зш-
А.Г. Смагин, М.И. Ярославский
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО
КВАРЦА
и КВАРЦЕВЫЕ
РЕЗОНАТОРЫ
Л. Г. СМАГИН и М. И. ЯРОСЛАВСКИЙ
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО КВАРЦА И КВАРЦЕВЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
•ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1Э70
6Ф2.13 С 50 УДК 621.316
Смагин А. Г. и Ярославский М. И.
С 50 Пьезоэлектричество кварца и кварцевые резонаторы. М., «Энергия», 1970.
488 с. с илл.
В книге излагаются физические свойства кристаллов кварца, вопросы теории пьезоэлектрических кварцевых резонаторов (элементы кристаллографии и феноменологической кристаллофизики, пьезоэлектрические колебания, потери энергии при этих колебаниях).
Книга рассчитана на широкий круг научных работников, инженеров и техников, связанных в своей деятельности с изготовлением и применением кварцевых приборов, а также на преподавателей и студентов высших учебных заведений.
3-4-3 308-69
6Ф2.13
W л 1
Смагин Александр Герасимович, ^Ярославский Михаил Иосифович
Пьезоэлектричество кварца и кварцевые резонаторы
Редактор Л. Е. Черняк
Переплет художника А. М, Кувшинникова Технический редактор Т. Г. Усачева
> Корректор Н. В. Лобанова
Сдано в набор 29/XII 1969 г. Подписано к печати 14/V 1970 г. Т-06359
Формат 84Х1081/за	Бумага типографская № 1
Усл. печ. л. 25,62	Уч.-изд. л. 27,48
Тираж 6000 экз.	Цена 1 р. 62 к.	Зак. 2584
Издательство .Энергия*. Москва, Ж-114, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Гларполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Шлюзовая наб., 10. '
Предисловие
Задача, которую ставили перед собой авторы настоящей работы, — собрать воедино сведения, необходимые учащимся, инженерам и научным работникам, специализирующимся в области пьезотехники и связанным с изучением и конструированием технических кварцевых резонаторов. Сведения эти разбросаны по многочисленным монографиям и журнальным статьям, многие из которых являются библиографической редкостью и практически недоступны широкому кругу читателей. Задача объединения этих материалов уже решалась в книге Кэди «Пьезоэлектричество и его практическое применение». Однако монография Кэди вышла довольно давно, и хотя она переиздана несколько лет назад в США, в нее не было внесено автором существенных добавлений, освещающих современное состояние данной отрасли техники.
Точность поддержания частоты колебаний генераторов, стабилизируемых кварцевыми резонаторами, достиг-, ла значений, еще недавно казавшихся невозможными — вплоть до нескольких миллиардных долей процента, и это вовсе не на уникальных образцах. Продолжает расширяться область применения кварцевых резонаторов: без них невозможны теперь ни автоматика и телемеханика, ни дальняя, в том числе и космическая, связь; создана новая отрасль промышленности — производство кварцевых фильтров. Таким образом, развитие техники кварцевых резонаторов обусловило необходимость подготовки такого пособия, в котором можно было бы найти сведения как по теории, так и по инженерной практике кварцевого производства, пособия, где излагались бы приемы расчета и правила конструирования кварцевых резонаторов, давались бы практические сведения об их пара
3
метрах и т. п. Все эти вопросы авторы попытались осветить в данном труде. Следует отметить, чго физические основы кварцевых резонаторов и технология производства прецизионных кварцевых резонаторов, подробно изложены в монографиях А. В. Шубникова «Кварц и его применение» и А. Г. Смагина «Прецизионные кварцевые резонаторы (физические основы)» и «Пьезоэлектрические резонаторы и их применение». Некоторые интересные проблемы, возникшие в результате исследований самого последнего времени, не нашли полного отражения в этой книге. Имеются в виду специфические области применения кварцевых резонаторов: резонаторы — датчики температур, давления, ускорения и т. п., которые только начинают разрабатываться, и относящиеся к ним материалы еще весьма ограничены.
Авторы признательны большому коллективу сотрудников и коллег, оказавших неоценимую помощь в подготовке, этого труда.
Введение
В 1880 г. Жак и Пьер Кюри обнаружили пьезоэлектрический эффект, который, как выяснилось позже, присущ ряду кристаллов, принадлежащих к определенным кристаллографическим классам.
Сущность его заключается в следующем. При определенных типах кристаллофизической симметрии в результате деформирования кристалла возникает так называемый прямой пьезоэлектрический эффект — на гранях кристалла появляются электрические заряды, пропорциональные величине деформации. Имеет место также и обратный пьезоэлектрический эффект, который заключается в том, что в электрическом поле в кристаллах возникают внутренние напряжения, пропорциональные напряженности поля.
Пьезоэлектрический эффект тесно связан с существом кристаллической структуры. Кристаллы имеют геометрически правильное расположение составляющих их структурных элементов, чередование которых в пространстве образует кристаллическую решетку. В узлах решетки располагаются ионы, т. е. атомы с недостатком или избытком валентных электронов, нейтральные атомы или молекулы.
Существование кристаллических решеток объясняет симметрию кристалла. Кристаллы подразделяются на 32 класса, причем каждому классу присущи определенные элементы симметрии: оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии.
Кристаллы а-кварца (низкотемпературная модификация кварца) относятся к тригонально-трапецоэдрическо-му классу 3 :2 тригональной системы, кристаллы р-квар-ца (высокотемпературная модификация кварца);—к гек-сагонально-трапецоэдрическому классу 6 :2 гексагональ-
5
ной системы. Элементами минимальной симметрии а-кварца являются ось третьего порядка (оптическая) и три перпендикулярное ей оси второго порядка (электрические), образующие между собой углы в 120°. Перпендикулярно этим осям расположены три оси, называемые механическими. .
При воздействии внешней силы кристаллическая решетка изменяет свое состояние. Деформация решетки,
вызываемая механическим напряжением, приводит к перераспределению электрических зарядов. Однако не при любом расположении диполей в кристалле приложение механической силы приводит к такой деформации, при которой изменяется дипольный момент, т. е. расстояние между центрами тяжести разноименных зарядов. Это. возможно только при наличии полярных на
а)
.Рис. В-1. Структурная ячейка кварца (а) и образование пьезоэлектрического эффекта (б—г).
правлений, которые имеются у кристаллов определенных классов, не обладающих центром симметрии. Допускают существование пьезоэлектричества 20 из 32 классов кристаллографической симметрии, в том числе, и ,6
оба упомянутых быше класса—тригонально-трапецоэД-рический и гексагонально-трапецбэдрический.
Рассмотрим возникновение пьезоэлектрического эффекта в кварце с молекулярной точки зрения.
Как показывает рентгеноструктурный анализ, основой структуры кварца SiO2 являются винтовые цепочки тетраэдров SiCU, расположенные по оси симметрии треть- *, его порядка (вдоль оптической оси) (рис. В-1,а).
В структуре кристалла каждый ион Si, обладающий положительным зарядом +4е*, тетраэдрически окружен четырьмя ионами О, каждый из которых обладает отрицательными зарядами — 2е, и каждый ион О связывает два иона Si. Однако заряды всех ионов кристаллической ячейки взаимно компенсируются, и в целом она электрически нейтральна. Для простоты будем рассматривать каждую пару ионов О в качестве частицы, имеющей заряд— 4е. При этом структурная ячейка, представленная на рис. В-1,а, принимает вид, изображенный на рис. В-1,б. Предположим, что эта ячейка подвергается воздействию внешней силы в направлении электрической оси X (рис. В-1,в); тогда ион Si (У) сдвинется внутрь и расположится между ионами 0(2) и 0(6), а ион 0(4)— между ионами Si (3) и Si (5). Вследствие этого на одной поверхности возникнет положительный заряд, на другой— отрицательный, т. е. имеет место прямой пьезоэлектрический эффект. Пользуясь моделью структурной ячейки, можно объяснить возникновение обратного пьезоэлектрического эффекта, а также отсутствие асимметрии в расположении зарядов в направлении оси третьего порядка при сжатии или растяжении кварца. Прямой и обратный пьезоэлектрические эффекты используются для стабилизации частоты: при периодическом изменении электрического поля, прикладываемого к кристаллу, например кварца, в последнем возникают резонансные механические колебания, если частота изменения поля равна одной из собственных частот кристалла L Эти механические колебания благодаря обратному пьезоэффекту обусловливают весьма интенсивные электрические колебания, оказывающие сильное воздействие, на возбудившую их электрическую цепьПЧастота собст
* е — элементарный электрический заряд.
1 Здесь имеется в виду, разумеется, не целый необработанный кристалл, а определенным образом вырезанный из него препарат — стержень, пластина, линза и т. п.
7.
венных колебаний пьезоэлектрического кристалла определяется его физическими свойствами и геометрическими размерами.
В качестве пьезоэлектрических материалов могут применяться, помимо кварца, турмалин, виннокислый калий и виннокислый этилендиамин, различные керамики (титанат бария, цирконат-титанат свинца и др.) и многие другие моно- и поликристаллы. Однако ни один из них до сих пор не стал достаточно сильным конкурентом кварцу благодаря тому, что в кварце сочетаются многочисленные достоинства. К числу этих достоинств следует отнести и то, что кристаллы кварца являются почти идеально упругими телами, обладают ничтожным внутренним трением, большой механической и термической прочностью и встречаются в природе в виде чрезвычайно крупных образований (известны монокристаллы кварца весом свыше тонны). Кроме того, в настоящее время во многих странах мира развито промышленное производство синтетических кристаллов кварца, практически не уступающих по своему качеству природным. Одно из ведущих мест в этой отрасли принадлежит нашей стране.
Пьезоэлектрические кварцевые резонаторы изготовляются в настоящее время в широком ассортименте и охватывают диапазон частот от нескольких сотен герц до нескольких сотен мегагерц. С помощью радиотехнических средств, применяемых для умножения и преобразования частоты, кварцевые резонаторы удается использовать для стабилизации электрических колебаний в еще более широком диапазоне, вплоть до сантиметровых волн. Применение пьезоэлектрических кристаллов для упомянутых целей привело к образованию особой отрасли науки и техники, базирующейся на достижениях кристаллографии и кристаллофизики, теории колебаний, технологии хрупких материалов и электровакуумных производств. Изложению некоторых из этих вопросов в их современном состоянии посвящена настоящая работа.
Глава первая
Некоторые понятия прикладной кристаллографии и кристаллофизики
1-1. Основные сведения из учения о симметрии
Физические явления, происходящие в кристаллах, как правило, связаны с теми или иными свойствами кристаллической решетки. Характерной особенностью кристаллической решетки является ее симметричное построение. Внутренняя симметрия решетки проявляется в симметрии внешних форм кристалла. Поэтому уже сама по себе симметрия внешних форм кристалла обязательно как-то отражает свойства его внутренней структуры, иначе говоря, его физические свойства. Действительно, знание одной только внешней симметрии кристалла достаточно для того, чтобы уверенно судить об очень многих его физических свойствах, как, например, о возможности или невозможности пьезоэлектрических, пироэлектрических, тех или иных оптических и тому подобных явлений в данном кристалле. Кристаллы кварца, кроме пьезоэффекта, обладают еще целым рядом свойств, обусловливаемых симметрией и широко используемых в процессе изготовления пьезоэлектрических резонаторов (двупреломление, вращение плоскости поляризации и т. п.}.
Симметрия по Е. С. Федорову есть «свойство геометрических фигур повторять свои части или, точнее, свойство их в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением; такие совмещения могут быть двоякого рода: или фигура совмещается сама с собой благодаря зеркальному отражению или же благодаря некоторому движению».
Обращаем внимание читателя на то, что симметрия фигуры определяется через мысленное действие, совершаемое над ней: ее передвижение, отражение в зеркале и т. п. Операции, <в результате которых фигуры преобразуются сами в себя, называются операциями симметрии или симметрическими преобразованиями.
Подробнее остановимся на вопросе о том, о каких передвижениях фигуры идет речь. Если рассматривать геометрические тела конечных размеров, то в качестве примера можно взять обыкновенный куб. Легко заметить, что его можно совершенно точно совместить с самим собой (т. е. с первоначальным, исходным положением), если повернуть на определенный угол вокруг оси, проходящей либо через
9
центры любых двух противоположных граней, либо через любые две противоположные вершины, либо через середины двух противолежащих ребер. Такое же совмещение можно получить, если представить себе, что куб отражается в бесконечно тонком двустороннем зеркале, проходящем через его центр и через середины любых четырех параллельных друг другу ребер.
Представим себе бесконечно протяженный орнамент из каких-либо геометрических (плоских или, в общем случае, объемных) фигур. Его детали полностью совместятся сами с собой, если весь орнамент будет передвинут на известное расстояние в определенном направлении. Смысл такого построения в том, что оно в известной
степени имитирует кристаллическую решетку.
Таким образом, к движениям, приводящим к симметрическим преобразованиям конечных фигур, мы пока что можем причислить повороты вокруг некоторых осей и зеркальные отражения, а для фигур, бесконечно протяженных, к ним добавляются еще линейные
перемещения в пространстве.
Рассуждая о симметрии, мы все время относили это понятие к геометрическим фигурам. Последние, однако, сами по себе являются лишь абстракциями, а нас интересуют реальные физические
тела. Следует сразу же заметить,
Рис. 1-1. Два вида равенства фигур.
что их симметрические свойства не всегда могут быть правильно представлены неподвижными геометрическими фигурами. В частности, симметрия вращающегося цилиндра совсем не такова, какова симметрия неподвижного цилиндра.
В определении понятия о симметрии говорится о способности фигур повторять свои части. Повторяться, могут, естественно, только части, в каком-то смысле равные. Поэтому следует определить понятие равенства с точки зрения теории симметрии.
Будем считать, что фигуры
равны, если расстояния между произвольными точками одной фигуры равны расстояниям между соответствующими точками другой фигуры. Как видно из рис. 1-1, под
это определение попадают равенства двух видов—равенство зеркальное (рис. 1-1,6 и в) и равенство совместимое (рис. 1-1,а, б). Действительно, если левая и центральная фигуры на этом рисунке могут быть совмещены друг с другом путем наложения (даже если бы при этом и пришлось повернуть какую-либо из них на некоторый угол), то правая фигура, может быть совмещена с ними только после отра-
жения в зеркале.
Данные ранее определения позволяют перейти к рассмотрению основного вопроса о симметрии конечных фигур, что позволит в дальнейшем разобраться в физических свойствах кристалла как целого. С этой точки зрения представляют интерес трехмерные фигуры в трехмерном пространстве. Кроме чисто геометрических, мы будем приписывать фигурам некоторые дополнительные свойства, называемые материальными. Примерами таких фигур с материальными свойствами могут служить: точка, вращающаяся в определенном направлении; отрезок прямой, имеющий определенное направление
10
б Пространстве; плоскость, две стороны которой различаются какими-то свойствами, например окраской. Эти фигуры, разумеется, столь же абстрактны, как и обычные геометрические, но приписываемые им материальные свойства необходимы для более точного описания реальных тел, в первую очередь кристаллов.
Итак, мы установили, что такие операции, как повороты вокруг осей и зеркальные отражения, приводят симметричные фигуры к совмещению с их первоначальным положением.
Отражение в плоскости. Отразить фигуру в плоскости — это значит перевести все точки на другую сторону от плоско
Рис. 1-2. Отражение в плоскости симметрии.
Рис. 1-3. Пример оси симметрии— ось 4-го порядка.
Через каждые 90° фигура совмещается сама с собой.
сти по перпендикулярам к ней таким образом, чтобы расстояния соответствующих точек фигуры с каждой из сторон от плоскости были бы равны (рис. 1-2). Плоскость pq называется плоскостью симметрии фигуры. В обозначениях, предложенных академиком А. В. Шубниковым (по работам которого [Л. 1-1, 1-2] и излагается этот раздел), плоскость симметрии обозначается символом т.
Поворот вокруг оси. Повернуть фигуру вокруг некоторой оси О — это значит перенести все ее точки таким образом, чтобы точки, лежавшие до поворота в одной плоскости, также лежали бы в одной плоскости и после поворота; при этом взаимное расположение точек и расстояния между ними не должны изменяться, а упомянутые плоскости, если линией их пересечения является ось О, составят между собой угол, называемый углом поворота. Совершенно очевидно, что если поворот вокруг оси представляет собой операцию симметрии, то угол поворота должен быть равен целой части окружности !, в противном случае, вернувшись в исходное положение, фигура не совместится сама с собой. Обозначим через п число, которое показывает, какую минимальную часть окружности (дуги в 360°) составляет симметричный поворот. Тогда ось О можно назвать оськ)
1 В особом случае угол поворота равен бесконечно малой части окружности (оси симметрии бесконечного порядка).
симметрии n-го порядка (на рис. 1-3—это ось 4-го порядка). Число п служит символом оси симметрии соответствующего порядка.
Зеркальный поворот — поворот вокруг оси n-го порядка в сочетании с последующим отражением в перпендикулярной к этой оси плоскости. Ось зеркального поворота называется зеркальной осью n-го порядка, причем число п имеет тот же смысл, что и в рассмотренном выше случае. Это же число, но только с чертой сверху, служит символом зеркальной оси. Рисунок 1-4 иллюстрирует операцию зеркального поворота вокруг оси 4. В кристаллах зеркальные оси 5-го или выше 6-го порядка не встречаются.
Частный случай зеркального поворота—поворот на 180° (вокруг
оси 2) — иногда выделяется особо. Это инверсия, т. е. перенесение всех точек фигуры на равные расстояния относительно некоторой
Рис. 1-4. Пример зеркальной оси — ось 4-го порядка.
При повороте на 90° вокруг оси О и отражения в плоскости, совпадающей с плоскостью рисунка, фигура совмещается сама с собой. Донышко тетраэдра в этом случае следует представлять себе обращенным вершиной вниз.
точки Р по прямым, проходящим через эту точку. Точка Р называется центром симметрии.
Необходимо отметить, что при любых симметрических преобразованиях конечных фигур хотя бы одна точка фигуры остается на месте. Такие точки называются особенными.
Все перечисленные симметрические преобразования могут быть сведены к последовательному отражению в одной или нескольких плоскостях. Не приводя здесь доказательства (довольно простого) этого положения, отметим лишь, что последовательное отражение фигуры в двух плоскостях, расположенных под углом а друг к другу, эквивалентно повороту вокруг оси, образованной пересечением этих плЪскостей, на угол 2а.
Если простой поворот эквивалентен двум отражениям, то зеркальный поворот есть, очевидно,
отражение в трех плоскостях, пересекающихся в одной точке. Заметим, что в данном случае плоскости, в которых происходят отражения, сами по себе могут и не быть плоскостями симметрии.
Далее в теории симметрии доказывается, что последовательное отражение в четырех плоскостях, пересекающихся в одной точке (иначе говоря, два поворота вокруг двух пересекающихся осей), эквивалентно одному повороту вокруг некоторой третьей оси, проходящей через ту же точку пересечения. Отсюда можно сделать очевидный вывод о том, что последовательное отражение в любом четном числе плоскостей, пересекающихся в одной точке, в совокупности представляет собой простой поворот, а последовательное отражение в нечетном числе пересекающихся плоскостей — зеркальный поворот.
Если учесть, что точка пересечения всех отражающих плоскостей является особенной точкой фигуры, то становится ясным, что никаких
12
других, кроме перечисленных, симметрических преобразований, оставляющих на месте одну точку, существовать не может. Другой вывод из изложенного,—все операции симметрии для точечных групп в конечном итоге сводятся к последовательному отражению в некотором числе плоскостей.
Таким образом, мы можем называть симметричной такую фигуру, которая может совмещаться сама с собой путем отражения в известной последовательности плоскостей.
Перейдем теперь к понятию о группах симметрии. Это совокупность всех различных операций, которыми данная фигура может быть преобразована сама в себя.
Группы симметрии, образованные операциями, оставляющими на месте хотя бы одну точку, называются точечными. Конечные фигуры могут принадлежать только к точечным группам симметрии. Если вести речь не о конечных фигурах вообще, а о совокупности фигур, образуемых внешними формами (огранкой) кристаллов, то
Рис. 1-5. Группы симметрии, определяемые осями, 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков.
можно (показать, что эта совокупность в общей сложности составляется 32 группами точечной симметрии. Для полного описания физических свойств кристаллов (помимо их внешних форм) требуется привлечь к рассмотрению еще семь групп предельной симметрии, о которых . речь пойдет особо.
Покажем на нескольких примерах, как из самых общих соображений выводятся группы, принадлежащие к упомянутой выше совокупности из 32 групп точечной симметрии кристаллов. При выводе используется упоминавшийся выше опытный факт: у кристаллов не встречаются оси симметрии 5-го порядка и нет осей симметрии выше 6-го порядка (как простых, так и зеркальных).
Для иллюстрации построений применим метод проекции на шаре. Для этого представим себе прозрачный шар. Его контур, спроектированный на плоскость, будем изображать окружностью, а его центр — точкой посредине этой окружности. Предположим, что на шар наклеен белый асимметричный треугольник, внутренняя поверх-
13
НосТь которого окрашена в черный цвет. Тогда, если треугольник находится на противоположной от нас стороне шара, мы видим его черным. Если же треугольник будет обращен к нам белой стороной, то условимся изображать эту ситуацию точкой на белом треугольнике. Сами оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го порядка будут изображаться соответственно черным двуугольником, треугольником, четырех
угольником или шестиугольником в центре окружности.
Рассмотрим группы симметрии, определяемые простыми осями. Такие оси могут быть 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков. На рис. il-5 можно
видеть, что каждая группа симметрии распадается на две подгруппы. В одной из этих подгрупп треугольник как бы повернут вправо, а в другой — влево. Совместить фигуры, принадлежащие к разным' подгруппам, можно только путем зеркального отражения. Условно их можно разделить на правые и левые фигуры, причем безразлично, какую из подгрупп назвать правой, а какую левой. Такие фигуры,
если они равны друг другу только зеркально (т. е. если они при этом не равны друг другу еще и совместимо), называют энантиоморфными.
Если отвлечься от введенного нами ограничения, то можно продолжить ряд групп симметрии, определяемых одним поворотом, до бесконечности и получить предельную группу, определяемую осью бесконечного порядка. Если условиться обозначать группы симметрии, рассматриваемые в данный момент, цифрой, показывающей порядок оси сим-
Рис. ,1-6. Пример конечных фигур, обладающих симметрией оо.
а — левый конус; б — правый конус.
метрии, то предельная группа должна быть обозначена символом оо. Фигуры, принадлежащие к этой группе, могут быть только материальными (в указанном выше смысле). В данном случае наиболее подходящей фигурой является вращающийся конус. На рис. il->6 изображены два таких конуса, поскольку вращение может быть как правым, так и левым.
Несколько слов об используемой нами символике для обозначения операций и групп симметрии. В данной работе используется система, разработанная академиком А. В. Шубниковым. В этой системе операции поворота вокруг осей симметрии обозначаются цифрами, соответствующими порядкам осей. Зеркальная ось обозначается соответствующей цифрой с чертой сверху. Такие же символы применяются для обозначения чисто осевых групп симметрии. Плоскость симметрии обозначается буквой т, так же обозначается и операция—
отражение в плоскости симметрии и соответствующая группа симметрии. Комбинированные же операции (и соответствующие группы симметрии) обозначаются следующим образом: если плоскость симметрии параллельна оси симметрии, то такая ситуация обозначается точкой, стоящей между цифрой, обозначающей порядок оси, и символом /и, обозначающим операцию отражения в плоскости симметрии (например, 3 • т); если же плоскость симметрии перпендикулярна
14
оси, то вместо точки ставится двоеточие (например, 4 : т); двоеточие применяется также для обозначения того, что операция симметрии характеризуется поворотами вокруг нескольких перпендикулярных Друг Другу осей (например, 3:2); если же оси симметрии не перпендикулярны друг другу, то применяется косая черта (например, 6/2).
Рассмотрим теперь группы симметрии, определяемые зеркальными осями четного -порядка. Получающийся при этом ряд иллюстрирует рис. 1-7,а. На этом рисунке незакрашенные двуугольник, четырехугольник и шестиугольник в центре круга обозначают зеркальные оси соответствующего порядка. Важно_отметить, что из трех полученных нами групп две группы (2 и 6) обладают центром симметрии, а у одной (4) центра симметрии нет. Если перейти к группам симметрии, определяемым нечетными зеркальными осями, то мы за-
Рис 1-7. Группы симметрии, определяемые осями, 1, 2, 3, 4, 6 (а и б) и предельная группа оо : tn (в).
метим, что таких групп может быть только две: 1 и 3. Первая из них, как следует из рис. 1-7,6, тождественна простому отражению в плоскости симметрии, а вторая представляет собой комбинацию двух операций симметрии — поворота вокруг простой оси 3-го порядка и отражения в перпендикулярной ей плоскости симметрии.
Если продолжить рассматриваемый ряд до бесконечности, то получим предельную группу симметрии, сочетающую в себе ось симметрии бесконечного порядка и перпендикулярную ей плоскость симметрии. Она может быть пред
Рис. 1-8. Размножение осей симметрии плоскостью симметрии.
ставлена вращающимся цилиндром, изображенным на рис. 1-7,в. Эта группа не имеет энантиоморфных модификаций.
Обратимся далее к группам симметрии, определяемым комбинацией поворота (простого или зеркального) и отражения в плоскости. Прежде всего установим, как может
располагаться плоскость сим-
метрии по отношению к осям симметрии. Пусть, например, ЛГ есть плоскость симметрии, а О — ось симметрии, пересекающая плоскость М под некоторым углом (рис. 1-8). Очевидно, что в общем случае обязательно должна существовать и вторая ось О', получаю-
15
Шаяся из первой путем ее зеркального отражения в плоскости М. Следовательно, плоскость симметрии должна делить угол между осями пополам. В частных случаях ось симметрии может лежать либо в плоскости симметрии, либо располагаться перпендикулярно ей.
Сделав это замечание, рассмотрим вначале группы, определяемые одним простым поворотом и отражением в поперечной плоскости. Эти группы показаны на рис. 1-9. Окружность на этом рисунке проведена сплошной линией, это след пересечения плоскости симметрии с поверхностью шара. Предельной группой для данной совокупности является уже известная нам группа оо:т (рис. .1-7,в).
Теперь посмотрим, что даст сочетание зеркальной оси с поперечной ей плоскостью симметрии. Убедимся, что при этом не появится
новых для нас групп симметрии. В самом деле, операция, определяемая осью 1, представляет собой отражение в плоскости, перпендикулярной оси 1, т. е. просто отражение в плоско-
Рис. 1-9. Группы симметрии 2: т, сти» ось 3 тождественна 4 : т и 6 : tn.	комбинации оси 3 и перпен-
дикулярной к ней плоско-_	.сти; группы 2 : т, 4: т
и 6 : т также сводятся к группам 2 : т, 4 :т, 6 : tn.
Группы, образуемые добавлением продольных плоскостей к осям 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков, иллюстрируются рис. 1-10,а. Очевидно, что группа 1 • т также есть отражение в плоскости симметрии. Предельной для рассматриваемой совокупности является группа оо • /и, которая может быть представлена покоящимся конусом, изображенным на рис. 1-10,6.
Рис. 1-10. Группы симметрии 2* tn, 3*tn, 4* tn, 6 • т (а) и фигура, иллюстрирующая предельную группу оо • т (б).
Все эти группы лишены центра симметрии, что является очень важной их особенностью, на которой мы еще остановимся.
Группы симметрии, получающиеся путем- сочетания продольных плоскостей симметрии q зеркальными ОСЯМИ, иллюстрируются 16
рис. 1-11. Предоставляем читателю возможность_самому Определить, каким группам тождественны группы 1 • т и 3 • т, а также чем обусловлены появление_и характер расположения поперечных осей 2-го порядка в группах 2 • т, 4 • т и 6 • т, показанных -черными двуугольниками на окружностях.
Перейдем к рассмотрению наиболее важной для нас совокупности групп, определяемых поворотами вокруг осей, располагающихся под углом друг к другу. В кристаллах могут -встретиться только следующие взаимные сочетания осей:
три взаимно перпендикулярные оси 2-го порядка;
ось 3-го порядка и три перпендикулярные к ней оси 2-го порядка, составляющие между собой углы в 60°;
ось 4-го порядка и четыре перпендикулярные к ней оси 2-го порядка, составляющие между собой углы в 45°;
ось 6-го порядка и шесть перпендикулярных к ней осей 2-го порядка, расположенных под углами в 30е друг к другу;
три оси 2-го порядка и
четыре оси 3-го порядка (оси 2-го порядка взаимно перпендикулярны, оси 3-го порядка составляют друг с другом углы в 60°);
три оси 4-го порядка, четыре оси 3-го порядка и шесть осей 2-го порядка (углы между осями 4-го порядка 90°, между осями 3-го порядка 60° и между осями 2-го порядка 45°).
Для -нас особенный интерес представляют первые четыре из этих шести групп, тем более, что к группе 3 :2 принадлежит а-кварц, а к группе 6 : 2 0-кварц и так называемый дофинейский д в о й-
Рис. 1-11. Группы ^симметрии 2 • т, 4 • tn и 6* tn.
Рис. 1-12. Группы симметрии 2:2, 3:2, 4:2, 6:2 (а) и фигуры, > иллюстрирующие предельную группу оо : 2 (б).
ник кварца, о котором речь пойдет ниже. Указанные группы иллюстрируются рис. 1-12,а. Их характерной особенностью является отсутствие центра симметрии и плоскостей симметрии. Предельной группой является здесь группа оо : 2, которая может быть представлена вращающимся цилиндром (рис, 1-12,6).
Очевидно, что поскольку два цилиндра, показанные па рис. 1-12,6, не равны друг другу совместимо; они энантиоморфны. Надо заметить, что энантиоморфные модификации свойственны^ толь-
I	J7
ко чисто осевым группам симметрии (т. е тем, которые не содержат плоскостей симметрии).
Две другие группы, отличающиеся от четырех выделенных нами тем, что они содержат больше, чем по одной оси 3-го или 4-го порядка, образуют вместе стремя другими группами, на которых мы остановимся несколько ниже, систему наивысшей симметрии — так называемую кубическую. Обозначаются они символами 3/2 и 3/4. Предельной для них является группа оо/оо, которая может быть
представлена шаром, каждая точка которого вращается в опре-
Рис. 1-13. Конечные фигуры, обладающие симметрией оо/оо. а — левый шар; б — правый шар.
деленном направлении, как это иллюстрируётся рис. 1-13.
Этой группе также свойственны две энантиоморфные модификации —• правая и левая. Группа характеризует симметрию весьма важного явления — вращения плоскости поляризации.
Для полноты картины остановимся вкратце на других возможных группах симметрических преобразований, определяющих остальные классы симметрии кристаллов и их физических свойств. Это,
во-первых, группы, получаемые путем сочетания одной оси симметрии с двумя плоскостями— продольной и поперечной. Эти группы обозначаются символами т • 2 : т\ т-3: т, т-4 : т и т • 6 : т (рис. 1-14,а). Все эти группы характеризуются наличием у них центра симметрии. Предельная в этом случае группа т • оо : т может быть представлена покоящимся цилиндром (рис. 1-14,6).
Рис. 1-14. Группы симметрии т -2 : т; т • 3 : т\ т-4:т; т-Ъ:т (а) и фигура, иллюстрирующая предельную группу т - оо : т (б).
Путем добавления плоскостей симметрии к группам 3/2 и 3/4 мзжно получить еще три группы симметрии, принадлежащие к кубической системе: 6/2, 3/4 ц 6/4. Предельной для нцх будет группу
Таблица 1-1
Системы Симметрий И классы
Система	Класс	Обозначение класса
Триклинная	Моноэдрический Пинакоидальный	1 2
Моноклинная	Диэдрический осевой „	бесосный Призматический	2 т 2:т
Ромбическая	Ромбо-тетраэдрический Ромбо-пирамидальный Ромбо-дипирамидальный	2:2 2-т m-2im
Тетрагональная	Тетрагонально-пирамидальный Тетрагонально-трапецоэдрический Тетрагонально-дипирамидальный Дитетрагонально-пирамидальный Дитетрагонально-дипирамидальный Т етрагонально-тетраэдрический Тетрагонально-скаленоэдрический	4 4:2 4:т 4-т т*4:т __4 4-т
Тригональная	Тригонально-пирамидальный Тригонально-трапецоэдрический Дитригонально-пирамидальный Ромбоэдрический Дитригонально-скаленоэдрический Тригонально-дипирамидальный Дитригонально-дипирамидальный	3 3:2 3-т _6 6-т 3:т m-3:m
Гексагональная	Гексагонально-пирамидальный Г ексагонально-трапецоэдрический Г ексагонально-дипирамидальный Дигексагонально-пирамидальный Дигексагонально-дипирамидальный	6 6:2 6:m 6-m
Кубическая	Т ритетраэ дрический Дидодекаэдрический Г ексатетраэдрический Триокта^ дрический Г ексаоктаэдрический	3/2 6/2 3/4 3/4 6/4
2*
19
оо/оо • m— покоящийся Шар; Ота Группа отображает полную Изотропию физических свойств. Можно убедиться, что никакие другие сочетания элементов симметрии конечных фигур >не приведут уже к образованию новых для нас групп симметрии. Таким образом, всего точечных групп симметрии будет 32. Каждая из этих групп соответствует определенному классу симметрии кристаллических многогранников. 32 класса симметрии по признакам, подробно разбирать которые мы здесь не имеем -возможности, объединяются в семь систем. Названия классов и систем симметрии в соответствии с обозначениями по А. В. Шубникову приводятся в табл. 1-1.
1-2. Важнейшие понятия геометрической кристаллографии
Каждый, кому приходилось видеть кристаллы (в особенности природные) кварца или любого другого вещества, неизбежно обращал внимание на то, что отдельные кристаллы одного и того же вида часто очень отличаются друг от друга: на некоторых кристаллах могут быть сильно развиты грани, совершенно отсутствующие у других, отдельные образцы могут казаться даже резко асимметричными и т. д. -Оказывается, однако, что расположение граней подчиняется двум важным закономерностям. Так, например, взяв ряд кристаллов одного и того же вещества, можно расположить их в пространстве таким образом, что некоторые грани всех этих кристаллов окажутся параллельными друг другу. Такие грани называются соответственными.
Замечательно, что углы между соответственными гранями и ребрами одной модификации (например, любых правых кристаллов а-кварца) всегда остаются постоянными, несмотря на все, казалось бы, резкие различия внешних форм отдельных индивидуумов. Приведенное утверждение представляет собой первый эмпирический закон геометрической кристаллографии или закон Стенона-Роме де Лиля. В настоящее время уже общеизвестно, что постоянство углов кристаллических многогранников отражает внутренние закономерности строения кристаллических решеток.
Следует иметь в виду, что постоянство углов между гранями и ребрами кристаллов не следует понимать буквально, ибо грани кристаллов никогда не бывают идеально плоскими, а ребра — линии пересечения двух граней — идеально прямыми: этого, в частности, не допускают сами условия роста кристаллов, поскольку, по современным представлениям, последние не могут развиваться, наращивая слои параллельно и равномерно. 20
Кроме того, эти углы могут изменяться в зависимости, например, от изменения окружающей температуры. Закон постоянства углов носит, очевидно, предельный или статистический характер.
Вторым важнейшим законом геометрической кристаллографии является закон Гаюи, который, гласит, что положение всякой грани кристалла может быть определено тремя целыми, обычно небольшими, числами, если за оси координат выбраны направления трех ребер кристалла, а за единицы измерения взяты отрезки, отсекаемые на этих осях одной из граней кристалла.
Выберем три ребра кристалла и примем их за оси координат ОХ, ОУ и OZ. Из всего комплекса граней, встречающихся у данного кристалла, выделим три — такие, которые пересекают все три оси. Пусть точки, в которых указанные грани пересекают оси координат, будут соответственно хь х2, х3, уь у2, уз, zb 22, я3. Тогда отрезки О%1, Or/ь Oz{ мы назовем параметрами грани отрезки Ох2, Оу2, Oz2 — параметрами грани x2y2z2, а отрезки Ох3, Оу3, Oz3 — параметрами грани x3y3z3. Если теперь параметры одной из граней принять за осевые единицы, то отношения параметров любых граней к соответствующим осевым единицам будут служить числовыми значениями этих параметров. Грань, параметры которой выбраны в качестве осевых единиц, называют единичной. Заметим, что если какие-либо грани кристалла окажутся параллельными координатным осям, то параметры этих граней по данным осям, очевидно, будут равны бесконечности. Выбор осей координат и единичных граней в совокупности называют установкой кристалла.
В современной кристаллографии грани принято обозначать не через их параметры, а через величины, обратные им. .Эти величины называют индексами Миллера. Индексы Миллера A, k, I удобны тем, что они не обращаются в бесконечность, как параметры граней, если грани параллельны координатным осям. Индексы Миллера не должны иметь общих множителей; если они есть, то все индексы делятся на них и окончательно индексом считается частное от этого деления. Обычно индексы граней не превышают 7, очень редко доходят до 20. Если грань пересекает координатную ось по ее отрицательному направлению, то над соответствующим индексом ставят черту: 1, 2 и т. д.	1
21
Группу индексов, определяющих положение какой-либо грани кристалла и расположенных в порядке, принятом для осей координат (сначала индекс по оси X, затем по оси У и, наконец, по оси Z), называют символом грани. Символ грани принято заключать в круг
лые скобки, например (103).
Все сказанное выше о параметрах и индексах оказывается, однако, недостаточным, если речь идет о наибо-
Рис. 1-15. Координатные оси кристаллов в гексагональной установке.
лее интересной для нас гексагональной системе, к которой принадлежат, в частности, все модификации кристаллов кварца. Для этой системы в силу ^особенностей ее симметрии в кристаллографии часто пользуются наряду с прямоугольной декартовой системой координатных осей, называемой обычно для определенности кристаллофизической, еще и другой, состоящей из четырех осей. Располагаются эти оси X, У, U и Z так, как показано на рис. 1-15: оси X,. У и V в одной пло-
скости под углом 120° друг к другу (между положительными направлениями), а ось Z — перпендикулярно ко всем этим трем осям. Соответственно в этой системе
Рис. 1-16. К определению индексов Миллера при гексагональной установке кристалла.
22
у граней кристалла будет не три, а четыре индекса (h, k, i, I), например (0001), (3211) и т. п. Можно показать, что в этом случае алгебраическая сумма индексов по первым трем осям X, У и U будет равна нулю, т. е. h + k + l=O.
Рассмотрим теперь два примера. Найдем сначала индексы грани, перпендикулярной оси Z (рис. 1-16,а). В данном случае параметры по осям X, У и U будут равны бесконечности, а параметр по оси Z может быть принят равным любому целому числу, например, единице (все равно на это число, как на общий множитель, нужно будет в дальнейшем сократить индексы грани.)
Таким образом, индексы Миллера для этой грани будут —, —, — и -J-, т. е. 0, 0, 0 и 1. Следовательно, символ грани будет (0001).
Далее найдем символ другой грани, параллельной оси Z и перпендикулярной оси X (рис. 1-16,6). Параметры этой грани будут -g- 1, 1> Следовательно, индексы Миллера для нее 2, 1, 1,0. Отсюда символ грани (2Г10).
Несколько общих замечаний о правилах выбора установки кристаллов. Ясно, что в зависимости от того, как выбраны оси координат и единичные отрезки, должны изменяться индексы всех граней кристалла. Согласно общим правилам установки кристаллов основным критерием правильности выбора является простота символов, характеризующих при этом другие грани кристалла.
Что же касается выбора осей координат, то их обычно совмещают с осями симметрии или направляют по нормали к плоскости симметрии. Если можно найти в кристалле три взаимно перпендикулярные оси симметрии (или нормали к плоскостям симметрии)., то именно они и выбираются в качестве координатных осей. Для гексагональной системы по этим правилам зачастую невозможно построить ортогональные оси. Они, однако, вполне приемлемы, если используется специфическая четырехосная система, о которой мы только что упоминали. В этом случае за ось Z принимается ось симметрии высшего порядка, за оси X, У и U — три оси 2-го порядка или три нормали к плоскостям симметрии 23
(в группах, где нет ни того, ни другого, для этой цели используются три ребра кристалла, расположенные под углом 120° друг к другу и под углом 90° к оси Z).
1-3. Формы кристаллов
В предыдущем параграфе мы уже упоминали о том, что форма реального кристалла определяется в основ
ном условиями его роста, и поэтому практически невозможно встретить в природе два совершенно одинаковых по внешней огранке кристалла даже одного и того же вещества. Общим, однако, у таких кристаллов является
Рис. 1-17. Построение идеализированной формы кристалла.
взаимное расположение граней, т. е. углы -между соответственными гранями.
Воспользовавшись указанным обстоятельством, можно, оказывается, построить некий многогранник, который будет являться идеализированной формой кристаллов данной модификации. Строится эта форма так. Возьмем многогранник, по своей форме в точности соответствующий какому-то реальному кристаллу. Внутри этого многогранника выберем некоторую точку О и из
нее как из центра опишем шаровую поверхность (рис. 1-17). Далее из этой же точки О проведем норма-
ли к граням многогранника или их продолжениям до пересечения со сферой. Точки пересечения обозначим Mi, Л12, М3 и т. д. Через эти точки проведем плоскости, касательные к поверхности шара. Указанные плоскости, пересекаясь друг с другом, образуют идеализированную форму данного кристалла (разумеется, при условии, что выбранный многогранник имеет все грани, которые практически встречаются у данной модификации).
Идеализированная форма кристаллов а-кварца (правой и левой модификаций) показана на рис. 1-18. На том же рисунке показано расположение соответствующих элементов симметрии — оси 3-го порядка и трех осей 2-го порядка, Таким образом, кварц принадлежит
24
к тригойально-трапецоэдричёскому классу симметрий 3 : 2 гексагональной системы. 'Считается, что такую форму кристалл кварца должен принять при равномерном развитии всех своих граней.
Многогранник, изображенный на рис. 1-18, представляет собой комбинацию так называемых простых форм. Для того чтобы уяснить смысл этого понятия,
Рис. 1-18. Идеализированные формы кристаллов левого кварца (а) и правого (б). Симметрия обеих модификаций одинакова.
представим себе комплекс элементов симметрии, свойственный интересующей нас группе 3:2. 'Возьмем произвольную плоскость Pi и посмотрим, как она будет размножаться элементами данной группы.. Пусть сначала плоскость Pt будет расположена параллельно оси 3 и перпендикулярно оси 2. Ось 3 породит' еще две плоскости Р2 и Р3 (рис. 1-19,а).
Оси 2-го порядка не создадут:в рассматриваемом случае .новых плоскостей. Таким' образом/мы получим открытую сверху и снизу трёхгранную, так называемую тригональную призМу.	;
‘ 	25
Пусть теперь плоскость Pt расположится параллельно оси 3, но под некоторым углом а, отличным от 90°, к какой-то из осей 2 (рис. 1-19,6). В этом случае последняя создаст новую плоскость под углом — а, а ось 3 размножит эту пару плоскостей таким образом, что получится призма, имеющая в сечении шестигранник. Такая призма называется дитригональной. В частном случае, если в перпендикулярном сечении получается правильный шестигранник с углами в 120°, призма называется гекс агон а л ьно й.
Рис. 1-19. Простые, формы группы симметрии 3:2.
а — тригональная призма; б — дитригональная призма; в~пинакоид; в —ромбоэдр; д — тригональная дипирамида; е, ж — трапецоэдры, правый и левый.
Установим теперь плоскость Pi перпендикулярно оси 3. В этом случае последняя не может размножить плоскость, зато оси 2 создадут параллельную ей плоскость Р2. Снова получаем сугубо открытую форму — пинакоид (рис. 1-19,в). 26
Если теперь взять плоскость Pif наклоненную по отношению ко всем осям, то в зависимости от углов наклона можно получить следующие закрытые формы: ромбоэдр, тригональную д и п и р а м.и д у и тригональный трапецоэдр — правый и левый. Эти фигуры изображены на рис. 1-19,г—ж соответственно. Других простых форм в данной группе симметрии найти нельзя. Следовательно, в каждой из 3’2 групп симметрии, соответствующих 32 кристаллографическим классам, можно найти некоторое ограниченное число простых форм, характерных для данной группы. Для этого нужно воспользоваться указанным приемом: взяв какую-либо произвольную плоскость, располагать ее всеми возможными способами по отношению к кристаллографическим осям и размножать последовательно всеми принадлежащими к данной группе элементами симметрии. Число полученных таким образом различных простых форм будет не очень велико — 47 для всех 32 классов кристаллографической симметрии.
Отметим важную особенность простых форм. Поскольку они получаются путем размножения всего лишь одной плоскости, то их грани кристаллографически равны друг другу, а следовательно, они должны иметь сходные символы. Отдельные индексы могут менять свой порядок, они могут менять знак, но их числовые значения должны быть одинаковы для всех граней простой формы. Таким образом, вся простая форма может быть обозначена одним символом, который в этом случае принято заключать в фигурные скобки, например: {0001} — символ пинакоида в гексагональной системе, {1010} — символ гексагональной призмы. Очевидно, что гексагональная призма может быть обозначена и сим-, волом {ОНО}. Какой из этих символов применять, в сущности безразлично.
Кристаллы редко бывают ограничены одной простой формой, чаще мы имеем дело с комбинацией этих форм. В частности, идеализированный кристалл кварца представляет собой комбинацию следующих многогранников: гексагональной призмы /п{1010}, двух ромбоэдров — «большого» или «основного» /?{1011} и «малого» r{0111}, тригональной дипирамиды ${1121} и тригонального трапецоэдра х{5161} (для правого кристалла, рис. 1-18,6). Для левой модификации (рис. 1-18,а) при-
27
нято употреблять несколько другие символы граней ди-пирамиды ${21Г1} и трапецоэдра х{6151).
1-4. Некоторые особенности кристаллографии и внешних форм реальных кристаллов
Одиночные монокристаллы как в природе, так и в искусственных условиях образуются далеко не всегда. Гораздо чаще они возникают в виде сростков. Различают два вида сростков — случайные и закономерные. Случайные сростки представляют собой весьма обычное явление для кристаллов кварца, вырастающих в естественных условиях.
Рис. 1-20. Друза кристаллов кварца.
Эти кристаллы очень часто находят в виде так называемых друз. Фотография одной из таких друз приведена на рис. 1-20. Очевидно, что подобный сросток получается при совершенно случайном соприкосновении отдельных кристаллов, развивающихся независимо друг от друга. 28
Хорошо известны, однако, другие виды сростков, компоненты которых развиваются одновременно и зависимо друг от друга. Таковы так называемые двойни к и, наблюдаемые почти во всяком кристалле природного кварца. Двойником называют закономерный сросток, в котором компоненты могут быть совмещены друг с другом путем симметрических преобразований: поворота вокруг оси, отражения в плоскости и т. п. Соответствующие элементы симметрии называются двойнико-
Рис. 1-21. Идеальные двойники кварца (в идеальных дофинейских двойниках отсутствуют грани г малого ромбоэдра).
а — левый дофинейский; б — правый дофинейский; в — бразильский.
выми элементами: двойниковая ось, двойниковая плоскость, двойниковый центр. Кристаллографическая симметрия двойника становится, таким образом, другой, отличной от симметрии составляющих его компонент.
Для кварца наиболее характерны два вида двойникования 1-— подофинейскому и бразильскому законам, обязанные своими наименованиями месторождениям, где они были впервые обнаружены и описаны. Дофинейский двойник образуется путем сращения двух правых или двух левых кристаллов, повернутых друг относительно друга на 180° вокруг оси 3-го порядка. При этом ось 3, очевидно преобразуется в ось 6, а все
1 Мы не будем здесь останавливаться на других видах двойникования — так называемых двойниках Лейдольта и японских двойниках, которые не представляют для нас существенного интереса.
29
образование приобретает симметрию 6:2 (класс гекса-гонально-трапецоэдрический).
'При двойниковании по бразильскому закону кристалл правого кварца проращивается левым кристаллом при параллельных осях_3-го порядка. Срастание происходит по плоскости {121'0}. Двойник приобретает симметрию 6 *т и переходит, таким образом, в класс дит-р1игонально-скаленоэдрический.
В идеализированной форме дофинейский и бразильский двойники кварца изображены на рис. 1-21. Разумеется, в такой форме встретить двойники кварца в природе практически невозможно. Очень часто двойник, в особенности бразильский, оказывается многокомпонентным, и области, принадлежащие к разным компонентам, очень сильно различаются по величине. Границы компонент также бывают обычно изломанными, хотя для бразильского двойника они и состоят из отрезков прямых линий. Последнее обстоятельство служит характерным морфологическим признаком именно бразильского двойника, поскольку граница, разделяющая компоненты дофинейского двойника, почти всегда криволинейна. Кстати граница двойниковой области — двойниковый шов — часто бывает очень хорошо заметна на грани кристалла или на его свежесколотой поверхности.
Образуются двойники, по всей вероятности, следующими способами: отложением на растущем кристалле молекул в двойниковом положении (бразильский двойник), при переходе кварца из a-модификации в р-моди-фикацию и обратно, при воздействии механических деформирующих усилий (дофинейский двойник). В искусственно выращиваемых кристаллах кварца двойники, как правило, не образуются (во всяком случае если двойниковая область отсутствует в затравочной пластине).
Другой очень важной особенностью реальных кристаллов является то, что их грани практически никогда не бывают совершенно плоскими и ровными. Даже невооруженным глазом на них всегда можно заметить различного рода выступы или впадины, иногда имеющие правильную, а часто неправильную форму. Совокупность таких рельефных фигур на поверхности кристалла называют скульптурой граней. Существенно, что скульптура различных граней, как правило, имеет 30
свои характерные особенности, связанные с процессом их образования в ходе роста или естественного растворения кристалла. На этом основании различают фигуры роста и фигуры растворения граней. Первые носят название вициналей или вициналоидов. Некоторые авторы различают эти понятия в связи с особенностями происхождения таких образований. С практической точки зрения различия между ними не являются особенно существенными. Для нас важно то, что вицинальные образования на различных гранях кристаллов часто имеют свои характерные особенности, которые позволяют довольно быстро и просто идентифицировать грани кристалла, определить, является ли он правым или левым и т. п.
1-5. Математический аппарат и основные понятия феноменологической кристаллофизики 1
Как известно, кристалл представляет собой комплекс атомов известных элементов, расположенных в определенном порядке — решетчатой структуре. Многие свойства кристаллов, например, такие, как преломление и отражение рентгеновских лучей, могут быть объяснены правильно только в том случае, если кристаллы рассматриваются как среды с прерывными свойствами. Сейчас, однако, мы займемся изучением тех свойств кристаллов, для понимания которых необходимо сделать допущение о том, что кристалл является однородной непрерывной средой.
Вначале условимся, что непрерывной мы будем называть такую среду, в которой нет резкого пространственного разграничения частиц: точки непрерывной среды плавно переходят одна в другую. Непрерывная среда однородна, если свойства ее во всех точках одинаковы. Свойства среды могут быть одинаковыми во всех н-аправлениях, тогда среда изотропна. Если же свойства меняются с изменением направления внутри среды, то говорят, что эта среда анизотропна.
1 Феноменологическими принято называть способы описания явлений без рассмотрения причин, обусловливающих эти явления. Например, закон постоянства углов между гранями кристаллов — феноменологический закон, поскольку он не вскрывает причины, почему эти углы постоянные.
31
Кристаллы, вообще говоря, анизотропны, но в отношении некоторых свойств кристаллы, относящиеся к отдельным классам симметрии, могут вести себя как изотропные тела. Например, кристаллы кубической системы являются оптически изотропными.
Рассмотрим теперь некоторые понятия, необходимые нам для дальнейшего изложения.
Скаляры и векторы. Не все величины, как показывает опыт, из
меняются с изменением направления даже в анизотропных средах.
•В частности, масса, плотность, удельный вес и т. п. не зависят от направления. Такие величины называются скалярными. Те же величины, которые меняют свои значения с направлением, называются векторными. Это всякого рода механические усилия, напряженность электрического поля, электрическая и магнитная индукция и т. п.
Для того чтобы при операциях, производимых над векторами, можно было учитывать их пространственную направленность, пользуются проекциями векторов на
Рис. 1-22. Вектор Р и его ком-
поненты.	пространственные оси координат.
Эти проекции называются комп о-н е н т а м и векторов. Естественно, что для построения проекций наиболее удобна декартова прямоугольная система координат. На рис. 1-22 изображен вектор Р него компоненты Рь Р2 и Р3 по осям координат Х\, Х$ и Х3 соответственно. Компоненты вектора сами по себе также суть векторы. Вектор Р однозначно определяется своими компонентами: абсолютное значение (модуль) вектора связано со значениями компонентов известным выражением
(1-1)
а его направление в пространстве задается углами си, а2, аз, образуемыми вектором с осями Хь Х2 и Х3. Косинусы этих углов вычисляются по формулам
Л с Р2	Рз Л
COS 04 = -р- , COS а2 = - р- , COS а8 = -р-.
(1-2)
Очевидно, что один и тот же вектор, рассматриваемый в двух разных системах координат, различным образом расположенных в пространстве, будет иметь неодинаковые компоненты. Для дальнейшего нам будет важно установить, по каким законам преобразуются компоненты вектора Р при замене системы координат Хь Х2, Х3 на систему Х'ь Х'а, Х'з. Взаимное расположение обеих систем вполне 32
определяется углам,и между «старыми» и «Новыми» осями. Обозначим косинусы этих углов символами
= cos (Л>А'i);
^12=== cos
Zi8 = cos (XiX '8);
z21 = coS
Zik = cos (XtX'b); i,k = 1, 2, 3.
Для того чтобы иметь леред глазами всю систему этих величии, называемых 'Направляющими косинусами, очень удобно пользоваться табличной или матричной записью:
	Х'г	Х'2	X',	
х,	In	ll2	^18	(1-3)
А 2	Z21	Z22	^28	
X,	^81	^82	Z88	
Если обе системы координат — новая и старая — имеют общее начало, а также если при преобразовании не происходит изменение масштабных единиц, то можно показать, что новые компоненты вектора Р вычисляются по старым с помощью следующих соотношений:
Р'1 == /11Р1 + G1^2 + ^81^8»
Р'а = Z12P1 + Z22P 2 + ^згР 8>
(Ь4)
PZ8 — ^18^1 + ^28^2 + ^88^8*
Коэффициенты этих уравнений также можно записать в форме таблицы:
	Р1	р.	р.
Р'1	^11	Z21	Gi
Р'«	Z12	Z22	Z32
Р'.	^18	Z28	Z88
(1-4')
Можно записать их также в форме символического равенства з
P'<-piAU=1.2>3.	(1-4")
А=1
Обратное преобразование — от новых компонент к старым—производится по аналогичным формулам
3
1 = 1,2,3.	(1-5)
£=]
3—2584
33
Тензоры. Скалярные величины могут быть как постоянными, т*1к И переменными. Точно так же переменными или постоянными могут быть и векторы. Простейшим видом зависимости между переменными величинами является линейная зависимость, а ее простейшей формой — пропорциональная зависимость. Известно, что при достаточно малых изменениях обеих взаимозависимых величин любой характер связи между ними с известным приближением может рассматриваться как линейная зависимость.
Примеры пропорциональной зависимости общеизвестны. Например, масса тела пропорциональна его объему:
m=pV,
где р представляет собой постоянную величину, называемую плотностью тела. По аналогии для изотропных тел могут быть написаны такие же уравнения, описывающие пропорциональную зависимость между векторными величинами. Например, ток, протекающий через проводник, пропорционален приложенному к проводнику напряжению:
I--&U.
В рассматриваемом случае проводимость среды k есть постоянная скалярная величина. Иное положение в анизотропных средах: здесь величина k может существенно изменяться в зависимости от направления в рассматриваемой среде. Для описания линейной зависимости в этом случае приходится прибегать к системе уравнений, которая может быть составлена для компонент вектора. В общем случае, если два вектора Р и Q связаны линейной зависимостью, эта система выглядит следующим образом:
Pi = fliiQ! 4- #nQ2 + ^i3Q8;	I
P2 = #21Qi + ^ггОг +	?	(1‘6)
P3 — ^siQi “b ^згОг ^38Q8. J
Приведенные уравнения можно записать в виде следующей таблицы или матрицы:
	Qi Qz Q3
р. р» р. •Эту же таблицу можно форме!	Дц	#12	#1J	(1’6') #21	^22	^23 Л81	#32	Л 38 записать в сокращённой символической 3
P1=^a<ftQk; / = 1,2,3	(1-6")
fc=l
или еще проще, опуская знак суммирования,
Pt=auQft; /, *=1, 2, 3.	(1-6"')
В приведенных уравнениях величины представляют собой постоянные коэффициенты. Совокупность всех девяти коэффициентов atk называется тензором 2-го ранга. Тензором 1-го 34
ранга может быть назван вектор, который следует в этом случае рассматривать как совокупность трех компонент. Величины aik называются компонентами тензора.
Посмотрим теперь как преобразуются компоненты тензора 2-го ранга при переходе к другой системе координат. Пусть нам даны два переменных вектора Р и Q, которые в системе координат Х2, А’з связаны между собой тензорным соотношением:
Р<=л<лОл; &-1, 2, 3.
Нас интересует, как изменится это соотношение, если потребуется перейти к новой системе координат Х'и Х'2, Х'8. Предположим, что в этой новой системе координат компоненты векторов Р и Q будут соответственно Р'< и Q,'h(i, &='1, 2, 3). Можно показать, что соотношение между этими новыми компонентами векторов также останется линейным:
1 з
p/<=Se'<fcQ/fc: (== 1,2,3	(1’7)
Л=1
I ’ или
Р'< = a'ikQ\; i, k =1,2,3.	(1-7')
В этих соотношениях величины а'щ представляют собой линейные комбинации компонент исходного тензора:
Л = 1, 2, 3,	0’8)
т. е.
з
й'^^= imiink^mnt i,k — 1,2,3.
т, л=1
Обратное преобразование производится с помощью аналогичных соотношений
th* it k, m, fl = 1, 2, 3.	0’9)
Выпишем для примера компоненту а'12 в развернутом виде:
й'12 = ^11^12^11 + ^11^22^12 + ^11^32^18 4“ ^21^12^21 4* ^21^22^22 4"
4- ^21^82^23 4“ ^81^12^81 4" ^81^22^82 4" ^81^32^38*
Тензоры высших порядков. Если между вектором Р и тензором 2-го ранга А существует линейная зависимость, то соответствующие коэффициенты пропорциональности образуют матрицу, называемую тензором 3-го ранга:
Z, k, /и = 1,2, 3	(I’W)
или же
Рщ “ i* k, 77Z = 1, 2, 3.	(1-109
Тензор 3-го ранга имеет 33=27 компонент. При перемене координатных осей с сохранением общего начала и масштабных единиц компоненты тензора преобразуются по формулам
&tkm s=i intipk^m^n^r} I > k, ffl, fl, p, T = 1, 2, 3.	(1-11)
3*	35
Обратное преобразование — -от новых компонент к старым — совершается с помощью соотношений
ЬпрТ —
i, k, т, п, p,r = 1, 2, 3.
(1-12)
Рис. 1-23. Вектор ОХ после деформации преобразуется в вектор ОХ'. Вектор ОХ/ есть геометрическая сумма вектора ОХ и вектора смещения и.
Линейная зависимость между двумя тензорами 2-го ранга или между тензором 3-го ранга и вектором выражается тензором 4-го ранга, имеющим 34=81 компоненту и т. д.
Однородная деформация кристаллов. В общем случае всякое изменение формы тела называется его деформацией. Если деформация происходит таким образом, что куб, мысленно выделенный в данном теле, после деформации превращается в параллелепипед, т. е. если в процессе деформации не происходит искривления его ребер, а меняются только их линейные размеры и углы между ними, то деформация называется однородной. Шар, вписанный в такой куб, после деформации в общем случае превращается, очевидно, в эллипсоид. Ребра деформируемого куба остаются и после деформации параллельными друг другу.
Однородная деформация кристалла происходит, например, при его равномерном нагревании, всестороннем сжатии и т. п. Понятие об однородной деформации
носит, разумеется, несколько абстрактный характер, но если деформации малы — а именно с такими деформациями мы обычно и имеем дело, изучая пьезоэлектрические явления в кристаллах, то можно с достаточной точностью в целом ряде случаев считать их однородными.
Рассмотрим основные виды однородной деформации. Пусть одна из точек, расположенных внутри кристалла, сохраняет свое положение и после деформации. Примем эту точку (рис. 1-23, точка О) за начало системы координат X], Х2, Х3. Предположим, что некоторая точка X с координатами Xi, х2, Хз в результате деформации тела переместилась в положение X' с координатами х/, х'2, х'3. Вектор хх' назовем вектором смещения точки X. 36
Компоненты этого вектора по осям координат будут соответственно:
их =	— хх,
И 2   % 2
и, = x't — хг.
(1-13)
Если деформация достаточно мала, то можно считать, что векторы ОХ и ОХ' связывает линейная зависимость
i, А=1, 2, 3.	(1-14)
Значит, векторы и и ОХ также связывает линейная зависимость:
	%1	xz	х8
«1	#11 1	#18	#18	/1 < г-ч
			(Ы5)
и2	#21	#82	1	#88
и»	#81	#82	#88	1
Заменим обозначения компонент полученного тензора:
«1
иа
Xj	Х8
7*11	^12	G3
7*21	7*23	7*а8
7*31	7*82	7*88
(1-16)
Можно показать, что если rzft=rw, то полученная система уравнений выражает однородную деформацию тела в чистом виде, т. е. без сопутствующих поворотов. Благодаря этому равенству девять компонент тензора деформации сводятся к шести:
H=ni; '’2=^22; r3=r33-, г4=2г2з=2г82; г5=2гз1=2Г1з и Гб = 2Г\2 — %Т21‘
Для того чтобы выяснить физический смысл компонент однородной деформации посмотрим, как в результате такой деформации сместятся точки, лежащие на осях координат. Возьмем точку В на - оси Xi (рис. 1-24). Ее координаты до деформации, очевидно, 37
Xi, 0, 0. Воспользовавшись соотношениями щ-г^хь, получим координаты после деформации
^1=ГцХ1; ^2 = ^21^ь Нз = Гз\Х\.
Отсюда
«1 .	г _____и2	,
~ f	'21 --- ~	,	'3! --- ~
Л1	Л1
(Ы7)
Из найденных выражений и из рис. 1-24 можно установить, что представляет собой каждая из этих деформаций. Так, например, деформация ril = ul/xl есть отно-
Рис 1-24. Деформированный четырехугольник. Он всегда может быть расположен так, чтобы Г12= = Гв1.
сительное удлинение (или укорочение) тела по оси Xf, Г21 = «2/Х1, есть тангенс угла сдвига точки, ранее расположенной на оси Хь в направлении оси Х2; точно так же Гз1 = «з/^1 есть тангенс угла сдвига точки, ранее расположенной на оси Хь в направлении Х3. При малых углах тангенсы равны самим углам, выраженным в радианах. В этом случае величины r2i и г31 численно равны самим углам сдвига.
Рассуждая аналогично, легко убедиться, что величины г22 и Гзз представляют собой относительные удлинения по осям Х2 и Х3 соответственно, а г12, Г1з, г23 и г32 суть тангенсы углов сдвига.
Экстраполируя наши рассуждения на область бесконечно малых смещений, можно убедиться, что в пределе компоненты деформации выражаются в виде произ
водных

(Ы8)
Очевидно, что если известна функциональная зависимость, связывающая смещения точек с их координатами, то выражение (1-18) может быть распространено и на неоднородные деформации; таким образом, оно имеет более общий характер и потому в соответствующих случаях будет использоваться нами при‘расчетах.
Однородное напряжение. Если тело находится под действием внешних сил или в более общем случае, если любая часть тела действует с некоторой силой на соседние части, то говорят, что это тело находится в напряженном состоянии. Рассмотрим характер действующих 38
выделенного ооъема. стороны окружающих
со
Рис. 1-25. Напряжения, действующие на гранях элементарного куба в однородно напряженном теле.
й ЭТОМ сЛуЧае сил. выделим Внутри тела эЛемёйт объе-ма. Отметим, что на каждый такой элемент будут действовать силы, пропорциональные его объему, например сила тяжести. Это — объемные силы. Такие силы, как правило, ничего не могут изменить в картине интересующего нас круга явлений, и потому мы исключим их из рассмотрения: будем попросту считать, что эти силы отсутствуют. Кроме них, могут наблюдаться силы, пропорциональные повер Эти силы действуют на т частей тела. Такая сила, отнесенная к единице площади, называется н а-пряжением. Если силы, действующие на поверхность элемента определенней формы и ориентации, не зависят от положения этого элемента внутри тела, то напряжения называются о д-нородными.
Рассмотрим случай, когда напряжение во всем теле однородно и все части тела находятся в состоянии статического равновесия. В этом случае различают два вида напряжений — нормальные и касательные (сдвиговые). Выделим внутри данного тела элементарный куб со сторонами, параллельными осям Хи Х2 и Х3. На каждую из граней этого куба (рис. 1-25) действует извне сила, которую можно разложить на три компоненты. Следовательно, по три компоненты будут иметь и напряжения, действующие на каждую из граней. Обозначим их символами Ль Ль Ль ta, 'ti2, Л2, Лз, Лз. Лз- Легко видеть, что компоненты Ль Лг, Лз обусловливают растягивающие усилия, действующие на выделенный нами объем (их-то мы и будем называть нормальными напряжениями), а Ль Ль Лг. Л2, Лз. Лз обусловливают усилия сдвига. Поскольку напряжения по условию однородны, а тело и, следовательно, любой выделенный в нем объем находятся в состоянии равновесия, то, во-первых, на три другие грани куба, не пока-
39
занные на рис. 1-25, действуют равные, но противоположно направленные компоненты напряжения; во-вторых, из этого же следует, что /2i = /i2; /з1=/1з; /32=/23 (иначе они создали бы сдвиговые моменты на гранях куба).
Условимся считать нормальные напряжения положительными, если они стремятся растянуть выделенный объем, и отрицательными, если они стремятся его сжать; касательные .напряжения будем считать положительными, если они стремятся уменьшить углы между одноименными концами координатных осей.
Итак, мы получили совокупность девяти компонент tij. Можно показать, что совместно они образуют тензор 2-го ранга, называемый тензором механических напряжений. Для этого тензора характерным является равенство компонент = Такие тензоры называются симметричными. Рассмотренный нами выше тензор однородных деформаций также является симметричным. И точно так же число независимых компонент тензора механических напряжений сводится к шести: ti = tu,	t3 = t-33, /4=2/23=2/32; /5=
= 2/з1 = 2/1з и /3 = 2/12 = 2/21.
Неоднородное напряжение. Соотношение остается справедливым и в том случае, если напряжение неоднородно, тело поэтому не находится в статическом равновесии и даже если присутствуют объемные силы. Не приводя подробного доказательства этого положения, которое будет иметь для нас большое значение в дальнейшем при рассмотрении теории колебаний кристаллических элементов, дадим здесь только вывод уравнений движения элементарного объема тела, внутри которого действуют неоднородные напряжения.
Оставим в силе прежнее определение компонент напряжения, но будем учитывать то обстоятельство, что теперь уже напряжения изменяются от точки к точке внутри тела. Поэтому нам придется дать определение понятию напряжение в точке. Присвоим это наименование пределу отношения силы, действующей на некоторую поверхность, к площади этой поверхности, когда последняя стремится к нулю. Так, .составляющая силы, действующей в направлении оси на элемент поверхности площадью dS, перпендикулярной этой оси, определится как (/ц+/21 + /з1)^5 при dS—>-0. При этом сила считается положительной, если она действует вдоль 40
положительного направления некоторой оси Xk и создается действием частей тела с —Хк стороны элемента поверхности на части тела, находящиеся со стороны +Хц этого элемента (предполагается, что начало координат находится в центре элемента).
Рассмотрим теперь находящийся внутри напряженного тела элементарный прямоугольный параллелепипед с центром в начале координат и ребрами длиной dxlt
ix. 2 ахг ♦
Рис. 1-26. Напряжения, действующие вдоль оси Xi на элементарный параллелепипед в неоднородно напряженном теле.
dx2 и dx3, параллельными осям координат. Пусть обозначают напряжения в начале координат. Найдём~ура®-' нение движения этого параллелепипеда^ паправлении оси Xi.
 Средние значения компоненты tu для каждой из двух граней, перпендикулярных оси Х'ь в соответствии с рис. 1-26 равны:
tn дхГ'~2^Х1 и
Отсюда силы, действующие в направлении Х2 на эти грани:
— (Ju —	ydx2dx3 и ju+
а результирующая сила
• dx^Xidx..
OXi
Силы, действующие в направлении оси Хг на две грани, перпендикулярные оси Х2, по аналогии выражаются в виде
41
Л-dxX dx^dx,
UX2 *	1
— (tlt—d-^.^-dx^-dx4xt и ^I2-a их результирующая
^i-dxjdxsdx,.
C/Xg
Наконец, результирующая для двух граней, перпендикулярных оси Ха, равна:
y—dxtdxtdxs.
Находя равнодействующую и применяя второй закон Ньютона, получим уравнение движения для направления Xi в виде
dGi I ^<12 I ^<11 _ _№i_
dxi "1" дх2 "т" дх, " dt2 ’
(1-19)
где р — плотность тела.
Рассматривая силы, действующие в направлениях Х2 и Х3, получим два аналогичных уравнения:
<^21 I <^22 । dt„ д2х*	п 1ОГ
dxi ’ дх2 ' дх9	Р dt2	' J
И
Мы I ^82 I ^88 _ Л d2X8	/1 1 ЦГГ\
ЛЕГ"Г"^"+'ЛЕГ— 9~дР~'	и'1У >
Итак, мы получили фундаментальные уравнения, связывающие пространственные изменения напряжений в теле с ускорениями его элементов. Они позволят нам в дальнейшем развить необходимые элементы теории упругих колебаний кристаллических элементов.
1-6. Электрическая поляризация в кристаллах
Как уже известно, пьезоэлектрический эффект в кристаллах проявляется в том, что на их поверхностях под воздействием механических усилий (вызывающих механические напряжения) возникают электрические заряды. Однако при математическом описании этого явления за меру электрического эффекта удобнее принимать не величину образующегося заряда, а интенсивность возникающей поляризации.
Смысл последнего понятия, а также связь между интенсивностью поляризации и величиной поверхностного заряда можно пояснить следующим образом. Допустим, что внутри рассматриваемого диэлектрика имеется не-42
которое количество элементарных диполей. Под диполем мы будем понимать систему, состоящую из равных количеств положительного и отрицательного электричества и обладающую электрическим моментом, отличным от нуля. В диэлектрике, не находящемся под воздействием
электрического поля, диполи располагаются хаотично, как показано схематически на рис. 1-27,а (если мы не имеем дело с наэлектризованным электретом). Если же
Рис. 1-27. Поляризация диэлектрика.
а — диполи в диэлектрике при отсутствии внешнего поля; б — то же под воздействием внешнего электрического поля; в — прямоугольный параллелепипед, выделенный из диэлектрика; его электрический момент равен е • а.
диэлектрик поместить в электрическое поле, то диполи расположатся в известном порядке (рис. 1-27,6). Выделим мысленно в поляризованном диэлектрике прямоугольный параллелепипед (рис. 1-27,в) с ребрами а, Ь, с таким образом, чтобы ребро а совпало с направлением поляризации, т. е. с линией, соединяющей положительные и отрицательные заряды какого-либо диполя. Тогда на обеих гранях, перпендикулярных этому направлению, будут сосредоточены рав
ные заряды противоположных знаков: +е и —е. Величина р=еа в этом случае будет представлять собой электрический момент данного параллелепипеда.
Если а=1, то р = е, т. е. электрический момент будет численно равен заряду е. Если также Ь = с=1, то электрический момент будет численно равен величине заряда на грани единичного кубика, т. е. так называемой поверхностной плотности заряда исходного параллелепипеда. Этот электрический момент единицы объема диэлектрика и называется интенсивностью поляризации I. Это — вектор; его положительным направлением считается направление от отрицательного заряда к положительному.
Следует остановиться еще на одном понятии, которое будет необходимо нам в дальнейшем. Известно, что сила электрического взаимодействия между двумя за-
43
рядами в диэлектрике меньше, чем в пустоте; величина, показывающая, во сколько раз эта сила уменьшается в данной среде, носит название диэлектрической проницаемости среды е. Эта величина входит в качестве коэффициента в известное соотношение, описывающее взаимосвязь между напряженностью электрического поля Е и диэлектрическим смещением или индукцией D:
eE=D.
Индукция в свою очередь связана с интенсивностью поляризации соотношением
D=E+4nI.
Пропорциональная зависимость между Е и D в изотропной среде превращается в тензорную для кристаллов и других анизотропных сред:
Di=ie^Ej; i, /=1, 2, 3.	(1-20)
Тензор etj — симметричный. Соответствующим выбором системы координат можно добиться того, что все компоненты этого тензора, кроме трех главных, обозначаемых символами 81, ег, 8з, обратятся в нули. Значения этих величин для кварца приведены в § 2-7.
1-7. Пьезоэлектрический эффект в кристаллах
Как указывалось, прямой пьезоэлектрический эффект в кристалле-диэлектрике феноменологически выражается в том, что на его поверхностях в результате деформаций (или в результате возникших в нем механических напряжений) появляются электрические заряды. Появление этих зарядов обусловливается, очевидно, поляризацией кристалла. Наряду с прямым пьезоэлектрическим эффектом наблюдается также обратный пьезоэлектрический эффект, заключающийся в появлении механической деформации или напряженного состояния кристалла при помещении его в электрическое поле.
В принципе пьезоэлектрический эффект может наблюдаться у кристаллов, принадлежащих’только к тем классам, среди элементов симметрии которых отсутствует центр симметрии. Обосновывается это утверждение следующими простыми соображениями. Предположим противное — пусть имеется центросимметричный кри-44
стаХл, обладающий пьезоэлектрическим эффектом. Тогдау под воздействием механических усилий, на некоторой крани А кристалла должен появиться положительный заряд, а на противоположной ей грани В — отрицательный. ^Произведем теперь инверсию кристалла. В результате инверсии грань А перейдет в положение, которое занимала грань В, а грань В — в первоначальное положение А. Но физические свойства кристалла после симметрического преобразования не должны измениться. Следовательно, на грани А теперь должен появляться отрицательный пьезоэлектрический заряд, а на грани В — положительный, что также невозможно при симметрическом преобразовании или, точнее, возможно, если пьезоэлектрические заряды равны нулю.
Класс симметрии 3:2, к которому принадлежит а-кварц, является ацентрическим классом.
Перейдем теперь к изложению приближенной математической теории пьезоэлектрического эффекта. Эта теория является чисто феноменологической, т. е. она описывает внешние закономерности проявления пьезоэлектрического эффекта, не объясняя причин его появления.
Итак, известно, что напряженное состояние кристалла в общем случае характеризуется тензором 2-го ранга с девятью компонентами. Интенсивность поляризации, определяющая электрическое состояние напряженного пьезоэлектрика, есть вектор с тремя компонентами. Как показывает опыт, в пьезоэлектрических кристаллах интенсивность поляризации линейно связана с воздействующим на кристалл механическим напряжением. Это значит, что каждая компонента вектора интенсивности поляризации линейно зависит от всех компонент тензора механических напряжений:
Л ==	Ч~ ^112^12 4“ ^113^13 “I- ^121^21 Ч~ ^122^22 “I- <^123^23 Ч-
| ^131^31 1 ^132^32 “]~ ^133^33»
^2---^211^11 | ^212^12 1 ^213^13 1 ^221^21 Ч"~ ^222^22 ч-
d223t23 | " ^231^31 “Н d232t32 “р ^233^33,
А ==: ^311^11 “Н ^312^12 Ч~	13 -Н ^321^21 “Ь d322t22 ч-
I ^323^23 “Н ^831^31 “Н ^332^32 “Н d333t3$»	(1-21)
Коэффициенты этой системы уравнений могут быть переписаны в виде таблицы, в которой мы для удобства 45
несколько изменим порядок следования индексов тензора механических напряжений:	/
til ^22 t33 t23 t32 t3i ti3 ti2 ^21.
h ц
I,
^111
^211
^311
d\22 ^222 d322
d\33
^233
^333
^123
^223
d323
d\32 ^232 d332
^131
^231
^331
^113 dll2^121 du) dzip d2ti
dsta dfi2 ds2i
(1-21')
В сокращенном виде эта система может быть переписана следующим образом:
Ii=di}kt}k-, /,/,£=1,2, 3.	(1-21")
Величины dijk, называемые пьезоэлектрическими модулями, образуют тензор 3-го ранга. Выясним их физический смысл. Пусть к кристаллу приложено растягивающее напряжение вдоль оси Xi, равное tn. В этом случае компоненты поляризации будут равны:
/i=</in/ii,’ ^2—^211^4) h—durtu-
Таким образом, модули dm, 4/211 и d3u представляют собой коэффициенты пропорциональности между механическим напряжением растяжения (иди сжатия в зависимости от знака tu) по оси Xi и компонентами интенсивности поляризации по осям Xi, Х2 и Х3 соответственно. Аналогичный смысл, как нетрудно убедиться, имеют модули dm, dm, d322 и di33, d233, d333 для растягивающих (сжимающих) напряжений по осям Х2 и Х3 соответственно.
Теперь рассмотрим случай, когда к кристаллу приложено чисто сдвиговое-напряжение /12. Мы знаем, что при этом обязательно должно появиться равное ему напряжение /21. Поэтому в целом
/1=^/112/12+^/121/21 = (<^112+*/112)^12-
Аналогичные соотношения мы получим для 12 и /3. Таким образом, в данном случае коэффициентами пропорциональности являются уже суммы модулей 4/112+4/121, </212+4/221 и 4/312+^/321, а значения каждого из слагаемых, составляющих эти суммы, определить экспериментально оказывается невозможно. Устранить эту неопределенность в толковании указанных величин удается, поло-46
жив их равными половине этой суммы, т. е. приняв, что dii2=<Aai и т. д., а в общем случае
\.	dijk=dthj-	(1’22)
Из изложенного следует, что число независимых компонент тензора пьезоэлектрических модулей равно не 33=27, а только 18. Это обстоятельство, а также известное нам равенство позволяют упростить форму записи рассматриваемого тензора, введя так называемые матричные обозначения. В матричной форме система уравнений пьезоэлектрической поляризации анизотропного тела выглядит следующим образом:
	tl	t2				
h	dn	du	di3	di^	^15	diQ
ц	dZi	^22	^23	d^	^25	dz^
	d&i	d32	das	dsi	^35	^36
(1-23)
Здесь у компонент тензора первый индекс соответствует номеру строки, второй—номеру столбца. Сопоставляя обе формы уравнений, получаем:
dl4 = 2</i23,‘	*/25 —2t/23i;	</зз = ^ззз
и т. д.
Именно в матричной форме тензор пьезоэлектрических модулей чаще всего встречается в литературе. Не следует, однако, забывать, что в этой форме к тензору неприменимы правила преобразования компонент при переходе к новой системе координат, рассмотренные в § 1-5.
Аналогичным образом может быть выражена зависимость между интенсивностью пьезоэлектрической поляризации и деформацией анизотропного тела. В сокращенном виде соответствующая система уравнений записывается так:
ii^ei}krjh; i, j, k—\, 2, 3.	(1-24)
Величины ець называются пьезоэлектрическими коэффициентами или константами.
47
Приведенные уравнения могут быть также записщ$ы в матричной форме:
		Г2			Г»	г»
/1	£11	£12	£13	£14	«и	£1в
Л	^21	^22	£23	£24	£25	£20
Л	£3!	^32	£33	£34	£35	£зв
(1-25)
Так же, как и в предыдущем случае, можно убедиться, что 6222=622; езб=2е312=2ез21 и т. д.
Для изучения свойств пьезоэлектрических резонаторов еще более важное значение, чем прямой пьезоэлектрический эффект, имеет обратный пьезоэффект. Математически оба эти явления описываются аналогично, поскольку установлено, что между компонентами вектора напряженности электрического поля Е< и тензора механических деформаций rjk имеет место линейная зависимость. Более того, можно доказать, что электрическое поле и деформацию при обратном пьезоэффекте связывают те же самые коэффициенты, w которые при прямом пьезоэффекте связывают механическое напряжение и поляризацию в кристалле. Итак, если кристалл свободен и может деформироваться, то приложенное к нему электрическое поле Е с компонентами Еь Е2 и Е3 по осям Xlt Х2 и Х3 вызовет его деформацию. Взаимосвязь между деформацией кристалла и электрическим полем описывается следующей системой линейных уравнений (разумеется, если деформации достаточно малы):
G = dnEi d31E2 -f- diXEt\ г2 •— dl2Ex “I- daaEa “|~ daaEa, rt=dxtEa-{- daiEa +	,	(1 -26)
г4.— d^Ei I da^Ea -J— da^Ea, == daiEt —|- dSiEa I daaEa\ f e== diaEa	d^Ea —|— d,aEa.
В табличной записи эти уравнения имеют следующую форму:
48
	Ез	e2	Es
G	dn	dzi	d3\
Гг	di2	dz2	d32
Гз	d13	6^23	d$3
г4	d^	^24	^34
Гз	d^	d%$	^35
Гз	diQ	dz3	d$b
(1-26')
Если кристалл зажат и не может свободно деформироваться, то в нем возникают механические напряжения; последние также связаны с 'компонентами электрического поля через известные уже нам пьезоэлектрические коэффициенты
i, j, k=l, 2, 3.	(1-27)
1-8. . Преобразование тензоров пьезоэлектрических модулей и констант для сред, обладающих симметрией
В предыдущем параграфе уже рассмотрен один случай влияния симметрии среды на ее пьезоэлектрические свойства, а именно мы установили, что для кристаллов, обладающих центром симметрии, вое 'компоненты тензоров пьезоэлектрических модулей и констант должны быть равны нулю. Если наличие центра симметрии приводит к тому, что все компоненты пьезоэлектрического тензора обращаются в нуль, то наличие других элементов симметрии при надлежащем выборе координатных осей обращает в нуль только некоторые из пьезоэлектрических модулей dtjh и пьезоэлектрических констант еда.
Убедиться в этом лучше всего непосредственной проверкой, основные идеи которой мы продемонстрируем на примере наиболее интересной для нас группы симметрии 3:2, к. которой принадлежит а-кварц. Для этой группы элементами симметрии являются одна ось симметрии 3-го порядка (пусть это будет ось Х3) и три перпендикулярные ей оси 2-го порядка (пусть одна из них совпадает с осью Х4). После поворота на 120° вокруг оси Х3 и на 180° вокруг оси Xi кристалл совмещается сам с собой, следовательно, компоненты 4—2584	49
пьезоэлектрических тензоров в новой и старой системах ДОЛЖНЫ быть равны Друг Другу: d'^m—dikm И е'iUmF=6ihm-Но с другой стороны, формулы преобразовани^/компо-нентов тензора (1-11) дают:
d'ikmF^ Ind pjdrmdnpr
etkm'==:- Ind ptdrmPnpr
Решение интересующей нас задачи можно получить, сопоставляя обе эти системы уравнений. Для этого не-матрицу тензора на угол 120° вокруг оси Х3 и на угол 180° вокруг оси (рис. 1-28):
i, k, m, n, p, r — \, 2, 3.
обходимо составить косинусов поворота
3
0
2
0
—1
2
О
2 ’ 1
2
О
I*.?
Схема поворота
Рис. 1-28.
осей координат при симметрическом
преобразовании группы 3:2.
Проводя соответствии
преобразования с этой табли-
в
цей, получим систему совместный уравнений. Выпишем для примера одно из уравнений этой системы. Для компоненты dm имеем dm. С другой стороны,

