М.Атья
ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА
УЗЛОВ
Перевод с английского
В.Н. Лексина и И.Г. Щербак
с предисловием В.И. Арнольда
Москва «Мир» 1995

ББК 22.151
А92
УДК 514.84
Атья М.
А92 Геометрия и физика узлов: Пер. с англ. — М., Мир,
1995. — 192 с, ил.
ISBN 54K-002892-7
Основу небольшой книги известного английского математика соста-
составляют недавние работы Э. Виттена, связывающие открытые В. Джон-
Джонсом полиномиальные инварианты узлов с топологической квантовой те-
теорией поля. Основное внимание уделяется разъяснению идей и мотиви-
мотивировкам. Русский перевод дополнен расширенной записью лекций автора
по геометрии полей Янга — Миллса, где решается задача нахождения
всех инстантоиов для уравнений Янга — Миллса. Развитая математи-
математиками в этой области техника мало известна физикам. Одна из целей
автора — попытаться преодолеть этот разрыв между математиками и
физиками, объясняя как можно проще соответствующую технику и ил-
иллюстрируя ее применение для нахождения инстантонов.
Для математиков-теоретиков и прикладников, а также физиков-
теоретиков.
ББК 22.151
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
согласно проекту 95-01-21012
Редакция литературы по математике
Научное издание
Майкл Атья
Геометрия и физика узлов
Заведующий редакцией академик В. И. Арнольд.
Зам. зав. редакцией А. С. Попов. Ведущий редактор Г. М. Цукерман.
Художник В. А. Медников. Художественный редактор Л. М. Аленичева.
Технический редактор В. В. Денюкова. Корректор М. А. Смирнов.
Оригинал-макет подготовлен И. В. Терешкиной в пакете .ДД/(»_>-Т?Х с
использованием кириллических шрифтов, разработанных
в редакции АИП издательства «Мир»
ИБ № 8283
Лицензия Л. Р № 010174 от 22.01.92 г.
Подписано к печати 18.10.95. Формат 60 X 88/16. Бумага офсетная. Печать
офсетная. Объем 6,00 бум. л. Усл.-печ. л. 11,73. Усл. кр.-отт. 11,86.
Уч.-изд. л. 11,16. Изд. Л» 1/9053. Тираж 2 000 экз. Заказ 4613 С097
Издательство «Мир» Комитета Российской Федерации по печати.
129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Московская типография Л* 9 Комитета Российской Федерации по печати.
109033, Москва, Волочаевская ул., 40.
ISBN 5-03-002892-7(русск.) © Cambridge University Press 1990
ISBN 0-521-39554-2(англ.) @ Перевод на ру(хкий язык с ^
'•¦*.¦ полнен нем, Лексин В. П., Щер-
Щербак И. Г., 1995

Предисловие к русскому изданию
Фундаментальные физические законы просто описываются в чисто
геометрических терминах.
Этот факт (остающийся таинственным и сегодня) настолько по-
поразил Ньютона,, что он счел его доказательством существования
Бога.
Все развитие теоретической физики убедительно показало, что
только последовательная геометризация делает обозримым все
многообразие наблюдаемых явлений. Достижения Ньютона и Га-
Гамильтона, Максвелла и Гиббса, Эйнштейна и Дирака, Фейнмана
и Янга доставляют многочисленные и хорошо известные примеры
плодотворности геометрических концепций в физике.
Сегодня, однако, мы стали свидетелями обратного процесса: ис-
использования развитых в теоретической физике концепций в фун-
фундаментальной математике. Не скованные ни иссушающим алге-
браически-бурбакистским образованием, ни обязанностью строго
доказывать (или хотя бы формулировать) свои утверждения физи-
физики оказались способными предсказывать глубокие математические
факты в топологии и в алгебре, в теории чисел и в алгебраической
геометрии.
Предлагаемая книжка М. Атьи, одного из крупнейших матема-
математиков современности (мастера Тринити-Колледжа в Кембридже,
Президента Лондонского Королевского общества, Иностранного
члена Российской Академии наук и т. д.), является сжатым и
неформально написанным обзором ряда недавних достижений в
геометрии, основанных на открытии глубоких связей между топо-
топологической квантовой теорией поля (Э. Виттен), теорией инвари-
инвариантов узлов (В. Джонс) и построенными А. Флоером и С. Дональд-
соном инвариантами маломерных многообразий.
Написанная с обычым для М. Атьи мастерством, эта неболь-
небольшая книжка, излагающая азбучные основы новых теорий, вместе с
включенными в русское издание в качестве дополнения расширен-
расширенными записями фермиевских лекций автора по геометрии полей
Янга — Миллса открывает возможность познакомиться с возник-
возникшими на стыке физики и геометрии фундаментальными (и потому

Геометрия и физика узлов
в сущности простыми) идеями и понятиями для каждого матема-
математика и физика-теоретика. «Лучшей сслыкой по теории уравнений
инстантонов и монополей являются фермиевские лекции Атьи, но
их трудно раздобыть» — пишет Дональдсон. Именно эти трудно-
добываемые лекции Атьи Вы и держите в руках.
В. Арнольд

Предисловие
Эти заметки являются расширенным вариантом курса лекций,
которые я прочитал в Университете Флоренции по приглашению
Accademia Nazionale dei Lincei в ноябре 1988 г. Во многом мне
оказался полезным семинар, который я провел той же осенью в
Оксфорде. Я особенно признателен Грэму Сигалу, Найджелу Хит-
чину и Рут Лоуренс, которые помогали мне вести этот семинар и
прояснили многие из затронутых тем. Мне также приятно побла-
поблагодарить математиков Флоренции, обеспечивших мне очень заин-
заинтересованную аудиторию.
Курс лекций может иногда явиться итогом многолетней работы
над какой-то темой. В этом случае на основе его записей можно
составить обстоятельное и завершенное изложение предмета. В
других случаях курс освещает начальный период развития новой
тематики, и тогда он служит введением в текущую и будущую ра-
работу в новой области исследований. Именно так и обестоит дело
с данными заметками. Исследования по этой тематике начались
недавно, и в настоящее время она быстро развивается. Более того,
эта область исследований относится и к математике, и к физике.
Это существенно увеличивает интерес к ней, но, с другой стороны,
возрастают трудности изложения. В будущем, конечно, появят-
появятся должным образом согласованные и отточенные математические
основы теории, но эти заметки не претендуют на такую роль.
Во многом при подготовке книги я следовал стилю прочитанных
лекций. Это означает, что я акцентировал внимание на мотивиров-
мотивировках и идеях за счет техники и формул. В результате в тексте нет
даже сформулированных теорем, не говоря уже о доказанных.
Материал, представленный здесь, опирается главным образом
на основополагающие идеи Вогана Джонса и Эдварда Виттена.
Для меня были весьма полезны многочисленные дискуссии с ка-
каждым из них, и я надеюсь, что эти заметки с пользой послужат
приобщению широкой математической общественности к их пре-
прекрасным идеям.
Оксфорд, сентябрь 1989 г.

Глава 1
История вопроса и основные
сведения
1.1. Общее введение
В последние годы наблюдается возрождение взаимного влияния
геометрии и физики. После длительного перерыва, во время ко-
которого и математики, и физики явно шли своими, независимыми
путями, мы наблюдаем сейчас поразительное сближение их инте-
интересов. Оказалось, что в прошлом в математике и физике изуча-
изучались близкие задачи, но для них отсутствовали общие подходы и
общий язык. Теперь это исправлено с помощью калибровочной
теории (калибровачная теория — синоним теории связностей), ко-
которая дала надежный математический фундамент многим физиче-
физическим понятиям и наполнила физическим смыслом многие понятия
математики.
Раньше геометрия и физика взаимодействовали на уровне клас-
классической физики, как, например, в общей теории относительности
Эйнштейна, где гравитационные силы интерпретировались в тер-
терминах кривизны римановой связности. Новой характерной чертой
нынешнего взаимодействия является включение в него квантовой
теории, причем оказывается, что квантовая теория тесно связана
с топологией. Таким образом, геометрия используется глобально,
а не чисто локально.
Неожиданной чертой нового развития взаимодействия геоме-
геометрии и физики является ощущение того, что квантовая теория
поля, по-видимому, связана с глубокими свойствами геометрии в
малых размерностях, т. е. в размерностях 2, 3, 4 [3]. Так, пора-
поразительные новые результаты Дональдсона [10] о четырехмерных
многообразиях и близкая к ним теория Флоера трехмерных мно-
многообразий тесно связаны с теорией Янга — Миллса. Более явно
эта связь установлена Виттеном в работе [35], где теория Дональд-
Дональдсона — Флоера интерпретируется как топологическая квантовая
теория поля на четырёхмерном пространстве Минковского.
Несколько иная ситуация возникает в связи с недавним откры-
открытием Воганом Джонсом [17] полиномиальных инвариантов узлов.
Эти инварианты можно связать с физикой различными путями,

Гл. 1. История вопроса и основные сведения
но наиболее фундаментальный принадлежит Виттену [36], кото-
который показал, что инварианты Джонса имеют естественную интер-
интерпретацию в терминах топологической квантовой теории поля на
трехмерном пространстве Минковского. Цель моих лекций — из-
изложить эту новую теорию Виттена. Из-за нехватки времени, а
также новизны и неполноты теории это изложение не является
исчерпывающим. Скорее это введение в идеи Виттена, предста-
представленное с математической точки зрения. В целом предмет все еще
быстро развивается, и предварительное изложение, доступное ма-
математикам, может принести пользу.
1.2. Калибровочные теории
Прототипом всех калибровочных теорий является теория электро-
электромагнитного поля. С геометрической точки зрения электромагнит-
электромагнитный потенциал а^ (/i = 1, ...,4) определяет связность в расслоении
со слоем U(l) над пространством Минковского М. Поле элек-
электромагнитных сил является кривизной этой связности и задается
формулами
Уравнения Максвелла в вакууме принимают форму
где / = {fiiv} рассматривается теперь как дифференциальная
2-форма, d — оператор внешнего дифференцирования и d* — его
формально сопряженный оператор (относительно метрики Мин-
Минковского).
Неабелевы калибровочные теории получаются заменой группы
{/A) компактной неабелевой группой Ли G, например SU(n). По-
Потенциал — это связность А в главном G-расслоении над простран-
пространством Минковского М с компонентами Ац из алгебры Ли группы
Ли G, а соответствующее поле есть кривизна Fa этой связности с
компонентами
Прямым обобщением уравнений Максвелла являются следую-
следующие уравнения Янга — Миллса:
Калибровочные теории обладают бесконечномерной группой сим-
симметрии, которая состоит из функций g : М -* G, и все физические,

10 Геометрия и физика узлов
или геометрические, свойства являются калибровочными инвари-
инвариантами указанной группы симметрии.
Обычно для формулировки физической теории задают лагран-
лагранжиан, или действие, L. Этот функционал от различных полей
определяют с помощью интегрирования по пространству Минков-
ского некоторой лагранжевой плотности. Например, для скаляр-
скалярной теории поля, в которой полями служат скалярные функции
ip, простейший лагранжиан задается интегралом
где норма градиента и объем определены с помощью метрики Мин-
ковского.
Для теории Янга — Миллса лагранжиан имеет вид
L(A) = / \FA\2dz,
и здесь для определения нормы кривизны используется инвари-
инвариантная метрика на группе Ли G.
Статистическая сумма теории с лагранжианом L(<p) (название
дано по аналогии со статистической механикой) — это фейнманов-
ский функциональный интеграл
Z = I' exp{iL(v))D(p.
Более общим образом, для любого функционала W(<p) ненорми-
ненормированное среднее значение «наблюдаемой» IV определяется инте-
интегралом
= J
Эти фейнмановские интегралы не всегда математически коррект-
корректно определены, однако при умелом обращении они дают полезный
эвристический инструмент исследования. В частности, их разло-
разложения по теории возмущений могут быть вычислены точно.
Фейнмановские интегралы дают основу релятивистски инвари-
инвариантной формулировки теории. Это их главная задача. В нереляти-
нерелятивистской трактовке квантовая теория поля описывается операто-
оператором эволюции во времени е'*И квантовой системы, который задан
в некотором гильбертовом пространстве "Н. Инфинитезимальный
генератор Н для оператора эволюции называется гамильтонианом

Гл. 1. История вопроса и основные сведения 11
этой теории. Имеются формальные правила, по которым, начиная
с лагранжева формализма, через фейнмановские интегралы при-
приходят к гильбертову пространству Н и гальмильтониану Я на этом
пространстве, т. е. гамильтонову формализму. Фундаментальная
связь между двумя упомянутыми формализмами основывается на
формуле
= Jexp(iL(<p))D<p,
где ipo,ipT — скалярные поля на простанстве R3 и фейнмановский
интеграл берется по всем полям <p(x,t), О ^ t ^ T, которые удо-
удовлетворяют граничным условиям <р(х,0) = (р0 и ip(x,T) = <рг- В
частности, след оператора эволюции можно задать формулой
A.2.1) Trace ехр(гТЯ) = [exp(iL(<p))D(<p),
где функции ip, по которым ведется интегрирование в фейнманов-
ском интеграле, определены на Я3 х Sy, Sj. — окружность
длины Т.
Версия Виттена теории Джонса основана на удобном выборе ла-
лагранжиана на трехмерном пространстве Минковского, и она будет
описана в гл. 7. А пока мы будем использовать гамильтонов фор-
формализм, который математичеаки более строг.
В калибровочной теории классические поля сил описываются
кривизнами соответствующих связностей. Однако калибровочные
теории имеют одну особенность: они показывают, что нетривиаль-
нетривиальные глобальные эффекты возможны даже в том случае, когда все
кривизны нулевые. Это наблюдение является ключевым для уста-
установления связей геометрии с квантовой теорией поля, которые в
дальнейшем будут находиться в центре нашего внимания. Про-
Прототипом указанных эффектов является эффект Ааронова — Бо-
ма в квантовой теории электрона. Речь идет о соленоиде, внутри
которого заключен магнитный поток, а вне него магнитное поле
нулевое. Пучок электронов, обходящих соленоид с разных сторон
и попадающих на экран, дает интерференционную картину, что
указывает на появление сдвига фаз у электронов из пучка. Этот
физический эффект наблюдается, хотя электроны проходят через
область, где нет электромагнитных сил.
Пучок
Диффракция
электронов * '

12 Геометрия и физика узлов
Математически волновая функция электрона вне соленоида —
это сечение плоского линейного расслоения, на которое нетриви-
нетривиально действует оператор голономии обхода вокруг соленоида.
В неабелевых калибровочных теориях волновые функции явля-
являются сечениями векторных расслоений со связностями, голономия
которых содержится в неабелевой группе. Это является отправ-
отправным пунктом для установления связей между топологией и кван-
квантовой теорией поля, что и является сутью теории Джонса — Вит-
тена.
1.3. История теории узлов
Изучение узлов и зацеплений в обычном трехмерном простран-
пространстве — это архетипичная топологическая задача. Узлы оказались
на удивление сложными объектами, и при всей изощренной техни-
технике современной топологии они не поддаются исчерпывающей трак-
трактовке. Замечательные достижения, к которым привел полином
Джонса для узлов, указывает на всю тонкость их теории.
Узел — это по определению гладкое вложение окружности в
пространство Ж3. Два узла эквивалентны, если один узел мож-
можно непрерывно, без самопересечений продеформировать в другой
узел.
Зацепление — это вложение объединения конечного числа не-
непересекающихся окружностей.
Теория узлов имеет интересную историю. В девятнадцатом веке
физики много размышляли о природе атома. Лорд Кельвин, один
из ведущих физиков своего времени, выдвинул в 1867 г. очень
наглядную и многообещающую идею, согласно которой атомы —
это заузленные вихревые трубки эфира [32].
Аргументы в пользу этой идеи можно суммировать в следующих
трех пунктах.
1. Устойчивость. Устойчивость вещества можно было бы
объяснить устойчивостью узлов (т. е. устойчивостью их то-
топологического типа).
2. Разнообразие. Многообразие химических элементов можно
было бы объяснить разнообразием неэквивалентных узлов.
3. Спектры. Осцилляциями вихревых трубок можно было бы
объяснить спектральные линии атомов.
С нынешней точки зрения XX в. мы могли бы, оглядываясь
назад, добавить четвертый пункт.
4. Трансмутация. Возможность элементов превращаться

Гл. 1. История вопроса и основные сведения 13
друг в друга при высоких энергиях взаимодействия можно
было бы связать с перестройками узлов, в которых исполь-
используются разрезания узлов.
В течение примерно 20 лет теория вихревых атомов Кельвина
рассматривалась всерьез. Однако вердикт Максвелла гласил, что
«эта теория требует от атомов большего числа свойств, чем имеют
атомы, которые до сих пор изучались».
Сотрудник Кельвина П. Тейт предпринял обширное изучение и
классификацию узлов [31]. Он перечислял узлы в терминах числа
точек пересечения плоской проекции узла и сделал ряд практиче-
практических открытий, которые впоследствии были названы гипотезами
Тейта. После того как отказались от теории Кельвина как от те-
теории атомов, изучение узлов превратилось в эзотерическую ветвь
чистой математики.
Несмотря на большие успехи топологов в XX в., гипотезы Тейта
не поддавались попыткам доказать их до самого конца восьми-
восьмидесятых годов. Новые инварианты Джонса оказались достаточно
мощными инструментом, чтобы весьма быстро справиться с боль-
большинством гипотез Тейта.
Одним из ранних достижений современной топологии было от-
открытие в 1928 г. полинома Александера для узлов и зацеплений
[1]. Хотя полином Александера не помог в доказательстве гипотез
Тейта, тем не менее он оказался очень полезным инвариантом уз-
узлов, который весьма упростил их эффективную классификацию.
Полином Александера возникает из гомологии бесконечного ци-
циклического накрытия дополнения к узлу. Эквивалентный способ
определить его состоит в рассмотрении когомологий дополнения
к узлу с коэффициентами в плоском линейном расслоении. По-
Последний подход имеет много общего с математическим контекстом
эффекта Ааронова — Бома.
В течение более чем пятидесяти лет полином Александера оста-
оставался единственным инвариантом подобного типа для узлов.
Большим сюрпризом для всех специалистов было открытие Во-
ганом Джонсом в 1984 г. другого полиномиального инварианта уз-
узлов и зацеплений. Как уже упоминалось, этот инвариант оказался
весьма полезным и позволил установить справедливость несколь-
нескольких гипотез Тейта.
В следующем разделе мы дадим краткое изложение некоторых
ключевых фактов о полиномах Джонса. Превосходное и полное
изложение теории читатель может найти в обзоре самого
Джонса [17].

14 ^ Геометрия и физика узлов
1.4. Полином Джонса
Полином Джонса — это полином от переменных t,t~l, который
сопоставляется каждому узлу К в пространстве R3. Он обозна-
обозначается через V/c(t)- Требуется, чтобы Vsi(f) = 1 для стандартной
незаузленной окружности S1 в R3. Кроме того, выполнено ключе-
ключевое свойство
A.4.1) VK.{t) = VK(rl),
где К* — зеркальный образ узла К. Простые примеры показы-
показывают, что Vk(t) не обязательно инвариантен относительно замены
t —* t~x, так что полином Джонса может иногда отличать узлы от
их зеркальных образов. Например, правоориентированный три-
трилистник имеет следующий полином Джонса:
и, значит, этот полином отличает трилистник от его зеркального
образа. С другой стороны, полином Александера всегда прини-
принимает одно и то же значение для узла и его зеркального образа.
Более общим образом полином Джонса можно также определить
(как полином Лорана от t~ll2, t1^2) для любого ориентированного
зацепления L (т. е. для зацепления L, у которого ориентирована
каждая компонента). Обращение ориентации всех компонент за-
зацепления L оставляет полином Джонса для L неизменным. Это
объясняет, почему для узлов ориентация несущественна.
Если мы представим зацепление его проекцией общего положе-
положения на некоторую плоскость с указанием типа прохождения ве-
ветвей над/под в каждой точке пересечения проекции, то полином
Джонса полностью определяется и вычисляется с помощью соот-
соотношений типа Александера — Конвея1). Пусть заданы диаграм-
диаграмма (описанная выше) ориентированного зацепления L и некото-
некоторая точка пересечения. Мы можем проварьировать прохождение
ветвей в заданной точке пересечения на проекции, получая три
разные диаграммы, показанные на рисунке:
v \s
1) В оригинале «skein relation». — Прим. nepee.

Гл. 1. История вопроса и основные сведения 15
Пусть V+, VL, Vo обозначают полиномы Джонса зацеплений,
которые соответствуют этим вариациям. Тогда имеет место соот-
соотношение типа Александера — Конвея:
A.4.2) Гх V+ - tV. = (t1'3 - t-^7)V0.
Это соотношения в некотором смысле обманчиво просто. Апри-
Априори совсем не очевидно,'что оно будет определять инвариант заце-
зацепления: результат может зависеть от диаграммы зацепления.
Путь, на котором впервые был открыт полином Джонса, шел
через теорию кос и теорию представлений алгебр Гекке. Косы —
это набор нитей типа изображенного на рисунке:
Заметим, что все нити монотонно идут вверх. Для двух кос с
одинаковым числом нитей можно очевидным образом определить
их композицию, поместив вторую косу над первой, причем концы
нитей первой косы должны совпадать с началами нитей второй.
Определенная композиция задает структуру группы на множестве
кос из п нитей. Эта группа обозначается через Вп. Формально
мы можем определить группу Вп как фундаментальную группу
конфигурационного пространства Сп неупорядоченных наборов из
п различных точек на плоскости. В этом случае обычную косу
можно отождествить с графиком в «пространстве-времени» К2 х
[О, Т] петли вС„.
Из заданной косы 0 мы можем образовать ориентированное за-
зацепление /? при помощи стандартного замыкания косы (см. следу-
следующий рисунок).
Сопряженные элементы в группе Вп приводят при замыкании
к эквивалентным зацеплениям. Более того, если увеличить число
нитей на одну, а затем простейшим способом сплести ее с соседней,
как показано на рисунке I I
=* Л
A.4.3)

16 Геометрия и физика узлов
то эта коса также после замыкания приводит к зацеплению, экви-
эквивалентному исходному. Классическая теорема Маркова утвержда-
утверждает, что эти два преобразования (движения Маркова) порождают
все эквивалентности между зацеплениями, полученными, замыка-
замыканием кос.
' Чтобы найти некоторый инвариант ориентированных зацепле-
зацеплений, достаточно указать некоторый набор центральных функций
(функций от классов сопряженных элементов) на всех группах Вп,
который не изменяется при втором движении Маркова A.4.3).
Центральные функции на группе естественно возникают как ха-
характеры линейных представлений этой группы. Это подсказывает
начать с рассмотрения линейных представлений групп кос. На са-
самом деле Джонс использовал лишь представления, которые про-
пропускаются через алгебру Гекке Н(п, q). Алгебра Гекке Н(п, q) —
это факторалгебра групповой алгебры группы кос Вп, которую
можно получить, если потребовать, чтобы каждая образующая <х
(единственное сплетение двух последовательных нитей) удовлетво-
удовлетворяла квадратичному соотношению
(<т - q)(<T + 1) = 0.
Если q = 1, то а-2 = 1, и мы получим групповую алгебру симметри-
симметрической группы Sn- Отсюда следует, что для типичных значений q
алгебра Н(п, q) имеет те же самые неприводимые представления,
что и группа Sn (или, что то же самое, ее групповая алгебра).
Для каждой диаграммы Юнга (определяющей некоторое непри-
неприводимое представление группы Sn) мы получим характер группы
Вп, который зависит от q (полином Лорана от q1*2). Полином
Джонса (с t = q) — это подходящая комбинация таких характе-
характеров. На самом деле используются только двустрочные диаграммы
Юнга. i
Полином Джонса можно обобщить многими разными способами.
Одно такое обобщение, подробно описанное в работе [17], приводит
к полиному от двух переменных. Этот полином также удовлетво-
удовлетворяет соотношению типа Александера — Конвея, и его также мож-
можно построить с помощью представлений алгебр Гекке, но теперь
надо использовать все диаграммы Юнга.
Другой, более фундаментальный способ обобщения состоит в
выборе некоторой компактной группы Ли G и какого-либо ее не-
неприводимого линейного представления. В этом случае полиноми-
полиномиальный инвариант ориентированного зацепления строится при по-
помощи решений уравнений Янга — Бакстера. Первоначальный по-
полином Джонса соответствует выбору группы Ли G = SUB) и ее
стандартного представления в С2. Совокупность полиномиальных

Гл. 1. История вопроса и основные сведения 17
инвариантов ориентированных зацеплений, которые соответству-
соответствуют группам G = SU(n) и их стандартным представлениям С" при
п ^ 2, эквивалентна полиномиальному инварианту от двух пере-
переменных, открытому Джонсом в работе [17].
Подход Виттена, который мы собираемся описать, также вклю-
включает в себя выбор группы Ли G и некоторого ее представления.
Этот подход более естественно и прямо приводит к полиномиаль-
полиномиальным инвариантам зацеплений. Более того, в теории Виттена мы по-
получаем инварианты зацеплений в произвольном компактном трех-
трехмерном многообразии, в том числе и топологические инварианты
самих трехмерных многообразий (беря пустое зацепление). Это
значительное достижение убедительно демонстрирует естествен-
естественность метода Виттена.
Я хочу особо отметить то обстоятельство, что алгебраическое
или комбинаторное определение полинома Джонса является со-
совершенно элементарным и строгим. Однако такое определение не
имеет какой-либо ясной концептуальной интерпретации. Но как
раз ее и обеспечивает теория Виттена, хотя все еще существуют
технические трудности в попытках дать исчерпывающую трактов-
трактовку этой теории.
В то время как полином Александера можно описать в рамках
стандартной алгебраической топологии (теории гомологии) и он
имеет многомерные аналоги, полином Джонса лучше описывать
в рамках чисто трехмерной квантовой теории поля. Существуют
некоторые указания на то (см. обсуждение в гл. 6), что кванто-
квантовую теорию поля можно связать с более стандартными геометриче-
геометрическими конструкциями, но это наблюдение требует дополнительной
разработки.

Глава 2
Топологические квантовые
теории поля
2.1. Аксиомы топологической квантовой
ТЕОРИИ ПОЛЯ
Понятие топологической квантовой теории поля (топологической
КТП), т. е. теории, которая не зависит от геометрии простран-
пространства-времени, является одним из понятий, недавно появившихся
-В работах Виттена [35], [36]. Полином Джонса входит как состав-
составная часть в топологическую квантовую теорию поля, так что мы
намерены начать с краткого обзора последней. Удобно дать акси-
аксиоматическое описание топологической КТП, поскольку такой под-
подход нагляднее выявляет вовлеченные математические структуры.
Физику можно рассматривать в этом случае как основу для моти-
мотивировок.
Более широкую трактовку топологической КТП можно найти в
работе [2]. Читатель при желании может также получить необ-
необходимые сведения в статье [3], а для установления более тесных
связей с идеями конформной теории поля также полезен подход,
разработанный в [29].
Топологическая квантовая теория поля в размерности d — это
функтор Z, который сопоставляет:
A) каждому компактному ориентированному гладкому rf-мер-
ному многообразию S конечномерное комплексное вектор-
векторное пространство Z(S),
B) каждому компактному ориентированному (d + 1)-мерному
многообразию У с краем S вектор Z(Y) ? Z(E).
Этот функтор удовлетворяет следующим аксиомам.
А1 (инволютивность). Z(S*) = Z{T)*, где S* обозначает мно-
многообразие Е, наделенное противоположной ориентацией, а
Z(S)* — двойственное векторное пространство к простран-
пространству Z(E).
А2 (мультипликативность). Z(SiUS2) = 2'(?i)®2'(E2), где U
обозначает несвязное объединение многообразий.

Гл. 2. Топологические квантовые теории поля 19
A3 (ассоциативность). Для композиции кобордизмов
Y-Yi USa Yi
Z(Y) = Z(Yt)Z(Yi) €,Hom(Z(Ei)f ад,)).
[Замечание. В аксиоме ассоциативности мы использовали две
предыдущие аксиомы, которые позволяют рассматривать Z(Yi)
и Z(Y2) как линейные операторы Z{T.\J^Z(?2) и Z(S2) —>
(]
Дополнительно мы потребуем выполнение аксиом, которые
обеспечивают нетривиальность теории.
А4. Для пустого d-мерного многообразия 0 имеет место равен-
равенство Z@) = С.
А5: Линейный оператор Z(S х /), где / = [0,1] — единичный
отрезок числовой прямой, является тождественным опера-
оператором на Z{Y,).
Функториальность Z вместе с аксиомой А5 обеспечивают его
гомотопическую инвариантность. Это означает, что действие на
пространстве 2B) группы Diff+(S) диффеоморфизмов, сохраня-
сохраняющих ориентацию многообразия S, зависит лищь от классов изо-
изотопии диффеоморфизмов, т. ё. пропускается через группу классов
диффеоморфизмов F(S) многообразия Е.
Замкнутое (d + 1)-мернре многообразие Y имеет пустой край,
и потому в силу аксиомы А4 вектор Z(Y) € Z@) = С явля-
является просто комплексным числом. Таким образом, такая топо-
топологическая КТП приводит к числовым инвариантам замкнутых
(d + 1)-мерных многообразий. Более того, разрезав многообразие
Y вдоль d-мерного многообразия ? и применив аксиому A3 (при
St = S3 = 0. Ег = ^)> мы получим, что
B.1.1) Z(Y) = (Z(Yl),Z(Y3)),
где (, ) — естественное спаривание элементов двойственных про-
пространств Z(T) и Z(E*) = Z(S)*. Значит, этот числовой инвариант
замкнутого (d+ 1)-мерного многообразия У можно вычислить по
любому разбиению У = Y\ Us Y2.

20 Геометрия и физика узлов
Характер этого представления группы классов диффеоморфиз-
диффеоморфизмов Г(Е) в пространстве Z(E) определяется по аксиомам. Если
/ € DifF+(S), мы можем образовать многообразие S/ из произве-
произведения Ех/, отождествляя с помощью диффеоморфизма / компо-
компоненты края ЕхО и Sxl. Формула B.1.1) влечет за собой равенство
B.1.2) TraceZ(f) = Z(Ef),
где линейный оператор Z(f) в пространстве Z(E) индуцирован
диффеоморфизмом / в силу функториальности Z. В частности,
для тождественного диффеоморфизма / = id получим равенство
B.1.3) dimZ(E) = Z(Sx51).
Полученные формулы полезно сравнить с фейнмановской инте-
интегральной формулой A.2.1) при физической интерпретации теории,
к которой мы теперь переходим.
На этом этапе было бы полезно сделать некоторые замечания о
физической интерпретации наших аксиом. Идея этой интерпрета-
интерпретации заключена в отождествлении числового инварианта Z(Y) для
(rf+ 1)-мерных замкнутых многообразий У со статистической сум-
суммой, заданной некоторым функциональным интегралом Фейнмана,
как было объяснено в гл. 1. Конечно, только очень специальные
лагранжианы будут приводить к топологически инвариантной ста-
статистической сумме. Векторное пространство Z(?) является тогда
«гильбертовым пространством» этой теории на «пространстве» S.
Эндоморфизм векторного пространства Z(S), заданный операто-
оператором Z(S х /), должен быть оператором эволюции в «мнимом вре-
времени» е~ТН (где Т — длина отрезка /), но аксиома А5 влечет за
собой равенство нулю гамильтониана Н. Таким образом, в тополо-
топологической КТП нет динамики. Все состояния являются основными
состояниями, и это обстоятельство связано с конечномерностью
«гильбертова пространства» Z(E). Хотя нет интересных движе-
движений вдоль цилиндров, существуют интересные движения, отвеча-
отвечающие нетривиальным кобордизмам, т. е. особым поверхностям,
изменяющим топологию многообразия Е. Эти «топологические
движения» являются сущностью теории с гамильтоновой точки
зрения. Релятивистская инвариантность требует, чтобы конечные
числовые инварианты, такие, как Z(Y), не зависели от временной
переменной, которую мы можем сопоставить каждому срезу У.
Мы теперь сконцентрируем внимание на ситуации, соответству-
соответствующей теории Джонса — Виттена. В частности, мы будем пред-
предполагать, что d = 2, так что S — двумерная поверхность. На

Гл. 2. Топологические квантовые теории поля 21
самом деле нам необходимо уточнить и дополнить основные акси-
аксиомы в нескольких направлениях. Во-первых, наша теория будет
унитарной. Это означает, что на всех векторных пространствах
Z(S) заданы эрмитовы метрики (т. е. они являются конечномер-
конечномерными гильбертовыми пространствами) и, если 8Y = ?2 U SJ, то
линейные отображения
Z(Y):
Z(Y*):
являются сопряженными друг к другу отображениями. В част-
частности, для замкнутого трехмерного многообразия У, когда Z(Y)
является просто комплексным числом, мы получим
Это как раз то свойство, которое в конечном итоге объясняет спо-
способность полинома Джонса отличать зеркальные образы узлов.
До сих пор мы аксиоматизировали «абсолютную» теорию, кото-
которая приводит к инвариантам Виттена для замкнутых трехмерных
многообразий. Однако, чтобы получить инварианты для зацепле-
зацеплений в трехмерных многообразиях, в том числе и полином Джонса,
нам необходим относительный вариант наших аксиом. Поэтому
будем рассматривать пары (У, L), где У, как и прежде, — ориен-
ориентированное трехмерное многообразие и L С У — его ориентирован-
ориентированное одномерное подмногообразие. Бели многообразие У имеет край
S, то предполагаем; что подмногообразие L трансверсально к S и
край дЬ С S является ориентированным нульмерным подмного-
подмногообразием, т. е. набором точек со знаками «+» или «—». Типичная
картина показана на следующим рисунке:
Если многобразие У замкнуто, то L — это просто ориентированное
зацепление в У.
Наше зацепление L, а следовательно, и его край должны нести
некоторую дополнительную информацию. В абстрактной форме
ее можно представить как индексы из некоторого индексирующе-
индексирующего множества / на компонентах L или дЬ. Такова формулировка

22 Геометрия и физика узлов
конформных теорий поля, данная в работе [29]. Для конкретно-
конкретного случая теории Джонса — Виттена индексирующее множество
/ является множеством неприводимых представлений компактной
группы Ли G, так что каждой компоненте зацепления L (или ка-
каждой точке со знаком в Е) мы приписываем неприводимое пред-
представление Л группы Ли G. Обращение ориентации компоненты за-
зацепления и одновременную замену представления Л двойственным
представлением Л* мы рассматриваем как задание эквивалентной
системы данных.
В рамках введенных понятий наша топологическая КТП явля-
является функтором Z, который сопоставляет векторное пространство
Z(E, Р, Л) каждой поверхности ? с выделенными точками Р =
(Pi,Рг. • • •» jfr)i помеченными представлениями А = (Ai, Аг,.. ¦, Аг).
Заметим, что мы можем наделить каждую точку Я,- знаком «+»,
выбирая индекс А,- или А? в зависимости от того, что нам нужно.
Если У — трехмерное многообразие с ориентированным зацепле-
зацеплением L, помеченным представлениями ц, то функтор Z сопоста-
сопоставляет тройке (У, L, ц) вектор
где Л = дц — индуцированная разметка множества Р — 6L.
Аксиомы для «абсолютного» функтора Z легко можно превра-
превратить в их относительные аналоги. Заметим, что для замкнутого
трехмерного многообразия с помеченным зацеплением L мы полу-
получим числовой инвариант
Положив У = 53, G = SU{2) и взяв в качестве щ стандартные дву-
двумерные представления группы 5GB), мы можем в итоге отожде-
отождествить этот инвариант с некоторым значением полинома Джон-
Джонса. Отметим, что группа классов изотопии группы Diff^S2,/*)
действует на векторном пространстве Z(S2,P,/x), когда все пред-
представления /1,- эквивалентны. Этот факт тесно связан с предста-
представлениями группы кос теории Джонса. Действительно, группа кос
является группой классов сохраняющих ориентацию диффеомор-
диффеоморфизмов сферы S2 с п + 1 отмеченными точками Pi,P2,—,Pn+i,
причем точка Pn+i = оо выделена и остается неподвижной, в то
время как другие переставляются между собой.
Необходимо еще одно, последнее уточнение теории Виттена, ко-
которое касается оснащений, т. е. тривиализаций касательных рас-
расслоений к многообразиям У. Оснащения необходимы для того,

Гл. 2. Топологические квантовые теории поля 23
чтобы фиксировать скалярные множители теории. Без оснаще-
оснащений можно корректно определить лишь проективное пространство
Z(?). Мы не будем углубляться в эти вопросы и отсылаем к рабо-
работе Витгена [36]. В работе [4] также можно найти дополнительные
сведения об оснащениях.
2.2. Каноническое квантование
Наша цель в дальнейшем — показать, как построить функтор Вит-
тена ?(?), удовлетворяющий аксиомам предыдущего раздела. Мы
будем строить его поэтапно и начнем с обзора стандартного кван-
квантования и его применения к гомологиям поверхностей.
Пусть задана компактная ориентированная двумерная поверх-
поверхность ? рода д. Ее группа когмологий Я1(Е,1К) есть веществен-
вещественное векторное пространство размерности 2д, наделенное симплек-
тической формой и. Она задается значением (интегралом) ^-про-
^-произведения одномерных коциклов на фундаментальном цикле. Ес-
Если мы зафиксируем риманову метрику на Е, то ЯХ(Е,К) можно
отождествить с пространством гармонических 1-форм на Е, и по-
потому на него можно смотреть как на пространство классических
полей на Е. Таким образом, мы получаем функтор, построенный с
помощью классических полей, который сопоставляет поверхности
Е симплектическое (линейное) многообразие и который аддитивен
относительно несвязной суммы поверхностей.
Мы можем теперь проквантовать симплектическое многообра-
многообразие Я1 (Е, Ж). Это даст гильбертово пространство W(S) квантовых
полей (в дальнейшем оно называется квантовым гильбертовым
пространством. — Перев.), которое будет мультипликативным
функтором, т. е.
где ® обозначает пополненное тензорное произведение гильберто-
гильбертовых пространств.
Рассмотрим элементы этого процесса квантования. Мы можем
явно построить пространство W(E) следующим образом. Сначала
так выберем симплектические координаты р\,...,ря, qi,--,qs в
пространстве Я^Е.К), что симплектическая форма w примет вид
Заметим, что такие координаты можно получить совершенно
естественно, если смотреть на поверхность Е как на связную сумму

24 Геометрия и физика узлов
торов и выбрать стандартный базис для каждого из них. В каче-
качестве пространства НB) мы теперь возьмем гильбертово простран-
пространство функций от qi,... ,qg, интегрируемых с квадратом. Кванто-
Квантовые наблюдаемые pj и qj действуют на W(?) хорошо известным
способом: qj — умножением на координату qj, a pj — как id/dqj.
Они удовлетворяют коммутационным соотношениям Гейзенберга
В силу теоремы единственности Стоуна — фон Неймана про-
ективизация пространства W(E) не зависит от выбора симплек-
гических координат. Эквивалентно, W(E) является проективным
представлением симплектической группы.
Существует другой путь построения пространства Н(В), исполь-
использующий комплексные координаты, которые очень важны и осо-
особенно уместны здесь. Полагая Zj = qj + ipj, мы можем отожде-
отождествить W(?) с подходящим пополнением пространства полиномов
ОТ ZU...,Zg.
На более инвариантном языке внутренней геометрии, мы выби-
выбираем так комплексную структуру на пространстве Я^Е.К), что
симплектическая форма определяется эмитовой метрикой. Тогда
на Я'^М) существует голоморфное линейное расслоение L со
связностью, кривизна которого равна 2-форме iw. Интегрируемые
с квадратом голоморфные сечения расслоения L в этом случае да-
дают требуемую модель пространства Н(В). И снова проективизация
пространства W(S) не зависит от выбора комплексной структуры
Выбор допустимой комплексной структуры на Hl(E, R) зависит
от точки а верхнего полупространства Зигеля S (однородного про-
пространства SpBn, R)/U(n)). Семейство На.комплексных гильберто-
гильбертовых пространств, описанных выше, естественно образует расслое-
расслоение гильбертовых пространств над S. Естественность означает, что
симплектическая группа SpBn, R) действует на этом расслоении.
То обстоятельство, что проективизации пространств На можно
естественно отождествить, означает существование естественной
связности на этом расслоении гильбертовых пространств, которая
является проективно плоской. С другой стороны, тензорно умно-
умножая расслоение на подхоядщее линейное расслоение над S, мы
получаем плоскую связность. Требуемое линейное расслоение на
самом деле есть раслоение К'1/2, где К — каноническое линейное
расслоение над S.
За полным изложением процесса квантования мы отсылаем чи-
читателя, например, к работам [14] или [38].

Гл. 2. Топологические квантовые теории поля 25
Заметим, что естественный путь получить комплексную струк-
структуру <г на Я*(Е, Е) — это фиксировать комплексную структуру т
на поверхности Е. Это позволяет нам произвести отождествление
нашего пространства с пространством, двойственным к простран-
пространству голоморфных дифференциалов на Е. Комплексные структу-
структуры на Е по модулю действия компоненты единицы группы Diff+(E)
параметризуются пространством Тейхмюллера Т, и сопоставление
т —* а определяет вложение Т —* S, по существу совпадающее с
отображением периодов. Квантование, которое мы рассматрива-
рассматриваем, можно распространить на все пространство S, но в неабелевом
случае, который мы будем обсуждать ниже, это продолжение не
имеет места и мы ограничимся пространством Т.
Если во всех этих рассуждениях мы изменим масштаб, умно-
умножив симплектическую форму и на число к, то ничего, в сущно-
сущности, не изменится, кроме того, что в коммутационных соотноше-
соотношениях Гейзенберга также появится подобный множитель. В фи-
физическом смысле параметр к играет роль обратного к постоянной
Планка. Геометрически, тем не менее, наша компактная поверх-
поверхность Е обеспечивает естественную нормализацию для 2-формы ш.
Эта нормализация приобретет большее значение, когда в следую-
следующем разделе мы введем целочисленную решетку Hl(T,,Z) и ассо-
ассоциированные 6-функции. Множитель к тогда сможет принимать
только целые значения и будет называться уровнем теории.
2.3. 0-ФУНКЦИИ
Теперь мы рассмотрим целочисленную решетку
и тор Я1(Е, U(l)), полученный факторизацией, когда R/Z отож-
отождествляется с U(l) стандартным способом при помощи отображе-
отображения в -* ехрBтгг0). Грубо говоря, квантование тора можно по-
получить, взяв Л-инвариантную часть квантования %(Е) векторного
пространства ЯХ(Е,№). Тогда различные модели для %(Е) приво-
приводят к различным моделям квантования тора.
Комплексное квантование является во многих отношениях наи-
наиболее легким для понимания и наиболее подходящим для наших
целей. Для такого квантования выберем комплексную структуру
а на когомологиях Я^Е,^), которая сама может быть образом

26 Геометрия и физика узлов
комплексной структуры г на поверхности Е. Такой выбор превра-
превращает тор #'(?, U(l)) в абелево многообразие Аа, которое является
якобианом JT, если а = т. Комплексное линейное расслоение L на
Я1(Е, R) с кривизной 2iriw опускается до голоморфного линейного
расслоения на Аа, первый класс Чжэня которого имеет в качестве
представителя симплектическую форму w. Оно имеет «степень» 1
в том смысле, что объем Лиувилля равен 1, т. е.
B.3.1)
Линейное расслоение L, полученное таким способом, неоднозначно
определяется своей кривизной, поскольку тор неодносвязен. Мы
можем изменить L, тензорно умножив его на любое плоское ли-,
нейное расслоение. Разные выборы таких плоских расслоений со-
соответствуют разным действиям решетки Л на L, так как действие
последней нами не было зафиксировано.
Существуют разные, но эквивалентные способы избавиться от
такой неоднозначности в выборе L. Классический алгебро-геомет-
рический способ, когда <г = т, заключается в том, чтобы сначала
рассмотреть якобиан степени д — 1 J^, т. е. пространство мо-
модулей голоморфных линейных расслоений степени д — 1 над DT.
Этот якобиан обладает естественным дивизором D, который за-
задается образом возведения в (д — 1)-ю симметрическую степень.
Этот дивизор называется тэта-дивизором и представляет линей-
линейные расслоения степени q¦¦— 1 над ?т, которые имеют ненулевое
голоморфное сечение. Линейное расслоение [D] над J$~l, опре-
определенное дивизором D, задается тогда однозначно. Кроме того,
его класс Чжэня корректно определен. Чтобы осуществить сдвиг
назад в JT (т. е. в якобиан степени 0), мы должны выбрать базис-
базисную точку в J$~l. Это можно сделать при помощи выбора спин-
структуры на поверхности Ет или, что эквивалентно, при помощи
выбора квадратного корня из канонического линейного расслоения
над Ёт • Выбрав такую спин-структуру, мы перенесем [D] назад в
JT, и этот образ будет нашим выбором линейного расслоения L.
Чтобы проквантовать якобиан JT, мы возьмем пространство го-
голоморфных сечений расслоения L. Оно одномерно и соответству-
соответствует на Jf~l сечениям расслоения [D], обращающимся в нуль на D.
Этот факт следует также из теоремы Римана — Роха, если ис-
использовать равенство B.3.1).
Квантование на уровне к означает замену расслоения L на рас-
расслоение Lk, и,, опять с помощью теоремы Римана — Роха, мы по-
получим пространство размерности к3.

Гл. &. Топологические квантовые теории поля 27
Базисное сечение расслоения L трансцедентно и задается клас-
классической 0-фукнцией. Его можно получить, рассматривая непо-
непосредственно действие решетки Л на голоморфные сечения расслое-
расслоения L и находя единственный неподвижный вектор. Заметим, что
полученный вектор не является, строго говоря, вектором из гиль-
гильбертова пространства W(E): он голоморфен, но не интегрируем с
квадратом.
На уровне к сечения расслоения Ьк задаются ©-функциями
уровня к. Если комплексная структура <т = т задается в про-
пространстве Зигеля S комплексной симметричной матрицей Z раз-
размера д х д (с положительно определенной мнимой частью) и и € С,
то
B.3.2) em(u,Z)=
€
iSm (mod k)
— это явная формула для базисных 0-функций уровня к. Здесь
параметр m € (L/kZ.K пробегает все к3 базисных элементов груп-
группы (Z/kZK и тор А„ является факторпространством простран-
пространства С3 по решетке, порожденной д базисными векторами в С и
д вектор-столбцами матрицы Z.
Хотя мы сконцентрировали внимание на случае якобианов, т. е.
на комплексных структурах <7 = т, формула B.3.2) определяет
©-функции для произвольных комплексных структур (т. е. для
произвольных матриц Z).
Итак, квантование тора #'(?, U(l)) на уровне к дает векторное
пространство Va размерности к3 для каждой комплексной струк-
структуры а € S. Эти пространства образуют голоморфное векторное
расслоение V над S. Как и при квантовании линейного простран-
пространства, мы ожидаем, что все проективные пространства P(Va) будут
естественно изоморфны. Если бы Va на самом деле было подпро-
подпространством гильбертова пространства %„(?) (для уровня к), это
выполнялось бы автоматически. К сожалению, как было указано
ранее, Va лежит в некотором его пополнении. Тем не менее точ-
точные формулы для ©-функций могут быть использованы, чтобы
получить необходимые отождествления. Таким образом, вектор-
векторное расслоение V над S имеет естественную связность, которая
является проективно плоской. Более того, центральную (скаляр-
(скалярную) кривизну можно вычислить явно.
Связность возникает из того очевидного обстоятельства,
что ©-функция ©т из B.3.2) удовлетворяет дифференциальному

28 Геометрия и физика узлов
уравнению
Это показывает, что 0т являются ковариантно постоянными се-
сечениями для некоторой связности над S. Эта связность, однако,
не является вполне «естественной»; она не инвариантна относи-
относительно действия симплектической группы SpBg, Z). Естественная
связность отличается на множитель из центра.
Проективную плоскостность семейства пространств P(Va) мож-
можно также интерпретировать как когомологическую жесткость. На
самом деле мы можем образовать конечную группу Гейзенберга
Гк из Z/fcZ-модуля Я1(?,Z/JfcZ), и P{Va) является в действитель-
действительности представлением Гейзенберга группы Г*.
Теперь мы располагаем по крайней мере начальными данными
для построения топологической квантовой теории поля в том виде,
как она была описана в разд. 2.1. Мы сопоставили проективное
пространство каждой ориентированной поверхности Е. Далее мы
должны показать, как трехмерное многообразие У с краем 8Y =
S выделяет точку в этом проективном пространстве. Нетрудно
заметить, что образ отображения
является лагранжевым подмодулем W (т. е. максимальным под-
подмодулем, на котором симплектическая форма обращается в нуль).
Можно использовать это лагранжево подпространство, чтобы по-
построить представление Гейзенберга группы Г*, и тогда W опреде-
определяет естественный «вакуумный вектор» в этом пространстве.
Это был набросок абелевой теории, где G = U(l). Мы не будем
углубляться в детали этого (малоинтересного) случая. Вместо это-
этого мы перейдем к изучению неабелева случая и начнем в гл. 3 с
классической теории, обобщающей теорию якобианов.

