <=
с: Ат — замкнутые множества.
Определение. Отображение f:X-*-Y называется
регулярным, если существуют такие тп регулярных функ-
функций Д, ..., fm на X, что /(^) = (/i(^), •••, f-m(x)) для
всех а; ^ X.
Таким образом, любое регулярное отображение /: X ->¦
^ Ат задается те функциями /1? . .., fm s k [X]. Чтобы
проверить, что мы имеем дело с отображением /: X ->- Y
(Y—замкнутое подмножество пространства А"г), доста-
достаточно, очевидно, убедиться в том, что функции fh ..., fm
g 2. ЗАМКНУТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ 37
как элементы кольца k[Z] удовлетворяют уравнениям
множества Y.
Пример 1. Понятие регулярной функции на X сов-
совпадает с. понятием регулярного отображения X в А1.
Пример 2. Линейное преобразование является ре-
регулярным отображением.
Пример 3. Проектирование f{x, y) = x определяет
регулярное отображение кривой, заданной уравнением
ху == 1, в А1.
Пример 4. Предыдущий пример может быть обоб-
обобщен так: пусть X <= А" — замкнутое множество и F —
регулярная функция на X. Рассмотрим множество X' <=
<=ХХА\ заданное уравнением Tn+iF(Tu . .., Г„)=1.
Проектирование q>(xu ..., хп+1) = (хи ..., хп) определяет
регулярное отображение <р: X' -*- X.
Пример 5. Отображение f(t) = (t2, t3) является ре-
регулярным отображением прямой А1 в кривую, заданную
уравнением х3 = у2.
Пример 6. Приведем пример, очень важный для
теории чисел. Предположим, что коэффициенты урав-
уравнений Fi(T) замкнутого множества ХсА" принадлежат
полю Fp из простого числа элементов р.
Как было сказано в п. 1 § 1, точки множества X,
координаты которых лежат в ?р, соответствуют реше-
решениям системы Ft(T)= 0 (mod р). Рассмотрим отображе-
отображение ф пространства А™, определенное формулами
<р (ах, . . ., а„) = (а?, . . ., а?).
Это, очевидно, регулярное отображение. Важно, что <р
переводит X в себя. Действительно, если ael, т. е.
Fi (а) = 0, то по свойству полей характеристики р и вви-
ввиду того, что Ft(T) e FP [T\, Ft (а?, . . ., а?) =
= (-fi(ai, • • -i Cn))p = 0. Полученное отображение
ф: X ->- X называется отображением Фробениуса. Его
значение заключается в том, что точки множества X,
координаты которых содержатся в ?р, характеризуются
среди всех точек X как неподвижные точки отображе-
отображения <р. Действительно, уравнение а? = а* имеет в ка-
качестве решений как раз все элементы поля Fp.
Совершенно аналогично, элементы а, из поля Fp7.,
состоящего из рт элементов, характеризуются соотноше-
соотношением ар = а, а поэтому х ^ X с координатами в поле
Fpr являются неподвижными точками отображения <рг.
L

88 гл. г. основный понятий
Обозначим число точек х е X с координатами в поле
Fpr через vr. Для того чтобы проще обозреть эту сово-
совокупность чисел, рассматривают их производящую функ-
оо
цию Рх (О — zli Vrtr. Глубокая общая теорема утвер-
г=1
ждает, что эта функция всегда рациональна (довольно
элементарное доказательство см. в книге [22]). Функция
Px(t) дает, таким образом, финитное выражение для
бесконечной последовательности чисел vr.
Функция Px(t), связанная с замкнутым множеством
X, обладает некоторыми чертами, аналогичными ?-функ-
ции Римана. Чтобы их выявить, заметим, что если ко-
координаты точки х s X принадлежат полю Fvr и порож-
порождают это поле, то множеству X принадлежат все точки
q>'(x) (i = 1, . . ., г) и все они различные. Набор таких
точек называется циклом, а число г точек в цикле %
называется его степенью и обозначается через deg §. Те-
Теперь можно сгруппировать все vr точек х^Х с коорди-
координатами в поле Fpr по циклам. Координаты любой из этих
точек порождают некоторое подполе Fpd d FpT, причем,
как известно (см., например, [8], с. 138), d\r. Мы полу-
получаем формулу
d\r
где }л<г — число циклов степени d, откуда
оо оо оо оо
Рх (о = 2d 2 dH-d*r = 2 d^d ^ *md ^ jLt
r—1 d\r d=l m=l d=l
Введем функцию
B)
где произведение распространено на все циклы \. Тогда
формула A) перепишется, очевидно, так:
{t)
t
Выражение B) аналогично зйлеровскому разложению
для функции Римана. Чтобы подчеркнуть эту аналогию,
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ 39
полагают p'lee l = N(%) и t = p-°. Тогда B) принимает
вид
Эта функция (как Zx(t), так и ?^($)) называется дзета-
функцией замкнутого множества X.
Выясним, как действует регулярное отображение на
кольцо регулярных функций на замкнутом множестве.
Начнем с замечания, относящегося к произвольным мно-
множествам и отображениям. Если /: X -*- Y — отображение
множества X в множество Y, то каждой функции и на Y
(со значениями в произвольном множестве Z) можно сле-
следующим образом сопоставить функцию v на X: v(x) —
= u(f(x)). Очевидно, что отображение v: X -*- Z, опре-
определяемое функцией v, является произведением отображе-
отображений и: Y -*- Z и /: X -*- Y'. Мы обозначим функцию v
через /* (и). Таким образом, /* — это отображение функ-
функций на У в функции на X. Пусть теперь / — регулярное
отображение X -*- Y. Отображение /* переводит регуляр-
регулярные функции на У в регулярные функции на X. Дей-
Действительно, если и задается полиномом F(TU . . ., Тп),
а отображение /—полиномами Fi, ..., Fm, то v = f* (и)
получается просто подстановкой Ft в F вместо 7\, т. е.
задается полиномом F{FU ..., Fm). Больше того, регу-
регулярные отображения можно характеризовать как ото-
отображения, переводящие регулярные функции в регуляр-
регулярные. Действительно, предположим, что отображение зам-
замкнутых множеств /: X -+ Y таково, что для любой регу-
регулярной на Y функции и функция /* (и) тоже регулярна.
Тогда, в частности, это относится и к функциям ?,-,
определяемым координатами Т{ (i == 1, . . ., тп) на Y.
Следовательно, функции f* (U) регулярны на X. Но это
и значит, что отображение / регулярно.
Мы видели, что если отображение / регулярно, то /*
является отображением /*: k[Y] -*¦ k[X]. Из определе-
определения этого отображения легко следует, что /* является
гомоморфизмом алгебры k [Y] в алгебру к [X]. Покажем,
что наоборот, любой гомоморфизм алгебр ф: k [Y] -*¦
-*¦ к[Х] имеет вид ф = /*, где / — некоторое регулярное
отображение X в Y. Пусть ti, . . ., tm — координаты в
пространстве А, в которой! содержится Y, рассматри-
рассматриваемые как функции на Y. Очевидно, что U «^ k [Y] и,
значит, ф (?j)^ к [X]. Положим ф (?*) = ?, и рассмотрим
отображение /, задаваемое формулами f(x) = (st (x), ...

40
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
. .., sm(x)). Оно, конечно, регулярно. Докажем, что
f(x)^Y. Действительно, если Н «^Sty, то Н (tu . . ., tm) —
= 0 в k [У], а значит, и <р(Н)= 0 на X. Пусть х <= X.
Тогда Н (} (х) ) = ц> (Н) (х)— 0, а это и значит, что
/(х)е У.
Определение. Регулярное отображение f:X^-
->¦ Y замкнутых множеств называется изоморфизмом,
если оно обладает обратным, т. е. если существует та-
такое регулярное отображение g: Y ->• X, что / • g = 1,
Многообразия X и Y называются в этом случае изо-
изоморфными. Очевидно, что изоморфизм является взаимно
однозначным отображением.
Из сказанного выше следует, что если / — изомор-
изоморфизм, то /* является изоморфизмом алгебр к [X] и к [У].
Легко убедиться, что верно и обратное, так что замкну-
замкнутые множества изоморфны тогда и только тогда, когда
их кольца регулярных функций изоморфны над к.
Доказанные только что факты показывают, что сопо-
сопоставление X ->- к [X] определяет эквивалентность катего-
категории замкнутых подмножеств аффинных пространств
(и их регулярных отображений) и некоторой подкате-
подкатегории категории коммутативных алгебр над к (и их
гомоморфизмов). Какова эта (Категория, т. е. какие ал-
алгебры имеют вид к[Х]?
Теорема 1. Алгебра А над полем к тогда и только
тогда изоморфна кольцу к[Х], где X — замкнутое мно-
множество, когда А не имеет нилъпотентных элементов
(г. е. из f <= А, /т = 0 следует / = 0) и порождена над к
конечным числом элементов.
Необходимость всех приведенных условий очевидна.
Если алгебра А порождена конечным числом элементов
ti, ..., tn, то А =* к [Ти . . ., Тп]/% где 2t — идеал кольца
многочленов к[7\, ..., Тп]. Пусть St¦ = (Fu ..., Fm).
Рассмотрим замкнутое множество X сг А™, определенное
уравнениями F± = ...¦= Fm = 0; мы докажем, что Six =
= 21, а тогда к [X] ~ к{7\, . . ., Тп]/Шх ^ А.
Если F e 2tx, то, по теореме Гильберта о корнях,
FT ^ Ш при некотором г > 0. Так как А не имеет ниль-
потентных элементов, то и F^St. Поэтому УИХ cz Sf, а так
как, очевидно, и St <= Sty, то 'Six = St.
Пример 7. Парабола, заданная уравнением у — х%,
изоморфна прямой, и отображения f(x, у)—х, g(t) =
= {t, th) определяют изоморфизм.
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ 41
Пример 8. Проекция f(x, у)= х гиперболы ху =
= 1 в ось х не является изоморфизмом, так как это
отображение не взаимно однозначно — на гиперболе нет
точки (х, у), для которой f(x, i/)="^0. См. также
задачу 7.
Пример 9. Отображение f(t) = (t2, t3) прямой на
кривую, заданную уравнением х3 = у2, как легко про-
проверить, взаимно однозначно. Однако оно не является
изоморфизмом, так как обратное отображение имеет вид
\ У х. У
g (#i У) = —¦> а функция — нерегулярна в начале коор-
координат (см. задачу 5).
Пример 10. Пусть X и Y сг Аг — замкнутые мно-
множества. Рассмотрим ХХ7сА2г (пример 5 п. 1) и ли-
линейное подпространство Д <= А2г, заданное уравнениями
ti = iii, • •.., tr = иг и называемое диагональю. Каждой
точке zelfl F сопоставим точку <p(z) = (z, z) ^ A2r,
которая, очевидно, принадлежит (XXF)flA. Получен-
Полученное отображение ф: X П Г-*-AХ7)П А определяет, как
легко проверить, изоморфизм X П У и (X X У) П Д. Ис-
Используя его, можно всегда свести изучение пересечения
двух замкнутых множеств к рассмотрению пересечения
другого замкнутого множества с линейным подпро-
подпространством.
Пример 11. Пусть X—замкнутое множество,
G — конечная группа его автоморфизмов. Предположим,
что характеристика поля к не делит порядок N группы
G. Положим А = к [X], и пусть А6 — подалгебра инва-
инвариантов, т. е. Ав = {/ е A, g*f = /, для всех g^G). Со-
Согласно предложению 1 п. 5 Приложения алгебра Ав
имеет конечное число образующих. Ввиду теоремы 1
отсюда следует, что существуют такое замкнутое мно-
множество У, что Аа ^ к{У], и такое регулярное отобра-
отображение <р: X-*-Y, что <p*(kj[y]) = ^4G. Это множество
называется фактором (или фактормногообразием) X по
груише G и обозначается X/G.
Для двух точек хи хг<= X тогда и только тогда су-
существует такое преобразование g <= G, что xz = g(xl),
когда ц>(х1) = <р(х2). Действительно, если xz = g(xl), то
/(^г) = /(^0 для всех / ?5 k[X]G = к[У] и, значит,
<p(?i)!= у(х2). Если Xz?-g(xi.), то надо взять такую
функцию /^kfX], что f(g(xz))=l, f(g(xl)) = O для
всех g^G. Тогда 5(/)(ха)=1, 5(/)(xt) = 0 (ср. п. 5
Приложения) и, значит, q> (х2) ?= <р (х^. Таким образом,

42
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
XIG параметризует «орбиты» {g (х), g s G) группы G
на X.
Дальше пас будут интересовать главным образом по-
понятия и свойства замкнутых множеств, инвариантные
относительно изоморфизма. Система уравнений, задаю-
задающая множество, заведомо не является таким поняти-
понятием — изоморфными могут быть множества, заданные в
различных, пространствах Аг различными системами
уравнений. Поэтому естественно было бы попытаться
дать инвариантное определение замкнутого множества,
не зависящее от его реализации в некотором аффинном
пространстве. Такое определение будет дано в гл. V в
связи с понятием схемы.
Выясним теперь, когда гомоморфизм /*: k [Y] -»-,
->¦ к{Х], соответствующий регулярному отображению
/: X -*- Y, не имеет ядра, т. е. когда /* определяет изо-
изоморфное вложение k [Y] в к [X]. Посмотрим, когда для
цек[У] f*(u)= 0. Это значит, что м.(/(#))= 0 для всех
точек х s X. Иначе говоря, и обращается в 0 на всех
точках образа f(X) множества X при отображении /.
Множество точек у «^ Y, для которых и(у)=О, очевид-
очевидно, замкнуто, и поэтому если оно содержит f(X), то
содержит и его замыкание f(X). Повторяя то же рас-
рассуждение в обратном порядке, мы увидим, что /*(м) = 0
тогда ж только тогда, когда и = 0 на f(X) или, что то
же самое, ы-^а^щ. В частности, отсюда следует, что
ядро гомоморфизма /* равно 0 тогда и только тогда,
когда f(X)= Y, т. е. когда f(X) плотно в Y.
Это заведомо так, если уже f(X)—Y, но возможен
случай, когда *f(X)?sY, но f(X)= Y (см. пример 3).
Дальше нас будут в основном интересовать алгебраи-
алгебраические многообразия в проективном пространстве. Но и
замкнутые подмножества аффинного пространства обла-
обладают своеобразной и часто не тривиальной геометрией.
В качестве примера приведем теорему Абьянкара —
Моо:
Кривая X сг А2 тогда и только тогда изоморфна А1,
когда она может быть переведена в прямую автомор-
автоморфизмом плоскости А2.
(Автоморфизмом называется регулярное отображение
А2 в себя, имеющее обратное.)
Группа Aut А2 автоморфизмов плоскости — очень ин-
интересный объект. Некоторые примеры автоморфизмов
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВ 43
строятся просто: это отображения (вида
г
' — ft 4- it C)
где / — многочлен, а также аффинные отображения. Из-
Известно, что вся группа Aut А2 такими автоморфизмами
порождается.
Более того, представление элемента g <= Aut А2 в ви-
виде слова, содержащего отображения C) и аффинные
отображения, почти однозначно: эти два вида отображе-
отображений связаны в группе Aut А2 лишь соотношениями, вы-
выражающими, что у них есть общая часть — отображения
C) с линейным /. На языке теории групп группа
Aut А2 является свободным произведением (или амаль-
гаммой) двух ее подгрупп — отображений типа C) и
аффинных — с объединенной подгруппой. См. [23] и за-
задачу 10.
С автоморфизмами плоскости А2 связана знаменитая
гипотеза о якобиане. Она утверждает, что (в случае,
если основное поле к имеет характеристику 0) отобра-
отображение
х' = f(x, у),
у' = g(x, у), /,
[j, у],
тогда и только тогда определяет автоморфизм, когда
якобиан a i ' ' \ является ненулевой константой. В на-
° \xi У)
стоящее время эта гипотеза доказана для не очень боль-
больших степеней (порядка 100) многочленов f ж g. Ана-
Аналогичная гипотеза существует и для пространства А".
ЗАДАЧИ
1. Множество ХсА2 определяется уравнениями /: х2 -\- у2 = 1
и g: х = 1. Найти идеал &х. Будет ли *&х = (/, g) ?
2. Пусть X cz А2 — плоская алгебраическая, кривая, определен-
определенная уравнением у2 = аг3. Доказать, что все элементы кольца кГХ|
однозначно записываются в виде Р(х) + Q{x)y, где Р(х) и Q(x) —
многочлены.
3. Пусть X — кривая задачи 2, f(t) = (t2, t3) —регулярное
отображение А1 -*- X. Доказать, что / не является изоморфизмом.

44
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Указание. Используя результат задачи 2, попытаться по-
построить обратное регулярное отображение.
4. Пусть X — кривая, определенная уравнением у2 = х2 + х3,
f — отображение А'->-Х, определенное формулой f{t) = (t2—1,
t{t2 — 1)). Доказать, что соответствующий гомоморфизм /* изо-
изоморфно отображает кольцо к[Х] на подкольцо кольца многочле-
многочленов k[i], состоящее из многочленов g(t), для которых g(l) =
= ?(—1).
5. Доказать, что гипербола, определенная уравнением ху = 1,
и прямая А1 не изоморфны. '
6. Для регулярного отображения /: А2-»-А2, заданного форму-
формулой f(x, у) = (х, ху), найти /(А2). Будет ли это множество от-
открыто в А2? Будет ли оно плотным? Замкнутым?
7. То же, что и в задаче 8, для отображения /: Аа-»-А3:
f(x, у, z) = (х, ху, xyz).
8. Изоморфизм /: X—*-Х замкнутого множества X в него же
называется автоморфизмом. Доказать, что все автоморфизмы пря-
прямой А1 имеют вид f(x) = ax -J- Ъ, а ф 0.
9. Доказать, что отображение f(x, у) = (clx, p*j/ + Р(х)), где
Р(х)—любой многочлен от х, является автоморфизмом А2. Дока-
Доказать, что эти автоморфизмы образуют группу.
10. Пусть А — группа аффинных преобразований плоскости А2,
В — группа, описанная в задаче 9, и С = A f\_B. Выберем систему
представителей А классов смежности С\А и. В —• классов С\В, вы-
выбросив из них представитель самого С. Доказать, что произведение
аЪ^ЪгпгЬз ... Ф е, если а <= С, ai e Ж, Бг е В. [Указание. По-
Положим S2i-i = ab\ ... bi, $2i = ab\ ... Ьгпг. Пусть Sj имеют вид
(х, y)-*-(fi(x, у), gj(x, у)). Проверить, что deg f2t = deg g2t =
= deg/2i+l <: deg ^2i+i, так что число max(deg/j, deg gj) или со-
сохраняется, или увеличивается.] Вывести отсюда однозначность
представления элемента g e Aut А2 в виде abid\bi...
i'l. Доказать, что если f(x\, ..., хп) == (Р\{хх, ..., хп), ...
..., Pn(xi,
Хп))—автоморфизм Ата, то якобиан
дх.
к.
Обозначив значение этого якобиана через /(/), доказать, что соот-
соответствие /-*-/(/) определяет гомоморфизм группы всех автомор-
автоморфизмов Ап в группу ненулевых элементов поля к.
12. Пусть X состоит из двух точек. Доказать, что кольцо к[Х]
изоморфно прямой сумме двух экземпляров поля к.
13. Пусть /: X-*-Y — регулярное отображение. Подмножество
Т а X X У, состоящее из точек вида (х, f(x)), называется гра-
графиком /. Доказать: а) что Т-—замкнутое подмножество в XX Y и
б) что Т изоморфно X.
14. Отображение pY: XX Y-*-Y, определенное формулой
ртг(х, у) = у, называется проектированием. Доказать, что для Z сг
<=¦ X и регулярного отображения /: X-*-Y имеем f(Z) =
= Py((Z X Y) f]T), где Т—график /, a Z X. Y состоит из всех
точек (z, у), г е Z, у ^ Y.
15. Доказать, что для любого регулярного отображения /: X—>-
—>¦ Y существует регулярное отображение g: X —*- X X Y, являющее-
являющееся изоморфизмом X с замкнутым подмножеством многообразия
X УС Y, для которого / = />у • g (любое регулярное отображение
разлагается на вложение и проектирование).
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
45
16. Доказать, что если X = (J Ua — покрытие замкнутого мно-
множества X открытыми множествами, то существует такое конечное
число множеств Ua^, ..., Ua^, что X = Ua^ U . - - U U^.
17. Доказать, что отображение Фробениуса ф является взаимно
однозпачпым. Будет ли опо изоморфизмом, если, например,
X = А'?
18. Найти функцию Zx (t), если X = Ап.
19. Найти функцию Zx{t), если X—.неособая коника в А2,
§ 3. Рациональные функции
1." Неприводимые множества. В п. 1 § 1 мы встрети-
встретились с понятием неприводимой плоской алгебраической
кривой. Сформулируем апалогичпое понятие в общем
случае.
Определение. Замкнутое множество X называ-
называется приводимым, если существуют такие замкнутые
подмножества Xi <=z X, Xz <= X, Xt Ф X, Х2Ф X, что X =
= Xi U Хг. В противном случае X называется неприво-
неприводимым.
Теорема 1.- Любое замкнутое множество является
объединением конечного числа неприводимых.
Доказательство. Пусть для замкнутого множе-
множества X теорема неверна. Тогда X приводимо: X = Хх U
U Хг, причем или для Хи или для Хх теорема невер-
неверна. Если это Xi, то опо приводимо и опять одно из тех
замкнутых множеств, объединением которых оно явля-
является, приводимо. "Так мы построим бесконечную после-
последовательность замкнутых множеств X => Х4 => Х2 =>.. .,
X Ф Xi, Xi Ф Х2, . . . Докажем, что такой последователь-
последовательности быть пе может. Действительно, для соответству-
соответствующих идеалов мы имели бы &х с= 2txx cr 2tx2, . . •, ^хф-
ф- ^-хх, %-хг Ф %-х2, ¦ ¦ ¦ Но такой тгоследовательности не
может существовать, так как в кольце многочленов
каждый идеал имеет конечный базис, а значит, возра-
возрастающая последовательность идеалов обрывается. Тео-
Теорема доказана.
Если в представлении X=UXi для некоторых индек-
индексов i Ф ]' имеем Хг- <=¦ Xh то мы можем выкинуть из этого
представления Х{. Проделав несколько раз эту опера-
операцию, мы придем к представлению X = UXU в котором при
i Ф j будет Xt <?¦ Xj. Такое представление называется
несократимым разложением X на неприводимые замк-
замкнутые множества, а X* называются неприводимыми ком-
компонентами X.

46
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Теорема 2. Несократимое представление замкну-
замкнутого множества единственно.
Пусть X = U Xi = у Yj — два несократимых пред-
представления. Тогда Xt = Xi П X =Xt Л ( U У»= U (X* П Yj).
Так как Х4 по условию неприводимо, то для некоторого
/ имеем XiuYj = Хи т. е. Хг <= Y,. Меняя местами пер-
первое и второе разложения, получим, что для / существу-
существует такое i\ что Yj c= Х^. Следовательно, Хг с= Yj c= Хг,,
а ввиду несократимости разложения i' = i и Yj = X,.
Теорема доказана.
Мы сформулируем теперь понятие неприводимости
замкнутого множества X в терминах кольца к [X]. Если
X приводимо, X = X1UX2, то, так как Х=>Хи X ?* Хх
существует многочлен Fu равный 0 на Хи но не рав-
равный 0 на X, и аналогичный многочлен Fz для Х2. Тог-
Тогда Fi ¦ Fz равен 0 и на Хи и на Хг, и, значит, на X.
Соответствующие регулярные функции Д, /2 «= к [X] об-
обладают тем свойством, что Д =И= 0, /2 ?= О, Д • /2 = 0.
Иначе говоря, Д и /2 являются делителями 0 в к [X].
Наоборот, пусть в кольце к[Х] есть делители 0: Д • /2 =
== 0> Л ^ 0, /2 ?= 0. Обозначим через Х4 и Х2 замкнутые
подмножества X, соответствующие идеалам (Д) и (Д)
кольца к [X]. Иначе говоря, X,- состоит из тех точек
х^Х, для которых fi(x)=0 (i = 1, 2). Очевидно, что
Xi ?= X, так как Д =5^ 0 на X, и X = Xj. U Х2, так как
Д • Л = 0 на X и, значит, в каждой точке х е X или
Д (#) = 0, или /2 (#) = 0. Таким образом, замкнутое мно-
множество X неприводимо тогда и только тогда, когда коль-
кольцо к [X] не имеет делителей нуля. Это в свою очередь^
равносильно тому, что идеал Six простой.
Если замкнутое надмножество Y содержится в X,
то очевидно, что и его неприводимые компоненты содер-
содержатся в X. В терминах кольца к [X] неприводимость
подмножества Y с= X выражается как простота идеала
аУ <= к [X].
Гиперповерхность Х<=А" с уравнением / = 0 приво-
приводима тогда и только тогда, когда приводим многочлен /.
Таким образом, наша терминология согласуется с при-
принятой в § 1 для случая плоских кривых.
Теорема 3. Произведение неприводимых замкну-
тых множеств неприводимо.
Предположим, что X и У неприводимые, но X X Y =
= Zi U Z2, Zt?*XXY (i = 1, 2). Тогда для любой точ-
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
47
ки х «^ X замкнутое множество х X Y, состоящее из
точек (х, у), где у — любая точка Y, изоморфно Y и,
значит, неприводимо. Так как х X Y ==( (х X Y) П Zt) U
U((xXY)f) Z2), то xXY<=zZt или х X Y <= Z2. Рассмот-
Рассмотрим множество Х4 <=¦ X, состоящее из таких точек х е X,
что гХУс Zu и докажем, что это множество замкнуто.
Действительно, для любой точки у ^ Y множество Ху
тех точек х se X, для которых х X у ^ Zu замкнуто: оно
характеризуется тем, что (XX у) П Zt = Xv X у, а пере-
пересечение замкнутых множеств X X у и Zt замкнуто. Так
как Хх = П Ху, то и Xj замкнуто. Аналогичное мно-
жество Х2, состоящее из точек д; ^ X, для которых х X
X Y <= Z2, также замкнуто. Мы видим, что Xt U Х2 = X,
а ввиду пеприводимости X отсюда следует, что Xt = X
или Х2 = X. В первом случае X X Y = Zt, а во втором
XXF = Z2. Это противоречие доказывает теорему.
2. Рациональные функции. Как известно, любое коль-
кольцо без делителей нуля можно вложить в поле — его
поле частных.
Определение. Если замкпутое множество X не-
неприводимо, то поле частных кольца к [X] называется по-
полем рациональных функций на X. Оно обозначается к(Х).
Вспомнив определение поля частных, мы можем ска-
сказать, что поле к(Х) состоит из таких рациональных
функций G ,j,{ , что G(T)&%X, причем считается, что
F F
-=г- = -77^, если FGi — FiG е %х. Это означает, что поле
G G
k(X) можно построить также следующим образом. Рас-
Рассмотрим подкольцо (Ух'=к-(Т1, . . ., Тп), состоящее из
таких рациональных функций / = -ту, Р, Q ^ k [T], что
Q ф %Хш Те функции Д для которых Р se 2lx, образуют
идеал Мх и к(Х)= 0ХШХ.
В отличие от регулярной функции на замкнутом мно-
множестве, рациональной функции не всегда можно при-
приписать определенное значение в точке этого множества,
А -г*
например функции -— в точке Оили —в точке @, 0).
Выясним, когда это возможно.
Определение. Рациональная функция ф^к(Х)
называется регулярной в точке х^Х, если она может
быть записана в
виде Ф = -у* /,

48
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В этом случае элемент )XJ поля к называется значе-
g к*)
нием функции ф в точке х и обозначается через q>(x).
Теорема 4. Рациональная функция ф, регулярная
во всех точках замкнутого мноокества, является регу-
регулярной функцией на этом множестве.
Пусть фек (X) и регулярна во всех точках х «= X.
Это значит, что для любой точки х существуют такие
элементы fx, gx^k[X], gx(x)?=Q, что ф = ——. Рассмот-
х
рим идеал а, порожденный всеми функциями gx, x se X.
Он имеет конечный базис, т. е. существует такое конеч-
конечное число точек хи ..., xN, что а = (gXl, . . ., gxN).
Функции gXi не.могут иметь общий нуль х^Х—тогда
и все функции идеала а обращались бы в точке а: в О,
в то время как gx(x)?=O. Из аналога теоремы Гильбер-
Гильберта о корнях следует, что а = -1, т. е. существуют такие
N
N
функции ии . . ., uN^k[X], что 2 uigXi = 1. Умножим
2
г=1
обе части этого равенства на ф и воспользуемся тем,
что ф =
.
Мы получим, что ф = ^ Uifxv т. е.
г=1
(рек [X]. Теорема доказана.
Множество точек, в которых рациональная функция
Ф ла замкнутом множестве X регулярна, не пусто и от-
открыто. Первое утверждение следует из того, что ф мож-
можно представить в виде ф =—, где /, g ^ k [X], g?=0. Это
значит, что существует такая точка х е X, что g(x)^O.
Очевидно, что в этой точке ф регулярна. Для доказа-
доказательства второго утверждения рассмотрим все возмож-
возможные представления ф= ——. Для любой регулярной функ-
пии gi множество Yt сг X, состоящее из тех точек х ^ X,
для которых gi(x)=O, очевидно, замкнуто, а значит,
Ui = X — Yi открыто. Множество точек U, в которых
функция ф регулярна, по определению имеет вид U =
= UUi и, следовательно, открыто. Это открытое множе-
множество называется областью определения функции ф. Для
любой конечной системы рациональных функций ф4, ...
..., фт множество точек xeZ, в которых они все регу-
регулярны, также открыто и не пусто. Первое утверждение
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
49
следует из того, что пересечение конечного числа от-
открытых множеств открыто, а второе — из следующего
полезного свойства: пересечение конечного числа непу-
непустых открытых множеств неприводимого замкнутого мно-
множества не пусто. Действительно, пусть Ui = X— Yi, i —
= 1, .. ., m; nUi= 0. Тогда Y, ?• X и UYt = X. Ho Y< —
замкнутые множества, и мы приходим к противоречию
с неприводимостью множества X.
Таким образом, любое конечное множество рацио-
яальпых функций можно сравнивать на некотором не-
непустом открытом множестве. Это замечание полезно
ввиду того, что рациональная функция фекA) одно-
однозначно определяется своим заданием на некотором не-
непустом открытом подмножестве U <= X. Действительно,
если ф (х) = 0 для всех х ^ U и ф Ф 0 на X, то,. взяв
какое-то одно представление Ф= —, f,g^k [X], мы по-
лучим, что X яовляется объединением двух замкнутых
множеств: X = Х± U X2, Xi = X — U, а Хг определено
уравнением / = 0. Это противоречит неприводимости X.
3. Рациональные отображения. Пусть X сг А™ — не-
неприводимое замкнутое множество. Рациональное отобра-
отображение X ->- Ат задается произвольным набором m функ-
функций <pi, . . ., <pmek(I). Определим теперь понятие
рационального отображения ф: X ->- У, где Y—замкну-
Y—замкнутое подмножество пространства Ат.
Определение. Рациональным отображением
ф: X -»- Y cz Am называется такой набор т функций
фь ..., фтек(Х), что для любой точки х^Х, в кото-
которой все функции ф; регулярны, (<р,_(х), . . ., cpm(x))^Y.
Отображение ф называется регулярным в такой точке х,
а точка (<f>i(x), .. ., q>m(x)) называется образом точки х
и обозначается через ф(^).
Множество точек вида ф(#), где х— те точки X,
в которых ф регулярно, называется образом X и обозна-
обозначается через ф(Х). Таким образом, рациональное ото-
отображение не является отображением всего множе-
множества X в множество Y, но оно заведомо определяет
отображение некоторого непустого открытого множества
U с X в У.
Рассмотрение функций и отображений, которые опре-
определены не во всех точках, является существенным отли-
отличием алгебраической геометрии от других разделов гео-
геометрии, например топологии.
4 и. Р. Шафаревич, т. 1

50
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Как было доказано в конце предыдущего пункта, все
функции ф,-, а значит, и рациональное отображение ф =
= (ф4, . . ., <рт) определены на некотором непустом от-
открытом множестве U <= X. Поэтому рациональные ото-
отображения можно рассматривать как отображения откры-
открытых подмножеств, однако при этом надо иметь в виду,
что разные отображения могут иметь разные области
определения. То же относится, конечно, и к рациональ-
рациональным функциям. Чтобы убедиться, что функции ф4, ...
..., фт определяют рациональное отображение ф: X -*-
-*- У, надо проверить, что функции (<pt, ..., <pm) как эле-
элементы поля к(Х) удовлетворяют уравнениям множества
У. Действительно, если это свойство выполнено, то для
любого многочлена и(Ти . . ., Тт)^Шу функция и(<ри ...
..., фт) = 0 на I. Тем самым в любой точке х, где все
q>i регулярны, и(ф4(х), . . ., ут{х))=0, т. е. {q>i{x), ...
..., срт(х))е= Y. Если, наоборот, мы имеем отображение
ф: X ->¦ У, то для любого и «^ 91У функция и(ф1, .. ., фт)^
ek(I) равна 0 на некотором непустом открытом мно-
множестве U <= X, а значит, равна 0 на X. Отсюда следует,
что и и (фь ..., фт) = 0 в к (X).
Выясним, как действует рациональное отображение
на рациональные функции на замкнутом множестве.
Предположим, что для рационального отображения
ф: X -*- Y множество ср(Х) плотно в Y. Рассмотрим ф как
отображение U ->- <р(Х), где U—область определения ф,
и построим соответствующее ему отображение функций.
Для любой функция /ek [Y] функция ф* (/) является
рациональной функцией па X. Действительно, если Y <=
с= Ат и / задается полиномом и(Ти . . ., Тт), то ф*(/)
задается рациональной функцией и(ф1? . . ., фт). Таким
образом, мы имеем отображение ф*: k [Y] ->- к (X), кото-
которое является, очевидно, гомоморфизмом кольца k [Y] в
поле к (X). Этот гомоморфизм является даже изоморф-
изоморфным вложением к [У] в к(Х). Действительно, если
Ф*(м) = 0 для и-<=к[У], то это значит, что и = 0 на <р(Х).
Но если и ?= 0 на Y, то равенство и = 0 определяет
замкнутое подмножество V(u)<= Y, отличное от Y. Тогда
ф(Х)<= V(и), а это противоречит тому, что <р(Х) плотно
в Y. Вложение ф* кольца k [Y] в поле к (X) можно, оче-
очевидно, продолжить до изоморфного вложения поля ча-
частных к (У) кольца k [Y] в к(Х). Таким образом, если
ф(-ХГ) плотно в Y, то рациональное отображение <р опре-
определяет изоморфное вложение ф* поля к (У) в поле к(Х).
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
51
Если даны два отображения ф: X -*- Y ж г|э: Y ->- Z и
ф(Х) плотно в Y, то, как легко видеть, можно опреде-
определить произведение "ф - ф: X -+ Z, причем если г|э(У) плот-
плотно в Z, то (г|з • ф) (X) также плотно в Z. Тогда для вло-
вложений полей имеет место соотношение (ф • ф)*= Ф* • i|)*.
Определение. Рациональное отображение ф: X -*-
->- Y называется бирационалъным изоморфизмом, если
оно обладает обратным. Это значит, что существует та-
такое рациональное отображение г|к Y-*-X, что ф(-У)
плотно в У, а г|5(У) —в X и -фф = 1, фф = 1. В этом
случае X и У называются бирационально изоморфными.
Очевидно, что если рациональное отображение
ф: X ->- У является бирациональным изоморфизмом,
то вложение ф*: к(У)-*-к(Х) является изоморфизмом.
Легко проверить, что верно и обратное (для плоских
алгебраических кривых это сделано в § 1). Таким об-
образом, замкнутые множества X и У тогда и только тогда
бирационально изоморфны, когда поля к(Х) и к (У)
изоморфны над к.
Примеры. В § 1 мы разобрали ряд примеров би-
рационального изоморфизма между плоскими алгебраи-
алгебраическими кривыми. Изоморфные замкнутые множества,
очевидно, бирационально изоморфны. В примерах 8 и 9
п. 3 § 2 отображения, не являющиеся изоморфизмами,
являются, однако, бирациональными изоморфизмами.
Замкнутые множества, бирационально изоморфные
некоторому аффинному пространству, называются рацио-
рациональными. В § 1 мы встретились с рациональными ал-
алгебраическими кривыми. Приведем несколько других
примеров.
Пример 1. Неприводимая квадрика X, определен-
определенная в А™ уравнением 2-й степени F(TU . . ., Тп)=0,
рациональна. Доказательство, приведенное в п. 1 § 1
для п = 2, годится и в общем случае. Соответствующее
отображение опять можно интерпретировать как про-
проектирование X из некоторой точки х se X на гиперпло-
гиперплоскость I <= А", не проходящую через х. Надо только вы-
выбрать х так, чтобы она не была «вершиной» на X,
т. е. чтобы -^-{х)^= 0 хотя бы для одного ? = 1, . . ., п.
Пример 2. Рассмотрим гиперповерхность X в А3,
определенную уравнением 3-й степени х3 4- у3 + z3 = 1,
и предположим, что характеристика основного поля
отлична от 3. На X лежат несколько прямых, например
4*

52 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ \
I
прямые Li и Lz, заданные системами уравнений '
х + у = 0, х + еу=О, i
JLJ ¦,' . Ljn I
1 z=l, 2 z = e, ;
где e — корень 3-й степени из 1, е Ф 1. Прямые Z^ и ?2
скрещивающиеся.
Мы опишем рациональное отображение X на пло- 1
скость геометрически и предоставим читателю выписать
формулы, а также проверить, что мы имеем дело с би-
рациональным изоморфизмом. Выберем некоторую пло-
плоскость Е в А3, не содержащую ?ц и Lz. Для х s X —
— Li — Lz существует, как легко проверить, единствен-
единственная прямая L, проходящая через х и пересекаю-
пересекающая Z/j, и Lz. Точку пересечения L О Е обозначим че-
через f(x). Это и есть искомое рациональное отображе-
отображение X ->- Е.
Очевидно, что эти рассуждения применимы для лю-
любой кубики в А3, на которой лежат две скрещивающие-
скрещивающиеся прямые.
В алгебраической геометрии мы имеем дело с двумя
отношениями эквивалентности — изоморфизмом и бира-
циональным изоморфизмом. Очевидно, что бирациональ-
ный изоморфизм — более грубое отношение, чем изомор-
изоморфизм, т. е. неизоморфные замкнутые множества могут
быть бирационально изоморфны. Поэтому часто класси-
классификация замкнутых множеств с точки зрения бирацио-
бирационального изоморфизма оказывается проще и обозримее,
чем с точки зрепия изоморфизма. Изоморфизм, будучи
определеп во всех точках, ближе к таким геометриче-
геометрическим понятиям, как гомеоморфизм или диффеоморфизм,
и поэтому удобнее. Важным вопросом является выясне-
выяснение свяаи между этими двумя отношениями эквивалент-
эквивалентности. Речь идет о том, насколько грубее бирациональ-
ный изоморфизм, чем изоморфизм, т. е. как много раз-
различных с точки зрения изоморфизма замкнутых мно-
множеств принадлежит к одному типу с точки зрения
бирационального изоморфизма. С этим вопросом мы
дальше часто будем встречаться.
В заключение мы докажем один результат, иллю-
иллюстрирующий понятие бирациопального изоморфизма.
Теорема 5. Любое неприводимое замкнутое мно-
множество X бирационалъно изоморфно гиперповерхности
в некотором аффинном пространстве А™.
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
53
Поле к(Х) порождено над к конечным числом эле-
элементов, например элементами tu ..., tn — координатами
в А™, рассматриваемыми как функции на X.
Пусть d — максимальное число алгебраически неза-
независимых над к среди tu . . ., tn.
Согласно предложению 1 п. 4 Приложения поле
можно представить в виде k(zt, ..., zd+1), где
Zi, ..., zd алгебраически независимы над к и
f(Zi, ..., zd, zd+1)= 0, A)
причем многочлен / неприводим над к и frd+1 =?*= 0. Оче-
Очевидно, что поле рациональных функций к (У) на замк-
замкнутом множестве Y, определенном уравнением A), изо-
изоморфно полю к (X). Это и значит, что X и Y бирацио-
бирационально изоморфны. Теорема доказана.
Замечание 1. Согласно предложению 1 п. 4 При-
Приложения элемент zd+t был еепарабельным над полем
k(zl7 . . ., zd). Расширение k(X)/k(zt, . . ., zd) является,
следовательно, конечным еепарабельным расширением.
Замечание 2. Из доказательства предложения 1
п. 4 Приложения и теоремы о примитивном элементе
следует, что zt, . . ., Za+i можно выбрать в виде линей-
линейных комбинаций исходных координат хг, . . ., хп: zt =
п
= 2 сахз (} = 1» • • •. d + 1). Отображение (хи .. ., хп) -*-
3 = 1
-*¦ (zi, . .., zd+1), задаваемое этими формулами, является
проектированием пространства А" параллельно линей-
линейному подпространству, заданному уравнениями
п
2 cijXj = 0 (i = 1, . . ., d -f- 1). Это указывает геомет-
геометрический смысл бирационального отображения, суще-
существование которого устанавливает теорема 6.
ЗАДАЧИ
1. Пусть к есть поле характеристики ф 2. Разложить замкну-
замкнутое множество X а А3, определенное уравнениями х2 + у2 + z2 = 0,
х2 — у2 — z2 + 1 = 0, на пеприводимые компоненты.
2. Доказать, что если X — замкнутое множество задачи 4 § 2,
то элементы поля к(Х) однозначно представляются в виде и(х) +
+ v(x)y, где и(х) и v(x)—любые рациональные функции.
3. Доказать, что отображения / задач 3, 4, б § 2 являются би-
рациональным изоморфизмом.
4. Разложить замкнутое множество X, определенное в А3 урав-
уравнениями у2 — xz, z2 = у3, на неприводимые. Доказать, что все его
неприводимые компоненты бирационально изоморфны А1.

54
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
5. Доказать, что если замкнутое множество X определено в Ап
одним уравнением /„_i(r,, ..., Тп) + fn(Tu ..., Тп) —0, где fn-i
и /п — однородные многочлены степеней п — 1 и га, и X неприво-
димо, то оно бирационально изоморфно Ап~1. (Такое замкнутое
множество .называется моноидом.)
6. В каких точках окружности, заданной уравнением х2 + у2 =
= 1, регулярна рациональная функция —?
7. В каких точках кривой X с уравнением у2 = ж2 + ж3 будет
регулярной функция t = —jr"? Доказать, что t ф. крС].
§ 4. Квазипроективные многообразия
1. Замкнутые подмножества проективного простран-
пространства. Пусть V — векторное пространство размерности
п + 1 лад полем к. Совокупность прямых (т. е. 1-мер-
1-мерных подпространств) пространства V называется п-мер-
ным проективным пространством и обозначается через
P(F) или Р". Если в V введены координаты ?0, . • ., In,
то точка |еР" задается га+1 элементами (?„:... :§„)
поля к, причем не все %i равны 0. Точки (|0 :... : %п)
и (т]0 : ... : г)„) тогда и только тогда считаются одина-
одинаковыми, когда существует такое А Ф 0, что r\t = А§,-
(i = 0, ..., п). Любой набор (|0:...:1п), задающий точ-
точку 1> будет называться однородными координатами этой
точки.
Мы будем говорить, что многочлен / (S) <= k [So, ..., Sn]
обращается в 0 в точке |еРя, если /(§о, . • •, §„) = 0,
как бы ни были выбраны координаты ^< точки §. Оче-
Очевидно, что тогда /(Ago, • ¦ ¦•, A,gn)=O для всех Я =^ 0,
А е к. Запишем / в ъиде / = /0 + Л + .. - + /г, где /г —
сумма всех членов степени i в /. Тогда
/№,..., Л?„) = /.(&, ...,!„)+
Ввиду того, что поле к бесконечно, равенство
/(Ago, ..., Agn)=O, имеющее место при всех А =5^ 0, ^е
ек, влечет за собой равенства Л(|о5 • • •¦> ?«)= 0. Таким
образом, если многочлен / обращается в 0 в некоторой
точке §, то в той же точке обращаются в 0 и все его
однородные составляющие.
Определение. Подмножество Х<=Р" называется
замкнутым, если оно состоит из всех точек, в которых
одновременно обращается в 0 конечное число многочле-
многочленов с коэффициентами из к.
§ 4. КВАЗИПРОЕКТИВИЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
55
Замкнутое множество, определенное одним однород-
однородным уравнением F = 0, называется, как и в аффинном
случае, гиперповерхностью. Степень многочлена называ-
называется степенью гиперповерхности. Гиперповерхности сте-
степени 2 называются квадриками.
Совокупность всех многочленов /ek[So, . .., Sn], об-
обращающихся в 0 во всех точках х s X, образует идеал
кольца k[S], называемый идеалом замкнутого множества
X, и обозначается через %х. Ввиду сказанного выше
идеал %х обладает тем свойством, что если в нем содер-
содержится многочлен /, то в нем содержатся и все однород-
однородные составляющие этого многочлена. Идеалы, обладаю-
обладающие этим свойствам, называются однородными. Таким
образом, идеал замкнутого подмножества проективного
пространства однородный. Из этого следует, что он имеет
базис, состоящий из однородных многочленов: достаточ-
достаточно взять любой базис и рассмотреть систему всех одно-
однородных составляющих многочленов базиса. В частности,
любое замкнутое подмножество проективного простран-
пространства может быть задано системой однородных уравнений.
Таким образом, каждому замкнутому подмножеству
X cz 'р« (соответствует однородный идеал 4&х <= k [iS0, ...
. .., Sn]. Наоборот, любой однородный идеал SI cz к [S]
определяет замкнутое подмножество X <=¦ Р™. Именно,
если Fu .. ., Fn — однородный базис 91, то X определя-
определяется системой уравнений Ft = 0, . .., Fn = 0. Если эта
система не имеет других решений в поле, кроме нуле-
нулевого, то естественно считать X пустым множеством.
Примеры замкнутых подмножеств про-
проективного пространства. Пример 1. Грас-
сманово многообразие. Проективное пространство P(V)
параметризует одномерные линейные подпространства
Z,1 сг V векторного пространства V. Грассманово много-
многообразие G{r, V) играет ту же роль для r-мерных под-
подпространств Lr cr V. Для его определения рассмотрим
внешнюю степень ArV пространства V и сопоставим ба-
базису /4, . . ., fr подпространства L элемент Л Л • - • Л /г
пространства ArV. При переходе к другому базису того
те подпространства этот элемент умножается на элемент
аек, аФ0 (определитель матрицы перехода), поэтому
соответствующая точка проективного пространства
Р(ЛГУ) определяется подпространством L однозначно.
Эта точка обозначается P{L). Легко видеть, что она од-
однозначно определяет подпространство L. Если {ej —¦

54
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
5. Доказать, что если замкнутое множество X определено в Ая
одним уравнением fn-\(T\, ..., Тп) + fn(Tu ..., Тп) = О, где /n-i
и /п — однородные многочлены степеней п — 1 и л, и X неприво-
димо, то оно бирационально изоморфно Ап~1. (Такое замкнутое
множество .называется моноидом.)
6. В каких точках окружности, заданной уравнением х2 + у2 =
= .1, регулярна рациональная функция ~—?
7. В каких точках кривой X с уравнением у2 = х2 + хъ будет
у
регулярпой функция t = -jp? Доказать, что ? ф. к [X].
§ 4. Квазипроективные многообразия
1. Замкнутые подмножества проективного простран-
пространства. Пусть V — векторное пространство размерности
п + 1 над полем к. Совокупность прямых (т. е. 1-мер-
1-мерных подпространств) пространства V называется п-мер-
ным проективным пространством и обозначается через
Р(V) или Р™. Если в V введены координаты |„, ..., ?„,
то точка 1 ^ Р™ задается и+1 элементами (?о: . ..:§„)
поля к, причем не все ?,- равны 0. Точки (|0 .'...:§»)
и (г)о :... : г)„) тогда и только тогда считаются одина-
одинаковыми, когда существует такое Я =?= 0, что г)г = Я§,-
(? = 0, ..., п). Любой набор (§0 :. • • ¦ §п), задающий точ-
точку li будет называться однородными координатами этой
точки.
Мы будем говорить, что многочлен / (?) е к [?„, ..., Sn]
обращается в 0 в точже |еР", если /Aо, ..., §п)=0,
как бы ни были выбраны координаты §* точки §. Оче-
Очевидно, что тогда /(Я§0, ..., Л^п) = 0 для всех Я ^ 0,
% е к. Запишем / в виде / == /о + Л + ¦ • • + /г, где /* —
сумма всех членов степени i в /. Тогда
Ввиду того, что поле к бесконечно, равенство
/(Л|о, ..., А,§п)=0, имеющее место при всех Л ^ 0, Я <=
sk, влечет за собой равенства /i(§o, ..., ?„)=0. Таким
образом, если многочлен / обращается в 0 в некоторой
точке %, то в той же точке обращаются в 0 и все его
однородные составляющие.
Определение. Подмножество JcP" называется
замкнутым, если оно состоит из всех точек, в которых
одновременно обращается в 0 конечное число многочле-
многочленов с коэффициентами из к.
§ 4. КВАЗИПРОЕКТИВИЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
55
Замкнутое множество, определенное одним однород-
однородным уравнением F = 0, называется, как и в аффинном
случае, гиперповерхностью. Степень многочлена называ-
называется степенью гиперповерхности. Гиперповерхности сте-
степени 2 называются квадриками.
Совокупность всех многочленов /е k [Su, . .., iSn], об-
обращающихся в 0 во всех точках х <= X, образует идеал
кольца к[5], называемый идеалом замкнутого множества
X, и обозначается через %х. Ввиду сказанного выше
идеал %х обладает тем свойством, что если в нем содер-
содержится многочлен /, то в нем содержатся и все однород-
однородные составляющие этого многочлена. Идеалы, обладаю-
обладающие этим свойствам, называются однородными. Таким
образом, идеал замкнутого подмножества проективного
пространства однородный. Из этого следует, что он имеет
базис, состоящий из однородных многочленов: достаточ-
достаточно взять любой базис и рассмотреть систему всех одно-
однородных составляющих многочленов базиса. В частности,
любое замкнутое подмножество проективного простран-
пространства может быть задано системой однородных уравнений.
Таким образом, каждому замкнутому подмножеству
Jcp» (соответствует однородный идеал ЧЬХ <=¦ k [So, ...
..., Sn]. Наоборот, любой однородный идеал 91 <= к [S]
определяет замкнутое подмножество X <= Ря. Именно,
если Fu .. ., Fn — однородный базис 91, то X определя-
определяется системой уравнений Flc= 0, . .., Fn = 0. Если эта
система не имеет других решений в поле, кроме нуле-
нулевого, то естественно считать X пустым множеством.
Примеры замкнутых подмножеств про-
проективного пространства. Пример 1. Грас-
сманово многообразие. Проективное пространство Р(Т/)
параметризует одномерные линейные подпространства
L1 сг V векторного пространства V. Грассманово много-
многообразие G(r, V) играет ту же роль для r-мерных под-
подпространств Lr cr V. Для его определения рассмотрим
внешнюю степень ArV пространства V и сопоставим ба-
базису /i, . . ., /г подпространства L элемент Л Л • ¦ • Л /г
пространства ArV. При переходе к другому базису того
же подпространства этот элемент умножается на элемент
а^к, а ?= 0 (определитель матрицы перехода), поэтому
соответствующая точка проективного пространства
Р(Л''У) определяется подпространством L однозначно.
Эта точка обозначается P{L). Легко видеть, что она од-
однозначно определяет подпространство L. Если {ej —

56
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
базис V, {егг Д • • • Л е»г} — базис ArV и P(L) =
= 2 Pix-..ireix Л • • • Л eir> то однородные координа-
ты pi ir точки Р (L) называются плюккеровыми коор-
координатами подпространства L.
За исключением тривиальных случаев, когда размер-
размерность или коразмерность подпространств равна 1, не вся-
всякая точка P^P(ArV) имеет вид P{L) или, что то же
самое, не любой элемент х <== ЛГУ представим в виде
Л Л • • • Л /г» U е V. Необходимые и достаточные ус-
условия для этого используют понятие свертки. Пусть
и е V* — вектор сопряженного пространства. Для х <=
еЛ'7=У свертка и _] х принадлежит к и совпадает
со скалярным произведением (w, x) или с и(х). Для
ieA"F = k полагаем и _| х = 0. Для любых а: е= ЛГУ
операция w _| а; продолжается однозначно с х е Л1 У, ес-
если потребовать условия
(а: Д У) = (" -I *) Л У + (— 1)г (а? Л (и -I
A)
если а: е= ЛГУ. При этом и J ArF e Л1"^. Элемент
и _\ х при и е У*? з;еЛг7 называется сверткой и is. х.
Наконец, для ut, . . ., us е V* элемент иг _| (и2 _| . . .
• • • (us _J х) . . .) зависит только от у = иг Д . . . Д us <=
<= Asy* и обозначается г/ _| х. При этом г/ _| х <= ЛГ~*У
при r^s ж равен 0 при г < s.
Условия представимости элемента г^Л'У в виде х —
= /i Л • • • Л /г имеют вид
(у_|х)Лж = 0 B)
для всех y^Ar~lV*. Очевидно, что условия B) доста-
достаточно проверить для у = w^ Д . . . Д "гг_1, если {uj —
некоторый базис V*. В частности, взяв за {и,} базис,
дуальный к базису (ej пространства У, можно перепи-
переписать условия B) в координатах.
Они принимают вид
r+1
C)
для всех последовательностей ii...ir-i и ]\...jr+i.
Многообразие, определенное соотношениями B) или
C) в P(ArF), называется грассмановым многообразием
ж обозначается G(r, V) или G(r, п), где п — dim V.
§ 4. КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
57
Нам нужен будет явный способ реконструкции под-
подпространства L по координатам р%1..лг, удовлетворя-
удовлетворяющим соотношениям C). Пусть, например, р1,__г Ф 0.
Тогда, если Р = (Рг1..лг) — P(L), то Z, обладает базисом
вида А = ei + 2 aiA.eft (г = 1, . . ., г). Отсюда, как легко
fe>
видеть, pl...T=i, Px I rk = aih(— l)k, откуда aik =
i...г
Таким образом, открытые аффинные множества
Pi^.Aj-^O многообразия G(r, V) все изоморфны аффин-
аффинным пространствам размерности г(п — г) с координата-
координатами aih (i = 1, . . ., г; к = г + 1, . . ., п). Можно показать,
что, например, в открытом множестве pi..,r Ф 0 уравне-
уравнения C) явно разрешаются относительно координат вида
pi...r и р1 J- r ¦ Именно, если хотя бы два из iu .. ., ir
больше, чем г, то
Pl...r
где F— форма некоторой степени тп от координат pi...r
и рх -т- r , i ^ г, к > г. Подробное изложение свойств
грассмановых многообразий содержится, например, в об-
обзоре [21].
Простейший нетривиальный случай этой теории —
когда г = 2. Тогда, ввиду A), {и _J х) /\ х =-^- (и _]
_| (а; Д х)) для u s У*, х е Л2У. Поэтому B) сводится
к w _| (а; Д х) = 0 для всех и е У*, т. е. просто к
х Д х = 0.
D)
Наконец, при п =' 4, (НтЛ4У=1, и поэтому D) сво-
сводится к одному уравнению на плюккеровы координаты
^12, ?l3, Pli, РгЗ, P2i, Psi.'-
PrtPii. — PisPzt. + PliP23 = 0. E)
Плоскости L cr V, dim У = 4, соответствуют прямые
Zc:P(F) в трехмерном проективном пространстве. В этой
ситуации координаты в У обозначаются х0, х±, х2, х3,
плюккеровы координаты — рви р02, Роз, Piz, P13, Ргг и урав-

58 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
нение E) приобретает вид
= 0.
F)
Это — квадрика в пятимерном проективном пространстве
P(A2F).
Пример 2. Ассоциативные алгебры. Ассоциативная
алгебра А размерности п над полем к при выборе ба-
базиса еи . . ., е„ задается таблицей умножения:
Условия ассоциативности умножения имеют вид
2 l i, /, к, лг = 1, . . . -f га.
G)
Это — опять система квадратных уравнений на констан-
константы Cij. Умножение всех элементов базиса ег на <х~* ^ к,
а Ф 0, приводит к умножению всех с\, на а. Поэтому,
если отбросить алгебру с нулевым умножением, то все
алгебры описываются точками замкнутого множества с
уравнениями G) ъ проективном пространстве Рп —1.
Точнее говоря, точки этого множества соответству-
соответствуют ассоциативным законам умножения, записанным в
определенном базисе еи . . ., еп. Переход к другому ба-
базису задается невырожденной матрицей порядка га. Та-
Таким образом, множество ассоциативных «-мерных ал-
алгебр (с точностью до изоморфизма) параметризуется
«фактором» множества G) по группе невырожденных
матриц. В какой мере этот фактор можно отождествить
с алгебраическим многообразием — вопрос очень тонкий.
Пример 3. Д етерминантные многообразия. Квад-
Квадратичные формы от га переменных образуют векторное
тг га (га + 1) т„
пространство V размерности 2 • Квадрики в
проективном пространстве размерности га — 1 параметри-
параметризуются точками проективного пространства ~P(V). Среди
них вырожденные квадрики характеризуются условием
det(/) = O, где /—соответствующая квадратичная фор-
форма. Это гиперповерхность Х± в пространстве Р(У). Квад-
Квадрики, ранг которых не превосходит га — к, соответ-
соответствуют точкам множества Xh, определенного прирав-
приравниванием 0 миноров порядка га — к матрицы квадратич-
квадратичной формы /. Множества такого типа называются де-
терминантными. Другой тип детерминантных многооб-
§ 4. 1<ЙАЗЙП1»ОЁК1ЧЙВЙЫЙ МНОГООБРАЗИЙ 5д
разий Mft определяется в пространстве Р(У), где V —
пространство прямоугольных матриц заданного типа
(п, тп), условием, что ранг соответствующей матрицы
не превосходит к.
В случае замкнутых подмножеств аффинного прост-
пространства идеал % cr k [T] определяет пустое множество,
только если 91 = A),— это есть утверждение теоремы
Гильберта о корнях. В случае замкнутых подмножеств
проективного пространства это не так — например, пу-
пустое множество определяет, очевидно, и идеал (So, .. ¦
..., Sn). Обозначим через /3 идеал кольца k [S], состоя-
состоящий из тех многочленов, в которые входят только чле-
члены степени ~^s. Очевидно, что идеал Is определяет пу-
пустое множество — в нем содержатся, например, много-
многочлены S\, которые обращаются совместно в 0 только
в нулевой точке.
Лемма. Однородный идеал 9tczk[-S] тогда и только
тогда определяет пустое множество, когда он содержит
идеал Is для некоторого s > 0.
Мы уже видели, что идеал /„ определяет пустое мно-
множество. Тем более это верно и для любого содержащего
его идеала. Пусть однородный идеал % cr k [S] опреде-
определяет пустое множество. Пусть Fu . . ., Fr — однородный
базис идеала % и deg Ft = тпг. Тогда по условию много-
члены Fi(l, Ти . . ., Тп), где
не имеют об-
щих корней. Действительно, их общий корень (аи ..., <хп)
давал бы общий корень A, <хи . . ., <х„) многочленов
Fu . . ., Fm. По теореме Гильберта должны существовать,
следовательно, такие многочлены <?г (Тх,. . . ., Тп), что
2 Рг A, Tlt . . ., Тп) Gi(Tlr . . ., Гп) = 1. Подставляя в это
г
равенство Т'} = -^- и умножая на общий знаменатель, ко-
который имеет вид So °, мы получим,_что So° ^ $1. Аналогично
для любого i=l, . . ., п найдется такое число пг( > 0,
что Si г е %. Если теперь тп = тахG7г0, . . ., пгп) и s =
—{m — 1) (га + 1)+ 1, то в любом члене ?00 • . • ?пп при
а0 + ... + ап Зэ s хотя бы одно St должно содержаться
с показателем ai^m^mi, а так как jSi*e3C, то и
этот член содержится в St. Это и показывает, что /, <=¦ §1.
Лемма доказана.

60 ГЛ. Т. ОСНОВНЫЙ ПОПЯТИЛ
Дальше мы будем рассматривать одновременно замк-
замкнутые подмножества аффинных и проективных про-
пространств. Мы будем называть их также аффинными и
проективными замкнутыми множествами.
Для проективных замкнутых множеств применяется
та же терминология, что и для аффинных, именно, если
Y с= X — два замкнутых множества, то X — Y называ-
называется открытым в X. По-прежнему объединение любого
числа и пересечение конечного числа открытых множеств
открыты, а объединение конечного числа и пересечение
любого числа замкнутых множеств замкнуты. Множество
Ао точек i = (i0: ... : in), для которых g0 Ф 0, очевидно,
открыто. Его точки можно взаимно однозначно сопоста-
сопоставить точкам «-мерного аффинного пространства, поло-
жив a.i = -=— (г = 1, . . ., п) и сопоставив точке с е Ао
точку («ц ..., о„)еА". Поэтому мы будем называть
множество А^ аффинным открытым подмножеством.
Аналогично множество A? (i = 0, ...,«) состоит из то-
точек, для которых ii ?= 0. Очевидно, что Pn = (J А™.
Для любого проективного замкнутого множества
Х<=Рп, множества Ui = X f)A™ открыты в X. Как
подмножества пространства А? они замкнуты. Действи-
Действительно, если X задается системой однородных уравне-
уравнений Fo = ... = Fm — 0 и deg Fi = «,-, то, например, Uo
задается системой уравнений
=1, . . ., т,
Si -л
= -5-, I = 1,,...,«.
Мы будем называть Ut аффинными открытыми подмно-
подмножествами множества X. Очевидно, что X = U U{. Замкну-
Замкнутое подмножество Ujzz A% определяет замкнутое проек-
проективное множество U, называемое его замыканием и
являющееся пересечением всех проективных замкнутых
множеств, содержащих U. Легко проверить, что однород-
однородные уравнения множества U получаются процессом, об-
обратным только что описанному: если F{TU ..., Тп) —
любой многочлен идеала % и deg F = к, то уравнения U
мпоггюг.рляигг
(И
имеют вид S%F [ -^, ...,-^-1=0. Отсюда следует, что
U = U П А'ог.
(8)
До сих пор мы рассматривали два объекта, которые
могут претендовать на то, чтобы называться алгебраи-
алгебраическими многообразиями,— аффинные и проективные
замкнутые множества. Естественно попытаться ввести
единое понятие, частными случаями которого были бы
эти два типа многообразий. Наиболее полно это будет
сделано в гл. V в связи с понятием схемы. Сейчас мы
введем более частное понятие, объединяющее проектив-
проективные и аффинные замкнутые множества.
Определение. Квазипроективным многообразием
называется открытое подмножество замкнутого, проек-
проективного множества..
Очевидно, что замкнутое проективное множество ква-
зипроективно. Для аффинных замкнутых мпожеств это
следует из (8).
Замкнутым подмножеством квазипроективного много-
многообразия называется его пересечение с замкнутым мно-
множеством проективного пространства. Аналогично опреде-
определяются открытое множество и окрестность точки. По-
Понятие неприводимого многообразия и теорема о разло-
разложении многообразия на неприводимые дословно пере-
переносятся со случая аффинных замкнутых мпожеств.
Подмногообразием Y квазипроективного многообра-
многообразия X <= Р" мы будем теперь называть любое подмноже-
подмножество Y сг X, которое само является квазипроективным
многообразием в Р". Очевидно, это равносильно тому,
что Y = Z — Zu где Z ^ Zu Z и Zi замкнуты в X.
2. Регулярные функции. Переходя к рассмотрению
функций на квазипроективных многообразиях, начнем
с проективного пространства Рп. Здесь мы встречаемся
с важным различием между функциями от однородных
и неоднородных координат: рациональная функция от
однородных координат
1т (О ¦ •••iO.nl
е / су С \ \0 п/ / Л \
J (о0, . . ., Лп) = -qJs S~T ' '
не может рассматриваться как функция точки х s Pn,
даже когда Q(x)?=0, так как значение /(ао, .. ., ап)
меняется при умножении всех однородных координат на

62
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
общий множитель. Однако однородные функции нулевой
Р
степени, т. е. такие функции / = -q- , что Р и Q одно-
однородны одинаковой степени, уже можно рассматривать
как функции точки.
Если X — квазипроективное многообразие, X <= Рп,
х е X, / — -у однородная функция нулевой степени
и B(х)Ф 0, то / определяет в некоторой окрестности
точки х функцию со значением в к. Такая функция
называется регулярной в окрестности точки х или про-
просто в точке х. Функция, заданная на X и регулярная
во всех точках х^Х, называется регулярной на X. Все
функции, регулярные на X, образуют кольцо, обозна-
обозначаемое через к [X].
Докажем, что для замкнутого подмножества X аф-
аффинного пространства наше определение регулярной
функции совпадает с тем, которое дано в § 2. Если X
неприводимо, то это утверждается теоремой 4 § 3. В об-
общем случае достаточно небольшого видоизменения рас-
рассуждения, которым эта теорема доказывается. В нем мы
будем регулярность функции понимать в смысле опре-
определения, данного в § 2.
По условию каждая точка х е X обладает окрест-
р
ностью Ux, в которой /= ——, где рх и qx — регулярные
"х
функции на -X", qx Ф 0 на Ux. Поэтому
qxf = Рх B)
на Ux. Но можно считать, что B) верно и на всем X.
Для этого достаточно выбрать регулярную функцию,
равную 0 на X — Ux и не равную О в х, и умножить
на нее как рх, так и qx. Тогда B) будет выполняться
и вне Ux, так как там обе части равенства равны 0.
Как и в доказательстве теоремы 4 § 3, мы найдем точ-
точки хи . . ., xN и такие регулярные функции hu . . ., hN,
что 2 qXjhi = 1. Умножая равенство B) для х = xt на
hi и складывая, получим, что
N
т. е. / — регулярная функция.
§ 4. КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
63
В отличие от случая аффинных замкнутых множеств,
кольцо к [X] может состоять только из констант. Мы до-
докажем в § 5, что так обстоит дело всегда, когда X —
замкнутое проективное множество. Это легко проверить
непосредственно, когда X = Р™. Действительно, если
р
f = -Q-, где Р и Q—формы одинаковой степени, то мы
можем считать Р и Q взаимно простыми. Тогда в точ-
точках х, в которых Q (х) = 0, функция / нерегулярна.
С другой стороны, кольцо к [X] может оказаться и нео-
неожиданно большим. Именно, если X — аффинное замкну-
замкнутое множество, то к [X] имеет, как кольцо, конечное чис-
число образующих над к. Рисе и Нагата построили примеры
квазипроективных многообразий, для которых это не так.
Это показывает, что только для аффинных замкнутых
множеств к [X] является естественным инвариантом.
Переходим к отображениям. Любое отображение ква-
квазипроективного многообразия X в аффинное простран-
пространство А" задается п функциями на X со значениями в к.
Если эти функции регулярны на X, то отображение
называется регулярным.
Определение. Пусть /: X -*- Y — отображение
квазипроективных многообразий и Y <= Рт. Это отобра-
отображение называется регулярным, если для любой точки
х ^ X и открытого аффинного множества А™, содержа-
содержащего точку f(x), существует такая окрестность U э х,
что / (U) <zz АГ и отображение f: U-*¦ А? регулярно.
Проверим, что свойство регулярности не зависит от
того, каким из открытых аффинных множеств Ai , со-
содержащих точку f(x), мы пользуемся. Если f (х) =
= (у0, . . ., 1, . . ., ут) €= АГ содержится и в А™, то
i
z/j Ф- 0 и координаты этой точки в Aj имеют вид
{yJVh • • •' \IVh ¦ • -, j, ¦ ¦ -, Ут/yj), где знак ^ означает,
i i
что элемент, на котором он стоит, выбрасывается. По-
Поэтому, если^ отображение /: U-*-A? задается функция-
функциями (/0, . . ., Г, . . ., fm), то /: U-*- А™ задается функциями
{.Wh • • •' !//i' ..-,?•. -Jm/fj). По условию Мх)Ф 0 и
г j
Множество U' точек U, в которых f} Ф 0, открыто. На
V функции /о//», • • -, 1/Л-, • • - fm/fi регулярны и, значит,
отображение/: U'-*-A? регулярно.

64
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Как и для аффинных замкнутых множеств, регуляр-
регулярное отображение /: X -»- Y определяет отображение
/*: k[Y]k[X]
Вопрос о том, как задать формулами регулярное
отображение неприводимого многообразия, решается со-
совершенно аналогично случаю п = 2, разобранному в п. б
§ 1. Пусть, например, / (х) <= А™ и отображение /:?/->
—>- А™ задается регулярными функциями /1? . . ., /,„. По
определению /* = -~, где Р,, (Л — формы одинаковой сте-
степени от однородных координат точки х и Qi (х) Ф 0. При-
Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получим,
что fi = -j-, где все Fo, . . ., Fm — формы одной степени
и Р0(х)Ф0. Иначе говоря, f(x) = (F0(x):...:Fm(x)),
как точка в Р"\ При такой замене надо помнить, что
представление регулярной функции в виде отношения
двух форм неоднозначно. Поэтому две формулы
f(xy=(FB(x):...:Fm(x)),
g(x) = (Gn(x):...:Gm(x)) (d)
могут задавать одно и то же отображение. Это будет
тогда и только тогда, когда
FiGj = FjGi на X, 0 < i, / =s: m. D)
Мы приходим ко второй форме определения регуляр-
регулярного отображения.
Регулярное отображение неприводимого квазипроек-
квазипроективного многообразия /: X ->- Р"г задается набором форм
(F • ¦ F Л (^\
\( 0 L raj \ О)
одинаковой степени от однородных координат точки х е
е Рп. Отображения C) называются одинаковыми, если
выполнены условия D). Требуется, чтобы для любой
точки х е= X существовала такая запись E) отображе-
отображения /, что хоть для одного i имеет место Рг(х)Ф 0. Тог-
Тогда точка (F0(x):... : Fm(x)) обозначается через f(x).
После того как определено регулярное отображение
-квазипроективных многообразий, естественно определя-
определяется изоморфизм — это регулярное отображение, имею-
имеющее обратное регулярное отображение.
Квазипроективное многообразие X', изоморфное
замкнутому подмножеству аффинного пространства, мы
§ 4. КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 65
будем называть аффинным многообразием. При этом
может оказаться, что X <= А", но не является там замк-
замкнутым. Например, квазипроективное, но не замкнутое
в А1 множество X = А1 — 0 изоморфно гиперболе, замк-
замкнутой в А2 (пример 3 в п. 3 § 2). Таким образом,
понятие замкнутого аффинного множества не инвариант-
инвариантно относительно изоморфизма, в то время как понятие
аффинного многообразия по определению инвариантно.
Аналогично квазипроективное многообразие, изоморф-
изоморфное замкнутому проективному множеству, называется
проективным многообразием. Мы докажем в § 5, что
если ХсР" проективно, то оно замкнуто в Ря, так что
понятия замкнутого проективного множества и проек-
проективного многообразия совпадают и инвариантны относи-
относительно изоморфизма.
Существуют квазипроективные многообразия, которые
ни аффинны, ни проективны (см. задачу 5 и задачи 4,
5, 6 к § 5).
Дальше мы будем встречаться с такими свойствами
многообразия X, которые достаточно проверять для ка-
какой-нибудь окрестности U любой точки х е X. Иначе
говоря, если х = UUa, где Ua — любые открытые множе-
множества, то достаточно это свойство проверить для каждого
из Uа. Такие свойства мы будем называть локальными.
Приведем пример такого свойства.
Лемма 1. Свойство подмножества Y<=-X быть замк-
замкнутым в квазипроективном многообразии X является
локальным.
Это утверждение означает, что если X = UUa, Ua от-
открыто и Y Л Ua замкнуто в каждом Ua, то Y замкнуто.
По определению открытых множеств Ua = X — Za, где
Za замкнуто, а по определению замкнутых множеств
иа П Y = Uа П Та, где Та замкнуты.
Проверим, что Y = П (Za U Та), откуда, конечно, сле-
следует, что Y замкнуто. Если у е Y и у <= Ua, то у <= Ua П
П Ус Та, а если у Ф Ua, то уе X— Ua = Za, так что
у е= Za U Та при всех а. Наоборот, пусть х^ ZaU Та при
всех а. Из того, что X = U Ua, следует, что х е 27Э при
некотором [1. Тогда х Ф Z$ и, значит, х <= Т$, lefffli/fC
с= Y. Лемма доказана.
При изучении локальных свойств мы можем ограни-
ограничиться рассмотрением аффинных многообразий.
Лемма 2. Любая точка х^Х имеет окрестность^
изоморфную аффинному многообразию.
5 и. Р. Шафаревич, т. i

. GS ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
По условию X сг Рп. Если х е А? (т. е. координата
щ точки х не равна 0), то х е X f) А™ и по определе-
определению квазипроективного многообразия Х[)А% — Y— У1?
где У и Yi сг у — замкнутые подмножества А?. Так как
х <= У, то существует такой многочлен F от координат
в А?, что F = 0 на У1? F(a;)=5>fc0. Обозначим через (F)
множество точек многообразия У, где F = 0. Очевидно,
что D (F) = У — (F) является окрестностью точки х. Мы
докажем, что эта окрестность изоморфна аффинному
многообразию. Пусть /\ = 0, . . ., Fm =0 — уравнения У
в Aq. Определим многообразие Z в An+1 уравнениями
Отображение ф: (a;t, . . ., xn+i) -»- (a;t, . ..., ж„) опреде-
определяет, очевидно, регулярное отображение 2 в /5 (.F),
а ф: (х1? . . ., хп)-*~(хи . . ., ж„, ^(а^, ..., жп)-') — регу-
регулярное отображение D (F) в Z, обратное <р. Это доказы-
доказывает лемму.
Если У = A1, F = Т, то Z является гиперболой и по-
построенный нами изоморфизм совпадает с отображением,
рассмотренным в примере 3 п. 3 § 2.
Определение. Открытое множество D (/) = X —
— f(/)» состоящее из точек аффинного многообразия
X, для которых f(x)?=O (/ek[Z]), называется главным
открытым множеством.
Значение этих множеств заключается в том, что они,
как мы видели, аффинны и для них легко указать их
кольцо к [?>(/)]. Именно, по построению /=^0 на D(f),
так что /"'^к[Д(/)], а уравнения F) показывают, что
k [D (/)] = к [X] [J-].
Леммы 1 и 2 показывают, например, что при изомор-
изоморфизме замкнутые подмножества переходят в замкнутые.
Докажем даже, что при любом регулярном отображении
/: X -*- У прообраз /-1 (Z) любого замкнутого множества
Z сг У замкнут в X.
По определению регулярного отображения любая точ-
точка х^ X и точка f(x)^ У обладают такими окрестно-
окрестностями U^x, V^f(x), что f(U) <= V <= Am и отображе-
отображение / : U -*¦ V регулярно. По лемме 2 мы можем считать
V аффинным многообразием. По лемме 1 нам достаточно
проверить, что f~* (Z) П U = /-1(Z П V) замкнуто в U. Так
§ 4. КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 67
как Z П V замкнуто в V, то оно определяется уравне-
уравнениями gi = ... = gm = 0, где gi — регулярные функции
на V. Но тогда /~* (Z П V) определяется уравнениями
/* (?Ti) =...=/* (gm) = 0 и поэтому тоже замкнуто.
Из доказанного следует, что и прообраз открытого
множества открыт.
Легко проверить, что регулярное отображение можно
определить как такое отображение /: X->- У, что прооб-
прообраз любого открытого множества открыт («непрерыв-
(«непрерывность») и для любой точки аг'<=Х и любой функции <р,
регулярной в окрестности точки f(x)^Y, функция /*(<р)
регулярна в окрестности точки х.
3. Рациональные функции. При определении рацио-
рациональных функций на квазипроективных многообразиях
мы сталкиваемся с тем, что общий случай существенно
отличается от случая аффинных многообразий. Именно,
для аффинного многообразия X мы определяли рацио-
рациональные функции на X как отношения функций» регу-
регулярных на всем X. В общем же случае, как мы видели,
может оказаться, что на многообразии нет всюду регу-
регулярных функций, отличных от констант, а тогда нет и
непостоянных рациональных функций. Поэтому мы
определяем рациональные функции на квазиггроектив-
ном многообразии X сг Р™ как функции, задаваемые на
X однородными функциями на Р" (аналогично п. 6 § 1
при /г = 2). Точнее говоря, рассмотрим неприводимое
квазипроективное многообразие X <=. Рп и обозначим (по
аналогии с п. 2 § 3) через (Ух множество рациональных
функций от однородных координат iS0, . . ., Sn вида
f = —q-,где Р и Q — формы одинаковой степени и Q Ф %к.
Как и для аффинных многообразий, из неприводимости
X следует, что Ох — кольцо. Обозначим через Мх мно-
множество функций / е Ох, для которых Р <= 9tх. Очевидно,
что кольцо Ох/Мх является полем. Это поле называется
полем рациональных функций на многообразной: X и
обозначается через к(Х). Так как форма равна 0 на
неприводимом квазипроективном многообразии X тогда
же, когда и на его открытом подмножестве^ U, то к (X) =
= к (С/"). В частности, k(X) = k(X), где X — замыкание
X в проективном пространстве. Поэтому при рассмот-
рассмотрении поля рациональных функций мы можем ограни-
ограничиться по желанию аффинными или проективными мно-
многообразиями.
5*

"I
68
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Легко проверить, что если X—аффинное многообра-
многообразие, то данное выше определение совпадает с тем, ко-
которое дано в § 3. Действительно, поделив в однородной
функции нулевой степени/ =~7j~>. deg P = deg Q = т, чис-
числитель и знаменатель на S™x мы запишем ее в виде
рациональной функции от
= -zr- (i = 1* • • • ». п)-
s о
ким образом, устанавливается изоморфизм поля одно-
однородных рациональных функций нулевой степени от
SB, ..., Sn и поля кG\, ..., Тп). Очевидная проверка
показывает, что кольцо и идеал поля k(Tt, . . ., Тп),
обозначенные в п. 2 § 3 через Ох и Мх, соответствуют
при этом объектам, которые мы обозначили теми же
буквами в этом пункте.
В предшествующем пункте мы уже пользовались
рациональными функциями на пространстве Р™ для оп-
определения регулярных функций. Как и там, назовем
функцию / ^ к (X) регулярной в точке х е X, если ее
можно представить в виде/ = -gr, где F и G однородны,
одинаковой степени и G (х) Ф 0. Тогда / {х) = g / . на-
называется ее значением в точке х. Как в случае аффин-
аффинных многообразий, множество точек, в которых заданная
рациональная функция / регулярна, образует непустое
открытое подмножество U многообразия X. Множество
U называется областью определения функции /. Очевид-
Очевидно, что рациональные функции можно также определить
как функции, регулярные на открытых множествах
UczX.
Рациональное отображение /: X ->¦ Рт определяется
(аналогично второму определению регулярного отобра-
отображения, данному в п. 2) заданием то+1 форм
одинаковой степени (Fo : ...: Fm) от п + 1 однородных
координат проективного пространства Рп, содержащего
X. При этом хоть одна из форм должна не обращаться
в 0 на X. Два отображения (Fo : : Fm) и (Go :... : Gm)
называются равными, если FiG} = FjGt на X. Поделив
все формы Ft на одну из них, отличную от 0, мы мо-
можем задать рациональное отображение тп + 1 рациональ-
рациональными функциями на X с таким же понятием равенства
отображений. Если рациональное отображение / можно
задать такими функциями (/0:...:/т), что все /4 регу-
§ 4. КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
69
лярны в точке х е X и не все обращаются в ней в 0,
то отображение регулярно в точке х. Оно определяет
тогда регулярное отображение некоторой окрестности
точки х в Рт.
Множество точек, в которых рациональное отобра-
отображение регулярно, открыто. Поэтому можно также оп-
определить рациональное отображение как регулярное
отображение некоторого открытого множества U сг X.
Если Y <= Рт — квазипроективное многообразие и /: X ->¦
-*- Рт — рациональное отображение, то мы говорим, что
/ отображает X в Y, если существует открытое множе-
множество U <= X, в котором / регулярно и f(U)<=Y. Объеди-
Объединение П всех таких открытых множеств называется об-
областью регулярности /, a f(??) — образом X в У.
Как и в случае аффинных многообразий, если образ
рационального отображения /: X -*- Y плотен в F, то
определено вложение полей /*: k(F)-^k(X). Если ра-
рациональное отображение /: X ->¦ Y обладает обратным
рациональным отображением, то / называется бирацио-
нальным изоморфизмом, а X и Y — бирационально изо-
изоморфными. В этом случае вложение /*: k(F)-^k(X)
является изоморфизмом.
Теперь можно сделать более ясной связь между по-
понятиями изоморфизма и бирационального изоморфизма.
Предложение. Непроводимые многообразия X и
Y тогда и только тогда бирационально изоморфны, ког-
когда в них содержатся изоморфные друг другу открытые
множества U сг X и V cr Y.
Действительно, пусть /: X ->¦ Y — бирациональный
изоморфизм, g: Y -*- X, g = f~l — рациональное отобра-
отображение, a Ut<=: X и Vi c= Y — области регулярности / и
g. Так как по условию /(?/ плотно в Y, то f^iV^U
П Ut не пусто и, как было доказано в п. 2, открыто.
Положим U = /-1 (F4) r\Uit V = g-* (U±) П Vt. Простая
проверка показывает, что /(?/")= V, g(V)=U, fg = 1,
gf = 1, т. е. U и V изоморфны.
4. Примеры регулярных отображений. 1° Проек-
Проектирование. Пусть Е — ^мерное подпространство
проективного пространства Р", определенное п — d ли-
линейно независимыми линейными уравнениями L^ = L2 =
= • • • — Ln-d = 0, где Li — линейные формы. Проектиро-
Проектированием с центром в Е называется рациональное отобра-
отображение n(x) = (Lt(x): . . . : Ln_d(x)). Это отображение ре-
регулярно на Р" — Е, так как в точках этого множества

70
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
формы Lt (i = 1, . . ., п — d) не обращаются одновремен-
одновременно в 0. Поэтому я (х) определяет регулярное отображе-
отображение я: X -*¦ pn-d-ij Где X — любое замкнутое подмноже-
подмножество Р", не пересекающее Е. Геометрический смысл
проектирования следующий. Возьмем ъ качестве модели
pn-d-i любое п — d— 1^мерное подпространство Н<=^Рп,
не пересекающее Е. Через любую точку х <= Р™ — Е и Е
проходит единственное d + 1-мерное линейное подпро-
подпространство Ех. Это подпространство пересекает Н в един-
единственной точке, которая и есть я (х). Если X пересе-
пересекает Е, но в нем не содержится, то проектирование яв-
является рациональным отображением. Со случаем d = 0,
т. е. с проектированием из точки, мы уже не раз встре-
встречались.
2° Отображение Веронезе. Рассмотрим все
однородные многочлены F степени т от переменных
iSo, . . ., Sn. Они образуют линейное пространство, раз-
мерность которого, как легко подсчитать, равна I m I.
Рассмотрим гиперповерхности степени т в простран-
пространстве Р™. Так как пропорциональные многочлены опреде-
определяют одну гиперповерхность, то гиперповерхности соот-
соответствуют точкам проективного пространства Р п'т раз-
I — 1. Обозначим однородные ко-
координаты в пространстве Р п'т через t?ie...aTl, где U, ••¦
..., гп — любые неотрицательные числа такие, что
i0 + . . . + i-n = т. Рассмотрим отображение vm простран-
ства Р"вР п'т, определенное формулами
v%0...in = "о°
... + in = т.
A)
Оно, очевидно, регулярно, так как среди одночленов
в правых частях A) есть, в частности, и и™, которые об-
обращаются в 0, только если все иг = 0. Отображение vm
называется отображением Веронезе, a vm(Pn) — многооб-
многообразием Веронезе. Из формул A) следует, что на vm(Pn)
удовлетворяются соотношения
Vio...invjo...jn = vko...hnvio...in,
B)
если «о +/о = А-» + г0, ¦••' in + ]'n = kn + ln. Наоборот, из
соотношений B) легко вывести, что хотя бы одна коор-
§ 4. КВАЗИПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
71
дината вида v0... т ... 0 отлична от нуля и что, напри-
например, в открытом множестве vm0... о ^ 0 отображение
Uq == Vma ... о, ^l == Vm—i, l, о ... о, • • ., Un = Vm—i о ... 1
будет обратным к vm. Поэтому ^(Р") определяется урав-
уравнениями B) и v,m является изоморфным вложением
рп в pV« «^
Значение отображения Веронезе заключается в том,
что если F = 2aio...inMo° • ¦ • и™ —форма степени rtt от
однородных координат точки х е р» и /У — гиперповерх-
гиперповерхность, определенная уравнением F = 0 в Р", то vm{H)
является пересечением ym(Pn) и гиперплоскости с урав-
уравнением 2 aio...inVio...tn = 0 в Р n'm. Поэтому отображе-
отображение Веронезе дает возможность сводить изучение некото-
некоторых вопросов, связанных с гиперповерхностями, к слу-
случаю гиперплоскостей. Образ отображения Веронезе
vm(Pl) в Pm+1 называется кривой Веронезе, или норм-
кривой.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что аффинное_многообразие U неприводимо тог-
тогда же, когда и его замыкание U в проективном пространстве.
2. Сопоставим любому аффинному многообразию U, лежащему
в А^, его замыкание U в проективном пространстве Р". Доказать,
что таким образом получается взаимно однозначное соответствие
между аффинными многообразиями в А^ и теми проективными
многообразиями в Рп, которые не имеют компонент, содержащих-
содержащихся в гиперплоскости So = 0.
3. Доказать, что многообразие X = А2 — х, где х = @, 0), не
изоморфно аффинному многообразию. Указание. Вычислить
к [X] и воспользоваться тем, что для аффинного многообразия лю-
любой собственный идеал Яск[1] определяет непустое подмного-
подмногообразие.
4. Доказать, что любое квазипроективное многообразие откры-
открыто в своем замыкании в проективном пространстве.
5. Доказать, что любое рациональное отображение ср: Р1 -*¦ Рп
регулярно. '
6. Доказать, что любое регулярное отображение <р: Р1 -*- А™
отображает Р1 в одну точку.
7. Определить бирациональный изоморфизм / неприводимой
поверхности 2-го порядка X в Р3 и плоскости Р2 аналогично при-
примеру 1 в п. 3 § 3 (стереографическая проекция). В каких точках
отображение / не регулярно? В каких не регулярно f~l?
8. В задаче 7 найти открытые множества U сг X и V cr P2, ко-
которые изоморфны.

