/
Автор: Рабинович И.М.
Теги: инженерия механика строительные конструкции строительное проектирование строительная механика
Год: 1954
Текст
И.М.РАБИНОВИЧ
КУР с
СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
II
И. М. РАБИНОВИЧ,
ЧЛ.-КОРР. АН СССР, ПРОФ. Д-Р ТЕХН. НАУК
"...
КУРС
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Часть II
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Издание 2-е, переработанное
Допу щено
Министерством высшего образования
в качестве учебника для строительных вузов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ И АРХИТЕКТУРЕ
Москва — 1954
Рецензенты: д-р техн, наук проф, И. И. Безухов
и д-р техн, наук проф. В. А. Киселев.
Научный редактор — канд. техн, наук И. К. Снитко
Книга содержит материал, предусмотренный учебной
программой строительных вузов по курсу строительной
механики (статически неопределимые системы). Кроме
того, включены некоторые вопросы строительной меха-
ники, не предусмотренные программой, ио способствую-
щие углубленному изучению курса.
Помимо расчета стержневых систем, изложены основы
расчета подпорных стен.
В большинстве глав даны обзоры исторического
характера и библиография.
Книга допущена Министерством высшего образова-
ния в качестве учебника для строительных вузов, а так-
же может служить пособием для инженеров-строителей
в их практической работе.
Исаак Моисеевич Р а б и н о в'и ч
КУРС СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ, ЧАСТЬ II
* «• *
Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре
Москва, Третьяковский проезд, д. 1
-X * *
Редактор издательства Л. М. Тумаркин
Технический редактор М. В. Смольякова
Сдано в набор 28Т 1954 г. Подписано к печати 8/IX 1954 г. Т-05469
Бумага 70x108*/1в=17 бум. л.—46,92 условных печ. л. + 2 вклейки (39,98 уч.-изд. л.)
Тираж 25 000 экз, Зак. 305. Изд. № 1-8694 Цена 14 руб. переплет 1 руб. 50 коп.
Типография № 2 Государственного издательства литературы по строительству и архитектуре
город Ленинград, Бульвар Профсоюзов, 4.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие........................................... . . ....... 11
Г л а в а 1 *
Проблема расчета статически неопределимых систем
§ 1.1. Что такое статически неопределимая стержневая система...........................................................15
§ 2.1. Формулы для подсчета числа лишних связен.......................................................................14
§ 3.1. Отличительные свойства систем с лишними связями................................................................17
С § 4.1. О системах, переходных между статически определимыми, статически
неопределимыми и геометрически изменяемыми................................20
§ 5.1. Классификация методов расчета . /...............................................................................21
□ § 6.1. К истории применения статически неопределимых систем.............................................................—
Глава 2
Основные теоремы об упругих системах
§ 1.2. Основные понятия................................................................................23
§ 2.2. Обобщенные силы н перемещения..............24
§ 3.2. Теорема о работе «статически» приложенных внешних сил..26
§ 4.2. Примеры................................................................................................. 29
§ 5.2. Работа внутренних сил плоской упругой стержневой системы.—
§ 6.2. Несколько замечаний о работе внешних и внутренних сил..33
§ 7.2. Принцип возможных перемещений в применении к упругим системам . . 34
§ 8.2. Приложение принципа возможных перемещений к действительным пере-
мещениям. Потенциальная энергия.........................................36
§ 9.2. Принцип взаимности работ................................................................38
§ 10.2. Примеры и задачи..............................................................................................39
□ § 11.2. Видоизменение теоремы взаимности работ для систем, не подчиняющихся
обобщенному закону Гука...................................................41
§ 12.2. Теорема о взаимности перемещений..............................................................................42
□ § 13.2. Примеры н задачи...........ч...................................................................................43
§ 14.2. Замечание о размерности перемещений...........................................................................44
§ 15.2. Линии влияния перемещений как линии прогибов................................................................. —
□ § 16.2. О некоторых свойствах перемещений . .46
§ 17.2. Теорема о взаимности реакций , '............................................................................. 48
§ 18.2. Взаимность реакций и перемещений..............................................................................59
О § 19.2. Другие формы выражения потенциальной энергии..................................................................51
§ 20.2. Частные производные потенциальной энергии............. ..... 54
□ § 21.2, Принцип наименьшей работы.........................< ... * 56
□ § 22.2. К истории основных теорем.................................................................................... 58
а
г
£
т*’
у
Стр,
Глава 3
Определение перемещений стержневых систем
§ 1.3. Общие замечания......................................................63 Г
§ 2.3. Построение эпюр для статически определимых систем.................* —
§ 3.3. Внешние воздействия; нагрузка, перемещение связей и температура ... 65
§ 4.3. Общая формула для перемещений плоской стержневой системы .... 67
§ 5.3. Примеры выбора единичной силы.......................................71
§ 6.3. Перемещения, вызываемые в статически определимой системе внешней
нагрузкой......................................................... 72
□ § 7.3. Более точная формула перемещений для криволинейных стержней ... 73
§ 8.3. Примеры.............................................................74
§ 9.3. Правило вычисления интегралов для случая, когда одна из эпюр прямо-
линейная ............................................................77
□ § 10.3. Формула перемещений для системы, у которой опоры или другие связи
имеют заданную упругую характеристику................................81
□ § 11.3. Некоторые замечания о вычислении интегралоз по формула^ (4.3)—(13.3). 83
§ 12.3. Перемещения в статически неопределимых системах, вызываемые внеш-
ней нагрузкой....................................................84
§ 13.3. Температурные перемещения в статически определимых н статически
неопределимых системах...........................................86
§ 14.3. Задачи..........................................................88
§ 15.3. Перемещения, вызываемые перемещением опор или других связей .... 89
□ § 16.3. Построение многоугольника прогибов для узлов ломаного стержня ... 93
§ 17.3. Линин влияния перемещений....................................... . 95
§ 18.3. Проверка перемещений . . . •........................................97
□ § 19.3. К истории общего метода определения перемещений.....................98
Глава 4
Основы метода сил
§ 1.4. Общие замечания....................................................101
§ 2.4. Основная система................................................... —
§ 3.4. Основные (лишние) неизвестные.....................................103
§ 4.4. Система канонических уравнений метода снл для расчета на действие *
внешней нагрузки...............................................104
□ § 5.4. Другой смысл канонических уравнений...........................105
□ § 6.4. Вывод канонических уравнений . из теоремы о производной работы
деформаций......................................................—
§ 7.4. Канонические уравнения для расчета на действие температуры .... 106
§ 8.4. Канонические уравнения для случая заданного перемещения опор нли
других связей .......................................................
§ 9.4. Канонические уравнения для расчета на совместное действие нагрузки,
температуры и перемещения опор............................................108 t
□ § 10.4. Особые свойства системы канонических уравнений.....................109
§ 11.4. Общее решение системы канонических уравнений......................Ill
§ 12.4. Об одном свойстве статически неопределимых систем, вытекающем из
канонических уравнений метода сил..................................113
□ § 13.4. К истории метода сил . ... .я......................................115
Г л а в а 5
Расчет неразрезных балок
§ 1.5. Общие сведения о иеразрезных балках..............................116
$ 2.5. Количество лишних связей. Выбор основной системы ... .... 117
4
Стр.
§ 3.5. Расчет неразрезных балок на внешнюю нагрузку. Уравнения трех момен-
тов ...................................................................119
□ § 4.5. Примеры и задачи.....................126
§ 5.5. Моментные фокусные отношения и моментные фокусы....................................................130
□ § 6.5. Графический способ нахождения фокусов......................................134
§ 7.5. Применение моментных фокусных отношений к построению эпюр . . . .136
□ § 8.5. Пример................................................................... 141
□ § 9.5. Применение теории конечных разностей к решению системы уравнений
трех моментов.........................................................................................—
§ 10.5. Построение линий влияния изгибающих моментов.......................................................144
§ 11.5. Построение линий влияния поперечных сил............................................................148
§ 12.5. Построение линий влияния опорных реакций...........................................................149
§ 13.5. Построение линий влияния как линий прогиба.........................................................150
§ 14.5, Самое невыгодное загружение........................................................................156
§ 15.5. Расчет на смещение опор............................................................................159
§ 16.5. Расчет на неравномерный нагрев.................................................................... 164
□ § 17.5. Понятие о расчете неразрезных балок методом заданных моментов илн
напряжений...............................................................165
§ 18.5. Неразрезная балка с упруго смещающимися опорами........................167
§ 19.5. Эпюры и линии влияния для балки на упруго смещающихся опорах . . .171
□ § 20.5. Пример................................................................173
□ § 21.5. К истории теории иеразрезных балок....................................174
Глава 6
Расчет простых рам и статически неопределимых арок методом сил
§ 1.6. Основные понятия ...................................................................................182
§ 2.6. Расчет рамы с одной лишней неизвестной..............................................................184
§ 3.6. Об упрощении канонических уравнений для симметричных систем. Расчет
рамы с тремя лишними связями......................................190
§ 4.6. Дальнейшее упрощение. Расчет той же рамы прн помощи введения жест-
ких консолей ‘....................................................194
§ 5.6. Расчет рам с упруго-податливымн опорами н узлами...........................196
§ 6.6. Расчет двухшарннрной арки с затяжкой.......................................197
§ 7.6. Влияние податливости затяжкн. Эпюры №, Q, N. Кривая давлений . . . 203
§ 8.6. Построение линий влияния............................................................................206
§ 9.6. Расчет на действие температуры.............................................209
§ 10.6. Регулирование усилий в арке при помощи затижки.............................210
§ 11.6. Бесшарнирная арка. Выбор основной системы. Аналитическое и графиче-
ское определение коэффициентов....................................212
§ 12.6. Построение эпюр. Кривая давлений......................................... 219
□ § 13.6. О подборе очертания оси арки...............................................220
§ 14.6. Построение линий влияния.223
§ 15.6. Расчет круговой арки на гидростатическую нагрузку.228
§ 16.6. Расчет на действие температуры и усадкн.230
§ 17.6. Расчет на действие, оказываемое перемещением опор.231
□ § 18.6. Искусственное регулирование напряжений в арке в процессе ее возведения. 232
§ 19.6. Расчет симметричной арки с упругими опорами.............................. 234
□ § 20.6. К истории теории арок .....................................................238
Глава 7
Расчет статически неопределимых ферм
§ 1.7. Общие соображения о статически неопределимых фермах................................................241
§ 2.7. О подборе сечений..................................................................................242
§ 3.7. Расчет фермы с одним лишним стержнем ..............................................................244
5
Стр.
§ 4.7. Построение линии вертикальных перемещений (прогибов) для статически
неопределимой фермы....................................................245
§ 5.7. Упрощение графического построения многоугольника перемещений узлов . 246
§ 6.7. Построение лннин влияния для фермы с одним лишним стержнем . . . 247
§ 7.7. Расчет фермы с несколькими лишними стержнями..............................................................................................249
§ 8.7. Поверка расчета статически неопределимой фермы............................................................................................251
О § 9.7. О некоторых свойствах статически неопределимых ферм.....................................................................................252
□ § 10.7. Расчет ферм методом заданных напряжений.................................................................................................256
□ § 11.7. Пример расчета фермы методом заданных напряжений...................................................................................... 259
□ § 12.7. Некоторые замечания о способе заданных напряжений.......................................................................................261
§ 13.7. О теоретическом весе ферм.................................................................................................................263
□ § 14.7. К истории теории статически неопределимых ферм............................................................................................265
□ Глава 8
Понятие о расчете сооружений по деформированной схеме
§ 1.8. Общие соображения.........................................................................................................267
§ 2.8. Особенности расчета по деформированной схеме...—
§ 3.8. Особенности статически определимых и статически неопределимых систем
прн расчете по деформированной схеме................................. 268
§ 4.8. Пример расчета простейшей рамы по деформированной схеме.269
§ 5.8. К расчету арок...............................................................................................................271
§ 6.8. К расчету висячих мостов с балкой жесткости.....................................................274
Глава 9
Расчет сложных рамных систем методом сил
§ 1.9. Общие соображения.............................................276
§ 2.9. Построение эпюр Л4 для статически определимых основных систем н эпюр
Qt N для любых рам.........................................................................................................................278
§ 3.9. О рациональном выборе основной системы....................................................................................................282
§ 4.9. Свойства групповых эпюр н групповых неизвестных.............................................287
§ 5.9. Пример применения группировки неизвестных.........................................................289
□ § 6.9. Одновременное применение нескольких основных систем........................................................................................292
§ 7.9. Дополнительные упрощения, вытекающие нз условий симметрии .... 295
О § 8.9. Задача.....................................................................................................................................300
□ § 9.9. Расчет рам, содержащих бесконечно жесткие элементы...........................................................................................—
§ 10.9. Применение статически неопределимых основных систем.......................................................................................302
§ 11.9. Решение уравнений способом последовательных приближений (способом
итерации)........................................................304
§ 12.9. Проверка эпюр н линий влияния.............................................................................................................305
□ § 13.9. Задачи н примеры................................................................................................................308
□ § 14.9. О некоторых возможных обобщениях метода сил...............................................................................................—
□ § 15.9. К истории развития специальных приемов метода снл.......................................................................................310
Глава 10
Расчет рамных систем методом деформаций (перемещений) и смешанным методом
§ 1.10. Степень упругой подвижности узлов рамной системы..........................................................................................312
§ 2.10. Формулы для коэффициентов метода деформаций (формулы для реакций). 314
§ 3.10. Идея метода деформаций . . . ..............................320
§ 4.10. Пример. Расчет неразрезной балкн методом деформаций. Уравнение трех
углов..................................................................322
§ 5.10. Канонические уравнения метода деформаций для любой статически не-
определимой плоской стержневой системы.................................323
§ 6.10. Уравнения метода деформаций для рам с вертикальными стойками . . . 328
б
Стр.
§ 7.10. Пример составления уравнений........................................333
§ 8.10. Построение окончательных эпюр.......................................334
§ 9.10. Расчет на действие температуры......................................336
§ *10.10. Расчет на действие осадки опор...................................338
§ 11.10. Построение линий влияния........................................... —
§ 12.10. Использование симметрии..........................................340
□ § 13.10. Учет влияния продольных деформаций. Бесконечно жесткие элементы . 342
§ 14.10. Сопоставление метода деформаций с методом снл.......................—
§ 15.10. Комбинированное решение задач методами сил и деформаций...........343
§ 16.10. Смешанный метод...................................................344
□ § 17.10. К истории метода деформаций.................................... 346
□ Глава 11
Расчет рам по способу моментных фокусных отношений
§ 1.11. Формулы для основных неизвестных в рамах с несмещающимися узлами. 349
3 § 2.Ц. Пример..............................................................352
□ § 3.11. Расчет рам со смещающимися узлами...................................354
§ 4.11. Сопоставление метода моментных фокусных отношений с другими . . . 357
§ 5.11. К истории метода фокусных отношений.................................358
Глава 12
Приближенные методы расчета плоских рам
§ 1.12. Общие соображения..................................................359
§ 2.12. Общие приемы построения приближенных методов.......................360
§ 3.12. Расчет многопролетных многоярусных рам на вертикальную нагрузку . . —
§ 4.12. Расчет многопролетных многоярусных рам на горизонтальную (ветро-
вую) нагрузку...........................*...............................362
□ § 5.12. Расчет рам способом перераспределения величин неизвестных .... 364
□ Г л а в а 13
Основы расчета пространственных рамных систем
□ § 1.13. Введение......................................................... 367
□ § 2.13. Количество основных неизвестных в пространственных н в простран-
ственно нагруженных плоских рамах..................368
□ § 3.13. Формула перемещений...............................................371
§ 4.13. Пример расчета прямоугольной плоской рамы на нагрузку, перпенди-
кулярную ее плоскости................................................ 372
□ § 5.13. Расчет круговой арки постоянного сечення...........................374
□ § 6.13. Задача.............................................................375
Глава 14
Расчет балок и рам, лежащих на сплошном упругом основании
§ 1.14. Характеристика несвязного упругого основания..................377
§ 2.14. Эпюры для незагруженного участка балкн........................378
§ 3.14. Выражения эпюр для балки, загруженной любой внешней нагрузкой . . 380
§ 4.14. Определение начальных параметров..............................382
§ 5.14. Примеры.......................................................—
□ § 6.14. Некоторые частные случаи...................................... .386.
□ § 7.14. Линии влияния................................................... 387
7
Стр.
□ § 8.14. Понятие о расчете методом сил рам, лежащих на упругом основании . 388
□ § 9.14. Понятие о расчете методом деформаций рам, лежащих на упругом осно-
вании .....................................................................389
□ § 10.14. Понятие о расчете балок на упругом изотропном основании........' —
□ § 11.14, О некоторых моментах в развитии теории расчета сооружений, лежащих
на упругом основании . ....................................................392
1
□ Г л а в а 15
Приведение расчета призматических рам, составленных из пластинок,
к расчету плоских стержневых рам (метод пр оф. В. 3. Власова)
§ 1.15. Основные гипотезы.....................................................395
§ 2.15. Дифференциальные уравнения равновесия рамы-полоски....................397
§ 3.15. Пример................................................................402
□ Г л а в а 18
О расчете статически неопределимых систем с односторонними связями
§ 1.16. Некоторые общие свойства таких систем...................................407
§ 2.16. Критерий рабочей системы.............................................. 408
§ 3.16. Теорема об однозначности решения.............................> . —
§ 4.16. Ход расчета статически неопределимой системы с односторонними лиш-
ними связями............................................................409
§ 5.16. Примеры.................................................................410
Глава 17
! Расчет сооружений за пределом упругости
§ 1.17. Предельные состояния сооружения.........................................414
§ 2.17. Расчет статически неопределимой фермы иа постоянную нагрузку . . .415
§ 3.17. Расчет статически неопределимой фермы на одну и ту же многократно
повторяющуюся нагрузку................................................ • 418
§ 4.17. Расчет статически определимой балки на однократное нагружение и
разгрузку . .......................................................... . 420
О § 5.17. Учет касательных напряжений прн нзгнбе балки. Решение проф.
Н. И. Безухова.....................................................422
§ 6.17. Расчет статически неопределимой балки на однократное нагружение н
разгрузку.........................................................423
О § 7.17. Расчет на многократное действие нагрузки.........................428
□ § 8.17, Определение перемещений..........................................429
□ § 9.17. Расчет на совместное действие продольной силы н изгибающего момента . 431
□ § 10.17. Пример расчета рамы ..................................................433
□ § 11.17. О статистическом обосновании коэффициентов, характеризующих пре-
дельное состояние сооружения 435
С § 12,17. К нсторнн расчета аа пределом упругости.................................438
Гла^а 18
Расчет сооружений иа устойчивость
§ 1.18. Значение расчета на устойчивости........................................442
§ 2.18. О точном н приближенном расчете........................................443
§ 3.18. Определение критической нагрузки для систем с конечным и бесконечно
большим числом степеней свободы.........................................444
§ 4,18. Приближенный энергетический метод расчета упругих стержней иа устой-
чивость ................................................................448
8
Стр.
§ 5.18. Критическая нагрузка для стержня, шарнирно опертого по концам и
имеющего упругую горизонтальную связь................................... 450
§ 6.18. Критическая продольная сила Для двухпролетной иеразрезной балки
с упругой промежуточной опорой.....................................451
§ 7.18. Критическая сила для стержня, имеющего на одном конце шарнир, а на
другом упругую заделку.............................................452
§ 8.18. Критическая сила для составного стержня..............................455
□ § 9.18. Устойчивость кругового кольца, сжатого равномерно распределенной
гидростатической нагрузкой..................................................457
□ § 10.18. Расчет круговой двухшарнирной н бесшарннрной арок, сжатых равно-
мерным гидростатическим давлением...........................................459
□ § 11.18. Пространственная устойчивость тонкостенного стержня, сжатого по кон-
цам продольными силами (по проф. В. 3. Власову)..................460
□ § 12.18. Стержень с шарнирно опертыми концами...................463
□ § 13.18. Устойчивость плоской формы нзгнба тонкостенной балки...464
§ 14.18. Понятие о точном методе расчета рам на устойчивость.................466
□ § 15.18. Пример.................................................470
□ § 16.18. О моделировании устойчивости...........................472
□ § 17.18. Краткий обзор состояния вопроса........................473
Глава 19
Основы динамического расчета сооружений
§ 1.19. Виды динамической нагрузки...........................................477
§ 2.19. Степень свободы упругой системы........................................—
§ 3.19. Дифференциальное уравнение движения н его интеграл...................479
§ 4.19. Определение частоты собственных колебаний системы....................480
§ 5.19. Примеры..........................................................* 483
§ 6.19. Вынужденные колебания стержневой системы............................484
§ 7.19. Влияние внезапного загружения.......................................485
§ 8.19. Влияние кратковременной нагрузки....................................486
§ 9.19. Влияние мгновенного импульса........................................487
§ 10.19. Пример.............................................................488
§ 11.19. Влияние вибрационной нагрузки......................................489
□ § 12.19. Влияние произвольной периодической нагрузки . . ...................491
□ § 13.19. Геометрическое представление вынужденных н свободных перемещений . 493
□ § 14.19. Влияние внутреннего поглощения энергии.............................495
§ 15.19. Влияние поперечного изгибающего удара..............................500
□ § 16.19. Свободные колебания балки как системы с бесконечным числом степеней
свободы...............................................................503
□ § 17.19. Особые свойства нормальных форм колебаний..........................505
□ § 18.19. Вынужденные перемещения............................................507
□ § 19.19. Действие вибрационной нагрузки.....................................509
§ 20.19. О расчетах сооружений по схеме системы с одной степенью свободы . . 512
□ § 21.19. К истории динамического расчета сооружений.........................513
Глава 20
Основы расчета подпорных стенок
§ 1.20, Общие соображения......................................517
§ 2.20. Об условиях равновесия прн наличии сил трепня..........518
§ 3.20. Теория Кулона........................................................519
§ 4.20. Теоремы о наибольшем давлении н графическое построение.522
§ 5.20. Формулы давления земли на стенку......................526
&
Стр.
§ 6.20. Диаграмма полных давлений н диаграмма интенсивности давления . . . 528
§ 7.20. Влияние .временной нагрузки...................................530
5 8.20. Пассивное давление (отпор) земли..............................531
5 9.20. Расчет подпорной стенки на прочность..........................532
5 10.20. Расчет стенки на опрокидывание н на скольжение................535
) 11.20. Понятие о предельном напряженном состоянии и предельном равно-
весии сыпучего тела................................................... 536
| 12.20. Направление площадок скольжения................................539
! 13,20. Приложение к приближенному определению давления земли на крутую
подпорную стенку........................................................541
j 14.20. Приложение к приближенному определению давления земли на пологую
подпорную стенку...................................................... 543
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее, второе издание 'второй части курса значительно перера-
ботано по сравнению с первым изданием, вышедшим в 1940 г. Почти во
всех главах сделаны сокращения. Наряду с этим в некоторые главы вве-
дены дополнения (формула перемещений для стержневой системы
с заданными перемещениями одного из концов, новое построение много-
угольника перемещений для ферм, расчет рам, имеющих бесконечно жест-
кие элементы, учет касательных напряжений при определении несущей
способности балок, расчет подпорных стенок по теории предельного на-
пряженного состояния сыпучего тела, понятие о применении элементов
статистики при расчете сооружений и др.).
Коренным образом переработаны все исторические обзоры; в сжатом
виде они отражают роль русских ученых <в развитии строительной меха-
ники. Отметим, что достаточно полная история отечественной строитель-
ной механики еще не написана; заполнение этого пробела остается важ-
ной очередной задачей.
Введено несколько новых глав: понятие о расчете сооружений по
деформированной схеме, расчет балок и рам, лежащих на' сплошном
упругом основании, расчет призматических рам (по методу проф.
В. 3. Власова), основы расчета статически неопределимых систем с одно-
сторонними связями. Кроме того,, в данное издание включены две главы,
посвященные расчетам, на устойчивость и на динамическое действие на-
грузки. Этих глав нет в первом издании книги, но. они имеются в однотом-
ном курсе автора по строительной механике, изданном в 1946 г. В данную
книгу они введены в несколько переработанном и дополненном виде.
Вводя в книгу новый материал, частью выходящий за пределы дейст-
вующей в настоящее время учебной программы строительных вузов,
автор руководствовался следующим соображением: курс строительной
механики должен содержать все, что требуется учебной программой, но
не ограничиваться этим материалом. Программы меняются, жизнь идет
вперед, и учебник должен содействовать этому развитию.
Дополнительный материал в учебнике по строительной механике дол-
жен стимулировать углубленное изучение различных проблем строитель-
11
ной механики и дать перспективу дальнейшего развития предмета. В ис-
тории развития отечественной строительной механики за последние деся-
тилетия имеется немало примеров, оправдывающих такую точку зрения,—
примеров крупных творческих достижений молодежи, еще не покинувшей
стен вуза.
Разумеется, дополнительный материал не может доминировать в
учебнике (он выделен в книге квадратиками); основное содержание
книги составляют вопросы, входящие в обязательную программу. Допол-
нительные темы выбраны в небольшом числе из обширного увлекатель-
ного материала, обогатившего отечественную строительную механику и
обеспечивающего ее дальнейшее развитие. Несмотря на наличие этого
дополнительного материала, данный курс должен рассматриваться уча-
щимися как важный, но все же начальный этап изучения этой обширной
дисциплины. Произведенное в книге разделение материала на основной
и дополнительный является в некоторой степени условным, так как про-
граммы курса для различных строительных специальностей не вполне сов-
падают.
Величественные задачи, поставленные XIX съездом партии в области
капитального строительства, стимулируют развитие строительной меха-
ники, которая призвана удовлетворять все расширяющиеся требования
громадного и разнообразного строительства, ведущегося в стране. Разра-
ботка новых проблем строительной механики происходит у нас в тесной
связи с запросами строительства и сопровождается широко развернутыми
экспериментальными исследованиями и опытной проверкой теоретических
предпосылок. Способствовать успешной разработке этих проблем также
является одной из задач настоящей книги.
Автор выражает благодарность за ряд ценных замечаний, использо-
ванных в книге, проф. Н. И. Безухову и проф. В. А. Киселеву, рецензиро-
вавшим рукопись учебника, а также профессорам А. А. Уманскому,
А. Ф. Смирнову, И. В. Урбану, В. В. Синельникову и доц. И. К. Снитко.
Автор будет признателен читателям за указание замеченных ими
погрешностей и недостатков книги.
Глава I
ПРОБЛЕМА РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
§ 1-1. ЧТО ТАКОЕ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ
СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА
В первой части курса были рассмотрены те сооружения, которые но-
сят название статически определимых.
Приступая! теперь к изучению другого, более обширного класса гео-
метрически неизменяемых стержневых систем, а именно систем стати-
чески н е о п р е д е л и м ы х, мы должны условиться прежде всего отно-
сительно того содержания, которое мы будем вкладывать в этот термин.
В основу классификации геометрически неизменяемых систем нужно
положить следующий признак: являются ли статически определимыми
или же неопределимыми те силы, которые характеризуют работу любого
сечения в целом, т. е. те равнодействующие, к которым приводятся эле-
ментарные внутренние силы в любом сечении.
Стати чески неопределимой стержневой системой мы будем называть
в дальнейшем такую, у которой при действии произвольной нагрузки не
все продольные силы, поперечные силы и моменты могут быть найдены
из уравнений равновесия твердого тела или системы твердых тел.
Будем говорить, что система имеет лишние, или избыточные1,
связи, если из нее можно удалить то или иное количество связей, не на-
рушая этим ее свойства геометрической неизменяемости и неподвижности.
Наибольшее количество связей, ко- Ав С D
торое при этом условии может быть -----п-------n q
удалено одновременно, назы-
вается количеством лишних связей. фиг }
Так, например, на фиг. 1 из общего ко-
личества пяти опорных стержней мож-
но одновременно удалить не более двух, так как для обеспечения непод-
вижности балки требуется сохранить не менее трех опорных стержней.
Вместо опорных стержней можно удалить какие-либо другие связи,
например, поместить в каких-либо сечениях балки шарниры. Во всяком
случае удалить можно не более двух связей, так как иначе данная система
потеряет геометрическую неизменяемость. Следовательно, она имеет две
лишние связи.
Понятию о лишней связи можно противопоставить понятие о необ-
ходимой связи согласно предложенной автором настоящей книги терми-
нологии 1. Можно различать связи условно необходимые и безусловно
1 Термин «избыточная» является более уместным, чем термин «лишняя», который
психологически ассоциируется с представлением о ненужности такой связи.
К сожалению, в нашей литературе термин «лишняя» уже давно приобрел право граж-
данства.
13
(абсолютно) необходимые. Так, -например, на фиг. 1 любой из вертикаль’
ных опарных стержней является условно необходимым, так как каждый
из них можно удалить при сохранении двух других вертикальных, а также
горизонтального опорного стержня. Условно необходимый стержень мож-
но называть также условно лишним. На фиг. 2, где имеется одна
лишняя связь, любой из стержней левой панели, т. е. АВ, ВС, CF, FA, АС
и BF, является условно необходимым. Напротив, любой из стержней CD,
DE, EF, СЕ, а та!кже любой из трех опорных является абсолютно необхо-
димым, так как удаление его превра-
щает систему в геометрически изменяе-
мую или подвижную.
Наличие или отсутствие лишних
связей характеризует систему с кине-
матической точки зрения. Одновремен-
но оно характеризует ее и в статиче-
ском отношении. Действительно, мы
уже видели в первой части (§ 3.5), что геометрически неизменяемые и не-
подвижные системы, не имеющие лишних связей, всегда статически опре-
делимы и, наоборот, системы статически определимые не могут иметь
лишних связей. Наличие лишних связей в геометрически неизменяемой
системе является необходимым и достаточным признаком ее статической
неопределимости.
Если система имеет п лишних связей, то можно, отбросив такое
же количество связей, получить статически определимое сооружение. Сле-
довательно, система может рассматриваться как усложненное соору-
жение, которое образовалось из статически определимого добавлением п
связей.
Статически неопределимые системы обладают некоторыми особыми,
только им присущими свойствами, которые находятся -в прямой зависи-
мости от количеств® лишних связей. Поэтому число п является важной
и глубокой характеристикой сооружения и может быть положено в основу
классификации всех статически неопределимых систем 2.
Количество лишних связей мы в дальнейшем будем называть сте-
пенью статической неопределимости системы.
§ 2.1. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ЧИСЛА ЛИШНИХ СВЯЗЕЙ
Дадим здесь вторично формулы для подсчета числа лишних связей,
выведенные в первой части курса, и поясним их несколькими примерами.
Плоская система, составленная из отдельных дисков, которые шар-
нирно. соединены между собой и опираются на некоторое количество
опорных стержней, содержит следующее число лишних связей:
Л=СО + 2Ш~ЗД, (1.1)
где Со — число опорных стержней;
Ш — приведенное число простых шарниров, связывающих диски
между собой;
Д — число дисков.
Формула эта справедлива только в том случае, когда ни один из
дисков в свою очередь не представляет собой систему с лишними связями.
'И. М. Рабинович, К теории статически неопределимых ферм, Трансжелдор-
издат, 1933, стр. 9.
2 Мы сознательно ограничиваемся здесь упоминанием о количестве лишних связей,
оставляя в стороне вопрос о количестве так называемых «лишних неизвестных», так как
понятие о них связано с вопросом о методах расчета и имеет более условный характер.
14
Если система представляет собой многопролетную балку с промежу-
точными шарнирами, то вместо формулы (1.1) можно пользоваться также
Л = Со— 3 — ш.
(2.1)
Фиг. 3
Действительно, при отсутствии шарниров число лишних стержней не-
разрезной балки Со~ 3, но каждый шарнир увеличивает степень свободы
балки на единицу.
Рамная система, показанная на фиг. 3, представляет собой диск,
который имеет 10 опор-
ных стержней. Так как
для обеспечения его не-
подвижности достаточ-
но иметь 3 стержня, то
число лишних связей
равно 10—3 = 7.
В таких случаях мы
можем считать
Л ~(Д— 3.
Фиг. 4
(3.1)
Для комбинированной рамной системы, представленной на фиг. 4,
можно написать
Д z=3; Ш ~ 4; Со=6;
Л = 6 + 2-4 — 3-3 = 5.
К определению числа лиш-
них связей в одной и той же си-
стеме можно подойти разными
способами. Из них всегда вы-
годнее выбрать простейший.
Например, замкнутую ра-
му, представленную на фиг.
5, а, можно1 рассматривать как
совокупность четырех дисков,
связанных между собой 12
соединительными стержнями
(фиг. 5,6), или как совокуп-
ность двух дисков, связанных
чпестью стержнями (фиг. 5, в),
или как один диск с тремя со?
едннительными стержнями
(фиг. 5, а). В первом случае
4 + 12 = 16; Со = 3; £7 = 24; Л =3 + 2-24 — 3- 16 = 3.
Во втором случае
Д = 2 + 6 = 8; Со=3; Ш=12; Л = 3 + 2 -12 — 3-8 = 3.
В третьем случае
Д = 1 + 3 = 4; Со = 3; Ш = 6; Л = 3 + 2 6 — 3 -4 = 3.
Очевидно, что проще всего — третий способ подсчета.
Из разобранного примера видно, что стержень, который не имеет
промежуточных шарниров и ось которого образует замкнутый односвяз-
ный контур, заключает в себе 3 лишние связи. Короче — замкнутый пло-
ский бесшарнирный контур содержит 3 лишних связи.
15
На практике часто встречаются рамные конструкции, схема которых
представляет собой многосвязный контур. Достаточно подсчитать число
отдельных замкнутых контуров, не покрывающих друг друга, и это число
утроить; полученный результат и будет равен числу лишних связей. Рас-
смотрим для примера фиг. 6, а. Число различных контуров, не покрыва-
ющих друг друга, равно 6, поэтому Л — 3- 6 = 18. На фиг. 6, б показана
та же система, но разрезанная так, что, сохраняя геометрическую неиз-
меняемость, она потеряла все замкнутые контуры. Число разрезов равно
6; каждый из них освобождает систему от трех связей. Мы можем поэ-
тому вместо подсчета числа контуров подсчитать и утроить число разрезов.
Фиг. б
Схема, изображенная на фиг. 7, а, на первый взгляд содержит только
3 замкнутых контура, но так как сечения А, В, С, D принадлежат фунда-
менту, то схема 7, а может быть представлена в виде 7, б; отсюда ясно,
что она содержит 6 замкнутых контуров и, следовательно, 18 лишних
связей. К тому же выводу можно прийти, разрезав систему, как показано
на схеме 7, в. Пользование формулой (1.1) было бы слишком громоздко.
Если система представляет собой шарнирно-стержневую ферму, то
вместо формулы (1.1) удобнее пользоваться формулой
Л^С+С0~~ 2У, (4.1)
где С — число стержней фермы, не считая опорных;
У — число узлов.
Например, для фиг. 8
С = 29; Со=4; У = 14; Л = 29 + 4 — 2 • 14 = 5.
Этот результат можно получить быстрее, если заметить, что после
удаления четырех раскосов и одного опорного стержня ферма становится
статически определимой.
Балка, лежащая на сплошном упругом основании (фиг. 9), содер-
жит бесконечное множество лишних связей, так как она может рассмат-
риваться как предельный случай многопролетной неразрезной балки с
упругими опорными стержнями. Характерно то обстоятельство, что эти
16
лишние связи образуют континуум, т. е. непрерывно распределены.
Благодаря этому пролет балки может быть разбит иа участки так, что на
протяжении каждого из них все элементарные реакции упругого основа-
ния будут представлять собой частные значения одной функции, удовле-
Фиг. 8
д ' В
Фиг. 9
творяющей одному дифференциальному уравнению. Отмеченное обстоя-
тельство в значительной степени упрощает расчет таких систем (см.
гл. 14).
§ 3.1. ОТЛИЧИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ С ЛИШНИМИ СВЯЗЯМИ
Перечислим эти свойства.
il. Пусть сооружение находится под действием некоторой заданной
нагрузки. Откинем лишние связи так, чтобы система стала статически
определимой. Реакциям, отброшенных связей дадим какие угодно значе-
ния Хь Х2,.., Хп. Эти реакции можно рассматривать как внешние силы,
Фиг. 10
которые вместе с заданной нагрузкой образуют полную нагрузку стати-
чески определимого сооружения. Очевидно, что каковы бы ни были зна-
чения сил X], Х2,..., Хп, система останется в равновесии (разумеется,
если прочность материала не будет нарушена). Например, если в не-
разрезной ферме, представленной на фиг. 10, а, откинем средний опорный
стержень и заменим его силой X (фиг. 10, б), то при -всевозможных зна-
чениях этой силы ферма останется в равновесии. Иначе говоря, опреде-
лить силы %2,..исходя исключительно из условий равновесия,
невозможно; система с лишними связями статически неопределима.
В дальнейшем мы можем не делать различия между системами с
лишними связями и системами статически неопределимыми.
Однако не следует думать, что в статически неопределимых системах
все усилия непременно являются статически неопределимыми: иногда
встречаются и такие элементы, усилия в которых статически определимы.
2—И. М. Рабинович _ 17
из КНИГ А. м тГороткина!
Можно доказать следующую теорему: усилия в абсолютно необходимых
связях (если таковые имеются) всегда статически определимы.
Воспользуемся принципом возможных перемещений. Если какая-ни-
будь связь абсолютно необходима, то удаление таковой обращает систему
в механизм, несмотря на наличие лишних связей. Сообщим этому меха-
низму возможное бесконечно малое перемещение и приравняем нулю
сумму работ всех внешних сил (к внешним силам причисляется и реакция,
заменяющая отброшенную связь). Мы получим одно уравнение, из кото-
рого и определится единственная неизвестная — усилие в отброшенной
связи. Так, например, в ферме, показанной на фиг. 2, опорные реак-
ции, а также усилия в стержнях CD, DE, EF, СЕ статически опреде-
лимы.
2. Для статически определимой системы, находящейся под заданным
внешним воздействием, существует, как мы видели, лишь одно возмож-
ное решение, удовлетворяющее условиям равновесия всей системы и ее
отдельных частей. Статически неопределимая система, наоборот, допу-
скает бесконечное множество решений, удовлетворяющих условиям рав-
новесия, но лишь одно из них будет удовлетворять также остальным усло-
виям задачи. Так, например, на фиг. 11, а, б, в и г показаны различные
Фиг. 11
варианты эпюр изгибающих моментов, которые могут быть построены
для двухшарнирной рамы АВ, нагруженной силой Р, если мы будем при-
писывать распору Н различные значения. Ни один из этих вариантов не
противоречит условиям статики. Но анализ этих эпюр показывает, что
каждой из них Соответствует определенное взаимное сближение или уда-
ление опорных сечений А и В рамы. Если это перемещение задано (напри-
мер, если оно равно нулю), то лишь одна из бесконечного множества
статически возможных эпюр будет правильна.
3. В статически определимой стержневой системе смещение опор,
температурное воздействие и неточность сборки не вызывают усилий. В
противоположность этому в системе с лишними связями любой из этих
факторов, вообще говоря, вызывает отличные от нуля усилия. Например,
на фиг. 12, б и в показаны деформация и эпюра изгибающих моментов
неразрезной балки, вызванные смещением средней опоры.
В противоположность этому случаю на фиг. 13 показана такая ста-
тически неопределимая система, в которой смещение опор не вызывает
никаких усилий; но в этой системе все опорные стержни являются абсо-
лютно необходимыми, чем и объясняется то, что усилия в них опреде-
ляются из уравнений статики. О такой системе говорят, что она статиче-
ски определима относительно опорных реакций.
На фиг. 14, а показана статически неопределимая балка АВ, у кото-
рой вследствие неточности изготовления левый торец не параллелен опор-
ной поверхности MN. Если мы этот торец прикрепим (например, при-
зе
варим) к названной поверхности, то ось балки изогнется согласно
фиг. 14, б, и возникнут статически неопределимые усилия.
4. Усилия, которые возникают при отсутствии внешней нагрузки, мы
будем называть начальными или собственными усилиями. Из сказанного
в предыдущем пункте следует, что статически неопределимые системы в
отличие от статически определимых могут иметь начальные усилия. Со-
стояние системы, испытывающей такие усилия, мы будем в дальнейшем
называть начальным состоянием усилий, или начальным напряженным
состоянием, или состоянием самонапряжений.
Чем бы то ни было вызвано такое состояние системы, имеющей п
лишних связей, мы можем мысленно откинуть все эти связи и рассматри-
вать полученную систему как статически определимую, нагруженную п
реакциями отброшенных связей. Каждая из этих реакций может прини-
мать бесконечное множество значений, по-
этому можно сказать, что любое началь-
ное напряженное состояние системы,
имеющей п лишних связей, определяется
п параметрами. t
Отсюда, в частности, следует, что
каждой системе с одной лишней связью
свойствен только один вид начального
напряженного состояния. Будет ли это
состояние результатом действия темпера-
туры, неточности сборки или перемеще-
ния опор, характер всех эпюр останется фиг* 1
тот же самый; изменяться будет лишь
коэффициент пропорциональности.
Способность систем с лишними связями испытывать начальные на-
пряженные состояния дает инженеру возможность искусственным путем
(например, при помощи смещения опор или изменения длины стержней)
регулировать и изменять в таких системах напряжения и усилия, вызы-
ваемые заданной внешней нагрузкой.
5. Усилия в элементах рассматриваемых систем зависят от формы
и размеров сечений стержней и, вообще говоря, также от коэффициентов
упругости материала этих стержней.
Как увидим ниже, в статически неопределимой системе усилия
оказываются независимыми от коэффициента упругости только в том
частном случае, когда материал всей системы имеет один и тот же коэф-
фициент упругости, а сама система находится под действием внешней
нагрузки (но-не температуры или смещения опор).
Зависимость усилий от размеров сечений является фактором, кото-
рый позволяет проектирующему инженеру, не меняя геометрической
схемы сооружения, изменять распределение усилий. В то же время эта
зависимость значительно осложняет задачу рационального подбора сече-
ний статически неопределимой системы.
6. Система с п лишними связями после потери этих связей сохраняет
свою геометрическую неизменяемость, в то в-ремя как для системы стати-
чести определимой потеря даже одной связи уже является катастрофи-
ческой. Это различие между обеими категориями систем имеет важное
практическое значение. Оно заставляет по-разному подходить к вопросу
о допустимости или недопустимости перенапряжения отдельных элементов
в этих системах, по-разному оценивать связь между коэффициентом
безопасности сооружения в целом и запасом прочности отдельных его эле-
ментов. Наконец, оно' заставляет по-разному расценивать такие сооруже-
ния и с точки зрения их «живучести»: очевидно, что системы статически
неопределимые являются в известном смысле более надежными, чем ста-
тически определимые.
§ 4.1. О СИСТЕМАХ, ПЕРЕХОДНЫХ МЕЖДУ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫМИ, СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫМИ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЕМЫМИ
□ В практике расчета сооружений такие системы встречаются редко,
но они представляют принципиальный интерес, так как позволяют лучше
понять границы приложимости общепринятой классификации сооружений
и обычных методов расчета. Ограничимся здесь краткими указаниями.
К числу таких систем можно отнести, во-первых, мгновенно изменяе-
мые системы. Для примера рассмотрим мгновенно изменяемую систему,
представленную на фиг. 15, а. Она
Фиг. 15
не имеет лишних связей и поэтому,
казалось бы, не может быть причис-
лена к системам статически неопре-
делимым. При конечном значении
силы Р усилия в стержнях А С и СВ,
Фиг. 16
определяемые из уравнений статики, получаются бесконечно большими.
Однако такие значения получаются только тогда, когда мы предпола-
гаем, что стержни имеют бесконечно большую жесткость. Если учесть
изменение фигуры, обусловливаемое деформативностью материала (удли-
нением стержней), мы получим схему фиг. 15, б. Для этой системы усилия
получаются конечными. Они выражаются в функции от угла а, который
сам зависит не только от нагрузки, но и от площадей сечений обоих стерж-
ней и от коэффициента упругости материала. Следовательно, усилия
в стержнях также зависят от этих величин. Но это свойство характеризует
как раз статически неопределимые системы. Таким образом, мгновенно
изменяемые системы — эти «уроды» в мире статики — обладают смешан-
ной природой. Добавим к этому, что к таким системам неприменим прин-
20
цип независимости действия сил: усилия и деформации в них не являются-
линейными функциями нагрузки.
Во-вторых, к переходным системам можно причислить такие,
у которых некоторые лишние связи обладают бесконечно малой жест-
костью. Усилия в таких элементах бесконечно малы, поэтому система рабо-
тает практически как статически определимая, хотя формально и является
статически неопределимой. Примером такой системы может служить-
неразрезная балка (фиг. 16), у которой три опорных стержня обладают
конечной или бесконечно большой жесткостью, а остальные — беско-
нечно малой. Приближенно можно отнести к этой категории все те со-
оружения, у которых некоторые лишние связи являются очень податли-
выми по сравнению с другими связями Ч □
§ 5.1 КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РАСЧЕТА
Задача расчета такой статически неопределимой системы, геометри-
ческая схема которой задана, заключается в следующем: по заданной
нагрузке подобрать сечения всех элементов так, чтобы система обладала
достаточной надежностью и достаточной жесткостью при минимальной
затрате материала или при минимальной стоимости. В такой постановке,,
имеющей наибольшее практическое значение, задача в общем виде еще
не решена.
В более узкой постановке задача расчета формулируется так: по
заданным геометрической схеме, нагрузке и сечениям всех стержней опре-
делить усилия и деформации системы. При этом приходится сечениями
задаваться на основании первоначального ориентировочного расчета,
затем определяют усилия и напряжения, после чего- в случае необходи-
мости исправляют некоторые сечения и повторяют расчет снова.
Способы решения этой более узкой задачи существенно различаются
между собой в зависимости от выбора основных неизвестных. Основными
являются те неизвестные, которые должны быть найдены в первую очередь
и при посредстве которых, после того как они найдены, легко опреде-
ляются все остальные неизвестные. Если основными неизвестными служат
усилия в лишних связях, метод решения получает название метода сил.
Если основными неизвестными служат те или иные перемещения системы,
представляющие собой результат ее деформаций, получается так назы-
ваемый метод деформаций (перемещений). Если основными неизвест-
ными служат частью силы, ia частью — деформации, получается смешан-
ный метод. Каждый из этих методов в свою очередь имеет свои разновид-
ности, число которых в настоящее время весьма велико. Принципиально
роль основных неизвестных могут играть не только силы или перемещения,
но также разнообразные функции этих величин, имеющие статический,
геометрический или кинематический характер.
В дальнейшем мы ограничимся изучением В1ажнейших методов.
§ 6.1. к ИСТОРИИ ПРИМЕНЕНИЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
□ В инженерно-строительной практике статически неопределимые
системы стали применяться значительно раньше, чем статически опреде-
лимые. Достаточно бросить взгляд хотя бы на схемы каменных и деревян-
ных мостовых пролетных строений, применявшихся в древности и в сред-
ние века, на схемы деревянных и металлических пролетных строений,
1 Подробнее о затронутой теме см. в статье автора «О системах, переходных между
статически определимыми, статически неопределимыми и геометрически изменяемыми»
в сборнике «Исследования по теории сооружений», Стройиздат, 1936, стр. 241.
21
относящихся к первой половине XIX столетия, а также на схемы подмостей
для мостов и для куполов и т. д., чтобы убедиться в этом. Многие из этих
схем настолько сложны, что даже при современном уровне строительной
Mexia ники их расчет -представляет большие трудности. В те времена, когда
о расчете таких систем не было и речи, когда все основывалось на кон-
структивном чутье и в отдельных случаях, сверх того, на грубо поставлен-
ных опытах над моделями, расчетные трудности, разумеется, не могли
никого смущать. Строитель исходил из убеждения, что лишние подпорки,
лишние стяжки и связи не могут помешать делу, а, наоборот, увеличивают
надежность сооружения; этот аргумент в его -глазах являлся решающим
и заставлял мириться с излишней затратой материала.
В первой половине XIX столетия, когда проектирование сооружений
уже сопровождалось расчетом, господствующим типом инженерных со-
оружений, в особенности пролетных строений мостов, все еще оставался
статически -неопределимый. Это видно не только из описаний тогдашних
конструкций, но также из курсов технической механики, которые почти
не уделяли места расчету статически определимых систем. Когда значи-
тельное увеличение пролетов и нагрузок заставило искать наиболее эко-
номичные, совершенные и ясные в статическом отношении схемы, то по-
требовался некоторый психологический перелом для перехода к статически
определимым системам.Практики не доверяли ажурным, легким систе-
мам; теория, со своей стороны, не оттеняла их достоинств- (возможность
точно их рассчитать и возможность проектировать их, как системы рав-
ного сопротивления). Начиная с 70-х годов прошлого столетия, они стали
быстро входить в практику строительства различных сооружений, в осо-
бенности в- практику строительства металлических конструкций и -в метал-
лическое мостостроение, и сильнейшим образом повлияли на характер
этих конструкций. С этого же времени начали усиленно разрабатываться
и методы расчета таких систем.
Однако и в пору наибольшего увлечения статически определимыми
расчетными схемами инженеры не могли забыть того, что- действительные
сооружения, отвечающие таким схемам, почти всегда статически неопре-
делимы, и поэтому разработка методов расчета статически неопределимых
систем никогда не -прекращалась.
В начале XX столетия выступил на сцену новый вид сооружений, а
именно железобетонные сооружения. Железобетон произвел в строитель-
ном деле переворот, и -его стремительное непрерывное развитие продол-
жается до наших дней. Природе этого- материала свойственны по преиму-
ществу такие системы, которые отвечают статически неопределимой
расчетной схеме и редко- допускают расчет по статически определи-
мой схеме. Могущественное влияние этого фактора сказалось не только
на практике строительства сооружений, но и на теории -их расчета.
В XX столетии получило также большое развитие строительство раз-
нообразных металлических сооружений с несущей конструкцией в виде
статически неопределимого рамного каркаса. Идя -навстречу требованиям
строительства железобетонных и металлических конструкций, строи-
тельная механика вынуждена была в последние десятилетия уделять
исключительно большое внимание разработке теории расчета статически
неопределимых систем. Из дальнейшего читатель увидит, насколько зна-
чительна роль отечественных ученых в развитии этого раздела строитель-
ной механики. В настоящее время эта теория, охватывающая расчет всех
видов статически неопределимых стержневых систем, достигла высокой
степени совершенства. □
Глава 2
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УПРУГИХ СИСТЕМАХ
§ 1.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Основным понятием теории статически неопределимых систем, разра-
батывавшейся в течение многих десятилетий, было до последнего времени
понятие об идеально упругом теле или идеально упругой системе. Это по-
нятие, возникшее из наблюдений над действительными материалами,
представляет собой при напряжениях, не превосходящих известного пре-
дела, практически приемлемую по своей точности и очень удобную расчет-
ную схему. Лишь в самое последнее время начала серьезно разрабаты-
ваться теория, основанная на понятии о так называемом у пру го-пласти-
ческом теле. Однако сейчас мы будем говорить исключительно о первой
теории Г
Упругой системой в общем смысле этого слова следовало бы назы-
вать такую систему, в которой не получается остающихся деформаций,
т. е. систему, которая после удаления нагрузки возвращается в начальное,
недеформировашюе состояние («пружинит»).
Такое определение, однако, было бы слишком широким. Оно остав-
ляло бы открытым вопрос о характере зависимости между деформациями
к силами. Под это определение подходили бы, например, и такие тела, для
которых эта зависимость выражается какой угодно алгебраической или
трансцедентной кривой, проходящей через начало координат. Однако
свойства наших материалов и характер строительных конструкций позво-
лили строительной механике обратить свое основное внимание на расчет
тел, подчиненных простейшему из всех мыслимых законов — линейному.
Несравненно более трудными, так называемыми нелинейными, зада-
чами приходится заниматься сравнительно редко.
В дальнейшем мы будем рассматривать такие деформируемые си-
стемы, перемещения и деформации которых выражаются линейными одно-
родными функциями внешних сил Рп*
A==PA + P2A2 + ,.. + PAp (1-2)
где А — перемещение определенного типа (например, вертикальное, го-
ризонтальное, угловое) в определенной точке сооружения;
Д2,..,, —перемещения того же типа и в том же месте, которые
вызываются соответствием одной из сил Pi = 1, Рг = 1,. - ., Рп = 1*
Линейный закон, выражаемый формулой (1.2), носит название об-
общенного закона Гука 2; название это не совсем точное, так как закол
1 Расчету сооружений за пределом упругости посвящена гл. 17.
а Об этом законе см. в курсах теории упругости, а также в книге П. Бехтерева
сАналитическое исследование обобщенного закона Гука», изд. автора, 1925,
23
Гука характеризует материал, формула же (1.2) характеризует свойства
не только материала, но и самой системы.
Те системы или тела, которые подчиняются формуле (1.2), мы будем
для краткости называть линейно деформируемыми.
Линейно деформируемая система обладает рядом важных свойств.
а) Перемещения и деформации такой системы подчинены закону не-
зависимости действия сил, иначе называемому законом наложения: эффект
совместного действия нескольких сил равен сумме эффектов каждой силы
в отдельности.
В частности, при m-кратном возрастании или убывании всех внешних
сил соответствующие деформации также возрастают или убывают в m
раз. Иначе — перемещения пропорциональны нагрузке.
Если при заданной внешней нагрузке проекция перемещения какой-
либо точки А на некоторое направление равна нулю, то проекция на это
направление, очевидно, останется равной нулю также при /п-кратном
возрастании или убывании всей нагрузки. Отсюда следует, что при таком
изменении нагрузки -все точки упругого тела перемещаются по прямым
линиям.
В том случае, когда действует только одна сила Л, т. е. когда Pz =
= Р3~ .. = Рт “0, получается Д = Pj А,, т. е. простой закон Гука.
б) При Р\ = Pz — ... = Рт = 0 получается A = 0<, т. е. после уда-
ления нагрузки перемещения исчезают. В линейно деформируемой си-
стеме не бывает остающихся перемещений и деформаций. После разгрузки
система возвращается полностью в начальное состояние. Для того чтобы
система была линейно деформируемой, необходимо: 1) чтобы она была
сделана из идеально упругого линейно деформируемого материала; 2) что-
бы она имела идеально гладкие, лишенные трения поверхности касания
всех взаимно перемещающихся элементов; 3) чтобы она .имела такое коли-
чество и расположение связей, которое обеспечивает ей геометрическую
неизменяемость и неподвижность; 4) чтобы изменения <в геометрических
размерах, конфигурации и характере самой системы, вызываемые дейст-
вием нагрузки, были ничтожно малы. В какой мере важнейшие строи-
тельные материалы соответствуют понятию об идеально упругом мате-
риале и в какой мере они отступают от этого идеала, читатель должен
знать из курса сопротивления материалов. Здесь необходимо лишь под-
черкнуть, что развиваемая дальше теория расчета может применяться
лишь при напряжениях материала, не превышающих предела пропорцио-
нальности, и не может быть экстраполирована на более высокие напря-
жения.
Наличие трения в катках подвижных опор, в шарнирах, в заклепоч-
ных и болтовых соединениях, в шпонках и т. д., а также наличие неустра-
нимых перенапряжений и остающихся деформаций в отдельных волокнах
и точках сооружения вызывают на практике некоторые отступления от
линейного закона. Однако эти отступления обычно настолько незначи-
тельны, что ими пренебрегают.
В дальнейшем, следуя распространенной терминологии, будем
называть линейно деформируемые системы просто у nip угимй, но в тех
редких случаях, где речь будет идти о системах упругих и в то же время
нелинейно деформирующихся, мы это будем особо оговаривать.
§ 2.2. ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Для того чтобы понять более глубокие свойства упругого тела, мы
должны обратиться и рассмотрению понятия о р а б оте сил. Когда тело*
деформируется, то различные точки его, в том числе точки приложения
24
внешних сил перемещаются. Произведение постоянной силы на. путь,
пройденный точкой приложения силы по направлению последней, назы-
вается работой силы, поэто(му можно сказать, что при деформировании
тела внешние силы совершают работу. Как ни мала эта работа, однако
рассмотрение ее оказывается очень плодотворным. Оно позволяет
привлечь к решению задач об упругих системах столь мощный
аппарат механики, как принцип возможных перемещений. Кроме того,
мы убедимся, что понятие о работе позволяет открыть чрезвы-
чайно интересные свойства упругих систем даже при помощи менее
общих принципов.
Предварительно введем такую терминологию, которая позволит нам
высказывать все дальнейшие выводы в наиболее общей и компактной
форме, а именно введем термины «обобщенная сила» и «обобщенное пере-
мещение».
Первый из этих терминов относится не только к сосредоточенной силе,
но и к любой группе сил. Группы сил встречаются в строительной меха-
нике очень часто. Простейшей группой является пара сил. Как известно,
величина пары измеряется ее моментом. Другим примером обобщенной
силы может служить нагрузка, равномерно распределенная по длине
стержня или по поверхности сооружения. Эта обобщенная сила измеряется
ее интенсивностью, приходящейся на единицу длины или на единицу по-
верхности. Третьим простым примером может служить
группа сил, подобная показанной на фиг. 17. Вели-
чина этой группы при заданных расстояниях а и b
вполне определяется величиной Р.
Для получения выражения работы простой силы
нужно, как известно, перемножить две величины, а
именно силу и соответствующую проекцию линейного
перемещения. В общем случае будем выражать работу
произведением обобщенной силы и обобщенного пере-
мещения, причем первый 5Р
множитель является из-
мерителем данной труп- рр
пы сил, а второй множи- р
гель зависит от переме- Г g________
щений. | v м
Каждой обобщенной
силе Р соответствует оп- фиг- 17
ределенный тип беско-
Фиг. 18
нечно малого обобщенного перемещения причем «соответствие» вы-
ражается в том, что при перемещении, равном d®, обобщенная сила Р
должна совершить работу РсР?.
Пусть, например, обобщенная сила состоит из двух равно противо-
положных сил +Р, направленных по одной и той же прямой и прило-
женных в точках А и В (фиг. 18). Пусть точка В перешла в положение В',
а точка А — в положение А', причем обе силы сохранили прежнее напра-
вление и действуют по одной прямой. Проведем АА"\\ВВ'. Представим
себе, что сначала точка В перешла в В', а точка А — в Д", т. е. точки
приложения обеих сил переместились одинаково; тогда работы этих сил
будут друг другу равны и противоположны, а сумма работ равна нулю.
После этого переместим точку А" в положение Д7; при этом верхняя
сила Р произведет работу Р- А"А' — РДХ; это и будет суммарной работой
обеих сил при заданном перемещении точек А и В. Очевидно, что ДХ
есть приращение первоначальной длины отрезка АВ. Итак, В' данном
25
случае обобщенной силой является Р, а обобщенным перемещением Дк —
изменение длины отрезка АВ.
Если к телу приложена пара сил с моментом, равным М, то при пово-
роте тела на угол Да работа пары будет равна Л! Да, следовательно, в
данном случае обобщенной силой служит момент М, а соответствующим
обобщенным перемещением — угол Да.
Если две пары с равными и противоположными моментами М прило-
жены к двум элементам (фиг. 19), то при взаимном повороте последних
на угол Да суммарная работа обеих пар выразится произведением М До.
Действительно, представим себе, что элемент 1 повернулся по часовой
стрелке на угол - + Да, а элемент 2 — в ту же сторону на угол я; тогда
суммарная работа будет равна
-1- М (а — АГа ~ АГД<р.
Знак этого произведения будет положительным, в том случае, когда напра-
вление угла Дер совпадает с направлением действия пар (например, на
фиг. 19 в том случае, когда угол а увеличивается).
Итак, момент любой из двух пар можно принять за обобщенную силу,
а взаимный поворот обоих элементов — за соответствующее перемещение.
Рассмотрим еще пример, показанный на фиг. 20. Пусть элемент 1
Фиг. 19
Фиг. 20
повернулся по часовой стрелке на угол а, а элемент 2 — на угол ₽. Тогда
суммарная работа обеих пар выразится так:
+ ЙЛ1а —Л4₽ = Л1(/га —= Л- = 2М ( k“~ М -
Эту формулу можно преобразовать бесконечным множеством спосо-
бов.
В любом из получаемых выражений первый множитель можно счи-
тать обобщенной силой, а второй —соответствующим обобщенным пере-
мещением.
Из этих примеров видно, что обобщенные силы могут иметь различ-
ную размерность, например, кг или кгм и т. д.; в соответствии с этим
могут быть различны и соответствующие перемещения, произведение же
обобщенной силы на обобщенное перемещение всегда имеет одну и ту же
размерность — размерность работы.
§ 3.2. ТЕОРЕМА О РАБОТЕ «СТАТИЧЕСКИ» ПРИЛОЖЕННЫХ
ВНЕШНИХ СИЛ
Статическим способом приложения нагрузки мы будем называть
такой постепенный, плавный, спокойный процесс приложения нагрузки,
при котором тело деформируется без заметных ускорений. Строго го-
26
воря, статическим будет такой процесс, при котором деформация совер-
шается бесконечно медленно; практически же процесс можно считать ста-
тическим при условии, когда силы инерции перемещаемых масс ничтожно
малы по сравнению с прочими силами. В этом случае можно игнори-
ровать силы инерции, следовательно, считать, что в любое мгновение (не
только после наступления покоя, но и во время самого процесса деформи-
рования тела) внешние силы уравновешиваются внутренними упругими
силами.
Исходя из такой предпосылки и опираясь в то же время на условие
линейной зависимости между перемещениями и силами, мы неизбежно
придем к выводу, что в течение того времени, когда происходит дефор-
мирование тела, внешняя сила не может оставаться постоянной. Нараста-
ние деформаций свидетельствует о нарастании силы. В перво на-
чальный момент сооружению передается лишь ничтожно малая часть
нагрузки. Постепенно доля нагрузки возрастает, и в прямой пропорции с
ее ростом возрастает и деформация. Когда вся нагрузка передастся со-
оружению и дальнейшее нарастание ее прекратится, тогда и деформация
перестанет нарастать и наступит состояние покоя.
То же самое можно еще высказать так: в начальный момент дефор-
мация равна нулю; следовательно, по закону Гука и сила, воспринимае-
мая телом, равна нулю. Когда деформация составляет — от окончатель-
1
нои, то это свидетельствует о том, что и нагрузка составляет только ур от
окончательной, и т. д.
Отсюда очевидным образом вытекает следующий вывод: если тело,
яе имеющее начальных напряжений, подвергается статическому действию
обобщенной силы Р и получает обобщенное перемещение, окончательная
величина которого равна Д, то работа, затраченная на деформирование
тела, не будет равна РД, а будет меньше этого произведения.
Обозначим переменное значение внешней силы через X, а перемен-
ное значение соответствующего перемещения — через X. При бесконечно
малом приращении деформации работа выразится произведением
dV = XdK
Но по закону Гука перемещение пропорционально силе; это может
быть записано в виде
Х = Мп
где оп — перемещение, вызываемое силой X == 1.
Отсюда
или dV—^XdX;
V=8n =
О
По условию задачи окончательное перемещение равно Д, т. е
Х;1 р=д. Подставив это выражение в полученную формулу, мы можем
выразить работу V тремя способами:
^ = -2~ = ^" = 4-- (2-2)
Итак, при статическом действии силы на упругую систему, не нагру-
женную другими силами и не имеющую начальных напряжений, работа
выражается полупроизведением окончательного значения этой силы на
27
окончательное значение соответствующего перемещения. Полученный вы-
вод носит название теоремы Клапейрона.
Она справедлива для любой линейно деформируемой системы. Если
материал идеально упруг, но сама система не является линейно деформи-
руемой, то теорема неприменима.
Ввиду важности этой теоремы докажем ее другим, графическим
способом. Будем откладывать на оси ординат значения силы X, а на оси
абсцисс — значения соответствующего перемещения (фиг. 21).
Для упругой системы связь между этими двумя переменными выра-
жается прямолинейным графиком ОА. Элементарная работа силы выра-
жается площадью заштрихованной полоски, равной Xd\ а суммарная
работа — площадью треугольника ОАВ, которая, очевидно, равна -^-РД.
□ Если бы речь шла о системе деформируемой, но не упругой, то
график выглядел бы иначе, например, .как на фиг. 22, а работа выразилась
Фиг. 21
Фиг. 22
бы заштрихованной криволинейной площадью ОАВ. Очевидно, что и в
этом случае мы получили бы У<РД, но уже нельзя было бы утверждать,
что V == ~ Р±. В общем случае получилось бы \7=аР&, где а — неко-
торая правильная дробь, зависящая от значения Р.
В обычных упруго-пластических материалах деформация X растет
быстрее, чем сила Р; кривая ОА на фиг. 22 оказывается обращенной вы-
пуклостью вверх, поэтому а>—. □
Интересно выяснить, как выражается работа деформаций упругого
тела в случае статического действия нескольких обобщенных сил. Пусть
на тело действуют простые или обобщенные силы Р2, •. •, Рп. Обозна-
чим окончательные значения соответствующих им суммарных перемеще-
ний через Дп Д2,..., Дп. Если, например, балка (фиг. 23) нагружена
вертикальными силами Р^ Рз и парой Р4, то через Д! мы обозначим'
прогиб под силой Рь вызванный всеми внешними силами; через Д, —
угол поворота сечения В, вызванный опять-таки всей нагрузкой, и т. д.
Легко показать, что
(3.2)
т. е. что суммарная работа внешних сил равна полусумме произведений
из окончательного значения каждой силы на окончательное значение со-
28
ответствующего ей суммарного перемещения. Проще всего это можно до-
казать, (представив себе, что все силы прилагаются одновременно и притом
нарастают от нулевого до окончательного значения, сохраняя между собой
одну и ту же пропорцию. Иначе говоря, в процессе нарастания нагрузки
мы имеем силы-ip, рР2,..., где р.— правильная дробь, постепенно
возрастающая от значения р = 0 до р — 1. Единственной переменной
будет величина р, поэтому доказательство будет точным повторением до-
казательства, данного выше.
Фиг. 23
Ниже мы увидим, что сделанное нами предположение об одновре-
менном приложении всех сил не имеет никакого значения: суммарная
работа не зависит от последовательности приложения внешних сил.
□ § 4.2. ПРИМЕРЫ
Пример 1. Вычислить работу продольной силы Р, действующей на стержень по-
стоянного сечения F, имеющего длину I (фиг. 24).
В данном случае
Л = ЁЁ или Р “ ~Т~ Л-
Отсюда
, РД РЧ EF№
V 2 ~~ 2EF ~ 21 *
Пример 2. Определить .работу двух продоль-
ных сил Pi и Р?> действующих на стержень так,
как показано на фиг. 25.
Вертикальное перемещение точки А
л „ (pi + рг)я .
вертикальное перемещение точки В
^2 = ^ + -^-; +
следовательно;
(Pi + Ра) я I р Г (Pi 4-P2)« I P^b 11
V ~ 2 p ------H | ==
= [aP? + (a + b) Pl + 2аРгР2]. □
§ 5.2. РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ ПЛОСКОЙ УПРУГОЙ
СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Когда упругое тело подвергается действию внешней нагрузки, то
работу совершают не только внешние силы, но также внутренние, которые
развиваются во всех деформируемых элементах. Эту последнюю работу
мы и определим. Ограничимся выводом формулы, относящейся к плоским
29
стержневым системам, притом таким, которые содержат стержни только
прямые, лом’аные или слабо искривленные.
Рассмотрим для примера элемент длины ds растянутого стержня
(фиг. 26). Приложим к его крайним поперечным сечениям продольные
силы У, вызывающие в нем растяжение. При удлинении стержня они
ds
Фиг. 26
совершают положительную работу. Эти силы можно рассматривать как
внешние по отношению к элементу ds.
Внутренние силы, распределенные по всему объему элемента ds,
всегда противятся деформации, вызывае-
мой внешними силами. Они направлены
в сторону, противоположную деформа-
ции. Благодаря этому суммарная работа
внутренних сил при загружении тела, не
имеющего начальных напряжений, всегда
отрицательна.
Если при статическом загружении
элемента ds нормальное усилие, равно-
мерно распределенное по сечению, достиг-
ло величины У, то удлинение элемента
(положительное или отрицательное) бу-
дет равно
Nds
~EF~~ ’
где F — площадь поперечного сечения
стержня.
Так как в рассматриваемом процессе
сила постепенно возрастает от нуля до
значения /V, то полная работа внутренних
сил в пределах элемента выразится фор-
мулой
Nds _ N?ds
EF “ <1EF ’
Если элемент ds подвергается изгибу (фиг. 27), то оба крайних его
30
сечения в результате деформации перестают быть параллельными между
собой и поворачиваются друг относительно друга на некоторый бесконечно
малый угол dy. Из элементарного курса сопротивления материалов
известно, что этот угол выражается разделенной на жесткость EJ пло-
щадью соответствующего участка эпюры изгибающих моментов, т. е.
Mds
~ЕГ
Совместная работа обеих пар выражается произведением
Mdy AT-ds
2~ 2ЁГ ‘
Если элемент длины стержня ds подвергается действию касатель-
ных напряжений т, возникающих при изгибе, то внутренние сдвигающие
силы также совершают работу. В любой полоске, которая параллельна
нулевой линии х — х (фиг. 28) и имеет площадь dF, действует при этом
в плоскости сечения сдвигающее напряжение
где S — статический момент вышележащей (или нижележащей) части
сечения относительно оси х - х. Взаимный линейный сдвиг двух соответ-
ствующих полосок, взятых на обоих торцах (ЛВ и А'В') элемента ds,.
будет
ids
-Q- ,
где G — модуль упругости второго рода.
Отсюда следует, что полная работа сил сдвига на протяжении эле-
мента ds при постепенном возрастании этих сил выразится произведе-
нием
‘ ~ds ds
'dF-2Q- = —V5
Q2ds Г 5- &ds
2GJX* ) x* И ‘2GF ’
где
11 “
(4.2)
31
Нетрудно видеть, что н есть отвлеченное число, которое не зависит
ни от внешней нагрузки, ни от величины поперечного сечейия, а зависит
исключительно от формы последнего.
Для прямоугольного сечения со сторонами а и h можно написать
£7 1. I С Д ( № -2 \
F = ап; х = а\ Jx = -у2- ; о ----z ) ’
следовательно:
h
+ 2
2
Для кругового сечения
Для прокатных двутавровых профилей можно приближенно принять
F
Н = >
rs
где fs — площадь стенки.
Работы, произведенные нормальными силами N, изгибающими момен-
тами М и поперечными силами Q .в стержне с прямой или ломаной осью,
можно вычислить порознь и затем 'сложить. Действительно, при удлине-
нии, вызванном силами N, сечения элемента ds остаются параллельными
между собой, а потому пары М не производят работы. При взаимном
повороте сечений, вызванном этими парами, расстояние между центрами
тяжести этих сечений не изменяется (вернее, изменяется на бесконечно
малую величину высших порядков), поэтому нормальные силы N не про-
изводят работы. Наконец, при действии 'касательных напряжений
(фиг. 28) крайние сечения элемента ds остаются параллельными между
собой и сближаются на бесконечно малые высших порядков, поэтому
ни М, ни N не совершают работы.
Чтобы получить полную работу внутренних сил, нужно просуммиро-
вать элементарные работы на протяжении всей системы. Эта суммарная
работа, взятая с обратным знаком, носит название «потенциальной энер-
гии» упругого тела. Обоснование этого термина будет дано в § 8.2. Для
плоской стержневой системы потенциальная энергия выражается следую-
щей формулой:
Интегралы, входящие в состав этой формулы, являются определен-
ными, хотя и написаны здесь без указания пределов.
Совокупность интегралов, стоящих под знаком каждой из трех сумм,
простирается на все элементы стержневой системы.
Для пространственной стержневой системы получается аналогичная
формула, но содержащая три момента (два изгибающих и крутящий) и
две поперечные силы. Более сложный вид имеет формула работ внутрен-
них сял для упругого тела любой формы.
Как видно из формулы (5.2), в которой под знаками интегралов стоят
квадраты М2, №, Q2, потенциальная энергия всегда положительна:
W >0.
32
§ 6.2. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О РАБОТЕ ВНЕШНИХ
И ВНУТРЕННИХ СИЛ
В двух предыдущих параграфах были выведены формулы для работ,
производимых внешними и внутренними силами на действительных пере-
мещениях. Эти выражения обладают особенностью, которая заслуживает
быть отмеченной.
Как видно из формул (2.2) и (5.2), работа является квадратичной
функцией внешних илн внутренних сил. Умножение нагрузки на произ-
вольное число п влечет за собой умножение деформаций на то же самое
число п, а потому умножение работы — на /г2; работа не пропорциональна
нагрузке. Отсюда следует, что работа сил, вызывающих деформацию тела,
не подчиняется принципу независимости действия сил. Совместная работа,
произведенная несколькими нагрузками, не равна сумме тех работ, кото-
рые могли бы быть произведены каждой нагрузкой в отдельности.
Причину этого явления, которое на первый взгляд представляется
неожиданным, легко понять из самого простого примера. Рассмотрим два
случая растяжения стержня: силой Р и силой Р + Q (фиг. '29).
В первом случае работа
Во втором случае
lz_ P+QH _ , Q2/ , PQI
v “ 2EF ~~ 2EF 2EF EF ’
Первые два члена, стоящие в правой части
второй формулы, представляют собой раздель-
ные работы обеих сил. Что же представляет
собой третий член? Каков его физический
смысл? Представим себе, что сначала подей-
ствовала сила Р; она совершила работу
После того как наступило равновесие, начи-
нает действовать сила Q. Она вызывает доба-
QI
вочное удлинение стержня, равноеи совер-
О2/
шает работу Однако благодаря этому
добавочному удлинению точка приложения
силы Р смещается на причем сила Р, пол-
P+Q
ностью воспринятая стержнем еще до появле-
ния силы Q, уже не изменяется. Поэто-
му сила Р совершает дополнительную работу,
п .Ql Р Q/
равную а ие-у • . Таков смысл третьего члена.
Появление каждой новой натр узки вызывает смещение точек прило-
жения всех, нагрузок, появившихся раньше, и заставляет эти нагрузки
произвести дополнительную работу.
Вот почему суммарная работа отдельной силы зависит от остальных
сил.
□ Только в том случае, когда перемещение по направлению одной
силы, вызванное действием другой силы, равно нулю, совместная работа
обеих сил отвечает закону независимости.
3—И. М. Рабинович
33
Такой же результат получается при совместном действии нескольких
групп сил в том частном случае, когда работа каждой группы, вызванная
действием любой из остальных групп, равна нулю.
На фиг. 30, показан пример такой нагрузки: горизонтальная сила Рь
приложенная к стержню АВ, не вызывает перемещений по направлению
силы Р2, а вертикальная сила Рз не вызывает перемещений
по направлению силы Рь
Отметим еще одно интересное свойство работы сил на
действительных перемещениях: величина работы зависит от
степени жесткости или податливости тела. Одна и та же на-
грузка, будучи приложена к весьма жесткой системе, произ-
ведет малую работу, а действуя на весьма податливую, про-
____ изведет большую работу. Например, работа растягивающей
— 1 силы Р, приложенной к стержню (фиг. 29), прямо пропор-
циональна длине I и обратно пропорциональна произведе-
нию EF. Введение дополнительных связей, вообще говоря,
уменьшает действительную работу внешних и внутренних
рг сил, а устранение связей, наоборот, увеличивает ее.
Фиг. 30 Так, например, при одной и той же нагрузке работа
получит для балки с опертыми концами большее значение,
чем для той же балки с защемленными концами [J.
§ 7.2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
В ПРИМЕНЕНИИ К УПРУГИМ СИСТЕМАМ
Будем рассматривать упругую систему, находящуюся в состоянии
равновесия, и примем это состояние за исходное или начальное. Пред-
ставим себе какие-либо возможные бесконечно малые перемещения ее
точек. Под возможными мы подразумеваем такие перемещения, которые
могли бы быть вызваны произвольными бесконечно малыми силами или
температурными изменениями или перемещениями опор и т. п. Совер-
шенно необязательно, чтобы возможные перемещения вызывались теми
же силами, которые отвечают рассматриваемому исходному состоянию.
Будем считать, что в то время, когда система совершает возмож-
ные перемещения, величина и направление действительных внешних
и внутренних сил, отвечающих ее исходному состоянию, остаются неизмен-
ными. В нашем представлении все внешние и внутренние силы сохра-
няются такими же, как в начальном состоянии системы, хотя мы знаем,
что действительный переход системы в новое деформированное состояние
вызвал бы перераспределение усилий. Необходимо обратить внимание на
это существенное различие между действительным процессом деформиро-
вания системы и тем условным, воображаемым процессом перемещений,
который рассматривается при пользовании принципом возможных пере-
мещений. Попутно отметим вытекающее из этих оговорок важное след-
ствие: состояние системы, которое получится в результате «возможного»
перемещения, вообще говоря, уже не будет уравновешенным. Мы не обя-
заны заботиться о том, чтобы оно было уравновешенным, и это является
крупным достоинством принципа возможных перемещений.
Работа внешних и внутренних сил на возможных перемещениях носит
название возможной или виртуальной работы. Так как силы считаются
постоянными, то при вычислении возможной работы следует брать не
половину, а полную величину произведения каждой силы на соответствую-
щее перемещение.
Принцип возможных перемещений в применении к любой деформи-
руемой системе может быть сформулирован так: если система находится
34
в равновесии под действием приложенных к ней внешних сил, то при
всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы
(бесконечно малой деформации) сумма работ ее внешних и внутренних
сил равна нулю.
При этом предполагается, что во время рассматриваемого переме-
щения температура во всех точках системы остается без изменения.
Q Особое значение для строительной механики имеет тот факт, что
этот принцип можно распространить и на малые конечные перемещения
точек деформируемой системы — на перемещения такого порядка, кото-
рый отвечает фактической величине деформаций наших сооружений.
Законность такой экстраполяции смущала многих авторов и читателей.
Одни считали, что для малых деформаций принцип приближенно оправды-
вается, а так как в строительной механике фигурируют и некоторые другие
приближенные допущения, то можно примириться и с этим допущением.
Другие пытались доказать, что переход от бесконечно малых к конечным
перемещениям означает только изменение масштаба, а не существа. Эти
рассуждения — ошибочны, так как для конечных перемещений принцип
возможных перемещений, вообще говоря, несправедлив.
Мы, со своей стороны, считаем указанную экстраполяцию, поскольку
речь идет о наших расчетных схемах, совершенно законной и строгой.
Дело в том, что то условное качество, которым мы наделили рассматри-
ваемые схемы, а именно линейная деформируемость (ом. пп. 3 и 4
§ 1.2), устраняют какое бы то ни было различие между характером их
бесконечно малых и конечных перемещений. Например, те и другие пере-
мещения прямолинейны, имеют одни и те же направления, одну и ту же
относительную величину и т. д. Неточность состоит не в том., что мы рас-
пространяем приницип на малые конечные перемещения, а в том, что мы
считаем деформированную систему подчиняющейся тем же линейным
соотношениям между силами и деформациями, что н недеформированная.
Распространяя принцип возможных перемещений на перемещения такой
системы, мы не вводим никаких новых допущений сверх тех, которые
были введены раньше. □
Принцип возможных перемещений имеет первостепенное значение
для всей теории упругих систем. Он дает возможность единым методом
решать труднейшие задачи об усилиях и деформациях. Формы его приме-
нения необычайно разнообразны, так как зависят от выбора возможных
перемещений. При удачном подборе последних получаются уравнения
простейшего типа, которые позволяют наиболее удобно вычислять неиз-
вестные.
Принцип возможных перемещений может быть применен к любой
системе, находящейся в состоянии равновесия: к вязкому или пластич-
ному телу, к абсолютно жесткому и т. д. Особенность применения его
к упругим системам состоит в следующем; для таких систем мы можем
считать, что вся работа внешних сил сводится исключительно к образова-
нию деформаций. Никаких других затрат работы, например, на преодоле-
ние трения, на образование и выделение тепла, на образование электро-
магнитной или химической энергии и т. п., в упругом теле не происходит;
в телах же неупругих это имеет место. Это относится в равной мере
к работе внутренних сил.
Из оказанного вытекает 'следующий важный вывод: в упругой и,
в частности, в линейно деформируемой системе суммарная работа внут-
ренних, а также внешних сил при возможных перемещениях зависит
исключительно от исходного и конечного состояний. Она не зависит от.
того, каким способом, в какой последовательности, через какие цр>омежу-:
точные стадии система перешла из начального сотояния в конечное?
з*
35
Если конечное состояние совпадает с исходным, то, каковы бы ни
были промежуточные состояния упругой системы, суммарная работа
внутренних (а также внешних) сил равна нулю.
§ 8.2. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
К ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ПЕРЕМЕЩЕНИЯМ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
Докажем следующую важную теорему: когда упругая система под
влиянием какой-либо внешней нагрузки переходит из недеформированного
состояния в деформированное уравновешенное состояние, то суммарная
работа, произведенная в этом процессе внешними и внутренними силами,
равна нулю.
Эта теорема требует особого доказательства, так как здесь речь идет
ZP о таком процессе перемещений,
г при котором силы, фигУРирую-
^щие в уравнении работ, непре-
рывно изменяются.
Для большей наглядности
рассуждений воспользуемся в
качестве примера какой-нибудь
плоской стержневой системой.
На фиг. 31 изображена упругая балка АВ, Исходное состояние ее пока-
зано сплошной линией ACDB, а конечное — пунктирной AC'D'B. Точки
С и D переходят в положения С' и D'. При этом внешние силы Р\ и Рг
совершают работу
Р^л + Рд'-ъ
2
а внутренние, — согласно формуле (5.2), работу
VT Г M2ds yi Г №ds VI Г
J 2 J 2£F 2 J 2GP ’
Требуется доказать, что оба эти выражения равны между собой по
абсолютной величине.
Рассмотрим деформированное состояние балки AC'D'B. Так как оно
является уравновешенным, то к нему можно применить принцип возмож-
ных перемещений, т. е. принять его за исходное. В качестве возможного
примем перемещение, переводящее балку обратно в недеформированное
состояние. Очевидно, что при этом внешние силы Pi и Р2 совершают отри-
цательную работу, а внутренние силы — положительную. При возмож-
ном перемещении, как мы знаем, внешние и внутренние силы прини-
маются постоянными. Приравнивая сумму виртуальных работ нулю, мы
получим
Наконец, разделим обе части этого уравнения на 2 н умножим на — 1.
В итоге мы получим то самое равенство, которое требовалось доказать.
Если бы речь шла не о плоской стержневой системе, а о произвольном
упругом теле, то работа внутренних сил выражалась бы не форму-
лой (5.2), а другой, но ход доказательства остался бы тот же: попреж-
нему действительная работа внешних и внутренних сил составляла бы
половину рассматриваемой виртуальной. Поэтому теорема справедлива
для любого упругого тела.
36
Из доказанного следует, что действительная работа внешних сил
равна и противоположна действительной работе внутренних.
Можно сказать, что работа, затраченная внешними силами, накапли-
вается в упругом теле в виде работы деформации. Если мы начнем
постепенно уменьшать нагрузку, то деформированное тело начнет посте-
пенно распрямляться, перемещая тем самым оставшуюся нагрузку и со-
вершая таким образом работу. Так, например, если на балке АВ (фиг. 32)
стоит несколько гирь, то, как только мы сдвинем с нее одну из гирь, балка
несколько выпрямится и приподнимет остальные. Вот почему работа
внутренних сил, взятая с обратным знаком, называется! потенциальной
энергией. Она является мерилом работоспособности деформированного
тела. Она выражает собой тот запас работы, который мы можем вернуть
после разгрузки упругого тела, подобно тому, как, например, часовая
пружина возвращает постепенно ту работу, которая затрачена на ее завод.
Поэтому говорят, что работа внешних сил накапливается в упругом теле
в обратимой форме. Она не пропадает и не рассеивается.
Фиг. 33
Фиг. 32
Таи как данное здесь доказательство теоремы основано на принципе
возможных перемещений, то можно сказать, что в статике упругого тела
закон сохранения энергии является частным случаем более общего прин-
ципа возможных перемещений.
Мы уже отмечали, что действительная работа внутренних сил упру-
гого тела, не имевшего начальных напряжений, всегда отрицательна.
Отсюда следует, что действительная работа внешних сил, или потенциаль-
ная энергия, всегда положительна.
Для плоской стержневой системы потенциальная энергия выражается
через внутренние усилия формулой (5.2).
Проверим на двух примерах соотношение между действительными
работами внешних и внутренних сил.
На фиг. 33 показана консольная балка АВ постоянного сечения,
нагруженная на конце В парой сил с моментом т. Эпюра изгибающих
моментов имеет вид прямоугольника с высотой т. Угол поворота на конце
равен площади этой эпюры, разделенной на жесткость балки, т. е.
ml а - т<9н пР1
— поэтому действительная работа внешних сил paiBHa (—- = - .
Работа внутренних сил, взятая с обратным знаком, выражается интегра-
лом
г
С M2dx
J 2EJ ’
где М — изгибающий момент в сечении с абсциссой х. Но в данном случае
М — m = const, следовательно:
i
ту__ С m?dx т?1
V~'}^ET “ 2£V *
о
37
Итак, обе работы по Абсолютной величине равны между собой.
На фиг, 34 верхняя схема изображает балку и ее нагрузку, а ниж-
няя — эпюру изгибающих моментов. Как -известно, если игнорировать
влияние касательных напряжений на упругую линию, то прогиб под гру-
зом -выражается формулой
г РР
J 48EJ ’
следовательно, работа внешней силы
Р/
2 = 96 EJ
Р
Фиг. 34
Если игнорировать влияние названных напряжений, т. е. принять
Q ~ 0, то по абсолютной величине работа внутренних сил выражается
формулой
I 1
ООО
„ р2/3
” 96EJ ,
т. е. опять обе работы по абсолютной величине друг другу равны.
Если бы мы произвели вычисления, приняв во внимание перерезы-
вающие силы, то получили бы более точные выражения, но убедились бы
снова, что обе работы взаимно равны.
‘ § 9.2. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ РАБОТ
Пусть даны два различных состояния какой-либо линейно деформи-
руемой системы, отвечающих двум различным нагрузкам. Обозначим
нагрузки, а также внутренние усилия и Деформации, соответствующие
этим двум состояниям, номерами / и 2 Будем считать, что в обоих слу-
чаях система находится в равновесии, т. е. внешние силы уравновеши-
ваются внутренними.
Рассмотрим состояние системы, находящейся под совместным дей-
ствием обеих нагрузок. Представим себе, что в первую очередь на нена-
груженную систему начала постепенно действовать нагрузка 1. От этой
причины система получила деформацию, а сама нагрузка произвела
38
работу, которую мы назовем Vn. После того как этот процесс нагружения
закончился, на систему начала постепенно передаваться нагрузка 2, кото-
рая вызвала соответствующую дополнительную деформацию. Работу этой
нагрузки назовем V22. Нагрузка 2, вызвав дополнительную деформацию,
не только сама совершает работу, но, сместив точки приложения на-
грузки 1, тем самым вовлекает ее вторично в работу. Обозначим работу,
произведенную внешними силами 1 на тех перемещениях, которые выз-
ваны нагрузкой 2, через V12. Суммарная работа внешних сил выразится
алгебраической суммой
I/ц Ц?2 + ^12*
Во всех трех членах первый индекс указывает, какие силы совер-
шают работу, а второй — под влиянием каких сил это происходит.
Рассмотрим таким же образом другую возможную последователь-
ность загружена я, т. е. такую, при которой сначала появляется на-
грузка 2, а потом — 1. Суммарная работа внешних сил выразится алгеб-
раической суммой
+ V11 + ^21,
где V21 —работа внешних сил 2, совершаемая под влиянием сил 1.
Суммарная работа внешних сил в каждом из этих двух случаев равна
работе внутренних сил, взятой с обратным знаком, или потенциальной
энергии. Последняя, как мы знаем, не зависит от порядка загружения
упругой системы, а определяется лишь исходным и конечным состояниями.
Но в обоих рассмотренных процессах исходное состояние одно и то же,
а именно — незагруженное; конечное состояние также одинаковое,
а именно — загруженное обеими нагрузками. Следовательно, работы
•в обоих случаях равны между собой:
V11 + V22 +. ^12 — ^22 гЕ ^11 .тЕ ^2Ь
Отсюда
- v21. (6.2)
Мы получили простейшее доказательство так называемой теоремы
взаимности работ: в линейно деформируемом теле возможная работа
внешних или внутренних сил состояния 1 на перемещениях состоя-
ния 2 равна возможной работе внешних или внутренних сил состояния 2
на перемещениях состояния < Теорема взаимности работ известна в лите-
ратуре под 1нааванием теоремы Бетти.
Эта прекрасная теорема является одной из наиболее замечательных
во всей теории линейно деформируемых систем, настолько она проста по
формулировке, глубока по содержанию и всеобъемлюща своим при-
ложениям. Какова бы ни была сама система, как :бы различны ни были
нагрузки и деформации обоих состояний, внутренняя природа линейно
деформируемого тела такова, что взаимность работ всегда и неизбежно
должна осуществляться.
§ 10.2. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
Пример 3. Стержень АВС (фиг. 35) в состоянии 1 нагружен продольными силами
Р и Q, приложенными в сечениях А н С, а в состоянии 2 — продольной силой R, прило-
женной в сечении В. Проверить теорему взаимности работ.
1 Несколько расширенную формулировку той же теоремы см. в «Лекциях ио строн
тельной механике» проф. А. А. Уманского, вып. 1, 1939, стр. 82.
39
Подсчитаем работу внешних сил состояния 1 на перемещениях состояния 2. Для
этого будем умножать силы состояния 1 на соответствующие перемещения состояния 2.
В последнем состоянии перемещения таковы:
точки А
Ra
~EF ’
точки С
R(a + b)
EF ’
Отсюда
+ Q (Ра+ Qa+ Qb).
Для подсчета работы V21 нужно умножить силы состояния 2 на соответствующие
перемещения состояния /. Перемещение точки В состояния 1 равно сумме удлинений
двух верхних участков стержня, т. е.
(P+Q)a , Qb
EF • ЕЕ •
Отсюда
(Р+ Q)a
EF
Q»1
EF
^(Pa + Qa + Qby
т. е.
Задача №
для состояний
показанных на
Ответ:
V12 = v21.
/. Проверить теорему взаимности работ
консольной балки постоянного сечения,
фиг. 36.
v„=vn
PqF
8EJ
у т/м
1
MllllllllllllllllllllfflllllllllllllllHIIHllllllllllll1
Фиг. 36
Задача № 2. Из-
вестно, что от действия
поезда, стоящего на про-
летном строении (фиг..
37), подвижной конец А
переместился влево
(вследствие удлинения
нижнего пояса) на
3,5 мм.
Приложим к тому
же концу горизонталь-
ную силу в 4 т( направ-
ленную вправо.
40
Вследствие укорочения нижнего пояса, вызванного этой силой, ферма получит дефор-
мацию; углы а, Р ит. д. уменьшатся, и нижний пояс станет ломаным. Какую работу
совершит при этом вес поезда, стоящего на мосту?
Ответ: — 1 400 кгсм.
§ 11.2. ВИДОИЗМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ РАБОТ
ДЛЯ СИСТЕМ, НЕ ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ ОБОБЩЕННОМУ
ЗАКОНУ ГУКА
□ Представим себе такую систему, которая характеризуется криво-
линейной или ломаной зависимостью между силами и перемещениями,
а во всем остальном не отличается от установленного выше условного,
идеально упругого тела. Она не 'имеет остающихся деформаций и преобра-
зовывает работу внешних сил исключительно в работу деформаций.
Никаких потерь работы на трение и т. л. здесь не происходит, поэтому
работа внешних сил превращается полностью в потенциальную энергию
в обратимой форме.
Работа внешних или внутренних сил при переходе системы из одного
нагруженного состояния в другое зависит исключительно от этих двух
состояний, но не от промежуточных. Если деформированное состояние не
зависит от последовательности приложения нагрузок, то и потенциальная
энергия не будет от этого зависеть. Что же касается закона независи-
мости действия сил, то он к такой системе неприложим вследствие отсут-
ствия линейной связи между силами и деформациями.
Интересно выяснить, в какой мере сохраняется при этих условиях за-
кон взаимности работ. Рассмотрим снова две различные последователь-
ности загружения системы. Обозначим через Ун, V22— работы сил пер-
вой и второй групп при условии изолированного действия каждой из них;
через Vn — работу сил первой группы, действующей на систему, которая
уже нагружена силами второй группы; через V22 — аналогичную работу
второй группы при наличии первой; через Vi2 и V21 — работу сил одной
группы, вызванную последующим постепенным приложением сил другой
группы.
Таи как потенциальная энергия не зависит от порядка приложения
сил, то
Vu + V22 + V12 = V22 + V11 + V2P
(7.2)
или
(- i/n) - (v22 - i4) = V2t - Vt2.
Таким образом в системах разбираемого нами типа шесть величин —
Уц, Vib V22, V22, V12 и V2i — всегда связаны между собой тождеством
(7.2), но работы Vi2 и У2ъ вообще говоря, уже не равны между собой.
Если мы обратимся к таким системам, в которых часть работы внеш-
них сил затрачивается на преодоление трения и тому подобных неупругих
сопротивлений, то для них и подавно найдем, что величины V12 и V2i не
равны между собой.
Принцип взаимности работ выдвигает те статически неопределимые
системы, которые являются линейно деформируемыми, на особое место
и позволяет построить для них особенно простую теорию расчета Ч □
1 Попытки распространения теоремы взаимности работ и других аналогичных соот-
ношений на тела, не подчиняющиеся закону Гука, имеются в статьях: проф. В. Ново-
дворского «Обобщение теорем строительной механики о работе деформаций для
любой зависимости между силами н координатами», «Вестник инженеров и техников»
№ 8, 1931, стр. 363 н проф. Н. И. Безухова «Основы теории сооружений, материал
которых не следует закону Гука», «Труды Московского автодорожного института», сбор-
ник № 4, 1936. О применении принципа взаимности в других областях механики и
в физике см. книгу В. В. Фурдуева «Теоремы взаимности», Гостехиздат, 1948.
41
§ 12.2. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рассмотрим два простейших нагруженных состояния упругой системы.
Чтобы не сужать общности рассуждений, ограничимся самым схематиче-
ским чертежом, без указания вида сооружения и расположения его опор.
На фиг. 38 одна и та же система показана в двух состояниях. Первая
нагрузка состоит из силы Pj = 1, а вторая — из силы Р2=1. Сила
Р\ = 1 направлена по прямой 1—1 и приложена в точке А; сила Р2 = 1—
по прямой 2—2 и приложена в точке В.
Под действием силы Р\ = 1 точка В переместилась в положение В';
проекцию этого перемещения на направление силы Р2, т. е. на прямую
2—2, назовем В21. Первый индекс показывает, в каком месте и по какому
направлению берется рассматриваемая проекция перемещения; второй
индекс показывает, от какой причины происходит это перемещение.
Под действием силы Р2 = 1 точка А перемещается в положение А".
Проекция этого перемещения на направление силы Pi обозначена через В12
(«перемещение точки приложения силы Pi по направлению той же силы,
вызванное действием силы Р2 = 1»).
Необходимо хорошо уяснить себе и хорошо запомнить смысл таких
обозначений, как о12, о2ь и т- так как без них в современной тео-
рии статически неопределимых
систем почти невозможно сде-
лать и шагу.
На основании теоремы вза-
имности работ можно прирав-
нять возможную работу внеш-
них сил первого состояния на
перемещениях второго состоя-
ния виртуальной работе сил второго состояния иа перемещениях первого.
В одном случае сила берется из верхнего чертежа, а соответствующее
перемещение — из нижнего; в другом случае — наоборот. Таким образом:
М12 = 1.321 или &12 = &21, (8.2)
т. е. перемещение точки приложения первой силы по ее направлению,
вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению точки
приложения второй силы по направлению последней, вызванному дей-
ствием первой единичной силы.
Теорема эта, хотя и является лишь частным случаем теоремы о взаим-
ности работ, имеет большое значение для расчета упругих систем; она
носит наз1вание теоремы Максвелла.
Читатель, интересующийся вопросом, в какой степени свойства упру-
гого тела, полученные теоретическим путем, отвечают действительности,
легко может произвести экспериментальную проверку теоремы взаим-
ности перемещений, пользуясь современными измерительными приборами
(прогибомерам-и или так называемыми мессурами, а также клиномет-
рами). t
Стоит взять любое тело из достаточно упругого материала (балку,
пластинку и т. и.), нагрузить его два раза тщательно протарированными
нагрузками и сравнить величины В12 и &21. Точно таким же путем можно
проверить и теорему взаимности работ.
§ 13.2. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
П Пример 4. Вычислить перемещения В12 и В21 для стержня, показанного на фиг. 39.
Прежде всего необходимо приучить себя к обозначениям перемещений. На левом
чертеже перемещение точки В должно быть обозначено через В81 , а на правам —
перемещение тачки А — через 5]2. Кроме того, полезно заметить также перемещения,
обозначенные на чертежах через Вц и Ва2, которые понадобятся впоследствии.
Перемещения вида Вц, 622 и т. д.. т. е. содержащие в своем обозначении два
одинаковых индекса, называются главными, вида В21 н т. д. — побочными.
Ответ;В12 = 321 = .
Пример 5. На фиг. 40 требуется разобраться в обозначениях и вычислить
812 и 5si Балка АВ имеет постоянное поперечное сечение.
Первая нагрузка состоит из силы Pi = 1, а вторая — из двух пар с моментами
^2=1, т, е. обе обобщенные силы имеют различную размерность. Через &12 сле"
дует обозначить прогиб в точке С, вызванный действием пар М2 = 1, а через S31 —
угол взаимного поворота концов, вызванный действием силы Pi = 1.
Легко убедиться, что
й —й - /2
—°21 “ -
Задача № 5. Через точку А упругой системы проведены две прямые 1—1 и 2—2,
а в некоторой точке В той же системы приложена сила ?з = 1 (фиг. 41), По данным
перемещениям В1а и точки А найти величину и направление ее полного переме-
щения, вызываемого силой Рз = 1.
Полное перемещение А не является геометрической суммой перемещений ?4S и
а строится следующим образам: из концов векторов В13 н восставляются к ним
43
F
перпендикуляры и на пересечении последних находится конец вектора Д. Действительно,
проекциями этого вектора на направления /—1 и 2—2 служат данные векторы В18 и &33,
как это и должно быть согласна принятым нами обозначениям. □
§ 14.2. ЗАМЕЧАНИЕ О РАЗМЕРНОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Теорема о взаимности перемещений: S)2 — S21 —справедлива не
только тогда, когда силы Pi — 1 и Р2 = 1 являются сосредоточенными
силами, но и в том случае, когда речь идет о каких угодно двух обобщен-
ных силах. Но различным обобщенным силам соответствуют различные по
своей размерности обобщенные перемещения. Может возникнуть вопрос,
что означает в таком случае равенство 812 = В21 : не являются ли обе
части этого равенства разнородными величинами?
Так, например, при взгляде на фиг. 40 может показаться, что 321
есть угол поворота, а В12 есть вертикальное перемещение.
Это кажущееся противоречие отпадает, когда мы принимаем во вни-
мание то, что каждое из этих перемещений является удельным переме-
щением, т. е. что оно вызывается обобщенной силой, имеющей не произ-
вольное, а непременно единичное значение. С такими величинами мы уже
встречались в теории линий влияния. Размерность перемещения 312
такова:
I
обобщенное перемещение
обобщенная сила
(9.2)
Числитель имеет размерность перемещения, а знаменатель — размер-
ность той силы, которая .вызвала эго перемещение.
Например, если обобщенная сила Pi есть сосредоточенная сила,
а Р2—.пара, то В12 есть перемещение по направлению силы Pi,* деленное
на момент пары, т. е.
л см .
о12 —------= кг-1.
12 кгсм
Перемещение 621
ное на силу, т. е.
есть перемещение по направлению пары делен-
'22
g __ угол __ 1
----------rt с
сила
Следовательно, оба перемещения имеют одинаковую размерность.
Точно так же определяется размерность перемещений вида Sn, В22
и т. д. Так, например, на фиг. 40
Зи = ; о22 = —угол— = (кгсм)-1.
11 кг ’ 22 момент v 7
Кроме удельных перемещений,' в строительной механике приходится
рассматривать перемещения, вызванные любой (не единичной) силой или
группой сил. Эти перемещения мы будем обозначать через Д1р, Д2р
и т. д. В отличие от удельных перемещений они имеют размерность, выра-
жающуюся числителем формулы (9.2).
§ 15.2. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИИ КАК ЛИНИИ ПРОГИБОВ
Пусть требуется построить линию влияния какого-либо перемеще-
ния В12, т. е. найти закон изменения этого перемещения при условии, что
сосредоточенная сила Р2=1, сохраняющая постоянное направление,
передвигается по сооружению. Например, на фиг. 42 геометрическим
<4
местом точек приложения силы Р2 служит некоторая линия MN. Требуется
найти проекции перемещений точки А на заданное направление 1—1.
Из равенства д12 = 321 вытекает, что задачу о разыскании перемеще-
ний 8,2 можно заменить задачей о разыскании величин &2t.
Отсюда следует замечательная теорема: линия влияния перемещений
о]2 всегда совпадает с графиком, который выражает перемещения точек 2
по направлению Р2, вызываемые силой Р\ = 1, приложенной в непод-
вижной точке /.