383*
В рассматриваемом случае
I — L; /  mi — 2^’ м2 —
_JL— I • / —1 - / _________1-
2	--*21» ‘22- --------- -- •>
/ц ==/ц ==/аз’г=/31г= 0.
50
\(оэтому, учитывая, что dUi = dn2, d22i — d212, поЛучйёМ:
3 .	з .
g” #211---4“ #212
g- d222 — din.
Аналогичйым путем могут быть получены еще пять таких уравнений, связывающих компоненты dm, dll2, dm, dm, dm и dm- Решая совместно получившуюся систему, найдем:
£?и1 = —dm!	dzii—dm—O и т. д,
В результате, приводя обозначения компонент к матричной форме, получаем следующее выражение:
	tl	^2		^4		¥
Л	du	—d2i	0	du	0	°	(1-25)
Л	0	0	0	0	di4	—2dn
I»	0	0	0	0	0	0
и для обратного пьезоэффекта
	E,	e2	e2
n	dn	0	0
r»	du	0	0
r2	0	0	0	(1-28')
Г4	di4	0	0
r2	0	di4	0
rt	0 -	-2d„	0
Подобный же результат получается для тензора пьезоэлектрических коэффициентов. При записи в матричной форме имеем:
4“
51
	Ег	e2es		
tl	£11	0	0	
t2	—£11	0	0	
	0	0	0	(1-29)
^4	<?14	0	0	
	0	£14	0	
К	0	£ii	0	
Полезно привести здесь также			тензор	пьезоэлектри-
ческих модулей для класса 6:2, к которому принадлежит высокотемпературная модификация кварца — р-кварц — и можно отнести дофинейский двойник а-кварца. В матричной форме этот тензор выглядит следующим образом:
	tl	^2	^3	^4		4
л	0	0 0	t/14	0	0
					(1-30
/2	0	0 0	0	~ ^14	0	v
л	О’	0 0	0	0	0
Что же касается бразильского двойника (класс симметрии 6*/п), то для него все пьезоэлектрические модули dijk и константы е^ь. равны нулю.
Численные значения пьезоэлектрических модулей и констант кварца приведены ниже, в § 2-1 (без указания знака; причина этого пояснена в § 1-9).
1-9. Виды пьезоэлектрической деформации кварцевых элементов 
Рассматривая приведенные выше соотношения, связывающие пьезоэлектрические деформации кварца с воздействующим на него электрическим полем, можно сразу же заметить, что далеко не все виды этих деформаций оказываются принципиально возможными. Для того чтобы сделать более удобным практическое рассмотрение этого вопроса конкретно для кварца, введем специализированную систему обозначений координатных осей и соответственно изменим индексы у компонент электрического поля и деформаций. Как и ранее (см. 52
§ l-ok мы будем пользоваться прямоугольной декартовой системой координат, в которой ось Х3 совпадает с осью Симметрии 3-го порядка, а ось Xi— с осью симметрии д-го порядка. Для того чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что наши рассуждения будут относиться уже к конкретной среде — монокристаллическому а-квар-цу, обозначим для этого случая ось Xt через X, ось Х2 через У и ось\Х3 через Z.
Рис. 1-29. Правая и левая системы координатных осей для правого и левого кварца. При использовании этих систем знаки пьезоэлектрических модулей и констант обеих модификаций совпадают.
Весьма существенным для дальнейшего будет выбор положительных направлений в системе координатных осей X, У, Z. Дело в том, что кристаллы кварца, как нам известно, встречаются в двух энантиоморфных модификациях— правой и левой. Знаки всех компонент тензоров пьезоэлектрических модулей и констант вследствие этого совпадут только в том случае, если для правого кварца будет выбрана, скажем, правая система координат, а для левого — левая (рис. 1-29). Именно этот путь избрали авторы ряда наиболее известных работ по пьезоэлектричеству, в частности А. В. Шубни-
53
/
ков (Л. 1-1—1-3) и Кэди [Л. 1-4]. В этом случае при привязке осей можно воспользоваться физическими свойствами а-кварца или особенностями их/внешней огранки и не делать различия между правыми и левыми кристаллами. Обычно устанавливают,/ что положительным концом оси X является конец, выходящий из того ребра призмы, к которому примыкают грани трапецоэдра х; на этом конце появляется положительный заряд, когда кристалл подвергается положительной деформации (растяжению) вдоль оси X*. Тогда компоненты тензоров пьезоэлектрических модулей и констант приобретают следующие знаки (как для правого, так и для левого кварца): du, ей, ей— знак плюс, du—знак минус.
В качестве примера рассчитаем величину пьезоэлектрической деформации кубика размером 1X1X1 см с гранями, параллельными координатным осям, к которому приложено электрическое поле напряженностью 1000 в/сле = 105 в/м, действующее вдоль оси Х4. Уравнения обратного пьезоэффекта дают в этом случае (при подстановке в них численных значений du и du, взятых из [Л. 1-2—1-5]):
относительное удлинение в направлении оси X
rxx = duEx=2,3-10-12- 105 = 23- 10-8;
относительное сжатие в направлении оси У
гуу=—duEx=—23-10-8;
относительное изменение угла между гранями кубика, располагавшимися до деформации в плоскостях XY и ZX,
ryz=dl4Ex---0,67- IO"12 - 10s=—6,7- IO-8.
После элементарного пересчета найдем, что абсолютное удлинение кубика в направлении .оси X соста-о
вит 23 А; на ту же величину сожмется кубик в направлении оси У, а изменение угла между гранями будет равно 0,14".
Введенная описанным выше способом пара систем координатных осей, одна для правого и другая для ле
* Очевидно, что благодаря симметрии кристаллов кварца этим условиям удовлетворяет любая из трех осей 2-го порядка; каждая из них с равным правом может быть выбрана в качестве оси X.
54
вого\кварца, не очень удобна для технического приме-нениялхотя ее преимущества при рассмотрении физических явлений неоспоримы. Недостаток ее заключается в том, что она не дает возможности создать систему обозначений угловой ориентации кварцевых элементов, общую для обеих энантиоморфных модификаций. Это
Рис. 1-30. Условная привязка «технической» системы координатных осей для правого (б) и левого (а) кристаллов кварца.
затруднение было преодолено с созданием условной «технической» системы привязки координатных осей для кварца [Л. 1-6], которая широко применяется в настоящее время. В этой системе как для правого, так и для левого кварца используется правовращающее декартово расположение осей, как показано на рис. 1-30. При этом ось У («механическая» ось) проходит в направлении, перпендикулярном грани призмы; как в правом, так и в левом кристалле в положительном направлении она пересекает ту грань призмы, над которой расположена грань малого ромбоэдра.
Ось X («электрическая» ось) направлена перпендикулярно оси У и, следовательно, параллельно грани призмы т. Обращаем внимание читателя на то, что в рас-
55
сматриваемом случае положительный конец оси X выходит из ребра призмы, к которому примыкают/'грани трапецоэдра, лишь у левого кварца; у правых кристаллов через аналогичное ребро выходит отрицательный конец оси X (сравните с «физической» системой, показанной на рис. 1-29).
Наконец, ось Z («оптическая» ось) направляется, как сказано выше, вдоль оси симметрии 3-го порядка перпендикулярно плоскости, образуемой осями X и Y. Положительное направление оси Z выбирается, естественно, таким образом, чтобы она вместе с осями X и Y образовывала правую систему координат. Введенную таким образом систему осей часто называют кристаллофизической.
В этой системе знаки пьезоэлектрических модулей и констант уже не будут, очевидно, одинаковыми для правых и левых кристаллов: для правого кварца модули и dltu_ а также коэффициент еп будут отрицательными, для левого — положительными. Константа 614, наоборот, окажется положительной для правых и отрицательной для левых кристаллов. В этом, разумеется, можно усмотреть недостаток рассматриваемой системы. Ее большим достоинством, однако, является то, что кристаллический элемент, одинаково ориентированный по отношению к выбранным указанным образом координатным осям, будет одинаково расположен по отношению к граням кристалла как правого, так и левого кварца. Вытекающие отсюда преимущества полностью станут видны ниже, сейчас мы отметим только, что при таком выборе системы осей обозначения срезов (т. е. совокупности углов, показывающих расположение кристаллического элемента по отношению к граням кристалла) для обеих энантиоморфных модификаций кварца оказываются одинаковыми. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться только той системой привязки координатных осей к кварцу, которая изображена на рис. 1-30, не оговаривая этого каждый раз особо.
Учитывая изложенное, попытаемся выяснить, какие же виды статических пьезоэлектрических деформаций могут возникнуть в кристалле кварца под действием произвольно направленного постоянного во времени электрического поля.
Обозначим теперь, как и всюду далее, где речь будет идти конкретно о кристаллах кварца, компоненты 56
действующего электрического поля не Еь Е2, Е3, а Ех, Ev, Ez соответственно, а компоненты деформации — гхх, I"уу> fzz, Tyz> ?zx И Гху- Здесь гхх, Гуу и Gz —деформации сжатия — растяжения вдоль осей X, Y и Z кварца, a ryz, fzx и гХу — деформации сдвига в плоскостях YZ, ZX и XY соответственно. Перепишем надлежащим образом тензорное соотношение, описывающее обратный пьезо-
эффект в кварце:	Ех	Еу	Et
		0	0
Г XX г	—	0	0
ГУУ Г ZZ	0	0	0	(1-31)
Г yz	di4	0	0
r ZX	0		^14	0
Г ху	0	—2dr	1 0
Существенно, что записанные таким образом уравнения пьезоэлектрических деформаций позволяют выявить не только то, какие явления могут наблюдаться при наложении электрического поля, но и то, какие явления принципиально не могут иметь места. В частности, из равенства нулю всех пьезоэлектрических модулей в третьем столбце следует, что никакие пьезоэлектрические деформации не могут происходить в кварце под действием электрического поля, направленного вдоль оси Z, т. е. вдоль оптической оси. Точно так же очевидна невозможность в кварце пьезоэлектрической деформации сжатия — растяжения в направлении той же оси Z. Нельзя, наконец, не обратить внимания на то обстоятельство, что под воздействием поля, направленного вдоль оси Y, осуществляются только сдвиговые деформации, но не происходит сжатия — растяжения в каком-либо направлении. Деформации сжатия — растяжения не могут иметь места и в том случае, когда, кроме компоненты по оси Y, действующее электрическое поле имеет еще и компоненту в направлении оси Z (но не имеет составляющей вдоль оси X).
Рассмотрим теперь, какие пьезоэлектрические деформации возникают, если направление приложенного к кристаллу электрического поля совпадает с направлением его электрической оси. Первый столбец тензора пьезоэлектрических модулей кварца показывает, что при этом происходят сразу три пьезоэлектрические дефор-57
МЗЦйй: кристалл растягивается (или сжимается в Зависимости от направления приложенного поля) в направлении оси X, на такую же относительную величину сжимается (или соответственно растягивается) вдоль оси Y, кроме того, изменяется угол между ребрами кристалла, лежащими в плоскости YZ. Рисунок 1-31,а иллюстрирует происходящие в рассматриваемом случае деформации.
Электрическое поле, направленное вдоль оси Y кристалла, вызовет, как уже указывалось, сдвиговые деформации двух видов — rzx и гху, связанные с напряженностью электрического поля следующими соотношениями: Gx= dnEv\	fxy——2duEy.
Эти деформации иллюстрирует рис. 1-31,6.
Итак, резюмируя изложенное, мы можем заметить, что всего в кристаллах кварца пьезоэлектрическим путем может быть получено пять видов однородной деформации: сжатие — растяжение в направлении осей X и Y
нии электрического поля. а -т- параллельно оси X кристалла; б — параллельно оси Y.
и сдвиг в плоскостях YZ, ZX и XY, причем ' первые три из них осуществляются, если электрическое поле направлено вдоль оси X, а две другие — если поле действует в направлении оси Y. Таким образом, при любом направлении внешнего электрического поля (кроме параллельного оси Z) в кварце возникают одновременно по меньшей мере две деформации. Очевидно, что с практической точки зрения это обстоятельство нельзя расценивать" как положительное: для технических применений обычно бывает необходимо 'получить деформацию какого-либо одного изолированного вида.
Разумеется, обеспечить полностью изолированные деформации кварцевых элементов не представляется возможным, однако определенными мерами можно до-58
биться того, чтобы деформации нужного вида хотя бы по абсолютной величине превалировали над остальными. Для этого можно, например, выполнить кварцевый элемент таким образом, чтобы' его размеры в нужных направлениях значительно отличались от остальных размеров. В частности, если вырезать кварцевый элемент в виде стержня с длиной, много большей ширины и толщины, направленной вдоль оси X или оси У, то пьезоэлектрическая деформация растяжения (сжатия) вдоль длины такого стержня, возбуждаемая полем Ех, будет существенно превосходить остальные.
Однородными деформациями не исчерпываются виды пьезоэлектрических деформаций кварца. Кроме рассмотренных деформаций растяжения ((сжатия) и сдвига, у кварцевых элементов могут быть получены также деформации изгиба и кручения. Правда, они осуществляются не как самостоятельные деформации, а как комбинации сжатия с растяжением или двух противоположно направленных сдвигов. Рассмотрим более подробно, как это происходит.
«Принципиально (но не технически) изгиб проще всего получить путем механического соединения двух кварцевых элементов, выполненных в форме прямоугольных стержней с длиной, направленной вдоль оси У. Если эти стержни соединены (склеены, спаяны) таким образом, что их кристаллофизические оси У и Z параллельны, а оси X антипараллельны, то электрическое поле, действующее вдоль этой последней оси (рис. 1-32,а), вызовет растяжение одного из стержней и одновременно сжатие другого в направлении их длины. Сочетание обеих деформаций обусловит изгиб всей системы в плоскости XY.
Если те же пластины склеить токопроводящим клеем или спаять так, чтобы их электрические оси оказались параллельными, и подвести электрическое поле таким образом, чтобы в одной пластине оно совпадало по направлению с осью X кристалла, а в другой было бы противоположно ей (рис. 1-32,6), то и в этом случае вся система изогнется в плоскости XY.
Деформацию изгиба можно вызвать и другим способом. Представим себе кварцевую пластину, вырезанную так, что ее длина, как и в предыдущем случае, располагается вдоль кристаллофизической оси У, а ширина — вдоль оси Z. Пусть каждый из пары электродов, 59
с помощью которых к пластине прикладывается электрическое поле, действующее в направлении оси X, разделен пополам вдоль длины пластины и каждая из полученных таким образом половинок изолирована от другой (рис. 1-33,а). Если поле, приложенное между двумя противоположными друг другу половинками электродов, совпадает по направлению с осью X, то пластина как бы разделится на две части, одна из которых будет стремиться растянуться, а другая — сжаться. В результате стержень изогнется в плоскости ZY.
а)	0
Рис. 1-32. Изгиб сдвоенных (биморфных) пластин, а — без среднего электрода; б — со средним электродом.
Наконец, изгиб кварцевого стержня может быть получен еще третьим способом. Пусть рассматриваемый стержень ориентирован своей длиной вдоль оси У и его поперечное сечение близко к квадратному. Нанесем электроды на все четыре боковые грани стержня. Подадим теперь положительный электрический потенциал на одну пару противоположных друг другу электродов, а отрицательный — на другую. На рис. 1-33,6 схематически изображено расположение силовых линий электрического поля для этого случая. Рассматривая векторы напряженности электрического поля в двух точках А и А', симметрично расположенных по отношению к плоскости YZ, проходящей вдоль оси бруска, можно видеть, что каждый из них раскладывается на компоненты, параллельные осям X и Z. Компоненты, действующие вдоль оси Z, не вызывают пьезоэлектрических деформаций, и мы исключаем их из рассмотрения. Иное положение с компонентами вдоль оси Х\ легко видеть, 60
Рис. 1-33. Изгиб кварцевых стержней, а — в плоскости УИ; б — в плоскости XY,
что в точках А и Аг они имеют противоположные направления, а значит, вызывают деформации различного знака. Вдоль длины стержня это будет сжатие в одной его половине и растяжение в другой. В целом произойдет изгиб стержня в плоскости ХУ.
Если длина стержня совпадает по направлению с осью X, то эффект будет иной. В самом деле, при таком же, как и в предыдущем случае, характере электрического поля его компоненты по осям координат в точках В и В' (рис. 1-34) будут уже не Ех и Ez, а Еу и Ez. Естественно, что и в этом случае компоненты Ez также не будут вызывать пьезоэлектрических деформаций стержня, но компоненты Еу обусловят уже не сжатие или растяжение вдоль его длины, а сдвиги в плоскостях ZX и XY, про
Рис. 1-34. Кручение кварцевого стержня.
тивоположные по знаку в каждой из половинок квар
61
цевого элемента, образованных его сечением плоскостью ZX, проходящей по оси стержня. Результирующей деформацией будет кручение последнего вокруг оси, пересекающей центры граней ZX (кристаллофизической оси У).
1-10. Упругость кристаллов
Под действием механических напряжений кристалл деформируется. Разумеется, деформация может иметь место лишь в том случае, если извне ничто не препятствует ей, т. е. если кристалл находится в свободном, незажатом состоянии.
Если напряжение достаточно мало и не превышает известного уровня, называемого пределом упругости, то деформация обратима, т. е. после снятия напряжения кристалл принимает исходную форму. Тогда между напряжением и деформацией в кристалле существует линейная зависимость. Это значит, что компоненты тензора напряжений tu связаны с компонентами тензора деформаций Гц следующими соотношениями:
ИЛИ					/32	k, Z=l, 2, 3			
		^22	/88	^28					
	/11					^81	^18	/12	/21
Гц	5цц	SH22	51188	51128	51182	51181 .	51113	51112	51121
Г 22	S2211	S2222	52288	52228	S2282	52281	52218	52212	52221
Г88	S88U	$8822	58888	53828	S8882	58881	58818	S8812	5зз21
Г 28	S2811	S2822	52883	52823	52882	52881	52818	S2812	52321 (1-32)
Г 82	58211	S8222	53238	5з228	58282	S8281	5з218	S8212	S8221
Г 81	S8111	S3122	58133	S3128	5з182	58131	58118	58112	5si21
Г18	$1811	51822	51888	51823	51832	51881	51818	51812	’51821
Г12	51211	51222	51288	51228	51282	51281	51218	51212	51221
Г21	52111	^2122	s2188	52128	S2182	52181	52118	S2112	S2121
Совокупность 81 коэффициента 8цш образует тензор 4-го ранга. Коэффициенты 8цм носят название констант гибкости или податливости кристалла.
Приведенная система уравнений для изотропного тела вырождается в одно простое соотношение
62
выражающее общеизвестный закон Гука, который гласит, что деформация твердого тела прямо пропорциональна приложенному к нему механическому напряжению. Поэтому систему линейных уравнений, описывающую зависимость между напряжением и деформацией в анизотропной среде, называют обобщенным законом Гука.
Для изотропной среды справедлива и другая форма записи закона Гука:
t=cr, где с=1/$. Аналогично для анизотропных тел при достаточно малых деформациях можно записать:
'tij—Cijkifkt}	j, k, I— 1, 2, 3,	(1-33)
где Ctjki — величины, называемые константами упругой жесткости или же модулями упругости.
Соотношения между величинами Сцм и зда уже не столь просты, как соотношения между коэффициентами с и s в формулах, выражающих закон Гука в изотропных телах; эти соотношения будут приведены ниже, в § 2-2,
Итак, в кристаллах взаимосвязь между компонентами напряжения и деформации описывается с помощью 81 константы податливости или стольких же констант жесткости. Обратим внимание на весьма существенную особенность этой взаимосвязи: если, например, в кристалле действует только одна константа напряжения, предположим 1ц, то это еще не значит, что и деформация будет происходить только в одном направлении: ведь в общем случае, если не равны нулю какие-либо из коэффициентов компонента <1ц может вызвать все виды деформаций—как продольные Гц, Г22, Гзз, так и сдвиговые rt,	Значит, если вырезать из кри-
сталла кубик и подвергнуть его действию растягивающего напряжения вдоль направления, параллельного какому-нибудь из его ребер, то произойдет не только увеличение размера кубика в направлении растяжения и даже не только еще и пуассоновское сжатие в поперечной плоскости, а будет наблюдаться также искажение угла между некоторыми ребрами кубика.
Вспомним теперь, что в консервативных системах выполняются равенства
fik=fhi И tlm = tml‘
63
Можно показать, что при учете этих равенств число независимых констант гибкости и модулей упругости сокращается с 81 до 36, а уравнения, связывающие механические напряжения и деформации кристаллов, оказывается возможным записать в сокращенной (матричной) форме:
		r2	''з	^4	Г6	
fl	Си	C12	Cis	$14	$16	$16
^2	С21	C22	$28	$24	$26	$2б
^8	с81	C32	$88	^34	$86	$зв	(1-34)
^4	с41	C42	$48	$44	$46	$46
	С61	с 62	С68	С 64	$66	$66
h	св1	^62	С68	$64	$66	$66
И					
	fl	^2	^8	^4	^6	^6
Г1	$11	$12	$13	$14	$16	$16
Г2	$21	$22	$23	$24	$26	$26
	$81	$62	$88	$84	$86	S,.	(1-35)
Г*	$41	$42	$48	$44	$46	$46
Гц	$61	$62	$68	$64	$66	$66
	$61	$62	$68	$64	$6 5	$66
Тензорные 'коэффициенты stum (т. е. коэффициенты с четырьмя индексами) связывают с матричными коэффициентами (т. е. с коэффициентами с двумя индексами) snp следующие соотношения:
Sikim=snp, когда пир равны 1, 2 или 3;
2sikim=Snp, когда или п или р равны 4, 5 или 6;
4${kim=Snp, когда и п, и р равны 4, 5 или 6.
Что касается модулей упругости, то переход от тензорных модулей CiMm к матричным спр совершается более простым способом:
CiMm=cnp-, i, Ji, I, m=l, 2, 3; p, n=l, 2, ..., 6.
He следует забывать, что преобразования констант гибкости и модулей упругости при переходе к новой системе координат производятся по правилам преобразования компонент тензора 4-го ранга, т. е. согласно соотношениям
iklm == ^ni^pk^rl^sm^nprs И S tklm == ^ni^pk^rdsm^npre*
64
Это значит, что при таких преобразованиях нельзя пользоваться матричными (двухиндексными) обозначениями упругих постоянных, а следует обязательно переходить к четырехиндексным.
Дальнейшее упрощение соотношений, связывающих механические напряжения и упругие деформации в анизотропных телах, может быть произведено на основании того, что для изотермических и адиабатических процессов1
Спр^=£рп И Snpt=Spn.	(1-36)
Наличие этих равенств приводит к тому, что число независимых констант гибкости и модулей упругости в общем случае сокращается до 21.
К еще большему сокращению количества этих величин приводит учет условий симметрии среды. Метод рассуждений, приводящих к такому выводу, совершенно аналогичен тому, который использовался нами в процессе рассмотрения ограничений, налагаемых симметрией на компоненты тензоров пьезоэлектрических констант и модулей. В частности, для тригональной системы, к которой принадлежит кварц, применение аналитического метода приводит в результате для кристаллографических систем 3 :2 (а-кварц) и 6 • т (бразильский двойник) к следующим выражениям:
{	Г1	Г2	Г1	^4	'б	'о
г	£11	£12	£18	£и	0	0
/г	£12	£ц	£18		£14	0	0
^8	£18	£18	£88	0	0	0	(1-37)
^4	£14	£14	0	£44	0	0
	0	0	0	0	£44	£14
h	0	0	0	0	£14	£ц — £12 2
1 Эти равенства легко доказать, если учесть, что константы Спр и snp суть вторые производные от функции состояния тела ф (свободной энергии), величины которых не зависят от порядка дифференцирования (см., например, [Л. 1-7]).
5—2584
65
и
	ii	/2	/в	i4	^5	__А_
П	$11	$12	$18	$14	0	0
Гг	$12	$11	$18		$14	0	0
Гз	$18	$18	$88	0	. 0	о	(1-38)
г*	$14	—$14	0	$44	0	0
-г*	0	0	0	0	$44	2Sj4
Гз	0	0	0	0	2$14	2 ($n — s12)
а для системы 6:2 (дофинейский двойник и высокотемпературный 0-кварц) к следующим соотношениям, также приводимым здесь в матричной форме:
	^1		*3	<4	^8	
rv	$11	$12	$18	0	0	0
r2	$12	$11	$18	0	0	0
Гз	$18	$18	$88	0	0	о	(1-39)
г*	0	0	0	$44	0	0
Гз	0	0	0	0	$44	0
	0 >1	0 г2	0 Гз	0 г*	0 Гз	2 ($11 — $12)	4 Гз
ti	Си	С12	С18	0	о •	0
^2	С12	Си	С18	0	0	0
/в ^4	С18 0	С18 0	С33 0	0 С44	0 0	°	(1-40)
^5	0	0	0	• 0	С44	0
^3	0	0	0	0	0	Си 	 С12 2
Значения упругих коэффициентов для а-кварца приведены далее, в § 2-2.
Рассмотрим в качестве примера деформацию кварца при одностороннем давлении. Пусть сначала давление направлено вдоль оси Z кристалла. В этом случае GcX==Slsizz; ryy^=Sxstzz', fzz1=
Принимая во внимание знаки величин, входящих в правые части этих уравнений (см. § 2-2), и учитывая, что давление создает отрицательные напряжения, 66
получаем гХх>0; ryy>Q\ rzz<0, т. e. в рассматриваемом случае кристалл сожмется вдоль оси Z и в той же мере расширится в направлении осей X и У; искажения прямых углов между какими-либо осями не произойдет. Иными словами, в данной ситуации кристалл кварца ведет себя как изотропное тело. Другое положение будет в случае, если давление направлено вдоль осей X или У кварца. Тргда
Давление направлено вдоль оси X кристалла
Гхх $11^хх
Гуу = $12^хх	О
Г ZZ = $13^хх	О
Гуг = $14^хх > О
ГхУ — Tzx = О
Давление направлено вдоль оси У кристалла
Гхх == S\ityy О г у у = Sutyy < О fzz = S13tyy > О гУх — —Sl4tyy<^0 г. у — rZx =0
Иными словами, давление, действующее вдоль осей X и Y кварца, вызовет не только сжатие кристалла в направлении приложенного усилия и его пуассоновское (боковое) расширение, но и изменение углов в плоскости YZ. Таким образом, кубик, вырезанный из кристалла с ребрами, параллельными кристаллофизическим осям, в рассматриваемых условиях превратится в косоугольный параллелепипед.
1-11. Связь между тепловыми, электрическими, механическими и магнитными свойствами кристаллов
Для иллюстрации связи между тепловыми, электрическими и механическими свойствами кристаллов полезно рассмотреть диаграмму, показанную на рис. 1-35,а [Л. 1-7]. На этой диаграмме символами 0, и tim, расположенными в вершинах внешнего треугольника, обозначены «внешние» воздействия на кристалл — температура, напряженность электрического поля и механические напряжения. В вершинах внутреннего треугольника расположены символы результатов этих воздействий: энтропия на единицу объема S, электрическая индукция Di и деформация кристалла z/fe. Жирные линии, соединяющие попарно внутренние и внешние вершины, означают три так называемых главных эффекта. Рассмотрим каждый из них в отдельности (рис. 1-35,6).
5*	67
Линия, соединяющая кружки с надписями «температура» и «энтропия», символизирует зависимость энтропии от изменения температуры. Если процессы равновесные, а следовательно, обратимые, то изменение
Рис. 1-35. Соотношение между тепловыми, электрическими и механическими свойствами кристаллов.
68
энтропии в единичном объеме связано с изменением температуры скалярным соотношением
dS=y-d0,	(1-41)
где С — теплоемкость на единицу объема;
9 — температура;
Т — абсолютная температура.
Линия, соединяющая кружки с надписями «напряженность поля» и «индукция», соответствует зависимости электрической индукции Di от изменения напряженности электрического поля Ek. Эти величины связаны линейной зависимостью
dDi=e,ikdEk,	(1-42)
где е,й. — компоненты тензора диэлектрической проницаемости.
Наконец, линия, соединяющая кружки с надписями «напряжение» и «деформация», указывает на связь между этими величинами:
drik==Siklmdtlm>	(1-43)
где Tik — компоненты тензора механических деформаций;
tim — компоненты тензора механических напряжений;
Stkim — компоненты тензора констант гибкости (упругой податливости).
Те же линии, которые соединяют кружки, находящиеся на разных вершинах внутреннего и внешнего треугольников, символизируют так называемые «сопряженные» эффекты, сущность которых поясняется надписями на рис. 1-35,6 и символами соответствующих констант на рис. 1-35,а. Наиболее интересными для нас из этих сопряженных эффектов являются прямой и обратный пьезоэффекты, которым соответствуют линии между кружками с надписями «напряжение» и «деформация» [hm и с одной стороны и «напряженность поля» (Ek) и «индукция» (Di) с другой]. В этом случае рассматривается связь между вектором и тензором второго ранга; значит, коэффициенты связи образуют тензор третьего ранга, например:
drik^diktdEi.	(1-44)
Из диаграммы (рис. 1-35) видно, что пьезоэлектрический эффект может быть обусловлен также и измене
69
нием температуры кристалла: в этом случае в нем возникнут термические напряжения или деформации, которые в свою очередь приведут к появлению пьезоэлектрической поляризации. Приведенный пример иллюстрирует в общем очевидную взаимосвязь всех показанных на диаграмме свойств и параметров кристаллов. Поэтому, рассматривая зависимости между ними, необходимо точно устанавливать, при каких условиях эти зависимости будут определяться. Так, например, модули упругости или константы гибкости могут быть измерены либо в изотермических, либо в адиабатических условиях; при этом их числовые значения будут отличаться друг от друга, хотя разница между ними не слишком велика — около 0,1 %.
Для того чтобы в полной мере охватить взаимосвязь между тепловыми, электрическими и механическими свойствами кристаллов, надо рассмотреть термодинамику соответствующих процессов. Кратко поясним сущность такого рассмотрения.
Возьмем в качестве независимых переменных, описывающих состояние кристалла, величины, располагающиеся в вершинах внешнего треугольника на рис. 1-35,а. Это будут: температура 0, три компоненты напряженности поля Ek, девять — механического напряжения tim-
Очевидно, что с тем же успехом в случае необходимости мы могли бы выбрать вместо -величин tim величины вместо напряженности поля Ek электрическую индукцию Di, а вместо температуры 0 — энтропию S, причем в любой комбинации, лишь бы в качестве независимых переменных использовалось по одной из двух скалярных, двух векторных и двух тензорных величин. При этом общее число переменных будет равно 13.
Если, как мы условились с самого начала, в качестве независимых переменных выбраны величины 0, Ег- и tim, то в общем виде состояние кристалла можно описать следующими соотношениями:
. ( \
— ( А/.	) dtim +
\ Ullm J Е, 9
упругость
обратный пьезоэффект
(1-45)
тепловое расширение / dDi \
dDi==\dtKt )в,^м + прямой пьезоэффект
70
+(
диэлектрическая проницаемость
пироэлектрический эффект / dS \
)е.^ +
пьезокалорический эффект
(1-45')
. ( dS X _	'
dEt )t,tdEi + электрокалорический эффект
de-
\ JttE
теплоемкость
(1-45")
(1-45'")
Таким образом, мы получаем 9+3+1 = 13 уравнений, в каждом из которых в правой части содержится 9+3+1 = 13 членов. Каждый из дифференциальных коэффициентов характеризует определенный физический эффект, указанный надписью под соответствующим коэффициентом. В совокупности мы получаем все физические результаты, возможные в данной ситуации. Нетрудно показать (см., например, [Л. 1-7]), что
где —константы гибкости, измеренные при постоянной напряженности электрического поля и постоянной температуре; d*kl — пьезоэлектрические модули, измеренные в изотермических условиях;
—коэффициенты теплового расширения при постоянном электрическом поле; р\ — пироэлектрические постоянные, определенные в условиях воздействия фиксированного механического напряжения.
71
СледоваФеЛьно, лривеЛеннУе выше уравйения (1-45) в ййтеграЛь-ной форме можно записать так:
=	(1-50)
^=^«+4^+^;	(i-50')
Ct,E
AS	+p*Et +	—	(l-50/z)
или, развертывая их и применяя матричные обозначения,
Гп =±-s™‘u+
+ $16^12^"	+^21^2+ ^31^8
Г22 = $21’^11 + $Й^22 +5^3*%3 + $^4*^23 +Sfs%i +Sfe^l2 +
+ ^12^1 +^22^2 +^32^8 +a22^»
r3i — $31*^11 +$32*^22 +$33 %з + $34 %з +$35%1 +
+ $Д’б^2 +^1з&1+ ^23^2 +^зз^8 + азз^9;
2гяз = $41*^11+ $42^22+ $43 %з + $44^28 +$45*^81+ $46^12 +
+ ^14^1+ ^24^2+ ^34^3 +a23^®»
2r 81 = S^tn +$52 ^22 +$53 ^88 + $^’^28 + $55 9^81+ $56^12 +
+ ^15^1 +^25^2 +^з5£3 +a3j^0J
2fi2 = $£’9/11+ $^*®/22 +$^’%3 +$ftf^23 +S^5^81+ $^’^12 +
+ ^16^1 +^26^2 +^33^8 +аГ2^®»
+^12^22+^13^33 +^14^23+ ^15^31+ ^ic/12 +
+	+8120£2 +ei2?£a+pi
D2 =d^tn +^22^22+ ^23^88 +^24^23 +^25^81 +^26^12 +.® 12^1 +
+ ®226^2 +®236j^8 +P2^®>
D8	+^32^22+ ^33/33 +</34/23 +^35/31 +^35/12 +
+ 8130^1 +*е23^2 +езз^з+ Рз^9;
AS — afi/и + а^22 + азз/зз + а^23 + а31^81 + °^12+
ct,E
+ Р1Е1 + Р2Е2 + Рз^з+ —— ДО.	(1-51)
Для кварца вследствие того, что его принадлежность к триго-нально-трапецоэдрическому классу симметрии 3:2 обусловливает обращение в нуль ряда коэффициентов Sikim, diki и т. п., написанная здесь система уравнений преобразовывается в более простую 72
(с заменой обозначений гп на rxx, г22 >на гуу, г33 ;на rzz, 2r23 на ryt, 2гз1 на rzx и 2г 12 на гху):
гХх =$if^xx +si2’^vj/ 4“si3*^zz	-Ь afi ДО;
ГУУ — Stffrxx +$П*%/!/ 4“S13 9^22 —^ftyz —с1ц£х 4"af| Д 9;
г zz =sf3’®/Xx +$^3 ^iyy +$33*^zz +«33ДО;
fyz =$14 ^xx	~{“^44^^ZZ 4“^14^x>
fzx ==$Д’9^гх 4"	—d\4Ey\
r*y = 2$i4*9/zx-|-2	— Zd^Ey;
Dx =d^tx* d^tyy-\-d^tyz 4“eii^«»
Dy = dfyzx 2d^txy H-sii^/h/»
Dz = e336^z‘,
C/,£
AS=a^/xxl4“a^vj/ 4“a33^z 4" jp Д9»	(1-52)
Путем аналогичных рассуждений можно показать, например, что
=	=Д,
\ дг<4 )вл \ дЕ‘ Jr,в
(1-53)
где
как
0
— изотермические пьезоэлектрические константы, а также что dtbl = ^imnS^nki
и
6ihl — dimnC^nki при 0 = const, так и при S = const.
(1-54)
Рассмотрим теперь, какие условия возникают при фиксировании тех или иных физических величин. Пусть, например, при измерениях фиксируется температура среды (0=const). В этом случае имеют место изотермические условия. Практически это означает, что определение соответствующих констант (упругих, диэлектрических, пьезоэлектрических и т. п.) производится по данным опыта, в котором переменные величины изменяются чрезвычайно медленно — настолько медленно, чтобы можно было считать, что кристалл все время находится в равновесном состоянии.
Если в другом случае при измерениях фиксируется. энтропия среды (S=const), то эта ситуация соответствует адиабатическим условиям, когда кристалл не получает и не отдает тепла. Такле условия реализуются ' при упругих колебаниях кристаллов. ......'
73
Когда фиксированной величиной является напряженность электрического поля (E=const), то это означает, что поверхности кристалла эквипотенциальны. Если же кристалл вообще экранирован от воздействия электрических полей, т. е. если Е=0, то говорят, что кристалл электрически свободен.
Возможны условия (довольно сложно, впрочем, реализуемые практически), когда фиксированной величиной является электрическая индукция (D=const). Это означает, что любое изменение интенсивности поляризации в кристалле компенсируется равным и противоположно направленным изменением электрического поля. Действительно, из D=const следует, что dD=eodE+dI = O; здесь ео — диэлектрическая проницаемость вакуума. Если при этом еще D=0, то говорят, что кристалл электрически зажат (по аналогии с механически зажатым кристаллом).
Выше нам приходилось встречаться также с условиями, когда фиксированной величиной являлось механическое напряжение (Z<h=const). Практически обычно осуществляется частный случай — ^л=0, т. е. такие условия, когда деформациям кристалла ничто не препятствует. При этом говорят, что кристалл механически свободен.
Наконец условие постоянства деформации (г«= =const) означает, очевидно, невозможность свободной деформации кристалла; в частном случае, когда г«=0, говорят, что кристалл механически зажат.
Если ввести в рассмотрение магнитные свойства кристаллов, то при этом появятся новые эффекты [Л. 1-8]. В самом деле, с учетом магнитных явлений система уравнений (1-50) приобретет следующий вид:
+«5"д9+, (1 -55>
о-55')
AS = «;“	+ р'-н Е, + Ав H,i (1-55")
В этой системе три первые уравнения отличаются от уравнений (1-50) тем, что в них добавлено по одному 74
последнему члену, бни имеют следующий физический смысл:
(ь ’? Нк = [	-Нъ — характеризует так называе-
мый обратный пьезомагнитный эффект, т. е. деформацию кристалла под действием магнитного пол'я; величины укц можно назвать пьезомагнитными постоянными;
•Hj — прямой магнитоэлектрический эффект;
Xij— магнитоэлектрические постоянные;
Рис. 1-36. Связь тепловых, электрических, механических и магнитных свойств кристаллов. а—г — треугольники, образующие грани тетраэдра.
75
<|£fi Ht=	'Hi — магнйтокалорйческий эффект}
— магнитокалорические постоянные (они же могут быть названы пиромагнитными константами).
Кроме того, к системе добавляется новое уравнение (1-55'"), первый член правой части которого характеризует прямой пьезомагнитный эффект, второй — обратный магнитоэлектрический эффект, третий — пиромагнитный эффект, а четвертый член этого уравнения связан с магнитной проницаемостью среды (кристалла).
Заметим, что линейные уравнения (1-55) достаточно точны при малых изменениях переменных. Если это условие не выполняется, то могут наблюдаться нелинейные эффекты: квадратичная упругость, электрооптический и магнитооптические эффекты, электро- и магнитострикция и т. д., описание которых выходит за рамки данной книги.
Если попытаться теперь изобразить связь между тепловыми, механическими, электрическими и магнитными свойствами кристалла диаграммой, подобной той, которая была приведена на рис. 1-35, то придется использовать уже не плоские фигуры (треугольники), а объемные— два тетраэдра, один из которых (малый) должен быть размещен внутри другого (Л. 1-8]. Развертка граней этих тетраэдров приведена на рис. 1-36. Каждая из них представляет собой равносторонний треугольник. Вершины внешних треугольников соответствуют внешним воздействиям на кристалл, а вершины внутренних — результатам этих воздействий, стрелки символизируют различные линейные эффекты, имеющие место в кристаллах; важнейшие из них рассматривались выше.
Глава вторая
Важнейшие физические свойства монокристаллического кварца
2-1. Пьезоэлектрические постоянные
Как следует из предыдущей главы, уравнения пьезоэлектрического эффекта в матричной развернутой форме для низкотемпературного а-кварца можно записать в виде 76
	txx	tyy	tzz	tyx	tzx	txy	
1*	dn	—^11	0		0	0	
4	0	0	0	0	^14	—	(2-1)
lx	0	0	0	0	0	0	
Физический смысл этих уравнений становится более ясным, если переписать их в следующей форме:
/х = dntxx — dntyy ~\~dntyz', | duizx ^dlltxyt /	(2-У)
/2 = 0.	J
Пьезоэлектрические модули в нижней строке матрицы (2-1) равны нулю, поэтому механическое напряжение не приводит к возникновению поляризации в направлении оптической оси (оси Z) кварца.
При приложении напряжения растяжения — сжатия txx или tVy или сдвига tyz поляризация возникает только в направлении оси второго порядка (оси X), а при приложении напряжения сдвига tzx или txy — в направлении, перпендикулярном той же оси.
Аналогичным образом уравнения, описывающие в матричной форме пьезоэлектрические деформации кварца, можно переписать следующим образом:
Гхх — duEх, Гуу — — dnEгzz = 0;	I (2-2)
гyz — d^E Ху г2х — diJEy’, гХу — 2duEу, J
Если из кристалла кварца вырезать кубик с ребрами, совпадающими с кристаллофизическими осями X, Y и Z, и поместить его в электрическое поле Ех так, чтобы направление поля совпадало с направлением электрической оси, то уравнения обратного пьезоэффекта (2-2) приобретут следующий вид:
Гхх== dnEx0;	Гуу^1 dZiEx<Zfy	I	/о
. е.	п	}	(z'°l
гyZ — ЛцЕх	0,	J
т. е. под воздействием поля произойдет расширение ку-бика по оси X, сжатие по оси У и увеличение угла между осями У и Z.
Если тот же кубик поместить в электрическое поле так, чтобы его направление совпадало с направлением оси У, то будут справедливы следующие соотношения:
Ггх= йцЕу\ гху= 2d\\Ey.	(2-4)
77
ПьёзбэЛекТриЧёскйе
Абсолютная система единиц СГСЭ
dij'
Рационализованная система единиц
= 6,9-10~8 ед. зар/дан dи = 2,0-10-8 ед. зар/дан
б/11 = 2,ЗЫ0-12 к/н
0,727-10-12 к/н
Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае в кристалле возможны только сдвиговые деформации.
Экспериментальные значения пьезоэлектрических модулей с1ц, полученные резонансным методом, приводятся в табл. 2-1 [Л. 1-5; 2-1,]. Там же даны и величины пьезоэлектрических констант ец. О знаках этих величин см. § 1-9.
Статическим методом получены значения .da, изменяющиеся в пределах от 6,27-10-8 до 6,94*10-8 ед. зар/дин, и значения da в пределах от 1,45*10-8 до 1,93* 10-8 ед. зар/дин.
Для примера рассчитаем величину поляризации, возникающей под действием напряжения—сжатия WF/cm2 (9,81 • 10~5 дин!см2) вдоль электрической оси X:
Ix=datxx = 6,9-10-8 - 9,81 • 105/300 = 2,26 • К)-4 в/см2.
Таким образом, прямой пьезоэлектрический эффект обусловит в указанном случае появление на поверхностях кристалла, перпендикулярных оси X, заряда, равного 2,26*10-4 в/см2.
Если вдоль оси X кварца действует электрическое поле напряженностью Ех, то имеет место обратный пьезоэлектрический эффект и кристалл деформируется. Расчет величины деформации для Ех=\ ООО в мы произвели выше, в § 1-9, и установили, что для кубика размером 1X1X1 см, ребра которого совпадают с осями X, У и Z, rxx~23 • 10-8 см, a	—23*10-8 см, если поло-
жительное направление электрического поля совпадает с положительным (в физическом смысле) направлением электрической оси.
При том же условии происходит одновременно и изменение угла между гранями кубика XY и ZX: этот угол не будет уже равен 90°, а уменьшится на 0,014". Если 78
Таблица 2-1
постоянные «-кварца
et5
Абсолютная система единиц
Рационализованная система единиц
еп = 5,2-104 ед. зар/см2 ei4 = 1,2*10* ед. зар/см2
еп = 0,171 ю/ж* е14 = 0,0403 к/м*
увеличить расстояние h между электродами, например, в 10 раз, то напряженность электрического поля Е=
= U/l/t уменьшится в 10 раз; при этом во столько же
раз уменьшится и деформация кристалла.
Если единичный кубик кварца подвергается действию только положительного напряжения растяжения txx
(вдоль оси X кварца), то только одна компонента вектора интенсивности поляризации будет согласно (2-Г) не равна нулю:,
Ix—d\itxx.
При этом заряды появятся только на гранях, перпендикулярных оси X (рис. 2-1). Очевидно, что в этом случае положительно заряженная сторона кубика кварца будет обращена в положительную (в физическом смысле) сторону
Рис. 2-1. Прямой пьезоэффект в кристалле: образование заряда на его грани под воздействием
электрической оси.
Пусть теперь действию растягивающего усилия Fx, направлен-
растягивающего
усилия.
ного вдоль электрической оси кристалла, подвергается прямоугольный параллелепипед со сторонами а, Ь, с, направленными вдоль осей X, Y и Z.
Тогда	' lv‘
=	Ix=du-^- = I.	(2-5)
Вектор интенсивности поляризации будет перпендикулярен грани Ьс параллелепипеда, поэтому численно он ра-рец плотности поверхностного заряда. Полный заряд е Ъ
на одной из двух параллельных граней Ьс больше в Ьс раз, т. е.
е=</1Л.	(2-6)
Уравнение (2-6) есть первый закон Кюри, гласящий, что при сжатии или растяжении кристалла кварца вдоль оси X величина поверхностного пьезоэлектрического заряда зависит только от прилагаемого к кристаллу усилия, но не зависит от его размеров.
Предположим теперь, что тот же параллелепипед растягивается вдоль механической оси У. Тогда из (2-1') следует, что
Лс= dutyy.
Имея в виду, что компоненты IV=IZ=O, получим, как и в предыдущем случае, что вектор интенсивности поляризации 1 = К направлен вдоль электрической оси, однако хотя заряды и возникают на тех же гранях, знаки их изменяются на противоположные. Аналогично (2-5) запишем:
lx=I==~d"~ac''
Так как плотность зарядов на грани Ьс равна /, то полный заряд
e=Ibc = — dnFv±-.	(2-8)
Последнее равенство выражает второй закон Кюри, гласящий, что величина пьезоэлектрического заряда, возникающего на грани YZ кристалла кварца, растягиваемого или сжимаемого вдоль оси У, зависит не только от прилагаемого усилия, но и от размеров кристалла.
Из этого закона следует, что при воздействии электрического поля на кварцевый брусок с размерами, например, а=0,7 см, 6 = 70 см, с=0,7 см деформация в направлении оси У (вдоль размера Ь) будет в 10 раз больше, чем в направлении оси X (вдоль размера а).
Большой интерес представляют результаты измерений зависимости пьезоэлектрических констант от температуры. Питт и Мак Кинли (Л. 2-2] измерили температурные изменения пьезоэлектрического модуля du как статическим, так и динамическим методами. Первым методом было найдено, что du уменьшается на 1,3% при понижении температуры с 296 до 83° К, причем максимальное уменьшение du достигало 12% в диапазоне 4—296° К. Динамическим методом измерения пьезомоду-30
ля du были проведены в диапазоне от 5 до 813° К; При понижении температуры от 14° К величина du не изменялась вплоть до 5,5° К, а затем уменьшалась. При повышении температуры от 5,5 до 473° К величина du оставалась почти постоянной; после 473° К пьезомодуль постепенно уменьшался. В целом величина du уменьшается при повышении температуры от 473 до 846° К, обращаясь в точке p-перехода в нуль, а при понижении температуры также уменьшается с температурным коэффициентом 9,7 • 10~4 °C-1.
Зависимость пьезоэлектрического модуля du от тем-
пературы показана на рис. 2-2, причем из того факта, что du не исчезает у высокотемпературной модификации кварца, по-видимому, однозначно следует, что du не обращается в нуль в
точке а^'Р-перехода. При температуре 846° К а-кварц (тригональная система) переходит в высокотемператур н у ю модификацию 0-кварца (гексагональная система). У высокотемпературного кварца имеется один независимый пьезоэлектрический модуль du.
Пьезоэлектрические
Рис. 12-2. Зависимость пьезоэлектрических модулей кварца от темпера-
туры.

уравнения для 0-квар-ца приобретают следующий вид:
I у =	d^tzx\ \
(2-9)
8
6
3
О


гyz—duEx, гzx——d^Eу, (2-9')
Наличие не равной нулю пьезоэлектрической константы позволяет предполагать воз-

можность существования пьезосдвига в плоскостях KZ и ZX, если
6—2584
О ЮО 800 300	400 \
Рис. 2-3. Зависимость пьезоэлек трических констант кварца от температуры.
81
только ее величина достаточно велика, чтобы обеспечить нужный эффект. Остерберг и Куксон {Л. 2-3] возбудили резонаторы из ^-кварца в диапазоне от температуры a^p-перехода до 1 120° С. Значение величины du для р-кварца пока не измерено.
Зависимость пьезоэлектрических модулей dllt dlt и пьезоэлектрических констант ец, ей а-кварца от температуры приводится на рис. 2-2 и 2-3.
Зависимость du от механических напряжений слабо выражена при обычных условиях (малых напряжениях); для более сильных напряжений приводимые в литературе данные противоречивы.
2-2. Упругие постоянные кварца
Мы уже отмечали выше, что классическая теория упругости основывается на постулате, гласящем, что деформация и напряжение описываются симметричными тензорами второго ранга, которые имеют шесть независимых компонент. Зависимость между ними, т. е. упругие свойства анизотропных сред, в частности, кристаллов, может быть описана симметричным тензором четвертого ранга, который имеет 21 независимую компоненту (см. § 1-10).
Для малых деформаций и напряжений с достаточной точностью выполняется обобщенный закон Гука, устанавливающий линейную зависимость между теми и другими:
/*—— Sijkdkit	/,	/ — 1, 2, 3,	(1-32)
где Гц — компоненты тензора деформаций;
tki — компоненты тензора напряжений;
Sunt — компоненты тензора констант гибкости.
В свою очередь напряжения могут быть выражены через деформации
tn=CijMrhi\ i, j, k, 1=1, 2, 3,	(1-33)
где сцм — тензор постоянных упругости (модулей упругости).
Очевидно, что в приведенных формах записи обобщенного закона Гука число компонент каждого из тензоров гц и 1ц равно 9, а следовательно, число компонент каждого тензора зцм и сцм равно 81. Однако поскольку в классической теории упругости предполагается отсутствие нелинейных деформаций, объемных ^о^ертов
й Т. ft., to 6 этйХ условиях Гц—Гц и iij=tj{. Таким образом, симметрия тензора напряжений обусловливается отсутствием объемных моментов, а симметрия тензора деформаций — отсутствием вращения каких-либо объемов внутри кристалла. Исключение из рассмотрения объемных сил (допустимое потому, что они ничего не изменяют в картине интересующих нас явлений) и вращающих моментов приводит к тому, что тензоры констант гибкости и модулей упругости тоже оказываются симметричными, а число входящих в них компонент уменьшается с 81 до 21. Еще больше число независимых компонент этих тензоров уменьшается в том случае, если рассматриваемая среда (кристалл) сама обладает симметрией, как это было показано в § 1-10.
Низкотемпературный а-кварц по своей симметрии принадлежит к тригонально-трапецоэдрическому классу, вследствие чего его упругие свойства описываются семью независимыми компонентами тензора констант гибкости (1-35) и столькими же —тензора модулей упругости (1-34). В матричной двухиндексной форме эти тензоры имеют вид:
	txx	tyy tzz		tzx	t^y
Г XX	511	$12	$18	$1<	0	0
ГУУ	$12	511	$18	“”S14	0	0
Tzz	S18	518	588	0	0	0	(2-10)
ryz	$14	-$14	0	S44	0	0
Ггх	0	0	0	0	$44	2$i4
Г ху	1 0	0	0	0	2$14		$66
где see = 2(s	п — *$12)» И				
	Г XX	Гуу Tzz	ryz	TZx	Txy
1	XX £11	£12	£18	£14	0	0
i	*УУ £1 2	£11	£18	£14	0	0
	tzZ £18	£13	C33	0	0	0	(2-11)
	tyz C14	—C14	0	£44	0	0
	tzx 0	0	0	0	£44	£14
	txy 0	0	0	0	£14	£бв
1 где евв = —	(£11 —	C12).			
6*
83
Между модулями упругости и константами гибкости существует связь, которая выражается следующими соотношениями:
„ ___ 1 ( I S44 \	„_____I /	S44
С11~	Г—J, С12— —
р ___ 5Ч • р _____ 
C1S— — s , С14— s, ,
р  Sn + Si2. „   sn—su .	(2-12)
ьзз— g » S44— p >	'	'
ГДе S=$js($ii Sia) 2$^;
S = S44 (s1j $i2)	2^14*
)
Для любого направления в кварце значения постоянных гибкости определяются при помощи следующего выражения:
s'ij=Sn (1 —у2)2+$33у4+2 (S13+Su) у2 (1 —у2) +
+2$14ру(3а2-р2),	(2-13)
где а, р, у—направляющие косинусы.
Экспериментальные значения статических (изотермических) модулей упругости и констант гибкости, измеренных при +20° С, равны [Л. 2-4]:
Сн=8,605-10“ дин- см~2—86,05-109 н-м~2\ Сзз= 10,71 • 10“ дин - см~2= 107,1 • 10® н • л<"2; £44=5,865 • 10й дин • сл4-2=58,65 • 109 н • л<-2; Ci2=0,485 • 10“ дин • сл<_2=4,85 • 109 н • л<~2; с 1з= 1,045 • 1011 дын-ел-2 =10,45-109 н-м~2-, Ci4=—1,825- 10й дин-см~2=—18,25-Ю9 н-м~2-, £66=4,060-10“ дин-см-2=40,60-10® н-м~2-, Sii = l,279-10-12 см2-дин~1 = 12,79-10-" м2-н~'; $зз=0,956-10-12 сяР-дин-^9,56-10-" мР-нг1-, $44= 1,978• 10-12 см2-дин-1 = 19,78-10-" м^н-1-, sl2-.-0,154-10-12 см2-дин-1 = -1,54-10-" ле2-^1;
$13 = — 0,110• 10-12 см2-дин~1 =—1,10-10-" ле2-»-1; $14 = 0,446-10-12 см2-дин-1 = 4,46-10-" л^-н-1; $66=2,866 • 10-12 см2 - дин-1 = 28,66 - IO-" м2• н-1 ;
При адиабатических условиях и также при +20° С [Л. 2-5] 84
С11=8,675-1011 диН-сМ~*=86,75-1 б9 н-лН; с33= 10,72-10“ дин-см~2= 107,2-109 н-м~2; с44=5,78 • 10“ дин-см~2=57,8-10® н-м~2, £12=0,595-10“ дин • см~2=5,95 • 109 н-м~2; £13=1,191-10“ дин • см~2= 11,91 • 109 «-л*-2; £и=—1,78-10“ дин-см~2= —17,8-109 м-лг2; £66=4,04 • 10“ дин - см~2=40,4 • 109 н • ле-2; $ii = 1,271 • 10-12 см2-дин-1 = 12,71 • 10-“ м2-^1; s33=0,960-10-12 см2-дин~1=9,60-10-“ м2-н~1; $и=2,002 -10-12 см2 - дин-1=20,02 -10"“ м2 - н-1; S12=—0,161 • 10-12 cM2-duH~1=—lfil -10-“ м2 - н—1', $i3=— 0,123-10-12 см2-дин~'=—1,23-10-“ л2-н-‘; Si4=0,441 • 10-12 см2-дин-1=4,41 • 10-“ л-н-1; S66=2,864 -10-12 см2 - дин-1=28,64 • 10~“ м • н~1\
- КЛГ ’ 80-109
подробнее об
кено в гл. 4),v\^ so
w зо го ю
								I	
*									
									
								I	
									
									
								1	
									
								1	
								8	
Очень важное значение для поисков, например, новых срезов кварца, обладающих определенными температурно-частотными характери-О i стиками (линейными, квадратичными или кубическими, 1 этом изложено имеют температурные зависимости модулей упругости и констант гибкости. Результаты измерений этих зависимостей для модулей £ц, сц, ci4 и Сев представлены графически на рис. 2-4 [Л. 2-6]. Зависимость величины 'константы гибкости $ц от температуры была экспериментально определена Перье и де Мандро (Л. 2-7], а для констант $I4, s44 и $66 вычислена Бехманом и Айерс из данных, полученных для модулей £14, £44 и £бб. Полученные ими данные показаны на рис. 2-5.
Как видно из рисунков, температурные ха-
7 ЮО 200 JOO WO °е
Рис. 2-4. Зависимость модулей упругости кварца от температуры.
Рис. 2-5. Зависимость констант гибкости кварца от температуры.
85
рйктеристики упругих постоянных а-квйрЦа ЙвЛйЮТСй непрерывными функциями вплоть до точки а^р-пере-хода. Следовательно, они могут быть представлены степенным рядом, причем если ограничиться тремя первыми членами разложения, то можно написать:
Мв> = cti (0О) [1 + Т^_ (в - 0о)+7^ (в- 0o)S+7^(O-Oo)4;
(2-14)
s<i (0) = вц (во) [1 +71'’(0 - Ов)+7'<2;(0-Оо)‘+7’<3; (б - 0„П
(2-15)
где Т(сп* и 7^"’ — температурные коэффициенты n-го порядка модулей упругости и констант гибкости соответственно.
Значения Т<с"\ и а-кварца при 25° С приводятся в табл. 2-2 [Л. 1-5].
Таблица 2-2
Температурные коэффициенты модулей упругости
п	т!1)•10« cti ГС-»]	T’(2).10« cij	т43).10« ctj pc-s]
11	—48,5	— 1Q7	—70
33	—160	—275	—250
12	—3 000	—3 050	—1 260
13	—550	—1 150	—750
44	—177	—216	—216
66	178	118	21
14	101	—48	—590
Тем	пературные коэф4	эициенты констак	it (гибкости
	yW.lOe	H2). io*	
О	sij *	sto	si3
	ГС-»)	pc-*]	ГС-3]
11	15,5	85,3	147
33	140	247	300
12	—1 370	-1 385	—2 287
13	—166	—718	—823
44	210	262	J 62
66	—145	—85	—135
14	134	93	—465
86
Следует обратить внимание на то, что температурные коэффициенты как модулей упругости, так и констант гибкости имеют различные знаки. Это позволяет получить очень малые, а в отдельных точках температурного диапазона даже и равные нулю значения температурного коэффициента частоты собственных колебаний кварцевых резонаторов. Поскольку, как будет показано в гл. 3, собственная частота колебаний пьезоэлемента резонатора зависит в первую очередь от значения упругой постоянной, то и температурный коэффициент частоты определяется прежде всего температурным коэффициентом этой постоянной. А так как упругая постоянная является в общем случае линейной комбинацией нескольких модулей упругости (или констант гибкости), то и ее температурный коэффициент в свою очередь складывается из температурных коэффициентов указанных модулей или констант. Значит, ориентируя кварцевый элемент относительно осей кристалла таким образом, чтобы температурные коэффициенты, например, модулей упругости, функцией которых является действующая упругая постоянная, имели бы противоположные знаки, можно скомпенсировать их влияние и добиться почти полного постоянства частоты иногда в довольно широком температурном интервале.
2-3. Тепловое расширение кварца
Как показывает опыт, каждая из компонент тензора упругих деформаций кварца пропорциональна изменению температуры
го- = а^Д0; i, /=1, 2, 3,	(2-16)
где (1гj — компоненты тензора 2-го ранга, определяющего тепловое расширение кристалла. Преобразуя систему координат, всегда можно добиться, чтобы не равными нулю остались только диагональные компоненты этого тензора. В результате уравнения (2-16) упрощаются и принимают вид:
Г\ = <ххДО; г2 = а2ДО;	|
„ Л ад	।	(2’^7)
г8 = а3До.	J
Величины	си,	а2	и аз	называются	коэффициентами лине й н ого	р а с ш и ре н и	я.
Анализ соотношений (2-17) приводит к следующим выводам. Если вырезать шар из кристалла и подвергнуть его равномерному нагреванию, то в результате теплового расширения он превратится в эллипсоид с главными осями, совпадающими по направлению с осями той самой координатной системы, в которой обращаются в нуль все компоненты тензора ||а^||, кроме диагональных. Уравнение этого
§7
эллипсоида, называемого характеристическим эллипсоидом теплового расширения, имеет вид:

(2-18)
где Х|=х<(0) — координаты точек на поверхности эллипса.
В тригональной системе, к которой принадлежит кварц, существуют только два коэффициента линейного расширения
ax=ai— а2=и аз=аг,
причем
а2<аа='а1/.
(2-19)
Поэтому шар, вырезанный из кварца, при нагревании переходит в эллипсоид, сплюснутый в направлении оси третьего порядка.
На рис. 2-6 показана зависимость коэффициентов линейного расширения от температуры для образцов кварца, ориентированных
Рис. 2-6. Температурная зависимость коэффициентов линейного а — в плоскости XY в интервале от 20 до 570° С; б — в направлении оптической оси ле температур от —196 до 0° С, а • 10е; г — а2, для направления, составляющего
вале 88
ё направлении осей X, Z и 2' (для ВТ-среза; подробнее о котором см. в гл. 4). Измерения лроведе|ны при температурах от —196 до +570° С [Л. 1-8]; начиная с температуры порядка 200° С, зависимость а=а(0) имеет нелинейный характер. В табл. 2-3 представлены ре-
Та блица 2-3
Коэффициенты линейного расширения кварца
е, *к	аг10в	a^-lO®	е, *К	az.10‘	a^-lO®	9, *К	ar 10®	a*. 10®
23	4,10	8,60	473	8,75	15,61	846.	15,00	25,15
73	5,50	90	573	' 9,60	16,89	846+	17,98	31,02
173	6,08	11,82	673	10,65	18,50	873	17,08	29,71
273	7,10	13,24	773	12,22	20,91	1 073	12,02	22,18
373	7,97	14,45	823	13,81	23,40	1 273	8,83	16,97
зультаты измерения ах, az в более широком интервале температур -2504-+ 1 000° С.
Для полной характеристики теплового расширения кварца достаточно знать два главных коэффициента линейного расширения в зависимости от температуры. Коэффициент линейного расширения кварца в любом направлении, образующем угол ф с оптической осью, можно вычислить по формуле
• 1 +
К1 +2«х + 2(az — ax)cos2/	^2'20^
расширения кварца ах, аг и «г,.
в интервале от 20 до 570° С: в — в интерва-угол —49е с оптической осью в интер-20-570* С.
Коэффициенты теплового расширения кварца с повышением температуры возрастают, претерпевают скачок в точке a^p-перехода (при 573° С или 84’6° К) и плавно увеличиваются при дальнейшем повышении температуры.
Коэффициент объемного теплового расширения есть величина
du__ 1 / dV \ av- do	V \ d6 )•
(2-21) где dV — приращение удельного объема v кристалла, обусловленное бесконечно малым изменением температуры d0; V — объем кристалла.
В результате нагревания единичного кубика кварца, ребра которого ориентированы по направ-
89
ЛёййяМ главных коэффициентдв тёплового расширения, его объем изменится на величину
V= (1+2ап) (1+азз).	(2-22)
. Вычитая из этого объема первоначальный и пренебрегая величинами второго порядка малости, получаем для температур, близких к комнатным:
4’ - 4' (4г) = 2«х + «Z =*: 34,92• 10-• “С-1.
Начиная с температуры порядка 470° К, температурная зависимость а у так же, как и температурная зависимость ах и az, имеет нелинейный характер, резко увеличивается после 670° К, претерпевает скачок в точке еда 0-перехода кварца (846° К), а затем уменьшается с изменением знака на обратный (табл. 2-4).
Таблица 2-4
Значения коэффициента объемного теплового расширения кварца
И/	ay 10е	е, °К	ay 10е	е, °К	ay Ю*
73	12,0	373	40,0	673	67,4
123	19,0	423	43,0	773	100,0
173	25,2	473	46,6	823	141,0
223	29,8	523	50,4	873	0,0
273	33,6	573	54,9	1 073	—4,0
323	36,8			1 273	— 12,0
Коэффициент объемного расширения связан с температурным коэффициентом плотности следующим соотношением:
______1 / dV \_____1 / t/p \	 “V - V d0 р d6 )_______________“р;
<х<п= — 34,92-a<2>=—15,9-10-»°С-2;
a<3»= 5,3-IO-*2’С-«—температурные коэффициенты плотности квар-ца 1, 2 и 3-го порядков в условиях, близких к нормальным [Л. 1-5].
Низкотемпературный a-кварц обладает наибольшей из всех модификаций кремнезема плотностью р, а следовательно, и наименьшим удельным объемом и: р=2,65 С'СМ~3\ a=0,377 см3.
При нагревании кварца плотноегь уменьшается, в точке еда 13-перехода испытывает резкое изменение, затем почти не изменяется а при дальнейшем повышении температуры начинает увеличиваться (табл. 2-5).
При переходе в высокотемпературную модификацию объем кварца увеличивается на 0,86% по сравнению с первоначальным объемом.
90
Плотность а-кварца
Таблица 2-5
0, eK	р, г-сл“3	0, °К .	Р, гем"3	0, °К	р, г см"3
23	2,665	473	2,630	846+	2,533
73	2,664	523	2,623	873	2,533
123	2,662	573	/ 2,616	973	2,534
173	2,659	623	2,609	1 023	2,535
223	2,655	673	2,601	1 173	2,537
273	2,651	723	2,591	1 273	2,541
323	2,646	773	2,581	1 373	2,543
373	2,641	823	2,564	1 473	2,546
423	2,636	846_	2,554		
2-4. Теплопроводность кварца
Распространение тепла в кристаллах, как мы выяснили выше, зависит от их симметрии. В изотропных телах теплопроводность одинакова по всем направлениям, в анизотропных — различна. Для кристаллов с анизотропной структурой большее значение теплопроводности обычно соответствует направлениям, параллельным наиболее плотной упаковке частиц, из которых состоит структура. Для кристаллов с цепочечными структурами, к которым относится и кварц, отношение Aj/A3<l. Для кварца это отношение равно 0,53, т. е. его теплопроводность А3 по оптической оси в 2 раза «больше теплопроводности в перпендикулярном к ней направлении (до 50°С).
Теплопроводность монокристаллического кварца уменьшается с повышением температуры, в то время как теплопроводность аморфного кварца, наоборот, увеличивается. При комнатных температурах кристаллический кварц проводит тепло в направлении оптической оси в 10 раз лучше, чем аморфный кварц (табл. 2-6).
Таблица 2-6
Теплопроводность кварца
0, °К	Кристаллический		Аморфный X- Юз	0, *К	Кристаллический		Аморфный X-Юз
	V 10®	V юз			XplO3	V юз	
21	680					173	26	52	2,5
23	510	—	^1,3	223	20,5	40	3,0
33	205	—			273	17,0	32	3,4
73	66	150	1,5	323	14,9	25,5	3,8
123	36	74	2,0	373	13,1	21	^4,5
Теплопроводность кварца в любом направлении, образующем угол <р с оптической осью, можно вычислить по формуле
Л (?) = Aj sin2 ? + cos2 ?.
(2-23)
91
Теплопроводность реальных кристаллов во многом определяется особенностями их микроскопического строения: чем больше нарушена структура кристалла, тем меньше его теплопроводность. По этой же причине теплопроводность структур в аморфном состоянии меньше теплопроводности структур того же состава в кристаллическом состоянии.
2-5. Теплоемкость кварца
Знание теплоемкости и ее температурной зависимости необходимо
для решения задач, связанных с 'распределением тепла в различных
частях кристалла и влиянием этого
Рис. 2-7. Зависимость удельной теплоемкости а-кварца от температуры.
распределения на процессы поглощения упругих волн.
Теплоемкости всех твердых тел, в частности кварца, уменьшаются с понижением температуры и при температурах, близких к температуре абсолютного нуля, принимают у большинства тел ничтожно малые значения. Так, удельная теплоемкость кварца при температуре 10° К равна 0,5Х ХЮ-3 кал • г-1 - град~\ а при температуре 273° К — 166,4 кал • г~1 • град-1, т. е. при комнатных температурах удельная теплоемкость примерно в 330 раз больше, чем при водородных температурах (табл. 2-7).
Таблица 2-7
Удельная теплоемкость кварца
0, *К	с, кал(г>град	0, вК	с, кал/г»град	0, °К	с, кал{г-град
10	0,0005	373	0,2043	1 373	0,2838
23	0,0054	423	0,2194	1 473	0,2855
25	0,0063	473	0,2327	1 573	0,2875
30	0,0094	523	0,2444	1 673	0,2900
40	0,0160	573	0,2543		
50	0,0230	623	0,2627		
73	0,0410	673	0,2700		
100	0,0620	723	0,2780		
123	0,0774	773	0,2910		
150	0,0995	823	0,3160		
173	0,1112	846	0,3400		
200	0.1303	873	0,2709		
223	0,1413	973	0,2740		
273	0,1664	1 073	0,2767		
298	0,1770	1 173	0,2793		
323	0,1870	1 273	0,2817		
92
Па рис. 2-7 .приводится зависимость удельной теплоемкости кристаллического кварца от температуры. Теплоемкость аморфного кварца непрерывно возрастает и по закону Дюлонга и Пти асимптотически стремится к величине, равной 3R, где R — универсальная постоянная. Теплоемкость кристаллического кварца возрастает и при температуре 573° С (846° К) претерпевает разрыв.
2-6. Электропроводность
Электропроводность кварца вдоль (оптической оси много больше, чем в перпендикулярном к ней направлении. Величина электропроводности зависит от структуры кристалла и описывается формулой вида
р = ВеАТ,	(2-24)
где А — постоянная величина, которая для всех кристаллов равна —d,15*l-04; Т — абсолютная температура. Величина В для кварца примерно равна 3 000 в направлении, параллельном оптической оси, и 1/80 в направлении, перпендикулярном оптической оси. Электропроводность возрастает с повышением температуры до ~770° К и уменьшается в интервале температур 770—>870° К.
Движение ионов параллельно оптической оси происходит по структурным каналам, поэтому электропроводность в направлении оптической оси во много раз превосходит электропроводность в перпендикулярном направлении. Например, при температуре 20° С p(||Z) =8,5 • 10-15 см-1-ом-1 и p(lZ)=3*4O-17 см-1 • ом-1. А. Ф. Иоффе [Л. 2-8] определил подвижность ионов в кварце: при 20° С скорость движения ионов а>«10-7 см •сек-1, а при 300° С юж ~10~4 см •сек-1 (E=d в •см-1). Подвижность ионов зависит от их размеров. Коэффициенты диффузии ионов Li+, Na+ и К+, движущихся параллельно оси Z, при температурах 300—500° С намного превышают коэффициенты диффузии ионов Mg2+, Са2+, А13+.
Методом электроочистки, основанным на значительном повышении ионной проводимости кварца в постоянном электрическом поле при температуре порядка 300—500° С, можно искусственным путем стабилизировать решетку кристалла. Под действием постоянного электрического поля ионы примесей удаляются из кристалла или смещаются в другое положение, при этом удаление или смещение ионов примесей приводит к изменению структуры кварца, а следовательно, и к изменению его акустического поглощения.
В кристаллах кварца, по данным спектрального анализа, основными примесями являются Na, Li, Си, Mg, Са, Al, К, Fe, Мп, В, Ва, Pb, Сг, V, Ti, Zn. Большинство их входит в концентрациях поряд-' ка 10-5. Однако даже незначительное количество примесей может оказывать существенное влияние на тепловые, оптические, структурные и другие свойства кварца.
2-7. Диэлектрические постоянные
Диэлектрические постоянные, как и другие константы кварца, описываются двумя главными значениями — вдоль оптической оси и перпендикулярно к ней.
93
Диэлектрическая постоянная кварца в рационализованной системе единиц вдоль оптической оси е* — е* = =е^ = 39,97-10~12 ф!м, в перпендикулярном к ней направлении =е* =41,03-10~12 $/л«, в рационализованной системе единиц; в системе СГСЭ ej=4,65,a е3=4,55.
Для любого направления электрического поля Е, имеющего направляющие косинусы а, Р, у, диэлектрическая постоянная равна:
e£=a2ex + ^ey + Y2ez.	(2-25)
Полагая, что ф— угол между оптической осью и направлением электрического поля, получаем:
= ех + (е2 — ех) cos2 <р.	(2-26)
В направлении оптической оси диэлектрическая постоянная мало изменяется в диапазоне температур 0—100° С, затем постепенно возрастает при повышении температуры до 300° С, принимая в этой точке значение, равное 112- 10-12 ф}м\ при дальнейшем повышении температуры до 750° С она практически не изменяется. В направлении, перпендикулярном оптической оси, диэлектрическая постоянная не изменяется с повышением температуры до 300° С, затем слабо возрастает в диапазоне температур 300—500° С. далее резко возрастает до величины, примерно равной НО - 10~12 ф!м при 800° С. ez не зависит от напряженности электрического поля до 2 000 в-см, а далее возрастает, ех не зависит от напряженности поля до 12 000 в • см-1.
2-8. Влияние температуры вблизи (3-перехода на свойства кварца
При температуре ~ 573° С в кварце наблюдается переход кристаллической структуры из тригональной симметрии 3:2 в гексагональную 6:2, т. е. a-кварн превращается в p-кварц, который обладает совершенно иными свойствами, в частности иными пьезоэлектрическими свойствами. При этой критической температуре происходят резкие изменения пьезоэлектрических и упругих постоянных, коэффициентов линейного и объемного теплового расширения, теплоемкости, электропроводности, диэлектрических постоянных, коэффициентов преломления, вращения плоскости поляризации, углов между гранями при вершине и т. п. Эти величины изменяются плавно до критической температуры, при которой они претерпевают резкие скачкообразные изменения, сс^р-превраще-ние относится к так называемым фазовым переходам второго рода, при которых все физические величины для данного вещества, зависящие от вторых производных термодинамического потенциала по температуре, иопыты-94
вают разрыв в точке перехода (A-точке). Это относится к теплоемкости, тепловому расширению, упругим постоянным и т. д.
В термодинамической теории Ландау показано, что в A-точке кривая теплоемкости испытывает разрыв в виде скачка. Перестройка кристаллической решетки связана с затратой энергии, что и выражается в резком повышении теплоемкости кварца в точке а^р-перехода.
Из теории Ландау вытекает возможность аномального поглощения звука в кварце при фазовом переходе второго рода. Несмотря на большие экспериментальные трудности, это явление было обнаружено и исследовано [Л. 2-9—2-11].
Глава третья
Резонансные колебания пьезоэлектрических элементов 3-1. Общие положения
Пьезоэлектрическим резонатором называется устройство, состоящее из определенным образом выполненного пьезоэлектрического кристалла и приспособления, предназначенного для закрепления и соединения его с внешней электрической цепью. Электрическое поле, подведенное к пьезоэлектрическому элементу такого резонатора, будет вызывать его механические деформации. Если это поле меняется со временем по гармоническому закону, то возникающие деформации будут знакопеременными и, таким образом, на воздействующие на него электрические колебания кристалл будет отвечать колебаниями механическими. Однако, как всякая механическая система, при некоторой частоте вынужденных колебаний кристаллический элемент войдет в состояние резонанса. В этом состоянии он уже будет вследствие прямого пьезоэффекта оказывать активное обратное воздействие на внешнюю электрическую цепь. Такое воздействие можно использовать как для стабилизации частоты колебаний в упомянутой цепи, так и для выделения некоторого сигнала, совпадаю-. щего с собственной частотой резонатора. Именно этой г способности отзываться на некоторые, строго определен-
95
ные частоты Электрических колебаний и обязал своим названием пьезоэлектрический резонатор.
Говоря выше о пьезоэлектрических колебаниях резонатора, мы все время подразумевали, что в состоянии колебаний находится только его кристаллический элемент, кристаллодержатель не принимает в них участия. Строго говоря, это не вполне точно, хотя такое условие является крайне важным, и необходимо принимать все меры, чтобы оно выполнялось. На этом основании в наших рассуждениях мы и в дальнейшем будем считать, что влияние системы крепления кристалла на большинство параметров пьезорезонатора пренебрежимо мало; когда это допущение нельзя будет сделать, мы приведем соответствующие замечания.
На какие же вопросы должна дать ответ теория колебаний пьезоэлектрических резонаторов (которые мы пока будем отождествлять с их кристаллическими элементами)? Прежде всего это вопрос о частотах их собственных резонансных колебаний. Далее, электрическая реакция резонатора в некоторой цепи подобна реакции контура, состоящего из емкости, индуктивности и активного сопротивления, величины которых пропорциональны соответственно механической инерции, упругости и сопротивлению трения кристалла. Ответ на вопрос о конкретных значениях этих параметров также должна дать теория колебаний резонаторов. В настоящее время перечисленные задачи решены далеко не для всех практически важных случаев, поскольку необходимыерасчеты сравнительно легко выполнить лишь при известных допущениях, лишающих их общности, а иногда существенно снижающих практическое значение полученных результатов. Поэтому следует обращать внимание на необходимость учитывать эти допущения при анализе приводимого ниже материала. В некоторых конкретных случаях их последствия будут подвергаться специальному обсуждению.
3-2. Продольные колебания, (колебания сжатия — растяжения по длине)
Если рассматривать стержень, длина которого много больше его ширины и толщины, то с некоторым приближением можно принять, что единственным видом деформаций, который необходимо было бы принимать в расчет, является деформация сжатия — растяжения по 96
длине такого стержня. Практически такое допущение оправдано, если по крайней мере />106 и />10/г, где I — длина, Ь — ширина и h — толщина стержня.
Выберем направление длины стержня вдоль оси Хъ (конкретно для кварца — вдоль кристаллофизической оси К), а направление его толщины—вдоль оси Х{ (оси X для кварца). Такая ориентация пьезоэлемента практически для нас наиболее интересна, однако не следует забывать об общности приводимых ниже рассуждений: принятая привязка к осям принципиально на этих рассуждениях не сказывается.
Если нанести электроды на грани, перпендикулярные толщине кристалла, то отличной от нуля будет лишь одна компонента плотности поверхностного заряда оь 'поскольку электрическое напряжение не подводится к другим поверхностям. Так как предполагается, что толщина стержня мала, то градиент напряжения можно считать постоянным по всей его толщине. Кроме того, поскольку электроды представляют собой эквипотенциальные поверхности, Ei не изменяется по направлениям Х2 и Хз, т. е.
(3-1) дхг dxt	' '
На поверхностях граней, перпендикулярных к толщине пьезоэлемента, механические напряжения отсутствуют. Толщина стержня мала, поэтому можно считать, что и внутри него эти напряжения малы, т. е. что
Zii=Zi2=Zi3=0.	(3-2)
Точно так же, поскольку ширина стержня мала, /зз=/2з=Лз=0.	(3-2')
По направлению длины (единственному направлению, в котором мы не считаем размеры стержня пренебрежимо малыми) напряжения на поверхностях равны Z22, /гз, Z12- Однако Zi2=0, следовательно, конечной является только величина /22-
В § 1-5 были выведены уравнения, связывающие изменения напряжений в теле с ускорениями его элементов. Эти уравнения мы и используем теперь в качестве уравнений движения кристаллического стержня [Л. 3-1].
Пусть на такой стержень, изготовленный из пьезоэлектрического материала, воздействует внешнее элек-7—2584	97
трическое поле. Вследствие прямого пьезоэлектрического эффекта внутри стержня появятся механические напряжения, которые вызовут смещения отдельных его элементов. Обозначим смещения указанных элементов в направлениях осей Xlt Х2 и Х3 через Ui, и2 и из соответственно. Тогда система уравнения (1-19) может быть записана в следующей форме:
*J=!.'2,3.	(3-3)
Для стержня, длина которого совпадает по направлению с осью Х21 а ширина и толщина пренебрежимо малы, единственной конечной 'компонентой напряжения является, как уже было замечено выше, /22- Поэтому при сделанных допущениях система (3-3) сводится к одному уравнению, которое запишем в матричных обозначениях (такими обозначениями мы будем пользоваться в дальнейшем почти исключительно):
дги2__ dt2
р dt* ~~ дхг '
Преобразуем это уравнение. Учитывая, что Е2=Е3= = 0 и /1=/2=^4=^5=^в=0, из уравнений (1-51) получим:
г 2 = s22t 2 И- d12E 1.	(3-5)
В правой части (3-5) слагаемое sf2/a определяет деформацию, обусловленную чисто механическим напряжением, а слагаемое duEi— деформацию, обусловленную обратным пьезоэффектом.
Отсюда
<3-6)
*22	*22
Поскольку г2 есть относительное удлинение ди2/дх2 вдоль оси Х2, уравнение движения преобразуется следующим образом:
p“3F==4"‘^2‘t’^”5*r‘	'
Заметим теперь, что Е^ — постоянная величина, не зависящая от координаты, поскольку электроды обра-98
зуют эквипотенциальные поверхности. Поэтому дЕх1дх2=? =0 и последнее уравнение упрощается:
д2а2 1 д2и2
р - 4
(3-8)
Итак, получено хорошо изученное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Его решение может быть легко найдено, если ввести практически оправданное допущение о том, ’что «2 изменяется со временем по гармоническому закону
ма = uaelmi.
Тогда уравнение движения стержня (3-8) примет следующий вид:
rf2«0 I п Е	| (О2	_ /А
—+ шаря22 и0 = —£+—и0 = 0,.	• (3-9)
ах %	и%2 v
где введено обозначение oa=l/ps^2. Как известно из механики упругих сред, v есть скорость распространения упругой продольной волны в стержне.
Решение уравнения (3-9) при произвольных граничных условиях имеет вид:
u0 = 4cos^H-Bsin-^.	(3-10)
Для определения постоянных А и В используем соотношение (3-6). Дифференцируя выражение (3-10) по Х2, получаем:
= r2 =	( - A sin	+ В cos = 4/а + d^.
dx2	v	v 1	v J 22	1	“ 1
(3-11)
Когда Х2=0.или Х2 — 1, где I — длина стержня, то для свободного (не зажатого на концах) пьезоэлемента напряжение /22=0. При этом, когда Х2=0,
=	(3-12)
и когда ха = /,
-^^-Д8щ-^-|-Всо8^-)=</1а£1.	(3-13)
7*
99
Определим отсюда постоянные Л и В и подставим их в уравнение для г2. Получим: /	со/
/	1 — cos ——
/ Е* I л л СОХ2 I r2=dia£l| cos—— \ sinv
sin^ V
- <0(/ —x2) , co/ I	V
sin— \
в>хг V
(3-14)
Последнее соотношение позволяет определить амплитуду деформации в каждой точке Хг стержня, совершающего гармонические колебания сжатия — растяжения по длине.
Оставим пока это соотношение в стороне и преобразуем для рассматриваемого случая уравнение прямого пьезоэффекта. Вспомним, что интенсивность поляризации диэлектрика I численно равна плотности поверхностного заряда. Отсюда (для направления вдоль оси Х±), используя соотношение (1-51) и учитывая, что все напряжения кроме /2, равны нулю, получаем единиц СГСЭ):
(в
системе
е'
71 — 01 — (/2272 -]	Е\.
(3-15)
61 =
(3-16)
(3-17)
Учитывая (3-6), находим:
_____V 1 г 4к SE F* SE '2' s22 )	s22
Если кристалл зажат с	концов,	то га = 0 и
г	/ е1	rf12 р
ai ”	i"4iT	7ё~г1‘
(	\	®22 /
Выражение, стоящее в скобках (для определенной кристаллографической ориентации стержня это постоянная величина), представляет собой диэлектрическую проницаемость зажатого кристалла:
Г	J
®1	е1	“12
4я 4л •
(3-18)
100
Вводя это обозначение, можем написать:
_   61 Р | ^12   61 р | ^12 ^2
1 4к "Г s£ Г'~ 4« £‘+ 4 дх2
(3-19)
1 =
£
Найдем теперь ток через кристаллический стержень длиной I и шириной b при гармонических колебаниях после подстановки ©место г2 его значения из (3-14):
i	i
= jwb j OidXa=—h—r2 ^dxt =
/	tot \
• I e] ^12 2v 1
= ^bl +“4 pl/2v
Проводимость свободного кристалла равна:
<о/ \ 4nd?2 4g 2v | -------775—	(3-20 eIs22 ®Z/2" /’
1 i ______ i j4>ble\
Т= ~U EJi— 4ЙГ
где h — толщина стержня; U — разность потенциалов на его электродах.
Выражение (3-20) позволяет найти частоты, при которых Z—►О, т. е. резонансные частоты. Очевидно, электрическое сопротивление кристалла будет стремиться к нулю при tg = со или при-^-=-£-(2л 4-1). Следователь-но, низшая резонансная частота равна:
. _ v_1 / "Т“
г-21-21	р4’
(3-21)
При Z—»оо будет иметь место антирезонанс. Частота . антирезонанса может быть найдена из условия
1 +
со/
е' sf2 <°Z/2f
(3-22)
Исследование полученных соотношений позволяет сделать еще и следующие важные заключения. Если изобразить, графически зависимость .реактивного сопро-101
тивления X пьезоэлектрического резонатора от частоты, то получится кривая, изображенная на рис. 3-1 (для значений аргумента, лишь немного превышающих частоту первого антирезонанса и без учета потерь). Как из-
вестно, такая же резонансная кривая характеризует и
Рис. 3-1. Зависимость реактивного сопротивления X пьезоэлектрического резонатора от частоты.
электрический контур, состоящий из индуктивности и двух емкостей (также без учета потерь), изображенный на рис. 3-2,а. Эта аналогия была использована Ван Дейком ГЛ. 3-2], который впервые предложил теперь уже общепринятую схему, приведенную на рис. 3-2,а, в качестве эквивалентной схемы замещения пьезоэлектрического резонатора. Далее мы увидим, что эта схема остается приемлемой не
только для случая продольных колебаний: аналогия остается достаточно полной также и при всех других видах колебаний двухполюсных пьезоэлектрических резонаторов, хотя для более точного соответствия физическим свойствам указанной схемы резонатору оказывается необходимым добавить еще один элемент — активное сопротивление в последовательной ветви, представляющей потери энергии в процессе колебаний. Учет высших гармонических резонансов приводит окончательно к схеме, изображенной на рис. 3-2,6.
Рис. 3-2. Эквивалентная схема пьезоэлектрического резонатора. а — без учета потерь; 6 — с учетом потерь и гармонических колебаний. 102
Вблизи первого (основного) резонанса элементы эквивалентной схемы могут быть определены с помощью следующих очевидных соотношений:
f =------(3-23)
fg — fr __ Cl __ 1	/о пдч
fr ~ 2С0 2г ’
где fa—частота антирезонанса, а г—отношение емкостей кристалла *.
Величина Со сравнительно просто может быть связана с константами кристалла, если воспользоваться тем, что при <o=2fff —► 0	jwC0. Из выражения (3-20) вытекает,
что при очень низких частотах
1	( r d2i2 \
Z —* 4пй I 81 -И1' SE I- 4rtft = j®C0.
\	*22 )
 Отсюда
Со = [СМ\ = 9.10-” 4- [0.	(3-25)
1 Строго говоря, сопоставляя соотношения (3-23) и (3-24), мы смешиваем нетождественные понятия — частоту параллельного резонанса с антирезонансной, а частоту последовательного резонанса— с резонансной частотой. В частности, формула (3-23) определяет не резонансную частоту fr> а частоту последовательного резонанса fa, при которой равны между собой абсолютные значения реактивных сопротивлений «динамической» ветви эквивалентной схемы: 2rtf£i = l/2ttfCi. Резонансная же частота — это низшая из двух частот вблизи состояния резонанса, при которой импеданс резонатора носит активный характер. Точно так же fp — частота параллельного резонанса — определяется как частота, при которой равны реактивные сопротивления 2nfLt и------CfC^— ’ слеД°вательно» частота fp=
Ci + Со
==------->-----у,--Г" *'• В то же время антирезэнансная часто-
та —это высшая из тех двух частот, при которых вблизи резонанса импеданс приобретает активный характер. Приравнивать друг ДРУГУ fp и fa, а также fa и fr, как показывает анализ, можно лишь при условии, что емкостное отношение г достаточно велико. Для кварца это действительно так (г^120). Поэтому в дальнейшем мы будем, не оговаривая этого каждый раз особо, отождествлять соответствующие частоты.
103
Обратимся теперь к условию антирезонанса (3-22). Из него следует, что
СОа/ х COaZ_____	___ k2
2v CT£ 2v — sr E— < 1 — ^» s22
(3-26)
ТДе введена новая величина k — коэффициент электромеханической связи. Физический смысл этого коэффи-
циента заключается в том, что он представляет электрической энергии, сообщенное кристаллу, переходит в механическую форму рри нулевой
^12
V «1
^2
|/ ^522+^12
ту часть которая частоте:
(3-27)
k =
Заметим теперь, что поскольку разность между резонансной и антирезонансной частотами относительно невелика (в особенности дл^ кварца), мы можем написать:
. .•	fa=fr + *f . ‘
и, следовательно,
(оа = (ог -|~ Дю = (ог 2тсД/.
* Подставив это выражение в уравнение (3-26) и учиты • вая, что
со/ _ тс
Г
И

получим:
п тс - Af
/ AC Ctg-9-Ctg-9--r- — 1 тс f 1 I Af \	2	2 /Г ______
2 I ' fr * тс	тс ,af
' ctg—+ ctg—
\z 1 + Af/fr___It	" Af__
^ctg.«Af/2fy.— 2 “TTj	‘
Поскольку Д/ <^ fr, можно принять, что
’	. to-n
S 2 fr 2 fr'„
(3-28)
104
1+т-=!-
В этом случае
Далее, учитывая (3-24), находим:
л-_о/-	fe2 г _ 8 4”d>2 eiw
10 fr-^r (1_fe2) ь0-я2
я dinbl	d^bl	' •.
=4- -^T	M= 8.9- Ю-”	-Д-	hfl-	(3-30)
s22 n	s22n
Пользуясь формулой Томпсона fr = 1/2tc]/'LiCi, найдем выражение для динамической индуктивности пьезоэлектрического резонатора
L 1	_	,9.10й_____=
№f2rCi	1	bl
4тг2 ——в----£—
4/2pS22 n2s22^
/ Е \	'
= 1,125-10пр(	[г«]. J (3-31)
\ «12 у *
Полученные соотношения выводились, как указывав лось, для случая, когда колебания происходят на основной частоте. Не приводя здесь подробных математических выкладок, заметим, что значения Со и Li остаются неизменными и на высших гармониках, а значения Ci снижаются пропорционально квадрату номера гармони- ки. Иными словами, выражение для динамической емкости с учетом порядка гармоники колебаний принимает следующий вид:
С1 = 8,9-10-*»-^ [$,	'	, (3-32)
^2^22 где п — номер гармоники.
3-3. Колебания по толщине
Теория распространения плоских волн в бесконечной анизотропной среде была разработана еще в конце прошлого столетия [Л. 3-3, 3-4]. В 30-х годах нашего века эта теория была применена для описания колеба
105
ний по толщине пластин, выполненных из пьезоэлектрических материалов [Л. 3-5—3-7]. В указанных работах выведено общее уравнение колебаний пластин с бесконечно большими поперечными размерами и найдено его решение. К сожалению, задача о колебаниях пластин конечных размеров до сей поры окончательно не решена.
Основные положения теории Кристоффеля, описывающей распространение плоских волн в бесконечной упругой анизотропной непьезоэлектрической среде, сводятся к следующему. Воспользуемся уравнениями движения, записанными в той же форме, что и в предыдущем случае (при рассмотрении продольных колебаний), т. е. в виде системы (3-3). Для того чтобы найти решение этой системы в данном случае, преобразуем ее правую часть. Обозначим направление распространения упругих волн через s. Тогда можно написать:
s = liXi + I2X2+1зХз>	(3-33)
где h, 1г, /3 —направляющие косинусы.
Очевидно, что компоненты деформации п(7=1, 2, ..., 6) будут связаны с компонентами смещения следующими соотношениями:
_ . да, .	_ . ди2 .	_ . ди, ,
г‘ —11 ds ’ Г2~~1г ds ’ гз — 1» ds ’
„	, да2 । , du, ф j dut । , ди, t
Г*~~12~5Г*1,~ЗГ’ г‘ — /1"дГ‘1“/з‘дГ>
__ 1 ^2 I 1
г* — ч ds ~^~12 ds •
(3-34)
Далее, как мы знаем, в анизотропных упругих средах
= Cijrfi i-= 1, 2,..., 6. На этом основании уравнения 7=1
движения (3-3) могут быть приведены к следующему виду:
ft д2и,	у, д2и, । -р д2и, 1 р д2и,.
р‘дР’—111 dF"»-112 д^"“г 113 "ds2’’
д2и, __ р d2u, । р d2u, । р d2u, .	.q qe\
Р d/2 ~ 121 ds2 "г1»» ds2 'T’123 f)s2 ,	(3-00)
d2u,   p d2u, 1 p d2u, 1 p d2u,	I
P dt2	1,1 ds2 "r1’2 'ds2'"r1” ~dsr>	)
106
где величины Г;т=Гтг представляют собой постоянные коэффициенты, носящие название модулей Кристоффеля.
Модули Кристоффеля являются линейными комбинациями направляющих косинусов l\, 1%, 1$ и модулей упругости сц:
Гп = сп/] + свл122 + ctil23 + 2cttltl3 +
-Н	—1“ 2С1вМ2,
Г22 = сю12 4- с82^2 4“ С44/3 4-2с24/2/3 4~
4~ 2c«e^i 4~ 2свгМ2>
Г33 = cSil2 + С44/2 4~ ciSl23 + 2с43/2/3
“И 2с36/3/3 “I-2c64/j/2,	(3-36)
г28=c3ii2 -I-Cm/j 4“ £«/3 4~ (^23 4*	4~
4~ (С46 4* С3з) Mi 4“ (ce4 4~ cas) Mw
Г»1 = ^61/| 4~ ^48^2 4~ ^88^3 4“ (^48 4~
4~ с8в) 4~ (^8» 4~ ^se) hh 4~ (cse 4“ c4i) hia
Г\2 := С1в/| 4- Сзг13 4“ ^"84^3 4“ (^84 4“ ^ss) Ml 4-
4~ (С68 4~ ^>4) Ml 4~ (С»2 4“ С8в) ^8-
Если теперь ввести новую переменную |, которая будет представлять собой величину упругого смещения в направлении, определяемом свойствами материала (в конечном итоге — его симметрией), то тогда компоненты смещения щ, U2, из будут равны:
|ut = а5; и2 = и, = f5,	(3-37)
где а, 0 и у — соответствующие направляющие косинусы. При этом условии система (3-35) может быть преобразована в одно уравнение, в котором как в правой, так и в левой его частях будет один и тот же аргумент
р^1=(7±1. н dt2 4 ds2
(3-38)
В этом уравнении величина q связана с модулями Кристоффеля Г/m « направляющими косинусами а, ₽, у
следующими соотношениями:
аГи 4~ pTig4“ Y^is = а7!
аГи -j~ ?Г82 4- Т-Г23 —
(3-39)
аГ134-рГ23 4-уГ33==уд.
107
Очевидно, что величины q могут быть вычислены из следующего кубического уравнения:
Это уравнение, имеет обычно три положительных действительных корня qm (m=l, 2, 3).
Вернемся теперь к уравнению (3'38). Уравнений такого типа описывают распространение упругих волн со скоростью	/
/ (3-41)
Поскольку в данном случае имеются три^ значения qm, то очевидно, что должны иметь место три волны, распространяющиеся со скоростями
(342)
Направления распространения волн определяются направляющими косинусами ат, ₽т, Ут.	2, 3),
значения которых можно найти с помощью уравнений (3-39) и (3-40): :
fm	. р ёт	.
V fm +igm + hm	V fm + &т + Am
у --------km_______
>m j/f2+g2+A2	’
r I tn 1 &tn 1 m
(3-43)
где ==(Г,22 Qm) (Г33 tfir.) ^23 -’ gm === Г*13Г2з	Г12 (Г33	^7rr),
hm = Г12Г23 — Г13 (Г22	Чп.)-
Легко показать, что все три направления взаимно перпендикулярны. Угол между направлением распространения волны s(/i, /2, /3) и направлением упругого смещения £(am, рт, ут) может быть найден с помощью следующего соотношения:
COS '^т =	^7J.^2 “|“ Yt) ^3*	(3~44)
Для того чтобы перейти теперь к пьезоэлектрически возбуждаемым колебаниям пластин конечной тол-108
щиньк нужно учесть дополнительные механические напряжения, возникающие в них благодаря (пьезоэлектрическому эффекту. С этой целью вместо уравнений (1-34), описывающих связь между напряжением и деформацией в анизотропных, но в принципе непьезоэлектрических средах, следует воспользоваться системой более общих соотношений:
6	з
£ekiEfC'2..........6- »[(3’45)
)=1	Йн
Величины сц входят в эти уравнения с индексом Е, указывающим, как мы знаем, на то, что они измеряются при постоянном электрическом поле; три последних члена в правой части каждого уравнения характеризуют обратный пьезоэлектрический эффект.
Пусть теперь рассматриваемая пьезоэлектрическая пластина имеет, как и ранее, бесконечные поперечные размеры, но конечную толщину h. Практический интерес представляет случай, когда электроды наносят непосредственно на поверхности пластины, т. е. когда зазор между этими поверхностями и электродами отсутствует. Пусть, наконец, нормаль к пластине параллельна s— произвольному направлению распространения волн.
Учитывая известные соотношения, связывающие напряженность поля Е с электрическим потенциалом U, с одной стороны, и с интенсивностью пьезоэлектрической поляризации I, с другой, можем написать:
д2и _ дЕ (s) _ 4л / д/,  д!г  д!г
ds2 — ds — е. dxt -г дхг "г" dxs /	[	)
где компоненты вектора I связаны с компонентами деформации соотношениями (1-25), а величина es есть диэлектрическая проницаемость кристалла в направлении $; в общем виде она выражается соотношением
Ss =	4- ®22 % + ®33 ^3 + 2®28^Л +
+ 2^ + 2^,	(3-47)
где 8^ = е^ — диэлектрические постоянные механически зажатого кристалла.
Используя выведенные ранее соотношения (3-34) и (3-37) и учитывая, что значения а, 0 и у в данном слу-
109
чае несколько изменяются_ из-за пьезоэлектрического эффекта (обозначим их а, ₽иу), можем преобразовать уравнение (3-46) к такому виду:	/
дЕ^_1*е дП	/ /о доч
ds2 - ds ~ е, ds2 ’
где е — .эффективная’ пьезоэлектрическая константа:
e=aS1+₽Ss+YS„	(3-49)
а величины	(i = 1, 2, 3), входящие в это соотношение,
могут быть найдены из следующих выражений:
21 =	4“	4*	4" 4“	4-
4~ (^si 4~	4~ (е1« 4~ ем)
2г —	+ 622/2 4“ esJ-3 4“ (^24 4- ^32) IJ-s +	(3-50)
4~ (^зв 4~ ^u)	4~ (^12 4~ ^гв) 4^;
23=6J6/j -4- 624^2 4~ ^33/3 4- (е2з 4~ ^34) Мз 4~
4“ (^»з 4“ eis) hh 4- (е14 4“ е25) Шг-
Напомним, что символами Ц обозначены косинусы углов между осями координат и направлением распространения волн 5. Интегрируя уравнение (3-48) по s и используя в качестве граничного условия равенство нулю механических напряжений на поверхности пластины, получаем следующее выражение:
£(S)=-^	+5,	(3-51)
е» vs е, \OS
где В — постоянная величина, зависящая от расстояния между электродами, которая для случая, когда последние наносятся непосредственно на поверхности пластины, равна:
в=^[^-(т),„]-	<3'52)
В соотношениях (3-51) и (3-52) 5П0В	—значения
6 и на поверхности пластины.
Подставляя значение постоянной В из (3-52) в (3-51), получаем:
£(s)= 4г -S"	(3'53)
110
Если теперь в свою очередь подставить это последнее выражение в (3-45), а полученные в результате соотношения в (3-3), то можно найти уравнения распространения волн в пьезоэлектрическом материале. По форме они совершенно аналогичны уравнениям (3-35), если в последних произвести замену модулей Кристоф-феля.Гущ на величины Г*ьп, равные

(3-54)
В результате определитель, соответствующий определителю (3-40), будет выглядеть следующим образом:
If-?*	ГБ 12	ГБ 13	2,	
ГБ	ГБ —а* 1 22 Ч	ГБ 23	2а	
ГБ	ГБ Л23	ГБ — *33	9* 2,	= 0.	(3-55)
Si	Si	2»		 4те	
Иными словами, вековое уравнение для пьезоэлектрического материала получается из уравнения для непьезоэлектрического материала путем окаймления определителя ‘приведенными пьезоэлектрическими коэффициентами и диэлектрической постоянной es.
Решением уравнения (3-55) будет. q*m — результирующий модуль упругости. Эта величина отличается от величины qm находимой из уравнения (3-40), прежде всего появлением нового члена, отображающего степень воздействия на материал внешнего электрического поля; кроме того, в данном случае изменяется и само зна-Е чение qn, так как изменяется направление упругого перемещения.
Таким образом,
=	(3-56)
где — корень уравнения (3-39), в которое вместо а, 0 и у подставлены косинусы а, 0 и у углов, определяющих
Ш
направление смещения при колебаниях пьезоэлектрической пластины, т. е.	/
С = ГК + ГЖ + rK_+_2rf2aX +/ + 2lf3ajnYm + 2r|Mm. / (3-57)
Результирующий модуль упругости q*m связан с на» правляющими косинусами а, р и у следующей системой уравнений:
a^n+pr^+fr*,^^*; |
аГ*12 + рГ*22 + тГ*и = ру*; j (3-58) аг*„4-рг*2,+тг*„=Т9*. 1
Полученные уравнения позволяют найти выражения для частот колебаний пластины с бесконечными поперечными размерами, определяемых ее конечной толщиной h. Очевидно, что реализовать свободные колебания в такой пластине можно тогда, когда на ее поверхностях выполняется условие
(-Й-) =0.		(3-59)
\	/ НОВ
выражающее отсутствие механических напряжений. При этом основное волновое уравнение для непьезоэлектрического кристалла (3-38) приводит к следующим значениям собственных частот толщинных колебаний:
)
где п — любое целое и не равное нулю положительное число (номер гармоники колебаний).
Для пластин, выполненных из пьезоэлектрического материала, как следует из изложенного выше, уравнение (3-38) преобразуется таким образом:
н д/2 — 4 ds2 ’
(3-61)
а граничные условия для напряжения Т на поверхности (при отсутствии зазора между кристаллом и электродами) выражаются так:
Т'пов
8тг£2£гов
HQB
в,Л
(3-62)
112
8—2584
Частоты колебаний, возбуждаемые пьезоэлектрически, определятся следующим соотношением:
\	/<n)=-2L (1----1/	(3-63)
\ 'т 2Л \ nn2e„q*m J у р	'	'
Итак, в общем случае в пьезоэлектрическом кристалле могут быть возбуждены три волны упругих деформаций, распространяющихся во взаимно перпендикулярных направлениях. 'Скорости распространения этих волн различны, поскольку они определяются значениями упругих констант материала, которые в кристаллах и анизотропных телах зависят от направления.
В случае, если из пьезоэлектрического кристалла вырезана пластина толщиной h, в ней в принципе могут быть возбуждены собственные колебания на частотах, определяемых выражением (3-63). В общем случае одно из этих колебаний (его называют колебанием вида Л) представляет собой колебание сжатия — растяжения в направлении толщины пластины, а два других — колебания сдвига во взаимно перпендикулярных направлениях в плоскости пластины (колебания видов В и С). Частоты этих колебаний всегда располагаются в такой последовательности:
причем /в и fc обычно довольно близки друг к другу.
_ Однако при решении уравнений (3-58) относительно а, fi и Т обычно оказывается, что каждое из трех смещений
В2 и 53 имеет компоненты как параллельные, так и перпендикулярные поверхности пластины, так что ни одна из волн не является чисто компрессионной или чисто поперечной (сдвиговой). Поэтому только в некоторых специальных случаях одно из колебаний в кристаллах оказывается строго продольным, а два других — строго сдвиговыми. Для осуществления чистого растяжения — сжатия должно быть выполнено условие
а = 1^=12-, ч = 1,.	(3-64)
Для реализации чисто сдвиговых колебаний должно выполняться условие
й + &-№=0.	(3-65)
113
Далее следует отметить, что возбуждение каждого из трех упомянутых видов колебаний определяется/ возможностью вызвать пьезоэлектрическим путем (т. Д воз-। действием приложенного извне электрического п<Уля) те виды деформаций, которые должны осуществляться при этих колебаниях. Соответствующий критерий мокно выразить следующим образом: деформация при колебаниях должна быть такой, чтобы производить пьезоэлектрическую поляризацию в направлении возбуждающего поля [Л. 1-4]. В каждом отдельном случае должен быть решен вопрос о том, имеется ли пьезоэлектрический коэффициент, удовлетворяющий этому условию.
Рассмотрим в качестве примера вопрос о том, какие колебания могут происходить в кварцевых элементах среза Y (т. е. вырезанных таким образом, что их главные грани параллельны кристаллографической плоскости ZX, а толщина направлена вдоль механической оси кварца). Если электрическое поле направлено вдоль оси Х2 (т. е. вдоль оси Y кварца), то, как следует из соотношений (1-31), описывающих обратный пьезоэффект в кварце, в вырезанном из него кристаллическом элементе могут быть реализованы только два вида деформаций — сдвиг в плоскости ZX, т. е. в плоскости главных граней пластины, и сдвиг в плоскости XY, т. е. в данном случае сдвиг по толщине. Первый из этих сдвигов в рассматриваемой ситуации является совершенно "нежелательным, так как им обусловливаются не толщинные, а контурные колебания !. Для второго из упомянутых сдвигов справедливы следующие соотношения:
Гху = ^Еу; 11==1з==^'>	l2~ Y
Благодаря этим равенствам выражения (3-36) для модулей Кристоффеля упрощаются:
Гц = Сбв; Г22=Сц; Гзз = С44; Г2з =—£14*, Г12=Т1з=0. Теперь можно вычислить значения направляющих косинусов а, Р и у:
ai=l;	₽i = 0;	Yi=0:
а2=0;	₽2=—0,907; у2=—0,422;
а3 = 0; р3=0,422; у3=—0,907.
1 Это не значит, что колебания сдвига по контуру в кварцевых пластинах У-среза сами по себе не представляют интереса; однако в тех случаях, когда требуется использовать именно контурные колебания, нежелательными будут уже колебания сдвига по толщине, рассматриваемые сейчас как рабочие.
114
Таким образом, первое из направлений упругих смещений в кварцевых пластинах среза Y параллельно электрической оси кварца Л; возникающие при этом волны поперечны, а фронты волн и направление колебаний совпадают с плоскостью пластины. Направления смещении в двух других случаях составляют углы с нормалью к фронту волны, приблизительно равные +25 и — 65°. Заметим, что в приведенных выше рассуждениях использовались выражения для непьезоэлектрических сред. Можно, однако, убедиться (здесь не приводятся соответствующие расчеты), что для кристаллов кварца в рассматриваемом случае значения направляющих косинусов а, р, у не сильно отличаются от найденных значений «, р, у.
Если рассматривать не только чистый У-срез, а всю группу так называемых «косых» или «повернутых» У-срезов, т. е. срезов, получаемых путем поворота плоскости среза пластины вокруг оси X (электрической оси кварца), то можно найти корень уравнения (3-40):
q\ — Гп = с'м = сав cos2 р° + см sin2 р° +
-|- 2<?l4 sin р° cos р°,	(3-66^
где р° — угол между оптической осью Z и прямой, лежащей в плоскости пластины, выходящей из начала координат и перпендикулярной оси X, — так называемой «осью Z'».
С учетом пьезоэлектрического эффекта в кварце результирующий модуль упругости q* может быть получен из последнего выражения путем добавления к нему, как это следует из уравнения (3-56), члена, равного 4ле2/ев, в который необходимо подставить значения е и из соотношений (3-49) и (3-47).
Теперь попытаемся найти значения параметров эквивалентной схемы пьезоэлектрического резонатора при толщинных колебаниях. Предположим для этого, что к кристаллической пластине приложено извне переменное электрическое поле Eh, которое вызывает, вообще говоря, шесть компонент механического напряжения, см. (1-27):
— ^kiEh, — ^hsEh, •••,	—	&к$Ек.'
Назовем возбуждающим механическим напряжением суммарное переменное напряже-8*	115
ние, действующее равномерно во всей пластине и Обусловливающее те самые колебания, которые возникают под действием поля (Л. 1-4]. Тогда по определению
Тк = -екЕк,	/ (3-67)
где — «действующая* пьезоэлектрическая константа.
Очевидно далее, что поле Ek связано с разностью потенциалов U. на электродах, которые, как правило, наносятся непосредственно на пластину следующим соотношением:
(3-68)
где А, как и ранее, — толщина пластинки.
Если разность потенциалов изменяется по гармоническому закону, т.' е. если U = ийе‘т*, то
7\=-е^Ек = - -4--------.	(3-69)
Попытаем-ся теперь выразить мгновенное смещение §(х) в любой точке по толщине пластины через возбуждающее механическое напряжение 7\ и частоту колебаний со. Начало координат расположим в центре пластины.
Для установившегося режима используем следующее соотношение:
. 5 = Д(л)ем,	(3-70)
где А есть комплексная функция от х, включающая в себя амплитуду, частоту и фазу. Подставляя (3-70) в (3-61), получаем:
4^+^Д(л) = 0,	(3-71)
где
Интегрируя уравнение (3-71) и учитывая граничные условия
5=0 при x=0,
116
при
h
у, получаем:
Д/у\ — sh7*
Л W 9*т ch 7ft/2 е '
(3-72)
Отсюда получаем выражение для деформации (х) в любой точке, находящейся на расстоянии х от центра пластины:
г	<^(*)	Г?0 ctlYX (а/
дх — q* chfh,2e
(3-73)
Полагая х = 0, получаем деформацию в динат, т. е. в центре пластины:
yh
М°)=~
Учитывая соотношение
(3-69), находим:
g^0e/o,<
^(0) q*h ch у/г/2
начале коор-
(3-74)
(3-75)
После ряда преобразований и упрощений тельной системы без потерь можно прийти к выражению:
2<оеки^
Г. (0) =-----«т 
5' '	vq*hpn
для колеба-следующему
(3-76)
где pn = <Bno—(On; (Ono — резонансная частота (круговая) на n-й гармонике, а соп — частота внешней вынуждающей силы, близкая к сопО (поэтому Кэди назвал величину рп мерой диссонанса).
Вспомним далее, что ток через единицу поверхности диэлектрика равен dDfdt, где D — электрическое смещение. В рассматриваемом случае D есть сумма двух компонент, первая из которых равна ъгЕ — смещению в зажатом кристалле, вызываемому наложенным полем, а вторая определяется пьезоэлектрическим эффектом, обусловливаемым деформацией материала пластины. Таким образом [Л. 1-4],
о =.'£(4) 4
8^^(0) п
(3-77)
117
/
Подставляя в это соотношение значение г?(0) из (3-/б) и дифференцируя по времени t, находим значение/мгно-венного тока, текущего через пластину конечной площади S*:
i=j
16<^<о„о nq*n2p„
(3-78)
Принимая во внимание, что <опях <вПо=“р у можно теперь найти полное сопротивление кристаллического элемента, колеблющегося по толщине без потерь:
Z =	(3-79)
Используя (3-63) и учитывая, что величина ет в этом выражении может быть отождествлена с величиной в соотношении (3-79) (если вспомнить приведенные выше определения этих величин), после некоторых преобразований * 1 получаем для динамической емкости Ct и индуктивности Lt резонатора:
-2n2q*h	(3-80)
для статической емкости кристалла (без кристаллодержа-теля)
(3‘82)
Напомним, что при выводе соотношений (3-80) и (3-81) использовались уравнения, выведенные для кристаллов с бесконечно большими поперечными размерами. Опыт показывает, что эти соотношения тем не менее достаточно точно выполняются уже тогда, когда от
*В данном случае S, строго говоря, это не площадь пластины, а площадь нанесенных на нее электродов; в этом смысле мы и будем в дальнейшем понимать символ S.
1 Подробно эти преобразования приводятся, например, в работе Кэди [Л. 1-4] (§ 255 и далее).
118
ношение поперечных размеров пластины к ее толщине больше 60.
В тех случаях, когда поперечные размеры пьезоэлемента превосходят его толщину в меньшее количество! раз, влияние краев пластины на характер ее колебаний становится весьма существенным. Практически для того, чтобы устранить это влияние, оказывается необходимым скашивать (фасетировать) края пластин или даже изменять форму их поверхностей, выполняя пьезоэлементы в форме чечевицы. Теория колебаний таких пьезоэлементов в настоящее время еще только разрабатывается; с некоторыми закономерностями, найденными экспериментально, мы познакомимся ниже.
3-4. Контурные колебания
Контурными мы называем такие колебания, при которых перемещения элементов объема пластины происходят в плоскости ее главных граней одинаково по всей ее толщине; при этом изменяется форма контура пластины. В таком случае, если смещения вызываются пьезоэлектрически, они происходят нормально к направлению приложенного поля.
Для вывода соотношений, определяющих собственную частоту колебаний пьезоэлемента, предположим, что он вырезан перпендикулярно оси Х3 и что его толщина — размер ib направлении оси — настолько мала, что механические напряжения /з=/4=^=0*. Будем считать, также, что остальные компоненты механического напряжения /i, t2 и /в не равны нулю и имеют внутри пластины конечные значения, но исчезают на ее ребрах.
Так как толщина пластины мала, а электрическое поле направлено вдоль оси Х3, то единственной отличной от нуля компонентой поля будет Ез: Ез=й=0; Е1 = Е2=0.
В этом случае, преобразуя уравнения (3-45), мы можем получить следующие соотношения:
ti = cf] И + cf2 r2 + cf6 re — г81£8;
/2 == Ctf) + ^22 ^2 + ^26 ^6	^82^8»	(3-83)
^6 — Г1 + С26Г2 "b C66r6 -^86^8- J
В полученных соотношениях cfj— модули упругости при постоянном поле — связаны с константами гибкости при постоянном поле
♦ Излагаемая здесь теория контурных колебаний разработана Мэзоном [Л. 3-1].
119
следующими выражениями:
	g (_])<+.АО Cij —	Д	’ J ~ 11			. 2, 3,	(3-84)
где		sfl	SV2 Sfe		
	А =		E	E S22	S26	>	(3-85)
		Sfe	sE SE s26	s66		
а ДИ — миноры, получаемые зачеркиванием х-й строки и /-го столбца.
Пьезоэлектрические константы и модули при контурных колебаниях связаны соотношениями:
£81=б/81 cfi + ^82С]24'^звс1б »
#32 =б/81С^ + ^88с22 “Ь^8вс26>
^86	+ ^82^26 + ^8бС66’
(3-86)
Значения упругих «модулей, измеренные при контурных колебаниях сравнительно толстых пластин, могут заметно отличаться от значений, получаемых в других условиях.
Подставляя выражения для -6, и /б в уравнения (3-3) и учитывая, что
дЕ3 _ дЕ3 дх2 ’
поскольку наносимые на пластину электроды являются эквипотенциальными поверхностями, получаем:
д2их Е д2и Е d2tii р д2их Е , Р-^“=СИ -^2-+2с16	+ Сб6~д4+ С'6~д^ +