72
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
9. Доказать, что отображение т/о = Ж1Ж2, г/i = хох2, уъ o
определяет бирациопальпый изоморфизм плоскости Р2 с собой.
В каких точках /ив каких /—1 не регулярны? Изоморфизм каких
открытых множеств определяет /?
10. Доказать, что многообразие vm(Pn) не содержится ни в ка-
каком линейном подпространстве пространства Р n>m.
11- Доказать, что многообразие Р2 — X, где X — кривая 2-го по-
порядка, аффинно. Указание. Воспользоваться отображением Ве-
ронезе.
§ 5. Произведения и отображения
квазипроективных многообразий
1. Произведения. Определение произведения аффин-
аффинных многообразий (пример 5 п. 1 § 2) было так есте-
естественно, что не требовало никаких пояснений. Для
любых квазипроективных многообразий дело обстоит не-
несколько сложнее. Поэтому рассмотрим сначала квази-
квазипроективные подмногообразия аффинных пространств.
Если X <= A", Y с= Ат — такие многообразия, то множе-
множество XX.Y={(x, у); xsX, у е Y} является квазипроек-
квазипроективным подмногообразием в А" X Ат = Ап+т. Действи-
Действительно, если X = Xi — X0, Y—Yi — Yg, где Хи Хо и Y±,
Yo — замкнутые подмногообразия пространств А™ и Ат,
то представление X X Y = Х± X Yt - (Xt X Yo U Yl X X*)
показывает, что IXF квазипроективно. Мы будем на-
называть это квазипроективное многообразие прямым про-
произведением X и Y. В этом месте необходимо убедиться,
что если заменить X и Y изоморфными им многообра-
многообразиями, то и X X Y заменится изоморфным многообра-,
зием. Это легко проверить. Пусть ср: X ->¦ X' с= Ар и
¦ф: Y -v Y' <= А" — изоморфизмы. Тогда (фХф): ХХУ->
-+Х'ХУ', где (фХ-ф)(аг, у) = (ц>(х), ^р(у)) является
регулярным отображением, а (<р~\ tJ)) — ему обратным.
Вернемся теперь к квазипроективным многообразиям
и выясним, чего мы хотим от понятия произведения.
Пусть X с= Р" и Fc Pm — два квазипроективных много-
многообразия. Обозначим через ХХУ множество пар (х, у),
хеХ, у s Y. Мы хотим рассмотреть это множество как
квазипроективное многообразие, а для этого надо задать
такое его вложение ср в проективное пространство Pw,
чтобы ф(ХХУ) было квазипроективным подмногообра-
подмногообразием в Р^. При этом естественно требовать, чтобы полу-
полученное определение было локальным, т. е. чтобы у лю-
любых точек х е X и у е Y существовали такие аффинные
окрестности Х=> U ^э х ш Y ^=> V ^ у, что cp(UX.V) откры-
5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ
73
то в ф(ХХ7) и ф определяет изоморфизм прямого про-
произведения аффинных многообразий U и V (его опреде-
определение уже известно) и многообразия ф(!7ХГ)сф(ХХ
X Y). Легко видеть, что свойством локальности вложение
ф, по существу, определяется однозначно, точнее, если
ij): XXF^-PM — другое такое же вложение, то -фф
' определяет изоморфизм между фAХУ) и г|э(XX Y).
Действительно, для этого достаточно доказать, что для
любых х е X и у е Y существуют такие окрестности
фAХУ)=^э<р(г) у) и y(XXY)=>Wi^.q{x, у), что
т]>Ф-1 определяет изоморфизм W± и W2. Для этого рас-
рассмотрим аффинные окрестности X зэ U э х и Y ^=> V ^ у,
существование которых гарантируется свойством локаль-
локальности. При этом мы можем считать, что U X.V изоморф-
изоморфно и ф(С/Х7) и Tj>(i/XF)% перейдя, если надо, к мень-
меньшим аффинным окрестностям. Тогда ф(С/ХТ/)=РР1 и
г|5 (U X V) = W2 — нужные нам аффинные окрестности,
так как обе, согласно сделанному предположению, изо-
изоморфны прямому произведению U X V аффинных много-
многообразий U VL V.
Перейдем к конструкции вложения ф, обладающего
нужными свойствами. При этом мы сразу можем ограни-
ограничиться случаем, когда X = Р", Y = Рт; если вложение
ф (Рп X Рт) ->- YN уже построено, то простая проверка
показывает, что его ограничение на ХХУсР'ХР™ об-
обладает всеми нужными свойствами.
Для построения вложения ф рассмотрим пространство
p<n+i)(m+i)-S в котором однородные координаты witj за-
занумерованы двумя индексами i и / (i = 0, ..., п; / =
= 0, ...,.т). Если х = {иа: ... :ип)еР", у = (у0:...: ут)е
е Рт, то положим
Ф (« X-у) = (и;ч),
г = 0, ..., ге; / =
A)
Очевидно, что умножение однородных координат точки
х (или у) на общий множитель не меняет точки
ф(ж, г/)е=рс«+1)<т+1)-1 Чтобы показать, что ф(РпХРт)
является замкнутым множеством в р(«+о<»»и-1>-1} мы выпи_
шем его уравнения
wi3wk[ = Wj^wu, i, k = 0, ..., п; j, 1 = 0, ..., т. B)
Подстановка показывает, что и>у, определенные из A),
удовлетворяют B). Наоборот, если и^ удовлетворяют

74
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
B) и, например, w00 =#= 0, то, полагая в B) к = I = О,
получаем, что (...: ^« :...) = ф (ж, г/), где а; = (м;0о :. • - "?по),
у =(и>оа'¦¦¦¦'• w<am) ¦ Это рассуждение заодно показывает,
что ф(аг, у) однозначно определяет х и г/, т. е. ф явля-
является вложением Pn X Pm в p<»+m™+o-i. Рассмотрим от-
открытые множества Ао (м0 =^= 0) и AJJ1 (v0 =/= 0) в Рп и Р .
Очевидно, что <р (А? X А?) = ^00 = АоТ1*™4^ П
П Ф (Рп X Рт), где А0Г1)(т+1)~1 = {«'ос ^= °>- Если (^у) =
= ф(я> У)^^оо и 2«=~^Г~' ж* = ' ^=V' —
неоднородные координаты, то, как мы только что на-
нашли, zi0 = х{, z0} = г/3-, Zn = аг,г/з- = z.ioZoh если i > 0, / > 0.
Отсюда следует, что PFoo изоморфно аффинному прост-
пространству А"+т с координатами (хи ..., х„, уи • ¦ •» У™) и
Ф определяет изоморфизм Ао X Ао —>¦ И'оо = Ц> \А-о X А.о ).
Это доказывает свойство локальности нашей кон-
конструкции.
Замечание 1. Точки (ify) можно интерпретиро-
интерпретировать как матрицы типа (п + 1, 7ге + 1), уравнения B)
записываются в виде гз г =0 и означают, что ранг
матрицы (Wij) равен 1, а уравнения A) показывают,
что такая матрица есть произведение столбца типа
A, га+1) и строки типа (т + 1, 1). Таким образом,
ф (Рп X Рт) — детерминантное многообразие (пример 3
п. 1 § 4).
Замечание 2. Простейший случай п = т = 1 име-
имеет простой геометрический смысл- Мы имеем одно урав-
уравнение B) WuWoo = wOiwiO, так что ф(Р1ХР1) совпадает
с невырожденной поверхностью 2-го порядка Q в Р3.
Множество ф(аХР'), где a = (<xo:«i) задается в Р3
уравнениями <xyw00 =<x^wi0, a.iW0l = ao^n и определяет
прямую в Р3. Аналогично и ф(Р1Х^), где реР1, явля-
является прямой. Когда <х пробегает все Р1, прямые первого
типа дают все прямые одного семейства прямолинейных
образующих поверхности Q. Прямые второго типа дают
второе семейство.
После того как определение прямого произведения
дано при помощи вложения ф множества Р" X Рт в
р(п+п(т+п-1^ удобно интерпретировать некоторые поня-
понятия, которые сначала определяются при помощи этого
вложения, в терминах множества Р" X Рт. Выясним, на-
например, какие подмножества в Р" X Рш переходят при
§ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ
75
отображении ф в алгебраические многообразия. Подмно-
Подмногообразия Xcpi»+4(»+iw определяются уравнениями
Fi(w00 :...: wnm) = 0, где Ft — однородные многочлены.
В координатах ut и v, это запишется после подстановки
A) в виде Gi(u0 : .. . :ип; v0:...: vm) = 0, где Gt однород-
однородны как по и0, ..., ип, так и по v0, . .., vm и степени одно-
однородности относительно обеих систем переменных совпа-
совпадают. Наоборот, как легко проверить, многочлен с таким
свойством однородности может быть всегда представлен
как многочлен от произведений utVj. Однако, если урав-
уравнения однородны как по Ui, так и по щ, то они всегда
определяют в РПХР™ алгебраическое подмногообразие,
хотя бы степени однородности были разными. Если мно-
многочлен G(u0 :. . .: ип; vo:...:vm) имеет степень г по щ и
s по Vj и, например, r> s, то уравнение G = 0 равно-
равносильно системе v\~aG = 0 (i = 0, ..., т), про которую нам
уже известно, что она определяет алгебраическое мно-
многообразие.
Позже нам встретится аналогичный вопрос для про-
произведения Р" X Ат. Пусть Ата = А™ с= Рта задается усло-
условием у,0 ^ 0. Уравнения замкнутого множества имеют вид
Gi(u0 :...:un; v0 :... .: fm) = 0. Пусть степень однородности
Gf по v0, .. ., vm равна г{. Поделив уравнения на Щг и
положив yj =——, мы получим уравнения gi(uQ : ... : ип;
о .
У и ¦ ¦ ¦, Ут) = 0, где gi однородны по и0, .. ., и„ и, вообще
говоря, неоднородны по уи ..., ут; Нами доказан следу-
следующий результат.
Теорема 1. Подмножество X <= Pn X Pm тогда и
только тогда замкнуто, когда оно задается системой
уравнений
Gi(u0 :...: ип; v0 :...: vr,)=- 0, i = 1, ..., t,
однородных по каждой системе переменных щ и v, в от-
отдельности. Каждое замкнутое подмножество в Р" X Ат
задается системой уравнений
gi(u0 :. ..: un; yu .. ., г/т)=0, г = 1, ..., t, C)
однородных по переменным и0, . . ., и„.
Конечно, аналогично обстоит дело с произведением
любого числа пространств. Например, многообразие в
Р ХХ -•- ХР h задается системой уравнений, однород-
однородных по каждой из к групп переменных.

76
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2. Замкнутость образа проективного многообразия.
Образ аффинного многообразия при регулярном отобра-
отображении может не быть замкнутым множеством. Для ото-
отображения аффинного многообразия в аффинное это по-
показывают примеры 3 и 4 п. 3 § 2. Для отображения аф-
аффинного многообразия в проективное это еще более оче-
очевидно — пример дает вложение А" в Р" в качестве от-
открытого множества А?. В этом отношении проективные
многообразия коренным образом отличаются от аф-
аффинных.
Теорема 2. Образ проективного многообразия при
регулярном отображении замкнут.
Доказательство использует одно понятие, которое бу-
будет дальше встречаться. Пусть /: X -*¦ Y — регулярное
отображение произвольных квазипроективных многообра-
многообразий. Подмножество Г/ многообразия XX. Y, состоящее из
точек вида (х, f(x)), называется графиком отобра-
отображения /.
Лемма 1. График регулярного отображения замк-
замкнут в XX У.
Прежде всего, достаточно считать Y проективным
пространством. Действительно, если Ус=Рт, то ХХУс
с1ХРп, / определяет отображение /: X -*¦ Рт и Гу =
= Г> П(^ХУ). Положим поэтому Y = Рт. Пусть i —
тождественное отображение Рт в себя. Рассмотрим регу-
регулярное отображение (/, i): lXPra^PmXPm, (/, i)X
Х(х, г/) = (/(#), у). Очевидно, что Г/ является прообра-
прообразом Г* относительно регулярного отображения (/, i). Мы
проверили в п. 2 § 4, что прообраз замкнутого множе-
множества при регулярном отображении замкнут. Поэтому все
сводится к проверке замкнутости Г« в Рт X Р"\ Но 1\
состоит из точек (х, г/)еРтХРт, х = (и0 :...: ит), у =
= (v0 :...: vm), для которых (и,0 :...: и.т) пропорциональны
(v0 :...: vm). Это можно записать в виде UiVj = UjVi, г## =
= Wjt (i, / = 0, . .., m). Замкнутость Гг-, а следовательно,
и лемма доказаны.
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть Г, — гра-
график отображения /, а р: XX Y ->- Y — проекция, опреде-
определенная условием р{х, г/) = г/. Очевидно, что f(X) = p(Yf).
Ввиду леммы 1 теорема 2 следует поэтому из более об-
общего утверждения.
Теорема 3. Если X—проективное, a Y—квази-
Y—квазипроективное многообразие, то проекция р: XXY-*-Y
переводит замкнутые множества в замкнутые.
§ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЯ
77
Доказательство теоремы может быть редуцировано
к ее очень простому случаю. Прежде всего, если X —
замкнутое подмножество Р", то, доказав теорему для Р",
мы тем самым докажем ее для X (X X Y замкнуто в
Р"Х7 и если Z замкнуто в XX Y, то оно замкнуто
в Р" X Y). Поэтому мы можем считать, что X = Р". Во-
вторых, ввиду локальности понятия замкнутости мы
можем покрыть Y аффинными открытыми множествами
Ut и доказывать теорему для каждого из них. Поэтому
можно считать Y аффинным многообразием. Наконец,
если Y замкнуто в Ат, то Р*ХУ замкнуто в Рп X А7",
и поэтому нам достаточно доказать теорему для случая,
когда X = Рп, У = Ат. Посмотрим, что означает теорема
в этом случае. Согласно теореме 1 любое замкнутое под-
подмножество Z <= Рп X Ат задается уравнениями C) из
п. 1, которые мы запишем в виде gi(u; у) = 0 (?=1, ...
..., t). Очевидно, что если у0 е Ат, то р~1(у0) состоит из
всех ненулевых решений системы gi(u, г/0) = 0 и, зна-
значит, г/о s p (Z) тогда и только тогда, когда система урав-
уравнений gt(u, yo) = O имеет ненулевое решение. Теорема 3
утверждает, таким образом, что для любой системы C)
п. 1 множество Т тех т/0 е= А, для которых система
gi(u, #o) = O имеет ненулевое решение, замкнуто. Ввиду
леммы 1 п. 1 § 4 система gt(u, у») =0 (?=1, ..., t)
тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда
(gi(u, у,о), ..., gt(u, j/o))^>/s для всех s = 1, 2, ... Мы
проверим сейчас, что для любого заданного s 5з= 1 точки
уое=Ат, для которых (gi(u, у0), ..., gt(u, yo)O^ Is, обра-
образуют замкнутое множество Ts. Тогда Т = П Та и тоже
замкнуто. Обозначим через &< степень однородного мно-
многочлена gi{u,y) по переменным и0, ..., ип. Пусть Mia) —
перенумерованные каким-то образом одночлены степени
s от переменных и0, ..., ип. Условие (gi{u, y0), ...
..., gt (и, г/0)) зэ /s означает, что все М(а) представляются
в виде
_S
A)
Сравнивая однородные составляющие степени s, мы ви-
видим, что должно иметь место аналогичное равенство,
в котором deg F{_ a — s — kt (и Fti a = 0, если kt">s). Обо-
Обозначим через N\ одночлены степени s — кц, каким-то
образом перенумерованные. Мы видим, что соотношение

78
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
A) равносильно тому, что все одночлены МЫ) являются
линейными комбинациями многочленов gi{u, Уо)^г
Это, конечно, равносильно тому, что многочлены
gi (и, у0) N^ порождают все линейное векторное про-
пространство S однородных многочленов степени s от
и01 ..., ип. Наоборот, условие {gi{u, уа), ..., gt {и, г/0))^>
Ф Is означает, что все многочлены gi (и, у0) Nf' не по-
порождают пространства S. Чтобы записать эти условия,
надо выписать коэффициенты многочленов gi {и, у0) N\
в прямоугольную матрицу и приравнять нулю все мино-
миноры этой матрицы порядка а = dim S. Эти миноры, оче-
очевидно, являются многочленами от коэффициентов много-
многочленов gi(u, г/10), а значит, многочленами от координат
точки г/о- Они дают уравнения множества Ts. Теорема 3,
а значит, и теорема 2 доказаны.
Замечание. Из доказательства видно, что теоре-
теорема 2 обобщается на более широкий класс отображений
/: X -*¦ Y квазипроективных многообразий: таких, что /
можно разложить в композицию замкнутого вложения
i: Х-*-Р"ХУ (т. е. изоморфизма с замкнутым подмно-
подмножеством) и проекции р: PNX.Y-*- Y. Такие отображения
называются собственными. Например, если /: X -*- Y —
регулярное отображение проективных многообразий, то
/ fl (U U Y
открытое подмно-
подмноб
рур р р
ограничение /: f~l (U)-*- U, где р
жество, собственно. Очевидно, что для собственного ото-
отображения /: X->-У прообразы точек f~* (у), г/е F,—
проективные многобразия.
Следствие 1. Если ф— функция, регулярная на
неприводимом проективном многообразии, то <р е к, т. е.
постоянна.
Доказательство. Мы можем рассматривать
функцию ф как отображение /: X -*¦ А1, а значит, и как
отображение /: X ->- Р1. Регулярность <р означает регу-
регулярность отображения /. Тем более регулярно отображе-
отображение / и, значит, по теореме 2 его образ замкнут. Но так
как регулярно уже отображение / и /(Х) = /(Х), то,
значит, множество / (X) замкнуто и содержится в А1,
т. е. не содержит бесконечно удаленной точки х„ е Р1.
Отсюда следует, что или /(Х) = А* или /(X) совпадает
с конечным множеством S (пример 3 п. 1 § 2). Первый
случай невозможен, так как /(X) должно быть замкнуто
и в Р1, а А1 в нем не замкнуто. Значит, f(X) = S. Если
S состоит из точек at, ..., <xt, то Х=0/~1(а*), и если
§ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЯ 79
t>\., то это противоречит неприводимости X. Поэтому
iS состоит из одной точки, а это и значит, что ф по-
постоянна.
Следствие 1 и теорема 4 § 3 являются примером того,
что аффинные и проективные многообразия обладают
диаметрально противоположными свойствами. На аффин-
аффинном многообразии есть масса регулярных функций — они
составляют все кольцо к [X], а на неприводимом проек-
проективном — одни константы. Вот второй пример «противо-
«противоположности» аффинных и проективных многообразий.
Следствие 2. Регулярное отображение /: X ->• Y
проективного неприводимого многообразия X в аффинное
многообразие Y отображает X в точку.
Пусть Y<=Am. Отображение / задается тп функциями
/(аг)==(ф1(аг), ..., фда(аг)). Каждая из функций ф4(а?)
постоянна ввиду следствия 1: ф( = с^ек. Поэтому
Приведем еще один пример применения теоремы 2.
Для этого мы воспользуемся изображением форм степени
тп от п + 1 переменных точками пространства Р п'т
(п. 4 § 4).
Предложение. Точки Е е Р п'т, которым соответ-
соответствуют приводимые многочлены F, образуют замкнутое
множество.
Предложение утверждает, что условие приводимости
однородного многочлена можно записать в виде алгебраи-
алгебраических соотношений между его коэффициентами. Для
кривых 2-го порядка, т. е. для случая тп = п = 2, это
соотношение известно из аналитической геометрии: если
2
F = 2 aihUiUh, то F приводим тогда и только тогда,
г=0
когда |аЛ| = 0<
Переходя к доказательству предложения, обозначим
через X множество точек Е е Р п'т , которым соответству-
соответствуют приводимые многочлены, а через Xk (к = 1, ..., т —
— 1) — множество тех точек, которым соответствуют мно-
многочлены: F, разлагающиеся на множители степеней к и
т — к. Очевидно, X = U Xft, и нам достаточно доказать
замкнутость каждого ХА.
Рассмотрим проективные пространства Р п'к и Р "'
Перемножение двух многочленов степеней к и т — к оп-
определяет отображение/: PV"'ft хР%>т~й->РЧ™ которое,

80
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
как легко видеть, регулярно. Очевидно, Xh = / (Р X
X Р "••7n-ft)> Так как произведение проективных про-
пространств, как мы видели в п. 1, является проективным
многообразием, то замкнутость ХА следует из теоремы 2.
3. Конечные отображения. Отображение проектирова-
проектирования, введенное в п. 4 § 4, обладает одним важным свой-
свойством, для формулировки которого мы напомним некото-
некоторые алгебраические понятия. Пусть В — кольцо, содер-
содержащее кольцо А. Элемент 6 <=/? называется целым над А,
если он удовлетворяет уравнению Ък + а^б* + ... + ah = 0,
at e А. Кольцо В называется целым над А, если любой,
его элемент цел над А. Легко доказать ?см., например,
[3], гл. V), что кольцо В, имеющее как кольцо конечное
число образующих над А, тогда и только тогда цело над
А, когда оно является модулем конечного типа над А.
Пусть X и У — аффинные многообразия и /: X ->- У —
такое регулярное отображение, что /(X) плотно в У.
Тогда /* определяет изоморфное вложение к [У] в к[Х].
Пользуясь этим, будем считать к [У] подкольцом в kfX].
Определение 1. Отображение / называется конеч-
конечным, если к [X] цело над к [Y].
Из приведенного выше свойства целых колец следует,
что композиция двух конечных отображений — конечное
отображение. Типичный пример неконечного отображе-
отображения — пример 3 п. 3 § 2.
Пример 1. Пусть X — аффинное алгебраическое
многообразие, G — конечная группа его автоморфизмов и
Y = XJG (ср. пример 11 п. 3 § 2). Отображение ср: Х-*- Y
конечно. Действительно, в п. 5 Приложения показано, что
образующие ut алгебры к [X] целы над алгеброй к [Х]° =
= к [У]. Отсюда следует, что и алгебра к [X] цела
над к [У]. ¦
Если / — конечное отображение, то любая точка у е У
имеет не более чем конечное число прообразов. Действи-
Действительно, пусть Хс=А"ги t±, ..., tn — координаты в А" как
функции на X. Нам достаточно доказать, что любая коор-
координата U принимает только конечное число значений на
множестве /-1 (у). По определению U удовлетворяет урав-
уравнению *? + bxt\-x+...+bh = O, 6* е= к [Г]. Для are/-1 (у),
у е У, мы получаем уравнение
0, A)
(*4(х) )* +
которое имеет конечное число корней.
§ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИИ
81
Смысл понятия конечности заключается в том, что
когда у меняется на Y, ни один из корней уравнения A)
не стремится к бесконечности, так как коэффициент при
старшем члене не обращается в 0. Поэтому при изменении
у на Y точки f~x{y) могут сливаться, но не могут «исче-
«исчезать». Уточнением этого замечания служит
Теорема 4. Конечное отображение эпиморфно.
Пусть /: X -*- Y — конечное отображение, X и Y —
аффинные многообразия, у е= Y. Обозначим через т„
идеал кольца к [У], состоящий из функций, обращающих-
обращающихся в 0 в точке у. Если t±, ..., tn — координаты как функ-
функции на многообразии У и у = (<хи ..., <х„), то ПЦ, =
= (*! —«1, ..., tn — an). Уравнения многообразия /-1 (у)
имеют вид /*(f1) = «1, ..., /*(?„) = «„, и множество /-1 (у)
пусто тогда и только тогда, когда (/* (ti) — а,и
¦ • •> /*(*п) —обп) = к [X]. Дальше мы не будем различать
функции ме к [У] и /*(и)ек[Д считая к [У] подкольцом
в Ц.Х]. Тогда предшествующее условие запишется
в виде (*!—«!, . . ., tn — а„)=к[Х], или шук[X] = к[X].
Из того, что к [X] цело над к [У], следует, что к [X] яв-
является модулем конечного типа над к [У]. Ввиду этого
теорема 4 вытекает из чисто алгебраического ут-
утверждения.
Если кольцо В является модулем конечного типа над
подкольцом А (с единицей), то для любого собственного
идеала <х сг А, <хВ Ф В.
См. следствие 1 п. 6 Приложения.
Следствие. Конечное отображение переводит замк-
замкнутые множества в замкнутые.
Достаточно проверить это для неприводимого замкну-
замкнутого множества Z <= X. Надо применить_теорему 4 к ог-
ограничению / отображения / на Z, т. е. /: Z-^-f(Z). Оно,
очевидно, конечно, и, значит, f(Z) = f(Z), т. е. f{Z)
замкнуто.
Свойство конечности является локальным.
Теорема 5. Если /: X -» У — регулярное отображе-
отображение аффинных многообразий и любая точка х е У имеет
такую аффинную окрестность U^x, что V = f~l(U) аф-
финно и f: V -*¦ U конечно, то и f конечно.
Положим k[X]=S, k [У] = А. В п. 2 § 4 было дано
определение главного открытого множества. Мы можем
взять у любой точки окрестность U, являющуюся глав-
главным открытым множеством и удовлетворяющую условиям
теоремы (см. задачу 11).
6 и. Р. Шафаревич, т, 1

82
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть D(ga)—система таких открытых множеств,
число их можно считать конечным. Тогда У = UD(g^),
т. е. идеал, порожденный всеми ga, равен А. В нашем
случае Va = Г1 (D (ga) )=?>(/* (ga)), k [D (ga)] = A ^],
k {Va] = в Г— 1. По условию 5[у имеет конечный
базис coijC6 над А —— . При этом мы можем считать,
L * ct J
!,«еВ; если бы базис состоял из элементов —^-,
что
о,, а е В, то и элементы со*, а были бы базисом. Рассмот-
Рассмотрим объединение всех базисов со,-, а и докажем, что они
образуют базис В над А.
Любой элемент 6<=2? обладает представлением
аг,<х
СО
г,а
для каждого <х. Так как элементы ga порождают еди-
единичный идеал в А, то существуют такие h^^A, что
2 ?аайа = 1. Поэтому
= 6 2 ёЛ
= 22
•? а
что и доказывает теорему.
Определение 2. Регулярное отображение /: X -»-,
-»- У квазипроективных многообразий называется конеч-
конечным, если любая точка г/ е У имеет такую аффинную
окрестность V, что множество U — f~l (V) аффинно и
отображение аффинных многообразий /: U -*¦ V конечно.
Очевидно, что для любого конечного отображения /
множество /~* (у) конечно для любого у е Y.
Из теоремы 4 вытекает, что любое конечное отобра-
отображение эпиморфно.
Это свойство приводит к важным следствиям, каса-
касающимся любых отображений.
Теорема 6. Если /: X ->- Y — регулярное отобра-
отображение и f(X) плотно в Y, то f(X) содержит открытое
в Y множество.
Утверждение теоремы сразу сводится к случаю, когда
X и Y неприводимы и аффинны,— мы будем это дальше
предполагать. Тогда к [У] с= к [X]. Обозначим степень
трансцендентности расширения k(X)/k(F) через г и
§ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ
83
выберем г алгебраически независимых над к (У) элементов
ии ..., Mr'sskpq. Тогда к[Х] => к[У] [щ, ..., иг] => к[У] и
к [У] [ии ..., иг] = к [У X Аг]. Таким образом, отображе-
отображение / представлено в виде композиции двух отображе-
отображений: f^g-h, h: X-+YXA* и g: У X Аг -+¦ У, причем g
есть просто проектирование на первый сомножитель.
Любой элемент рек [X] алгебраичен над к [У X Аг] и,
значит, для него существует такой элемент as k [УХ
X Аг], что а ¦ v цел над к [У X Аг]. Выберем такие эле-
элементы «1, ..., ат для некоторой системы образующих
vu . -., vm кольца к [X] и положим F — ot am. Так как
в открытом множестве Z)(i?)cryXAr функции а{ обра-
обратимы, то функции v в D (h* (F))cz X целые, т. е. огра-
ограничение
h: D(h*{F))-+D{F)
конечно. Ввиду теоремы 4 D(F)<= h(X). Нам остается
доказать, что g{D{F)) содержит открытое множество
в У. Пусть
где Т(а) — одночлены от переменных Ти . .., Тт — коор-
координат в Аг. Для точек у е У, для которых не все
F<x(y) = O, существуют такие значения Tt = т*, что
F(y, т)=^0. Поэтому g(D{F))^ UD(Fa).
Теорема 6 показывает, насколько регулярные отобра-
отображения алгебраических многообразий проще непрерывных
или дифференцируемых отображений.
Знаменитая всюду плотная обмотка тора, т. е. ото-
отображение
/: R1
7 = (B/ZJ,
= (x, V~2x)modZz
как раз и дает пример ситуации, которая не может
встретиться для алгебраических многообразий ввиду
теоремы? 6.
Теорема 7. Если X замкнуто в Р" и X<=Рп — Е,
где Е — d-мерное линейное подпространство, то проекти-
проектирование п: X ->- Р™-1*-1 с центром в Е определяет конеч-
конечное отображение X ->- л (X).
Доказательство. Пусть у0, ¦.., У-n-d-i — однород-
однородные координаты в pn~d-i и л задается формулами у; =
= Zy (аг), х е= X (j = 0, ..., п — d — 1). Очевидно, что
Ui == л~х (А"~ ~х) П X задается условием ?,{(х)ФО и
является аффинным открытым подмножеством в X. Мы
6*

ж
84
гл. i. основные понятия
докажем, что я: Ui —»-A? d г(]л(Х)— конечное отобра-
отображение. Любая функция g e k [E/J имеет вид g =
Gi (xo' • • •' Жп)
= " Ym ' где Gi—форма степени т. Рассмотрим
отображение л±: X—>¦ Pn~ , Zj = Uf (x) (/ = 0, ..., п —
— d — 1), гп_й == G< (ar), где z0, ..., zn_d — однородные
координаты в P"-d. Оно является регулярным отображе-
отображением и образ его Я1(Х) замкнут в Pn~d по теореме 2.
Пусть Ft = ... = Fs = 0 — его уравнения. Так как X <=¦
с=Рп — Е, то формы Lt (г = 0, ..., п — d — l) не имеют
общих нулей на X. Это значит, что точка 0 = @ : ... : 1)
не содержится в iCi (X), иными словами, что уравнения
z0 = .. . — Zn-tf-i =5 Fi = ... = Fs = 0 не имеют решений в
рп-а Согласно лемме 1 п. 1 § 4 отсюда следует, что
(z0, ..., zn-a-u Fu ..., Fs)=>Ik при некотором к > 0.
В частности, (z0, . . ., zn_d_i, Fx, . . ., ,FS) ^ zn-d- Это зна-
значит, что
i=o .?"=i
где 7/j и Р3 — многочлены. Обозначая через H(q) одно-
однородную составляющую степени q многочлена Н, мы по-
получим отсюда
Ф (г0, . . ., zn_d) = 4-й - 2 z,-fff-1} = 0 на лг (X). B)
Однородный многочлен Ф имеет степень к и как мно-
многочлен от zn-d имеет коэффициент при старшем члене,
равный 1:
—1
Ф = Zn-d — S Ak-j
i
C)
Подставляя в B) формулы преобразования л±, мы
получим, что Ф(Ь™, . . ., lJ?-.d-.-y, Gi) = 0 на X, причем
Ф имеет вид C). Деля это соотношение на L% , мьг по-
получаем нужное соотношение
№ )
i=o
n—d—l
где ar_ = —- — координаты в Ао . Теорема доказана.
Применение отображения Веронезе дает возможность
существенно обобщить этот результат.
§ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ
85
Теорема 8. Пусть Fo, ..., Fs — линейно независи-
независимые формы степени пг на Р", не имеющие общих нулей
на замкнутом многообразии X <= Р". Тогда отображение
ф (х) = (Fo (х) : .. . : F, (х)) определяет конечное отобра-
отображение X -*¦ ф (X).
Пусть vm: Pn -*¦ Р п'т — отображение Веронезе и Li —
линейные формы на Р ' -, соответствующие формам Fi
на Р". Очевидно, что тогда ф = jc ¦ vm, где jc — проекти-
проектирование, определенное формами Lo, ..., Ls. Так как vm
является изоморфизмом между X и vm (X), то теорема
вытекает из теоремы 7.
4. Нормализационные теоремы. Рассмотрим неприво-
неприводимое проективное многообразие X с= Р", отличное от
всего Р". Тогда существует точка х s Pn, х Ф X и отобра-
отображение ф проектирования X из точки х будет регуляр-
регулярным. Многообразие ф (X) <= Pn-1 проективно согласно тео-
теореме 2, а отображение ф: Х->-ф(Х) конечно по теоре-
теореме 7. Если ф(Х) т^= Pn-1, то мы можем применить к нему
те же рассуждения. В конце концов, мы придем к ото-
отображению X -*¦ Рт, которое будет конечным как компо-
композиция конечных отображений. Доказанный нами резуль-
результат называется нормализационной теоремой:
Теорема 9. Для любого неприводимого проектив-
проективного многообразия X существует конечное отображение
ф: X ->• Р™ на проективное пространство.
Аналогичный факт верен и для аффинных многооб-
многообразий. Для доказательства рассмотрим аффинное мно-
многообразие X сг А". Предположим, что А" открыто в Р",
и обозначим через Х- замыкание _Х в Рп. Пусть Х?=Ап.
Выберем точку_ х ^Рп — А", хФХ и рассмотрим проек-
проектирование ф: X -*¦ Р"-1 из этой точки. При этом X будет
проектироваться в «конечные» точки Р, т. е. в точки
аффинного пространства А" = Р"-1 П А". Мы можем
продолжить этот процесс до тех пор, пока^ Х^А", и
в результате получим проектирование ф: X -*- Рт, при
котором ф(Х) = А™. Этим доказана
Теорема 10. Для любого неприводимого аффинно-
аффинного многообразия X существует конечное отображение
ф: X -*¦ Ат на аффинное пространство.
Теоремы 9 и 10 дают возможность свести изучение
некоторых (очень грубых) свойств проективных и аф-
аффинных многообразий к случаю проективного и аффин-
аффинного пространств. При пг = 1 — это точка зрения Римана,

m
86
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
рассматривавшего алгебраические кривые как накрытия
римановой сферы (Р1 над полем комплексных чисел).
Теорема 10 означает, что кольцо А без делителей
нуля с конечным числом образующих над полем к будет
целым над кольцом, изоморфным кольцу многочленов.
Этот результат легко доказать и непосредственно.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что многообразие ср(РгХР") не лежит ни в ка-
каком линейном подпространстве пространства pc+'H'+i)-^ отлич-
отличном от всего р(г+1)(«+1)-1.
2. Рассмотрим отображения многообразия Р'ХР'-^Р1:
P\ix, у) = х, Pz(x, у) = У- Доказать, что pi(X) = р2(Х) = Р1 для
любого замкнутого неприводимого подмногообразия X а Р1 X Р >
если только X не принадлежит к одному из следующих типов:
а) точка (х0, у0) еР'Х Р1, б) множество х0 X Р1, где х0 — фикси-
фиксированная точка из Р1, в) множество Р1 X г/о-
3. Проверить непосредственно следствие 1 теоремы 2 для слу-
случая, когда X = Р".
4. Пусть X = А2 — х, где х — точка. Доказать, что X не изо-
изоморфно ни аффинному, ни проективному многообразию (ср. за-
задачу 3 к § 4).
5. То же, что и в задаче 4, доказать для Р2 — х.
6. То же, что и в задачах 4 и 5, для Р1 X А.1.
7. Будет ли конечным отображение /: А1 ->- X, X задано урав-
уравнением у2 = ж3, f{t) = (г2, га)?
8. Пусть X — гиперповерхность в Pr, L — прямая, проходящая
через начало координат, и cpL — отображение проектирования X па-
параллельно L на некоторое (г—1)-мерное подпространство, не со-
содержащее L. Обозначим через S множество всех таких прямых L,
что cpL не конечное. Доказать, что S — алгебраическое многообра-
многообразие. Найти S, если г = 2 и X задается уравнением ху = 1.
9. Доказать, что пересечепие аффинных открытых подмножеств
аффинно. Указание. Использовать пример 10 п. 3 § 2.
10. Доказать, что формы степени т = Ы от п + 1 перемен-
переменных, являющиеся J-ми степенями форм, соответствуют точкам не-
некоторого замкнутого подмножества в Р n>m.
11. Пусть /: X—*-Y — регулярное отображение аффинных мно-
многообразий. Доказать, что прообраз главного аффинного открытого
множества является главным аффинным открытым множеством.
§ 6. Размерность
1. Определение размерности. В § 2 мы видели, что
замкнутые алгебраические подмногообразия X <= А2 — это
конечные множества точек, плоские алгебраические кри-
кривые и само А2- Это разделение на три типа соответ-
соответствует интуитивному понятию размерности — мы имеем
многообразия размерностей 0, 1 и 2. Сейчас мы дадим
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ
87
определение размерности произвольного алгебраического
многообразия.
Как можно прийти к такому определению? Во-пер-
Во-первых, размерность re-мерного проективного или аффинного
пространства естественно считать равной п. Во-вторых,
если существует конечное отображение X -*¦ Y, то есте-
естественно считать, что X и Y имеют одинаковую размер-
размерность. Так как, согласно нормализационным теоремам
(теоремы 9 и 10 § 5), любое проективное или аффинное
многообразие X обладает конечным отображением на не-
некоторое пространство Рт или Ат, то естественно это т и
взять за определение размерности многообразия. При
этом возникает, однако, вопрос о корректности этого
определения: не может ли существовать двух конечных
отображений /: X -»- А" и g: X ->- Am, тпФ п? Предполо-
Предположим, что X неприводимо. Тогда из конечности отобра-
отображения /: X -*- А" следует, что поле рациональных функ-
функций к(Х) является конечным расширением поля /*к(А"),
которое в свою очередь изоморфно полю k(J'1, ..., Тп).
Поэтому к(Х) имеет степень трансцендентности п, что
и дает характеристику числа п, не зависящую от выбо-
выбора конечного отображения /: X ->- А". Тем самым мы
в некоторой степени мотивировали определение раз-
размерности.
Определение. Размерностью квазипроективного
неприводимого многообразия X называется степень
трансцендентности поля к (X).
Размерностью приводимого многообразия называется
максимум размерностей его неприводимых компонент.
Размерность многообразия X обозначается через
dim X.
Если Y — замкнутое подмногообразие в X, то число
dim X — dim Y называется коразмерностью Y в X и
обозначается codim Y или codim^ Y.
Заметим, что если X — неприводимое многообразие и
U открыто в X, то k(E/) = k(X) и, значит, dim U = dim X.
Пример 1. dim A" = dim P" = п, так как поле
k(An) совпадает с полем рациональных функций от п
переменных. Так как по определению размерность инва-
инвариантна относительно бирационального изоморфизма,
то мы видим, что А" и Ат не изоморфны бирационально,
если пФ т.
Пример 2. Плоская неприводимая алгебраическая
кривая имеет размерность 1, как мы видели в § 1.

88
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пример 3. Если X состоит из одной точки, то,
очевидно, dimX=O, а значит, то же верно и когда X
является конечным множеством. Наоборот, если dim X =
= 0, то X — конечное множество. Достаточно проверить
это для неприводимого аффинного многообразия X.
Пусть X с= А" и tu ..., tn — координаты в А" как функ-
функции на X, т. е. как элементы из к [X]. По условию U
алгебраично над к, а значит, может принимать только
конечное число значений. Отсюда и следует, что X
конечно.
Пример 4. Докажем, что если X и У — неприво-
неприводимые многообразия, то dim (X X Y) = dim X + dim Y.
Достаточно рассмотреть случай, когда X и Y — аф-
аффинные многообразия, X <= AN, Y cr Ам. Пусть dim X = га
и dim Y = т, tu ..., tN и ии ..., им — координаты в AN
и Ам, рассмотренные как функции на X и Y соответ-
соответственно, tu ..., tn алгебраически независимы в к(Х),
а ии ..., ит— в к (У). По определению к [XX У] порож-
порождается элементами ?1? ..., tN, и1} ..., им, и все эти эле-
элементы, в силу сделанных предположений, алгебраически
зависят от tu ..., tn, Ui, ..., и™. Нам достаточно дока-
доказать, что эти последние элементы независимы. Предпо-
Предположим, что между ними существует соотношение
F(T; U) = F(TU ..., Тп, Uu ..., Um)=-Q на XX Y. Тогда
Для любой точки х <= X имеем F (х; Uu , Um) = 0 на Y.
Так как иу, ..., ит независимы на У, то каждый коэф-
коэффициент щ(х) многочлена F{x, U) равен 0. Это значит,
что соответствующий многочлен аг{Тх, ..., Тп) ра-
равен 0 на X. Теперь мы воспользуемся независимостью
элементов tu ..., tn на X и отсюда получим, что
все ui{Tu ..., Г„) = 0, а значит, и F(T, U) = 0 тож-
тождественно^
Пример 5. Грассманово многообразие (пример 1
п. 1 § 4) покрывается открытыми множествамиРгг..лг?=®%
изоморфными аффинному пространству Аг("~г) (га =
= dim V). Значит, dimG(r, n) — r{n — г). Отсюда следует
также, что G(r, V) рационально.
Одномерные алгебраические многообразия называются
кривыми, двумерные — поверхностями.
Теорема 1. Если X с= Y, то dim X^ dim У. Если Y
неприводимо, X cz Y, dim X = dim Y и X замкнуто в Y,
то X = Г. ,
Достаточно доказать утверждения теоремы для слу-
случая, когда X ж Y аффинны и неприводимы.
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ
89
Пусть X с= Y сг А^ и dim Y = п. Тогда среди коорди-
координат t±, ..., tff любые п + 1 алгебраически зависимы как
элементы к [У], т. е. связаны соотношением F( 11 , ,..
¦ ¦ ¦ > hn+1)= 0 на Y. Тем более оно выполняется на X.
Это и значит, что степень трансцендентности поля к(Х)
не больше п, т. е. dim X^ dim Y.
Пусть dim X = dim Y = п. Тогда некоторые п из чис-
числа координат tu ..., tN независимы на X. Пусть это
ti, ...., tn. Тем более они независимы на Y. Пусть ме
<= к [У], «^0 на У. Тогда и алгебраически зависим от
t±, . .., tn на У, т. е. выполнено соотношение
i, •-., tn)uk+ ... + ah(tu ..., tn) =
A)
на У.
Мы можем выбрать многочлен в левой части A) не-
неприводимым, и тогда ah(ti, ..., tn)^0 на У. Тем более
соотношение A) верно на X. Предположим, что и = 0
на X. Тогда из A) следует, что ah(tu ..., ?п) = 0 на X,
а так как tx, . .., tn по условию независимы на X, то
o-k{Tu • ¦ •» Tn) = Q на всем A.N. Это противоречит тому,
что ah(ti, ..., ?п)=т^0 на У. Таким образом, если и — О
на X, то и = 0 на У, а это и значит, что X ¦= У. Теорема
доказана.
Как мы видели, неприводимая плоская алгебраиче-
алгебраическая кривая имеет размерность 1.
Обобщением этого факта является следующий ре-
результат.
Теорема 2. Все неприводимые компоненты гипер-
гиперповерхности в AN или PN имеют коразмерность 1.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
гиперповерхности в AN. Пусть многообразие Хс=А^ за-
задано уравнением F(T)=0. Разложению F = Fx ... Fk на
неприводимые множители соответствует представление
X=X1U...UXA, где Xt определено уравнением Ft = 0.
Очевидно, что теорему достаточно доказать для многооб-
многообразий Хи Докажем, что они неприводимы. Если бы Xi
было приводимо, что существовали бы такие многочле-
многочлены G ж Н, что GH = 0 на Хи G Ф 0, Н Ф 0 на Хи Из тео-
теоремы Гильберта о корнях следует, что, при некотором
I > 0, Ft\ (GIII. Ввиду неприводимости многочлена Ft
отсюда вытекает, что F( I G или Ff I H, а это противоре-
противоречит условию G Ф 0, Н Ф 0 на Х4.
Предположим, что в многочлен Ft(T) переменная TN
действительно входит, и докажем, что координаты ?1; ...

90
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
..., tN-i алгебраически независимы на X,-. Действительно,
из соотношения G(tu ..., fJV_1).= 0 на Xt следовало бы,
что, при некотором I > 0, ^ i G1, что невозможно, так
как G не содержит TN. Таким образом, dimXiSsiV—1,
а так как X Ф AN, то из теоремы 1 следует, что dim Xt =
= -/V— 1.
Теорема 3. Любое многообразие X сг А.1*, все ком-
компоненты которого имеют коразмерность 1, является ги-
гиперповерхностью, и идеал $ИЖ — главный.
Достаточно рассмотреть случай, когда X неприводимо.
Так как X?=AN (ввиду того, что dimX = iV — 1), то су-
существует ненулевой многочлен F, равный нулю на X.
Ввиду неприводимости многообразия X некоторый не-
неприводимый множитель Н многочлена F также равен
нулю на X. Тогда Ан id X, а так как в доказательстве
теоремы 2 мы видели, что Ан неприводимо, то по тео-
теореме 1 X = Ан. Если GseSlj, то по теореме Гильберта
H\Gh, а, ввиду неприводимости Н, G^(H), т. е. &х =
Аналогично доказывается вариант теоремы 3.
Теорема 3'. Любое подмногообразие X сг Р^1 X
X . . . X Р к, все компоненты которого имеют коразмер-
коразмерность 1, задается одним уравнением, однородным по
каждой из к групп переменных.
. Надо только вместо однозначности разложения мно-
многочленов на неприводимые множители воспользоваться
однозначностью разложения многочлена, однородного по
каждой группе переменных, на такие же многочлены.
Это получается из того, что если F (х0, . . ., xN±, у0, . . .
¦ ¦-, yN2-> • • • ¦> ио> • • •> иНъ) однороден по каждой из групп
переменных (х0, . . ., xNl), . . ., (и0, . . ., uNfl) и F = G H,
то G и Н обладают тем же свойством.
2. Размерность пересечения с гиперповерхностью.
Если мы попытаемся исследовать многообразия, опреде-
определенные более чем одним уравнением, то сразу придем
к вопросу о размерности пересечения многообразия
с гиперповерхностью. Мы исследуем этот вопрос сначала
для проективных многообразий. Если X замкнуто в Р^ и
форма F Ф 0 на X, то через ХР мы будем обозначать
замкнутое подмножество X, определенное условием
F 0
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ
91
Для любого проективного многообразия X с= Р^ мы
можем найти форму G(U9, ..., UN) любой наперед за-
заданной степени т, не обращающуюся в 0 ни на одной
из компоненх-Х^Пля этого достаточно выбрать в каждой
компоненте ХГмноТовбразия X по точке ^еХ и найти
линейную форму L,, не обращающуюся в 0 ни в одной из
этих точек. За G можно взять надлежащую степень L.
Пусть X замкнуто в PN и форма F Ф 0 ни на одной ком-
компоненте X. Ввиду теоремы 1 dim ХР < dim X. Положим
ХР = ХA) и, применяя к нему то же рассуждение, най-
найдем форму Fu degi?1 = degi?I, не обращающуюся в 0 ни
на одной компоненте ХA). Мы получим последователь-
последовательность многообразий X(i) и форм Ft (i=0, . ..) таких, что
X = Х(о) id XA) id . . ., X(i+1) = X% FQ = F. A)
Согласно теореме 1 dimX(i+1) < dimXo). Поэтому, если
dimX = re, то Х("+1) пусто. Иначе говоря, формы FQ—F,
F±, . .., Fn не имеют общих нулей на X.
Пусть теперь X — неприводимое многообразие. Рас-
Рассмотрим отображение ср: Х->-Р":
y(x) = (F0(x):...:Fn(x)). B)
Это отображение удовлетворяет условиям теоремы 8 § 5,
и ввиду этой теоремы отображение Х-^-ф(аг) конечно.
Но если X ->- Y — конечное отображение, то, как мы ви-
видели, dim X = dim Y. Поэтому dim qp (X) = dim X = n,
а так как qp (X) замкнуто в Р" ввиду теоремы 2 § 5, то
qp(X) = P" ввиду теоремы 1 п. 1. Предположим теперь,
dimXA) = dimXp < n — 1. Тогда в последовательности A)
уже Х(ге) пусто. Иначе говоря, формы ,F0, ..., Fn-y ne
имеют общих нулей на X. Это значит, что точка
@ : 0 : .. . : 0 : 1) не содержится в ср (X), а это противоре-
противоречит тому, что ф(Х) = Р". Таким образом, мы доказали
следующий результат.
Теорема 4. Если форма F не равна 0 на неприво-
неприводимом проективном многообразии X, то dimXP =
= dimX-l.
Следствие 1. На проективном многообразии X
существуют подмногообразия любой размерности s <
< dim X.
Следствие 2 (индуктивное определение
размерности). Для неприводимого проективного
многообразия X dim X = 1 + sup dim Y, где Y пробегает
все собственные подмногообразия X.

92
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
С л е д с т в и е 3. Размерность проективного многооб-
многообразия X может быть определена как наибольшее число
п, для которого существует цепочка неприводимых под-
подмногообразий Уо=> Yt=> . .. => Yn, Yt Ф Yi+i.
Следствие 4. Размерность п проективного много-
многообразия X молено определить как N — s — 1, где s—'мак-
s—'максимум размерностей линейных подпространств в ?*, не
пересекающих X.
Пусть Е сг Р^ — линейное подпространство и dim Е =
= s. Если s 7S* N — п, то Е можно задать не более чем
п уравнениями, и последовательное применение теоре-
теоремы 4 показывает, что dim (X Л Z?) S* О и, значит, X Л Е не
пусто (размерность пустого множества равна —1!). По-
Положив пг = 1 при конструкции последовательности A),
мы получим п +1 линейных форм Lo, ..., Ьп, не имею-
имеющих общих нулей на X. Если Е — определяемое ими
подпространство, то dim Е = N — п — 1 и X Г) Е пусто.
Следствие 5. Множество нулей г форм Fx, ..., Fr
на п-мерном проективном многообразии имеет размер-
размерность не меньшую, чем п — т.
Доказательство получается применением г — 1 раз
теоремы 4.
Следствие 5 дает довольно сильную теорему суще-
существования.
Предложение. Если т ^ п, то г форм имеют
общий нуль на п-мерном проективном многообразии.
Например (при X = Pn), n однородных уравнений от
п + 1 неизвестных имеют ненулевое решение.
Из этой теоремы существования можно сделать ряд
важных выводов.
Следствие 1. На Р2 любые две кривые пересека-
пересекаются (так как любая кривая задается одним однород-
однородным уравнением). На поверхности 2-го порядка Q сг р3
есть непересекающиеся кривые, например прямые одного
и того же семейства образующих. Поэтому Р2 и Q не
изоморфны. Так как они бирационально изоморфны
(пример 1 п. 3 § 3), то мы получаем пример бирацио-
бирационально изоморфных, но не изоморфных проективных
многообразий. Этот пример будет дальше встречаться.
Следствие 2. Теорема 3 неверна уже для кривых
на поверхности 2-го порядка Q: не любая кривая С <== Q
определяется приравниванием нулю одной формы Р3.
Действительно, предположив, что обе непересекающиеся
кривые, которые мы выше нашли на Q, задаются урав-
§ 6. размерность
93
нениями Fy = 0 и F2 = 0, мы приходим к противоречию
со следствием 5, согласно которому система Fx = О, F2 =
— О, G = 0 (G = 0 есть уравнение Q) имеет решение.
Следствие 3. Мы видели в п. 6 § 1, что точки
перегиба плоской алгебраической кривой с уравнением
F = 0 определяются условием H(F) = 0, где Н (F)—гес-
(F)—гессиан формы F. Если степень F равна п, то степень
Н(F) равна 3(ге —2). Поэтому при ге>2 система урав-
уравнений F — О, H(F) = 0 имеет ненулевое решение, т. е.
любая кривая степени ^3 имеет точку перегиба.
Простейший частный случай — когда п = 3. Мы ви-
видим, что любая, кубика имеет точку перегиба. Выберем
систему координат (^0, %и %z) так, чтобы точка перегиба
имела координаты @:0:1), а касательная в ней совпа-
совпадала с -It = 0. Полагая и =у-, v = -|Ц мы убедимся, что
наше условие равносильно тому, что в уравнении
ф(и, v) = 0 отсутствуют свободный член и члены суй
v2. Переходя к координатам -^- = х, -^- = у, в которых
точка перегиба является бесконечно удаленной, мы ви-
видим, что в уравнении f(x, j/)=0 нашей кубики отсут-
отсутствуют члены с у3, х2у и yzx, т. е. оно имеет вид ау2 +
+ (Ъх + с) у + g (х) = 0, где g — многочлен степени «S3.
Если а = 0, то наша точка перегиба является особой.
Если а Ф0, то можно считать а = 1. Предполагая, что
характеристика поля к отлична от 2, и полагая уг = у +
-|—5~ (Ъх -Ь с), мы приводим уравнение к виду у\ = gx (x),
где степень gi опять «S3, а если кубика неособа, то эта
степень равна 3. Таким образом, уравнение гладкой ку-
кубики имеет вейерштрассову нормальную форму в неко-
некоторой системе координат. В п. 4 § 1 мы доказали лишь
более слабое утверждение, что кубика изоморфна кривой
с уравнением в вейерштрассовой нормальной форме.
Следствие 4 (теорема Тзепа). Пусть
F(Xi, . . ., хп)—форма степени m < n, коэффициенты
которой — многочлены от t. Уравнение F(xu . . ., хп) = 0
имеет решение в многочленах xt = p*(t).
Доказательство. Будем искать xt в виде xt =
i
с неопределенными коэффициентами иц. Под-
ставляя эти выражения в уравнение F(xu ..., хп) = 0,

94
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
мы получим многочлен от t, все коэффициенты которого
надо приравнять 0. Если максимум степеней коэффи-
коэффициентов многочлена F равен к, то число уравнений не
будет превышать ml + к~\-1. Число неизвестных равно
re(Z + l). Так как по условию п>пг, то при достаточно
большом I число неизвестных будет больше числа урав-
уравнений и, значит, система будет иметь ненулевое решение.
Пример 1. Важный частный случай теоремы Тзе-
на — когда п = 3, a F — квадратичная форма. Ему мож-
можно дать следующую геометрическую интерпретацию.
Пусть в Р2 X А1 поверхность X задана уравнением.
2
2
2
2- aij (О xi'Xj = 0, где х0 : xt : х2— координаты в Р2, t —
i.j=0
j
в А1,
]. Слои отображения X -*- А1 — коники,
а поверхность называется пучком коник. Теорема Тзена
доказывает, что этот пучок имеет сечение, т. е. такое
регулярное отображение <р: А1 -*¦ X, что ф(а), а «= А1,
лежит в слое над точкой а. Другая интерпретация этого
результата такова. Рассмотрим нашу поверхность как
2
кривую С (конику) в Р2 с уравнением 2 ацХгХ} = 0
г, }—0
над алгебраически незамкнутым полем i? = k(?). Оче-
Очевидно, K(C) = ]l{X) . Тогда на этой конике есть точка
с координатами из поля К.
Будем предполагать, что кривая С неприводима, т. е.
det(ay(?)) не равен О тождественно (в этом случае пу-
пучок называется невырожденным). В п. 2 § 1 мы видели,
что в этом случае коника рациональна и соответствую-
соответствующее отображение определено над полем К. Иными слова-
словами, поле К{С) изоморфно полю К(Т), а так как К(С) =
= к(Х), то К(Х) изоморфно К(Т) = k(?, T). Мы доказали
Следствие 5. Невырожденный пучок коник явля-
является рациональной поверхностью.
Теорема 5. В предположениях теоремы 4 все ком-
компоненты многообразия XF имеют одинаковую размер-
размерность dimX—1.
Рассмотрим конечное отображение <р: X-^-P" (n =
= dim X), которое было построено при доказательстве
теоремы 4. Пусть А™ — открытые аффинные множества,
покрывающие Рп, тогда ср г (А") = Uг — аффинные от-
открытые множества в X, как легко увидеть, применив
отображение Веропезе с пг = deg F. Очевидно, достаточно
доказать, что все компоненты аффинного многообразия
§ 6. размерность
95
XF П Ui имеют размерность п — 1 для всех г = 1, ..., п.
Наше рассуждение будет относиться дальше к некоторо-
некоторому фиксированному ?/*, которое мы обозначим через U.
Очевидно, что XFuU=V(f), где/=-тг-, т. е. совпадает
на U со множеством нулей регулярной функции / ^
ek[f/]. Мы построили конечное отображение ер: U -*- А",
которое задается п регулярными функциями Д, ..., /п,
причем Д = /.
Чтобы доказать, что все компоненты V(f) имеют раз-
размерность п—1, достаточно доказать, что их размерности
не меньше п — 1. Мы докажем, что функции /2, .. ., fn
на каждой из этих компонент алгебраически независимы.
Пусть Рек [Т2, ..., Тп]. Чтобы доказать, что R =
= P(f2, ..., /„) не обращается в О ни на одной из ком-
компонент множества V(f), нам достаточно показать, что
из соотношения R ¦ Q = О на V (/), Q <= k [U], следует, что
Q = 0 на V(f). Действительно, если V(f) = ?/A) U ...
... U U{i) — несократимое разложение на неприводимые
компоненты и R = 0 на ?/A), то за Q можно взять любую
функцию, равную нулю на ?/B) U ... U U(i\ но не на ?/A).
Тогда /?•<) = 0 на V(f), но Q Ф 0 на V(f). По теореме
Гильберта о корнях наше утверждение можно перефор-
переформулировать так: если f \ (R ¦ QI при некотором I > 0, то
/ I Q* при некотором к > 0.
Таким образом, теорема 5 вытекает из следующего
чисто алгебраического факта.
Лемма. Пусть В = к [Ти . . ., Тг], А => В,— кольцо
без делителей 0, целое над В, х = Т1, у = Р(Т2, ..., Тг)^
Ф О, «si. Если х\(уиI в А при некотором I > 0, то
х \ uh при некотором к > 0.
Единственное свойство многочленов х и у, которое
мы будем использовать,— это то, что они взаимно про-
просты в кольце к[7\, ..., Тг]. Заметим, что мы можем за-
заменить у1 на z и и1 на v и нам достаточно доказать, что
если х ж z взаимно просты в к[7\, . . ., Тг], то из ж I zv
в А следует, что х I у* в А при некотором к > 0. Таким
образом, лемма утверждает, что в некотором смысле
свойство взаимной простоты многочленов z и х <= В со-
сохраняется при переходе к целому над В кольцу А.
Обозначим через К поле частных кольца В. Если эле-
элемент ?"= А цел над В, то он тем самым алгебраичен
над К. Обозначим через F(T)<^ К[Т] многочлен наимень-
наименьшей степени со старшим коэффициентом 1 такой, что

96
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
F(t) = O. Этот многочлен F(Т) называется минимальным
многочленом элемента t. Деление с остатком показывает,
что любой многочлен G(Т)<= К\Т\ и такой, что G(t) = O,
делится на F в К[Т]. Отсюда можно заключить, что эле-
элемент t тогда и только тогда цел над В, когда F [Т] <=
<^В[Т]. Действительно, если t цел и G(i) = O, где Ge
eS[7] и старший коэффициент G равен 1, то G{T) =
= F(Т) ¦ Н(Т) в К[Т]. Но из того, что в В разложение
на простые множители однозначно (Z? = k[7T1, ..., Tr]l),
следует, что тогда F(T)^B[T] и Н(Т)<=В[Т] — это про-
простое следствие леммы Гаусса.
Теперь легко закончить доказательство леммы. Пусть
zv = xw, v, w^A и F(T) = T^+biTk-l-\- ... + Bh — мини-
минимальный многочлен элемента w. Так как w цел над В,
то &{ ^ В. Легко видеть, что минимальный многочлен
G(T) элемента v имеет вид —^-Fl — Т\. Поэтому
G (Т) = Th
хЧ.
C)
Так как v цело над В, то
хгЪ,
В, а ввиду того, что z
и х взаимно просты, zi I bt. Из C) тогда следует, что
х \ vh. Лемма, а следовательно, и теорема 5 доказаны.
Следствие 1. Если X<=TN — квазипроективное не-
неприводимое многообразие, F — форма, не равная тожде-
тождественно 0 на X и многообразие ХР не пусто, то любая
его компонента имеет коразмерность 1.
Доказательство. По определению X открыто в
некотором замкнутом подмножестве X пространства Pw.
Так как X неприводимо, то и X неприводимо_и, следо-
следовательно, dim X = dim X. По теореме 5 A)/_=U У,-,
dim Yi = dimX— 1. Но, как легко видеть, XF — (X)F(\X;
отсюда следует, что XF = U (F< П X), причем или 7;ПХ
пусто или Yi П X открыто в Yt, и поэтому dim (Yf П X) =
= dim X — 1.
Обычно встречается частный случай этого следствия,
когда Хе А"—аффинное многообразие. Если А™ <= Рп,
F
Ап = А?, то XF = V (/), где / = -^i, m = deg F. Таким
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ
97
образом, XF совпадает с множеством нулей некоторой
регулярной функции /ек[X].
Следе тв ие 2. Если X <= PN — квазипроективное не-
неприводимое п-мерное многообразие, Y совпадает с мно-
множеством нулей тп форм на X и не пусто, то любая его
компонента имеет размерность не меньшую, чем п — т.
Очевидное доказательство индукцией по т. Опять
в случае аффинного многообразия мы можем говорить
о множестве нулей т регулярных функций на X.
Если X проективно и m ^ п, то мы можем утверж-
утверждать, что Y не пусто.
Теорема 6. Если X и Y<= р^ — квазипроективные
неприводимые многообразия, dimX — n, dimF=m, N <
< п + тп, и ХПУФ0, то для любой компоненты Z
многообразия X П Y dim Z ^ п + тп — N.
Теорема носит, очевидно, локальный характер, и по-
поэтому достаточно доказать ее для аффинных многообра-
многообразий. Пусть X, FczA^. Тогда X0Y изоморфно (XX Г) П
ПДсгА2л" (пример 10 п. 3 § 2). Теорема вытекает те-
теперь из следствия 2 теоремы 5, так как А определено
N уравнениями. Для проективных многообразий, как и
раньше, множество X П Y не пусто, если N ^ п+ тп. Тео-
Теорему 6 можно сформулировать в более симметричном
виде, в котором она сразу обобщается на произвольное
число подмногообразий:
coding Г)
S
D)
3. Теорема о размерности слоев. Если задано регу-
регулярное отображение квазипроективных многообразий
/: X-*-Y, y<==Y, то множество f~i (у) называется слоем
над точкой у. Слой, очевидно, является замкнутым под-
подмногообразием.
Эта терминология оправдывается тем, что X расслаи-
расслаивается на непересекающиеся слои различных точек
y^f(X)
Теорема 7. Если /: X -*¦ Y — регулярное отобра-
отображение неприводимых многообразий, f(X)=Y, dimX =
= п, dim Y = тп, то m «g n и
1) для любой точки у <= Y и для любой компоненты
F слоя /-1 (у) dimF^n — m;
2) в Y существует такое непустое открытое множе-
множество U, что для y^U dimf~x(y) = n — тп.
7 и. Р. Шафаревич, т. 1

m
98
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Доказательство свойства 1). Очевидно, что
это — локальное относительно у свойство — достаточно
доказать его, приняв за Y любое открытое множество
U<=Y, U^>y, а за X — многообразие f~l(U). Поэтому
можно считать Y аффинным многообразием. Пусть
У<=А^. В последовательности A) п. 2 для многообра-
многообразия Y мы получим в качестве Yim} конечное множество:
Y{m) = Yf\Z, где Z определено т уравнениями и у «= Z.
Мы можем выбрать U так, что Z П U П Y = г/, и будем
поэтому считать, что Z П Y — у. Подпространство Z мож-
можно определить т уравнениями g± = 0, ..., gm — О. Таким
образом, система уравнений gi = 0, ..., gm = О определяет
на Y точку у. Это значит, что на X система уравнений
/*(§ч) = 0, ..., /*(gm) = O определяет подмногообразие
f~l{y). Теперь свойство 1) вытекает из следствия 2 тео-
теоремы 5 (аффинный случай).
Доказательство свойства 2). Мы можем
заменить Y его открытым аффинным подмножеством ТУ,
а X—открытым аффинным множеством Уст/-1 (ТУ). Так
как У плотно в /-1(ТУ), то /(У) плотно в ТУ. Поэтому /
определяет вложение /*: к [ТУ]-*-к [У]. Мы будем дальше
считать, что к [ТУ] с= к [У] и, значит, к(ТУ)<=к(У). Пусть
к[ТУ] = к[ы;1, ..., и>ы], к[У] = к[у15 ..., vN]. Так как
dim ТУ = m, dim У = п, то поле к (У) имеет над к (ТУ)
степень трансцендентности п — т. Предположим, что
vu ..., v-n—m алгебраически независимы над к (ТУ),
a Vi (i = n — т + 1, ..., N) связаны с ними соотноше-
соотношениями Fi(vt; vu ..., vn-m; wu ..., wM)=0. Обозначим
через Vi функции vf, ограниченные на /~1(г/)ПУ., Тогда
У] = к[^, ..., vN]. A)'
Рассмотрим Ft как многочлен от v{, v±, ..., vn-m, относя
wi, ..., wM к коэффициентам, и обозначим через У*
подмногообразие W, определенное обращением в 0 стар-
старшего коэффициента этого многочлена. Положим Yo =
= U-Yi, U = ТУ — Yo. Очевидно, что U открыто и не пусто.
Если у<^17, ни один из многочленов Fi(Ti] Ти ..., Тп-т,
w±(y), ..., wM{y))_ не равен 0, т. е. все Vi алгебраически
зависимы от у4, ..., vn-m- В сочетании с A) это показы-
показывает, что dim/ (i/)«S n — т, а ввиду свойства 1) отсюда
вытекает свойство 2). Теорема доказана.
То, что свойство 2) может не выполняться для всех г/г
т. е. размерность слоя действительно может подскаки-
подскакивать, мы увидим уже в следующем пункте.
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ
99
Следствие. Множества Yh = {у <^ Y, dim/ 1
замкнуты в Y.
Согласно теореме 7, Fn_m = Y и существует такое
замкнутое подмножество Y' cz Y, Y' ?* Y, что Yk <= Y'',
если к> п — тп. Если Z,- — неприводимые компоненты Y',
то dim Zi < dim Y, и мы можем применить индукцию по
dim Y к отображениям f~l(Zf) -*¦ Zt.
Из теоремы 7 вытекает критерий неприводимости
многообразий, который часто полезен.
Теорема 8. Если /: X-*-Y — регулярное отображе-
отображение проективных многообразий, f(X)=Y, Y и все слои
Z (У) неприводимы и размерности всех слоев одинаковы,
то X неприводимо.
Положим dimf~1(y) = n. Предположим, что X приво-
приводимо и X = U Xi — несократимое разложение на непри-
неприводимые компоненты. По теореме 2 § 5 все /(Х() замк-
замкнуты. Так как F==U/(X{), a Y неприводимо, то /(Х*) =
= Y для некоторых Х<. Выкинем из Y объединение тех
замкнутых множеств f(Xi), которые отличны от У, и ос-
оставшееся открытое множество обозначим через Y'. По-
Положим /~1(У) = X' и X' = (J Xj, где Xj—открытые
подмножества в тех Xh для которых /(Х,-)=У. Обозна-
Обозначим через fj- Xj —>- Y' ограничения отображения /,
а через тп} — минимум чисел dim ff1 (у). Согласно теоре-
J/EY'
ме 7 этот минимум достигается на некотором открытом
множестве U<=Y', а так как (J fj1 (у) = /-1 (у) неприводи-
неприводимо и имеет размерность п, то max щ = п и, для некото-
некоторого значения / = /о, dim fc1 (у) = п для у е= U, а значит,
и для всех у е= Y'. Но тогда для любого у еГ, f~x{y) =
= U /71 (У)у dim /Г1 (У) < п, dim fj^1 (у) = п и из неприво-
неприводимости /-1(^) следует, что f~x(y) — fj^(y)- Это и значит,
что Xj = X', откуда Xj = X.
Очень частным случаем теоремы 8 является неприво-
неприводимость прямого произведения неприводимых проектив-
проективных многообразий; см. § 3.
4. Прямые на поверхностях. После усилий, затра-
затраченных на доказательство теорем о размерности пере-
пересечений, естественно желание узнать и какие-то приме-
применения этих теорем. Мы сейчас сделаем это на примере
7*

100
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
простого вопроса о расположении прямых на поверхно-
поверхностях в Р3.
Понятие размерности, как правило, оказывается по-
полезным, если надо придать строгий смысл тому, что
элемент некоторого множества зависит от заданного
числа параметров. Для этого надо отождествить множе-
множество с некоторым алгебраическим многообразием и хгри-
менить введенное понятие размерности.
Мы видели, например, что гиперповерхности в РЛ,
задающиеся уравнением степени т, можно взаимно од-
однозначно сопоставить точкам проективного пространства
VVn'm, где vn>m = (п + т) - 1 (см. п. 4 § 4 ).
Перейдем к подмногообразиям, не являющимся ги-
гиперповерхностями, и к простейшим из них — пря-
прямым в Р3.
В п. 1 § 4 мы видели (пример 1), что прямые I ~ Р3
находятся во взаимно однозначном соответствии с точ-
точками гиперповерхности в Р5, заданной уравнением
PoiP23 — PozPi3 + P03P12 — О. Эту гиперповерхность мы обо-
обозначим через П. Очевидно, dim.n = 4.
Для исследования прямых, лежащих на поверхностях,
важен следующий результат.
Лемма. Условия того, что прямая I с плюккеровы-
ми координатами pfi принадлежит поверхности X, задан-
заданной уравнением F = 0, являются алгебраическими соот-
соотношениями между р^ и коэффициентами многочлена F,
однородными как относительно pih так и относительно
коэффициентов F.
Мы можем написать параметрическое представление
координат точек прямой Ъ через ее плюккеровы коор-
координаты. Пусть х и у — базис плоскости 3? <= V, dim 3? =
= 2, dim V — 4. Тогда множество векторов вида
xf(y)- уПх) . A)
совпадает, как легко проверить, с 3?', когда / пробегает
все линейные формы на V. Если координаты формы /
имеют вид («о, сси а2, <х3), т. е. / {х) = 2 &гХг, то век-
вектор A) имеет координаты z\, = 2aj.Pij, Pij = #ij/j — ViXj.
Поэтому точки прямой I, имеющей плюккеровы коорди-
координаты ра, имеют координаты и\ = 2 ^jPij- Подставляя эти
з
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ
101
выражения в уравнение F (и0, ии и2, и3)=0 и приравни-
приравнивая нулю коэффициенты при всех одночленах относи-
относительно а,-, мы получим условие того, что I <=¦ X, в виде
алгебраических соотношений между коэффициентами F
и координатами рц.
Перейдем теперь к интересующему нас вопросу
о прямых на поверхностях в Р3. Для заданного пг рас-
„v (те+1)(лг+2)(лг+3)
смотрим пространство Р , v = v3,m = g ! 1»
точки которого взаимно однозначна соответствуют по-
поверхностям степени m (т. е. задаваемым однородным
уравнением степени пг) в Р3. Обозначим через Тт под-
подмножество таких пар (?, ц)еР"ХП, что прямая I, соот-
соответствующая точке ri s П, содержится в поверхности X,
соответствующей точке § -е Pv. Ввиду леммы Гт — про-
проективное многообразие. Определим размерность Гт. Для
этого рассмотрим отображения проектирования ф (Pv X
ХП)-Р' и ^(РХП) -П: ФA, г]) = ?, 1|з(.1, л) = Л-
Очевидно, что <р и г|э — регулярные отображения. Мы
будем дальше рассматривать их только на Тт. Заметим,
что tt>(rm) —П. Это значит просто, что через любую пря-
прямую проходит хоть одна поверхность степени т, хотя
бы приводимая.
Определим размерности слоев ¦ф~1(т]) отображения ty.
Сделав проективное преобразование, можно считать, что
прямая, соответствующая т], определяется уравнениями
и0 = 0, щ — 0. Точкам | «^ Pv таким, что (?, т])е -ф—4 (т-j) с=г
<=¦ Гт, соответствуют поверхности степени т, проходя-
проходящие через эту прямую. Их уравнение имеет вид F = 0,
где F = u0G + и^Н, a G и Н — любые формы степени
т — 1. Множество таких форм соответствует, конечно,
линейному подпространству в Pv, размерность которого
легко подсчитать. Она равна
т (т -(- 1) (т -f- 5) . /<п
Таким образом,
т (т
(т-\-5)
Из теоремы 8 следует, что Гт неприводимо. Приме-
Применяя теорему 7, мы получаем, что
dim Тт - dim ф (Г„) + dim ^ (т,) -
+ 5)
3.
C)

102
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Рассмотрим теперь отображение ф: Гт -*¦ Pv. Его
образ, согласно теореме 2 § 5, является замкнутым под-
подмножеством Pv. Очевидно, dim ф (Гта) «S dim Гт. Поэтому,
если dim Тш < v, то (р(Tm) ?= ~PV, а это значит, что не на
любой поверхности степени т лежит прямая. Неравен-
ство dimrm<v ввиду C) означает ё г
+ о
1. Оно выполняется, если
т > 3. Мы получили следующий результат.
Теорема 9. Для любого т>3 существуют поверх-
поверхности степени тп, не содержащие ни одной прямой. Боль-
Больше того, таким поверхностям соответствует в простран-
пространстве Pv открытое множество.
Таким образом, существуют нетривиальные алгебраи-
алгебраические соотношения между коэффициентами формы
F(u0, ии и2, и3) степени тп > 3, необходимые и достаточ-
достаточные для того, чтобы на поверхности, заданной уравне-
уравнением F = О, лежала хотя бы одна прямая.
Из оставшихся случаев m = 1, 2, 3 случай m = 1 три-
тривиален. Рассмотрим случай тп = 2, хотя ответ нам заранее
известен из аналитической геометрии.
При пг = 2, v = 9 dim Гт = 10. Из теоремы 7 сле-
следует, что dimq)^)^51. Это — хорошо известный факт:
на любой поверхности 2-й степени лежит бесконечно
много прямых.
Заметим, не входя в детали доказательств, что здесь
мы уже встречаемся с явлением подскакивания размер-
размерности слоев, о котором будет сказано в п. 5. Действи-
Действительно, если поверхность 2-го порядка неприводима, то
для соответствующей ей точки dim ф (|) = 1, а если она
распадается на две плоскости, то, конечно, dim(p-1(!) = 2.
Рассмотрим теперь случай пъ = 3. В этом случае
dim Гт = -v = 19. Легко построить кубическую поверх-
поверхность X cz Р37 на которой лежит только конечное число
прямых. Например, если X задается в неоднородных
координатах уравнением
Т,Т2Т3 = 1,
D)
то в А3 на X не лежит ни одной прямой. Действительно,
записав уравнение прямой в параметрической форме
Tt = att+ bt (i = l, 2, 3) и подставив в D), мы придем
к противоречию. В пересечении же с бесконечно удален-
удаленной плоскостью X содержит три прямые. Таким образом,
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ ЮЗ
в Р19 существуют точки g, для которых dim^^) — 0.
Ввиду теоремы 7 п. 3 это возможно, только если
diпlф(Гз)= 19. Применяя теорему 1, мы видим, что
Ф(Гз) = Р19.
Мы доказали следующий результат.
Теорема 10. На каждой кубической поверхности
лежит хотя бы одна прямая. В пространстве Р19, точки
которого соответствуют всем кубическим поверхностям,
существует такое открытое подмножество, что на по-
поверхностях, соответствующих его точкам, лежит конечное
число прямых.
Кубические поверхности, на которых лежит бесконеч-
бесконечное число прямых, действительно существуют, например
кубические конусы. Таким образом, и здесь размерности
слоев могут подскакивать.
Позже мы увидим, однако, что на «большинстве»
кубических поверхностей лежит лишь конечное число
прямых, и найдем их число.
ЗАДАЧИ
1. Пусть L— (п—1)-мерное линейное подпространство в Рп,
X czL — неприводимое замкнутое многообразие и у ф.Ь. Соеди-
Соединим у прямыми со всеми точками х е X. Множество точек, лежа-
лежащих на всех этих прямых, обозначим через Y. Доказать, что У —
неприводимое проективное многообразие и dim У = dim X + 1.
2. Пусть X а А.3 — приводимая кривая, компонентами которой
являются три оси координат. Доказать, что идеал Stx не может
быть порожден двумя элементами.
3. Пусть X а Р2 — приводимое нульмерное многообразие, ком-
компонентами которого являются три точки, не лежащие на одной
прямой. Доказать, что идеал 3tx не может быть порожден двумя
элементами.
4. Доказать, что любое конечное множество точек S а А2 мо-
может быть определено двумя уравнениями. Указание. Выбрать
систему координат хЛ у в А2 так, чтобы точки множества S имели
разные координаты х. После этого задать S уравнениями у = f(x),
JJ (ж — at) = 0,где f(x) — многочлен.
5. Доказать, что любое конечное множество точек S а Р2 мож-
можно задать двумя уравнениями.
6. Пусть X cz А3 — алгебраическая кривая, х, у, z — координа-
координаты в А3. Доказать, что существует полином f(x, у), отличный от 0
и обращающийся в 0 во всех точках X. Доказать, что все такие
полиномы образуют главный идеал (g(x, у)), а кривая g(x, у) =
= 0 — замыкание проекции кривой X на плоскость (х, у) парал-
параллельно оси z.
7. Мы используем обозначения задачи 6. Пусть h (x, у, z) =
— go(x, у)zn + ... + gn(x, у)—многочлен наименьшей положи-
положительной степени по г в идеале Stx. Доказать, что если /^Stx, сте-
степень / по z равна тп, то f-g™ = h-U-{-v(x, у) и v(x, у) делится

104
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
па g(x, у). Вывести отсюда, что уравнения h = 0, g = 0 определя-
определяют приводимую кривую, состоящую из X и конечного числа пря-
прямых, параллельных оси z и определенных уравнениями go (x, у) =
= 0, g(x, у) = 0.
8. Используя задачи 6 и 7, доказать, что любая кривая X cz
с А3 может быть определена тремя уравнениями.
9. По аналогии с задачами 6—8 доказать, что любая кривая
X cz P3 может быть определена тремя уравнениями.
10. Пусть F0(x0, ..., хп), ..., Fn(xOi ..., хп) —формы степеней
тОг ..., тп. Обозначим через Г подмножество в JJ Р '"'ХР",
г
состоящее из таких наборов (FQ, , Fn, х), что Fo(x) =
.. .= Fn(x) = 0. Доказать, рассматривая проекции <р: Г -*- } | Р ' г
и t|); Г -»- Рп, что dim Г = dim ф (Г) =2 vn,m-— *• Вывести из это-
i
го, что существует такой многочлен R(F0, , Fn) от коэффициен-
коэффициентов форм Fo, ..., Fn, что равенство R = 0 необходимо и достаточ-
достаточно для того, чтобы система га + 1 уравнений с п + 1 неизвестны-
неизвестными Fo = ... = Fn = 0 имела ненулевое решение. Чему равен мно-
многочлен R, если формы Fo ... Fn линейны?
11. Доказать, что на гиперповерхности Плюккера П лежат две
системы двумерных линейных подпространств. Подпространство
первой системы определяется точкой |еР'а состоит из всех то-
точек П, соответствующих прямым L cz Р3, проходящим через 1. Под-
Подпространство другой системы определяется плоскостью В <= Р3 и
состоит из всех точек на П, соответствующих прямым L cz P3, ле-
лежащим в S. Других двумерных линейных подпространств на П нет.
12. Пусть F(x0, an, х2, х3)—произвольная форма 4-й степени.
Доказать, что существует такой многочлен Ф от коэффициентов
формы F, что условие Ф = 0 необходимо и достаточно для того,
чтобы на поверхности, определенной уравнением F = 0, лежала
прямая.
13. Пусть X cz Р3 — невырожденная поверхность 2-го порядка
и Ах czH — множество точек на гиперповерхности П, соответст-
соответствующих прямым, лежащим на X. Доказать, что Ах состоит из двух
непересекающихся прямых.
Глава II
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
§ 1. Простые и особые точки
1. Локальное кольцо точки. В этой главе мы иссле-
исследуем локальные свойства точек алгебраических многооб-
многообразий, т. е. свойства точек х ^ X, которые сохраняются,
если заменить X любой окрестностью точки х. Так как
любая точка имеет аффинную окрестность, то при изу-
изучении локальных свойств точек можно ограничиться аф-
аффинными многообразиями.
Основным локальным инвариантом точки х многообра-
многообразия X является локальное кольцо Ох этой точки. Это
кольцо состоит из всех функций, каждая из которых ре-
регулярна в какой-либо окрестности точки х. Однако, так
как разные функции регулярны в разных окрестностях,
то это определение требует некоторой осторожности.
Если многообразие X неприводимо, то <УХ есть под-
кольцо поля к(X), состоящее из всех функций /ек(X),
регулярных в точке х. Вспомнив определение к (X) как
поля частных координатного кольца к [X], " мы видим,,
что кольцо <УХ состоит из отношений f/g, /, g е к [X],
g(x)^0.
Эта конструкция станет более ясной, если обратить
внимание на ее общий и чисто алгебраический характер.
Она может быть применена к произвольному коммута-
коммутативному кольцу А ж его простому идеалу V- При этом
возникает новая трудность, связанная с тем, что коль-
кольцо А может иметь делители 0.
Рассмотрим множество пар (/, g), /, g^A, g<?y, ко-
которые мы будем отождествлять по правилу
(/, #) = (/', g'),
если существует такой элемент h^A, h&y, что
Mfe'-?/') = о. A)
Действия в этом множестве определяются так:
(/, *) + (/', g') = (fg' + gf, gg'), B)
(/, g)(f, g') = (ff, gg'). C)

104
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
па g(x, у). Вывести отсюда, что уравнения h = 0, g = 0 определя-
определяют приводимую кривую, состоящую из X и конечного числа пря-
прямых, параллельных оси z и определенных уравнениями go(x, у) =
= 0, g(x, у) = 0.
8. Используя задачи 6 и 7, доказать, что любая кривая X cz
cz А3 может быть определена тремя уравнениями.
9. По аналогии с задачами 6—8 доказать, что любая кривая
X cz P3 может быть определена тремя уравнениями.
10. Пусть Fo (х0, ..., хп), ..., Fn (xOi ..., хп) — формы степеней
т0, ..., тп. Обозначим через Г подмножество в JJ Р ' гХ Рп,
г
состоящее из таких наборов (Fo, ..., Fn, x), что F0(a:) =...
. ..= Fn(x) = 0. Доказать, рассматривая проекции ф: Г ->• JJ Р ' *
и г|): Г -»- Рп, что dim Г = dim ф (Г) —2 vn,m-— *• Вывести из это-
этого, что существует такой многочлен R(Fo, , Fn) от коэффициен-
коэффициентов форм Fo, ..., Fn, что равенство R = 0 необходимо и достаточ-
достаточно для того, чтобы система п + 1 уравнений с п + 1 неизвестны-
неизвестными Fo ==...= Fn = 0 имела ненулевое решение. Чему равен мно-
многочлен R, если формы Fo ... Fn линейны?
11. Доказать, что на гиперповерхности Плюккера П лежат две
системы двумерных линейных подпространств. Подпространство
первой системы определяется точкой |sP3 и состоит из всех то-
точек П, соответствующих прямым L cz Р3, проходящим через 1. Под-
Подпространство другой системы определяется плоскостью S cz P3 и
состоит из всех точек на П, соответствующих прямым L cz P3, ле-
лежащим в S. Других двумерных линейных подпространств на П нет.
12. Пусть F (х0, х\, Х2, хз) —произвольная форма 4-й степени.
Доказать, что существует такой многочлен Ф от коэффициентов
формы F, что условие Ф = 0 необходимо и достаточно для того,
чтобы на поверхности, определенной уравнением F = 0, лежала
прямая.
13. Пусть X cz Р3 — невырожденная поверхность 2-го порядка
и Ах cz П — множество точек на гиперповерхности П, соответст-
соответствующих прямым, лежащим на X. Доказать, что Ах состоит из двух
непересекающихся прямых.
Глава II
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
§ 1. Простые и особые точки
1. Локальное кольцо точки. В этой главе мы иссле-
исследуем локальные свойства точек алгебраических многооб-
многообразий, т. е. свойства точек х ^ X, которые сохраняются,
если заменить X любой окрестностью точки х. Так как
любая точка имеет аффинную окрестность, то при изу-
изучении локальных свойств точек можно ограничиться аф-
аффинными многообразиями.
Основным локальным инвариантом точки х многообра-
многообразия X является локальное кольцо Ох этой точки. Это
кольцо состоит из всех функций, каждая из которых ре-
регулярна в какой-либо окрестности точки х. Однако, так
как разные функции регулярны в разных окрестностях,
то это определение требует некоторой осторожности.
Если многообразие X неприводимо, то Ох есть под-
кольцо поля к (X), состоящее из всех функций / ^ к (X),
регулярных в точке х. Вспомнив определение к(Х) как
поля частных координатного кольца к [X], ' мы видим,,
что кольцо Ох состоит из отношений f/g, f, g s к [X],
g(x)?=0.
Эта конструкция станет более ясной, если обратить
внимание на ее общий и чисто алгебраический характер.
Она может быть применена к произвольному коммута-
коммутативному кольцу А и его простому идеалу р- При этом
возникает новая трудность, связанная с тем, что коль-
кольцо А может иметь делители 0.
Рассмотрим множество пар (/, g), /, g^A, g<?y, ко-
которые мы будем отождествлять по правилу
если существует такой элемент h^A,
, что
Действия в этом множестве определяются так:
(/, *) + (/', g') = (fg' + gf, gg'),
(/, 8)W, g') = Uf, gg').
A)
B)
C)

106
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Легко проверить, что таким образом мы получаем коль-
кольцо. Оно называется локальным кольцом простого идеала р
и обозначается А^.
Отображение ф: А—*-Ау, ф (h) = (h, 1), является го-
гомоморфизмом. Элементы ф (g), g Ф у, обратимы в А^
и любой элемент и^А^ записывается в виде и =
= (p(f)/fp(g), g&f- Иногда несколько неточно исполь-
используют запись u = f/g. Элементы вида ф(/)/ф(#), /*=V>
g Ф "р, образуют идеал ш а А^, причем любой элемент
и^А, и<?ш имеет обратный. Поэтому m содержит все
другие идеалы кольца А^.
Мы встречаемся здесь с одним из основных понятий
коммутативной алгебры:
Кольцо О называется локальным, если оно обладает
идеалом Ю. <= О, тФ(У, содержащим все остальные
идеалы.
Лемма. Если кольцо А нетерово, то любое локальное
кольцо Ау нетерово.
Действительно, для идеала & сг-4рположим а = ф (а).
Это — идеал в ^4, который согласно предположению имеет
конечный базис: <х = (f±, ..., fr). Если и «= а, то a=z.
= ф(/)/ф(#), g-^V, /, g^A. Отсюда следует, что /<=а,
а так как 1/ф (g) <= А^, то и е ф (а) ^=(ф (fx), . . -, Ф (/г))-
Поэтому а = (ф(/4), ..., ф(/г)), т. е. имеет конечный ба-
базис. Лемма доказана.
Если А = к [X], где X — аффинное многообразие,
и "р = №х, х е X, то кольцо -4jj называется локальным
кольцом точки х и обозначается Ох. Согласно лемме оно
нетерово.
Для каждой пары (/, g), определяющей элемент коль-
кольца <7Х, функция f/g регулярна в окрестности D (g) точ-
точки х. Правило A) означает, что мы отождествляем в Ох
функции, совпадающие в некоторой окрестности точки х
(в данном случае D(h)). Таким образом, Ох можно опре-
определить и как кольцо, элементами которого являются регу-
регулярные функции на различных окрестностях точки х,
с указанным правилом отождествления. Это определение
уже не зависит от выбора какой-либо аффинной окрест-
окрестности U точки х.
Выберем, в частности, многообразие U так, чтобы все
его неприводимые компоненты проходили через точку х.
§ 1. ПРОСТЫВ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
107
Тогда функция /, равная 0 на некоторой окрестности
V cz U точки х, будет равна О на всем U. Поэтому гомо-
гомоморфизм ф: k [U] -*¦ Ох является вложением, и мы будем
отождествлять к [U] с подкольцом кольца (Ух. В этом слу-
случае можно отбросить множитель h в правиле отождеств-
отождествления A). Иначе говоря, Ох состоит из функций на U
без всяких отождествлений и все функции ф ^ Ох имеют
вид f/g, f, ?ek[U], g(x)Ф 0.
Аналогичная конструкция применима к любому не-
неприводимому подмногообразию Y аффинного многообра-
многообразия X. Здесь надо положить А == к [X], у = ау. Локальное
кольцо Ay = 0Y называется в этом случае локальным
кольцом неприводимого подмногообразия Y. В случае,
если многообразие X неприводимо, ОY cz k (X) и состоит
из рациональных функций, регулярных хоть в одной
точке многообразия Y (и, значит, на целом его открытом
подмножестве). Максимальный идеал mY <= (Уу состоит
из функций, обращающихся в 0 на Y, а поле GV/niy изо-
изоморфно к (У).
Переход к случаю неприводимого замкнутого подмно-
подмногообразия Y произвольного квазипроективного многооб-
многообразия X так же очевиден, как и в случае, когда Y — точ-
точка. Локальное кольцо (Уу определяется в этом случае как
локальное кольцо подмногообразия Y П U в U, где U —
любое открытое аффинное множество такое, что Y П U Ф
Ф &. Это локальное кольцо не зависит от выбора U.
2. Касательное пространство. Мы определим каса-
касательное пространство в точке х аффинного многообра-
многообразия X как совокупность прямых, проходящих через х
и касающихся X. Чтобы определить касание прямой
L cz А^ многообразия X cz А", предположим, что система
координат в А^ выбрана так, что х = @, ..., 0)=^= О. Тогда
L = {ta, fek}, где а—фиксированная точка аФО. Что-
Чтобы исследовать пересечение X с L, предположим, что X
задано системой уравнений F± = ... = Fm = 0, причем
Множество X П L определится тогда уравнениями
Fi (ta) = ... = Fm(ta) = 0. Так как мы имеем теперь дело
с многочленами от одного переменного t, то их общие
корни являются корнями их наибольшего общего дели-
делителя. Пусть
/ @ = НОД (Ft (ta), ...Fm (ta)),
**

108
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Значения t = <хг соответствуют точкам пересечения пря-
прямой L с многообразием X. Заметим, что в A) значения
t = a.i снабжены кратностями kh которые естественно ин-
интерпретировать как кратности пересечения прямой L с X.
В частности, так как L Г\ Х^> О, то в A) имеется корень
t = 0. Мы приходим к следующим определениям.
Определение 1. Кратностью пересечения в точ-
точке О прямой L и многообразия X называется кратность
корня J = 0 в многочлене /(?) = НОД (F±{ta), ..., Fm{ta)).
Таким образом, эта кратность равна наибольшей сте-
степени t, на которую делятся все многочлены Ft{ta). По
определению она не меньше единицы.
Если многочлены Ft(ta) тождественно равны 0, то
кратность пересечения считается равной +°°.
Очевидно, что /(?) = НОД (F(ta), F^%x), и поэтому
кратность не зависит от выбора образующих Ft в идеа-
идеале §Сг.
Определение 2. Прямая L касается многообра-
многообразия X в точке О, если кратность их пересечения в этой
точке больше единицы.
Запишем условия касания прямой L и X. Так как
ХЭО, то свободные члены всех многочленов Ft(T) рав-
равны 0. Обозначим через Ьг их линейные части, так что
Ft = Ь( + Gi (i = 1, ..., m), где Gt содержат только члены
степени 5*2. Тогда Fi(at) = tL{(a) + Gt(ta), причем Gi(ta)
делится на t2. Поэтому Fi(at) делится на t2 тогда и толь-
только тогда, когда Z,i(a) = 0. Условие касания имеет вид
Lt(a) = ... = Lm(a) = 0. B)'
Определение 3. Геометрическое место точек пря-
прямых, касающихся X в точке х, называется касательным
пространством в точке х. Оно обозначается через @х или,
если надо подчеркнуть, о каком многообразии X идет
речь, через вх_ х.
Уравнения B), таким образом, являются уравнения-
уравнениями касательного пространства. Они показывают, что в* —
линейное подпространство.
Пример 1. Касательное пространство к простран-
пространству А71 в любой его точке совпадает с Ап.
Пример 2. Пусть X <= Ап является гиперповерх-
гиперповерхностью и SCx = (F). Если 1э0 и F = L + G (в принятых
раньше обозначениях), то в0 определяется одним урав-
уравнением L(Ti, ..., Тп) = 0. Поэтому, если L?=0, то
dim8n = re —1, а если L = 0, то 80 = Ап и dim 80 = п.
§ i. ПРОСТЫЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
109
Очевидно, что L — ^ ^- @) xi? так что при п = 2 наше
определение совпадает с тем, которым мы пользовались
в п. 5 § 1.
Пример 3. Касательное пространство к кривой
у {у — xz) = 0 в А2 в точке @, 0) совпадает с А2 (хотя
обе ее компоненты имеют общую касательную у = 0).
3. Инвариантность касательного пространства. Опре-
Определение 3 п. 2 дано в терминах уравнений многообра-
многообразия X. Поэтому не очевидно, что при изоморфизме /: X -*-
-*¦ Y касательные пространства точек х и f(x) изоморфны
(т. е. имеют одинаковую размерность). Мы покажем, что
это Так, и для этого переформулируем понятие касатель-
касательного пространства так, чтобы оно зависело только от ал-
алгебры к [X].
Напомним некоторые определения. Для полинома
F(Ti, ..., TN) и точки х = (х1, ..., xN) имеет место
разложение Тейлора F(T) = F(x) +Fi(T) +F2(T)+ ...
... + Fh(T), где Ft—однородные многочлены степени i
от переменных Tt — Xj. Линейная форма Ft называется
дифференциалом многочлена F в точке х и обозначается
dF или dxF. При этом
г=1
Из определения следует, что
dx (FG) = F(x)dxG + G (x) dxF.
A)
Пользуясь этими обозначениями, мы можем записать
уравнения B) п. 2 касательного пространства в точке х
многообразия X в виде
dJ?± = ... = dsFm = 0, B)
или
Ж Й
— хг) = 0, 7=1, ...,
C)
где Щ.± =(-fi, • - -, Fm). Пусть g^k[X] и определяется не-
некоторым многочленом G, ограниченным на X. Если бы
мы положили dxg = dxG, то ответ зависел бы от выбора
многочлена G и, точнее говоря, был бы определен только

:Щ ¦
110
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
с точностью до слагаемого d^F, F ^ Шх. Так как Ш-х —
= (Fi, ..., Fm), то F = GiFi + ... + GmFm и ввиду A) и то-
того, что jPi(a;) = O, мы получаем, что dJF— Gi(x)dxFi +...
...+ Gm(x)dxFm. Учитывая B), мы видим, что все ли-
линейные формы dJF, jFesStx, равны 0 на в*, и поэтому,
если мы обозначим через dxg ограничение линейной фор-
формы dxG на пространстве ©*:
то сопоставим любой функции g e k [X] однозначно опре-
определенную линейную форму на в*.
Определение. Линейная функция d^g, определен-
определенная равенством D), называется дифференциалом функ-
функции g в точке х.
Очевидно, что
dx(f+g)=dxf+dxg, dx(fg)==f(x)dxg + g(x)dxf. E)
Таким образом, мы имеем гомоморфизм dx: k[X]-^-@x,
где в*— пространство линейных форм на вж. Так как
dx<x = 0 для а^к, то мы можем заменить изучение этого
гомоморфизма изучением dx: отж -*¦ 6Ж, где тж = {/ s
ек[Х]; f(x) = 0). Очевидно, что шх является идеалом
кольца 1с[Х].
Теорема 1. Гомоморфизм dx определяет изоморфизм
пространств Шя/Шж и чух.
Нам надо доказать, что Imdx = @x, Кегйж = Шж.
Первое очевидно: любая линейная форма ср на G* инду-
индуцируется некоторой линейной функцией / на А" и dxf =
= ф. Для доказательства второго утверждения предполо-
предположим, что х=@, ..., 0), dxg = O, gezvbc. Пусть g индуци-
индуцируется многочленом G «= к [Ти ..., TN]. По условию ли-
линейная форма dxG равна 0 на вх и, значит, является
линейной комбинацией уравнений B) этого подпрост-
подпространства:
dxG == XtdxFi + ... + kmdxFm.
Положим G, = G — Xi.Fi. — ... — \mFm. Мы видим, что Gt
не содержит членов 0-й и 1-й степеней относительно
Ти ..., Тп, и, значит, Gie(r1, ..., Тп)\ Далее G4L =
= G\x=g и, значит, g^{ti, ..., tNJ, где и = ТЛх. Так
как, очевидно, nLe = (t1, ..., tN), то это и доказывает
теорему.
Как известно, если L — линейное пространство и М.=
= L* — пространство всех линейных функций на L, то Ь
§ 1. ПРОСТЫЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
111
можно отождествить с пространством всех линейных
функций на М, т. е. L — М*. Применяя это к нашей си-
ситуации, получаем
Следствие 1. Касательное пространство в точке х
изоморфно пространству линейных функций на va,x/vR.x.
Пространство vsx/xnx называется кокасателъным прост-
пространством.
Отсюда можно сделать вывод о поведении касатель-
касательного пространства при регулярных отображениях много-
многообразий. Пусть /: X-^Y—такое отображение и /(#) =
= у. Оно определяет отображение /*: k[F]^-k[X], при-
причем, очевидно, /*(ю!/)<=юя, /*(m§) cz'ml, так что опреде-
определено отображение /*: шу/ш1 -+mx/m.x. Линейные функ-
функции, как и любые функции, отображаются в обратную
сторону, а так как, согласно следствию 1, пространства
®х, х и @v, y изоморфны пространствам линейных функ-
функций на Шзс/Шзс и Шу/Шу соответственно, то мы приходим
к отображению в*, * -*• в^, г. Это отображение называется
дифференциалом отображения / и обозначается через dxf.
Легко проверить, что если g: Y -*• Z — другое регу-
регулярное отображение и z = g(y), то для отображения
d(g-f): Qx,x-*-@ZtZ имеет место соотношение d(g-f) =
= dg ¦ df. Если / — тождественное отображение X -*¦ X, то
для любой точки х s X и dxf является тождественным
отображением пространства в*. Из этих замечаний
вытекает
Следствие 2. При изоморфизме многообразий ка-
касательные пространства соответствующих точек отобра-
отображаются изоморфно. В частности, размерность касатель-
касательного пространства инвариантна при изоморфизмах.
Теорема 2. Касательное пространство 8*, х являет-
является локальным инвариантом точки х многообразия X,
а именно двойственно пространству Шж/м|, где т* — мак-
максимальный идеал локального кольца Ох точки х.
Мы покажем, как определить вх в терминах локаль-
локального кольца Ох точки х. Напомним, что дифференциал
рациональной функции -^-, F, G^k[Tt, ..., Тп], опреде-
определяется как
G (х) dxF — F (x) dxG
G (x) ф 0.