В практике расчета со-
оружений приходится чаще
всего иметь дело с движу- д/ /х \
щейся вертикальной силой, ___ь 1 / / )
т. е. строить л. в. перемеще- / fa /
ний точки 1 по заданному! аг / /
направлению Л которые вы- \ / /
зываются вертикальной си-
лой Р2 = 1. Тогда график 821 ----------------—
будет выражать собой вер- фиг> 42
тикальные проекции переме-
щений точек 2, вызываемых
неподвижной силой = которая имеет заданное направление 1,
Вертикальные перемещения обычно (хотя и неточно) называют
прогибами, поэтому предыдущую теорему можно короче выразить так:
л. в. перемещений какой-либо, заданной точки 1 по заданному направле-
нию, вызываемых движущейся вертикальной силой Р2 — 1, есть линия
прогибов в точках 2, отвечающая загружению системы неподвижной силой
Pi = 1. Заметим, что в той формулировке, которая дана выше, под силой
Pi можно понимать не только сосредоточенную силу, но любую обобщен-
Фиг. 43
Такой же общий харак-
тер имеет следующая теоре-
ма, которую ©виду ее очевид-
ности приводим без доказа-
тельства: л. в. перемещений
312 , вызванных движущейся
единичной парой Р2 — 1, сов-
падает с графиком углов по-
ворота которые возни-
кают от неподвижной об-
общенной силы Р\ — 1, при-
ложенной в точке 1.
Изложенные .здесь теоре-
мы относятся ко всем линей-
но деформируемым систе-
мам— фермам, балкам, ра-
мам, плитам и т. д.
Так, например, л. в. угла
поворота 812 правого конца балки (фиг. 43, а) совпадает с линией про-
гибов балки, вызываемых моментом = 1 (фиг. 43, б). Линия влияния
прогибов в точке С балки (фиг. 43, а) совпадает с линией прогибов, вызы-
ваемых неподвижно стоящим в точке С грузом Р& = 1 (фиг. 43, в).
Представить себе линию прогибов, вызванную единичным неподвиж-
ным грузом, (гораздо легче, чем представить себе закон изменения той
или иной величины под действием движущегося груза. Теорема взаим-
45
ности перемещений придает линиям влияния наглядность и позволяет без
вычислений сразу представить себе их очертание; в этом — одно из ее
основных достоинств.
Заметим еще, что если геометрическое место точек приложения дви-
жущегося груза Р2 — 1 образует не линию, а поверхность (в простран-
ственных системах), то приходится говорить не о линии влияния переме-
щения заданной точки 1 по заданному направлению, а о поверхности
влияния. Эта поверхность совпадает с поверхностью прогибов, которая
вызывается грузом Л = 1, приложенным в точке 1 по направлению
изучаемого перемещения. Для краткости мы назвали здесь прогибом про-
екцию перемещений точек 2 на направление силы Р2.
□ Пример 6. Вычислить дву-
мя способами ординаты л. в. бц
угла поворота правого конца бал-
ки на фиг. 44.
Для прямого вычисления ор-
динат л. в. б12 ставим груз Р2 = 1
на расстоянии х от левой опоры;
строим эпюру изгибающих момен-
тов; принимаем площадь эпюры,
деленной на EJ, за нагрузку и
определяем правую фиктивную
опорную реакцию (фиг. 44, а). Она
равна
б12 = - QIEJ
Для вычисления линии про-
гибов б21 нагружаем балку парой
— 1 (фиг. 44,6), строим эпюру
моментов, принимаем ее за нагрузку и находим фиктивный изгибающий момент от этой
нагрузки в сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии х. Он равен
х(/2 —
S21 - QIEJ
§ 16.2. О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ1
□ Пусть в некоторой точке А упругого тела приложена сила Ра = 1,
которая вызывает в точке В некоторое перемещение; проекцию этого пере-
мещения на заданное направление 1—1 обозначим через Su. Требуется
выяснить, ,по какому закону будет изменяться эта проекция, когда сила
Р а будет поворачиваться вокруг точки А, оставаясь все время в одной
плоскости (фиг. 45).
Так как 8и = 8а, то мы будем искать перемещение ол, т. е. все-
возможные проекции перемещения точки А, вызываемого действием силы
= приложенной в точке В. Эта сила сохраняет свое направление не-
изменным, поэтому достаточно будет найти вызываемое ею полное пере-
мещение Д точки А. На векторе Л, как на диаметре, опишем окружность,
а из точки А будем проводить всевозможные хорды. Хорда, идущая по
направлению 2—2, очевидно, будет выражать перемещение В2| (проекцию
перемещения Д на направление 2—2); хорда, идущая по направлению
3—3,— перемещение о31 и т. д.
Отсюда мы заключаем по закону взаимности, что каждая из этих хорд
выражает собой также ту величину перемещения &1; точки В, которая
1 Здесь вкратце излагаются свойстна, более подробно указанные в работе автора
«О некоторых соотношениях между перемещениями точек упругого тела», «Труды
Московского института инженеров транспорта», вып. III, 1927.
46
получается, когда сила РА направлена параллельно этой хорде. Так как по
каждой прямой сила Р может иметь два противоположных направления,
тона продолжении диаметра Д нужно отложить вектор — Ди построить
вторую окружность. Итак, радиальная диаграмма перемещений
радиусы-векторы которой направлены параллельно силе РА, имеет вид
двух окружностей.
Если сила Ра поворачивается вокруг точки А в пространстве, то обе
окружности переходят в шаровые поверхности.
Проекция диаметра Д на касательную NN, очевидно, равна нулю.
Отсюда следует, что если РА = 1
вращается в плоскости вокруг
точки А, то всегда существуют два
таких ее направления, из которых
одно вызывает наибольшую абсо-
лютную величину перемещения
, а другое — наименьшую, рав-
ную нулю. Эти два направле-
ния всегда взаимно перпендику-
лярны.
Если сила вращается в про-
странстве, то 'всегда, существует
такая плоскость (касательная в
точке А к обеим шаровым поверх-
ностям), попадая в которую сила
Ра любого направления вызы-
вает перемещение сЦ. ==0. Оче-
видно, что при этом полное пере-
мещение Д точки В лежит в плос-
кости, перпендикулярной задан-
ному направлению 1—1.
Легко доказать, что ‘если мы
от точки В будем откладывать в
виде векторов полные перемеще-
ния Д этой точки, вызываемые
вращающейся в плоскости силой
Ра, то эти векторы будут лежать
в одной плоскости и концы их опишут эллипс с центром в точке В. Если
то же самое проделаем в случае вращающейся в пространстве силы РА,
то получим эллипсоид.
Если мы будем изучать полные перемещения самой точки А, вызывае-
мые вращающейся силой РА, то оси эллипса (эллипсоида) перемещений
этой точки укажут нам те два (три) направления силы, при которых пол-
ное перемещение совпадает с силой. Эти направления всегда 'взаимно
перпендикулярны. Когда сила РА имеет другое произвольное направ-
ление, то полное перемещение образует с ней угол, отличный от
нуля.
Через любую точку А всегда можно провести две плоскости, обладаю-
щие следующим свойством: полные перемещения точки А, лежащие в этих
плоскостях, совпадают с направлением силы РА=\ и равны между собой
по величине.
Эллипсоид полных перемещений точки А, вызываемых вращающейся
силой Рв~ 1, и эллипсоид полных перемещений точки В, вызываемых
вращающейся силой РА = 1, называются взаимными эллипсоидами.
Два взаимных эллипсоида всегда равны между собой, причем сила,
47
действующая по какой-либо оси одного из них, вызывает полное
перемещение другой точки, направленное по одной из осей другого
из них 1. □
§ 17.2. ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ РЕАКЦИЙ
Рассмотрим два состояния линейно деформируемой системы. Первое
деформированное состояние вызвано тем, что некоторая связь перемести-
лась по своему направлению на (величину, равную единице. Такую дефор-
мацию получает, например, неразрезная балка, когда одна из ее опор осе-
дает или приподнимается на величину, равную единице; при этом балка
изгибается.
На фиг. 46, а показана система, у которой опорный стержень /, изоб-
раженный сплошной линией, переместился в положение, изображенное
пунктирной линией. При этом точка А системы перешла в положение Ай
Проекция AAf на ось стержня по условию равна единице. Реакции, возни-
кающие при этом в переместившейся связи /ив некоторой другой связи
-2, обозначим через Гц и г2ь Буква г должна напоминать читателю, что
речь идет о реакции-, первый
•индекс указывает, в какой свя-
зи возникла реакция, а вто-
рой — от какой причины она
возникла.
На фиг. 46, б показана де-
формация той же системы, вы-
званная тем, что связь 2 пере-
местилась по направлению
своего действия на величину,
равную единице. Естественно,
что точка В может при этом
получить также некоторое пе-
ремещение в перпендикуляр-
ном направлении, обусловлен-
ное характером системы, рас-
положением ее опор и т. д., но
это перпендикулярное переме-
щение нас не интересует. Реак-
ции в связях 1 и 2, вызванные
указанным смещением, обозна-
чены соответственно г12 и г22. За
положительное направление
этих реакций принято направ-
г2г ление, совпадающее с единич-
ными перемещениями связей.
Воспользуемся принципом
взаимности работ: напишем,
что сумма работ внешних сил
первого состояния -на возможном перемещении, отвечающем второму
состоянию, равна сумме работ внешних сил второго состояния на пере-
мещении, отвечающем первому состоянию. При этом можно откинуть
1 О некоторых свойствах перемещений см. также, кроме вышеуказанной статьи
автора, статью проф. А. И. Сегаль «Предпосылки графического способа расчета
статическн-неопределимых рам» в сборнике № 3 «Исследования по теории сооружений»,
Госстройиздат, 1939.
48
•связи 1 и 2 и за внешние силы принять действующие в них реакции.
Тогда
гп*0 + r2i• 1 = r12*l +r2i-0 или Г12^=г21. (Ю.2)
Полученный вывод может быть сформулирован так: реакция, возни-
кающая в связи Л когда связь 2 перемещается на единицу по своему
направлению, равна реакции, которая возникает в связи 2, когда связь 1
перемещается на единицу по своему направлению.
1Каи видно из самого доказательства, теорема о взаимности реакций
подобно теореме о взаимности перемещений является частным случаем
теоремы о взаимности работ.
Принцип взаимности реакций справедлив не только для сосредоточен-
ных реакций, но и для реакций любого вида, например, для реактивных
моментов.. Он относится не только к реакциям опор, но и к реакциям
внутренних связей, например, к изгибающим моментам в любом сечении,
к поперечным силам, к усилиям
в стержнях ферм и т. д. Он
справедлив не только для
стержневых систем, но и для
любой упругой системы.
Для иллюстрации этой тео-
ремы приведем один пример.
На фиг. 47 показаны две де-
формации неразрезной балки.
Первая (фиг. 47, а) вы-
звана единичной осадкой опор-
ного стержня А. Эпюра изги-
бающих моментов, соответ-
ствующая этой деформации,
показана на фиг. 47,6. Припи-
шем опорному стержню А зна-
чок /, а произвольной точке В
оси балки — значок 2. Тогда
на фиг. 47, а реакция опорного
стержня будет Гц, а изгибаю-
щий момент в сечении В (реак-
ция той связи, благодаря -которой упругая линия в этом сечении не имеет
перелома) будет г21.
Вторую дефор!мацию создадим следующим образом: вставим
в сечении В шарнир и, приложив здесь же две соответствующим образом
подобранные пары, вызовем взаимный поворот обоих сечений на угол,
равный единице. Величины этих двух пар мы должны будем обозначить
через г25, а реакцию опорного стержня А — через г12.
Реакция г2ь как вызванная линейным смещением, равным единице,
имеет размерность
момент кгм
_______— - —
длина м
Реакция /ъ, как вызванная единичным углом поворота, имеет раз-
мерность
т. е. обе [реакции имеют одинаковую размерность. Основываясь на законе
взаимности реакций, мы можем утверждать, что они друг другу равны
по величине и по знаку.
4S
4—И, М. Рабинович
При расчете сооружений приходится еще иметь дело с реакциями,
которые вызываются любой внешней ‘нагрузкой или температурой или за-
данным, не равным единице смещением. Эти реакции будем обозна-
чать через . Rlp, Rit, Ric . В отличие от удельных реакций они имеют
размерность соответствующей обобщенной силы.
§ 18.2. ВЗАИМНОСТЬ РЕАКЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Подобно предыдущим эта теорема также относится к любой линейно
деформируемой системе. Для большей наглядности рассуждений на
фиг. 48 показан частный пример. На фиг. 48, а система нагружена произ-
вольной внешней нагрузкой. Реакцию в одной из связей системы, напри-
мер, в верхнем горизонтальном опорном стержне, назовем R\p . На-
фиг. 48, б пунктиром показано деформированное состояние той же си-
стемы, вызванное единичным перемещением той же связи; в данном при-
мере— единичным горизонтальным .перемещением правого конца. Пере-
мещения точек приложения сил Q, S, Т по направлениям этих сил обозна-
чим соответственно Sqi, Sn.
Верхний индекс поставлен для того, чтобы оттенить характер этих
перемещений: они вызваны единичным перемещением, в то время как
через В12. и т. д. (без верхнего индекса) мы обозначали перемещения,
вызванные единичной силой. Размерность величии вида SPj такова:
перемещение, отвечающее обобщенной силе Р
перемещение, отвечающее связи 1
Например, если речь идет о переме-
щении точки приложения сосредоточен-
ной силы Р под влиянием линейного пе-
ремещения, то получается размерность
Если речь идет о перемещении по на-
правлению пары сил Р, вызванном линей-
ным перемещением, то получается
УГ0Л = и т. д.
см
Возвращаясь к двум состояниям- си-
стемы, изображенным на фиг. 48, а и б,
применим к ним теорему взаимности ра-
бот. В первом состоянии внешними сила-
ми можно считать Q, S, Т и Rip; во вто-
ром— реакцию Гц. К внешним, силам
можно причислить и остальные реакции,
но так как в обоих состояниях системы
соответствующие им перемещения равны
нулю, то они не войдут в уравнение ра-
бот. Работа внешних сил перового состоя-
ния на перемещениях второго равна
Qoqi + S&si -|-7оп Rip - 1.
Здесь положительными направлениями для величин В$ь и т. д_
считаются те, которые совпадают с направлениями сил S, Q и т. д. Поло-
50
Фиг. 49
жительным направлением для реакции считается то, которое совпа-
дает с направлением заданного единичного перемещения связи 1.
Работа внешних сил второго состояния на перемещениях первого
равна
/'п-0 —0.
Приравняем друг другу оба выражения. Кроме того, для краткости
записи будем обозначать все заданные силы Q, S, Т и т. д. буквой Р. Тогда
V Рйр1 4- Rip -1=0,
откуда
(”-2)
В том частном случае, когда имеется только одна внешняя сила Р,
причем Р = 1, получается
rip = — 8pi. (12.2)
Если эта сила Р — 1 перемещается
по сооружению, сохраняя постоянное
направление, то Г\Р, очевидно, пред-
ставляет собой л. в, реакции связи 1.
Отсюда вытекает следующий вывод:
л. в. реакции г\р, возникающей в связи
1 при движении груза Р = 1, совпадает
с графиком перемещений который
вызывается единичным смещением той
же связи.
Короче, но не вполне точно этот
вывод можно сформулировать так: л. в.
любого усилия совпадает с линией прогибов, вызванной единичным сме-
щением соответствующей связи.
Так, например, л. в. опорного момента МА балки, представленной н#
фиг. 49, совпадает с линией прогибов, вызванной единичным поворотом
левого конца. Повернув этот конец по направлению положительного изги-
бающего момента, получим в данном случае прогибы, .направленные'
в сторону положительной силы Р ~ 1; но так как г1Р = — , то орди-
наты л. в. отрицательны.
Представление л. в. статически неопределимых усилий в виде графика
прогибов имеет важное значение как прекрасный способ поверки л. в.,
построенных другим способом, а также как метод для непосредственного
построения л. в.
§ 19.2. ДРУГИЕ ФОРМЫ ВЫРАЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛБНОЙ ЭНЕРГИИ
□ Потенциальная энергия упругого тела, нагруженного силами
Л,..., Рп, выражается формулой (3.2).
1/=^-(Р1д1 + Ргд2 + ... + Рлдл), (13.2)
где через А,. обозначено суммарное перемещение точки приложения
силы Д по направлению этой силы.
В свою очередь суммарные перемещения выражаются через единич-
ные (т. е. через перемещения по тому же направлению, вызываемые
51
порознь силами Р} ~ 1, Р? — 1,. . ., Рп = 1) следующим образом:
= + (14.2)
Если мы подставим эти выражения Д, в формулу (13.2) и сделаем
приведение подобных членов, то получим
v = ф (®1 Л’ + 3^2 + • • + ХА2) + +
Н-32аР2Ра + . . . + 8Л-1,ЯРЯ-1Р„) (15'.2)
или короче
(15.2)
причем во .второй сумме i k. Правая часть формулы (15.2) представляет
собой однородный алгебраический многочлен второй степени относительно
внешних сил, В состав -его (входят с некоторыми коэффициентами квад-
раты сил и их попарные произведения. Такие многочлены носят название
квадратичных форм, поэтому 'можно сказать, что потенциальная энергия
линейно деформируемого тела всегда может быть представлена в виде
квадратичной формы от внешних сия.
В состав внешних сил можно также включить реакции таких связей,
отбрасывание которых не нарушает геометрической неизменяемости и не-
подвижности системы.
Мы знаем, что потенциальная энергия всегда положительна. Следова-
тельно, квадратичная форма (15.2) обладает тем свойством, что ни при
каких значениях переменных Рь Р2,..., Рп она не может стать отрица-
тельной. Такие квадратичные формы называются определенными поло-
жительными.
Вместо того чтобы считать независимыми переменными внешниесилы
л, р2...., ря, можно принять за независимые переменные, соответствую-
щие этим силам суммарные перемещения Дп Д2,. . . , Д„. Эти две различ-
ные возможности проиллюстрированы на простом примере на фиг. 50. На
фиг. 50,а роль независимых переменных играют силы Pi,..., Рп\ ими
вызывается деформация балки. На фиг. 50, б, наоборот, роль 'независимых
переменных играют заданные перемещения Дь Д2, . . . , Д„. Достигается
это установкой соответствующих опорных стержней. Возникающие в них
опорные реакции совпадают с прежними силами Рь Р2} -. -, Рп, но явля-
ются уже функциями заданных перемещений.
Для того чтобы представить потенциальную энергию как функцию
перемещений Д,, Д2, . . . , Дя, выразим силы Pt через эти перемещения.
Для этого достаточно написать п формул -вида (14.2) и решить их отно-
сительно величин Ph Нам сейчас нет nia дойности проделывать эту опе-
рацию на самом деле. Достаточно отметить, что она возможна и что реше-
нием будут служить п формул такого вида:
Р^ап^ + а^2 + .. . + а^п. (16.2)
Если мы в этой формуле положим Д, = 1, — Д;; = . . . — Дл === 0,
то получим р. = ап. Отсюда следует, что коэффициент ап выражает
собой величину той реакции, которая получится в связи i, когда по на-
правлению связи 1 произойдет перемещение, равное единице, в то
время как остальные п— 1 связей останутся неподвижными. Мы услови-
лись раньше обозначать такую реакцию через г-,}, следовательно, ап ~
и вообще aik~-rih. Отсюда автоматически вытекает также свойство
взаимности коэффициентов- aiki т. е. aik~ ahi.
Итак:
р. = Гдд14- г/2д2 -f- . . . -р г/яЛй, (16'. 2)
следовательно, согласно формуле (13.2)
(где i k).
Такова вторая форма выражения потенциальной энергии.
Третья форма получается, когда за независимые переменные прини-
маются частью силы, частью перемещения. Пусть для каких-то т точек
даны действующие в ннх силы Рь Р2,..., Рт, а для других п—т точек —
перемещения Лт+ь W» . . . , А,г. Примем эти величины за незави-
симые переменные. Для этого нужно представить себе, что в точках
«4-1, т-{-2,п помещены связи (например, опорные стержни) и
что последние переместились на заданные величины ...» Ап.
Роль сил Pm-j, Pm+2, . . ., Рп будут играть реакции этих связей,
а роль сил Pi, , Рт — внешние силы (фиг. 50, в),
Фиг. 50
Зависимые т перемещений и п — т сил можно выразить через
выбранные независимые переменные формулами вида
k—m k—n 1
Р;(при i>«) = 2r»p*+ S г‘к^'
fe=l k=m+l
k-m k = n I
-4 (прн I < m) = 8Л + S
(18.2)
Здесь через srt. 5'rt, r№, обозначены перемещения и реак-
ции, вызываемые в точке I единичными значениями независимых пере-
менных, т. е. значениями Pk — 1 или .
53.
Отсюда легко вывести выражение потенциальной энергии:
т т п
=4 2 ра = 4 2 z“p‘ + 2 z*p‘p*+42 r^‘ +
1 1 т + 1
п
+ 'rtMs. (19.2)
m+ 1
где i -у- k„ Эту формулу для потенциальной энергии мы будем называть
смешанной.
Из этой формулы вытекает, что если система, закрепленная в точках
яг 4-1, m + 2,..., п, подвергается совместному действию сил Pi,
Р2,..., Рт и перемещений Дтц, . • • , Д Л, то потенциальная энергия
равна сумме энергий, которые получились бы при раздельном действии
этих сил, с одной стороны, и перемещений, с другой стороны. Члены,
выражающие взаимную работу этих двух факторов, отсутствуют.
Это легко понять, ’если представить себе, что сначала произошли
перемещения Дт+ь Ат+2, . - - , Дл , а потом появились силы Pi, Р2,...,
Р;п . Когда происходит процесс деформирования системы этими силами,
то названные связи уже не получают дополнительных перемещений, а по-
тому их реакции изменяют только свою величину, но не совершают
дополнительной работы. Полученный вывод можно записать так:
(20.2) □
§ 20.2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Будем считать все силы Pi, Р2,..., Рп независимыми переменными.
Продифференцировав при этом условии обе части формулы (14.2) по
одной из сил, например, по Рь получим
> = (21-2)
Продифференцировав же после этого по той же переменной формулу
(13.2) н воспользовавшись соотношением (21.2), найдем
4У._ 4 /л Д-Р ____!_ Р | Р -(^3 ' ; р \__
дР, 2 ‘ дРА + dPt ‘ дР)~ 1 " дРг)
=4 (Д1++++р^+р^+• • +рл„) =
= ф(Д1 + Д1) = Д). (22.2)
Тот же результат мы могли бы получить, .продифференцировав непо-
средственно формулу (15'.2). Следовательно, при указанном условии
частная производная от потенциальной энергии по одной из сил равна
перемещению точки приложения этой силы по направлению последней.
Эта теорема известна в литературе под названием теоремы Кастилиано.
Если мы для данной упругой системы, находящейся под действием
заданной нагрузки, каким-нибудь способом найдем выражение потенци-
альной энергии.® функции от внешних сил (оно может быть найдено, на-
пример, как интеграл работ внутренних сил), то нз одного этого выраже-
ния сможем путем дифференцирования найтн перемещение по направле-
54
нию любой из этих сил. Следовательно, теорема Кастилиано указьтвает
один из 'возможных путей для вычисления перемещений в любой упругой
системе от любой нагрузки.
Если в той точке, перемещение которой мы разыскиваем, нет внешней
силы, то ее надо приложить, буквенно обозначить, затем составить выра-
жение -потенциальной энергии н продифференцировать его по этой силе.
Проделав эти операции, мы получим выражение искомого перемещения,
и в нем останется только приравнять введенную нами силу нулю. .
Вторая производная также имеет простой физический смысл: из
формул (21.2) н (22.2) следует, что
= (23'.2)
Отсюда видно, что вторая производная по силе всегда положительна.
Далее:
(23.2)
Проверим наши рассуждения на примере. В примере 2 § 4.2 мы
нашли, что потенциальная энергия стержня, нагруженного продольными
силами Ру и Р2, равна
V = ~ [аР? (а + b) PJ + 2аР,Р2].
Составим производные:
дР{ ~ЁР ~df\ “Ь *
Легко убедиться, что правые части этих формул выражают соответственно
-вертикальные перемещения точек А и В.
Если бы силы Р2 не было, и мы желали бы тем не менее вычислить
перемещение точки В, то -следовало бы составить то же самое выражение
и в полученный результат подставить Р% = 0. Мы получили бы иско-
мое перемещение в виде
dV _ аР±
дР2 ~ EF •
□ Значительно реже в строительной механике приходится решать
обратную задачу: по данным суммарным перемещениям Ар А,,..., Ап
найти соответствующие силы Ру, Р2,..., Ра. Такая задача, встречается,
например, тогда, когда силами Ру, Р2,..., Рп -служат реакции лишних
опорных стержней, -вызванные перемещениями Ан А,, , А^ этих стер-
жней. В этих -случаях представляет интерес следующее свойство потен-
циальной энергии, установленное еще Лагранжем: если перемещения
Д1( Ао, ...; А,( рассматриваются как независимые переменные, то част-
ная производная от потенциальной энергии по любому из этих перемеще-
ний равна соответствующей силе, т. е.
т = Т- (24.2)
Доказательство можно провести совершенно аналогично доказательству
теоремы Кастилиано.
Рассмотрим еще тот частный случай, когда системе в определенных
точках заданы -насильственные перемещения Аь Д2,..., Ал , после чего
эти точки закреплены. Роль внешних сил играют при этом реакции
55
'•''ГГ’Т^Ч'З
Rb R2,..., R,t соответствующих связей, поэтому из формулы (24.2) полу-
чаем
(25.2}
а из формулы (17.2)
Если мы обратимся к смешанно1му выражению потенциальной энер-
гии, то заметим, что оно допускает дифференцирование по переменным
обоих типов. Продифференцируем формулу (20.2) по одной из независи-
мых переменных сил Pi, Р2> * • -, Рт- Выражение 1/А не зависит от этих
сил, поэтому производная от потенциальной энергии получится такой же,
как если бы потенциальная энергия была выражена в функции только от
сил:
dv _ dVp = Д.. (27.2)
dPf ~ dPt 7
Частная производная от потенциальной энергии, выраженной в сме-
шанной форме, по одной из заданных независимых сил равна суммар-
ному перемещению Д, по направлению этой силы, которое получается
при условии, что точки приложения сил Рт \ 1, Pm-'i, .. -, Рп не-
подвижны.
Аналогичным образом
dV _ р
Kh
т. е. частная производная от того же выражения по одному из заданных
независимых перемещений Дг равна реакции соответствующей связи
которая возникла бы при заданных независимых перемещениях Дтч-ь.
, \тд.п, если бы внешние силы Рь Р2, . . ., Рт отсутствовали.
Из формулы (17,2) получается
d*v
(28.2)
(29.2)0
§ 21.2. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕЙ РАБОТЫ
□ Пусть линейно деформируемая система под действием заданной
внешней нагрузки получила деформацию, в результате чего в ее связях
возникли реакции (усилия) Хь Х2,..., X,,... Связи системы могут быть
двух типов: упруго-податливые и абсолютно неподатливые. Примером
податливых связей могут служить опоры, упруго сопротивляющиеся сме-
щению или повороту. Примерами неподатливых связей могут служить
абсолютно жесткие опорные стержни, абсолютная заделка и т. п. Исклю-
чим из (нашего рассмотрения податливые связи. Кроме того, исключим из
рассмотрения связи абсолютно необходимые, т. е. такие, по устранении
которых система становится геометрически изменяемой или подвижной.
Следовательно, под величиной Xi мы будем понимать реакцию не-
подвижного опорного стержня, реактивный момент в абсолютно защем-
ленном сечении, изгибающий момент в сечении, не имеющем шарнира,,
и т. д.
Любую связь мы имеем право откинуть, заменив ее соответствующей
реакцией. Сделав это, будем рассматривать реакции Х[ как независимые
56
друг от друга внешние нагрузки, которые могут изменять свою величину
произвольным образом. Спросим себя, при каких значениях этих перемен-
ных сил потенциальная энергия системы достигнет своего наименьшего
значения.
Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся теоремой Кастилиано
и запишем, что перемещения точек приложения сил X, по направлению
этих сил равны нулю. Выразив потенциальную энергию в функции от сил
Х-, можно аналитически записать это так:
Д=о-^=О’ -2К = о-
dXt J’ дХ, • ‘ ’ дХ, и> •' •
Но эти же уравнения, как известно, служат для определения таких значе-
ний переменных XL, при которых функция V достигает экстремального’
значения.
В данном случае экстремум может быть только минимумом. Действи-
тельно, максимума быть не может, так как при возрастании абсолютной
величины любой из этих сил деформации, а вместе с ними и потенциаль-
ная энергия неограниченно возра-
стают. Можно также указать на то,
что на основании формул (22.2) и
(21-2),
д21/ _ дД; , . л
Положительный знак второй произ-
водной свидетельствует, как извест-
но, о минимуме.
Итак, если бы мы, не изменяя
заданной внешней нагрузки, стали
произвольно изменять величину сил
Xif то потенциальная энергия полу-
чалась бы большей, чем та, которая
получается при действительных зна-
чениях реакций Х}. В этом и состоит
принцип наименьшей работы.
Возьмем для примера балку с
защемленными концами, нагружен-
ную грузом Р по середине пролета
(фиг. 51, а). Действительная эпюра
изгибающих моментов показана на фиг. 51,6. Она состоит из треуголь-
ника CDE, имеющего среднюю ординату , и прямоугольника СЕ АВ,
ординаты которого отрицательны. Если мы будем как угодно изменять
величины обоих опорных моментов, или, иначе говоря, как угодно изме-
нять положение замыкающей АВ (фиг. 51, s), то потенциальная энергия
балки будет изменяться. Какое же из всех этих значений будет наимень-
шим?—То, которое отвечает эпюре, показанной на фиг. 51,6.
Применим принцип наименьшей работы к решению следующего
вопроса: как влияет на величину потенциальной энергии данной системы
при заданной внешней нагрузке добавление каких-нибудь связей? Легко>
показать, что при появлении новых связей потенциальная энергия, вообще
говоря, уменьшается, а в отдельных частных случаях может остаться без
изменения, но никогда не может увеличиться. Действительно, если мы вве-
дем какую-нибудь абсолютно неподатливую связь и затем нагрузим си-
стему данной нагрузкой, то в этой связи возникнет такая, вообще говоря,.
57
отличная от куля реакция X, которая обращает энергию в минимум.
Устранение этой связи равносильно обращению этой реакции в нуль, сле-
довательно, вызывает увеличение энергии. Только в том частном случае,
когда при действии данной загрузки эта реакция связи равна нулю, устра-
нение 'Связи, разумеется, не повлияет на величину потенциальной энергии.
Что же получится в том случае, когда мы введем новую податливую
•связь? Если при действии данной нагрузки в ней возникает отличная от
нуля реакция %, то и соответствующее перемещение А. получается отлич-
ным от нуля. Но в таком случае согласно теореме Кастилиано получится
^0, следовательно, величина V не будет минимальной. Если мы
будем уменьшать степень податливости этой связи, то перемещение А.
также будет уменьшаться, следовательно, будет уменьшаться и абсолют-
ная величина производной . Но -в силу квадратичности функции V
относительно X, производная будет функцией линейной, имеющей, следо-
вательно, для Xt только один корень. Итак, при уменьшении податли-
вости связи потенциальная энергия будет стремиться к минимуму. Введе-
ние какой угодно и сколь угодно податливой новой связи уменьшает (или
в частном случае не увеличивает) потенциальную энергию. В предельном
случае, если мы введем столько жестких связей, что «все точки системы
сделаются неподвижными, потенциальная энергия деформаций, очевидно,
обратится в нуль.
Это свойство потенциальной энергии — уменьшаться по мере введе-
ния новых связей — имеет особо важное значение для теории колебаний
упругого тела. □
§ 22.2. К ИСТОРИИ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
□ Огромное значение принципа возможных перемещений для меха-
ники твердого тела и системы твердых тел было вполне оценено после
появления «Аналитической механики» Лагранжа (1788 г.). Рано ли,
поздно ли, этот принцип неизбежно должен был проникнуть и в механику
упругого тела. Для этого необходимо было ввести в рассмотрение
работу упругих сил.
Первое приложение этого принципа к расчету системы произвольного
числа стержней, шарнирно соединенных своими концами в произвольном
числе узлов, дал Пуассон в 1833 г. Он вывел уравнение
XJ Xi ~ 0’
где через обозначены внешние силы;
—возможные перемещения узлов по направлению этих сил;
S — усилия в стержнях;
As — удлинения стержней, соответствующие перемещениям .
Хотя свойство упругости системы не играет никакой роли при выводе
этого уравнения равновесия, тем не менее работу Пуассона следует рас-
сматривать кай идейную подготовку к дальнейшим работам. Ведь в дан-
ном случае речь шла не о том, чтобы создать новый метод; трудность
была лишь в том, чтобы догадаться открыть двери хорошо известному
методу в новую область, в которой он еще не применялся.
Началом широкого энергетического направления в разработке вопро-
сов теории упругости и расчета статически неопределимых систем следует
считать момент опубликования теоремы Клапейрона о действительной
.58
работе упругих сил (1852 г.). Формула Клапейрона не только учитывает
постеленное «возрастание внутренних сил в процессе деформирования
тела, но и дает для любого упругого тела зависимость работы от напря-
жений.
Следующий знаменательный этап в теории упругого тела состоял
в открытии принципа взаимности работ. Этот принцип, конечно, не обла-
дает такой общностью, как принцип возможных перемещений, но для
линейно деформируемых систем является компактнейшим выражением
бесчисленного множества соотношений н источником, из которого выте-
кают разнообразные практические методы расчета и замечательные по
своей наглядности аналогии.
Впервые принцип взаимности был выведен в чисто алгебраическом
виде математиком. Коши, который в 1857 г. доказал следующее свойство
всякой однородной квадратичной функции нескольких переменных:
если
?1> 11, ••> в1)
'И
y2=F(a„ Р». Ъ • вз).
ТО
д.У1 г. 1 о । __ дуг „ । ‘Ъ'з о т
+ аз? Р2 + * * — ^7 а1 - Твг'1 • •
Но если мы будем понимать под у\ и у2 потенциальные энергии, соот-
ветствующие двум состояниям нагрузок, а именно и, и
(а2, ₽2> 02) * то 'написанные выше частные производные по силам
будут выражать собой соответствующие перемещения, и теорема взаим-
ности работ явится лишь частным случаем теоремы Коши. Однако сам
Коши, хотя и был весьма близок к вопросам теории упругости, не сделал
такого вывода из своей теоремы.
Свойство взаимности, относящееся к упругому телу, было открыто
в 1864 г. Максвеллом. Он доказал эту теорему для шарнирно-стержневой
упругой системы, у которой все стержни работают только на растяжение
и сжатие, и притом в форме теоремы о взаимности перемещений:
'Х
rjnm-
В той же работе Максвелл доказал для фермы следующую лемму:
если при действии силы «единица», приложенной между двумя узлами В
и С, в некотором стержне s получается усилие S = р, то при заданном
удлинении этого стержня As = 1 удлинение отрезка ВС будет также
равно р. Применяя современные обозначения, можно сказать, что для
такой системы получается при Р =ч 1 соотношение
rip ~ pi-
Доказательство принципа взаимности работ для любого упругого
тела было дано в ,1872 г. Бетти. Он рассматривал два состояния тела,
находящегося под совместным действием поверхностных и объемных сил,
и, выразив работу через напряжения «и перемещения, показал, что мно-
жители, относящиеся к обоим состояниям, входят в выражение виртуаль-
ных работ симметрично. При этом он принимал во внимание также ра-
боту сил инерции. Из своей теоремы он сделал ряд важных для теории
упругости выводов. Несмотря на общность этого доказательства, оно
•обладает тем недостатком, что оставляет невыясненными, так сказать,
корни закона взаимности. Получается такое впечатление, как будто этот
закон вытекает именно из тех соотношений между напряжениями и пере-
мещениями, которые существуют для изотропного упругого тела.
59
На самом же деле этот закон имеет своей предпосылкой только то, что
между силами и перемещениями существует линейная связь и что рас-
сматриваемая система консервативна, т. е. что затрата работы при пере-
ходе из одного состояния ® другое остается одной и той же, каковы бы ни
были промежуточные состояния. Это приводит к более простому дока-
зательству теоремы и в то же время подсказывает мысль о возможности
ее распространения на ряд других явлений; электрических, магнитных,
гидравлических и др.
Почти в одно время с Бетти, но позже его на 1—2 года, Рэйли опуб-
ликовал ряд работ, посвященных вопросам взаимности. С работой своих
предшественников, Максвелла и Бетти он, невидимому, не был знаком.
Рэйли исходил из соображений, значительно более общих и в то же
время более простых, чем у Бетти. В своих первых статьях он не дошел до
самого конца н вместо того, чтобы доказать взаимность работ, ограни-
чился доказательством взаимности перемещений и реакций.
В 1873 г. он доказал, что если периодическая сила гармонического
типа и с заданными амплитудой и периодом действует на систему в точке
А, то амплитуда и фаза перемещений другой точки В будут такие же, как
получились бы в точке А, если бы сила действовала в точке В. В следую-
щем году он сделал из этой теоремы вывод статического характера, пред-
положив, что период силы очень велик а эффект рассеяния, а также сил
инерции — крайне мал. Тогда в любой момент тело будет иметь такую
конфигурацию, которую оно имело бы при действии тех же сил, остаю-
щихся неизменными. Отсюда он получил три статических соотношения,
которые в наших обозначениях пишутся так:
^12 =z^ ^215 ^12 === ^21 И ° Р2 ~ ?'2Р-
Второе из этих равенств, по его словам, распространяется также на
колебания систем. Несмотря на это, он в 1875 г. отдельно доказал теорему
взаимности перемещений для балки любого переменного сечения, опертой
по концам. Только' в 1877 г. в первом издании своей книги по теории звука
он дал закон взаимности работ в форме соотношения:
+ ++' + • - - - + Wfe + ...,
где через обозначены обобщенные силы, а через Ф — обобщенные
перемещения.
Чисто алгебраическая, а потому и весьма общая трактовка принципа
взаимности была снова сформулирована в 1927 г. проф. П. Л. Пастер-
наком. Последний рассматривает взаимность как свойство, которое при-
суще всякой системе п линейных уравнений с п неизвестными, обладаю-
щей симметричной матрицей (т. е. симметрией коэффициентов). Пусть
система имеет вид
^11^1 + ^12^2+ . * - +^+„ = <6;
fl21^1 + a22^+ • • » +а2/+л==£+
1 + ап2^2 Т • • . + &ПП ~
где =
Если мы заменим в правой части колонну о>,..., новой колон-
ной с2\ .,., сп', а корни новой системы обозначим через У/, У2',.. . „
Yn', то всегда будет удовлетворяться следующее соотношение:
W + -Г Y„ca' = Yt'c, Y2'ct + • + Y„’c„.
60
Принцип взаимности работ является только частной иллюстрацией
этой общей алгебраической теоремы, если под }'• и К/ понимать две
совокупности сил (или .перемещений), а под ci и с- — отвечающие им
суммарные перемещения (или силы). Но для того чтобы воспользоваться
таким методом рассуждений, необходимо предварительно доказать взаим-
ность коэффициентов, т. е. доказать теорему или rik— rki.
Уже после того как принцип взаимности стал известен и получил раз-
личные применения, появилась книга Кастилиано. Она была опублико-
вана на итальянском языке в 1875 г. и на французском — в 1879 г. Тем
не менее его книга также посвящена общим свойствам упругого тела и
подобно работам названных авторов, но более явно, основана на свой-
ствах потенциальной энергии деформаций. Глядя из нашего историче-
ского отдаления на эту эпоху, нельзя не поразиться той силе, с которой
пробиваются к жизни научные идеи, когда потребность г, них вполне
назрела. Идея энергетического метода изучения упругого тела, метода,
разнообразными способами использующего свойства работы деформа-
ций,— вот что объединяет работы названных авторов, которые незави-
симо друг от друга в эту важнейшую для строительной механики эпоху
заложили основы -современной теории статически неопределимых систем.
Что касается принципа наименьшей работы, то он провозглашался
как универсальный, всеобъемлющий закон природы французским ученым
Мопертюи еще в XVIII столетии, но не мог быть строго доказан. В XIX
столетии (в 1858 г.) его выдвинул в более ограниченной формулировке
итальянский ученый Менабреа, доказательство которого было также
недостаточно строгим. Кастилиано дал более удовлетворительное доказа-
тельство, справедливое для линейно деформируемых систем.
В России весь круг энергетических идей, обогативший строительную
механику, нашел себе блестящую трактовку в вышедшем в 1902 г. сочи-
нении проф. Виктора Львовича Кирпичева (1845—1913) «Лишние неиз-
вестные в строительной механике». Все сочинения этого автора были не-
заурядными по ясности, наглядности и в то же время общности изложе-
ния. В названном труде он дал сжатое, но исчерпывающее изложение
сущности принципа взаимности работ, теорем о производных потенциаль-
ной энергии и о минимуме работы деформации. Приложение этих прин-
ципов он проиллюстрировал прекрасно подобранными примерами. Не-
большой по объему, ио богатый содержанием труд В. Л. Кирпичева ввел
русских инженеров в круг передовых для тогдашнего времени идей строи-
тельной механики и оказал сильное влияние на развитие этой науки
в России. Спустя 50 лет после выхода первого издания этот классический
труд все еще читается с интересом
В СССР систематическое изложение этих принципов в курсе, пред-
назначенном для высшей школы, было дало в более современном изложе-
нии проф. М. М. Филоненко-Бородичем 1 2.
В нашей научной литературе теория потенциальной функции и прин-
цип взаимности работ получили дальнейшее развитие. Одной из первых
работ, посвященных исследованию свойств потенциальной энергии, было
вышедшее в 1925 г. исследование П. Бехтерева 3. Основываясь на свой-
стве потенциальной энергии сохранять всегда положительное значение,
Бехтерев вывел ряд интересных неравенств между константами, которые
1 Он переиздан Гостехиздатом в 1950 г.
2 №. №.. Филонеико-Б ороди ч, Основы теории работы упругих сил в пло-
ских системах, 1925, 2-е изд., 1932.
3 П. Бехтерев, Аналитическое исследование обобщенного закона Гука. Приме-
нение учения о потенциальной энергии и начала наименьшей работы, ч. I, изд. автора,
1925.
61
связывают напряжения и деформации анизотропного упругого (линейно
деформируемого) тела.
Некоторые свойства потенциальной энергии, имеющие значение для
задач устойчивости и для динамики сооружений (например, энергетиче-
ские свойства составных систем, образуемых скреплением двух основных
систем), указаны проф. Я. Л. Нудельманом L
Канд, техн, наук Я. М. Риппенбейн1 2 расширил выражение работы
внешних и внутренних сил, введя в рассмотрение новые виды нагрузок:
«пары /2-го порядка», имеющие размерность [кг • мп\ Их работа выра-
dny
жается произведением «величины» пары на производную„ линии про-
гибов. Каждая сосредоточенная пара п-го порядка представляет собой
группу двух равно противоположных лар п — 1-го порядка, приложенных
к концам элемента dx и соответственно равных + -
Принципу взаимности работ проф. А. А. Уманский 3 дал формули-
ровку, вытекающую из расширенного представления о двух «состояниях»
системы: предполагается, что наряду с внешними силами заданы опреде-
ленные конечные деформации. Например, в некоторых сечениях заданы
разрывы в упругой линии или в ее производной. При составлении выраже-
ния взаимной работы каждая сила н местная деформация одного состоя-
ния умножается на соответствующее перемещение или соответствующую
внутреннюю силу другого состояния.
Теоремы энергетического характера получили известное развитие
также в другом направлении: в распространении их на нелинейно дефор-
мируемое тело. Разумеется, здесь они не имеют столь простого выра-
жения.
Первая попытка в этом направлении была сделана проф. В. Э. Ново-
дворским (1889—1933)4. Следующая значительная работа принадлежит
проф. Н. И. Безухову4; он показал, каким видоизменениям подвергаются
выражения работ и другие основные формулы, когда речь идет о соору-
жениях, материал которых характеризуется криволинейной или ломаной
зависимостью между напряжениями и деформациями. □
1 Я. Л. Н уд ель м ан, Методы определения собственных частот и критических
сил для стержневых систем, 1949.
2 Я. М. Риппеибейн, Обобщение понятия «нагрузка» и вытекающий из этого-
обобщения новый метод расчета статически неопределимых систем, «Труды Московского
института инженеров транспорта», вып. III, 1927.
3 Проф. А. А. Уманский, Специальный курс строительной механики, ч. II, 1935.
стр. 39.
4 См. сноски на стр. 41.
Г л а в a 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
§ 1. 3. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Задача о вычислении или построении перемещений является одной из
центральных задач теории расчета статически неопределимых систем.
Выдающиеся исследователи затратили немало труда для нахожде-
ния общего решения этой задачи; было проявлено много изобретательно-
сти и остроумия, пока эта цель была достигнута, и многолетние поиски,
завершились изящной, компактной и универсальной формулой. При по-
мощи этой формулы открылась возможность решать статически неопреде-
лимые системы единым общим методом.
В отдельных случаях задача о нахождении перемещений приобре-
тает, кроме вспомогательного своего значения как этапа, предшествую-
щего вычислению статически неопределимых усилий, еще самостоятель-
ное значение. Действительно, деформации, в частности прогибы, характе-
ризуют жесткость сооружения, а последняя не должна быть ниже
определенного предела, установленного действующими нормами.
Читатель, желающий решать статически неопределимые задачи, дол-
жен прежде всего овладеть методом вычисления перемещений.
§ 2.3. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ДЛЯ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Перемещения любой точки упругой стержневой системы, вызванные
теми или иными силами, очевидно, зависят от деформации системы, т. е.
от относительных удлинений или укорочений ее стержней, от их искривле-
ния и т. д. Но эти деформации в свою очередь зависят от изгибающих и
крутящих моментов, продольных сил и поперечных сил, действующих иа
сечения стержней. Поэтому определению деформаций и перемещений
обычно предшествует определение усилий, построение для них эпюр.
Распределение усилий в плоских стержневых системах характери-
зуется тремя эпюрами: М, Q, А/, где М — изгибающий момент, Q — по-
перечная (перерезывающая) сила, N — продольная (нормальная) сила.
Мы советуем читателю посвятить 1—2 дня приобретению навыков в по-
строении этих эпюр для статически определимых систем. Такое ©ведение
окажется очень полезным и избавит от неприятностей в дальнейшем при
расчете более сложных статически неопределимых 'Систем.
Здесь мы рассмотрим несколько примеров1.
1 Материал для упражнений читатель легко может придумать сам; кроме того,
материал для упражнений можно иайти в следующих книгах: Н. Л. Кузьмин,
В, Г. Рекач, Г. И. Розеиблат, под ред. проф. И. М. Рабиновича, Сборник
задач по теории сооружений, 1950. См. также: проф. Н. И. Безухов, Статически
неопределимые сплошные системы, Госстройиздат, 1930; Н. И. ВайсфельД
й Б. Д. Дидов, Простейшие статически неопределимые системы, Госстройиздат, 1933.
6.3-
Эпюры изгибающих моментов будем строить, принимая за ось абсцисс
ось стержня и откладывая все ординаты эпюры со стороны растянутого
волокна (можно также откладывать все ординаты со стороны сжатого
волокна). Это избавит нас от необходимости устанавливать особые пра-
вила знаков для моментов в случаях горизонтальных, вертикальных и
наклонных стержней.
Для эпюры Q такой нагл'ядный способ затруднителен, поэтому будем
ее ординаты в произвольную сторону, но ставить знаки плюс
т. е. в зависимости от того, производят ли силы
Q вращение отсеченных частей
стержня по часовой стрелке
откладывать
и минус согласно фиг. 52,
Фиг. 53
или против
(см. также ч. I на-
стоящего учебника, фиг. 123).
Силы N будем считать по-
ложительными в случае растя-
жения и отрицательными — в
случае сжатия.
На фиг. 53 построены эпю-
ры для трехшарнирной рамы,
нагруженной на конце А сосре-
доточенной парой с моментом,
равным единице. Построение
начинается с определения опор-
ных реакций и Rn. Вид эпю-
ры 7И вполне определяется тем,
пто эти реакции образуют пару.
Величина вертикальной состав-
ляющей находится из уравне-
ния моментов всей рамы отно-
сительно шарнира А или В, a
распор — из уравнения момен-
тов одной половины рамы отно-
сительно шарнира С.
Фиг. 54, а изображает схе-
му сооружения, образованного
из двух трехшарнирных рам,
поставленных одна на другую.
Нагрузка состоит из двух вза-
имно противоположных пар с
моментами, р а вными един и це.
Эпюры М, Q и N для верхней рамы ничем не отличаются от эпюр на
фиг. 53. Для нее на фиг. 54, б построена только эпюра М и показаны
64
опорные реакции. Направив эти реакции в обратную сторону, мы получим
те силы, которые выражают собой действие верхней рамы на нижнюю.
Они показаны на фиг. 54, в. Легко понять, что они -вызывают в- нижней
раме сжатие горизонтального ригеля и левой -стойки и растяжение правой
стойки, -но не вызывают изгибающих моментов и поперечных сил. На
фиг. 54 ей а построены для этой рамы эпюры М и Q, которые вызываются
только нижней из заданных пар; то же самое относится к реакциям, пока-
занным на фиг. 54, в пунктиром. При построении эпюры N (фиг. 54, д)
уже учтены и силы, передаваемые от верхней рамы. В стойках продольные
силы оказываются равными нулю. Это можно было предвидеть заранее,
так как две взаимно равные и противоположные пары должны вызвать
в шарнирах А и В такие две реакции, которые имеют суммарную проек-
цию нуль и суммарный момент нуль, т. е. две равные и противоположные
силы, направленные по линии АВ.
ЗАДАЧИ
□ Задачи № 4—5. Построить эпюры М, Q и А для сооружений, представленных на
фиг. 55 и 56. □
§ 3.3. ВНЕШНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ: НАГРУЗКА, ПЕРЕМЕЩЕНИЕ СВЯЗЕЙ
И ТЕМПЕРАТУРА
При вычислении перемещений мы будем различать три рода внешних
воздействий на рассчитываемое сооружение, каждое из которых является
источником тех или иных перемещений.
Первое воздействие — силовое, т. е. обусловленное теми или иными
заданными -силами или нагрузками.
5—-И. М. Рабинович
65
Второе воздействие — перемещение опор или иных связей.
На фиг, 57, а для примера показана неразрезная балка; на
фиг. 57, б — смещение опоры С; на фиг. 57, в — перемещение по направ-
лению одной из внутренних связей (взаимный поворот двух сечеиий D).
Предполагается, что величина перемещения задана.
Третье воздействие — температурное,
т. е. повышение или понижение темпера-
туры в тех или иных частях сооружения
по сравнению с начальной температурой.
В дальнейшем речь везде будет итти
исключительно об изменениях темпера-
туры по сравнению с некоторой началь-
ной, и лишь для краткости мы будем за-
менять термин «изменение температуры»
термином «температура».
Для упрощения расчетов мы будем
считать, что в пределах любого сечения
температура распределяется по плоскост-
ному закону, причем по направлению одной из главных осей сечения
она постоянна, а по наиравлению другой — имеет линейное распределе-
ние (фиг. 58)1. Такое упрощение оправдывается тем, что температура,
1 Для стержневых систем и для тонких плит такое распределение довольно мало
отличается от действительного. Напротив, в сооружениях массивных, где внешняя тем-
пература доходит до глубинных слоев со значительным запозданием, закон распределе-
ния температуры выражается более сложным законом. Данные об этом можно найти
в отчете «Испытание Днепровской плотины», под ред. проф, Ю. А. Ниленд ер а,
Главная редакция строительной литературы, 1937.
66
действующая на сооружение, непрерывно изменяется в течение года и в
различные часы суток, и расчет приходится вести весьма гадательно на
какое-нибудь гипотетическое, возможное для данной местности темпера-
турное воздействие.
Линейный температурный график, представленный на фйг. 58, можно
разбить на два линейных графика, представленных на фиг. 59, а и б. Пер-
вый из них имеет вид прямоугольника с высотой /, которая равна темпе-
ратуре по оси стержня, т. е. в центре тяжести сечения. Из фиг. 59 нетрудно
выразить величину t через температуры и /а крайних волокон:
j (1(2 4" bt\
► ~ Z i г
(1.3)
„ J 11 ~Т~ г?
Если центр тяжести лежит в середине сечения, то получается t==—ф
Разумеется, что величины t\ и вно-
сятся в формулу с их знаками. Повы-
шение температуры всегда будем счи-.
тать положительным.
График фиг. 59, б получается как
разность между действительным гра-
фиком и графиком фиг, 59, а. Легко
понять, что ордината V на фиг. 59, б
равна алгебраической разности темпе-
ратур в крайних волокнах*.
tf = ± - *2). (2.3)
Вопрос о знаке, который мы долж-
ны поставить перед дробью, будет
разобран ниже.
Равномерный нагрев, характеризуемый графиком фиг. 59, а, вызы-
вает удлинение или укорочение стержня, а специальный вид неравномер-
ного нагрева (с нулевой температурой по оси стержня) вызывает искрив-
ление оси, не изменяя в то же время ее длины.
§ 4.3. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПЛОСКОЙ
СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Желая получить формулу, одинаково пригодную для всех видов
балок, ферм, рам., арок и т. п., мы должны исходить из такого закона,
который в одинаковой мере оправдывается для всех названных систем.
Таким законом является принцип возможных перемещений.
Для того чтобы придать дальнейшим рассуждениям большую нагляд-
ность, возьмем схему какого-нибудь стержневого сооружения, например,
рамы, представленной на фиг. 60. Она находится под действием заданной
нагрузки и температуры; кроме того, опора В переместилась в заданное
положение В'. Требуется определить проекцию перемещения произволь-
ной точки С на произвольное заданное направление I—I. Эту проекцию'
назовем
Состояние системы, находящейся под действием трех поименованных
факторов, назовем состоянием а. Оно изображено на фиг. 60, а. Какое бы
возможное бесконечно малое перемещение мы ни дал и нашей системе,
сумма работ внешних и внутренних сил состояния а на этом перемеще-
нии будет равна нулю. Следовательно, можно составить соответствую-
щее уравнение работ бесконечным множеством способов. Однако ни одно
5*
67
из этих уравнений не приведет нас к цели, если -в него не войдет искомое
пер смещение. А/й.
Напишем уравнение работ не для действительного состояния соору-
жения, а для воображаемого возможного, специально подобранного со-
стояния, показанного на фнг. 60, б. Оно содержит лишь одну внешнюю
нагрузку, а именно силу, равную единице и приложенную в той самой
точке С сооружения и по тому самому направлению, по которому тре-
буется разыскать перемещение \ig. Проще этой нагрузки невозможно при-
думать. Состояние сооружения, нагруженного таким образом, назовем
«состоянием I». Будем считать, что это и есть действительное, заданное
состояние сооружения.
Так как оно является уравновешенным, то сумма работ всех внешних
и внутренних сил этого состояния на любом возможном перемещении
должна быть равна нулю.
Как же нам выбрать возможное перемещение? За возможное надо
выбрать как раз то состояние перемещений, которое фигурирует в усло-
вии задачи, т. е. состояние а. Итак, состояние i следует трактовать как
действительное, а состояние и — как возможное. Нужно написать
выражение суммарной работы всех -внешних и внутренних сил состоя-
ния I на перемещениях, отвечающих состоянию а, и приравнять его
нулю.
В состоянии i имеется только одна внешняя сила Xz= 1,
Приняв положительное направление для Дм, совпадающим с взятым
нами направлением силы XL, получим ее работу на возможном переме-
щении равной 1 • Д/а.
Внутренние силы состояния i характеризуются опорными реакциями
и эпюрами, которые мы обозначим через Miy Q/f Реакции
можно, впрочем, причислить и к внешним силам.
Их работа на возможном перемещении выразится суммой £/?,А,
где А — заданные в состоянии а перемещения по направлению этих
реакций.
68
Разумеется, что те опоры, которые остаются неподвижными, в этой
сумме фигурировать не будут, так .как для них А = 0.
Наконец, возможную работу внутренних сил Л£, О, и N, обозначим
через А. Тогда
1-Д,о + Д + УЯ(Д = 0 (3.3)
или
_ д _ /?(.Д.
Остается определить выражение внутренней работы А.
Эта работа представляет собой интеграл из бесконечно малых работ,
совершающихся в пределах каждого элемента ds каждого стержня. Мы
уже имели случай составлять соответствующие элементарные выражения,
когда вычисляли потенциальную энергию (§ 5.2).
Обозначим эпюры, отвечающие состоянию а, через Ma,Qa-> Na- Взаим-
ный поворот двух бесконечно близких сечений стержня, вызванный изги-
бающими моментами Ма> выразится по абсолютной величине формулой
Mads
EJ~ •
Работа изгибающих моментов на* этом возможном перемещении
выразится по абсолютной величине произведением В том случае,
когда эпюры Ма и Mi имеют один и тот же знак, произведение будет отри-
цательным. Пусть, например, в обоих состояниях верхнее волокно эле-
мента ds растянуто (фиг. 61, а и б). Давая этому элементу деформации а,
мы тем самым увеличив аем деформацию, имевшуюся в состоянии I,
но внутренние силы состояния i направлены в сторону, обратную этой
деформации.
Итак, элементарная работа моментов выразится произведением:
Взаимный сдвиг тех же сечений будет равен , поэтому элемен-
тарная работа сил Qz выразится формулой
V-QaQid^
GF '
где и — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения (см.
стр. 31).
Удлинение элемента ds, вызванное силами Na, будет равно
as EF ’
а работа продольных сил ;VZ на этом возможном перемещении выразится
формулой
- N£ds = - .
Свободное удлинение, вызванное температурой t, когда никакие связи
не мешают этому удлинению, будет
Ms,
где а — коэффициент линейного расширения; этому возможному удлине-
нию будет соответствовать работа
— Nptds.
69
at'ds
Свободный взаимный поворот сечений вызванный неравномер-
ным нагревом (фиг. 62), очевидно, равен разности между удлинениями
крайних волокон (верхнего и нижнего на -фиг. 61), разделенной на рас-
стояние между ними, т. е.
< , at\ds — at»ds
dVt=±--------з----
поэтому работа моментов
абсолютной величине равна
a (A ~ ~ *2) ds
d
на этом возможном перемещении будет по
В итоге работа
__ уи‘
2_j
сил Mit Q-, выразится суммой интегралов
. _ у I- _ V с _ у f w
— V J l'Aiat>ds
где суммирование интегралов распространяется на все элементы всего
сооружения.
Подставив это выражение в формулу (33), получим окончательно
J MiMgds J у у NjNgds ф У у +
+};p,.ws+vf^pt _у;в,д- (4.3>
В этой формуле подынтегральное произведение М-.Мй для элемента ds
положительно, если оба момента изгибают этот элемент в одну сторону;
произведение N.Na положительно, если оба усилия растягивают или оба '
сжимают элемент; произведение N-t положительно — если усилие N( и
температура t оба укорачивают или удлиняют его; произведение Mpt*
положительно, если кривизны, вызванные обоими факторами, обращены
в одну и ту же сторону.
Само собой понятно, что формула (4.3) справедлива только в том
случае, когда деформации, вызываемые отдельными факторами — на-
70
грузкой, температурой и перемещением опор, — достаточно (малы, чтобы
оправдать применение закона независимости действия сил.
Формула (4.3) дает общее решение, которое годится для всех плоских
упругих геометрически неизменяемых стержневых систем.
Характерно, что решение геометрического вопроса о нахождении
перемещений дано здесь в статической форме; при вычислении интегра-
лов приходится оперировать с силами того или иного вида.
□ Формула для перемещений плоской стержневой системы, вызы-
ваемых заданной совокупностью внешних сил, можно вывести также из
теоремы о производной потенциальной энергии.
Пусть требуется найти перемещение по направлению Л Добавим
к числу внешних сил произвольную по величине силу X,, приложенную
к точке i по направлению искомого перемещения. Тогда потенциальная
энергия системы выразится так:
(Мр + XiMiY- ds
2EJ
(ХР + X^ds
2ЁГ
(Qp+X^ds
2GF
где Np Qz— эпюры, вызываемые действием силы Л\== 1.
Возьмем производную :
dV С(МР F X^Mi) Mids г у! Г (Np ЁХЩЩз (
~dX"i = J Ё/ Г 2j J ЕЁ Г"
+ 2dJ --------GF-------
Наконец, подставляем в полученное выражение действительную вели-
чину Л,, т. е. = 0. Очевидно, что для рассматриваемого случая най-
денная формула окажется тождественной с формулой (4.3). О
К системам нестержневого типа (к системам, содержащим в своем
составе пластинки, оболочки и т. п.) формула (4.3) неприменима. Для
них остается в силе более общая теорема Кастилиано.
§ 5.3. ПРИМЕРЫ ВЫБОРА ЕДИНИЧНОЙ СИЛЫ
Когда эпюры Ма, Qa, Nat а также температура и перемещения опор-
ных или других связей заданы, то для нахождения каждого отдельного
перемещения требуется подобрать соответствующее ему возможное со-
стояние, т. е. соответствующую «единичную» силу.
Пусть, например, рамная система, представленная на фиг. 63, а, на-
гружена заданной нагрузкой.
Если требуется найти вертикальное перемещение в точке С, которое
мы назовем через то нужно приложить вертикальную силу Xi = 1
в точке С (фиг. 63, б). От этой силы нужно построить эпюры Qi,
и подставить их в формулу (4.3).
Если требуется найти горизонтальное перемещение в точке В, то
нужно приложить в этой точке горизонтальную силу, равную единице
(фиг. 63, в). Чтобы не спутать ее с прежней силой, обозначим ее через Xai
перемещение обозначим через А >Р.
Для того чтобы найти угол поворота сечения В, нужно приложить
в этом сечении пару с моментом Х3 = 1 (фиг. 63, а).
71
Для нахождения взаимного поворота двух произвольных сечений
С и D нужно приложить в этих сечениях две взаимно равные и противо-
положные пары с моментом Х4 ~ 1.
Для нахождения изменения взаимного расстояния между сечениями
С и D нужно приложить к ним две равные и противоположные силы
z 1, направленные по линии CD (фиг, 63, е).
Из этих примеров видно, что формула (4.3) может быть применена
для нахождения всех видов перемещений — линейных и угловых, абсо-
лютных и относительных.
Может возникнуть вопрос, в какую сторону нужно направить единич-
ные силы, т. е. направить ли вертикальную силу на фиг. 63, б вверх,
или вниз; пару Х3 на фиг. 63, г -по часовой стрелке или против, и т. д.
Фиг, 63
Ответ на этот вопрос таков: можно откладывать в любую сторону. Если
вычисления, произведенные по формуле (4.3), дадут для искомого пере-
мещения положительное значение, то это будет показывать, что переме-
щение совпадает по своему направлению с выбранной виртуальной силой;
в случае получения отрицательного значения перемещение направлено
в обратную сторону.
§ 6.3. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ
СИСТЕМЕ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ
При отсутствии температурного воздействия и перемещения опор,
т. е. при / = /^ 0 и с =. 0, в формуле (4.3) остаются только три первых
члена. Чтобы подчеркнуть, что речь идет о влиянии только внешней
нагрузки, заменим значок а значком Р. Формула перемещений примет'
вид.
72
. vvamm yirJVAprfs /к o\
4/p“2jJ ~ Ej 2jJ £/ Ь ZjJ GF • ( '
Для перемещения 812, т. e. для перемещения по направлению /, вы-
званного силой Х2 = 1, та же формула принимает »вид
V С . VI С NiNtfis . V С nQiQsrfs о\
f,'^Lj—Er- + LytF~ + 2jJ~gf~- (5’3)
Формула (5Л.3) есть частный случай формулы (5.3). Разница между
ними состоит лишь в том, что через Мр, N р и Qp обозначены эпюры, вы-
званные всей совокупностью внешней нагрузки, а через М2, Мг и Q2 —
удельные эпюры, т. е. эпюры от единичной силы Х2 = 1.
Как помазывают численные подсчеты, в балках, рамах и массивных
арках перемещения, вызванные продольными деформациями стержней и
их деформациями сдвига, обычно весьма малы по сравнению с теми пере-
мещениями, которые вызываются изгибом1. В этих случаях формулы
(5.3) и (5'.3) можно заменить более простыми приближенными:
MiMkds
J FJ
(6.3)*
§ 7.3. БОЛЕЕ ТОЧНАЯ ФОРМУЛА ПЕРЕМЕЩЕНИИ
ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
_Г Различают стержни большой кривизны, у которых радиус кри-
визны оси имеет такой же порядок малости, как высота поперечного
сечения (например, крюк), и малой кривизны, у которых радиус кривизны
значительно превосходит высоту поперечного сечения (например, арка).
Выведенные выше формулы переме-
щений, строго говоря, справедливы толь-
ко для стержней с бесконечно большим
радиусом кривизны, т. е. прямолинейных.
Но их можно пр иближенно пр именять
также ко всем криволинейным стержням,
встречающимся в арочных и рамных си-
стемах.
Более точную формулу перемещений
можно получить следующим образом: рас-
смотрим- бесконечно малый элемент ds
стержня малой кривизны; радиус кривиз-
ны оси обозначим через о (фиг. 64). Пусть
на этот элемент действует продольная си-
ла X, которая вызывает в нем абсолют* *
1 Однако надо иметь в виду, что сравнительные величины трех интегралов в фор-
мулах (5.3) и (5'.3) зависят от характера и величины ординат соответствующих эпюр,
от формы и размеров поперечных сечений стержней, а также от отношения модулей
упругости £ и 6. Поэтому относительная величина интегралов не является постоянной,
и неосторожное отбрасывание их может привести к заметным ошибкам. Некоторые
примеры, иллюстрирующие сказанное, можно найти в курсе проф. С. А. Бернштейна
«Основы расчета статически неопределимых систем», 1936, стр. 97 и 108.
* Этим формулам можно дать другой вид при помощи интегрирования по частям.
См. И. М. Рабинович, Видоизменения формулы упругих перемещений, «Известия
Московского высшего технического училища» № 1, 1929, стр. 14.
73
Nds
ное укорочение или удлинение, равное ; относительная продольная
деформация при этом равна Игнорируя изменение радиуса кривизны,
можно считать, что угол dv получит такое же относительное изменение,
поэтому оба крайних сечения повернутся друг относительно друга на
величину
ds
P
А’ ,
EF — -£/?•
Для стержня с прямой осью это выражение обращается в нуль.
Поворот сечений при /V = 11 будет равен
По закону взаимности перемещений можно написать, что такую же
величину будет иметь продольная деформация элемента ds под действием
двух изгибающих пар с моментами М = 1, приложенных к его концам.
Если же их момент будет произвольным, то продольная деформация вы-
разится формулой Это удлинение или укорочение оси является
следствием того, что сечения поворачиваются вокруг нейтральной оси, не
проходящей через их центр тяжести.
Итак, в криволинейном стержне изгибающие моменты вызывают про-
дольную деформацию, а продольные силы вызывают дополнительное
искривление. Благодаря этому, изгибающие моменты вызывают работу
продольных сил, а продольные силы —работу изгибающих моментов.
Формула перемещений принимает следующий вид:
- У И (~^+S f .4 (-й-+-S) +
+2.1 -с,'-. <7Э> с
§ 8.3. ПРИМЕРЫ
Пример 7. Для балки АВ постоянного сечения, показанной на фиг. 65, определить
q if — b\2
прогиб в точке В. Эпюра Мр— квадратная парабола с ординатами, равными --
слева от сечения С и нулю — справа от него. Эпюра М[ — прямая с ординатами, рав-
ными 1 • х. Итак:
_ Г MpM)dx Г O-Mjdx xdx
}Р 2d] EJ ~~ J EJ M ~ '2' EJ ~~
о о b
= -^A(3a-|-4&).
Пример & Решить ту же задачу прн условии, что сечение А имеет не абсолютную,
а упругую заделку: от действия момента Мл = 1 опора поворачивается на некоторый
угол a .
В этом случае мы обязаны сохранить в формуле (4.3) член—Г/?Д. Роль реакции
Л? играет опорный момент, вызванный силой X = 1; он равен 1 (a -f~ b). Роль перемеще-
qd2
ния д играет угол поворота опорного сечения, равный — Реактивный момент
направлен против часовой стрелки, а угол поворота — по часовой стрелке, поэтому
произведение А?Д отрицательно. Итак:
Д1₽ = У<(За + 4&) + (а+6)^-.
74
Пример 9. Балка на двух опорах, имеющая сплошное прямоугольное сечение,
нагружена равномерно распределенной по всему пролету нагрузкой (фнг. 66, а).
Сравнить влияние нормальных и тангенциальных напряжений на прогиб в середине
пролета.
В данном случае
ql qx2
р = 2 х 2 *
Qp — 2 Ях> г1-— 1.20,
I
2
SFMpM.dx 2 Г/ qi qx- \ х __ _5 _ ql*
J —cj— = ~eT J V'2" x ~ ЗЙ ' EJ ;
0
I --
2~ 2
V? 2р. f 1 p. r
GF GF J p 2 GF J p
0 0
Последний интеграл, выражающий
площадь эпюры поперечных сил на протя-
жении половины пролета, равен разности
между изгибающими моментами на концах
того же участка, т. е.
Фиг. 65 Фиг. 66
I
2
j‘ qP
Qpdx = М i = —у— -
О Т ~2
3 Г
Приняв G = ~^LJ получим окончательно
5 ql* 1,20 ql'2 5 ql* / IP \
~ 384 ' EJ + 3 ‘ 8 ~ “ ’384 ‘ I 1 + Р J •
"т- ЕЕ '
о
При -^-= 10, 15, 20 второе слагаемое в скобках соответственно равно 0,0256; 0,0114;
75
0,0064, т. е. влияние перезывающнх сил на наибольший прогиб составляет 2,56; 1,14;
0,64% от влияния изгибающих моментов.
Пример 10. Ферма (фнг, 67, а) нагружена тремя заданными вертикальными гру-
зами. Определить вертикальное перемещение узла 3.
Сила X] = 1 показана на фнг. 67, б.
Усилия, вызванные в любом стержне фермы силами Р, обозначим через а уси-
лия, вызванные виртуальной силойХ],— через Mi. Изгибающие моменты и поперечные
силы здесь, очевидно, равны нулю, поэтому
Для различных стержней усилия А/p, а также усилия Л/) получаются различными,
но для всех элементов ds одного и того же стержня они остаются постоянными, поэтому,
произведя интегрирование, получим
JViATpZ
EF~
(8.3)
где через I обозначены длины стержней.
Предположим, что панели верхнего и нижнего поясов имеют длину d = 2,5 л;
длина стойки й = 3 м\ площади сечений имеют размеры, указанные в табл. 1. Даио,
также, что Р = 20 т. Усилия и определяются способом сечений и вырезания
узлов или же при помощи диаграммы Кремоны — Максвелла. Все необходимые вычи-
сления расположены в табл. 1.
Таблица 1
Название стержня 1 в м Л в см- । Л'р в т ЛГ, (отвл.) N.Npi — в кг/см
/ - -2 2,5 32 37,5 0,416 122 000
2- -3 2,5 50 58,33 0/33 243 000
3- - 4 2,5 50 58,33 0,833 243 000
4 ~ - ь 2,5 56 62,5 0,416 116300
5- -8 3,9 90 -97,5 -0,650 274 000
8- - 7 2,5 ЬО -69,5 —0,416 108 500
7- -6 2,5 36 —37,5 -0,416 109 000
6- - 1 3,9 56 —58,5 -0,650 264 000
6- -2 3,0 21 25 0,500 178 000
7 - 2 3,9 33 -32,5 — 0,650 250 000
7 - -3 3 20 20 1 309 000
7 - - 4 3,9 20 6,5 -0,650 —82 000
4 - -8 3 20 -5,0 0,500 -37500
£Д1р =2С£8сС0
76
Сумма чисел, стоящих в крайней правой колонке, равна искомому перемещению,
умноженному на Е. Отсюда
4 2 088 300 кг [см
= 2 100 000 кг[см^ = 0,99 см‘
§ 9.3. ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ СЛУЧАЯ,
КОГДА ОДНА ИЗ ЭПЮР ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ
Очень часто одна из эпюр на том или ином участке сооружения имеет
вид прямой линии. В этом случае интегрирование сильно упрощается.
Пусть для некоторого участка АВ требуется вычислить интеграл
л
Р MiMhdx пл
I —> где эпюра имеет произвольное очертание, а эпюра Mk
А
прямолинейна (фиг. 68). Крайние ординаты последней обозначим через
с и d.
Сечение стержня на участке АВ будем считать постоянным. В этом
случае
в в
С М(М^Х 1 Г
j — gj~ \ MfM^dx.
А А
В
Для вычисления интеграла J MjMkdx воспользуемся следующей
А
аналогией: представим себе, что прямолинейная эпюра Мк представляет
собой некоторую л. в., а эпюра Al,-—график нагрузки. Тогда исследуе-
мый интеграл будет выражать собой влияние этой нагрузки. По свойству
прямолинейной л. в, влияние любой нагрузки может быть заменено влия-
нием ее равнодействующей (ч. I, гл. IV, § 7), следовательно:
в
J MbMkdx = а>у0, (9.3)
А
по w — площадь эпюры Afz;
v0— расположенная под ее центром тяжести ордината эпюры
Мы можем также разложить всю фиктивную нагрузку на две
составляющие: At и Вь приложенные по концам участка АВ. Эти две
составляющие, как известно, выражают собой умноженные на EJ углы
поворота концов простой шарнирно опертой балки АВ, изгибаемой момен-
тами М. Обозначив эти углы через и получим другие выражения
интеграла:
в
^^=(С-А + ^В). (10..ч)
А
Формулой (10.3) удобно пользоваться в тех случаях, когда под рукой
имеются готовые таблицы значений углов и срв, отвечающих различ-
ным нагрузкам.
Особенно удобна и проста в применении формула (9.3), которая была
указана А. Н. Верещагиным Из нее следует, что искомый интеграл по-
лучается умножением площади эпюры <Mi на расположенную под ее
центром тяжести ординату прямолинейной эпюры 7ИЙ.
1 А. Н. Верещагин, Новые методы расчета статически неопределимых систем,
«Строительная промышленность» № 5, 1925, стр. 655.
77
Необходимо помнить, что ордината Уо берется непременно в прямо-
линейной эпюре. В том частном случае, когда обе эпюры прямолинейны,
можно умножить площадь любой из них на соответствующую ординату
другой.
На фиг. 69, а одна из эпюр имеет вид квадратной параболы со сред-
ней ординатой g/2 , а другая представляет собой треугольник. Площадь
параболы
2 , 0/2 qis
w 8 12
ее центр тяжести — в середине пролета. Отсюда
Для двух треугольников, обращенных вёрщинами в противополож-
ные стороны (фиг. 69, б):
С j bl а аЫ
I M,Mkdx — --J - • -и- = —«—
I L я 2 d о
Для двух прямолинейных эпюр, представленных на фиг. 69, в или а:
J MtMkdx = (2tzc + 2b d + ad + be) ~ ,
Разница между схемами в и г только та, что на второй из них ордината d
должна считаться отрицательной.
Для облегчения пользования формулой (9.3) полезно запомнить фор-
мулы для нахождения центра тяжести треугольника и параболы л-го
порядка. Для треугольника (фиг. 70)
hl 1-\~
ш _ __ ; Хо — 3
о — з
78
Для параболы, выражаемой уравнением у ~ ахп (фиг. 71), участок от
х~ 0 до х=^1 характеризуется величинами
th
(О “ -7—г
п +1
(12.3)
При интегрировании произвольной эпюры с ломаной приходится раз-
бивать интеграл на несколько интервалов. Так, для фиг. 72 интеграл вы-
числяется так:
j MtMkdx =
А
BCD
С M^dx^r J MjMkdx-j- M^dx.
ABC
Фиг. 70
------т0-----ч-zj*
I
Интегр алы, выр аж а юшие перем е-
щеиия, можно рассматривать так же,
кай моменты первой, второй и высших
степеней, взятые относительно* той или
иной оси * 1 *.
Для облегчения расчетов здесь
приводится табл. 2 значений модуля
упругости Е, а также табл. 3, где даны
формулы для вычисления интеграла
Фиг 71
Фиг. 72
Таблица 2
Материал
Е в кг,!см*
Материал
Е в кг1ем*
Сталь ................
Железобетон...........
2,2-106 ; Дуб вдоль волокон . .
75 000 — о 00 ООО ! Сосна.................
1,1-10»
1-10&
В том случае, когда стержень имеет переменное сечение, уже нельзя
выносить знаменатель EJ из-под знака интеграла, вследствие чего инте-
грирование становится значительно сложнее. Обычно длину стержня раз-
бивают на короткие участки и интегрируют на протяжении каждого из
них, принимая сечение по длине участка постоянным. Полученные числен-
ные значения интегралов затем суммируют.
1 Применение таких моментов к задачам строительной механики разработано
I раде статей проф. Г. С. Глушковым. См. его книгу «Инженерные методы расчетов
иа прочность и жесткость». Стройиздат, 1949.
79
□ Формулы для интеграла j
Таблица 3
!
I
“g- (2 2 MbMb \ МаМь-\-МьМа) I
~(UlaUW
3 (‘ЧхН- Мй) МС1 = ”24" (Ма +
~^(ЗЛ1Л+ Мь)~Ма1
4" + Af6M& + 2 Мс (Ма 4- тИ/;)] /
□
80
Формула (10.3), выражающая интеграл через углы поворота концов
балки, справедлива не только для балки постоянного сечения, но и при
любом законе изменения сечений, так как в этом случае углы <рА и
М'
равны фиктивным реакциям от нагрузки вида В справочной литера-
J
туре имеются готовые таблицы для углов ср4 и <ря, 1вычисленные для раз-
личных нагрузок и для различных законов изменения сечений балки;
благодаря им вычисление интегралов сильно облегчается1.
§ 10.3. ФОРМУЛА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЛЯ СИСТЕМЫ, У КОТОРОЙ ОПОРЫ
ИЛИ ДРУГИЕ СВЯЗИ ИМЕЮТ ЗАДАННУЮ УПРУГУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ
□ В стержневых системах встречаются следующие частные случаи
упругих связей т. е. таких, в которых реакция пропорциональна дефор-
мации (фиг. 73):
а и б — упругий опорный или внутренний стержень, жесткость кото-
рого равна некоторой величине г кгм\ при укорочении или удлинении
такого стержня на длину у в нем возникает реакция гу\
Фиг. 73
виг — упругое опорное или внутреннее защемление, жесткость кото-
рого равна г кем; при относительном повороте, равном у, в такой связи
возникает реактивная пара, момент которой равен гу.
При деформировании стержневой системы реакции таких связей
совершают работу, которая должна быть причислена к работе внутренних
сил. В самом деле, она совершается внутри системы так же, как в осталь-
ных ее элементах. Пусть при заданном воздействии — нагрузке, темпера-
туре или смещении каких-либо опор — в этих связях возникли реакции
Ra и перемещения = "7“ • в таком случае перемещение по любому
направлению i выразится формулой
л = У J M‘Ma“s + у j1 J +
+ V«i + VJ- Л',^+
(13.3)
VI 7? •/?
Подчеркиваем, что в выражении \ через Ri и Ra обозначены
' а
реакции в упруго деформируемых связях; а в выражении через
Rt — реакции в жестких связях. В связях первого рода перемещения, от-
1 Таблицы углов наклона для балок постоянного сечения см. в «Справочнике
инженера-проектировщика», т. И, стр. 350—355; для балок переменного сечення — там
же, стр. 355—361. См. также проф. В. К. К а чур и и. Новый прием численного интег-
рирования н использование его прн решении некоторых задач строительной механики,
«Сборник трудов Ленинградского института инженеров железнодорожного транспорта»,
вып. 142, 1950.
€~-И. М. Рабинович
81
р
ведающие состоянию «а», соответственно равны —— , где га — жесткость
Г а
соответствующей связи; в связях второго рода перемещении равны задан-
ным величинам Д.
Формулу (13.3) можно несколько преобразовать, введя подстановку
(14-3)
1 а
Для примера вычислим угол поворота правого конца консольной
балки, нагруженной силой Р (фиг. 74). На левом конце этой балки
имеется упругая заделка, жесткость которой равна г.
Таи как опорный момент на эпюре Мр равен Ra = Pl, то угол поворота
заделки
Л Pi
На эпюре реактивный момент в том же сечении равен = 1.
Оба реактивных момента направлены в одну и ту же сторону (против
часовой стрелки).
Угол поворота сечения А найдется по формуле
V с M^Mpds , RyRa № ! Pl
^p = 2j\---ЁГ~+ г — 2£/ + г •
Найдем прогиб в середине пролета балки, показанной на фиг. 75. На
правом конце балка имеет упругий опорный стержень, жесткость которого
мр
Р
Фиг. 74
Фиг. 75
равна г. Нагрузка равномерно распределена по всему пролету я имеет
интенсивность р.
Здесь в упругом опорном стержне
d _ pL д — -PL. р _
а 2 > — 2г ’ — 2 ’
следовательно:
у! С MtMpds RlRa fyl* 1 pl SpH- п
= Д|j —---------1--— = 384£J + 2 ’ 2r == 384Е/ * 4r * ы
S2
§ 11.3. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ВЫЧИСЛЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ
ПО ФОРМУЛАМ (4.3)—(13.3)
□ а) Формула (4.3) содержит интегралы, распространенные на все
элементы ds сооружении. Интервал интегрирования можно укоротить,
если откинуть какую-либо часть системы и заменить ее силами, приложен-
ными к оставшейся части. Их можно рассматривать как реакции /? в фор-
муле (4.3). При таком преобразовании формулы необходимо, однако,
знать перемещения на месте разреза.
Поясним сказанное примером. Пусть требуется найти вертикальное
перемещение точки В консольной балки, нагруженной заданной внешней
нагрузкой (фиг. 76). Отбросим часть АС и определим перемещения ус и
. Силу = 1 приложим к балке СВ, причем для равновесия придется
приложить в сечении С направленную вверх вертикальную реакцию, рав-
ную единице, и направленную против часовой стрелки реактивную пару
а (фиг. 76, в). После этого можно написать:
в в
с с
Два последних члена в этой
формуле положительны.
При помощи такой фор-
мулы можно выразить пере-
мещение в какой-либо точке
В сооружения через переме-
щения в произвольной точке
С последней и через нагруз-
ку, действующую на участке
СВ. Из данной формулы
можно вывести формулы
способа начальных парамет-
ров, который известен чита-
телю из курса сопротивления
материалов.
б) Если на некотором
участке сооружение обла-
дает бесконечно большой
жесткостью на изгиб или на
продольные деформации,
или на сдвиг, то ооответ-
,р
Фиг. 76
•ствующий интеграл в формуле (4.3) обращается в нуль. Например, если
на участке ВС балки (фиг. 77) EJ = со, то
D В D
С MlMkds ___ р M{Mkds . Г MtMkds
J EJ — J EJ EJ
А А С
в) В том случае, когда одна из эпюр прямолинейная, интеграл вы-
числяется по формуле (9,3). Он не зависит явно от очертания криволиней-
ной эпюры, а, является функцией площади » и положения центра тяжести
этой площади. Замена одной криволинейной эпюры другой, у которой
названные параметры имеют ту же величину, не изменяет величины
интеграла.
6*
83
г) Тот же вывод получается из формулы (10.3). Действительно, при
заданной величине площади о> и заданном положении ее ц. т. получаются
вполне определенные фиктивные реакции в точках А и В, т. е. определен-
ные углы и срд. Если <рд — то ПРИ любом значении ординат
с и d прямолинейной эпюры Mk получается
в
j MiMkdx = 0,
А
Фиг. 77
т. е. эпюра моментов балки с защемленными концами, вызванная какой-
либо нагрузкой, взаимно ортогональная с любой прямолинейной
эпюрой. □
§ 12.3. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ,
ВЫЗЫВАЕМЫЕ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ
Мы уже видели, что перемещения, вызываемые внешней нагрузкой,
вь сажаются формулой
(13.3)
При выводе общей формулы (4.3) мы рассматривали два состояния одной
и той же системы, поэтому, казалось бы, обе группы эпюр, т. е. Мр, Npt
QP и Mlt Nt, относятся к заданной статически неопределимой системе.
Такое толкование будет вполне правильным, и если мы построим таким
образом эпюры, входящие в состав формулы (15.3), то получим требуемое
перемещение. Однако мы столкнемся при этом со следующим неудобством:
каждый раз, когда нужно найти перемещение новой точки или по новому
направлению, придется наново строить статически неопределимые эпюры
Mh Nb Qi и для этого наново решать статически неопределимую задачу.
Мы можем избежать этого неудобства, если задумаемся над вопросом
о том, что собственно следует считать заданной системой. Например, на
фиг. 78 заданной системой является балка с защемленными концами, на-
груженная равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Ничто
не мешает нам причислить опорную реакцию Ху и защемляющий момент,
Х2 на правом конце к внешней нагрузке; тогда заданной балкой будет та,
которая представлена слева на схеме б, т. е. заделанная на левом конце
и свободная — на правом. Но мы также имеем право причислить к внеш-
ней нагрузке оба опорных момента; в таком случае заданная балка имеет
вид, показанный слева на схеме в, т. е. является шарнирно опертой по
концам, ит. д. Итак, заданной системой мы имеем право считать не только
действительную статически неопределимую систему, но и всякую гео-
метрически неизменяемую, которая получается из нее путем удаления тех
или иных связей.
Предположим, что требуется определить прогиб Aip в какой-либо
точке балки. В зависимости от того, какую систему, образованную из на-
шей балки, ' будем считать заданной, мы будем получать различный
вид эпюр Qi. В правой части фиг. 78 показаны различные
варианты эпюр но окончательный результат вычислений по формуле
(5.3) должен получиться один и тот же при всех этих вариантах.
14
Итак, формула (15.3) обладает следующим интересным свойством
инвариантности: под эпюрами Mif Qit Л// можно понимать эпюры, вы-
званные соответствующей силой = 1 не только в действительной ста-
тически неопределимой системе, но и в любой геометрически неизменяе-
мой системе, которая образуется из нее при помощи удаления тех или
иных связей.
Проще всего эти эпюры, конечно, получаются ,в статически определи-
мых системах. Ими и следует пользоваться. Поэтому в дальнейшем, при-
меняя формулы (4.3) и (5.3), мы всегда будем понимать под Mit Nif Qz
эпюры, получающиеся в статически определимой системе.
Для поверки рекомендуем читателю воспользоваться примером, пред-
ставленным на фиг. 78, и найти прогиб в середине пролета балки.
□ Сказанным не исчерпываются свойства инвариантностн формулы
(15.3). Например, нетрудно доказать, что правая часть ее останется без
изменения, если мы возьмем эпюры Mif Qif в заданной статически не-
определимой системе, а эпюры Л4Р, Qp, Np—>в статически определимой.
Для большей ясности отметим статически определимые эпюры верхним
индексом «о» («определимая»), а статически неопределимые — индек-
сом «н». Тогда
yi г y С y Г ^QpQ°ids
1Р “ 2-1J EJ J EF + 2-1 J OF
85
§ 13.3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
В -статически определимых системах температура вызывает переме-
щения, но не вызывает нн изгибающих моментов М, ни поперечных сил Q,
ни продольных N *. Стержни статически определимой системы от дей-
ствия температуры удлиняются или укорачиваются, но не растягиваются
и не сжимаются; от неравномерного нагрева или охлаждения они искрив-
ляются, но не изгибаются.
При подсчете чисто температурных перемещений такой системы мы
должны положить в формуле (4.3) и, Д^ = 0, Qa = 0, Д ---0. В ре-
зультате получаем
= S J Nfltds + £ J -М-‘^ . (17.3)
Если по всей длине каждого стержня температура остается одна и та
же, то
Да = Уа£ j'tyds-l- (17'.3)
Значения коэффициента а приведены в табл. 4.
Таблица 4
Коэффициент линейного расширения а
Материал а Материал а
Сталь литая в незакаленная . . . Чугун : 777 ООО ОО аО (Ц | 2 ° Бетон на цементном рас- творе 120-10’ 7
Интеграл j представляет собой площадь эпюры нормальных
сил А’. на протяжении стержня, a j —площадь эпюры -.Если
стержень имеет постоянное сечение, то знаменатель d можно вывести
из-под знака интеграла.
Рассмотрим сначала несколько примеров, относящихся к статически
определимым системам.
Дана П-образная рама, схема которой показана на фиг. 79, а.
Требуется определить горизонтальное перемещение опорного сечения В и
угловое перемещение сечения D при различных температурных режимах.
Обозначим первое перемещение через А1Л а второе— через Соот-
ветствующие эпюры Mh М2, А72 представлены на фиг. 79,6 и в.
Пусть ригель СО и левая стойка АС подверглись равномерному на-
греву на 10°. При таком нагреве характеристика неравномерности t'=0,
поэтому в формуле (17'.3) остается только первая сумма:
= j* k2t = f N2ds.
* Напомним, что для любого сечения стержня мы понимаем под М момент
равнодействующей всех элементарных сил, приложенных к этому сечению; под
л — равнодействующую всех элементарных продольных сил, возникающих в сечении,
и т. д. Если материал, нз которого сделаны стержни статически определимого сооруже-
ния, неоднороден, то напряжения в волокнах стержней могут оказаться отличными от
нуля, но равнодействующие усилия М, Q и Л1’, возникающие от изменения температуры
н любом сечеиии, нее же будут равны нулю.
86
Из схем бив видно, что для стоек — О, а для ригеля W2 =0. Поэтому
р
Д= а (4** Ю) ----- сс ( —[“ 10) (-г 1*0 = -1- 10а/.
с
При вычислении обратим внимание на то, что для правой стойки t = 0:
с
А« = 4+ 10) j i\'.,ds = а (+ 10) (+ Р h ) = .
А
Зададим теперь другие температурные условия: пусть действию тем-
пературы подвергается только ригель, причем он нагрелся так, что темпе-
ратура верхнего волокна поднялась на 20°, а нижнего — на 6°. Тогда при
симметричном сечении ригеля получается температура по его оси
£ = 1з°,
Л
а разность температур
Г — ± (20 — 6)=± 14°.
Так как для остальных стержней t — f — 0, то в формуле будет фигу-
рировать только стержень CD:
D D
Ди = а(+ 13°) jN,ds± -4г-f M^s^a- 13-1-1—~ hl.
' с с
Во втором члене поставлен знак минус, потому что температура и момент
All вызывают искривление ригеля в противоположные стороны. Нетрудно
87
понять и чисто геометрически, что искривление ригеля, обусловленное тем-
пературой, вызывает перемещение точки В влево.
При вычислении перемещения Д2(- обратим внимание на то, что для
ригеля =0, поэтому первый интеграл пропадет. Это означает, что рав-
номерный нагрев ригеля не вызывает поворота сечения D. Итак:
D
а • 14 Г ,, , 14а 1 • I 7а
Д2/ = —г— \ M2ds = —тс— — .
C
Теперь обратимся к системам статически неопределимым. Под влия-
нием температуры возникнут усилия в лишних связях, поэтому систему
можно считать статически определимой, но находящейся под совместным
действием температуры, с одной стороны, и вызванных ею реакций в лиш-
них связях, с другой стороны.
От этих реакций возникнут эпюры, которые мы назовем Mt, Qt, Nf.
Отсюда ясно, что искомое перемещение можно выразить как сумму двух
перемещений, из которых одно вызывается силами, а другое — темпе-
ратурой:
, V С MiMfds р NiNfds । С pQiQtds (
Д" = L J ~ЕГ~- + U 1 J ~~GF - +
+ S f N‘atds + S f • (! 8.3)
Эту формулу можно было бы прямо написать, заменив в общей фор-
муле (4.3) значок а на t и принимая опоры неподвижными. Она годится
и для систем статически определимых, так как при
Qz—=0 она переходит в формулу (17.3).
Напоминаем еще раз, что Mit Q;& формуле (18.3) берутся в лю-
бой статически определимой системе, которая может быть получена из
данной при помощи удаления лишних связей, а относятся
к заданной статически неопределимой системе. Само собой понятно, что
до тех пор, пока мы не решим статически неопределимую задачу о темпе-
ратурных усилиях заданной системы, нельзя найти ее перемещений.
□ Основываясь на принципе взаимности работ, можно преобразовать
формулу (18.3) следующим образом:
’ (19-3)
где — продольные усилия н моменты от силы Xt~ 1, приложен-
ной и заданной статически неопределимой системе.
Мы не будем приводить доказательства, так как формула (19.3),
обладая некоторыми преимуществами при общем исследовании вопросов,
для практического вычисления перемещений неудобна. □
§ 14.3. ЗАДАЧИ
Задача № 6. Определить линейные и угловые температурные перемещения в не-
скольких сечениях рамы, представленной на фиг. 80.
Задача № 7. Определить взаимное вертикальное, горизонтальное и угловое пере-
мещения на месте разреза рамы, показанной на фиг. 81. Температура внутри рамы
4-15°, а снаружи — 3°.
Задача № 8. Определить вертикальное перемещение в точке А, а также взаим-
ный поворот раскосов АВ и АС на фиг. 82, предполагая, что верхний пояс равномерно
нагрет на 20°.
88
§ 15.3. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ОПОР
ИЛИ ДРУГИХ СВЯЗЕЙ
В статически определимой системе этот фактор не вызывает никаких
усилий, поэтому задача не связана с понятием об упругом теле и имеет
чисто кинематический характер. Так как -приходится считаться с тем, что
инженеры-строители обычно знают кинематику гораздо меньше, чем ста-
тику, и применяют ее, лишь скрепя сердце, мы рассмотрим в первую оче-
редь чисто статическое решение этой кинематической задачи. В строи-
тельной механике, как известно, кинематический метод применяется для
решения статических задач. В данном случае этот метод, если можно так
выразиться, будет вывернут наизнанку.
Возьмем для примера раму АВ (фиг. 83, а) и предположим, что опор-
ный стержень В переместился по своему направлению на величину А.
Требуется определить перемещение данной точки К по данному направ-
лению i — i. Назовем это перемещение А^. Для решения задачи нагрузим
Фиг. 80 Фиг. 8!
раму силой — 1, приложенной в точке К по направлению искомого*
перемещения (фиг. 83,6). Опорную реакцию в опорном стержне В, вы-
званную этой силой, назовем R. За положительное направление для R'
примем то, которое -совпадает с положительным направлением перемеще-
Фиг. 82
ния А; на фиг. 83, б реакция R должна считаться отрицательной. Прини-
мая заданное перемещение за возможное, составляем уравнение работ
для сил состояния Xi = il:
l-A^+^.A = О,
откуда
(20.3)
Эта формула, очевидно, является частным случаем формулы (4.3). Если
одновременно происходит несколько перемещений, то
(20'.3)
Согласно этим формулам перемещение А/с численно равно работе реак-
ций Rt на перемещениях A t взятой с обратным знаком.
89'
Для применения формулы (2(У.З) достаточно определить реакцию
переместившейся связи, нагрузив систему соответствующей единичной
силой и считая эту связь неподвижной.
Так, например, для определения угла поворота сечения D прилагаем
пару %! = I (схема в) и получаем
А / 1 \ л А
j Л Z -
Для определения вертикального перемещения точки D прилагаем
силу Х2 = 1 (фиг. 83, г) и находим Д2с -- ( — 1) А.
Для нахождения горизонтального перемещения точки D нагружаем
раму силой Хз — 1 (фиг. 83, д), после чего находим
. / h \ Л ЛД
)д- — •
На фиг. 84 представлен более сложный пример: требуется определить
взаимный поворот обеих полурам, вызванный горизонтальным перемеще-
нием А пятового шарнира В. При помощи обобщенной силы = 1 нахо-
дим правую горизонтальную реакцию, которая обращена влево и
равна -i-. Отсюда
а /Пл д
1С ( h) Л л -
□ Чисто кинематическое решение мы проиллюстрируем всего двумя
примерами, относящимися к тем же двум рамам.
Во-первых, найдем горизонтальное перемещение точки D рамы АВ
(фиг, 83). Для этого удалим стержень В и заметим, что рама поворачи-
вается, как один диск, вокруг точки А. Угол поворота равен , по-
Д ,
этому горизонтальное перемещение точки О равно — п.
Во-вторых, найдем взаимный поворот полурам для фиг. 84. Удалим
горизонтальный опорный стержень В и отодвинем точку В вправо на вели-
чину А. Построим полярный план скоростей: из произвольного полюса О
(фиг. 85,6) проведем прямую Ое || АЕ; таким способом получим изобра-
жение точки Е. Изображение точки В найдем на пересечении прямых
eb и ОЬ, где eb || ЕВ ,и Ob || FB.
Изображения точек С и D сливаются в одну точку с, d.
Горизонтальное перемещение точки В, равное А, выражается верти-
кальным вектором ОЬ, следовательно, ОЬ — к; Ос = -^- . Угол поворота
левой полурамы равен отношению длины изображения произвольной ее
прямой к длине самой прямой:
Ос _ Д
^СЕ- лс ~ 2Л •
.Угол поворота правой полурамы
bd ___ Д
“ — ~2iT ;
здесь внак минус поставлен потому, что направление вектора bd противо-
положно направлению вектора BD. Итак, угол поворота левой полурамы
относительно правой
90
<Гиг. 85
Результаты, полученные по обоим методам, совпадают. □
Переходим к вопросу о перемещениях, возникающих от той же при-
чины в системах статически неопределимых. Заданную систему можно
рассматривать как статически определимую, находящуюся под совмест-
ным действием двух факторов: с одной стороны, — заданного смещения
опор или других связей, а с другой стороны, — усилий, вызванных этим
смещением в лишних связях. Формула (4.3) тогда примет вид
sjsg. . Sj (21.3)
Nt, Qit R обозначены усилия в статически
В этой формуле буквами
определимой системе, вызы-
ваемые силой 1, а бук-
вами Nc, Qc — усилия в
статич ески неопределимой
заданной системе, возникаю-
щие в результате заданного
перемещения связей.
Для иллюстрации фор-
мулы (21.3) определим угол
поворота опорного сечения В
стат ичеоки н еопр еде л и м ой
балки АВ, представленной
на фиг. 86, а. Приняв за ос-
новную неизвестную реак-
тивный момент на левой опо-
ре и решив статически не-
определимую задачу, можно
убедиться, что этот момент
равен /, причем растя-
фиг 8(. нутое волокно расположено
сверху. Соответствующая
эпюра изгибающих момен-
тов Мс представлена на фиг. 86, б. Итак, балка АВ может рассматриваться
как балка с шарнирно опертыми концами, у которой перемещения вы-
званы опусканием правой опоры и, кроме того, эпюрой изгибающих
моментов Мс. За положительное направление искомого угла поворота
примем идущее по часовой стрелке.
Очевидно, что в простой балке вертикальное перемещение правой
опоры вызывает поворот всего пролета и в том числе интересующего нас
сечения В на угол у-- . Но для поверки формулы (21.3) мы все же опреде-
лим реакцию R, вызванную парой Х.= 1. Эта реакция равна-у- и направ-
лена вверх.
Эпюра Mt представлена на схеме Ь. Эпюрой Q. пренебрежем. Вычи-
сление по формуле (21.3) дает следующий результат:
о
3EJ х dx' /______________________1_\ f _3f_
Г2 ' ~l ' EJ I jj ~ 21 -
92
□ Задачу об определении перемещений, вызываемых перемещением
опор или других связей в статически неопределимой системе, можно
решать иначе: приложить силу = 1 к заданной системе. Для построе-
ния эпюры придется решить статически неопределимую задачу. Зато
окончательный результат можно будет вычислить по более простой фор-
муле
(22.3)
где Я/ — реакции, возникающие в заданной статически неопределимой
системе от действия силы X, = 1.
Для доказательства справедливости этой формулы нужно убедиться
в том, что сумма остальных членов формулы (21.3) в этом случае обра-
щается в нуль:
J. Mcdx j 1ч ^dx j _q
где /И/, NX Q/ — эпюры, возникающие в заданной системе от действия
Х = 1.
Эпюры NCf Qc можно рассматривать как [результат действия реак-
ций, заменяющих те связи, которые переместились, следовательно, как
результат действия последних на систему, освобожденную от этих связей.
В таком случае левая часть уравнения (а) выражает работу этих реакций
на тех перемещениях, которые характеризуются совокупностью эпюр /И/,
N/, Q/. Но в том состоянии системы, которое отвечает последним эпю-
рам, названные связи не имеют перемещений, поэтому работа равна нулю.
Для поверки формулы (22.3) обратимся снова к примеру фиг. 86.
Приложим силу Х~ k к заданной балке. Для этого нам придется решить
статически неопределимую задачу и построить эпюру Mt. Не проделывая
этого решения, приводим готовый результат в виде эпюры 7И/ на фиг. 86, г.
3
Реакция правого опорного стержня при этом равна . Отсюда
“ 2/ )J 21
Для практического применения формула (21.3) удобнее формулы
(22.3).
В том случае, когда заданная система статически определима, фор-
мулы (21.3) и (22.3) сливаются с (20.3). Ц
§ 16.3. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРОГИБОВ ДЛЯ УЗЛОВ
ЛОМАНОГО СТЕРЖНЯ
□ В первой части курса, в § 7, гл. XIII, были выведены формулы для
«упругих грузов», при помощи которых линия прогибов шарнирной цепи
строится, как веревочный многоугольник. Теперь, владея общей формулой
перемещений, мы можем решить общим методом задачу о прогибах лома-
ною стержня, подвергающегося действию изгибающих моментов и про-
дольных сил; искусственное понятие об упругих грузах нам не понадо-
бится.
На фиг. 87, а показана часть ломаного стержня. Эпюра М предпола-
гается на протяжении каждого участка прямолинейной.
Можно было бы обозначить вертикальное перемещение узла п через
Д1Р и для вычисления этого перемещения приложить в узле вертикальную
силу Pi — 1, затем построить соответствующие эпюры Qb Этот
93
путь хорош, когда требуется вычислить перемещение одного узла, но
слишком громоздок, когда приходится последовательно вычислять пере-
мещения многих узлов.
Вместо того чтобы искать вертикальное перемещение узла п, будем
искать другое перемещение: вообразим, что на узлы ломаного стержня
опираются шарнирно прямые стержни, показанные на фиг. 87, б, и будем
искать угол их взаимного поворота. Приложим к концам стержней две
взаимно противоположные пары с моментами, равными единице; одну
пару составят вертикальные силы
Фиг. 87
Раскрыв первые два члена, получим
. 1
+ а другую — 'вертикальные
л/г
силы + —- (фиг. 87в). От дей-
ствия такой уравновешенной на-
грузки возникнут усилия толь-
ко на двух рассматриваемых
участках ломаного стержня;
остальные его элементы, а также
шарнирно прикрепленные стержни
работать не будут. Благодаря
этому вычисления сильно упро-
стятся.