Глава 3
Неабелевы пространства модулей
3.1. Пространства модулей представлений
В гл. 2 мы изучали тор #'(?, U(l)), который параметризует про-
пространство гомоморфизмов
Теперь мы будем рассматривать пространство Я *(?, G), которое
параметризует пространство классов сопряженности гомоморфиз-
гомоморфизмов
G,
где G — произвольная компактная односвязная группа Ли. Для
простоты мы часто будем работать со случаем G = SU(n).
Фундаментальная группа tfi(?) имеет образующие Ai,...,Ag,
Bi,...,Bt с одним соотношением
C.1.1)
Отсюда следует, что когомологическое множество H1{S,G) явля-
является фактором по действию группы G подмножества в G2g, являю-
являющегося прообразом единицы при отображении G9 x G9 —* G, сопо-
сопоставляющем набору (Ль. ..,Ag,Bi,..., Вд) элемент flf=i И<*> Bi\ ?
G. Это показывает, что tf^E.G) — компактное хаусдорфово про-
пространство. Более точно, оно является многообразием размерности
2(д — l)dimG во всех неприводимых точках (т. е. там, где образ
группы Ti(E) порождает G). Это можно установить, рассматривая
линеаризацию соотношения C.1.1). Очень подробно это было ис-
исследовано Нарасимханом и Сешадри [22], а также Ньюстедом
[23].
Если гомоморфизм а : iri(?) —> G неприводим, то касатель-
касательное пространство к ЯХ(Е, G) в точке а можно отождествить с
Я^Е.Во,), т. е. с когомологиями поверхности Е с коэффициента-
коэффициентами в плоском расслоении Qa, ассоциированном с а, слоем которого
является алгебра Ли g группы G.

30 Геометрия и физика узлов
Мы теперь фиксируем G-инвариантную метрику на алгебре Ли
группы Ли G. Мы предполагаем, что эта метрика целочисленна
в том смысле, что соответствующий элемент из H3(G), предста-
представленный инвариантной 3-формой (?,[»?,?]), является целочислен-
целочисленным. Для простой группы Ли в метрике необходимо зафиксиро-
зафиксировать лишь скалярный множитель, и мы нормируем метрику так,
чтобы получить образующую группы H3(G,Z). Для группы SU(n)
такая метрика задается стандартной метрикой Trace А2.
Используя такую метрику и ^-произведение в когомологиях,
зададим симплектическую структуру на пространстве Я1(Е, да)-
В действительности, как мы увидим в следующем разделе, эта
структура превращает неприводимую часть пространства Ях(?, G)
в симплектическое многообразие. Это обобщает симплектическую
структуру на торе Я1(Е, U(l))t которую мы изучали в гл. 2.
Заметим, что д = 0,1 являются специальными случаями, по-
поскольку все представления для таких значений рода поверхности
являются приводимыми. Там, где эти значения рода д — причина
трудностей, мы обычно будем предполагать, что д ^ 2.
Хотя для простоты мы ввели в рассмотрение фундаменталь-
фундаментальную группу *i(?), которая требует выбора отмеченной точки, про-
пространство //^(Е, G) не зависит от ее выбора. Это происходит пото-
потому, что мы переходим к классам сопряженности гомоморфизмов.
Отсюда следует, что группа сохраняющих ориентацию диффео-
диффеоморфизмов Diff+(?) действует на пространстве #X(?,G) и сохра-
сохраняет симплектическую структуру.
Мы кратко обсудим обобщение всех рассмотренных конструк-
конструкций на случай поверхностей с отмеченными точками в духе гл. 2.
Заданной отмеченной точке Р на поверхности Е мы сопоставим
класс сопряженности С порядка к в группе G. Таким образом,
если G = SU(n), то С — класс сопряженности матрицы с соб-
собственными значениями
целые числа,
Для отмеченных точек Pi,..., Рг и ассоциированных с ними клас-
классов сопряженности С\,...,СГ мы рассмотрим такие гомомор-
гомоморфизмы
что петля вокруг точки Pi переходит в С;. Факторизация по
отношению сопряженности гомоморфизмов дает нам простран-
пространство модулей, обобщающее Я1(Е,<7). Мы обозначим его через

Гл. 3. Неабелевы пространства модулей 31
Эти более общие пространства модулей изучали Сешадри и дру-
другие ([30], [20]). Они обладают частью обычных свойств ранее вве-
введенных пространств модулей. В частности, они являются сим-
плектическими многообразиями с особенностями. Например, если
? = S2, то фундаментальная группа iri(E\(Pj U • • UPr)) является
свободной группой с г — 1 образующими, и соответствующее про-
пространство модулей есть фактор по действию группы G слоя над 1
при отображении умножения
CixC2x • • • х Cr -+G.
Размерность обобщенных пространств модулей в общем случае за-
задается формулой
2(д - 1)dimG+
Симплектическая структура, как мы увидем в следующем раз-
разделе, частично наследуется от симплектической структуры на
#'(?, G), частично — от симплектической структуры на однород-
однородных пространствах Cj.
3.2. Пространства модулей голоморфных
расслоений
В абелевом случае мы уже использовали классический результат
о том, что пространство когомологий #'(?, U{1)) можно отожде-
отождествить с якобианом поверхности Ет, когда комплексная структу-
структура г на ? зафиксирована. Аналогичный результат имеет место
и в неабелевом случае. Но прежде мы опишем аналоги якобиа-
якобиана. Это пространства модулей голоморфных (^-расслоений над
ЕТ) где Gc — комплексификация группы G- Для простоты мы
ограничиваемся здесь случаем G = SU(n) и отсылаем читателя к
работе [5] за разбором более общего случая.
Важным понятием тут является понятие стабильности голо-
голоморфных расслоений. Скажем, что голоморфное векторное рас-
расслоение Е над римановой поверхностью ? является стабильным,
если для всех его голоморфных подрасслоений F мы имеем строгое
неравенство
Г32П degF deg?
(ЛЛ) ^ rank?T

32 Геометрия и физика узлов
Здесь под степенью deg понимается значение первого класса Чжэ-
ня. Для 5?(п,С)-расслоения с\ = О, и потому неравенство C.2.1)
просто равносильно неравенству deg F < 0. Полустабильные рас-
расслоения определяются требованиями deg F ^ 0.
Теорема Нарасимхана и Сешадри из работы [22] утверждает, что
классы изоморфизма стабильных голоморфных расслоений ранга
п образуют неособое открытое по Зарисскому множество Af,(n)
в проективном алгебраическом многообразии М(п). Более то-
того, многообразие М(п) получается из полустабильных расслоений
факторизацией по некоторому отношению эквивалентности (более
сильному, чем просто изоморфизм).
Поскольку каждое плоское расслоение автоматически является
голоморфным, не удивительно, что существует естественное ото-
отображение
Hl(T;,SU(n))-+M(n).
Главная теорема Нарасимхана и Сешадри [22] утверждает, что это
отображение является гомеоморфизмом. Значение этого резуль-
результата станет ясным в гл. 4. В неприводимой точке а на уровне ка-
касательных пространств это отображение соответствует естествен-
естественному изоморфизму
C.2.2) H^
где Endo обозначает эндоморфизмы с нулевым следом,
Endo(E) — пучок локально постоянных
косоэрмитовых эндоморфизмов,
Endo(i?) — пучок голоморфных эндоморфизмов.
Это утверждение является очевидным обобщением результата, ис-
использованного в гл. 2 для якобиана. Однако в том случае ото-
отображение в целом было линейным, поскольку многообразие было
тором. Тут многообразия являются нелинейными, и только лине-
линеаризованное касательное отображение легко можно описать при
помощи когомологий с коэффициентами в пучках.
Из C.2.2) ясно, что комплексная структура на пространстве
H1(E,SU(n)), индуцированная комплексной структурой на по-
поверхности ?, зависит только от класса изоморфизма поверхно-
поверхности ? (по модулю компоненты единицы группы диффеоморфизмов
Diff+(?)), т. е. от точки т в пространстве Тейхмюллера. Получаем
обобщение того факта, что комплексная структура на простран-
пространстве Hl(L,U(l)) зависит лишь от матрицы периодов римановой

Гл. 3. Неабелевы пространства модулей 33
поверхности. Это приводит к своего рода жесткости наших про-
пространств модулей, свойству, не присущему семействам римановых
поверхностей.
На пространстве модулей М(п) имеется естественное голоморф-
голоморфное линейное расслоение L, пространство сечений к-й степени Lk
которого дает квантование на уровне к. Мы отложим обсуждение
этих вопросов до гл. 5, где они появляются в надлежащем контек-
контексте. Однако на данном этапе стоит отметить, что расслоение L по-
порождает группу голоморфных линейных расслоений на М{п), как
показали Дрезе и Нарасимхан в работе [12]. В отличие от случая
якобианов на Af(n) не существует плоских линейных расслоений,
и по этой причине нет нужды в спин-структуре на поверхности ?.
Существует обобщение понятий стабильности и пространства
модулей Af(n), принимающее в расчет отмеченные точки на по-
поверхности. Это обобщение рассмотрено Сешадри в работе [30] и
включает в себя приписывание весов а\,..., а„ каждой отмечен-
отмеченной точке. Сешадри доказал, что такое пространство модулей (при
заданных весах) естественно гомеоморфно пространству унитар-
унитарных представлений фундаментальной группы iri (?\(Pi U • • -UPr)),
причем петле вокруг отмеченной точки Р соответствует матрица с
собственными значениями
ехрBяч'о,), j = l,...,n.
Такие пространства модулей представлений встречались в пре-
предыдущем разделе, правда, мы ограничивались случаем, когда соб-
собственные значения являются корнями к-й степени из единицы, т. е.
aj = Aj/fc, Xj — целые числа.
К тому же мы описывали случай группы SU(n), а не U(n).
Все такие пространства модулей обладают естественным линей-
линейным расслоением Lt, голоморфные сечения которого дают кван-
квантование уровня к. Заметим, что тут само пространство модулей
зависит от к, тогда как при отсутствии отмеченных точек про-
пространство модулей не зависит от (к и расслоение Lk = Lk является
к-й степенью фиксированного линейного расслоения L.
Как пример мы дадим определение стабильности по Сешадри
для векторных расслоений ранга 2 с одной отмеченной точкой на
поверхности. В этом случае задаются точно два веса (предполага-
(предполагается, что они различны), и мы так нумеруем их, что выполняются
неравенства
0 < <*1 < <*2 < 1-

34 Геометрия и физика узлов
Мы сначала определим степень dega Е расслоения Е относительно
этих весов, полагая по определению
dega Е = deg Е + оц + а2.
Затем мы фиксируем прямую L (одномерное подпространство) в
слое Ер, которую мы рассматриваем как часть структуры рассло-
расслоения Е. Возьмем любое голоморфное линейное подрасслоение F в
Е и определим его степень формулой
dee F = (degF + a2) если Fp = L,
60 \degF + ai в противном случае.
Расслоение Е (или, точнее, пара (Е, L)) по определению стабильно
относительно веса а, если для любого линейного подрасслоения F
выполняется неравенство
dega F < - dega E.

Глава 4
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ФАКТОРЫ
4.1. Геометрическая теория инвариантов
Эта глава по сути своей — отступление, где обсуждаются образо-
образование факторов в алгебраической геометрии и их связь с соответ-
соответствующими понятиями в классической и квантовой механиках. В
следующей главе мы применим эти идеи в контексте бесконечно-
бесконечномерных пространств и факторов, чтобы лучше понять простран-
пространства модулей, которые обсуждались в предыдущей главе.
Мы начнем с обзора классической теории инвариантов и ее гео-
геометрической интерпретации, которую дал Мамфорд в работе [21].
Бели А — алгебра полиномов (над С) и G — компактная группа
ее автоморфизмов, то алгебра инвариантов AG является конечно
порожденной. Это утверждение верно в более общем случае, когда
алгебра полиномов заменяется некоторой конечно порожденной
алгеброй, т. е. фактором некоторой алгебры.
Существуют градуированные и неградуированные версии тео-
теории инвариантов. Геометрически они отвечают соответственно
проективной и аффинной геометриям. Мы будем интересоваться
градуированным проективным случаем.
Бели А — градуированное координатное кольцо проективного
алгебраического многообразия, то его подкольцо инвариантов AG
будет координатным кольцом некоторого фактора проективного
многообразия. Это фактормногообразие, грубо говоря, является
пространством Gс-орбит, где Gе — комплексификация группы G.
Однако, поскольку группа Gе не компактна, ее пространство орбит
может оказаться плохим, и точное описание конструкции фактора
несколько тоньше. Геометрическая теория инвариантов Мамфор-
да уточняет эти вопросы, и мы теперь дадим беглый обзор главных
моментов этой теории.
Рассматривая ситуацию абстрактно, мы начнем с гладкого про-
проективного многообразия X с обильным линейным расслоением С
на нем, т. е. с таким расслоением ?, что некоторая его степень Ск
определяет проективное вложение многообразия X. Мы предпо-
предполагаем, что группа G (или 0е) действует на многообразии X и на

36 Геометрия и физика узлов
расслоении С. Тогда Мамфорд определяет открытое по Зарисско-
му множество X, в X, состоящее из стабильных точек. СР-орбиты
в множестве Х8 являются замкнутыми по Зарисскому, и потому
факторпространство У, = X./G0 является корректно определен-
определенным гладким квазипроективным многообразием. Чтобы получить
естественную проективную компактификацию У квазипроектив-
квазипроективного многообразия У,, Мамфорд определяет подмножество Х„ по-
полустабильных точек в X, и многообразие У получается с исполь-
использованием некоторого отношения эквивалентности на множестве
Сс-орбит в XSs- На самом деле У можно отождествить с множе-
множеством замкнутых Сс-орбит в Х„.
В самых лучших случаях стабильные точки имеют тривиаль-
тривиальную группу изотропии. В таких случаях линейное расслоение С
естественно спускается до линейного расслоения L на У, и затем
может быть продолжено на У. Почти так же хорош случай, когда
группы изотропии конечны. Тогда также расслоение Ск для под-
подходящего целого числа Jfc спускается до расслоения на У8 и затем
продолжается на У.
В свободном случае (тривиальная изотропия на Xs) (^-инвари-
(^-инвариантное сечение расслоения С на Xs спускается до сечения рассло-
расслоения С на Уа. Более того, сечениям, которые продолжаются на X,
соответствуют сечения, которые продолжаются на У.
4.2. СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ФАКТОРЫ
В классической механике имеют дело с фазовым пространством,
которое является симплектическим многообразием X. Если ком-
компактная группа Ли G симплектически действует на X, то (при
слабых предположениях) существует отображение момента
принимающее значения в двойственном пространстве к алгебре Ли
Lie(G) группы Ли G. Если ? 6 Lie(G), то (ц(х),?) является функ-
функцией Гамильтона, которая порождает поток, заданный действием
? на X. Как подсказывает сам термин, отображение момента об-
обобщает классическое понятие углового момента.
Пространство
У = t\
называется приведенным фазовым пространством или симплекти-
симплектическим фактором. Это пространство является многообразием (с

Гл. j. Симплектические факторы 37
особенностями), и оно наследует естественную симплектическую
структуру. Его размерность в общем случае задается формулой
dimV = dim* - 2dimG.
Чтобы отличить многообразие У от обычного фактора X/G (ко-
(который не является симплектическим), мы будем обозначать его
X//G. Хорошие случаи (приводящие к формуле для размерности,
которую мы указали выше) — те, когда типичная G-орбита явля-
является свободной (или имеет лишь конечную группу изотропии).
Существует более общая конструкция симплектического фак-
фактора вида
1
где А есть G-орбита в Lie(G)*. Эта конструкция связана не с под-
кольцом инвариантов, а с той частью кольца полиномов, которая
преобразуется согласно заданному неприводимому представлению
группы G. В частности, если G абелева, то разные целочисленные
точки А из Lie(G)* соответствуют разным характерам группы G.'
Основной пример таков: рассмотрим действие окружности G =
U(l) на фазовом пространстве Х = С°с помощью простого умно-
умножения на число. Взяв симплектическую структуру на С", отвеча-
отвечающую стандартной эрмитовой метрике, мы получим
М*) = М2-
Отсюда следует, чтосимплектический фактор fi~1(l)/U(l) являет-
является проективным пространством Pn-i(C) с симплектической струк-
структурой, отвечающей стандартной кэлеровой метрике на нем.
Заметим, что проективное пространство Pn_i(C) равно
(С"\0)/С*, обычному комплексному фактору по группе ненулевых
комплексных чисел С (комплексификации окружности {/(!)).
Таким образом, проективное пространство Pn_i(C) встречается у
нас и как симплектический фактор, и Как, комплексно-алгебраи-
комплексно-алгебраический фактор. Это на самом деле обычная ситуация, как мы
сейчас объясним. \
Вернемся теперь к ситуации предыдущего раздела с компакт-
компактной группой Ли G и ее комплексификацией Gc, действующей на
алгебраическом многообразии X с обильным линейным расслое-
расслоением С. Мы можем зафиксировать некоторую G-инвариантную
связность на расслоении С, кривизна которой будет формой ти-
типа A,1), соответствующей G-инвариантной кэлеровой метрике на
пространстве X. Например, зафиксируем G-инвариантную метри-
метрику на пространстве сечений расслоения ?* при достаточно боль-
большом к, чтобы задать проективное вложение X. Кэлерова метрика

38 Геометрия и физика узлов
на X определяет G-инвариантную симплектическую структуру на
X. Мы можем затем образовать оба фактора — фактор Мам фор-
форда пространства X по Gc и симплектический фактор X//G. По
известной теореме (см. [18]) они совпадают, и симплектическая
структура на X//G определяется кэлеровой метрикой на факторе
Мамфорда. Ключевым шагом в этом отождествлении является до-
доказательство того, что каждая Сс-орбита в Хт содержит G-орбиту
»/*-!(о).
Преимуществом симплектического фактора X//G является то,
что он, очевидно, компактен, и нам нет необходимости беспоко-
беспокоиться о стабильных и полустабильных точках. С другой стороны,
наличие комплексной структуры не является очевидным фактом,
и для этого нужен фактор Мамфорда.
4.3. Квантование
Отождествление алгебро-геометрического фактора Мамфорда и
симплектического фактора выражает «классический» уровень
связи между этими объектами. Квантовая составляющая взаимо-
взаимоотношения этих факторов связывает алгебру G-инвариантов AG с
квантованием симплектического фактора. Эту связь мы теперь и
разъясним.
Чтобы можно было квантовать симплектическое многообразие
X, симплектическая форма и (деленная на 2тг) должна быть цело-
целочисленной, так что форма ш является кривизной линейного рас-
расслоения С. Один из способов квантовать X состоит в выборе (если
это возможно) комплексной кэлеровой структуры на X (так что
форма ш является формой типа A,1), определенной по кэлеровой
метрике). Это превращает расслоение С в голоморфное линей-
линейное расслоение (с метрикой), и в качестве квантового гильбертова
пространства Л берется тогда пространство голоморфных сечений
расслоения С, интегрируемых с квадратом.
Это в точности та же процедура, что описана в гл. 2 для про-
пространства X = С*. Более того, мы видели, что проективное
пространство Р{Н) зависит только от исходной симплектической
структуры на X и не зависит от выбора комплексной структу-
структуры. Эквивалентное утверждение состоит в том, что расслоение
гильбертовых пространств "На, где а принадлежит верхнему по-
полупространству Зигеля S, имеет естественную связность, которая
является проективно плоской.
В тех случаях, когда X — компактное симплектическое мно-
многообразие, отвечающее проективному алгебраическому многообра-
многообразию X с обильным линейным расслоением С, голоморфные сече-

Гл. 4- Симплектические факторы 39
ния расслоения С определяют конечномерное квантовое гильбер-
гильбертово пространство И- Однако зависимость этого пространства от
выбора комплексной структуры X необходимо исследовать. Нет
гарантии, что мы получим проективно плоское расслоение. Хоро-
Хорошие случаи (дающие проективно плоские расслоения) включают
в себя проективные пространства и как более общий случай од-
однородные симплектические многообразия «коприсоединенных ор-
орбит» компактных групп Ли.
Зададим действие компактной группы G на паре (Х,С), сохра-
сохраняющее комплексную кэлерову структуру. Тогда G-инвариантная
часть квантового гильбертова пространства Н совпадает (в случае,
когда действие свободно на множестве точек общего положения)
с квантовым гильбертовым пространством фактора Мамфорда.
Бели мы начнем с пространства X, для которого проективиза-
ция PGi) гильбертова пространства Н не зависит от выбора ком-
комплексной структуры, то получим, что то же самое верно для его
G-инвариантной части. Таким образом, в этих случаях мы полу-
получаем корректное квантование симплектического фактора X//G.
Разложив градуированные кольца А, Аа на однородные компо-
компоненты:
мы видим, что А% можно интерпретировать как квантовое гиль-
гильбертово пространство уровня к симплектического фактора X//G
(заменяя L на Lk). Заметим, однако, что структура алгебры на
AG не является симплектическим инвариантом фактора X//G. В
действительности структура алгебры определяет структуру ком-
комплексного многообразия на X//G как на пространстве максималь-
максимальных идеалов.
Некомпактный линейный случай X = С", конечно, приводит
к бесконечномерному гильбертову пространству и, возможно, к
некомпактному симплектическому фактору X//G. Плоскостность
тут следует из плоскостности для С, если просто ограничиться
G-инвариантной частью.
На данном этапе необходимо сделать, одно важное предупрежде-
предупреждение. Хотя G-инвариантную часть пространства Н голоморфных
сечений расслоения С над X можно отождествить с голоморф-
голоморфными сечениями расслоения L над X//G, скалярное произведение
сечений расслоения L над X//G не легко правильно ввести. По
определению норма сечения s расслоения С определяется инте-
интегрированием по X. G-инвариантное сечение определяется своим
ограничением на прообраз ц~1@), поскольку последний пересека-
пересекает типичные ?7с-орбиты. Однако определение нормы использует

40 Геометрия и физика узлов
двойное интегрирование, сначала по Сгорбите, а затем по фактору
X//G. Интегрирование по Gс-орбите (которое дает вклад, равный
объему орбиты) нельзя увидеть, перейдя к факторпространству.
В следующей главе нам придется иметь дело с бесконечномер-
бесконечномерной версией теории, изложенной в этой главе. Такая версия необ-
необходима для теории Джонса — Виттена, и она имеет характерные
черты, которые отсутствуют в конечномерном случае. В частно-
частности, рассмотрение этой версии мы начнем с линейного случая (как
ранее рассматривали случаи С"), но с компактным симплетиче-
ским фактором. Настоящая глава обеспечивает общие основы и
введение к такому бесконечномерному случаю.
4.4. КОПРИСОЕДИНЕННЫЕ ОРБИТЫ
Мы закончим эту главу некоторыми дополнительными замечани-
замечаниями об обобщенных симплектических факторах
YX.= fTl(Mx)/G,
где Мд — коприсоединенная орбита, т. е. G-орбита в простран-
пространстве Lie(G)*, сопряженном к алгебре Ли Lie(G). Согласно хорошо
известному общему результату Кириллова, эти коцрисоединенные
орбиты являются однородными симплектическими многообразия-
многообразиями группы Ли G. Они имеют вид G/H, где Я — централизатор
тора в группе G. Более того, они имеют естественные комплексные
кэлеровы структуры, которые для «целочисленных» А являются
проективными алгебраическими структурами. Их квантования да-
дают неприводимые представления группы G, и, таким образом, мно-
множество целочисленных орбит можно отождествить с множеством
классов неприводимых представлений G. Если А* обозначает пред-
представление, двойственное к А, то можно проверить, что
Мх. = -МА.
Отображение момента для орбиты М\ является просто ее есте-
естественным вложением в Lie(G)*. Теперь сравним отображения мо-
момента
ц: X -
цх. : X х Мх ^ Ue(GY.
Ясно^что

Гл. 4- Симплектические факторы 41
и, следовательно,
Таким образом, квантование пространства Y\ будет G-инвари-
антной частью квантования пространства X х М\. Но это как
раз Л-ковариантная часть квантования Н многообразия X, т. е.
Нот<г(Л, Я).
Итак, исследование отображений момента над различными це-
целочисленными орбитами является классическим аналогом разло-
разложения квантования многообразия X как G-модуля.

Глава 5
Бесконечномерный случай
5.1. Связности на римановых поверхностях
Теперь мы перейдем к случаю бесконечномерных симплектиче-
ских факторов и их квантованию. Этот случай тесно связан с
теорией Джонса — Виттена. С иными целями такие бесконечно-
бесконечномерные факторы изучались в работе [5], к которой мы и отсылаем
читателя за другими подробностями.
Пусть заданы компактная ориентированная поверхность 2 и
компактная группа Ли G. Мы рассмотрим бесконечномерное аф-
аффинное пространство Л G-связностей на тривиальном расслое-
расслоении над 2. Заметим, что если группа G односвязна, например
G — SU(n), то все G-расслоения над Е тривиальны. Пространство
А имеет естественную симплектическую структуру. Бели А € Л,
то касательный вектор в точке А является дифференциаль-
дифференциальной 1-формой а со значениями в алгебре Ли Lie(G) группы Ли
G. Потому для двух таких касательных векторов а, /? мы можем
определить кососимметричное спаривание
(а, 0)= /-Тг(аЛ/?).
J2
Здесь мы написали формулу для спаривания в случае G = SU(n).
В общем случае мы заменим — Тг фиксированным G-инвариантным
скалярным произведением на Lie(G).
Группа калибровочных преобразований Q, т. е. группа гладких
отображений S -» G, естественно действует на Л, сохраняя его
симплектическую структуру. Элементарное вычисление [5, р. 587]
показывает, что отображение момента
/i : Л -+ Ue(gy
является просто взятием кривизны связности р(А) = /д. Заме-
Заметим, что 2-форма FA со значениями в алгебре Ли задает линейную
функцию на Lie(?), пространстве 0-форм со значениями в алгебре
Ли, при помощи скалярного произведения на Lie(G) и последую-
последующего интегрирования по поверхности S. Следовательно, симплек-
тический фактор
л//д = дЧ

Гл. S. Бесконечномерный случай 43
является пространством модулей плоских G-связносхей на поверх-
поверхности Е или, что эквивалентно, пространством модулей гомомор-
гомоморфизмов (с точностью до сопряжения) »i(E) —» С Это простран-
пространство модулей обозначалось в гл. 3 через #*(Е, G).
Для неприводимого гомоморфизма яч(Е) —* G единственными
калибровочными автоморфизмами, которые сохраняют его, явля-
являются постоянные калибровочные автоморфизмы со значениями в
центре группы G.
Для полупростых групп Ли G центр конечен, так что это, по
крайней мере формально, случай «хорошего» G- действия. А бе-
белев множитель в разложении группы Ли G создает лишь незначи-
незначительные отличия, возникающие из-за возможной нетривиальности
первого класса Чжэня.
Мы теперь обратимся к голоморфной точке зрения, зафиксиро-
зафиксировав комплексную структуру г на поверхности Е. Она индуцирует
естественную комплексную структуру на пространстве связностей
А, так что мы имеем бесконечномерный аналог линейной ситуа-
ситуации, которая обсуждалась нами в гл. 2. Более того, для каждой
связности А € А, взяв @,1)-часть d"A ковариантного дифферен-
дифференциала dA, мы можем отождествить пространство связностей А с
пространством С голоморфных структур на тривиальном рассло-
расслоении S х Gc [5, ch. 7]. К тому же комплексификация Qc кали-
калибровочной группы G, заданная гладкими отображениями Е —» Gc,
естественно действует на С. Пространство модулей Мт голоморф-
голоморфных Сс-расслоений над римановой поверхностью Ет является ана-
аналогом фактора Мамфорда из гл. 4. Оно содержит как открытое
подмножество подпространство, параметризованное стабильными
Сс-расслоениями.
Фактически мы можем сделать чуть больше- На самом деле су-
существует голоморфное линейное расслоение С со связностью над
пространством С, кривизна которого является — 2я-1-кратным кэле-
ровой формы, и группа Qc естественно действует на расслоении С,
причем Q сохраняет его метрику и связность. Это линейное рассло-
расслоение является линейным расслоением Квиллена, слоем которого в
точке А € Л = С является одномерное пространство
Сл = det ЯХBТ, Ел) ® [det Я°(
где Еа (для G — U(n) или SU(n)) — голоморфное векторное рас-
расслоение ранга п, определенное по ковариантному дифференциалу
da i и det обозначает наивысшую ненулевую внешнюю степень ко-
конечномерного векторного пространства. Метрика на слое С\ опре-
определяется по регуляризации детерминанта лапласиана, и Квиллен
доказал [25], что эта метрика дает правильную кривизну. Для

44 Геометрия и физика узлов
произвольной группы Ли G линейное расслоение Квиллена суще-
существует для каждого представления этой группы (обратный образ
соответствующего расслоения для U{n) относительно представле-
представления G —» U(n)) и, в частности, для присоединенного-представления
группы G. В общем случае эта конструкция дает степени требуе-
требуемого расслоения ?.
Постоянные калибровочные преобразования, соответствующие
элементам центра группы Ли G, действуют тривиально на про-
пространстве Л, а их действие на слое ?д для группы G = SU(n)
задается умножением когомологий (с коэффициентами в пучке
сечений расслоения ?д) на корень n-й степени из единицы. Но,
поскольку первый класс Чжэня равен нулю, имеем равенство
= пA -д),
так что умножение на скаляр уничтожается. Итак, группа Q дей-
действует на паре (Л, L) как фактор Q группы Q по центру из кон-
констант. Это показывает, что линейное расслоение С спускается (без
обращения к степеням) до линейного расслоения L на простран-
пространстве модулей М, по крайней мере на стабильной части.
Более тщательная проверка показывает, что линейное рассло-
расслоение L продолжается на все пространство модулей МТ, причем
важным моментом является то, что полустабильные расслоения,
которые отождествляются в одну точку пространства модулей Мт,
различаются при разных продолжениях, но при этом детерминант-
ная прямая ?д одна и таже для всех продолжений.
Как и в конечномерном случае, который обсуждался в гл. 4, мы
тотчас получаем отображение
которое, как мы ожидаем по аналогии с предыдущим, будет го-
гомеоморфизмом. Это утверждение является содержанием теоремы
Нарасимхана — Сешадри [22], уже упомянутой в гл. 3. Существу-
Существует прямое доказательство этой теоремы, данное Дональдсоном [11],
которое больше соответствует духу изложения в данной главе.
До сих пор мы описывали классическую картину, приводящую
к пространствам модулей как некоторым факторам. Теперь мы
займемся их квантованием, которое и является нашей конечной
целью.
Мы хотим рассмотреть квантование симплектического прост-
пространства Л и затем взять (/-инвариантную часть этого квантования.
Мы ожидаем, что результат будет такой же, как при.квантовании
симплектического фактора
A//G = Ях(?,<7).

Гл. 5. Бесконечномерный случай 45
Чтобы определить такое квантование, мы выберем комплекс-
комплексную структуру г на поверхности 2 и используем теорему Нара-
симхана — Сешадри, чтобы заменить пространство Я1(Е, G) про-
пространством модулей Мт. Теперь мы проквантуем это пространство
модулей на уровне к, взяв пространство голоморфных сечений рас-
расслоения Lk над Мт. Мы ожидаем, что проективизация этого про-
пространства не будет зависеть от комплексной структуры т.
В следующей главе мы будем обсуждать различные методы, ко-
которые могут быть использованы для установления этого ключево-
ключевого результата. На данном этапе мы просто отметим, что в силу
бесконечномерности пространства Л мы не можем гарантировать
существование квантования надлежащего типа. Поэтому мы про-
проведем редукцию к конечномерным (и компактным) факторам.
5.2. Отмеченные точки
Как мы упоминали в гл. 2 и 3, теорию Джонса — Виттена необ-
необходимо обобщить на случай поверхностей с отмеченными точками.
Ситуация предыдущего раздела имеет следующее естественное об-
обобщение.
Определив отображение момента
при помощи взятия кривизны, мы можем выбрать в Lie((?)* орби-
орбиты, отличные от нулевой. В частности, задав точку Р на поверх-
поверхности Е, мы получим отображение взятия значения ер: Q —+ G,
рассматривая значения в точке Р элементов калибровочной груп-
группы Q, а затем по двойственности получим вложение
6р : Lie(G)*-> Lie(S)*.
Образ состоит из дельта-функций в точке Р со значениями в
Lie(G)*. В частности, G-орбита М\ в Lie(G)* определяет G-орбиту
Sp(Mx) в Lie(S)*.
Теперь зафиксируем точки Р\,..., Рг на поверхности S и цело-
целочисленные орбиты (или G-представления) Ai,...,Ar. Эти данные
определяют G-орбиту
Таким образом, для каждого целого к мы можем рассмотреть об-
обобщенный симплектический фактор
E-2.1) [ц

46 Геометрия и физика узлов
Он состоит из связностей, которые являются плоскими вне то-
точек Pj и имеют подходящую кривизну типа ^-функции в точках
Pj. Локальное выражение для связности вблизи точки Pj, если
Pj является началом полярной системы координат (г,0), имеет
вид Aj d0, где Aj принадлежит классу сопряженности G-орбиты
(l/k)M\i (при этом мы отождествляем Lie(G) с Lie(G)*, исполь-
используя нашу инвариантную метрику на Lie(G)). M он одром ия та-
такой связности вокруг точки Pj есть expBiriAj) и равняется кор-
корню &-й степени из единицы. Таким образом, симплектический
фактор E.2.1) — это именно то пространство модулей предста-
представлений, которое мы обозначали в гл. 3 через Hl(E,P,G,C), где
С\, Сг..., СТ — классы сопряженности порядка к в группе G.
Выбрав комплексную структуру г на поверхности S, мы сно-
снова получим отождествление такого пространства представлений
с пространством модулей голоморфных расслоений. Это ото-
отождествление было описано в гл. 3. И снова наиболее естественным
оказывается доказательство по схеме Дональдсона [11].
Как объяснялось в разд. 4.4, мы можем заменить обобщенные
симплектические факторы обычными факторами, так что рассмо-
рассмотрим произведение
где кЛ — пространство связностей Л с симплектической формой,
полученной из формы, ранее введенной на Л, умножением на чи-
число к, или, эквивалентным образом, надо расслоение С заменить
на Ск. Симплектический фактор B//G тогда можно отождествить
(с взятым к раз) фактором E.2.1). Более того, квантование факто-
фактора B//G выделит ту часть квантования пространства Jb.4, которая
преобразуется согласно представлению
калибровочной группы Q.
Итак, для каждого к мы имеем пространство М* (зависящее
от к) с линейным расслоением L* над ним. Пространство сечений
H°(Mk, Lk) является «пространством кратности» для представле-
представления ® • e*p.(Xj) калибровочной группы Q при квантовании на уров-
уровне к пространства Л.
Таким образом, если даже квантование пространства Л не впол-
вполне корректно определенно, мы можем придать смысл той ча-
части квантования, которая преобразуется по представлениям вида

Гл. 5. Бесконечномерный случай 47
е*Р(Х) калибровочной группы Q. Конечно, мы еще должны иссле-
исследовать роль выбора комплексной структуры, но этот вопрос мы
отложим до следующей главы.
5.3. Граничные компоненты
Использование римановых поверхностей с отмеченными точками
является естественным алгебро-геометрическим подходом к пред-
предмету исследований. Наличие отмеченных точек позволяет вводить
в рассмотрение полюсы. Существует другой подход, когда исполь-
используются римановы поверхности с краем. Такой подход требует при-
, влечения комплексного анализа и соответствующих граничных за-
задач. Мы можем перейти от поверхностей с отмеченными точками
к поверхностям с краем, просто вырезав маленькие круги около
отмеченных точек.
Каждый метод имеет свои достоинства. Так, поверхности с кра-
краем можно склеивать вдоль общего края, и это важная операция в
рассматриваемой теории. Аналогом отмеченных точек являются
особенности (двойные точки) алгебраических кривых. Этими во-
вопросами мы займемся позже.
Естественно, что теория для поверхностей с краем требует пред-
предварительного исследования калибровочной теории на окружности.
На самом деле такой подход позволяет ввести конформную теорию
поля в общую картину, и теория представлений играет в этом важ-
важную роль. И потому мы начнем с беглого обзора некоторых основ-
основных аспектов калибровочной теории на окружности, отсылая для
знакомства с полным изложением к работе [24].
Пусть 5 — стандартная окружность, и пусть As обозначает
аффинное пространство G-связностей на тривиальном расслоении
над этой окружностью. Калибровочная группа
Gs = MapE,G) = LG
— это группа петель. Она аффинно действует на пространстве -45
с орбитами конечной коразмерности. Орбиты определяются моно-
дромией связности при обходе по окружности 5: это некоторый
класс сопряженности в группе G.
Группа LG (для каждого Jb ^ 1) имеет центральное расширение
(с помощью окружности) LG. Коприсоединенное действие группы
петель LG на пространстве, двойственном к ее алгебре Ли, сохра-
сохраняет гиперплоскости (плоскости коразмерности!), и пространство
-45 вместе с LG-действием на нем можно отождествить с одной
из них. Таким образом, орбиты группы петель LG в As явля-
являются коприсоединенными орбитами, и «целочисленные» орбиты с

48 Геометрия и физика узлов
помощью квантования приводят к неприводимым представлением
центрального расширения LG группы LG (т. е. к проективным
представлениям группы LG).
Теперь рассмотрим поверхность 2 с краем 5 (для простоты мы
обсудим только случай, когда край состоит из одной компоненты
связности, но результаты справедливы в полной общности). Как
и прежде, мы рассмотрим пространство G-связностей «4s на Е и
группу Qz калибровочных преобразований на 2. Симплектическая
структура на пространстве As определяется так же, как и для
замкнутых поверхностей, и вновь мы имеем отображение момента
Однако теперь в отображении момента появляются граничные
компоненты и справедлива формула
E.3.1) Pk{A) = FA-A8.
Здесь слагаемое As является ограничением связности А на край
S = #2 в следующем более тонком смысле. Гомоморфизм ограни-
ограничения
Gs —>Gs
на самом деле естественно поднимается в центральное расширение
LG — Qs группы петель LG — Gs- Переход к алгебрам Ли и
двойственным пространствам дает отображение
Комбинируя это отображение с вложением
As -» L\e(GSy
(как гиперплоскости), мы сопоставим любой связности А € As
элемент из Lie(Gs)*, который обозначим просто As-
Теперь выберем G-орбиту Wj в .45. соответствующую классу
сопряженности Са в группе G. Тогда для такой орбиты мы можем
образовать обобщенный симплектический фактор
Принимая во внимание формулу E.3.1), такой симплектический
фактор можно отождествить с пространством модулей предста-
представлений, которое мы ввели в гл. 3. Оно параметризуется предста-
представлениями фундаментальной группы Xi(S\P), монодромии кото-
которых вокруг точки Р лежат в классе сопряженности Са.

Гл. 5. Бесконечномерный случай 49
Как и для случая с отмеченными точками, мы можем ограни-
ограничиться в данный момент классом сопряженности Са, который со-
состоит из корней Jfc-й степени из единицы, и затем квантовать фак-
фактор Ха на уровне к. (Заметим, что естественное линейное рас-
расслоение Lt на факторе Ха задает стандартную симплектическую
форму, умноженную на число Jb.)
Как и прежде, мы можем, по крайней мере формально, интер-
интерпретировать результирующее пространство квантования как «про-
«пространство кратности». Оно задает часть квантового гильбертова
пространства симплектического пространства кАъ, которая пре-
преобразуется согласно представлению e*s{\) калибровочной группы
{/S. Здесь отображение es : Qy. —+ Qs является поднятием отобра-
отображения ограничения или отображения взятия значения и А обозна-
обозначает неприводимое представление группы Qs, параметризованное
подходящей орбитой уровня it.
Хотя мы не будем заниматься в дальнейшем даже таким гра-
граничным случаем, но все же отметим, что он в некотором смысле
менее сингулярен, чем случай с отмеченными точками. Аналити-
Аналитически взятие граничного значения на окружности коразмерности
1 — менее сингулярная операция, чем вычисление значения в точ-
точке. Это может дать технические преимущества.

Глава 6
Проективная плоскостность
6.1. Прямой подход
Мы показали в гл. 4, что каждой комплексной римановой поверх-
поверхности 2Г, группе Ли G и целому числу к можно сопоставить век-
векторное пространство V(ET) G, к). Напомним, что оно определяется
как пространство голоморфных сечений линейного расслоения Lk
над пространством модулей Мт голоморфных Сс-расслоений над
поверхностью ?т. Главный результат о таких пространствах состо-
состоит в том, что они образуют проективно плоское семейство относи-
относительно параметра г из пространства Тейхмюллера Т. Это утвер-
утверждение означает, что векторные пространства VT образуют голо-
голоморфное векторное расслоение V над Т, обладающее естественной
связностью, кривизна которой есть некоторый скаляр.
В этой главе мы дадим обзор нескольких других подходов к это-
этому основному вопросу о проективной плоскостности. В настоящем
разделе мы начнем с описания «прямого подхода», т. е. такого
подхода, который более естественно согласован с уже обсуждав-
обсуждавшимися нами идеями квантования.
Идея упомянутого подхода естественно возникает на основе тех
обсуждений, которые изложены в гл. 4, и ее можно резюмировать
следующим образом.
Как мы показали в гл. 5, наше пространство модулей М являет-
является симплектическим фактором бесконечномерного аффинного про-
пространства. Если бы это пространство модулей было симплекти-
симплектическим фактором конечномерного аффинного пространства, то все
было бы ясно. Квантование пространства модулей М — этб взятие
инвариантной части квантования исходного аффинного простран-
пространства. Поскольку последнее квантование (проективно) не зависит
от выбора комплексной структуры, то же самое верно для инва-
инвариантной части.
Следовательно, все трудности сосредоточены в бесконечномер-
бесконечномерности пространства связностей А. Если выписать разные форму-
формулы, которые выражают проективную независимость квантования
% пространства А, мы обнаружим, что они очевидным образом
являются расходящимися. Тем не менее мы хотим придать им

Гл. 6. Проективная плоскостность 51
смысл для (/-инвариантной части Н. Поэтому наша задача состо-
состоит в том, чтобы рассмотреть ограничения формул на такие под-
подпространства и придать им смысл с помощью подходящей регуля-
регуляризации.
Такой метод был развит Хитчином [15] и, в несколько иной фор-
форме, Аксельродом, Делла Дьетро и Виттеном [7]. Обе версии, в
частности, сталкиваются со следующими двумя трудностями.
В конечномерном случае (в предположении, что группа унимо-
дулярна) первый класс Чжэня комплексного пространства моду-
модулей обязательно тривиален. В бесконечномерном случае это не-
неверно из-за аномалий. Это приводит к сдвигу в формулах, причем
уровень Jb в подходящих местах заменяется на k + n (для группы
SU(n)). Мы снова увидим этот сдвиг в исчислении фейнмановских
интегралов в гл. 7.
Вторая трудность связана со скалярным произведением на гиль-
гильбертовых пространствах. Причины этой трудности (которая встре-
встречается уже в конечной размерности) упоминались в гл. 4. Хотя
свойство унитарности не столь уж необходимо для определения
полинома Джонса, оно все же является существенным аспектом
теории, хорошее доказательство которого, разумеется, является
желательным.
Такое «прямое доказательство» можно, конечно, обобщить на
случай поверхностей с отмеченными точками. Однако в этом обоб-
обобщении нет существенно новых моментов. Грубо говоря, обобщен-
обобщенные пространства модулей отличаются от простых пространств мо-
модулей тем, что в них включаются копии однородных симплекти-
чёских многообразий группы G, которые хорошо поняты.
6.2. Конформная теория поля
Второй подход к проективной плоскостности состоит в фиксиро-
фиксировании точки Р на поверхности Е и вырезании маленького диска
D вокруг Р. Общая идея состоит в том, что различные вопросы
относительно поверхности 2 можно свести к изучению поверхно-
поверхности ?\D с краем 5 вместе с подходящими локальными данными
на диске D. Мы уже видели в гл. 5, как такой подход приводит к
теории представлений группы петель LG.
Имеются два ключевых шага в развитии такого подхода. Пре-
Прежде всего, представления группы петель LG допускают естествен-
естественное действие группы вращений окружности 50B). Однако бо-
iee внимательная проверка показывает, что такое действие можно
1родолжить до действия группы диффеоморфизмов окружности

52 Геометрия и физика узлов
DifT+E), по терминологии физиков «алгебры Вирасоро». Эти во-
вопросы тщательно исследованы в работе [24].
Следующий шаг — заметить, что элементы группы диффеомор-
диффеоморфизмов Diff+(S) можно использовать, чтобы с подкручиванием
вклеить диск назад в ?, получая при этом новую комплексную
риманову поверхность. На самом деле все комплексные структу-
структуры можно, по существу, получить таким способом. '
Применяя оба факта, можно вывести проективную плоскост-
плоскостность семейства векторных пространств.
Роль группы Diff+E) в таком доказательстве становится ясной,
если мы заметим, что условие проективной плоскостности наших
гильбертовых пространств можно переформулировать в следую-
следующем виде. Используем заданную комплексную структуру г на
римановой поверхности, чтобы построить соответствующее гиль-
гильбертово пространство (сечения расслоения Lk над пространством
модулей Мт)- Ясно, что любой автоморфизм комплексной струк-
структуры поверхности Ет будет действовать на этом гильбертовом про-
пространстве. В сущности, проективная плоскостность гарантирует,
что группа диффеоморфизмов Diflr*"(S) действует проективно. Это
в точности двумерный аналог одномерной версии, утверждающей,
что группа диффеоморфизов Din*4* E) действует (проективно) на
представлениях группы петель.
При таком подходе совершенно естественно обобщение, когда в
рассмотрение включаются и поверхности с краем, но оно не дает
ничего действительно нового.
6.3. АБЕЛИАНИЗАЦИЯ
Третий подход к проективной плоскостности гораздо более плодо-
плодотворен, чем первые два, но он до сих пор детально не разработан
и остается до некоторой степени гипотетическим. Тем не менее-
потенциально он очень важен, потому что в принципе сводит всю
неабелеву теорию к элементарному абелеву случаю, который обсу-
обсуждался в гл. 2. Таким образом, то, что будет представлено здесь,
является процедурой абелианизации. Бе можно сравнить с тео-
теорией представлений компактных групп Ли. Хорошо известно, что
эта теория сводится в некотором смысле к теории представлений
максимального тора с действием группы Вейля на этих предста-
представлениях. В нашем случае также существует дискретная группа,
которая играет роль группы Вейля.
Вся программа рассматриваемого здесь подхода опирается на
фундаментальную статью Хитчина [16]; поэтому мы начнем с

Гл. 6. Проективном плоскостность S3
очень краткого ее обзора. Для простоты будем обсуждать толь-
только случай групп G = U(n) или SU(n), но распространение теории
на случай произвольной группы Ли G является совершенно стан-
стандартным.
Хитчин вводит пространства модулей, которые обобщают про-
пространства модулей, введенные в гл. 3, и Описываются как через
голоморфные расслоения, так и через представления. Первое опи-
описание начинается с некоторой комплексной римановой поверхно-
поверхности 2Т и имеет дело с «расслоениями Хиггса» над ?т, т. е. парами
(V,в), где V — голоморфное векторное расслоение ранга п, а в
(«поле Хиггса») — голоморфное сечение расслоения (End V) ® К,
где К — каноническое линейное расслоение поверхности 2Т.
Существуют естественное понятие стабильности для расслое-
расслоений Хиггса и соответствующее пространство модулей М (все еще
зависящее от комплексной структуры г). Существует естественное
вложение М —> М пространства модулей голоморфных расслое-
расслоений в новое пространство модулей, сопоставляющее голоморфному
расслоению это же расслоение с нулевым полем Хиггса. Более то-
того, кокасательное расслоение Т*Мв многообразия стабильных то-
точек из М определяет некоторое естественное открытое множество
в пространстве модулей М, причем поле Хиггса задается соответ-
соответствующим кокасательным вектором. В частности, это показывает,
что dimAf = 2dimAf.
Характеристический полином поля Хиггса ф
F.3.1) det(A - ф) = Ап + atA—1 + • •• + а„
имеет коэффициенты а, из пространства сечений #°(?т,/\'). Все
вместе они определяют голоморфное отображение
со следующими свойствами:
(•) X — собственное отображение;
(и) типичный слой отображения х является абелевым много-
многообразием;
(Hi) dimM = 2dimW;
(iv) M является неприводимой компонентой слоя х-1@)-
Уравнение det(A — ф) = 0 определяет алгебраическую кривую

54 Геометрия и физика узлов
которая является п-кратным разветвленным накрытием поверх-
поверхности ?, зависящим от параметра w € W. Слой отображения х
над типичной точкой w € W является якобианом кривой ?т. За-
Заметим, что слой над точкой w = О является очень вырожденным
и, в частности, М является его кратной компонентой.
Таким образом, наше пространство модулей М появляется в
некотором вырождении некоторого семейства абелевых многообра-
многообразий. Более того, существует линейное расслоение ? над М, ограни-
ограничение которого на М дает наше стандартное линейное расслоение
L над М.
Рассматривая пространства сечений расслоения ?* над слоями
отображения х, мы получаем векторное расслоение над множе-
множеством регулярных точек пространства W, т. е. над W\D, где дис-
криминантное множество D состоит из тех точек w € W, для ко-
которых характеристический полином F.3.1) имеет двойной корень.
Сечения расслоения Lk над М можно поднять до сечений рас-
расслоения ?* над кокасательным пространством Т*Мв и затем про-
продолжить их на все пространство модулей М. (при условии, что
исключительное множество имеет коразмерность ^ 2, а это име-
имеет место для поверхностей рода д > 2). Следовательно, мы мо-
можем считать что наше гильбертово пространство Н°(М, Lk) — это
пространство сечений указанного выше векторного расслоения над
W\D.
Тогда такое расслоение имеет проективно плоскую связность,
приходящую из абелева случая (заданную с помощью 0-функций,
как в гл. 2). Наша цель заключается в отождествлении простран-
пространства сечений Н°(М, Lk), по крайней мере проективно, с простран- •
ством ковариантно постоянных сечений расслоения над W\D.
Или, эквивалентно, пространство Н°(М, Lk) должно быть частью
пространства H°(x~l(w),?t)> которая остается неподвижной при
действии монодромии фундаментальной группы vi(W\D,w) = П
с базисной точкой в типичной точке w € W\D.
Если установлено такое отождествление, то это пространство
и является нашей абелианизацией с фундаментальной группой П
(или, правильнее, ее образом в симплектической группе, соответ-
соответствующей абелеву многообразию) в роли группы Вейля.
Проективная плоскостность, когда мы варьируем точку т €Т,
является следствием проективной плоскостности в абелевом слу-
случае. Заметим, что здесь используются два типа вариаций абеле-
абелевых многообразий. При первом типе разветвленное накрытие Ёт
поверхности Ет варьируется вместе с точками ветвления в зави-
зависимости от точки w fz W. Затем имеются вариации самой ком-
комплексной структуры г на поверхности Ет. «Группа Вейля» долж-

Гл. 6. Проективная плоскостность 55
на, следовательно, быть группой, не зависящей от комплексной
структуры г и возникающей из универсального пространства
и универсального дискриминанта
Пространства модулей Хитчина имеют много других замечатель-
замечательных свойств, которые, вероятно, послужат наградой за даль-
дальнейшие исследования. В частности, пространство модулей М
(как вещественное многообарзие) описывается через представле-
представления, а именно, это пространство модулей представлений ttiB) —»
GL(n,C). Это описание обобщает описание пространства модулей
М как пространства унитарных представлений группы xi(E).
Чтобы работать с поверхностями, имеющими отмеченные точ-
точки, понятие расслоения Хиггса надо обобщить, потребовав, чтобы
поле Хиггса ф имело простые полюсы в отмеченных точках с ниль-
потентными вычетами.
6.4. Вырождения кривых
Какой бы метод ни применялся, заключение предыдущих разде-
разделов состоит в том, что гильбертовы пространства ZT, заданные как
пространства сечений Н°(МТ, ?*), образуют голоморфное вектор-
векторное расслоение Z с проективно плоской связностью над простран-
пространством Тейхмюллера Т. Поскольку наши конструкции естествен-
естественны, на всем этом пространстве действует группа классов изотопии
Г, состоящая из компонент связности группы диффеоморфизмов
Diff+(?). Если мы профакторизуем пространство Тейхмюллера по
действию группы Г, то получим пространство модулей
М =Т/Т
кривых рода д, равного роду поверхности S. Мы не можем просто
профакторизовать расслоение Z по группе Г, чтобы получить рас-
расслоение над пространством модулей М, из-за наличия неподвиж-
неподвижных точек относительно действия группы Г. Однако существу-
существует стандартный способ сделать более «жесткими» кривые, чтобы
обойти указанную трудность, и поэтому мы будем игнорировать ее.