112
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Функцию / s Ox можно рассматривать как ограниче-
р
ние на X рациональной функции -тг и определить диф-
ференциал как dxf = dx (-?-) • Все рассуждения, пред-
шествующие теореме 1, а также ее доказательство сохра-
сохраняют силу, и мы получаем, что dx определяет изоморфизм
dx: шх/тх-*-@х, где теперь т* обозначает максимальный
идеал кольца Ох: т* = {/е= Ох\ f(x)=Q). Это доказывает
теорему 2.
Определим касательное пространство @х в точке х лю-
любого квазипроективного многообразия X как (nWm*)*B
где шж — максимальный идеал локального кольца Ох точ-
точки х. Ввиду теоремы 2 оно будет также касательным
пространством в точке х любой ее аффинной окрестности.
Таким образом, касательное пространство определено
как «абстрактное» векторное пространство, не реализо-
реализованное в виде подпространства в каком-либо большем
пространстве. Однако если X аффинно и Х<=А", то вло-
определяет вложение di:
можно отождествить с AN,
и возвра-
¦ , ТО &х. х
жение i многообразия X в
®х, х в ©x>Aiv. Так как
то мы можем считать fe?x> х вложенным в
щаемся к определению, данному в п. 2.
Если X проективно и Х<=Р^, # е= X vlx
содержится в Ai . Замыкание 8*, х в Р^ не зависит от
выбора открытого аффинного множества Аг . Хотя при
этом один__и тот же термин относится к двум разным
объектам, 8*, х <= Р^ тоже иногда называется касательным
пространством к X в точке х.
Обычная проверка показывает, что уравнения прост-
пространства Эх, х имеют вид
г=0 °г
где {Fa} — однородный базис идеала многообразия X.
Инвариантность касательного пространства дает воз-
возможность ответить на некоторые вопросы о вложениях
многообразий в аффинные пространства. Например, если
точка х е X такова, что dim в* = N, то X не изоморфно
никакому подмногообразию аффинного пространства А"
с п < N: изоморфизм /: Х->- 7с А™ переводил бы &х в
§ 1. ПРОСТЫЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
изоморфное пространство 8/(Ж) <= А". Исходя из этого,
можно для любого п > 1 построить пример кривой X с:
cz А", которая неизоморфна кривой Y <= Ат с пг<. п~
Именно X есть образ А1 при отображении
x± = tn, х2 = tn+1, ..., хп = tZn-\ F)
Достаточно доказать, что для х = @, ..., 0) ©*, j = А"^
Это означает, что все многочлены F е %х не содерн«ат ли-
линейных членов относительно Т±, ..., Тп. Пусть F<^$?Lx и
F =
G,
, . .., Tnf. Подставляя в F
п+г~х
уравнения A), мы можем получить, что 2 а4
+ G (tn, tn г, . . ., 12П~Х) = 0 тождественно по t. Но это-
невозмогкно, если хоть одно at ?= 0, так как члены а?п+*~*
имеют степени ^2п — 1, а члены, возникающие из=
G(tn, ..., t2™),— степень ^2п, и они не могут со-
сократиться.
Как следует из приведенного доказательства, никакая»
окрестность точки х на кривой X не изоморфна квази-
квазипроективному подмногообразию в Ат с пг<. п.
Рассмотрим примеры касательных пространств. Преж-
Прежде всего, дадим интерпретацию касательного простран-
пространства в точке деРG) проективного пространства. Каса-
Касательное пространство &v, v для yeF естественно отож-
отождествляется с V (m«/m? отождествляется с пространством
линейных функций, т. е. с V*). Отображение л: V\0 -*-•
->-P(F), я (go, -.., |n) = (|o:...: In), имеет дифференциал-
d-^г: &v,v = V-^-®k(v),p(V)- Если |0 =^= 0 в точке v, то в-
координатах Х\ = *г- функция ф s @v< v лереходит &.
о
функцию ¦$ = (dvn) (ф) на Ш-ям/Шлм, Для которой 1|)(^) =
/5 >5ФFNФF)
Ti ¦ Отсюда следует, что об-
раз отображения dvn совпадает со всем вЯ(«)Р(у), а ядро
его состоит из векторов (т]0, ..., цп), для которых 1»Ло =
= ?от]«> т- е- из векторов, пропорциональных
Таким образом, для |ет"т:гч
где ^5 = я;~1(§) — прямая в V, соответствующая точке-
?^P(F).
8 И, Р. Шафаревич, т. 1

114
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Исходя из этого, мы можем сказать, что если X с:
<=P(F)—проективное многообразие, определенное систе-
системой однородных уравнений, а X <= V—конус, определен-
определенный теми же уравнениями в V, то ®х,х — ®?"х/1*> г^е
х — я.(х), а 1Х имеет тот же смысл, что и в G). Эту ин-
интерпретацию мы применим к алгебраическим многообра-
многообразиям, рассмотренным в примерах 1, 2 и 3 п. 1 § 4 гл. I.
Пример 1. Грассманово многообразие. Мы рассмот-
рассмотрим здесь лишь многообразие X=GB, п). Оно задается
уравнениями х2 = х/\ х — О в P(A2F). Дифференцируя
эти уравнения, мы получим, что касательное простран-
пространство к многообразию X <= A2V в точке х состоит из тех
jeA2F, для которых
х Д У = 0. (8)
Пусть х соответствует плоскости L cz V, т. е. A2L = k#,
a f e= Horn (L, V/L). Тогда легко проверить, что для лю-
любого базиса еи ег плоскости L бивектор у — ех Д / (е2) —
— е2 Л / (ei) однозначно определен в A2TVka;, с точностью
до множителя не зависит от выбора базиса в L и удов-
удовлетворяет (8). Кроме того, любое решение (8) таким
образом получается. Мы видим, что
^A2L. (9)
, V/L), x^A2L.
Позже мы докажем аналогичное соотношение для любо-
любого G (г, V) и дадим его интерпретацию.
Замечание. При выводе соотношения (9) мы ис-
исходили из того, что многообразие GB, V) задается си-
системой уравнений х /\ х = 0. Однако, чтобы применить
определение касательного пространства из п. 2, нам надо
было бы знать, что эти уравнения не только определяют
X = GB, V) теоретико-множественно, но и порождают
его идеал Шх. Пока же мы можем лишь утверждать, что
если обозначить уравнениям Д х =0 через F± = .. . = Fm =
= 0, то пространство, определенное уравнениями
дТ (Tj — #i) = 0 (после ограничения некоторой аф-
аффинной картой пространства Р(Л2У)), изоморфно
Hom(L, V/L). Из этого уже нетрудно вывести, что 2Сх =
¦= (Fu ..., Fm) и, значит, соотношение (9) верно безо
всяких оговорок (см. задачу 15 к § 3).
Пример 2. Многообразие ассоциативных алгебр.
Дифференцируя соотношение G) п. 1 § 4 гл. I, мы ви-
§ 1. ПРОСТЫЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
115
дим, что касательное пространство определяется уравне-
уравнениями
2 (аЬхТъ + c&xli) = 2 №jft + a)hxTi). A0>
Пусть Xij = TlYj удовлетворяют этим уравнениям. Рас-
Рассмотрим билинейную функцию f(x, у), х, у^А, для ко-
которой / (ei, ej) = 2 Ч^т- Соотношения A0) принимают
т
тогда вид
, z)+f(x, yz) =
, y)z
для всех х, у, z^A. Такие функции называются двумер-
двумерными коциклами на алгебре А. Таким образом, касатель-
касательное пространство к многообразию алгебр в точке, соот-
соответствующей алгебре А, изоморфно пространству двумер-
двумерных коциклов на этой алгебре.
Замечание. Как и в примере 1, мы исходили из
уравнений G) п. 1 § 4 гл. I, которые определяют мно-
многообразие ассоциативных алгебр лишь теоретико-множе-
теоретико-множественно. По-видимому, неизвестно, порождают ли левые
части этих уравнений идеал многообразия. Известно, что
это не так для алгебр Ли, и правдоподобно, что так же
обстоит дело и для ассоциативных алгебр. Таким образом,
пространство коциклов совпадает с касательным прост-
пространством к многообразию алгебр лишь для тех значений
размерности п, для которых уравнения G) п. 1 § 4 гл. I
порождают идеал многообразия алгебр (или для тех его
компонент, для которых это имеет место). Однако соот-
соотношения ассоциативности (т. е. уравнения G) п. 1 § 4
гл. I) столь естественны, что всякая извлеченная из них
информация должна иметь какой-то смысл. В частности,,
об истолковании пространства коциклов см. т. II, гл. V,
§ 3, п. 4.
Пример 3. Многообразие квадрик. В пространстве
Р (V), где V — пространство симметрических матриц,
рассмотрим многообразие А с уравнением det^=O, ie
s V. Легко доказать, что многочлен det.4, где A—(xi:i)f
хц = Xji — независимые переменные, неприводим, так что-
А — неприводимая гиперповерхность. Касательное прост-
пространство к А в точке А состоит из матриц В ее V, для
которых (J- det {А + tB)j ^ = 0. Так как ^- (det (А -ь
+ tB)) |i=0 = det Ax + . . . + det An, где матрица At до-
8*

116
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
лучается заменой в А г-й строки на ?-ю строку матри-
матрицы В, то это выражение равно 0, если ранг А<п — 1.
Для этих точек 0^,a = P(F). Пусть ранг А равен п — 1.
Преобразования А -*¦ С*AC, detC^O, определяют, оче-
очевидно, автоморфизмы многообразия А. При помощи та-
такого преобразования можно перевести форму /, соответ-
соответствующую матрице А, в форму х\ + ... + Хп-%- Поэто-
Поэтому можно считать, что/ = Ж1 + . . . + Xn—i,n тогда то же
рассуждение показывает, что -^j (det {A + iB)) |i=0
равняется коэффициенту Ьпп матрицы В. Поэтому для
таких точек касательное пространство 0^, д отождествля-
отождествляется с пространством матриц В е V, для которых Ьпп ==¦ О,
т. е. пространством квадрик, проходящих через вершину
квадрики / = 0.
4. Особые точки. Мы выясним теперь, что можно ска-
сказать о размерностях касательных пространств точек не-
неприводимого квазипроективного многообразия X. Наш
результат будет носить локальный характер, и поэтому
мы ограничимся рассмотрением аффинных многообразий.
Пусть X с= А^ — неприводимое многообразие. В пря-
прямом произведении А^ X X рассмотрим множество в таких
нар (а, х), а е AN, х^Х, что а <= 0Х. Уравнения B) п. 3
показывают, что 0 замкнуто в А^ X X. Обозначим через
л проекцию 0 -*¦ X: я (а, х) = х. Очевидно, что я.@) = Х,
п~х(х) = {я (а, х); ае=0*}. Таким образом, 0 расслаива-
расслаивается на касательные пространства к X в различных точ-
точках х ^ X. Многообразие 0 называется касательным рас-
расслоением многообразия X. Применяя к 0 теорему о раз-
размерностях слоев отображения (теорема 7 § 6 гл. I и след-
следствие), мы видим, что существует такое число s, что
dim. 0х ^ s, и точки у ^ X, для которых dim ®y > s, обра-
образуют замкнутое подмножество X, отличное от X (т. е.
подмногообразие меньшего числа измерений).
Определение. Точки х неприводимого многообра-
многообразия X, для которых dim Ох = s = min dim 0j,, называются
простыми точками; остальные точки — особыми.
Многобразие, для которого точка х простая, называет-
называется неособым в этой точке. Многообразие, все точки кото-
которого простые, называется гладким. Как мы только что
видели, простые точки образуют открытое непустое под-
подмножество, а особые — замкнутое собственное подмноже-
подмножество многообразия X.
§ 1. ПРОСТЫЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
117
Рассмотрим пример гиперповерхности (пример 2 п. 2),
содержащий (при п = 2) случай плоских алгебраических
кривых, рассмотренный в § 1 гл. I. Если Ш-х — (F), то
уравнение касательного пространства в точке х имеет вид
2 (w
г
Докажем, что в этом случае s = min dim 0j, = n — 1. Оче-
dF ..
видно, это равносильно тому, что ^- не обращаются
одновременно в 0 на X. При характеристике 0 это озна-
означало бы, что F — постоянная, а при характеристике
р > 0,— что все переменные входят в F в степенях, крат-
кратных р. Но тогда (ввиду алгебраической замкнутости по-
поля k) F = F\, а это противоречит тому, что Six = (F).
Таким образом, в нашем примере для простых точек
«el dim.0* = dimX = n — 1. Мы покажем, что так же
обстоит дело с произвольным неприводимым многообра-
многообразием и что общий случай может быть сведен к примеру
гиперповерхности.
Теорема 3. Размерность касательного пространства
в простой точке равна размерности многообразия.
Ввиду определения простой точки теорема утвержда-
утверждает, что для всех точек х неприводимого многообразия X
dim 0* 5= dim X, и множество точек х, для которых
dim 0х = dim X, открыто и не пусто. Очевидно, что это —
локальное утверждение, и нам достаточно рассматривать
случай аффинного многообразия. Мы видели, что суще-
существует такое число s, что dim 0* 5= s для всех х ^ X,
и множество точек, для которых dim 0Ж = s, открыто и
не пусто. Нам остается доказать, что s = dim X. Восполь-
Воспользуемся теперь теоремой 6 § 3 гл. I, которая утверждает,
что X бирационально изоморфно гиперповерхности Y.
Пусть ф: X-*-Y—соответствующий бирациональный
изоморфизм. Согласно предложению в п. 3 § 4 гл. I су-
существуют такие открытые и непустые множества U = X
и V <= Y, что ф определяет изоморфизм между ними.
Ввиду замечаний, сделанных перед формулировкой тео-
теоремы, множество W простых точек многообразия Y от-
открыто и для y^W, dim 0„ = dim Y = dim X. Множество
W Л V также открыто и не пусто, и, значит, открыто и
не пусто множество q>~l(WГ\ V)cz t/. Так как размерность
касательного пространства сохраняется при изоморфизме,

118 ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
то для ж^ф-^М^П U), dimex = dimX. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь приводимые многообразия. Для
них перестает быть верным даже неравенство dim ©х ^
5s dim X. Если, например, X = Xt U X2, dimXi = lr
dim X2 = 2, х Ф Х2, х ^ Xi и является на Х4 простой точ-
точкой, то dim 6* = 1 и dim X = 2. Это и естественно — ком-
компоненты многообразия X, не проходящие через точку хг
влияют на размерность X и не изменяют пространства 0Ж.
Поэтому естественно ввести следующее понятие: размер-
размерностью dim^X многообразия X в точке х называется
максимум размерностей неприводимых компонент много-
многообразия X, проходящих через х. Очевидно, dim X =
= max dim^X.
Определение. Точка х аффинного многообразия X
называется простой, если dim Ох = dim* X.
Из теоремы 3 следует, что для любой точки х е X
dim 8Ж 5s dim* X. Действительно, если X* (? = 1, ..., s) —
неприводимые компоненты многообразия X, проходящие
через точку х, а ®ж — касательные пространства к X1 в
этой точке, dim 8ж ^ dim Х\ в* cz 8Ж, и поэтому dimOx^
^ max dim 8? ^3= max dim -Хг = dimxX.
i i
Точно так же из теоремы 3 следует, что особые точ-
точки содержатся в подмногообразии меньшего числа изме-
измерений многообразия X.
Переход к произвольному квазипроективному много-
многообразию очевиден: точка х^Х называется простой, если
она проста на аффинной окрестности U ^ х. Это равно-
равносильно тому, что dim вж = dim* X.
Многообразие, все точки которого простые, называет-
называется гладким.
С примерами особых точек плоских кривых мы встре-
встречались в § 1 гл. I. Рассмотрим сейчас квадрики в Рп.
Такая квадрика Q имеет в некоторой системе координат
уравнение х* + ... +Хг= 0, г^ге (мы предполагаем
здесь, что характеристика поля к отлична от 2). Ее осо-
особые точки характеризуются условием х0 = ...== хг = О,
и если г = п^ то их нет. Если г < п, то особые точки об^-
разуют линейное подпространство LcP" размерности
п — г—1. Пересечение Q с подпространством размер-
размерности г, определяемым уравнениями хт+\ — . -. = хп = О,
является неособой квадрикой S в Рг. Для любой точки
q — (а0: — : ап) s Q точка s = (а0: : ar) e S. Если точ-
§ 1. ПРОСТЫЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
119
ка s фиксирована, то точки q с произвольными ar+i, ...
..., an образуют (re —г)-мерное подпространство, натяну-
натянутое на s и L. Эти подпространства заметают Q. Поэтому
говорят, что Q является конусом с вершиной — подпрост-
подпространством L над неособой квадрикой S.
Пример 5 п. 1 § 6 показывает, что dimG(r, n) =
= г(п — г), что G(r, n) гладко и рационально. Точно так
же в пространстве квадрик (пример 3) открытое мно-
множество детерминантной поверхности, состоящее из квад-
квадрик ранга п — 1, гладко. В случае многообразия ассоциа-
ассоциативных алгебр (пример 2) положение более сложное —
существуют как простые, так и особые точки (т. е. «про-
«простые» и «особые» алгебры).
5. Касательный конус. Самым простым инвариантом,
измеряющим отклонение особой точки от простых, явля-
является размерность ее касательного пространства. Однако
существует гораздо более тонкий инвариант — касатель-
касательный конус к X в особой точке х. Дальше это понятие
нам не понадобится. Поэтому мы предоставим подробное
проведение дальнейших рассуждений читателю в каче-
качестве упражнения (очень простого).
Пусть X — аффинное неприводимое многообразие. Ка-
Касательный конус к X в точке х «= X будет состоять из
прямых, проходящих через х, которые мы определим как
аналог предельных положений секущих в дифференци-
дифференциальной геометрии.
Предположим, что X с: AN, х = @, ..., 0) и AN превра-
превращено в векторное пространство за счет выбора начала
координат в х. Рассмотрим в A^+i — А^ X А1 множество Ж
таких пар (a, t), а^А", ieA', что a-t^X. Как всегда,
мы имеем две проекции: <р: X -*• А1 и ф: Х-*-А.1*. Оче-
Очевидно, что X замкнуто в А^+1. Легко видеть, что оно
приводимо (если Х^А") и состоит из двух компонент:
X = Xi U X2; X2 = {(a, 0); а^А"}, X, совпадает с замы-
замыканием ф (А1 — @)) в X. Обозначим через ф1 и ifi огра-
ограничения отображений ф и ф на Х±. Множество ^(Х,)
является замыканием множества точек на всех секущих
многообразия X, проходящих через точку х. Множество
Тх = 'Фа.фГ @) называется касательным конусом к X в
точке х.
Легко выписать уравнения касательного конуса. Урав-
Уравнения X имеют вид
F(at)=0, Fe^.

120
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Пусть F = Fh + Fk+1 + ... + F1, где Fs — форма степени /,
Fh^Q. Тогда F{at) = thFk(a) + ... + t?Fl(a). Так как
.F@) = 0, то всегда к^1 и уравнение компоненты Кг
есть t = 0. Легко видеть, что уравнения Тх имеют вид
Fh = 0, F е= %х. Форма Fh называется начальной формой
многочлена F. Таким образом, Тх определяется равен-
равенством нулю всех начальных форм многочленов идеала Ш-х.
Так как Тх определяется однородными уравнениями, та
он является конусом с вершиной в х. Легко видеть, что
Тх <= ®х и Тх = 8*, если точка х простая.
Рассмотрим пример плоской алгебраической кривой
ХсгА2. Если Stj = (i7(ж, у)) и Fh — начальная форма мно-
многочлена F, то уравнение Тх имеет вид Fh(x, г/) = 0. Так
как Fh — форма от двух переменных, а поле к алгебраи-
алгебраически замкнуто, то Fk разлагается в произведение линей-
линейных форм Fk(x, у) = Ц(ссг^ + $iy)li. Поэтому Тх распа-
распадается в этом случае на несколько прямых a.iX + $ty = 0.
Эти прямые называются касательными к X в х, a U —•
кратностями этих касательных. Если к > 1, то вх = Аа.
Число к называется кратностью особой точки х. При
к — 2 точка называется двойной, при к = 3 — тройной.
Например, если F — х2 — у2 + ж\ # = @, 0), то Тх со-
состоит из двух прямых: х + у = 0, х — у = 0; если F =
=> х2у — у3 + ж4, х = @, 0), то Тх состоит из трех прямых:
г/ = 0, х + у = 0, х-у = 0; если F = yz-x\ x = @, 0),
то у = 0 является двукратной касательной.
Так же как и первоначально данное нами определе-
определение касательного пространства, приведенное определение
касательного конуса использует понятие, неинвариантное
относительно изоморфизма. Однако можно показать, что
касательный конус Тх инвариантен относительно изомор-
изоморфизма и является локальным инвариантом точки х.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что локальное кольцо точки х неприводимого мно-
многообразия X является объединением (в к(Х)) всех колец k[U],
где U — окрестности точки х.
2. Отображение <р(?) = (t3, t3) определяет бирациональный изо-
изоморфизм кривой у2 — х3 и прямой А1. Какие рациональные функ-
функции ' от t соответствуют функциям локального кольца Ох точ-
точки @, 0)?
3. То же для бирационального изоморфизма между А1 и кри-
кривой A) п. 2 § 1 гл. I.
4. Доказать, что локальное кольцо Ох точки @, 0) кривой
ху = 0 изоморфно подкольцу QcC?'®IO" (О"—локальное кольцо
§ 1. ПРОСТЫЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ
121
точки О на А1), состоящему из таких функций (/, g), /, g <=<У',
что /@) =>g@).
5. Определить локальное кольцо точки @, 0, 0) кривой, состоя-
состоящей из трех осей координат в А3.
6. Определить локальное кольцо точки @, 0) кривой а>г/Х
V/ / ~» 7/ \ А
• х V" а ) *-*•
7. Доказать, что если х е X, у <= Y — простые точки, то точка
(х, у),• s XX Y проста.
8. Доказать, что если X = Zj U Хг, х
х — касательные пространства, то
lifl Х2, ©х, х, ®x,xt*
х,х ^ ®х,х + ®х,х •
Всегда ли имеет место равенство?
9. Доказать, что гиперповерхность 2-го порядка, имеющая осо-
особую точку, является конусом.
10. Доказать, что если гиперповерхность 3-го порядка имеет
две особые точки, то прямая, их соединяющая, лежит на гипер-
гиперповерхности.
11. Доказать, что если плоская кривая 3-го порядка имеет три
особые точки, то она распадается на три прямые.
12. Доказать, что особые точки гиперповерхности в простран-
пространстве Рп, заданной уравнением F (х0, . ¦., хп) = 0, определяются из
системы уравнений F(x0, ..., хп) = 0, FXi(x0, ..., хп) =0 (г = 0, ...
..., п). Если степень формы F не делится на характеристику по-
поля, то первое уравнение является следствием остальных.
13. Доказать, что если гиперповерхность X в Рп содержит ли-
лиге
нейное подпространство L размерности г ^> -«?-, то она имеет осо-
особые точки. Указание. Выбрать систему координат так, чтобы
L задавалось уравнениями хт+\ =0, ..., хп = 0, и искать особые
точки, содержащиеся в L.
^ \ ^
14. При каких значениях а кривая
х\-\- х^
х\х\
х\х\ —
16. При каких
:| — ах±х2х3х^ = 0
-f- хг -\- ждK = 0 имеет особую точку? Каковы тогда особые точ-
точки? Приводима ли кривая?
15. Определить особые точки поверхности Штейпера в Р :
охгх^хь = 0.
значениях а поверхность ж* + ж* + ж* -)-
3^ имеет особые точки и каковы зти точки?
17. Доказать, что над полем характеристики 0 точки прост-
пространства Р n'm (п. 4 § 4 гл. I), соответствующие гиперповерхнос-
гиперповерхностям, имеющим особую точку, образуют гиперповерхность в Р п>т.
Указание. Воспользоваться результатами задачи 10 § 6 гл. I.
18. Пусть F(x0, xi, x2) =0 — уравнение неприводимой кривой
X cz Р2 над полем характеристики 0. Рассмотрим рациональное ото-
dF
бражение ср: X—>-Р2, заданное формулами и^ = 'qx~\x^ xi> x2)
(i = 0, 1, 2). Доказать, что а) Ц>(Х) является точкой тогда и толь-
только тогда, когда X является прямой; б) если X не является прямой,
то ф тогда и только тогда регулярно в точке х е X, когда эта точка
простая. Кривая Ц>(Х) называется дуальной к кривой X.

122
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
19. Доказать, что если X— кривая 2-го порядка, то ф(-ЗГ)— тоже
кривая 2-го порядка.
20. Найти дуальную кривую к кривой х% + х\ + х\ = 0.
21. Доказать, что если гиперповерхность ХсР" не имеет осо-
особых точек и не является гиперплоскостью, то множество линейных
подпространств @х, х е X, образует гиперповерхность в дуальном
пространстве Рп = Р n>1.
22. Пусть ф — регулярное отображение многообразия X cz A",
состоящее в проектировании на некоторое подпространство. Опре-
Определить отображение йф линейного пространства @х, х ^ X.
23. Доказать, что для любого целого t > 0 группа mj./m^
является конечномерным векторным пространством над полем к.
§ 2. Разложение в степенные ряды
1. Локальные параметры в точке. Мы исследуем про-
простую точку х многообразия X, в которой dimxX = п.
Определение. Функции ии ..., ип ^ Ох называ-
называются локальными параметрами в точке х, если u* s шх
и »!, ..., ип образуют базис пространства шж/ш|.
Ввиду изоморфизма dx: Шх/tiix —*- ©ж> Bi, • •-, и„ тогда
и только тогда образуют систему локальных параметров,
когда линейные формы dxui, ..., dxun линейно независи-
независимы на в*. Так как dim в* = п, то это в свою очередь
равносильно тому, что уравнения
i = ... = dxun = О A)'
имеют в 8* только нулевое решение.
Мы можем заменить X аффинной окрестностью X'
точки х, на которой функции ии ..., ип регулярны. Обо-
Обозначим через Хг гиперповерхность, определенную в X'
уравнением ut = 0. Пусть Z7,- — многочлен, определяющий
на X' функцию ui7 и St* = §t /, §t = Stjsy. Тогда %i =>
=э (SI, Ui), и из определения касательного пространства
следует, что в* cz Lu где 6* — касательное пространство
к1; в точке х, a Li<=z @х определено уравнением dxUi =
= 0. Из того, что система A) имеет только нулевое ре-
решение, следует, что 1цФ в*, т. е. dim.Li = n — 1, а из тео-
теоремы о размерности пересечения и неравенства dim 0* ^
^dimXi следует, что dim©i^re—1. Поэтому dim ©< =
= п — 1, а это означает, что точка х проста на Хг. Пере-
Пересечение многообразий Х4 совпадает с точкой х в некото-
некоторой окрестности этой точки: если бы через х проходила
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
123
компонента Y пересечения Г) Xi, dim Y > 0, то касатель-
касательное пространство к Y в точке х содержалось бы во всех
вг, а это опять противоречит тому, что система A) имеет
только нулевое решение.
Мы доказали следующее утверждение.
Теорема 1. Если ии ..., ип — локальные параметры
в точке х, щ, ..., ип регулярны на X и Xi=!V(Ui), то
точка х проста на каждом из Xt и Пв, = 0, где ®t — ка-
касательное пространство к Xt в точке х.
Здесь мы сталкиваемся с общим свойством подмного-
подмногообразий, которое дальше часто будет встречаться.
Определение. Подмногообразия Yt, ..., Yr глад-
гладкого многообразия X называются трансверсальными в
точке х es П Yu если
г
codime ( П вх,гЛ = 2]
\i—l,...,r ) i=l
8 =
i>x.
B)
Используя неравенство D) п. 2 § 6 гл. I для подпрост-
подпространств ©x.Yi <—8 и неравенства codim 8ж,уг
мы видим, что из B) следует
равенство
которое означает, что все Yt
гладки в точке х, и равенство
codime ( П ©ж,:
= 2 codim
Рис. 7
которое означает трансверсаль-
трансверсальность линейных пространств Qx,yv — они имеют самое
маленькое пересечение, возможное при их размерностях.
Из включения П @х,г* => ©x,v. где Y = П Y{, мы ана-
i=l г
логичным образом получаем, что и Y гладко в точке х.
Например, трансверсальны две гладкие кривые на по-
поверхности, имеющие в точке пересечения разные каса-
касательные (рис. 7).
Теорема 1, таким образом, утверждает трансверсаль-
трансверсальность подмногообразий V(Ui).
Пусть X' — аффинная окрестность точки х, в которой
П Хг = х. Точка х определяется уравнениями t± = ...

124
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Гиль-
ГильtN)h <=
... = t# = 0, если X' с: AN и tt — координаты, а
уравнениями ut = ... = ип — 0. Ввиду теоремы
берта о корнях отсюда следует, что (tu ..., tN)
c("i, .. ., ип) при некотором к > 0. Здесь (tu ..., ty).
и (ut, ..., ип)—идеалы кольца к[Х']. Тем более это
верно для идеалов (tu ..., tN) и (iti, ..., ип) в кольце
С*. Заметим, что (*i, ..., tN) = mx, так что т.% а (иг, ...
..., ип). В действительности верно более точное ут-
утверждение.
Теорема 2. Локальные параметры порождают мак-
максимальный идеал тх локального кольца Ох.
Это — непосредственное следствие леммы Накаяма
(см. Приложение, п. 6, предложение 3). Надо применить
ее к идеалу т* как модулю на Ох. Ввиду леммы в п. 1
§ 1 гл. II это модуль конечного типа. Так как локаль-
локальные параметры порождают Шж/ю|, то по лемме Накаяма
они порождают т*. Теорема доказана.
Пример. Пусть X — гладкое аффинное многообразие
и G — конечная группа его автоморфизмов (ср. пример 11
п. 3 § 2 гл. I). Предположим, что группа G действует на
X свободно, т. е. из g{x) = x при g е= G, х^Х следует
g = е (тождественное преобразование). Докажем, что
тогда и фактормногообразие X/G гладко. Пусть X -*¦ Y =
= X/G — построенное в примере 11 п. 3 § 2 гл. I отображе-
отображение, у е= Y, y = f(x), dim X = dim F = гс и ии ..., ип —
образующие идеала т*. Для каждого и* построим такую
функцию к;ек[1], что нг^== z/j(m?), иг ^ т|(Ж) при g^G,
g Ф е (достаточно умножить иг на квадраты функций^
равных 1 в а: и 0 в g(x), g^e). Положим Vi = S(ui)
(ср. пример 11 п. 3 § 2 гл. I и предложение 1 п. 5 При-
Приu ()
р
ложения). Так как g*ui (^ гя.% при g^e, то ^ = м{ (ш«)
и, значит, vu ..., vn — локальные параметры в точке х.
Но i>i«=k[F] и у4(г/) = О. Докажем, что xslv = {v1, ..., vn).
Пусть h e mv, feek [F]. Тогда /* (^ещ, и /* (А) = 2 ^*yi«
Применяя к этому равенству оператор iS, получаем (так
как Sf* (h) = /* {h), SVi = у,), что /* (Л) = 2 S (^г) Уг- Та-
Таким образом, dim Шу/Шу ^ ге, откуда следует, что точ-
точка у — простая.
Важно отметить, что простота точки х характеризует-
характеризуется чисто алгебраическим свойством ее локального коль-
кольца Ох. По определению точка г?Х проста тогда и только
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
125-
тогда, когда dimk тж/Шж = dim^X. Левая часть этого
равенства определена для любого нетерова локального
кольца О. Правая часть тоже может быть выражена как
свойство локального кольца <УХ. Именно, ввиду следствия 1
теоремы 5 § 6 гл. I размерность многообразия X в точ-
точке х может быть определена как наименьшее число г,
для которого существуют такие г функций щ, ..., ur e nt*,
что множество, определенное уравнениями щ = 0, ...
..., иг = 0, состоит в некоторой окрестности точки х
только из этой точки. Согласно теореме Гильберта о кор-
корнях это свойство равносильно тому, что (иг, . .., иг) => т»
при некотором к > 0.
Для произвольного нетерова локального кольца О
с максимальным идеалом m наименьшее число таких
элементов и±, ..., ur e= m, что (ии ..., ur)=>mh при неко-
некотором к > 0, называется размерностью кольца О и обо-
обозначается dim О. Согласно лемме Накаяма сам идеал ta
порождается п элементами, где n=dim(y/m (m/m2). Поэтому
dim О
^ (m/m2).
Если dim О = dim^/ju (m/m2), то локальное кольцо на-
называется регулярным. Мы видим, что точка х проста
тогда и только тогда, когда ее локальное кольцо Ох регу-
регулярно. Это и есть алгебраический смысл простоты точки.
2. Разложение в степенные ряды. Сопоставление эле-
элементам локального кольца Ох степенных рядов основано
на следующих соображениях. Для любой функции / е 0Х
положим f(x) — обо, /i = / — а0. Тогда /4 е= тх. Пусть
ut, ..., ип — система локальных параметров в точке х.
По определению элементы ии ..., ип порождают все век-
векторное пространство ш.х/Шх- Значит, существуют такие
что /х —
Положим /2 = /i —
— 2 сцч-г — f'— ao~ 2 oti^i. Так как /a ^ m?, то /2 =
— 2 gjhji 8h hi ^ mx. Как и выше, существуют такие
я-2
ш',
2
ПОЛОЖИМ 2B Pji^i ) f 2
j \ i I \ i
2 aihuiuh-
Тогда

126
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
/ — a0 — 2 оци» —
/а — 2 os.ihuiuu <= Шж и, значит,
— 2 <zikuiuk ^ mx- Продолжая так, мы сможем, очевидно,
найти такие формы i^» <= k [2*i, ..., Тп], deg F» = г, что
Определение. Кольцом формальных степенных
рядов от переменных (jTi, ..., Тп) = Т называется кольцо,
элементами которого являются бесконечные выражения
вида
Ф ^ + ^ + ^ +
где i^ e= k [Г] — форма степени i, а действия определяют-
определяются по правилам: если Ч*" = Go + Gt + G2 + ..., то
+ G2) + ...,
- . 2 GjFu
l
ф + цг
ф. Y =
Нг
Кольцо формальных степенных рядов обозначается
через к [[Г]]. Оно содержит поле к (степенные ряды,
в которых F( = 0 при i > 0). Если i — первый индекс, для
которого Ft Ф 0, то Ft называется начальной формой
ряда A). Начальная форма произведения равна произве-
произведению начальных форм, поэтому кольцо к [ [Т] ] не имеет
делителей 0.
Предшествующие рассуждения дают возможность со-
сопоставить функции /е(?, степенной ряд Ф = Fa + F± +'.
-\-Fz + ...
Мы приходим к следующему определению.
Определение. Формальный степенной ряд Ф на-
называется рядом Тейлора функции f «^ Ох, если для всех
f-Sh(Ul, . ..,
Sk = 2
Пример. Пусть X = А1 и х — точка, соответствую-
соответствующая значению координаты t == 0. Тогда шх = (t) и рацио-
Р (t}
нальной функции /(*) = щгу <? @)^=0, сопоставляется
. со
такой степенной ряд 2 amtm, что
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
127
т. е.
P(t)-Q(t)
m=o
Это и есть обычный способ нахождения коэффициентов
степенного ряда рациональной функции методом неопре-
неопределенных коэффициентов.
оо
Например, ——- = ^ tm, так как
т=о
т=о
Соответствие / -*¦ Ф существенно зависит от выбора
локальной системы параметров и±, ..., ип.
Приведенные только что рассуждения доказывают сле-
следующее утверждение.
Теорема 3. Каждая функция f обладает хотя бьь
одним рядом Тейлора.
До сих пор мы по существу пользовались не тем, что-
точка х простая, а лишь тем, что образы и±, ..., ип по-
порождают тж/Шж. Теперь мы воспользуемся простотой
точки х.
Теорема 4. Если точка х проста, то функция имеет
единственный ряд Тейлора.
Очевидно, достаточно доказать, что любой ряд Тей-
Тейлора функции / = 0 равен нулю. Согласно B) это равно-
равносильно утверждению: если Fh(Tu ..., Тп)—форма степе-
степени к, и,, ..., ип — локальные параметры простой точ-
точки а; и
Fh (иг, . . . , Un)
то
Fh(Tif ..., Г„) = 0.
Предположим, что это не так. За счет невырожденно-
невырожденного линейного преобразования можно добиться того, чтобы
коэффициент при Т% в форме Fh был отличен от 0. Дей-
Действительно, этот коэффициент равен Fh(Q, ..., 0, 1),
и если Fh{a,i, ..., а„)=^0 (такие ос1? ..., ап существуют,
раз Fh Ф 0), то нам достаточно произвести линейное пре-
преобразование, переводящее вектор (а4, ..., ап) в @, ...
..., 0, 1). Таким образом, мы можем считать, что

428 гл- п- ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Fk(Tlt ..., Tn) = aTl + Gx{Tx, ..., Тп_1)Тп~х + ...
... +Gh(T1, . . ., Tn-i), где а?=0 и Gt — форма сте-
степени i.
Из теоремы 2 п. 1 легко вытекает, что любой элемент
ждеала Шх+1 может быть записан в виде формы степени к
от ии ..., ип с коэффициентами в гах. Поэтому условие
C) можно записать в виде
<хип + Gx (и±, ..., Mn-i) ип~г + ... +Gk («!, . . ., itn-i) =
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
129
D)
где
еш,, Я4 — форма степени i. Отсюда следует, что
<а — \i)UnG (и-у, . .., ип-х). Так как ос=^О, то а — |u §? m*
и (а — ц)-1 6= 0Х, и поэтому к* ^ ("i, • • •» "n-i). Мы ви-
видим, что F(BBKF(B1)(l...A7(B»-i). Отсюда следует,
что 8„ => Oi П ... П вп-1 (в, — касательное пространство к
V(Ui) в точке х) и, значит, 04 П ... П в„ = в4 П ... П 6»-i.
Поэтому dim (@i П ... П 8n) ^ 1, что противоречит теоре-
теореме 1 п. 1. Теорема доказана.
Таким образом, мы имеем однозначно определенное
отображение т: Ох -*- к [ [Г] ], которое сопоставляет каж-
каждой функции ее ряд Тейлора. Простая проверка, осно-
основывающаяся на определении B) отображения т, показы-
показывает, что т является гомоморфизмом. Мы предоставляем
эту проверку читателю.
Каково ядро отображения т? Если т(/) = 0 для функ-
функции / «= Ох, то ввиду B) это означает, что f ^ шх х для
всех к. Иными словами, это значит, что / ^ П n*x- Речь
идет, следовательно, о функциях, аналогичных тем функ-
функциям анализа, все производные которых равны 0 в неко-
некоторой точке. В нашем случае такая функция должна
быть равна 0. Это вытекает из предложения 4 п. 6 При-
Приложения и леммы в п. 1 § 1 гл. II.
Как следствие получается
Теорема 5. Функция f <= Ох однозначно определя-
определяется любым своим рядом Тейлора. Иначе говоря, отобра-
отображение х является изоморфным вложением локального
кольца Ох в кольцо формальных степенных рядов к[|Т]].
Напомним, что в этом параграфе мы нигде не поль-
пользовались тем, что многообразие X неприводимо. Наобо-
рот, из теоремы 5 можно сделать некоторые выводы о
неприводимости.
Теорема 6. Если точка х проста, то через нее про-
проходит одна-единственная компонента многообразия X.
Заменим X окрестностью U точки х, X' = X — U Zu
где Z,- — все компоненты X, не проходящие через х. Тогда
к [X'] <= Ох. Согласно теореме 5 (Ух изоморфно подкольцу
кольца формальных степенных рядов к [ [Т] ]. Так как
кольцо к [ [Т] ] не имеет делителей 0, то это верно и для
кольца к [X'], изоморфного его подкольцу. Поэтому X' не-
неприводимо, что и утверждается теоремой.
Следствие. Множество особых точек алгебраиче-
алгебраического многообразия X замкнуто.
Пусть X = UXj — разложение на неприводимые ком-
компоненты. Из теоремы 6 следует, что множество особых
точек многообразия есть объединение множеств Xt П X,-
(i^j) и множеств особых точек многообразий Xt. Как
объединение конечного числа замкнутых множеств, оно
замкнуто.
Если точка х не является простой, то максимум того,
что мы можем сделать — это сопоставить элементу / s 0X
последовательность классов вычетов %п = / + BlS <= С^ж/ю".
Такая последовательность обладает свойством согласо-
согласованности: если Qn+i'-C?x/tiix+1-+ <3Wm? — канонический
гомоморфизм, то 9n+1(|n+1) = |n. Совокупность всех согла-
согласованных последовательностей {?„} при покомпонентном
сложении и умножении образует кольцо (Ух, называемое
пополнением кольца Ох. Мы определили только, что го-
гомоморфизм т: 0Х-+ (Ух, х (/)= {In}, In == / + m?. To же
рассуждение, что и в случае простой точки х, показы-
показывает, что т — вложение. Кольцо Ох — локальное — оно
имеет максимальный идеал 9Й, состоящий из согласован-
согласованных последовательностей {?„}, для которых |„ е ш,.. Мож-
Можно показать, что применение той же конструкции к Ох
ничего нового не дает: ОХ = 0Х и гомоморфизм т явля-
является в этом случае изоморфизмом. Если точка х — про-
простая, то кольцо 0Х совпадает с кольцом формальных сте-
степенных рядов. В общем случае оно является важной ха-
характеристикой особой точки. Если для ж^Х и у е Y
пополненные локальные кольца 0Х и 0V изоморфны, то
многообразия X ж Y называются формально-аналитиче-
формально-аналитически эквивалентными в окрестности этих точек. Так как
9 и. Р. Шафаревич, т. 1

130
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
в случае простой точки х /г-мерного многообразия ло-
локальное кольцо Ох то же, что и у точки х' ^ Ап, то в
окрестностях всех простых точек все многообразия одной
размерности формально-аналитически эквивалентны. Ср.
задачи 8—16 к § 3.
3. Многообразия над полем действительных и полем
комплексных чисел. Предположим, что поле к совпадает
с полем действительных или комплексных чисел. Мы
покажем, что в этом случае формальные ряды Тейлора
функций / е Ох сходятся для малых значений Ти ..., Тп.
Пусть $lx = (F1, ..., Fm), Х<=А" и dim*X = /г. Если
х s X — простая точка, то ранг матрицы
равен N—п. Предположим, что
<ьО, i = 1, . . .,N — n; i = n + 1, . . .,N.
:.,.Щ-^:- ' A)
Пусть х совпадает с началом координат. Тогда tt, ..., tn
(координаты, ограниченные на X) образуют систему ло-
локальных параметров точки х. Обозначим через X' сово-
совокупность проходящих через точку х компонент много-
многообразия, определяемого уравнениями
^ = 0, ...., ^-„ = 0. B)
Ввиду условия A) размерность его касательного прост-
пространства в' в точке х равна п, а по теореме о размерности
пересечения dimxX'^n. Так как dim в' S* dim* X', то
&\тхХ' = п и точка х проста на X'. Отсюда ввиду теоре-
теоремы 6 следует, что X' неприводимо. Очевидно, что X' => X,
а из того, что dim X' = dim X, следует X' = X.
Мы видим, что X может быть определено в некоторой
окрестности точки х N — п уравнениями B), причем вы-
выполнено условие A). Согласно теореме о неявных функ-
функциях (см., например, [14], § 185) существуют система
степенных рядов Ф4, ..., Фц-п от п переменных Ти ...
..., Тп и такое 8 > 0, что Ф,(Т4, ..., Тп) сходятся для
всех Т{, \ТА < е, и
u ..., Тя,
C)
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
131
причем коэффициенты степенных рядов Фи ..., Ф^-п
однозначно определяются из соотношения C).
Но формальные степенные ряды x(Tn+i), .. ¦, тBтЛ')
(если за локальные параметры выбраны t±, ..., tn) тоже
удовлетворяют C) и поэтому должны совпадать с Ф4, ...
..., Ф^-п, откуда следует, что тB\) (i = п + 1, ..., N)
сходятся при \Tj\ < 8 (/ = 1, ..., п).
Любая функция / е 0Х представима в виде _ / =
Сходимость ряда т(/) следует поэтому из стандартных
теорем о сходимости рядов.
Аналогично можно показать, что если и1} ..., ип —
любая другая система локальных параметров, то
9Г,
0, i =
ряды Тейлора для tu ..., tn через локальные параметры
ии ..., ип получаются обращением рядов т(и,) =
= Ф<(Т1, ..., Тп) (г = 1, ..., п) и поэтому тоже имеют
положительный радиус сходимости. Отсюда следует, что
ряд т(/), / е (Ух, при любом выборе локальных парамет-
параметров имеет положительный радиус сходимости.
Теорема о неявных функциях утверждает не только
существование сходящихся рядов Фи ..., Ф^-п, но и то,
что для некоторого т] > 0 любая точка (t±, ..., tN)^X,
\и\<ц (г=1, ..., N) имеет вид tn+i=<$>{(tu ..., tn)
(г = 1, ..., N — п). Отсюда следует, что отображение
(tu ..., tN)-^-(tu ..., tn) отображает множество (tu ...
..., tN)^X, НА < г] взаимно однозначно и взаимно не-
непрерывно на область /г-мерного пространства.
Пространство Р^ над полем к (в случае, когда к —
поле вещественных или комплексных чисел) является
топологическим пространством. Алгебраическое много-
многообразие X в этом пространстве также является топологи-
топологическим пространством. Эту топологию в X мы будем
называть вещественной или комплексной в зависимости
от того, будет к полем вещественных или комплексных
чисел. Ее не следует путать с теми топологическими тер-
терминами — замкнутость, открытость,..., которые мы ис-
использовали раньше.
Предшествующие рассуждения показывают, что в ве-
вещественной топологии ?г-мерного многообразия X любая
9*

132
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
простая точка имеет окрестность, гомеоморфную области
вещественного /г-мерного пространства. Поэтому, если все
точки X — простые, то X является /г-мерным многообра-
многообразием в топологическом смысле этого слова. Если к — поле
комплексных чисел, то простая точка х е X имеет в комп-
комплексной топологии окрестность, гомеоморфную области
в /г-мерном комплексном и, значит, в 2/г-мерном веще-
вещественном пространстве. Поэтому, если все точки X про-
простые, то X является 2?г-мерным многообразием.
Как легко показать, пространство Р^ компактно в ве-
вещественной и комплексной топологиях. Поэтому, если X
проективно, то оно компактно. Если к — поле комплекс-
комплексных чисел, то верно и обратное: квазипроективное много-
многообразие X, компактное в своей комплексной топологии,
является проективным многообразием. См. задачу 4 к § 2
гл. VII.
Заметим в заключение, что все сказанное в этом пунк-
пункте (исключая последний абзац) дословно переносится на
случай, когда к — поле ^-адических чисел.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что множество точек, в которых заданные п функ-
функций на и-мерном многообразии X не образуют систему локальных
параметров, замкнуто.
2. Доказать, что многочлен / g к[Г] = к [А1] тогда и только
тогда является локальным параметром в точке Т = а, когда а
является ого простым корнем.
3. Доказать, что формальный степенный ряд Ф = Fo + F\ ...
тогда и только тогда обладает обратным в кольце к [[Г]], ког-
когда Fo Ф 0.
4. Рассмотрим кольцо к{Г}, состоящее из выражений вида
а-пТ~п+ a_n+i7'-n+1+ ... -f- a0 + <%iT + ..., где Т — переменная,
п — произвольное целое число. Доказать, что к.{Т)—поле, изо-
изоморфное полю частных кольца к[[Г]].
5. Пусть X а А2 — окружность, заданная уравнением X2 -\- Y2 =
= 1, х — точка @, 1). Доказать, что X является локальным пара-
параметром в точке х и
Т1=0
Характеристика основного поля равна 0.
6. Доказать, что если х — особая точка, то любая функция
/ е Ох обладает бесконечным числом разных рядов Тейлора.
7. Пусть X = А1, х е X. Доказать, что т(Сж) не совпадает со
всем кольцом k [[71]].
§ 3. СВОЙСТВА ПРОСТЫХ ТОЧЕК 133
§ 3. Свойства простых точек
1. Подмногообразия коразмерности 1. Теория локаль-
локальных колец дает возможность доказать одно важное свой-
свойство гладких многообразий, аналогичное теореме 3 § 6
гл. I. Речь идет об определении подмногообразия Y <= X
коразмерности 1 одним уравнением. В общем случае та-
такой факт, вообще говоря, не имеет места (замечание 2
после следствия 5 в п. 2 § 6 гл. I). Мы докажем, однако,
что на пеособых многообразиях он верен локально. Что-
Чтобы сформулировать этот результат, введем следующее
определение.
Функции Д, ..., fm e Ох называются локальными урав-
уравнениями подмногообразия Y <= X в окрестности х, если
существует такая аффинная окрестность X' точки х, что
«у = (/i, • - •, /m) в k [X'l где Y' = Y П X', Д s k [X'].
Это понятие удобно переформулировать в терминах ло-
локального кольца Ох точки х. Для этого рассмотрим идеал
ах_ у с= (Ух, состоящий из функций / ^ (Ух, равных 0 на Y
в некоторой окрестности точки х.
Очевидно, что для аффинного многообразия X
= -2-; м, v e k [X], р(х)фО,и<=о
и если все компоненты Y проходят через точку х, то
Су = а*, у П к [X].
Лемма. Функции Д, ..., fm тогда и только тогда
являются локальными уравнениями Y в окрестности точ-
точки х, когда ах, у = (Д, ..., /т).
Очевидно, что если ат = (Д, ..., /т) в к [X], то и <хх, у =
= (.Д, . . ., fm) В Ох. ПуСТЬ йх, у = (Д, . . ., fm) , Д ^ Ох, Cly =
= (g-i, ••-, gs), ftsk[4
Так как ^е^у, то
m
= 23
gi = 23 hijfj, i = 1, • • •, s,
ji
Ox.
A)
Функции Д, hi} регулярны в некоторой главной аффинной
окрестности U точки х. Пусть U = X — V(g), gsk[X].
Кольцо k [U] состоит из элементов вида -г-, век[Д
k^O. Тогда ввиду A) (gu ..., ga) = ar - к [U\<=-(U, ...
• • ч fm).
Мы покажем, что dyk [U] = ay/. Отсюда будет сле-
следовать, что cty cz (/lt ...,/m), а так как Д ^ аУ/, то
и утверждение леммы.

134
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Остается проверить, что (Хук [?/] = <Ху/. Включение
uyk [U] cz dy/ очевидно. Пусть v ^ аУ/. Тогда v = ¦—-,
bs]c[I], а значит, u = vgh\ следовательно, и е ау, а так
как
g-ft
г g
Нашей целью является доказательство следующего
результата.
Теорема 1. Неприводимое подмногообразие Y<= X
коразмерности 1 обладает одним локальным уравнением
в окрестности любой неособой точки xel.
Доказательство в точности следует ходу доказатель-
доказательства теоремы 3 § 6 гл. I. Там, однако, мы пользовались
однозначностью разложения на неприводимые множители
в кольце k [T]. Здесь роль, аналогичную этому кольцу,
играет кольцо Ох. Оно обладает аналогичным свойством.
Теорема 2. В локальном кольце простой точки раз-
разложение на простые мноокители однозначно.
Доказательство теоремы 2 основывается на том, что
однозначность разложения на простые множители снача-
сначала устанавливается для кольца к [ [Т] ]. Это довольно эле-
элементарный факт, аналогичный соответствующему резуль-
результату для колец многочленов. Мы укажем только основ-
основные этапы доказательства. Совершенно элементарное
(и не зависящее от остальной части книги) доказатель-
доказательство можно найти в [17], т. 2, гл. VII, § 1.
Степенной ряд ФB\, ..., Тп) называется регулярным
относительно переменной Тп, если его начальная форма
(пусть ее степень равна пг) содержит член cmT™, cm ф- 0.
Линейное преобразование переменных Ти ..., Тп,
очевидно, вызывает автоморфизм кольца kff?1]]. Мы мо-
можем, в частности, произвести такое линейное преобра-
преобразование, чтобы заданный ряд стал регулярным по Тп.
Лемма 1 (подготовительная теорема Вей-
ерштрасса). Если степенной ряд Фек[[Т]] регуля-
регулярен относительно переменной Тп и степень его начальной
формы равна т, то существует такой ряд С/ек[[Т]],
свободный член которого отличен от 0, что ряд Ф17 явля-
является полиномом от Тп над кольцом к[[Г4, ..., Тп-Л]:
Доказательство см. в [17], т. 2, с. 174.
§ 3. СВОЙСТВА ПРОСТЫХ ТОЧЕК
135
Лемма 2. В кольце формальных степенных рядов
разложение элементов на простые множители однозначно.
Лемма 1 дает возможность доказать это утверждение
индукцией по числу переменных Т±, ..., Тп, сведя его
к аналогичному утверждению о многочленах относитель-
относительно Тп с коэффициентами из к [ [Ти ..., Tn-i] ]. Подробное
проведение доказательства читатель может найти в [17],
т. 2, гл. VII, § 1, теорема 6 (с. 177).
Д о к а з а т ельство теоремы 2. Обозначим через
Ох кольцо формальных степенных рядов и будем считать
локальное кольцо Ох его подкольцом (что возможно вви-
ввиду теоремы 5 § 2). Через т* обозначим идеал кольца <УХ,
состоящий из степенных рядов без свободного члена.
Идеал Шх состоит из степенных рядов, у которых нет
членов степени <к. Из определения вложения Ох -*- Ох
(формула B) п. 2 § 2) следует, что Ъ&<[\<Ух = 'в&. Мы
находимся, таким образом, в условиях предложения 1
п. 7 Приложения, которые гарантируют нам, что из од-
однозначности разложения на простые множители в Ох
(т. е. леммы 2) следует однозначность разложения в Ох-
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 1, как было уже сказано,
совпадает с доказательством теоремы 3 § 6 гл. I. Ввиду
локального характера утверждения мы можем считать
X аффинным. Пусть / — любая функция из С?х, обращаю-
обращающаяся в 0 на Y. Разложим ее на простые множители в
(Ух. Один из простых множителей должен ввиду непри-
неприводимости Y также обращаться в 0 на У. Обозначим его
через g и докажем, что он и является локальным урав-
уравнением Y. Заменив X меньшей аффинной окрестностью,
мы можем считать, что g регулярно на X.
Так как V(g)=>Y и коразмерности обоих подмного-
подмногообразий равны 1, то F(g) = У U У. Если 7'эж, то су-
существуют такие функции h и h', что h-h' = O на V(g),
причем h Ф 0 на V(g) и feVO на V(g). Это значит, что
при некотором г > 0, (hh')r делится на g в к[Х], а тем
более в Ох. Из однозначности разложения на простые
множители в Ох следует, что тогда h или hr делится
на g в Ох. Отсюда следует, что h или Ь/ обращается в 0
на V(g) в некоторой окрестности х, а значит, после пе-
перехода к меньшей окрестности и на всем V(g). Это про-
противоречит условию. Таким образом, Y' Ф х, и, заменив X
опять достаточно малой аффинной окрестностью точки х,

136
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
мы можем считать, что V(g)=Y. Если теперь и обраща-
обращается в 0 на Y, то при некотором s > 0 и* делится на g
в к [X], а значит, подавно и в Ох. Отсюда следует, что и
делится на g в Ох. Таким образом, ах. У = (g) и теорема
доказана.
Теорема 1 имеет много применений. Вот первое из
них (ср. теорему 2 из § 1 гл. I).
Теорема 3. Если X — гладкое многообразие и
ф: X -*¦ Р^— его рациональное отображение в проектив-
проективное пространство, то множество точек, в которых ср не-
нерегулярно, имеет коразмерность не меньше двух.
Напомним, что множество точек нерегулярности ра-
рационального отображения замкнуто. Утверждение теоре-
теоремы носит локальный характер, и достаточно проверить
его для некоторой окрестности простой точки геХ, Мы
можем записать ф в виде ф = (/0:...: /п), Л •= к(Х), и, не
меняя ф, умножить ft на такой общий множитель, что
все Uе (Ух и не имеют общего делителя в Ох. При этом
Ф может быть нерегулярно только в точках, где /0 =
= Л — ... = /„ — 0. Но никакое многообразие Y кораз-
коразмерности 1 не содержится в множестве, определенном
этими уравнениями. Действительно, согласно теореме 1,
ах, у'= (g) и все fi должны были бы иметь общий множи-
множитель g в 0Х, вопреки предположению. Теорема до-
доказана.
Следствие 1. Любое рациональное отображение
гладкой кривой в проективное пространство регулярно.
Следствие 2. Если две гладкие проективные кри-
кривые бирационалъно изоморфны, то они изоморфны.
Пусть к — поле комплексных чисел. Из следствия 2
вытекает, что множества точек кривых X' и X" гомео-
морфны в их комплексной топологии, если кривые X' и
X" бирационально изоморфны. Действительно, регуляр-
регулярные функции, а значит, и регулярные отображения опре-
определяются в этом случае сходящимися степенными ря-
рядами и поэтому заведомо непрерывны.
То же верно для множеств вещественных точек кри-
кривых, определенных уравнениями с вещественными коэф-
коэффициентами, если бирациональный изоморфизм ф: X-*~ X'
определен над полем вещественных чисел, т. е. задан
формулами с вещественными координатами. Из этого
иногда легко заключить, что две кривые бирационально
не изоморфны над полем действительных чисел. Напри-
Например, кривая уг = х3 — х имеет график (рис. 8), состоящий
§ 3. СВОЙСТВА ПРОСТЫХ ТОЧЕК
137
из двух компонент. Поэтому она нерациональна (над
полем действительных чисел)—Р1 гомеоморфна окруж-
окружности и состоит из одной компоненты.
Можно доказать, основываясь на аналогичной идее,
что кривая X с уравнением у2 = хг — х нерациональна и
над полем комплексных чисел.
Для этого надо сравнить топо-
топологические пространства комп-
комплексных точек на X и на Р1 в
Вещественные точна
У
Рис. 8
Рис. 9
их комплексной топологии и доказать, что они негомео-
морфны. Действительно, первое пространство гомеоморф-
но тору, а второе — сфере. Это есть частный случай ре-
результатов, которые будут доказаны в § 3 гл. VII. На рис. 9
показано, как вещественные точки кривой X расположе-
расположены среди ее комплексных точек.
2. Гладкие подмногообразия. Теорема 1 не обобщает-
обобщается на подмногообразия коразмерности большей, чем 1
(см., например, задачу 2 к § 6 гл. I). Но для подмного-
подмногообразий, не особых в точке х, аналогичное утверждение
верно. Мы докажем несколько более точный факт. Нач-
Начнем со вспомогательного утверждения.
Теорема 4. Пусть X — аффинное многообразие, х —
его простая точка, функции и4, ..., ип регулярны на X
и, образуют систему локальных параметров в точке х.
Тогда подмногообразие Y, определенное уравнением
»! = ... = »„, = () (т- ^ п), не особо в точке х и в некото-
некоторой аффинной окрестности точки х, йу = (и1, ..., ит),
& um+i, ..., ип образуют систему локальных параметров
точки х на Y.
Доказательство использует индукцию по пъ. При тп =
= 1 теорема 1 показывает, что в некоторой аффинной

138
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
окрестности точки х aY = (/). Пусть uL = fv. Тогда dxiii =
= v(x)dxf. Так как uL входит в систему локальных пара-
параметров точки х, то dxiii Ф 0. Поэтому и(х)Ф0 и, значит,
в меньшем открытом множестве <xY = (mi). Так как dxUi^
Ф0, то х — простая точка на Y.
Очевидно, что касательное пространство 0*, У к Y в
точке х получается из ©*, х наложением условия dxUi =
= 0. Поэтому dxuz, ..., dxun является базисом ©ж,г, т. е.
uz, ..., ип — локальные параметры в точке х на Y.
В общем случае положим X' = XUi. Тогда Y опреде-
определяется на X' уравнениями пг = ... = ит = 0 и мы можем
применить индукцию. Теорема доказана.
Теперь мы покажем, что любое неособое в точке х
подмногообразие Y может быть получено процессом, опи-
описанным в теореме 4, в некоторой окрестности простой
точки.
Теорема 5. Пусть X — многообразие, Y<= X и х —
простая точка на Y и на X. Можно так выбрать систему
локальных параметров и4, ..., ип в точке х на X и такую
аффинную окрестность U точки х, что (Xy = (»i, ..., um)
в U.
Доказательство. Вложению касательных прост-
пространств вж> у -*- Qx, х соответствует эпиморфизм сопряжен-
сопряженных пространств ср: тХзх/Шх,х —*-ntx.y/ntx.Y» определенный
ограничением функций с X на Y. Мы можем так вы-
выбрать базис пи ..., ип в тх,х/хв-х,х, что и±, ..., ит s аУ,
a um+i, ..., ип, ограниченные на Y, образуют базис в
nia^y/ntl.y. Рассмотрим аффинную окрестность точки х,
в которой все Ui регулярны, и рассмотрим в ней
подмногообразие У, определенное уравнениями м4 = ...
... = ит = 0. По построению Y' => Y. Мы докажем, что
Y' => Y, откуда ввиду теоремы 4 будет следовать утверж-
утверждение теоремы.
Согласно теореме 4 Y' не особо в точке х, а значит,
ввиду теоремы 6 § 2 У неприводимо в окрестности х.
Из теоремы 4 следует, что dim Y' = п — т. Из построе-
построения ясно, что dim ©*, у = п — т и, значит, dim Y = п — т.
Поэтому Y = Y', а так как, согласно теореме 4, ау/ =
= (иг, ...,ит), то и <Ху = (и1, ..., ит) в некоторой ок-
окрестности точки х. Теорема доказана.
В частном случае X = Ат и к = R или С мы уже до-
доказали аналогичный факт в п. 3 § 2.
§ з. свойства простых точек
139
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что если t — локальный параметр простой точки
алгебраической кривой, то любая функция / е Ох однозначно пред-
представляется в виде / == tnu, где п ^ 0, а и — обратимый элемент
из С*. Вывести отсюда теорему 2 для кривых.
2. Доказать обращение теоремы 1 § 2: если подмногообразия
коразмерности 1 Du ..., Dn пересекаются трансверсально в точке
х ж mi, ..., ип — их локальные уравнения в окрестности этой точ-
точки, то Mi, ..., ип образуют систему локальных параметров в
точке х.
3. Верно ли следствие 2 теоремы 3 без предположения глад-
гладкости? Верна ли теорема 3 без такого же предположения?
4. Доказать, что точка х алгебраической кривой X тогда и толь-
только тогда простая, когда она обладает локальным уравнением.
5. Конус ХсА3 задается уравнением х2 + у2 — z2 = 0. Дока-
Доказать, что его образующая L, заданная уравнениями х. = 0, у = z,
не обладает локальным уравнением ни в какой окрестности точки
(О, 0, 0).
6. Рациональное отображение ф: Р2—*-Р2 задается формулой
ф(х0 : хх : х2) = (xix2 : х0х2 : хохх). Пусть х = A:0:0) иСсР2 —
кривая, пе особая в х. Согласно теореме 3 отображение ф, ограни-
ограниченное на С, регулярно в а: и поэтому переводит х в некоторую
точку, которую мы обозначим через фс (х). Доказать, что фс (ж) =
= фс (х) тогда и только тогда, когда кривые С\ и С2 касаются
в точке
с,с,-
7. Доказать, что ссли-ф = —— — рациональная функция, / и g
о
регулярны в простой точке х и степенной ряд тг(/) делится на
r(g), то ф регулярна в точке х. Указание. Использовать те же
рассуждения, что и в предложении 1 п. 7 Приложения.
8. Пусть X cz А" — аффинное многообразие и х е X. Пусть
ах = (/i, ..., fm). Доказать, что Ох ~ к[[Ти ..., Г„]]/ах, где Ох =
= (T(/i)> •••> т(/т)). Указание. Здесь надо воспользоваться
свойствами из [3], гл. 10. В следующих задачах это утверждение
будет использоваться.
9. Доказать, что формально-аналитическая эквивалентность А"
с собой (автоморфизм) в окрестности О задается такими рядами
Фь ..., Фп без свободных членов, что определитель, составленный
из линейных членов, отличен от 0.
10. Доказать, что две плоские кривые с уравнениями F = 0 и
G = 0, проходящие через начало координат О е А2, тогда и толь-
только тогда формально-аналитически эквивалентны в окрестности О.
когда существует такой формальный автоморфизм А2, задаваемый
рядами Фь Ф2, что ^(Фь Фг) = G-U, где U — степенной ряд со
свободным члепом, не равным 0.
11. Доказать, что все плоские алгебраические кривые, имею-
ющие начало координат О двойной особой точкой с различными
касательными, формально-аналитически эквивалентны в окрест-
окрестности О кривой с уравнением ху = 0. У к а з а п и е. Воспользо-
Воспользоваться задачей 10. Искать Ф1 и Ф2 по все более высоким степе-
степеням идеала (х, у).

140
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
12. Дать формально-аналитическую классификацию двойных
особых точек плоских алгебраических кривых над полем к харак-
характеристики 0.
13. Пусть X — гиперповерхность в А™ с уравнением F =
= F2(T) + F3(T) + ... + Fh(T) = 0, где F2(T) — квадратичная фор-
форма ранга п. Доказать, что X формально-аналитически эквивалент-
эквивалентна в окрестности О конусу У| + ... + Т^ = 0.
14. Построить бесконечное число гладких проективных кривых,
попарно неизоморфных друг другу над полем вещественных чисел.
15. Пусть гладкое неприводимое аффинное n-мерное многооб-
многообразие X задается уравнениями Fi ==... = Fm = 0 и пространство,
dF
определенное уравнениями
~gj\ (?j — xj) == ^
Для всех
= (xi, , xn) е X, имеет размерность п. Доказать, что тогда <tx =
= (Ft, ..., Fm). Вывести отсюда, что левые части уравнений
х [\ х =0 порождают идеал грассманова многообразия G B, г)
(ср. пример 1 в п. 3 § 1).
§ 4. Строение бирациональных изоморфизмов
1. о-процесс в проективном пространстве. В пре-
предыдущем параграфе мы доказали (следствие 2 теоремы 3),
что бирациональный изоморфизм между проективными
кривыми является изоморфизмом. Для многообразия
большего числа измерений такой факт неверен: напри-
например, стереографическая проекция, устанавливающая би-
бирациональный изоморфизм между невырожденной по-
поверхностью 2-го порядка и проективной плоскостью, не
является регулярным отображением (задача 7 к § 4 гл. I
и предложение после следствия 5 теоремы 4 § 6 гл. I).
В этом параграфе мы определим и исследуем простей-
простейший и типичный бирациональный, но не регулярный
изоморфизм: а-процесс.
Рассмотрим проективные пространства Р" с однород-
однородными координатами х0, .. ., хп и Р™-1 с однородными коор-
координатами уи ..., уп.
В пространстве Рп X Pn-1 точку хХу, х = (х0 : ... : хп),
У ==(j/i : • • - : Уп), мы будем обозначать также через
(х0 : ... : хп; г/4 : .. . : уп). Рассмотрим замкнутое подмно-
подмногообразие ПсР"Х Р"-1, определенное уравнениями
п.
A)
Определение 1. Отображение о: П -*¦ Р™, опреде-
определенное проекцией Р" X р™-1 -*- Рп, называется а-про-
цессом.
f
% 4. СТРОЕНИЕ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ
141
Обозначим точку A:0:...: 0)еР" через |. Если
(х0'. ¦.. : хп)?= .|, то из уравнений A) следует, что
(у± :...: уп) =-(х1 :... : хп) и, значит, отображение
(х0: ... : хп) -*- (х0 : ... : хп; xt :...: хп)
B)
является обратным к а. Если же (х0 : ... : хп) = "S,, то
уравнениям удовлетворяют любые значения yt. Таким
образом, о"'(^) = ^ХР" и о определяет изоморфизм
между Р™ — | и П-^ХР"-1). Точка | называется
центром а-процесса.
Опишем теперь строение П в окрестности точек вида
(?; У± '•• ¦ ¦'¦ Уп). При некотором i у{^0 и, следовательно,
выбранная точка лежит в открытом множестве Uu опре-
определенном условиями х0 Ф0, угФО. В этом множестве мы
можем даже считать х0 = 1, Уг = 1. Уравнения A) при-
примут тогда вид х} = yjXi, I «? / Ф i ^ п. Отсюда следует, что
Ut изоморфно аффинному пространству с координатами
ух, ..., Xi, ..., уп.
В частности, мы видим, что П не особо и, значит,
ввиду теоремы 6 § 2 неприводимо в окрестности каждой
своей точки. Мы увидим вскоре, что П неприводимо.
Для того чтобы яснее представить себе действие а-про-
а-процесса, рассмотрим его на некоторой прямой L, прохо-
проходящей через точку |. Пусть х} = ocjX{ (/ = 1, ..., п,
j Фъ) — уравнение этой прямой. На L отображение
B) принимает вид о^,,: ... : хп) = (х0 ¦ ... : хп; а.г : ...
...1 : ... : а„). Мы видим, что а регулярно на L
и переводит ее в кривую а~*(Ь), которая пересекает
| X Pn-1 в точке (|; ос1: ... : 1 : ... : ап). Мы можем
интерпретировать этот результат так. Отображение о~*
нерегулярно в точке ^, но, рассмотрев его на прямой L,
получаем регулярное отображение О: L -*¦ П. Пользуясь
им, мы можем доопределить о в точке ^ (над полем
действительных или комплексных чисел это означало бы,
что мы определим о (х) при i
L
и устремляем х
б
р () р ур \
по направлению L). Однако результат зависит от выбора
L (предельный переход зависит от направления, по ко-
которому мы его осуществляем). Выбирая разные L, мы
получаем всевозможные точки на ^ X Р". Таким обра-
образом, хотя а и нерегулярно в точке |, разрешая полу-
получающуюся неопределенность, мы получаем не любые
точки П, а только точки из | X Рп~*. Имея в виду эту
картину, говорят, что а раздувает | в |Х Pn-1.

142
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Заметим, что заодно мы доказали неприводимость П.
Действительно,
П = (I X Р"-1) U (П - (I X Р"-1)).
Так как П—-(gXP™) изоморфно Р" — g, то оно непри-
водимо, а значит, неприводимо и П — (? X Р™"). Нам на-
надо только убедиться, что
Но заведомо
и, значит,
о-1 (L) П (| X Р"-1) с= П -
Мы же видели, что при надлежащем выборе L в левой
части получается любая точка из ? X Р™".
При п — 2 можно наглядно представить себе отобра-
отображение сг: П ->- Р2 и его действие на прямые L: кривые
§ 4. СТРОЕНИЕ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ
143
Рис. 10.
с [L) пересекают прямую 1 X Р1 в точках, которые из-
изменяются по мере того, как L поворачивается в Р2 во-
вокруг |. Таким образом, П выглядит похоже на один ви-
виток винта» (рис. 10). -
2. Локальный о-процесс. Теперь мы построим для
любого квазипроективного многообразия X и его простой
точки х многообразие Y и отображение a: Y -*¦ X, анало-
аналогичное тому, которое в п. 1 было построено для X = Р™.
Начнем с одной вспомогательной конструкции.
Пусть X — квазипроективное многообразие, g — его
простая точка и ut, ..., ип — функции, регулярные на
всем X и такие, что
а) уравнения к, = ... = ип = 0 имеют на X един-
единственное решение |;
б) функции »l7 ..., ип образуют систему локальных
координат в g.
Рассмотрим произведение ХХРп~1 и в нем подмного-
подмногообразие Y, состоящее из таких точек (х; ?i :...:?„),
х е= X, {U :...: tn) е= Р»-1, что щ (х) t, = щ (х) U, 1 ^ i, / < п.
Регулярное отображение о: Y -*~ X, являющееся ограни-
ограничением на Y проекции X X Р"-1 ->- X, называется локаль-
локальным а-процессом с центром в g.
Заметим, что эта конструкция, вообще говоря, непри-
неприменима к случаю, когда X проективно,— мы требуем
существования на X непостоянных регулярных всюду
функций iii, ¦ •., ип. Поэтому новое понятие не охваты-
охватывает введенного раньше понятия а-процесса для случая,
когда X = Р™. Связь между ними заключается в сле-
следующем.
Обозначим через X аффинное подмножество, опреде-
определенное в Р" условием х0 Ф 0, и положим Y = а~* (X).
Тогда отображение a: Y ->¦ X, индуцированное на Y
а-процессом П -»- Р™, будет локальным а-процессом.
Следующие свойства, доказанные нами в п. 1 для
а-процесса, дословно так же доказываются для локаль-
локального а-процесса: отображение a: Y-+X регулярно и оп-
определяет изоморфизм
и мы мо-
В точке у е а (¦§) при некотором i ^
жем положить Sj= —, / ф i. Уравнение Y принимают
вид a} = UiS} (/=1, ..., п, ]'Фг). Отсюда мы видим, что
идеал точки у имеет вид
), . . ., ип—ип(у), Si-s^y),. . .,*„-*»(у) ) =
(s, - Si (у), .. ., щ — иг(у), . . ., sn - sn (у)).

144
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Поэтому dim Gv, y «? п, а так как dim а (X — |) = п,
то в любой точке г/ео"'(Х—Ъ,) многообразие Y гладко.
Так как
Y = о (X - g) U (I X Р"-1),
то У или иеприводимо и совпадает с замыканием
а~* (X— ?) множества а~г(Х—g), или имеет еще одну
компоненту, изоморфную Ря-1. Во втором случае обе ком-
компоненты пересекаются: иначе о~1(Х—|) было бы
замкнуто, но тогда ввиду теоремы 3 § 5 гл. I был бы
замкнут и его образ Х—%. Точка пересечения обеих ком-
компонент была бы простой, что противоречит теореме 6
§ 2. Таким образом, Y неприводимо и гладко, а
s± — s1('y), ..., u{ — Ui(y), ..., sn — sn(y)— локальные па-
параметры в точке г/«=о~*(ё), в которой и=Ф0.
Очевидно, что локальный о-процесс является собствен-
собственным отображением (см. замечание к теореме 3 § 5 гл. I).
Теперь мы докажем свойство, которое можно назвать
независимостью локального о-процесса от выбора функ-
функций »!, . . ., Un.
Лемма. Если vx, ..., vn— другая система функций
на X, удовлетворяющая условиям а) и б), Y' — получаю-
получающееся при помощи нее многообразие, a': Y' -*¦ X—соот-
X—соответствующий локальный а-процесс, то Y' и Y изо-
изоморфны.
Существует даже такой изоморфизм qp: Y -»- Y', что
диаграмма
е>
у'
коммутативна.
Доказательство. ПустьT'cJXP" и однород-
однородные координаты в Р™ обозначены через ?х, ..., tn
В открытых множествах Y — а~*(|) и Y' — а' (?) мы
положим
х; tx : ... :tn) = (ж; vx (x) : ... : vn(x)),
x; t[ : ... :t'n) = (ж; щ(х) : ... :un(x)).
A)
Из свойства а) функций щ следует, что ф и ф регу-
регулярны и ф(Г-о-1F))с=Г-1 Ц{У'-о' (%))<= Y.
§ 4. СТРОЕНИЕ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ 145
Рассмотрим теперь открытое множество, в котором
иФО, и положим в нем
a »i, . -., un — базис идеала Щ, то
='Tm- Так как vk(%) = 0,
3=1
B)
Так как в нашем открытом множестве щ =
то
C)
.7=1
Мы положим q>(x; tt :... : ?„) = (х; gi : ... : gn). Очевид-
Очевидно, что наше отображение совпадает с A) в области Olipe-
деления их обоих, так. как там gk = —. Проверим, что
ср регулярно. Для этого нам надо доказать, что g±, ..., gn
не обращаются одновременно в 0 ни в какой точке
Tjeo-'d). Пусть все gk('r]) = O. Так как не все s}(r\) = O
(Si = l), то из C) следует, что 1&м(|)|=0. Но vhs=
=== 2,hhj (|) itj (m|), и отсюда следовало бы, что vh линей-
линейно зависимы в JUg/mf, в то время как они образуют си-
систему локальных параметров в точке |. Таким образом,
мы определяем единое отображение ср: Y-*¦ Y' и анало-
аналогично ф: Y' ->¦ Y. То, что они обратные друг другу, доста-
достаточно проверить на открытом множестве, где имеют место
формулы A). Там это очевидно.
3. Поведение подмногообразий при о-процессе. Пусть
X—квазипроективное подмногообразие в Р^, о: П -»-
->¦ Р* — о-процесс, определенный в п. 1. Мы исследуем
прообраз a~i(X) подмногообразия X, который, конечно,
является квазипроективным подмногообразием в П.
Теорема 1. Если X<=?N, X не особо в точке | и
X Ф VN, то относительно а-процесса с центром в Ц, про-
прообраз а (X) приводим и состоит из двух компонент:
o-i(I) = (|XP'r-1)U7. A)
На компоненте Y отображение о: Y-*¦ X определяет
регулярное отображение. Оно является изоморфизмом
10 и. Р. Шафаревич, г. 1

146
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
некоторой окрестности U точки жеХ и a 1{U), если
х Ф |, и локальным а-процессом a~i (U) ->- U, если х = |.
Доказательство. Обозначим через У замыкание
о-1(Х —|) множества а'1 (X — gj. Так как а является
изоморфизмом в Р^ — |, то а~*(Х — |) изоморфно X — |, .
а значит, неприводимо. Следовательно, неприводимо и YV
Из определения очевидно, что имеет место A); если
х ^ X — §, то
То, что a: Y-*~ X является изоморфизмом в окрестно-
окрестности любой точки х е X, кроме х = %, уже отмечалось. Нам
осталось исследовать это отображение в окрестности %.
При этом мы воспользуемся тем, что в аффинном про-
пространстве, содержащем точку |, с-процесс описывается
как локальный о-процесс, и тем, что локальный о-процесс
не зависит от выбора локальных координат. Именно,;
согласно теореме 5 § 3, мы можем так выбрать систему
локальных координат ии ..., uN в точке % ^ PN, что в
некоторой окрестности этой точки многообразие X будет
задаваться уравнениями
ип+1 = ... = uN = О, B)
а функции Mi, ..., ип будут определять локальную си-
систему координат в точке \ на X. Мы можем выбрать
такую окрестность U <=¦ Р^ точки |, что ии ..., uN будут
удовлетворять условиям а) и б) леммы п. 2, и, таким
образом, доказательство теоремы сводится к частному
случаю, когда X задано уравнениями B).
Из условий а) и б) и uj) = izji мы получаем, что,
для хФ\, tn+i(x)=... = ttr(z) = O. Поэтому Y содер-
содержится в подпространстве У, определенном в ZXP"
уравнениями
*»+1 = ... = tN = 0, C)
Uitf = ufa I =sj i, j < п. D)
Если обозначим через Р"-1 подпространство проективного
пространства Р^, определенное уравнениями C), то
увидим, что У'сХХ р™-1 и определяется уравнения-
уравнениями D). Таким образом, Y' совпадает с многообразием,
получающимся при локальном а-процессе. Мы доказали,
что F' = a~*(X —|). Поэтому Y=Y', что и доказывает/
теорему.
§ 4. СТРОЕНИЕ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ 147
Мы можем дать теперь самое общее определение
a-процесса. Если X — квазипроективное многообразие,
X cz Рп? g — его простая точка и Y — то многообразие,
которое введено в формулировке теоремы 1, то a: Y -*¦ X
называется а-процессом с центром g. Из того, что было
доказано о локальном о-процессе, следует, что Y непри-
неприводимо, если неприводимо X, все точки из о"-1(ё) про-
просты на У и о-1 (|) с* | X Р"-1.
Заметим, что о-процесс является изоморфизмом, если
X — кривая. Таким образом, наличие нетривиального
a-процесса является типичным для многомерной алгеб-
алгебраической геометрии.
4. Исключительные подмногообразия. Пример <т-про-
цесса указывает на принципиальное различие между
алгебраическими кривыми и многообразиями размерно-
размерности п > 1. В то время как бирациональный изоморфизм
для неособых проективных кривых является изоморфиз-
изоморфизмом, a-процесс дает пример того, что это может быть
не так при больших размерностях.
Отметим одну особенность a-процесса — он является
регулярным отображением и не является изоморфизмом
только потому, что рациональное отображение а нере-
нерегулярно (в точке "Е,).
В этом пункте мы исследуем отображения /: X-*¦ Y,
f — регулярное отображение и бирациональный изомор-
изоморфизм, т. е. /~* = g является рациональным, но нерегу-
нерегулярным отображением Y -*¦ X. На примере о-процесса
вы видели, что подмногообразие коразмерности 1 в Y
стягивается в точку \. Мы покажем, что аналогичное
свойство всегда имеет место в такой ситуации.
Теорема 2. Пусть /: X -»- Y — регулярное отобра-
отображение и бирациональный изоморфизм, гбХ, y = f(x)
является простой точкой на Y и отображение g = /~*
нерегулярно в точке у. Тогда существует такое подмного-
подмногообразие Z <= X, Z^x, что codimZ = l, codim / (?) S* 2.
Доказательство. Мы можем в случае необхо-
необходимости заменить X аффинной окрестностью точки х и
поэтому считать, что X аффинно.
Пусть X <= Aw и g — /~4 задается формулами U = gt
'(г = 1, . .., N), gi^k(Y), где tu ..., tN — координаты
в А*.
Очевидно, что gi = g*(ti), и так как g нерегулярно
в точке у, то хоть одна из функций g{ нерегулярна в у.
Пусть это будет gu так что gy & Оу. Мы можем предста-
10*

148
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
вить gi в виде gx = "I", и, »еС„ v(y) = O и ввиду одно-
однозначности разложения на простые множители в Оу (по
предположению, точка у проста) выбрать и и v взаимно
простыми. Так как g = f~1, то tx = /* (gx) = /* ( ^-) =
/(")
= ^фу' и поэтому
A)
Очевидно, что /*(у)(ж) = О, так что xeV(f*(v)). Поло-
Положим Z=V(f*(v)). По теореме о размерности пересече-
пересечения codim Z = 1, так как ж е= Z, и поэтому Z не пусто.
Из A) следует, что /*(и) = 0 на Z, так как ?4— регулйр-
пая функция. Поэтому на f(Z) ии = 0иу = 0и, значит,
HZ)V()nV()
Остается проверить, что codim(F(zz) fl V(v) )S* 2. Но
если бы V(u)V\V(v) содержало компоненту 7'э у,
codim Y' = 1, то Y' имела бы, согласно теореме 1 § 3,
локальное уравнение h. Это значит, что ue^(h), ye(A),
а это противоречит тому, что и и v не имеют общего мно-
множителя в кольце Оу.
Определение. Пусть /: X-»- Y — регулярное ото-
отображение, являющееся бирациональным изоморфизмом.
Подмногообразие Z cz X называется исключительным,
если codimiZ = l, codim /(Z)^ 2.
Следствие 1. Если регулярное отображение глад-
гладких многообразий f:X-*-Y является бирационалъпым
изоморфизмом, но не изоморфизмом, то оно имеет исклю-
исключительное подмногообразие.
Следствие 2. Если /: X -*¦ Y — регулярное отобра-
отображение, являющееся бирационалъным изоморфизмом,
X и Y — кривые и Y гладкая, то f(X) открыто в Y и f
определяет изоморфизм меокду X и f{X).
Что f(X) открыто в Y, следует из того, что у X и Y
существуют изоморфные открытые подмножества U и V.
Так как /(?/) = V получается из Y выбрасыванием конеч-
конечного числа точек, то тем более так получается /(X),
т. е. оно открыто в Y. Если бы отображение /: X-*-f(X)
не было изоморфизмом, то мы пришли бы к противоре-
противоречию с теоремой 2, так как в нашем случае только пу-
пустое множество имеет коразмерность ^2.
5. Изоморфизм и бирациональный изоморфизм. Рас-
Рассмотрим класс всех бирационально изоморфных друг
§ 4. СТРОЕНИЕ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ 149
другу алгебраических квазипроективных многообразий.
Всех представителей этого класса мы будем называть
его моделями.
В следующем параграфе мы докажем, что в каждом
классе бирационально изоморфных кривых существует
проективная гладкая модель Хо. Следствие 2 теоремы 3
§ 3 утверждает, что такая модель существует (с точно-
точностью до изоморфизма) только одна. Поэтому если мы
сопоставим каждому классу единственную содержащуюся
в нем неособую проективную модель, то мы сведем во-
вопрос о классификации алгебраических кривых с точ-
точностью до бирационального изоморфизма к вопросу
о классификации неособых проективных кривых с точ-
точностью до изоморфизма.
Поля функций на алгебраических кривых — это рас-
расширения степени трансцендентности 1 поля к, порожден-
порожденные над к конечным числом элементов. Поэтому мы мо-
можем установить взаимно однозначное соответствие между
такими полями К и неособыми проективными кривыми.
В этом соответствии К = к(Х). Мы будем также назы-
называть X моделью поля К.
Можно попробовать непосредственно найти модель X,
исходя из алгебраических свойств поля К. Уточним этот
вопрос, спросив, как охарактеризовать внутри поля К
локальные кольца всех точек кривой X. Легко проверить,
что каждое локальное кольцо Ож точки х е X обладает
следующими свойствами:
с с
1) О — подкольцо поля К, к -Ф О ^= К;
2) О — локальное кольцо и его максимальный идеал ш
главный: т = (и); '
3) поле отношений кольца О совпадает с К.
Можно доказать (задачи 7, 8, 9), что любое подколь-
подкольцо О поля К, обладающее свойствами 1), 2), 3), совпа-
совпадает с локальным кольцом (Ух некоторой точки х е X.
Таким образом, модель X универсальна — она содержит
все локальные кольца поля К, удовлетворяющие есте-
естественным условиям 1, 2) и 3).
Как решаются эти вопросы для многообразий размер-
размерности гс >1? С существованием проективной неособой
модели дело обстоит сравнительно благополучно—Неё
существование доказано в случае п = 2, 3 (Уокер, Зарис-
ский для полей характеристики 0 и Абьяпкар для конеч-
конечной характеристики, большей 5) и для произвольного п

150
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
в случае характеристики 0 (Хиронака). Для произволь-
произвольного поля и произвольного п ее существование представ-
представляется очень правдоподобным. Наоборот, единственность
неособой проективной модели является исключительной
особенностью случая тг = 1. Это видно на примере проек-
проективной плоскости Р2 и поверхности 2-го порядка, кото-
которые бирационально изоморфны, но не изоморфны.
Можно поставить вопрос о существовании в каждом
классе бирационально изоморфных многообразий модели,
которая была бы универсальной в том смысле, чтобы
локальные кольца ее точек, как и в случае тг=1, исчер-
исчерпывали все локальные подкольца поля К = к(Х), удов-
удовлетворяющие условиям 1), 2) и 3) (с заменой в усло-
условии 2) m==(zt) на т=(гг1, ..., ип)). Однако такой модели
тоже не может быть и по тем же соображениям. Именно,
если а: X' -*¦ X — а-процесс с центром | е= X, то локаль-
локальные кольца точек лсе<г1№) не совпадают ни с одним
из локальных колец (Ух, х s X. Читатель легко докажет
это в качестве упражнения. Правда, объединяя все неосо-
неособые модели одного класса, мы можем получить некото-
некоторый объект, обладающий этим свойством универсально-
универсальности, но зато он не будет конечномерным алгебраическим
многообразием. Кое-что об этой «бесконечной модели»
можно прочитать в [17], т. 2, гл. VI, § 17.
В связи с отсутствием одной выделенной модели
возникает задача изучения связей между разными не-
неособыми проективными моделями одного класса бира-
бирационально изоморфных многообразий. Мы опишем без
доказательства основные из имеющихся здесь резуль-
результатов.
Все многообразия дальше буду^г предполагаться не-
неприводимыми, гладкими и проективными.
Начнем с двух терминов. Модель X' доминирует X,
если существует бирациональйное регулярное отображе-
отображение /: Х'-+Х.
Многообразие называется относительно минимальной
моделью, если оно не доминирует никакого многообразия,
не изоморфного ему. Например, гладкая проективная кри-
кривая является всегда относительно минимальной моделью.
Ввиду теоремы 2 многообразие является относительно
минимальной моделью, если оно не имеет исключитель-
исключительных подмногообразий.
Можно доказать, что всякое многообразие доминирует
хотя бы одну относительно минимальную модель. Таким
§ 4. СТРОЕНИЕ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ 151
образом, в каждом классе бирационально изоморфных
многообразий существует хотя бы одна относительно ми-
минимальная модель.
Возникает важный вопрос о ее единственности. Если
бы в каждом- классе существовала такая единственная
модель, то это опять сводило бы бирациональную клас-
классификацию к классификации с точностью до изомор-
изоморфизма.
Однако при п > 1 это не так. Пример дают проектив-
проективная плоскость Р2 и поверхность 2-го порядка Q, которые,
как мы знаем, бирационально изоморфны, так что явля-
являются моделями одного и того же класса бирационально
изоморфных поверхностей. Мы докажем, что Р2 и Q
являются относительно минимальными моделями, т. е. не
имеют исключительных кривых. Так как Р2 и Q неизо-
неизоморфны (замечание 1 в п. 2 § 6 гл. I), то это и дает
нужный пример.
В нашем случае неприводимая исключительная кри-
кривая С cz X должна регулярным бирациональным отобра-
отображением /: X -*¦ Y стягиваться в точку у se Y: f(C) — y.
При этом X и Y — проективные поверхности. Такие кри-
кривые обладают рядом очень специальных свойств (чем
и объясняется термин «исключительные»). Мы приведем
только одно из них.
Согласно теореме 3 § 3 отображение /"* нерегулярно
только в конечном числе точек yt e Y. Пусть U — столь
малая аффинная окрестность точки у, что /~* регулярно
во всех точках U, отличных от у. Положим V — f~x{U),
C = f~i(y). Очевидно, V является открытым подмножест-
подмножеством X ж V =э С. Мы покажем, что в V не содержится
никакой замкнутой в Y неприводимой кривой С', не со-
содержащейся в С. Действительно, С является проектив-
проективной кривой и ее образ f{C) также проективен. Но
f{C") с: U, которое аффинно. Согласно следствию 2 тео-
теоремы 2 § 5 гл. I это возможно, только если f(C') = y'
является точкой. Если у' ?= у, то, так как вне у отобра-
отображение /~* является в U изоморфизмом, С тоже должна
быть точкой. Если же у' = у, то С с: /-1 (у) = С.
Таким образом, С лежит изолированно в X — в неко-
некоторой ее окрестности V не существует никаких неприво-
неприводимых проективных кривых, не содержащихся в С.
Иначе говоря, С нельзя «немного пошевелить». Отсюда
можно вывести, что многие поверхности не содержат
исключительных кривых.