Обозначив эпюры, вызванные
у ка ванной ур авновешеино й на-
грузкой, через М., М , Qx > выра-
зим угловое перемещение фор-
мулой
VT р ,ММ. ds
VT С ds
+SH-+
+ UJ—(23’3>
Пренебрежем влиянием по-
перечных сил на перемещения.
= [-б£77 |'ж-’ + + м+1)
tgp„r-^tg₽„+1) (24.3)
где
Величины считаются положительными при растяжении;
моменты Мп. Мп+\— положительными, если они выгибают стер-
жень в ту же сторону, что моменты М\ .
Вычисления углов нужно произвести указанным способом для
каждого узла за исключением первого и последнего.
Имея эти углы, можно построить линию прогибов следующим обра-
зом: либо как веревочный многоугольник, приняв углы взаимного пово-
94
рота ; фл за фиктивные («упругие») грузы, либо откладывая эти углы
непосредственно на чертеже. Последнее построение показано на фиг. 88:
наверху изображен ломаный стержень 0—1—2—3—4—5—б, а внизу —
многоугольник вертикальных перемещений узлов.
□ Продолжим стержень 0—1, шарнирно опирающийся на узлы Ом 1Г
до встречи с вертикалью, проходящей через узел 2. После того как лома-
ный стержень еде формируется, точка 2' переместится относительно
стержня 1—2. Вертикальная проекция этого относительного перемещения,
очевидно, равна Продолжим на фиг. 88, б прямую 0—1 и от точки ее
пересечения с вертикалью 2 отложим в произвольном масштабе отрезок
ФЛ2 (вверх, если ф1 положительно); так получим точку 2. Аналогичным
образом найдутся остальные вершины многоугольника. Замыкающую АВ
нужно провести так, чтобы на концах получились заданные прогибы
Уо и ув.
Линию прогибов можно также получить, если отложить на вертикалях
под узлами отрезки Д2,... (фиг. 88, в), которые выражают верти-
кальное перемещение любого узла относительно прямой, соединяющей
два смежных с ним узла. Прямая 0—1 проводится произвольно, затем при
помощи отрезка Д^ проводится вспомогательная прямая 0—2; так опре-
деляется вершина 2, и т. д. Из сопоставления фиг. 88, б и в нетрудно
вывести, что
^М.-Й7нт.д. (26.3)0
§ 17.3. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
Линии 1влияния перемещений можно построить двумя способами. Оба
способа поясним на примере.
1-й способ. Пусть требуется построить л. в. углов поворота правого
конца балки АВ, имеющей постоянное сечение и опирающейся на непод-
96-
вижную опору Л и на стойку ВС (фиг. 89). Искомый угол -поворота обо-
значим через 51Р.
_ Поставим груз Р =* 1 в произвольное положение и построим эпюры
Мр и Np; эпюрой Qp пренебрежем. Для балки Л В усилия Np = 0, а для
стойки ВС усилия Мр — 0.
Произведем -вычисления по формуле (5.3), выражая эпюры Мр и Np
в функции от абсциссы движущегося груза:
°1Р== 2j J + 2j J —ёр— •
„ . лп f NiNpds f MjMpds
Для балки АВ, очевидно, j — = 0, а для стоики ВС — =
^=0. Интегрирование остальных эпюр производим, пользуясь формулой
Фиг. 89
Верещагина. Заметив, что центр тяжести треугольной эпюры Мр отстоит
от левой опорной вертикали на расстоянии —, получим
о
В С
_CMtMpds . Г N^pda _ z(/-z) / (Z + z) J_
Blp— J ~Ё'Г~ ~ ’ EJAB +
A В
I z 1 _ z (Z2 — z2) _ az
+ <«"/• EFBC~ ~~6ШАГ + ~l‘EF~-
Переменная z входит в эту формулу в третьей степени, следовательно,
искомая л. в. имеет вид кубической параболы. Давая этой переменной раз-
личные значения от z = 0 до z =s I, найдем ординаты кривой.
96
Если стойка абсолютно несжимаема, то ЕЕ'вс—^, и формула при-
нимает вид
. Z {В - г2)
01р- ЫЕ1ав
2-й способ основан иа законе взаимности перемещений:
Мр = 0рЬ
из которого следует, что искомая л. в. представляет собой линию про-
гиба балки АВ, нагруженной на конце В неподвижной парой Лй — I. От
действия этой пары стойка сжимается с силой 4- и укорачивается Ha/A,F ,
‘ вс
вследствие чего различные точки 'балки АВ снижаются на -г ♦ ,
образуя треугольный график перемещений. Кроме того, пара Xi = 1 вызы-
вает направленный вверх прогиб балки АВ. Упругая линия может быть
построена графоаналитическим путем как фиктивная эпюра моментов от
треугольной распределенной нагрузки ЛД или же определена аналити-
чески. Ее ординаты выражаются формулой
z(P -Z'<
От сложения этих величии с ординатами треугольного графика полу-
чается прежний результат.
Эти два способа построения л. в. перемещений возможны всегда,
какова бы ни была заданная система.
§ 18.3. ПРОВЕРКА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
При расчете статически неопределимых систем приходится вычи-
слять перемещения вида , т. е. перемещения, вызываемые силами
Xk = 1, а также перемещения, возникающие от внешней нагрузки,
температуры м смещения опор. Для того чтобы убедиться, что в вычис-
ления не .вкралась ошибка, рекомендуется проверять найденные вели-
чины.
Для статически определимой системы проверка .может быть осно-
вана на законе независимости действия сил, согласно которому
сумма перемещений, вызванных несколькими факторами, должна быть
равна перемещению, вызванному совместным, действием этих фак-
торов.
Обозначим перемещения, возникающие от такого совместного дей-
ствия, значком S, Тогда
Hi + ^12 + В13 + • * * + Эл— э*;
+ ^2 4“ ^3 + • • • + 8/л " ;
(27.3)
где
SC MiM^ds Vp CX^ds
J EJ 2jJ EE GF
Формулы (27.3) могут быть использованы для проверки переме-
щений.
7—И. М. Рабииовмч
97
* Возможна еще более универсальная проверка:
+ • • 4- + 2 (&12 + &1з 4~ s23 4- • • • 4‘0л“м)=&п=ж
Эта проверка распространяется сразу на все перемещения, но зато
в случае обнаружения ошибки становится более затруднительным выясне-
ние того, какое из перемещений вычислено неправильно.
Аналогичным образом можно произвести проверку перемещений Д/р,
^iC
Для перемещений -в статически неопределимых системах проверкой
может служить указанное в § 12.3 свойство инвариантности формулы
перемещений. Так, например, перемещение
ул С М i Мр ds
A'p=2jJ ej~~
проверяется так: эпюра AL берется в двух различных системах, каждая
из которых получается из заданной системы путем удаления лишних свя-
зей; эпюра МР берется в заданной статически неопределимой системе.
Результаты обоих пычислений должны совпадать между собой.
Проверка л. в. перемещений производится в первую очередь по их
общему виду. Такая проверка не требует вычислений, а основана на
наглядном представлении о л. в. как о линии прогибов.
В том -случае, когда для одного и того же перемещения построены
две различные л. в., отвечающие двум различно направленным (непарал-
лельным) движущимся единичным силам, проверкой может служить
взаимное сопоставление обеих кривых: последние должны удовлетворять
отмеченному в § 26 гл. IV первой части свойству инвариантности углов.
Это свойство присуще всем. л. в. — как статически определимым, так и
неопределимым — и состоит в том, что узлы наклона л. в. к их осям
абсцисс не зависят от направления движущейся силы. Теорема эта спра-
ведлива только при условии, когда л. в. построена в прямоугольных осях
координат, причем направление оси ординат параллельно силе.
§ 19.3. К ИСТОРИИ ОБЩЕГО МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
□ Вопрос о простом, а главное, общем способе определения переме-
щений является центральным вопросом теории статически неопределимых
систем. Отсутствие общей формулы перемещений было главным препят-
ствием, о которое в течение долгого времени разбивались попытки по-
строения общего метода расчета статически неопределимых систем. Лите-
ратура всей первой поло!вины XIX столетия страдает отсутствием не
только разработанной теории, но и общих идей, ведущих к такой теории.
Из статически неопределимых систем точное, хотя и неуклюжее решение
имелось только для неразрезной балки.
Что касается расчета статически неопределимых ферм, которые в то
время широко применялись в мостостроении, то он находился в жалком
состоянии.
Повидимому самая необходимость иметь общую формулу для пере-
мещений не создавалась. Удовлетворялись дифференциальным уравне-
* Выполняя эти проверки, мы складывали величины, имеющие различную размер-
ность. Получавшиеся при этом суммы лишены физического смысла, равно как н эпюра
ЛЯе . Тем не менее произведенная проверка правильна, так как относится к алгебраи-
ческим операциям независимо от их физического смысла.
98
н и ем упругой линии, интеграл которого давал возможность определять
прогибы. Навье проинтегрировал это уравнение для некоторых случаев
кривого бруса, нагруженного одновременно вертикальной и горизонталь-
ной силами, и вывел формулу для прогиба ключевого сечения двухшар-
нирной арки, а также для приращения длины ее хорды.
Существенный шаг к решению этой проблемы был сделан Максвел-
лом. В статье «Оп the calculation of the equilibrium and stiffnes of frames»
(1864 г.) он впервые определил как работу взаимное сближение о двух
точек фермы, вызванное заданным удлинением As одного из ее стержней.
Уравнение работ, которое до Максвелла служило средством для на-
хождения усилий, стало после него инструментом для вычисления пере-
мещений. Это открыло новую страницу строительной механики.
Рассуждения Максвелла заключают в себе некоторое ограничение,
обусловленное тем, что он применил принцип возможных перемещений
не в общем виде, а в частном — в. форме принципа сохранения энергии.
Написанное им уравнение работ справедливо только в том случае, когда
удлинение As обусловлено именно силами Р, приложенными по направ-
лению искомого перемещения. Но как быть в том случае, когда заданы
удлинения нескольких стержней? В этом ‘Случае невоз1можно прило-
жить такие две силы, которые вызовут во всех стержнях как раз
заданные удлинения. Здесь приходится прибегать к окольному рассуж-
дению.
Мор в период 1874—1885 гг. в ряде работ дал для фермы более пря-
мое решение, так как исходил непосредственно из принципа возможных
перемещений. Сущность его рассуждений изложена выше. Мор учел
влияние не только внешней нагрузки, но и температуры.
Распространение общей формулы перемещений на элементы, рабо-
тающие на изгиб, содержится в книге Кастилиано, изданной в 1875 г., где
эти перемещения написаны в форме производной от потенциальной энер-
гии стержневой системы.
Можно сказать, что к концу 80-х годов прошлого столетия общая
формула перемещений стержневых систем была доведена до такого совер-
шенства, которое было необходимо для ее действенного применения
в практике инженерных расчетов. Однако потребовалось еще немало вре-
мени для того, чтобы она заняла в строительной механике подобающее
место. Постепенно все частные способы вычисления перемещений, приме-
нявшиеся для различных систем, уступили место общей формуле.
В течение некоторого времени в теории стержневых систем шла
борьба между двумя формально различными способами вычисления
перемещений: 1) по теореме Кастилиано о производной от потенциальной
энергии; 2) по обшей формуле (4.3). Поскольку общая формула сама
модсет быть выведена из этой теоремы, различие сводится лишь к сле-
дующему: писать ли каждый раз выражение потенциальной энергии и
затем дифференцировать его или же писать формулу сразу, не прибегая
к потенциальной энергии и к ее производной. Победил, разумеется, вто-
рой способ.
Однако для упругих систем нестержневого типа формула Кастилиано,
как уже указывалось выше, остается единственной общей формулой {пере-
мещений.
В СССР общая формула не только стала основой расчета всех ста-
тически неопределимых стержневых систем, но и получила дальнейшее
развитие по нескольким направлениям.
Одно из направлений посвящено выработке удобных практических
способов вычисления интегралов, которые входят в состав формулы пере-
мещений. Выше был указан удачный способ, предложенный А. Н. Вере-
7*
99
щагиным для того случая, когда из двух интегрируемых эпюр по крайней
мере одна имеет прямолинейное очертание.
Интеграл j/И; АД ds аналогичен формуле, выражающей 'влияние
распределенной нагрузки при условии, что очертание л. в. совпадает
с эпюрой ДД а очертание эпюры нагрузок — с эпюрой АД. Эту анало-
гию использовал и А, Н. Верещагин при выводе своего приема интегриро-
вания. С другой стороны, определение влияния нагрузки можно уподобить
определению статического момента: нужно рассматривать величины
JVl'ds как фиктивные параллельные силы, а величины М1г—как плечи.
Если мы перенесем точки приложения фиктивных сил на эпюру АД, на-
правив их параллельно оси абсцисс, то сумма их моментов относительно
произвольной точки оси абсцисс выразится интегралом f Af,:Mkds. Такая
аналогия для случая совокупности сосредоточенных фиктивных сил ука-
зана автором в первом издании настоящего курса L Там же указана идея
механизма для 'вычисления такого момента,
Проф. А. А. Попов применял аналогичную идею к вычислению инте-
грала JAf jМкds, но. фиктивные силы повернул на 90°, направив их пер-
пендикулярно плоскости эпюры. Сумма моментов фиктивных сил Mfds,
перенесенных ла кривую АД, равна моменту их равнодействующей, т. е,
равна
--Д9,
где Е, — площадь эпюры моментов /И, :
АС— ордината названной равнодействующей.
Развивая эту идею, А. А. Попов разработал графоаналитический спо-
соб вычисления таких интегралов1 2. Все же сама задача вычисления
интеграла, фигурирующего' в формуле перемещений, настолько проста,
что вряд ли можно рассчитывать на сколько-нибудь широкое практиче-
ское применение графоаналитических приемов.
Вычисление перемещений становится более сложным, когда стержень
смеет переменное сечение, так как в этом случае уже нельзя выносить
знаменатель EJ из-под знака интеграла. Для этих случаев разработаны
г-шалитические приемы, основанные па различных приближенных выраже-
ниях закона изменения жесткости EJ по длине стержня, а также состав-
лены таблицы численных значений интегралов.
Сильной -стороной формулы (4.3) является то, что в ней фигурируют
исключительно усилия, деформации же в явной chopмс не входят. Если
интеграл (М АД ds преобразовать путем интегрирования .по частям, то
в. пег О' войдут углы поворота и поперечные силы 3. В таком виде формула
также представляет интерес, хотя и не может' иметь ст эль широкого при-
менения.
Обобщение формулы в смысле распространения таковой на стержни
с упругими опорами или с другими упругими связями, претерпевающими
конечные перемещения, дано -выше, в § 10.3,
В последнее время было предложено важное обобщение формулы
перемещений, а именно такое преобразование последней, которое позво-
ляет использовать ее также для систем, содержащих сжато-изогнутые
стержни, причем учитывается влияние продольных сил на изгибающие
моменты. Подробнее об этом сказано в гл. 18. □
1 «Курс строительной механики стержневых систем», ч. I, 1938, стр. 126.
2 А. А. Попов, Новый метод интегрирования с помощью ортогональных фоку-
сов, Гостехиздат, 1947.
3 См. сноску иа стр, 73.
Г л а в a 4
ОСНОВЫ МЕТОДА СИЛ
§ 1.4. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Теоремы об упругом теле, изученные в предыдущих главах, образуют
основу для всех современных методов расчета статически неопределимых
стержневых систем. Они позволяют создавать именно методы, а не
частные приемы. В отличие от сравнительно. недавнего прошлого инже-
нер-расчетчик в настоящее время имеет возможность рассчитывать весьма
сложные статически неопределимые стержневые системы; теория дает ему
для этого не только широкие идеи, позволяющие сразу написать в общем
виде необходимую систему уравнений, но и хорошо- разработанную схему
практического проведения всех вычислений.
Общие методы и примеры расчета имеют важное практическое значе-
ние. Изложение методов, расчета начнем с метода сил, который
является старейшим и наиболее разработанным, имеет обширную область
практического применения и является в то же время для учащегося пре-
восходной подготовительной ступенью для овладения всеми прочими мето-
дами.
Характерная особенность этого метода состоит в том, что в. нем весь
ход расчета зависит от количества липших связей заданной системы, или,
как говорят иначе, от ее степени статической неопределимости. Чем мень-
ше лишних связей, тем легче решается задача методом сил; чем больше
лишних связей — тем труднее.
§ 2.4. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА
Расчет статически неопределимой системы по методу сил начинается
с выбора так называемой основной системы. О с но в и а я система полу-
чается из заданной при помощи удаления того или иного- количества лиш-
них связей.
На практике в большинстве случаев' отбрасывают такое количество
связей, которое в точности равно количеству лишних связей. Тогда основ-
ная система получается геометрически неизменяемой и статически опре-
делимой. Необходимо обратить внимание не только на количество
отбрасываемых связей, но и на их расположение, для того чтобы случайно
не получилась система, обладающая в той или иной своей части или
в целом геометрической изменяемостью.
Выбор основной системы начинается с того, что подсчитывается
число лишних связей в заданной системе. После этого намечают различ-
ные возможные варианты выбора отбрасываемых связей. Полученные
основные системы проверяют с точки зрения их геометрической неизме-
няемости.
101
Примеры правильного и неправильного выбора основных систем
показаны на фиг. 90 и 91. Фиг. 90, а представляет заданную систему,
фиг. 90, б, в, г, д, е~ статически определимые основные системы. Так,
например, каждая из фиг. 90, б} в, г представляет собой диск на трех
опорных стержнях, не пересекающихся между собой водной точке. Схема,
показанная на фиг. 90,^, состоит из диска АВС на трех опорных стерж-
нях и прикрепленной к нему диады, состоящей из стойки BD и горизон-
тального опорного стержня. Читателю предоставляется самому рас-
смотреть схему фиг. 90, е.
На фиг. 91 показаны неправильные, негодные основные системы, по-
лученные при ошибочном выборе отбрасываемых трех связей. Первые две
системы в одной своей части имеют лишние связи, а в другой —обла-
дан> подвижностью; две последние системы обладают мгновенной под-
вижностью.
Статически определимая основная система, как уже упоминалось,
применяется наиболее эффективно. Однако не исключается возможность
применения основной системы статически неопределимой. Для получения
такой системы нужно, чтобы число связей, отбрасываемых из заданной
системы, было меньше числа ее лишних связей.
Не исключается также возможность применения основной системы,
имеющей вид кинематической цепи с той или иной, отличной от нуля сте-
пенью изменяемости. Однако такой прием не нашел сколько-нибудь широ-
кого применения и мы его оставим без рассмотрения.
W2
§ ЗА ОСНОВНЫЕ (ЛИШНИЕ) НЕИЗВЕСТНЫЕ
Когда основная система выбрана, то усилия, которые заменяют собой
отброшенные связи, принимаются за основные неизвестные.
Так, например, возвращаясь к статически неопределимой системе,
которая была представлена на фиг. 90, а, мы можем выбрать неизвестные
так, как показано на фиг. 92; на схемах б, в, г за неизвестные приняты
опорные реакции, а на схеме д — изгибающие моменты.
Эти неизвестные являются основными по той роли, которую они
играют в расчете статически неопределимой системы. Вся трудность за-
дачи заключается в том, чтобы найти эти неизвестные; коль скоро они
вычислены, все остальные усилия определяются весыма просто. Так, если
мы обозначим искомый изгибающий момент в произвольном сечении
через нормальную силу — через N и поперечную — через Q, то эти
величины мы сможем определить по следующим формулам:
м=+ ?и2а2 -г ... + ^а< + • - - + мпхп + Мр;
X-М+ Х2Х2 . + ХпХп + ХР ;
Q =*= Q i A j Q., A\ 4-Qi Xi -F ... -j- Qn Xn QP. -
(1.4)
Здесь черед Afz, X}, Qi обозначены усилия, возникающие в том же
сечении основной системы при действии силы Х~ 1. Так как основная
система статически определимая, то и величины XIг, /Vz, Qz опреде-
ляются из уравнений статики.
Если речь идет о нахождении усилий XI, X, Q, вызванных не внешней
нагрузкой, а температурой или смещением опор, то -в формулах (1.4)
нужно положитьМр U, ХР = 0, Qp = 0, так как в статически определи-
мой основной системе ни температура, ни смещение опор не вызывает
никаких усилий.
Итак, хотя система содержит бесконечное множество сечений, а сле-
довательно, общее количество неизвестных значений М, N и Q бесконечно
велико, все они выражаются через п основных («лишних») неизвестных
Аь ^2, --., Хп. Основные неизвестные — это как бы «хранители тайн»
статически неопределимой системы. Кто нашел значения Х2,...,
тот получил ключ к выявлению всей картины распределения усилий.
103
§ 44. СИСТЕМА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА СИЛ ДЛЯ РАСЧЕТА
НА ДЕЙСТВИЕ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ
Вообразим себе заданную статически неопределимую стержневую
систему, находящуюся под действием заданной неподвижной внешней
нагрузки. Требуется определить усилия во- всех сечениях всех стержней.
Для решения этой задачи необходимо выбрать основную систему и
основные неизвестные. Произведу! эту операцию, мы тем самым как’бы
заменяем заданную систему основной системой. Но в то время как задан-
ная система нагружена только заданной внешней нагрузкой, основная
система загружена сверх того 'всеми основными неизвестными. Таким об-
разом, выходит, что мы преобразовываем одновременно как сооружение,
так и его нагрузку. Условие задачи состоит в том, что нужно рассчитать
заданную сложную систему на заданную простую, вполне известную
нагрузку, мы же рассчитываем простую основную систему на сложную,
частью неизвестную нагрузку. Разумеется, обе задачи по существу тожде-
ственны между собой, но в то время как для первой задачи не существует
прямого решения, вторая всегда может быть решена при помощи системы
линейных уравнений, содержащей все основные неизвестные.
Если заданная статически неопределимая система содержит п лиш-
них связей, то система п уравнений в общем виде может быть записана
так:
+ ^12^2 + ^А^ -!-••• + \пХ!г -г -Ур —
^21^1 -г $22^2 “Г ^з^з + • • - ~г А2Р = 0;
(2-4)
+ srt3 а;! т... + Зл пхп -L \пР = 0.
В нашей литературе уравнения (2.4) получили название канониче-
ских уравнений метода сил. Их можно также называть уравнениями
перемещений. Принципиально- они заключают в себе полное решение
поставленной задачи и поэтому -заслуживают особого внимания.
Запись этих уравнений в буквенном виде очень проста: в первой
строке коэффициенты при неизвестных имеют на первом месте индекс 1.
а на втором месте — последовательно 1, 2,..., п. Во второй строке пер-
вый индекс равен 2, а вторые индексы опять последовательно -равны
1, 2,..., л и т. д. Читателю достаточно .написать эти уравнения пару раз,
чтобы запомнить навсегда способ их составления.
Обратимся к рассмотрению их смысла. Для этого достаточно' будет
подробно разобрать содержание какого-нибудь одного из этих уравнений,
например, первого. Первый -член имеет вид о^А^. Множитель ои есть
перемещение точки приложения силы Ai по направлению той же силы,
вызванное силой А\ = 1; произведение 61( Ар очевидно, при любом зна-
чении силы Xj выражает собой перемещение той же точки по тому же
направлению, вызванное силой АД Второй член, о,2 АА, выражает собой
перемещение той же точки по тому же направлению, вызванное силой Х2,
и т. д. Последний (свободный) член А Р выражает собой перемещение
в том же месте .и опять по тому же направлению, но вызванное всей
совокупностью внешней нагрузки. Прописная буква А вместо строчной S
выбрана потому, что перемещение Д)р вызывается не единичной силой.
Вместо Aip можно было бы написать
Вся левая часть первого уравнения выражает собой алгебраическую
сумму перемещений точки приложения силы Л\ по направлению этой
силы, вызванных всеми действующими силами. Короче: левая часть вы-
104
пажает собой суммарное перемещение точки 1 по направлению 1.
Это перемещение приравниваем пулю согласно условию, так как в задан-
ной системе оно отсутствует.
Для большей ясности рассмотрим пример, представленный па
фиг. 92, б. В применении к этой системе первое уравнение представляет
собой математическую запись того простого факта, что вертикальное
перемещение точки D равно нулю.
Второе уравнение выражает собой то условие, что- суммарное пере-
мещение точки 2 по направлению 2, вызванное всеми силами, равно нулю.
Для фиг. 92,6 это означает, что горизонтальное перемещение точки D
равно нулю и т. д.
Для схемы фиг. 92,Э, где неизвестными служат моменты, первое
уравнение выражает собой отсутствие взаимного поворота тех двух сече-
ний, к которым приложены пары Ащ второе уравнение выражает собой
такое же условие, относящееся к парам Х2, и т .д.
Каково бы ни было- заданное сооружение, всегда можно располо-
жить неизвестные так, что перемещения по их направлению будут заве-
домо равны нулю, и тогда математическая формулировка этого факта
сейчас же приведет нас к системе канонических уравнений (2.4).
Таков простейший, чисто геометрический смысл канонических урав-
нений.
§ 5.4. ДРУГОЙ СМЫСЛ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
□ Приложим к заданной статически неопределимой системе силу
Xi — 1 и затем нагрузим ту же систему заданной внешней нагрузкой.
Тогда работа силы A*j = 1 на перемещении, вызванном внешней нагруз-
кой и всеми лишними неизвестными, равна нулю, так как заданная си-
стема по условию задачи в направлении силы Ай закреплена.
Но эта работа как раз и выражается левой частью первого из урав-
нений (2.4). Так, например, работа силы АГ1 1 на перемещении, вызван-
ном действительной величиной силы равна 1 ее же работа на
перемещении, вызванном силой X2j равна 1 -о12Х2 и т. д. Все эти
«работы», очевидно, имеют размерность соответствующего перемещения.
Аналогичным образом можно трактовать и все остальные уравнения
системы (2.4). Так, например, второе уравнение выражает то условие, что
работа силы = 1 на действительном перемещении, возникающем По ее
направлению в заданной системе, равна нулю.
Такое толкование смысла канонических уравнений применяется
иногда наряду с первым толкованием при решении сложных статически
неопределимых систем. Однако1 без него' можно обойтись, так как геомет-
рическая трактовка приемлема во всех, даже самых сложных случаях,
если только применять понятие о перемещении в обобщенном смысле. □
§ 6.4. ВЫВОД КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИЗ ТЕОРЕМЫ
О ПРОИЗВОДНОЙ РАБОТЕ ДЕФОРМАЦИЙ
□ В некоторых курсах и сочинениях по теории статически неопреде-
лимых систем канонические уравнения выводятся из теоремы о производ-
ной работе деформаций по силе, или, что то же самое, ив принципа на-
именьшей работы.
Для этого составляется выражение потенциальной энергии основной
системы, которая нагружена заданной внешней нагрузкой, а также силами
Аь Х2, ..Хп, Рассматривая эти силы как. независимые переменные
и беря частные производные потенциальной энергии по этим переменным,
105
мы получим 'согласно теореме Кастилиано
этих сил. Так как по условию задачи эти
можно написать
ЗК-о- ?Х = 0.
dXi и’ дХг
перемещения по направлению
перемещения равны нулю, то
<?л-„ и-
Раскрыв эти выражения, получим не что иное, как ту же систему
канонических уравнений (2.4).
Мы задели, что эта система уравнений может быть написана ср азу,
так как она выражает собой очевидное геометрическое свойство соору-
жения 1 □
§ 7.4, КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА
НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
В этом случае канонические уравнения пишутся следующим образом:
3>Л + 812Х, + 813Х3+ . . . +81лХя + Ди = 0;
^21^1 4” ^22-^2 + ^23^3 + • - - “Г^2п “F ~
} (3.4)
в том, что
+ • • • + + Дл/ = 0.
Отличие этой системы от системы (2.4) состоит только
вместо свободных членов Aip, Азр, ...п AffP здесь стоят члены А1(., Д2/ ...,
А^, выражающие собой температурные перемещения в основной
системе.
Геометрический смысл систем (2.4) и (3.4) один и тот же. Обе выра-
жают ту мысль, что суммарные перемещения по направлению отброшен-
ных связей равны нулю.
Совершенно такой же вид имеют уравнения в том случае, когда рас-
чет ведется на усадку бетона. В этом случае свободные члены Д,7 выра-
жают собой перемещения, возникающие в основной системе не от темпе-
ратуры, а от усадки бетона. Действительно, с геометрической точки зрения
усадка пса к фактор, вызывающий изменение длины стержней, аналогична
температуре.
§ 8.4. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЗАДАННОГО
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОПОР ИЛИ ДРУГИХ СВЯЗЕЙ
На практике смещения опор могут возникнуть вследствие недостаточ-
ной несущей способности грунта или вследствие оползня или как резуль-
тат подмыва фундамента. Перемещения могут быть линейными или
угловыми. Пример заданного углового перемещения встречается в длин-
ных стальных стержнях, имеющих стыки: если торец одного из стыкуемых
стержней отфрезерован с отступлением от -перпендикуляра «к его оси на
некоторый угол а (фиг. 93), то ось стержня получит в стыке перелом на
тот же угол а. Такое явление может иметь место в колоннах каркасов
многоэтажных зданий, в многопролетных неразрезных балках и т. д.
1 В отечественной литературе расчет таких систем, разработанный целиком на
основе теоремы о производной работе деформаций, приведен в книге проф. А. П. Ко-
робова «Расчет упругих систем по методу потенциальной энергии», Новочеркасск, 1928.
Своеобразное применение и трактовка этой теоремы содержатся в работе проф.
П. А. Миняева «Метод расчета сложных статически неопределимых систем», «Труды
ВНИТО судостроителей», т. I, вып. 2, 1936.
106
С такими явлениями следует бороться. Для этого необходимо уметь
определять усилия, вызываемые этими перемещениями в статически не-
определимых системах, и выяснять, каков допустимый порядок малости
перемещений.
Всегда 'можно выбрать лишние неизвестные так, что перемещения по
их направлению будут равны нулю.
Допустим для примера, что в раме, представленной на фиг. 94, а,
опора В переместилась в положение В', т. е. передвинулась вниз на вели-
чину а, вправо — на b и повернулась '
по часовой стерлке на угол ф „ В каче-
стве основной системы примем \
фиг. 94, б, на которой npaiBafl стойка __________i
отделена от своей опоры. За основные _______I
неизвестные примем силы взаимодей- ------
ствия между стойкой и опорой, т. е. две V
силы X], две силы Х2 и две .пары Х3. *'"
Очевидно, что в окончательном итоге
вз а и мн ое пе ремеще н ие кон ца стойки
относительно опоры В равно нулю, иг'
так как фактически стойка Tie отде-
лена от опоры. Поэтому канонические уравнения могут быть всегда за-
писаны так:
+ з,.х 4 з13ха + . . . 4- 8.Л + а!с=0;
4Ы 4- *22zV> + ^23^3 - • - + = 0 5
(4.4)
Здесь Д1г, Д?г, ...» Д^ — перемещения по направлению неизвестных
X], Х2, .. ., Хп, вызываемые в основной системе перемещением опор.
Фиг. 94
Так, для фиг. 94, б эти свободные члены имеют следующие значения:
Д;с = п; Д2с-=-~ Ь;
107
Перемещения Д.2г и Д8с 'Отрицательны, так как соответствующие
взаимные перемещения опоры В и конца стойки, как видно из чертежа,
направлены в сторону, противоположную положительным направлениям
неизвестных и Х3.
Если бы мы приняли основную систему и основные неизвестные,
показанные на фиг. 94, в, то получили бы
Дic ~ а, Д2с ~ b, Д .
Несколько труднее строятся кинематическим способом перемещения
для основной системы 94 г. Для того чтобы найти их, лучше всего посту-
пить следующим образом: построить три отдельных плана перемещений,
учитывающих заданные перемещения опоры, и результаты сложить.
Не приводя самого построения, напишем здесь результат:
. __ а b
1С~ 2й
-з^ — "I
2
h
Основываясь на соотношении (20.3), указанном в § 14.3, можно про-
извести подстановку
^Rclc
и легко найти те же самые перемещения чисто статическим путем, не
пользуясь кинематикой. Рекомендуем читателю проделать это.
Сделав пакую подстановку в канонические уравнения, можно придать
им также следующий вид:
SnA\ + S12X3 -г В13Х3 + . . . 4- ~ ^'Rei = 0;
’ ^22^2 4 ^23^з 4 . - . 4 ^2ПХп — = 0;
(5.4)
4Л + ап2х + • 4 4Х - ^RCf-0;
Уравнения (4.4) -и (5.4) относятся не только
к случаю заданного перемещения опор, но так-
же к случаю перемещения, заданного' по направ-
лению любой связи. Такой вид будут иметь урав-
нения, например, для рамы (фиг. 95), ригель ко-
торой получил в некоторой точке С начальный
взаимный поворот двух бесконечно близких
между собой сечений па угот
Как видим, системы (2.4), (4.4) и (5.4), отно-
сящиеся к случаям расчета на внешнюю -нагрузку,
на температуру и на перемещение опор или дру-
гих связей, отличаются друг от друга только свои-
ми свободными членами.
§ 9.4. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА НА СОВМЕСТНЫЕ
ДЕЙСТВИЯ НАГРУЗКИ, ТЕМПЕРАТУРЫ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОПОР
Обычно эти факторы учитываются раздельно, так как при таком
способе расчета легче подобрать для каждого сечения наиболее невыгод-
ную комбинацию всех факторов.
108
Однако в том случае, когда по условию задачи требуется учесть сов*
местное их действие, уравнения мо-жно написать сразу в. следующем
наиболее общем виде:
~Г + Й1;Л;( -г . . • +о1пХл 4- Д1Р -J- AiZ + Д1С = 0;
ГЭ; Л 1 "Р ГМ:\Х‘А + . . . + ^2п^п “Г ~Г -^2/ + = 0;
(6.4)
+ Э:2^2 + +
р дпр + дл/ р- о. *
§ 10.4. ОСОБЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
□ а) Если мы напишем канонические уравнения одно под другим,
так что коэффициенты при неизвестных расположатся в виде квадратной
матрицы, то заметим, что главные перемещения о,»,...; 6„„ распола-
гаются на главном диагонали матрицы. Все они, как следует из формулы
VI С M‘lds , vf iVl I
2jj jJ g?’
положительны. По обе стороны от главней диагонали располагаются
побочные перемещения, т. е. такие, у которых оба индекса не равны
между собой. Вследствие закона взаимности перемещений матрица сим-
метрична относительно своей главной диагонали, т. е. элементы, располо-
женные симметрично по отношению к этой диагонали, взаимно равны.
б) Элементы матрицы не зависят ни от внешней нагрузки, ни от тем-
пературы или смешения опор. Они зависят исключительно от' самого
сооружения и от выбора основных неизвестных.
в) Определитель 'системы канонических уравнений
о)2 6]3 .
(Щ Э>3 -
Эл 5,з •
никогда не может равняться нулю. Мало того, он никогда не может быть
отрицательным:
D>0. (7.4)
То, что определитель I) не может равняться нулю, мы докажем от
противного. Допустим, что D =0. Рассмотрим статически неопределимую
систему в ее исходном состоянии, т. е. при отсутствии внешней нагрузки,
температурных воздействий и смешения опор. При этом свободные члены
во всех канонических уравнениях равны нулю:
Д,Р = Д// = Д/с=0.
Уравнения обращаются в однородные.
Как известно, в том случае, когда D — 0, система однородных урав-
нений имеет, кроме «тривиального» решения Xt — Х2 = ... = Хп = 0,
еще бесчисленное множество других корней, отличных от нуля решений.
Пусть Л/, Л2', • - -, Хп' представляет собой одно из таких отличных от
нуля решений. Эти п значений удовлетворяют системе однородных
канонических уравнений; следовательно, такие п сил, будучи приложены
10У
к основной системе в «качестве внешней нагрузки, не вызовут никаких
перемещений своих точек приложения. В таком случае их работа будет
р1авна нулю. Выходит, что при действии такой внешней нагрузки потен-
циальная энергия сооружения будет иметь значение нуль. Но мы знаем
(см. § 5.2)» что это невозможно 4
Нетрудно также дать прямое доказательство того» что D > 0.
К какой бы системе мы ни приложили силу Xz= 1» она совершит
положительную работу, так как потенциальная энергия всегда положи-
тельна. Следовательно, перемещение o/f и сила Xt всегда направлены
в одинаковую сторону. Если примем направление о<7 за положитель-
ное, то сила Xit вызывающая такое перемещение, также будет положи-
тельной.
Дадим системе с двумя лишними связями, например, неразрезной
балке (фиг. 96), перемещение по направлению лишней связи Хь равнее
Фиг. 96
единице. Для соответствующей основной статически определимой системы
можно написать канонические уравнения
Н °13^2 - 1 j °21^1 "Ь °22^2-О,
откуда
— „ - или 8u822 -o?2 = D2=-^-.
Так как Xj > 0 и о.,? > 0, то D2 > 0, т. е. теорема доказана для определи-
теля любой системы с двумя лишними связями.
Рассмотрим теперь систему с тремя лишними связями (фиг. 97).
Опять дадим ей по направлению Х] перемещение, равное единице. Тогда
°] Л + S12X2 + 313JV8 — 1;
<41^1 42^2 4* °23^3 ~ О’,
^31-^1 + 42 АТ 4“ ЬузХз = 0,
откуда
4-2 4g
°В2 ^33
41 4s 4з
41 4s 4g
°31 4s 4з
^2
Dz ’
1 Строго говоря, это было бы возможно при полном отсутствии деформации, т, е.
в том случае, если бы силы Х2> • • •» были приложены в закрепленных точ-
ках сооружения по направлению имеющихся там связей. Понятно, что они тогда не
могли бы дать никакого эффекта. На самом же деле эти силы заменяют собой отбро-
шенные связи, следовательно, приложены в незакрепленных точках.
ПО
Так как Xi > 0 и по доказанному свойству системы с двумя лишними
неизвестными D2 > 0, то из полученного выражения для А4 следует, что
£>з>0.
Так можно доказать теорему для системы с любым числом лишних
связей.
Теорема о том, что определитель D никогда не может равняться
нулю, имеет основное значение для всей теории расчета статически не-
определимых систем. Она показывает, что решение канонических уравне-
ний метода сил никогда не может стать неопределенным или равным
бесконечности. Каждому заданному воздействию (нагрузке, температуре,
перемещению опор или других связей) отвечает совершенно определенное
значение усилий.
Разумеется, указанное свойство определителя будет иметь место
в том случае, когда все коэффиценты 6/Л — определенные и конечные
и не все одновременно равны ___
нулю. На практике для обеспе- ________ .------------------а---
чения этих условий достаточно 4*;
выбрать геометрически неизме- I f "
няемую основную систему. Не- Iх? /
обходимо также, чтобы коэф- Ь,
фициент упругости Е имел ко-
аечную величину (т. е. чтобы иг‘
материал не был абсолютно
жестким). Для решения канонических уравнений при помощи последова-
тельных приближений имеет значение то, что определитель D не может
стать отрицательным; это обеспечивает сходимость процесса.
Кроме того, это позволяет установить между перемещениями упру-
гого тела бесчисленное множество неравенств, которые могут 'служить
для контроля. Так, например, написав определитель
и раскрыв его, найдем, что
(8.4)
(9.4)
т. е. что побочное перемещение всегда меньше среднего пропорциональ-
ного из соответствующих двух главных, и т. д. Ч
Основное же значение неравенства D > 0 состоит в следующем: он.)
выражает собой то свойство перемещений, или, говоря образно, тот внут-
ренний механизм перемещений, благодаря которому потенциальная энер-
гия всегда положительна. □
§ 11.4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Как известно из теории линейных уравнений, решение системы (2.4)
может быть представлено в следующем виде:
4* ^12^2р 4~ ?1здзр 4~ • * * 4~ ^1л^«р;
~ Р21^1Р 4“ ?22^2Р 4“ Р23Д3Р 4“ . . - 4- ?2п^лр ;
........................................... ; (104)
X. = p;iAjp + р/2Д2р 4~ &зДзр -г ... -г ;
.......... ...............................................} ♦
1 См. статью автора, указанную в сноске на стр. 46.
111
Коэффициенты p/w. зависят только от коэффициентов 61;?| . ..
системы канонических уравнений и не зависят от свободных членов.
Матрица
P1I Р]2 Р13 • • • Р1д
₽21 Р22 ?23 • • • ₽2Л
₽пЗ • • • Рлл
носит наэв1ание сопряженной по отношению к матрице, образованной
коэффициентами оп , о12, . . Ъпп. Зная члены одной матрицы, можно
вычислить члены другой, и наоборот.
Любой из коэффициентов сопряженной матрицы может быть
выражен формулой
где Aik— определитель, который получается из D при удалении i-й строки
и k-й колонны или k-н строки и z-й колонны.
При этом для системы канонических уравнений
всегда
~ Pw-
Вообще, если основная матрица симметрична, то и сопряженная 'Симмет-
рична.
□ Практически вычисление коэффициентов fiik может быть произ-
ведено различными способами. Выясним, каков, статический смысл этих
коэффициентов. Так как они не зависят от величин Дщ , &2ри т. д., то для
их нахождения мы можем дать перемещениям Aip, Дор и т. д. какие
угодно значения. Дадим им следующие значения:
A ip— 1; А2Р = Азр — . . . = Алр = 0, (а)
т. е. предположим, что внешняя нагрузка специально1 подобрана и вызы-
вает в основном статически определимом сооружении перемещение по на-
правлению только одной неизвестной Х1г притом равное единице. В задан-
ном статически неопределимом сооружении суммарное перемещение по
этому направлению должно быть равно нулю, следовательно', можно
сказать, что1 под действием лишних неизвестных сооружение получит по
направлению Xi перемещение, равное — 1. Итак, соблюденье условия (а)
означает, что под действием лишних неизвестных связь / переместилась
по своему направлению на величину — 1, а остальные лишние связи оста-
лись неподвижными.
Мы условились раньше обозначать реакции Хь Х2.......Хп, возни-
кающие при перемещении, равном единице, соответственно через
Пь ^21,--., гп\- С другой стороны, из системы (10.4) при условии (а)
получается
=?и; Х8 = р31; .Хй = Ря1.
Поэтому можно написать
Ри~ гп', р21 = r2i 5 * * Д Pnt ~ rni *
Выше было доказано, что реакции r[f. обладают свойством взаим-
ности; отсюда сама собой вытекает взаимность коэффициентов сопряжен-
ной матрицы
?ik ~ Pw ’
112
Решение системы канонических уравнений может быть представлено
в виде
+ .-|-r/z2AZ2p) . (11.4)
Само собой понятно, что решение канонических уравнений (3.4),
(4.4), (5.4), (6.4) имеет такой же вид, но только вместо свободных членов
А/p нужно оперировать с членами вида Az/ или Д/?, или А/Р + Af7 4- Д/с.
Существует еще одно соотношение между коэффициентами основной
и сопряженной матриц. При соблюдении условий (а), как уже указыва-
лось, получается
= ?11 5 — ?211 * * • I — Рл »• • •
Подставив эти значения неизвестных в первое каноническое уравне-
ние и учитывая свойство взаимности, получим тождество
ВцРи ^13р13 ~Ь • • • "Ь ~ 1 •
Вообще
W/2 Н- 4* • * (12.4)
Эти соотношения дают хорошую проверку вычислений.
Процесс решения уравнений с буквенными свободными членами
часто оказывается весьма кропотливым, но зато полученное в таком виде
решение является универсальным и позволяет быстро определить неиз-
вестные при любом заданном воздействии. Такая форма решения особенно
целесообразна в тех случаях, когда одно и то же сооружение приходится
рассчитывать несколько раз на различные внешние воздействия.
Коэффициенты, стоящие при Д1₽, Дгр и т. д., можно назвать числами
слияния, так как они выражают влияние этих свободных членов на то или
иное неизвестное.
Заметим в заключение, что хотя каждой заданной нагрузке, действую-
щей на данное статически неопределимое сооружение, отвечают опреде-
ленные значения лишних неизвестных Х2}..., Хп , нельзя сказать
обратного. Каждой определенной группе значений этих неизвестных отве-
чает бесчисленное множество нагрузок. Действительно, достаточно подо-
брать нагрузки так, чтобы они вызывали в 'основном сооружении те же
самые перемещения Aip, д2/>,..., ДлР, и тогда всем им будет отвечать одна
и та же система канонических уравнений *. □
§ 12.4. ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ,
ВЫТЕКАЮЩЕМ ИЗ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА СИЛ
Канонические уравнения позволяют сделать некоторые общие заклю-
чения о статически неопределимых системах.
а) Коэффициенты 31По22, . . . , . . , 8ЛИобладают следующим
очевидным свойством: чем жестче та связь, в которой возникает усилие
Хь тем меньшую величину имеет коэффициент o/z; чем она податливее,
тем большую величину имеет этот коэффициент.
Наименьшее значение получается тогда, когда связь t бесконечно
жестка; этот низший предел положителен и, вообще говоря, не равен
нулю. Наибольшее значение отвечает бесконечно малой жесткости
связи г, оно равно бесконечности.
Например, для фит. 98 имеем
8П=—+ —;
11 3EJ EF
1 О приложениях этого свойства см. статью автора «Об эквивалентных и нулевых
воздействиях» в сборнике «Исследования по теории сооружений», Госстройиздат, 1936.
8—И. М. Рабинович
113
где a, F — длина и площадь сечения стойки. При 5 — со
(Оц)мин
р__.
3EJ ’
при F = О
(^и)макс 00 *
Изменение жесткости одной из лишних связей, например, связи
номер /, влечет 31а собой изменение только одного из коэффициентов
канонических уравнений, а именно коэффициента Ъи. Все остальные
коэффициенты, а также свободные члены остаются без изменения.
б) Выясним, как отражается изменение коэффициента б(7 на вели-
чине лишней неизвестной Xit т. е. на реакции связи /. Из теории линей-
ных уравнений известно, что
Л=- —>
‘ D
где В1 получается из определителя D путем замены ого столбца столб-
цом свободных членов.
4
Фиг. 98
Следовательно, Bi не содержит в своем составе величину 8ZZ . Опре-
делитель D можно разбить на две части, выделив члены, содержащие ozz:
Итак:
D = \iD<-^ + D1.
=__________в,
1
(13Л)
Так как /Ф“‘)>0 и ozz > 0, то
8zzZ)(-0 > 0.
Кроме того:
Формула (13.4) показывает, что по мере увеличения жесткости связи I
лишняя неизвестная возрастает по абсолютной величине, сохраняя
без изменения свой знак. Она достигает максимума при наибольшей
жесткости этой связи и обращается в нуль при жесткости, равной нулю.
Так как при бесконечном увеличении жесткости связи i величина Xi
стремится к конечному пределу, то нет смысла затрачивать материал на
чрезмерное увеличение жесткости, если мы хотим добиться значительного
увеличения усилия Х^ при большой жесткости связи i дальнейшая трата
материала даст ничтожный эффект.
в) Все коэффициенты канонических уравнений содержат в знаме-
нателе модули упругости Е и G. В случае расчета на действие внешней
нагрузки тем же свойством обладают и свободные члены. Следовательно,
в этом случае замена обоих модулей величинами kE и kG, где k — произ-
вольное число, не отражается на величине лишних неизвестных. Отсюда
114
следует, что при действии внешней нагрузки замена материала сооруже-
ния другим, имеющим соответственно пропорциональные модули, не
вызывает изменения величины лишних неизвестных.
Если пренебречь влиянием касательных напряжений на деформации,
останется один модуль Е, В этом случае замена одного однородного упру-
гого материала любым другим однородным и упругим не влечет за собой
никакого изменения усилий, вызываемых внешней нагрузкой (но не тем-
пературой, усадкой материала и смещением опор).
§ 13.4. К ИСТОРИИ МЕТОДА СИЛ
□ Метод решения статически неопределимых задач, при котором за
неизвестные принимаются усилия в лишних связях, зародился давно.
Во всяком случае в неявном виде он фигурировал при расчете неразрез-
ной балки уже в 1808 г.
Канонические уравнения метода сил впервые в литературе даны были
Максвеллом в упоминавшейся нами работе 1864 г. Он вывел эти уравне-
ния для статически неопределимой фермы, пользуясь принципом возмож-
ных перемещений и рассматривая последовательно возможную работу сил
= -1, Х2 = 1 ит. д на действительных перемещениях системы.
Дальнейшее развитие эти уравнения получили в 70-х и 80-х годах
прошлого столетия в трудах Мора и ряда других авторов. В России озна-
комлению широких инженерных кругов с общей теорией расчета стати-
чески неопределимых стержневых систем в конце XIX и в начале XX сто-
летий, как указывалось, много содействовал своим блестящим и часто
оригинальным изложением проф. Виктор Львович Кирпичев.
Особое внимание канонические уравнения метода сил стали привле-
кать к себе тогда, когда возникла необходимость рассчитывать сложные,
т. е. содержащие много лишних неизвестных и притом весьма разнооб-
разные по своим формам и геометрической структуре статически неопре-
делимые системы. Известные с середины XIX столетия трехчленные кано-
нические уравнения, решавшие задачу о неразрезной балке, были недо-
статочными для расчета других систем.
Задача расчета сложных статически неопределимых систем любого
вида была поставлена перед строителями только в XX столетии, и в ее
решении почетная роль принадлежит отечественным ученым. Обзор раз-
вития этой проблемы! выходит за рамки данной главы: он дан в гл. 6. □
Глава 5
РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
§ 1.5. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛКАХ
Неразрезной балкой называется такая балка, которая имеет два или
более пролетов и проходит через свои опоры, не прерьшаясь нигде шар-
нирами или разрезами. Характерным отличием неразрезной балки от раз-
резной является то, что нагрузка, стоящая в любом ее пролете, изгибает
балку на протяжении всех ее пролетов, создавая плавную упругую линию.
Схема неразрезной балки показана на фиг. 99 а, схема разрезной — на
фиг. 99, б.
Фиг. 99
При конструировании неразрезных балок всегда принимаются меры
к тому, чтобы они не могли отделяться от своих опор. Свободная укладка
балки на-опоры (фиг. 100) допускается только в случаях, когда сама на-
грузка прижимает балку по всем ее опорам и не дает ей отделяться от них.
Расчетная схема неразрезной балки предполагает идеальное шарнир-
ное прикрепление ее ко всем промежуточным опорам и допускает абсо-
лютную или упруго-податливую заделку только на крайних опорах.
Пб
Таковга схема фиг. 99, а. Действительная конструкция прикрепления балки
к ее опорам обычно отступает от этой схемы.
Неразрезн^я балка принадлежит к таслу весьма распространенных
конструкций. Она применяется в железобетонном, металлическом и дере-
вянном строительстве в качестве элемента различных сооружений или
в качестве их основной части.
На фиг. 101 и 102 показаны примеры мостов с металлическими не-
разрезными пролетными строениями.
Фиг. 101
Из различных статически неопределимых систем, которые будут рас-
смотрены в настоящем курсе, мы поставили неразрезные балки на первое
место, так как они обладают замечательной простотой структуры, ре-
Фиг. 102
шаются при помощи очень простых уравнений и являются наилучшим
введением в расчет более сложных статически неопределимых систем.
§ 2.5. КОЛИЧЕСТВО ЛИШНИХ СВЯЗЕЙ. ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ
Для обеспечения неподвижности стержня в плоскости требуются, как
известно, три опорных стержня, поэтому количество лишних связей нераз-
117
резной балки меньше числа ее опорных стержней на три единицы. Так,
мапример, балка, отвечающая схеме фиг. 103, а, содержит две лишние
связи, схема б — три лишние связи; схема в— четыре.
Закрепление правого конца на схеме в эквивалентно двум опорным
стержням; такое устройство имеет целью устранить напряжения от равно-
мерного нагрева или охлаждения.
Если балка имеет т пролетов, то при шарнирном опирании обоих
концов (схема а) количество лишних связей равно tn — Л; при заделке
одного конца оно равно /и; при заделке обоих концов по схеме в оно
равно т + 1.
Неразрезная балка может быть статически определимой только
в одном случае: когда она имеет три опорных стержня, не пересекаю-
щихся в одной точке, не параллельных между собой и разбивающих ее
на два пролета (фиг. 104). Так как усилия в такой балке определяются из
уравнений статики, то она р<ассматриваться нами не будет.
Фиг. 104
Во всех остальных случаях задача статически неопределима и при
решении по методу сил содержит столько основных неизвестных, сколько
в балке имеется лишних связей.
При выборе основной системы необходимо стремиться к тому, чтобы
канонические уравнения получились возможно более простыми. С этой
точки зрения весьма поучительна основная система, изображенная на
фиг. 105, б, которая получается при помощи удаления лишних опорных
стержней. Такая основная система исторически была первой по времени
появления в литературе, и хуже ее вряд ли можно придумать. Составив
канонические уравнения, мы убедимся, что в каждое из них входят все
неизвестные. Например, первое уравнение имеет вид:
Л: + ^12^2 + • • - + Л + 0-
Оно выражает ту мысль, что прогиб на первой опоре равен нулю.
Но из фиг. 105, в ясно, что от действия силы X] = 1 ни один из про-
гибов 321 — В31 — 833,..., не будет равен нулю, следова-
тельно, в первое уравнение войдут все неизвестные. То же самое прои-
зойдет со вторым уравнением, с третьим и т. д.
При более удачном выборе основной системы для нерйзрезной балки
можно добиться того, что множество коэффициентов обратится в нуль,
118
и при любом количестве пролетов ни одно уравнение не будет содержать
больше трех неизвестных. К этому решению сейчас перейдем.
Предварительно сделаем одно замечание, которое пригодится нам для
всех статически неопределимых задач: как бы удачно ни была подобрана
основная система, в нуль могут обратиться только те или иные побочные
коэффициенты d/ft.
Главные перемещения вида С,- никогда не могут приобрести нуле-
вого значения; они существенно положительны, как показывает формула
__
§ 3.5. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК НА ВНЕШНЮЮ НАГРУЗКУ.
УРАВНЕНИЯ ТРЕХ МОМЕНТОВ
Выберем в качестве основной системы совокупность однопролетных
шарнирно опертых балок. Такая статически определимая система полу-
чается из заданной неразрезной балки при помоши устранения жесткой
связи между сечениями на каждой опоре и замены ее шарнирной
(фиг. 106, б).
Число отброшенных связей обозначим через k.
Фиг ICf
За неизвестные примем изгибающие моменты, действующие в опор-
ных сечениях, и обозначим их через Xj, Х2,.., Xk. Так как заранее неиз-
вестно, какой из этих моментов вызывает растяжение в нижнем волокне,
а какой в верхнем, то будем считать, что все они растягивают нижнее
волокно. Если на самом деле тот или иной момент направлен в обратную
119
сторону, то это выяснится впоследствии, и мы получим для него отрица-
тельное значение.
Напишем какое-нибудь одно из системы канонических уравнений:
*ЛЛ + + W3 4-... 4- cnkXk 4- Ллр — 0. (15)
Здесь ол1 Х} есть взаимный поворот сечений на опоре, обозначенной
номером п, который вызывается двумя равными и противоположными
парами Xj;
— взаимный поворот сечений на той же опоре, вызываемый па-
рами Х2, и т. д.
Вся левая часть уравнения выражает собой суммарный взаимный
поворот сечений на рассматриваемой опоре, который вызывается всеми
лишними неизвестными и заданной внешней нагрузкой. Этот угол взаим-
ного поворота можно было> бы назвать также углом перелома упругой
линии на опоре п. Но так как никакого перелома не должно получиться
и упругая линия должна остаться плавной, то приравниваем сумму
нулю.
Насколько этот выбор основной системы является удачным, выяс-
няется сейчас же, как только мы приступаем к вычислению коэффициен-
тов. Стоит только посмотреть на фиг. 406, б, чтобы заметить следующее:
момент вызывает перелом упругой линии только на опорах 1 и 2\
момент Х2— на опорах 1, 2 и 3; момент Х3 — на опорах 2, 3 и 4 и т. д.
В свою очередь перелом на опоре 1 зависит от моментов Х} и Хг
(и от внешней нагрузки), но не зависит от остальных лишних неизвестных;
перелом на опоре 2 зависит только от Хь Х2, Х3 и от внешней нагрузки
и т. д. Следовательно, в каждом из канонических уравнений, кроме пер-
вого и последнего, фигурируют только по три неизвестных; в первом же
и последнем — только по два.
Эти рассуждения позволяют сразу же, без всяких вычислений, пере-
писать уравнение (1.5) в более простом виде:
п-1 Хп—1 4* 4- л+1 Хл4-1 Длр = 0. (2.5)
Такое уравнение называется трехчленным, так как содержит
три неизвестных.
Для вычисления коэффициентов &л, Л_1, Влл, 8Я, л+1 нагрузим основную
систему последовательно обобщенными силами 1, Хп=1, X._i=l.
Соответствующие эпюры изгибающих моментов тп. mn+i представ-
лены на фиг. 107; каждая из них простирается только на два пролета и
имеет вид треугольника с высотой, равной единице. При интегрировании
любой такой эпюры с двумя смежными получается интеграл, отличный от
нуля, а при интегрировании с прочими ввиду отсутствия у них общих
участков интеграл обращается в нуль. Этим подтверждается, что перелом
на любой опоре зависит только от трех неизвестных.
Пренебрегая влиянием поперечных сил на деформацию, получим для
коэффициентов следующую формулу:
s, yi С mimkds
—ZjJ Ef~~ '
Неразрезная балка может иметь сечения, изменяющиеся по ее длине
по любому закону. Чтобы не усложнять расчета, ограничимся рассмотре-
нием такой балки, у которой момент инерции J на протяжении каждого
пролета постоянен, но имеет в различных пролетах 1а различные значе-
ния J п.
Для упрощения арифметических вычислений оказывается целесооб-
разным вычислять не коэффициенты а произведения £70-o/ft,. где
120
/о — совершенно произвольный момент инерции. Разумеется, что, зная
это произведение, мы сможем, если это понадобится, найти делением
этого произведения на EJ0.
Пользуясь правилом интегрирования прямолинейных эпюр, мы
быстро найдем
EJ0^ = J J /п?4 ds = -I- (% l„ + /л+1) - 4-(VK.’)!
Фиг. 107
Мы могли бы столь же легко получить эти выражения для коэффи-
циентов, если бы определили углы поворота опорных сечений, вызывае-
мые парами Xn_v Xni Xn+V графоаналитическим методом как фиктивные
опорные реакции от загружения пролетов треугольной нагрузкой. Однако
в интересах единства метода мы избрали более общий путь.
Вычислим теперь свободный член АпР который выражает собой угол
перелома упругой линии на опоре п, вызываемый в основной системе
заданной внешней нагрузкой (фиг. 108). Очевидно, что он зависит от за-
гружения только пролетов 1п н 1п-и. Для него мы имеем формулу
тптР ds.
Так как эпюра тп состоит из двух прямых, то в пределах пролета
интеграл равен площади эпюры тр, помноженной на ординату эпюры тп,
расположенную под центром тяжести первой. Обозначив площади через
121
®»+i- а расстояние их центров тяжести до опорных вертикалей — через
ап, Ьп и ая+1, йл+|, мы получим
^сдлР=А--^«>л+-А?- ^»я+1. (3.5)
Это выражение можно написать несколько иначе, если обратить вни-
мание на то, что произведение —осесть не что иное, как правая опорная
реакция п-ролета 1П от фиктивной нагрузки <%. Мы се обозначим через
В*, где буква «ф» обозначает «фиктивная»; значок п прн этом относится
не к опоре п, а к пролету п. По аналогии с этим можно записать, что
<Dn+i есть левая фиктивная опорная реакция пролета и обозна-
/л+1
чить ее через Д*+1. Тогда получим
EJ^nP= Ад* + А д*+1. (4.5)
* Л ч/Л+1
Н---ап--—bnt1—н
Фиг. 108
После этого уравнение (2.5) примет следующий вид:
а /х-!+4-(/л+1пЛ хп+4- z»+.^+i+ % ^+т4тл*+1=0'
Для того чтобы резче подчеркнуть, что в данном случае за неизвест-
ные приняты опорные моменты, заменим обозначения Хп i Хп, Хп+, обо-
значениями Мп |, Мп, /Ип4 1. Кроме того, умножим обе части уравнения
на 6. Тогда получим окончательно
/Ж-1+2(/;+/;+1)/и„ч-/;+,/и„+,=-б('/"б*+-А_д*+1). (5.5)
Это и есть уравнение трех моментов.
Множитель Jo входит как в левую, так и в правую часть уравнения,
поэтому не влияет на величину неизвестных.
В том частном случае, когда балка имеет во всех пролетах один и тот
же момент инерции /, целесообразно принять Jo = J, и тогда уравнение
(5.5) примет более простой вад
/я-1Мя-1+2(/л + /я+1)Мл+/л+1/Ия+1 = -6(б* + 4+|). (6.5)
Для нагрузок, встречающихся наиболее часто, целесообразно рае
навсегда вычислить фиктивные опорные реакции, умноженные на 6. Одной
122
из таких нагрузок является, например, сосредоточенная сила (фиг. 109).
Обозначим расстояние ее точки приложения до левой опорной вертикали
через и - I, где и — отвлеченное число (правильная дробь); расстояние до
правой вертикали обозначим через v I, где v = 1 — и. Подсчитав
площадь треугольной эпюры моментов и учтя, что центр тяжести такого
i (1 4- и) -
треугольника находятся на расстоянии —-от левой опорной верти-
кали и на расстоянии —CL+Ji от правой, найдем
бДф^Р/2^(1+-&); 6B* = PZ2u^(l +и). (7.5)
Если нагрузка состоит из нескольких сосредоточенных сил, то
фиктивные реакции равны сумме реакций, отвечающих каждой силе в от-
дельности.
В табл. 5 даны величины 6ДФ и 6ВФ для нескольких различных на-
грузок. Для нагрузок, не помещенных в этой таблице, нахождение фик-
тивных реакций также не может вызвать никаких затруднений.
Г а б л и ц а 5
123
После того как мы, пользуясь таблицей или сделав самостоятельное
вычисление, определим свободные члены уравнений трех моментов, сей-
час же можно будет написать всю систему уравнений, содержащую неиз-
вестные опорные моменты.
. Модуль упругости Е не входит ни в один из коэффициентов или
свободных членов, следовательно, опорные моменты от него не зависят.
При прочих равных условиях неразрезные балки, сделанные из различ-
ных материалов, испытывают одни и те же усилия 1.
Моменты инерции поперечных сечений балки содержатся во всех
членах уравнений (5.5) в знаменателе. Следовательно, от умножения всех
моментов инерции на одно и то же число величина неизвестных не изме-
нится. Изгибающие моменты зависят не от абсолютной величины момен-
тов инерции, а только от их соотношения в различных пролетах. Две
балки, из которых одна обладает большой жесткостью, а другая малой,
будут испытывать один и те же усилия, если .во всех пролетах жесткость
одной пропорциональна жесткости другой 2.
Свободные члены уравнений трех моментов зависят от фиктивных
реакций А* и В*, вызываемых нагрузкой; следовательно, разнообраз-
ные внешние нагрузки, вызывающие в основной системе одинаковые
фиктивные реакции, вызывают в неразрезной балке одинаковые опорные
Фиг. 109
Фиг. НО
моменты; что касается эпюры моментов н поперечных сил, .а также вели-
чин опорных реакций, то они при этом, вообще говоря, не будут одина-
ковыми. Можно сказать, что все нагрузки какого-нибудь пролета, кото-
рые в случае превращения последнего в простую шарнирно-опертую балку
вызывают на его концах одинаковые углы поворота или, иначе говоря,
способны вызвать в случае защемления его концов соответственно рав-
ные моменты защемления, эквивалентны по> отношению к опорным момен-
там.
Если мы нагрузим нер1азрезную балку одновременно двумя такими
эквивалентными нагрузками, изменив предварительно знак одной ив них
на обратный, все опорные моменты обратятся в нуль. Следовательно,
неразрезную балку можно бесчисленным множеством способов нагрузить
так, что все ее опорные моменты обратятся в нуль.
Эпюра М может быть построена графически или аналитически. Гра-
фическое построение заключается в том, что для каждого пролета балки
1 Этот вывод справедлив при игнорировании влияния поперечных сил на дефор-
мации. Если же это влияние учитывается, то для равенства усилий необходимо еще,
Ё
чтобы отношение модулей упругости оставалось для всех сравниваемых материалов
Ст
одно и то же.
2 При учете влияния поперечных сил недостаточно, чтобы пропорциональность
соблюдалась между моментами инерции. Она должна соблюдаться еще между площа-
дями поперечных сечений.
124
на эпюру/Ир, т. е. на эпюру моментов простой однопролетной балки,
накладывается трапецеидальная эпюра, обусловленная влиянием двух
опорных моментов (фнг. 110). При этом для удобства измерения ординат
две эпюры или две ординаты, имеющие противоположные знаки, откла-
дываются по одну н ту же сторону от оси абсцисс, а эпюры или ординаты
с одинаковыми знаками —по разные стороны от оси абсцисс, после чего
остается измерить отрезки ординат, заключенные в промежутке между
обеими эпюрами.
Для вывода аналитического выражения изгибающих моментов вооб-
разим, что ординаты эпюры МР и оба опорных момента имеют одинако-
вые знаки (фиг. 111). В сечении с произвольной 1абсциссой х изгибающий
момент выражается ординатой
ad — ab + Ьс cd.
. Но из чертежа ясно, что
ab = MP; Ьс^Мв-^-; cd = М.^- ,
I Л I
следовательно:
МХ==МР-'Г
Эта формула справедлива ,
при каких угодно комбина-
циях знаков величин
Мв.
Формула для поперечных
сил получается дифференциро-
ванием формулы (8.5):
<9-5)
Поперечная сила в сечении
х, как уже неоднократно упо-
миналось, считается положительной, если она стремится оба участка
балки, разделяемые этим сечением, поворачивать по часовой стрелке. При
этом для балки с горизонтальной осью моменты Ма считаются положи-
тельными, когда они вызывают растяжение в нижнем волокне. Фиг. 112, а
и б показывают, что положительный момент Ма вызывает отрицательную
поперечную силу (опорные реакции стремятся поворачивать балку
против часовой стрелки), а положительный момент Мв — положительную
поперечную силу. Формула (9.5) находится в полном согласии с этим
выводом.
Опорная реакция на любой опоре п легко получается следующим
способом; нужно вырезать двумя сечениями, расположенными по обе
стороны от опоры, бесконечно малый участок балки и спроектировать на
вертикаль все действующие на него силы. Будем считать положительными
реакции, направленные вверх (фиг. ИЗ). Приняв поперечные силы Qn и
Qn+i положительными, т. е. действующими по часовой стрелке, и поль-
зуясь формулой (9.5), можно написать
/?„=Q„+1 - <2„=Я„° + М-п-±т^Мп- + , (10.5)
где через обозначена та реакция опоры п, которая получается на ней
125
в основной системе от заданной внешней нагрузки, расположенной на
пролетах 1п и 1п+\.
Мы вывели уравнение трех моментов, пренебрегая влиянием по-
, перечных сил па деформации. Если не делать этого упрощения, то урав-
нение все равно остается трехчленным, но получает, конечно, другие коэф-
Фиг. 112
Фиг. 113
фициенты. Сравнительные подсчеты влияния этого фактора произведены
на числовых примерах проф. С. А. Бернштейном
§ 4.5. ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ
□ Пример 11. Построить эпюры М и Q для неразрезной балки, представленной на
фиг. 114.
Дано:
= = G = ^3 = 4-w; /i = 1; Z2=J3 = 2; /4 = 1,5.
Примем
70=Л = 1.
Тогда
/,' = 1, = 3м; 12' = 1г’='.4 = 2м; ’.3-2Л.
Л 1,0
Фиг. 114
Уравнения трех моментов имеют следующий вид :
2 (А' + Zs') М, + Z2'M2 = - -Ч^ - -L • ;
1,'м, + 2 (z2> + z/) м, + i,’Ms ;
z3'Ma + 2 у/ + /«) /И, - - ’ . .
2 4
После вамены буквенных коэффициентов числовыми эти уравнения переходят
в следующие:
lOAfi 4- 2М2 -22,75?; + 8Л12 4 2М3 = — 21?; 2М>4-8Л43=------8?.
1 С. А. Бернштейн, Основы расчета статически неопределимых систем, ОНТИ,
1936, § 41.
126
Находим из первого уравнения
/W2 = -5Afx— 11,375g.
Подставляем это значение во второе уравнение и находим
Afg=19Alj + 33,5g.
Оба найденных выражения подставляем в третье уравнение и получаем
— 1,78 ,и2-д.
После этого находим ив предыдущих формул
Л42 = - 2,475 Л18 = -0,32 M*-q.
Эпюры моментов, вызываемые внешней нагрузкой в основной системе, имеют вид
трех парабол с ординатами в середине пролета, соответственно равными
11£- = 1,125 Mz-q‘, - 4 мг-q; = 2 jtf-q.
8 о о
Промежуточные точки параболы могут вычисляться по уравнению параболы, но
проще всего определяются по схеме, указанной на фиг. 115, где изображена половина
параболы и средняя ордината принята равной единице. Таким же способом отклады-
ваются ординаты параболы в том случае, когда ее вамыкающая наклонна (фиг. 116).
Эпюра изгибающих моментов показана на фиг. 117, а. Эпюры поперечных сил
имеют вид прямых, поэтому в данном случае достаточно определить их ординаты для
опорных сечений.
По формуле (9.5) получаем:
в первом пролете — на опоре 0
Q = -4'1- — -L78? = 0,907 м-q-,
2 Л
на опоре 1
О =—-g*L —-L78<?- = - 2,093 м-q.
2 /,
Во втором пролете — на опоре 1
Q =- + ~~2’475? + 1Л8д-_ = + 3 82б M.q.
2 /3
на опоре 2
Q =— tgk 4-2|4Z.5g + 1,78jL --------4,174 м-q.
127
В третьем пролете — на опоре 2
Q « 4- °’3^ + 2'475? = 2,539 M-q\
2 Z3
на опоре 3
Q ----Sh- + Т °’32|? + 2.475<7_ = _ Г461 м_д
2 h
В четвертом пролете — на опорах 3 и 4
Q ,.-0-32<? _ 0,107 M.q.
14
Эпюры Q в первом н третьем пролетах параллельны между собой. Эпюра Q
показана на фиг. 117,6.
Каждая опорная реакция, как видно из формулы (10.5), может быть найдена как
разность между поперечными силами справа и слева от опоры. Реакция Ro уже найдена:
#?о — 0,907 M*q. Остальные реакции имеют следующие значения:
/?i = 3,826g — (- 2,093g) - 5,919 M*q\
/?2 = 2,539g — (—4,174g) « 6,713 л-д;
??3 « 0,107g —(— 1,461g) = 1,568 M-q\
— — 0,107 м-q.
Задача № 8. Составить для той же балки уравнения в предположении, что левый
конец имеет консоль, нагруженную заданной нагрузкой (фиг. 118).
Указание. Назовем момент нагрузки, расположенной на консоли, относительно
крайней левой опоры через Мо. Этот момент известен. Первое из уравнений трех
моментов составляется для опоры I; оно содержит два неизвестных и имеет вид
128
4^и0 + 2(4' + z3)ai1 + z,'zwj--6(A в* +Лл*
\ л л
Задача № 9. Решить такую же вадачу при условии, что левый конец балки защем-
лен (фиг. 119).
Заделку левого конца можно осуществить при помощи устройства дополнительного
бесконечно жесткого пролета имеющего на левом конце шарнирную опору.
Так как на этой опоре момент равен нулю, то можно без труда написать первое
из уравнений трех моментов:
2 (/„ + Z/) Л/„ + 1,М, = - 6 А л*.
или после подстановки
z0' = A z„ = o
сю
2Z,'A1,+ 4'.Mi = -6A^. (11.5)
Л
Остальные уравнения не требуют
пояснения.
Задача № 10. Выяснить, может
ли эпюра моментов неразревной бал-
ки на протяжении двух смежных про-
летов иметь один и тот же знак
(фиг. 120).
Ответ. Нет, не может, так как
упругая линия не может быть выпук-
лой на протяжении двух пролетов.
Задача № 11. Построить эпюру
изгибающих моментов для двухпро-
летнон неразрезной балки постоянно-
го сечения, нагруженной иа средней
опоре заданной сосредоточенной па-
рой с моментом т (фиг. 121).
Ответ. Эпюра моментов показана
Фнг. 120
фиг. 121, б;
be =
mil
Л + 6,
а) m
C
Фиг. 121
li + h
9—И. M. Рабинович
129
§ 5.5. МОМЕНТНЫЕ ФОКУСНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И МОМЕНТНЫЕ ФОКУСЫ
Теория так называемых моментных фокусных отношений, имеющая
большое практическое и теоретическое значение для расчета неразрезных
балок и рам, естественно возникает при рассмотрении эпюры изгибающих
моментов, отвечающей загружению одного пролета балки. Составив
для этого случая систему уравнений трех моментов и решив ее, мы
убедимся, что эпюра имеет примерно такой вид, как показано на фиг. 122.
Характерной особенностью этой эпюры является то, что на каждом неза-
груженном пролете она имеет вид наклонной прямой с нулевой точкой
в пределах пролета. Эти нулевые точки называются моментными фоку-
сами. На фиг. 122 они обозначены буквами Flf F2, F3> F-', F6', F-/.
На каждом пролете имеется два фокуса: левый и правый. Левым
(правым) моментным фокусом какого-нибудь пролета называется нуле-
вая точка эпюры моментов этого пролета при условии, что вся нагрузка
неразрезной балки расположена справа (слева) от него. При таком рас-
положении нагрузки фокус служит точкой перегиба упругой линии \
Необходимо усвоить, что не всякая нулевая точка какой-либо эпюры
моментов называется фокусом, а только та, которая получается на дан-
ном пролете при определенных условиях: когда на этом пролете нагрузка
отсутствует, а вся она расположена по одну сторону от него. На-
пример, на фиг. 122 нулевые точки, получившиеся на пролете 3—4, уже
не будут называться фокусами.
Можно без всяких вычислений доказать, что моментные фокусы
обладают свойством инвариантности: на заданной неразрезной балке все
фокусы занимают совершенно определенные, не зависящие от внешней
нагрузки положения.
Представим себе многопролетную нер.азрезную балку и вообразим,
что на первых нескольких пролетах, считая -слева, — например, на первых
четырех пролетах, — нет никакой нагрузки (фиг. 123). Ту часть балки,
которая расположена справа, можно откинуть, а ее действие на остав-
шуюся часть балки заменить парой т, продольной силой У и попереч-
ной Q, которые .приложены к крайнему опорному сечению. Продольная
сила У, если она имеется, вызывает в балке растягивающие или сжимаю-
щие усилия, но не влияет на эпюру изгибающих моментов (если расчет
ведется по недеформированной схеме). Поперечная сила Q кек прило-
женная на опоре уничтожается сопротивлением последней и дальше не
передается. Следовательно, изгибающий момент возбуждается только
1 Более общее определение понятия о моментном фокусе см. в цитированной на
стр. 113 статье автора, а также в его книге «Методы расчета рам», ч. Ш, 1937, стр. 66.
139
парой т. Она является единственной нагрузкой рассматриваемой части
балки.
Спросим себя, что же произойдет с эпюрой изгибающих моментов,
если в правой откинутой части балки произойдут какие угодно изменения:
изменятся характер, расположение или величина нагрузки, величина или
количество пролетов, способ закрепления правого конца балки, изменятся
как угодно поперечные сечения, поднимутся или опустятся те или иные
опоры? От всех этих вариаций, происходящих в правой части балки, до
рассматриваемого опорного сечения докатится только «отголосок»:
изменится величина (а может быть, и знак) момента т. Можно сказать,
что этот момент умножится на какой-то множитель. Но по закону неза-
висимости действия сил все ординаты эпюры изгибающих моментов умно-
жатся на то же число. Следовательно, в тех точках, где ординаты равня-
лись нулю, они останутся равными нулю. Это и требовалось доказать.
Разумеется, то, что здесь доказано для левых фокусов, в одинаковой
мере справедливо для правых фокусов.
Из того факта, что фокусы занимают совершенно определенные
положения, вытекает ряд инвариантных отношений между величинами^
характеризующими работу
балки. Когда вся нагрузка
расположена по одну сторо-
ну от данной группы проле-
тов, то на этих пролетах эпю-
ра изгибающих моментов
имеет определенный вид. От-
сюда следует, что отношение
между изгибающими момен-
тами в двух производиво-
взятых точках, р ас пол о жен -
ных на одном и том же про-
лете или на разных, остается
постоянным. Абсолютная величина отношения между изгибающими мо-
ментами на концах какого-нибудь пролета называется моментным фокус-
ным отношением. Различают левое и правое фокусные отношения, смотря
по тому, определяется ли оно левым или правым фокусом. Например, для
пролета 1п (фиг. 124) левым фокусным отношением называется отношение
п ' сп
-1 сп
Если известно положение фокуса, то известно и фокусное отношение,
и наоборот.
S*
...I...............!
~£п
---------
Фиг. 124
И/7
kn
(12.5)
101
Постоянным и независимым от нагрузки, расположенной по одну
сторону от данных пролетов, будет также отношение между поперечными
силами в двух сечениях, между углами поворота оси в двух сечениях,
между прогибами, между опорными реакциями на двух опорах, между
площадями эпюр на двух пролетах или двух участках пролета и т. д. Каж-
дое такое отношение может приобрести практическое значение, если его
удастся использовать для расчета. Особое значение приобрели момент-
ные фокусные отношения, которыми мы и займемся подробнее.
Когда нагрузка расположена где-то справа от рассматриваемых
пролетов, то положение левых фокусов определяется отношениями
Й, = -2!Д; k „ ~
--- « &2 -----э
М0 Mi '*
Для опоры п (фиг. 125) можно составить уравнение трех моментов
1а 2 ( ln Д- Z/г-н) Мп + Z/z+i = 0,
откуда по разделении обеих частей на Мп
“I- + Z/14-1) + Zn + i —= О
или
— у;—1-2 ( 1п *-|- /л-bi) — Zzz-M = 0 ;
Ая+1 = 2-}-4-/2--Ц.
Zn+1 V /
(13.5)
Эта формула является рекуррентной, т. е. позволяет переходить от
п к «4-1. Для того чтобы пустить ее в ход, необходимо каким-нибудь
способом определить хотя бы одно из фокусных отношений. Но в балке
с шарнирно опертыми концами левый фокус первого пролета совпадает
с левым опорным сечением, так как момент на конце равен нулю (не сле-
дует забывать, что на крайнем пролете нет никакой нагрузки), поэтому
мх
М)
В таком случае
*, = 2+~(2 + — ) = 2 (1 + -44; Л3 = 2+ 4-(2 — 4Ф1 т- д-
1 \ оо ) \ '1 / ‘з V *s /
132
Те же формулы справедливы и для балки, имеющей на левом конце
консоль.
Если левый конец балки защемлен, то мы знаем (см. задачу № 9),
что такое закрепление эквивалентно наличию дополнительного пролета,
приведенная длина которого - 0 и который имеет шарнирно опертый
левый конец. Для этого пролета &0= оо, поэтому
/п / 1 \
Л1 = 24-— 2 — —1 = 2.
Моментное фокусное отношение для фокуса, примыкающего к защем-
ленному концу балки, всегда равно 2. Напомним, что речь идет о балке
с постоянным на протяжении пролета моментом инерции сечения.
Аналогичный вид имеют формулы для правых фокусных отношений
(фиг. 126):
Формулы (13.5) и (14.5) показывают, что положение левого (пра-
вого) фокуса любого пролета зависит только от приведенной длины
самого пролета и всех лежащих слева (справа) от него, но совершенно
не зависит от величин, характеризующих остальные пролеты балки.
Из этих формул видно также, что фокусные отношения являются
положительными числами, могущими принимать всевозможные значения
от низшего предела, равного 2, до высшего, который равен бесконечности.
Зная фокусные отношения, можно графически строить эпюры момен-
тов; фокусы получатся при этом на чертеже сами особой. Можно однако
построить фокусы независимо от эпюры моментов, так как из пропорции
(12.5) получается следующая простая формула для расстояния левого
фокуса от ближайшей левой опоры (фиг. 124):
Аналогичный вид имеет формула для правого фокуса (фиг. 126):
Если левый конец балки защемлен, то фокусное отношение k\ — 2,
а потому
т. е. фокус, примыкающий к защемленному концу балки, отстоит от него
на расстоянии, равном одной трети соответствующего пролета. Это —
133
наибольшее возможное для фокусов расстояние от ближайшей опоры;
наименьшее возможное расстояние 'равно нулю.
Выше мы условились обозначать буквами kn и k'n отношения боль-
шего опорного момента к меньшему. Разумеется, что мы могли бы с таким
же правом обозначить через и отношение меньшего'опорного мо-
мента к большему.
Это не внесло бы никаких существенных изменений в ход расчета:
пришлось бы во всех формулах, выведенных выше, вместо kn и k’n под-
ставить — и Д-.
kn
Пределы для этих новых фокусных отношений были бы более узкими:
от /г = 0 (для шарнирного1 конца) до£ = (для защемленного конца).
□ Между левыми и правыми фокусными отношениями существуют
интересные зависимости, которые могут, между прочим, служить сред-
ством для проверки числовых значений этих отношений. Для простей-
шего случая такая зависимость была впервые указана Брессом в 1865 г.;
в более общем виде она была найдена в 1928—1929 гг. Я. М. Риппенбей-
иом 1 и проф. Б. Н. Жемочкиным 2. Затем автором настоящей книги3 она
была выведена из принципа взаимности работ и обобщена.
Для /n-пролетной балки с шарнирно опертыми концами и с сече-
ниями, постоянными на протяжении каждого пролета, зависимость между
фокусными отношениями имеет вид
А2АяА.,...йиф-=. ЩЩ.ЩД ; (17.5)
J т >
для балки с защемленными концами
М2 • • Ам-1(2/гт- 1)Д-АД; . . . Am (2AJ - 1) ф ; (18.5)
для балки, у которой левый конец шарнирно оперт, а правый защемлен:
kt • • • km_, (2 km — 1) ф- = 2АЩ Щ .. АЩ Л (19.5) п
§ 6.5. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ ФОКУСОВ
□ Обычно фокусные отношения определяют аналитически, пользуясь
формулами (13.5) и (14.5), но операции, указываемые этими формулами,
можно также осуществить графическим путем. Изложим здесь построение
фокусов для балки, имеющей во всех пролетах, одно и то же сечение.
Отложим на горизонтальной прямой в последовательном порядке
пролеты 1Ъ G и т. д.
Пусть для пролета 1п положение левого фокуса известно; требуется
найти левый фокус Рп±\ следующего пролета (фиг. 127). Разделим каж-
дый из пролетов 1п и 1п±\ на три равные части и через точки деления про-
1 Я. М, Р и п п е н б е й н, К расчету плоских и пространственных статически не-
определимых систем, сборник «Рамы и фермы пространственные и плоские», Госстрой -
издат, 1933, стр. 21.
2 Проф. Б. Н, Ж е м о ч к н н, Зависимость между фокусными отношениями
в рамных системах, «Труды Московского института инженеров транспорта», вып, X,
1929, стр. 13.
3 Проф. И. М. Рабинович, Контрольные равенства для фокусных отношений,
вытекающие из принципа взаимности, сборник «Исследования по теории сооружений»,
Госстройиздат, 1936, стр. 246.
134
ведем вертикали. Затем от одной из вертикалей, примыкающих справа
или слева к опоре п, отложим в обратном порядке отрезок — /я+1 или
3
(В результате чего получим «переставленную» вертикаль, показан-
лую пунктиром. Из данного1 фокуса Fn проведем под произвольным углом
наклона прямую Fnba\ затем проведем прямую Ьс и продолжим ее до
точки d пересечения -с ближайшей вертикалью пролета /я+1 , после чего
соединим точки d и а прямой. Точка Fn±\ пересечения прямой da с осью
балки и является левым фокусом пролета /л+1 .
Доказательство правильности этого построения предоставляем чита-
В том случае, когда сечения балки в различных пролетах различны,
построение можно провести совершенно таким же образом, заменив
лишь действительные длины пролетов приведенными. Графическое по-
строение позволит нам найти правильные величины фокусных отношений.
Что же касается самих фокусов, то их придется еще перенести на схему
действительной неразрезной балки, соблюдая найденные отношения их
расстояний до опор. Эта операция не настолько удобна, чтобы конкуриро-
вать с аналитическим расчетом, поэтому для таких балок графическое
построение не получило1 распространения1 па практике.
Существуют различные другие графические построения1.
1 И. М. Рабинович, Кинематический метод в строительной механике, изд.
Московского высшего технического училища, М. 1928, стр. 380; проф. Б. Н. Жемоч-
к н н, Графические способы определения моментов и поперечных сил в неразрезяых
балках, «Труды Московского института инженеров транспорта», вып. X, 1929, стр. 189:
проф. А. А. У м а н с к и й, О решении трехчленных уравнений, сборник «Рамы и фермы
пространственные и плоские», Госстройиздат, 1933, стр. 158 (это решение имеет чисто
графический характер и содержит минимальное количество операций); проф. П. Л. П а-
стернак, Графический расчет перазрезпых балок по методу центров тяжести масс,
Гостехиздат, М. 1930; проф. Н. В. Корноухо в, К вопросу об аналитическом и гра-
фическом решении системы уравнений иеразрезной балки, «Сборник научных трудов
Украинского научно-исследовательского института промышленных и гражданских соору-
жений» № 1—2, 1932, стр. 147; проф. А. А, Попов, См. ссылку в сноске на стр. 100.
135
Приведем здесь без доказательства построение, предложенное
проф. Б. Н. Жемочкиным.
Построение начинается с того, что проводятся две прямые, парал-
лельные оси балки; одна на произвольном расстоянии а, а другая — на
расстоянии 2а (фиг. 128). Предполагая, что левый фокус Рп известен, по-
ступаем следующим образом: из точки А проводим прямую ACflBD, пере-
нося тем самым пролет /„ вверх и вправо. Далее проводим прямую FnR
и продолжаем ее до точки Д затем проводим прямую SC и продолжаем
ее до точки Т; наконец, соединяем Т с R. В пересечении прямой RT с осью
балки получается точка Дя+1. Следующие фокусы строятся таким же
способом. О
§ 7.5, ПРИМЕНЕНИЕ МОМЕНТНЫХ ФОКУСНЫХ ОТНОШЕНИЙ
К ПОСТРОЕНИЮ ЭПЮР
Когда из всех пролетов балки загружен только один, то при помощи
фокусных отношений очень просто и быстро определяются все опорные
моменты.
Пусть, например, нагрузка расположена на пролете 1п (фиг. 129).
Построение эпюры начнем с того, что определим опорные моменты на
концах загруженного пролета. Для этого составим два уравнения:
+ 2 ( /;_1 + 1'п ) Мп-! + /„ М„ = - 6 у- Д* ;
1пМп-1 4- 2(1„ + /;+1) М„ + /я+1 Мя+1 = -б7Й.
Но
Подставив эти выражения в уравнения, мы исключим из них неиз-
вестные ТИд_2 и Мя+1 и получим
J36
2 + ^-(2-^-) + -6 АЛ*= -6-^Л*;
'Я ' 'J п п
- -J- УК м- = -6 -г в* = - 6 в%.
АлЧ-1 /. Jn *п
Выражения в квадратных скобках соответственно равны kn и &я •
Сделав эту подстановку, получим весьма простую систему двух урав-
нений:
Фиг. 129
Прежде чем написать окончательную формулу, введем для удобства
следующие обозначения:
6Л*
ЫЗ* л
= КАп. (20.5)
hl
Здесь нижний индекс п обозначает номер пролета. Следует
запомнить, что /<£ выражается через Д*, а через В^.
Величины К® и называются перекрестными отрез-
яами. Они имеют размерность момента, т. е. кгж. Формулы для них
можно получить из табл. 2, разделив соответствующие выражения на 1П.
• Для опорных моментов Мя_1 и Мп «з (а) получаются следующие
формулы:
6 Л4 , — . Aik'n- 4 Л* .» - । 1
2 Нд—1 kn kn — l *Х-1 ’
С (21 .5)
6 /И = ^„-А* = _ KAk„-KBn
п 1п knkn 1 J
137
Mas “---------
lAB
6
MBA =-------
( и
Иногда удобнее пользоваться следующей записью:
kAB kBA ~~ 1 kABkBA"~^ (
В^Ав~^ KAkAB-K* . ( '
kAB kBA ~ 1 kAB kBA 1
□ Моменты на «концах загруженного пролета можно найти графиче-
ским путем. Построение показано на фиг. 130. На вертикалях, проведен-
ных через опоры нагруженного пролета, откладываются «перекрестные
отрезки» /<^ — на левой и /<ff — на правой, затем полученные точки
z-V и В' соединяются с В и А. Из фокусов Fn и Р'п проводятся вертикали
F пС и F’nD до встречи с этими наклонными прямыми в точках С и В.
Искомая замыкающая эпюры моментов совпадает с прямой CD.
Анализируя чертеж, можно геометрически доказать, что полученные
таким способом опорные моменты удовлетворяют формулам (21.5),
однако ввиду громоздкости доказательства мы его приводить не будем.
Особенно простое построение получается для сплошной равномерно
распределенной по всему пролету нагрузки (фиг. 131), так как в этом
случае ордината в вершине параболы равна
-2^- . а кл = = _1!L _
8 4
Из этих формул видно, что наклонные прямые АВ'- и ВА' пере-
секаются между собой в вершине параболы; поэтому достаточно про-
вести их от точек Л и В до вершины. П
Когда нагрузка расположена только на одном пролете и состоит из
сил параллельных и направленных в одну сторону, то можно доказать,
что в загруженном пролете нулевые точки эпюры моментов располагаются
на так называемых внешних участках AFn и BFn балки, т. е. между
фокусом и ближайшей опорой; на внутренний участок FnFn нулевые
точки никогда не попадают.
Найдя аналитически или графически опорные моменты и АГЛ
•и пользуясь фокусными отношениями, сейчас же найдем все остальные
опорные моменты:
138
Мп
Л1п+2 =
На каком бы пролете ни была расположена внешняя нагрузка, уже
не приходится решать системы совместных уравнений; мы незаметно
решаем ее только один раз — именно тогда, когда определяем фокусные
отношения. При помощи последних все опорные моменты определяются
по готовым формулам. В этом состоит важное значение фокусных отно-
шений для расчета. Они представляют собой как бы инвариантную, не
зависящую от внешней нагрузки часть расчета неразрезной балки; при из-
менении этой нагрузки приходится проделывать наново не весь расчет,
а лишь небольшую часть его.
Чем больше разнообразных
комбинаций внешней нагрузки
приходится вводить в расчет
данной неразрезной балки, тем
более ощутительной делается
экономия труда, которая полу-
чается при' пользовании фокус-
ными отношениями.
Когда нагрузка располо-
жена одновременно на несколь-
ких пролетах, то сначала опре-
деляются опорные моменты, вы-
зываемые каждой из этих на-
грузок в отдельности, затем, они
суммируются.
Если имеется группа про-
летов, расположенных по одну
сторону от всей нагрузки, то
работу суммирования моментов
можно сократить. Так, например, при
таком расположении нагрузки, которое показано на фиг. 132, можно по-
ступить следующим образом:
1) загрузить пролет /4 и определить моменты Мз, М4, Л15;
2) загрузить пролег /5 и определить моменты на тех же трех опорах;
3) сложить моменты, вызванные на этих опорах обоими загруже-
ниями.
Что касается остальных опорных моментов, то они определятся без
суммирования, так как
Л1Ч -------Л'3- ; — --- и т. д.
£;? к-
При сборке неразрезных пролетных строений мостов можно заста-
вить систему воспринимать ее собственный вес так, как будто* бы она
была разрезной балкой, ia все прочие нагрузки воспринимать по* законам
н вразрез ной балки. Для этой цели нужно поместить отдельные разрезные
пролетные строения на их onopiax и убрать подмости. Собственный вес
передается этой конструкции. После этого следует соединить отдельные
пролеты в единую неразрезную систему, которая и будет соответствую-
щим образом воспринимать остальную нагрузку. Эпюра моментов для
такой системы будет состоять из отдельных эпюр, вызываемых в каждом
пролете, как в простой балке, его* 'собственным весом, и из эпюры момен-
тов неразрезной балки, обусловленной всеми прочими нагрузками. Такую
балку можно назвать «полунеразрезной».
Чрезвычайно простая структура системы уравнений трех моментов
породила многочисленные искусственные методы ее решения. Первым по
139
этому пути пошел Клапейрон, который в своей работе 1857 г. указал на
один из таких методов.
Ряд авторов дал общие формулы для изгибающих моментов, воз-
никающих при совместном вагружении любого числа пролетов Ч Принцип
построения формул таков: изгибающий момент <в любом сечении выра-
жается суммой изгибающих моментов, вызываемых в нем загружен и ем
каждого пролета в отдельности. Такие формулы, естественно, имеют
довольно громоздкий вид, однако они освобождают от необходимости
решать систему совместных уравнений.
Если неразрезная балка имеет ось симметрии, то решение системы
уравнений моментов всегда может быть упрощено путем разложения на-
грузки на симметричную и обратно симметричную (см. ч. I, гл. VIII, § 37) _
При действии симметричной составляющей изгибающие моменты
в левой и правой половинах балки соответственно равны между собой;
при действии обратно симметричной составляющей они соответственно
равны и противоположны. В результате система совместных уравнений
распадается на две самостоятельные, более простые системы.
Существуют разнообразные графические способы решения системы
уравнений трех моментов. Мы их излагать не будем 1 2.
1 Кроме работ, указанных в примечании на стр. 191, см, также следующие:
проф. М. М. Филоненко-Бородич, Общее решение системы совместных урав-
нений трех моментов для неразрезной балки постоянного поперечного сечения, Высший
технический комитет НКПС, М, 1921; доц. Д. В. Ангельский, К расчету много-
пролетных неразрезных балок, «Сборник Ленинградского института инженеров путей
сообщения», вып. 94, 1927; проф. Б, Н. Жемочкии, К вопросу о решении системы
уравнений трех моментов для неразрезиой балки, «Труды Московского института инже-
неров транспорта, вып. X, 1929; С. В. Волков, Общие выражения для моментов и по-
перечной силы в произвольном сечении неразрезиой балки от произвольной нагрузки,
«Труды Московского института инженеров транспорта», вып. X, 1929; доц. Ю. А. Рад-
ц и г, Обобщенный метод фокальных отношений, «Сборник научных трудов Казанского
авиационного института» № 2, 1934; проф. П. А. Миняев, Стандартные формулы для
расчета неразрезных балок, «Труды Одесского института водного транспорта», вып. 1,
1935; проф. С. С. Голушкевич, К вопросу о расчете рам, «Труды Ленинградского
института инженеров промышленного строительства», вып. 1, 1937; А. П. Шварцман,
Об одном приеме для решения системы уравнений трех моментов, «Инженерный сборник
Академии наук СССР», т. II, вып. 2, 1946; проф, Ш. Е. Микеладзе. Некоторые
задачи строительной механики, гл. IV, М. 1943.
2 См. М ю л л е р - Б р е с л а у, Графическая статика сооружений, т. И, ч. 1, 1910,
стр. 366—369; акад. Б. Г. Г ал ер кин, Опорные моменты неразрезных балок, «Изве-
стия С.-Петербургского политехнического института», т. XVII, вып. 1912; проф.
Б. Н. Ж ем оч кин, Графические способы определения моментов и поперечных сил
в неразрезных балках, «Труды Московского института инженеров транспорта», вып. 10,
1929; проф. П. Л. Пастернак, Графический расчет иеразрезных балок на свободных
и упруго вращающихся опорах по методу центров тяжести масс, Гостехиздат, 1930;
проф. А. С. Малиев, Метод инвариантов, «Сборник по теории сооружений Инсти-
тута сооружений», 1932; проф. А. А. Уманский, Специальный курс строительной
механики, ч. I, гл. IV, 1935.
140
$ 8.5, ПРИМЕР
□ Пример 12. Построить эпюру изгибающих моментов для пятигтролетной
яеразрезной балки, представленной на фиг. 133. Дано: J = const; Ц =- Л = 5 м\ /s = /4
= /5 = 4 ж; q ~ 1,5 zn/л*.
Вычисляем фокусные отношения.
Левые: j
К = 2; £3 = 2 + -^2 - -у-) = 3,5; ft3 = 2 + -£- ^2 - М*:
*4 = 2 + -^ (2-^ = 3,76; *5 = 2 + ^2-= 3,73.
Правые:
, , /5 / 1 \ , L I 1 \
*5 = оо; *4 = 2+-Л/2_— _4; ft3= 2+ -,42—5-1-3.75;
Фиг. 133
Проверка по формуле (19.5):
A4V' <2Jfei ~ О Л = 4-3,75.3,39 (2-3,70 — 1)5=1 627,20;
2^ЗД4 = 2-3,73.3,76-4,14.3,5.4 = 1 625,60.
Разница между обоими произведениями ничтожна.
Моменты на концах загруженного пролета:
М2-— 4J4.3J5 —1 = —1,14тл«;
-4-4.14- —
----4,14.3,75 — 1 e 1,30 тм'
0,32 тм’ Мо = — в — °-16 тм'
Л43
МА = — —4— - 0,32 тм. □
§ 9.5 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РЕШЕНИЮ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТРЕХ МОМЕНТОВ
□ Теория конечных разностей дает возможность достигнуть замеча-
тельного упрощения) процесса решения уравнений трех моментов и полу-
чить общую формулу для любого опорного момента, но этот метод пр a Ki-
141
тически пригоден только в тех случаях, когда относительные длины
приведенных пролетов и характер распределения нагрузки подчинены
некоторой простой закономерности. Мы считаем желательным познако-
мить читателя с этим методом., но так как не можем здесь излагать тре-
буемую математическую теорию, то ограничимся простейшим примером;
он достаточен для того, чтобы дать почувствовать изящество и компакт-
ность решения.
Рассмотрим неразрезную балку постоянного сечения и с равными про-
летами, нагруженную во всех пролетах одинаковой и одинаково располо-
женной нагрузкой. Система соответствующих уравнений трех моментов
будет иметь следующий вид:
MQ^4M.4rM^N\ >
+ 4М 4- М. = 2V;
М. . + 4Mh
к- 2 I Й —1 I Й ’
где N — свободный член, который в данном случае будет одинаковым во
всех уравнениях;
k — 1 — количество уравнений;
х — номер произвольного уравнения (произвольной опоры).
Вся эта совокупность уравнений, имеющих одни и те же коэффи-
циенты, одинаковую структуру и повышающийся от уравнения к уравне-
нию индекс х, рассматривается в теории конечных разностей как одно
уравнение в конечных разностях. Так как неизвестные моменты входят
в уравнение «в первой степени, а разность между низшим и высшим
индексами в каждом уравнении равна 2, то уравнение называется линей-
ным и второго1 порядка.
Любой из неизвестных моментов можно рассматривать как функцию
индекса х. Для нахождения этой функции достаточно- найти корни харак-
теристического квадратного уравнения. Последнее составляется так: если
уравнение в конечных разностях имеет вид
+ Bzx„ + Сгх+, = D, (Ь)
где А, В, С, D—постоянные числа, то характеристическое уравнение
имеет вид
А -ЬВ^ + С^=0.
В данном случае оно напишется так:
+ 1=0.
откуда
$] = -2+/3;
$,= -2-1/3.
Каи доказывается в теории конечных разностей, общее решение
(«общий интеграл») уравнения (Ь) имеет вид
1*2
где С} и С2 — произвольные постоянные, определяемые из граничных
условий.
Правильность этого решения нетрудно проверить непосредственно-
подстановкой в уравнение. В данном случае
лг = (-1)Дс;(2- гХн-CU2-H-зг]+4- (с)
Для определения двух постоянных Ci и С2 мы имеем два дополни-
тельных уравнения. Например, для балки с шарнирно опертыми концами
можно написать Мо = Mk = 0, или
7и0=с, + с2+4=°;
(2 -]'?)* + С2 (2 + уз)*) = 0.
Итак, изгибающий момент на любой опоре выражается общей фор-
мулой (с).
Для практического применения этой формулы полезно слегка преоб-
разовать ее. Введем обозначения
(2±/Зф = 4/1
При целых и положительных значениях показателя х числа Ах и /о
будут также целыми и положительными, Их можно вычислить при помощи
бинома Ньютона. Приводим небольшую, но вполне достаточную для
практических целей таблицу их значений (табл. 6).
Таблица 6
X 0 1 2 з : 4 5 6 7 8 9
Ах 1 2 7 26 | 97 362 1 351 5 042 ’ 18 817 70226
вх 0 1 | 4 1 15 56 | 209 780 2911 10 864 40545
Сделав эту подстановку в формулу (с) и введя новое обозначение
постоянных (gj и g2), мы получим более удобную формулу
^=(-1)4^4, + ^)+4- (22.5)
После того как постоянные будут определены из граничных условий,
по этой формуле можно будет сразу определить любой опорный момент.
Тем же методом можно определить фокусные отношения. Оставим все
пролеты незагруженными, а на крайней правой опоре .приложим пару
с произвольным моментом т. Приняв N = 0 и определив постоянные из
условий Мо — О, М;, ~ т, мы получим общее выражение любого1 момента;
тем самым мы получим также отношения моментов, т. е. левые фокусные
отношения. Вследствие симметрии правые фокусные отношения будут
соответственно равны левым, взятым в обратном порядке.
Ограничиваясь этим примером, мы рекомендуем читателю, который
пожелает ближе познакомиться с приложениями уравнений в конечных
разностях к расчету неразрезных балок, обратиться к специальной лите-
ратуре □
1 И. М.. Рабинович, Применение теории конечных разностей к исследованию
неразрезных балок, М. 1921. Блейх и Мелан, Уравнения в конечных разностях
статики сооружений, гл. 8, 1936.