+	+с6з)
д2и2 , Е д2а2 дХгдхг. .+ fi26 -дх^ ’
д2и2 р д2и} р р д2аг р д2их ₽	= С16 “^2“ + <С12 +С6б) 0Xidx2 + С26
1	Л
р д2и2 р д2и2 р д2и2
+ Сб6~д^ + Сх ^дх2 + С^~дЛ'
(3-87)
120,
Для простых гармонических колебаний, совершающихся с частотой со, последняя система приводится к виду:
р д2И\ р d2iii р d2ii\ р д2и2 , С" +2С'6 ^дхг +C66“^f + C<6-^2- +
+(«* +4)	«&-^т + “2p«i = °;
(3-88)
р д2и2 f? д2И2 . р д2И2	_
+ ₽66-fo2” +2с26 dXtdXi + С22 “^2" + »2Р«2=0.
Точное решение этих уравнений найдено лишь для случая, когда длина пластины (например, ее размер вдоль оси X]) много больше ее ширины (в данном случае размера вдоль оси Х2). При этом можно принять, что ширина пластины конечна, а ее длина — бесконечно велика. Компоненты смещения щ и и2 вдоль длины бесконечно длинной пластины не должны претерпевать никаких изменений, следовательно,
d2iZj д2ах д2а2 д2и2
____==__________- =--------— = ______------ --Q
dx2 dxidxi fa? dxtdxt
При этих условиях уравнения (3-88) значительно упрощаются и при нимают следующий вид:
р д2иг р д2и2 . п
«66 дх2 +«66 дх2 +«P«i = 0;
(3-89)
„ р и 111 в U“U2 .
С26 а 2 + с22 а 2 + <°2РН2 = 0.
(/^2	</^2
Решая эти уравнения совместно,,^мы получаем соотношения, определяющие две связанные волны. Если — то каждая из этих
волн независима от другой; при этом одна из них является волной сдвига, а другая.— волной растяжения— сжатия, распространяющейся в направлении ширины пластины. Если s0< то ни-чистых колебаний сдвига, ни независимых колебаний сжатия — растяжения не существует.
Резонансные частоты, которые могут быть найдены в результате решения приведенных уравнений при cfe = 0, определяется из следующих выражений!	.	...
для чисто сдвиговых колебаний
41	‘ 1 tri~~ 2b V р ’
121
для колебаний сжатия — растяжения
1 f сЕ
1 1/	с22
fr2 - 2b V р ’
(3-90)
,	F F
где b — ширина пьезоэлемента, а под величинами и с^2 следУет
понимать приведенные значения модулей упругости, преобразованные для соответствующих кристаллографических направлений.
Для случая, когда длина пьезоэлемента сравнима с его шириной, строгого решения уравнения движения для контурных колебаний не найдено. На практике обычно используются приближенные полуэмпирические выражения. Одно из них было предложено Мэзоном [Л. 3-1]:
/ Е	-
Атп)_____1_ / с65 1 Г/П2	। а2 И2
' г — 2 У р У /2 “Г ‘
(3-91)
В приведенном соотношении т и п — достаточно большие целые числа, a ki — величина, определяемая опытным путем. При малых тип эта величина близка к единице, однако в таком случае более точным является следующее выражение [Л. 3-9]:
(тп) F
г ~ Г8
тг , пг
(3-92)
где коэффициент F может быть приблизительно с помощью соотношения
F = 1,289 — 0,0469
sfl + s22
SE * s66
рассчитан
(3-93)
Величины m и n в формулах (3-91) и (3-92) имеют вполне определенное физическое содержание — это количества узловых точек, образующихся при колебаниях данного вида по длине и ширине пьезоэлемента соответственно. Эти числа мы будем называть иногда показателями вида колебания.
Изучая контурные колебания квадратных и прямоугольных пластин, выполненных из различных пьезоэлектрических материалов (кварца, пьезокерамики, на основе титаната бария и др.), обнаружили, что такие пластины одного и того же среза и с одинаковыми площадями главных граней возбуждаются на одних и тех же резонансных частотах независимо от соотношения 122
между их поперечными размерами. В то же время, если кристаллические элементы обладают одинаковыми резонансными частотами контурного сдвига при различных значениях показателей вида колебаний, отношение площадей их главных граней будет равно отношению произведений соответствующих значений тип. Иными словами, площадь пьезоэлемента с рабочим видом колебаний, характеризующихся числами тип, при равных частотах будет в тп раз больше площади пьезоэлемента, совершающего колебания основного вида (т—\, п=1). Эти результаты позволили предложить следующее выражение для резонансных частот колебаний сдвига по контуру (Л. 3-15]:
В соотношении (3-94) значения F также определяются соотношением (3-93); для «повернутых» У-срезов кварца эти значения приведены далее, в табл. 7-1. Выражение (3-94) дает значительно лучшее согласие с экспериментом, чем формулы (3-91) и (3-92), при условии, что b/п	п -	,
значения отношения—находятся в пределах от0,5 до 1.
Еще раз обращаем внимание читателя на то обстоятельство, что формулы (3-90) — (3-94) записаны для самого общего случая в предположении, что условные оси координат Хь Х2, Х3 совпадают с ребрами пьезоэлемента, а возбуждающее электрическое поле направлено вдоль оси Аз. Поэтому рассматривая, например, контурные колебания кварцевых пластин У-среза, нужно помнить, что осью Х3 здесь будет служить механическая ось кристалла У, а за оси Xi и Х2 должны быть приняты его кристаллофизические оси X и Z соответственно. Тогда вместо условных упругих констант Све и $66 в упомянутые соотношения надо подставить постоянные с33 и $55 для кварца; рассматривая пластины «повернутых» У-срезов кварца, нужно использовать значения упругих постоянных c'ss и $'55, трансформированные для соответствующего угла ZZ'=p° между оптической осью Z кристалла и главными поверхностями пластины. Например, в этом случае
$'„ = см cos’ р° '$44 sin” р° — 2su sin 2jP. (3-95) 123
3-5. Изгибные колебания
Во всех рассмотренных выше случаях колебания пьезоэлектрических элементов описывались дифференциальными уравнениями второго порядка. В случае изгибных колебаний мы имеем дело с комбинированными деформациями (сочетанием двух противофазных сдвигов или сжатий—растяжений). Поэтому уравнение движения (3-3) в данном случае не может быть использовано.
Рис. 3-3. Расположение из-гибного стержня и координатных осей.
Рис. 3-4. Изгиб стержня в пло скости Х'гХ'з.
Дифференциальное уравнение для случая изгибных колебаний тонкого кристаллического стержня не отличается по своей форме от уравнения, описывающего аналогичные колебания изотропного стержня (Л. 2-4], если под скоростью распространения упругой изгибной волны понимается скорость, измеренная в направлении длины кристаллического стержня. Кроме того, в кристаллическом материале нормаль к поверхности волны в общем случае может не совпадать с продольной осью стержня. Задача об изгибных колебаниях изотропных стержней в основном решена Рэлеем [Л. 3-10]. Полученные результаты были использованы для разработки теории изгибных колебаний кристаллических препаратов (Л, 2-4, 3-11—3-14].
Для вывода уравнения изгибных колебаний предположим без ущерба для общности приводимых ниже рас-суждений, что колебания происходят в плоскости кристаллографических осей X2X3. Пусть, как это изображено на рис. 3-3, длина стержня направлена вдоль оси Х'3, а его ширина *- вдоль оси Х'а.
124
В рассматриваемом .нами случае изгиб стержня вызывается парой сил Fx,, которая обусловливает деформации в направлении оси Х3. Если происходит чистый изгиб в плоскости ХгХ3, то лишь одна компонента механического напряжения ?3 не равна нулю, тогда как
t'i = t'i — t'4 = t'5 — t'6 = 0.
Согласно рис. 3-4 можно записать:
г'^^Л-х'й,	(3-96)
где I — длина стержня. Если воспользоваться тем, что в данной ситуации r',~s^t'„ то можем получить:
(3-97) ‘	«33	«33
Подставив (3-97) в выражение (1-32) и положив равными нулю все компоненты напряжения, кроме 1'з (в дальнейшем мы будем опускать штрихи .в обозначениях компонент рассматриваемых соотношений, не забывая, однако, об общности последних), сможем написать следующую систему уравнений:
 — ^“1______Е / _ 4 <f „ .
1— дХ1	г х„
г _	_ „Е, _ «23 У
Га“ дх, ~~S23T» — ~^E	Г2’
«да Г —^-z=^Et —-^-Х • г*~ дх, 5зз‘« I Хи „Е 543 У 4 1
<.Е S53 У .
В	I Х»>
«33
,	,	-В
(tel । ди,	_ «63 у „
/	/ .	.	w.
г — дач । ди, , е . Г* дх,"*' dx,~~Sw*
ди, । ди,_ е,
дх,* дх,~~^г
Х2 »
(3-98)
125
Интегрируя эти уравнения, получаем:
/ SE	cE
I 513	. i s53
— I g— XiX2 4~ —g-
*33	S33
/	sE
u— I 21LJL
“a	SE	I
'	s33
Х2Х3 I “F"'
2
SE __ 553
SE
s33
(„Е ь s53 JCiXa
~7e	2~
S33
Е 2 \ S63 Х2 | У . «Е 2 I 9 S33 J
523 Х2
F 1 7Г“2 533
г2 \ х3 | у .
Т” 2 I I 9
*2\
I r v I S43 *2 \ У “T^2A3-1	2	/ ‘
533	/
(3-99)
(3-99')
(3-99”)
Если теперь приложить к стержню соответственным образом направленное электрическое поле (как это было указано выше, в § 1-9), то его колебания будут происходить так, как это обусловлено, — в плоскости Х2А'з. Следовательно, мы должны найти выражения для /33 в функции от «2- Для этого продифференцируем уравнение (3-99') дважды по х3, в результате чего получим:
дгиг__________
1
(3-100)
Отсюда для ts находим:
t __ 1 дги.г
Г» ~ -Е Хг , 2 •
$33	С7Х3
В курсах по кристаллофизике (например, [Л. 1-2, 2-4]) доказывается, что упругий потенциал единицы объема анизотропного тела может быть определен с помощью соотношения
з 2U= I 4.
I, J, k, 1=1
Используя то обстоятельство, что в нашем случае все /м = 0, кроме /3, можно написать:
т 1	1 Е 12	1	1	2 /	\	/о 1 1 \
= ~ 8зз^з	““Те"-^2 [ ^2 г (3-101)
$зз	0X3 )
Если с помощью этой последней формулы рассчитать упругий потенциал для всего стержня, то, приме-126
няя принцип Гамильтона, можно получить уравнение изгибных колебаний кристалла в плоскости ХгХ3 в виде
д‘иг_ 1 4, д*иг
Р “ 12 4 дх<
(3-102)
где аХг — размер стержня в направлении оси Хг.
Если теперь восстановим опущенные выше штрихи у символов координатных осей, упругих постоянных и т. д., то увидим, что последнее уравнение остается в си-
ле при произвольном повороте стержня вокруг оси -X); поскольку текущая координата х'з изменяется по направлению длины пьезоэлемента, то постоянная гибкости (sE33)' должна вычисляться для того же на-
правления, а величина рис. 3.5. изгиб стержня в плоско-аХ2 — измеряться вдоль	ста X'sX'i.
оси Х'2.
В приложении к кварцу рассмотренный случай соответствует изгибным колебаниям пластин в плоскости YZ(Y'Z').
Обратимся теперь к другой ситуации, когда колебания изгиба кристаллического стержня происходят в условной плоскости Х'зХ'1 (рис. 3-5) *. Дифференциальное уравнение колебаний для этого случая можно вывести совершенно аналогично тому, как это было сделано выше. Как видно из рис. 3-5, разница заключается в том, что под воздействием пары сил Fx>> стержень изгибается теперь в плоскости Изменив соответствующим образом соотношения, использовавшиеся при выводе уравнения (3-102), получим для изгиба в плоскости Х'зХ'1
• о _______Lax, d*ut
Р dt* ~ 12 "в" ТГ’	(3-
«33	0%з
где он —размер стержня в направлении оси или, точнее, Х\. Из сравнения уравнений (3-102) и (3-103)
* Применительно к кварцу этот случай соответствует колебаниям брусков в плоскости XY (Х'У'). Каким образом осуществляются деформации этого типа, также было рассмотрено в § 1-9.
127
видно, что входящие в них постоянные коэффициенты совпадают. Это означает, как увидим ниже, что частоты собственных колебаний стержней, соответствующие размеры которых совпадают, одинаковы при изгибе как в условной плоскости Х2Х3, так и в условной плоскости X3Xi. Используя указанное обстоятельство, перепишем оба упомянутых уравнения в более общем виде:
д2и 1 а д*и
где а обозначает размер aXi стержня при колебаниях в условной плоскости Х3Х1 или его размер аХа при колебаниях в условной плоскости Х2Х3, а величины з33 и х измеряются в направлении длины пьезоэлемента; соответствующим образом определяется и переменная и. Очевидно, что конкретно для кварца величина а представляет собой размер ах при колебаниях в плоскости XY (или XY') и размер az при колебаниях в плоскости KZ (или Y'Z')\ соответственно в качестве постоянной
В	В	t В
з33 для кварца выступает величина з22 или (s22).
Попытаемся теперь найти решение уравнения (3-104). Полагая, как обычно, в таких случаях, что колебания стержня совершаются по гармоническому закону, подставляем в это уравнение M=F(x)e/“< и приводим его к виду1
^ + Y4F(x) = 0,	(3-105)
где
r= 12psf3a>a/aa.	(3-106)
Отсюда частота собственных колебаний стержня
__ <о _ у2а /	1
2«	4«/3’|/ s®p
Остается определить значения у. Граничными условиями в случае незакрепленных концов являются условия от
1 В уравнении (3-105) и далее нижний индекс 3 у символа текущей координаты х можем опустить без какого-либо ущерба для Общности рассуждений.
128
сутствия на них поперечных сил и изгибающих моментов:
д2и__л. д>и___q
дх2 ~~и’ дх2 ~~ •
Используя эти условия, получаем: для четного числа k узловых точек
(3-108)
Fk (х)'= A cos YfcX	В ch ykx;	(3-109)
для нечетного числа k узловых точек
Fft(x) = CsinYhx4-£)sh	(3-109')
Поскольку по условию начало координат располагается в центре стержня, то на его концах х = если ввести обозначение
тк = -Ьук1,	(3-110)
то мы придем к соотношениям: для четных k
—	A cos nik + В ch ть = 0; A sin mu + В sh тп = 0;
для нечетных k
—	С sin т.к + D sh Шк = 0;
—	Ccos/nfe-J-Dch/nn = 0.
.Условие неравенства нулю коэффициентов А и В
— COS/Иц chwZfc sin/Иц sh/wft
Условие неравенства нулю коэффициентов С и D соыпк chmfc sin Шк sh Шк
Эти последние уравнения, которые могут быть записаны в форме
(3-111)
. (3-111')
(3-112)
= 0.
= 0.
(3-112')
tg тк +'(-г-1) ftth Шк=0,
(3-113)
129
9—2584
(3-110),
(3-114)
величине кон-
определяют собственные значения или т^. Ниже приведены первые пять корней этого уравнения (k=2 срответствует основной частоте колебаний):
т2 2,36502, т\ = 5,59332;
/и3 = 3,92660, «2 = 15,41819;
«4 = 5,49780, т\ = 30,22591;
«6 = 7,06859, «2 = 49,96496;
«в = 8,63938, «2 = 74,63889.
Подставляя теперь в (3-107) значение Y& из получаем:
а*>__ т^а ГТ nF 3Z2 |/ р«зз
Напоминаем, что в рассматриваемом случае на sE представляет собой приведенное значе!
станты гибкости кристалла в направлении длины стержня, т. е. собственно	но штрих для простоты обо-
значений был нами опущен.
Полученная формула, как показывает практика, является удовлетворительной только в тех случаях, когда длина стержня I много больше его «действующего» поперечного размера а, также определяющего частоту колебаний. Обусловливается это тем, что при выводе выражения (3-114) не были учтены эффект инерции вращения и влияние пуассоновского бокового сжатия— расширения, которые оказывают заметное влияние (особенно первый) на частоту изгибных колебаний.
Учет инерции вращения приводит, естественно, к усложнению уравнения (3-113) для собственных значений «>*:
,	(tg + р$ (th «аС2)р = 0,	(3-115)
где /?=(— l)ft;
-L/?»y212.
Л___ а
V 12'
130
Очевидно, что произведение £&= 1? После подстановки значений 7? и уь для прямоугольного стержня длиной I и поперечным размером, определяющим частоту, равным а, последнее уравнение приводится к виду 1 1
4,2= [pH-------36— J ±—§—J •	(3’116)
Для бесконечно узкого стержня, т. е. при а/1—>-0, уравнение (3-115) сводится к уравнению (3-113). Значения nik, вычисленные с помощью уравнения (3-115) для k=2, 3, 4, приведены в табл. 3-1 в функции от all. Эти значения, однако, также еще нуждаются в экспериментальных поправках; для m2 они будут приведены в гл. 6.
Таблиц'а 3-1
Значения mk, вычисленные по уравнению (3-115)
аЦ	тл	т3	
0	2,36502	3,92660	5,49780
0,1	2,34124	3,84207	5,30215
0,2	2,27619	3,63264	4,87080
0,4	2,08170	3,13533	4,03845
0,6	1,87971	2,73543	3,46740
0,8	1,70687	2,44273	3,07230
1,0	1,56576	2,22333	2,78200
Для вывода соотношений, связывающих в случае изгибных колебаний параметры эквивалентной схемы резонатора (рис. 3-6) с геометрическими размерами и кристаллофизическими постоянными пьезоэлемента, воспользуемся методом динамических аналогий [Л. 3-14]*. Этот метод основывается на том очевидном факте, что резонансные колебания пьезоэлектрического резонатора могут быть описаны как дифференциальным уравнением механической системы
(3-U7)
* Заметим, что мы будем рассматривать здесь только такой способ включения изгибного резонатора во внешнюю цепь, при котором он может быть замещен эквивалентным двухполюсником. Изгибные резонаторы могут включаться в схему и как трехполюс-ники и даже как четырехполюсники, однако для двух последних способов включения удовлетворительная теория еще не разработана. 9*	131
так и аналогичным дифференциальным уравнением последовательного электрического контура, представляющего динамическую ветвь Су Lit <Ri схемы рис. 3-6:
U <•	Ц/1	V» 1
В уравнении (3-117) переменная и представляет собой механическое смещение, коэффициент т — эффективная масса кристалла, р — его жесткость, г — доля энергии,
Рис. 3-6. Эквивалентная схема пьезоэлектрического резонатора вблизи основного резонанса при учете потерь.
рассеиваемая при колебаниях («механическое сопротивление»); в уравнении (3-118) q — электрический заряд, U — разность потенциалов на зажимах схемы рис. 3-6.
При пьезоэлектрическом возбуждении механической системы дейст
вующая на нее сила пропорциональна приложенному к ней электрическому напряжению, а возникающий заряд пропорционален смещению
(3-119)
Величины ki и k2 имеют размерность электрического потенциала и согласно основным принципам термодинамики [Л. 2-4]
ki k2 'k*
Величина k представляет собой уже знакомый нам коэффициент электромеханической связи.
Умножив дифференциальное уравнение для электрической схемы на k=kt=FIU и заменив согласно (3-119) q величиной k2u, преобразуем уравнение (3-Г18) к виду
+	=	(3-120)
U ►	U »•	'-'1
Сравнивая коэффициенты этого уравнения и уравнения (3-117), получаем:
(3-121)
132
Итак, если бы мы сумели найти выражения для механических величин т, г и р, нам удалось бы определить и параметры эквивалентной схемы Л1л Ci и Ri. Заметим, что механическое сопротивление г пьезоэлемента (в особенности, изгибного) зависит не только и не столько от его внутренних свойств, сколько от способа его монтажа и потерь в последнем. Поэтому точный расчет динамического сопротивления Ri, исходя из одних лишь констант кристалла, невозможен. Следовательно, проблема расчета динамических характеристик пьезоэлектрического резонатора сводится к расчету величин Li и Ci, которыми мы в дальнейшем и ограничимся.
Статическая емкость Со может быть вычислена по общеизвестной формуле для плоского конденсатора; в эту формулу должна быть подставлена диэлектрическая проницаемость зажатого кристалла. Следует помнить, что этим способом вычисляется только емкость собственно кристалла; емкость резонатора в целом неизбежно окажется несколько выше за счет емкости кри-сталлодержателя и монтажа.
Для решения поставленной задачи можно использовать следующие очевидные соотношения. Если стержень длиной Г, толщиной h' и шириной Ь' закрепить на одном конце, а к другому концу приложить силу F' в направлении ширины стержня, то возникающее в нем механическое напряжение может быть определено из соотношения
Г = £^=12^$,	(3-122)
где х3 и х2— координаты; х3 отсчитывается от свободного конца стержня в направлении его длины, а х2 от нейтральной поверхности вдоль ширины стержня (рис. 3-7); величина Je обозначает экваториальный момент инерции. Смещение нейтральной поверхности определится следующим образом:
____4	(*')*  4 Ю* s»«	/о 1231 “ — 4у„Д'(6')» —4 ft(b')» ’	(3 12d)
где Узз=1/5зз — модуль Юнга в направлении длины стержня.
Если далее стержень длиной шириной Ь" и толщиной h" имеет опоры на обоих концах, а в его центре 133
в направлении ширины приложена сила F" (рис. 3-8,а), то деформация будет тождественна деформации стерж-
ня, имеющего одну опору в центре, к концам которого приложено по половине силы F" (рис. 3-8,5). Поэтому в рассматриваемом случае механическое напряжение будет равно:
/п__F"x2x,__ GF"XfXt	/п ю?|\
‘ 2Je ~~ (b"Yh" ’	(5-U4)
При этом смещение концов стержня будет литься выражением
_ _L F" (l"Ys,t
4 Y„h"(b")*	4 h"(b")> •
опреде-
(3-125)
Найдем теперь эффективную жесткость стержня р и
его эффективную массу т.
Рис. 3-7. Изгиб стержня, закрепленного на одном конце.
Для этого прежде всего заметим, что при изгибных колебаниях можно представить, что действующая на стержень сила F делится на .силу F/2, приложенную в его середине и направленную в одну сторону, и на две силы F/4, имеющие противоположное направление
и приложенные к концам стержня (рис. 3-9). В этих условиях суммарное смеще-
ние в обоих направлениях равно 2и. Тогда согласно уравнению (3-125) можем написать:
, _ Fl> и~~ 16Г„Л6« •
(3-126)
Отношение между приложенной силой и смещением есть эффективная жесткость
с3-127)
U	4	8^1
Известно далее, что решение уравнения (3-117) приводит к следующему выражению для собственной частоты колебаний механической системы:
/=’1Д£_.	(3-128)
, С другой сторону, собственная частота основной гармоники колебаний изгиба определяется также фор-1S4
Мулой (3-414). (Сопоставляя оба эти уравнения, получаем следующее значение эффективной массы стержня, совершающего изгибные колебания:
(3-129)
Рис. 3-8. Изгиб стержня под действием одной силы (а) и двух сил (б).
Наконец, из соотношения (3-124) при условии, что
F'72==F/4, b"=b и вытекает, что механическое напряжение равно:
(3-130)
4
z 4
j. 3F Х2Х3
1 — b'h
же ус-
а из (3-125) при тех ловиях и при и" = 2и следу- . ет:	)
t = 48У88Ах8Х£	(3-131) Рис. 3-9. Изгиб стержня под
1	действием совокупности сил.
Отсюда полная величина пьезоэлектрического заряда, который численно равен интенсивности поляризации £1з7Узз, составит:
Ь/2 1/2
4 =	хлх34х,(1х» = ^1^-.	(3-132)
Значит, в соответствии с (3-119)
=	(3-133)
Теперь, воспользовавшись соотношениями (3-127), (3-129) и (3-133), можем вычислить параметры эквива-
135
лентного двухполюсника (рис. 3-6) для стержня, совершающего изгибные колебания:
L — 4РА
 .	1 М*1з(6/0*’
13^38^ Гбй" ’
С,
(3-134)
(3-135)
В частном случае для кварцевщх стержней,' совершающих изгибные колебанцд (например, в плоскости Y'Z'), вместо условных величин — пьезоэлектрической константы ей и константы гибкости «зз нужно подставить их действующие значения e'i2 и s'^ соответственно. Тогда получим:
J	1,33р	й	(3-136)
С, = 0,56 (е,,^ггЬ1-. п	(3-137)
' Глава четвертая
Радиофизические характеристики колеблющегося кварцевого резонатора
4-1. Эквивалентная схема кварцевого резонатора и его динамические параметры
Кристаллический элемент пьезоэлектрического резонатора входит в состояние резонанса, и действующие внутри него механические напряжения претерпевают наиболее резкие изменения по величине и фазе при сравнительно небольших вариациях частоты- колебаний; полное электрическое сопротивление системы изменяется при этом аналогичным образом. При использовании этого явления пьезоэлектрический кристалл помещают в высокочастотное электрическое поле, например между двумя металлическими электродами, закрепляя его определенным способом (механически) так, чтобы распо-лбжение всех элементов устройства оставалось неизменным в процессе работы.
136
Механическая система, в которой закрепляется кварцевый элемент и которая несет элементы конструкции, необходимые для возбуждения кварца, носит название кристаллодержателя.
Если на электроды, между которыми помещен кварцевый элемент, подается переменное электрическое напряжение, то механические напряжения и деформации в кристалле также будут переменными, и при частоте переменного электрического напряжения, равной частоте собственных механических колебаний кварца, возникает механический резонанс. При этом на гранях кварцевого элемента, а следовательно, и на электродах кристаллодержателя появляются переменные заряды, величина и фаза которых определяются комплексной амплитудой механических напряжений в кристалле. Взаимодействие этих зарядов с зарядами, создаваемыми приложенным извне переменным электрическим полем, изменяет соотношение между напряжением на электродах кристаллодержателя с кварцем и током через него, причем электрическое сопротивление системы переменному току изменяется с частотой последнего.
Наличие прямого и обратного пьезоэлектрического эффекта позволяет рассматривать резонанс кварца или как явление механических колебаний упругого твердого тела, воздействующих вследствие пьезоэффекта на электрическое поле, или как явление электрических колебаний некоторой электрической цепи, эквивалентной кварцевому резонатору. Оба способа рассмотрения приводят к одинаковому результату: параметры электрической эквивалентной схемы могут быть выражены через физические константы кристалла и через электрическую связь между кварцевым элементом и держателем.
Обычно кварцевый резонатор, представляющий собой пьезоэлектрический кристалл, закрепленный в держателе, является частью некоторой внешней электрической цепи, выполняющей определенные функции в том или ином радиотехническом устройстве, предназначенном для решения конкретной технической задачи. Естественно, что только второй способ рассмотрения кварцевого резонатора может удовлетворить практическим требованиям, поэтому знание эквивалентной электрической цепи, заменяющей элемент и кристаллодержатель, ее формы и параметров является весьма важной для практики задачей. Если эквивалентная электрическая
137
схема по своей форме, параметрам и пределам применения определена так, что она вполне строго (при указанных ограничениях) отражает явления, происходящие в колеблющемся пьезокварце, то это позволяет рассматривать теоретические вопросы кварцевого резонатора как элемента внешней электрической цепи изолированно от самого кристалла и решать технические задачи, в которых используется пьезокварц, обычными методами, применимыми к линейным электрическим цепям.
В зависимости от назначения кварцевый резонатор выполняется различными способами. При использовании в качестве резонансного колебательного контура в генераторе он должен быть рассчитан на определенную мощность рассеяния. При использовании в фильтрах и для контроля частоты радиопередающих устройств существенное значение имеет не мощность рассеяния, а минимальное затухание, малая связь с внешней цепью и т. in. Поэтому размеры кварцевых элементов, их форма, номер гармоники, а также конструкция кристалло-держателя в указанных случаях различны.
Для разных типов кварцевых резонаторов параметры эквивалентной электрической схемы изменяются по величине, хотя форма эквивалентной схемы остается неизменной. Наиболее просто эквивалентная схема выглядит в случае кварцевых элементов, на поверхность которых вакуумным распылением непосредственно нанесены пленки из металлов — электроды; несколько сложнее — в случае кварцевых элементов, помещаемых между электродами с зазорами, или же в случае кварцевого фильтра, имеющего по два входных и два выходных электрода.
С точки зрения внешних электрических цепей, пользуясь динамическими аналогиями, кварцевый резонатор можно заменить эквивалентным электрическим колебательным контуром. При математических расчетах рассмотрение эквивалентного электрического контура (вместо находящегося в колебательном состоянии кварцевого резонатора) позволяет отвлечься от кварцевого резонатора как электромеханической колебательной системы и рассматривать его как элемент электрической цепи 1.
1 Кварцевый резонатор необходимо рассматривать как законченный функциональный элемент, которому придается паспорт, и свойства которого полностью в нем отражены.
138
Эквивалентная электрическая схема кварцевого резонатора состоит из активного сопротивления Rt, емкости Ci и индуктивности Ц, включенных последовательно и зашунтированных параллельной емкостью Со. Параметры R\, Ci, L\ являются основными и носят название динамических параметров пьезоэлектрического резонатора,. параметр - Со — статическая емкость. Если кварцевый элемент возбуждается в кристаллодержате-ле с зазорами, то к его эквивалентной электрической схеме добавляется параметр С3 — емкость зазора кри-сталлодержателя.
Эквивалентная схема резонатора — это схема замещения электромеханической колебательной системы с одной степенью свободы эквивалентным электрическим колебательным контуром.
Эквивалентная схема является по существу моделью идеальной электромеханической- колебательноиТсистемы. Параметры этой схемы и их функциональные изменения отражают различные по своей физической сущности свойства резонатора: его частоту, затухание и эквивалентное сопротивление.
Эквивалентная схема правильно воспроизводит свойства реальной системы только при определенных ограничениях, накладываемых на все параметры и характеристики, определяющие процессы в этой системе.
Эти ограничения заключаются прежде всего в том, что все параметры резонатора должны быть постоянными и не зависящими от частоты и амплитуды колебаний. Кроме того, должна быть постоянной температура в произвольном, но строго фиксированном интервале температур, в котором не проявляются нелинейные резонансные свойства, приводящие к перераспределению связанных колебаний.
Эквивалентная схема резонатора справедлива, если резонатор можно рассматривать как систему, обладающую одной степенью свободы с частотой
и колеблющуюся с амплитудой Механических колебаний^ при которой не проявляются нелинейные резонансные свойства, т. е. если резонатор можно рассматривать как
139
линейную систему, обладающую симметричной резонансной кривой *.
В большинстве случаев приходится пренебрегать тем, что в реальных системах почти всегда имеется спектр частот <oi, <02, • • ®п.
По-видимому, проявление нелинейных резонансных свойств в пьезоэлектрических колебательных системах— основная причина нарушения справедливости эквивалентной схемы. Особенно сильно нелинейные свойства сказываются на высоких частотах.
В дальнейшем мы рассмотрим более подробно влияние этих факторов на возможность объективного воспроизведения свойств кварцевого резонатора как электромеханической колебательной системы эквивалентной электрической схемой. Отметим, что построение эквивалентной схемы осуществляется либо на основе моделирования дифференциального уравнения, описывающего свойства данной системы, либо на основе качественных представлений о работе резонатора с последующим экспериментальным определением параметров эквивалентной схемы.
Эквивалентные параметры Ri, Ci и Li определяются физическими свойствами кварца (упругими, пьезоэлектрическими), размерами и формой кристалла, а также углами среза, т. е. между гранями или нейтральными и квазинейтральными плоскостями и направлением кристаллографических осей кварца. При определенных условиях указанные свойства учитывают связанные колебания. Помимо этого, значения эквивалентных параметров, особенно эквивалентного активного сопротивления, зависят от ряда внешних факторов.
Вычисление динамических параметров Rlt Li и Ci основано на решении дифференциальных уравнений, описывающих упругие колебания пьезоэлектрического кристалла обычно в приближении изотропного тела. Следует отметить также, что обычно не учитывают влияния внешних факторов на поведение колеблющегося пьезокварца и устройства, элементом которого он является. Если колеблющийся пьезоэлектрический кварц зажать, т. е. прекратить его колебания, то динамическая ветвь
1 Сопоставление параметров и характеристик резонаторов имеет смысл только в том случае, если их измерения проводятся в линейном режиме.
140
RiLiCt искеан£1д. и эквивалентная схема превратится в схему, состоящую только из статических емкостей Со, С2 и С3 (С2 — емкость кристаллодержателя). Емкость Со определяется емкостью самого кварцевого элемента, и ее можно вычислить, зная угол среза, диэлектрическую постоянную и размеры кристалла. Все три емкости могут быть измерены обычными методами или же вычислены по геометрическим размерам и диэлектрической постоянной среды. Если электроды нанесены, ^ак это часто делается, в виде тонкого слоя металла непосредственно на соответствующие грани кварца, то емкость зазоров С3=оо.
Изменение реактивной составляющей X полного сопротивления Z эквивалентной схемы, рассматриваемой как резонансный контур, при изменении частоты вынуждающей силы приводит к тому, что на низких частотах Х<0, т. е. Z имеет емкостный характер, а при частоте последовательного резонанса
f =
13 гж/мс,
(4-2)
наступает резонанс напряжений в динамической ветви RiLiCt, причем Х=0. При дальнейшем повышении частоты вынуждающей силы Х>0, т. е. реакция контура носит индуктивный характер. Эквивалентная индуктивность вначале растет с частотой, а затем уменьшается, переходя через нуль при частоте параллельного резонанса
(4-3)
т. е. при частоте резонанса токов в контуре^], Li, Со, При дальне^Щем повышении частоты реактивность сохраняет емкостный характер (Х<0).
Во всех без исключения случаях применения кварца в качестве резонатора реактивная составляющая полного сопротивления имеет индуктивный характер (Х>0); частота колебаний кварцевого генератора всег-да находится в пределах между частотами последовательного и параллельного резонансов.
141
В дальнейшем нас будет ийтёрёсОвать область Кривой X, для которой относительное изменение частоты равно:
(4-»)
так как Ct<^C0. Как нетрудно видеть из приведенного выражения, увеличение емкости Со приводит к сближению частот fs и fp, т. е. к сужению рабочего участка сопротивления резонатора.
При рассмотрении эквивалентной схемы кварцевого резонатора обычно вводят коэффициент связи, характеризующий соотношение токов в системе. Отношение тока Л, протекающего через динамическую ветвь, к общему току / в резонаторе равно:
~Т~ 1 — А«оСо +
- где
Коэффициентом связи К называют модуль отношения IJI при частоте fs, т. е. в случае, когда Х=0,
К =	'-- (4-6)
/1 + (₽)И>С0)г
В случае другого граничного условия—при частоте fp, когда Х=1/юСо, ток в кварце имеет наибольшее значение
Л _ 1 Лиакс
(4-7)
Так как для частот, далеких от резонанса, /?i(oC0<CL то коэффициент связи близок к единице; но при частоте, близкой к резонансу токов, отношение токов может достигать весьма больших значений. При работе кварцевого резонатора в схеме генератора величина реактивности X зависит от настройки колебательного контура. С приближением настройки к резонансу X резко возрастает, а следовательно, возрастает и отношение токов, при этом ток в кварце растет.
142
Под действием переменного электрического поля, в котором находится кварц, закрепленный в кристалло-держателе, в пьезокристалле возникают переменные механические напряжения, что приводит к появлению в нем звуковых волн. Скорость их распространения определяется плотностью р и упругой постоянной с кварца:
(4-8)
Отражение звуковых волн у граней кристалла при определенных частотах вызывает появление стоячих волн (строго говоря, это имеет место при отсутствии затухания), что эквивалентно механическому резонансу кварцевого элемента или резонансу динамической ветви /?1, Li, Ci в эквивалентной схеме. Стоячие волны устанавливаются не только вдоль одного из размеров кварца, но и вдоль других размеров. Размеры кристалла, в направлении которых устанавливается звуковая стоячая волна, его упругие и пьезоэлектрические свойства определяют совокупность резонансных частот, число которых теоретически может быть велико и которые в линейном приближении1 находятся между собой в кратном отношении. Произведение собственной частоты колебаний f "(или соответствующей ей длины электромагнитной волны) на данный размер кварца I называют частотным или волновым коэффициентом
п

(4-9)
где п — номер гармоники. Так как упругие постоянные и плотность кристалла различны по отношению к кристаллографическим осям, то волновой коэффициент зависит от угла среза кварцевого элемента.
В зависимости от угла среза, формы кварцевого элемента, расположения электродов и определенного их соединения могут возникать различные колебания (колебания растяжения—сжатия, колебания изгиба, кручения и т. д.). Вид колебания зависит от вида дефор-
1 Явление энгармонизма, в частности параметрические частоты, не должно иметь места.
из
' мации (растяжение — сжатие, сдвиг), определяемого t системой электродов.
В реальном пьезоэлектрическом резонаторе имеется ряд резонансных частот, соответствующих различным видам колебаний в различных направлениях, а также их гармоникам. Помимо этого, имеются резонансные частоты, определяемые связью меж/iv отдельными колебаниями. Таким образом, у кварцевого резонатора существует не одна частота, а спектр частот, и каждой частоте соответствуют свои значения эквивалентных параметров. Если в генераторных кварцевых резонаторах связанные колебания не играют существенной роли вследствие того, что возможность перехода (перескока) на другую частоту ограничивается селективными свойствами автоколебательной системы — генератора, то в фильтровых резонаторах спектр частот является принципиальным недостатком. Поэтому основной проблемой при изготовлении кварцевых фильтров является проблема моночастотности.
При воздействии определенным образом направленного электрического поля в кварце одновременно возникают деформации различных форм и направлений • вследствие пьезоэлектрических и упругих связей. Для решения задачи о колебаниях пьезокварца в общем виде необходимо было бы составить систему из п дифференциальных уравнений (п — число степеней свободы или частот колебаний). Решение этой задачи дало бы возможность управлять поведением пьезокварца при различных температурах, а также позволило бы найти такую оптимальную геометрию кварцевого элемента, при которой его эквивалентные параметры и характеристики мало бы зависели от различного рода воздействий, в том числе и от температуры. Известные решения дифференциальных уравнений для колебательных систем с одной степенью свободы предполагают существование лишь одного вида колебаний в одном направлении, а потому эти решения справедливы только для бесконечно тонких брусков (продольные колебания) или пластин бесконечно большой площади (колебания по толщине и сдвиговые колебания по толщине). Если учесть., что кварцевые элементы имеют конечные размеры, то такие решения, строго говоря, непригодны. Однако, если соотношения основных размеров не выходят за известные пределы, эти решения можно использовать как приближенные. 144
4-2. Потери энергии в колеблющемся кристалле
Реальным колебательным системам всегда присуще рассеяние энергии. В кварцевом резонаторе потери энергии обусловлены ультразвуковым излучением, ионизацией остаточного газа, трением в опорах, возникновением связанных колебаний, поглощением упругих волн в нарушенной поверхности кристалла и металлизированном слое, наличием внутреннего трения в кристалле. Мерой диссипации энергии в кварцевом резонаторе является добротность, которую определяют как отношение энергии, запасенной колебательной системой, к энергии потерь за период колебаний:
Q =	(4-10)
где со — циклическая частота колебаний;
• 6 — логарифмический декремент затухания.
Эквивалентное активное сопротивление 7?i равно:
^ = /?у + /?и + /?04-/?с + /?н + /?м + ^8, (4-11) где в правой части выражения (4-11) представлены компоненты сопротивления, обусловленные потерями энергии:
Ry — на излучение ультразвука;
Ra— на ионизацию остаточного газа;
Ro — на трение в опорах;
Ro — на связанные колебания;
Rw R« — на- поглощение упругих волн в нарушенном слое кристалла и металлизированном слое;
/?в — на внутреннее трение в кристалле.
Потери энергии на ультразвуковое излучение устраняют вакуумированием, поэтому высокодобротный резонатор помещают в баллон, давление в котором порядка ~ 10-2 мм рт. ст.
Потери энергии на ионизацию возникают при определенном соотношении давления воздуха в баллоне, напряжения, подаваемого на электроды, и ширины зазора. При этом добротность уменьшается. С увеличением зазора эффект ионизации исчезает.
Потери на трение зависят от формы кристалла и типа его колебаний. Крепление осуществляют всегда в узловых линиях (бруски X- или У-среза, пластины ко-
I0-2R	145
сого среза, кольца, тороиды) или в узловых точках (пластины С7'-среза). Идеальное крепление в точках или по линиям невозможно принципиально, так как элементы крепления касаются поверхности кристалла во многих точках или по многим линиям. Поэтому механическое крепление вызывает как потери энергии, так и изменения собственной частоты резонатора. Чем выше потери из-за крепления, тем сильнее влияние крепления на стабильность частоты. Если механическое крепление неустойчиво, частота также будет неустойчивой.
Потери энергии на связанные колебания могут быть настолько большими, что резонатор возбудить весьма трудно. У пластин косых срезов связанные колебания, близкие по частоте к основному колебанию, обусловлены гармониками колебаний в плоскости больших граней, легко возбуждаемых тем же внешним электрическим полем. Круглые кварцевые пластины в значительной мере лишены этого недостатка, в особенности если у них имеются фаски по окружности. Достаточно большую добротность прямоугольных пластин удается получить только при соответствующем подборе их размеров. Потери, обусловленные связью основного типа колебаний с другими типами колебаний, можно уменьшить выбором геометрии кварцевого элемента.
Потери энергии упругих волн в поверхностном слое зависят от обработки кристалла. Важно, чтобы отсутствовало глубокое нарушение структуры в поверхностном слое. Потери энергии в металлизированном слое зависят от природы металла, давления в вакуумной системе и, естественно, от обработки поверхности кристалла. Металлическое покрытие кварца увеличивает потери энергии вследствие поглощения упругих волн в металле и тем самым понижает добротность, что особенно заметно при ее больших значениях. Токоотводы от металлического слоя также неизбежно ухудшают добротность резонатора, а условия получения электрического контакта приводят к нарушению структуры кристалла. Помимо этого, металлические пленки склонны к окислению, легко адсорбируют газы и т. п., вследствие чего могут служить дополнительным источником нестабильности.
Внутреннее трение в кристалле кварца имеет ничтожную величину, но при большом числе дефектов и примесных частиц в кристалле оно резко возрастает. 146
Внутреннее Трение в квйрЦе ЗнйчитёлЬно уменьшайся при весьма низких температурах.
4-3. Потери энергии на излучение ультразвуковых волн
Кварцевый элемент, колеблющийся в воздухе или в другой газообразной среде (водород, гелий и т. п.), является излучателем ультразвуковых волн, при этом потери энергии на излучение приводят к снижению его добротности. Известно, что скорость волн, возникающих при колебаниях излучателя,
v = vaeikx	(4-12)
и давление при х>0
(4-13)
< 2я <о	~
где л=-у= —;	— скорость звука при х = 0; х —
расстояние от источника излучения; X— длина волны; р — плотность среды.
'Компонента сопротивления, обусловленная излучением плоских звуковых волн, для излучателя, совершающего поршневые колебания, равна:
J?y=pofoSZ,	(4-14)
*
где S — площадь излучателя;
Z — функция, характеризующая среду и геометрию излучающей поверхности.
Для газообразной среды
(4-15)
где y=Cplcv — отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме или показатель адиабаты.
Подставляя (4-15) в (4-14) и учитывая, что плотность среды пропорциональна давлению, получаем:
Ry—ар.	(4-16)
Величина, а является функцией отношения теплоемкостей. При одном и том же давлении в менее плотной среде компонента сопротивления излучения будет меньше, чем в более плотной. Это относится к излучателю плоской звуковой волны. Однако те же физические за-10*	147
кономерйости справедливы Для любого излучателя, совершающего колебания с неизменной частотой. Если размеры излучателя или форма его колебаний таковы, что генерируемая волна не является плоской, то сопротивление излучения не может быть рассчитано по формуле (4-14).
Вычисление компоненты сопротивления излучения в этих случаях является чрезвычайно сложной математической задачей и проведено в настоящее время только для ограниченного числа простейших форм излучателей. Например, в случае колебаний круглой кварцевой пластины по гармоническому закону для скорости звука и давления можно записать:
= .kia^.:^.. В\	(4-17)
рк kia^w-^r	(4.18)
где
о__2/] (ka sin 9),
ka sin ft ’
Л (£a sin О)—функция Бесселя первого порядка;
г — расстояние от данной точки до источника излучения.
Для других типов колеблющихся излучателей получаются еще более сложные выражения.
Для определения потерь энергии в резонаторе на излучение ультразвуковых волн рассмотрим продольные колебания кварцевого бруска с учетом излучения волн торцами, предполагая, что последние излучают энергию как плоские поршни. Пусть брусок колеблется в газообразной среде при давлении р и температуре Т, при этом не будем учитывать другие виды потерь, в частности связанные колебания и трение в опорах.
Дифференциальное уравнение колебаний системы с одной степенью свободы, возникающих под действием вынуждающей силы, имеет следующий вид:
тх = — qx—kx-\-F„zos<»t,	(4-19)
где т — масса системы; х— смещение; х— скорость колебаний; Fo— амплитуда внешней силы; t — время.
В такой системе, помимо восстанавливающей силы kx, т. е. силы, пропорциональной смещению х, действует 148
сила — qx, пропорциональная скоорстй колебаний, q= = pqVqSZ.
Уравнение (4-Г9) с учетом действия указанных сил в колебательной системе запишется в форме
тх + 2povoSZx kx = Fo cos mt. (4-20)
Здесь коэффициент 2 введен потому, что излучают две грани: х=0; х=£. Проделав некоторые преобразования, получим:
X Ну 2рх + % х = |*e cos mt,	(4-20')
где — собственная частота колебаний; Р = ро^о2/рк£; рк — плотность кварца; L—длина бруска; №=Fdm.
Решением уравнения (4-20) является:
х (/) = х0 (t) + Ce~9t cos (mt -|- а), где С — постоянная;
а — начальная фаза колебаний.
Вследствие внешнего трения в системе (внутренним трением мы пренебрегаем) собственные колебания достаточно быстро затухают и остаются только вынужденные колебания. Для отыскания решения x0(t) уравнения (4-20), определяющего поведение кварцевого резонатора как линейной системы, используем метод комплексных амплитуд. Рассмотрим частное решение уравнения (4-20), представив егб в виде
у + 2^у-(-т20у = ^ем,	(4-20”)
где у — комплексная функция времени. В силу линейности (4-20') и (4-20") действительная часть — решение уравнения (4-20'). Если y = u+iv есть решение при 1*ое~м > то и — решение того же уравнения при pocos co/, v — решение уравнения при p,osin®£ Таким образом, решение уравнения (4-20")
х0 (t) = Re (Aeiat) = Re Аае‘(ш<+а) = Ao cos (*t + a), где
149
При ш = о»о a==arcig(—оо)=---у- и х0 = Ао sin <о/.
Декремент затухания колебательной системы
где sfj — константа гибкости.
Пусть кварцевый брусок с частотой /о=100 кгц колеблется на второй гармонике (п = 2) и р0 = 1,3-10-* г-см,~3', s® = l,28'10_” смг-дин~х\ рк = 2,65 г-см~3; ов = 3,ЗХ ХЮ4 см-сек"1; Z т 1; $ = 0,5. Тогда
<>0 _ «Л , / Рк	1
₽ ~Р.о.2 у SE	Ь
Отсюда декремент затухания кварцевого, элемента в газообразной среде
g  П  2п^ — Q	<0/
Используя уравнение состояния идеального газа, получаем:
где — универсальная газовая постоянная;
ц — молекулярный вес.
Для квадратного плоского излучателя функция Z является комплексной [Л. 4-1]:
z=«(1)+'x(t}
где
R (т)=‘ +	(-2 f lCi(«|/T+^j] (1 -s)ds +
150
X -= 4- /2 J [Si (a /1 + sa)] (1 — s) ds 0
где символами Si и Ci обозначены интегральные синус и косинус
Si (х) = Гdx> Ci (*) = f C^~~dx-'	I X	I X	' -
о	0
При (o=®o, A = 5,5 cm, #о=8,3-1О7 эрг-град-1, T^= =293° К, ц=29 г-моль~1, у0=1,4, a!2=ka (a — стброна квадратного излучателя, равная 0,78 см) получим:
ka =-----7,05.
^1^Рк^п
Согласно [Л. 4-1] R (7,05) = 0,98; X (7,05) = 0,07. Так как #(7,05)	(7,05), то
п_1_2/?(7,05) ,/	„
4	"	F Рж#.т р-
Подставляя численные значения и учитывая, что 1 дн • сл«_2=7,5 • 10-4 л«л« рт. ст., получаем:
Q-‘=2,6- IO-8р.	(4-21')
Формула (4-21) справедлива для излучателей плоской звуковой волны. Плоские звуковые волны генерируют, например, торцы кварцевого бруска при продольных колебаниях в направлении, перпендикулярном к излучающим поверхностям. Однако такие колебания являются частным случаем колебаний, используемых для возбуждения упругих волн в кварцевых элементах с различной ориентацией относительно кристаллографических осей.
Весьма широко используются колебания сдвига, а также комбинации различных форм колебаний. В связи с этим характер движения отдельных точек излучающей поверхности может быть достаточно сложным, поэтому формулу (4-21) нельзя применять к любому кварцевому элементу.
151
Однако в ряде случаев, например, для кварцевого бруска, вырезанного вдоль оси Y и колеблющегося на основной частоте, формула (4-21) в некотором приближении является справедливой. Обозначим линейные размеры бруска через а, b и с соответственно осям X, Y, Z. Если такой кварцевый элемент возбуждать вдоль оси X, то, помимо колебаний растяжения — сжатия, т. е. колебаний продольного типа, вдоль оси Y возникают колебания сдвига в плоскости yz. Как показал Мэзон, последние пренебрежимо малы, если а/&<0,05 и с/&<0,2. В этом случае фронт звуковой волны в кристалле совпадает с плоскостью сечения бруска, перпендикулярного оси У. Таким образом, излучающими поверхностями бруска с указанными соотношениями сторон являются его торцевые грани, при этом скорости всех точек этих граней нормальны к ним и по величине одинаковы.
Эксперименты, выполненные А. Г. Смагиным, подтверждают выводы Мэзона. Были проведены исследования с брусками различных размеров, в том числе и с брусками, соотношение размеров которых не отвечало условиям Мэзона. В том случае, когда форма кварцевого бруска близка пластине (например, размер а меньше с в 7 раз), потери на ультразвуковое излучение возрастают. Это объясняется появлением колебаний изгиба в плоскости ху, наличие которых устанавливается интерференционным методом.
Для других форм колебаний (изгиб, кручение, сдвиг и т. п.) можно установить простые соотношения, позволяющие свести анализ потерь на акустическое излучение для некоторых типов кварцевых элементов к рассмотренному выше случаю. Колебания сдвига плоскости большой грани пластины или контурные колебания осуществляются, как известно, следующим образом: пластина при колебаниях в течение одного полупериода вытягивается вдоль одной диагонали и одновременно сокра-^ щается вдоль другой; в течение второй половины периода, наоборот, пластина сокращается вдоль первой диагонали и вытягивается вдоль второй. Вследствие того, что колебания происходят в плоскости больших граней, излучающими поверхностями являются четыре малые грани. 'При изменении длины малой грани а в случае варьирования частоты, обратно пропорциональной а (при тонких пластинах частота не зависит от толщины Ь), будет изменяться площадь излучающей поверхности, 152
а следовательно, и компонента сопротивления излучения ультразвука в газообразной среде. Изменение толщины b также приводит к изменению площади излучающей поверхности, так как S — ab. В случае тонких пластин (£><Са), как и в случае тонких брусков, при составлении дифференциального уравнения движения колебания в направлении b можно не учитывать, т. е. задача снова сводится к решению уравнения для излучателя плоской звуковой волны (4-21).
Проанализируем формулу (4-21). С увеличением номера гармоники, а следовательно, и частоты колебаний кварцевого элемента потери на ультразвуковое излучение уменьшаются по гиперболическому закону, и начиная приблизительно с 10-й гармоники, они почти не изменяются. Физическим основанием этой закономерности является наличие обратной пропорциональной зависимости между частотой и амплитудой колебаний излучателя: чем выше частота, тем меньше амплитуда, тем меньше потери энергии на излучение ультразвуковых волн. Поэтому на достаточно высоких частотах, например 5—10 Мгц, компонента сопротивления ультразвукового излучения весьма мала. Подчеркнем, что эти и последующие рассуждения относятся к линейным колебательным системам, т. е. системам, совершающим малые колебания.
Нами наблюдались случаи изменения потерь энергии кварцевого резонатора на указанных выше частотах в зависимости от давления. Как оказалось, при изучении спектральных характеристик это было вызвано перераспределением связанных колебаний; функция, описывающая данный эффект, имеет экстремальный характер в отличие от функции, определяемой формулой (4-21).
При возбуждении кварцевого элемента на частоте 5 Мгц потери на ультразвуковое излучение уменьшаются (при прочих равных условиях) в 5 раз по сравнению с потерями при возбуждении на частоте 1 Мгц. Поэтому возбуждение на гармониках оказывается более предпочтительным, но следует учитывать, что внутренние потери возрастают с повышением частоты. В связи с этим вопрос о возбуждении на гармониках нужно решать, исходя из конкретных условий поставленной задачи.
Такие газы, как водород, гелий, кислород, азот и многие другие,, при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточ-153
йым Для акустики приближением как идеальные газы, что и было нами использовано при выводе формулы (4-21). Из (4-21) видно, что потери на ультразвуковое излучение зависят от показателя адиабаты, молекулярного веса и температуры газа. Для различных газов значения показателя адиабаты различаются мало. Зависимость потерь энергии от температуры мала, если измерения происходят при температурах 18—24° С. Однако ее следует учитывать в том случае, когда исследуются свойства резонаторов в таком относительно широком диапазоне температур, как —60-^ + 100°С.
Потери энергии кварца на излучение ультразвука устраняются откачкой воздуха из баллона до давления 10-2—10~3 мм рт. ст.
Кварцевый элемент помещают между электродами с зазором и возбуждают высокочастотным полем. При откачке воздуха из баллона по мере уменьшения плотности газа амплитуда колебаний резонатора увеличивается. ' Однако если амплитуда колебаний очень мала (0,01—0,23 в), то при определенном давлении может возникнуть кратковременное резкое уменьшение амплитуды, что приведет к срыву колебаний генератора. При этом наблюдается свечение газа между зазорами крис-таллодержателя и колеблющимся кварцевым элементом.
Уменьшение амплитуды колебаний и возникновение свечения происходят из-за ионизации газа в зазорах, на которую затрачивается энергия колебательной системы, а срывы колебаний — из-за развития ионизации и возникновения явления типа электрического пробоя в межэлектродном промежутке, когда энергия колебаний поглощается особенно интенсивно.
Оценим величину напряжения, возникающего в зазорах кристаллодержателя. Известно, что полное сопротивление резонатора
г=/?+/Х=/?1ф1+/^ф2,
где СЕ — полная статическая емкость, равная сумме собственной статической емкости Со, емкости держателя и монтажа Сд.м и входной емкости Свх между двумя электродами лампы, к которым подключен резонатор;
(1-х)2 ’ ^а= (1-Х)
154
при Q,. > 1; Q == -= 1 —; v—коэффициент расстройки.
-A1<0OC2
Подставляя численные значения для кварцевой двояковыпуклой линзы (Ri= 3 ом, Cs Со= 10“1а ф), находим Qs = 2,5-106, ф1=100 и ф2= 10. Компонента, соответствующая активному сопротивлению, равна /?1ф1 = 3- 10а ом\ компонента, соответствующая реактивному сопротивлению, равна X = <|>а/со0С1 = 6-Юв ом.
Напряжение на электродах, имеющих зазор, определяется током через резонатор и модулем X, а следовательно, U3a3=IX.
Напряжение на зажимах резонатора определяется током через резонатор и значением Ri, т. е. UKB = IRt. Отношение напряжений
У..»_ Х_б.10‘ _9
Укв ~	102—•
Таким образом, на зазорах кристалл од ержателя напряжение в 20000 раз больше, чем на кварце. Иными словами, на каждый вольт напряжения, приложенного к зажимам резонатора, на зазорах возникает напряжение в 20 000 в.
Поэтому, если в процессе эксплуатации резонатор будет работать при напряжениях на его зажимах порядка 1 в и выше, требования к величине давления должны быть особенно высокими. Отметим, что кварцевые бруски при напряжении порядка 1 в разрушаются. При больших напряженностях поля (10 кв и выше на 1 см) и высокой частоте наблюдаются разряды даже при давлении газа, меньшем, чем 10-5 мм рт. ст. В некоторых случаях, например, для предотвращения изменения давления вследствие газовыделений внутри баллона с кварцевым бруском его наполняли водородом при давлении 20 мм рт. ст. (Л. 4-2]. В работе [Л. 4-2] была экспериментально определена зависимость добротности от давления. Оказалось, что добротность кварцевого бруска при давлении 20 мм рт. ст. воздуха составляет 2 ИО®. При дальнейшем уменьшении давления добротность возра-стает.
Отсюда [Л. 4-2] был сделан вывод, что давление, равное 20 мм рт. ст., является неприемлемым в случае наполнения баллона водородом. Однако с этим выводом 155
нельзя согласиться. Для воздуха ц=29, для водорода р.=2 и отношение ^.^3,8, т. е. при одном и том же давлении потери энергии на ультразвуковое излучение в водороде будут в 3,8 раза меньше; при давлении 20. мм рт. ст. эти потери в водороде практически равны нулю. Таким образом, нельзя сравнивать добротность при одном и том же давлении, но в различных газах.
В некоторых случаях вакуумный баллон, в котором находится кварцевый резонатор, целесообразно наполнять теплообменным газом — гелием до давления Ю-1—20 мм рт. ст. (гелий предварительно очищается от различных примесей). При этом не наблюдается уменьшения добротности. Наполнение баллона гелием приводит к уменьшению времени готовности, т. е. времени установления теплового равновесия в резонаторе, а также к уменьшению внешнего трения между кристаллом и элементами крепления из-за возникновения газовой «подушки», представляющей собой своеобразную смазку.
Экспериментальные и теоретические результаты, получаемые по формуле (4-21), находятся в согласии до давлений порядка 3—4 мм рт. ст. Экстраполяция экспериментальных данных на область малых давлений для кварцевых брусков приводит к величине добротности 70-10®, что является несколько завышенным результатом, Экстраполировать функцию Q-1=i|>(p) в область давлений менее 1 рт. ст. нельзя, так как это противоречит теории идеальных газов, на которую опирается вывод формулы (4-21). Эксперименты показывают, что в интервале давлений 2-10-1—4-10~5 мм рт. ст. добротность вначале возрастает, а затем остается неизменной.
4-4. Потери энергии в поверхностном слое кристалла
Основным источником потерь энергии в кварце является рассеяние упругих волн в поверхностном слое (Л. 4-3].
Расположение областей кристалла, которые образуются в результате механической обработки и взаимодействия с окружающей средой, показано на рис. 4-1,а. Поверхность кварца, как и других твердых тел, содержит мономолекулярные слои и посторонние пленки, возни-156
кающие в результате адсорбции частиц из окружающей среды или их химического взаимодействия с поверхйост-ными атомами или молекулами в связи с тем, что поверхность кварца обладает определенной ненасыщенностью, т. е. способностью поверхностных частиц притягивать к себе свободно перемещающиеся вблизи них атомы или молекулы. Эти связи легко могут быть разрушены тем-
<*)
пературной обработкой кристалла в вакууме, инородные частицы при этом возгоняются.
б)
Рис. 4-1. Структура поверхностного и приповерхностного слоев кристалла кварца.
а — после обычней обработки: / — слой адсорбированных частиц и мономоле-кулярных пленок; 2 — вязкая пленка, возникающая при полировании кристалла; 3 — микрорельеф полированного слоя; 4 — микрорельеф шлифованного слоя; 5 — нарушения, образующиеся при распиливании кристалла; 6 — слой кристалла с деформированной решеткой и с разрывами сплошности; 7 — кри- ; сталл без нарушений; б — после асимптотической обработки: 1 — адсорбнро-
о
ванные частицы и мономолекулярные пленки, 10—30 А; 2 — неровности в по-
верхностном слое, 20—30 А; 3 — микротрещины; 4 — деформированный слой. < -300 А°
В процессе распиловки кварца с помощью алмазной пилы образуется характерный микрорельеф поверхности с нарушениями, глубина которых достигает 0,020— 0,023 см. При распиловке кристалла появляются не только неровности, но и достаточно большие сдвиговые деформации кристаллической решетки, что влечет за собой поворот элементарных ячеек и как следствие появ--ление трещин и сколов.
При шлифовании кристалла абразивами различного гранулометрического состава на его поверхности появляются нарушения определенной глубины, а также происходит деформация кристаллической решетки, проникающая в глубь кварца. Например, в результате шлифовки кварца абразивом М7 (средний размер зерна 7 мкм) глубина нарушений в поверхностном слое составляет 0,18 мкм.
157
При полировке кристаллов кварца на фетровом и смоляном полировальнике с помощью крокуса — окиси железа (размер элементарного зерна 0,10—0,14 мкм) и воды размеры нарушений в поверхностном слое кристалла составляют менее 100 А.
Рис. 4-2. Поверхность кварца, обработанного окисью железа.
Неровности на полированной поверхности кварца измеряли при помощи микроинтерферометра Линника МЙИ-4 со светофильтром. Измерение неровностей в полированном поверхностном слое кристалла кварца с помощью электронно-микроскопических снимков, сделанных с реплик, показало, что их размеры составляют 20—30 А.
В процессе полирования кристалла кварца в результате гидролизации его поверхности появляется аморфная пленка. Толщина пленки достигает 30—50 А. На рис. 4-2 показана полированная поверхность кварца, обработанного крокусом с водой на фетровом полировальнике. Поверхность этого кристалла, протравленного в 5%-ном растворе плавиковой кислоты «ч. д. а.», при наблюдении в оптический микроскоп МИИ-7 представляется бесструктурной. Продолжительность полировки ~6 ч. Добротность оказалась в 5,7 раза меньше, чем при полировке с крокусом при прочих одина
ковых условиях *. На рис. 4-3 видны дефекты в поверхностном (а) и приповерхностном (б) слоях кварца.
Как показывает расшифровка электронограмм, поверхность кварца, полированного крокусом и протравленного в 5%-ном растворе кислоты ч. д. а., состоит из крупных монокристальных блоков идеального строения с разрывами сплошности кристалла в результате сдвиговых деформаций (рис. 4-4). Толщина нарушенного слоя порядка 1 мкм.
1 Тонкие детали дефектов поверхностного слоя кристалла позволяет обнаруживать рентгеновский дифракционный микроскоп. 158
Анализ структуры поверхностного слой кристалла, образованного распиловкой, шлифовкой и полировкой, позволяет сделать вывод о том, что в процессе механической обработки кварца необходимо полностью удалять нарушенный предшествующей обработкой слой [Л. 4-3].
При исследовании структуры поверхностного слоя кристалла кварца в работе (Л. 4-3] использовали абразивы различного гранулометрического состава, предварительно тщательно отмученные. При шлифовании размеры абразивных зерен порошка М14 отклонялись не более чем на 3—5% от 14 мкм. Перед полированием крокус обжигали при температуре 500° С, при этом размер его элементарного зерна составлял 0,10—0,14 мкм и, что особенно важно, уменьшалось царапающее действие.
При шлифовании кварца абразивом М7 было обнаружено, что добротность резонатора растет по мере увеличения времени обработки поверхности кристалла и асимптотически приближается к постоянному значению. Дальнейшее шлифование кристалла тем же абразивом не приводит к увеличению добротности. Оказалось, что аналогичная зависимость добротности резонатора от продолжительности шлифовки поверхности кристалла имеет место при обработке абразивами различного гранулометрического состава. Более того, диссипация энергии в поверхностном слое при полировке кварца подчиняется такому же закону. Измерение зависимости добротности от длительности полировки при одинаковых прочих условиях показало, что добротность кварца также асимптотически приближается к постоянному значению.
В дальнейшем были проведены исследования с целью выяснения оптимальных условий механической обработки поверхности кристалла. При шлифовании кварца абразивами различного гранулометрического состава фиксировалась толщина снимаемого слоя, начиная с которой добротность резонатора не изменяется в пределах погрешности измерений. Аналогичные измерения проводились и в процессе полировки кристалла. Статистическая обработка результатов многочисленных измерений приводит к выводу, что при шлифовке поверхности кварца абразивами различного гранулометрического состава и полировке крокусом необходимо с каждой стороны, на которой согласно физическим представлениям происходит диссипация упругих волн, снять слои толщиной 0,200; 0,148; 0,107; 0,080; 0,062; 0,047; 0,020 мм шлифованием
159
абразивами М28, М20, М14, М.10, М7, М5 и Ml и слой толщиной 0,010 мм пблированием крокусом (рис. 4-5). При возбуждении кварца на гармониках уменьшается удельный вес поверхностных потерь, и требования к сте-. пени механической обработки значительно снижаются (рис. 4-5,г). Это справедливо при получении максимальной добротности резонатора. Однако для получения минимального старения необходимо проводить механическую обработку в соответствии с асимптотическими методами, т. е. до получения почти монокристальной поверхности кварца (рис. 4-1,6).
Установление зависимости между размерами абразивов и толщиной снимаемого слоя дает возможность анализировать результаты диссипативных процессов, происходящих при обработке.
Таковы в основных чертах методы механической обработки поверхности кристаллов, названные нами в свя-
Рис. 4-3. Дефекты в поверхностном (а) и приповерх .
160
зи с изложенными выше асимптотическими методами [Л. 4-3]. Эти методы позволяют. увеличить добротность резонатора до (5—30) • 10е, т. е. на полтора — два порядка. Основой этих методой являются шлифование и полирование пьезоэлектрических кристаллов абразивами различного гранулометрического состава в указанной выше последовательности, причем нарушения на поверхности от предшествующей обработки снимаются последующей, до установления предельного значения добротности (Л. 4-3, 4-7].
Асимптотические методы применялись для обработки кварцевых элементов в виде пластин, дисков, линз, брусков, колец и тороидов. Разработанные методы дают возможность увеличить добротность и других типов резонаторов. Есть основания полагать, что эти методы могут
постном слоях (б) кристалла кварца. 11—2584
161
быть примейейы ДЛЯ обработай 'пьезокристаллических элементов всех типов. Однако всегда следует учитывать тип колебаний при получении максимальной добротности путем применения асимптотических методов. Ух кварцевых брусков, например, нарушенный слой расположен на больших гранях. Поскольку в этом случае диссипация определяется большими гранями, их следует подвергать
Рис. 4-4. Электронограмма полированной поверхности кварца.
тщательному шлифованию и полированию. В то же время торцы кварцевого бруска определяют частоту, а- следовательно, и старение кристалла. Долгое время не удавалось получить кварцевые бруски со старением 162
менее 1 • 10~9 в сутки именно потому/ что это обстоятельство не учитывалось [Л. 4-3, 4-4]. Состояние поверхности торцов не сказывается на диссипации энергии. Об этом необходимо помнить при оценке вклада диссипации энергии в какой-либо конкретный механизм.
. При исследовании асимптотических методов уменьшения диссипации энергии обнаружено явление погло
Рис. 4-6. Зависимость добротности от размера дефектов поверхностного слоя кварца.
Рис. 4-5. Толщины слоев, снимаемых различными абразивами.
/ — обеспечивается предельная добротность и предельно малое старение; 2 — обеспечивается максимальная добротность (пунктирная линия — глубокое травление порядка 7—8 мкм).
щения звука в поверхностном слое кристалла [Л. 4-8]. Оказалось, что имеет место квадратичная зависимость между коэффициентом поглощения упругих волн уо и размерами дефектов в поверхностном слое кристалла кварца. На рис. 4-6 представлена зависимость добротности Q от величины нарушений в поверхностном слое (Yo — Vq).
Как следует из расшифровки электронограмм, поверхность кристаллов кварца, шлифованных абразивами
различного гранулометрического состава и полированных крокусом, покрыта хаотично ориентированными
кристаллитами, размер которых составляет примерно 200 А. Между размерами кристаллитов, образующих поликристаллический слой, и величиной нарушений в поверхностном слое существует пропорциональная зависимость: размеры кристаллитов меньше неровностей поверхности в 5—6 раз. Например, при размерах
11*
163
° t кристаллитов ~200 А нарушения поверхностного слоя составляют около 980 А. Величина нарушений в поверхностном слое кварца, обработанного асимптотическими методами, как показывает электронно-микроскопическое*, изучение структуры этой поверхности, составляет о	/
25—30 А. Размеры частиц, образующих поликристалли-ческий слой, по-видимому, порядка размеров постоянной кристаллической решетки.
Попытаемся вывести уравнение, связывающее добротность резонатора с размерами кристаллитов. Рассмотрим случай поглощения энергии упругих колебаний в поликристаллическом образце, когда длина волны где а — размер кристаллита.
Между коэффициентом поглощения упругих волн и размерами кристаллитов в поликристаллическом образце должна * существовать квадратичная зависимость [Л. 4-9, 4-10]. Кроме того, необходимо учесть еще и следующее обстоятельство. При распространении упругих волн на каждый кристаллит действует однородно распределенное давление. Однако в силу анизотропии кристаллита деформация его неоднородна; это приводит к изменению ^температуры в кристаллитах и к возникновению локальных тепловых потоков, которые увеличивают энтропию образца, а следовательно, являются причиной рассеяния (диссипации) энергии.
Время релаксации т для установления температурного равновесия путем теплопроводности на расстоянии ~а около а2х, где % — коэффициент температуропроводности. Предположим, что <dt<C1, т. е. время релаксации мало по сравнению с периодом рассматриваемых колебаний (со— круговая частота этих колебаний). Поэтому в пределах каждого кристаллита в течение периода колебаний успевает установиться тепловое равновесие, т. е. процесс является почти изотермическим.
Как следует из [Л. 4-9, 4-10], в упомянутых условиях расход тепла путем теплопроводности на единицу объема равен:
_div<7«^.	(4-22)
где АО—разность температур, возникающая в кристаллите, а х — коэффициент теплопроводности. При адиаба-164
тическом процессе разность температур в кристаллите была бы	,
Д0о^0_0о=-^Ын,	(4-23)
где и{{ — деформация, ин = —sin (kx — wty, с — скорость распространения упругой волны; К — модуль всестороннего сжатия; С — теплоемкость; а — коэффициент линейного расширения.
Дифференцируя выражение (4-23), получаем;
4(Д0о)^шД0о.
При деформировании кристалла выделяется количество тепла
(4-24)
Приравнивая (4-23) и (4-24), получаем:
Д0~Д0о—— = Д0О—, X	Л
пбскольку х = -£-•
Если	и, то Д0о=а9а^мц.
с	с,
Диссипация энергии определяется интегралом вида
£мех = - -j- j (A0)MV-2 j tydV,
(4-25)
где ф— диссипативная функция для деформируемого тела.
При поглощении упругих волн диссипативная функция определяется в первую очередь температурными градиентами и скоростью изменения деформации йц. В рассматриваемом нами случае градиенты температуры в пределах каждого кристаллита аномально велики, в то время как величины не принимают каких-либо аномальных значений. Поэтому второй член правой части формулы (4-25) будет мал по сравнению с первым, и им можно пренебречь. Следовательно, диссипация энер
165
гии в единице объема с учетом того, что температурный градиент на расстоянии, близком к размеру кристаллита, будет ~А0/а, имеет порядок величины
£Mex~-£-W=== v(4)2-	(4-259 ’
Коэффициент поглощения упругих волн равен [Л. 4-6]:
v ==	6а2рсд?<о2	(4-26)
,0 2сВ •	*	’	V ’ 7
__	0<02ZZ2
где Е = —2-----полная средняя энергия волны, отнесенная
к единице объема.
Заметим, что у0==—=-^~. Отсюда получаем, что до-бротность связана с размерами кристаллитов следующим выражением:
Ч »	<4'27)
Оценим добротность кварца, определяемую затуханием упругих волн в его поверхностном слое. В кварце при 0 =+25°С, р=2,65, г« С.И-3; а~5-’1О-6 град-1; х= = 32 • 10-3 кал • см-1 • сек-1 • град-1; 0 = 5 ♦ 10-5 см • сек-1; <o=2nf=6,28« 105 гц- С=0,174 кал • г-1 • град-1. Подстав; ляя эти значения, получим Q»3*10®. Теоретические й экспериментальные результаты согласуются по порядку величины.
Проведенные исследования по повышению добротности кварцевых . резонаторов показали, что поглощение упругих колебаний в поверхностном слое кварца связано с потерями на теплопроводность, и описанный механизм рассеяния энергии, по-видимому, свойствен всем типам кварцевых элементов. Рассмотрим, в каком диапазоне частот и при каких размерах кристаллитов имеет место рассмотренный выше механизм диссипации. При выводе формулы (4-27) предполагалось, что время релаксации много меньше, чем период колебаний волны, т. е. ю<х/а2.
Кварцевые резонаторы возбуждаются в широком диапазоне частоты <в« 103—109 гц. Коэффициент температуропроводности кварца х = '^_==0>18 г см-1'сект1. Поэто-
166
Му йри размерах крйсталлйтов кварца порядка кристаллической решетки уравнение (4-26) будет справедливо до частот порядка 1013 гц, а при размерах кристаллитов порядка 10-4 см — до частот цорядка 105 гц.
Поглощение звуковых волн, связанное с потерями на теплопроводность, возможно не только вследствие наличия поликристаллического поверхностного слоя, но, по-видимому, и при наличии любой совокупности хаотически ориентированных частиц или дефектов, содержащихся в структуре кристаллов. Именно поэтому поверхностные потери возрастают, как показывает эксперимент, на 100—300% в случае металлических электродов.;на поверхности кварца, колеблющегося на основной частоте. В то же время, однако, некоторые авторы неправильно считают, что при металлизации потери увеличиваются на 15% по сравнению с кварцами, возбуждаемыми в зазоре, т. е. когда поверхность кристалла имеет монокри-стальную структуру. В процессе роста искусственный кварц захватывает фазу, которая содержит микроскопические коллоидные частицы, причем на низких частотах такой кварц обладает малым поглощением, а на высоких — большим. Следовательно, с увеличением частоты влияние присоединенных в процессе роста частиц на поглощение звуковых волн увеличивается; в результате некоторые партии искусственного кварца оказываются непригодными для использования в кварцевых рёзонаторах частотой 5—10 Мгц и выше. По-видимому, в этом случае в основе механизма поглощения энергии также лежит явление теплопроводности, так как в зернах или частицах возникают аномально большие градиенты температуры.
В кварце при Т = 20°К и а=10-6 град-1; С — = 0,0069 кал • а-1 • град-1; х = 680 • 10-3 кал • см-1 • сек-1 X X град-1. При этом добротность кварца Q«8,7 • 108.
Полученные в настоящее время результаты для кварцевых резонаторов при гелиевых температурах [Л. 4-11] показывают, что экспериментальное значение добротности согласуется с теоретически вычисленным [Q (2° К) — = 7 • 108]. Отметим, что в ранее проведенных работах [Л. 4-12, 4-13] эта величина была на порядок меньше.
В последнее время широкое развитие получила область квантовой радиоэлектроники, связанная с разработкой квантовомеханических генераторов и усилителей света и гиперзвука. В результате проведенных исследо-
167
ваний выяснилось, что усиление'гйперзвукй тДкжё весьма сильно зависит от неровностей поверхности кристалла и от наличия неоднородностей внутри кристалла.
4-5. Потери энергии при трении об элементы опоры кристаллодержателя
При взаимодействии двух поверхностей твердых тел появляется внешнее трение, представляющее собой сопротивление относительному перемещению контактируе-мыл тел. -Это сопротивление возникает в результате физико-механических процессов в тонких поверхностных слоях твердого тела. При внешнем трении в основном имеют место термодинамически необратимые процессы, связанные с непрерывным превращением энергии различных форм в тепловую энергию, что объясняет особенность трения, заключающуюся в диссипации энергии.
При больших смещениях (порядка 1 мкм и более) взаимодействие поверхностей твердых тел, которое приводит к возникновению сил трения, может быть связано со следующими процессами: молекулярным притяжением поверхностей, зацеплением поверхностных неровностей и внедрением элементов одной поверхности в другую.
. Основное усилие при относительном перемещении твердых тел приходится затрачивать на преодоление сопротивления сдвигу тонких поверхностных слоев. В точках истинного контакта вследствие молекулярного притяжения возникают адгезионные связи, и поэтому при перемещении одного тела относительно другого прихо- . дится преодолевать силы, обусловливающие прочность тел на сдвиг, а не силы притяжения между телами. Если при взаимодействии твердых тел возникает зацепление поверхностных неровностей, которые пластически дефор- _ мируются при относительном движении, то силы трения также определяются прочностью деформируемых тел на сдвиг. Если при взаимодействии двух тел происходит внедрение неровностей одного из них в поверхность другого, то при относительном перемещении тел внедрившиеся выступы будут «пропахивать» борозды в менее твердых поверхностях, и сопротивление перемещению также будет определяться главным образом прочностью этой поверхности сдвигу. Последний вид взаимодействия является, по-видимому, наиболее распространенным, так' 168
как даже две одинаковые предельно механически обработанные поверхности вследствие разнородности их микроструктуры становятся шероховатыми под действием сжимающей нагрузки.
Описанные взаимодействия могут проявляться и при малых смещениях (порядка 1 мкм.и менее). Однако природа внешнего трения для случая весьма малых смещений (порядка 100—0,01 А) до сих пор еще не выяснена. Это обусловлено сложностью явлений, возникающих при соприкосновении твердых тел. На характер взаимодействия двух сухих поверхностей влияют такие факторы, как качество обработки поверхности, твердость тел, наличие различного рода мономолекулярных пленок и адсорбированных частиц. К тому, же кристаллы кварца, как известно, обладают гидрофильными свойствами, и даже незначительное количество влаги приводит к появлению гидролизной пленки на его поверхности. Поэтому для изучения природы сил взаимодействия, возникающих между поверхностью пьезокварца и металлическими опорами, необходимы тщательная подготовка поверхности и создание высокого вакуума.
Остановимся кратко на существующих представлениях о так называемом «сухом» трении или, точнее, на трении несмазанных поверхностей. В настоящее время еще нет исчерпывающей теории процессов, происходящих при трении двух несмазанных поверхностей, так как они весьма сложны и сопровождаются упругими и пластическими деформациями отдельных элементов трущихся поверхностей. Процесс осложняется еще тем, что на любой поверхности, находящейся в воздухе, как бы она ни была предварительно хорошо очищена, всегда возникает поверхностный слой толщиной в несколько молекул, имеющий весьма сложную структуру и состоящий из молекул газов и паров, как абсорбированных в поверхностном слое, так и оседающих из окружающего воздуха. Этот поверхностный слой настолько прочен, что не разрушается даже при весьма больших давлениях, которые возникают в отдельных точках в случае сжатия двух шероховатых поверхностей твердых тел.
Поскольку поверхности не являются идеально гладкими, соприкосновение их происходит лишь в отдельных точках. Число этих точек зависит от качества обработки поверхностей, с улучшением обработки это число увеличивается.
169
Силы взаимодействия между двумя трущимися поверхностями при малых смещениях носят упругий характер и лишь с увеличением амплитуды смещения приобретают характер сил трения. Этот переход характера сил взаимодействия от консервативного к диссипативному не может быть резким, так как уже при малых смещениях существуют точки соприкосновения, для которых удельное давление превосходит величину, соответствующую пластической деформации. Таким образом, сила трения двух несмазанных поверхностей при малых смещениях состоит из двух компонент: упругой и неупругой, причем с увеличением смещения относительная величина упругой компоненты падает, а неупругой — возрастает.
Опыты показали, что скачки при трении возникают только при малых скоростях и исчезают с их увеличением [Л. 4-14]; первый скачок значительно больше последующих. С. Э. Хайкин показал, что скачки должны иметь место в том случае, если система обладает некоторой упругостью и сила трения как функция скорости имеет падающую характеристику.
Наличие скачков объясняется возрастанием силы трения при продолжительном контакте двух тел. Особенно этот дефект должен проявляться при трении пластических тел, когда при определенной нагрузке на соприкасающихся поверхностях протекают возрастающие с течением времени пластические деформации, и контакт поверхностей становится более плотным, а. это, естественно, приводит к возрастанию силы трения.
Характер сил взаимодействия твердых поверхностей при малых смещениях до сих пор недостаточно изучен. Наблюдая смещение интерференционных полос, обнаружили, что одна поверхность смещается относительно другой еще до того, как тело начинает двигаться [Л. 4-15]; смещения незначительны, почти пропорциональны приложенной силе и исчезают с устранением силы. Объясняются эти результаты возникновением дополнительного напряжения, возвращающего молекулы в исходное положение, если сила недостаточна для разрыва связей между находящимися в контакте молекулами. Силы, возникающие при смещениях пластины порядка 2‘10~6 см, носят упругий характер и почти линейны [Л. 4-16, 4-17]. Коэффициент упругих сил изменяется в зависимости от природы твердого тела и величины нормальной нагрузки на пластину, причем с ростом на-170
{фузкй коэффициент упругости пройорцйонально возрастает. При дальнейшем смещении возникает скольжение.
Силы трения носят консервативный характер при сме-щениях порядка 1 • 10~7 см, при увеличении смещения они перестают быть консервативными (Л. 4-18]. Данные относительно конца действия консервативных сил и начала действия сил скольжения у Ранкина и Томлинсона расходятся. Сложность исследования этого вопроса заключается в том, что переход одного вида взаимодействия в другой начинается при столь малых смещениях, что наблюдать их непосредственно (в микроскоп) невозможно. Кроме того, наряду со смещениями соприкасающихся поверхностей могут возникать упругие деформации и внутри самих твердых тел. Упругие силы, возникающие внутри соприкасающихся тел, «экранируют» исследуемые силы.
Для изучения сил трения при малых смещениях Л. И. Мандельштам и С. Э. Хайкин предложили использовать быстрые механические колебания. Преимущество этого метода заключается в том, что, задавая достаточно большую частоту колебаний одного тела и выбирая соответствующую массу другого, можно второе тело не закреплять, так как оно остается практически в покое.
Как известно, декремент затухания у «свободного» кварца весьма мал и практически не зависит от амплитуды колебаний. Однако при возрастании нагрузки декремент затухания заметно увеличивается. Резонансная частота «свободного» кварца также не зависит от амплитуды колебаний, но при наличии накладки (даже без нажима) увеличивается на 20 гц и растет с увеличением нагрузки [Л. 4-19].
Возрастание резонансной частоты при увеличении нормальной нагрузки говорит о возникновении сил взаимодействия квазиупругого характера. Эти силы растут с повышением нормальной нагрузки (при небольших нагрузках — пропорциональны им).
Резонансные кривые, симметричные при наложении накладки, с увеличением амплитуды обнаруживают асимметрию. При увеличении . нормального давления нелинейность резонансных кривых возрастает. При нормальных смещениях результаты такие же, как и при тангенциальных, что указывает на шаровой характер действующих сил. Силы взаимодействия, описываемые 171
выражением вида }=—&x+>kix3+k2x5+ ..обнаружив2 ют при смещениях порядка 10-7 см нелинейность. Знак нелинейных коэффициентов противоположен знаку линейного. Вследствие этого при возрастании смещений упругость систем уменьшается, и силы взаимодействия ослабевают. При смещении 2,5* 10-6 см силы носят почти консервативный характер. Трение при таких смещениях практически отсутствует. При возрастании смещений возникают также неконсервативные силы взаимодействия, но вплоть до смещения 5-10~6—10-10-6 см эти силы еще значительно меньше силы сухого трения.
Оценка декремента затухания кварца показывает, что диссипация энергии в процессе его колебаний относительно неподвижной пластины при малых смещениях значительно меньше, чем в случае, если бы взаимодействие носило характер сухого трения. При ц —0,5, ^5- 102 дин, (d~5- 105 гц, Д^10~7 см декремент затухания	т. е. сухое трение должно было бы приве-
сти к резкому возрастанию затухания кварца. Отсюда следует вывод, что при смещениях порядка 10-6 см и менее силы вазимодействия между поверхностями твердых тел имеют консервативный характер.
В работе (Л. 4-19] смещения оценены косвенным путем (по величине пьезоэлектрического эффекта), поэтому данные, на основании которых сделан вывод о консервативном характере сил взаимодействия вплоть до смещений порядка 10~6 см, оказались несколько завышенными.
Проведенное прямое измерение тангенциальных и нормальных смещений с помощью интерферометрического метода показало, что область, в которой взаимодействие между соприкасающимися поверхностями твердых тел имеет почти консервативный характер, распространяется до смещений 2*10-7—1 • 10~6 см (в зависимости от свойств поверхностей и нагрузки) [Л. 4-20]. Взаимодействие поверхностей твердых тел Саломонович моделировал системой нелинейных пружин
тх = — kx + krx3 -J- ^2хъ	(4-28)
причем коэффициенты ki зависят от структуры твердого тела и нагрузки. Снимая резонансную кривую кварца с накладками из различных материалов и без них, по возрастанию частоты резонатора при малых амплитудах (нелинейные члены отсутствуют) можно определить 172
По отклонению оси резонансной кривой от вертикали — k{, по искривлению оси—k2. Опыт показывает, что кубический член противоположен по знаку линейному члену и растет с ростом нагрузки. Консервативные силы в области смещений 2*10~7—1 • 10~6 см нелинейны и описываются кубическим членом, что объясняет наступление скольжения под действием внешней силы (при достижении максимальной силы взаимодействия).
В отличие от случая тангенциальных смещений при нормальных смещениях возникают почти консервативные силы, которые не имеют симметричного вида из-за наличия (наряду с кубическим) квадратичного нелинейного члена.
Экспериментальные результаты позволили рассчитать консервативные силы взаимодействия между поверхностями твердых тел и указать зависимость их от различных условий.
Перейдем к рассмотрению диссипативной компоненты. При увеличении амплитуд колебаний кварца от 10"7 до 10-6 см декремент затухания вначале возрастает, но остается значительно меньше, чем в случае сухого трения, а затем в области амплитуд колебаний 10-6— 10-5 см уменьшается, причем зависимость 6=б (А) (где А — амплитуда смещения) не имеет ничего общего с зависимостью, характерной для сухого трения. Это позволило выявить эмпирические закономерности в области малых смещений, на которых должна основываться молекулярная теория сухого трения. Согласно данным [Л. 4-19, 4-20], процесс диссипации энергии в креплениях кварца имеет существенно иной характер, чем диссипации энергии при сухом трении.
Таким образом, консервативная компонента сил взаимодействия при смещениях ~10~8—10~7 см имеет характер сил притяжения и моделируется системой нелинейных пружин, причем коэффициенты \k, kb k2 ... зависят от структуры твердого тела и нагрузки. Диссипативная компонента сил взаимодействия по данным [Л. 4-21] связана с возникновением упругой волны, затухающей в массе соприкасающихся тел.
Определенный интерес представляет вопрос о возможном влиянии на внешнее трение разориентированных частиц в поверхности, появляющихся при механической обработке. Так, например, существенно знать, где именно происходит поглощение упругих волн, образующихся 173
Ё Ироцбссе смещений Двух трущихся тйерДык тел. Поглощение упругих волн, возникающих при колебаниях пьезоэлектрического кварца, в поверхностном слое много больше, чем внутри кристалла [Л. 4-23J. Поэтому можно утверждать, что упругие волны, появляющиеся при смещениях твердых тел, затухают в кристаллитных зернах поверхностного слоя, возникающих при механической обработке. Таким образом, потери на внешнее трение зависят от состояния поверхности твердого тела. В предельном случае (при асимптотической обработке) они должны быть ничтожно малы, так как потери будут обусловлены только внутренним трением. Если поверхность обработана таким образом, что потери в поверхностном слое отсутствуют, то трение определяется только силами молекулярного сцепления, обусловленными флуктуационным электромагнитным полем в пространстве между поверхностями этих тел [Л. 4-24, 4-25].
При изучении механизма взаимодействия твердых тел, в частности пьезоэлектрического кварца и элементов опоры (обычно металл), знание поведения колебательных систем в «чистом виде» представляет значительный интерес. Для этого необходимо исключить влияние металлической опоры на резонансную характеристику пьезоэлектрического кварца. В проведенных опытах кварцевый брусок закреплялся в узловых плоскостях на -перлоновых нитях дйаметром 30—40 мкм и возбуждался на второй гармонике [Л. 2-11].
Как выяснилось, с увеличением амплитуды механических колебаний кристалла резонансная характеристика деформируется, испытывает скачок по амплитуде при определенной частоте, а затем начинает увеличиваться область необратимых изменений. Все процессы происходят в соответствии с теорией нелинейных резонансных явлений Ландау — Лифшица. Как показали измерения, скачок амплитуды колебаний присущ чисто колебательным системам, не испытывающим взаимодействия с металлической опорой, причем скачок наблюдается в области более высоких частот относительно собственной частоты кварца, что соответствует теории Ландау — Лифшица.
Причиной этого эффекта является невыполнение закона Гука, что приводит к появлению нелинейных членов в выражении, учитывающем связь напряжение — деформация. Резкое изменение амплитуды, т. е. ее скачок, 174
может быть объяснено размножением дислокаций, резким увеличением их плотности, а следовательно, и увеличением внутреннего трения, что приводит к скачкообразному изменению амплитуды механических колебаний пьезоэлектрического кристалла.
С повышением номера гармоники, на которой возбуждается пьезоэлектрический кварц, уменьшается амплитуда его механических колебаний, что приводит к уменьшению потерь на внешнее трение. Кроме того, повышение номера гармоники приводит к уменьшению удельной мощности потерь в креплении кварца. Добротность колебательной системы с распределенными параметрами, к которым относится и кварцевый резонатор, можно определить отношением реактивной мощности Лр к мощности потерь Лп:
р=Лр/Лп.	(4-29)
Для-кварца, колеблющегося на n-й гармонике, Лп в п раз меньше, чем на основной частоте.
Таким образом, удельная величина потерь, обусловленная трением пьезоэлектрического кварца об элементы опоры, уменьшается с увеличением номера гармоники.
4-6. Потери энергии на внутреннее трение в кристаллах
Неупругость кварца. Изучение внутреннего трения, релаксационных и дислокационных явлений в кристаллах представляет значительный интерес для физики твердого тела и служит источником сведений о структурном состоянии и процессах, протекающих в твердых телах, подвергаемых различным воздействиям.
Как известно, колебания, вызванные в твердом теле, с течением времени затухают в результате диссипативных процессов, происходящих внутри тела. Совокупность процессов, сопровождающихся переходом энергии упругих колебаний посредством различных механизмов в тепловую энергию, принято отождествлять с внутренним трением в твердом теле.
Внутреннее трение относится к неупругим, или релаксационным, явлениям, которые не описываются теорией упругости1. Теория упругости базируется на предположе
1 Неупругость не связана с величиной деформации и имеет место в области упругих деформаций, где справедлив закон Гувд.
175
нии о квазистатическом характере упругого деформирования твердого тела: напряжение /(т) в какой-либо момент времени т определяется деформацией г(т) в тот же момент времени, т. е. t(x) =£У(т), где Eq— статический модуль упругости идеально упругого тела, который соответствует определенному типу деформации. При периодическом деформировании идеально упругого тела напряжение t и деформации г находятся в одной фазе. Однако при деформировании реального твердого тела в нем не успевает установиться состояние термодинамического равновесия, при этом возрастает энтропия, а следовательно, протекают и диссипативные процессы.
Согласно термодинамической теории в однородном изотропном твердом теле при периодическом деформировании диссипация энергии появляется в тех случаях, когда обратная величина времени релаксации неупругого процесса совпадает по порядку величины с частотой колебаний этого тела (шт—1).
Известно, что реальные тела не однородны и в большинстве случаев анизотропны. К тому же возникающие деформации зависят не только от механических сил, но и от структурного состава тела, примесей, различных дефектов, температуры, магнитных и электрических полей, размеров кристаллитных зерен и т. п. Все это приводит к многочисленным релаксационным явлениям, причем каждое из них вносит свой вклад во внутреннее трение твердого тела. Таким образом, твердое тело при определенных условиях характеризуется совокупностью времен релаксации образующих так называемый i