152
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Пусть, например, Х = Р\ F = P2-?>=>?, где С —
исключительная кривая. Тогда dimZ) = O, так как иначе
С и D пересекались бы согласно теореме о размерности
пересечения. Но если dimZ) = O, т. е. D — конечное
множество точек, то существует сколько угодно кривых
С, не пересекающих D, например прямых.
Пусть X = Q. Здесь мы воспользуемся наличием груп-
группы проективных преобразований G, переводящих Q в се-
себя. Напомним, что преобразования из G задаются матри-
матрицами 4-го порядка А, удовлетворяющими соотношению
A*FA=F, где F — матрица уравнения поверхности Q.
Отсюда следует, что G составляет алгебраическое под-
подмногообразие в пространстве всех матриц 4-го порядка.
Поэтому мы будем дальше считать G алгебраическим
аффинным многообразием.
Если С — кривая и С <=: Q — D, то мы построим такое
преобразование <peG, что cp(C)<?C, q>(C)<= Q — D, а это
противоречит полученному выше' свойству исключитель-
исключительных кривых. Для этого достаточно доказать, что мно-
множество тех <р е= G, для которых cp(C)ftD?=0, является
замкнутым. Тогда в нашем распоряжении будет целая
окрестность единичного преобразования е <= G, состоящая
из элементов с нужным свойством. Для того чтобы опи-
описать множество S тех <psG, для которых <$(C)f\D?=0,
рассмотрим в прямом произведении GX.Q множество Г
таких пар (<р, х), что х<=С, ф(ж)<=25. Очевидно, что Г
замкнуто. Если /: GXQ -*¦ G — проекция, то S = /(Г),
а /(Г) замкнуто согласно теореме 2 § 5 гл. I. Это закан-
заканчивает доказательство существования двух различных
минимальных моделей.
Тем более удивительно, что все же единственность
минимальной модели имеет место для алгебраических
поверхностей, если только исключить несколько спе-
специальных типов. А именно, как показал Энриквес, в клас-
классе поверхностей минимальная модель единственна, если
в этом классе не содержится поверхность вида С X Р1,
где С — алгебраическая кривая. (Поверхности, бирацио-
нально изоморфные С X Р1, называются линейчатыми.)
Доказательство теоремы Энриквеса изложено в [1],
гл. II.
В настоящее время имеются значительные продвиже-
продвижения в направлении построения теории минимальных мо-
моделей в размерности Ss=3. В этом случае минимальная
модель не может существовать в классе гладких много-
§ 4. СТРОЕНИЕ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ
153
образий, но есть основания надеяться, что теория сохра-
сохраняется, если допустить некоторый класс достаточно хо-
хорошо контролируемых особых точек. См. об этом, напри-
например, обзоры [20] и [30].
ЗАДАЧИ
1. Пусть dim X = 2, 1 — простая точка X, С\ и С2 с: X — две
кривые, проходящие через 1 и неособые в ней; о: Y -*- X — о-про-
цесс с центром в точке 1, С\ — о~х (С{ — %), Z = а~1{%). Дока-
Доказать, что Сх f| Z = С2 (~) Z тогда и только тогда, когда С\ и Сг
касаются в точке \.
2. Пусть dim X = 2, | — простая точка X, С cz X — кривая,
С ^ 1 и / — локальное уравнение С в окрестности 1. Пусть / =
г
где и и v — локальные па-
i—г
раметры в %, а формы сии + $tv не пропорциональны друг другу.
Как и в задаче 1, a: Y-*-X; С = а~1(С—|). Доказать, что
С П % состоит из г точек.
3. Обозначения задачи 2, но, сверх того, /^ (ахы.-)-рхг;)Х
X («2ы. + P2y) (m|) и линейные формы a.\u-\-$iV и «г" + $2V не-
непропорциональны. Доказать, что обе точки С f\ Z простые на С.
4. Рассмотрим рациональное отображение ср: Р2-*-Р4, заданное
формулой
Ч> (Х0 '¦ Х1 •" Xz) = (Vx : V2 : Х\ '¦ ХХХ2. '¦ *!)•
Доказать, что ср — бирациональный изоморфизм, а обратное ото-
отображение ф(Р2) —»- Р2 совпадает с о-процессом.
5. Аналогично задаче 4 исследовать отображение Р2 -*- Р6, оп-
определенное всеми одночленами 3-й степени, кроме х%-> х\ и х\-
6. Построить пример бирационального изоморфизма X-*-Y,
при котором исключительное подмногообразие коразмерности 1 ото-
отображается в подмногообразие коразмерности 2 (dim X = п, п —
произвольное).
7. Пусть О—локальное кольцо поля &(Х), удовлетворяющее
условиям 1)—3) н. 5 (X — проективная алгебраическая кривая).
Доказать, что для любого и е к(Х) или и <= О или и~1 <= О. Пусть
X сг Рп, х0, ..., хп — однородные координаты в Ри. Доказать, что
существует такое i, что —- е О (/ = 0, ..., п).
xi
8. Обозначения задачи 7. Пусть X' — аффинная кривая, X' ~
= 1 f] А™. Доказать, что к[Х'] с: 0, идеал к[Х] П» является
идеалом некоторой точки х е X'', а Ох <^ О.
9. Доказать, что если два кольца С, и (?! удовлетворяют ус-
условиям \)—3) п. 5 и Ci с С2, то О\ = ??2- Вывести отсюда
и из задач 7 и 8, что (в обозначениях задачи 8) О = Qx.

154
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
10. Пусть V — конус 2-го порядка, заданный уравнением ху =
= z2 в А3, X' -»- А3 — а-процесс с центром в начале координат,
V — замыкание подмногообразия a~l(V—О) в X'. Доказать, что
V — гладкое многообразие и прообраз начала координат при ото-
отображении а: V —*- V является гладкой рациональной кривой.
§ 5. Нормальные многообразия
1. Нормальность. Напомним сначала одно алгебраи-
алгебраическое понятие. Кольцо А без делителей 0 называется
целозамкнутым, если любой элемент поля частных К
кольца А, целый относительно А, принадлежит А.
Определепие. Неприводимое аффинное многооб-
многообразие X называется нормальным, если кольцо к[Х]
целозамкнуто. Неприводимое квазипроективное многооб-
многообразие X называетя нормальным, если любая его точка
имеет аффинную нормальную окрестность.
Мы докажем вскоре, что гладкие многообразия нор-
нормальны (теорема 1). Вот пример ненормального много-
многообразия. На кривой X с уравнением
функция t =
к (X) цела над к [X], так как t2 = 1 + х,
однако t&k[X] (задача 7 § 3 гл. I).
Приведенный пример показывает, что понятие нор-
нормальности имеет некоторое отношение к особым точкам
многообразия. Приведем пример многообразия, имеющего
особые точки, но нормального. Это — конус X с уравнением
х2 + у2 — z2 в А3 (мы предполагаем, что характеристика
основного поля ?=2).
Докажем, что кольцо к [X] целозамкнуто в поле к (X).
При этом мы будем пользоваться простейшими свойст-
свойствами целых элементов (см. [3], гл. V). Поле к(Х) со-
состоит из элементов вида u + vz, и, г;ек(х, у), причем
х та у — независимые переменные. Аналогично к [X] со-
состоит из тех элементов поля к (X), для которых и, v s
s k [x, г/], поэтому k [X] — конечный модуль над к [х, у]
и, значит, все элементы кольца к [X] целые над к [х, у].
Если а = и + vz е к (X) целый над к [X], то оп должен
быть целым и над к [х, у]. Его минимальный много-
многочлен имеет вид Тг — 2uT + (uz — (ж2 + y2)v2) и, значит,
2и е= к [х, у] и и е= к [х, у]. Аналогично и2 — (х2 + yz) v2 s
§ 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
155
е=? к[х, у] и, значит, (х2 + у2)»!ек[х, у]. Так как х2 + у2 —
= {х + iy) (х — iy) — произведение двух взаимно простых
элементов, то тогда yek[i, у], а это и значит, что
ask [X].
Докажем несколько простых свойств нормальных мно-
многообразий.
Лемма. Если многообразие X нормально, то локаль-
локальные кольца От всех его неприводимых подмногообразий
Y <= X целозамкнуты. Наоборот, если целозамкнуты ло-
локальные кольца Ох всех точек х <= X и X неприводимо,
то оно нормально.
Так как определение нормальности носит локальный
характер, то мы можем ограничиться случаем, когда X
аффинно. Пусть X нормально, Гс!и неприводимо. До-
Докажем целозамкнутость кольца (Ут. Пусть aek(I) и a
цело над С?У, т. е.
1 + ... + а„ = 0. A)
Ъ-
Здесь пг^Оу и поэтому а* = —, &,-, d ^ к [X], с{<?ах.
сг
Положим d0 = Cj_ ,, .г с, и умножим A) на dQ. Мы полу-
получим, что
doa,n + dia"-1 + ... + dn = 0, B)
где di'^h[X], d0 <? аУ. Умножив B) на d%~x и положив
do<x = [}, получим, что р цело над к[Х]. По предположе-
предположению к[Х] целозамкиуто и, значит, doa, = ^e k[X]. Тогда
a = -— е (Jy, так как d0 Ф- ау.
ао
Пусть все локальные кольца Ох целозамкнуты. До-
Докажем, что к [X] целозамкнуто. Если ask (X) и а цело
над к [X], то ап + о^а" + ... + а„ = 0, ofek [X]. Но тогда
подавно Ui ^ <УХ для любого х е X, а так как, по предпо-
предположению, Ох целозамкнуто, то a e 0Х. Поэтому a e Л (Ух-
Согласно теореме 4 § 3 гл. I П Ох = к [X] и, значит,
Х~Х
a e к [X].
Теорема 1. Гладкие многообразия нормальны.
Ввиду леммы нам достаточно доказать, что если х —
простая точка, то кольцо Ох целозамкнуто. Мы знаем,
что в (Ух разложение на простые множители однозначно
(теорема 2 § 3). Любой элемент aek(I) можно пред-
представить в виде a = —, где и, peCj и не имеют общих

156
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
делителей. Если а цел над Ох, то ап + а±ап * + ... + ап =
= 0, а;е Ох. Отсюда ип + a^^v + ... + anvn = 0. Мы ви-
видим, что v\un. Из взаимной простоты и и v и однознач-
однозначности разложения на простые множители следует, что
а ^ С?*. Теорема доказана.
Теорема 1 показывает, что понятие нормальности
является некоторым ослаблением понятия гладкости. Это
сказывается и в свойствах нормальных многообразий.
В частности, мы покажем, что на нормальные многооб-
многообразия распространяется в ослабленной форме основное
свойство гладких многообразий (теорема 1 § 3).
Теорема 2. Если X — нормальное многообразие,
Y cz X и codim Y = 1, то существует такое аффинное
открытое множество X' с X, что X' п Y ?= 0 и идеал мно-
многообразия Y' = X' П Y в кольце k [-X"'] главный.
Мы можем, конечно, предполагать X аффинным. Бо-
Более того, достаточно доказать, что в локальном кольце
О-r максимальный идеал иау — главный. Действительно,
если nty = (и), и ее C?Y, то и = -|-r a, b^k [X], Ъ §? ау. Пусть
ау = (?>!, ..., vm). Так как аУ <= Оту, то Vi = uwt, Wi = cjdi,
си di e= k [X], di <? ау. Тогда идеал ay множества Y Г\ X'
будет главным идеалом (а), если X' = X\(V(b) U V(dl)U ...
D))
Пусть /ek[I], f?=0, /eay. Тогда YaV(f), и так
как codim Y = 1, codim F(/)=l (по теореме о размерно-
размерности пересечения), то Y состоит из компонент многообра-
многообразия V(f). Пусть F(/)=FUF, Y<?Y. Положив Х = X -
-F, мы получим, что УПХФ0, YUX = V{f)UX. По-
Поэтому мы будем считать сразу, что Y = V (./). j
По теореме Гильберта о корнях отсюда следует, что
ay cz (/) при некотором к > 0, а отсюда и Шуе (/) \ в 0V.
Пусть к — минимальное число с этим свойством. Тогда
существуют такие аи ..., ак-± smy, что а4.. .<xft-i ^(/), но
«! ... ccA-iin^ s (/). Иначе говоря, при g = a,i.. .ак-и g & f,
но gmy е=(/), т. е. при u = fg-\ u-l<?C?Y, и-гшг^Ог- Те-
Теперь мы воспользуемся целозамкнутостью кольца OY (ср.
лемму): из нее следует, что а~*ту Ф тУ — иначе, согласно
одному из основных свойств целых элементов, и~х был
бы целым пад OY и содержался бы в нем, что не так.
Но nty — максимальный идеал в кольце <УГ, и если
ц-'Шу с: (?У1 но ^my, то и^ХО-тг =0У. Это и означает, что
§ 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
157
Теорема 3. Множество особых точек нормального
многообразия имеет коразмерность не меньше чем 2.
Пусть X нормально, dim X = п, S — множество осо-
особых точек X. Мы видели, что S замкнуто в X. Предпо-
Предположим, что S содержит неприводимую компоненту Y
размерности п— 1. Пусть X' — открытое подмножество,
существование которого устанавливается теоремой 2,
Y' = Y П X'. Многообразие Y' имеет хотя бы одну про-
простую точку (как точку У", но не обязательно как точ-
точку -X"'). Обозначим ее через у. Пусть Ov,y'— ее локаль-
локальное кольцо на У и ии ..., ип-г — локальные параметры.
Согласно теореме 2 ay = (и) и, значит, k [Y'] = к [X']/ (и).
Аналогично <Jy,Y' = Оу,хг/{и)- Очевидно, ыу,х'
совпадает с прообразом Му,у при естественном гомо-
гомоморфизме Оу,х' —*-(Уу,у • Обозначим через vt, ..., vn-i
любые прообразы элементов щ, ..., ип-±. Тогда Щ,х' =
= (vx, ..., vn—i, и). Это показывает, что dim udv,x'/Riy,x' <S n,
а значит, точка у проста на X, вопреки предположению
jeFcj1, Теорема доказана.
Следствие. Для алгебраических кривых понятия
гладкости и нормальности совпадают.
Пример 1. Пусть X — нормальное аффинное много-
многообразие и G — конечная группа его автоморфизмов. До-
Докажем, что Y==XJG нормально (см. пример 11 п. 3 гл. I).
Пусть Аек(У) и цело над к [У]. Тем более h цело пад
к[Х] и, значит, h es k[X]. Но раз h^k(Y), то g*h = h
для любого g^G и, значит, йек[1]о = к [У].
Пусть, в частности, Х = А2 и G = {1, g}, где g(x, г/) =
= (—ж, —у). Легко проверить, что к [X] а = к [х, у]в по-
порождается функциями w = ху, и = х2, v = у2. Иначе го-
говоря, Y определяется уравнением uv = w2. Это — конус,
рассмотренный в начале этого пункта. Так как по теоре-
теореме 1 X нормально, то мы получаем другое доказатель-
доказательство нормальности Y.
Сравним между собой выведенные свойства нормаль-
нормальных многообразий. Прежде всего, заметим, что при дока-
доказательстве теоремы 1 мы использовали гладкость много-
многообразия X не в полной мере — мы пользовались только
однозначностью разложения на простые множители в
кольцах Ох. В связи с этим естественно выделить класс
многообразий, в которых это последнее свойство (одно-
(однозначность разложения на простые множители в кольцах
(Ух) выполняется. Они называются факториальными. Та-
Таким образом, гладкое многообразие факториально, а фак-

158
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
ториальное — нормально (последнее и доказывает, по су-
существу, теорема 1). Можно показать, что все эти три
класса многообразий действительно различны. Например,
доказано, что если гиперповерхность в А", п 5s 5, имеет
единственную особую точку, то она факториальна ( [13],
XI, 3.14). Красивый пример не гладкой, но факториаль-
ной поверхности задается уравнением х2 + у3 + z5 = 0.
Пример нормального, но не факториального многообра-
многообразия дает рассматриваемый нами квадратичный конус:
z2 =(ж + iy) (х — iy)—это два разных разложения одного
элемента на простые множители.
Теорема 3 фиксирует внимание на новом свойстве
многообразий: множество особых точек имеет коразмер-
коразмерность не меньше чем 2. Многообразия с этим свойством
называются неособыми в коразмерности 1. Теорема 3 ут-
утверждает, что таковы, в частности, нормальные много-
многообразия. Эти два класса многообразий тоже различны.
Соответствующий пример строится несколько сложнее.
Дело в том, что для гиперповерхностей нормальность
совпадает с неособостью в коразмерности 1. Поэтому про-
простейший возможный пример —- поверхность в А4. Непри-
Неприводимое многообразие X не нормально, если существует
такое многообразие Y и эпиморфное отображение
/: Y ->- X, что k [Y\ — модуль конечного типа над /*к [X]
и / — изоморфизм открытых подмножеств V<= Y и ?/с1.
Поэтому первое' приближение к примеру дает X = L± U Lz,
где две плоскости Ьг и Ьг пересекаются в одной точке,
a Y = Li\JL2—несвязное объединение Lt и L2 (напри-
(например, в А5). Но это — приводимое многообразие, а наше
определение нормальности предполагает неприводимость.
Поэтому мы построим пример, имитирующий эту ситуа-
ситуацию вблизи особой точки. Для этого достаточно построить
регулярное конечное отображение /: А2 -»- А4 такое, что
Х = /(А2) замкнуто в А4, /: А2 -+¦ X является бирацио-
пальпым изоморфизмом, две точки, например у±, у2 *= А2,
имеют один образ z s X, a /: A2\{z/t, у2) ->- X\{z) является
изоморфизмом. Таким образом, / очень похоже на пара-
параметризацию B) кривой A) в п. 2 § 1 гл. I. Наличие ото-
отображения / противоречит нормальности X, а точка z
будет единственной особой точкой па X. Зададим / урав-
уравнениями
f(x, у) = (х, ху, у{у-1), у2{у
Если координаты в А4 обозначены через и, v, w, t, то
§ 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
159
уравнения многообразия X имеют, как легко проверить,
следующий вид: ut = vw, w3 = t(t — w), u2w = v(v — u),
где и=х, v = xy, w = y(y — l), t = y2(y—l). Соотноше-
Соотношения x = и, уг — у = w показывают, что х и у целы над
/*к [X], а значит, / конечно. Остальные нужные нам
свойства отображения / проверить совсем легко.
2. Нормализация аффинных многообразий. Рассмо-
Рассмотрим простейший пример ненормального многообразия —
кривой X, определенной уравнением у2 = х2 + х3". Его па-
параметризация, использующая параметр t = —, опреде-
ляет отображение /: А1 ->- X, или, что то же самое, вло-
вложение к [X] cz к [t]. Отображение / является бирациональ-
ным изоморфизмом, и поэтому к[Х]<=кМсгк(Х) = к(г).
Прямая А1 уже нормальна и соответственно кольцо мно-
членов k [t] целозамкнуто. Больше того, кольцо k [f]
можно характеризовать как совокупность всех элементов
мек (X), целых относительно к [X]. Действительно, t2 =
— i + x и, значит, t цело над к [X], а поэтому и все эле-
элементы кольца k[t] целы над к [X]. Если жемек(X) цело
над к[Х], то оно цело и над к И, а так как k [t] цело-
замкнуто, то u?Ek[t]. Наконец, то, что кольцо k[t] цело
над к [X], в геометрической терминологии означает, что
отображение / конечно. Мы покажем, что для любого не-
неприводимого аффинного многообразия -X" существуют мно-
многообразие X' и отображение Г-+1с такими же свойст-
свойствами. Начнем с определения, которое относится к произ-
произвольным неприводимым многообразиям.
Определение. Нормализацией неприводимого мно-
многообразия X называется неприводимое нормальное много-
многообразие Xv, обладающее регулярным отображением
v: Xv -*¦ X, которое конечно и является бирациональным
изоморфизмом.
Теорема 4. Аффинное неприводимое многообразие
обладает нормализацией, которая также аффинна.
Доказательство. Обозначим через А целое за-
замыкание к [X] в к(Х), т. е. совокупность всех элементов
и se k (X), целых относительно кольца к [X]. Из простей-
простейших свойств целых элементов вытекает, что А — кольцо
и что А целозамкнуто. Предположим, что мы нашли та-
такое аффинное многообразие X', что А = к [Хг]. Тогда X'
нормально и включение к[Х] с к[Х'] определяет регу-
регулярное отображение /: X' ->- X. Очевидно, что X' явля-
является нормализацией X.

160
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
§ 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
161
Согласно теореме 1 § 2 гл. I такое многообразие X'
существует, если А не имеет делителей 0 и обладает ко-
конечным числом образующих. Первое условие выполнено,
так как ^4crk(X). Теорема будет доказана, если мы по-
покажем, что кольцо А имеет конечное число образующих.
Мы докажем больше,— что А имеет конечное число об-
образующих как модуль над к [X]. Если А = к [X] <0i + .. .
... + к [X] <дт, то <Oi, ..., «m вместе с образующими алгеб-
алгебры к [X] над к составляют систему образующих А как
алгебры над к. Для этого мы воспользуемся теоремой 10
§ 5 гл. I. Согласно этой теореме существует кольцо
В с к [X], над которым к [X] цело, изоморфное кольцу
многочленов: В^к.[Ти . . ., Тт]. Выпишем все встретив-
встретившиеся нам кольца и поля:
В
(г,,.
тг)
Из этой схемы и из простейших свойств целых элементов
видно, что А совпадает с целым замыканием кольца В
в поле к(Х). Далее, поле К — к(Х) является конечным
расширением поля kGT1, ..., Тт), так как Ти . . ., Тт —
базис трасцендентности поля к(Х). Наконец, кольцо В
целозамкнуто (многообразие Аг нормально и даже глад-
гладко) . Поэтому нужный нам окончательный результат —
конечность числа образующих кольца А — вытекает из
того, что для В = к[Ти .. ., Тп], L=*k(Tu ..., Тп) и для
любого конечного расширения KJL целое замыкание В
в К является конечным 5-модулем. По поводу доказа-
доказательства этого утверждения см. предложение 1 п. 8
Приложения.
Теорема 5. Если g: У-*- -X" — конечное отображение,
являющееся бирационалъным изоморфизмом, то сущест-
существует такое регулярное отображение h: Xv -»- У, что
диаграмма
коммутативна. Если g: Y -, X - регулярное отображение,
g{Y) плотно в X и Y нормально, то существует такое
регулярное отображение h: Y - Х\ что диаграмма
коммутативна.
Доказательство первого утверждения.
По условию мы имеем вложение к [X] <= к [У] с: к (X),
причем к [Y] цело над к [X]. По определению целого за-
замыкания k [Y] с к [Xv], что и дает нужное регулярное ото-
отображение h: X" -*¦ Y.
Доказательство второго утверждения.
Элемент и кольца k [Xv] цел над к [X] и содержится в
к (X) с: к (Y). Так как к [У] => к [X], то и тем более цел над
к [У], а так как к [У] целозамкнутое, то век [У]. Поэто-
Поэтому к [Xv] cz к [У], что и дает регулярное отображение
h: У --*- Xv с нужными свойствами.
Следствие. Нормализация аффинного многообра-
многообразия единственна. Точнее, если v: Xv -*¦ X и v: Xv -*- X —
две нормализации, то существует такой изоморфизм g:
Xv -*- Xv, что диаграмма
Л'-
-X'
коммутативна.
Это вытекает из любого из двух утверждений теоремы.
Мы не будем доказывать существование нормализации
для любых квазипроективных многообразий. Заметим,
что для тех многообразий, для которых нам известно, что
нормализация существует, она обладает свойствами,
установленными в теореме 5, как вытекает немедленно
путем рассмотрения аффинных покрытий.
3. Нормализация кривых. Теорема 6. Квазипроек-
Квазипроективная неприводимая кривая X обладает нормализацией
Xv (которая также квазипроективна).
11 И. Р. Шафаревич, т. 1

f
162
ГЛ. И. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Доказательство. Пусть X — U U{ — покрытие X
аффинными открытыми множествами. Обозначим через U\
нормализацию Ui, которая существует согласно теоре-
теореме 4, и через /*: ?/?—»- Ui — естественное регулярное
отображение, являющееся бирациональным изомор-
изоморфизмом.
Вложим аффинное пространство, содержащее U\,
в проективное и обозначим через Vf замыкание l/t в этом
проективном пространстве. Заметим, что все встретившие-
встретившиеся нам до сих пор многообразия биранионально изоморф-
изоморфны X: Ui открыто в X, / — бирациональный изоморфизм
U\ и Ui, Ui открыто в V{. Следовательно, Щ и V, бира-
ционально изоморфны. Пусть фг;-: U*[—*-Vj— соответ-
соответствующее отображение. Согласно следствию теоремы 3
UX— гладкая кривая, а так как кривая V6 проективна,
то фу регулярно ввиду следствия теоремы 3 § 3. Положим
W = TlVj, 4>i =1Тф«' т. е. <р.-(и) = (<р«(и), qiz(u), ...).
з 5
Обозначим через X' объединение всех q>i(uX) в W. Мы
утверждаем, что X' = Xv. Для этого надо доказать, что
а) X' квазипроективно, б) X' неприводимо, в) X' нормаль-
нормально, г) существует конечное отображение v: X' -*¦ X, яв-
являющееся бирациональным изоморфизмом.
Для доказательства положим Uo = П U{ — это откры-
открытое подмножество в X. Из конструкции отображения ф*
легко следует, что U^ cz U\ и все <р* совпадают на UZ-
Обозначим их ограничения на Uo через <р. Тогда
Ф (Uо) cz Фг (Ui) cz ф (С/о), где ф (t/o) — замыкание ф (и%)
в W. Очевидно, что q>(U^)—неприводимая квази-
квази() С^) состоит из конеч-
ф (С/о) cz X' сгф (С^о),
поэтому ф (С^о) — X' состоит из конечного числа точек.
Это доказывает а) и б).
Пусть х <s X', тогда х ^ q>i(UVi) для некоторого i
и ф| (иУ) является окрестностью точки х. Мы докажем,
что ф,- является изоморфизмом, а так как Ui нормально,
то отсюда будет следовать нормальность X', т. е. в). Для
этого заметим, что по построению фг является изоморф-
изоморфным вложением ?/? в свое замыкание Vt. Поэтому ото-
проективная кривая, а ф(^7о) — ф
ного числа точек. По построению
§ 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
163
сражение {иг, и2, ...)-*- <рцх (и^) является обратным к
<р„ что и доказывает его изоморфный характер.
Наконец, для доказательства г) построим отображе-
отображение gi: q>i(Ui)-*~X; gi = fmnx. Согласно предыдущему
все gi — конечные отображения. Мы докажем, что все
gi определяют на X' одно конечное отображение /: X' ->•
-*- X. Для этого заметим, что все gt совпадают на U^ •
если g: U^-*-Uo— отображение нормализации, то g,==g
на U^. Поэтому отображения gi и g} совпадают на откры-
открытом подмножестве tp(U^), содержащемся в Фг (#7) Г)
Л щ(и]). Но два регулярных отображения, совпадаю-
совпадающих на непустом открытом подмножестве, совпадают
всюду,— это следует из соответствующего свойства функ-
функций. Таким образом, gt и gt совпадают в тех точках, где
они оба определены, а это и значит, что все gi определяют
одно регулярное отображение v: X' -*- X. Очевидно, что
v — бирациональный изоморфизм. Теорема доказана.
Теорема 7. Нормализация проективной кривой
проективна.
Пусть X — проективная кривая, Xv — ее нормализа-
нормализация и v: Xv -*¦ X—отображение нормализации. Пред-
Предположим, что кривая X" не проективна, и обозначим че-
через X ее замыкание в проективном пространстве. Пусть
х е X -^_Х°, U — некоторая аффинная окрестность точки
х на X, Uv — нормализация U и v': Uv -*¦ U— отобра-
отображение нормализации. Мы имеем диаграмму
где ф и \J) — изоморфные вложения. Отображение \-ф ^v'
является бирациональным изоморфизмом, и ввиду след-
следствия 1 теоремы 3 § 3 и гладкости кривой Uv это отобра-
отображение регулярно. Согласно теореме 5 существует нарисо-
нарисованное на диаграмме регулярное отображение h. Для
него фА = tJ)v'. Однако его существование приводит к про-
противоречию: фД(?Л)с: X", a ijw' (Uv)^ x, так как отображе-
11*

164
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
ние нормализации конечно и, значит, эпиморфно согласно
теореме 4 § 5 гл. I. Это доказывает теорему.
Следствие. Неприводимая алгебраическая кривая
бирационалъно изоморфна гладкой проективной кривой.
Это — соединение следствия теоремы 3 и теоремы 7.
Понятие нормализации дает возможность более под-
подробно исследовать свойства кривых.
Теорема 8. Регулярное отображение ср: X-»- Y ко-
конечно, если X — неприводимая гладкая проективная кри-
вая, dim Y > 0 и Y = <р (X).
Доказательство. Пусть 7эу — аффинная ок-
окрестность точки у <= Y и В = k [F]. Мы будем рассматри-
рассматривать поле к (У) как подполе поля к(Х), причем вложе-
вложение осуществляется отображением <р*. В частности,
2?<=к(Х), и пусть А—целое замыкание кольца В в по-
поле к(Х). При доказательстве существования нормализа-
нормализации аффинного многообразия мы выяснили, что А — коль-
кольцо конечного типа над В и, значит, А = k [U], где U —
аффинная нормальная кривая. Так как она бирациональ-
но изоморфна X, то согласно следствию 2 теоремы 2 § 4
можно считать U открытым подмножеством в X. Дока-
Докажем, что и — <р~*(У),— это и гарантирует конечность ото-
отображения.
Предположим, что для некоторой точки г/0 <= V есть
точка х0 <? U, ф (х0) = г/0. Рассмотрим функцию/ ф (Ух0,
/е OXi для всех хг^и, ф(Xi) = уа, xtФх0. Такую функ-
функцию легко построить, включив точки хй и Xi в одно аф-
аффинное открытое множество. Если / имеет полюсы в точ-
точках х' ^ U, то ф(ж') = у' Ф г/о, и поэтому можно найти та-
такую функцию h^B, что h(yQ)?=O, fh^C?X', т. е. fh<=A;
надо взять функцию, обращающуюся в 0 в точках г/',
и возвести ее в достаточно высокую степень. Теперь
U = fh цело над В, т. е.
/Г + &1/Г1 + - + Ъп = 0, Ъг^В,
fx = - ъх - V/x - - - bn//?".
Так как fx ф. (УХо, то /-1 ^ щЖо. Поэтому последнее
равенство приводит к противоречию — правая часть регу-
регулярна в точке ха, а левая — нет. Теорема доказана.
Другие приложения связаны со свойствами особых
точек. Именно, существование нормализации дает воз-
возможность ввести некоторые полезные характеристики
этих точек.
§ 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 165
Пусть X — кривая, х — ее точка, быть может, особая,
v: Xv -*- X—нормализация X и Х\, ..., xk — прообразы
точки х на X1. Точки xt называются ветвями кривой X,
проходящими через точку х. Эта терминология объясня-
объясняется тем, что если к есть поле комплексных (или вещест-
вещественных) чисел, Ui — достаточно малые комплексные (или
вещественные) окрестности точек х{, то некоторая окрест-
окрестность точки х является объединением «ветвей» v(Ui).
Обозначим через @г касательную прямую к Xv в точ-
точке Xi. Отображение dxi v переводит 0,- в линейное под-
подпространство касательного пространства к X в точке х.
Очевидно, (d-4 v) @{) является или точкой х, или прямой.
Во втором случае ветвь Xi называется линейной, а пря-
прямая (d-. v\ (@i)— касательной к этой ветви.
Ветвь Xi линейна тогда и только тогда, когда отобра-
отображение v* переводит шх/й1х во все пространство шщ/т|..
Пусть точка х совпадает с началом координат в про-
пространстве А" с координатами tu .-.., tn. Тогда v* (tx) +
+ m|., ..., v*(tn) + ш|4 порождают /* (ntx/ml). Так
как точка xt простая, то dim ш-./щ? _ 1? и поэтому
ветвь Хг линейна тогда и только тогда, когда v* (ts) ф: ш|.
хоть для одного s — 1, ..., п. Иначе говоря, v*(?3) должно
быть локальным параметром в точке xaXi. Так как шх =
= (г\, ..., tn), то в инвариантной форме это условие ли-
линейности принимает вид v* (mx) <^im2-.. В качестве меры
отклонения ветви Xi от линейной можно принять такое
число к, что v* (mx) cz щ|., v* (тж) <Л vn\+x. Это число
называется кратностью ветви xf.
Точка @, 0) кривой г/2 = хг + х3 дает пример двух ли-
линейных ветвей с касательными у = х и у = —х, а точка
@, 0)на полукубической параболе уг = х3 — пример од-
одной двукратной нелинейной ветви.
Если точка х является центром одной-единственной
ветви, которая притом линейна, то х — простая точка.
Это есть следствие леммы, которая будет доказана в сле-
следующем пункте. Таким образом, простейшей характери-
характеристикой «особости» точки являются число ветвей, ей соот-
соответствующих, и кратности этих ветвей.

166
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Особая точка плоской алгебраической кривой назы-
называется простейшей (или точкой, с разделенными каса-
касательными), если ей соответствуют только линейные вет-
ветви и касательные к разным ветвям различны.
Предположим, что плоская кривая X задается урав-
уравнением F(x, z/) = 0, а поле к имеет характеристику 0.
Пусть @, 0) = ieI и х <= XV — одна из соответствующих
точке х ветвей. Если t — локальный параметр в точке х,
то имеют место разложения в формальные степенные
ряды:
х = апГ + an+itn+i
У = bmtm + bm+lt
n>0, m>0.
..., A)
Существует такой формальный степенной ряд т = r±t +
+ r2t2 + ..., гг Ф 0, что т" = х. Это легко проверяется: на-
надо положить гг = апп, после чего для rt, i > 1, получают-
получаются уравнения степени 1, при решении которых приходит-
приходится делить на п, что возможно ввиду предположения о
характеристике поля к. С другой стороны, t может быть
выражено через т как формальный степенной ряд: t =
= гГ т + s2t2 + saxs + ... — это тоже непосредственно про-
проверяется сравнением коэффициентов. Наконец, подставляя
это выражение в A), мы получаем параметризацию
х = хп, у — cm%m + cm+1xm+1 + ..., которую можно перепи-
переписать так:
у = стхт/п + cm+ixim+i)/n + ... B)
Такая параметризация ветви называется разложением
Пюизо для у. Она особенно полезна в вопросах анализа,
когда у расматривается как функция от х.
Для явного нахождения разложений Пюизо, соответ-
соответствующих разным ветвям, существует очень полезный
прием, использующий многоугольник Ньютона многочле-
многочлена F. Пусть F {х, у) = 2 А^хгу'. Нарисуем на плоскости
точки с координатами (?, /), для которых АцФО (рис. 11).
Для того чтобы разложение B) удовлетворяло уравне-
уравнению F{х, г/) = 0, необходимо, чтобы после его подстанов-
подстановки младшие (по х) члены, возникающие из разных од-
одночленов А^х%у\ сокращались. Для этого необходимо, что-
чтобы хотя бы два одночлена А^^х^у31 и Аг^%хх-у^ дава-
давали члены одинаковой степени по ж, а другие одночле-
одночлены — члены не меньшей степепи. Иначе говоря, для
§ 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 167
показателя а = т/п должны выполняться условия U +
+ /4а = h + /г« *S i + /а для всех (г, /) с Ai} Ф 0. На рис. 11
это изображается так, что а. является угловым коэффи-
коэффициентом прямой, проходящей
через точки (iu U) и (г'г, U),
причем все остальные точки,
изображенные на этом рисунке,
лежат на этой прямой или вы-
выше нее. Иными словами, в ка-
качестве показателя а могут
встречаться лишь угловые коэф-
коэффициенты выпуклой книзу гра-
границы выпуклой оболочки мно-
множества точек, изображенных на
рисунке.
Рис. 11
Перепишем разложение B) в виде у = ^ cViXVi, где
Vi — возрастающие рациональные показатели, a c^i =^ о.
Некоторые из них играют особенно важную роль как
характеристики особенности. Пусть первый нецелый по-
т
казатель имеет вид —. Очевидно, пг\п, и если щФп,
то должны быть показатели со знаменателем, делящим-
т
ся строго на щ. Пусть первый из них, отличный от —,
т т
есть , потом первый из следующих за ним
и имеющий знаменатель, строго делящийся на щп2,
и т. д.— вплоть до , где nt... nk = п. Пары
пх ••• nk
(ти щ), (т2, пг), ..., (mft, nk) называются характеристи-
характеристическими парами ветви. Сформулируем в простейшей
форме результат, иллюстрирующий значение характери-
характеристических пар. Рассмотрим лишь особенности, через ко-
которые проходит единственная ветвь. Для любой последо-
последовательности характеристических пар существует такое
целое число I, что особенность с заданными характери-
характеристическими парами однозначно определяется своими пер-
первыми I членами разложения B) с точностью до фор-
формально-аналитической эквивалентности (см. определение
в п. 2 § 2). Таким образом, особенности с заданной по-
последовательностью характеристических пар образуют ко-

w
168
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
нечномерное множество. Простое доказательство и раз-
различные обобщения см. в работе [16].
4. Проективные вложения гладких многообразий.
Гладкая проективная модель алгебраической кривой,
построенная в предыдущем пункте, расположена в неко-
некотором проективном пространстве Рп. Возникает естест-
естественный вопрос, насколько малым можно выбрать п. Мы
ответим на него, доказав общий результат о многообра-
многообразиях произвольной размерности.
Теорема 9. Гладкое проективное многообразие раз-
размерности п изоморфно подмногообразию пространства
Пусть X — гладкое проективное многообразие, 1с
<_ pjv Теорема 9 будет доказана, если при N > 2п + 1
мы сможем выбрать такую точку ^еР"-!, что проек-
проектирование из точки ? будет изоморфным вложением X
в Р^. Поэтому мы начнем с выяснения того, когда регу-
регулярное отображение является изоморфным вложением.
Лемма. Конечное отображение / многообразия X
является изоморфным вложением, если оно взаимно одно-
однозначно и dxf является изоморфным вложением касатель-
касательного пространства 0* для любой точки х е X.
Положим /(Х)=У, <р = /-1. Лемма будет доказана,
если мы покажем, что ф регулярно. Это утверждение
носит локальный характер. Пусть у s Y и f(x) = y, x<=X.
Обозначим через U и V такие аффинные окрестности
точек х ж у, что /(?/) = V и k [U] цело над к [У]. Огра-
Ограничение /на U мы также будем обозначать через /.
Нам достаточно доказать, что / при надлежащем вы-
выборе U и V является изоморфизмом. Тогда ср = /~* регу-
регулярно в точке у.
Вспомним, что пространство ®х двойственно шж/т.|,
где Шх — максимальный идеал локального кольца Ох.
Второе условие леммы означает, что отображение /*:
Гоу/т.у —*- Шж/Юж эпиморфно. Иначе говоря, если mv =
~{ии ..., ик), то /* (щ) + ш% порождают uWm*. При-
Применим лемму Накаяма (предложение 3 п. 6 Приложе-
Приложения) к шж как модулю над Ох. Из нее следует, что тогда
тя = (/*(и1), ..., f*{uk)), или же
mx = f*(my)ax. A)
Проверим, что Ох — модуль конечного типа над /* ((Уу) •
Так как к [Ц] — модуль конечного типа над k [F], то нам
§ 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
169
достаточно показать, что элементы из Ох представляются
в виде ?//*(«), \ s k [U], аФщ. Для этого достаточно про-
проверить, что для элемента а ^ к[С7], а ^ тх найдется такой
элемент osk[F], а^Шу, что /*(а) = «-р, реВД. Со-
Согласно следствию теоремы 4 § 5 гл. I множество /(F(cc))
замкнуто, а ввиду взаимной однозначности отображения
/ У & 1(VХ°0)- Поэтому существует такая функция
с^к [У], что с = 0 на f(V(a)) и с(у)ФО. Тогда /*(с) = 0
на V"(а) и /*(с) (х)?= 0. По теореме Гильберта о корнях
/*(c)" = a-f} при некоторых п >0 и р е к [?/]. Мы можем
положить а = сп. Теперь можно применить лемму На-
каяма к Ох как модулю над f*(Oy). Равенство A) пока-
показывает, что Ox/f* (шу) (Ух = (Ух/Ш-х = к и, значит, порожда-
порождается одним элементом 1. Из леммы Накаяма теперь
следует, что (Ух = /* ((УУ). Пусть ии ..., ut — базис k [U]
над к [F]; По условию а< se (Ух = /* (Оу). Обозначим через
V = V — V (К) такую главную аффинную окрестность
точки у, что все (/*)"* (u-i) регулярны в V = U — V{f* (h)).
Тогда k ft/'] = 2 /*к [V] "г- По условию Ui^f*k[V],
откуда следует, что к [?/'] = к [V], а это означает, что
/ является изоморфизмом между U' и V. Лемма до-
доказана.
Следствие 1. Если любая прямая, проходящая
через точку g, пересекает X не более чем в одной точке
и касательное пространство к X в любой его точке не
содержит g, то проектирование с центром в | является
изоморфизмом.
Достаточно воспользоваться теоремой 7 § 5 гл. I.
Теперь мы можем перейти к доказательству теоре-
теоремы 9. Нам достаточно доказать, что если X — гладкое
многообразие, dimX = n, IcP", N > 2п+ 1, то найдется
точка ?, удовлетворяющая условиям следствия.
Обозначим через Ux и U2 множества точек ^еР",
относительно которых | не удовлетворяет первому и со-
соответственно второму условию следствия.
Рассмотрим в Р^ X X X X множество Г, состоящее
из таких точек (а, Ь, с), оеР* Ь, с«=Х, что а, Ъ и с
лежат на одной прямой. Очевидно, Г — замкнутое под-
подмножество в Р^ХХХХ Проекции Р" X X X X на Р" и
XXX определяют регулярные отображения ср: Г -*¦ Р^
и if: Г->-ХХХ. Очевидно, что если z/e=XXX, y = (b, с),
Ъ, сеХ и, сверх того, Ъ?=с, то if) (у) состоит из точек
(а, Ъ, с), где а — любая точка прямой, проходящей через
точки бис. Поэтому dim ifr1 (у) =1 и из теоремы 7 § 6

170'
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
гл. I следует, что dim Г = 2ге+1. По определению Ul =
= ф(Г) и из той же теоремы следует, что dim Ut «S
=5 dim Г = 2гс + 1.
Аналогично для исследования множества Uz рассмо-
рассмотрим в Р^ X X множество Г, состоящее из таких точек
(а, Ь), что as @ь. Совершенно аналогично мы имеем ото-
отображения я|з: Г -»- X и ф: Г -»- Р^. Для х^Х dim if (ж) =
= п, и поэтому dim Г = 2п, а так как ?72 = ф(Г), то
dim Uz =S 2п.
Мы видим, что dim Ut ^ 2п + 1, dim U2 sg; 2п, и поэто-
поэтому, если N > 2п + 1, то Ut U U2 ?= Prr1 что и надо было
доказать.
Следствие 2. Любая квазипроективная гладкая
кривая изоморфна кривой, расположенной в трехмерном
проективном пространстве.
Мы увидим дальше, что не любая кривая изоморфна
кривой, содержащейся в проективной плоскости. Поэтому
не всякая алгебраическая кривая имеет гладкую плоскую
проективную модель.
Однако доказано, что, продолжая процесс проектиро-
проектирования, который мы использовали при доказательстве
теоремы 9, можно получить плоскую кривую, все особые
точки которой являются простейшими двойными точками.
Согласно теореме 9 любая гладкая поверхность изоморф-
изоморфна поверхности, расположенной в пятимерном простран-
пространстве. В четырехмерное пространство ее, вообще говоря,
спроектировать нельзя. Однако всегда можно выбрать
проекцию так, чтобы вне конечного числа точек она бы-
была изоморфизмом. Так легко прийти к примерам изоли-
изолированных, но не нормальных особых точек, один из ко-
которых был построен в п. 1.
ЗАДАЧИ
1. Пусть X — аффинное многообразие, К — конечное расши-
расширение поля к(Х). Доказать, что существуют аффинное многообра-
многообразие У и отображение /: У -»- X, обладающее свойствами: 1) / ко-
конечно, 2) У нормально, 3) к (У) = К и /*: к(Х) -»-к(У) определяет
заданное вложение к(Х) в К. Доказать, что Y однозначно опреде-
определяется этими свойствами. Оно называется нормализацией X в
поле К.
2. Пусть X —_это конус z2 = ху. Доказать, что нормализация
X в поле к (X) (Ух) совпадает с аффинной плоскостью, а отображе-
отображение нормализации имеет вид х = и2, у = v2, z = uv.
3. Утверждения, аналогичные задаче 1, доказать для произ-
произвольной квазипроективной кривой X. Доказать, что если X про-
ективна, то и У проективна.
§ 6. ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ
171
4. Как связана нормализация X X Y с нормализацией X и У?
5. Доказать, что точка х нормальна, если кольцо Qx (см.
п. 2 § 2) не имеет делителей 0 и нормально. Указание. Пере-
Перенести задачу 7 § 3 на особые точки и применять ее.
6. Доказать, что конус X cz An, заданный уравнением х^ +...
... + %п = 0, нормален.
7. Доказать, что на гиперповерхности X задачи 13 к § 3 на-
начало координат — нормальная точка.
8. Будет ли нормальна поверхность Штейнера? (задача 15 § 1).
9. Доказать, что любая алгебраическая кривая имеет плоскую
проективную модель, у которой особые точки обладают только
линейными ветвями.
§ 6. Особенности отображений
При изучении любого
/: X ->- Y возникает вопрос:
регулярного отображения
в какой мере слои f~l (у),
у <= Y, наследуют свойства многообразия X? Как прави-
правило, здесь имеют место соотношения, верные не всегда,
но для «большинства» точек у е= Y, т. е. для точек неко-
некоторого открытого плотного множества U cz Y. Для других
же точек y&U слои f~1(y) претерпевают те или иные
вырождения или приобретают особенности, которых мно-
многообразие X не имело. Ситуацию можно сопоставить с
теоремой 7 § 6 гл. I.
1. Неприводимость. Конечно, если многообразие X не-
приводимо, мы не можем ожидать, что большинство слоев
отображения /: X -*¦ Y неприводимо: например, для ко-
конечного отображения это наборы точек. Сейчас мы сфор-
сформулируем ограничение, которое дает возможность гаран-
гарантировать неприводимость «большинства» слоев.
Предположим, что X и Y неприводимы, a f(X) плот-
плотно в Y. Многообразие X, определенное над полем к, мож-
можно рассматривать и как многообразие над большим по-
полем k(Y) =5 к. Так как все наши предшествующие рас-
рассмотрения относились к алгебраически замкнутым полям,
то мы должны рассматривать его над еще большим
полем — алгебраическим замыканием к (У) поля к (У).
Многообразие X может над этим полем перестать быть
неприводимым. Пусть, например, X — это пучок коник,
заданный уравнением
Р2ХА
(пример 1 п. 2 § 6 гл. I). Положим D{t) = det(ai}(t)).
Если многочлен D(t) не равен тождественно 0, то коника

172
•i-
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
2 а%) (Р) §j^j = 0 неприводима над полем к (t). Если
D(t) = O, то над полем к(?) можно привести уравнение
коники к виду a{t)%l + b(t)%\ = 0. Если — b(t)a(t) не
является квадратом в поле к(?), то a (t) jp + b (t) %,f не-
приводим над полем k(?), но все же приводим над к(?).
В общем случае можно показать, что многообразие X
тогда и только тогда приводимо над полем к (У), когда
отображение /: X -*• У можно разложить в композицию
X -*¦ Y' -*¦ У, причем расширение к(У')/к(У) конечно
(это чисто алгебраический факт; см. [17], гл. VII, § 11).
Теорема 1. Пусть X и Y — неприводимые много-
многообразия, определенные над полем характеристики 0,
/: X -*• У— регулярное отображение, f(X) плотно в Y
и многообразие X остается неприводимым над алгебраи-
алгебраическим замыканием к (У) поля к (У). Тогда в У сущест-
существует такое открытое плотное множество U <=Y, что все
слои f-i(y), у <= U, неприводимы.
Замечания. 1. Теорема верна и над полями ко-
конечной характеристики — доказательство лишь слегка ус-
усложняется.
2. Ввиду замечания, предшествующего формулировке
теоремы, единственная причина, почему «большинство»
слоев может быть приводимым,— существование конеч-
конечных отображений.
Доказательство. Мы можем заменить У его от-
открытым аффинным подмножеством Y± и, согласно теоре-
теореме 7 § 6 гл. I, считать, что для у е У, все компоненты
слоя f~l (у), ye Fi, имеют одинаковую размерность
г — dim X — dim У. В такой ситуации можно заменить и
X любым его открытым подмножеством Хи Действительно,
пусть X\Xt = Z и Z = U Zi — разложение на неприводи-
неприводимые компоненты. За счет уменьшения Yt до У2 <= Yr мы
можем отбросить те из Zh для которых f(Zi)?=Y2. Если
же f(Zi) плотно в У2, то опять, может быть, уменьшая
У2, мы можем считать, что все компоненты слоев ото-
отображения /: Zi -*- У2 имеют размерность, равную dim Zi —
— dim У2 < г. Поэтому они пересекаются со слоями ото-
отображения /: X -*- У2 по подмногообразиям меньшего числа
измерений и ввиду того, что все эти компоненты имеют
одинаковую размерность, выкидывание из них этих под-
подмногообразий меньшей размерности не повлияет на их
приводимость.
§ 6. ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ!
173
Воспользуемся теперь тем, что мы имеем дело с
полями характеристики 0: присоединим к полю к (У)
г алгебраически независимых элементов и±, ..., иг и
найдем элемент иг+1, примитивный для расширения
k(X)Jk(Y) (щ, . . ., ит) и целый над к[У2]. Пусть
Хг — аффинное многообразие, для которого к[Х2] =
= к[У2]{и1, ..., ur+i]. По конструкции Хг бирационально
изоморфно X, поэтому они содержат изоморфные откры-
открытые подмножества, и, значит, нам достаточно доказать
теорему для Хг вместо X, причем отображение /: Хг -*¦
-*- У2 определяется вложением к[У2]<= k[y2](ai, ..., ur+i].
Пусть F = Th + a1(ul, ,... uT)Th~x +...+ ak{uu ..., ur) —
неприводимый многочлен с at "^ к[У2] [ии . .., ur], корнем
которого является uT+i. Неприводимость многообразия X
над полем к (У) означает, что F неприводим в кольце
k.(Y)[ui, ..., иг]. Нам же надо доказать, что в У2 сущест-
существует такое открытое подмножество U, что он останется
неприводимым при замене всех его коэффициентов (ле-
(лежащих в к [У2]) их значениями в точке у е U. Но это
сразу следует из предложения в п. 2 § 5 гл. I, согласно
которому приводимость многочлена выражается алгеб-
алгебраическими соотношениями между его коэффициентами.
Для F какое-то из этих соотношений по условию не вы-
выполняется и левая часть этого соотношения дает эле-
элемент ask[7j], а "Ф 0. Тогда для всех у ^ У2, для кото-
которых а(уг)Ф0, неприводим и многочлен, коэффициенты
которого получаются из F заменой значениями в точке у.
Иными словами, U=Yz\V(a).
2. Гладкость. Теорема 2. Пусть /: X -*¦ У — регу-
регулярное отображение многообразий, определенных над по-
полем характеристики 0, X гладко и f(X) плотно в У. В Y
существует такое открытое множество U, что все слои
f~l{y), у е U,— гладкие.
Положим dim X = п, dim Y = тп. Согласно теореме 7
§ 6 гл. I существует открытое подмножество в У, для всех
точек которого слои }~1 {у) состоят из компонент оди-
одинаковой размерности п — тп. Мы можем считать, что У
совпадает с этим открытым подмножеством. Точно
так же можно считать У гладким. Докажем сначала
две леммы.
Лемма 1. Если для всех точек x^f~l(y), отобра-
отображение dxf: О*, х -*- ®v, y эпиморфно, то слой /-1 (у)
гладок.

174
ГЛ. Л. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Заметим, что касательное пространство ©х f—i^ к
слою /-1 (у) лежит в ядре отображения dxj. Действитель-
Действительно, композиция вложения ®хj—i^yy ~*~ ©х,х и гомомор-
гомоморфизма dxf равна 0: чтобы это проверить, надо по двойст-
двойственности убедиться, что композиция отображения и^/т^ —>¦
-+~тх/&х (сопряженного dxf) и m-c/mj-*- шх/Шх, _где гох —
максимальный идеал точки х на слое, а тх -»- т* — огра-
ограничение на слой, равна 0. Последнее очевидно. Таким
образом, если dxf — эпиморфизм, то dim 8 ri(v) ^
^ dim Кёг dxf = dim &Xj х — dim QVt Y =?= n— m (здесь мы вос-
воспользовались тем, что X гладко, т. е. dime*, ^ = ^)- Так
как все компоненты слоя /~* (у) имеют размерность
п— т, то отсюда следует, что он — гладкий.
Лемма 2. В X существует такое непустое открытое
множество V, что для х <= V отображение dxf эпиморфно.
Эпиморфность отображения dxf: @х л ->- ву> У равно-
равносильна по двойственности тому, что отображение n»v/nty—*-
—*- шх/Шх является вложением, т. е. что если ии ..., ит —
локальные параметры в точке у, то dxut, . .., dxum линей-
линейно независимы. Используя вложения Оу в кольцо фор-
формальных степенных рядов (см. § 2 гл. II), легко убедить-
убедиться, что ии ..., ит алгебраически независимы, а из плотно-
плотности f(X) в Y следует, что они алгебраически независимы
и как функции на X. Дополним систему ии ..., ит до си-
системы ии ..., ип из п алгебраически независимых функ-
функций на X. Лемма 2 будет доказана, если мы проверим,
что для любой системы алгебраически независимых
функций ии . . ., ип на X множество точек, в которых
Uj, ..., ип — локальные параметры, открыто и не пусто.
Мы можем предполагать, что X аффинно, X<=^A.N и хи ...
..., xN — координаты. Докажем, что для точек х из от-
открытого непустого множества U <=¦ X все dxXi линейно вы-
выражаются через dxUi, . . ., dxun. Тогда из линейной зави-
зависимости функций dxUi вытекало бы, что dim вж> х < га-
Каждая функция хг связана с Ui, ..., ип соотноше-
соотношением Fi(Xi, ии ..., и„) = 0, причем Ft — неприводимый
многочлен и, значит (ввиду того, что характеристика
поля к равна 0), ^- ф 0 (тождественно). Пусть
Fi = аохгг + агх[г + ... + ап, а} ^к[щ, ..., ип]. Тогда dxa}
выражаются через dxuu ..., dxun. Из условия Fi(xt, uu ...
§ 6. ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ
175
..., ип) = 0 вытекает ввиду свойств E) (п. 3 § 1), что
в любой точке х^Х
з-(*'
t dxa0
dF,
Те точки, в которых -^
dxan = 0.
, образуют открытое не-
непустое множество, и в них dxxt выражается через dxuu ...
..., dxun-
Теперь легко закончить доказательство теоремы 2.
Обозначим через Z cz X подмножество тех точек х е X,
для которых отображение dxf не эпиморфно. Легко ви-
видеть, что это замкнутое подмножество: оно определяется
обращением в 0 некоторых миноров. Нам надо доказать,
что f(Z) содержится в собственном замкнутом подмно-
подмножестве многообразия Y. Если это не так, то f(Z) плотно
в Y. Применяя к Z лемму 2, мы найдем в Z непустое
открытое подмножество V, для точек которого отображе-
отображение 0*, z -*• ©/о*), у эпиморфно. Но вх, z <= вв, х, и тогда
отображение @ж> * -*¦ в/(*>, т тем более должно быть эпи-
морфным.Это противоречие доказывает теорему.
В теории дифференцируемых многообразий доказы-
доказывается, что для дифференцируемого отображения /: X -*¦
->- Y те точки у ^ Y, прообраз которых не является глад-
гладким многообразием, составляют подмножество меры 0 в
Y (т. е. аналог подмногообразия меньшего числа изме-
измерений). Это так называемая лемма Сарда (см. [24]). Тео-
Теорема 2 является алгебро-геометрическим эквивалентом
над полем характеристики 0. Мы увидим в п. 4, что в
характеристике р > 0 аналогичный факт неверен.
Теоремы 1 и 2, а также их различные обобщения
называются теоремами Бертини.
3. Ветвление. Рассмотрим теперь простейшую ситуа-
ситуацию — когда слои отображения нульмерны. Для конечно-
конечного отображения /: X -»- Y число прообразов точки у <= Y
конечно, как мы видели в п. 3 § 5 гл. I. Попытаемся
исследовать это число. Естественно ожидать, что, по
аналогии с теоремой о размерности прообраза, это число
одно и то же для всех точек у из некоторого открытого
множества и только на некотором замкнутом подмно-
подмножестве Z cr Y могут возникать отклонения.
Так обстоит дело в простейшем примере отображения
/: А1 —А1, »»ЯжУ-Л

176
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Чтобы сформулировать в общем виде особенность этого
примера, введем одно понятие.
Определение. Если X и Y — неприводимые много-
многообразия одинаковой размерности, а /: X -*¦ Y — такое
регулярное отображение, что !{Х) плотно в Y, то сте-
степень расширения k(X)//*k(F) (которая при этих усло-
условиях конечна), называется степенью отображения /:
= \k(X): f*k(Y)].
В случае отображения A) deg/= 2, и если характе-
характеристика поля к не равна 2, то любая точка у Ф- 0 имеет
два разных прообраза, а точка у = 0 — один прообраз.
Всегда ли число прообразов не превосходит степени ото-
отображения? Это не так в приведенном в п. 2 § 1 гл. I при-
примере параметризации B) /: А1 -+¦ Y кривой Y A) с двой-
двойной точкой: здесь deg/= 1, однако прообраз особой точки
состоит из двух точек. Оказывается, что причина здесь
в том, что кривая Y не нормальна.
Теорема 3. Если /: X -+• Y — конечное отображе-
отображение неприводимых многообразий и Y нормально, то число
прообразов любой точки у <s Y не превосходит deg /.
Ввиду определения конечного отображения мы можем
ограничиться рассмотрением случая, когда X и Y аф-
финны. Положим
k(X) = K,
Так как Y нормально, то В целозамкнуто, а так как /
конечно, то А — модуль конечного типа над В. Поэтому
для любого элемента а<= А коэффициенты его минималь-
минимального многочлена принадлежат В. Это — простое свойство
целозамкнутых колец, доказательство которого можно
найти в [3], гл. V. Пусть f~i(y)={xl, ..., xm). Рассмот-
Рассмотрим такой элемент a <s А, что значения й(х{) все раз-
различны при j = 1, ..., т (если X<=-AN, то речь идет о
построении такого многочлена в TV-мерном пространстве,
а это совсем элементарно). Пусть F*=B[T] — минималь-
минимальный многочлен элемента а. Очевидно, degF^n. Заме-
Заменим в F все коэффициенты их значениями в точке у и
полученный многочлен обозначим через F (Т). Он имеет
тп разных корней a (Xi). Таким образом,
: m^degF = degF ^п,
так что т^ п, .как и утверждалось.
§ 6. ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИИ
177
Дальше в этом пукте мы будем всегда рассматривать
конечные отображения /: X -*¦ Y неприводимых много-
многообразий, причем Y предполагать нормальным.
Определение. Отображение / называется нераз-
ветвленным в точке у s Y, если число прообразов этой
точки равно степени отображения. В противном слу-
случае у называется точкой ветвления.
Теорема 4. Множество точек, в которых отобра-
отображение не разветвлено, открыто, а если расширение-
k(X)/f*k(Y) сепарабелъно, то не пусто.
Сохраним обозначения, введенные при дoкaзaтeльcтвe^
теоремы 3. Если / не разветвлено в точке у, то degF=:
— deg F = п и F имеет п различных корней. Обозначим
через D(F) дискриминант многочлена F. Как мы видели^
условие неразветвленности в точке у можно записать-
в виде
Но тогда D(F)(y')?=O для точек у' некоторой окрест-
окрестности точки у. Это и надо было доказать.
Таким образом, множество точек ветвления замкнуто-
Оно называется подмногообразием ветвления отображе-
отображения /.
Остается еще вопрос о том, является ли оно собствен-
собственным подмногообразием. Если расширение k(X)/f*k(Y)
несепарабельно, то для минимального многочлена F лю-
любого элемента этого расширения D (F) = 0. Поэтому усло-
условие B) не выполняется ни для одной точки — все точки
являются точками ветвления.
Пусть расширение k(X)//*k(F) сепарабельно. В этом:
случае отображение / тоже называется сепарабельным^
Мы можем опять считать X и Y аффинными и употреб-
употреблять прежние обозначения. Если аеЛ — примитивный
элемент расширения k(X)/f*k(Y), a F(T)—его мини-
минимальный многочлен, то degF=n, D(F)?=0. Поэтому* су-
существуют точки у ^ Y, в которых D(F) (y)"^ 0, а зна-
значит, отображение / не разветвлено. Это доказывает
теорему 4.
Мы видим, что если отображение /: X -*¦ Y конечно
и сепарабельно, многообразия X и Y неприводимы, a Y
нормально, то имеет место та же картина, что и в при-
примере A): точки некоторого непустого подмножества
U<= Y имеют deg/ различных прообразов, а точки допол^
нения — меньше прообразов.
21 И. Р. Шафаревич, т. 1

178
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Пусть теперь Y гладко. Предшествующие рассужде-
рассуждения позволяют описать в очень явной форме конечные
неразветвленные отображения /: X -*¦ Y. Рассмотрим
функцию а <= А = к [X], принимающую разные значения
во всех точках прообраза f~±(y) некоторой точки у <= Y.
Тогда k(X) = k(Y) (а). Если F^B[T], В = к [У],— мини-
минимальный многочлен элемента а, то согласно B) D(F) (у)?*
¦?=0 и, значит, F' (а) (х) Ф 0 для x^j~x(y). Будем даль-
дальше обозначать через Y аффинную окрестность точки у,
для которой выполнено условие D(F)?= О, а через X —
«зе прообраз. Положим А' = В [а] = В [Т] I (F (Т)). Тогда
А' —к.[Х'], где X' задается в УХА1 уравнением F(T) =
¦= 0. Мы докажем, что (ввиду гладкости Y) многообра-
многообразие X' тоже гладко. Но тогда оно нормально и, значит,
кольцо А' целозамкнуто, а так как А^> А' и поля част-
частных у них одинаковые, то А = А' и Х — Х\ т. е. полу-
полученная явная конструкция для X' описывает на самом
деле X.
Остается доказать гладкость многообразия X'. Пусть
F(T) = T?l + btTn-i + ... + bn, Ъг^В. Докажем, что отоб-
отображение dxf: ®х,х' —>-®kx),y является вложением для
любой точки х <= X'. По двойственности это равносильно
тому, что отображение mz/ml -*- шх/ш%, z — f (x), является
эпиморфизмом. Пусть ut, ..., um — локальные параметры
в точке z. Нам надо доказать, что dxuu ..., dxum порож-
порождают ittsc/tttl. По определению это пространство порожда-
порождается элементами dxb, Ъ <= В (которые выражаются через
<lxUi), и dxa. Остается доказать, что dxd выражается через
dxut. Воспользуемся тем, что Р(а) — 0, и свойствами E)
из п. 3 § 1. Мы получим, что
F'(a) (x)dxa + а"-1 (х)dxbt + ... + dxbn = 0.
Так как F'(а) (х)Ф 0, то d^ выражается через dxUi.
Теперь вспомним, что Y гладко и dim X' = dim Y = m.
Поэтому dim Gz, Y = m, а, ввиду вложения dxf:@x%xr cr
<= Qy,Y, dim ©x,x> = m. Значит, X' гладко и X' = X. Но
мы доказали и несколько больше. Резюмируем все до-
доказанное.
Теорема 5. Неразветвленное конечное отображе-
отображение /: X -*- Y для гладкого Y локально записывается как
проекция на Y многообразия JcYX А1, где X опреде-
определено уравнением F(T) = Q и D(F)?=0 на Y. Дифферен-
Дифференциал d^f определяет изоморфизм касательных пространств:
§ 6. особенности отображений: 17&
В случае, когда к = С — поле комплексных чисел, эта
теорема показывает, что, как отображение топологиче-
топологических пространств, /: X -*¦ Y является неразветвленным
накрытием, т. е. любая точка у <= Y обладает такой ок-
окрестностью U, что /-1 (U) распадается на непересекаю-
непересекающиеся открытые множества, каждое из которых / отоб-
отображает гомеоморфно на U. Действительно, пусть /-1 (у) =
= (хи ..., хп), ии ..,, Um — локальные параметры в ок-
окрестности у, v(i\ ...,у^)—локальные параметры в точке
Хг. Изоморфизм dXif: &Xi,x->-®y,Y показывает, что
det I ——I (хг) =? 0 для всех i=l, ..., п. По теореме о
неявных функциях отсюда следует, что существуют такие
окрестности У{ точек х{ и U точки у, что / определяет
гомеоморфизм Vt и U. Мы можем выбрать эти окрест-
окрестности столь малыми, что F,- и F,- не пересекаются при
ъ*Ч. Проверим, что у-1^) =11 Vt. Если yf e U, то fl(»f)
состоит, ввиду неразветвленности отображения /, из п
точек, где п = deg /. Так как у' уже имеет п прообразов
в U Vt, то /-J(C/)=U Vt.
4. Примеры. 1. Пучок квадрик. Рассмотрим в.
п
Рл X А1 гиперповерхность X с уравнением 2aij (*) ?i?j = 0»;
•?,.7=0
я«(^)е kjA1] = k[t]. Она называется пучком квад-
квадрик, а многочлен D(t) = det (afj (t)) — дискриминантом
пучка. Мы будем предполагать, что D(t)^0. С пучком:
коник мы встречались в примерах 1 и 2 § 6 гл. I.
Выясним, во-первых, когда многообразие X гладко,
а во-вторых, над какими точками ос ^ А1 будет неглад-
негладким слой проекции X -+• А1, индуцированной проекцией
Р" X А1 ->¦ А1. Мы будем предполагать, что характеристи-
характеристика поля к отлична от 2.
Положим 2 *n(t)lil5 =
i,j=0
Если
точке t = ее
D(<x)?=0, то уравнения ^г- = 0 (г = 0, ..., /г), t = a,
имеют только нулевое решение, и поэтому точки слоя
над точкой t = а являются простыми как на X, так и на
слое. Остается рассмотреть значения t = а, для которых
D (ас) = 0. Мы_будем считать, что а, = 0.
Положим F = 2 аа @) ?г^ и обозначим через г ранг
этой квадратичной формы. После некоторого невырож-
12*

180
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
денного линейного преобразования с коэффициентами из
к форма F примет вид ?о + ... + ?r-i- Применим к фор-
форме F обычный способ выделения квадратов. Тогда после
линейного преобразования, коэффициенты которого ле-
лежат в локальном кольце О0 точки t = Q на А1 (т. е. не
содержат t в знаменателе), а определитель обратим в
О о, форма F примет вид F = а0 (t) Щ + ... +ar_i (t) ??_i +
+ tG(lr, ¦ .-, In), где аг{г)ев0о, а<@)Ф0. Точка t = 0,
0 r_t = 0 лежит на пучке при любых |г, ..., |я,
- ПуСТЬ G(tr, . • ., tn)
И
В
l
Ней ^67
г,..., i»)+
+ *Gt(t,, ..., In), где G(lr, ..., l»)sk[gr, ..., Ы- Тогда
в нашей точке ^- = 6-(gr, ...,gn)- Если г<п, то су-
существуют такие gr, ..., gn, не все равные 0, что G (gr,...
..., !„) = 0 и точка будет особой. При г = п форма при-
приобретает вид F =a0 (t) II + ... + an-i (*) ?n-i + **ап (*) it
а,@)=^0, А > 1. Если А>1, то в точке go = .. • = gn-» =
= t = 0, |п = 1, tjj = 0 и точка особая. Остается слу-
случай к = 1, когда, как легко убедиться, особых точек
гиперповерхности X в слое над точкой 0 не будет. Та-
Таким образом, пучок квадрик X будет гладким многообра-
многообразием тогда и только тогда, когда его дискриминант не
имеет кратных корней. Негладкие слои лежат в точности
над корнями дискриминанта. В частности, число неглад-
негладких слоев отображения X -*¦ А1 равно степени дискри-
дискриминанта.
2. Пучок эллиптических кривых. Рассмотрим в
Р2 X А1 поверхность X, определенную уравнением %%%0 —
— ll — a^ljlt-b (t) g» == 0, a(t), 6(f)ek[A1] = kM.
Мы будем считать, что поле к имеет характеристику,
отличную от 2 и 3. Проекция Р2 X А1 ->- А1 определяет
отображение /: X -*¦ А1. Слой f~l (а) над точкой а явля-
является кубикой ili0 — ii — а (а) gxgo — ° (а) 5о = 0. Эта ку-
кубика имеет единственную точку «в бесконечности» ?0 =
= 0 — точку перегиба @:1:0), и в карте А2, где |0 ^ 0,
-a: = li/io, у = gg/go, она задается уравнением у2 = х3 +¦
+ а(юс)х+ 6(а). Если кривая f~l{a.)—гладкая, то, как
и в примере 1, поверхность X не имеет особых точек,
лежащих на слое /~4 (а). Пусть кривая /-1 (а) — неглад-
негладкая. Точка @:1:0) на ней, как легко проверить, про-
простая. Значит, должны иметь совместное решение урав-
§ 6. особенности отображений:
181
нения у = 0, Зхг + а(а) = 0, х3 + а (а) х 4- Ъ (а) = г/2, от-
откуда следует, что 4a (aK + 276 (аJ = 0. Многочлен
D(t) — 4a(tK + 27b(t)z называется дискриминантом пуч-
пучка X. Мы будем предполагать, что D(t)?*0. Мы дока-
доказали, что если D (a) =?= 0, то все точки слоя f~l (a)
являются простыми как на слое, так и на поверхно-
поверхности X.
Если D (a) = О, то то же рассуждение показывает, что
слой /-1 (а) имеет особую точку, причем из уравнений
Зхг + а(а) = 0, х3 + а(а)х+ Ъ(а.) = 0 следует, что для ко-
координаты х этой точки 2а(а)х + 36 (а) = 0. Чтобы эта
точка была особой на X, должно еще удовлетворяться
соотношение а' (а)х + Ъ' (а.) — 0, откуда 2а&' — 36а' = 0.
Так как, сверх того, 4а3 + 2762 =.0, то либо а(а)= 6(сс) =
1=0, либо а(а)?=0, Ь(а)?=0. При а(<х)=6(а)=0 наши
соотношения эквивалентны тому, что 6'(а)=0, а при
а (а) ?= 0, 6(а)=^=0 могут быть записаны как (aV62) '(а) =
= 0 или D' (ос) = (б2 D ~ + 27))' (а) = 0. Таким образом,
ь
пучок эллиптических кривых является гладкой поверх-
поверхностью, когда корни дискриминанта простые или явля-
являются общими корнями а и Ъ, простыми для Ъ. Вырож-
Вырожденные слои соответствуют корням дискриминанта.
3. Особенности конечной характеристики. Примеры,
в которых не выполняется утверждение теоремы 2, мож-
можно построить в характеристике 2. Для этого рассмотрим
пучок эллиптических кривых |||0 = Ei + a (t) g^ +
+ b (t) ?o, в «конечной части» задаваемый уравнением
уг = xz + a(t)x +b(t). В характеристике 2 любой слой
у2 = х3 + a(a)x+-b(t) имеет особую точку х = a(aI/2,
у — Ъ (осI/2, и только ее. Чтобы эта точка была особой
на поверхности X, необходимо выполнение соотношения
а' (а)х + 6' (а) = 0, т. е. ((a'Ja + F'J) (,a) = 0. Таким
образом, все слои проекции X -*• А1 — особые кривые,
а поверхность X имеет особые точки только в слоях
/""'(а), где ос — корень многочлена (а'Jа + F'J. Если
S — множество этих корней, то поверхность -ЗГ\ U f~X (&)
s
— гладкая, а все слои ее отображения на A1\JSr —
особые.
Аналогичный пример существует и в характеристи-
характеристике 3: пучок с уравнением уг = х3 + a(t). Можно пока-
показать, что такие «патологические» пучки кубик сущест-
существуют только в характеристиках р = 2 и р = 3.

182
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Пример, когда для конечного отображения /: X->¦ Y
все точки являются точками ветвления, дает отображение
Фробениуса (пример 6 п. 3 § 2 гл. I) в характеристике
р > 0. Для негоф(а1,... ,ап) = (а?,... ,а?), и поэтому (в ха-
характеристике р) каждая точка х имеет единственный
прообраз ф (х).
В теории кривых отображение Фробениуса в особен-
особенности отражает специфику конечной характеристики. При
этом его надо несколько обобщить. Пусть С —: плоская
кривая / (х, у) = 2 «уяУ = 0, С — кривая g (и, и) =
= 2 afyufv1 = 0. Очевидно, что и = хр, v = ур определяют
(в характеристике р) рациональное (и даже регулярное)
отображение ф: С -*¦ С'. Оно называется тоже отображе-
отображением Фробениуса и совпадает с введенным в п. 3 § 2
гл. I, если аг] <= Fp (тогда С — С).
Теорема 6. Отображение Фробениуса алгебраиче-
алгебраических кривых имеет степень р. Любое рациональное не-
сепарабельное отображение кривых /: X -*• Y представ-
представляется в виде f = g ¦ ф, где g: X' -*¦ Y — некоторое отоб-
отображение, а ф: X -*• X' — отображение Фробениуса.
Это следует из общих свойств полей характеристики
р > 0 и степени трансцендентности 1 (Приложение, п. 4^
предложение 2). Там доказано, что [k(-3Q :ф*к(Х')] = р,
а это и значит, что с!едф=р. Кроме того, ф*к(Т)=>
=>к(Х)(г>), но к(Х)(г" =ф*к(Х'). Вложение полей
/*к(Г)с=ф*к(Х') и изоморфизм ф*: к(Х') -»• ф*к(Х')
определяют вложение (ф*)-1/*к(У)<=к(Х'), т. е. рацио-
рациональное отображение g: X' -»- F, для которого f — gq>.
ЗАДАЧИ
1. Классифицировать с точностью до формально-аналитической
эквивалентности особые точки пучка квадрик над точкой t = 0
в предположении, что при t = 0 ранг квадрики падает на 1.
2. Рассмотрим связку коник X над А2, заданную в Р2 X А-2
2
уравнением 2 ву (s, t) %?^ = О. Предположим, что над любой
i,j=0
точкой а ^ А2 ранг коники падает не более чем на 1. Доказать, что
многообразие X — гладкое тогда и только тогда, когда кривая
det(a,-j(.s, *)) =0 — гладкая.
3. Доказать, что если пучок эллиптических кривых (пример 2'
п. 4) является гладкой поверхностью, то его вырожденный слой
неприводим. Верно ли это для любого семейства кубик?
4. Определить подмногообразие ветвления отображения X —*¦ Рп,
где X — нормализация Рп в квадратичном расширении к (Рм) =
§ 6. ОСОБЕННОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ
183
= Щхи ..., хп), определенном уравнением у2 = Цх\, ..., хп), где
/ — многочлен степени т. Указание. Ответ зависит от четно-
ности т.
5. Доказать, что если р — характеристика поля к, то кривая
yp+y = f{x), где / — многочлен, является неразветвленным на-
накрытием прямой А1 с координатой х.
6. Доказать, что для поверхностей у2 = х3 + a(t)x + b(t) над
полем характеристики 2 и у2 = а;3 + a(t) над полем характеристики
3 особые точки слоев образуют гладкую кривую, отображающуюся
на прямую А1 с координатой t со степенью р = 2 и 3 соответ-
соответственно.

Глава III
ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Дивизоры
1. Дивизор функции. Многочлен от одной переменной
однозначно с точностью до постоянного множителя за-
задается, если указать его корни и их кратности, т. е. на-
набором точек хи ..., хт <= А1 с кратностями ки ..., кт.
X /j.\
Рациональная функция qp (х) = , , /,
о \ /
[А1], опреде-
/
ляется нулями многочленов / и g, т. е. точками, в кото-
которых она обращается в 0 или нерегулярна. Чтобы отличать
корни g от корней /, мы будем брать их кратности со
знаком минус. Таким образом, функция ф задается точ-
точками хи ..., хг с любыми целыми кратностями &i, ..., кг.
Сейчас мы поставим себе цель аналогичным образом
задать рациональную функцию на произвольном алгеб-
алгебраическом многообразии.
Мы будем исходить из того, что, согласно теореме
о размерности пересечения, множество точек, в которых
регулярная функция обращается в 0, образует под-
подмногообразия коразмерности 1. Поэтому объект, который
мы будем сопоставлять функции,— это набор неприводи-
неприводимых подмногообразий х^оразмерности 1 с приписанными
им кратностями. Мы будем придавать кратностям целые,
как положительные, так и отрицательные, значения.
Определение. Набор неприводимых замкнутых
подмногообразий Си ..., Ст коразмерности 1 в неприво-
неприводимом многообразии X с приписанными им целыми крат-
кратностями ки ..., кг называется дивизором.
Дивизор D записывается в виде
D = kiC + ... + krCr.
(I)!
Если все кг = 0, то пишут D = О, если все kt > 0, то
D> О, в этом случае D называется эффективным. Не-
Неприводимые подмногообразия d коразмерности 1, взятые
с коэффициентом 1, называются простыми дивизорами.
Если в A) все kt?=0, то многообразие CtU...UCr на-
называется носителем дивизора D и обозначается SuppZ).
§ i. дивизоры
185
Мы определим операцию сложения дивизоров. Для
этого заметим, что если разрешить коэффициентам в A)
принимать также и нулевые значения, то любые два
дивизора можно записать в виде
D' = к[Сх + . . . + k'rCr, D" = к"хСх + . . . + к"Сг
с общими Си ..., Ст. По определению тогда
D' + D" = (к[ + к*1)С1+ ... + {К + К) Сг.
Таким образом, дивизоры на многообразии X образуют
группу, изоморфную свободному модулю над Z, обра-
образующими которого являются неприводимые подмногообра-
подмногообразия коразмерности 1 в X. Эта группа обозначается через
Div(X).
Мы перейдем теперь к сопоставлению функции /<=
ек(Х), /^0, дивизора. Пусть С—простой дивизор; мы
сопоставим сначала каждой функции /e=k(X), /=^0,
целое число vc(/). Если X = А1, то это — порядок нуля
(или полюса) функции / в точке.
Это можно сделать только при одном ограничении на
многообразие X. Именно, мы предположим, что X гладко
в коразмерности 1, т. е. что множество особых точек
многообразия X имеет коразмерность ^2. Пусть С сг
<=¦ X — неприводимое подмногообразие коразмерности 1
и U — некоторое аффинное открытое множество, состоя-
состоящее из простых точек, пересекающееся с С и такое, что
С определяется в U локальным уравнением. Такое мно-
множество U существует ввиду ограничения, наложенного
на X, и ввиду теоремы i § 3 гл. II. Таким образом,
в k [U] ас = (л). Докажем, что для любой функции /е
^ k [U], /т^О, существует такое число к ^ 0, что /s(nft),
/^(jTft+1). Если бы это было не так, т. е. f^(nh) для
всех к> 0, то / ^ П (яь), и поэтому / = 0 согласно теоре-
теореме 5 § 2 гл. П.
Определяемое нами число к обозначим через vc (/).
Оно обладает свойствами
(/i + /2) S& min (vc (/i); vc
при /± 4- /2 Ф 0,
B):
которые легко следуют из определения и неприводи-
неприводимости С.

186 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
В случае гладких плоских кривых мы уже опреде-
определили эту функцию в теореме 1 § 1 гл. I.
Если X неприводимо, то любую функцию /sk (X).
можно представить в виде / = f~» S-, ^sk [U]. Для
f?=0 положим vc (/) = vc (g) — vc(h). Из B) сразу еле-
дует, что vc (/) не зависит от представления / в виде т-
и что B) верно для всех /<=к(Х) и отличных от нуля.
Данное нами определение числа vc (f) пока зависело
от выбора открытого множества U и поэтому мы будем
писать vc (/) вместо vc (/). Покажем, что на самом деле
vc(/) не зависит от U.
Предположим сначала, что V — аффинное открытое
множество, Fcf/ и V П С Ф 0. Тогда л является локаль-
локальным уравнением для С также и в V и очевидно, что
^с (/) = vc (/)• Если же V — любое открытое множество,
удовлетворяющее тем же условиям, что и U, то U П С
и V П С открыты в С и не пусты, а так как С неприво-
неприводимо, то они имеют непустое пересечение. Взяв за W
аффинную окрестность в U П V некоторой точки х ^ U П
П V П С, мы получим, что, согласно предыдущему замеча-
нию,^(/) = ^(/), v?(/) = v^</), а значит, vc7(/) = v?(/).
Таким образом, корректность обозначения vc(/) оправда-
оправдана. Заметим, что если X — А1, С = х — точка с коорди-
координатой а, / <= к [А1] = к [I7], то vx(f) совпадает с крат-
кратностью корня ос многочлена ЦТ), а общее определение,
по существу, копирует этот частный случай.
Если vc (/) = к > О, то говорят, что функция / имеет
нуль порядка к на подмногообразии С; если vc(/) =
= —к < 0, то / имеет полюс порядка к на С. Заметим,
что эти понятия определены для подмногообразий кораз-
коразмерности i, а не для точек. Например, для функции х/у
на А2 точка @, 0) принадлежит как к подмногообразию
нулей (х = 0), так и к подмногообразию полюсов (у = 0)
функции.
Докажем теперь, что заданной функции /ек(X) со-
соответствует только конечное число таких неприводимых
подмногообразий коразмерности 1, что \>с(/)^0. Рас-
Рассмотрим сначала случай, когда X — аффинное многооб-
многообразие и/ek [Х]. Тогда из определения следует, что если
С не является компонентой подмногообразия V(f), то
vc(/) = 0. Если X по-прежнему аффинно, но /ек(X),
§ 1. дивизоры
187
то / = g/h, g, йек [X], ж мы видим, что vc(/) = 0, если
С не является компонентой V(g) или V(h). Наконец,
в общем случае пусть X = U Ui — конечное покрытие X
аффинными открытыми множествами. Тогда любое С
пересекается хоть с одним Uu и поэтому vc(/)^0 только
для тех С, которые являются замыканиями таких непри-
неприводимых подмногообразий С <= U{, что v-g (/) Ф 0 в Ut.
Ввиду конечности числа Ut и числа С в любом Ui число
С с vc(/)^0 конечно. Таким образом, мы можем рас-
рассмотреть дивизор
, C)
где сумма распространена на все неприводимые подмно-
подмногообразия коразмерности 1, для которых vc(/)^0. Этот
дивизор называется дивизором функции f и обозначается
через (/).
Дивизор вида D = (/), / •= к (X), называется главным.
Если (/) = 2 kiCi, то дивизоры (/)„ = 2 k^Ci и (/)« .=
i,ftj>0
jCj называются дивизорами нулей и полюсов
2
j,ftj<0
функции /. Очевидно, (/H>0, (/)->0, (/) = (/) о —
— (/)<». Обратим внимание на некоторые простые свой-
свойства: (/,/8) = (/«) + (/.), (/) = 0, если /бк, (/)>0, если
Х]
/[]
Докажем, что для гладкого неприводимого многообра-
многообразия X верно и обратное: если (/)^0, то функция / ре-
регулярна на многообразии X. Пусть х^-Х — точка, в ко-
которой функция / нерегулярна. Тогда / = -jr ф (Ух, h,g^
s Ox. Из однозначности разложения на простые множи-
множители в Ох (теорема 2 § 3 гл. II) следует, что h и g мож-
можно выбрать взаимно простыми в Ох. Пусть л — простой
элемент кольца Ох, входящий в h, но не в g. В некоторой
аффинной окрестности U точки х многообразие V(zt)
неприводимо и имеет коразмерность 1. Обозначим его
замыкание в X через С. Тогда, очевидно, vc (/) <¦ 0. Этот
результат верен также, если многообразие X нормально,
но мы не будем здесь его доказывать.
Так как на проективном неприводимом многообразии
X функция, регулярная во всех точках, является кон-
константой (следствие 1 теоремы 3 § 5 гл. I), то из только
что доказанного результата следует, что если (/) ^ 0, то
/ = ос ^ к на гладком проективном многообразии X.