143
§ 10.5. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
Для построения л, в. нужно поочередно ставить груз Р — 1 на всех
пролетах балки и выражать интересующие нас величины в функции от
абсциссы этого груза. Рассмотрим в первую очередь построение л. в.
изгибающего момента для какого-нибудь опорного сечения балки.
Для примера возьмем пятипролетную балку, рассмотренную в пре-
дыдущем примере, и пусть требуется построить л. в. опорного мо-
мента М2.
Груз на пролете Ц (фиг. 134). Расстояние груза до
левого конца пролета обозначим через где и — отвлеченное число
(правильная дробь); кроме того, обозначим 1 —и = v. Определяем сна-
чала моменты на правой опоре загруженного пролета. По табл. 5, 'поль-
зуясь обозначением (20.5), находим
/\д- Циъ (1 4- ц); К’1 = lxu<v (1 -и),
Фиг. 134
0 затем по формулам (21.5) определяем в метрах
м 1 = --------= “ мДЛ' №1 + «Д! -м 1 + *)] =
= ~ С1 +ИД1 — ИФ(1 4"V)] = — 0,78 [2иг/(1 +
+ и) -- u<v (1 + *ц)].
Из эпюры, представленной на фиг. 134, видно, что
Мг = - Д- =--------Ду = 0,23 [2иг- (1 — u) — uv (1 + Ф)1 •
По этой формуле вычисляются ординаты первого участка л. в. Л4а-
Разделим пролет на 10 равных частей и будем ставить груз Р = >1
последовательно в каждую точку деления. Им будут -соответствовать зна-
чения и и и:
м = 0,00; 0,10; 0,20;.............; 1,00;
v = 1,00; 0,90; 0,80; . .... ; 0,00.
Составим табл. 7, которая пригодится нам для вычисления ординат
любой л. в., относящейся к любой neptaapesHOH балке с постоянными в пре-
делах каждого пролета сечениями.
При помощи этой таблицы вычисляем ординаты -первого участка
искомой л. -в. в метрах:
/г = 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,00;
у = 0; 0,006; 0,022; 0,043; 0,066; 0,086; 0,099; 0,101; 0,088; 0,056; 0,00
144
Таблица 7
V jra(l+w)
0,00 1,00 0,000 0,000
0,10 0,90 0,099 0,171
0,20 0,80 0,192 0,288
0,30 0,70 0,273 0,357
0,40 0,60 0,336 0,884
0,50 0,50 0,375 0,375
0,60 0,40 0,384 0,336
0,70 0,30 0,357 0,273
0,80 0,20 0,288 0,192
0,90 0,10 0,171 0,099
1,00 0,00 0,000 0,000
Груз на пролете /2 (фиг. 135).
По формулам (21.5)
Л1,= —Гьй—f [uv (1 4- — и®(1 +0] =~ °>46 l3>5 uv^ + —
— U^(l + ^)].
Выражение в квадратных скобках вычисляем, пользуясь снова
табл. 7. Ординаты второго участка л. в. в метрах:
и-0;0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,00;
у = 0; 0,081; 0,177; 0,275; 0,364; 0,431; 0,464; 0,449; 0,375; 0,230; 0.
Груз на пролете 1з (фиг. 136).
r-w-Zj. «4-rZ,-
Фиг. 136
М.= — . J* [ик(1 +«)йз — и® (!+«)] =—0,275 [3,75и-»(I +«) —
— »«(!+«)].
и = 0; 0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50, 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 1,00;
j = 0; 0,149; 0,244; 0,293 ; 0,304; 0,284; 0,241; 0,183; 0,119; 0,055; 0.
10— И. М. Рабинович . . . Н5
Груз на пролете Z< (фиг. 1137).
М3 =---—v—- \uv (1 + -я) k\ — uv (1 +«)]= — 0,285 [4 u<u (1 -f v) —
-«^(1 +«)];
ти2 = ~ ‘v'= °>0668 (4 uv (i + - uv (1 + »)];
и=0;0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50; 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 1,0;
V=0; 0,0391; 0,0641; 0,0772; 0,0802; 0,0751; 0,0641; 0,0357; 0,0321; 0,0150; 0.
Фиг. 137
Груз на пролете Z5 (фиг. 138).
^4 = -7;>8' , [ио(1 +©) Л6'-иг»(1 + и)].
й5й5 — 1
Так как k'—co, та раскрываем неопределенность и получаем
М4 =------l£- uv(\ + v) — — 1,072 uv (1 ф- v).
Фиг. 138
Далее:
Л43 = -^; М2 = -^ = А = _Д_=_о,0689^(1+^).
и=0,10; 0,20; 0,30; 0,40; 0,50; 0,60; 0,70; 0,80; 0,90; 1,0;
у=0,0118; 0,0198; 0,0246; 0,0265; 0,0258; 0,0232; 0,0188; 0,0132; 0,0068; 0.
Построенная по этим ординатам л. в. опорного момента М2 представ-
лена на фиг. 139. Таким же способом определяются ординаты л. в. всех
остальных опорных моментов.
Фиг. 139
Выражения ии(1-|-а) и uv(l-\-u) представляют собой функции
третьей степени относительно и; чтобы убедиться в этом, следует только
подставить вместо v выражение 1 — и.
146
Отсюда следует, что л. в. опорного момента на протяжении каждого
пролета представляет собой кубическую параболу.
Имея л. в. обоих опорных моментов для какого-нибудь пролета, легко
построить л. в. изгибающих моментов для промежуточных сечений того
же пролета по формуле (8.5). Например, для сечения А пролета I*
(фиг. 140) можно н .писать
М^МА^ +М. +
Эта формула читается так: л. в. изгибающего момента МА пред-
ставляет собой сумму трех л. в., из которых первая относится к тому же
Фиг. 140
течению в основной системе, т. е. в однопролетной балке 14\ вторая полу-
чается из л. в. Л13 при помощи умножения всех ее ординат на постоянный
множитель с-; наконец, третья получается из л. в. при помощи
умножения на постоянный множитель -£.
о
Вид этих кривых показан на фиг. 141.
Фиг, 141
Относительно характера л. в. М4 нужно заметить следующее: если
сечение А расположено между левым и правым фокусами пролета, то на
протяжении того пролета, в котором расположено это сечение, все орди-
наты л. в. имеют один и тот же знак (+), как показано на фиг. 141. Если
течение А совпадает с левым (правым) фокусом, то груз, стоящий справа
(слева) от того пролета, которому это сечение принадлежит, не вызывает
в нем изгибающего (момента; следовательно, л. в. совпадает с осью абс-
10* 147
цисс. На фиг. 142, б представлена л. в. изгибающих моментов для правого
фокуса F'4.
Если сечение А расположено на крайнем участке пролета, т. е. между
фокусом и ближайшей опорой, то л. в. МА имеет вид, представленный на
фиг. 142, в. Характерное отличие от фиг. 141 состоит в том, что нафиг. 142
л. в. имеет в пределах того пролета, на котором расположено сечение А,
нулевую точку, а на остальных пролетах — знаки, противоположные тем,
которые соответствуют фиг. il41. Эго легко запомнить, если обратить вни-
мание на следующее: если сечение расположено в пролете между его
фокусами, то по мере его приближения к ближайшей опоре угол а на
фиг. 141 постепенно уменьшается; при совпадении точки А с фокусом он
обращается в нуль (фиг. 142, б); при еще большем приближении точки А
к опоре изменяет свой знак на обратный (фиг. 142, в).
Фиг. 142
Следует также обратить внимание на то, что ординаты л. в. изгибаю
щих моментов быстро убывают по мере удаления соответствующих участ-
ков («полуволн») от сечения. Затухание усилий и деформаций на проле-
тах, отдаленных от загруженного, является характерным свойством нераз-
резных конструкций,
§ 11.5. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
Поперечные силы выражаются формулой (9.5), которую приведем
здесь еще раз в следующем виде:
Ci d I ^rt—l ZQ j-\
Qr == Qp H-----1----, (9.5)
ln
где Qp — л. в. поперечных сил для того же сечения основной
системы;
— л. в. изгибающих моментов на правой и левой опорах
рассматриваемого пролета неразрезной балки.
Для того чтобы .построить л. в. Qx, нужно сначала построить отмечен-
ные три л. в., из которых первая является статически определимой и про-
стирается только на один пролет, затем произвести над ординатами этих
трех графиков аналитическим или графическим путем операции, указы-
ваемые формулой (9.5). Эти вспомогательные л. в., а также сама л. в.
Qx имеют вид, показанный на фиг. 143,
Две ветви л. в. Q* в пределах того пролета, в котором лежит сече-
ние Л, отстоят везде друг от друга на расстояние, равное единице, следо-
148
вательно, тождественны между собой по своему очертанию. Для любого
сечения, лежащего в том же пролете, л. в. Qx получается из тех же двух
ветвей путем простого смещения линии раздела в горизонтальном направ-
лении.
Что касается остальных участков, л. в. CU то каждый из них полу-
чается как разность двух кубических парабол —т— и —-------, следова-
*П 1п
тельно, является, вообще говоря, также кубической параболой.
О
1
а___г
3
ДйН111И11П>Я
Ki! !
4
aiiniiiniwis!
Л
I'
л
/ 1
Miiiiiiiiiiiia
fillip;
Нчгцщщщпп»
Фиг. 143
§ 12.5. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
Линии влияния опорных реакций строятся на основании формулы
(10.5)
яв=яя°+
?п+1
_О0 , ^-1
In +
1
zn+l
(10.5)
^п+1
которую можно прочитать так: л. в. опорной реакции представляет
собой алгебраическую сумму л. в. реакций той же опоры в основной
системе и трех л. в., выраженных остальными тремя членами. При этом
опорная реакция, направленная вверх, считается положительной.
В качестве примера на фиг. 144 представлены все кривые, из которых
получается л. в. Ла» а также сама л. в. /?2.
Если для двух бесконечно близких к опоре 2 сечений, расположенных
слева и справа от нее, построены л. в. поперечных сил, то л. в. /?2 можно
149
’построить проще. Обозначим поперечные силы для этих двух сечений
соответственно через и Q^p. Тогда
^=Q?p-QJ,
т. е. л. в. опорной 'реакции строится как разность двух л. в.
Фиг. 144
§ 13.5. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ КАК ЛИНИЙ ПРОГИБА
Из принципа взаимности работ вытекает как частный случай соот-
ношение
rip >
(12.2)
выведенное в § :18.2. Напомним смысл этих обозначений.
riP есть реакция (усилие) в любой — внешней или внутренней —
связи 4 возникающая от силы Р=1, которая стоит в произвольной
точке A; opi—проекции на направление силы Р того перемещения
точки А, которое возникает, когда связь Z перемещается по своему направ-
лению на единицу. Например, на фиг. 145, а через г1Р обозначена реакция
одной из опор, причем предположено, что эта реакция направлена вверх.
150
На фиг. 145, б показано перемещение Вр.} вызванное единичным положи-
тельным, т. е. направленным в сторону предполагаемой реакции riP , вер-
тикальным перемещением этой опоры. Согласно теореме эти две величины
равны по величине и обратны по знаку. Перемещение opi , как видно из
фиг. 145, б, оказалось положительным (направленным в сторону силы Р),
следовательно, реакция riP отрицательна, т. е. направлена вниз.
При построении л. в. реакции г1Р точка А должна считаться подвиж-
ной; она может совпадать с любой точкой балки. Поэтому %Р1 представ-
ляет собой перемещение любой точки А балки, т. е. ее линию прогибов.
Итак, л. в. любого усилия может быть получена так: 1) нужно уда-
лить ту связь, в которой возникает это усилие; 2) дать -системе по направ-
лению этой связи перемещение, равное единице; 3) построить линию про-
гибов того стержня или тех стержней, по которым должен перемещаться
груз Р= 1. Полученная линия прогибов и будет искомой л. в, Отметим
только, что для краткости мы будем называть прогибом в произвольной
точке проекцию перемещения этой точки на направление силы P=il,
хотя бы эта сила и не была 'Вертикальной.
□ Ту же теорему можно представить в несколько ином виде: обра-
тимся к фиг. 145, а; заменим рассматриваемую о-пору ее реакцией riP и на-
пишем, что при загружении нераэрезной балки силой Р = 1 действитель-
ное вертикальное перемещение опорного сечеиия равно нулю:
= 0, или rtp = Xt = - -, (23.5)
где —прогиб в произвольном сечении, вызванный действием единич-
ной опорной реакции на неразрезную балку, у которой выброшен опор-
ный стержень на месте реакции г.р . Числитель этой дроби представляет
собой, следовательно, упругую линию, вызванную действием реакции,
равной единице.
Совпадение любой л. в. с линией прогибов ценно для нас одним тем,
что позволяет легко, без всяких вычислений, представить себе общий
характер л. в. и проверять «на -глаз» ее очертание в том случае, когда она
построена каким-нибудь другим способом.
Мы уже выяснили только что общий характер л. в. опорной реакции
неразрезной балки.
Линия влияния опорного момента для какой-нибудь опоры i пред-
ставляет собой линию прогибов, которая получается так: на этой опоре
151
помещается шарни-р и затем обоим шарнирно связанным сечениям сооб-
щается взаимный поворот на угол, равный единице (фиг. 146).
Линия влияния изгибающего момента в промежуточном сечении тож-
дественна с линией прогибов, предствленной на фиг. 147, а л. в. попереч-
ной силы для произвольного сечения совпадает с линией прогибов, пред-
ставленной на фиг. 148. На последней из этих фигур балка разрезана так,
что оба смежных сечения могут передвигаться друг относительно друга
в вертикальном направлении, но не могут передвигаться в горизонтальном
и не могут друг относительно друга поворачиваться. Кинематическая
модель такой неполной взаимной подвижности показана на фиг. 149. Все
эти аналогии настолько просты, что их невозможно забыть; они позво-
ляют моментально представить себе характер любой л. в.
Рассмотрение л. в, как линии прогибов не только» позволяет получить
общее представление о характере кривой, но и дает рабочий прием для ее
построения, который значительно отличается от приемов, изложенных
в предыдущих параграфах.
Линия влияния опорного момента строится так. На опоре, для кото-
рой разыскивается момент, — пусть это будет опора 2 на фиг. 150, — по-
мещается шарнир. Нагрузка прилагается в виде двух -пар Х2=1*
На опоре 2 изгибающий момент, очевидно, будет равен единице; эпюра
моментов состоит из прямых и быстро вычерчивается при помощи левых
фокусов Fi и правых фокусов F3't F^t F5'. Несмотря на то, что мы
заменили заданную балку другой, имеющей в сечении 2 шарнир, эти
фокусы остались прежними, так как левые фокусы не зависят от измене-
ний, происходящих оправа, а правые —от изменений, происходящих
слева. Имея эпюру моментов, примем площадь за фиктивную
нагрузку и построим соответствующий ей веревочный многоугольник Он
и даст нам искомую упругую линию, которая по своей форме совпадает
с л. в. изгибающего момента М2.
Прогибы можно получить также чисто аналитическим путем.
На фиг. 150 эпюра изгибающих моментов имеет на протяжении каждого
пролета прямолинейную форму. Но для однопролетной балки постоян-
ного сечения!, нагруженной по концам двумя парами МА и Мв (фиг. 151),
упругая линия выражается следующим уравнением:
У=-Х&\Ё1Х} + (24.5)
Построив тем или иным способом упругую линию, нужно найти тот
масштаб, который превращает ординаты этой линии в ординаты л. в. Для
этого нужно, как показывает формула (23.5), разделить все ординаты
на т. е. на взаимный поворот обоих сечений. Этот угол найдется,
если мы проинтегрируем произведение функций, выражающих эпюру
моментов на фиг. 150, и единичную эпюру для основной системы, пред-
ставленной на фиг. 152:
g — /о_________। {<)___
Для упрощения -вычислении можно вместо площади уу брать
площадь М -j- и в то же время вместо ол брать
£ЛЛ = -g- [2 —+ т(2— )
Результат от этого не изменится. □
152
Фиг. 146
JhiHUQ влияния
Фиг. 147
Фиг. 149
Фиг. 150
□ Чтобы построить для той же балки л. в. опорной реакции R2, нужно
отбросить опору 2, заменить ее силой X = I (фиг, 153), построить эпюру
моментов, вызванную такой нагрузкой, и затем, пользуясь ею, построить
упругую линию. При построении эпюры моментов следует рассматривать
балку не как пятипролетную, а как четырехпролетную; фокусы Fi, F4', F&
останутся прежними, что же касается обоих фокусов нового большого
пролета /2 + 1з> то их нужно найти заново; это требует затраты несколь-
Фиг. 151
ких минут. Затем моменты на опорах 1
и 3 этого большого пролета найдутся по
формулам (21.5).
Само собой понятно, что на участке
/—2—3 эпюру не следует проводить через
фокусы.
Отношения прогибов в любой точке
к прогибу в точке 2 и будут служить ор-
динатами л. в. Иначе говоря, для нахож-
дения масштаба ординат полученной кривой нужно принять ее ординату
в точке 2 равной единице.
Кинематическим способом можно построить также л. в. поперечной
силы для любого сечения.
Фиг. 152
Наглядную модель л. в. поперечной силы можно получить также по
способу, представленному на фиг. 154, где одна часть опор смещена отно-
сительно другой части по вертикальному направлению на величину, рав-
ную единице. Если проведем через произвольное сечение С в интервале
между этими двумя группами опор вертикаль и будем измерять ординаты
упругой линии от двух различных осей, как показано на фиг. 154, то полу-
чим л. в. поперечной силы Qc. Легко заметить, что фиг. 154 ’Получается
из фиг. 148 простым (вертикальным передвижением одной части балки
относительно другой без всякой дополнительной деформации.
Аналогичным путем можно преобразовать фиг. 146 в фиг. 155.
На первой из этих фигур опорные точки расположены на одной прямой,
154
а упругая линия имеет перелом; на второй опорные точки расположены
на двух пересекающихся прямых, а упругая линия — плавная.
В литературе указан также следующий своеобразный метод. Пусть
требуется построить л. в. некоторого усилия, Например, изгибающего
Фиг. 154
момента в произвольном, сечении К неразрезной балки (фиг. 156, а). Для
этой цели нагрузим балку произвольной нагрузкой и построим упругую
линию; ее ординаты обозначим через г/. Затем освободим балку от той
связи, усилие <в которой требуется найти, т. е. поставим в сечении шарнир,
и снова построим упругую линию от той же нагрузки; ее ординаты обо-
значим через у' (фиг. 156,6). Наконец, построим разность обеих кривых,
т. е. кривую у—yf (фиг. 156, в).
Очевидно, что эта кривая пред-
ставляет собой линию прогибов,
которая вызвана моментам
следовательно, она представ-
ляет собой в некотором мас-
штабе искомую л. в. Мь.
Итак, разность между ли-
ниями прогибов действительной
системы и системы с выклю-
ченной связью представляет со-
бой в некотором масштабе мо-
дель л, в. для усилия в этой свя-
зи, Для получения линии проги-
бов может быть взята какая
угодно нагрузка, лишь бы она
была одна и та же для обеих
систем.
Нетрудно заметить, что эту
Фиг. 156
теорему можно .несколько расширить, а именно: за причину возникнове-
ния прогибов у и уf можно принять не только «нагрузку, но и перемещение
155
какой-нибудь опоры или какой-нибудь другой связи или совместное дей-
ствие нагрузки и перемещения и т. л.
Если за нагрузку принять силу X = 1, приложенную по направлению
исследуемой связи, то теорема перейдет в теорему взаимности
Максвелла. □
§ 14.5. САМОЕ НЕВЫГОДНОЕ ЗАГРУЖЕНИЕ
Когда, кроме постоянной нагрузки, имеется временная, которая может
занимать различные положения и вовсе сниматься с того или иного про-
лета, то приходится искать те сочетания нагрузок, которые вызывают
Фиг. 157
в различных «сечениях балки наи-
больший и наименьший изгибающие
моменты, наибольшую и наимень-
шую поперечные силы.
Пусть трехпролетная балка на-
гружена постоянной нагрузкой, пред-
ставленной на схеме а (фиг. 157), и,
кроме того, временной нагрузкой,
представленной на схеме б. Пусть
временная нагрузка занимает на
каждом пролете вполне определен-
ное положение, но может быть убра-
на с пролета или оставлена на нем.
Построим! эпюру изгибающих момен-
тов от постоянной нагрузки (схе-
ма в), затем отдельно от загружения
каждого пролета временной (нагруз-
кой (схемы г, д, е,ж). Для любого
сечения балки алгебраически «сложим
ординату эпюры, вызванной постоян-
ной нагрузкой, с соответствующими
положительными ординатами, отве-
чающими временной нагрузке; те
временные нагрузки, которые вызы-
вают в этом сечении отрицательные
моменты, считаются отсутствую-
щими. Так получается для данного
сечения Ммакс. Затем к ординате той
эпюры, которая отвечает постоянной
нагрузке, приложим алгебр аически
соответствующие отрицательные ор-
динаты из других эпюр; в итоге по-
лучится для данного сечения Л1МИН.
По абсолютной величине ЛГМИН, ра-
зумеется, может оказаться большим,
чем Ммакс.
Проделав такую операцию для
достаточного количества сечений в
каждом пролете и соединив найден-
ные точки, получим для изгибающих
моментов две предельные кривые
(фиг. 157,з)—так называемые объ-
емлющие эпюры, из которых одна дает для всех сечений балки величи-
ны AfMaKC, а другая — величины Ммин. По этим, расчетным изгибающим
моментам проверяются нормальные напряжения.
156
На фиг. 158 построены объемлющие эпюры для поперечных сил
трехП'ролетной -балки. Эпюры QMaKC получаются так: ю ординатам
эпюры Qn0CT (фиг. 158, а) добавляются ординаты одних положительных
или одних отрицательных участков эпюр QBpeM (фиг. 1158, б, в, г).
ТГПТгптгггг^। Шк
ё)
Фиг. 158
Результатом первой операции является объемлющая эпюра <2макс, а
результатом второй—QMIiH (фиг. 158, д).
* Для облегчения построения заметим, что в рассматриваемом при-
мере все эпюры Q состоят только из прямолинейных участков. При сло-
157
жении нескольких прямолинейных графиков результирующий график
получается также прямолинейным, причем тангенс угла его наклона к оси
абсцисс равен сумме тангенсов углов наклона составляющих графиков.
При построении прямолинейного участка графика отпадает необходимость
разыскивать промежуточные точки; достаточно иметь две крайние орди-
наты.
Перелом в суммарном графике может получиться только под тем
сечением, где имеется перелом хотя бы в одном из составляющих графи-
ков. В данном примере таким сечением служит сечение Н второго про-
лета. В самом деле, в состав эпюры QMaKC график GHJ входит только
участком GH, а в состав эпюры — участком HJ. Поэтому в сече-
нии Н получается перелом каю в объемлющей QMaKC, так и в
В рассматриваемом примере все прямые эпюр QMaKC и QMHH на про-
тяжении первого пролета параллельны эпюре Qn0CT того же пролета.
Крайняя левая ордината равна ai + б\ + гх\ построение графика
ясно из чертежа.
Во втором пролете при построении эпюры QMaKC добавляются
к эпюре QnoCT ординаты графика б и участка GH графика в. Полу-
чается ломаный график, для построения которого достаточно иметь две
точки; правый участок эпюры QMaKC параллелен эпюре QnoCT. Эпюра
Qmhh состоит из двух прямых, соответственно параллельных прямым
эпюры QMaKC (левая — параллельна правой, а правая — левой).
В третьем пролете все прямые параллельны прямолинейной эпюре
QnoCT-
Наиболее невыгодное расположение временной нагрузки можно уста-
новить, даже не вычисляя ординат объемлющих эпюр, а руководствуясь
только формой л. в.
Так, например, для пятипролетной балки имеем следующие схемы
загружения (фиг. 159):
Фиг. 159
для Л?1минр-~ схему 7; для 7И1Макс — схему 2;
для ЛТ2мин — схему 3; для /И2макс — схему 4.
Вообще минимум опорного момента получается при загружении времен-
ной натрузкой двух смежных пролетов, примыкающих к опоре, и ост ал ь-
158
ных пролетов через один; максимум опорного момента получается при
загружении тех пролетов, которые оставались свободными при отыска-
нии Ммин. *
Для сечения, лежащего на внутреннем участке второго пролета, т. е.
на участке — Fz', минимум получается при схеме 5, а максимум — при
схеме 6.
Для опорной реакции /?0 максимум получается при схеме 5, а мини-
мум — при схеме 6,
Для поперечной силы в произвольном сечении К второго пролета
минимум получается при схеме 7, т. е. при загружении левой части про-
лета, а также полностью остальных пролетов через один; максимум полу-
чается при загружении по схеме S.
Вообще загружения, соответствующие минимуму и максимуму
какого-нибудь усилия, дополняют друг друга до полного загружения всех
пролетов; зная одно из двух загружений, мы тем самым знаем и другое.
Читателю, который будет разбираться в схемах загруження, изобра-
женных иа фиг. 159, мы настоятельно рекомендуем начертить или пред-
ставить себе в уме общий характер соответствующих л. в.; ему сразу ста-
нет ясен смысл всех этих схем, так как для получения максимума загру-
жаются положительные участки л. в., а для минимума — отрицательные
участки.
Для того случая, когда обе нагрузки—постоянная и временная —
имеют характер равномерно распределенных, составлены числовые таб-
лицы изгибающих моментов, поперечных сил и опорных реакций, а также
абсцисс опасных сечений Ч
§ 15.5. РАСЧЕТ НА СМЕЩЕНИЕ ОПОР
Смещение опор имеет для неразрезных конструкций серьезное зна-
чение. Если балка с прямой осью прикрепляется к плохо снивелирован-
ным опорам, то она от этого изгибается) и приходит в напряженное состоя-
ние. То же самое происходит тогда, когда под влиянием подмыва опор,
плохого качества грунта, деформации самих опор и т. п. опорные точки
оказываются расположенными не на одной прямой.
При расчете на смещение опор канонические уравнения метода сил
имеют вид
+ ...•+ ЬяЛХл + = О,
где то перемещение по направлению неизвестной которое воз-
никает в основной системе под влиянием смещения опор. В применении
к неразрезной балке такое уравнение выражает следующую мысль: пере-
лом упругой линии на опоре, вызываемый совместным действием всех
лишних неизвестных и перемещением опор, должен равняться нулю.
Угол перелома, вызванный опорными моментами, как мы видели
раньше при выводе уравнения трех моментов, равен
— м 4-1 ~~—
6£Л
4-1
___2_±J___М
оп*'л + 1
Угол наклона пролета возникающий в основной системе от задан-
ного смещения опор, назовем (фиг. 160), где
0л = . вя+1 = и т> д (25,5)
1п #Л + 1
iCm., например, Промстрой проект, «Справочник инженера-проектировщика прои-
сооружений», т. II, стр. 394—400.
159
Все эти углы можно считать известными. Они будут считаться поло-
жительными в том случае, когда они направлены по часовой стрелке.
Угол перелома на n-й опоре, возникающий в основной системе от сме-
щения опор, равен 6л+ — 0л.
Отсюда после умножения всех членов на 6ЕД) получается следующее
уравнение трех моментов:
/лЛ?л_1-|-2(/п 4“/я+1 )АГЛ -|- ^л+1 -Mrj+i -|- 6Е/0 (6л+1 8Я) — 0. (26.5)
Такой вид имеет любое из промежуточных уравнений. Более простой
вид имеют первое и последнее уравнение. Для балок с шарнирно опер-
тыми концами первое уравнение имеет вид
Фиг. 160
2(// + 1Ъ')М1 + l./M2 + QEJ, (0г - 0J = 0. (27.5)
Для балки с защемленным левым концом оно пишется так:
2 + ///Wi + бЕЗД = 0. (28.5)
Момент инерции Jo входит множителем во все члены и поэтому на
изгибающие моменты не влияет. Но свободный член 6Е/0 (6п+1 — вп) не
зависит от моментов инерции сечений балки, в то время как приведенные
пролеты /я_1? Гп, 1'п+х обратно пропорциональны моментам инерции.
Отсюда следует, что если моменты инеоции всех сечений балки увели-
чатся в одно и то же число раз, то изгибающие моменты увеличатся во
столько же раз. Это показывает, что при заданном смещении опор изги-
бающие моменты пропорциональны жесткости балки.
Если опоры сместятся таким образом, что все пролеты наклонятся
одинаково, т. е. окажется что — 02 = ... == 6Л, то все свободные члены
обратятся в нуль, а потому все изгибающие моменты также будут равны
нулю. Этот вывод вполне естественен, так как при указанном условии все
опорные точки, очевидно, останутся на одной прямой.
При любом сочетании смещений опор эпюра изгибающих моментов
будет представлять собой ломаную линию с вершинами, расположенными
на опорных вертикалях.
В том случае, когда задано смещение одной опоры, а прочие
остаются неподвижными, эпюра имеет вид, представленный на фиг. 161.
Вне тех двух пролетов, которые примыкают к сместившейся опоре, эпюра
проходит через фокусы. Для определения моментов. Мп,
проще всего поступить следующим образом: рассмотреть отдельно влия-
ние положительного угла 0л (фиг. 162) и отдельно влияние отрицатель-
ного угла 6л+1 (фиг. 163).
На фиг. 162, б основными неизвестными являются моменты МпЛ и
7Ия,.возникающие на концах повернувшегося пролета /я; остальные
160
В—И. М. Рабинович
выражаются через них при помощи фокусных отношений. Напишем от-
носящиеся к этой фигуре уравнения трех моментов для опор п— 1 и п,
причем введем подстановку
X+i - - -
А"-1 *„+i
После приведения подобных членов уравнения ’Примут вид
или
tn 24
l’ J / 1
2---
In \ \
/;Г24-^-(2--Д-
L ln \ kn+i
ж;_1+/;<„+6£/Д=0;
п-1
лг;~бд/оеп = о
VX-1 + 4Х + 6£Jo0„ = 0;
1пМп—1 1цМп == О,
откуда
Мп
_ б£/0
____^+1_е.
in м„-1 "
(29.5)
Подобно этому из фиг. 163 получим
<=--^
ъ+1
+
(п+1 йп+1 ^л+1
Ал+1 + 1 П .
ь zr e«+i’ ЛГл+1
(30.5)
Теперь уже нетрудно по закону независимости действия сил написать
формулы опорных моментов для фиг. 161:
Мп-1-М'п^-1^--, М„ = М'п + Мп; M.+i-^+X+i- (31.5)
«п+1
Во избежание недоразумений напоминаем, что в формулах (30.5)
угол 0д+1—отрицателен:
e»+i=--Же.,
ъ+1
так что фактически на фиг. 163 момент М'п положителен, а М'+1 — отри-
цателен.
□ Смещение опор, которое происходит против воли строителя, яв-
ляется, разумеется, фактором вредный Однако из смещений можно
извлечь пользу, когда они вызываются сознательно — в целях выравни-
вания напряжений. Для пояснения этой идеи рассмотрим двухпролетную
балку постоянного сечения, на которой в середине пролетов расположены
две равные силы Р (фиг. 164). Момент на средней опоре равен
3
16
PZ;
момент под грузом равен
Pl 1
— Pl — — Р1
16 ™ 32 J
4 2
162
т. е. по (абсолютной величине он меньше опорного момента. Поставим себе
целью выровнять оба момента по абсолютной величине, т. е. добиться
того, чтобы было
или
или
Для этого нужно дать опорно-
му моменту приращение
6 \ 16 ^7 и- 48 .
Мы достигнем этого, если опу-
стим среднюю опору так, что
левый пролет повернется на не-
который угол 6, а правый —
на угол— 6. Этот угол найдем-
из уравнения трех моментов,
которое в данном случае будет
иметь вид
4M1/ + 6£J(—6-6) = 0
или
4-S-Z — 12£VO = 0,
Pl
б •
откуда:
РР
WEJ
Вертикальная осадка средней опоры равна
> = 6/
рр
\4AEI ’
В /n-пролетной балке с опертыми концами, очевидно, имеется т — 1
промежуточных опор. Давая им различные перемещения, мы получаем
возможность отрегулировать 'величину изгибающих моментов на т — 1
опорах или в т— 1 промежуточных точках и добиться уменьшения абсо-
лютных величин наибольших моментов, по которым приходится подбирать
сечения балки.
Фиг. 165
Влияние, аналогичное влиянию смещения опор, оказывает насиль-
ственный излом оси неразрезной балки. Такой случай можно встретить,
когда два смежных пролета балки, которые должны быть склепаны или
сварены в одну неразрезную балку, имеют непараллельные направления
крайних сечений ас и Ьс (фиг. 165). Соединив эти сечения, мы создадим,
упругую линию и вызовем начальное напряжение состояния балки. □
п*
163
§ 16.5. РАСЧЕТ НА НЕРАВНОМЕРНЫЙ НАГРЕВ
При равномерном нагреве неразрезная балка с прямой’осью, имею-
щая возможность удлиняться или укорачиваться по направлению своей
оси, не испытывает усилий. Поэтому для расчета балки на любое темпе-
ратурное воздействие можно ограничиться рас смотрением того темпера-
турного графика, который характеризуется разностью температур в край-
них волокнах (фиг. 166), по оси же стержня изменение температуры
будем считать равным нулю.
Уравнение трех моментов будет отличаться от того же уравнения,
отвечающего действию внешней нагрузки или осадке опор, только сво-
бодным членом. Оно будет иметь вид
1пмп-1+2(/;+/;+1) мп+?;+1 мя+1+=о. (32.5)
Определим член который выражает собой температурный угол
перелома оси на опоре п основной системы. Этот угол складывается из
углов поворота обоих сечений, примыкающих к этой опоре (фиг. 167),
и определяется по формуле
а V1 С mnatfds
где тп — эпюра моментов, изображенная на фиг. 167,6;
d — высота поперечного сечения балки.
Произведя интегрирование и считая температуру tf постоянной по
длине балки, получим
дя,=+ 1 m„ds +
Знак плюс берется в том случае, когда кривизна, вызванная температурой,
и кривизна, вызванная эпюрой mni направлены в одну и ту же сторону.
При выбранном нами положительном направлении моментов Хп знак
плюс пишется тогда, когда кривизна обращена вниз.
Окончательный вид уравнения трех моментов:
/Ж_1 + 2(/л+/;+1)М„ + /;+1Л1„+1 ± 3£Jere(^- + 4±i-)=0. (33.5)
164
При заданной температуре изгибающие моменты, а следовательно, и
все прочие усилия пропорциональны жесткости балки. При умножении
всех моментов инерции на одно и то же число моменты, поперечные силы
и реакции умножаются на то же самое число. Такие же последствия имеет
изменение модуля упругости Е.
Напротив, увеличение высоты всех поперечных сечений при сохра-
нении тех же моментов инерции влечет за собой уменьшение усилий.
Интересно, что пропорциональное увеличение илн уменьшение длины
всех пролетов не влияет на изгибающие моменты. Действительно, пролеты
входят как линейные множители во все члены уравнения (33.5).
Неразрезную балку можно рассматривать как однопролетную, для
которой внешней нагрузкой служат только лишние опорные реакции,
поэтому эпюра изгибающих моментов, вызванных температурой, пред-
ставляет собой многоугольник, имеющий вершины на опорных вертикалях.
Из условий равновесия -следует, что равнодействующая всех опорных
реакций равна нулю. Это может быть использовано для проверки расчета.
§ 17.5. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК МЕТОДОМ ЗАДАННЫХ
МОМЕНТОВ ИЛИ НАПРЯЖЕНИЙ!
□ В уравнениях трех моментов обычно считают опорные моменты
неизвестными, а моменты инерции поперечных сечений и пролеты — из-
вестными. Но с математической точки зрения вовсе необязательно считать
неизвестными изгибающие моменты. Величины М, I и -у- входят в урав-
нения трех моментов в первой степени, поэтому никаких математических
осложнений не возникнет, если принять за неизвестные любую группу
этих величин в количестве, равном количеству уравнений. Например, для)
балки с постоянными в пределах пролетов сечениями можно считать не-
известными некоторые опорные моменты и площади некоторых сечений,
или некоторые опорные моменты, моменты инерции и длины пролетов,
или отношения всех моментов инерции к одному из них и т. д.
Рассмотрим систему уравнений трех моментов:
2(//+ Z2')Mi + Z/A12 = —6^—А\ =
\ к Л h h)
==_6/^1// + !^?/2) ;
\ Ч *2 /
/2'Л11 + 2(// + /8')М + 4/^з = -б(^4' + ^ Zs) ;
\ ‘2 ‘3 /
Выберем следующий вариант расчета: зададимся эпюрой изгибаю-
щих моментов, т. е. назначим по собственному усмотрению величины всех
опорных ^моментов М2 и т. д. Неизвестными будем считать величины,
зависящие от сеченнй балки, например, приведенные пролеты. Система
уравнений трех моментов является однородной относительно величин //,
и т. д.; поэтому из нее можно определить только отношение этих вели-
чин к любой из них. Будем считать момент инерции Л, а следовательно,
1 И. М. Рабинович, Расчет иеразрезных балок иа жестких и упругих опорах
методом заданных моментов и напряжений, сборник «Исследования по теории соору-
жений», Госстройиздат, 1936, стр, 71.
165
и -приведенный пролет Z/ известными. Тогда в первом уравнении останется
одна неизвестная I*', которая и определится из него:
(бел fli
_________1__
6о>2&2
2Л114-Л13 +—2-
12
с.
(34.5)
Во втором уравнении будет содержаться только одна неизвест-
ная 1з', которая определится таким же образом, и т. д.
Так (можно вычислить один за другим все приведенные пролеты,
а следовательно, и моменты инерции всех поперечных сечений.
Если какой-нибудь приведенный пролет, вычисленный по этим фор-
мулам, окажется отрицательным, то это будет означать, что мы задались
невозможной, нелепой эпюрой моментов. Нужно будет изменить один или
несколько опорных моментов и произвести вычисление вторично. То же
самое нужно будет сделать, если один из приведенных пролетов получится
равным нулю.
Этот ход расчета интересен тем, что позволяет заранее задаться
целесообразной эпюрой моментов; например, подобрать опорные моменты
так, чтобы они равнялись наибольшим моментам в пролетах. С расчет-
ной точки зрения преимущество состоит в том, что каждое неизвестное
определяется сразу, по простой формуле. С другой стороны, этот метод
имеет следующий крупный недостаток: он позволяет легко подобрать
сечения только для одной, хотя и произвольной нагрузки. Если балку
нужно рассчитать иа две илн больше различных временных нагрузок, то
по методу заданных моментов можно подобрать сечения для одного из
случаев загружения; для остальных случаев придется искать моменты
обычным способом, исходя из найденных сечений.
Построение л. в. методом заданных моментов также невозможно,
аотому что для каждого нового положения движущегося груза мы полу-
чили бы новые значения сечений.
Вариантом метода заданных моментов может служить метод задан-
ных моментов и приведенных пролетов. Этот метод состоит в том, что
в балке с k лишними неизвестными задаются п опорными моментами
(ц й) и k — п приведенными пролетами (не считая первого пролета,
для которого можно принять // = /1). Остающиеся неизвестными k — п
опорных моментов и п приведенных пролетов определяются из уравнений
Клапейрона. Задание величин нужно сделать так, чтобы в каждом урав-
нении оказалось по одной неизвестной.
Например, зададимся величинами Afb Af2, /3', //, . . . , //.Тогда из
первого уравнения определится неизвестная //; из второго — неизвестный
момент M3; из третьего — и т. д. Из предпоследнего (k — 11-го) опре-
делится Mk. Наконец, из последнего найдется приведенный пролет 4+i .
Если мы доведем число заданных моментов до k, то получим метод задан-
ных моментов. Если доведем его до нуля, то метод заданных моментов
и приведенных пролетов обратится в обычный метод, который можно было
бы назвать с этой точки зрения методом заданных сечений.
Метод заданных моментов можно распространить также на балку
переменного сечения.
Наконец, вместо того чтобы задаваться опорными изгибающими мо-
ментами, можно задаться напряжениями в опорных сечениях, а из урав-
нений Клапейрона определять отношения моментов инерции. Такой способ
решения можно назвать методом заданных напряжений.
166
О достоинствах и недостатках этих вариантов можно повторить то,
что сказано было о способе заданных моментов.
Более детально с этими методами можно познакомиться по статье
автора, указанной в начале этого параграфа. □
§ 18.5. НЕРАЗРЕЗНАЯ БАЛКА С УПРУГО СМЕЩАЮЩИМИСЯ ОПОРАМИ
Упруго смещающейся опорой будем называть такую, перемеще-
ние которой пропорционально действующему на нее давлению. Приме-
рами таких опор могут служить длинные колонны, на которых лежит
неразрезная балка, поперечные балки проезжей части металлического
моста, на которых лежат продольные неоазрезные балки, а также пон-
тоны, которые служат опорами наплавного моста. Более грубым прибли-
жением к схеме неразрезиой балки на упруго смещающихся опорах слу-
жит рельс железнодорожного пути, лежащий на шпалах, которые в свою
очередь лежат на более или менее упругом полотне. Мы будем попреж-
нему считать, что балка шарнирно связана со своими опорами, хотя
такая расчетная схема является лишь приближением к действительным
конструкциям.
Будем считать длины пролетов, а также сечения неразрезной балки
известными. Упругие характеристики опор, например, их коэффициенты
податливости, мы должны также считать известными. Коэффициентом
податливости будем называть перемещение опоры, вызванное единич-
ной силой. Напрнмер, коэффициентом податливости такой опоры, которая
р а
выполнена в виде колонны длины а и сечения F, служит число с ~ -рр,
т. е. укорочение опоры, вызванное единичной продольной силой. Коэффи-
циент, относящийся к какой-нибудь опоре номер п, будем обозначать
через сп. Иногда пользуются обратным коэффициентом —, который вы-
сп
ражает собой силу, потребную для единичного перемещения опоры. Он
носит название коэффициента жесткости или коэффициента упругости
опоры.
Поведение опор целиком определяется их коэффициентами податли-
вости сп. Поэтому, нисколько ие суживая задачи, мы можем принять,
что опоры имеют вид колонн, получающих от продольной силы «единицы»
удлинение или укорочение сп.
За основную систему снова примем балку, разделенную шарни-
рами на ряд однопролетных балок (фиг. 168, а).
За неизвестные примем опорные изгибающие моменты; построим
эпюры изгибающих моментов, вызванные единичными значениями этих
неизвестных, и вычислим коэффициенты канонических уравнений.
Легко заметить, что перелом упругой линии па опоре п вызывается
только моментами M„_2, Afn_i, Мп, vWrt+i, Мп+2 и внешней нагрузкой,
расположенной на пролетах 1п+и /л+2-Действительно, любой из
этих факторов вызывает в основной системе продольные усилия, по край-
ней мере в одной из колонн п — 1, я, ftf 1, а удлинение или укорочение
последних, очевидно, вызывает взаимный поворот обоих сечений, шар-
нирно связанных между собой на опоре п. Моменты и внешние нагрузки,
расположенные более далеко, не вызывают в этих колоннах основной/
системы никаких усилий.
Каноническое уравнение для п-й опоры будет иметь вид
(35.5)
Оно называется уравнением пяти моментов.
167
Для вычисления 'коэффициентов прибегнем к общей формуле пере-
мещений.
Примем во внимание изгибающие моменты в балке и продольные
усилия в опорах. Те и другие показаны на фиг. 168, б, в иг. Удлинение
или укорочение любой колонны равно ее продольному усилию, помножен-
ному на соответствующий коэффициент податливости. Займемся переме-
щением ВЛ1„_2. Из фиг. 168, б и г видно, что имеется только одна опора,
в которой возникают усилия как от Хп_2 = 1, так и от Xrt = ;l,— опора
п—1. Эти усилия соответственно равны-------и —, поэтому для
п — 1-й колонны получается
ап-1 ап- 1
Отсюда
s V Г mnmn-2dx ।
EJ М-1/л *
Первый член равен нулю, так как эпюры тп и тп-2 не имеют общих
участков, следовательно:
й Cfi~x
^п-2^ 1п_х1п '
168
Поступая таким же образом, получим
Коэффициенты §л,я+1,8л, л+2 напишутся по «аналогии с 5Л(Л_ц S,
Свободный член выражается формулой
. хл Г mnmpds , V1 Г Nn^pds
*"р== 2j J ~T7~ + 2j J
+ -e.^-i _cX(_L+_L\
ln-l \ ln ln + l /
(и, п~2 *
в* . 4+1
EJn^J n + i
сп+\^п+\
^nj-X
где через Rn и /?л+1 обозначены реакции опор п— 1, п и пЧ- 1,
вызываемые в основной системе внешней нагрузкой; через Вп и /1J+1
обозначены попрежнему фиктивные реакции опоры п в n-м и п+1-м
пролетах.
Все эти формулы мы могли бы легко вывести также графоаналитиче-
ским методом. Например, в формуле для Длр первые два члена выражают
взаимный поворот сечений на опоре п, который получается вследствие
того, что внешняя нагрузка изгибает балку в пролетах 1п и /л+ь Числи-
сь _ < /?„________j
тель дроби —z---- выражает собой осадку опоры п— 1, вызванную
^п— 1
внешней нагрузкой, а вся дробь — вызванный этой осадкой угол пере-
лома упругой линии на опоре п (он совпадает с углом поворота всего
пролета /л_i). Произведение cnRn выражает вызванную внешней нагруз-
кой осадку опоры п, а произведение —с R _ь 1 — обусловленный
этой осадкой угол взаимного поворота обоих пролетов!. Знак минус пока-
зывает, что при такой осадке взаимный поворот сечений на опоре п про-
тивоположен положительному направлению искомого опорного мо-
мента Мп. Мы не будем продолжать элементарного вывода, но читателю
рекомендуем проделать его.
Первое и последнее уравнения для многопролетной неразрезиой
балки содержат по три неизвестных момента, второе и предпоследнее —
по четыре; все остальные уравнения содержат по пять неизвестных.
Наиболее простые уравнения пяти моментов получаются тогда, когда
балка имеет постоянное сечение и равные пролеты, а опоры — постоянный
коэффициент податливости с:
7з“ ^л-2+ ( 6£J /г) + 2 (~ЗЁГ + jr) + 1 +
+ дг^л+г4— р 4“ ~ (Rn-i — 2Rn + Rn+i) = 0.
г ej , i
Введя обозначение = а, где a
имеет размерность отвлеченного
169
числа, и умножив обе части на мы еще более упростим уравнение:
°Мя-2 + (1 - 4а) №„-> + (4 + 6а) М„ + (1 - 4а) Мя+1 + аМл+2 =
= ^ДяР. (36.5)
Прогиб на n-й опоре неразрезной балки в общем случае—когда
пролеты и коэффициенты податливости различны, — равен суммарной
реакции этой опоры, умноженной на коэффициент податливости сп:
(37.5)
Выражение в квадратных скобках равно прогибу, вызванному опоо-
ными моментами, a cnRn представляет собой прогиб от внешней нагрузки,
стоящей на пролетах 1п и /л+ь
В том случае, когда коэффициенты податливости всех опор равны
нулю, т. е. — 0, балка превращается в неразрезную балку на жестких
опорах. Тогда коэффициенты и 8л,л+г становятся равными нулю и
уравнения пяти моментов переходят в уравнения трех моментов.
□ Крайним случаем неразрезной балки на упруго смещающихся опо-
рах является балка, расположенная на таком сплошном упругом основа-
нии, которое подчинено закону пропорциональности между местным дав-
лением и местной осадкой (так называемом «винклеровском» упругом
основании). Такое упругое основание балки можно рассматривать так
совокупность бесконечного множества не связанных друг с другом упру-
гих опорных стержней, отстоящих между собой на расстояниях dx. Коэф-
фициент податливости отдельного бесконечного тонкого опорного стержня
С = со,
Податливость основания характеризуется поэтому величиной с dx — et
т. е. осадкой среды под влиянием равномерно распределенного давления
интенсивности единица.
В этом случае можно положить
I п~~ dx, Rn'=qdx<i
где q — интенсивность внешней нагрузки на опоре п.
Формула (37.5) для прогиба принимает вид
е . {Ма^-2М„+Мл^ е
dx dx ' dx^
Но* при любых пролетах
где Д2М— так называемая разность второго порядка; при бесконечно
малых пролетах она переходит в дифференциал второго порядка d2M.
Итак:
3' = ^+^ = -^-^ + ^
или
Е^тУ=<1- <38-5>
Это дифференциальное уравнение характеризует упругую линию
балки, лежащей на сплошном упругом основании. □
170
§ 19.5. ЭПЮРЫ И ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ БАЛКИ
НА УПРУГО СМЕЩАЮЩИХСЯ ОПОРАХ
Для построения эпюр или л. в. необходимо решить систему уравне-
ний пяти моментов. Сделать это значительно труднее, чем решить систему
уравнений трех моментов, но все же эта задача не очень сложна.
Существуют различные варианты ее решения.
Можно, например, поступить так: выразить все неизвестные через
и M2t Например, из первого уравнения системы (35.5) получается
7И3=-^1 Л41-^-Л42—.
d 513 1 &13 2 о13
Подставив выражение М3 во второе уравнение, содержащее неизвест-
ные Мь М2, М3, М4, получим из Hero формулу для М4 и т. д. Использовав,
таким образом, первые п — 2 уравнений, выразим все моменты через Mi
и М3, Оставшиеся неиспользованными последние два уравнения будут
содержать только эти две неизвестные, которые и определяются
□ Попытки разработать метод решения уравнений пяти моментов,
аналогичный методу моментных фокусов, оказались не бесплодными.
Выяснилось, что можно ввести совокупность коэффициентов, аналогичных
фокусным отношениям; число коэффициентов — в 2 раза больше, чем
в балке с жесткими опорами 2.
Если балка имеет постоянное по всей длине поперечное сечение и,
кроме того, соблюдены следующие условия: все пролеты равны, опоры
имеют одинаковую жесткость, а нагрузка всех пролетов имеет регулярный
характер, то система уравнений -пяти моментов допускает решение, как
уравнение в конечных разностях 3. □
Когда опорные моменты найдены, то поперечные силы и опорные
реакции находятся по тем же формулам, что и для балки на жестких опо-
рах, а прогибы на опорах равны произведению соответствующей реакции
на коэффициент податливости,
Построение ординат для л. в. опорных моментов производится так:
груз Р = 1 ставится последовательно на каждом пролете на расстоянии х
опоры, затем каждый раз решается соответствующая система уравне-
ний пяти моментов; в результате получается формула для того участка
л. в., который отвечает загруженному пролету. Можно также пользоваться
способом, основанным на принципе взаимности перемещений и описанным
в § 13.5; отличие от расчета балки на жестких опорах будет состоять лишь
в том, что в данном случае для нахождения ординат эпюры моментов,
вызванной вертикальной единичной силой, придется решать систему пяти-
членных уравнений.
1 Другие решения можно найти в следующих работах: проф. В. В. Григорьев,
Расчет наплавных неразрезных мостов, «Вестник Военно-инженерной академии РККА»,
сборник по строительной механике № 3, 1934; проф. А. А. Уманский, Специальный
курс строительной механики, ч. I, 1935, гл. IV; проф. И. М. Рабинович, Об одном
способе решения системы линейных уравнений в задачах строительной механики, сбор-
ник «Исследования по теории сооружений», вып. 6, Стройиздат, 1954; Б и ц е и о
и Граммель, Техническая динамика, т. I, гл. IV, 1950.
2 Чл.-корр. Академии наук СССР проф. П. Ф. П ап кович, Строительная меха-
ника корабля, ч. I, т. I, гл. II, § 36, «Морской транспорт», 1945; каид. техн, наук
Доц. В. Дидов, О расчете балок на упругих опорах, «Сборник научных работ
Московского электромеханического института железнодорожного транспорта», вып. 58,
1949; канд. техн, наук Г. И. Розеиблат, Расчет балки на упругих опорах методом
фокусных коэффициентов, сборник «Исследования по теории сооружений», вып. V, Гос.
нзд, литературы по строительству и архитектуре, 1951.
ЭИ. М. Рабинозич, Применение теории конечных разностей к исследованию
иеразрезиых балок, М. 1922; Блейх и Мела и, Уравнения в конечных разностях ста-
тики сооружений, гл. 8, 1936.
171
Как эпюра, так и л. в. балки на упруго смещающихся опорах отли-
чаются от соответствующих графиков, относящихся к балке на жестких
опорах. Например, груз, стоящий на любой опоре, вызывает в балке изги-
бающие моменту и прочие усилия; ординаты л. в. на опорах не равны
нулю. Примерный вид л. в. опорного изгибающего момента показан на
фиг. 169, вообще же ее очертание, а также знаки могут изменяться в зави-
симости от соотношения длины пролетав, от их жесткостей и от коэффи-
циентов податливости опор.
□ Неразрезная балка на упруго смещающихся опорах не обладает
фокальными свойствами.
Фиг. 169
Действительно, разрежем неразрезную балку на промежуточной
опоре А и откинем правую часть. Действие последней на оставшуюся
левую часть ограничится передачей момента МА и вертикальной силы
(фиг. 170). Эпюра изгибающих моментов является функцией обоих
факторов; но так как при различном характере и расположении внешней
нагрузки отношение между величинами МА и QA может изменяться, то и
характер эпюры изгибающих моментов не является постоянным. Ожидать,
что нулевые точки эпюры будут за-
нимать всегда одно и то же положе-
ние, нет никаких оснований.
Несколько иная картина полу-
чится тогда, когда в числе промежу-
точных опор имеется хотя бы одна
жесткая; тогда в пролетах, располо-
женных слева от этой опоры, по-
явятся левые фокусные отношения, а
в пролетах, расположенных справа, — правые фокусные отношения.
Левые фокусные отношения будут действительны только для таких на-
Фиг. 171
грузок, которые расположены справа от жесткой опоры,, а правые —
только для нагрузок, расположенных слева от нее.
Для примера поместим на фиг. 171 нагрузку справа от жесткой
опоры 4.
Для левой части балки получится система трех уравнений с четырьмя
неизвестными:
172
6пЛ/1 + 812Л/2 + 813Л13 = 0;
82i^i + ЪгМг + 82SM3 + 824М4 = 0;
« + ^32-^2 “Ь « + ^34^4 = 0.
Из нее и можно вычислить отношения всех опорных моментов^ к одному
из них, т. е. полностью определить для левой части балки характер эпюры
моментов. □
§ 20.5. ПРИМЕР
□ Построить эпюру моментов для равнопролетной балки постоянного сечения,
представленной на фиг, 172. Крайние опоры являются абсолютно жесткими, а осталь-
ные— упруго-податливыми с постоянным коэффициентом податливости.
Фиг. 172
Коэффициенты уравнений получаются из выведенных выше общих формул. Это
упражнение полезно проделать. Здесь мы дадим окончательные значения коэффициентов;
6ЕЛц = 6£Л44 = I (5а + 4); 6£= 6£Л33 = 2/ (За + 2);
6£Л12 6Е Лаз = 6£Л34 = (— 4а + 1) Z; 6£Л13 = 6£Л24 = а/;
п/з р/з
6£JAJp = б£М4р = — у- (1 - 2а); 6£7Д2д = 6£Лзр = — у- .
Уравнения имеют следующий вид:
р/з
(5аН-4)Л41 + (- 4а + 1)М2 + аЛ43---(1 -2а);
173
(— 4a -f- 1) Afi + 2 (За + 2) ТИ2 + (— 4a -J- 1) Л43 4~ aM^ = — 2 ’
Подставив сюда Л43 = Л42 и М4 — Mi и решив уравнения, получим
(4 — 5а — 4а2) pl2 (3 + 10а — 6а2) /?/а
1 " ~ 2(19 + 39а + а2)” ' Л*2 - ~ 2(19 -Н 39а + а2) ’
По этим формулам можно легко выяснить влияние параметра а Иа эпюру изги-
бающих моментов. Заранее можно сказать, что при постепенном возрастании этого
числа, т. е. при увеличении податливости промежуточных опор, балка стремится к состоя-
нию простой двухопорной пролета 51. По найденным формулам при а = сю получается
что вполне согласуется со сказанным. При а = 0 балка превращается в неразрезную на
абсолютно жестких опорах, причем
2 3
Л*1 = -—Л43 = ~ — РР.
1У мо
На фиг. 172 показано постепенное изменение эпюр, отвечающих изме-
нению значений a. □
§ 21.5. К ИСТОРИИ ТЕОРИИ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
□ Та крупная роль, которую теория неразрезной балки сыграла в
развитии методов строительной механики, заставляет с особым интересом
отнестись к истории возникновения и развития методов расчета таких
балок.
Практическое применение неразрезных балок, вероятно, имеет такую
же давность, как само строительство, что же касается расчета таковых,
то он зародился примерно 170 лет назад, в конце XVIII столетия.
Первый расчет был дан Эйлером, который принимал балку абсо-
лютно жесткой, а опоры — упруго смещающимися. При этих условиях
Эйлер получил, разумеется, простое решение задачи. Выходило, что
наибольшее давление передавалось всегда на одну из двух крайних опор,
каково бы ни было расположение нагрузки на балке. Такой результат
казался невероятным и не мог удовлетворить строителей. Однако это
решение представляло собой серьезный шаг вперед, так как резко подчерк-
нуло, что задача не может быть решена на основании одних только усло-
вий равновесия.
На заре строительной механики, как отдельной науки, в 1808 г., в трех-
томном курсе статики для архитекторов, автором которого был Эйтель-
вейн, было уделено значительное внимание «трудному исследованию
вопроса о том давлении, которое тело оказывает на опоры, когда послед-
ние расположены на одной прямой и число их превышает два». В противо-
положность Эйлеру этот автор уже рассматривал неразрезную балку как
упругий стержень, лежащий на абсолютно жестких опорах. Такая точка
зрения была значительно более плодотворной и позволила Эйтельвейну
получить формулы для опорных реакций двухпролетных балок с равными
и неравными пролетами, нагруженных сосредоточенными силами н соб-
ственным весом. За основные неизвестные он принимал опорные реакции.
Несмотря на то, что Эйтельвейн ограничился расчетом только для
двух пролетов, полученные им формулы настолько сложны, что способны
отпугнуть последователя, который захотел бы заняться расчетом балки
с большим числом пролетов. Такого исследователя, невидимому, и не
нашлось. Практика была мало заинтересована в решении этой проблемы.
Спустя почти 20 лет, в 1826 г., вышли в свет лекции по механике
французского академика, инж. Навье (Navier). В них он посвятил не-
сколько страниц расчету двухпролетной неразрезной балки, нагруженной
174
двумя 'сосредоточенными грузами, причем использовал свою статью на ту
же тему, опубликованную в 1825 г. За неизвестные он также принимал
опорные реакции. Он составлял для каждого из двух пролетов уравнение
упругой линии и определял постоянные интегрирования из четырех гра-
ничных условий.
Как видим, его решение принципиально не отличалось от решения
Эйтельвейна. Оба автора, давшие решение задачи, пошли, как нам теперь
хорошо известно, самым неудачным и трудным путем из всех, какие
только можно выбрать.
В таком состоянии застоя вопрос о расчете неразрезных балок оста-
вался до 50-х годов XIX столетия. За этот период значение неразрезной
балки как схемы инженерных сооружений успело значительно измениться.
Изобретение паровоза и начавшееся вслед за тем интенсивное строитель-
ство железных дорог поставило перед инженера мп-строителями ответ-
ственные и сложные проблемы металлического мостостроения. Неразрез-
ные балочные пролетные строения, дававшие известную экономию мате-,
риала по сравнению с разрезными и позволявшие производить их удобную
установку при помощи накатки, получили заметное распространение.
Можно указать ряд крупных железнодорожных мостов этой системы,
построенных в период 1844—1859 гг. в разных странах. Инженеры, кото-
рые проектировали и рассчитывали пролетные строения этих мостов, на
практике почувствовали, насколько громоздки, утомительны и несовер-
шенны те методы расчета неразрезных балок, которые существовали в то
время. Они вынуждены были пытаться найти более удобные методы. Тре-
бования жизни стимулировали прогресс строительной механики.
Первым, кто откликнулся на этот зов жизни, был Дмитрий Иванович
Журавский. В числе различных задач строительной механики, поставлен-
ных и решенных этим выдающимся инженером, была и задача о нераврез-
ной многопролетной ферме. Проектируя деревянные раскосные мосты, он
столкнулся с необходимостью рассчитать неразрезную ферму с парал-
лельными поясами и раскосной решеткой. Эта задача далеко превосходила
возможности тогдашней строительной механики; крупные зарубежные
мостостроители тогда неясно представляли себе работу даже статически
определимой фермы с простейшей решеткой. В двух статьях, опублико-
ванных в 1852 г.1, Д. И. Журавский дал приближенное оригинальное
решение, при разработке которого ему пришлось, между прочим, впервые
разрешить статически неопределимую задачу о расчете стержня с закре-
пленными концами и с продольной нагрузкой, приложенной в одном из
промежуточных сечений. Мы не излагаем здесь решение Журавского, так
как оно выходит за пределы узкой темы данного очерка.
За границей расчет неразрезной фермы представлялся всем непо-
сильной задачей. Мостостроители с самого начала пошли на компромисс,
заменив ферму сплошной балкой и направив свои усилия на решение этой
более легкой задачи. Насколько неудобны были для практического приме-
нения приемы решения этой задачи, видно из следующего примера.
В 1857 г. в Париже вышел курс мостов Молино и Пронье, в котором
расчет балки с п пролетами сводился к составлению Зп-pi уравнений с
3^+1 неизвестными. По признанию самих авторов курса, при сколько-
нибудь значительном числе пролетов этот метод оказывался неприем-
лемым.
В результате усилившегося внимания к этой проблеме один из фран-
цузских инженеров, занимавшихся проектированием и расчетом мостов,
бывший профессор Петербургского института инженеров путей сообщения
1 «Журнал Главного управления путей сообщения и публичных зданий», т. 16, 1852.
175
Клапейрон нашел уравнение трех моментов. Впервые это уравнение
было опубликовано ® печати и-нж. Берто (Bertot) в 1855 г.
Статья Берто содержит словесную формулировку уравнения трех
моментов для неразрезной балки постоянного сечения, нагруженной
сплошными, равномерно распределенными в пределах каждого пролета
нагрузками. Вывода не дано. Зато указан прием решения уравнений трех
моментов, основанный на методе ложного положения.
Через 2 года -после этого, в 1857 г., Клапейрон представил француз-
ской Академии наук доклад о расчете неразрезной балки, который и был
напечатан в ее официальном издании.
Клапейрон указывает факторы, вызывающие прогресс строительной
механики: «Огромные капиталы, вложенные в железные дороги, дали
живой толчок теории сооружений', так как часто ставили инженеров перед
необходимостью преодолевать те трудности, перед которыми еще не-
сколько лет тому назад они признавали себя бессильными. Среди новых
больших проблем, которые пришлось решать,... — прямая балка, покоя-
щаяся на 4 опорах». После этих строк Клапейрон дает краткий обзор
предшествующих работ по расчету неразрезных балок, причем упоминает
только французских авторов; о работе Берто он ничего не говорит. Далее
он говорит о своей собственной роли в этом вопросе. Он начал заниматься
расчетом неразрезных балок как инженер при восстановлении одного
моста. Найденные им формулы, по его- словам, были позже с успехом
применены к расчету ряда других больших мостов.
Уравнение трех моментов Клапейрон дал в следующем виде:
+ 2 (/„ + A) Qi + ~ (A/о +м2),
где через Q обозначены опорные моменты.
Это уравнение относится к балке постоянного сечения с опертыми
концами, с жесткими опорами, лежащими на одном уровне, с неравными
пролетами и со сплошной равномерной в пределах каждого пролета
нагрузкой.
Из опасения, что решение уравнений при большом количестве неиз-
вестных будет слишком утомительным, он дает искусственный прием
решения и сам решает в виде примера шесть уравнений с шестью неиз-
вестными. Далее он делает важное замечание о том, что влияние
нагрузки на опорный момент быстро убывает по мере удаления ее от дан-
ной опоры.
Овладев плодотворной идеей разрезания балки на отдельные про-
леты, которая позволяет заменить всю сложность воздействия всех сил,
расположенных слева или справа от данной опоры, одной неизвестной —
моментом, Клапейрон сначала споткнулся на заключительном и легчай-
шем этапе, а именно на выводе уравнения трех моментов. Сейчас трудно
даже поверить, что в течение ряда лет при проектировании мостов он
пользовался для расчета ^-пролетной балки 2п трехчленными уравне-
ниями, так как не сумел избавиться от неизвестных углов поворота опор-
ных сечений!
Невольно приходится задуматься над тем, насколько тернистым
может оказаться путь от хорошей идеи к хорошей формуле.
То, что авторами теоремы о трех моментах являются Берто и Клапей-
рон, всем известно; но был еще третий автор, который нашел ее незави-
симо от двух первых, а именно профессор (впоследствии академик)
Бресс (Bresse). В первый раз он излагал эту теорему примерно в одно
время с опубликов1анием работы Клапейрона, но спустя 2 года после
Берто. В печати Бресс опубликовал ее впервые в 1859 г. с ссылкой на
Клапейрона. , :
176
Мы изложили с такими подробностями вопрос о появлении в литера-
туре уравнения трех моментов, так как крайне интересно проследить за
причинами, которые вызывают к жизни новые идеи в науке. Неслучайно
все три автора были инженерами путей сообщения и неслучайно все они
примерно в одно и то же время занялись проблемой расчета неразрезной
балки.
В дальнейшем развитие теории неразрезной балки Брессу принадле-
жит видное место. В первом томе своего курса прикладной механики,
выпущенном в 1859 г., он показал применение теории конечных разностей
и определению закона убывания опорных моментов равнопролетной балки
постоянного сечения с одним загруженным пролетом и исследовал вопрос
о нахождении наибольших абсолютных величин изгибающих моментов и
поперечных сил для любого сечения при совместном действии постоянной
и временной нагрузок. Существования фокусов он тогда еще не заметил.
В 1865 г. вышел третий том его курса прикладной механики.
Здесь не только дана идея решения, но уже рассмотрены следую-
щие вопросы: решение системы уравнений с большим количеством неиз-
вестных, наиболее невыгодное расположение нагрузки, построение
объемлющих эпюр, замкнутые формулы и готовые числовые таблицы для
наибольших изгибающих моментов. Уравнение трех моментов дано здесь
в обобщенном виде: для совместного действия произвольной внешней на-
грузки и заданных смещений всех опор. Кроме уравнения трех моментов,
выведено уравнение трех углов, т. е. связь между углами поворота любых
трех последовательных опорных сечений при действии любой внешней
нагрузки.
Бресс заметил существование постоянных нулевых точек эпюры
моментов, хотя и не дал им специального названия; вывел формулы для
левых и правых фокусных отношений и для опорных моментов загружен-
ного пролета. Кроме того, он установил связь между левыми и правыми
фокусными отношениями двух смежных пролетов.
В 1868 г. русский профессор Ипполит Антонович Евневич (1831 —
1903) вывел для балки постоянного сечения с равными пролетами, загру-
женной равномерно распределенной по всей длине балки нагрузкой, урав-
нение трех реакций Ч Попытки вывести аналогичное уравнение для реак-
ций неравнопролетной балки не увенчались успехом. В 1940 г. вопрос
о возможностях получения трехчленных уравнений для других неизвест-
ных, связанных с опорными моментами линейной зависимостью, обследо-
вал доц. Ю. А. Радциг2, который, между прочим, получил уравнение
трех реакций для р авнопролетной балки, нагруженной как угодно. Более
общую связь между реакциями указал проф. С. Ф. Лебедев
В течение более чем столетнего периода, который продолжается до
наших дней, работа над теорией неразрезной балки никогда не прекра-
щалась полностью. Было опубликовано множество работ различной
ценности, хотя решение, казалось бы, давно доведено до состояния, доста-
точно удовлетворительного с точки зрения практики. Такое повышенное
внимание теории к расчету одного специального типа сооружений объяс-
няется тем, что результаты, достигнутые в этой области, затем распро-
1 И. А. Евневич, Руководство к изучению законов сопротивления строительных
материалов с присоединением обших начал теории упругости твердого тела, Спб. 1868 г.
(на эту книгу обратил мое внимание проф. С. А. Бернштейн).
2 Ю. А. Радциг, Применение общих положений теории форм при расчете ста-
тически неопределимых систем строительной механики, «Сборник трудов Казанского
авиационного института» № 10, 1940.
3 «К вопросу об интегрировании уравнения упругой линии», Сборник научных
трудов Казанского авиационного института № 5, 1936.
12—И. М. Рабинович
177
страняюгся на другие типы сооружений. Так, например, трехчленные
и пятичленные уравнения встречаются при расчете статически неопреде-
лимых рам и ферм; фокальные отношения распространяются не только
на опорные моменты неразрезной балки, но и на усилия в элементах
рам; графические методы, специально разработанные для неразрезных
балок, в несколько обобщенном виде находят себе применение при
расчете других систем, и т. д.
В 60-х, 70-х и 80-х годах уравнения трех моментов были доведены
до наибольшей общности, охватив балки с неравными пролетами
и неодинаковой жесткостью в пролетах, не только равномерно распреде-
ленную нагрузку, но и любые нагрузки, а также смещения опор, влияние
начального излома оси и влияние температуры; была доработана теория
моментных фокусов; были разработаны изящные интересные графические
способы нахождения положения моментных фокусов и величины опор-
ных моментов и составлены обширные таблицы для быстрого нахожде-
ния наибольших величин изгибающих моментов и поперечных сил при
загружении неразрезной балки постоянной и временной нагрузками.
Несколько позже были составлены таблицы ординат линий влияния.
В первые два десятилетия XX в. разрабатывались вопросы расчета
неразрезных балок на упруго смещающихся, а также на упруго повора-
чивающихся опорах. Эта тема, вызванная сначала в значительной сте-
пени потребностями расчета железобетонных ребристых перекрытий, а
также балочной клетки металлических пролетных строений мостов, посте-
пенно переросла в тему расчета рамных систем.
Начиная с 20-х годов текущего столетия, теория расчета неразрезных
балок вступила в тесную связь с последней темой и превратилась в ее
частный случай. Важные исследования в этой области принадлежат
советским, ученым. На протяжении данной главы мы уже указывали на
различные работы, опубликованные по данному вопросу в СССР. Здесь
отметим лишь некоторые выявившиеся у нас направления.
Попытки выбирать в качестве основных неизвестных вместо опорных
моментов другие величины показали, что трехчленные уравнения для
балки на жестких опорах и пятичленные — для балки на упруго сме-
щающихся опорах можно получить 'весьма просто несколькими спосо-
бами. Например, можно принять за неизвестные углы поворота опорных
сечений (уравнения трех углов) пли некоторые группы сил, получае-
мые разложением опорных реакций. Составить канонические уравнения
более простого вида, т. е. двучленные или одночленные, для балки на
жестких опорах и уравнения с числом членов, меньшим пяти, для балки
на смещающихся опорах можно только путем дополнительных вычисле-
ний. Поэтому центральным вопросом изысканий оказался вопрос
о решении уравнений.
В ряде работ, содержащих различные приемы решений, этот вопрос
получил развитие, которое выходит за рамки теории неразрезных балок
и обогащает также теорию расчета рам.
В некоторых работах развивались идеи того метода решения уравне-
ний, который известен под названием метода фокусов или фокусных отно-
шений1. Формулы моментных фокусных отношений распространены на
1 Каид. техн, наук Я. М. Риппенбейн, К расчету плоских и пространственных
статически неопределимых систем, сборник «Рамы и фермы пространственные и пло-
ские», 1933; проф. И. М. Рабинович, Некоторые упрощения метода фокусов, тот же
сборник; доц. Г. Л. Дьяконов, О сопряженных моментах в статически неопреде-
лимых системах, «Труды Ленинградского ииститита инженеров коммунального строи-
тельства», вып. 1, 1934; проф. С. С. Голушкевич, К вопросу о расчете рам, «Труды
Ленинградского института инженеров промышленного строительства», вып. 4, 1937.
178
криволинейные нераз-резные балки1 и на неразрезные арки. Обобщение
понятия о моментных фокусах указано автором данной книги 2 3.
Проф. П. Л. Пастернак в 1922 г. ввел в строительную механику поня-
тие об угловых фокусах неразрезной балки и вывел для них формулы
угловых фокусных отношений. В 1932 г. проф. Б. Н. Жемочкин развил
эту идею, разработав на ее основе метод расчета неразрезных балок
и рам 8.
В СССР, как известно, предложены замечательные методы составле-
ния уравнений упругой линии для балок, позволяющие автоматически
переходить от участка к участку и сразу писать те члены, которые добав-
ляются на их границах 4.
Одним из способов писать уравнение упругой линии сразу для всех
участков и пролетов является предложенный проф, Н. М. Герсевановым
математический прием, состоящий в пользовании «функциональными
прерывателями». Так названы разрывные функции, равные постоянному
числу на любом заданном интервале значений независимой переменной х
и нулю — на всем остальном протяжении 5.
В связи с этими способами находится разработанный в СССР метод,
получивший название «метода начальных параметров» или «начальных
условий», который позволяет писать уравнения упругой линии, углов
наклона, изгибающих моментов и т. д. для всех участков простой или
неразрезнюй балки в функции параметров, отнесенных к одному из
концов балки. Что касается величин этих параметров, то они опреде-
ляются из системы двух совместных уравнений, выражающих условия
на другом конце балки. Аналогичным образом решается эта задача и для
балки н-а упругом основании. Заслуга создания и развития этого весьма
удобного расчетного приема принадлежит ряду советских ученых б *.
Особенно просто решаются задачи расчета таких неразрезных балок,
у которых все пролеты одинаковы. Это может быть сделано при помощи
уравнений в конечных разностях (см. § 9.5). Проф. А. А. Уманский ука-
1 См., например, статью проф. В. И. Мурашева «Расчет плоских и простран-
ственных рам» в неоднократно цитированном сборнике, 1933.
2 И. М. Рабинович, Методы расчета рам, ч. III, 1937, стр, 66.
3 Проф. Б. Н. Жемочкин, Расчет статически неопределимых рамиых систем,
Способ угловых фокусов, Госстройиздат, 1932.
4Н. Г. Куликовский, Осиови методу пружистой линии, «ВкпКП!» № 1,
1926; В. А. Киселев, Об упругой линии, «Труды Московского института инженеров
транспорта», вып. XV, 1930; Н. К- С и и т к о, Новый метод нахождения уравнения
упругой линии бруса при помощи ряда Маклорена, там же; Н. И. Безухов, Общий
метод нахождения элементов упругой линии, «Труды Московского автодорожного
института», вып. 1, 1934; А. Н. Крылов, Вибрация судов, гл. VII, 1936.
5 Н. М. Герсеванов, Балка на упругом основании, «Справочник инженера-
проектировщика промсооружеиий», т. 11, 1934; Функциональные прерыватели и их при-
менение к строительной механике, «Труды Военно-воздушной академий имени Жуков-
ского», сборник № 9, 1935; проф. К- С. 3 а ври ев, Основы теории функциональных
прерывателей в применении к строительной механике, «Труды Тбилисского института
инженеров железнодорожного транспорта», вып. 6, 1936; проф. А. Г. Назаров, Функ-
циональные прерыватели Н. М. Герсеваиова и импульсивные функции, «Известия Акаде-
мии наук Армянской ССР» № 6, 1946; Интеграл Стильтьеса и импульсивные функции,
«Известия Академии наук Армянской ССР» № 9, 1947,
6 Проф. Н. П. Пузыревский, Расчеты фундаментов, вып. 3, 1923, (литогр.).
Фундаменты, 1934; Г. Д. Дутов, Расчет балок иа упругом осиоваиии, 1929;
А. Н. Крылов, О расчете балок, лежащих иа сплошном упругом основании. 1930;
проф. В. В. Григорьев, Расчет неразрезных наплавных мостов, «Вестник Военно-
инженерной академии РККА», сборник по строительной механике, вып. 3, 1934; проф.
А. А. Уманский, О расчете балок иа упругом основании, 1933; Специальный курс
строительной механики, ч. I, 1935; О расчете многопролетных упруго опертых балок,
«Труды ЦАГИ» № 247, 1936; проф. М. М. Филоненко-Бородич, Метод
А. Н. Крылова в приложении к балкам на жестких опорах и иа упругом основании,
сборник «Металлические конструкции», 1934.
12»
17.9
зал другой прием решения, сводящийся к тому, что балка заменяется
другой, имеющей такие же пролеты, но простирающейся влево и вправо
до бесконечности. На границах действительной балки прилагаются такие
пары 'или силы, чтобы в итоге получились заданные в рассматриваемой
задаче граничные условия
Нетрудно доказать, что уравнения в конечных разностях, а также
бесконечная основная система мотут применяться также в том случае,
когда пролеты балки неодинаковы, но распадаются на несколько повто-
ряющихся одинаковых групп.
Пользуясь более общими методами выбора основной системы или
чисто алгебраическими преобразованиями, можно привести уравнения,
относящиеся к балке с неравными пролетами, к виду, отвечающему
балке с равными пролетами. В общей форме эта идея была изложена
проф. А. А. Гвоздевым 1 2; другим путем такое преобразование было ука-
зано доц. Ю. А. Радцигом 3 4 5.
Ряд советских авторов распространил свои исследования пераз-
резных балок на многоопорные балки с <кривой осью, с осью в виде замк-
нутого многоугольника, а также на пространственные неразрезные
балки *.
При расчете неразрезных балок на жестких или упругих опорах
обычно пренебрегают влиянием поперечных сил. Нетрудно, пользуясь
общей формулой перемещений в которую входит интеграл вида
f dx
J GF ’
исправить коэффициенты уравнения трех моментов. Проф. С. А. Берн-
штейн, пользуясь уточненным уравнением трех моментов, обследовал на
примерах степень неточности, которая получается как результат прене-
брежения 'влиянием поперечных сил на деформации. Он показал, что
ошибка при обычных отношениях высоты поперечного сечения к про-
лету ничтожна б.
Уравнение трех моментов может быть составлено также для нераз-
резной балки, подвергающейся сжатию продольными силами или сов-
местному действию поперечных и продольных сил; в этом случае коэффи-
циенты уравнений принимают значительно более сложный вид . Нако-
нец, уравнение трех моментов может быть распространено и на динами-
ческий расчет неразрезной балки, колеблющейся под влиянием тех или
иных возмущающих сил б.
1 Проф. А. А. Уманский, О расчете конструкций с большим числом одина-
ковых пролетов (метод бесконечной основной системы), сборник «Исследования по
теории сооружений» № 3, 1939.
2 А. А. Гвоздев, Общий метод расчета статически неопределимых систем,
ОНТИ, 1927, стр. 10.
3 Ю. А, Радциг, Преобразование канонических систем иеразрезных балок,
«Сборник научных трудов Казанского авиационного института» № 8, 1937.
4 Ф. Д. Дмитриев, Расчет плоской ломаной иеразрезной балки на нагрузку,
перпендикулярную к плоскости, «Инженерный сборник», т. V, вып. 2, 1949;
А. А. Горин, Расчет пространственных иеразрезных балок с многоугольной осью,
«Инженерный сборник», т. VII, 1950; его же, К расчету плоских неразрезных балок
с многоугольной осью, сборник «Исследования по теории сооружений», вып.У, 1951.
5 Проф. С. А. Бернштейн, Основы расчета статически неопределимых систем,
гл. IV, Стройиздат, 1936.
еГогенемзер и Прагер, Динамика сооружений, ОНТИ, стр. 243, 1936;
проф. Н. И. Безухов, Некоторые обобщения методоз строительной механики в дина-
мике сооружений, сборник «Исследования по теории сооружений» № 3, 1939.
180
Уравнения трех моментов нашли также отражение в расчетах
неразрезных балок методом теории упругости 1 и в расчетах неразрез-
иых плит2.
Идея расчета нераэрезных балок по методу заданных моментов или
напряжений, изложенная в § 17.5, несомненно, может получить дальней-
шее развитие в форме задания других усилий (поперечных сил, опорных
реакций) или перемещений (углов поворота сечений, прогибов) и ока-
заться полезной для рационального подбора сечений конструкций.
Таковы те многочисленные разветвления, которые развились из урав-
нения трех моментов.
1 Проф. Н. Г. Маслов, Неразрезная балка по методам теории упругости,
«Известия Ленинградского политехнического института имени Калинина», т, XXIX, 1925,
2 Б. Г. Га лерки я, К теории неразрезных 'пластинок, «Вестник инженеров и
техников» № 6, 1927,
Глава 6
РАСЧЕТ ПРОСТЫХ РАМ И СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ АРОК МЕТОДОМ СИЛ
§ 1.6. ОСНОВНЫЕ понятия
Рамой (жесткой рамой) называется такая стержневая система, у
которой все или некоторые узловые соединения являются жесткими.
Жесткий узел в свою очередь характеризуется тем, что угол между
осями тех стержней, которые его образуют, не изменяется при действии
нагрузки. Такой пример представлен на фиг. 173, где угол между каса-
тельными к упругим линиям ригеля и левой стойки в узле А сохраняет
неизменную величину а , а угол между касательными к упругим линиям
того же ригеля и правой стойки в узле В сохраняет неизменную вели-
чину р. Когда р'ама деформируется, то обе касательные, проведенные
в узле А, поворачиваются на одинаковый угол; в противном случае, т. е.
если бы углы поворота этих касательных были неравны между собой,
величина а, очевидно, изменилась бы. То же самое можно сказать о
касательных, проведенных в точке В
В рамной конструкции расчетные моменты ригеля оказываются
обычно значительно меньшими, чем в простой балке того же пролета,
s свободно положенной на опоры, следова-
4 ____________ л тельно, сечения ригеля получаются бо-
а 1 лее ЭКОНОМИЧНЬ1’МИ- С конструктивной
—VVjz стороны обеспечение достаточной жест-
/~ \ Г кости узловых соединений является бо-
/ \ / лее простым, чем. обеспечение шарнир-
/ \/ ной подвижности. Геометрическая неиз-
меняемость конструкции с жесткими уз-
лами обеспечивается при помощи гораздо
фиг 173 '' меньшего количества стержней, чем не-
и зменяе мость ш а риир но-стержнево й си-
стемы. Так, например, фиг. 173 при усло-
вии шарнир ности узлов А, В, С и D нуждалась бы в дополнительной
диагонали. Благодаря указанным достоинств1а1м рамные системы нашли
себе широкое применение в промышленном, и гражданском строитель-
стве, а также в авиастроении, судостроении и т. д.
На фиг. 174 и 175 показаны примеры рамных конструкций. Фиг. 174
изображает конструкцию рыночного помещения, состоящую из попереч-
ных железобетонных рам с перекрывающей их ребристой плитой и с про-
дольными горизонтальными связями в виде ригелей. Фиг. 175 изображает
стальную сварную рамную конструкцию промышленного цеха.
182
1
Фиг. 174
Фнг. 175
§ 2.6. РАСЧЕТ РАМЫ С ОДНОЙ ЛИШНЕЙ НЕИЗВЕСТНОЙ
Рама, изображенная на фиг. 176, нагружена горизонтальной равно-
мерно распределенной нагрузкой интенсивности q т/м и сосредоточенной
вертикальной силой Р. Размеры рамы таковы: а = 2 м; Ь — 4,2 м;
I— 5 м; /2 ~ 2,5/р Требуется построить
эпюры М, Q и М
Решение задачи начинаем с выбо-
ра основной системы, т. е. с отбрасыва-
ния одной лишней связи и замены ее
соответствующей неизвестной силой.
На фиг. 1177 показаны четыре варианта
основной системы. Для каждого из них
построены опорные реакции, вызван-
ные силой Х1~1, а также эпюры
изгибающих моментов Последние
изображены со стороны растянутого
волокна.
Рассмотрение этих эпюр показы-
вает, что все они имеют одинаковый
вид и либо тождественны между собой,
либо отличаются друг от друга лишь
постоянным множителем. Это не яв-
ляется случайностью; таким свойством обладает всякая системна с одной
лишней неизвестной: каков бы ни был выбор основной системы, эпюры
будут иметь взаимно пропорциональные ординаты. Это заключение от-
носится в равной мере к эпюрам М, Q и N.
184
Что касается эпюр, вызываемых заданной внешней нагрузкой, то,
как нетрудно убедиться, они будут более значительно различаться между
собой.
Уже самое начало процесса решения задачи показывает, что необ-
ходимо обладать достаточным навыком в пострении эпюр.
Остановимся на варианте, представленном на фиг. 178. Опорные
реакции, а также самые эпюры строятся легко. Криволинейная эпюра М
иа протяжении стойки АВ выражается уравнением
МР
q{b2~a2) 4, qy*
2b У 2 •
Здесь за положительные изгибающие моменты приняты такие,
которые вызывают растяжение в правом волокне стойки.
С
Фиг. 178
Вычислим коэффициенты канонического уравнения
И- Д1р —
причем пренебрежем влиянием поперечных и продольных сил на эти
коэффициенты. Для того чтобы упростить все вычисления, умножим
перемещения и на EJX.
Коэффициент EJfin вычисляется по формуле
EJ& 1 = ds.
Так как эпюра М} состоит из двух прямых, то интегрирование можно
произвести, умножая площадь каждого треугольника на его же ординату,
проходящую через центр тяжести (см. § 9.3). Результат можно также
взять в готовом виде из табл. 3.
£/8 =-L_|* . v-= 1,4 М 4-0,67 34 = 2,07 м.
Перемещение/гЛ A ip вычисляется по формуле
EJ^tp = У С MtMP ds.
185
Для ускорения дела можно взять результат из той же таблицы, но
предварительно разбить эпюру МР на участке АВ на две эпюры, пред-
ставленные на фиг. 179, проинтегрировать каждую из иих с эпюрой Afi
и результаты сложить:
ет л qbZ — qa2b J- (2/-g) Л_____qb ,,2 _ . ।
EJ^\p = 24 6 "1" 0Z/2 ” 24 J +
+ P?(Z=>),(2Z~— • -^- = 0,287 -K3-<7 + 0,0133 m~'-Pz(1-z\
Подставив эти выражения в каноническое уравнение, получим
= = —-0,139 яР-q —0,00643 л~2Х
XPz(l-z) (21 —z).
Для большей определенности дальнейших вычислений примем:
? = 1,8 т/м, Р — 1,5 т, z = = 2,5 м.
Тогда
— (0,139-1,8-f-0,00643*1,5’2,5.2,5.7,5) 0,702 тм.
Фиг. 179
Окончательная эпюра изгибающих (момен-
тов выражается формулой
м=мР+ад,
следовательно, для ее получения нужно умно-
жить все ординаты эпюры Mi на найденное зна-
чение Xi и к произведению алгебраически до-
бавить эпюру МР. Эти операции можно произ-
вести либо аналитически, либо графически. Для
стойки АВ применим аналитический способ:
в сечении с произвольной абсциссой у
MiX\ = - 0,702 4-
1 ‘ о *
поэтому
«-«^-^-0,7024.
По этой формуле можно вычислить любую ординату эпюры М,
В частности, при y — b М — — 4,302 тм. Эпюра М показана иа
фиг. 180, а.
Поперечная сила в любом сечении может быть найдена
двумя способами: либо путем суммирования основных эпюр по формуле
где Qp и Qi — эпюры поперечных сил, отвечающие эпюрам моментов
Л1р и Мь либо аналитически, путем дифференцирования окончательной
эпюры моментов М.
Воспользуемся последним способом для стойки АВ. Здесь эпюра Q
будет иметь вид наклонной прямой, и нам достаточно найти две ее орди-
наты, а ‘именно в сечениях А и В. Уравнение эпюры:
~ q {№ 0,702
2b -----
186
При У —О =2,756 тп. Можно было бы получить тот же резуль-
тат из фиг. 178, сложив левую горизонтальную реакцию, показанную на
эпюре Мр,с левой реакцией из эпюры умноженной на
При У = Ь Q# = 2,756—1,8 • 4,2 = — 4,804 т. На правом участке
ригеля поперечная сила равна правой вертикальной опорной реакции; из
фиг. 178 находим
Qd = —^-+ 0,702 j-= —0,61 т.
На левом участке
0,61 =0,89 т.
Эпюра Q изображена на фиг. 180, б.
Фиг. 180
Продольная сила выражается формулой
Использовав реакции, показанные на фиг. 178, сразу найдем
Nab = - 4 “ °-702~Г = - °>890 т'
Vec = 0; Nbd = - -<, (a + fr)8- 0,702 4 = - 8,404 т.
Эпюра N представлена на фиг. 180, в.
Проверка. Для проверки равновесия выре-
жем узел В и нанесем изгибающие моменты, которые
выражают действие откинутых частей на оставшую-
ся, в виде стрелок, так, чтобы растянутые волокна
каждого стержня оказались расположенными с над-
лежащей стороны, указываемой эпюрой.
Из фиг. 181 видно, что алгебраическая сумма
моментов равна нулю.
Проверим также равенство нулю .вертикальных
проекций. Внешняя нагрузка дает проекцию, рав-
ную Р. Вертикальная реакция в шарнире А, судя
по эпюре N, равна 0,89 т и направлена вверх. Вер-
тикальная реакция в узле D, судя по эпюре Q, равна
0,61 т и вращает стержень BD против часовой стрелки
вверх. Сумма вертикальных сил равна
1,5—0,89—0,61 =0.
3.6
Ojot
4,307
Фиг. 181
, т. е. направлена
187
Аналогичным образом можно было бы проверить сумму горизон-
тальных проекций.
Кроме статической проверки, необходима еще, так сказать, кинема-
тическая проверка, т. е. необходимо убедиться в том, что деформации
и перемещения системы удовлетворяют условиям опорных закреплений
и неразрывности контура. Заданную раму можно рассматривать как
основную, статически определимую систему, нагруженную заданной
внешней нагрузкой и лишней неизвестной. Перемещение по направле-
нию последней должно равняться нулю. Отсюда следует, что
где Afi — эпюра моментов, вызываемая в любой из возможных основных
систем соответствующей силой Xj = 1.
Можно взять, например, эпюру Mi из любого варианта, пред-
ставленного на фиг. 177, или из фиг. 178; кстати сказать, для системы
с одной лишней неизвестной, как мы знаем, они имеют одинаковый вид.
Воспользуемся фиг. 178:
+ ТГ _ = 5,557 ~ 6,023 + 0,938 “ 0,468 =
= 6,495 - 6,491 =0,004.
Разница между суммой положительных чисел и суммой отрицатель-
ных составляет в процентах по отношению к любой из этих сумм около
100S-=0’060/»-
Такая точность более чем достаточна.
Фиг. 182
Линия влияния лишней неизвестной Хь В формуле,
полученной ранее для Хь достаточно положить q ~ 0, а абсциссу z счи-
тать переменной. Уравнение л. в. получим в виде
Х1 = -0,00643 — (21 —z).
Следовательно, искомая кривая представляет собой кубическую
параболу. Она построена на фиг. 182, а.
188
Линия влияния изгибающего момента в п р о ’
извольном сечении ригеля. Изгибающий момент в любом
сечении ригеля или стойки выражается формулой
М^Мр + М^,
где МР—л. в. изгибающего момента в том же сечеиии основной системы;
Mi —изгибающий момент там же, вызываемый силой = 1.
Фиг. 184
Следовательно, ординаты этой л. в. получаются путем умножения
ординат л. в. Xi на постоянное число М{ и добавления ординат стати-
чески определимой л. в. МР. Так, например, для середины ригеля BD
(сечение Е на фиг. 180) уравнение имеет вид
M£=M^ + -Lx1.
Эта л. в. изображена на фиг. 182, б в виде алгебраической суммы
двух л. в., а также в выпрямленном виде.
Эпюра моментов, вызванная вертикальным
перемещением правого конца D ригеля. Пусть этот
конец вместе с опорой переместился вниз на величину с — 1,5 см. Опре-
делим то перемещение Д1г, которое возникает от этой причины по
направлению Хг в основной системе. Как видно из фиг. 183, взаимный
189
поворот ригеля и стойки происходит в сторону положительной обобщен-
ной силы Xi (см. для сравнения фиг. 178), причем он равен =
Каноническое уравнение имеет вид
==*= О,
откуда
Х, = —^ = — ^1£= -...........С7^_= -0,00145
8ц 2,07 м-l
Эпюра изгибающих моментов выражается формулой
Мс = М, = — 0,00145 м~1 • Е^М.,
т. е. она отличается от эпюры лишь постоянным множителем.
Ее вид показан иа фиг. 184.
□ Задача 12. Построить эпюры М, Q, N для рам, представленных на фиг. 185
и 186. □
§ 3.6. ОБ УПРОЩЕНИИ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ
СИСТЕМ. РАСЧЕТ РАМЫ С ТРЕМЯ ЛИШНИМИ СВЯЗЯМИ
Когда заданная система имеет три или более неизвестных, то основ-
ную систему следует выбирать так, чтобы получить возможно более про-
стые канонические уравнения. Особое внимание, приходится обращать при
этом на так называемые «побочные»
коэффициенты о.*, т. е. коэффициен-
ты с неодинаковыми значками i и k.
Чем большее количество этих коэф-
фициентов обратится в нуль, тем
меньше неизвестных будет вхо-
дить в состав отдельных уравнений,
тем проще, легче и точнее можно
будет решить всю систему уравне-
ний.
На фиг. 187 показана рама с за-
щемленными концами и один из ва-
риантов основной системы.
Этот вариант — неудачный, так
как из внешнего вида эпюр сразу
ясно, что ни один из интегралов,
выражающих побочные перемеще-
ния, не обратится в нуль. Впрочем,
это видно и без интегралов, так как
характер, деформаций рамы показы-
вает, что любая из трех неизвестных
вызовет отличные от нуля перемещения по направлению двух других.
Мы можем получить значительное упрощение, если используем сим-
метрию рамы и постараемся ввести эту симметрию в самые эпюры.
Такой вариант основной системы изображен на фиг. 188; рама разрезана
по оси симметрии. Эпюры и М2 — симметричны относительно этой оси,
а эпюра 7И3 является косо (или обратно) симметричной. Можно доказать
следующее важное свойство таких эпюр: если сооружение обладает осью
симметрии и, кроме того, одна из двух эпюр Ма или симметрична,
а другая обратно симметрична, то
MaMbds = Q
190
Действительно, для каждой из двух половин сооружения, располо-
женных по разные стороны от оси симметрии, это выражение имеет, оче-
видно, одну и ту же величину, но противоположные знаки. Отмеченное
свойство будем в дальнейшем называть свойством, взаимной ортого-
нальности симметричных и обратно симметричных эпюр.
На этом основании для фиг. 188 можно написать
^1з — ^23 — О-
Если мы представим себе деформацию основной системы, вызван-
ную силами Xi, Х2, Хз, то легко убедимся в том же, не прибегая к фор-
муле перемещений.
Канонические уравнения благодаря этому приобретают более про-
стой вид:
+ *12^2 + — 0;
^21^2 + ^22^2 + ~ 0; '
W + д3р = 0. i j
Совместная система трех уравнений с тремя неизвестными, как гово-
рят, распалась иа две отдельные системы, а именно: 1) на два сов-
местных уравнения с двумя неизвестными, 2) на одно уравнение с одним
неизвестным.
К этому можно добавить еще одно упрощение. Разобьем внешнюю
нагрузку на симметричную и обратно симметричную. Таким приемом мы
уже пользовались при расчете сложных статически определимых ферм
(ом. ч. I настоящего учебника, § 37, гл. УШ).
Пусть, например, нагрузка распределена по ригелю в виде сплош-
ной и равномерной, имеющей на левой его половине интенсивность
<?i + д2, а на правой — интенсивность q\ (фиг. 189, а). После преобразо-
вания нагрузки эпюра Мр распадается на две составляющие: симметрич-
ную МР и обратно симметричную Мр. Благодаря доказанному выше
свойству интегралов из произведения симметричных и обратно симмет-
ричных эпюр можно утверждать, что
Следовательно, в том случае, когда рама нагружена только симмет-
ричной нагрузкой, получается
дзР = 0,
191
откуда
Хз=0;
в том случае, когда рама нагружена только обратно симметричной на-
грузкой, получается аналогичным образом
Д1р = Дор— О»
откуда
XJ=X2=^0.
Очевидно, эти выводы выражают собой следующую общую теорему:
когда на симметричное сооружение действует симметричная нагрузка, то
обратно симметричные неизвестные; обращаются в нуль; наоборот, когда
действует обратно симметричная нагрузка, то 'симметричные неизвестные
обращаются в нуль.
При определении симметричных неизвестных мы имеем право не
обращать внимания на обратно симметричную нагрузку, а когда разы-
скиваем обратно симметричные неизвестные, мы можем игнорировать
симметричную нагрузку. В большинстве случаев (хотя и не всегда) это
упрощает расчет.
а) .......1
Ейшпшн 1ИИШШШ1
Фиг. 189
Обратимся теперь к заданной раме и рассчитаем ее на симметрич-
ную нагрузку, а именно на сплошную, равномерно распределенную по
всей длине ригеля нагрузку с интенсивностью q. Неизвестная Х3 при
этом обратится в нуль, и достаточно будет решить два уравнения с двумя
неизвестными.
Пусть длина ригеля 1 = 3 м; длина стоек h = 3 м; отношение момен-
тов инерции — =;5; интенсивность нагрузки q = 0,3 m/м. Тогда, поль-
зуясь фиг. 188 и 189, б, найдем
£/Дj = 2А + I = 7,6 м; £/Д2 “ 2 = 18 .и3;
Л «
£7Д2 = 2-у- = 9 л2;'
«2(-^Л+ -у • . 4- • А) = ЯТ.+ 2..Л)=2б> 13
\ О о О ZJ2/ * \ ° **2 /
EJ&p = 2 . JL = = зб т^.
о Z о
192
Уравнения напишутся так:
+ 4- 26,13 = 0;
9Xi+18Х2 + 36 = 0.
Решив их, найдем:
%! = — 2,623 тм; Х2 — — 0,689 т.
Окончательная эпюра моментов выражается формулой
М = МР 4-МЛ + М2Х2.
При вычислении ординат эпюры будем писать со знаком плюс те
моменты, которые вызывают растяжение во внутреннем волокне стойки
или в нижнем волокне ригеля.
На стойках эпюра имеет вид трапеции, причем
МА = — + 2,623 + Л -0,689=0,690 тм.-,
8
М„ = — + 2,623 = - 1,377 тм.
в 8
На ригеле эпюра имеет вид симметричной параболы, причем Мв =
— — 1,377 тм; Мс = 2,623 тм, Эпюра М изображена на фиг. 190.
Статическая проверка эпюры производится
так же, как в предыдущем примере.
Проверка деформаций может быть произ-
ведена при помощи любой основной единичной
эпюры. Например:
yi С р ММ, ds_
Д) EJ —-й- J £/ ” '
Первая из этих сумм интегралов выра-
жает собой взаимный поворот сечений в сере-
дине пролета, а вторая — взаимное горизон-
тальное удаление или сближение этих сечений.
Особенно ’интересна в данном случае проверка
при помощи первой из этих сумм, т. е. при по-
мощи эпюры М;. Так как все ординаты этой эпюры равны единице, то
или после умножения обеих частей на EJi
^M-!±ds = 0.
Назовем для краткости график М — приведенной эпюрой изгибаю-
щих моментов. Полученное тождество выражает со-
у.. —— — бой следующую теорему: приведенная площадь эпю-
ры моментов, подсчитанная для плоского стержня,
образующего замкнутый бесшарнирный контур,
J всегда равна нулю. Действительно, известно, что
приведенная площадь, заключенная между двумя се-
чениями стержня, выражает умноженный на ЕЦ
Фиг- угол взаимного поворота этих сечений. Но в замкну-
том стержне взаимный поворот концов равен нулю.
В частности, раму с защемленными концами также можно рассматривать
как замкнутый стержень, имеющий бесконечно жесткий участок — фун-
дамент (фиг. 191).
13—И. М. Рабинович
193
Произведем это вычисление для нашей рамы, причем эпюру, относя-
щуюся к ригелю, разложим на прямоугольник и параболу:
У Cat i ds = 2 р690-1’377) 3 — 1,377 • 8 — + — (1,377 + 2,623) 8 —.
J J у 2 / 5 3 5
Не делая приведения положительных членов с отрицательными,
вычислим отдельно сумму положительных членов и отдельно отрицатель-
ных. Мы получим
i ds = 6,337 - 6,334.
Разница между обоими членами составляет по отношению к любому
из них около 0,04%, что подтверждает правильность расчета.
§ 4.6. ДАЛЬНЕЙШЕЕ УПРОЩЕНИЕ, РАСЧЕТ ТОЙ ЖЕ РАМЫ ПРИ ПОМОЩИ
ВВЕДЕНИЯ ЖЕСТКИХ КОНСОЛЕЙ
Разрежем заданную раму в произвольном сечении С, С' (фиг. 192)
и прикрепим " “
соединим эти
в этом месте две бесконечно жесткие консоли. Если мы
коисоли каким-нибудь способом в одно жесткое целое, на-
пример, если свяжем их при помощи
трех жестких 'стержней, то в условиях
работы заданной рамы ничего не изме-
нится. Действительно, при действии какой
угодно внешней нагрузки смежные се-
чения С и С' окажутся наглухо скреп-
ленными друг с другом; они не смогут
иметь ни взаимного поворота, ни взаим-
ного вертикального или горизонтального
перемещения. Поэтому все усилия во
всех элементах рамы останутся без из-
менения. Однако это будет 'Справедливо
только при условии абсолютной жест-
кости консолей: если бы консоли обла-
дали податливость, то указанное взаим-
ное их скрепление не обеспечило бы
взаимной неподвижности сечений С и С'.
Введение таких консолей удобно главным образом тем, что оно дает
наглядную иллюстрацию широкой возможности варьировать выбор основ-
ных неизвестных. В самом деле, за основные неизвестные можно принять ,
усилия в соединительных стержнях, а последние можно располагать на '
плоскости как угодно, лишь бы они не -пересекались в одной точке.