56 Геометрия и физика узлов
Технически расслоение Z является Г-эквивариантным векторным
расслоением над Г-пространством Т, но легче воспринимать его р
терминах расслоений над М.
Пространство модулей М имеет естественную компактифика-
цию М, которую можно получить, включив в рассмотрение кри-
кривые с двойными точками. Ключевой результат в нашей теории
состоит в том, что векторное расслоение (полученное из Z) над
пространством модулей М продолжается до расслоения над М.
Это установили Цучия, Уено и Ямада [33], которые также исследо-
исследовали поведение связности вблизи «границы» М\М- Грубо говоря,
они доказали, что связность имеет простые полюсы (регулярные
особенности), но технически это надо формулировать на языке
D-ъюдулей.
Если программу абелианизации Хитчина можно довести до кон-
конца, то распространение ее на М должно получаться из абелева
случая с помощью рассмотрения в-функций для обобщенных яко-
якобианов.
Поведение нашего расслоения Z на границе тесно связано с ис-
использующимся в конформной теорией поля склеиванием поверх-
поверхностей по краю и результирующей алгеброй Верлинде [34]. В ука-
указанной работе детально исследованы упомянутые соответствия.

Глава 7
Формализм фейнмановских
интегралов
7.1. Лагранжиан Чжэня — Саймонса
До сих пор мы представляли теорию Джонса — Виттена с гам ил ь-
тоновой точки зрения. Такой подход дает нам функторы
поверхность Е —»
конечномерное векторное пространство
трехмерное многообразие Y с краем 2 = 6Y —*
вектор Z(Y) €
причем начальные данные — это компактная группа Ли G и целое
число Jb, задающее уровень.
Такой гамилътонов формализм является математически стро-
строгим, хотя он все еще не до конца развит.
В этой главе мы представим подход Виттена, основанный на ин-
интегралах Фейнмана по путям (по другой терминологии, функци-
функциональных интегралах Фейнмана). Этот подход не является ма-
математически строгим, но он концептуально прост и обеспечивает
естественный отправной пункт развития теории.
Зафиксируем некоторую компактную группу Ли G. Для про-
простоты возьмем в качестве G специальную унитарную группу
SU(n). В фейнмановском подходе используется лагранжиан Чжэ-
Чжэня — Саймонса. Пусть Y — замкнутое трехмерное ориентирован-
ориентированное многообразие^ Рассмотрим пространство А всех G-связностей
на тривиальном G-расслоении над Y.
Для любой связности А ее кривизна Fa является 2-формой со
значениями в алгебре Ли группы G. В размерности три формой,
двойственной к 2-форме, является 1-форма, т. е. *Fa является
1-формой. Пространство связностей А — аффинное пространство,
так что касательное пространство к нему в любой точке А состоит
из 1-форм со значениями в алгебре Ли.
Таким образом, взятие кривизны F задает 1-форму на А. Бе
значение на касательном векторе к А задается при помощи умно-
умножения этого вектора A-формы) на форму Fa и интегрирования

58 Геометрия и физика узлов
по многообразию Y, причем переменные из алгебры Ли сво-
сворачиваются.
Пусть
Q — группа калибровочных преобразований = Мар(У, G).
Ясно, что Q действует на пространстве связностей А; относительно
этого действия F является (/-инвариантной 1-формой. Более того,
на расслоении (с особенностями) А—*A/G форма F обращается
в нуль на вертикальных (касательных к слою) направлениях, и,
следовательно, эта форма приходит с базы. Таким образом, F —
корректно определенная 1-форма на пространстве A/G. .
Кроме того, имеет место равенство dF = 0, т. е. F — замкну-
замкнутая 1-форма. Значит, можно ожидать, что форма F может быть
представлена в виде
для некоторой скалярной G-инвариантной функции / на А, опре-
определенной с точностью до константы. Можно фиксировать эту кон-
константу требуя, чтобы выполнялось равенство
на тривиальной связности.
Такая функция существует, если пространство калибровочных
классов связностей A/G является односвязным. В противном слу-
случае можно ожидать лишь, что функция / определена локально,
а глобально будет многозначной. На самом деле пространство
A/G является неодносвязным и функция / корректно определена
лишь с точностью до целого кратного некоторой константы. Та-
Такая функция / является функционалом Чжэня — Саймонса. Он
корректно определен по модулю целых чисел и является
(/-инвариантным.
Явная формула
Определим функционал
= JL [
4* Jy
где А € А. Здесь L — некоторое кратное функционала /: символ L
использован, чтобы согласовать обозначения с принятыми в работе
Виттена [36].

Гл. 7. Формализм фейнмановских интегралов 59
Теперь проверим инвариантность функционала L относительно
действия связной компоненты единицы Go калибровочной группы
Q. Здесь группы Q и Go отличаются на группу целых чисел Z, и
относительно действия образующей группы G/Go функционал L не
инвариантен — он изменяется на кратное числа 2т.
Итак, eik^A^ — корректно определенная функция от связно-
связности А при Jfc € Z. Инвариант Виттена трехмерного многообразия
формально определяется как «статистическая сумма»
Z(Y) = f exp{ikL(A))VA.
Ja
Это очень элегантное определение, если быть уверенным, что ука-
указанный интеграл имеет смысл! Более общим образом, мы рассмо-
рассмотрим замкнутую ориентированную кривую С в многообразии У и
в дополнение к исходным данным G, к зафиксируем неприводимое
представление А группы G.
Произвольная связность А на У определяет параллельный пе-
перенос вдоль любой кривой в многообразии У. В частности, для
кривой С мы получим элемент монодромии Мопс(А) в группе G.
Тогда
ТгА Мопс(А) = WC(A)
вычисляется взятием следа в представлении Л. Величина We (А)
известна как петля Вильсона. Положим
Z(Y,C) = f exp(ikl(A))Wc(A)VA.
Ja
Это обобщение статистической суммы Z(Y). На языке физиков
Z(Y) = (l),
где ( , ) обозначает (ненормированное) среднее значение.
Конечно, подобным образом мы можем поступить с несколь-
несколькими компонентами С\,..., Сг, сопоставляяя каждой из них свое
представление группы G. Тогда
Z(Y,CU..,CT) = (WCl(AWc,{A)...WCr(A))-
Важно отметить, что введенные выше определения не исполь-
используют ни метрики, ни объема. Это указывает на то, что мы опреде-
определили топологические инварианты.

60 Геометрия и физика узлов
7.2. Метод стационарной фазы
Чтобы выяснить, имеют ли данные выше определения какой-либо
смысл, мы прежде всего рассмотрим асимптотику метода ста-
стационарной фазы при к —* со. Можно представлять себе параметр
Jb как нечто подобное I/ft, где Л — постоянная Планка. Классиче-
Классический предел получается при ft —» 0.
В оставшейся части этого раздела мы сосредоточим свое внима-
внимание на Z(Y). Обобщения Z(Y, Ci,...,Сг) исследуются аналогично,
но немного сложнее.
В приближении стационарной фазы доминирующий вклад в
асимптотику дают стационарные точки показателя экспоненты,
т. е. точки, где dL(A) = 0, а для таких точек F^ = 0 по опре-
определению функционала /, т. е. А является плоской связностью,
так что ей соотвествует представление фундаментальной группы
a :*i(Y)-+ G.
Асимптотика статистической суммы Z(Y) по методу стационарной
фазы задается суммой вкладов, по одному для каждого такого
представления а, так что нам необходимо рассматривать интеграл,
определяющий статистическую сумму, только локально.
Предположим, что а является плоской связностью и
где форма /? «мала». Тогда получим разложение
L(A) = L(a) + — / ЩР Л </«,/?) + кубические члены по /?.
4тг JY
Линейные слагаемые отсутствуют, поскольку dL = 0 в а. Здесь
</а/? обозначает ковариантную производную формы /? относи-
относительно связности а.
Пусть
Это квадратичный член в разложении для функционала L(A).
Можно рассматривать Q как квадратичную форму от бесконеч-
бесконечного числа переменных. Имеем

Гл. 7. Формализм фейнмановских интегралов 61
где ( , ) — скалярное произведение 1-форм со значениями в алгебре
Ли:
а Л *$.
Таким образом, квадратичная форма Q задается с помощью са-
самосопряженного оператора — *da. Эта форма связана с комплек-
комплексом де Рама локальной системы, определенной с помощью плоской
связности а. Пусть да — плоское G-расслоение над Y, заданное
плоской связностью а, слоем котрого является алгебра Ли д. То-
Тогда мы получим комплекс де Рама
Поскольку а — плоская связность, то d\ = 0.
Мы будем полагать для простоты, что а — невырожденное
представление, т. е. что соответствующий комплекс де Рама, опре-
определенный выше, имеет нулевые когомологии:
Поскольку Я3, Я2 двойственны к Я0, Я1, эти условия сводятся по
существу к равенствам Я0 = 0,Я1 = 0. Равенство H°(Y,ga) = 0
соответствует неприводимости предствления а, а равенство
U1(Y,ga) = 0 — изолированности этого представления (так как
dim Я1 по существу является числом параметров деформации
представления).
В указанном случае квадратичная форма Q вырождается на
°, поскольку *da обращается в нуль на образе оператора
Это вырождение соответствует тому факту, что функционал / ин-
инвариантен относительно действия группы калибровочных преобра-
преобразований Q; образ сЮ° соотвествует инфинитезимальным калибро-
калибровочным преобразованиям. Факторизуя по <Ш°, мы обнаружим,
что квадратичная форма Q невырожденна на факторпространстве
Сделаем отступление, чтобы обсудить классические интегралы
Гаусса. Мы начнем с одномерного интеграла
¦/—
*** у/Ц'

62 Геометрия и физика узлов
Продолжая этот интеграл аналитически по параметру и полагая
р — —i'A, мы получим равенство
В размерности п аналог этой формулы имеет следующий вид.
Предположим, что Q — невырожденная квадратичная форма от
переменных х\,..., х„. Тогда
Такая формула верна только для невырожденных (т. е. не имею-
имеющих нулевых собственных значений) квадратичных форм.
Предположим, что задано действие компактной группы Ли G
(например, группы комплексных чисел, по модулю равных 1, 51)
на евклидовом пространстве X и Q(x) есть G-инвариантная ква-
квадратичная форма на X. Возьмем срез в пространстве X, транс-
версальный орбитам действия группы G. Мы должны учесть в
вычислениях какое-либо выражение для якобиана: на самом деле
подходящей величиной является объем орбиты.
трансверсалыгое сечение
Группа G действует на X. Для произвольной точки х 6 X мы
получаем отображение
д-*дх.
Такое отображение задает отображение В из касательного про-
пространства к группе Ли G в единице в касательное пространство к
орбите в точке х. Якобиан последнего отображения соответствует
объему орбиты. Таким образом, величина
объем группы
является подходящим масштабным множителем.

Гл. 7. Формализм фейнмановских интегралов 63
Следовательно, модуль интеграла равен
(i) (аеЦВ'В))^
а фазовый множитель равен
(И) expfjsgnQJ.
Приложение к нашей ситуации
В нашем случае
В = (инфинитезимальное отображение из алгебры Ли
в касательное пространство к многообразию)
откуда следует, что В* В = d*ada = Д°, т. е. это оператор Лапласа
на П».
Теперь квадратичная форма Q задается при помощи оператора
— * da на Q1/dil°. Рассмотрим самоспряженный оператор
Р = e(da* + *da),
действующий на формах нечетной степени fl^*d, причем е = — 1
на П„ и с = 1 на 0%,. По двойственности пространство ?1% мож-
можно заменить на пространство Я°, и тогда можно считать, что Р
действует на пространстве ?2° ф ЗД. Оператор Р тесно связан с
квадратичной формой Q.
Мы можем представить пространство П„ в виде прямой суммы:
где
К = Im(<fa : П* -» П»),
а 1У = V1 — ортогональное дополнение к V ъ пространстве п^.
Тогда можно считай^ что Q как оператор действует на W, а Р
действует на пространстве ?2„ ф V Ф VV операторной матрицей
-ГО -В* 01
-В 0 0
L 0 0 Q\

Геометрия и физика узлов
lmda =
Любая квадратичная форма типа
(lmda)x=W
Г о -в-]
[-В О J
всегда имеет нулевую сигнатуру. Конечно, в данном случае мы
не можем придать смысл детерминанту det Q или сигнатуре sgn Q,
однако при любом «разумном» их определении мы надеемся полу-
получить равенства
sgn P - sgn Q,
= (detS'S)ldetQ|.
(iii)
Итак, если мы сможем придать смысл детерминантам detP,
det (В* В), то сможем выписать локальный вклад в асимптотику
по методу стационарной фазы.
До сих пор мы не учитывали уровень к. В конечной размер-
размерности переход к уровню к изменяет результирующий интеграл на
подходящую степень числа к, которая, как мы увидим позднее, в
нашем случае равна.нулю.
Регуляризация детерминантов и сигнатур
Пусть А — оператор Лапласа с положительными собственными
значениями А. Тогда мы можем определить (-функцию
Функция ((s) является мероморфной функцией, определенной
первоначально для достаточно больших значений вещественной
части Re(s). Бе можно аналитически продолжить на всю ком-
комплексную плоскость как мероморфную функцию с изолирован-
изолированными полюсами. Точка в = 0 не является полюсом, и значения
С@). С'@) корректно определены.
Формально значение ?@) является размерностью гильбертова
пространства. В нечетных размерностях ?@) = 0.

Гл. 7. Формализм фейнмановских интегралов 65
Следуя Рею и Зингеру [26], мы определим детерминант равен-
равенством
detA = exp(-C'(O)).
Формально
' - V d
A S
так что
Данное выше определение детерминанта приводит к вполне
определенному вещественному числу, и именно оно использует-
используется физиками, чтобы придать смысл гауссовым интегралам,
встречающимся в квантовой теории поля. Мы хотим перенести
эти определения на лапласианы со скрученными коэффициентами
Д°. Такой перенос сделает детерминант det Д° корректно опре-
определенным и, таким образом, даст выражение для детерминанта
оператора В* В.
Аналогично рассмотрим оператор Р2 = Д° ф Д1 как прямую
сумму операторов Лапласа на пространствах 0°, Й1. Тогда
и, следовательно, модуль детерминанта |detP| корректно опреде-
определен и задает | det Q| с помощью равенства (Hi).
Таким образом, мы можем вычислить отношение (i), получая
(detA°K/4
Рей и Зингер [26] доказали, что квадрат
_ (detA°K/2
полученного выше выражения не зависит от выбора римановой ме-
метрики. Напомним, что риманова метрика используется в определе-
¦ нии «-оператора Ходжа, который необходим для придания смысла
расходящимся величинам.
Чтобы доказать независимость Та от метрики, продифференци-
продифференцируем это выражение по метрике как по параметру и покажем, что

66 Геометрия и физика узлов
эта производная обращается в нуль. Рей и Зингер выдвинули ги-
гипотезу, что Та является классическим кручением Рейдемейстера.
Эта гипотеза была доказана (независимо) Нигером и Мюллером.
Инвариант Рея — Зингера является первым конкретным подтвер-
подтверждением формулы Виттена для статистической суммы Z(Y): абсо-
абсолютное значение предела Z(Y) при к -* со можно регуляризовать
и результат уже не зависит от метрики. Это наблюдение, свя-
связывающее кручение Рея — Зингера с абелевой теорией Чженя —
Саймонса, было сделано Шварцем [28] в конце семидесятых годов
(и весьма легко распространяется на неабелев случай).
Фазовый множитель
Мы теперь рассмотрим фазовый множитель, заданный выражени-
выражением (и). Он включает в себя сигнатуру sgn Q, которая связана с
сигнатурой sgn P и изучалась Атьей, Патоди и Зингером в работе
[6].
Рассмотрим ситуацию, когда Р — самосопряженный оператор
с как положительными, так и отрицательными собственными зна-
значениями и оператор А задан равенством
Определим функцию
V(s)= E(|A|-'sgnA).
А*0
Как и С-функцию, tj(s) можно аналитически продолжить на всю
плоскость, причем значение т?@) корректно определено. Формаль-
Формально можно написать равенство
77@) = (число положительных собственных значений) -
(число отрицательных собственных значений),
и потому естественно определить сигнатуру равенством sgnP =
т/@). Заметим, однако, что так определенная сигнатура являет-
является вещественным числом, но не целым, так что значение фазы в
выражении (а), вообще говоря, не будет корнем из единицы.
Кроме того, мы имеем (ср. предложение 4.20 из [6]) равенство
где г]а есть ^функция, ассоциированная с оператором Ра. Мы
теперь исследуем, как сигнатура sgnQo 'зависит от метрики.

Гл. 7. Формализм фейнмановских интегралов 67
Здесь а обозначает такое представление фундаментальной груп-
группы *\(М), что когомологии группы vi(M) относительно него рав-
равны нулю. Рассмотрим тривиальное представление и положим
где цл — drji и ту-функция щ соответсвует обычным дифференци-
дифференциальным формам (без групповых слоев), ad — размерность нашей
группы Ли. Тогда
A) ijo не зависит от метрики,
B) й,@) = D/1гЖСГ)ВД,
где 6(G) — числовой инвариант группы G (он равен п для группы
SU(n); в общем случае этот инвариант зависит от значения опера-
оператора Казимира в присоединенном представлении) и L обозначает
функционал Чжэня — Саймонса.
Таким образом, из основной формулы метода стационарной фа-
фазы мы получим равенство
(вклад от точки а) = С ¦
где С — постоянный множитель, отвечающий значениям гц и со-
содержащий в себе всю зависимость от метрики в этой формуле; j^,a
не зависит от метрики. Фазовый множитель не зависит от группы
G и от выбора представления, но зависит от выбора основной ме-
метрики. Выписанная выше формула для значения fj\(O) приводит
к сдвигу
в экспоненциальном множителе, отвечающем значению функцио-
функционала действия в критической точке а. Такой сдвиг хорошо изве-
известен физикам в разных обликах.
Если бы мы сумели построить выражение для статистической
суммы Z(Y), не зависящее от метрики, то показали бы, как для
больших значений к придать смысл детерминантам и сигнатурам
при помощи регуляризации. Это почти верно, но не, совсем из-за
неоднозначности фазы.
По этой причине Виттен вынужден выбирать оснащение на трех-
трехмерном многообразии. По аналогичной причине, чтобы опреде-
определить инварианты зацеплений, мы вынуждены выбирать нормаль-
нормальное оснащение для каждой компоненты зацепления. Подробнее о
таких оснащениях мы будем говорить в следующем разделе.

68 Геометрия и физика узлов
7.3. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ
Мы теперь покажем, почему предполагается, что лагранжиан
Чжэня — Саймонса приводит к гамильтоновой версии теории, ко-
которую мы развивали в предыдущих главах.
Чтобы перейти от интеграла по путям к гамильтонову форма-
формализму, мы должны разделить пространство и время. Поэтому мы
рассмотрим трехмерное многообразие вида ExR. Чтобы полу-
получить квантовое гильбертово пространство, мы намерены кванто-
квантовать пространство «классических решений», т. е. множество кри-
критических точек лагранжиана. Но такие критические точки явля-
являются в точности калибровочными классами эквивалентности плос-
плоских связностей и, таким образом, дают нам пространство модулей
плоских (/-расслоений над многообразием ЕхК. Однако такие
расслоения — это то же самое, что и плоские G-расслоения над по-
поверхностью Е. Это пространства модулей, которые мы уже встре-
встречали в гл. 3 и квантование которых дает конечномерные гильбер-
гильбертовы пространства, уже изучавшиеся нами.
Тот факт, что эти пространства не зависят от R-переменной (от
времени), показывает, что гамильтониан теории равен нулю (т. е.
что эта теория не имеет динамики и является топологической).
Другой подход состоит в интерпретации связности А на много-
многообразии S х Ш. как пути А% в пространстве связностей на поверхно-
поверхности Е. Это осуществляется при помощи параллельного переноса
по времени (по R), чтобы отождествить расслоения для различных
моментов времени, или, как говорят физики, при помощи перехо-
перехода к калибровке, где Ао — 0. Такой подход упрощает лагранжиан
Чжэня — Саймонса, поскольку кубический член теперь исчезает,
и мы просто получаем
= -?- I dt [ъ(АЛ<1А).
otr Js J
Это выражение совпадает с классической формулой для функции
действия на путях в симплектическом линейном пространстве А.
Отсюда следует, что наше гильбертово пространство будет </?-ин-
вариантной частью квантового гильбертова пространства аффин-
аффинного пространства связностей Ац. Однако, как мы формально по-
показали в гл. 4 и 5, такое квантование — то же самое, что кванто-
квантование симплектического фактора Аъ//Яъ, т. е. пространства мо-
модулей плоских G-расслоений над поверхностью Е.
Мы закончим эту главу несколькими короткими комментария-
комментариями о тонкостях, связанных с фазами при лагранжевом и гамиль-
тоновом подходах. Мы напомним тот факт из разд. 7.2, что (в

Гл. 7. Формализм фейнмановских интегралов 69
пределе при к —* со) фазовые множители были нетопологически-
нетопологическими составляющими асимптотики, которые зависели от метрики ис-
исходного пространства. Виттен показал в работе [36], что при помо-
помощи сокращения «контрчленов» (для гравитационного лагранжиа-
лагранжиана Чжэня — Саймонса) мы можем восстановить чисто топологиче-
топологический характер теории. Однако для этого ему пришлось наделить
оснащением .трехмерное многообразие (которое само является ча-
частью топологических данных).
В гамильтоновой версии соответствующая трудность связана
с неоднозначностью фазы в наших гильбертовых пространствах:
это выражено в том, что кривизна расслоения гильбертовых про-
пространств над пространством Тейхмюллера является ненулевым
скаляром.
Связь между этими двумя проявлениями неоднозначности фа-
фазы опирается на давнюю идею Виттена [37], затем строго сформу-
сформулированную и доказанную Бисмю и Фридом [8]. Эта идея связы-
связывает гравитационный ^-инвариант трехмерного многообразия ?/,
построенного по диффеоморфизму / € Diff+(E), с монодромией
детерминантного линейного расслоения Квиллена. Мы по сути
игнорировали эти тонкости, так что нет смысла теперь начинать
их детальное обсуждение. Тем не менее мы подчеркнем, что они
являются решающими аспектами данной теории (связанными так-
также с центральными расширениями групп петель), и отсылаем чи-
читателя к таким работам, как [36], а также [4].

Глава 8
Заключительные замечания
8.1. Вакуумные векторы
В этой заключительной главе мы очень кратко коснемся некото-
некоторых других аспектов терии Джонса — Виттена. Во-первых, мы
хотим обсудить, как функциональный интеграл приводит, по край-
крайней мере формально, к дополнительным объектам и понятиям, ко-
которые необходимы для построения топологической квантовой тео-
теории поля в соответствии с аксиоматикой из гл. 2.
Для трехмерного многообразия Y с краем 3Y = Е значение
функционала Чжэня — Саймонса Ь(А) из гл. 7 на самом деле не
является просто комплексным числом (взятым по модулю 2жХ).
По существу, на экспоненту e'L^ следует смотреть как на вектор
на комплексной прямой ?дЕ, слое стандартного линейного рассло-
расслоения С над пространством связностей Аъ на крае S. В частном
случае многообразия Y = S х / с краем
это можно сделать следующим образом.
Используя параллельный перенос в направлении множителя /,
мы можем отождествить связности на У с путями At в простран-
пространстве связностей на S,0 ^ t ^ 1. Как отмечено в гл. 7, при та-
таком отождествлении функционал Чжэня — Саймонса становится
классическим действием на путях в симплектическом многообра-
многообразии, и его экспонента дает параллельный перенос (вдоль пути At в
) из слоя Cq в слой С\. Таким образом, мы получаем включение
JL(A) (zr*xr.-
и, возводя в степень к, получим, что
eikL(A)e -•¦
Мы теперь формально покажем, как трехмерное многообразие
Y с краем dY = S определяет вектор

Гл. 8. Заключительные замечания . 71
в гильбертовом пространстве Z(E), так что выполняются аксиомы
из гл. 2. Напомним, что гильбертово пространство Z(E) на уровне
к определяется как пространство сечений линейного расслоения
?>?, где Li — линейное расслоение над симплектическим факто-
фактором АъНЯъ- Затем мы определяем вектор Z(Y) как линейную
функцию на сопряженном пространстве ?(?*) = (Z(E))*, задан-
заданную сопоставлением сечению ф линейного расслоения ??* фейн-
мановского интеграла
[
Этот фейнмановский интеграл берется по всем связностям на У,
которые являются плоскими (и равны связности В) на крае Е.
Интуитивно мера VA включает в себя симплектическую меру на
симплектическом факторе Аъ//9ъ вместе с мерой, приходящей из
внутренней области.
В пределе при больших к мы можем придать этот процедуре
большую строгость, применяя метод стационарной фазы, как в
гл. 7. Это сводит задачу к рассмотрению подходящего множества
критических точек, которые являются плоскими связностями на
трехмерном многообразии У. Например, когда У — «тело с руч-
ручками», множество классов изоморфных G-расслоений H1(YiG) на
Y можно отождествить с лагранжевым подмногообразием в сим-
симплектическом многообразии Я^Е, G). Для разбиения Хегора зам-
замкнутого трехмерного многообразия вдоль поверхности Е мы полу-
получим два лагранжевых подмногообразия из двух половин разбие-
разбиения, которые пересекаются в точках, соответствующих предста-
представлениям vi(Y) -* G фундаментальной группы многообразия У.
Это наблюдение возвращает нас к вычислениям по методу стацио-
стационарной фазы из гл. 7, и ситуация формально похожа на ситуацию
при определении инварианта Кассона, который является инвари-
инвариантом другой топологической квантовой теории поля (ср. [2]).
8.2. Соотношения типа Александера — Конвея
Как отмечалось в гл. 1, полином Джонса зацеплений в сфере S3
можно охарактеризовать при помощи соотношений типа Алексан-
Александера — Конвея. Они используют сравнение трех зацеплений, ко-
которые можно получить при изменении типа пересечения в задан-
заданной вершине плоской диаграммы зацепления. Отождествление ин-
инварианта Виттена, построенного по функциональному интегралу
(для группы G — SUB) и ее стандартного представления в С3), со

72 Геометрия и физика узлов
значением полинома Джонса (t = 2iri/(k+2)) опирается на провер-
проверку того факта, что этот инвариант удовлетворяет соотношениям
типа Александера — Конвея.
Тот факт, что инвариант Виттена удовлетворяет соотношени-
соотношениям типа Александера — Конвея правильной формы (для группы
SU(n) и ее стандартного представления в С*), является элементар-
элементарным следствием того обстоятельства, что гильбертово простран-
пространство теории Виттена для двумерной сферы S2 с четырьмя отме-
отмеченными точками (две положительные, две отрицательные) имеет
размерность 2. Действительно, разбив сферу 53 на два шара при
помощи вырезания малой окрестности заданной вершины, мы как
раз получим сферу S2 с четырьмя отмеченными точками в каче-
качестве общей границы этих шаров. В гильбертовом пространстве %
такой сферы мы получим вектор, скажем и, определенный внеш-
внешним шаром, и три вектора v+,v_,vo> определенные вырезанным
шаром (зависящие от выбора одного из зацеплений L+,L-,L0).
Инвариантами Виттена для этих трех зацеплений являются ска-
скалярные произведения соответствующих векторов с вектором и в
гильбертовом пространстве %
Если dimW = 2, то три вектора v+,v-,vo должны удовлетворять
линейному соотношению и их скалярные произведения с вектором
и удовлетворяют тому же соотношению. Заметим, что гильбертово
пространство Л и три вектора v+,v-,vo определены локально и
не зависят от остальной части зацепления вне вырезанного шара.
Таким образом, коэффициенты линейного соотношения являются
универсальными (зависят только от п и к).
Укажем причины, в силу которых размерность пространства И
равна 2. Можно показать (исходя из его определения), что гиль-
гильбертово пространство для сферы 52 с точками Pj, i = 1,..., г, по-
помеченными представлениями Ai,...,Ar группы G, будет подпро-
подпространством G-инвариантной части тензорного произведения
Ai®-®Ar.
Для больших к мы всегда получим все пространство. В частно-
частности, возьмем г = 4 и Aj = Аг = А![ = Х\. Тогда размерность
G-инвариантной части тензорного произведения
Ai ® Ai ® AJ ® AJ = End(A! ® Aj)
равна числу неприводимых слагаемых в Ai ® Aj. Для группы G =
SU(n) и представления Х\ = С* это число равно 2.

Гл. 8. Заключительные замечания 73
Вычисление коэффициентов соотношений типа Александера —
Конвея (т. е. нахождение их зависимости от п и Jb) дано Виттеном
в работе [36]. Оно опирается на алгебраический результат Верлин-
де [34], которому Виттен дал интерпретацию в терминах формул
перестройки. Эти идеи мы коротко обсудим в следующем разделе.
8.3. Формула перестройки
Бели мы хотим вычислить инвариант Виттена для трехмерного
многообразия (без зацепления), то можем это сделать, используя
перестройки. Перестройка — это такая последовательность опе-
операций: вырезание заполненного тора S1 х D2 из многообразия,
подкручивание его края (тора 51 х S1) и затем помещение его на-
назад в трехмерное многообразие. Каждое трехмерное многообразие
можно получить с помощью последовательности таких перестроек,
начиная с трехмерной сферы.
Существенным шагом в вычислении инварианта Виттена с по-
помощью перестроек является умение вычислить:
(i) гильбертово пространство тора;
(ii) действие модулярной группы SLB, Ж) (группа классов изо-
изотопии, состоящая из компонент связности группы дифео-
морфизмов Diff+E1 х S1)) на этом гильбертовом простран-
пространстве.
Гильбертово пространство тора можно вычислить различными
способами. Поскольку фундаментальная группа тора — абеле-
ва группа, то пространство модулей ее представлений определя-
определяется легко. Так, для группы SU(n) таким пространством моду-
модулей является комплексное проективное пространство Pn-i (С) сего
стандартным линейным расслоением. Следовательно, гильбертово
пространство тора можно отождествить с пространством однород-
однородных многочленов от п переменных степени к. Для п = 2 это дает
(к + 1)-мерное гильбертово пространство.
С точки зрения группы петель гильбертово пространство тора
можно отождествить с представлениями группы петель LG уровня
ib. Более того, это отождествление является естественным, если
зафиксировать заполнение тора. А это дает явный базис в гиль-
гильбертовом пространстве. Действие модулярной группы SLB,Z) вы-
вычисляется с использованием алгебры Верлинде. Существенным
моментом вычисления действия SLB,2.) является вычисление (в
явно заданном базисе) матрицы 5, представляющей действие эле-
О 1]
-1 Oj
мента _. Л mSLB,Z).

74 Геометрия и физика узлов
В принципе можно также вычислить действие группы
SLB,Z) с точки зрения голоморфного квантования. Посколь-
Поскольку фундаментальная группа я\ абелева, нам необходимо только
знать, как изменяются 6-функции при изменении модуля элли-
эллиптической кривой (см. гл. 2).
vf8.4. Нерешенные задачи
Поскольку теория Виттена использует эвристический фейнманов-
ский интеграл, полезно посмотреть, какая часть теории имеет
строгое основание и какие нерешенные задачи остаются.
Мы более или менее полно показали, что конструкцию вектор-
векторного пространства Z(E), сопостагляемого оснащенной поверхности
(с отмеченными точками или без них), можно сделать достаточ-
достаточно строгой. Трудная часть теории состоит в построении векто-
векторов Z(Y) € Z(E), сопоставляемых оснащенным трехмерным мно-
многообразиям У с краем Е. Тем не менее аксиомы из гл. 2 дают
правила управления этими векторами. Эти правила можно ис-
использовать, чтобы вычислить эти векторы. Трудность заключена
в том, что эти правила могут оказаться несогласованными. Поэто-
Поэтому необходимо проверить согласованность.
Для полиномов Джонса такая проверка, по существу, заклю-
заключена в первоначальном подходе Джонса. Для новых инвариантов
трехмерных многообразий согласованность была проверена Реше-
тихиным и Тураевым [27].
По сути дела, согласованность аксиом (или правил) Виттена
включает в себя понимание того, как изменяются гильбертовы
пространства Е, когда поверхность Е приобретает двойные точ-
точки. Формулировка ответа Цучии и Ямады в терминах компакти-
компактифицированного пространства модулей Мд, по-видимому, включает
нужные свойства, однако было бы желательно прояснить ситуа-
ситуацию. См. также работу [19].
Как мы объяснили в разд. 8.1, определение векторов Z{Y) 6
2(Е) эквивалентно вычислению некоторых фейнмановских инте-
интегралов. Поскольку лагранжиан Чжэня — Саймонса является чи-
чисто топологическим, то отсутствуют реальные локальные труд-
трудности аналитической природы для придания смысла фейнманов-
скому интегралу. Поэтому мы можем рассматривать метод пере-
перестроек, указанный выше, как эффективный путь вычисления на-
нашего фейнмановского интеграла. В конце концов интеграл явля-

Гл. 8. Заключительные замечания 75
ется просто линейным функционалом с некоторыми аддитивны-
аддитивными локальными свойствами, и проверку согласованности, которую
мы упоминали, можно было бы осуществить путем проверки этих
свойств.
Конечно, было бы лучше, если можно было бы определить чи-
чисто комбинаторную версию лагранжиана Чжэня — Саймонса, как
в решеточных калибровочных теориях. Несколько обнадеживает
тот факт, что кручение Рейдемейстера имеет такое комбинаторное
определение и входит в вычисления по методу стационарной фа-
фазы для лагранжиана Чжэня — Саймонса, которое мы описали в
гл. 7. Однако, может быть, мы хотим слишком многого и будем
вынуждены обратиться к методу перестроек.
В дополнение к гальмитонову подходу, использующему гиль-
гильбертово пространство Z(E), метод стационарной фазы гл. 7 также
приводит к строгим формулам. Хотя мы привели только главный
член асимптотики, можно было бы попытаться продолжить вы-
вычисление дальше и получить вполне строгое разложение в ряд по
степеням fc. Тогда возникает заслуживающая внимания зада-
задача: показать, что полученный ряд на самом деле дает разложе-
разложение инварианта Виттена, вычисленного с помощью гамильтоновых
методов. Эта задача до сих пор очень мало исследована. Более
того, даже не ясно в общем случае, какого типа функции от пе-
переменной к мы получим из теории Виттена. Для зацеплений в
сфере S3 инвариант Джонса является многочленом от переменной
/ = ехр (ё^Ь но Для произвольного трехмерного многообразия си-
ситуация более сложная. В частности, не очевидно, что инвариант
Виттена будет всегда определяться своим разложением по степе-
степеням к.
8.5. Несвязные группы Ли
При описании теории Виттена мы ограничились компактными
связными и односвязными группами Ли G. Условие односвязности
можно опустить без особых затруднений. Основное отличие будет
состоять в том, что теперь над поверхностью ? могут существовать
топологически нетривиальные Сг-расслоения.
Замечательно, что несвязанные группы тоже можно допустить
интересным образом. В частности, мы можем даже взяь конечную
группу G. В этом случае теория становится строгой со всех точек
зрения (хотя скучноватой и менее глубокой, чем оригинальная те-

76 Геометрия и физика узлов
ория Джонса). Эта теория разработана Дикграфом и Виттеном [9]
и вызывает интерес в физике в связи с орбиобразиями (факторами
многообразий по конечным группам). Ключевым пунктом являет-
является то, что уровень ib (или, правильнее, скалярное произведение
в алгебре Ли, умноженное на число ib) следует интерпретировать
как элемент группы H4(BG, Ж), где BG — классифицирующее про-
пространство группы G. Для конечной группы G эта группа совпадает
с группой #3(f?<j,R/Z), и G-расслоение над замкнутым ориенти-
ориентированным трехмерным многообразием У определяет отображение
Y —* BG и, следовательно, R/Z-инвариант. Этот инвариант —
аналог функции Чжэнет — Саймонса.

Литература
1. Alexander J. W. A lemma on a system of knotted curves, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 9, 1973, 93-95.
2. Aiiyah M. F. Topological quantum field, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes
Sci. Paris, 68, 1989, 175-186.
3. Atiyak M. F. New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds, Am.
Math. Soc., Proc. Symp. Pure Maths., 48, 1988, 285-299. [Имеется
перевод: Атья М. Новые инварианты трехмерных и четырехмерных
многообразий. — УМН, 1990, 45, N 4.]
4. Atiyah M. F. On framings of 3-manifolds, Topogy, 29, 1990, 1-8.
5. Aiiyah M. F., Bait R. The Yang-Mills equations over Riemann surfaces,
Phil. Trans. R. Soc. bond., A 308, 1982, 523-615.
6.s Atiyah M. F., Paiadi V. A'., Singer I. M. Spectral asymmetry and Rieman-
nian geometry I, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 77, 1975, 43-69.
7. Axelrod S., DelU Pietra S., Wilten E. Geometric quantization of Chern-
Simons gauge theory, J. Diff. Geom., 33, 1991, 737-902.
8. Bism-nt J. M., Freed D. S. The analysis of elliptic families: Dirac operators,
eta invariants and the holonomy theorem of Witten, Comm. Math. Phys.,
107, 1986,103-163.
9. DijkgraaJ R., Witten E. Topological gauge theories and group cohomology,
Comm. Math. Phys., 129, 1990,393-429.
10. Donaldson S. K. Polynomial invariants for smooth four-manifolds, Topolo-
Topology, 29, 1990, 257-315.
1 \. Donaldson S. K. A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri, J.
Diff. Geom., 18, 1983, 269-277.
12. Drezet J. M., Naraiimha» M. S. Groupes de Picard des varietes de modules
de fibres semistables sur les courbes algebriques, Invent. Math., 97, N1,
1989, 53-54.
13. Flocr A. An instanton invariant for three-manifolds, Comm. Math. Phys.,
118, 1988, 215-240.
14. Ouillemin V., Sternberg S. Geometric asymptotics, Am. Math. Soc. Math.
Surveys, vol. 14 A977), Providence, R. I. [Имеется перевод: Гийемин В.,
Стериберг С. Геометрические асимптотики. — М.: Мир, 1981.]
15. Hilckin N. J. Flat connections and geometric quanzation, Comm. Math.
' Phys., 131, 1990, 347-380.
16. Hiiehin N. J. The self-duality equations on a Riemann surface, Proc. bond.
Math. Soc., 55 C), 1987, 59-126.
17. Jones V. F. R. Hecke algebra representations of braid groups and link poly-
polynomials, Ann. Math., 126, 1987,335-388.
18. Kirwan F. С Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geome-
geometry. Mathematical Notes 31, Princeton University Press, 1984.
19. Kontseineh M. Rational conformal field theory and invariants of 3-dimen-
sional manifolds (to appear).

78 Геометрия и физика узлов
20. Mehta V. В., Sethadri С. S. Moduli of vector bundles on curves with
parabolic structure, Math. Ann., 248, 1980, 205-239.
21. Mumford D. Geometric invariant theory, Springer-Verlag, Berlin, 1965.
[Имеется перевод: Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариан-
инвариантов. — М.: Мир, 1974.]
22. Naraaimhan M. S., Seshadri С. S. Stable and unitary vector bundles on
a compact Riemann surface, Ann. Math., 82, 540-567, 1965. [Имеется
перевод: Нарасимхан М., Шешадри С. Стабильные и унитарные
векторные расслоения ва компактной римановой поверхности. — Ма-
Математика, 13:2, 1969.]
23. Newstead P. Е. Characteristic classes of stable bundles over an algebraic
curve, Trans. Am. Math. Soc, 160, 1972,337-345.
24. Pre»sle$ A., Segal G. B. Loop group, Oxford University Press, 1986.
[Имеется перевод: Прессли А., Сигал Г. Группы петель. — М.: Мир,
1990.]
25. Quillen D. G. Determininants of Cauchy-Riemann operators over a Rie-
Riemann Surface, Funct. Anal. Appl., 19, 1986, 31. [Имеется перевод:
Квиллен Д. Детерминанты операторов Коши — Римана на римановой
поверхности. — Функц. анализ и его прил. — т. 19, вып. 1, 1985.]
26. Ray D. В., Singer I. М. Я-torsion and the Laplacian on Riemannian man-
manifolds, Adv. Math., 7, 1971, 145-210.
27. Retkeiikhin N. Y*., Turaev V. G. Invariants of three-manifolds via link
polynomials and quantum group, Invent. Math., 103, 1991, 547-598.
28. Sehwarz A. The partition function of degenerate quadratic functionals and
Ray-Singer invariants, Lett. Math. Phys., 2, 1978, 247.
29. Segal G. B. Conformal field theory, Proceedings of International Congress
of Mathematical Physics, Swansea, 1988.
30. Sethadri С S. Moduli of vertor bundles with parabolis structures, Bull.
Am. Math. Soc, 83, 1977,124-126.
31. Taxi P. G. On knots, I, II, III, Scientific Papers, Cambridge University Press,
1900.
32. Thompson W. H. On vortex motion, Trans. R. Soc. Edin., 25, 1969, 217-
260.
33. Tsvchiya A., Ucno K-, Yamada Y. Conformal field theory on universal
family of stable curves with gauhe symmetry, Adv. Stud. Pure Math., 19,
1989,459-566.
34. Verlinde E. Fusion rules and modular transformations, in 2d conformal field
theory, Nucl. Phys., B300, 1988, 360.
35. Witten E. Topological quantum field theory, Comm. Math. Phys., 117,
1988, 353-386.
36. Witte» E. Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm. Math.
Phys., 121, 1989, 251-399.
37. Wiiien E. Global gravitational anomalies, Comm. Math. Phys., 100, 1985,
297-299.
38. Woodhonte N. Geometric quantization, Oxford University Press, 1980.