релаксационный спектр. Следует подчеркнуть, что каждое изменение состояния твердого тела отражается на его релаксационном спектре. К релаксационным явлениям, имеющим одно или несколько времен релаксации, принадлежат вязкость, теплопроводность, изменение концентрации вакансий, взаимодействие колебаний кристаллической решетки (фононов) с распространяющейся в кристалле упругой волной, атомная диффузия и т. д.
Если в исследуемом интервале температур отсутствуют релаксационные явления, то функция, характеризующая внутреннее трение, монотонно изменяется с изменением температуры. При наличии какого-либо релаксационного явления на кривой температурно-диссипативной зависимости появляется максимум внутреннего трения 176
при температуре T^=Uk 1п(1/<от), где £7 —энергия активации данного релаксационного процесса; k — постоянная Больцмана; 7\—абсолютная температура; т — время релаксации.
От других эффектов, связанных с внутренним трением, релаксационные явления отличаются тем, что имеют температурно-временную и температурно-частотную зависимости. Зависимость времени релаксации от температуры имеет вид:
т = хоехр£//^7'.	(4-30)
Максимальное затухание (пик внутреннего трения) наступает при о>=1/т. Сдвиг пика по частоте в зависимости от температуры можно вычислить по формуле
<» = <о0ехр(— UjkT).	(4-31)
Постоянные т0 и ыо, входящие в выражения (4-30) и (4-31), определяются свойствами твердого тела. Энергия активации релаксационного процесса определяется из соотношения
In	.	(4-32)
<о k Т	'	'
Существует несколько теорий неупругих свойств твердого тела. В последнее время широкое развитие получила дислокационная теория внутреннего трения, согласно которой потери энергии в твердом теле связаны с движением дислокаций. Эта теория объясняет, например, уменьшение внутреннего трения при введении примесей в кристалл тем, что дислокации закрепляются в точках примесей, и поэтому последние препятствуют движению дислокаций. Уменьшение диссипации энергии в сильно деформированных телах может быть объяснено взаимным торможением дислокаций. Именно в рамках дислокационной теории нашла объяснение зависимость декремента затухания от амплитуды колебаний кристалла.
Прежде чем перейти к описанию релаксационных явлений, остановимся на присущих реальным кристаллам дефектах кристаллической решетки, которые оказывают существенное влияние на процессы диссипации энергии и необратимые изменения свойств (старение) резонатора.
Дефекты в кристаллах. Под дефектами кристалла понимают любое отклонение от идеальности кристалли-13-3594	177
ческой решетки, при этом различают нульмерные, одномерные и двумерные дефекты.
Нульмерные точечные дефекты подразделяются на энергетические, электронные и атомные. К энергетическим относятся фононы или кванты звуковых колебаний, а также дефекты, вызываемые различного рода радиационными воздействиями, такими, например, как нейтронное, рентгеновское, у-лучи, а-частицы и т. д. К электронным относятся дефекты, связанные с избытком или недостатком электронов (незанятые электронами уровни отождествляются с наличием положительно заряженных дырок в кристаллах). К этому типу дефектов можно отнести и экситоны, рассматриваемые как дефекты, состоящие из электрона и дырки, которые существуют вследствие кулоновского взаимодействия. К атомным относятся дефекты, обусловленные включением в решетку посторонних атомов (примесей), избытком или недостатком атомов одного из компонентов основного вещества (отступлением от стехиометрического состава), неправильном расположением атомов, смещениями атомов из узлов в междоузлия, вакансиями в узлах решетки.
Тепловое движение атомов (или ионов) относительно положения их равновесия приводит к тому, что в тот или иной момент времени амплитуда колебаний отдельных атомов (или ионов)’ оказывается достаточной для того, чтобы они могли покинуть свое место в узле решетки. При этом в кристалле одновременно образуются ваканоия и атом внедрения. Этот тип дефектов ввел в теорию твердого тела Я. И. Френкель.
Каждой температуре кристалла соответствует определенная равновесная концентрация вакансий z^ где U — энергия образования одной вакансии (U^\ эв). Вакансии хаотически перемещаются в кристалле, обмениваясь местами с соседними атомами, что приводит к диффузии атомов в кристалле и взаимной диффузии соприкасающихся кристаллов. Возможен также механизм самодиффузии атомов путем обмена их местами в решетке, введенный Зейтцом; однако этот механизм требует более высокой энергии активации. Шотки высказал предположение, что вакансии образуются на поверхности, затем, постепенно перемещаясь, проникают внутрь кристалла, а замещающие их атомы выходят на поверхность.
178
Ё кристаллах с йоййыМй рёшеткймй различают кй* тионные ( + ) и анионные (—) вакансии.
Одномерные (линейные) дефекты — краевые и винтовые дислокации — вызывают искажения кристаллической решетки, которые заключаются в нарушении правильного чередования атомных плоскостей. Обрыв одной из атомных плоскостей приводит к возникновению краевой дислокации, а если внутри кристалла ни одна из атомных плоскостей не оканчивается, причем через промежуток, равный межплоскостному расстоянию, «плоскость» поднимается или опускается, то образуется винтовая дислокация. Присутствие дислокаций в кристаллах обусловливает увеличение внутреннего трения, снижает значение упругих модулей и уменьшает плотность кристалла.
Двумерные (плоскостные) дефекты образуются границами двойников, рядами линейных дислокаций, границами между зернами кристаллитов. Эти дефекты резко увеличивают внутреннее трение в кристаллах.
Выше уже говорилось о влиянии радиации на появление различных дефектов. Отметим, что всякое физическое воздействие (механическое, электрическое, магнитное, тепловое и т. п.) приводит к появлению дефектов. Под влиянием химических реагентов в кристалле появляются дефекты в виде примесных атомов, которые захватываются в результате диффузии (<22г-дефекты в кварце).
Особенно велико влияние температуры на тип дефектов в кристалле и их количество. При абсолютном нуле фононы в кристалле отсутствуют. С повышением температуры их число возрастает. Значительное повышение температуры обусловливает разрушение части валентных связей с образованием электронных дефектов: свободных электронов, дырок, экситонов. Флуктуации теплового движения .приводят к появлению дефектов по Френкелю и Шотки. Вблизи температуры плавления концентрация таких термодинамически равновесных дефектов может составлять 1—2% от общего числа атомов. Под воздействием неравномерного нагрева и охлаждения появляются дислокации и двойники.
В реальных кристаллах обычно встречаются такие макроскопические дефекты, как фантомы, свили, «голубые иглы», внутренние трещины и т. п., возникновение которых связано с процессами, происходящими при об-12*	179
рйзованни кристалла. Образование кварца определяется прежде всего термодинамическими условиями — температурой, давлением, средой, в частности концентрацией веществ, входящих в состав, из которого выкристаллизовывается кварц. Размеры кристаллов, их чистота зависят, например, от таких факторов, как наличие в жидкой среде механических примесей, скорость кристаллизации и вязкость фазы и др. Число макроскопических дефектов и их характер зависят, таким образом, от месторождения кварца, но различные кристаллы даже из одного и того же месторождения существенно отличаются своими дефектами.
Изучение дефектов играет важную роль в исследованиях, связанных с поглощением энергии упругих волн в кристаллах, в частности в кварце. Присутствие дефектов в кварце, даже в незначительном количество, влияет на его структурные, механические, электрические и оптические свойства. Например, существенно изменяется форма кривой, описывающей температурно-частотную зависимость кварца, и положение ее экстремума на температурной шкале.
Внутреннее трение весьма чувствительно к структурным изменениям. Наличие дефектов и примесных частиц в кварце вызывает резкое возрастание внутреннего трения, проявляющееся в релаксационных процессах.
Поглощение упругих волн в кристаллах. Рассмотрим затухание плоской звуковой волны малой амплитуды, обусловленное наличием вязкости и теплопроводности, при ее распространении в анизотропном твердом теле.
Диссипация энергии в анизотропном твердом теле -[Л. 4-26] определяется формулой
"-4V-2	(4-33)
где	Zffc—тензор теплопроводности;
dTfdXi, дТ[дхь— градиенты температуры;
ф — диссипативная функция:
4>|Г= ~~2~ ^lihln.^ikl^hnf	(4-34)
Tilklm — тензор вязкости; •	. '
Uik, ulm — производные тензора деформации по времени, 180
Вследствие того, что теплойроводйостЬ, кйк иЗйеёТйо, не может привести к поглощению поперечных -волн, первый член правой части (4-33) равен нулю, и поэтому
£мез,= -2	(4-34')
' В случае кристалла тригональной системы, к которой - принадлежит а-кварц, диссипативная функция
' Ф =	(<+<€)•	(4-35)
Подставляя (4-35) в (4-34'), получаем:
^меЧ = 2т)Сг^	{и\х + и\у) cos2 (kz — <»t),	(4-36)
ct
где Ct — скорость поперечных волн.
Полная средняя энергия в единице объема кристалла
£ = 4pe)2(“L + Moy)’	(4-37)
где р — плотность твердого тела.
Коэффициент поглощения упругих волн у в твердом теле есть отношение средней диссипации энергии к удвоенному среднему потоку энергии:
у — 1^мех |
2с Е
(с — скорость волн). Эта величина определяет изменение амплитуды колебаний в зависимости от расстояния, т. е. А=А^Х.
Коэффициент поглощения поперечных волн уп в анизотропном монокристалле, обусловленный вязкостью, равен:
Г. = У1в = ^=-!^2-.	(«в)
2с tE	р<у
Коэффициент поглощения продольных волн в анизотропном монокристалле, как можно показать [Л. 4-28], равен:
181
В приведенных формулах!
т) и т/— обычный и второй коэффициенты вязкости (в дальнейшем принимаем т]—rf);
а — коэффициент теплового расширения;
Ci — скорость продольных волн;
Ср — теплоемкость при постоянном давлении.
Из (4-39) следует, что у/а~Уп + ут, где ут — часть по-терь, обусловленная процессами теплопроводности.
При выводе формул (4-38) и (4-39) диссипация энергии вычислялась с помощью выражения для незатухающей упругой волны, поэтому предполагается, что коэффициенты поглощения yta и yia в твердых телах малы и относительное изменение амплитуды на расстояниях порядка длины волны также мало, т. е. ус/со<;1.
Коэффициенты поглощения поперечных и продольных волн в анизотропных монокристаллах совпадают по порядку величины с соответствующими коэффициентами, вычисленными для изотропных твердых тел [Л. 4-26].
Из формулы (4-38) следует, что
(4-40)
Так как
то
_ Р<78
71 2n2f ’
(4-40')
Если в формулу (4-40') подставить численные значения (р = 2,65 г-см-3; Cj = 2,3-105 см •сект1; /=5-105 гц\ 6=1,3-10—7 при комнатной температуре), то получим т]^1,8-10_3 г • см-1 • сек-1. Как видно из результатов вычислений, т] имеет размерность вязкости.
Измерения потерь, обусловленных вязкостью, на четырех кварцевых элементах, вырезанных из одного моноблока и имеющих форму двояковыпуклых линз, показали, что значения г] для этих кристаллов кварца в пределах погрешности измерений совпадали.
Исследования потерь в кварце, проведенные на резонаторах (свыше 20), образцы для которых были получены из различных моноблоков, показали, что коэффициент вязкости в кристаллах изменялся в пределах (1,8— 3,0) • 10-3 г • см—1 • сек—1', моноблоки вырезали из уни-182
кальных кристаллов кварца. По-видимому, такая вариа ция значений коэффициента вязкости объясняется дефектами внутри кристалла. Наличие в реальных кристаллах кварца дефектов приводит к изменению внутреннего трения от образца к образцу.
В результате исследований была обнаружена зависимость потерь энергии от частоты колебаний [Л. 4-27]. На основе экспериментальных данных была построена зависимость декремента затухания кварцевых линз от их геометрии и частоты.
При этом получены следующие значения логарифмического декремента затухания б для разных частот и отношений a/R:
f, кгц . . .	500	1 000	2 000	3 000
a/R . . . .	0,.38	0,17	0,11	0/,07
5....... 1,3-10-7	3-10-7	5,4-10-7 8.10-7
Декремент затухания для кварцевых резонаторов с собственной частотой 100 кгц, найденный экстраполяцией экспериментальных данных, оказался равным з-ю-8.
В работе {Л. 4-28] были рассмотрены вопросы, связанные с внутренним трением в кристаллах кварца, обусловленным явлениями вязкости и теплопроводности. Теоретическая оценка на основе классической теории приводит к следующей формуле:
4-=7^=0,27.10-12.	(4-41)
Из формулы (4-41) следует, что произведение добротности на частоту есть величина постоянная: Q/ = = const. Следовательно, с повышением частоты колебаний добротность должна понижаться. Это обусловлено тем, что при увеличении скорости деформирования кварца в каждый данный момент в кристалле не успевает установиться состояние термодинамического равновесия. Вследствие этого процессы установления равновесного состояния в кристалле являются необратимыми и связаны с возрастанием энтропии, а следовательно, и с рассеянием энергии.
Низкочастотные колебательные системы при прочих равных условиях должны иметь, как следует из (4-41), большую добротность, чем высокочастотные. Это справедливо только для случая внутренних потерь, т. е. когда цсе другие виды потерь играют незначительную роль.
Однако уменьшить влияние крепления и связанных колебаний в низкочастотной колебательной системе, например в кварцевых камертонах и разрезных кольцах, чрезвычайно трудно. Формула (4-41) и экспериментальные данные приводят к выводу, что добротность кварцевых резонаторов низкой частоты может быть повышена путем уменьшения внешних потерь, обусловленных трением в креплении, связанными колебаниями и рассеянием энергии в поверхностном слое. В настоящее время А. Г. Смагиным и Л. А. Гордиенко получены резонаторы из искусственного (так называемого бездисло-кационного) кварца добротностью 58,7- 106 при комнатной температуре на частоте 100 кгц.
Добротность высокочастотных кварцевых резонаторов, возбуждаемых на гармониках, определяется в основном внутренним трением. Внутреннее трение в кристаллах, не содержащих дефектов, служит принципиальной границей, препятствующей созданию более высокодобротных колебательных систем при обычных температурах.
Различие температуры внутри кристалла приводит к процессам теплопроводности, сопровождающимся потерями энергии. Сравним первый член в формуле (4-39), т. е. часть потерь, обусловленную вязкостью, со вторым членом, связанным с рассеянием энергии путем теплопроводности. В кварце при комнатной температуре р = = 2,65 г • см~3\ а= 1,4 • 10-5 град~\ и= 17 • 10~3 кал • см~1Х Хград~* • сек-\ Ср=0,174 кал • г~* • град-*; ci = 5,65X Х105 см-сек~1\ 6=1,3-10“7; f=105 гц. Оценим первый член формулы (4-39) (полагая Tj^rf):
Тв=Л = 2,М0-! см-1.
Второй член равен:
Yt = 7 • 10-3 см~\	(4-42)
Следовательно, уп’Сут- Отсюда заключаем, что затухание упругих волн в кварцевых брусках, колеблющихся по длине, обусловлено процессами, связанными с теплопроводностью.
Проведенные нами исследования подтверждают правильность феноменологической теории Ландау — Лифшица, связывающей поглощение звука в твердых телах с наличием вязкости и явлениями теплопроводности. Основным результатом этой теорий является связь ко-184
эффициентов йоглбщёйия йопёрёчных й йрбДблЬных волн», обусловленных вязкостью и теплопроводностью, с квадратом частоты колебаний.
Вакансионное внутреннее трение. Высокотемпературное внутреннее трение в кристаллах связывают с вакансиями, концентрация которых возрастает с повышением температуры. При периодическом деформировании кристалла периодически изменяется »концентрация вакансий. Изменение концентрации вакансий происходит с конечной скоростью, поэтому необходимо определенное время, в течение которого в системе будет устанавливаться состояние термодинамического равновесия, так как изменение числа вакансий отстает от изменения деформации. Таким образом, процесс периодического деформирования кристалла является необратимым, что приводит к диссипации энергии.
Внутреннее трение в кристаллах согласно релаксационной теории Зинера определяется формулой
<Э~1= , /Т Ч2 Д£,	(4-43)
1 + (сот)2 ’	v '
где со — циклическая частота колебаний;
т —время релаксации концентрации вакансий при постоянных температуре и деформации;
ДЕ — дефект модуля упругости.
Дефект модуля упругости может быть определен из равновесной концентрации вакансий (Л. 4-29]:
4£=£(т)’^’	(4'44)
где и — энергия образования-вакансий по Шотки;
' t — упругое напряжение;
N— число атомов в единице объема;
k — постоянная Больцмана;
z — равновесная концентрация вакансий.
При высоких температурах наблюдается экспоненциальная зависимость внутреннего трения от температуры [Л. 4-29]:
=	(4-45)
где А — постоянная величина; логарифмируя, получаем:
lnQ_, = ln4 —Д-.	(4-46)
185
&ту формулу удобно представит^ графически в Полулогарифмическом масштабе. Нанося 1/Г по оси абсцисс, a In Q-1 — по оси ординат, получаем прямую, по наклону которой к оси абсцисс определяется энергия образования вакансий.
Наши экспериментальные данные позволяют определить постоянную в формуле (4-45) С = 1пД = 1*10-4 и энергиюобразования вакансий в кварце, которая равна 0,67 эв.
При температурах порядка 500° С Q-1^10-5.
Экспериментальные результаты подтверждают правильность предположения об экспоненциальном росте внутреннего трения с повышением температуры [Л. 4-30].
Амплитудно-зависимое внутреннее трение. При исследовании внутреннего трения отмечалось значительное его возрастание при небольших колебаниях образца. Обнаружено также, что внутреннее трение в монокристаллах, приготовленных из одного вещества и одним и тем же методом, иногда различается на порядок и более. Твердые тела, подвергавшиеся предварительному деформированию, дают еще больший разброс по величине внутреннего трения. В рамках релаксационной теории трудно объяснить зависимость диссипации энергии от амплитуды колебаний образца, наблюдаемую на опыте.
Поэтому для объяснения этих явлений привлекается теория дислокаций.
В основу дислокационной теории внутреннего трения положена модель Колера [Л. 4-31]. Согласно этой модели диссипация энергии в твердом теле обусловливается колебаниями дислокационной петли, концы которой закреплены в точках примеси. Предполагается, что до деформации кристалл содержит сетку дислокации. При наложения периодического внешнего усилия, помимо упругой деформации, возникает деформация, * обусловленная колебаниями дислокации. При температуре абсолютного нуля дислокации находятся в положении, соответствующем их минимальной энергии. С повышением температуры тепловая энергия передается дислокациям, и некоторые из них могут преодолевать энергетический барьер, созданный скалывающим усилием, которое стремится возвратить дислокации в положение минимальной энергии.
При отсутствии напряжения дислокации закрепляются в точках примеси. Когда напряжения малы, перво-186
начально прямолинейная дислокация изгибается пропорционально напряжению и продолжает симметрично развиваться, пока не достигается напряжение срыва. Далее снова образуется замкнутая дислокационная петля.
Процесс перемещения дислокаций под действием приложенного напряжения является диссипативным, так как он связан с переходом кристаллической решетки из одного равновесного положения в другое. Дислокации могут вызывать неупругие эффекты, зависящие от частоты колебаний образца и амплитуды деформации. При малой амплитуде деформации участки дислокаций можно рассматривать как резонансные системы с частотами в несколько сотен мегагерц. Длину петли дислокации при этом можно определить как среднее расстояние между центрами закрепления дислокаций, т. е. примесями или дефектами решетки. В этом случае дислокационная теория внутреннего трения, разработанная Гранато и Люкке [Л. 4-32], приводит к формуле вида
л—1	а<^2
У] = 24
(1-л)2+-у
(4-47)
где I — длина петли дислокации;
L — общая длина дислокационных линий;
оо = 8р&2/лс (р — модуль сдвига; b — вектор Бюргерса) ;
Р = мВ!А (Л и В — постоянные);
у = (о/<оо (со — частота колебаний образца; <оо—резонансная частота).
При большой амплитуде деформации дислокации отрываются от центров закрепления. В этом случае внутреннее трение
ф
(4-48)
2	\ Л / \ °о /
где T|)=/cffA (/с — длина петли дислокации при срыве, cr = crocos((o/—kx) —напряжение).
Сравнение дислокационной теории с экспериментальными данными оказалось вполне удовлетворительным. На основе этой теории были проведены исследования по выяснению роли дислокаций в процессе деформирования кристалла кварца.
187
Проводили исследования внутреннего трения в природных и искусственных кристаллах кварца при комнатной температуре методом составного резонатора [Л. 39]. Декремент затухания образцов различной ориентации измеряли по отношению к основным кристаллографическим направлениям в зависимости от амплитуды колебаний. Кварцевые элементы возбуждали на частоте 64 кгц; амплитуда колебаний изменялась от 0,5 • Ю~5 до 5,0 • 10~5 (в относительных единицах). Исследовали образцы кварца цилиндрической формы диаметром 2 мм и длиной около 40—50 мм, полученные из монокристаллов, выращенных гидротермальным способом. Кварцевые элементы из различных образцов были ориентированы под углом от —30 до
, 0	/	2	3	4	3
Рис. 4-7. Зависимость декремента от амплитуды колебаний при изменении ориентации для различных
кристаллов.
+ 40°. Результаты исследования образцов (исследовано 26 образцов), изготовленных из трех материнских кристаллов, которые обозначены буквами L, М и JV, приведены на рис. 4-7,а. Символ L—30-1, например, означает, что образец 1 ориентирован под углом —30° относительно оси X, получен из материнского кристалла L. Для кварцевых элементов, ориентированных параллельно или почти параллельно оси У (обозначены буквой М), декремент затухания мал и почти не зависит от амплитуды колебаний. Внутреннее трение образцов кварца, ориентированных под большими углами относительно оси Z (обозначены буквами L), имеет явную зависимость от амплитуды колебаний, хотя и не такую большую, как в природном кварце [Л. 4-33].
Часть внутреннего трения бл (декремент затухания д/, — мера внутреннего трения), зависящая от амплитуды колебаний, может быть определена из экспериментальных данных вычитанием компоненты, не зависящей от амплитуды, т. е. экстраполированной величины 6 при величине деформации е = 0. На рис. 4-7,6 приводятся зависимости е^26/1 = ф(8-1), установленные на основе теории Гранато-Люкке, для четырех образцов. Линейная зависимость между этими величинами показывает, что в кристаллах кварца с ростом амплитуды имеет место затухание дислокаций. 'Отклонение от линейной зави-188
симости для образца N-20-2 вызвано, по-видимому, наличием в кристалле посторонних примесей.
На рис. 4-8 приведена зависимость внутреннего трения от угл 1 ориентации, измеренная при амплитудах колебаний е«3,0-10-5 (в относительных единицах).
Формула, описывающая' зависимость внутреннего трения от ориентации образца, может £ыть представлена в виде
8 = 8. + К^Е + KiS312 Е,/2 exp (— 1/sE),	(4-49)
где 60 — внутреннее трение, обусловленное -причинами, не связанными с затуханием дислокаций;
Ki, Къ— .постоянные, не зависящие от ориентации образца;
s — коэффициент, учитывающий сдвиговые напряжения;
Е — модуль Юнга в направлении оси образца.
Если плоскость скольжения дислокаций параллельна оси У или Z кристалла, то коэффициент s пропорционален произведению sin '0* • cos '0. Подставляя значение s в уравнение и предполагая, что д есть величина постоянная
Рис. 4-8. Зависимость декремента затухания искусственного кварца от ориентации.
Для пяти образцов кварца, внутреннее трэние, отклонение
для всех образцов, можно получить зависимость внутреннего трения при фиксированной амплитуде колебаний от угла ориентации. Приведенная на рис. 4-8 кривая получена подбором постоянных до, К\ и	таким образом, чтобы
она	проходила через три
экспериментальные точки. Совпадение расчетной кривой с экспериментальными точками можно считать вполне удовлетворительным. Отклонение некоторых точек от кривой может быть вызвано различием соответствующих значений до. имеющих аномально большое
настолько велико, что они не попадают в рассматриваемую схему. Как полагает Хики, причиной аномалии может являться весьма большая плотность дислокаций. Вклад других механизмов (помимо дислокационного), которые могли бы вызвать зависимость внутреннего трения от ориентации образца, как показывает анализ, проведенный Хики, незначителен.
Поскольку зависимость внутреннего трения от амплитуды колебаний образца и ориентации его относительно кристаллографических осей описывается теорией затухания дислокаций, можно сделать вывод, что большая часть внутреннего трения природного и искусственного кварца обусловлена‘движением дислокаций в кристалле.
4-7. Потери энергии на связанные колебания. Спектральные характеристики
Моночастотность кварцевого резонатора. Кварцевый резонатор является электромеханической колебательной системой с большим числом степеней свободы. Возмож-
189
ность возникновения колебаний различных видов и в различных направлениях анизотропного кристалла кварца приводит к еще более сложным явлениям. Можно сказать, что получение моночастотного кварцевого резонатора является одной из наиболее сложных задач пьезоэлектричества и техники стабилизации частоты. Особенно трудной эта задача оказывается при производстве резонаторов для кварцевых фильтров, когда необходимо обеспечить моночастотность в относительно широких диапазонах частот и интервале температур. В случае генераторов эта задача упрощается, так как выбором соответствующих значений параметров схемы можно ограничить возникновение нежелательных (паразитных) колебаний.
Различают многочастотность «идеального» и реального резонаторов. В первом случае многочастотность кварцевого элемента, изготовленного из идеального монокристалла и имеющего идеальную геометрическую форму, обусловлена всеми частотами, которые связаны с геометрическими размерами, пространственной ориен-тацией и геометрией возбуждающего поля, например, расположением электродов. Все эти частоты, включая и частоты связи, могут быть рассчитаны теоретически, хотя трудности такого расчета очевидны. Спектр частот в данном случае должен носить закономерный характер, и для уменьшения числа резонансов в определенном диапазоне соответствующим образом выбирают вид колебаний, размеры кварцевого элемента, угол среза, расположение электродов и т. д.
Во втором случае появляется много дополнительных частот, зависящих от свойств реального кварца и различных технологических факторов (наличие дефектов в структуре, отклонение кварцевого элемента от идеальной геометрической формы, различия в креплении и т. п.). Обычно дополнительные частоты в спектральной характеристике не имеют большой интенсивности и группируются вблизи частот спектра «идеального» кварца. На практике это приводит к такому явлению, как «двухвол-новость», т. е. к перескоку частоты с одного значения на другое, расположенное в непосредственной близости от первого. Перескок по частоте может иметь место при изменении условий работы схемы генератора или изменении температуры кварца. Если брусок, изготовленный из изотропного тела, растягивать и сжимать 190
й ОДноМ направлении, to в ПерПенДикулйрныХ направлениях возникают деформации сжатия и' растяжения. Это явление можно рассматривать как два связанных колебания.
Связь и связанность в колебательной системе. Моно-цастотность как физическое свойство присуща только идеализированным колебательным системам: Моночастотность электромеханической колебательной системы в пьезоэлектричестве, как и бесконечно тонкий луч в оптике,— это лишь полезная научная абстракция. Чтобы объяснить поведение колебательной системы, мы вынуждены отвлекаться от воздействия колебаний, сопутствующих основному колебанию. В действительности мы имеем дело со спектром дискретных частот, даже если они и очень далеко отстоят одна от другой и имеют ничтожное взаимодействие. На практике моночастотность колебательной системы представляет собой тот случай, когда одна собственная частота колебаний преобладает по сравнению с парциальными частотами. В этом случае такая колебательная система при определенных условиях характеризуется минимальным декрементом затухания. Принципиально нельзя получить строго моноча-стотных колебаний ни в акустике, ни в радиотехнике, ни в оптике, что объясняется статистической природой физических явлений.
Обычно в кварцевом резонаторе наблюдается спектр частот, определяемый связанными колебаниями. В общем случае колебательные системы, которые характеризуют кварцевый резонатор, в какой-то мере всегда связаны. Поэтому можно рассматривать колебания в п связанных системах как колебания в одной системе, обладающей п степенями свободы. При этом важно знать, насколько существенным оказывается влияние остальных п—1 колебательных систем на основную систему, определяющую собственную частоту сор кварцевого резонатора, при. каких условиях можно пренебречь связью между п—1 системами, а процессы, происходящие в колебательной системе с частотой сор, можно рассматривать как процессы, совершающиеся в изолированной системе с одной степенью свободы [Л. 4-28].
Рассмотрим для простоты поведение двух колебательных систем.
Собственные частоты колебаний двух взаимодейст-
191
вующих енотом с упругой связью равны:
<=4 W+% ± / (*i+*Da-4^22(i-r)),
(4-50)
где у— коэффициент упругой связи;	. '
kif ^2 — парциальные частоты в связанной системе1.
После простых преобразований получим:
%2= 4 (*1 + *2 =!=V	+	. (4-51)
Если k2 > k2, то о>! >• ki и <о2 < k2 (рис. 4-9).
При значениях у, удовлетворяющих условию
(Л2 — Л2 )2 > 4^2 Л2 у2,	(4-52)
собственные частоты будут мало отличаться от парциальных. Из формулы (4-50) видно, что если у—>4), то
<01——*~ki И <И>2-*Т&2-	'
Л. И. Мандельштам ввел величину, называемую коэффициентом связанности:
<4'53)
— *2
Этот коэффициент можно распространить на п колебательных систем * и таким путем характеризовать взаимодействие между колебательными системами не только величиной коэффициента связи у, но и близостью парциальных частот относительно друг друга. Если <r<C 1
(но не у<С 1), то взаимо-
Рис. 4-9. Расположение собственных и парциальных частот в связанной колебательной системе.
действие между системами мало, так как мала связанность. Нетрудно видеть из (4-53), что при k\—т. е. при приближении к резонансу этих парциальных частот, о значительно возрастает даже при малых значениях связи у. Таким образом, даже малые связи между отдельными коле-
1 Парциальными называют собственные частоты систем с одной степенью свободы (входящих в полную систему), если их рассматривают как изолированные. ч 192
батальными системами в атом случае будут оказывать большое влияние, например на процессы диссипации энергии в системе, обладающей у/ п степенями свободы, если парциальные частоты близки друг к другу. Следует подчеркнуть, что при большом различии в парциальных частотах даже относительно большие связи не сказываются на колебаниях каждой колебательной системы.
При весьма малой связанности в первой колебательной системе имеют место колебания с частотой соь близкой к ki, во второй — колебания с частотой <о2, близкой к Л2. Эти колебания можно считать развязанными, так как можно пренебречь связью между системами (коэффициент связанности ничтожно мал: о—>0).
В предельном случае парциальные частоты совпадают, т. е. ki=]k2/ и поэтому даже при очень малой связи у связанность будет сколь угодно большой (а—>оо). При анализе диссипации энергии в кварцевых резонаторах, рассматриваемых как п связанных колебательных систем, теория связанных систем имеет принципиальное значение.
Таким образом, возможны, по-видимому, два способа уменьшения связи между резонансной и парциальными частотами в пьезоэлектрическом резонаторе: 1) расширение интервалов между резонансной и парциальными частотами и уменьшение связанностей в системе вследствие уменьшения взаимодействия между парциальными частотами; 2) уменьшение связи кварцевого элемента с электродами (путем изменения ширины зазора, диаметра электрода и т. п.).
Условия существования моночастотности в анизотропной колебательной системе. Теория колебаний пьезоэлектрических кристаллов изложена в (Л. 4-35—4-39 и др.].
В работе |[Л. 4-40] принимаются во внимание граничные условия для тонкой прямоугольной пластины конечной площади, колеблющейся по толщине. Решение приведенного в этой работе уравнения показывает, что существует неравномерное распределение смещения на поверхности пластины. Изменение амплитуды колебаний вдоль диаметра тонкой круглой плоскопараллельной пластины ЛТ-среза достаточно хорошо описывается синусоидальным законом. Отметим, что по такому же закону изменяются в пластине деформации и пьезоэлектрический ток.
13—2584	193
Как известно, пластины с любой формой крйёб, колеблющиеся по толщине, всегда обладают паразитными частотами. Для возбуждения только Одного вида колебаний— колебаний по толщине — с точки зрения теории необходимо, чтобы плоскость пластины была параллельна одной из осей 2, 4 или 6. Для такой ориентации направление возбуждения поперечных волн параллельно оси симметрии, и фронт волны находится в плоскости пластины. Однако соблюдение лишь условия параллельности плоскости кварцевого элемента одной оси двух-, четырех- или шестикратной симметрии недостаточно для возбуждения только одного вида колебаний.
Возникновение связанных колебаний в кварцевом резонаторе как упругой колебательной системе обусловлено не только анизотропией упругих свойств кварца, но и конечностью его геометрических размеров (иными словами, наличием определенных граничных условий). Поэтому должна быть оптимальная геометрия кварцевой линзы и определенная форма ее крепления, при которых ' все другие виды колебаний, кроме сдвиговых по толщине, практически не будут играть существенной роли. Тогда диссипация энергии, обусловленная наличием связанных колебаний в системе, будет минимальна, а добротность системы — максимальна (Л. 4-27].
Экспериментальные результаты подтверждают правильность изложенных представлений о диссипации энергии в кварцевом резонаторе при связанных колебаниях. Расчет оптимальной геометрии кварцевой линзы, при которой максимально расширены интервалы между резонансной и парциальными частотами и тем самым уменьшаются связанные колебания в системе, представляет значительные трудности. Поэтому задачу решают экспериментальным путем.
На основании экспериментальных данных в {Л. 4-20] была установлена зависимость добротности от геометрии линзы, т. е. от отношения диаметра линзы к радиусу> ее кривизны R. При частоте 500 кгц добротность Q = = 17,5* 106, отношение диаметра линзы к радиусу ее кривизны а//? = 0,38; при частоте 1000 кгц Q=10,6*106; a/i/?=0,17. Таким образом, варьируя а и R можно для любой частоты получить максимальное значение добротности. Экстремальное значение добротности можег увеличиваться или уменьшаться в зависимости от со-
194
держания дефектов в кристалле, однако характер функции Q=ip(a//?) изменяется слабо.
Оптимальная геометрия является необходимым, но недостаточным условием моночастотности кварцевого элемента. Для того чтобы свести к минимуму потери на связанные колебания, необходимо еще выбрать определенную геометрию крепления.
Для исследования зависимости потерь энергии от геометрии крепления кварцевой линзы по контуру круга был применен специальный держатель, позволяющий варьировать расположение точек крепления [Л. 4-20]. Оказалось, что при определенном положении линзы относительно элементов крепления, расположенных под углом 120°, наблюдается максимальное значение^доб-рГотности. Этому положению линзы соответствует ось Zz, проходящая через один из элементов крепления и делящая расстояние между другими двумя пополам. Если сблизить последние так, чтобы они находились под углом 5° относительно оси Z', то добротность повысится на . 7,4%. Максимальная добротность получается при креплении кварца в направлении оси Z'.
Выбор экспериментальным путем оптимальной геометрии кварцевого элемента и его крепления дает возможность расширить интервалы между резонансной и парциальными частотами и уменьшить-связанность в колебательной системе.
Рассмотрим теперь влияние зазоров на изменение связи между резонансной и парциальными частотами в кварцевом резонаторе. Как известно, величина, обратная измеряемой добротности, является линейной функцией сопротивления, которое подключают последовательно в цепь затухания кварцевого резонатора. Изменение ширины зазоров или диаметров электродов должно привести к изменению наклона прямой 1/Q=<p(/?). Семейство прямых дает одно и то же значение Qo — истинной величины добротности, если зазор играет лишь роль последовательной емкости в цепи резонатора. Однако эксперимент показывает, что изменение ширины зазоров и диаметров электродов приводит не только к изменению угла наклона 1/Q=<p(»/?), но и Qo.
Из экспериментальных данных следует, что добротность резонатора зависит от ширины зазоров между поверхностью кварцевого элемента и возбуждающими 13*	195
электродами (при постоянных интервалах между резонансной и парциальными частотами).
Перечислим еще раз некоторые факторы, определяющие наличие или отсутствие связанных колебаний в кварцевых резонаторах с кристаллами различной формы и видами колебаний: параллельность плоскости одной из кристаллографических осей 2, 4, 6; геометрия кварцевого элемента (отношение aJR— для линзы, L/b—для бруска, диаметр—для тороида и т. д.); геометрия крепления (граничные условия); размеры электродов и зазоров между кварцевым элементом и электродами (Л. 4-27, 4-41] и др. Поэтому для получения моночастотности в колебательной системе, обладающей анизотропными свойствами, в каждом конкретном случае необходимо исследовать зависимость добротности от геометрии системы, геометрии крепления и геометрии возбуждающего поля.
Связанные колебания и спектр частот. Обратимся к связи деформаций и напряжений
rij=SijkitM.	(4-54)
Из связи между тензорами второго ранга tu и гц нетрудно видеть, что даже при наличии только одной компоненты напряжения, например tn, будут отличны от нуля не только компонента деформации гп, но и все другие компоненты. Если кристалл (Кварцевый б.русок) подвергать одноосному растяжению или сжатию параллельно его граням, то он не только удлиняется или укорачивается, но и претерпевает сдвиг, причем углы между гранями кристалла перестают быть прямыми. Проявление анизотропии свойств кристалла наблюдается и при изгибании кварцевого бруска (или кварцевого элемента любой другой формы). Приложение к концам кварцевого бруска чисто изгибающего напряжения вызывает не только изгиб, но и кручение. Поэтому при пьезоэлектрическом возбуждении кварцевого бруска по длине одновременно проявляются в той или иной степени все виды колебаний.
Как было показано в гл. 2, пьезоэлектрический эффект описывается следующими уравнениями:
=	гг= <1цЕп г3 = 0; /’4==^1ч£'1»
rt = — dltEa', rt = —2dnEa. (4-55)
196
Под действием электрического поля, приложенного в направлении оси X, в результате пьезоэлектрического эффекта в кварце возникают деформации Г1=Тц, г2 = =Т22 и Г4=Тгз- Поле, направленное по оси У, приводит к возникновению деформации Г5=Тз1 и /б=Т12, а при поле, параллельном оси Z, деформации равны нулю, т. е. они отсутствуют. При возбуждении кварца электрическим переменным полем, направленным по оси Y, одновременно возникают напряжения [Л. 4-42]
^12----^56*^31 “4" ^66*^12»	*31 --- ^бб^З! “F ^бв’Чз*	(4-56)
Возникает механическая связь между компонентами Т12 и Тзь обусловленная отличной от нуля постоянной упругости с5бл вследствие того, что Т12 возбуждает деформацию Тз1 на боковых гранях кварца. Этот эффект связанности в колебательной системе особенно опасен в том случае, когда высокие гармоники низкочастотного колебания (паразитные высшие гармоники) весьма близки друг к другу и возбуждаются в плоскости XY. Таким образом, паразитные упругие волны обусловливают существование близлежащих резонансных частот. Иногда их используют для получения малого температурного коэффициента частоты в ограниченном интервале температуры.
Влияние паразитных волн, обусловленных механическими связями, можно уменьшить выбором соответствующей ориентации кристалла, его 6 геометрии и геометрии крепления (длина, ширина, диаметр, размер $ фаски, крепление в двух, трех или четырех точках, ориентация относительно оси Z и т. д.). Основным 4 способом уменьшения влияния паразитных волн служит выбор ориентации кварцевого элемента относительно основных кристаллографических осей, при которой постоянная 2 упругости, возбуждающая механи
ческую связь, становится равной Рис. 4-10. Зависи-нулю. В случае а-кварца этот спо- мость добротности соб приводит к равенству нулю кварцевых брусков от постоянной С25 (-4С-, ВС-срезы) и длинным граням для г66 (ЛТ- и ВГ-срезы) (группа сим- двух образцов.
197
метрии 3.2). Известно, что для произвольных осей X, Y и Z в кристалле условием самосопряженности оси X является равенство нулю С15 и йб‘, дополнительными условиями сопряженности оси X осям У и Z является равенство нулю постоянных C25, С35, <45, ^46, ^56.
В случае У-сечения с боковыми гранями, параллельными осям X и Z, имеет место волна, которой соответствует деформация пг- Механическая связь Т12 и тзз мо-
Рис. 4-11. Зависимость добротности кварцевых брусков от ширины зазора.
/ _ брусок без фасок; 2 — брусок с фасками.
жет привести к возникновению паразитной волны в кварце Z-сечения. Аналогично в случае Z-сечения механическая связь между таз и Т22 обусловливает появление паразитной волны в кварце (Y-сечение).
Выше было отмечено, что у кварцевого резонатора как анизотропной колебательной системы существует такая оптимальная геометрия, при которой добротность имеет максимальное значение. При
этом интервалы на частотной шкале между основной и парциальной часто-
тами расширяются настолько, что потери на связанные колебания в системе достаточно сильно снижаются, вследствие уменьшения взаимодействия. Из рис. 4-10. видно, что добротность имеет максимальное значение при ширине фасок ~1,62 мм. Рассчитать данный эффект теоретически пока не представляется возможным, •поэтому экспериментально подбираются соответствующие условия, при которых потери энергии на связанные колебания минимальны. В работе [Л. 4-2] изменение геометрии кварцевого бруска достигалось снятием фасок по его длинным граням. В результате частота крутильных колебаний повышалась настолько, что ее расстояние по частотной шкале до частоты продольных колебаний составляло 4,6% от 66,666 кгц. хотя перед снятием фасок первая частота была выше последней только на 0,5%.
К уменьшению потерь энергии на связанные коле* бания приводит не только расширение интервалов парциальных частот на частотной шкале, но и уменьшение
198
связи кварцевого резонатора с электродами при изменении ширины зазора между кварцевым элементом и электродами. На рис. 4-11 приведена зависимость добротности кварцевых элементов в форме брусков от ши
рины зазора.
На рис. 4-12 приведена зависимость добротности от длины среднего и крайних электродов (ширина зазора
между поверхностью кристалла и электродами равна 22,4 мм и остается постоянной в процессе измерения).
Исследования, проведенные с кварцевыми брусками; дополняют высказанные представления о влиянии на добротность резонатора связанности в кристалле и связи кварцевого элемента с электродами. При малой ширине электродов возникает резко неравномерное поле, что приводит; по-видимому, к увеличению связанности в кварце как колебательной «системы, т. е. интервалы между резонансной и парциальными частотами уменьшаются и добротность уменьшается. При увеличении ширины зазора между поверхностью кварца и электродами их связь уменьшается, что приводит к увеличению добротности.
Рис. 4-12. Зависимость добротности кварцевых брусков от длины электродов.
1 — изменяется длина среднего электрода, длина крайних электродов постоянна; 2 — изменяется длина крайних электродов, длина среднего электрода постоянна.
В кварцевых резонаторах, которые обладают спектром частот, возникающих вследствие наличия связанных колебаний, появляются резонансные свойства диссипации энергии, и каждому резонансному пику поглощения соответствует определенная частота колебаний. Эти эффекты особенно проявляются при повышении темпё-ратуры. Исследования А. Г. Смагина и Б. Г. Мильштей-на показали, что спектральные характеристики кварцевых резонаторов являются весьма сложными.
Взаимодействие основного резонанса с побочными видами колебаний в кварцевом резонаторе можно рассматривать как взаимодействие связанных колебательных систем, каждая из которых соответствует определенному виду колебаний, т. е. одному из резонансов [Л. 1-8]. Для наиболее простого случая, когда взаимо
199
действуют две колебательные системы, имеют Место 66-отношения (4-51) и (4-53).
Потери энергии на связанные колебания в каждой из взаимодействующих систем определяются двумя параметрами: 1) величиной обобщенной расстройки е = = Дсо2/со2 между частотами колебательных систем; 2) коэффициентом связи между системами.
В кварцевых резонаторах коэффициент связи при взаимодействии основного вида колебаний с побочными
г)
Рис. 4-13. Зависимость спектральной характеристики от уровня возбуждения кварцевого резонатора.
(4 — ослабление в децибелах по сравнению с уровнем основного резонанса).
а — входное напряжение 150 мв, уровень возбуждения на кварце в момент резонанса 142 мв; б — 250 и 246 мв; в — 350 и 370 мв; г — 500 и 560 мв соответственно.
резонансами определяется упругой и пьезоэлектрической связью. На спектральной частотной характеристике коэффициенты упругой и пьезоэлектрической связи проявляются в соотношении уровней основного и побочного резонансов.
Характер зависимости эквивалентного активного сопротивления от пьезоэлектрического тока (амплитуды механических колебаний) является косвенным подтверждением элементарной модели взаимодействия связанных колебаний, предложенной А. Г. Смагиным. Согласно этой модели основной и близлежащие побочные резонансы сближаются по частотной шкале, и их интенсивности перераспределяются при определенных условиях (изменение температуры, амплитуды колебаний и т. п.). Была предпринята попытка прямого изучения этой модели: исследовалась зависи
мость спектрально-частотной характеристики резонатора от уровня возбуждения и поведение спектральной характеристики в интервале температур. Коэффициент связанности обратно пропор-
ционален квадрату расстояния между резонансами на
200
частотной шкале. Поэтому изучение спектральной характеристики имело смысл проводить лишь вблизи основного резонанса. Вид спектральной характеристики в зависимости от уровня возбуждения показан на
Рис. 4-14. Спектральная характеристика резонатора при различных температурах и постоянном уровне возбуждения. Входное напряжение 500 лее, уровень возбуждения на кварце в момент резонанса 560 мв.
а — температура 25° С; б — 40* С; в — 50* С: г -• 00’С: а-70° С: е —80*С.
рис. 4-13. Оказалось, что с увеличением уровня возбуждения относительная амплитуда побочных резонансов заметно увеличивается, что согласуется с характером зависимостей эквивалентного активного сопротивления от
2Q1
о
ю
б)
в)
О' ю
Рис. 4-15. Спектральные характеристики резонаторов (кварцевый элемент имеет форму двояковыпуклой линзы; собсгвенная частота 1 Мгц; по оси ординат — ослабление сигнала в децибелах, по оси абсцисс—частота в герцах).
я. б — при амплитуде, возбуждающей кварцевый резонатор 50 и 500 мв со<м« летственно и температуре 60±0.0Г С; в. г — при амплитуде, возбуждающей кварцевый резонатор,. 50 и 500 мв соответственно и температуре 80±0,Qle С.
202
величины пьезоэлектрического тока, рассмотренных далее.
Исследовалась также спектральная характеристика резонаторов при различных температурах и постоянном уровне возбуждения (рис. 4-14). Поскольку связанность
W $0 ЬО /О 90 °C
K56fS0 uffifOO
<(56050
< 156000
(155950
1228100 \ (228000
900-800 -700  600-500-900 500 200
» ЮО ' <227000 ги
<0	50	60	70	80 'Г
^25,2(162)
236(15,8)
22(13,9)
21(12,9}
22,9(13,6)
13,6(22,8)
20,6(12) •
I x
TK4=-12,3-10~/77* 
25,8(26,9)
оТбб)
ш^ноуёс
Рис. 4-16. Температурно-частотная зависимость побочных резонансов (частота—1 Мац).
Э - амплитуда, возбуждающая кварцевый резонатор, равна 50 же; О— амплитуда — 500 мв.
Цифры без скобок — ослабление сигнала в децибелах относительно основного резонанса, соответствующего собственной частоте, при уровнях возбуждения 50 лв, цифры в скобках — то же при уровнях возбуждения 500 лв.
203
с побочным резонансом, отстоящим от ОСноЁногб йа 7 кгц, мала по сравнению с резонансами, отстоящими на 0,5 и 1 кгц, измерялась спектральная характеристика, включавшая последние два резонанса.
зо to оо оо 7о оо °е
Рис. 4-17. Зависимость уровня сигнала побочных резонансов от температуры в интервале 40 ь80±0,01 ° С,
204
Перераспределение интенсивности относительно далеких побочных резонансов (рис. 4-15—4-17) не оказывало заметного влияния на диссипативные процессы основного резонанса. ч
Анализ приведенных зависимостей показывает, что изменение величины взаимодействия связанных колебаний в интервале температур за счет перемещения резонансов на частотной шкале ничтожно мало и в основном объясняется значительным изменением коэффициента связи между видами колебаний. Так, например, довольно значительное уменьшение уровня побочного резонанса при температуре 40° С хорошо согласуется с аномальным изменением крутизны функции, связывающей эквивалентное активное сопротивление резонатора с пьезоэлектрическим током, при некоторых температурах. Увеличение уровня побочного резонанса соответствует увеличению потерь энергии, т. е. увеличению потерь на связанные колебания, и как следствие уменьшению добротности резонатора.
Таким образом, связанные колебания являются результатом взаимодействия основного резонанса с побочными резонансами. Возникновение последних объясняется существованием упругих и пьезоэлектрических связей в резонансной колебательной системе. Упругая и пьезоэлектрическая связь основного вида колебаний с побочными резонансами может усиливаться или ослабляться в зависимости от краевых условий, включающих геометрию и упругость элементов крепления, а также в зависимости от связи резонатора со схемой генератора и от других факторов. Отсюда следует, что даже в линейной анизотропной системе спектральная частотная характеристика является достаточно сложной.
Следует отметить, что измерительный мост, использованный в процессе исследований, имел недостаточно высокую чувствительность по амплитуде и довольно низкую разрешающую способность по частоте. Поэтому корреляция полученных данных с провалами добротности и срывами колебаний при некоторых температурах не всегда однозначна, так как не исключена возможность, что часть еще более близких побочных резонансов не была обнаружена. Создание радиоизмерительной аппаратуры с чувствительностью по амплитуде в 60—80 дб и с разрешающей способностью по частоте в относительных единицах 10~7 позволит довольно точно, количест-
205
венно рассчитывать «скачки» добротности в интервале температур и разработать способы управления этими явлениями.
На рис. 4-18 представлена зависимость добротности кварцевых брусков (ширина зазора 10—14 мм) от температуры. Монотонное изменение добротности свидетельствует о том, что в данном случае кварцевые резонаторы являются относительно моночастотными колебательными
Рис. 4-18. Зависимость добротности кварцевых брусков от температуры
системами не только при комнатных температурах, но и в широком температурном интервале.
какова в основных чертах физическая картина влияния связанности и связи в колебательной системе на процессы диссипации энергии.
Спектральные характеристики фильтров и резо
наторов. Исследование спектральных характеристик при создании кварцевых резонаторов необходимо не только для фильтров, но и для генераторов. В этом случае желательно выделить паразитные резонансы, находящиеся в непосредственной близости от основного. Поэтому следует знать, какая величина может быть использована в качестве объективного критерия основного и паразитного резонансов и их гармоник, взаимодействующих между собой при определенных условиях.
Обычно под абсолютным резонансом понимают разность уровней передачи цепи, измеренных в децибелах на частоте основного или паразитного резонанса с кварцевым резонатором и без него, когда зажимы короткозамкнуты. По-видимому, такое определение соответствует условиям измерения резонаторов, предназначенных для работы в режиме фильтров. Однако недостаток этого определения заключается в том, что уровень в децибелах паразитного колебания резонатора зависит от импеданса измерительной цепи. Поэтому спектральные характеристики, измеренные в режиме фильтров, характеризуют не столько резонатор, сколько всю измерительную цепь.
Для описания интенсивности или уровней связанных колебаний более удобно использовать активное сопро-206
тивление эквивалентной схемы данного резонатора. При этом полезно знать в качестве характеристик отдельных парциальных колебаний значения соответствующих добротностей. Некоторые авторы неправильно считают, что выходной сигнал, образующий спектр, пропорционален добротности соответствующего резонанса. Выходной сигнал в схеме определяется импедансом, а добротность связана не только с сопротивлением, но и с индуктивностью и поэтому не может быть пропорциональной сопротивлению. Для получения величин добротности, соответствующих каждому резонансу, надо выполнить отдельные измерения эквивалентного активного сопротивления и индуктивности.
Чтобы получить спектральные характеристики резонатора, надо провести точное измерение резонансных частот и соответствующих эквивалентных активных сопротивлений. По-видимому, для изучения влияния парциальных колебаний на параметры и характеристики кварцевых резонаторов достаточным является частотный диапазон ±10—20 кгц относительно частоты основного резонанса. При этом диапазон затухания весьма велик — до 80—100 дб.
Особенно сильное влияние на параметры и характеристики кварца оказывают паразитные резонансы, расположенные на частотной шкале вблизи основного резонанса. В связи с этим важной задачей является повышение разрешающей способности по частоте спектральных измерительных приборов. Вследствие трудоемкости измерения спектральных характеристик необходимо автоматизировать процесс измерения, поставив соответствующую задачу с помощью программного устройства.
При измерении спектральных характеристик используется мостовой метод, причем кварцевые резонаторы помещаются в два плеча моста: в одном плече находится эталонный кварц, в другом — испытуемый. Эталонный кварц должен быть приблизительно идентичен испытуемому. Основное требование, предъявляемое эталонному кварцу, — это отсутствие паразитных резонансов в соответствующем частотном интервале.
Возможно, целесообразно использовать независимые схемы для измерения интенсивности основного и паразитного резонансов вследствие трудности определения цли сопоставления сопротивлений, отличающихся по за-
207
туханию на 80 дб. В таком случае при измерении, например, основного резонанса надо применять специальный мост и индикатор частотного комплекса. Частоту последовательного резонанса с относительной точностью до 5«10~9 можно измерить при наличии высокостабильного источника электрических колебаний, обеспечивающего нестабильность не более 1 • 10-10 за время измерений. Для повышения разрешающей способности измерительной системы необходимо повысить селективность индикатора баланса (приемника). Однако в этом случае требуется синхронизировать вращение элементов системы настройки частоты генератора с элементами настройки приемника.
При измерениях спектральной характеристики необходимо обеспечить весьма высокую чистоту спектра генератора (с ослаблением сигналов побочных резонансов до 80—100 дб). Спектрально чистый сигнал с синтезатора через аттенюаторы поступает, на балансный мост, логарифмический детектор и самописец. При этом используется устройство для развертки напряжения, приводящего в движение самописец. Изменяя синхронно частоту синтезатора, можно получить запись непосредственно частотных спектров.
Мостовой метод измерения спектральных характеристик является наиболее перспективным с точки зрения объективности получаемых результатов и высокой разрешающей способности, если необходимо разделить основной и паразитный резонансы, расположенные сколь угодно близко на частотной шкале, особенно при высокой добротности на низкой частоте.
Токовые характеристики и влияние связанных колебаний. Такие параметры, как добротность, температурный коэффициент частоты, спектральная частотная и токовая характеристики и старение, связаны между собой. Экспериментальное изучение кварцевых брусков У-среза на 100 кгц, колеблющихся на второй гармонике, показывает, что при изменении геометрии бруска (снятие фасок по длинным граням) добротность вначале повышается, при ширине фасок ~ 1,62 мм достигает максимума ~6-106, а затем опять понижается. При этом одновременно ближайшая парциальная частота вначале удаляется от резонансной по частотной шкале (на 5,6%), достигает максимального расстояния, затем опять сближается (рис. 4-19). ?0§
Рис. 4-19. Спектральная характеристика кварцевого бруска при фиксированной температуре.
Изучение зависимости эквивалентного активного сопротивления резонатора от величины пьезоэлектрического тока при различных строго фиксированных температурах может дать ценные сведения о возникновений связанных колебаний и их влиянии на параметры и характеристики резонаторов, об их распределении в частотном диапазоне в зависимости от температуры.
' При возбуждении внешним электрическим полем собственной частоты, соответствующей определенному типу колебаний (колебания по длине, толщине, из-гибные, крутильные, радиальные, колебания сдвига по толщине и вдоль грани), возникают не только другие типы колебаний, но и их гармоники, причем они взаимодействуют с основным типом колебаний. Поэтому даже в линейной колебательной системе, или, как говорят, в линейном резонаторе, спектральная частотная характеристика оказывается достаточно сложной.
Изучение токовых характеристик различных типов и
частот кварцевых резонаторов позволило А. Г. Смагину и Б. Г. Мильштейну выявить некоторые новые явления, обусловленные связанными колебаниями. Поскольку характер перераспределения связанных колебаний зависит от множества факторов (эквивалентные параметры, добротность, ТЧХ, толщина металлической пленки, несовпадение центров электродов, различие в толщинах пленок на поверхностях кварца, диаметр электрода, геометрия кварцевого элемента, геометрия крепления, резонансная частота, номер гармоники и т. п.), варьировалась только одна величина, а другие сохранялись постоянными.
На рис. 4-20,а приведена зависимость эквивалентного активного сопротивления кварцевого резонатора от пьезоэлектрического тока (радиус сферы элемента /?Сф = ==200 мм, его диаметр dK.a=14 мм. диаметр, металлической пленки, служащей для возбуждения пьезокварца, 14—2584	?09
б4л=8 мм, собственная частота f=l Мгц, колебания сдвиговые по толщине). С ростом температуры крутизна функции увеличивается, причем нелинейность начинает проявляться при меньших токах. Эти экспериментальные результаты вполне соответствуют теоретическим представлениям и должны иметь, казалось бы, регулярный характер1 (30°—>40°—>-50°—>-60°—>80°).
Однако исследование токовых характеристик кварцевого резонатора на частоту 5 Мгц показало, что крутизна функции уменьшается с повышением температуры, а нелинейность оказывается меньше при более высоких температурах (рис. 4-20,6). Противоречивость .полученных результатов приводит нас к выводу о влиянии связанных колебаний на токовые характеристики. Интересно, что с повышением температуры влияние в данном случае пьезоэлектрического тока на эквивалентное активное сопротивление уменьшается. Это объясняется, по-видимому, тем, что при температурах 30; 40 и 50° С не происходит сближения на частотной шкале соседних парциальных частот и резонансной частоты, т. е. не возникали условия для существенного влияния парциальных частот и их гармоник на основную частоту. Ню небольшая деформация токовой характеристики при температуре 50° С все же имеет место (начальный ход кривых при 50, 30 и 40°С). Характерно, что этот эффект проявляется при малых величинах пьезоэлектрического тока, а следовательно, и при малых амплитудах механических колебаний, при которых нелинейные явления не имеют места. Возникновение эффекта может быть объяснено лишь связанными колебаниями.
В случае кварцевого резонатора частотой 5 Мгц при температуре 30° С зависимость /?i от тока носит почти линейный характер. Однако при изменении температуры всего лишь на 10° крутизна функции /?1=/(/) при температуре 40° С достигает максимальной величины, а затем при температуре 85°С значительно уменьшается. Это указывает на существование весьма близкой парциальной частоты, интенсивность которой достаточна для сильного взаимодействия с основной резонансной частотой. Энергия из одного эквивалентного контура, соответствующего основной частоте, при этом перекачивается
1 Особенность поведения функции	при температур
70° С рассматривается дале₽,
210
Рис. 4-20. Зависимость эквивалентного активного сопротивления резонатора от пьезоэлектрического тока. а—г — различные геометрии кристалла и типы резонаторов*.
14*
211
Ё Другой, соответствующий близкой парциальной частоте, со временем релаксации, определяемым интенсивностью колебаний и характером их связи. При определенной температуре взаимодействие оказывается максимальным, и происходит срыв колебаний, при котором эквивалентное активное сопротивление кварцевого резонатора стремится к бесконечности. Можно предположить, что с повышением температуры кривые будут лежать ниже кривой для температуры 40° С. Более того, при температуре 35° С кривая также будет расположена ниже кривой, соответствующей 40° С.
Характер зависимости эквивалентного активного сопротивления от пьезотока особенно ярко проявляется у кварцевого резонатора на частоту 1 Мгц (/?Сф=150 мм, ^к.э=25,4 мм\ Li = l,8 гн) при температурах 30—80°С (рис/4-20,2). Приведенные кривые позволяют обнаружить не только эффект сближения парциальной и резонансной частот, но и некоторую его периодичность, обусловленную, по-видимому, опять-таки связанными колебаниями. Кривая для 40° С идет выше кривой для 30° С, затем почти скачком опускается до 50° С, т. е. ^процесс может быть описан следующей схемой:
30%
50° z
40°.
Аналогичное поведение функции = наблюдается и при температурах 60—80° С:
60° \ 7QO
80°z/u •
Это свидетельствует о том, что с резонансной частотой взаимодействует дважды ближайшая парциальная частота, для которой 2 раза создаются соответствующие условия, или резонансная частота взаимодействует с двумя различными парциальными частотами, которые обладают значительной интенсивностью и близко расположены к частоте основного типа колебаний.
На рис. 4’21 приведены токовые характеристики резонаторов различных типов, Из сопоставления зависимостей эквивалентного активного сопротивления и относительного изменения частоты от пьезотока нетрудно установить, что между диссипативными характеристиками и упругими свойствами пьезоэлектрического кварца обнаруживается корреляция.
212
Из рис. 4-21,е видно, что крутизна токовых характеристик на частоте 1 Мгц меньше, чем на частоте 5 Мгц.
Амплитудно-частотный эффект и параметрический резонанс. При исследовании нелинейных явлений в резонансной колебательной системе в 1961 г. обнаружен
Рис 4-21. Токовые характеристики кварцевых резонаторов различных типов.
эффект, предсказанный теорией Ландау — Лифшица [Л. 2-11]. Исследование нелинейных резонансных явлений проводилось путем пьезоэлектрического возбуждения колебаний различной амплитуды в резонаторах. Резонансные характеристики измерялись с помощью высокостабильного источника электрических колебаний, возбуждавшего резонатор. Амплитуда напряжения измерялась ламповым вольтметром с погрешностью, не превышающей 1%. Частота резонатора фиксировалась
213
электронно-счётным частотомером с погрешностью, не превышающей 10-5%.
Сущность эффекта заключается в следующем. При малых амплитудах вынуждающей силы, которые в каж-
Рис. 4-22. Изменение резонансных характеристик в зависимости от уровня возбуждения.
а — резонатор частотой 1 Мгц с кварцевой линзой, возбуждаемой в зазоре: с/вх=200 мв\ 2—С7вх=700 мв\ 3—С7вх=800 мв\ 4—t/nx=2 800 мв\ б — резонатор частотой 200 кгц с кварцевым бруском, подвешенным на шелковых нитях и возбуждаемым в зазоре: 1 — С7ВХ=5ОО мв\ 2—(7вх=700 мв; 3~UBX =
= 1 000 мв\ 4 — иъх~3 ООО мв.
симметрична относительно нулевой расстройки по частоте 8, т. е. представляет собой резонансную характеристику линейной колебательной системы (рис. 4-22,а, кривая /). С увеличением амплитуды резонансная кривая деформируется, максимум смещается при g>0 в сторону более высокой частоты (кривая 2). Коэффициенты 214
упругости и ангармоничности соответственно равны а=1,5-104 и 0=1,9-1012.
Так как <о0=1,3-10® гц и 5а2/12®^ ж 10'w, то 5 =
= 6-106_>0, т. е. смещение максимума кривой дей-оСОф
ствительно должно происходить в сторону более высоких частот.
При определенной амплитуде
Р = Рк = 2,8/п<о08	-|-|у.	(4-57)
резонансная кривая не только сильно искажается, но существенно изменяется и ее характер. При р>рь имеет место интервал частот, в котором решениями уравнения
s2 — 4t42s + 362А4 + 82 = 0,
учитывающего нелинейную связь между амплитудой и частотой колебаний системы, являются три вещественных корня. Один из трех вещественных корней этого уравнения (рис. 4-22,а, кривая 4, область BCDE) соответствует неустойчивому состоянию колебательной системы (Л. 4-43], в результате даже весьма малого воздействия колебательная система переходит к неустойчивому режиму, соответствующему большему или меньшему корню; реальным колебаниям системы соответствуют ветви ВС и DE. Это означает, что в случае достаточно большой амплитуды при подходе к определенному значению ph система самопроизвольно переходит из состояния, характеризуемого некоторой верхней точкой С, в состояние, соответствующее точке Е, т. е. при определенном значении частоты амплитуда колебаний резко уменьшается. Иными словами, происходит «срыв» амплитуды колебаний.
Эта особенность поведения амплитуды объясняется наличием в решении уравнения движения области частот, допускающих существование двух различных амплитуд. Колебательная система будет находиться в неустойчивом состоянии, начиная с р = в этой точке амплитуда «скачком» уменьшается при расстройке в область высокой частоты, и увеличивается на низкой частоте (относительно собственной частоты системы).
Как видно из рис. 4-22,6 (кривая <?), с увеличением амплитуды вынуждающей силы колебания при уровне 215
230 мв на частоте 193659,3 гц наблюдается «срыв», но он «обратим», т. е. при изменении направления расстройки частоты скачок амплитуды происходит на той же частоте, но уже с уровня 100 мв.
При дальнейшем увеличении амплитуды колебаний система скачком переходит из одного состояния в другое уже с необратимым изменением частоты колебаний. Повышение частоты колебаний приводит к изменению амплитуды колебаний по кривой EF. С уменьшением частоты в точке Е не произойдет увеличения амплитуды. Функция {/вых=ф(8) будет изменяться по кривой ED. Затем из точки D амплитуда вынужденных колебаний возрастает «скачком» до точки В, и при уменьшении частоты амплитуда изменяется по кривой ВА. На частоте 193660,1 гц амплитуда вынужденных колебаний скачком уменьшается до величины 80 мв. При увеличении частоты возбуждения получаем плавную кривую ^вых=ф(е). Если теперь частоту вынуждающей силы уменьшать, то амплитуда скачком увеличится не при 80 мв на частоте 193660,1 гц, а при 130 мв на частоте 193659,4 гц. Изменение направления расстройки частоты влево от е = 0 показывает, что резонансная кривая повторяет первоначальную ветвь ВА.
Дальнейшее увеличение амплитуды вынужденных колебаний приводит к еще большей нелинейности резонансной характеристики, и амплитуда скачком уменьшается до минимальной величины на кривой EF. При этом площадь «гистерезисной петли», ограничиваемая кривыми BCED, возрастает.
Одной из важных характеристик амплитудно-частотного эффекта является величина амплитуды ph, при которой происходит срыв колебаний.
Причиной амплитудно-частотного эффекта является образование, развитие и спонтанное размножение дислокаций в кристалле.
При ангармонических колебаниях, т. е. в случае зависимости частоты от амплитуды колебания, появляются новые резонансы, в которых колебания с частотой, близкой к о)о, возбуждаются внешней силой, частота которой значительно отличается от о)о- При этом возникают резонансы параметрического типа и резонансы на любой частоте у, для которой
Пу+/ПО)о = й)д,
(4-58)
216
ГДё Л, tn— целые числа. Полученные Нами экспериментальные данные хорошо согласуются с теорией резонансных явлений при нелинейных колебаниях Ландау — Лифшица. Некоторые особенности поведения пьезоэлектрических колебательных систем не могли быть учтены теорией, так как она разработана для случая изотропных колебательных систем, а пьезоэлектрические системы относятся к анизотропным. Так, например, резонанс должен иметь место, как отмечалось выше, на любой частоте, удовлетворяющей соотношению (4-58). Однако уравнение (4-58) справедливо лишь тогда, когда собственная частота колебательной системы может быть представлена формулой
® =	(4-59)
где k(A)—коэффициент жесткости, зависящий от амплитуды колебаний А; т — масса системы.
В случае же пьезоэлектрической колебательной системы, обладающей анизотропными свойствами, собственная частота определяется формулой
^ = 2^/-^-’	<4-60>
где L — размер, вдоль которого распространяется упругая волна; с(А)—коэффициент упругости, зависящий от амплитуды колебаний; р — плотность кристалла. Поэтому при нелинейных колебаниях такой системы число резонансов значительно больше, чем следует из выражения (4-58).
Описанные исследования представляют не только интерес с точки зрения проверки справедливости теории Ландау — Лифшица, но имеют и определенное практическое значение. Пьезоэлектрические резонаторы, стабилизирующие частоту различных систем, должны возбуждаться на амплитудах, при которых отсутствуют неустойчивые колебания системы. Поэтому при использовании этих резонаторов в качестве элементов селективных систем необходимо их возбуждать на малых амплитудах колебаний, когда отсутствует нелинейность и имеет место достаточно чистая спектральная характеристика, т. е. не возбуждаются резонансы типа ny+m(oo= = (до. По-видимому, амплитудно-частотный эффект' может быть использован для практических целей, если мо-
217
Дулировать частоту колебаний вблизи амплитуды Срьь ва
Амплитудно-частотный эффект может проявляться в любых колебательных системах (пьезоэлектрических, сегнетоэлектрических, магнитострикционных, механических, оптических и т. п.), в которых возникают ангармонические колебания.
Описанные исследования показывают, что, начиная с некоторой амплитуды, вполне определенной для данной частоты, типа колебаний, геометрии кристалла, крепления, конструкции (с зазором или без зазора) и т. п., возникают нелинейные резонансные явления в пьезоэлектрическом резонаторе как колебательной системе. Поэтому линейность или нелинейность режима колебаний пьезоэлектрического резонатора является критерием, определяющим возможность замещения резонатора эквивалентным электрическим колебательным контуром с одной степенью свободы. Строго говоря, эквивалентным электрическим колебательным контуром с одной степенью свободы может быть заменена лишь колебательная система, работающая в линейном режиме.
4-8. Температурно-частотные характеристики кварцевых резонаторов
Понятие о нулевом температурном коэффициенте частоты. В кристаллах кварца существуют такие направления относительно основных кристаллографических осей, которые позволяют получать кварцевые элементы с весьма малым или равным нулю изменением собственной частоты колебаний в широком интервале температур (порядка 10-8—10~9 град~х в интервале — 7—45° С) (экстремальные значения температурно-частотной функции в определенных точках температурного интервала). Эти особенные направления носят название срезов нулевого температурного коэффициента частоты (срезы нулевого ТКЧ).
Собственная частота резонатора определяется упругими постоянными Сц, плотностью р и размерами I кварцевого элемента; например, при колебаниях сдвига по толщине на основной гармонике
7=4;(4'6|>
218
где
с'»» = сй9 cos2 + с44 sin2 + clt sin 2р°.	(4-62)
Упругая постоянная с'вв зависит, таким образом, от упругих постоянных Сц кристалла и угла между осью Z и квазинейтральной плоскостью кварцевого элемента, совпадающей с направлением среза нулевого ТКЧ.
Как показано в гл. 2, такие физические свойства кристалла, как упругость и плотность, зависят от температуры; от температуры также зависят и размеры кварцевого элемента, что приводит к существованию коэффициентов линейного расширения. Собственная частота кварцевого элемента, являясь функцией этих физических величин, также зависит от температуры.
Продифференцировав по температуре выражение (4-61) и проделав соответствующие преобразования,
1 df_____1 dl____I dp [ 1 de
T d9—	I d6	27 "dS*"" 2c dti'	(Ч-ОО)
Величину -j- обозначим символом Tj и будем называть температурным коэффициентом частоты (ТКЧ) резонатора. Аналогично Та, Гр и Тс — температурные коэффициенты размеров (линейный коэффициент расширения), плотности и упругости. Вводя эти обозначения, получаем:
2Tf = Tc-T(-2Ta.	(4-63')
Если Tf — 0 (ТКЧ = 0), то Тс=Тр-\-2Та. Используя соотношение а = ax^~ay~^az и учитывая, что коэффициенты линейного расширения для кварца равны:
__	1 dax	1 daz
a“—a« = ~'d0: аг = -77 dP
определим температурные коэффициенты плотности и размеров:
Т=-(2ьх+аг)-,	(4-64)
Та = ах — (ах — ®г) ,	(4-65)
где /3 — направляющий косинус нормали.
219
С учетом (4-64) и (4-65) равенство Tc=Tp-\-2Ti можно записать в следующем виде:
^с=-[а2 + 2(ах-а2)/2].
Температурный коэффициент частоты определяется в основном температурным коэффициентом упругости. В зависимости от ориентации кварцевого элемента температурный коэффициент упругости принимает как положительное, так и отрицательное значение. Теоретически можно выбрать такую ориентацию кварцевого элемента относительно кристаллографических осей, при которой температурные коэффициенты упругости, имеющие различные знаки вследствие анизотропии, компенсируются и дают малую или равную нулю величину Tf. Практически эта идея находит свое выражение в том, что обычно используют различные типы колебаний, имеющие температурные коэффициенты разных знаков, которые при определенных условиях могут быть скомпенсированы.
Таковы основные физические причины, позволяющие получать срезы с нулевым ТКЧ и обусловившие исключительно широкое применение пьезоэлектрического кварца в технике стабилизации частоты.
Температурный коэффициент частоты является функцией температуры и равен нулю [экстремум функции Д|/7/=<р(02)] лишь в точках или может иметь малое значение в достаточно широком интервале температуры [перегиб функции Д/7/=ф(02)]. Экстремальные значения функции и ее перегиб — первая и вторая производные df/d02 = O и d2f/d02=O находят <по обычным правилам математического анализа.
Основные срезы с нулевым ТКЧ. Определим угол среза кварцевых элементов, для которых температурный коэффициент частоты равен нулю при колебаниях сдвига по толщине (для повернутых К-срезов).
Дифференцируя (4-61) по температуре и выполнив соответствующие преобразования, получим:
Т(О 1Лв___ 1 с44^е44 Sin2 ₽° + С66ТСбб cos2 р° 4" 2С147’с14 sin P°*cosf° / •	2 c44sin2 +с66 cos2 + 2c14sin₽°-cos р°
4-3^2 — 7,48 — 6,22 cosa ₽°.	(4-66)
220
Подстановка численных значений 'Ci} и Те‘и и некоторые простые операции приводят к. функции, изображенной на рис. 4-23. Как видно из рисунка, при углах, приблизительно равных +35° и —49°, 77=0.
Эти срезы, впоследствии прлучившие название АТ-и ВТ-срезов, были описаны Лэкком, Уиллардом и Фай-ром, Бехманом, Когой и Штраубелем, которые показали независимо друг от друга, что при указанных выше значениях углов температурный коэффициент частоты кварца равен нулю. Как оказалось, при р°=+35° Tf—Q
Рис. 4-23. Зависимость ТКЧ от угла среза для кварцевых элементов повернутых У-срезов, совершающих колебания по толщине.
вблизи 45° С, а при £°=—49°—вблизи 25°С, переходя при этих температурах от отрицательного значения к положительному, т. е. имеют место экстремумы температурно-частотной (ТЧ) функции. При р°=+34°41'наблюдается перегиб характеристики, и 77~Г0-8 zpad~l в. диапазоне примерно от —10° до +45° С.
Зависимость ТКЧ от точности ориентации угла среза носит весьма критический характер: изменение угла среза на ±4' приводит к тому, что на характеристику накладывается влияние положительного или отрицательного температурного коэффициента.
Мэзон предложил GT-срез, частота которого остается неизменной с точностью порядка 10-8 в интервале температур 0—100° С. ТКЧ резонаторов с пластинами ОТ-среза равен нулю только при определенном отношении ширины пластины Ь к ее длине I. При р°=5Г7,5' и &(//=0,859 ТКЧ весьма мал в широком интервале температур, причем перегиб характеристики наблюдается при 25° С. Изменяя размеры пластины, можно изменять в известных пределах как резонансную частоту, так и
221
ТКЧ. При небольшом изменении угла среза представляется возможным смещать ТЧХ пластин СТ-среза.
Были предложены СТ- и ПТ-срезы, у которых при Р°=+38° и —52° Т/=0 при температурах 41 и 50°С*. Эти срезы применяют на более низких частотах для кварцевых элементов, возбуждаемых в режиме колебаний сдвига по контуру.
Частота собственных колебаний сдвига по контуру определяется по формуле
2й Y рз'55
(4-67)
где F ₽« 1,24 (для квадратных пластин);
$'и = s44 cos’ р° + see sin’ (3° — 2s14 sin 2(5°.
Выполнив обычные преобразования, получим:
7’(').1Oe = ^_io,59 + 3,13sin2B0 —
7	£
_____1 ^^cos2 + s667\66 sinT ~ 2suT814 sin 2?° 2	s44 cos2 + s66 sin2 f° — 2s14 sin2f°
(4-68)
Подставляя численные значения s44, s66, $i4 в (4-68), найдем зависимость, график которой приведен на
-Jff 0 J0 ю $о
Рис. 4-24. Зависимость ТКЧ от угла, среза для кварцевых элементов повернутых У-срезов, совершающих кон-турйые колебания.
Некоторые авторы отмечали, что простые срезы для стабилизации частоты не пригодны, так как они обладают слишком большим ТКЧ. Однако описаны прецизионные резонаторы, кварцевые элементы которых относятся к простым срезам, но обладают ТКЧ, не уступающим кварцевым элементам косых срезов [Л. 4-44].
* Положение экстремумов ТЧХ зависит от угла среза. Варьированием последнего обеспечивается смещение экстремумов как в область более низкой, так и в область более высокой температуры. Поэтому правильнее говорить о некотором диапазоне углов среза, обеспечивающем компенсацию температурных коэффициентов упругих постоянных, плотности и размеров.
222
Варьированием геометрических размеров (помимо угла среза) кварцевого элемента и ширинц, зазора между кристаллом и электродами удалось достаточно сильно уменьшить зависимость частоты от температуры вблизи области нулевого ТКЧ, что позволяет в значительной степени снизить требования, предъявляемые к термостату и системе терморегулирования.
Частота собственных продольных колебаний кварца
/ =-----(4-69)
2/ / Ps'11
где константа гибкости s'u связана с константами гибкости и направляющими косинусами 1и 1а и /, следующим образом:
s'n= (I*	/2 )s4“ (2S»> + S4|)(^I 4~^2 ) 4~
+ ^ + 2s14/2/,(3/f -/*)•
Учитывая, что l\ -\-122 -[-/3 = 1, получаем:
s'„= г.. О -1} У + (2s„ + sl4) (1 - /23) /3 + зи/з +
+ 2sI4/2Z, (3-4/* -3/*),
где
/2 = sin a® cos р® cosy® -ф- cos а® sin 7®;
/3 = — sin р® cos у®;
я®, р" и у" — углы ориентации относительно основных кристаллографических осей.
Дифференцируя выражение для собственной частоты по температуре и поделив на Sij, получим для брусков произвольной ориентации:
т = SnTs'n ° ~ Гу +	+
S ^.(1-ФЧ-(2s,,+ «„)(!
-Н4«7\,4)(1-/3 И* + 5,,/з +	(3 — 4/2—3/3)
 ___________$,,7~«2,»2-Ь___________
s'ii(l-/f)’+(2Su+M(l-/i)/f+
+ 2s14r.,/2/,(3-44-3/|)	.
+ s»^3 +	(3 — 4/| —З/3)
(4-70)
223
Подставляя численные значения, получаем нулевой температурный коэффициент частоты
„ п.,2	1764,6(1—/?)»+ 22*567,9(1—й)/2 +
Tt= 3,9 + 6,5/^—'---------------3 „	‘---------3‘ 3
L	3	127,9(1 — /j)24- 175,8 (1 —	+
+ 8 699,61* — 5 352/2/, (3 — 41| — 3$ + 95,6/* — 89,2/2/, (3 — 41| — 3/|)
= 0. (4-71)
' Мэзон и Сайкс предложили ТИГ-срез хуИ$°, у которого Т/=0 при •р°=±40с>. Постоянная гибкости, определяющая собственную частоту колебаний сдвига по длине— ширине для этой группы срезов, равна:
s'66 = see!sin2tp0 s44'cos2 р®.
После подстановки численных значений получим:
Tr 10-в = 10,4^- 3,25 cos2 р’ +
 15 800 sin2?»— 19 500 cos2 ?»	..
"Г 286sin2₽»4-200cos2?» *	¥*••*)
Угол р° или zz' отсчитывается в плоскости XZ. Известно, что кварцевые элементы, длина которых параллельна механической оси кристалла, а плоскость среза наклонена под углом -~40° к оси Z, имеют Т/=0 при достаточно большом отношении ширины к длине пьезокристалла.
Теоретические расчеты нулевых температурных коэффициентов частоты можно провести для кварцевых элементов любых срезов (при определенных приближениях).
Общий метод расчета срезов кварца с нулевым ТКЧ. Для плоской волны в каждый фиксированный момент времени точки с одинаковым смещением лежат в параллельных плоскостях. Если обозначить расстояние поверхности плоской волны от начала координат через $, механическое напряжение через t, а единичный вектор через n.h, то будем иметь:
d2«k dtjK
г <?г2	3 ds
(4-73)
где т — время.
Учитывая, что процесс распространения упругих волн является адиабатическим, и используя Uji = + d(jUt), где 224
j, i==l, 2, 3, и уравнение =	нахо-
дим:
Р fit2 == (ChijkUhi	в^зкд j£i) ==
= ItjlthChijk ()s2 &i3kdjEi*	(4-73)
Если пластина пьезоэлектрического кристалла используется в качестве резонатора, то поле Ei зависит только от времени и в каждый данный момент постоянно в пространстве, тогда
9-^=n^^hi3k	(4-73")
Положив Uh=uph> где Ph— единичный вектор в направлении Uh, получим:
р£2А =	(4-73'")
и линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, описывающее распространение плоских упругих волн в кристаллах, для одномерного случая
р dt2 ~ q ds2 ’
где <7=ГП/' 4“ ^2^2	Н~Г28/2/з4“Г81/1/з-|-Г12/1/2,
где Tih — упругие модули Кристоффеля, связанные с упругими постоянными Сгк определенными соотношениями. В случае тригональной системы, к которой принадлежит кварц, эти соотношения имеют вид:
[гп = cnf+сы122 + ^8+2g^2^;
Г22 =	-|- Сц12 4“ ^44^2	2^14^3»
Гзз=^(/12+Ф+^28;
Г23 = £14 (^ - Q 4“ (^13 4" С4л) Мв?
Г31 's= (£1з 4“ £44) ^1^з 4- ^£14/1/2»
Г>2 = 2t?i4/iZ8 4“ (£12 4- ^вв) ^1^2»
15—2584
225
где 4, 4, /»— направляющие косинусы нормали к поверхности плоской волны, которые подчиняются условию нормирования: l2-]-l2-^-l2=l; lt, 1г и/, являются направляющими косинусами- смещения «л
При распространении упругих волн в пьезоэлектрическом кристалле возникает дополнительное пьезоэлектрическое напряжение, обусловленное электрическим полем Е, при этом незначительно изменяются упругие
Е	Dt
постоянные	которые трансформируются в ,
где Ds определяет условие постоянства нормального смещения. Согласно уравнению Максвелла для бесконеч; ной пластины £>n(.=Ds) и Ei должны быть непрерывны, и поэтому родственные коэффициенты и Г« относятся соответственно к случаю смещения D=0, нормального к фронту волны, и поля £=0, параллельного фронту волны. Таким образом, упругие модули Кристоффеля ГЕ	tiD
lh —* Г , направляющие косинусы смещения щ изме-няются и результирующие упругие постоянные
Теория Кристоффеля приводит к уравнению, определяющему три упругие постоянные ст, пьезоэлектрического кристалла, которое записывается в форме
Учитывая, что упругие'модули* Кристоффеля Г£ и Г° при постоянном электрическом поле и постоянном смеще-> НИИ связаны , равенством Г(к’== Г£-ф-^-S£Sft, уравнение (4-74) можно представить в таком виде:
	гЕ . 12	ГЕ 13 •	2. '		
г£ 12 ГБ 18	,Г£ — а* ГБ 21	г5 23 ГБ— q* 33	н м	= 0.	(4-74')
S.		л  	—es/4«		
226
Теория распространения упругих плоских волн выявляет наличие нескольких видов колебаний по толщине в пьезоэлектрических кристаллах. Как известно, вводится шесть модулей Кристоффеля Ггь=Гы, которые являются комбинациями 21 упругой постоянной cik(i, k=. = 1, 2,	6) и направляющих косинусов в направле-
нии распространения упругой волны. Отметим, что вычисление температурных коэффициентов упругих постоянных Тс основано на классической теории упругости Фохта, которая для кварца определяется шестью независимыми упругими постоянными.
В уравнении с является одним из трех собственных значений симметричного тензора ПкП^н',к19-Решение ^уравнения приводит к существованию трех возможных типов плоских волн, одна из которых распространяется в направлении «л, а две других —: перпендикулярно к пн. Если все три собственных значения различны, то каждому из них соответствует свой единичный вектор ph и эти векторы взаимно ортогональны.
Рассмотрим колебания в пластине, которая вырезана из пьезоэлектрического кристалла и ограничена двумя параллельными плоскостями S = 0 и S = a, перпендикулярными пь. Предположим, что толщина пластины много меньше двух других ее геометрических размеров, т. е. рассматривается случай распространения волны в бесконечной среде, ограниченной лишь в направлении распространения упругих колебаний. Граничные плоскости не имеют напряжений, и, следовательно,
Ufj = -fati (jPt) = dh{iEh.
Однако в случае свободных колебаний F/1 = 0, откуда du/ds = O для S = 0 и S — a. Пользуясь этими граничными условиями и проведя необходимые операции, получим cos 2 л у-=0. Отсюда длина упругой волны А„, = -£-/•
Зная, [что v =	-у-, получаем формулу для собствен-
ной частоты колебаний
у--	(4-75)
где п — номер гармоники, m—l, 2, 3.
15*	227
Формула (4-75) является строгой для резонаторов с большими зазорами между возбуждающими пьезокристалл электродами или с колебаниями на высоких гармониках. Если эти условия не выполняются, то необ-
Рис. 4-25. Геометрическое место точек Tf,n“«O для колебаний по тол-щине видов В и С кварцевых элементов в зависимости от углов (10 и х°-
а — в полярной системе координат; б —в прямоугольной.
ходимо учитывать соответствующий поправочный член. При возбуждении на n-й гармонике колебания вида т собственные частоты определяются, как легко видеть из формулы, упругими постоянными qm , толщиной кварца h и его плотностью р. Существуют три решения для собственной частоты, которые соответствуют трем видам колебаний А, В и С (рис. 4-25). При колебаниях вида А возбуждаются продольные по толщине волны (или волны сжатия — растяжения по толщине), при колебаниях вида В и С — волны сдвига (или поперечные волны); Для любого кварцевого элемента частоты всегда располагаются в такой последовательности: /д> >fB>fc (см. § 3-3).
Напишем уравнение движения для упругой среды в несколько отличной от уравнения (4-73) форме:
№t dttj р — дх, ’
где =
Учитывая выражение для обобщенного закона Гука, получаем:
деМ — „ д*и'	(4 7Р,'\
р <Л2 —Ciikl dxj ~СЧМ dxjdxn ’	(4 Zb )
При отсутствии дисперсии волновой вектор к — — п, где п — единичный вектор нормали к большим граням пластины.
Решением уравнения (4-76) является решение для монохроматической плоской волны
и{
Подставляя в уравнение- (4-76), получаем:
= CijklkjkkUi.
Пусть u( = btiUi, где — единичный тензор:
(z=/);
(О (t=^s/).	,
Используя 8«, будем иметь:
(CijkiWi — po*3«)uj = 0	(4-77)
229
или
(Г<& — дЬц) щ = О,
(4-77')
где r£fe — упругие модули Кристоффеля:
q = ру2.
Это система трех однородных уравнений с тремя неизвестными. Для того чтобы она имела ненулевые решения, необходимым и достаточным условием является равенство нулю ее определителя:
|rfn-<7M = 0-	(4-78)
Уравнение (4-78) является алгебраическим уравнением третьей степени относительно q и имеет три вещественных корня.
Из уравнения (4-78) следует, что
q3 + W9 + bq + р = 0,	(4-79)
где & = Гц — Г22	Г33;
ь = - Г^г -	+ Г„ГМ + ГПГ„ 4- Г22Г33;
Р = - Г„Г22Г„ - 2Г12Г12Г22 + Г^Г22 + г; Ги + Г^Г».
Если q является решением уравнения (4-79), то
/ = <7’ (6);+ а (6) q2 (б) +	q (9) + р (6)« 0;	(4-80)
dl___ dl , dl dq _j_ dl da i dl db . dl dp .. q..
~db ~ ~db'~dq~dfi 1 da dbf’dbW'dp’d»-'
Тогда температурный коэффициент действующей константы упругости
7» _ q^fia + qM +	/д оо\
''~-3q>+2fy? + bq-	(4’Ь2)
Для расчета срезов с нулевыми температурными коэффициентами частоты необходимы два условия: условие распространения упругих волн в кристалле (4-79) и условие существования нулеЬого температурного коэффициента частоты соответствующих колебаний (4-82).
Воспользовавшись этими условиями и предполагая, что q — общий корень этих уравнений, получаем:
<7’(Л+«7’с)4-7(П + 2^с) + (7’р + ЗдГс) = 0 (4-83)
230
Умножая затем (4-79) на (Tp+3pTc), a (4-83) на р и вычитая второе из первого, найдем:
qs (ГР + ЗрТс) + q* [а (Тр +.ЗрТс)'- р\(Та + аТс)] +
+q [& (Гр + ЗрТе) -р(Ть + 2ЬТе)] = 0.	(4-84)
Поскольку нас интересуют только те общие корни уравнений, которые отличны от нуля, то из уравнения (4-84) следует:
<7г (Г р + ЗрТс) + q [а (Тр + ЗрТс) - р (Га + аТс)] +
+ [& (Гр + ЗрТс) -р(Ть + 2ЬТС)] = 0.	(4-85)
Теперь умножим (4-85) на (Та + аТс), а (4-83) на (Тр+ЗрТс) и вычтем второе из первого, затем, умножая (4-85) на. (Тр+ЗрТс) и (4-79) на (ЬТр—рТь + ЬрТс) и производя аналогичное вычитание, получаем1:
(Гр + ЗрТе)2 - (Та + аТс) (ЬТР - рТь + ЬрТе)
(Та + аТс) (аГр - рТа + 2^рТс) - (Ть + 2ЬТС) (Тр + ЗрТс)
_ (Ть + 26ГС) (ЬТР - рТь + ЪрТс) -
~ (ТР+ЗрТс)г-(Та + аТс)Х •••“*
— (Тр + ЗрГс) (аТр — рТа + 2арТс) К(ЬТр-рТь + ЪрТс)	'
Уравнение (4-86) позволяет определить кристаллографические ориентации, при которых для пластины с бесконечными поперечными размерами температурный коэффициент частоты Т/=0.
Описанный метод расчета нулевых ТКЧ, предложенный А. Г. Смагиным и Ю. И. Шмином, может быть использован для определения угловых ориентаций кварцевых элементов, обладающих любым наперед заданным значением Г/ при различных видах колебаний.
В работе [Л. 1-5] рассчитаны углы среза кварцевых элементов, совершающих колебания сдвига по толщине и обладающих нулевым ТКЧ, с учетом вторых и третьих производных по температуре упругих постоянных, плотности , и коэффициентов теплового расширения. Как показывает сравнение, результаты наших вычислений
1 Численные’ значения соответствующих коэффициентов приве-
дены в [Л. 1-8],
231
лишь незначительно отличаются от тех, которые были получены Бехманом, Баллато и Лукашеком в упомянутой работе.
Нулевой температурный коэффициент частоты обусловливается не только кристаллографической ориентацией кварцевого элемента, но зависит также от соотношений между его размерами, от размера фасок, от расстояния между электродами и поверхностью кристалла и т. д. Все эти факторы вносят свои поправки в выражение, определяющее углы срезов, соответствующих экстремальным значениям температурно-частотной зависимости и скорости изменения частоты в функции от температуры.
Приведем расчет угла 0° удовлетворяющего условиям нулевого температурного коэффициента частоты при фиксированном угле 0°= +35°15', соответствующем ЛТ-срезу (0°=9О°—0; Ф=90о + у°; 0, Ф — обозначения углов по Бехману).
Из уравнения (4-86) для кварцевых элементов ЛГ-среза имеем:
_ А(т) .	_ С (т)
Л1~~В(т)’ Лг~~ А(т) '
где^х, и хг суть левая и правая части уравнения (4-86) соответственно; т = — sin a0 sin 0° = — 0,81664 sin 0°;
А (т) = (—26,4 — 50,9/n + 189,0zn2 j+ 43,0m3 — 756,0m4 + + 351,5m® + 754,8m* — 702,8m1 + 2,6m® + 468,3m’ — — 3,5m,0+1,7m*2)-10®*;
В (m) - (—6,7 — 18,8m + 34,2m2 + 36,9m’ — 136,6m4 + 4-3,8/n5+ 136,5m® — 7,6m’-{-5, Im’)-105®;
C (m) = (—105,0 — 111,\m -j- 862,2m2 — 326,7m’ — — 3260,4m4 + 3291,7m® + 1 933,8m® — 6580,5m’ + + 4535,8m® 4- 4383,2m’ — 6045,5/n1® + 3021,2m*2)-1 O’2.
Полученные выражения позволяют определить все значения углов 0°, при которых будет иметь место нулевой ТКЧ разонаторов, совершающих колебания сдвига по толщине.
Описанный общий метод [Л. 4-44] вычисления угловых ориентаций кварцевых элементов с нулевым ТКЧ основан на использовании экспериментальных значений 232
упругих постоянных, плотности и коэффициентов теплового расширения и их температурных коэффициентов первого порядка. Расчет позволяет установить указанные ориентации с необходимой для практики точностью при учете влияния различных побочных факторов. Следует отметить, что практически более удобными для пользования являются приведенные в работе [Л. 1-5] табличные данные, вычисленные с помощью ЭВМ, для упругих постоянных, коэффициентов теплового расширения и их температурных коэффициентов первого, второго и третьего порядков для основных срезов кварца.
Определение срезов кварца с нулевым ТКЧ при помощи вторых и третьих производных по температуре коэффициента линейного расширения, упругих постоянных и плотности. Если зависимость собственной частоты резонатора от температуры есть непрерывная функция, то ее можно представить в виде степенного ряда
fo fo