В данном примере целесообразно взять сечения С и С' на оси сим-
метрии и считать, что консоли связаны двумя горизонтальными стерж-
нями и одним вертикальным. Тогда эпюры будут иметь такой вид, как на
фиг. 193. Нет надобности чертить эпюру на протяжении консолей: для
них нужно принять 7 =5 оо , поэтому независимо от вида эпюры все
интегралы на этом участке обратятся в нуль.
Мы имеем право располагать горизонтальные силы Xi и Х2 на каком
угодно расстоянии от оси ригеля. Используем эту возможность следую-
щим образом: расположим силу JVj иа том же уровне, на котором нахо-
2
дится центр тяжести треугольной эпюры М2, т. е. на расстоянии — h от
ригеля. Тогда окажется, что при вычислении перемещения 812 нужно
будет умножить площадь треугольной эпюры М2 на ординату эпюры Mi,
194
равную нулю, следовательно, получится В12 = 0. Кроме того, благодаря
взаимной ортогональности симметричных и обратно симметричных эпюр
можно написать
^13 “ ^23 = О*
Следовательно, все три побочных коэффициента канонических урав-
нений окажутся равными нулю, и система совместных уравнений распа-
дется на три самостоятельных уравнения:
+ &1Р 0; -{-Д2р = 0; ^33А3 4-Д3р = 0.
Рассчитаем раму на прежнюю нагрузку.
При вычислении интегралов рекомендуется рассматривать прямоли-
нейную эпюру ЛК на протяжении стойки не как два треугольника, а как
трапецию:
£У1811 = 2А(2Д-^ + 2±Л’-24- “) + ^-Аг2-АЛ =
О \ У у 3 о / о 3 j2
= 4 аз+4А2/2г = 12-4л3;
У У J2
£W=—зб. = -2/п
£Д6И 18
Что касается обратно симметричной неизвестной А3, то она попрежнему
равна нулю.
13*
195
При помощи найденных неизвестных находим
MA = --3J- — — 1,312 + й-2 = 0,688 тм-,
8 3
М„ = --^ + — А-1,312 = - 1,376 пм;
в 8 3
Эти результаты практически можно считать совпадающими с теми,
которые были получены в предыдущем параграфе.
□ Задача Л® 13. Показать, что при помощи таких консолей, которые изображены
на фиг. 194, можно получить те же самые три эпюры, которые представлены на фнг. 193.
Задача № 14. Показать, что для рамы, изображенной иа фиг. 195, а, варианты
основной системы б, в и г дают единичные эпюры одного и того же вида и приводят
к трем самостоятельным каноническим уравнениям, содержащим по одной неиз-
вестной. □
§ 5.6. РАСЧЕТ РАМЫ С УПРУГО-ПОДАТЛИВЫМИ ОПОРАМИ И УЗЛАМИ
Осуществить на практике абсолютную неподатливость опор и абсо-
лютную жесткость узлов невозможно. Поэтому полезно уметь учитывать
упругую податливость этих элементов. Задача сводится к тому, чтобы
уметь правильно вычислить коэффициенты канонических уравнений.
В качестве примера возьмем раму, представленную на фиг. 193.
Податливость каждой опоры охарактеризуем тремя коэффициентами:
СС] — горизонтальное перемещение опоры, вызываемое приложенным
к ней горизонтальным грузом, равным единице; а2 — угол поворота, вы-
зываемый моментом, равным единице; — вертикальное перемещение,
вызываемое вертикальным единичным грузом. Наконец, через а4 обозна-
чим угол, характеризующий деформацию узла на верхнем конце стойки,
возникающую от обобщенного момента, равного единице (фиг. 196).
При вычислении коэффициентов канонических уравнений восполь-
зуемся общей формулой (13.3) § 10.3. Обозначим коэффициенты, вычи-
сленные с учетом упругой податливости опор и узлов, через 8ц, 822, S33,
а коэффициенты для обычной рамы — через о22, 8Я3.
Обратимся к эпюре (фиг. 193). На опорах возникают горизонталь-
ные реакции, равные единице, и реактивные моменты, равные ~ .В верх-
2
них узлах возникают моменты, равные .-- h. Суммарная работа горизон-
тальных реакций равна — 2а4; работа реактивных опорных моментов
равна — 2 '4“ ; 'Работа узловых моментов равна —2 -|-Ла4-4=-й,
* о о м О
196
Перемещение 8п численно равно работе 1 • т. е. работе, произвел
димой обобщенной силой X,—Л; она равна и противоположна работе
внутренних сил, следовательно:
=8,, + 2а, + 2 ( 4-)Ч + (4-А)2“<-
Гот же результат легко можно получить из кинематических соображений.
Аналогичным образом можно вывести
°22 — 822 ~h 2at + 2Й2а2;
^зз = S33 + 2а3 + 2 ) а2 + 2 (-у) а4.
□ Задача № 15. Дана эпюра Mi (фиг. 197). Найти
положение точки С приложения силы Х2 н те направления
этой силы, при которых получится &;? = 0.
Решение. Обозначим ординаты эпюры М? в точ-
ках А и В, лежащих против центров тяжести площадей wj
и <fl3( через У\ и у2. Тогда
«1 сии
&12 У1 + У2 = О
ИЛИ
У1 i ~
*'2
Ш1
Л ’
с другой стороны:
Отсюда следует, что точка
У! :у2 = С1 : Cq.
С должна лежать на прямой АВ и делить ее
иа два
отрезка, обратно пропорциональных приведенным площадям и yL. Если вообра-
А А
зить, что —— и —— суть параллельные силы произвольного направления, приложенные
в точках. Л и В, то точка С служит центром этих параллельных сил. Она лежит иа
отрезке АВ или иа его продолжении в зависимости от знаков площадей <'Ь и о>2.
Искомая сила Х2 должна проходить через точку С; ее направление может быть какое
угодно *. В частности, сила может быть направлена по прямой АВ, тогда эпюра М, будет
иметь в точках А нВ ординаты У\ = у2 = 0.
Задача № 16. Построить эпюру М3, которая была бы ортогональна с эпюрами Mi
и М2 (фиг. 198).
Решение. Обозначим центры тяжести площадей эпюр через А, В, D и Е. Най-
дем на прямых АВ и DE центры С и F (см. предыдущую задачу). Сила Хз должна быть
направлена по прямой CF. □
§ 6.6 РАСЧЕТ ДВУХШАРНИРНОЙ АРКИ С ЗАТЯЖКОЙ
Расчетные схемы различных двухшарнирных арок с затяжкой пока-
заны на фиг. 199. Схемы а и б изображают арку с затяжкой, расположен-
ной на уровне опор; схемы виг — арку <с повышенной затяжкой и схема
д — арку с ломаной затяжкой. Все эти схемы содержат по одной лишней
связи.
Арка с затяжкой при действии вертикальной нагрузки вызывает
в своих опорах только вертикальные реакции; горизонтальная составляю-
щая отсутствует, поэтому согласно установленной в первой части курса
классификации расчетных схем сооружений она должна считаться без-
распорной. В то же время усилия, возникающие в кривом брусе, стянутом
затяжкой, ничем не отличаются от усилий распорной системы, так как по
отношению к этому брусу усилие в затяжке играет роль распора. Отличие
1 Легко показать, что при действии сил = 1 точка С служит мгновенным цент-
ром взаимного вращения жестких консолей DC,
197
Фиг, 179
от распорной системы состоит лишь в том, что распор образуется и пога-
шается, так сказать, внутри самого сооружения, 'без передачи на опоры.
Такое устройство позволяет сочетать одновременно снижение изгибаю-
щих моментов, свойственное арочной системе, с легкостью и экономич-
ностью опор, свойственными балочной системе.
Затяжка может быть сделана нз того же материала, что и сама арка,
или из другого. Например, железобетонная или деревянная арка может
иметь металлическую затяжку.
На фиг. 200 показано применение арки с затяжкой в качестве пере-
крытия ангара для самолетов.
Рассчитаем арку с прямолинейной затяжкой, расположенной на
уровне опор. За основную систему примем арку с разрезанной затяжкой
(фиг. 201 и 202). При выводе формул будем сначала принимать во вни-
мание не только деформации изгиба, но и деформации от продольных и
поперечных сил.
От действия продольной силы = 1 в арке возникают изгибающие
моменты продольные силы Afj и поперечные выражаемые следую-
щими формулами:
Мг =— у; Л\=—cose?; Qj — — sin<p, (1.6)
а в затяжке — только продольная сила М = 1. Знак минус указывает, что
моменты изгибают арку выпуклостью кверху, продольные силы сжимают,
а поперечные, действующие в любом сечении, стремятся вращать обе
части арки против часовой стрелки. На фиг. 203, а показано разложение
горизонтальной силы = 1 на составляющие Qi и
От действия внешней нагрузки получаются изгибающие моменты,
которые в функции от абсциссы х выражаются так же, как для балки
с прямой осью. Если мы для такой балки обозначим моменты и попереч-
ные силы от той же нагрузки через Af0 и Qo, то получим
NP = — Qosin<p; QP~Q0cos<p. (2.6)
Разложение силы Qo на составляющие показано на фиг. 203, б. Что
касается затяжки, то при действии внешней нагрузки усилия в ней равны
нулю.
Основной неизвестной Xi служит усилие в затяжке, или распор,
который мы в дальнейшем будем обозначать также буквой Я. Для того
199
Фиг. 203
чтобы его найти, придется составить и решить каноническое уравнение,
имеющее вид
6n Д1Р = о.
Здесь —вызываемое силами == 1 взаимное горизонтальное
перемещение концов затяжки на месте произведенного
разреза;
Дхр—взаимное перемещение в том же месте, вызванное внеш-
ней нагрузкой.
Каноническое уравнение выражает ту мысль, что ширина щели
в разрезанном месте после нагружения арки остается равной нулю.
Пусть затяжка имеет постоянное сечение.
Обозначим через F3 и А.'.. площадь этого сечения и модуль упру-
гости затяжки; через /0— произвольный момент инерции, например,,
момент инерции ключевого (среднего) сечения арки. Тогда
£/06ц == J у2 -j- ds -}- J cos2 <? ~ ds 4- J sin2 ср ds +
+J12 >эds=W+J c°s’ ? 4ds+Jsin2 ? ds+44l> с3-6)
0
где
ds' = -j- ds;
EJa^iP= — 2 jy^ods' + 2 j~Q» sincpcos?-^-<Zs —
— 2jQosin?coS? ds. (4.6)
Все интегралы в этих формулах, разумеется, определенные.
Вычисление этих интегралов оказывается более утомительным, чем
для систем с прямолинейными стержнями. Для того чтобы произвести
эту операцию аналитически, необходимо выразить все переменные, стоя-
щие под знаками интегралов, т. е. у, sine, cose, F, в функции от
одной переменной ds. В общем -случае это приводит к сложным и
трудно интегрируемым выражениям. Поэтому на практике предпочитают
заменять точное интегрирование приближенным численным, которое
всегда производится сравнительно легко и точность которого может быть
доведена до любой степени. Для этой цели ось арки делят на достаточно1
малые участки одинаковой длины As, пронумеровывают их и для каждого
в отдельности вычисляют в среднем его сеченни величины у, , sinep,
cos ср и т. д. Приближенность расчета состоит в том, что все эти величины
принимаются постоянными на протяжении всего элемента As. Интегри-
рование заменяется суммированием конечного количества слагаемых.
Численные значения sin ср и cosep можно определить аналитически,
если дано уравнение оси арки: у = f(x). Тогда
tgcp=-^ ; cos ср = +—1 —; sin ср = ± --cos2 ср =tgcpcoscp.
/ча
На всем протяжении арки cos ср сохраняет один и тот же знак; sin ср в ле-
вой и в правой половинах арки имеет противоположные знаки. Будем
считать sin ср в левой полуарке и cosep в обеих полуарках положитель-
ными.
20Ь
Если ось арки задана не своим уравнением, а графически, то для вы-
числения синуса и косинуса нет надобности определять величину угла
ср; достаточно провести в исследуемой точке оси арки касательную
и взять отношения ее вертикальной и горизонтальной проекций к длине
самой касательной.
Вычисления рекомендуется записать в компактной форме, например,
в виде табл. 8.
Таблица 8
1 2 3 4 5 6 7 8 ' 9 10
№ элемен- та У 7 sin ср COS <Р y3As' Л cos3<p — . , |Ш70 sm’’
7 — — — — *
2 * — — — •
• * — —— — —
*
• • — — — —
St 23
Итог 8-й колонки обозначен через итог 9-й — через и 10-й —
через S3. Через них выражаем окончательный результат:
£/0811 = S1 + (S2 + S3)As + -f^-/. (5.6)
Л-'ЗГ 3
В этом выражении первый член, т. е. выражает влияние изги-
бающих моментов на искомое перемещение; S2^s —влияние продольных
усилий арки; S3As — влияние поперечных усилий;/ — влияние про-
£з*э
дольной деформации затяжки.
Аналогичным образом можно составить таблицу для вычисления
перемещения EJ0S1P. Входящие в формулу (4.6) три члена выражают
только влияние усилий в самой арке; усилия в затяжке здесь не фигури-
руют, так как при действии внешней нагрузки на основную систему за-
тяжка не работает.
Распор определяется из канонического уравнения.
_____ &1Р______EJ(Aip_______
(Ai
&+(й>+адЛя+ -^4- 1
(6.6)
По этой формуле может быть вычислено точное значение усилия Аь
испытываемого затяжкой. Приближенное значение может быть получено
при игнорировании в числителе и знаменателе тех членов, которые выра-
жают влияние поперечных сил; еще более приближенное — при одновре-
менном отбрасывании членов, выражающих влияние поперечных и про-
дольных усилий арки. Если решено будет производить расчет прибли-
женно, то нужно иметь в виду, что влияние продольной силы является
довольно заметным для весьма пологих арок значительной толщины,
а также для арок, ось которых совпадает с веревочной кривой, отвечаю-
щей ее внешней .нагрузке.
Для арок .подъемистых, очерченных не по веревочной кривой, влия-
ние продольных сил незначительно. Вообще же сравнительное влияние
различных членов зависит не только от очертания арочной кривой и от
сечений арки, во также от самой внешней нагрузки.
202
§ 7.6. ВЛИЯНИЕ ПОДАТЛИВОСТИ ЗАТЯЖКИ, ЭПЮРЫ М. QN,
КРИВАЯ ДАВЛЕНИЙ
Существенное влияние на величину распора Н, а следовательно, и на
все усилия в арке оказывает степень податливости затяжки, которая
характеризуется величиной , а при заданном пролете I — величиной
СзГ з
Е ♦ Формулу (6.6) можно переписать в таком виде:
Н=-----------
в+
где А и В не зависят от жесткости затяжки. Если мы будем постепенно
уменьшать величину E3F3 или только величину площади F3 поперечного
EJ I
сечения затяжки, то дробь будет постепенно увеличиваться, а рас-
пор Н — уменьшаться. Чем тоньше, чем податливее затяжка, тем меньше
то усилие, которое она воспринимает. Такое влияние степени податливости
затяжки весьма характерно для всякой лишней связи в статически неопре-
делимой системе. Когда площадь F3 сделается бесконечно малой, назван-
ная дробь обратится в бесконечность и усилие Н сделается бесконечно
малым. Арка, концы которой связаны бесконечно тонкой нитью, лишь
формально будет еще статически неопределимой, фактически же будет
работать как кривая статически определимая балка *. Если мы, наоборот,
будем увеличивать площадь F3t то И будет увеличиваться, однако далеко
не в пакой пропорции, в какой будет увеличиваться эта переменная. При
стремлении величины F3 или E3F3 к бесконечности распор Н асимптоти-
А
чески стремится к величине , т. е. к величине
Si + (£2 4- £з)
Этот предельный распор вызо-
вет в бесконечно жесткой затяжке
удлинение, равное нулю, следова-
тельно, концы арии останутся непод-
вижными. Итак, в предельном слу-
чае арка с затяжкой превращается
в арку с неподвижными пятовыми
шарнирами — в обыкновенную двух-
шарнирную арку. Графическое изо-
бражение указанной зависимости
дано на фиг. 204.
После того как распор Н будет
ние силы в любом сечении арки:
найден, можно определить внутрен-
М^мЧ-Ну,
Nx = — (Qo sin ? 4- Н cos ср);
(7.6)
Qx=Q0coscp — //sin ср,
где и Qo относятся к простой балке пролета I.
1 Интересно отметить, что растягивающее напряжение, которое возникает от
бесконечно малого распора в бесконечно тонкой затяжке, будет вполне определенным
и конечным. Действительно, относительное удлинение затяжки, очевидно, будет равно
Д]р х г? ^ip
следовательно, напряжение будет в = Е3
203
На фиг. 205 показан вид эпюр Мх, NXf Qx.
При действии вертикальной нагрузки, направленной вниз, эпюра Mj>
должна хотя бы на некотором участке проходить выше эпюры Ну\ при
несоблюдении этого условия оказалось бы, что опорные сечения А и В
сближаются, вместо того чтобы разойтись.
Для двухшарнирной арки с затяжкой или без затяжки можно по-
строить многоугольник равнодействующих совершенно так же, как для
трехшарнирной арки. Разница лишь в том, что для трехшарнирной арки
Фнг. 205
р аспор Н опрелел яется из
уравнений статики, в то вре-
мя как для двухшарнирной
он определяется из канониче-
ского уравнения метода сил.
Заданные внешние силы
откладываются в произволь-
ном масштабе на вертикаль-
ной прямой (фит. 206); на
нее же наносим вертикаль-
ные составляющие опорных
реакций Va и Vв, которые
определяются, как для про-
стой балки; через точку раз-
дела проводится горизонталь
н на ней откладывается най-
денный распор Н, Конец
вектора И принимается за
полюс О. По этому силово-
му многоугольнику строится
веревочный, который и пред-
ставляет собой требуемый
многоугольник давлений, пе-
реходящий в пределе, при
сплошной нагрузке, в кри-
вую давлений. Она пересе-
кает плоскость любого сече-
ния арки в точке приложе-
ния равнодействующей всех
внутренних сил сечения. Ве-
личина равнодействующей
выражается на силовом
многоугольнике лучом Оа, параллельным касательной а — а к кривой
давлений. Чтобы найти нормальное напряжение в каком-нибудь сечении
АВ нужно разложить равнодействующую на нормальную силу N и по-
перечную Q и взять момент силы V относительно ядровой точки Ка или
Кв, после чего можно написать
+ kA}eA N(a~kB)eB
j
(8.6)
(см. ч. I настоящего курса, § 9, гл. VII).
□ В двухшарнирной арке, как и в трехшарнирной, рассчитанной на
постоянную нагрузку, желательно, чтобы кривая давлений совпала с
осью арки, так как при этом не будет ни изгибающих моментов, ни по-
перечных сил.
Однако для двухшарнирной арки, которая должна воспринимать
204
вертикальную нагрузку, направленную в одну сторону (вниз), такое сов-
падение невозможно.
Посмотрим, что произойдет, если мы очертим ось арки по кривой,
подобной балочной эпюре моментов Л10, т. е. примем
у = = кМР,
где k — произвольный коэффициент пропорциональности.
Если бы арка была трехшариирной, то при этом кривая давлений сли-
лась бы с осью. В двухшарнирной арке получится
М = Мр — Ну = МР{\ — кН),
т. е. эпюра моментов такой арки будет подобна балочной эпюре с коэффи-
циентом подобия 1—kH,
Мы можем свободно выбирать значение k, но не можем выбирать
значение произведения kH, так как распор Н зависит от величии k, F, J,
Е. Е3, G.
Предположим, что удалось подобрать значение k таким образом, что
1—kH — 0, т. е. что кривая давлений слилась с осью.
Очевидно, что для этого затяжка должна быть растянута (распор
должен выгибать арку выпуклостью вверх, в то время как внешняя на-
грузка выгибает ее выпуклостью вниз). В таком случае арка будет
сжата, причем
Q—0; Н= — //cosep.
Взаимное сближение ее концов А и В выразится формулой
205
5С1 C NN-ids f H cos? 4ds n
a>₽=2jJ_^=2jJ ef—>°*
т. e. концы арки сблизятся, в то -время как затяжка будет растянута.
Полученное противоречие свидетельствует о невозможности сделанного-
допущения. Следовательно, выражение 1—kH всегда представляет собой
положительную -правильную дробь.
Ось арки, очерченная -по веревочной кривой для данной нагрузки,,
может совпасть с кривой давления только при одновременном соблюде-
нии двух условий:
1) жесткость затяжки должна быть равна бесконечности, т. е.
£зЛ> = °°;
2) влияние продольных и поперечных сил на деформацию арки дол-
жно быть равно нулю.
Тогда
у = kMP)
или
М = Мр(\ -Ш) = 0. □
kH=\\
§ 8.6. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
а) Линия влияния распора. Из формулы
Зи бп
следует, что л. в. распора И представляет собой в определенном масштабе
линию прогибов оси арки, находящейся под действием силы Н ~ 1. Эту
линию прогибов можно построить при помощи упругих грузов. Для этого
нужно заменить криволинейную ось арюи ломаной линией, разделив ось
на достаточно большое число равных частей. Обозначим длину каждой
части через As и в точках деления поместим, вертикальные упругие
грузы <wn (фиг. 207). Имея в виду, что от силы Н = 1 возникают изгибаю-
щие моменты АТ = — у и нормальные силы = — cos ф и что
. Af . COS ср tg ср Sin Ф
можно написать на основании формулы (22.3) гл. III при полюсном рас-
стоянии, равном единице:
+ f ^+^+1 \ , stn?„ __ sin <?*+!
П Jn Jn+1 V EFn EFn+i
Удобнее откладывать на силовом многоугольнике не величины а
EJ^wn. Эти произведения имеют в данном случае размерность см1, Если
иа силовом многоугольнике они отложены в масштабе 1 см~а см1, а
полюсное расстояние равно b см, и если, кроме того, пролет арки изо-
бражен на чертеже в масштабе 1 : п, то прогибы получатся в следующем
206
(9.6)
, abn см5
масштабе: 1 см ординаты веревочного многоугольника =i—~— г т. е. ор
дин-аты имеют размерность м/кг. Для получения масштаба ординат л. в.
Н нужно разделить масштаб построенного многоугольника на Slt. В ре-
зультате
1 см ординаты л. в. распора =?, (отвлеченное число).
Построение линии прогибов можно разбить на два этапа:
1) учитывая только влияние изгибающих моментов и разбив ось на
весьма малые участки, принять
тогда формула для упругих грузов примет простой вид:
™ ---------=-----------
™ EJ EJ cos ср ’
а линия прогибов будет служить веревочным многоугольником для этой
распределенной нагрузки;
2) учитывая влияние продольных деформаций, принять упругие
грузы равными
sin <рЛ sin ср +1
—-------------——
^я+1
причем ось арки может быть разбита на более крупные участки. Оба
веревочных многоугольника нужно заменить плавными кривыми и затем
их ординаты сложить.
Когда продольными деформациями пренебрегают, построение, разу-
меется, ограничивается первым из указанных этапов.
□ Для построения л. в. можно воспользоваться кривой опорных
реакций. Так называется геометрическое место точек F взаимного пере-
сечения опорных реакций, вызываемых в двухшарнирной арке движу-
щимся грузом Р =? 1 (фиг. 208).
Для арки с затяжкой это название является условным: оно вклю-
чает в понятие «опорная реакция» также распор И, который возникает
в затяжке. Когда л. в. Н построена, то при любом положении силы Р
сейчас же можно найти равнодействующую сил Уд и Я, а также сил
Vq и Н и, следовательно, точку F. Известно, что
207
следовательно, из подобия треугольников получаем уравнение искомой
кривой:
Z : Х= Уд : Н= : Н,
или
х(1-х)
1Н
Если в выражении для Н пренебрежем влиянием продольных
сил, то для арки, ось которой очерчена по квадратной параболе, получим
кривую опорных реакций, весьма мало отличающуюся от прямой ли-
нии. □
б) Линия влия-
ния изгибающего
момента. Рассмотрим
произвольное сечение D,
находящееся от левой
опор ной вертикали, на
расстоянии а, а от пра-
вой — на расстоянии Ь,
причем
а -р Ь—-1.
Ио формулы Мх — Мх — Нуо следует, что эта л. в. представляет со-
бой геометрическую сумму л. в. М$, имеющей вид треугольника с наи-
большей ординатой у, и л. в. распора Н, умноженной на постоянное
число yD (фиг. 209, б).
□ При помощи кривой опорных давлений л. в. можно построить
значительно скорее и удобнее. Для этого достаточно начертить в произ-
вольном масштабе л. в. распора
Н (фиг. 209,5) и затем найти
нулевые точки искомой л. в.
Проведя прямые AD и BD и
продолжив их до встречи с кри-
вой реакций, мы найдем точки
Ki и проекции которых и
будут служить нулевыми точ-
ками л. в. Действительно, когда
груз Р = 1 стоит в точке /G, то
равнодействующая правой вер-
тикальной реакции ,и натяже-
ния в затяжке проходит через
сечение D и обращает изгибаю-
щий момент в нем <в нуль.
Когда груз стоит в К2, то левая
равнодействующая проходит
через D и дает такой же эф-
фект. Через точки kx и k2, кото-
Фиг. 209
рые служат проекциями точек
Ki и К2, проводятся стороны треугольника, и тем. самым завершается
построение. Обе стороны должны пересечься между собой на вертикали
сечения D. Масштаб определяется из чертежа: высота треугольника при-
« ab г—,
яимается равной Q
/208
в) Линия влияния АЪ строится как сумма двух л. в. по фор-
муле
А/,э = — (Q?> sin <fD + Н cos <fD) = — cos <?B (Q°> fg <?D +H),
т. e. как сумма л. в. QD, умноженной на постоянное число tgcpp,
и л. в. /// причем результирующая кривая имеет еще масштабный мно-
житель cos vD. Построение пока
направление опорных реакций,
строить л. в. ядровых моментов
для того же сечения. Эта л. в.
позволяет найти то положение
временной нагрузки, .которое
вызывает в сечении D наиболь-
шие нормальные напряжения.
Без построения этой л. в. при-
шлось бы отдельно загружать
две л. в. — Мп и /Vo, которым
отвечают неодинаковые невы- 'ч
годнейшие положения нагруз-
ка фиг. 210. Имея л. в. Nd и зная
дао при помощи формул (8.6) по-
Z?
Фиг. 210
ки, а это осложнило бы за-
дачу.
г) Линия в л и я н и я Qd
(фиг. 2.11) также строится как сумма двух л. в. по формуле
Qd = Qd cos <?d — H sin = sin <?D (Q°d ;
к ординатам л. в. Н нужно добавить
с обратным знаком ординаты л. в.
QJctgcp^ и полученный суммар-
ный график умножить на sin
□ То же самое можно полу-
чить при помощи кривой опорных
реакций: в точке D проводится ка-
сательная к оси арки, а из шарни-
ра А—параллельная ей прямая,
которая пересечет кривую реакций
в некоторой точке К (фиг. 211).
Проекций этой точки Йа л. в. рас-
пора Н служит нулевой точкой k
искомой л. в. При помощи этой
точки на чертеж наносится второй
график. Этим^построение заканчи-
вается. Масштаб ординат полу-
ченной л. в. таков: отрезок ab вы-
ражает собой величину cos . □
§ 9.6. РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
Распор Н определяется из уравнения
+ = о
или
_тг_______Ац _____EJyAu
~ 8ц — EJohu
14—И. М. Рабинович
209
Перемещение Ди вычисляется по формуле
Ди—J N^tds-^ J- ds,
где для элементов арии =— cos ср, Afx = — у, а для элементов затяж-
ки 2Vi = 1, Mi = 0.
Примем температуру по длине арки и затяжки постоянной. Тогда
в
Ди= — cd J cos ср ds + a3tl — cd' J ~^~ds.
A
Здесь первый интеграл выражает влияние равномерного нагрева
арки; знак минус свидетельствует о том, что при нагреве арки раскрытие
щели в затяжке происходит в сторону, противоположную действию поло-
жительной силы Ль Таи кай coscptZs = dx, то этот интеграл равен
i
— at J dx= — atl.
о
Второй член выражает собой температурное удлинение затяжки;
а3 — коэффициент линейного расширения материала затяжки. В двух-
шарнирной арке с неподвижными пятовыми шарнирами (в арке без
затяжки) следует считать а3 = 0. В третьем члене разность температур
крайних волокон, обозначенная через считается положительной, когда
она искривляет арку выпуклостью в ту же сторону, что и положительная
сила Xi, т. е. вверх.
Расчет арки обычно ведется только на равномерный нагрев, т. е. при-
нимается t' — 0. Тогда в арке с затяжкой
=-otfZ + a3«=(a3-a)W; Я=(а~‘‘з)" , (10.6)
а в арке без затяжки
tf=-g-. (И.6)
Когда ^>0, то в арке без затяжки распор направлен внутрь пролета,
в арке же с затяжкой направление распора зависит от соотношения между
а и %. При a>a3 затяжка растянута; при a=a3 она не испытывает
никаких усилий и при a < a3 она будет сжата. Когда t < 0, то знаки этих
неравенств изменяются на обратные. Нужно заметить, что .сжимающие
усилия в затяжке нежелательны, так как обычно она весьма гибка и при
сжатии легко теряет устойчивость. Но суммарное усилие в затяжке
может оказаться сжимающим только тогда, когда температурное сжи-
мающее усилие превысит величину растягивающего усилия, вызываемого
постоянной нагрузкой.
В самой арке температура вызывает следующие усилия:
М=НМ^— Ну; Н^НН^ — Н cos ср; Q = HQ^ — Н sin ср.
§ 10.6. РЕГУЛИРОВАНИЕ УСИЛИЙ В АРКЕ ПРИ ПОМОЩИ ЗАТЯЖКИ
Иногда затяжку снабжают стяжной муфтой с винтовой нарезкой
(фиг. 212), которая позволяет уменьшать или увеличивать длину затяжки
и тем самым вводить добавочные усилия. Регулируя длину затяжки,
можно изменять в выгодную сторону усилия арки. Например, на фиг.
213, где ординаты эпюры Ну малы по сравнению с ординатами эпюры
Мхь, можно путем дополнительного натяжения затяжки добиться увели-
чения распора Н и получить более выгодную эпюру Ну, показанную
210
пунктиром. Само собой понятно, что при этом нормальные усилия в арке
увеличатся.
Если ось аркн очерчена по веревочной кривой, соответствующей вне-
шней напрузке, то в любой точке оси соблюдается соотношение
АТ ’ = ау,
где а — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности. В
таком случае достаточно довести полное усилие в затяжке до величины
а эпюра изгибающих моментов- на всем протяжении арки пропадет.
Фиг. 212
Регулирование натяжения можно производить чисто эксперименталь-
ным путем. Для этого нужно установить на затяжке приборы, показы-
вающие величину относительного удлинения нли укорочения стержня
(тензометры).
Подвинчивая муфту н сле-
дя за показанием тензометров,
можно определять усилие в за-
тяжке по формуле
X = iE3F3,
где I — измеренное прибором
относительное удлинение.
□ При отсутствии прибо-
ров можно теоретически ре-
шить вопрос о том, сколько
нужно дать оборотов стяжной муфте, чтобы получить в затяжке
требуемое дополнительное усилие X. Представим себе, что шаг нарезки
равен 7, что мы повернули муфту п раз так, чтобы затяжка уко-
ротилась. Концы ее, находя-
щиеся внутри муфты, взаим-
но переместятся на величину
ДС1 — — (фиг. 214). В
основной системе произойдет
взаимное перемещение то-
чек приложения силы на
такую же величину. Для то-
го чтобы парализовать это
перемещение, в затяжке дол-
кно возникнуть дополнительное усилие Хь удовлетворяющее уравнению
откуда
Х^Н-
йн ви
Наоборот, если мы хотим возбудить в затяжке определенное усилие
i, то должны создать поворотом муфты перемещение Д^ определяемое
з того же уравнения
— — &1Л-
211
К сожалению, провисание длинной затяжки, вызываемое ее собствен-
ным весом, вносит во все предыдущие рассуждения существенную по-
правку, так как уничтожает линейную зависимость между продольным
усилием в затяжке и сближением ее концов. □
§ 11.6. БЕСШАРНИРНАЯ АРКА, ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Арка с заделанными пятами находит себе применение в мостострое-
нии, в гражданском и промышленном строительстве, по преимуществу в
виде железобетонной конструкции. На фиг. 215 представлен пример
железобетонного арочного моста.
Расчетная схема арки с задел энными пятами содержит три л ишние
связи, а потому при расчете такой системы по методу сил получаются
три основных неизвестных.
При выборе основной системы желательно получить три самостоя-
тельных уравнения, содержащих по одной неизвестной. Это может быть
достигнуто различными способами. Несколько вариантов основной систе-
мы, допускающих такое решение задачи для симметричной бесшарнир-
ной арки, представлено па фиг. 216. При всех этих вариантах могут быть
получены одни и те же основные эпюры и, следовательно, достигнут один
и тот же ход всего расчета.
212
Остановимся на варианте б фиг. 216, т, е. разрежем арку по оси сим-
метрии, прикрепим к обоим сечениям бесконечно жесткие консоли и при-
ложим к ним неизвестные %i, Л2, ^з.
Канонические уравнения
+^12^2 + Д1р = 0;
^21^1 + ^22-^2 + ^23-^3 “F ^2Р = О',
*3Л + ^32-^2 + &3Л + Азр = 0
(12.6)
будут выражать условие полной взаимной неподвижности обеих консолей
и тем самым выразят условие взаимной неподвижности сечений D и D'.
Для вычисления коэффициентов системы (12.6) построим единичные
эпюры М, Q и N. Расположим начало координат в некоторой точке С на
оси симметрии и направим положительную ось х вправо, положитель-
ную ось у — вверх. Будем считать положительными: изгибающие мо-,
менты, которые вызывают растяжение нижних волокон; поперечные силы,
которые стремятся повернуть обе части арки по часовой стрелке; нор-
мальные силы, которые растягивают ось арки.
Эпюры, вызываемые силами Xi =1, Х2 = 1 и Х3=1, выражаются
следующими уравнениями;
Mi — х, = — У, = cos ф, Q2 = sin <р, Afj = sin <p; 1 N2 = —- cos<p; (13.6)
М3 = - 1, Qg = 0,
Советуем читателю не принимать этих формул на 'веру, а тщательно
разобраться в них. При этом следует иметь в виду, что sin <р имеет справа
от оси симметрии положительный знак, а слева — отрицательный; cos<p,
напротив, имеет по обе стороны от оси положительный знак.
Графическое изображение эпюр представлено на фиг. 217—219. Мы
видим, что все эпюры принадлежат к двум типам: одна часть их симме-
трична (эпюры Qi, ТИ2, N2t Af3), а другая часть — обратно симметрична.
Отсюда на основании известного свойства ‘взаимной ортогональности
таких эпюр заключаем, что
* __ V С уд f N^ds , V1 f v-QiQtfts n
12—2-jJ £/ h2jJ gf —°’
-o,
что касается перемещения
R _ V Г . уд f N^ds . \д f fiQsQatfc __
б23" 2jJ ------------------------H2jJ GF---------
y- Irfs
~~EJ~
то оно, вообще говоря, не равно нулю, но в наших руках имеется средство
заставить его обратиться в нуль. Мы имеем в виду длину консоли уо,
которая пока остается произвольной (фиг, 218). При изменении этой
величины положительная область эпюры М2 увеличивается за счет отри-
цательной, или наоборот.
Подберем уо из условия
в
8«=J-^=o-
А
213
Умножим обе части этого равенства на £/в:
В В D
у-- ds~^yds'^2 J yds' = Of
A A A
где ds' = ~ ds.
Чтобы решить это уравнение, зададимся сначала положением точки
С, т. е. величиной ординаты у^, произвольно. Тогда каждой точке оси
арки будет соответствовать определенное значение ординаты у, которое
можно будет найти из уравнения осн или взять нз чертежа.
D
Интеграл j yds' можно будет определить либо в общем виде, либо чис-
д
Фиг. 219
ленно; в последнем случае — путем разбивки оси аркн на небольшие от-
резки As и замены интегрирования суммированием.
Если мы передвинем точку С вниз на некоторую величину а, то коор-
дината у любой точки заменится величиной у+а, и новое значение интег-
рала будет
D D D
J (У + а) ds' = j* у ds' + a J ds'.
А А А
Приравняв это выражение нулю, мы найдем
D
а=-£--------. (14.6)
J ds'
А
т. е. определим то положение точки С, прн котором перемещение B2S
обратится в нуль.
Решение той же задачи может быть произведено весьма просто гра-
фическим путем. Для этого примем приведенные длины As' участков
арки за фиктивные горизонтальные грузы, приложенные в середине длины
этих участков (фиг. 220). Построим для этих фиктивных сил силовой
и веревочный многоугольники при произвольном полюсном расстоянии,
затем продолжим крайние стороны веревочного многоугольника до их
взаимного пересечения и найдем таким образом точку приложения равно-
215
действующей. Искомая точка С лежит на той же горизонтали. Действи-
тельно, сумму y±s' можно рассматривать как сумму моментов фик-
тивных горизонтальных сил As' относительно точки С. Но сумма момен-
тов системы сил равна моменту их равнодействующей. Следовательно,
для того чтобы этот момент обратился в нуль, необходимо, чтобы точка
С лежала на равнодействующей.
Выбранная таким образом точка С удовлетворяет трем условиям:
oJ2 = о13 = g2S = 0.
Следует вдуматься в смысл этих трех равенств: от действия двух верти-
кальных сил -Ль приложенных в этой точке, обе бесконечно жесткие кон-
соли получают друг относительно друга перемещение только по верти-
кальному направлению; от действия двух горизонтальных сил они полу-
чают только горизонтальное взаимное перемещение и, наконец, от дей-
ствия двух пар — только взаимный
поворот вокруг точки С. Эту точку
(вернее оказать, две точки — концы
обоих консолей) часто называют
упругим центром.
Упругий центр существует и в
любой несимметричной арке.
Действительно, для выбора упру-
гого центра мы располагаем тремя
параметрами (фиг. 221): координа-
тами %(ъ л'ь У\, следовательно, имеем
возможность удовлетворить услови-
ям ортогональности трех эпюр.
Вернемся к симметричной арке.
Перенося в упругий центр начало координат, определяют для каж-
дого элемента As приведенную длину As' и ординату его центра тяже-
сти у, затем вычисляют перемещения по следующим формулам:
= J x^-ds’ + J sin2 <p -p- ds + J p cos2 cp ds =
= ^x24s' + ^sin! 4s+ I1 cos2 9As;
A A A
EJoi21= f M2<fc'+ f Nl ^-ds+ [ v.Ql^pds =
216
в в в
= + J] cos2<p As + и sin2 Ф As.
A A A
В
EJ^33 = f Ml dsf ~ J ds' = As'.
A
Вычисления целесообразно расположить в форме таблицы. Если пре-
небречь влиянием поперечных сил, то вычисления расположатся при-
мерно так, как показано в табл. 9.
Таблица
Вследствие симметричности системы достаточно вписать в таблицу
данные, относящиеся лишь к половине арки, а результаты суммирования,
заменяющего интегрирование, удвоить.
Величину As целесообразно принять постоянной. Тогда в графах 12
и 13 можно не учитывать множитель As, но зато учесть его при подве-
дении итога, т. е. вместо того, чтобы умножать каждое слагаемое, умно-
жить сумму.
Величины £л2Д$' и Ey2As' легко получаются при помощи графи-
ческого суммирования (интегрирования).
Для этого нужно построить силовой и веревочный многоугольники
соответственно для вертикальных фиктивных сил %-As'и горизонтальных
у-As' (фиг. 222 и 223).
Канонические уравнения имеют вид
+ Aip = B23AZ24~ Д2р = 0; S33Xa + Азр = О,
откуда
х,=-А^; П5.6)
°11 °22 й33
Числители этих дробей, вообще говоря, не равны нулю; но на основа-
нии теоремы, доказанной на стр. 192, можно утверждать, что при дей-
ствии симметричной нагрузки получается А1Р =0, а при действии обрат-
но симметричной нагрузки Д2р“ Дзр =0. В этом можно убедиться так-
же непосредственно: при действии симметричной нагрузки получаются
симметричные эпюры МР, AZpn обратно симметричная эпюра Qp, в то
время как эпюры Mit AZi обратно симметричны, a Qi — симметрична; сле-
довательно, по свойству взаимно ортогональных эпюр выражение Aip
обратится в нуль. Аналогичное рассуждение убеждает нас также в спра-
ведливости остальных двух равенств. Учитывая это, целесообразно разла-
гать нагрузку любого вида, приложенную к симметричной арке, на
217
-сумму симметричной и обратно симметричной и при вычислении неизвест-
ной Xi игнорировать симметричную часть внешней нагрузки, а при вычис-
лении неизвестных Х2 и Х3 — ее обратно симметричную часть. То же
самое относится к действию симметричной и обратно симметричной тем-
пературы и перемещения опор.
Перейдем теперь к определению числителей дробей (15.6):
EJ^ lp=^M1MP^-ds + ^N,NP^-ds+
Н J J I1 Qi Qp = £ J xMP ds' + J] J sin <p NP £ ds 4-
+ JjJ HCOSfQp -^-ds;
EJtfizp = — J yMP ds' — J cos yNp ds 4
+ SJ itsin,?Q₽ ту- ds>
EJ^P^-^Mpds'.
(16.6)
Вычисление по этим формулам может быть произведено в табличной
форме при помощи приближенной замены интегрирования численным
ХуДЗ’-О
Фиг. 223
суммированием. Если знаменатели дробей (15.6) были найдены без учета
влияния поперечных сил или без учета поперечных н продольных сил, то
и числители нет необходимости вычислять более точно.
218
Во избежание ошибок необходимо помнить о знаках подинтеграль-
ных величин. Например, при действии обычной вертикальной нагрузки
эпюра М всюду будет отрицательной, эпюра Np — отрицательной, эпюра
Qp —в левой части положительна, а в правой — отрицательна.
§ 12.6. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР. КРИВАЯ ДАВЛЕНИЙ
Найденные неизвестные позволяют построить окончательные эпюры.
Введя для большей наглядности новые обозначения:
X, = I/, Х2 = Н, Х^=МС,
можно написать
М= Мр + Mt V + М2Н+ MZMC =Mp+xV-yH-Mc\
Q"QP + Qi V+ 4' Q.^c — Qp + Vcos с? + Hsin <p;
/V — Np 4~ Ni V 4- N2H 4" N:.Mc = Np + V sin cp — H cos ©.
(17.6)
Каждая из этих трех эпюр строится как сумма соответствующей ста-
тически определимой эпюры,
которая вызвана внешней
нагрузкой, с тремя единич-
ными эпюрами, умноженны-
ми на найденные неизвест-
ные. На фиг. 224 продетав-
леи пример эпюр М, Q и А/.
Имея эпюры изгибаю-
щих моментов, поперечных
сил и нормальных сил, мы
можем определить усилия
Мл, Qa, Na и Mb, Q-ъ Ns ,
действующие в пятах арки.
Опорная реакция пред-
с та вл я ет собой р ав нодей -
ствующую поперечной и продольной силы:
Rb = ул^+Q^.
На фиг. 225 показаны левый конец арки н построение равнодействую-
щей Ra по составляющим NA и Qa . Линия действия Яд этой реакции
имеет по отношению к точке А оси арки эксцентриситет &а . Величина
последнего определяется из уравнения:
вА = ^А’
219
откуда
МА
вА ~ 1<А
На нашем чертеже момент Ма направлен против часовой стрелки, по-
этому сила RA перенесена параллельно линии вниз.
Найденная опорная реакция позволяет построить многоугольник
равнодействующих (фиг. 226): на силовом многоугольнике откладывается
заданная нагрузка; полюс О выбирается на пересечении лучей, выражаю-
щих опорные реакции Ra и Re , после чего строится веревочный много-
угольник. Его крайняя левая сторона совмещается с линией действия
опорной реакции Ra - Правильность построения проверяется тем, что край-
няя правая сторона должна автоматически совпасть с линией действия
правой реакции Re.
Построение можно начать также с середины пролета, так как в этом
месте сторона многоугольника совпадает с равнодействующей сил
Xi, Х2 и Хз, приложенных на консоли.
Когда кривая построена, то определение при-ее помощи величин
М, N, Q производится так же, как в случае трехшарнирной арки.
§ 13.6. О ПОДБОРЕ ОЧЕРТАНИЯ ОСИ АРКИ
□ Вопрос о подборе очертания оси всегда возникает при проекти-
ровании арок, но особо важное значение он имеет для мостовых арочных
пролетных строений, так как последние являются наиболее крупными по
своему пролету и весу, наиболее дорогими сооружениями арочного типа.
Рациональный подбор оси имеет своей главной целью уменьшение
изгибающих моментов. Предполагается, что именно это условие является
важнейшим для облегчения собственного веса арки, хотя правильность
этого предположения .не доказана.
Уменьшение изгибающих моментов -бесспорно необходимо в тех слу-
чаях, когда проектируемая арка является каменной или бетонной (неар-
мированной) и расчет показывает, что в некоторых ее волокнах возни-
кают растягивающие напряжения.
220
Для того чтобы достигнуть наибольшего снижения изгибающих
моментов, необходимо добиваться того, чтобы ось арки и кривая давления
возможно ближе подходили друг к другу. Однако мостовое арочное
пролетное строение находится под действием не только постоянной, но и
подвижной временной нагрузки и изменчивой температуры; для бетон-
ных и железобетонных арок приходится, кроме того, считаться с усадкой
бетона. В таких случаях речь может идти не об одной кривой давления,
но о целом семействе кривых давления, отвечающих сочетанию постоян-
ной нагрузки с разнообразными положениями временной. Желательно,
чтобы ось арки заняла какое-то промежуточное положение между этими
кривыми.
Трудность задачи состоит в том, что кривую давления невозможно
построить до тех пор, пока не подобрана ось арки и все ее сечения; но
Фиг 227
если все это задано, то тем самым предрешается определенное располо-
жение кривой давления, и мы уже не имеем возможности подчинять ее
каким-нибудь условиям. Приходится решать задачу путем, ряда попыток,
т. е. изменять очертание оси и подбор сечений до тех пор, пока сближе-
ние оси арки с кривой давления не окажется удовлетворительным.
Полное совпадение кривой давления с первоначальной (недеформи-
рованной) осью арки при учете
влияния сил Л/ и Q невоз-
можно.
Подбор рациональной оси
осложняется еще тем, что мо-
стовая арка несет на себе на-
грузку от ‘ веса забутки
(фиг. 227); интенсивность этой
нагрузки (если для упрощения дела принять забутку только за верти-
кальную нагрузку и пренебречь ее участием в работе арки) сама зависит
от очертания арки. Надарочное строение может иметь также упругую
связь с аркой, а именно опираться на нее при помощи стоек, жестко при-
крепленных к арке и к проезжей части. В этом случае система превра-
щается в сложную рамную конструкцию, для которой наиболее рацио-
нальный подбор оси арки также оказывается достаточно трудным. Мы не
будем излагать здесь теории вопроса о выборе наилучшего очертания осп
арки; этому вопросу посвящен ряд интересных монографий К Имеется
также обширная литература, содержащая таблицы и приближенные
приемы для решения той же задачи специально в применении к мостовым
аркам 1 2.
1 Проф. В. И. Руднев, О рациональной форме сплошной упругой арки в связи
с современными методами возведения, «Труды Московского института инженеров транс-
порта», вып. XV, 1930; Я. Г. Пановко, К вопросу о выборе подъема сводов, «Труды
Московского автодорожного института», вып. 2, 1934; Н. В. Перепечнн, Теория
арок, 1937; А. В. Белов, Применение функций Бесселя по вопросу о рациональ-
ном очертании оси арок, «Труды Ленинградского индустриального института» № 3
вып. 1. 1938; А. П. Филин, Вопросы рационального проектирования мостовых арок,
«Труды Хабаровского института инженеров ж.-д. транспорта», вып. 3, 1951.
2 Проф. П. Я- Каменцев и инж. Б. Н. Ду чн некий, Бесшарнирные ароч-
ные мосты, 1928; К е гл ер, Таблицы для расчета сводов, 1931; проф. В. В. Гри-
горьев, Неразрезные арочные мосты и виадуки, 1934; проф. И. В. Урбан, Теория
расчета статически неопределимых конструкций», 1937; инж. П. С. Морозов, Расчет
бесшарннрных мостовых сводов; теория расчета и таблицы, 1938; А. Д. Се р-
гневскнн, Исследование законов очертания оси и изменения моментов инерции сече-
ний арок, «Сборник Ленинградского института железнодорожного транспорта, вып. 142,
1950; С. А. Холопов, Новый прием исправления оси бесшарнирной арки, «Труды
Хабаровского института инженеров ж.-д. транспорта, вып. 3, 1951; проф. В. А. Кисе-
лев, Рациональные формы арок и подвесных систем, Гос. издательство литературы по
строительству н архитектуре, 1953.
221
Задача подбора рациональной оси арки сильно упрощается при усло-
вии игнорирования деформаций, вызываемых продольными и сдвигаю-
щими силами. В этом случае следует подобрать очертание оси арки и за-
кон изменения поперечных сечений таким образом, чтобы веревочная кри-
вая, отвечающая всей нагрузке (т. е. собственному весу сооружения вместе
с расчетной временной нагрузкой), совпала с осью арки. Тогда изгибаю-
щие моменты во всех сечениях арки обратятся в нуль. Доказательство
может быть дано очень просто: превратим арку в трехшарнирную. При
совпадении оси с веревочной кривой изгибающий момент во всех сече-
ниях такой основной системы, вызванный внешней нагрузкой, будет равен
нулю. Ось арки останется недеформированной, поэтому свободные члены
всех трех канонических уравнений обратятся в нуль. Отсюда следует, что
лишние неизвестные (моменты в шарнирах) также обратятся в нуль. При
учете влияния продольных снл такое решение можно рассматривать как
первое приближение. Все же и это приближенное решение оказывается
достаточно сложным, так как и в трехшарнирной арке добиться совпаде-
ния веревочной кривой с осью при учете собственного веса арки
нелегко.
Заслуживает внимания следующее важное обстоятельство. При
рациональном очертании оси арки кривая давлений проходит близко
к оси; вследствие этого в любом сечении эксцентриситет, т. е. плечо равно-
действующей относительно центра тяжести сечения, становится величиной,
не очень большой по сравнению с прогибом арки. Достаточно небольшого
прогиба, чтобы изгибающий момент резко увеличился. При таких усло-
виях основная предпосылка теории расчета статически неопределимых
систем, а именно возможность отождествлять деформированную фигуру
с недеформированной, становится несостоятельной.
В итоге оказывается, что при точном расчете арки с принятием во вни-
мание изменения ее формы деформация уже не выражается линейной
функцией усилий, хотя материал и считается идеально упругим (для
сравнения см. ч. I, § 178).
Вопрос о влиянии деформации оси на усилия в бесшарнирной, двух-
шарнирной и трехшарнирной арке имеет свою литературу, но не может
еще считаться исчерпанным х. Приближенное решение может быть полу-
чено методом последовательных приближений: первым приближением
служит обычное решение. Построив эпюры Л4, N, Q, можно затем
построить деформированную ось и вслед затем — эпюру дополнительных
моментов/УДг, где Дг— приращения плеча равнодействующей, вызван-
ное деформацией оси арки. Второе приближение получается, если учесть
действие этих дополнительных моментов как внешней нагрузки, затем
найти дополнительное значение лишних неизвестных и т. д.
Уточненный расчет по деформированной схеме следует особенно реко-
мендовать прн расчете арок больших пролетов. Если при этом прогибы
арки будут определяться, как для сжато-изогнутого стержня, то расчет
на прочность можно совместить с расчетом на устойчивость. Подробнее
об этом см. в гл. VIII.
Если арка имеет значительную высоту поперечного сечения, то это
вносит еще один довольно существенный корректив во все рассуждения.
В этом случае формула Q оказывается недействительной и заме-
1 Мюллер-Бреслау, Графическая статика сооружений, т. II, ч. П, 1913,
стр. 513—522; проф. П. Н. Поликарпов, Влияние деформации на напряженное
состояние сплошных мостовых арок, «Труды Московского института инженеров тран-
спорта», вып. 69, «Строительная механика и мосты», 1946.
222
няется другой, более сложной формулой. Вследствие этого условиям:
1) М = 0и2) Q = 0 отвечают две различные кривые. Если ось арки?
совпадает с кривой давления, то во всех точках оси получается М = О,
но зато Q =£ 0. Если же ось очерчена по такой кривой, которая является,
огибающей по отношению к равнодействующим левых или правых сил,
так что в любой точке оси равнодействующая касательно к ней, то полу-
чается Q = 0, Л4 =# 0. Проф. В. И. Руднев, специально исследовавший
этот вопрос в весьма интересной работе !, называет вторую линию в отли-
чие от кривой давления векториальной кривой. □
§ 14.6. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Линии влияния основных неизвестных выражаются формулами
(15.6), в которых знаменатели дробей являются величинами постоянными,,
не зависящими от положения подвижного груза Р = 1. Вопрос сводится
поэтому к построению л. в. для перемещений Aip, Д2Р, Дзр, стоящих
в числителе дробей.
Пользуясь принципом взаимности перемещений, переставим индексы,
как уже неоднократно делалось раньше, и придем к построению переме-
щений Дрь Др2, Дрз, т. е. к построению линий прогибов оси арки под
действием сил Х|=1, Х2=1 и Х3=1.
Построение этих линий прогибов проще всего производится графо-
аналитически при помощи величин ф, которые могут быть вычислены
по формуле (23.3) или (24.3) гл. III. Эти формулы имеют совершенно
простой вид, когда мы принимаем во внимание только изгибающие
моменты, и несколько более сложный вид, когда мы учитываем, кроме
того, влияние продольных сил.
Обратимся прежде всего к линии прогибов EJQ ДР1, которая вызы-
вается силой ХЛ = 1 (фиг. 228). Разобьем ось арки на достаточно малые
участки длиныД$ и будем считать каждый участок прямолинейным, а ось
арли — ломаной. Нагрузим каждые два последовательных участка в
узлах п—1, п, п+1 уравновешенной нагрузкой, показанной на фиг.
228,6. Воспользуемся обозначением ^у--Д$=Д$'. В формулу (24.3) нужно
подставить
Ifl — ln + \ == A.S j Aln—l == 1 lj ~ + 1
и заменить букву р буквой ср. На протяжении элемента Д$^ продольные
усилия Afi н имеют одинаковый знак (положительный), а на протяже-
нии элемента Д$'+1 разные знаки. Итак:
До Дс
Ф, = —(хл-1 + 2х„) Н-----(2л„ + Хя+i) +
+ тг sin <p„tg - -=^- sin <p„+i tg<p„+1.
rn rn+1
Если длины As достаточно малы, то можно считать, что на протяжении
двух смежных участков момент инерции 7 = пост. Тогда
Ч=Ч+1=Д5'-
J См. сноску на стр. 221.
223.
д
Вынося за скобку—— и учтя, что приближенно можно написать
х„_1+лл+1 = 2хл,
мы получим.
Е^п = ^'Хп + Т2- Sin 'fn ?я-----sin ?»+>?' + !• (I8-6)
ln n+1
Мы можем составить таблицу этих величин, после чего линия проги-
бов может быть построена одним из способов, указанных в. § 16.3. В част-
ности, величины или EJn можно принять за систему фиктивных
вертикальных сил, приложенных в точках раздела участков, и построить
Фиг. 228
соответствующую этой нагрузке эпюру моментов или веревочный много-
угольник. Остается начертить обратно симметричное отражение этой
эпюры на левую половину, и мы получим требуемую линию прогибов
(фиг. 229). Разделив все ординаты на , вследствие чего величина
Фиг. 229
уступа в середине пролета обратится в единицу, и мы получим* л. -в. неиз-
вестной
Для линии прогибов получается
== “ Уд$/ — cos 4-Дз % + cos д$ tg<рл+1 =
Л, 2л+1
= _ у д$' _ Л As Sin <РД + -тД— д5 sin <рл+1. (19.6)
224
Если пренебречь продольными силами, то выражение
обратится в—уА/. По свойству упругого центра сумма этих фиктив-
ных сил равна нулю. Построение силового и веревочного многоугольни-
ков дано на фиг. 230.
Если на силовых многоугольниках фиг. 223 и 230 фиктивные силы
yks' отложены в одном и том же масштабе, а самые арки на этих
фигурах также изображены в одинаковом масштабе, то при любом поло-
жении груза Р = 1 ордината л. <в. распора выражается отношением
2
2bht
Фиг. 230
Наконец, упругая линия EJ0&ps представляет собой веревочный
многоугольник для фиктивных грузов EJ^^bs' (фиг. 231). На силовом
многоугольнике длина вертикальной стороны обозначена через k.
При произвольном положении груза Р=1 искомый момент Х3 выра-
жается через соответствующую ординату ^полученного графика следую-
щим образом:
у _ Л4т) _ Й4Т) _ й4
^3 -- С- т , — „ — .
£•^33 Lis k
где т( измеряется в том масштабе длин, в котором изображена арка. Если
для силового многоугольника взято полюсное расстояние h4=k, то полу-
чается Впрочем, масштаб этой л. в. можно определить проше:
15— И. М. Рабинович
225
таи как Х3= —&—, то линия прогибов Дрз будет прямо выражать собой
л. в. Х3, если мы примем такой масштаб, при котором = 1. Но на чер-
теже величина 833 изображается углом перелома упругой линии в вер-
шине. Таи как сумма двух бесконечно малых углов может быть заменена
суммой их тангенсов, то отрезок ординаты, заключенный на фиг. 231
между касательными и проходящий на расстоянии 1 м (в масштабе длин)
от вершины, должен быть принят равным 1 м.
Линия влияния левой вертикальной опорной реак-
ци и ,
где — л. в. той же реакции в основной системе (фиг. 232).
Линия влияния левой горизонтальной реакции
совпадает с найденной л. в. распора Н.
Линия влияния опорного момента
МА = Мр - -Г-Х, + (/- Vo) хг - 1 -X,.
Фиг. 232
Эта л. в. получается путем суммирования четырех л. в. Она имеет
плавный вид, так как скачок ординат в л. в. уничтожается скачком
в л. в. •—Хх, разрыв в углах наклона (перелом) л. в. уничто-
жается переломом л. в. — Х3 (фиг. 233).
Линии влияния MD, QD, ND для произвольного сечения получаются
из четырех основных л. в. по формулам (17.6). Примерный вид их пред-
ставлен на фиг. 234. Из л. в.7И° и ND можно получить для сечения D л. в.
ядровых моментов, как уже указывалось при расчете трехшарнирных арок.
□ Для быстрого получения л. в. всех нормальных и поперечных сил
и изгибающих моментов можно воспользоваться двумя вспомогательными
кривыми: геометрическим местом взаимного пересечения обеих реакций
и обертывающей для всех линий действия этих реакций (фиг. 235). Для
построения этих двух кривых рекомендуется определить аналитически
226
Фиг. 233
'абсциссы v и vf точек L и R пересечения опорных реакций с осью х — х,
проходящей через упругий центр, а также ординату yk точки Е (фиг. 236).
Для этого нужно составить:
1) уравнение моментов левой полуарки относительно точки L:
+ + -х)=0;
2) уравнение моментов правой полуарки относительно точки R:
Xxv' - X, = 0;
3) уравнение моментов правой полуарки относительно точки Е:
„В каждом из этих уравнений содержится только по одной неизвестной
('П, vf И yk), □
§ 15.6. РАСЧЕТ КРУГОВОЙ АРКИ НА ГИДРОСТАТИЧЕСКУЮ НАГРУЗКУ
Фиг. 237
□ Пусть арка с круговой осью нагружена равномерно распределенной
гидростатической нагрузкой, имеющей интенсивность р на единицу длины
арки (фиг. 237). Если бы арка представляла собой замкнутое круговое
кольцо постоянного сечения, притом
неспособное испытывать продольные
деформации, то легко показать, что
в ней не было бы пи изгибающих
моментов, ни поперечных сил, а име-
лись бы только сжимающие продоль-
ные силы постоянной величины, а
именно, равные рг, Так как ось арки
на самом деле представляет собой
лишь часть окружности и притом
сечения арки изменяются по ее длине
по любому закону, то распределение
усилий получится более сложным.
Введем лишь одно ограничение:
будем считать, что арка имеет ось
грузка также симметрична относительно этой
неизвестные Х2 и Л3-
и Дзр, после чего сразу
симметрии. Так как сама наг\
оси, то X—О, и нам остается разыскать лишь
Для этого достаточно вычислить перемещения Л2Р
мвжно будет написать
^22
АЗР
в эд
2
228
Такой способ решения задачи не заключает в себе ничего сложного.
Несмотря на это, мы изберем другой 'путь, который (приведет нас
к цели быстрее. Приложим к ключевому элементу ds арки две равные
и противоположные силы рг, направленные по касательной к оси
(фиг. 238, а).
Эти две силы, очевидно, передадутся только бесконечно малому эле-
менту ds, а на всем остальном протяжении арки не вызовут ни усилий/
ни деформаций (точнее говоря, вызовут лишь бесконечно малые усилия
и перемещения). Поэтому добавление такой нагрузки является Вполне
допустимым. Внешняя нагрузка вместе с лишними неизвестными, прило-
женная к основной системе, представлена на фиг. 238, б.
Внешняя нагрузка, состоящая из гидростатического давления интен-
сивности р и двух сил рг, (вызовет во всех сечениях этой системы только
сжим.ающие продольные силы, притом постоянные по величине и равные
Фнг. 238
рг; что же касается изгибающих моментов и поперечных сил, то они обра-
тятся в нуль, т. е.
Л1Р=О; Qp—0; Np = -pr.
В этом можно убедиться, построив для такой нагрузки силовой
и веревочный многоугольники и показав, что последний совпадает с осью
арки. Тот же результат нетрудно получить аналитически: достаточно
вычислить величины Mp>Qpu^p для произвольного сечения основ-
ной системы.
Благодаря этому получается
£/оД2Р = J/V2ATp d? = рг J-A- cos ? ds-,
pr I ~~ cos ср ds
у ________J F___________•
^зр = 0’ = 0. I
Окончательные эпюры:
М = М2Х2;
в
С л
рг I cos ср ds
N == — рг -{- N2X2 = —pr-\ cos
(20.6)
в
рг \~jr cos ?
Q = Q2X2 = sin <p,
т. e. эпюры M и Q получаются только от действия силы X2f а эпюры Лг —
от той же силы и от равномерного сжимающего усилия рг (фиг. 239).
229
Закон изменения поперечных .сечений влияет на координату с упру-
гого центра и тем самым на величину Л"2 и на окончательные эпюры.
Если арка — постоянного сечения, то формула для Х2 принимает
более простой вид, так как из-под знака интеграла можно вынести мно-
житель ~ и сделать подстановку cos ср ds = dx. В итоге
v __ Erl
Л2 ЕЕч22 •
Фиг. 239
Если пренебречь влиянием продольных деформаций, то в формуле
(20.6) нужно положить F—со; тогда получится X2=0, т. е. окажется, что
арка работает только на сжимающую продольную силу рг. □
§ 16.6. РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И УСАДКИ
При расчете арки на действие температуры свободные члены кано-
нических уравнений Д1Р, Д2р, Дзр заменяются членами вида Ди, Д2/, Д3/,
вследствие чего получается
= .¥2= — (21-6)
1 SI1 ’ 2 S22 ’ 6 &зз V f
В случае равномерного нагрева всей арки на
Д if =^^Ntatds==at^ Njds,
где а—коэффициент линейного расширения.
Так как эпюра распределения температуры t вдоль оси арки симмет-
рична, а эпюра Afi — обратно симметрична, то Дп = 0, следовательно,
Xi = 0. С другой стороны, N3 = 0, следовательно, Д3/ =0; Х3 = 0.
Остается только вычислить
Д2/ = tx t J N2ds = — a t J cos ? ds == — at § dx = — atl,
откуда
У
°2‘2
230
Итак, при равномерном нагреве в основной системе возникает только
одна лишняя неизвестная Х2, 'Приложенная в упругом центре. Она вызы-
вает эпюры изгибающих моментов М2Х2, поперечных сил Q2X2 и нормаль-
ных сил N2X2 (эпюры М2, Q2j Д'2 см. на фиг. 218).
То, что равномерный нагрев вызывает только горизонтальный распор
Х2, приложенный в упругом центре, можно было предвидеть, так как эта
сила не вызывает в упругом
центре ни вертикального, ни уг-'
левого взаимного перемещения
концов консолей, а только ней-
трализует взаимное темпера-
турное перемещение по горизон-
тальному направлению.
Очевидно, что равномерная
усадка бетона вызывает в арке
такие же усилия, какие возник-
ли бы от равномерного охлаж-
дения; нужно лишь подобрать
такую температуру, которая
вызывает в основной системе арки относительное укорочение, равное уко-
рочению от усадки бетона.
Произвольный неравномерный, но симметричный относительно
середины пролета нагрев или охлаждение вызывает, кроме распора Х2,
еще пару Х3.
Равнодействующей этих двух величин является горизонтальный рас-
пар Х2, приложенный выше или ниже упругого центра. Соответствую-
щая эпюра изгибающих моментов показана на фиг. 240, а. Самый общий
- вид температурной эпюры моментов, отвечающий любому несимметрич-
ному нагреву, показан на фиг. 240, б, где замыкающая может занимать
любое положение.
§ 17.6. РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ, ОКАЗЫВАЕМОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ОПОР
Для примера рассмотрим следующий случай; пусть правая опора
переместилась по вертикали вниз на ai мм, по горизонтали вправо — на
а2 мм и, кроме того, повернулась по
(фиг. 241).
часовой стрелке на угол а3
От этих трех перемеще-
ний основная система полу-
чит по направлению неиз-
вестных Хь Х2, Х3 какие-то
перемещения Д1С, Д2с, Д3й
(фиг. 242). В действитель-
ной системе перемещения по
направлению этих неизвест-
ных равны нулю; поэтому,
используя опять все упроще-
ния, достигаемые примене-
нием упругого центра, получим
81Л1 + Ч=о; MG + a2c = o; ^ + ^=0.
Свободные члены этих уравнений определяются из простейших кине-
матических соотношений, а именно
Д1с = — а3; Д2С = а2 + (/ — с) Д3с = —а3. (22.6)
231
Здесь со знаком плюс написаны те перемещения, которые направлены
в сторону положительных Хь Х2, Х3.
Напомним, что величины А1Г, Д.>с, Д3с могут быть найдены также из
уравнения работ; например, приложив к основной системе силу Xi—1
(фиг. 243) и рассматривая обе половины арки как абсолютно жесткие,
можно написать:
1.д1с+1.а1_2.аз=о,
ИЛИ
и т. д.
Из канонических уравнений найдем
(23.6)
а затем построим окончательные эпюры
м^м^мл+м^
Q = Q iX j+Q2X2+ Q 3X3,
(24.6)
Каждая из эпюр М, Q, N получается (Путем суммирования трех основ-
ных эпюр, умноженных на соответствующую основную неизвестную.
В формулах (24.6) числители не зависят от жесткости арки, а знаме-
натели уменьшаются, когда жесткость увеличивается. Отсюда следует, что
при заданных перемещениях опор усилия в арке получаются тем боль-
шими, чем она жестче.
§ 18.6. ИСКУССТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В АРКЕ
В ПРОЦЕССЕ ЕЕ ВОЗВЕДЕНИЯ
□ Беснгарнирная арка, будучи трижды статически неопределимой,
может иметь независимо от внешней нагрузки начальные усилия. Причи-
ной их могут служить, например, перемещение опор, повышение или пони-
жение температуры, усадка бетона, а также искусственные факторы,
о которых будет сказано ниже. Количество всевозможных начальных
напряженных состояний данной арки бесконечно велико, но каково бы ни
было их происхождение, все они являются функциями трех независимых
переменных. Действительно, при отсутствии внешней нагрузки эпюры
выражаются формулами (24.6), где Хь Х2, Х3 — основные неизвестные.
232
Если ограничиться рассмотрением симметричных напряженных
состояний, то они определяются только двумя параметрами (при этом
*1 = 0).
Возбуждение начального напряженного состояния может быть
достигнуто различными способами.
Начиная с 20-х годов текущего столетия, в практике получил распро-
странение способ, позволивший значительно увеличить предельные про-
леты бетонных и железобетонных мостов. Сущность способа представ-
ляет собой как бы воплощение тех манипуляций, которые при расчете
моста по методу сил производятся в виде вычислений на бумаге. Бетонная
или железобетонная арка возводится на кружалах, причем бетонировка
ведется по направлению от обеих опор к ключевому шву. По окончании
бетонировки этот шов не заделывается. В нем устанавливают мощные
гидравлические домкраты, которые упираются в обе полуарки, передают
им горизонтальные силы и тем самым приподнимают их над кружалами
(раскружаливают).
В образовавшееся уширение шва
встав ля ется кл ин точно в ыверенн ой
фор мы, б л а год аря ко торому ар к а
остается в напряженном состоянии;
после этого домкраты убирают.
Таким способом уничтожаются ч -
растягивающие напряжения, вызывае- фиг 24t
мне усадкой бетона, выправляется кри-
вая давлений, вызванная постоянной
-нагрузкой, и устраняется смещение оси, играющее особенно вредную роль
в мостах больших пролетов.
Равнодействующая усилий Zj и Z2 (фиг. 244) представляет собой
не что иное, как распор Н арки, а сумма их моментов относительно цен-
тра тяжести ключевого сечения — изгибающий момент Мс в ключе арки.
Регулируя давления в домкратах (или в группах домкратов), т. е. изме-
няя величину и положение их равнодействующей, можно в известных гра-
ницах изменять величину Н и Мс и заставить их принять желательные
нам значения.
Например, если мы подберем силы Zj и Z2 настолько большими,
чтобы арка отделилась от кружал, и в то же время позаботимся, чтобы
их равнодействующая прошла через центр тяжести ключевого сечения,
мы тем самым обратим изгибающий момент в этом сечении в нуль. Если
мы, сохраняя нулевое значение момента в ключе, увеличим равнодей-
ствующую //, то в- пятах изгибающий момент получит положительное
приращение; если уменьшим, то получит отрицательное прираще-
ние и т. д.1.
Тот же эффект можно получить, если устроить временные три шар-
нира, как показано на фиг. 245, и заделать их после того, как свод будет
раскружален; таким способом можно заставить кривую давлений
от постоянной нагрузки пройти через заранее выбранные три точки оси.
Можно также устроить неполные шарниры (фиг. 246), т. е. такие, которые
1 Более подробно о способе регулирования напряжений и о расчетах, относящихся
к этим способам, см. в статьях: проф. П. В. Щусев, «Известия Московского Выс-
шего технического училища» № 1, 1929; проф. К- С. 3 а в р и е в, Расчет бесшарнириых
каменных мостов при условии раскружаливания их методом Фрейсине, «Известия
политехнического института Грузии», Тбилиси, 1929; доц. А. П. Филин, Регулиро-
вание напряжений в несимметричном своде при раскружаливании посредством гидрав-
лических домкратов, «Труды Хабаровского института инженеров железнодорожного^
транспорта», вып. 3, 1951.
233
замыкаются тогда, когда раскружаливание еще не вполне закончилось,
и на арку передалась только часть собственного веса.
При всех мероприятиях, имеющих целью создание в бетонных
и железобетонных конструкциях начального напряженного состояния, не-
обходимо помнить, что явления релаксации и ползучести могут со време-
нем значительно ослабить эффект таких мероприятий. Более точный рас-
чет арок принимает эти явления во внимание. □
§ 19.6. РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНОЙ АРКИ С УПРУГИМИ ОПОРАМИ
В изложенном выше расчете арки с абсолютно закрепленными кон-
цами заключается в неявном виде также расчет арки с упруго ‘закреплен-
ными пятами. Действительно, мы можем мысленно провести разрезы
через два произвольных сечения Л и В арки (фиг. 247) и, откинув крайние
участки, заменить их силами, приложенными в местах разреза (фиг. 248).
Тогда концы А и В оставшейся арки можно будет рассматривать как
упруго закрепленные.
На самом деле упругие опоры А и В могут иметь различное конструк-
тивное оформление, так как арка АВ может входить как элемент в состав
более сложной конструкции, например, рамы с криволинейным ригелем
(фиг. 249), или же опираться пятами на устои, которые в свою очередь
покоятся на упругом основании (фиг. 250).
Упругую податливость опор А и В можно охарактеризовать следую-
щим образом: нагрузим одну из них поочередно силами Z\ = 1, Z2 = h
Z3=l (фиг. 251) и обозначим перемещения опоры по направлению этих
сил соответственно через ап, а22, а35, а12, аг, а23.
Первые три перемещения всегда положительны; остальные три могут
иметь положительный или отрицательный знак, смотря по тому, совпа-
дет ли их направление с направлением этих единичных сил или нет.
Такими же характеристиками обладает опора В.
Поместим лишние неизвестные Х2, Х3 в новом упругом центре С'
(фиг. 252) и обозначим соответствующие им перемещения через 8>'р •
и т. д.
По условиям симметрии сразу же можно написать
^12 “ \з О-
Нужно подобрать положение точки С' так, чтобы получилось 8'3 —0.
Перемещение в тоЧке С' по направлению Х2> вызванное парами
Z3 = 1, складывается из трех частей. Если бы опоры А и В были непо-
движны, оно равнялось бы
2f^-.
1 EJ
От моментов Х3=1 опоры А и В поворачиваются на углы а33; от этой при-
чины появляется второе слагаемое, равное 2а33^д. Оно было бы положи-
тельным, если бы ордината уА была положительна, т. е. если бы точка Л
была расположена выше точки С'. На самом деле ордината у А отрица-
тельна. Третье слагаемое обусловлено горизонтальным перемещением
опор и равно по величине и знаку 2а23.
234
Фиг. 250
Фиг. 251
Итак:
С'
£7^23 = 2 J yds' + 2EJQa33yA 4- 2£70а23 = О,
д
или после сокращения на 2
С'
j yds' 4~ £/о азз У а + а23 = 0.
А
Тот же результат мы могли бы получить по формуле (13.3) § 10.3.
□ Левую часть полученного уравнения можно рассматривать как
суммарный статический момент относительно точки С' системы сил,
состоящей из горизонтальных сил ds', приложенных в центрах тяжести
элементов ds левой полуарки, из сосредоточенной горизонтальной силы
£/0*зз» приложенной в сечении А, и из пары снл с моментом EJ0 у.2з, при-
ложенной к той же полу-
арке в любом сечении.
Силы ds' и EJq а33 направ-
лены в сторону положи-
тельной неизвестной Х2,
т. е. влево; пары EJ0 а23
имеют положительный
момент, если а23 > 0, и
отрицательный, — если
Фиг. 252 а2з < 0- Положительный
момент по своему направ-
лению совпадает с моментом сил ds', приложенных выше точки С\ т. е.
на фиг. 253 он направлен против часовой стрелки. Нужно любым спо-
собом — аналитическим или графическим — найти положение равнодей-
ствующей этой системы сил. На пересечении равнодействующей с осью
симметрии арки и будет лежать искомый упругий центр С'.
На фиг. 253 показано графическое построение для нахождения этой
точки. Справа показан силовой многоугольник, а внизу — веревочный,
имеющий уступ, длина которого в соответствующем масштабе выражает
величину EJ0 а2з.
После того как упругий центр будет найден, система канонических
уравнений распадется на три самостоятельных простейших уравнения
&1Л + Д1Р“О’, ^22^2 ~ 0; ^33^3 + 0.
В дальнейшем мы будем обозначать буквами без верхнего значка
перемещения в том же сечении С', но при условии абсолютной неподвиж-
ности опор А и В. Тогда получим формулы
Z:'Joa;,= £-/(,3,, + 2£/Лз (4j“+ 2£/оаи;
в в в
EJfia =J + J cos2<p у- ds + J |ь sin2 <f ^pds 4
+ y\ + 2£Уок23 + 2£'/0a22;
EJ$& = EJ^w + 2£/0a33;
EJ^\P = EJ^p + £/0 (Mg - ) «33 -C +
+ Eh (RA ~~ an*>
236
= ^yMPds' — EJ0 (M?A + Afg) a33 yA +
A
+ £Л(^Д + #д) a21i
= ^Q^3P (^A ) а33 H~
+ £Jq (R^ + ) asi-
ЗдесьЖ^, Ж^, Rf^ Rp—-моменты и вертикальные давления, которые пере-
даются опорам А и В от внешней нагрузки, приложенной к основной
системе.
Силы R? и R% положительны, если направлены вниз, моменты Ж£
и MJ,— если в сечениях А и В арки растянуты внутренние волокна.
Все эти формулы получаются столь же просто из геометрического
рассмотрения влияния смещения опор А и В (см. § 10.3).
При аи=а22=ая:ч — 0 арка превращается в систему с абсолютно закре-
пленными пятами. При Л]г -х,„ = и, а33 = со она превращается в двух-
шарнирную арку без затяжки, при a1(=0, а22=^О, а33 — со — в двух-
шарнирную арку с затяжкой.
Поверка расчета арки с упругими опорами производится проще всего
следующим образом: вычисляется перемещение в- заданной статически
неопределимой арке по направлению одной из лишних неизвестных; оно
должно равняться нулю. Например, вычисляется
EJ0\3p =^MMsds' - EJ0(Ma+ Мв) a33 + EJ0 {RA + RB) a31 + 2EJJia.n,
где M — статически неопределимая эпюра моментов;
МА — ее ордината в. сечении Л.
Ординаты М и считаются положительными, если им отвечает
растянутое внутреннее волокно. □
237
§ 20.6. К ИСТОРИИ 'ТЕОРИИ АРОК
□ До XVIII столетия, несмотря иа широкое применение арок и
разнообразных сводов, не существовало теории их расчета. Римляне,
которые применяли каменные своды для перекрытий зданий, для устрой-
ства акведуков, imoctoib и т. д., обеспечивали своим сооружениям долго-
вечность. Это достигалось применением массивных конструкций и излиш-
ними запасами прочности, обусловленными отсутствием* расчета1.
Большого искусства достигло построение каменных мостов в древнем
Китае; свидетельством этого является сохранившийся до нашего времени
«Великий каменный мост» пролетом 37,5 м с миогоарочным надсводным
строением, сооруженный в провинции Хэбэй 1 300 лет тому назад2.
Разумеется, и здесь о научном расчете не могло быть и речи.
Значительно позднее, в конце средних веков, европейские строители
все еще имели неопределенное представление о характере работы арки
и об условиях ее -прочности и устойчивости. Леонардо да Винчи (1452 —
1519), характеризуя, вероятно, работу арки, писал: «Две слабости, опи-
раясь Друг иа Друга, рождают крепость. Так, половина мира, опираясь
на другую, делается устойчивой» 3. Примерно в таких же выражениях
писал об арке в XV столетии Альберти в своем трактате об архитектуре4.
Он считает, что конструкция двускатной крыши, т. е. наклонно опертые
друг на друга брусья явились источникам идеи применения криволиней-
ного бруса; следуя этой идее, стали опирать клинья друг на друга и полу-
чили арку. Его представления о прочности арки совершенно превратны,
а рассуждения, которыми он пытается их подкрепить, представляют
собой типичный пример схоластики. Казалось бы, вместо произвольных и
бессодержательных рассуждений, вроде того, что полуциркульная арка
является наиболее прочной из всех, достаточно было бы Альберти произ-
вести несколько опытов разрушения арок, и он мог бы воочию увидеть
механизм их разрушения.
Попытки объяснить теоретически работу арки стали появляться
лишь в самом конце XVII и в начале XVIII столетия. В 1678 г. Роберт Гук
высказал идею о том, что правильная форма арки представляет собой
перевернутую висячую цепь. В 1697 г. Грегори опубликовал теорию арои,
в которой высказал предположение о том, что линия давления должна
совпасть с внутренней гранью арки 5.
Вплоть до середины XIX столетия все расчеты исходили из той
точки зрения на работу, которая содержится еще в рассуждениях Аль-
берти, т. е. из представления об арке как о системе отдельных, -абсолютно
жестких, прижатых друг к другу и ничем не связанных клиньев. Много-
численные авторы подчиняли кривую давления дополнительным условиям,
заставляя ее проходить через определенные три точки, расположенные
в ключевом сечении и в двух промежуточных. Разные авторы, по разному
представляя себе процесс разрушения арки, задавались различными по-
ложениями этих трех точек.
Так, например, представляя себе, что в четверти пролета шов раскры-
вается сверху, задавали в этом сечении точку кривой давления -на ниж-
ней кромке. Как известно, тремя точками веревочный многоугольник, от-
вечающий заданной нагрузке, вполне определяется.
1 Данные о применении цилиндрических и других сводов в древнем Риме можно
найти в книге Шуази «Строительное искусство древних римлян», М. 1938.
2 «Народный Китай» № 24, 1952.
3 Леонардо да Винчи, Избранные произведения, т. I, М. 1935, стр. 137.
4 «Десять книг о зодчестве», М. 1935, стр. 96.
* Более подробные данные по истории вопроса, охватывающие период до XIX сто-
летия включительно, содержатся в статье проф. С. А. Бернштейна «Очерк истории рас-
чета свода» в сборнике «Исследования по теории сооружений», Госстройиздат, 1936.
238
В 1773 г. Кулой опубликовал труд, в котором наряду с другими выво-
дами даиа теория расчета арки, позволяющая наметить два предела,
между которыми находится истинная величина распора.
В последней четверти XVIII столетия значительный вклад в расчет
арок внес знаменитый русский механик И. П. Кулибин; о его проекте и
модели моста через р. Неву сказано в I ч. настоящего курса иа
стр. 190—191.
В начале XIX столетия ряд авторов произвел обширные опыты над
разрушением моделей арок.
В 1826 г. Навье опубликовал свой курс механики, где подошел к во-
просу с точки зрения прочности материала арки. Он был, повидимому,
первым, применившим к расчету арок механику упругих тел и показав-
шим, что для избежания раскрытия швов кривая давлений должна про-
ходить в любом сечении в пределах средней трети высоты последнего.
Первый расчет арки как деформируемого упругого бруса дал Бресс
в 1848 г.
Следующей работой, в которой выводы Бресса получили значитель-
ное развитие, была работа профессора Петербургского института инже-
неров путей сообщения Петра Ивановича Собко1 2 (1819—1870). В его ис-
следовании дан точный и приближенный расчет круговых и параболи-
ческих арок как упругих кривых стержней при действии равномерно рас-
пределенной и сосредоточенной нагрузки. Приближенная формула выве-
дена им для весьма пологих арок.
Цервый расчет арки методами теории упругости дал проф. X. С. Голо-
вин3 (1844—1904) в 1882 г. Он рассматривал <арку, ограниченную двумя
концентрическими круговыми цилиндрическими поверхностями. Решение
даио им для случая вертикальной нагрузки, почти равномерно распреде-
ленной по верхней поверхности. Он показал, что результаты точного реше-
ния расходятся с результатами обычного решения ие более чем иа 10—
12%. Работа проф. X. С. Головина сохранила до сих пор свое важное
принципиальное значение.
В начале XX ‘столетия были опубликованы глубокие иеследов1ания
проф. С. И. Белзецкого, посвященные аналитической теории рациональных
очертаний цилиндрических сводов и аркам равного сопротивления 3. Осо-
бенностью работ Белзецкого является то, что при разыскании рациональ-
ного очертания оси он учитывал не только внешнюю нагрузку, но и соб-
ственный вес арки, который сам является функцией ее очертания. В этих
работах были заложены начала многих дальнейших исследований различ-
ных авторов по вопросам подбора не только очертания арок, но и закона
изменения площадей и моментов инерции поперечных сечеиий по длине
арки. Полученные С. И. Белзецким теоретические выводы он применил
на практике, спроектировав и построив по своим формулам многие ароч-
ные мосты.
Начиная с этого времени и вплоть до наших дней, вопрос о расчете
арок всех видов и назначений, в особенности же о расчете мостовых арок,
не перестает привлекать к себе внимание и породил обширную литературу.
В СССР этими вопросами с успехом занимался ряд исследователей.
Их внимание также уделено в первую очередь мостовым аркам, а именно
1 Подполковник Собко, Устойчивость деревянных и металлических мостов ароч-
ной системы. Разбор системы Кулибина, «Журнал Главного управления путей сооб-
щения и публичных зданий», т. XVIII, 1853, стр. 77.
2Х. С. Головин, Одна из задач статики упругого тела, «Известия С.-Петер-
бургского Технологического института», 1882.
3 С. Белзецкий, Теория рациональных форм цилиндрических сводов, ч. I.
Владикавказ, 1903; Упругая линейна^ арка равного сопротивления для давлений, про-
изводимых иа внешнюю поверхность арки сыпучим массивом, Спб. 1904.
239
подбору рационального очертания оси двухшарнирной и бесшарнирной
арок, подбору сечений, искусственному регулированию напряжений при
помощи домкратов. Проф. К. С. Завриев в 1929 г. получил общие выводы
о подборе очертания оси симметричной бесшарнирной арки и о начальных
напряжениях при р1аскружалив1ании ее при помощи домкратов Глубокое
исследование посвятил тому же вопросу проф. В. И. Руднев (см. ссылку
на стр. 221), который показал, что при определении рациональной формы
оси следует исходить из условий равновесия элементарного клина арки,
а ие элемента гибкой нерастяжимой нити. Он ввел важные понятия о трех
различных характеристических кривых рационально очерченных арок:
1) кривой, удовлетворяющей условию, что вдоль нее М =? О, 2) кривой,
вдоль которой Q == 0, 3) кривой, вдоль которой М и Q отличны от нуля,
но малы по величине.
Обширные исследования проф. В. А. Киселева, посвященные рацио-
нальному очертанию оси трехшарнирных арок (см. ссылку на стр. 221),
развивают метод, который может быть с успехом применен и к аркам
двухшарнирным.
Влияние податливости опор на работу арок изучалось несколькими
авторами1 2. Формулы для л. в., относящихся к такой арке, вывел проф.
В. А. Киселев в цитируемой здесь статье.
Расчет арок со сквозным надарочным строением разработал проф.
Н. К- Снитко.
При расчете мостовых арок больших пролетов необходимо учитывать
влияние деформации арки (изменения ординат ее оси) на величину рас-
пора и изгибающих моментов.
Эта важная проблема давно привлекла к себе внимание ряда
исследователей. Точное решение задачи для арки произвольного очерта-
ния и с переменными сечениями оказалось очень трудным. Известны лишь
приближенные решения, да и те достаточно громоздкие.
Имеются интересные нерешенные вопросы, относящиеся к изысканию
арок, удовлетворяющих условиям прочности и устойчивости при мини-
мальном объеме. Характерно, что современные проблемы теории арок
относятся главным образом не к расчету заданных арок, а их синтезу,
т. е. к изысканию оптимальных форм. Эти задачи еще ждут своего
метода — общего, простого и удовлетворительного с точки зрения точ-
ности. □
1 Проф. К. С. Завриев, Расчет бесшарнириых мостовых сводов при условии
раскружаливаиня их способом Фрейссннэ, Тбилиси, 1929.
2 А. Смотров и В. Беляев, Расчет свода с учетом деформации основания
под фундаментом, 1931; проф. В. В. Григорьев, Неразрезиые арочные мосты я
виадуки, 1934; проф. В. А. Киселев, Линин влияния в арках с учетом податливости
основания, «Труды Московского института инженеров транспорта», вып. 55, 1939.
Глава 7
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
§ 1.7. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМАХ
Те фермы, которые применяются на практике, строго говоря, никогда
не бывают статически определимыми, потому что никогда не имеют иде-
альных шарнирных соединений в узлах. В дальнейшем речь будет идти,
однако, не о той статической неопределимости, которая создается жест-
костью узлов, а исключительно о статической неопределимости шарнирно-
стержневых расчетных схем.
Случаи статической неопределимости ферм весьма разнообразны.
На фиг. 254, 255 показано несколько примеров таких ферм. Одна из «них
(фиг. 254) имеет статически неопределимые опорные реакции; другая
(фиг. 255) —статически определима относительно опорных реакций, но
имеет статически неопределимую решетку.
Фиг. 255
Статически неопределимая ферма, как и всякая статически неопреде-
лимая система, может иметь начальные усилия, обусловленные неточ-
ностью оборки, неточностью нивелировки опор и температурой. С другой
стороны, требование статической определимости конструкции заставляет
устраивать шарниры, подвижные опоры, разрезать систему при помощи
специальных швов, и в итоге приводит иногда к усложнению конструкции.
С конструктивной точки зрения система с небольшим количеством лишних
16—И. М. Рабинович
241
неизвестных нередко оказывается ’более простой, чем статически опреде-
лимая.
Для пролетных строений железнодорожных мостов статически неопре-
делимая неразрезная двух-или трехпролетная балочная ферма целесооб-
разнее ряда разрезных ферм, так как обладает более плавной упругой
линией и поэтому не испытывает таких ударов., которые получаются при
переходе колес поезда с одной разрезной фермы на другую. По этой же
причине двухшарнирная арочная ферма целесообразнее трехшарнирной.
Как показали подсчеты, неразрезная ферма и в экономическом отношении
выгоднее ряда разрезных. В то же время статически неопределимая ферма
оказывается в целом более надежной, так как аварии отдельных ее эле-
ментов (лишних) не приводят » столь тяжелым последствиям, как разру-
шение элементов статически определимой фермы.
Однако вопрос о выборе той или иной схемы решается на основании
синтеза соображений' о прочности, безопасности и экономичности соору-
жения.
С чисто расчетной точки зрения особое значение имеет вопрос о коли-
честве лишних связей. С увеличением числа последних сложность расчета
быстро возрастает.
Если схема шарнирно-стержневой фермы задана, то количество лиш-
них связей определяется по формуле
Л-С+Со-2У, (1.7)
где Со — -количество опорных стержней;
С — количество стержней самой фермы;
У — количество узлов, связывающих стержни фермы друг с другом.
Если ферму можно разбить на отдельные диски, то результат полу-
чается быстрее по следующей формуле, вывод которой дан в § 2, гл. II
первой части настоящего курса:
Л^С^+ЪШ — ЗД, (2.7)
где Ш — приведенное число шарниров, связывающих диски друг с дру-
гом;
Д — количество дисков. При этом стержни также могут рассматри-
ваться как диски.
В значение Л, найденное по формуле (2.7), не входят те лишние
стержни, которые могут содержаться в самих дисках. При наличии таких
стержней число нх следует прибавить к правой части формулы.
§2.7. О ПОДБОРЕ СЕЧЕНИЙ
В абсолютно необходимых элементах статически неопределимой
фермы усилия определяются из уравнений статики независимо от вели-
чины сечений каких бы то ни было стержней, поэтому подбор сечений для
таких элементов по допускаемым напряжениям не встречает никаких
трудностей.
Во всех прочих стержнях усилия являются функциями сечений, сече-
ния же в хорошо спроектированной ферме должны в свою очередь воз-
можно лучше отвечать усилиям.
Для первоначального назначения размеров сечений прибегают к при-
ближенному, ориентировочному определению усилий. Для этой цели заме-
няют иногда статически неопределимую систему статически определимой,
т. е. выбрасывают те или иные стержни и строят л. в. для оставшихся
стержней; загрузив эти л. в. наиболее невыгодным образом, находят
242
наибольшие усилия, по которым и подбирают сечения. Что касается
выброшенных стержней, число которых обычно невелико по сравнению
с общим количеством стержней фермы, то их сечения берутся более или
менее произвольно. Однако такой способ нельзя считать рациональным.
Более целесообразный подбор сечений можно произвести в тех слу-
чаях, когда данная решетчатая система сопоставляется со сплошным
стержнем. Например, ферму, представленную на фит. 256, можно сопо-
ставить с неразрезной балкой постоянного или переменного сечения.
Пользуясь объемлющей эпюрой изгибающих моментов такой балки,
можно определить усилия в поясах: нужно приравнять моменты этих
усилий относительно соответствующих им моментных точек ординатам
этой эпюры. Усилия в раскосах можно аналогичным образом подобрать
по эпюрам поперечных сил неразрезной балки.
Точно так же можно для подбора сечений заменять арочные фермы
арками сплошного сечения, рассчитать последние как статически неопре-
делимые системы и затем воспользоваться найденными продольными
и поперечными силами и изгибающими моментами.
При расчете ферм с перекрестными раскосами (фиг. 255) можно при-
нять, что в любой панели усилия в обоих раскосах равны по величине
и обратны по знаку или что усилие в сжатом раскосе в определенное
число раз меньше усилия в растянутом и т. д.
Можно действовать также следующим образом: заменить заданную
ферму столькими различными статически определимыми фермами,
сколько в ней имеется лишних связей. Например, ферму, представленную
иа фиг. 256, содержащую две лишних неизвестных, заменить двумя фер-
мами, показанными на фиг. 257. Затем следует нагрузить каждую из этих
ферм заданной нагрузкой, определить усилия и для каждого стержня
взять среднее из найденных для него значений усилий. При этом не сле-
дует отбрасывать в качестве лишних опорные стержни.
16* 243
§ 3.7. РАСЧЕТ ФЕРМЫ С ОДНИМ ЛИШНИМ СТЕРЖНЕМ
При расчете фермы мы будем принимать, что -сечения всех стержней
заданы и нужно лишь найти усилия. Рассмотрим сначала такой расчет,
который не связан с построением л. в.
Пусть требуется рас-
считать ферму, представ-
ленную на фиг. 258, на
действие заданной внеш-
ней нагрузки. Примем, на-
пример, за основную неиз-
вестную распор A'i и со-
ставим каноническое урав-
нение
4“ Д1Р— О*
Для вычисления его коэф-
фициентов определим во
всех стержнях основной
системы усилия Np, выз-
ванные внешней нагруз-
кой, и усилия iVi, вызван-
ные силой Xi = 1. Эта операция может быть произведена либо аналитиче-
ски, либо при помощи построения диаграммы усилий. После этого вычис-
лим
\N^Pl
где I — длина каждого стержня, и, наконец:
Д1Р
(37)
Окончательные значения усилий в любом стержне выразятся формулой
Вычисления целесообразно расположить <в форме табл. 10.
Таблица 10
№ стержня 7" | " 1 np ..2 1
1 2 j •
i j 1 и ip !
При расчете фермы на заданное температурное воздействие канони-
ческое уравнение принимает вид
WG + ^ = 0.
Здесь
где а — коэффициент линейного расширения;
t — изменение температуры стержня по сравнению с начальной.
244
В том случае, когда все стержни нагреты одинаково, формула темпе-
ратурного перемещения переходит в
Ди = а^/.
Найдя перемещение Д1Л можно определить неизвестную:
X Eh'< - Ea^N'tl
1 «н ‘
Усилие в любом стержне i выразится формулой
Рассмотрим еще расчет фермы, в которой один из условно необходи-
мых стержней имеет длину, отличающуюся от требуемой на некоторую
малую величину а. Для большей наглядности рассуждений представим
себе, что на фиг. 258 стержень АВ длиннее, чем это требуется по конфи-
гурации фермы, на величину а. Расчет фермы при этом вполне можно
уподобить расчету на действие температуры: следует принять для стер-
жня Л В температурное удлинение а, а для всех прочих стерж-
ней — удлинение ail = 0. В соответствии с этим получится
^aN^,
где — усилие в стержне АВ, вызванное силой Х]~1.
Можно написать каноническое уравнение также в виде
впх1 + д1я-о,
где Д1я — перемещение по направлению силы вызываемое в основной
системе удлинением а.
Это перемещение можно найти, как мы уже делали раньше, при
помощи плана скоростей, но проще оно определяется на основании прин-
ципа взаимности по формуле (19.3) § 15.3. В итоге получается, конечно,
то же самое значение перемещения.
Если бы неточность монтажа выразилась в неточности расстановки
опор С и D, например, в том, что расстояние между ними превышает тре-
буемое на некоторую величину а, то это означало бы, что точка D отошла
от точки С на такое расстояние вправо. В таком случае мы имели бы
Д]й = —£2.
Перемещение это происходит под действием силы Х\, следовательно:
= Д1л = а>
откуда
§ 4.7. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
(ПРОГИБОВ) ДЛЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ
Прежде чем построить линию прогибов фермы, вызванную какой-либо
нагрузкой, необходимо найти усилия во всех ее стержнях. После того как
это сделано, можно приступить к требуемому построению; оно не зависит
от числа лишних стержней и производится одинаково как для статически
определимой, так и для статически неопределимой фермы.
Чисто графический способ построения линии прогибов, основанный
на диаграмме перемещения узлов, изложен в первой части (гл. 13, § 6).
Усовершенствование этого способа изложено в следующем параграфе.
245
Аналитический способ основан на применении общей формулы пере-
мещений. Построение линии прогибов для узлов фермы почти полностью
совпадает с решением аналогичной задачи для узлов ломаного стержня,
изложенным в § 16.3.
Будем искать углы взаимного поворота стержней шарнирной цепи.
Пусть требуется найти угол взаимного поворота двух стержней, соеди-
няющих узлы и— 1, пи n + 1 (фиг. 259). Для этой цели приложим
к узлам п— 1, п, п ф- 1 основной статически определимой фермы, обра-
зованной из данной статически неопределимой, уравновешенную группу
вертикальных сил
1 1
^л + 1 ’ *714-1
I 1
X 1 X
п п
(4.7)
---Лл
Я ,7* 7--
Фиг. 259
и найдем вызываемые этой нагрузкой усилия М . Так как нагрузка урав-
новешенная, то усилия М возникнут только в небольшой геометрически
неизменяемой части фермы.
Угол поворота выразится формулой
Е F
Где N — усилия От заданной нагрузки.
Аналогичные уравновешенные нагруз-
ки нуж'ио приложить к каждому из узлов
рассматриваемой шарнирной цепи и за-
тем по формуле (4.7) вычислять соответ-
ствующий угол поворота.
Построение многоугольника верти-
кальных перемещений при помощи най-
денных уголов полностью совпадает с
построением, изложенным в § 16.3.
□ Линия прогибов фермы, очевидно,
является вполне определенной, если из-
вестны продольные деформации всех стержней. Поэтому формулу (4.7)
•можно преобразовать так, что она будет годиться даже в том. случае,
когда напряжения некоторых стержней выходят за предел упругости.
Достаточно подставить вместо множителя -‘-выражение Z, где i— найден-
EF
ное тем или иным способом относительное удлинение или укорочение
стержня, вызванное заданной нагрузкой. Формула, справедливая как для
упругих, так и для неупругих деформаций, имеет вид:
(5.7) □
§ 5.7. УПРОЩЕНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНИКА
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ УЗЛОВ
В гл. 13 первой части курса изложено обычное графическое построе-
ние диаграммы перемещений узлов. Оно состоит из двух этапов, причем
второй требует построения фигуры, подобной ферме и повернутой относи-
тельно нее на 90°. Второй этап был указан Мором в 1887 г. и с тех пор
излагается 'без изменения во всех курсах строительной механики на всех
языках. Однако, как мы сейчас увидим, он может быть заменен проведе-
нием одной прямой.
На фиг. 260, а показана схема фермы; на фиг. 260,6 — диаграмма
полных перемещений узлов, построенная при полюсе О в предположении,
что стержень GF остается неповернутымда его левый конец F — иеподви-
216
жен. На фиг. 260, в построен многоугольник вертикальных перемещений
узлов. Его замыкающая ае проводится так, чтобы удовлетворить условиям
на опорах.
Если бы мы измеряли вертикальные перемещения от горизонтали
ан, то получили бы прогибы, отвечающие ферме, у которой точка А непо-
движна, а стержень GF остается недовернутым.
Обратим внимание и а угол а, образуемый этой замыкающей с гори-
зонталью. Если бы перемеще-
ния и сама ферма были по-
строены в натуральную (величи-
ну, то угол а был бы тем углом,
на который нужно повернуть
ферму, чтобы уничтожить вер-
тикальное перемещение пе точ-
ки Е относительно А. При про-
извольных масштабах тангенс
угла а пропорционален танген-
су названного угла. Очевидно,
он не зависит от того, интере-
суемся ли мы вертикальной или
какой-нибудь другой проекцией
перемещений.
Легко понять, что угол
между замыкающей много-
угольника перемещений и на-
правлением последних есть ин-
вариант для перемещений любого направления.
На фиг. 260, г построен многоугольник горизонтальных перемещений
узлов. Его замыкающая ап' образует с вертикалью ап тот же угол я.
Отрезок пп' выражает собой горизонтальное перемещение точки С, кото-
рое возникло бы от поворота фермы вокруг узла А на угол а*.
§ 6.7. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ ФЕРМЫ С ОДНИМ
ЛИШНИМ СТЕРЖНЕМ
Для примера рассмотрим двухпролетную балочную мостовую ферму,
представленную на фиг. 261, а. За лишнюю неизвестную примем реак-
цию средней опоры (фиг. 261,6). Линия влияния этой реакции должна
удовлетворять каноническому уравнению
^ii^i 4" 81р=0,
откуда
у __ Й1Р __ ЙР1
“ Sn ’
Но 8pi представляет собой не что иное, как линию прогибов нижнего
пояса, вызванную действием неподвижной и постоянной силы Xi — 1. Все
дело сводится к построению этой линии, имеющей вид многоугольника
с вершинами под узлами нижнего пояса.
Для построения этой линии можно предложить один из приемов, ука-
занных в предыдущем параграфе.
В данном примере, учитывая условия симметрии, можно упростить
построение, ограничив его одной половиной фермы. Получив линию про-
гибов на чертеже, примем среднюю ординату равной единице; тогда кри-
* Более подробное изложение см. в статье автора в сборнике «Исследования по
теории сооружений», вып. VI, Стройиздат, 1954.
247
вая будет выражать собой л. в. реакции Ль Она представлена
на фиг. 261, в.
Имея л. в. основной неизвестной Ль нетрудно получить л. в. усилия
для любого стержня: достаточно построить для него формулу
ДГ = 4-
т. е. сложить статически определимую л. в. Nр с л. в. помноженной на
постоянное число Afj. На фиг. 261, г, д, ej показаны построенные таким
способом л. в. RA, O3r D3. Для упрощения графического построения
можно поступить так: для различных л. в. брать разный масштаб так,
чтобы линия TViXi получалась у них одной и той же. Затем пристраивать
к этой ломаной линии л. в. Np таким образом, чтобы обе л. в, пересека-
лись между собой под средней опорой, т. е. чтобы суммарная ордината
под этой опорой обратилась в нуль. После этого остается поставить на
248
крайней опорной ординате надписи, относящиеся к л. в. как показано
на упомянутых фигурах, и масштаб получится сам собой.