Дополнение
Геометрия полей Янга—Миллса1*
М.Атъя
Предисловие
Эта книга — расширенный вариант «Фермиевских лекций», про-
прочитанных мною в июне 1978 г. в Scuola Normale в Пизе. Она также
покрывает материал, представленный весной 1978 г. в «Лёбовских
лекциях» в Гарварде и в «Виттеморовских лекциях» в Йеле. Во
всех случаях я обращался к смешанной аудитории математиков и
физиков, и изложение должно было быть построено соотвествен-
но. При написании' лекций я стремился, насколько возможно, учи-
учитывать эту двойственность аудитории. В частности, в первых гла-
главах я пытаюсь перекинуть мост между двумя точками зрения. В
последующих главах, где материал становится более техническим,
имеется опасность провалиться между двух стульев: с одной сто-
стороны, математический жаргон может быть непонятным физику,
а, с другой стороны, по математическим стандартам изложение
может быть недостаточно строгим. Я намеренно Пошел на этот
риск. Образованный математик должен быть в состоянии воспол-
восполнить большинство пробелов либо самостоятельна, либо обращаясь
к другим опубликованным работам. Физики, выдержавшие первые
главы, могут получить некоторую пользу, вникая в новый для них
математический аппарат, который применяется в известных им за-
задачах. Преследуя эту цель, я повсюду представил математический
материал в несколько необычном порядке, следуя модели, кото-
которая, как мне представляется, связывает новую математическую
технику с известной физикам почвой.
Основные новые результаты, представленные в этих лекциях, а
именно построение всех мультиинстантонных решений полей Ян-
Янга — Миллса, есть кульминация плодотворного взаимодействия
') Atiah M. F. Geometry of Yang — Mills Fields. — Accademia Nazionale dei
Lincei, Scuola Normale Superiore, Lezioni Fermiane, Pisa, 1979.
© Scuola Normale Superiore, 1979

80 Дополнение
многих физиков и математиков, длившегося несколько лет. Глав-
Главный прорыв произошел, когда Р. С. Уорд D2] обнаружил, что ком-
комплексные методы, развитые Пенроузом в его «твисторной програм-
программе», идеально подходят для изучения уравнений Янга — Миллса.
Затем было установлено [4], что задача об инстантонах эквивалент-
эквивалентна некоторой задаче комплексного анализа и, наконец, задаче ал-
алгебраической геометрии. Вскоре после этого применение мощных
методов современной алгебраической геометрии, а также специ-
специфических результатов Хоррокса и Барта привело к решению этой
задачи [2].
Первые две главы представляют собой введение в основные по-
понятия, постановку задачи и явное описание инстантонов. Следу-
Следующие две главы посвящены теории Пенроуза и ее приложению к
уравнениям Янга — Миллса. В гл. V я излагаю относящуюся к
алгебраической геометрии конструкцию Хоррокса, которая экви-
эквивалентна ввиду теории Пенроуза явной конструкции инстантонов
из гл. II. В гл. VI вводится важный математический инструмент —
когомологии с коэффициентами в пучках, которые связываются с
физически интересными уравнениями. Здесь имеется несколько
отступлений — они могут помочь сделать материал менее зага-
загадочным и более понятным. В гл. VII излагается теорема Барта [8],
которая показывает, что конструкция Хоррокса из гл. II дает все
нужные расслоения, а следовательно, что конструкция гл. II да-
дает все инстантоны. Наконец, в гл. VIII мы обсуждаем некоторые
другие аспекты и нерешенные задачи, связанные с уравнениями
Янга — Миллса.
Хотя изложение несколько прерывистое и включает много вспо-
вспомогательного материала, оно также в разумном смысле полно с
математической точки зрения. Единственное место, где доказа-
доказательство только намечено, — это отождествление в гл. VI группы
когомологии Н1(Рз, Е(—2)) с пространством решений для подхо-
подходящего оператора Лапласа. Пордробное изложение этого можно
найти в различных видах в [18], [29], [36]. Другое изложение всей
теории инстантонов содержится в работах Дринфельда и Мани- .
на [16]-[19], и математики, особенно если они — профессионалы в
алгебраической геометрии, могут предпочесть чтение этих работ.
Мое знакомство с геометрией уравнений Янга — Миллса нача-
началось с лекций, прочитанных И. М. Зингером в Оксфорде в 1976 г.,
и я очень благодарен ему за то, что он пробудил во мне интерес
к этому аспекту теоретической физики. С тех пор мы сотрудни-
сотрудничали по многим темам в этой области. В последние несколько
лет мне принесли большую пользу многочисленные обсуждения
с Р. Пенроузом вопросов, касающихся твисторной теории и ком-
комплексного анализа. Развивая математическую теорию инстанто-
инстантонов, я всегда работал в тесном сотрудничестве с Н. Хитчином,

Предисловие 81
и эти лекции воплощают результаты наших совместных усилий.
Я также в большом долгу перед моими теперь многочисленными
друзьями-физиками, помогавшими мне достичь некоторого пони-
понимания тех чарующих математических задач, которые обрамляют
физику элементарных частиц.
Наконец, я должен выразить благодарность Accademia Naziona-
le dei Lincei и Scuola Normale за приглашения прочесть «Фермиев-
ские лекции» и за гостеприимство в Пизе.

Глава I
Лагранжиан Янга — Миллса
1. Физическое введение
В общих чертах цель квантовой теории поля — поместить все эле-
элементарные частицы в те же рамки, что и фотоны. Поскольку фо-
фотоны возникают как кванты классической электромагнитной те-
теории, другие элементарные частицы тоже должны возникать при
квантовании подходящих классических теорий поля. В последние
годы оказалось, что наиболее обещающими кандидатами являют-
являются калибровочные теории, а обобщением уравнений Максвелла (в
вакууме) служит уравнение Янга — Миллса. Обобщение груп-
группы окружности, соответствующей фазовому множителю в макс-
велловской теории, доставляет некоторая неабелева компактная
группа Ли G, такая, как SUB) или SU(Z), — выбор группы дик-
диктуется экспериментально наблюдаемыми симметриями элементар-
элементарных частиц. Неабелевость группы G приводит к нелинейности
уравнений Янга — Миллса. Конечно, эта нелинейность является
источником болыцих математических трудностей, и квантование
неабелевых калибровочных теорий находится пока в начальной
стадии.
Один признанный подход к развитию квантовой теории состо-
состоит в использовании фейнмановского континуального интеграла и
включает интегрирование выражения exp(i'S), где S — действие.
При аналитическом продолжении на мнимое время пространство
Минковского заменяется четырехмерным евклидовым простран-
пространством. Евклидово действие — положительное кратное i; поэто-
поэтому подынтегральное выражение exp(iS') экспоненциально затуха-
затухает, причем его максимальное значение достигается на минимуме
евклидова действия. Поэтому разумная задача — найти такие
конфигурации классических полей в евклидовом пространстве, ко-
которые минимизируют действие и подчиняются подходящим асим-
асимптотическим условиям. Эти классические решения — «инстан-
тоны» в теории Янга — Миллса, и основная цель этих лекций —
показать, как найти все инстантоны. За дальнейшими разъяснени-
разъяснениями их физического значения, в частности, в связи с туннельным

Гл. I. Лагранжиан Янга — Миллса 83
эффектом, я отсылаю читателя к книгам [12) или [30]. С очень
общей точки зрения можно также сказать, что полное понима-
понимание классических уравнений послужит, вероятно, предпосылкой
для развития квантовой теории, и можно надеяться, что важные
структурные черты проявятся уже на классическом уровне.
Бели ab initio искать нелинейное обобщение уравнения Макс-
Максвелла для описания элементарных частиц, то нужно было бы по-
потребовать выполнения различных условий симметрии. Это:
(i) внешние симметрии относительно групп Лоренца и Пуан-
Пуанкаре или, если масса покоя нулевая, относительно конформной
группы,
(и) внутренние симметрии относительно групп типа SUB) или
51/C) в соответствии с известными свойствами элементарных ча-
частиц,
(Hi) ковариантность или возможность учета гравитации в слу-
случае искривленного пространства-времени.
Калиборовочные теории удовлетворяют этим основным требова-
требованиям, поскольку являются геометрическими по своему характеру.
В самом деле, с математической стороны калибровочная теория —
хорошо развитая ветвь дифференциальной геометрии, известная
как теория расслоений со связностью. Она имеет много общего с
римановой геометрией, которую Эйнштейн положил в основу сво-
своей общей теории относительности. Как известно, Эйнштейн про-
провел много лет в бесплодных поисках единой теории поля, которую
большинство физиков считали химерой. Бели возлагаемые сейчас
на теорию Янга — Миллса надежды в конце концов оправдаются,
это в какой-то мере подтвердит точку зрения Эйнштейна, что все
основные законы физики должны быть объединены в геометриче-
геометрической форме.
Калибровочная теория впервые возникла в физике при попыт-
попытках Г. Вейля [43] объединить общую теорию относительности и
электромагнетизм. Вейль обнаружил конформную инвариант-
инвариантность уравнений Максвелла и стремился использовать этот факт,
интерпретируя максвелловское поле как искажение релятивист-
релятивистской длины, вызванное движением по замкнутой траектории. Ин-
Интерпретация Вейля была оспорена Эйнштейном и в целом никогда
не была признана. Однако по пришествии квантовой механики с
ее вездесущими комплексными волновыми функциями стало яс-
ясно, что адекватным понятием для уравнений, Максвелла является
фаза, а не масштаб. Или, говоря современным языком, калибро-
калибровочная группа — это окружность, а не группа чисел по умноже-

84 . Дополнение
нию. К сожалению, тогда как изменения масштаба можно было бы
втиснуть в рамки теории Эйнштейна, заменив метрику конформ-
конформной структурой, включить фазу в общую теорию относительности
не представляется возможным. Скорее всего, роль дополнитель-
дополнительной структуры на пространстве-времени должна выполнять кали-
калибровочная теория, и тогда то объединение, к которому стремился
Вейль, разрушается.
Неабелевы калибровочные теории были введены в 1954 г. Ян-
гом и Миллсом [32] и с тех пор все активнее изучались физиками.
Связь с математической теорией расслоенных пространств либо
игнорировалась, либо считалась не относящейся к делу вплоть до
сравнительно недавнего времени, когда на передний план выдви-
выдвинулись выходящие за рамки теории возмущения вопросы, связан-
связанные с инстантонами. Математически они относятся к глобальным
вопросам теории расслоений, включающим и топологию, и ана-
анализ в отличие от чисто локальной теории классической дифферен-
дифференциальной геометрии. Для исследований таких глобальных задач
привлекаются многие сложные разделы современной геометрии,
однако развитая математиками техника незнакбма физикам. Од-
Одна из целей этих лекций — попытаться преодолеть этот барьер
между математиками и физиками, объясняя как можно проще со-
соответствующую технику и иллюстрируя ее применение для нахо-
нахождения инстантонов. Тот факт, что в рассмотрение этой задачи
естественно вовлекается так много новой математической техники,
дает основания для некоторого оптимизма относительно конечной
цели — развития квантованной формы калибровочных теорий.
2. Калибровочные потенциалы и поля
Мы напомним сейчас сведения из классической теории, как их по-
понимают физики, а затем дадим их геометрическую интерпретацию.
Начнем с того, что фиксируем некоторую компактную группу
Ли G. Обычно это SUB) или SU(i), но не исключается и абе-
лева группа 1/A). Рассмотрим алгебру Ли L(G) группы G. Для
SU(n) она состоит из косоэрмитовых п х n-матриц с нулевым сле-
следом. Калибровочный потенциал — это множество функций А^(х)
со значениями в L(G), где х = (х\,..., х4) — точка евклидова про-
пространства или пространства Минковского, а /х = 1,..., 4 — про-
пространственный индекс. Вместе с этим потенциалом рассмотрим
оператор
B.1) У„ = 0р + Л„,

Гл. I. Лагранжиан Яма — Миллса 85
где дц = д/дхр. Этот оператор действует на вектор-функцию
(fi(x), ...,/m(x)), если задано некоторое m-мерное представление
группы G. Например, для G = SU(n) можно взять т = п и ис-
использовать стандартное представление.
Вычисляя коммутатор операторов V,, и V», получаем калибро-
калибровочное поле FpV, задаваемое формулой
i> = [V,,, V,] = d»Av - dvAp + [А», Л„],
где [Л^,Л„] — коммутатор в алгебре Ли группы G. Важно от-
отметить, что для неабелевой группы G этот коммутатор не равен
нулю, и поэтому функция F нелинейна по А. В случае G = 1/A),
однако, это слагаемое отсутствует, и мы получаем обычную линей-
линейную связь между полем и векторным потенциалом, характерную
для теории Максвелла.
Обычная неединственность потенциала находит выражение в
общем случае в виде калибровочных преобразований. По опре-
определению калибровочное преобразование — это функция д(х), при-
принимающая значения в группе G и преобразующая потенциал Ар
по формуле
что соответствует переходу от V,, к s~1Vpj (мы рассматриваем
здесь G как группу матриц, так что д^д — просто матрица из
производных). Калибровочное поле F^ преобразуются тогда по
формуле
Fpv —* g~ F
Важное наблюдение состоит в том, что величины Ац преобразу-
преобразуются неоднородно, тогда как величины FpV преобразуются одно-
однородно. Иными словами, Fpv — векторный (или тензорный) объект,
а Ац — объект аффинный (не выделяющий нуль).
Геометрически или механически мы можем интерпретировать
эти сведения следующим образом. Представим себе структуриро-
структурированную частицу, т. е. частицу, находящуюся в точке х простран-
пространства R4 и имеющую внутреннюю структуру или набор состояний,
занумерованных элементами д группы G. Рассмотрим теперь пол-
полное пространство Р всех состояний такой частицы. Вообще говоря,
мы представляем себе внутренние пространства Gx и Gy для х ф у
неотождествленными и поэтому изображаем пространство Р как
набор «слоев».

86
Дополнение
G
X
же к4
Однако в отсутствие всякого внешнего поля мы считаем, что все
пространства Gx можно отождествить между собой, так что в до-
дополнение к вертикальным линиям, или слоям, мы можем нарисо-
нарисовать еще горизонтальные линии (называемые сечениями), получая
обычную декартову сетку:
R4
Теперь представим, что наложено внешнее поле, действие которо-
которого нарушает взаимное расположение слоев, так что согласованное
отождествление пространств Gx в разных точках становится не-
невозможным. Однако мы предполагаем, что пространства Gx и Gy
все же можно отождествить, если выбрать некоторый определен-
определенный путь в R4 из точки х в точку у. В более физических терминах
мы представляем частицу движущейся из точки х в точку у и
передвигаем ее внутреннее пространство вместе с ней. В простран-
пространстве Минковского такое движение происходило бы вдоль мировой
линии частицы. Такое отождествление слоев вдоль путей назы-
называется «параллельным переносом». Бели теперь представить два
различных пути, соединяющих точки г и у, то нет никаких основа-
оснований считать, что соответствующие параллельные переносы совпа-
совпадут. Предполагается, что они отличаются умножением на элемент
группы? —: это нужно рассматривать как обобщенный «сдвиг фа-
фазы». Такой сдвиг фазы интерпретируется как результат воздей-
воздействия внешнего поля. В геометрических терминах он рассматри-
рассматривается как полная «кривизна» или искривление расслоения над
областью, ограниченной этими двумя путями.
Переходя к бесконечно малым в ньютоновском стиле, мы полу-
получим инфинитезимальный параллельный перенос в точке х в дан-
данном направлении. Этот инфинитезимальный сдвиг А слоя Gx в

Гл. I. Лагранжиан Янга — Миллса 87
соседний слой называется связностью. Инфинитезимальная кри-
кривизна F зависит от пары направлений в точке х и принимает значе-
значения в алгебре Ли группы Gx, т. е. является инфинитезимальным
«сдвигом фазы». Как обычно, инфинитезимальную картину, т. е.
связность, можно проинтегрировать, чтобы получить глобальную
картину параллельного переноса вдоль кривых: эти две точки зре-
ния математически эквивалентны.
Бели сравнить теперь эту картину с ситуацией, когда поле от-
отсутствовало и все слои Gx согласованно отождествлялись, то па-
параллельный перенос можно рассматривать как изменение фазы
в фиксированном экземпляре группы G, а связность — как эле-
элемент Ар(х) алгебры Ли, зависящий от точки х и /i-ro направления.
Таким образом, на физическом языке, мы возвращаемся к кали-
калибровочному потенциалу. Аналогично кривизна jF превращается
в калибровочное поле ^„(х), принимающее значения в фиксиро-
фиксированной алгебре Ли группы G. Таким образом, кривизну F можно
понимать как искривление, вызываемое внешним полем, или же
ее можно отождествить с самим полем, если мыслить поле си-
силы как объект, измеряемый ее локальными воздействиями. Это
отождествление полей с геометрическим искривлением, конечно,
является сердцевиной эйнштейновской теории гравитации. У нас
отличие состоит в том, что искривление имеет место не в геоме-
геометрии пространства-времени, а в геометрии некоторого вообража-
воображаемого пространства состояний внутренней структуры, налагаемой
на пространство-время. Это отличие делает соответствующую гео-
геометрию менее очевидной, и исторически и в физику, и в математи-
математику геометрия расслоений пришла позже, чем геометрия простран-
пространства. Замечательно, однако, что и математики, и физики — те
и другие по своим собственным причинам — пришли к изучению
этих объектов, естественно возникающих в большом числе разно-
разнообразных контекстов.
Несмотря на ее исторически более позднее появление, геометрия
расслоений описанного нами типа технически намного проще, чем
геометрия пространства Римана — Эйнштейна. Причина состоит
в том, что в нашей теории берется конечномерная группа G, тогда
как в римановой геометрии мы имеем дело с группой всех пре-
преобразований координат. Чтобы прояснить этот момент, вернемся
к нашим расслоениям и исследуем их связь с теорией калибровч-
ных полей.
Чтобы описать нашу геометрическую связность в алгебраиче-
алгебраических терминах, сравним наш параллельный перенос с ситуацией,
когда поле отсутствует. Тогда мы пользовались согласованным
отождествлением всех слоев Gz. Сейчас важно подчеркнуть, что
эта согласованность и означает отсутствие поля, но конкретный

88
Дополнение
выбор согласованного отождествления находится в нашем распо-
распоряжении. Конкретный выбор называется выбором калибровки, а
замена одного выбора другим — это калибровочное преобразова-
преобразование. Для наглядности мы наше расслоение изображаем двумя раз-
разными множествами горизонталей, а замена описывается функци-
функцией дх, принимающей значения в группе G. Никакой конкретный
выбор не считается предпочтительным (независимо от вида кар-
картинки!). После того как калибровка выбрана, связность и кривиз-
кривизну можно записать в координатном виде. Группа калибровочных
преобразований играет роль аналога группы преобразований коор-
координат в римановой геометрии. Поскольку эта группа существенно
проще, геометрия расслоений — более простая теория: в опреде-
определенном смысле она «менее нелинейна».
Нужно подчеркнуть, что связность — это определенный геоме-
геометрический объект, более существенный, чем кривизна. Как след-
следствие калибровочный потенциал нужно рассматривать как более
существенный объект, чем калибровочное поле. Это находит свое
физическое подтверждение даже в электромагнетизме. Экспери-
Эксперимент показывает, что поле может быть тождественным нулем, но
физические воздействия все же обнаруживаются благодаря тому
факту, что параллельный перенос может быть нетривиальным,
если область пространства неодносвязна. Обращение в нуль кри-
кривизны дает информацию только о параллельном переносе по очень
малым замкнутым путям. В физической терминологии параллель-
параллельный перенос, вообще говоря, описывается в терминах неинтегри-
руемых фазовых множителей. Локально неинтегрируемость свя-
связана с тем, что поле не равно нулю, тогда как неитегрируемость
в большом масштабе является по своему характеру топологиче-
топологической (обход вокруг соленоида, например) и может возникать даже
для нулевых полей (вне соленоида). Классически потенциалы бы-
были введены как математический прием для упрощения уравнений
поля, и неоднозначность (или свобода калибровки) в выборе потен-
потенциала рассматривалась как указание на то, что потенциал не име-
имеет истинно физического значения. Геометрическая точка зрения
показывает, что это слишком узкая интерпретация. Связность —
геометрический объект, а значит, потенциал нужно рассматривать
как объект физический. Нефизическим является выбор калибров-
калибровки, в которой мы предпочитаем описывать потенциал, — в соот-

Гл. I. Лагранжиан Я ига — Миллса
89
ветствии с тем фактом, что геометрическое расслоение, в котором
обитает связность, не имеет естественных горизонтальных сече-
сечений. Замечания о преобладающей роли потенциала приобретут
большее содержание, когда мы обсудим уравнения поля в общем
неабелевом случае.
До сих пор мы говорили лишь о расслоениях, в которых слой
является группой G. В дифференциальной геометрии такие рас-
расслоения называются главными, Однако в приложениях обычно
интересуются ассоциированными расслоениями, слой в которых —
векторное пространство С", отвечающее представлению группы G.
Снова типичным является случай G = U(n). Геометрическая кар-
картина, по существу, аналогничная: мы рассматриваем простран-
пространство (векторное расслоение) Е, расслоенное над R4 так, ЧТО слой
Ех мыслится как векторное пространство, гладко зависящее от
х. Параллельный перенос из точки х в точку у рассматривает-
рассматривается как унитарное преобразвоание пространства Ех в пространство
Еу. Таким образом, параллельный перенос в главном расслое-
расслоении, поднимается до параллельного переноса в рассматриваемом
векторном расслоении. То же самое относится к кривизне и связ-
связности. В частности, сечение этого векторного расслоения, т. е.
функция f(x), определенная на К4 и принимающая значения в
переменном векторном пространстве Ех, мыслится в терминах ее
графика. Связность позволяет сдвигать этот график инфинитези-
мально в данном направлении в К4. Этот сдвиг есть в точности
ковариантная производная V,,/. Это геометрическое понятие не
зависит от выбора калибровки. Выбрав калибровку, мы можем
алгебраически записать вектор-функцию / = (/j(z),..., fn(x)), a
ковариантная производная тогда задается явно формулой B.1).
Кривизна Fpy, определяемая как коммутатор [Vp, VJ\, снова ока-
оказывается геометрической по своему характеру, выступая теперь
как (алгебраический) оператор на сечениях векторного расслое-
расслоения.

90 Дополнение
3. Уравнения поля
Мы подходим сейчас к уравнениям поля для калибровочной те-
теории. Эти уравнения будут обобщать уравнения Максвелла. В
системе единиц, в которой скорость света равна 1, в терминах ко-
вариантной производной V^ эти уравнения можно записать с по-
помощью коммутаторов:
C.1) ' [V,,[V,,V.]] + [Vl,,[V.tVj] + [V,,[V,I,Vl,]] = O,
C.2) [V^,[Vp,Vv]] = 0.
В C.2) берется сумма по ц, и в пространстве Минковского сла-
слагаемое, отвечающее компоненте времени, имеет знак минус (тогда
как для.евклидова аналога все знаки положительны).
Эти два уравнения, содержащие потенциал, совершенно различ-
различны по своему характеру, поскольку первое из них — тождество
(тождество Бьянки в дифференциальной геометрии), и лишь вто-
второе — уравнение Янга — Миллса — налагает некоторое условие на
потенциал. Для G — U(\) эти уравнения, записанные в терминах
поля F,,v, представляют собой уравнения Максвелла в вакууме. В
этом случае первое уравнение —'¦ в точности условие интегрируе-
интегрируемости поля Ff,v. Оно утверждает, что (по меньшей мере локально)
мы можем ввести потенциал А^ так, что
Для неабелевой группы G нельзя записать эти уравнения в терми-
терминах одного лишь поля Fpi,, поскольку ковариантные производные
Vp явно содержат потенциал Ац. Это еще раз подчеркивает гла-
главенствующую роль потенциала по отношению к полю.
Уравнение Янга — Миллса C.2) получается из лагранжиана ?,
заданного интегрированием по ША лагранжевой плотности, кото-
которая является инвариантно определенным квадратичным выраже-
выражением от кривизны. В случае G = U(n) или SU(n) полагают (с
точностью до постоянного множителя)
C.3) С = -
где F*1" получается из F,,v обычным способом: индексы поднима-
поднимаются посредством стандартного метрического тензора простран-
пространства Минковского или евклидова пространства, и суммирование
Производится по всем ц, и. Уравнения C.2) — это соответствую-
соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа. В формуле C.3) стоит знак

Гл. I. Лагранжиан Янга — Миллса 91
минус, поэтому в евклидовом случае мы получаем положительный
лагранжиан: суть в том, что форма — Тгасе(/4В) положительно
определена на алгебре Ли группы U(n). Для других групп Ли
можно либо воспользоваться вложением в U(n) или (более вну-
внутренним образом) заменить Тгасе(АВ) формой Киллинга, являю-
являющейся стандартной инвариантной билинейной формой на L(G): оба
способа дают один и тот же ответ, с точностью до положительного
числового множителя. ¦ у
В евклидовом случае лагранжиан можно рассматривать как
естественную ?2-норму кривизны, т. е. интеграл по R4 от сум-
суммы квадратов абсолютных значений всех ее компонент в стандарт-
стандартном ортонормированном базисе. Более инвариантно это можно за-
записать следующим образом! Напомним сначала, что кеЙбсимме-
трический тензор а^„ соответствует внешней дифференциальной
2-форме .
а = i J^ в»**** л dx" = 5Z a^dx>i л dx"-
Двойственная 2-форма "а, определенная относительно, скажем,
стандартной евклидовой метрики, задается заменой а\ъ на о34 и
т. д., причем, если индексы определяют нечетную перестановку, то
ставится знак минус. Имеет место равенство *2 =s 1. Естественное
?2-скалярное произведение 2-форм определяется формулой
где Л обозначает внешнее умножение и дает здесь внешнюю
4-форму, т. е. форму объема, которую поэтому можно проинте-
проинтегрировать. Переходя теперь к кривизне F, представляющей собой
2-форму со значениями в алгебре Ли L{GX), мы таким же спосо-
способом определяем *F, переставляя пространственные индексы и не
трогая переменных из алгебры Ли. Затем мы полагаем
C.4) \\Ftf = (F,F) = -
это и есть инвариантный способ записи лагранжиана.
Уравнение C.1) гласит, что ковариантная производная 2-формы
F, будучи кососимметризована, равна нулю, или, символически,
C.5)

92 Дополнение
Используя оператор двойственности *, мы видим, что C.2) тогда
можно записать в виде
C.6) VA,T = 0
Этот способ записи лагранжиана и уравнений Янга — Миллса
ясно демонстрирует их свойства инвариантности и ковариантно-
ковариантности. Во-первых, уравнения, очевидно, имеют смысл в искривлен-
искривленном (римановом) четырехмерном пространстве, поскольку опера-
оператор * использует только инфинитезимальную двойственность. Во-
вторых, оператор * на 2-формах в четырехмерном пространстве
конформно инвариантен в том смысле, что две метрики ds2 и
p(x)ds2 дают один и тот же оператор *. Таким образом, урав-
уравнения Янга — Миллса (и лагранжиан Янга — Миллса) зависят
только от конформной структуры четырехмерного пространства.
Значит, это важное свойство теории Максвелла сохраняется и в
неабелевом случае.
Как мы уже объяснили, кажущаяся симметрия или двойствен-
двойственность между C.5) и C.6) обманчива, хотя в теории Максвелла она
отражает двойственность между электричеством и магнетизмом,
и делались попытки понять ее неабелев аналог. Это глубокий во-
вопрос, и надлежащее понимание этой двойственности достигнуто,
вероятно, лишь на квантовом уровне ([22], [40]). Однако на клас-
классическом уровне отметим элементарное следствие уравнений C.5)
и C.6), а именно C.6) вытекает из тождества C.5), если поле F
удовлетворяет одному из следующих уравнений:
C.7) *F — F (автодуальность),
C.8) "F = — F (антиавтодуальность).
Таким образом, мы получаем здесь нелинейные уравнения первого
порядка для потенциала, из которых следуют уравнения Янга —
Миллса второго порядка. Как мы увидим в следующем параграфе,
эти уравнения имеют исключительно простой смысл в евклидовом
случае. Отметим, что определение оператора * включает выбор
ориентации в К4 (упорядочение координат х\,..., х^) и C.7) и C.8)
переставляются при изменении ориентации. Поэтому между эти-
этими двумя случаями нет существенной математической разницы.
4. Асимптотические условия и топология
Сейчас мы ограничиваемся четырехмерным евклидовым простран-
пространством, так что лагранжиан Янга — Миллса С положительно опре-
определен. Естественно рассматривать потенциалы, для которых дей-
действие С конечно, так что интеграл по пространству R4 сходится.

Гл. I. Лагранжиан Янга — Миллса 93
Чтобы достичь этого, мы предполагаем, что поле F достаточно
быстро убывает на бесконечности. При заданной калибровке это
просто означает, что Ff,v{x) —+ 0 достаточно быстро при |х| —+ со.
На первый взгляд может показаться, что это условие требует та-
такого же убывания калибровочного потенциала Л**(г) вместе с его
первыми производными. Однако в силу свободы выбора калибров-
калибровки все, что нужно, это чтобы для больших |х| можно было найти
такое калибровочное преобразование д(х), что в новой калибровке
потенциал убывает. Это означает, что
D.1) Ац{х)~д-1(х)дрд{х) при \х\ -* оо,
где ~ обозначает асимптотическое поведение, включая первые про-
производные. Важный момент состоит в том, что калибровочное
преобразование д(х) должно быть определено лишь при больших
|х|. На самом деле может оказаться невозможным непрерывно
продолжить преобразование д(х) на все четырехмерное простран-
пространство. Чтобы увидеть это, рассмотрим ограничение преобразова-
преобразования д(х) на сферу |х| = R большого радиуса и возьмем, например,
G — SUB). Тогда д задает непрерывное отображение
д : S3R - SUB),
и оба эти пространства топологически являются трехмерными
сферами. Такое отображение имеет целочисленный инвариант
к — его степень, — который подсчитывает (с соответствующими
кратностями и знаками) число точек х 6 S%, отображающихся в
данный общий элемент из SUB). Функцию д можно непрерывно
продолжить на |х| ^ R, если и только если к = 0. Тождественному
отображению (если представлять себе обе сферы как стандартные
S3) отвечает к = +1, л к = — 1 соответствует обращению ориента-
ориентации.
Аналогичная и более наглядная ситуация возникает для G =
[/A), если R4 заменить на К2. В этом случае д становится отобра-
отображением окружности в себя, а степень ifc — это «число оборотов».
Заметим, однако, что для R4 и группы G = U(l) топологического
инварианта нет, поскольку всякое непрерывное отображение сфе-
сферы 53 в окружность можно продеформировать в постоянное ото-
отображение.
Соответствующий результат справедлив для любой простой не-
абелевой компактной группы Ли G. А именно непрерывные ото-
отображения из 53 в G обладают целочисленным топологическим ин-
инвариантом, классифицирующим отображения с точностью до де-
деформации. Наличие этого целого числа — следствие того факта,

94 Дополнение
что каждая такал группа G содержит в качестве подгрупп экзем-
экземпляры группы SUB) (или 50C)).
Таким образом, в неабелевых калибровочных теориях на R4
асимптотически плоские потенциалы (т. е. потенциалы, имеющие
асимптотически нулевые поля) распадаются на различные семей-
семейства, занумерованные соответствующим целым числом к. Это то,
что обычно называют топологическим квантовым числом, хотя на
этом этапе мы имеем дело лишь с классическими полями.
При рассмотрении асимптотических свойств возникают разно-
разнообразные технические аналитические вопросы о точной скорости
убывания. Имеется одно естественное и удобное определение .убы-
.убывания, проистекающее из конформной инвариантности. Напо-
Напомним, что стереографическая проекция сферы на плоское про-
пространство всегда является конформным отображением, связыва-
связывающим стандартную искривленную метрику на сфере с плоской ев-
евклидовой метрикой. В частности, сфера S4 (сфера единичного ра-
радиуса в R5) конформно отображается на R4.
Иначе можно сказать, что S4 — конформная компактификация
пространства R4, полученная добавлением точки на оо. Скажем
тогда, что потенциал на R4 убывает на со, если он продолжается до
потенциала на S4. Если целое число к отлично от нуля, это озна-
означает, что мы не можем описать наш потенциал, используя только
одну калибровку. Нам нужна одна калибровка в конечной области
|ж| ^ Ш. и другая калибровка вблизи сю, т. е. при \х\ ^ Е, причем
на |х| = R эти две калибровки должны быть связаны калибро-
калибровочным преобразованием д(х) степени к. Это означает, что наше
расслоение Р над S4 уже не является топологическим произведе-
произведением S4 хС На самом деле топологическая теория расслоений над
пространствами типа S4, не являющимися стягиваемыми, говорит,
что в этом случае расслоения классифицируются этим самым це-
целым числом к. Таким образом, целое к, возникающее в описании
асимптотики в Е4, теперь непосредственно закодировано в топо-
топологии пространства Р. Например, если G = SUB) и к = 1, то Р
оказывается топологической сферой S7, совершенно отличной от
произведения S4 х S3; подробнее это будет объяснено ниже. Потен-
Потенциал или связность в нашем расслоении теперь имеет корректно
определенную кривизну F на всем пространстве S4, и исключи-
исключительную роль точки оо ? S4 можно игнорировать. Заметим, что
F —> 0 на бесконечности в пространстве Е4, но F не обязано обра-
обращаться в нуль в точке оо € S4, поскольку, рассматривая его как
дифференциальную форму, можно использовать разные координа-
координаты на R4 и S4. Очевидно, что лагранжиан С — ||F3||, вычисленный
в искривленной метрике сферы S4, обязательно конечен, так как

Гл. /. Лагранжиан Янга — Миллса 95
S4 — компакт (мы всегда предполагаем достаточную локальную
дифференцируемость, так что F всегда по крайней мере непрерыв-
непрерывна). Кроме того, в силу конформной инвариантности функционала
Янга — Миллса значение функционала С, вычисленное в 54 и в
R4, одно и то же.
Далее, для замкнутых многообразий типа S4 известны теоремы
глобальной дифференциальной геометрии, связывающие тополо-
топологические инварианты с интегральными выражениями от кривиз-
кривизны. Таких результатов можно ожидать, поскольку, если кривизна
всюду нулевая, связность является плоской, и (в односвязном про-
пространстве) мы получаем глобальную калибровку, откуда следует,
что к = 0. Прототипом обобщений на высшие размерности в раз-
размерности 2 является классическая теорема Гаусса, выражающая
эйлерову характеристику как интеграл от скалярной кривизны. В
нашем случае эта формула для группы SUB) имеет вид
D.2) 8ir2Jb = - / Trace(FA F).
Js*
Аналогичный результат справедлив и для других групп, но с дру-
другой нормализацией. Целое число к заменится при этом на соот-
соответствующее кратное; подробности читатель может найти в [3].
Теперь у нас есть некоторое топологическое ограничение на поле
F, и оно должно быть отражено в формуле C.4) для лагранжи-
лагранжиана. Чтобы сделать это, удобно разложить поле F относительно
действия оператора * на его автодуальную часть F+ и антиавто-
антиавтодуальную часть F~:
так что *F+ = F+ и *F~ = — F~ (напомним, что *2 = 1 в слу-
случае положительной определенности). Тогда C.4) и D.2) можно
записать в виде
C.4') ?
откуда получаем, что С ^ 8w2|jfc|, причем равенство имеет место то-
тогда и только тогда, когда *F = (sign \k\)F. Таким образом, частные
решения C.7) и C.8) уравнений Янга — Миллса соответствуют до-
достижению абсолютного минимума лагранжиана (равного 8ir2|fc|).
Это рассуждение принадлежит Белавину и др. [10]. Они также
показали, что при к — ±1 этот минимум достигается. Для таких

96 Дополнение
решений уравнения Янга — Миллса и был придуман термин «ин-
стантон». Позже были найдены решения для всех к ([14], [31]); они
были названы мультиинстантонами.
Общая задача, к которой мы обратимся, — описание в как мож-
можно более явной форме всех мультиинстантонов, не только для
группы SUB), но и для всех компактных классических групп. Как
мы увидим, эта задача допускает неожиданно простой и полный
ответ, однако доказательства требуют большого количества изо-
изощренной математической техники.
Сейчас мы лишь отметим, что всякое калибровочное преобра-
преобразование мультиинстантона снова дает мультиинстантон, и такие
решения будут рассматриваться как эквивалентные. В геометри-
геометрических терминах это означает, что два изоморфных расслоения
над S4 со связностями (удовлетворяющие условию *F = ±F) ото-
отождествляются — их нельзя различить геометрически.
В следующей главе мы подробно объясним, как записать в наи-
наиболее общем виде мультиинстантон для группы SUB), и укажем,
как это обобщается на другие группы.

Глава II
Описание инстантонов
1. Кватернионы
Хорошо известно, что в R2 многие формулы упрощаются, если пе-
переписать их, используя комплексные числа. Гамильтону принад-
принадлежит открытие, что для пространства К4 можно ввести некомму-
некоммутативное расширение поля комплексных чисел, называемое телом
кватернионов. Гамильтон надеялся, что кватернионы окажутся
естественным инструментом для алгебраического описания физи-
физического мира. Хотя эти надежды оказались преувеличенными, все
же, как мы вскоре увидим, точка зрения Гамильтона имеет неко-
некоторые достоинства. Однако сейчас мы просто используем кватер-
кватернионы как удобный алгебраический формализм, упрощающий за-
запись. Кватернионы особенно удобны для группы SUB), которую,
как мы убедимся, можно отождествить с группой кватернионов
единичной длины точно так же, как группа С/A) отождествляется
с комплексными числами, по модулю равными единице.
Напомним вкратце определение и элементарные свойства ква-
кватернионов. Так же, как комплексные числа строятся из веще-
вещественных чисел посредством добавления символа », удовлетворя-
удовлетворяющего условию г2 = — 1, кватернионы (тело кватернионов обозна-
обозначается через И в честь Гамильтона (Hamilton)) строятся из ве-
вещественных чисел посредством добавления трех символов i,j,k,
удовлетворяющих тождествам
'A.1) г2 = з2 = к2 = -1, у = -ji = tjk = -kj = i, ki = -ik = j.
Таким образом, кватернион г имеет вид
A.2) х = xi + x-ii + x3j + xAk,
где х\,Х2,хз,Х4 — вещественные числа. Сопряженный кватернион
х определяется формулой
х = xi - x2i - x3j - х4к,

98 Дополнение
причем сопряжение является антиинволюцией, т. е. (ху) = ух. В
силу тождеств A.1) получаем
Эта величина обозначается через |х|2. Она равна нулю только
при х — 0. Если х ф 0, то существует единственный обратный
кватернион х~1, который задается формулой
Поэтому кватернионы х единичной длины, т. е. удовлетворяющие
условию \х\ — 1, образуют мультипликативную группу, которая
геометрически является трехмерной сферой
Снова по аналогии с комплексными числами мы называем компо-
компоненту х\ в A.2) вещественной частью кватерниона х, а разность
X — Х\ МНИМОЙ.
Бели отождествить » с обычной мнимой единицей, то можно счи-
считать, что множество комплексных чисел. С содержится в Н (при
х3 = х4 = 0). Более того, каждый кватернион A.2) единственным
образом представляется в виде
х = zi+ Z2J, где zi = xi + хч% и z2 = x3 + xAi.
Таким образом, мы отождествляем Ни С2. Рассмотрим теперь
умножение кватернионов х -* хд, где д = д\ + g2j, gi,g2 € С.
Вычисление дает
так что вектор B1,22) умножается справа на комплексную 2x2-
матрицу
Таким образом, мы можем, если хотим, отождествить алгебру ква-
кватернионов с подалгеброй комплексных 2 х 2-матриц, в которой роль
t, 3, к играют матрицы
(г оЛ (о Л (о Л

Гл. II. Описание инстантонов 99
В частности, группа Sp(l) кватернионов единичной длины ото-
отождествляется с группой SUB). Ее алгебру Ли тогда составля-
составляют чисто мнимые кватернионы с естественным базисом i,j,k. Эта
алгебра Ли обозначается 1т(И).
Отождествим теперь пространства R4 и Ш посредством формулы
A.2). Тогда 5С/B)-потенциал будет задаваться функциями Ац(х),
значения которых — чисто мнимые кватернионы. Будет удобно
пойти дальше и записать
так что А(х) — дифференциальная форма со значениями в Im(H).
Наконец, рассмотрим кватернионный дифференциал
dx = dxl + dx2i + dx3j + dx4k
и его сопряженный
dx = dxl- dx2i - dx3j - dxAk
точно так же, как в теории комплексной переменной используют
dz — dx + i dy и dl — dx — idy. Если f(x) — произвольная функ-
функция от кватернионной переменной х, принимающая кватернионные
значения, то выражение
1
A.3) А(х) = lm{f(x)dx) = -{f{x)dx - dxf(x)}
z
представляет собой некоторый 5{/B)-потенциал. Здесь f(x)dx вы-
вычислено формально как J^a^da:'1, где а^ € Ш. Тогда А,, = Im(ap).
Заметим, что до перехода к мнимой части имелся некоторый по-
потенциал для группы И* всех ненулевых кватернионов. Эта группа
есть SUB), с точностью до масштабных множителей.
Запишем кривизну F как внешнюю 2-форму:
F = 2 F^dx" л dx" = \
Тогда ее можно вычислить, зная потенциал А:
F-dA + AhA,

100 Дополнение
где
и
Ж4 = YdAllAdx"-i-
Л А = 53 А?А?Лж* Л <fx" = i 5^[Л^, Л„](/г" Л «fa*.
Записывая потенциал А в кватернионном виде A.3), получаем ана-
аналогичную формулу
A.4) A = lm{dfAdx + fdxAfdx). .
Взятие мнимой части коммутирует с взятием кривизны в силу на-
нашего предыдущего замечания, относящегося к большей группе ЕГ.
Использование кватернионных дифференциалов dx н dx удобно
также в связи с изучением автодуальности. Чтобы увидеть это,
вычислим dx Л dx. Получаем
dxAdx = {dx1 + dx*i + dx3j + dx4k) Л (dx1 - dxH - dx3j - dx4k)
= -2Ц4Х1 A dx2 + dx3 A dx4)i + (dx1 A dx3 + dxA A dx2)j
+ (dx1Adx4 + dx2Adx3)k}.
Коэффициенты при i, j, к в этом выражении — это в точности ба-
базис автодуальных 2-форм, т. е. 2-форм w, удовлетворяющих усло-
условию ти — и. Следовательно, dx A dx — автодуальная 2-форма со
значениями в алгебре Ли группы SUB). Аналогичное вычисление
показывает, что. 2-форма dx A dx антиавтодуальна.
2. ОСНОВНОЙ ИНСТАНТОН
Пользуясь кватернионными обозначениями предыдущего парагра-
параграфа, мы предъявим сейчас основной инстантон с Jt = +1 (а также
антиинстантон с к = — 1).
Рассмотрим 5УB)-потенциал А, заданный формулой
. Г xdx
BЛ) ^) l|
Из этой сжатой формулы можно, конечно, явно выразить компо-
компоненты Ац(х). Например,
-x2i - x3j - хлк xii - X4J + х3к
= М{Х) =

Гл. II. Описание инстантонов 1ОТ
Вычисляя кривизну F этого потенциала по формуле A.4), полу-
получаем
,„„. _ _ (dxAdx ,.„ ,. .,. , , xdx Л xdx
Если записать |х|2 = хх, то среднее слагаемое в этом выражении
примет вид
xdxЛ xdx xxdxЛ dx
Подставляя это выражение в B.2), мы получим после упрощения
чисто мнимое выражение
B>3) F-(i + w
так что, как объяснялось в § 1, кривизна F антиавтодуальна, т. е.
*F = —F. Из формулы B.1) мы видим, что при |х| -+ оо
где <р(х) = х/\х\. Это показывает, что асимптотически потенциал
А является образом нулевого потенциала под действием калибро-
калибровочного преобразования д(х) = <р(х) или, что эквивалентно, приме-
применение обратного калибровочного преобразования <р(х)~1 к А дает
асимптотически нулевой потенциал. На единичной сфере \х\ = 1
в пространстве кватернионов имеем <р(х)~1 = г, а степень отобра-
отображения х —*х сферы S3 в себя равна —1. Таким образом, формула
B.1) описывает антиинстантон.
Очевидно, что если мы всюду заменим х на х, то получим ин-
стантон с потенциалом и полем, заданными формулами
. ч ., ч , , «.—. , „ dxAdx
Это, конечно, те же самые формулы, что у Белавина и др. [10],
записанные в кватернионных обозначениях.
Чтобы подробнее изучить поведение антиинстантона B.1) при
\х\ —> оо, изменим калибровку посредством преобразования
<р(х)~1 в соответствии с формулой B.4) и введем кватернионную
координату у = х~1 вблизи точки оо, рассматриваемой сейчас как
точка сферы S4. Взятие мнимой части тождества
xdx \x-l
1 + WV
xdx-i- y*dy
xdx "i + Ы2

102 Дополнение
показывает, что антиинстантон продолжается на S4 и имеет на со
в точности такой же вид, как вблизи нуля; Аналогичные вычи-
вычисления, естественно, справедливы и для инстантона B.5).
Если мы просто положим у = х~х в B.1), то получим
B.6)
Эта формула описывает антиинстантон в «особой», или «асимпто-
«асимптотической», калибровке, а именно в калибровке, в которой А —* О
при \у\ —» со, но которая хуже ведет себя при у = 0, где потен-
потенциал А(у) особый. Как мы уже видели, эту особенность можно
устранить подходящим калибровочным преобразованием, однако
эта особая форма B.6) бывает полезна на практике.
Возможно, стоит отметить, что все предыдущие формулы оста-
останутся справедливыми, если заменить кватернионы комплексными
числами. В этом случае мы получим GA)-калибровочные потен-
потенциалы и поля на К2 или S2. В размерности 2 автодуальность уже
не имеет смысла, но 2-форма F, заданная формулой B.3), крат-
кратна инвариантной сферической площади. Иными словами, фчурма
F инвариантна относительно группы SUB), действующей дробно-
линейными преобразованиями х —» (ах + b)/(cx + d) комплексной
переменной х.
Из конформной инвариантности уравнений 'F = ±F следует,
что всякое конформное преобразование сферы S4 в себя переводит
основной инстантон в некоторый другой инстантон. Напомним, что
группа собственных (т. е. сохраняющих ориентацию) конформных
преобразований сферы S2 — это группа 5?B,С)/{±1}, действую-
действующая дробно-линейными преобразованиями комплексной перемен-
переменной. Точно так же группа собственных конформных преобразова-
преобразований сферы S4 есть группа БЬB,Щ/{±1}, аналогично действую-
действующая на кватернионную переменную. Таким образом, преобразова-
преобразования х -+ axb, где х,а,Ь — кватернионы и а ф 0, 6 ф О, порождают
группу вращений SO(A) и изменения масштаба, преобразования
х —* х + с задают сдвиги, а преобрзование х —¦ 1/х = х/|я|2 задает
собственную инверсию (т. е. инверсию вместе с компенсирующим
отражением х —» х, чтобы сохранить ориентацию). В силу не-
некоммутативности кватернионов каждое собственное конформное
преобразование сферы S4 можно записать, пользуясь либо левым,
либо правым умножением, т. е.
х -+ (ах + Ь)(сх + d)'1
или

Гл. II. Описание инстантонов > 103
Взятие кватернионного сопряжения переставляет эти два способа
представления конформных преобразований. Более точно,_обозна-
чим через 5 и Т эти два преобразования с (а,/?,7,&) = (a,6,c,d), и
пусть С обозначает сопряжение х —*х. Тогда Т — CSC. Отметим,
что сопряжение С, будучи отражением, является несобственным
конформным преобразованием.
Вернемся теперь к основному антиинстантону B.1) и применим
к нему конформное преобразование. Напомним, что, с точностью
до калибровочного преобразования, выражение B.1) сохраняется
при инверсии х —* х~х. Оно, очевидно, не меняется при преобра-
преобразовании х —* ах при \а\ = 1, а х —> ха дает лишь постоянное
калибровочное преобразование. Таким образом, выражение B.1),
по существу, инвариантно относительно группы 50D). На самом
деле оно, с точностью до калибровочных преобразований, инвари-
инвариантно относительно большей группы 50E), которую здесь можно
рассматривать как 5рB)/{±1}, где 5рB) С 5LB,fflI) — компакт-
компактная подгруппа, сохраняющая длины. Проверку этого лучше оста-
оставить «на потом», когда надлежащая геометрическая интерпрета-
интерпретация формулы B.1) сделает эту инвариантность очевидной. Поэто-
Поэтому, чтобы получить новые а'нтиинстантоны, нужно использовать
элементы, представляющие SLB,M) по модулю 5рB). Такие эле-
элементы естественным образом задаются преобразованиями
B.7) х - /х(х - 6),
где ц — вещественное положительное число, а 6 — кватернион.
Можно считать, что ц и 6 параметризуют пространство
SLB,M)/Sp{2) кватернионных норм на Н2 с единичным объемом,
если паре {(Л,Ь) поставить в соответствие самосопряженную
матрицу
такую, что ци — |6|2 = 1. Когда ц и 6 меняются, преобразова-
преобразование B.7), примененное к B.1), порождает 5-параметрическое се-
семейство антиинстантонов, члены которого параметризуются «цен-
«центром» 6 и «масштабом» ц. Из B.3) видно, что плотность поля в
центре максимальна, а его напряженность там равна ц2. Это по-
показывает, что никакие два члена нашего семейства не могут быть
калибров.очно эквивалентны. Более трудный результат, который
будет доказан гораздо позже, состоит в том, что каждый анти-
инстантон (т. е. решение с к — —1) калибровочно эквивалентен
инстантону из нашего семейства.