(4-87)
где]

Уравнение (4-87) получают дифференцированием по температуре соотношения, выражающего собственную частоту колебаний. Последняя, как мы знаем, в общем случае определяется физическими свойствами кристалла, геометрией кварцевого элемента и т. п.
Величины T(fn} (п = 1, 2, 3) представляют собой тем пературные коэффициенты первого, второго и третьего по рядка, достаточно голно описывающие температурно-частотные характеристики; их обозначают соответственно Т™. Запишем степенной ряд (4-87) в развернутой форме, ограничиваясь членами не выше третьего порядка1:
#= 1 + т\” (0 - у + Т? (0- О0)2 + Г3’ (6 - 0О)’, (4-88) /О'	*	J
1 Для удобства изложения в этом параграфе температурные
коэффициенты приводятся с указанием производной первого по-
рядка.
233
где б и 60 — изменяющаяся и фиксированная температура. Из этого уравнения следует, что изменение частоты в интервале температур зависит от значений Т^\ Т(2) и Т^}. Таким образом, температурные характеристики частоты собственных колебаний пьезоэлектрических элементов зависят от решения линейного дифференциального уравнения в частных производных, выражающего собственные частоты их колебаний.
В случае колебаний по толщине, чтобы получить связи между температурными коэффициентами частоты Т(1\ толщины плотности Гр!) и упругих постоянных Тс(1) первого порядка, необходимо продифференцировать по температуре каждый член, входящий в соотношение f W = =	-у- и провести соответствующие преобразования.
В результате мы получим:
2T(h = Т(,) — Т(,) — 2Г(1).	(4-89)
/Ср	Л	v 7
Соотношение для температурного коэффициента частоты второго порядка, зависящего от тех же переменных, записывается в следующем виде:
2 [г;2)-	=тт- тт - 2тт -
- 4-	кт'.' ’)*- 2<7'ь’)2ь	с4-90)
И, наконец, для температурного коэффициента частоты третьего порядка
2
_ j*(2)j»(i) _|__* (T^1))3 j = 7^3)______j'C3)____2Г(3)_____
___ip(2)p(1)_____pi^pi1)_______2Г(2)Т( I
'ее 1 Р 1 Р	h 1 h *
+4- кг.)’ - (С )’ -2 (г; )’i-	(4-91)
В приведенных выражениях Т(|), Т*2) и Т(с3) — температурные коэффициенты упругих постоянных 1, 2 и 3-го порядков;	и Т^} — температурные коэффициенты
линейного расширения соответствующих порядков в направлении размера, определяющего 1ип колебаний; Тр1*, и 7J” — температурные коэффициенты плотности соответ-234
ствующих порядков. Каждый из температурных коэффициентов можно рассчитать для кварцевого элемента любой ориентации, если известны соответствующие константы по осям кристаллофизической системы координат (рис. 4-26,а. б, в).
а)
Рис. 4-26 Значения ТКЧ второг© и третьего порядков для колебаний по толщине при различных углах среза и 0 (7\—температура перегиба в зависимости от угла среза)
в)
. Величины^температурных коэффициентов констант гибкости и модулей упругости Те для кварца при 20° С определены в [Л. 4-45], при 25° С в (Л. 1-5], при 50° С — в [Л. 4-46]; значенияТ^. [Л. 4-47], а также значения Т при различных температурах приведены в табл. 4-1.
Коэффициенты теплового расширения кварца в направлении кристаллофизических осей:
=a(t2= 13,71-10-* град~1\ = 7,48-10-‘ град~\ а™ = а**’ = 6,5 • 10 - ’ град ~2; а*’ = 2,9 • 10 " ’ град -2;
e<J>=a<J>==—1,9-10-12 град-’; a^=—1,5-Ю"’ град'».
235
Температурные коэф
ь ]	г(1) cti			т(1) si5		т(2) Ci3	
	ю-«/вс					10"®/ (°C)®	
	20° С	25е С	50е С	25е С	50е С	25е С	
11	—44,3	-48,5	—48,5	15,5	16,5	—407	—107
33	—188	—160	—153	140	134,5	— 1 412	—275
12	—2 930	—3 000	—2 703	— 1 370	—1 270	—7 245	—3 050
13	—492	-550	—383	—166	-618	—596	—1 150
44	—172	— 177	— 158	210	201	—225	—216
66	180	178	169	—145	—138	201	118
14	98	101	105	134	— 139,5	—13	—48
Плотность кварца при	20° С	р=;2,65 г{см? —
= 2Q50 н-сек[м4, а ее температурные коэффициенты
7’<1) = —34,92-10-в град-1-, Г(р2) = — 16,9-10"9 град'*-,
Т(е3) = 5,3-10~1гград-3.
Используя приведенные значения температурных коэффициентов Тс, TSi Тр и а, можно вычислить значения ТКЧ 1, 2 и 3-го порядков для кварцевых резонаторов, совершающих любые виды колебаний. В частности, для толщинных колебаний кварцевых элементов некоторых срезов подобные вычисления были проделаны в работе [Л. 1-5]. Результаты этих вычислений сопоставлены экспериментальными значениями величин
Т\'\ Т(2) и Т{3) в табл. 4-2.
Экспериментальные и теоретические значения согласуются также вполне удовлетворительно, когда учитываются температурные коэффициенты размера, плотности и упругих постоянных 1, 2 и 3-го порядков (рис. 4-27).
Управление частотно-температурной характеристикой. При поисках оптимального угла среза кварцевого элемента ЛТ-среза очень удобно пользоваться графиком, составленным Е. А. Гербером на основе его собственных работ и работ Бехмана, Вашберна, Твейтса, Боттома. Мы сочли возможным дополнить этот график нашими 236
Таблица 4-1
фицйенты Т й 7L
г (2) СИ		г(2) \ si3		г(3> М			т(3) sti	
10-9/(°С)2				10-12/(OC)3				
	50° С	25° С	50° С	20° С	25° С	50° С	25е С	50* С
	—75	85,3	58,5	—371	—70	15	38,3	33
	—187	247	144	—243	—250	—410	300	570
	—1 500	-1 385	—575	4 195	—1 260	1 910	1460	—215
	—2 000	—718	—2 НО	—5 559	—750	600	—823	610
	—212	262	200	— 190	—216	—65	162	—26
	—5	-85	—18	—777	21	—167	—135	3
	—270	93	40	—625	—590	-630	—465	—54
данными, относящимися к дискам с фасками из (природного кварца ЛГ-среза, которые возбуждаются на основной частоте. На рис. 4-28 приведена зависимость оптимального угла среза от номера гармоники п, на которой возбуждается кварц, и отношения диаметра d к толщине А. Оптимальным называется угол среза кварцевого элемента, при котором относительное изменение частоты в функции температуры имеет наименьшее значение. Как отмечает Гербер, большинство авторов проводили измерения ТКЧ в области температур от —55 до +90° С, за исключением Бехмана, исследовавшего температурно-частотную зависимость в более узкой температурной области.
Рис. 4-27. Зависимость значений температур, в пределах которых Т/(1)=0, от угла ориентации для АТ- и ВГ-срезов.
237
Таблица 4-2
Температурные коэффициенты частоты а-кварца
Срез	Вид колебаний	т<’> 10-«/»С	т(2) Tf 10-9/(*С)2	т(3) 10-12/(®С)8	10-в/°С	т(2) f 10-»/(*С)2	г(3) Tf 10-12/со >
		Экспериментальные значения			Расчетные значения		
ху (Л-срез)	А	—20,5	—53,2	—36,6	—20,5	—52,0	—36,9
xys/+W/	А	—29,3	—67,0	—58,3	—29,8	—64,3	—68,6
xys/+209/	А	—42,0	—86,0	—92,7	—41,4	—80,7	—95,4
xys/+306/	А	—54,8	—105,5	—119,5	—51,7	—96,0	— 113,0
ух1/-4^1У/(ВТ-срез)	В	0	—40	—128	0	—39,6	—128
yxbl/±5°/—47*	' В	—0,9	—41,0	—118,0	1,7	—39,8	—127
yxbl/±5a/—48*	В	—1,5	—43,0	—123,0	—0,2	—41,5	—128
ухЫ/±1(У>/—№>	в	1,1	—39,0	—91,0	6,8	—40,7	—120
ухЫ/± 107—40’	в	—2,4	—42,0	—115,0	4,3	—42,2	—122
ухЫ/+157—34,5°	в	—7,4	—28,1	—40,0	—0,67	—47,4	— 105
ухЫ/±15а/—35°	в	—7,45	—33,5	—59	—0,98	—47,7	—106
рх6//±307+20’	в	—9,3	—21,8	—34,4	—9,3	—20,4	—37,6
ухЫ/±Ыо/+Ы'
ух (У-срез)
ух//+35в157(ЛГ-срез)
ухЫ/±\0*1— 32°
yxW/±10®/—33®
j/xW/±12,57—33е
ух«/±12,5®/—33,5®
ух*//±15®/—34,5° (W-срез) yxW/±15®/—35® (ЯГ-срез) </х*-7+20®/+34°20* (/Г-срез) ухЫ/±ЗО*/+ЗГ ухМ/-(-30®/+36®
Продолжение табл. 4-2
г(1) 10-«/’С	г(2) 10-’/('С)‘	т(3) 10-«/(°С)а	г(1) 10-в/®С	/2) Tf 10-9/(вС)2	Т 10’12
Экспериментальные значения с			< Расчетные значения	/		
— 19,1	—24,5	—28,9	—18,2	—27,0 ,	33,9
92,5			92,5	57,5	5,8
0	0,40	109	92,5	—0,6	109
0,26	-9,8	—32,4	—1,5	—13	—29,3
—0,87	—7,8	—21,5	— 1,9	—12,5	—25
0,8	—7,6	—19,6	—1,62	—12,1	—20,7
—0,4	—7,4	—14,0	—2,07	—11,9	—18,8
1,3	—7,3	—6,6	—2,9	—10,6	—10,5
—0,2	—7,02	—2,6	—3,5	—10,5	—8,8
—0,06	—8,9	52,0	—0,5	—10,5	62
0,75	—13,0	17,4	0,26	—14,3	32,0
—4,55	—14,3	20,6	—5,4	—14,4	34,4
Нетрудно видеть из рисунка, что угол среза является весьма критичным для скорости изменения частоты в зависимости от температуры при dnlh, равных приблизительно 10. При увеличении dnlh, начиная с 10, трудности в столь критичной ориентации угла среза кварца отпадают.
JSWr 50'-t/О'-JO'-ъ г0'г ю'-\J59OO'-so'-
JO'-20'-10' -3^00'-
Рис. 4-28. Зависимость оптимального угла среза кварца от номера гармоники и отношения диаметра к толщине.
График построен по данным* 1 — Бехм.ана; 2 — Вашбер-на; 3 — Твейтса; 4—Боттома; 5 — Гербера (искусственный кварц); 6— Гербера (природный кварц);
7 — А. Г. Смагина.
Для того чтобы определить угол среза плоско-выпуклых линз к углу среза, найденному из рис. 4-28 для плоских дисков, необходимо прибавить 4', а в случае двояковыпуклых линз—8'. При изменении угла среза кварцевого элемента экстремальные точки ТЧ характеристик смещаются и изменяется скорость изменения частоты в функции температуры. В связи с этим допуски на точность ориентации кварца устанавливаются с учетом значения температуры резонатора, при которой ТКЧ равен нулю. Это же относится и к оптимальному углу среза, при котором относительное изменение частоты имеет наименьшее значение (порядка 1 • 10“7— 1 • 10“8) в широком интервале температуры.
При изменении угла среза плоско-выпуклых линз на ±Г экстремум ТЧХ смещается на ±12°; +7,5° и ±5° вблизи 35, 50 и 55° С соответственно. В случае значений угла среза 35°20' ±1' для резонаторов частотой 2,5 Мгц 240
ТКЧ = О будеАнаблюдаться при температурах от 42 до 57° С [Л. 4-50]. \
Кварцевые элементы^ 4Т-среза имеют (при прочих равных условиях) приблизительно в 3\раза меньшую скорость изменения частоты в функции температуры по сравнению с аналогичными элементами ВТ-среза, и поэтому их выгодно использовать в термостатах с небольшим постоянством поддержания температуры. Но кварцевые элементы ВТ-среза приблизительно во столько же раз менее чувствительны к разбросу угла среза по сравнению с ЛТ-срезом. Поэтому при точности поддержания температуры, например, ±0,5° К и точности угла среза порядка 1' применение кварцевых элементов ВТ-среза для термостатированных резонаторов более предпочтительно, чем кварцевых элементов 4Т-среза.
При разработке кварцевых резонаторов со старением порядка 1 • 10~10 за месяц и кратковременной нестабильностью порядка IX Х10“10 за секунду, используемых в схемах генераторов эталона частоты, было показано, что для обеспечения работы резонатора, имеющего нулевой ТКЧ, точность эффективного контроля угла среза должна быть не менее ±0,2'. Как следовало ожидать из общих физических соображений, понижение температуры, при которой осуществляется термостатирование, приводит, во-первых, к уменьшению старения при 40° С в 10 раз по сравнению со старением при 75° С, особенно в течение первых трех месяцев,' во-вторых, зависимость ТКЧ от изменения температуры вблизи комнатной температуры меньше, чем при повышении ее, поэтому и частота изменяется меньше при изменении температуры в термостате. Помимо этого, при комнатной температуре облегчается настройка резонаторов. ТКЧ вблизи точки перегиба ТЧ характеристики при изменении температуры на 2° равен ~ • 10-8 град~х. Наконец, в-третьих, в значительной степени уменьшаются изменения частоты, обусловленные тепловыми ударами.
Дальнейшее понижение температуры приводит к еще большему улучшению некоторых характеристик резонатора. В частности, при температуре 2° К наблюдается наивысшее значение добротности Q = = 700-106 и получается весьма хороший ТКЧ порядка 1 • 10-8 град~\ если допуски на углы среза не столь жестки. Однако при низких температурах наблюдается большая чувствительность частоты к току, протекающему через эквивалентное сопротивление кварцевого резонатора, и к механическим воздействиям (ударам и вибрациям).
При изменении зазора между поверхностью кварца и электродами от 1 до 5 мм экстремальная точка функции /=ф<(0) смещается почти на 26° по температурной шкале (14—40°С). При этом следует отметить, что для использования кварцевых брусков, ориентированных в на-равлении оси Y и совершающих продольные колебания, в качестве прецизионных резонаторов в эталонах частоты необходимо выбрать участок кривой, описываемой функцией /=х(йзаз), в котором скорость изменения температуры в зависимости от ширины зазора была бы наименьшей. Это условие позволяет исключить влияние 16-2584	241
изменения ширины зазора, обусловленного температурой, на частоту. Другими словами, следует использовать эти кварцевые бруски с зазором, превышающим 5 мм [Л. 1-8].
В процессе исследований, связанных с поисками оптимальных углов среза для двояковыпуклых кварцевых линз ДГ-среза (при фиксированных геометрии и ширине зазора между поверхностью кварца и электродами) мы воспользовались данными, приведенными в работе Гербера.
Рис. 4-29. Температурно-частотные характеристики кварцевых линз ДГ-среза частотой 1 000 кгц для фасок разного размера.
При сравнении оптимального угла среза кварцевой линзы со сферическими фасками частотой 1 000 кгц и диаметром 18 мм с оптимальным углом среза кварцевой линзы с остро заточенными фасками той же частоты и диаметром 16,5 мм оказалось, что в пределах погрешности измерения эти углы равны. Это навело нас на мысль о возможности управления температурно-частотными характеристиками кварцевых элементов на температурной шкале с помощью фасок. Теоретической основой такого метода управления скоростью изменения функции Д///=ф(/) и ее экстремальными точками является изменение анизотропного температурного коэффициента упругих постоянных кварца.
На рис. 4-29 представлены температурно-частотные характеристики кварцевых линз ДТ-среза частотой 242
1 000 кгц в зависимости от размера фасок, определяемого при помощи Микроскопа с погрешностью, не превышающей ±5 мкм. Угол среза, при котором наблюдалось наименьшее изменение частоты в функции температуры, составляет р = 34°58/±1. Исследования, связанные с возможностью управления -скоростью изменения температурно-частотной зависимости и экстремальными точками, проводили с кварцевыми линзами, имевшими углы среза +34О58/ ±1; +35°00' ±1 и +35°02' 4:1. При этом получали одинаковые температурно-частотные характеристики у кварцевых линз с разными углами среза, но при соответствующих размерах фасок (другие условия эксперимента сохраняли неизменными).
Из рисунка видно, что с изменением размера фаски одной и той же кварцевой линзы изменяется характер температурно-частотной зависимости и экстремальная точка кривой смещается на температурной шкале. При изменении угла среза на 2—3' скорость изменения частоты в функции температуры достаточно велика. Такие кварцевые элементы оказываются негодными. Описанный метод дает возможность компенсировать изменение угла среза при механической обработке кварцевых линз размерами фаски, а также получать весьма малое изменение частоты как в широком интервале температур, так и вблизи нулевого ТКЧ, что особенно важно для прецизионных кварцевых резонаторов, используемых в эталонах частоты.
ТКЧ резонаторов зависит, как это отмечалось выше, от температурных коэффициентов модулей упругости, плотности и линейного размера, определяющего частоту. Однако имеется ряд других факторов, иногда косвенным образом связанных с физическими величинами, которые в той или иной степени влияют на ТЧ характеристику резонаторов. Прежде всего это относится к геометрии кварцевых элементов. Расчет их углов среза производится на основании соотношений и графиков, полученных экспериментальным путем. Температурные коэффициенты высокочастотных резонаторов труднее контролировать по сравнению с низкочастотными вследствие появления связанных колебаний и влияния системы крепления. Связь геометрии кварцевого элемента с ТЧХ резонатора осуществляется через связанные колебания, о наличии которых свидетельствуют отклонения реальных характеристик температурной зависимости частоты
16*	'	243
в)	г)
Рис. 4-30. Температурно-частотные характерней 5 Мгц
а — до повторной металлизации (электроды — серебро нов (атмосферное давление); в — после повторной 0,26 мкм; г — после ослабления зажатия кварцевого с одной стороны кварцевого элемента; д — после бы диаметром 1 мм в каждую из двух точек крепле места крепления после повторного монтажа кварце
244
от теоретических. Геометрия кварца подбирается так, чтобы связанные колебания сдвига по контуру и колебания изгиба не влияли на частоту или чтобы связь их с основным резонансом не проявлялась в пределах необходимого интервала температур.
Воздействие системы крепления на ТЧХ резонатора осуществляется через механическое давление, производимое держателем на кварц, и связанные колебания.
ТЧХ резонатора в заметной степени деформируется в зависимости от уровня возбуждения. Максимально допустимый уровень возбуждения выбирается в зависимости от допустимой частотной нестабильности резонатора, при этом обычно с повышением уровня возбуждения частота повышается. Стабильность резонатора заметно улучшается при уменьшении рассеиваемой на нем мощности. При изменении уровня возбуждения на 10%
стики серийных кварцевых резонаторов часто-(пятая гармоника).
и гальваническое золото); б — после вскрытия балло-металлизации с толщиной серебряных электродов элемента в держателе; никелевые ленты отрезаны напаивания дополнительной дозы припоя по две шай-ния; е — после перепаивания ленточек крепления: вого элемента смещены на 2 -3 мм.
245
уходы частоты составляют 30-10~8 и 2-10-8 при уровнях возбуждения 1,5 и 0,5 мет.
Экспериментально исследовалось влияние технологических факторов на частоту в интервале температур, в частности на смещение экстремума ТЧХ и скорости изменения частоты в функции температуры. Полученные кривые ТЧХ одного и того же резонатора несколько отличаются одна от другой. Эти измерения показывают, что даже на современном уровне развития технология слабо влияет на положение экстремума ТЧХ кварцевых резонаторов, возбуждаемых на 5-й гармонике f=5 Мгц (рис. 4-30,а—е).
При этом угол среза кварцевых элементов ориентировали с точностью до ±20" (измерения на рентгено-дифрактометре «Секази»).
Большое влияние на ТЧХ резонаторов как в процессе их эксплуатации, так и при измерениях оказывает температурный градиент, т. е. скорость изменения температуры среды, в которой находится резонатор.
Относительные изменения частоты находятся в линейной зависимости от скорости изменения температуры, но не зависят от абсолютного значения частоты. На основании приведенных данных скорость изменения температуры выбирается .в зависимости от требований к точности настройки и стабильности. Например, если необходимо получить кратковременную стабильность частоты 1 • 10~7, то максимальная скорость изменения температуры кварцевой пластины не должна превышать 0,5° С!мин.
Возникающие в кварце термонапряжения искажают истинное значение ТКЧ [Л. 4-50]. Так, например, в резонаторах на частоту 2,5 Мгц при изменении температуры со скоростью 0,005° С/ч наблю-дается временный сдвиг частоты порядка 1 • 10-10, что приводит к появлению динамического ТКЧ.
Под динамическим ТКЧ подразумевают отклонение действительной кривой ТЧХ от плавной в результате быстрого охлаждения или нагревания резонаторов. Это явление объясняется возникновением дополнительных механических напряжений, зависящих от температурного градиента, и известно под названием «ложного пироэлектрического эффекта первого рода» или «третичного пироэффекта».
4-9. Механизм старения кварцевых резонаторов
Причины необратимых процессов в резонаторах. Систематический уход частоты во времени называют старением кварцевого генератора. При этом различают старение собственно кварцевого генератора (изменение параметров схемы, характеристик ламп и т. д.), кварцевого резонатора и устройств, связанных с ними 246
(изменение состояния схемы регулирования температуры в термостате, источников питания и т. д.).
Под старением кварцевого резонатора понимают необратимый систематический уход частоты во времени, обусловленный изменением физических свойств кристалла, элементов конструкции резонатора и условий, в которых он находится1.
Следует отметить, что термин «старение» не отражает сущности явления. В действительности в кварцевом элементе, вырезанном из кристалла и подвергнутом механической обработке, в тёчение определенного времени происходит восстановление свойств, которые были присущи природному, а также, по-видимому, и искусственному кристаллу до его обработки: кварц возвращается к состоянию термодинамического равновесия2. Возраст кристаллов кварца, как известно, исчисляется миллионами лет.
Изменения внешней среды, происходившие в различные геологические эпохи, приводили к сдвигам термодинамического равновесия в кварце, которые в течение длительного времени «рассасывались», и свойства кристаллов опять возвращались к стационарному со* стоянию, но уже на другом уровне, т. е. имеет место эффект необратимости. Заметим, однако, что равновесие по своей природе является динамическим. Иными словами, природный кварц находится в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой, а в обработанном кристалле происходит восстановление термодинамического равновесия, восстановление его свойств. Но так как термин «старение» укоренился в литературе, будем его использовать в дальнейшем.
Влияние механической обработки на необратимое изменение свойств кварца можно описать следующим образом. При распиловке кристалла алмазной пилой возникают сильные эффекты деформирования структуры, распространяющиеся на большую глубину: происходит поворот кристаллических ячеек и как следствие этого
1 В дальнейшем будет показано, что при старении кристалла наблюдается необратимое изменение не только частоты, но и всех параметров и характеристик резонатора.
2 Термодинамические изменения физических свойств кристаллов и связанные с ними явления старения представляют большой интерес для физики твердого тела.
247
появление микро- и макротрещин1. Шлифование кристалла и в меньшей степени полирование также сопровождаются неупругими процессами, происходящими в кристаллической решетке. Затем в процессе работы или хранения кварца сдвиговые области кристаллической решетки переходят, вероятно, из метастабильного состояния в основное, характерное для кристалла до механической обработки. Такой релаксационный .процесс протекает или самопроизвольно или под действием тепловой энергии, выделяющейся в кварце, который находится в колебательном режиме (в данном случае процесс ускоряется).
Наряду с этим в кристаллах кварца может происходить самозалечивание микротрещин, если поверхность чистая, т. е. на поверхностях самозалечивающихся структур нет частиц, экранирующих действие межмолекулярных сил, и нет мономолекулярных пленок. Как известно, кварц обладает гидрофильными свойствами, и, по-видимому, для самозалечивания дефектов поверхности необходимы определенные условия, в том числе и высокий вакуум.
Таким образом, нетрудно сделать вывод, что старение кварца есть в основном результат механической обработки, поэтому процессы старения можно свести к минимуму, удаляя все нарушенные распиливанием, шлифованием и полированием слои кристалла, адсорбированные частицы и мономолекулярные пленки, т. е. приближая поверхность к мономолекулярной структуре путем асимптотического, точнее предельного, шлифования и полирования, воздействием химических реагентов, тщательной температурной обработкой в высоком вакууме.
Вследствие того, что поверхностные нарушения приводят к увеличению рассеяния энергии в поверхностном слое кристалла и изменению частоты, эквивалентное активное сопротивление и старение взаимосвязаны: улучшение состояния поверхности и структуры (уменьшение эквивалентного сопротивления) приводит их к более стабильной фазе (старение уменьшается). Нарушенный слой
1 В этой связи весьма перспективным, по-видимому, является «разрезание» кристаллов кварца с помощью электронного пучка или лазерного луча при соблюдении определенного термического режима.
248
кристалла уменьшает упругую константу и служит источником поглощения энергии упругих волн. Итак, изменения частоты и рассеяния энергии представляют собой две стороны одного и того же процесса — процесса поверхностных изменений и подчинены одному закону — закону старения, хотя имеют противоположные знаки.
Описанные явления имеют место и по отношению к структурным изменениям, которые также приводят к систематическому уходу частоты кварца во времени. В процессе воздействия абразивных зерен не только разрушается поверхность кристалла, но и искажается кристаллическая решетка, вследствие чего увеличивается ее потенциальная энергия. Механизм старения заключается в том, что с течением времени происходит убывание потенциальной энергии, запасенной кристаллической решеткой. Это явление, будучи релаксационным по своей природе, подчиняется уравнению Максвелла и изменяется по экспоненциальному закону. Подчеркнем, что это справедливо по отношению к структурным изменениям, но не к поверхностным, где на старение влияют несколько различных по законам изменения процессов.
Изменение эквивалентного активного сопротивления и собственной частоты во времени описывается экспоненциальными зависимостями, но знаки у них противоположны, при этом сопротивление уменьшается, а частота возрастает.
В некоторых случаях на основное изменение частоты накладываются различные вариации хаотического характера, обусловленные явлениями, происходящими в местах крепления кристалла. Если условия, в которых работает кварцевый резонатор, неизменны, а в самом кристалле и в связанных с ним устройствах не происходит никаких скачкообразных изменений, то экспоненциальный закон старения должен соблюдаться. Зная параметры уравнения старения, можно определить поправку к измеренной частоте, т. е. определить уход частоты за тот или иной период при старении.
Таким образом, анализ явлений, происходящих при старении кварцевых резонаторов, заставляет сделать вывод, что причинами старения являются поверхностные, структурные и контактные изменения. Эти изменения охватывают круг явлений, в результате которых проис-249
ХОДЯТ необратимые Процессы, обусловливающие уход частоты резонатора во рремени.
К поверхностным изменениям относятся (Л. 4-41]: возникновение после обработки кристалла механических напряжений, которые могут образовывать микротрещины, переходящие в макротрещины; разрушение верхнего слоя поверхности; заживление при определенных условиях микротрещин под действием межмолекулярных сил; адсорбция кристаллом влаги и газов из окружающей среды; окисление металлической пленки, напыленной на кристалл в высоком вакууме, а затем вынесенной в атмосферу; отрыв адсорбированных и выход абсорбированных частиц из этого слоя; изменение физических свойств тонких пленок (плотности, упругости); изменение напряжений на границе кристалл — металлическая пленка; миграция частиц по поверхности кристалла.
К структурным изменениям относятся: изменения в ориентации сдвиговых областей, переход их из мета-стабильного состояния в основное, характерное для термодинамического равновесия (релаксационные явления); компенсация поверхностных сил объемными; диффузия примесей в структурных каналах и выход их на поверхность кристалла; захлопывание плоскостей, возникших в результате коагуляции сконденсировавшихся вакансий; выход на поверхность кристалла избыточных вакансий; образование вакансионных плоскостей внутри кристалла; диффузия примеси к дислокациям; образование и развитие нестабильных петель дислокации; ангармонизм колебаний.
К контактным изменениям относятся: изменение стабильного состояния резонатора вследствие взаимодействия кварца с держателем и средой; эффект притирания поверхностей кристалла и металлических опор держателя, явление «отдыха» элементов крепления кварца; изменение зазора в результате старения металла; миграция частиц с кварца на стенки вакуумного баллона и обратно; изменение вакуума в баллоне, в котором находится кварцевый резонатор; удлинение нитей, закрепляющих кварцевый элемент, и их смещение в перпендикулярных направлениях.
Такова в общих чертах физическая картина старения— процессов, необратимых во времени.
Подчеркнем, что макроскопические величины — длина или ширина /, плотность р и константа гибкости $ — 520
определяют состояние кварца. Изменение этих величин приводит к нестабильности и старению колебательной системы в целом.
При изменении длины (ширины) I кварца на малую величину А/ вследствие любой из причин старения его собственная частота изменится на Af. Тогда f -|- Af (14~ _ 1 2
+ А/)	. Разлагая в ряд до членов первого порядка, по-
лучаем:
Д/ Д/ f ~ I'
Для относительного изменения частоты, вызванного изменением плотности и константы гибкости, имеем:
Af Др t Af As 7’	—•
Очевидно, что относительное изменение размеров, плотности и константы гибкости приводит к относительному изменению частоты того же порядка, т. е.
(4'92)
Оценка показывает, что относительное изменение частоты кварцевого резонатора порядка 10~п может быть вызвано изменением линейных размеров Д/5« ~—5*10-11 см (для брусков) и А/п~—3-10—12 см (для дисков и пластин, например, ЛТ-среза), плотности Ар« ~—3-10-11 г-см-3 и константы гибкости As«—1,3 • 10-23 см2-дин-1. Эти данные показывают, сколь высокими должны быть требования к прецизионным кварцевым резонаторам. При прочих равных условиях старение резонаторов, кварцевый элемент которых колеблется по толщине, почти на порядок больше, чем у резонаторов, кварцевый элемент которых колеблется по длине (А/п~ «—3- 10-12 см и A/j’»—5-Ю-11 см). Эти соображения нашли экспериментальное подтверждение в ряде работ.
Как было установлено, необратимое изменение частоты для резонаторов с кварцевыми элементами одного и того же типа в несколько раз увеличивается с повышением собственной частоты колебаний, т. е. с уменьшени-251
ем размеров кристалла, определяющих частоту. При возбуждении кварцевых элементов на гармониках роль изменений в поверхностном и приповерхностном слоях, а также влияние крепления на краях резко уменьшаются, что приводит к значительному уменьшению старения. Например, старение резонаторов с плоско-выпуклыми кварцевыми элементами ЛТ-среза частотой 2,5 Мгц, возбуждаемых на пятой гармонике, имеет величину порядка 3«10“12 за сутки. Этот результат объясняется, во-первых, возбуждением кварца на гармониках и, во-вторых, технологическими особенностями изготовления (тщательная полировка, специальная металлизация, соблюдение правил вакуумной гигиены в производстве).
Повышение температуры кварцевого резонатора и мощности, рассеиваемой в кристалле, увеличивает необратимое изменение частоты на 1—2 порядка.
Важно еще раз подчеркнуть, что старение прецизионных кварцевых резонаторов, вызывающее уход резонансной частоты, есть следствие поверхностных, структурных и контактных изменений, а не результат непосредственного действия дестабилизирующих факторов (температуры, электрического и магнитного полей1 * * * и т. п.). Нередко отождествляют систематический уход частоты генератора со старением кварцевого резонатора. Однако исследования показали, что в этих случаях происходит старение не кварцевого резонатора, а элементов моста схемы регулирования температуры термостата, в котором находится резонатор.
Частота кварцевого резонатора изменяется с изменением температуры вследствие разбаланса моста схемы терморегулирования. В связи с этим наблюдается корреляция между старением элементов генератора и частотно-температурной зависимостью кварцевого резонатора. Естественно, что это явление не имеет ничего общего со старением кварцевого резонатора. Мы специально привели этот пример, чтобы проиллюстрировать весьма распространенную ошибку: все систематические изменения частоты (регулярные и нерегулярные) приписывать кварцевому резонатору.
1 Влияние статического магнитного поля (2 000 гс) приводит
к изменению относительной частоты у электростатически экраниро-
ванного кварцевого элемента на величину порядка 5 • 10“8, у не-
экранированного— порядка 1 • 10”®.
252
В табл. 4-3 'Систематизированы возможные причины старения покоящегося резонатосра и резонатора, колеблющегося в схеме генератора. Выделены процессы, происходящие в собственно кристалле, подвергнутом распиливанию и механической обработке, а также явления, связанные с нанесением металлических электродов, с элементами конструкции резонатора. Указаны технологические операции, ускоряющие необратимые изменения в кварцевых резонаторах.
Следует отметить, что данная классификация как всякая схема является приближенной: некоторые причины старения могут быть лишь условно отнесены к той или иной группе Так, например, уменьшение старения при возбуждении на гармониках может быть вызвано не только контактными изменениями, но и изменениями в поверхностном слое, так как удельный вес изменений в поверхностном слое с повышением номера гармоники уменьшается; с повышением частоты абсолютное изменение частоты остается неизменным, а относительное изменение частоты ('старение) уменьшается. К тому же если учесть, что с повышением частоты амплитуда механических колебаний уменьшается, так как она обратно пропорциональна частоте, то данную причину старения можно отнести к группе изменений старения резонатора -в схеме генератора.
Изменения в поверхностном и приповерхностном слое кристалла. Поверхностные изменения — основная причина старения кварца, поэтому их устранение или по крайней мере, уменьшение является важной задачей. В особенности это относится к шлифованным и недостаточно хорошо полированным кварцевым электродам, с поверхности которых может происходить «испарение».
Пьезоэлектрический кварц со свободной от металлической пленки поверхностью. Поверхность кварца, пролежавшего после шлифования несколько недель, покрылась мельчайшим белым порошком [Л. 4-48]. Спектроскопические исследования обнаружили присутствие Si в этом порошке. Порошок может состоять из субмикроскопических частиц кварца [Л. 4-49]. При продолжительном соприкосновении кварца с фотопластиной скрытое изображение исчезло, причем фоторегрессия произошла не только в местах непосредственного соприкосновения кварца с фотоэмульсией, но и распространилась на всю фотопластину, постепенно ослабевая к периферии.
Обнаружено появление на поверхности полированного стекла, на котором лежал кварц в течение 9 месяцев при комнатной температуре, очень тонкого налета, образованного выделениями кварца [Л. 4-48]. По-видимому, отрыв атомов или их совокупности может происходить в макротрещинах, покрывающих шлифованную поверхность кварца, при этом они могут оставаться при определенных условиях и на его поверхности.
253
Причины старения
Покоящийся^ -----------1
Необратимые процессы в кристалле
Влияние элементов конст 1
Изменение в поверхностном и приповерхностном слоях
Структурные изменения
Изменения, связанные с наличием металлической пл'НК и
Разрушение верхнего слоя поверхно'ти
Возникновение после обработки кристалла механических напряжений, которые могут образовать микро- и макротрещины
Заживление микротре-щнн под действием меж-молек улярных сил
Диффузия примесей к дислокациям
Захлопывание полостей, возникших в результате козгуляции сконденсировавшихся вакансий
Изменение в ориентации сдвиговых областей, переход из метастабильного состояния в основное (релаксационные процессы)
Изменение физических свойств тонких пленок, полученных испарением в вакууме
Выход абсорбированных частиц из металлизированной пленки
Окислние металлического покрытия
Асимптотические методы обработки поверхности кристаллов позволяют максимально приблизиться к ненарушенной кристаллической структуре, что обеспечивает повышение добротности и уменьшение старения при прочих равных условиях на 1—2 порядка (в зависимости от типа кварцевых элементов). Эти методы дают возможность исключить в основном старение вследствие поверхностных изменений. Следует подчеркнуть, что нельзя оставлять ослабленные участки на поверхности кварца, например углы у брусков, пластин, колец или кромку с острозаточенными фасками у линз и т. п.; придание им небольшой сферичности приводит к удалению участков, ослабленных механической обработкой, и тем самым к исключению дополнительного источника старения.
Влияние адсорбированных частиц и мономолекуляр-ных пленок можно устранить нагреванием кварца и держателя в высоком вакууме (за исключением, естественно, слоя кристалла, образующегося в результате взаимодействия паров воды с поверхностью, обладающей 254
Таблица 4-3 кварцевых резонаторов
резонатор		Резонатор в схеме генератора	Технологические опера* ции, уменьшающие старение
Рукции резонатора Контактные изменения	Вл тяниё окружающей среды		
Изменение зазора в результате старения металл i держателя Явление .отдыха* элементов крепления Взаимодействие кварца с держателем Эффект .притирания* Увеличение нитей, с помощью которых закрепляется кварц, и их смещение в двух взаимно перпендикулярных направлениях Возбуждение на гармониках	Адсорбция кристаллом влаги и газов из окружающей среды • Различные виды взаимодействия кварца со средой (миграция частиц с кварца на стенки вакуумного баллона и обратно и т. п.) Утечка частиц газа из баллона	Образование и развитие нестабильных петель дислокаций Франка— Рида Выход на поверхность кристалла избыточных вакансий Диффузия примесей в структурные каналы и выход их на поверхность кристалла	Обработка поверхности асимптотическими методами (шлифование, полирование, травление) Химическая очистка Термообработка металлических и диэлектрических элементов и их химическая обработка Обез га жи ванне металлических и диэлектрических элементов Термообработка готового кварцевого резонатора (экспресс-старение)
гидрофильными свойствами). Уменьшение числа адсорбированных частиц и толщины мономолекулярных пленок происходит при 130° С. Это, однако, не означает, что кварц и элементы держателя в отдельности не могут быть подвергнуты воздействию более высокой температуры.
Согласно данным Службы частоты и времени высокостабильные генераторы Государственного эталона частоты СССР,в ко’торых стабилизация частоты осуществляется прецизионными резбнаторами, разработанными А. Г. Смагиным [Л. 4-4], имеют старение порядку 1— 2-10—11 и в течение определенных интервалов времени менее суток (рис. 4-31). Эти данные одного порядка с величиной старения частоты генераторов национальных служб частоты и времени других стран. В высокостабильных генераторах эталона частоты применяются резонаторы с кварцевыми брусками, подвешенными на длинных и коротких нитях. Результаты по нестабильности и старению как у первых, так и вторых одни и те же; у первых даже несколько лучше, например Л1ц.
255
Преимущество кварцевых брусков, закрепленных короткими нитями,— это меньшая подверженность механическим воздействиям.
и
Рис. 4-31. Изменение частоты генераторов эталона частоты, стабилизируемых высокодобротными и высокостабильными кварцевыми брусками частотой 100 кгц (вторая гармоника).
Эти результаты достигнуты благодаря тому, что кварцевые бруски для генераторов эталона частоты обработаны по новой технологии, в основе которой лежат асимптотические методы. Заметим, что ранее (до 1959 г.) те же генераторы с теми же кварцевами брусками, но 256
обработанными по старой технологии, имели нестабильность и старение порядка 10~9 за сутки.
Пьезоэлектрический кварц с металлизированной поверхностью. Старение элемента может обусловливаться отрывом атомов металла, слабо связанных с поверхностью кристалла. Наличие тонких металлических пленок на поверхности кварца приводит к адсорбции газов из окружающей среды и абсорбции их в процессе металлизации, миграции атомов металла по поверхности, а также с кварца на вакуумный баллон и обратно, диффузии атомов металла в структуру кристалла по различным направлениям, преимущественно по структурным каналам. Если атомы металла диффундируют внутрь кристалла, то знак изменения частоты будет отрицательный, если из кристалла, — положительный. При отрыве атомов металла от поверхности, как нетрудно показать, знак изменения частоты кварца будет положительным:
_______bin f
где Д/п— изменение массы.
Рассчитаем, насколько изменится частота кварцевого элемента ЛТ-среза, если произойдет отрыв слоя частиц толщиной порядка 5 А. Если f = 5 -105 гц; /=0,38 см; Д/=5-10~8 см, то Д/=0,0125 гц или в относительных единицах Af/f—lO-8. Эта оценка показывает, что кварцевые элементы с металлической пленкой в случае слабой связи атомов металла с кристаллом могут обладать значительным старением и принципиально неустранимыми нерегулярными изменениями, вызываемыми миграцией атомов.
Металлическая пленка, нанесенная в виде кольцевого электрода, оказывает значительно меньшее влияние на старение по сравнению с полностью металлизированными кварцевыми элементами.
• Проведенные исследования показали, что старение высокостабильных генераторов с резонаторами, кварцевые элементы которых не имеют металлической пленки на центральной части, после семидневного включения составляет 3-10~10 за сутки.
В работе [Л. 4-50] приводятся результаты экспериментальных исследований по выяснению механизмов старения, связанных с изменением (уменьшением) напряжения на границе раздела кварц—ме-17—2584	2
таллическая пленка и изменением массы кварцевого элемента вследствие адсорбции и десорбции молекул газа внутри вакуумногб баллона резонатора. Действие этих двух механизмов направлено в противоположные стороны, и при удачной конструкции кварцевого резонатора можно добиться в значительной мере их взаимной компенсации. К исследуемому резонатору на частоту 5 Мгц, возбуждаемому на пятой гармонике, присоединяли ионно-геттерный вакуумный
Рис. 4-32. Влияние поверхностных напряжений, вызванных температурной обработкой, на частоту резонатора (f=5 Мгц, п= = 5), температура 70° С, вакуум 5 • 10"9 мм рт. ст.
1 — отжиг при 140° С в течение 24 ч\ 2 — отжиг при 150° С в течение 24 ч.
насос, который позволяет получить давление 1—5«10-9 мм рт. ст. Изменение частоты кварцевого резонатора определялось в течение 7 месяцев; резонатор был помещен в термостат, обеспечивающий постоянство температуры порядка ±0,01° С в интервале температур до 150° С. Обычно резонатор термосгатируется в точке нулевого температурного коэффициента частоты при +70° С. В течение первых 2,5 месяцев производилась температурная обработка резонатора 3 раза при 140° С и 2 раза при 150° С каждый раз по 24 ч при непрерывно действующем ионно-геттерном насосе, чем обеспечивалось исключение эффекта адсорбции удаленного с поверхности кварцевого элемента в процессе обработки газа. При анализе изменения часто гы резонатора после первого 24-часового отжига при 140° С обнаружилось изменение частоты на несколько единиц 10^7 вследствие старения и релаксации, для устранения которой требовалось 3 месяца. Повторная обработка при 140° С привела к незначительному повышению частоты, но в то же время вызвала релаксацию. Последующий отжиг при температуре 150° С вызвал дополнительный уход частоты порядка +1 • 10~7. Понижение температуры до 0°С в течение 24 ч вызвало изменение частоты противоположного знака.
258
Проведены также исследования влияния вакуумного отжига при температурах 140 и 300° С на период стабилизации частоты резонаторов при возбуждении кварца в перпендикулярном поле частотой 2,5 Мгц (пятая гармоника) и 5 Мгц (основная частота) при возбуждении в параллельном поле (рис. 4-33). Откачка воздуха производилась через штенгель, который отваривался в процессе отжига. Ока
залось, что период восстановления частоты после отжига при 30(Г С длится 14 дней; уход частоты в этот период был на порядок хуже, чем у обычных резонаторов.
Кривая старения резонатора частотой 5 Мгц, который возбуждается в параллельном поле (термическая обработка при ЗОСТ С), занимает среднее положение между двумя кривыми старения резонаторов на частоте 2,5 Мгц (рис. 4-34,а). Из измерений следует, что качество очистки в случае использования параллельного поля возбуждения на два порядка выше. Преимущества тщательной очистки резонатора сказываются на
Рис. 4-33. Влияние температурной обработки резонаторов частотой 2,5 Мгц (пятая гармоника) на старение.
/ — резонатор, отожженный в вакууме при ,300° С; 2 — то же при 140° С.
результатах старения; напряжения
на границе кварц — электрод по истечении некоторого времени становятся малыми, а основной причиной ухода частоты является изменение массы в кварцевом резонаторе. Доказательством могут служить данные о старении резонатора с параллельным полем возбуждения, приведенные на рис. 4-34,6. Уход частоты вследствие старения после месяца работы составляет 5-Ю-10 за месяц; стабильность
через два месяца достигла величины, которую ожидали получить лишь через несколько лет работы при постоянной температуре.
б)
Рис. 4-34. Старение резонатора частотой 5 Мгц с кварцевым элементом, возбуждаемым в параллельном поле.
а — резонатор отожжен в вакууме при 300® С; б — резонатор без отжига.
17*	259
В работе [Л. 4-50] описаны исследования некоторых процессов, определяющих старение прецизионных резонаторов. После прекращения колебаний частота резонатора невозвращается к первоначальному значению (±10 или более единиц 10-10). Температурные изменения влияют на упругие свойства и распределение массы резонатора. Эти эффекты зависят от времени, и частота оказывается функцией всей температурной и амплитудной предыстории резонаторов.
Для отделения влияния тепловых деформаций от влияния пере
носа массы были смонтированы
Рис. 4-35. Влияние взаимодействия окиси углерода с металлической пленкой, нанесенной на поверхность кварца, на старение.
а — резонатор с параллельным полем возбуждения; б — резонатор на основной частоте; в — резонатор ла высшей гармонике; 1 — введение окиси углерода при давлении 300 мм рт. ст. и откачка, 2 — нагревание в течение часа при туре 90° С.
на общей подставке три резонатора на частоту 5 Мгц различных типов: один возбуждался на пятой гармонике, два других — на основной частоте в перпендикулярном и параллельном поле.
Резонаторы помещались в специальную вакуумную установку, в которой можно получить давление 10-10 мм рт. ст. и температуру нагрева до 400° С. Температура в интервале от 30 до 100° С поддерживалась с точностью ±0,01° С. Измерение частоты проводилось до 200° С, причем точность измерения частоты с вставляла 1 • 10-10.
В установке имелась возможность вводить газы известного состава при определенном давлении, которые контролировались под вакуумным колпаком с помощью масс-спектрометра.
При введении газа, не реагирующего с поверхностью кварцевого элемента (инертные газы),
изменение частоты от давления (выше 300 мм рт. ст.) подчинялось классической теории: наблюдалось изменение частоты 13,5Х X 10_ 10/1 мм рт. ст., связанное с изменением упругого модуля. Ниже 300 мм рт. ст. наблюдались .отклонения от приведенного значения на несколько единиц 10-9, что объясняется соизмеримостью длины свободного пробега молекул газа с длиной волны вязкой диффузии. При давлении инертного газа на старение было пренебречь.
тсмпера-
ВЛИЯНИе МОЖНО
ниже 10-1 мм рт. ст меньше 1 • 10-10, и им
В качестве газа, активно взаимодействующего с золотой пленкой кварцевых элементов, применялась окись углерода. После получения старения в несколько единиц 10-10 в сутки (рис. 4-35) в камеру вводилась окись углерода (давление 5- 10 2 мм рт. ст.). При этом наблюдалось мгновенное понижение частоты. Затем в течение не
скольких дней давление окиси углерода было доведено до
300 мм рт. ст. и произведена откачка до высокого вакуума. После
260
периода стабилизации в течение 8 дней температура в термостате от рабочей +40° С была поднята до +90° С и выдерживалась в течение 1 ч.
На двух кварцевых элементах с золотыми электродами, покрывавшими активную часть, было адсорбировано 36 и 60 единиц 10-10 г/см2, что составляет ~0,1—0,2 толщины монослоя. Воздействие окиси углерода на кварцевый элемент со свободной от металлизации активной частью при возбуждении в параллельном поле много меньше, чем в том случае, когда металлическая пленка покрывает часть поверхности кристалла. Окись углерода уже при давлении (1—9) • 10-2 мм рт. ст. заметно влияет на частоту,’и следовательно, вносит заметную долю в старение резонатора.
Температурная обработка в вакууме в течение 24 ч не привела к изменению массы, т. е. окись углерода не удалялась. Наблюдавшееся понижение частоты и последующее восстановление ее у двух резонаторов с золотыми пленками в качестве электродов связано с деформациями от температурных воздействий и служит одним из аргументов в пользу выбора резонаторов без электродных покрытий в активной части кварцевого элемента.
Присутствие примесей в кварце может оказывать существенное влияние на кратковременную и долговременную стабильность резонаторов. Наличие в кварце ионов Na+, появляющихся в случае замещения кремния алюминием, приводит к большим акустическим потерям при высоких температурах. Влияние примесных ионов на кратковременную стабильность частоты сказывается .при температуре свыше 100° С после введения в кварц лития с помощью электродиффузии. Литий оказывает более сильное воздействие на частоту по сравнению с натрием и калием. Старение электролизного кварца мало отличается от старения неэлектролизного. Это объясняется возникновением деформаций в кварце в процессе охлаждения после электролиза при 500° С или возвращением ионов лития. По-видимому, после электролизной обработки следует производить тщательный отжиг кварца. Влияние радиации на старение резонатора зависит от содержания примесей в кварце: чем меньше содержание примесей, тем меньше воздействие радиации.
Наличие влажности резко сказывается на характере кривой старения. Так, если изменение частоты носило экспоненциальный характер и было положительным, то после воздействия .паров воды старение происходило по линейному закону с уменьшением частоты со скоростью 4-10-9/ч в течение недели, что было обусловлено адсорбцией молекул воды. Этот эффект исчезал после удаления паров воды путем прогрева до 58° С при давлении 14 мм рт. ст. Однако понижение давления без температурного прогрева не приводит к удалению влаги.
Кратковременная стабильность кварцевого резонатора зависит от наличия водорода в ^ем. При бомбардировке кварцевого элемента, возбуждаемого частотой 5 Мгц (пятая гармоника), диссоцированны-ми ионами водорода при давлении 10-4 мм рт. ст. ширина резонансной полосы, записанной на са-мописце, равна 12-Ю-10, спустя 30 дней ±6-10“10 при времени усреднения 2 сек. Отжиг кварцевого резонатора в вакууме при температуре 160° С в течение 24 ч привел к уменьшению ширины полосы до 10-10, что соответствует разрешающей способности радиоэлектронной аппаратуры.
261
Результаты исследования старения резонаторов на частоту 2,5 и 5 Мгц показали, что в течение первых 2—3 недель после начала работы резонатора уход частоты кварцевого генератора достигает
Рис. 4-36. Влияние выключения термостата на ход старения резонатора частотой 2,5 Мгц.
1 — выключение термостата; 2 — включение.
Рис. 4-37. Влияние прекращения колебаний резонатора частотой 2,5 Мгц на старение при включенном термостате.
/ — прекращение колебаний кварцевой пластины; 2 — выключение термостата на 7 дней; 3— возобновление колебаний кварцевой пластины; 4 — прекращение колебаний кварцевой пластины на 14 дней.
10-8. Если бы этот ход был экспоненциальным, то через 100 дней изменение частоты было бы очень малым. Однако после 2—3 недель изменение частоты составляет (3— 5) • 10~10 в месяц. На рис. 4-36 показано, как изменяется частота при отключении только термостата. Частота уменьшается, и в зависимости от времени выключения термостата необходимо 15—20 дней, чтобы она приблизилась к исходному значению на величину 10~9. Результаты исследований с отключением резонатора, находящегося при рабочей температуре. приведены на рис 4-37.
Изменение частоты после
отключения и последующего включения термостата или генератора связано с поглощением поверхностью кварцевой пластины определенного количества газа за то время, когда термостат или генератор выключен. Следует отметить, что уменьшение загрязнений внутри резонатора существенно сокращает период стабилизации, но при этом увеличивается средняя скорость уходов частоты после стабилизации. Если использовать геттер, позволяющий получить давление внутри резонатора ~10-6 мм рт. ст., то период стабилизации после того, как термостат был включен в течение семи дней, уменьшается до двух с половиной дней (рис. 4-38).
Изменения частоты после первого месяца работы становятся значительно меньшими и .могут быть обусловлены релаксацией напряжений, возникающих на границе раздела кварц — металлическая пленка, •релаксацией напряжений в системе крепления или дефектами в самом кварце.
262
Заметно влияют на старение резонатора система «креплений и электроды. Однако влияние крепления кварца и его электродов перекрывается, по-видимому, влиянием газовой среды. Соблюдение правил вакуумной гигиены позволяет добиться того, что уходы частоты, обусловленные загрязнением, становятся незначительными. Обычно кварцевые резонаторы имеют старение (3—5) • 10-10 за месяц после работы в течение трех месяцев.
Изменения в структуре кристалла. В работах [Л. 4-2, 4-4] получены высокие результаты по старению благодаря значительному уменьшению поверхностных и кой* тактных изменений. В этих работах кварцевые резона-
торы не подвергались воздействию, которое дало бы возможность уменьшить влияние структурных факторов на старение, если не учитывать того обстоятельства, что кварцевые резонаторы перед отпайкой их от высоковакуумной системы длительное время нахо
Рис. 4-38. Влияние прекращения колебаний резонатора частотой 2,5 Мгц и выключения термостата на старение (с геттером).
1 — генератор выключен и включен; 2 —термостат выключен и включен.
дились при температуре ~ 140° С. По-видимому, скорость релаксационного процесса в кварце при такой температуре мала, и вряд ли могут происхо-
дить существенные изме-
нения кристаллической решетки. Отметим, что поверхность кварцевых элементов, описанных в [Л. 4-2], обрабатывалась алмазным порошком со средним диаметром зерна порядка 15 мкм. Такая обработка приводит к до
статочно значительным нарушениям в поверхностном
слое.
Для уменьшения влияния структурных факторов на старение кварцевых резонаторов кристаллы подвергались температурной обработке в интервале от 20 до 500° С в высоком вакууме порядка 7—10~8 мм рт. ст. с последующим медленным охлаждением до комнатной температуры. Температура в кварце устанавливалась при введении в баллон, в котором находился кварцевый резонатор, теплообменного газа — гелия. Предварительно все элементы крепления кварца были подвергнуты многократной температурной обработке в высоком ва-
263
кууме до температуры ~500°С, чтобы исключить возможное влияние на необратимое изменение частоты резонатора в целом. Как известно, стекло может выделять частицы газа, поэтому проводилось его обезгажи-вание в высоком вакууме при температуре порядка 400° С.
Температурная обработка кварцевых линз на частоту 500 кгц привела к повышению частоты резонаторов А/=0,01—0,03 гц, или в относительных единицах (2— 6) • 10~8. Сравнение частоты осуществлялось с помощью эталона частоты. Изменение частоты кварцевых резонаторов не может быть объяснено влиянием изменения температуры в термостате [ТКЧ=(1—3) • 10~8 град~х в диапазоне температур от—7 до + 44°С; стабилизация температуры в термостате, в котором находился баллон, соединенный с вакуумной установкой, ±0,1°]. Не может быть оно объяснено также влиянием емкости зазора, о чем свидетельствует следующий расчет. Известно, что частота кварцевого резонатора с зазором fn равна:
<4-931
где f — частота кварцевого элемента с электродами, зазор между которыми равен нулю; С! — динамическая емкость; Со — статическая емкость; Сзаз — емкость зазора.
При изменении температуры на 1°С относительное изменение частоты кварцевого резонатора вследствие изменения емкости зазора составляет весьма малую величину:
# = ,г ЛУ ч-Ю"11»	(4-94)
f 16тш2 (С0+Сзаз)	’	V '
где 8 — диэлектрическая проницаемость кварца;
S — площадь электродов;
а — коэффициент теплового расширения;
а — расстояние от электрода до поверхности кристалла.
Эффект необратимого изменения частоты кварцевых резонаторов при длительном воздействии температуры, вероятно, можно объяснить структурными изменениями в кварце. Сравнение минимальной энергии сдвигообра-зрвания с тепловой показывает, что для того, чтобы произошли структурные изменения в кристалле, необхо-264
димо нагреть его до температуры порядка 500° С. Экспериментальные результаты находятся в согласии с данными теории. Выше уже отмечалось, что электронномикроскопический анализ обнаружил на поверхности кварцевых брусков, обработанных при температуре ~ 500° С, макротрещины порядка 1 мкм. поэтому в дальнейших исследованиях кристаллы кварца длительное время подвергались термообработке при температуре до 350° С.
Нами были рассмотрены механизмы старения, обусловленные диффузией частиц, в частности диффузией примесных ионов Na и Li в структурных каналах, с выходом их на поверхность кристалла.
Частота колебаний кварцевого элемента изменяется в результате изменения массы кристалла при удалении примесных ионов с помощью электроочистки [Л. 4-52]. Известно, что примесные ионы заполняют структурные каналы с расстояниями 103 А между ионами. Зная распределение ионов, можно подсчитать количество протекающего электричества, а следовательно, и изменение массы бруска. Пусть площадь грани бруска составляет 4,22 • 1016 А, число структурных каналов —1,05 • 1014, число ионов в канале —7,74 • 104. Предположим, что число ионов Na и Li одинаково. Тогда масса удаленных ионов Дт=1,92*10~4 гр. Так как изменение частоты обусловлено только изменением массы, то
4^21=10-f т
Количество протекшего электричества можно определить, интегрируя экспериментальные кривые тока: Q = %
= J/dx. Этот интеграл численно равен площади, ограни-о
ченной кривой тока и осью времени: Q = 1,05 • 10-2 к. Подсчитав число носителей тока, находим, что изменение массы Лшэксп = 1,6 • 10-7, или Af/f=10~8. По-видимому, старение кварцевых брусков, подвергнутых электроочистке, должно быть меньше, так как исключается изменение частоты вследствие диффузии примесных ионов, обусловленной градиентом концентрации, на поверхность кристалла.
265
Рассмотренный механизм старения наряду с механизмом, обусловленным релаксацией напряжений кристаллической решетки, оказывает значительное влияние на необратимое изменение частоты кварца даже при комнатных температурах1.
Если концентрация вакансий превышает равновесную, то происходит их коагуляция с образованием микротрещин. Согласно Я. И. Френкелю равновесная концентрация вакансий определяется формулой
=	(4-96)
где N'—число вакансий; N— общее число атомов; и — энергия образования вакансий.
Вследствие предыстории кварца истинная концентрация вакансий может превышать равновесную. Число вакансий может уменьшаться, например, в результате установления состояния термодинамического равновесия путем выхода на поверхность кристалла избыточных вакансий, и при этом будет уменьшаться объем кристалла. При изменении объема ДУ вследствие выхода на поверхность кристалла избыточных вакансий частота кварца изменится на Д/:
ДУ N' f V
При температуре Т = 311°К и энергии образования вакансий и=0,66 эв (определена из измерений высокотемпературного внутреннего трения) относительное изменение частоты, обусловленное выходом избыточных вакансий на поверхность кристалла, составляет Д/7/«10“12. Отсюда видно, что величина энергии образования вакансий оказывает достаточно сильное влияние на оценку необратимого относительного изменения частоты кварца.
Механизмы старения, рассмотренные ранее, приводят к увеличению частоты во времени, а вакансионный механизм— к ее уменьшению. Поэтому вакансионный механизм может конкурировать с основными механизмами старения, обусловливающими увеличение частоты во времени.
1 Оценка влияния диффузионных механизмов старения, предложенных А. Г. Смагиным, проведена О. Ш. Гройсом [Л. 4-53].
266
Как можно показать, диффузионный механизм необратимого изменения частоты обусловлен не только изменением плотности, но и изменением модулей упругости и геометрических размеров 'кварца. Производя соответствующие преобразования в формуле для собственной частоты кварца, получаем:
f ± VrcV.
(4-98)
При изменении модуля упругости и геометрических размеров
Д/ Дс । ДУ f с~* V •
(4-99)
Не приводя математических расчетов, отметим, что в результате изменения плотности и упругих свойств кристалла при выходе избыточных вакансий на его поверхность необратимое изменение частоты имеет положительную величину порядка 10~12, что совпадает с экспериментальными результатами для наиболее высокостабильных кварцевых резонаторов.
В процессе установления термодинамического равновесия в кварце вакансии, или, как их называют, дырки, перемещаясь в кристаллической решетке, могут подойти друг к другу и слиться, образуя дырку двойных размеров, к которой может присоединиться третья дырка и т. д. Так происходит коагуляция дырок при соединении их, если они выходят на поверхность кристалла (внешние стоки), или при возникновении в кристалле небольших полостей — микротрещин (внутренние стоки). Заметим, что коагуляция может приводить к «самозалечи-ванию» микротрещин в кристалле в процессе диффузии.
Пересыщение кристаллической решетки вакансиями может быть вызвано не только механической обработкой поверхности кристалла, но и таким постоянно действующим фактором, как «генерирование» избыточных вакансий сверх их равновесной концентрации. Как известно, приложение к кристаллу механического напряжения приводит к перемещению дислокаций. При пересечении дислокаций на них образуются «ступеньки», которые на движущихся дислокациях оставляют за собой «следы» в ваде цепочек вакансий и междоузленных атомов. При этом некоторое количество вакансий диффундирует в.кристалл, увеличивая число избыточных вакансий.
267
Тепловое движение в кристаллах не сводится к малым колебаниям атомов относительно положений равновесия, а представляет собой совокупность колебаний с последовательным рядом элементарных перемещений положений равновесия по узлам решетки (из занятого в соседний вакантный) в случае движения дырок, или по междоузлиям в случае дислоцированных атомов. В результате вакансии и атомы перемещаются по всему кристаллу, непрерывно перемешиваясь, т. е. имеет место процесс самодиффузии.
Передвигаясь по узлам кристаллической решетки, вакансия «встречается» с вакансией или атомом. Под «встречей» понимается расположение двух вакансий и атома в соседних узлах решетки. Если вакансия «встречается» с вакансией, то они сливаются, образуя «микротрещину» соответствующих размеров. Исследованиями [Л. 4-54] доказано, что при высоких температурах образование или самозалечивание микротрещин может протекать, когда концентрация вакансий достаточно велика. Если вакансия «встречается» с атомом, то создается возможность для перехода его в вакантный узел, что равносильно перемещению вакансии на величину межатомного расстояния в кристаллической решетке.
Для 1процесса выхода вакансий на поверхность кристалла важны только «встречи» вакансий с атомами. Отношение вероятностей «встречи» вакансия—вакансия р' и вакансия — атом р пропорционально отношению числа вакансий в кристалле N' и полного числа атомов N, т. е	, Mr
£-	К)-12.
р N
Вследствие такой концентрации избыточных вакансий при температуре 311° К процесс выхода на поверхность кристалла является более вероятным по сравнению с образованием микротрещин.
Средняя скорость движения атомов по кристаллу [Л. 4-55]
-~Гт	(4-100)
w — ve ' ,
где и — энергия активации самодиффузии (rz~l,2 эв); v — средняя скорость колебательного движения атомов; (v —	~ 105 см-секг1 У» m — масса атома.
\ f гп	/
268
Ткак как средняя скорость, с которой данный атом молЦт перемещаться в кристалле от узла к узлу путем заполнения близлежащей дырки,
w = -^-=bSNrw',
(w'— средняя скорость движения вакансии к поверхности; S — площадь поверхности кристалла; S — толщина слоя), то, имея в виду, что ~ <53 = 1/7VZ, будем иметь для вакансионного механизма самодиффузии отношение
w ___N'
wr N *
Подставляя в (4-100), получаем:
_________________ [и1	__ и_ . N _ kT V
(4-101)
При комнатных температурах средняя скорость движения вакансии о/^10“5 см •сек-1.
При условии равномерной диффузии вакансий по всем направлениям их число, приходящееся на единицу поверхности в единицу времени, равно:
w=nw,
где п' — число вакансий в единице объема.
Зная, что число атомов в единице объема N~V~1 или N—a~3 (V — объем элементарной ячейки; а — постоянная 'кристаллической решетки), а~5-10“8 см, N^\W2 см~3, n'-lO11 см~3, определим w~106 см •сек-1.
В кварцевых брусках общая площадь поверхности кристалла составляет ~20 см2, и число вакансий, проходящих через эту поверхность в единицу времени, wS^2>107. Избыточная концентрация вакансий в объеме кристалла п^1012. Время установления равновесной концентрации вакансий путем их выхода на поверхность кварца можно вычислить из соотношения
wS'
После подстановки численных величин в это выражение определим /^4-Ю4 сек.
269
Как известно, старение наиболее высокостабильйых резонаторов имеет величину порядка 3-10~12 за сутки, т. е. за 8,6-4-104 сек, (см. рис. 4-30). Таким образом, наблюдаемое необратимое изменение частоты находится в согласии по «порядку величины с теоретическим значением. По-видимому, диффузионные механизмы вносят вклад в старение кварцевых резонаторов, определяемых двенадцатым знаком после запятой.
Контактные изменения. Полученные данные позволяют высказать предположение, что основной причиной старения кварцевых резонаторов являются контактные изменения.
В работе [4-19] указывалось на постепенное уменьшение частоты кварцевого бруска, когда последний взаимодействовал с поверхностью сплава из олова и свинца; в данном случае возникает эффект притирания поверхностей. Притирание поверхностей твердых тел может быть исключено, если использовать в качестве элементов крепления кварца такие твердые материалы, как тантал, сталь, плавленый кварц и т. д., подвергнутые обработке асимптотическими методами и травлению.
Влияние на старение миграции частиц кварца на стенки «вакуумного баллона можно исключить тщательной механической обработкой, травлением, промыванием в рафинированном спирте кристалла и обезгаживанием стекла, из которого изготавливается вакуумный баллон. Большую роль при этом играет соблюдение требований вакуумной гигиены.
Немаловажное значение имеет изменение давления внутри вакуумного баллона, в котором находится кварцевый резонатор. Давление внутри вакуумного баллона должно быть не более 10~4 мм рт. ст. и поддерживаться постоянным в течение всего срока работы кварцевого резонатора. Эти выводы следуют из результатов экспериментов, которые показали, что перед отпайкой баллона (с находящимся в нем резонатором) от вакуумной системы давление составляло 7-10~8 мм рт. ст.; после отпайки 5-10~6 мм рт. ст. В течение двух недель давление достигло величины 1 • 10~4 мм рт. ст. Систематические измерения давления внутри вакуумного баллона, в котором находился резонатор с кварцевым бруском, на протяжении почти года показали, что далее давление оставалось неизменным.
270
В последнее время для сохранения достаточно высо-кого\вакуума применяются бариевые геттеры, с помощью которых давление в вакуумном баллоне устанавливается порядка 10~6—10~7 мм рт. ст.
Механическая обработка кварца описанными [Л. 4-3] методами в значительной степени уменьшает старение, вызываемое поверхностными, структурными и контактными изменениями. Величина систематического ухода частоты прецизионных резонаторов, кварцевые бруски которых не подвергались воздействию температуры ~350°С, а нити для крепления кристалла подвергались предварительному старению, имеет порядок 10-11 за сутки [Л. 4-4]. Сравнение частоты кварцевых генераторов Мп и М12 производилось с частотой молекулярного генератора МГ4, причем на рис. 4-31,а достаточно отчетливо видно (изменение частоты МГ4 на протяжении месяца (пунктирные кривые — систематический уход во времени кварцевых генераторов, если бы не произошли изменения частоты молекулярного генератора). Естественно, что при анализе старения кварцевых генераторов это обстоятельство должно учитываться. Из рисунка также видно, что на одном из участков кривой старения кварцевого генератора Мп в течение более десяти суток необратимое изменение частоты составляло менее 10~n за сутки при сличении с частотой молекулярного генератора.
Как известно, кривая старения кварцевых резонаторов состоит из двух участков: 1) «выбег», который наблюдается на протяжении нескольких недель или месяцев; скорость изменения частоты в функции времени достаточно велика и имеет порядок 10~7—10~8 в месяц; 2) собственно старение; скорость старения мала и имеет порядок 10~9 в месяц.
Изучение старения кварцевых часов показало, что необратимое изменение частоты составило 10~9 в месяц, что соответствует изменению суточного хода на 0,00000288 сек [Л. 4-57]. Рассматривалось старение пяти резонаторов. В случае старения двух кварцевых резонаторов «выбега» не наблюдалось, в случае старения других трех он был мал и после 6 месяцев уменьшился на столько, что отмечалось лишь собственно старение, ве-личина которого составляла менее Ю-9 в месяц [Л. 4-2].
Как видно из рис. 4-31, «выбег» при старении кварцевых резонаторов не наблюдается.
271
Уменьшение старения при низких температурах. При понижении температуры среды, в которой находится кварцевый резонатор, скорость процессов, обусловливающих поверхностные, структурные и контактные необратимые изменения е кристалле и связанном с резонатором устройстве, значительно снижается. Скорость необратимого изменения частоты резонаторов, используемых в высокостабильных генераторах эталона частоты Британского почтового ведомства [Л. 4-56], за одинаковое время измерений при температуре —10° С составляет менее 0,2 от скорости при температуре +50° С. При помещении кварцевого резонатора в сосуд Дьюара с жидким азотом, температура которого 77° К, старение уменьшается до величины ~ 10~10. Изменение частоты кварцевых резонаторов за 40 лет при 77° К будет меньше, чем изменение частоты за 0,1 сек при +50° С.
Измерение старения кварцевого резонатора частотой 2,5 Мгц при температуре жидкого гелия проводилось после того, как резонатор проработал в гелиевом сосуде Дьюара в течение нескольких месяцев. Старение резонатора при 4,2° К составило 10~10 и менее за месяц.
Старение кварцевых резонаторов, описанных в [Л. 4-4], при температуре 4,2° К имеет величину 10~12.
Весьма малая скорость необратимых изменений частоты у -кварцевых резонаторов при низких и сверхнизких температурах может быть объяснена следующим образом. Согласно теореме Нернста при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, энтропия также стремится к нулю. При этом функциональные зависимости, связанные с температурой, асимптотически приближаются к постоянному значению. Поэтому при Т—>0° К, S—>0 физические процессы, которые являются причинами старения кварцевых резонаторов, стремятся к стационарному состоянию.
Есть основания полагать, что при низких и сверхнизких температурах возможно создание устройств с прецизионными кварцевыми резонаторами со старением порядка 10~13—10-14 за сутки.
4-10. Влияние амплитуды колебаний резонатора на стабильность генерируемой частоты
Изменение параметров и характеристик резонатора в зависимости от уровня возбуждения. Кварцевый резонатор как колебательная система характеризуется уров-272
нем ^возбуждения или амплитудой колебаний пьезоэлектрического кристалла. Из экспериментальных данных следует, что эквивалентные параметры и характеристики колебательной системы (резонансная частота, эквивалентное сопротивление, спектральная характеристика, старение) зависят от ее амплитуды., Таким образом, существует связь между уровнем возбуждения и основными параметрами кварп^ого резонатора.
Уровень возбуждения кварцевого резонатора выражается в единицах мощности тока или напряжения. В случае верхнего предела, ограничивающего уровень возбуждения, наступает разрушение резонатора. Ток не должен превышать 20 ма!см2 при колебаниях по толщине и 10 ма/см2 при колебаниях по длине. Максимально допустимый ток определяется наибольшей деформацией, которую кристалл может выдержать без разрушения, причем величина этой деформации зависит от типа колебаний. Взаимодействие различных типов колебаний и паразитных колебаний*' а' также дефекты в кристалле и ^дополнительные напряжеция ’от. монтажа могут вы-Звать^местпые'напр'яжения, достаточные, чтобы привести к разрушению кварца при токах, значительно меньших предельных.
В материалах Международной электротехнической комиссии приводятся рекомендации, по которым номинальные уровни возбуждения кварцевых резонаторов не должны превышать несколько милливатт. Превышение номинальных значений уровня возбуждения не всегда приводит к разрушению кварцевых элементов. Однако при больших уровнях не удается получить удовлетворительную стабильность частоты. Для получения минимального относительного ухода частоты (менее 1 • 10“9), вызванного изменением амплитуды, необходимо номинальный уровень возбуждения выбирать в интервале 50—150 мка. Результаты измерения токовых характеристик резонаторов ВТ-среза показывают, что в противоположность ЛТ-срезу увеличение тока приводит к уменьшению частоты. В резонаторах ВТ-среза при возбуждающем токе 60 мка для обеспечения нестабильности 1 • 10“10 степень регулирования тока должна быть ±10 дб.
При изменении уровня возбуждения меняется частота последовательного резонанса кварцевого резонатора. Одной из возможных причин изменения частоты резона-18—2584	273
тора является перегрев кварца, который увеличивается по мере роста уровня возбуждения. Температура /квао-цевого элемента в установившемся режиме определяется подаваемой на резонатор мощностью и количеством теряемого кристаллом тепла. Отвод тепла от кварцевого элемента осуществляется благодаря теплопроводности остаточных газов в баллоне, теплопроводности выводов кварцедержателя и путем теплового^ излучения. УчеКпо^ терь тепла позвбЛяе’Грассчитать нагрев кварцевого элемента под действием рассеиваемой мощности, который приводит «к изменению частоты резонатора. Возбуждение колебаний на еще более высоком уровне может вызвать такое увеличение температуры, что рабочая частота выйдет за пределы установленных допусков.
Кроме того, при больших уровнях возбуждения наблюдается непрерывное изменение частоты, которое вызывается различными причинами, например постоянным изменением структуры кристаллической решетки кварца в результате больших механических деформаций, генерированием дислокаций, изменением жесткости системы крепления и повреждением поверхности вследствие больших ускорений, испытываемых кварцем или отдельными участками электрода.
Однако одним только повышением температуры кварца нельзя объяснить изменение частоты при увеличении мощности, рассеиваемой на эквивалентном сопротивлении резонатора. Так, например, наблюдаемые изменения частоты не всегда зависят от значения ТКЧ кварцевого резонатора. По-разному ведут себя при перегрузках пьезоэлементы различных срезов. При малых рассеиваемых мощностях изменение частоты не зависит от ТКЧ кварцевых резонаторов и может быть объяснено неравномерностью нагрева кварцевого элемента. Поскольку в центральной части пластины выделяется больше тепла, чем по краям, создается температурный градиент. Центральная часть кварцевого элемента расширяется и оказывается как бы сжатой кольцом более холодной области, вследствие чего изменяется модуль упругости, а следовательно, и частота резонатора.
Зависимость частоты от уровня возбуждения при малых мощностях, по-видимому, не связана с рассеиванием тепла. Подтверждением этому служит то, что изменение частоты при изменении уровня мощности иосит почти мгновенный характер.
274
Уровень возбуждения оказывает существенное влияние на величину эквивалентного сопротивления кварцевого резонатора и характер зависимости эквивалентного сопротивления от температуры.
При возрастании уровня возбуждения связь основного колебания сдвига по толщине с побочны м,ш_р£зо-нансами. резко увеличивается^ Основную роль в данном _ случае играют не ангармонические обертоны колебаний сдвига по толщине, обусловливающие появление пара-^» зитных колебании в фильтрах, а связанные колебания, ) возникающие в пластине под воздействие м~продольных колебаний сжатия — растяжения и изгибу При измене- -нии окружающей температуры частота некоторых из видов паразитных резонансов может значительно приблизиться к основному резонансу, что приведет к изменению частоты и сопротивления основного резонанса кварцевого резонатора.
При большой интенсивности паразитных колебаний наблюдается резкое изменение интенсивности основного резонанса, вследствие чего резонатор при определенных температурах перестает работать. Иногда в резонаторах, имеющих оптимальную геометрию кварца и крепления, незначительные изменения сопротивления и частоты при изменении температуры могут быть обусловлены наличием нескольких слабо взаимодействующих видов колебаний.
Наличие таких видов колебаний обусловливает высокую чувствительность кварцевого резонатора к воздействию ударов и вибраций.
Теплопроводность и изменение мощности нагрева резонатора. При использовании кварцевых резонаторов в различных схемах генераторов большое влияние на частоту может оказать поле, возбуждающее пьезоэлектрический кристалл. При колебаниях резонатора через него протекает пьезоэлектрический ток, который может служить критерием этого дестабилизирующего фактора. В результате прохождения пьезотока кристалл кварца нагревается, что приводит к изменению собственной частоты резонатора.
Резонатор нагревается (или охлаждается синхронно с работой термостата и системы авторегулирования; естественно, необходимо учитывать запаздывание) до температуры, соответствующей тепловому равновесию, при котором количество тепла, выделяемого в кристал-18*	275
ле, равно количеству тепла, отводимого от него. При подводе и отводе тепла существенную роль играют теплопроводность воздушной среды внутри баллона, в который заключен кварцевый резонатор, теплопроводность ^выводов от кристаллодержателя через баллон -и тепловое излучение. Поскольку обычно кварцевый резонатор помещают в вакуумный баллон, давление в котором порядка 10"4—10~5 мм рт. ст., теплопроводностью воздушной среды внутри баллона можно пренебречь и учитывать только теплопроводность выводов от кристаллодер-
L ж а тел я и тепловое, йзлучёниёГ “
В резонаторах, кварцевые элементы которых находятся в контакте с элементами опор кристаллодержателя (иногда площади соприкосновения достаточно велики), процессами установления теплового равновесия за счет теплового излучения можно также пренебречь.
— Рассмотрим изменение частоты кварцевого резонатора, обусловливаемое установлением теплового равновесия в кристалле путем теплопередачи через выводы кристаллодержателя. Нагрев кристалла в результате /протекания через эквивалентное активное сопротивление пьезотока приводит к рассеянию мощности внутри последнего, а следовательно, и к изменению частоты колебаний. Рассеивание мощности в кварце при протекании пьезотока нельзя полностью устранить термостати-рованием вследствие недостаточной тепловой связи кварца, находящегося в вакуумном баллоне, с термостатом.
В работе (Л. 4-58] приведена оценка изменения частоты, обусловленного вариациями мощности, рассеиваемой в резонаторе. Если разность температур резонатора .и окружающей среды мала, то энергия Q(t), рассеиваемая на кварце, будет равна:
J0
Q(O = wc-^-+Jfe0,	(4-102)
где пг — масса кварцевого резонатора;
с — удельная теплоемкость;
0 — разность температур;
k — коэффициент теплоотдачи.
; Оказалось, что время установления температуры кварца r=mclk ; имеет величину порядка нескольких минут и Д—ДО-2 вт!град.
, Из (4-102) получаем: ' *------‘
Q = U2 Л1-; • 7—-------у------7—Г,	(4-103)
2Lj©2 / со2 —(Oq	\
\ Й5 L|<02 /
276
где V — амплитуда напряжений на кварце;
L\, R\ — эквивалентные индуктивность и сопротивлений;
о>о — частота последовательного резонанса;
со — частота параллельного резонанса, практически совпадающая с частотой автоколебаний.
Из (4-102) и (4-103) получаем:
RtU6U
60 =-------
kL2<&

Зная, что обычно температурный коэффициент частоты кварцевого резонатора а/« 10~6-4-10-7, получаем:
Дсо ----10-10 + 10-11. (О
При а/~ 10-9-^ 10-10 относительное изменение частоты резонатора составляет 10-13—10~14.
Установление теплового стационарного состояния в резонаторе. Рассмотрим механизм установления теплового равновесия в кристалле, обусловливающий изменение частоты колебаний резонатора [Л. 4-59]. Если вакуумированный кварцевый резонатор находится в термостате и температура кристалла, через эквивалентное активное сопротивление которого протекает пьезоэлектрический ток амплитуды /о, равна температуре термостата, то при изменении амплитуды тока на Д/о в кварце выделится определенное количество тепловой энергии, которое приведет к изменению температуры кристалла. При этом температура кристалла будет изменяться до тех пор, пока не установится новое равновесное состояние. В случае кварцевого бруска, закрепленного с помощью шелковых нитей и находящегося в высоком вакууме, процессами теплопроводности можно пренебречь и считать, что равновесное тепловое состояние поддерживается только путем излучения.
Пусть пьезоток, протекающий через кристалл, увеличится до амплитуды /=/о-ЬД/о, температура кристалла повысится, и он будет излучать тепловую энергию, превышающую ту, которую он излучал при амплитуде /о- Согласно закону Стефана — Больцмана тепловая энергия, излучаемая кристаллом с поверхности S за единицу времени при токе амплитуды /0, равна:
где k — коэффициент, зависящий от природы тела, состояния его поверхности, температуры и т. п.; о — постоянная Стефана — Больцмана; То — абсолютная температура.
Энергия, поглощаемая кристаллом за единицу времени,
Е. = Е^ + Е^,
где Е^ — энергия, поглощаемая из окружающей среды; Е^ — энергия, выделяющаяся при протекании через кристалл тока
42) = 7о^/2-
277
При пьезоэлектрическом токе амплитуды /о4-А/о кристалл ИЗЛу-4ает с поверхности 5 за единицу времени тепловую энергию
?о+= (Го + ДГ0)4.
Если температура термостата не изменяется, то поглощаемая энергия равна:
Е.+Д£. = £<’> +(Е<2) +
Для теплового равновесия необходимо, чтобы Д£о = Д£о, т. с.
(Ео + ДЕ0) - Е. = Go + Д$о) - .
Так как то
4- (/.+д/.)2 я. - 4 =kas (r«+лг»)4 - k°sTb
В первом приближении формулу, связывающую изменение температуры кристалла с изменением пьезоэлектрического тока, можно записать в виде
д то =	о >
где д=А/о//о.
Рис. 4-39. Зависимость относительного ратуры.
а — в интервале 1—100° К; б — в
изменения частоты от темпе-интервале 100—800° К.
Рассчитаем, как влияет пьезоэлектрический ток на частоту кварцевых брусков, используемых в генераторах эталона частоты. Если кварцевым элементом является пьезоэлектрический кристалл в форме бруска при Т=310°К, /?1 = 103 ом, S«10 см2, /о=100 мка, 278
= О,О1/о, £=0,9, то изменение температуры ДТо~1О“5. При температурном коэффициенте частоты порядка 10~9— Ю~10 град~1 относительное изменение частоты Асо/<£> ~ 10~14ч-10-15, т. е. ширина спектральной линии, обусловленная тепловым излучением в кварце, на несколько порядков больше естественной ширины спектральной линии.
Зависимость относительного изменения частоты от температуры для кварцевого резонатора с указанными параметрами приведена на рис. 4-39.
Влияние ангармонизма на собственную частоту кварца. Изменение частоты с увеличением амплитуды механических колебаний системы может объясняться отступлением от закона Гука, т. е. появлением нелинейной связи между напряжением и деформацией. Иными словами, упругая постоянная, которая входит в формулу, определяющую собственную частоту твердого тела, будет зависеть от амплитуды колебаний.
Причинами -изменения частоты являются влияние^ ангармонических колебаний кристаллической решетки и действие дислокационного механизма Франка-Рида... Вследствие того, что механическое колебание кварцевого элемента на резонансной частоте представляет собой одно из возможных нормальных колебаний связанной системы кристаллической решетки, его частота является частотой колебаний отдельных ионов решетки.
Нелинейность закона Гука связана с ангармонизмом колебаний отдельных ионов (атомов) в кристаллической решетке. Силы взаимодействия в решетке с возрастанием амплитуды перестают быть упругими и при определенных условиях зависят от квадрата амплитуды колебаний. Поэтому во втором приближении сила взаимодействия
F= —аЛ + рЛ2,	(4-105)
где а—коэффициент пропорциональности (а=1,5 • 104);
Р — коэффициент ангармоничности, характеризующий отклонение от закона упругого взаимодействия (Р = 1,9* 1012);
А — амплитуда колебаний.
При малых амплитудах колебаний достаточно взять первое приближение в разложении силы взаимодействия, и тогда закон Гука выполняется: гц = СцыЬъ где сцм — тензор упругости. Но кварцевые элементы различных частот колеблются с различными амплитудами, которые могут достигать весьма больших значений, приближающихся иногда к значениям, при которых проис
279
ходит разрыв твердого тела. В связи с этим возникает вопрос о критерии малости амплитуды колебаний на соответствующих частотах и условиях, при которых он выполняется.
Уравнения движения колебательной системы являются линейными, если функция Лагранжа раскладывается по координатам и Скоростям до членов второго порядка. Учет следующих' п^йЙЛИжений в разложении функции Лагранжа, например членов третьего порядка, позволяет описывать новые особенности в поведении колебательной системы, например ангармонические колебания.
При ангармонических колебаниях системы с одной степенью свободы функция Лагранжа
2
£ = ^1—^1 х2 — ^-х3 — Дх4, (4-106)
где т— масса системы; х — координата; х — скорость колебаний.
Нелинейное уравнение движения колебательной системы, соответствующее (4-106), имеет вид:
о2
х	«Лк = — ах2 -рР-*3.	(4-107)
Пользуясь методом последовательных приближений, можно найти решение уравнения (4-107) х=х^+х№+ +х(3)+..., и (o=coo+'(o(1) + g)(2)4- ... При этом оказывается, что первая неисчезающая поправка к основной частоте пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, т. е.
<»(») = /Д-|—А2.	(4-108)
1 12<о® ]	V ’
Собственная частота колебаний, например, кварцевого бруска <»0 =2к/= 6,28-10s гц, поэтому 5а2/12<в’^ 10“’, и, пренебрегая вторым членом в формуле (4-108), получаем
;	<»<2) = ДА2.	(4-109)
ott>0	v
Выясним, справедливо ли пренебрежение вторым членом в (4-140) для всего диапазона частот, в котором используются кварцевые резонаторы. Если ©о— ~100Л4ац и более, то 5а2/12©3 «10~18 и менее; если 280
(Do—1 000 гц, то 5а2/12<»о ^10“4. Таким образом, выра-> жение (4-140) может использоваться для всего диапазона частот.
. Для кварцевого бруска частотой 100 кгц формула (4-109) принимает вид:
сос2)^ 106 Да
(4-110) <00 <оо	v 7
При амплитудах меканцческих колебаний кварца по-рядка 10-8 см а'нгармонизм проявляется в достаточно далекой области cd(2,/cdo— 1О~16. Поэтому нельзя считать правильными нередко высказываемые утверждения о том, что в кварцевых резонаторах, которые используются в современных эталонах частоты, имеет место так называемый анизохронизм (по аналогии с астрономическими часами).	*
Прецизионные кварцевые резонаторы представляют ' собой гармоническую колебательную систему, и изменения амплитуды колебаний^не влияют на их частоту.
Из выражения (4-110) следует, что нелинейность функции о>(2)/соо=ФИ) проявляется у колебательных систем, собственная частота которых порядка 103 гц при амплитудах колебаний порядка 10“5—10~6 см. Например, нелинейные явления должны особенно сильно сказываться на поведении такой колебательной системы, как кварцевый камертон (со(2)/соо— Ю“5—10-7).
Изложенное представление о влиянии энгармонизма на собственную частоту справедливо по отношению к любым колебательным системам (пьезоэлектрическим, магнитострикционным, механическим и т. п.).	/
Другой причиной несоблюдения закона Гука является дислокационный механизм, в основе которого лежит образование и развитие нестабильных петель дислокации. Этот незатухающий источник дислокации представляет собой своеобразный генератор, который непрерывно производит замкнутые дислокационные петли, развивающиеся и проходящие через плоскость скольжения или взаимодействующие с другими дислокациями.
При достижении определенной величины напряжения оКр, соответствующей определенной величине деформации, возникают нестабильные дислокационные петли, для перемещения которых по всему кристаллу, т. е. для его деформирования, требуется меньшее напряжение. Поэтому имеет место изменение упругой постоянной, асле-281
Довательно, и собственной частоты кварцевого элемента.
Зависимость эквивалентных параметров от амплитуды колебаний. При уменьшении уровня возбуждения уменьшается рассеивание энергии на эквивалентном активном сопротивлении резонатора и повышается стабильность кварцевого генератора. Однако в некоторых случаях, например при увеличении отношения сигнала к шуму, необходимо повышать уровень возбуждения резонатора. При этом эквивалентные параметры могут значительно ухудшаться.	—
При выборе оптимального режима работы радиотехнической и электронной аппаратуры надо прежде 'всего знать, как будет вести себя кварцевый резонатор при изменении амплитуды колебаний.Подчеркнем, что рассматриваемый вопрос представляет значительный интерес не только в связи с применением резонаторов, но и с точки зрения исследования явлений, происходящих в кварцевом резонаторе как колебательной системе. Природа протекающих при этом процессов весьма сложна, но знание ее необходимо для решения ряда вопросов, связанных с созданием высокодобротных и высокостабильных кварцевых резонаторов.
Проведены исследования зависимости частоты, добротности, эквивалентного сопротивления и индуктивности прецизионных кварцевых резонаторов, возбуждаемых на частотах 1 и 5 Мгц, от величины пьезоэлектрического тока, пропорционального амплитуде механических колебаний. Измерения проводились при фиксированных температурах и меняющемся уровне возбуждения. На частоте последовательного резонанса, устанавливаемой с точностью ±5 • 10-9, проводились измерения активного эквивалентного сопротивления 7?i и индуктивности Li, по которым производился расчет добротности. Эквивалентное сопротивление измерялось с точностью ± (О,О27?1+0,15) ом.
Оказалось, что эквивалентная индуктивность в пре-делах погрешности измерений, как и следовало ожидать, не зависит от температуры и от рассеивания энергии.	~	~------:----- • -
Зависимость эквивалентного сопротивления от пьезо-элекрического тока исследовалась для резонаторов* на частоту 1 Мгц с кварцевыми элементами в форме двояковыпуклых линз (радиусы кривизны 80, 130 и 150 мм, диаметры—14, 24 и 25,4 мм). Резонаторы возбужда-282
лись на основной частоте и при токах менее 1 ма имели малое сопротивление 3—35 ом (индуктивность 1,7— 3,5 гн).
С увеличением тока до 30 ма эквивалентное сопротивление резонаторов значительно возрастает. Наиболее резкое повышение Ri наблюдается у низкоомных резонаторов с наименьшей индуктивностью.
Исследование зависимости Ri = ty(I) проводилось также для резонаторов с кварцевыми элементами в виде двояковыпуклой линзы с радиусом кривизны 50 мм и диаметром 7 мм, которая возбуждалась на основной частоте, и плоско-выпуклой линзы (радиусы кривизны 60; 50 и 200 мм и диаметры 15; 12,5 и 25 мм), которая возбуждалась на пятой гармонике. Если у кварцевых резонаторов на частоту 1 Мгц максимальная скорость увеличения Ri при изменении пьезоэлектрического тока составляет 10 ом!ма, то для резонаторов на частоте 5 Мгц она достигает 40—60 ом/ма, а для отдельных резонаторов, особенно низкоомных, — до 100 ом/ма (рис. 4-40).
Опыты показали, что эквивалентное активное сопротивление резонаторов обычно изменяется при изменении температуры (при фиксированном значении пьезоэлектрического тока). Причина этого заключается, по-видимому, в изменении взаимосвязи основного колебания с паразитными колебаниями в результате изменения температуры. При этом повышение температуры может прин водить не только к повышению, но и к понижению сопротивления,.
~ Г! увеличением тока через кварц Ri возрастает, однако скорость его изменения различна не только для резонаторов разных конструкций, но и для одного и того же резонатора при различных температурах. В результате зависимость от температуры меняет свой характер при изменении уровня возбуждения или тока. Например, Ri при токе 10 ма при 60° С меньше, чем при 50° С; при токе 20 ма соотношение эквивалентных сопротивлений при тех же температурах обратное.
Анализ зависимости Ri=^(I) позволяет предположить, что повышение уровня возбуждения на кварцевом резонаторе, как и изменение температуры, приводит к перераспределению связанных колебаний. Не исключено,-' что увеличение при’ болЫпих'Т'оках обусловлено также и другими потерями энергии, например, связанными с возникновением резонансных явлений в системе 283
а)	б)
в)	г)
Рис. 4-40. Зависимость эквивалентного активного сопротивления резонаторов от пьезоэлектрического тока.
а — f=5 Мгц, #Сф=50 мм, d—12,5 мм; 6 — f=5 Мгц, d=7 мм; в —f=l Мгц, d«25 мм, Ъ^\,7 гн; г — f—1 Мгц, d=24 мм, Rc ф = 130 мм.
284
крепления кварца. Однако это явление имеет место на фоне общего закономерного увеличения которое, по-видимому, не связано с изменением влияния паразитных резонансов на собственную частоту колебаний резонатора.
Если изменение эквивалентного активного сопротивления при изменении тока не осложнено влиянием связанных колебаний, системой крепления и т. п., то функция Ri = ^(I) должна носить закономерный характер. Исследование кварцевого резонатора частотой 1 Мгц показало, что его добротность незначительно изменилась в интервале температур — 604-+80°С. Это свидетельствует о том, что имеют место потери энергии, по-видимому, только на внутреннее трение (если потери на связанные колебания и имеются, то они ничтожно малы и ими можно пренебречь). Зависимости Ri и Q = ty(I) при различных температурах для исследованного резонатора носят закономерный характер.
Таким образом, можно считать экспериментально доказанным, что с увеличением амплитуды колебаний эквивалентное сопротивление колеблющегося кварца увеличивается, а добротность, следовательно, уменьшается.
При распространении упругих колебаний в кристаллах потери энергии, обусловленные внутренним трением, объясняются тем, что деформации происходят с некоторой конечной скоростью. В каждый данный момент времени кристалл не находится в термодинамическом равновесии, и в нем протекают необратимые процессы, стремящиеся привести кварц в равновесное состояние. При этом часть механической энергии диссипируется и в результате переходит в тепло. Потери, связанные с конечностью скорости деформации, могут быть учтены, если в обычные уравнения движения ввести силы трения, являющиеся линейными функциями скорости. При малых амплитуд *х колебаний эги потери описываются диссипати^ч »й функцией
1 . .
Ф == 2	4 •
где T]ikim — тензор вязкости;
Wife, w/?n — тензоры скорости изменения деформации.
Можно показать, что функция 2ф определяет уменьшение энергии системы в единицу времени. Если изменение эквивалентного активного сопротивления при изменении пьезоэлектрического тока обусловлено в основном увеличением скорости деформации, то можно установить характер изменения диссипативной функции в зависимости от тока при больших амплит} дах.
Добротность кварцевого резонатора можно представить в виде < /	о/.
285
где Rb — компонента сопротивления, обусловливающая рассеяние энергии (7?ф — 2&Ф//2); k — коэффициент пропорциональности; i — пьезоэлектрический ток, протекающий через кварц на частоте последовательного резонанса).
Диссипативная функция для кварца, которая определяет изменение >/?1 с увеличением уровня возбуждения, равна:
Ф = (М1 (0 + М‘Л
где k2— константы, включающие коэффициенты пропорциональности и компоненту сопротивления не зависящую от функции ф;
(i) — компонента сопротивления, зависящая от тока и определяемая экспериментально, причем потери, связанные с величиной амплитуды, зависят только от диссипативной функции ф. Сравнивая экспериментальные и теоретические результаты, можно сделать вывод о том, что скорость изменения функции /?1=ф(0 (рис. 4-41) больше, чем это следует из теории Ландау — Лифшица По-видимому, это отступление от «нормальной» зависимости требует учета членов более высокого порядка в разложении диссипативной функции.
Убедительным доказательством влияния теплового
Рис. 4-41. Зависимость эквива-
амплитудно-частотную зависимость служат результаты наблюдения для резонаторов, температурный коэффициент частоты которых меняет знак с ростом температуры. Для температур, соответствующих отрицательному ТКЧ, частота увеличивается с ростом мощности медленнее, чем для температур, соответствующих положительному ТКЧ. Эти результаты получены при мощностях более I—Змвт. При меньшей
мощности отсутствует влияние разогрева на частоту, что согласуется с теоретическими данными; при токах менее 0,5—1,5 ма частота устанавливается практически мгно-
венно. Естественно, что при соответствующих мощностях не будут влиять и уходы частоты вследствие те
лентного активного сопротивления резонатора частотой 1 Мгц от пьезоэлектрического тока при температуре 40±0,01°С.
пловых напряжений в кварцевом элементе, вызванных неравномерностью рассеяния энергии по его объему.
Как отмечалось ранее (Л. 4—60], одной из причин
амплитудно-частотной зависимости может быть нелинейность закона Гука, обусловленная энгармонизмом коле-
286
баний кристаллической решетки. Расчет зависимости частоты от тока через резонатор, проведенный на основе теории Ландау — Лифшица, показал, что относительное изменение частоты для ряда резонаторов не превышает 1 • 10"9 (при токах около 30 ма). Однако для резонаторов на частоту 100 кгц тот же ток должен 'вызвать относительное изменение частоты 1 • 10-5.
При достаточно малых амплитудах колебаний (токи менее 0,5—1,5 ма) отсутствует влияние на частоту теплового разогрева, термических напряжений и нелинейности, обусловленной отступлением от закона Гука. По-видимому, при таких амплитудах колебаний единственно возможной причиной амплитудно-частотной зависимости является взаимодействие кварца с креплением. С ростом амплитуды колебаний это взаимодействие увеличивается, что соответствует увеличению давления в узловых точках, приводящего к изменению частоты.
При изучении зависимости /?i=x|)(7) выяснилось, что эквивалентное активное сопротивление может значительно возрастать с ростом амплитуды колебаний, особенно сильно при некоторых температурах. Такой рост может быть объяснен лишь наличием компоненты, обусловленной связанными колебаниями. При некоторых температурах парциальные частоты основного и «паразитного» колебаний сближаются настолько, что увеличение связи при росте амплитуды колебаний приводит к резкому увеличению связанности, а следовательно, к увеличению сопротивления.
4-11. Методы исследования колебаний пьезоэлектрического кварца
Методы исследования поверхности и объема колеблющегося кварца. Повышение требований, предъявляемых к кварцевым резонаторам, приводит к необходимости применения весьма тонких современных методов исследования их физических свойств. В последнее время выполнено много экспериментальных работ, связанных с изучением распределения амплитуд колебаний по поверхности и внутри кварцевого элемента. Для получения информации о распределении стоячих упругих волн по поверхности колеблющегося кварца используют метод фигур Хладни, интерференционные методы, методы поляризационного зондирования, а в объеме — различные методы дифракции рентгеновских лучей.
287
Фигуры Хладни, получаемые на колеблющихся кварцевых элементах, дают наглядную картину распределения узлов и пучностей. Существенные недостатки этого метода заключаются в том, что он не дает количественной оценки амплитуды колебаний и используется лишь на сравнительно низких частотах.
При исследовании распределения амплитуд колебаний на основе электрической поляризации кварца используют метод электрического зонда. Достоинством метода зондовых характеристик является простота и наглядность (можно проводить запись на бумажной ленте самописца), а недостатками — измерение относительных амплитуд колебаний поверхности и различные условия возбуждения кварцевого элемента при колебаниях в резонаторе и в приборе для снятия зондовых характеристик *.
Интерференционный метод используют для определения компонент смещения, нормальных к поверхности пластины. Высокой чувствительностью (порядка 5 А) обладает метод многолучевой интерферометрии, применяемый для изучения колебаний кристаллов в диапазоне 100 кгц—3 Мгц. Интерференционные полосы возникают между поверхностью полированного кварца и оптически плоской пластиной. 'При возбуждении кварца на его поверхности колеблются только некоторые участки (пучности), другие остаются в покое (узлы). Колебания вызывают изменение зазора между кристаллом и плоской пластиной, при этом в колеблющихся областях полосы уширяются, что позволяет наблюдать картину распределения амплитуд колебаний по поверхности.
Еще более чувствительным (до 0,001 А) является метод модуляционной интерферометрии Берштейна-Горелика. Интерференционная картина, получаемая с помощью интерферометра Майкельсона, модулируется вследствие периодических колебаний одного из зеркал интерферометра и затем анализируется с помощью чувствительного фотоэлектрического прибора, стоящего на входе узкополосного измерительного усилителя, который настроен на частоту модуляции. Этот метод позволил
1 Этот недостаток отсутствует в установке для измерения зондовых характеристик, конструкция которой предложена А, Г. .Сма-гиным; при этом измерение проводится в вакууме и при изменении температуры.
288
провести измерение амплитуд резонансных колебаний кварцевых брусков и пластин в вакууме [Л. 2-11]. Из* мерение распределения амплитуд сдвиговых и изгиб-ных колебаний пластин ЛГ-среза показало, что это распределение в различных точках кварцевых пластин, совершающих колебания сдвига по толщине, зависит от толщины пластины, формы и размеров пластины и электродов, толщины пленки — электрода, формы границ пластины (с фаской или без нее), способа крепления, особенно для пластин, у которых" отношение диаметра к толщине менее 80.
Описанные методы изучения колебаний кварца не дают возможности судить о распределении колебаний в объеме пьезоэлектрического кристалла (что особенно важно для связанных колебаний), не дают информации о качестве сырья, дефектах обработки, остаточных механических напряжениях, возникающих при креплении кварца в кристаллодержателе. Эти недостатки отсутствуют в случае рентгенографических методов исследования колебаний пьезоэлектрического кварца.
Для исследования видов колебаний, их гармоник, законов распространения акустических волн и их взаимодействия с дефектами, областями механического напряжения и (крепления широкое применение нашли методы Ланга, метод искажения изображения широкофокусного источника, методы Берга — Баррета, Лауэ и Фудживарры.
Существенная особенность этих методов заключается в возможности изучения дефектов и напряжений в кристалле без его разрушения. При этом получаемая дифракционная картина выявляет распределение акустических колебаний по всему объему кварца.
Метод Ланга. Рентгеновский пучок лучей от острофокусной трубки проходит через коллиматорное устройство с расходимостью 2—2,5 и затем попадает на кристалл. Дифрагированные кристаллом лучи фиксируются фотопленкой, расположенной параллельно кварцевому элементу. Предварительно кристалл устанавливается в отражающее положение с помощью рентгеновского счетчика, например сцинтилляционного. Плоский гониометр, кристаллодержатель и фотопленка совершают возвратно-поступательное движение перпендикулярно рентгеновским лучам.
19—2584	289
Рентгеновская камера Для топографической съемки дефектов 'внутри кристалла состоит из главного гониометра, гониометра-кристаллодержателя, коллиматорного устройства, рентгеновского счетчика и сканирующего устройства.
Обычно дефекты кристаллической решетки кварца выявляются двумя способами: травлением поверхности до появления видимых нарушений и диффузией непро-
Рис. 4-42. Дифракционная картина поверхностных натяжений на границе кристалл—металлическая пленка (электрод).
зрачных материалов внутрь кристалла с последующим наблюдением в ультрамикроскоп. Оба способа имеют существенные недостатки: первый требует разрушения кварцевого элемента для выявления дефектов по всему объему; второй влияет на параметры и характеристики резонатора.
Методом Ланга исследованы дислокации в кристаллах кремния, германия и др. Однако динамика дислокаций, которую можно наблюдать только в колеблющемся кристалле, не изучена.
Метод искажения изображения широкофокусного источника. Параллельный пучок рентгеновских лучей проходит через диафрагму Соллера, вакуумную трубку и попадает на исследуемый кристалл.
Дальнейший путь рентгеновских лучей тот же, что и в методе Ланга.
290
При исследовании колеблющегося кварца метод искажения позволяет наблюдать поверхностные натяжения на границе кристалл — металлическая пленка (электрод) (рис. 4-42), а также напряжения, возникающие в точках крепления кварца к кристаллодержателю (рис. 4-43).
Спенсер, Хэммонд и Сайкс изучали взаимодействие акустических стоячих волн с границами кристалла.
Рис. 4-43. Дифракционная картина напряжений, возникающих в точках крепления кварцевого элемента к кристаллодержателю.
а — кварцевый пьезоэлемент после помещения в пружинные зажимы б — кварцевый пьезоэлемент после нанесения токопроводящего клея.
Рис. 4-44. Дифракционная картина колеблющегося кварцевого элемента.
а — частота колебаний 5 Мгц, пятая гармоника; б — при возбуждении на третьей гармонике.
19*
291
Спенсер показал, что при колебаниях кристаллической решетки ее искажение может быть обусловлено акустическими волнами или дефектами кристалла.
Использовался луч шириной менее 100". Пленка и кристалл перемещались синхронно, обеспечивая исследование площади 20X20 мм2. Пьезоэлектрические элементы возбуждались с помощью золотых электродов толщиной 1 000А; экспозиция 1 мин/мм. Исследовались
Рис. 4-45. Дифрактограмма колеблющегося кварцевого элемента (4Г-срез, частота 12,5 Мгц).
1 — /—12 500 487 гц; 2— 12 758 927 гц; 3— 12 826 864 гц; 4-13 058 620 гц, 5— 13 163 415 гц; 6 - 13 298 390 гц; 7 - 13 372 412 гц.
кварцевые элементы частотой 5 Мгц на пятой гармонике АТ-среза в форме плоско-выпуклой линзы диаметром 1,5 мм и радиусом сферы 50,8 мм. Амплитуда деформации ~5« 10~4 -при токе 3 ма; добротность в вакууме 2,5-106 (рис. 4-44,а). При возбуждении того же кварца на третьей гармонике (при тех же условиях возбуждения) диаметр центрального темного круга увеличился и были заметны колебания на краях кварцевого элемента (рис. 4-44,6). Добротность на третьей гармонике должна быть в 5/з раза больше, чем на пятой гармонике. Однако вследствие потерь в опорах добротность оказалась равной 1 • 106. На рис. 4-45 приведены картины, 292
образующиеся при возбуждении на негармонических колебаниях сдвига по толщине с расположением пучностей вдоль осей X и Z.
Метод Лауэ. Описанные рентгеновские методы достаточно сложны, так как требуют применения специальных механических систем, обеспечивающих одновременное перемещение кристалла и фотопленки. Рентгенограммы, полученные этими методами, не позволяют представить характер движений кристаллической решетки внутри колеблющегося кварца и определить направление смещений по площади кристалла для различных видов колебания.
Эти недостатки отсутствуют в методах получения лауэграмм в параллельном (собственно метод Лауэ) и в расходящемся от точечного источника (метод Фуджи-варры) -пучке рентгеновских лучей. Метод Лауэ позволяет изучать деформации кристаллической решетки в каждой точке колеблющегося кварца. Метод Фудживарры представляет собой видоизмененный метод Лауэ. Эти методы достаточно просты и в применении к кварцевым резонаторам позволяют быстро получать картину распределения узлов и пучностей. При этом комбинация фигур колебаний, получающаяся на различных лауэвских пятнах одной рентгенограммы, позволяет выявить направление смещений в пучностях колеблющегося кварца.
Исследование стоячих упругих волн в колеблющихся кристаллах пьезоэлектрического кварца. При изучении напряжений в кварцевом элементе, взаимодействия напряжений с элементами конструкции, особенно при изучении взаимодействия основного вида колебаний и их гармоник с другими видами колебаний и их гармониками, возбуждаемыми тем же электрическим полем, что и основной вид, возникает необходимость в получении наглядной картины распределения упругих колебаний кристаллической решетки в различных участках колеблющегося кварца. При этом следует учесть, что спектральная частотная характеристика резонатора оказывает сильное влияние на другие параметры и характеристики (добротность, ТКЧ, токовые характеристики, старение).
А. Г. Смагин и И. В. Кабанович провели исследование связи между добротностью, дефектами, спектральной характеристикой и распределением упругих полей внутри колеблющегося кварца*
293
Рентгеновские лучи от источника с линейным фокусом, проходя через систему щелей—диафрагм, монохро-матизировались и падали на исследуемый кварцевый элемент. Последний ориентировали так, что изучаемая атомная плоскость была расположена под брэгговским углом к направлению первичного пучка. Диафрагирован-ные кристаллом рентгеновские лучи попадали на фотопластинку, которая располагалась перпендикулярно к направлению падения лучей и совершала синхронное с кварцевым элементом возвратно-поступательное движение. При таком сканировании на фотопластине образуется дифракционное изображение изучаемого образ- • ца — дифрактограмма (рис. 4-46).
Кварцевые элементы ЛТ-среза сканируются от плоскостей R и X, У-среза — от Z и X. Были получены ди-фрактограммы неподвижного (рис. 4-46,а, б) и колеб-лющегося_кварцевоп) элемента (рис. 4-46,в) от плоскостей R {1011} и Х{1120}.
На дифрактограммах можно видеть чередующиеся темные и светлые концентрические кольца как результат экстинкции на клине (кварцевый элемент представлял собой два сферических сегмента, сложенных основаниями) .
Дефекты в кристалле (примеси, слои роста, внутренние напряжения) выявляются при отражении рентгенон-ских лучей от различных атомных плоскостей.
Если вектор Бюргерса перпендикулярен к атомными плоскостям, от которых происходит отражение рентгеновских лучей, то дефекты (нарушения) хорошо обнаруживаются.
На дифрактограммах, полученных при отражении рентгеновских лучей от плоскости большого ромбоэдра,, четко проявляются вертикальные черные полосы, которые расположены на различном расстоянии (от 0,03 до 0,36 мм). Они представляют собой слои с повышенным захватом примеси или слои с другими параметрами кристаллической решетки. На этих дифрактограммах наблюдаются отдельные черные точки, иногда расположенные группами (скопление точек — это образование крупного дефекта величиной 0,03—0,07 мм). Такие дефекты образуются при росте кристалла в случае захвата примесей.
На дифрактограммах наблюдаются белые полосы, оканчивающиеся к середине темными пятнами; белые 294
Рис. 4-46. Днфрактограммы неподвижного и колеблющегося кварцевого элемента (4Т-срез, стрелки указывают направление перемещения образца при рентгеновской съемке).
Днфрактограммы 1а—4а — от плоскости	днфрактограммы 16—46 — от
плоскости X {1120}.
/—/—0; 2-/-1 700 кгц, <2=0,102- 10е; 3 — /«1952 кгц, Q-0,050-10*;
4 - /-2 157 кгц, Q-0,009 • 10е.
295
ЛОЛосЫ — мёталлйчёскйё детали креплёнйй кййрЦёВбРб элемента, темные пятна — возженная серебряная паста.
Распределение амплитуд колебаний пьезоэлектрического кварца показывает, что имеют место весьма сложные резонансные явления, причем картина колебаний симметрична. Как и следовало ожидать из общих физических соображений, на собственной частоте энергия упругих колебаний сконцентрирована в центральной части кварцевого элемента. Возбуждение его на побочных резонансах приводит к расширению колеблющегося
И
Qy-u’b
SSuKS .
J, '
Qj it) S95
Рис. 4-47. Связь между характером распределения интенсивности рентгеновских лучей, частотой и добротностью при отражении от различных плоскостей.
объема кристалла и увеличению потерь энергии на трение в местах крепления (помимо увеличения потерь на связанные колебания). Паразитные частоты и основная частота отстоят друг от друга на шкале частот ~200 кгц. С увеличением расстояния от частоты 296
2 157 кгц картина колебаний (крест и круг в центральной части) локализуется. Установить однозначную связь между картиной колебаний и добротностью резонатора достаточно четко пока не представляется возможным (рис. 4-47).
При съемке возбужденного кварца происходит рассеяние рентгеновских лучей на атомах (ионах) колеблющейся кристаллической решетки. Иными словами, имеет место изменение параметров кристаллической ре-
Рис. 4-48. Распределение интенсивности рентгеновских лучей от поверхности колеблющегося кварца.
/, 2 — диаметр металлической пленки—электрода; 3 — максимум интенсивности рентгеновских лучей.
шетки, и даже это весьма малое изменение параметров оказывает большое влияние на дифракцию рентгеновских лучей. При синхронном перемещении колеблющегося кварцевого элемента и фотопластины получается картина распределения «работающих участков». Регистрируя относительную интенсивность узкого дифрагированного луча при перемещении, можно судить о механическом напряжении (амплитудах механических колебаний) в различных точках колеблющегося пьезоэлектрического кварца.
Было обнаружено различное распределение интенсивности при разных электрических напряжениях, подаваемых на кварцевый резонатор (рис. 4-48). В некоторых точках наблюдается резкое ослабление дифрагированных рентгеновских лучей, в центре кварцевого элемента— значительное усиление. Отражение упругих волн от края колеблющегося кварца приводит к еще двум максимумам интенсивности, которая на периферии спадает до нуля.
Методы рентгеновской дифракционной топографии рказываются весьма чувствительными к распределению 297
стоячих упругих волн, соответствующих определенным частотам колебаний резонатора.
На рис. 4-49 .представлены днфрактограммы от кварцевого элемента У-среза на последовательных частотах отклика в указанных выше отражениях. Как видно кз рисунков, каждой частоте колебаний соответствует своя дифракционная картина. По мере увеличения частоты колебаний увеличивается число крупных пятен дифракционного контраста, а также выявляется более мелкая «рябь», обусловленная, ло-видимому, нелинейностью колебаний («мозаичность»).
При рентгеновских сьемках кварцевого элемента в невозбужденном режиме отчетливо выявляются дислокации в кристалле. С повы-
Рис. 4-49. Днфрактограммы колеблющегося кварцевого элемента на последовательных частотах отклика.
(ЛТ-срез, частота 10 Мгц.)
Ж
Шейием частоты колебаний резкость дислокационного Контраста падает, дислокации перестают обнаруживаться, при этом отчетливо выявляется «рябь». Ярко выражена несимметричность картин распределения упругих стоячих волн; картины еще более искажаются при увеличении амплитуды колебаний. Асимметрия является результатом неудовлетворительной ориентации, обработки и несимметричного крепления кварцевого элемента.
Пьезоэлектрический кристалл, находящийся в невозбужденном состоянии, имеет дифрактограмму, изображенную на рис. 4-49,а. Из дифрактограммы видно, что кристалл кварца содержит большое число примесей. Возбуждение кварца на частоте 3 404 кгц (рис. 4-49,6, г) приводит к ослаблению дислокационного контраста, что обусловлено, по-видимому, взаимодействием упругих полей дислокаций и упругих колебаний.
Дифрактограмма на рис. 4-49,з отражает картину основного вида колебаний на 'минимальной амплитуде.
Нетрудно .видеть, что повышение амплитуды колебаний на той же частоте приводит к увеличению размеров пятна (эффективного диаметра колебаний). Иными словами, начинают колебаться участки, расположенные близко к местам крепления.
На рис. 4-49,6—к наблюдается асимметрия колеблющихся пятен по отношению к центру. Возможные причины — асимметрия крепления (можно видеть из дифрактограммы), несовпадение сферических половинок (сегментов).
На рис. 4-50 представлена серия дифрак гограмм колеблющегося кварца, изготовленного из искусственного кристалла, содержащего большое число дислокаций. Так же как и .в первом случае, картина на дифрактограммах существенно изменяется в зависимости от того, какие плоскости являются отражающими. Аналогично случаю, рассмотренному выше, контрасты -от дислокаций в возбужденном кварце ослабляются, и появляется дифракторная мозаичность.
Кварц имеет большое число дислокаций (скопление винтовых и полых дислокаций). На всех дифрактограммах наблюдается крупный дефект, который обусловлен границей крупных блоков. Колебания сконцентрированы в определенной зоне.
При увеличении уровня возбуждения в центре образуется светлое пятно; дифрактограмма 2 — минимальная амплитуда колебаний, дифрактограмма 3 — максимальная амплитуда колебаний. По-видимому, .при взаимодействии упругих колебаний (упругих полей) с полем дислокаций ослабевает контраст дислокаций в поле максимальных колебаний. Есть основания считать, что примеси рассасываются в результате воздействия упругих полей.
Дифрактограмма 4 показывает, что картина усложняется, появляются детали, на дифрактограмме 5 возникает «рябь» (мозаичность, разбиение на отдельные участки). Зона колебаний (упругих напряжений) приближается к краям.
На дифрактограммах 6 общая картина остается той же самой. Внешний «.пояс колебаний» «разбился» на отдельные участки, при этом появились отдельные островки, образующие симметричную картину. В данном случае произошла локализация отдельных пятен «внешнего пояса».
В направлении оси X на дифрактограмме 7 произошло объединение локализованных пятен (по три пятна) и на оси Z' (вблизи элементов крепления) возникли два дополнительных участка (зоны) колебаний.
299
Рис. 4-50. Дифрактограммы колеблющегося кварцевого элемента, 1—8 — отражение от плоскости (101); 1а, За, 4а, 5а, 6а, 8а — отражение от плоско-
При сканировании от плоскости (101) с поворотом на 180° контраст от дислокаций резко изменяется вследствие различного расположения направлений сканирования по отношению к вектору Бюргерса.
При возбуждении кварца на частоте 5477,2 кгц (дифрактограм-ма 7) являются не только четыре локализованных участка колебаний, но и большое число отдельных пятен — «мозаичность», возникающая вследствие динамических свойств кристаллической решетки.
На рис. 4-50 представлены картины колебаний кварцевого резонатора частотой колебаний 12500,487 кц, возбуждаемого на частотах, которые находятся вблизи основной частоты. Симметричность картин колебаний, закономерное разбиение на зоны колебаний — эти результаты позволяют надеяться на положительное решение поставленной выше проблемы.
В заключение отметим следующее. Рентгеновская топография позволяет исследовать дефекты пьезоэлектрического кристалла без раз-300
\ 0ушенйЯ, при этом .возникает возможность установления однозначной связи между характером дефектов, их плотностью и добротностью резонатора.
Рентгеновская топография позволяет исследовать влияние технологических факторов (напыление металлической пленки, вжигание коллоидного серебра, крепление в кристаллодержателе) на характер упругих полей (механических напряжений), а следовательно, и на эквивалентные параметры и характеристики резонатора.
изготовленного из искусственного кристалла (ДГ-срез, частота 5 Мгц). сти (102); 36 — отражение от плоскости (102) при большой амплитуде колебания.
Глава пятая
Измерение электрических параметров и характеристик резонаторов
5-1. Методы и приборы для измерения добротности и эквивалентных параметров
Резонансный метод. Добротность кварцевого резонатора как пьезоэлектрической колебательной системы равна:
<5-‘)
301
ГДе / — частота резонатора; Li— эквивалентная индуктивность; /?1 — эквивалентное активное сопротивление; Ci — эквивалентная емкость; t — время затухания колебаний; Aif А2 — амплитуды в начале и в конце измерений соответственно; Д/— ширина полосы пропускания; б — логарифмический декремент затухания.
Методы измерения добротности различают по роду колебаний: в резонансных методах используются вынужденные колебания резонатора, в методах затухания — свободные затухающие колебания.
Резонансный метод заключается в возбуждении резонатора от внешнего источника электрических колебаний и в измерении ширины резонансной кривой, которую снимают путем плавного изменения частоты диапазонного генератора.
При этом отмечают соответствующие значения тока, протекающего через кварцевый резонатор. Для измерения добротности достаточно зафиксировать величины токов
'.='==Й=	(S-2>
по обе стороны от резонанса и измерить разность частоты Д/. Добротность резонатора находят по формуле Q=f/Af. В случае несимметричной резонансной кривой формула Q=f/Af неприменима, и, чтобы получить резонансную кривую обычного вида, необходимо скомпенсировать статическую емкость. Так *как Af=f/Q и при определенных условиях ширина резонансной кривой весьма мала, то частота измерительного диапазонного генератора должна быть достаточно стабильной. При малых величинах затухания для установления стационарной амплитуды колебаний резонатора требуется длительное время.
Большим недостатком резонансного метода является то, что для проведения измерений необходим резонатор с той же частотой, что и частота измеряемой пьезоэлектрической колебательной системы. Этот недостаток усугубляется еще более, если надо измерить добротность кварцевого резонатора при возбуждении на гармониках с частотой, не кратной частотам диапазонного и опорного генераторов.
Частоту диапазонного генератора можно установить при помощи переменной емкости с точностью 0,005 гц 302
при ширине полосы пропускания, равной, например, 0,05 гц. Тогда относительная погрешность измерения добротности, определяемая погрешностью измерения ширины полосы пропускания, равна AQ/Q=10%.
С ростом добротности и понижением частоты погрешность резонансного метода увеличивается, а требования
Рис. 5-1. Блок-схема установки с автоматической регистрацией длительности изменения амплитуды затухающих колебаний.
Рис. 5-2. Принципиальная схема измерителя затухания колебаний кварцевых резонаторов.
^03
к диапазонному и опорному генераторам возрастают и приближаются к требованиям, предъявляемым к установкам стационарного типа.
Метод свободных затухающих колебаний основан на использовании амплитудной нелинейности процесса за-
Рис. 5-3. Эпюры напряжения.
UT — колебания резонатора в генераторной схеме Ug2 — свободные затухающие колебания резонатора; ^7, Ug8 — напряжения на входах амплитудных дискриминаторов и потенциалы их срабатывания; Ua7, Ua8 — напряжения на выходах амплитудных дискриминаторов; U7, U3 — напряжения после дифференцирования ЯС-цепочками; U — напряжение и а выходе триггерного каскаду.
тухания и состоит в определении времени свободных затухающих колебаний между двумя фиксированными значениями амплитуды напряжения. Достоинствами этого метода являются высокая точность измерений, которая возрастает с повышением добротности и понижением 'частоты, широкий частотной диапазон, высокая чувствительность, простота. Он находит широкое применение в прецизионных установках, предназначенных для измерения и поверки кварцевых резонаторов. Особенно высокая точность измерений достигается при использовании электронного счетчика импульсов, с помощью которого производится весьма точный отсчет времени.
Блок-схема установки для измерения добротности и эквивалентных параметров с автоматической регистрацией времени свободного затухания колебаний, принципиальная схема и эпюры напряжений на различных элементах схемы представлены на рис. 5-1—5-3 [1-8, 5-1].
Измеряемый кварцевый резонатор возбуждается на собственной частоте в схеме диапазонного генератора /
304
(рис. 5-1), а затем резонатор переключается на измерительную цепь, состоящую из емкостей, которые обладают пренебрежимо малыми потерями, т. е. представляют собой практически реактивное сопротивление. Свободные затухающие колебания резонатора через катодный повторитель 2 подаются на широкополосный усилитель 3 и детектор 4, напряжение на котором вследствие процесса затухания уменьшается. Детектированный сигнал по двум каналам подается на входы амплитудных дискриминаторов 5, 6, имеющих фиксированные уровни срабатывания. Импульс от дискриминатора 5, снимаемый с дифференцирующей цепочки, открывает первую половину лампы триггера 7. Электронная система 8 включает счетчик времени 9. Импульс амплитудного дискриминатора 6 включает этот счетчик. По длительности изменения амплитуды свободных затухающих колебаний вычисляют добротность резонатора
<2=—^—.	(5-3)
1П л?
где Aif А2 — амплитуды напряжения на дискриминаторах 5 и 6;
t — время затухания колебаний.
Измерения проводятся следующим образом. Исследуемый кварцевый резонатор с помощью настраиваемого генератора возбуждается в цепи с емкостями, имеющими ничтожно малые диэлектрические потери. Напряжение на выходе генератора выбирается так, чтобы получаемое после детектирования напряжение приводило контрольно-измерительный прибор почти к полному отклонению. При этом учитываются переходные процессы в цепях, которые искажают результаты измерений. О готовности установки к проведению измерений можно судить по свечению неоновой лампы. Затем с помощью какого-либо пускового устройства переводят кварцевый резонатор из режима вынужденных в режим свободных затухающих колебаний. Одна из неоновых ламп продолжает светиться некоторое время после включения спускового устройства (пока протекает переходной процесс). Она выключается в тот момент, когда потенциал сетки первого амплитудного дискриминатора достигает значения, необходимого для его срабатывания. В этот же момент запускается счет длительности затухания на 20—2584
счетчике времени, например на электронном частотомере. О срабатывании второго амплитудного дискриминатора можно судить по горению второй неоновой лампы. Счет импульсов прекращается, и время сосчитывают непосредственно по электронному частотомеру.
При времени затухания, превышающем 1 сек, и до частот порядка 1 Мгц целесообразно применять в качестве измерителя времени электрический секундомер (с точностью измерения ±0,01 сек).
Описанным методом можно измерить не только добротность или декремент затухания, но и эквивалентные параметры. Если резонатор, затухание которого измеряется на частоте последовательного резонанса, нагрузить на активное сопротивление R, то его затухание возрастает и измеренная добротность будет меньше добротности самого резонатора. Так как
Q = ^7	(5-4)
и
(5-5) ТО
R‘^R <!-<)= тАг	<и>
Зная Q, Ri и f, можно подсчитать эквивалентные индуктивность и емкость по формулам:
=	(5-7)
С —	1
Итак, метод автоматической регистрации времени свободных затухающих колебаний является наиболее простым и быстрым методом измерения добротности и эквивалентных параметров кварцевых резонаторов в диапазоне 0,5—10 000 кгц.
На рис. 5-4 приводится общий вид установки, разработанной А. Г. Смагиным для измерения характеристик и эквивалентных параметров прецизионных кварцевых резонаторов.
30§
Рис. 5-4. Установка для измерения эквивалентных параметров и характеристик кварцевых резонаторов.
/, 12 — блоки стабилизированного питания; 2 — термопарный и ионизационный вакуумметры; 3 — генератор для возбуждения кварцевых резонаторов при температурах 2—848° К; 4 — диапазонный кварцевый генератор; 5—фазометр;
6 — делители с выходами I, 10, 25 и 100 кгц; умножители с выходами 100, 500 кгц, 1 Мгц, 5 Мгц; схема сличения стабильности частоты кварцевых генераторов; 7 — блок измерения эквивалентного активного сопротивления при различных влияниях на кварцевый резонатор; 8 — схема генераторов на частоты I, 10, 50, 100, 500 кгц и 1, 3. 5 и 10 Мгц; 9— измеритель добротности; 10 — схема регулирования температуры внутри термостата; 11 — схема подогрева диффузионных насосов и автоблокировки.
20*
307
Погрешности измерения добротности методом свобод-/1 ных затухающих колебаний. К основным систематическим погрешностям установки относятся погрешности, вносимые в цепь затухания резонатора потерями, нелинейностью амплитудной характеристики усилителя и детектора, влиянием фильтров детекторов, неточностью фиксирования уровней срабатывания амплитудных дискриминаторов. К случайным относятся погрешности, определяемые неточностью измерения времени электронным секундомером или декадным устройством с системой индикации, нестабильностью источника опорного напряжения, неточностью срабатывания дискриминаторов.
Приведем оценку погрешности, обусловленной нелинейностью амплитудной характеристики усилителя и детектора. Предположим, что до усилителя и детектора добротность резонатора равна:
«.= -—-	(5-9)
'"4-
где А” , Ак— амплитуды напряжения начала и конца затухания колебаний, измеряемые на входе; /1 — время затухания колебаний до усилителя и детектора. Амплитуда напряжения изменяется по следующему закону:
А = А^ = А*Г°',	(5-10)
где т — постоянная времени затухания; а — коэффициент затухания:
После усиления и детектирования высокочастотного напряжения измерение его может быть проведено с погрешностью, определяемой нелинейностью амплитудной характеристики усилителя и детектора; добротность резонатора будет равна:
<3== ^4—	(5-11)
1 Л2
4
где А”, А*—амплитуды напряжения начала и конца затухания колебаний, измеряемые на выходе; t2 — время затухания колебаний после усилителя и детектора.
308
Так как то погрешность измерения добротности , 4 п лк AQ	Q.-Qa	1	,
Q2 Qi ~~	Л«
1П7? л2
(5-12)
Для удобства последующих вычислений примем:
Ач
лн
л2к
Подставляя в (5-12), получаем:
4Q
(5-12')
тт—Infe — 1.
42	4
Вольт-амперную характеристику тракта детектора можно представить полиномом пени
(5-13)
усилителя и второй сте-
А = аА + JM2.
Учитывая (5-12') и (5-14), получаем:
Д2Н a^+₽G47)2 — —------------- £
A* аА* + р (Л*)2 которое приводит к уравнению вида
Решая уравнение (5-16), находим:
(5-14)
(5-15)
(5-16)
(5-17)
где р/а — коэффициент нелинейных искажений.
Используя (5-13), получаем (опуская индексы £g-=lnfe— !=lnf l + ^-A') —1.
Q	k “	7
при Q): (5-18)
в ряд и ограничиваясь
первым членом, получаем: f=-LA.	(5-19)
В описанной установке коэффициент нелинейных искажений р/а=17%, Л2=0,2 в, AQ/Q—±3,4%-
309
ПрираЩейиё А$/а вследствие нелинейных йрдЦёСсОВ при распространении сигнала в трактах усилителя и детектора легко обнаруживается непосредственно на установке, что дает возможность выбрать режим измерений, при котором погрешность от нелинейности весьма мала и ею можно пренебречь. Практически эту погрешность можно исключить достаточно точным определением уровней напряжения по прибору, измеряющему амплитуду.
При измерении времени затухания колебаний резонатора, имеющего Q=106 и t=4 сек, с помощью электросекундомера, погрешность которого ±0,01 сек, будем иметь AQ/Q= ±0,25%. При измерении с помощью декадных устройств, например, электронным частотомером, использующим кварцевый генератор с суточной нестабильностью порядка Ю"9, погрешность измерения добротности будет определяться формулой
Д<Э
Q —— if ~ — Qf
где /о — частота кварцевого резонатора; f — частота генератора в электронном частотомере.
Подставляя /о=1О5—106 гц, Q=106—107, f=107 гц, получаем AQ/Q=±10-6; этой погрешностью заведомо можно пренебречь.
Изменения, вызываемые нестабильностью источников питания, изучались экспериментально путем записи их с помощью высокочувствительного фотокомпенсационно-го усилителя постоянного тока с самописцем на выходе. Можно считать, что эта погрешность является случайной и подчиняется нормальному закону распределения. Обработка серии записей показала, что среднеквадратичное значение погрешности для блока питания составляет ±0,2%. Аналогично могут быть рассчитаны, измерены и исключены или сведены к минимуму и другие погрешности, указанные выше.
Суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения добротности составляет не более ±2,5%, а случайная погрешность — не более ±1% (при измерении электросекундомером малых времен затухания). Как известно, случайная погрешность может быть уменьшена в раз по сравнению с погрешностью однократного измерения при проведении ряда п измерений, т. е. a='\IVrn Этот ряд измерений обычно выбирается ЗЮ
таким, что позволяет практически исключить влияние случайных погрешностей, сопровождающих измерения.
Установка для измерения добротности и эквивалентных параметров кварцевых резонаторов в диапазоне частот 10—150 Мгц. Принцип работы установки для измерения добротности и эквивалентных параметров кварцевых резонаторов заключается в следующем (рис. 5-5).
Рис. 5-5. Блок-схема установки для измерения добротности и эквивалентных параметров кварцевых резонаторов.
— сопротивление, исключающее влияние внутреннего сопротивления генератора сигналов, входного сопротивления милливольтметров, емкости соединительного кабеля и пробников милливольтметров на параметры делителя напряжения; CLV CL2 — емкости, подключаемые последовательно к резонатору (для измерения динамической емкости резонатора); Ст — паразитная емкость, возникающая за счет делителя.
С диапазонного кварцевого генератора (/) подается сигнал, эффективное значение которого определяется входным индикатором (<?), на вход делителя напряжения (2). При включении в делитель напряжения исследуемого пьезоэлектрического кварца (4) в случае совпадения частоты входного сигнала с частотой последовательного резонанса резонатора на выходе делителя напряжения появляется сигнал, величина которого определяется выходным индикатором (5).
При изменении частоты диапазонного генератора на выходном индикаторе по максимуму напряжения отмечают значение частоты подаваемого сигнала (равной частоте последовательного резонанса).
По величине входного и выходного сигнала, если известны параметры делителя напряжения, определяют эквивалентное сопротивление кварца. Для измерения других параметров, определяющих затухание упругих волн в кварце, проводят определение частот последовательного резонанса при включении кварца в делитель напряжения последовательно с дополнительными емкостями,
311
Делитель напряжения (вместе с кварцевым резонатором) представляет собой П-образное звено, состоящее из сопротивлений Ri и эквивалентного сопротивления резонатора Ri. Коэффициент передачи такого звена зависит от частоты подаваемого напряжения, так как сопротивление делителя изменяет свою величину с изменением частоты выходного сигнала и колеблется от 1/43 до 1/131. Максимальный коэффициент передачи соответствует наименьшей величине Ri, т. е. частоте последовательного резонанса резонатора. Напряжение на делитель подается с диапазонного кварцевого генератора.
Установка для измерения добротности кварца в диапазоне частот 200—800 Мгц. Для измерения добротности кварца на частотах гиперзвука необходимо поместить его в пучность высокочастотного электрического поля объемных резонаторов. От генератора ультравысокой частоты (УВЧ) к одному из резонаторов подводится энергия высокочастотных электромагнитных колебаний в виде коротких радиоимпульсов. В результате действия обратного пьезоэффекта в стержне возникает упругая гиперзвуковая волна, которая распространяется по кварцу, и, дойдя до противоположного конца, вызывает появление высокочастотного поля за счет прямого пьезо-эффекта. Так как конец стержня помещен во второй объемный резонатор, то в нем в случае правильной настройки возникают электромагнитные колебания. Гиперзвуковая волна, отражаясь от приемного конца, несколько раз проходит кварцевый стержень туда и обратно, пока совсем не затухнет. Гиперзвуковые импульсы, преобразующиеся в резонаторе в электромагнитные, регистрируются супергетеродинным приемником, подаются на осциллограф, и картину затухания импульсов можно наблюдать визуально и фотографировать.
Блок-схема установки представлена на рис. 5-6.
В качестве генератора использовался диапазонный генератор, работающий в интервале частот 200—800 Мгц. Генераторной лампой служила мощная металлокерамическая лампа ГИ-6Б. Анодным и сеточным контурами лампы были цилиндрические объемные резонаторы, длину которых изменяли с помощью независимо перемещающихся поршней. Отбор энергии от генератора осуществлялся с помощью штыревой антенки, погруженной в объемный резонатор генератора. Глубину погружения антенки можно регулировать, что позволяет согласовы-31g
вйтЬ ЁЫкоД генератора с нагрузкой. Источником питаний генератора служит высоковольтный выпрямитель (ток 100 ма при выходном напряжении 1 500 в).
Для модулирования колебаний генератора и получения коротких радиоимпульсов используется схема модулятора, представляющая собой катодный повторитель. В отсутствие задающих импульсов от генератора импульсов 26-И начальный ток через лампу 6С18С создает на катодном сопротивлении (которое одновременно является катодным сопротивлением генераторной лам-
Рис. 5-6. Блок-схема установки для измерения добротности кварца.
/ — источник питания, 2 — генератор УВЧ; 3 — объемные резонаторы; 4 — кварц. 5- супергетеродинный приемник; 6- осциллограф, 7 - генератор импульсов; 8 — модулятор.
пы ГИ-6Б) разность потенциалов, достаточную для срыва генерации. Таким образом, в отсутствие задающих импульсов отсутствует и генерация. В момент поступления отрицательного импульса от 26-И модуляторная лампа на время длительности импульса запирается, и в результате возникает генерация высокочастотных колебаний на лампе ГИ-6Б. По окончании импульса генерация вновь срывается. Этим способом удалось получить радиочастотные импульсы длительностью от 1 до 10 мксек и частотой следования от 100 до 5 000 гц. Мощность импульса составляла несколько десятков ватт.
Высокочастотная мощность от генератора по коаксиальному кабелю сопротивлением 75 ом подводится к возбуждающему объемному резонатору. Резонатор представляет собой цилиндр, по оси которого перемещается небольшой поршень. Перемещающийся поршень и торцевая стенка резонатора образуют настроечную ем
313
кость. Изменяя эту емкость передвижением поршня, иЗл меняют частоту настройки. Для плавного перемещения поршня служит микрометрический винт. Кабель связан с резонатором петлей, плоскость которой перпендикулярна к силовым линиям магнитного поля. В результате в резонаторе возбуждается ТЕМ — тип волны. Между торцом резонатора и поршнем образуется пучность электрического поля, направленного вдоль оси резонатора. В этом месте торцевой стенки сделано отверстие для помещения кварцевого стержня. Вторым концом кварцевый стержень вставляется в аналогичный резонатор, который является приемным.
Приемный резонатор при помощи 75-омного кабеля соединяется с супергетеродинным приемником. В качестве такого приемника используется измерительный приемник ИП-6, работающий в диапазоне 150—400 Мгц с чувствительностью 10-12 вт. Приемник имеет специальный выход на осциллограф. Этот выход соединялся с импульсным осциллографом ИО-4, который работал в режиме'ждущей развертки. Кроме того, развертка осциллографа синхронизовалась запускающими импульсами от генератора импульсов 26-И. В результате получалась картина затухания импульсов «в кварце.
Приемная часть установки градуируется. В наблюдаемом диапазоне амплитуд колебаний система линейна, т. е. высота импульса на осциллографе пропорциональна выходному напряжению в приемном резонаторе. Напряжение пьезоэффекта линейно связано с амплитудой механического смещения, и поэтому можно считать высоту импульсов пропорциональной амплитуде механических смещений.
Известно, что амплитуда упругой волны в твердом теле затухает по экспоненциальному закону
Д2 = Д,^
(5-21)
где Д1 и Дг — последовательные амплитуды смещений;
Xi—Хг=2/ — путь (/ — длина бруска);
у — коэффициент поглощения звука.
Из этой формулы легко получись выражение для у, дб!см:
Y =
Л, 1 1^=,0'g^. Xi — х2 ^2	21	’
314
(5-22) и затем определить добротность кварца.
5-2. Методы и приборы для измерения времени и частоты
Понятие о времени и частоте и измерение этих величин. В настоящее время не найдется, по-видимому, ни одной крупной области науки и техники, где бы в той или иной мере не применялись высокостабильные колебания, получение которых основано на использовании пьезоэлектрического эффекта или индуцированного излучения атомов и молекул. При этом особое значение приобретают вопросы, связанные с определением абсолютного значения частоты генерируемых колебаний и погрешности ее измерения. Особенно большую роль играет точное измерение частоты колебаний при разработке, изготовлении и исследовании основных параметров и характеристик кварцевых резонаторов.
Для определения частоты колебаний в любом процессе, т. е. числа колебаний в единицу времени f=nlt, необходимо знать значения интервалов времени; иными словами, единица измерения частоты является «производной» величиной.
Существует несколько единиц времени — всемирное, эфемеридное (гравитационное) и квантовомеханическое; за 1 сек, принимается 1/86400 суток, 1/31 556 925, 9747 тропического года и 9 192 631 770 колебаний соответственно.
Повышение точности измерения времени и частоты имеет большое значение для решения самых различных проблем в космологии, гравитации, астрономии, космонавтике, радионавигации, радиолокации, в технике автоматического управления, для точного регулирования различных процессов и т. д.
Дифференциальный и интегральный методы измерения частоты. Измерение частоты колебаний высокостабильных генераторов, например кварцевых, проводится дифференциальным и интегральным методами. Дифференциальный метод основан на определении величины и знака разностной частоты между частотами эталонного и испытуемого генераторов, интегральный метод — на непрерывном определении разностной частоты путем сче-
315
та периодов колебаний с резонансной частотой на протяжении сколь угодно длительного времени.
В интегральном методе среднее значение частоты за время t представляется интегралом
t
(5-23)
о
где дф/д/ — скорость фазы колебаний.
Относительная погрешность измерения частоты колебаний определяется формулой [Л. 5-2]
=	(5-24)
где /н — номинальное значение измеряемой частоты; ДФ— погрешность измерения резонансной частоты. Нетрудно видеть, что умножение сравниваемых частот или разностной частоты только тогда приводит к повышению точности измерения, когда величину тФ можно измерить с меньшей относительной погрешностью, чем Ф, так как отношение Ф//н остается неизменным.
При интегральных сравнениях относительная погрешность измерения числа периодов колебаний с разностной частотой за длительный интервал времени находится из соотношения
=	(5-25)
где Ди — погрешность в определении числа периодов колебаний за интервал времени /; т — коэффициент умножения измеряемых частот или разностной частоты. Если частота /н=105 гц умножается на 10 (т=10) и вследствие несовпадения момента сравнения счетчика с моментом измерения \п^ 1, то при суточных измерениях (/ = 86 400 сек) относительная погрешность Ду = = 1 • 10"11 [Л. 5-2].
Относительная погрешность при измерении интервала времени, на протяжении которого имеет место фиксированное число периодов колебаний с разностной частотой, определяется выражением
ду=44’	(5-26)
где Д/ — погрешность определения интервала времени, за который имели место п периодов колебаний (Д/<^/). Если относительная разность измеряемых частот имеет 316
величину порядка Ф//н= Ю"6—Ю~7 и погрешность при измерении времени составляет А/=10 2 сек при t = = 86400 сек, то Ду=10~13—10“14.
Измерение набега (нестабильности) фазы. Обычно измерение нестабильности частоты высокостабильных генераторов проводится путем измерения девиации фазы за определенный промежуток времени. Для гармонических колебаний (u)/ = wosin Ф(/) =uQ sin(<oo£+<Р‘(0] на‘ бег фазы за время т находится из выражения
(0 = Ф (* + х) = «V + <Р (I + х) — ? (/) = «ус + д?т (0.
Ф(/ + т) — Ф (t)
где % = —----------------частота, определяющая сред-
ний набег фазы.
Измерение набега фазы осуществляется использованием фигур Лиссажу, круговой разверткой на электроннолучевой трубке и т. п., причем регистрация ухода фазы производится автоматически (цифропечатающая машина, фазовращатель) или визуально. При измерении нестабильности частоты используют фазометры с электроннолучевой трубкой, так как стрелочные фазометры имеют малую разрешающую способность (1—2°), а следовательно, большую погрешность измерения.
При измерении фазы двух колебаний с помощью круговой развертки колебания от эталонного (или любого опорного) генератора подаются на управляющий электрод в виде импульсов, сформированных в специальном блоке, а колебания от испытуемого генератора подаются (после расщепления фазы) на пластины, при этом образуется круговая развертка. На экране осциллографа появляется светящаяся точка, которая двигается по окружности со скоростью, пропорциональной сдвигу фазы. Сдвиг фаз (разность частот) определяется следующим образом:
=	(5-2П
где Ф — угол в радианах, на который сместилась точка за время I; т] — временной интервал, на который сместилась точка за то же время.
Основными источниками погрешности в этом случае являются погрешность отсчета, фазовая нестабильность схемы и нестабильность амплитуды напряжения, модулирующего яркость свечения.
317
Погрешность отсчета определяется диаметром круговой развертки (длиной окружности), четкостью точки и скоростью ее движения по кругу. Непостоянство амплитуды, модулирующей яркость, приводит к изменению размеров точки, а следовательно, и к погрешности измерения при определении прохождения точки через нуль. Если процесс измерения протекает в течение достаточно длительного времени (при малой разности частот), то нестабильность амплитуды импульса не превышает 0,2. Источником погрешности является также неравномерность круговой развертки, т. е. отклонение ее от идеальной окружности, что связано с неравномерностью работы фазорасщепителя и с получением в результате на выходе напряжений, не равных по амплитуде. Если погрешность измерения частоты относительно эталонной при равномерной развертке у,о = А/Т/л а при неравномерной уо=1/7Х то погрешность, обусловленная неравномерностью развертки, равна:
Уо=То(А—1).	(5-28)
При использовании одного и того же комплекса измерительной аппаратуры погрешности являются систематическими, поэтому их можно учесть и внести соответствующие поправки. Эти погрешности, обусловленные умножителями, смесителями и другими элементами, определяются методом самопроверки [Л. 5-3].
В случае интегрального метода, в котором накапливается информация о фазе за определенный промежуток времени, отсчет числа импульсов проводится автоматически. Это позволяет через определенные промежутки времени, например через сутки или несколько суток, снимать показания счетчика, отсчитывающего биения, и вычислять величину средней частоты биений за данный промежуток времени
п2 — щ
/ср —
(5-29)
где пь /12 — показания счетчика в начале и в конце измерения за время t.
Недостатком этого метода является срабатывание счетчика только при сдвиге фазы на полный период, т. е. на угол 2л. Если фаза смещается в разные стороны, но не превышает периода, то такие колебания не регистрируются. При этом среднее значение разностной 318
частоты может сильно отличаться от полученного при снятии показаний счетчика.
Отметим, что дифференциальный метод весьма трудоемок и погрешность измерения этим методом зависит от индивидуальных особенностей оператора; интегральный метод свободен от указанных недостатков, но у него недостаточная разрешающая способность, так как счетчик является механическим и не «различает» ухода фазы в ту или другую сторону.
Метод умножения ошибки. Этим методом можно обеспечить быструю и медленную автоматическую регистрацию как кратковременной, так и длительной стабильности частоты кварцевых (или каких-либо других) генераторов 1[Л. 5-4]. Однако при этом нельзя измерить абсолютное значение частоты.
Сущность метода заключается в следующем. Сигнал частотой FSi снимаемый с опорного генератора, умножают и делят при помощи соответствующих устройств так, чтобы получить новую частоту, которая также является опорной. Если измеряемый сигнал частотой Fx отличается от Fs на некоторую малую величину AF, то Fx — =FS+&F, т. е. фиксируемая часть всегда будет сигналом высокостабильной частоты.
При умножении или делении Fx величина ошибки AF зависит от коэффициента умножения или деления, но при сложении или вычитании Fx и Fs в смесителе величина ошибки не изменяется. Пусть путем умножения или деления получен опорный сигнал частотой 0,9F.s. При их смешении получим:
(Fs + AF) — 0,9Fs = 0,1 Fs + AF.	(5-30)
После умножения полученной частоты на 10 будем иметь:
10 (0,1 Fs + AF) = Fs + 1 OAF	(5-31)
и т. д.
Путем последовательного умножения ошибку можно «разогнать» до сколь угодно большой величины, т. е. теоретически этот процесс можно выполнять неограниченно. Однако практически «предел» наступает достаточно быстро вследствие шума в первом каскаде усилителя («дрожание» сигнала, вызываемого генератором). Обычно сигнал ошибки составляет 100 AF и реже 1 000AF.
319
Определение средней квадратичной вариаций частоты. Результаты измерения нестабильности частоты одного из генераторов во -времени приведены на рис. 5-7. Частота высокостабильного кварцевого генератора сравнивалась с эталонными частотами, передаваемыми радиостанциями GBR и NPM/NLK. Как нетрудно видеть, частота имеет систематический ход, обусловленный установлением равновесия в радиотехнической системе и старением кварцевого резонатора. На систематический ход частоты накладываются вариации хаотического характера или нерегулярные изменения, причинами которых, по-видимому, являются изменения в схеме собственно генератора и связанных с ним устройств или миграции примесных частиц с кварцево-
Рис. 5-7. Изменение частоты высокостабильного кварцевого генератора во времени.
го элемента на стенки баллона и обратно. Наблюдаются выбросы частоты, обусловленные восходом и заходом Солнца на трассе распространения сигнала образцовой частоты.
После нескольких дней непрерывной работы систематический ход частоты не наблюдается (в пределах погрешности измерения), а среднеквадратическая вариация частоты о составляет 2,5-10-10.
Вычисления среднеквадратической вариации частоты о проводятся в следующей последовательности:
1. Определяется суммарное отклонение частоты в отдельном измерении 1бг:
£аг==__ 0,6100.	(5*32)
2. Находится среднеарифметическое значение
п
L = У 5г/л = — 0,0381.	(5-33)
3 20
Таблица 5-1
Данные для вычисления среднеквадратической вариации частоты
п	ч	ft • ю»	fl • 10>»
1	0,00	0,03810	0,00145
2	—0,40	—0,36190	0,13090
3	0,00	0,38100	0,00145
4	—0,25	—0,21190	0,04490
5	—0,55	—0,51190	0,26200
6	+0,45	+0,48810	0,23820
7	+0,13	+0,16810	0,02825
8	0,00		
9	+0,25	+0,28810	0,08300
10 .	0,00	+0,03810	0,00145
11	+0,11	' +0,14810	0,02193
12	—0,15	—0,11190	0,01252
13	—0,40	—0,36190	0,13090
14	0,00	+0,03810	0,00145
15	+0,10	+0,13810	0,01907
16	+0,10	+0,13810	0,01907
3. Находится величина ft = St — L и составляется сумма Sf|:
Sf? = 0,995-10-«.
4. Вычисляется в:
(5-34)
0,2550-10
(5-35)
5-3. Частотная аппаратура в системах измерения параметров кварцевых резонаторов
Измеритель спектральных частотных характеристик. Для измерения спектральной частотной характеристики пьезоэлектрических резонаторов применяют прибор, блок-схема которого представлена на рис. 5-8. Работа прибора основана на определении основного и паразитного резонансов резонатора способом визуального наблюдения экрана анализатора частотных характеристик 5 и измерения амплитуд колебаний с помощью вольт-.метра МВЛ-2М с предварительной компенсацией статической емкости. Этот прибор позволяет достаточно точно оценить качество резонаторов по спектральной характе-21—2584	321
ристике и на основании этого произвести их отбраковку; давать относительную оценку резонаторов по затуханию; определять в термостате относительную моночастотность резонаторов в интервале температур.
Сущность работы прибора заключается в следующем (рис. 5-8).
Рис. 5-8. Блок-схема измерителя спектральных частотных характеристик.
Сигнал от внешнего генератора 1, имеющего специальное верньерное устройство, подается на вход однокаскадного предварительного усилителя 2, усиливается им и далее поступает на каскад нейтрализации 3, представляющий собой мост, плечами которого являются внутренние сопротивления триодов лампы, кварцевый резонатор и конденсатор переменной емкости, компенсирующий его статическую емкость. Вне полосы пропускания резонатора мост сбалансирован. При настройке внешнего генератора на резонансную частоту колебаний пьезоэлектрического резонатора мост выходит из состояния баланса. Возникающее напряжение разбаланса, пропорциональное добротности резонатора, снимается с нагрузки в диагонали моста, усиливается трехкаскадным широкополосным усилителем 4 и подается на вход лампового вольтметра 5. При изменении частоты колебаний внешнего генератора происходит перестройка с одного резонанса на другой и производится измерение резонансов по амплитуде.
Для расширения частотного диапазона в схеме применяется преобразование частоты, причем напряжение, снимаемое с нагрузки диагонали моста, подается на преобразователь частоты 8. В результате преобразова-322
ния разностная частота поступает яа фильтр нижних частот 6 с полосой пропускания 2,5 Мгц, в которой отфильтровывается от опорной частоты гетеродина 7 и основного сигнала. Затем напряжение сигнала подается на анализатор частотных характеристик и ламповый вольтметр МВЛ-2М.
В зависимости от частоты колебаний резонатора выбирают соответствующий поддиапазон гетеродина.
Рис. 5-9. Блок-схема измерительной установки.
/ — термостат; 2 — система автоматического управления термостата; 3 — индикатор баланса; 4 — опорный кварцевый генератор; 5 — прибор для поверки систем воспроизведения образцовых частот; 6 — измерительный кварцевый генератор; 7 — умножитель-накопитель расстройки; 8 — усилитель мощности; 9 — измерительный мост; 10 — индикатор уровня воз-
• буждения; П — кварцевый резонатор.
Измерение спектральной частотной характеристики резонаторов осуществляется в диапазоне 0,1—10 Мгц с затуханием до 50 дб и в диапазоне 10—28 Мгц с затуханием до 20 дб. При этом погрешность измерения составляет не более ±110%. Нагрузка в диагонали моста 0,01—10 ком, выходное напряжение на нагрузке анализатора (i/?=4,3 ком, С—7 пф) линейно в диапазоне до 1 в.
Измерительный комплекс. Установка (Л. 2-11, стр. 190] предназначена для измерения частоты последовательного резонанса, эквивалентного активного сопротивления, токовых и частотно-температурных характеристик прецизионных кварцевых резонаторов на четырех фиксированных частотах — 0,5; 1; 2,5 и 5 Мгц. Допустимая расстройка частоты по отношению к их номинальному значению составляет ±5-10~5. В установке использован мостовой метод измерений.
Сигнал, подаваемый на измерительный мост, в одно из плеч которого включается исследуемый кварцевый 21*	323
резонатор, формируется из сигналов, поступающих от опорного и измерительного кварцевых генераторов, в умножителе-накопителе расстройки (рис. 5-9, 5-10). Измерительный кварцевый генератор частотой 1 Мгц допускает расстройку частоты по отношению к номинальному значению на +0,5 • 10“6. Для обеспечения необходимой расстройки и получения соответствующих частот в измерительной установке использован умножитель— накопитель расстройки. Сигнал с опорного кварцевого генератора поступает на умножитель частоты
Рис. 5-10. Блок-схема умножителя-накопителя расстройки.
/ — измерительный кварцевый генератор; 2, 4, 7, 8, 9 — умножители частоты в 10, 10, 5, 9 и 9 раз соответственно; 3, 5 — смесители. 5 —делитель частоты на 2; 10 — опорный кварцевый генератор; А — выход на прибор для поверки систем воспроизведения образцовых частот; Б, В, Г и Д — выходы частот 1; 0,5; 2,5 и 5,0 Мгц соответственно.
с коэффициентом Х9, а сигнал с измерительного кварцевого генератора — на умножитель частоты с коэффициентом X 10. Затем сигналы с обоих умножителей поступают на смеситель, в котором выделяется сигнал частотой 1 Мгц с расстройкой по отношению к номинальному значению, увеличенной относительно расстройки на измерительном кварцевом генераторе на порядок. После повторного умножения частоты и ее смешивания расстройка по отношению к номинальному значению увеличивается на два порядка.
Этим способом достигается возможность перестройки частоты сигнала на выходе умножителя-накопителя расстройки, а следовательно, и на измеряемом элементе на величину ±5* Ю-5 относительно номинального значения. Сигнал частотой 1 Мгц с полученной указанным путем расстройкой попадает на делитель частоты с коэффициентом: 2, с выхода которого снимается сиг-324
нал частотой 0,5 Мгц. Частоты 2,5 и 5,0 Мгц -формируются при помощи умножителей частоты с коэффициентом Х'5.
Полученные таким образом сигналы поступают на усилитель мощности, обеспечивающий плавную установку уровня возбуждения на измеряемом резонаторе в диапазоне напряжений 1—1 000 мв при эквивалентном активном сопротивлении резонатора 1—1 000 ом. Относительное изменение заданного уровня возбуждения
Рис. 5-11. Блок-схема электронно-счетного частотомера.