§ 7.7. РАСЧЕТ ФЕРМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ЛИШНИМИ СТЕРЖНЯМИ
В этом случае для определения неизвестных приходится решать
систему совместных канонических уравнений. Например, для фермы
с двумя лишними стержнями система уравнений
+ ^12^2 + Д1р — 0;
^21-^1 4- &22^2 4“ ^2Р = 0
приводит к решению
’ * ~'622 Д1Р + Д2р = £цД1Р + Д2р;
°11°22 — 612 °11822 — 812
й ?Й21 й2 Д1Р— » 7Г Д2Р=С21Д1р4-С22А2Р*
6Иб22 — 812 611 b2S — б12
Дробные коэффициенты, обоз каченные для краткости через Си, Ci2r С21,
С22, представляют собой постоянные числа, не зависящие от внешней
нагрузки; прн этом С12 = С21,
В том случае, когда требуется построить л. в. основных неизвестных
Л\, Х2> свободные члены APi и ДР2 превращаются в линии прогибов,
вызываемых действием сил %i=M и Х2— 1, и могут быть обозначены через
^pi и Линия влияния ‘получается сложением двух л. в.: л. в.Зрь
умноженной на Си, и л. в. оР2, умноженной на С\2. Аналогичным обра-
зом получается л. в. Х2.
Линия влияния усилия в любом стержне фермы получается сумми-
рованием трех л. в.:
N=Xp TV j JV jTVa
где —л. в. в статически определимой основной системе, а Х\ и Х2
служат множителями при л. в. Х^ и Х2.
Тот же способ применяется и при большем количестве лишних
стержней.
Чем больше лишних стержней содержит ферма, тем более важное
значение для упрощения всех вычислений и построений имеет удачный
выбор основной системы.
Рассмотрим для примера восьмипанельную ферму с параллельными
поясами и перекрестными раскосами (фиг. 262, а). Она содержит 8 лиш-
них стержней. На фиг. 262, б представлена основная система, образован-
ная на треугольнике abc путем последовательного присоединения к нему
диад. Нетрудно заметить, что сила Xi, вызывая взаимное сближение или
удаление узлов с и dt неизбежно вызовет перемещение по направлению
всех лишних неизвестных. То же самое можно сказать о X2j Х2 и т. д.
Следовательно, ни одно из побочных перемещений bik не будет равно
нулю; в таком случае каждое из канонических уравнений будет содер-
жать все 8 неизвестных. Такой выбор основной системы следует признать
неудачным.
На фиг. 262, виг показаны два других пари анта основной системы.
Здесь каждая панель представляет собой геометрически неизменяемую
фигуру. Каждая нз неизвестных Хь Х2,..., Х8, представляя собой
уравновешенную группу двух сил, вызывает усилия только в одной
панели. Так как любая стойка входит в состав двух смежных панелей,
249
то сила Xi вызовет перемещение только по направлениям и Ха, сила
Х2 — только по направлениям Х2 и и т. д. Иначе говоря, каждая
сила, кроме двух крайних, вызовет по три перемещения, а две крайние —
по два перемещения,
В этом можно также убедиться, вычислив перемещения по формулам
и заметив, что усилия Nt отличны от нуля только ib пределах i-й панели,
а усилия Nk — только в пределах k-и панели, поэтому перемещение S
отлично от нуля только тогда, когда числа i и k являются номерами двух
смежных панелей.
Система канонических уравнений, отвечающих фиг. 262, виг, буд«т
иметь вид
4“ ^12-^2 4~ == 0;
^21^1 4“ ^22^2 + °23^3 4“ ^2Р =
^32^2 4" О33^3 4~ ^34^4 ”Ь Азр = 0,’
’ &87^7 + ^88^8 4“ ^ЗР-0.
Эти трехчленные уравнения решаются сравнительно просто. Они анало-
гичны уравнениям трех моментов неразрезной балки, и поэтому к ним
полностью можно приложить метод фокусных отношений. Разумеется,
250
каждое такое отношение будет иметь в данном случае другой смысл, чем
в расчете неразрезной балки.
Если сечения стержней во всех панелях будут одинаковы, то задача
еще упростится, так как три этом получится:
°и — 6,2 = ... == 388; о12 = З23 = З34 ==... = В78,
т. е. в уравнениях будут фигурировать только два различных коэффи-
циента.
Для симметричной арочной фермы с тремя лишними стержнями
(фиг. 263, а) можно выбрать основные неизвестные так, как показано
на фиг. 263, б: силы — обратно симметричны, а силы Х2 и Х5 — симме-
тричны. Благодаря этому получается
Существует более общий прием, который дает существенные упроще-
ния при расчете любых статически неопределимых систем и имеет осо-
бенно важное значение для расчета системы с большим числом неизвест-
ных. Он называется «группировкой неизвестных». Основы этого приема
изложены в гл. 9.
§ 8. 7. ПОВЕРКА РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ
В процессе вычисления коэффициентов канонических уравнений,
затем в процессе решения этих уравнений и, наконец, при вычислении уси-
лий во всех стержнях, которое производится при помощи найденных
лишних неизвестных, могут вкрасться те или иные ошибки. Поэтому
рекомендуется во всех случаях произвести поверку окончательных резуль-
татов; это нужно сделать и в том случае, когда промежуточные вычисле-
ния уже подвергались поверке.
Первая поверка производится совершенно таким же способом, как
в случае расчета статически определимой фермы: поверяется равновесие
системы. С этой целью вырезают узлы или отсекают те или иные части
фермы и проверяют, удовлетворяются ли по отношению к ним уравнения
статики.
Вторая поверка производится после того, как первая дала удовле-
творительные результаты; она заключается в поверке (неразрывности
деформаций, т. е. в выяснении того, обращаются ли в нуль те или иные
251
перемещения, о которых заведомо известно, что они должны равняться
нулю.
Пусть, например, найдены усилия М во всех стержнях статически
неопределимой фермы, 'показанной на фиг. 258. Убедимся в- том, что гори-
зонтальное перемещение точки D равно нулю. Усилия в основной системе
от горизонтальной силы йи—1, приложенной в этой точке, известны; они
обозначены через Ni. Искомое перемещение выражается формулой
А- v ум/
При помощи колонки усилий У и колонки У1 (табл. 10) можно вы-
числить правую часть этой формулы; если расчет произведен правильно,
перемещение должно оказаться равным нулю.
Если система имеет несколько лишних неизвестных Х2,..., то
должны равняться нулю выражения
V NN2l V awsz
J-l ’ Ла EF ’ ' * •
Можно проверять перемещения не только ло направлению тех связей,
которые при расчете были приняты за лишние, но и по направлению
любой другой связи. Например, можно разрезать любой стержень фермы
и выяснять, остается ли взаимное перемещение обоих сечений в разрезе
равным нулю.
§ 9.7. О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
□ Рассмотрим здесь те свойства ферм, которые позволяют разо-
браться в следующем ва>жном (вопросе: <в какой мере -статически неопре-
делимая ферма допускает рациональный подбор сечений, обеспечивающий
желательное распределение напряжений между отдельными стержнями
и минимальную затрату материала на ферму в целом.
а) Мы с самого же начала сузим свою тему, а именно ограничим
ее расчетом фермы на постоянную нагрузку. Допустим, что геометриче-
ская схема фермы, длины всех ее стержней, внешняя нагрузка и допу-
скаемое напряжение каждого стержня заданы. В общем случае допускае-
мые напряжения могут быть различными для различных стержней. Напри-
мер, как правило, для сжатых стержней они всегда меньше, чем для
растянутых. Если удастся подобрать сечения так, чтобы в каждом стер-
жне получилось как раз то самое напряжение, которое является для него
допускаемым, то такую ферму мы будем называть рациональной фермой.
Статически определимая фер-ма всегда может быть сделана рацио-
нальной, так как в ней по найденным усилиям и по заданным напряже-
ниям всегда можно подобрать сечения. Докажем, что в противополож-
ность такой системе статически неопределимая ферма допускает решения
этой задачи лишь в виде исключения, в отдельных частных случаях,
в общем же случае такая задача неразрешима.
Выделим из данной фермы статически определимую основную
систему и представим себе, что нам удалось получить во всех ее стерж-
нях напряжения, равные заранее заданным значениям. Каждому напря-
жению о соответствует определенное относительное удлинение -|-
стержня, а относительными удлинениями всех необходимых стержней
целиком определяется взаимное перемещение всех узлов фермы. Следо-
вательно, относительные удлинения лишних стержней уже не 1могут быть
заданы произвольно; они целиком определяются деформацией основной
252
фигуры. Тем самым определяются также их напряжения. Никаким под-
бором сечений стержней нельзя преодолеть этого факта, вытекающего
из геометрической сущности явления, и «навязать» лишним стержням
желательные для нас, заранее заданные 1наиряжен|ия. В этом отношении
статически неопределимая ферма всегда уступает статически опре-
делимой.
Это обстоятельство кладет известный предел поискам рациональной
статически неопределимой фермы; оно указывает, что возможно и что
невозможно. Наивысшее возможное достижение в этом направлении
состоит ib том, чтобы добиться рациональных площадей сечения во всех
стержнях выбранной основной, статически определимой системы, прими-
рившись с тем, что в лишних стержнях напряжения будут ниже допу-
скаемых.
Изложенная здесь теорема была высказана Левн в 1873 г. и развита
проф. В. Л. Кирпичевым в 1902 г.*. •
б) При проверочном расчете статически неопределимой фермы часто
оказывается, что в том илн ином стержне напряжение превышает допу-
скаемое. В этих случаях увеличивают сечение перенапряженных стержней
и уменьшают сечение недонапряженных.
Интересно выяснить в общем виде, что
может быть достигнуто изменением сече-
ния условно необходимого стержня (изме-
нение сечения абсолютно необходимого
стержня совершенно не отражается на
остальных стержнях и поэтому не требует
изучения).
Перережем один из лишних стерж-
ней фермы. Обозначим его длину, пло-
щадь сечения и усилие через /z, В} и X.
(фиг. 264). Если заданная 'ферма имела п
лишних стержней, то, перерезав этот стер-
жень и заменив его силами Xif мы по-
лучим ферму с п — 1 лишними стержня-
ми. Для определения усилия Xt можем
уравнение:
написать одно каноническое
+ a&_,)=o,
где значок (п—1) указывает на то, что перемещения относятся к системе
с п—1 лишними стержнями. Отсюда найдем
-
(6.7)
Перемещение Д& очевидно, не зависит от площади сечения стержня
АВ. Что касается перемещения т. е. взаимного сближения или
удаления точек приложения сил Xi =1, то оно может быть представлено
в виде суммы двух перемещений; взаимного перемещения узлов Л и В
фермы и удлинения или укорочения самого стержня ЛВ, т. е. в виде
* «Лишние неизвестные в строительной механике», см. В. Л. Кирппчев, Собра-
ние сочинений, т. I, 1917, стр. 501.
253
Поэтому
(6'7)
Перемещение как известно, всегда положительно. Оно оста-
нется положительным и при со, следовательно, С;>0.
При Ft ~ 0 получается Х~0. При постепенном увеличении сечения
Ft усилие Xt сначала возрастаетпочти пропорционально величине Fit
но затем в своем росте начинает отставать от возрастания сечения и ста-
новится почти постоянным. Когда Fi стремится к бесконечности, то уси-
лие X; асимптотически стремится к конечному пределу, который равен
Cl ’
т. е. равен тому усилию, которое возникло бы при условии абсолютной
жесткости стержня АВ. Отсюда видно, что увеличение сечения лишнего
стержня имеет свои границы, за которыми расход материала становится
бесполезным.
Еще резче этот факт выявляется при изучении напряжения в лишнем
стержне. Оно выражается формулой
Xf _ ^пр-У
F‘ CiPi + 4-
(77)
При очень больших значениях сечения Ft напряжение а, изменяется
почти обратно пропорционально величине Fz: наоборот, при малых зна-
чениях F; напряжение почти не зависит от этого параметра. Харак-
терно, что при Ft=0 получается а именно
Иначе говоря, бесконечно тонкий стержень АВ, хотя и будет воспри-
нимать бесконечно малое усилие Xh будет все же испытывать конечное
напряжение, обусловленное конечным изменением расстояния между
узлами А и В,
в) Из формулы (6'7) видно, что никаким изменением сечения
стержня АВ невозможно добиться изменения знака усилия в том же
стержне.
Изменяя площадь сечения какого-нибудь стержня, мы тем самым
изменяем усилие и напряжение ие только в том же самом стержне, но и в
других стержнях. Обозначим снова тот стержень, в котором мы изменяем
сечение, индексом L Так как действие его на ферму может быть заменено
действием двух равно противоположных сил Xit приложенных по его
концам, то варьирование сечения F/ отражается на ферме лишь одним
способом: изменяется величина этих сил Итак, для фермы в целом
изменение сечения стержня i эквивалентно добавлению двух равно, про-
тивоположных сил ДА',-, приложенных к соответствующим двум узлам.
Очевидно, что в одних стержнях фермы эта дополнительная нагрузка
вызывает дополнительное растягивающее усилие, а в других — сжимаю-
щее. При этом суммарное усилие в каком-нибудь стержне может изме-
нить не только свою величину, но и знак.
254
Из сказанного ясно, что то перераспределение усилий во всех стерж-
нях фермы, которое вызывается изменением площади Ft стержня /, может
быть достигнуто также изменением температуры этого стержня или же
заменой его стержнем, имеющим несколько' большую или меньшую длину.
Короче, изменение площади сечения одного стержня создает во всех
стержнях фермы такое дополнительное напряженное состояние, которое
могло бы быть вызвано также начальным напряжением этого стержня.
г) Продифференцировав формулу (6'.7) по Fb получим*
dXj
dFt =
ь_ k у
EF] ~ (CtEFi + Id Fi
(8-7)
откуда следует, что приращение усилия X. при заданном изменении пло-
щади Fj зависит не только от величины F{, но также от величины усилия
изменение площади сечения сильно работающего стержня вызывает
большое изменение усилия в самом стержне, а следовательно, и во всех
прочих стержнях; наоборот, изменение сечения слабо работающего стер-
жня слабо отражается на напряженном состоянии фермы.
Какие стержни наиболее чувствительны к изменению площади сече-
ния стержня z? Возьмем какой-нибудь стержень k и обозначим усилие
в нем через
= + (9.7)
где Л*—то усилие, которое получилось бы от заданной нагрузки, если
бы мы удалили стержень Z;
— усилие в стержне k от действия сил ^=1; верхний индекс
(—Z) имеет своей целью напомнить, что это усилие получается
в системе, в которой стержень i отсутствует.
Из формулы (9.7) следует, что
дХь __у
dXt *
Пользуясь формулами
(8.7) и (9'.7), можно написать
&xk „ дХ& dXt — lt X^Xt
dFt ~^dXt ’ dFi (CtEFt+ldFi
(9\7)
(10.7)
откуда видно, что интересующее нас влияние пропорционально величине
Х^- Следовательно, чем большую величину имеет то усилие, которое воз-
никает в каком-нибудь стержне k от действия силы Xz=l, тем этот стер-
жень чувствительнее к изменению площади сечения стержня L
Зависимость между усилиями и площадями сечений, указанная здесь,
должна быть учтена при подборе сечений фермы. Как мы уже знаем, пер-
воначально намеченные сечения приходится пересматривать и исправлять.
Прежде чем сделать это, нужно попытаться сообразить, в каких именно
стержнях наиболее целесообразно будет менять сечения и каков может
быть хотя бы примерно ожидаемый эффект. Приведенные выше фор-
мулы, хотя и являются несколько сложными, могут помочь ориентиро-
ваться в этом вопросе.
Теория, которая могла бы быть признана достаточно совершенной,
пока отсутствует1.
1 Более детальное теоретическое исследование этих вопросов см. в книге автора
«К теории статически неопределимых ферм», Трансжелдориздат, 1933.
255
д) Растягивающие н сжимающие усилия во всякой статически
неопределимой и статически определимой балочной ферме, вызываемые
вертикальной внешней нагрузкой, обладают следующим свойством:
выражение SM, т. е. сумма произведений из усилий в стержнях на длины
последних, оказывается положительным, равным нулю илн отрицатель-
ным в зависимости от того, приложена ли нагрузка ниже прямой, соеди-
няющей опорные точки, на уровне ее или выше. Теорема доказывается
путем приравнивания нулю суммы работ внешних и внутренних сил на
перемещении, отвечающем равномерному нагреву или охлаждению всей
фермы. Доказательство впервые дано Лукиным 1, затем проф. А. А. Уман-
ским и проф. Б. Н. Горбуновым2. □
§ 10.7. РАСЧЕТ ФЕРМ МЕТОДОМ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
□ Пусть ферма имеет п лишних стержней и должна нести только
одну, определенную и неподвижную нагрузку. Выберем тем или иным спо-
собом лишние стержни, а остальные будем называть основными. Расчет
можно произвести таким образом, что:
1) во всех основных стержнях напряжения будут иметь величины,
заданные заранее;
2) для определения всех неизвестных не придется решать никаких
совместных уравнений, а каждое неизвестное определится самостоятельно
из отдельного уравнения.
Обозначим заданные напряжения, которые могут быть различными
для разных стержней, через Растягивающие напряжения будем
считать положительными, а сжимающие — отрицательными. Усилия
в произвольном стержне k обозначим следующим образом: через Nh —
суммарное усилие, возникающее от заданной внешней нагрузки и лишних
неизвестных; через /VA1 — усилие в основной статически определимой
системе от действия силы Xi=l; через N — усилие в том же стержне
от действия Х2=1 и т. д.; наконец, через — усилие от внешней
нагрузки.
Напишем одно из канонических уравнений метода сил; например,
напишем, что в основной системе (сперерезанными лишними стержнями),
которая нагружена внешней нагрузкой и усилиями Xh X2f...,Xf ,..Хп
лишних стержней, перемещение по направлению равно нулю. Поль-
зуясь указанными выше обозначениями и применяя общую формулу
перемещений, мы можем написать это уравнение в более компактной
форме, чем обычно, а именно в следующей:
^i'NkEF^ °0' (П.7)
В состав основной системы входят все стержни фермы как основ-
ные, так и лишние, с той только разницей, что последние входят в разре-
занном виде. Когда на основную систему действует сила Xj=l, то в самом
стержне 1 возникает усилие — 1, во всех же остальных лишних стерж-
нях получается — 0. Поэтому в состав написанного уравнения вхо-
дит только один из лишних стержней — стержень 1. Выделив его в фор-
муле (11.7) из-под знака суммы и заметив, что для него Nk =Л"[, а для
1 Lukin, Zeitschr. f. angew. Math u Mechanik, 1929, стр. 335.
2 Проф. А. А. Уманский и проф. Б. H. Горбунов, О зависимости между
нагрузкой, усилиями н геометрическими элементами в стержневых системах, сборник
«Рамы и фермы пространственные и плоские», Стройиздат, 1933.
256
остальных стержней = ой, где ай —заданное напряжение, получим
после умножения на Е
Второй член всегда положителен, таи как ои выражает собой взаимное
перемещение сечений лишнего стержня 1 в разрезе, вызванное силой
а оно всегда направлено в ту же сторону, что и
Аналогичным образом можно написать уравнения для всех осталь-
ных лишних стержней. Следовательно, система канонических уравнений
примет простой вид:
2з^^ + 4г=0:
23Л»Л + ^ = 0;
(12.7)
23<.№^ + ^ = °-
Под знаком J в каждом уравнении стоят только основные стержни.
Уравнения эти замечательны тем., что каждое из них решается от-
дельно от других; одна из трудных проблем расчета статически неопре-
делимых систем—проблема расчленения системы канонических уравне-
ний на отдельные, независимые уравнения — здесь полностью решена.
В каждом ш уравнений (12.7) имеется только одна неизвестная, а именно
Х-
отношение , т. е. напряжение в одном из лишних стержней. Такой
хороший результат объясняется тем, что деформация фермы целиком
определяется заданными напряжениями всех основных стержней. Взаим-
ное сближение или расхождение концов любого лишнего стержня при
этих условиях не зависит явно ни от одного из лишних усилий, а следо-
вательно, и напряжение © лишнем стержне не зависит от нмьх.
Из уравнений (12.7) получаются вполне определенные значения
напряжений Тем самым еще раз подчеркивается, что величина этих
напряжений от нас не зависит, и задаваться ими нельзя. Но остается еще
возможность выбирать по собственному усмотрению либо усилие Xit
либо площадь F.. Имея напряжение и усилие, мы сейчас же найдем
площадь или, имея напряжение и площадь, ивйдем усилие.
Рассмотрим ход расчета.
1) Зададимся по величине и по знаку усилиями Xi, X2,..., Хпво всех
лишних стержнях.
При этом следует избегать назначения таких величин и знаков, кото-
рые по характеру работы фермы представляются мало вероятными или
невозможными.
2) Определим для всех основных стержней усилия N*o, возникающие
в статически определимой основной системе от внешней нагрузки; усилия
№, Nkn —от действия сил ^=1; Х2=1;...; Хп~1; суммар-
ные усилия Xk, вычисляемые по формуле
= №о + ВД + ВД +... + NknXn.
(13.7)
3) Зададимся напряжениями всех основных стержней. Проще
всего— задать два напряжения; одно для растянутых, а другое для сжа-
17-41. М. Рабинович
257
тых стержней. Не исключается также возможность задавать для различ-
ных сжатых стержней различные напряжения в соответствии с различной
их гибкостью.
4) Определим из уравнений (12.7) площади сечений всех лишних
стержней.
5) Если все эти площади окажутся положительными, а для этого
нужно, чтобы выражения У, во всех уравнениях (12.7) оказались
отрицательными, то по заданным усилиям Х$,..., Хп и найден-
ным площадям вычислим напряжения а2,..., во всех лишних
стержнях.
Если площадь какого-нибудь лишнего стержня I получится отрица-
тельной, то это покажет, что решение не годится, т. е. что действительная
деформация стержня i противоречит тому направлению сил Xh которым
мы задались. Например, стержень i в действительности сжат, в то время
как мы задались для него таким направлением сил Хь которое отвечает
растяжению; следовательно, полученное распределение усилий противо-
речит тем предпосылкам, из которых оно выведено. В таком случае
не остается ничего другого, как изменить направление усилий Xt для
одного или нескольких лишних стержней, вычислив снова суммарные
усилия и определить новые значения площадей. Работа эта несложна
и не требует большой затраты времени.
Однако не исключается и такой случай, когда после изменения
направления Xt на обратное и какого угодно изменения величины этого
усилия площадь опять получится отрицательной. Это покажет, что в дан-
ной статически неопределимой ферме при действии данной нагрузки
принятое распределение напряжений в основных стержнях неосуще-
ствимо. Приходится) либо изменить основную систему, либо изменить
напряжение в том или ином основном стержне Ч
В связи с этим встает глубокий и интересный вопрос о том, какова
область возможных абсолютных величин и знаков усилий в лишних
стержнях. Иначе говоря, в каких границах располагаются эти усилия
в заданной ферме при заданной внешней нагрузке, если площади сечения
основных стержней изменяются как угодно. До тех пор пока этот вопрос
не будет решен в общем виде, случаи неудачного задания и связанных
с ними пересчетов не исключаются 1 2.
6) Если полученные из уравнений (12.7) для лишних стержней на-
пряжения не превышают допускаемых, то остается по заданным напря-
жениям и полученным усилиям. основных стержней вычислить
площади их сечений.
Если напряжения лишних стержней превышают допускаемые, то
нужно произвести перерасчет.
Мы изложили здесь аналитический ход расчета. Та же задача легко
решается графически. Задавшись напряжениями з/г основных стержней,
сейчас же определяем их удлинения нли укорочения^--, после чего
строим первую часть диаграммы перемещений. Она дает нам непосред-
ственно величину и знак удлинений лишних стержней, откуда сей-
час же находятся и их напряжения Затем по заданным усилиям л£-
Л'
1 Некоторые указания по этому вопросу см. в книге К. М. Ху беря и а «К рас-
чету статически неопределимых ферм», Тбилиси, 1938.
2 Некоторые выводы, относящиеся к этому вопросу, можно иайти в работе доц.
Ф. И. С л ю с а р ч у к а «О регулярном расчете статически неопределимых ферм мето-
дом заданных напряжений», «Труды Новосибирского института инженеров транспорта»,
сборник VIII, 1952.
258
и найденным напряжениям определяются и площади F, лишних стер-
жней.
Каи видно -из всего хода расчета, в качестве лишних стержней дол-
жны выбираться такие, площадь сечения которых не зафиксирована
заранее, а определяется из соответствующего уравнения (117). Так как
опорным стержням приписывается площадь сечения Л—с<, то их ие сле-
дует выбирать в качестве лишних. □
§ П.7. ПРИМЕР РАСЧЕТА ФЕРМЫ МЕТОДОМ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИИ
□ Рассчитаем симметричную ферму с пятью лишними стержнями,
представленную на фиг. 265, а. Во всех узлах нижнего пояса -приложены
вертикальные силы, равные Р. В качестве основной системы выберем
ферму, представленную на фиг. 265,6. Зададимся допускаемыми напря-
жениями для растянутых стержней + 1 200 кг/см2, а для сжатых - -
800 кг/см2. Благодаря симметричности нагрузки и заданной фермы рас-
пределение усилий будет также симметричным, поэтому
Х2=Х4.
Усилиями в перерезанных раскосах %! и Х2 зададимся так, чтобы
их проекции на вертикальную ось равнялись половине соответствующей
поперечной силы. Усилия Хь Х2 будем считать сжимающими, а Хэ—
растягивающим. Так как мы задаемся не только величиной, но и направ-
лением сил Хь Х2, Х3, то будем под этими буквенными обозначениями
понимать абсолютную величину усилий. Алгебраически усилия в лишних,
раскосах в данном случае будут равны
-Хь -Х2, +Х3;
х2 = Xt = = 0,97 А
В средней панели перерезывающая сила равна нулю, поэтому можно
полагать, что раскосы будут слабо работать; зададим усилия А3 = 0,2UF.
17*
259
Величины усилий, необходимые для расчета фермы, даны в табл. 11,
все числа которой нужно умножить на А В нее не включены те стержни,
для которых
^1 = ^2=^=0.
Все усилия выписаны с теми знаками, которые получаются при заданной
внешней нагрузке и заданных направлениях сил Хь Х2, Х3 (растяжение со
знаком плюс, сжатие со знаком минус).
Таблица И
Стержни Длина 1 В СМ Усилие от внеш- ней на- Г₽С“ Усилие от Xl—1,95 1,95 Nkl Усилие от X,—0,97 0,97 Nk2 Усилие от Х3-0,20 0,20 NkZ Усилие от Xt--0,97 0,97 Nki Усилие от Х5 1,95 1,95 ЛГА5 Суммар- ное усилие **
Верхний пояс
АВ ВС CD 500 500 500 , -3,33 ~5 1 -5 1,67 0 0 0 0,83 0 ( 0 0 -0,17 1 0 0 0 0 0 0 — 1,67 -4,17 -5,17 1
Нижний . пояс
ан HJ JK 500 500 500 0 3.33 5 1,67 0 0 0,83 0 0 0 -0,17 1 0 0 ° 1 ° 1 0 ’ 0 1 ' 1,67 4,16 4,83
Стойки
AG ВН С] DK 300 300 300 300 1 о — 1 0 0 1 1 0 0 0 0,5 0,5 0 0 0 -0,10 —0,10 0 0 0 0,5 0 0 0 0 — 1 0,50 0.40 0.40
Раскосы
АН BJ СК 576 576 576 3,90 1,95 0 i -—1,94 i ° 0 -0,97 0 0 0 0,20 0 0 0 1 0 1 0 i 0 1,96 0,98 0,20
Из этой таблицы, дав-ая напряжениям значения +1 200 кг/см? или
— 800 кг/см2 в зависимости от знака суммарного усилия получаем
[—800-1,67-500+1 200-1,67-500 —800-1-300 +
+ 1 200 -1 - 300 + 1 200 (— 1,94) 576] — = _ 454 820 /сг/'сл£<0;
1,95
= [—800-0,83-500+ 1 200-0,83-500+ 1 200-0,5-300 +
+ 1 200-0,5-300+ 1 200 (—0,97)576]-^. = - 148 900 кг:см<$.
Прежде чем вычислять третью сумму, поставим дополнительное
условие: пусть оба перекрестных раскоса средней панели имеют одина-
ковые сечения, В таком случае благодаря симметричности нагрузки они
260
будут иметь одинаковые напряжения, следовательно, мы должны отка-
заться от того, чтобы назначить заранее напряжение для раскоса СК:
IXAV* = [- 800 (-0,17) 500 + 1 200 (-0,17) 500 +
+12оо(— о.ю) зоо +1200 (- 0,10)300] Л^+ 0,20^76/> =
солллл 1 1 0,20-5767*
= — 530 000 кг см 4-------~.
f‘CK
Выражения под знаком у для основных стержней во всех трех слу-
чаях получились отрицательными, поэтому решение может быть доведено
до конца. Из первого уравнения находим
лслолп I 1.95Р-576 п г, 1.95-5767* п Л п
— 454820 4- ----------= 0, или == -------------= 0,00247 см? кг* Р\
‘ F, 1 454 820 ’
1.95Р 454 820 7ПП , ,
3 :----___ ---------= _ 790 кг >см2.
Л 576
Из второго уравнения
1,юллл I 0,977**576 п с 0,97-5767* ПО7,- Л Л п
— 148 900 4-----------=== 0, или Е =---------= 0,37о см*/кг Р:
F2 148 900 '
0.977* 148 900 nco i .
а2 —---------== - --------= - - 258 кг см?.
f2 576
Из третьего уравнения
— 530 000 + 2°’-°-—=0, или Л, = 0,00043 сл2/«г-Р;
F 3
0,207* 530 000
--------—---------= 460 кг;см~. □
73 2-576 § *
§ 12.7, НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СПОСОБЕ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
□ Способ заданных напряжений в современном его состоянии имеет
практическое значение главным образом в тех случаях, когда проекти-
руемая ферма предназначается для постоянной нагрузки. Он очень помо-
гает рациональному подбору сечений также в тех случаях, когда времен-
ная нагрузка мала по- сравнению с постоянной: определив этим методом
все сечения, нужно затем обычным способом проверить напряжения на
совместное действие постоянной нагрузки с временной. Метод заданных
напряжений позволяет заменить случайное и хаотическое распределение
напряжений планомерным и рациональным; позволяет инженеру не огра-
ничиваться пассивной констатацией получающихся напряжений, а подчи-
нить их распределение своей воле. Он является предвестником будущих
более мощных методов строительной механики и заслуживает применения
во всех -случаях, когда это возможно.
Несовершенство метода заданных напряжений бросается в глава,
когда мы переходим к расчету ферхм на подвижную нагрузку. Если бы
мы пожелали приме нить, этот-метод без изменений, то для каждого нового
положения подвижной нагрузки получили бы новые сечения лишних
стержней; но как только мы изменим эти сечения, мы тем самым аннули-
руем все предыдущие решения. Для того чтобы приспособить метод
к расчету на подвижную нагрузку и не утерять при этом его важнейших
положительных качеств, над ним придется еще работать и размышлять.
Метод заданных напряжений имеет значение как метод проникнове-
ния в круг вопросов, ка-саюшихся связи между сечениями, напряжениями
261
si весом статически неопределимых ферм, — вопросов, стоящих на пути
к решению задачи о форме наименьшего веса. Применение этого метода
сразу вводит нас во все эти вопросы.
Прежде всего оказывается, что не всегда можно задаться величинами
растягивающих и -сжимающих напряжений для всех основных стерж-
ней: мы уже видели, что для этого необходимо соблюдение ряда не-
равенств, которые от нас не зависят.
Когда ферму рассчитывают на заданную внешнюю нагрузку, то,
выбирая различные величины усилий в лишних стержнях, можно полу-
чить при одном и том же законе распределения напряжений бесконечное
разнообразие сечений — целое семейство ферм, которые совершенно
тождественны между собой в отношении напряжений и деформаций, но
различаются сечениями и усилиями. Можно показать, что веса всех этих
ферм .связаны между собой простой линейной зависимостью. Среди них
существует, очевидно, ферма минимального веса.
Выбор основных и лишних стержней также может быть сделан мно-
гими различными способами. Так как напряжения задаются только
в основных стержнях, то каждому варианту этого выбора отвечает свой
особый закон распределения напряжений, свое семейство ферм. Среди
всех этих семейств существует такая ферма или такая совокупность ферм,
которые обладают самыми минимальными из всех возможных весов.
Исследование всех этих вопросов представляет собой интересную
задачу.
Метод заданных напряжений может получить существенное дополне-
ние, >если мы воспользуемся идеей начальных напряжений, т. е. напряже-
ний, которые получаются при отсутствии внешней нагрузки. Для этого
нужно дать лишним стержням большую или меньшую длину, чем та, кото-
рая вытекает из конфигурации недеформированной фермы. Длины этих
стержней всегда можно подобрать таким образом, что не только в основ-
ных, но и во всех лишних стержнях напряжения будут равны заранее
заданным величинам, причем задача допускает бесконечное множество
решений!.
Возможность расчета статически неопределимых ферм при помощи
назначения усилий в лишних стержнях впервые указана в 1928 г. инж.
Хейманом. Он же вывел уравнения, которые служат для подбора площа-
дей. Однако он не дал никаких указаний на возможность появления отри-
цательных решений для площадей.
Развитие и анализ метода и раскрытие его связи с глубокими вопро-
сами теории статически неопределимых ферм — с теорией распределения
усилий в фермах, с теорией ферм наименьшего веса, с вопросом о началь-
ных усилиях в фермах — принадлежат автору настоящей книги, кото-
рый опубликовал свое исследование в 1933 г.
Дальнейшие исследования принадлежат канд. техн, наук К. М. Хубе-
ряну, проф. К. Г. Протасову1 2, проф. А. И. Виноградову3 и доц.
Ф. И. Слюсарчуку 4, которые осветили некоторые неразрешенные вопросы
метода заданных напряжений. □
1 Более подробно обо всех этих вопросах см. в цитированной выше книге автора.
2 Проф. К- Г. Протасов, Расчет статически неопределимых мостовых ферм,
«Труды Всесоюзного научно-исследовательского института железнодорожного транс-
порта», вып. 13, 1947; Метод подбора равнопрочных статически определимых ферм,
«Сборник Ленинградского института инженеров железнодорожного транспорта»,
вып. 137, 1948.
3 Проф. А, И. Виноградов, Некоторые вопросы расчета стержневых систем
с заданными напряжениями, сборник «Исследования по теории сооружений*, вып. VI.
1954.
4 См. сноску на стр. 258.
262
§ 13.7. О ТЕОРЕТИЧЕСКОМ ВЕСЕ ФЕРМ
Теоретическим весом фермы называется тот вес, который получился
бы при условии, что каждый стержень имеет на всем своем протяжении
постоянное сечение и связан с другими стержнями при помощи идеаль-
ных и невесомых 'Шарниров. Например, при вычислении теоретического
веса металлической фермы пренебрегают весом материала накладок,
перекрывающих стыки, весом заклепочных головок, узловых фасонных
листов, уголков жесткости, диафрагм и всяких продольных и поперечных
связей, не вводимых в расчет при определении усилий в фермах. Дей-
ствительный вес фермы получается умножением теоретического на неко-
торый, больший единицы коэффициент, называемый «конструктивным
коэффициентом».
В то время как конструктивный коэффициент является в некоторой
степени характеристикой удачного или неудачного воплощения теорети-
ческой схемы в конструктивных формах, теоретический вес фермы
является характеристикой целесообразного выбора самой системы
фермы, ее высоты, типа ее решетки, разбивки ее на панели и, наконец,
подбора сечений.
Для того чтобы характеризовать теоретический вес, вычисленный для
какой-нибудь фермы, нужно его сравнить с каким-то эталоном. За тако-
вой было бы всего целесообразнее принять самый минимальный, теорети-
чески возможный вес стержневой системы, имеющей данный пролет,
воспринимающей данную нагрузку и сделанной из материала того же
удельного веса и с тем же допускаемым напряжением, что и рассматри-
ваемая ферма. Это дало бы нам такое же мерило для оценки степени
совершенства системы, какое, например, цикл Карно дает для оценки
термического коэффициента какого-нибудь теплового двигателя, рабо-
тающего при заданной разности температур.
Менее широкую оценку мы получим, если будем считать систему
фермы и тип ее решетки заданными и будем варьировать только ее высоту,
а также длину панелей. Отношение теоретического веса выбранной фермы
к минимальному возможному при этих условиях даст нам характеристику
удачности выбора указанных параметров.
Наконец, можно считать параметрами фермы только сечения ее стер-
жней и сопоставлять ее теоретический вес с тем, который получился бы
при наивыгоднейшем подборе этих параметров.
Мы ограничимся указанием нескольких общих положений.
Обозначим прогибы в точках приложения заданных вертикальных
внешних сил Р через у, а напряжения, вызванные ими в стержнях фер-
мы, — через <зЛ. Приравняем, работу внешних сил потенциальной энергии,
выраженной через внутренние силы Nk'
1 _ 1 2 V
2 — 2 ЕЕ* ~ 2 Ё~ ’
ИЛИ
(14.7)
где через vk обозначено произведение Fk lk, т. е. объем стержня k.
Левая часть уравнения (14.7) характеризует жесткость или податли-
вость фермы. Чем больше будут прогибы, т. е. чем значительнее подат-
ливость фермы и чем меньше'ее жесткость, тем большей будет левая часть.
Правая часть зависит от действительных напряжений во всех стержнях
и от объема материала фермы. Обе величины оказываются связанными
между собой, так что изменение одной -влечет за собой изменение другой.
□ Само собой понятно, что повышение напряжений при прочих рав-
ных условиях, т. е. при сохранении той же схемы и ее геометрических раз-
265
меров, влечет за собой уменьшение жесткости. Если бы нагрузка при
этом оставалась без изменения, то напряжения и объем были бы обратно
пропорциональны друг к другу. На самом деле изменение объема сейчас
же влечет за со-бой .изменение той части внешней нагрузки, которая вопло-
щается в собственном, весе фермы. Поэтому объем убывает или воз-
растает быстрее, чем растет или падает напряжение. Повышение напря-
жений до максимально возможных безопасных пределов оказывается
очень выгодным. В тех случаях, когда собственный вес невелик по срав-
нению с полезной нагрузкой, например, в мостах малых пролетов, теоре-
тический объем почти обратно пропорционален напряжениям. Наоборот,,
там, где полезная нагрузка мала по сравнению с собственным весом, для
небольшого изменения напряжений требуется очень большое изменение
теоретического объема фермы.
Если мы будем оставлять без изменения геометрическую схему и ее
размеры, а также напряжения во всех стержнях, но будем изменять их
сечения, — в статически неопределимой ферме это может быть достигнуто
бесчисленным множеством способов при помощи метода заданных на-
пряжений, — то из уравнения (14.7) получим такой результат: более лег-
кая ферма окажется в то же время более жесткой. Два достоинства
сопутствуют друг другу.
Если мы для данной нагрузки и данной схемы, сохраняя все ее гео-
метрические размеры, но меняя сечения стержней, составим проекты се-
мейства ферм, обладающих соответственно одинаковыми напряжениями,
то для всех этих ферм левая часть уравнения (14.7) будет одна и та же,
поэтому сумма, стоящая в правой части и зависящая от объемов, также
будет оставаться постоянной. Это, однако, не значит, что и полный объем
фермы будет оставаться постоянным. Напротив, можно доказать, что- о»
будет переменным и что он достигнет наименьшего значения, когда
в каких-нибудь п стержнях усилия обратятся в нуль, и ферма станет ста-
тически определимой
Более простой вид уравнение (14.7) принимает в том случае, когда
мы задаемся двумя различными напряжениями: одним для растянутых,
стержней, а другим — для сжатых. Тогда, обозначив их через сг+ и а_,
получаем
= (15.7)
где через обозначен суммарный объем всех растянутых стержней*
а через V-— всех сжатых стержней.
Уравнения (14.7) и (15.7) дают возможность лишь ориентировочно-
оценивать законы изменения теоретического веса ферм. Действительные
законы изменения веса сложнее, так как приходится учитывать измене-
ния нагрузки, вызываемые изменением собственного веса, а также кон-
структивный коэффициент, который изменяет собственный вес на много
десятков процентов, а иногда даже более чем в 2 раза 1 2. □
1 См. ссылку на стр. 253.
2 О теоретических весах см. В. Л. Кирпиче в, Собрание сочинений, Петроград.
1917, стр, 501—506; И. М.. Рабинович, К теории вантовых ферм, «Техника н эко-
номика п. с.» № 1, 1924, стр. 16 и сборник «Вантовые фермы в мостостроении», 1930,
стр. 22; А. И. Кефели, О теоретических весах сооружений, «Сборник Ленинградского
института инженеров путей сообщения», вып. 96, 1927. О действительных весах см. в кур-
сах мостов и в книге проф. Н. С. Стрелецкого, «Законы изменения веса металли-
ческих мостов», 1926; доц. Ю. А. Р а д ц и г, Об определении наименьшего объема
статически неопределимых ферм, «Труды Казанского авиационного института»,
вып. XVII, 1946.
264
§ 14.7. К ИСТОРИИ ТЕОРИИ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
□ В I ч. настоящего курса <мы сделали несколько замечаний, касаю-
щихся истории развития теории ферм в целом. Здесь мы ограничимся
замечаниями, относящимися специально к методам расчета статически
неопределимых ферм.
Вряд ли кого-нибудь удивит тот факт, что статически неопределимые
фермы гораздо раньше нашли себе применение, чем- статически опреде-
лимые. В те времена, когда фермы вообще не рассчитывались, строитель
искал гарантии прочности и безопасности на том пути, который пред-
ставлялся ему наиболее естественным: он вводил многочисленные связи
между узлами, устраивал густую решетку, направлял стержни по мно-
гочисленным направлениям., чтобы воспринять те недостаточно известные
но величине и направлению усилия, которые действовали в сооружении.
Ажурная решетка, простая схема, строгий минимум стержней, выпол-
няющих известные, ясные статические функции, — все это является дети-
щем уже зрелой теории; строителя той эпохи вид такой системы вероятно
привел бы в ужас.
Уже значительно позже — во второй и даже в третьей четверти
XIX столетия, когда фермы, как правило, рассчитывались, статически
неопределимые схемы все еще применялись очень широко. Лишь посте-
пенно, примерно в 80-х годах, статически определимые схемы стали вы-
даиваться на первое место.
Особый интерес представляют 50-е и 60-е годы, когда большим рас-
пространением пользовались многораскосные разрезные и неразрезиые
балочные фермы.
С точки зрения расчета многораскосная ферма принадлежит к наи-
более трудным. В 50-х годах расчетами таких ферм много занимался
Дмитрий Иванович Журавский, который в своих исследованиях, как уже
указывалось в I ч. курса, далеко опередил свое время. Данные им расчеты
относились не только к однопролетным, но и к неразреэным фермам.
Разумеется, эти расчеты были приближенными, но в них с громадной
инженерной интуицией было выявлено правильное понимание общего ха-
рактера распределения усилий в сложной статически неопределимой
системе. Было также учтено (выключение раскосов из работы при появле-
нии в них растягивающих усилий.
Приближенные расчеты многораскосных и многорешетчатых ферм
основывались на аналогии фермы с балкой. Эта аналогия облегчалась
тем., что мостовые пролетные строения с такой решеткой обычно имели
параллельные пояса. До Великой Октябрьской социалистической рево-
люции такие мосты постройки 60—80-х годов в довольно большом коли-
честве еще встречались на нашей сети железных дорог.
Точные методы расчета статически неопределимых ферм стали воз-
можны после того, как была разработана общая теория расчета стати-
чески неопределимых стержневых систем, т. е. примерно в 80-х годах
прошлого столетия. Этой общей теорией мы пользуемся и в настоящее
время. Однако обстоятельства сложились так, что к тому времени, когда
теория оказалась достаточно разработанной, наиболее сложные стати-
чески неопределимые фермы уже сошли со сцены. Плоды теории доста-
лись главным образом сложным системам балочного, арочного и рамного
типов.
Прогресс теории расчета статически неопределимых ферм в СССР
явился побочным (результатом того значительного развития, которое
у нас получила теория расчета сложных статически неопределимых стер-
жневых систем, сама являвшаяся результатом возросших потребностей
265
нашего строительства. С этим, развитием читатель познакомится в сле-
дующих главах. Эффективные приемы, разработанные в СССР, для рас-
чета сложных балочных, арочных и рамных систем (использование сим-
метрии и группировка неизвестных), применяются с успехом и к расчету
ферм.
Упоминавшиеся выше исследования, касающиеся общих свойств ста-
тически неопределимых ферм, законов образования ферм наименьшего
веса и изысканий в области метода заданных напряжений должны быть
отмечены как важные направления современной теории ферм. □
Глава 8
□ ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ СООРУЖЕНИЙ
ПО ДЕФОРМИРОВАННОЙ СХЕМЕ
§ 1.8. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Одной из основных предпосылок «линейной» строительной меха-
ники статически определимых и статически неопределимых систем
является следующая: принимается, что все деформации и перемещения
весьма малы по сравнению с генеральными размерами недеформиронан-
ной системы. Эта гипотеза сильно упрощает все расчеты и для подав-
ляющего большинства сооружений является вполне приемлемой. Вызы-
ваемая ею неточность ничтожна.
Однако в отдельных случаях последствия применения такой гипо-
тезы оказываются менее приемлемыми. Давно известно, например, что
при вычислении изгибающих моментов, напряжений и прогибов сжато-
изопнутых стержней, имеющих в недеформированном состоянии прямую
ось, нельзя .пользоваться расчетной схемой прямого стержня. Действи-
тельно, в прямом стержне продольные, центрально приложенные силы не
вызывают изгибающих моментов, а в слегка изогнутом стержне они
вызывают изгибающие моменты и деформации, которые далеко не всегда
можно игнорировать.
Известно также, что в висячих мостах больших пролетов нельзя
вычислять распор на основе недеформиров1анной схемы. В стальном
кабеле современных висячих мостов допускаются высокие растягиваю-
щие напряжения. Вызванные этими напряжениями деформации изме-
няют очертание несущего кабеля, изменяют его стрелу и тем самым
вызывают заметное изменение распора, а также всех расчетных усилий
как в кабеле, так и в балке жесткости.
Еще большие основания имеются для расчета арочных систем по
деформированной схеме. В арке изгибающий момент обычно невелик, но
он вычисляется как разность двух больших величин:
Мх= М® — Ну)
Изменение ординаты у арочной ‘Кривой всего лишь на несколько про-
центов может изменить величину М в несколько- раз.
Современный уровень строительной техники в СССР — появление
особо больших пролетов и тяжелых нагрузок, строительство высотных
зданий, радиомачт высотой в сотни метров и т. д. — выдвигает задачу
о значительном уточнении методов расчета и делает своевременным
в ряде случаев переход на расчеты по деформированным схемам.
§ 2.8. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПО ДЕФОРМИРОВАННОЙ СХЕМЕ
Деформированная схема — это схема, зависящая от внешней
нагрузки. Каждая внешняя сила, приложенная к сооружению, вызывает
267
соответствующую деформацию, создавая тем самым новую деформиро-
ванную схему. Даже простое увеличение или уменьшение нагрузки вле-
чет за собой изменение схемы сооружения. При таких условиях линейная
зависимость между силами и перемещениями исчезает; она заменяется
более сложной зависимостью, которая отличает расчеты по деформиро-
ванной схеме от обычных.
Усилия, вызываемые нагрузкой, оказываются всегда функционально
связанными с деформациями. Статически определимые системы теряют
в известной степени (но не целиком) свое отличие от статически неопре-
делимых: и в тех, и в других невозможно определить усилия независимо
от деформаций; в тех и в других усилия зависят от площадей и момен-
тов инерции сечений. Все, что влияет на перемещения, например, темпе-
ратура и смещение опор, влияет и на усилия. Закон независимости дей-
ствия сил отпадает, поэтому, строго говоря, теряют свой смысл линии
-влияния.
Наконец, канонические уравнения любого из методов расчета стати-
чески неопределимых систем не обладают таким важным свойством, как
независимость коэффициентов при неизвестных от внешних воздействий.
Перечисленные отличия расчета по деформированной схеме от обыч-
ного дают некоторое понятие о своеобразии метода, основы которого
здесь показаны на немногих примерах.
Точные расчеты по деформированной схеме крайне сложны даже
для простейших систем. Вместе с тем даже кропотливый точный расчет
не (может дать точных результатов, если нагрузки известны лишь прибли-
женно, а расчетная схема сооружения весьма приближенно- отражает
истинные свойства сооружения (гипотеза шарнирности узлов, идеальной
упругости и т. д.). Поэтому с практической точки зрения, когда при-
знается целесообразным произвести расчет по деформированной схеме,
можно удовлетвориться расчетом приближенным, но имеющим повышен-
ную точность по сравнению с обычным.
§ 3.8. ОСОБЕННОСТИ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ И СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ ПО ДЕФОРМИРОВАННОЙ СХЕМЕ
При обычном способе определения усилий в статически определи-
мой системе деформации вовсе не принимаются во- внимание. Найденные
усилия поэтому не удовлетворяют условиям- равновесия деформирован-
ной системы. Интересно было бы ответить на вопрос, будут ли истинные
усилия больше или меньше найденных. Однако оказывается, что- в общем
случае ответ может быть только условным.
Покажем это на примере (фиг. 2G6). На фиг. 2GG, а ферма сжата;
деформация вызывает раскрытие угла сс и, -как видно из силового много-
угольника -на фиг. 2G6, в,— увеличение сжимающих усилий. На фиг. 26G, б
ферма растянута; деформация вызывает уменьшение угла а и, следова-
тельно, уменьшение усилий.
Возможно, что более глубокий анализ вопроса позволит установить
общий критерий для суждения о том, в каких случаях усилия увеличи-
ваются и в каких уменьшаются.
Вернемся к примеру. Если мы найдем усилия обычным способом.,
затем по этим усилиям — деформацию, а по деформированной схеме —
исправленные усилия, то это еще не будет правильным решением задачи;
ведь деформированная схема построена на основании неправильно вы-
численных усилий. Поэтому придется по исправленным усилиям по-
строить исправленную деформацию и т. д. Так мы будем стремиться
к истинному результату путем последовательных приближений.
268
Возможен и прямой путь решения, но он даже в простейших случаях
приводит к неприемлемым по своей сложности вычислениям.
Зато обратный путь сравнительно прост. Зададим усилия S в стерж-
нях фермы. По этим усилиям найдем удлинения или укорочения стерж-
ней, затем перемещение узла С и углы поворота стержней. При помощи
диаграммы перемещений это может быть сделано графическим, путем.
Зиая первоначальные углы наклона стержней и имея их углы поворота,
можно (аналитически найти равнодействующую их усилий. Она не будет
равна Р, а будет иметь какую-то величину Г. Сделав две-три попытки и
построив затем кривую зависимости Т от S (фиг. 267), получим из этого
графика то значение S, которое отвечает заданной силе Р.
Обычный расчет системы статически неопределимой имеет смешан-
ный характер: уравнения метода сил или деформаций и др. основаны
именно на рассмотрении деформации системы, коэффициенты же уравне-
ний вычисляются для заданной схемы без учета изменения ее генераль-
ных размеров. Более точный расчет дает иногда положительную, иногда
отрицательную поправку усилий.
§ 4.8. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПРОСТЕЙШЕЙ РАМЫ
ПО ДЕФОРМИРОВАННОЙ СХЕМЕ (фиг. 268)
PL
Первый этап расчета (фиг. 269) = .
Горизонтальное перемещение точки В равно удвоенному горизон-
тальному перемещению точки С:
9п_\’(Л>‘И',Л_9И. “ 2
v~~ XjJ EJ 4 2£J 5J~ 6E1 ’
269
горизонтальное перемещение точки С
Plaf
Т> —:----- -
12Я/. ’
вертикальное перемещение точки С
и 2 Р1 а 2 РРа
4 2EJ * 3 ' 4 ” 24/7 ’
Фиг. 269
Второй этап расчета (фиг. 270).
Дополнительный изгибающий момент в сечении С, вызванный гори-
зонтальным перемещением щ
Дополнительные горизонтальные перемещения точки С, вызванные
эпюрой &М:
PvaSf~ =
2 2EJ 3 V 7 6£J
= PUaf - PPa \
72 (£7)2 V 1 24£7 ) '
Третий этап расчета.
Дополнительный изгибающий момент в сечении 5, вызванный пере-
мещением Л о:
А ,, Р ь № s Р1?а \
д Д4 — — д<у х=-------if-----------.
1 2 144(£/)Л 24£j/
Расчетный иэгиб!ающий момент в сечении С
м pl л. та* | If Pl*a\
с 4 ' 24ЁТ 144 (£J)’V 24/7/
270
Пусть, например:
Р-100 лгг; /-=200 см\ /=40 см\ а =/(ТОО)2 + (40)а - 107 см;
кг см2.
При этом
/И = 10°-200 I 1002*200‘107*40 .
с 4 ' 24.2-108 '
+ ^^(40 - ^^>5000+ 1,78 + 0,00006.
Этот числовой пример показывает, что изменение пролета и стрелы
/ ничтожным образом повлияло на расчетную величину изгибающего
момента. Мы получили бы более значительную поправку, если бы разло-
Р
жили опорную реакцию на поперечную и продольную составляющие
и учли бы дополнительный изгибающий момент, вызываемый второй из
этих составляющих при наличии прогиба.
Итак, в рамах, работающих в основном на изгиб, можно ограни-
читься либо обычным расчетом, либо- — при наличии длинных сжатых
стержней—расчетом этих ^тержией, как сжато-изогнутых. Изменение
остачьных генеральных размеров можно игнорировать.
§ 5.8. К РАСЧЕТУ АРОК
На фиг. 271 изображена схема трехшарнирной аркн, нагруженной
произвольной нагрузкой.
Пусть для нее обычным методом найден распор Н и построены
эпюры Мр и Np. Влиянием поперечных сил Q на деформации мы пре-
небрежем. Определим вертикальные и горизонтальные перемещения в
двух-трех промежуточных точках полуарки и в ключевом шарнире. Для
нахождения вертикального перемещения какой-либо точки оси приложим
в этой точке вертикальную силу Xi = 1 и вычислим результат по формуле
A I Vf NlNPdS
El EF •
27]
Для вычисления горизонтального перемещения приложим там же
горизонтальную силу Х2 =* 1 и воспользуемся аналогичной формулой.
Ординаты эпюр и Np могут быть вычислены аналитически или при
помощи многоугольника давлений и соответствующего (не показанного
на чертеже) силового многоугольника. Найденные вертикальные и гори-
зонтальные перемещения будем обозначать через и. Положитель-
ными будем считать перемещения, направленные вниз и вправо.
Имея перемещения ключевого «шарнира и нескольких промежуточ-
ных точек оси, можно приближенно построить упругую линию верти-
кальных и «горизонтальных перемещений (фиг. 271,6 и в). Эти упругие
линии, равно как и эпюры Мр и Npt следует рассматривать как первое
приближение к истинным. Эпюру Q «будем считать окончательной, так как
подсчеты показали, что перемещения мало влияют на ее величину.
Примем во внимание новые координаты точек оси и найдем прира-
щение распора ДЯ
Из формулы
М£-Я/==О
следует, что приращение ее левой части равно нулю:
ДМ° - Hrf—
Но под влиянием нагрузки стрела f уменьшается, т. е.
д/= - ис.
Что касается балочного момента, то благодаря горизонтальному
перемещению шарнира он изменяется на величину Qoc, где Q — попе-
речная сила (при этом предполагается, что точки приложения сил
остаются на прежних вертикалях). Итак:
Приращения изгибающего момента и продольных сил, вызванные
изменением оси ярки и приращением распора ДИ, могут быть получены
из формул
—Яу; Я= — (Q°sin® + Я cos ср),
где <р— угол наклона оси арки к горизонтали.
Варьирование первой формулы дает
ДМ = ДМ0 - ЯД у - ДЯу — Q0^ 4- Я/z - ДЯу. (2.8)
Из второй получается
AN = (—Q° cos + Яsin ф) Дф + ДЯсоэ <?.
Но
— Q° cos ф + Яsin ф = — Q.
Следовательно:
AN — — QДф + Д Я cos ф, (3.8)
где Q — поперечная сила, найденная из обычного расчета.
Величина Дф для любой точки оси арки может быть непосредственно
получена из фиг. 271, б или в, т. е. из эпюр величин и или о; Дф есть не
что иное, как угол наклона касательной в соответствующей точке любой
из этих двух эпюр.
Действительно, пусть какой-нибудь малый элемент АВ оси арки
(фиг. 272) повернулся вокруг некоторого мгновенного центра О на малый
угол Дер. Графиком (вертикальных перемещений этого элемента служит
отрезок прямой ахЬъ а графиком горизонтальных перемещений — отре-
зок п2&2- Вертикальное перемещение тонки А равно д<р, а горизонталь-
ное равно c?i Дер, откуда и вытекает, что отрезки а^ и 0^2 наклонены
к своим осям абсцисс на. угол Дер. Но эти отрезки можно рассматривать
как элементы названных эпюр.
Можно с большой точностью принять
Д? ~tg(Af) = —
dv
dy ’
Итак, по формулам (2.8) и (3.8) можно построить эпюры AM и ДА7,
которые представляют собой поправки к полученным обычным- путем
эпюрам М р и Д/р.
Чтобы найти следующую поправку, нужно вычислить вертикальные
и горизонтальные перемещения щ и щ, обусловленные эпюрами ДАТ и
ДА'. после чего аналогичным образом можно будет найти новые поправки
AjM и Д,М
Окончательные эпюры получаются по схеме:
ЧК = МД^ + А1/И+...,
/ЧК = ^ + Д;У4-^Л + ...
Изложенный здесь процесс
последовательных приближений
быстро сходится, если ежа то-изо-
гнутая арка не находится в состоя-
нии, близком к потере устойчи-
вости Г В последнем случае, как
известно, деформации становятся
значительными, а в критическом
состоянии теоретически становят-
ся бесконечно большими. При
расчете на устойчивость, разу-
меется, также может быть приме-
нен способ последовательных при-
ближений; при этом вычисления
не будут отличаться от указанных
выше. Отсюда н следует, что при
Фиг. 272
напрузке, близкой к критической,
процесс последовательных приближе-
ний будет иметь малую сходимость.
Можно сделать и обратный вывод: если расчет арки по способу
последовательных приближений приводит к (весьма медленно сходя-
щемуся процессу, то это означает, что нагрузка недостаточно далека от
критической.
Проф. Н. К. Снитко рекомендует простой приближенный расчет
арок, который состоит в замене арки вписанной в нее многоугольной
рамой с небольшим числом сторон и в замене сплошной нагрузки сосре-
доточенными силами, приложенными в узлах этой рамы. Определив
обычным способом начальные параметры на левом конце арки (угол
поворота ©о и поперечную силу Qo) и применяя формулы способа на-
чальных параметров, относящиеся к сжато-изогнутому стержню, автор
1 Из связи расчета арки по деформированной схеме с расчетом на устойчивость
проф. А. А. Пиковскнй вывел приближенную расчетную формулу для определения
усилий н деформаций арки. См. А. А. Пиковскнй, Формулы для деформационного
расчета арок, «Вестник инженеров и техников» № 3, 1951.
18— И. М. Рабинович
273
получает перемещения узлов и после этого — первую поправку к изги-
бающим моментам. Он обнаружил при помощи такого расчета, что за-
долго до того, как нагрузка достигнет критической величины, прогибы
арки делаются! недопустимо большими.
Расчет статически неопределимой арки, разумеется, является более
трудоемким, чем расчет трехшарнирной арки, хотя принципиально оба
расчета схожи. Первоначально определяют распор Н из канонического
уравнения
W*+^p = 0. (4-8)
а затем строятся эпюры М, Л\ Q. При помощи последних (® основном
прн помощи эпюр Af, N) определяются перемещения и, и в нескольких
точках оси. Затем для деформированной оси арки вычисляются новые
значения коэффициентов , после чего из канонического уравне-
ния (4.8) определяются новые, исправленные значения Н, и т. д.
Существует и такой способ расчета арок, который не требует после-
довательных приближений. Он позволяет получить обладающее достаточ-
ной точностью решение в форме ряда !. □
§ 6.8. к расчету висячих мостов с балкой жесткости
0 Деформация цепи, вызванная нагрузкой, имеет особое значение
для мостов больших пролетов с низкой балкой жесткости, так как значи-
тельно влияет на изгибающие моменты в балке и заметно отражается иа
растягивающих усилиях в несущем кабеле.
Рассмотрим сначала статически определимую висячую систему.
Такая система, балка жесткости которой имеет в середине пролета шар-’
нир, разобрана в § 6 гл. :10 первой части курса. Если мы примем во вни-
мание удлинение элементов кабеля и обусловленное этим увеличение
стрелы Д то получим меньшую величину распора Н и меньшие усилия
в элементах кабеля. Изгибающий момент в произвольном сечении балки
жесткости
м= М’ - НД =Мйх- Мйс А ,
где Мх, М°с— балочные моменты.
Когда кабель удлиняется, то Л и f одновременно увеличиваются,
поэтому изгибающий момент М изменяется мало. Следовательно, для
такой статически определимой системы расчет по деформированной схеме
не может иметь существенного значения.
Дадим понятие о ходе расчета статически неопределимой висячей
системы. Пусть она имеет одну лишнюю неизвестную (фиг 273). Над-
лежащей организацией сборки можно добиться того, чтобы на цепь пол-
ностью передавался ее собственный вес, а также вес подвесок и балки.
Тогда последняя будет работать только на .временную нагрузку. В самом
деле, регулируя при помощи натяжения цепи ее стрелу f, мы можем
влиять на опорные реакции балки, которые равны между собой, и до-
биться обращения их в нуль.
Нагрузим балку жесткости временной нагрузкой, например, сплош-
ной равномерной, имеющей интенсивность р. Часть этой нагрузки вос-
1 П. Н. Поликарпов, Влияние деформации на напряженное состояние сплош-
ных мостовых арок, «Труды Московского института инженеров транспорта», вып. 69,
1946.
274
примется балкой, а часть — передастся через подвески на цепь. Составив
каноническое уравнение
(при любом выборе лишней неизвестной Xj), мы сможем определить уси-
лия, вызванные временной наир узкой во всех элементах цепи и в подве-
сках, а следовательно, построить также эпюру изгибающих моментов для
балки жесткости. При вычислении коэффициентов 6(i и Д1Р, как всегда,
будем исходить из неизменных генеральных размеров системы.
Если (Мы пожелаем воспользоваться способом последовательных
приближений, мы должны будем по найденным усилиям определить пере-
мещения всех узлов цепи. Пользуясь новой формой цепи, наново вычи-
слить коэффициенты &1р д]р и повторить расчет. Так действовать до тех
пор, пока перемещения узлов фермы, вычисленные по найденным уси-
лиям, не окажутся достаточно близкими к тем, которые были приняты
при вычислении величин оп и Л1р. Такой способ громоздок и мало
удобен.
Имеются различные приближенные формулы, более быстро приводя-
щие к цели, но менее ясные в смысле их точности L
Легко объяснить, почему расчет по деформированной схеме должен
снизить изгибающие моменты в балке жесткости по сравнению с обыч-
ным расчетом. Последний дает повышенную величину усилий в кабеле
при действии любой нагрузки, так как при вычислении этих усилий исхо-
дят из начальной стрелы f, а не из увеличенной стрелы f + Вслед-
ствие этого обычный расчет дает преувеличенные величины вертикаль-
ных перемещений кабеля и, следовательно, преувеличенные изгибающие
моменты в балке жесткости. Такова противоречивость обычного рас-
чета: при игнорировании деформации в начальной стадии расчета полу-
чаются преувеличенные деформации в конечном итоге 1 2.
Отдельные численные примеры показывают, что прн пролете 200 ж
и временной нагрузке 6 т/м учет деформации кабеля может снизить изги-
бающие моменты (в балке жесткости процентов на 12. □
1 См., например, Ф. Б л е й х, Теория и расчет железных мостов, Гострансиздат;,
1931, стр. 501; С. А. Степкин, К расчету висячих цепных однопролетных мостоа
с балкой жесткости с учетом деформации, «Сборник Ленинградского института инже-
неров железнодорожного транспорта», вып. 142, 1950.
2 Решение задачи о форме равновесия гибкой упругой нити под действием за-
данной нагрузки см. в книге Р. Н. Мацелннского «Статический расчет гибких висячих
конструкций», Стройиздат, 1950.
18«
Глава 9
РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ РАМНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ
§ 1.9. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Сложные рамные конструкции встречаются в виде металлических
или железобетонных каркасов многоэтажных или высотных зданий, как,
например, здание на Котельнической набережной в Москве (фиг. 274),
а также в виде рамных мостов (фиг. 275), в виде металлических или
железобетонных пролетных строений без раскосной системы (фиг. 276)
и т. д. Как известно, большинство конструкций имеет такие узлы, кото-
рые по характеру своей работы стоят гораздо ближе к схеме жесткого
узла, чем шарнирного, поэтому рамные конструкции являются весьма
распространенными. В тех условиях, когда жесткость узлов вводится и
& расчетную схему сооружения, т. е. когда система рассчитывается каи
рамная, она получает более простую геометрическую структуру н может
обходиться без решетки (раскосов).' В гражданских н промышленных
сооружениях рамный каркас дает хорошее использование пространства.
Неразрезность рамных систем, обеспечивая совместность работы всех
элементов, делает ее экономичной. Все это обеспечило рамным
конструкциям широкое применение в разнообразных областях строи-
тельства.
При расчете рамных систем каким бы то ни было методом слож-
ность задачи зависит главным образом от количества основных неизвест-
ных. При расчете по методу сил она зависит, следовательно, от количе-
ства лишних связей. Чем больше это количество, тем сложнее расчет.
Поэтому прежде всего необходимо правильно подсчитать число лишних
связей.
При большом количестве неизвестных процесс решения системы сов-
местных уравнений становится очень утомительным и много теряет
ъ своей точности. Поэтому здесь особенно важную роль играют хороший
выбор лишних неизвестных, рациональная организация вычислений и их
шоверка.
Когда расчет содержит много арифметических вычислений, то воз-
никает опасность появления и накопления ошибок. Речь идет не только
•а тех ошибках, которые прокрадываются в вычисления из-за недосмотра,
рассеянности и усталости вычислителя, но н о тех ошибках, которые воз-
никают вследствие приближенности вычислений. В особенности накапли-
ваются ошибки, 'когда результат получается ib виде небольшой разности
.двух больших чисел. Простой пример пояснит эту мысль.
Сравним два тождества:
1 000—999 = 1 и 1 001—999 = 2.
“276
Они показывают, что если мы вместо 1 000 возьмем 1 001, т. е. оши-
бемся на 0,1 %, то получим результат с ошибкой в 100%.
Для того чтобы избежать такой (большой неточности, 'необходимо,
во-первых, стремиться к тому, чтобы насколько возможно упростить
Фиг. 274
Фиг. 275
исходную систему уравнений, т. с. к тому, чтобы возможно большее коли-
чество побочных коэффициентов канонических уравнений обратилось
в нуль. Во-вторых, нужно организовать тщательный и своевременный
контроль всех вычислений.
277
По всем этим причинам расчет сложных систем, хотя он принци-
пиально не отличается от расчета простых систем, целесообразно выде-
лить в особую главу.
Фиг. 276
§2.9. О ПОСТРОЕНИИ ЭПЮР ЛТ ДЛЯ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ
ОСНОВНЫХ СИСТЕМ И ЭПЮР Q, ДЛЯ ЛЮБЫХ РАМ
Те сановные статически определимые системы, с которыми прихо-
дится иметь дело при расчете сложных статически неопределимых соору-
жений» также достаточно сложны. Опыт в построении эпюр для таких
систем приобретается путем решения задач. Этот опыт необходимо до-
вести до такого состояния, чтобы не только находить ординаты эпюр при
помощи составления соответствующих уравнений статики, но научиться
набрасывать общий характер эпюр на глаз, без всяких вычислений.
Мы советуем читателю решить самостоятельно один-два десятка
примеров.
Во избежание путаницы рекомендуем чертить все эпюры изгибаю-
щих моментов со стороны того волокна, которое растягивается -моментом
(или же. наоборот, все эпюры —со стороны сжатого волокна).
Необходимо иметь в виду, что эпюра изгибающих моментов должна
удовлетворять условиям равновесия. Если мы вырежем любой узел и за-
меним действие откинутых частей силами, то должны получить уравно-
вешенную систему. Когда разрезы сделаны бесконечно близко к узлу, то
статические моменты продольных и поперечных сил относительно центра
узла обращаются в нуль, поэтому в уравнении моментов они не будут
фигурировать. Например в узле А, состоящем только из двух жестко свя-
занных стержней и не «нагруженном сосредоточенной внешней парой сил,
моменты пар Af i и М2 должны быть равны и «противоположны друг другу.
Эпюры моментов вблизи такого узла имеют вид, показанный на «ф«иг. 277, а
и б\ либо в обоих стержнях растянуто наружное волокно, либо в обоих —
внутреннее. Перескочить в узле из наружной области во внутреннюю
эпюра может только тогда, когда к узлу приложена какая-либо сосредо-
точенная пара (фиг. 277, в).
Если в узле сходится больше трех стержней, то эпюра может иметь
разнообразный вид, но алгебраическая сумма моментов пар, приложен-
.278
ных к узлу, должна быть равна нулю. Эпюра, представленная на
фиг. 278, не удовлетворяет условиям равновесия, если к узлу не прило-
жена внешняя нагрузка в виде сосредоточенной пары, (момент которой
равен сумме всех четырех изгибающих пар.
При построении эпюры Q нужно руководствоваться правилом зна-
ков, указанным в § 2.3. Следует помнить, что поперечная сила
q=™
ds ’
т. е. Q характеризуется не величиной изгибающего' момента в данном
сечении, а законом изменения момента вдоль стержня.
Так, например, четырем различным эпюрам изгибающих моментов,
представленным на фиг. 279, будет отвечать одна и та же эпюра Q, если
только наклонные прямые на всех четырех эпюрах параллельны между
собой. Основываясь на этом свойстве, можно легко находить знак
эпюры Q для любого сечення. Нужно воспользоваться нулевой точкой
эпюры Af, которая сразу показывает направление сил Q (фиг. 279, в).
В любом сечении стержня можно искусственно получить 'Нулевую точку,
передвинув эпюру М или касательную к этой эпюре без изменения ее
направления. Например, для того чтобы по эпюре М, представленной на
фиг. 280, а, найти поперечную силу в сечении С, нужно передвинуть
касательную MN так, чтобы она в этом месте пересекла ось стержня
(фиг. 280,6). По расположению растянутых волокон увидим, что в этом
сечении Qc > 0.
После того как поперечные силы найдены, ими можно воспользо-
ваться для определения продольных снл Af. Для этой цели можно при-
менить способ вырезания узлов. Например, если для узла А (фиг. 281, а)
известны силы QAB и QAC, то силы NAB и NAC найдутся из замкну-
того силового многоугольника, построенного на фнг. 281,6.
Вообще следует отметить, что если эпюра изгибающих (моментов
построена, то независимо от того, является ли система статически опре-
делимой или нет, эпюры Q и N строятся просто. Первая получается как
производная от эпюры М, а вторая — нз условий равновесия.
Для примера предположим, что эпюра Af, представленная на
фиг. 282, а, построена. Из нее получается эпюра Q, показанная на
фиг. 282, 6. Вырезание узлов и определение продольных усилий представ-
лено на фит. 282, в и а; окончательная эпюра N— на фиг. 282, д.
□ Назовем шарнирной схемой рам.ы ту схему, которая получится из
данной рамы после того, как во всех узлах будут установлены шарниры
(фиг. 283).
Из того факта, что в каждом узле поперечные силы Q уравновеши-
ваются продольными силами N, вытекает следующая теорема, которая
относится к раме с прямыми стержнями, находящейся под действием:
а) нагрузки, перпендикулярной стержням, б) температуры, в) смещения
опор.
Шарнирная схема рамы, будучи нагружена в узлах внешней нагруз-
кой, перпендикулярной соответствующим стержням и равной их попереч-
ным силам, окажется в состоянии равновесия Эта теорема остается
справедливой также в тех случаях, когда шарнирная схема геометри-
чески изменяема.
Если шарнирная схема фермы геометрически неизменяема и имеет
лишние стержни, то определение всех продольных усилий на основании
1 Ом. книгу автора «Методы расчета рам>, ч. I, 1934, стр. 37.
279
Фиг. 281
Фиг. 280
Фиг. 282
Фиг. 284
одних только условий равновесия делается невозможным; часть продоль-
ных усилий статически неопределима. Например, для рамы, изображен-
ной на фиг. 284, а, шарнирная схема б имеет одну лишнюю связь; для
построения эпюры N следует нагрузить основную статически определи-
мую систему заданной внешней нагрузкой и лишними неизвестными,
найденными из канонических уравнений.
В том частном случае, когда в состав заданной внешней нагрузки
рамы входят сосредоточенные силы, приложенные в узлах, они должны
быть приложены также к узлам шарнирной схемы. □
□ ЗАДАЧИ
Задачи № 17—19. Построить эпюры М, Q я N для статически определимых
систем, представленных на фиг. 285—287.
Указание. При построении эпюры У для фнг. 287 обратить внимание на то,
что в стержне АВ нормальная сила не остается постоянной для всех сечений, так как
вертикальная нагрузка дает составляющую, распределенную вдоль этого стержня. □
§ 3.9. О РАЦИОНАЛЬНОМ ВЫБОРЕ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ
Когда дана статически неопределимая система, то из нее можно
получить разнообразные статически определимые основные системы, вы-
бирая и отбрасывая различным образом лишние связи. Для того чтобы
основная система была действительно статически определимой, необхо-
димо, чтобы она обладала геометрической неизменяемостью. Выбранную
систему необходимо в первую очередь проверить с этой точки зрения.
На фиг. 288 для примера представлено шесть вариантов основной
системы, отвечающих одной и той же раме с пятью лишними связями.
Четыре основные системы (фиг. 288, б, в, г, д) статически определимы»
282
пятая (фиг. 288, е)—мгновенно изменяема, а шестая (фиг. 288, ж) имеет
в одной части лишнюю связь, а в другой части — одну степень свободы.
Все прочие требования, которые предъявляются к основной системе,
продиктованы одной идеей, одним стремлением; получить такую систему
канонических уравнений, в которой возможно большее 'количество побоч-
ных коэффициентов обращается в нуль. Удачной, рациональной и же-
лательной будет такая основная система, которая удовлетворяет этому
требованию; нерациональной, неблагодарной и неприятной — такая, кото-
рая ему не удовлетворяет.
Когда заданная система имеет много опорных стержней и ряд проле-
тов, то ее выгодно разбивать на отдельные, изолированные части. Напри-
мер, основная система, представленная на фиг. 289, б, значительно выгод-
нее основной системы, показанной на фиг. 289, в. Действительно, любая
из 12 лишних неизвестных, приложенных к системе фиг. 289, в, вызывает
перемещения по направлению всех 12 неизвестных. При таком
выборе основной системы каждое из канонических уравнений будет
содержать все неизвестные. Напротив, в основной системе фиг. 289, б,
283
как нетрудно видеть, множество побочных коэффициентов обращается
в нуль:
^18 ^19 ^1.10 *1,11 \12 °27 ^28 ~.329~^?2.10 ~Л,11 " \12^
З34 ' °35 836 = З37 = ^38 = З39 “ 3ЗД0 53,11 З3,12 = 34.10 =
= 84,11 = *4,12 = 0 И Т. Д.
Ни одно уравнение не будет содержать больше 9 неизвестных, как бы
велико ни было число пролетов рамы. Идея такого разрезания системы
представляет собой прямое продолжение идеи, применяемой к расчету
нера-зрезной балки.
Следующим этапом в выборе рациональной основной системы яв-
ляется тщательный выбор тех сечений, в которых нужно сделать разрезы
или поместить шарниры. Необходимо также обдумать, как наиболее
рационально разместить жесткие консоли.
На фиг. 290 показан один из вариантов основной системы для рамы
с девятью лишними связями. Шарниры помещены на ригелях и стойках
на расстояниях, равных | а и убот опор. Часть эпюр взаимно ортого-
нальна потому, что центр тяжести площади одной расположен против
нулевой ординаты другой; другая часть эпюр взаимно ортогональна
284
по свойству симметрии и обратной симметрии. Благодаря тому что много
побочных перемещений обращается в нуль, уравнения принимают сле-
дующий простой вид:
8ц/^1 +
^22^2 Н“ Ар
®зз Л + %5 Аз Н“ А “h Ар » 0;
Mz4 + *4P = 0;
^53 Аз + А> As 4" &57 А 4- Д5Р = 0;
. ‘ W + %A + 867A + A^C;
^75 ^5 + ^76 ^6 + А? Х7 4" Д7р ®=0;
°83^8 “l" Ар~ 0’
^99 ^9 4“ Ар = 0’
Фиг. 290
285
т. е. система разбивается на 5 отдельных уравнений, содержащих по
одной неизвестной, и на 4 совместных трехчленных и двухчленных урав-
нений, содержащих остальные 4 неизвестных.
На фиг. 291 показан выбор разрезов и консолей для рамы, имеющей
несимметричный верхний ярус и симметричный нижний при числе лиш-
них связей, равном 6. Предлагаем читателю убедиться, что здесь система
уравнений имеет вид
1 4“ Д1р = 0;
^22^2 4“ ^25^5 “Ь ^2Р ~
°33 *3 4” W 4“ ^ЗР = в»
«4-^ЛЧЛб*б + д4Р==0;
*52*2 + ^4 + %+ *56 + Д5р = 0;
^^3 + *64 *4 + Ч*Б + S66 *6 + ДбР = 0-
Фиг. 291
Эпюра М& содержит произвольный параметр е. Перемещения й64 и 8^
вычисляются обычным путем и имеют вид функций от е. Если мы поста-
вим условие, чтобы эпюра Me была взаимно ортогональна с М4 или с M5t
то из условия = 0 или = 0 найдем соответствующее значение пара-
метра е; тогда система уравнений еще упростится.
Во всех указанных выше случаях неизвестные Х2 и т. д. следует
рассматривать как множители или коэффициенты, на которые нужно
будет умножить соответствующие основные эпюры, чтобы получить окон-
чательную эпюру. Они являются коэффициентами формулы
М «= Мр 4- + М2Х2 + . • • 4’^лг^л-
286
§ 4.9. СВОЙСТВА ГРУППОВЫХ ЭПЮР И ГРУППОВЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ
Анализ различных искусственных приемов, успешно разрешающих
задачу взаимной ортогонализации эпюр, приводит к очень интересному
и полезному обобщению, а именно к применению так называемых груп-
повых эпюр и соответствующих им групповых неизвестных. Эти эпюры
во многих случаях значительно упрощают весь расчет.
Пусть для данной системы с п лишними связями выбрана основная
система и основные неизвестные. Им соответствуют единичные эпюры
Ми М2, ..., Мп- Nu Nn- Qu Q2, ..., Qn.
Групповой эпюрой моментов мы будем называть всякую эпюру М'г
..., АГ, которая образована н>з названных следующим образом:
Mi = 4- а2М2 4" а3М3 + * • 4“
X = р1Л11 + Р2 /и2 + 33М3 + ... + ?ПМп; k (1 9)
М« = TjMi + т,М2 + т3М3 + • - - + тлМл, j
где 3], оь, • • ; ₽1, ?2» • * • 5 Ti. , тл — произвольно выбранные
коэффициенты.
Точно так же групповыми эпюрами нормальных и поперечных сил
мы будем называть эпюры вида
М — «1^ + «2Na + аз^8 + • • - + %А^Л; | (Г 9)
М-₽А + ₽2^ + ^3+... + ₽Лл; /
Qi — «iQi 4" 4- азЧз 4" • • • 4“ I
q2 PiQi 4- PsQs 4~ РзФз 4~ • • 4~ '
Короче можно сказать следующим образом: групповой эпюрой мы
будем называть такую эпюру, которая представляет собой линейную
однородную функцию заданных основных эпюр.
Из заданных п эпюр можно образовать бесконечное множество раз-
нообразных групповых эпюр, так как можно задаваться какими угодно
величинами и знаками коэффициентов формулы (1.9). Ничто не мешает
нам, в частности, принять некоторые коэффициенты равными нулю. При-
няв, например, оц — 1, а2 = аз = = ап =• 0» получаем Mi = Мь т. ей
основная эпюра является частным случаем групповой.
Известно, что эпюра, отвечающая совместному действию несколь-
ких сил, равна алгебраической сумме эпюр, вызываемых каждой из них
в отдельности. Наоборот, алгебраическую сумму нескольких основных
эпюр можно рассматривать как эпюру, вызванную совместным дей-
ствием нескольких одиночных сил. Например, эпюры Mb /Vb Qb выра-
жаемые формулами (1.9), (Г.9), (1".9), можно рассматривать как
результат совместного действия следующих сил:
Xi ~ “ а2> А'д = а3; ... ; Хп = ал.
Следовательно, групповая эпюра отражает результат действия груп
новых сил: группа сил составляется из основных сил по той же схеме, по
какой сама эпюра составлена из основных эпюр.
287
Примеры групповых эпюр мы уже видели, хотя самое название и не
применялось. Например, жесткие консоли, которыми мы до сих пор
(пользовались, неявно приводили к таким эпюрам. Так, на фиг. 218
эпюра М2 может рассматриваться как результат совместного действия
горизонтальной силы единицы, приложенной к точке D, я пары сил
Х3 = Уо, приложенной там же. От сложения двух таких воздействий и по-
лучится горизонтальная сила Х2 = 1 с плечом у$.
Выберем каким-нибудь способом групповые эпюры ММ2, . -
Nft М2>..; Q/, Q/,... и положим их в основу расчета. Будем искать
неизвестные Хь Х2,..., X . таким образом, чтобы окончательные эпюры
могли быть представлены в следующей форме:
М = Мр + м, Xl + м\X, + ... + мй х„-,
W=JVP-|- N'lXi + Мла +... + х'„хп-
Q = Qp+ Q1X1 + Q?x2 + ... 4- Q'„xn.
(2.9)
Подобно тому как дом можно сложить из отдельных кирпичей, но
можно также сложить из блоков, предварительно образованных из тех
же кирпичей, так и окончательную эпюру можно сложить из различных
элементов. Если мы раньше ставили себе задачу сконструировать эпюры
М, N, Q из простейших элементов — из простых единичных эпюр, — то
теперь мы будем пытаться сконструировать те же окончательные эпюры
из более сложных элементов — из групповых эпюр.
Эта задача разрешима, так как для п неизвестных Хь Х2,..., Хп,
-которые будем называть групповыми неизвестными, можно, как мы
сейчас докажем, составить обычную систему п канонических уравнений:
8J1 х{ + + ... + Ъ1пХ„ 4- Д,'Р = 0 (г = 1, 2, 3, ..., п),
где
°fl °* Aj.I EJ +ZJ EF GF
(3.9)
и T. Д.
Ход доказательства не зависит от того, будем ли мы принимать во
внимание продольные и поперечные силы или нет.
Поэтому для сокращения выкладок примем, что
’-Ж2-
Преобразуем левую часть канонического уравнения следующим
образом:
2f М’,M,ds X? Гм'мЛв
J --------EJ---। J —Е/-------------
где М — окончательная эпюра моментов.
288
Легко доказать, что полученное выражение равно нулю при любом
из значений i(i — 1,2,..., п). Например:
V С MIMds V С , V С ,
—Ё^- = а12л] —Е7—+ a*Xj -^ЁГ +••
t V Г МпМ ds
••• +a»2jJ—£j—
Первый из интегралов правой части выражает собой перемещение,
вызванное всей совокупностью внешней нагрузки в действительной стати-
чески неопределимой системе по направлению лишней связи /; второй
интеграл — перемещение в той же системе по направлению связи 2 и т. д.
Поэтому все эти интегралы равны нулю, что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали, что групповыми эпюрами можно пользоваться
при расчете совершенно таким же образом, как простыми: нужно вычи-
слить соответствующие интегралы, которые мы будем называть «группо-
выми перемещениями», затем составить систему канонических уравнений
для «групповых неизвестных» Х2,..., Хп и решить ее. После этого
остается построить по формулам (2.9) все эпюры или л. в.
В дальнейшем мы будем обозначать групповые эпюры, принятые
в качестве основных, через Л4Ь М2 и т. д. без верхнего значка.
Выгоду применения групповых эпюр покажем на нескольких при-
мер ах.
§ 5.9. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ ГРУППИРОВКИ НЕИЗВЕСТНЫХ
То обстоятельство, что групповые эпюры можно составлять из про-
стых эпюр бесконечно разнообразными способами, позволяет подобрать
их таким образом, чтобы они оказались взаимно ортогональными,
На фиг. 292 и 293 показано применение групповых эпюр к расчету
симметричной четырехъярусной рамы. Основная система получена при
‘помощи разрезания всех ригелей по оси симметрии. Четыре эпюры, обра-
зованные поперечными силами, обратно симметричны; остальные во-
семь — симметричны. Благодаря свойству взаимной ортогональности
обоих типов; эпюр система канонических уравнений распадается на
4 уравнения с 4 неизвестными и 8 уравнений с 8 'неизвестными.
Первые четыре эпюры показаны на фиг. 292. Каждая из них образо-
вана группой, состоящей из четырех вертикальных единичных сил. Если
бы мы не воспользовались группировкой неизвестных, а строили каждую
эпюру как результат действия только двух сил, то эпюры простирались
бы по стойкам до самого низа, и взаимной ортогональности не получи-
лось бы. Замечательно, что групповые эпюры оказались проще обыч-
ных. Кроме того, среди них имеются взаимно ортогональные:
°13 = °24 = О-
Поэтому система уравнений для этих неизвестных имеет следующий про-
стой вид:
S2I*1 + VG + VG+A2P = O;
4-ЛЛ+А«₽ = о.
Как бы велико ни было число ярусов рамы, ни одно уравнение не
будет содержать больше трех неизвестных.
19—И. М. Рабинович
289
Симметричные групповые эпюры выберем так, чтобы каждая из них
подобно обратно симметричным простиралась только на один ярус. Один
из возможных вариантов представлен на фиг. 293, где каждая эпюра
образована действием двух пар с моментом, равным а, н четырех гори-
зонтальных сил, равных единице и образующих две пары с теми же мо-
ментами, но направленными в обратную сторону. Для восьми неиз1вест-
Фиг. 292
ных, отвечающих этим эпюрам, уравнения,, как нетрудно убедиться,
имеют следующий вид:
*66^6 4“ ^69^9 4" °6,Л 4~ = 0’
^77^7 4" ^7,10^10 4" ^7,11^11 4" ^7Р ”
^88^8 4" \п^11 + ^8,12^12 4" ^8Р “
+ 5эб^б 4- 599^э + Д9Р “ 0;
290
4“ ^10,7^7 4 ^10,10^10 “h ^10P = 0>
^11,7^7 ^nt8^8 т ^11,11^114- Дцр 0;
°12,8^8 + ^12,12^12 4" ^12P ~ O’
Среди уравнений нет ни одного, которое содержало бы больше трех не-
известных.
Структура написанных уравнений (т. е. количество и нумерация
неизвестных в каждом из них) осталась бы весьма простой, если бы мы
при вычислении коэффициентов приняли во внимание не только эпюры
М, но также эпюры и Q.
Фиг. 293
На этом примере можно убедиться,что групповые эпюры дают суще-
ственное упрощение расчета.
□ При составлении групповых эпюр -необходимо обращать внимание-
на то, чтобы все они были линейно независимыми друг от друга, т. е..
чтобы ни одна из них не была однородной линейной функцией остальных..
Если это условие не соблюдено, то в системе п канонических уравнений,,
отвечающих этим эпюрам, одно из уравнений сделается следствием
остальных; иначе говоря, система будет содержать только п— 1 незави-
симых уравнений с п неизвестными.
Например, на фиг. 294 эпюры Mh М2, являются независимыми.
Действительно, от суммирования горизонтальных сил, показанных иа
эпюре и пар, представленных на эпюре М2, каковы бы ни были их
величины, никогда нельзя получить -вертикальных сил, отвечающих
эпюре М4. Кроме того, независимыми будут эпюры М2, М3 и Л14, а также
Мь М3 и Л14. Напротив, эпюры Л12 -и будут зависимыми друг от
друга, так как величины горизонтальной силы и пары, образующих эпюры
Mi и Л12, можно подобрать так, что их равнодействующая примет вид
нагрузки, представленной на эпюре Мэ. □
is* 291
§ 6.9. ОДНОВРЕМЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ОСНОВНЫХ СИСТЕМ
0 Эпюра моментов, (которая ib одной основной системе получается
атри помощи группировки сил, нередко может быть получена в другой
основной системе без всякой группировки. Например, эпюра, которая
вызывается в раме фиг. 295, а двумя парами, (равными + 1, и четырьмя
горизонтальными силами, равными , получается на фиг. 295, б всего
а
лишь от действия двух сил, равных + “ . Задача подбора взаимно
Фиг« 294
ортошоиальных эпюр значительно облегчилась бы, если «бы мы не были
озязаны кажущейся необходимостью пользоваться при построении всех
жпор одной и той же основной системой.
Фиг. 295
Оказывается, что соблюдение этого условия вовсе не является обяза-
тельным: мы имеем право пользоваться для подбора различных эпюр
различными основными системами. Так, например, эпюры, представлен-
ные на фиг. 292, гораздо проще можно получить, если воспользоваться
292
несколькими основными системами, представленными на фиг. 296. Канг
доказать, что в данном случае можно так поступить? Но это в сущности
нечего доказывать: мы можем отрицать, что пользуемся несколькими
основными системами, поскольку мы убедились, что нее эти эпюры полу-
чаются также из одной основной системы (фиг. 292).
Легко обобщить это свойство всевозможных основных систем, отве-
чающих одной и той же статически неопределимой системе. Люба^
эпюра, полученная в одной из них, может быть получена во всех осталь-
ных; нужно лишь добавить к нагрузке, вызывающей рассматриваемую
эпюру, ту или иную группу внутренних сил данной статически неопреде-
лимой системы. Такой пример показан на фиг, 297.
Как видно из этих фигур, при замене одной основной системы другой
некоторые внутренние силы становятся внеш ними (реакциями) и, на-
оборот, (внешние — внутренними Ч
1 Gm. статью автора «Обобщения метода сил» в сборнике «Рамы и фермы
страиствеииые и плоские», 1933, а также его книгу «Методы расчета рам», ч. 1, 1934^.
стр. 143—146.
2§В
Пользуясь этим приемом, мы не только облегчаем себе подбор взаим-
но ортогональных эпюр, но одновременно получаем возможность упро-
щать эпюру Мр. Если, например, внешняя вертикальная нагрузка прило-
жена к верхнему ярусу рамы (фиг. 292), то наивыгоднейшей основ-
ной системой будет та, которая показана на фиг. 298, а, так как она дает
наиболее простую эпюру Afp.E-сли натр узка состоит из горизонтальных
сил, приложенных к стойке, то простейшая эпюра МР получится при
пользовании основной системой, 'показанной на фиг. 298, б. Что же
касается выбора эпюр Afb М2 и т. д., то он не зависит от того, какая основ-
ная система выбрана для построения эпюр МР.
Фиг. 297
Окончательная эпюра выражается формулой
М = MS+ M,Xt + М2Х2 + . + МаХа;
Q = Qp +Q1^l + Q3X2+’...+QflX«;
+ д^ 4- N2X2 + .. . 4- NnXn.
На фиг. 299 показан вы-
бор основных систем для
расчета симметричной арки
с заделанными пятами и с
такой внешней нагрузкой,
для которой ось арки служит
веревочной кривой. В этом
случае для построения эпюр
МР, QPt NP, можно взять
трехшарнирную арку (фиг.
299, а); получится
Alp =i Qp = 0.
Для построения осталь-
ных эпюр можно разрезать
арку и приложить единичные
силы в упругом центре
(фиг. 299, б). При этом
и Х3 = 0 вследствие того, что
Фиг. 298
Xi=0 'вследствие условий симметрии
Азр =: 0. Остается только Х2.
Каи видно из сказанного, применение двух основных систем привело
мае естественным образом к следующей теореме: если плоская симмет-
294
ричная арка или рама с абсолютно заделанными или упруго вращающи-
мися пятами нагружена такой нагрузкой, для которой ее ось служит вере-
вочной кривой, то ее суммарная
к эпюре М2Х2, т, е. обусловливает-
ся исключительно распором, при-
ложенным в упругом центре. Мы
видели раньше (§ 16.6), что такой
же вид имеет эпюра вызы-
ваемая равномерным нагревом
или охлаждением.
Эта теорема легко распро-
страняется на несимметричные
арки и рамы: моменты в них в
рассматриваемом случае будут
вызываться только некоторой
(вообще говоря, наклонной) си-
лой, приложенной в упругом цент-
ре. □
эпюра моментов приводится только
§ 7.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРОЩЕНИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ УСЛОВИИ
СИММЕТРИИ
Помимо общих упрощений, основанных на удачном расположении
разрезов и шарниров и на применении групповых эпюр, симметрия соору-
жения дает возможность вводить дополнительные упрощения. Все они
основаны на свойстве взаимной ортогональности эпюр симметричных и
обратно симметричных. По-
этому при расчете симмет-
ричных систем в большин-
стве случаев следует стре-
миться к то му, что б ы все
эпюры обладали прямой или
обратной симметрией, и из-
бегать применения эпюр не-
симметричных.
Пусть требуется рассчи-
тать трехпрюлетную систему,
представленную на фиг.
300, а. Если бы мы приняли
за основные неизвестные Хи
Х2, опорные реакции в узлах
В и D, то получили бы не-
симметричные эпюры и
М2. Поэтому воспользуемся
групповыми эпюрами М\ и
М2, представленными на
фиг. 300, б и в. Первая об-
разована симметричной груп-
пой двух реакций, а вто-
рая — обратно симметрич-
ной.
Для решения задачи получим два самостоятельных уравнения
&1Л —0 И ^22^2 "Ь ^2Р = &
295
Окончательная эпюра моментов определится по формуле
м = мр + м1хг + м2х2.
Реакция опоры В получится, очевидно, равной Xi 4- Х2, а реакция опоры
D будет равна Xi — Х2.
Мы могли бы еще несколько упростить себе вычисления, если бы
разбили внешнюю нагрузку на симметричную и обратно симметричную;
в соответствии с этим и эпюра Мр разбилась бы на две. При вычислении
свободного члена Ajp мы имели бы право игнорировать обратно симмет-
ричную нагрузку, а при вычислении члена Д2Р игнорировать симметрич-
ную. Упрощение состояло бы в том, что при вычислении членов A ip и Дор
можно было бы производить интегрирование на протяжении только
воловины рамы и результат удвоить.
Фиг. 301
На фиг. 301 показана группировка неизвестных для двушролетной
рамы с шестью лишними связями. Система канонических уравнений
распадается следующим образом:
+ Aip = 0;
822^2 ~h = 0;
^зз-^з 4~ дзр = 0;
4“ °45^5 4“ й46-^6 + ^4Р “ 0 J
^64^4 4~ ^Б5^Б 4“ ^5Р = о ;
^64^4 4“ ^66^6 4“ ДбР — 0,
296
Когда сооружение имеет две оси симметрии, то получение взаимно
ортогональных эпюр еще более упрощается. На фиг. 302 дана рама
с двумя замкнутыми контурами, содержащая 6 лишних связей. Для того
чтобы легче разобраться в симметричных свойствах эпюр, мы снабдили
их символическим обозначением, которое написано на каждой эпюре.
Буквами Г и В обозначены горизонтальная и вертикальная оси симметрии,
а знаками плюс и минус — прямая и обратная симметрия. Например,
через + В — Г обозначена такая эпюра, которая симметрична относи-
тельно вертикальной оси и обратно симметрична относительно горизон-
тальной.
Фиг. 302
Такие эпюры обладают следующим очевидным свойством: любые
две эпюры, обладающие неодинаковыми символами, являются взаимно
ортогональными. В данном случае это приводит к тому, что система
шести канонических уравнений принимает следующий простой вид:
+ Д1Р = 0;
^22^2 + = 0;
S55^5 + АбР = 0;
+ ^46^6 Н“ ^4Р = 0;
^64^4 + ^66^6 + Аб* в 0-
Таким образом система разбилась на 11 + 1 1 4- 1 + 2 уравнений.
Само собой понятно, что при наличии большего числа осей симмет-
рии получается еще больше упрощений
1 Специальным методам расчета так называемых циклических систем посвящеи
ряд интересных работ. См., например, проф. А. И. Сегаль, Упрощения при расчете
циклических систем, «Проект и стандарт» № 3, 1937 и «Расчет замкнутого кольца»
в Сборнике № 3 «Исследования по теории сооружений». 1936.
297
Если внешняя нагрузка сама обладает свойствами прямой или
обратной симметрии, то отличными от нуля будут только те из неизвест-
ных, которые выражаются тем же символом, что и внешняя нагрузка^
остальные неизвестные обратятся в нуль.
Отметим еще следующее очевидное свойство статически неопредели-
мых систем, аналогичное свойству статически определимых систем: от
переноса вдоль нерастяжимого и несжимаемого прямого стержня точки
приложения силы, направленной
по этому стержню, эпюры М и Q
системы остаются без изменений.
Изменяется только эпюра 7V ж
протяжении соответствующего
участка этого стержня. (Выска-
зывая такие утверждения, мы
здесь, юак и во всем предшествую-
щем изложении, игнорируем
влияние продольной силы на из-
гибающие моменты).
На этом основании можно,
б)
1Ш1иа1Н1иицини1ин11111Н|1111И111нн|||
•х,
Фиг. 303
Не всегда можно превратить
н апример, н е выз ыв а я ника кого
изменения эпюры заменить на-
грузку и опорные реакции, отве-
чающие фиг. 303, а, силами, пока-
занными на фиг. 303, б. Эти силы
образуют картину, характеризуе-
мую символом |-|-В—Г\, поэто-
му задача сводится только к од-
ной неизвестной Ар Однако такое
преобразование возможно только
при игнорировании влияния про-
дольных деформаций стоек.
При построении эпюры N
нужно вернуть силы в положение,
отвечающее фиг. 303, а.
статически неопределимую систему
с несколькими осями симметрии в основную статически определимую
Фиг. 304
Р
7
х,
пшшшшш
с таким же числом осей симметрии. Например, это относится ко всякой
системе с четным числом осей симметрии и нечетным числом лишних
неизвестных. В этих случаях вое же необходимо путем группировки
298
«или другими способами добиваться восстановления симметрии в
эпюрах.
Рассмотрим фиг, 304. Основная трехшарнирная система имеет только
одну ось симметрии — вертикальную; эпюры тем не менее обладают
прямой и обратной симметрией относительно обеих осей. При этом
А2 = = 0.
Фиг. 305
Тот же результат можно получить быстрее, воспользовавшись двумя
основными системами (фиг. 305): одной — для внешней нагрузки и дру*
гой — для лишних неизвестных. Здесь сразу ясно, что только одна лиш-
а)
Фиг. 306 Фиг. 307
няя неизвестная, которая вызовет эпюру моментов с двумя осями сим-
метрии, отлична от нуля:
М^Мр 4-^X1.
299
Иногда выгодно разложить симметричную (или обратно симметрич-
ную) нагрузку на две. На фиг. 306 показано такое разложение.
р
Одна из сил Р заменена двумя по каждая. Здесь также
§ 8.9. ЗАДАЧА
□ Дана рама с параллельными горизонтальными поясами н вертикальными стой-
ками, имеющая две оси симметрии и нагруженная вертикальной узловой нагрузкой
(фиг. 307). Пренебрегая деформациями, которые вызываются продольными и попереч-
ными силами, доказать, что расчет приводится к системе трехчленных уравнений.
Указание. Разобьем нагрузку на симметричную (фиг. 307, б) и обратно сим-
метричную (фнг. 307, в) относительно горизонтальной оси. Первая вызовет только
сжатие стоек; никаких изгибающих моментов от нее не возникнет. Характерно, что
в данном случае эпюра моментов в статически неопределимой системе строится проще,
чем в статически определимой. Вторая нагрузка вызовет в середине длины стоек только
поперечные силы. Что касается продольных сил и изгибающих моментов в этих сече-
ниях стоек, то они как симметричные относительно горизонтальной оси обратятся
в нуль. В задаче останется всего 8 лишних неизвестных — поперечных сил в серединах
стоек.
На фнг. 307 показано построение эпюр Мь М2, М3>... Для каждой нз них взята
своя особая основная система. Такое одновременное применение нескольких основных
систем позволяет в данном случае получить простейшие основные эпюры. Первое я
последнее из каиоиических уравнений будут содержать по две неизвестных, остальные
будут трехчленными. Для построения эпюры М Р можно взять любую основную систему.
На фиг. 308 показано решение той же задачи при помощи одной основной системы.
Последняя выбирается так, чтобы она была симметрична относительно вертикальной
оси. Эпюры ЛЛ, ЛГ2, М3, . - при этом приходится строить как групповые; для образца
показаны эпюры М2 и М3.
Задачу можно еще упростить, если использовать симметрию системы относительно
вертикальной оси, т. е. образовать из неизвестных группы симметричные и обратно
симметричные относительно этой оси. То же можно сделать с внешней нагрузкой. □
§ 9.9. РАСЧЕТ РАМ, СОДЕРЖАЩИХ БЕСКОНЕЧНО ЖЕСТКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
□ В рамных системах могут иногда встретиться такие элементы, кото-
рые с практической точки зрения могут считаться абсолютно жесткими
зоо
яе только по отношению к деформациям удлинения (укорочения) и
сдвига, но и по отношению к деформации изгиба. Наличие таких элемен-
тов не создает с расчетной точки зрения осложнений; наоборот, поскольку
для таких элементов можно принять 7= со и/^оо, все интегралы, содер-
жащие в знаменателе эти величины, обращаются в нуль. Кроме того, при
наличии бесконечно жестких элементов иногда уменьшается число лиш-
них неизвестных.