104 Дополнение
Удобно применить к B.7) инверсию (и изменить знак), чтобы
получить отображение
B.8) х-+\(Ь-х)-1.
Применение этого отображения к B.3) дает общий вид антиин-
стантона в асимптотической калибровке, как объяснялось ранее.
Можно также применить это преобразование к B.5), чтобы полу-
получить семейство всех инстантонов в асимптотической калибровке.
Теперь мы подошли к более трудному вопросу построения муль-
тиинстантонов для больших значений к. Для этого мы вводим
пространство Шк, состоящее из вектор-столбцов ы, компоненты
которых — кватернионы иа (а — 1,...,к), и определяем 5?/B)-
потенциал на пространстве Шк = Тк4к по формуле, совершенно ана-
аналогичной формуле B.1), а именно
где и* обозначает транспонированный сопряженный к вектор-
столбцу ы, a u'du обозначает произведение матриц, так что
к
'¦ u*du — y^ugdug
ot=l
и |u|2 = u*u = ]ПО |ue|2 — евклидова норма.
Заметим, что B.9) сводится к B.1) на каждой координатной
оси (где все иа равны 0, кроме а = /?) и не меняется при действии
группы Sp(k) на пространстве Н*. Таким образом, B.9) сводится
к B.1) на любом одномерном Н-подпространстве пространства И*.
Поэтому потенциал B.9) обладает высокой степенью симметрии, и
позже мы должным образом разъясним его геометрическое значе-
значение. Пока же мы рассматриваем B.9) просто как вспомогательную
формулу, нужную для построения потенциалов на И = К4 с помо-
помощью подходящих функций « = f(x), т. е. отображений / : Н —> Н*.
Подставляя такое произвольное заданное отображение / в B.9),
мы получаем потенциал
62 10) Л > (х) - Im
B.10) А}(х) - Im

Гл. II. Описание инстантонов 105
Теперь для функции f(x) возьмем матрицу, аналогичную B.8),
и сопряженную к ней (чтобы задавать инстантоны, а не анти-
инстантоны), а именно
B.11) и(х) = [Х(В - х)-1]*.
Здесь В — симметрическая к х fc-матрица, элементы которой —
кватернионы, А — вектор-строк» (Ai,..., At) из кватернионов, а х
обозначает скалярный кватернион xl, где / —единичная матри-
матрица размера к х к. При h = 1 параметры были произвольными,
если не считать'требования обратимости А. В общем случае, од-
однако, параметры Аи В должны будут удовлетворять следующим
алгебраическим ограничениям:
(I) В*В + А*А — вещественная матрица размера к х к.
(II) Для любого хбЕиз уравнений (В — х)? = О, А? = О,
где ? € Н*, следует ? = 0.
Условие (I) требует, чтобы все коэффициенты при i,j, к в кватер-
нионной ifc х Jfc-матрице В* В + А*А обращались в' нуль. Это дает
систему квадратичных соотношений на коэффициенты матрицы В
и вектора А.
Условие (II) — это условие невырожденности, или открытости,
которое можно сформулировать также следующим образом: ма-
матрица
размера (к -\- I) х к имеет максимальный ранг к для всех х 6 Н.
Условие (I) является решающим алгебраическим условием. Оно
будет гарантировать, что потенциал А\,в(х), задаваемый подста-
подстановкой B.11) в B.10), автодуален. Условие (II) будет гарантиро-
гарантировать, что решение невырожденно и, в частности, что точка х, для
которой (В — х) — вырожденная матрица, дает особенности потен-
потенциала, устранимые калибровочным преобразованием.
В принципе для определенных выше калибровочных потенциа-
потенциалов Л а, в (я) можно непосредственными вычислениями проверить
выполнение условия *F = —F для соответствующего поля F. Од-
Однако эти вычисления можно провести элегантнее, коль скоро объ-
объяснен геометрический смысл некоторых формул. Это будет сдела-
сделано в следующем параграфе. Гораздо труднее доказать, что наша
конструкция дает все автодуальные поля. Это требует введения

106 Дополнение
совершенно новых идей и техники, чему и посвящены последующие
главы.
Особенно простой случай матричного преобразования B.11) по-
получается, когда В — диагональная матрица (с диагональными
элементами Ь\,..., Ьц € Н), а Х\,..., А* — вещественные положи-
положительные числа. Если все 6,- различны, условия (I) и (II) выполня-
выполняются. Соответствующий ib-инстантон в этом случае будет выгля-
выглядеть как суперпозиция к инстацтрнов с масштабами А,- и центрами
6,-. Эти частные решения были открыты т'Хоофтом и др. ([14],
[31]). Общее решение, однако, может не приводиться к такому ви-
виду (даже после конформного преобразования).
Если заменить вектор А = (Aj,..., А*) в B.11) на qX, где q —
некоторой кватернион единичной длины, то соответствующий по-
тенциал^Л, задаваемый формулой B.9), не изменяется. Аналогич-
Аналогично, если заменить А на AT, а В на Т~1ВТ, где Т — (вещественная)
оротогональная к х ib-матрица, то потенциал заменится на сопря-
сопряженный с помощью постоянной матрицы Т, что просто дает кали-
калибровочное преобразование. Заметим, что обе эти замены параме-
параметров (А, В) сохраняют условия (I) и (II). Нужно строго доказать,
что других преобразований параметров (А, В), дающих калибро-
вочно эквивалентные потенциалы, кроме только что описанных,
нет. Таким образом, основную теорему, которую мы должны до-
доказать, можно сформулировать следующим образом ([2], [18], [19]):
Теорема. Каждый к-инстантон для группы SUB) задается па-
параметрами (А, В), удовлетворяющими условиям (I) и (II), причем
соответствующий потенциал в некоторой асимптотической кали-
калибровке задается формулой B.9), где и(х) определяется формулой
B.11). Потенциалы, задаваемые параметрами (А, В) и (А', Б'), ка-
либровочно эквивалентны, если и только если А' = q\T, В' =
Г"'ВТ, где q € 5рA) и Г € 0D).
Нетрудно Подсчитать число эффективных параметров, содержа-
содержащихся в нашей конструкции. Исходные данные для пары (А, В)
содержат
вещественных параметров. Число вещественных уравнений в усло-
условии (I) равно 3&(?-1)/2, а группы 5рA) и О(к) имеют размерности
3 и |Jb(Jb — 1) соответственно. Простым вычитанием находим число
эффективных параметров:
2к2 + 6* - Miizil _ з - i*(fc - 1) = 8* - 3,

Гл. II. Описание ипстантоное 107
что совпадает с вычислением методами инфинитезимальной ва-
вариации ([3], [37]). Если начать с некоторого решения т'Хоофта
(матрица В диагональна, вектор Л вещественный) и рассмотреть
малые возмущения этого решения, то эти параметры можно интер-
интерпретировать следующим образом. Каждый диагональный элемент
6, имеет 4 параметра и каждый кватернион А, имеет 4 параметра,
что в сумме дает 8к, число 3 мы вычитаем из-за действия группы
5рA). Однако если матрица В диагональна, а А,- не вещественны,
условие (I) не выполняется. Оказывается, выполнение условие (I)
требует появления у матрицы В внедиагональных элементов, что-
чтобы уничтожить вклад мнимых частей параметра Л. На самом деле
вблизи решения т' Хоофта разложением в степенные ряды мож-
можно найти эти внедиагональные члены, так что по модулю* группы
Sp(l) набор Fi,..., bit, Ai,..., А*) дает локальные парамеЬфы для
пространства Jfc-инстантонов. Однако эти параметры не являются
глобальными, и глобальная структура этого пространства «моду-
«модулей» довольно сложна (даже топологически) (см. [5]).
Для группы Sp(n) (состоящей из кватернионных n x п-матриц,
которые также сохраняют норму в И") имеется совершенно анало-
аналогичное решение задачи о мультиинстантонах. Мы заменяем (А, 27)
на (А, В), где А есть п х ^-матрица и А, В удовлетворяют аналогам
условий (I) и (II), а именно
A)„ Матрица В*В + А*А вещественна.
(П)„ Из (В - х)? = О, А? = 0 следует ? =
= 0.
Далее мы определяем матрицу U размера к х п как функцию от
rGi формулой
B.12)
Наконец, потенциал А(х) определяется через функцию U(x) фор-
формулой, обобщающей B.9):
B.13) А(х) = <rU*dU<r + <т~Ч<т,
где о- = A + U*U)~1/2 — теперь уже самосопряженная п х п-
матрица. Отметим, что при п — \ а — вещественное число и
B.13) совпадает с формулой B.9), записанной в другом виде.

108 Дополнение
3. Геометрическая интерпретация
Имеется геометрический способ построения потенциалов, очень
простой, но, по-видимому, неизвестный физикам. Грубо говоря,
этот способ аналогичен тому, которым строится риманова метрика
на многообразии — посредством вложения этого многообразия в
евклидово пространство и рассмотрения индуцированной метрики/
Исторически, конечно, именно так впервые появилась риманова
метрика (например, на поверхности в трехмерном пространстве).
Напомним, что векторное расслоение Е над пространством X —
это семейство векторных пространств Ех, (непрерывно) параме-
параметризованное точками х € X. Например, если X есть п-мерное
многообразие, то касательные пространства к нему образуют век-
векторное расслоение с Ех ? Шп. Мы говорим, что Е вложено в
тривиальное расслоение X х WLN, если каждый слой Ех вложен в
RN, причем вложение является непрерывным (или дифференци-
дифференцируемым) по х. Например, если X вложено как многообразие в Е^,
то его касательные пространства (сдвинутые в начало координат)
отождествляются с подпространствами пространства mN. Если Е
вложено в X х M.N, то сечение расслоения Е, т. е. функцию f(x)
со значениями в Ех, можно рассматривать как функцию со значе-
значениями в WLN. Затем мы можем образовать ее частные производные
дц/, но они уже не обязаны будут принимать значения в подпро-
подпространствах Ех. Однако если обозначить через Рх произвольное
линейное преобразование пространства lkN, гладко зависящее от х
и проектирующее на Ех (т. е. Р% — Рх), то можно положить
C.1) У„/ = Рд„/,
и мы получаем ковариантную производную, определенную на Е.
Если Е — касательное расслоение многообразия X, а Р — ортого-
ортогональное проектирование, то V^ есть в точности обычная ковари-
антная производная римановой геометрии (задаваемая связностью
Леви-Чивиты).
Вообще говоря, формула C.1) в точности, соответству-
соответствует GL(n, К)-связности или потенциалу. Но если вводить допол-
дополнительные структуры, сохраняемые преобразованием Р, можно
получать потенциалы для соответствующих подгрупп, таких, как
О(п), U(m) или Sp(l) (здесь п = 2т или п = 4/ соответственно).
Так, чтобы получить 5рA)-потенциалы, нужно было бы рассма-
рассматривать кватернионные прямые вМ1 и использовать ортогональ-
ортогональное проектирование.

Гл. II. Описание инстантонов 109
Выбор калибровки для расслоения Е приводит к линейным ото-
отображениям ыг : Е" —¦ Е^, образы которых — подпространства
Ех С Kw. Бели скалярные произведения всюду фиксированы так,
что и — ортогональная калибровка, то ортогональное проектиро-
проектирование Рх на Ех дается формулой Р = им*, причем «*и = 1. Чтобы
вычислить ковариантную производную V в калибровке и, мы по-
полагаем / = ид, где д теперь — функция на X со значениями в Мп,
и получаем
V(u?) = uu'd(ug) = u{dg + u*(du)g}.
Отсюда видно, что калибровочный потенциал А задается форму-
формулой
C.2) А = u'du, или Ац = и*д^и.
Заметим, что здесь « — функциональная N х n-матрица, так что
А,, — матрица размера п х п. Если N = тг, то из C.2) следует,
что потенциал А калибровочно эквивалентен нулю в соответствии
с тем фактом, что Ех — Ж^ на самом деле, не зависит от х. Однако
при N > п формула C.2) дает интересные потенциалы. Калибро-
Калибровочное поле задается формулой
C.3) F = du* Adu + u"duAu*du,
или
F^ = дци'дии - dvumdMu + {u*dttu,u"dvu).
Во многих ситуациях нет необходимости выбирать калибровку, по-
поскольку вегда можно работать непосредственно внутри большего
пространства Ш1*, в котором есть естественный базис. Проиллю-
Проиллюстрируем это, вычисляя дифференциал для другого способа зада-
задания поля, непосредственно в терминах оператора проектирования
Р и дополнительного проектирования Q — 1 — Р. Рассмотрим
GL(N, Л)-потенциал В, заданный формулой
C.4) В = QdQ.
Вычисляя ковариантную производную Vs = d + В от функций /,
лежащих в Е, т. е. удовлетворяющих условию Pf = /, или Q/ — О,
мы видим, что

110 Дополнение
где V — ковариантная производная на Е, определенная формулой
C.1). Таким образом, V продолжается на все К^-значные'функ-
К^-значные'функции.
Дифференцируя равенство Q2 = Q, мы получаем QdQ + dQQ =
dQ, и потому
В2 = QdQ Л QdQ = Q{dQ - QdQ) AdQ = 0.
Следовательно, поле Fb, соответствующее Уд, задается просто
формулой
C.5) FB = dQS dQ.
Рассматривая ограничение на Е, мы видим, что поле F, соответ-
соответствующее ковариантной производной C.1), задается формулой
C.6) F = PdQ Л dQP = PdP Л dPP.
Здесь компоненты F^ поля F — линейные преобразования на
образе проектирования Р. Если мы выберем некоторую ортого-
ортогональную калибровку и и возьмем Р — «ы*, то C.6) примет вид
а выражение в фигурных скобках имеет вид
du* Adu + u*du Л u*du + u'du Л du*u + du*u Л du*u.
Последние два слагаемых взаимно уничтожаются, поскольку
u*du — —du"u, и мы снова получаем формулу C.3).
Расслоение Е, будучи вложено в TSLN, имеет дополнительное рас-
расслоение EL, задаваемое образом проектирования Q. Связь между
Е и Е*~ симметрична — проектирования Р и Q можно поменять
ролями. Если v : TBLN~P —» RN — ортогональная калибровка для
Е1-, так что Q = vv', то поле F, заданное C.6), можно записать
следующим образом:
C.7) F = Pd{vv*) Л d{yv*)P = Pdv Л dv'P,
остальные слагаемые пропадают, поскольку Pv = 0.
Если калибровка v только линейна, но не ортогональна, то эти
формулы несколько меняются. Возьмем полярное разложение v =

Гл. II. Описание инстантопов 111
шр, где р2 — v*v и Q = ww* = vp~2v*. Подставляя это выражение
для Q в C.6), получаем
C.8) F = Pdvp-2dv* P.
Все эти формулы не изменятся, если вещественные числа за-
заменить комплексными числами или кватернионами. В кватерни-
кватернион ном случае, если мы хотим рассматривать все матричные опе-
операторы как левые операторы, мы должны рассматривать MN как
правое векторное пространство, т. е. скаляр-кватернион q действу-
действует на вектор-кватернион ? по правилу ? —¦ $q.
Применим теперь эту общую конструкцию к кватернионной про-
проективной прямой X — S4 = Pi(H). Последующие вычисления ана-
аналогичны проделанным в [13] и [15]. Мы задаем точку пространства
Р\(Щ однородными координатами (х,у), где х,у € И, с точностью
до правого умножения на скаляр, так что (ж,у) и (xq,yq) задают
одну и ту же точку. Пусть теперь
C.9) v(x,y) = Сх + Dy
— кватернионная матрица размера (к + п) х. к, л С и D — посто-
постоянные матрицы (не зависящие от скалярных кватернионных пере-
переменных х и у). Предположим, что
C.10) v(x,y) имеет максимальный ранг для всех (х,у) ф @,0).
Тогда столбцы матрицы v(x, у) порождают ^-мерное подпростран-
подпространство пространства Н"+*, зависящее только от отношения ху~1, т. е.
от точки сферы 54. Его ортогональным дополнением будет под-
подпространство ^(г,у) размерности п. Снабдим теперь это векторное
расслоение Е над 54 ковариантной производной, индуцированной
из W+k ортогональным проектированием, как в C.1). Поле или
кривизну можно вычислить по одной из выписанных выше фор-
формул. Если ограничиться рассмотрением Шл С S*, где у ф 0, то
можно взять аффинные координаты (х, 1), и тогда v(x) = v(x, 1)
будет линейной калибровкой для Е^. Подставляя такое v в C.8),
получаем следующее выражение для поля F:
C.11) F = PCdxp-2dxC'P,
где р2 = v*v = (хС + D")[Cx + d).
Если мы теперь предположим, что
C.12)

112 Дополнение
— вещественная матрица для всех х € И, то р 2 в C.11) ком-
коммутирует со скалярным кватернионом dx. Это означает, что F
содержит лишь автодуальное выражение dxdx. Следовательно,
мы убедились, что матрица C.9), подчиненная условиям C.10) и
C.12), определяет мультиинстантон для группы Sp(n). Отметим,
что ортогональным дополнением EL для векторного расслоения
Е, на котором определен автодуальный потенциал, будет образ
отображения v.
Теперь легко проверить, что инстантонное число, т. е. топо-
топологический инвариант для Е, есть в точности к. Поскольку этот
инвариант аддитивен относительно взятия прямой суммы, это рав-
равносильно проверке того, что инвариант для Е^ равен —ib. Но Е1
по определению является прямой суммой к кватернионных одно-
одномерных расслоений, соответствующих к базисным векторам в И*
(т. е. столбцам матрицы v). Каждое из этих одномерных рассло-
расслоений можно отождествить со стандартным одномерным расслое-
расслоением над 54 = Pi{H), которое точке (х,у) ставит в соответствие
одномерное подпространство в Н2, состоящее из скалярных крат-
кратных (х,у). Его инвариант равен ±1 в зависимости от соглашения.
В нашем случае нужно взять знак —, чтобы инвариант автодуаль-
автодуального расслоения Е был положительным целым числом к.
Бели мы хотим явно выписать калибровочный потенциал А, со-
соответствующий матрице v(x), нужно сначала выбрать ортогональ-
ортогональную калибровку для расслоения Е, т. е. матрицу и[х) размера
(к + п) х п, такую, что
C.13) u*v = 0, ы'ы=1.
Тогда А — u*du, как в C.2). Заметим, что условия C.13) сохраня-
сохраняются при замене « на ид, где д(х) ? Sp(n), а это — общее калибро-
калибровочное преобразование на А.
Матрицы u, v можно привести к чему-то вроде нормальной фор-
формы, для которой формулы имеют более явный вид, хотя при этом
возникнут «кажущиеся особенности». Чтобы получить эти нор-
нормальные формы, мы сначала разложим матрицу v(x, у) на блоки
следующим образом:
где Со, Do — матрицы размера nxk,&Ci,Di — матрицы размера
ib х А. Поскольку t; по предположению C.10) имеет максималь-
максимальный ранг, мы можем после замены переменных (х,у) (конформ-
(конформного преобразования сферы S4) предполагать, что матрица Ci не-
вырожденна. Заменяя v на RvS, где 5 — вещественная матрица

Гл. II. Описание инстантонов 113
размера к х к, & R € Sp(n + к), можно тогда взять С\ — — I (/ —-
единичная к х ^-матрица) и Со = 0.
Теперь, полагая у = 1, мы приводим v(x) к виду
(ЗЛ4) .*<•>= (*-,/)•
где Л — матрица размера п х к, В — матрица размера к х к и
элементы обеих матриц — кватернионы, не зависящие, однако, от
кватернионной переменной х. Условие C.12) эквивалентно следу-
следующим двум условиям:
C-15) матрица Л*Л + В*В вещественна,
C.16) матрица В*х + хВ вещественна для всех х 6 И.
Но C.16), как легко видеть, эквивалентно такому требованию:
C.17) матрица В симметрическая.
Теперь возьмем ы в виде и = I ... \ а, где / — единичная п
х п-
матрица, U — некоторая к х n-матрица и а — самосопряженная
п х n-матрица. Уравнения C.13) принимают вид
Эти уравнения можно разрешить относительно U всюду, кроме тех
точек х, где матрица (б — xl) вырожденна:
C.19) U* = А(В-х1)~1.
Подставляя ц = ,, U в C.2), получаем, что калибровочный
потенциал выражается через U и а = A + U*U)~1/2 формулой
C.20) А = aU*dUc + <r~ida.
Уравнения C.19) и C.20) точно такие же, как в §2. Таким обра-
образом, мы убедились, что формулы из § 2 действительно дают к-
инстантоны. Мы также объяснили, почему особенности в § 2 толь-
только «кажущиеся» и обусловлены частным выбором калибровки.

114 Дополнение
Геометрически нашу конструкцию мультиинстантонов мож-
можно описать также следующим образом. На грассманиане
Ок,п(Щ n-мерных подпространств пространства Ш*+к стандарт-
стандартное векторное расслоение со слоем И" обладает стандартной связ-
связностью (индуцированной ортогональным проектированием), и ин-
стантонные связности на 54 индуцируются подходящими отобра-
отображениями / : S4 —> <3*,„(Ш[). Равенство C.19) дает явное описание /
через подходящие координаты на этих многообразиях. Стандарт-
Стандартная связность на Gi,»(H) автоматически инвариантна относитель-
относительно группы Sp(n + к). В частности, для п = к = 1 это показывает,
что основной инстантон на S4 инвариантен относительно группы
SpB) 2 SpinE).

Глава III
твисторное пространство
Пенроуза
1. Комплексное трехмерное проективное
пространство
Наш подход к задаче об инстантонах будет базироваться на
комплексно-аналитических методах, составляющих часть общей
твисторной теории Р. Пенроуза (R. Penrose) [35]. Говоря очень
грубо, программа Пенроуза состоит в переинтерпретации объектов
физического пространства-времени в терминах соответствующих
объектов пространства трех комплексных переменных. Это про-
пространство — (проективное) твисторное пространство, и преобра-
преобразование объектов можно назвать твисторным преобразованием. В
случае четырехмерного евклидова пространства тоже можно по-
построить теорию Пенроуза, но немного по-другому. В этом парагра-
параграфе мы опишем основную геометрическую картину й прокомменти-
прокомментируем ее с различных точек зрения.
Как и в предыдущих параграфах, мы будем использовать ква-
кватернионы Ш и отождествлять S4 с проективной кватернионной
прямой Pi(H). Мы будем пользоваться левым умножением, так
что (91,92) и (Xqi, Xq2) представляют одну и ту же точку в Pi(M).
Сопряжение (которое обращает ориентацию) привело бы к право-
правому умножению.
Мы отождествляем комплексные числа С с подполем в Н, поро-
порожденным 1 и 1. Если записывать кватернионы в виде z\ + z?j, где
*i,22 € С, то при этом Ш1 отождествляется с пространством С2.
Аналогично пространство И2 отождествляется с пространством
С. Рассмотрим теперь трехмерное комплексное проективное про-
пространство Рз(С) — пространство, параметризующее комплексные
прямые (проходящие через 0) в С4. Если каждой комплексной
прямой поставить в соответствие порождающую ее кватернионную
прямую, то получим отображение
A-1)
В однородных координатах это отображение имеет вид
(*i, r2, z3, r4) -* (*i + z2j, z3 + z4j).

116 Дополнение
Бели фиксировать некоторую кватернионную прямую (экземпляр
пространства С2), то все комплексные прямые в ней составят вме-
вместе экземпляр пространства Pi (С) = S2. Таким образом, отобра-
отображение A.1) является расслоением со слоем Pi(C).
Умножение слева на j индуцирует преобразование сг простран-
пространства Рз(С), антилинейное (т. е. антиголоморфное в локальных
комплексных координатах) и удовлетворяющее условию а2 = 1. В
однородных координатах
A-2) er(Zi,Z2,Z3,Z4) = (-Z2,Zi,-l4,I3).
Очевидно, что преобразование а сохраняет расслоение A.1), три-
тривиально действуя на Р\ (И) и действуя как антиподальное отобра-
отображение на каждом слое (т. е. на S2). Мы будем считать, что
преобразование а задает некоторую «вещественную структуру» на
Рз(С), отличную от обычной вещественной структуры, задаваемой
сопряжением всех координат. Эта стандартная в алгебраической
геометрии терминология означает, что при некотором подходящем
алгебраическом вложении пространства Рз(С) в Pn(C) преобра-
преобразование сг задается обычным сопряжением координат простран-
пространства fV(C). В качестве примера в малых размерностях рассмо-
рассмотрим единственный слой Pi(C) и его антиподальное отображение
а. Этот слой можно вложить в /^(С) как конику, заданную урав-
уравнением ы\ + w\ + w\ = 0. Заметим, что на ней нет вещественных
точек — в соответствии с тем фактом, что у преобразования а нет
неподвижных точек.
Хотя преобразование а не имеет неподвижных точек на /*з(С)|
оно имеет неподвижные прямые — это в точности слои расслоения
A.1). Мы называем их вещественными прямыми. Таким образом,
S4 — пространство параметров всех вещественных прямых.
Напомним теперь знаменитое представление Клейна всех пря-
прямых пространства Рз(С). Для двух данных различных точек (ха)
и (wa) пространства Рз(С) вводятся координаты Плюккера
Pap = ZaWp — ZpWa,
которые задают кососимметрическую матрицу, характеризующую
прямую, соединяющую точки (z) и (ы). Эти шесть однородных
переменных рп, Р\з, Ри • Ргз> Р34> Р<2 удовлетворяют одному квадра-
квадратичному тождеству
A.3) РиРм + Р13Р42 + РнРгз = 0

Гл. III. Твисторное пространство Пенроуза 117
(это выражение — квадратный корень из det(pap)). Таким обра-
образом, пространство параметров всех прямых в .Рз(С) является ком-
комплексной четырехмерной квадрикой Q4 С А(С), задаваемой урав-
уравнением A.3). Вещественная структура на Рз(С) индуцирует веще-
вещественную структуру на Q4. Для стандартной вещественной струк-
структуры на /*з(С) вещественная структура на Q^ задается сопряже-
сопряжением чисел рар. Поэтому A.3) — вещественное уравнение для Q*.
Это квадратичная форма типа C,3) (т. е. если ее привести к диа-
диагональному виду, то в ней будет 3 плюса и 3 минуса). Для нашей
вещественной структуры, задаваемой отображением сг на Рз(С),
мы получим другую вещественную форму для Q*, соответствую-
соответствующую сигнатуре E,1). Чтобы убедиться в этом, заметим, что A.2)
следующим образом действует на рар:
Р12 —* -Pl2i Р34 —> —РМ, Р13 -* Р24.Р14 ~* ~Р23-
Следовательно, шесть величин
Xl = »Pl2, Хъ = »Рз4, Хз = Р13+Р24,
Ха = i(pi3 - Р24), Х5 = i(pi4 + Раз), Х6 = pi4 - Р23
нормально сопряжены посредством A.2). Переписывая уравнение
A.3) в координатах Xi, ...,Xe, мы получаем квадратичную форму
A.4) 4Xi Х2 + Xi + Xl + Xl + Xl = О,
действительно имеющую сигнатуру E,1). Кроме того, веществен-
вещественные точки квадрики A.4), представляющие сферу S4, задаются
аффинным уравнением (если положить Xi — X? = 1)
¦ xl + xl + xi + xl + (Xx + x2f = 1.
Возвращаясь к комплексной геометрии представления Клейна,
напомним, что на Q4 лежит два семейства проективных плоско-
плоскостей. Бели уравнение для Q\ записано в виде
то эти плоскости задаются уравнениями Y = AZ, где А € 0C, С).
Эти два семейства зависят от знака det А. Одно семейство отвечает
точкам пространства Рз(С), а другое — плоскостям пространства
^з(С) или, что равносильно, точкам двойственного пространства.

118 Дополнение
Значит, если двигать прямую / в Рз(С) так, чтобы она все вре-
время проходила через данную точку А, то представляющая ее точка
L € Q* будет двигаться в некоторой плоскости а в Q*. Аналогич-
Аналогично, если прямую / двигать в некоторой плоскости В, то ее пред-
представляющая L будет двигаться в некоторой плоскости /? в Q*. Эти
плоскости аи/? принадлежат разным семействам.
Относительно вещественной структуры а каждая плоскость а
содержит единственную вещественную точку, а именно точку пере-
пересечения аС\сг(а). Она соответствует вещественной прямой в Рз(С),
соединяющей точки А и о~(А), и таким образом мы получаем еще
одно описание отображения Рз(С) -» S4.
Удобно подытожить все это введением соответствующего про-
пространства Ms С Рз х Qi, состоящего из «инцидентных» пар (A, L),
т. е. таких пар, что точка А лежит на прямой / (или, что рав-
равносильно, прямая L лежит в плоскости а). Мы имеем тогда два
расслоения со слоями Рз и Pi:
М5
Все структуры здесь комплексно-алгебраические.
Если теперь фиксировать вещественную структуру сг, то она
определяет
(i) вещественное подпространство S4 в Q4]
(ii) сечение s : Р3 —¦ М&, которое выбирает единственную точку
в слое Рг, являющуюся вещественной (как подпространство в Q+).
Таким образом, прообраз сферы S* в Мъ отождествляется в
силу условия (ii) с Рз(С), и поэтому мы снова возвращаемся к
основному расслоению Рз(С) —» 54. Отметим, что, в то время как
проектирование Ms -» Рз является комплексно-аналитическим,
сечение s : Р3 —¦ М5 таковым не является.
2. Группы Ли
Представление Клейна можно также рассматривать с точки зре-
зрения групп Ли. Группа SLD,C) комплексных 4 х 4-матриц с опре-
определителем 1 действует на Рз(С) проективными преобразованиями.
Следовательно, она действует и на пространстве прямых, т. е. на
квадрике Qa- Но группа проективных преобразований в Ps, сохра-
сохраняющих Q+, есть в точности комплексная ортогональная группа

Гл. III. Твисторное пространство Пенроуза 119
0F, С) по модулю ±1. Поэтому мы получаем гомоморфизм
B-1)
ядро которого — корни четвертой степени из 1. Поскольку эти
две группы имеют одинаковую размерность, отсюда следует, что
B.1) — локальный изоморфизм, или
B.2) 5LD,C)=SSpinF,Q.
Это одно из тех совпадений, которые случаются с классическими
группами в малых размерностях.
Если начать с группы SpinF,C), то из изоморфизма B.2) сле-
следует, что SpinF, С) имеет некоторое представление в С4. Это одно
из полуспинорных представлений. Другое полуспинорное предста-
представление — в двойственном пространстве.
Рассмотренные комплексные группы Ли имеют много веще-
вещественных форм, и локальный изоморфизм B.1) приводит, в частно-
частности, к следующим локальным изоморфизмам вещественных групп
Ли:
(i) 5LD,R)~ 50C,3),
(ii) 517B,2) ~ 50D,2),
(iii) 51B,10 ~ 50E,1),
(iv) 5C/D) ~ 50F).
Случай (ii) относится к пространству Минковского; именно он
главным образом и изучается в теории Пенроуза. Случай (iii) свя-
связан с евклидовым пространством — это тот случай, который нас
интересует. Действие группы 5LB,H) на Рз(С) сохраняет расслое-
расслоение A.1) и индуцирует действие конформной группы на S4. Иными
словами, конформная группа сферы S4 естественно действует на
расслоении A.1).
Рассматривая максимальные компактные подгруппы в (iii), по-
получаем локальный изоморфизм
5рB) ~ 5ОE).
Таким образом, 5рB) — группа автоморфизмов расслоения A.1),
сохраняющая, кроме того, естественные метрики на Рз{С) и на 5*.
Поскольку 5рB) действует на Рз(С) транзитивно, можно рассма-
рассматривать Рз(С) как однородное.(фактор)пространство:

120 Дополнение
х Sp(l) 5рA) х 5рA)
Поскольку
5< = 50E1/50D) -
мы видим, что расслоение A.1), представленное с помощью ком-
компактных групп Ли, принимает вид
B.3)
со слоем Sp(l)/t/(l) = 52. Это описание ясно показывает, что,
начиная с S4, мы по существу имеем две различные возможности
получить -Рз(С) в зависимости от того, какой из двух множите-
множителей Sp(l) выбираем. Эти две возможности переставляются при
обращении ориентации на 54 и приводят к двойственному к Рз(С).
Расслоение B.3) связано также с основным 5рA)-инстантоном
на S4. Как объяснялось в гл. II, основной инстантон можно
представлять себе как одномерное кватернионное расслоение над
Р\(Ш) со связностью, индуцированной из фиксированного про-
пространства И2. Эквивалентное описание — сказать, что главное
5р( 1)-расслоение этого инстантона — это расслоение
5РB)
5p(l) 5p(l)x5p(l)'
Связность можно теперь описать в терминах горизонталей к
слоям:
Если снабдить все пространства естественными метриками, полу-
получающимися из биинвариантной метрики компактной группы SpB),
то в качестве горизонталей можно выбрать нормали к слоям.
Это дает некоторую связность, обладающую группой симметрии
SpB) ~ SOE). Более того, это единственно возможная связность,
обладающая таким свойством, поскольку всякий инвариантный
выбор горизонталей должен в каждой точке быть инвариантным

Гл. III. Твисторное пространство Пенроуза 121
относительно действия группы изотропии 5рA), которая действу-
действует неэквивалентными представлениями в вертикальном (слое) и
горизонтальном направлениях (вертикально мы имеем присоеди-
присоединенное представление группы Sp(l), горизонтально-^- представле-
представление в С2 группы Sp(l) = SUB)). Поскольку инстантонная связ-
связность обладает группой симметрии 50E), отсюда следует, что на-
наша связность должна быть инстантоном или антиинстантоном в
зависимости от того, какой из двух сомножителей Sp(l) мы вы-
выбрали в левой части B.4).
Итак, пространство Рз(С) естественным образом является фак-
торпространством главного расслоения 5рA)-инстантона по дей-
действию группы U(l), или, что равносильно, пространство Рз(С) мо-
может быть получено из инстантона, рассматриваемого как
И = СЯ-расслоение над S4, заменой каждого слоя на соответству-
соответствующее проективное пространство Р\(С). Этот способ получения
Рз(С) из S4 можно обобщить на другие четырехмерные многообра-
многообразия; см. [3].
3. Комплексные координаты в м4
Введение пространства Пенроуза Рз(С) как инструмента для изу-
изучения задач на S4 (или в М4) можно мотивировать следующим
образом. Очень хорошо известно, что многие классические задачи
о функциях от двух вещественных переменных (х, у) лучше всего
решаются введением одной комплексной переменной х = x+iy и ис-
использованием затем мощных методов теории голоморфных функ-
функций. При переходе от R2 к М4 можно наивно попытаться применить
аналогичный прием, введя две комплексные переменные
zi = х\ + ix2, z2 = х3 + ix4
Сразу виден один недостаток такого способа, а именно, он слиш-
слишком тесно привязан к частной системе координат и поэтому вряд
ли может дать существенные результаты. Например, переста-
перестановка этих четырех координат zi,Z2>Z3>Z4 привела бы к новым
комплексным переменным, плохо связанным с исходными. С дру-
другой стороны, в Ш2 фиксацией метрики и ориентации комплексная
структура определяется однозначно. Комплексное число i задает-
задается поворотом на угол тг/2 в положительном направлении.
Поскольку на Е4 нет естественным образом выделенной ком-
комплексной структуры, мы можем пытаться рассматривать одновре-
одновременно все комплексные структуры, совместимые с данной метри-
метрикой и ориентацией. Фактически мы должны определить г как не-

122
Дополнение
которое собственное ортогональное преобразование, удовлетворя-
удовлетворяющее условию «2 = — 1. Если одно такое преобразование выбрано,
то сопряжение его элементами группы 50D) дает все другие та-
такие преобразования. Кроме того, сопряжение элементами группы
1/B) оставляет первое преобразование неизменным. Следователь-
Следовательно, множество всех комплексных структур естественным образом
параметризуется факторпространством
6OD)/l/B) - 5
Таким образом, для каждой точки и 6 S2 имеется некоторая ком-
комплексная структура на М4, т. е. изоморфизм R4 S С2.
Если мы хотим теперь вводить методы теории комплексных пе-
переменных в М4, нам нужны три комплексные переменные
(и, г", г"): первая переменная и говорит, какая именно комплекс-
комплексная структура используется, а другие две — это сами комплексные
коордчнаты. Поскольку координаты z\, z2 зависят от и, ситуация
оказывается несколько тоньше. Как мы сейчас объясним, картина
Пенроуза геометрически проясняет ситуацию.
Для простоты будем сейчас рассматривать только М4 С S*. По-
Поэтому мы удаляем из S4 «точку в оо» и соответственно удаляем из
Яз проективную прямую, лежащую над этой точкой в расслоении
A.1). Таким образом, мы получаем расслоение Рз(С) — Pi(C) —>
Ш4. Проективные плоскости в Яз(С), пересекающиеся по «прямой
в со», становятся «параллельными» аффинными плоскостями в
Рз(С) — /*i(C). Итак, для нашего расслоения получается следую-
следующая картинка:
R4
Над данной точкой (скажем, началом координат) пространства
R4 имеется слой Л (С) = 52, параметризованный переменной и.

Гл. III. Твисторное пространство Пенроуза 123
Плоскость из нашего множества параллельных плоскостей, про-
проходящая через точку и, — это экземпляр пространства С2", ко-
который посредством проектирования отождествляется с К4. Это
и есть способ наделить пространство К4 комплексной структу-
структурой, соответствующей и. Тот факт, что эта комплексная струк-
структура меняется с изменением и, означает, что вертикальное ото-
отождествление различных экземпляров С2, не сохраняет комплекс-
комплексной структуры. Это можно выразить по-другому, заметив, что
«горизонтальное» проектирование Рз(С) — Pi (С) —¦ Pi (С), отобра-
отображающее CJ в «, — это проектирование комплексного векторного
расслоения, не изоморфного произведению Pi (С) х С2, хотя соот-
соответствующее вещественное векторное расслоение изоморфно про-
произведению Pi (С) х R4. Такое возможно потому, что расйлЬёния
над S2 = Pi (С) топологически классифицируются отображения-
отображениями экваториальной окружности S1 в структурную группу соот-
соответствующего расслоения, а фундаментальные группы ж\ в нашем
случае таковы:
tti([/B)) 2 Z (целые числа),
7Ti(S0D)) =* Zi (целые числа mod 2),
и наше расслоение соответствует целому числу 2, которое в
7Г!EОD)) дает 0.
Таким образом, этот топологический факт скрывается за «свя-
«связью» между комплексными координатами z",z% и комплексным
параметром «. Однако, рассматривая пространство Рз(С) — Р\ (С),
можно локально ввести три независимые («несвязанные») ком-
комплексные переменные и использовать их вместо u,z",z%. Поэтому
пространство Пенроуза дает возможность естественным образом
ввести три комплексные переменные для решения задач в R4.
Такой же способ инфинитезимально применяется для полно-
полного расслоения Рз(С) —¦ S4. В каждой точке и 6 Рз(С) мож-
можно рассмотреть касательное пространство Ти и подпространство
Lu касательных к слою, содержащему и. Факторпространство
Tu/Lu будет тогда комплексным векторным пространством, кото-
которое при проектировании получает естественное отождествление с
вещественным касательным пространством к S4 в точке, лежащей
под точкой и.
Отметим, в частности, что, поскольку комплексные многообра-
многообразия обладают естественной ориентацией, пространство 54 получа-
получает естественную ориентацию из описания его как базы расслоения
Рз(С) —¦ S4. Это и есть та ориентация, которую мы фиксируем (в
[3] противоположное соглашение принято).

Глава IV
Голоморфные расслоения
1. Голоморфные и унитарные калибровки
В гл. I мы объяснили, что калибровочные теории допускают пря-
прямую дифференциально-геометрическую интерпретацию в терми-
терминах расслоений со связностью. В этой главе мы столкнемся с голо-
голоморфными расслоениями. Поскольку такие расслоения необычны
для физиков и обладают некоторыми особенностями, мы начнем
с ряда элементарных замечаний, чтобы разъяснить существенные
моменты.
Начнем с рассмотрения калибровочной теории для некомпакт-
некомпактной группы GL(n,C). Геометрически будет удобно рассматривать
ее представление в С* и говорить о комплексных векторных рас-
расслоениях. Таким образом, над базовым пространством X (т. е. над
54) мы рассматриваем векторное расслоение Е со слоем С, при-
причем слой над точкой х € А' обозначается Ех. Интуитивно мы
рассматриваем Ех как векторное пространство, непрерывно ме-
меняющееся вместе с х. Линейная калибровка для расслоения Е
означает некоторый выбор базиса в Ех, непрерывно меняющего-
меняющегося вместе с х. Калибровочное преобразование тогда — функция
д(х) 6 GL(n,C), которая задает замену базиса в каждой точке х.
В определении векторного расслоения всегда предполагается,
что Локальные калибровки всегда существуют, так что Е локаль-
локально изоморфно произведению А' ж С1. Глобальная калибровка не
обязательно существует, поскольку Е не обязано быть глобально
изоморфным этому произведению. Примеры такой ситуации дают
инстантонные расслоения при X = S4 и п = 2.
Если предположить, что в каждом слое Ех есть положительное
скалярное произведение, непрерывно меняющееся с изменением х,
то можно рассматривать унитарные калибровки, при которых ба-
базис в каждой точке х ортонормированный. Переход от одной уни-
унитарной калибровки к другой описывается тогда некоторым кали-
калибровочным преобразованием д(х) € U(n). Локально унитарные ка-
калибровки всегда существуют, а глобальные унитарные калибровки
существуют, если и только если существует глобальная линейная
калибровка, поскольку топологические свойства группы GL(n,C),
по существу, определяются подгруппой U(n).
Вместо того чтобы фиксировать скалярное произведение и опре-
определять с его помощью унитарные калибровки, мы можем обратить
эту процедуру, т. е. выбрать одну линейную калибровку, объявив

Гл. IV. Голоморфные расслоения 125
ее ортонормированной, и рассматривать все калибровки, получае-
получаемые из нее применением унитарных калибровочных преобразова-
преобразований.
Если X — дифференцируемое многообразие, то естественно по-
потребовать, чтобы слово «непрерывное» всюду было заменено сло-
словом «дифференцируемое». Это не вносит существенных отличий.
Бели многообразие X заменить некоторым комплексным анали-
аналитическим многообразием Z, например Рз(С). то можно ввести по-
понятие голоморфного (или комплексно-аналитического) векторного
расслоения. Наивно-мы представляем теперь слои Ег голоморфно
меняющимися с изменением z € Z. Голоморфная калибровка то-
тогда — некоторый базис в каждом слое Ег, голоморфно меняющий-
меняющийся с изменением г, а голоморфное калибровочное преобразование
задается голоморфной функцией g(z) со значениями в GL(n,C).
Эта голоморфная структура может быть задана фиксацией одной
калибровки, которая объявляется голоморфной, а в качестве но-
новых голоморфных калибровок рассматриваются только те, кото-
которые получаются из нее применением голоморфных калибровочных
преобразований.
Сходство и различие голоморфного и унитарного случаев до-
довольно ясны. Важный момент, который следует отметить, состоит
в том, что унитарные калибровочные преобразования определя-
определяются поточечным ограничением на слои, тогда как голоморфные
калибровочные преобразования нельзя определить таким спосо-
способом. Заметим, что эти два типа калибровочных преобразований
диаметрально противоположны, поскольку преобразование, явля-
являющееся одновременно и унитарным, и голоморфным, обязано быть
постоянным. Для иллюстрации этих основных идей рассмотрим
простой пример. Возьмем в качестве базы расслоения простран-
пространство Pi(C) и поставим в соответствие каждой точке (z) G А(С)
комплексную прямую Ь(г) С С2, которую эта точка параметризу-
параметризует, а именно все кратные Xz:
(*) Pi(C)
Интуитивно ясно, что прямая Ь(г) голоморфно меняется с измене-
изменением (г). Естественная голоморфная калибровка задается Пересе-

126 Дополнение
чением L(,j с произвольной аффинной прямой в С2 (не проходящей
через 0) — см. пунктирную прямую на рисунке — например, с пря-
прямой 22 = 1. Эта калибровка однозначно определена всюду, кроме
точки A,0) € Pi (С). Аналогично z\ = 1 дает калибровку всюду, за
исключением точки @,1). Калибровочное преобразование, связы-
связывающее эти две калибровки, дается функцией z\jx%. Эта функция,
конечно, голоморфна на Pi (С) вне точек A,0) и @,1).
Бели пространство С2 снабжено естественным скалярным про-
произведением, то каждый слой L(z) тоже наследует скалярное произ-
произведение, и можно ввести унитарные калибровки. Отметим снова,
что рассмотренные выше линейные голоморфные калибровки за-
заведомо не унитарны.
Если каждой точке {%) поставить в соответствие ортогональ-
ортогональное дополнение Lh-., то снова получится векторное расслоение с
унитарной структурой. Однако переход к ортогональным допол-
дополнениям включает в себя комплексное сопряжение, и поэтому век-
векторные пространства ?А\ не голоморфно меняются с изменением
(г). Таким образом, L является голоморфным векторным рассло-
расслоением, a L1 — нет. В этом главное различие между унитарной и
голоморфной теориями.
Хотя переход к ортогональному дополнению — не голоморфный
процесс, мы можем вместо этого рассмотреть факторпространство
N(t) = <С?/Ь(гу Мы снова получим голоморфное одномерное рас-
расслоение N, причем голоморфная калибровка получается из про-
произвольной голоморфной функции на Pi(C) со значениями в С2.
Если взять линейно двойственные пространства, то расслоение N'
окажется подрасслоением в Pi (С) х (С2)'. В общем случае, если
Е — произвольное голоморфное векторное расслоение, то линей-
линейно двойственное к нему расслоение Е' снова будет голоморфным
векторным расслоением.
Заменяя Pi(C) на Р„(С), мы снова получим голоморфное одно-
одномерное расслоение L. Факторпространство C"+1/L будет теперь
голоморфным С-расслоением над РП(С).
Пока что у нас есть голоморфные или унитарные расслоения
без всяких дополнительных структур. Теперь мы подошли к во-
вопросу о связностях. В случае линейного векторного расслоения Е
с группой GL(n, С) связность можно задать ковариантной произ-
производной V. Компоненты V^, отвечающие координатам х^ в базе,
действуют на сечениях векторного расслоения, т. е. на функциях
f(x) 6 Ех. При данной линейной калибровке
где А = 52 Apdx11 — калибровочный потенциал.

Гл. IV. Голоморфные расслоения 127
Если Е обладает унитарной структурой и мы требуем, чтобы ко-
вариантная производная V была согласована с унитарностью (т. е.
чтобы соответствующий параллельный перенос сохранял длину),
то при любой унитарной калибровке А" = —А.
Прежде чем перейти к голоморфному случаю, напомним не-
несколько элементарных определений из теории комплексных много-
многообразий. Если (zi,..., г„) — локальные комплексные координаты
на Z, формальные дифференциалы dza,dzZ вводятся формулами
dza = dxa + i dya, iz~Z — dxa — i dya,
где za = xa + iya. Полный дифференциал
можно представить в виде суммы двух слагаемых:
где d'f содержит только dza, a d"f содержит только dla. Этс
разложение не зависит от выбора локальных голоморфных коор-
координат. Уравнение d"f — 0 — уравнение Кош и — Римана, характе-
характеризующее голоморфные функции.
Если теперь Е — голоморфное векторное расслоение над Z, а
V — ковариантная производная, то можно написать
V = V + V".
Если положить
то V = ? V'adza, V" = ? V»dza, где
Будем говорить, что ковариантная производная V согласована с
голоморфной структурой расслоения Е, если V"/ = 0 для любого
голоморфного сечения / расслоения Е. Это условие равносильно
требованию, чтобы в любой голоморфной калибровке калибровоч-
калибровочный потенциал А, разложенный в сумму А = А' + А", удовле-
удовлетворял условию А" = 0. Говорят, что такой потенциал имеет тип
A,0). В общем случае говорят, что дифференциальная форма име-
имеет тип (p,q), если она содержит р штук dza и q штук dla.
Взаимосвязь между связностями на унитарных и голоморфных
расслоениях дается следующим простым и хорошо известным ре-
результатом.