в течение 30 мин не превышает 1%. С усилителя мощности на измерительный мост в зависимости от частоты кварцевого резонатора может подаваться сигнал любой из четырех фиксированных частот.
В качестве индикатора баланса моста в измерительной системе используется селективный микровольтметр типа В6-1, имеющий максимальную чувствительность (1 мкв) и минимальную полосу пропускания (1 кгц).
Уровень возбуждения индицируется вольтметром в пределах измерения 1—1000 мв.
Исследуемый резонатор помещают в термостат, температуру в котором можно изменять от 40 до 80° С с интервалом 0,01° С. Точность поддержания температуры в термостате составляет не более 0,01° С в течение 30 мин.
325.
Частота, устанавливаемая на измерительном элементе, индицируется при помощи установки для поверки систем воспроизведения образцовых частот, где частота измеряется с точностью 1 • 10"10 при времени счета \Ъсек.
Установка позволяет измерять частоту последовательного резонанса прецизионных кварцевых резонаторов с относительной погрешностью ±1-10“9 и эквивалентное активное сопротивление с относительной погрешностью ±3% при условии, если добротность резонаторов не менее 1,5 • 10е.
Электронно-счетный частотомер (рис. 5-11) предназначен для автоматического измерения частоты и периода синусоидальных электрических колебаний, интервалов времени, периода и длительности импульсов, счета числа импульсов, отношений частот, а также для выдачи напряжения стабилизированных частот и кодированных сигналов при регистрации результатов измерений с помощью цифропечатающей машины (ЦПМ). Прибор может работать от собственно кварцевого генератора или от внешнего высокостабильного источника электрических колебаний.
Применение электронно-счетного частотомера с цифропечатающим устройством позволяет автоматизировать процессы измерения температурно-частотных, токовых и спектральных частотных характеристик.
5-4. Малогабаритная частото-измерительная аппаратура
Малогабаритная образцовая мера частоты и кварцевые часы на полупроводниках имеют нестабильность и старение порядка 1 • 10“9 и менее за сутки [Л. 2-11]. Аппаратура рассчитана на непрерывную круглосуточную работу от источников постоянного тока напряжением 14—46 в в интервале температур 5—35° С.
Блок-схема прибора приведена на рис. 5-12. Кварцевый резонатор б, осуществляющий стабилизацию электрических колебаний, и высокостабильный генератор 5 (рис. 5-13) помещаются во внутренний термостат 4, постоянство температуры в котором поддерживается схемой терморегулирования 2. Внутренний термостат находится во внешнем термостате 3, температура в котором регулируется схемой /. Высокостабильные колебания 1 Мгц поступают на линейный усилитель 7, делятся на 10 в делителе 8, затем поступают на линейный усилитель 9 и формирующий каскад 10, а затем снова последовательно делятся 5 раз на 10 в делителях 11, 13, 15, 17, 18 до 1 сек-, 12, 14, 16,19 — выходные каскады. Прибор имеет образцовые частоты 1 000; 100; 10; 1; 0,1; 0,001 кгц с колебаниями, близкими к гармоническим. Колебания частотой 1 гц поступают на секундный триггер 20 (рис. 5-14), а затем на электрические часы 21.
326
Высокие качества прибора достигаются применением высокодобротного и высокостабильного кварцевого резонатора (Q=5*106) с весьма малым температурным коэффициентом частоты и полупроводниковых триодов, обладающих стабильными -свойствами, а также благодаря оптимальным параметрам генератора, при которых изменения частоты минимальны за счет уменьшения мощности, рассеиваемой на эквивалентном сопротивлении кварца. При создании малогабаритной образцовой меры частоты и кварцевых часов были приме-
Рис. 5-12. Блок-схема образцовой меры частоты и кварцевых часов.
йены кварцевые резонаторы с температурным коэффициентом частоты, равным 2 • 10~8 град”1. Это позволило разработать простую, малогабаритную и легкую конструкцию термостата.
Общий вид термостата представлен на рис. 5-15. Кварцевый резонатор 5 и схема генератора 6 помещены в стакан 7 с крышкой из
красной меди, на котором расположен мост, осуществляющий регулирование температуры внутреннего термостата. Так как элементы моста являются одновременно и подогревателем, то достигается идеальный тепловой контакт, вследствие чего уменьшаются колебания температуры, обусловленные тепловой инерцией. Кварцевый резонатор и генератор, конструктивно представляющие собой одно целое, крепятся к подставке 8 из пенопласта, обладающего весьма хорошими теплоизоляционными свойствами. На
Рис. 5-13. Схема кварцевого генератора.
подставку одевается сосуд Дьюара 4, имеющий ничтожную тепловую проницаемость со стороны пенопластовой подставки.
Для уменьшения проницаемости с этой стороны предусмотрела плотная посадка сосуда Дьюара в подставку 8. причем пенопласта
327
касается и внутренняя, и внешняя части сосуда Дьюара. Для уменьшения влияния колебаний температуры во внутреннем термостате на тонкостенном алюминиевом стакане намотаны элементы моста, регулирующего температуру <и нагрев внешнего термостата. Конструкция
Рис. 5-14. Схема запуска электромагнитных часов.
Li — обмотка электромагнита часов; Ui, U2 — напряжения, подаваемые с секундного-триггера.
заключена в наружный стакан, состоящий из пенопластовых 2 и дюралюминиевых 3 слоев. Выводы от кварцевого генератора и моста
Рис. 5-15. Термостат.
от внутреннего и внешнего термостатов проходят через подставку и припаиваются к проводникам на текстолитовом основании А
Температура внешнего и внутреннего термостатов регулируется схемой, собранной на полупроводниковых триодах (рис. 5-16). Датчиком температуры и одновременно нагревателем является мост, в котором два противоположных плеча намотаны манганиновой проволокой и два—медной (бифиляром) (Z?i-s-J?4=60 ом при 39°С).
Напряжение разбаланса моста, включенного в цепь обратной связи низкочастотного генератора, усиливается и используется для нагревания термостатируемого объема. При этом мощность, выделяющаяся в объеме, в котором находится кварцевый резонатор, пропорциональна отклонению температуры от первоначальной.
Рис. 5-16. Схема авторегулирования температуры внешнего и внутреннего термостатов.
Отметим, что для выполнения фазовых условий генерации температура должна находиться вблизи температуры равновесия моста. При уменьшении или увеличении температуры генерируемое напряжение низкой частоты уменьшается, что приводит к восстановлению температурного равновесия.
Степень постоянства температуры уг определяется как отношение изменения температуры кварца к изменению температуры окружающей среды и в основном является функцией чувствительности генератора, осуществляющего температурный контроль. Это отношение может достигать величины порядка 10“3, если между атмосферой и термостатируемым объемом поставлен внешний термостат, температура в котором регулируется с точностью до нескольких десятых градуса.
В качестве системы регулирования температурой внешнего термостата была использована схема, аналогичная приведенной на рис. 5-16. Если схема «недовозбужденного» генератора, используемого в системах пропорционального регулирования температуры, работает в широком температурном интервале, то ут~0,20—0,04. При двух системах регулирования уг ~ 0,001 и менее.
329
Рис. 5-17. Принципиальная схема высокостабильного диапазонного частотой и с
5-5. Диапазонный кварцевый генератор
При измерении различных физических величин, характеризующих пьезоэлектрический кварц (декремента затухания, эквивалентных параметров, температурного коэффициента частоты, старения), необходимо иметь большое число весьма стабильных фиксированных частот или непрерывный спектр меняющейся частоты.
Основной проблемой при разработке кварцевых генераторов управляемой частоты является .получение стабильной частоты генерируемого напряжения. Стабильность частоты зависит от добротности и температурно-частотной характеристики кварцевого резонатора при отклонении частоты от номинального значения. Анализ различных методов отклонения частоты генератора показывает, что для получения широкого диапазона частоты наиболее эффективным методом является увод частоты с помощью переменной емкости; другие методы или сложны, или менее эффективны.
При управлении частотой резонатора переменной емкостью коэффициент электромеханической связи пьезоэлектрического кварца уменьшается. Последовательное включение емкости сужает интервал между последовательным и параллельным резонансами за счет сдвига частоты последовательного резонанса: чем больше величина последовательной емкости, тем сильнее сужается частотный промежуток^
Диапазонный генератор основан на использовании схемы Хегне-ра, стабилизируемой высоко добротным «и высокостабильным кварцевым резонатором частотой 100 кгц (рис. 5-17) {Л. 2-11]. Кварцевый резонатор служит одним из элементов четырехполюсника в цепи 330
кварцевого генератора с автоматическим управлением самописцем.
обратной связи генератора и включен между двумя колебательными контурами — параллельным и последовательным, .настроенными точно на его собственную частоту. Эти контуры создают сдвиг фаз 180° между напряжениями на аноде и сетке лампы генератора, т. е. они обеспечивают выполнение условий, необходимых для возникновения колебаний.
Кварцевый резонатор помещается во внутренний термостат, а схема генератора и управляющего элемента — последовательной емкости с мотором — во внешний термостат, температура в которых регулируется электронными схемами. Переменный конденсатор с воздушным диэлектриком собран из инваровых пластин на основании (плавленый кварц) и обладает поэтому ничтожно малым температурным коэффициентом емкости.
Управление частотой диапазонного генератора осуществляется переменной емкостью при помощи мотора, ось которого соединена через редуктор 1 : 60 гибким стержнем с осью конденсатора 1. Эта система дает возможность автоматически плавно изменять частоту вблизи 100 кгц в интервале 187 гц. Амплитуда вынужденных колебаний намеряется с оЬэмощью лампового милливольтметра, и резонансная кривая записывается на ленте самописца.
На выходе диапазонного генератора с умножителей через аттенюатор получают стабильные частоты 500, 1 000, 3 000 и 5 000 кгц
1 Сдвиг частоты производится также и ручным управлением с фиксацией частоты посредством предварительно проградуированной шкалы.
331
(помимо основной 100 кгц), регулируемые частоты пропорциональны 187 гц на основной частоте. Для повышения стабильности частоты
электрических колебаний на лампы подаются пониженные стабилизи-
рованные напряжения—анодное 150 в и накальное 3,6 в, выбранные
Рис. 5-18. Влияние частоты вибрации на фазовую нестабильность кварцевого резонатора. а — направление вибраций перпендикулярно к квазинейтральной плоскости кварцевого элемента; б — направление вибраций параллельно квазинейтральной плоскости.
из оптимальных условий работы генератора.
Генератор обладает достаточно высокой долговременной и кратковременной стабильностью и малым начальным дрейфом при включении. При небольшой вариации частоты, в том числе и при дистанционном управлении, нестабильность составляет менее 2-10-9 за сутки. В случае большой расстройки по частоте нестабильность диапазонного генератора возрастает почти на порядок, хотя кратковременная нестабильность несколько лучше.
5-6. Измерение фазовой нестабильности резонаторов
при воздействии вибраций
Девиометры и анализаторы спектра частот. При использовании прецизионных кварцевых резонаторов в подвижных (бортовых) системах существенное влияние оказывают вибрации. Их возникновение приводит к фазовой нестабильности генераторов, в основном определяющейся кварцевыми резонаторами. Изменение фазы вызывает изменение частоты сигнала: фазовая нестабильность приводит к кратковременной нестабильности частоты. Повышение кратковременной нестабильности частоты генераторов зависит от свойств
кварцевых резонаторов и их конструкции.
Девиация частоты определяется частотой вибрации движущейся системы; при определенных частотах вибрации девиация может резко увеличиться, и произойдет выбег ча-
332
стоты. Такое явление наблюдается, когда частота механического резонанса какого-либо элемента системы «пьезоэлектрический кварц — кристаллодержатель — вакуумный баллон» совпадает с частотой вибрации.
Различные подвижные объекты создают вибрации -в диапазоне частот 20—5 000 гц. Зная частотную (фазовую) характеристику кварцевого резонатора, т. е. зависимость
п
^-^- = ф(Г)	(5-36)
£ ДТ( = Ф(Р)],' i’=l
можно сделать вывод о целесообразности применения резонатора с определенным типом крепления кварцевого элемента на том или ином подвижном объекте. С помощью измерителя девиации можно •контролировать качество резонаторов и изменять их параметры в желательном направлении.
Фазовую характеристику можно исследовать различными методами. Принципиально эти методы сводятся к смешиванию двух частот — исследуемого и опорного генераторов, выделению разностной частоты и ее измерению. Измерение разностной частоты производится при помощи спектроанализатора или селективного вольтметра.
Для снятия зависимости девиации фазы (частоты) от частоты вибраций кварцевого резонатора используется прибор, принцип работы которого заключается в следующем. Напряжения испытуемого и опорного кварцевых генераторов, сдвинутые по фазе на 90°, подаются на фазовый детектор, который работает в ключевом режиме. Амплитуда напряжения опорного генератора значительно превышает амплитуду испытуемого генератора. При этом ток через нагрузку фазового детектора (а следовательно, и падение напряжения на ней) пропорционален сдвигу фаз между напряжением опорного и испытуемого генераторов:
(5-37)
где £0— амплитуда напряжения; Дф— уход фазы. Так как напряжение на нагрузке фазового детектора мало, то используется усилитель с коэффициентом усиления К. Поэтому выражение (5-37) запишется в следующем виде:
(5‘37,) Г А
Уход фазы будет равен:
U У2	U V2
д*=-ёл-=^180в-	<5-38)
Наличие цепи фазовой автоподстройки частоты опорного генератора позволяет отказаться от системы термостатирования кварцевого резонатора, что упрощает схему и уменьшает время измерения.
/2”
333
Нестабильность частоты определяется по формуле
Af _ пАу
7	T807f’
(5-39)
где f — номинальная частота генератора; F — частота вибрации.
Переменное напряжение на выходе усилителя измеряется селективным милливольтметром типа В6-2. Полученные девиационные характеристики приведены на рис. 5-18,а, б.
Измерение частоты вибраций проводится обычно от 20 до 5 000 гц через каждые 50 гц (на низких частотах — через 10 гц). На низких частотах вибраций девиация частоты больше, чем на высоких. Это объясняется улучшением демпфирующих свойств кристаллодер-жателя на более высоких частотах. Резкое увеличение девиации частоты на некоторых частотах вибрации обусловлено резонансными свойствами системы «пьезоэлектрический кварц — кристаллодержа-тель — вакуумный баллон».
Для применения кварцевых резонаторов в определенных условиях необходимо знать резонансные частоты системы. Исследуя влияние различных факторов, можно создавать кварцевые резонаторы с заранее заданными свойствами. Так как обычно частоты вибраций различных подвижных объектов не превышают 300 гц, то имеет смысл механические резонансы элементов системы «передвигать» в сторону более высоких частот. Более высокими резонансными частотами обладают системы с более жестким кристаллодержателем.
При измерении фазовой нестабильности используется также анализатор спектра типа СКЧ-17. Этот прибор предназначен для изучения спектра квази монохроматического сигнала вблизи несущей частоты (в области частот 10—7 500 гц), а также для измерения влияния девиации частоты на сетку частот в диапазоне 1—8 • 103 Мгц.
Исследуемый сигнал поступает на вход установки и путем тройного преобразования частоты переносится в рабочую область частоты низкочастотного анализатора спектра, например С5-3. Инерционная подстройка частоты гетеродина под принимаемый сигнал системой фазовой автоподстройки по сигналу третьей промежуточной частоты позволяет получать стационарный сигнал на входе низкочастотного анализатора спектра и осуществлять последовательный анализ боковых составляющих. Весь диапазон рабочих частот перекрывают шесть смежных блоков высокой и сверхвысокой частоты (ВЧ и СВЧ). Для всех шести диапазонов используется один задающий кварцевый генератор, работающий на частоте 5,5 Мгц. Поскольку создание высококачественных плавных гетеродинов представляет значительные трудности, анализатор спектра настроен на сетку дискретных частот. Основная сетка частот гетеродина создается в генераторах гармоник смежных блоков ВЧ и СВЧ.
Схема установки, помимо измерения спектра сигнала и спектра флуктуаций частоты, позволяет исследовать спектр флуктуаций фазы сигнала на выходе фазового детектора до фильтра нижних частот и спектр флуктуаций амплитуды сигнала на выходе амплитудного детектора.
Чувствительность измерений на выходе фазового детектора выше, чем на выходе частотного детектора, так как чувствительность фазового детектора практически не зависит от уровня амплитудной модуляции исследуемого сигнала. Однако в режиме измерений девиации к стабильности частоты исследуемого сигнала предъявляются менее жесткие требования.
334
Индикатором анализа спектра служит стрелочный прибор (предусмотрен выход па самописец), который калибруется по чувствительности с помощью 'вспомогательного стабильного генератора с эталонным (чистым) сигналом. Динамический диапазон установки составляет 100—120 дб от уровня несущей для частоты настройки от 15 гц до 1 кгц и выше в полосе анализа 6 гц (на уровне 3 дб) в -случае мертвого диапазона и от 20—35 дб для частоты настройки -15 гц до 400—80 дб для частоты настройки 1 кгц в случае дециметрового и сантиметрового диапазонов. Установка имеет среднеквадратичную погрешность измерений спектра не более 1,5 дб для уровней, на 10 дб превышающих предельные на частотах анализа 100 гц.
Спектр высокостабильного квазимонохром этического сигнала обусловлен паразитной модуляцией по амплитуде и фазе, его можно представить в следующем виде:
и (0 = Ло [1 + т (0) cos [2rcfof + у (/)],	(5-40)
где Ло—амплитуда несущей частоты;
m(Z) — флуктуации амплитуды;
(р(0 —флуктуации фазы:
t
?(0 = f 40 dt-
v(/) —флуктуации частоты.
Особенностью этого сигнала при заданном времени анализа является наличие в его спектре ярко выраженной несущей и боковых составляющих, которые спадают по мере удаления от несущей. Это означает, что в полосе анализа Н энергия на крыле (при заданном удалении F=fo—f от центра тяжести спектра сигнала несущей fo) много меньше энергии несущей. Таким образом, при заданном времени анализа и нижней частоте анализа интенсивность флуктуаций амплитуды m2(t) и фазы <р2(Х) меньше или много меньше единицы. Реальный анализатор спектра с полосой пропускания Н (обычно 1'н~Н) не разрешает детали внутри области if о—
В описанной установке используется метод анализа спектра ква-зимонохроматического сигнала с инерционной привязкой к несущей и с переносом спектра сигнала в область низких частот. Вследствие этого можно получить стационарный спектр-промежуточной частоты и тем самым неограниченно увеличить время наблюдения при анализе спектра. Поэтому можно не учитывать абсолютный дрейф частоты исследуемого сигнала.
При измерении спектра определяется отношение интенсивности «несущей» к интенсивности боковых составляющих в полосе анализа 6 гц, отстоящих от несущей в пределах заданных частот анализа боковых -составляющих F=10—7 500 гц. Следует отметить, что спектр сигнала на крыльях значительно спадает при частотах, отстоящих на 10—30 кгц -от несущей (на 30—40 дб и более по сравнению со спектром в диапазоне анализируемых частот).
Сущность метода инерционной привязки к несущей заключается в том, что исследуемый сигнал в системе инерционного автоматического частотного или фазового регулирования обрабатывается таким образом, что интенсивность флуктуации частоты (фазы), определяющая спектр сигнала в области частот от Iq+Fh и выше и от f0—FH и ниже, не изменяется. Более медленные флуктуации частоты или
335
фазы обрабатываются системой, при этом нестационарный сигнал преобразуется в стационарный.
При паразитной модуляции, обусловленной вибрациями с частотой F, в спектре сигнала возникают боковые составляющие на частотах f0+^ и fo—F- Уровень боковых составляющих измеряется при помощи стрелочного прибора низкочастотного анализатора спектра. Паразитная угловая модуляция, возникающая в результате вибрации системы, определяется по формулам:
(5-41)
(5-42)
(F)^V2Su(f) Л;
S9(F) = 2Su(D,
где£у(Г) — спектр флуктуаций частоты;
5(р(Г)—спектр флуктуаций фазы;
Su (F) — спектр сигнала.
Точность измерений на анализаторе спектра СКЧ-17 достаточно Af
высока и составляет = — s^2-10-10 — 5-Ю"11 в диапазоне частот f0 = 1 — 10 Мгц.
5-7. Измерение температуры
Для измерения температуры в интервале 1,5—900° К с точностью 0,1—0,01° С применяют ртутные, платиновые, германиевые, газовые, угольные, бронзовые термометры. К ним предъявляются требования по простоте градуировки, воспроизводимости шкалы (привязке к абсолютному значению температуры), простоте перехода от некоторых физических величин, например сопротивления, к температуре и точности измерения температуры. Кроме того, к датчикам температуры предъявляются требования по их механической прочности и простоте измерения температуры.
В практике часто возникает необходимость в измерении температуры с высокой точностью. Из наиболее употребительных датчиков температуры самой высокой разрешающей способностью в настоящее время обладают термометры сопротивления — платиновые и германиевые. Однако у этих термометров мала механическая прочность, и для их градуировки необходимо введение нескольких температурных поддиапазонов (ввиду различного характера зависимости сопротивления в разных интервалах температуры).
Из всех известных физических величин частота колебательного процесса может быть определена с самой высокой степенью точности. Поэтому, казалось бы, имеет смысл строить шкалу температур на базе измерения не сопротивления, а частоты. В этой связи весьма удобным температурным датчиком оказывается кварцевый резонатор. В настоящее время уже разработаны кварцевые резонаторы с температурным коэффициентом частоты, равным 85,6-Ю-6 град~\ который позволяет проводить измерения температуры с точностью порядка 10-3—10-6 [Л. 5-4, 5-5].
С этой целью созданы датчики температуры из природного кристаллического кварца, возбуждаемые в схеме, обеспечивающей максимальную кратковременную стабильность на частотах 1 Мгц, 5 Мгц (собственная частота и третья гармоника) и 10 Мгц (третья гармоника). На этой основе для измерения температуры разрабаты 336
ваются прямопоказывающие высокоточные приборы с использованием электронно-счетных частотомеров, что позволяет весьма просто и достаточно 'быстро проводить измерение температуры.
Кварцевый датчик температуры, возбуждаемый на частоте 5 Мгц, имеет температурный коэффициент частоты, равный 94,4 X ХЮ"6 град~\ при понижении температуры ТКЧ уменьшается. При измерении частоты с абсолютной точностью до 0,1 гц с помощью этого датчика можно измерять температуру с точностью порядка 0,0001° С, а при измерении частоты с абсолютной точностью до 0,001 гц точность измерения температуры порядка 0,000001° С.
При наличии соответствующей аппаратуры, позволяющей производить измерение частоты с указанной -степенью точности, разрешающая способность кварцевого термометра определяется нестабильностью схемы генератора. Поэтому основное внимание было уделено созданию высокодобротных и высокостабильных кварцевых резонаторов с малым старением. Добротность температурных резонаторов равна (1—3) - -106 (Л. 5-5]. Минимальное старение обеспечивается тщательным асимптотическим шлифованием, полированием и «мягким» химическим травлением поверхности кристалла кварца, который помещается в стеклянную ампулу, наполненную теплообменным газом (гелием) при давлении порядка 0,1 мм рт. ст. Наполнение стеклянной ампулы теплообменным газом резко снижает инерционность кварцевого термометра.
Для повышения механической прочности кварцевых термометров и уменьшения старения их возбуждают на гармониках, что позволяет уменьшить влияние крепления.
Кварцевые температурные датчики градуируются привязкой к международной платиновой шкале температур (рис. 5-19), и по реперным точкам (кипение воды, таяние льда, испарение жидкого азота, водорода и гелия). При этом использовали 10- и 100-омный платиновый и германиевый термометры, позволяющие измерять температуру в интервалах 273— 800° К, 12 —273° К и 1,5—7,2° К соответственно.
Рис. 5-19. Градуировочная кривая кварцевого термометра с привязкой к международной платиновой шкале температур.
а — интервал температуры 0—100° С; б — температуры 4—272° К.
22—2584
337
Кварцевый температурный датчик и электронное устройство для непосредственного отсчета температуры представляют собой весьма чувствительный дифференциальный термометр частоты с воспроизводимостью отсчета 0,00 Г и менее.
Прецизионное частотное термометрирование может найти широкое применение при исследовании различных явлений, в особенности таких, в которых измеряемая величина резко уменьшается в узком интервале температур (например, фазовые переходы), а также в системах автоматического регулирования процессов.
Глава шестая
Кварцевый резонатор как элемент электронной схемы -
6-1. Срезы кварца и их основные особенности
Условные обозначения срезов. Понятие среза кристалла упоминалось выше. Условимся теперь для определенности обозначать термином срез такую группу кристаллографических ориентаций пьезоэлементов, при которой они обладают близкими электрофизическими характеристиками при одном и том же виде собственных колебаний. Еще в 30-х годах были введены обозначения: АТ-срез, ВТ-срез и т. п., в которые вкладывалось весьма обширное содержание; в частности, под срезом АТ подразумевают кварцевые элементы, совершающие колебания сдвига по толщине и вырезаемые из кристалла таким образом, что одна из двух пар их боковых граней параллельна электрической оси кварца, а пара главных граней составляет с оптической осью угол близкий к +35°. Такого рода символические обозначения удобны при описании общих свойств пьезоэлементов данной группы; однако они не годятся тогда, когда необходимо дать конкретные указания об углах, под которыми должна располагаться каждая из граней пластины по отношению к координатным осям кристалла. Поэтому для практических применений более удобна принятая не так давно в СССР система условных обозначений кварцевых элементов, весьма близкая к системе Американского института радиоинженеров [Л. 1-6]. Эти обозначения основываются на системе условных координатных осей, описанной в § 1-9. Их расположение показано на рис. 1-30.
338
Для составления обозначения срезов пьезоэлементов, вырезаемых из кварца, необходимо ввести понятие о первоначальной ориентации. Под первоначальной ориентацией понимается такое положение пьезоэлемента по 'отношению к координатным осям, в котором все его реб
Срезку
Рис. 6-1. Возможные первоначальные ориентации кварцевых элементов в форме прямоугольных параллелепипедов.
R — проекция грани основного (большого) ромбоэдра; г — проекция грани дополнительного (малого) ромбоэдра кварца на плоскость рисунка.
2
ра параллельны этим осям. На рис. 6-1 показаны все шесть возможных первоначальных ориентаций пьезоэлементов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда.
Любая ориентация пьезоэлемента может быть получена путем ряда последовательных поворотов какой-либо одной из первоначальных ориентаций. Условное обозначение первоначальной ориентации пьезоэлемента со-22*	339
ставляется из двух букв, соответствующих обозначениям координатных осей. Первая буква (х, у или z) указывает, вдоль какой из кристаллофизических осей направлена толщина пьезоэлемента, а вторая буква (тоже х, у или z) указывает, вдоль какой из этих же осей направлена длина пластины.
Рис. 6-2. Первоначальные ориентации квадратных и восьмиугольных кварцевых пластин.
Из шести возможных первоначальных ориентаций для пьезоэлементов квадратной и восьмиугольной формы применяются только три, изображенные на рис. 6-2. На этом 'рисунке показано также, в каких направлениях располагается условная длина таких пьезоэлементов. Точно так же из шести возможных первоначальных ориен-
Рис. 6-3. Первоначальные ориентации круглых кварцевых пластин.
таций для пьезоэлементов круглой формы используются только три, изображенные на рис. 6-3. Здесь также показано направление условной длины таких пластин. Наконец, из 'всех шести возможных первоначальных 340
ориентаций брусков квадратного сечения принято ограничиваться только тремя (рис. 6-4). Тут уже условным является направление толщины пьезоэлемента.
Условное обозначение ориентации пьезоэлемента с гранями, образующими любые углы с координатными осями, составляется из обозначения первоначальной ориентации, к которому добавляется еще одна, две или три буквы (I, b или $) и соответственно одна, две или три группы чисел в зависимости от количества поворо-
Рис. 6-4. Первоначальные ориентации кварцевых брусков квадратного сечения.
тов пьезоэлемента из положения первоначальной ориентации. Первая буква, добавленная к обозначению первоначальной ориентации, указывает, какое направление (вдоль длины I, толщины s или .ширины 6) имеет то ребро пьезоэлемента, которое служит осью первого его поворота относительно первоначальной ориентации. Следующие буквы, (если они имеются) указывают, вокруг каких ребер пьезоэлемента производятся дальнейшие повороты. Группы чисел, которые проставляются после букв через косые линии, указывают последовательно углы первого, второго и третьего поворотов.
Если к обозначению первоначальной ориентации добавлена только одна буква и одна группа чисел, то это значит, что окончательная ориентация пьезоэлемента может быть получена путем только одного поворота из положения первоначальной ориентации.
Угол поворота считается положительным, если поворот производится против часовой стрелки; при этом направление поворота нужно определять, глядя со стороны положительного конца ребра, которое служит осью
341
соответствующего поворота, в направлении начала координат. Положительными концами ребер I, b и s считаются те концы, которые в первоначальной ориентации пьезоэлемента указывают положительное направление осей х, у или z.
Примеры некоторых срезов кварцевых пьезоэлементов и соответствующие им условные обозначения приведены на рис. 6-5.
Температурно-частотные характеристики кварцевых резонаторов. Особое положение кварца среди других пьезоэлектрических кристаллов в значительной мере обусловлено тем, что из него могут быть изготовлены резонаторы с чрезвычайно малой температурной нестабильностью частоты собственных колебаний. Поэтому применение нашли, за одним-двумя исключениями, лишь те срезы кварца, для которых реализуется указанное преимущество. Вообще говоря, если рассматривать и такие срезы кварца, при которых ни одно из ребер пьезоэлемента не параллельно ни одной из его кристаллофизических осей, то можно получить бесчисленное множество ориентаций, обеспечивающих получение нулевого ТКЧ в некоторой точке (или некотором интервале) температур. Не требует, однако, особого доказательства тот факт, что технологические трудности выполнения того или иного среза возрастают с увеличением количества поворотов из положения первоначальной ориентации. По этой причине наиболее широкое распространение в производстве получили те немногие срезы, которые позволяют получить «нулевой» ТКЧ всего лишь при одном повороте относительно основных кристаллофизических плоскостей XY, YZ или ZX кварца. Исключениями являются срезы МТ, NT и IT, которые, впрочем, используются сравнительно редко1.
Ранее указывалось, что понятие «срез с нулевым ТКЧ» означает, что пьезоэлемент данного среза характеризуется наличием экстремума температурно-частотной характеристики, т. е. такой точки (в редких случаях — более или менее широкой области), в которой производная частоты по температуре обращается в нуль. Что же касается форм температурно-частотных характери-
1 В настоящее время широко применяются срезы, относящиеся к группе NT, но выполняемые не с двумя, а всего лишь с одним поворотом относительно указанных основных плоскостей кварца.
342
Рис. 6-5. Важнейшие срезы кварца и их обозначения.
343
стик в некоторой окрестности вблизи экстремума, -представляющей интерес с практической точки зрения, то для всех известных срезов кварца их можно разделить на два более или менее четко разграниченных класса. Для проведения этого разграничения используем то обстоятельство, что температурно-частотные характеристики кварцевых резонаторов, находящих практическое применение, представляют собой непрерывные функции.
В интересующем нас случае можем записать:
4^ + b (6 - 0О) + с (0 - 0о)а+</ (0 -©.)* +.... (6-1)
где f—частота, измеренная при температуре 0, a fo — частота, соответствующая произвольно выбранной исходной температуре 0о.
Поскольку выбор начала отсчета в данном случае ничем не регламентируется, мы можем выбрать его таким образом, чтобы постоянная величина а оказалась равной нулю. Тогда выражение (6-1) примет следующий вид:
-7^=6 (0 - 0О) + с (0 - 0О)2 + d (0 - 0О)’ +... (6-2)
В этом выражении величины b, с, d ... могут быть названы температурными коэффициентами частоты первого, второго, третьего и т. д. порядков. Они определяются из соотношений:
6 = иг. < Л=в(
2!f„
3!f„ ^9«;в=во и т. д.
Эти величины являются функциями угла среза пьезоэлемента. Для представляющего практический интерес интервала температур от —60 до +100° С членами выше третьего порядка в уравнении (6-2) можно пренебречь.
Теперь можно перейти к классификации форм температурно-частотных характеристик кварцевых резонаторов. Как показывает опыт, почти для всех используемых в производстве срезов коэффициент b близок к ну-344
лю, а следовательно, член первого порядка в уравнении (6-2) пренебрежимо мал. В то же время, используя уравнение (6-2), температурно-частотные характеристики различных срезов можно разделить на две группы. Впервой группе превалирует член второго порядка, а во второй значительную роль играет и член третьего порядка. Так, например, для ЛГ-среза с~0,4-10-9°С“2, с!~109Х XilO-12"^-3; для ВТ-среза картина несколько иная: с~ -40-10~9 °C-2 d~—1'28 - 10-12ОС-2. Поэтому температурно-частотная характеристика резонатора ВТ-среза достаточно точно описывается уравнением 2-го порядка, в то время как для ЛТ-среза членом 3-го порядка пренебрегать уже нельзя.
К группе срезов, температурно-частотная характеристика которых описывается уравнением 2-го порядка, кроме ВТ-среза, относится большинство других срезов из числа применяемых на практике: срезы СТ, DT, ЕТ, группа повернутых X-срезов, которые используются при колебаниях изгиба в плоскости XY' и при продольных колебаниях в направлении оси Y', срезы МТ, NT, повернутые У-срезы, применяемые при крутильных колебаниях, и т. п. Для этой группы уравнение (6-2) принимает вид:
Ц-^=с(0-ео)а,	(6-4)
где с — коэффициент крутизны температурно-частотной характеристики — имеет, как правило, отрицательные значения в пределах от —10-10-9 до —80 • 10“9°С“2. Пределы изменения этого коэффициента для различных срезов указаны в табл. 6-1.
Для одного и того же среза значения с изменяются в зависимости от угла кристаллографической ориентации и соотношения геометрических размеров пьезоэлемента Закономерности, которым подчиняются эти изменения, будут рассмотрены ниже. Типичные температурно-частотные характеристики рассматриваемой группы срезов параболически показаны на рис. 6-6. В ряде случаев параболическое уравнение может применяться для описания отдельных участков температурно-частотных характеристик и срезов второй группы. В целом же характеристики, относящиеся к этой группе, имеют форму, показанную на рис. 6-7. Срезы, относящиеся к этой группе,— это срезы AT, IT и в известной степени срез GT.
345
Таблица 6-1
Классификация и характеристики срезов
Обозначение среза	Вид деформации при колебаниях	Диапазон частот, кгц	Коэффициент с-109,°С“2
X,ys/a° или zyb/a° (—5°<ав<+6,5°)	Изгиб В ПЛОСКОСТИ XY (XY')	1—60	—25 4- —35
xys/o? (—2°<а0<+9°)	Сжатие—растяжение по длине	50—250	—35 4- —45
Г/Х//Р» (±35°<а*±55в)	Кручение	30—130	-15 4.-25
МТ xysl/a°№ ((>•<«•<±8,5°; ±30°<К±50)	Сжатие—растяжение по длине	50—250	—35 4-—45
NT xysl/^/Г (0’<а»<+8,5*; ±40’<₽’<+70в)	Изгиб в плоскости YZ' (Y'Z')	10—300	—30 4-—45
DT yxl/$Q или yzb/$Q (—51®<р*<—53*)	Сдвиг ПО КОНТУРУ	100—800	—Ю 4-—22
ст yxlft* или yzbft* (+36‘<g‘<+39’)	Сдвиг по контуру	150—850	-50 4-—80
ЕТ VW (+65»<r<+69’)	Сдвиг по контуру на 2-й гармонике	500—850	—45 -j	60
ВТ yxl/$* (-47«<₽*<-50’)	Сдвиг по толщине	2000—40 000	—35 -г--60
346
Последний из этих срезов представляет собой своеобразную модификацию СТ-среза, отличающуюся несколько большим значением угла p° = ZZ' и дополни-
Рис. 6-6. Температурно-частотные характеристики резонаторов ВТ-среза.
Рис. 6-7. Типичные температурночастотные характеристики резонаторов ЛТ-среза.
Значения 3° указаны для круглых пластин с отношением диаметра к толщине порядка 50.
тельным поворотом вокруг толщины пластины на угол ±45° от оси X (или Z) (см. рис. 6-5,в). С некоторым приближением можно считать, что при колебаниях та-
Рис 6-8. Деформация
чистого сдвига и способ ее преобразования в деформацию сжатия—растяжения.
кой пластины происходит не сдвиговая деформация, а деформация сжатия — растяжения по длине — ширине (рис. 6-8). При определенном отношении ширины к длине
Рис. 6-9. Температурно-частотная характеристика резонатора б?Т-среза.
3|7
у таких пластин ТКЧ почти равен нулю в широком интервале температур 1 [Л. 6-2]. Типичная температурночастотная характеристика резонатора GT-среза приведена на рис. 6-9.
Значительно более широкое распространение, чем GT-срез, получил ДТ-срез, который применяется на частотах примерно от 500 кгц и вплоть до '200 Мгц (при колебаниях на механических гармониках). Поэтому температурно-частотные характеристики этого среза мы рассмотрим более подробно.
Как видно из рис. 6-7, важной особенностью кривых зависимости частоты от температуры для ДТ-среза является то, что они практически симметричны относительно температуры 0i—+27°C. Сместить эту точку,изменяя угол р°, нельзя ибо при этом изменяется лишь наклон средней части ТЧХ (это также видно из рис. 6-7). Для того чтобы изменить положение 0ь необходимо повернуть пьезоэлемент на некоторый угол у°=ХХ' вокруг оси Z' (см. рис. 6-5,ж). В частном случае при у° = = ±19°06/ получается /Т-срез (Л. 6-3]2.
Характерная для ДТ-среза кривая зависимости частоты от температуры при отрицательном ТКЧ первого порядка—практически наиболее интересный случай — показана на рис. 6-10. На кривой отмечены важнейшие точки на температурной оси, определяющие параметры приведенной характеристики: точка перегиба кривой 0ь
1 Чтобы пояснить этот результат, рассмотрим сначала колебания узкого бруска, ориентированного так же, как пластина GT-среза. В таком бруске возникает продольная пьезоэлектрическая деформация, уравнение которой r'zz=—d'zsE'y. Уравнение упругости в этом случае имеет вид: r'zz=—$'33/'зз. Так как значения s'33 симметричны относительно осей X и Z, то угол поворота вокруг толщины пластины может быть взят с любым знаком. ТКЧ такого бруска отрицателен. Пусть теперь его ширина возрастает, тогда колебания сжатия—растяжения в направлениях длины и ширины становятся все более связанными. В то же время величина ТКЧ уменьшается, становясь положительной при достаточно большой ширине пластины. Оказывается, что не только существует такое значение bfl, при котором 7\=0, но имеется и соответствующее значение угла P°=ZZ/, при котором ТКЧ остается равным нулю в широком интервале температур А0«1ОО°С. Если например, Р°= 4-51°7'30", то при &//=0,859 середина горизонтального участка ТЧХ приходится на 0=4-25°С.
2 Температурно-частотные характеристики /Т-среза практически подобны характеристикам ЛТ-среза. Основное отличие заключается в том, что они симметричны относительно температуры 0;«+8О°С, а не 4-27° С, как для ЛТ-среза.
348
где вторая производная частоты по температуре обращается в нуль; точки Омаке и 0Миш соответствующие экстремумам ТЧХ, точки 0а и 0ь, соответствующие оптималь-
ным границам интервала рабочих температур для данной характеристики. Как видно из рис. 6-10, при изменении этого интервала целесообразно регулировать положение экстремумов кривой, изменяя угол среза ₽°; угол !Р° должен быть уменьшен, если необходимо сблизить ТОЧКИ 0макс и ©мин, и наоборот, увеличен, если эти точки надо
Рис. 6-10. Температурно-частотная характеристика 4Т-среза при отрицательном ТКЧ первого порядка.
и ©мин существует простое
раздвинуть.
Если в уравнении (6-2) ограничиться тремя первыми членами, то легко убедиться, что между температурами 0а, 0Ь, ©макс
соотношение
Об 0а — 2(0мия Омаке.) •
(6-5)
Положение точек Омин и 0макс на температурной оси, кроме угла среза Э°, определяется соотношением между поперечными размерами и толщиной пьезоэлемента (см. гл. 7).
Частотные диапазоны кварцевых резонаторов различных срезов. Для основной частоты собственных колебаний изгиба кварцевых элементов, совершающихся в кристаллофизических плоскостях XY' и K'Z'*, из соотношения (3-114) легко получить следующее выражение:
(6‘6)
где а — поперечный размер элемента в плоскости колебаний; / — его длина.
* Здесь мы будем рассматривать только колебания на основной частоте.
349
Частота продольных колебаний в кристаллографическом направлении У' определяется из формулы
(З-21» г	22
Для частоты колебаний сдвига по контуру вида т = ='1, п= 1 квадратных пластин со стороной квадрата а из формулы (3-94) можно получить:
(6-7)
ла V	55
Подобным же образом для частоты колебаний сдвига по толщине на первой гармонике для повернутых /-срезов, используя формулы (3-60) и (3-66), можно получить:
М)
Наконец [Л. 6-4], для частоты колебаний кручения применимо также аналогичное соотношение
= 0+gs) i ps"’	(6’9)
где g—отношение сторон поперечного сечения пьезоэлемента, а
2 __ S66ay “I" S44#z
— ^у + 4
причем ау и az — поперечные размеры пьезоэлемента (бруска), измеренные вдоль кристаллофизических осей У и Z.
Для приведенных соотношений, за исключением (6-6) и (6-9), общим является то, что определяемая ими частота собственных колебаний пьезоэлемента обратно пропорциональна первой степени одного из размеров а, I или h и прямо пропорциональна некоторому коэффициенту, зависящему от плотности кристалла и комбинации упругих констант последнего и тригонометрических функций угла среза. В первом приближении, довольно грубом, но часто достаточном для практических целей, указанный коэффициент для конкретного среза можно считать постоянной величиной. Он называется частотным коэффициентом и обозначается символом N. 350
Если принять теперь, что соотношение поперечных размеров az и ау для пьезоэлементов, совершающих крутильные колебания, а также размеров b и I для изгиб-ных стержней зафиксировано, то приведенные выражения (3-21) и (6-6) —1(6-9) можно записать в такой общей форме:
fr=4-
'Приближенные значения N для наиболее широко применяемых срезов кварца приводятся в табл. 6-2. В таблице даны также значения частотного коэффициента для некоторых модифицированных срезов и таких типов колебаний, для которых не найдено строгого решения уравнения колебаний. Тем не менее, основываясь на опытных данных, и на них обычно распространяют уравнение (6-10), в ряде случаев, правда, чис'го формально, так как частотный коэффициент далеко не всегда можно рассматривать даже как приблизительно постоянную величину.
Размерность частотного коэффициента в табл. 6-2 дана в килогерцах на миллиметр. Это значит, что если размер пьезоэлемента, определяющий частоту его колебаний, будет равен 1 мм, то эта частота, выраженная в килогерцах, окажется численно равной частотному коэффициенту. Указанное рбстоятельство позволяет приблизительно оценить диапазоны частот, в которых могут использоваться практически пьезоэлементы тех или иных срезов. Очевидно, что нижняя граница частотного диапазона всегда ограничена лишь техническими возможностями монтажа пьезоэлемента и приемлемостью размеров резонатора. Поэтому нижняя граница обусловливается обычно практическими требованиями, диктуемыми в основном объемами аппаратуры и возможностями размещения в ней резонаторов. В настоящее время только в исключительных случаях применяются кварцы, превышающие по своим габаритам радиолампы пальчиковой серии.
Верхняя граница диапазона, в котором может применяться тот или иной срез кварца, определяется достигнутым на данном этапе уровнем технологии производства, обусловливающим возможность выполнения пьезоэлементов с малыми частотоопределяющими размерами.
351
Таблица 6-2
Значения частотного коэффициента N для ^важнейших срезов кварца
Обозначение среза	Вид колебаний	Форма пьезоэле-’ мента	Приближенное значение N, нгц>мм
X xys/a? или zyb/v? (—50<а®<+6,50)	Изгиб В ПЛОС- КОСТИ XY (XY')	Стержень (брусок)	От 150 до 1200*
X Xys/a.9 (—20<а°<+9°)	Сжатие — растяжение по длине	Стержень (пластина)	От 2 720 до 2 900
J/xZ/P’ (+35’<р°< +55°)	Кручение	Стержень (брусок)	От 1 500 до 1860
МТ xysl/a9/^ (0°<а°< 4-8,5°, ±30’<₽°< ±50°)	Сжатие — растяжение по длине	Прямоугольная пластина	От 2 650 до 2 850
NT xyslla0/^ (0°<а°< 4-8,5°, ±40°<Р°< 4-70°)	Изгиб в плоскости YZ' (Y'Z')	Прямоугольная пластина	От 400 до 2 200*
DT ухЦГ (—510<р°<—53°)	Сдвиг по контуру	Квадратная пластина	От 2 070 до 2 080
То же	То же	Круглая пластина	От 2 465 до 2475
DT или SL yxlft9 (—51°<р°<—53°)	То же	Прямоугольная пластина, 6//^0,4	От 4 540 до 4 560*
То же	То же	Прямоугольная пластина, 6/Z^0,23	От 7 460 до 7 480*
DT угЬ/Г "" (—51°<р°<—53°)	То же	Прямоугольная пластина, 6//^0,38	-4,4 800*
СТ yxl/Г (+36»<р»< +38°)	То же	Квадратная пластина	От 3 080 до 3 100
То же	То же	Круглая пластина	От 3750 до 3780
То же	То же	Прямоугольная пластина, 6/Z^:0,46	-4,6 150*
Продолжение табл. 6-2
Обозначение среза	Вид колебаний	Форма пьезоэлемента	Приближенное значение N, кгц-мм
СТ или} НТ . 'yzbtf (+36°<0<+39°)	Сдвиг по контуру	Прямоугольная пластина, d/Z^-0,25	10 280*
ЕТ yxl/$° (+65°<₽°< +69°)	Сдвиг по контуру на 2-й гармонике	Квадратная пластина ♦	От 5 320 до 5440
GT yxls/$°/±450 (+50°45'<р°< + +51°30')	Сжатие — растяжение по длине — ширине	Прямоугольная пластина, Ь//^0,86	От 3 283 до 3 297 (на 1 мм ширины пластины
АТ Ух1/1° (4-34°<₽<>< 4-35,5°)	Сдвиг по толщине	Линза (двояковыпуклая или плоско-выпуклая)	От 1 680 до 2 060
АТ (+35°<₽°< +35,5°)	Сдвиг по толщине	Плоская пластина	670
То же	Сдвиг по толщине на 3-й гармонике	То же	~5010
То же	Сдвиг по толщине на 5-й гармонике	То же	~8350
ВТ УХ1/Г (—47°<₽°< —50°)	Сдвиг по толщине	Линза (двояко-или плоско-выпуклая)	От 2 560 до 2 660
То же	То же	Плоская пластина	~2 550
IT yxbl/—19*&/$* (+34*<₽°< +35°)	То же	Линза (двояко-или плоско-выпуклая)	От 1 770 до 2 100
То же	То же	Плоская пластина	^1770
« Условно считаем частотоопределяющим размером длину пьезоэлемента.
23—2584	353
Оценим в качестве примера частотный диапазон кварцевых брусков, совершающих колебания изгиба в плоскости XY (или XY'). Из табл. 6-2 следует, что частотный коэффициент таких брусков может изменяться в очень широких пределах. Действительно, относительная ширина диапазона частот, перекрываемого пьезоэлементами этого типа, чрезвычайно велика—около 6— 7 октав. Нижняя граница диапазона из-за большой длины пьезоэлемента определяется уже не только приемлемостью размеров резонатора, но и возможностью изыскания кристаллического сырья необходимых размеров. Немаловажную роль играет и то, что стоимость таких кристаллов может оказаться чрезмерно высокой. Поэтому в большинстве случаев желательно, чтобы длина пьезоэлемента не превышала примерно 70 мм. Минимальная длина пьезоэлементов рассматриваемого типа в настоящее время, как показывает практика, редко составляет менее 20 мм, в противном случае трудно обеспечить приемлемые значения импеданса резонатора. Расчет, основанный на данных, приведенных в табл. 6-2, показывает, что диапазон частот резонаторов данного типа составляет примерно 2—60 кгц. В самом деле, минимальное значение N, равное 150 кгц-мм, при принятых условиях определяет нижнюю границу диапазона
/= 150:70^2,1 кгц.
Верхняя же граница диапазона определяется из максимального значения частотного коэффициента:
/= 1 200 : 20=60 кгц.
Следует отметить, что приведенный расчет является, конечно, очень грубым, поскольку, уменьшая для изгиб-ного пьезоэлемента отношение а/1, можно добиться довольно значительного снижения коэффициента N и таким путем выполнить пьезоэлементы на частоты вплоть до 1 кгц при еще более или менее приемлемых размерах (в гл. 7 изложена методика соответствующих расчетов).^ этом случае, однако, придется мириться с некоторым возможным ухудшением электрических параметров резонатора.
Вводя аналогичные ограничения для других срезов кварца, мы получим границы частотных диапазонов, которые были указаны для некоторых срезов в табл. 6-1. Мы не будем здесь рассматривать подробно эти ограни-354
чения для каждого отдельного случая, поскольку читатель может сам установить их, сопоставляя табл. 6-1 и 6-2. Отметим лишь, что перекрытие всего диапазона частот, указанного в табл. 6-1 для срезов NT, DT и СТ, в настоящее время обеспечивается путем широкой вариации соотношений поперечных размеров пьезоэлементов, приводящей к значительному изменению частотного коэффициента.
Остановимся на резонаторах, пьезоэлементы которых совершают колебания по толщине. Естественно, что частотоопределяющий размер таких пьезоэлементов — их толщина — не должен служить критерием для установления нижней границы частотного диапазона. Конструктивные границы в этом случае определяются исходя из поперечных размеров кварцевой пластины. Так называемая теория захвата энергии [Л. 6-31] приводит к заключению, что для того, чтобы можно было пренебречь влиянием краев на колебания плоской пластины, ее поперечник в зависимости от номера гармоники колебаний должен превосходить толщину примернр в 30—60 раз. Поскольку для стандартизованных габаритных размеров резонаторов с толщинными колебаниями поперечники их пьезоэлементов не могут превышать 15—-16 мм [Л. 6-5— 6-7], легко понять, почему плоские пластины обычно не удается использовать на более низких частотах, чем 4—5 Мгц для АТ- и ZT-срезов и 6—7 Мгц для ВТ-среза. Понизить эти граничные частоты оказывается возможным, если использовать линзы — двояко- или плоско-выпуклые, ориентированные практически так же, как и плоские пластины упомянутых срезов. При этом, изменяя соответствующим образом радиусы кривизны линз, удается опустить нижнюю границу частотного диапазона до 2 Мгц у ВТ-среза и до 500—700 кгц у АТ- и IT-срезов.
Верхняя граница поддиапазона резонаторов с толщинными колебаниями с развитием техники и технологии кварцевого производства постоянно отодвигается. Сейчас уже вполне освоен диапазон до 25 Мгц у АТ-среза при колебаниях на основной частоте и до 30— 35 Мгц у ВТ-среза. Соответственно на пятой механической гармонике — более высокие обертоны из-за схемных трудностей стараются не применять — достигнуты частоты колебаний до 125 Мгц. Это, однако, далеко не предел, ибо как в СССР, так и за рубежом осваивается и 23*	355
более широкий диапазон—до 40 Мгц на основной частоте у ЛТ-среза и соответственно до 200 Мгц на пятом обертоне механических колебаний. Пьезоэлементы ВТ-среза пока еще на гармониках практически почти непри-меняются главным образом из-за слишком большого импеданса, характерного для обертонных колебаний пластин этого среза.
6-2. Динамические параметры резонаторов различных срезов
Уже известно, что вблизи одной из своих резонансных частот кварцевый резонатор может рассматриваться как электрический контур, состоящий из последовательно включенных динамической емкости Сь динамической индуктивности Li и активного сопротивления зашунти-рованных статической емкостью Со, являющейся суммой емкости самого кристалла См и емкости кристаллодер-жателя Сд. Эквивалентная схема такого контура — пьезоэлектрического резонатора — была приведена на рис. 3-6.
Для практических целей —выбора типа кварцевого резонатора и расчета электронной схемы, в которой должен использоваться этот резонатор, — необходимы сведения о конкретных значениях динамических параметров, которые и будут рассмотрены нами в настоящем параграфе. Укажем, что поскольку динамические индуктивность и емкость резонатора должны быть связаны формулой Томпсона
f	?____
lr	2nYL1Cl
то, зная один из этих параметров и резонансную частоту кварца, всегда можно вычислить другой. Поэтому в дальнейшем для простоты изложения будем, как правило, рассматривать только один из этих параметров, а именно—динамическую индуктивность. Такой выбор обусловлен большим удобством практических расчетов как самих резонаторов, так и тех цепей, в которых они обычно используются.
Динамическая индуктивность пьезоэлектрических резонаторов определяется, как это было показано выше, упругими и пьезоэлектрическими константами материала, с одной стороны, и геометрическими размерами пьезо-356
элемента — с другой. Связь между этими величинами различна для различных видов колебаний. Поэтому пределы осуществимых значений индуктивности мы рассмотрим раздельно для различных видов колебаний.
Изгибные колебания кварцевых пластин в плоскости YZfVZ'). Как было показано в § 3-5, динамическая индуктивность кварцевых пластин, совершающих колебания изгиба в плоскости YZ{Y'Zr), выражается следующим соотношением:
j __	1,ЗЗр h
Это выражение справедливо как для «чистых» Х-сре-зов, так и для срезов, относящихся к группе МТ-срезов. Поскольку «чистые» Х-срезы при изгибных колебаниях не обладают нулевым ТКЧ, они используются сравнительно редко (преимущественно в фильтровой технике). Что же касается ЛГГ-среза, то из технологических соображений следует считать более целесообразным применение тех его разновидностей, которые получаются путем только одного поворота вокруг оси Y (группа ориентаций хуЦр, где 50°^(р°^70°). Для этого случая при колебаниях на основной частоте (Л=2) формула (3-136) может быть с помощью подстановки
е\а = — еп cos[P	(6-11)
приведена к следующему виду:
т __ 2 026 Л /4 COST (b/iy
где величина Li имеет размерность генри, если Л выражается в миллиметрах.
В выражение (6-12) в принципе должны .подставляться значения гпг, взятые из табл. 3-1. Однако в этом случае не удается получить достаточно хорошего совпадения между расчетными и экспериментальными значениями Li, необходимого для практических целей. Более подходящими оказываются значения тц, найденные опытным путем [Л. 6-8] и приведенные на рис. 6-11 (сплошная линия). Для сравнения на этом же рисунке приведена кривая теоретических значений тг (пунктир).
Соотношение (6-12) позволяет грубо оценить область осуществимых значений динамической индуктивности 357
для резонаторов ЛТ-среза с одним поворотом, если принять, что длина пьезоэлемента не превышает 70 мм, а ширина—19 мм (ширина определяется внутренним диаметром баллона девятиштырьковой радиолампы «пальчиковой» серии). В таком случае отношения шири-
ны пьезоэлемента к его длине должны находиться в пределах, указанных на рис. 6-12. Изображенные на этом же чертеже другие верхние границы значений Ь/1 относятся к баллонам семиштырь-
Рис. 6-11. Зависимость коэффициента т2 от отношения ширины пластины к ее длине.
ковых «пальчиковых» радиоламп (максимальная допустимая ширина пьезоэлемента
Рис. 6-12. Область рекомендуемых значений отношения ширины к длине для кварцевых пластин WT-среза с одним поворотом (хг///р°, ±50°^р°^±70°).
15,5 мм) и к баллонам радиоламп типа «дробь» (6 макс — 6, 5 мм). Минимальная ширина пьезоэлемента 4 мм выбрана приблизительно исходя из конструктивных соображений (учитывалось, что на электродах пьезоэлемента должно быть выполнено фигурное разделение, которое будет описано ниже).
Возможность оценки допустимых значений Ь/1 предопределяет и возможность нахождения предельных величин динамической индуктивности резонаторов рассматриваемого типа. Эти значения в зависимости от выбранного отношения ширины кристаллического элемента к его длине могут быть определены по рис. 6-13 (сплошные линии). При составлении этого графика предполагалось, что толщина пьезоэлемента может заключаться 358
в пределах от 0,3 до 1,5—2 мм. На этом же рисунке пунктиром показана область осуществимых значений динамической индуктивности для изгибных кварцев среза xr/s/ + 5°. Сопоставление приведенных данных позволяет понять, почему этот срез все еще довольно широко используется в широкополосных низкочастотных фильтрах, несмотря на относительно большие значения ТКЧ. При широкой полосе фильтра относительная нестабиль-
ность его краев может оказаться удовлетворительной даже при значительном ТКЧ резонаторов, в то время как их небольшая индуктивность существенно облегчает выполнение расширительных катушек и согласование с внешними цепями входных и выходных сопротивлений фильтра.
Изгибные колебания стержней (брусков) в плоскости XY(XY'). Если для пластин, совершающих изгибные колебания в плоскости YZ' (или Y'Z'), мы имеем аналитическое выражение, связываю
щее их динамическую индук-
тивность с константами мате- Рис- 6’13* Область практически осуществимых значении Li для риала и их геометрическими л^.Среза с одним поворотом и размерами, то для брусков,	для среза xys/+5°.
колеблющихся в плоскости
XY(XY'), такое выражение еще не найдено. Экспериментально установлено, однако, что для практических целей и в этом случае может быть использовано соотношение, аналогичное (3-136), в котором коэффициент l,33p/zn4fe(ezi2)2 должен быть заменен формально вводимым «коэффициентом индуктивности» KL [Л. 6-8]. При этом в преобразованном для рассматриваемого случая выражении (3-136) следует сделать еще некоторые, также чисто формальные изменения. Дело в том, что хотя длина бруска, выполняющего колебания в плоскости XY', всегда должна быть параллельна оси У', его ширина может быть ориентирована как по оси X, так и по оси Z'. Значит, в выражение для динамической индук-
359
тивноста брусков вместо символов I, Ь и Л, обозначающих длину, ширину и толщину пьезоэлемента, для определенности следует ввести другие, более конкретизированные обозначения ах, ау и az, в которых индексы х, у и z указывают, по каким направлениям должны измеряться соответствующие размеры кристалла.
шения сторон их поперечного сечения.
С учетом изложенного преобразованное выражение (3-136) для данного случая примет следующий вид:
<613’
где Li выражается в генри, а2' — в миллиметрах, Kl — в генри на миллиметр.
Значения коэффициента индуктивности в зависимости от соотношения размеров бруска ах1аг> и ajay даны на рис. 6-14. Из приведенных графиков следует, что при аг, ^>ах значения K.L остаются приблизительно постоянными и примерно равными 1,2 гн[мм при любых ах1ау, и а^аг,. Если же аг,<^.ах,Гто KL быстро возрастает с увеличением как а^аг„ так и а^а^,. Характерно, что в пер-360
вом приближении для KL не выявляется зависимости от
кристаллографической ориентации пьезоэлемента.
Если ввести ограничения размеров брусков, подобные тем, которые были введены в предыдущем параграфе (а именно ау, в пределах от 20 до 70 мм, а а, и аг, в пределах от 2 до 5 мм), то, используя (6-13) и рис. 6-14, легко определить примерные пределы практически осуществимых значений динамической индуктивности для обсуждаемого случая. Эти пределы иллюстрирует рис. 6-15.
Продольные колебания пла
стин группы Х-срезов. В § 3-2 г было выведено выражение для ' динамической индуктивности
пьезоэлектрических стержней, совершающих продольные колебания в направлении оси Y' кристалла:
Рис. 6-15. Область осуществимых значений динамической индуктивности резонаторов с колебаниями изгиба в плоскости XY'.
f s V / L,’=|1.125-10“p(4-Л[гн].
Если ввести обозначение
K/=l,125-lO,lp^0 [гн/мм], (6-14) то это выражение можно переписать в такой форме: £1 = К1^-Л,	(6-15)
где £i выражено в генри, если h измерено в миллиметрах. В данном случае величина Кь также может быть названа коэффициентом индуктивности.
Выражение для динамической индуктивности было получено в предположении, что длина стержня значительно превышает два других его размера. Иногда, однако, необходимо выполнить резонатор с возможно 361
меньшей динамической индуктивностью (такие резонаторы используются в перестраиваемых генераторах и в фильтрах с расширительными катушками). Как следует из соотношения (6-15), снижение Ц кварца при продольных колебаниях может быть достигнуто как уменьшением толщины h пьезоэлемента, так и увеличе-
Рис. 6-16. Зависимость
коэффициента индуктивности Кь резонаторов среза xys/u? с продольными колебаниями от угла среза а° и отношения Ь/1.
нием соотношения его поперечных размеров Ь/1. При этом не следует забывать, что выражение (6-15) при Ь/1, превышающем 0,1, оказывается не вполне корректным. Тем не менее и в этом случае оно может быть формально использовано при практических расчетах, если не считать коэффициент индуктивности Кь постоянной величиной и вместо вычисленных его значений пользоваться экспери
ментальными значениями
[Л. 6-9], полученными для различных углов среза и отношений Ы1 и воспроизведенными на рис. 6-16.
Подставляя в соотношение (6-15) значения Кь из
графика рис. 6-16, можно приблизительно оценить осуществимые пределы динамической индуктивности резонаторов рассматриваемого типа. Предварительно, однако, следует сделать одно весьма важное замечание. Из соотношений (1-31), описывающих обратный пьезоэффект в кристаллах кварца, вытекает, что, кроме деформации растяжения — сжатия в направлении оси У, электрическое поле, параллельное оси X, вызывает еще и сжатие — растяжение вдоль последней и сдвиг в плоскости YZ. Если толщина пьезоэлемента h (h=ax) мала по сравнению с его длиной 1=ау, то частота колебаний сжатия — растяжения вдоль оси X, связанных с указанной деформацией кристалла, достаточно далека от рабочей частоты резонатора. Однако частота колебаний сдвига в плоскости, определяемой длиной и шириной пластинки, оказывается очень близкой к частоте ее про-
362
Рис. 6-J7. Зависимость частотных коэффициентов резонаторов среза xys/+§° от отношения Ь/1.
Ni — продольные колебания по длине; TVa — сдвиг по контуру; ЛГ3 — продольные колебания по ширине.
дольных колебаний .при значениях отношения Ь/1 в пределах 0,23—0,25, как это следует из сопоставления значений частотного коэффициента для обоих видов колебаний, приводимых на рис. 6-17. В такой ситуации система становится существенно немоночастотной и в качестве резонатора совершенно непригодной. Поэтому при колебаниях сжатия — растяжения в направлении механической оси кварца пластины с соотношениями между их шириной и длиной, равными 0,2—0,3, обычно на практике не используются.
Для пьезоэлементов с продольными колебаниями могут быть установлены примерно те же ограничения наибольших размеров, как и для изгибных резонаторов: наибольшая длина 70 мм, наибольшие ширины 19; 15,5 и 6,5 мм (для 9- и 7-штырьковых колб пальчиковых радиоламп и для колб радиоламп серии «дробь»). Наименьшей допустимой шириной
пьезоэлемента из конструктивных соображений следует считать ширину в 1,2 мм (поскольку на главные его плоскости приходится напаивать отводы, а поперечник пайки составляет примерно 0,6—1,0 мм) \ толщину пьезоэлемента рассматриваемого типа трудно выполнить меньшей 0,2—0,3 мм *. Пределы осуществимых при этих условиях значений динамической индуктивности резонаторов приведены на рис. 6-18.
Колебания сдвига по контуру. Как было показано Бехманом [Л. 6-10], динамическая индуктивность кварцевого резонатора, совершающего колебания сдвига по
* Следует учитывать, что как при увеличении ширины, так и при уменьшении толщины кварцевых пластин обсуждаемого типа довольно резко возрастают температурные изменения их частоты. Причины этого будут пояснены при обсуждении примеров расчета резонаторов в гл. 7.
363
контуру, может быть с известным приближением вычислена при помощи следующего соотношения:
£г = 2,981 • 10”	(6-16)
\Я 25 J
где h — толщина кварцевой пластины; 0—«коэффициент формы», зависящий от конфигурации главных граней пьезоэлемента и нанесенных на них электродов; $'55 и
— соответственно приведенные константа гибкости и пьезоэлектрический модуль кварца; напомним, что для наиболее важных с практической точки зрения «повернутых» У-срезов
s'66 — s44 cos2 + <see sin2 0° — 2s14 sin 20° и
d'2g = dn sin 20° + d14 cos2 0°.
Для величины p, входящей в соотношение (6-16), точное аналитическое выражение не найдено, поэтому для пластин различной формы приходится пользоваться
Рис. 6-18. Пределы осуществимых значений динамической индуктивности при продольных колебаниях.
экспериментальными данными. Необходимо отметить, что точность расчета динамической индуктивности непосредственно из упомянутого соотношения недостаточно велика и что по этой причине для практических расчетов его приходится использовать в формализованном виде. Именно в нем обычно выделяют на первый план зависимость индуктивности от толщины пьезоэлемента, объединяя остальные члены правой части уравнения в коэффициент пропорциональности KL, также носящий название коэффициента индуктивности. Тогда формула (6-16) приобретает следующий вид:

(6-17)
364
\	Таблица 6-3
Значения коэффициента Индуктивности резонаторов с контурными колебаниями
Срез	Угол среза £•	Форма пьезоэлемента	aZ'la*	Кц гн/мм
DT	—51 4- —53°	Квадратная Круглая Прямоугольная То же	1 0,37—0,42 0,21—0,23	53—56 46—49 28—32 17,5—22,5
СТ	+36 -т- +38°	’Квадратная Круглая Прямоугольная	1 ^3,9	22—24 19—21 6—8
ЕТ	+66 4- +69°	Квадратная	1	38—47
где Кь есть некоторая переменная величина, зависящая от ориентации кварцевой пластины и формы ее главных поверхностей, а также от формы нанесенных на нее электродов1. Надо иметь в виду также и тот факт, что Кь не зависит от толщины пластины только тогда, когда толщина пластины достаточно мала по сравнению
с ее поперечными размерами. Опыт показывает, что Кь можно считать постоянной величиной, если b/h^20 (b — меньший поперечный размер пьезоэлемента). Значения коэффициента индуктивности в зависимости от различных аргументов определяются экспериментально. Подробно эти зависимости будут рассматриваться ниже, в гл. 7, здесь же мы воспользуемся приближенными значениями Кь, взятыми из работ (Л. 6-10—6-13], для
Рис. 6-19. Пределы осуществимых значений динамической индуктивности для срезов DT, СТ и ЕТ.
оценки возможных пределов динамической индуктивности резонаторов с контурными колебаниями. Эти значения приведены в табл. 6-3.
1 Кь имеет размерность гн!мм, если Li измеряется в генри, a h — в миллиметрах.
365
Для оценки предельных значений динамической индуктивности резонаторов рассматриваемого типа примем, что практически осуществимыми являются пьезо-элементы с толщинами в пределах от 0,25 до 4 мм. Несложный расчет с подстановкой значений Кь из табл. 6-3 позволяет получить результаты, приведенные на рис. 6-19. Области достижимых значений динамической индуктивности показаны в соответствии с диапазонами частот, в которых используются рассматриваемые срезы.
Колебания сдвига по толщине. Для плоских пластин, совершающих колебания по толщине, в гл. 3 было получено выражение (3-81), позволяющее вычислить их динамическую индуктивность. Выражение (3-81) было выведено для пластин бесконечно больших поперечных размеров. Напомним, что согласно современным представлениям оно применимо в тех случаях, когда наименьший из поперечных размеров пластины превосходит ее толщину в 30—60 раз и более. При выводе упомянутого выражения не накладывалось никаких ограничений на кристаллографическую ориентацию пьезоэлемента; таким образом, оно должно быть справедливо для любых срезов кварца
Для практических расчетов выражение (3-81) не вполне пригодно, так как в приведенной форме оно требует слишком громоздких вычислений и не дает при этом достаточно точных результатов, поскольку не учитывает влияния параметров наносимой на поверхность пьезоэлемента металлической пленки, ее толщину и т. п. Поэтому в инженерной практике обычно пользуются упрощенным соотношением, отражающим зависимость £.1 от толщины пластины и геометрии наносимых на нее электродов:
(6-18)
где величина Kl объединяет как соответствующие константы кристалла, так и величины, относящиеся к электродному слою. В данном случае эту величину также называют коэффициентом индуктивности. Естественно,
1 Конкретная величина динамической индуктивности резонатора, разумеется, .зависит от угла среза пьезоэлемента, поскольку в выражение (3-81) входит коэффициент связанный с его кристаллографической ориентацией.
366
что коэффициент Кь чаЬхе всего определяется экспериментально. Было показано [Л. 6-14], что соотношение (6-18) применимо не только к плоским пластинам, но также и к линзам (как двояко\так и плоско-выпуклым) при не слишком малых радиусах кривизны их поверхностей1. В этих условиях значения мало отличаются от тех, которые могут быть определены для плоских пластин: 7<l = 39 гн/мм для ЛТ-среза; /Сь = 48 гн]мм для ВТ-среза; динамическая индуктивность Lx в формуле (6-18), естественно, выражается при этом в генри, h — в миллиметрах, aS — в квадратных миллиметрах.
Линзы относительно большой кривизны (при радиусе сферы меньше 200 мм) также довольно широко применяются в настоящее время. Они используются в основном на наиболее низких частотах колебаний, охватываемых ЛТ-срезом, приблизительно от 500 до 2 000 кгц. Как правило, такие линзы позволяют обеспечить удовлетворительные электрические параметры при относительно небольших поперечных размерах, чего весьма затруднительно добиться, употребляя плоские пластины или линзы с пологой поверхностью. До сих пор, однако, не получено строгого математического решения уравнений, описывающих колебательные процессы в таких линзах, хотя соответствующие попытки предпринимались неоднократно многими авторами. В то же время практика показала, что расчет электрических параметров линз с большой кривизной поверхности с помощью соотношений, выведенных для плоских пластин, приводит к большим ошибкам. Поэтому оказалось необходимым отыскать хотя бы эмпирические зависимости, связывающие эти параметры с геометрией линз и их кристаллографической ориентацией. Для линз ЛТ-среза была получена [Л. 6-15] полуэмпирическая формула, позволяющая производить расчет их динамической индуктивности:
(6-19)
1 Конкретно при /?Сф^200 мм для плоско-выпуклых и /?Сф^> ^400 мм для двояковыпуклых линз.
367
где da — диаметр «активной* части линзы, вычисляемый с помощью следующего соотношения:
(6-20)
/
где рСф — радиус кривизны поверхности плосковыпуклой линзы или половина этого радиуса для двояковыпуклой линзы, мм;
h — толщина линзы, измеренная между центрами главных граней, мм;
п — номер гармоники колебаний;
f — собственная частота линзы, Мгц;
d3— диаметр нанесенных на поверхности линзы электродов, мм (предполагается, что электроды равны).
Индуктивность линзы не может стать меньше некоторой предельной (Л. 6-16]:
Лмин=И,83«2р<^5-	(6-21)
Подобное же выражение, очевидно, может быть найдено и для линз ВТ-среза. Численные коэффициенты, входящие в (6-19) и (6-21), в этом случае будут уже другими.
Соотношение (6-19) не учитывает экспериментально наблюдаемую зависимость динамической индуктивности линз от их поперечных размеров. Поэтому расхождения значений, рассчитанных с помощью этого соотношения, с измеренными на практике в тех случаях, когда поперечник линзы а^.2 da, могут быть сравнительно велики. Кроме того, некоторое расхождение расчетных и наблюдаемых значений может быть, по-видимому, обусловлено зависимостью динамической индуктивности пьезоэлементов, колеблющихся по толщине, от параметров (материала, структуры и толщины) наносимых на них электродов. Соответствующие закономерности еще точно не установлены. Поэтому приведенные на рис. 6-20,а пределы осуществимых значений динамической индуктивности резонаторов АТ- и ВТ-срезов, вычисленные с помощью соотношений (6-18) — (6-21) и скорректированные по экспериментальным данным, следует рассматривать лишь как весьма приближенные. Эти значения получены в предположении, что пьезоэлементы на частоты от 0,5 до 10 Мгц могут выполняться в виде 368
0
Рис. 6-20. Практически осуществимые пределы динамической индуктивности для резонаторов, колеблющихся по толщине (а), и соответствующие пределы поперечных размеров и размеров электродных покрытий для ЛТ-среза (б).
24—2584
369
линз, а от 1 Мгц и выше — в вйде плоских пластин. Для простоты предполагалось т^кже, что в поперечнике пьезоэлементам придается круглая форма, а наносимые на них электроды имеют форму «замочной скважины» (рис. 6-20,6). На рис. 6-20,6 указаны также пределы, за которые обычно не выходят значения диаметров кварцевых элементов d и ^наносимых на них электродов
у резонаторов, совершающих колебания сдвига по толщине.
6-3. Динамическое сопротивление резонаторов различных срезов и их добротность
Добротность кварцевых резонаторов, также как и других систем, совершающих незатухающие колебания, определяется отношением энергии, запасаемой системой за определенный период времени, к энергии, расходуемой за этот же период. Как отмечено ранее, добротность кварцевого резонатора связана с его динамическими параметрами и с частотой его колебаний известным соотношением
<6-22)
В гл. 3 и в § 6-2 на примере индуктивности резонатора уже обсуждался вопрос о том, от каких аргументов зависят значения реактивных параметров его эквивалентной схемы. В первом приближении эти параметры зависят только от геометрической формы, размеров и кристаллографической ориентации пьезоэлемента. В значительной степени те же аргументы определяют и средние значения динамического сопротивления резонаторов. Однако конкретное значение сопротивления каждого отдельного резонатора, как было показано в гл. 5, является мерой присущих именно ему активных потерь, имеющих место при его колебаниях. Эти потери складываются из потерь на трение внутри кристалла и в его поверхностном слое, потерь в системе крепления, акустических потерь и т. п., которые могут значительно изменяться от образца к образцу. Последнее обстоятельство играет особую роль тогда, когда мы сравниваем однотипные резонаторы, т. е. резонаторы, пьезоэлементы которых имеют одинаковую форму, размеры и одинаковую ориентацию по отношению к кристаллографическим 370
осям. Если же сравнивать резонаторы с пьезоэлементами неодинаковой конструкции, то можно заметить существенную разницу иногда даже в порядках величин средних значений динамического сопротивления. Поэтому для оценки качества неоднотипных резонаторов обычно удобнее пользоваться не величиной а до-
Рис. 6-21. Практические пределы значений динамического сопротивления вакуумированных резонаторов.
бротностью — параметром, значения которого более наглядно отображают различия в величинах активных потерь для конкретных экземпляров резонаторов безотносительно к срезу пьезоэлемента, частоте его колебаний и т. п. В настоящем параграфе рассмотрим именно те различия между резонаторами разных срезов и частот колебаний, подметить которые позволяет знание пределов их динамического активного сопротивления.
Попытки расчета характеристических значений динамического сопротивления пьезоэлектрических резонаторов предпринимались неоднократно (например, [Л. 1-4, 6-10 и др]). Однако полученные расчетным путем ре-24*	371
зультаты не имели сколько-нибудь серьезного практического значения из-за того, что технологические и конструктивные особенности резонаторов обычно приводили к заметным отличиям экспериментальных значений сопротивления от вычисленных. Более того, по указанным причинам, как правило, наблюдается значительный разброс этих величин от образца к образцу. Поэтому более
Рис. 6-22. Практические пределы значений динамического сопротивления невакуумированных кварцевых резонаторов
достоверные результаты дают непосредственные измерения наиболее современных типов промышленных резонаторов. Такие результаты, собранные и обобщенные М. И. Ярославским то техническим и рекламным материалам и подвергнутые статистической обработке, представлены на рис. 6-21 для вакуумированных и на рис. 6-22 для невакуумированных резонаторов.
Следует иметь в виду, что с развитием пьезокварцевой техники верхняя и нижняя границы областей значений динамического сопротивления не проявляют тенденции к сближению. Дело в том, что наблюдаются две противоположные тенденции: в то время, как у резонаторов, предназначенных для генераторных схем, доброт-372
ность все время повышается (а следовательно, уменьшается 1?1), у фильтровых резонаторов она снижается по мере того, как совершенствуются методы подавления нежелательных побочных колебаний (см. ниже).
Необходимо отметить еще одно весьма важное обстоятельство. Резонансное сопротивление кварцевого резонатора как и его добротность Q, отнюдь не являются постоянными величинами, присущими данному резонатору при любых условиях; напротив, они могуг сильно изменяться в зависимости от уровня рассеиваемой на кристалле мощности (уровня возбуждения резонатора). Лишь при очень небольших мощностях эти параметры для данного резонатора становятся практически постоянными. Поэтому при использовании резонаторов в электронных схемах уровни их возбуждения не должны превышать значений, приведенных в табл. 6-4 и найденных на основании многолетних исследований. Они устанавливаются действующими в Советском Союзе государственными стандартами на кварцевые резонаторы [Л. 6-5, 6-6].
Таблица 6-4
Максимально допустимые уровни возбуждения кварцевых резонаторов
Частота, кгц	Вид колебаний	Максимально допустимая мсщность рассеяния, мет
4—60	Изгиб	0,1
50—800	Сжатие — растяжение и сдвиг по контуру	2,0
500—40 000	Толщинные колебания на основной частоте	4,0
Свыше 15 000	Толщинные колебания на гармониках	2,0
Примечание. Для прецизионных резонаторов мощность рассеяния не более 10 мквт.
Следует помнить, что превышение этих уровней может вызвать не только изменение активного сопротивления и добротности резонатора, но также и целый ряд других крайне нежелательных последствий. В частности, возможно как общее повышение температуры резонатора» так и возникновение местных температурных градиентов в его кристаллическом элементе. Обычно такие явления обусловливают столь значитель-
373
ное изменение частоты колебаний кристалла, что она выходит за пределы установленных допусков. Высокие уровни возбуждения также приводят часто к появлению побочных колебаний, обусловливаемых так называемым параметрическим резонансом или другими нелинейными эффектами.
Эквивалентное активное сопротивление (динамическое сопротивление) и добротность резонаторов, как правило, не остаются неизменными при изменении их температуры. С повышением температуры - добротность резонатора обычно пада ет, а его сопротивление возра-стает^ Причина этого явления заключается отчасти в особенностях строения кристаллической решетки кварца и во взаимодействии атомов решетки с ионами входящих в нее примесей; однако более существенными причинами температурных изменений /?1 и Q являются несовершенства конструкции и монтажа резонаторов., тдследние часто приводят к весьма нерегулярным изменениям указанных параметров в зависимости от температуры. Нерегулярные изменения добротности и эквивалентного сопротивления резонаторов в некотором интервале температур вызываются также наличием связанных колебаний (более подробно см. в § 6-6).
6-4. Резонансный промежуток и соотношение емкостей резонатора
Используя уже известное соотношение (3-23): f =_________________________1___
/r 2куг£1С1 и
fo=—z2_	=—+	(6-23)
2"КLt ~^+сТ Г 1 1'
те fr и fa — частоты резонанса и антирезонанса кварцевого резонатора, легко прийти к следующему выражению:
~ <£-.	(6-24)
Это выражение определяет относительное расстояние между резонансом и антирезонансом у кварцевого резонатора и в известной степени является мерой его качест-374
ва. Величина, определяемая формулой (6-24), носит название относительного резонансного промежутка резонатора. Чем она больше, тем больше активность колебаний резонатора в генераторной схеме и тем более широкую полосу пропускания имеет фильтр, выполненный на подобных резонаторах.
В самом деле, например, из соотношений (3-25) и (3-32) для продольных колебаний и из формул (3-80) и (3-82) для колебаний по толщине следует:
С. _ 16 (gz)2 2С0	n2</,ez ’
где через е', q' и е' мы обозначили соответствующие каждому случаю значения действующих пьезоэлектрической, упругой и диэлектрической постоянных. Чем выше величина действующей пьезоэлектрической постоянной, тем больше активность колебаний резонатора при его включении во внешнюю электрическую цепь (исключая случай возбуждения резонатора в точности на резонансной частоте, где его активность определяется скорее значением эквивалентного сопротивления /?1).
Характерно, что в выражение (6-25) не входят размеры кристалла. Это свидетельствует о том, что при продольных и толщинных колебаниях величина относительного резонансного промежутка определяется только кристаллографической ориентацией, т. е. углом среза пьезоэлемента. То же в самом первом приближении оказывается верным и для других типов колебаний. Поэтому можно говорить о резонансном промежутке как о характеристике среза. Поскольку, однако, всегда Ci<cC0, то величина Ci/2CO<C1. По этой причине принято характеризовать резонатор обратной величиной — емкостным коэффициентом r = CQICi. Чем меньше это отношение для некоторого резонатора, тем большей полосой пропускания обладает фильтр с этим резонатором и тем более активны его колебания в генераторной схеме. Значения емкостного коэффициента для различных срезов кварца приведены в табл. 6-5. Следует иметь в виду, что на практике значения этого отношения у реальных резонаторов отнюдь не являются константами из-за того, что вклад емкости кристаллодержателя в суммарную величину Со изменяется как при изменении геометрии и размеров пьезоэлемента, так и при изменении конструкции резонатора в целом.
375
Таблица 6*5
Значения емкостного коэффициента г для различных срезов кварца
Срез	Вид колебаний	’г—Co/Ci
x^s/+5°, биморфные (сдвоенные)	Изгиб по толщине	200
X0S/+5®	Изгиб в плоскости K'Z'	200
xi/s/4-5’	Изгиб в плоскости XT'	800
То же, прорезные (с продольной щелью)	То же	300
NT xylffi, ±50e<₽°<±70°	Изгиб в плоскости K'Z'	700 — 2500 (линейно возрастает с увеличением угла ₽•)
xys/+&>	Сжатие — растяжение по длине	130
DT yxl/r, —5153°	Сдвиг по контуру	400
СТ yxl/Г, 4-36®<₽°< 4-39’	То же	350
ЕТ Ух1/Г, 4-65’<₽’< 4-69’	Сдвиг по контуру на 2-й гармонике	1 800
ОТ yx/s/4-51’/±45*	Сжатие — растяжение по длине — ширине	350.
ВТ УхЦ?, —47’<р’<— 50*	Сдвиг по толщине на основной частоте	650
АТ УХ1/Г, 4-34’<₽’< 4-35,5*	То же	250
АТ nW, +34eCf*<+35,5®	Сдвиг по толщине на гармониках (п=3, 5, 7 ит. д.)	250 л2
376
6-5. Частотный спектр колебаний резонатора
В идеальном случае собственные колебания кварцевого резонатора должны были бы возникать только на той единственной частоте, на которую рассчитан этот резоцатор. Однако выполнить практически такой моно-
частотный резонатор, за редкими исключениями, невозможно; как правило, кварцевый резонатор, помимо того
вида собственных колебаний, которым обусловливается его рабочая частота, обладает еще целым рядом побочных частот1. Для того чтобы объяснить причины их появления и то, как некоторые из них при необходимости могут быть подавлены, рассмотрим характерные особенности основных видов колебаний, которые могут осуществляться в кварцевых резонаторах [Л. 4-37].
Изгибные (поперечные) колебания. При изгибных колебаниях сме-
Рис. 6-23. Изгибные колебания стержня со свободными концами.
щение частиц колеблющегося стержня происходит в направлении одного из его поперечных размеров; примем, что этим направлением является ширина стержня b (рис. 6-23,а). Упругая волна в рассматриваемом случае распространяется вдоль длины кристалла. Размер осевой линии вдоль длины колеблющегося тела при изгибе не изменяется. Характер движений во время колебаний на основной частоте иллюстрируется рис. 6-23,6, где пунктиром обозначена конфигурация стержня в противоположной фазе. Колебания на второй гармонике приблизительно могут рассматриваться как пара изгибных движений первого порядка в противопо-
* Следует сразу же оговориться, что .часто употребляемые термины «паразитные колебания», «паразитный резонанс» и т. п. не всегда можно считать правомерными, поскольку в некоторых случаях именно эти колебания используются как рабочие. В качестве примера можно указать на гармоники основного колебания: очень часто как раз их-то и стараются выделить во внешней цепи.
377
ложных фазах в двух соединенных между собой торцами половинках стержня (рис. 6-23,в). Соответственно колебания на третьей гармонике можно представить как комбинацию синфазных движений основного тона в двух крайних третях стержня и движения в противофазе средней его трети (рис. 6-23,г).
Черные пятнышки на изображениях стержня при колебаниях — это узлы или неподвижные точки. При основных колебаниях стержней с очень малым отношением поперечного размера к продольному они располагаются на расстоянии от торцов, равном 0,224 длины
Рис. 6-24. Изгибные колебания пластин со свободными краями.
Рис. 6-25. Продольные колебания стержня со свободными концами.
стержня /*, при колебаниях на второй гармонике — в его центре и на расстояниях 0,132/ от его торцов и при третьей гармонике —на расстояниях 0,094/ и 0,32/ от каждого из концов бруска. Порядок колебания п.и число узловых точек k при изгибе связаны следующим соотношением:	—1.
Обращаем внимание на то, что торцы стержня, как это следует из рис. 6-23, смещаются параллельно друг другу при изгибе четного порядка и в противоположных направлениях при нечетных гармониках колебаний.
* Более точно это расстояние равно 0,2242/ при а/1—>0 (а — поперечный размер, определяющий частоту колебаний стержня). При конечных значениях отношения а/1 узлы согласно [Л. 3-10] все больше приближаются к торцам стержня с увеличением указанного отношения.
378
В случае пластин надо учитывать, что изгиб может иметь место и вдоль их ширины. Таким образом, колебания изгиба могут происходить как в плоскости длина —
толщина, так и в плоскости длина — ширина пластины. Это положение иллюстрируется рис. 6-24 (рис. 6-24,а — изгиб 1-го порядка как по длине, так и по ширине; рис. 6-24,6 — изгибы 2-го порядка по длине — толщине и 4-го порядка по ширине — толщине).
Продольные колебания. Продольные колебания незакрепленного стержня показаны схематически на рис. 6-25 Очевидно, что колебания на
основной частоте представляют собой переменное растяжение и сжатие стержня вдоль его длины (рис. 6-25,а). При колебаниях на второй гармонике одна половина стержня растягивается, а вторая сжимается (рис. 6-25,в). При колебаниях на третьей гармонике средняя треть стержня растягивается (или сжимается), а две крайние сжимаются (или соответственно растягиваются), рис. 6-25,в. Заметим здесь же, что ча-
Рис. 6-26. Различные типы колебаний по контуру (низкочастотный сдвиг).
Точками показаны узлы колебаний.
стота колебаний на второй
гармонике не равна в точности удвоенной частоте основных колебаний, а частота третьей гармоники не равна утроенной частоте основного тона из-за дисперсии упругих волн, т. е. из-за того, что скорость ’распространения этих волн изменяется (уменьшается) с повышением частоты. Это явлениеХ аналогично хорошо известному явлению дисперсии световых волн в прозрачной среде.
—Еслй'ТГмёем дело не ~с узким тонким стержнем, а с
параллелепипедом, выполненным из кристаллического материала, то вследствие анизотропии этого материала в самом общем случае в нем будут распространяться
три взаимно перпендикулярные волны сжатия — растяжения. Скорости всех трех волн опять-таки в самом общем случае будут разными; следовательно, несколько различными уже по одной этой причине должны быть соответствующие частоты собственных колебаний.
379
правления I, а п — число
Рис. 6-27. Различные типы колебаний сдвига по толщине (высокочастотный сдвиг).
Сдвиговые колебания. Выше мы уже условились различать два вида сдвиговых колебаний — колебания сдвига по контуру и сдвига по толщине. Контурные (низкочастотные) сдвиговые колебания иллюстрируются рис. 6-26. Основной частоте при этом соответствует рис. 6-26,а (т=1, п=1). Как уже отмечалось в § 3-4, т обозначает число узлов, обнаруживаемых вдоль на-узлов вдоль направления b пластины. Показаны две фазы колебаний (сплошная и пунктирная линии). Сдвиговые колебания комбинируются либо вдоль длины, либо вдоль ширины пластины. Так, складываясь вдоль длины пластины, два противофазных сдвига образуют колебания, обозначенные на рис. 6-26,6 индексами лз=2, п=1. Для примера на рис. 6-26,в иллюстрируется колебание типа /ш= = 6, п=3. Если т=2 и п=2, то этот случай часто условно называют колебаниями на второй гармонике.
На этих рисунках деформация отличается по форме от той, которая была показана для статического сдвига, так как теперь рассматриваются динамические деформации. Имеются данные, свидетельствующие о том, что в последнем случае характер движения действительно близок к тому, который изображен на схемах [Л. 1-4]. При высокочастотных сдвиговых колебаниях тонкой пластины движение ее частиц перпендикулярно направлению распространения упругой волны (в этом случае таким направлением будет толщина). Рассмотрение плоской картины здесь уже недостаточно, и приходится вводить новый индекс р, показывающий число секций (узлов), обнаруживаемых при колебаниях в третьем измерении. Несколько типов деформаций, характерных для высокочастотного сдвига, показано на рис. 6-27. В гл. 3 уже указывалось, что более или менее согласующиеся с экспериментом значения собственных ча-380
стот колебаний сдвига по контуру в кристаллических пластинах могут быть вычислены с помощью соотношения
[$66 в формуле (3-92) равно s'55 в формуле (3-92')].
Для случая высокочастотных колебаний сдвига по толщине при конечных поперечных размерах пластины предложена аналогичная эмпирическая формула [Л. 4-37]
f (гр)=4-	* (6-26)
где ki и k2 — постоянные, определяемые экспериментально; с известным приближением можно принять, что Й1=&2=1. Физ тческий смысл величин т, п и р, входящих в эти выражения, расшифровывается рис. 6-26 и 6-27: указанные величины определяют характерные особенности колебаний, возникающих при тех или иных значениях т, п и р. Опыт показывает, что практически в каждом пьезоэлементе, совершающем сдвиговые колебания, могут быть найдены резонансы, соответствующие целому ряду комбинаций величин т, п и р. Таким образом, если при изгибных и продольных колебаниях резонаторов в них, помимо основной частоты, могут быть возбуждены пьезоэлектрическим путем еще только ее гармоники, то при колебаниях сдвига в пластинах ко-нечных разтйерОТгтду!^^	серии резонанс-
пых“Колёбаний, располагающихся~ на сравнительно" небольших расстояниях~друг от друга. В^шинбе\расцоло-'ткспттс-частот этй'х'~колебаний определяется соотношением между поперечными размерами пластины при контурном сдвиге и -соотношением между поперечными размерами и толщиной при сдвиге по толщине.
Естественно, что относительное расстояние между отдельными резонансными частотами при колебаниях сдвига по контуру не зависит ни от частоты колебаний, ни от толщины пьезоэлемента, если геометрическая форма пьезоэлемента остается постоянной. Поэтому появляется возможность определить эти расстояния для пластин различных форм. Результаты измерения этих расстояний приведены в табл. 6-6 для квадратных, круглых и прямоугольных пластин срезов DT и СТ [Л. 6*18].
381
тУа б л и ц a 6-6
Отношение частот рабочего и побочных видов колебаний ГРаб/Аюб
Форма и срез пьезоэлемента	Номер побочного резонанса												
	3'	2'	1'	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
													