Рассмотрим несколько примеров.
Фиг. 309
В раме, представленной на фиг. 309, а, ригель будем считать абсо-
лютно жестким. Тогда при вычислении перемещений можно игнорировать
ту часть эпюр, которая относится к ригелю. За основные эпюры можно
принять показанные на фиг. 309, б, в, г.
Фиг. 310
Фиг. 310, а изображает схему рамы, содержащей 18 лишних неиз-
вестных.
Фиг. 310,6 отличается от фиг. 310, а тем, что один из замкнутых кон-
туров заменяется сплошной -стенкой, а это равносильно замене двух гори-
зонтальных ригелей одним. Число лишних неизвестных снижается на
3 единицы, что 'видно из фиг. 310, в. □
301
§ 10.9. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
ОСНОВНЫХ СИСТЕМ
Количество канонических уравнений можно значительно снизить,
если для получения основной системы откинуть только часть лишних
связей. Но этот прием требует, чтобы предварительно были вычислены
все необходимые перемещения в статически неопределимой основной
системе. Если эти величины известны, то задача решается просто.
Пусть, например, требуется рассчитать путепровод, представленный
на фиг. 311, а. Эта система содержит 9 лишних связей. Основная система
может быть выбр(ана в виде неразрезной балки (фиг. 311,6). Тогда неиз-
вестными будут только 5 (моментов взаимодействия между стойками и
Фиг. 311
балкой, н для -них можно будет составить 5 канонических уравнений. Но
прежде чем решать эти канонические уравнения, придется определить
коэффициенты . Акоторые выражают перемещения статически не-
определимой основной системы. Для этого нужно построить эпюры
Ли . .. Д/и5, мР.
При помощи моментных фокусов неразрезной балки мы можем
построить эти эпюры для ригеля; для стоек же их построение вообще ие
встречает трудностей. На фиг. 311, в показана одна из них — эпюра AG.
Из уравнения трех моментов для опоры С легко вывести, как распреде-
ляется момент Af = 1 в сечении С между пролетами СВ и CD:
Мсв • Mcd ~ •
•СП
JCB
JCD
3V2
Имея эпюры, можно подсчитать перемещения вида по формуле
й VI Г ММ ds . f M.Mpds
д"=.2Н- >
причем для сокращения вычислительной работы мы имеем право взять
эпюру М; в основной статически неопределимой системе, а эпюры Mk
МР — в статически определимой (ом. § 12.3).
На фиг. 312, а показан другой пример. Система имеет 9 лишних не-
мз!вестных. Будем рассматривать основную систему как нераврезную
стойку, шарнирно прикрепленную в узлах А, В и С к неразрезным риге-
лям. Тогда неизвестными будут 3 момента взаимодействия стойки и риге-
лей (фиг. 312, б).
Применение этого метода возможно всегда; при этом необходимо,
чтобы статически неопределимая основная система была предвари-
тельно хорошо изучена и для нее были подготовлены все необходимые
эпюры
Раму, представленную на фиг. 311, можно привести к системе
с четырьмя лишними неизвестными, показанными на фиг. 313, но для
этого нужно предварительно подготовить формулы и эпюры для стати-
чески неопределимой рамы, имеющей форму буквы Г (фиг. 314).
1 Формулы и графики для некоторых основных статически неопределимых рам см.
в книге проф. Д. В. Бычкова «Формулы н графики для расчета рам>, 2-е изд., Строй-
яздат, 1950.
303
§ 11.9. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ СПОСОБОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИИ (СПОСОБОМ ИТЕРАЦИИ)
□ Для системы, состоящей из большого количества уравнений, обыч-
ные способы решения оказываются слишком утомительными. В этих слу-
чаях более удобным оказывается способ последовательных приближений.
Точность его может быть доведена до любой желательной степени.
Пусть требуется решить систему уравнений:
+ 2Х2 -1,5Х3 = 15;
2Хх + 15JT2 — =10;
(а)
Хг-Х2 + 6Х3 =7,5.
Представим каждое из уравнений в виде формулы, выражающей одно из
неизвестных через остальные:
Хх = -0,2Х2 + 0,15Х3 + 1,5;
Х2 = - 0,133X1 + 0,2Xj + 0,667;
Х3 = — 0,1667Х2 - 0Д667Х, + 1,25.
(б)
Процесс решения состоит в следующем: в качестве первого прибли-
жения для всех неизвестных задаются произвольные значения. Подставив
эти приближения в правую часть формул (б), получим в левой части
вторые приближения. Подставив в правую часть вторые приближения,
получим третьи приближения, и т. д.
Например, зададимся первыми приближениями:
Х/=1, Х2'=1, Х/=1.
Тогда дальнейшие приближения выразятся так:
X; =-0,2-1 +0,15-1 + 1,5= 1,450;
х; =-0,133-1 +0,2-1+0,667 = 0,734;
х; =-0,1667-1 -0,1667-1 + 1,25 = 0,917;
Х[' = — 0,2-0,734 + 0,15-0,917+ 1,5=1,491;
Х;г = - 0,133 • 1,450 + 0,2 • 0,917 + 0,667 = 0,657;
х; = -0,1667-1,450 — 0,1667 0,734 + 1,25 = 0,886
и т. д.
Для большей компактности целесообразно расположить вычисления
в форме табл. 12.
Таблица 12
№ уравнения j X. х, х» | Свободные члены
1 Xi Уравнены —0,2 0,15 1,5
2 Х2 -0,133 — 0,2 0,667
3 Х3 -0,1667 —0,1667 — 1,25
Приближения
1-е приближение 1 1 1
2-е 1,450 0,734 0,917
3-е 1,491 0,657 0,886
4-е , 1,502 0,646 0,892
5-е 1,505 0,645 0,892
6-е , 1,505 0,645 0,892
304
Как видно из таблицы, шестое приближение совпало с пятым, по-
этому процесс можно считать законченным. Вообще же процесс вычисле-
ний прерывают тогда, когда два последовательных приближения всех
неизвестных оказываются достаточно близкими друг другу.
Является ли указанный процесс сходящимся или нет, зависит от
коэффициентов при неизвестных, но не зависит от свободных членов
а также от величин произвольных первых приближений. Неудачное зада-
ние первых приближений, равно как и вкравшаяся 'арифметическая
ошибка, могут иметь своим следствием то, что увеличится количество
'требуемых приближений, но это не может сделать 'сходящийся процесс
расходящимся.
Если сумма абсолютных величин коэффициентов при неизвестных
в каждой из формул (б) меньше единицы, то процесс заведомо будет схо-
дящимся. В данном случае это условие соблюдается:
0,2 + 0,15<1; 0,133 + 0,2< 1; 0,1667 + 0,1667 < 1.
Если хотя бы одна из сумм больше единицы, то поручиться за сходимость
процесса нельзя, но сама таблица в ходе расчета обычно показывает,
стремятся ли величины всех неизвестных к определенным пределам *. □
§ 12.9. ПРОВЕРКА ЭПЮР И ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Проверка правильности решения канонических уравнений недоста-
точна. Она не гарантирует правильности построения эпюр и л. в., так как
эти построения требуют ряда дополнительных вычислительных или гра-
фических операций (умножения и сложения ординат и т. п.). Самой убе-
дительной проверкой является, конечно, проверка окончательных резуль-
татов.
Если конечный результат получен в виде эпюр Af, Q, N, то в первую
очередь следует проверить эпюру М, так как ошибка, имеющаяся в этой
эпюре, предрешает неправильность остальных двух. Однако ошибка,
сделанная в эпюре М, нередко обнаруживается именно при рассмотре-
нии эпюр Q и АГ.
Проверка эпюры М должна быть двоякой, так как имеет целью вы-
яснить, удовлетворяет ли эпюра: 1) условиям равновесия; 2) условиям
деформаций (граничным условиям).
Поясним сказанное на примере.
Проверка условий равновесия. Для проверки эпюры М, представлен-
ной на фиг. 315, а, вырежем узлы В (фиг. 315, б) и Е (фиг. 315, в) и
посмотрим, равна ли нулю сумма моментов, действующих на каждый из
них. Направления пар, заменяющих действие отброшенных частей на
узлы, вполне определяются расположением растянутых (волокон. Что
касается их величин, то в узле Е обе пары должны быть равны и проти-
воположны, а в узле В сумма двух пар, направленных против часовой
стрелки, должна быть равна третьей, направленной по часовой стрелке.
1 Об условиях сходимости и других вопросах метода итерации ом. проф.
И. Я- Шт а ерма н а, О методе последовательных приближений в строительной меха-
нике, Киев, 1929; проф. Д. Ю. Панов (в приложении к книге Скарборо, Чнслеииые
методы математического анализа, 1934, стр. 388). Более подробная библиография ука-
зана в книге автора, «Методы расчета рам», ч. Ill, стр. 132—140. Многочисленные,
хорошо разработанные примеры см. в книге проф. Б. Н. Демочкина, Расчет рам,
1933. См. также В. Н. Фаддеева, Вычислительные методы линейной алгебры, 1950;
Ш. М. Гофман, К вопросу о решении системы линейных алгебраических уравнений,
«Доклады Академии наук Узбекской ССР» № 2, 1949.
20—И. М. Рабинович
Ж
Перерезав стойки, как показано пунктирной линией, и рассматривая
условия равновесия, мы сейчас же заметим, что поперечные силы Qbc и
Qef должны быть друг другу равны и противоположны, а для этого
нужно, чтобы тангенсы углов наклона эпюры моментов и а стойках были
Друг другу равны и противоположны.
Но если бы на ригель действо-
вали наклонные силы, то сумма по-
перечных сил в стойках должна была
бы равняться не нулю, а сумме го-
ризонтальных проекций вышележа-
щей нагрузки, взятой с обратным
знаком.
Итак, проверка равновесия со-
стоит в том, что вырезается узел или
более крупная часть сооружения и
рассматривается сумма проекций
или моментов всех внешних и внут-
ренних сил, приложенных м этой
части.
Проверка деформаций должна
установить, согласуются ли эпюры
с условиями деформаций данной си-
стемы. Для этой цели достаточно» вы-
числить при помощи общей формулы
одно из таких перемещений, которое
должно заведомо равняться нулю.
Пусть, например, требуется про-
ф г з15 верить эпюру М, представленную на
Пользуясь эпюрами и М2
(фиг. 316, б и в), можно вычислить
умноженное на Е/й вертикальное перемещение точки А по формуле
£7„Д1Р = 2
и угол взаимного поворота двух произвольных смежных сечений — по
формуле
£70Д2р = 2yds, и т. д.
Особенно простой является вторая из этих проверок. В самом деле,
А12 1, следовательно:
Этот вывод мы уже получили раньше: при действии любой нагрузки
приведенная площадь эпюры моментов для замкнутого бесшарнирного
контура равна нулю. Если она окажется отличной от нуля, то это будет
свидетельствовать о наличии ошибки.
При вычислении приведенной площади J ^j-Mds нужно поступать
так: не делая приведения положительных членов с отрицательными, вы-
числить отдельно сумму положительных чисел (приведенную положи-
тельную площадь) и отдельно сумму отрицательных. Если разница между
обеими суммами, выраженная в процентах по отношению к любой из
306
этих сумм, .невелика, то результат можно считать удовлетворительным.
Таким же способом следует проверять и другие, .равные нулю переме-
щения.
Если коэффициенты канонических уравнений вычислялись с учетом
влияния продольных сил или продольных и поперечных сил, то, разу-
меется, и провер.ку эпюр нужно будет производить по точной формуле
При проверке эпюры, вызванной действием температуры, нужно не
забывать, что любое перемещение выражается формулой
д 1 ‘ = S J мм 14 ds + 2 J NNi £ ds + 2 J11Q Q1s? ds +
+2 N^tds+S
[cm. § 4.3, формулу (4.3)].
При проверке общего вида л. в. большую помощь оказывает принцип
взаимности, согласно которому .всякая л. в, представляет собой линию
прогибов. Если в л. в. получаются отличные от нуля ординаты на непод-
вижных опорах или переломы в таких сечениях, где нет шарниров, и т. п„
то ошибку можно указать сразу же, не производя вычислений.
Пусть вертикальный груз Р ~ 1 движется по верхнему ригелю рамы,
представленной на фиг. 317, а. Линия влияния изгибающего момента
• в сечении А нижнего ригеля получена в виде кривой d—d. Правильно ли
это? Несомненно, что это неправильно.
Правильное решение показано на фиг. 317,6. Поместив в сечении А
шарнир и приложив две пары, нужно представить себе линию прогибов
20» 307
того стержня, по которому движется груз Р= 1. Линия влияния будет
«меть вид кривой а—at
Если бы вертикальный груз двигался по нижнему ригелю, л. в. того
же изгибающего момента имела бы вид d—d; если бы горизонтальный
груз перемещался по левой стойке, л. в. имела бы вид b—b и т. д,
Если груз движется по бесконечно жесткому участку стержня, то
соответствующий участок любой л. в, представляет собой прямую или
две прямые. Одна прямая получается, когда сечение, для которого
строится л. в., не лежит на том же участке стержня; две прямых —©об-
ратном случае.
§ 13.9. ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ
□ Задача М 20. На фиг. 318 представлена эпюра М для рамы. Возможна ли она
при действии температуры и вертикальной нагрузки?
Задача Л® 21. Возможна ли эпюра М, представленная на фиг. 319, при действии
Фиг. 320
Фиг. 319
Задача № 22. Возможна ли эпюра моментов, показанная на фиг. 320, при действии
какой бы то ни было внешней нагрузки, если стержни рамы имеют постоянное по их
длине сечение?
Указание. На фиг. 320 приведенная площадь эпюры, очевидно, не равна
яулю. □
§14.9, О НЕКОТОРЫХ ВОЗМОЖНЫХ ОБОБЩЕНИЯХ МЕТОДА СИЛ
□ Несмотря на сравнительно высокое совершенство современного
метода сил, процесс его развития нельзя считать законченным. Дальней-
шее развитие его возможно и оно в то же время неизбежно, так как воз-
растающая сложность сооружений, применяемых на практике, требует
все более и более совершенных методов расчета.
Хотя в литературе вопросы обобщения метода сил почти не разраба-
тывались, все же имеется несколько идей, дающих понятие о возможных
перспективах в этом направлении.
Первое обобщение состоит в освобождении расчета от трудностей,
возникающих при пользовании какой-нибудь одной основной системой.
Мы уже видели, что любую из этих эпюр можно строить при помощи
любой основной системы, образованной из заданного статически
308
неопределимого сооружения. Отсюда возникает идея о том, что пользо-
вание основной системой или основными системами вообще необя-
зательно
Можно сказать, что для системы с п лишними связями за основные
эпюры можно принять такие п независимых эпюр, каждая из которых
получается следующим путем: в заданном сооружени устраиваются те
или иные разрезы или шарниры и вместо отброшенных связей вводятся
попарно равные и противоположные реакции последних, имеющие притом
произвольную заданную величину. Кроме этих п эпюр, рассматривается
п + 1-я, отвечающая внешней нагрузке и относящаяся к какой-нибудь из
возможных основных систем.
Пользуясь принципом группировки, можно из этих п +11 эпюр обра-
зовать разнообразными способами п + 1 других эпюр, которые также
могут считаться основными. В каждом из них или в некоторых из них
может участвовать эпюра Л4/>;в этом и состоит одно из дальнейших
обобщений.
Следующее обобщение касается способа составления тех уравнений,
при помощи которых определяются неизвестные Хг, Х2, ..., Хп,
Их можно написать следующим образом 1 2:
+ • • • + + ^а, п +1 — Oj
+ ^2^2 4~ + • • • + п + 1 = 0;
(4.9)
где индексами а, b и т. д. обозна-
чены такие направления, по кото-
рым перемещения в заданной ста-
тически неопределимой системе
заведомо равны нулю. Уравне-
ния такого вида можно писать
также при обычном выборе основ-
ных эпюр.
Приведем пример составле-
ния таких уравнений. Пусть требуется (рассчитать
раму <с тремя лишними связями, представленную на
фиг. 321. В качестве основных эпюр выбраны эпюры
М2, показанные на той же фигуре. Чтобы
сделать все три эпюры взаимно ортогональными,
пришлось бы заменить по крайней мере две из них
групповыми так, чтобы каждая из трех эпюр была
взаимно ортогональна с остальными.
Более простой задачей является разыскание
такой эпюры А14, которая удовлетворяла бы усло-
виям 841«\2=^0; при этом не требуется, чтобы
было &32 — 0. Построение такой эпюры было указа-
но выше (см. § 5.6, задача № 16).
Таким же способом можно построить эпюру Л45,
ортогональную с М2 и М& и эпюру ортогональ-
ную с Л/i и Л13.
После этого можно написать
Фиг. 321
1 См. А. Верещагин, Новые методы расчета статически неопределимых систем»
«Строительная промышленность», 1925, стр. 655.
2 И. М. Рабинович, Обобщения метода сил, сборник «Рамы и фермы», Гое*
стройиздат, 1933, стр. 220. г
309
^5i^i Ч- Asp = 0;
^62^2 И- Asp = 0;
^43^3 4* ^4Р = 0.
□
§ 15.9. к ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ МЕТОДА СИЛ1
□ Специальные приемы метода сил, предназначенные для преодоле-
ния трудностей расчета статически неопределимых систем с большим
числом неизвестных, начали разрабатываться довольно давно. Первым
результатом таких изысканий был вывод уравнения трех моментов для
неразрезной балки.
Идея обращения в 'нуль коэффициентов некоторых канонических
уравнений при помощи введения бесконечно жестких стержней и пере-
носа на них лишних неизвестных впервые нашла себе применение
в 1881 г. (Мор), идея использования групповых неизвестных появилась
в 1892 г. (Мюллер-Бреслау). В качестве простейшей группировки сначала
применялось соединение лишних неизвестных в симметричные и обратно
симметричные группы, затем появились более сложные группы неизвест-
ных, образованные по принципу линейного однородного преобразования
с применением произвольных .коэффициентов.
В XX столетии расчет статически неопределимых рам разрабаты-
вался многими авторами за рубежом и в СССР. В первое время основ-
ная зад>ача состояла в расчете рам с параллельными горизонтальными
поясами и вертикальными стойками («безраскосных ферм», как их тогда
называли). Лишь впоследствии, когда рамные каркасы различных видов
стали широко применяться в промышленном и гражданском строитель-
ствах, эта тема была расширена. Укажем здесь на некоторые ранние
работы отечественных авторов.
Одна из первых работ принадлежит профессору Петербургского ин-
ститута инженеров путей сообщения Л. Ф. Николаи2. Он предложил два
способа расчета. Первый, приближенный, назван им «способом фиктив-
ных раскосов». Он состоит в следующем: в каждый четырехугольный кон-
тур, образованный двумя смежными стойками и обоими поясами, встав-
ляются раскосы и определяются усилия во всех элементах. Затем эти рас-
косы выбрасываются и рама нагружается усилиями, которые действовали
в них. Читатель данного курса, который познакомится с методом дефор-
маций, 'изложенным в следующей главе, увидит, что проф. Л. Ф. Николаи
в своей работе предвосхитил основную идею этого метода — введение
связей и затем выключение их из работы. Нужно добавить, что способ
проф. Л. Ф. Николаи — приближенный, так как учитывает влияние сил,
заменяющих раскосы, лишь на протяжении одной панели. Зато способ
прост и удобен по сравнению с чрезвычайно громоздкими тогдашними
более точными решениями. Второй, предложенный проф. Николаи способ
является точным, но, как и все решения того времени, весьма сложен.
Следующее крупное исследование принадлежит профессору (впо-
следствии академику) Г. П. Передерию 3. Он вывел основные формулы
для рамы, имеющей вид прямоугольного замкнутого контура, при различ-
ных соотношениях жесткости стержней и затем распространил их на
многоярусные безраскосные однопанельные рамы с параллельными поя-
1 Более подробный исторический очерк развития специальных приемов метода
сил дан в книге автора «Методы расчета рам», ч. 1, 1934, стр. 10—25.
2 Л. Ф. Николаи, Определение усилий в безраскосных балочных фермах
с жесткими узлами, «Журнал Министерства путей сообщения», книги 2 и 3, 1904.
•Г. П. Передерий, К теории безраскосных ферм, М. 1906.
310
сами. Для того -времени это была одна из наиболее капитальных работ
по теории рам.
В 1904 г. вышла оригинальная книга проф. И. С. Подольского1.
В ней дан простой приближенный .расчет беэраскосных рам с парал-
лельными и непараллельными поясами на неподвижную и подвижную
нагрузку (с построением л. в.). Расчет основан на замене рамы балкой
с вырезами и в этом смысле не походит на все остальные расчеты. Работа
проф. И. С. Подольского была широко использована в России и за рубе-
жом при проектировании таких систем и содействовала их практическому
применению. Она и в настоящее время представляет -интерес как содер-
жащая хороший приближенный метод.
В 1913 г. появился обширный труд проф. Н. С. Стрелецкого, посвя-
щенный методам расчета таких же рам с параллельными поясами и узло-
вой нагрузкой 2. В нем дано полное систематическое критическое изложе-
ние состояния вопроса по всей имевшейся к тому времени литературе со
значительными добавлениями автора. Степень точности и трудоемкости
различных (методов продемонстрирована в книге на числовых примерах
расчета. Работа проф. Н. С. Стрелецкого позволяет довольно ясно оце-
нить эволюцию, которую с тех пор претерпели методы расчета сложных
рамных систем.
В это же время (вышла книга, занимающая особое место в литературе,
посвященной теории расчета статически неопределимых стержневых
систем, — книга инж. В. В. Башинского3. В ней расчет любой рамной
системы начинается с того, что для каждого прямого стержня пишется
уравнение упругой линии, как алгебраический многочлен; степень послед-
него на 4 единицы выше степени кривой, выражающей интенсивность
нагрузки. Коэффициенты многочленов определяются затем из системы
уравнений, выражающих неразрывность деформаций в местах пересече-
ния стержней и условия закрепления на опорах. Недостатком метода
являются большое число уравнений и зависимость этого числа от харак-
тера нагрузки. Однако книга В. В. Башинского оказала полезное идейное
влияние на дальнейшее развитие теории упругой линии.
Началом современного этапа нашей научной литературы по теории
рам можно считать появление в 1921 г. книги проф. Н. С. Стрелецкого,
посвященной расчету сложных статически неопределимых систем 4.
Известная еще с 1907 г. идея линейного преобразования лишних
неизвестных получила в этой работе глубокое развитие. Профессор
Н. С. Стрелецкий изучил свойства групповых эпюр и отвечающих им:
перемещений и указал на статический смысл процесса ортогонализации
групповых эпюр, который в самом обшем случае представляет собой не
что иное, как последовательное введение все более усложняющихся
статически неопределимых основных систем. Так как в этой работе метод
группировки изложен в наиболее общем виде, она производит впечатле-
ние крайне сложной. Вслед затем началась интенсивная, сопровождаемая
большими достижениями разработка вопроса отечественными учеными,
которая привела к созданию обширной научной и учебной литературы.
На ней главным образом основано содержание настоящей главы. Основ-
ные литературные источники даны также в сносках к этой главе. □
1И. С. Подольский, Безрзскосные фермы. Их расчет и применение к метал-
лическим и железобетонным конструкциям, М. 1909.
2Н. Стрелецкий, Способы расчета безраскосных балок с параллельными
поясами и узловой нагрузкой, Спб. 1913.
3 В. В. Б ашинский, Новый метод расчета балок и жестких рамных систем,
Киев, 1913; 2-е изд., М. 1930.
* Н. С. Стрелецкий, К расчету сложных статически неопределимых систем,
М. 1921.
ЭИ
i
Глава 10
РАСЧЕТ РАМНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ДЕФОРМАЦИЙ
(ПЕРЕМЕЩЕНИЙ) И СМЕШАННЫМ МЕТОДОМ
§ 1.10. СТЕПЕНЬ УПРУГОЙ ПОДВИЖНОСТИ УЗЛОВ РАМНОЙ СИСТЕМЫ
Как и всякое сооружение, рамное сооружение должно обладать
геометрической неизменяемостью в установленном условном смысле этого
слова, т. е. в предположении абсолютной жесткости материала. Однако
подобно всякому сооружению рам.а может иметь перемещения, вовникаю-
цие вследствие податливости материала.
Условимся пренебрегать продольными деформациями стержней и
влиянием сдвига, а принимать во внимание только деформации изгиба.
Кроме того, считая деформации весьма милыми, мы не будем делать раз-
личия между первоначальной длиной прямого стержня и длиной хорды,
стягивающей его упругую линию; иначе говоря, будем пренебрегать сбли-
жением его 'концов при изгибе. Разумеется, это не дает нам никакого
права считать, что концы кривого стержня при изгибе также сохраняют
свое первоначальное взаимное расстояние.
Исходя из этих двух предпосылок, очень легко разобрать, -могут лн
геометрические центры узлов рамы перемещаться под действием внешней
нагрузки. Если они могут перемещаться, то количество независимых гео-
метрических параметров, характеризующих возможные перемещения,
будем называть степенью линейной подвижности узлов рамы.
Рассмотрим, для примера схему, изображенную на фиг. 322, а, и спро-
сим себя, обладает ли узел В линейной подвижностью, т. е. может ли
центр узла переместиться по какой-нибудь траектории. Ответ на этот
вопрос дает фиг. 322, б, на которой изображена шарнирная схема той же
рамы. Эта схема получается при помощи установки шарниров во всех
узлах. Степень подвижности узлов рамы совпадает со степенью изменяе-
мости шарнирной схемы. Так как фиг. 322,6 представляет собой трех-
шарнирную арку, то степень изменяемости рамы равна нулю.
На фиг. 323—326 пунктиром показаны возможные перемещения шар-
нирной схемы .рамы и цифрами обозначена степень подвижности узлов.
Если рама обладает той или иной степенью упругой подвижности,
то может возникнуть вопрос о построении перемещений ее шарнирной
схемы. В простых случаях соотношение перемещений выводится непо-
средственно из чертежа. Например, из фиг. 323 ясно, что
CC'=DD'-, Фсд = -^
I — П£>/ — ! СА
ГВП ~~ DB ~~ DB •
□ В более сложных -случаях задача решается при помощи плана пере-
мещений. Пусть, например, на фиг. 327, а левая стойка повернулась по
часовой стрелке иа заданный уголфвл. Неполярный план перемещений
достроен на фиг. 327, а; полярный — на фиг. 327, б.
312
При помощи неполярного плана углы поворота выражаются по вели-
чине и по знаку так:
где k — масштабный множитель. Отсюда
“ ВВ' Фвд*
Далее
, д/i CfD'\ . СО , В'С'\
CD)~^ CD ’ Фвс“^р ВС/’
При помощи полярного плана все это выражается проще:
Фа* ~к ва ’
откуда
. ВА ,
k~ а *вл-
Далее
Фсд = CD ’ ^вс ~^Вс'
Фиг, 328
Кроме линейной подвижности, характеризуемой перемещениями гео-
метрических центров узлов, существует еще угловая подвижность узлов.
При изгибе стержней образуются
упругие линии, касательные к кото-
рым в различных точках имеют раз-
личные углы наклона. Углом пово-
рота узл(а мы будем называть угол,
на который поворачиваются каса-
тельные, проведенные к упругим ли-
ниям в этом узле. Например, на
фиг. 328 углом поворота узла А
будем называть угол <рд, общий для
всех трех касательных, сходящихся
в ием.
Если для какой- нибуд ь рамы,
нагруженной заданной нагрузкой,
удастся найти линейные и угловые
перемещения узлов, то после этого
уже нетрудно будет найти и все усилия. На этом и основан метод дефор-
маций (правильнее было бы сказать метод перемещений), в котором за
основные неизвестные принимаются либо линейные и угловые перемеще-
ния узлов, либо группы, образованные из этих .величин.
§ 2.10. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЙ (ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕАКЦИЙ)
Вспомогательными величинами при пользовании методом деформа-
ций для рам с прямыми стержнями служат реакции, возникающие в 'Ста-
тически неопределимой балке с прямой осью при различных воздействиях.
Величины этих реакций могут быть найдены методом сил. Ограничимся
формулами для балки постоянного сечения с обоими упруго защемлен-
314
..i.Шк
ными или с одним упруго защемленным, а другим — шарнирно опертым
ко:нцом.
На фиг. 329 показана балка постоянного сечения с двумя защемлен-
ными концами. Пусть опоры вместе с концевыми сечениями А и В повер-
нулись на углы <?А( <рв и одновременно сместились друг относительно друга
так, что прямая АВ повернулась на угол ф, после чего опоры сделались
абсолютно неподвижными. За
положительное направление
для этих углов примем идущее
по часовой стрелке. Реактив-
ные моменты МА и А1дна кон-
цах балки (т. е. действие опор
на сечения А я В балки) так-
же будем считать положитель-
ными в том случае, когда они
направлены по часовой стрелке,
а реакции RAi RB —когда они
направлены вверх.
Для определения величин
МА и Мв мы можем принять
их за основные неизвестные
и составить для них два канонических уравнения метода сил, причем
должны будем считать заданными углы поворота опор <рд, <рв, ф и внеш-
нюю нагрузку. Решив эти уравнения, мы получим искомые выражения
для моментов, после чего легко найдем также реакции Rb, Напишем
решение в готовом виде:
^а = (2?а + <ГВ - Зф) - 4- - /);
Мв = ^т- (ЧА + 2?в - Зф) + (Зхд -/);
^('Ра + 'Рв — 2'И— -у(хл"хг) +
4j
Фиг. 329
"1
<*>
’в
(1.10)
«А
внешней
Лв = (?л + <РВ - 2ф) + ~(хА - хв) + R°.
Здесь со—площадь эпюры моментов, которая вызывается
нагрузкой в балке с шарнирно опертыми концами;
хА, хв—расстояния центра тяжести этой площади от опорных вер-
тикалей;
RA, Я в — опорные реакции от внешней нагрузки в балке с шарнирно
опертыми концами.
Из этих общих формул получены те отдельные частные случаи, кото-
рые приведены в табл. 13. Например, для балки с абсолютно защемлен-
ными и неподвижными концами получается:
^А = -"-(3^в-/); MB = -^(3xA-i);
«a = -V(Xa-^) + «°a.
При повороте левого конца А балки на угол с?л получается
.. 45J Л4 2EJ . D n 6EJ
МА-—Ы МВ = — ^ = =-----^“?А-
315
Таблица 13
Реакции балок постоянного сечения
Схема сооружения и воздействия на него Эпюры изгибающих моментов и реакции (ординаты отложены со стороны растянутого волокна) Формулы
Балка с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом
316
Продолжение
Схема сооружения
н воздействия на него
Эпюры изгибающих
моментов и реакции
(ординаты отложены
со стороны растянутого
волокна)
Формулы
3EJ 35J ,
3EJ
3EJ ,
~ 11. +
„ 3£/аГ
МЛ — ———, где d— вы-
А 2d
сота поперечного сече-
ния, а—коэффициент ли-
нейного расширения
#А =—Кв~
3EJaf
2dl
Воздействия N 1~6
Формулы для такой
балки получаются из
предыдущих при помо-
щи подстановки A = I
Балка с защемленными концами
МА =—uv^Pl
Мв = tfivPl
Мс = 2uWPl
/?л=г,г(1+2и)Р
Рв = и\1 + 2о) Р
317
I.
I
Продолжение
м Схема сооружения и воздействия на него Эпюры изгибающих моментов и реакции (ординаты отложены се стороны растянутого волокна) Формулы
11 1 л 1 । । Р 1 —Н . ,^г J? Хэ *11 1 II II с?1 А Л II ю го 1 1 ? i g 1 а а -|а
12 1 3 11/ X 1 ' L—; —_J лл 457 МА~ /1""сРа лл 2£7 ^В- Та ч и ~ 6^. “А ~—Кв —
13 | \ zA. й—1 ~~~~! ч 6EJ - /. 125J г ДА“-ДВ- ,2, \2Е1 = ж
14 Неравномерный нагрев 'Я ^Ьвии®^ EJaf мА=—мв^ d , где d—высота попереч- ного сечения «л=Лв = О
15 1 1 и 2 1 воздействия N 7-12 — Формулы для такой балки получаются из предыдущих при помо- щи подстановки Zi = /
318
Полезно запомнить, что если угол положительный, то оба реактив-
ных момента получаются положительными, причем момент на конце Д
в 2 раза больше момента Мв.
Для балки постоянного сечения с защемленным левым концом- и
опертым правым (фиг. 330) можно вывести формулы, приняв во второй
из формул (1Л0) Мв = 0. В результате-получается
лл 3EJ { . х Зо>
—-^-(?а-ф) + -7-^ + ^а; (2.10)
Отсюда видно, что при повороте сечения А возникает момент
ма = ~ Та?
при повороте пролета АВ на угол ф в сохранении первоначального ва
правления касательной к упругой линии в сечении А получается
М. = ——
А I
При абсолютной неподвижности левого
правого конца
конца и отсутствии смещений
А—-
А ^2
Если бы защемленный конец А был расположен справа, а шарнир-
ный В — слева, то в формулах (2.10) пришлось бы писать ш *с обратным
знаком..
В дальнейшем для сокращения письма будем часто пользоваться
следующим обозначением:
rtr
^ = i. (3.10)
Величину i, имеющую размерность момента, будем называть «коэф-
фициентом жесткости стержня на изгиб» или короче: «коэффициентом
жесткости».
Для стержней переменного сечения, например, для стержней с утол-
щением концов (с вутами), а также для криволинейных стержней фор-
мулы получаются, разумеется, более -сложными. Для стержней с утол-
щенными концами имеются числовые таблицы и графики.
319
§ ЗЛО. ИДЕЯ МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЙ
Чтобы понять Идею метода деформаций, достаточно рассмотреть
простой пример, представленный на фиг. 331. Рама, изображенная на
фиг. 331, а, имеет стержни постоянного сечения. Количество лишних свя-
зей равно 3, степень подвижности узлов равна нулю.
Подобно тому на,к при расчете по методу сил выбирают основную
систему, которая и фигурирует во всех вычислениях, выберем и здесь
основную систему. Так же как и там, позаботимся, чтобы основная
система позволяла легко строить эпюры, вызываемые всевозможными
воздействиями. Но в отличие от метода сил образуем! эту систему не
путем отбрасывания лишних связей, а путем добавления новых связей.
В данном примере достаточно будет добавить одну связь: защемить
узел В. Обратим внимание на то, что здесь речь идет не об обычной
заделке, которая, как известно, эквивалентна трем опорным стержням,
а о такой связи, которая препятствует повороту, не препятствуя линейным
движениям. В такой связи может возникнуть реакция только одного
вида: момент. Раму с защемленным узлом В мы и будем считать основ-
ной системой.
Добавление этой связи не усложняет задачу, а, наоборот, упрощает,
так как преобразованная таким способом рама представляет собой не что
иное, как совокупность двух балок с абсолютно защемленными и несме-
щающимися концами. Для такой системы у нас уже имеются все необхо-
димые формулы и эпюры.
Нагрузим основную систему заданной внешней нагрузкой. Очевидно,
что ригель ВС будет работать как балка с защемленными концами, а
стойка В А останется прямолинейной, следовательно, не будет восприни-
мать никаких изгибающих моментов. Она будет работать только на про-
дольную силу, но продольными деформациями мы решили пренебрегать.
Эпюра Мр представлена иа фиг. 331, б.
Эпюра Мр удовлетворяет всем условиям деформаций, налагаемым
иа раму ‘неразрывностью ее контура н опорными закреплениями. Но она
не удовлетворяет другим условиям задачи, так как для получения такой
эпюры необходимо приложить к узлу В тот реактивный момент, который
возникает в .заделке. Назовем его /?1Р. Принимая за положительное напра-
вление для реактивных моментов то, которое идет по часовой стрелке,
можно написать
Если мы ие приложим к узлу В этой реакции, то узел В не будет
в равновесии. Если мы ее приложим, то впадем в противоречие с усло-
виями задачи.
Чтобы освободиться от противоречия, поступим следующим образом:
представим себе, что та воображаемая опорная конструкция, которая
защемляет узел В, повернулась по часовой стрелке на угол, равный еди-
нице, и увлекла за собой самый узел. Деформация рамы, отвечающая
такому случаю, показана па фиг. 331, в. Реактивный момент назовем
Гц. Он направлен по часовой стрелке и равен сумме двух моментов, из
которых один нужен для того, чтобы изогнуть стойку, другой — для из-
гиба ригеля:
^*11 ” ^*1 4“ ^2 = 4 (/1 + 12)г
; =>
1>л —*• , 4о ' «
4 /2
320
Узел, находящийся © равновесии, показан отдельно, на фиг. 331, а.
Все различие или противоречие между действительной системой и
основной сводится к тому, что в первой узел В может поворачиваться,
а -во второй— нет. Поэтому для устранения противоречия необходимо
повернуть узел В основной системы на некоторый угол Zx.
Тогда окончательная эпюра примет вид
М^Мр + М^.
Реактивный момент в узле В выразится тогда формулой:
Фиг. 331
Остается подобрать теперь величину Zx. Она найдется из того усло-
вия, что в действительной системе к узлу В не приложено никакого реак-
тивного момента, т. е. нз условия
r11Z1 = (б)
Это уравнение можно рассматривать так же, как условие равновесия
узла В. Действительно, если сумма внешних моментов гприло-
женных к узлу, равна нулю, то отсюда следует, что в этом узле, выре-
занном из рамы, внутренние изгибающие (моменты ригеля и стойки также
должны друг друга уравновесить.
При соблюдении условия (б) противоречие между основной и дей-
ствительной рамой (пропадает, и мы получим правильное решение задачи.
Итак:
7-______Р-р М = Мр~ '^-М, (В)
~ П, 4(<1 + <2)’ р 1 4(6 + /,) т'-
Окончательная эпюра моментов показана на фиг. 331, д.
Изложенный метод строго параллелен методу сил: и тут и там
имеется основная система, и тут и там фигурируют единичные воздей-
ствия и вызываемые ими эпюры; в обоих методах противоречие между
21—И. М, Рабинович
321
основной и действительной системами устраняется три помощи условий,
выражаемых системой линейных уравнений (в данном примере — при
помощи одного уравнения); наконец, в обоих случаях окончательная
эпюра выражается линейно через основные эпюры и через основные неиз-
вестные. Можно говорить о дуалистическом соответствии или о дуализме
обоих методов. Более глубокий анализ показывает, что основные уравне-
ния обоих методов суть две формы выражения принципа взаимности
работ.
Замечательно, что вместо трех уравнений с тремя неизвестными мы
получили только одно уравнение с одним неизвестным. Это объясняется
тем, что выбранная нами основная статически неопределимая система
ближе к заданной, чем основная система метода сил. Если бы мы отбро-
сили лишние связи, основная система противоречила бы трем, условиям
действительности, между тем как совокупность заделанных балок про-
тиворечит только одному условию.
Полученное нами решение годится также для построения л. в. Нужно
только принять величину и за независимую переменную. Так, например,
изгибающий момент в сечении В ригеля будет согласно формуле (в)
ЛГЙГ — —
bl. £
4 (Zi + Z3)
Здесь правило знаков принято уже не как для реактивных пар, а ка<и
для изгибающих моментов, т. е. за положительные моменты в ригеле
приняты те, которые выгибают его выпуклостью книзу. Полученное
уравнение показывает, что л. в. Мвс является кубической параболой.
Линия (влияния МвА для верхнего конца стойки совпадает с л. в, МВс.
Для произвольного сечения D ригеля (фиг. 331, а)
Мп = Мр+ М?+ [ 4'2 (Z; ~ с) — Z,=
L *2 ‘2 J
£ \ l\ 4- !%)
где М? —л. в. изгибающего момента в том же сечении D балки ВС
с защемленными концами.
§ 4.10. ПРИМЕР — РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКИ МЕТОДОМ ДЕФОРМАЦИЙ.
УРАВНЕНИЕ ТРЕХ УГЛОВ
□ Пусть момент инерции балки остается постоянным в пределах каждого пролета.
Для получения основной системы защемим все промежуточные опорные сечения и
примем аа неизвестные их углы поворота. Концы балки оставим без дополнительных
закреплений.
Рассмотрим два последовательных пролета (фиг. 332). Обозначим реактивный
момент, который возникает в заделке опорного сечения п от внешней нагрузки проле-
тов ln. /n+i,через Rnp', реактивный момент в той же заделке, вызываемый единичным
поворотом узла п— 1, —через G?, n i и т- Д- Углы наклона упругой линии на опорах
обозначим через <рп- Тогда основное уравнение равновесия узла, т. е. условие отсут-
ствия внешнего защемляющего момента на этой опоре, выразится так:
гп, п-l tn-y + rnn t„ + Гя, я+1 ?Я+1 + RnP = °- (4-|0>
где
Гп, П-1 “ Гпп “ 4^'л + ^я + 1)» гп, П + 1 ~
Свободный член RnP представляет собой сумму реактивных моментов, возникаю-
щих на опоре п от нагрузок, стоящих в пролетах 1п и Zn+1. На основании формул (1.10)^
относящихся к балке с защемленными концами, можно написать
322
2<*>n 2<i>n , j
#np + “TF (Зхд — “ ~~p (Зхв ~ zn+i)-
n *я+1
Сделав подстановки и сократив уравнение (4.10) на 2, получим
1п »»->+ 2 ('« + W1) + '»+! ?п+1 - - -4 (3*Л - Q +
1п
Фиг. 332
(5)
Система уравнений трех углов решается столь же легко и теми же приемами,
как система уравнений трех моментов. В применении к углам поворота опорных сече-
ний можно развить теорию фокусных отношений (угловых), аналогичную теории
моментных фокусных отношений.
Если, например, вся нагрузка расположена справа от л 4- 1-го пролета, то правая
часть всех уравнений до n-го включительно равна нулю, поэтому отношения ,
— ( - •, ^га+1 будут вполне определенными. Эти отношения можно назвать фокусными.
Т2 Тл
Уравнения трех углов отличаются в этом случае от уравнений трех моментов только
коэффициентами при неизвестных. □
§ 5.10. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ ЛЮБОЙ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Воспользуемся обозначениями, которые были введены нами для
реакций в § 17.2: через/?1Р, Я2Р, ...»/?аР обозначим реакции дополни-
тельных связей, вызванные заданной внешней нагрузкой; через rik —
реакцию связи i, вызванную единичным перемещением связи k. Неизвест-
ные величины перемещений обозначим через Zn Z2,..., Zn.
Представим перемещения действительной системы как сумму пере-
мещений основной системы, вызванных: 1) внешней нагрузкой, 2) линей-
ными и угловыми (перемещениями дополнительных опор. Наконец, подобно
тому как мы поступаем прн расчете статически определимых систем по
способу замены стержней, напишем, что в каждой из дополнительных
связей суммарная реакция равна нулю, так как фактически эти связи
отсутствуют.
В результате получим канонические уравнения метода деформаций:
rnZi -и г 12Z2 т rlbZs -н ... + гlnZn -г R jp — 0;
Г21^1 + Г22^2 + Г28^3 + • • • + Г2п^п + ^2Р = 0;
(5.10)
Г + Г п2^2 + Г + • • • + Г пп^п + RnP = 0.
В левой части первого уравнения стоит суммарная реакция первой
дополнительной связи; во втором уравнении — суммарная реакция второй
21*
323
дополнительной связи и т. д. В случае действия температуры свободные
члены заменяются выражениями R2f,..., RnP а »в случае расчета на
осадку опор —выражениями /?1с, /?2с. - • - #пе-
Коэффициенты системы (5.10) обладают, как известно, свойством
взаимности. Члены, стоящие на главной диагонали, а также детерминант
системы всегда положительны.
Система уравнений, которые мы вывели в предыдущих параграфах,
является лишь частным случаем, этих общих канонических уравнений,
так как система (5.10) одинаково справедлива для стержней постоянного
или переменного сечения, с прямой нли кривой осью, с недеформируе-
мыми или деформируемыми в продольном направлении стержнями, для
плоских и пространственных систем и т. д. Она справедлива не только для
стержневых систем, но и для систем любого типа.
При составлении канонических уравнений можно принимать за не-
известные не только простые перемещения, например, углы поворота
узлов, но также групповые перемещения, т. е. однородные линейные
функции нескольких перемещений.
Ограничимся одним примером составления канонических уравнений.
Пусть дани рама, схематически представленная на фиг. 333, а. Сечения
всех стержней постоянные.
Для образования основной системы защемим узлы 1 и 2 и добавим
опорный стержень 3, перпендикулярный правой стойке (этот стержень
можно направить как угодно, но только не по направлению стойки 2В).
Полученная система, показанная на фиг. 333, б, в, г и д, очевидно, пред-
ставляет собой совокупность однопролетных балок с абсолютно закреп-
ленными концами, поэтому все ее реакции могут быть найдены ив табл. 13.
Продольными деформациями попрежнему будем пренебрегать.
Примем положительное направление для реактивных моментов по
часовой стрелке, а для опорных реакций дополнительного стержня 3—
вправо. Обозначим через поворот узла 1, через Z2 — поворот узла 2
и через 23— перемещение опорного стержня 3 по его направлению.
Рассмотрим отдельные состояния основной системы. На фиг. 333,6
изображены эпюра изгибающих моментов и соответствующие реакции
для случая действия внешней нагрузки. Реактивные моменты Rxp и R2P
находятся сразу:
р р —
г\1Р i\2P
Опорная реакцияRsp определяется несколько сложнее. Сначала вырезаем
мысленно узел 1; замечая, что в левой стойке поперечная сила равна
нулю, заключаем, что в ригеле продольная сила равна нулю. После
этого вырезаем узел 2. В нем неизвестными являются только продольное
усилие правой стойки и опорная реакция R;iP, которые уравновешиваются
w 2 о
поперечной силой ригеля, равной —« Силовой треугольник для этих
трек сил показан на фиг. 334. Из него находим
R^>= - p COS а.
На фиг. 333, в показано единичное состояние основной системы,
отвечающее перемещению Zi==l. Предполагается, что левая защемля-
ющая опора вместе с узлом 1 повернулась по часовой стрелке на угол
= 1, в то время как две другие дополнительные опоры остались абсо-
324
лютно неподвижными. Из фиг. 333, в, пользуясь табл. 13, сразу можно
определить реактивные моменты:
ГИ ~ (Z'12 “Ь- ^д); ™ ^12’
Что касается реакции r3i, то ее можно определить несколькими спо-
собами. Во-первых, можно было бы вырезать узел /, определить из него
продольное усилие в ригеле и затем перейти к рассмотрению равновесия
узла 2. Второй путь, более простой, который мы и выберем, состоит
в использовании закона взаимности: г81=г13. Он показывает, что мы
можем отказаться от непосредственного разыскания требуемой опорной
реакции. Вместо нее мы найдем несколько позже, когда будем рассматри-
вать единичное состояние Z3 = 1, реактивный момент г13.
На фиг. 333, г показана эпюра, вызванная действием перемещения
Z2 = 1 Из этой схемы находим
r22 = 4(z12 + Z2B);
Что касается реакции г32, то ее определение отложим также до рассмо-
трения эпюры ЛД, так как гБ2 — г23.
Переходим к схеме д, на кото-рой изображена эта эпюра. Она выра-
жает собой результат единичного перемещения опорного стержня 3 по
его направлению прн условии, что узлы 1 и 2 перемещаются поступа-
тельно, не поворачиваясь. Все три стержня перекашиваются, т. е. хорды,
соединяющие их концы, поворачиваются ,на некоторые утлы 61Л, Ф12, .
Прежде (всего необходимо найти эти углы. Для стойки 2В, у которой
конец 2 переместился перпендикулярно направлению стержня -на еди-
ницу, очевидно, ==• “—. Остальные два угла проще‘всего определяются
325
из полярного плана 01'2' (фиг. 333, е). Согласно свойству такого плана
угол поворота любого стержня равен отношению длины его изображения
к длине самого стержня.
Отсюда
б — __sin а . л, „ 1 2' Cos а
1Л 6а 6а ’ 12 6з 4г
Угол ф12 отрицателен, так как направлен против часовой стрелки.
Определив углы ф1Д, ф12, ф2В, можно перейти и нахождению реакций.
Реактивные моменты ?13, л2з определяются по формулам табл. 13:
ri3 r3i 6 + ЧгФгг) ’
Г23 “ Г32 ” 6 (/12Ф12 “h
Что касается реакции г33, для ее нахождения мы укажем два спо-
соба, одинаково общих и заслуживающих внимания. Первый способ —
это способ вырезания узлов, которым мы уже неоднократно пользовались.
Из эпюры М3 легко определим по-
перечные силы во всех стержнях.
После этого вырезаются узлы один
за другим: сначала узел /, из кото-
рого определяются продольные си-
лы Л/мИ Л/12, а затем узел 2, из кото-
рого при помощи замкнутого силово-
го многоугольника находят неизвест-
ные Л/2в и г33. Операция эта на-
столько проста, что не требует даль-
нейших пояснений.
Обратим внимание читателя на
возможное своеобразное видоизме-
нение этой опер(ации. Из того факта,
что действующие на каждый узел
силы уравновешиваются между со-
бой, следует, что если мы изобразим шарнирную схему рамы (фнг. 335, а)
и нагрузим ее в узлах соответствующими поперечными силами и опор-
ными реакциями, то она окажется в равновесии (§ 2.9). Поэтому мы
можем придать последовательному вырезанию отдельных узлов компакт-
ную графическую форму, напоминающую диаграмму усилий в стержнях
фермы.
Можно также поступить следующим образом: перенести все внеш-
ние силы с шарнирной схемы рамы на ее полярный план (фиг. 335,6).
Известно, что сумма моментов этих сил относительно полюса должна
быть равна нулю.
Отсюда
* ФтЛ siП d
-—5------
ПА
ЧЛ12ДЦ
^12
Т = 12 + г12ф?2 + ^). (6.10)
*2В /
Разумеется, что таким же способм можно определить реакции г3ь Г32-
□ Укажем другой, вполне общий путь для нахождения любой реак-
ции rik или RiP. Для этого приравняем нулю сумму работ внешних и
внутренних сил состояния t на возможных перемещениях, совпадающих
326
с перемещениями состояния k шин Р. Мы получим фор мулу, аналогичную
формуле перемещений:
г.-+Э-£- +2МС;-;
Ли>==MlMpds 1 N,Npds +2f
(7.Ю)
где M'P,N'P,Q'P—эпюры, возникающие от внешней нагрузки в любой
статически определимой системе, которая может быть получена из дан-
ной путем устранения тех или иных связей <
Если мы будем принимать во внимание только работу изгибающих
моментов, то получим
= (8-1°)
Фиг. 335
Формулы этн в развернутом виде имеют особенно простой вид для
рам, состоящих нз прямых стержней с постоянным по их длине сечением.
Можно доказать следующую общую теорему: при вычислении инте-
гралов для rlk по формулам (7.10) и (8.10) мы имеем право взять
эпюры M/t Nlf Qi (илиМ^ Nk, Qk) в системе, снабженной любым коли-
чеством добавочных закреплений, совместимых с рассматриваемым пере-
мещением. Величина rik от этого не изменится. □
Напишем теперыканонические уравнения для рассматриваемой рамы:
4 + Чг) “Ь 2г12^2 6 (я1Дф1А + ii2 Ф12) ^3 jy ~ Ф
^12^1 (*12 “Ь *2в) 6 (ii2Ф12 4“ ^5^25) 1 ~ О»
6 (ЧдФ1Л “h *12^12) 6 (*12ф12 + ^2 “Ь
+ 12 (»1Л Ф1Л + + ^вФм) ^3 + -^ cos а = 0.
Когда обе стойки вертикальны, эти уравнения упрощаются.
1 См. книгу автора «Методы расчета рам>, ч. II, 1934.
327
После того как основные неизвестные Zb Z2 и Z3 будут найдены,
можно будет построить окончательные эпюры по формулам
М = МР + М& + M2Z2 + M3Z3;
Q = Qp + + 62-^2 +
Af= KP + MZt + MZ2 + MZS.
§ 6.10. УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЙ ДЛЯ РАМ
С ВЕРТИКАЛЬНЫМИ СТОЙКАМИ
Составим в развернутом виде, т. е. с окончательными формулами для
всех коэффициентов, уравнения метода деформаций для рам, применяе-
мых в качестве каркасов зданий. Этн рамы могут иметь несколько проле-
тов и несколько ярусов (этажей) и имеют обычно вертикальные стойки
и горизонтальные или частью горизонтальные, частью наклонные ригели.
Схема такой рамы представлена на фиг. 336.
В такой раме степень подвижности узлов равна числу ярусов, так
как, очевидно, каждый ярус имеет одну степень свободы по отношению
к лежащему непосредственно под ним. Если какой-нибудь ригель имеет
узел не в точке примыкания стоек (фиг. 337), рама будет иметь большую
степень подвижности. Степень подвижности для схем 336 и 337 соответ-
ственно равна 3 и 4. В настоящем параграфе мы будем рассматривать
только такие рамы, у которых степень подвижности равна числу ярусов.
Прн расчете рам по методу деформаций основными неизвестными
служат две группы величин: 1) углы поворота узлов, которые мы обозна-
чим через <р; 2) углы поворота стержней Ф или взаимные смещения их
концов & (фиг. 336). Для любой стойки о = <р/, где Z — длина стойки;
для любого ригеля о 0, т. е. все ригели перемещаются поступательно.
Если бы стойки были непараллельны между собой или если бы мы
приняли во внимание их продольные деформации, то ригели также полу-
чили бы некоторые угловые отклонения ф.
Полное число неизвестных в схемах фиг. 336 и 337 соответственно
равно 12 -J- 3 — 15 и 12 + 4 = 16; при решении тех же рам методом сил
количество неизвестных равно соответственно 27 и 24.
Для определения неизвестных углов поворота ср и взаимных гори-
зонтальных перемещений & составим канонические уравнения. За основ-
ную систему примем опять раму, образуемую из заданной системы путем
328
защемления узлов и введения дополнительных горизонтальных опорных,
стержней. Эти закрепления превращают основную систему в совокупность
однопролетных балок с несмещающимися опорами. Так, схеме фиг. 338, а
отвечает основная система по схеме фиг. 338, б. В таком узле, в котором
все стержни шарнирно связаны друг с другом, например, в узле А, за-
щемление не вводится. В узле, »в котором лишь часть стержней связана
между собой шарнирно, например в узле В, защемляются только те
концы, которые жестко .связаны друг с другом.
Таи как за неизвестные принимаются два различных вида переме-
щений, то канонические уравнения после раскрытия выражения их коэф-
фициентов также получатся двух различных типов. Одни уравнения будут
представлять собой математическую запись того факта, что реактивные
моменты в дополнительных защемлениях узлов равны нулю, а другие
будут говорить о там* что опорные реакции в дополнительных горизон-
тальных стержнях равны нулю. Нам достаточно вывести по одному урав-
нению каждого типа. В целях придания большей наглядности тем уравне-
ниям, которые мы собираемся вывести, будем обозначать в них неизвест-
ные не обобщенным символом Z, а указанными выше буквами © и о.
Для вывода первой группы уравнений рассмотрим какой-нибудь
узел m произвольной рамы со всеми примыкающими к нему стержнями
(фиг. 339).
Предположим, что узел повернулся по часовой стрелке на угол <рот;
противоположные концы всех примыкающих к нему стержней поверну-
лись также по часовой стрелке на углы и т. д.; кроме того,
стержни получили взаимное перемещение своих концов наЗот1,бт2 и т. д.,
вследствие чего хорды, соединяющие их концы, повернулись по часовой
стрелке на углы
Фт1 = 77 ; = 77 и Т. д.
Реактивный момент, возникающий в заделке узла т, представляет
собой алгебраическую сумму реактивных моментов, обусловленных де-
формацией каждого из стержней в отдельности. Пользуясь форму-
лой (1.10) и обозначив реактивные моменты, вызванные внешней нагруз-
кой, через получим следующее уравнение:
4 (iml + 1т2 +
_ 6 (iebn + «й + Ий + + Af£2 4- Af£3 + =»0;
\ ‘ml ‘m2 *тз *т4 /
329
-или, после сокращения на 2:
+ = (9Л°)
k к Ъ т
где суммирование распространяется на все стержни, жестко (не шар-
нирно) прикрепленные и узлу tn.
Уравнение в таком виде пишется для рамы, у которой нет шарниров.
Если какой-нибудь стержень, жестко скрепленный на одном конце с уз-
лом т, имеет на противоположном конце k шарнир, то в уравнении (9.10)
происходят следующие изменения: в первой сумме слагаемое 2ZmJ/pm, от-
вечающее этому стержню, заменяется членом (фиг. 340), во вто-
рой сумме этот стержень совсем не участвует, таи как при повороте
узла k рамы стержень mk не испытывает никаких усилий. Наконец,
в третьей сумме этому стержню отвечает вместо слагаемогосла-
гаемое — 1,5гтк .
тк Lmk
Для большей ясности обозначим те противоположные концы стерж-
ней, которые жестко присоединены к раме, через k, а шарнирно
прикрепленные — через s и напишем вместо уравнения (9,10) более
общее:
[ £ (2/mi + 1,51ю)1 Тт+ гтЛ - 3 V +
L k, S J k k s
(10.10)
330
В каркасной раме указанного выше типа узлы почти никогда не со-
держат больше четырех стержней; кроме того, величины для ригелей,
как уже указывалось выше, равны нулю. Поэтому каждое из этих урав-
нений содержит не более пяти неизвестных углов поворота и не более
двух величин В; следовательно, всего не более семи неизвестных. Все
остальные неизвестные, как бы ни было велико их число, сами собой
выключаются. Выведенное уравнение справедливо не только для рам
с вертикальными стойками и со степенью упругой подвижности, равной
числу ярусов, но для любой рамы с прямыми стержнями постоянного
сечения.
Обратимся ко второй группе уравнений.
Вывод их будет понятнее,
если мы для иллюстрации бу-
дем пользоваться примером
(фиг. 341). Перережем все
стойки какого-нибудь яруса по
их нижнему сечению, напри-
мер, по линиям W — N, К — К
и т. д., и напишем, что сумма
горизонтальных проекций всех
сил, действующих на отсеченную часть выше разреза, равна нулю. При
этом мы будем считать, что суммарные усилия в дополнительных гори-
зонтальных опорных стержнях основной системы (эти опорные стержни,
равно как и заделки узлов, на чертеже не показаны) равны нулю и по-
этому не будем их вводить в расчет. Таким путем получим уравнения,
которые по своему смыслу эквивалентны условиям, выражающим обра-
щение этих реакций в нуль.
Беря по одному разрезу в каждом ярусе, мы получим для фиг. 341
331
четыре уравнения — ровно столько, сколько она имеет степеней упругой
подвижности.
Горизонтальные проекции сил, действующих на отсеченную часть,
складываются из горизонтальных проекций внешней нагрузки и из по-
перечных сил в стойках. Последние в свою очередь в каждой стойке за-
висят от четырех факторов, представленных на фиг. 342, а — г. Поворот
верхнего конца по часовой стрелке на угол (« 9 верхнее») вызывает
на нижнем конце поперечную силу, направленную слева направо и равную
Положительный поворот нижнего конца на угол сн («у нижнее»)-
вызывает направленную в ту же сторону поперечную силу
6/
—
Отклонение стержня по часовой стерлке на угол Ф вызывает по-
перечную силу обратного направления, равную
12/ , 12/ .
— —Ф.
Наконец, горизонтальная внешняя нагрузка, направленная слева
wanpiaiBo и состоящая из рйаномерно распределенных сил интенсивности s
и сосредоточенной силы •$, вызывает поперечную силу, направленную
влево и равную
Л- + и2(14-2г>)5= 4+Stt2 (3-2и).
Сосредоточенную и сплошную горизонтальные нагрузки, приложен-
ные непосредственно к перерезываемой стойке, обозначим* через S' и sz.
Алгебраическая сумма горизонтальной внешней нагрузки, приложен-
ной к стойке, и поперечной силы на ее нижнем конце равна
5' + s7-^-S'«2(3-2«)=-^ +S'(1 -3z? + 2«3) =
= +S'®2(3-2®).
332
Если на перерезанной стойке имеется, кроме того, крановая нагрузка,
дающая пару с положительным моментом Рс (фиг. 342, (5), то она вызы-
вает поперечную силу, идущую вправо и равную
SPcu’v'
Из всего сказанного следует, что после сокращения на 6 уравнение
горизонтальных проекций примет такой вид:
V1 +s )_2 visx VЦ_+А>+ _££ +
; -r»l Р ‘ б '12 г
-г SVt (б~2t>) + = °’ (И.Ю)
В уравнении (11.10) фигурируют неизвестные, относящиеся исклю-
чительно к перерезанным стойкам. Первая и вторая суммы содержат
члены, относящиеся к перерезанным стойкам, а третья сумма содержит
горизонтальную проекцию внешней нагрузки, расположенной выше того
яруса, в котором произведен разрез. Что касается трех последних чле-
нов, то они относятся к внешней нагрузке, расположенной только на
перерезанных стойках.
Уравнение выведено в предположении, что ни одна из перерезан-
ных стоек ни на одном из своих концов не имеет шарнира. Если какая-
нибудь из них имеет шарнир иа верхнем конце, то члены ур авне-
ни-я (11.10), отвечающие этой стойке, будут иметь вид
4 +4+2s' --тv)+1г о -и'2)- (12.Ю)
Что же касается суммы —g—, которая относится к вышележащим
ярусам, то она, конечно, не изменится.
Если перерезанная стойка имеет шарнир на нижнем конце, то со-
ответствующие ей члены будут иметь вид
+ + + (’З-Ю)
Наконец, если стойка имеет шарниры на обоих концах, то соответ-
ствующие ей члены, выражающие влияние поворота и смещения ее кон-
цов ов1 С5Н и о, пропадут, а влияние внешней нагрузки, действующей на
нее непосредственно, выразится членами
4l + -rSS'-r + -77- (14.10)
12 1 6 I 1 6/ v
В каждое из уравнений (11.10) входит только одна из величин о;
поэтому ее легко выразить через углы входящие в то же уравнение.
Подставив затем эти выражения в первую группу уравнений, мы умень-
шим общее количество неизвестных Ч
§ 7.10. ПРИМЕР СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Составим, уравнения для рамы, схема которой дана на фиг. 343.
Основными неизвестными являются 10 углов поворота узлов и 3 горизон-
1 Коэффициенты преобразованной таким способом системы уравнений можно напи-
сать сразу. Формулы для этих коэффициентов, а также их статический смысл см.
в статье автора «К расчету многоярусных рам». «Труды Высшего инженер но-строитель-
ного училища», 1931, стр. 16.
33-3
тальных перемещения. Для них можно составить 10 уравнений реактив-
ных моментов и 3 уравнения горизонтальных проекций.
Уравнения реактивных моментов
Узел 1;
(*1д + *12 + *+) ?1 + *12?2 + *16?Б “ 3/1й ---3/15 ~ +
Ча чб
। 41 rfa 41 *15 42^2 р
+ 24 24 24 ~ и‘
Узел 2:
(2*21 + 2t23 -|- 2Zg6 + 1,5*2*) ?2 + *21?1 + *23?3 + *26?6 —
1 SI о; 8П , ^12 ^23 п
-1 " Зг’с +---------------------~=°-
У з ел 5:
8р 71^51
2 (*51 + *5б)?5 + *51?! + *56?6 3*51 И 24 = О'
Узел 6:
8П
2 (*62 + *65 + *6?) ?6 + *С2?2 + *6Б?Б + *67?7 3/б2 у- = 0.
{еэ
Узел 9: »
0,5*96 + 2*9-ю) ?э 4" *9-го<рю — 1 >5Z96 ”77 Н—77* Н 4~ v (1 г'3)
и т. д.
Уравнения поперечных сил
Разрез в нижн ем ярусе:
ha „ I hb „ { he „ I hd « /г> ha । hb । he । d hd s ।
Г?1 + ^Г ?2ф“?з+ 77?*— 2 -72—Г77- + --2- +2-2- <\ +
ha %hb ^hc hd \ ha 2l2b 2l3e hd /
( ?1*15 I ?5*96 I 1 41ha_П
' 6 + 6 + 6 + 12
Разрез в среднем ярусе:
(?5 + ?i) + /~ (?в + ?2) + (?? + ?з) + ^ (?8 + ?*) “
—7“ (*51 + *82 + *78 + *84) 5И + 77 + 7- + 77 = 0-
*51
Разрез в верхнем Я1ру<се:
*яв | Z10-7 „ / Z96 1 Z10-7\a I 5Л/ i ^v(3 —V2) __n
2^ ?9 + 27^ <?1» ~V^ + ^18“'+ 48 4^ + 12 - °’
§ 8.10. ПОСТРОЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНЫХ ЭПЮР
При помощи величин ср и 3, найденных из уравнений метода дефор-
маций, определяются приложенные к концам каждого стержня реактив-
ные моменты, которые заменяют действие остальных элементов рамы на
этот стержень. Если ни на одном его конце нет шарнира, то моменты
334
определяются по величине и знаку при помощи первой из формул (1.10)..
Если на одном конце стержня имеется шарнир, то моменты проще
определяются при помощи первой из формул (2.10). Необходимо
только помнить, что для реактивных моментов правило знаков
принимается не такое, как для изгибающих моментов: первые счи-
таются положительными тогда, .когда они направлены по часовой
стрелке.
Зная реактивные моменты на обоих концах стержня, можно по-
строить эпюру изгибающих моментов, как для стержня с шарнирно опер-
тыми концами и с внешней нагрузкой, состоящей из заданных внешних
сил и найденных концевых пар.
После того как эпюра М найдена, построение эпюр Q и N уже не
зависит от того, каким способом она была найдена. Так как построение
эпюр Q и W излажено в § 2.9, то на этом останавливаться здесь не будем..
Заметим только, что, зная величины ф и 8, можно построить эпюру Q
для любого стержня, минуя построение эпюры Действительно, для
любого стержня АВ, не имеющего на концах шарниров, легко получить
из формул (1.10)
QX = Q;_.t (150)
1АВ
где Qt — поперечная сила от внешней нагрузки в том же стержне с абсо-
лютно защемленными и неподвижными концами;
Легко убедиться что величины М, Q и N не изменятся, если коэффи-
циенты жесткости i всех стержней увеличатся или уменьшатся в одно я
гт . EJ J
то же количество раз. Поэтому вместо t — можно везде писать у .
335
§ 9.10. РАСЧЕТ ,НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
Как и раньше, будем считать, что температура, на которую ведется
расчет, постоянна по длине каждого стержня и изменяется внутри .сече-
ния от одной кромки до другой по линейному закону. Температуру по
осн стержня назовем t, а разность температур t'.
Вследствие температурного удлинения стержней узлы займут новое
положение; поэтому взаимные перемещения о концов стержней заменят-
ся суммами S о\ где —температурные взаимные перемещения в
основной системе по направлению, перпендикулярному оси стержня.
Разность температур, равная Л, не вызовет удлинений, но в основной си-
стеме вызовет реактивные моменты указанные в табл. 13 под номе-
рами 7 и 14.
Уравнение реактивных моментов примет вид:
()mk
I u
mk
^mk?k ~~ 3
k, s k k
(16.10)
_ Hat'
d
В уравнении горизон-
тальных проекций все члены,
зависящие от внешней на-
грузки, обратятся в нуль, а
перемещения о заменятся
суммой гщS'.
Что касается темпера-
турной поперечной силы Q*
в стойке как в элементе ос-
новной системы, то, как вид-
но из фиг. 344, она будет от-
лична от нуля только при на-
личии заделки на одном
конце н шарнира на дру-
гом,
Отсюда видно, что если
ни одна из перерезанных
стоек ни на одном конце не
имеет шарнира, то уравнение (11.10) заменится следующим:
^4(?»+?н)-2^4(й+й')=о.
(17.10)
Если стойки имеют на нижнем конце шарниры, а температура tr имеет
.знак, указанный на фиг. 344, уравнение примет вид
£24^-£2t<8+8/)-£^=°- (,8J0>
Если они имеют шарнир на верхнем конце, то при том же темпера-
турном воздействии нужно будет писать
Если в разрез попадут стойки различных типов, то члены придется
комбинировать из уравнений (17.10) — (19.10).
.336
Для примера; составим уравнения, относящиеся к фиг. 345, а. Вы-
бранная основная, система представлена на фиг. 345,6. . >
Если центры тяжести сечений стоек и ригелей лежат в середине
сечений, то для всех стержней, кроме средней стойки
= —5*; Z'=± (-30-20)= ±50°.
Определим сначала величины Напомним, что они считаются по-
ложительными, когда стержень поворачивается по часовой стрелке. При
выбранном расположении дополнительного опорного стержня стойка 2Ь,
хотя и удлинится, останется, очевидно, вертикальной, следовательно,
8L = 0. Для ригеля 23 перемещение равно разности между удли-
нениями левой и правой стойки; для стойки Зс перемещение равно удли-
нению ригеля 23. Для того чтобы найти перемещение узла 1, построим
для части а12Ь рамы диаграмму перемещений (фиг. 345, в), пользуясь
тем, что нам известны перемещения точек а (равно нулю) и 2, а также
удлинения стержней al и 12. В итоге получим
= 0; Згз - a (20Z2Z, + 5Z,C); & = - 5aZ2S;
^== + Г1 (фиг. 345, в)\ — — VI (там же).
Кроме этих чисто температурных перемещений, известных по вели-
чине и направлению, возникает еще неизвестное перемещение о, которое
можно рассматривать как результат горизонтального перемещения до-
полнительного опорного стержня. При этом для всех стоек значение &
получится одно и то же, а для ригелей оно будет равно нулю, так каи
эти стержни переместятся поступательно.
Уравнения напишутся так:
г (в + в ]
1) 2 (iie-hii2) ?i + ЧъЪ — 3 ------И +
+ 150а (
^13г12 \
^12 /
(и 12 °23 1
Ча ~t Н Нътт "Ь hs~r~~) +
*12 l2b *23 /
’ 50a/zyia_y»’| = 0;
* \ “12 “23 /
22—И. M. Рабинович
337
SL S+SL
3) (2ijS 4~ b^i’ac) ?з 4~ *23^ З/аз j- * +
+ j SO. -»)-<>;
") b'+f>+!V-1;<!+,!-)-f-(I+,s>>-
--^-(8 J-8^.)— 3-5Oa^=o.
Эти 4 уравнения содержат 4 неизвестных: ®t, ?2, <р3> о.
Найдя основные неизвестные, можно будет построить окончательную
эпюру М, которая на протяжении каждого стержня будет прямолинейной.
Для этого достаточно найти реактивные -моменты на концах стержней.
Например, для стойки al
Ml = «)вТ1 —(8 + 8*в) + ^^2.;
для ригеля 23:
м2 = 2i23 (2?3+?3) - tr & -
*23 “23
И T. Д.
§ 10.10. РАСЧЕТ НА ДЕЙСТВИЕ ОСАДКИ ОПОР
□ Этот расчет весьма близок к расчету на действие температуры.
Пусть, например, в раме, представленной на фиг. 345, а, опора а переме-
стилась вниз на величину Д. В основной системе, представленной на
фиг. 345, б, взаимное перемещение концов получат только стержни 1а
и 12. Взаимные перемещения проще всего определяются из поляр-
ного плана, представленного на фиг. 346:
8'o==l/e' = Atga. 8JZ = ]-о = -‘—.
& ’ cos а
Можно найти те же величины из диаграм-
мы перемещений, которая в данном случае>
как нетрудно убедиться, представляет собой
не что иное, как тот же полярный план, повер-
нутый на 90°. Для остальных стержней вели-
личины равны нулю.
Основные уравнения будут иметь такой же
вид, как в предыдущем параграфе, но только вместо будет стоять
ос‘, а члены, содержащие температуру, будут равны нулю. □
§ 11.10. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Для построения л. в. изгибающих моментов, поперечных сил, про-
гибов и т. д. требуется предварительно построить л. в. основных неизвест-
ных. Канонические уравнения имеют тот же вид, что и при действии не-
подвижной нагрузки, но с тем отличием, что свободные члены Rlpt R2P
и т. д. уже не являются постоянными, а сами представляют собой л. в.
Разберем для примера построение л. в. для рамы, представленной
на фиг. 347, а.
338
Уравнения имеют следующий вид:
i®- *£8=0.
>з ‘I
Пусть 4 =2; i2"2,5; 4—1; 1Х — 8м; 12 = 12м; Is~5m.
После подстановки этих чисел имеем
8,75® — 0,608 — - у
откуда
0,2® — 0,083 = 0,
? =0,069 2^;
6 = 0,173 S Мв-
Когда груз находится на
левом пролете, то, согласно
табл. 13 и фиг. 347, б
Фиг. 348
Фиг. 347
когда он находится на правом пролете (фиг. 347, в):
Следователь но, л. в. угла поворота ср и горизонтального перемеще-
ния 3 состоят из кубических парабол (фиг. 348).
Имея эти линии влияния, легко построить л. в. любого усилия или
перемещения. Например, для изгибающего момента в сечении В стерж-
ня ВС, считая положительным момент, выгибающий стержень ВС вы-
пуклостью вниз, имеем
Мвс = /Иве 4- Зл2о,
22 *
339
где Мвс— л. з, изгибающего момента в изучаемом сечении основной
системы.
Когда груз расположен в левом пролете:
Мвс = ~ 322ср ,
т. е. л. в. МВс на левом участке отличается от л. в. с? лишь множите-
лем 3Z2- Когда груз расположен на правом участке, то в соответствии
с указанным правилом, знаков
Мс = -4г’(1 -®’); л7вс = -4-®(1 -к2) + з»2?.
Линия влияния Мвс показана на фиг. 348; она имеет перелом под
сечением В.
Возможен другой путь построения л. в.: на основании принципа
взаимности любую линию влияния можно рассматривать как линию про-
гибов. Например, угол ср в предыдущей задаче можно обозначить через
Л1Р; тогда по принципу взаимности ? = Др], т. е. линия влияния угла ср
есть линия прогибов, вызванная перемещением ©=!. Изгибающий мо-
мент Мк в произвольном сечения К можно трактовать как реакцию
внутренних связей в этом сечении, т. е.
М ^=г
1VlK f КР‘
Но по формуле (12.2) § 18.2
гкр “ °РК>
т. е. линия влияния искомого момента может быть построена как линия
прогибов, которая возникнет, если в К будет помещен шарнир и оба
соприкасающихся в этом месте сечения будут насильственно повернуты
друг относительно друга на угол, равный единице.
§ 12.10. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ
Если рама имеет ось симметрии, то систему совместных уравнений
метода деформаций всегда можно разбить на две самостоятельные
группы. Для этого достаточно разложить заданное (внешнее воздействие,
т. е. внешнюю нагрузку, температуру или осадку опор, на два воздей-
ствия, из которых одно симметрично, а другое обратно симметрично.
Поясним, это двумя примерами.
г г2 4 б ю
7 '3 5 7 3
а Я, Я ь с d е />?
Фиг. 349
Рама с четным числом пролетов, представленная иа фиг. 349, содер-
жит 10 неизвестных углов поворота + 2 неизвестных горизонтальных пе-
ремещения и . При симметричном воздействии деформация левой
340
половины рамы является зеркальным отражением деформации правой,,
поэтому
?э = — ?ю =*= — ?«, ?7 == — ?з; ?з == — ?*; = ?б=0;
— (а)
Остается написать уравнения реактивных моментов для узлов Л 2,
3, 4. В них после 'соответствующей подстановки будут фигурировать
только неизвестные срь ф2, ф3, ф4.
При обратно симметричном воздействии деформация будет обратно
Фиг- 350
симметричной, вследствие чего углы поворота правых узлов будут по ве-
личине и знаку равны углам поворота левых. Неизвестными будут сле-
дующие величины: ф2, ср3, <р4, cpe, <р6, 6, и Sn —всего 8. Придется со-
ставить 6 уравнений реактивных моментов и 2 уравнения горизонтальных
проекций. В этих уравнениях после соответствующей подстановки оста-
нутся только указанные 8 неизвестных. Итак, вместо совместных
12 уравнений будем иметь 4 + 8 уравнений.
б)
Фиг. 351
Раме, представленной на фиг. 350, отвечает основная система
с двумя закреплениями, показанная на фиг. 350, б. При действии сим-
метричной нагрузки число основных неизвестных равно нулю (фиг. 351, я).
При действии обратно симметричной нагрузки число неизвестных
равно двум (фиг. 351, б, в, г). Следовательно, разложение нагрузки в дан-
ном случае особых выгод не дает.
341
неизвестных составляет 3 3 == 9.
г
Фиг. 352
§ 13.10. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ.
БЕСКОНЕЧНО ЖЕСТКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
□ Продольные деформации стержней вызывают дополнительное
•перемещение узлов, вследствие чего значительно увеличивается количе-
ство неизвестных. Например, на фиг. 352 при игнорировании продольных
деформаций число неизвестных равно 4, а при учете этих деформаций
каждый узел, кроме поворота, получает неизвестные перемещения по
горизонтальному и вертикальному направлениям, следовательно, число
Ход расчета напоминает расчет
на действие температуры, но с тем от-
личием, что продольные деформации
неизвестны. Их необходимо выразить
как функции продольных сил, которые
сами являются функциями углов пово-
рота узлов и стержней.
Чтобы избежать чрезмерный слож-
ности, способной в этих случаях прак-
тически обесценить метод деформаций,
задачу решают при помощи последо-
вательных приближений. Сначала игнорируют продольные деформации.
Получив эпюры М, Q, N, вычисляют удлинения и укорочения стержней.
Приняв их за первое приближение, поступают так, как будто бы это
были температурные перемещения, т. е. вычисляют вызванные ими
дополнительные эпюры Afz, Qz, N', которые и прибавляют к эпю-
рам М, Q, N.
Этот процесс можно продолжить, но обычно полученная первая по-
правка оказывается достаточной.
Как уже указывалось выше, в § 9.9, в целях упрощения расчета заме-
няют иногда элементы, жесткость которых очень велика по сравнению
с жесткостью остальных элементов, элементами бесконечно жесткими не
только по отношению к продольным деформациям, но и по отношению
к деформации изгиба. Число неизвестных при этом, естественно, сни-
жается.
Пусть, напржмер, в раме, изображенной на фиг. 343, перекрытия
двух нижних ярусов обладают жесткостью £7 — оо. Тогда
?! = ?2 ?3 = ?4 ==* = ?6 = ?7 = ?8 = 0.
Число неизвестных уменьшается, следовательно, на 8 единиц.
Предположим, что перекрытия, кроме двух средних пролетов, явля-
ются гибкими, а контур 2376 — абсолютно жестким. Тогда, очевидно:
?2 == ?з = ?е == ?7 0; 8п == о
(взаимное смещение концов для стоек среднего яруса равно нулю); число
неизвестных снижается на 5. □
§ 14.10. СОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЙ С МЕТОДОМ СИЛ
Большой практический интерес представляет вопрос о том, каким
способом следует рассчитывать ту или иную заданную раму. От удачного
выбора метода зависит количество вычислительной работы и в первую
очередь — количество основных неизвестных и уравнений.
Чем больше лишних связей содержится в заданной системе, тем
больше неизвестных будет при решении задачи методом сил. Количество
342
узлов и степень упругой подвижности сооружения не влияют при. этом
на количество основных неизвестных. При решении задачи методам де-
формаций существенное значение имеют другие фактопы: количество
неизвестных зависит от числа узлов и от степени упругой подвижности,
но не зависит от числа лишних связей.
Такое сочетание свойств обоих метод о-в оказывается очень выгод-
ным: по большей части сооружение, неудобное с точки зрения одного
из методов, оказывается удобным с точки зрения другого. Вопрос о пред-
почтении того или иного метода почти всегда решается простым подсче-
том числа неизвестных. При большом числе узлов и большой степени под-
вижности предпочтение отдается методу сил, а при большом количестве
лишних закреплений — методу деформаций.
Например, рама, представленная на фиг. 353, а, весьма просто ре-
шается методом. сил, так как содержит 3 лишние связи, но трудно
решается методом деформаций, так как приводит к системе с 9
неизвестными. Рама, представленная иа фиг. 353, б, при решении мето-
дом сил приводит к системе уравнений с 18 неизвестными, а при решении
методом деформаций — к системе с 6 неизвестными. В обоих примерах
вопрос о выборе метода не может вызвать никаких сомнений.
В тех случаях, когда количество неизвестных примерно одинаково,
предпочтение отдается тому методу, который приводит к более простым
уравнениям и требует меньше работы на вычисление коэффициентов.
По большей части этим преимуществом обладает метод деформаций.
Из сказанного следует, что каждый из этих методов имеет свою
область применения, и нельзя во всех случаях отдавать предпочтение
одному из них перед другим.
§ 15.10. КОМБИНИРОВАННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
МЕТОДАМИ СИЛ И ДЕФОРМАЦИЙ
При решении некоторых задач оказывается выгодным комбинировать
оба метода. Например, для того чтобы рассчитать раму, представленную
на фиг. 354, а, разобьем нагрузку на симметричную и обратно симмет-
ричную и рассчитаем раму на каждую из этих нагрузок -в отдельности.
При действии первой из них деформация будет симметричной, следова-
тельно, горизонтальное перемещение узлов 1 и 2 будет равно нулю, а их
углы поворота будут взаимно равны и противоположны. Решая задачу
методом деформаций (фиг. 354,6), мы будем иметь только одну неиз-
вестную. При действии обратно симметричной нагрузки выгоднее решать
задачу кегодом сил (фиг. 354, в), так как останется одна неизвестная
поперечная сила X. Такой комбинированный способ решения, приводящий
343
к двум самостоятельным уравнениям, выгоднее любого из двух основных
методов.
Другой пример представлен на фиг. 355; число неизвестных, отве-
чающих различным способам расчета, представлено в табл. 14.
Фиг. 354
Таблица 14
Метод
При
симметричной
нагрузке
При обратно
симметричной
нагрузке
Итого
Сил................... 6
Деформаций .... 3
Комбинированный . 3
I
9
9
6
Из табл. 14 видно, что расчет на симметричную нагрузку следует
производить методом деформаций, а на обратно симметричную — мето-
дом сил. В итоге получается 3 4-3 = 6 уравнений вместо 9.
§ 16.10. СМЕШАННЫЙ МЕТОД
В литературе неоднократно указывались методы расчета, в которых
одна часть неизвестных представляет собой силы, а другая часть — пере-
мещения. Многие из этих методов сведены воедино проф. А. А. Гвоздевым,
который представил их <в общем виде под названием смешанного метода.
Сущность смешанного метода может быть пояснена простым приме-
ром. Для расчета рамы, представленной на фиг. 356, а, метод сил тре-
бует составления 8 уравнений, а метод деформаций — 6 уравнений.
Вместо того чтобы образовать основную систему по одному из этих мето-
дов, создадим ее по смешанному принципу, а именно одновременно от-
бросим связи в одном месте и введем дополнительные связи в другом
месте (фиг. 356,6).
Узел D разрежем и уничтоженные две связи заменим силами X, и
Узлы 3 и 4 дополнительно закрепим, а их неизвестные углы пово-
рота обозначим через Z3 и Z4. Запомним, что неизвестные силы у нас
будут обозначены буквами X, а перемещения — буквами Z.
На схемах в, г, д, е показаны четыре единичных состояния основной
системы. Через Л4Ь Л12, Л13, М4 обозначены эпюры моментов, вызванные
единичными воздействиями Xi=l; X2=l; Z8 = tl; Z4 = l. Эти эпюры
строятся без всяких затруднений, равно как и эпюра Мр , показанная
на фиг. 356, ж.
344
Канонические уравнения смешанного метода запишем так:
4“ + &13Z3--|-314Z4-J-— 0; 'J
$21^1 + $22^2 + $23^3 + $24 ^4 + Д2Р = ।
r^1 + 4X2 + raZ3 + r34Z4 + Z?3P = 0; (20-1<)>
Г41^1 4~ Г42^2 4“ Г43^3 4“ Г44^4 4“ $4р = 0. |
Здесь через о и г, как обычно, обозначены перемещения, вызванные
единичными силами, «и реакции, вызванные единичными перемещениями;
через 3' и г7—перемещения, вызванные единичными перемещениями,
и реакции, вызванные единичными силами.
Первое уравнение выражает ту мысль, что суммарное перемещение
по направлению Лц вызванное всеми факторами, равно нулю. Второе
имеет аналогичный смысл, но в нем идет речь о перемещении по напра-
влению Л2. Третье уравнение представляет собой запись того условия,
что реактивный момент в заделке узла 3 равен -нулю, а последнее урав-
нение выражает то же условие по отношению к реактивному моменту
в заделке узла 4.
Как видим, в смешанном методе часть уравнений выражает условия,
обычные для метода сил, а другая часть — условия, характерные для ме-
тода деформаций. В то же время в каждом из уравнений фигурируют
оба типа неизвестных.
Когда уравнения будут решены, то окончательную эпюру моментов
можно будет построить по формуле
м = Мр + ±М2Х2 + М^3 + M4z4.
Вычисление тех коэффициентов уравнений (27.10), которые не имеют
верхнего значка, не требует особых пояснений, остальные же связаны
следующей взаимностью;
З13 “ Г31» $14 “ — Г41 $23 “ — Г32’ $24 ~ Г42’
Этим значительно облегчается вычисление. Из эпюр и Л12 сразу
видно, что
7 3i ~ 2~ * Г41 = 2" ’ Г32 “ Г42 4- А.
Для общей характеристики смешанного метода можно сказать, что
он о-бладает преимуществом, перед методами сил и деформаций в тех
случаях, когда одна часть сооружения имеет большое количество лиш-
них .связей и малую степень упругой подвижности, а другая, наоборот,
малое количество лишних связей и большую степень упругой под-
вижности.
§ 17.10. К ИСТОРИИ МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЙ
□ Первые идеи метода деформаций встречаются в литературе лишь
как намеки, неясные еще самим авторам. Так, например, Винклер в
1862 г. для расчета неразрезной балки вывел формулы, в которых изги-
бающие моменты в стержне выражены в функции от углов поворота
его концов и от поворота стержня, но он не дошел до поднимания того,
346
что этот 'Метод можно обобщить, и в дальнейшем изложении он поста-
рался освободиться от этих переменных, выразив их через моменты,
Бресс пошел несколько дальше и <в 1865 г. вывел для неразрезной балки
уравнение трех углов. Однако он тут же заметил: «нам кажется излиш-
ним развивать дальше эти соображения, практические приложения кото-
рых будут очень ограниченными». Как видим, он отказался от развития
идей, которые 1могли привести его к открытию метода деформаций, и не
заметвл их ценности.
Эти идеи постепенно развивались в форме решения отдельных задач
в течение всей последней четверти XIX столетия и первых десятилетий
XX в. Так, например, еще в 80-х и 90-х годах были даны расчеты одного
вида статически неопределимых систем — металлических ферм с жест-
кими узлами — с использованием углов поворота узлов в качестве основ-
ных неизвестных. В начале XX столетия появился за рубежом ряд
статей, посвященных расчету железобетонных рам при помощи тех же
неизвестных. В 20-х годах текущего столетия метод деформаций уже
оформился как самостоятельный метод, применимый ко всем статически
неопределимым стержневым системам.
В таком виде он изложен, например, в книгах Бендиксена (19.14) и
(Эстенфельда (1926).
В России задача о расчете фермы с жесткими узлами также при-
влекала к себе внимание инженеров. Одной из первых работ была
вышедшая в 1901 г. книга проф. Е. О. Патона 1. В ней дан обзор всех
опубликованных до того времени способов расчета и при помощи одного
из них проведено обширное исследование, имевшее целью выяснить отно-
сительное приращение напряжений, вызываемое в фермах жесткостью
узлов. Все приведенные в книге проф. Патона методы являются различ-
ными вариантами метода деформаций. Книга эта в свое время обратила
на себя большое внимание.
В 1907 г. инж. Н. В. Некрасов опубликовал книгу2, в которой дана
схема точного решения задачи, свободная от упрощающих допущений,
принимавшихся его предшественниками. Для решения системы уравне-
ний с большим числом неизвестных, которая неизбежно получается при
таком решении, автор предложил пользоваться способом Гаусса, кото-
рый применяется при уравновешивании ошибок по методу наименьших
квадратов.
В 1909 г. проф. С. И. Белзецкий3 предложил более простое, но при-
ближенное решение задачи. Оно представлено в общей форме, которая
годится для любой фермы. Число неизвестных углов поворота у него
получилось равным k—2, где k — число узлов фермы.
В 1914 г. этому вопросу посвятил обширное теоретическое и экспери-
ментальное исследование проф. К. М. Дубяпа4, который также дал
в своей *книге критический обзор русской <и зарубежной литературы.
После Великой Октябрьской социалистической революции метод
деформаций получил у нас всестороннее развитие. Были развиты поня-
тия о простых и групповых реакциях, вызываемых упругими перемеще-
ниями, температурой и нагрузкой, и выведены формулы для них; пред-
ставлены в канонической форме и в развернутом виде уравнения этого
метода; разработаны способы упрощения уравнений и .использования
1Е. О. Патон, Расчет сквозных ферм с жесткими узлами, М. 1901.
2Н. В. Некрасов, К теории ферм с жесткими соединениями в узлах, Спб. 1907.
3 С. И. Белзецкий, Теория ферм, «Известия С.-Петербургского политехниче-
ского института, т. XI и XII. 1909.
* К. М. Дубяга, Расчеты и испытания раскосных ферм с жесткими соедине-
ниями в узлах, Спб. 1914.
347
симметрии. Разработан комбинированный способ расчета рам. Проф.
А. А. Гвоздевым предложен смешанный метод, представляющий собой
синтез метода сил и метода деформаций. Составлены ценные таблицы,
облегчающие расчет рам со стержнями ступенчатого и переменного се-
чении. Методу деформаций придана законченная форма классического
метода.
В его разработке принимали участие многие наши ученые: профес-
сора А. А, Гвоздев, П. Л. Пастернак, Б. Н. Жемочкин, Н. И. Безухов,
И. М. Рабинович, А. В. Рабцевич и другие. В нашу учебную литературу
и в проектную практику этот метод расчета рам прочно вошел как один
из самых простых и удобных. □
Глава 11
РАСЧЕТ РАМ ПО СПОСОБУ МОМЕНТНЫХ ФОКУСНЫХ
ОТНОШЕНИЙ
§ 1.11. ФОРМУЛЫ для ОСНОВНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ В РАМАХ
С НЕСМЕЩАЮЩИМИСЯ УЗЛАМИ
Теория неразрезной балки, в которой моментные фокусные отноше-
ния или моментные фокусы играют существенную роль, послужила
источником, <из которого теория расчета сложных 'статически не-
определимых систем почерпнула ряд идей. Одной из простейших
идей такого рода явилась идея моментных фокусных отношений. Реше-
ние задач при помощи этих отношений нередко представляется как
самостоятельный метод, принципиально отличный от методов, изложен-
ных выше. На 'самом деле такой способ имеет гораздо более узкое зна-
чение.
Решение задачи при помощи постоянных отношений между неизвест-
ными есть не что иное, как один из методов решения уравнений. Он
может быть применен к рамам, фермам, аркам и т. д. при условии, когда
уравнения обладают такой структурой, из которой вытекают постоянные
отношения между неизвестными.
Способ моментных фокусных отношений с алгебраической точки
зрения есть частный случай решения уравнений, 'а: именно случай реше-
ния некоторых систем уравнений метода сил, содержащих ib качестве
основных неизвестных моменты, или некоторых уравнений смешанного
метода, которые содержат неизвестные изгибающие моменты и линейные
или углогые перемещения.
При и мощи способа моментных фокусных отношений опреде-
ляются моментные фокусы и некоторые специальные характеристики
работы узлов («коэффициенты распределения моментов»). Все расчетные
операции благодаря этому приобретают конкретный механический
смысл.
Пусть дана такая рама, которая не имеет замкнутых контуров, и
степень упругой подвижности которой равна нулю. В качестве основной
системы выберем ее шарнирную схему, а за неизвестные примем изги-
бающие моменты, действующие на концах стержней. Решение канониче-
ских уравнений 'будем проводить в определенном порядке, составляющем
сущность способа моментных фокусных отношений.
Выделим какой-нибудь узел А с жестко прикрепленными к нему
стержнями АВ, AC, AD, АЕ (фиг. 357).
Согласно условию задачи, точки А, В, С, D, Е неподвижны, следова-
тельно, концевые сечения стержней могут только поворачиваться.
Предположим, что нагрузка расположена справа от сечения В.
В таком -случае для построения эпюры изгибающих моментов можно за-
менить действие части рамы, расположенной справа от В, моментом М8А.
343
Примем, за неизвестные две группы отношений: во-первых, отноше-
ния абсолютных величин концевых изгибающих моментов каждого-
стержня (большего к меньшему):
МВА __ г, . МАС _ l . МАР __ь , МАЕ __<
^АВ АВ' МСА СА' MPA DA' ^ВА ~ ЕА'
(1.11)
Эти отношения, как известно, называются фокусными (или фокаль-
ными). Во-вторых, отношения! к моменту МА8 тех моментов, которые он
вызывает в сечении А остальных стержней того же узла:
^А С Л^АР А^АЕ
V-BAC “ ~МА В ’ ^ЛО = МАВ ’ ж
(2.Н)
Эти вторые отношения носят на-
звание коэффициентов распреде-
ления.
Расположение букв в индексе
показывает, от какого стержня к
какому передается момент: пер-
вые две буквы обозначают тот
стержень, который как бы пере-
дает свой момент прочим стерж-
ням; последние две буквы обозна-
чают тот стержень, который вос-
принимает момент.
Что касается направления
моментов, то при выводе формул
для названных отношений мы бу-
дем считать, что направление всех
моментов, ура вновешивающих'
узел А, противоположно направ-
лению момента МА8 (фиг. 357 и
358). Если мы получим для них
положительные значения, то это подтвердит правильность наших предпо-
ложений.
Будем, считать, что каждый стержень имеет постоянное по своей
длине сечение. Рассмотрим контур ВАС и напишем, что взат’\лый пово-
рот сечений А стержней АВ и АС равен нулю.
Поворот сечения А в стержне Л В по направлению часовой стрелки
выражается через абсолютные величины изгибающих моментов следую-
щим образом:
~м**т^Гв
мВА
kAB
1АВ
3BJАВ
Мва Л \
у &АВ )
Поворот того же сечения стержня АС равен
г 1АС МАС 1АС
ас 3EJac kCA * 6EJac
1 \
kCA ] ’
МАС I
GiAC \
Приравняв друг другу оба выражения и заметив, что по абсолютной
величине
МВА
^АС МАВ № ВАС “ kAB V'BAC »
350
получим
_ ^АВ~ tykCAlAC
Pbac (2kCA-l)iAB
(3.11)
Мас
Фиг. 358
Совершенно таким же образом можно выразить коэффициенты рас-
пределения рЛАг> и для этого достаточно заменить в формуле (3.11)
букву С буквой D или Е.
Формула (3.11) показывает, что все
коэффициенты распределения можно найти,
когда известны соответствующие фокусные
отношения.
Как мы сейчас убедимся, все фокусные
отношения имеют числовое значение, боль-
шее 2, поэтому коэффициенты распределе-
ния, вычисленные по этой формуле, всегда
положительны.
Моменты, действующие на узел А
(фиг. 358), связаны между собой условием
равновесия
МдВ МАС ^АЕ= О-
Сделав на основании (2.11) подстановку
Мас МАВ Рвас ; MAD ~ ААДВ pBAD;
и сократив на М ABt получим
Нвас “Ь Иддр + Ряде 1 • (4.11)
Это соотношение следует запомнить: сумма коэффициентов распреде-
ления моментов в узле от одного стержня ко всем остальным равна еди-
нице.
Так кай все коэффициенты распределения выражаются через фокус-
ные отношения формулами вида (3.11), то уравнение (4.11) можно пере-
писать в следующем виде:
&АВ ~ 2) kCAlAC . ikAB “2) kDAlAD . (kAB ” 2) kEAlAE ___
(2*сд-1)^ (2^д-1)/д/? (2^д-1)/дв -1’
M»e “ МАВ РвАЕ
а отсюда
lAC . lAD . 1АЕ
-----Г“ +------“ +------Г"
2“-2Г“
rca rda rea
(5.И)
где знак распространяется на все стержни узла А, кроме стержня АВ,
А
а через N обозначены для краткости противоположные концы стержней.
Как показывает эта формула, фокусные отношения зависят не от
абсолютных, а лишь от относительных величин коэффициентов
жесткости стержней.
По формулам вида (5..11) можно определять фокусное отношение kAB
(будем его называть прилежащим к узлу А), если для всех остальных
стержней узла А известны противолежащие фокусные отношения.
Если конец А стержня АВ прикреплен к узлу шарнирно, то можно
считать, что ои прикреплен к узлу жестко, ио что все прочие стержни
351
бесконечно гибки и поэтому не способны оказывать сопротивление пово-
роту узла. Положив все iM = 0, получим из формулы (5.11) kAB = оо.
Если конец А стержня АВ абсолютно защемлен, то можно считать,
что один или несколько из числа остальных стержней обладают беско-
нечно большой жесткостью. Положив zvv~oo, получим #4^ = 2.
Тот же результат мы получили выше, в теории неразрезной балки.
Фокусные отношения рамы связаны между собой некоторыми тож-
дествами, которые могут быть использованы в каждом отдельном случае
для проверки найденных числовых значений этих отношений. Идея выво-
да контрольных равенств указана <в § 5.5; там же указана и литература.
Для того чтобы мы могли построить эпюру моментов от нагрузки,
расположенной на одном из стержней, необходимо иметь еще формулы
для концевых моментов загруженного стержня. Но каждый из таких
стержней находится в таких же условиях, как какой-нибудь пролет не-
разрезной балки; т. е. имеет на концах упругую заделку. Степень жест-
кости заделки вполне характеризуется соответствующими двумя момент-
ными фокусными отношениями. Вся сложность рамы чувствуется в фор-
мулах для этих отношений; но коль скоро они найдены, безразлично, чем
создана степень заделки, которая выражается этими отношениями.
Сказанное позволяет нам воспользоваться теми формулами, которые
были выведены ib § 7.5. Перепишем их для произвольного стержня АВ
в следующем виде:
КВА-ЬВЛ — КЛЯ KAB-kAB — KBA ’ ’ (6Л,)
где КАВ=_^^ (7.11)
Величины «перекрестных отрезков» КАВ и КВА для различных видов на-
грузок даны в табл. 5.
В том. случае, когда нагрузка расположена одновременно на н е-
с коль ких пролетах, окончательная эпюра моментов получается путем
суммирования эпюр, получаемых от загружения каждого пролета в от-
дельности.
Существует другой способ построения эпюры моментов, также осно-
ванный на использовании моментных фокусных отношений, но иногда
приводящий к цели значительно быстрее1.
§ 2.11. ПРИМЕР
□ Построить эпюру М для рамы, представленной на фиг. 359. Вычислим коэффи-
циенты жесткости стержней. Приняв 1, получим следующие относительные ве-
личины остальных коэффициентов жесткости:
JAB
, 3 4,5 . jcd 1Ав 4,5
/ — 1*1 ’ я ” 1,69, ten — 1 * I * / m q n = 1,41;
lBC 1 » JAB lCD 3,2
, 4 4,5 „ 4,5 4 4,5
— I’-J- * Y? = 1*50; iEF~ “ = 1,61; iEG — ~ • — = 1,50.
A 1 At <£T0 1 J, £
1 Я. M. Риппенбейн, К расчету плоских и пространственных статически не-
определимых систем; И. М. Рабинович, Некоторые упрощения метода фокусов.
Обе статьи — в сборнике «Рамы и фермы пространственные и плоские», 1933. См. так-
же книгу автора «Методы расчета рам», ч. III, 1937, стр. 45—50.
352
По условиям закрепления концов известно, что
kAB - kDC — kGE — 2’ kFE ~ 00 •
Отдельные фокусные отношения вычисляются в последовательном порядке ко
формуле (5.11):
kBC 2 + —----------4,53; kCE ... 2 + —--------------- = 2,79;
ВА lBC . fCD
2~T~ 2~t~~ 2~ir—
КАВ &Bl rDC
kE0=2 +-----:---‘S°---------= 2,87; kEC = 2 +---;= 2,83;
lEC , lEF lEG . lEF
kCE &FE &GE &FE
Фиг. 359
kEF = 2 + —------------------= 2,84;
lEG । lCE
2-^— 2--V-L
rge rce
+;--------------------= 2,91; kCD = 2 +-----:----___________= 2,76;
1ce + 1ср 1ce , lCB
2 — 2 —2 — ~r^~ 2 —-г-!—
KEC rdc rec rbc
kBA = 2 4-= 2,98.
*BC
2~
Для построения эпюры моментов, которая вызывается заданной на фиг. 359 со-
средоточенной силой, необходимо вычислить только четыре коэффициента распределения:
(^се~’2)^вс 1вс 0,79-4,53-1,69
Н-лсв3 (2kBC—l)iCE ~ 8,06-1,50
^ЕС — 2) &ее ^FE
V-ECD = 1 — 1*ЕСВ = ^CEF = (2kFE~ 1) iCE °’4^
P'Ceg = 1 — 0,45 ~ 0,55/
Опорные моменты на концах загруженного пролета таковы:
^ес — PlECuv (1 4- v) 2,83 — PlE£iiv (1 4~
мсе = — kEC kCE—\ = ” 2,83-2,79 — 1 =
= uv (0,12 4- 0,55v) Рг,
23—И. М. Рабинович
353
K.CBkCE — K.EC PlECuv (1 + u)%7i — PlECuv (\ + v)
MEC = - kEC kCE— 1 = - 2,83.2,79-1 =
= av (0,11 4- 0,57u) Pt,
Остальные моменты:
A4 Z. n D ("*
MCD m ^CB = 0,50MC£t MBC = — ~45з~“ * Мдв = “ —2— ’
%Do —
ЛГя/7 = Л1яс.0,45; Meg= Mec-0,55; ^=-0,5^.