128 Дополнение
Предложение A.1). Пусть Е — голоморфное векторное расслое-
расслоение с унитарной структурой. Тогда существует единственная связ-
связность, согласованная с обеими структурами, т. е. такая, что
(i) в каждой унитарной калибровке калибровочный потенциал
А удовлетворяет условию А* — —Л,
(ii) в каждой голоморфной калибровке А" = 0.
Кривизна F этой единственной связности имеет тип A,1).
Доказательство. Фиксируем сначала некоторую голоморфную
калибровку и возьмем А" = 0, чтобы выполнялось требование (ii).
Преобразуем теперь ее в унитарную калибровку посредством ка-
калибровочного преобразования д. Если преобразованный потенциал
равен В = В' + В", то В" = d"g д-х+А" - d"g ¦ д~1 определяется
преобразованием д. Наконец, чтобы выполнялось требование (i),
мы должны взять В' = —{В")*. Этим однозначно определяется
/' и, следовательно, фиксируется потенциал. Вычисляя поле F в
этой голоморфной калибровке, мы получаем
F = dA' + [А1, А'] = {d'A' + [А', А')} + d"A';
здесь участвуют слагаемые только типа B,0) и A,1). Но из уни-
унитарности следует, что в любой калибровке F* — —F, и потому
компонента типа B,0) тоже нулевая. Таким образом, поле F име-
имеет тип A,1).
Предложение A.1) имеет важное обращение, которое можно
сформулировать следующим образом.
Теорема A.2). Пусть Е — комплексное векторное расслоение с
унитарной структурой над комплексным многообразием. Пусть
Е обладает унитарной связностью, кривизна которой имеет тип
A, 1). Тогда существует единственная голоморфная структура на
Е, такая, что эта связность — связность из предложения A.1).
Эта теорема является, по существу, следствием теоремы Нью-
лендера — Ниреиберга об интегрируемости для комплекс-
комплексных структур [33]. Основная идея состоит в том, что голо-
голоморфная структура на расслоении Е задается следующим обра-
образом: в качестве голоморфных сечений берутся решения уравнения
V"/ = 0. Здесь V" обозначает компоненту типа @,1) ковариант-
ной производной связности. Из условия на кривизну следует, что
[V^, VJg] = 0, где V" = Yia Va<fza и za — локальные комплексные
координаты на нашем многообразии. Тогда из теоремы об инте-
интегрируемости [33] следует, что уравнение V"/ = 0 локально имеет
достаточно много решений, чтобы составить базис расслоения Е.
За дальнейшими подробностями мы отсылаем читателя к [3]; см.
также [25].

Гл. IV. Голоморфные расслоения 129
2. ТВИСТОРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ИНСТАНТОНОВ
В. этом параграфе мы покажем, как интерпретируются уравнения
автодуальности для поля Янга — Миллса на S* в терминах ком-
комплексного анализа на твисторном пространстве -Рз(С).
В качестве алгебраической подготовки нам нужно понять, что
означают уравнения *и> = ±ы для 2-формы и на R4 в терминах
комплексных координат. Напомним, что если введены комплекс-
комплексные координаты, отождествляющие R4 с С2, то 2-форму и> можно
разложить по типам:
B.1) w = w2'°+
Нас интересует, как это разложение согласуется с '-разложением
B.2) и = и
по собственным значениям ±1 оператора *. Это просто вопрос ли-
линейной алгебры, и его можно изучать в терминах представлений
групп. Уравнение B.2) соответствует разложению представления
группы 50D) на два неприводимых (каждое размерности 3), а
уравнение B.1) соответствует разложению этого представления по
подгруппе UB). Компоненты типа B,0) и @,2) имеют размерность
1, а четырехмерное представление в компоненте типа A,1) разла-
разлагается в сумму
B.3) ы1-1=ы1Л + а.
Здесь а — некоторое кратное формы ц типа A,1), отвечающей
эрмитовой метрике, а и^'1 — «примитивная» составляющая, ор-
ортогональная к ft. Трехмерное представление группы t/B) на этой
примитивной составляющей, как легко видеть, неприводимо. По-
Поэтому оно должно совпадать с одним из двух неприводимых сла-
слагаемых в B.2). Но форма /i, отвечающая метрике, автодуальна.
Следовательно, мы должны получить
B.4) ы-=ы10-1.
В частности, отсюда видно, что пространство Q~ форм и, таких,
что *w = —о>, имеет тип A,1) для всех комплексных структур
(согласованных с метрикой и ориентацией). Обратное тоже верно,
поскольку пространство

130 Дополнение
2-форм на R4, имеющих тип A,1) для всех комплексных структур
и, инвариантно относительно группы 50D), содержит П~ и не со-
совпадает со всем пространством, — значит, оно должно совпадать
cfi~.
Итак, мы доказали следующую алгебраическую лемму.
ЛЕММА B.5). 2-форма w на М4 антиавтодуальна, если и только
если она имеет тип A,1) для всех- согласованных с метрикой и
ориентацией комплексных структур.
Применим теперь эту лемму к 2-форме ш на S4. Поднимем ее,
чтобы получить 2-форму w на Рз(С)- Форма w чисто горизонталь-
горизонтальна, т. е. пар =? 0, если а или /? — направление слоя. Чтобы
вычислить горизонтальную составляющую формы й в точке и,
воспользуемся описанной в предыдущем параграфе интерпретаци-
интерпретацией, в соответствии с которой и параметризует (инфинитезимально)
комплексные структуры на S4 в подлежащей точке. Из этого и из
нашей леммы получаем
Предложение B.6). 2-формаы на S4 антиавтодуальна, если и
только если ее поднятие й на Рз(С) имеет тип A, 1).
Заметим, что это предложение чисто локальное. Оно справед-
справедливо для любого открытого множества U в S4 и соответствующего
ему множества О в /'з(С).
Наконец, мы можем рассмотреть комплексное векторное рас-
расслоение Е над S4 с унитарной структурой и связностью. Пусть
F —его кривизна. Если поднять Е и получить расслоение Е со
связностью на Рз(С), то его кривизной будет в точности поднятие
F кривизны F. Применяя B.6) к коэффициентам матрицы F, мы
выводим
Предложение B.7). Векторное расслоение Е над S4 с унитар-
унитарной структурой и связностью имеет антиавтодуальную кривизну,
если и только если поднятое расслоение Ё над Рз(С) с поднятой
связностью имеет кривизну типа A, 1).
Используя B.7) и теорему A.2), мы получаем важный резуль-
результат:
B.8) Е антиавтодуально —> Е голоморфно.
Чтобы сделать это утверждение более более точным, укажем, ка-
какие именно голоморфные расслоения над Рз(С) возникают таким
способом и как от Ё вернуться обратно к Е.

Гл. IV. Голоморфные расслоения 131
Прежде всего заметим, что ограничение расслоения Ё на любой
слой Рг расслоения Яз(С) —* S4 голоморфно тривиально. Базис в
Ех определяет голоморфный базис или калибровку в ограниче-
ограничении Ё\РХ. Обратно, это показывает, что Ех можно единственным
образом определить как пространство голоморфных сечений огра-
ограничения Ё\РХ.
Обратимся теперь к рассмотрению унитарных структур на Е
и Ё. Унитарную структуру на Е можно задать антилинейным
изоморфизмом т : Е —> Е*, таким, что (u,rv) — положительно
определенная эмитова форма (Е* обозначает пространство, двой-
двойственное к Е). Переходя к Ё, используем т, чтобы определить
поднятие f сопряжения а на Рз(С)- А именно, мы определяем
коммутативную диаграмму
Ё —?—+ Ё*
1 1
Отображение f антиголоморфно, т. е. оно превратится в голоморф-
голоморфный изоморфизм, если Ё* снабдить противоположной комплекс-
комплексной структурой. Это следует из того, что т сохраняет унитарную
структуру и связность, а значит (в силу утверждения единствен-
единственности из теоремы A.2)), т сохраняет и голоморфную структуру.
Ограничение отображения т на слой Рх индуцирует аналогич-
аналогичное отображение на голоморфных сечениях расслоения Е. Таким
образом, мы снова получаем отображение т,. Его поднятие опре-
определяет унитарную структуру на Ё, которая вместе с голоморфной
структурой дает в силу A.1) единственную связность типа A,1).
Заключительный шаг — показать, что эта связность опускается
до связности на Е; в силу Предложения B.7) она обязательно бу-
будет антиавтодуальной. Условие, что связность на Ё опускается с
Рз(С) на S4, — это условие, что кривизна должна быть чисто го-
горизонтальной, т. е. что Fap — 0, если а — вертикальное направле-
направление (т. е. вдоль слоев). Если оба направления аи/? вертикальны,
это ясно, так как ограничение расслоения Ё на слой и голоморф-
голоморфно, и унитарно. Более сильное утверждение, когда вертикально
только направление а, следует из тривиальности ограничения Е
на первую формальную окрестность слоя. Конкретнее, эта триви-
тривиальность означает, что можно фиксировать некоторую калибровку
на Ё вблизи фиксированного слоя Рх, голоморфную и унитарную
на Рх и, с точностью до первых производных, нормальную к Рх.

132 Дополнение
Проверку этого свойства тривиальности расслоения Ё лучше пока
отложить (см. гл. VI, §3), поскольку она требует комплексно-
аналитической техники. Отметим, между прочим, что, с точно-
точностью до вторых производных, расслоение Ё нетривиально, если в
целом кривизна ненулевая.
Чтобы суммировать наши результаты в удобной форме, дадим
следующие определения. Пусть V — голоморфное векторное рас-
расслоение над Рз(С). Тогда антилинейный изоморфизм р : V —* V*,
накрывающий а на Рз(С) и такой, что
называется вещественной формой на V. Далее, если V пред-
предполагается тривиальным на всех вещественных прямых в Рз(С),
то р индуцирует невырожденную эрмитову форму на простран-
пространстве голоморфных сечений расслоения V, ограниченных на лю-
любую вещественную прямую. Если эта эрмитова форма положи-
положительно определена, мы говорим, что наша вещественная форма
положительна. Два векторных расслоения V aW с вещественны-
вещественными формами называются изоморфными, если имеется комплексно-
аналитический изоморфизм V на W, коммутирующий с р.
Наш результат теперь можно сформулировать следующим обра-
образом.
Теорема B.9). Имеется взаимно однозначяое соответствие ме-
между
(i) антиавтодуальяыми {/(п)-пдтенцналами над 54 (с точностью
до калибровочной эквивалентности) и
(ii) голоморфными векторными расслоениями со слоем С" над
Рз(С) с положительной вещественной формой (с точностью до
изоморфизма).
Замечания. 1) Эта теорема чисто локальная по своему харак-
характеру. Она справедлива для любого открытого множества U в S4 и
соответствующего множества U в Рз(С)-
2) В чисто комплексной форме эта теорема принадлежит Уорду
[42]. Позже мы обсудим его доказательство. Представленная здесь
версия кратко сформулирована в [4] и развита в [3].
3) Нужно подчеркнуть, что большая часть информации в (ii)
уже содержится в голоморфном векторном расслоении. Положи-
Положительная вещественная форма, если она существует, как правило,
единственна.
4) И в (i), и в (ii) имеется целочисленный топологический ин-
инвариант. В (i) это антиинстантонное число, в (ii) — второй класс
Чжэня. Эти целые числа равны (ср. [3]).

Гл. IV. Голоморфные расслоения 133
Теорему B.9) легко можно обобщить на ортогональную и сим-
плектическую группы. Мы подробно рассмотрим симплектиче-
ский случай, ортогональный случай совершенно аналогичен, если
не считать изменений знаков.
Напомним, что компактная симплектическая группа Sp(n) —
это группа сохраняющих длину автоморфизмов кватернионного
векторного пространства Ш*. Ее можно отождествить с подгруп-
подгруппой группы UBn), коммутирующей с действием кватерниона j на
Н" = С2". Иначе говоря, это подгруппа в UBn), коммутирующая
с кососимметричной билинейной формой (.,.) на С2", определен-
определенной равенством (u,jv) = (u,v), где {.,.) — эрмитово произведе-
произведение. Следовательно, 5р(п)-потенциал геометрически можно пред-
представить как векторное расслоение Е со слоем С2п, Имеющее уни-
унитарную связность, вместе с изоморфизмом а : Ё —> Е*, который
кососимметричен, т. е. (u,at>) = — {у,аи), и сохраняет связность
(Е* наделяется связностью, наследуемой из Е по двойственности).
Предположим теперь, что имеется антиавтодуальный Sp(n)-
потенциал на S4. Тогда, применяя теорему B.9) к t/Bn), мы видим
прежде всего, что расслоение Е над Рз(С) голоморфно. Кроме то-
того, изоморфизм a :Е—>Е* индуцирует голоморфный изоморфизм
а : Ё —* Ё*, который также является кососимметрическим. Ком-
Комбинируя а с антилинейным изоморфизмом т : Е —* Е*, заданным в
коммутативной диаграмме выше, мы получаем антилинейный изо-
изоморфизм Ё —* Е, накрывающий а на Рз(С)- Мы будем обозначать
это отображение на Е той же буквой <т. Оно удовлетворяет усло-
условию <т2 = — 1 и согласовано с а или, что тоже самое, с кососим-
кососимметричной формой на Е, определенной изоморфизмом а. Таким
образом, всякий антиавтодуальный 5р(п)-потенциал на S4 соотве-
ствует некоторому голоморфному векторному расслоению Е над
Рз(С) со слоем С2п, причем это расслоение обладает еще двумя
дополнительными структурами:
(i) голоморфной невырожденной кососимметрической формой
на Ё,
(ii) антилинейным отображением <т : Ё -* Ё, поднимающим ото-
отображение а на Рз(С), так что а2 = — 1 и а согласовано с указанной
кососимметрической формой, т. е. (<ти, <rv) = (и, v).
Кроме того, расслоение Ё голоморфно тривиально на всех ве-
вещественных прямых в Рз(С), и ограничение на вещественную пря-
прямую эрмитовой формы, индуцированной формой (u, <rv) на сечени-
сечениях расслоения Ё, положительно определено.
В частном случае Sp(l) ^ SUB) условие (i) сводится к топо-

134 Дополнение
логическому ограничению, а именно к равенству нулю первого
класса Чженя С\(Ё). Невырожденная кососимметрическая форма
будет тогда единственна с точностью до постоянного множителя.
Кроме того, антилинейное отображение <т : Е —* Е единственно
(при к ф 0), поскольку два таких отображения <т отличаются на
голоморфный автоморфизм расслоения Е, а (как мы увидим поз-
позже) расслоение Е не обладает никакими автоморфизмами, кроме
скалярных: условие <т2 = — 1 и положительная определенность
эрмитовой формы поэтому однозначно фиксируют <г. Таким обра-
образом, мы получили вариант теоремы об SUB), приведенный в [4].
3. Расслоения над рх(С)
Чтобы освоиться с голоморфными векторными расслоениями, мы
разберем сейчас простейший случай, а именно рассмотрим рассло-
расслоения над комплексной проективной прямой.
Основной пример комплексного одномерного расслоения (со
слоем С1), как мы видели, дается семейством Ь(г) комплекс-
комплексных прямых в С2, параметризованным соответствующими точка-
точками (z) & Pi (С). Это стандартное расслоение топологически не-
нетривиально. Его можно задать двумя голоморфными калибров-
калибровками на Pi вблизи точек z — 0 и г = со соответственно (здесь
г — неоднородная координата), причем калибровочное преобра-
преобразование, связывающее их, — умножение на г. Более общо, рас-
расслоение Ln = L ® • • • ® L (п раз) аналогичным образом задается
калибровочным преобразованием гп. Полагая L~l = L* (L* —
двойственное пространство), мы можем также рассматривать це-
целые отрицательные значения п.
Зададимся теперь вопросом, существуют ли другие голоморф-
голоморфные одномерные расслоения, не изоморфные расслоениям L"?
Предположим, например, что мы построили расслоение, используя
в качестве калибровочного преобразования произвольную функ-
функцию f(z), голоморфную и ненулевую вблизи экватора |г| = 1. Пре-
Прежде всего, мы можем определить топологический инвариант
к-—'Г{2)
(интеграл берется по |г| = 1). Предположим сначала, что к = 0;
тогда мы получаем однозначно корректно определенную функцию
g(z) = log i\z)

Гл. IV. Голоморфные расслоения 135
в некотором кольце г < |z| < R. Возьмем ее разложение в ряд
Лорана .
f
= f
n2"
и запишем эту функцию в виде
9(z) = 9о(*) — 9oo(z),
где до — функция, голоморфная при |г|< R, a joo голоморфна при
r< \z\, т. е. до содержит слагаемые с n^O, a дж— с п^О. Это раз-
разложение единственно, с точностью до положительной постоянной.
Потенцирование дает
Эту формулу можно интерпретировать, сказав, что голоморфное
расслоение, заданное /(г), голоморфно тривиально. Множители
/о(г) и foo{z) позволяют изменить исходные голоморфные кали-
калибровки так, что они совпадут вблизи экватора и поэтому соста-
составят глобальную голоморфную калибровку. Таким образом, если
к = 0, то' расслоение голоморфно тривиально. Аналогичные рас-
рассуждения показывают, что в общем случае
и, значит, такое расслоение голоморфно эквивалентно расслоению
Lk. Небольшое обобщение этого рассуждения, допускающее более
двух локальных калибровок, приводит к заключению, что всякое
голоморфное одномерное расслоение над Pi (С) изоморфно некото-
некоторому расслоению Lk.
Переходя теперь к векторным расслоениям со слоем С", можно
построить очевидные примеры как прямые суммы:
C.2) JS.= Lkl ®Lkl ©•••$?*".
Гораздо более тонкая теорема, доказанная в различных формах в
разные годы Гильбертом, Биркгофом, Гротендиком [26] и другими,
утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над
Л (С) изоморфно такой прямой сумме, а целые числа (к\,.. .,к„)
определены однозначно с точностью до перестановки. В частности,
отсюда следует матричный вариант формулы C.1). А именно, если
f(z) — голоморфная функция, определенная в кольце г < \z\ < R

136 Дополнение
и принимающая значения в GL(n,C), то можно записать f(z) в
виде
C.3) f(z) = Mz)A(z)f0O(zy1,
где Л(г) — диагональная матрица с элементами zkt, a /o(-z),
/оо(г) ~ голоморфные функции со значениями в GL(n,C), опре-
определенные при \z\ < R и г < |z| соответственно.
Важно отметить, что хотя величины &,• в C.2) — голоморфные
инварианты расслоения Е, они ие являются топологическими ин-
инвариантами. Только их сумма к = ^,к есть топологический инва-
инвариант. Говоря конкретнее, если в C.3) функция /(г) голоморфна
по z и непрерывно зависит от некоторого другого параметра t, то
разложение C.3) нельзя, вообще говоря, сделать непрерывным по
t. Целые числа fc, будут зависеть от i полунепрерывно. А именно,
при I -* to разности \ki(t)—kj(i)\ могут возрастать скачком. В част-
частности, отсюда следует, что тривиальное расслоение (все fc,- = 0)
устойчиво относительно малых деформаций.
Простой геометрический пример проиллюстрирует, каким обра-
образом целые числа Jb,- могут внезапно подскакивать. Рассмотрим слу-
случай п = 2 и предположим, что топологический инвариант fci + &2
равен 0. Вместо векторных расслоений со слоем С2 мы можем с
тем же успехом рассматривать проективные расслоения со слоем
Pi (С). Тривиальное расслоение — это Pi x Pi. Пример нетриви-
нетривиального расслоения, соответствующего целым числам A,-1), дает
семейство образующих квадратичного конуса в Рз (мы рассматри-
рассматриваем вершину конуса на разных образующих как разные точки).
Если теперь взять общую квадрику в Рз, то ее можно отожде-
отождествить с Pi х Pi (ср. с вещественным гиперболоидом). Непрерывно
меняя коэффициенты квадратичной формы, мы можем получить
особую квадрику, т. е. конус.
Итак, на Pi (С) все голоморфные векторные расслоения извест-
известны. В частности, все они алгебраические, т. е. в подходящей кали-
калибровке калибровочные преобразования являются алгебраически-
алгебраическими функциями от z. Кроме того, эта алгебраическая структура, по
существу, единственна. Это частный случай общей теоремы Сер-
ра [39], которая применима ко всем комплексным алгебраическим
многообразиям в проективном пространстве произвольной размер-
размерности и, в частности, к самим проективным пространствам. Одна-
Однако простая и полная классификация, имеющаяся в случае Pi (С),
не распространяется на другие алгебраические многообразия.
Один из способов изучения голоморфных (или алгебраических)
векторных расслоений над проективным пространством Рт(С)

Гл. IV. Голоморфные расслоения 137
(т = 3 в нашем случае) состоит в том, чтобы рассмотреть ограни-
ограничения данного расслоения на все проективные прямые в Рт(С).
Свойство полунепрерывности, которое упоминалось выше, гово-
говорит, что над «общей прямой» мы получим некоторое множество
целых чисел (к\...,к„), однако, вообще говоря, найдутся некото-
некоторые исключительные прямые или прямые скачка, над которыми
разности \k{ — kj | подпрыгнут вверх. Если для некоторой прямой
все ki будут нулями (т. е. ограничение расслоения на эту пря-
прямую тривиально), то же должно быть верно и для общей прямой.
Согласно теореме B.9), мы видим, что голоморфные векторные
расслоения на Рз(С), происходящие из антиинстантонов на S4,
обладают этим свойством, поскольку для каждой вещественной
прямой все ib,- = 0. Прямые скачка не вещественные и отвечают
точкам комплексификации сферы 54. Теорема Серра утверждает,
что в подходящей калибровке антиавтодуальный калибровочный
потенциал на S4 будет задаваться рациональными функциями в
соответствующих координатах. Комплексные полюсы этих рацио-
рациональных функций отвечают за прямые скачка.
Если Е — голоморфное векторное расслоение над Рз(С), триви-
тривиальное на общей прямой, то, с точностью до постоянной матрицы,
Е обладает единственной глобальной голоморфной калибровкой
вдоль любой общей прямой (поскольку голоморфные функции на
Pi — константы). Однако если рассмотреть треугольник, обра-
образованный тремя общими прямыми, лежащими в одной плоскости,
то три голоморфные калибровки на этих трех прямых не обязаны
быть согласованными. Можно представлять себе тривиальное го-
голоморфное расслоение на Р\ как имеющее выделенную связность
или параллельный перенос. Тогда При обходе треугольника, обра-
образованного тремя компланарными прямыми, параллельный пере-
перенос может не быть тождественным. Это приводит к определению
кривизны в расслоении Е, совершенно не использующему голо-
голоморфной структуры и компактности проективных прямых. Эта
«кривизна» — глобальное понятие, отвечающее каждому общему
треугольнику. Но это понятие можно очевидным образом лока-
локализовать и получить нечто больше похожее на дифференциально-
геометрическую кривизну.
С такой точки зрения вполне естественно ввести пространство,
параметризующее все прямые в Рз(С). Как объяснялось в гл. III,
это пространство — клейнова квадрика Q4 в Ps(C)- «Общие» пря-
прямые в Рз, т. е. прямые, на которых расслоение Е тривиально,
соответствуют некоторому открытому множеству U в Q\. Мы мо-
можем теперь построить голоморфное векторное расслоение Е над
U, задавая слой El как пространство голоморфных сечений рас-
расслоения Е\1, где L 6 U соответствует прямой / С Рз- Все прямые
/, проходящие через точку А, отвечают точкам L некоторой плос-

138 Дополнение
кости а в (?4, и векторное пространство ?ь для / 6 а П U можно
естественным образом отождествить с Еа- Это снабжает рассло-
расслоение ? связностью, плоской вдоль всех а-плоскостей, проходящих
через L. Такие а-плоскости образуют касательный конус к Q+ в
точке L. Поэтому мы получаем компоненты связности вдоль всех
этих направлений в касательном конусе. Но всякая голоморф-
голоморфная функция на этом конусе, однородная степени 1 на каждой
образующей прямой, автоматически продолжается (единственным
образом) до линейной функции на всем касательном пространстве.
Это — элементарное геометрическое свойство квадратичных кону-
конусов (в любой размерности); ср. гл. VI, §3. Следовательно, рассло-
расслоение Е обладает голоморфной связностью, плоской вдоль
а-плоскостей. С другой стороны, на другой системе плоскостей в
Q4, отвечающей плоскостям в Рз, связность не должна быть плос-
плоской. Это соответствует другому, описанному выше, определению
кривизны на Рз- Связность для расслоения над Q4, плоская вдоль
а-плоскостей, в точности отвечает антиавтодуальности кривизны.
По существу, это подход Уорда, состоящий в переходе от голоморф-
голоморфных расслоений на Рз к голоморфным расслоениям с голоморфной
антиавтодуальной связностью на некотором открытом множестве
bQ4-
Если мы теперь хотим рассматривать унитарные структуры и
работать в S4 С Qa, нужно всюду взять соответствующие сопря-
сопряжения. Единственный недостаток этого подхода состоит в том, что
для перехода от 54 к некоторой окрестности в Q* и применения
описанных выше рассуждений мы должны предполагать, что наше
расслоение над S4 является вещественно-аналитическим. Преиму-
Преимущество подхода § 2, основанного на теореме интегрируемости Нью-
лендера — Ниренберга, состоит в том, что там требуется лишь
дифференцируемость; аналитичность, а по существу и рациональ-
рациональность решении, является автоматическим следствием.
Как отмечалось в §2 (и будет доказано в гл. VI), голоморфное
расслоение Е над Рз(С), тривиальное на данной прямой /, триви-
тривиально также и на первой инфинитезимальной окрестности прямой
/. Таким образом, базис расслоения Е вдоль / можно формально
продолжить, с точностью до первых производных, нормальных к
/. Это продолжение, в сущности, и является той связностью на
Е в точке L, которая определялась при подходе Уорда. На самом
деле свойство квадратичных конусов, использованное в конструк-
конструкции Уорда, тесно связано со свойством продолжения расслоения
Е: оба они могут быть сформулированы в терминах обращения в
нуль некоторых групп когомологий с коэффициентами в пучках
(ср. гл. VI, §3).

Глава V
Построение алгебраических
расслоений
1. Линейный комплекс
В этой главе мы предъявим алгебраическую конструкцию для век-
векторных расслоений на Рз(С), которые, согласно результатам гл. IV,
будут соответствовать антиинстантонам. Этот параграф мы начи-
начинаем с подробного рассмотрения основного антиинстантона (отве-
(отвечающего к = — 1 и G = 5(/B)). Алгебраическая геометрия в этом
случае классическая, или, говоря традиционным языком, это гео-
геометрия «линейного комплекса» прямых в Рз(С). Оказывается, что
этот частный случай существенно проясняет общую конструкцию
и потому заслуживает самого тщательного изучения.
Если опять начать с расслоения Рз(С) —¦ S4 и фиксировать
стандартные метрики на S4 и на Рз(С). то, очевидно, мы можем
построить векторное расслоение над Рз{С) со слоем С2, беря го-
горизонтальные касательные векторы к Рз(С)> т. е. векторы, ор-
ортогональные к направлению слоя. Напомним, что взятие ортого-
ортогонального дополнения не является голоморфной процедурой, по-
поэтому мы, казалось бы, не должны надеяться, что это горизон-
горизонтальное векторное расслоение будет голоморфным. Однако вер-
вертикальное расслоение, с которого мы начали, само неголоморфно,
поскольку его определение включает «вещественную структуру»
на Рз(С). На самом деле оказывается, что горизонтальные векто-
векторы как раз образуют голоморфное расслоение (тогда как дополни-
дополнительные вертикали не образуют). Ограничение этого расслоения
на любую вещественную прямую, очевидно, является нормальным
расслоением этой прямой в Рз(С). Это расслоение нетривиально,
но становится тривиальным после тензорного умножения на стан-
стандартное линейное (т. е. одномерное векторное) расслоение L над
Рз(С). Таким образом, мы приходим к голоморфному векторному
расслоению, удовлетворяющему условиям теоремы B.9) гл. IV и
отвечающему основному антиинстантону на S4.
Рассмотренная конструкция использовала метрику и вещест-
вещественную структуру на Рз(С) или, что эквивалентно, метрику и
кватернионную структуру на С4 = Н2. Можно также из этих

140 Дополнение
структур выделить естественную кососимметрическую форму —
в. сущности, это именно то, что нам нужно для построения алгет
браического векторного расслоения. Пусть Ь(г) С С* — прямая,
отвечающая точке (z) 6 ^з(С). Рассмотрим ее аннулятор или по-
полярное пространство Ь?г\ относительно этой (невырожденной) ко*
сосимметрической формы. Размерность пространства L9 . равна 3,
и в силу кососимметричности формы ?(*) С L9y Следовательно,
факторпространство
b
является двумерным векторным пространством, алгебраически за-
зависящим от точки (г) € ^з(С)- Иными словами, Е — алгебраиче-
алгебраическое векторное расслоение над Рз(С) со слоем С2. Более того,
наша кососимметрическая форма индуцирует невырожденную ко-
кососимметрическую форму на Е, так что структурная группа для
Е сводится к SLB, С).
В терминах проективной геометрии L9 ч отвечает проективной
плоскости в Рз(С), проходящей через точку (г). Такое соот-
соответствие между точками и плоскостями классически называется
нуль-корреляцией, а прямые, лежащие в такой плоскости и про-
проходящие через соотвествующую ей точку, образуют ассоциирован-
ассоциированный «линейные комплекс». Этим проективным прямым отвечают
в С4 двумерные изотропные подпространства указанной кососим-
метрической формы, т. е. такие С2 С С4, на которых эта форма —
тождественный нуль. Если эта форма в С4 задана кососимметри-
ческой D х 4)-матрицей a,-j, то прямая {х)(у) принадлежит линей-
линейному комплексу, если Y^V<»aapxP — О или> ЧТО равносильно,
apPa/} = О,
где рар = хау0 — хрУа — плюккеровы координаты на прямой.
Нам нужно теперь показать, что прямые этого линейного ком-
комплекса — в точности прямые скачка расслоения Е. Предположим
сначала, что прямая (х) (у) не принадлежит нашему линейному
комплексу. Это означает, что L(x) не лежит в ?-9 ч и, следова-
следовательно, что ??гч П VLч = R — двумерное подпространство в С4,
которое для всех точек (г) на прямой (х) (у) лежит в ЬУ*, но не
содержит Ь(г). Это показывает, что расслоение Е, ограниченное
на прямую (х) (у), тривиально. Обратно, покажем теперь, что Е
не станет тривиальным после ограничения на прямую / линейного
комплекса. Прямая / отвечает некоторому изотропному двумер-
двумерному подпространству W С С4, и поэтому для всех (г) 6 / имеем

Гл. V. Построение алгебраических расслоений 141
включение
A.1) LU)CWcL0(l)CCi.
Следовательно, Ег содержит W/L(z) т. е. Е\1 содержит линейное
расслоение W/L (здесь W обозначает тривиальное расслоение с
фиксированным слоем W). Топологические рассмотрения теперь
показывают, что W/L = L*. Поскольку L* имеет голоморфные
сечения с нулями, оно не может быть подрасслоением тривиаль-
тривиального расслоения и, значит, Е\1 нетривиально: на самом деле Е\1
соответствует целым числам A,-1) в общей классификации.
Мы переходим сейчас к рассмотрению вещественных структур
для того, чтобы, согласно результатам гл. IV, можно было постро-
построить антиинстантоны на S4.
Стандартная кососимметрическая форма ( , ) на С4 = И2 свя-
связана cjKC положительным скалярным произведением { , ) фор-
формулой
A.2) (u,v) = (u,jv).
В частности, j сохраняет кососимметрическую форму в том смы-
смысле, что
A.3) (ju,jv) = (u,v).
Из A.2) следует, что L9* — Lhty где J. обозначает ортогональное
дополнение относительно скалярного произведения. Поэтому для
любой точки (г) € Рз имеем ортогональное разложение
A-4) С4 = Ь(г) ф Дг ф Ьиг),
где Rx = L/U Л L?-Zy a x представляет вещественную прямую /г =
{(*) V*)h
Отсюда следует, во-первых, что вещественная прямая /г для
х 6 S4 никогда не будет прямой скачка для алгебраического рас-
расслоения Е = L°/L на Рз(С)- Отсюда также следует, что j индуци-
индуцирует на Е вещественную структуру, т. е. антилинейное отображе-
отображение а : Е —* Е, накрывающее отображение о~ пространства Рз(С)
и удовлетворяющее условию <г2 = — 1. Наконец, эта вещественная
структура положительна, т. е. (u,<rv) индуцирует положительное
скалярное произведение на сечениях расслоения Е, ограниченных
на любую вещественную прямую. Последнее утверждение следу-
следует из того факта, что после ограничения на вещественную прямую

142 Дополнение
(г) (jz) сечения расслоения Е можно отождествить с R, а скаляр-
скалярное произведение — это как раз произведение, получающееся из
скалярного произведения в С* по формуле A.2).
Таким образом, расслоение Е над /*з(С) вместе с его веществен-
вещественной структурой а дает в точности те же данные, которые, согласно
гл. IV, отвечают антиинстантону на S4. Слоем в точке х расслое-
расслоения R над S4 является векторное пространство Rx из разложения
A.4) со своим естественным скалярным произведением. Остается
уточнить, какую связность оно наследует. Согласно гл. IV, связ-
связность единственным образом определяется тем условием, что на
^з(С) унитарная и голоморфная структуры должны быть согла-
согласованы. Далее, общий факт состоит в том, что если V CW — го-
голоморфные векторные расслоения с согласованными унитарными
структурами, то каноническая связность в расслоении V индуци-
индуцирована ортогональным проектированием канонической связности
расслоения W. Это очевидно, поскольку всякое голоморфное се-
сечение / расслоения V является также голоморфным в W и потому
удовлетворяет условию V'^/ = 0 (здесь w — каноническое ко-
вариантное дифференцирование в W); следовательно, P^wf — 0>
где Р — ортогональное проектирование из W на V. Поскольку
это свойство плюс унитарность характеризуют каноническую связ-
связность, должно выполняться условие PVw = Vy. По двойствен-
двойственности такие же рассуждения можно провести для голоморфных
факторрасслоений. Применяя эти рассуждения сначала к подрас-
слоению L0 С Рг х С4, а затем*к факторрасслоению Е расслоения
?>°, мы видим, что каноническая связность на Е совпадает со связ-
связностью на L0 Г\ LL, индуцированной из тривиальной связности на
Рз х С4 . Из A.4) видно, что ЬУ* П ?.Ач = RT, и поэтому связность
на R индуцирована ортогональным проектированием из 54 х С4.
В кватернионных обозначениях разложение A.4) можно запи-
записать как
IT4 — R ff> R^
где i € 54 = Pi (И), a R% — кватернионная прямая в Н2 с пара-
параметром z. Таким образом, R и RL — стандартные кватернионные
одномерные расслоения над 54, обсуждавшиеся в гл. II, а связ-
связность в Я — естественная связность, о которой говорилось в гл. II.
По нашему соглашению о знаке R — антиинстантон, а Я1 — ин-
стантон. На каждом из них, очевидно, действует компактная сим-
плектическая группа 5рB) 2 SpinE).
Если фиксировать метрику на 54 (что мы уже сделали), по-
получается единственное антиинстантонное расслоение R. Однако,
применяя конформные преобразования, мы будем получать

Гл. V. Построение алгебраических расслоений 143
новые антиинстантоны. Пространством модулей тогда будет
SLB,H)/SpB). Оно параметризует метрики на сфере S4 в,ее стан-
стандартной конформной структуре. Иным образом пространство мо-
модулей можно рассматривать как внутренность единичного шара
в R5 (гиперболическое 5-мерное пространство). Этот единичный
шар можно представлять себе как внутреннюю компоненту веще-
вещественной части пространства Рь(С) — Q^ комплексного простран-
пространства модулей. Заметим, что внешняя компонента соответствует
калибровочному полю на 54 с вещественными особенностями на
экваториальной 3-сфере (полярном сечении внешней точки).
2. Конструкция Хоррокса
Проведем теперь алгебраическое построение SLB, С)-расслоений
над Рз(С), обобщающее линейное комплексное расслоение, опи-
описанное в § 1. Эта конструкция принадлежит Дж. Хорроксу и из-'
учалась ранее в работе [8]. Мы снова вернемся к ней в гл. VII.
Основную идею можно выразить следующим образом. В § 1 на-
наше расслоение появлялось как фактор L°/L. Теперь мы ищем
обобщение, при котором L может быть fc-мерным. Перейдем к по-
подробному изложению этой конструкции.
Фиксируем комплексные векторные пространства V и W раз-
размерностей 2k + 2 и к соответственно. Предположим, что про-
пространство V снабжено невырожденной кососимметрической фор-
формой. Пусть
B.1) A(z):W-*V
— линейное отображение, линейно зависящее от г — (z\, zi, r3, z\).
Таким образом, A(z) = ]C«=i ^«2«i гДе каждое Л,-: W —* V —
постоянное линейное отображение. Пусть Uz = Л(гIУ С V —
образ отображения A(z). Предположим, что
для всех z ф 0 пространство Ut fc-мерно и изотропно
относительно кососимметрической формы на V.
При этом предположении имеем Uz С C/j\ где U° — полярное
пространство. Следовательно, Ег = (/"/?/» — векторное простран-
пространство, алгебраически зависящее от (z) € /'з(С). Так как dimUt = к,
то dimt/f = 2& + 2 — к = к + 2 и, значит, <ИтЕг — 2. Кроме того, Ег
наследует невырожденную кососимметрическую форму, и потому
Е — алгебраическое векторное расслоение над Рз(С) с группой
5LB,C).

144 Дополнение
Заметим, что при к = 1 пространство Иг одномерно и, значит,
автоматически изотропно. Однако при ife > 1 условие изотропно-
изотропности, которое можно записать в матричном виде как
B.3) A{t)*JA{t) = Q,
где А1 — транспонированная матрица, a J — матрица кососимме-
трической формы, дает систему квадратных уравнений на коэф-
коэффициенты четырех матриц А\, Лг, Аз,А$. Число коэффициентов
значительно превосходит число уравнений, так что эта система,
несомненно, имеет решения.
Из предположения, что для всех z ф О пространство Ut ifc-мерно,
следует, что для любых двух различных точек (х) и (у) в Р3
B.4) UxnUy = 0.
Чтобы увидеть это, заметим прежде всего, что семейство всех Ut
образует fc-мерное векторное расслоение над Р$, изоморфное сум-
сумме к экземпляров пространства L — каждый экземпляр отвеча-
отвечает базисному вектору пространства W. Далее, всякий ненулевой
вектор из Ux П Uy давал бы голоморфное сечение (не равное то-
тождественно нулевому) расслоения U, ограниченное на прямую /,
соединяющую точки (х) и (у) в Рз- Но U\l изоморфно к экзем-
экземплярам ограничений L\l, а это расслоение не имеет голоморфного
сечения, отличного от нулевого (напомним, что для всякого Рт(С)
голоморфное сечение пространства L* является линейной формой
от координат, а сечение пространства L~n — однородный полином
степени п; значит, L имеет лишь нулевое сечение).
Теперь попытаемся описать прямые скачка расслоения Е над
Рз- Рассмотрим сначала прямую /, соединяющую точки (z) и (у),
такую что
B.5) U
Из этого условия следует, что
B.6) R $
есть 2-мерное дополнение к Uz в f/° для всех точек (г) на прямой
/. Это показывает, что расслоение Е\1 тривиально, и поэтому / не
является прямой скачка. Предположим теперь, что условие B.5)
не выполняется. Тогда пространство R в B.6) имеет ненулевое
пересечение с Uy. Пусть v — ненулевой вектор в RC\Uy. Тогда,

Гл. V. Построение алгебраических расслоений 145
согласно B.4), v ? Uz, и поэтому v определяет алгебраическое се-
сечение расслоения Е\1, нулевое в точке у и ненулевое в точке х.
Это показывает, что Е\1 нетривиально и / — прямая скачка. Та-
Таким образом, прямые скачка — это в точности те прямые, для
которых не выполнено условие B.5).
Чтобы ввести условие вещественности, предположим теперь,
что имеется антилинейное отображение а, действующее на W и
V, причем а3 = +1 на W и о1 — — 1 на V. Кроме того, мы потребу-
потребуем, чтобы отображение а сохраняло кососимметрическую форму
на V и было таким, что соответствующая эрмитова форма
B.7) («,«) = (а, И
положительно определена. Линейное преобразование A(z) пред-
предполагается теперь согласованным с <г, т. е.
B.8) <r{A(z)w} = A(*z)(<tw),
где (r(z), как и раньше, — умножение на кватернион j.
Из условия B.7) следует, что
B.9) Uet=*{V,},
а условие B.8) влечет за собой
B.Ю) ?? = #,.
Следовательно, мы получаем ортогональное разложение
B.11) V^Ut®Rt®Uat,
где Rx = U$ П U%t зависит только от точки х ? S4, параметри-
параметризующей вещественную прямую (г) (az) в Рз. Это показывает, в
частности, что вещественная прямая 1Х не является прямой скач-
скачка для Е и что Е наследует из о вещественную структуру с тре-
требуемыми свойствами (как в гл. IV), т. е. задает антиинстантон на
S4. Точно так же, как в случае к = 1, мы видим, что антиинстан-
антиинстантон ное расслоение на S4 — это R со связностью, индуцированной
ортогональным проектированием из Рз х V.
Инстантонное число расслоения Я над S4 равно —к. Это следу-
следует из того факта, что его ортогональное дополнение топологиче-
топологически эквивалентно сумме к экземпляров основного 1-инстантонного
расслоения.

146 Дополнение
Чтобы обобщить все проделанное для группы 5рA) на группу
Sp(n), нужно рассмотреть пространство V размерности 2к + 2п.
Для группы SO(n) нужно взять пространство V размерности 2к+п
и поменять знаки. Таким образом, мы требуем, чтобы V обладало
невырожденной симметрической билинейной формой и <т2 = +1 на
V и о* — —1 на W. Во всех случаях инстантонное число равно —к.
Группу U(n) можно стандартным образом рассматривать как
подгруппу группы SO(n), коммутирующую с J, где З2 = —1. По-
Поэтому мы требуем, чтобы оба пространства V в W обладали ком-
комплексным линейным автоморфизмом 3 с Р = -1, аЗ = —За.
Кроме того, предполагается, что 3 сохраняет скалярное произве-
произведение на V или, что эквивалентно, (Ju, Jv) = —(u, v). Наконец,
мы требуем, чтобы линейное преобразование A(z) : W —> V ком-
коммутировало с 3. Тогда разложение B.10) будет J-инвариантным.
Следовательно, 3 действует в расслоении R, причем сохраняет ка-
каноническую связность (поскольку 3 сохраняет скалярное произве-
произведение). Следовательно, антиавтодуальная связность в R приводит
от SO(n) к U(n).
Отметим, что мы могли бы продвинуться на один шаг даль-
дальше: рассмотреть Sp(n) С SODn) и, следовательно, описать Sp(n)-
решения как 5О(п)-решения с дополнительной структурой. Одна-
Однако более прямой подход для группы Sp(n), рассмотренный ранее,
более экономичен.
Возвращаясь теперь к симплектическому случаю, мы видим,
что две тройки (W,V,A) и (W',V',A'), являющиеся изоморфны-
изоморфными в очевидном смысле (т. е. изоморфизмы W S W и V ? V'
коммутируют с & и с кососимметрическими формами на К и V,
а также переводят А в А'), приводят к изоморфизму расслоений
Я и Я', сохраняющему связности. Таким образом, тройки, изо-
изоморфные в смысле линейной алгебры, приводят к калибровочно
эквивалентным решениям задачи об антиинстантонах. Как мы до-
докажем ниже, обратное тоже верно.
3. КВАТЕРНИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
В этом параграфе мы покажем, как конструкцию предыдущего
параграфа для группы Sp(n) можно сформулировать в терминах
кватернионов. Таким образом, мы получим явные формулы, при-
приведенные в гл. II.
Напомним, что нам нужно отождествить пространство С4 с И2
таким образом, чтобы отображение сг на С4 было левым умноже-
умножением в ШР на кватернион j. Аналогично векторное пространство
V размерности 2к + 2п можно рассматривать как левое кватерни-

Гл. V. Построение алгебраических расслоений 147
онное векторное пространство размерности к + п, где j задается
антилинейным отображением &.
Векторное пространство W комплексной размерности к обла-
обладает автоморфизмом а с а3 = 1 и поэтому может рассматривать-
рассматриваться как комплексификация вещественного векторного пространства
Wr, сохраняющегося при действии слева автоморфизма а. Тогда
С4 ®с W ? Н2 ®в Wf, и а снова соответствует умножению на j в
кватернионном векторном пространстве И2 ®» W%.
Линейное отображение A(z) : W —> V можно теперь рассматри-
рассматривать как отображение А : ШР ®в W* -* V. Оно линейно как ква-
тернионное отображение, что соответствует согласованности А(г)
И (Т.
Если мы выберем вещественный базис в W» и ортогональный
И-базис в V, так что V отождествляется с Нь+П, то отображение
А описывается двумя матрицами С, D, элементы которых — ква-
кватернионы. Вектор-строки матрицы С — образы при отображении
А элементов A,0)® (базисные векторы пространства Щь), а ма-
матрица D определяется аналогично с заменой A,0) на @,1) в И2.
Мы используем эти матрицы здесь в качестве правых множите-
множителей, поскольку наши скаляры действуют умножением слева, так
что С, D — матрицы размера ib x (к + п). Они определяют матрич-
матричную функцию от пары (х,у) кватернионов в Ш? формулой
C.1) A(x,y) = xC + yD.
Условие невырожденности для А состоит как раз в том, что эта
матрица имеет максимальный ранг для всех (х,у) ф @,0). На-
Наконец, условие изотропности B.2) можно сформулировать в силу
B.10) следующим образом: для любых двух вектор-строк и, и ма-
матрицы C.1) вектор-строки и и tu ортогональны вектор-строкам jv
и j(iv). Это означает, что Re(uw*j) = Re(uv*&) as Re(«v*i) = 0. Это
эквивалентно условию вещественности кватерниона uv". Следова-
Следовательно, условие B.2) эквивалентно условию
для всех (х,у)е И2 матрица (хС + yD)(C*x + D*y)
C.2)
вещественна.
Таким образом, мы снова получили описание, приведенное в гл. II,
13. Отличие лишь в том, что наши матрицы нужно транспониро-
транспонировать, поскольку мы рассматриваем теперь левое действие скаля-
скаляров. По этой причине мы получили сейчас антиинстантоны вместо
инстантонов гл. II.