188
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
В частности, на гладком проективном неприводимом мно-
многообразии рациональная функция определяется своим
дивизором однозначно с точностью до постоянного мно-
множителя: если (f) = (g), то (/•gr~1) = 0 и f — cx-g, ct^k.
Пример 1. Х = Ап. Согласно теореме 3 § 6 гл. I
любое неприводимое подмногообразие С коразмерности 1
задается одним уравнением: Stc = (-^'), F = ~к.\Х\. Отсюда
следует, что С = (F), т. е. любой простой дивизор,—
а значит, и любой дивизор вообще,— главный.
Пример 2. X = Рп. Любое неприводимое подмно-
подмногообразие С коразмерности 1 задается одним однородным
уравнением F, причем <tc = (^Т F) в аффинном открытом
множестве Ui, если степень F есть к. Отсюда вытекает
следующий способ построения дивизора функции / <=
гр
ек(Р"): представим / в виде / = -g, где F и G — формы
одинаковой степени, и разложим эти формы на произве-
произведение неприводимых форм: F = Ц н\г, G = Л Lj 3, тогда
(f) = ^kiCi-^im,jDj, D)
где Сг и Dj — неприводимые дивизоры, определенные
уравнениями Hi = О и Lj = 0.
Обозначим через deg F степень формы F. Так как
deg F = deg G, то 2 k% deg Hi = 2 mj deg Lj. Определим
степень дивизора D = 2 faCi как число deg D —
= 2 &i deg/fi. Мы доказали, что если дивизор D глав-
главный, то deg D = 0.
Легко проверить и обратное: если 2&idegCi = 0
и Ct задается уравнением Hi, где Н{— форма, то функ-
функция / = U#i* однородная степени 0 и 2^i<^i = (/)-
Пример 3. Случай X = РП1Х ... X Pnft разбира-
разбирается аналогично. Подмногообразие С коразмерности 1
опять задается одним уравнением Н = 0 (теорема 3' § 6
гл. I), однако Н однородно отдельно по каждой груп-
пе координат пространств F и соответственно имеет
к разных степеней degfH (ъ= 1, ..., к). Аналогично при-
примеру 2 вводятся степени degiD дивизора D на X и диви-
дивизор D является главным тогда и только тогда, когда
degiD = 0 (? = 1, ..., к).
Главные дивизоры образуют подгруппу Р(Х) группы
-'v^ всех дивизоров. Факторгруппа Div(X)/P(X)J
§ 1. дивизоры
189
называется группой классов дивизоров и обозначается
через С1(Х). Дивизоры, принадлежащие к одному классу
смежности в Di\(X)/P(X), называются эквивалентными'.
Di~D2, если Di— ZJ = (/), /sk(I). Класс смежности
в Div (X)/P (X) называется классом дивизоров.
В разобранных примерах мы имеем
(
1. С1(А") = 0. 2. Cl(Pn) = Z. 3.C1 ()
2. Локально главные дивизоры. Предположим много-
многообразие X гладким. В этом случае для любого простого
дивизора Сс1и любой точки х^Х существует откры-
открытое множество U => х, в котором С задается локальным
уравнением л. Если D — любой дивизор, D = ^S fc^C.
и в U любой из Ci задается локальным уравнением л<7
то в U имеем D = (/),/ = Ц п^. Таким образом, любая
точка х обладает окрестностью, в которой дивизор D
главный. Мы можем из всех таких окрестностей выбрать
конечное покрытие X = U Uu причем в любом Ui будет
Очевидно, что функции ft нельзя выбирать произ-
произвольно: fi не равны' тождественно нулю и в Ui П U}
дивизоры (ft) и (/з) совпадают. Как мы видели в п. 1Т
отсюда следует, что функция fifj1 регулярна в Ut{\Uf
и не обращается там в нуль. Если система функций {/.},
соответствующих множествам покрытия {?7J, удовлетво-
удовлетворяет этим условиям: fifj1 регулярна и ?=0 в Ui П Uh то
мы будем называть ее согласованной.
Наоборот, любая согласованная система функций оп-
определяет дивизор на X. Действительно, для любого про-
простого дивизора С положим kc = vc(fi), если ?/<ПС^0,
где /< и С рассматриваются как функция и простой ди-
дивизор в многообразии Ui. Из согласованности системы
функций следует, что это число не зависит от выбора Ui.
Очевидно, что существует только конечное число таких
С, что кс Ф 0,— это замыкания неприводимых компонент
дивизоров (fi). Поэтому мы можем рассмотреть дивизор
D = ^ксС. Очевидно, что ему соответствует заданная
система функций {/J.
Наконец, легко выяснить, когда система функций
{/,}, соответствующая покрытию {UJ, задает тот же ди-
дивизор, что и система (gj), соответствующая покрытию
{i. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в [/{П Fj

190
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. ДИВИЗОРЫ
191
функции figj х были всюду регулярны и =5^0. Простая
проверка предоставляется читателю.
Задание дивизоров системами функций позволяет
изучить их поведение при регулярных отображениях.
Пусть <р: X -»- Y — регулярное отображение гладких не-
неприводимых многообразий и D — дивизор на Y. Пред-
лоложим, что ф (X) <? Supp D. Мы покажем, что при этом
ограничении можно определить прообраз <р* (D) диви-
дивизора D аналогично тому, как определен прообраз регу-
регулярной функции. Прежде всего выясним, когда можно
построить прообраз рациональной функции /на Ги ког-
когда он не равен тождественно нулю на X. Для этого
достаточно, чтобы была хоть одна точка у ^ ф (X), в ко-
которой / регулярна и f(y)?=Q. Тогда такие точки образуют
непустое открытое множество V. На V функция / регу-
регулярна и, значит, Ф*(/) — регулярная, не равная тожде-
тождественно (даже нигде) нулю функция на ф-1(У). Так как
<р~1 (V) открыто в X, то Ф*(/) определяет рациональную
функцию на X. В терминах дивизоров наше условие на
отображение ф и функцию / сводится к тому, что ф (X) <?¦
<?Supp(/)
Пусть теперь дивизор D задан согласованной системой
функций {/J и покрытием {Z7J. Рассмотрим те ЕЛ, для
которых <p(X)nUi не пусто, и докажем, что ф(Х)П Ui<?
9^ Supp (fi). Действительно, из неприводимости многооб-
многообразия X следует, что ф (X) неприводимо в Y. Если
<р(Х) Л Ui cz Supp(/j), то из неприводимости <р(Х) и того,
что ф(Х)ЛЕ/< не пусто, следует, что ф(Х)'<= Supp(/i).
Наконец, из того, что Supp (/,-) Л Ut — Supp D Л Ui, непри-
неприводимости ф (X) и того, что оно пересекается с Ui, сле-
следует, что ф (X) <= Supp D, вопреки предположенному.
Поэтому для всех U{, которые пересекаются с ф (X),
рациональные функции ф*(/,-) определены в ф (Z7.).
Множества <p~i{Ui) = Vu для которых q>(X) пересекается
с Ui, открыты и образуют покрытие X, а функции ф*(/г)
образуют согласованную систему функций, которая
определяет некоторый дивизор на X. Очевидно, что этот
дивизор не изменится, если задать D другой системой
функций. Полученный дивизор называется прообразом
дивизора D и обозначается cp*(D).
Пример. Пусть X и Y — две кривые и /: X-*¦ Y —
отображение, переводящее X в точку а е Y. Если b ^ Y,
Ъ Ф а, и (Ь) — дивизор, содержащий точку Ъ с кратностью
d, то в окрестности точки а локальным уравнением для:
(Ь) служит 1, поэтому /*( (Ъ)) = 0.
В частности, если ф (X) плотно в Y, определен про-
прообраз любого дивизора D ^ Div (Y).
Если D и D' — два дивизора на Y, заданные системой
функций {/J и {gj, соответствующими покрытиям {Ui}
и {Vj}, то дивизор D + D' задается системой функций
{figj} и покрытием {UiuVJ. Отсюда сразу же следует,,
что ф* (D + D') = ф* (D) + ф* (D'), так что если (Х)
плотно в Y, то ф* определяет гомоморфизм
Ф*
Главный дивизор (/) задается системой функций /4 =
= /, и, следовательно, ф* ((/)) = (ф* (/)).
Поэтому ф* отображает P(Y) в Р(Х) и определяет
гомоморфизм ф*: Cl(F)->- C1(X).
В качестве приложения задания дивизоров согласо-
согласованными системами функций покажем, как можно сопо-
сопоставить дивизор не функции, а форме от координат на
гладком проективном многообразии. Пусть X cz Pw и F —
форма от координат в Pw, не равная тождественно нулю
на X. Для любой точки х е X рассмотрим такую форму G
той же степени, что и F, что G(x)?= 0. Такие формы
существуют: например, если х = (а0:...: а«г) и ^Ф0г
то можно взять G = Tieg . Тогда /—т7 является ра-
рациональной функцией на X, регулярной в открытом мно-
множестве, в котором G>?=0.
Легко видеть, что существуют такие формы Gi, чта
открытые множества Ui = X — XGi образуют покрытие
многообразия X. Столь же легко проверить, что функции^
J?
fi = -Q и открытые подмножества Ui образуют согла-
согласованную систему функций и, значит, определяют диви-
дивизор на X. Другой выбор форм Gt не изменит этого диви-
дивизора, который, следовательно, зависит только от формы.
F. Он называется дивизором формы F и обозначается
(F). Так как функции /4 регулярны в множествах Ut, та
(F)^0. Если Ft — другая форма, degFt = degF, то ди-
дивизор (F) — (Fi) является дивизором рациональной функ-
функции F/Fi. Поэтому (F)~(Fi), если degF = degi7!.
В частности, все дивизоры (L), где L — линейная
форма, эквивалентны друг другу. Очевидно, что Supp(L) =

192
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
= Xl — сечение X гиперплоскостью L = 0. Поэтому эти
дивизоры называются дивизорами гиперплоского сечения.
Взяв выше за Ft форму Ldee F, мы получим, что
(F) ~ deg F ¦ (L), где (L) — дивизор гиперплоского се-
сечения.
Все рассуждения, связанные с заданием дивизора
согласованной системой функции, можно обобщить на
произвольные, не- обязательно гладкие многообразия.
Однако при этом возможность задания согласованной
системой функций надо брать за определение дивизора.
Объект, к которому мы таким образом приходим, назы-
называется локально главным дивизором.
Точнее говоря, локально главный дивизор на непри-
неприводимом многообразии — это система рациональных функ-
функций {/,}, соответствующих открытым множествам покры-
покрытия {U{} и удовлетворяющих условиям: 1) /г не равны
тождественно 0 и 2) fifj1 и fjff1 регулярны на U{ Л U}.
При этом функции {/,} и покрытие {?/,} определяют тот
же дивизор, что и функции {g,} и покрытие IVj}, если
hgJX и /i"Vi регулярны в Ut Л Vj.
Каждая функция /ek(I) определяет локально глав-
иый дивизор, если положить ft = /. Такие дивизоры на-
называются главными.
Произведением локально главных дивизоров, задан-
заданных функциями {/,} и покрытием {Ut} и функциями {g}}
и покрытием iVj), называется дивизор, заданный функ-
функциями {figji и покрытием {Ui Л V}}. Все локально главные
дивизоры образуют группу, а главные — ее подгруппу.
Факторгруппа называется группой Пикара многообразия
X и обозначается через Pic(X).
Любой локально главный дивизор имеет носитель —
это замкнутое подмногообразие, состоящее в множестве
Ui из точек, в которых /,- нерегулярна или равна нулю.
Так же как и для дивизоров на гладких многообразиях,
можно определить прообраз локально главного дивизора
D на Y при регулярном отображении ср: X-*-Y, если
<$(Х) не содержится в SuppZ).
Отметим один важный частный случай. Если X —
гладкое многообразие и Y—его не обязательно гладкое
подмногообразие, то любой такой дивизор D на X, что
Supp Ф Y, определяет локально главный дивизор D на Y.
Для этого надо рассмотреть отображение вложения ср:
Y -*¦ X и положить D = ф* (D). Мы будем называть
Л ограничением В на 7 и обозначать через ру (D) • Из
§ 1. ДИВИЗОРЫ
193
определения следует, что для главных дивизоров
Рг((/)) = (/)' гДе f — ограничение функции / на Y.
Конечно, различие между дивизорами и локально
главными дивизорами и между группами Pic и С1 про-
проявляется только в случае негладких многообразий.
3. Как сдвинуть носитель дивизора с точек. Теоре-
Теорема 1. Для любого дивизора D на гладком многообразии
X и конечного числа точек хи ..., xm ^ X существует
такой дивизор D'', что D' ~ D, ж» ^ Supp.?>' (i = 1,..., m).
Мы можем считать D простым дивизором, иначе до-
достаточно было бы применить теорему к каждой его компо-
компоненте. Выберем в X аффинное открытое множество, со-
содержащее точки хи ..., хт. Достаточно доказать теорему
для этого множества, так что мы можем предполагать X
аффинным многообразием. Применяя индукцию по чис-
числу т, мы можем предполагать, что х±, ..., a^^SuppZ),
ж(+1 е SuppZ). Нам остается построить такой дивизор D',
что D' ~ D, х±, ..., xi+1 Ф SuppZ?'. Рассмотрим неко-
некоторое локальное уравнение л/ простого дивизора D в
окрестности точки xi+i. Покажем, что л/ можно выбрать
так, что л/ек[Х| (по предположению X аффинно). Дей-
Действительно, эх' регулярно в точке xi+u и> значит, если
(л'),» = 2 kiFii то Fi^>xi+i. Поэтому для каждого I
существует такая функция /г е к [X], равная нулю на Fh
что fi{xi+i)?= 0. Функция зт = л'Ц/гг, очевидно, регу-
регулярна на X и является локальным уравнением D в ок-
окрестности точки xi+1. Так как по условию а^-^ Supp Z) U
U Xi U ... U Xf-i U xj+i U ... U Xi (/ = 1, ..., i), то для лю-
любого / = 1, ..., i существует такая функция ftek[X],
что gi\D = 0, &(*') = 0 A = 1, ..., /-1, /+1, ¦•-, 0.
Рассмотрим функцию
= я
к,
и подберем константы щ так, чтобы
Для этого достаточно взять a.j=^= —
A)
Так как все
gj\o — 0, то в локальном кольце (УХ1+1 имеем gj = O(n)
м ^ a,jgj = n2h, h ^ (УXi+V f = л, (I + nh). Так как
13 и. Р. Шафаревич, т. 1

194
ГЛ..III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
A + л/г.) (xi+i) = 1, то отсюда следует, что / — локаль-
локальное уравнение дивизора D в окрестности точки xi+1.
Поэтому (/) = D + 2 rsDs, причем ни один из простых
дивизоров Ds не проходит через точку xi+i. Это означает,
что если положить D'=D — (/), то Supp.D' ?> xi+i. Да-
Далее, A) показывает, что Supp (/) ^> а^ (/ = 1, ..., i).
и поэтому дивизор D' удовлетворяет условиям теоремы.
Вот первое применение теоремы 1. В п. 2 мы опреде-
определили прообраз /*(?)) дивизора D многообразия X при
регулярном отображении /: Y -*¦ X при условии, что
f(Y)Ф SuppZ). Теорема 1 позволяет нам заменить диви-
дивизор D таким эквивалентным ему дивизором D'', что
Sup-pD'^>x, где х — как угодно выбранная точка из
/(У). Тогда автоматически f(Y)<? SuppZ)' и прообраз
f*(D') определен. Это показывает, что мы можем без
всяких ограничений на регулярное отображение / опре-
определить прообраз класса дивизоров С ^ С1 (X). Для этого
надо выбрать в С такой дивизор D, что f(Y) Ф Supp-D,
и рассмотреть класс на Y, содержащий дивизор /* (D).
Легко проверить, что таким образом мы получаем гомо-
гомоморфизм
Иными словами, С1(Х) является функтором из категории
неприводимых гладких алгебраических многообразий в
категорию абелевых групп.
Пример. Пусть /: X^-Y, f(X) = a^Y (ср. при-
пример в п. 2). Тогда по теореме 1, (а) ~ 2 гг (&i)> ЬгФ а,
и для класса Са, содержащего дивизор (а), опять
f*(Ca)=0.
4. Дивизоры и рациональные отображения. Сопостав-
Сопоставление функциям дивизоров полезно для исследования
рациональных отображений многообразий в проективное
пространство. Пусть X — гладкое многообразие и ф:
X -*¦ Р" — его рациональное отображение. Выясним, в ка-
каких точках отображение ф нерегулярно.
Рациональное отображение задается формулами
<Р-(/.:...:/-)", Л^к(Х), A)
причем мы можем считать, что ни одна из функций ft
не равна тождественно нулю на X. Пусть
т
(fi) = .2 ЬцСь
§ 1. ДИВИЗОРЫ
195
где Cj — простые дивизоры. Мы допускаем при этом, что
некоторые кц = 0.
Чтобы выяснить, регулярно ли ф в точке х<=Х, зада-
зададим Cj локальным уравнением лу в точке х. Тогда
/г =
Ввиду однозначности разложения на простые множи-
множители в (Ух существует наибольший общий делитель d
элементов /0, ..., /„, т. е. такой элемент d^h(X), что
fid'1 еС„ и если d,ek(I) таков, что fi • d^1 <= (Ух, то
dx | d, т. е. ddZ1 e Ох.
Так как локальные уравнения неприводимых много-
многообразий — простые элементы в Ох, то
<2 = JXji/, Ij = min kij.
Отображение ф регулярно в точке х, если существует
такая функция g е к (X), что fig'1 s Ox (i = 0, ..., п),
(fig'1) (x) не все равны нулю. Ввиду определения наи-
наибольшего общего делителя отсюда следует, что g I d.
Если d = g-h, h^&x и &(:*;) = 0, то ЛЦ/г^), и поэтому
все (fig'1) (яО= 0. Таким образом, нужным условиям
может удовлетворять только такая функция g, что d =
= g -h, к(х)Ф0. Тогда fig'1 = (№~1)h, т. е.
fig
—l
и отображение ф регулярно тогда и только тогда, когда
не все функции JJ. щlJ * обращаются в нуль в точке х.
Чтобы перевести этот ответ на язык дивизоров, назо-
назовем наибольшим общим делителем дивизоров D\ =2 kijCj
(i — 1, ..., п) дивизор
НОД (Dlt . . ., Dn) = 2 ijCj, lj = min ki5.
i=l,...,n
Очевидно, что D'i == Di — НОД (?I5 . . ., ?>„) > 0, и ди-
дивизоры Di не имеют общих компонент. Положим, в част-
ности, D = НОД ((/о), ..., (/„) ),D'i = (Л) - D.
Тогда в некоторой окрестности точки х
13*

196
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
и мы можем сказать, что отображение ф регулярно в
точке х тогда и только тогда, когда не все многообразия
Supp D% проходят через эту точку.
Нами доказан следующий результат.
Теорема 2. Рациональное отображение A) нере-
нерегулярно в точности в точках множества
П SuppDL D\ = (fi) - НОД ((/„), . . ., (/я)),
i = 0, ..., п.
Так как дивизоры Dj не имеют общих неприводимых
компонент, то множество П Supp Di имеет коразмерность
^2. Теорема 2 является, таким образом, уточнением
теоремы 3 § 3 гл. II.
Замечание. Дивизоры Di могут быть истолкова-
истолкованы как прообразы гиперплоскостей хг = 0 при отображе-
отображении <р: Х-*-Рп. Действительно, если хф. f] SuppZJi.
и D = (h) в окрестности х, то в этой окрестности регу-
регулярное отображение задается формулами:
<р = (fa/h :...: fjh).
Прообраз гиперплоскости х, = 0 имеет локальное урав-
уравнение fi/h, т.е. совпадает с Di.
Вообще, если Я = (Яо:...:Я„) и Е%.<=Рп есть гипер-
гиперплоскость 2 ^i^j = 0, то
5. Пространство, ассоциированное с дивизором. То,
что все многочлены /(?) степени =Sn образуют векторное
пространство конечной размерности, можно следующим
образом интерпретировать в терминах дивизоров. Обо-
Обозначим через Хоо бесконечно удаленную точку на проек-
проективной прямой Р1 с координатой t. Многочлен от t сте-
степени к имеет в точке х^ полюс порядка к и не имеет
других полюсов. Поэтому условие deg / «S п можно вы-
выразить и так: дивизор (/)+ пх^ эффективен.
Аналогично этому для произвольного дивизора D на
гладком многообразии X можно рассмотреть множество,
состоящее из нуля и тех функций / <= к (X), / Ф 0, для
которых
(f) + D>0. A)
Эта совокупность является линейным пространством
над полем к относительно обычных действий над функ-
§ 1. ДИВИЗОРЫ
циями. Действительно, если D = ^,щСг,
сильно тому, что
vci(f)>— Щ, vc(f)>0 при С
197
то A) равно-
фСи
ввиду чего наше утверждение сразу следует из формул
в п. 1.
Пространство функций, удовлетворяющих условию
A), называется пространством, ассоциированным с ди-
дивизором D, и обозначается ??{D).
Аналогом того, что многочлены степени =5/г образуют
конечномерное пространство, является то, что простран-
пространство 3?(D) конечномерно, если D — любой дивизор,
а X — проективное многообразие.
Эта теорема будет нами доказана для случая алгеб-
алгебраических кривых в § 2. Ее доказательство в общем слу-
случае может быть получено отсюда без особого труда ин-
индукцией по размерности. Однако место этой теоремы ста-
становится понятнее, если ее получить как частный случай
гораздо более общего утверждения о когерентных пуч-
пучках. В таком виде она и будет доказана в § 3 гл. VI.
Размерность пространства 3? (D) называется также
размерностью дивизора D и обозначается через 1{D).
Теорема 3. Эквивалентные дивизоры имеют одина-
одинаковую размерность.
Пусть Dt ~ Dz — это значит, что Dt — Z>2 = (g); g s
sk(I). Если f^3^{Di), то (f) + Dt 52=0. Отсюда следу-
следует, что (f-g) + D2^f + D1^O, т. е. f-g^2?(D2),
g ¦2'{Di) = 3? {D2). Таким образом, умножение всех функ-
функций / <= 3?(Dt) на функцию g определяет изоморфизм
пространств ЗУ (Di) и 3 (Dz), откуда и следует теорема.
Мы видим, что можно, таким образом, говорить о раз-
размерности 1{С) класса дивизоров С, подразумевая под
этим общую размерность всех дивизоров этого класса.
Это число имеет следующий смысл. Если D <= С, f e
^ 3? (D), то дивизор Df = (/) + D эффективен. Очевидно,
что Dt ~ D, и поэтому Df e С. Наоборот, любой эффектив-
эффективный дивизор D'^C имеет вид Df, где / <= 3? (D). Оче-
Очевидно, если X проективно, то функция / определяется
дивизором Df однозначно с точностью до постоянного
множителя. Таким образом, мы можем установить вза-
взаимно однозначное соответствие между эффективными
дивизорами класса С и точками I (С) — 1-мерного проек-
проективного пространства Р (З' (D)), соответствующего диви-
дивизору D (напомним, что проективное пространство P(Z>),

198
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
соответствующее векторному пространству L, состоит из
всех одномерных линейных подпространств простран-
пространства L).
Пространство 3? (D) полезно при задании рациональ-
рациональных отображений дивизорами, которое описано в п. 4.
Если
Ф = (/.:...:/„>: Х-Р» B}
— рациональное отображение и, как в п. 4,
Л = НОД ((/.), ..., (/„)), D, = (/,)-А C)
то Di^O, и поэтому все fi<=3?(— D).
Выбор функций /t зависел от выбора системы проек-
проективных координат в Р™. Поэтому инвариантным образом
отображению q> соответствует совокупность всех функций
п
2 ?ч/г> являющихся линейными комбинациями функций
г=0
/4. Эти функции образуют линейное подпространство
М cz 3? (—D). Дальше мы будем предполагать, что cp(^Q
не содержится ни в каком собственном линейном подпро-
подпространстве в Р™. Тогда 2 ^ifi =f= 0 на J, если не все Уы = 0.
Совокупность эффективных дивизоров, соответствующих
такой совокупности функций, т. е. дивизоры (g) — D,
g^M, называется линейной системой дивизоров. Если
М = 3?(— D), то линейная система называется полной.
Смысл дивизоров (/) — D, f е М, очень простой — это
прообразы дивизоров гиперплоскостей в Р™ при отобра-
отображении ф. Таким образом, мы можем построить все рацио-
рациональные отображения заданного гладкого многообразия
X в различные проективные пространства. Для этого
надо взять произвольный дивизор D, а в пространстве
3? (—D) — линейное конечномерное подпространство М.
Если /о, ..., /„ — его базис, то формулы B) дадут иско-
искомое отображение. Заметим, что дивизоры D{^ 3? (—D)
обладают дополнительным свойством: они не имеют об-
общих компонент.
Так как умножение всех функций /, на общий множи-
множитель get(X) не изменит отображения ф, а дивизор D
при этом изменится на эквивалентный дивизор (g) + D,
то инвариантом рационального отображения является
класс дивизора D. Таким образом, мы имеем следующий
способ построения всех таких рациональных отображе-
отображений ф многообразия X в проективное пространство Рт,
что ф (X) не содержится ни в каком собственном под-
§ 1. дивизоры
199
пространстве в Рт: выбираем произвольный класс диви-
дивизоров на X и для любого дивизора D этого класса в про-
пространстве 3? (— D) такое линейное конечномерное под-
подпространство М, что эффективные дивизоры (/) — D не
имеют общих компонент. Если /0, ..., /„ — базис М,
то наше отображение задается формулой B). Конечно,
может оказаться, что 3? (— D) = 0 или что все дивизоры
(f) — D, /eS'f-Z)), имеют общую компоненту, тогда
этот класс дивизоров не приводит ни к какому отобра-
отображению.
Обратим внимание на одно интересное свойство полу-
полученной картины. Среди всех рациональных отображений,
соответствующих заданному классу С, существует одно
максимальное: то, которое получается, если за М взять
все пространство 3? (—-О), D ^ С (мы принимаем здесь
на веру недоказанную пока теорему о конечномерности
пространства 3? (—?)))-.
Все другие отображения, соответствующие этому клас-
классу, получаются, если строить композиции этого отобра-
отображения с различными отображениями проектирования.
Действительно, если ф=-(/0: ...:/л-), а, скажем, г|) =¦
= (/0 :...:/„), n<N, то г|> = шр, где я (х0 :...: xN) —
= (х0 : ... : хп) — проектирование, которое мы сейчас рас-
рассматриваем как рациональное отображение.
Посмотрим, как работает эта схема, если взять за X
проективное пространство Рт. Мы знаем, что С1(РЖ) —Z
и класс Ck, соответствующий целому числу к, состоит
из дивизоров степени к.
Очевидно, что если к > 0, D e Ch, то 3? (-D) = 0.
Если к ^ 0, то можно взять за —D дивизор кЕ, где Е —
дивизор бесконечно удаленной гиперплоскости хй = 0.
В этом случае 3? (кЕ) состоит из многочленов степени
Х1 хт
от неоднородных координат —, . .. , — (см. задачу 15).
хо хо
Если помножить формулы получающегося отображения
на х%, то мы получим отображение Веронезе vk: Pm—>¦
—>- Р 'т. Таким образом, мы видим, что любое рацио-
рациональное отображение пространства Рт получается ком-
композицией отображения Веронезе и проектирования. |
Пример. Пусть XcP"+i — неприводимая п-мерная
гиперповерхность с уравнением F = 0, degF = к. Найдем
пространство 3? (D), где D = (H) и // — форма степени
т. Так как {Н) ~ т(х0), то можно считать, что D =

200
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
= т{хй). Очевидно, что если Ф — любая форма степени
т, то Ф/х™ ^ & (т (х0)). Докажем, что этими функциями
пространство 3?(т(х0)) исчерпывается.
Если q> ^ S'(т (х0)), то <р е k [Uo], где U0<=X—от-
U0<=X—открытое множество, х0ФО. Положив г/4 = хУх0 (?=1, ...
..., п+1), мы видим, что q> = P(yu ..., г/n+i), где Р —
многочлен, который можно менять, прибавляя к нему
кратность уравнения Fo = F jx\ гиперповерхности X.
Наше утверждение заключается в том, что за счет такого
прибавления можно получить многочлен Р с deg P ^ т.
Пусть deg Р = I > тп и за счет указанных изменений сте-
степень Р не может быть понижена. Мы выберем систему
координат так, что пересечение X с х0 = 0, xt = 0 имеет
размерность п — 2. Это означает, что если fh—форма
старшей степени многочлена Р0(у±, ..., уп+±), то fh не
делится на у±.
Перейдем к открытому множеству Ui cz X, х± Ф 0, и
положим zt = хо/х± = 1/уи Zi = xjx^ = yt/yu ? > 1. Тогда
y1 = l/zl, yi = zjzu ?>1, и ф = Р (уг, ... ., уп+1) =
—z\~lP(zx, . . ., гп+1),тде Р — многочлен степени I. По
условию (ф) + rn(zi) > 0 в Uu т. е. фг^^кЕЕ/^, или
Pz™~1 = <2 (zx, . . ., zn+1), на^ Z7t, где @ — многочлен. Пусть
deg Q = г. По условиюz^P = Q + A-Fx, где Fx = F/x^—
уравнение Ux ж А — рациональная функция, не содер-
содержащая Ft в знаменателе. Возвращаясь к Uo, получим
BF0,
D)
где Q{yu • ¦., yn+i)—многочлен степени г и В не содер-
содержит i^o в знаменателе. Если т~^ г, то, умножая D) на
г/7\ получим .Р — CF9 = QyT~r, где С — теперь много-
многочлен. Так как deg \QyT~r) = m <Zl, то это противоречит
нашему предположению, что степень Р нельзя понизить.
Если же г^т, то аналогично получим Ру\~т — CF0 = Q.
Обозначим через pt, qr, fh к с формы старших степеней
в Р, Q, Fo и С. Так как deg(Pyl~m) = I + г— т> degQ,
то piyr\~m = c/fc. Ввиду сделанного предположения fh не
делится на yt и, значит, pt делится на /л: pt = gi-hfh. Тогда
deg (Р — gi-mF0) < I, что опять противоречит сделанному
относительно Р предположению.
6. Пучок коник над Р1. Закончим этот параграф одним
красивым примером, который будет нам дальше полезен.
§ 1. дивизоры
201
Пусть X—гладкая проективная поверхность и ф: X -*-
-*¦ Р1 — регулярное отображение. Предположим, что в Р1
выбрана точка °° так, что ее прообраз ф"^00) гладок,
pi\oo=A1 и отображение ф~1(А1)-^-А1 определяет пучок
коник (п. 2 § 6 гл. I). В такой ситуации поверхность
X вместе с отображением ф называется пучком коник
над Р1. Открытое множество ф (А1) задается в Р2 X А1
уравнением
oibj =
A)
где t — координата на А1. В п. 4 § 5 гл. II мы видели,
что негладкие слои отображения ф соответствуют корням
t = а*, ..., <Xm дискриминанта A (t) = det (atj (t)), что кор-
корни эти простые и соответствующие им слои Fu ..., Fm
имеют вид Fi = Li + Li, где Li, Lf — прямые, Li ^=Li.
Так как A (t) имеет лишь простые корни, то А ?* 0
тождественно, т. е. коника A) невырождена. В п. 2 § 6
гл. I (следствие 4 предложения) мы видели, что пучок
Ф имеет сечение, т. е. рациональное отображение s: A1 ->•
-э-ф^А1), для которого s(<x) лежит в слое ф-^а), а^
еА1, т. е. ф5 = 1. Это рациональное отображение про-
продолжается с А1 на Р1 и дает регулярное отображение
s: P1 -*¦ X. Обозначим кривую s(P*) через S. Выберем
некоторый фиксированный неособый слой F.
Теорема 4. Группа СА(Х) является свободной абе-
левой группой с тп + 2 образующими — классами, опре-
определенными Lu ..., Lm, F, S.
Пусть С — простой дивизор на X. Это — неприводи-
неприводимая кривая, и ф отображает ее в точку у s P1 или на
все Р1.
В первом случае С содержится в слое (р~1("{). Пусть
ф(С) = Р1. Тогда отображение ф: С -*¦ Р1 определяет вло-
н^ение полей k(P1)czk(C) и никакая функция M.sk(P'),
и Ф О, пе обращается в 0 на С (мы отождествляем здесь
и и ф*(и)). Иначе говоря,
vc(«) = 0 для «ек(Р'), иФО. B)
Поэтому функция vc определяет функцию v на к(Х),
обладающую свойствами B) п. 1 и B). Следствие 4
предложения в п. 2 § 6 гл. I показывает, что над полем
К = k(P1) = k(i) коника A) рациональна, т. е. к(Х) =
— К(Т). При этом изоморфизм использует точку на

202
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
конике A), соответствующую сечению s, и, в частности,
его можно выбрать так, что в этой точке функция Т
имеет полюс первого порядка. Таким образом, функция
v на k(Z)\O есть функция на К(Т)\О, удовлетворяющая
условиям B) п. 1 и B). Все такие функции легко опре-
определить. Пусть v(T)X). Тогда из B) следует, что у (Н)^
S* 0 для всех Н е К [Т], и если v Ф 0 тождественно, то
v (Н) > 0 для некоторого Н. Отсюда у (Р) > 0, где Р — не-
некоторый неприводимый делитель Н. Но тогда v (Q) = О
для любого неприводимого многочлена, не пропорциональ-
пропорционального Р. Действительно, иначе ввиду существования таких
многочленов U и V, что PU + QV = 1, из v(P)>0,
v((?)>0 следовало бы, что v(l)>0, в то время как
v(«) = 0 для и^К. Отсюда следует, что v(/) = Vp(/) рав-
равно показателю m в представлении функции / в виде
f=pm.gi Где ни числитель, ни знаменатель g не делятся
на Р. В частности, для взятого нами дивизора С сущест-
существует такой неприводимый многочлен Р^К [Т], что уР (/) =
= vc(/)> причем дивизор С однозначно определяется этим
условием, т. е. многочленом Р. Поэтому vc(-P)=l, т. е.
С входит в дивизор (Р)о с коэффициентом 1, и так как
Р однозначно определяет С, то в (Р)о не входит, кроме
С, никакой неприводимый дивизор, кроме компонент ко-
коник пучка:
(Р) = С 4- "JP'G- C)
где Gi — коники пучка или их компоненты.
Если же v(T)<0, то надо положить U = T~t, и мы
получим, что у соответствует многочлену U^K[U].
В терминах кольца К[Т], как легко видеть, v(F) =
= — deg H для Н^ К[Т\, т. е. такая функция у сущест-
существует только одна. Так как по условию Т имеет полюс в
точке, соответствующей сечению s, то у должна совпа-
совпадать с vs. Как и раньше, ys(H) = —deg Н, причем S —
единственная кривая с этим свойством, так что
для любого Н е К [Т], где Gi — коники пучка или их
компоненты. В частности, если Р — неприводимый много-
многочлен, соответствующий кривой С*Ф S, то (-Р)сю =(deg P)-S +
4-2Gi и (Р) = С— (deg P)S + ^Gi — ^Gj. Отсюда
С — (degP) S + 2 riG\% где Gt — компоненты ко-
ко§ l. дивизоры
203
ник пучка. Остается рассмотреть их. Это могут быть, во-
первых, невырожденные коники, т. е. слои ф*(а), а^Р1.
Но так как все точки на Р1 эквивалентны, то все слои
тоже эквивалентны — например, выбранному слою F.
Во-вторых, это могут быть компоненты L,- и Li, Но так
как Li + L\ = Fi ~ F, то L\ выражаются через F и Li.
В результате мы видим, что любой неприводимый диви-
дивизор эквивалентен линейной комбинации S, F и Lu ...
..., Lm. Значит, классы, определенные этими дивизорами,
порождают группу С1 (X).
Остается проверить, что эти классы линейно незави-
m
симы. Пусть nF + IS + 2 riLi ~ 0. Рассмотрим ограни-
ограничение этого дивизора на различные гладкие кривые: оно
тоже должно быть эквивалентно 0. Рассмотрим ограниче-
ограничение на невырожденный слой F' Ф F. Так как F Л F' =
= 0, LiCiF' = 0, а ограничение S дает точку |, то долж-
должно быть I ¦ \ ~ 0. Это возможно лишь при I = 0. Рассмат-
Рассматривая ограничение на Li, мы получим, что rt = 0. Оста-
Остается соотношение nF ~ 0, причем, если п Ф 0, то можно
считать п>0. Это невозможно: эффективный дивизор не
может быть главным.
ЗАДАЧИ
1. Определить дивизор функции — на поверхности 2-го поряд-
порядка ху — zt = 0 в Р3.
2. Определить дивизор функции х — 1 на окружности ж| +
_|_ ~2 —. Г2 - «1
хо
3. Определить прообраз f*(Da), где f{x, у) = х — проектирова-
проектирование окружности х2 + У2 = 1 на ось х, a Da — дивизор на прямой
A1, Da = р, р е А1 и имеет координату а.
4. X — гладкая проективная кривая, /ек(Х). Рассматривая /
как регулярное отображение /: X-э-Р1, доказать, что (/) =/*(/)),
где D = 0 — оо есть дивизор на Р1.
5. X — гладкое аффинное многообразие. Доказать, что С1(Х) =='
= 0 тогда и только тогда, когда в кольце k[Z] разложение на про-
простые множители однозначно.
6. X — гладкое проективное многообразие, Ic Pw, к[?] —коль-
—кольцо многочленов от однородных координат в Pw, Шх с: к [5]—иде-
[5]—идеал X. Доказать, что если в кольце k[^]/Stx разложение на простые
множители однозначно, то Cl(X) = Z и образующей является класс
гиперплоских сечений.
7. Найти С1(Р"ХА").

204
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
8. Проекция р: IXA1-»-! определяет гомоморфизм р*:
С1(Х) -^-C1(Z X А1). Доказать, что гомоморфизм р* эпиморфен.
Указание. Воспользоваться отображением q*: СЦХХ А1) —>-
-»-С1(Х), где q: I^-IXA1 задается тем, что q(x) = х X 0.
9. Доказать, что для любого дивизора па IX А1 существует
такое открытое множество U cz X, что на U X А1 этот дивизор
главный. Указание. X можно считать аффинным, а дивизор —
неприводимым. Тогда он задается простым идеалом в к [X X А1] =
= к[Х][Т]. Воспользоваться тем, что в к(Х) [Т] все идеалы глав-
главные, потом заменить X некоторым главным аффинным открытым
подмножеством.
10. Доказать, что С1(ХХ A1) ~ С1(Х). Воспользоваться резуль-
результатом задач 8 и 9.
11. Пусть X — проективная кривая, заданная уравнением у2 =
= х2 + х3 в аффинных координатах. Доказать, что любой локаль-
локально главный дивизор на X эквивалентен дивизору, носитель' кото-
которого не содержит точку @, 0). Пользуясь этим и отображением
нормализации qp: Р'-^Х, при котором <р~'@, 0) состоит из двух
точек X] и х2 <= Р1, описать Pic(X) как DJP, где D — группа всех
дивизоров на Р1, носители которых не содержат х\ и х2, Р — груп-
группа таких главных дивизоров (/), что / регулярна в х\ и х2 и
f(xi) = f(x2) Ф- 0. Доказать, что группа Pic (X) изоморфна груп-
группе по умножению отличных от нуля элементов поля к.
12. Найти Pic (X), где X — кривая с уравнением у2 = Xй.
13. Пусть X — квадратичный конус. Используя отображение
<р. А2^-Х, описанное в задаче 2 к § 5 гл. II, определить образ
cp*(Div(X)) в DivA2. Доказать, что D = (F) eDivA2 тогда и толь-
только тогда принадлежит qp*(Div(X)), когда F(—u, —v) == ±F(u, v),
т. е. F является или четной, или нечетной функцией. Доказать,
что главные дивизоры на X соответствуют четным функциям. До-
Доказать, что С1(Х) ~ Z/2Z.
14. Пользуясь теоремой 2, определить, в каких точках не ре-
регулярно бирациональпое отображение ср: X —*- Р2, где X — поверх-
поверхность 2-го порядка в Р3, qp — проектирование из точки х s X. То
же для ф~'.
15. Доказать, что если Е — гиперплоскость хо = 0 в Р™, то про-
пространство 3?(кЕ) состоит из полиномов от неоднородных коорди-
Х1 хп
нат —, ..., — степени ^ к. Указание. Воспользоваться тем,
что если fe=3"(kE), то /ek[Aj].
16. Доказать, что любой автоморфизм многообразия Р™ перево-
переводит дивизоры гиперплоскостей друг в друга. Указание. Класс
гиперплоскостей определяется инвариантными свойствами в
С1(Р"), а дивизоры гиперплоскостей — как эффективные дивизо-
дивизоры в нем.
17. Доказать, что любой автоморфизм многообразия Р™ являет-
является проективным преобразованием. Указали е. Воспользоваться
результатом задачи 16.
18. Пусть о: X-+-Y— ст-процесс с центром в у е Y и Y гладко.
Доказать, что С1(Х) ~ С1(У) ® Z.
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА КРИВЫХ
§ 2. Дивизоры на кривых
205
1. Степень дивизора на кривой. Рассмотрим проек-
проективную гладкую кривую X. Дивизор на X является ли-
линейной комбинацией точек D = 2 к%хи kt <= Z, xt <= X.
Степенью дивизора D называется число degZ) = 2 &г-
Пример 2 п. 1 § 1 при /г =• 1 показывает, что на 1 =
= Р1 дивизор D является главным тогда и только тогда,
когда deg .D = 0. Мы покажем, что равенство degZ) = O
выполняется для главного дивизора на любой гладкой
проективной кривой. Для этого мы воспользуемся поня-
понятием степени отображения /, deg /, введенным в п. 3
§ 6 гл. II.
Теорема 1. Если /: X -*- Y — регулярное отобра-
отображение гладких проективных кривых и /(Х)=У, то
deg / = deg /* (у) для любой точки у е Y.
В теореме 1 f*(y)—дивизор на X, являющийся про-
прообразом дивизора на У, состоящего из точки у с коэф-
коэффициентом 1. Таким образом, deg / равно числу прооб-
прообразов любой точки у е Y (взятых с правильными крат-
ностями). Это делает более понятным интуитивный смысл
степени отображения / — она показывает, сколько раз X
покрывает У при отображении /.
Следствие. Степень главного дивизора на гладкой
проективной кривой X равна нулю.
Действительно, любая непостоянная функция /ek(Z)
определяет регулярное отображение /: X -*¦ Р1. При этом
для точки OsP1 будет /*@) = (/H — это сразу следует
из определения обоих дивизоров. Аналогично /*(°°) =
= (/H0. Согласно теореме 1 deg(/) = deg(/H — deg(/)oo =
= deg/* @) - deg/•(<») = deg/-deg/ = 0.
Если Х и У — многообразия одинаковой размерности
и регулярное отображение /: X -*¦ У таково, что f(X)
плотно в У, то оно определяет вложение /*: к(У)-*-
-+¦ к (X), пользуясь которым, мы дальше будем считать
к (У) подполем поля к (X) (т. е. для и с: к (У) писать и
вместо /* (и), когда это не может вызвать недоразу-
недоразумений) .
Теорема 1 вытекает из двух результатов. Для их фор-
формулировки введем следующее обозначение. Пусть xt, ...
..., хт — точки кривой X. Положим
о= п <УЩ. A)

206
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Таким образом (У состоит из функций, регулярных во
всех точках хи ..., хг. Если {хи ..., xr} = f~1(y), y^Y,
то кольцо (Уу, которое мы будем в силу установленного
выше соглашения считать подкольцом поля к (X), содер-
содержится в О.
Теорема 2. О является кольцом главных идеалов
с конечным числом простых идеалов. Существуют такие
элементы U ¦<= О', что
V*
= 6
у,
B)
Если и^О, иФО, то
и = t\x . . . tRrTv, C)
где ki = vXi (и), a v обратимо в О.
Теорема 3. Если {хи ..., xr}=f~1(y), то О явля-
является свободным модулем над Оу и О с± (Уу, где
п = deg /.
Покажем, как теорема 1 вытекает из теорем 2 и 3.
Пусть t — локальный параметр в точке у, {хи ..., хг} =
— f~i (У) ¦ Согласно теореме 2, t = txx . . . t/v, где ki =
= vX| (t). Вспомнив определение прообраза дивизора, мы
увидим, что
/* (У) = 2 kiXi и deg /* (у) = 2 ki.
ir попарно взаимно просты
Так как элементы
в О, то
Легко видеть, что любой элемент w e О однозначно пред-
представляется в виде
), а{ек. D)
Действительно, если мы уже имеем представление
w SS а0 + ах^ + .. . + as-i^l (mod*!),
то
v = tjs (w — а0
О
2. ДИВИЗОРЫ НА КРИВЫХ
207
Положим г; (;?,)'= as. Тогда v Xi (v — as) > 0 и из тео-
теоремы 2 следует, что v = as (mod i4), т. е.
s a0
ctjt\
Это доказывает по индукции формулу D).
Из представления D) следует, что dim Оl\t\) = ki.
Поэтому
2 E)
dim 0/(t) =
i=X
Применим теперь теорему 3. Из нее следует, что {)
cz.@v/ (t))n. Но t — локальный параметр в точке а,
и поэтому
= n = deg/.
F1
Равенства E) и F) доказывают теорему 1.
Доказательство теоремы 2. Обозначим че-
через Ui локальный параметр в точке Xi. Тогда xt входит
в дивизор (ut) с коэффициентом 1, т. е. {ш)=¦ хг + D,
где в D точка хг не входит. Согласно теореме 1 § 1 мы
можем сдвинуть носитель дивизора D с точек хи ..., хг,
т. е. найти такую функцию /,, что в D + (/{) эти точки
не входят. Это значит, что для U = Utf выполнены соот-
соотношения B). Пусть и^(У. Положим vx. (и) = й{. По ус-
условию ki ^ 0. Для элемента v = utx г • . . . -tr r имеем
vxi(v) = 0 для всех i = 1, ..., г, откуда следует, что v ^
еС i v~l <= О. Мы получаем представление C) для и.
Остается проверить, что О — кольцо главных идеалов.
Пусть а — идеал О. Положим ki = inf vXi (и), а =
¦ueG
= t11 . . . tr'. Тогда ua~l <^0, т.е. a <= (a). Докажем,
что a = (a). Для этого обозначим через а' множество
функций йо
f
г1
и
а. Очевидно, что а' — идеал О
фуц ,
и inf у*, (и) = 0. Значит, для любого г=1, ..., г суще-
uea
ствует UiSfl.', для которого vXi (щ) — 0, т. е. м*^)^ 0.
Очевидная проверка показывает, что для элемента с =
= 23^! ...ti...t,ea',v)t.(c)-0(i = lI ..., г). Это

208 гл- IH- ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
значит, что с1 ^О, и поэтому а' = О, а = (а). Теорема
доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 3. Мы докажем
прежде всего, что О — модуль конечного типа над Оу.
Для этого вспомним, что согласно теореме 8 § 5 гл. II
отображение / конечно. Поэтому нужный нам результат
вытекает из леммы.
Лемма. Пусть /: X-*-Y—конечное отображение
кривых, причем X— гладкая. Если y^Y, /~1(г/) =
= {хи ..., хг), то кольцо D = П Сх$ является модулем
конечного типа над Оу.
Ввиду локальности утверждения можно предполагать,
что X и Y аффинны. Пусть k[X] = A, k[Y] = B, B<=zA,
л А — модуль конечного типа над В. Докажем, что
§ 2. дивизоры на кривых
209
Действительно, если феС и z, — полюсы ср на U,
то f{zi) = yi:?=y. Существует такая функция h^B, что
h(yy?=O, h(yi) = O, причем фЛ. ^ OZi и, значит, <ph^A.
Так как h~x е (Jy, то qp ^ АОУ. Мы доказали, что О <=
<= АОу. Обратное включение очевидно. Лемма доказана.
Очевидно, что образующие модуля А над к [У] явля-
являются в то же время образующими модуля А(УУ над Оу.
Поэтому О является модулем конечного типа.
Теперь легко закончить доказательство теоремы 3.
По основной теореме о модулях над кольцом главных
идеалов О является прямой суммой свободного модуля и
модуля кручения. Однако Ov и О содержатся в поле
к (X), откуда следует, что этот модуль кручения равен
нулю и О ~ (У™ с некоторым тп.
Остается определить тп, т. е. ранг модуля О. Он равен
максимальному числу линейно независимых над Оу
элементов, содержащихся в О. Так как линейная неза-
независимость над кольцом и его полем частных одно и то
же, а поле частных кольца Оу совпадает с k(F), то тп
равно максимальному числу линейно независимых над
к (У) элементов кольца 0.
По условию [ к (X) : k (Y) ] = п и поэтому заведомо
m =s? п. Нам остается показать, что в О содержится п
линейно независимых относительно k(F) элементов.
Пусть «1, ..., а„ — базис расширения k(X)/k(F). Обо-
Обозначим через к максимум порядков полюсов функций а<
в точках Xj, а через t локальный параметр точки у. Оче-
Очевидно, что функции ct.ith регулярны в этих точках и, зна-
значит, содержатся в О. Следовательно, они линейно неза-
независимы над к [У]. Теорема доказана.
Из следствия теоремы 1 следует, что все эквивалент-
эквивалентные дивизоры на гладкой проективной кривой имеют
одну и ту же степень. Поэтому можно говорить о степени
класса дивизоров. Мы имеем, следовательно, гомоморфизм
deg: C1(X) + Z,
образ которого есть вся группа Z, а ядро состоит из клас-
классов нулевой степени и обозначается через С1° (X). Роль
этой группы ясна уже из следующего результата.
Теорема 4. Гладкая проективная кривая X рацио-
рациональна тогда и только тогда, когда С1° (X) = О.
Действительно, если X « Р\ то мы имеем дело с при-
примером 2 п. 1 § 1 (при п = \). Там мы видели, что
C1(P1) = Zh, значит, С1°(Р1) = 0. Пусть, наоборот, С1°(Х) =
= 0. Это значит, что любой дивизор нулевой степени
главный. В частности, если х, у ^ X, хФу, то существует
такая функция /sk(I), что x — y={f). Рассматривая /
как отображение Х-^-Р1, мы получаем из теоремы 1, что
k(X) = k(/), т. е. что / является бирациональным изо-
изоморфизмом. Так как X и Р1 — гладкие проективные кри-
кривые, то / является изоморфизмом.
2. Теорема Безу на кривой. Мы укажем сейчас про-
простейшие применения теоремы о степени главного диви-
дивизора. Они являются очень специальными частными слу-
случаями более общих теорем, которые мы докажем в связи
с теорией индексов пересечения. Однако удобно изложить
уже сейчас эти простейшие случаи, так как они будут
полезны нам в следующем пункте.
Пусть X — гладкая проективная кривая, XczPn, F —
форма от координат точек Р", не равная тождественно
0 на X, и х — точка на X.
В п. 2 § 1 мы ввели дивизор (F) формы F на X. Сте-
Степень deg(jP) этого дивизора обозначается также (X, F)
и называется индексом пересечения X и гиперповерх-
гиперповерхности Р?.
Из теоремы 1 сразу вытекает важное следствие: это
число одно и то же для всех форм одинаковой степени.
Действительно, если degF = degF±, то / =
¦к(Х).
Из определений дивизора (F) сразу следует, что (F) =
14 и. Р. Шафаревич, т. 1

210
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
= (Ft) + (f), откуда (F) ~ (F±). Согласно следствию тео-
теоремы 1 deg(F) = deg(Fi).
Чтобы выяснить зависимость числа (X, F) от степени
формы F, достаточно взять за F любую форму степени
m = d.egF. В частности, мы можем положить F = Lm,
где L — линейная форма. Тогда
(X,
= (degF)(X, L).
Наконец, выясним смысл числа (X, L).
Определение. Степенью degX кривой X называ-
называется максимум чисел точек пересечения X с гиперплос-
гиперплоскостью, не содержащей ни одпой компоненты кривой.
Так как (X, L) = 2 vx ((?,)), то deg X s? (X, L).
Z,(x)=0
Выясним для случая любой формы F, когда vx ((F)) =
= 1.
Ввиду аддитивности функции ^((Т*1)) достаточно рас-
рассмотреть случай неприводимой формы.
Лемма. Пусть X <=¦ Р", F — неприводимая форма,
Y = Р?. Равенство vx((F))— 1 равносильно тому, что
F (х) — 0 и в*, у ^ вх, х. Оба эти пространства рассматри-
рассматриваются как подпространства в ©х рП-
Доказательство получается сопоставлением нескольких
определений из гл. II. Пусть G— такая форма, что
G(x)?=0, degG = degF. По определению vx((F)) = vx(f),
где / = ( -q ] . Мы знаем, что vx ((/)) > 1 равносильно
тому, что / е х&х, или, что то же самое, cbf = 0. Но dxf ^
^ ©эс.л: и является ограничением на в*, х дифференциала
<2x(g) функции ^-, рациональной на Р" и регулярной
в ж. Таким образом -v*((F))>l равносильно тому, что
dx \-7г) = 0 на ©х,х- Далее, F — локальное уравнение Y
в окрестности точки ж, в которой G ?= 0. Поэтому^ / ~о~) —
-q I = 0 на вх, х тогда и
только тогда, когда в*. у =5 вх, х. Лемма доказана.
Применим это к вычислению индекса пересечения
(X,L).
Так как число (X, L) одно и то же для всех линей-
линейных форм L, то число точек х^Х, для которых L{x) = 0,
2. ДИВИЗОРЫ НА КРИВЫХ
211
достигает своего максимума, когда все \>Х(Ь)= 1. Согласно
лемме это равносильно тому, что гиперплоскость L не
касается ни в одной точке кривой X. Взяв за L такую
линейную форму, мы получим, что
degX = (X, L). B)
Надо только проверить, что линейные формы с нуж-
нужным нам свойством действительно существуют. Это легко
сделать при помощи рассуждения, которым мы много раз
пользовались: в произведении ХХР" (Р" — пространство
гиперплоскостей в Р") рассмотреть множество Г таких
пар (х, ?), что ? касается X в точке х. Стандартное при-
применение теоремы о размерности слоев отображений даст
тогда, что образ Г при проектировании X X Р" -»- Р" имеет
коразмерность
Сопоставляя равенства A) и B), мы получаем соот-
соотношение
(X, F) =
C)
которое носит название теоремы Безу. Тем самым мы до-
доказали, наконец, эту теорему, сформулированную еще
в § 1 гл. I.
3. Размерность дивизора. В п. 5 § 1 мы сопоставили
дивизору D на гладком многообразии векторное простран-
пространство &{D).
Теорема 5. Пространство 3?(D) конечномерно для
любого дивизора D на проективной гладкой алгебраиче-
алгебраической кривой.
Прежде всего утверждение теоремы легко свести к
случаю, когда D 5= 0. Действительно, пусть D =Dt — D2,
А>0, D2^0. Тогда 3'(D)<=2'(Di): если f^^(D), то
(/) + D1-D2 = Z?/>0 и, значит, (/) + Dt = D' + D2 > 0,
т. е. /^^(Di). Отсюда и получается нужная редукция.
Пусть О>0 иг — точка, входящая в дивизор с крат-
кратностью r>0, D = ra: + Z>i. Положим (r—l)x + Di = Dr.
Пусть t — локальный параметр в точке х. Для функции
f^S'(D) положим X(f) = (trf) (x). Очевидно, что К — ли-
линейная функция на J?(Z)), ядро которой совпадает с
3?ф'). Продолжая эту конструкцию degD раз, мы убе-
убедимся, что пространство 3? @) является в 3? (D) множе-
множеством нулей degD линейных форм. Но мы знаем, что
<27@) = к (п. 1 § 1). Отсюда следует, что 3? (D) конечно-
14*

f
212 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
мерно и даже
-1. A)
Замечания. 1. Равенство в A) достигается в слу-
случае Х^Р1. Действительно, в этом случае любой дивизор
D эквивалентен дивизору вида гх, где за х можно взять
бесконечно удаленную точку на Р1. Тогда 2 (D) совпада-
совпадает с пространством многочленов степени ^г и l(D) =
= г+ 1.
2. Если кривая X не рациональна, то неравенство A)
может быть улучшено. Именно, в этом случае 2 ((х)) =
= к, где х — точка. Действительно, если бы в 3?{\х))
содержалась непостоянная функция /, то мы имели бы
(/)оо=(д:). Тогда по следствию теоремы 1 deg(/H = l,
т. е. (/) = (у) — (х), что противоречит нерациональности
кривой X (см. доказательство теоремы 4). Поэтому в про-
процессе доказательства неравенства A) мы уже после
degD—1 шагов получим дивизор {х), для которого
1{{х))= 1, и, значит,
l(D)^iegD B)
для D > О,
Таким образом, рациональные кривые характеризуют-
характеризуются тем, что на них I (D) = deg D + 1 для D > 0.
ЗАДАЧИ
1. Прямая I называется двойной касательной плоской кри-
кривой X, если она касается X в любой их точке пересечения. До-
Доказать, что множество кривых 4-й степени, имеющих заданную
прямую (например, у = 0) двойной касательной, имеет коразмер-
коразмерность 2 в пространстве всех кривых. Доказать, что любая непри-
неприводимая кривая 4-й степени имеет двойную касательную.
2. Для особой проективной кривой X определить дивизор фор-
формы F на нормализации Xv, используя прообразы функций \*(F/G),
как в п. 2 § 1, и индекс пересечения (X-F) как степень этого ди-
дивизора на Xv. Доказать, что при этом сохраняет силу теорема Безу.
3. Доказать, что число особых точек неприводимой плоской
кривой степени п не превосходит (п—1) (и — 2)/2. Указание.
Провести кривую степени п через (п — 1) (и—2)/2 + 1 особых и
возможно большее число неособых точек. Потом применить тео-
теорему Безу.
4. Если кратность касания прямой I и плоской кривой X в
точке х ^ X равна г, то г — 2 называется кратностью перегиба. До-
Доказать, что сумма кратностей перегиба кривой степени п, рас-
распространенная на все точки перегиба, равна Зп(п — 2). Указа-
н и е. Доказать, что кратность перегиба в точке х равна порядку
нуля гессиана в этой точке.
§ 3. ПЛОСКАЯ КУБИКА
213
¦5. Пусть X — гладкая кривая, х\, ..., хт е X. Доказать, что за
функции ti в теореме 2 можно принять левые части уравнений
таких гиперплоскостей Ег, что Ег э Хг, Ei ф Xj при i =Ф } и
Е,ф&х. х, т. е. не касаются X в точке xi.
6. Доказать, что кривая степени п в Рп, не содержащаяся ни в
какой гиперплоскости, рациональна.
§ 3. Плоская кубика
1. Группа классов. Мы видели, что для рациональных
кривых X (и только для них) С1°(Х)=0. Теперь мы раз-
разберем простейший случай, когда С1°(Х)?=0. Это гладкая
плоская кубика — один из самых красивых и богатых
неожиданными свойствами примеров в алгебраической
геометрии. Мы доказали в п. 2 § 6 гл. I, что такая ку-
кубика всегда имеет точку перегиба и, значит, приводится
к вейерштрассовой нормальной форме. Отсюда, как пока-
показано в п. 6 § 1 гл. I, следует, что она не рациональна.
Теорема 1. Выберем произвольную точку а0 на
гладкой плоской проективной кубике X и сопоставим
любой точке а <= X класс Са, содержащий дивизор а — а0.
Отображение а -»- Са определяет взаимно однозначное
соответствие между точками а s X и классами С <= С1° (X).
Если Са = CV, то а-ао~р-ао и а~ р. Из доказа-
доказательства теоремы 4 § 2 следует, что при а Ф $ отсюда вы-
вытекала бы рациональность кривой X, про которую нам
известно, что она не рациональна.
Остается доказать, что в любом классе С нулевой сте-
степени содержится дивизор вида а — а0. Пусть сначала D —
любой эффективный дивизор. Мы докажем, что сущест-
существует такая точка a^I, что
D
+ ka0.
A)
Если degD = l, то A) верно с- к = 0. Если degD>l, то
D=D/ + p, degD' = degZ> —I, D' > 0. Применяя индук-
индукцию, мы можем считать A) доказанным для D': D' ~
~ 7 + 1а0. Тогда D ~ р + f + la0. Если мы найдем такую
точку а, что
P + Y-а + ао, B)'
то отсюда будет следовать A).
Нусть сначала Р Ф"{. Проведем прямую с уравнением
L = 0 через эти точки. Согласно теореме Безу (JL, Х) = 3

214
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ „ФОРМЫ
и, значит,
(?)=Р + 7 + 6, 6eJ. C)
Предположим, кроме того, что б Ф се0, и проведем прямую
с уравнением L± = 0 через точки б и а0. Аналогично C)
мы получаем, что (Zi)= б + а0 + а. Так как (L)~(Li),
то p + f + 6~6+a + «о, откуда следует B).
Надо еще разобрать случаи, когда Р = f или б = а0.
Если р = Y, то проведем касательную к X в точке р.
Пусть L = О — ее уравнение. Согласно лемме в п. 2
Уе(?K*2, и поэтому (L)=2$ + 6. Таким образом, C)
имеет место и в этом случае. Аналогично разбирается
случай б = «о.
Пусть теперь deg D = 0. Тогда D=Dt — Dz, D± 2* О,
?>23*0, deg?>i = degZ>2. Применяя A) к Dt и ?>2, мы по-
получим, что Di ~ р + ка0, D2 ~ Ч + ка0 с одним и тем же к,
так как deg D± = deg Z>2. Поэтому D = D± — D2 ~ P — "f,
и нам достаточно найти такую точку а, что р — ^ ~ a — 7о-
Это соотношение равносильно тому, что [3 Н- ^о ~ a + Т'
и совпадает с B) с точностью до обозначений. Теорема
доказана.
Доказательство теоремы 1 дает возможность явно най-
найти функцию l(D) для дивизоров D на гладкой кубике
в Р2.
Теорема 2. На гладкой кубике ХсР2 5ля любого
дивизора D > 0
Z(Z)) = deg Z>. D)
Наоборот, кривая, для которой соотношение D) имеет
место, изоморфна гладкой кубике.
Ввиду замечания 2 к теореме 5 § 2, l(D)^degD для
D > 0 на гладкой кубике, и нам достаточно показать, что
l(D) 5= degZ). В доказательстве теоремы 1 было показано,
что D ~ a + ттга0. Так что достаточно показать, что
Ца + тао)>тп (строгое неравенство!). При тп = 1
?(a + ao')>l, так как в 3?(а + <х0) содержится непостоян-
непостоянная функция h/lo, где линейная форма 10 определяет пря-
прямую, проходящую через точки а, и a0, ah — любую пря-
прямую, проходящую через третью точку пересечения пря-
прямой 10 = 0 и X (рис. 12, а).
Поэтому для тп > 1 достаточно указать функцию fm
с (fm)с = тпа.0, тогда fm ^ 5>(ma0)<= ^(ai тпа0), f&
<? & (а + (m — 1) <хо), откуда Ца + ттгао)> ?(а + (яг— 1)Х
Хао)+1, и наше утверждение получается по индукции.
§ 3. ПЛОСКАЯ КУБИКА
215
Такую функцию fm легко указать для тп = 2, 3. Именно,
/2= IJlo, где линейная форма Zo определяет касательную
к X в точке а0, а Zi — прямую, проходящую через другую
точку пересечения 1а = 0 с X (рис. 12, б). Аналогично,
/з = hh/loh, где Zo и Zt имеют прежний смысл, 12 = 0 опре-
определяет прямую, проходящую через а0 и точку пересече-
пересечения 1± с X, а 13 = 0 — прямую, проходящую через третью
a
Рис. 12
точку пересечения 12 = 0 с X (см. рис. 12). Наконец, если
тп четно, тп = 2г, то fm = f2, а если тп ^ 3 и нечетно, т?г =
= 2г+3, то /ш =/з/г- Этим доказано равенство D).
Пусть, наоборот, на проективной гладкой кривой X
имеет место равенство D) для любого дивизора D > 0.
Возьмем произвольную точку р <= X. Так как, согласно
D), 57BJp)>l, то существует функция гекA) с
(ж)«, = 2р ((ж)«, = р невозможно — иначе кривая X была
бы рациональной). Согласно D) ??Cр)?= SB B;?), значит,
существует функция г/<=к(Х) с (#)«. —3;?. Наконец, со-
согласно D), J2? Fр) = 6. Но мы можем указать семь функ-
функций, принадлежащих пространству 3? (§р): 1, х, xz, x3, у,
%У, %У2- Поэтому между ними должна существовать ли-
линейная зависимость:
ixy + Ь3ху2 = 0. E)
a0
а2х2 + а3х3
Ъау
Таким образом, функции х и у определяют рациональное,
а значит, и регулярное отображение X на кубику Y <= Р2,

216
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
§ 3. ПЛОСКАЯ КУБИКА
217
имеющую уравнение E) в неоднородных координатах
(это рациональное отображение, определенное линейной
системой ??Cр)). Отображение / определяет вложение
/*: к(У)скA). Докажем, что /*(к(У) ) = к(Х). Для это-
этого заметим, что к(У) = к(ж) и к(У)=>к(г/) и функции х
и у определяют отображения кривой X на Р1. По усло-
условию (х) с = 2р, а это значит, что при отображении g,
определяемом функцией х, g* (°°)= 2р. Из теоремы 1 § 2
следует, что degg = 2, т. е. [к(Х): к(/*(ж))] = 2. Анало-
Аналогично, [к(Х):к(/*(г/))] = 3. Так как \к(Х): /*(к(У))]
должно делить оба эти числа, то к(Х) =/*(к(У)), т. е. /
является бирациональным изоморфизмом. Кубика E) не
может иметь особых точек: тогда она, а значит и кривая
X, была бы рациональной, чего не может быть ввиду со-
соотношения D). Значит, эта кубика — гладкая, а поэто-
поэтому / является изоморфизмом. Теорема доказана.
Таким образом, гладкие кубики в Р2 характеризуются
соотношением D) точно так же, как рациональные кри-
кривые — соотношением l(D) = deg D + 1 для D > 0.
2. Групповой закон. Теорема 1 устанавливает взаимно
однозначное соответствие между точками гладкой проек-
проективной кубики X и элементами группы С1°(Х). При этом
точке а <= X соответствует класс Са, содержащий дивизор
а. — «о, где а0 — фиксированная точка, служащая для
оцределения соответствия.
Пользуясь этим, мы можем перенести групповой за-
закон с группы С1° (X) на само множество X. Получающую-
Получающуюся операцию над точками кривой X мы будем называть
сложением и обозначать ©, а операцию обращения—©.
Согласно определению а © р = f, если Са + С?, = Ст, т. е.
а + р ~ f + а0. A)
При этом точка а0, очевидно, является нулевой. Мы бу-
будем обозначать ее дальше через о, так что A) перепи-
перепишется в виде
Доказательство теоремы 1 дает возможность описать
операции © и © в элементарных геометрических терми-
терминах. Именно, если касательная к X в точке о пересекает
X в точке я, а прямая, проходящая через я и а, пересе-
пересекает X в точке а', то
а'
а
а'
2о,
C)
а это значит, что а' = ©а (рис. 13, а). При этом,
если а = я, то проведение прямой через точки а и я
надо заменить проведением касательной в точке а.
Аналогично, чтобы описать операцию ®, проведем
прямую через точки аир. Пусть у' — ее третья точка
а
Рис. 13
пересечения с X, a "f — третья точка пересечения с X
прямой, проходящей через у' и о. Тогда (рис. 13, б)
of+
D)
Если а = [5 (или у' = о), проведение секущей через а
и [J надо заменить проведением касательной в а (или ^').
Это описание особенно просто, если за о принять точ-
точку перегиба кривой, что мы дальше всегда и будем пред-
предполагать. Тогда сечение кривой X прямой эквивалентно
Зо (надо взять касательную в точке о). Если ^ — третья
точка пересечения кривой с прямой, проходящей через ^
и о, то
T + Tl + o~3o, F)
а значит, "ft = ©"f (рис. 14).
Чтобы описать операцию ©, проведем прямую через
точки аи^. Пусть f' — ее третья точка пересечения с

218 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
кривой, а 7 — третья точка пересечения с X прямой, про-
проходящей через ч' и о. Тогда (рис. 13)
а +
+ о.
G)
Если а = р, то секущую через а и (J- надо заменить каса-
касательной в точке а.
Другая форма соотношений G) заключается в том,
что точки а, ри"( тогда и только тогда лежат на одной
прямой, когда а ® § ® "f = о. В частности, точка [} лежит
на касательной в точке а тог-
тогда и только тогда, когда
2а ® р = о Bа — умножение
на 2 в смысле группового
закона). Наконец, ?=а, ес-
если <х является точкой пере-
перегиба. Тогда За = о. Таким об-
образом, точки перегиба куби-
кубики — это в точности элемен-
элементы порядка 3 и нулевой эле-
элемент определенного на ней
группового закона.
Кубика в вейерштрассо-
вой нормальной форме имеет
точку перегиба в бесконечно-
бесконечности. Мы будем (исключи-
(исключительно ради упрощения фор-
формул) предполагать, что характеристика поля к отлична
от 2 и 3. Тогда уравнение кривой записывается в виде
Рис. 14
yz = х3 + ах + Ъ
(8)
и ее бесконечно удаленная точка о лежит на прямых х =
= с. Поэтому операция © записывается особенно просто:
= (х, —У)-
(9)
Чтобы записать операцию а © ?, проведем прямую через
точки а = (х1, z/O и Р=(ж2, у2):
* г
A0)
§ 3. ПЛОСКАЯ КУБИКА 219
Точки пересечения с кривой (8) получаются из уравнения
т. е.
Xя +
=0.
Мы знаем корни х± и х2 этого уравнения. Поэтому для
третьего корня получаем
r2-*i
ОС л
wCsi •
A1)
Координата у3 получается из A0), и окончательно
а® р = (ж3, -у3).
При а = р мы должны провести касательную в точке
(х±, yi). Аналогичные преобразования дают для другой
ее точки пересечения с X:
г
И[ 2а=(ж2, —уг), где г/2 получается из уравнения каса-
касательной при х2, задаваемом формулой A2).
Замечательное свойство построенного нами группового
закона заключается в том, что он задается рациональ-
рациональными формулами, т. е. определяет рациональное ото-
отображение IXI^-X. Можно утверждать и большее.
Теорема 3. Отображения ср: X -*¦ X, ср(а)=©а, и
г|з: ХХ1-*-Х, г|з(а, ?) = а © р, регулярны.
Для ф это очевидно из формулы (9). Из формулы
A0) следует точно так же, что ср регулярно в точке
(а, Р), если а = (ж1? г/i), р=(ж2, у2) и ^ =?*= ж2, т. е. а.Ф$
иа#©р (так как г/2 = d-yt при ^;2 =^i).
Рассмотрим теперь отображение s? отражения от точ-
точки | <= X, сопоставляющее точке a =И= ? третью точку пере-
пересечения с X прямой, проходящей через ос и ?. Очевидно,
что Sj(a)= ©(a © ?). Из формул видно, что это отобра-
отображение рационально, а следовательно, регулярно. Кроме
того, s|=l, значит, Sj — автоморфизм. Докажем, что
ss(?)—это другая точка пересечения с X касательной в
точке ?. Для этого применим к соотношению

220
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
автоморфизм S?. Очевидно, он сохраняет эквивалентность
дивизоров. Кроме того, Sj(o)=©?. Поэтому
Подставив сюда выражение Sj = ©(cs©?), мы получим,
что Sj(?) = 2(©|) B означает удвоение в групповом за-
законе на X), а это и есть точка пересечения с каса-
касательной.
Теперь мы можем рассмотреть автоморфизм сдвига:
?|(а) = а®? для а Ф \. Очевидно, что t% = sos%, откуда
следует, что для ос = |, ?Е_(ос)=2сс. Наконец, для любых
ее,
(а, р) =
(а), Ц (Р)).
Поэтому, если отображение 1|э регулярно хоть в одной
точке (осо, р0), то оно регулярно в любой точке (а, Р) =
= (*б(оо), *ч(Ро)), ? = «©(©«„), т] = рФ(©р„). Но оно
регулярно, как мы видели, при а#р и а# Эр, значит,
оно регулярно всюду. Теорема доказана.
Отображение лр: XXX-*- X имеет дифференциал в
точке (a, P)eJXX: d(a, в>г|з: в(а, Э) ->¦ ваеЭ. Очевидно, что
©(о, в) — ©а © ©в, а линейное отображение прямой суммы
задается отображениями слагаемых. Наконец, сквозное
отображение @а -»- @а © @в -»- ваеР происходит из отобра-
отображения Х + ХХХ^Х, где 1-*1ХХ есть I -+¦ (|, р),
а IXI^-Х — это г|з. Полученное сквозное отображение
X -*- X есть просто ?р, и, значит, ограничение <2г|з на ©а
совпадает с <2гр и йг|з = tfta + d?e. Нами доказана
Лемма. Для отображения ty: X X X -*¦ X дифферен-
дифференциал <2г|з: ®(а, Р) -*¦ @а©е имеет вид d\p = dta + dt^. В част-
частности, он эпиморфен.
3. Отображения. Мы исследуем регулярные отображе-
отображения А,: X -»- X кубики на себя. Примером такого отобра-
отображения является сдвиг: ?Е(а) = а®|. Если А,(о) = 5> то
;feiA'==A,' оставляет о на месте. Дальшсе мы будем это
всегда предполагать: Х(о) = о. В § 4 будет доказано, что
тогда А, — гомоморфизм группового закона, определенного
на X, но сейчас мы этим не будем пользоваться.
Как и любые отображения в группу, наши отображе-
отображения можно складывать, определяя А, + jj. тем, что
(А, + (j,) (а) = А, (а) © jj.(a). Очевидно, что все регулярные
отображения А,: X -»- X, для которых А,(о) = о, образуют
группу. Если к(Х) не совпадает с точкой, то К(Х) = Х.
Тогда степень degA- определена и положительна. Мы обо-
§ 3. ПЛОСКАЯ КУБИКА 221
значим degA через «(А). Если же к(Х) = о, то положим
OcHOBHOii результат, имеющий очень много приложе-
приложений, таков.
Теорема 4. На группе регулярных отображений
X: X-*~ X, А,(о)=о, существует такое скалярное произве-
произведение (А. ц), что (А,, Х) = п(К).
Термин «скалярное произведение» означает, что для
любых (А, м-) определено число (A,, fx)^Q со свойствами
(А,, ц) = (|г, А,), (А,4-1-А2, ц) = (Хи ц) + (А,2, м,). Для любой
функции га (А,) со значениями в Q и такой, что га(А.)>0
при А Ф 0 и га(А,) = 0 при А = 0, тогда и только тогда
существует скалярное произведение (A, jj.) со свойствами
(А,, А,) = п (А,), когда
п (А. + ц) + и (А. - ц) = 2 (и (А.) + п (р,)).
A)
Это элементарный, чисто алгебраический факт (см. При-
Приложение, п. 1, предложение 1). Таким образом, для дока-
доказательства теоремы достаточно проверить соотношение
A) при ra(A,) = degA,.
Рассмотрим отображение 1|з: IXX->X, ty(x, #) =
= х ® у, и дивизор S = \р* (о). Ввиду леммы из п. 2, <2г|з —
эпиморфизм. Отсюда следует, что дивизор г|з*(о)—про-
г|з*(о)—простой. Действительно, если to — локальный параметр точ-
точки о в X, то ^р* (to) — локальное уравнение S. Ввиду эпи-
морфности отображения dty сопряженное отображение
Шо/Шо ->¦ nt(a,ea)/itt(oc,ea) — вложение. Поэтому лр* (to) <?
<^ntBa,ea), а отсюда следует, что дивизор ty*(o)
неприводим. Это подмногообразие состоит из точек
(а, еа)е1Х1 Отображение ф,: ХХХ^Х, ^(а, Р) =
= а © р, отличается от г|з автоморфизмом (a, P)^-(<x, ©P),
и для него верны те же заключения. Мы положим
А == -ф* (о) — это множество точек (а, а). Наконец, по-
положим р± (а, Р) = а, р2(а, Р)=р. Очевидно, что pi (о) =
= оХХ, р\ (о) = Ххо . Тождество A) легко вытекает из
следующего утверждения.
Лемма. На поверхности XXX
А ~ 2 (/>* (о) + pt (о)).
B)
Для доказательства мы укажем функцию F на XXX,
для которой левая часть в B) совпадает с (F)o, а пра-

222 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
—с (F)^. А именно, если X задано в вейерштрассо-
вой нормальной форме (8) п. 2, то F = р* (ж) — р\ (х).
Проверка почти тавтологична. Функция х определяет
отображение х: X ->- Р1 кривой (8) п. 2 на Р\ при кото-
котором ж(а) = ж(Р), только если а = ? или а = ©[}. Поэтому
deg ж = 2, a так как х(о) = °° и &о =о, то (ж) <» = ж*(°°) =
= 2о.^Отсюда (р? (ж))^ = р* ((ж)„о) = 2р* (о) и (/>* (ж))*, =
= 2р2 (о), a (F)TO = 2 (/?* (о) + р* (о)). Очевидно, что
Supp(FH = Supp(S + А), и остается доказать, что 2 и А
входят в (F)o с коэффициентом 1. Это достаточно про-
проверить на открытом множестве, пересекающем 2 и А.
В множестве S, где у#0 на I, функция х будет локаль-
локальным параметром, а значит, в U = S X S локальными па-
параметрами будут р* (х) и р* (ж). Поэтому F ф т.% для
ж <= U и, значит, 7*1 не может делиться на квадрат функ-
функции g^m.x. Этим лемма доказана.
Доказательство теоремы 4. Рассмотрим ото-
отображение /: Хн-xxi, /(а) = (А,(а), ц(«))- Очевидно,
что pif = <x, p2f = n, так что /* (р\ (о)) = А,* (о) и
/* (/>* (°)) = М-* (о) при X Ф 0 и (j. ^= 0. Аналогично, 2 =
= г|з*(о) и г|э/ = А,+ ц, так что /*B) = (Л, +ц)*(о) при
Х+ц?=О и также /*(Д) = (Х - ц)*(о) при X - ц ^ 0. По-
Поэтому, применяя гомоморфизм /* к B), мы получаем,
что
(если A,, ix, Л, + (j. и Л, — jj. Ф 0). Так как степени эквива-
эквивалентных дивизоров равны, a deg А,* (о) = deg А, = п (А-)
(и аналогично для ц, А, +ц и А, — ц,), то отсюда вытекает
теорема — при A,, jj., X + jj, и А, — \х ?= 0. Если, например,
А. + м-= 0» то надо применить утверждение примера из
п. 3 § 1 и то, что п (X + ц) = 0. Аналогично — если А, — ц =
= 0. При А, = 0 или jj, = 0 теорема очевидна.
4. Приложения. Пример 1. Рассмотрим гомомор-
гомоморфизм бт умножения на т в группе X: 6т (а) = а ® ... © а
(т?г раз). Из A) п. 3 при А, = (J. = 6± следует, что /г(б2)^
= 4 и дальше — индукцией по т — что п(8т) = т2. Пред-
Предположим, что характеристика поля к равна 0. Согласно
теореме 4 § 6 гл. II существует такое открытое непустое
множество U cz X, что точки а <= U имеют ровно т2 про-
прообразов при отображении бт. Но бт — гомоморфизм и чис-
число прообразов любой точки равно порядку его ядра. Мы
§ 3. ПЛОСКАЯ КУБИКА
223
видим, что число решений уравнения та = 0 в группе X
равно т2.
Предположим теперь, что характеристика поля к рав-
равна р> 0, но т не делится на р. Чтобы применить теоре-
теорему 4 § 6 гл. II, нам надо доказать, что в этом случае
отображение бт сепарабельно.
Если бы это было не так, то согласно теореме 6 § 6
гл. II бт представлялось бы в виде g-<p, а тогда deg 8m
делилось бы на р, а мы знаем, что deg 6m = тп2 и р f m.
Таким образом, число решений уравнения met = 0 равно
тп2, если тп не делится на характеристику поля к.
В частности, уравнение За = 0 имеет девять решений,
если характеристика поля к отлична от 3. Мы видели в
п. 2, что точки а, удовлетворяющие этому условию,— это
точки перегиба кривой X. Значит, гладкая плоская ку-
кубика имеет девять точек перегиба. Они обладают рядом
замечательных свойств. Например, прямая, проходящая
через две из них, пересекает кривую опять в точке пере-
перегиба. Это сразу следует из того, что сумма двух решений
уравнения За = 0 опять является решением.
Пример 2. Предположим теперь, что коэффициенты
кубики X принадлежат полю из р элементов FP. В п. 3
§ 2 гл. I мы определили отображение Фробениуса
ф: (аг, . . ., an)-*-(ai, . . ., a?) для аффинных многообра-
многообразий, определенных над Fp. Это определение автоматиче-
автоматически переносится на произвольные квазипроективные мно-
многообразия. Согласно теореме 6 § 6 гл. II deg<p = ;?.
Применим теорему 4 к отображениям вида а + Ь<р,
a,fteZ. Мы знаем, что п(а + bq>) = (a+ bq>, a+bq>), по-
поэтому
b2p.
A)
По своему определению п(а + &ф) !> О, откуда
I A, Ф) I < УТ. B)
С другой стороны, из A) следует, что 2A, ф) = гаA — ф) —
— р — 1, и поэтому B) дает нам
C)
При этом пA — ф) = deg(l — ф)*(о), а Supp(l — ф)*(о)
состоит из точек а, для которых A —ф)(а)=а, т. е.
а = ф(а) —это точки на X с координатами из FP. Дока-
Докажем, что все эти точки входят в A —<р)*(о) с кратно-

224
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
§ 3. ПЛОСКАЯ КУБИКА
225
стями 1. Для этого, как и в предшествующем примере,
достаточно сослаться на теорему 4 § 6 гл. II и доказать,
что отображение 1 — <р сепарабельно. Чтобы это прове-
проверить, надо доказать, что 1 — ф Ф мдр ни для какого отобра-
отображения (j.: X -*- X. Но отсюда следовало бы, что 1 =
= (l + jj.)qp, а это противоречит тому, что degcp = /?>l.
Таким образом, C) переписывается в виде
[N - р - 1\ *? 2VJ, C')
где N — число точек с координатами из FP на кубике
(включая и бесконечно удаленную). Иначе говоря, для
числа решений No сравнения
у2 = х3 + ах + Ъ (mod p)
получается неравенство
\N0-p\ s?2V^.
Этот результат допускает следующую переформулировку.
Если х — вычет mod p, то сравнение D) не имеет реше-
решения при (х ах '—1=—1 и имеет два решения при
(х -\-ах+ъ\ = /здесь (±\ _ символ Лежандра). Поэтому
\ р I \ \р I 1
D)
E)
v-x
N0-p =
и E) дает
р-1 ,
2
х=0
х + ах
F)
Оценки E) и F) имеют много применений в теории
чисел.
5. Алгебраически незамкнутое поле. Предположим, что
коэффициенты а и Ъ в уравнении (8) п. 2 принадлежат
некоторому полю х, не обязательно алгебраически замк-
замкнутому. Обозначим через к его алгебраическое замыка-
замыкание. Определение или явные формулы для группового
закона на X показывают, что точки с координатами из и
образуют подгруппу, которую мы будем обозначать Х(ус).
Пример 1. Пусть х = Q — поле рациональных чи-
чисел. В этом случае так называемая теорема Морделла
утверждает, что группа -X"(Q) имеет конечное число об-
образующих. Это в принципе столь же финитное описание
множества рациональных решений уравнения (8) п. 2,
как и то, которое параметризация, полученная в п. 2
§ 1 гл. I, дает для случая коники.
Пример 2. В более общей ситуации, когда X — глад-
гладкая проективная алгебраическая кривая, определенная
уравнениями с коэффициентами в поле к, мы можем при^-
менять предшествующую теорию к полю к => х — алгебра-
алгебраическому замыканию поля х. Мы будем дальше предпо-
предполагать поле ус совершенным (только для того, чтобы не-
немного упростить рассуждения). С такой кривой связыва-
связывается поле x(X)czk(X), состоящее из рациональных
функций от координат с коэффициентами из поля у..
Пусть D = UriiXi, Хг <= X,— дивизор и пусть координаты
точек Xi содержатся в поле ус', xczx'czk, причем мы мо-
можем считать, что чс'/ус — расширение Галуа. Очевидно,
что автоморфизм а расширения х'/и, примененный к ко-
координатам точки ж, <= Х(к'), переводит ее в точку a(xf)^
<=Х(х'). Если для любого автоморфизма а группы Галуа
расширения ус'/к и любой точки xt точка а(х{) входит в
дивизор D с тем же коэффициентом, что и Xi, то дивизор
D называется рациональным над ус. Таковы, в частности,
дивизоры функций поля у. (X).
Мы обозначим через 3?K{D) подпространство (над %),
состоящее из функций /<=х(Х), (/) + Z>>0. Это — век-
векторное пространство над полем х. Положим lK{D) =
= dimK3?K(D). Очевидно, что автоморфизмы расширения
х'/х переводят функции пространства 3? (D) в себя и
сохраняют пространство SK(D). При этом они не явля-
являются линейными преобразованиями: a (ccf) = a (a) a (f) для
a<=k, f^,3?(D). Такие преобразования называются полу-
полулинейными, и так называемая основная теорема о полу-
полулинейных преобразованиях утверждает, что пространство
S' (D) порождается над к подпространством (над х) сво-
своих инвариантных элементов 3?K{D): S?(D) = 3?(Dk
(см. Приложение, п. 3, предложение 1). В частности,
A)
Если дивизоры D и D' рациональны над х, и эквивалент-
эквивалентны, то существует такая функция / <= >с (X), что (/) =
= D — D'. Для доказательства надо применить основную
теорему о полулинейных преобразованиях к одномерному
пространству функций g <= х' (X), для которых (g) =
= D-D'.
Вернемся теперь к кубике X. В п. 3 § 2 гл. I мы
определили дзета-функции Zx(t) и ?x(s) для аффинного
15 и. Р. Шафаревич, т. 1

226
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
многообразия, определенного уравнениями с коэффициен-
коэффициентами в поле FP. Это определение, очевидно, переносится
на произвольное квазипроективное многообразие. Если
X — кривая, то циклы, определенные в п. 3 § 2 гл. I,—
это рациональные над FP дивизоры, причем, очевидно,
неприводимые в этом смысле, т. е. не разлагающиеся в
сумму рациональных. Эйлеровское произведение B) п. 3
§ 2 гл. I переписывается тогда, как и в случае римановой
^-функции, в виде
Z/-/A
где D пробегает все эффективные рациональные над FP
дивизоры. Иначе говоря,
Zx(f) = 5Wn,
где ап — число эффективных рациональных дивизоров D
степени п. Сейчас мы в состоянии явно определить это
число для случая, когда X— кубика.
Сначала найдем число классов рациональных дивизо-
дивизоров степени п. Мы показали в п. 1, что если degD = n,
то D~x + (n— 1)о. Из того, что D рационален над FP,
следует, что ieI(FP). Действительно, если координаты
точки х лежат в расширении Галуа %'/%, то для любого
автоморфизма этого расширения а{х)~х, а значит,
а(х) — х. Таким образом, число классов дивизоров степе-
степени п равно N, где N — число точек x^X{FP). Теперь
найдем число дивизоров в заданном классе, т. е. число
дивизоров D ~ Do, при заданном Do. Они соответствуют
функциям / е S'Fp (D)> причем / ?= О и функции рас-
рассматриваются с точностью до множителя из FP. Таким
образом, число рациональных дивизоров D с D ~ Do, D >
> 0, равно {рЫО) — 1)/(р — 1). Ввиду A) L(D) = l(D),
а ввиду теоремы 2, l(D)=n. Поэтому ап —N .
и мы получаем, что
N
Pt
1 I i-.pt
1 — t
Мы видим, что функция Zx(?) рациональна. Более того,
неравенство C') п. 4 показывает, что корни а4 и а2 трех-
§ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
227
члена 1+GV — р—l)t + ptz комплексно сопряжены. Так
как их произведение равно —, то I оц ] = —-~т. Для функ-
Р у р
ции Sx(s) = 2л(р-") это дает, что ее нули pt и (J2 лежат
на прямой Re(s)=l/2. Мы получаем, таким образом,
аналог гипотезы Римана. Аналогичные результаты имеют
место для произвольных гладких проективных многооб-
многообразий, но доказываются они гораздо сложнее (см. обзор
в [29], Приложение С).
ЗАДАЧИ
1. Найтя все точки второго порядка на кубике в вейерштрас-
совой нормальной форме.
2. Доказать, что если две кубики пересекаются ровно в 9 точ-
точках, то любая кубика, проходящая через восемь из этих точек,
проходит и через девятую.
3. Доказать, что координата х точек перегиба кубики (8) п. 2
удовлетворяет уравнению f(x) = х* + 2ах2 + 46а; + а2 = 0. Дока-
Доказать, что при а, Ъ е R все точки перегиба не могут быть вещест-
вещественными. [Указание. Воспользоваться тем, что f (х) =
= 4(ж3 -\- ах + Ь).] Доказать, что вещественная кубика имеет од-
одну или три вещественные точки перегиба. В последнем случае все
они лежат на одной прямой.
4. Доказать, что через каждую точку кубики проходят четыре
касательные к кубике.
5. Доказать, что точки касания четырех касательных к куби-
кубике, проведенных из ее точки а, лежат на конике, которая каса-
касается кубики в точке а.
6. Доказать, что если две кубики Xi и Хг с уравнениями у2 =
= ж3+ (цх + b{, i = l, 2, изоморфны, то существует изоморфизм,
переводящий их бесконечно удаленные точки друг в друга.
7. В условиях задачи 6 доказать, что изоморфизм, переводя-
переводящий друг в друга бесконечно удаленные точки кубик Xi и Хг, яв-
является линейным преобразованием.
8. Доказать, что если в условиях задач 6 и 7 Ъ\ *Ф 0, Ъ2 *?= 0,
то кубики Х\ и Xi изоморфны тогда и только тогда, когда af 1Ъ\ =
= о,уъ%,
9. Доказать, что дзета-функция Zx(s), связанная с кубикой,
удовлетворяет функциональному уравнению ?хA — s) = ?х(«).
10. Доказать, что любое отображение кубики а: Х~»-Х, а(Х) =
= X, может быть записано в виде а == фгр, где <р — отображение
Фробениуса, r^O, a p сепарабельно.
§ 4. Алгебраические группы
Результаты предшествующих параграфов приводят к
интересному разделу алгебраической геометрии — теории
алгебраических групп. Мы не будем углубляться в эту
область, но, чтобы дать читателю хотя бы некоторое пред-
15*

228
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
ставление о ней, расскажем в этом параграфе о некото-
некоторых ее основных результатах, опуская большую часть
доказательств.
1. Алгебраические группы. Плоские кубические кри-«
вые являются одним из важнейших примеров общего по-
понятия, которое мы теперь введем.
Алгебраической группой называется алгебраическое
многообразие G, которое в то же время является группой,
причем выполнены условия: отображения ср: G -*¦ G,
V(g) = g~\ и \р: GXG-+-G, i>(gi, gz)=gig2, регулярны
(g~* и gigz — обратный элемент и произведение в груп-
группе G).
Примеры алгебраических групп.
Пример 1. Плоская кубическая кривая с группо-
групповым законом ©. То, что условия в определении алгебраи-
алгебраической группы выполнены, утверждается теоремой 1 § 3.
Пример 2. Аффинная прямая А1, на которой груп-
групповой закон задается сложением координат точек. Эта
группа называется аддитивной.
Пример 3. Многообразие А1 — О, где О — нулевая
точка; групповой закон задается умножением координат
точек. Эта группа называется мультипликативной.
а
Пример 4. В пространстве А квадратных матриц
п-то порядка открытое множество невырожденных матриц
с обычным законом умножения матриц. Эта группа назы-
называется полной линейной.
Пример 5. В пространстве Ап замкнутое подмно-
подмножество, состоящее из ортогональных матриц. Закон умно-
умножения, естественно, тот же, что и в примере 4.
Покажем на самом простом примере, как тот факт,
что G является алгебраической группой, влияет на гео-
геометрию многообразия G.
Теорема 1. Многообразие алгебраической группы
гладко.
Из определения алгебраической группы следует, что
для любого fee G отображение
th: G-+G, tk(g) — hg
является автоморфизмом многообразия G.
Так как th(gi) = g2 для любых gt, g2^G mpiig2g^,
а свойство точки быть особой инвариантно относительно
автоморфизмов, то если хоть одна точка многообразия G
особая, то и все точки являются особыми. Но это проти-*
§ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
229
воречит тому, что в любом алгебраическом многообразии
особые точки образуют замкнутое собственное подмного-
подмногообразие. Поэтому G не может иметь особых точек. Теоре-
Теорема доказана.
Обобщением этой ситуации является случай, когда на
алгебраическом многообразии X задана группа G его ав-
автоморфизмов, причем для любых хи х2 <= X существует
такое g^G, что g(xl) = x2. В этом случае X называется
однородным. Предшествующее рассуждение показывает,
что однородное многообразие гладко. Примером является
грассманово многообразие (пример 1 п. 1 § 4 гл. I).
2. Факторгруппы. Теорема Шевалле. Этот пункт со-
содержит формулировки нескольких основных теорем об
алгебраических группах. Доказательства этих теорем
приведены не будут.
Подгруппой алгебраической группы G называется под-
подгруппа группы G, являющаяся замкнутым подмножест-
подмножеством в G.
Подгруппа Н <= G называется нормальным делителем,
если, как и в абстрактной теории групп, g~lHg = Н для
всех g -е H. Наконец, гомоморфизмом алгебраических
групп ср: G± -*- G2 называется регулярное отображение,
являющееся гомоморфизмом абстрактных групп.
Проблема построения факторгруппы по заданному
нормальному делителю N является весьма тонкой. Труд-
Трудность заключается, конечно, в том, как превратить мно-
множество G/N в алгебраическое многообразие.
Теорема А*). Абстрактную группу GIN можно та-
таким образом превратить в алгебраическую группу, что
будут выполнены условия:
1. Естественное отображение <р: G -*- G/N является
гомоморфизмом алгебраических групп.
2. Для любого гомоморфизма алгебраических групп
¦ф: G -*¦ Gu ядро которого содержит N, существует такой
гомоморфизм /: GIN -»- G±, что г|з = / • ф.
Очевидно, что алгебраическая группа G/N однозначно
определяется условиями 1 и 2. Она называется фактор-
факторгруппой G по N.
Алгебраическая группа G называется аффинной, если
алгебраическое многообразие G аффинно, и абелевым
*) Буквами будут обозначаться теоремы, доказательства кото-
которых не приводятся.