Круглая; DT	»			1	1,8	2,66	3,05	3,26	3,50	3,90	4,03	4,25	
Круглая; СТ				1	1,44	1,46	1,53	1,63	2,04	2,24	2,41	2,45	2,84
Квадратная; DT		0,79	0,92	1	1,24	1,54	1,58	1,94	2,06	2,23	2,28	2,33	2,35
Квадратная; СТ		0,83	0,92	1	1,26	1,5	1,6	1,95	2,01	2,08	2,33	2,39	2,41
Квадратная, стороны квадрата под углом 45° к осям X и Z'; DT				1	1,11	1,12	1,8	1,82	3,0	3,6	3,66		
Квадратная, стороны квадрата под углом 45° к осям X и Z'; СТ	0,56	0,75	0,97	1	1,11	1,21	1,25	1,49	2,06	2,27	2,43	2,85	2,91
Прямоугольная, az//ax==0,41; DT			0,65	1	1,41	1,66	2,2	2,47	2,63	2,76	2,98	3,01	3,62
Прямоугольная, aZ'/ax=0,463; СТ	0,45	0,6	0,93	1	1,08	1,12	1,27 '	1,34	1,48	1,66	1,9	1,98	2,05
Продолжение табл. 6-6
я	Номер побочного резонанса												
Форма и срез пьезоэлемента	10	п	12	13	14	15	16	17	18	19	£0	21	22
Круглая; DT Круглая; СТ	2,98	3,20	3,25	3,30	3,40	4,20							
Квадратная; DT	2,61	2,65	2,78	2,81	2,95	3,15	3,45	3,55	3,65	3,69	3,73	3,82	4,15
Квадратная; СТ	2,72	2,86	2,88	3,07	3,19	3,56	3,66	3,76	3,82	4,12			
Квадратная, стороны квадрата под углом 45° к осям X и Z'; DT Квадратная, стороны квадрата под углом 45° к осям X и Z'; СТ	2,96	3,01	3,15	3,46	3,75	3,95	4,15			*			
Прямоугольная, 0z'/ax=O,41; DT	3,625	3,85	3,94	4,1									
Прямоугольная az'/Ях=0,463; СТ	2,33	2,47	2,67	2,75	2,88	3,0	3,34						
Рассмотренная картина образования спектра частот пьезоэлектрического резонатора будет неполной, если не обратить внимание на следующее обстоятельство. Из (1-31) следует, что при любом направлении воздействующего на кварцевый элемент электрического поля в нем возникают по крайней мере два вида пьезоэлек-
Рис. 6-28. Пыльные фигуры, образующиеся на поверхности кварцевой линзы при колебаниях сдвига по конту- -» ру (а) и сдвига по толщине вида т=1; п—2; р=1 (о).
384
трических деформаций (кроме случая, когда поле в точности параллельно оптической оси кристалла: тогда такие деформации не возникают вообще). Поэтому в пьезоэлементе любого среза (кроме Z-среза) в принципе всегда могут быть возбуждены колебания нескольких видов: например, пластины Х-среза могут совершать колебания растяжения — сжатия как вдоль электрической, так и вдоль механической осей кристалла и колебания сдвига в плоскости YZ, а пластины любого из группы У-срезов— колебания сдвига в плоскостях XY (ХУ') и ZX (Z'X).
Наглядно это иллюстрируют две фотографии, приведенные на рис. 6-28. На рис. 6-28,а приведена фотография фигуры Хладни, полученная с помощью порошка ликоподия при резонансных колебаниях пластины АГ-среза размерами 82,5X82,5X8,7 мм на частоте 53,8 кгц, а на рис. 6-28,6— фигура Хладни на той же пластине при частоте 212,6 кгц. Очевидно, что в первом случае наблюдается контурный сдвиг, а во втором — сдвиг по толщине вида т=1; п=2; д='1. Оба эти вида колебаний были получены в одном и том же генераторе путем перестройки анодного контура. Заметим, что самопроизвольные перескоки колебаний резонаторов с одного из этих видов на другой действительно наблюдаются на практике в некоторых типах генераторных схем.
6-6. Активность резонатора и устойчивость его колебаний на заданной частоте. Связанные колебания
По определению, данному в публикациях Международной электротехнической комиссии [Л. 6-19], активность кварцевого резонатора есть условный термин для качественного сравнения способности резонаторов колебаться в одинаковых условиях. Этим определением подчеркивается неприемлемость использования термина активность для количественной характеристики собственно резонатора как отдельного прибора. В самом деле, под активностью в инженерной практике обычно понимается величина переменного напряжения (или тока), возникающего в какой-то точке электронной схемы, чаще всего на ее выходе, при включении в эту схему данного резонатора. Отсюда сразу следует, что актив-25—2584	385
ность представляет собой параметр не только резонатора, но и той схемы, в которой он в данный момент рабо* тает. Если, скажем, в этой схеме на выходе наблюдается напряжение в 10 в, то в другой схеме при установке в нее того же резонатора может быть замерено 2 в или же 15 в. Каким же числом следует характеризовать активность этого резонатора? Ясно, что оно не должно быть связано с параметрами внешней цепи, а должно выражать свойства непосредственно самого резонатора. С точки зрения** изготовителе резонаторов наиболее удобными для этой цели являются такие величины, как добротность или эквивалентное активное сопротивление резонатора, а также его статическая емкость Со и динамическая индуктивность Li (или соотношение емкостей r=CdCi).
Однако для тех, кто использует резонаторы, связь этих величин со способностью резонатора лучше или хуже возбуждаться в схеме не всегда сразу очевидна. Для того чтобы охарактеризовать эту способность величиной, удобной для изготовителя и в значительно большей степени осмысленной для потребителя, Международная электротехническая комиссия {Л. 6-19] предложила понятия эквивалентное последовательное сопротивление (ESR) и эквивалентное параллельное сопротивление (EPR), которые определяются из следующих соотношений:
ESR = /?, f 1 + Y [олг];	(6-27)
\ J г
^^=®2(C,+Ct)2/?I ^1’	(6-28)
где co= 1//’L1C1, a CL — внешняя емкость (входная емкость схемы), подключенная последовательно (в первом случае) или параллельно (во втором случае) кварцевому резонатору.
Величина ESR достаточно точно характеризует активность резонатора в схеме, использующей последовательный резонанс кварца: чем она меньше, тем больше амплитуда его колебаний; наоборот, в схеме параллельного резонанса активность тем больше, чем больше EPR,
Активность какого-либо резонатора обычно невозможно определить заранее, до его изготовления. Поэтому 386
коль скоро эта величина все же должна измеряться в ходе производства, ее предельные значения устанавливают по результатам испытаний первой опытной партии изделий. Активность резонатора, как добротность и динамическое сопротивление, изменяется со временем

Рис. 6-29. Типичные температурные характеристики активности резонаторов срезов СТ (кривая /), ЕТ (кривая 2) и АТ (кривая <?) в схеме последовательного резонанса без ограничения амплитуды.
(в процессе старения), но обычно это изменение незначительно. Много больше активность резонаторов изменяется при изменении их температуры. Типичные примеры температурных характеристик приведены на рис. 6-29. Как правило, активность кварцевых резонаторов убывает с повышением температуры в практически используемом интервале до +125° С. Это обусловлено тем, что в указанном интервале у монокристаллов кварца начинается характерный
пик затухания, обусловленный резонансным поглощением энергии кристаллической решеткой, достигающей максимума при температуре +350° С (так называемый «пик Бордони»; другой такой пик у кварца располагается при 50° К).
Другой причиной, обусловливающей изменение активности с ростом температуры кристалла, является увеличение потерь в системе крепления вследствие изменения упругих напряжений в этой системе. Последнее особенно характерно для низкочастотных резонаторов, монтируемых в узловых точках с помощью пайки на проволочных отводах (см. § 10-3).
Обе упомянутые причины, однако, обусловливают в принципе монотонные изменения активности1. В то же время приходится встречаться с резкими, часто скачкообразными изменениями активности резонаторов в схеме, особенно при больших уровнях рассеиваемой на них мощности. Эти явления исследовались [Л. 6-20],
1 Разумеется, при правильном выполнении монтажа кристалла, т. е. без значительного удаления от узловых точек.
25*	387
причем было установлено, что изменения активности оказываются тем больше, чем больше уровень возбуждения резонатора. На рис. 6-30 приведены кривые, иллюстрирующие это 1ПОложение._Установлено[Л. 6-1,6-21], что скачки активности обычно вызываются парамеТ рическим возбуждением ’гармонических ^йли . "связанных колебании. Параметрическая 'раскачка гармоник основной' частоты в пьезоэлектрических устройствах обуслов-
Рис. 6-30. Изменения активности (напряжения на анодном контуре) генератора при разных уровнях возбуждения резонатора ВТ-среза на частоту порядка 10 Мгц.
/—ток через кварц 115 ма- 2 — 65 ма; 3 — 40 ма; 4 — 25 ма.
ливается нелинейной зависимостью деформации кристалла от возникающих в нем механических напряжений, а следовательно, она возможна только при достаточно большой интенсивности колебаний. Ограничивая уровень возбуждения резонаторов в соответствии с требованиями, приведенными в табл. 6-4, как правило, удается избежать резких изменений активности. В ряде случаев подобные явления могут наблюдаться уже при мощностях рассеяния, столь
деалцх,-~что„. их дальнейшее уменьшение оказывается крайне, затруднительным. В этих случаях нестабильность активности резонатора обычно обусловливается,, неправильным выбором геоме
трических размеров пьезоэлемента и как следствие этого наличием связанных колебаний1.
Возникновение связанных колебаний в кварцевых элементах может быть пояснено следующим образом.
Очевидно, что в упругом твердом теле в принципе могут происходить колебания самых разнообразных видов: это могут быть колебания, определяемые деформациями изгиба, кручения или сдвига в различных пло
1 Иногда у невакуумированных резонаторов замечаются характерные спады активности при температуре —10ч—30° С, обусловленные технологическими причинами — заполнением их внутреннего объема недостаточно осушенным газом. В этом случае влага, конденсируясь при низкой температуре, резко снижает сопротивление изоляции контактных выводов резонатора.
388
скостях, сжатия — растяжения в различных направлениях, колебания как на основной частоте, так и на любых гармониках. Таким образом, каждое твердое тело, в том числе и кристаллический элемент резонатора, с точки зрения теории колебаний представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Такая система может лишь условно рассматриваться как моноча-стотная, т. е. как система с одной степенью свободы, если связь интересующего нас вида рабочих колебаний с другими видами колебаний настолько мала, что ею можно пренебречь. Так мы по существу и поступали, рассматривая различные колебания кристаллических пластин и стержней.
Однако подобный подход не всегда оправдан; он, безусловно, неверен тогда, когда собственные частоты каких-либо других видов колебаний (или их гармоники) оказываются достаточно близкими к рабочей частоте. В подобной ситуации колеблющийся пьезоэлемент обязательно должен интерпретироваться уже как система со многими степенями свободы. Физический анализ наблюдаемых при этом явлений обычно производят, заменяя такую сложную систему необходимым количеством связанных между собой простых систем, каждая из которых имеет одну степень свободы. Термин «связанные» употребляется здесь для того, чтобы показать, что колебания в одной системе влияют на колебания в другой и наоборот.
В работах, посвященных теории колебаний (Л. 4-34], показывается, что в связанных системах происходят сложные, вообще говоря, даже не гармонические колебания. Если ограничиться рассмотрением случая связи лишь между двумя видами колебаний (для наших целей этого, как правило, будет достаточно), то можно убедиться, что колебания в полной системе должны происходить одновременно на двух собственных частотах «и и (02, связанных друг с другом и с парциальными частотами ki и k2 соотношением (4-51).
Лишь при определенных начальных условиях эти колебания могут стать гармоническими, т. е. происходить только с одной частотой coi или <02. Величина у в формуле (4-51) показывает, насколько велико отри прочих равных условиях влияние друг на друга частот kt и kz. Помимо того, связь между двумя парциальными системами характеризуется коэффициентом связан
389
но ст и о [см. выражение (4-53)]. Величина <у, как отмечалось в § 4-7, характеризует степень взаимодействия систем: если даже связь между ними, определяемая коэффициентом у, мала, но парциальные частоты ki и k2 близки, то влияние одного из колебаний на интенсивность второго может быть весьма значительным.
Обратимся теперь к рассмотрению интересующего нас вопроса о связанных колебаниях в пьезоэлектрических (в частности, кварцевых) элементах резонаторов [Л. 3-15, 6-17, 6-22]. Очевидно, что при сближении собственных частот колебаний рабочего вида и какого-либо из других видов, обусловленных соответствующим выбором геометрических размеров пьезоэлемента, связанность их будет возрастать и энергия возбуждающего электрического поля будет все в большей мере расходоваться на раскачку не только одного, но и второго из этих колебаний. В результате активность рабочих колебаний более или менее существенно снизится вследствие уменьшения добротности~и увеличения эквивалентной индуктивности резонатора~на их собственной частоте?
Таблица 6-7
Зависимость электрических параметров резонаторов с прямоугольными пьезоэлементами DT-среза от отношения h/l
Отношение толщины пьезоэле-t мента к!		^Ц)	^_и О/		Коэффициент индуктивно-  сти рабочих колебаний	Добротность на рабочей частоте Г) 1 Л*д	Эквивалентное сопротивление на рабочей частоте R, . 1W	Коэффициент ослабления ближайшего побочного колебания
длине h/l	/о			гн/мм		ом	
0,0465	1,870			28	36,1	1 060	>1 000
0,0469	1,170			28,4 -	35,1	1 но	500
0,0472	0,730			28,7	34,9	1 120	300
0,0473	0,410			29	31,7	1 280	150
0,0474	0,330			29,4	27	1 520	90
0,0475	/0,167^			<48,9	/8,5	8 080	z 4
0,0476	Ч), 159 z			\50 ;	6	9 030	2
0,0477	0,Т8Г			зб	28~^	Г 470	17
0,0478	0,325			29	35,1	1 160	215
0,0482	0,690			28,4	36,5	1 100	227
0,0484	0,730			28	37	1 060	>1 000
Примечания: 1. ^ — частота рабочих колебаний сдвига по контуру; fu — частота ближайшего побочного резонанса (6-я гармоника изгиба по длине — толщине).
2. Отношение ширины пластины к ее длине постоянно для всех образцов и равно 0,29.
390
В табл. 6-7 показано, как изменяются важнейшие электрические параметры (добротность, коэффициент индуктивности, сопротивление и коэффициент ослабления ближайшего побочного резонанса) резонатора с пьезоэлементом £)Т-среза при изменении соотношения между толщиной h и длиной / последнего. По мере сближения частоты рабочих колебаний сдвига по кон-ТУРУ fw и частоты ближайшего побочного резонанса fu растут эквивалентные индуктивность и сопротивление на рабочей частоте; в то же время повышается относительная интенсивность побочных колебаний на частоте fu- Все это свидетельствует об увеличении доли энергии, расходуемой на раскачку нежелательных связанных колебаний. Подобные же выводы следуют из анализа табл. 6-8, данные которой свидетельствуют об измене-
Таблица 6-8
Зависимость электрических параметров резонаторов с прямоугольными пьезоэлементами DT-среза от отношения Ь/1
Отношение ширины пьезоэлемента к длине Ь/1		1 ?V)	1 %	Коэффициент индуктивности рабочих колебаний гн/мм	Добротность на рабочей частоте	Эквивалентное сопротивление на рабочей частоте /?lw, ом	Коэффициент ослабления ближайших побочных колебаний
0,410		2,5	28,5	43	800	>1000
0,430		0,62	32	40	850	>1000
0,440		0,42	33,1	35	1 010	1 000
0,4435		0,095	34	32	1 500	100
0,444		0,018	43	30,7	2 200	3
0,445		0,058	33,9	37,4	980	44
0,450		0,31	33,8	37,6	970	220
0,460		0,65	35,2	38,8	1 010	>1000
Примечания: 1. fw — частота рабочих колебаний сдвига по контуру.
2. f— частота ближайшего побочного резонанса, обусловленного изгибом пластины по длине — ширине на 2-й гармонике.
нии степени связанности контурных колебаний с колебаниями изгиба по длине— ширине при изменении ширины пластины. Максимальная связанность контурных колебаний с колебаниями изгиба по длине — толщине имеет место пои А//=0,0476 .,а с колебанями по длине — ширине— при 6/7=0,444. Ясно,, что следует избегать именно таких соотношений геометрических размеров кварцевых пластин £)Г-среза.
391
Оказывается возможным рассчитать и другие соотношения геометрических размеров пьезоэлементов (на^ зовем их «критическими»), при которых частоты определенного вида рабочих колебаний будут совпадать с частотами колебаний других разновидностей. В результате-мы узнаем, какими не должны быть эти соотношения. В качестве примера такого расчета рассмотрим расчет соотношений размеров, при которых должна иметь место максимальная связанность колебаний сдвига nG контуру и изгиба по длине — толщине для прямоугольных кварцевых пластин повернутых У-срезов, у которых!! длина совпадает по направлению с осью X кристалла." >
Как уже отмечалось, собственная частота колебаний изгиба описывается соотношением (3-114). Для упрощения последующих вычислений частоту собственных колебаний сдвига по контуру в рассматриваемом случае целесообразно выразить с помощью соотношения (6-10). Приравнивая эти выражения, получаем (при соответствующей замене обозначений):
^еДв_	л/ 1 -
1 2п у 12Р V Psn
(6-29)
Отсюда находим, что критические соотношения размеров кварцевой пластины (/г//)кр могут' быть определены из следующей формулы:
Л_\	_ ЛГСЛЯ
1 , кр 25,017т| ’
Поскольку нам известны значения частотных коэффициентов для сдвиговых колебаний пластин повернутых У-срезов, можно вычислить конкретные значения (/г//)кр- Так как в большинстве практически важных случаев Л//<С1, то &/г//<1, и можно пренебречь (разумеется, в самом грубом приближении) боковой инерцией и инерцией вращения. Поэтому значение можно рассчитать с помощью приближенного соотношения:
(6-31)
Вместо вычисления последовательности значений критических отношений толщины пьезоэлемента к его 392
длине можно воспользоваться номограммой (рис. 6-31), на которой приведена зависимость частотных коэффициентов гармоник изгибных колебаний от отношения толщины пластины к ее длине. Что же касается частотного коэффициента колебаний сдвига по контуру, то, поскольку он практически не зависит от толщины кристаллического элемента, на номограмме ему соответствует прямая, параллельная оси абсцисс. Точки пересечения
ния критических соотношений между толщиной и длиной кварцевых пластин повернутых У-срезов при колебаниях сдвига по контуру.
Рис. 6-32. Экспериментальные значения поправочного коэффициента а.
этой прямой со сплошными линиями (соответствующими четным гармоникам изгиба) дают критические значения соотношений размеров кварцевой пластины, при которых следует ожидать сильной связанности между рассматриваемыми видами колебаний при закреплении этой пластины в центральных точках ее главных граней. Легко убедиться, что в этих условиях возможно возбуждение именно лишь четных гармоник изгиба. Нечетные гармоники колебаний изгиба могут осуществляться в других условиях закрепления пластины, а именно тогда, когда оно производится вблизи узлов нечетных гармоник. Такая ситуация также иногда имеет место, и ей соответствуют критические значения h!L определяе-
393
Таблица 6
Формулы для вычисления критических соотношений геометрических размеров
Тип связи
Соотношение размеров
Контурный сдвиг — изгиб в плоскости длина—ширина:
направление распространения упругой волны по длине пластины
направление распространения упругой волны по ширине пластины
Контурный сдвиг—изгиб в плоскости длина—толщина
Ь 3/	3 s«
* s„
24it2a2pq
h__ап 1 Г 24 pg 1 /
I ~m2k У Ь/1 V sn
Контурный сдвиг—изгиб в плоскости ширина—толщина
Контурный сдвиг—продольные колебания
Контурный сдвиг—сдвиг по толщине
Изгиб в плоскости длина— ширина—продольные колебания
Изгиб в плоскости длина — толщина—продольные колебания
Изгиб в плоскости длина— ширина—изгиб в плоскости—длина—толщина (направление распространения обеих колебаний по длине пластины)
ь ^pqstt
~T~ n2 Sil
b mV 12
1 ~ mk
h j b \,„*v
h nn^ 12
1 ~ mk
394
Продолжение табл. б-У
Тип связи
Соотношение размеров
Изгиб в плоскости длина— тоицина—сдвиг по толщине в плоскости длина-толщина
Изгиб в плоскости длина— толщина—сдвиг по толщине в плоскости ширина—толщина
SiiCmm
Примечания: 1. а — .коэффициент среза* для повернутых У-срезов кварца равен 0,876 ± 5-10"8.
2. sti' sjj' —константы гибкости, определяющие продольные деформации в направлении длины (оси X), ширины (оси Z), толщины (оси У) пластины соответственно, stl, srnin (cmrn)» snn(cnn) —константы гибкости (модули упругости), определяющие деформацию сдвига в плоскостях длина —ширина, длина—толщина и ширина—толщина соответственно; р, q —целые числа, определяющие порядок колебания контурного сдига; k—число узловых точек при изгибных колебаниях; л— номер гармоники продольных и толщинных (сдвиговых) колебаний.
мые точками пересечения прямой А^Сдв с пунктирными линиями на рис. 6-31.
Экспериментальные значения (А//)Кр несколько отличаются от расчетных, поскольку при вычислениях пренебрегли влиянием вращательной и боковой инерции. В частности, вместо приведенного ранее значения (й//)Кр> равного 0,0476, расчет дает величину 0,0448. Сопоставление опытных данных позволило найти поправку, при учете которой совпадение результатов оказывается вполне приемлемым. Поправочные коэффициенты, на которые следует делить значения (Л//)кр, найденные с помощью указанной номограммы, приводятся на рис. 6-32.
Следует отметить, что связанные колебания изгиба возникают только при достаточной близости их собственных частот к частоте рабочего колебания сдвига (ведь в отличие от последнего они не возбуждаются пьезоэлектрически, т. е. непосредственно внешним электрическим полем). Поэтому для того, чтобы подавить связанные колебания, необходимо, как это следует из табл. 6-7 и 6-8, чтобы их частота отличалась от частоты рабочих колебаний хотя бы на 1,5—2%.
395
Следуя тем же путем, что и в рассмотренном выше случае, можно найти аналитические выражения для приближенного расчета соотношений геометрических
размеров пластин, при которых следует ожидать максимальной связанности любых пар различных видов колебаний. Всего таким образом можно получить 45 формул для вычисления критических соотношений. Для некото
Рис. 6-33. Температурно-частотная характеристика резонатора с пьезоэлементом DT-среза при связанных колебаниях.
рых важнейших типов связи они приводятся (в общем виде) в табл. 6-9.
В заключение рассмотрения вопроса о связанных колебаниях остается сделать еще одно замечание. Возникновение таких колебаний характеризуется не только изменениями активности, добротности, динамических сопротивлений и индуктивности на частоте рабочего резонанса, отмеченными ранее. Момент наболее сильной связанности характеризуется также резкими, скачкообразными изменениями частоты
резонатора в некоторых точках температурного интервала. Типичный пример подобного рода изменений у
резонатора с пьезоэлементом DT-среза, выполненным с критическим соотношением размеров (в данном случае — между длиной и толщиной), приведен на рис. 6-33. Характерный для этого
среза монотонный ход кривой 2-го порядка (параболы) в левой части прерывается вблизи его середины. Это
явление достаточно хорошо известно как изготовителям, так и потребителям кварцевых резонаторов. Наблюдаемый скачок частоты соответствует (в рассматриваемом примере) моменту перехода от колебаний сдвига по контуру к колебаниям изгиба по длине—тол-
щине.
Интересно, что изменение частоты резонатора в момент скачка позволяет оценить значение коэффициента связи двух колебаний у. В самом деле, из выражения
396
(4-51) следует, что йри k\~k2 (т. е. в момент наибольшей связанности колебаний)
< =	(6-32)
Отсюда, зная разность Лео между частотами <oi и со^ (а это по существу и есть величина скачка частоты), можно найти численное значение коэффициента связи
1	*1,2	V*i J
(6-33)
Пренебрегая величинами 2-го порядка малости, можем написать:
(6-34)
В случае, иллюстрируемом рис. 6-33, т. е. для связи между колебаниями сдвига по контуру и изгиба по длине — толщине у £>Т-среза, расчет дает значение у— ~2,2-10 3. Для связи между сдвигом по контуру и изгибом по длине — ширине у того же £)Г-среза получается 1,5-10~3.
6-7. Долговременная нестабильность частоты (старение) резонаторов
В настоящем параграфе остановимся на практических данных о старении резонаторов различных типов, наиболее широко применяемых в радиоэлектронной аппаратуре. Укажем прежде всего, что пока еще не найдено никаких методов, позволяющих имитировать за более или менее короткий срок естественный процесс старения кварцевых резонаторов, хотя и существуют пути известного ускорения этого процесса (термообработка, прогон в форсированном режиме колебаний и т. п.). Поэтому данные о старении приходится собирать в течение достаточно длительного срока, и прогнозы в этом отношении всегда несколько рискованны. Опыт показывает, однако, что в течение 2—3 лет частота резонаторов в значительной степени стабилизируется и дальнейшие ее изменения оказываются уже по крайней мере на порядок ниже предшествовавших. Покажем это на примере статистической обработки результатов измерения
397
Долговременных изменений частоты примерно 5000 наименее стабильных негерметизированных резонаторов, кварцевые элементы которых заключены в корпусах, выполненных из пластмассы (рис. 6-34). Такие резонаторы относительно дешевы, и поэтому их и сейчас в больших количествах изготовляют на частоты примерно от 1 до 20 Мгц. Максимум кривой 1, соответствующий среднему изменению частоты резонаторов за указанный период, приходится примерно на —50- ГО6, наибольшее
изменение частоты за первый год составляет —100 • 10~6. Среднее изменение частоты для кривой 2 составляет —60 X X 10~6, максимальное — —125- 10~6. В случае кривой 3 среднее изменение частоты равно —70-10~6, а максимальное —150х Х40-6.
Существенно, что изменения частоты резонаторов в пластмассовых корпусах всегда происходят в сторону ее понижения. Это происходит потому, что у резонаторов рассматриваемого типа старение обусловливается в первую очередь окислением слоя металла,
Рис. 6-34. Характеристики статистического распределения негерметизированных резонаторов по уходам частоты вследствие старения.
Срезы АТ и ВТ; частоты колебаний — от 6 до 16 Мгц. 1 — за первый год эксплуатации в интервале температур от —40 до +70° С; 2 — за время от года до двух лет; 3 - от двух до трех и от трех до четырех лет (две совпадающие кривые).
наносимого на кварцевый элемент. Та же причина приводит и к заметному увеличению со временем динамического сопротивления и уменьшению активности этих резонаторов. Тем не менее, как следует из приведенных данных, все изменения существенно замедляются (хотя, видимо, и не прекращаются вовсе спустя примерно 3 года с момента изготовления.
Значительно меньшим старением обладают резонаторы более современных типов — герметизированные и в особенности вакуумные. При их изготовлении в настоящее время обычно применяются все технологические и конструктивные мероприятия, способствующие повыше-нию долговременной стабильности параметров: травле
398
ние и отжиг кварцевых пластин, вакуумная металлизация и настройка с подогревом и ионной очисткой, точный монтаж с помощью специально подобранных припоев или цементов, ультразвуковая очистка, термотренировки и т. п. Установлен ряд закономерностей, характеризующих особенности старения резонаторов различных типов. В частности, замечено, что долговременные изменения параметров резонаторов с однотипными пьезоэлементами значительно увеличиваются с повышением частоты колебаний (т. е. с уменьшением размеров пьезо-элемента,~7Гпределяющих частоту); найдено также, что при колебаниях на гармониках наблюдаются значительно меньшие долговременные уходы частоты, чем при колебаниях основного типа. Далее доказано, что старение в значительной степени зависит от температуры, при которой работает резонатор и в еще большей степени от рассеиваемой на нем мощности. Сочетание высокой рабочей температуры и большого уровня возбуждения само по себе может привести к увеличению долговременной нестабильности частоты резонатора на один-два порядка.
Табл'и’ца 6-10
Старение прецизионных кварцевых резонаторов
Срез	Частота, кгц	Форма пьезоэлемента	Номер гармоники	Время измерений, дни	Температура термостата, °C	Срок предварительной выдержки	Наблюдаемое изменение частоты, D9
АТ	1000	Двояковы-	1	365	+47	3 месяца в рабочем	До —500
		пукл 1Я линза				режиме	
АТ	1 000	То же	1	150	+52	2 недели в нормаль-	Менее ±300
						ных условиях	
				f 20	+50	Немедленно после из-	До +5
АТ	2 500	Плоско-вы-	5	{ 30		готовления	
		пуклая линза			+50	6 — 8 месяцев в ра-	От +0,2
						бочем режиме	до +0,4
АТ	2 500	То же	5	365	+40	—	До +5
АТ	2 500	9	9	о	30	+95	6 месяцев в рабочем	До +7
АТ	5 000	9	»	5	365	0	режиме Немедленно после из-	От +20
						готовления	до +40
АТ	5 000		5	30	+75	20 ч при +140° С	В пределах
							±10
GT	100	Плоская пла-	1	60	+40	—	До +350
		стина					
Данные о старении, приведенные в табл. 6-10 и в [Л. 6-23—6-27], свидетельствуют о преимуществах резонаторов на частоту 2,5 Мгц, работающих на пятой меха-
399
Таблица 6-11
Предельные допускаемые изменения частоты резонаторов во времени
/. Герметизированные резонаторы в металлических корпусах на частоты колебаний от 750 кгц до 100 Мгц			
	Максимальное относительное изменение частоты, ХЮ8		
Интервал рабочих температур, °C	за 8,5 лет хранения или за 5 000 ч работы	за 5,5 лет хранения или не более 3 000 ч работы	за первый год хранения или не более 1 500 ч работы
От +5 до 4-45 От —10 до 4-60 От —20 до 4-70 От —40 до ±70 От —50 до 4-80 От 4-20 до 4-30 От 4-45 до 4-55 От -j-55 до 4-65	±37,5	±30	±20
От —60 до 4-90 От —60 до 4-105 От —60 до 4-125 От 4-65 до 4-75	±52	±40	±25
От 4-75 до 4-85	±65	±50	±30
2. Вакуумные резонаторы широкого применения баллонах на частоты от 4 кгц до 100			в стеклянных Мгц ,
	Максимальное относительное изменение частоты, ХЮ8		
Поддиапазон частот, кгц	за 11 лет хранения или 5 000 ч работы	за первый год хранения или 2 500 ч работы	за второй год хранения
От 4 ДО 800 Свыше 800	±30 ±20	±15 ±10	±7,5 ±5
3. Специальные (прецизионные) вакуумные резонаторы в стеклянных баллонах
Частота резонатора, кгц	Максимальное относительное изменение частоты, ХЮ*		
	за 11 лет хранения или 5 000 ч работы	за первый год хранения или 2 500 ч работы	за второй год хранения
1 000	±2	±0,4	±0,25
1500	±3	±0,75	-1 0,4
1 600	±3	±0,75	±0,4
400
Продолжение табл. 6-11
Частота резонатора, кгц	Максимальное относительное изменение частоты, ХЮ*		
	за 11 лет хранения или 5 000 ч работы	за первый год хранения или 2 500 ч работы	за второй год хранения
2 000	±3	±0,75	±0,4
3000 (на гармониках)	+1	±0,25	±0,15
5 000 (на гармониках, в баллоне 0 30 мм)	±1	±0,25	±0,15
5 000 на гармониках, в баллоне 0 19 мм)	±1,5	±0,4	±0,2
8 000 на гармониках, в баллоне 0 30 мм)	±1	±0,25	±0,15
нической гармонике [Л. 6-24]. Следует отметить, что получены не худшие результаты для 5 Мгц. Это свидетельствует о наличии еще довольно значительных резервов повышения долговременной стабильности кварцевых резонаторов. Существенное уменьшение старения прецизионных резонаторов было достигнуто в последние годы не только благодаря проведению технологических мероприятий (тщательной обработке поверхностей пьезоэлемента, выбором специальных покрытий, соблюдением правил вакуумной гигиены в производстве), но и путем рационального выбора частоты колебаний, геометрии пьезоэлемнта и конструкции резонатора в целом.
Данные по старению резонаторов средней стабильности (герметизированных и вакуумных) были получены в результате широких исследований, проведенных в СССР. Полученные данные легли в основу норм на старение, установленных отечественными государственными стандартами [Л. 6-5 и 6-6]. Эти данные сведены в табл. 6-11.
6-8. Выбор резонатора, предназначенного для работы в генераторной или фильтровой схеме
Требования, предъявляемые к генераторным и фильтровым кварцевым резонаторам, несколько различны. 26—2584	401
От первых требуется прежде всего минимальная температурная нестабильность частоты, высокая добротность и незначительное старение. Повышение добротности достигается снижением потерь при колебаниях резонатора, что можно обеспечить, например, тонкой обработкой пьезоэлемента, подбором оптимальных его размеров и параметров электродного покрытия, расположением мест крепления кристалла в точках с наименьшей интенсивностью колебаний, вакуумированием внутреннего объема резонатора и т. п. Те же приемы используются и для уменьшения старения резонаторов.
Фильтровые резонаторы в первую очередь должны обладать малым уровнем побочных колебаний в некоторой полосе частот и иметь заданную величину динамической индуктивности Ц. Общим как для фильтровых, так и для генераторных резонаторов является то, что у них весьма желательно обеспечить минимальное значение емкостного отношения г=С^С(. Чем меньше это отношение, тем активнее колеблется резонатор, тем легче обеспечивается его перестройка внешними элементами схемы и тем шире-полоса фильтра, выполненного с таким резонатором.
Изложенные Соображения позволяют установить некоторые наиболее общие правила выбора резонаторов в зависимости от характера предъявляемых к ним требований. Как сказано, выбор резонатора, предназначенного для работы в генераторной схеме (т. е. прежде всего выбор среза и геометрии пьезоэлемента), на первый взгляд сравнительно несложен, ибо он определяется всего лишь двумя требованиями — минимальной температурной нестабильностью, минимальным отношением емкостей. Первое из этих требований почти всегда имеет преобладающее значение, поэтому в генераторных схемах в настоящее время используются резонаторы с нулевым ТКЧ. Как исключение используются резонаторы с биморфными пластинами на самых низких частотах, применение которых иногда обусловливается необходимостью достижения минимальных габаритов аппаратуры или ее высокой механической прочности.
Соображения, определяющие выбор типа пьезоэлемента на более высокие частоты колебаний, можно установить при анализе табл. 6-1 и 6-2. Первая из них показывает, что единственным срезом с нулевыми ТКЧ в диапазоне 1—40 кгц является срез xysju? (—5°^а°^ 402
^,+6,5°) при колебаниях изгиба в плоскости XY (ХУ')« В диапазоне от 10 до 30 кгц с ним часто успешно конкурирует Л/Г-срез. Резонаторы с пьезоэлементами этого среза обладают несколько меньшей добротностью (что не всегда существенно) и иногда чуть большей температурной нестабильностью частоты, однако имеют меньшие размеры и вес, а это в ряде случаев может быть решающим преимуществом.
На частотах свыше 30 кгц, помимо пьезоэлементов двух указанных срезов, могут использоваться бруски, совершающие крутильные колебания. Преимуществом последних является довольно высокая температурная стабильность частоты, обусловливаемая относительно малым значением коэффициентов крутизны ТЧХ кварцевых элементов этого типа; однако в диапазоне до 60 кгц их размеры сравнительно велики, а значит, низка устойчивость таких резонаторов ко всякого рода внешним механическим воздействиям. Резонаторы с пьезоэлементами, совершающими крутильные колебания, выгодно использовать на частотах от 60 до 130 кгц, где их температурная стабильность сочетается с уже достаточно высокой механической прочностью. В этом диапазоне, однако, с ними конкурируют резонаторы AfT-среза и в особенности резонаторы с продольными колебаниями: первые имеют несколько меньшие габариты, а вторые обладают предельно низким отношением емкостей (табл. 6-5). Резонаторы с продольными колебаниями (срезы xyslcf, —2о^!а?^!+9° и ТИГ-срез) обычно много легче возбуждаются в осцилляторных схемах, кроме того, благодаря малому значению Со/С4 они успешно используются в генераторах с перестройкой частоты.
Столь очевидные преимущества этих типов кварцевых элементов обусловили то, что £>Г-срез на частотах ниже 130 кгц в настоящее время почти не используется. Выше этой частоты он применяется тогда, когда необходимо получить более высокую температурную стабильность, чем та, которую могут обеспечить резонаторы МГ-среза или резонаторы с продольными колебаниями. В области же частот свыше 250 и примерно до 500 кгц почти исключительно используется этот срез.
Наиболее сложной и наименее освоенной является область частот от 500 до 800 кгц. Еще сравнительно недавно в этом диапазоне отечественная промышленность изготовляла только резонаторы с довольно боль-26*	403
ШИМи по Габаритам Прямоугольными пластинами ЛГ-среза, закрепляемыми в держателе с помощью пружинного зажима. Такие резонаторы широко применяются и в настоящее время, так как они обладают ценными качествами — низким импедансом и относительно малой температурной нестабильностью, однако их существенными недостатками являются невысокая механическая прочность и значительные габариты. Поэтому и сейчас не прекращаются интенсивные поиски таких типов резонаторов, которые в наилучшей степени обеспечили бы выполнение требований, предъявляемых к современным кварцевым приборам, рассчитанным на указанный диапазон частот.
Многие зарубежные фирмы уже длительное время выпускают резонаторы на частоты 500—750 кгц с пьезоэлементами ЕТ-среза. У этих резонаторов температурные изменения частоты значительно больше, чем у резонаторов ЛТ-среза, а отношение емкостей у них чрезвычайно велико (1800 против 250 для ЛТ-среза). Однако благодаря небольшим размерам и высокой механической прочности они успещно в ряде случаев конкурируют с резонаторами других типов.
Наиболее перспективными в рассматриваемом диапазоне все же следует считать резонаторы с малогабаритными линзами ЛГ-среза, разработка которых сейчас ведется весьма интенсивно, и с прямоугольными пластинами £>Г-среза, имеющими небольшое отношение ширины к длине (в пределах примерно от 0,1 до 0,23). Такие резонаторы уже изготовляются, причем резонаторы ЛТ-среза более предпочтительны, если необходимо обеспечить небольшие изменения частоты в широком интервале температур; однако резонаторы DT-среза обладают существенно меньшими размерами и потому применяются тогда, когда первостепенными являются требования к габаритам изделия.
В диапазоне от 750 кгц и выше наиболее широко распространены резонаторы с пьезоэлементами ЛГ-сре-за, чему способствуют температурно-частотная характеристика этого среза, обычно обладающая двумя экстремумами Омаке и Омин (положение которых регулируется относительно легко, хотя и не очень точно) и точкой симметрии (точкой перегиба 0г), весьма удачно расположенной при +27° С, а также малое емкостное отношение. Последнее обстоятельство приводит к тому, что
404
Рис. 6-35. Зависимость положения экстремальных точек температурночастотной характеристики ЛТ-среза от угла Р°.
кварцевые элементы ЛТ-среза относительно легко возбуждаются на гармониках. Срезы IT и ВТ используются значительно реже, хотя их преимущества для генераторных схем с термостатированием несомненны. Дело в том, что температурно-частотная характеристика пьезоэлемента ДТ-среза при определенной кристаллографической ориентации обладает вблизи точки 0/ участком, практически параллельным температурной оси. причем ТКЧ резонатора почти равен нулю на всем этом участке. Однако область нулевого ТКЧ для ЛТ-среза простирается всего лишь примерно на ±20° С от 0/, т. е. приблизительно от 7 до 47° С. Эта область слишком мала для большинства случаев применения резонаторов, поэтому, как правило, стараются получить характеристику без горизонтального участка, но с двумя экстремумами, подобную той, что изображена на рис. 6-10.
При использовании термостатов необходимо, чтобы нулевой ТКЧ резонатора приходился именно на рабочую точку, ко
торая обычно располагается в области 60—80° С. У ЛТ-среза при этом используется верхний экстремум Омин температурно-частотной характеристики, положение которого регулировать с большой точностью весьма сложно. Для того чтобы разброс значений 0МИн от образца к образцу не превышал ±ГС, необходимо, чтобы угол среза кварцевых элементов выполнялся с погрешностью не более ±20", как это следует из рис. 6-35. В то же время у /Г-среза при надлежащей угловой ориентации именно на интервал 60—80° С приходится упомянутый относительно широкий горизонтальный участок температурно-частотной характеристики, что не только позволяет увеличить допустимую погрешность выполнения угла среза, но и существенно снижает требования к точности термостатирования. Недостатком резонаторов /Г-среза является то, что из-за дополнительного поворота кварцевого элемента вокруг оси Z на угол у°«19° (см. рис. 6-5,ж) колебания сдвига по толщине видов В
405
и С (см. § 3-3) сближаются, так что частотный промежуток между ними уменьшается примерно до 10% • Это, правда, обычно не препятствует использованию таких резонаторов в соответствующим образом подобранных генераторных схемах.
Что же касается резонаторов ВГ-среза, то нельзя забывать о том, что частотный коэффициент кварцевых пластин этого среза (~2 550 кгц-мм) примерно в Образа выше частотного коэффициента пластин ЛГ-среза. Следовательно, при одной и той же толщине пьезоэлементы ВГ-среза будут иметь в 1,5 раза более высокую частоту собственных колебаний, а поскольку верхний предел частотного диапазона резонаторов определяется именно возможностями практического изготовления тонких кварцевых пластин, то применение ВГ-среза позволяет этот предел существенно сдвинуть. Правда, из-за большого импеданса пьезоэлементов ВГ-среза их довольно трудно возбудить на гармониках, поэтому сказанное в полной мере относится лишь к области частот, охватываемой основными колебаниями. Тем не менее во многих случаях возможность использования колебаний именно на основной частоте представляет большой интерес. Действительно, простой расчет показывает, что отношение емкостей кварца ВТ-среза, возбуждаемого на основной частоте, примерно в 3,5 раза меньше отношения емкостей резонаторов ЛТ-среза, колеблющегося на 3-й гармонике Ч Уже отмечались трудности регулирования положения экстремумов ТЧХ у пьезоэлементов ЛТ-среза. В то же время у ВТ-среза погрешность установки экстремальной точки не более ±1° требует точности угловой ориентации всего лишь в 2,2'. Наконец, пьезоэлементы ВТ-среза, обладая на одной и той же частоте в 1,5 раза большей толщиной, чем пластины ЛТ-среза, обеспечивают меньшую долговременную нестабильность (старение) параметров резонатора и большую его добротность. Все эти обстоятельства открывают широкие возможности использования упомянутого среза, которые в настоящее время уже начинают реализовываться.
Несколько отличные соображения приходится принимать во внимание при решении вопроса о применении
1 Исходные данные для соответствующего расчета приведены в табл. 6-5.
406
пьезоэлементов тех или иных срезов при проектировании кварцевых фильтров. Как уже упоминалось выше, значимость некоторых параметров резонаторов в этом случае зачастую изменяется. Помимо этого, начинают играть первостепенную роль эквивалентная индуктивность кварца и спектр его резонансных частот. Именно спектр резонансных частот во многих случаях является определяющим при выборе того или иного типа резонатора. В этом отношении существенными достоинствами обладают низкочастотные резонаторы, пьезоэлементы которых совершают колебания изгиба: в очень широком диапазоне частот (вплоть до 3-й гармоники) они вообще не обладают дополнительными резонансами. Некоторым исключением из этого правила может быть случай, когда бруски с колебаниями в плоскости XY включаются в такую схему, которая создает различные потенциалы на электродах, перпендикулярных электрической оси кристалла: тогда возможно возникновение его продольных колебаний. Во избежание этого указанные электроды обычно замыкают накоротко и используют резонаторы рассматриваемого типа только в трехполюсной или двухполюсной схемах включения. Более сложным для изгибных кварцев является выбор значений динамической индуктивности, которая в сильной степени связана с частотой их колебаний; при таком выборе следует использовать данные, приведенные на рис. 6-15. В ряде случаев, когда необходимо обеспечить малые значения Li и Со/С1, приходится использовать пластины среза xysl+b° и мириться со значительным ухудшением температурной стабильности частоты резонатора. Правда, это приходится делать обычно лишь при конструировании относительно широкополосных фильтров.
Наилучшими характеристиками с точки зрения фильтровой техники обладают резонаторы, совершающие продольные колебания. Такие резонаторы обладают предельно широким резонансным промежутком; если ис-.пользовать пластины с отношением 6//^0,15, то интервал частот, свободных от побочных колебаний (рис. 6-17), будет весьма большим. Однако такое ограничение отношения поперечных размеров пьезоэлемента несколько уменьшает нижний предел достижимых индуктивностей резонаторов рассматриваемого типа. Вместе с тем из рис. 6-17 видно, что при	побоч-
ный резонанс, обусловленный колебаниями сдвига
407
в плоскости длина — ширина пластины, также заметно отделяется от основного. Использование пьезоэлементов с такой большой относительной шириной до последнего времени ограничивалось тем, что с ростом Ь/1 экстремум ТЧХ продольных резонаторов заметно смещался в сторону отрицательных температур. Применение Л4Г-среза с дополнительным поворотом плоскости пластины вокруг механической оси кварца мало изменяет положение, поскольку при этом сильно возрастает динамическая индуктивность пьезоэлемента. Предложенные в работах [Л. 6-28, 6-29] пьезоэлементы в виде пластин среза xys/v? (0°^ао^,+9о) со скошенными торцевыми гранями позволили в значительной степени разрешить проблему получения продольных резонаторов с малой индуктивностью при нулевом ТКЧ. В настоящее время такие резонаторы изготовляются на частоты вплоть до 250—300 кгц.
Более серьезные затруднения встречаются при выборе фильтровых резонаторов на частоты, соответствующие колебаниям сдвига по контуру. Кварцы этого типа обладают множеством побочных резонансов, располагающихся весьма близко от основного (см. табл. 6-6). На практике чаще всего наиболее важно бывает знать расстояние, отделяющее частоты ближайших побочных колебаний от рабочей частоты. Соответствующие данные приводятся в табл. 6-12 для дополнительных колебаний, ослабленных менее чем в 100 раз.
Таблица 6-12
Частотные промежутки, свободные от побочных резонансов у резонаторов с контурными колебаниями
Срез	Форма пьезоэлемента	Отношение размеров azrfax	Отношение частоты ближайшего побочного резонанса к рабочей частоте
DT	Круглая пластина			1,8
DT	То же	—	1,44
СТ	Квадратная пластина	1,0	0,92
UT	То же	1,0	1,26
иТ	Прямоугольная пластина	0,41	0,66
Т	То же	0,39	0,64
DT		0,23	0,84
СТ		0,463	0,93
СТ		3,91	1,05
ЕТ	Квадратная пластина	1,0	0,88
408
Решение вопроса о возможности применения того или иного среза кварца при разработке фильтрового резонатора в диапазоне примерно от 150 до 700 кгц часто в первую очередь и определяется требованиями, предъявляемыми к ширине полосы частот, свободной от дополнительных видов колебаний. Как уже отмечалось выше, в интервале вплоть до частот порядка 250— 300 кгц обычно наиболее предпочтительными являются резонаторы с продольными колебаниями. Лишь в редких случаях, когда использование этих резонаторов оказывается затруднительным (например, если необходимо получить динамическую индуктивность менее 10 гн), оказывается целесообразным применять кварцы ЕГ-сре-за, но и то лишь при условии, что обеспечиваемая ими полоса моночастотности приемлема для разрабатываемого фильтра.
Для частот выше 300 кгц на первый взгляд представляются более предпочтительными круглые пластины ЕГ-среза. Однако их использование на частотах, превосходящих 350 кгц, в настоящее время затрудняется относительно невысоким значением частотного коэффициента, близкого к 2 470 кгц •мм. По этой причине при 350 кгц диаметр пластины примерно равен 7 мм. На больших частотах приходится применять круглые пластины СТ-среза (если это возможно при их довольно значительной температурной нестабильности) или же прямоугольные пластины ЕТ-среза. При этом следует иметь в виду, что диски СГ-среза практически удается изготовить на частоты не свыше 550 кгц, а на частотах 400— 700 кгц пластины ЕТ-среза приходится выполнять с отношением ширины к длине не более 0,23.
Резонаторы с пьезоэлементами ЕТ-среза, а также с прямоугольными пластинами СГ-среза из-за чрезвычайно узкой полосы моночастотности в фильтровых схемах обычно использовать не удается.
Весьма высокими показателями с точки зрения фильтровой техники обладают резонаторы с кварцевыми элементами ЛГ-среза. Эти резонаторы, как уже отмечалось, отличаются очень хорошей температурной стабильностью частоты и относительно малым значением емкостного коэффициента (а следовательно, широким резонансным промежутком). Спектр частот этих резонаторов оказывается довольно сложным и еще далеко не во всех деталях ясным. Как уже отмечалось в § 6-5, этот спектр 409
Слагается из целой серии разнообразных видов колебаний, в которую, помимо основных колебаний сдвига по толщине и их нечетных гармоник, входят «ангармонические» колебания сдвига по толщине и могут входить контурные колебания различных типов, высшие гармоники изгибных колебаний по длине — толщине и длине — ширине пластины и т. д. С точки зрения применения резонаторов в фильтровых схемах наибольшее значение имеют те побочные колебания, которые располагаются ближе всех к рабочему резонансу; такими колебаниями являются ангармонические сдвиговые колебания. Они
Рис. 6-36. Зависимость расстояния до ближайшего интенсивного побочного резонанса у линз ЛТ-среза от приведенного радиуса кривизны рСф и частоты колебаний (для первой гармоники).
обусловливаются краевыми эффектами в пластинах с конечными поперечными размерами, вследствие чего их свойства, очевидно, не объясняются в рамках теории Кристоффеля-Фохта, изложенной в гл. 3.
До настоящего времени нет строгой теории таких колебаний, поэтому для практических целей обычно пользуются эмпирическими соотношениями, позволяющими определить их резонансные частоты, например соотношением (6-26). Расчет, подтверждаемый экспериментом, показывает, что наиболее близкими к основному виду колебаний, определяемому значениями zn=n=p=l, будут колебания видов /и = п=1, р = 2; т=р=1, /г = 2; m=n= 1, р=3; т=р= 1, п=3.
410
Обозначим их частоты соответственно символами
/гП2)» /г124» ^Н3) и /г30- Интенсивность колебаний (113) и (131) сравнима с интенсивностью основного колебания, в то время как интенсивность колебаний (112) и (121) примерно на порядок ниже. По этой причине наиболее интересны закономерности, связывающие положения основного резонанса с резонансом на частоте	для плоских пластин эта частота может быть
приблизительно рассчитана с помощью соотношения (6-2'6). Что же касается линз, то частоты, составляющие их спектр, зависят не только от их линейных размеров, но также и от кривизны главных поверхностей.
Для приблизительной оценки разности частот А/ = _ ^(нз)—или для ПОдбора соответствующего значения рСф удобно пользоваться экспериментальными графиками, приведенными на рис. 6-36. Выбирая радиус кривизны с помощью этих графиков, следует помнить, что при уменьшении радиуса довольно значительно возрастает динамическая индуктивность резонатора, что особенно заметно при рСф^С(100 мм. Поэтому,, определив по рис. 6-36 значение радиуса кривизны, удовлетворительное с точки зрения частотного спектра, следует с помощью соотношений (6-19) или (6-21) проверить, можно ли при этом радиусе получить нужное значение Li резонатора.
Из рис. 6-36 следует, что при рСф—>оо (т. е. при переходе к плоскопараллельной пластине) значение Af асимптотически приближается к некоторому постоянному значению, зависящему от частоты основных колебаний. Это значение также может быть приблизительно оценено по тем же графикам, однако нужно иметь в виду, что даже небольшое отклонение от параллельности граней у плоских пластин вызывает появление дополнительных резонансов, совершенно незакономерно располагающихся на оси частот. В известной мере этого удается избежать, применяя оптические методы обработки поверхностей кварцевых элементов, а также используя электроды* малого диаметра, составляющего не более 18 толщин пластины (при колебаниях на основной частоте), и налагаемые строго в ее геометрическом центре. Могут быть применены также методы подавления ангармонических толщинных колебаний, заключающиеся в нанесении сосредоточенных масс каких-либо
411
веществ (припоя, клея или смолы с наполнителем) в пучностях указанных колебаний. При этом необходимо, чтобы последние совпадали с узлами рабочего вида колебаний или по крайней мере не были бы слишком отдалены от них. Нужно, однако, иметь в виду, что такой способ демпфирования побочных колебаний приводит к существенному снижению добротности резонатора также и на рабочей частоте (иногда более чем на порядок величины) и к увеличению температурной нестабильности параметров резонатора.
В работе [Л. 6-30] предложено для уменьшения относительной интенсивности побочных колебаний у резонаторов, совершающих толщинные колебания, придавать их пьезоэлементам треугольную форму. В самом грубом приближении достигаемый при этом эффект можно объяснить удалением участков пластины, на которых располагаются пучности ангармоник.
Разработан метод подавления побочных резонансов путем высверливания отверстий или прорезей в пучностях соответствующих колебаний. Этот метод весьма эффективен, хотя довольно трудоемок и требует высокой точности выполнения.
Очевидно, что все перечисленные способы подавления побочных колебаний применимы не только для плоских пластин, но и для линз. Правда, они эффективны только в тех случаях, когда резонатор используется в режиме непрерывного возбуждения.
Несколько слов следует сказать о резонаторах с пьезоэлементами ВТ-среза. Для их спектральных характеристик справедливо все то, что было сказано о характеристиках ЛТ-среза, хотя, разумеется, конкретные расстояния по оси частот от основного до ближайшего побочного резонанса у пластин ВТ-среза другие.
Как показывает простейший расчет, подтверждаемый экспериментом, для ВГ-среза Д/ = f^I13) — /гп1) примерно в 1,5 раза меньше, чем у пластин ЛТ-среза при равных условиях (одинаковая частота и одинаковая кривизна пьезоэлемента). При проведении такого расчета учитывается, что толщина пьезоэлементов АТ- и ВТ-срезов на одну и ту же частоту отличается как раз примерно в 1,5 раза.	;
412
Глава седьмая
Расчет пьезоэлектрического элемента кварцевого резонатора
7-1. Общие положения
При расчете кварцевого резонатора, очевидно, должны быть определены следующие параметры пьезоэлемента:
а)	вид среза и форма пьезоэлемента, которые могут быть использованы для получения заданных частоты собственных колебаний, спектральной характеристики, динамической реактивности и статической емкости (или, чаще, отношения емкостей Со/С4);
б)	угол среза и геометрические размеры элемента, при которых получают перечисленные параметры и обеспечивается минимальная температурная нестабильность частоты в заданном интервале температур.
В ряде случаев к резонатору могут предъявляться также некоторые .дополнительные требования, связанные с его добротностью или динамическим сопротивлением, габаритами, устойчивостью к внешним механическим воздействиям и т. п. При выборе пьезоэлемента следует руководствоваться соображениями, изложенными в гл. 6. В настоящей главе мы рассмотрим практические приемы расчета конкретных размеров и углов кристаллографической ориентации кварцевых элементов резонаторов на стадии, когда выбор типа этого элемента уже сделан.
Итак, рассмотрим, как следует решать практические задачи о нахождении размеров и углов среза пьезоэлемента по заданным: а) номинальной частоте собственных колебаний резонатора fH; б) какому-либо из динамических параметров резонатора, например индуктивности Li; в) условию получения минимальной температурной нестабильности частоты колебаний в некотором интервале температур Д0 = 62—0ь где 02 — наивысшая а 01 — наинизшая температуры интервала.
Последнее условие для срезов с параболическими температурно-частотными характеристиками означает по существу, что ее экстремальная точка 0о должна располагаться при температуре, соответствующей середине заданного интервала; у срезов с температурно-частот-
413
ными зависимостями, описываемыми многочленом третьей степени, оптимальные характеристики получаются при соблюдении следующих равенств:
/ (0а) = Я(0макс); / (бъ) =1 (0МИн),	(7-1)
где точки Оа и Оь, как указывалось в гл. 6, соответствуют оптимальным границам интервала рабочих температур, а точки Омаке и Омин соответствуют экстремумам ТЧХ.
Излагаемые ниже методы расчета базируются на работах [Л. 3-16, 6-8—6-16, 6-22, 7-1—7-10, 7-13, 7-28 и др.].
7-2. Резонаторы с колебаниями изгиба
Данные, изложенные в § 1-9, 3-5 (выражение (3-114), формулы (3-136), (3-137)], на первый взгляд достаточны для осуществления необходимых технических расчетов кварцевых элементов изгибных резонаторов. Однако дело обстоит несколько сложнее. Выше отмечалось, что вывод всех упомянутых соотношений.производился при введении определенных упрощений. В результате полученные формулы недостаточно точны для практических применений как из-за известных погрешностей входящих в них числовых коэффициентов, так и потому, что вследствие сделанных упрощений они приобрели грубо приближенный характер. Поэтому для разработки методики инженерного расчета изгибных пьезоэлементов (как, впрочем, и всех других) потребовалось получить ряд дополнительных экспериментальных данных, связанных с теми зависимостями, которые не могли быть предсказаны теорией.
Изложение методик расчета начнем с резонаторов, пьезоэлементами которых служат пластины, колеблющиеся в плоскости, определяемой их длиной и шириной. Деформации изгиба у таких пластин получают путем соответствующего разделения наносимых на них электродов: электродным слоем металла покрывают главные грани (плоскости) кварцевого элемента Y'Z', а затем этот слой разделяют пополам вдоль длины элемента; к образовавшимся таким образом двум парам электродов подводятся равные по величине, но противоположные по направлению электрические напряжения (рис. 1-33,а). При периодическом изменении полярности 414
подаваемого напряжения в пластине возбуждаются резонансные колебания изгиба. Такие пластины, как указывалось выше, своей длиной должны быть ориентированы вдоль механической оси кварца (оси У) или под некоторым небольшим, в пределах примерно до 10°, углом к ней. Ширина пластины может быть направлена по оси Z кристалла или же составлять с этой осью угол от 40 до 70°, безразлично в какую сторону; -в первом случае получаются элементы, не обладающие нулевым ТКЧ, во вторОхМ — пластины NT-среза, температурно-частотная характеристика которого имеет форму кривой второго порядка (параболы) с одной экстремальной точкой.
МГ-срез за рубежом обычно получают, производя два поворота из положения первоначальной ориентации: один на угол 40—70° вокруг оси У, а второй на угол до +8,5° вокруг электрической осиХ кристалла кварца (см. § 6-1). Этот второй поворот позволяет в принципе несколько уменьшить угол первого поворота, необходимый для достижения нулевого ТКЧ (т. е. практически для достижения соответствующего положения точки экстремума температурно-частотной характеристики) при определенной температуре. Однако осуществление двух поворотов заметно усложняет технологию изготовления заготовок и приводит к относительно большому расходу сырья, особенно при использовании природных кристаллов. Поэтому в СССР преимущественное распространение получили пьезоэлементы TVT-среза, ориентация которых производится путем только одного поворота — вокруг оси У. Условное обозначение этого среза xyl/$°, где ±50°^ро^(±70°; углы f^o<50o в этом случае не используются, поскольку им соответствуют положения экстремальной точки ТЧХ при температурах ниже 0°С.
Приводимые здесь данные относятся именно к такому «упрощенному» JVT-срезу и полностью справедливы в том случае, когда электроды на пластинах выполняются из никеля и имеют толщину порядка 0,6—0,8 мкм, а крепление этих пластин в держателе осуществляется с помощью напаянных на них проволочных токоотводов из фосфористой бронзы диаметром 0,2 мм\ доза припоя, расходуемого на припайку одного отвода, не должна превышать 0,4 мг.
Собственная частота тонкой пластины ЛТ-среза определяется соотношением (3-114), которое для основного вида колебаний может быть переписано в виде
415
т&г' -f 1 —N'0*’________ft.
5,434д^ г Ps22 а2у	йу’
(7-2)
где az, и ау — размеры соответственно вдоль осей Z' и У (т. е. ширина и длина пьезоэлемента);
/Ип Г~\
N1——-у/ —;
5,434 Г р$22
N = Nf-^—частотный коэффициент при изгибных колеба
ниях. Таким образом, для расчета размеров, обеспечивающих заданную частоту колебаний пластины, должны быть известны значения частотного коэффициента N, который является сложной функцией отношения поперечных размеров пьезоэлемента Ь[1= аг,/ау и угла среза
ZZ' = р.
Зависимости N для срезов xylffi при р° в пределах от ±50° до ±70° от отношения Ь/l, полученные экспериментально [Л. 6-8], приведены на рис. 7-1.
Рис. 7-1. Зависимость частотного коэффициента резонаторов WT-среза с одним поворотом от отношения ширины пластины к ее длине.
/ — экспериментальная кривая; 2 — расчетная кривая (при учете вращательной и боковой инерции).
Рис. 7-2. Зависимость положения экстремума ТЧХ резонаторов WT-среза с одним поворотом от угла среза Р° при толщине пластины h >0,7 мм.
416
Как следует из соотношения (7-2), зависимость N от р° не может быть значительной, поскольку константа Sz2 не изменяется при повороте вокруг оси У, несколько изменяется лишь коэффициент Пуассона, влияющий на значения пъ. Экспериментальные зависимости находятся в хорошем согласии с этим положением. Кривые, пока-
Рис. 7-3. Зависимость положения экстремума ТЧХ резонаторов NT-среза с одним поворотом от отношения поперечных размеров при толщине пластины h ^0,7 мм.
занные на рис. 7-1, позволили уточнить значения коэффициента т2 и получить график, приведенный ранее на рис. 6-11.
Температурно-частотная характеристика NT-среза описывается уравнением
f-^=C(0-V.
Значения коэффициента крутизны ТЧХ с приведены в табл. 6-1.
шины ТЧХ резонаторов NT-среза от толщины пьезоэлемента.
27—2584
417
гн/мм
Рис. 7-5. Зависимость коэффициента индуктивности пластин Л/Т-среза от отношения Ь/1.
Положение вершины параболы 0о У резонаторов /VT-среза можно регулировать в довольно значительных пределах, изменяя либо угол среза пьезоэлемента, либо его геометрические размеры, либо то и другое вместе. Соответствующие зависимости показаны на рис. 7-2—7-4. На рис. 7-2 приведена зависимость положения вершины ТЧХ резонаторов от угла среза Р° при толщине мм. Зависимость положения вершины от отношения поперечных размеров пьезоэлемента при 2>О,7 мм показана на рис. 7-3. Для пьезоэлементов среза xyl/$° при /г<0,7 мм отмечается довольно значительная зависимость положения Оо от толщины. Соответствующие кривые приведены на рис. 7-4, где для упрощения расчетов опытные данные усреднены для различных отношений Ь/1, При определении Оо по рис. 7-2—7-4 это усреднение обусловливает ошибку не более чем на ±10° С.
Для динамической индуктив-
ности резонаторов с пьезоэлементами NT-среза, колеблющимися на основной частоте, вполне справедливо выражение (6-12) т _	2 026 h
accost (ЬЧУ'
Эта формула хорошо согласуется с экспериментальными результатами, если значения коэффициента т2 берутся по эмпирической кривой, приведенной на рис. 6-11. Можно пользоваться также рис. 7-5, на котором приведена зависимость коэффициента индуктивности Ле от отношения размеров az,jay. Как показывает опыт, расхождение между расчетными и измеренными значениями в этом случае не превышает ±10%.
Приведенные данные позволяют предложить методику расчета пластин среза ху1/$\ который может производиться в следующей последовательности.
1.	С помощью графика на рис. 6-12 выбирают отношение поперечных размеров пьезоэлемента ЬЦ = аг,/ау; при 418
этом по графику рис. 6-13 необходимо убедиться в том, что выбранное значение Ь/1 позволяет получить требуемую индуктивность.
2.	Используя найденное таким образом значение Ь/1 и заданное значение 0О, по графикам рис. 7-2 и 7-3 определяют угол среза 0° для толщин пьезоэлемента Л^0,7 мм.
3.	С помощью соотношения
. _ L, (b/l)3	/ b \ 3*4 cosT	(7-3)
Kl ~ Ф )	2026
рассчитывают приближенно толщину кварцевой пластины. При этом Кь определяют при необходимости по рис. 7-5 для найденных значений Ь/1 и 0°, а значения т2 берут по графику рис. 6-11.
4.	Если вычисленная толщина h^Q,l мм, то можно сразу рассчитать окончательные значения Ь — аг, и 1=.ау, определив для этого частотный коэффициент N по рис. 7-1:
где /н — заданная (номинальная) частота.
5.	Если Л<0,7 мм, то необходимо уточнить угол среза следующим образом: по графику на рис. 7-4 найти величину смещения точки поворота ТЧХ Д0о; для данной толщины h, а затем, учтя это смещение, найти угол 0! для 0oi = 0o—А0о и повторить расчет по п. 3. Если полученное в результате значение будет отличаться от h не более чем на 0,1 мм, этот этап расчета можно считать законченным и перейти к п. 4. В противном случае вычисления по п. 3 и 5 следует повторить.
6.	В заключение определяется максимальное ожидаемое изменение частоты Af/f в -заданном интервале температур:
f	4	4
здесь, как и ранее, 02 — наивысшая, а 01 — наинизшая температуры рабочего интервала; предполагается, что экстремальная точка ТЧХ достигается в середине этого интервала.
27*	419
Приведем пример расчета пьезоэлемента резонатора на частоту fH = 100 кгц с индуктивностью Lj=200 гн, предназначенного для работы в интервале температур от —20 до +70° С; пьезоэлемент должен быть помещен в баллоне сем и штырьковой пальчиковой радиолампы.
1.	Устанавливаем, что для заданного интервала рабочих температур 0о= 4-25° С.
2.	По графику на рис. 6-12 выбираем величину b/l — azt/ay --=0,4, поскольку кривая на рис. 6-13 показывает, что при этом возможно получить Li = 200 гн. Отношение 6//=0,4 обеспечивает ширину пластины, значительно меньшую предельно допустимой 6Макс = = 15,5 мм.
3.	По графику рис. 7-2 устанавливаем, что если толщина пьезоэлемента окажется большей или равной 0,7 мм, то следовало бы выбрать угол среза 0°=55° (с точностью до ±10'). Будет ли выполнено это условие, мы определим в дальнейшем.
4.	Рассчитываем Kl’.
2 026	2 026
<L ~ т\ cos* 256 cos* 55° ~ 24’05 гн/ММ'
5.	Определяем толщину пьезоэлемента: . (b/iy n h = —-----------------------= 0,53 мм.
6.	Поскольку Л<0,7 мм, следует определить величину Д0О по графику на рис. 7-4, которая оказывается приблизительно равной —5° С.
7.	По графику на рис. 7-2 уточняем значение угла среза для 0О1 = 0о—Д0о=25+5° С = 4-30° С;
₽; = 56°.
8.	Рассчитываем новое значение KLi:
2 026
^L\~ 256 cos2 56° = 25»3 гн/мм.
9.	Уточняем толщину пьезоэлемента:
200-(0,4)»
— 0,51 мм.
Поскольку Д0о1 для толщины пьезоэлемента h=0.51 мм почти не отличается от Д0О для толщины (6=0,53 мм, то дальнейшие приближения можно не производить.
10.	Определив по графику на рис. 7-1 значение N для Ь/1=0,4, находим длину пьезоэлемента
7У_161О	.
— Г 1 ПЛ — 16,1 мм.
Ширина пьезоэлемента 6=16,1 -0,4=6,44 мм.
Итак, должен быть выполнен пьезоэлемент среза xyll±Sff с размерами 16,1X6,44X0,51 мм.
420
11.	Оцениваем возможное отклонение частоты резонатора от экстремального значения в заданном интервале температур
bf	(90)2
у-= _ 45.IO-»
Итак, если 0О в точности совпадает с серединой рабочего интервала, то изменение частоты колебаний резонатора в нем составит приблизительно 9 гц.
Как показала практика, изложенный метод обеспечивает погрешность расчета в пределах не более ±0,5% по частоте собственных колебаний, ±10% по индуктивности и ±10° С по положению точки экстремума ТЧХ.
В случае если номинальная частота резонатора ниже 15 кгц или если к нему предъявляются более ^жесткие требования по температурной стабильности, то нецелесообразно применять пьезоэлементы среза xyl/$°. При этих условиях на частотах примерно от 1 до 60 кгц обычно используют кварцевые бруски среза xyslcf, —5°^а°^,+ 6,5°, совершающие колебания изгиба в плоскости XY (XY'). В этих брусках для создания изгибных деформаций используется криволинейное электрическое поле специфической конфигурации (рис. 1-33,6).
Для частоты колебаний таких резонаторов, как было показано в гл. 3, также справедлива формула (3-114), которую однако, удобно переписать в виде
_ /—
1г 5,434^, У Р5'22	ау,
(7-4)
Pw 7-6. Зависимость частотного коэффициента кварцевых брусков с колебаниями изгиба в плоскости XY (XY') от отношения а /ау, (при разных углах среза а°).
(если рассматривать колебания основного тона). При этом оказывается, что частотный коэффициент W в пределах используемых значений угла среза а° лишь в очень слабой степени зависит от этого угла, но довольно быстро возрастает с увеличением отношения ах1ау, (размеров бруска в плоскости колебаний). Экспериментальные кривые, характеризующие эту зависимость, приведены на рис. 7-6.
421
Температурная зависимость частоты рассматриваемых резонаторов также описывается уравнением параболы (6-4), причем коэффициент крутизны с колеблется для них в пределах от —25-1О~9 до —35 • 10~9° С-2. Как было установлено 1[Л. 7-3], положение экстремума ТЧХ брусков, колеблющихся в плоскости XY (XY'),
Рис. 7-7. Зависимость положения экстремума ТЧХ изгибных брусков среза xysjtf (—5°^а°^ +14°) от угла а° и отношения ax/aytt
определяется только углом среза а° и отношением размеров ах!ау, • Соответствующие уточненные экспериментальные зависимости приведены на рис. 7-7.
Динамическая индуктивность резонаторов рассматриваемого типа определяется отношением размеров в плоскости колебаний и размером az,, в направлении оси Z', но не зависит практически от угла среза. Для ее расчета, как указывалось в
§ 6-2, формально может быть применено выражение (6-13), где коэффициент индуктивности Кь
должен быть определен по графикам рис. 6-14. При использовании этих графиков погрешность расчета не превышает ±10% для срезов группы xyslv? и ±15% для срезов 2уЫа°.
Расчет изгибных кварцевых брусков сводится, таким образом, к следующим этапам.
1. По заданному интервалу рабочих температур от 01 до 02 определяют оптимальное положение точки 0о.
2. По графику на рис. 6-15 проверяют, находится ли величина заданной динамической индуктивности Lx в осуществимых пределах. Далее необходимо отыскать значение отношения поперечных размеров ах1ауг, при котором может быть обеспечено выполнение всех заданных параметров резонатора. Здесь следует иметь в виду,
что это отношение определяет не только динамическую индуктивность кварцевого элемента, но и положение экстремума ТЧХ. Отсюда ясно, что значение ах1ау,
422
жно учитывать одновременно оба этих условия. Для того чтобы избежать метода проб и ошибок, можно использовать график рис. 7-8, на котором очерчены области рекомендуемых отношений поперечных размеров бруска для некоторых, практически наиболее важных значений 0о.
Рис. 7-8. Области рекомендуемых значений отношения ах1ау, для изгибных брусков на различные частоты колебаний. Нижние границы значений отношения (Lxlay, при:
1- Оо-7О°С; 2-00--60° С; 3— 00— 50° С; 4 — 0о—25° С; 5 —0о-150 С.
3.	По графику на рис. 7-7 находят оптимальный угол среза а° для необходимого значения 0О и выбранного отношения axfay,.
4.	С помощью графика на рис. 7-6 определяют частотный коэффициент N по углу а° и отношению размеров ах[:ау, и, пользуясь найденным значением коэффициента, вычисляют ау, и ах.
N	(1Х
=	ах=ау'~^-	(7’5)
5.	Расчет размера аг, для случая, когда аг, > ах, производят в один этап в силу того, что при этом KL = const — 1,2 2h)mm и
аг, = 0,833^ (ах1ау,)\	(7-6)
ах, ау, и аг, в этой формуле выражаются в миллиметрах, М — в генри.
Если же используется срез zyb/cxP, т. е. если а2,<ах, то приходится проводить два-три этапа последовательных 423
приближений, уточняя после каждого этапа значение а*/ az, и находя по величине этого отношения все более точные значения Нетрудно удостовериться в том, что совпадение результатов двух последующих соседних этапов с точностью до второй значащей цифры обеспечивает точность рассчитываемого значения не хуже ±5% (при установленном выше ограничении az,^2 мм).
Изложенный метод расчета, как показывает практика, обеспечивает точность в пределах ±0,2% по частоте, ±5° С по положению проекции экстремума ТЧХ на ось температур и ±10—15%, как указывалось выше, по значению динамической индуктивности.
В качестве лримера рассмотрим расчет пьезоэлеменга на частоту 10 кгц с динамической индуктивностью 7 000 гн, предназначенного для работы в интервале температур от —40 до 4-70° С.
1.	Устанавливаем, что середина интервала рабочих температур приходится на + 15° С. Тем самым определяется оптимальное значение 0О.
2.	Находим, что заданное значение L\ лежит в пределах осуществимых значений динамической индуктивности для частоты 10 кгц, но вблизи нижней границы этих значений; в таком случае axjay, следует, очевидно, выбрать возможно большим В соответствии с графиком рис. 7-8 выбираем ах1ау» = 0,09.
3.	Определяем угол среза для ах/ау, = 0,09 и 0о = ±15°С. Из графика (рис. 7-7) следует, что а°=0° с точностью ±10' (определить а° с меньшей погрешностью по этим графикам нельзя).
4.	Находим частотный коэффициент N:
У=487 кгц-мм.
5.	Вычисляем длину пьезоэлемента и его поперечный размер в плоскости колебаний:
N	487 лп „
ау' ~ Ин	ю _ 48,7, мм'
ах — ау, = 48,7-0.СЮ = 4,38 мм.
6.	Определяем приближенно значение аг,:
аг, = 0,833-7000.(0,09)8 = 4,25 мм,
т. е. уже в первом приближении получаем а2, поэтому az, следует уточнить, найдя по графику рис. 6-14 соответствующее значение KL. Для ax/az, = \,0Z и ах/ау, =0,09	= 1,24 гн/мм,
следовательно,
7 000-(0,09)3 az> ~~	1,024	^4,1 мм.
Таким образом, пьезоэлемент должен быть выполнен со срезом zy и размерами 48,7X4,38X4,1 мм.
424
7.	Оцениваем ожидаемый разброс частоты при производственных допусках ±0,05 мм по длине и ±0,01 мм в направлении оси X:
f макс — 4g 65 — Ю,0Ю кгц,
V 487	4,38
I макс-А ах а2^-0,09‘ (48,7)2
10,016 кгц.
Среднее квадратичное значение /макс = 10,019 кгц.
Аналогичным способом находим /мин = 9,981 кгц.
Таким образом, разброс значений частоты колебаний кварцевых брусков только вследствие производственных допусков на их размеры составит до ±19 гц от номинальной частоты или ±19* 10-4. Дополнительный разброс может быть обусловлен как погрешностью расчета, так и некоторыми технологическими причинами (различной шириной фасок, 'различием в толщинах электродного слоя и в количествах припоя, расходуемого на отдельные пайки, и т. п.). Общий разброс частоты колебаний от образца к образцу, как показывает практика, может доходить до ±30 • 10-4.
8.	В заключение оцениваем ожидаемую температурную нестабильность частоты резонатора по формуле
f
= с
<ЦЩ! = _35.|0-.И
106-10-6.
Таким образом, в идеальном случае отклонение частоты колебаний резонатора от ее наивысшего значения в экстремальной точке составит‘примерно 1,06 гц. В действительности из-за погрешности расчета и разброса положения 0О -вследствие технологических причин это отклонение может быть раза в полтора больше.
7-3. Резонаторы с колебаниями сжатия — растяжения по длине
Резонаторы с кварцевыми элементами среза xyslrf\ где —2°^а°^+9°, широко используются как в фильтровых, так и в генераторных схемах. Теория таких резонаторов, изложенная в § 3-2, позволяет получить соотношения, довольно хорошо согласующиеся с экспериментом, но она разработана для случая, когда длина пьезоэлемента значительно превышает его ширину и толщину. Это ограничение, однако, далеко не всегда выполняется, поскольку в настоящее время из-за необходимости получения минимальных значений динамической индуктивности часто используют относительно широкие пластины. Существенным является то обстоятельство, что приближенная теория температурной нестабильности резонатора не позволяет с нужной для практических целей точ-425
ностью определять конкретные значения углов среза пьезоэлемента, при которых могут быть получены минимальные изменения частоты колебаний в различных интервалах температур и при различной геометрии кристалла. Именно в этой части теорию приходится дополнять соответствующими экспериментальными данными [Л. 6-9, 6-10, 7-13, 7-14}.
Частота колебаний резонаторов рассматриваемого типа определяется соотношением (3-21), которое для практических целей удобно переписать в упрощенной форме:
(7-7)
где N можно рассматривать как некоторую функцию от угла среза и геометрических размеров пьезоэлемента,
Рис. 7-9. Зависимость частотного коэффициента пластин среза xys/a° (—2°^ ^а°^+9°) с продольными колебаниями от угла а° при разных значениях Ь/1.
подлежащую экспериментальному определению. Результаты соответствующего эксперимента приведены на рис. 7-9, где изображена зависимость 'N от угла а° и отношения поперечных размеров пластины Ы1 для случая, когда на эти пластины наносятся никелевые электроды толщиной 0,6—0,8 мкм, а припайка отводов осуществляется непосредственно к металлопокрытию. Если же на пластины наносятся серебряные электроды, а отво
ды паяются к дополнительно вжигаемому слою серебряной же пасты, то значения N, найденные по графикам рис. 7-9, должны быть уменьшены приблизи-тельно на 0,6%.
Динамическая индуктивность резонатора при продольных колебаниях может быть, как указывалось в § 6-2, рассчитана с помощью соотношения (6-15)
£.='<,Лй'
426
значения коэффициента индуктивности Kl определяются по графикам рис. 6-16. Эти графики также относятся к пьезоэлементам с никелевыми электродами; когда применяется серебряное покрытие и вжигание коллоидной пасты, Kl при расчетах должно быть увеличено примерно на 2%.
Что же касается температурно-частотных характеристик рассматриваемых резонаторов, то они с достаточной для практических целей точностью могут быть описаны уравнением параболы (6-4), которое вполне характеризуется коэффициентом крутизны с и температурой 0о, соответствующей экспериментальному значению частоты колебаний .fo. Величина с несколько изменяется с изменением угла среза от —35-10-9 °С~2 (при а°=—2°) до —45-10"9 °С~2 (при ia°=+7°). Положение же экстремума ТЧХ относительно оси температур у резонаторов с продольными колебаниями можно в известных пределах регулировать, изменяя либо угол среза а°, либо толщину пластины А, либо то и другое вместе.
Кривые 0о = 6о(а°) имеют вид парабол, положения вершин которых определяются не только углом а0, но и отношением поперечных размеров пластины. В частности, при 6/Z = 0,l вершина параболы приходится на а° = = +6,5°, а при bjl = Q^ на а°=+9°. Существенно, что максимальное значение 0О, которое достигается у резонаторов среза xysla? с продольными колебаниями, определяется толщиной пьезоэлемента и отношением его поперечных размеров, но даже в самом благоприятном случае 0о не может быть сдвинуто выше приблизительно + 50°С (при никелевом покрытии пластины). Вообще наиболее высокие значения 0О для каждого конкретного угла среза достигаются при толщинах пластины, превышающих 2,5 мм. При меньших толщинах 0О смещается в сторону более низких температур.
На рис. 7-10 приведена кривая для Д0О— величины отклонения 0Q при данной толщине h от того значения
427
ТЧХ резонаторов срезов xys!a° с продольными колебаниями от толщины
6“акс, которое наблюдается при h >2,5 мм\ зависимость дмшсе от угла Среза ао и отношения размеров Ь[1 приведена на рис. 7-11. Нужно отметить, что при увеличении отношения поперечных размеров пьезоэлемента максимально достижимое значение 0о существенно уменьшается; при &/Z=0,4 ни при каком угле среза и ни при какой толщине пластины нельзя сдвинуть экстремум ТЧХ выше + 20° С.
Приведенные данные вполне достаточны для расчета кварцевого элемента с продольными колебаниями. Одна-с ко вследствие того, что и значение динамической индуктивности и положение экстремума ТЧХ резонатора определяются толщиной пьезоэлемента, отношением его поперечных размеров и углом среза, приходится искать такое сочетание всех этих параметров, при котором выполняются одновременно все требования, предъявляемые к резонатору, должно быть неоднознач
Рис. 7-11. Зависимость положения 6ракс от угла среза и отношения поперечных размеров пьезоэлементов с продольными колебаниями.
Решение задачи, очевидно,
ным, поэтому какой-либо один из геометрических параметров пластины (h или Ь/1) может быть выбран произвольно.
Естественно руководствоваться при этом выборе назначением резонатора и требованиями к его электрическим характеристикам. Если резонатор должен работать в генераторной схеме и величина его динамической индуктивности не регламентируется, то следует выбирать минимально возможное значение Ь/1, имея лишь в виду, что из технологических соображений ширина пластины, определенная в результате расчета, не должна быть менее 1,2 мм. При этом до частот порядка 200 кгц можно использовать отношение 6// = 0,1*, а до частот порядка .
* Все же, как правило, пластинки с соотношением сторон Ь/1=ОД редко применяют на частотах свыше 100 кгц из-за того, что на больших частотах колебаний слишком заметным становится влияние на ТЧХ таких факторов, как масса припоя, использеумого для напайки отводов, толщина электродного слоя и т. п.
428
250 кгц — bll = Q^. На еще более высоких частотах при необходимости можно применять пластины с отношением поперечных размеров в пределах 0,3—0,4, но не следует забывать, что у таких пластин (если они имеют форму прямоугольного параллелепипеда) 0О в принципе не может достигать значений более высоких, чем +20—25° С, и то лишь при довольно значительной толщине. При всех этих замечаниях расчет подобных пьезоэлементов оказывается весьма несложным: достаточно выбрать отношение сторон пластины 6// и ее толщину h (с учетом
гх
10
60
50
Ъ0
30
20
10 0
0,1	0.3	0,5	0,7
Рис. 7-12. Зависимость динамической индуктивности резонаторов с продольными колебаниями от соотношения поперечных размеров и толщины пьезоэлемента.
/ — /1=0,3 ллс; 2 —Л=0,5 леи; 3 — h~0,7 мм; 4 — h=Q,9 мм.
цели можно воспользо-
возможности достижения требуемого значения 0о), а затем с помощью графиков определить поправку Д0О для выбранного значения h (рис. 7-10) и необходимый угол среза а° для 0омакс = 0О—Д0О (рис. 7-11). Зная угол среза и отношение &//, можно по графику рис. 7-9 определить значение N и вычислить длину и ширину пьезоэлемента:
/ = b = (j~y.	(7-8)
Если же задана динамическая индуктивность резонатора, то расчет существенно усложняется. В этом случае прежде всего по динамической индуктивности следует выбрать отношение поперечных размеров пластины (для этой
ваться графиками рис. 7-12, где дана зависимость L\ резонатора от отношения ЬЦ и от толщины пьезоэлемента); те же графики путем линейной интерполяции позволяют приблизительно оценить толщину кристалла. Затем нужно определить температурную поправку Д0о по графику на рис. 7-10) и вычислить 9^акс. Полученные данные позволяют по рис. 7-11 найти угол среза а°, после чего можно установить соответствующее значение коэффициента индуктивности Кь с помощью рис. 6-16.
Следующим этапом расчета является проверка и уточнение полученных данных. По выбранному значению 429
b/l и найденному коэффициенту индуктивности уточняют толщину пьезоэлемента
Л =	(7-9)
Найденное значение позволяет более точно определить величину Д0О и, следовательно, 0^акс. Наконец, используя последнюю величину, получают окончательное значение угла среза, с помощью которого по графикам на рис. 7-9 находят значение частотного коэффициента N и вычисляют длину и ширину пластины.
Пусть для примера требуется рассчитать пьезоэлемент на частоту 100 кгц с динамической индуктивностью 30 гн, предназначенный для «работы в интервале температур — 20-4-4-70° С.
1.	Используя заданную .величину индуктивности резонатора, по рис. 7-12 выбираем Ь11=Ъ£ и находим толщину пластины . — 0,62 мм.
2.	Определяем температурную поправку А0О^—12° С. Отсюда дМакс _ 9о — Дв0 — 25 + 12° С = + 37° С. Но, как следует из i рафика на рис. 7-11, при Ь/1 — 0,2 6™акс не превышает + 35° С. Имея в виду, что погрешность этого графика составляет примерно ±5° С, удовлетворяемся выбором угла а=4-7°.
3.	Находим Кь — 9,5 гн/мм и уточняет толщину пластины
,	30’0,2
hi — -g-g—^0,63 мм.
Разница в значениях h и незначительна: всего 0,01 мм, поэтому дальнейшие уточнения не имеют смысла. Можно переходить к определению поперечных размеров пьезоэлемента.
4.	По графику на рис. 7-9 находим Аг=2 868 кгц • мм.
5.	Используя эту величину, получаем:
/ —  |QQ = 28,68 мм; 6 = 28,68-0,2^5,74 мм.
Итак, пьезоэлемент должен быть выполнен со срезом x>ys/-\- 7° и иметь следующие размеры (мм): ау, — 28,68; az, = 5,74; лх=0,63.
6.	Оценим теперь минимальное ожидаемое изменение частоты колебаний резонатора в рабочем интервале температур (для случая, когда вершина ТЧХ будет расположена строго при расчетной температуре 90 = 0оаКС + д0о = 35 — 12° С = + 23° С):
Д£
у- = с (02 — 0О)2 = — 45-10“9-472 = _ 99.щ-в.
Иными словами, наименьшее ожидаемое изменение частоты в интервале температур —204-4-70° С у рассматриваемого резонатора составит приблизительно 10 гц, т. е. немного больше, чем у резонатора WT-среза в рассмотренном выше примере.
430
7.	В заключение с помощью графика на рис. 6-17 оценим расстояние до ближайшего побочного резонанса. При b!l=Q,2 для колебаний сдвига по контуру получаем /V2~2 500 кгц • мм. Отсюда частота этих колебаний
2 500 кгц-мм '<*» = 28,68 мм 87
Таким образом, ближайший побочный резонанс будет в этом случае отстоять от основного на —43 кгц.
Не во всех случаях удается согласовать все требования, предъявляемые к электрическим параметрам резонатора. Приведем пример.
Рассчитаем резонатор с индуктивностью Li = 80 гн и Оо=+5О°С. Из графика на рис. 7-12 следует, что при такой индуктивности должно быть выбрано &//=0,1, а толщина пластины должна составлять примерно 0,9 мм. Но в этом случае А0о~—8° С и 0омакс =+58° С, а из рис. 7-1 следует, что 0омакс^+5О°С даже для 6//=0,1. Таким образом, удовлетворить одновременно обоим требованиям нельзя: надо либо увеличить L\ резонатора, либо понизить требуемое значение 0О. Обычно выбирают последнее, мирясь при этом с некоторым увеличением температурной нестабильности частоты резонатора в заданном интервале.
7-4. Резонаторы с пьезоэлементами, совершающими крутильные колебания
Кварцевые резонаторы с пьезоэлементами, совершающими крутильные колебания, до самого последнего времени чрезвычайно редко использовались на практике.
Колебания этого тица сравнительно легко могут быть возбуждены в кварцевых стержнях [Л. 6-4, 7-7, 7-15— 7-17]. Разработаны кварцевые элементы, имеющие форму брусков прямоугольного сечения, ориентированных таким образом, что их длина совпадает с осью X кристалла, а боковые грани повернуты на угол 45° по отношению к его осям У и Z (рис. 7-13). По системе условных обозначений, изложенной в §6-1, этот срез обозна-
Рис. 7-13. Кристаллографическая ориентация крутильного бруска и расположение наносимых на него электродов.
чается символом yxlt±45°. Способ возбуждения деформаций кручения в таких брусках описан в § 1-9. Если к бруску приложено соответствующим образом ориенти-
431
рованное переменное электрическое поле, то при частоте изменений этого поля
J ~ (1 +g2) i V Те =	(6’9)
в бруске возникают резонансные пьезоэлектрические колебания.
Соотношение (6-9) для удобства практических расчетов может быть представлено в упрощенной форме fr= =Njl, где N для среза ухЦ±45° зависит только от отно-
Рис. 7-14. Зависимость частотного коэффициента крутильных брусков от отношения сторон их поперечного сечения.
Символы аг и aR (г и 7? — грани малого и большого ромбоэдров кварца соответственно) пояснены на рисунке справа.
шения между шириной и толщиной пьезоэлемента [Л. 7-7]; эта зависимость изображена на рис. 7-14.
Температурно-частотные характеристики резонаторов с крутильными колебаниями имеют форму, близкую к параболе, и могут быть с известной степенью точности описаны уравнением (6-4). Характерной особенностью этих резонаторов является сравнительно малая крутизна
Рис. 7-15. Зависимость отношения поперечных размеров крутильного бруска среза г/х//±45э от 0о (обозначения аг и aR — те же, что и на рис. 6-14).
ТЧХ (коэффициент с в выражении (6-4) не превышает —25- 10-9°С-2]. Положение экстремальной точки параболы при крутильных колебаниях можно изменять, не меняя угла среза, а варьируя лишь соотношение поперечных размеров бруска. Выбор этого соотношения для требуемого значения 0О может быть осуществлен с помощью графика рис. 7-15. Поскольку зависимость между arlaR и 0о изображается прямой линией, она может быть описана простой формулой, удобной для практического применения:
-^=0,92 + 0,002740,,	(7-10)
(00 — в градусах Цельция). Следует иметь в виду, что коэффициент при 0О почти не зависит ни от конструкции резонатора, ни от технологии его изготовления; но свободный член уравнения (7-10) может отличаться от значения 0,92 из-за различия размеров фаски на ребрах пьезоэлемента, отклонения углов между главными гранями бруска от прямого, разницы в дозах припоя, используемого при напайке отводов и т. д. Приводимые здесь данные относятся к случаю, когда в качестве электродов используется никелевое покрытие, непосредственно нанесенное на грани бруска и имеющее толщину порядка 0,6—0,8 мкм, а для припаивания каждого отвода расходуется около 0,2 мг какого-либо мягкого припоя (например, оловянно-свинцового).
Если в результате каких-либо особенностей технологии на данном производстве выявляется, что 0О у рассматриваемых резонаторов систематически отклоняется в ту или иную сторону от значений, получающихся по формуле (7-10) или по графику на рис. 7-15, то они могут быть скорректированы:
Д (ar/aR) = О,ОО274В0о,	(7-11)
где A(ar/aR)—искомое изменение соотношения размеров, а б0о — требуемое изменение 0о, выраженное в градусах Цельсия.
Приведем методику расчета пьезоэлемента.
1.	По заданному интервалу рабочих температур от 01 до 02 определяют оптимальное значение 0о; как и во всех других рассмотренных случаях, 0О должно располагаться в середине указанного интервала.
28—2584	433
2.	Используя вычисленное таким образом' значение Яо по графику на рис. 7-15 или по формуле (7-10), определяют отношение поперечных размеров бруска arlaR.
3.	По графику на рис. 7-14 находят значение N для данного arlaR.
4.	Рассчитывают длину, а затем и поперечные размеры пьезоэлемента. Поскольку последние не влияют на частоту его собственных колебаний, один из них может быть выбран произвольно, если резонатор используется в такой схеме, где динамические параметры резонатора не играют особенной роли.
Для примера рассчитаем пьезоэлемент резонатора на частоту /н=100 кгц, предназначенного для работы в интервале рабочих температур от —20 до 4-70° С.
1.
Определяем 90:
в#=<Цк=2о^ = + 25.с.
2.	Находим arlaR'. аг/ал=0,92+0,00274-25=0,99.
3.	Определяем N. Из графика на рис. 7-14 следует, что 1 816 кгц • мм.
4.	Вычисляем длину пьезоэлемента
, М 1816
1 — f = 100 “ 18,16 мм*
5.	Рассчитаем поперечные размеры бруска. Для размера aR предлагается выбирать, когда это возможно, стандартное значение 2,2 мм. Тогда
ar=0,99аR «2,18 мм.
6.	Оцениваем минимальную температурную нестабильность частоты колебаний резонатора
-jt=c(98_6,)*=c(0,_()1)2 = c (9*79‘)г =
902 = — 25.10-* —^ — 5Ь10-в.
Таким образом, температурные изменения частоты колебаний крутильного резонатора в интервале —20-ь +70° С в самом лучшем случае составят около 5 гц, т. е. примерно в 2 раза меньше, чем у продольно колеблющихся резонаторов или у резонаторов ^-среза. Однако существенными особенностями -рассматриваемых резонаторов, затрудняющими их применение в некоторых (прежде всего, фильтровых) схемах, являются присущие им сравнительно высокие значения соотношения емкостей, динамической индуктивности и эквивалентного сопротивления. Впрочем, во многих случаях это не препятствует успешному применению резонаторов с брусками среза yxl/±45°.
434
7-5. Резонаторы с колебаниями сдвига по контуру
Резонаторы, пьезоэлементы которых совершают колебания сдвига по контуру, используются в относительна широком диапазоне частот — примерно от 100 и до 850 кгц. Однако в связи с тем, что собственная частота таких пьезоэлементов определяется их обоими поперечными размерами, интервал, охватываемый каждой из разновидностей таких резонаторов, довольно узок и составляет лишь часть указанного диапазона. Выше, в гл. 6, были определены примерные границы, в которых могут быть использованы резонаторы тех трех основных срезов, которые применяются при контурных колебаниях. Здесь необходимо напомнить, что общими символическими обозначениями DT-срез, СТ-срез и ЕТ-срез обозначаем целую совокупность различных по своим параметрам типов пьезоэлементов, отличающихся друг от друга как самой формой главных граней, так и соотношением поперечных размеров. В частности, известно несколько разновидностей пьезоэлементов DT-среза: квадратные, круглые и прямоугольные с различными соотношениями сторон; каждая из этих разновидностей обладает преимуществами и недостатками и имеет свою область применения. Об особенностях этих разновидностей уже упоминалось, когда рассматривались спектральные характеристики контурных резонаторов: как следует из табл. 6-6 и 6-12, различия в этих характеристиках довольно существенны.
В настоящем параграфе мы будем обсуждать особенности методов расчета всех типов кварцевых элементов, совершающих контурные колебания; не все они имеют одинаковое практическое значение.
Остановимся лишь на расчетах наиболее широко применяемых >в отечественной промышленности квадратных, прямоугольных и круглых пластин DT-среза, круглых пластин СТ-среза и квадратных пластин ЕТ-среза. Резонаторы с пьезоэлементами DT-среза квадратной и круглой формы используются на частотах от 100 до 250 кгц, а прямоугольные пластины того же среза позволяют расширить этот диапазон в сторону более высоких частот вплоть до 800 кгц\ диски СТ-среза находят применение на частотах от 350 до 600 кгц, а пластины £Т-среза — на частотах колебаний от 500 до 28*	435
850 кгц. Следует указать, что в настоящее время заметна отчетливая тенденция к вытеснению резонаторов СТ- и £Т-срезов: со стороны более низких частот — резонаторами, в которых употребляются прямоугольные пластины DT-среза, а со стороны высоких частот — линзами ЛТ-среза. Те и другие обладают существенными преимуществами прежде всего в отношении температурной стабильности частоты.
Квадратные и круглые пластины DT-среза (ухЦ$\ —51°^ —53°). Квадратные пластины с колебаниями сдвига по контуру описаны в [Л. 7-18], а круглые пластины— в [Л. 7-19]. Необходимые для практических расчетов характеристики как круглых, так и квадратных пластин DT-среза приведены в [Л,-6-10]. Следует лишь отметить, что все приведенные в [Л. 6-10] и излагаемые ниже данные относятся к пластинам с нанесенными на них серебряными электродами. Для наиболее широко применяемого в СССР никелевого покрытия эти данные нуждаются в некоторой корректировке.
В общем <5лучае частота собственных колебаний квадратных пластин повернутых У-срезов, к которым» как известно, принадлежит и DT-срез, описывается соотношением (6-7), которое может быть заменено при расчетах формулой (6-10). Более точно значения частоты fr могут быть вычислены с помощью выражения fr = i /	<т12>
где а — поперечный размер пластины;
S'ss = $44 cos2 0° + stt sin2 0° — 2s14 sin 20°,	(7-13)
a F—поправочный коэффициент, экспериментальные значения которого приводятся в табл. 7-1. Формально Таблица 7-1
Экспериментальные значения поправочного коэффициента F
Угол среза р°	Средние значения 7=7^8	
	для квадратных пластин	для круглых пластин
+ 1 оо сл ООО -1- + 1 1+ 4^ О О ООО	1,241±5,7-10-’ 1,247±5-10-4 1,236+ 4-10 -4	1,492±1,2-10-2 1,486+4-10-4^ 1,505±4-10-4
436
Таблица 7-2
Значения частотного коэффициента
Угол среза 0®	JV, кгц-мм (при колебаниях сдвига по контуру)	
	для квадратных пластин	для круглых пластин
—51	2 075	2 474
—52	2 073	2 471
—53	2 070	2 468
выражение (7-12) может быть использовано и для расчета основной частоты колебаний круглых пластин (дисков) DT-среза, но значения F в этом случае будут уже другие; они также приведены в табл. 7-1.
Зависимость частотного коэффициента N от угла среза р° показана на рис. 7-16*. В табл. 7-2 приведены численные значения частотного коэффициента для квад-
ратных и круглых пластин DT-среза.
Зависимость частоты кварцевых резонаторов DT-среза от температуры близка к параболической. Экстремальная точка ТЧХ перемещается при изменении угла срез'а так, как это показано на рис. 7-17: с увеличением угла 0° значение 0О удаляется в область положительных температур. Заметим, что данные, приведенные на рис. 7-17, относятся к пластинам толщиной 1 мм\ при меньших толщинах положение 0О смещается в сторону более низких температур. Точно так же замена серебряного покрытия пьезоэлемента на никелевое приводит
Рис. 7-16. Значения частотного коэффициента при контурных колебаниях круглых (кривая /) и квадратных (кривая 2) пластин повернутых У-срезов (vx//p°, —90°^ <Р°^+90°).
* При помощи этих кривых при необходимости по частоте контурных колебаний можно приблизительно оценить угол кристаллографической ориентации 0° у пластин повернутых У-срезов. В практике необходимость в такой оценке возникает достаточно часто.
29—2584	437
к понижению 0о *. Значение 0О у квадратных пластин зависит и от того, насколько точно равны стороны квадрата, ибо экстремум параболы перемещается при изменении соотношения между размерами ребер пластины. Величина коэффициента крутизны ТЧХ с в формуле (6-4)
Рис. 7-17. Зависимость положения экстремальной точки ТЧХ круглых (кривая /) и квадратных (кривая 2) пластин DT-среза (ух1/&\ —51°С Р°^—53°) от угла Р°.
для квадратных и круглых пьезоэлементов £>Т-среза изменяется в зависимости от их кристаллографической ориентации и от поперечных размеров пластин от —10Х Х10-9 для угла р°=—51° и частот порядка 100 кгц до — (20^-22) -10-9 для угла Р° = —53° и частот порядка 250 кгц.	/
Динамическая индуктивность пластин повернутых У-срезов кварца, совершающих контурные колебания, может быть выражена с помощью соотношения (6-16), которое может быть записано в удобной для практических расчетов упрощенной форме
U = Krh
(7-14)
где
К, = 2,981. Ю“₽	(7-15)
2 5 J
Значения коэффициента индуктивности KL для квадратных и круглых пластин £>Г-среза приведены в табл. 7-3.
Расчет резонаторов по приводимым данным, если не учитывать смещения экстремальной точки ТЧХ при толщинах Л=#1 мм, не представляет затруднений, поскольку частота колебаний определяется поперечными
* Параметры электродного слоя металла — его вес, толщина, материал и т. п. — существенно влияют на положение 0О резонаторов. Особенно велико влияние дозы припоя, используемого для напайки токоотводов.
438
размерами пластины, динамическая индуктивность — ее толщиной, а значение 0о — углом среза р°. Таким образом, следует по заданному интервалу рабочих температур определить 0О, затем по рис. 7-17 найти соответствующий угол среза, а потом, зная этот угол, по табл. 7-2 и 7-3 путем линейной интерполяции установить значения N и KL- Имея эти значения, можно вычи-
Таблица 7-3
Значения коэффициента индуктивности
Угол среза	/<£, гн/мм	
	для кв1дратных пластин	для круглых пластин
-51	53,1	46,6
-52	54,6	47,9
—53	56,3	49,4
слить сторону квадрата или диаметр пластины по формуле (7-12) и ее толщину по соотношению (7-14). Следует только иметь в виду, что, во-первых, получаемый угол среза, возможно, нуждается в некоторой экспериментальной коррекции в соответствии с толщиной пластины, материалом наносимого на нее покрытия и методом ее монтажа, а во-вторых, что не все значения h допустимо использовать из-за возможной связи основных контурных колебаний прежде всего с колебаниями изгиба по длине — толщине или по ширине — толщине пьезоэлемента (см. § 6-6).
Прямоугольные пластины ОГ-среза	—51°^
—53°). Кварцевые элементы 7)Т-среза прямоугольной формы известны уже довольно давно и широко применяются в отечественной промышленности. Как показала практика, такие пьезоэлементы обладают особенностями, представляющими наибольший интерес при соотношениях поперечных размеров Ь/l, близких к 0,4; 0,23; 0,17 и 0,14. Чаще всего пластины вырезаются таким образом, что их ширина b совпадает с осью Z', а длина I — с электрической осью кварца X. Данные, необходимые для их расчета, опубликованы в [Л. 6-11, 7-9, 7-10, 7-20, 7-21].
29*	439
Сразу отметим, что приводимые ниже данные отно
сятся к кварцевым пластинам с непосредственно нано-
симыми на них никелевыми электродами толщиной 0,6—0,8 мкм; крепление пластин должно осуществляться путем непосредственной припайки двух токоотводов — бронзовых проволочек — в центральных точках главных
граней; доза припоя — не более 0,3 мг на каждый отвод. Если металлизация пьезоэлементов производится серебром или золотом, а проволочные держатели припаиваются к слою предварительно возжженного коллоидного серебра, то приводимые ниже зависимости должны быть соответствующим образом скорректированы.
Собственная частота колебаний кварцевой пластины в интересующем
кгцлглг
Рис. 7-18. Зависимость частотного коэффициента прямоугольных пластин £>Т-среза от отношения поперечных размеров (аг,!ак =^0,4).
нас сейчас случае также может быть выражена с по
мощью соотношения
л=4’	<6-10)
где под а следует понимать, строго говоря, квадратный корень из произведения длины на ширину пьезоэлемента. Удобнее, однако, рассматривать это выражение формально, считая величину а одним из поперечных размеров пластины, например ее длиной. Тогда частотный коэффициент N окажется не только функцией угла среза, но также и функцией соотношения между Ь и I.
Зависимость N от	приведена на рис. 7-18.
Изменения частотного коэффициента при изменении угла среза и толщины пьезоэлемента в рассматриваемом случае сравнительно невелики (рис. 7-19).
Температурно-частотные характеристики рассматриваемых резонаторов описываются уравнением (6-4) с коэффициентом с, изменяющимся от —10*10~9 до —22 • 10-9 в зависимости от толщины пьезоэлемента, угла его среза и отношения Ь11 = аг,[ах.
440
Зависимость положения вершины ТЧХ от угла среза пластины для случая, когда а2,/ах= 0,41, а токоотводы припаиваются в центральных точках главных граней, приведена на рис. 7-20. Однако в рассматриваемом случае значения 0О зависят не только от угла среза, но и от геометрии пьезоэлемента — величины отношения
Рис. 7-19. Зависимость частотного коэффициента прямоугольных пластин DT-среза {аг,1ах = 0,41) от угла среза Ц°.
Рис. 7-20. Зависимость экстремальной точки ТЧХ от угла среза для прямоугольных пластин
DT-среза (а2,/ах=0,41, h=\ мм).
аг,/ах и толщины h (размера в направлении оси Y'). Поэтому рис. 7-20 может использоваться без поправок только в случае, когда a2,/^x = 0,41, а ft=l мм. Поправка к значению 0о, находимому из рис. 7-20, для толщин мм может быть определена с помощью рис. 7-21,а, а для аг,/ах#=0,41 — с помощью рис. 7-21,6*.
Динамическая индуктивность резонаторов ОГ-среза при определенных форме пьезоэлемента и соотношении его поперечных размеров в первом приближении, как это
* Отметим, что на положение 0о резонатора DT-среза значительное влияние оказывает то, какую толщину имеют наносимые на поверхности пьезоэлемента электроды и какое количество припоя используется для напайки отводов. Например, при частоте резонатора 300 кгц увеличение толщины слоя никеля на 0,35 мкм смещает 9о в среднем на —13° С; примерно такой же эффект дает увеличение на 0,2 мг дозы припоя, расходуемого на одну пайку.
441
следует из формулы (7-14), должна определяться только его толщиной. Замечено, что в действительности Li
представляет собой более том которой, в частности,
Рис. 7-21. Зависимость смещения экстремума ТЧХ прямоугольных пластин DT-среза при а2,/ах = 0,41 от толщины пьезоэлемента (а) и от отношения поперечных размеров при h — 1 мм (б).
сложную функцию, аргумея-является и частота пьезоэлемента.
Когда пьезоэлемнт DT-среза имеет форму прямо-
угольного параллелепипеда с длиной I, шириной b и толщиной ft, причем &// = 0,41, динамическая индуктивность определяется следующим эмпирическим соотношением:
Ц = 2,21+ 26,3ft + (0,015ft—0,0045) fH,	(7-16)
где ft [мм], fH [кгц} и Li (гн].
Если й//=/=0,41, но близко к этой величине, то
Li = 2,21 +• (0,015ft—0,0045) fH+
+ (AKb+26,3)ft,	(7-17)
где ДЛь берется из графика рис. 7-22.
Приведем данные о ширине области вблизи рабочей частоты, свободной от побочных резонансов (рис. 7-23). На рис. 7-23 зафиксированы частоты только тех побочных резонансов, которые ослаблены не более чем в 100 раз по сравнению с основным уровнем (т. е. выше уровня 40 дб). Не следует, однако, забывать о том, что 442
при некоторых толщинах пьезоэлемента могут проявиться довольно интенсивные побочные резонансы, обусловленные сильной связью рабочих колебаний с колебаниями изгиба по длине — толщине (см. § 6-6). С другой стороны, при соотношениях между шириной и длиной пластины в пределах от 0,43 до 0,45, как это видно из рис. 7-23, имеет место еще и связь рабочих колебаний с колебаниями по длине — ширине.
Рис. 7-23. Относительные расстояния до ближайших побочных резонансов у прямоугольных пластин DT-среза при аг,^ах
Рис. 7-22. Зависимость &KtL от отношения аг /ах.
Кривые на рис. 7-23 позволяют сделать вывод, что по спектральным характеристикам наиболее предпочти-
тельными среди резонаторов с прямоугольными пластинами £>Т-среза, у которых azJax близко к 0,4, являются те резонаторы, у которых это отношение равно 0,39. Для них расстояние до ближайших побочных резонансов, ослабленных менее чем на 40 дб, составляет примерно ±37% от частоты рабочих колебаний.
Методику расчета пьезоэлементов рассмотренного типа проиллюстрируем следующим примером.
Пусть требуется сконструировать резонатор на частоту fH = =220 кгц с Li=20 гн, предназначенный для работы в интервале температур от —50 до 4-80° С.
Если выбрать для такого резонатора пьезоэлемент DT - среза с аг,]ах — b/l = 0,39, то расчет такого пьезоэлемента можно производить, например, по следующей схеме.
1.	По заданным значениям Ц и определяем толщину пьезоэлемента
Li =20 гн = 2,21 ± (0,015/г —0,0045).220+ (26,3— 1,6) Л. Отсюда
18,78
Л =	= 0,671 +0,005 мм.
443
2.	По рис. 7-21,а определяем поправку Д0О на толщину пьезоэлемента: Д0 =—17° С.
3.	По рис. 7-21,б находим поправку d0o для az,[ax = 0,39; $0О =.+ 7° С.
4.	Устанавливаем, что поскольку для интервала температур —50-ь 4-80° С Оо берется равным 4-15° С, с учетом поправки угол среза должен быть определен для значения
е'о = е0— (де0+ зе0) = 15-(-17 + 7) = + 25° с.
5.	По рис. 7-20 находим угол среза (с точностью порядка + 3')
0° = ZZ' = —51°47'.
6.	По рис. 7-19 находим значение частотного коэффициента JV= = 4 660± 10 кгц • мм.
7.	Вычисляем длину и ширину пьезоэлемента:
,	N 4 660
I = ах = — = 22о — 21» 18 + 0,С5 мм;
Ь
b-=az, = —l = 0,39-21,18 = 8,26 + 0,05 мм.
Итак, пьезоэлемент должен быть выполнен со срезом ух1/—5Г47' и с размерами 21,18X8,26X0,671 мм.
8.	Проверим теперь, не окажется ли соотношение рассчитанных размеров /. и h близким к одному из запрещенных значений, которые могут быть определены с помощью номограммы на рис. 6-31 при учете поправок по рис. 6-32. Критические соотношения между толщиной и; длиной прямоугольной пластины DT-среза, у которой аг,/ах —0,4, приблизительно равны 0,086; 0,048; 0,027; 0,018; 0,012; 0,009.
В рассматриваемом случае
h 0,671
I — 21, |8 ==0'032-
Полученная величина достаточно отличается от ближайшего из критических значений Л/Z, равного 0,027.
9.	Оценим минимальную температурную нестабильность частоты резонатора, которая может ожидаться в том случае, если 0О действительно окажется в середине интервала —50-ь 80° С:
Ц (02— 91)2	1302
-г-= с .	= -22-ю-» —J-
f	4	4
Таким образом, в наиболее благоприятном случае частота резонатора будет отличаться от наиболее высокого значения /о примерно на 20,5 гц при крайних температурах заданного интервала.
10.	Определим в заключение частоты ближайших побочных резонансов, ослабленных менее чем в 100 раз:
37•220
об 220 + । qq ^301 кгц;
37•220
220 — 100	139 кгц.
— 93-10-«.
— 22-10-9
444
Как было замечено выше, наряду с прямоугольными пластинами DT-среза, у которых отношение Ь/1 близко к 0,4, практически могут использоваться и такие пластины, у которых отношение Ь/1 заключено в пределах от 0,2 до 0,25 или близко к 0,17 или 0,14. Выбор именно этих значений b/l=azJax обусловлен тем, что они, как нетрудно убедиться, соответствуют целым значениям tn при п=1 в выражении (3-94), определяющем частоту контурных колебаний.
Подставим в это выражение значение s'ss Для DT-среза ух1/—52°, равное 34,14- 10-13 см2/дин, р = 2,65 г/см2, F= 1,247, m = 2, и=1 и соответственно 6 = 0,4Z. Тогда получим:
f _ 1,247 /	2Л0^	460г0С0 гцсм
•г — 2/ У 2,65-34,14 0,42 s г 1	4 600 кгц-мм
Отсюда }г[кгц] =-------.
Но, как следует из рис. 7-18, величина 4 600 кгц • мм как раз соответствует частотному коэффициенту прямоугольных пластин DT-среза при az,\ax = b/l = Q£. Таким обра
I
зом, в этом случае рабочей частотой действительно является частота колебаний типа т = 2, п=1.
Деформация пластины при таких колебаниях схематически представлена на рис. 7-24, а. Точно таким же расчетом можно показать, что частота колебаний типа /и = 3, п = 1 является рабочей у пластин DT-среза с отношением поперечных размеров az,/ax 0,23, частота колебаний типа /w = 4, /г=1—у пластин с отношением az,/ax^Q,\7 и частота колебаний типа т =5, п—\—у пластин с отношением az,/ax^Q, 14. Деформации пластин при колебаниях такого рода представлены на рис. 7-24, б—г.
Рассмотрим основные зависимости, необходимые для расчета пьезоэлементов DT-среза, у которых отношение 6/Z= az,/ax заключено в пределах от 0,2 до 0,25. Значения N для таких пьезоэлементов в зависимости от отношения Ь/1 нетрудно рассчитать с помощью выражения (3-94), из которого следует, что
тп ь .	(7-18)
У	Р5'55 ~
445
Подставляя значения m = 3, п=1, р, s755 и производя несложные вычисления, приходим к следующему простому соотношению:
W = 3586,3 у	[кгцмм].	(7-19)
Изменение соотношения поперечных размеров пьезоэлемента в несравнимо большей степени сказывается на значении его частотного коэффициента, чем измене
Рис. 7-24. Деформации при колебаниях прямоугольных пластин РГ-среза.
а —и2,/ах 0,4: б — aZf/ax^ 0,23;
в —0,17; г — аг,/ах гаО, 14.
Рис. 7-25. Зависимость частотного коэффициента прямоугольных пластин РГ-среза от отношения поперечных размеров.
ние угла среза. В частности, если различие в 1° в значении последнего влечет за собой различие в значении N всего лишь на 0,16% (~12 кгц* мм), то изменение Ь/1 только на 0,01 обусловливает в рассматриваемом случае изменение W на 2,6% (примерно на 200 кгц-мм). Следовательно, в большинстве случаев можно, не совершая слишком большой ошибки, пренебрегать зависимостью частотного коэффициента N от угловой ориентации пластин по крайней мере в интересующем нас интервале углов [3° от —51° до —53° и пользоваться его значениями, вычисленными по формуле (7-19) или найденными по рис. 7-25.
Температурно-частотные характеристики резонаторов рассматриваемой разновидности £>Т-среза также весьма близки к параболическим и описываются уравнением 446
(6-4). Коэффициент крутизны параболы с в этом случае заключен в пределах приблизительно от —13-10_9 до —24- 10-9°С~2, несколько уменьшаясь (в указанных пределах) при увеличении отношения поперечных размеров пластины и увеличении угла ее среза. Если b/1= аг,/ах = = 0,23, то значения коэффициента с обычно не превосходят — 18- 10-9°С-2.
Зависимость положения точки экстремума ТЧХ для пластин толщиной 0,3 мм и с отношением аг,[ах=^0,23 от угла их среза приведена на рис. 7-26 (кривая /). Кривые 2 и 3 на этом рисунке позволяют найти поправку к значению Оо, определяемому по кривой /, если й=И=0,3 мм и а2,/ах=й0,23. Зависимости, иллюстрируемые рис. 7-26, справедливы при условии, что толщина никелевого покрытия, наносимого на пьезоэлемент, находится в пределах от 0,6 до 0,8 мкм, а крепление этого пьезоэлемен-
Рис. 7-26. Зависимость положения вершины
ТЧХ от угла среза Р° для прямоугольных пластин DT-среза при ^г//ах = 0,23 и А=0,3 мм (кривая /), смещения от этого положения для различных толщин пластины (кривая 2), а также для различных значений отношения
az,jax (кривая 3).
та производится на четырех проволочных отводах, припаиваемых к его главным плоскостям на расстоянии 0,318/ от торцевых граней. Для пайки отводов не следует употреблять более чем 0,3 мг припоя на одну точку, в противном случае возможно смещение положения 6о до 30—40° С в сторону отрицательных температур.
Рис. 7-27. Зависимость коэффициента индуктивности прямоугольных пластин DT-среза от отношения их поперечных размеров.
447
Характерна зависимость коэффициента индуктивности Kl кварцевых пластин рассматриваемой разновидности DT-среза от соотношения между их поперечными размерами, показанная на рис. 7-27.
Интересно, что KL достигает минимума как раз при az,/ax=0,23, когда область частот вблизи рабочего вида
колебаний, свободная от побочных резонансов, обуслов-
ленных другими разновидностями контурного сдвига, наиболее велика. Как следует из рис. 7-28, при az>lax-=. = 0,23 эта область простирается примерно на ±0,16% от рабочей частоты /н-
Резонансный промежуток
£ _ £	Q
а f г = рассматриваемых
Jr ^Со
резонаторов заключен в пределах примерно от 0,1 до 0,12%; наибольшее его значение также достигается
при ЬН = 0,23. Естественно, что резонансный промежуток несколько сужается при повышении частоты собственных колебаний резонатора за счет возрастания удельного веса емкости кри-сталлодержателя в суммарном значении Со.
Как отмечалось, помимо побочных резонансов, обязанных своим появлением существованию различных мод контурного сдвига, при некоторых толщинах кварцевого элемента возникают еще
ния до ближайших побочных резонансов у прямоугольных пластин DT-среза при
аг, /ах в пределах от 0,2 до 0,27.
и другие паразитные колебания на частотах, отстоящих от fH всего лишь на 0,1—1,0%. Чаще всего причина этого явления заключается в наличии сильной связи между рабочими колебаниями и гармониками изгибных колебаний по длине — толщине пластины. Критические соотношения между длиной / и толщиной h пьезоэлемента, при которых связанность этих видов колебаний максимальна, могут быть рассчитаны с помощью формулы
448
где ЛГСДВ— частотный коэффициент колебаний сдвигало контуру; п — порядок гармоники изгибных колебаний. Подставив в формулу (7-20) выражение для NCKB из (7-19), получим:
(4-)„ =о.м?9/-?-(»+4-)'-
(7-21)
Таким образом, при любой частоте собственных колебаний сдвига по контуру (в частности, типа т = 3, и=1, как в данном случае) недопустимо изготовление пьезоэлементов с некоторыми характеризующимися критиче
Рис.17-29. Номограмма для определения запрещенных критических толщин пьезоэлементов РГ-среза при az, /ах =.0,23.
ской толщиной значениями динамической индуктивности. Эти значения, помимо частоты колебаний, зависят также от выбранного соотношения поперечных размеров кварцевой пластины. При аг'1а* =0,23 критические толщины пьезоэлемента 7)Т-среза могут быть определены по номограмме, приведенной на рис. 7-29, построенной с учетом экспериментальных поправок и поэтому вполне пригодной для практических расчетов.
Методика расчета пьезоэлементов рассмотренной разновидности ОТ-среза аналогична рассмотренной вы
449
ше методике расчета пластин с отношением поперечных размеров, близким к 0,4.
Круглые пластины СТ-среза (ух//р°,	+36°^р°^
4-38°). Резонаторы с кварцевыми элементами СТ-среза используются сравнительно редко в связи с тем, что температурная стабильность частоты у них заметно ниже той, которая может быть обеспечена другими срезами кварца. Как следует из табл. 6-1, коэффициент крутизны ТЧХ у пластин СТ-среза в несколько раз выше, чем у ОТ-среза, и даже несколько выше, чем у ЕТ-среза: — (50-г-80) • 10-9°С-2 против —(144-22) • 10~9°С~2 и — (45-г-бО) • 10~9°С~2 соответственно. Однако резонаторы рассматриваемого среза обладают и рядом достоинств. Прежде всего у них довольно низкая динамическая индуктивность (в 2—3 раза меньше, чем у резонаторов ОТ-среза); они имеют также относительно широкий резонансный промежуток — до 0,12%- Динамическое сопротивление резонаторов СТ-среза обычно меньше, чем у аналогичных резонаторов DT-среза и резонаторов ЕТ-среза. Изготовляться они могут на частоты ог 150 и до 600 кгц, хотя на частотах ниже 300 кгц эти резонаторы не выдерживают конкуренции с резонаторами других типов (поскольку в указанном диапазоне могут использоваться еще и пьезоэлементы с продольными колебаниями).
Среди различных видов пьезоэлементов СТ-среза некоторым преимуществом обладают круглые пластины: как видно из табл. 6-12, по уровню 40 дб они характеризуются более широкой областью частот вблизи основного резонанса, свободной от побочных колебаний, чем квадратные и прямоугольные пластины. Существенно, что по ширине этой области они оставляют позади даже резонаторы с квадратными пьезоэлементами ОТ-среза. Поэтому во многих случаях применение резонаторов с круглыми пластинами СТ-среза вполне целесообразно, особенно в сравнительно широкополосных фильтрах на частоты 350—600 кгц.
Частоту собственных колебаний сдвига по контуру упомянутых пластин при практических расчетах удобно выражать в зависимости от их диаметра d с помощью соотношения, аналогичного (7-12)
л=4’	(7-22>
450
где W— частотный коэффициент, зависящий от угла среза пластины |$о~ ZZ' и от ее толщины h. Зависимость N от р° и h с точностью до 0,05% может быть выражена следующим эмпирическим уравнением:
W [кгц • мм] = 4 048—8(3° + 15,4/г,	(7-23)
где h — толщина пластины, мм.
Частота резонатора СГ-среза при изменении окружающей температуры изменяется приблизительно по параболическому закону.
Положение проекции 0О экстремума ТЧХ на температурную ось определяется в основном углом среза пьезоэлемента и его толщиной. Существенное значение имеют и такие факторы, как материал и толщина электродного покрытия, способ монтажа пьезоэлемента.
Данные, приводимые ниже, относятся к пластинам, выполняемым по наиболее распространенной в отечественной промышленности технологии: электрод наносится на главные грани путем осаждения никелевой пленки толщиной 0,6—0,8 мкм, а монтаж пьезоэлемента производится на двух проволочных токоотводах из фосфористой бронзы 00,2 мм; отводы напаиваются в центре граней, причем на каждую пайку расходуется до 0,3 мг припоя.
Полученные для этого случая зависимости положения 0о от угла среза |3° при толщине пьезоэлемента h = = 1 мм и поправки А0О к значению 0О приведены на рис. 7-30 (прямая /) и рис. 7-31. На рис. 7-30 приведена также зависимость 0о=0о(Р°) для пластин с серебряным покрытием (прямая 2) [Л. 6-10]. Характерно, что у резонаторов с никелированными пьезоэлементами 0О смещается в сторону более низких температур на 7—10° С. Одной из возможных причин этого является дополнительный самопрогрев пьезоэлемента, поскольку у резонаторов с никелированными пластинами динамическое сопротивление всегда значительно меньше, чем у резонаторов с такими же, но серебреными пьезоэлементами.
Приведенные на рис. 7-30 зависимости могут быть представлены следующими эмпирическими соотношениями:
прямая 1 — для никелированных пластин
0о [° С] = 42,55 р°—1 527;
прямая 2 — для серебреных пластин
0О [° С] = 44,50 р°-1 591.
451
Ошибка в значении Оо, рассчитанном с помощью графиков рис. 7-30 и 7-31, составляет 4-5-е—10° С по рис. 7-30, +2ч—6° С по рис. 7-31. Общая погрешность составляет не более +5,5н—12° С. Некоторая асиммет
рия погрешности создана специально, поскольку опыт
показывает, что в
Рис. 7-30. Зависимость положения 0о от угла р° для круглых пластин СТ-сре-за.
процессе совершенствования технологии изготовления кварцевых вибраторов (уменьшения тол-
/г=#1 мм) в зависимости от толщины для круглых пластин СТ-среза.
ва припоя, расходуемого на припайку отводов) экстремальная точка ТЧХ неуклонно приближается к наиболее высоким экспериментальным значениям, наблюдаемым при прочих равных условиях у резонаторов с самыми низкими частотами собственных колебаний.
Динамическая индуктивность резонаторов с круглыми пластинами СТ-среза определяется их толщиной,
Рис. 7-32. Зависимость KL для круглых пластин СТ-среза от угла среза.
а также упругими и пьезоэлектрическими константами кристалла, с которыми она связана соотношением (6-16), которое может быть приведено к виду (6-17), более удобному для практического применения. Значения коэффициента индуктивности Кь, входящего в формулу (6-17), зависят от угла среза и
452
отношения диаметра пластины к ее толщине. Графики соответствующих зависимостей [Л. 6-10, 6-13] приводятся на рис. 7-32 и 7-33.
Расчет пьезоэлемента по приведенным данным начинается с оценки возможности применения пьезоэлемента рассматриваемого типа в заданных условиях; поэтому сначала следует определить, удовлетворяет ли резонатор требованиям, предъявляемым к его спектральной характеристике, использовав для этой цели табл. 6-12. Затем необходимо оценить ожидаемую температурную нестабильность резонатора с помощью соотношения
-У- = с (9г'39.!)---^ -20-10-* (02 — е,)2.	(7-24)
где Af/f— допустимое для данного резонатора изменение
частоты в установленном для него температурном интер-
вале от 61 до 62.
Предполагается, что экстремальная точка ТЧК находится точно в середине интервала АО. Поскольку это практически неосуществимо, полученное значение Aif/f следует увеличить примерно в 1,5 раза. Если в результате предварительной оценки окажется, что спектральная характеристика резонатора, его температурная нестабильность и резонансный промежуток (— 0,12%) позволяют обеспечить выполнение
Рис. 7-33. Зависимость Кь от отношения диаметра диска к его толщине (срез 1/х//+36°20').
заданных требований, можно приступить к расчету
пьезоэлемента.
В качестве примера рассчитаем пьезоэлемент на частоту /н=300 кгц с индуктивностью 10 гн, предназначенный для работы в чинтервале температур от —40 до +70° С.
1.	Найдем ширину резонансного промежутка
/а—Л='12.10-4.3 • 105=360 гц.
453
2.	Определим частоту ближайшего побочного резонанса ослабленного менее чем в 100 раз:
lj^-=l,44; Ьюв= 1,44- 10*354= 430 кгц.
3.	Подсчитаем температурные изменения частоты резонатора Af
-~- = 2,0-10-’. НО2 ^240-10-’.
Практически эти изменения не должны выходить за пределы *
Af
1,5—, т. е.	360-10~• (около 110 гц).
4.	Определим.экстремальную точку ТЧХ, которая должна соответствовать температуре 0о= +15° С.
5.	Вычислим приближенное значение диаметра do пьезоэлемента с помощью соотношения
Л^о _ 3 765 [кгц-мм] do = 77~ Ыкгц] ’
Величина NQ может быть взята и другой, ибо 3 765 — это среднее значение частотного коэффициента. Если, например, индуктивность резонатора должна быть достаточно большой (^20 гн), а точка поворота ТЧХ должна располагаться при температуре ~20° С, то угол среза будет близок к 36°, поэтому для такого случая целесообразнее взять М)»3 770 кгц-мм. Поскольку в данном примере мы выбрали No=3 765 кгц • мм, do будет равно:
3 765
d0 — 300 :!== 12,85 мм.
6.	Определим приближенное значение толщины пьезоэлемента из соотношения
_ bi _ [гн]
° “ Kto 20>8 [гн/мм] ’
где Кьо=2О,8 гн!мм, т. е. одно из возможных значений этого коэффициента, достигаемое при угле среза 36°20' при достаточно больших значениях do/fto (см. рис. 7-33). В этом случае получим:
Л°= 20~8 = 0,481 мм.
п м-	^0—12,55
7.	Найдем величину отношения-у-26 и с ее помощью
уточним значение /Сь. Для этого необходимо определить угол среза. Воспользуемся значением Ло Для отыскания поправки Д0о на толщину пьезоэлемента к вычисленному значению 0о: Д0О«—21° С (по графиту на рис. 7-31).
454
8.	Определим температуру О'о, для которой следует найти значение угла среза:
е'о=0о—де0»+15— (—21)=+36° с.
9.	По графику на рис. 7-30 найдем угол среза, соответствующий 0'О=4-36°С; он равен +36°43' (с точностью порядка ±5').
10.	Теперь, зная угол среза и приблизительное отношение диаметра пьезоэлемента к толщине, можно получить точные значения Кь и диаметра. В рассматриваемом примере КьвКьо (рис. 7-33), тогда Л=0,481 м. В противном случае можно повторить цикл расчета (вычислить уточненное значение d/h, найти значение Kl во втором приближении и т. д.). Обычно в этом нет необходимости, так как уже после первого приближения расчетное значение будет <в пределах достигаемой в настоящее время абсолютной точности измерений ±10%.
11.	Окончательное значение частотного коэффициента найдем по формуле (7-23):
tf=4 048—8 • 36,72+15,4 • 0,481 «3 760 кгц • мм.
По значению N вычислим окончательно диаметр пьезоэлемента 3 760 d	12,2 ±0,05 мм*.
Таким образом, пьезоэлемент (если на него наносятся никелевые электроды толщиной 0,6—0,8 jwcjh) должен иметь размеры 12,2Х Х0,481 мм и срез yxl/+36°43'. Для того чтобы разброс значений динамической индуктивности резонаторов не превышал от образца к образцу ±1—2%, необходимо установить допуск на толщину и плоскопараллельность пьезоэлемента порядка 0,003—0,005 мм (в зависимости от конкретного значения h).
Пластины GT-среза (z/xZ/p°/±45°, +50°45'^р0^ ^+5Г30'). Некоторые особенности пластин GT-среза были рассмотрены в § 6-1. Этот срез ориентируется таким образом, что его главные, плоскости составляют с осью Z кварца углы близкие к +51°, а длинные ребра кристаллического элемента — угол ±45° с осью X. Контурные деформации при колебаниях пластин, выполненных указанным образом, иллюстрируются на рис. 6-8. Колебания этих пластин происходят одновременно по двум направлениям: вдоль длины I и вдоль ширины Ь. Если пластина имеет квадратную форму, то собственные частоты обоих колебаний очень близки и связь между ними максимальна. Если же один из поперечных размеров пьезоэлемента отличается от другого, то частоты будут различными, а связь между ними — более слабой. Когда отношение ширины пластины к ее длине близко к 0,86, разность между частотами собственных колеба
* Величина ±0,05 мм характеризует точность расчета, но не является технологическим допуском.
455
ний составляет приблизительно 17%. Более высокая частота, определяемая шириной пластины 6, характеризуется в этом случае большей активностью и весьма мало изменяется при изменении температуры кристалла в довольно широких пределах (около 100° С). Последнее обусловлено следующими обстоятельствами. Как мы знаем, зависимость частоты резонатора от температуры может быть описана с помощью степенного ряда (6-2), которому можно придать несколько измененную форму:
f = fО П + b (6 - 0о) + с (0 - 0о)г + d (0 - 0J* +...]. (7-25)
Дифференцируя последнее выражение по 0, получаем:
=f0 [b +2с (0 - 0О) + 3d (0 - б,)* + ...]• (7-26)
Отсюда видно, что если '&=0, то изменение частоты
с температурой проходит через нуль при некоторой температуре 0=0о. Если еще и с=0, то изменения частоты 9гггслгм	резонатора будут опре-
Рис. 7-34. Зависимость частотного коэффициента и отношения поперечных размеров Ь[1 пластин бГ-среза от угла среза (при разных значениях 0j).
деляться величинами 3-го и более высоких порядков малости, а следовательно, практически окажутся совершенно незначительными. Для GT-среза такая ситуация имеет место, если угол среза ₽° близок к +51°, а 6// —
к 0,86. Поскольку, однако, коэффициенты а, Ь, с и d, входящие в уравнение (6-2), (7-25) и (7-26), и сами
зависят от температу-
ры, то указанные условия выполняются лишь в определенном интервале, ширина которого приблизительно равна 100° С. Положение этого интервала на температурной оси может регулироваться одновременным подбором угла р° и отношения ширины пластины к ее длине.
В частности, если p°=+50°45z, а &//~0,863, то середина 0г интервала температур, в котором А1///—0 прихо-
456
дится примерно на 0°С; если 0°= + 51°07'30", а Ь/1^ — 0,859, то середина интервала постоянства частоты соответствует приблизительно +25° С; если же, наконец, р°= = 5Г30/ и 6//~0,855, то 0; близко к +50°С. Связь угла р° для бЛсреза, отношения поперечных размеров пьезоэлемента и положения середины интервала постоянства частоты показана на рис. 7-34. На рисунке приведен также график для коэффициента W (частотного коэффициента), входящего в формулу, связывающую ширину пластины GT-среза с частотой рабочего вида ее колебаний:
/ = -у-	(7-27)
GT-срез используется довольно редко, поскольку его основное преимущество — весьма высокая температурная стабильность частоты — осуществляется лишь при строгом сочетании определенных значений угла среза и соотношения размеров, которое неизбежно нарушается при подгонке частоты колебаний пластины к заданному значению. Поэтому при настройке таких пластин у каждой из них приходится вслед за регулировкой частоты изменением ширины индивидуально регулировать температурно-частотную характеристику подбором соответствующей длины. Это довольно сложная операция, включающая в себя попеременно подшлифовку пластины и проверку температурных изменений частоты ее колебаний вплоть до достижения заданного результата. Такая процедура, естественно, требует значительных затрат ручного труда и почти не поддается механизации.
Квадратные пластины ЕТ-среза (ух//р°, + 65^0°^ =С+69°). ЕТ-срез часто считается модификацией СТ-среза, предназначенной для работы на второй гармонике. Однако параметры резонаторов этих срезов резко различаются: например, резонаторы ЕТ-среза обладают примерно вдвое меньшей температурной нестабильностью частоты.
В принципе пьезоэлементы ЕТ-среза могут изготовляться квадратной, круглой или прямоугольной формы. Однако квадратные пьезоэлементы обладают рядом преимуществ: сравнительно высок их частотный коэффициент, параметры меньше изменяются в зависимости от температуры, технология их изготовления относительно 30—2584	457
несложна. Именно поэтому квадратные пластины этого среза применяются наиболее широко. Как и пьезоэлементы других срезов с колебаниями сдвига по контуру, пластины £Т-среза отечественного производства обычно покрываются электродным слоем никеля толщиной 0,6— 0,8 мкм и крепятся на паре отводов из бронзовой проволоки марки БрОФ диаметром чаще всего 0,2 мм. Доза припоя, расходуемого на каждую пайку, составляет не более 0,3 мг. За рубежом на пьезоэлементы, как правило, наносят серебряные или золотые пленочные покрытия, что обусловливает некоторые отличия в зависимостях, используемых при расчетах. Там, где это имеет существенное значение, ниже будут указаны необходимые поправки.
Частота колебаний квадратных пластин ЕТ-среза хорошо согласуется с уравнением (3-94) при подстановке следующих значений: 5'55=^44 cos2 67°+ See sin2 67°— —2s14 sin 134°~20,9 • 10~13 cm*/muh\ Fl И 8^ 1,247 (см. табл. 7-1); znt=n=2; 1=Ъ.
В этом случае
4 _ 1,247 ps'55 I
-f 1015	530 000 гц -см
V 2,65-20,9^ /рл]
или же
fr [кгц]
5 300 кгц-мм I [мм]
N
I ’
Экспериментально установлено, что зависимость N от р° для квадратных пластин ЕГ-среза может быть описана простым соотношением:
1\Г{кгц • мм]=7 000—24 р°.	(7-28)
Значение N для р°=+67°, вычисленное с помощью этого соотношения, примерно равно 5 390 кгц-мм и достаточно близко к расчетному Лрасч — 5 300 кгц*мм.
В табл. 7-4 приведены данные, позволяющие сравнить частотные коэффициенты пластин ЕГ-среза и срезов с колебаниями сдвига по контуру. Можно видеть, что у ЕГ-среза этот коэффициент заметно выше.
Температурно-частотная характеристика резонаторов ЕТ-среза имеет форму параболы и с достаточной точ-458
Таблица 7-4 _
Значения частотного коэффициента для разных срезов
Сэез	Форма пьезоэлемента	Отношение поперечных размеров	Частотный коэффициент N, кгц-мм
ЕТ (yxl/+67°)	Квадратная	1:1	5 390
FT (ух1/—Ь&)	1»	1:1	4 720
СТ (yxl/-37°)		1:1	3-087
DT (yxl/+b2°)		1:1	2 073
СТ (yxl/+37°)	Круглая	—	3 766
DT (yxl/—52°)		—	2 471
DT (yxl/—52,5°)	Прямоугольная	0,41:1	4 567*
♦ На 1 мм длины пьезоэлемента.
ностью может быть описана формулой (6-4). Значения коэффициента крутизны параболы с в зависимости от
геометрии и угла кристаллографической ориентации
пластины р° колеблются в пределах от —45-1'0~9 до —65 X Х'10-9 1/°С2 (как правило, с возрастает при увеличении угла среза и уменьшении толщины пластины). При расчете температурной нестабильности резонатора, естественно, необходимо пользоваться заведомо наибольшим значением с = = —65-10-9 ° С-2.
Зависимость положения точки экстремума ТЧХ от р° показана на рис. 7-35, а для случая, когда толщина пластины равна или превышает 0,7 мм. Если й<0,7 мм, то 0о смещает
Рис. 7-35. Зависимость по-
ложения экстремума ТЧХ квадратных пластин £Т-сре-за от угла рэ (а) и смещение этого положения при малых толщинах пластин (б).
/ — для никелированных; 2 — для серебреных [Л. 7-22] пластин.
ся в область более низких тем-
ператур, как это видно из рис. 7-35,6. Линия 1 на рис. 7-35,а и прямая на рис. 7-35,6 могут быть описаны следующими эмпирическими уравнениями, которыми удобно пользоваться при расчетах:
30*
459
р°опт = 65,7 + 0,0548 0О при h > 0,7 мм\ (7-29)
С = 65>7 + °>0548 [0О + 32,5 (0,7 - h)]
при h < 0,7 мм. (7-29')
В этих формулах 0О измеряется в градусах Цельсия, толщина пластины h — в миллиметрах.
Динамическая индуктивность Ц резонаторов ЕГ-сре-за заметно зависит от угла кристаллографической ориентации пластин. Для них в принципе остается вполне справедливым соотношение (6-16), связывающее Li с геометрией пластины и углом среза. Зависимость Кь в формуле (16-17) от этого угла определена экспериментально; установлено, что с достаточной для практики точностью она может быть описана соотношением
Кь [гн/мм] = 35,5 + 2,9 (р°—65°).	(7-30)
Типичные спектральные характеристики резонаторов с квадратными пьезоэлементами ЕТ-среза приведены
Рис. 7-36. Спектральные характеристики квадратных пластин ЕТ-среза на частоты 500 кгц (а) и 800 кгц (б); толщина пластин одинакова и равна 0,3 мм.
А и Ан — соответственно интенсивность побочных и основного резонансов.
на рис. 7-36. Весьма существенно, что хотя отношения между различными частотами спектра и частотой используемого вида колебаний остаются неизменными, отношения их интенсивностей .4/Ди отличаются очень сильно. В частности, на частоте 800 кгц наблюдается резкое ослабление (по сравнению с частотой 500 кгц) побочных резонансов 0,87fH,	0,79fH,
1,42/н и 1,47/н; три последние при этом оказываются ослабленными более чем в 100 раз. Отсюда следует, что интенсивности побочных резонансов определяются отношением поперечных размеров и толщины -пьезоэлемента и могут регулироваться величиной этого соотношения. Установлено (Л. 6-12], что практически наиболее
460
эффективное значение отношения составляет: az,jh = ax]h = 21,6.
(7-31)
Однако ближайшие побочные резонансы, ослабленные менее чем в 100 раз, при всех условиях остаются •на расстоянии —13% и + 22% от основного резонанса. Это обстоятельство следует учитывать при решении
вопроса о возможности применения таких резонаторов в кварцевых фильтрах. Поскольку относительный резонансный промежуток	для ЕТ-среза составляет
примерно 0,02%, вряд ли целесообразно использовать их для фильтров со сравнительно широкой полосой.
Резюмируя приведенные выше данные, можно пред
ложить следующую методику расчета квадратных льезоэлементов ЕТ-среза.
Прежде всего необходимо по заданному интервалу рабочих температур определить оптимальное положение проекции 0о экстремума ТЧХ на температурную ось. Затем для найденного значения 0о следует найти оптимальный угол среза р°опт. Сделать это- сразу, однако, нельзя, поскольку предва
Рис. 7-37. График для выбора оптимальной толщины пластин £Т-среза на различные частоты собственных колебаний.
рительно следует опре-
делить толщину пьезоэлемента. Если резонатор не предназначается для работы в фильтровой схеме, то его индуктивность, как правило, не играет существенной роли. Тогда толщина пластины может быть выбрана произвольно. Целесообразно, чтобы она была связана
с поперечными размерами кристалла соотношением (7-31). В этом случае для выбора толщины следует использовать график, приведенный на рис. 7-37. Если же значение динамической индуктивности резонатора Li задано, то р°0Пт следует определить путем совместного решения следующей системы из трех уравнений:
KL \гн!лш} = 35,5 + 2,9 (р;пт - 65°);