Глава VI
Линейные уравнения поля
1. Расслоения и когомологии
с коэффициентами в пучках
Теория голоморфных расслоений тесно связана с теорией когомо-
когомологии с коэффициентами в пучках. Хотя такая теория когомо-
когомологии возникает в различных контекстах и может быть развита
независимо от теории расслоений, с нашей точки зрения будет до-
довольно естественно изложить ее в терминах теории расслоений.
Главное, что нужно сейчас подчеркнуть: теория когомологии —
это линейная или абелева теория, и сначала она возникает из абе-
левых калибровочных групп, а на последующей стадии — из раз-
разрешимых групп.
Мы начнем, как и в гл. IV, §3, с рассмотрения голоморфных
расслоений над Pi(C). Этот простой случай служит хорошей ил-
иллюстрацией общей теории, а также доставляет связь с класси-
классической теорией функций одной комплексной переменной. Кроме
того, этот частный случай играет ключевую роль в наших при-
приложениях, поскольку Р\ (С) возникает как слой нашего основного
расслоения Рз(С) —* S4.
В гл. IV, § 3, мы объяснили, как голоморфное одномерное рас-
расслоение над Pi(C), заданное голоморфным калибровочным пре-
преобразованием f(z), вблизи экватора можно привести к стандарт-
стандартному виду z* (как в C.1)). В частности, при Jfc = 0 можно взять
g(z) = log/B) и, пользуясь разложением в ряд Лорана
записать функцию g(z) в виде разности
A.2) g(z) = go(z) - 9oo(z),
где функция no{z) голоморфна при \z\ < Я,' а функция goo(z) го-
голоморфна при г < |г|. Предположим теперь, что нас интересует,

Гл. VI. Линейные уравнения поля 149
можно ли записать g(z) в виде
A.3) g(z) = zmgo(z)-9oo(z),
где т — некоторое фиксированное целое число, а функции до, ffoo>
как и раньше, голоморфны вблизи 0 и оо соответственно. Очевид-
Очевидно, что при m ^ 1 это возможно, а при m ^ 2 это возможно только
в том случае, если коэффициенты в A.1) удовлетворяют условию
<*i = ¦•• = am-i =0.
Иными словами, функции z,..., zm-1 в общем случае препятству-
препятствуют разрешимости A.2). Иначе говоря, пространство всех голо-
голоморфных функций </(z) по модулю тех, которые можно записать
в виде A.3), имеет размерность fn — 1, а в качестве базиса в нем
можно взятё z,..., rm-1. Это наша первая встреча с группой ко-
гомологий с коэффициентами в пучках: эта группа обычно обо-
обозначается через H1(Pi,Lm) или Hl(Pi,O(—m)). Причины таких
обозначений мы вскоре объясним.
Уравнение A.2) утверждает, что голоморфное расслоение над
Pi (С) с группой С (аддитивной группой) голоморфно тривиаль-
тривиально: после потенцирования мы получаем расслоение с группой С*
(мультипликативной группой), для которого топологический инва-
инвариант к равен 0. Можно также рассматривать С как матричную
подгруппу сдвигов в SLB, С), т. е. подгруппу матриц вида
GO-
Тогда условие A.2) говорит, что голоморфные расслоения над
Pi (С) с этой группой тривиальны. Геометрически расслоение для
этой матричной группы соответствует двумерному голоморфному
векторному расслоению Е над Pi (С), имеющему одномерное под-
расслоение N, такое, что и N, и E/N оба тривиальны. Разреши-
Разрешимость (L2) тогда означает, что N всегда обладает голоморфным
дополнением. Напомним, что в отличие от унитарных расслоений
голоморфные дополнения не обязательно существуют. На самом
деле A.3) соответствует несколько более общей ситуации этого ти-
типа. Чтобы увидеть это, заметим, что уравнение A.3) эквивалентно
матричному уравнению
A4) A Я)-A ЯЛ A М
U-4J yQ zmJ-yQ 1 у До Zm)
-1

150 • * Дополнение
Бели рассмотреть левую часть как калибровочное преобразование
вблизи \z\ = 1, определяющее двумерное векторное расслоение Е
над Pi (С), то Е имеет тривиальное подрасслоение N с E/N = L~m,
а разрешимость уравнения A.4) эквивалентна существованию го-
голоморфного дополнения к N. Таким образом, при га ^ 2 такого
дополнения, вообще говоря, не существует. Точнее, всякое такое
расслоение определяет некоторый элемент векторного простран-
пространства Я1 (Pi, Lm), и дополнение существует лишь в том случае, ко-
когда этот элемент нулевой. Более общим образом, H1(Pi,Lm) клас-
классифицирует расширения Е тривиального расслоения посредством
L~m, причем два таких расширения рассматриваются как экви-
эквивалентные, если существует изоморфизм расслоений, тождествен-
тождественный на подрасслоении и факторрасслоении.
После этого введения дадим сейчас точное определение групп
когомологий с коэффициентами в пучках на произвольном ком-
компактном комплексном многообразии X, например на Рз(С)- Мы
начинаем с простейшего случая, соответствующего A.2). Вместо
двух открытых множеств |*| <Я и г > |z|, которые покрывают
Pi (С), теперь следует рассматривать произвольное конечное число
открытых множеств {Ua}, образующих покрытие пространства X.
Для Рз(С) следует взять четыре множества, задаваемых условием
za ф 0, а — 1,2,3,4. Голоморфная 1-коцепь — это набор голоморф-
голоморфных функций дар, определенных в Ua П Up (обычно дра = — дар).
Такая 1-коцепь называется 1-коциклом, если выполнено условие
тразитивности:
A.5) дар = 9сП + 9-урьи0,пирпЩ.
1-коцепь называется 1-кограницей, если существуют голоморфные
функции /»„, определенные на Ua, такие, что
A.6) gap = ha-hfiBUanUp.
Очевидно, всякая 1-кограница является 1-коциклом, но обратное
неверно. Чтобы измерить различие между 1-кограницами и 1-
коциклами, рассматривается факторпространство Я1 1-коциклов
по 1-кограницам. Бели открытые множества Ua достаточно малы
и правильно выбраны (все конечные пересечения должны быть
областями голоморфности), то Я1 не зависит от покрытия и назы-
называется первой группой когомологий многообразия X с коэффици-
коэффициентами в пучке голоморфных функций. Эта группа обозначается
Н\Х,О).

Гл. VI. Линейные уравнения поля 151
Не имея возможности изложить здесь теорию когомологий во
всех деталях, мы отсылаем читателя к стандартным руководствам
и ограничиваемся лишь некоторыми дальнейшими комментариями.
1) Для Pi(C) мы использовали ровно два открытых множества;
следовательно, имелась лишь одна функция дар и всякая 1-коцепь
автоматически была 1-коциклом.
2) Группа Н1(Х,О) всегда классифицирует голоморфные рас-
расслоения над X с группой С или, что эквивалентно, расширения
тривиального одномерного расслоения посредством самого себя.
3) Для всякого целого q ^ 0 можно определить группу Н1(Х, О).
Так, Н°(Х, О) состоит из глобально голоморфных функций на X
(которые являются константами для компактного X). Группы ко-
когомологий связаны между собой точными последовательностями.
4) Если X не компактно, аналогичные определения остаются
в силе, но нужно допускать бесконечные, но локально конечные
покрытия.
5) Если X — компактное алгебраическое многообразие (как,
например, Рт(С) при любом т), то группы когомологий можно
вычислить, используя лишь рациональные функции. Это один из
главных результатов Серра [38].
Наши обозначения неявно подразумевают, что для построения
групп когомологий можно использовать не только голоморфные
функции О, но и другие коэффициенты. Так, в случае Pi (С) груп-
группа когомологий, которую мы обозначили Hl(Pi,Lm), использует
локально голоморфные сечения голоморфного одномерного рас-
расслоения Lm. Очевидно, описанный выше способ определить груп-
группу Я1 годится без всяких изменений для любого X и любого го-
голоморфного одномерного расслоения L или даже векторного рас-
расслоения Е над X. Группу когомологий Hl{X,L) можно рассма-
рассматривать как группу, классифицирующую расширения одномерно*
го расслоения L посредством тривиального линейного расслоения.
Более общим образом, векторные расслоения Е произвольной раз-
размерности, имеющие данные подрасслоение Е\ и факторрасслоение
E/Ei — ?2. классифицируются группой НХ(Х, E%®Ei), где Щ —
расслоение, двойственное к Ej.
Бели X компактно, то все группы Я* рассмотренного типа явля-'
ются конечномерными векторными пространствами. Для неком-
некомпактных X это уже неверно. Например, Н°(Х,О) состоит из всех
голоморфных функций на X. Примеры бесконечномерных групп
Я1 естественно возникают в наших приложениях — мы увидим
это в следующем параграфе.

152 Дополнение
2. Линейные аспекты преобразования
Пенроуза
Главный результат гл. III состоит в том, что решения антиавто-
антиавтодуальных уравнений Янга — Миллса на 54 сводятся посредством
преобразования Пенроуза к голоморфным расслоениям на Яз(С).
Параллельная твисторная интерпретация имеется и для решений
некоторых других важных линейных дифференциальных уравне-
уравнений. В этом параграфе мы покажем, что эти решения соответству-
соответствуют элементам подходящих групп когомологий с коэффициентами
в пучках.
Начнем с рассмотрения теории Янга — Миллса для группы
U(l). Хотя на S4 нет глобальных антиавтодуальных решений,
безусловно, в К4 имеются решения, отвечающие решениям евкли-
евклидовых уравнений Максвелла для 2-форм и: du = 0, *и = —и.
Из гл. III нам известно, что они отвечают голоморфным одномер-
одномерным расслоениям на Рз(С) — Pi (С). Если игнорировать унитар-
унитарность и рассматривать комплекснозначные 2-формы, то на это го-
голоморфное одномерное расслоение не наложено никаких ограни-
ограничений, кроме того, что оно должно быть топологически тривиаль-
тривиальным. Как объяснялось в § 1, такое одномерное расслоение описы-
описывается некоторым элементом группы когомологий Н1(Рз — Pi,О).
Таким образом, эта группа при преобразовании Пенроуза соответ-
соответствует решениям антиавтодуальных уравнений Максвелла на К4.
Такого типа соответствие мы собираемся обобщить. Как мы уви-
увидим, все группы когомологий Н1(Рз — Pi,O(—m)) аналогичным
образом отвечают решениям других линейных дифференциальных
уравнений на К4.
Прежде чем оставить случай максвелловских полей, отметим
одну топологическую особенность, связанную с их интерпретаци-
интерпретацией расслоениями, которая не обобщается на другие случаи. Если
мы рассматриваем некоторое открытое множество U С IR4 и со-
соответствующее открытое множество U С ^з(С), то голоморфные
одномерные расслоения на U, тривиальные на слоях расслоения
Рз(С) -+ S4, соответствуют антиавтодуальным С*-потенциалам на
U. Если U совпадает с К4 или является стягиваемым откры-
открытым множеством, то гомологии множества U порождаются слоя-
слоями, и одномерное расслоение на 0 тогда топологически тривиаль-
тривиально. Однако если U имеет двумерные гомологии, например если
U = К4 — К1, то расслоение на U не должно быть топологиче-
топологически тривиальным, и соответствующее расслоение (со связностью)

Гл. VI. Линейные уравнения поля . 153
на U тогда также нетривиально. В таком случае мы не можем
взять логарифм калибровочных преобразований, чтобы от С* пе-
перейти к С. Таким образом, геометрическое соответствие между
расслоениями, описанное в гл. III, содержит больше информации,
чем описанное выше соответствие между Hl{U,O) и решениями
антиавтодуальных уравнений Максвелла на U.
Группы когомологий Н1(й,О(—т)) естественным образом рас-
распадаются на два семейства, соответствующие т ^ 2 и m < 2.
Случай т = 2 в некотором смысле является самым основным, и,
как мы увидим, ситуация по существу симметрична относитель-
относительного этого центра. Например, окажется, что группа Н1@', О(—4))
соответствует решениям автодуальных уравнений Максвелла на
U.
Начнем поэтому со случая m = 2. Рассмотрим произволь-
произвольный элемент Ф € Н1@,О{—2)). Если Рх — слой расслоения
Рз(С) —¦ S4 над точкой z ? U С S4, то можно ограничить Ф на
Рж и получить элемент
<р. е н\р.,0{-2)).
Как объяснялось в § 1,
, <1|тЯ1(Рг,0(-2)) = 1,
так что, если некоторым стандартным образом фиксировать базис
в этом пространстве, то <рх превратится в скалярную функцию от
х, определенную при z € U. Если U €'R4, to U С /*з(С) - ^i(C)
обладает естественным отображением в Pi (С) — проектированием
вдоль параллельных плоскостей. Это отображение отождествля-
отождествляет между собой все Рх с х € U. Таким образом, в этом слу-
случае <рх задает некоторую скалярную функцию <р, определенную
в U. Аналогия с максвелловскими полями наводит на мысль,
что функция <р должна удовлетворять некоторому дифференци-
дифференциальному уравнению, и единственный кандидат, обладающий не-
необходимыми свойствами инвариантности, — оператор Лапласа в
R4. На самом деле соответствие Ф <-+ <р устанавливает изомор-
изоморфизм между Н1@,О(—2)) и пространством решений уравнения
Лапласа в U. При U — R4 на обоих пространствах действует 11-
параметрическая группа конформных движений пространства Ш4
(евклидовы движения и растяжения относительно начала коорди-
координат), и изоморфизм согласован с этими действиями. В частности,
подпространство в Я1(Р3(С) - Pi(C),0(-2)), однородное степени

154 Дополнение
п относительно изменений масштаба, соответствует однородным
многочленам степени п в К4, удовлетворяющим уравнению Лапа-
ласа. Мы объясним, как можно проверить это утверждение.
Бели зафиксировать начало координат в R4, то Рз(С) — Pi(C)
можно рассматривать как.нормальное расслоение N соответству-
соответствующей проективной прямой. Расслоение L ® N тривиально или,
что эквивалентно, N =? L* ® S~, где S~ 3 С2 — фиксирован-
фиксированное векторное пространство. Как объяснено в [3] (где использу-
используются другие обозначения), S~ можно естественным образом ото-
отождествить с одним из двух полуспиннорных пространств, соответ-
соответствующих R4. Голоморфные функции на N, однородные степени
п на каждфм слое, образуют пучок над Pi, изоморфный сечени-
сечениям расслоения Ln ® Vй E"), где V" обозначает полиномы степе-
степени п (так что Vn(S~) = C*+1). Поскольку мы хотим вычислить
HX(N,L2) = H\Nt0(-2))t умножим тензорно на L2. Получим
отображение
B.1) H\Pl>Ln+i)®Vn(S-)^H1{P3-Pl,O{-2))n,
где индекс п справа обозначает однородную степени п часть ко-
гомологий. Из общих теорем можно вывести, что B.1) — на са-
самом деле изоморфизм. Далее, в § 1 мы видели, что размерность
пространства Hl(P\,Ln+2) равна п + 1. Немного постаравшись
(см. §4), можно естественным образом отождествить это про-
пространство с Vn(S+), где S+ — другое полуспинорное простран-
пространство, соответствующее R4. Далее, S+ ® S~ S R1®C — ком-
плексификация пространства К4. Следовательно, B.1) показы-
показывает, что пространство полиномов <р, соответствующих элементам
Ф € Н1(Рз — Pi,O(—2))„, состоит в точности из образа отображе-
отображения
B.2) PnE+)®PnE-)-^'Pn(C4).
Классическая теория инвариантов группы SOD) показывает те-
теперь, что образ отображения B.2) — в точности пространство гар-
гармонических полиномов. Например, при п+2 левая часть B.2) име-
имеет размерность 9, а правая — размерность 10 и содержит лишний
полином г2 = J2* xh
Эту порцию алгебры можно использовать как основу для уста-
установления общего соответствия Ф *-* <р, если рассмотреть разложе-
разложения Ф, <р в степенные ряды по однородным членам. Соответствую-
Соответствующие аналитические вопросы сходимости можно изучить стандарт-
стандартными методами. Отметим, что такие обсуждения сходимости не

Гл. VI. Линейные уравнения поля 155
нужны, если мы имеем дело со всей сферой S4, поскольку тогда
все пространства конечномерны.
Рассматривая полную сферу S4, нельзя отождествлять разные
слои Рх (расслоение Рз(С) —* S4 топологически нетривиально),
и поэтому соответствие Ф *-* <р требует большего внимания. Мы
должны сейчас рассматривать <р как сечение одномерного рассло-
расслоения W над S4, слой Wx которого — одномерное пространство
Нх(Рх,О(-2)). Можно показать, что W4 — расслоение объемных
плотностей над S4. Таким образом, <р — корень четвертой степени
из плотности. У оператора Лапласа имеется конформно инвари-
инвариантный аналог [34], действующий на корнях четвертой степени из
плотности. Соответствие Ф *-* <р является изоморфизмом между
Н1(Рз,О(—2)) и пространством решений этого конформно инвари-
инвариантного уравнения Лапласа на S4. В стандартной метрике на S4
этот оператор записывается как Д + Я/6, где Д — оператор Ла-
Лапласа — Бельтрами d'd на S4, a R — скалярная кривизна [34],
равная нулю на К4 и положительная на S4.
Поскольку Д ^ О как оператор, Д+Я/6 > 0, и потому уравнение
(Д + R/6)ip = 0 не имеет глобальных решений на S4, кроме tp = 0.
Вместе с известными результатами алгебраической геометрии это
дает Н1(Р3,0(—2)) = 0. На самом деле то же верно для всех
О(-т).
В следующем параграфе мы еще будем говорить об операторе
Лапласа в связи с преобразованием Пенроуза. А сейчас, возвра-
возвращаясь к интерпретации других групп когомологий с коэффици-
коэффициентами в пучках, мы получаем совершенно аналогичную картину
для групп HX(U,O{—m)), m > 2. Всякий элемент этой группы
когомологий задает некоторый элемент <рх € Н1(Рх,О(—т)) для
любого i 6 U. Как показано в § 1, векторное пространство, в ко-
котором принимает значения <рх, имеет размерность т — 1. Таким
образом, дЛя U С М4 функция <р имеет m — 1 компонент и удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка. При
т — 3 это (безмассовое) уравнение Дирака, при т = 4 — (автоду-
(автодуальное) уравнение Максвелла. Все они могут быть представлены
в конформно инвариантной форме.
Что касается т < 2, то случай т = 0 уже встречался в раз-4
личных контекстах. При других значениях т нужно действовать
несколько иначе. Ограничение Ф на любой слой Рх дает теперь
нуль, поскольку Н1(РХ,О(—т)) = 0 при m ^ 1. Однако изомор-
изоморфизм B.1) по-прежнему имеет место (с заменой 2 на т). В част-
частности, полагая п — 2 — т, мы видим, что
B.3) V2-m(S~) г Н\Р3 - РьО(-т)J_

1S6 Дополнение
Исходя из этого изоморфизма, каждому Ф € Н1(Рз — Pi,O(—m))
можно поставить в соответствие функцию <р на К4, имеющую к
компонент, где к = 3 — т. Это делается следующим образом. Рас-
Рассмотрим данную точку z € М4 как центр скалярного растяжения,
а затем выделим компоненту Фг-m в Ф. Согласно B.3), мы полу-
получим некоторый вектор в fc-мерном пространстве V2~m(S~). Дру-
Другое описание состоит в том, что рассматриваются i/-e формальные
окрестности Рх прямой Рх (т. е. учитываются не только значения
на Рх но и нормальные производные до порядка и). При v — 2 — т
ограничение Ф на эту окрестность дает элемент
Нетрудно видеть, что это эквивалентно предыдущему определе-
определению. '
Снова можно показать, что функции <р, возникающие таким
образом, — в точности решения подходящего дифференциально-
дифференциального уравнения первого порядка. При m = 1 мы снова получаем
(безмассовое) уравнение Дирака, но для спинора противополож-
противоположного типа по сравнению со случаем т = 3. Вообще уравнения для
т и 4 — т, по существу, те же самые, но противоположного типа,
т. е. получаются друг из друга обращением ориентации.
3. Линейные уравнения
на фоне поля янга — миллса
Как говорилось в гл. IV, векторное расслоение Е над S4 с ан-
антиавтодуальной связностью поднимается до расслоения Е над
Рз(С)| обладающего естественной голоморфной структурой; Как
в предыдущем параграфе, мы можем тогда построить группы
Я1(Рз. Е(—т)) когбмологий с коэффициентами в пучках или их
аналоги на некотором открытом множестве. Естественно искать
интерпретацию этих векторных пространств в терминах исходно-
исходного расслоения Е над S4. Если Е — тривиальное расслоение, то
в силу результатов §2 мы получаем пространства решений не-
некоторых стандартных линейных дифференциальных уравнений.
Для нетривиального расслоения у этих дифференциальных урав-
, нений имеются очевидные аналоги, в которых производные заме-
заменены подходящими ковариантными производными, построенными
по связности. Представляется совершенно правдоподобным, что
группы когомологий с коэффициентами в пучках тогда будут соот-
соответствовать этим ковариантным дифференциальным уравнениям.
В этом параграфе мы покажем, что на самом деле так оно и есть.

Гл. VI. Линейные уравнения поля 157
Как отмечалось в гл. IV, векторное расслоение Ё тривиально
вдоль каждой прямой Рх, х ? S4, и поэтому оно тривиально вдоль
первой формальной окрестности Р* . Докажем это утверждение.
В самом деле, если V — произвольное голоморфное векторное рас-
расслоение над Рз, определенное в окрестности некоторой фиксиро-
фиксированной проективной прямой Pi, то из тривиальности ограничения
расслоения V на Pi следует тривиальность ограничения V на Pj .
Чтобы увидеть это, рассмотрим точную последовательность пуч-
пучков
C.1) 0 -+ J/ J2 -+ O/J2 -+ O/J -+ О,
где О — пучок голоморфных функций, a J — пучок идеалов в
нем, соответствующий прямой Pi (состоящий из функций, обра-
обращающихся в нуль на Pi). Пучки, участвующие в C.1), можно
описать следующим образом:
O/J = О(Р\) — голоморфные функции на Р\\
O/J2 = О(Р\ ) — голоморфные «функции» на Р[ ';
J/J2 = пучок сечений конормального расслоения N* \
прямой Pi в Р3
Если / G O/J2, то значение функции / на Pi — это ее образ в
O/J, а дополнительные компоненты, отвечающие членам первого
порядка в разложении Тейлора, нормальном к Pi, лежат в J/J2.
Поскольку нормальное расслоение N изоморфно Ь~1@Ь~* > име-
имеем N" = L ф L, и потому, в частности,
(см. § 1). Из когомологической точной последовательности для
C.1) следует, что глобальные сечения расслоения O/J2 отобража-
отображаются изоморфно на глобальные сечения расслоения O/J. Иными
словами, глобальная функция на Р[ — константа, как и следо-
следовало ожидать.
Пусть теперь имеется векторное расслоение V, которое мы пред-
предполагаем тривиальным на Pi. Умножим тензорно C.1) на V. Мы
получаем точную последовательность
C.2) 0 -+ И°) ® N* -+ VW -* V<°> - 0.

1S8 Дополнение
где V(°) и VW обозначают ограничения расслоения V на Pi и Р\ '
соответственно. В силу тривиальности V^ снова имеем
Я°(Л. V<0) ® ЛГ) = Н\Ри V(o) ® N*) - О,
и из C.2), как и раньше, следует, что глобальные сечения расслое-
расслоения V^ изоморфно отображаются на глобальные сечения рассло-
расслоения V^). Это означает, что базис (постоянных) сечений триви-
тривиального расслоения V^ имеет единственное продолжение на V^;
в частности, это доказывает тривиальность расслоения V^l\ что и
утверждалось.
Если расслоение V = Ё получается из расслоения Е над S4, как
в гл. IV, то слой Ех можно отождествить с пространством гло-
глобальных сечений расслоения VJ (т. е. ограничения расслоения
V на Рх). Глобальные сечения расслоения V* задают векторы
в пространстве Ех 1-струй (т. е. включая первые производные)
сечений расслоения Е в точке х. Тот факт, что каждое глобаль-
глобальное сечение расслоения V* единственным образом продолжается
до глобального сечения расслоения Vr , означает, что векторы из
Ех единственным способом продолжаются до векторов из Ех ', т. е.
мы имеем связность на Е. По существу, это определение связности,
данное Уордом, как было объяснено в гл. IV. Заметим, что свойство
квадратичных конусов, использованное в гл. IV, § 3, в конструкции
Уорда, эквивалентно условию Я1(Р3,О(—1)) = 0 — это следует
из точности соответствующей последовательности. Но можно вос-
воспользоваться и более элементарным соображением, основанным на
том факте, что квадратичная поверхность представляется в виде
Л х Р,.
Обратимся теперь к вопросу об интерпретации групп когомо-
логий с коэффициентами в пучках Hl(U,E(—m)), где О С Рз(С)
отвечает открытому множеству U С S4. Начнем со случая т > 2.
Для любого х € U элемент Ф ? Нх{0, Е(—т)) определяет элемент
<Рх 6 Н1(Рх,Ёх°\-т)) *Ех® Н\Рх,О{-т))
(поскольку расслоение Е тривиально на каждой прямой Рх). Ины-
Иными словами, (р есть сечение расслоения Е ® Wm, где Wm — век-
векторное расслоение (со слоем С"), с которым мы встречались
в предыдущем параграфе. При m > 2 для сечений расслоения
Wm имеется дифференциальное уравнение первого порядка, ре-
решения которого соответствуют элементам группы Hl(U,Q(—m)).

Гл. VI. Линейные уравнения поля 159
Это дифференциальное уравнение можно получить вычисления-
вычислениями в первой формальной окрестности Рх . Повторяя эти вычи-
вычисления с Ё(—т) и пользуясь тривиальностью расслоения Е± и
тем способом, которым эта тривиальность определяет связность
на Е, мы получим, что <р удовлетворяет очевидному дифференци-
дифференциальному уравнению для сечений расслоения Е ® Wm. При m = 3,
например, Wm — двухкомпонентное спинорное расслоение, урав-
уравнение — (безмассовое) уравнение Дирака, уравнение для E®W$ —
уравнение Дирака, продолженное на Е с помощью связности. На
физическом языке это уравнение Дирака в фоновом поле Янга —
Миллса.
При m < 2 уравнения снова имеют первый порядок, и аналогич-
аналогичные, но несколько более сложные рассуждения приводят к тому
же заключению.
Наконец, мы пришли к случаю m = 2, который является и са-
самым интересным, и самым сложным технически, поскольку здесь
участвует оператор второго порядка — лапласиан. Общие рас-
рассмотрения и вычисления того же типа, что и раньше, приводят к
заключению, что элементы Ф 6 Я1 (О, Е(—2)) отвечают сечениям
расслоения Е ® W? над U (где W? — одномерное расслоение кор-
корней четвертой степени из плотностей, как в § 2), удовлетворяющим
дифференциальному уравнению второго порядка. Используя три-
тривиальность расслоения Ё на Pi ', можно найти члены первого и
второго порядков этого уравнения, но нельзя найти члены нуле-
нулевого порядка.- Поэтому для определения членов нулевого порядка
необходимо провести еще одно заключительное вычисление. Наи-
Наиболее элегантный и информативный способ выполнить это вычи-
вычисление подробно разъяснен в [29]. Его идея состоит в использова-
использовании взаимосвязи между группами когомологий Н1ф,Ё(—т)) для
разных т, возникающей из того факта, что умножение на каждую
линейную координату z\,..., z$ отображает Ё(—т) в Е(—m + 1).
Формально отметим, что z\,..., г4 составляют базис голоморфных
сечений над -Рз(С) расслоения L~x. Переход от этого утвержде-
утверждения к соответствующему утверждению для 5* доставляет связь
между дифференциальными уравнениями для различных целых
т. Знание этого уравнения для т ф 1 может тогда помочь найти
уравнение для т = 2. Говоря конкретнее, наш оператор второ-
второго порядка должен аннулировать элементы вида zaip, где <р удо-
удовлетворяет подходящему уравнению Дирака (соответствующему
т = 3). Как показано в [29], этой информации достаточно, чтобы
привести наше уравнение к виду
C.3) (VV

160 Дополнение
где V — ковариантная производная от <р, V* — ее сопряжение
относительно стандартной метрики на S4, а <р сейчас рассматрива-
рассматривается как чисто скалярная функция (плотности отождествляются
со скалярами с помощью формы объема на S4).
Важное следствие формулы C.3) состоит в том, что эхо урав-
уравнение не имеет глобальных решении на Р3, кроме <р = 0. Это вы-
вытекает из того, что оператор V*V + Я/6 положителен, в точности
как в § 2. Мы заключаем, что
C.4) Я1(Рз(С),^(-2)) = 0.
В отличие от случая, когда расслоение Ё тривиально, C.4) не
является общим результатом алгебраической геометрии. Имеет-
Имеется много векторных расслоений V, не удовлетворяющих условию
C.4). Все, что говорит нам общая теория, — это то, что
Н1(Р3, V(-m)) = О при \т\ > mo(V),
где то — достаточно большое целое число. Решающую роль в
доказательстве формулы C.4) играет тот факт, что Ё происходит
из унитарного расслоения над S4.
При т > 2 композиция оператора первого порядка со своим со-
сопряженным дает оператор второго порядка, и можно показать, что
полученный оператор тоже положителен. Это приводит к даль-
дальнейшему результату:
C.5) Н1(Р3(С),Ё(-т)) = 0, т^Ч.
Однако, как мы увидим в гл. VII, C.5) легко следует из C.4). При-
Причина состоит в том, что умножение на одночлен степени m — 2 от
zu...,z4 переносит нас из Н1(Р3(С),Ё(-т)) в Hl(P3(Q,E(-2)).
Пока что мы объяснили, что группы когомологий с коэффици-
коэффициентами в пучках соответствуют решениям различных линейных
уравнений в фоновом поле инстантонов Янга — Миллса. Для
квантовых вычислений нужны не только решения однородных ли-
линейных уравнений, но и полная функция Грина или «пропагатор».
С помощью явного описания инстантонов, данного в гл. II, явные
и весьма простые формулы для некоторых из этих функций Грина
получены в [13], [15].

Гл. VI. Линейные уравнения паля 161
4. АНЗАТЦ Т' ХООФТА
Этот параграф •— отступление, в котором мы объясним, как реше-
решения антиавтодуальных уравнений могут быть построены по реше-
решениям линейных уравнений. Этот подход изложен в [4]. Он приво-
приводит к анзатцу т' Хоофта и его естественным обобщениям.
Рассмотрим группу 5LB,C), игнорируя сейчас ограничения ве-
вещественности. Или, что эквивалентно, рассмотрим двумерные
векторные расслоения с кососимметрической формой. В соответ-
соответствии с результатами гл. IV антиавтодуальные SLB, С)-связности
на U С S4 соответствуют голоморфным векторным расслоениям
над U С ^з(С), тривиальным вдоль всех слоев Рх, х G U. Один
способ строить такие векторные расслоения состоит в расширении
одномерных расслоений, иными словами, в использовании в каче-
качестве матриц калибровочных преобразований только треугольных
матриц из SLB,C). Как было объяснено в §1, такие расшире-
расширения классифицируются элементами группы когомологий с коэф-
коэффициентами в пучке. Таким образом, мы можем строить 5LB, Ко-
Корасслоения, выделяя сначала одномерное расслоение N над 0, а
затем выбирая элемент Ф из Hl(U,N2). Это дает векторное рас-
расслоение V с подрасслоением N и факторрасслоением N*.
В частности, в качестве N можно взять стандартное одномер-
одномерное расслоение L или какую-то его степень Lm. Тогда для каждо-
каждого Ф € H1(U,L2m) — H1(U,0(-2m)) мы получаем голоморфное
векторное расслоение над U. Чтобы спуститься на S4, нужно,
чтобы это векторное расслоение было тривиальным на каждом
Рх, х € U. Изучим этот вопрос. Для этого рассмотрим фикси-
фиксированную проективную прямую Р\ и посмотрим, какие элементы
в Н\Р\ ,О(-2т)) дают тривиальное расслоение. Заметим, напри-
например, что нулевой элемент дает прямую сумму Lm ф L~m, нетри-
нетривиальную при го ф 0- Как мы увидим, общий элемент всегда да-
дает тривиальное расслоение, но некоторые специальные элементы
приводят к прямым суммам U ф L~T, г = 1,2,..., т.
Для простоты рассмотрим сначала случай т = 1. Тогда про-
пространство Я1(Р1,О(-2)) имеет размерность 1, и каждый нену-
ненулевой элемент Ф дает тривиальное расслоение [1]. Рассмотрим
следующий случай, го = 2. Тогда Hl(Pi,O(—4)) — трехмерное
пространство. В § 1 мы видели, что базис задается функциями
перехода (или коциклами) ztz2,z3. Более инвариантный способ
описать пространство H1(Pi,O(—4)) — сказать, что оно является-
двойственным к пространству квадратичных форм от двух одно-
однородных координат (zi, z2) проективной прямой Pi. Это следует из
умножения

162 Дополнение
Пользуясь выбранным базисом, легко проверить, что это умно-
умножение дает требуемую двойственность. На самом деле это очень
частный случай гораздо более общей теоремы двойственности Сер-
ра [39]. Таким образом, если Pi = Pi{V), т. е. пространство V —
экземпляр С2, прямые которого представляются точками прямой
Pi, то мы имеем естественный изоморфизм
Следовательно, элементы Ф € Hl(Pi,O(—A)) представляют ква-
квадратичные формы на V*. Тогда элемент Ф определяет тривиаль-
тривиальное расслоение над Pi, если и только если он соответствует неосо-
неособой (т. е. не являющейся точным квадратом) квадратичной форме
на V* [1]. Если Ф не равен 0, но соответствует точному квадрату,
то расслоение изоморфно L ф L~l.
Теперь обобщение на случай произвольного m > 0 получается
достаточно прямо. Имеем естественный изоморфизм
D.2) Hl(Pu 0(-2m)) ? V2m~2(V*).
Если Ф € Я'(Pi, 0(-2m)), то пусть / обозначает соответствующий
однородный многочлен степени 2т—2 на V*. Всякий такой много-
многочлен можно записать как линейную комбинацию точных степеней:
го-2
где А$ е С и и,- — линейная форма на V*. Общий результат, дока-
доказанный в [1], состоит в том, что Ф определяет тривиальное рассло-
расслоение всегда, кроме случая, когда / выражается в виде комбинации
менее чем т-2 точных степеней (или является пределом таких
комбинаций). Точнее, если / — комбинация m — 2 — г точных сте-
степеней (или предел таких комбинаций), гричем г максимально, то
элемент Ф определяет расслоение U ф /~г.
Поэтому мы знаем точные условия, которые нужно наложить
на элемент Ф € НХ(Р\,О(—2т)), чтобы получить расслоение, три-
тривиальное на всех прямых Р», х € U, и в силу этого перейти к
расслоению над U с антиавтодуальной 51B, С)-связностью. В си-
силу результатов, описанных в §2, элемент Ф соответствует сече-
сечению векторного расслоения Р2т~2E+), удовлетворяющему под-
подходящему линейному дифференциальному уравнению. Здесь 5+
указывает на полуспинорное расслоение, соответствующее янстан-
тонам, a S~ — антиинстантонам. Чтобы отождествить 5+ с двой-
двойственным пространством E+)*, мы использовали метрику на S*

Гл. VI. Линейные уравнения поля 163
или R4 (хотя для демонстрации полной конформной инвариантно-
инвариантности этого делать не следовало бы).
Подведем итоги. Мы привели явную конструкцию для антиав-
антиавтодуальных 5Д2, С)-связностей, начиная с сечения <р расслоения
Vim~i(S+), удовлетворяющего подходящему дифференциальному
уравнению. Чтобы дать решение, это сечение должно всюду быть
«в общем положении», т. е. не быть комбинацией менее чем m — 2
точных степеней.
При m = 1 элемент <р — скалярное поле, удовлетворяющее
уравнению Лапласа и нигда не обращающееся в нуль. При m = 2
элемент <р — автодуальное решение уравнений Максвелла, нигде
не являющееся квадратом спинора.
Случай m = 1 — анзатц, примененный т'Хоофтом.'Явные фор-
формулы для m = 2 приведены в [4]. Важно отметить, что решение
нелинейных уравнений Янга — Миллса,. полученное таким обра-
образом, может иметь большую область регулярности, чем линейное
поле v, с которого мы начинаем. Например, для анзатца т' Хоофта
хорошо известно, что при построении поля Янга — Миллса особен-
особенность 1/г2 у <р пропадает. Геометрически это отвечает тому фак-
факту, что редукция от SLB, С) к треугольным матрицам может быть
законной лишь в меньшем открытом множестве. Как мы сейчас
объясним, эта ситуация совершенно ясна, если рассматривать всё
)
Пусть W есть двумерное голоморфное векторное расслоение над
Рз(С)- Хотя W может не иметь глобально определенных голо-
голоморфных сечений, отличных от нулевого, общие теоремы утвер-
утверждают, что W ® L~m = W(m) имеет ненулевое сечение, если m
достаточно велико. Пусть s — такое сечение; тогда s = 0 на не-
некотором замкнутом алгебраическом подмногообразии Е в Рз(С) и
s ф 0 на дополнительном открытом множестве. На этом открытом
множестве сечение 1У(т) порождает тривиальное одномерное под-
расслоение расслоения W(m) и поэтому W(m) выступает здесь как
расширение. Тензорное умножение на Lm показывает тогда, что
над этим открытым множеством Lm является одномерным подрас-
слоением расслоения V. Если W является SLB, С)-расслоением,
то факторрасслоением обязательно будет L~m, я мы получаем
стандартную, ситуацию, описанную выше. Таким образом, под-
подмногообразие ?, заданное уравнением s = 0, будет возникать как
особенность расширенного элемента Ф или соответствующего ли-
линейного поля <р, но не как особенность векторного расслоения W.
Если m — наименьшее целое число, для которого W(m) имеет
глобальные сечения, то можно показать, что ? обязательно имеет
комплексную размерность 1, т. е. является алгебраической кри-

164 Дополнение
вой. Обратно, для данной произвольной кривой ? можно описать:
(а) при каких условиях она возникает из расслоения W указан-
указанным выше способом и (Ь) как восстановить W по ?, если условия
п. (а) выполнены [23]. В .частности, если кривая Е связна, то она
единственным образом определяет расслоение W. Если ? имеет
несколько компонент связности ?,-, то W зависит от ненулевых
постоянных Ci (с точностью до общего множителя).
При m = 1 кривая ? должна быть несвязным набором k+l пря-
прямых (где к = ci(W) — антиинстантонное число). Если в качестве
таких прямых взять вещественные прямые, т. е. слои расслое-
расслоения Рз(С) —» S*, мы снова получим анзатц т'Хоофта, зависящий
от Jb + 1 точек на 5* и соответствующий весам ci,.. .,Ск+\. При
m = 2 кривая ? должна быть несвязным набором эллиптических
кривых, а при m > 2 кривая ? содержит довольно специальные
кривые высших родов.
Для расслоений, задаваемых конструкцией Хоррокса гл. V,
можно показать, что нужно брать только m > y/ik + 1 — 1. Харт-
схорн [27] показал, что эта оценка лучшая из возможных в том
смысле, что меньшие значения не дают всех —fc-инстантонов.
В заключение дадим еще некоторые комментарии об анзатце
для общего т. Чтобы явно выписать формулу для потенциала,
нужно выбрать определенную калибровку, и желательно выбрать
эту калибровку как можно более простой. Геометрически это
означает, что нужно выбрать базис в H°(PX,WX), гладко завися-
зависящий от х 6 R4. Напомним, что в подходящем открытом множестве
расслоение W задается как расширение или точная последователь-
последовательность расслоений
О -» LT — W — 1Гт -* 0.
Ограничивая ее на Рх и переходя к когомологиям, получаем точ-
точную последовательность векторных пространств
0 - Я°(РГ, Wx) - Н°(РХ, О{т))-^ Н\РХ, 0{-т)) -+ 0.
Далее, Н°(Рх,0(т)) 2 Pm(S+) и Н\Рх,О{-т)) 2 Pm-2(S+)*, a
отображение 6 этих пространств задается посредством <рх. Таким
образом, если W = Ё, то слой Ех = H°(Px,Wt) возникает как
ядро гомоморфизма
Далее, над R4 расслоение S+ имеет естественную тривиализацию,
и потому то же самое справедливо для Vm(S+) и 7>т~2E+). Од-
Однако ядро гомоморфизма <рх, очевидно, меняется с изменением х,

Гл. VI. Линейные уравнения поля 165
и поэтому явное описание потенциала лучше всего дать, используя
естественный базис большего пространства Pm(S+). Заметим, что
это применимо только для m ^ 2, поскольку при m = 1 второе
пространство Рт~2 равно 0. Эти замечания объясняют кажущу-
кажущуюся особенность в формулах при m = 2, приведенных в [4]: это
происходит, поскольку базис для Кег <рх получался проектирова-
проектированием некоторого подмножества базисных векторов в 5+, причем
для разных положений точки ibM4 нужны были разные подмно-
подмножества.
5. СВЯЗЬ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ РАДОНА
Этот параграф — еще одно отступление, объясняющее, как связа-
связано преобразование Пенроуза с другими известными преобразова-
преобразованиями.
Напомним сначала определение классического преобразования
Радона, которое функции / на R3 ставит в соответствие ее инте-
интегралы по аффинным плоскостям. Таким образом, для каждой
функции / мы получаем преобразованную функцию <р, определен-'
ную на пространстве плоскостей тг формулой
E.1) ф) = [ /.
Jw
Пространство всех плоскостей в R3 — трехмерное многообразие,
которое можно отождествить с Рз(К) без одной точки. Имеется
и обратная формула, определяющая функцию / в терминах не-
котрого интеграла от у. Преобразование Радона тесно связано
с преобразованием Фурье и поэтому полезно при решении линей-
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициента-
коэффициентами [20].
Очевидное обобщение преобразования Радона состоит в следую-
следующем: функции / ставится в соответствии ее интегралы по аффин-
аффинным прямым / в К3. Таким образом, мы определяем функцию у»
формулой
E.2) *>(/) = //.
Это некоторая функция на пространстве всех прямых в R3, кото-
которое является подпространством пространства всех прямых в Рз(К),
а именно вещественной клейновой квадрикой (см. гл. III). Эта ква-
квадрика имеет сигнатуру C,3) и содержит две системы веществен-
вещественных проективных плоскостей. Наше подпространство получается
удалением одной плоскости одной системы.

166 Дополнение
В формулах E.1) и E.2) мера на -к или /, по которой выпол-
выполняется интегрирование, — обычная евклидова площадь или дли-
длина соответственно. Следовательно, оба преобразования согласо-
согласованы с группой евклидовых движений, естественно действующей
на пространстве плоскостей или прямых. Можно, однако, распро-
распространить оба преобразования на все трехмерное проективное про-
пространство Рз(К) согласованно с действием группы 5LD,R). Для
этого нужно функции заменить плотностями подходящих типов.
Вообще корень степени к из плотности будет называться к~ ^плот-
^плотностью. Тогда в E.1) в качестве функций <р и / нужно взять 1/4- и
3/4-плотности соответственно, а в E.2) <р и / должны быть 1/4- и
1/2-плотностями. Вообще, если мы интегрируем по (р— 1)-мерным
плоскостям в К*"*"'", то подходящие плотности — это 1/(р + q)- и
р/(Р + д)-плотности.
В такой расширенной форме преобразование E.2) преобразует
1/2-плотность / на Рз(Щ в 1/4-плотность <р на вещественной клей-
новой квадрике Q^R). Поскольку dimQ4 = 4 > олтРз. неразумно
ожидать существования универсальной формулы обращения, как
для случая E.1). Вместо этого следует ожидать, что <р должно
удовлетворять некоторому условию, чтобы быть образом некото-
некоторой функции /. На самом деле это условие состоит в том, что <р
должно быть решением конформно инвариантного уравнения вто-
второго порядка Ду» = 0, где Д — индефинитный аналог конформного
лапласиана ([21], [45]). Отметим, что Q<i(K) — конформная ком-
пактификация пространства К4 с сигнатурой B,2). Таким обра-
образом, Д — «ультрагиперболический» оператор, т. е. оператор в
плоском пространстве, заданный формулой
Группа 5LD, R) действует на Q-jOR) конформными преобразовани-
преобразованиями и сохраняет оператор Д.
Говоря об этих преобразованиях, мы до сих пор игнорирова-
игнорировали вопрос о регулярности функций / и <р. Точное соответствие
справедливо либо для функций класса С°°, либо для вещественно-
аналитических функций. Отметим, что в отличии от случая поло-
положительной плотности, когда оператор Д эллиптический, условие
Aip — 0 не влечет за собой аналитичности функции <р.
Имея дело с аналитическими функциями, преобразование E.2)
можно рассматривать в комплексифицированном пространстве.
Таким образом, если продолжить / как комплексно-аналитичес-
комплексно-аналитическую функцию в некоторую окрестность подпространства Рз(К) в

Гл. VI. Линейные уравнения поля 167
пространстве Рз(С), то E.2) превратится в интеграл Кошн. Как
мы сейчас объясним, это естественно приводит к когомологиям с
коэффициентами в пучках, связанным с преобразованием Пенро-
уза.
Для начала напомним, что для комплексной проективной пря-
прямой Pi (С) имеем
E.3)
В § 1 этот иэоморфзим был задан в терминах явных представителей
коциклов. Этот подход можно сделать более инвариантным, если
напомнить, что О(—2) Sfl1 — пучок голоморфных дифференци-
дифференциалов на Л(С) (заметим, что касательное расслоение к Pi(C) есть
L~2). Если w = f(z)dz — голоморфный дифференциал, опреде-
определенный вблизи окружности |г| = 1, то можно взять и> = woooi что-
чтобы определить 1-коцикл, соответствующий стандартному покры-
покрытию проективной прямой Pi (С) открытыми множествами Uo,Uu>
заданными условиями |г| < 1 + е, \г\ > 1 — е. Изоморфизм E.3)
задается тогда контурным интегралом
E.4)
который берется по окружности Ы = 1 (ориентированной подхо-
подходящим образом как граница круга \г\ ^ 1).
Вернемся теперь к преобразованию E.2), в котором функцию
/, как объяснено ранее, нужно считать 1/2-плотностью на Рз(К).
Если фиксировать ориентацию в Рз(К), то плотность на Рз(Щ
можно отождествить с внешней дифференциальной 3-формой и,
следовательно, с сечением вещественного одномерного расслоения
L4. Таким образом, / можно рассматривать как сечение расслое-
расслоения L2, нужным образом комплексифицированное.
Фиксируем теперь прямую /о в Рз(К) и рассмотрим все сосед-
соседние прямые /, параметризованные малым открытым множеством
V С <?4(К). Можно убедиться, что комплексификации этих пря-
прямых / заполняют некоторое открытое множество U в Рз(С). Если
ориентировать /о и продолжить эту ориентацию по непрерывно-
непрерывности на все соседние прямые /, то можно определить подмножества
Uo, Uoo множества U, заметаемые (в с раз увеличенными) верхни-
верхними и нижними полусферами каждой проективной прямой Pi(R)
нашего семейства. При достаточно малом е пересечение Uo П Uoo
будет близко к Рз(К) и, следовательно, окажется внутри области
определения функции /. Следовательно, полагая /Ооо = /¦ мы
получаем элемент ,
E.5)

168 Дополнение
При преобразовании Пенроуза, как объяснялось в §2, (/) опре-
определяет 1/4-плотность <р на подходящем открытом множестве в
Qa{C), удовлетворяющую уравнению А<р — 0. Значение <р в точ-
точке, параметризующей данную проективную прямую Pi (С), задает-
задается ограничением (/) на эту прямую Pi{C) с использованием E.3).
Сравнивая E.2) и E.4), мы видим, что они совпадают с точно-
точностью до множителя 2irt. Таким образом, описание Пенроуза ре-
решений уравнения Ду» = 0 посредством классов когомологий с ко-
коэффициентами в пучках можно рассматривать как естественное
комплексно-аналитическое описание интегрального преобразова-
преобразования E.2).
Хотя преобразование E.2), взятое глобально на всем Рз(К),
является обратимым (т. е. <р = 0 =» / = 0), локально это неверно.
Таким образом, если функция /, изначально определенная в U, го-
голоморфно продолжается на Uq или ?/«> или, более общим образом,
является разностью двух таких продолжений, то (/) = 0 и <р s 0
в V. Это проясняет роль группы пучковых когомологий, которая
как раз поглощает локальную необратимость. Иными словами,
если <р = 0 в V, то (/) = 0 в U.
Возможно, стоит подчеркнуть, что построение класса когомо-
когомологий с коэффициентами в пучке (/) по 1/2-плотности / зависело
от ориентации прямых /, так что Щ и Uoo могли быть однозначно
определены. Теперь по топологическим причинам мы не можем со-
согласованно и непрерывно ориентировать все вещественные прямые
/ в Рз(К): пространство <34(К) неодносвязно. Таким образом, гло-
глобально / не определяет элемент глобальной группы когомологий
Н1(Рз(С),О(—2)). Это объясняет отсутствие противоречия, кото-
которое могло бы возникнуть между глобальной обратимостью пре-
преобразования E.3) и тем, что эта группа когомологий нулевая.