230
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
многообразием, если алгебраическое многообразие G про-
ективно и неприводимо.
Теорема В. Аффинная алгебраическая группа изо-
изоморфна подгруппе полной линейной группы (пример 4
в п. 2).
Очевидно, что полная линейная группа, а значит,
и любая ее подгруппа, аффинна.
Теорема С (теорема Шевалле). У всякой ал-
алгебраической группы G имеется такой нормальный дели-
делитель N, что N — аффинная группа, a G/N — абелево мно-
многообразие. Этим свойством N определяется однозначно.
3. Абелевы многообразия. Условие проективности мно-
многообразия алгебраической группы G, которое определяет
абелевы многообразия, содержит удивительно много ин-
информации. Из него вытекает много неожиданных свойств
абелевых многообразий. Простейшие из них мы здесь вы-
выведем, так как они требуют только применения простых
теорем, доказанных еще в гл. I.
Нам понадобится одно свойство произвольных проек-
проективных многообразий. Назовем семейством отображений
многообразия X в Z отображение /: X X Y -*¦ Z, где Y —
некоторое алгебраическое многообразие, называемое базой
семейства. Очевидно, что для любого у ^ Y мы имеем
отображение fy(x) = f{x, у), что оправдывает нашу тер-
терминологию.
Лемма. Если многообразия X и Y неприводимы, а X
проективио и, для семейства f отображений X в Z с базой
Y и некоторой точки yo^Y, f(XX г/о) есть одна точка
zo^Z, то, для любого y^Y, f(XXy) есть одна точка.
Доказательство. Рассмотрим график Г отобра-
отображения /. Очевидно, что Т <= XXYXZ и Г изоморфно
XX Y. Обозначим через р проекцию XXYXZ-*-YXZ
и через Г — множество р(Г). Так как X проективно, то
Г замкнуто согласно теореме 3 § 5 гл. I. Обозначим через
q: Г -*¦ Y отображение, определенное проекцией YXZ-*-
-*- Y. Слой отображения q над точкой у, очевидно,_ имеет
вид (у, f(x, у)) и, значит, не пуст, так что д(Г)=У.
С другой стороны, по условию, для у —Уо слой состоит из
одной точки (уо, za). Применяя теорему 7 § 6 гл. I, мы
видим, что dim Г = dim Y. _
Выберем произвольную точку ха s X; очевидно, Г =>
13 Ну, /(^о, у)), y^Y), а последнее многообразие изо-
изоморфно Y. Так как оба многообразия неприводимы и име-
§ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
231
Ршс. 15
ют одинаковую размерность, то они совпадают, а это и
значит, что f(XXy) = f(xa, у).
Замечание. Без предположения проективности мно-
многообразия X лемма неверна, как показывает пример се-
семейства отображений /: AiXA^-*- A1, f{x, y) = xy. Причи-
Причина этого в том, что множество Г
не будет замкнутым и к нему
нельзя применить теорему 7_§ 6
гл. I. В нашем примере Г с:
с= А1 X А1 = А2 и состоит из
всех точек (и, v), кроме точек с
и = 0, v Ф 0. Это — плоскость, из
которой выкинута прямая и=0,
но сохранена точка и = О,
v = 0. Для проекции q: {и, v) -*¦
-*- и действительно неверна тео-
теорема 7 § 6 гл. I: размерность слоя над точкой и = 0 равна 0,
размерность образа равна 1, а размерность отображаемо-
отображаемого многообразия равна 2 (рис. 15).
Теорема 2. Абелево многообразие коммутативно.
Рассмотрим семейство отображений G в G с базой G:
/: GXG-+G, f(g,g') = g-ig'g. Очевидно, что f(g, е) = е
и, значит, согласно лемме f(G, g') состоит из одной точ-
точки. Поэтому f(g, g') = f{e, g') = g', а это и значит, что
группа G коммутативна.
Теорема 3. Если яр: G -*¦ Н — регулярное отображе-
отображение абелева многообразия G в алгебраическую группу Н,
то i!p(g) — "Ф(е)ф(|Г), где e^G — единичный элемент,
а ф: Сг -*- Н — гомоморфизм.
Доказательство. Положим ф(^г) = я|з(е)~1я]з (g) и
докажем, что ф — гомоморфизм. Для этого рассмотрим
семейство отображений многообразия G в X, база которого
совпадает с G: /: GXG-+H, f(/,g)=-(p(g')<p(g)^(g'g)~i-
Так как ф(е) = е' — единичный элемент группы Н, то
f(G, е') = е'. Согласно лемме для любого элемента g ^ G,
f(G, g) состоит из одной точки, т. е. f(g', g) не зависит
от g'. Положив gr — е, мы получим, что f(g',g) = f(e,g) —
= е', а это и значит, что ф — гомоморфизм.
Следствие. Если два абелевых многообразия изо-
изоморфны как алгебраические многообразия, то они изоморф-
изоморфны как группы—«алгебра определяется геометрией».
В частности, отображения кубики К: X -*¦ X, h(o) — o,
рассматривавшиеся в § 3, являются гомоморфизмами.

232 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
4. Многообразие Пикара. Единственные примеры абе-
левых многообразий, которые нам до сих пор встреча-
встречались,— это плоские кубические кривые. Мы определили
на них групповой закон, исходя из изучения их группы
классов дивизоров. Этот пример типичен для гораздо бо-
более общей ситуации. Исходя из произвольного гладкого
проективного многообразия X, можно построить абелево
многообразие, группа точек которого изоморфна некото-
некоторой подгруппе группы С1(Х) (группе С1°(Х) в случае
кубической кривой). Мы приведем это определение, про-
пропуская доказательства всех утверждений, кроме самых
простых.
Нашей целью является изучение дивизоров на глад-
гладких многообразиях, но в промежуточных рассмотрениях
будут встречаться дивизоры на произвольных многообра-
многообразиях. Мы будем в этом случае под дивизорами понимать
только локально главные дивизоры.
Сейчас мы определим новое отношение эквивалентно-
эквивалентности для дивизоров — алгебраическую эквивалентность.
Она грубее (т. е. следует из) эквивалентности, которую
мы раньше рассматривали.
Пусть X и Т — два произвольных неприводимых мно-
многообразия. Для любой точки t^T отображение /«: х -*¦
-*¦ (х, t) определяет вложение X в XX Т. Каждый диви-
дивизор С на XX Т, для которого Supp С Ф X X t, определяет
дивизор j* (С) на X. Мы будем говорить в этом случае,
что дивизор ft (С) определен.
Семейством дивизоров на X с базой Т называется лю-
любое отображение /: r-^Div(X). Семейство / называется
алгебраическим, если существует такой дивизор С ^
^ Div (XXT), что дивизор ft(C) определен для всех
Дивизоры ?>! и D2 на X называются алгебраически
эквивалентными, если существуют такое алгебраическое
семейство дивизоров /на 1с базой Т и такие две точки
tu t2eT, что f(ti) = Du f(U) = Dz. Это отношение обозна-
обозначается ?>i = D%. Таким образом, алгебраическая эквива-
эквивалентность дивизоров означает возможность «алгебраиче-
«алгебраически деформировать» их друг в друга. Очевидно, что
алгебраическая эквивалентность рефлексивна и симметрич-
симметрична. Легко доказать, что она и транзитивпа. Если алгебра-
алгебраическая эквивалентность дивизоров Dt и Dz осуществля-
осуществляется дивизором С на X X Т, а эквивалентность Dz и D3 —
4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
233
дивизором С на XX Т', то, чтобы доказать эквивалент-
эквивалентность ?>! и D3, надо рассмотреть дивизор (СХТ') +
+ (C'XT) — D2XTXT' на XX Т XT'. Подробная про-
проверка предоставляется читателю.
Наконец, легко видеть, что алгебраическая эквива-
эквивалентность согласована со сложением в группе Div(JC):
дивизоры D с D s= 0 образуют подгруппу. Мы обозначим
ее через Div" (X).
Из эквивалентности дивизоров следует их алгебраиче-
алгебраическая эквивалентность. Достаточно проверить это для
эквивалентности дивизора нулю. Пусть D^Div(X), D~
~ 0, т. е. D = {g), gr^k(Z). Рассмотрим многообразие
Т = А2 — @, 0) и обозначим через и и v координаты на А2.
Мы будем рассматривать g, и и v как функции на XX Т,
подразумевая под этим, как обычно, p*(g), q*(u) и
2*(у), где р: ХХТ-+Х и q: XX Т -*¦ Т — проекции. По-
Положим С = (и+ vg) и рассмотрим алгебраическое семей-
семейство, определенное дивизором С на XX Т. Легко прове-
проверить, что /A,0) = 0 (нулевой дивизор), /@, 1)==?> и, зна-
значит, D ез 0.
Наконец, рассмотрим понятие алгебраической эквива-
эквивалентности на примере гладкой проективной кривой X.
Для любых двух точек х, у ^ X имеем х ^ у. Для этого
достаточно рассмотреть семейство дивизоров /, парамет-
параметризованное самой кривой X и определенное диагональю
на XXX. Легко проверить, что f(x) — x для всех х ^ X.
Поэтому для любого дивизора D = 2 ЩХг ж любой точки
Хо^ X выполняется D = B щ) х0, т. е. два дивизора оди-
одинаковой степени алгебраически эквивалентны.
Немного сложнее доказать обратное утверждение:
алгебраически эквивалентные дивизоры на гладкой проек-
проективной кривой имеют одинаковую степень. Мы не будем
приводить здесь доказательства. Таким образом, для ди-
дивизоров на гладкой проективной кривой X алгебраиче-
алгебраическая эквивалентность дивизоров равносильна совпадению
степеней. Поэтому
Div (Z)/Div° (X) = Cl (X) /СГ (X) = Z.
Обобщением этого является следующая теорема, доказан-
доказанная Севери (для полей характеристики 0) и Нероном
(в общем случае).
Теорема D. Для гладкого проективного многообра-
многообразия X группа Div(X)/Div°(X) имеет конечное число об-
образующих. (

234
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Можно показать, что для X = JJ Р г алгебраическая
эквивалентность совпадает с эквивалентностью дивизо-
дивизоров. Этот пример показывает, что группа Div(X)/Div°(X)
может быть более сложной, чем Z.
В случае плоской кубической кривой X группа
Cl°(X)=DiV(X)/P(X), где Р(Х) — группа главных ди-
дивизоров, является одномерным абелевым многообразием.
Аналогично этому для любого проективного гладкого
многообразия существует абелево многообразие G, группа
точек которого изоморфна группе Di\a(X)/P(X) и кото-
которое обладает следующим свойством.
Для любого алгебраического семейства дивизоров /
на X с базой Т существует такое регулярное отображение
ф: Т -*¦ G, что f(t) — /(io)e <p(?), где U — некоторая фик-
фиксированная точка Т (G отождествляется с Div° (X)/P (X),
и поэтому ф(?) считается классом дивизоров).
Абелево многообразие G однозначно определяется
этим свойством. Оно называется многообразием Пикара
многообразия X.
Многообразие Пикара гладкой проективной алгебраи-
алгебраической кривой X называется также якобиевым многооб-
многообразием этой кривой.
ЗАДАЧИ
1. Пусть G— алгебраическая группа, г|э: G X G-*- G— регуляр-
регулярное отображение, определенное групповым законом, 6е — касатель-
касательное пространство G в единичной точке, ве— касательное прост-
пространство G X G в единичной точке. Доказать, что ве = вв ф 0е,
a dety; 0„ ©!6е—ь0е задается сложением векторов.
2. В обозначениях задачи 1 пусть G — коммутативная группа
и фте: G-+-G задано тем, что q>n(g) = gn. Предполагая, что харак-
характеристика основного поля равна 0, доказать, что de<pn {х) — невы-
невырожденное линейное преобразование. Вывести отсюда, что в ком-
коммутативной алгебраической группе число элемептов порядка п
конечно и из любого элемента извлекается корень степени п.
§ 5. Дифференциальные формы
1. Одномерные регулярные дифференциальные формы.
В гл. II мы ввели понятие дифференциала cLf функции /,
регулярной в точке х алгебраического многообразия X.
По определению dxf — это линейная форма на касатель-
касательном пространстве ©ж точки х, т. е. dxf^Sx. Сейчас мы
исследуем зависимость этого понятия от точки х.
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
235
¦ Если функция / фиксирована и регулярна на всем X,
то dxf в своей зависимости от х является объектом ново-
нового, еще не встречавшегося нам типа: это сопоставление
каждой точке х ^ X вектора из дуального пространства
©х к касательному пространству в этой точке. С объек-
объектами аналогичной природы мы будем дальше все время
встречаться. Вероятно, следующее пояснение может по-
помочь. В линейной алгебре мы имеем дело с константами,
но также и с другими величинами — векторами, линей-
линейными формами и произвольными тензорами. В геометрии
аналогом констант являются функции (значения кото-
которых — константы). Аналогом векторов, линейных форм
и т. д. являются «функции», сопоставляющие каждой точ-
точке х алгебраического (или дифференцируемого) многооб-
многообразия X вектор, линейную форму и т. д. в касательном
пространстве 0Х этой точки.
Рассмотрим множество Ф [X] всевозможных отобра-
отображений ф, сопоставляющих любой точке х ^ X вектор ф(ж)
пространства ©ж. Это, конечно, слишком большое мно-
множество, так же как и совокупность всех функций на X
со значениями в к, которая слишком велика, чтобы быть
интересной. Аналогично тому, как среди всех функций мы
выделили регулярные, в множестве Ф [X] мы выделим
часть, более тесно связанную со структурой многообразия
X. Для этого заметим, что Ф [X] является абелевой груп-
группой, если положить (ф-Ь -ф) (#) — <р(х) + ty(x). Кроме того,
Ф [X] станет модулем над кольцом всех функций на X со
значениями в к, если мы положим (/ • ф) (x)~f(x) • ф(ж)
для функции /наХи для ф ^ Ф [X]. В частности, мы мо-
можем рассматривать Ф [X] как модуль над кольцом к[Х]
всех регулярных функций на X.
Как мы видели, любая регулярная на X функция
определяет дифференциал dxf s ф [X].
Поэтому любая функция / ^ к [X] определяет функцию
Ф ^ Ф [X]: <р(х) = dxf. Обозначим эту функцию через df.
Определение. Элемент феф [X] называется регу-
регулярной на X дифференциальной формой, если любая точ-
точка хеХ имеет такую окрестность U, что ограничение ф
на U принадлежит к подмодулю модуля Ф [U], порожден-
порожденному над кольцом k [U] элементами df, f «= к [U].
Очевидно, что все регулярные на X дифференциаль-
дифференциальные формы образуют модуль над к [X]. Этот модуль обо-
обозначается через Q [XJ. Таким образом, ф ^ Q [X], если в

236 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
окрестности любой точки х ^ X возможно представление
Ф = 2 hdgi, A)
где /i, . . ., fm, gu . . ., gm регулярны в окрестности точки х.
Взятие дифференциала функции определяет отображе-
отображение d: k[X]-+Q[X]. Свойства A) п. 3 § 1 гл. II теперь
приобретают вид
df. B)
Из этих формул легко получить тождество, верное для
любого многочлена Fek [Ти . . ., Тт] и функций /4, ...
(F (Д, . . ., /га))
щг. (А, -.../«)
C)
Для этого надо, пользуясь B), свести его доказательство
к случаю одночлена, а потом, опять используя B), дока-
доказать индукцией по степени одночлена. Подробности этой
проверки предоставляются читателю.
После того как соотношение C) доказано для много-
многочленов, оно немедленно обобщается на случай рациональ-
рациональных функций F. При этом следует иметь в виду, что если
рациональная функция F регулярна в точке х, то и все
QP
функции ^рр— в этой точке регулярны. Действительно,
р
тогда F = -рр Р, Q — полиномы и Q(x)?= 0. Поэтому
-г
дР
отсюда и следует ее регулярность.
Пример 1. Х — А". Так как в любой точке х^Ап
дифференциалы координат dxtu . . ., dxtn образуют базис
пространства @х, то любой элемент <р ^ Ф [А"] однознач-
но представляется в виде Ф =
"Фг dti, где "ф» — функ-
г=1
ции на А™ со значениями в к.
Если ф ^ Q [А"], то в окрестности любой точки имеет
место разложение A). Применяя к gt соотношение C),
мы получим разложение Ф = 2 ^* dtit в котором hi регу-
регулярны в точке х. Так как такое представление однознач-
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
237
но* то ij5i должны быть регулярны в любой точке х ^ Ап,
т. е. 1|5г е к [А"]. Поэтому Q [Ап] = ф к [Am] dtim
Пример 2. Пусть X = Р1 и t — координата на X.
Тогда X = Aj U А\, причем Aj ~ Aj ~ А1. Согласно
результату примера 1 любой элемент ф ^ Q[P4] представ-
представляется в виде <p = P(t)dt на Aj, ф = Q(u)du на Ах,
где и^ = 1. Из последнего соотношения следует, что
dt
= g-, и в Aj П Ai мы имеем
(t) dt = —
dt, т. е. P(t)= —
Q*{t)
F
если degQ = n. При этом <?* (О = ^n<? (у) и <?*
Такое соотношение между многочленами возможно
только при Р = Q = 0. Поэтому Q [Р1] = 0.
Пример 3. Пусть X задается уравнением х0 + х^ +
+ х\ =0 в Р2 и характеристика поля к?= 3.
Обозначим через С/у открытое множество, в котором
Хг Ф 0, Xj Ф 0. Тогда X = U0l U C/12 U C/20. Положим
U nil X — — ,
01
в ?7
12'
У = —ж
о
dv
в U
20-
— ж « X — 2
Очевидно, что ф ^ Q [С/01], т|з s Q [С/12], х е й [#го]. Легко
проверить, что ф = ij) в Uai П С/12, ф = % в ?7<н П С/20 и т|э = х
в С/12 П С/20. Поэтому эти формулы определяют единую
форму а> ^ Q [X]. Этот пример интересен тем, что Q [X] Ф
Ф 0, в то время как X — проективное многообразие и на
нем нет непостоянных регулярных функций.
В общем случае можно доказать факт, аналогичный
тому, который имеет место в примере 1, но более слабый.
Теорема 1. Любая простая точка х алгебраического
многообразия X имеет такую аффинную окрестность
U^x, что модуль Q[U] свободен над k[U]. Его ранг ра-
равен dim* X.

238 гл. ш. дивизоры и дифференциальные формы
Доказательство. Пусть X <=¦ AN и многочлены
Fu . . ., Fm образуют базис идеала многообразия X. Тогда
^ = ОнаХ,и поэтому ввиду C)
^ ~дТ~-
3=1 3
D)
Если точка х простая и dimxX = re, то ранг матрицы
/ dFi \
I -02\(х) ] равен N — п. Пусть, например, tu . . ., tn — ло-
локальные параметры в точке х. Тогда из D) следует, что
все dtj можно выразить через dti, . . ., dtn с коэффициен-
коэффициентами, которые являются рациональными функциями, ре-
регулярными в точке х.
Рассмотрим окрестность U точки х, в которой все эти
функции регулярны. В ней dvti, . . ., dvtn образуют базис
©у для любой точки у ^ U. Пусть ф ^ Q [U]. Согласно
сказанному выше в U существует однозначное представ-
представление
ф =
E)
где if* — функции на U со значениями в к. Из представ-
представления A) и формулы C) следует, что ф в окрестности
любой точки у е JJ выражается в виде линейной комбина-
комбинации dtu . . ., dtN, коэффициенты которой — функции, регу-
регулярные в U. Как мы видели, dt±, . . ., dtN можно аналогич-
аналогичным образом выразить через dtu . . ., dtn. Поэтому ф =
п
— 2 Si dti, где gi регулярны в окрестности точки у. Из
единственности представления E) следует, что г|э< = gi
в окрестности точки у и, значит, ч|^ ^ k [U]. Мы видим,
п
п
2
что Q [U] = 2 k[U]dti.
Предположим, что между dtu . .., dtn имеется соотно-
п
шение 2 Si dti = 0 и, например, gn Ф 0. Тогда в открытом
множестве, где gn Ф 0, dtu ..., dtn линейно зависимы,
а это противоречит тому, что dyU независимы в 0^ для
всех уе[/. Теорема доказана.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
239
Следствие. Если ии . . ., ип — любая система ло-
локальных параметров в точке х, то в некоторой окрестно-
окрестности U точки х dUi, ..., dun порождают модуль Q[U].
Пусть dti, ¦ -., dtn — базис свободного модуля Q [U]
в окрестности С/эг, существующей согласно теореме 1.
I
Тогда du-i = 2 Sij dtj, а так как и< — локальные парамет-
3—1
ы, то \gij(x)\ Ф0. Поэтому в окрестности U'', в которой
gij\ Ф 0, duu . . ., dun порождают модуль Q [U'].
2. Алгебраическое описание модуля дифференциалов.
Мы видели в гл. I, что категория аффинных многообра-
многообразий эквивалентна категории колец некоторого специально-
специального типа. Поэтому на всю теорию аффинных многообразий
можно смотреть с чисто алгебраической стороны и, в ча-
частности, попытаться понять алгебраический смысл модуля
дифференциальных форм.
Рассмотрим аффинное многообразие X, обозначим
кольцо к [X] через А и модуль Q [X] через Q. Взятие диф-
дифференциала определяет гомоморфизм к-модулей d: A -*¦ Q.
Предложение 1. Модуль Q порожден над А эле-
элементами df, f^A.
Это — аналог теоремы 4 § 3 гл. I и доказывается со-
совершенно аналогично. Если о ^ Q, то по определению для
любой точки х ^ X существует представление to =
= ^jfi,xdgi,x, fi>x, gi,x^ Ox. Для любой функции и<^(Ух
существует представление и = —, v, w^A, гс(х)Ф0. Вос-
Воспользовавшись таким представлением для /,-, х ж git x ж
взяв общий знаменатель всех дробей, мы получим такую
функцию рх, что рх(х)Ф0,
Рх - «> = 2 ri>xdhitX, ri<x, hi<x ^ A.
Ввиду того, что рх(х)Ф0, существуют такие функции
qx^A, что ^iPxqx = 1, откуда со = 2,qxri<xdhi,x. Это
доказывает предложение 1.
Предложение 1 подсказывает мысль дать описание
модуля Q через его образующие df, f<=A. Очевидно, что
выполнены следующие соотношения:
da. — 0 при
(i):

240
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
241
Предложение 2. Если X—гладкое аффинное мно-
многообразие, А = к [X], то А-модулъ Q определяется соотно-
соотношениями A).
Доказательство. Обозначим через R модуль,
определенный над кольцом А образующими df, находящи-
находящимися во взаимно однозначном соответствии с элемента1
ми А, и соотношениями A). Имеется очевидный гомомор-
гомоморфизм |: R -*¦ Q, и предложение 1 показывает, что | — эпи-
эпиморфизм.
Нам остается доказать, что ? не имеет ядра. Пусть
Ф ^ Д и ?(ф) = 0. Заметим, что рассуждения в доказа-
доказательстве теоремы 1 использовали только соотношения A).
Поэтому они применимы и к модулю R и показывают,
что для любой точки х е X существует такая функция
Dei, что D(x)^0 и D-(p = ^gidti, gt^A, где теперь
докальные параметры U выбраны в качестве элементов
кольца А. Если |(ф) = 0, то .2 Sidti = 0 в модуле Q и из
теоремы 1 следует, что все gi = 0. Таким образом, D • ср =
= 0. Мы видим, что для любой точки х существует такая
функция D^A, что D(x)^0, D ¦ ф = 0. Рассуждая, как
при доказательстве предложения 1, мы получаем, что
Ф = 0. Предположение доказано.
Таким образом, в этом случае модуль Q [X] можно
описать чисто алгебраически, исходя из кольца к [X]. Это
подсказывает мысль рассмотреть аналогичный модуль
для любого кольца А, являющегося алгеброй над
подкольцом Ао. Модуль QA, определенный образую-
образующими da и соотношениями A) (конечно, в последнем
aeio)( называется модулем дифференциалов кольца А
над Ай.
Если многообразие X негладкое, то такой чисто алгеб-
алгебраически определенный модуль QA дифференциалов, во-
вообще говоря, не совпадает с Q [X] (см. задачу 9). Предло-
Предложение 1, которое верно и для негладких многообразий,
показывает, что QA содержит больше информации о мно-
многообразии X, чем модуль Q [X]. Однако дальше мы будем
иметь дело в основном с гладкими многообразиями и это
различие не будет для нас важно.
3. Дифференциальные формы высших степеней. Диф-
Дифференциальные формы, которые мы рассматривали в п. 1,
сопоставляют каждой точке х ^ X элемент пространства
©ж- Сейчас мы рассмотрим более общие дифференциаль-
дифференциальные формы, которые сопоставляют точке х^Х линейную
кососимметрическую форму на пространстве О*, т. е. эле-
элемент r-й внешней степени ЛГ0Х пространства @х.
Определение вполне аналогично тому, которое рас-
рассмотрено в п. 1. Обозначим через Фт [X] множество все-
всевозможных сопоставлений каждой точке х ^ X элемента
пространства Лг0я;. Таким образом, если со е фг [X], х е
еХ, то со (х) ^ ЛГ0*. В частности, Ф9 [X] — кольцо лю-
любых отображений X -*¦ к; Ф1 [X] — это Ф [X], рассмотрен-
рассмотренное в предшествующем пункте. Поэтому df e ф1 [X] для
k[Z]
Напомним, что для любого векторного пространства Ь
определена операция внешнего умножения Л: если ф ^
se ArL, т|з е ASL, то ф Л ¦ф ^ Ar+SL, причем ф Л 'Ф дистри-
дистрибутивно, ассоциативно и ¦ф Л Ф = (— 1)™"ф Л ^- Если
еи . . ., еп — базис L, то базис ArL состоит из всех произ-
произведений eix Д ... Д eir, ix <C i2 <C . . . <С ir. Поэтому
dim ArL = | ™ I, в частности, dimAnZr = l, ArL = 0 при
г> п.
Определим операцию внешнего умножения в множе-
множествах Фг [X]: при сог е= ф>- [X], соз ее ф3 [X], зададим со =
= сог Д cos равенством со (х) = ov (х) Д со^ (х) для всех
х е X. Очевидно, что со ^ фг+3 [X]. При г = 1, s = 0 мы
приходим к умножению элементов Ф1 [X] = Ф [X] на функ-
функции. Полагая s = 0, г любым, мы видим, что определена
умножение Фг [X] на функции на X. В частности, все
Фг [X] являются модулями над кольцом k [XJ.
Определение. Элемент ф^Ф' [X] называется г-мер-
ной регулярной дифференциальной формой на X, если
любая точка х ^ X имеет такую окрестность U, что на U
элемент ф принадлежит подмодулю Фт [U], порожденному
над k[U] элементами dfx Д . . . Д dfr, flt . . ., /re k [U].
Все г-мериые регулярные дифференциальные формы
на X образуют модуль над к [X]. Этот модуль обозначает-
обозначается через Qr [X].
Таким образом, элемент со ^ Qr [X] в окрестности лю-
любой точки х ^ X записывается в виде
со =
A)
gix..Ar, fiv • • •, fly регулярны в точке х.
16 и. Р. Шафаревич, г. ?

:242
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Операция внешнего умножения определена для регу-
регулярных форм и очевидно, что для озг е Я1" [X], <os ^ Qs [X]
имеем сог Д cos^ Qr+S [X]. В частности, любое Qr [X] яв-
является модулем над к [X].
Дифференциальные формы, которые мы рассматрива-
рассматривали в предшествующем пункте, являются с точки зрения
нового определения одномерными дифференциальными
формами.
Теорема 1 имеет аналог для форм Qr [X] при любом г.
Теорема 2. Любая простая точка п-мерного мно-
многообразия имеет такую окрестность U, что модуль Qr [U]
свободен над k [U] и имеет ранг (").
Доказательство. При доказательстве теоремы 1
мы видели, что существуют такая окрестность U простой
точки х и такие п функций ии ..., ип, регулярные в U,
¦что dyuu .. ., dyU^ образуют базис ву для любого у «= U.
Отсюда следует, что любой элемент ф ^ Фг [U] представ-
представляется в виде
Ф = 2 ^..-v du4 А • • - Л du^,
-где ^...i,.— функции на U со значениями в к.
Если ф?Йг [U], то, для любой точки у «= U, <р пред-
ставимо в виде A). Применив к формам dft теорему 1,
мы увидим, что функции tyi^.A,. регулярны в точке у.
Так как у — любая точка на U, то они регулярны в U.
Таким образом, формы du^ Д . . . Д duir, it < i2 < . . .
. . . < U, порождают модуль Qr [IT]. Остается доказать,
что эти формы линейно независимы над k [U]. Но любая
зависимость
2 8гг..лг duix Д ... Д duir = О
.дает в точке х ^ U соотношение
2 gir.Ar (.x) dxuh Д ... Д dxuir = 0. B)
Так как dxUi, ..., dxun — базис пространства вж, то
dxuti/\ . . . Д dxU^ образуют базис в ЛГ0*. Поэтому из B)
следует, что gi ^(х) = 0 для всех x^U, т. е.
gix..Ar = 0- Теорема доказана.
Особенно важным является модуль Qn [U], который
в предположениях теоремы 2 имеет ранг 1 над k [U].
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Таким образом, если а> ^ Q" [U], то
(* = gdUl/\ ... /\dun, ge=
243
Запись to в таком виде существенно зависит от выбора
локальных параметров ии . . ., ип. Выясним, какова
эта зависимость. Пусть vu ..., vn — другие такие п
регулярных функций на X, что vt — vt{x), . .., vn —
— vn(x) являются локальными параметрами в любой точ-
точке х ^ U. Тогда
= k[U]dvt + ..
.. + k[U]dvn
и, в частности, все dUi представимы в виде
п
dui — 2 hijdvj, i == 1, . ..,, п.
Так как dxuu ..., dxun образуют базис пространства
0Х для всех х е JJ, то из D) следует, что det(feij(a:))=7^0.
По аналогии с анализом det(&fj) называется якобианом
функций ии . . ., ип по f±, . . ., vn. Обозначим его черва
j(ux, ...,иг
мы видели,
¦ -.,vr
и для всех
л**---
•- "п
о.
Подстановка D) в выражение для о> и простое вычис-
вычисление во внешней алгебре показывают, что
(в)
Таким образом, хотя форма to ^ Q" [Z7] задается функ-
функцией g ^ k [XJ, такое задание возможно только при выборе
локальных параметров и существенно зависит от этого
выбора.
Напомним, что представление C) возможно, как пра-
правило, только локально (см. формулировки теорем 1 и 2).
Если X = U Ut и в каждом Ut такое представление воз-
возможно, то на всем X мы не можем сопоставить <а единун*
функцию g: функции gt, получающиеся в разных Uiy
между собой не совпадают. Пример этого мы видели в п. 1
(пример 3).
16*

244
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
245
4. Рациональные дифференциальные формы. Пример 2
в п. 1 показывает, что на алгебраическом многообразии X
может быть очень мало регулярных дифференциальных
форм (Q1[P1] = 0), в то время как на его открытых под-
подмножествах их достаточно много (Q1 [U] = k [U] du).
С аналогичным явлением мы встретились в связи с поня-
понятием регулярной функции и, именно исходя из этих
соображений, ввели понятие рациональной функции как
функции, регулярной на некотором открытом подмноже-
подмножестве. Сейчас мы введем аналогичное понятие для диффе-
дифференциальных форм.
Рассмотрим гладкое неприводимое квазипроективное
многообразие X. Пусть со — r-мерная дифференциальная
форма на X. Напомним, что имеет смысл говорить об об-
обращении to в 0 в точке х^ X: си (х) ^ Лгвж и, в частно-
частности, может быть нулем.
Лемма. Множество точек, в которых регулярная
дифференциальная форма со обращается в О, замкнуто.
Пусть У — множество нулей формы со. Так как замк-
замкнутость — локальное свойство, то мы можем ограничить-
ограничиться рассмотрением достаточно малой окрестности U про-
произвольной точки х ^ X. В частности, мы можем выбрать
U так, чтобы в нем имели место теоремы 1 и 2. Тогда
существуют такие функции ии . . ., ип ^ k [U], что
?2Т [U] — свободный модуль с образующими du^^ Д . . .
« . . Д du^, ix<C . . . <С ir- Поэтому со однозначно представ-
представляется в виде со = 'Sigi1..t,ir duix Д . . . Д duirm равенство
(и(х) = О равносильно равенствам gix...ir(x) = 0, которые
¦определяют замкнутое множество. Лемма доказана.
Из леммы, в частности, следует, что если со(ж)=0
для всех точек х открытого множества U, то со¦= 0 на
всем X.
Введем теперь новый объект, состоящий из открытого
множества U с: X и дифференциальной формы со ^ Qr [U].
Определим для таких пар (со, U) отношение эквивалент-
эквивалентности (со, *7)~(co', U'), если со = со' на Ut\U'. Ввиду
сделанного выше замечания достаточно потребовать, что-
=бы со и со' совпадали на каком-либо открытом множестве,
содержащемся в U и V. Отсюда следует транзитивность
этого отношения эквивалентности. Класс, определенный
таким отношением эквивалентности, называется рацио-
рациональной дифференциальной формой на X. Множество
всех r-мерных рациональных дифференциальных форм
на X обозначается через Qr (X). Очевидно, что Q°(X)
k(Z)
Действия над представителями классов переносятся
на классы и определяют операцию умножения: если
e>r^Qr(X), <oa^Q3(X), то сог Д со, ge Qr+S (X). При
s = 0 мы видим, что Qr (X) является модулем над к (X).
Если рациональная дифференциальная форма со (ко-
(которая есть класс эквивалентных пар) содержит пару
(со, U), то со называется регулярной в U. Объединение
всех открытых множеств, в которых со регулярна, есть
открытое множество Ua, называемое областью регуляр-
регулярности со. Очевидно, что со определяет некоторую регуляр-
регулярную форму, принадлежащую Qr [Uw]. Если х е= иа, то мы
будем говорить, что со регулярна в точке х. Очевидно, что
Qr (X) не меняется при замене X его открытым подмно-
подмножеством, т. е. является бирациональным инвариантом.
Выясним структуру модуля Qr(X) над полем к(Х).
Теорема 3. Qr(X) являетея векторным пространст-
пространством над к(Х) размерности ("].
Рассмотрим любое открытое множество U <= X, для
которого модуль Qr [U] свободен над k [U] (теоремы 1 и 2).
Тогда существуют такие п функций ии ..., ип е k [U],
что произведения
duix Л • • • Л &*«,.« 1 < ii < • - • < ir < ге, A)
образуют базис Qr [U] над к [U]. Любая форма со е= Qr (X)
регулярна в некотором открытом множестве V <= U, для
которого по-прежнему формы A) дают базис в QT[U'\
над k [U']. Поэтому со' представляется однозначно в виде
S . gix...irduix Д . . . Д duir,
где gix...ir регулярны в некотором открытом множестве
U' с: TJ, т. е рациональны на X. Это и значит, что фор-
формы A)— базис QT(X) над к(Х).
Какие л функций ии . .., ип е=к(Х) обладают тем
свойством, что duix Д . . . Д duir (I ^ it < . . . < iT sg
^ п)— базис ;Qr(X) над к(Х)? Мы выведем достаточное
для этого условие. Это же условие и необходимо, но это
нам не понадобится.
Теорема 4. Если ии . . ., z*n — сепарабелъный
трансцендентный базис поля к (X), то формы dUi Д . , .

246 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
.. . Д dairf I ^ U < .. . < ir sS n, образуют базис Qr (X)
над к(Х)Г.
Так как Qr (X) и к (X) — бирациональные инварианты,
то мы можем считать X аффинным: X с: A.N.
Пусть «1, . . ., ип — сепарабельный трансцендентный
базис поля к (X). Тогда любой элемент ysk (X) удовлет-
удовлетворяет соотношению F(v, щ, .. ., и„) — 0, сепарабельному
относительно v.
В частности, для всех координат t{ в AN имеют место
соотношения Ft(tu пи ..., и„) = 0 (г = 1, .. ., N). Из них
следует, что на X выполняется соотношение
п
Fi,tidti + 2 F'i.ujduj = 0 (г=1, . . ., N). Из сепарабель-
сепарабельности многочленов F{ по U следует, что Fitti ^ О на X.
Поэтому
На некотором открытом множестве U <= X все функции
регулярны, а тогда B) показывает, что
F.
г,
и
в любой точке у ^ U дифференциалы пущ порождают
пространство в*. Так как число этих дифференциалов
разно размерности пространства, то они образуют его
базис. Поэтому du{ образуют базис модуля Q1 [Щ над
k[U], произведения Щ— базис Qr[U] над Ц.Щ, а тем
более QT (X) над к (X).
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что на аффинной окружности с уравнением х2 +
dx
+ у2 = 1 рациональная дифференциальная форма ~^~ регулярна.
Предполагается, что характеристика основного поля =Ф 2.
2. В обозначениях задачи 1 доказать, что Q [^] к[Х]
Указание. Записать любую форму
в виде co=
и воспользоваться тем, что
dx
dy
3. Доказать, что в примере 3 п. 1 dim Q'fZ] = 1.
4. Доказать, что Qn [Pn] = 0.
5. Доказать, что Я^Р"] = 0.
§ 6. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 247
€. Доказать, что Qr[Pn] = 0 при г > 0.
Р (t)
7. Пусть со = Q~7jy dt, где Р и (?—многочлены, degP—m,
degQ = п — рациональная форма на Р1 (t — координата на Р1).
В каких точках х е Р1 форма ш нерегулярна?
8. Доказать, что касательное расслоение гладкого многооб-
многообразия X, введенное в п. 4 § 1 гл. II, бирационально изоморфно
прямому произведению X X А". Указание. Для открытого мно-
множества U в теореме 1 построить изоморфизм касательпого рассло-
расслоения кР на Е/ХА": (*, 1) -»* X ((d*»i) (I), ..., (d*un) (D),
i 6= еж.
9. Вычислить модуль Qa, построенный при доказательстве
предложения 2 в п. 2 для кривой у2 = ж3, и доказать, что
| (Зг/ da; — 2х dy) =0. Указание. Воспользоваться тем, что
к[Х] =к[х] +кЫу.
10. Пусть К — расширение поля к. Дифференцированием поля
К над к называется к-липсйное отображение D: К-*-К, удовлетво-
удовлетворяющее условию D(xy) = D(x)y + xD{y), x, у е К. Доказать, что
если и е К и D — дифференцирование, то отображение Dt (x) =
= uD(x)—тоже диффоренцировапие, так что все дифференциро,
вания К над к образуют векторное пространство над К. Оно обо-
обозначается через Г>к(Я).
11. Пусть D — дифференцирование поля К = к(Х) над к, ш е
е Q1 (X), ш = 2 fidSv Доказать, что функция {D, ш) = ^ fxD (^)
не зависит от представления ш в виде 2 fi^Si- Доказать, что это
скалярное произведение устанавливает изоморфизм 1>ъ(К) =.
(Qf(Z))* H(Ql(X) k(X))
§ 6. Примеры и применения
дифференциальных форм
1. Поведение при отображениях. Сначала мы иссле-
исследуем поведение дифференциальных форм при регулярных
отображениях. Если <р: X -*¦ Y — такое отображение,
х ^ X, то dxty есть отображение вк> х -*¦ вФ(зе), г, а сопря-
сопряженное преобразование (<^сф)* отображает вф(Х),г в 0ж,х-
Поэтому для иеф[У] мы имеем <р*(со)е ф [X], где
*()( К*((
Ф()() Кф)((ф()))
Из определения легко вытекает, что отображение
(dxcp)* согласовано со взятием дифференциала, т. е.
(<Мр)*(^ф<*)/)= ^(ф*(/)) ДЛя/^kfF]- Отсюда следует,
что если со ^ Q1 [Y], то ф*(со)^01[Х] и ф* определяет
гомоморфизм ф*: Ql [Y] -*¦ Q1 [X], который согласован со
взятием дифференциала для / ^ k [F].
Наконец, из линейной алгебры известно, что линейное
преобразование линейных пространств ф: L -*- М опре-
определяет линейное преобразование Лгф: ArL -*¦ JVM. При-
Применяя это к отображению (<2*ф)*, мы получим отображе-

248 гл- IH- ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНДИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
ние Лг (йжф)*: Лг0ф(а;) у-^-Л^^х и отображения
Фг [У] -*¦ Фг [X] и Qr [У] -+ Qr [X]. Последнее мы будем
опять обозначать через <р*.
Из всего сказанного выше вытекает, что эффективное
вычисление действия операции <р* на дифференциальные
формы очень просто: если
СО
= 2 g\...ir йин Л » • • Л du^,
Ф* (<о) = 2 Ф* (^...г-) <*(Ф>О) Л ..- Л ^(Ф* ("О)- A)
то
Пусть теперь X неприводимо, ф: X -*¦ У — рацио-
рациональное отображение и q>(X) плотно в У. Так как ф
является регулярным отображением открытого множества
U а X в У и любое открытое множество V <= У пересе-
пересекается с cp(U), то предшествующие рассуждения опреде-
определяют отображение ф*: Qn(Y)-*- QT(X). Это отображение
опять задается формулой A).
Мы знаем, что при г — 0, т. е. для функций, отобра-
отображение ф* является вложением. Для дифференциальных
форм это не всегда так. Пусть, например, X = У = Р1,
k(X)=k(t), к(У)=к(и), к имеет конечную характери-
характеристику риф задается формулой и = tp. Тогда ф*(/(и)) =
= /(*р) и <f>*(df)=d{f(tp))=Q (/е к (и)), так что
Ф*(Й1(У))=О. Ситуация выясняется следующим резуль-
результатом.
Теорема 1. Если поле к(Х) имеет сепарабелъный
трансцендентный базис над k(Y), то отображение
Ф*: Qr(Y)->- Qr(X) является вложением.
Мы здесь отождествляем поле к (У) с подполем
Ф*к(У) поля к (X).
Пусть к(Х)/к(У) имеет сепарабельный трансцендент-
трансцендентный базис vt, . . ., vs. Это значит, что vu . . ., va алгебраи-
алгебраически независимы над к (У) и к (X) — конечное сепара-
бельное расширение поля к(У)(у4, . . ., vs). Поле к (У)
имеет сепарабельный трансцендентный базис над к (см.
замечание 1 к теореме 5 § 3 гл. I). Обозначим его через
ии . . ., иг. Тогда щ, ..., ит, vu .. ., ь>5 — сепарабельный
трансцендентный базис поля к(Х) над к.
Записав любую дифференциальную форму <а ^ Qr (Y)t
в виде
Л ••• Л du* B)
§ 6. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 249
и применив к ней A), мы получим запись ф*(<в) через
произведения йф* (щг) Л • • • Л ^Ф* (uv)' которые состав-
составляют часть базиса Qr (X) над к(Х), так как ф* (ut) —
часть сепарабельного трансцендентного базиса ии . . ., иг,
v±, . . ., vs (теорема 4 § 4). Поэтому ф*(о>) = 0, только
если все ф* (g^.-.i,.) = 0, а это возможно только при
gir..ir = 0»; Т.е. (О=0.
Все предшествующее было более или менее очевидно.
Теперь мы подошли к неожиданному факту.
Теорема 2. Если X и Y — гладкие многообразия,
Y проективно и ф: X -*- Y — такое рациональное отобра-
отображение, что ф (X) плотно в Y, то ф*?2г [У] <= Qr [X].
Иными словами, ф* переводит регулярные дифферен-
дифференциальные формы в регулярные. Так как ф только рацио-
рационально, это кажется совсем неправдоподобным даже для
функций, т. е. при г = 0. В этом случае положение спа-
спасается тем, что ввиду проективности У регулярные функ-
функции на нем постоянны и теорема тривиальна.
В общем случае теорема менее очевидна. Мы восполь-
воспользуемся тем, что ввиду теоремы 3 § 3 гл. II отображение ф
регулярно на X — Z, где Z замкнуто в X и codim^ Z 3= 2.
Если со ^ Qr [У], то ф*(со) регулярна на X — Z. Дока-
Докажем, что из этого следует ее регулярность на всем X.
Для этого запишем ф*(со) в некотором открытом множе-
множестве U в стандартном виде B) (с заменой со на ф*(со)),
где теперь щ, ..., ип — такие регулярные функции на 17,
что &Uix Л ••• Л duir—базис Qr[t7] над k[U]. Тогда
из регулярности формы ф*(со) на X — Z следует регу-
регулярность всех функций gi^.Ar в U — (Z П U). Но
coding (Z П [/) > 2, и это значит, что множество точек,
где gix...ir не регулярна, имеет коразмерность 3*2.
С другой стороны, это множество есть дивизор (S^.-.i,),»*
Это возможно только в том случае, когда (^...г,.)^ = 0
и, значит, функция §1г1..лг регулярна.
Следствие. Если гладкие проективные многообра-
многообразия X и Y бирационалъно изоморфны, то векторные про-
пространства Qr [X] и Qr [Y] изоморфны над полем к.
Значение теоремы 2 и ее следствия усиливается тем,
что для проективного многообразия X пространство
Qr [X] конечномерно над к. Этот результат является след-
следствием общей теоремы о когерентных пучках, которая
будет доказана в гл. VI. Для случая кривых мы докажем

250
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
его в п. 3. Положим hT = dim Qr [X]. Следствие теоремы 2
означает, что числа hT (г = 0, 1, . . ., п) являются бира-
циональными инвариантами гладкого проективного мно-
многообразия X.
2. Инвариантные дифференциальные формы на груп-
группе. Пусть X — алгебраическое многообразие, ш — диффе-
дифференциальная форма на нем, a g — автоморфизм X. Форма
<о называется инвариантной относительно g, если
g*((u)= (О.
Пусть, в частности, G — алгебраическая группа. Опре-
Определение дано в п. 2 § 3. Из него сразу следует, что для
любого элемента g see G отображение
регулярно и является автоморфизмом G как алгебраиче-
алгебраического многообразия. Дифференциальная форма на G
называется инвариантной, если она инвариантна относи-
относительно всех преобразований tg.
Инвариантная дифференциальная форма регулярна.
Действительно, если форма <о регулярна в точке х0 ^ G,
то t^a» регулярна в точке g~*x0. Но tg(o = <о и, значит, о»
регулярна во всех точках gx0, g «^ G, а это вообще все
точки G.
Мы покажем, как найти все инвариантные дифферен-
дифференциальные формы на алгебраической группе. Для этого
рассмотрим автоморфизмы tg векторных пространств
Фг [G], соответствующие сдвигам tg (ср. п. 1). Мы опре-
определим сначала множество элементов феф' [G], инвари-
инвариантных относительно всех tg, g <= G. В этом множестве
содержатся, в частности, инвариантные дифференциаль-
дифференциальные формы.
Условие
tg (ф) = ф
означает, что для любой точки х ^ G
A)
~х
В частности, при g = х
(Ard?-t)(<p(e)) = q>(x). B)
Эта формула показывает, что ф однозначно задается эле-
элементом ф(е) конечномерного векторного пространства
§ 6. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 251
Лгв*. Наоборот, задав произвольно т]^Лгве, мы можем
построить по формуле B) элемент феф' [(?]:
Простая подстановка показывает, что он удовлетворяет
и условию A), т. е. инвариантен относительно tg- Таким
образом, подпространство элементов ф ^ Фг [<?], инвари-
инвариантных относительно автоморфизмов tg, изоморфно про-
пространству Лг0е, и изоморфизм задается соответствием
Покажем теперь, что все построенные нами элементы
Ф являются регулярными дифференциальными формами,
т. е. содержатся в QT [G]. Ввиду инвариантности регуляр-
регулярность формы ф достаточно проверить в одной какой-ни-
какой-нибудь точке, например в единичной точке е. Кроме того,
достаточно ограничиться случаем г = 1. Действительно,
2 *
если
т] = 2 «ij Л • • • Л
air
и формы
соответствующие щ по формуле B), регулярны, то форма
Ф = 2 ф^ Л - • • ЛФгг регулярна и соответствует х\.
Выберем такую аффинную окрестность V точки е, что
модуль .Q1 [V] свободен, и пусть dux, . . ., dun — его базис.
Существует такая аффинная окрестность U точки е, что
|j, (U X U) с= V, где |л — отображение умножения в G.
Как и любая функция из k [U X U], ц,*(иг) может быть
записана в виде
И-
g2) = 2
UXU
2), viif
GXG.
к [U],
По определению th = \ish, где sh — вложение G -*~ G X G,
sh (g) = (ft, g). Поэтому tl(ui)(g)=^vij(h)wij{g), а так как
(tl (dm)) (g) = dhg (tl (u{)), то (dl (dui)) (g)=2 vtj (ft) dhg (wls).
Полагая, в частности, h = g *, получим
(t*_г
(g)
Выражая dwLi через duh, мы получим соотношения
t*g_xdUl = 2 сы (g) duk, chl s k [U]t
C)

252
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
6. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 253
причем
= 2
D)
Запишем теперь инвариантную форму <р в виде и =
== 2 "Фа duk и рассмотрим соотношение tgq> = <p в точке е.
Подставляя выражения C) и приравнивая коэффициенты
при duk, мы получим
2e** = ^(e). E)
Так как (сы(е))—единичная матрица, то det(cft;) (e)?= О
и из системы уравнений E) следует, что г|зл «^ <Уе.
Сформулируем доказанный результат:
Предложение. Отображение со -*¦ <о (е) устанав-
устанавливает изоморфизм между пространством r-мерных инва-
инвариантных регулярных дифференциальных форм на G и
пространством ЛГв«.
3. Канонический класс. Мы рассмотрим теперь спе-
специально re-мерные рациональные дифференциальные фор-
формы на n-мерном гладком многообразии X. В некоторой
окрестности точки х е X такая форма представляется
в виде <о = g du,x Д . . . Д dun. Покроем все X такими
аффинными множествами Uu что в каждом из них имеет
место это представление <о = gldu(?) Д . . . Д du^. В пе-
пересечении и{ П Uj получим согласно формуле F) п. 3 § 5,
что
Так как якобиан / регулярен и отличен от нуля в 1/{ П U}
(см. E) в п. 3 § 5), то система функций gw в Z7,- являет-
является согласованной системой функций в смысле п. 2 § 1 и
поэтому определяет дивизор на X. Этот дивизор называ-
называется дивизором формы ю и обозначается через (со).
Следующие свойства дивизора n-мерной дифференци-
дифференциальной формы на n-мерном многообразии сразу следуют
из определения:
а) (/•<в) = (/) + <<в), если /ek(I);
б) (<о)ЭгО тогда и только тогда, когда со ^ Q" [X].
Согласно теореме 3 § 5 (при г = п) пространство
Qn(X) одномерно над к(Х). Поэтому, если <»i^Qn(X),
ft)i ^ 0, то любая форма to ^ Q" (X) представляется в виде
а == /o»i. Свойство а) поэтому показывает, что дивизоры
всех форм (о ^ Qn(X) эквивалентны друг другу и образу-
образуют один класс дивизоров на X.
Этот класс дивизоров называется каноническим клас-
классом X и обозначается через К или Кх.
Пусть <Oi — фиксированная форма из Qn (X), через
которую любая форма выражается в виде <о — /coi. Свой-
Свойство б) показывает, что <о тогда и только тогда регулярна
на X, когда (/) + (со1)^О. Иначе говоря, Qn[X]^S>((ail))T
если воспользоваться понятием пространства, ассоцииро-
ассоциированного с дивизором, введенным в п. 5 § 1.
Таким образом, hn = dimk Q" [X] = l( (ooj) )= ЦК). Мы
видим, что инвариант hn, введенный в п. 1, совпадает
с размерностью канонического класса.
Пример. Предположим, что X — многообразие
алгебраической группы. В п. 2 мы показали, что про-
пространство r-мерных инвариантных дифференциальных,
форм на X изоморфно Л^ве, где ©е — касательное про-
пространство к X в единичной точке е. В частности, про-
пространство re-мерных инвариантных дифференциальных
форм одномерно, так как Лп©е ~ к. Если <о — ненулевая
инвариантная форма, то а» «^ Qn [X], т. е. (оо)^ 0. Но если
(о (х) = 0 для некоторой точки х «^ X, то ввиду инвариант-
инвариантности и со (у) = 0 для любой точки у ^ X. Поэтому
и (ж) ?= 0 для всех х ^ X, т. е. ю регулярна и не обраща-
обращается в 0 на X. Это значит, что (оо)= 0, т. е. Кх = 0.
В § 2 мы доказали конечность числа 1{D) для любого-
дивизора D на гладкой проективной алгебраической кри-
кривой. Отсюда, в частности, следует, что число h1 =
= dimk Q1 [X] конечно для любой гладкой проективной
алгебраической кривой X. Это число называется родом
кривой и обозначается через g (X) или g: h1 = g, если
dim X = 1.
В случае, когда dim X = 1, мы знаем, "что все дивизо-
дивизоры одного класса имеют одну и ту же степень, так что
можно говорить о степени deg С класса С. В частности,
степень deg Kx канонического класса является бирацио-
нальным инвариантом кривой X.
Введенные нами инварианты: род g{X) и deg Кх —
не независимы. Можно доказать, что между ними суще-
существует соотношение deg Кх = 2g (X) — 2. См. по этому
поводу п. 6. В частности, если гладкая проективная кри-
кривая X является алгебраической группой, то Кх = 0, как
мы только что видели. Поэтому gx = 1, т. е. из всех

254
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
проективных кривых только на кривых рода 1 можно
определить закон алгебраической группы. Мы увидим
в п. 6, что кривые рода 1 — это в точности гладкие куби-
кубические кривые.
4. Гиперповерхности. Мы вычислим сейчас канониче-
канонический класс и определим hn для случая, когда X — гладкая
гиперповерхность в Pw, п = dim X = N — 1. Пусть X
задано уравнением F (х0 : .. . : xN)= О, degF = degZ" =
= т. Рассмотрим аффинное открытое множество U, в ко-
котором х0 ?= 0. В нем X задается уравнением G(yu , yN) =
= 0, G(yu ..., у„) = Р(±, yt, ..., yN), где yi = Xi/xQ.f
В открытом подмножестве U{ <= U, в котором G'y. =/= 0,
локальными параметрами являются г/1; .. ., г/,-, .. ., yN,
и форма й^х Л • • • Л ^Уг Л • • • Л ^yw является базисом
?2[] над k[Z7<]. Однако удобнее взять за базис форму
= —г- dyx Л • - •
А • • • Л
{что возможно, так как GVi =?= 0 в Z7,). Дело в том, что
формы <а4, . .., ш» очень просто связаны друг с другом:
умножив соотношение
на dyt Л ... А^Уг А • • • А<2УЗ А • • • Л
что
мы увидим,
A)
Так как X гладко, то U = UZ7,-, и из A) следует, что
все формы <Oi регулярны во всем U и что дивизор этих
форм в U равен 0.
Остается исследовать точки, не принадлежащие U.
Рассмотрим, например, открытое подмножество V, в кото-
котором Xi Ф 0. В этом аффинном многообразии координатами
являются zx, . .., zN: zx = ——, гг = —— (i = d,, . . ., я).
Очевидно, что
У = —, у. = —, « = 2f...,iV, B)
§ 6. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 255
Поэтому
dyx = ^, dy. = ——* —-, г = 2, ..., N.
Подставим эти выражения в (aN. Пользуясь тем, чта
dzx Д dzx = 0, мы получим
cdjv = J777— dzx /\ . . . A dzN-x.
Уравнение X в V имеет вид
Из соотношения
, —, • . • , ] = Zl G;
Zl Zl
следует, что
i Л • • • Л
Все рассуждения, проведенные для U, годятся и для V
и показывают, что
Q" [У] = к [V] Л- dzx Д . .. Д
Поэтому в V имеем (<x>N) = — {N — т + 1) • (z4). Очевид-
Очевидно, что дивизор (zi) в V является дивизором формы ха
на X, как он был определен в п. 2 § 1. Окончательно мы
получаем, что на X выполняется соотношение (<о^) =
= (т — N — 1) • (ха) = (т — п — 2) • (а;0). Таким образом,
Кх являемся классом дивизоров, содержащим дивизор
(т — п — 2)L, где L — сечение X гиперплоскостью.
Найдем теперь Q" [X].
Записав форму <о ^ Qn {X) в виде о = фоо*г, мы видим,
что о «^ Q" [X] тогда и только тогда, когда ф ^ 2 ({т —
— п — 2)(ж0)). Согласно примеру в конце п. 5 § 1 это
равносильно тому, что ф = Р(г1, . . ., zN), где Р — много-
многочлен и
deg P =sS m — N — 1 = m — п — 2. E);

256
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Отсюда легко вычислить размерность Q" [X]. Именно,
два разных многочлена Р, Q ^к [уи . . ., yN], удовлетво-
удовлетворяющих условию E), определяют разные элементы коль-
кольца к[Х] — иначе Р — Q^Q(G), а это противоречит E).
Таким образом, размерность Qn [X] совпадает с размер-
размерностью пространства многочленов Р, удовлетворяющих
условию E). Эта размерность равна дн ~~——=
Таким образом,
N
**<*>-
Простейший случай этой формулы: при N = 2, п = 1
^)==(те-1уте-2)
— формула для рода гладкой плоской кривой степени пг.
Из формулы F) мы можем сразу сделать важный вы-
тж /те — IN
вод. Именно, интерпретируя как число сочетании,
\«+ 1/
мы сразу получаем, что при пг > пг' > п + 1
+ l) >(»'+!
Поэтому формула F) показывает, что гиперповерхности
разных степеней пг, пг' > п + 1 бирационально не изо-
изоморфны. Мы видим, что существует бесконечное число
бирационально неизоморфных друг другу алгебраических
многообразий заданной размерности.
В частности, при N = 2, пг = 3 получаем g(X)= 1,
а так как g(P1)== 0, то мы видим еще раз, что гладкая
кубика в Р2 нерациональна.
Из формулы F) следует, что hn(X) = 0, если m^N.
В частности, hn(Pn)=0. При п = 1 мы непосредственно
проверили это в п. 2.
Рассмотрим подробнее случай пг ^ N. Если N = 2, то
это значит, что пг = 1, 2. При m = 1 имеем X = Р1 и ра-
равенство &1(Р1)= 0 нам уже известно. При пг = 2 мы име-
имеем дело с гладкой кривой 2-го порядка, которая изоморф-
изоморфна Р , так что и в этом случае равенство hx (X) =0 не
дает ничего нового.
Пусть N = 3. При пг = 1 мы имеем дело с Р2, и равен-
равенство к2 — 0 нам уже известно. Если пг = 2, то X является
гладкой поверхностью 2-го порядка, которая бирацио-
g В. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 257
нально изоморфпа Р\ так что равенство h2 (X) = 0 являет-
является следствием равенства /&2(Р2)=0 и теоремы 2. Если
т = 3, то X является кубической поверхностью. Если на
такой поверхности лежат две скрещивающиеся прямые,
то она бярационально изоморфна Р2 (см. пример 2 п. 3
§ 3 гл. I). Можно показать, что две скрещивающиеся
прямые лежат на любой гладкой кубической поверхности,
так что равенство h2 (X) = 0 опять есть следствие тео-
теоремы 2 и того, что А2(Р2) = 0.
Рассмотренные примеры приводят к интересным воп-
вопросам о гладких гиперповерхностях малой степени:
X <= PN, т = deg X < N. Мы видим, что при N = 2, 3
X бирационально изоморфно проективному пространству
Р^"'1, что дает «объяснение» равенства hn (Х)= 0, п =
= 7V— 1.
При N = 4 мы сталкиваемся здесь с новым явлением.
Для т = 3, например, даже для гиперповерхности
xl + xl + xl + xl + xl = O G)
вопрос о том, будет ли она бирационально изоморфна
Р3, является весьма тонким. Однако можно показать, что
существует такое рациональное отображение ср: Р3 -»- X,
что <р(Р3) плотно в X и к(Р3) сепарабельно над к(Х)
(см. задачу 13). Уже это вместе с равенством h3 (P3)= О
и теоремами 1 и 2 дает h3 (X) = 0. В связи с этим вводит-
вводится следующая терминология: многообразие X называется
рациональным, если оно бирационально изоморфно Р",
n = dim X, и унирационалъным, если существует такое
рациональное отображение <р: Р" -»- X, что ф(Р") плотно
в X и k(P")/k(X) сепарабельно. Из теорем 1 и 2 и зада-
задачи 6 к § 5 вытекает, что для унирационального многооб-
многообразия X все h1 (X) = 0.
Типичным для ряда трудностей, встречающихся в ал-
алгебраической геометрии, является вопрос о том, совпа-
совпадают ли понятия рационального и унирациональпого
многообразия. Этот вопрос называется проблемой Люрота.
Очевидно, что его можно переформулировать как задачу
теории полей: пусть К — такое подполе поля рациональ-
рациональных функций к(Г4, . . ., Тп), что к(Гь . . ., Тп)/К конечно
и сепарабельно; будет ли К изоморфно полю рациональ-
рациональных функций?
Для п — 1 ответ положительный, и причем даже без
требования алгебраической замкнутости поля к и сепа-
сепарабельности к(Т)/К.
17 и. Р. Шафаревич, т. 1

258
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Для п = 2 без этих ограничений ответ отрицательный,
а при их наличии — положительный, но доказательство
является очень тонким. Оно изложено для полей харак-
характеристики 0, например, в [1], гл. III, а в общем слу-
случае — в [5].
Для п ~S* 3 ответ отрицательный, даже когда к — поле
комплексных чисел. Это — тонкий результат теории трех-
трехмерных многообразий. Один из примеров унирациопаль-
пого, но пе рационального многообразия — это гладкая
трехмерная кубика, в частности гиперповерхность G)
(см. [9]). Другой пример нерационального многообразия —
гладкая гиперповерхность степени 4 в Р4; некоторые из
таких гиперповерхностей унирациональны (см. [18]). Еще
один тип примеров см. в [2].
В то время как для трехмерных многообразий пробле-
проблема Люрота является тонким геометрическим вопросом,
для больших размерностей она оказалась более алгебраи-
алгебраической по духу, и решение ее — элементарнее. Например,
построены примеры таких конечных групп G линейных
преобразований переменных хи . . ., хп, что подполе ин-
инвариантов k(^!, . . ., хп)° этой группы не изоморфно полю
рациональных функций (см. [4, 26]).
5. Гиперэллиптические кривые. В качестве второго
примера рассмотрим один тип кривых. Обозначим через
Y аффинную плоскую кривую с уравнением у2 = F(х),
где F (х)—многочлен без кратных корней нечетной сте-
степени п = 2т + 1 (в § 1 гл. I доказано, что случай четной
степени сводится к нечетной). Предположим, что харак-
характеристика поля к Ф 2. Гладкая проективная модель X
кривой Y называется гиперэллиптической кривой. Мы
вычислим канонический класс и род кривой X.
Рациональное отображение (х, у)-*- х кривой Y: Y -*¦
-*¦ А1 определяет регулярное отображение /: X -*¦ Р1.
Очевидно, что deg / = 2, так что, согласно теореме 1 § 2,
для « «^ Р1 или /~* (а) состоит из двух точек z', z",
в каждой из которых v2» (и) = vz» (и) = 1 для ло-
локального параметра и в точке «, или же /~1(oc)=z
и vz(u) = 2.
Аффинная кривая Y, как легко проверить, гладкая.
Если Y — ее проективное замыкание, то X является
нормализацией Y, и мы имеем отображение <р: X ->¦ У,
являющееся изоморфизмом Y и ф-1(У). Отсюда следует,
что если точка | е А1 имеет координату а. и F (ее) ?= О, то
Г1 (!) = (*', 2"), а если F(a)=O, то /-*(?) = z.
§ 6, ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 259
¦Рассмотрим бесконечно удаленную точку ос» se P1.
Если координата на Р1 обозначена через х, то локальным
параметром в ам является и = х. Если бы f'1 (ее*,) со-
состояло из двух точек z', z", то, например, в z' функция и
была бы локальным параметром. Отсюда следует, что
v2' (и) — 1, v2/ (F (х)) = — п. Но так как п нечетно, то
это противоречит тому, что v2/ (F (х)) — 2vz> (у). Таким
образом, /~1.(а„)" состоит из одной точки, которую мы
обозначим z», и vZoo(x) = — 2, vZco (у) — — п. Отсюда
следует, что X = ф-1 (Y) U г„.
Перейдем теперь к дифференциальным формам на X.
е Y,
Рассмотрим, например, форму со = —. В точке
если У(Ь,)^О, локальным параметром является х
и V|(co) = Oi Если же г/(|) = 0, то локальным парамет-
параметром является у и v5 (x) = 2, откуда опять следует, что
v5(co)=O. Таким образом, (со)= к • гж, и нам остается
определить к. Для этого достаточно вспомнить, что если
Д до
t — локальный параметр в
O
и, v, u~1,v
~1
OlZ
,
то х = t~2u, у = t~nv,
n3
o. Поэтому со = tn~3w dt, w, га~
откуда (со) = (ге — 3^.
Найдем теперь Q1 [X]. Как мы видели, со образует
базис модуля й1 [Y]: Q1 [Y] = k [Y] со, так что любая форма
из Q1 [X] имеет вид исо, где и «^ к "[У] и, значит, может
быть представлено в виде Р(х)+ Q(x) г/, Р, Q «ее к [X].
Остается выяснить, какие из этих форм регулярны
в г,*,. Это будет тогда и только тогда, когда
Найдем такие и
всегда четно, а так как
нечетно. Поэтому
v*. («) > - (я- 3).
к [Г]. Так как vZ(x (x) =
A)
2,rovZao(P(x))
V,
то
>(*/) = — п,
vZco (и) = vZoo (Р (х) + Q (х) у) < mm (v2oo (P (x)), vZao (Q (х) у)),
и, значит, если Q ?= 0, то vZco (и) ^ — п. Таким образом,
и—Р(х), и условие A) дает, что 2 deg Р ^ га—3.
Мы нашли, что Q'fX] состоит из форм вида с?ж,
'. Отсюда
где степень многочлена Р(х) не больше
следует, что g~ h1 = dim Q1 [X] = " ~ .
17*
га — 3

260 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Интересно сравнить результаты п. 4 и п. 5 при N = 2.
Во втором случае мы видели, что существуют алгебраиче-
алгебраические кривые любого наперед заданного рода. В первом —
(п—1)(га —2)
что род плоской гладкой кривой имеет вид 2" >
т. е. является далеко не произвольным целым числом.
Таким образом, не любая гладкая проективная кривая
изоморфна плоской гладкой кривой. Например, это невер-
неверно для гиперэллиптических кривых при п =¦ 9.
6. Теорема Римана — Роха на кривых. Одним из цент-
центральных результатов теории алгебраических кривых явля-
является теорема Римана — Роха. Она заключается в равенстве
— g+ 1,
A)
где D — произвольный дивизор на гладкой проективной
кривой, К — ее канонический класс, a g — род. Доказа-
Доказательство этой теоремы требует углубления в подробно-
подробности теории алгебраических кривых и поэтому здесь пе
приведено. Но укажем на некоторые ее следствия, ко-
которые сделают более ясной ее значение для теории кривых.
Следствие 1. Полагая D = К, мы получаем, что
так как 1{К — К)= Z@)= I, 1{К)= g, то deg К = 2g — 2.
Об этом равенстве мы говорили в п. 3.
Следствие 2. Если deg D > 2g — 2, то l(D) =
^degD — g+1.
Это следует из того, что при deg D > 2g—2
deg(K — ?>)<0, откуда ЦК — Z>)=0: К — D ~ D'^ 0
противоречит тому, что deg D' < 0.
Следствие 3. Если g = 0 и D = х — точка на X,
то, по A), l(D)^ 2. Это значит, что пространство 3? (D)
содержит, кроме констант, и непостоянную функцию /.
Для такой функции (/) м = х, т. е. если интерпретировать
/ как отображение /: X -»- Р1, то deg / = 1 в силу теоре-
теоремы 1 § 2. Отсюда следует, что X ^ Р1, т. е. равенство
g = 0 не только необходимо, но и достаточно для рацио-
рациональности кривой X.
Следствие 4. Если g = 1, то кривая X изоморфна
кубике на Р2.
Действительно, при g = 1 следствие 2 дает l(D) —
= deg D при D >• 0 и утверждение следует из теоре-
теоремы 2 § 3.
Следствие 5. Рассмотрим базис /0, ...,/« простран-
пространства 2 (D), D ^ 0 и соответствующее рациональное отоб-
отображение <р = (/о :...'• /п), X -> Р". Выясним, когда ф явля-
§ 6. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 261
ется вложением. Мы докажем, что это так, если выпол-
выполнены условия
l(D — x) = l{D)—l, l(D — x — y)=l(D)—2 B)
для любых точек х, у «^ X. Из следствия 2 вытекает, что
равенства B) верны, если deg D S* 2g + 1, так что в этом
случае ф является вложением.
Заметим, прежде всего, что первое из условий B)
гарантирует, что —1) = НОД(/<). Действительно, по
определению НОД (Л)^ — D. Если бы здесь не было
равенства, то существовала бы такая точка х, что (/,•) ^
^— D + x, т. е. 2{D)cz2{D — x), l(D)^l(D — x), что
противоречит B). Таким образом, согласно замечанию
в конце п. 4 § 1 дивизоры D% = B Wi) + D являются
прообразами гиперплоскостей при отображении ф.
Для доказательства того, что ф — изоморфизм, мы
воспользуемся леммой п. 4 § 5 гл. II и теоремой 8 § 5
гл. II, условия которой проверим при помощи сделанного
выше замечания. Если ф(^) = ф(у), то всякая гипер-
гиперплоскость Е, проходящая через точку ф(^), проходит и
через точку ц>(у). Это значит, что если D% — х S^ 0, то
Dk — x — y^0, т. e. l(Dx — x)<;l{Dx — x—y), что проти-
противоречит второму условию B).
Докажем, что касательные пространства отображают-
отображаются изоморфно. Это равносильно тому, что
эпиморфно. Если это не так, то Ф* (иФ(а;))с: Шж, ибо
в нашем случае dim Шх/Шх = 1. Иначе говоря, для
любой функции и ^ га<р(х) имеем vx(q>*(u) Jг 2. В приме-
применении к линейным функциям это показывает, что, если
Dx — х S* 0, то Dk — 2х 2з= 0. Мы опять получаем, что
1{D — x)^l(D — 2х), что противоречит второму усло-
условию B). Доказательство окончено.
Очевидно, что при выборе другого базиса в простран-
пространстве 3? (D) отображение ф умножится на проективное
преобразование пространства Р™. С другой стороны, за-
замена D на другой дивизор D + (/) приводит к изоморфиз-
изоморфизму и ->- uf пространства 2? (D) и, следовательно, не меня-
меняет ф. Таким образом, имеет смысл говорить об отображе-
отображении ф, соответствующем классу дивизоров.
Пусть, например, X — кривая рода 1, х0 «ее X. Условия
следствия 5 выполнены для дивизора Зх0. Поэтому отобра-

ш
262 гл. ш. Дивизоры й дифференциальные Формы
жение ф, соответствующее этому дивизору, отображает X
изоморфно на кривую X' <= Р2 (так как I (Зх0) = 3 ввиду
A)). Как мы видели, Зх0 — прообраз сечения X' прямой,
и раз dog Зх0 = 3, то и deg X' = 3. Таким образом, любая
кривая рода 1 изоморфна плоской кубической кривой.
Наиболее интересны отображения ср, соответствующие
классам, внутренним образом связанным с кривой X.
Такими являются, например, кратности пК канониче-
канонического класса. Равенство A) показывает, что deg пК ^
Зг 2g + 1 при п ^= 2, если g > 2, и при п S^ 3, если g = 2.
Таким образом, при g > 1 класс З.ЙГ всегда удовлетворяет
условиям следствия 4. Соответствующее отображение ср3к
отображает кривую X в Р™, где т?г = Z (З-ЙС)— 1= 5g—6
(по следствию 2). При этом кривые X и X' изоморфны
тогда и только тогда, когда их образы <р3к(Х) и ц>зк{Х')
получаются друг из друга проективным преобразова-
преобразованием пространства. Вопрос о бирациональной клас-
классификации сводится, таким образом, к проективной клас-
классификации..
Отображение <р, соответствующее каноническому клас-
классу, не всегда является вложением. Однако все случаи,
когда это не так, можно перечислить (см. задачи 11 и 12).
В качестве простого применения этих соображений
рассмотрим плоские кривые 4-й степени. Согласно п. 4
их канонический класс совпадает с классом пересечения
с прямой в Р2. Поэтому отображение срк, соответствующее
классу, совпадает с их естественным вложением в пло-
плоскость. Из сказанного выше вытекает, что две такие кри-
кривые изоморфны тогда и только тогда, когда они проектив-
но эквивалентны. Это приводит нас к очень важному вы-
выводу. Множество плоских кривых 4-й степени можно
отождествить с пространством Р14 (п. 4 § 4 гл. I). С дру-
другой стороны, группа всех проективных преобразований
плоскости имеет размерность 8 (матрицы 3-го порядка
с точностью до постоянного множителя). Используя тео-
теорему о размерности слоев, отсюда можно вывести, что
в Р14 существуют открытое множество U и такое его отоб-
отображение /: U -*- М на некоторое многообразие М, что две
точки и4 и и2<^ U соответствуют проективно эквивалент-
эквивалентным кривым, только если они лежат в одном слое отобра-
отображения /. Размерность слоя равна, следовательно, 8,
a dim M = 14 — 8 = 6.
Таким образом, далеко не любые две кривые степени 4
изоморфны: надо еще, чтобы им соответствовала одна
§ 6. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 263
и та же точка на шестимерном многообразии М. Это по-
показывает, что род — не полная система бирациональных
инвариантов кривых. Кроме целозначного инварианта —
рода, кривые имеют еще «непрерывные» инварианты, на-
называемые модулями. Доказано, что все кривые заданного
рода g > 1 образуют (в смысле, который мы не будем
здесь уточнять) одно неприводимое многообразие размер-
размерности 3g — 3. В случае кривых 4-й степени g = 3 и 3g —
— 3 = 6 = dim M. Аналогичная картина имеет место и
для кривых рода 1 (см. задачу 8 § 3). Только для g = О
все кривые этого рода изоморфны.
7. Проективные погружения поверхностей. Здесь мы
расскажем о том, как обобщаются факты, доказанные
в предыдущем пункте для алгебраических кривых, на по-
поверхности. Никакие доказательства приведены не будут.
Читатель может познакомиться с ними по книге [1] или
[5]. Кроме того, мы ограничимся случаем поля характе-
характеристики 0.
Аналогом кривых рода, большего 1, являются поверх-
поверхности, у которых некоторая кратность канонического
класса определяет бирациональный изоморфизм. Они на-
называются поверхностями общего типа, и для них бирацио-
нальная классификация в некотором смысле сводится
к проективной. Основной результат о поверхностях обще-
общего типа заключается в том, что для них уже пятикратный
канонический класс ЪК определяет регулярное отображе-
отображение и бирациональный изоморфизм.
Остается перечислить поверхности необщего типа.
Они играют роль кривых рода 0 и 1 и даются аналогич-
аналогичными конструкциями.
Аналогами рациональных кривых являются, во-пер-
во-первых, рациональные поверхности, т. е. поверхности, бира-
ционально изоморфные Р2, и, во-вторых, линейчатые
поверхности. Это — поверхности X, которые могут быть
так отображены на кривую С, что все слои этого отобра-
отображения изоморфны проективной прямой Р1. Таким обра-
образом, это — алгебраические семейства прямых.
Аналогом кривых рода 1 являются три типа поверх-
поверхностей:
Первый тип — двумерные абелевы многообразия. По-
Поверхности второго типа (они называются поверхностя-
поверхностями КЗ) имеют то свойство, общее с абелевыми многооб-
многообразиями, что их канонический класс равен 0. Однако
в отличие от абелевых многообразий на них нет регуляр-

264 ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
ных одномерных дифференциальных форм (согласно
предложению из п. 2 на абелевых многообразиях сущест-
существуют инвариантные, а значит, регулярные одномерные
дифференциальные формы). Третий тип — эллиптические
поверхности, т. е. семейства эллиптических кривых. Эти
поверхности обладают таким отображением /: X -*¦ С на
кривую С, что для всех у ^С, для которых f'1 (у) — глад-
гладкая кривая (а таковы все у, кроме конечного числа), эта
кривая имеет род 1.
Основная теорема заключается в том, что все поверх-
поверхности необщего типа исчерпываются перечисленными
пятью типами: рациональными, линейчатыми, абелевыми,
КЗ и эллиптическими.
Чтобы лучше разобраться в этих классах поверхно-
поверхностей, их удобно классифицировать по инварианту х —
максимальной размерности образа поверхности X при
рациональном отображении, заданном классами диви-
дивизоров пК, п — 1, 2, ... Если 1{пК) = 0 для всех п, то та-
такого отображения нет, и мы полагаем х = —1. Вот ре-
результат классификации. Поверхности общего типа — это
те, для которых х = 2. Поверхности с х = 1 все являются
эллиптическими. Точнее, это те эллиптические поверхно-
поверхности, для которых пК Ф 0 при п Ф 0. Порядок канониче-
канонического класса эллиптической поверхности X в группе
С1(Х) бесконечен или является делителем 12. Поверхно-
Поверхности с х = 0 характеризуются условием 12К = 0. Таким
образом, это — эллиптические поверхности, для которых
12К = 0, поверхности типа КЗ и двумерные абелевы
многообразия. Поверхности с х = — 1 — это рациональ-
рациональные или линейчатые.
Для каждого из этих типов существует характеристи-
характеристика через инварианты, аналогично тому, как равенство
g = 0 характеризует рациональные кривые. Мы приведем
характеристику только двух первых типов. Для этого вос-
воспользуемся результатом задачи 7, согласно которому чис-
числа ЦтК) при m > 0 являются бирациоиальными инва-
инвариантами гладких проективных многообразий. Они назы-
называются кратными родами и обозначаются через Рт.
В частности, Pi =¦ hn = dim Q" [X] при п = dim X.
Критерий рациональности. Поверхность X
рациональна тогда и только тогда, когда Q1 [X] = О
и Р, = Р2 = 0,
Из этого критерия сразу вытекает решение проблемы
Люрота для поверхностей.
§ 6. ПРИМЕРЫ И ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 265
•Критерий линейчатости. Поверхность X ли-
линейчатая тогда и только тогда, когда Р3 = Р4 = 0.
Обобщения результатов, изложенных в этом пункте,
на многообразия размерности >2 неизвестны, однако
в этом вопросе в последнее время имеется большое про-
продвижение. См. об этом, например, обзоры [10, 31] по по-
поводу связи с теорией минимальных моделей [19].
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что df == 0 для элемента /ek(I) тогда и только
тогда, когда /ек (если поле к имеет характеристику 0) или / =
= g?_ (если char k = р > 0). Указание. Воспользоваться тео-
теоремой 1 и следующей леммой: если K/L — конечное сепарабельпое
расширение характеристики р > 0, х е К и его минимальный мно-
многочлен имеет вид 2 а?хг> сц ^ L, то х = уР, у е К.
2. Пусть X и Y — гладкие проективные кривые, ср: X—*- Y —
такое регулярное отображение, что ф(Х) = Y и х е X, у е Y,
ф(ж) = у и t — локальный параметр в точке у. Доказать, что чис-
число ех = Vx(f*dt) не зависит от выбора локального параметра I и
что ех > 0 тогда и только тогда, когда х — точка ветвления ото-
отображения ф. Число ех называется кратностью ветвления точки х.
3. Пусть в обозначениях задачи 2 ф* (у) = ^ ^ixv гДе У — Ди~
визор, состоящий из одной точки у. Предположим, что характеристи-
характеристика поля к равна или 0, или числу p>h. Доказать, что eXi= 1^ — 1.
4. Пусть Y = Р1 в обозначениях задач 2 и 3. Доказать, что
8 (X) = ~~2 2и ех — deg ср -\- 1. Обобщить это соотношение на слу-
чай произвольной кривой Y.
5. Пусть ф: X—>-У удовлетворяет условиям задачи 2. Доказать,
что дифференциал со ей1 (Y) регуляреп тогда же, когда и диф-
дифференциал ф*со е Q'(A').
6. Обязначим через XFTO множество всех функций ф от тп век-
векторов Xij, i = 1, . .., т, j = 1, . . ., п, тг-мерного пространства L,
удовлетворяющих условиям: а) г|) линейна по любому аргументу,
б) 1E кососимметрична как функция от xi ¦, / = 1, ..., п, при лю-
любом фиксированном i0, в) т|э симметрична как функция от х- ,
i — 1, ..., га, при любом задапном /0. Пусть характеристика поля 1<
больше т. Доказать, что любая функция г|з е х?т задается своими
значениями ilpy у от векторов Xij = у, и что "фу у ='
= d tye еп^ где d — определитель из координат векторов у\ . .:уп
в базисе е\ .. . е«. Пусть |i, . . ., 1„ е L*. Функция гЬ, для которой
*»г ..1,я= (det (g. (г/,)))то- обозначается (^ д ... Л 1п)т.
Доказать, что dim Vm = 1, a (l± /\ . .. Д |п)га — его базис.
7. Обобщить построение регулярных и рациональных «-мер-
«-мерных дифференциальных форм па га-мерном многообразии, заменив
всюду пространство ЛП0Х соответствующим пространством х?т.

266
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Соответствующий объект называется дифференциальной формой
веса т. Доказать, что в аналоге формулы F) п. 3 § 5 надо J за-
заменить на Jm. Доказать, что дифференциальная форма веса т. об-
обладает дивизором, все эти дивизоры образуют один класс, который
совпадает с тКх. Обобщить теорему 2.
8. Вычислить пространство регулярных дифференциальных
форм веса 2 за гиперэллиптической кривой. Указание. Запи-
Записать их в виде —2" (dxJ.
9. Проверить соотношение deg К = 2>g — 2 для гиперэллипти-
гиперэллиптических кривых и для плоских гладких кривых.
10. Доказать, что для гиперэллиптическоп кривой отношения
регулярных дифференциальных форм порождают подполе поля
к(Х), изоморфное полю рациональпых функций. Исходя из этого,
доказать, что гладкая плоская проективная кривая степени т > 3
пе гипсрэллиптичпа.
11. Доказать, что для гиперэллиптической кривой рациональ-
рациональное отображение, соответствующее каноническому классу, ие яв-
является изоморфизмом.
12. Доказать, что если отображение, соответствующее канони-
каноническому классу кривой X, пе является изоморфизмом, то X рацио-
рациональна или гиперэллиптична. Указание. Если не выполнено
одно из условий B) п 6, то теорема Римана — Роха дает I (х) ^ 2
или Цх + у) >2.
13. Доказать, что гладкая гиперповерхность X 3-й степени в Р4
унирациональпа. Указание. Используя теорему 10 § 6 гл. I,
показать, что X содержит прямую I. Используя задачу 8 к § 5,
доказать, что существует такое открытое множество U с: X, U Л
П I =#= 0, что касательное расслоение к U изоморфно U X А3. Обо-
Обозначим через Р2 проективное пространство, состоящее из прямых,
проходящих через начало координат в А3. Для точки | = (и, а),
и е I П U, а е Р2, обозначим через ф(|) точку пересечения пря-
прямой а, лежащей в 0„. х, с X. Доказать, что ср определяет''рацио-
определяет''рациональное отображение Р1 Х.Р2^>~Х.
14. Пусть о — точка алгебраической кривой -X рода g. Дока-
Доказать (используя теорему Римана— Роха), что любой дивизор D,
deg D = 0, эквивалентен дивизору вида Do — go, где Do > 0,
deg Do = g (обобщение теоремы 1 § 3).
15. Пусть X с: Р2 — плоская гладкая неприводимая кривая с
уравнением F = 0, а =. (а0 : «i : а2) <=? X, х <= X. Кратность с*, с
Vi 3F
которой х входит в дивизор формы ^ аг дх , называется крат-
i=o г
ностыо касания в х. Доказать, что сх = ех — кратности ветвления
точки х относительно отображения ф: X—j-P1 проектирования из
точки а. Вывести отсюда, что число с = 2 сх — число касатель-
ных, взятых с соответствующими кратпостями, проходящих через
а,— не зависит от а. Оно называется классом кривой. Доказать,
что с = п(п — 1), п = deg X.
16. Доказать, что если X—гладкая аффинная гиперповерх-
гиперповерхность, то Кх = 0.
Глава IV
ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 1. Определение и основные свойства
1. Определение индекса пересечения. Теоремы о раз-
размерности пересечения многообразий, которые мы дока-
доказали в гл. I, часто дают возможность утверждать, что
некоторые системы уравнений имеют решения. Однако
они ничего не говорят о числе решений, если это число
конечно. Разница такая же, как между теоремой о суще-
существовании корня многочлена и теоремой о том, что число
корней многочлена равно его степени. Последняя теорема
становится верной, только если считать каждый корень
вместе с его кратностью. Аналогично, для того чтобы
сформулировать общие теоремы о числе точек пересече-
пересечения подмногообразий, мы должны приписать этим точкам
некоторые кратности. Это и будет сделано в настоящем
пункте.
Мы будем рассматривать пересечение подмногообра-
подмногообразий коразмерности 1 на гладком многообразии X. Нас ин-
интересует случай, когда число точек пересечения конечно.
Если dim X = п, Си . . ., Ск — подмногообразия коразмер-
коразмерности 1, имеющие непустое пересечение, то по теореме
о размерности пересечения dim(C1 П . . . П Ск)> 0, если
к < п. Поэтому нам естественно рассмотреть случай
к = п. Теория, которая будет дальше применена, стано-
становится проще, если вместо подмногообразий коразмерно-
коразмерности 1 рассматривать произвольные дивизоры. Таким обра-
образом, мы рассматриваем п дивизоров Du . . ., Dn на п-мер-
ном многообразии X. Если х е X, х «ее; П Supp Dt и
dim* П Supp Di = 0, то говорят, что Di, . . ., Z)n находятся
в общем положении в точке х. Это означает, что, в неко-
некоторой окрестности точки х, П Supp D{ состоит только из х.
Если Dt, . . ., Dn находятся в общем положении во всех
точках подмногообразия П Supp D{, то это подмногообра-
подмногообразие состоит из конечного числа точек или пусто. Мы бу-
будем говорить тогда, что Du . . ., Dn находятся в общем
положении.
Определим сначала индекс пересечения для эффек-
эффективных дивизоров, находящихся в общем положении.

266
ГЛ. III. ДИВИЗОРЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Соответствующий объект называется дифференциальной формой
веса т. Доказать, что в аналоге формулы F) п. 3 § 5 надо J за-
заменить на Jm. Доказать, что дифференциальная форма веса т об-
обладает дивизором, все эти дивизоры образуют один класс, который
совпадает с тКх. Обобщить теорему 2.
8. Вычислить пространство регулярных дифференциальных
форм веса 2 за гиперэллиптической кривой. Указание. Запи-
Записать их в виде —2" (dxJ.
9. Проверить соотношение cleg К = 2g — 2 для гиперэллипти-
гиперэллиптических кривых и для плоских гладких кривых.
10. Доказать, что для гиперэллиптическоп кривой отношения
регулярных дифференциальных форм порождают подполе поля
к(Х), изоморфное полю рациональных функций. Исходя из этого,
доказать, что гладкая плоская проективная кривая степени т > 3
не гиперэллиптична.
11. Доказать, что для гиперэллиптической кривой рациональ-
рациональное отображение, соответствующее каноническому классу, ие яв-
является изоморфизмом.
12. Доказать, что если отображение, соответствующее канони-
каноническому классу кривой X, не является изоморфизмом, то X рацио-
рациональна пли гиперэллиптична. Указание. Если не выполнено
одно из условий B) п. 6, то теорема Римана — Роха дает 1(х) ^2
или 1{х + У) 2г 2.
13. Доказать, что гладкая гиперповерхность X 3-й степени в Р4
унирациональпа. Указание. Используя теорему 10 § 6 гл. I,
показать, что X содержит прямую I. Используя задачу 8 к § 5,
доказать, что существует такое открытое множество U с: X, U f|
С\ I ф 0, что касательное расслоение к U изоморфно U X А3- Обо-
Обозначим через Р2 проективное пространство, состоящее из прямых,
проходящих через начало координат в А3. Для точки | = (и, а),
u(=lf\U, а е Р2, обозначим через ф(|) точку пересечения пря-
прямой а, лежащей в ®и. х, с X. Доказать, что ср определяет-'рацио-
определяет-'рациональное отображение Р'Х?2^ X.
14. Пусть о — точка алгебраической кривой X рода g. Дока-
Доказать (используя теорему Римана — Роха), что любой дивизор D,
dog D = 0, эквивалентен дивизору вида Do — go, где Z>o > 0,
deg Do = g (обобщение теоремы 1 § 3).
15. Пусть ХсР2 — плоская гладкая неприводимая кривая с
уравнением F = 0, а == (а0 : о.\ : а2) ф- X, х е X. Кратность сх, с
V< aF
которой х входит в дивизор формы ~У^ aj qx. > называется крат-
*=о
ностыо касания в х. Доказать, что сх = ех — кратности ветвления
точки х относительно отображения ф: X—»-Р' проектирования из
точки а. Вывести отсюда, что число с = 2 сх — число касатель-
х=х
ных, взятых с соответствующими кратпостями, проходящих через
а,— не зависит от а. Оно называется классом кривой. Доказать,
что с = п(п — 1), ге= degX.
16. Доказать, что если X—гладкая аффинная гиперповерх-
гиперповерхность, то Кх = 0.
Глава IV
ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 1. Определение и основные свойства
1. Определение индекса пересечения. Теоремы о раз-
размерности пересечения многообразий, которые мы дока-
доказали в гл. I, часто дают возможность утверждать, что
некоторые системы уравнений имеют решения. Однако
они ничего не говорят о числе решений, если это число
конечно. Разница такая же, как между теоремой о суще-
существовании корня многочлена и теоремой о том, что число
корней многочлена равно его степени. Последняя теорема
становится верной, только если считать каждый корень
вместе с его кратностью. Аналогично, для того чтобы
сформулировать общие теоремы о числе точек пересече-
пересечения подмногообразий, мы должны приписать этим точкам
некоторые кратности. Это и будет сделано в настоящем
пункте.
Мы будем рассматривать пересечение подмногообра-
подмногообразий коразмерности 1 на гладком многообразии X. Нас ин-
интересует случай, когда число точек пересечения конечно.
Если dim X = п, Си . . ., Ch — подмногообразия коразмер-
коразмерности 1, имеющие непустое пересечение, то по теореме
о размерности пересечения dim(C1 П . . . П Ch)> 0, если
к < п. Поэтому нам естественно рассмотреть случай
к = п. Теория, которая будет дальше применена, стано-
становится проще, если вместо подмногообразий коразмерно-
коразмерности 1 рассматривать произвольные дивизоры. Таким обра-
образом, мы рассматриваем п дивизоров Du .. ., Dn на п-мер-
ном многообразии X. Если х «^ X, х «^ П Supp Dt и
dim* П Supp Di = 0, то говорят, что Du . . ., Dn находятся
в общем положении в точке х. Это означает, что, в неко-
некоторой окрестности точки х, П Supp Dt состоит только из х.
Если D±, . . ., Dn находятся в общем положении во всех
точках подмногообразия П Supp Du то это подмногообра-
подмногообразие состоит из конечного числа точек или пусто. Мы бу-
будем говорить тогда, что Du . . ., Dn находятся в общем
положении.
Определим сначала индекс пересечения для эффек-
эффективных дивизоров, находящихся в общем положении.