461
р°пт = 65,7 -|- О,О5480о при h >0,7 мм;
С = 65-7 + °’0548 + 32-5 (°’7 - Л)1 при h <0,7 мм.
Найдя отсюда h и [Гопт, легко определить N с помощью соотношения (7-28), в котором для данного случая р°=р’опт, и затем подсчитать поперечные размеры пьезоэлемента.
Для примера рассчитаем резонатор на частоту 600 кгц для интервала температур от +40 до +60° С с индуктивностью Li = =40 гн.
1.	Для обеспечения минимального ухода частоты в интервале рабочих температур следует установить экстремум ТЧХ при 0о= = +50° С.
2.	Учитывая, что 0о=+5О°С, выбираем в первом приближении Кь=45 гн/мм, используя рис. 7-35 и соотношение (7-30).
3.	Вычисляем приближенное значение толщины пьезоэлемента
40 h -jg- = 0,889 мм,
4.	Предполагаем, что на пластину будет наноситься никелевое покрытие; поскольку Л>0,7 мм, 0°Опт определяем по формуле (7-29):
0опт=65,7+ 0,05480о=65,7 +0,0548 • 50= = +68,44°=+68°26'±5'.
5.	Уточняем значение Кь -с помощью выражения 1 (7-30):
= 35,5 + 2,9-(68,44° — 65°) = 45,5 гн/мм.
6.	Уточняем толщину пьезоэлемента 40
h — 45“5s0>88 ± 0,03 мм* *.
Уточнять значение (£пт нет необходимости.
7.	Пользуясь выражением (7-28), определяем:
N = 5358 + 5 кгц*мм.
1 Соотношение (7-30) обеспечивает погрешность рассчитанного по нему значения Кь в пределах не более ±1,5 гн/мм.
* Величина ±0,03 мм соответствует погрешности расчета Кь и отнюдь не является технологическим допуском. Технологический допуск следует устанавливать не более ±1% от выбранной номинальной толщины пластины. '
462
8.	Вычисляем аг> и ах*. N 5 358 аг, = ах =	600 ~ 8,93 + 0,01 мм.
Итак, пьезоэлемент должен иметь размеры 8,93X8,93X0,88 мм и срез 4/х//+68°26'.
9.	Оцениваем минимальную температурную нестабильность частоты резонатора с помощью соотношения
Д/	(02—91)2	400
-у- = -65.10-9 v 4 — - — 65- —.10-9 = —6,5.10-«.
Итак, отклонение частоты резонатора на границе интервала от экстремальной частоты f0 не должно быть больше —6,5 • 10-6, если 1емпература 0о приходится точно на середину интервала +40-ь + +60° С. Практически для большинства резонаторов, рассчитанных по изложенной методике, обеспечивается 10 • 10"9.
10.	Найдем в заключение частоты ближайших побочных резонансов:
ЛЧн—13% =522 кгц\ /2=/н+22% = 732 кгц.
7-6. Резонаторы с колебаниями сдвига по толщине
Наиболее широкий и практически важный диапазон частот колебаний — свыше 800 кгц, а в некоторых случаях даже свыше 500 кгц — обеспечивается кварцевыми резонаторами, пьезоэлементы которых выполняют колебания сдвига по толщине. Кроме «классических» АТ- и ВГ-срезов, в последнее время в этом диапазоне все чаще используется /Т-срез [Л. 6-3]. Более простые в технологическом отношении плоские пластины указанных срезов на частотах ниже 5 Мгц ныне применяются сравнительно редко; на этих частотах они практически вытеснены двояко- и плоско-выпуклыми линзами, которые обладают целым рядом преимуществ. Основными из них являются: возможность существенного уменьшения поперечных размеров пьезоэлемента, более высокие значения добротности, стабильное положение дополнительных резонансных частот относительно частоты рабочего вида колебаний и т. п.
Широкому применению кварцевых линз, особенно ЛТ-среза, в отечественной промышленности способствовала разработка методики их расчета [Л. 7-2, 7-8, 6-15, 6-16], была также создана методика инженерного расчета кварцевых линз ВТ- и /Т-срезов {Л. 7-4, 7-6].
463
Совершенствование технологии обработки тонких плоских пластин быстро отодвигает в область все более высоких частот верхнюю границу диапазона частот резонаторов с толщинными колебаниями. Если еще несколько лет назад предельной считалась частота 100 Мгц на пятой гармонике механических колебаний, то сейчас уже промышленность выпускает резонаторы на частоты до 40 Мгц, совершающие колебания основного тона; на пятой гармонике такие разонаторы выпускаются на частоты порядка 200 Мгц. В отличие от линз расчет плоских пластин, колеблющихся по толщине, не представляет особых затруднений при условии, однако, что отношение поперечника пластины к ее толщине больше 60. В противном случае существенное значение в геометрии пластины приобретает фаска, наносимая на ее ребра. Размеры этой фаски в настоящее время не могут быть рассчитаны и определяются экспериментально, что вносит известный элемент неопределенности в процесс проектирования резонатора.
Прежде чем перейти к изложению методов расчета кварцевых элементов с толщинными колебаниями, необходимо сделать следующее замечание. Ранее неоднократно указывалось на то, что в отечественной промышленности электроды на пьезоэлементы резонаторов, применяемых для получения относительно низких частот колебаний, наносят преимущественно в виде тонкой никелевой пленки. Такая пленка обладает отличной адгезией к поверхности кварца и потому позволяет отказаться от предварительного вжигания коллоидного серебра в местах монтажа пьезоэлемента (чего нельзя сделать, если использовать для покрытия кварца золото или серебро). Это обстоятельство обеспечивает ряд преимуществ: повышается добротность резонатора, его стабильность во времени, несколько улучшается температурная характеристика динамического сопротивления и т. п. Однако никелевый электрод обладает довольно большим омическим сопротивлением—до 10 ом. Это вполне допустимо, пока собственное резонансное сопротивление кварцевого элемента не опускается ниже 50—100 ом, что всегда имеет место у резонаторов с любыми видами колебаний, кроме толщинных. Поэтому для нанесения электрода на поверхности пластин, колеблющихся по толщине, никель применять нельзя. В этом случае при рабочих частотах до 10—15 Мгц используется серебро 464
или золото, а при более высоких частотах — серебро или алюминий. Толщина наносимого слоя колеблется в зависимости от частоты, причем на частотах от 0,8 до 1,2 Мгц она не должна выходить за пределы от 0,2 до 0,6 мкм, на частотах от 1,2 до 2,5 Мгц — за пределы от 0,16 до 0,5 мкм, на частотах от 2,5 до 8 Мгц — за пределы от 0,12 до 0,4 мкм и на частотах свыше 8 Мгц — за пределы от 0,1 до 0,25 мкм [Л. 7-23].
Кварцевые линзы ЛТ-среза	+34°^ р°^
^±35°30'). Характерной особенностью линз, как пло
ско-, так и двояковыпуклых, является довольно сложная
связь частоты их собственных колебаний -по толщине с геометрическими размерами. Дело в том, что, как показал опыт, для них эта частота, помимо плотности и упругих констант материала, определяется не только одним действующим размером — толщиной h, но и радиусом кривизны линзы и ее наибольшим диаметром d'. Последняя величина представляет собой максимально возможный при данных толщине h и радиусе кривизны 7?Сф диаметр линзы. Тем не менее формально выражение (6-10), связывающее действующий размер пье-зоэлемента с частотой его ко-
Рис. 7-38. Основные геометрические размеры двояковыпуклых (а) и плоско-выпуклых (б) линз.
лебаний, может быть примене-
но и для линзы при условии, что под частотным коэффициентом N мы будем подразумевать некоторую функцию от
отношения между ее приведенным диаметром и радиусом кривизны. Такой подход, однако, вносит некоторую неопределенность в расчеты, поскольку, как мы сейчас убедимся, приведенный диаметр линзы сам определяется ее толщиной, а она-то как раз и должна быть найдена в результате расчета. Из рис. 7-38,а следует, что для двояковыпуклых линз максимально возможный диаметр сГдв будет равен:
^ = /4/?^—Ла,
(7-32)
465
а из рис. 7-38,6 можно определить значение d' для плоско-выпуклых линз:
d'nB =2 ]?2/?сфЛ—Л2.	(7-32')
Сопоставим эти два выражения для того, чтобы выяснить, при каком соотношении между радиусами кривизны б/'пв=^'дв. Предполагая, что толщины плоско-и двояковыпуклой линз одинаковы, получаем:
4Л (ЯСф)дв = 8Л (Ясф)пв — ЗЛ2.
Если	то, пренебрегая малой величиной ЗА2,
имеем:
(/?сф) дв~2(7?Сф)пв.	(7-33)
Таким образом, можно предположить, что при достаточно больших радиусах кривизны двояковыпуклые линзы должны быть эквивалентны по частоте колебаний плоско-выпуклым линзам с удвоенным радиусом кривизны. Это предположение вполне подтверждается экспериментально; более того, установлено, что формула (7-33) выражает гораздо более широкую аналогию свойств двояко- и плоско-выпуклых пьезоэлементов при толщин-ных колебаниях вплоть до эквивалентности динамических параметров и расположения частот побочных резонансов. Совершенно очевидно также, что это соотношение может быть отнесено к любым срезам кварца, разумеется, при условии выполнения неравенства
/?сф» h.	(7-34)
Изложенные соображения позволяют не рассматривать отдельно способы расчета двояко- и плоско-выпуклых линз, а введя вместо радиуса кривизны /?Сф обобщенный параметр — приведенный радиус рСф, — изложить обобщенную методику, пригодную для обоих видов пьезоэлементов. Для этого необходимо определить рСф, например, так, как это сделано в § 6-2:
для плоско-выпуклых линз
рсф=^?сф,	(7-35)
для двояковыпуклых линз
Рсф = -^.	(7-359
Прежде чем перейти к изложению оснозпых характеристик и методов расчета линз ДГ-среза, колеблющихся на основной частоте, сделаем несколько замечаний 466
Прежде всего укажем,\что при всех упоминаниях о линзах подразумевалось, что в поперечнике они имеют круглую форму. Обычно это\действительно так, но в ряде случаев, исходя из требований к габаритам или к стабильности динамического ^сопротивления резонатора в интервале температур — поперечнику линзы придают форму усеченного диска, эллипса, квадрата или даже восьмиугольника {Л. 7-24]. Линзы такой специальной формы используются сравнительно редко, поэтому в дальнейшем, не оговаривая этого каждый раз особо, будем предполагать, что пьезоэлементы имеют в поперечном сечении круглую форму.
Отметим также, что максимально возможный при определенных радиусе кривизны и толщине линзы диаметр d', который будет использоваться в большинстве приводимых ниже расчетных соотношений, практически почти никогда не является реальным диаметром пьезоэлемента, обозначаемым буквой d (рис. 7-38,а). Дело в том, что у линзы с максимально возможным диаметром d' должен быть очень тонкий острый край, вследствие чего ее трудно изготовить. Но даже если такую линзу удается изготовить, она оказывается почти непригодной для практического применения из-за низкой механической прочности. Поэтому реальный диаметр линзы d выбирается часто более или менее произвольно, несколько меньше, чем d'. В частности, при соблюдении условия dlh>2Q размер d может быть выбран одинаковым для линз на самые различные частоты, что удобно по конструктивным соображениям. Если это условие не выполняется, то реальный диаметр линзы не должен быть произвольным во избежание возбуждения нежелательных связанных колебаний и обусловленных этим резких изменений динамического сопротивления резонатора в интервале температур. К сожалению, теория связанных колебаний кварцевых линз еще не может дать достаточно точного ответа на вопрос о выборе их оптимальных поперечных размеров1. Последние ввиду этого приходится определять экспериментально.
1 Принципиально и в этом случае остаются справедливыми основные положения теории связанных колебаний, использованные в § 6-6. Однако практический расчет критических значений поперечных размеров линз пока что невозможен из-за того, что не найдены достаточно точные выражения для частот изгибных колебаний в их продольных сечениях.
467
Далее, каждому определенному значению частоты соб* ственных пьезоэлектрических колебаний линз соответствует свое оптимальное значец/ie приведенного радиуса кривизны рСф, при котором ^ббротность линзы оказывается наибольшей. Например, для частот 500 и 1 000 кгц эти значения по данным (JI. 7-25 и 7-26] равны приблизительно 50 и 75 мм соответственно. Таких оптимальных значений рСф (если они известны) по возможности придерживаются при расчете генераторных, в особенности прецизионных резонаторов.
При расчете резонаторов, предназначенных для фильтровых схем, чаще исходят из других соображений. Именно, для фильтрового кварца обычно на первый план выдвигается необходимость сочетания наименьшей достижимой индуктивности с максимально широкой полосой частот (вблизи рабочей частоты), свободной от побочных колебаний. Эти требования несколько противоречивы. В самом деле, из соотношения (6-19) следует, что динамическая индуктивность линзы тем меньше, чем больше рСф; в то же время кривые на рис. 6-36 показывают, что с увеличением рСф расстояние Д/ до ближайшего резонанса, сравнимого по интенсивности с основным, сужается. Поэтому выбор радиуса кривизны для фильтрового резонатора чаще всего является результатом компромиссного решения, при принятии которого соображения о величине добротности резонатора не принимаются во внимание.
Таким образом, приступая к расчету резонатора, следует прежде всего исходя из его назначения определить оптимальное значение рСф. Для фильтрового резонатора при этом необходимо руководствоваться заданными значениями Д/ и Л. Порядок действий, очевидно, должен быть следующий. По кривым рис. 6-36, исходя из требуемой частоты резонатора, нужно найти наибольшее значение рСф, обеспечивающее заданную ширину частотного промежутка Af, свободного от интенсивных дополнительных резонансов, с запасом не менее 10— 15%. Затем с помощью соотношения
< __ 1 700 [кгц-мм]
следует примерно оценить толщину пьезоэлемента и далее по формуле (7-32') вычислить первое приближенное значение d'. Это позволит найти максимальный диа-468
(7-36)
метр электрода dX который может быть нанесен на такую линзу. Как показывает практика, этот диаметр не должен быть более, в противном случае следует ожидать заметного возрастания интенсивности колебаний видов т=\, п=1, р=А2 и т=1, п=2, р=1.
MJK	\
																				1111	
																					
										—											
											-										
																					
																					
																					
										- '											
0,75 0,8	0,85	0.9	0,95	1,0	1,05	1,1	1,15Мгц
а)
Рис. 7-39. Рекомендуемые величины диаметра линзы d и приведенного радиуса сферы рСф при частотах собственных колебаний от 0,75 до 1,2 Мгц (а) и от 1,2 до 2,4 Мгц (б).
Теперь уже, имея значения рСф, с помощью (6-21) можно приближенно определить минимальную величину динамической индуктивности линзы и установить, 469
обеспечивает ли она Выполнение требований, предъяви ляемых к резонатору. Следует иметь в виду, что увеличить Li резонатора можно в довольно значительных пределах, для чего достаточно уменьшить диаметр наносимого на кристалл электрода. Это весьма выгодно потому, что при этом обычно снижается относительная интенсивность побочных колебаний. Уменьшить же индуктивность за пределы значений, определяемых формулой (6-21), нельзя.	/
Если резонатор предназначен для работы в генераторной схеме, то выбор радиуса кривизны линзы и ее реального диаметра, как уже отмечалось, обусловливается необходимостью обеспечения высокой добротности и обычно в еще большей степени высокой стабильности динамического сопротивления в интервале рабочих температур. Оба эти требования удовлетворяются лишь при правильном сочетании диаметра линзы d, радиуса кривизны ее главных поверхностей и при необходимости размера наносимой на ее ребра фаски. В большинстве случаев удовлетворительные результаты получаются при использовании размеров, найденных экспериментально и приведенных на рис. 7-39.
Определив радиус кривизны линзы, можно приступить к расчету ее толщины1 h. Для расчета используется соотношение (6-10), которое, как уже -отмечалось, может быть применено для этой цели, если считать частотный коэффициент N не постоянной величиной, а функцией отношения между максимально возможным диаметром линзы d' и приведенным радиусом кривизны ее поверхности рСф.
Как было установлено [Л. 7-2], зависимость между N=N(d'lpc$} при колебаниях на основной частоте может быть выражена следующим образом:
N [кгц • мм] = 1 666 + 265	(7-37)
РсФ
Расчет толщины линзы производится путем ряда последовательных приближений. Прежде всего, если это не было сделано ранее, с помощью формулы (7-36) вычисляют первое приближенное значение толщины hi.
1 Напоминаем, что под толщиной линзы h понимаем согласно рис. 7-38 толщину в ее центральной части.
470
Далее, пользуясь порученным значением hi, определяют первое приближенное\начение d':
d\ == SVгрсф/г» —ft*.	(7-38)
Найдя величину d\, рассчитывают отношение d'i/рсф и по нему с помощью выражения (7-37) вычисляют второе приближенное значение частотного коэффициента N2 (в качестве Ni уже воспользовались величиной 1700 кгц!мм). Используя Nz, мозкно отыскать второе, более точное значение толщины линзы hz. Затем последовательные приближения могут быть продолжены по тому же циклу до тех пор, пока hn не будет отличаться от ftn-i уже только в третьей значащей цифре.
Аналогичным образом рассчитывается действующий размер (толщина в центральной части) линз /Т-среза. Для них значения частотного коэффициента N связаны с отношением диаметра d' к приведенному радиусу кривизны главных поверхностей рСф следующим выражением [Л. 7-4]:
N'=’l 770 + 269	[кгц  мм\.	(7-39)
РсФ
После этого целесообразно рассчитать ширину бортика s, который образуется при выбранном или заданном диаметре пьезоэлемента d.
Расчет может быть выполнен по формулам: для двояковыпуклых линз для плоско-выпуклых линз
* = / С-4—У?е* + /1-	(7-40')
Если ширина бортика превышает 0,2 мм, то у линзы иногда снимают фаску. Радиус фаски подбирают экспериментально из расчета /?ф</?Сф/3; ширина бортика, остающегося после фасетирования, также подбирается экспериментально.
Следующим этапом расчета линзы является определение оптимального угла среза. Для получения у линз малой температурной зависимости частоты необходимо подобрать и выдержать угол среза с точностью, большей 471
У. При правильно подобранных поперечных размерах температурная стабильность линз обусловливается только этим углом.	7
Оптимальный угол среза линзы, вообще говоря, зависит от условий работы резонатора, и поэтому в разных случаях он может быть различным. Так, например, для двояковыпуклой линзы на частоту 1 Мгц с радиусом кривизны /?Сф= 150 мм и диаметром d'=32,6 мм срезом, обеспечивающим минимальный ТКЧ в интервале темпе-
Рис. 7-40. Зависимость оптимального угла кристаллографической ориентации для пьезоэлементов ДТ-среза от отношения произведения диаметра d' на номер гармоники п к толщине h.
1 — для двояковыпуклых линз; 2 — для плоско-выпуклых линз; 3 — для плоских пластин (для них d'-d).
ратур 04-+50°С, является срез yxlj + 35°00', а в интервале вблизи +70° С — срез ухЦ + 35°02'. Поэтому расчетным путем оптимальный угол среза выбирается лишь ориентировочно, а в дальнейшем при особо высоких требованиях он должен быть скорректирован экспериментально. При этом можно воспользоваться тем обстоятельством, что изменение угла на ±Г вызывает изменение наклона ТЧХ вблизи точки перегиба (+27°С) примерно на ±1,3-Ю-^С-1 (несколько больше на частотах ниже 1 Мгц и несколько меньше на частотах выше 1 Мгц).
Ориентировочное значение оптимального угла среза линзы может быть определено по графику, приведенному на рис. 7-40. Для сравнения на этом рисунке показана также зависимость ориентировочного значения оптимального угла среза от отношения dn/h у плоских пластин [Л. 7-27].
Закончив этот этап расчета, приступают при необходимости к вычислению минимально достижимого значения динамической индуктивности резонатора с помощью формулы (6-21). Затем, убедившись, что заданное значение Li не меньше Л1Мин, похЬормуле (6-19) вычисляют диаметр электрода при котором будет достигнута требуемая динамическая индуктарность.
Приведем пример расчета линзы по изложенной методике. Пусть требуется рассчитать пьезоэлемент резонатора на частоту 770 кгц, предназначенного для использования в генераторной схеме.
1.	На частоты ниже 1 500—'2 000 кгц, как Показывает опыт, предпочтительно использовать двояковыпуклые линзы. Поэтому радиус кривизны поверхностей пьезоэлемента, определяемый по графику на рис. 7-39, будет равен:
7?сф = 2рСф = 1о,2х2=30,4 мм.
2.	Диаметр пьезоэлемента d также определяем по графику на рис. 7-39. Он должен быть равен 15,7 мм.
3.	С помощью соотношения (7-36) вычислим первое приближенное значение толщины линзы h\.
1 700
/4 -—: 770	2,21 мм.
4.	Полученная величина позволяет определить первое приближенное значение максимального диаметра d' по формуле (7-38):
d\ = 2 /2-15,22,21 — (2,21)2= 15,79 мм.
Отсюда находим d'i/рсф.:
1’039‘ реф* 15,2
5.	По формуле '(7-37) находим второе приближенное значение частотного коэффициента
У2= 1 6664-265 • 1,039= 1 941 кгц • мм, что дает возможность вычислить следующее приближенное значение h:
,	1 941
^2 — 770 — 2,52 мм.
Полученное значение Л2 заметно отличается от поэтому целесообразно рассчитать следующее приближенное значение ft3.
6.	Вычисляем d\:	Щг-
d'2 = 2 /2.15,2.2,52—(2,52)2 = 16,76 мм.
Найдем
d'2	16,76
= '-'О3-
РсФ 15,2
Отсюда N3= 1 6664-265 • 1,103= 1 958 кгц • мм.
Следовательно,
t 1 958	_
— 770 '— 2»54 мм.
31—2584
473
Значение h3 отличается от h2 всего7 на 0,02 мм. Дальнейшие приближения производить в данном случае уже нецелесообразно.
7.	Теперь находим приближенно^значение оптимального угла среза. Для этого вычисляем отношение предельного диаметра линзы к ее толщине	/
dr _ 1^/76 h Д54
6,6.
По величине этого отношения с -помощью графика на рис. 7-40 (кривая 1) находим угол Р°=+34°18'.
8.	Итак, окончательно пьезоэлемент должен быть выполнен в виде двояковыпуклой линзы среза z/x//+34°18' с размерами:
d= 15,79 мм\ h=2,54 мм\ /?Сф=30,4 мм.
Допуск по углу среза, если температурная нестабильность частоты резонатора не должна быть меньше, чем ±50-10-6 в интервале температур от —50 до +80° С, (можно взять равным ±3'. В противном случае значение угла среза требует экспериментальной корректировки, и допуск на него устанавливается в соответствии с требованиями к резонатору.
Допуск на точность выполнения заданного диаметра d из технологических соображений следует брать не большим —0,1 мм (чтобы линза плотно устанавливалась в кассете для металлизации). Радиус кривизны не должен отличаться от расчетного более чем на ±1%. Толщина пьезоэлемента окончательно устанавливается по частоте его колебаний (с учетом соответствующего припуска на металлизацию) в электрической схеме.
Оценим минимальную достижимую индуктивность резонатора с таким пьезоэлементом, воспользовавшись для этого формулой (6-21):
^1мин — 11,83 у 15 2• (0 77)3
Прикинем, какова будет индуктивность резонатора, если на линзу нанести электрод, примерно равный-^" d'. Возьмем б/э=5,8 мм.
Пользуясь соотношением (6-19), находим:
195
—	__________г /	(5.8V	\ 12
(0,77)3-8 /15,2.(2,54)8 1 — ехр ( — 2 —v . )
V Г	I. \	8 /15,2 (2,54)8 J]
19,8 гн.
Кварцевые линзы ВТ-среза (yxZ/p°, —47°^,р°^
—50°). В ряде случаев целесообразно использовать резонаторы с пьезоэлементами ВТ-среза. Можно перечислить некоторые их преимущества по сравнению с резонаторами 4Т-среза. Например, положения экстремумов ТЧХ кварцевых элементов ЛТ-среза довольно резко смещаются при относительно небольших изменениях их кристаллографической ориентации, практически же очень 474
сложно установить эти экстремумы при Заранее заданных значениях температуры. В то же время положение вершины ТЧХ у резонаторов ВТ-среза легко регулируется изменением угла р° срочностью, лучшей, чем ± 1° С. Зависимость положения этой вершины от угла среза
Зависимость положением
Рис. 7-41. между экстремума температурно-частотной характеристики пьезоэлементов
ВТ-среза и углом их среза.
1 — для двояковыпуклых линз; 2 — для плоских пластин (по Р. Бехману).
Рис. 7-42. Зависимость частотного коэффициента двояковыпуклых линз ВТ-среза от соотношения между их наибольшим возможным диаметром d' и радиусом кривизны поверхностей /?Сф.
для линз показана на рис. 7-41 (Л. 7-6]. Можно видеть, что при изменении угла среза на Г положение точки экстремума Оо меняется всего на 0,4° С. Таким образом, при погрешности ориентировки пьезоэлементов ВТ-среза в пределах ±2' от номинального значения, что в настоящее время легко достигается в производственных условиях при помощи рентген-
гониометров, разброс значений 0О у резонаторов не будет выходить за пределы +0,8° С.
Кроме того, пьезоэлементы ВТ-среза, имея по сравнению с пьезоэлементами ЛТ-среза на одной и той же частоте большую толщину, могут обеспечивать при равных условиях меньшее старение разонатора.
Из изложенного можно сделать вывод, что такие резонаторы наиболее рационально использовать для стабилизации частоты термостатированных генераторных схем.
Способ расчета линз ВТ-среза, которые могут применяться на частотах свыше примерно 2 Мгц, близок 31*	475
Рис. 7-43. Зависимость разности между частотами основного резонанса и ближайшего интенсивного ангармонического колебания для линз ВТ-среза от приведенного радиуса сферы для разных основных частот.
R расчету линз ЛТ-среза. Для определения толщины пьезоэлемента в этом случае так&е используется метод последовательных приближении/Как и при расчете линз ЛТ-среза, здесь также формально используется равенство (6-10), но частотный коэффициент N зависит не только от угла 0°, но и от отношения между наибольшим возможным диаметром линзы d' и радиусом кривизны ее поверхностей /?Сф. Указанная зависимость для двояковыпуклых линз приведена на рис. 7-42. В большинстве случаев применения ВТ-среза /?Сф заключено в пределах от 200 до 500 мм, а частота — от 2 до 6 Мгц, следовательно, ^77?сф<0,125; при этом условии кривая на рис. 7-42 описывается простым уравнением:
W = 2556+3300(-£- ) [кгц-мм]. (7-41) \ ^сФ J
Приведем следующий пример расчета. Пусть заданы частота 3 200 кгц; интервал рабочих температур от —50 до +80° С.
1.	Расчет начнем с выбора радиуса кривизны поверхностей линзы. Поскольку сейчас еще нельзя дать конкретных практических рекомендаций, этот выбор носит произвольный характер. Надо лишь заметить, что кривизна линз ВТ-среза, точно так же, как и ДТ-сре-за, определенным образом связана с расстоянием по оси частот до ближайших побочных резонансов. Графики для соответствующих закономерностей приведены на рис. 7-43*. Эти данные в ряде случаев целесообразно принимать во внимание при выборе значения 7?Сф. В рассматриваемом примере можно выбрать /?(ф = 400 мм.
2.	Диаметр пьезоэлемента d для частот 3—4 Мгц, как показывает практика, целесообразно выбирать не менее 15 мм (на более высоких частотах его можно уменьшить до 13—14 мм, но на более низких желательно несколько увеличить). В данном случае можно взять d = 15,5 мм.
3.	Приняв в качестве исходного значения #1=2 556 кгц • мм, найдем первое приближенное значение толщины линзы в ее центральной части:
2 556 2QQ 9,799 мм.
* Ср. с аналогичными графиками на рис. 6-36 для ЛТ-среза.
476
4.	Рассчитаем d'\ подформуле (7-32). fc рассматриваемом случае\
d\ = К 4-400-0\799 — 0,7992 — 35,75
5.	Определим теперь \
мм.
d'x _35,7&
ЯСФ 400 ~
0,0894.
По графику на рис. 7-42 находим N2 — 2 584 кгц-мм. Вычисляем:
,	2 584
h2 = 200 — 0»808 мм.
6.	Для проверки проведем еще один расчетный цикл:
d'2 = f 4.400-0,808 —0,8082 = 35,95
мм;
d'2 _35,95
ЯсФ “ 400
-= 0,0899,
отсюда #з=2 584 кгц-мм (в пределах точности графика на рис. 7-42).
7.	Итак, окончательно геометрические размеры пьезоэлемента (двояковыпуклой линзы):
d=15,5 мм, h=0,808 мм, /?Сф = 400 мм.
Точно такие же параметры следует ожидать у резонатора с плоско-выпуклой линзой при £Сф=200 мм.
8.	Определим теперь оптимальный угол среза Прямая 1 на рис. 7-41 описывается следующим уравнением*
Р°=О,О430о—50,66°.	(7-42)
Следовательно, поскольку середина интервала температур —50-=--Ь 4-80° С приходится на 4-15° С, то
0°=О,О43 • 15—50,66=—50,015°=—50°09'.
Таким образом, условное обозначение среза в данном случае yxl/-50°W.
9.	Оценим теперь ожидаемую нестабильность частоты в заданном температурном интервале с помощью соотношения
if (82-9,)2 f ~с 4	*
Согласно табл. 6-1 для ВТ-среза с=—(35-^60) • 10-9 °C’2. Для расчета, как обычно, возьмем наибольшее значение
Af	1302
-у- = — 60——-Ю-9^ — 250-10-6.
Таким образом, в интервале температур от —50 до 4-80° С частота резонатора отклонится примерно на 800 гц от своего наиболее высокого значения; последнее должно достигаться при 4-15° С.
477
10.	В завершение расчета определим, на какой частоте Должен наблюдаться ближайший побочный резонас, по интенсивности сравнимый с основным. Учитывая, что в нашем случае
Яс<ь 400
Рсф. = ~2“ =”2“	200 мм,
по графикам рис. 7-43 находим Af ==85 кгц. Следовательно, ближайший интенсивный побочный резонанс можно ожидать на частоте 3 285 кгц.
11.	Динамическая индуктивность линз ВТ-среза, поскольку еще не найдено удовлетворительного аналитического выражения для ее величины, может быть более или менее грубо оценена с помощью формулы (6-18):
Л3 Li = 48	[гн].
Эта формула получена для плоских пластин достаточно больших поперечных размеров, поэтому оценивать с ее помощью индуктивность линз можно лишь по порядку величины.
Плоские пластины с колебаниями сдвига по толщине.
Ранее отмечалось, что теория толщинных колебаний плоских кварцевых пластин дает хорошее совпадение с экспериментальными результатами лишь тогда, когда поперечные размеры этих пластин намного превышают их толщину. Опытным путем установлено, что для этого необходимо выполнение неравенства
4 >60.	'	(7-43)
Впрочем, при острой необходимости для большинства случаев достаточно выполнение неравенства
4>30-	<7-44>
Однако при этом обязательно требуется снять фаску на ребрах пластины с таким расчетом, чтобы толщина оставшегося у пластины бортика не превышала 0,2 мм*. Если же не выполняется даже соотношение (7-44), то пьезоэлемент целесообразно выполнить в форме плоско-или двояковыпуклой линзы в соответствии с рекомендациями, приведенными в предыдущем разделе настоящего параграфа.
* Как правило, толщину бортика приходится специально подбирать (и выполнять с очень жесткими допусками) для того, чтобы обеспечить достаточно высокую стабильность параметров резонатора в широком интервале температур.
478
Из изложенного следует, в частности, что кварцевый элемент со сферическими главными поверхностями может иметь существенно меньшие поперечные размеры, чем плоская пластина. Тем не менее это соображение нередко отступает на задний план, поскольку нетрудно убедиться, сопоставляя формулы (6-18) и (6-21), что у плоских пластин могут быть получены примерно вдвое меньшие значения динамической индуктивности, чем у линз.
При расчете плоских пластин в тех случаях, когда легко может быть обеспечено выполнение неравенства (7-43), поперечные размеры могут быть выбраны практически произвольно, в особенности когда пластине придается форма диска (так обычно и делается в настоящее время). Если же это неравенство не выполняется, но может быть удовлетворено неравенство (7-44),то диаметр пластины не должен быть произвольным. В этом случае чрезвычайно важно добиться того, чтобы связь между основными колебаниями сдвига по толщине и колебаниями изгиба по длине — толщине и длине — ширине (рис. 6-23 и 6-24) была минимальной, для чего целесообразно воспользоваться рекомендациями, приведенными в [Л. 6-17]. Эти рекомендации в полной мере оправдываются при расчете прямоугольных пластин; однако, как показывает опыт, ими можно пользоваться и тогда, когда пластина имеет форму плоского диска. Следуя указанным рекомендациям, диаметр пластины ЛТ-среза нужно выбирать таким образом, чтобы удовлетворялось следующее равенство [Л. 7-28]:
—г?! ± 0,5 мм = а= —т—п2 ± 0,5 мм, (7-45) /н	/н
где fH — номинальная частота резонатора, кгц, а пх и П2 — произвольные целые числа, подбором которых добиваются выполнения соотношения (7-45). Очевидно, что 1,9п2-
Для выбора диаметра пластины ВТ-среза можно воспользоваться уравнением
-ft659	± 0,5 мм = d — -ft1--- п2 ± 0,5 мм, (7-46)
/н	/н
откуда n]5«l,096n2-
Толщина плоской пластины, колеблющейся на основной частоте, вычисляется по формуле (6-10), где значе-479
ния N для ВТ-среза выбираются равными 2 550 кгц-мм для частот ниже 5 Мгц и 2 560 кгц • мм для более высоких частот; для ЛТ-среза значения N приближаются к величине 1 666 кгц-мм. Приведенные величины, разумеется, могут быть использованы лишь для довольно грубого расчета, но большая точность, как правило, не требуется; толщина пластины при ее окончательной доводке обычно вообще не контролируется, вместо этого непосредственно проверяется частота ее резонансных колебаний в технологической генераторной схеме.
При расчете толщины пластины иногда следует учитывать необходимость создания известного припуска по частоте ее колебаний, поскольку она должна быть покрыта электродным слоем металла, который несколько понизит эту частоту. Обычно соответствующий припуск обеспечивается при травлении кристаллического элемента в растворах кислых солей фтористоводородной кислоты после ее шлифовки: однако, если поверхность элемента окончательно доводится путем полировки, то травление ее, как правило, не производится, пластина лишь промывается в плавиковой кислоте.
Рис. 7-44. Зависимость коэффициента К от диаметра электрода для пластин ЛГ-среза.
/-/н=1,(Н 1,2 Мгц, 2-fn= = 1.2-2,5 Мгц.	=
=2,5-*-8 Мгц; 4 — /н>8 Мгц.
Таким образом, если пластину предполагается полировать, необходимый припуск должен быть предусмотрен заранее. Следовательно, толщина пьезоэлемента должна рассчитываться не на номинальную частоту колебаний а на частоту fT, равную:
/Т=/Й4-Д/Т,	(7-47
где (7-47')
В формуле (7-47') fa — номинальная частота резонатора, измеренная в мегагерцах, а Д/т — припуск! под металлизацию, измеренный в килогерцах. Рекомендуемые 4§о
значения коэффициента пропорциональности К приведены на рис, 7-44.
Если на пластину должна быть нанесена фаска, то ее радиус целесообразно выполнить в соответствии со следующим эмпирическим соотношением {Л. 7-28.]:
/?ф = 3,4б/— 11,2/г.	(7-48)
Если задано значение динамической индуктивности резонатора, то диаметр электрода, наносимого на пьезоэлемент, должен соответствовать соотношению (6-18), которое в более удобной для практических расчетов форме может быть переписано следующим образом:
для ЛТ-среза
<	4,8-10s г ,	/-7 лп\
da = ; 749
для ВТ-среза
d3 =	[мм],	(7-49')
Г i>f3H
где Li — индуктивность, гн, a fB — номинальная частота резонатора, кгц.
Оптимальный угол среза пьезоэлемента определяется по графику 3 на рис. 7-40 для ЛТ-среза и по графику 2 на рис. 7-41 для ВТ-среза; в последнем случае должно быть предварительно установлено значение температуры Оо, соответствующее экстремуму ТЧХ.
Когда пластина предназначена для работы на одной из гармоник механических колебаний, то ее толщина определяется по формуле
где п — номер гармоники колебаний (п — обязательно нечетное число!). В остальном расчет пластины ЛТ-среза не претерпевает существенных изменений, ибо графики на рис. 7-40 построены с учетом зависимости оптимального угла среза от порядка гармоники. Что же касается пластин ВТ-среза, то при колебаниях на гармониках они должны быть ориентированы существенно отличным образом. Соответствующие рекомендации читатель может найти в работе [Л. 7-29].
481
Литература
1-1. Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, Изд-во» АН СССР, 1951.
1-2. Шубников А. В., Флинт Е. Е., Б о кий Г. Б., Основы кристаллографии, Изд-во АН СССР, 1940.
1-3. Шубников А. В., Кварц и его применение, Изд-во АН СССР, 1940.
1-4. Кэди У., Пьезоэлектричество и его практические применения, Изд-во иностранной литературы, 1949.
1-5. Bechmann R., Ballato A. D., Lukaszek Т. J., Proc. IRE, 1'962, v. 50, № 8, 1812.
1-6. IRE Standards on piezoelectric Crystals, 1949, Proc. IRE, 1949, v. 37, № 12, 1378.
1-7. Най Дж. Ф., Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц, Изд-во иностр, лит.
1-8. С маги н А. Г., Прецизионные кварцевые резонаторы, физические основы, Изд-во стандартов, М., 1964.
2-1. Bechmann R., Phys. Rev., '1958, v. 110, ser. 2, № 5, 4060.
2-2. Pitt A., M с К i n 1 e у D. W. R., Canadian J. of Research.
2-3. Ostergerg H., Cookson J. W., J. Frankl. Inst., 1935, v. 220, 361.
2-4. Voight W., Lehrbuch der Kristallphysik, B. G. Teubner.
2-5. M i n d 1 i n R. D., G a s i s D. C., Strong Resonances of Recht-angular AT-cut Quartz Plates, Rept, July, 1961.
2-6. Atanasoff I. V., Hart P. I., Phys. Rev., 1941, v. 59, 85.
2-7. Perrier A., de Mandrot R., Мёт. Бос1ё1ё vaudoise sci. nat., 1922—1924, v. I, 333.
2-8. Иоффе А. Ф., Физика кристаллов, изд-во «ОНТИ», М.
2-9. Mayer G., Rapport Comissar. a Energie Atomique, № 1330.
2-10. С м а г и н А. Г., Czech J. of Phys., 1966, v. B16, № 5. Седьмой международный конгресс кристаллографов и симпозиум по росту кристаллов. Тезисы докладов, изд-во «Наука», 1966, 194.
2-11. См аги и А. Г., Пьезоэлектрические резонаторы и их применение, Изд-во стандартов, М., 1967.
3-1. Мэзон У., Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике, Изд-во иностранной литературы, 1952.
3-2. Van Dyke К. S., Phys. Rev., 1925, v. 25, 895; *1932, v. 40.
3-3. Christ off el L. B., Annal. di Mat., Milano, 1877, v. 8, pt II, 193.
3-4. Voigt W., Die fundamentaien physikalischen Eigenschaften der Kristallen, Leipzig, 1898.
3-5. Koga I., Phisics, 1932, v. 3, 70; Rep. Radio Research Works (Japan), 1932, v. 2, 157; J. Inst. Telegr. Teleph. Eng. (Japan), 1932, № 115, 1223.
3-6. Bechmann R., Hochfrequenztechnik und Elektroak., 4940, Bd 56, 14.
3-7. Lawson A, W., Phys., Rev., 1942, v. 62, № 1, 71.
3-8. Mason W., Bell Syst. Tech. J., 1934, v. 13, 405.
3-9. IRE Standards on Piesoelectric Crystals, Proc. IRE, 1958, v. 46, № 4, 764.
3-10. Lord Raylleigh. Theory of Sound. Рэлей Дж., Теория звука, т. 1, ГТТИ, 1955.
3-11. Petrzilka V., Kotler А., УёзТ Kral. Ceski spol. nauk tr. matem prirodoved, IX, 1947.
482
3-12. Mason W. P., J. Acoust. Soc. Amer., 1935, v. 6, 246.
3-13. Bechmann R., Ayers S., Piezoelectricity, Pub. P. O. Research Stat., London, 1957; Rep. 2, pt V, 29.
3-14. Keller H., Wireless Engng, 1951, v. 28, 179.
3-15. Д p у к к e p Ю. M., Грузиненко В. Б., Ярославский М. И., «Кристаллография», 1968, т. 13, № 4, 714.
4-1. Чета ев Д. Н., Прикладная математика и механика, 1951, т. 15, 4.
4-2. Becker G., Arch, elektr. Ubertrag., 1958, Bd 12, H. 1.
4-3. См аг и н А. Г., «Кристаллография», 1999, т. 4, № 6, 862.
4-4. С м а г и н А. Г., ДАН СССР, 1962, т. 143, № 2, 323.
4-5<Ф р е н к е л ь Я. И., К о н т о р о в а Т. И., ЖЭТФ, 1938, т. 8.
4-6. См аги н А. Г., «Вопросы радиоэлектроники», серия III, 1964, вып. 6.
4-7. С м а г и н А. Г., Удостоверение о регистрации № 13449 с приоритетом от 3 июня 1959 г.; ВИНИТИ, Аннотации научно-исследовательских работ, 2 (36), 1960.
4-8. См аги н А. Г., «Вопросы радиоэлектроники», серия III, 1964, вып. 11.
4-9. Zener С., Phys. Rev., 1937, v. 52, 230.
4-10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика, Физмат-гиз, 1958.
4-11. С маги н А. Г., Н и к о л ь с к а я В. И., ЖЭТФ, Письма в редакцию, 1967, т. 6, вып. 3.
4-Т2. White D. L., J. Appl. Phys. 1958, v. 29, № 5.
4-13. См аги н А. Г., Научная сессия, посвященная столетию со дня рождения А. С. Попова, Сб. докладов, ВНТОРиЭ им. А. С. Попова, М., 1959, стр. 88.
4-14. И ш л и н с к и й А. Ю., Крагельский И. В., Журнал техн, физики, 1944, т. 14, вып. 4—5.
4-15. Stevens I. S., Phys., 1899, BV, VIII, 49.
4-16. Верховский А. В., Журнал приклад, физики, 1926, т. 3, вып. 3—4.
4-17. Rankin J., Phyl. Mag., 1926, v. 10.
4-18. Tomlinson G., Phyl. Mag., 1929, 7.
4-19. Хайкин С. Э., Лисовский Л. П., Саломон o-в и ч А. Е., ДАН СССР, 1939, т. XXIV, № 2.
4-20. Саломонович А. Е., Автореферат кандидатской диссертации, ФИАН СССР, 1949.
4-21. Адирович Э. И., Блохинцев Д. И., J. Phys., 1943, V. 11, № 1.
4-22. Шедров В. С., ЖТФ, 1947, т. XVII, 5.
4-23. Смагин А. Г., ДАН СССР, 1957, т. 112, № 3.
4-24. Лифшиц Е. М., ДАН СССР, 1954, т. 97, № 4, 1955, т. 100, № 5.
4-25. Лифшиц Е. М., ЖЭТФ, 1955, т. 29, № 1 (7).
4-26. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М, Механика сплошных сред, Физматгиз, 1954.
4-27. Смагин А. Г., ДАН СССР, 1958, т. 11'8, (№ 6, 1116.
4-28. Смагин А. Г., «Кристаллография», 1961, т. 6, № 5.
4-29. Шматов В. Г., Гринь А. В., Физика металлов и металловедение, 1961, т. 12, № 4.
4-30. А 1 е г s G. F., J. Appl. Phys., 1953, v. 24, № 3.
4-31. Koehler J. S., Imperfections in Nearly Perfect Crystals.
4-32. Granato A., Lucke K-, J. Appl. Phys., 1956, v. 27, 583.
483
4-33. Hiki Y., J. Phys. Soc. Japan, 1960, v. 15, 586; 1961, v. 16.
4-34. Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, Гостех-издат, 1951.
4-35. Mi nd 1 in R., J. Appl., Phys., 1952, v. 23, № 1.
4-36. M i n d 1 i n R., J. Appl., Phys., 1956, v. 27, № 12.
4-37. Sykes R., Bell. Syst. Tech. J., 1944, v. 23, 52,
4-38. Stark R., Telefunken-Ztg, 1958, № 12'1.
4-39. E k s t e i n H., Phys. Rev., v. 66, № 5, 1 a. 15.
4-40. H о k G., J. Acoust. Soc. Amer., 19*48, 20, 406.
4-41. Смагин А. Г., Труды ВНИИФТРИ, сб. 2, Измерение частоты, Изд-во стандартов, 1958.
4-42. Смагин А. Г., М и л ь ш т е й н Б. Г., Приборы и техника эксперимента, 1970, № 3.
4-43. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз.
4-44. Смагин А. Г., Ш м и н Ю. И, «Вопросы радиоэлектроники», серия III, 1964, вып. 6, 44.
4-45. Koga I., Phys. Rev., March, 1958, v. 109, 1467.
4-46. Mason W. P., Bell Syst. Tcchn. J., April 1951, v. 30, 306.
4-47. Mason W. P., Bell Syst. Techn. J., January, >1943, v. 22, 2.
4-48. Битовский Б. В., Татаринова Л. И., «Кристаллография», 1959, т. 4, вып. 6.
4-49. F г о n d е 1 С., Amer. М;п., 1945, v. 30, 432.
4-50. Warner A. W., Bell. Syst. Tech. J., 1960, 39, 1193.
4-51. Веденеева H. E., Ченцова Л. Г., ДАН СССР, 1945, т. 68, 303.
4-52. Смагин А. Г., Никольская В. И., «Кристаллография», 1963, т. 7, вып. 3.
4-53. Г р о й с О. Ш. «Радиотехника и электроника», 1962, т. 7, вып. 4, 702.
4-54. Леммлейн Г. Г., ДАН СССР, 1952, т. 84, № 6.
4-55. Френкель Я. И., Введение в теорию металлов, Гостех-издат, 1958.
4-56. Mitchell Н. Т., Nature, 1954, v. 174, № 4418, 41.
4-57. Scheibe A., Adelsberger U., Becker G., Ohl G., Siiss R., Ztschr. fiir angew. Phys., 1956, Bd 8, H. 4.
4-58. Ж а б о т и н с к и й M. E., Зильберман П. Е., «Радиотехника и электроника», 1958, т. 2, 276.
4-59. П у р т о в В. И., Смагин А. Г., «Вопросы радиоэлектроники», 1964, серия III, вып. 6, 51.
4-60. Смагин А. Г., «Радиотехника и электроника», 1965,т. 10, № 2.
5-1. Смагин А. Г., «Измерительная техника», 1960, № 9.
5-2. Инструкция по поверке кварцевых генераторов стабильных частот, Изд-во стандартов, 1955.
5-3. Поздняков Н. К-, Исследования в области радиотехнических измерений, Труды институтов Комитета Стандартов, 1963, вып. 70 (130).
5-4. Hastings Н. F., К i n g Р. В., Proc. IRE, 4960, v. 52, 4.
5-5. Смагин А. Г., Мильштейн Б. Г., Сорокин К. В., Чувилькина Л. Н., Электронная техника, серия IX, 1968, № 5, 94.
6-1. Самойлов В. С., Русаков Л. 3., «Электронная техника», 1967, серия IX, № 4, 3.
6-2. Mason W. Р., Proc. IRE, 1940, v. 28, № 5, 220.
484
6-3. Bottom E., Ives R., Патент США № 2743144, 1956.
6-4. G i e b ё E., Blecschmidt E., Hochfrequenztechnik und Elektroakustik, 1940, Bd. 56, № 3, 65.
6-5. Государственный стандарт СССР № 6503-67 «Резонаторы кварцевые герметизированные на частоты колебаний от 0,75 до 100 Мгц», 1967.
6-6. Государственный стандарт СССР № 11599—67 «Резонаторы кварцевые вакуумные на частоты колебаний от 4 кгц до 100 Мгц».
6-7. Публикация Международной электротехнической комиссии № 122—3 «Рекомендация МЭК: кварцевые резонаторы для генераторов». Разд. 4, Издание Комитета по участию СССР в Международных Ъ<ергетических объединениях, М., 1964.
6-8. Я р о с л а в ск и й М. И., Григорьев Л. В., Арнольд 3. В., «Электронная техника», 1968, серия IX, № 3, 3.
6-9. Д и к и д ж и А. Н., Р я с и к 3. В., «Вопросы радиоэлектроники», 1965, серия III, № 2, 14.
6-10. В е с h m a n n R., Hochfrequenztechnik und Electroakustik, 1943, Bd 61, № 1, 1.
6-11. Ярославский M. И., Г р у з и н е н к о В. Б., Czechoslovak J. of Phys., 1966, Bd 16, № 5, 431.
6-12. Б e л я к о в и ч Э. И., Ярославский М. И., Орловская Г. Я., «Электронная техника», 1966, серия IX, № 1, 13.
6-13. Грузиненко В. Б., Ярославский М. И., Гани-н а Л. М., «Электронная техника», 1966, серия IX, № 1, 23.
6-14. Морозов Э. И., «Вопросы радиоэлектроники», 1964, серия III, № 6, 28.
6-15. Багаев В. П., «Электронная техника», 1966, серия IX, № 3, 18.
6-16. Пашковский Н. А., «Электронная техника», 1968, серия IX, № 3, 35.
6-17. Sykes R., Bell System Tech. J., E'14, v. 23, 52.
6-18. Грузиненко В. 5., Ярославский M. И., «Вопросы радиоэлектроники», 1964, серия III, № 6, 23.
6-19. Публикация Международной электротехнической комиссии № 122—2 «Рекомендация МЭК: кварцевые резонаторы для генераторов». Разд. 3. Издание Комитета по участию СССР в Международных энергетических объединениях, М., 1964.
6-20. Альтшуллер Г. Б., «Вопросы радиоэлектроники», 1961, серия III, № 7, 54.
6-21. Самойлов В. С., Русаков Л. 3., Эфрос Р. Д., Лазарев Р. Б., «Электронная техника», 1967, № 4, 13.
6-22. Грузиненко В. Б., Друккер Ю. М., Ярославский М. И., «Электронная техника», 1969, серия IX, № 2, 3.
6-23. Sykes R., Spencer W. J, IRE Transact, on Instrument, 1962, v. 1—H, № 3—4, 243.
6-24. Warner A. W., Proc. IRE,< 1955, v. 43, № 7, 790.
6-25. Zelenka I., Slabopr. Obzor, 1963, v. 24, № 5, 259.
6-26. M а к а ш e в M. X., T x о p ж e в с к и й О. А., «Измерительная техника», 1963, № 5, 53.
6-27. Васин И. Г., Поздняков П. Г., Ярославский М. И., ДАН СССР, 1958, т. 119, № 3, 481.
6-28. Franx С., Патент ФРГ № 1051915 от 27 августа 1959 г.
6-29. Van der Veen В., Philips Research Reports, 1957, v. 12, № 4, 273.
485
6-30. Bechmann R., Archiv der elektr. Ubertragung, 1959, Bd 13, № 2, 90.
6-31. Shockley W., Curran D. R., Koneva 1 D. J. Acoust. Soc. Amer., 1967, v. 41, № 4, pt 2, 981.
7-1. Храмов Л. В., Ярославский M. И., «Кристаллография», 1960, т. 5, № 5, 807.
7-2. Ярославский М. И., «Вопросы радиоэлектроники», 1961, серия III, № 4, 35.
7-3. Храмов Л. В., Ярославский М. И., «Вопросы радиоэлектроники», 1961, серия III, № 7, 20.
7-4. Я р о с л а в с к и й М. И., Андросова В. Г., «Вопросы радиоэлектроники», 1963, серия III, № 6, 3.
7-5. Пашков С. С., «Вопросы радиоэлектроники», 1964, серия III, № 11, 10.
7-6. Ярославский М. И., Андросова В. Г., Караульни к А. Е., «Вопросы радиоэлектроники», 1965, серия III, № 2, 24.
7-7. Поздняков П. Г., «Вопросы радиоэлектроники», 1965, серия III, № 5, 32.
7-8. Пашков С. С., М ор о з о в Э. И., «Электронная техника», 1966, серия IX, № 3, 85.
7-9. Д и к и д ж и А. Н., Р я си к 3. В., «Электронная техника», 1967, серия IX, № 3, 3.
7-10. Atwood A., RCA Communications, 4938, № 3.
7-11. Beane N. I., Richards R. C., Markoni Review, 1953, v. 16, 142.
7-12. Zelenka I., Slabopr. Obzor, 1965, t. 26, № 1.
7-13. Умаров Б. С., Ярославский M. И., «Вопросы радиоэлектроники», 1965, серия III, № 2, 3.
7-14. Tichy I., Zelenka I., Ceskosl. casop. fis., ‘I960, t. 10.
7-15. Giebe E., Scheibe H., Ztschr. fur Phys., 1928, Bd 46.
7-16. Васин И. Г., Поздняков П. Г., Авторское свидетельство № 118525 от 25 мая 1957 г.
7-17. Васин И. Г., Поздняков П. Г., Авторское свидетельство № 151389 от 9 ноября 1961 г.
7-18. Hight S. С., Willard G. W, Proc, of IRE, 1937, v. 25.
7-19. Bechmann R., Hochfrequenztech. und Elektroakustik, 1934, Bd 44, 145.
7-20. S о g n L. T., Патент США № 3072806 от 8 января 1963 г.
7-21. Абрамович М. И., Грузиненко В. Б., Ярославский М. И., «Электронная техника», 1968, серия IX, № 5, 58.
7-22. Hight S. С., Патент США № 2227904 от 7 января 1941 г.
7-23. Ярославский М. И., «Вопросы радиоэлектроники», 1963, серия III, № 10, 3.
7-24. Я р о с л а в ск и й М. И., Васин И. Г., Поздняков П. Г., Авторское свидетельство № 149130 от 21 мая 1962 г.
7-25. Смагин А. Г., ДАН СССР, 1958, т. 118, № 6, 1116.
7-26. Ярославский М. И., «Экспериментальные исследования методов повышения стабильности кварцевых резонаторов», Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук, Институт кристаллографии АН СССР, 1959.
7-27. Gerber Е. A., Proc, of IRE, 1955, v. 43, 1529.
7-28. Г л ю к м а н Л. И., Производство пьезоэлектрических кварцевых резонаторов, изд-во «Энергия», 1964.
Оглавление
Предисловие............................................. &
Введение................................................ 5
Глава первая. Некоторые понятия прикладной кристаллографии и кристаллофизики.............................. 9
1-1. Основные сведения из учения о симметрии	...	9
1-2. Важнейшие понятия геометрической	кристаллографии	20
1-3. Формы кристаллов...............................24
1-4. Щекоторые особенности кристаллографии и внешних форм реальных кристаллов............................28
1-5. Математический аппарат и основные понятия феноменологической кристаллофизики......................31
1-6. Электрическая поляризация	в	кристаллах	...	42
1-7. Пьезоэлектрический эффект	в	кристаллах	...	44
1-8. Преобразование тензоров пьезоэлектрических моду-
лей и констант для сред, обладающих симметрией 49 1-9. Виды пьезоэлектрической деформации кварцевых элементов .................................................52
1-10. Упругость кристаллов .	. .	.............62
1-11. Связь между тепловыми, электрическими, механиче-
скими и магнитными свойствами кристаллов . .	67
Глава вторая. Важнейшие физические свойства монокристаллического кварца....................................76
2-1. Пьезоэлектрические постоянные......................76
2-2. Упругие постоянные кварца..........................82
2-3. Тепловое расширение кварца.........................87
2-4. Теплопроводность кварца............................91
2-5. Теплоемкость кварца................................92
2-6. Электропроводность.................................93
2-7. Диэлектрические постоянные.........................93
2-8. Влияние температуры вблизи (3-перехода на
свойства кварца ................................... 94
Ъяава третья. Резонансные колебания пьезоэлектрических элементов...............................................95
3-1. Общие положения..................................  95
3-2. Продольные колебания (колебания сжатия — растя-
жения по длине) ....................................96
3-3. Колебания по толщине..............................105
3-4. Контурные колебания...............................119
3-5. Изгибные колебания................................124
Глава четвертая. Радиофизические характеристики колеблющегося кварцевого резонатора......................136
4-1. Эквивалентная схема кварцевого резонатора и его динамические параметры'............................136
4-2. Потери энергии в колеблющемся кристалле .	.	.	145
4-3. Потери энергии на излучение ультразвуковых	волн. 147
4-4. Потери энергии в поверхностном	слое	кристалла	156
4-5. Потери энергии при трении об элементы опоры кристалл од ержателя .................................168
487
4-6. Потери Энергий на йнутрейнёе Френие й кристаллах. 176
4-7. Потери энергии на связанные колебания. Спектраль^ _ •ные характеристики....................................."	189
4-8. Температурно-частотные характеристики кварцевых 1 резонаторов' .	.	'........................’218
4-9. Механизм старения кварцевых резонаторов .	. • 246
4-10. Влияние амплитуды колебаний резонатора на ста-
бильность генерируемой частоты ......	272
4-11. Методы исследования колебаний пьезоэлектрического кварца .	......................... 287
Глава пятая. Измерение электрических параметров й характеристик резонаторов .	.................. 301
5-1. Методы и приборы для измерения добротности и эквивалентных параметров.............................301
5-2. Методы и приборы для измерения времени и частоты 315
5-3. Частотная аппаратура в системах измерения параметров кварцевых резонаторов.........................32L
5-4. Малогабаритная частото-измерительная	аппаратура	326
5-5. Диапазонный кварцевый генератор....................330
5-6. Измерение фазовой нестабильности резонаторов при воздействии вибраций.................................332
5-7. Измерение температуры .............................336
Глава шестая. Кварцевый резонатор как элемент электронной схемы...........................................338
6-1. Срезы кварца и их основные особенности .	.	338
6-2. Динамические параметры резонаторов различных срезов...............................................356
6-3. Динамическое сопротивление резонаторов различных срезов и их добротность............................  370
6-4. Резонансный промежуток и соотношение емкостей резонатора .	................................374
6-5. Частотный спектр колебаний резонатора ....	377
6-6. Активность резонатора и устойчивость его колебаний ! на заданной частоте. Связанные колебания	385
6-7. Долговременная нестабильность частоты (старение) резонаторов..........................................397
6-8. Выбор резонатора, предназначенного для работы в генераторной или	фильтровой	схеме ....	401
Глава седьмая. Расчет пьезоэлектрического элемента ‘ кварцевого резонатора	....................... 413
7-1. Общие положения..................................41 <4
7-2. Резонаторы с колебаниями	изгиба..................414
7-3. Резонаторы с колебаниями сжатия — растяжения по длине . .	................................425
7-4 Резонаторы с пьезоэлементами, совершающими кру- ] тильные колебания ...................................431
7-5. Резонаторы с колебаниями сдвига по контуру	.	435
7-6. Резонаторы с колебаниями сдвига по толщине	.	463
Литература	............................... .	482