Глава VII
Теоремы об алгебраических
расслоениях
1. Когомологии конструкции Хоррокса
В гл. V мы рассмотрели конструкцию Хоррокса, дающую симплек-
тические векторные расслоения на Рз(С). В этой главе мы до-
докажем теорему, принадлежащую Барту [8] и показывающую, как
можно охарактеризовать расслоения Хоррокса в терминах когомо-
когомологии. В комбинации с результатами предыдущей главы об обра-
обращении в нуль подходящих групп когомологии с коэффициентами
в пучках для инстантонных расслоений это завершит доказатель-
доказательство того факта, что конструкция Хоррокса дает все инстантонные
расслоения.
Этот параграф мы начинаем с более подробного изучения кон-
конструкции Хоррокса и вывода ее когомологических свойств. На
этом этапе, а также в следующем параграфе мы будем работать
только с комплексными числами, отложив на дальнейшее вопросы
вещественности. .
Всюду в этой главе широко используется техника и стандарт-
стандартные результаты теории когомологии с коэффициентами в пучках,
которой мы лишь слегка коснулись в предыдущих главах. По-
Поэтому неизбежно эта глава окажется более технической. Но мы
будем стараться по мере надобности напоминать основные фак-
факты. Во всяком случае эта глава продемонстрирует всю мощь те-
теории когомологии. Может оказаться поучительным попытаться,
где это возможно, интерпретировать рассматриваемые методы в
терминах вещественного четырехмерного пространства. На соот-
соответствующем этапе будут даны комментарии в этом направлении.
Напомним, что конструкция Хоррокса для Sp(n, С)-расслоений,
как объяснялось в гл. V, § 2, начинается с линейного отображения
A.1) A(z) :W-+V
с подходящими свойствами. Здесь dimW = к, dim V = 2fc + 2п,
z = (zi,..., Z4) и на V имеется невырожденная кососимметриче-
ская форма. Для каждого г ф 0 образ U, = A(z)W С V пред-
предполагается конечномерным и изотропным, т. е. О, содержится в

170 Дополнение
своем полярном пространстве U^. Далее, полагаем Е, =
это векторное пространство размерности 2п с индуцированной не-
невырожденной кососимметрической формой. Оно является слоем
требуемого расслоения Е над (г) € Рз(С).
Поскольку отображение A(z) линейно по z, A.1) можно рассма-
рассматривать как гомоморфизм векторных расслоений над Рз(С):
A.2) A: W(-l) -* V,
где W(-l) = W®L. Иными словами, расслоение U С V изоморф-
изоморфно расслоению W(—l). По двойственности тогда V/U0 изоморфно
W* A). Мы можем свести все расслоения, участвующие в этой кон-
конструкции, в следующую диаграмму точных последовательностей:
A.3) О
Здесь Q = К/(/, Q* = (/°. Эта диаграмма автодуальна, и эта
двойственность в надлежащем смысле кососимметрична, посколь-
поскольку индуцирована двойственностью в V.
Рассматривая группы когомологий с коэффициентами в пучках
на Рз(С), мы будем там, где это не приведет к путанице, опускать
символ Рз(С) и записывать когомологий пучка 5 как H1(S). Кого-
Когомологий расслоений ? и Q в A.3) описываются тогда следующим
предложением.
Предложение A.4).
H°(Q) г V, Я°(?(-п)) = 0 для n ^ 1,
H°(Q(-n)) = 0 для n^l, H\E(-n)) = Q ^2
H1(Q(n)) = Q для всех п, H\E(-l))SiW*.

Гл. VII. Теоремы об алгебраических расслоениях 171
Доказательство. Средняя строка в A.3) вместе с когомологиче-
когомологическими свойствами пространств W(—1) и V сразу дает утвержде-
утверждения относительно Q [мы используем здесь обращение в нуль ко-
гомологий Нч(О(п)) для q = 1,2 и всех п, а также для q = 0 и
п < 0]. Пользуясь этой информацией о пространстве Q, из послед-
последнего столбца A.3) мы получаем тогда утверждения о Е.
Как отмечено в гл. V, второй класс Чжэня съ(Е) можно опре-
определить из A.3), и мы получаем с^{Е) = к. Более формально, если
х — стандартная образующая »н#*(Рз.2), то полные полиномы
Чжэня даются формулами
A + «)* - c(V) =
следовательно,
k
с(Е) = A - х)-кA + *)"* = A - х2)-* = 1 + кх\
а это и означает, что сг(?) = к.
Возвращаясь теперь к A.3), используем последний столбец, что-
чтобы исследовать Н1(Е(п)) для п ^ —1. Мы видим, что гомомор-
гомоморфизм
11
сюрьективен. Пользуясь отождествлением пространства W*, дан-
данным в A.4), это условие можно заменить сюрьективностью гомо-
гомоморфизма
Н\Е{-\)) ® Н°(О(п + 1)) -» Н\Е(п)).
Таким образом, если ввести градуированный модуль
над кольцом многочленов от zy,... ,г4, то видно, что М обладает
следующими свойствами:
Мп = 0 для п < — 1 и достаточно больших п,
(М„ = 0 для
dimM_i =*,
М-\ порожда
порождает М.
Свойства A.5) модуля М отражают простую природу конструк-
конструкции Хоррокса. На самом деле имеются векторные расслоения Е,
задаваемые более сложными конструкциями, для которых отобра-
отображение А не предполагается линейным по zi,..., z* и для которых
соответствующий модуль имеет более сложное строение. Это —
часть общей теории Хоррокса, но, к счастью, для наших целей
достаточно простого случая, приводящего к A.5).

172 Дополнение
2. Теорема Барта
Мы изложим сейчас теорему Барта [8], дающую достаточное усло-
условие для того, чтобы симплектическое расслоение Е получалось
конструкцией Хоррокса. Сначала рассмотрим следующее предпо-
предположение:
Для некоторой прямой I в Рз
ограничение расслоения Е на I тривиально.
Это предположение связано с понятием полустабильности: на-
например, если пространство Е двумерно, то условие B.1) эквива-
эквивалентно полустабильности и обращению в нуль группы Н°(Е(—1))
[7]. Заметим, что B.1) автоматически влечет за собой тривиаль-
тривиальность расслоения Е на «общей» прямой из Рз (см, гл. IV). Для
расслоений, происходящих из S4, в силу основной конструкции
гл. IV B.1) безусловно выполняется, поскольку расслоение Е три-
тривиально на всех вещественных прямых, т. е. на слоях расслоения
P3(Q-S4.
Наше следующее предположение состоит в том, что Е удовле-
удовлетворяет теореме об обращении в нуль:
B.2) Ях(Д-2)) = 0.
Это предположение выполняется для расслоений, получающихся
конструкцией Хоррокса (см. A.4)), а также для расслоений, со-
соответствующих антиавтодуальным 5р(п)-связностям на S4 (в силу
результатов гл. VI).
B.3) Теорема. Пусть Е — симплектическое векторное расслое-
расслоение над Рз(С), удовлетворяющее условием B.1) и B.2). Тогда Е
получается конструкцией Хоррокса. из линейного отображения
A(z) :W-+V
единственным образом, с точностью до изоморфизма.
Единственность в B.3) означает, что если (A, W, V) и (A1, W, V)
дают изоморфные симплектические расслоения, то существуют
изоморфизмы W —> W, V —» V (сохраняющие кососимметриче-
скую форму), переводящие Аъ А'.
Идея доказательства теоремы B.3) состоит в том, чтобы пока-
показать, что диаграмму A.3) можно восстановить по одному лишь
расслоению Е некоторым каноническим образом. Предварительно

Гл. VII. Теоремы об алгебраических расслоениях 173
покажем, что модуль М = фН1(Е(п)) удовлетворяет условиям
п
A.5), непременному следствию из A.3).
Возьмем любую плоскость Яг, содержащую прямую '• Тогда Е
тривиально над общей прямой в этой плоскости, и поэтому Е(п)
при п < 0 не может иметь ненулевого сечения над этой плоскостью
Рг- Рассмотрим теперь стандартную точную последовательность
О -> Е(-1) -+Е-> Е\Р2 — 0.
Тензорное умножение на О{п) и переход к когомологиям дает
длинную точную последовательность
> Н°(Р2, Е(п)) -* Н\Рг> Е(п - 1)) - Н\Рг, Е(п)) ->....
Полагая п — -2,-3,... и учитывая, что Н°(Р2,Е(п)) — нуле-
нулевая группа, выводим по индукции, что Н1(Рз,Е(п)) = 0 для всех
n ^ —2. Это дает первое из свойств A.5). Для доказательства
оставшейся части выберем координаты в Рг так, чтобы прямая /
задавалась уравнением z\ = z-i = 0. Тогда мы имеем точную по-
последовательность, являющуюся резольвентой для Oi,
B.4) 0 -* 0(-2) -?-* О(-1) ф О{-1) -?-+ О -> О, — 0,
где а = (z2,—zi), /? = B1,22)- Образ гомоморфизма /? — пучок
идеалов </, соответствующий прямой /. Умножая тензорно B.4) на
Е(п) и переходя к когомологиям, мы выводим точную последова-
последовательность
B-5)
• • • -* Н\Е(п - 1)) ф Н\Е(п - 1)) - H^J(n)) -
^ Н\Е(п - 2)) — Hl(J(n)) -+ H^Ein)) -+
-* Hl{l, E(n)) -» 0.
Поскольку расслоение Е тривиально над /, #х(/, Е(п)) = 0 при п ^
—1, и по двойственности Серра группа Нг(Е(п — 2)) двойственна к
Н1(Е(—п—2)), а значит, в силу доказанного выше она нулевая для
п ^ 0 (отметим, что мы использовали здесь изоморфизм Е S Е*).
Следовательно, B.5) означает, что отображение
„_1 ф Мп-1 » Мп

174 Дополнение
сюрьективно для всех n ^ 0. Из этого утверждения следует, что
М-1 порождает М как модуль (но оно несколько сильнее, по-
поскольку требуются только две переменные). Наконец, чтобы най-
найти размерность пространства Af_i = Н1(Е(—1)), заметим, что все
остальные группы когомологий Нч(Е(-1)), q ф 1, нулевые. Для
4 = 2 это следует из двойственности Серра и того, что пространство
М_з нулевое, для q = 0 это следует из тривиальности расслоения
Е над общими прямыми, для q = 3 мы применяем двойственность
Серра и приходим к таким же соображениям. Таким образом,
dim М-1 можно вычислить в терминах классов Чжэня по теореме
Римана — Роха и получить
Поскольку С\(Е) = 0, Съ(Е) = Jb, мы получаем, что dimM_i =
а + Ьк, где а я b — константы, не зависящие от Е. Эти констан-
константы можно либо получить из подробных формул Римана — Роха,
либо проще, рассматривая конкретные примеры, связанные с —к-
инстантонами. Любым способом мы получаем dimilf-i = к, что
завершает проверку условий A.5).
Вернемся теперь к построению диаграммы A.3). Начнем с по-
последнего столбца. Полагая W* = Яг(?(-1)) и пользуясь интер-
интерпретацией когомологий Я1 в терминах расширений (ср. гл. VI),
мы строим расширение
B.6) 0 ^ Е -> Q -> ^*A) — 0,
соответствующее тождественному элементу в
H\W ® Е{~Е)) 5= W ® W = End(W).
В результате этого в когомологической последовательности B.6),
тензорно умноженной на О{—\),
-» H°(W) -^H^Ei-l)) - Я1^-!)) -* H\W*),
кограница 6 — тождественное отображение. Поскольку HX{W*) —
0 отсюда следует, что Hl(Q(—1)) = 0. Вообще, если тензорно умно-
умножить последовательность B.6) на О(п), то для п ^ — 2 получаем

Гл. VII. Теоремы об алгебраических расслоениях 176
а для п ^ 0 получаем
B.7) W* ® Н°{О(п + 1)) -i* #Х(ВД) -» H'iQin)) -»0.
Гомоморфизм 6 в B.7) можно отождествить с модульными умно-
умножением из М_1 в Мп, а только что доказанная сюрьективность
(т. е. A.5)) показывает, что Hl(Q(n)) = 0. Таким образом, мы
доказали, что
B.8) H^Qin)) = 0 для всех п.
Итак, мы построили последний столбец диаграммы A.30 и уста-
установили ключевое свойство B.8) расслоения Q. Дуализируя, полу-
получаем первую строку диаграммы A.3). Когомологическая последо-
последовательность этой первой строки показывает, что
Если интерпретировать это равенство в терминах расширения (с
п = — 1), то мы видим, что существует расширение расслоения Q*
посредством W*(l), согласованное с каждым таким расширением
расслоения Е. В частности, это дает средний столбец диаграммы
A.3) для подходящего векторного расслоения V.
Из средней строки диаграммы A.3), используя B.8), мы полу-
получаем, что
B.9) ЯЧ^ОО^Одлявсехп. '
По двойственности Серра из B.8) следует, что H2(Q*(n)) = 0 для
всех п, и, следовательно, из среднего столбца диаграммы A.3) по-
получаем
B.10) H2(V(n)) = 0 для всех п.
Из B.9) и B.10) теперь можно вывести, что V — тривиальное рас-
расслоение. Нам нужен следующий частный случай общей теории
Хоррокса [28].
ПРЕДЛОЖЕНИЕ B.11). Пусть V — векторное расслоение над Рз,
такое, что Hl(V(n)) = H (V(n)) = 0 для всех п. Тогда. V изоморф-
изоморфно прямой сумме одномерных расслоений.
Доказательство. Фиксируем Pi С Pi С Рз, и пусть
B.12) V\Pl~K\Pl,

176 Дополнение
где К S Lni ф • -ф ЬПт — сумма одномерных расслоений. До-
Достаточно показать, что изоморфизм <р из B.12) продолжается на
Рз как гомоморфизм, поскольку точки, где <р не является изо-
изоморфизмом, образуют алгебраическую поверхность (с локальным
уравнением detip = 0), не пересекающую Pt и поэтому обязательно
пустую. Изоморфизм <р продолжается сначала на Pj, а затем на
Рз с помощью точных последовательностей
0 _» у(в - 1)|р2 - К(п)|А.- V(A)\Pl - 0,
0 -+ V(n - 1) -+ V(n) - V(n)\Pl — 0.
Вторая последовательность и обращение в нуль когомоло-
гий H^Vfn)) и #2(К(п)) показывают, что H1(P2,V(n)) = 0 и
что каждое сечение расслоения V(n) над Рг продолжается на Рз.
Поскольку у? (или, скорее, у?) — прямая сумма сечений К(п,),
откуда следует наше предложение.
Применим теперь B.11) к построенному выше расслоению V.
Чтобы доказать, наконец, что все щ равны нулю, т. е. что V три-
тривиально, достаточно ограничить V на одну прямую /. Но при огра-
ограничении диаграммы A.3) на прямую /, поскольку Е\1 тривиально,
все расширения расщепляются, а это значит, что V\l тривиально.
Итак, мы восстановили диаграмму A.3) по расслоению Е. Оста-
Осталось только доказать кососимметричность и, в частности, пока-
показать, что на V имеется каноническая кососимметрическая форма.
Но переход к диаграмме, двойственной к A.3), и использование ко-
сосимметрической двойственности Е<= Е* приводит к изоморфной
диаграмме, доказывающей изоморфизм V ? V*. Немного больше
усилий (ср. [8]) нужно, чтобы проверить, что этот изоморфизм ко-
сосимметрический. Это завершает доказательство теоремы Барта.
Единственность диаграммы A.3) следует из каноничности нашего
способа восстановления, в котором отсутствовал произвол в
выборе.
Из нашего доказательства ясно, что в точности те же рассужде-
рассуждения справедливы для ортогонального расслоения, т. е. для вектор-
векторного расслоения Е с невырожденной квадратичной формой. Двой-
Двойственность соответствующей диаграммы диаграмме A.3) в этрм
случае симметрична.
В заключение нужно отметить, что в [17] приведена более об-.
щая, чем B.3), теорема (а [9] содержит дальнейшее обобщение),
дающая необходимые и достаточные условия для того, чтобы рас-
расслоение получалось конструкцией Хоррокса. Условие B.2) сохра-
сохраняется, но условие B.1) ослабляется. В терминах модуля М усло-
условия A.5) выполняются, но не предполагается, что двух из четы-
четырех переменных {z\,...,z4) достаточно, чтобы M-i порождало М.

Гл. VII. Теоремы об алгебраических расслоениях 177
Для инстантонных расслоений условие B.1) выполнено, и поэтому
обобщение работы [17] не нужно.
3. Ограничения вещественности
Мы приходим теперь к вопросу о том, какие необходимые огра-
ограничения вещественности должны быть наложены на конструкцию
Хоррокса, чтобы она приводила к инстантонным расслоениям. В
гл. V, §2, на тройку (A,V, W) было наложено действие Галуа а,
причем а2 = — 1 на V и <т2 = 1 на W. Это позволило получить
5р(п)-расслоение над S4 с антиавтодуальной связностью. Мы хо-
хотим теперь доказать обратное, т. е. что всякая такая связность
получается этим способом.
Согласно гл. IV, § 2, каждая такая связность соответствует го-
голоморфному векторному расслоению Е над Рз(С) с
(i) голоморфной симплектической структурой;
(ii) антилинейным отображением а, согласованным с (i), причем
а на Рз(С) удовлетворяет условию а1 — — 1 и индуцирует положи-
положительную эрмитову форму на сечениях расслоения Е вдоль всех
вещественных прямых из Рз(С)-
Поскольку расслоение Е тривиально на всех вещественных пря-
прямых из Рз(С) и удовлетворяет условию Н1(Ё(—2)) = О (гл. VI, §3),
мы можем применить теорему Барта из предыдущего параграфа и
получить, что Е канонически строится по тройке (А, V, W). Анти-
Антилинейное отображение а тогда индуцирует антилинейное отобра-
отображение на V. Это следует из утверждения единственности теоремы
Барта: мы сравниваем Е и комплексно-сопряженное пространство
к а*{Ё). Единственность показывает также, что на V выполняется
условие а1 = — 1 и что <т согласовано с симплектической формой.
Чтобы получить все условия, указанные в гл. V, §2, нам нуж-
нужно показать, наконец, что эрмитова форма, индуцированная ото-
отображением а на V, положительна. Напомним, что для любого
(¦*) G Рз(С) имеется ортогональное разложение
где и„г = U% ф Ег. Поэтому эрмитова форма, ограниченная на Uz,
является знакоопределенной. Применение а показывает, что знак
этой определенной формы в Uaz такой же, как в Uz. Эта форма
положительна на Ег в силу ее исходного определения. Следова-
Следовательно, эта форма либо положительна на всем V, либо имеет сиг-

178 Дополнение
натуру Bп, 2к). Но в последнем случае слои Е, должны были бы
лежать в положительном конусе и расслоение было бы топологи-
топологически тривиально (деформируемо в фиксированное положитель-
положительное подпространство), что противоречит условию съ(Е) — к ф 0.
Это завершает доказательство того, что конструкция гл. V, явно
выполненная в гл. II, дает все антиинстантоны для группы Sp(n).
Совершенно аналоигчные соображения работают в случае ортого-
ортогональной группы. Наконец, унитарную группу U(n) мы можем вло-
вложить в SOBn) и рассмотреть дополнительное антилинейное ото-
отображение J. Снова пользуясь единственностью из теоремы Барта,
мы убеждаемся, что получили оператор J на V с требуемыми свой-
свойствами.
4. Описание Дринфельда — Манина
В доказательстве теоремы Барта в § 2 мы восстановили диаграм-
диаграмму A.3) по сиплектическому векторному расслоению Е над Рз-
Векторное пространство W* отождествлялось с группой когомо-
логий Н1(Е(—1)). Векторное пространство V можно также ото-
отождествить с группой когомологий таким образом, что линейное
отображение А (или двойственное к нему А*) получает простую
когомологическую интерпретацию. Это позволяет дать более эле-
элегантную формулировку теоремы Барта, описывая тройку (А, V, W)
непосредственно в терминах когомологий расслоения Е. Преиму-
Преимущество такой переформулировки состоит в том, что она делает
более наглядным условия вещественности.
Объясним, как когомологически интерпретировать V. Дальней-
Дальнейшие детали и более систематическое изложение можно найти в
[18].
Из среднего столбца диаграммы A.3) получаем когомологиче-
когомологическую последовательность
D.1) 0 -> #°(Q*) - H\V) -* H°{W*{1)) - #*(<?*) - H\V).
Поскольку V — тривиальное расслоение, H°(V) S V, Н1^) = 0.
Верхняя строка дает
Наконец, напомним, что
W 3

Гл. VII. Теоремы об алгебраических расслоениях 179
Подставляя все это в D.1), мы получаем
D.2) 0 - Н°(Е) -*V-+ Hl(E(-l)) ® Н°(О(\))-^Н\Е) — О,
где ft можно отождествить с естественным модульным умножени-
умножением в модуле М.
С другой стороны, имеем естественную точную последователь-
последовательность на Рз
О -+ 0(-1) - С4 -> Г(-1) - О,
где Т — касательное расслоение. Двойственность и тензорное
умножение на JE7(—1) дают
О - Е ® П1 — (С4)* ® ?(-1) — Е -* 0.
Соответствующая когомологическая последовательность имеет
вид
D.3) 0 — Н°(Е) -* Н^Ефп1) — Я1(?(-1)) ® {С1)*-?-*Н1(Е),
где fi — естественное умножение (напомним, что Я°(ОA)) — про-
пространство линейных форм (С4)*).
Сравнение последовательностей D.2) и D.3) подсказывает суще-
существование естественного изоморфизма
D.4) V*H*{E®nl).
Это очевидно при Н°(Е) = 0, что имеет место для инстантонных
расслоений, не содержащих тривиальных слагаемых (например,
для 5рA)-расслоений и Jfc ^0). В общем случае расслоение V раз-
разлагается с помощью кососимметрической формы на V в прямую
сумму
D.5) V S Н°(Е) ф V..
Далее, НХ(Е ® П1) обладает естественной кососимметрической
формой, задаваемой --^-умножением (и кососимметрической фор-
формой на Е):
D.6) Н\Е ® п1) ® Н\Е ® fi1) -* #s(fi2) 2 С.
Поэтому Н1(Е ® П1) разлагается аналогично D.5). Это дает изо-
изоморфизм D.4). Теперь нужно непосредственно проверить, что этот
изоморфизм согласован с кососимметрической формой.

ISO Дополнение
Таким образом, линейное отображение А*, соответствующее
расслоению Е, можно отождествить с отображением
Н\Е ® Q1) — H\E(-l)) ® Я°@A))
из D.3).
Всякая дополнительная структура на Е, такая, как а или J,
естественно переходит в эти группы когомологий. Заметим, что в
ортогональном случае умножение D.6) симметрично.
Поскольку Я2(Рз,П2) изоморфно отображается на #2(Р2,П2),
отсюда следует, что отображение D.6) пропускается через ограни-
ограничение на Рг, где оно совпадает с двойственностью Серра. Поэтому
из невырожденности D.6) следует инъективность отображения
H\PZ, Е ® П1(Р&)) -> Н1(Р2, Е ® П\Р2)).
Что касается ограничения с Рз на Р2, обратим внимание на сле-
следующее. Пусть Pi и <х(Рг) рассматриваются как вырожденная ква-
квадрика с вещественной структурой. Вообще говоря, для любой ве-
вещественной квадрики Q С Рз два вещественных расслоения Е и
F над Рз, соответствующие антиинстантонным 5р(п)-расслоениям
над S4, изоморфны, если и только если изоморфны их ограниче-
ограничения на Q. Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что всякий
изоморфизм <р : Е —* F над Q продолжается до гомоморфизма над
Рз (очевидно, тогда он обязательно будет изоморфизмом в силу
использованных ранее соображений). Далее, G = liom(E, F) сно-
снова соответствует антиинстантонному расслоению и поэтому удо-
удовлетворяет условию H1(P3,G(—2)) = 0. В применении к точной
последовательности
0 -> G(-2) — G -> G\Q -* 0
это как раз показывает, что каждое сечение расслоения G над Q
расширяется до сечения над Р3. Рассматривая Q — PiUo{P-i), мы
получаем, что Е 2 F над Р3 (как вещественные, т. е. коммути-
коммутирующие с а, расслоения) тогда и только тогда, когда Е ? F над
Р2) и этот изоморфизм согласован с а над вещественной прямой
Р\ — Р% П<г(Рг)- Поскольку Е и F тривиальны над вещественны-
вещественными прямыми, вещественная структура над Pi соответствует веще-
вещественной структуре или эрмитовой метрике на С2". Таким обра-
образом, слоем отображения из пространства модулей вещественных
5р(п)-антиинстантонов в пространство модулей комплексных сим-
плектических расслоений над Рг(С) является симметрическое про-
пространство Sp(n, C)/5p(n). Например, при п = 1 этот слой — гипер-
гиперболическое трехмерное пространство. (8)Ь—3)-мерное многообразие

Гл. VII. Теоремы об алгебраических расслоениях 181
51/B) fc-инстантонов поэтому расслаивается над 8Jb — 6 = 2D? — 3)-
мерным многообразием расслоений над Яг(С). Но подсчет раз-
размерностей (ср. [3]) показывает, что D)Ь — 3) — это комплексная
размерность соответствующего пространства (стабильных) рассло-
расслоений над Рг(С). Следовательно, после факторизации по гипербо-
гиперболическому трехмерному пространству мы получаем комплексную
структуру на пространстве вещественных модулей.
Этот результат грубо можно интерпретировать следующим об-
образом. Начиная с пространства К4, выбираем координаты так,
чтобы отождествить его с С2. Тогда антиавтодуальная связность
дает голоморфное расслоение над С2. Бели мы требуем, чтобы это
расслоение продолжалось на 54, то наше голоморфное расслоение
продолжается на Рг(С) и получает вещественную структуру на
оо. Удивительный результат состоит в том, что эти данные един-
единственным образом определяют исходное решение. Иными слова-
словами, при глобальных рассмотрениях достаточно фиксировать одно
множество комплексных координат, тогда как основной результат
гл. IV состоял в том, что для интерпретации антиавтодуальных
уравнений нужны все комплексные координаты. Было бы очень
интересно иметь прямое дифференциально-геометрическое дока-
доказательство этого результата. Для этого нужно было бы доказать
существование единственной эрмитовой метрики для голоморфно-
голоморфного расслоения, удовлетворяющего подходящим условиям.

Глава VIII
Дальнейшие задачи
1. Евклидов подход к инстантонам
Как мы видели, доказательство того, что конструкция Хоррокса
дает все инстантоны, использует всю мощь алгебарической геоме-
геометрии. С другой стороны, сама конструкция имеет простое описа-
описание в евклидовом четырехмерном пространстве без всякого обра-
обращения к твисторной картине. Естественно поэтому поинтересо-
поинтересоваться, можно ли дать другое доказательство полноты, остава-
оставаясь в 4-мерном евклидовом пространстве. В качестве первого ша-
шага представляется необходимым описать в евклидовых терминах
канонические данные, используемые в конструкции Хоррокса. В
частности, такое описание должны иметь векторные пространства
V и W. Напомним, что в терминах когомологий с коэффициентами
в пучках
W = Н\Е(-1)),
Согласно результатам гл. VI, мы уже знаем, что
можно отождествить с пространством Е ® S~, удовлетворяющим
спаренному уравнению Дирака (напомним, что при наших согла-
соглашениях о знаках мы получаем антиинстантоны); здесь S~ — от-
отрицательное спинорное расслоение над S4. Покажем сейчас, как
можно аналогичным образом интерпретировать другие группы ко-
когомологий.
В стандартной метрике на S4 основное антиинстантонное рас-
расслоение есть в точности расслоение S". Его поднятие на Яз(С)
дает голоморфное расслоение, ортогональное к слоям (как объ-
объяснялось в гл. V, §1). Таким образом, на Рз(С) имеем точную
последовательность
— Т — 2Г2— О
или, воспользовавшись двойственностью,
О -»I? -* П1 -»§- ® L — 0.

Гл. VIII. Дальнейшие задачи 183
Тензорное умножение на Е дает
О -» Е(-2) -* Е ® fi1 -» ?® fi* -» Е 9 5"(-1) -»0.
Переходя к когомологиям и учитывая равенство нулю групп
#¦(?(—2)) для q — 1,2 (они двойственны друг другу), мы видим,
что
Таким образом, Н1(Е® П1) можно отождествить с пространством
решений уравнения Дирака на (Е ® S~) ® 5~ (для простоты мы
использовали одно и то же обозначнеие Е для голоморфного рас*
слоения над Рз(СВ и для соответствующего антиинстантонного рас-
расслоения над S*). Далее, сечения расслоения S~ ®S~ можно есте-
естественно отождествить с парами (/, ы), где / — числовая функция,
и> — антиавтодуальная 2-форма. Для нас важно изучить предста-
представления SpinD). Кроме того, оператор Дирака, ассоциированный
с S~, можно отождествить с оператором Ходжа d + d* на диффе-
дифференциальных формах. Соответствующие результаты справедливы,
если рассмотреть оператор, ассоциированный с Е, а оператор d за-
заменить его ковариантным аналогом D. Таким образом, мы видим,
что Н1(Е ® П1) можно отождествить с пространством пар (/,и>),
удовлетворяющих уравнению
A.1) Df = -D'w,
где / — сечение расслоения Е, а и — сечение расслоения Еф fli.
Если расслоение Е неприводимо, оно не имеет ковариантных по-
постоянных сечений, кроме нулевого. Поэтому ш в A.1) однозначно
определяет /.
Геометрическое описание расслоения Е, получающегося кон-
конструкцией Хоррокса, представляет его как подрасслоение триви-
тривиального расслоения S* х V. Посредством ортогонального проекти-
проектирования пространство V тогда отождествляется с некоторым про-
пространством сечений расслоения Е. Обратно, чтобы найти вложе-
вложение расслоения Е в S4 х V, достаточно указать это пространство
сечений. Представляется разумным предположить, что это про-
пространство сечений связано с парами (/, и) посредством скалярного
и внешнего произведений с кривизной F.
С этой точки зрения нужно доказать подходящую невырожден-
невырожденность этого пространства сечений (такую, чтобы получить вложе-
вложение Е в S* х V). Кроме того, нужно проверить, что исходная связ-
связность в Е совпадает со связностью, индуцированной вложением.
Последнее представляется наиболее трудным.

184 Дополнение
Непосредственная интерпретация автодуальных уравнений Ян-
га — Миллса в терминах теории аналитических функций от ква-
тернионной переменной была открыта Ф. Гюрсе. Было бы очень
интересно подробно исследовать связь между этой точкой зрения и
нашими комплексными методами. Это помогло бы получить дока-
доказательство полноты конструкции инстантонов в евклидовых тер-
терминах.
2. Общие решения уравнений Янга — Миллса
В этих лекциях я сосредоточился на задачах об инстантонах, отве-
отвечающих абсолютному минимуму функционала Янга — Миллса на
S4. Теперь я скажу, что известно об общих решениях уравнений
Янга— Миллса, отвечающих критическим точкам, не являющим-
являющимся точками абсолютного минимума.
Прежде всего, имеются недавние результаты Бургиньона, Лоу-
сона и Саймонса [11], показывающие, что больше локальных ми-
минимумов нет. В настоящее время неизвестно, существуют ли кри-
критические точки других типов, но в [11] утверждается, что любые
такие точки должны быть неустойчивыми. Доказательство состо-
состоит в том, что проверяется неопределенность второй вариации.
Твисторную интерпретацию инстантонов нельзя применить не-
непосредственно к другим решениям уравнений Янга — Миллса. Од-
Однако Виттен [44] и Грин и др. [24] показали, как обобщить идеи
Уорда на общий случай. Твисторная интерпретация здесь оказы-
оказывается более сложной, и возможности ее еще не использованы.
Топологические аспекты теории Янга — Миллса, связанные с
идеями теории Морса, изучены в [5]. Здесь имеются близкие ана-
аналоги с нелинейной сг-моделью в двух измерениях, и эти аналоги
подтверждают отсутствие других критических точек.
Наконец, К. Уленбек недавно показала [41], что интегрируе-
интегрируемость с квадратом на К4 для решений уравнений Янга — Миллса
автоматически гарантирует продолжение на S4. Точнее, имеет-
имеется чисто локальный результат, утверждающий, что гладкая связ-
связность, определенная в окрестности 0 (но не в 0), локально ине-
грируемая с квадратом и удовлетворяющая уравнениям Янга —
Миллса, автоматически продолжается до гладкой связности, опре-
определенной в 0. Иными словами, точечные особенности «устрани-
«устранимы». Применение этого результата к точке в оо приводит после
конформного преобразования к продолжению решений с R4 на S*.

Литература
1. Atiyak M. F. Complex fibre bundles and rules surfaces, Proc. London Math.
Soc, 5, 1955, 407-434.
2. Atiyak M. F., Drinjeli V. G., Hitckin N. J., Manin Y*. I. Construction of
instantons, Phys. Lett., 65A, 1978,185-187.
3. Atiyak M. F., Hitckin N. J., Singer I. M. Self-duality in four dimensional
Riemannian geometry, Proc. Roy. Soc. Lond., A362, 1978, 425-461.
4. Atiyak M. F., Ward R. S. Instantons and algebraic geometry, Coiranun.
Math. Phys., 55, 1977,117-124.
5. Atiyak M. F., Jones J. D. S. Topological aspects of Yang-Mills theory,
Commun. Math. Phys., 61, 1978, 97-118.
6. Bartk W. Moduli of vector bundles on the projective plane, Invtntiones
Math., 42, 1977, 63-91.
7. Bartk W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on Pn, Math.
Ann. 226, 1977,12-150.
8. Bartk W., Hultk K. Monads and moduli of vector bundles, Manuscript»
Math., 25, 1978,323-347J
9. Бейлинсон А. Н. Производная категория "когерентных пучков наР".—
Функц. анализ и его прил., 12, 1978.
11. Bourguignon J.-P., Lawsan H. В., Simons J. Stability and gap phenomena
for Yang-Mills fields, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 76, 1979, 1550-1553.
12. Coleman S. The uses of instantons, Lecture Notes, Erice Summer School
1977 {to be published by Cambridge University Press).
13. Christ N., Sianton N.. Weinberg E. J. General self-dual Yang-Milb solu-
solutions, Columbia University preprint, 1978.
14. Corrigan E., Fairlie D. B. Scalar field theory and exact solutions to a clas-
classical 5l/B)-gauge theory, Phys. Lett., 67, 1978, 69-71.
15. Corrigan E., Fairlie D. В., Goddard P., Templeton S. A Green's function
for the general self-dual gauge field, preprint (E.N.S., Paris).
16. Дринфельд В. Г., Манин Ю. И. Самодвойственные поля Янга —
Миллса на сфере. — Функц. анализ а его прил., 12, 1978, 78-79.
17. Дринфельд В. Г., Манин Ю. И. Локально свободные пучки на СР3,
ассоциированные с полями Янга — Миллса. — УМН, 33, 1978, 241-242.
18. Дринфельд В. Г., Манин Ю. И. Инстантоны а пучки на СР3. — Функц.
анализ и его прил., 13, 1979, 59-74.
19. Дринфельд В. Г., Манин Ю. И. Описание инстантонов, препринт, 1978.
20. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обощенные функции., т. 1. — М.: Наука.
1980.
21. Гельфанд И. М., Граев М. И., Шапиро 3. Я. Интегральная геометрия
на fc-мерных плоскостях. — Функц. анализ и его прил., 17,1967, вып. 1,
15-31.

186 . Дополнение
22. Goiidti P., N*yU J., Olive D. Gauge theories and magnetic charge, Nu-
Nuclear Physio, B125, 1977,1-28.
23. Graver* H., Milich G. Vektorbundel vom Rang 2 fiber dem n-dimensionalen
komplex-projectiven Raum, ManuscripU Math., 16, 1975, 75-100.
24. Green P. S., Isenberg J., Yasskin P. Non-self-dual gauge fields, Phys. Lett.,
78B, 1978, 462-464.
25. Griffiths P. A. The extension problem in complex analysis.-II: Embeddings
with positive normal bundle, Amer. J. Math., 88, 1966, 366-446.
26. Grothendieck A. Sur la classification de fibre holomorphe sur la sphere de
Riemann, Amer. J. Math., 79, 1957,121-138.
27. Hartshome R. (to appear).
28. Ноттоска О. Vector bundles on the punctured spectrum of a local ring, Proc,
London Math. Soc., 14, 1964, 684-713.
29. Hitchin N. J. Linear field equations on self-dual space (to appear).
30. Jdckiw A., Nokl C, Rthhi C. Classical and semi-classical solutions to Yang-
Mills theory, Proceedings 1977 Banff School, Plenum Press.
31. Jaekivi R., Nokl C, Rtbhi C. Conformal of pseudo-particle configurations,
Phys. Rev., 150, 1977,1642-1646.
32. Mills R. L., Yang C. N. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge
invariance, Phys. Rev., 96, 1954, 191.
33. Nevilanier A., Nirenherg L. Complex analytic coordinates in almost com-
complex manifolds, Ann. of Math., 65, 1957, 391-404. [Имеется перевод:
Ньюлендер А., Ниренберг Л. Комплексно-аналитические координаты
в квазккомплексных многообразиях. — Математика, 3:6, 1959.]
34. Penrose R. Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic be-
behaviour, Proc. Roy. Soc, A284, 1965,159-203.
35. Penrose R. The Twistor programme, Rep. Mathematical Phys., 12, 1977,
65-76.
36. Rawsley J. On the Atiyah-Hitchin vanishing theorem for certain cohomology
groups of instantons bundles, Math. Ann., 241, 1978, 43-56.
37. Schwartz A. S. On regular solutions of Euclidean Yang-Mills equations,
Phys. Lett., в7В, 1977,172-174.
38. Serre J.-P. Geometric algebrique et geometrie analytique, Ann. Inst. Fouri-
Fourier, 6, 1956,1-42.
39. Serre J.-P. Un theoreme de dualite, Comm. Math. Helv., 29, 1955, 2-26.
40. 'tHooft G. On the phase transition towards permanent quark confinement.
41. Unlenbeck K. Removable singularities in Yang-Mills fields, Bull. Amer.
Math. Soc., 1, 1979, 579-581.
42. Ward R. S. On self-duad gauge fields, Phys. Lett., 61A, 1977, 81-82.
43. Wcyl H. Gravitation und Elektrizitat, Sitzungsberichte der Koniglich Pre-
ussischen Akademie der Wissenschaften, 26, 1918,465-480.
44. Witten E. An interpretation of classical Yang-Mills theory, Phys. Lett.,
77B, 1978,394-398.
45. John F. The ultrahyperboKc differential equation with four independent
variables, Duke Math. J., 4, 1938, 300-322.

Предметный указатель
абелианкзация labelianization) 52-
55
аксиомы Виттена (Vitten axioms).
74
алгебра Верлинде (Verlinde algebra)
56, 73
- Вирасоро ('Vitasoro ~') 52
- Гекке (Неске ~) 16
аитиинстантоны (anti-instantons)
100-103, 139-143
асимптотика метода стационарной
фазы (stationary-phase approxi-
approximation) 60-67, 71, 75
бесконечномерные скмплектиче-
ские факторы (infinite-dimen-
(infinite-dimensional symplectic quotiena) 42-49
вакуумные векторы (vacuum vec-
vectors) 28, 70-71
векторное расслоение (vector bun-
bundle) 108
вещественная прямая (real line)
116
- структура (~ structure) 116
вырождения кривых (degeneration
of curves) 55-56
гамильтонов формализм (Hamil-
tonian formulation) 57, 68-69
геометрическая теория инвариан-
инвариантов (geometric invariant theory)
35, 36
гильбертово пространство тора
(HUbert space of torus) 73, 74
гипотезы Тейта (Tait's conjectu-
conjectures) 13
главное расслоение (principal fibre
bundle) 89
голоморфные векторные расслое-
расслоения (holomorphic vector bundles)
126-130, 134-138
- калибровки (~ gauges) 124-128
- линейные (= одномерные) рас-
i слоения (~ line bundles) 24, 26,
33, 38, 43, 125, 126, 134-138
гомотопическая инвариантность
(homotopy invariance) 19
граничные компоненты ((boundary
components) 47-49 ,s,\\
группа Вейля (Weyl group), ?2, 54
группы когомологий с коэффици-
коэффициентами в пучках (sheat cohomo-
logy groups) 149-151
- петель (loop ~) 47, 51, 69, 73
диаграммы Юнга (Young diagrams)
16
зацепления (links) 12, 14, 15, 21
инварианты Виттена (Witten in-
invariants) 72, 73, 75
инстантоны (instantons) 96, 100-
107, 129-134, 182-184
интегралы Фейнмана (Feynman in-
integrals) 10-11, 20, 57, 71
калибровки (gauges) 88, 89, 109-
113, 124-128
калибровочное поле (gauge field) 9,
85-88
- преобразование (~ transformati-
transformation) 45, 58, 62, 85-89, 124-128
калибровочные теории (gauge theo-
theories) 8, 9-12, 83-89
- - на окружности (~ ~ on the
cercle) 47, 48
калибровочный потенциал (gauge
potential) 9, 84-88
каноническое квантование (сапо-
- nical quantization) 23-25

188
Предметный указатель
квантование симплектяческих
многообразий (quantization of
symplectic manifolds) 38-40
- - пространств (~ ~ ~ spaces) 44,
46
- тора (~ ~ torus) 25-28
квантовое пространство Гильбер-
Гильберта (quantum Hilbert space) 23,
38-40
квантовые теории поля (quantum
field theories) 8, 17
- - - топологические (topological ~
) 8, 18-23
кватернионы (quaternions) 97-100
коммутационные соотношения
Гейзенберга (Heisenberg com-
commutation relations) 24, 25
комплексные факторы (copmlex
quotients) 32
конструкция Хоррокса (Horrocks
construction) 143, 169, 171
конформные теории поля (confor-
mal field theories) 51, 52, 56
коприсоедииенные орбиты (co-ajo-
int orbits) 39, 40, 41, 47, 62
косы (braids) 15-16
кривизна (curvature) 9, 87-89
кручение Рейдемейстера (Reide-
meister torsion) 68, 75
- Рея — Зингера (Ray — Singer ~)
61
кэлеровы метрики (kahler metrics)
37,38
лагранжиан Чжэня — Саймон-
ca (Chern — Simons Lagranhian)
57-59, 67, 68, 69, 70, 74, 75
- Янга — Миллса (Yang — Mills ~)
10, 90, 92-96
линейные (= одномерные) рассло-
расслоения (line bundles) 24, 26, 33, 36,
37, 38, 43, 125, 126, 134-138
- - Квиллена (Quillen ~ ~) 43-44,
69
- уравнения поля (linear field
equations) 152-165
метод стационарной фазы (statio-
(stationary-phase approximation) 60-
67, 71, 75
методы нерестройкм (surgery me-
methods) 73, 74, 75
мультнмнстантоны (multi-instan-
tons) 96, 104-107, 112-114
неоднозначность фазы (phase am-
ambiguity) 69
неприводимые точки (irreducible
points) 29
несвязанные группы Ли (discon-
(disconnected Lie groups) 75-76
однородные симплектические мно-
многообразия (homogeneous sym-
symplectic manifolds) 40, 51
орбиобразня (orbifolds) 76
оснащение (framings) 22, 66
основной антииистантон (basic an-
ti-instanton) 100-107, 139
- иистантон (~ instanton) 100-107,
120
отмеченные точки (marked points)
45-47, 49, 51, 55, 74
отображения момента (moment
maps) 36, 40, 41, 42, 45, 48
петля Вильсона (Wilson line) 59
поле Хиггса (Higgs field) 53, 55
полином Александера (Alexander
polynomial) 13, 14, 17
- Джонса (Jones ~) 14-17
полустабильные векторые рассло-
расслоения (semi-stable vector bundles)
31
- точки (~ points) 36 ¦*
полюс (pole) 47, 55, 56, 64
представления (representations) 29-
31, 46, 48, 49, 51-53, 55
преобразование Пенроуза (Penrose
transformation) 115, 121, 152
приведенное фазовое пространство
(reduced phase-space) 36
проективная геометрия (projective
geometry) 35

Предметный указатель
189
- плоскостность (~ flatness) 50-56
пространства модулей голомор-
голоморфных расслоений (moduli spa-
spaces of holomorphic bundles) 31-
34
- - Хитчима (Hitchin's ~ ~) 53-55
«пространство кратности» (multi-
(multiplicity space) 46, 49
- Пенроуза (Penrose ~) 115, 121
- Тевхмюллера (Teichmuller ~) 25,
31, 50, 55, 69
расслоения Хиггса (Higgs bundles)
53, 55
риманова поверхность с краем
(Riemann surfaces with bounda-
boundary) 47-49, 51, 52
связность (connection) 9, 87-89
-на рнмановой поверхности (con-
(connection on Riemann surface) 42-
45
симплектические многообразия
(symplectic manifolds) 23, 36,
38-40
- пространства (~ spaces) 42
- факторы (~ quotients) 36-38, 40-
41
соотношения типа Александера —
Комвея (skein-relations) 14, 16,
71-73
стабильные векторные расслое-
расслоения (stable holomorphic vector
spaces) 31, 34, 53
- точки (~ points) 36
твисторная интерпретация инстан-
тонов (twistor interpretation of
instantons) 129-134
твисторное преобразование {Пен-
{Пенроуза) (twistor transformation)
115, 121, 152
- пространство (~ space) 115, 121
теорма Барта (theorem of Barth)
172
- Нарасимхана — Сешадри (Nara-
simhan — Seshadri theorem) 32,
44,45
теория вихревых атомов Кельвина
(Kelvin's theory of vortex atoms)
12, 13
- Дональдсона — Флоера (Donald-
(Donaldson — Floer ~) 8
- Пенроуза (Penrose ~) 115
- электромагнитного поля (electro-
magnetism) 9
- Янга — Миллса (Yang — Mills
theory) 8, 10, 152
тэта-дивизор (theta-divisor) 26
6-функцкя F-function) 25-28, 56,
74
угловой момент (angular momen-
momentum) 36
узел (knot) 12
унитарные калибровки (unitary
gauges) 124-128
уравнения поля (field equations)
90-92
- Янга — Бакстера (Yang —
Baxter ~) 16
- Янга — Миллса (Yang — Mills ~)
9, 90-92, 95, 184
фактор (quotients) 35, 36
- Мамфорда (Mamford ~) 38, 39
фейнмановские интегралы (Fein-
man integrals) 10, 11, 20, 57, 71,
82
формализм фейнмановских инте-
интегралов (Feinman integral formu-
formulation) 57-69
функтор Виттена (Witten funtor)
23
целочисленная решетка (integral
lattice) 25
эффект А ароноеа — Бома (Bohm —
Aharonov effect) 10, 13
якобианы (Jacobians) 26

Оглавление1)
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие 7
1. История вопроса и основные сведения 8
1.1. Общее введение 8
1.2. Калхбрововчные теории 9
1.3. История теории узлов 12
1.4. Полином Джонса, 14
2. Топологические квантовые теории поля 18
2.1. Аксиомы топологической квантовой теории поля 18
2.2. Каноническое квантование 23
2.3. 6-фуикции 25
3. Неабелевы пространства модулей 20
3.1. Пространства модулей представлений 29
3.2. Пространства модулей голоморфных расслоений 31
4. Симплектические факторы 35
4.1. Геометрическая теория инвариантов 35
4.2. Симплектические факторы 36
4.3. Квантование 38
4.4. Коприсоединенные орбиты 40
5. Бесконечномерный случай 42
5.1. Связности на римаиовых поверхностях 42
5.2. Отмеченные точки 45
5.3. Граничные компоненты 47
в. Проективная плоскостность SO
6.1. Прямой подход 50
6.2. Конформные теории поля 51
6.3. Абелианизация 52
6.4. Вырождения кривых 55
') Перевод книги «Геометрия полей Янга — Миллса» выполнен В. Н. Лек-
сяшм, а перевод дополнения — И. Г. Щербак. — Прим. ред.

Оглавление 191
7. Формализм фейнмановских интегралов S7
7.1. Лмгражиан Чжэня — Саймонса 57
7.2. Метод стационарной фазы 60
7.3. Гамильтонов формализм 68
8. Заключительные замечания 70
8.1. Вакуумные векторы 70
8.2. Соотношения типа Александера — Конвея 71
8.3. Формула перестройки 73
8.4. Нерешенные задачи 74
8.5. Несвязные группы Ли 75
Литература 77
Дополнение
Геометрия полей Янга — Миллса. М. Атъя 79
Предисловие 79
I. Лагражиан Янга — Миллса 82
1. Физическое введение 82
2. Калибровочные потенциалы н ноля 84
3. Уравнения поля 90
4. Асимптотические условия и топология 93
II. Описание инстантонов 97
1. Кватернионы 97
2. Основной инстантон 100
3. Геометрическая интерпретация 108
III. Твисторное пространство Пенроуза 115
1. Комплексное трехмерное проективное пространство .. 115
2. Группы Ли 118
3. Комплексные координаты в R4 121
IV. Голоморфные расслоения 124
1. Голоморфные и унитарные калибровки 124
2. Твисторная интерпретация инстантонов 129
3. Расслоения над A(Q 134
V. Построение алгебраических расслоений 139
1. Линейный комплекс 139
2. Конструкция Хоррокса 143
3. Кватернионные формулы 145

192 Оглавление
VI. Линейные уравнения поля 148
1. Расслоения и когомологии с коэффициентами в пучках 148
2. Линейные аспекты преобразования Пенроуза 152
3. Линейные уравнения на фоне поля Янга — Миллса .. 156
4. Аизатц т' Хоофта 161
5. Связь с преобразованием Радона 165
VII. Теоремы об алгебраических расслоениях 169
1. Когомологии конструкции Хоррокса 169
2. Теорема Барта 172
3. Ограничения вещественности 177
4. Описание Дринфельда — Манина 178
VIII. Дальнейшие задачи 182
1. Евклидов подход к инстантонам 182
2. Общие решения уравнений Янга — Миллса 184
Литература ' 185
Предметный указатель 187