268
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Пусть дивизоры Du . . ., Dn эффективны, находятся в об-
общем положении в точке х и имеют локальные уравнения
Л» • . •, /п в некоторой окрестности этой точки. Тогда
существует окрестность U э х, в которой /4, . . ., fn регу-
регулярны и не обращаются в нуль нигде, кроме точки х.
Из теоремы Гильберта о корнях следует, что идеал, по-
порожденный функциями /i, . . ., /„ в локальном кольце Ох
точки х, содержит некоторую степень максимального
идеала шх этого кольца. Пусть
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
269
(/х, ..'.,
A)
Рассмотрим факторпространство (над полем к)
1, . . ., /„). Размерность его над к конечна. Действи-
Действительно, ввиду A) для этого достаточно доказать, что
dim к(Ух/тх < оо. Последнее сразу следует из теоремы
о разложении в степенные ряды: dim^x/tOx совпадает
с размерностью пространства многочленов степени <к
от п переменных.
Дальше размерность векторного пространства Е над
полем к мы будем обозначать через 1(Е).
Определение 1. Если эффективные дивизоры
Du . . ., Dn на «-мерном многообразии X находятся
в общем положении в точке х ^ X и имеют локальные
уравнения fu . . ., fn в некоторой окрестности этой точки,
то число
l{OJ{fi, . ..., /„)-) B)
называется индексом (или кратностью) пересечения
Di, . . ., Dn в этой точке и обозначается через (Dt, . . .
...,Dn)x.
Число B) действительно зависит только от дивизоров
Du . . ., Dn, а не от выбора их локальных уравнений
/t, , . ., fn: если /х, . . ., fn— другие локальные уравнения,
ТО;- ft = figv где gv g: ^ Ох, и поэтому (Д, ...,/„) =
"Пусть теперь дивизоры Du . . ., Dn не обязательно
эффективны. Представим их в виде Di = Di— Di, Di ^ 0,
Di ^ 0, причем Дивизоры Di и Di не имеют общих ком-
компонент. Такое представление единственно. Предположим,
что Du . . ., Dn находятся в общем положении в точке х.
Тогда для любой перестановки iu . . ., in и любого к диви-
зоры Z>ix, . . ., Dik, Dik+1, . . ., Din находятся в общем
положении в точке а:, так как Supp Z>i=Supp Di USuppZ?i.
Определим теперь индекс пересечения Du . . ., Dn
в точке х по аддитивности, т. е. положим
(?>х, .. ., ?>„)* =
( . . ., Z>v D'ih+V . . . ;dIJx. C)
Определение 2. Если дивизоры Z)t, . . ., Z)n на re-
мерном многообразии X находятся в общем положении,
то число
2
S
х, ...,?>„)*
называется их индексом пересечения и обозначается через
(?>„...,?>„).
Формально можно было бы распространить сумму на
все точки х е= X, однако отличны от нуля только напи-
написанные выше члены.
Замечание. Индекс пересечения можно опреде-
определить, и не требуя гладкости многообразия X, однако
тогда надо ограничиться только локально главными ди-
дивизорами. При этом все приведенные определения сохра-
сохраняют смысл.
Теперь мы приведем несколько примеров, цель кото-
которых — показать, что введенное определение кратности
пересечения согласуется с геометрической интуицией.
Пример 1. Пусть dim X = 1, t — локальный пара-
параметр в точке х, f — локальное уравнение дивизора D,
vK(/)=v,(I>)=fc. Тогда (?>), = l(<?JU))=4<yj(th))=k.
Таким образом, в этом случае индекс (D)x равен кратно-
кратности, с которой точка х входит в дивизор D.
В следующих примерах будем считать, что Dt — про-
простые дивизоры, т. е. неприводимые подмногообразия ко-
коразмерности 1.
Пример 2. Если а; е Д, П . . . A Dn, то согласно опре-
определению (Di, . . ., Dn)x^ 1. Выясним, когда (Dlt ...
. . ., Dn)x = 1.
Так как /< е- шх и, значит, (fu . . ., /„)<= огж, a l(OJmx) =
= 1, то условие (/>!, . . ., Dn)x = 1 равносильно тому, что
(/i, . . ., /n) = ntx. Иначе говоря, Д, . . ., /„ должны образо-
образовывать систему локальных параметров. Мы видели в п. 1
§ 2 гл. II, что это имеет место тогда и только тогда, когда

270
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
271
подмногообразия Du . . ., Dn пересекаются в точке х
трансверсально, т. е. точка х простая на всех D, и
П ®х,Щ = 0.
Пример 3. Пусть dim X = 2, точка х простая
на кривых Di и D2. Согласно примеру 2, (Du D2)x> I
тогда и только тогда, когда прямые &x,dx и ©x.d^ совпа-
совпадают. Пусть ft (i=\, 2)—локальные уравнения кривых
Dh и и v — локальные параметры в точке х и fi = сци +
+ $iv(ttlx) (i = 1, 2). Тогда уравнение прямых ©х,^
имеет вид аг-| + р4т] =0 (? = 1, 2), где ? = dju,, r\ = dxy —
координаты в 0Х| ^. Поэтому ®x,d1 = @я,г>2 тогда и только
тогда, когда а2и + C2у = ^(atu + pty) при некотором -у «^ к,
-у ^ 0, или, иначе говоря,/2 == у/х (mj). Естественно поэто-
поэтому назвать порядком касания кривых Dt и ?>2 в точке а:
такое число &, что существует обратимый элемент¦ g, g~*^
^0Х, для которого /2^ g^/i (й1х+1),и такого ^ не сущест-
существует для большего значения показателя к. Мы Докажем,
что индекс пересечения (Du D2)x на 1 больше порядка
касания кривых Dt n D2 в х.
Для этого заметим, что так как х — простая точка на
Dt, то мы можем считать, что /i — один из элементов си-
системы локальных параметров в точке х. С другой сторо-
стороны, g~lf2 является локальным уравнением кривой Dz. По-
Поэтому можно предположить, что и, v — локальные пара-
параметры, локальное уравнение Di есть и, a D2 есть /
и /s=u(m?+1). Тогда f = u + ф(", v)(m.x+2), где ф —
форма степени к 4- 1. При этом ф не делится на и, иначе
Dt и Dz имели бы касание порядка >к. Поэтому
ф@, v) = Cvh+\ СФО. D)
Согласно определению индекса пересечения
(Di,D2)x = l@J(u,f))=l@J(u)/(u,f)/(u)).
Очевидно, что 0J(u)=0 есть локальное кольцо точки х
на Di и гомоморфизм 0Х -*¦ 0 есть ограничение функции
на X на кривую Du Кроме того, (u,J)/(u)== (f)j_ где / —
образ / в (У.__ Так_ как в 0 J eix+1f / =
а согласно D) ф ^ шх 2, то Va;(/) = /с + 1 и
= /г + 1. Таким образом, (Du D2)x = к + 1.
Пример 4. Пусть опять dim X = 2 и точка х особая
на D. Это значит, что / ^ пх^ где / — локальное уравне-
уравнение D. Поэтому естественно называть кратностью особой
точки наибольшее /с, для которого / s mx. Мы докажем,
что для любой кривой D\ находящейся с D в общем по-
положении в точке х,
(D D') ^ k (Ъ)
и существуют такие кривые, что (D, D')x = к.
Пусть /' — локальное уравнение кривой D'. Обозначим
кольцо 0Х/З1х через 0 и образ /' в С^_через /. Так как
/е= ю*, то (D, D'.)x = l@J(f, f))^ 1@/0))- Кольцо 0
изоморфно, согласно теореме о разложении в степенные
ряды, кольцу к [и, v]/(и, v)h. Поэтому как векторное про-
пространство оио изоморфно пространству многочленов
от и и v степени </с и имеет размерность 1 + 2-1- • • •
. . . _[_ к = М/с + 1). Если /' е= ю?, /'
2
га»: ,
то элемен-
элементам идеала (/) соответствуют многочлены вида /' • g, где
g пробегает все многочлены степени ^к — I. Поэтому
i((/))^ 1 + ... + (* — /)= (ft + i.-iH*-*)^ Так как
/'ею, то/>1, и поэтому 1@/. (f))= 1@)—l((f))^.k.
Докажем теперь, что равенство в E) может дости-
достигаться.
Пусть /==ф(м, v) (nt?+1), где ф — форма степени к.
Рассмотрим линейную форму от и и у, не делящую ф.
За счет линейного преобразования и и v мы можем счи-
считать, что это и, т. е. что ф@, у)=7^0. Возьмем за D'
кривую с локальным уравнением и. Тогда (D, D')x—
— l@J (и, /)), а, как мы видели при разборе примера 3,
это число равно к.
2. Аддитивность индекса пересечения. Теорема 1.
Если дивизоры Du ..., Dn-u Dn и DXi . . .1Dn^ll Dn
находятся в общем положении в точке х, то
.2 ?>„_!, D'n + ?>n)« =
« (Dlf ..., Dn-i, D'n)x
x, . . ., Dn-i,
A)
Доказательство. Очевидно, прежде всего, что
теорему 1 достаточно доказать для эффективных дивизо-
дивизоров Di, . . ., Dn-i, Dn, Dn. Далее мы будем предполагать
эти дивизоры эффективными.
Обозначим локальные уравнения дивизоров Du . . .
. . ., Du-u Dni Dn через /1г,».f /„_lt f»xJn% кольцо

272
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ II ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
273
0*1 (U, • • •¦> /n-i) через 0, а образы /п и /п в С через
fug. Тогда
Так как последовательность
о- Or)/(/g) - ~~
точна, то
H0/(f-g))=l@/(g))-
О
B)
Если элемент g не является делителем О в G, то умноже-
умножение на g определяет изоморфизм 0/ (f) — (g)/ (fg) и
C)
Поэтому, если мы докажем, что g не делитель 0 в С, то
из B) и C) будет следовать A).
Последовательность п элементов /4, . . ., /„ локального
кольца 0Х простой точки «-мерного многообразия назы-
называется простой последовательностью, если /,- не является
делителем 0 в 0J (/1? . . ., /,-i) для i = 1, . . ., п.
Приведенные выше рассуждения показывают, что тео-
теорема 1 вытекает из следующего утверждения.
Лемма 1. Если дивизоры D±, . . ., Dn находятся
в общем положении в простой точке х, то их локальные
уравнения /1; ...,/„ образуют простую последователь-
последовательность.
Доказательство леммы 1 в свою очередь требует про-
простого вспомогательного предложения.
Лемма 2. Свойство быть простой последовательно-
последовательностью сохраняется при перестановке элементов последова-
последовательности.
Это общее свойство локальных колец. См. предложе-
предложение 5 в п. 6 Приложения.
Доказательство леммы 1. Доказательство
ведется индукцией по размерности п многообразия X.
Из условия леммы и из теоремы о размерности пересече-
пересечения следует, что dimx(Supp(/1) П . . . П Supp(/n_!)) = 1.
Поэтому можно найти такую функцию и, что и(а:)=О,
точка х проста на подмногообразии V(и) и дивизоры
(Л)> •• •» (/n-i),- {и) находятся в точке х в общем поло-
положении. Достаточно взять за и уравнение гиперплоскости,
проходящей через х и не содержащей Ох, х и ни одной
из компонент кривой Supp(/i)n . . . П Supp(/n_1). Рассмот-
Рассмотрим ограничения функций /4, . . ., fn-i на V (и). Очевид-
Очевидно, они удовлетворяют всем условиям леммы 1, и поэто-
поэтому, по индуктивному предположению, образуют на V(u)
простую последовательность. Так как локальное кольцо
точки х на V (и) имеет вид 0J{u), то мы видим, что
и, /i, . . ., /n-i — простая последовательность. Из леммы 2
следует, что тогда и последовательность /1? . . ., /и_1, и
проста.
Чтобы доказать простоту последовательности /4, ...
. . ., /„_!, /п, нам остается только проверить, что /„ не де-
делитель 0 в 0х/(fi, . . ., fn-i). Из условия на функции
/i, . . ., j-n следует, что в некоторой окрестности точки х
уравнения /4 = ... = /„ = О не имеют других решений,
кроме точки х. Теорема Гильберта о корнях показывает
поэтому, что (fx, . . ., fn) ^> шх при некотором к. В част-
частности, и"е=(/ъ ..м уп)} т. е. uK = afn{{fi, .. ., /„-0) при
некотором а е Ох.
Если бы /та было делителем 0 в 0J(fi, . . ., /n-i), то
отсюда следовало бы, что uh, а значит, и и,— делитель О
в этом кольце. Но это противоречит тому, что, как мы
доказали, /4, . . ., fn-i, и — простая последовательность.
Лемма 1, а тем самым и теорема 1 доказаны.
3. Инвариантность относительно эквивалентности. Мы
приступаем к доказательству основного свойства индексов
пересечения, которое лежит в основе всех их применений.
Теорема 2. Если многообразие X гладко и проек-
тивно и как дивизоры Dlf . . ., Dn^u Dn, так и дивизоры
Di, . . ,, Dn-i, Dn находятся в общем положении, а диви-
дивизоры Dn и Dn эквивалентны, то
(?>!,
>п-1, Dn) =
По условию теоремы Dn
равносильно тому, что
(А, ..-
. . . , Аг-Х, D'n). A)
Dn = (/) и равенство A)
г-i, (/))== 0,
B)
когда Di, . . .,'Dn-i и (/) находятся в общем положении.
Представляя D{, I «S i «S n — 1, как разности эффек-
эффективных дивизоров, мы видим, что достаточно доказать B)
18 И. Р. Шафаревич, т. 1

274
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
275
для А > 0, 1 «? ? «? п — 1. Это мы и будем дальше пред-
предполагать.
Доказательство теоремы 2 использует более общее по-
понятие индекса пересечения, чем то, которым мы до сих
пор пользовались. Именно, пусть задано к ^ п эффектив-
эффективных дивизоров А, ..., А па «-мерном гладком многооб-
многообразии X. Мы будем говорить, что они находятся в общем
положении, если dim Л Supp Di = n — к или
i=l,...,ft
П Supp А пусто. Предположим, что это свойство выпол-
выполнено и
П SuppA = UCj, С3)
i
где Cj — неприводимые многообразия размерности п — к.
В этих условиях компонентам С, можно приписать
кратности, называемые кратностями пересечения и сов-
совпадающие с индексами пересечения, если к — п, и, зна-
значит, С, состоит из одной точки.
Определение кратиостей пересечения использует одно
общее понятие, которые мы сейчас введем.
Определение 1. Модуль М над кольцом А назы-
называется модулем конечной длины, если он обладает такой
конечной последовательностью подмодулей
М = Мо => Мх = ... = Мп = О, М,Ф Mi+U D)
что. все фактормодули Лf^/Лf,-+1 просты, т. е. не содержат
подмодулей, отличных от нуля и всего модуля. Из тео-
теоремы Жордана — Гельдера следует, что все такие цепоч-
цепочки состоят из одного и того же числа модулей п, которое
называется длиной модуля и обозначается через 1{М)
или 1А {М).
Если А — поле, то понятие длины превращается в раз-
размерность векторного пространства.
Если модуль имеет конечную длину, то это верно и
для любого его подмодуля и фактормодуля.
Если модуль М обладает цепочкой подмодулей D),
в которой длины модулей Mi/Mi+i конечны, то и длина
модуля М конечна и I (М) = 2 l (Mi/Mi+1): Определение
кратности пересечения точно копирует определение ин-
индекса пересечения. Пусть С — одна из компонент Cj
в разложении C). Выберем точку х е С и локальные
уравнения /,- дивизоров А в окрестности этой точки. Тогда
ft «= а с и идеал а = (Л, . . ., U) <= Ос не зависит ни от вы-
выбора локальных уравнений, ни от выбора точки х. Дей-
Действительно, если gu . . ., gk — другие локальные уравнения
в окрестности другой точки, то и U и gi — локальные
уравнения дивизора Di на целом открытом множестве,
пересекающемся с С. Отсюда следует, что fig^^Oc и
gJT1 е 0 а а поэтому (Д, .. ., fh) = (gu . .., gh).
Ле^мма 1. Модуль ОС/<Х имеет конечную длину.
Действительно, так как С — неприводимая компонента
подмногообразия, определенного уравнениями /4 = . . .
• • • = Д = 0, то существует открытое аффинное подмно-
подмножество U cz X, пересекающее С, в котором эти уравнения
определяют подмногообразие С. Тогда по теореме Гиль-
Гильберта о корнях (/j, ...,/ft)=3ttc при некотором г > 0.
Рассмотрим теперь локальное кольцо А^ где А = k [U],
р = ас. Тогда Ау = Ос, ф((/1? ..., fh))= а и <р(ас) = т'с
(здесь ф: А -э- А^ — естественный гомоморфизм; см. п. 1
§ 1 гл. II). Поэтому в Ос будет а гз ntc-
Лемма следует теперь из общего свойства локальных
колец: если а — идеал нётерова локального кольца О и
й cz тг, где ю — максимальный идеал кольца Сиг>0, то
1<3 (О'/а)<а>. См. Приложение, п. 9, предложение 1.
Определение 2. Число Iq (Cc/u) называется
С
С*
кратностью, или индексом пересечения заданных диви-
дивизоров Di, ..., Dh в компоненте С. Опо обозначается через
(А, •.., А,) с
Мы будем дальше рассматривать случай к = п — 1,
так что компоненты d пересечения Д1Т...П />„_! будут
кривыми. Обозначим OJa, где а=(/1} . . ., fn-i), через
О — это, очевидно, локальное кольцо, максимальный иде-
идеал которого совпадает с образом ш максимального идеала
ю <= Ох при каноническом гомоморфизме (Ух ->- О.
Прежде всего нам надо выяснить, каковы простые
идеалы кольца О. Обозначим через &• совокупность
функций^ из 0Х, тождественно^ равных 0 па кривой С{,
а через }р,- — образ идеала V< в О'. Очевидно, что 0/Vi ==
==0x/Pi = 0x, Ci есть локальное кольцо точки х на кри-
кривой С<.
Лемма 2. Идеалы_уи . . ., рг м га исчерпывают все
простые идеалы кольца 0.
Утверждение леммы равносильно тому, что р(, . . ., $,
и шх — это все простые идеалы кольца 0Х, содержащие
18*

276
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
идеал ct. Пусть acjjc 0Xi p — простой идеал. Рассмотрим
аффинную окрестность U точки х, в которой^ fu . . ., fn-t
регулярны, и положим А = k [U], $ = А П р. Очевидно,
что $ — простой идеал. Обозначим через V подмногообра-
подмногообразие, которое он определяет в U. Так как !р => а, то Fc
с: Ci U . . . U С г, а так как ф прост, то V неприводимо. По-
Поэтому V или совпадает с одним из Ct и тогда $ = А П "р,-,
или же F является точкой у ^ U (вспомним, что С{ одно-
одномерны) . В последнем случае, если у Ф х, в 5JJ, а значит,
и в V содержится функция, отличная от. нуля в х. Так как
0Х — локальное кольцо, то тогда !р = 0Х (в то время как
само кольцо к числу своих простых идеалов не относит-
относится). Таким образом, единственная остающаяся возмож-
возможность — это % = А П тх. Так как р = $ • 0Х, то отсюда сле-
следует сразу, что "р = у,, i = 1, . . ., г, или р = т*, как и ут-
утверждает лемма.
Очевидно, что идеалы р,- являются минимальными
простыми идеалами кольца 0. Локальное кольцо, в кото-
котором все простые идеалы, отличные от максимального,_ми-
нимальны, называется одномерным. Таким образом, 0 —
одномерное локальное кольцо. Если / ^ О — элемент
одномерного локального кольца, не являющийся в нем
делителем 0, то длина l(CT/(f)) может быть выражена
через инварианты, связанные с локализациями по мини-
минимальным простым идеалам:
i-а (ё7</)) = S i-o (&Vi) la (tf/OH + f &))• F)
Это общее свойство одномерных локальных колец. Его
доказательство см. в Приложении, п. 9, предложение 2.
В нашем случае / = /„, 0/{f) — OJ{fu • • •, U) и
I{О/(/)) = (Z>i, . . ., Dn)x. С другой стороны, легко прове-
проверить, что 0у. си 0Vi/qVi(a), так что 1-^ {0^ = 1{О'сг/ъ) =
= (Dt, ..., Dn^)Ci. Наконец, O'/tyiJ- f О) = @/ШП =
= 0x,Ci/U)- Поэтому 1ъ @/(Vi +f0)) = I @x,Ci/(fn)) =
= (pCj (Dn))x, где pCi (Dn) — ограничение дивизора Dn
на кривую Ct (см. п. 2 § 1 гл. III). Таким образом, фор-
формула F) переписывается в виде
(?>!, . . ., ?>п)*= 2 (?>!, . . •, Dn-x)Ci (pCi
G)
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
277
¦ Индекс (D)x, где D — локально главный дивизор на
кривой С, дается формулой
(D)x= 2 (v* (?>))„, (8)
v(i/)=oc
где v: Cv -*- С — нормализация.
Действительно, пусть / — локальное уравнение диви-
дивизора D в окрестности точки х «^ С. Тогда формула (8) пе-
перепишется так:
Ц0х/A))= 2 1(<УУ/(Л), (9)
где 0Х и 0и — локальные кольца точек а: е С и г/ «= Cv.
Положим 6? = П 0у Так как С? содержится в поле
v(y)=x
частных кольца 0Х, то для любого и *= 0 существует та-
такое у ^ 0Х, что и ¦ v ^ б?ж. Согласно лемме в и. 1 § 2 гл. III
G — модуль конечного типа над 0Х. Пусть 0 = С?*"! + ...
. . . + 0xur, v{ е (Ух, UiVi е Gа: и v = vx . . . vT. Тогда v0 a
<= 0Х. Отсюда, в частности, следует, что 1@/0х)^
^l@/v&), а по теореме 2 J 2 гл. Ill 1{0/V0) =
= 2 vy(y)<:oo и, значит, 1@/0х)< оо.
(y)=x
Из диаграммы
следует, что_ I {0/ (/)) + I (J0/f0x) = I @/0Х) + I @J (/)).
Так как в 0 нет делителей 0, то 0@Х ^ f0/f0* и
1@/0*)= 4f0/f0x), откуда l@JV))=l@/tf)). По тео-
теореме 2 § 2 гл. III l@/(f))= 2 vv(/)= 2 1@VIU))-
()ac ()
Этим доказаны (9) и (8).
Комбинация формул G) и (8) почти сразу дает дока-
доказательство теоремы 2.
Запишем индекс пересечения в виде
(?>!, ...,?>„)
= 2

278 ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Согласно G)
г
(Dlt . . ., Dn) = 2 (At. • • ¦, Dn-i)cj 2, (Pc,-
а согласно (8)
Если дивизор ?>„ —главный, Dn—\f), то и дивизор
(v*pCj)CDn) — тоже главный: (v*pCj) (Dn) = (g) и ((g))„ ==
v(g).
Ввиду проективности многообразия X кривые С3- про-
ективны, а ввиду теоремы 7 § 5 гл. II это верно и для
С]. Согласно следствию теоремы 1 § 2 гл. III .2 vy (g) =
ysc/
= deg ((g-)) = 0,; откуда и следует, что \DU •.., Dn-u (/)) =
4. Общее определение индекса пересечения. Теорема 2
и теорема о сдвиге носителя дивизора с точки (теоре-
(теорема 1 § 1 гл. III) дают возможность определить индекс
пересечения любых п дивизоров на /г-мерном гладком
проективном многообразии, без каких-либо ограничений
типа общего положения.
Для этого нам понадобятся две леммы.
Лемма 1. Для любых п дивизоров Du ..., Dn на
п-мерном многообразии X найдутся такие п дивизоров
D[, . . ., Dn, что Di ~ D'i (i = 1, . . ., п) и D\, . . ., D'n
находятся в общем положении.
Пусть мы нашли такие дивизоры D[, . . ., Dk, что
Di~ D\ (i = 1, . . ., k) и dim(Supp Z>i П П Supp D'k) =
= n к или это пересечение пусто. Предположим, что
Supp D[ П • • • П SuppAl = Ct U ... U Cr
— разложение на неприводимые компоненты. Выберем на
каждой из компонент С, по точке х} и найдем, пользуясь
теоремой о сдвиге носителя дивизора, такой дивизор
D'k+1, что D'h+x — Dh+1, Supp D'h+1 =ё* x'j 0=1, • • •, г).
Тогда SuppZ>fe+i тем более не содержит ни одной из
компонент Cj и по теореме о размерности пересечения
dim (Supp d'x Г) • • • Л Supp D'k+1) = п — к — 1Я
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
279
если это пересечение не пусто. Когда мы таким образом
дойдем до к = п, мы получим нужную систему дивизоров.
Лемма 2. Если дивизоры Du ..., Dn и дивизоры
At. . . ., Dn находятся в общем положении и Di ~ Di
(? = 1, ..., п), го
Если DX = DX, . . ., Z)n_i = Dn-x, то это — утверждение
теоремы 2. Докажем, что равенство A) верно, если
Dx = D[, . . ., Dn-h = Dn-h- При к = п мы получим на-
наше утверждение.
Воспользуемся индукцией по ft. Предположим, что
утверждение верно для меньших значений к. Так как
обе системы дивизоров Du ..., Dn и Dx, . . ., Dn находят-
находятся в общем положении, то dim Y = dim Y' = 1, где
F= П Supp Z>i} У = П SuppZ>i. Выберем на
каждой компоненте каждого из многообразий Y, Y' по
точке и найдем, согласно теореме о сдвиге носителя ди-
дивизора, такой дивизор Dn-h+x, что Supp Z>n-ft+i не про-
проходит ни через одну из этих точек и Dn—н+i r-' Dn— u+i-
Тогда обе системы Du ..., Dn-h, Dn-k+i, • • •¦> Dn и
Dlf . . ., Dn-h, Dn-h+i, ¦ • -, Dn находятся в общем по-
положении.
Согласно теореме 2
(Dx, . . ., Dn) — {D
x,
n—fc+i, . . ., Dn),
n) = (D'x, ..., D'n-
B)
k,
Правые части в B) равны друг другу по 'индуктив-
'индуктивному предположению (в них уже п — к + 1 равных диви-
дивизоров), что и доказывает лемму 2.
Пользуясь леммами 1 и 2, мы можем определить ин-
индекс пересечения (Du ..., Dn) для любых п дивизоров
на гладком «-мерном многообразии, не требуя, чтобы они
находились в общем положении. Для этого найдем лю-
любые дивизоры Dx, . . ., Dn, удовлетворяющие условиям
леммы 1, так что индекс (Z?i, . . ., Dn) определен, и оп-
определим (?>!, ..., Dn) равенством (Dx, . . .± Dn) = (Z?i, . . .
')

280
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Нужно доказать, что это определение не зависит от
выбора вспомогательных дивизоров ZI? ...,Dn, но имен-
именно это и гарантирует лемма 2.
Например, теперь мы можем говорить об индексе
пересечения (С, С) для кривой С на поверхности X. Это
число обозначается также (С2). Приведем некоторые при-
примеры его вычисления.
Пример 1. X = Р2, С — прямая линия. По опреде-
определению (С2) = (С, С"), где С -С" -С, а С и С" на-
находятся в общем положении. Мы можем взять, напри-
например, за С и С" две различные прямые. Они пересекают-
пересекаются в единственной точке х и (С, С") = (С", С")х=1,
так как они в этой точке трансверсальпы. Поэтому
Пример 2. Пусть X — ге-мерпоо гладкое проектив-
проективное многообразие, X <= Р^. Обозначим через Е сечение X
гиперплоскостью в PN. Очевидно, E^Div(X). Наша
цель — дать интерпретацию числа {Еп) (мы видели, что
все гиперплоскости определяют эквивалентные дивизоры
и, зпачит, это число не зависит от выбора гиперплоско-
гиперплоскости Е).
По определению (Еп) = (Е^\ ..., Е<п)), где E{i) (i =
= 1, ..., п) — гиперплоские сечения, находящиеся в об-
общем положении: согласно п. 2 § 6 гл. I такие всегда
существуют. Точки X{<=E{i) П ... П ЕЫ) ¦— это точки пере-
пересечения X с (N — п) -мерным линейным подпространством
З', находящимся с X в общем положении. Так как
(ЯA>, . . ., Е™) = 2 (ЯA\ . . ., &n>)Xi и (ЯA>, . . .
. . ., Е п )Xi> 0, то (Еп) не меньше числа точек в III,i?.
Если же 3? трансверсально X во всех их точках пересе-
пересечения, то (ЕA\ . . ., E(n))Xi = 1 и (Еп) равно числу то-
точек в Ifl 3?. Мы сейчас проверим, что такие подпрост-
подпространства 3? существуют, что даст нам интерпретацию
числа (Еп) — это максимум чисел точек пересечения X
с линейными подпространствами дополнительной размер-
размерности, находящимися с X в общем положении. Это число
называется степенью многообразия X и обозначается че-
через deg X. Для случая гиперповерхности см. пример 1
п. 1 § 2.
Существование нужных подпространств 3? устанавли-
устанавливается обычным способом подсчета размерности. Обозна-
Обозначим через G грассманово многообразие линейных под-
под§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
281
пространств 2? <= Р", dim 3? =N — п. Это G(N — n+l, V),
если P-W = P(F), т. е. dimF = re+l. В произведении XX
X G рассмотрим подмногообразие Г, состоящее из таких
пар (х, 3?), что подпространство 3? не находится в об-
общем положении с 0Ж, х. Очевидно, что это замкнутое под-
подмножество (например, можно записать условие необщего
положения как равенство 0 произведения разложимых
поливекторов, соответствующих подпространствам). При
отображении Т -*¦ X слой состоит из подпространств 3? ^
^ G (N — п, ®х pjv), находящихся с 0Ж_ х в необщем по-
положении. Его размерность не больше diaxG (N — п,
®х,т?п)— 1 = (N — п)п— I. Поэтому dim Г «?(N — п)п —
— 1 + п. Тем более этого же числа не превосходит размер-
размерность проекции Г в С Но dim G =(N — n +1)п и, зна-
значит, в G есть точки, не принадлежащие проекции Г.
Пример 3. Предположим, что на гладкой поверх-
поверхности Х<=Р3 лежит прямая L, и вычислим (L2).
Проведем через L плоскость, не касающуюся X хотя
бы в одной точке iei, и обозначим через Е соответ-
соответствующее плоское сечение. Тогда L содержится в Е
как компонента кратности 1: Е = L -\- С, С = 2 к%С\,
2 ki deg Ci = m — 1.
Вычислим сначала (С2). Для этого заметим, что в
точках пересечения L и С кривая Е имеет особую точку,
а это значит, что высекающая ее плоскость совпадает
с касательной плоскостью к X в этой точке. Рассмотрим
другую плоскость, проходящую через L, но отличную от
касательных плоскостей к X в точках L П С. Эта пло-
плоскость определит дивизор Е' = L + С', и точки L П С и
L П С все различны. Это значит, что С П С = ® и (С2) =
= (С, С') = 0. Мы получили равенства
m = (#*),= {Ej L+C) = (E, L) + (Е, С) = 1 + (Е, С),
{Е,С)=тп-\,
m-l=(#, C) = (L, C) + (C2) = (L, С),
1=(Е, ?) = (L2) + (L, C) = (L*)+m-l,
Заметим, что (L2) < 0 при m > 2. Прямые действительно
могут лежать на поверхности произвольной степени, на-
m m .
пример прямая х0 = хи хг = х3 на поверхности х0 — хх +
х2 — хъ = 0.

282
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ЗАДАЧИ
1. Пусть X — поверхность, х — ее простая точка, и и v — ло-
локальные параметры в х, f — локальное уравпепие кривой С в ок-
рестпости х. Если / = {аи + bv) {си + dv) + g, g e ta^, и линейные
формы аи + bv и си -\- dv непропорциональны, то х называется
двойной точкой кривой С с разделенными касательными, а прямые
в &х с уравнениями аи + bv = 0 и си + ^^ = 0 — касательными
в ж. Пусть в этих предположениях С — гладкая кривая на X,
проходящая через точку х. Доказать, что {С, С')х > 2 тогда и
только тогда, когда ©эс.с' совпадает с одпой из касательных к
С в точке х. .
2. Пусть С = V{F), D = V{G) —две плоские кривые в А2,
а х — простая точка на каждой из них. Пусть / — ограничение мно-
многочлена F на кривую D, vx(/) —порядок нуля этой функции в точ-
точке х па кривой D. Доказать, что зто число не изменится, если по-
поменять местами F и С.
3. Пусть Y — гладкое неприводимое подмногообразие кораз-
коразмерности 1 тг-мерного гладкого многообразия X. Докагать, что для
дивизоров D\, ..., Dn-\, находящихся в общем положепип с У в
точке х, (Db ..., Dn-i, Y)x = (py(?>i), ..., ру{Dn-i))x, второй ин-
индекс пересечения вычисляется на Y.
4. Найти степень поверхности vnt{P2) (vm— отображение Во-
ропезе).
5. Пусть X — гладкая проективная поверхность, содержащая-
содержащаяся в пространстве Pn, L — проективное подпространство прост-
пространства Р" размерности п — 2. Предположпм, что L н X пересе-
пересекаются по конечному числу точек, причем в к из этих точек ка-
касательная плоскость к X пересекается с L по прямой. Доказать,
что число точек пересечения Хи1пе больше dogX — к.
6. То же, что и в задаче 5, но размерность L есть п — т, т~^
;3? 2. Доказать, что число точек пересечения X и L не больше
cleg X — к — т + 2. Указание. Провести через L удобное ли-
линейное подпрострапство, удовлетворяющее условиям задачи 5.
7. Доказать, что если эффективные дивизоры D\, ..., Dn-\ на
«-мерном многообразии находятся в общем положении и С — не-
неприводимая компонента пересечения их носителей, то (D\, . ..
.. ., Z>n_i)c = mm(Z)i, ..., Z>n_i, D)x, где минимум берется по всем
точкам х е С и всем эффективным дивизорам D, для которых
Supp Dai.
8. Вычислить (Z>i, D2)c, где Dx и D2 в А3 заданы уравнениями
х = 0 и х2 + У2 + ^z = 0, а С — прямая х — 0, у = 0.
§ 2. Приложения индексов пересечения
1. Теорема Безу в проективном пространстве и про-
произведении проективных пространств. Теоремы 1 и 2 § 1
дают возможность вычислить индексы пересечения лю-
любых дивизоров на многообразии X, если нам достаточно
хорошо известна группа С1(Х). Покажем это на двух
примерах.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
283
Пример 1. Х = Р". Мы знаем, что C1(X)^Z и за
образующую этой группы можно взять дивизор Е гипер-
гиперплоскости. Любой эффективный дивизор D является ди-
дивизором формы F, и если deg F — т, то D ~ тЕ. Отсюда
следует, что если
Di-mtE (i=l, ..., п),
то
(?>!, ..., Z?n) = m1. ..тп(Еп) = т±... т», A)
так как, очевидно, (Еп)= 1.
Если дивизоры Di эффективны, т. е. соответствуют
формам Ft степени тп, и находятся в общем положении,
то точки множества flSuppZ^j совпадают с ненулевыми
решениями системы уравнений
Fi (х0 : ... : хп) = 0,
Fn(xa:... : хп)= 0.
Для такой точки (или решения) х индекс (Du ..., Dn)x
естественно называть кратностью решения. Тогда равен-
равенство A) показывает, что число решепий системы п одно-
однородных уравнений с п + 1 неизвестными или бесконечно,
или равно произведению степеней уравнений, если реше-
решения считаются с их кратностью. При этом рассматрива-
рассматриваются только ненулевые решения, а пропорциональные
считаются за одно. Этот результат называется теоремой
Безу в проективном пространстве Р".
В частности, если D2, ..., Dn — гиперплоскости, то мы
видим, что {D, ?'ri-1) = degF, где F = 0 — уравнение D.
Если гиперповерхность D — гладкая, то индекс пересе-
пересечения (D, Е71-1) в Р" по определению совпадает с индек-
индексом пересечения (En~i) на D. Поэтому degF = degD в
смысле определения в примере 2 п. 5 § 1.
Пример 2. Z = PnXPm. В этом случае С1 (X) ''=
— Z ф Z. Любой эффективный дивизор D определяется
многочленом F, однородным отдельно по переменным
х0, ..., хп (координатам в Р") и у0, ..., ут (координатам
в Рт). Если F имеет степени однородности к и Z, то
D -»- (к, I) определяет изоморфизм С1 (X) ~ Z Ф Z. В ча-
частности, за образующие С1(Х) можно взять дивизор Е,
определяемый линейными формами от х,, и дивизор F,
определяемый линейными формами от .у». Тогда D ~
Е IF.

284 ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Пусть А ~ kiE + ltF (? = 1, . .., п+пъ). Тогда
= 2^х . . . адх . . . ljs (E, ...,?, F, . . ., F),
где суммирование распространено на все такие переста-
перестановки (ii ... irji .. .}s) чисел 1, 2, ..., п + т, что U <
< s*2 < ... < ir', /i < /2 < • • ¦ < /•• Вычислим индекс пере-
пересечения
(Е, ...,E,F, ...,
B)
Если г> п, то мы можем найти г линейных форм El7 ...
..., Ег, не имеющих общих нулей, и поэтому
(Е, . .., Е, F, . . ., F) = (Ех, ...,Er,F,...,F) = 0.
Аналогично обстоит дело, если s > т. Так как г + s =
= п+т, то индекс B) может быть отличен от нуля
только при г — п, s = т. В этом случае мы можем взять
за Еи ..., Еп, Fu ..., Fm дивизоры, определенные форма-
формами хи ..., хп, yi, .. ., ут. У этих дивизоров есть единст-
единственная общая точка A: 0: ... :0; 1: 0: ... :0). Они пересе-
пересекаются в ней трансверсалыго, как легко проверить, пе-
перейдя к открытому множеству х0 Ф 0, уа Ф- 0, которое
изоморфно аффинному пространству An+m. Таким об-
образом,
, ..., кп+тЕ + ln+mF) =
, C)
где сумма распространена на все перестановки (U ...
... i-nji. ... ]т) чисел 1, 2, ..., п + т, в которых i± < i2 < ...
...<?„, /i < /2 < ... < /m- Это утверждение называется
теоремой Безу в многообразии Рп X Рт.
Общей чертой разобранных примеров является то, что
в пих группа С1 (X) имела конечное число образующих.
Естественно спросить, не верно ли это для любого проек-
проективного гладкого многообразия X. Это не так, и противо-
противоречащий пример дает плоская кубическая кривая, у ко-
которой С1 (X) => С1° (X), C1(Z)/C1°(Z)^Z, а элементы
группы С1°(Х) находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с точками кривой X. Поэтому, например, если
к — поле комплексных чисел, то группа С1° (X) даже
песчетна.
»д
i
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
285
¦ Однако эта мощная подгруппа С1° (X) как раз не ока-
оказывает влияния на индекс пересечения (D) = degD —
она состоит из дивизоров степени 0. Аналогичным обра-
образом дело обстоит и в случае произвольного проективного
гладкого многообразия X. Именно, можно доказать, что
если дивизор D алгебраически эквивалентен 0 (определе-
(определение см. в п. 4 § 4 гл. III), то (Di, ..., Z?n-i, /)) = 0 для
любых дивизоров Db, ..., Dn-L Таким образом, индек-
индексы пересечения зависят только от элементов группы
Div(Z")/Div°(.y). Про эту же группу теорема D п. 4 § 4
гл. III утверждает, что она всегда имеет конечное число
образующих. Очевидно, что если Еи ..., Ет — образую-
образующие этой группы, то для того, чтобы знать любые ин-
индексы пересечения дивизоров на X, достаточно знать
конечное число чисел (Ei , . . ., Ein\ аналогично тому,
как мы это видели в примерах 1 и 2. Иными словами,
на X имеет место аналог теоремы Безу.
2. Многообразие над полем действительных чисел.
Различные варианты теоремы Безу, доказанные в п. 1,
имеют некоторые красивые применения к алгебраической
геометрии над полем вещественных чисел.
Вернемся к примеру 1 п. 1 и предположим, что урав-
уравнения F{ = 0 (? = 1, ..., п) имеют вещественные коэф-
коэффициенты, а нас интересуют вещественные решения.
Если deg Fi = тп{ и дивизоры Di находятся в общем по-
положении, то, как было доказано в п. 1, (Du ..., Dn) =
= rrii ... mn. Согласно определению (Z>l5 . . ., Dn) =
= ^j(Dx, ...,Dn)x, где сумма распространена на реше-
решения х системы Fi = 0, ..., Fn = 0. При этом, конечно,
мы должны рассматривать как вещественные, так и ком-
комплексные решения. Однако, так как многочлены Ft имеют
вещественные коэффициенты, то вместе с любым ком-
комплексным решением х система имеет и комплексно сопря-
сопряженное решение х. Из определения индекса пересечения
сразу же следует, что (Dx, . . ., Dn)x = (D±, . . ., Z)n)-, и
поэтому (DL, . . ., Аг) = 2(?\, . . ., ?>rt)y(mod2), где те-
теперь сумма распространена только на вещественные
решения. В частности, если {Dt, ..., Dn) нечетно (а это
равносильно тому, что все тп{ — deg Ft нечетны), то мы
видим, что существует хотя бы одпо вещественное реше-
решение. Это утверждение доказано в предположении, что
дивизоры Df находятся в общем положении. Однако

286
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
следующее простое соображение дает возможность изба-
избавиться от этого ограничения.
Дело в том, что теорема о сдвиге носителя дивизора
может быть в нашем случае Доказана совсем просто и в
более явной форме. Именно, мы можем взять линейную
форму I, отличную от нуля во всех точках хи ..., хт,
с которых мы хотим сдвинуть носитель дивизора. Если
дивизор D определяется формой F степени тп, то дивизор
D', определяемый формой Fa = F + eZm, будет удовлетво-
удовлетворять всем условиям теоремы, если F(x,) + &l(Xj)m Ф О
(/ —1, • • •, г) ¦ Этим условиям можно удовлетворить при
сколь угодно малых значениях е.
Теперь покажем, как избавиться от ограничения об
общем положении в доказанном выше утверждении о
существовании вещественного решения системы уравне-
уравнений нечетных степеней. Пусть
F, = ... = Fn = О
A)
— любая такая система. Согласно сказанному выше мож-
можно найти сколь угодно малые значения е, для которых
дивизоры, определенные формами Fit& = Fi + eZ* г, на-
находятся в общем положении.
Согласно уже доказанному система Ft- е = 0, ..., Fn- г =
— О имеет вещественное решение хг. Ввиду компактно-
компактности проективного пространства мы можем найти такую
последовательность чисел sm ->¦ 0, что точки xSm сходится
в точке аг^Р". Так как при этом Fj>e.m—*-Fj то х явля-
является решением системы A).
Сформулируем то, что мы доказали.
Теорема 1. Система п однородных вещественных
уравнений от п + 1 неизвестных имеет ненулевое веще-
вещественное решение, если степени всех уравнений нечетны.
Совершенно аналогичные рассуждения применимы к
многообразию Р"ХРШ (см. пример 2 п. 1). Мы получаем
следующий результат.
Теорема 2. Система вещественных уравнений
Fi(x0: ... :хп; уа: ... :г/т) = 0, ь= 1, ..., п + т,
имеет ненулевое вещественное решение, если число
2 kiL • ¦ ¦ kinlh • • ¦ lim нечетно.
Здесь hi и U обозначают степени однородности много-
многочлена Fi по первой и второй системе переменных, а ре-
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
287
шение называется нулевым, если х0 = • • • = хп = 0 или
7/о = • • • = У™ = 0.
Теорема 2 имеет интересные применения в алгебре.
Одно из них относится к вопросу об алгебрах с делением
над полем действительных чисел R. Если ранг такой ал-
алгебры равен п, то она имеет базис et, ..., еп и задается
таблицей умножения
n
V c«..
i, j = 1, . . ., n.
B)
Мы не предполагаем алгебру ассоциативной, и поэтому
сц могут быть любыми. Алгебра называется алгеброй
с делением, если уравнение
ах = 6 C)
разрешимо для любого а Ф 0 и любого Ъ. Легко видеть,
что это равносильно отсутствию делителей пуля в алгеб-
алгебре. Для этого достаточно рассмотреть линейное преобра-
преобразование <р: ц>(х) = ах в векторном пространстве, образо-
образованном элементами алгебры. Условие C) означает, что
образ ф совпадает со всем пространством. Как известно,
это равносильно тому, что ядро ф равно пулю. Последнее
условие и означает, что в алгебре нет делителей 0, т. е.
из ху = 0 следует, что х = 0 или у = 0. Если х =
п п
= 2 ач«?*, У = S У,е*> то из B) следует, что
2
ft=i
к
п.
Таким образом, в алгебре возможно деление, если систе-
система уравнений
h (х, у) =
D)
не имеет вещественных решений, в которых (xlt ..., хп)Ф
Ф{0, ..., 0) и (уи ..., уп)Ф@, ..., 0). Эти уравнения
почти подходят под условия теоремы 2. Отличие заклю-
заключается в том, что многочлены Fk определяют уравнения
в Р"-1 х Р""', а число их п не равно размерности 2п— 2
этого пространства. Поэтому выберем любое целое число
1 «? г ^ ге — 1 и положим хг+2 = .. . = хп = 0, уп-т+г = ...
• • • = Уп = 0, Уравнения Fh(xli ..., хг+и 0, ..., 0; уи •¦•

288
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
..., г/n-r+i, 0, ..., 0) = 0 (к = 1, ..., п) теперь заданы в
рг х рп_г и тем 5олее не имеют ненулевых вещественных
решений. Согласно теореме 2 это возможно, только если
сумма
h ... kirih ... ijn_r
E)
четна, причем это должно иметь место для всех г = 1, ...
..., п — 1. В нашем случае формы Fk билинейны, так
что ki — h= 1 и сумма E) равна числу своих членов,
т. е. ( |. Мы видим, что если система D) не имеет не-
ненулевых вещественных решении, то все числа I 1 четны
при г = 1, ..., п — 1. Это возможно, только если п = 2\
Действительно, наше условие на
можно выразить
так: в поле F, из двух элементов (Т + 1)" = Тп + 1. Если
п = 2' • пг, пг нечетно и пг > 1, то в F2
+ ifm = (г3' + i)m =
Мы доказали такой результат:
Теорема 3. Ранг алгебры с делением над полем
действительных чисел является степенью двойки.
Можно доказать, что алгебра с делением существует
только при п = 1, 2, 4, 8. Доказательство этого факта
использует довольно тонкие топологические соображения.
Применяя аналогичные рассуждения, можно исследо-
исследовать, при каких значениях пг и п система уравнений
m
2 с%хху =0, к = 1, . . ., п,
не имеет ненулевых вещественных решений. Этот вопрос
интересен тем, что он равносилен вопросу об эллиптич-
эллиптичности системы дифференциальных уравпений
3. Род гладкой кривой на поверхности. В геометрии
на гладкой проективной поверхности X громадную роль
играет следующая формула, выражающая род гладкой
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
кривой С <= X через некоторые индексы пересечения:
{С, С Л-К)
8С 2
1;
289
A)
здесь gc — род кривой С, а К — канонический класс по-
поверхности X.
Можно было бы доказать эту формулу, пользуясь теми
средствами, которые нам уже известны. Однако более
ясное и геометрически прозрачное доказательство выте-
вытекает из простейших свойств векторных расслоений. Оно
будет дано в п. 4 § 1 гл. VI. Здесь мы только приведем
некоторые ее применения.
1. Если X = Р2, то C1(X) = Z и образующей является
класс L, содержащий все прямые. Если degC—n, то
C^nL. Так как К = — ЪЬ и (?2) = 1, то формула A)
дает в этом случае g = п (п~ 3) + 1 = ^ - \.) (п - 2.) ^
Этот результат был получен другим способом в п. 4 § 6
гл. III.
2. Пусть X — гладкая поверхность 2-го порядка в Р3.
Выясним, как классифицируются гладкие кривые на X
по их геометрическим свойствам.
Алгебраическая классификация совершенно ясна. Так
как X ^ Р1 X Р1, то любая кривая на X задается уравне-
уравнением F{xo:xy; yo;yi)—O, где F—многочлен, однород-
однородный как относительно х0, хи так и относительно у0, У\.
Обозначим степени однородности через пг и п. Число
коэффициентов такого многочлена равно (т + 1) (ге-Ь 1),
и, значит, все кривые, задаваемые уравнениями степени
однородности пг и п, соответствуют точкам проективного
пространства pmn+m+n. Так как для любых пг и п, пг > О,
п > 0, существуют гладкие неприводимые кривые, напри-
например кривая с уравнением
о пг п
2х0 у0
пг п , m п
у + х0 ух
m п
х у0
m n /-»
хх уг = О,
то гладким неприводимым кривым соответствуют точки
непустого открытого подмножества в pmn+m+«.
Мы видели в п. 1, что Cl (-X") = Z ф Z, и если кри-
кривая С задается уравнением со степенями однородности
m и п, то
С ~тЕ + nF, B)
где ? = Р1 X ж, F = хХ Р1. Таким образом, кривые, соот-
19 и. Р. Шафаревич, т. i

"SB
290
ГЛ. IV, ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ветствующие заданным числам т и ге,— это эффектив-
эффективные дивизоры класса тЕ + nF.
Классы Е и F соответствуют двум семействам прямо-
прямолинейных образующих на X. Легко найти индексы пере-
пересечения кривых, заданных в виде B): если
С ~ тЕ + nF, С ~ т'Е + n'F,
то
C)
пт'.
В частности,
m=\C,F), п =
E)
Это указывает на геометрический смысл чисел тип:
аналогично тому, как степень плоской кривой равна чис-
числу ее точек пересечения с прямой, тип являются дву-
двумя «степенями» кривой С по отношению к двум систе-
системам прямолинейных образующих Е и F на X.
Если учитывать вложение X <= Р3, то кривая приобре-
приобретает новый геометрический инвариант — степень. Мы
знаем, что семейства кривых на X просто классифици-
классифицируются по инвариантам т и п. Наша цель теперь — по-
получить эту классификацию в терминах инвариантов deg С
и gc.
Как мы знаем,
deg С = (С, Я), F)
где Н—плоское сечение X.
Теперь отметим, что
: H-E + F,
G)
как сразу видно из E) и того, что Н и Е, а также // и
F трансверсальны в их точке пересечения. Подставив
это выражение в формулу F) и применив D), мы по-
получаем, что
deg С = т + п. (8)
Заметим, что для любой неприводимой кривой С, т > 0
и п > 0, за исключением случая, когда С является пря-
прямой. Действительно, если С не принадлежит, например,
первому семейству прямолинейных образующих, то, взяв
любую точку х s С и прямую Е первого семейства, про-
проходящую через х, мы увидим, что С и Е находятся в
общем положении и (С, Е) = п^ (С, Е)х > 0.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 291
Перейдем к вычислению gc. Чтобы применить фор-
формулу A), нам надо знать канонический класс поверх-
поверхности X. Этим мы сейчас и займемся. Мы воспользуемся
тем, что X ^ Р1 х Р*. Легко решить даже более общую
задачу: найти канонический класс поверхности X = Ft X
X Yz, где F4 и Yz — гладкие проективные кривые. Обоз-
пачив через я4 и пг проекции л±: X -»- Yu л2: Х->-Г2,
рассмотрим произвольные одномерные дифференциаль-
дифференциальные формы (ui^Q1 (Y{), (Oz^Q1 (Y2) и сопоставим им
формы ях (cOj) и зт2(со2) на X. Форма со = я* (сс^) Д я*(со2)
двумерна и ее дивизор (оз) принадлежит каноническому
классу. Этот дивизор мы и вычислим.
Пусть ге1, х = {уи yz), у,еГ,, у% е= F2 и 11 и t2 —
локальные параметры на Yt и F2 в окрестности точек
Ух и уг. Тогда, как показывает очевидная проверка,
Я1 (*i) и Я2 (^) образуют систему локальных параметров
для точки х на X. Представим со1 и со2 в виде coj = Uidtu
(j32 = uzdt2. Тогда (co1) = (u1) и (со2) = (и2) в окрестности
точек yt и у2. Очевидно, что со = п% (и1)-л2 (u2)dnx (^х) Д
Д dn2 (t2)t откуда следует, что в некоторой окрестности
точек х
(со) = (я* (щ)) + (я* (и2)) = яГ (@^))+ я* ((со2)).
Так как это верно для любой точки х^Х, то (со) =
= я*((сох)) + я* ((со2)) или, иначе говоря,
Кх = яГ (KYi) + л*2 {Куг). (9)
Вернемся к случаю X — Р1 X Р1. Мы знаем, что
Kpi^—2у, у е Рг. Поэтому формула (9) дает в нашем
случае Кх ^э — 2 (л* (г/х) + л* (у2)). Так как л* (у^ = Е,
Я2 ^Уг) ^ ^? то MW получаем окончательную формулу
KX^-2E-2F. A0)
Чтобы получить род кривой С ~ TttZ? + reF, надо подста-
подставить эту формулу в соотношение A) и воспользоваться
формулами D). Мы получаем
gc=(m— 1) (re— 1).
(И)
Таким образом, числа тип однозначно с точностью до
перестановки определяются степенью и родом кривой С.
19*

292 ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Мы видим, что для заданной степени d существует d+ 1
семейств кривых на X: Мо, Ми ..., Мл- Род семейства
Мк равен k(d — к) — d+ 1, и семейства Mh и Mt имеют
один и тот же род, только если к + I = d, т. е. если они
получаются друг из друга автоморфизмом Р1 X Р1, кото-
который меняет местами сомножители. Размерность семей-
семейства Mh равна (/с+ 1) (d— к + 1)— 1 или, выраженная
через степень и род: g + 2d.
Ф. Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX
столетии» приводит классификацию кривых 3-й и 4-й
Рис. 16
степени на гиперболоиде как пример применения идей
бирациональной геометрии. Оттуда и заимствованы чер-
чертежи, иллюстрирующие кривые с d = 4: па рис. 16,6
с т = 1, п = 3, на рис. 16, а с т = п== 2.
3. В качестве еще одного применения формулы A)
выясним, какие отрицательные значения может прини-
принимать индекс самопересечения гладкой кривой С на по-
поверхности 3-й степени в Р3. Согласно результату п. 4
§ 6 гл. III в этом случае К = —Е, где Е — гиперплоское
сечение. Поэтому формула A) принимает вид
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 293
Очевидно, что (С2) < 0, только если g = 0, a deg С = 1,
т. е. С — прямая, лежащая на поверхности. В этом слу-
случае (<72) = -1.
4. Неравенство Римана — Роха на поверхности. Дру-
Другое фундаментальное соотношение, использующее индек-
индексы пересечения,— это неравенство Римана — Роха на
гладкой неприводимой проективной поверхности X:
Ра(Х)х
A)
где D — произвольный дивизор, а ра{Х)—инвариант, за-
зависящий только от поверхности, но не от дивизора. В слу-
случае поля характеристики 0, ра(Х)— 1 — hl(X)+ hz(X).
(Неравенство A) получается из равенства Римана — Ро-
Роха, которое мы здесь не приводим, отбрасыванием одного
члена. Равенства Римана — Роха для кривой и для по-
поверхности обобщаются на многообразия произвольных
размерностей.)
Мы проиллюстрируем полезность неравенства Рима-
Римана — Роха на одном примере. Как было сказано в п. 1,
индекс пересечения дивизоров Du Dz e Div (X) зависит
только от их образа в группе Div(-X")/Diva(-X"), которая
имеет конечное число образующих. Мы можем профак-
торизовать ее по кручению, так как элементы кручения,
конечно, дают нулевые индексы пересечения. В резуль-
результате получится группа, изоморфная Zm, и если ut, ...
..., ит — ее базис, то индекс пересечения задается сим-
симметрической целочисленной матрицей ((и*, щ)), т. е. це-
целочисленной квадратичной формой. Это — очень важный
инвариант поверхности. Мы определим сейчас самый гру-
грубый инвариант — индекс инерции этой квадратичной фор-
формы. Нам известно, что она заведомо принимает положи-
положительные значения, так как (Е • E) = deg Х> 0, где Е —
гиперплоское сечение. Оказывается, что при приведении
к сумме квадратов все ненулевые коэффициенты, кроме
одного, отрицательны. Мы докажем этот результат в
форме, не использующей то, что группа Div(-X")/Diva(X)
имеет конечное число образующих.
Теорема Ходжа. Если D — дивизор на поверхно-
поверхности X и (D, Е) — 0 для гиперплоского сечения Е, то
(D2) ss 0.
Предположим, что (Z>2)>0. Мы докажем, что при до-
достаточно большом п > 0 либо l{nD)> 0, либо /(—nD)>0.
Отсюда будет следовать теорема: если, например, (

294
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ
>0, т. е. nD~D'>0, то (nD, E) = (D', Е)>0, так как
всякая кривая пересекается с гиперплоскостью. Поэтому
n(D, ?)>0и (D, Е)>0, вопреки предположению.
Из того, что (?J)>0, и ввиду A)
B)
где с(п) неограниченно растет вместе с п. Если l(nD) =
= /(-/г?>) = 0, то l(K-nD)^c(n), l(K +nD)^ c(n). Но
при Z(ZI)>0 всегда l(D± +Dz)^ l(Dz). Поэтому мы по-
получили бы, что 1BК)^с(п)—очевидное противоречие.
5. Гладкая кубическая поверхность. Пусть IcP3-
гладкая поверхность степени 3. Согласно теореме 10 § 6
гл. I на ней лежит прямая L. Проведем через L две раз-
различные плоскости Ei и Ег с уравнениями ф1 = 0 и ср2 = 0
и рассмотрим рациональное отображение ср: X —>- Р1,
<f(x) = ((pl(x):xp2.(x)). Линейная система (A,iq>i + Агфг),
соответствующая этому отображению, имеет неподвиж-
неподвижную компоненту L: Е%г,%2 = L + FXl,x2, гДе E%x,xz —
плоское сечение с уравнением At'cpi + X2<p2, a Fхх,ха —
плоская коника. Очевидно, линейная система Fxt,x2 за-
задает то же отображение ф. Докажем, что ф регулярно.
Для этого достаточно доказать, что Fxx>x2 П ¦fn1,n2=^=0.
если Gix : Х2) =/?= (\х,х : (я2). Заметим, что Fx \2 не может
содержать L как компоненту: равенства Exvx2 = 3Z, или
Ех хг — 2L + ^' противоречат соотношениям (Z7)= —1,
(i?H,v L) = 1, (i, Z,')^0. Кроме того, FK,4 и F^^
не могут иметь общей компоненты: она была бы прямой,
отличной от L, ж определяла бы уже плоскость, в кото-
которой она лежит. Таким образом, ^\хд2 и F^^ находят-
находятся в общем положении, и нам достаточно убедиться,
= 0, т. е. (-fl^xj = 0. Это следует из
3, (L») = — 1,
что (FXitx2, ^Й1,ц.2) = 0,
того, что E^,h = L +
(^, ^,x2) = 2.
Если уравнения прямой L имеют вид ^о = §i = 0, то
уравнение поверхности X записывается в виде
2D
gr SO = 0, A)
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 295
где А, В, С, D, E, F— формы, degA=degB = degC=l,
degD — degE — 2, degF — 3. Отсюда видно, что наше
отображение ф: X -*¦ Р1 над А1 с Р1, где слой Х\<р~1 (А1)
невырожден, дает представление открытого множества
ф-^А^с^Х в виде пучка коник. Из примера 1 в п. 4 § 6
гл. II следует, что вырожденные слои соответствуют ну-
нулям дискриминанта, нули эти — однократные, а вырож-
вырожденные слои являются нарами различных прямых. Если
система координат выбрана так, что слой над бесконеч-
бесконечной точкой РЧА1 гладок, то число вырожденных слоев
равно степени дискриминанта
. А С D
А = С В Е,
D E F
которая равна 5. Отсюда следует
Предложение 1. Каждая прямая на гладкой ку-
кубической поверхности X пересекает ровно 10 прямых,
лежащих на этой поверхности и распадающихся на 5
пар попарно пересекающихся.
Из следствия 6 предложения в п. 2 § 6 гл. I мы мо-
можем заключить, что гладкая кубическая поверхность
рациональна: Л Ф 0 тождественно, так как имеет только
простые корни. Рациональность поверхности X можно
доказать и другим путем: рассмотрим любую прямую Z/,
пересекающую L, и применим к ней доказанное выше
утверждение. Ее пересекают 10 прямых, из которых лишь
L и еще одна прямая пересекают L. Следовательно, су-
существует прямая М, не пересекающая L, и рациональ-
рациональность поверхности X вытекает из примера 2 в п. 3
§ 3 гл. I.
Для найденной прямой М, очевидно, (F, М)= 1, где
F—слой пучка коник, так как (М, E)—l, (M, L) = 0,
Е ~ L + F. Поэтому М пересекает F ровно в одной точке
и, в частности, из каждой пары прямых, пересекающих
L, пересекает ровно одну прямую. Обозначим эту пря-
прямую через Li, а другую — через Lt (? = 1, . . ., 5). Тогда
(Li, M) = 0, (L'i, М) = 1. Полученная конфигурация
прямых изображена на рис. 17.
Из теоремы 4 § 1 гл. III мы можем заключить, что
группа С1(Х) имеет в качестве образующих классы, оп-
определенные дивизорами Lu Lz, L3, Lt, Lb, F, S, где S —
некоторое сечение пучка коник X -*¦ Р1. Покажем, что
за S можно взять найденную нами прямую М <= X. Дей-

296
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ствительно, так как М Г\ L = 0, то уравнения М можно
записать в виде §2 = a"ga + Ь%и §3 = с|0 + d^, т. е. при
переходе к неоднородным координатам хг — 12/|0 и хА =
= §з/§о рационально выражаются через x^=^J\0 — ко-
координату на Р1, причем эти выражения удовлетворяют
уравнению A).
/
N
/
L-'t
\
/
\
/
\
\
/
\
•
/
\
\
s
\
>
\
M
Рис. 17
Таким образом, мы получаем
Предложение 2. Группа С1 (X) является свобод-
свободной группой с 7 образующими — классами, определенны-
определенными кривыми Lu L2, L3, Lk, La, M, F.
Индексы пересечений кривых Lu L2, L3, L4, L5, M и
F легко вычисляются. Они сведены в таблицу:
ь.
1-4
М
Lt
L2
L3
и
Lb
М
F
—1
0
0
0
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
0
0
0
^
0
0
0
0
0
1
0
Группа С1(Х) в значительной мере определяет гео-
геометрию поверхности X. В частности, она дает возмож-
возможность найти все прямые, лежащие на X. Мы знаем, что
прямая С на X удовлетворяет условию (С2) = —1. Нам
известны прямая L и еще 10 пересекающих ее прямых.
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 297
Найдем прямые, не пересекающие L. Для них (С, L) =
/5 \
= 0 и, значит, (С, F)=l. Пусть С — ( 2 xiL%) + уМ+
+ zF. Условие (С, F)=l дает у = 1," а- (С2') = -1 и
(С, L) = 0 дают
х\
2z = 0г
2 хг + 2z = 0;
B)
+ х0 = 0, т. е. х{ = 0 или —1.
отсюда следует, что 2
Из B) следует, что число - тех г, для которых ж< = —1,
четно, т. е. возможны случаи: (а) все xt = 0, (б) все
Xi = —i, кроме одного, (в) xt = х5 = —1, остальные xh = 0.
Случай (а) дает класс прямой М, случаи (б) и (в) — 5
и 10 классов, т. е. всего 16 классов. В каждом классе ле-
лежит не более одной прямой: если С и С — две различ-
различные прямые в одном классе, то (С, С") = 0 или 1, по
С~С и, значит, (С, С') = (Сг)=— 1. Таким образом,
остается в каждом из найденных классов предъявить хо-
хотя бы одну прямую. В случае (а) это М. В случае, ког-
когда Xi = 0, Xj = — 1 при / ^ i, мы получаем класс С г =
= — 2 Ls + М + 2F. Заметим, что прямые Ь\ и М
лежат в одной плоскости, в которой, значит, должна ле-
лежать еще одна прямая Ьг: Li -f- Li 4- М ~ Е. Полагая
Е ~ 2 «/t-kfc + PM + yF, мы находим, как ранее, что
Е ~ — 2 Lh + 2М + 3F. Подставляя это выражение для
Е и Li ~ F — Li для Li, мы легко получаем, что Li ~
— Сг. В случае (в) мы имеем класс Dtj = — Lt — Lj +
+ M + F. Заметим, что {L\, Lj) = (Сг, Lj) = i, т. е.
прямые Li и Lj при 1Ф j пересекаются и, значит, в про-
проходящей через пих плоскости лежит еще одна прямая
Lij. Рассуждение, в точности параллельное предыдущему,
показывает, что Ly ~ Z>y. Таким образом, мы нашли 1
прямую в случае (а), 5 — в случае (б) и 10 — в случае
(в). Всего же 1 + 5 + 10=16. Вместе с L и 10 пересе-
пересекающими ее прямыми это дает 27 прямых. Нами до-
доказана

29S
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНДЕКСОВ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
299
Теорема. На гладкой кубической поверхности в
Р3 лежат ровно 27 прямых.
6. Кольцо классов циклов. Изложенная нами теория
индексов пересечений дивизоров является частным слу-
случаем общей теории, относящейся к подмногообразиям
любой размерности. Понятие дивизора заменяется здесь
понятием k-мерного цикла. Так называются элементы
свободной абелевой группы, порожденной неприводимы-
неприводимыми подмногообразиями размерности к. Два неприводимых
подмногообразия Yt и Yz по определению находятся в
общем положении, если все неприводимые компоненты
Zt пересечения Уг П Y2 имеют одну и ту же размерность и
codim Zt = codim Y± + codim F2.
Основой теории является сопоставление в этом случае
компонентам Z{ целых положительных кратностеп
nt(Yu Y2). Эти кратности не являются, вообще говоря,
длинами тех или иных колец, как в нашей теории. Они
определяются как суммы, в которых только первые сла-
слагаемые имеют такой вид. Вся теория оказывается гораздо
сложнее и требует гораздо большего аппарата коммута-
коммутативной и гомологической алгебры. Читатель может позна-
познакомиться с пой по книге [28].
Цикл 2^щ(У1, Y2)Zi называется произведением под-
подмногообразий Yi и Y2. По аддитивности это понятие рас-
распространяется на два любых цикла, находящихся в об-
общем положении. (Два цикла по определению находятся
в общем положении, если каждая компонента одного на-
находится в общем положении с каждой компонентой дру-
другого.)
Основное свойство этого умножения — его инвариант-
инвариантность относительно понятия эквивалентности, которое мы
сейчас опишем. Оно обобщает алгебраическую эквива-
эквивалентность дивизоров, введенную в п. 4 § 4 гл. III, и оп-
определяется совершенно аналогично. Именно, пусть Т —
произвольное неприводимое гладкое многообразие и Z с:
с!ХГ — такой цикл, что Z vl XXt для любой точки
геГ находятся в общем положении. Множество циклов
Ct=Z-(X><t) называется алгебраическим семейством.
Два цикла Сх и С% называются алгебраически эквивалент-
эквивалентными, если существует такое семейство циклов Ct, t<=T,
что Ct = Clt Ct = C2 для двух точек tu t2 ^ Т. Множе-
Множество классов циклов относительно алгебраической экви-
эквивалентности образует группу.
Умножение циклов на проективном многообразии ин-
инвариантно относительно алгебраической эквивалентности.
Верна теорема о приведении в общее положение, соглас-
согласно которой для двух циклов Ct и Сг существуют такие
Сх и С2, что цикл С[ эквивалентен Сг, а С'2 эквивалентен
С2 и Сг, С2 находится в общем положении. Эти два
результата дают возможность определить произведение
двух любых классов циклов.
Обозначим через Шг группу классов (относительно ал-
алгебраической эквивалентности) циклов коразмерности г
на гладком проективном многообразии X. Группа
п
31 = ф дГг, п = dim X,
является кольцом, если мы определим умножение для
отдельных компонент, как мы это сделали выше, а для
любых элементов — по аддитивности. Это кольцо комму-
коммутативно и ассоциативно. Ввиду формулы для размерно-
размерности пересечения (D) п. 2 § 6 гл. I)
== 0 при т
п.
т. е. SC — градуированное кольцо. Легко доказать, что все
точки многообразия X, рассмотренные как нульмерные
циклы, эквивалентны, и цикл х, х^Х, не эквивален-
эквивалентен 0. Поэтому группа 51„ = Z • и имеет стандартную об-
образующую и — класс циклов ге1. Классы дивизоров
относительно алгебраической эквивалентности образуют
группу SIl Для п элементов аи ..., ane?d произведение
4L Z
<Xi... а„ = k • и, AsZ.
Число к совпадает с индексом пересечения (als ..., а„),
который был нами определен в § 1.
Кольцо % является очень интересным, но очень мало
изученным инвариантом многообразия X. Группа Ш,а изо-
изоморфна Z — ее образующей является само X. Мы уже
говорили, что и Stn ^ Z. Группа Шг имеет конечное число
образующих — это утверждается теоремой D п. 4 § 4
гл. III. Однако уже группа St2 может иметь бесконечное
число образующих. Строение этих групп является весьма
загадочным.

300
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ЗАДАЧИ
1. Определить deg vm(Pn), где vm — отображение Веронезе.
2. Предположим, что гладкая плоская кривая С степени г ле-
лежит на гладкой поверхности степени т в Р3. Определить (С2)
(обобщение примера 3 в п. 5 § 1).
3. Предположим, что на гладкой проективной поверхности сте-
степени т в Р3 дивизор формы степени I состоит из одной компонен-
компоненты с кратностью 1, являющейся гладкой кривой. Найти ее род.
4. Доказать, что число решений системы уравнений
• • > хо >
(к)
xnh
\_0
линейных относительно каждой системы переменных
..., х%;, равно
1
~> если число уравнении равно
у
(
Число решений, как всегда, понимается в смысле соответствующе-
соответствующего индекса пересечения.
5. Доказать, что если на гладкой поверхности X 4-й степени
в Р3 лежит гладкая кривая С и (С2) <С 0, то (С2) = —2.
6. Доказать, что индексы самопересечения гладких кривых на
гладкой поверхности четной степени в Р3 всегда четны.
7. Пусть X — гладкая кривая, D — диагональ в ХХ-Х (множе-
(множество точек вида (х, х)). Доказать, что (D2) = —dogKx- Указа-
Указание. Воспользоваться тем, что D и X изоморфны.
8. Обобщить результат задачи 7 па случай, когда D — график
отображения <р: С\ —*- С2 степени d, D cz C\ X С2.
9. Для дивизора D cz C\ X С2 доказать неравенство
(D2)
2, D)(D, C2Xci),
c2
C2.
Указание. Подобрать а и р так, что для D' = D —¦ а(С\ X с2) —
— P(ci X С2), (Ci X с2, D') = {D', С1 X С2) = 0, и применить к D'
теорему Ходжа.
10. В условиях задач 8, 9 пусть Сх = С2 = С, ср — отображение
С -*-С степени d, Гф — его график. Доказать, что | (Гф, Д) — d — 11 ^
==?; 2gfd, где g — род кривой С, ДсСХС — диагональ. Здесь
(Гф, Л) есть число неподвижных точек отображения ф. Получеп-
ное неравенство для случая, когда ф — отображение Фробениуса,
обобщает перавепство C) из п. 4 § 3 гл. III на кривые произ-
произвольного рода. Указание. Положить D = гпА + /гГф, рассмот-
рассмотреть (Р2)—2(СХс, D) (D, С У. с) как квадратичную форму от m
иди выписать условие отрицательной определенности.
§ 3. Бирациональные изоморфизмы поверхностей
В этом параграфе мы изложим применения индексов
пересечения к доказательству некоторых основных свойств
бирациональных изоморфизмов поверхностей. Мы начнем
с того, что выведем некоторые простейшие свойства о-
процесса алгебраической поверхности.
§ 3. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 301
1. о-процессы поверхностей. Пусть X—алгебраиче-
X—алгебраическая поверхность, ^е! — простая точка, хну — локаль-
локальные параметры в § и о: Y -*¦ X—о-процесс с центром в
этой точке. Согласно теореме 1 § 4 гл. II существует
такая окрестность U^%, что V = a (U) может быть
описано уравнениями tay = ttx в UXP\ где (to:t,.) —
координаты в Р1. При этом в открытом множестве, где
?0 ^ 0, а-процесс задается простыми уравнениями
х = и, y = uv, A)
t
где v= —. В любой точке 'П = а~1A) функции и и v —
о
— v{t\) образуют систему локальных параметров. Поло-
Положим ? = о~'(?). Локальное уравнение кривой L будет,
очевидно, и = 0.
Пусть С—неприводимая кривая на X, проходящая
через точку |. Аналогично теореме 1 § 4 гл. II в нашем
случае прообраз а (С) кривой С состоит из двух ком-
компонент: кривой L и кривой С, которую можно опреде-
определить как замыкание кривой о {С— |) в Y. Кривая С назы-
называется собственным прообразом кривой С. Мы будем
обозначать ее через а' (С). Рассмотрим теперь С как не-
неприводимый дивизор па X. Тогда
= o'(C)+kL,
B)
где о'(С) входит с коэффициентом 1, так как а является
изоморфизмом Y — L на X— |. Найдем коэффициент к
в формуле B). Для этого предположим, что С имеет §
r-кратной точкой. Это значит, что если / — локальное
уравнение С в окрестности |, то /е m|
* (С)
nig+1. Тогда
р р |, / |,/^ g Тогда
о* (С) имеет локальное уравнение о* (/) в окрестности
бй 1 (g)П
любой точки г\ ^ о
j. Положим
>(*. у) +
C)
где гр — форма степени г.
Подставив формулы преобразования A) в уравнение
C), мы получим, что (о*/) (и, у) = ф(и, uv)+o*ty. Так
как ij;<=rtt|+1, то ty = F(x, у), где F— форма степени г
с коэффициентами из Щ. Поэтому о* (yp) = (a*F) (и, vu)
и окончательно
(о*/) (и, v)=ur(y(l, v)+u(o*F)(l, v)); D)

302
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
так как срA, v) не делится на и, то отсюда следует, что
в формуле B) к равно г—кратности особой точки § на
кривой С.
Сформулируем то, что мы доказали.
Теорема 1. Прообраз простого дивизора С на X,
содержащего центр § а-процесса, задается формулой
о* (С) = а'(С) +kL, где о'(С)—простой дивизор, L —
= 0—'(§) и к — кратность точки § на С.
2. Некоторые индексы пересечения. Начнем с общего
свойства бирациональных регулярных отображений /: Y -*¦
-*¦ X гладких проективных поверхностей.
Теорема 2. Если А, А — дивизоры на X, то
(/•(А), /*(А)) = (А, А). A)
Если D — дивизор на Y, все компоненты которого ис-
исключительные кривые, то
(/*(?>), 27) = 0 B)
для любого дивизора D на X.
Обозначим через S сг X то конечное множество точек,
в котором отображение /"' нерегулярно, и пусть Т =
= f~l(S) (теоретико-множественно). Тогда / определяет
изоморфизм
Y-T^X-S. C)
Если ни SuppA, ни SuppA не пересекаются с S и А
и А находятся в общем положении, то равенство A)
очевидно ввиду изоморфизма C). В противном случае
мы воспользуемся теоремой о снятии носителя дивизора
с точек (теорема 1 п. 3 § 1 гл. III). Пусть DX~DX и
D2—D%—такие дивизоры, что (SuppA) П S =
= (SuppZ)^) Г) S — 0 и А и D2 находятся в общем
положении. Тогда (Dx, D2) ={d\, D^), а ввиду сказанно-
сказанного выше (D'i, D2) = (/* {D'x), f* (?>;)). Так как /* {D\) ~
—¦/* (А), то отсюда следует равенство A).
Равенство B) также очевидно, если (Supp?>) П S = 0.
Общий случай сводится к этому совершенно аналогич-
аналогичным рассуждением. Теорема доказана.
Введем теперь следствия, относящиеся непосредствен-
непосредственно к а-процессу. Мы будем пользоваться обозначения-
обозначениями н. 1.
Следствие 1.
)>-1.
D)
§ 3. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 303
Рассмотрим кривую CcJ c локальным уравнением у.
Согласно теореме 1 о* (С) = о'(С) + L, причем из фор-
формул A) п. 1 ясно, что локальным уравнением а'(С) яв-
является v. Так как локальным уравнением L является и,
то (о'(С), L)=l, и поэтому формула D) следует из B).
Следствие 2. (а' (С), L) = k, где к — кратность
особой точки \ на С.
Это сразу следует из формул B), D) и формулы B) п. 1.
Следствие 3.
(/г if 1 st (ff. \ \ •¦ ¦¦ / §^ f1 \ __ Тл Тя / С V
где ki и kz — кратности точки
венно.
Согласно теоремам 1 и 2
на Ct и С2 соответст-
соответст(@, {
откуда следует E).
3. Разрешение точек нерегулярности. Мы можем те-
теперь доказать важное свойство рациональных отобра-
отображений алгебраических поверхностей.
Теорема 3. Если ср: Х'-*-Рп — рациональное ото-
отображение гладкой проективной поверхности, то сущест-
существует такая последовательность а-процессов,
что отображение ij> = <pov . . am регулярно.
Доказательство. Мы знаем, что ф нерегулярно
лишь в конечном числе точек (теорема 3 п. 1 § 3 гл. II)
и теорема 2 п. 4 § 1 гл. III дает более подробное описание
этого множества., которое мы напомним. Пусть ср =
= (/о :...:/„), ?> = НОД((/о), ..., (/„)) и ?>< = (/<)-27.
Тогда множество точек нерегулярности ср совпадает с
Г) Supp A.
i=0

304
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Введем следующий инвариант рационального отобра-
отображения ф. Очевидно, что все дивизоры Di эквивалентны
друг другу. Поэтому мы можем положить
<*(Ф) ='(?>?).
Докажем, что dUp)^O. Для этого положим Х = (Х0,.-..
..., Хп), Dx = ( 2jKfi )— D. Очевидно, что А 5= О,
Dx ~ Du Нам надо найти такое X, что Do и Dx не имеют
общей компоненты; тогда d(q>) = (D0, Dx)^O. По условию
все Di не имеют общей компоненты. Поэтому для лю-
любой неприводимой компоненты С <= Do существует такое
1 ^ 1, что Vc {Di) = 0. Условие vc (Dx) > 0 означает, что
2 Xi-gi \c = 0, где §¦,- — локальные уравнения дивизоров
Dt в окрестности некоторой точки с^С. Ввиду этого
vc (Dx) = 0 для всех X из некоторого непустого откры-
открытого множества в Аи+1. Поэтому существует X, принад-
принадлежащее всем открытым множествам, соответствующим
всем неприводимым кривым С сг ?H. Для него Do и Dx
не имеют общих компонент.
Если Жо ^ П Supp А, то все SuppDx^3 х0. Поэтому
с?(ф)>0, если П SuppA не пусто, т. е. если отображе-
отображение ф нерегулярно. В этом случае обозначим через а:
X' —>- X а-процесс с центром в точке хй ^ П Supp Di и
положим 'ф' = фа. Мы докажем, что d (q>') ¦< d (tp), откуда
конечно будет вытекать теорема 3.
Для дивизора D = 2 h^-i назовем кратностью точ-
точки § на D число 6 = 2 kih, где кг — кратности § на
кривых d. Очевидно, что тогда теорема 1 становится
верной для любого эффективного дивизора и, если D 5* 0,
то к 5s 0, причем к = 0 означает, что \ Ф SuppZ).
Аналогично положим a' (Z)) = 2 h&' (Сг)- Тогда
a*D = o'D + kL.
Обозначим через v4 кратности точки х0 на дивизорах
Di и положим v = min v*. Отображение <р' задается функ-
функциями /ч = cr*/i и
"(/;)= (а*/,) = а' (А) + (Vi - v) L + vL + a*D,
причем дивизоры Di = a' (D\) + (v^ — v) L, i = 0, ..., n, не
имеют в совокупности общих компонент.
§ 3. БИРЛШЮПАЛЬПЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 305
Выберем такое г, что v< = v, и тогда по определению
Из соотношения a*Z)( = a'Dt + vL и теоремы 2 сле-
следует, что ((a'Z?i)) = {{o*Di — vLJ) = {{a*Dif) — v2 =
= (Z>?)—• v2, и поэтому d(q>') = d((p) — vz. Это доказывает
теорему 3.
Замечание. В формулировке теоремы 3 нет не-
необходимости предполагать поверхность X проективной.
В доказательстве это свойство использовалось при ссыл-
ссылках на то, что (С, (/)) = 0 для любой кривой CcZ. Од-
Однако это утверждение применялось только к кривым ви-
вида а (§), которые проективны, если даже X и непроек-
тивна. Легко видеть, что для таких кривых С нужное
свойство имеет место.
Простейший пример на теорему 3 — это отображение
/: А2 -*¦ Р1, встречающееся при определении проективной
прямой: f(x, у) = (х: у). Отображение / нерегулярно в
точке @, 0)=|. Подставляя формулы A) п. 1, мы ви-
видим, что в точках, принадлежащих а^) и множеству
to^O, /(ж, г/) = A:у) и поэтому там fa регулярно.
4. Разложение на сг-процёссы. Теперь в нашем рас-
распоряжении есть все для доказательства основного резуль-
результата о бирациональных изоморфизмах поверхностей.
Теорема 4. Пусть ф: X -*¦ Y — бирационалъпый
изоморфизм гладких проективных поверхностей. Тогда
существует такая поверхность Z и такие поверхности
и отображения
Ои Хг
i = 1, • • •, к,
/ = 1, .... I,
что Хо = X, Yo — Y, Xh = Yt = Z, Oi и х} — а-процессы и
фО1 ... Oft = Tt . .. xf. Иными словами, коммутативна диа-
диаграмма
z
X,
У*
'X—
Y,
20 и, Р, Шафаревич, т. 1

306
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 3. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
307
Теорема 4 является очевидным следствием теоремы 3
и следующего утверждения.
Теорема 5. Пусть <р: X -»- Y — регулярное отобра-
отображение гладких проективных поверхностей, являющееся
бирациопалъным изоморфизмом. Тогда существует такая
последовательность поверхностей и отображений at: Yt —>¦
-»-У{_1 (i = 1, ..., к), что Oi — о-процессы, Yo = Y, Yk =
= X и
Доказательству теоремы 5 предпошлем некоторые об-
общие замечания о бирациональных изоморфизмах поверх-
поверхностей.
Прежде всего, при произвольном рациональном ото-
отображении ф: X-*-Y, где X—гладкая поверхность, a Y —
проективное многообразие, можно говорить об образе <р (С)
кривой СсХ. Действительно, <р регулярно во всех точ-
точках С, кроме, быть может, конечного множества точек
S. Под <р(С) будем понимать замыкание ф(С — S) в Y.
При этом теорема о существовании исключительных
подмногообразий при регулярном отображении (теоре-
(теорема 2 § 4 гл. II) остается верной.
Лемма. Если ф: X -*¦ Y—бирационалъный изомор-
изоморфизм гладких проективных поверхностей и ф нерегу-
нерегулярно в точке y^Y, то существует такая кривая С <=¦ X,
что ф (С) = у.
Доказательство. Рассмотрим открытые множе-
множества U с: X и V <= Y, на которых ф устанавливает изо-
изоморфизм, и обозначим через Z замыкание графика изо-
изоморфизма >ф: U-*¦ V в XXY. Проекции на X и Y опре-
определяют регулярные бирациональные изоморфизмы р: Z-*-
-*¦ X и q: Z-*¦ Y. Очевидно, что <p~i—p-q~iJ и так как
Ф по условию нерегулярно в у, то и q~l нерегуляр-
нерегулярно в у.
Мы можем теперь применить теорему о существова-
существовании исключительных подмногообразий (теорема 2 § 4
гл. II) к регулярному отображению q: Z -*- Y. Эта теоре-
теорема показывает, что существует такая кривая D <=zZ, что
q(D) = y. Положим p(D) — C и проверим, что С удовлет-
удовлетворяет условиям леммы. Собственно, нужно только про-
проверить, что dimC=l, т. е. что dim С = dim D. Если бы
это было но так, то р(С) было бы точкой х^Х и для
всех точек zeb мы получили бы p(z) = z, Qlz) = y,
т. е. z = (x, у), а это противоречит тому, что D^zXX.
X Y является кривой. Лемма доказана.
Теперь перейдем к доказательству теоремы 5. Пред-
Предположим, что ф не является изоморфизмом, т. о. ф
нерегулярно в точке у ^ Y. Рассмотрим а-процесс а: Y' -*¦
-*- Y с центром в точке у и определим ф': X -*¦ Y' так,
A)
€ Z-
чтобы диаграмма была коммутативной.
Теорема будет доказана, если мы покажем, что ф' —
регулярное отображение. Действительно, из коммутатив-
коммутативности диаграммы A) тогда следует, что подмногообразие
Ф~'(у) при помощи ф' отображается в о~1(у) = L«Р1.
При этом из того, что ф' отображает X на все Y'', сле-
следует, что ф-1(г/) отображается на все L. Поэтому не все
компоненты (р~1(у) отображаются в одну точку. Значит,
для у' е L число компонент (ф')~*(У ) меньше, чем
число компонент ф~* (г/).
Следовательно, производя конечное число о-процессов,
мы добьемся того, что на X не будет исключительных
подмногообразий, т. е. наше отображение станет изо-
изоморфизмом.
Остается доказать регулярность ф'. Пусть это не так.
Тогда 'Ф==(ф')~1 отображает, согласно лемме, некоторую
кривую, лежащую па Y', в точку х ^ X. Из коммутатив-
коммутативности диаграммы A) следует, что эта- кривая может
быть только L, т. е. ty(L) = х.
Согласно теореме 3 § 3 гл. II существует такое конеч-
конечное множество Е с: L, что тр регулярно во всех точках
у' е L — Е. Так как а(у') = у, то из коммутативности
диаграммы A) следует, что и ср(х) = у.
Докажем, что отображение
d*q>: в., x^®y,Y B)
является изоморфизмом. Для этого достаточно доказать
его эпиморфность, Пусть е?жф0Х| х — / ^ вх< у, где I — не-
20*

308
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 3. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
которая прямая в плоскости ву, у. Тогда из коммутатив-
коммутативности диаграммы A) следует, что
{dv,a){®y,<Y,)cz I C)
для всех точек у' s L — Е. Это, однако, противоречит
простейшим свойствам о-процесса. Действительно, пусть
С — гладкая кривая на Y, С э у и ву, с ^ I, например
C = V(au+$v), где и и v — локальные параметры в точ-
точке у. Тогда, согласно формуле B) п. 1, о (о' (С)) — С,
причем о'(С) пересекает L в одной точке у', которая
имеет на L координаты (—?:а), а'(С) гладкая в этой
точке и о: а'(С)-^С — изоморфизм. Мы можем выбрать
аи Р так, что у' &Е, а тогда уже (dV'O) (®У',а'(.С)) Ф- I-
Изоморфность отображения B) противоречит тому,
что ф нерегулярно в точке у. Действительно, применяя
теорему об исключительных подмногообразиях (п. 2 § 4
гл. II), мы найдем такую кривую Z <= X, Zsj, что
ср {Z) = y. Тогда вя, z <= ®х, х (напомним, что касательное
пространство определено и для случая, когда х — особая
точка на Z). Так как <p(Z) = z/, то (dxq>)®X! z = 0, и, зна-
значит, отображение (<2) имеет ядро. Это противоречие до-
доказывает теорему 5.
5. Замечания и примеры. Рассмотрим бирациональный
изоморфизм /: X ->¦ Y гладких проективных поверхно-
поверхностей, являющийся регулярным отображением. Предполо-
Предположим, что /-i нерегулярен только в одной точке Т] s У
и что кривая C = f~i(r\) неприводима. Согласно теоре-
теореме 5, / является произведением о-процессов: / = Oi...oft,
а так как при любом о-процессе возникает своя кривая,
стягиваемая им в точку, то С неприводимо, только если
к = 1 и / само является о-процессом. Тогда С совпадает
с кривой L, про которую в пп. 1 и 2 было доказано, что
309
^P\ (L2) = -l.
A)
Такие кривые называются — 1-кривыми.
Верно и обратное: если на гладкой проективной по-
поверхности X лежит — 1-кривая С, то существует такое
регулярное отображение /: X ->¦ Y, являющееся бирацио-
нальным изоморфизмом, что Y гладко, f(C) = ri^Y, при-
причем / совпадает с о-процессом. Таким образом, условия
A) необходимы и достаточны для того, чтобы кривую С
можно было сжать в точку в указанном выше смысле.
Этот результат доказал Кастельнуово. Мы не будем про-
проводить его доказательства, которое можно найти в кни-
книгах [1], гл. II, и [29], § 5 гл. V.
В заключение мы построим, в согласии с теоремой 4,
разложение на а-процессы для одного простого бирацио-
нального изоморфизма. Это — бирациональный автомор-
автоморфизм / проективной плоскости Р2, называемый квадра-
квадратичным преобразованием и задаваемый формулами.
B).
f(xa :ху :х2) = (у0: у,. :у2),
У а == X^Xz, У\ = ХаХ2, Уг == Х0Х^.
Мы будем рассматривать / как_бирациональный изо-
изоморфизм двух экземпляров: Р2 и Р2 плоскости Р2, в од-
одном из которых координаты обозначены через (х0: хх : х2),
а в другом — через (у0 : У\ : Уг) ¦ Очевидно, что / нерегу-
нерегулярен в трех точках |0=A:0, 0), |4 = @:1:0), g2 =
= @:0:1). Согласно теореме 3 нам необходимо начать
с того, чтобы произвести о-процессы о0, о4 и о2 в этих
точках. Мы придем к поверхности X ж регулярному ото-
отображению <р: X -*• Р\^ ф = o2OiO0. Докажем, что отобра-
отображение i|) = /ф: X -*• Р2 уже регулярно. Действительно,
¦ф регулярно в точке z, если ф (z) ?= ^t. В точках ^^а^^
отображение fat уже регулярно. Чтобы это проверить,
Х1 Х2 Y.
достаточно положить х = —, у = —- и подставить фор-
хо хо
мулы A) п. 1 в B). Мы увидим, что
1(х, у) = (х*:х:у), f(u,v) = (u:l:v). C)
Так как о4 и о2 индуцируют изоморфизм в окрестностях
точек %, то и г|5 регулярно в точках z, для которых ф(г) =
= |о- Аналогично дело обстоит с |i и "gz-
Согласно теореме 4 отображение ч|) есть произведение
о-процессов: г|5 = тх... хк. Выясним, какие кривые С <= X
могут отображаться в точки при помощи if. Очевид-
Очевидно, это могут быть только или кривые М[ = aj1 (^i)
(i = 0, 1, 2), или собственные прообразы таких кривых
L а Р2, которые / отображает в точки. Легко видеть, что
/ определяет изоморфизм Р2 — Lo — Ly — Lz и Р2 — Мо —
— М± — М2, где Li — прямая в Р2, определенная уравне-
уравнением х{ — 0, а М{ — прямая в Р2 с уравнением yt = 0.
Поэтому ty может стягивать в точку только кривые
Мо, Мг, М2, LQ, Lx, L2, где Lt — собственные прообра-
прообразы кривых Li в X. Но из C) мы видим, что, например,

310
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Мо (задаваемое локальным уравнением и = 0) отобра^-
жается на всю кривую у0 = 0. Аналогично Мi отобра-
отображается на кривые М{ при i = 1, 2. Таким образом,
ч|5 может стягивать в точки только кривые Li. Далее,
ijr1 нерегулярно в точках г\0 — A : 0 : 0), r^ = @:1:0),
¦П2= @:0:1), иначе /-1 было бы регулярно в одной из
Рис. 18
этих точек, а /~* задается теми же формулами, что и /,
как видно из B). Таким образом, с одной стороны, в
разложение г|) = т4... хк не может входить больше трех
о-процессов и, с другой стороны, должны входить а-про-
цессы в точках ti0, rjt, т]2. Мы видим, что
Легко представить себе расположение кривых Мо,
Мг, М2, Lo, Lx, L2 на поверхности X. Стрелки па
рис. 18 указывают, в какие точки стягиваются кривые.
Конечно, квадратичное преобразование зависит от то-
того, как выбрана система координат в Р2, или, что то же
самое, от выбора точек §0, §ь %г- Деремножая различ-
различные такие преобразования, мы получаем уже новые би-
рациональные автоморфизмы плоскости. Нётером доказа-
доказана теорема о том, что любой бирациональный автомор-
автоморфизм плоскости представляется как произведение квадра-
квадратичных преобразований и проективного преобразования.
Мы не будем приводить весьма тонкое доказательство
этой теоремы. Его можно найти в книге [1], гл. V. Описа-
Описание соотношений, связывающих эти образующие, полу-
получено сравнительно недавно: см. [11],
§ 3. ВИГАЦИОНАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ 311
ЗАДАЧИ
1. Для любого целого числа к (положительного, отрицатель-
отрицательного или 0) построить гладкую проективную поверхность X и на
ней такую неприводимую кривую С, что (С2) = к. Указание.
Получить X, раздувая несколько точек на Р2.
2. Пусть X—гладкая проективная поверхность, С\ и С2 — две
кривые на пей. С| э г е Cj и х — неособая точка на С( и Сг. Пусть
о: Y-*-X—ст-процесс в точке х, с'г и с'г— собственные прообра-
прообразы С\ и Сг. Доказать, что Сг и Са тогда и только тогда пересе-
пересекаются в точках у^а~1(х), когда С\ и Сг касаются в точке х.
При этом о" (х) П С'г П С'2 = у — одна точка и порядок касания
С[ и С'2 в у на единицу меньше порядка касания С1 и С2 в х.
3. Пусть отображение /: Р2 —*¦ Р1 задается формулой
f(x0 •. xi : х2) = (Р(ха, хи х2) : Q(x0, xu х2)),
где Р и Q — формы степени п. Сколько надо сделать а-процессов,
чтобы получить поверхность ср: Х—^Р2, для которой /ср регулярно?
4. Пусть X а Р3 — гладкая поверхность 2-го порядка и /: Х->
—*- Р2 — бирациональный изоморфизм, состоящий в проектировании
X из точки х е X. Разложить / на произведение ст-процессов.
5. Пусть / — бирациональпый автоморфизм Р2, задаваемый в
неоднородных координатах формулами х' ,== х, у' = у + х2. Раз-
Разложить / па произведение о-процессов.
6. Пусть LcP2 — прямая, х и у — две ее точки, Х-*-Р2 — про-
произведение о-процессов в точках х и у и L' — собственный прооб-
прообраз L. Доказать, что (L'J = —1. Согласно теореме Кастельнуово,
сформулированной в п. 6, существует регулярное отображение /:
Х—>- Y, являющееся бирациопальпым изоморфизмом и стягиваю-
стягивающее L' в точку. Построить его в данном случае. Указание. По-
Поискать его среди предшествующих задач.
7. Пусть /: X -*- Y — регулярное отображение гладких проек-
проективных многообразий, являющееся бирациональпым изоморфизмом.
Доказать, что для Du ..., Dn e= Div(F) имеем (/*(А), ..., /*(?>«)) =
= (D\, ..., Dn).
8. Пусть о: X-+-Y — о-процесс с центром в точке у е Y, Г —
= о-'О/), Du ..., Dn-l e= Div (Y\. Доказать, что (Г, o*(Z?,), ..."
..., о*(/?„_,)) =0.
9. В обозначениях задачи 7 найти Г" при любом п > 1.
10. Доказать, что если кривая степени п проходит через к
(к = 0, 1 или 2) из точек |0, li и |2, определяющих квадратичное
преобразование, и не имеет в этих точках особенностей, то ее об-
образ при квадратичном преобразовании имеет степень 2/г — к.
11. Пусть ф — преобразование инверсии относительно окруж-
окружности с центром в точке О радиуса 1, т. е. <р(Р) = Q, где Р, Q и О
лежат на одной прямой и \OP\-\OQ\ = 1. Выбрав начало коордп-
пат в точке О, выписать формулы для <р в координатах х, у и
и = х -)- iy, v = х — iy. Доказать, что ф после умножения на от-
отражение {и, v) -*• (и, —v) переходит в квадратичное преобразо-
преобразование, определенное точкой О и двумя циклическими бесконечно
удаленными точками. Вывести отсюда, что при инверсии окружно-
окружности, проходящие через точку О, переходят в прямые, а остальные
окружности — в окружности.

312
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 4. ОСОБЕННОСТИ
313
§ 4. Особенности
1. Особые точки кривых. Теорема 1. Для непри-
неприводимой кривой С на гладкой поверхности X существует
такая поверхность Y и регулярное отображение f: Y -+¦
-*-Х, разлагающееся в последовательность а-процессов
Y -*¦ Xi -*- Х2 —*¦ ... -*- Хп —»- X, что собственный прообраз
С кривой С в Y гладок.
Мы можем рассматривать каждую особую точку кри-
кривой С в отдельности. Если для точки х^С мы построим
такое отображение /: Y -*- X, разлагающееся в произве-
произведение о-процессов, что собственный прообраз С кривой
С на У будет иметь простыми все точки из /~* (х), то
потом мы сможем применить то же рассуждение к остав-
оставшимся особым точкам кривой С — число их равно числу
отличпых от х особых точек кривой С.
Итак, пусть ieC — особая точка. Произведем о-про-
цесс в этой точке; если среди прообразов точки х будут
особые точки собственного прообраза кривой С, то про-
произведем 0-процессы в этих точках и т. д. Нам надо до-
доказать, что через копечное число шагов этот процесс
оборвется.
Обозначим через \ix(C) кратность особой точки х кри-
кривой С. Пусть о: X' ->¦ X—0-процесс, С — собственный
прообраз кривой С и L = а" (х). По следствию 2 в п. 2
§ 3 \\,Х(С) = {С, L). С другой стороны, (С, L) =
= '2 {Сх L)xr, где сумма распространена на все точ-
с(,х')—х
ки i'eC, а(х') = х. Так как (С, L)x, > цх, (С!), то
ix (С);
2
а(х')=х
Поэтому, если точек х' больше, чем одна, то для них
!^к' (С) <С \ix {С) и через конечное число шагов наш
процесс оборвется. Остается рассмотреть случай, когда
на С есть лишь одна точка х', а(х') — х— и так будет
при каждом о-процессе.
Обозначим через 0Х локальное кольцо точки х на С,
а через 0Х — его целое замыкание в поле к (С). Оно яв-
является модулем конечного типа над (Ух. Это следует из
того, что для некоторой аффинной окрестности U точки
х нормализация k [U]v кольца k [U] является модулем ко-
конечного типа над k[?Z] (теорема 4 _§ 5 гл. II). Пусть
k[U]v = atk[?/]+. . .+aJs.[U]. Тогда Ох = а,(Ух+. . .+ат<Ух.
Действительно, если f<^0x, то /n + ajn 1 + ... + ап — О
с О('е(?„ т. е. ai = bi/c, Ъи с^Ц_Щ; с(х)?=О. Тогда с/
цело над k[U], т. е. с/ = а^х + ... + атгт, где г* s k[U] и
/ = ajjc + . .. + amrjc.
Так как а; лежит в поле частных Ох (даже меньше-
меньшего кольца k[Z7]), то существует такое d?=0, d^-0x, что
d<Xi е Ох и, значит, dOx с= Ох. Отсюда следует, что прост-
пространство 0J0X конечномерно. Действительно, его размер-
размерность не больше размерности пространства OJdOx, кото-
которое порождается т подпространствами a,i{(JJd(Jx). Но
пространство OJdOx конечномерно, так как С — кривая,
и поэтому (d) zd mx при некотором к для любой функ-
функции d Ф 0.
Очевидно, что _после одного о-процесса Ох сг Ох>.
Кроме того, Oxr cz Ох- Действительно, пусть v': Cv -*• С —
нормализация и {yj = (v') {x'). Тогда v = av': Cv -*¦ С
совпадает с нормализацией С и v-1(x)= {yj. Очевидно,
что Оxi cz Л OVi и все будет доказано, если проверить,
что Л (Ууг = (Ух- Опять очевидно, что Оха П О'Vv Так как
отображение v конечно, то мы можем считать, что С и
Cv аффинны. Если и ^ [) 0Vi, то все полюса этой функ-
функции на Cv отличны от у{, откуда следует, что существует
функция i?'ek[C], для которой v(x)?=0 и цу е kJCv] (до-
(достаточно, чтобы v* (и) имела нули достаточно большой
кратности в полюсах и). Тогда uv цело над к[С], откуда
легко следует, что и цело пад (Ух, т. е. и^(Ух. Поэтому
1@х/<Ух,)^1(Ох/0х). Если 1{0Х/0Х,) = О, то 0Х, = ОХ,
значит, 0Х, целозамкнуто, а тогда точка х' проста и
наш процесс закончился. Нам остается проверить, что
l{0x/0x')<il ((Ух/(Ух), тогда наш процесс не может со-
содержать более чем 1(<Ух/0х) шагов. Если l(pxj0x>) =
= 1@х/0х), то 0xi = 0Х. Пусть и, v — локальные пара-
параметры в точке х на X, а в точке х' на X локальными па-
параметрами -будут и и t = v/u. Так как t (ограниченное
на С) содержится в 0Х', то из 0Х> = 0Х следует, что
t^0x и тх = (и, v) = (u, ut) = (u). Отсюда следует, что
Юж/Шж = (и)/(и2) ~ 0х/(и) ~ к, т. е. точка х уже была
простой. Теорема доказана.
Теорема 1 дает возможность определить важную ха-
характеристику особой точки кривой, лежащей на поверх-

314
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 4. ОСОБЕННОСТИ
315
ности: дерево бесконечно-близких точек. Это чертеж,
изображающий особую точку, особые точки, возникающие
из нее после одного о-процесса, точки, возникающие из
них после о-процессов, и т. д. Все эти точки называются
бесконечно-близкими к исходной. У каждой точки пи-
пишется ее кратность. После того как появилась точка
кратности 1, а-процессы в ней больше не производят.
Примеры:
У'
у*-л-*
Через эти инварианты выражается род нормализации
особой кривой, лежащей на гладкой проективной поверх-
поверхности. Надо воспользоваться формулой A) из п. 3 § 2 и
выяснить, как изменяется выражение (С, С + К) при
замене С на о'(С), а К па Кх>, где а: X' -* X — о-про-
цесс в точке геС. Согласно теореме 1 § 3 о'(С) =
= о* (С) — kL. Для вычисления Кх> рассмотрим диффе-
дифференциальную форму «ей2 (X), для которой Supp (со) Ф х,—
она существует согласно теореме о сдвиге носителя ди-
дивизора с точки. Тогда в X'\L, очевидно, (о*со) = о* (со),
поскольку о: X'\L' ->- Х\х — изоморфизм. Если х, у — ло-
локальные параметры в точке х, то со — / dx Д dy, где / <=
s^, /(ж) =5^0. Если x = u, y = uv (как в A) п. 1 § 3),
то а*со = а* (/) vdu /\do на X, и так как о* (/) ?= 0 па L,
то (о*со)=о*(со)+Д а значит, Кх, = a*Kx + L. Под-
Подставляя в формулу A) п. 3 § 2, мы получим
(а' (С), а' (С) + Я*,) = (а* (С) — kL, a* (С) +
+ о*Кх — (к — 1) L) = (С, С + if *) — к {к— 1).
Применяя теперь теорему 1, мы получим для неособой
кривой С <= Y:
(С,
= (С, С + Кх) - 2 ki (ki - 1),
где ki — кратности всех бесконечно-близких точек. Из
формулы A) п. 3 § 2 следует, что
A)
В частности, если X = Р2, в. С — кривая степени п, то
(га—1) (га—2)
2
Часто
как g(C)l
используемое
: 0, то
(С, t
следствие равенства A): так
Кх)\
B)
причем равенство имеет место, только если кривая С —
гладкая (все А:* = 1) и g-(C) = g(C) = 0, так что С ^ Р1.
2. Особые точки поверхностей. Для алгебраических
поверхностей над полем произвольной характеристики до-
доказана теорема о разрешении особенностей. Мы можем
предполагать, что поверхность X нормальна и, следова-
следовательно, имеет только конечное число особых точек. Тео-
Теорема о разрешении особенностей утверждает существо-
существование гладкой проективной поверхности Y, бирациональ-
но изоморфной X. Применяя теорему о разрешении то-
точек неопределенности, мы можем считать, что задано
регулярное отображение /: Y ->¦ X, являющееся бирацио-
нальным изоморфизмом. Часто эту ситуацию удобно рас-
рассматривать локально и не предполагать многообразия X
ж Y проективными, заменяя X на его открытое множест-
множество U, а У на /-1 (U). Тогда отображение /: Y -»- X будет
собственным (см. замечание к теореме 2 § 5 гл. I). Мож-
Можно показать, что теорема 2 § 4 гл. 2 в этой ситуации
остается верной и отображение / стягивает в каждую
особую точку х <= X некоторую систему проективных кри-
кривых Си ..'., Сг s Y. Более того, используя теорему Кас-
тельнуово, сформулированную в п. 5 § 3, можно дока-
доказать, что Y можно выбрать так, чтобы среди кривых
Си ..., С г не было — 1-кривых. В этом случае Y называ-
называется минимальным разрешением особенностей поверхно-
поверхности X. Мы не будем доказывать все эти утверждения,
но не будем ими и пользоваться: они послужат лишь
мотивировкой вопросов, которые будут дальше разобраны.
Система кривых Си ..., Ст на неособой поверхности Y,
стягиваемых в точку х е X при регулярном отображении
/: Y -*¦ X, является важной геометрической характеристи-
характеристикой этой точки, и интересно выяснить, что вообще можно
сказать о таких системах кривых.
Теорема 2. Пусть /: Y -»- X — регулярное отобра-
отображение алгебраических поверхностей, Y гладко, С4, ...
..., Ст — проективные кривые на Y, х — точка на X, f

316
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 4. ОСОБЕННОСТИ
317
является изоморфизмом: Y\ (d U ... U Cr) -»- X\x. Тогда
матрица из индексов пересечений ((С,-, С,-)) отрицатель-
отрицательно определена.
Доказательство. Рассмотрим кривую' ? на Y,
которая отлична от всех d и пересекает каждую из них
(например, гиперплоское сечение), положим f{E) = H и
возьмем функцию и е Ох, обращающуюся в 0 на //. По-
Положим g = /* (и). Тогда (g) = 2 m%Ci + F, где все тпг > О
и (F, С<) > О для i=l, ..., г. Поэтому pCj (?>) — pCj (— F)
для Z) = V rriiCi, где pc- — ограничение на С,-, и поэтому
(D, С})< 0 для / = 1, ..., г. Теорема вытекает теперь из
следующего результата линейной алгебры:
Пусть в Ъ-модуле М определено скалярное произве-
произведение (a, b)<^Z> для а, Ъ ^ М, имеется такая система об-
образующих еу, .. ., ет, что (et, е^)^ О для i?=j, и сущест-
существует такой элементd =2 mi е*> mf> 0, что (d, e,)<0 для
i = l, ..., г. Тогда (пг2) < 0 для m е М и еи .. ., ет — сво-
свободный базис М.
Доказательство см. в. Приложении, п. 1, предложе-
предложение 2.
Интересно обратить внимание на аналогию теоремы
1 и теоремы Ходжа (п. 3 § 2).
Систему кривых Си ..., С,, стягивающихся в особую
точку х при ее минимальном разрешении, изображают
графам, в котором каждую из кривых Ct изображают
точкой, пересекающиеся кривые Ct и Cj соединяют от-
отрезком, на отрезке пишут число (Сь Cj), если (С,-, С^)Ф 1,
и ничего не пишут, если (Си С3-)=1 (т. е. кривые Cf и
Cj пересекаются трансверсально в одной точке), и над
точкой, соответствующей С,-, пишут (Cf).
Интересные примеры особенностей дают факторы
AVG плоскости по конечной группе линейных преобра-
преобразований G. Напомним, что это нормальные многообразия
(пример 1 п. 1 § 5 гл. I), причем точки, являющиеся
образами таких точек х s А2, что g(x)?=x при g ?= е,
являются простыми (пример п. 1 § 2 гл. II).
Пусть, например, G = {g}— циклическая группа по-
порядка п и g(x, у) = (гх, г9у), где г — первообразный ко-
корень степени п из 1, (q, n)=l. Можно показать, что
после отбрасывания некоторых неинтересных случаев к
такому виду приводится любое действие циклической
группы. В этом случае группа G действует свободно на
А2\ @, 0) и, значит, AVG имеет единственную особую
точку — образ точки @, 0) е А2. Она называется осо-
особенностью типа (n, q).
Например, при q = —1 образующими кольца к[х, у]а
являются и = хп, v = yn, w = ху, связанные соотно-
соотношением
UV = Wn. A)
Это и есть уравнение поверхности AVG.
При q = 1 образующими кольца к[ж, у]а являются
щ=х*уп~1 (? = 0, ..., п). Они связаны теми же соотноше-
соотношениями, что и координаты кривой Веронезе (п. 4 § 5
гл. I). Таким образом, в этом случае AVG — это конус
над кривой Веронезе.
Нетрудно проверить, что граф, соответствующий про-
произвольной особенности типа (п, q), имеет вид цепочки
-е.
Кривые Сг и Ci+X пересекаются трансверсально, а \СХ) =
— —е,-, где числа е< ^ 2 и определяются из разложения,
очень близкого к разложению в непрерывную дробь
= е.
J_
Доказательство см., например, в [15].
3. Особенности Дю Валя. Очень важный тип особен-
особенностей характеризуется следующим свойством.
Определение. Точка х е X нормальной поверхно-
поверхности называется особой точкой Дю Валя*), если сущест-
существует такое минимальное разрешение особенностей /: Y -*¦
-»- X, стягивающее кривые С4, ..., Сг в точку х, что
(С,, 7Гу)=0, где KY — капонический класс поверхно-
поверхности Y. |
Значение особенностей Дю Валя заключается в том,
что они (как это формулировал сам Дю Валь) «не влия-
влияют на канонический класс». Например, легко показать,
что если X — поверхность в Р3 степени п, имеющая толь-
только особенности Дю Валя, то инвариант h2 = dim Q2[Z]
*) Другие применяемые термины: особенность Клейна, двой-
двойная рациональная особая точка, простейшая особенность.

318
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 4. ОСОБЕННОСТИ
319
для ее минимального разрешения Y тот же, что и для
неособой поверхности степени п. Это резко отличает
поверхности от кривых, для которых, согласно формуле
A) п. 1, появление любой особой точки понижает род
нормализации кривой.
Можно полностью определить вид графов, соответст-
соответствующих особым точкам Дю Валя. Действительно, если
Ct — одна из неприводимых проективных кривых, стяги-
стягиваемых в такую точку при разрешении особенностей /:
Y -»- X, то (С,-, KY) = 0 и, согласно неравенству B) п. 1,
Так как (Cf) < 0 и даже (ввиду минимальности разре-
разрешения) (С|) <С—1, то отсюда следует, что (С|) = — 2 и
d — Р1. Из того, что (Ci + С]J < 0 при i?=f, следует те-
теперь, что (ClV Cj) «? 1, т. е. Ct и С} или не пересекаются,
или пересекаются трансверсально в одной точке.
Чисто алгебраическая задача классификации Z-моду-
лей Zfii + .. . + Ze,, в которых определено скалярное про-
произведение (х, у) со свойствами (хг) < 0 при х Ф О,
(с?) = — 2, встречается в ряде вопросов. Впервые с ней
столкнулись в так называемой теории корней в связи с
классификацией простых алгебр Ли (ом. [7]). Ответ сле-
следующий. Базис еи ..., ет разбивается на «связные ком-
компоненты» такие, что (е{, е^) = 0, если et и е} лежат в раз-
разных компонентах, и соответственно модуль разлагается в
прямую сумму подмодулей, соответствующих разным
компонентам. Тем самым задача сводится к описанию
«связных» модулей, которые могут иметь лишь следую-
следующие графы:
А,-,
(л - число зершмн)
-Здесь над всеми точками надо написать —2.
Можно доказать, что система кривых, возникающая
при разрешении особой точки, всегда связна. При к = С
мы поясним это в гл. VII. Таким образом, особенностям
Дю Валя соответствуют лишь графы типов Ап, Dn, Es,
Е7 и Е&.
Доказано, что своим графом особенность Дю Валя оп-
определяется однозначно с точностью до формально-анали-
формально-аналитической эквивалентности. Их можно задать уравнениями
Ап: хг + у2 + z"+1 = О,
Dn: x2 + y • z2 + z"-1 = 0, п S3 4;
Ев: х2 + у3 + z4 = 0,
Е7: x2 + y3 + yz3 = 0,
Еа: x2 + y3 + z5 = 0.
Одна из реализаций этих особенностей такова.
Теорема 3. Пусть поле к имеет характеристику 0
и G — конечная группа линейных преобразований плос-
плоскости А2, причем det(g)= 1 для всех g e= G. Тогда образ
начала координат у — A2/G является особенностью
Дю Валя.
Доказательство использует следующую конструкцию,
которую мы во всей общности обсудим в гл. V. Пусть
X, Y и S — три многообразия, а /: X-*-S и h: Y -*¦ S —
регулярные отображения. Расслоенным произведением
X и Y над S называется замкнутое подмножество в
XXY, состоящее из точек (х, у), для которых f{x) =
= h(y). Оно обозначается XxY. Отображения /: Х-»-
S
Y -*¦ S определяют отображение XxY -*-S,
-* S и h:
проекции X У. Y
Y.
XxY
s
ХиХХГ-^У— проекции X x Y-*~ X
и XxY-
s
Пусть h: X-*- AVG = S — минимальное разрешение
особой точки у0 е AVG. Рассмотрим расслоенное произ-
произведение Z = AaxX и его нормализацию Zv. (Мы поль-
s
зуемся здесь существованием нормализации, которое бы-
было доказано в гл. II лишь для аффинных многообразий
и кривых. В гл. VI нормализация будет построена в
общности, достаточной для наших целей.) Мы имеем

320 ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
систему отображений:
Рассмотрим дифференциальную форму со = dx Д dy па
А2. Из условия det g = 1 следует, что g*(?> = со. Запишем
со в виде h ds Д dt, где s, t e= k(AVG), h ek(A2). Тогда
из того, что g*(u = со, следует, что g*h = h. Записав h
в виде P/Q, P, Q е к[А2], мы видим, что h =
= Р П 2*<2/ П ?*<?, откуда следует, что h e k(A2/G)-
Таким образом, со =/*соо, со0 s Q2 (AVG). Обозначим й*со0
через tOi, a (jf^cOi == i>*°>— через со. Из того, что со=/>*(й,
следует, что со регулярна на множестве простых точек
поверхности Zv. С другой стороны, легко проверить, что
для произвольных отображений /: X -*¦ S, h: Y -*• S из
того, что / конечно, следует, что и отображение X X Y ->•
s
-*- X конечно. Поэтому Z -*¦ X конечно, а значит, и
Zv ->¦ X конечно. Воспользуемся следующим фактом.
Лемма. Если ср: U -*¦ V — конечное отображение
гладких поверхностей к <ot — такая рациональная диф-
дифференциальная форма на V, что cp*tui регулярна, то и ы^
регулярна.
Доказательство будет приведено после доказательст-
доказательства теоремы. Из леммы следует, что cdi регулярна вне об-
образа конечного множества особых точек поверхности Zv,
а значит, регулярна на всем X. Определим дивизор (cot)
на X. В любой точке а, е А2, а?=@, 0), можно найти ло-
локальные параметры вида /*(u), f*(v) (см. пример п. 1
§ 2 гл. II), откуда следует, что со0 регулярна и не равна
0 во всех точках у ?= уй е AVG (а эти точки — простые).
Точно так же h является изоморфизмом в X\f~l (у0) и tu4
отлична от 0 в XXf-1 (у0). Таким образом, D = (со1) =
= 2 riCL, гг 12= 0. Очевидно, что D е Кх- Из неравенства
B) п. 1 ввиду минимальности разрешения мы получаем,
что (Си D) = {Си Кх) ^ 0. Но тогда (?>2) = 2 #ч (С», ?)) > 0,
что возможно, по теореме 1, только при (С<, ?)) = 0.
§ 4. ОСОБЕННОСТИ
321
Таким образам, (С,-, Кх)—0, т. e. i/o — особенность
Дю Валя. Теорема доказана.
Доказательство леммы. Достаточно проверить
для любой неприводимой кривой С <= V, что если
vc((co1))<0, то и vC/(ф* (со1)Х 0 для любой компоненты
С прообраза С. Это утверждение достаточно проверять
на любом открытом подмножестве V <=¦ V, пересекаю-
пересекающем С.
Вся нетривиальность вопроса состоит в том, что, во-
вообще говоря, ф*( (со1))=5?=(ф*(со1)). Однако, если в точке
а. е U дифференциал daq> является изоморфизмом каса-
касательных ПрОСТраНСТВ ©аи и ©<p<<x),v, TO Прообразы ф*(^1)
ш ф*(у2) локальных параметров V\ и v2 в точке ф(а) яв-
являются локальными параметрами в а. Поэтому, если
« / dv Д dv то * (j * (/) d* () A d* ()
1 = / dvx Д dv2,
рр оэому, если
то Ф* (oaj == Ф* (/) d<p* (Vl) A d<P* (v2)
(() ) *(
2, Ф (j Ф (/) d<p (Vl) A d<P (
имеет в окрестности а дивизор (ф*(/) ) = ф*(/)
= Ф*((со1)). Поэтому надо только рассмотреть такую
кривую С" <= С/, что ^ф вырождено во всех точках а е С".
Пусть ф(С')=С. Так как на открытом множестве ото-
отображение ф: С -*¦ С отображает касательное простран-
пространство изоморфно, то мы можем предполагать, что в точке
а локальное уравнение кривой С' имеет вид ф*^), где
Vt, v2 — локальные параметры в ф(а) и v± — локальное
уравнение С. Положим w = vu и пусть {w, t)—локаль-
t)—локальные параметры в а. Пусть ф*(у2)= teh, где vC/ {h) = 0, а
оа1 = / dvx Д dv2. Тогда
i) = Ф* (/) ^Л^ (Ф* Ы) =
Ф
dw /\dt
Д
откуда следует, что vCr (ф* (<»!)) =vC' (ф*(/)) + е—1. Но ес-
если С входило в дивизор полюсов формы <»!, то vc(/) =
= —I, l>0. ТогдаvC/ (ф* (cOi)) = — Ze + в—1и тоже <0.
Иными словами, к дивизору ф*((со1)) прибавляется эф-
эффективное слагаемое, но не достаточное, чтобы компен-
компенсировать возникающий полюс. Лемма доказана.
Группы G, о которых идет речь в теореме 3, хорошо
известны. Обозначим через SLB, k) группу линейных
преобразований с определителем 1 и рассмотрим ее го-
гомоморфизм л: SLB, k)->-PSLB, к) в группу проектив-
проективных преобразований прямой. Ядро я состоит из ±1. Тог-
Тогда конечные подгруппы G<=SLB, k) таковы: это или
циклическая группа порядка п, состоящая из преобразо-
преобразований {х, у)->-{ех, e~iy), sn = 1, или так называемая
21 и. Р. Шафаревич, т. 1

322
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
§ 4. ОСОБЕННОСТИ
323
бинарная группа диэдра, порожденная преобразованиями
(х, у)-+(ех, 8-1г/), е2п = 1, и (х, г/)->-(гг/, ix), или прооб-
прообраз относительно я групп в PSLB, к), изоморфных
группам тетраэдра, куба и икосаэдра. Порядки соответст-
соответствующих групп G равны п, An, 24, 48, 120 (см., напри-
например, [27]). Нетрудно найти тип соответствующих им осо-
особенностей Дю Валя. Он оказывается: Л„_4 для цикличе-
циклической группы порядка п, Dn+2 для группы диэдра поряд-
порядка 4га, Ее, Е-, и Ег для групп, связанных с тетраэдром,
кубом и икосаэдром (см. [15-]).
4. Вырождения кривых. Пусть X — гладкая проек-
проективная неприводимая поверхность, S — кривая, sa s S, f:
X -»- S — регулярное отображение, причем f(X) = S и
f~]i (s) для всех точек s ^ S, s Ф s0, является гладкой
кривой. Мы можем рассматривать {/"'(s), s e= S\s0} как
семейство гладких кривых, a f~i(s0)—как его вырожде-
вырождение. Согласно теореме Кастельнуово, сформулированной
в п. 3 § 3, любую —1-кривую, являющуюся компонен-
компонентой кривой /~i(s0), можно сжать в точку, не нарушая
гладкости поверхности X. Поэтому дальше предполага-
предполагается, что таких компонент нет. Кроме того, можно дока-
доказать, что кривая f~i(s0) связна, т. е. не может быть
представлена как объединение двух замкнутых непересе-
непересекающихся кривых. В случае к = С это будет доказано
в гл. VII.
Теорема 4. Пусть в предшествующих предположе-
предположениях /* (s0) (как дивизор — прообраз дивизора, состоя-
состоящего из одной точки So) представляется в виде 2 ггСг>
74 > 0, где Сг — неприводимые компоненты. Тогда для
D^'EhCi всегда (D*)-< 0 и (Z>2)=0, только если D
пропорционален 2 ГгСг-
Очевидно, что 2 ггСг = /* (so)—/* (А)> где Д — диви-
дивизор на С, не содержащий точки s0. Поэтому рсг (/* (s0)) /v
— PCi (/* (А)) = 0> гДе 9сг— ограничение на компоненту
Сг. Отсюда следует, что (d, f*(so))= 0, т. е.(?, 2 riCi) =
= 0 для любого g = 2 hCi- В частности, (/*(soJ)=O.
Теорема 4 вытекает теперь из следующего результата
линейной алгебры:
Пусть в свободном Zi-модуле М определено скалярное
произведение (a, 6)c=Z для а, Ъ ^ М и имеется такой
базис еи ..., ег, что (еи е^^О, причем еи ..., ет нельзя
разбить на две части так, что (е<, &,) = 0 для е4 и е$ из
разных частей и существует такой элемент d = 2 ^еь
А>0, что (d, ef) = 0 (i=l, -.., г). Тогда (пг2)^0 для
те М и (т?) = 0 только для тп, пропорционального d.
Доказательство см. в Приложении, п. 1, предло-
предложение 3.
Интересно отметить промежуточное положение теоре-
теоремы 4 между теоремой Ходжа из § 2 и теоремой 2 этого
параграфа: теорема 4 касается кривых, лежащих в слое
отображения /: X -»- С, где С — кривая, теорема 2 — ото-
отображения X -*¦ Y, где Y — поверхность, а теорема Ход-
Ходжа — отображения X -»- z, где z — точка.
Исследуем простейшие примеры ситуации, описанной
в теореме 4. Если род кривых f*(s), s Ф s0, равен 0, т. е.
они изоморфны Р1, то можно доказать, что вырождения
не будет, т. е. и кривая /-1E0)—гладкая и изоморфна
Р1. См., например, [1], гл. V, и [12], гл. IV, § 5.
Следующий по сложности случай — когда род кривых
/~*(s), s Ф s0, равен 1, т. е. они изоморфны неособой
плоской кубике. Рассмотрим пучок эллиптических кри-
кривых X (пример 2 в § 6 гл. II). Он задается уравнением
Шо = ll +a (t) 1ХЦ + Ъ(t) tl bFX А1. В аффинной час-
части А2 X А1 это уравнение приобретает вид у2 — х3 +
+ a(t)x + Ъ (t). Слой отображения /: X -*¦ А1 над точкой
и е= А1 будет гладким, когда Д (а) Ф 0, где Д = 4а3 + 27Ь2.
Мы предположим, что Д Ф 0 тождественно на А1, но
Д@) = 0, и исследуем слой /-1@). Чтобы иметь дело с
проективной поверхностью, мы рассмотрим замыкание X
в Р2 X Р1 =>Р2Х А1. Полученная поверхность, вообще го-
говоря, негладкая: точки слоя f~x (а) будут простыми, если
А(а)Ф0, но при Д(а)=0 это будет так, лишь если а —
простой корень (см. § б гл. II). Мы рассмотрим мини-
минимальное разрешение qp: Y-*¦ X, которое будет отобра-
отображаться на Р\ g: Y -*- Р1, g = / • ф, причем в точках
с А(а)Ф0 слои будут те же, что и у исходного пучка.
На поверхности Y рассмотрим дифференциальную
форму (в= у~х dx Д dy. Легко видеть, что в точках а е А1,
где А(а)Ф0, эта форма регулярна и не обращается в 0.
(Это связано с тем, что форма y~xdx регулярна и не рав-
равна 0 на кривой /-1(а).) Отсюда следует, что канонический
класс Кг содержит дивизор, состоящий лишь из компо-
компонент слоев. Пусть g* @) = 2 r%C%, ?"i > 0^ С\ — компонен-
компоненты слоя g- @). Мы запишем KY в виде 2 n%Ci + D, где
D состоит из компонент слоев, отличных от g~y @). Так
21*

324
ГЛ. IV. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
как g*@) ~ g*(b), где ЬФО, то, прибавляя g* @)—
— g* (?>)¦> можно добиться того, что все п, > 0. Так как
все слои /*(&) эквивалентны, то (/*(&), KY) = 0. Разбе-
Разберем два случая.
A. Слой /-1@) неприводим. Пусть это кривая С. Так
как в этом случае (Сг)=0 и (С, KY)=0, то из соотно-
соотношения A) п. 1 и того, что g(C)>0, мы получаем, что
_^ ?. /?. ^\
7, ——^ ^1, т. е. равна 0 или 1. Если эта сумма
равна 0, то С — гладкая кривая. Если она равна 1, то С
имеет одну особую точку кратности 2, которая разреша-
разрешается одним сопроцессом. Отсюда следует, что особая точ-
точка формально-аналитически эквивалентна особой точке
у2 = х2 или у2 = х3 (ср. задачу 12 к § 3 гл. II). Именно
такие особые точки возникают у плоских кубик.
B. Слой /~* @) приводим. Тогда по теореме 4 (С%) < О
для любой компоненты слоя. Если (К1) < 0, то, за-
записывая К в виде Кх = 2«jCj + D, SuppZ) П/~1@)= 0,
мы видим, что (С,-, К) < 0 хоть для одной компоненты Ct.
Неравенство (9) п. 1 дает тогда (С|) = — 1, g = 0, ki =
= 1, т. е. Сл является —1-кривой (ср. п. 5 § 3), а мы
предположили, что таких компонент в слое нет. Поэтому
(ЙГ2) = О, а значит, по теореме 4 К пропорционален слою
/*@) и, следовательно, (С,-, К) = 0. Теперь неравенство
B) п. 1 дает, что g = 0, k}=l, т. е. все компоненты сло-
слоев изоморфны Р1 и для них (С?) = — 2.
Если в слое всего две компоненты и /* @) = щС± +
+ п2С2, то {пхС, + пгС2у = 0 и [Сг, С2)=-
2, что
для целых пх и п2 возможно лишь при (Си С2) = 2. Кри-
Кривые Ci и С2 могут пересекаться в двух точках трансвер-
сально или иметь одну точку касания.
Если число компонент в слое больше 2, то (Сг + С3J<
< 0, откуда (Сг, Cj)=O или 1. Таким образом, кривые
d и С) или не пересекаются, или пересекаются транс-
версально. Систему кривых Си ..., Сг изображают в ви-
виде графа, принимая те же соглашения, что и в связи с
разрешением изолированных особых точек.
Мы видим, что они определяют базис Z-модуля
ф ZCi, удовлетворяющего условиям теоремы 5 и до-
дополнительному условию (Cf) = — 2. Все такие Z-модули
§ 4. ОСОБЕННОСТИ
325
были найдены в связи с теорией корней. Их графы
таковы:
>-¦¦¦
До
Р
I
t3
См. [7].
Связь с теорией особенностей Дю Валя такова. Пусть
эллиптический пучок задан уравнением
y2 = x3 + a(t)x+b(t), A)
где a(t) и b(t)—многочлены. Мы будем предполагать,
что они не делятся одновременно на 4-ю и б-ю степень
одного многочлена c(t)— иначе бирациональным преоб-
преобразованием у = У\С3, х = хусг можно было бы от этого
множителя избавиться. Тогда поверхность A) имеет на
каждом слое /-1(а), где Д(а) = 0, особую точку Дю Ва-
Валя, а ее минимальное разрешение и дает слой неособой
поверхности, который состоит, таким образом, из кри-
кривых, возникающих при разрешении, и прообраза слоя.
При этом из особой точки типа Ап возникает слой типа
Ж„, из Dn — слой Вп, из Ei — слой Et (i = 6, 7, 8).
ЗАДАЧИ
1. Найти граф бесконечно-близких точек для особенности ви-
вида у2 = хп.
2. Обобщить понятие класса (задача 20 к § 5 гл. III) на кри-
кривые с особыми точками. Доказать, что класс плоской проективной
кривой степени га с d простейшими особыми точками равен
га (га — 1) — d.
3. Какие особые точки кривой, лежащей на поверхности, раз-
разрешаются одним о-процессом? Дать их характеристику в тер-
терминах локального уравнения кривой: совокупности его членов сте-
степени г и г -\- 1, если г — кратность особой точки.
4. Доказать, что для плоской неприводимой кривой степени и
2jri(ri—1) ^ (га — 1) (га — 2), где г*—кратности особых точек.
Проанализировать случаи, когда это неравенство превращается
в равенство.
5. Для особенности Дю Валя вида А2/(?, G = {g}, типа
(п, —1) найти соответствующий ей граф, производя последовательно

326
ГЛ. ГУ. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
о-процессы в точке @, 0, 0) трехмерного пространства, содержаще-
содержащего поверхность A2/G, и в особых точках, возникающих после
о-процессов.
6. Предположим, что для гладкой проективной поверхности X
и некоторого п > 0 рациональное отображение ф, соответствующее
классу пКх, регулярно и является бирациональным изоморфизмом.
Доказать, что поверхность <р(Х) имеет только особенности Дю Валя.
7. Найти все типы вырожденных слоев пучка эллиптических
кривых в вейерштрассовой форме, для которых D = 4а3 + 2762
имеет в точке вырождения двукратный корень.
8. Разрешить особенность поверхности у2 = а;3 + at2x + [Si3, где
а, Рек, 4а3 + 27Р2 ф 0. Для этого произвести а-дроцесс в точке
@, 0, 0) объемлющего пространства, потом о-процессы во вновь
возникающих особых точках и т. д. Доказать, что особая точка
является особенностью Дю Валя типа Dt, а особый слой пучка
эллиптических кривых, возникающего после ее разрешения, име-
имеет тип Л4.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Линейная алгебра
Напомним, что скалярным произведением на абеле-
вой группе а со значениями в абелевой группе 33 на-
называется функция (а, Ъ) для a, b ^ а со значениями
в 33, удовлетворяющая условиям
(Ъ, а) = (а, Ъ),
Ъ).
A)
B)
Предложение 1. Пусть а — произвольная абеле-
ва группа, 23 — абелева группа, в которой возможно и
однозначно деление на 2. Функция f(a) на а со значе-
значениями в S3 тогда и только тогда может быть представле-
представлена в виде (а, а), где (а, Ъ)—некоторое скалярное про-
произведение на а со значениями в S3, когда
/(а+Ь) + /(а-Ь)=2(/(а) + /F)). C)
Доказательство. Из A) и B) сразу следует
C) при f(a) — (a, а). Предположим, что выполнено C),
и положим
Тогда A) очевидно, а B) означает, что
(а+Ъ, с)—(а, с) — {Ъ, с) = 0.
D)
E)
Обозначим левую часть этого выражения через (а, Ъ, с).
Из D) следует, что 2(а, Ъ, c) = f(a + b + c)—f(a + b) —
-/(а + с)-/F + с) + /(а) + /F)+/(с), а поэтому
(а, Ъ, с) симметрично относительно а, & и с. Из C)
при а = Ъ = 0 следует, что /@) =0, а при а = 0 —
что /(—&) = /(&). Отсюда и из C) и D) получаем, что
(а, —6) = — (a, b), a значит, ввиду A) (—а, Ь) = — (а, Ъ).
Все это вместе дает нам, что (а, Ъ, —с) = — (а, Ъ, с) и по сим-
симметрии такое же равенство для Ъ ж а. Но из E) мы так-

326
ГЛ. ГУ. ИНДЕКСЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
о-процессы в точке @, 0, 0) трехмерного пространства, содержаще-
содержащего поверхность A2/G, и в особых точках, возникающих после
о-процессов.
6. Предположим, что для гладкой проективной поверхности X
и некоторого п > 0 рациональное отображение ф, соответствующее
классу пКх, регулярно и является бирациональным изоморфизмом.
Доказать, что поверхность <$(Х) имеет только особенности Дю Валя.
7. Найти все типы вырожденных слоев пучка эллиптических
кривых в вейерштрассовой форме, для которых D = 4а3 + 27 б2
имеет в точке вырождения двукратный корень.
8. Разрешить особенность поверхности у2 = хг + аЛ2х + {1?3, где
а, р е к, 4а3 + 27fJ2 =ф 0. Для этого произвести о-процесс в точке
@, 0, 0) объемлющего пространства, потом о-процессы во вновь
возникающих особых точках и т. д. Доказать, что особая точка
является особенностью Дю Валя типа Dn, а особый слой пучка
эллиптических кривых, возникающего после ее разрешения, име-
имеет тип Л4.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Линейная алгебра
Напомним, что скалярным произведением на абеле-
вой группе ct со значениями в абелевой группе 39 на-
называется функция (а, Ь) для а, йеа со значениями
в 39, удовлетворяющая условиям
F, а) = (а, Ъ), A)
(а± + аг, 6) = (at, b) + (a2, Ъ). B)
Предложение 1. Пусть а — произвольная абеле-
ва группа, 35 — абелева группа, в которой возможно и
однозначно деление на 2. Функция f(a) на ct со значе-
значениями в S3 тогда и только тогда может быть представле-
представлена в виде (а, а), где (а, Ь)—некоторое скалярное про-
произведение на а со значениями в S3, когда
f(a + b) + f(a-b)=2U(a) + f(b)). C)
Доказательство. Из A) и B) сразу следует
C) при /(а) = (а, а). Предположим, что выполнено C),
и положим
и положим
(а, Ъ) = ±- (/(а + Ъ) - /(а) - /F)).
Тогда A) очевидно, а B) означает, что
(а + Ъ, с)—(а, с) — (Ь, с) =
= 0.
D)
E)
Обозначим левую часть этого выражения через (а, Ь, с).
Из D) следует, что 2 (а, Ъ, с) = f(a + b + с)—f(a + b) —
-/(а + с)-/F + с) + /(а) + /F) + /(с), а поэтому
(а, Ъ, с) симметрично относительно а, Ь и с. Из C)
при а = Ъ = О следует, что /(О) =0, а при а = 0 —
что /(—b)—f(b). Отсюда и из C) и D) получаем, что
(а, — &) = — (а, Ъ), а значит, ввиду A) (—a,b) = — (a,b).
Все это вместе дает нам, что (а, Ъ, —с) = — {а, Ь, с) и по сим-
симметрии такое же равенство для b ж а. Но из E) мы так-

328
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
же получаем, что (—а, —Ъ, с) =—(а, Ъ, с), в то время
как по доказанному ранее (—а, —Ь, с) = (а, Ь, с). По-
Поэтому (а, Ь, с) = 0.
Предложение 2. Пусть s Ъ-модуле М определе-
определено скалярное произведение (a, J)hZ для а, Ъ е М, при-
причем имеется такая система образующих еи ..., ег, что
г
(ег,
0 для i?=j и существует элемент d—
, для
которого m-iX) и (d, et)<0 для г = 1, • • •, т. Тогда
(тп, тгс)<0 для гп<ееМ, 7п?=0, и еи ..., ет независи-
независимы в М.
Доказательство. Построим модуль М со свобод-
свободным базисом ёи ..., ёт над Z и определим в нем скаляр-
скалярное произведение ф(Ж, у) условием <р(ё,-, ё^) = (е», е,).
Положим d = 2"*^ тогда ц>(Я, ё*) < 0. Мы докажем, что
Ф (Ж, ж) < 0 для х Ф 0. Отсюда уже будет следовать, что
отображение Af ->- М, определенное условием et -*¦ еи яв-
является изометрией, а значит — изоморфизмом, и поэто-
поэтому еи ..., ет независимы в М. _
Очевидно, можно вложить М в пространство L =
= ф eiR с сохранением произведения ф. Определим ска-
скалярное произведение ф0 тем, что в нем базис ёи ..., ёт —
ортонормированныи. Тогда ф(ж, у)= <ро(Ах, у) для не-
некоторого симметрического линейного преобразования А.
Если ф не является отрицательно определенным, то мак-
максимальное собственное значение % преобразования А не-
неотрицательно. Пусть Ах = Хх и у — вектор с неотрица-
неотрицательными координатами в базисе ёи ..., ёт, получающий-
получающийся изменением знаков координат вектора х. Тогда
55 5
Фо (w, м) Фо (х, х)
ф(?, х)=фо(^1ж, х)^ф(у, у) ввиду положительности чи-
чисел ц>0(Аёи ej) при i?=j. Поэтому ф(г/, §?) = Я(? )
откуда Лу = Ху, сХ>0. Очевидно,
Яф0(у, Я) = фо (vly, Я) = фо (й
Число слева ^0, так как у имеет неотрицательные,
а Э, — положительные координаты. Число же справа от-
отрицательно, так как координаты AS отрицательны. По-
Полученное противоречие доказывает предложение.
Предложение 3. Пусть в Ъ-модуле М задано
скалярное произведение (a, 6)eZ для а, Ъ^М, причем
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
329
имеется система образующих еи ..., <гг, для которой
г
(et, в})^ 0 при гФ], и элемент d = 2 he\, для которого
k>0, (d, ef)=0 для i = l, ..., г. Тогда (m, m)=s=0 для
тп е М. Если элементы еи ..., ет нельзя разбить на две
группы так, что (ef, e,) = 0, если et и е, принадлежат
разным группам, то {тп, ш)=0 только при тп, пропор-
пропорциональном d.
Доказательство почти то же, что и для предложе-
предложения 2. Рассуждая от противного, мы находим такое у,
все координаты которого неотрицательны, что Ау = Ху,
Х^0. Отсюда 0 = фо (Ad, у) = <р„ (Я, Ау) = Х<р0 (Я, у), а это
возможно только при X — 0. Этим доказано, что
ф(тп, тп)^0. Предположим, что существуют два линей-
линейно независимых вектора хи х2, для которых ф(ж,-, xt) = 0,
т. е. Axt = 0. Тогда из них можно составить линейную
комбинацию х Ф 0, у которой часть коэффициентов рав-
равна 0. Рассуждая как при доказательстве предложения 2,
мы получим вектор у, координаты которого отличаются
только знаками от координат вектора х, причем некото-
некоторые из них положительны, а некоторые равны 0, и опять
Л(?)=0, т. е. ф(?, ё,) = 0 (/ = 1, ..., г). Пусть х =
1
s
2
0, s < г. Тогда для j >s, ф (х, е})
= 2 «гФ (^i, ej), а так как ф(ё1, ё})>0 (i^s, j > s) и
«i > 0, то ф (et, ej) = 0. Это и значит, что система векто-
векторов распалась на две части (еи ..., es) и (es+i, ..., ег),
состоящие из попарно ортогональных векторов.
2. Многочлены
Предложение 1. Пусть для последовательности
чисел d»eQ существует такой многочлен g(T)ez Q[T],
что ап+1 — an^=g(n) для достаточно больших п. Тогда
существует такой многочлен f(T)ezQ[T], что а„ = /(п)
для достаточно больших п.
Для любого g(T)^ Q[jT] существует такой многочлен
h(T)<=Q[T], что h(T + l)—h(T) = g(T). Это утвержде-
утверждение можно доказать индукцией по степени п многочлена
g. Если старший член этого многочлена равен аТп, то,

330
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
положив h0 (Т) = ° . тп+х, мы получим, что многочлен
/го(Г+1)—ho(T) — g(T) имеет степень, меньшую пг
а дальше можно применять индукцию. Заметим, что
многочлен h определен с точностью до аддитивной кон-
константы.
Для любого выбора многочлена h мы получаем, что
an+i — an = h(n+ l) — h(n),
т. е.
ап
для всех достаточно больших п, т. е. h (n) — ап = с. Мно-
Многочлен / = h — с удовлетворяет требованиям пред-
предложения.
3. Полулинейные преобразования
Преобразование ср векторного пространства L над по-
полем К называется полулинейным, если ц>(х + у)= <р(х) +
+ ф(г/) для х, у <= L и существует такой автоморфизм g
поля К, что <р(аж) = g(a)<p(x) для а^К, ге?. Авто-
Автоморфизм g называется сопутствующим полулинейному
преобразованию А.
Предложение 1. Пусть L — конечномерное век-
векторное пространство над полем К, G — конечная группа
его полулинейных преобразований, причем автоморфизм,
соответствующий неединичному преобразованию из G,
неединичен. Тогда в L существует базис, состоящий из
векторов, инвариантных относительно G.
Замечание. В этом базисе, очевидно, все преоб-
преобразования из G имеют единичную матрицу, откуда, ко-
конечно, не следует, что они единичные — они действуют
на координаты при помощи сопутствующих автомор-
автоморфизмов.
I. Пусть \G\ =п и GK — пространство функций на G
со значениями в К. Определим отображение ср: К -*¦ GK
тем, что ф(а) = /а, где fa(g)= g(a). Тогда у (К) порож-
порождает все GK как векторное пространство над К. Действи-
Действительно, если бы это было не так, то существовала бы не-
ненулевая линейная форма X: GK -*- К, тождественно рав-
равная 0 на ф(^), т. е.
2 *«*№) = 0 С1)
для всех | ^ К. Выберем из этих соотношений то, в ко-
АЛГВБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
331
тором наименьшее число Xg Ф 0. Очевидно, что таких Xg
по крайней мере два: пусть Хи Ф О, Х„Ф 0. Так как
и Ф v, то им соответствуют различные сопутствующие
автоморфизмы и, значит, существует а, для которого
и(а)Ф у (а). Подставив в A) а| вместо ?, получим
о
B)
тоже для всех | ^ К. Вычтем из B) соотношение A),
умноженное на к (а). В полученном соотношении
коэффициент при к(|) будет равен 0, но при v("E)—нет,
что противоречит минимальности выбора соотноше-
соотношения A).
Доказанный результат можно переформулировать
так: существуют такие <zt, , ап^К, что det(g(cti) )Ф 0.
II. По условию предложения разные преобразования,
входящие в G, имеют разные сопутствующие автомор-
автоморфизмы. Поэтому мы можем занумеровать эти преобразо-
преобразования сопутствующими им автоморфизмами.
Обозначим через Ag e G преобразование с сопутству-
сопутствующим автоморфизмом g. Обозначим через LG пространст-
пространство векторов х е L, инвариантных относительно всех
Ag^ G, и докажем, что оно порождает L над К. Для это-
этого положим В (х) = ^jAg(x). Очевидно, что B(x)^La
для любого х ^ L. Докажем, что уже все векторы В (х),
х <= L, порождают L над К. Для этого заметим, что вмес-
вместе с В(х) в пространство, порожденное всеми В(х), вхо-
входит и В (ах) =^,g(a)Ag(x). Беря элементы аи ..., а„,
существование которых доказано в части I доказательст-
доказательства, мы видим, что Ag(x) линейно выражаются через
В((ХгХ). В частности, при g = e мы получаем выраже-
выражение для самого вектора х. Это и требовалось доказать.
Теперь достаточно взять векторы уи ..., yr s LG, по-
порождающие все L, и из них выбрать максимальную ли-
линейно независимую систему. Это и будет искомый базис.
4. Поля
Предложение 1. Пусть к — алгебраически замкну-
замкнутое поле, К — расширение к, порожденное конечным
числом элементов. Тогда существуют такие элементы

332
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
zu . . ., zd+i s К, что K = 'k(zu . . ., zd+i), zu . . ., zd алгеб-
алгебраически независимы над к, a zd+i сепарабелъно над
kA? ..., zd).
Доказательство. Поле К порождено над к ко-
конечным числом элементов tt, ..., tn.
Пусть d — максимальное число алгебраически незави-
независимых над к среди tu ..., tn и пусть алгебраически неза-
независимы tt, ..., td. Тогда любой элемент у <= К алгеб-
алгебраически зависит от tu ..., td, причем существует и та-
такое соотношение f(tu ..., td, у) = 0, что многочлен
f(Tu ..., Та, Td+i) неагриводим над к.
Пусть f(Tu ..., Td+i)—такой многочлен для t±, ...
..., td+i. Мы утверждаем, что /г* (Тх, - • •, Td+i) Ф 0 хоть
для одного ъ=1, —, d + 1. Действительно, если бы это
было не так, то все Г,- входили бы в /в степенях,
кратных характеристике р поля к, т. е. / имел бы
вид / = 2 aiv..id+1Tl 1... TVa+iX. Положим
= *?х...*d+1, g = 2&i1...id+1^l1 - • • Т?+\. Мы ПОЛУЧИМ, ЧТО
/ = gp, а это противоречит неприводимости /.
Если /Г{ ФО, то d элементов tu . . ., U-u ti+u .. ., td+l
алгебраически независимы над к. Действительно, эле-
элемент U алгебраичен над полем k(*t, ..., tt-u ti+u ..., td+±),
так как fTi ф 0 и, значит, Tt входит в многочлен /. Поэто-
Поэтому, если бы элементы tu ..., U-u ti+i, ..., td+i были зави-
зависимы, то степень трансцендентности поля k(it, ..., td+i)
была бы меньшее d, а это противоречит независимости
элементов tt, ..., td.
Таким образом, мы можем всегда так перенумеровать
Ти...., Тп, что tu ..., td будут независимы над к, а в
многочлене /, fTd+1?=O- Это показывает, что элемент td+±
селарабелен над полем k(?t, ..., td). Так как элемент td+2
алгебраичен над этим полем, то по теореме о примитив-
примитивном элементе мы можем найти такой элемент у, что
k(*i, - • •, ?d+2) = k(*i, ..., td, у). Повторяя процесс присо-
присоединения элементов td+1, ..., tn, мы представим поле
К в виде k(zt, ..., zd+i), где z±, ..., zd алгебраически
независимы над к и
f(zu ..., zd, zd+i)=0,
прячем многочлен / неприводим над к и /rd+1 ?= О.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
333
Предложение 2. Пусть к — алгебраически замк-
замкнутое поле характеристики О, К — поле, порожденное над
к конечным числом элементов и имеющее над к степень
трансцендентности 1, К(р) — подполе, состоящее из эле-
элементов вида ар, ан? Тогда [К:К(р)]=р. Если L<=K —
такое подполе, что расширение K/L не сепарабелъно, то
Пусть feZ трансцендентно над к. Первое утвержде-
утверждение следует из диаграммы
к
К
(р>
откуда мы видим, что
Так
как
а
<хр
= [К:
вложение,
]
это вложение, то [К :h(t)] =
[ :к@(р)], и поэтому [К : K<p)] = [k(t): k(t)<p)]. На-
Наконец, очевидно, что k(?)(p) =h(tp), значит,
\k(t):k(t)(p)] = p и [К:К(р>] = р.
Для доказательства второго утверждения обозначим
через L' совокупность всех элементов поля К, сепара-
бельных над L. Очень просто доказывается, что это —
поле. Очевидно, мы можем заменить L на L' и, значит,
предполагать, что любой элемент из К, сепарабельный
над L, содержится в L. Пусть <х^К и а0Тр т +
+агТ + . . . -\-clt— его минимальный многочлен,
причем для P(T) = a0Tr + alTr-i + ...-\-ar P'(Т)ФО. Тог-
Тогда Р(р) = 0 для а? = Р> т. е. р сепарабельно над L
и, значит, принадлежит L. Из этого следует, что К мо-
может быть получено из L при помощи последовательного
присоединения корней степени р: L=^Kl<= .. .<=z Kt<= ...
...<=Km=K, Кг = Кг_х (y~ai), a.i es Kt-i. Положим 4-i =
==K', ccm_j = a, тогда К = К' [V~<x)- Мы докажем, что
К' = К{р), и именно здесь используем, что степень транс-
трансцендентности KJh равна 1.

334
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
Любой элемент р е К записывается в виде Р = а0 +
+ ... + ар_
аР~г,
а\а
а\
', и, значит, рр =
? + \ + . . . + о^а е= X, т. е. Ж' => #<">. Но
[: К'\ = р, а в первой части доказательства мы устано-
установили, что п[К:К1р)]=р. Поэтому К' = К(р) ж Kip) => L.
5. Инварианты
Предложение 1. Пусть А — алгебра с конечным
числом образующих над полем к и G — конечная груп-
группа ее автоморфизмов. Предположим, что порядок N
группы G не делится на характеристику поля к. Пусть
А° — подалгебра, состоящая из элементов а^А, для ко-
которых g(a)=a для всех g ^ G. Тогда алгебра А° имеет
конечное число образующих.
Обозначим через S оператор усреднения: Sa =
= -jT- 2^ g* (а). Для любого элемента а <= А коэффициен-
gSG
ты многочлена TN + а^Т1*'1 + ... + aN = Ц(Г — g*a)
Р
Ц( g)
= Ра(Т) принадлежат алгебре Аа — это элементарные
симметрические функции от g* (a), выражающиеся, как
известно, через суммы Ньютона S(a*) (i—l,...,N).
Пусть щ, ..., Um — система образующих алгебры А. Обо-
Обозначим через В подалгебру алгебры Аа, порожденную
элементами S (u{) (i — 1, ..., m; / = 1, ..., N). Тогда
¦Рщ(ич) = 0 и, значит, и^ выражается линейно через 1,
щ, ,. .,щ с коэффициентами из В. Отсюда по индукции
следует, что любой одночлен их . . . ит выражается через
одночлены такого же вида с ах< N, ..., ат< N. Тем са-
самым аналогичное представление имеется для любого эле-
элемента а <= А:
а =
= 2
2
, а
т
В.
Пусть, в частности, а е= А°. Применяя к этому равенству
оператор S, мы получим
а = S (а) = 2 Фв1 ^S (ul1 . . . щГ).
Отсюда и следует, что алгебра Аа порождается элемен-
элементами S (и . . . *4Г), ai <; N, и S {и?).
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
335
6. Кольца
Предложение 1 (теорема Гильберта о
корнях). Пусть к — алгебраически замкнутое поле,
Ft, ..., Fm^KTu ..., Тп]. Если идеал (Fu ..., Fn)^(l),
то система уравнений F1 = 0, ..., Fm = 0 имеет реше-
решение в к.
Лемма. Если система уравнений Ft =» 0, ..., Fm =• О,
FjGk[Ти ..., Тп], имеет решение в поле К, порожденном
конечным числом элементов над к, то она имеет реше-
решение и в к.
Доказательство. Согласно предложению 1 в п. 3
поле К имеет вид к(ж1? ..., хг, 6), где хи ..., хг алгебраи-
алгебраически независимы над k, a 6 является корнем уравнения
Р(X, U) = po(X)U*+... + pd(X),
Х = (хи ..., xr), p((I)ek(I),
неприводимого над k(X)=-k(a;1, ..., хг). Пусть Fi(%t, ...
..., ?„) = 0, "gt^K. Запишем элементы %t в виде С((Х, 0),
где С(Х, U)^k(X)[U]. Соотношения Ft(lu ..., |я) = 0
означают, что тождественно по X=i(xt, ..., хг) и U
Ft{C,{X, U), ..., Сп(Х, U))-P(X, U)Q<(X, U), A)
где Qi(X, ?/)ek(I)[i/]. Выберем значения Ж( = ^ек
(i = 1, ..., ri) так, чтобы они не обращали в 0 знаме-
знаменателей коэффициентов ни одного из коэффициентов
многочленов Р, Qf, Cu ..., С„ и старший коэффици-
коэффициент многочлена Р. Выберем G = тек из условия
Р(аи ..., а„, т) = 0 и положим Ct(au ..., а„, т) = Я,{
(i=,l, ..., п). Тогда из A) следует, что FtiXi, ..., Хп) —
= 0, т. е. (A,j, ..., А,„) —решение системы i?T1=0, ..., Fm =
= 0.
Доказательство предложения 1. Если
(Fu ..., Fm)?=l, то идеал (Fu ..., i^) содержится в не-
некотором максимальном идеале М <= к [Ти ..., Г„] та К=>
= к[2т1, ..., Г„]/Л/ является полем. Обозначим через t,f
образы Tt в К. Очевидно, что Ж = к(§1, ..., |„) и (§1? ...
..., \п) — решение системы Fx — 0, ..., Fm = 0 в К. При-
Применяя лемму, мы получаем решение в к.
Следствие. Если G, Fu ..., Fm<^k[Tu ..., Тп] и G
обращается в 0 во всех решениях системы Fi — 0, ...
..., Fm = 0, то G0 <= (F1? ..., Fm) при некотором р 5* 0.
Достаточно рассмотреть случай G =5^= 0. Введем новую
переменную ?7 и в к [Ti,..., Тп, U] рассмотрим мно-

336
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
гочлены Fu . .., Fm, UG — 1. По условию они не имеют
общих корней в к и, значит, существуют такие много-
многочлены Ри ..., Рт, Q e k [Г„ ..., Тп, U], что
PiFi + ...^PnFn + Q(UG-i)=l.
Это тождество сохранится, если положить в нем U = 1/G.
Освобождаясь от G в знаменателе, мы получим, что
Предложение 2. Элемент а кольца А тогда и
только тогда нильпотентен (т. е. ап = 0 при некотором
п > О), когда а принадлежит всем простым идеалам
кольца.
Очевидно, что нильпотентный элемент содержится в
любом простом идеале. Наоборот, пусть элемент а не
нильпотентен. Построим простой идеал, его не содержа-
содержащий. Рассмотрим идеалы JczA, не содержащие ни одной
степени элемента а. По условию / = (О) является таким
идеалом. Пусть а — максимальный элемент этого множе-
множества идеалов. Докажем, что а прост — тогда это и будет
нужный нам идеал. Для этого положим В = А/а и дока-
докажем, что В целостно. По условию любой идеал Ь сг В,
Ъ Ф О, содержит некоторую степень образа Ъ элемента а,
но сам b не нильпотентен. Пусть Ь± <= В, 62 '<= В, bt Ф О,
Ъг Ф 0. Тогда по условию при некоторых щ > 0 и п2 > 0
b™1 e (Ьг), ЪПг ^F2). Поэтому 6nx+n2 ^ (Ь1'Ь2), а значит,
bt ¦ Ь2 Ф 0.
Предложение 3 (лемма Накаяма). Пусть
М — модуль конечного типа над кольцом А и а^А —
такой идеал, что если для элемента oel + a, аМ = 0,
то М = 0. Тогда из аМ = М следует, что М — 0.
Доказательство. Пусть М = (р*, .. ., р,„). Условие
аМ = М означает, что имеют место равенства
то
Отсюда 2 (аУ
i
= 0 (i = 1, ..., п) и по «правилу
Крамера» dp,3 = O, т. е. dM = 0, где d=-detFtf —«у). Так
как йе1 + а, то по условию отсюда следует, что М = 0.
Следствие 1. Если В и А—кольца, В =>А и яв-
является модулем конечного типа над А, <х<=^А — идеал,
А Фа, то аВФВ.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
337
Так как В содержит единицу, то аВ = 0 только при:
а — 0. Так как а Ф A), то 1 + а Ф 0.
Следствие 2. Если а<=-А — такой идеал, что все
элементы множества 1 + а обратимы, М — модуль конеч-
конечного типа над А и М' <=: М — любой подмодуль, то us
М' + аМ = М следует, что М' == М.
Надо применить предложение 3 к модулю М/М''.
Замечание. Легко видеть, что условие, наложен-
наложенное в следствии 2 на идеал а, равносильно тому, что-
кольцо А /а локально.
Следствие 3. В предположениях следствия 2 эле-
элементы \ли ..., jxn ^ М тогда и только тогда порождают Мг
когда их образы порождают М/аМ.
Надо применить следствие 2 к подмодулю М' —
=*((!!, ..; lln).
Предложение 4. Пусть А — нётерово кольцо, а сг
<=. А — такой идеал, что все элементы множества 1 + а:
обратимы в А. Тогда (](Ъ + ап)=Ь для любого udeajiabczA^
П>0
1) Случай Ъ = 0. Надо применить предложение 3 к
модулю М = П а". _
2) Общий случай. Положим В —А/Ь, и а = (а + ЬOЬ—+
образ а в В. Тогда ап = (а + Ъ)п/Ь = ап + Ъ/Ъ есть обра»
ап в В. Согласно случаю 1) П an = 0, значит, П (b +
П>0 П>0
+ an) = Ь.
Предложение 5. Пусть идеал а нётерова кольцам
А таков, что все элементы множества 1 + а обратимы е-
А. Тогда свойство последовательности ju . . ., fm элементов-
из а быть простой сохраняется при ее перестановке.
Достаточно доказать, что после перестановки двух
соседних членов /,, /i+1 простой последовательности мы
опять получим простую последовательность. Положим
(fu .. ., /i—t) = Ь, А/Ъ = В и обозначим через а и Ъ обра-
образы fi и fi+i в В. Все сводится к доказательству леммы 2'
для простой последовательности а, Ъ в В. Нам надо до-
доказать, что 1) 6 не делитель 0 в В и 2) а не делитель.
0(mod b).
1) Пусть хЪ = 0. Мы докажем, что тогда
х
A)'
для всех к. Из того, что А нётерово, и предложения 4
будет следовать, что х = 0.
22 и. Р. Шафаревич, т. 1

338
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
Равенство A) проверяется по индукции. Если уже
л = а^а*, то х±акЬ = О. Так как a, b — простая последова-
последовательность, то а не делитель О и, значит, xtb = 0. Опять
из простоты последовательности а, Ъ вытекает, что х± <=
«s= (а), т. е. x^(a)h+i.
2) Пусть ха — yb. Из простоты последовательности
и, Ъ следует, что у = az, z^A, и, значит, х — zb.
7. Однозначность разложения
на простые множители
Предложение 1. Пусть нётерово локальное кольцо
А содержится в локальном кольце А, в котором разло-
разложение на простые множители однозначно. Предположим,
что максимальные идеалы »е4 и m<= А удовлетворяют
условиям^ __
(а) OlA = Ю;
(б) (шпА) ПА=шп для п > 0;
(в) для любого ос. ^ А и любого целого п > 0 суще-
. -ствует такое ап^А, что а — о„е ш"А.
Тогда и в А разложение на простые множители од-
однозначно.
Доказательство. (Заимствовано из книги [25].)
Обычное доказательство однозначности разложения на
простые множители выводит его из того, что если а де-
делит be а а взаимно просто с 6, то а делит с. Нам нужно
установить этот результат в А, зная, что он верен в А.
Для этого достаточно доказать: _
1) если для а, Ь^А, а делит b ъ А, то а делит Ъ в А;
2) если а и Ъ взаимно просты в А, то они взаимно
просты в А.
Оба утверждения опираются на лемму.
Лемма. Для любого идеала а<=А (<хА)Г\А=<х.
Достаточно доказать, что (<хА) П А <= а. Пусть х =
^АП(аА) и пусть а = (а1, ..., ап). Тогда х = 2 о-г^и
<x.i^A. По условию (в) существуют такие а\ ^ А9 что
«i = а\п) + ||п), аг ее Л, |<п) ge mn. Тогда х = 2 4*% +
+ 2 lin)«i = я- + 1» а ^ а, | е= ?". Значит, | = а;-ае4П
flm"=m". Поэтому ж^а + ш." для всех /г>0 и х<=а по
предложению 4.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ЗЗЭ'
Д^э казательст bjo свойства 1). Если Ъ делит
а в А, то aei Л(&)Л=F) (по лемме). Это и значит,,
что а делит 6 в А.
Доказательство свойства 2). Если бы ажЪ
не были взаимно просты в А, то они представлялись бы
в виде а — fa, Ъ = ff}, где аир — взаимно простые соб-
собственные делители а и Ъ в Л. Тогда ар — &а = 0. Ввиду
условия (в) существуют такие хп, уп^ А и к„, yn e ш",
что a == хп + и„, Р = г/п + у„. Поэтому ауп — Ъхп s (а, Ь)Шп =-
==(а, &)т"Л. По лемме ауп — Ьхп<=(а, Ь)шп, т. е. ш/„ —
— 6ж„ = atn + bsn, sn, tn ^ Ю". Отсюда a (yn — ?„)¦==> b (xn +-
Ч-5„) и, значит^ а(уп — tn)= $(xn + sn). Из взаимной про-
простоты a и р в А вытекает, что х„ +sn делится на а: #„ +
+ sn = аК. Так как Пш* = 0, то при достаточно большом п
а, р §^ т"-1. Тогда и #„ +?„ ^ т—1 и, значит, X <? ш, т. е.
Я обратим в Л. Поэтому_Л (х„ + sn) — (а,)А и х„+sn делит
а, а значит, делит а в А. По свойству 1) он делит а и в.
Л: a = (xn + sn)h. Но а(у„ — fn) = Ъ (хп + sn) и, значит,
b = (yn — tn)h. Из взаимной простоты а и & в А следует,
что & обратим в А, (а) = (хп + sn) — (a,), а это противо-.
речит тому, что a — собственный делитель а в А.
8. Целые элементы
Предложение 1. Пусть В = к[Ти ..., Тп] — коль-
кольцо многочленов, ? = кB'1, ..., Т„)—его поле частных,
К — конечное расширение поля L, А — целое замыкание
В в К. Тогда А является В-модулем конечного типа.
Для случая, когда расширение K/L сепарабельно,.
очень простое доказательство (не зависящее от вида по-
поля L) содержится в [3], гл. V. Мы не будем его здесь
повторять, а покажем, как свести все к случаю сепара-
бельного расширения.
Пусть К =Ь{<%1, ..., as). Если at не сепарабельно
над L, то его минимальный многочлен имеет вид af m 4-
+ aaaf 4m~x) + .. . + am = 0, где аг ge k (Tlt .. ., Tr)
и af сепарабельно над L. Положим «г = Щ , где-
Ьг е к (Т\/р\ ..., Tl/pl), L' = k (T\/pl, ..., Tl/pl), K' =
= K{T\'V\ ..., ТУ»1), В' = k [Tl/P\ ..., TVpl], A' -
целое замыкание В' в К'. Тогда К' = U (at, ...,
22*

340
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
и а™ + Ъха.™ + ... + Ът = 0, так что <хх сепарабель-
но над L'. С другой стороны, А<=А', и если предложе-
предложение доказано для А', то А' — модуль конечного типа
над В'. Но само В'— модуль конечного типа над В;
его базис состоит из одночленов Тх . . . Т/, 0^?1? ...
..., ?г<р.Поэтому тогда А', а значит и А, будет моду-
модулем конечного типа и над В.
Мы видим, что доказательство предложения свелось
к случаю, когда а4 сепарабельно. По теореме о примитив-
примитивном элементе тогда L (а15 . . ., аг) = L (а2, а3, . . ., ост).
Повторив те же рассуждения г — 1 раз, мы сведем дока-
доказательство к случаю сепарабельного расширения.
9. Длины модулей
Определение. Модуль М над кольцом А имеет
конечную длину, если существует такая последователь-
последовательность подмодулей
М =
A)
что фактормодули Mi/Mi+i просты, т. е. не содержат соб-
собственных подмодулей. По теореме Жордана — Гельдера
длины п всех таких последовательностей одинаковы. Их
общая длина называется длиной модуля М и обозначает-
обозначается 1(М).
Если нужно подчеркнуть роль кольца А, то вместо
I(И) пишут 1А{М).
Очевидно, модули Mi/Mi+i в последовательности A)
изоморфны А/у, где у — максимальные идеалы кольца А.
Если длина модуля М конечна, то это верно для его
подмодулей и фактормодулей.
Если модуль М обладает такой последовательностью
подмодулей A), что l(Mi/Mi+i)-< «>, то 1(М)<Соо и
I (М) = 2 I (Mi/Mi+г).
Предложение 1. Если О — нётерово локальное
кольцо, ш — его максимальный идеал и <х<^0 — такой
идеал, что а => mh при некотором к > 0, то длина модуля
(У/а конечна.
Доказательство. Достаточно доказать, что длина
модуля (У/ш* конечна.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
341
Рассматривая последовательность подмодулей Mt ==
= mVm*, мы видим, что достаточно убедиться в конечно-
конечности длины модулей m'7mi+1. Но при действии кольца О
на этот модуль идеал m аннулирует все элементы. Поэто-
Поэтому на модуль действует С?/т = к, так что тУт*+1 есть
векторное пространство над полем к и его длина совпа-
совпадает с размерностью над этим полем. Так как кольцо О
нётерово, то этот модуль имеет конечное число образую-
образующих, т. е. является конечномерным векторным простран-
пространством, что и доказывает предложение.
Если М — модуль над кольцом А, а у — простой идеал
этого кольца, то через М^ обозначается локализация мо-
модуля М по р, т. е. модуль М 0Л ^, где А$—локальное
кольцо простого идеала р.
Пример. Если М=А/"р, то Мq = 0 при q^p. Если
q=>V, то Mq ~ (А/у)-, где q — образ q в А/у.
Лемма. Модуль М конечного типа над нётеровым
кольцом А обладает такой последовательностью подмо-
подмодулей A), что Mi/Mi+lm A/"pi, где "рг<=А — простой идеал.
Доказательство. Для элемента m e M, пгФО,
обозначим через Ann (гаг) идеал, состоящий из таких эле-
элементов а^А, что am = 0. Ввиду нётеровости модуля М
последовательность вида Ann(rot)c Ann(тпг)<=... обры-
обрывается. Поэтому мы можем выбрать пг обладающим свой-
свойством: если Ann(m) s АппG7г'), тп'ФО, то Апп(тп) =
'=Апп(тп./). Докажем, что тогда идеал Ann(m) прост.
Пусть оЬбАпп(т), b<?Ann(m). Тогда Апп(тгс)<=:
<=Апп(&тп), ЬтпФО, и по условию Апп(тп)== Апп(&7тг).
Но а^ Апп(Ьтп) и, значит, aeAnn(m). Положим
АппGтг)=р. Подмодуль Am<= M изоморфен А/"р. В модуле
М' = М/Атп мы можем опять найти подмодуль, изоморф-
изоморфный А/у', где У' — простой идеал кольца А. Так мы по-
построим последовательность подмодулей Mli) <= МB) <= ...
таких, что M(i~±)/M<-i) ^ А/Уг. Ввиду нётеровости модуля
М эта последовательность оборвется. Лемма доказана.
Локальное кольцо называется одномерным, если лю-
любой его простой идеал, отличный от максимального, ми-
минимален, т. е. не содержит простых идеалов, отличных
от него.
Предложение 2. Пусть О — одномерное локаль-
локальное кольцо с конечным числом простых минимальных
идеалов уи ..., уп, а^А — не делитель нуля в А и а не

342 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
содержится ни в одном из р*. Тогда
(О/(а)) =
l
o
B)
Доказательство. (Взято из книги [28].) Вместо
соотношения B) доказывается его обобщение для про-
произвольного модуля М конечного типа над О. Для этого
полагают е (М, а) = 1А (М/аМ) — lA (Ann_*r a), где AnnM а
означает модуль (над A) {m^M, am = 0У. Обобщение
соотношения B) таково:
(М, а) = Д Z^_ (Mh) la (О/(»г + аО)).
C)
Преимущество инварианта е (М, а) в его аддитивно-
аддитивности: для точной последовательности 0 ->• М' -*¦ М-*- М" -*¦
-*-О и элемента а^О е(М, а) = е(М', а)+е(М", а),
причем левая часть конечна, если конечны оба слагаемые
справа. Это сразу следует из точности (тривиально про-
проверяемой) последовательности
О
М'/аМ' —>¦
¦ М/аМ ->- М"/аМ"
0.
Индукцией мы получаем, что для любой последователь-
последовательности вида A)
е (М, а) = 2 е (Mi/Mi+1, a).
Из этих соображений и леммы следует, что формулу
C) достаточно проверить для модулей М, изоморфных
О/'р, где р — простой идеал кольца О. Если р = т — мак-
максимальный идеал, то М^к (как ??-модуль), е(М, <z) = 0
и Мр. = 0. Если же V — минимальный простой идеал,
V = Vi, то М
кольца (У/ft,
— 0 при i
есть поле отношений
= 1- Поэтому в обоих случаях
формула C) очевидна.
Наконец, чтобы получить соотношение B) из C),
надо положить М' = О'. Действительно, в условиях пред-
предложения
е (О, а) = I @1(а)), е (<?/?«, а) = I
так что из C) вытекает B).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебраические поверхности // Тр. Мат. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова.— Т. 75.— М.: Наука, 1965.
2. Art in M., Mumford D. // Proc. London Math. Soc— 1972.—
V. XXV.— P. 75—95.
3. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную ал-
алгебру.— М.: Мир, 1972.
4. Богомолов Ф. А. / Изв. АН СССР. Сер. мат.—1987.— Т. 51,
№ 3.— С. 485—516.
5. Bombieri E., HusemollerD. // Proc. Symp. Pure Math.—
1975.—V. 29.—P. 329—420.
6. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.— М.:
Наука, 1985.
7. Бурбаки Н. Элементы математики. Группы и алгебры Ли.—
М.: Мир, 1972.
8. в а н дер Варден Б. Л. Алгебра.— М.: Наука, 1976.
9. Clemens С. Н., Griffiths P. A. / Ann. Math.—1972.—
V. 95.— P. 281—356.
10. Е s n a u 11 H. / Seminaire Bourbaki, 1980/1981, Exp. 586.—
Lecture Notes in Math.— № 901.
И. Г и з а т у л л и н М. X. // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1982.—
Т. 46, № 5.— С. 909—970.
12. Гриффите Ф., X а р р и с Д. Принципы алгебраической гео-
геометрии: В 2-х т.—М.: Мир, 1982.
13. Grothendieck A. Cohomologie locale des fausceaux coheren-
tes et Theoremes de Lefschetz locaux et globaux.— Amsterdam,
1968. -.
14. Гурс а Э. Курс математического анализа: Т. I, ч. II.— М.:
ГТТИ, 1933.
15. De la НагреР., Siegfried P. // L'Enseignement Mathe-
matique.— 1979.— T. 25, № 3/4.— P. 207—256.
16. H i г о n a k a H. / Arithmetical Algebraic Geometry.— P. 153—
200.— Harper a. Row., 1965.
17. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра: В
2-х т.— М.: ИЛ, 1963.
18. И с к о в с к и х В. А., М а н и н Ю. И. / Мат. сб.— 1971.—
Т. 15.—С. 141—146.
19. Kawamata Y. / reine angew. Math.—1985.—S. 1—46.
20. Kawamata Y., M a t s u k i K., Matsuda K. / Advanced
Studies in Pure Mathematics.— 1987.— V. 10,— P. 284—360.
21. Kleiman S., Laksov D. / Amer. Math. Monthly.—1972.—
V. 79, № 10.—P. 1061—1082.

342 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
содержится ни в одном из р,-. Тогда
I {О/(а)) =
1О (О/fa + аО)).
B)
Доказательство. (Взято из книги [28].) Вместо
соотношения B) доказывается его обобщение для про-
произвольного модуля М конечного типа над О. Для этого
полагают е (М, а) = 1А (М/аМ) — 1А (Ашьг а), где AnnM a
означает модуль (над А) {тп^М, am = О). Обобщение
соотношения B) таково:
е (М, а)
a
аО)).
C)
Преимущество инварианта е (М, а) в его аддитивно-
аддитивности: для точной последовательности 0 -»- М' -»- Л/ -*¦ М" -*¦
-*-О и элемента а^О е(М, а)=е{М', а)+е(М", а),
причем левая часть конечна, если конечны оба слагаемые
справа. Это сразу следует из точности (тривиально про-
проверяемой) последовательности
О
М'/аМ'
*-М"/аМ"-+О.
Индукцией мы получаем, что для любой последователь-
последовательности вида A)
е (М, а) = 2 « (Mi/Mi+t, a).
Из этих соображений и леммы следует, что формулу
C) достаточно проверить для модулей М, изоморфных
(У/у, где р — простой идеал кольца О'. Если р = m — мак-
максимальный идеал, то М ^ к (как (^-модуль), е(М, <z) = 0
и My. = 0. Если же р — минимальный простой идеал,
!р=!р3-, то ikTj,. == 0 при i =т^=/, Мр. есть поле отношений
кольца б7/р«, Z^t»,, (.Ми ") = 1. Поэтому в обоих случаях
формула C) очевидна.
Наконец, чтобы получить соотношение B) из C),
надо положить М — (У. Действительно, в условиях пред-
предложения
е (О, а) = I {О'/(о)), е (Ofo, a) = I
так что из C) вытекает B).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
51,
Алгебраические поверхности Ц Тр. Мат. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова.— Т. 75.— М.: Наука, 1965.
Artin M., Mumford D. / Ргос. London Math. Soc.—1972.—
V. XXV.— P. 75—95.
Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную ал-
алгебру.—М.: Мир, 1972.
Богомолов Ф. А. / Изв. АН СССР. Сер. мат.—1987.— Т.
№ 3.— С. 485—516.
Bombieri E., HusemollerD. // Ргос. Symp. Pure Math.—
1975.— V. 29.— P. 329—420.
Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.— М.:
Наука, 1985.
Бурбаки Н. Элементы математики. Группы и алгебры Ли.—
М.: Мир, 1972.
ван дер Варден Б. Л. Алгебра.— М.: Наука, 1976.
Clemens С. Н., Griffiths P. A. / Ann. Math.—1972.—
V. 95.— P. 281—356.
Esnault H. // Seminaire Bourbaki, 1980/1981, Exp. 586.—
Lecture Notes in Math.— № 901.
Гизатуллин M. X. / Изв. АН СССР. Сер. мат.—1982.—
Т. 46, № 5.— С. 909—970.
Гриффите Ф., X а р р и с Д. Принципы алгебраической гео-
геометрии: В 2-х т.— М.: Мир, 1982.
Grothendieck A. Cohomologie locale des fausceaux coheren-
tes et Theoremes de Lefschetz locaux et globaux.— Amsterdam,
1968. -¦
Гурс а Э. Курс математического анализа: Т. I, ч. II.— М.:
Гурса
ГТТИ, 1933.
De la HarpeP., Siegfried P. // L'Enseignement Mathe-
matique.— 1979.— T. 25, № 3/4.— P. 207—256.
Hironaka H. // Arithmetical Algebraic Geometry.— P. 153—
200.— Harper a. Row., 1965.
Зарисский О., Самюзль П. Коммутативная алгебра: В
2-х т.— М.: ИЛ, 1963.
Псковских В. А., Манин Ю. И. / Мат. сб.—1971.—
Т. 15.—С. 141—146.
Kawamata Y. // reine angew. Math.— 1985.— S. 1—46.
Kawamata Y., M a t s u k i K., Matsuda K. / Advanced
Studies in Pure Mathematics.— 1987.— V. 10,— P. 284—360.
Kleiman S., Laksov D. / Amer. Math. Monthly.—1972.—
V. 79, № 10.— P. 1061—1082.

344
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
22. К о б л и т ц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-
функции.— М.: Мир, 1982.
23. К у р о ш А. Г. Теория групп.— М.: Наука, 1967.
24. Л е н г С. Введение в теорию дифференцируемых многообра-
многообразии.— М.: Мир, 1979.
25. М амфор д Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные про-
проективные многообразия.— М.: Мир, 1979.
26. S а 11 m a n В. 3. // Invent. Math.— 1984.— V. 77, № 1.— P. 71—
27. Спрингер Т. Теория инвариантов.— М.: Мир, 1981.
28. Fulton W. Intersection Theory.—Berlin; Heidelberg; N. Y:
Springer Verlag, 1984 (готовится русский перевод).
29. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия.—М.: Мир, 1981.
30. Ш о к у р о в В. В. / Intern. Congress of Mathematicians, Berke-
у р
ley, 1986.
31. Wilson
P. 1—48.
P. M. H. / Bull. London Math. Soc—1987 — JV« 1 —
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бесконечно-близкие точки 314
Вейерштрасса подготовительная
теорема 134
Вейерштрассова нормальная
форма плоской кубики 18
Ветвления подмногообразие 177
— точка 177
Ветвь кривой 165
Гиперповерхность в аффинном
пространстве 33
— — замкнутом множестве 36
— проективная 55
Грассманово многообразие 55
Группа алгебраическая 228
— классов дивизоров 189
— Пикара 192
Детерминантное многообразие
58
Дзета-функция 39
Дивизор 184
— гиперплоского сечения 192
— дифференциальной формы
252
— локально главный 192
— нулей функции 187
— полюсов функции 187
— простой 184
— формы 191
— функции 187
— эффективный 184
Дискриминант пучка квадрик
179
Дифференциал функции 235
— — в точке 110
Длина модуля 274, 339
Идеал замкнутого подмножест-
подмножества аффинного пространства
34
Идеал замкнутого подмножества
в координатном кольце боль-
большего множества 36
— проективного простран-
пространства 55
Изоморфизм бирациональный
замкнутых подмножеств аф-
аффинного пространства 51
— — квазипроективных много-
многообразий 69
— — плоских алгебраических
кривых 17
— замкнутых подмножеств аф-
аффинного пространства 40
— квазипроективных многооб-
многообразий 64
Индекс пересечения дивизоров
279
— — — в общем положении
269
— в подмногообразии 275
— — эффективных дивизоров в
точке 268
Касание прямой и многообра-
многообразия 108
Касательная прямая к плоской
кривой 22
Квадрика 55
Класс дивизоров 189
— — нулевой степени на кри-
кривой 209
— канонический 253
Кольцо координатное замкнуто-
замкнутого подмножества аффинного
пространства 34
— локальное 106
— — неприводимого подмного-
подмногообразия 107
— — простого идеала 106
— — точки 105
— — регулярное 125
Коника 5
Конус касательный 120

346
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кратность особой точки плоской
кривой 20
— пересечения плоских кривых
22
— — эффективных дивизоров в
подмногообразии 275
— — в точке 268
Кривая алгебраическая 88
вещественная 8, 136
— — гиперэллиптическая 18
плоская аффинная 5
— гладкая 19
— неприводимая 5
— рациональная 10
— — эллиптическая 20
Критерий линейчатости 265
— рациональности 264
Кубика 5
Лемма Накаяма 335
Локальные параметры алгебраи-
алгебраического многообразия 122
Локальный параметр плоской
кривой 21
Многообразие абелево 229
— аффипное 65
— Веронезе 70
— гладкое 116
— квазипроективное 61
— неособое в коразмерности 1
158
— нормальное 154
— Пикара 234
— проективное 65
— рациональное 257
— унирациональное 257
— факториальное 157
— якобиево 234
Многоугольник Ньютона 166
Множество главное открытое 66
— плотное 32
Модель минимальная 150
— поля 149
Модуль дифференциалов кольца
240
Накрытие неразветвленное 179
Неравенство Римана — Роха для
поверхности 293
Нормализация квазипроектив-
квазипроективного многообразия 159
Нормализация многообразия в
расширении поля функций
170
Носитель дивизора 184
— локально главного дивизора
192
Область регулярности рацио-
рациональной дифференциальной
формы 245
Образ замкнутого множества от-
относительно рационального
отображения 49
Общее положение дивизоров 267
Ограничение дивизора 192
Окрестность точки 32
— — аффинная 65
Особенность Дю Валя 317
Отображение Веронезе 70
— конечное аффинных много-
многообразий 80
квазипроективных много-
многообразий 82
— неразветвленное 177
— рациональное неприводимого
многообразия 49, 68
— — плоской кривой 17
— регулярное замкнутого под-
подмножества 36
— — в точке 49
— сепарабельное 177
Поверхность алгебраическая 88
— кубическая 103, 294
— линейчатая 263
— рациональная 263
— типа КЗ 263
— эллиптическая 264
Подмногообразие ветвления 177
— исключительное 148
— квазипроективного многооб-
многообразия 61
—, коразмерность 87
—, локальные уравнения 133
Подмножество аффинное откры-
открытое замкнутого подмножества
проективного пространства 60
— замкнутое аффинного прост-
пространства 31
— — квазипроективного много-
многообразия 61
— — неприводимое 45
— — приводимое 45
— — проективного пространст-
пространства 54
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
347
Подмножество открытое аффин-
аффинного пространства 32
— — квазипроективного много-
многообразия 61
Поле рациональных функций на
замкнутом подмножестве аф-
аффинного пространства 47
— — — на квазипроективном
многообразии 67
— на плоской кривой 13
Пополнение локального кольца
129
Последовательность простая 272
Преобразование квадратичное
309
Проблема Люрота 257
Проектирование с центром в
подпространстве 69
Произведение замкнутых под-
подмножеств аффинных прост-
пространств 33
— проективных пространств 73
— квазипроективных многооб-
многообразий 73
— циклов 298
Прообраз собственный при о-
процессе 301
Пространство, ассоциированное
с дивизором 197
— касательное 108, 112
— проективное 54
Пучок квадрик 179
— коник над проективной пря-
прямой 201
Разложение несократимое замк-
замкнутого подмножества на не-
неприводимые 45
— Пюизо 166
Размерность дивизора 197
— квазипроективного многооб-
многообразия 87
Расслоение касательное, квааи-
проективного многообразия
116
Род алгебраической кривой 253
Ряд Тейлора 126
Свойство локальное 65
Семейство алгебраическое диви-
дивизоров 232
Система линейная дивизоров
198
полная 198
Сложение точек на плоской ку-
кубике 216
Слой отображения 97
Согласованная система функций
189
Степень дивизора на кривой 205
— отображения 176
Теорема Везу на кривой 211
— — в проективном простран-
пространстве 283
— — в произведении проектив-
проективных пространств 284
— Бертини 175
— Гильберта о корнях 333
— Люрота 14
— нормализационная 85
— о замкнутости проективного
отображения 76
— о размерности пересечения с
гиперповерхностью 94
—¦ — — слоев отображения 97
— Римана — Роха на кривых
260
— — — на поверхности 293
— Тзена 93
— Ходжа об индексе 293
Точка особая 19, 116
— перегиба 23
— простая на алгебраическом
многообразии 116
— — на плоской кривой 19
— простейшая 166
— — с разделенными касатель-
касательными 166
Трансверсальность подмногооб-
подмногообразий 123
Фактор по группе 41
Форма дифференциальная 241
— — инвариантная 250
— — рациональная 244
— — регулярная одномерная
235
— — — г-мерная 241
Формально-аналитическая экви-
эквивалентность 129
*. Г* _ _ _ 1~
— —, оолаохь определения 48
— —, регулярная в точке 47
— — — на замкнутом подмно-
подмножестве аффинного простран-
пространства 34

348 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Характеристические лары осо- Эквивалентность дивизоров 189
бой точки 167 — — алгебраическая 232
— циклов алгебраическая 298
ст-процесс локальный 143
— с центром в точке проектив-
Центр ст-процесса 141, 147 ного пространства 140
Цикл на алгебраическом много- — ¦ квазипроективного мно-
образии 298 гообразия 147