Эпюра моментов для a = 0,4; v = 0,6 представлена на фнг. 360.
Фнг. 360
§ 3.11. РАСЧЕТ РАМ СО СМЕЩАЮЩИМИСЯ УЗЛАМИ
□ Для расчета таких рам вводят дополнительные связи, которые уни-
чтожают подвижность узлов. Преобразованную таким способом систему
принимают за основную. Расчет распадается на две части: одна состоит
в изучении основной системы, т. е. в построении эпюр моментов, вызы-
ваемых в ней внешней нагрузкой и единичными перемещениями; другая
состоит в определении действительных перемещений из системы уравне-
ний метода деформации и в построении суммарной эпюры моментов.
Первый этап решается методом сил, а второй — методам дефор-
маций 1.
Решим прежде всего задачу о влиянии единичного взаимного сме-
щения концов какого-нибудь стержня АВ, считая, что оба моментных
фокусных отношения для него известны.
Допустим, что хорда стержня В А повернулась по часовой стрелке на
некоторый угол = в то время как хорды всех прочих стержней
рамы сохранили свое первоначальное направление. От этого на концах
стержня АВ возникнут какие-то моменты МАв и Мвл, направленные так,
как показано на фиг. 361, л, а касательные в тех же сечениях к упругой
линии повернутся на углы
_ МАВ
ЫАВ
_ »АВ
6iAB -
' 6<дв +^Д-
ЗП7 + Ьв-
(а)
Поворот сечений А и В стержня должен по -величине и направлению
совпасть с поворотами узлов А и В. Но поворот узла А, очевидно, зави-
сит только от момента МАв, который передается ему стержнем АВ. При-
чина, вызвавшая передачу такого момента, не имеет значения. Поэтому
мы можем определить связь между МАВ и например, из фиг. 361,6:
1 Напомним, что так называемый метод деформаций в сущности также распа-
дается на два этапа, первый из которых состоит в том, что необходимые коэффициенты
Rip, Rlt н т. д. определяются методом сил.
354
MAB ,MABkAB МАВ /,
= 2)-
Аналогичным образом
^ВА /А ОХ
ыАВ &ва 2)*
Подставив эти выражения в уравнения (а) и сделав приведение,
получим
^АВ^АВ ^ВА ^ав^АВ' ^АВ ^ВА^ВА ~ ^АВ^АВ’
откуда
М __ ^ав^ + ьва') . м _ 6''ля(' +^Лй) ,81П
Ав hAB^A~' *АВ' МвА kABkBA-1 *АВ‘ (»•“)
По этим формулам определяются абсолютные величины моментов,
направления же их указаны на фиг. 361, а. Поперечная сила
□ _л 6/лв (2 + *лв + *вл) ,9!П
Qab ~ Qвл -Ьав^-^ав (9.11)
Когда угол фдв направлен по часовой стрелке, то опорные реакции на
концах А и В направлены также по часовой стрелке.
Из формулы (8.11) легко получить как частные случаи величины
опорных моментов для балки с защемленными концами, с одним опер-
тым и другим защемленным, наконец, с двумя опертыми концами.
Применение формул (8.11) и (9.11) к расчету рам со смещающимися
узлами покажем на примере рамы, рассмотренной выше, но при условии,
что правая опора скользящая (фиг. 362). Построим эпюру Мц вызван-
ную единичным горизонтальным перемещением ригеля. Можно предста-
вить себе, что на конце G поставлен дополнительный горизонтальный
опорный стержень и что последний переместился вправо на единицу
вместе с прикрепленным к нему сечением G ригеля. При этом стойки от-
клоняются по часовой стрелке на углы
‘лв ’ 'l'CD~ lCD ’ ^Ев~ ‘ее ’
что в свою очередь вызывает появление трех эпюр изгибающих моментов.
Поворот каждой стойки можно представить себе как результат того,
что нижний конец отошел в л е в о на единицу, а верхний остался на месте
23»
355
(фиг. 363). Очевидно, что для построения эпюр безразлично, отошел ли
ригель вправо, а фундамент остался неподвижным, или же ригель остался
неподвижным, а фундамент отошел влево.
Чтобы построить эпюру М/, вызванную поворотом левой стойки
(фиг. 363), достаточно вычислить моменты /Идя и /Идд по форму-
лам (8.11) и затем, воспользовавшись коэффициентами распределения и
Фиг. 362
фокусными отношениями, распространить эпюру на всю раму. Аналогич-
ным образом строятся эпюры Mr" и М/4', после чего простым суммиро-
ванием получается эпюра
м^м[ + /и; + м;.
Фиг. 363
Имея эпюру нетрудно определить реакцию Гц в дополнительном
горизонтальном опорном, стержне узла G. В данном случае, благодаря
тому что все стойки вертикальны, эта реакция равна сумме поперечных
сил всех трех стоек.
Теперь нетрудно наметить весь ход расчета такой рамы, имеющей
на правам конце скользящую опору. Пусть дана каюая-нибудь внешняя
нагрузка. Заменяем раму основной системой, т. е. уничтожаем смещае-
мость узлов, введя горизонтальный опорный стержень. Строим эпюру Мр
356
для этой основной системы и находим реакцию R\p горизонтального опор-
ного стержня. Затем строим эпюру Mt и определяем реакцию гц. Чтобы
найти неизвестное горизонтальное перемещение Zi узлов ригеля, соста-
вляем и решаем уравнение
найдя величину Z\ строим окончательную эпюру
М = МР +
Аналогичным образом поступают в том случае, когда рама щмеет
несколько степеней упругой подвижности. В этом, случае приходится
вводить несколько дополнительных стержней, давать основной системе
единичные перемещения по направлению каждого нз них, строить единич-
ные эпюры М], М2,... и определять неизвестные перемещения из системы
совместных уравнений. □
§ 4. 11. СОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТОДА МОМЕНТНЫХ ФОКУСНЫХ
ОТНОШЕНИЙ С ДРУГИМИ
Мы изложили здесь этот метод в сжатом виде, опустив такие во-
просы, как влияние замкнутых контуров, переменности сечений, наличия
кривых стержней, расчет на температуру и на подвижную нагрузку, так
как изложение этих вопросов не вмещается в рамки общего руководства
по курсу строительной механики. Интересующихся приходится отослать
к специальным курсам.
Укажем лишь, что двойственный характер метода моментных фокус-
ных отношений, заключающего в себе элементы метода сил н метода
деформаций, предопределяет те типы сооружений, для которых он является
наиболее удобным. Таковы рамы с любым числом пролетов, не имеющие
замкнутых контуров и обладающие малой или нулевой степенью упругой
смещаемости узлов. Для этих систем, в особенности при расчете на
большое количество разнообразных нагрузок, метод моментных фокус-
ных отношений может быть рекомендован.
Известным достоинством его является сравнительная простота основ-
ных формул, которая позволяет быстро овладеть этим методом^ и умень-
шает шансы на ошибки.
Наличие замкнутых контуров и большая степень подвижности узлов
приводят к значительному усложнению метода. Однако и в этих случаях
эн может применяться с успехом в качестве приближенного метода,
когда имеется возможность пренебречь влиянием подвижности узлов,
запружения отдаленных стержней и т. д.
Возможные перспективы дальнейшего развития метода моментных
фокусных отношений связаны с тем, что он является по существу одним
из методов решения уравнений определенного частного вида. Кроме того,
имеется возможность распространить тот же метод на уравнения мето-
да деформаций. В итоге получается метод угловых фокусных отноше-
ний Теоретически возможны и другие разнообразные фокусные отно-
шения 1 2.
1 Идею таких фокусов высказал впервые проф. П. Л. Пастернак; подробно этот
метод впервые разработан проф. Б. Н. Жемочкиным в книге «Расчет статически неопре-
делимых рамных систем. Метод угловых фокусов», М. 1929.
2 См., например, проф. Ф. А. Б ел я к о в, Статика статически неопределимых систем,
Statica Nova, ч. I, отд. П, 1933.
357
Наиболее вероятные перспективы дальнейшего усовершенствования
метода моментных фокусных отношений заключаются, невидимому,
а комбинировании его с другими методами. Несомненно, что он является
также хорошей основой для развития различных приближенных методов.
§ 5.11, К ИСТОРИИ МЕТОДА ФОКУСНЫХ ОТНОШЕНИЙ
□ Мы ограничимся здесь самыми краткими замечаниями.
Метод моментных фокусных отношений возник при разработке тео-
рии расчета неразрезных балок (см. § 22.5); в XX столетии он постепенно
распространился на теорию рам.
В СССР этому методу посвящена довольно большая литература.
Здесь подверглась освещению принципиальная сторона метода и его
связь с другими методами.
Установлены некоторые общие свойства фокусных отношений1 2.
Предложены оригинальные графические построения для расчета рам. по
методу фокусов Установлены зависимости между левыми н правыми
фокусными отношениями любой рамы3, позволяющие производить бы-
струю поверку вычислений.
Указано комбинированное применение метода фокусов и метода
деформаций, позволяющее во многих случаях учесть совместное загруже-
ние нескольких пролетов быстрее, чем при последовательном загружении
отдельных пролетов4.
По примеру метода моментных фокусов разработан метод угловых
фокусов, о чем уже упомянуто выше.
Формулы для моментных фокусных отношений выведены также для
пространственных рамных систем 5, чем значительно расширена область
применения метода.
Наконец, в СССР метод моментных фокусов получил удачное при-
менение к решению задач динамики и устойчивости. □
1 Доц. Г. Д. Дутов, О фокусных соотношениях, «Труды Ленинградского инсти-
тута инженеров коммунального строительства», вып. III, 1936.
2 Проф. П. Л. Пасте рна к, Графический расчет нераэрезных балок на свободно
и упруго вращающихся опорах по методу центров тяжести масс, Гостехиздат, 1930;
проф. С. С. Голушкевич, К вопросу о расчете рам, «Труды Ленинградского инсти-
тута инженеров промышленного строительства», вып. 4, 1937.
3 См. литературу, указанную в сноске на стр. 134.
4 См. литературу, указанную в сноске на стр. 352.
Б И. М. Володин, Расчет пространственных статически неопределимых систем;
В. И. Мураш ев, Расчет плоских н пространственных рам (метод коэффициентов);
Я. М. Рнппенбенн, Статья, указанная в сноске на стр. 352; все три статьи — в
сборнике «Рамы и фермы», 1933.
Глава 12
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЛОСКИХ РАМ
§ 1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Проблема приближенного расчета сложных рамных систем имеет
большое практическое значение. Речь идет о создании таких методов и
приемов расчета, которые значительно проще точных методов и в то же
время обладают приемлемой с практической точки зрения точностью.
Особенно серьезное значение приближенные методы приобретают в СССР
в связи с ведущимся и все более р!асширяющимся строительством весьма
сложных сооружений.
При всей своей значительности эта тема разработана пока далеко
недостаточно. Отсутствуют элементы общей теории построения прибли-
женных методов, способы оценки их точности, анализ областей наивыгод-
нейшето применения тех или иных методов, классификация послед-
них и т. д. Тем не менее имеются отдельные удачные приближенные
методы.
Само понятие о приближенном или точном методе является услов-
ным. Так называемые точные методы оперируют обычно не с действи-
тельным сооружением, взятым во всей его сложности, а с расчетной
схемой сооружения и уже по одному этому не могут считаться вполне
точными; строго говоря, они тоже являются приближенными. Поэтому
в отличие от них будем условно называть приближенными такие методы
и приемы, которые, кроме обычных упрощений, содержат те или иные
дополнительные.
Приближенные методы совершенствуются по мере развития строи-
тельной механики. В современных приближенных методах находят себе
сильное отражение идеи современных точных методов. Авторы прибли-
женных методов заимствуют свои идеи из арсенала точных методов, ана-
лизируют и упрощают точные методы, сопоставляют результаты своих
методов с результатами точных расчетов и в этом сопоставлении находят
критерий для оценки своих предложений. Без глубокого знания точных
методов невозможно в настоящее время построить удовлетворительный
приближенный прием расчета.
Приближенные методы расчета выполняют в известной степени важ-
ную функцию сближения строительной механики с насущными потреб-
ностями строительного проектирования. Хороший приближенный метод —
это в сущности то же самое, что точный метод, утративший в значитель-
ной степени свою сложность, но сохранивший с небольшим' уроном свою
точность.
399
§ 2.12. ОБЩИЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
Самая первая стадия расчета сложной балочной или рамной системы
имеет своим назначением. подбор поперечных сечений стержней. Эта
стадия расчета неизбежно имеет весьма приближенный характер и осно-
вана на резком упрощении задачи. Значительную роль играют при этом
опыт и интуиция проектирующего. Эту стадию расчета мы разбирать не
будем.
После того как ориентировочный подбор сечений выполнен, наступает
очередь поверочного расчета, который должен дать достаточно правиль-
ную картину распределения усилий и напряжений по всей системе. Этот
поверочный расчет может быть произведен одним из точных или прибли-
женных способов. О приближенных поверочных расчетах и будет идти
речь в данной главе.
Существующие в настоящее время методы приближенного расчета
могут быть отнесены к двум группам.
Одну из них образуют .те методы, которые основаны на более или
меиее значительном упрощении условий задачи, т. е. на отбрасывании
ряда параметров или условий, которые представляются второстепенными,
на отказе от строгого удовлетворения некоторым требованиям, предъяв-
ляемым к точному расчету.
Так, например, многие приближенные приемы игнорируют влияние
нагрузок, расположенных вдали от рассматриваемого стержня, или влия-
ние отдаленных опорных закреплений и т. п. В итоге расчет сложной
системы заменяется расчетом нескольких простых. Некоторые расчеты
основаны на игнорировании малых перемещений узлов рамы; другие —
на замене сооружения не вполне симметричного строго симметричным,
на замене почти симметричной нагрузки — симметричной и т. п. Другие
основаны на аналогиях, например, на замене нескольких вертикальных
стоек одной воображаемой более толстой стойкой; на замене составного
стержня сплошным; гибкого перекрытия — абсолютно^ жестким, и т. п.
После того как условие задачи упрощено, расчет производится одним из
известных точных методов, и полученный результат считается оконча-
тельным. Поэтому требуются особая осторожность и осмотрительность
при назначении основных допущений.
Вторая группа основана на идее последовательных приближений*
Эта идея позволяет более смело вводить начальные упрощения, так как
вредные последствия неточных допущений постепенно сглаживаются
в процессе расчета. *
В § 3.12—4.12 показаны примеры расчетов, относящихся к первой
группе; в § 5.12 — пример, относящийся ко второй группе.
§ 3.12. РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ МНОГОЯРУСНОЙ РАМЫ
НА ВЕРТИКАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ (фиг. 364)
Упрощение, которое применяется при решении этой задачи, состоит:
1) в игнорировании горизонтальных перемещений узлов рамы; 2) в игно-
рировании работы стержней, не смежных с загруженным; 3) в прибли-
женном задании моментных фокусных отношений для стержней, примы-
кающих к загруженному.
Условие 2 приводит к тому, что нагрузка, расположенная на одном
стержне, например, на стержне 23, вызывает изгибающие моменты только
в простой раме, показанной на фиг. 365, т. е. вовлекает в работу только
3 стержня ригеля и 4 стержня стоек. В этом состоит самая существенная
часть упрощения условий задачи. В случае загружения одного из крайних
пролетав ригеля или одного из участков верхнего яруса схема рамы еще
более упрощается.
360
Для построения эпюры моментов, отвечающей фиг. 365, необходимо
знать положения «дальних» фо-кусов всех стержней, примыкающих
к стержню 23. Для стоек 2В и ЗС, имеющих жесткое защемление кон-
цов В и С, как известно, kB2 = kC3 = 2.
Для остальных четырех стержней приходится задать фокусные отно-
шения приближенно. Фокусные отношения для стержня 23 выражаются
через «дальние» фокусные отношения остальных стержней по формуле
(5.11) § 1.11:
____________________Z23__________________
, ____*27 , *2В
i + ~ i г-
Фокусными отношениями, фигурирующими в правых частях обеих
формул, приходится в данном случае задаться произвольно. Крайние
возможные значения этих отношений, как известно, равны 2 и оо. При
k = 2
—Ц—=0,67;
2~~k
Яри k = ОО
---j—= 0,50.
2-V
Из этих двух чисел видно, что даже большая ошибка -в назначении
вспомогательных фокусных отношений слабо отражается на величинах
&23 И &32-
Изгибающие моменты, образующиеся на концах загруженного
стержня, определяются по формуле (21.5) § 7.5:
//32 t, //23 //23 l //32
лд А #32 — А . дл ______ К «23 — К
/W23 _ 1 ’ /И32 — ^з2-1
^23^32 — 1
Вслед за моментами М23 и М32 легко можно построить по методу
моментных фокусов всю эпюру (фиг. 366).
361
Для построения эпюры, показанной на фиг. 366, можно вместо ме-
тода моментных фокусов воспользоваться методом деформаций. При
этом нужно будет составить два канонических уравнения. Как показы-
вает фиг. 367, придется приближенно задать для момента, характеризую-
щего жесткость того или иного из примыкающих стержней, величину,
лежащую между 4/ и 3/.
Окончательная эпюра М получается путем суммирования эпюр, вы-
зываемых загружением отдельных участков. На каждом элементе ригеля
суммируются 3 эпюры, на каждой стойке — 4 эпюры.
Фиг. 366
Вслед за эпюрой М строятся эпюры Q и N. Способ образования
последних двух эпюр из первой указан выше. Он не зависит от того, ка-
ким способом построена эпюра М.
§ 4.12. РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ МНОГОЯРУСНОЙ РАМЫ
НА ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ (ВЕТРОВУЮ) НАГРУЗКУ (фиг. 368)
Ветровая нагрузка, распределенная непрерывно, заменяется узло-
вой IF2, W3, 1^4); в этом состоит первое упрощение.
Нулевые точки эпюры М принимаются на всех стойках нижнего яруса
расположенными на высоте 3/3h, считая от нижнего конца стоек, а на
остальных ярусах — по середине их длины (h — высота яруса). При-
мерно такое расположение нулевых точек подсказывается результатами
точного расчета.
Третье допущение заключается в следующем: поперечная сила и
изгибающие моменты распределяются между всеми стойками одного и
J
того же яруса пропорционально соответствующим величинам где
h — длина стойки.
Построение эпюры М легко производится в следующем порядке. Раз-
резаем стойки верхнего яруса по середине их длины. Сумма поперечных
сил в четырех стойках этого яруса равна 1Г4. Распределяем ее между
стоиками пропорционально соответствующим значениям и получаем
для них таким образом эпюру М. Сумма поперечных сил для стоек
третьего (считая снизу) яруса равна 4~U73 и т. д. Так получается
эпюра М для всех стоек.
В каждом узле уравновешиваем* сумму моментов, приложенных
к стойкам, моментами, действующими на примыкающие два ригеля, при-
чем моменты распределяем между этими ригелями пропорционально их
коэффициенту жесткости i. Так получается вся эпюра.
Если стойки, расположенные в разных пролетах, мало отличаются
друг от друга, то можно принять, что все они имеют одинаковую упругую
362
линию, В таком случае раму можно мысленно расчленить на однопро-
летные (фиг. 369). При этом, у внутренних стоек момент инерции J заме-
няется величиной 0,5/. Если игнорировать обусловленное этим обстоя-
тельством различие (между крайними рамами и промежуточными, то
можно считать, что их деформации одинаковы (обратно симметричны)
и что на ригелях нулевые точки эпюры М расположены в серединах про-
лета. Тогда достаточно произвести расчет одной из этих рам или даже
только половины какой-нибудь рамы (фиг. 370). Это может быть сде-
лано точным способом, например, методом сил. Затем придется распре-
делить заданную ветровую нагрузку между всеми полурамами пропор-
363
ционально их жесткости. Окончательные эпюры моментов всех полурам
будут подобны между собой и пропорциональны приходящейся на них
нагрузке. Подобный способ был применен при расчете каркасов некото-
рых из московских высотных зданий Г
§ 5.12. РАСЧЕТ РАМ СПОСОБОМ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕЛИЧИН НЕИЗВЕСТНЫХ
□ Способ последовательных приближений может применяться весь-
ма различным образом. Например, можно его применить к процессу ре-
шения уравнений. Для системы уравнений с большим числом неизвест-
ных способ последовательных приближений является одним из наиболее
удобных способов «решения.
Другие формы способа последовательных приближений могут быть
основаны на непосредственном рассмотрении сооружения.
Сравнительно простой и удобной для практического применения
является следующая схема расчета.
Пусть требуется построить эпюру М для рамы, представленной на
фиг. 371, а. Соответствующая основная система метода деформаций пока-
зана на фиг. 371,6. Горизонтальными перемещениями при вертикальном
за гр ужении рамы мы пренебрежем.
Вместо того чтобы составить совместную систему канонических
уравнений, содержащую все неизвестные углы поворота узлов, будем
рассматривать в последовательном порядке совокупность более
простых рам. Обозначим коэффициенты жесткости стержней через z‘15, ^2
и т. д. и учтем, что для расчета имеет значение не абсолютная величина
этих коэффициентов, а лишь относительная.
Устраним заделку в одном из узлов основной системы, например,
в узле 6. В крестообразной раме, показанной на фиг. 372, а, определим
момент г66, который требуется приложить к узлу 6, чтобы повернуть его
на угол <р6= 1. Назовем его коэффициентом жесткости узла 6.
Очевидно, что
r66~4(i65 + + /62)-
Аналогичным образом, вычисляются коэффициенты жесткости трех
стержневых и двухстержневых узлов. Если тот или иной стержень, при-
мыкающий к рассматриваемому узлу, имеет на противоположном конце
шарнир, то ему отвечает в формуле жесткости узла не член 4г, а член 31.
Если узел 5 повернется по часовой стрелке на какой-нибудь угол ср5
(фиг. 372, б), то узел 6 повернется на угол з6, который может быть найдеи
из канонического уравнения метода деформаций (т. е. из условия равно-
весия узла 6):
г бб?в + 2^*5 6^5 — О
или
~ Р“ ?5 = ^бб?5‘
“2”гбв
Если произойдет поворот узла 10, то аналогичным образом,
Чо -6 х.
?6-- 1 <Р10 ^6-10
1 Академия архитектуры СССР, НИИСтройтехники, Конструкции высотных зданий,
Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1952.
361
и т. д. Очевидно, что величины^, &б-ю и т. д. в этих формулах суть угло-
вые фокусные отношения. Проделав эту часть расчета, которая не зави-
сит от внешней нагрузки, можно приступить к вычислению изгибающих
моментов. При этом сразу будет учитываться вся нагрузка рамы.
Выделим сначала узел 9 с двумя примыкающими стержнями
(фиг. 373, а).
а) 6)
IIIIIUllIUlUllllUlinilllinillllllHillllllHillllllllllllllll
S ю // /2 9 ю 12
^niiiiiiiiiHUin^HiiiiimigiHH№ 31Н11Н111Ш1111№ у
5 \6 7 г 5 7 6 7 V
А Т • 7 2 7 ъ
Фиг. 371
Первое приближение ?д к значению угла
чается из условия равновесия узла 9
поворота узла 9 полу-
или
о}
4-
В раме, изображенной на фиг. 373, б, угол поворота
В раме, изображенной на фиг. 373, б, угол поворота узла 10 вы-
числяется как результат совместного действия внешней нагрузки и най-
денного выше угла поворота срд:
<р° = q (zio—и ~Z9-io)
10 12r10_10- *
В раме, изображенной на схеме 373, в, вычисляется угол поворота^,
причем принимается во внимание, кроме внешней нагрузки, найденный
выше угол <р]0 (следовательно, косвенно учитывается также угол ?д).
Найдя угол 9°,, переходим к раме по схеме фиг. 373, г и определяем
угол ф°2. После этого спускаемся ярусом ниже и начинаем обход справа
налево, разбирая последовательно четыре простые рамы. Каждый сле-
365
дующий шаг получается точнее предыдущего, так как учитывает большее
число углов поворота узлов.
Сделав полный обход, найдем начальные значения, или, иначе го-
воря, первые приближения для углов поворота всех узлов.
Если мы пожелаем на этом остановиться, то сможем найти моменты
на концах любого стержня АВ по формуле
А^ав == А4дв + 21ав ,
где углы гв и (моменты реактивных пар, приложенных к концу
стержня, считаются положительными, если они направлены по часовой
стрелке.
Дальнейшее приближение к правильному расчету производится
путем, вычисления поправок к углам поворота узлов. Обращаемся снова
к схеме фиг. 373, а, но теперь найдем угол поворота узла 9, вызван-
ный углом поворота Угол Д?д будет служить первой поправкой
к углу срд, Продолжая обход в прежнем порядке, найдем первые по-
правки ко всем остальным углам поворота, затем аналогичным образом —
вторые поправки т. д. Полная поправка к повороту любого узла пред-
ставляет собой сумму соответствующих ему последовательных поправок.
Поправка к моменту, действующему на конец любого стержня, вычис-
ляется по формуле
ЛЛ4лв = 21-лв(2А®д + Д?в) ,
где —полные поправки к поворотам конце® стержня.
Запись получаемых результатов удобно вести в форме таблицы, раз-
графленной наподобие схемы самой рамы, и все характерные величины
надписывать над соответствующими узлами и стержнями. Такая запись
оказывается весьма удобной. Она была впервые предложена инж. Н. М.
Вернадским Ч
Схема расчета, изложенная в настоящем параграфе, разработана
канд. техн, наук П. М. Сосисом1 2. Она может применяться при любом
выборе основных неизвестных.
Некоторые приближенные расчеты можно найти в книге проф.
А. И. Сегаля3. □
1Н. М. Вернадский, Символический расчет жестких стержневых систем,
«Труды Среднеазиатского опытно-исследовательского института», Ташкент, 1929.
2П. М. Сосне, Расчет рам способом перераспределения начальных значений
неизвестных, Гостехиздат УССР, 1952.
3 А. И. Сегаль, Высотные сооружения. Расчет на прочность, жесткость и устой-
чивость, Стройиздат, 1949,
Глава 13
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМНЫХ СИСТЕМ
§ 1.13. ВВЕДЕНИЕ
□ Пространственные балочные и рамные системы применяются как
для железобетонных, так и для стальных конструкций.
* Весьма распространенным, видом пространственно работающей балоч-
ной системы является ребристое железобетонное перекрытие, образован-
ное пересекающимися и монолитно связанными между собой попереч-
ными и продольными балками; то же самое можно сказать о металличе-
ской балочной клетке проезжей части мостов. Каркасные здания, как
железобетонные, так и стальные, в частности каркасы высотных зданий,
представляют собой пространственные рамы, которые лишь приближенно
могут быть расчленены в расчете на плоские. Рамные фундаменты под
машины, водонапорные башни, эркеры, арки мостовых пролетных строе-
ний, работающие на ветровую нагрузку, также относятся к простран-
ственным рамным системам. Отсюда ясно, что их расчет имеет немалое
практическое значение.
Расчет пространственных рам может быть произведен теми же спо-
собами, что и расчет плоских рам; с принципиальной стороны он не
заключает в себе никаких осложнений. Однако на практике расчет таких
систем наталкивается на большие трудности, обусловленные значитель-
ным -количеством неизвестных и пространственным характером нагрузов,
усилий и деформаций. Эти трудности еще не вполне преодолены. Разра-
ботка практических приемов расчета пространственных рам еще далека
от своего завершения, и это является пока серьезным препятствием к ши-
рокому распространению таких расчетов.
Заслуживает внимания книга пр оф. Б. Н. Горбунова и ин-ж. Ю. В.
Кротова в которой теория расчета пространственных рам разработана
проф. Горбуновым в весьма общем виде при помощи «моторного» ана-
лиза («мотором» назван пространственный векториальный образ, опре-
деляемый шестью координатами).
Расчет рам нашел себе некоторое отражение и в вышедшей в 1948 г.
книге проф. А. А. Умаис кого «Пространственные системы».
В настоящей главе мы ограничимся основами расчета и рассмотрим
лишь несколько несложных примеров.
В отличие от плоских стержневых систем, в которых на каждое сече-
ние действуют три компонента внутренних сил: 7И, Q и N, в простран-
ственных системах на сечение любого стержня действуют 6 величин
(фиг. 374):
Мх, Му, M„ N„ Qy, Q,.
1 «Основы расчета пространственных рам», Госстройиздат, 1936.
367
Здесь ось х является продольной осью (касательной к оси стрежня),
a z направлена по главной нормали к этой кривой. В то же время оси у
и z являются главными осями поперечного сечения.
Силы, перпендикулярные плоскости чертежа, будем обозначать
кружком с поставленной внутри точкой или крестом, смотря по тому,
обращена ли стрелка острием к зрителю пли от него.
Моменты будем обозначать на
чертеже в-екторами, направленными
вдоль соответствующих осей; для отли-
чия от 'сил оп,и отмечены двумя стрел-
Л нами.
Стрелки будем ставить так, чтобы
s' х зритель, который смотрит по их на-
Sправлению, видел вращение происхо-
дящим по часовой стрелке. Как из-
вестно, сложение моментов произво-
фиг. 374 дится ПО' правилам сложения векторов,
причем длины векторов берутся про-
порциональными величинами соответствующих моментов.
Момент Мх является крутящим, а моменты Му, Мг — изгибаю-
щими. Характерным и осложняющим обстоятельством является то, что
направление этих осей изменяется от сечения к сечению. □
§2.13. КОЛИЧЕСТВО ОСНОВНЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
И В ПРОСТРАНСТВЕННО НАГРУЖЕННЫХ ПЛОСКИХ РАМАХ
□ Приступая к теории пространственных рамных систем, разберем-
ся прежде всего в вопросе о количестве основных неизвестных. При этом
ограничимся такими системами, которые не имеют шарниров. Вырежем
какой-нибудь узел с примыкающими к нему отрезками стержней
(фиг. 375). Такой узел может рассматриваться как тело, имеющее 6 сте-
Фиг. 375
пеней свободы. Любой стержень, свя-
зывающий два узла, превращает эти
два тела в одно; следовательно, отни-
мает 6 степеней свободы. Пусть число
узлов, не считая опорных, равно У; ко-
личество стержней, связывающих эти
узлы друг с другом, равно С; количе-
ство .опорных стержней — Со; количе-
ство лишних связей Л, Очевидно, что
Л = 6С + СО-6У. (1.13)
При пользовании этой формулой
не нужно забывать, что те стержни, ко-
торые примыкают к узлам рамы толь-
ко одним концом, не входят в состав
числа С.
Например, для рамы, представленной на фиг. 376, az
Со = 4-6 = 24; Л = 24 —4-6 = 0;
для фиг. 376, б
У = 6; С = 7; СО = 6-6 = 36; Л= 6-7 + 36 - 6-6 = 42;
для фиг. 376, в
У = 12; С=18; СО = 6-6 = 36; Л == 6-18 4- 36 - 6-12 = 72.
368
Подсчет числа лишних связей можно произвести еще так: определить
число разрезов, которые необходимо сделать для того, чтобы разомкнуть
все замкнутые контуры, затем учесть, что каждый разрез освобождает
систему от шести связей. Например, на фиг. 376, а не следует делать ни-
каких разрезов, поэтому Л = 0; на фиг. 376, б — 7 разрезов, поэтому
Л ~ 7 - 6 = 42; на фиг. 376, в—12 разрезов, чему соответствует
Л = 12 - 6 = 72.
При расчете по методу деформаций основными неизвестными явля-
ются углы поворота узлов и линейные их перемещения. Каждый узел
может поворачиваться вокруг трех осей, что же касается числа незави-
симых линейных перемещений, то оно, как и в плоских рамах, равно
степени подвижности шарнирной схемы.
В части I настоящего курса (стр. 364) дана следующая формула для
числа лишних связей шарнирно-стержневой системы:
л= с + с0-зу.
Но степень подвижности W = — Л. Итак, полное количество основ-
ных неизвестных равно
т = ЗУ + 1Г=6У-С-СО. (2.13)
Например,
для рамы, представленной на схеме 376,6:
т = 6-6 — 7 — 6 = 23;
для фиг. 376,0:
/72 = 6.12—18— =48.
Во всех этих примерах число основных неизвестных по методу дефор-
маций значительно меньше, чем по методу сил.
Особый класс пространственных рамных систем, образуют плоские
рамы, работающие на пространственную нагрузку. К числу их относят-
ся, например, 1Кривые или ломаные балконные балки (эркеры); мосто-
вые арки, работающие на ветровую нагрузку, и т. д.
Мы будем называть систему плоской только тогда, когда продоль-
ные оси всех ее стержней, а также одна из главных осей всех попереч-
ных сечений лежат в одной плоскости и, кроме того, опоры устроены так,
24—И. М. Рабинович
369
по направлению, перпендикулярному
тельно, 8pi = 0, а потому и rip = 0.
что от нагрузки, действующей в той же плоскости, все усилия и дефор-
мации получаются параллельными последней.
На основании принципа взаимности легко доказать, что при действии
нагрузки, перпендикулярной плоскости такой системы, продольные и
поперечные силы в этой плоскости, а также изгибающие моменты в ней
же обращаются в нуль.
Действительно, из формулы & — — гХр (см. § 18.2) следует, что
если 8pi = 0, то и fip = 0. Обозначим через 8р, перемещения по направ-
лению силы Р, вызванные единичным перемещением, параллельным
силе Nx. Но перемещение, параллельное силе Nx, не вызовет перемещений
плоскости оси стержня, следова-
Таким же способом доказы-
вается, что при действии силы Р
обращаются в нуль силы1 Qy и
момент Mz. Остаются неизвест-
ными только поперечная сила Qs
изгибающий момент Му и крутя-
щий момент Мх.
' Любую нагрузку можно раз-
* дожить на две составляющие, из
которых одна лежит в плоскости
системы, ia другая ей перпендику-
лярна. Неизвестные при этом раз-
биваются на две самостоятельные
группы, определяемые совершен-
но независимо друг от друга. Может случиться, что система будет
статически неопределима при действии каждой из двух нагрузок или же
статически неопределима при действии одной и определима при действии
другой, или даже статически неопределима при действии одной и мгно-
венно изменяема при действии другой.
На фиг. 378 показано несколько примеров. Арка, изображенная на
фиг. 378, а, трижды статически неопределима при действии нагрузки, рас-
положенной в ее плоскости, и столько же раз — при действии нагрузки,
перпендикулярной этой плоскости. Рама, представленная на фиг. 378, б,
содержит соответственно 6 4-6 лишних связей.
На фиг. 378, в изображена трехшарнирная арка. Если оси всех шар-
ниров перпендикулярны ее плоскости, и каждый шарнир допускает толь-
ко (вращение вокруг оси, но не скольжение вдоль нее, то она содержит
О-J-3 неизвестных. На фиг. 378, а изображена трехшарнириая арка, у ко-
торой оси всех шарниров лежат в ее плоскости, но не пересекаются в
одной точке. Такая арка содержит 3 4-0 неизвестных, т. е. при действии
нагрузки, расположенной в ее плоскости, .она работает как бесшарнир-
ная, при действии же нагрузки перпендикулярной она статически опре-
делима. Первое — очевидно.; второе мы сейчас докажем.
Пусть, например, в сечении D приложена сила Р, перпендикулярная
плоскости арки.
Рассмотрим условия равновесия правой полуарки. В шарнире 2—2
действует перпендикулярная плоскости реакция, имеющая точку прило-
жения на оси шарнира; то же самое можно сказать о реакции в шар-
нире 5—3. Так как эти две силы должны друг друга уравновесить, то
они совпадают, т, е. обе приложены к точке G взаимного, пересечения
осей. Полуарка СЕ находится в равновесии под действием трех парал-
лельных сил, из которых одна приложена в другая — в G, а третья
370
имеет точку приложения на оси 1—1. Для равновесия необходимо, чтобы
точки приложений всех трех сил лежали на одной прямой, следовательно»
третья точка лежит на пересечении оси 1—1 с прямой DG. Остается раз-
ложить силу Р на две параллельные ей, приложенные в точках Н и G, что
может быть сделано единственным способом. Предоставляем читателю?
рассмотреть различные частные случаи, например, случай, когда пря-
мая DG и ось 1—1 параллельны между собой.
В симметричных системах при симметричном или обратно симме-
тричном воздействии количество неизвестных уменьшается и в отдельных
случаях может даже обратиться в нуль. □
§ 3.13. ФОРМУЛА ПЕРЕМЕЩЕНИИ
□ Общая формула перемещений для любой пространственной
стержневой системы с прямыми или слабо искривленными стержнями
может быть написана по аналогии с формулой перемещений, относящей-
ся к плоским системам:
д + MfMpzds J MfMpxdx
, YV N^pds t /o
ef + ZjJ GF + GF ’ (o.lo)
где — коэффициенты, зависящие только от формы поперечного се-
чения и выражаемые формулой (4.13) гл. 2;
Л1ь Мр — моменты вокруг оси у, вызываемые соответственно вир-
туальной силой Xi — 1 и внешней нагрузкой, и т. д.;
GTX — жесткость стержня при кручении.
24*
371
Величина Т имеет следующие приближенные значения: для квад-
рата со стороной а Т = 0, 1426g4; для узкого прямоугольника со сторо-
нами а, Ь, где а > Ь, Т = ~ (а — 0,636); для кругового сечения Т — ~ .
Д^ля. сечений, состоящих из узких прямоугольников, например, для тав-
ровых и двутавровых, приближенно можно принять
T=^d4,
где d — длина коротких сторон;
I — длина больших сторон прямоугольника.
£
Отношение можно приближенно принять для металлических
конструкций 2,57, а для железобетонных — 2,33.
Если пренебречь влиянием продольных и поперечных сил на дефор-
мации, то в формуле (3.13) останутся только три первых члена.
Мы не будем приводить здесь формул для перемещений, вызываемых
смещением опор и температурой, так как они легко пишутся по аналогии
г формулами для плоских систем. □
$ 4.13. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ НА НАГРУЗКУ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНУЮ ЕЕ ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим отдельно случаи симметричной и обратно симметричной
нагрузки. Будем считать плоскость рамы горизонтальной, а нагружу —
вертикальной.
1-й случай. Пусть рама ABCD (фиг. 379, а) нагружена сплошной
нагрузкой, равномерно распределенной по ригелю ВС. Разрежем ригель
по оси симметрии. В данном случае поперечная сила и крутящий момент
в середине пролета ригеля, очевидно, равны нулю, и остается разыскать
одну неизвестную — изгибающий момент вокруг оси симметрии.
На фиг. 379, б показаны эпюры моментов, вызванных внешней
нагрузкой; редкой штриховкой изображена эпюра изгибающих моментов,
а густой — крутящих моментов. От изгибающих моментов верхние
волокна стойки растянуты; кручение левой стойки, если на нее смотреть
по .направлению от А к В, происходит по часовой стрелке. На фиг. 379, в
представлены эпюры, вызываемые двумя парами Xi=l. Ригель изги-
бается, а стойки скручиваются. Ординаты эпюр, вызываемых этим воз-
действием, в данном случае противоположны по своему знаку ординатам
эпюр М р.
372
Вычисляем перемещения:
____________________________ | Q а
11 ~ ejbc -г атАВ ;
dG Ad
\ _ о I Яьз . Яь?а \ __ №
1Р “ V8£JBC + WTAB ] “ 24EJBC
Далее
b J вс\
G ' ТАВ) *
5 и
2 .
1 + 2±.£.^s£.)
b G тАВ!
Окончательные эпюры моментов определяются по формуле
М^МР+ М.Х.,
Ригель подвергается только изгибу, а стойки — изгибу и кручению.
Наличие или отсутствие разреза в ригеле отражается в стойках лишь на
величине их крутящего момента. Эпюры М и Q представлены иа
фиг. 380.
Фиг. 381
2-случай. Ригель загружен сплошной равномерно распределенной
обратно симметричной нагрузкой (фиг. 381, а). Основные эпюры пока-
заны на фиг. 381, а, б, в. Перемещения выражаются следующими фор-
мулами:
373
, _9 а , Ь . . __а(а-2с) Ъс „
22 - *• PJ “Г Туг 1 °23 — ~р~1 " QT и>
АВ UJ ВС bJAB ВС
откуда
_ а3
2 .+ 'ф>
6 ТВС
g ____ Ь3 . 2л (а2 — Зле 4-Зс2) । (fib . abz
33 - Т2Ё7^ 3EJab -Г GT^ + 20ГЛВ '
. qcfib . , Г b3 . tfi(2a — Зс) < ab2
2₽ ~ ~ ; дзр- - ?& [ 64£7^7 н вёт^- + '8G7T7
Найдя Хг=—-ir-, Х3
0-22 d
эпюры (фиг. 381, г, д). □
&ЗР
^3
, нетрудно 'построить окончательные
§ 5.13. РАСЧЕТ КРУГОВОЙ АРКИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
♦
□ Когда арюа работает на нагрузку, перпендикулярную ее плос-
кости, то она превращается в балку, так как распор при этом отсут-
ствует. Рассчитаем ее на сплошную равномерно* распределенную по всей
длине нагрузку (фиг. 382, а).
Задача содержит только одну неизвестную — изгибающий момент
Xi в середине пролета (фиг. 382, 6).
Возьмем произвольное сечение D, которому отвечает некоторое зна-
чение центрального утла ср, отсчитываемого от среднего радиуса. Поло-
жительное направление для векторов изгибающего и крутящего моментов
в этом сечении выберем согласно стрелкам, показанным на радиусе и иа
касательной в точке D (фиг. 382, а). От действия пир Xi == 1 изгибающий
щ крутящий моменты соответственно равны
374
/ИГ = cos Л41рут = — sin ср.
Для определения моментов от сплошной нагрузки вычислим (Пред-
варительно координаты произвольной точки окружности относительно
осей, совпадающих с радиусом и касательной в точке D (фиг. 382, в):
X = Г [ 1 — cos (ср — а)]; у = г sin (ср — а).
Эти координаты служат (плечами элементарных внешних сил относи-
тельно сечения D. Отсюда
ср ср
7И5ЗГ = — J qrydа = — qr2 ( sin (9 — а) da = - - qr2 (1 — cos ср);
о у
ср ср
/Ирр = j qr xda = qr2 (* [ 1 — cos (ср - - a)] da = qr2 (ср — sin ср).
0 о
Заметим, что для кругового стержня при действии нагрузки, .перпендику-
лярной плоскости, можно вывести из условий равновесия следующее
соотношение:
изг = .
dy »
оно оправдывается и в рассматриваемом частном случае.
Вычислим перемещения:
и
EJhlP = 2 J МГ MF rdf + 2 J MKPWT ЛДрут rdf =
и и
or3 Г / EJ , .. \ ,. . \ л EJ I
= - ~GT + 1 )(4sintPo —2?о)~ 4 cp0cos ср0 +
( qT * 1 sin 2cp0J ,
Далее
y __ EJ^P
£ЛП ;
/Иизг = МТ + МТ X, - - qr2 (1 - cos ср) + Х1 cos ср;
Мкрут = ЛГРрут 4- Л1Грут Xi = qr2 (ср - sin ср) - Х1 sin ср.
Когда арка представляет собой полуокружность, т. е. с?0 = -у , фор-
мулы значительно упрощаются. □
§ 6.13. ЗАДАЧА
□ Рассчитать прямоугольную раму, представленную на фиг. 383, а, на сплошную
равномерную нагрузку, перпендикулярную ригелю BBi и лежащую в плоскости А1В1ВА.
Указания. При расчете этой рамы иа несимметричную нагрузку методом сил
число основных неизвестных было бы ранно 18, в данном же частном случае
благодаря прямым углам и специальному характеру 'Нагрузки оно снизится до трех
(фиг. 383, б).
375
Проще задача решается методом деформации (фиг. 383, в). Деформация рамы
AiBiBA будет происходить только в ее плоскости, поэтому останется одна неизвест-
ная— поворот узла В вокруг осн ВС, который равен и противоположен повороту
узла Вь Реактивный момент вокруг оси ВС в узле В, вызванный внешней нагрузкой:
Фнг. 383
Реактивный момент, вызываемый симметричным поворотом узлов В и В] на углы
V Б = 1 и = 1 (см. стрелки на фиг. 383. 0), равен
С Т
^вв, + 41ва + —.
Свс
Имея эти коэффициенты, нетрудно написать уравнение метода деформаций, □
Глава 14
РАСЧЕТ БАЛОК И РАМ, ЛЕЖАЩИХ НА СПЛОШНОМ
УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
§ 1.14. ХАРАКТЕРИСТИКА НЕСВЯЗНОГО УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ
Способ расчета балки, лежащей па упругом основании, зависит от
расчетной схемы этого основания. Простейшей расчетной схемой является
такая, которая приписывает основанию следующее свойство: перемеще-
ние в любой точке основания есть линейная функция давления, передаю-
щегося в эту и только в эту точку.
Примером такого основания приближенно может служить совокуп-
ность упругих опор, расположенных весьма близко друг к другу. Будут
ли это колонны, или сближенные поперечные балки, или рамы, иа кото-
рые опирается данная балка, в пределе их можно рассматривать как
несвязное упругое основание. Приближенно, но уже с меньшим оправда-
нием можно рассматривать рельс, лежащий на шпалах, как модель балки
на упругом основании. В таких же условиях находится балка, положен-
ная на дощатый настил, и т. п. Модель несвязного упругого основания
играет большую роль в технических расчетах тонкостенных стержней
и оболочек, в частности в расчете резервуаров. На практике за несвязное
упругое основание во многих случаях принимается также грунт, состава
ляющий основание под фундаментом зданий и сооружений, но расчет,
основанный на такой схематизации грунта, далеко не всегда дает удов-
летворительные результаты.
За характеристику упругого основания принимают сопротивление
&о в кг/см\ оказываемое основанием на 1 см2 его поверхности при
вдавливании или приподнимании на 1 'см. Число kQ называется коэффи-
циентом жесткости основания.
Если балка имеет подошву шириной Ь, то сопротивление основания,
приходящееся на 1 см длины балки при осадке или поднятии на 1 см,
равно
kQb = k кг/см*.
Величина k называется жесткостью основания. Для абсолютно податли-
вого основания k — 0; для абсолютно жесткого k — оо .
Жесткость упругих опор (балок, колонн, рам) определяется по
общим формулам строительной механики; жесткость различных грун-
тов— по опытным данным. Для грунтов средней плотности (слежав-
шийся песок, гравий, влажная глина) &о=О,5—5 кг!см\ для плотного
грунта (плотно слежавшийся песок или гравий, щебень, глииа малой
влажности) —5—10 кг/см\ для весьма плотного (песчано-глинистый,
377
твердая глина) — 10—20 кг/см3; для твердого (известняк, песчаник, мер-
злота) —10—20 кг/см3; для скалистого 100—1 500 кг/см? *.
Эти коэффициенты характеризуют податливость грунта при сжатии.
Для упрощения расчета предполагается, что те же коэффициенты годятся
для растяжения. Кроме того, принимается, что балка не может нигде
отделяться от основания.
§ 2.14. ЭПЮРЫ ДЛЯ НЕЗАГРУЖЕННОГО УЧАСТКА БАЛКИ
Трудами советских ученых расчет балок на таком упругом основа-
нии доведен до высокой степени совершенства. Удалось создать метод,
который позволяет выразить все эпюры на всех участках балки при любом
числе сосредоточенных и распределенных нагрузок и требует при этом
определения всего только двух постоянных.
Отнесем упругую линию балки к системе координат, представленной
на фиг. 384. Положительные направления для у, М и Q показаны
стрелками. Дифференциальное уравнение равновесия балки постоянного
сечения имеет вид
EJ^^P-ky.
(1.14)
Различные эпюры связаны между собой зависимостями
1 dx ’ dx% ’
Q = -EJ^-,p-ky = - =
(2.14)
Примем сначала p — 0 и составим интеграл однородного дифферен-
циального уравнения
EJy™ + ky = Q. (3.14)
* В. А. Киселев, Балкн и рамы на упругом основании, Стройиздат, 1936.
378
Предварительно введем обозначение
L=V —г~см
(4.14)
Величина L служит одновременно характеристикой жесткости балки
и жесткости основания. Затем введем безразмерную (или «приведен-
ную») абсциссу
5 = ^. (5.14)
Выразим интеграл дифференциального уравнения (3.14) через сле-
дующие комбинации тригонометрических и гиперболических функций1:
АХ = А (£) — cos В ch £;
Вх = В (£) = (sin Uh £ + cos £ sh 0;
Cx — С (0 = sin Uh $;
Dx — D(E) = “ (sin Uh $ — cos Uh $).
(6.14)
Гиперболо-тригонометрические функции (6.14) обладают двумя
важными свойствами, которые легко проверить:
1) А(0)=1; Щ0) = С(0) = П(0) = 0;
9 'i ________П • г_______ 1 д .
dx L dx — L Ax' (7.14)
dCx 1 „ dDx _ 1 r
dx L dx “ L
При поверке свойства (7.14) следует иметь в виду, что
d _ d di _ d 1
dx ~ il 't dx ~ d i L ‘
Свойство (7.14) показывает, что если мы будем дифференцировать
любую из функций Ах, Вх, Сх, Dx любое число раз, то будем получать
опять те же функции с добавлением лишь того Д1-ли иного постоянного
множителя'. Проф. Н. П. Пузыревский, который первый применил анало-
гичные функции в данной задаче, назвал их «повторяющимися».
Каждая из функций Ах. Вх, Сх, Dx является частным интегралом
уравнения (3.14), а так как они линейно независимы, то через них
можно выразить и его общий интеграл.
Искомое уравнение упругой линии, а также ее производные
имеют внд2
Г 2 J
у = + L ЪВХ ё]~ МОСХ QqDх‘)
? = ?оЛ - LBX - -g- ЬгСх - 4- y,Dx-
Мх = МаАх + Q.LBX + ky^Cx + k <f0L3Dx;
Qx = Q,AX + kyaLBx + k <fQL2Cx - ± MODX,
(8-14)
1 H. П. Пузыревский, Основания и фундаменты, литогр. курс, изд. 1923 г.,
«Фундаменты», Госстройиадат, 1934, стр. 159; Г. Д. Дутов, Расчет балок на упругом
основании (новый метод), Л. 1929, стр. 18; А. Н. Крылов, О расчете балок, лежащих
иа упругом основании, § 4, изд. Академии наук СССР, 1930.
2 Г. Д. Дутов, Расчет балок на упругом основании, стр. 73—81; А. А. Уман-
ский, Специальный курс строительной механики, ч. I, Главная редакция строительной
литературы, 1935, стр. 49—51.
379
гДе «/о, Фо, Af0, Qo — параметры, относящиеся к левому концу рассматри-
ваемого незагруженного участка.
Для функций Ах, Вх, Сх, Dx как зависящих от безразмерного пара-
метра £ составлены численные таблицы; которые дают возможность
значительно облегчить расчет Ч
Эпюры, выражаемые уравнениями (8.14), относятся к незагружен-
ному участку балки, тем ие менее они в отличие от эпюр обычной балки
имеют криволинейное очертание, кривые Ах и Сх имеют волнообразный
характер с неограниченно и очень быстро возрастающими амплитудами:
первая пересекается с осью абсцисс при £ — а вторая — при
£ == п тс, где п — любое целое число. Кривые Вх и Dx также имеют волно-
образный характер с быстро возрастающими амплитудами. При больших
значениях аргумента ;. . . sh;^ch£, поэтому при таких значениях
функция Вх мало отличается от величины
sh S (sin £ -|“ cos £) = sin cos -5") sh
a Dx — от величины
Ц- sh $ (sin £ — cos 0 = cos s*n ------•
Если мы будем изменять параметр L, т. е. изменять любую из вели-
чин Е, J, k, то для любого сечения изменится аргумент , а следовательно,
изменятся ординаты кривых Ах, Вх, Сх, Dx. Поэтому эпюры не сохранят
подобия, а изменят свой характер.
Если L останется без изменения, а величины EJ и k увеличатся или
уменьшатся в одинаковое число раз, то подобие все же не сохранится.
Если же, кроме величины Z, останутся без изменения также параметры
MQ и Qo, а величины г/0, <р0 будут уменьшены или увеличены во столько
раз, во сколько раз, наоборот, увеличены или уменьшены величины
Е, J, k, то эпюры сохранят подобие.
Если заданы два параметра на одном конце участка и два — на дру-
гом (например, у0, Я40, ур /И), то характер эпюр зависит также от
длины /.
§ 3.14. ВЫРАЖЕНИЯ ЭПЮР ДЛЯ БАЛКИ, ЗАГРУЖЕННОЙ ЛЮБОЙ
ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ
Пусть требуется определить одну из величин у, <?, М, Q для сечения
К, имеющего абсциссу х, и пусть слева от этого сечения расположена
сосредоточенная сила Q, абсцисса которой равна z (фиг. 385). Восполь-
зуемся принципом независимости действия сил следующим образом.
Сначала предположим, что на участке х нет никакой внешней нагрузки.
Тогда величины у,<р, Л4 и Q для сечения К выразятся в функции от пара-
метров уо, Мо и Qo формулами (8.14).
На основании указанного выше принципа прибавим к величинам
у, ф, М и Q, которые выражаются этими формулами, новые, вызванные
действием силы Р. Примем точку ее приложения за новое начало коорди-
1 А. А. Уманский, Специальный курс строительной механики, стр. 178—191.
Удобно также пользоваться таблицами, приведенными в указанной книге акад. А. Н.
Крылова (кроме 1-го издания).
380
нат и применим те же формулы, учитывая, что в сечении под силой Р
добавляется Дуо = О; Д<рп = О; ДЛ4о = О; Д Qo —— Р, и что абсцисса
точки А по отношению к этому началу равна х — z. Совершенно таким
же образом можно учесть влияние других сосредоточенных сил, если они
имеются слева от К.
Если слева от А расположе-
на распределенная нагрузка
тенсивностью р, то ее можно
сматривать как совокупность
ментарных сосредоточенных
pdz.
Если слева находится сосре-
доточенная пара с моментом М,
то сечение, в котором она прило-
жена, можно принять за началь-
ное и считать, что в этом сечении
добавляются Д г/0 = 0; Д?о = 0;
ДМ0 = М; AQo = 0, после чего
применить те же формулы.
Действуя таким способом, по-
лучим общие формулы:
ян-
рас-
эле-
сил
о
72
ух = Мж + L — -gy /иос
+ 4 SPD f pd*-гdz’ <914)
о и
где
z<x, Ах_г = А^х_2) = А^-~-^ и т. д.;
<Рх = <Р<А - ~ МОВХ — ~ Q„CX — Ц- у qDx -
2 РСх-г + -^ f pCx-2dz; (10.14)
о о °
Мх = М„АХ + LQ„BX + kLtyQCx + kL3<f0 Dx + MAX_, -
0
X X
В PBX—z L f pBx_zdz\
О О
Qx = QoAx + kLy.Bx + klS^Cx - ± MODX - Ц- X
X X X
X 2 MD*-* — У РАх-г — J pAx_zdz.
0 0 0
fll.14)
(12.14)
В каждой из этих формул совокупность трех последних членов выра-
жает влияние внешней нагрузки, расположенной в пролете между левым
концом балки и рассматриваемым сечением. Для краткости по при-
меру проф. А. А. Уманского обозначим их через [ yj, cj, [MJ, [Qx
381
Для равномерно распределенной нагрузки, расположенной левее
сечения на участке от г = а до z = b, интегралы, стоящие в формулах,
могут быть выписаны в раскрытом виде. Для этого следует обратить вни-
мание на формулы (7.14), из которых следует, что
-i- Axdx = dBx; ~ Bxdx = dCx и т. д.;
ь
У pAx~zdz = pL (Вх_а — Вх-ь)',
а
b
JpBx-zdZ =pL (Сх—а Ojt—d)j
а
b
\jpCx_zdz=pL (Dx-a — Dx-bp,
а
Ь .
( pDx_zdz = — PL (Ах-а — Ах-ь).
а 4
Формулы (9.14) — (12.14) могут быть написаны в еще более общем
виде, если к внешним факторам причислить .возможные заданные раз-
рывы в углах поворота ср и в прогибах у *.
§4.14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Для того чтобы воспользоваться формулами (9.14), (12.14), необхо-
димо сначала определить фигурирующие в них постоянные у о, ф0>
Qo. Для этого должны быть заданы 4 условия. Обычно известны два
параметра на одном конце балки и два. — на другом.
Например, для балки с шарнирно опертыми концами известно, что
#о=О, Л10=О, у^О, = 0.
Первые два условия сильно упрощают все формулы, оставляя в них
только неизвестные и Qo. Эти дв-а параметра найдутся, если прирав-
нять нулю выражении для у, и
Более часто встречается балка со свободными концами. Для нее
Л1о=О, Q()—0, = Q^O. По формулам (11.14) и (12.14) последние
два условия выражаются так:
Ml = kDCiy^kDDl^+ [Afz] =0;
Qz = kLBty. + + [QJ = 0.
Отсюда
_1__ LDi [Qd-Q W] .
АД2 ’ Cp — BiDt 9
_ 1 Bt \MA-LCt\Qt]
™ * Cf— BtDi
(13.14)
§ 5.14, ПРИМЕРЫ
а) Построить эпюры у и М для балки, нагруженной силой Р на левом
конце (фиг. 386). Абсцисса силы Р\ имеет значение z=0, поэтому
[у,] = PDt-,
[M^-LPBc, {Q^-PAV
* А. А. Уманский, Специальный курс строительной механики, стр. 54, 55.
382
По формулам (13.14) находим
P(BtCt-AiDi) .
kL2 (С2~
(14.14)
Уравнения эпюр можно в данном случае писать либо по формулам
(9.14) — (12.14), ^принимая Qo=O, z=0, либо по формулам (8.14), при-
нимая Qo= — Р\
Ух = УоАх + PD*’
Мх = — LPBX + kL2yQCx + А£’<ро Dx.
р
Фиг. 386
Пусть Р= Ют; балка железобетонная с сечением 6X^=120X40 сл;
£=200 000 кг/гл2;
£7 = 128-109 кгсм2; £о=1О кг!смА;
£ = £^10.120=1200 крем2;
т 4 Г 4-128*109 1л0 .
£ — |/ j 200 — 143,4 см.
Определим .величины yQf ?0 по формулам (14.14). Для числителей
и знаменателя этих формул имеются готовые таблицы значений в книге
проф. А. А. Уманского н у некоторых других авторов *.
Предварительно подсчитаем относительные абсциссы нескольких
сечений балки:
л=100сл; E=T = W =°»697;
л = 200 сл; Е= 1,395;
х = 300 сл; Е = 2,092;
х = 400 см; 4 = 2,790;
х = / = 500 см; £ = 3,480.
По таблицам находим при £ = 3,480
С2 - 32,9509; ВД — AtDt = 65,9764;
AZQ-BZ2 = -65,9579.
’См., например, А. В. Дарков « В. И. Кузнецов, Основы теории расчете
балок на упругом основании, Желдориэдат, 1940.
383
Отсюда по формулам (14.14)
= 10 3S976 = 20022 Кг’
^в=- 20017
по формулам (9.14) и (11.14)
kLy = 20022Ах — 20017Sx + J^10000Dx.
Но
й£‘ .
-ЁГ = 4>
довательио:
kLy = 20022 Ах — 20 017 В,.+ 40 000 Dx;
Мх = 20 022 LCX — 20 017 LDX — 10 000 LBX,
-У- = 20022 С — 20017- D. — 10000 Вх.
Величины гиперболо-тригонометрических функций В*, Сх, Dx
берем из таблиц, применяя линейную интерполяцию. Их величины,
е также величины у, М приведены в табл. 115.
Таблица 15
в см £ А в с D kLy Af в тм
0 0 1 0 0 0 20 022 0
100 0,697 0,9607 0,6915 0,2423 0,0564 8 107 -4,577
200 1,395 0,3744 1,2198 0,9322 0,4443 851 -3,480
300 2,092 — 2,0477 — 0,78<8 1,7296 1,3880 — 1288 -1.507
400 2,790 - 7.6714 — 2,3998 1,3965 2,6070 - 1280 -0,323
500 3,480 —15,3238 — 10,3441 -2,6915 2,4754 6 0
СИЛОЙ
Эпюры kLy, М представлены на фиг. 387.
б) Построить эпюры М, Q для той же балки, нагруженной
Р— 10 т на расстоянии z = 2 м от левого 'Конца (фиг. 388).
В данном случае
[У*1 = ~ЁТ - 200 ’ = - 200 ’
= [QJ ~ P^l — 200 *
По формуле (13.14)
_____ 1 LDi ( — РА^ _ 7q() ) С[ ( LPBi _ 200)
У°“ ~kU ’
Cl^~BlDl
или
bJ ___ -200— - 200
СУ-BtDi
2,4754(- 2,0477) - (- 2,6915) 0,7898 w QQQ _
32,95
384
__ 1 ^(-ЛРВ/„200)-1Сг(-РЛг_200 )
kL* ' 32,95
ИЛИ
, Г 9 BlSt — 200 ““ ^lAl - 200 n
kL^ --------------34У5-------P ==
Изгибающие моменты и поперечные силы выражаются формулами:
на левом участке
М ~ kL2yQCx + kL^D*,
Q^kLy0Bx + kL^(iCx;
Фиг. 388
на правом участке
М = ЬГуйСх + kL^QDx - LPBX_ 200;,
Q = kLy^Bx + kL2^Cx — PAX_^.
Полученные по этим формулам значения выписаны в табл. 16. Эпюры
изображены на фиг. 389.
25—И. М. Рабинович 335
Таблица 16
Эпюра М __
X в см М в тм Q а кг
Г 0 0 0
Эпюра % 100 0,646 1 623,49
'W 200 3.839 ( 4 959,29 1 -5040,71
300 0,562 —1 277,62
, 5040 400 0,184 - 90,38
500 0 0
Фиг. 389
§ 6.14. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
□ а) Упругое основание бесконечно малой жест-
кости (6=0).
Дифференциальное уравнение (1.14) при k=0 принимает вид
т. е. превращается в дифференциальное уравнение балки, не имеющей
оплошного основания. Поэтому при заданных граничных условиях все
усилия и деформации будут выражаться формулами, относящимися
к обычным балкам.
Тот же результат можно, разумеется, получить, хотя и несколько
сложнее, раскрытием неопределенности в формулах (9.14) — (12.14),
в которых при этом L = со.
б) Бесконечно жесткая балка
При EJ =оо получается L = со. При этом для любого сечения
= 0, поэтому
= Сх — Dx— 0; Ах = 1;
L *Г~~ L2 /—4— „
EJ V *(£7F = 0; ~kEj
Сделав эти подстановки в формулу (10.14), получим — const,
откуда и следует, что балка остается прямолинейной.
Не раскрывая неопределенности в формулах (9.14) — (11.14), можно
в этом случае сразу написать решение для любых граничных условий.
Гиперболо-тригонометрические функции вырождаются в алгебраические.
Например, в балке со свободными концами (фиг. 390) внешняя
нагрузка уравновесится распределенной по, линейному закону реакцией
основания. Площадь трапеции abed, помноженная на k, должна равняться
суммарной внешней нагрузке, а ее центр тяжести должен лежать на
равнодействующей внешней нагрузки. Из этих двух условий определятся
перемещения у$ и после чего нетрудно построить все эпюры.
Если концы бесконечно жесткой балки шарнирно оперты на непод-
вижные опоры, реакция основания будет всюду равна нулю.
386
в) Балка со свободными концами и с нагруз-
кой, распределенной по всей ее длине по линей-
но м у з а к о и у.
Если рх = ах + Ь, то дифференциальное уравнение (1.14) удовлет-
воряется во всех сечениях балки таким решением:
Если это решение удовлетворяет
гакже граничным условиям, то
ано будет правильным. Очевидно,
что если во всех точках (нагруз-
ка р уравновешивается реакцией
ky, то на концах балки будет
Qo=Q i =0.
Кроме того, очевидно, что во всех
точках
ах 4- b
Итак, если концы балки свободны, то указанное решение удовлетво-
ряет всем условиям; балка со свободными концами при такой нагрузке
остается прямолинейной, а график ее осадок подобен графику внешней
нагрузки. □
11 l-z‘
л&м
□ § 7.14. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
В скрытом виде уравнения л. в. содержатся в уравнениях эпюр
(9.14) — (11.14). Нужно только принять, что внешняя нагрузка состоит
из силы Р=1, имеющей переменную абсциссу z.
Прежде всего необходимо составить уравнения л. в. начальных пара-
метров. Пусть, например, балка имеет свободные концы. Тогда
^o = Qo=0.
Ординаты линии влияния #0 и <рп выражаются формулами (13.14), в
которых согласно формулам (9.14) — (И-14)
[<2(] = -Л_г;
Линия влияния прогиба у для
произвольного сечения с абсциссой
х = а выражается уравнением
на левом участке л. в.
Уа=УоАа + L<D0Ba-,
на правом участке
У а ~ Уо^а + &a~z-
Аналогичным образом получа-
ются уравнения всех остальных л. в.
Линии влияния можно строить также кинематическим методом, как
упругие линии. Например, линию влияния прогиба уа можно^ строить, каю
эпюру прогибов!, вызванную грузом Р—1, приложенным в сечении
с абсциссой х~а. Линию влияния изгибающего момента Ма можно
строить, как эпюру прогибов, которая возникнет, если в сечении х~а
ЛВ.&
Фиг. 391
25*
387
поместить шарнир и приложить в нем две пары с моментом М = + 1,
и т. д.J.
На фиг. 391 показаны образцы л. в. для балки со свободными
концами. □
§ 8.14. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ МЕТОДОМ СИЛ РАМ. ЛЕЖАЩИХ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
П Рама, у которой один или несколько элементов покоятся на упру-
гом основании, представляет собой систему с бесконечным числом лишних
связей. Однако для расчета такой рамы нет необходимости отбросить все
лишние связи. Если мы будем считать, что для балки, лежащей на упру-
гом основании, имеются готовые формулы всех эпюр или уравнения л. в.,
можно будет за основную систему принять статически неопределимую
раму, содержащую эти элементы и упругое основание.
Например, при расчете рамы, показанной на фиг. 392, а, можно
пользоваться основной системой, представленной на фиг. 392, б, в, г, т. е.
Фиг. 392
иметь всего три неизвестных. Если сила Р приложена в середине пролета,
то будет всего два неизвестных. Можно будет составить два канонических
уравнения:
a„x, + w, + A,„ = o; , (15|4)
°21^1 “Г °22^ 2 + ^2Р = 0. )
Имея общие формулы (9.14) — (11.14), можно определить углы
поворота концов нижиего ригеля, которые вызываются: 1) двумя парами,
равными +1, приложенными к концам ригеля, 2) силой Р.
Обозначим эти углы соответственно через аир.
Тогда
XI С M\ds
sn=2jJ4r+2aA2;
853 = 2 f + 2“;
’ (1614)
8i2==2J^ + 2«A;
Д1Р = 2рА; Дар™2р и т. д.
1 Детальное изложение этого способа можно найти в цитированной книге проф.
А. А. Уманского.
388
Здесь интегралы относятся к (верхнему ригелю и боковым! сторонам
и выражают собой соответствующее перемещение, которое полупилось*
бы при абсолютном защемлении сечений А и В.
На фиг. 392, д показан примерный вид окончательной эпюры
моментов. □
§ 9.14. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ МЕТОДОМ ДЕФОРМАЦИЙ РАМ,
ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
□ При расчете таких рам методом деформаций число неизвестных
остается такое же, как при расчете обычных рам. Нужно только иметь
- готовые формулы для реакций г/к и Rip, что может быть сделано рзз
навсегда для балки на упругом основании.
Для примера рассмотрим снова раму, указанную в предыдущем пара-
графе (фиг. 393).
Фиг. 393
Основной системой в общем случае служит рама с узлами, закреп-
ленными от поворотов и линейных перемещений. Так как нагрузка распо-
ложена симметрично, то неизвестными будут только углы поворота
нижних узлов и 2 — верхних. Канонические уравнения будут иметь
обычный вид:
Wi + '’12'Рг + Я,р = 0;
Г21?1 *Г Г22?2 +
но при вычислении коэффициентов нужно будет учесть реактивные
моменты, которые возникают на концах нижнего ригеля.
Детальная разработка расчета обоими способами рамы на упругом
основании содержится в книге проф. В. А. Киселева □
§ 10.14. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ БАЛОК НА УПРУГОМ ИЗОТРОПНОМ
ОСНОВАНИИ
□ Гипотеза об отсутствии связности между частицами основания
(гипотеза Винклера) мало пригодна для описания поведения грунта. Со-
гласно этой гипотезе нагруженная балка должна деформироваться1 так,
как показано на фиг. 394: никаких перемещений основания за пределом
балки не должно быть, а это плохо согласуется с действительностью. До-
пущение о существовании характеристики k, одинаковой для любого раз-
мера загруженной площадки, также не подтверждается в достаточной
мере.
Наряду с изложенной выше теорией расчета существует другая тео-
рия, свободная от этой гипотезы. Она рассматривает упругое основание
балки как упругую полуплоскость или как упругое полупространство.
1 В. А. Кисел ев, Балки и рамы иа упругом основании, Главная редакция
строительной литературы, 1936.
389
В первом случае балка лежит как бы на краю бесконечно узкой пла-
стинки, простирающейся бесконечно в двух взаимно перпендикулярных
направлениях (фиг. 395); во втором случае упругое основание представ-
ляет собой среду, непрерывно заполняющую пространство, ограниченное
с одной стороны плоскостью (фиг. 396).
Возможность построить теорию расчета балок, лежащих на таких
•основаниях, предопределяется следующим фактом: в теории упругости
еще в 1885 г. была решена бадана о построении поверхностей (влияния для
перемещений упругого полупространства и в. 1Й92 г. — о построении л. в.
перемещений упругой полупло-
скости. Идея расчета здесь будет
пояснена только для балки, лежа-
щей на полуплоскости. Случай
пространственнего основания
сомнение сложнее, но по идее
случая расчета одинаковы.
Фиг. 394
не-
оба
Фиг. 395
Мы изложим здесь приближенное решение интересующей нас за-
дачи, предложенное проф. Б. Н. Ж&мочкиным
Под упругой полуплоскостью будем понимать бесконечно прости-
рающуюся в стороны и вниз пластинку, имеющую толщину не бесконечно
малую, а равную единице.
Вертикальное перемещение произвольной точки верхнего края под
влиянием силы Р выражается формулой
j = -p-ln— , (17.14)
где г— расстояние изучаемой точки В до точки А, в которой приложена
сила Р;
а— расстояние произвольно взятой достаточно далекой точки С
верхнего црая до той же точки А.
При z=0. . . у— со.
Вид кривой, выражаемой фор-
мулой (17.14), показан на фиг. 397.
Нужно добавить, что у есть раз-
ность между вертикальными пере-
мещениями точек В и С; абсолютные
перемещения этих точек теоретиче-
ски равны бесконечности. Фиг. 397
есть эпюра относительных верти-
кальных перемещений верхнего края,
вызываемых силой Р.
* Б. Н. Же мочки н, Плоская задача расчета бесконечно длинной балкн на
упругом основании. Расчет балкн на упругом полупространстве и полуплоскости, изд.
Военно-инженерной академии, 1937; Б. Н. Ж е м очки н и А. П. Синицын, Практи-
ческие методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании без гипотезы
Винклера, Стройиздат, 1947.
390
По закону ©заимности формула (17.14) выражает одновременно л. в,
относительных вертикальных перемещений точки А, вызываемых силой Р,
приложенной в любой точке верхнего края.
В целях избежания значительных математических трудностей проф.
Б. Н. Жемочкин предложил . заменить непрерывное опирание балки на
полуплоскость опиранием в отдельных точках на абсолютно жесткие
опорные стержни (фиг. 398). На балку и на упругое основание будут
передаваться реакции этих стержней. Тогда система будет иметь только
конечное число лишних связей, . ।
„и для нее можно будет соста- ,_______________| ПТГГПГГГТПТП I
вить канонические уравнения ъ и и ° ° ь ч u' U V J у v v v v v v
метода сил или деформаций
или смешанного метода.
Если воспользоваться сме-
шанным методом, то за основ-
ную систему целесообразно бу-
дет принять балку с одним за-
крепленным сечением и с пере-
резанными опорными ^стержня-
ми (фиг. 399). Неизвестными
будут усилия Xh Х2,..., Хп
в опорных стержнях, верти-
кальное перемещение у о левого конца (положительное — вниз) и угол ср
поворота балки вокруг левого конца (положительный — по часовой
стрелке).
Уравнения будут иметь вид
Фиг. 398
IT
Фиг. 399
1 + 3/2^2 + • • • +8/л ~ >0 ~ ai? +
-J-AZP=O(j=l, 2,..., n).
К ним добавляются два уравнения равновесия
+ ^2 + • • • + — 2^ == 0; )
• • • — ^пап “h 2^°^ ~ 0. /
(18.14)
(19.14)
Первое из этих уравнений есть уравнение вертикальных проекций,
-а второе — уравнение моментов относительно левого конца балки.
Любое из перемещений б.;, или ow представляет собой сумму двух
слагаемых
= Ч-к +
Перемещение viK обусловлено деформацией балки и выражается фор-
мулой
Перемещение wik обусловлено деформацией полуплоскости. Если бы мы
считали, что силы X; и Xk передаются на упругое основание как сосредо-
точенные, то — оо. Поэтому будем считать каждую из этих сил рав-
номерно распределенной по обе стороны от оси стержня на участке, пол-
ная длина которого равна расстоянию с между стержнями (фиг. 400).
Если Xi =1, то интенсивность нагрузки будет равна р= -у-.
Влияние такой распределенной нагрузки иа осадку точки А основа-
ния вычисляется по формуле (17.14) —путем ее интегрирования.
391
1) Когда нагрузка р расположена по одну сторону от точки А
(i^ k):
я А
х /2V + * 1
— 2—In* с
с
— In
2V-1/
+21п4+2(1+1п2)..
(20.14)
с~*4
Фиг. 400
-2-^ In
г) Когда нагрузка р расположена
симметрично по обе стороны от точки А
(т. е. при k = /):
1 + 2^'
1 - 2-
»-2v
h «£0
+21п-^- + 2(1 + In2) | (21.14)
Здесь d— произвольная положительная постоянная. На свободные
члены А/p наличие упругого основания не влияет, поскольку внешняя на-
грузка приложена исключительно к балке.
Решив канонические уравнения, найдем все Xt, следовательно, смо-
жем построить все эпюры. Одновременно будем знать давления, переда-
ющиеся на основание; каждая сила Х> передается на соответствующий
Xi
участок длины с в виде равномерной нагрузки интенсивности ~ •
Этот способ решения нашел у нас применение при проектировании
фундаментов различных ответственных сооружений как более совершен-
ный, чем способ, основанный на гипотезе Винклера. Тем не менее
он в свою очередь требует дальнейшего усовершенствования, так кам
основан на приближенной -гипотезе об идеальной упругости грунта. □
□ § 11.14. О НЕКОТОРЫХ МОМЕНТАХ В РАЗВИТИИ ТЕОРИИ РАСЧЕТА
СООРУЖЕНИЙ, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
В развитии этой теории было три особо интересных момента.
Первым мы считаем момент появления в строительной механике
новой задачи — расчета балки на упругом основании. К числу первых
теоретических работ, появившихся в литературе, относятся статьи выдаю-
щегося русского инженера В. Г. Шухова, опубликованные в 1902
и 1903 гг. ’. В. Г. Шухов был автором первых металлических резервуаров
для хранения нефти; проектирование этих сооружений натолкнуло его
на новую задачу, которую он решил со свойственной ему смелостью
мысли.
d\v
1 В. Г. Шухов, По поводу уравнения «Бюллетеня Политехиияей-
ского общества», М. 1902; Теория изгиба бруса на упругой опоре, «Бюллетени Поли-
технического общества», 1903.
392
Вторым мы считаем изобретение способа начальных параметров.
Ко времени его появления теория расчета балок на упругом основании
насчитывала уже более чем полстолетия. На Западе была создана об-
ширная литература, и казалось, что метод расчета таких балок доведен
до совершенства. Для расчета балки требовалось проинтегрировать каж-
дый ее участок, заключенный между различными нагрузками, и находить
постоянные интегрирования из условий непрерывности упругой линии и
ее углов наклона на границах участков. Вершиной этой теории явилась
вышедшая в 1924 г. на немецком языке книга Хаяси, посвященная рас-
чету балки на упругом основании. Данный в ней способ расчета по своей
тяжеловесности заслуживает весьма суровой оценки. Акад. А. Н. Кры-
лов, приведя для примера несколько формул из этой книги, писал: «Ясно,
что эта формула и все другие ей подобные для численных вычислений не
пригодны по своей сложности, и мы увидим, что в числах Хаяси имеется
существенная ошибка» \
Примерно за год до того, как вышла эта книга, профессор Н. П. Пу-
зыревский (18/VIII 1861—26/VII 1934 гг.) нашел замечательный способ
представления интеграла, выражающего решение задачи. Этот способ
впоследствии получил название «метода начальных параметров». Он по-
зволяет, как мы видим, написать уравнения 'всех эпюр сразу для всех
участков балки, не определяя промежуточных параметров из граничных
условий и сведя количество постоянных, подлежащих определению, к
двум. Литографированный курс оснований и фундаментов проф. Пузы-
ревского не привлек к себе должного внимания, и эта работа оставалась
довольно долгое время незамеченной.
Такая же судьба постигла вышедшую в 1902 г. в Петербурге книгу
Д. К- Бобылева (1842—1917 гг.) «О некоторых случаях изгиба прямых
стержней под влиянием сосредоточенных грузов и сопротивления грун-
тов», в которой автор применил функции, весьма близкие к тем, которые
были введены впоследствии Н. П. Пузыревским.
Через 7 лет, в 1930 г., акад. А. Н. Крылов независимо от проф.
Н. П. Пузыревского вновь нашел почти те же «повторяющиеся» функции
и разработал тот же метод, опубликовав его в обширной монографии,
изданной Академией наук СССР.
В 1929 г. инж. Г. Д. Дутов опубликовал книгу, в которой интеграл
дифференциального уравнения 4-го порядка был выражен через те же
повторяющиеся функции и на многочисленных примерах в простой
и сжатой форме был изложен метод, который автор назвал «методом на-
чальных условий».
Таким образом, этот метод был найден в СССР тремя авторами. Из
теоретической задачи, решение которой принципиально возможно, а прак-
тически крайне затруднительно, задача превратилась в простую и доступ-
ную любому инженеру-проектировщику. Через несколько лет появились
книги проф. А. А. Уманского и В. А. Киселева, в которых метод получил
исчерпывающее изложение, наиболее компактную форму и некоторые
обобщения.
Третьим интересным моментом является момент отказа от гипотезы
несвязного основания и перехода к гипотезе упругой полуплоскости
и упругого полупространства с использованием решений теории упру-
гости. Первый шаг был сделан в 1922 г. студентом Петроградского техно-
логического института, впоследствии профессором МГУ, Г. Э. Проктором
(1891—1941 гг.). В своей дипломной работе он наметил расчет, основаи-
1 А. Н. Крылов, О расчете балок, лежащих на упругом основании, 2-е изд.,
1934, стр. 49.
393
ный на новой гипотезе. Черев некоторое время эта гипотеза была принята
в СССР многими авторами, которые дали как точные, так и различные
приближенные решения
Интересные модели упругого основания, представляющие это осно-
вание как нечто промежуточное между упругой полуплоскостью или полу-
пространством, с одной стороны, и несвязным грунтом, с другой стороны,
указаны проф. М. М. Филоненко-Бородичем 1 2.
Решение более общей задачи указано проф. Б. Г. Кореневым3: он
задает перемещение упругого основания, возникающее в точке А от еди-
ничной силы, приложенной в произвольной точке неограниченной поверх-
ности основания, в виде произвольной функции влияния.
Расчет балки, лежащей на верхнем краю вертикальной пластинки,
нижний край которой опирается на жесткое основание, указан проф.
В. 3. Власовым 4.
Мы не останавливаемся здесь на других важных вопросах, освещен-
ных в ряде работ советских авторов ( учет сил трения! на поверхности со-
прикосновения балки с основанием, учет сил сдвига в грунте, различные
приближенные законы затухания напряжений вдали от точки приложе-
ния силы, расчет основания по предельному состоянию, теория упругого
основания, имеющего несколько характеристик, и др.). Достигнутые в
СССР успехи в разработке проблемы упругого основания весьма значи-
тельны.
Необходимо также отметить с удовлетворением, что в нашей лите-
ратуре (в книгах акад. А. Н. Крылова, проф. А. А. Уманского и др.)
имеются обширные таблицы числовых значений функций, встречающихся
при расчете балок и плит на упругом основании. При наличии готовых
таблиц не страшны никакие сложные формулы, выражающие эти функ-
ции.
При всем том нельзя признать проблему доведенной до такого
состояния, при котором остается только доработать детали. Наиболее
важная сторона дела состоит в том, что, поскольку речь идет о грунте,
теория не может удовлетвориться моделью упругого тела. Во многих слу-
чаях необходимо будет принять во внимание значительно более сложные
и более близкие к действительности законы деформации ’Грунтов. Весь
успешно пройденный до сих пор нашими исследователями путь показы-
вает, что и эта задача будет решена. □
1 См. обширную библиографию, приложенную к книгам д-ра техн, наук М. И. Гор-
бунова-Посадова «Балки и плиты на упругом основании», изд. Министерства строитель-
ства предприятий машиностроения, 1949 и «Расчет конструкций на упругом основании,
1953.
См. также проф. И. В. Урбан, Роль отечественных ученых в развитии и обоб-
щении теории инженерных конструкций, покоящихся на упругом основании. «Труды
Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта», вып. VIII, Транс-
желдориздат, 1952; проф. В. И. Кузнецов, Упругое основание, Госстрой из дат, 1952.
2М. М. ф и л о и ен ко - Б ор о д н ч, Некоторые приближенные теории упругого
основания, «Ученые записки МГУ», вып. 46, 1940.
3 Б. Г. Коренев, Об изгибе неограниченной пластинки, лежащей на упругом
основании, «Доклады Академии наук СССР», т. XXVIII, № 3, 1944.
4 В. 3. Власов, Строительная механика тонкостенных пространственных систем,
гл. VI, § 29, 1949.
Глава 15
ПРИВЕДЕНИЕ РАСЧЕТА ПРИЗМАТИЧЕСКИХ РАМ,
СОСТАВЛЕННЫХ ИЗ ПЛАСТИНОК, К РАСЧЕТУ
ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ РАМ
(метод проф. В. 3. Власова)
§ 1.15. ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ
□ В последнее время все большее применение в СССР находят
весьма экономичные тонкостенные призматические системы, составленные
из пластинок. В поперечном сечении они могут представлять собой рамы
с замкнутыми или незамкнутыми, односвязными или многосвязными кон-
турами. Один из примеров таких систем показан на фиг. 401. В отличие
от плоских-рам такие системы испытывают пространственное напряжен-
ное состояние.
Расчет таких систем со сложным многосвязным контуром до недав»-
него времени представлялся настолько сложным, что практическое при-
менение его казалось невозможным. Проф. В. 3. Власов 1 предложил
основанный на нескольких упрощающих гипотезах приближенный расчет,
который преодолел трудности этой сложной проблемы, сохранив при
том высокую точность. Идеи метода проф. Власова столь органически
слиты с общими методами строительной механики стержневых систем, что
для читателя данного курса усвоение этих идей не будет представлять
особых трудностей.
Будем рассматривать призматическую оболочку, состоящую из
конечного числа прямоугольных пластинок, жестко связанных между
собой вдоль прямолинейных краев. Положение любой точки М. иа средин-
ной поверхности оболочки будем определять координатами z, $, из кото-
1 В. 3. Власов, Строительная механика тонкостенных пространственных систем,
Стройивдат, 1949, гл. III и IV.
395
рых первая выражает расстояние точки М до некоторого начального по-
перечного сечения; s — расстояние, отсчитанное по контуру поперечного
сечения оболочки от точки М до некоторой образующей s=0 (фиг. 402).
Будем рассматривать оболочку как совокупность бесконечного мно-
жества бесконечно узких поперечных полосок, имеющих вид плоских рам.
Их ширина по направлению оси z равна dz. В плоскости поперечного
сечення система не разбивается на бесконечно малые элементы, а рассма-
тривается как плоская стержневая система. По этой причине проф. Вла-
сов называет такую систему дискретно-непрерывной («дискретно-контину-
альной») .
Дальше изучается напряженное и деформированное состояние каж-
дой рамы-полоски. Предполагается, что в своей плоскости она может
деформироваться, как обычная плоская рама. Перемещения ее узлов
в плоскости поперечного сечения имеют степень свободы
лг=2т—С—С(;, (1.15)
где т — число узлов (включая опорные);
С — число стержней рамы;
Со—число опорных стержней, лежащих в ее плоскости.
Рама <может деформироваться также «из плоскости», т. е. ее точки
могут перемещаться параллельно оси z. Вводится гипотеза плоских сече-
ний для каждой из пластинок, образующих оболочку, т. е. предпола-
гается, что поперечное сечение (перпендикулярное оси z} каждой из них
остается плоским; поперечное сечение всей оболочки, вообще говоря, не
остается плоским. При такой гипотезе выходит, что каждый стержень
рамы-полоски, перемещаясь в плоскости, параллельной оси z, не искрив-
ляется в этой плоскости, а ведет себя как твердое тело. Искривляться он
может только в плоскости рамы.
Степень свободы узлов рамы-полоски в направлении, параллельном
оси z, равна
«,= 772 — 0;, (2.15)
где C'Q — число опорных стержней, не лежащих в плоскости рамы.
Действительно, каждый узел, ничем не стесненный, имеет в напра-
влении осп z одну степень свободы. Ни стержни самой рамы, ни опор-
ные стержни, лежащие в ее плоскости, не стесняют этого движения.
Единственными связями, стесняющими это движение, являются опорные
стержни, не лежащие в плоскости рамы. Если таких стержней нет,
то П\ — т.
Чтобы получить степень свободы депланации рамы, т. е. искажения
ее плоской формы, нужно из числа nj вычесть три степени свободы, отве-
чающие перемещению рамы нз плоскости Как жесткого целого (поступа-
тельное перемещение вдоль осн z и повороты вокруг двух осей, лежащих
в плоскости рамы). Следовательно, степень свободы депланации равна
— 3 = т —- С'о--3. (3.15)
Например, в раме, показанной на фиг. 403, ш = 5; С~ 4; Со =4,
поэтому степень свободы в ее плоскости а — 2; степень свободы в пер-
пендикулярном направлении- равна п,\ = т =. 5; степень свободы депла-
нации равна т — 3 = 2.
Нас будут интересовать в дальнейшем'. 1) движение любой точки М
в направлении, параллельном оси z; 2) перемещение точки М в плоскости
рамы по направлению, параллельному касательной к контуру в этой
точке. Иначе говоря, нас будет интересовать тангенциальная проекция
перемещения точки М в плоскости.
396
Каждое из этих перемещений рамы-полоски можно себе представить
как сумму элементарных, линейно независимых перемещений, каждое из
которых отвечает одной степени свободы, а всего как сумму т + п эле-
ментарных перемещений. Выбор элементарных перемещений, простых или
групповых, может быть весьма разнообразным подобно выбору группо-
вых нагрузок и перемещений, с которыми
мы встречались раньше.
Обозначим перемещение точки MJ па-
раллельное оси z, через и (z, s), а перемеще-
ния в .плоскости рамы — через v (z, s). Раз-
личные точки рамы, имеющие различные ко-
ординаты движутся по-разному. Рамы-
полоски, расположенные в разных сечениях,
с разными координатами г, также переме-
щаются неодинаково.
Мы можем поэтому написать
«(z, s)=iZ1(z)cp1(s) + t/2(z)<p!1(s)+ . .
= ЕЦ(г)Т/(»);
1
i»(z,s)= V, (z) ф, (s) ч- V2 (z) <|>2 (s) + . .
Л
+Ц,, (г) %,.(*) =
(4-15)
• W)M*) =
(5.15)
Здесь: %($), —элементарные перемещения, выбираемые нами из
числа возможных;
U}(z). Vk(z)—неизвестные пока функции, которые должны выра-
жать закон изменения перемещений по длине оболочки. □
§ 2.15. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ РАМЫ-ПОЛОСКИ
О На раму-полоску действуют нормальные напряжения а, парал-
лельные оси z, и касательные т, параллельные сторонам контура рамы.
Вследствие того что рассматриваемая система тонкостенная, можно без
большой погрешности считать, что оба напряжения постоянны по тол-
щине стенки.
Нормальные напряжения, как известно, пропорциональны относи-
тельному удлинению волокон, поэтому
от т
° (z, s) = Е^ = Е 2 А <?,. (s) = Е и\ ?((8). (6.15)
1 1
Касательные Напряжения пропорциональны относительному сдвигу,
т. е. величине искажения прямого угла. Рассмотрим прямой угол, обра-
зованный в какой-нибудь точке М. оболочки направлениями z и s
(фиг. 404). Если точка М получила перемещения ut v, а смежные с ней
точки N и Р — перемещения
u4--^-dz\ v -р dz (точка TV);
“ + 4rrfs; ®+-frrfs (точка P),
то из фиг. 404 видно, что искажение прямою угла равно .
397
Поэтому
,-> ( ди . dv \
Т==О(^Г + -5Г)
или
(Г. 15)
Гт п
L i i
(7'. 15)
На элементарную площадку dF рамы-полоски действует с одной
стороны нормальная сила adF, а с противоположной стороны—нормаль-
ная сила + (фиг. 405). Их1 равнодействующая равна
dz dF н направлена в положительную сторону оси г. Проекцию -на
ту же ось внешних сил, приложенных к боковой поверхности рамы,,
обозначим через pdzds. , , (
Силы сдвига соответственно равны
xdF и (т + dz^ dF,
а их равнодействующая
^dzdP.
OZ
Наконец, проекция внешней нагрузки .на направление контура пусть
будет qdzds.
Чтобы найти +/г неизвестных функций Ut(z) и V*.(z), фигурирую-
щих в формулах (6.15) и (7.15), составим nx п дифференциальных
уравнений равновесия рамы-полоски.
Простейший способ получения таких уравнений состоит в том, чтобы
дать .раме nx п независимых возможных бесконечно малых перемеще-
ний -и приравнять нулю на каждом из этих перемещений сумму работ
внешних и внутренних сил, приложенных к раме. Каждое возможное
перемещение можно рассматривать как результат бесконечно малого
изменения (вариации) одного из геометрических параметров (обобщен-
ной координаты), определяющих положение стержней рамы. Поэтому
такое применение принципа возможных перемещений носит название
вариационного метода.
398
Дадим ра'ме одно из перемещений <р; -и подсчитаем работу. Нормаль-
ные силы совершат работу, равную
[ 4г VidFdz = dz f f^F,
F F
где интеграл распространяется и-a всю площадь рамы-полоски. Внешние
силы совершат работу, равную
р fyds dz.
Касательные силы совершат работу, вызванную взаимным сдви-
гом элементов передней и задней плоскостей
сдвига, как видно нз фиг. 406, равна Этот
сдвиг является естественным следствием пере-
мещения ср/: из того факта, что сторона
А А' прямоугольника АА'ВВ£ сдвигается отно-
сительно BBf, неизбежно вытекает, что и сто-
рона ДБ сдвигается относительно А'В\ Работа
касательных сил будет отрицательна, так
как она представляет • собой работу внут-
ренних сил, совершаемую на деформациях си-
стемы.
Написав уравнения работ, совершаемых
на каждом из перемещений и сократив
уравнения на dz, получим пг дифференциаль-
ных уравнений следующего вида:
рамы. Величина этого-
j"4r'p/Z/;—f t<fjdF+ Jp!p/fc = O.
F F F
(8.15}
Аналогичным образом можно составить уравнение работ для каж-
дого из п возможных перемещений На этом перемещении работают
только касательные силы ^~dzdF, внешние силы qdsdz и внутрен-
ние изгибающие моменты, действующие в плоскости рамы. В действи-
тельном состоянии эти моменты выражаются суммой вида £ где
Mk отвечает перемещению, при котором ^=.1. Через Mh обозначены
моменты, которые получаются при Vh=^l.
При вычислении этих моментов рама считается освобожденной от
связи с оболочкой, из которой она вырезана, а сохраняет лишь свои
опорные стержни.
Уравнения работ после сокращения на dz будут иметь вид
( 4г№F - S V4-ЕГ- d*+\q№=О-
F Is s
(9.15)
При вычислении моментов инерции J рама рассматривается как
обычная плоская рама, причем ширина всех ее стержней принимается
равной dz ~ 1.
В дифференциальные уравнения (8.15) и (9.15) нужно подставить
вместо напряжения а, х и их производных соответствующие им выра-
жения через функции (z) и (z) по формулам (6.15) и (7.15). Тогда
получится система обыкновенных линейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы не выписываем
этих уравнений; читатель легко может вывести их сам.
399
Можно показать, что теория расчета плоских рамных систем пред-
ставляет собой частный случай теории расчета тонкостенных призмати-
ческих систем, а канонические уравнения метода деформаций ятвляются
частным случаем дифференциальных уравнений (9.15).
Система дифференциальных уравнений (8.15) и (9.15) известными
математическими методами может быть сведена к одному дифферен-
циальному уравнению порядка 2 (/?i -ф п)- Интеграл такого уравнения
содержит 2(п{ -|- п) постоянных. Если мы зададим на обоих концевых
сечениях оболочки (при z = / и z = 0) любым способом по пх + п кине-
матических или статических условий, касающихся перемещений или уси-
лий, то решение станет вполне определенным, и можно будет изучить кар-
тину распределения напряжений и перемещений во всех точках простран-
ственного тонкостенного сооружения при любых граничных условиях и
любой нагрузке.
Функции С/; (г) и Vk (г) зависят от внешней нагрузки, так как она
входит в виде свободных членов в дифференциальные уравнения (8.15)
и (9.15). После того как эти функции будут Найдены, определятся и на-
пряжения, выражаемые формулами (6.15) и (7.15).
Остановимся несколько подробнее на формуле нормальных напря-
жений. Введем обозначение
J s?7(s)^ = Py. (10.15)
/-
Очевидно, что обобщенная сила Pj численно равна работе, произ-
водимой элементарными силами a dF, приложенными к поперечному сече-
нию оболочки, при перемещении ее точек на величины ?;(s)-
Подставим вместо а правую часть формулы (6.15); формула
<10.15) примет вид
т
P^zy-E^U^^^^dF.
Подберем основные перемещения так, чтобы функции были
взаимно ортогональны, т. е. чтобы контурные интегралы обращались
в нуль при i ¥= /:
f 0 при i^j. (11.15)
F
Тогда можно будет писать
Р, (г) = EU't (z)J?J (S) dF = EWt (z) au,
где
au=^(s)dF. (12.15)
Отсюда
При помощи этой подстановки уравнение (6.15) превращается в сле-
дующее:
1
+ ?-(«)• (13.15)
итт
400
Если мы © этой формуле дадим переменной $ какое-нибудь произ-
вольное, НО' постоянное значение, то она будет выражать закон распре-
деления нормальных напряжений по длине образующей, проходящей
через точки с координатой s. Если мы дадим координате z постоянное
значение, га координату s будем считать переменной, то формула (13.15)
выразит эпюру нормальных напряжений, распределенных по соответ-
ствующему поперечному сечению оболочки.
Рассмотрим несколько подробнее эпюру нормальных напряжений,
получающуюся при z = const. Формула (13.15) показывает, что
/ \ Pt(z) ( \
эпюра afz, s) состоит из Hi эпюр вида —cpz (s).
aii
Ординаты каждой такой эпюры пропорциональны ординатам одной
из эпюр ?z(s), следовательно, формула (13.15) выражает собой разложе-
ние суммарной эпюры а (г, $) на частичные эпюры по заданным формам
эпюр c?;(s). Коэффициентами разложения служат выражения , зави-
сящие от z, поэтому в различных поперечных сечениях суммарная
эпюра а имеет различный вид.
Особый интерес это разложение представляет тогда, когда функ-
ции c?;(s) взаимно ортогональны. Тогда работа элементарных ^нормаль-
нык сил y,(s)dF равна нулю на любом из перемещений <р>($)
аи J
при j i.
Если дадим раме-полоске только одно перемещение Cj(s), то
в правой части формулы (13.15) останется только один член
j(z,s) = (а)
v 7 аи 7
Работа нормальных сил на перемещении ©у(э) выразится на основа-
нии формулы (а) и (12.15) следующим образом:
j o(z, s) <p,.(s) dF= ?J(s) dF = Pj(z). (14.15)
Это означает, что в случае разложения эпюры нормальных напряже-
ний рамы-полоски на взаимно-ортогональные эпюры вида ?z(s) коэф-
фициенты разложения пропорциональны работе, производимой
нормальными напряжениями на соответствующем перемещении ©z (s).
Выберем первые три эпюры ©, (s), ©2 (s)> (s) таким образом, чтобы
они выражали перемещения рамы-полоски как твердого тела. Например,
пусть (s) выражает поступательное перемещение, параллельное оси г,
а эпюры ©2 (s), ©я ($)—повороты вокруг главных центральных осей х, у
площади рамы. Тогда первые три члена формулы (13.15) выразят эпюру
нормальных напряжений, отвечающую гипотезе плоских сечений всей
оболочки. Например, при ©j (s) — const == <гх имеем из формулы (14.15):
Л С2) == ?ij ° (z> s) = N(zy,
— У ©J dF = ©j F;
Л (*)?!($) _ *(*)<?? N(z)
<P?F F '
Так же легко выводятся выражения второго и третьего членов.
20—И. М. Рабинович
401
Итак:
<’ = ^ + -7Lj+r^-* + -^r+ • • • +-“• <15J5>
r J x J v *44 amm
Любой из членов формулы (15.15), кроме первых трех, выражает та-
кое распределение нормальных напряжений по сечению, при котором их
работа на любом перемещении рамы как твердого тела равна нулю. Сле-
довательно, они выражают собой эпюры нормальных сил, статически
эквивалентные нулю, т. е. уравновешенные. Они отвечают депланациям
системы, выражаемым эпюрами ®4(s), <p6(s), . . . , срл (s).
Каждая из них возникает при соответствующей депланации и рабо-
тает только на этой депланации. Проф. В. 3. Власов предложил называть
обобщенные силы продольными бимоментами.
Выведенная проф. В. 3. Власовым формула (15.15) представляет
собой обобщение известной четырехчленной формулы того же автора для
тонкостенных призматических стержней с односвязным контуром. О
§ 3.15. ПРИМЕР
□ Имея в виду дать только понятие о расчете призматических тонкостенных
систем с поперечным сечением рамного типа, приведем простейший пример из книги
проф. В. 3. Власова, в которой разобран ряд интересных и более сложных примеров.
Требуется выяснить состояние напряжений н перемещений призматической
системы, составленной из трех жестко связанных между собой пластинок. Ее поперечное
сеченне показано на фиг. 407. Нижний край
обеих вертикальных пластинок шарнирно
оперт по всей их длине н закреплен не
только от поперечных, но и от продоль-
ных перемещений. Поперечная рама-
полоска имеет, следовательно, шарнир-
но закрепленные концы. Такая рама
имеет три степени свободы: перемещения
двух верхних узлов из плоскости (парал-
лельно осн г) и горизонтальное переме-
щение верхнего ригеля по его направле-
нию.
Для упрощения примера будем рас-
сматривать нагрузку, которая параллель-
на ригелю рамы и приложена к ее верх-
нему узлу. Ее можно разложить на сим-
метричную, которая не вызовет переме-
щений, н обратно симметричную, кото-
рая вызовет обратно симметричное пере-
мещение. Последние состоят из деплана-
ции, характеризуемой поворотом ригеля
вокруг вертикальной оси симметрии АА.
рамы. Всего будет две степени свободы.
и из поперечных перемещений в плоскости р_____ _____ __________________ _______
Обратно симметричная нагрузка может распределяться по длине оболочки по любому
закону.
На фиг. 408 показана эпюра перемещений <pi. причем перемещения верхних узлов
dcpj
приняты равными + 1; на фнг. 409 показана эпюра cpj — .
Фиг. 410 изображает поперечное перемещение рамы в ее плоскости. Контурные
перемещения (параллельные контуру) испытывают при этом только точки ригеля.
Эпюра контурных перемещений дана на фиг. 411.
От действия силы = 1 получается эпюра моментов показанная на фиг. 412,
поэтому
X <4 J “fa _ 4 ( fa , “2 \
11 \ 12£Д 24£J2 ) 12£ \ Л Л /
Когда ригель перемещается не на
выражается формулой
а на величину Vlt эпюра моментов, очевидно,
У1
ХГ”1-
402
фнг. 408 Фиг. 409
Моменты в верхних узлах имеют величину
Рассмотрим частный случай: оболочка нагружена сосредоточенной горизонтальной
силой Р в плоскости одной из поперечных рам, распределенных нагрузок иет.
Для нахождения неизвестных функций ^i(z) и Vi(z), которые в дальнейшем
будем писать в виде U и V, подставим в дифференциальные уравнения (8.15) и (9.15)
выражения (6.15) и (7.15) для напряжений о, т н, кроме того, напишем р = q = 0.
р
Вместо?! и <!>! будем писать? и ф. Обозначим -q- = 7 и разделим уравнения на G:
tU’ -i’-dF - yj (<p')W - V J = 0; (8'.15)
f p 7 V p M\ds _ n
U' J + V- ~E~ j ~ °- (9/15)
F F S
В более краткой записи:
7Лпа* - bnU cn V' = 0; (16.15)
и' + rn V" - 7$н V = 0, (17.15)
Интегралы в формулах (8.15) и (9.15) вычисляют по эпюрам, представленным
на фиг. 408, 409 и 411, как и при расчете любой плоской стержневой рамы.
Из уравнения (9.15) исключим Urt выразив его через У" и V. Продифференциро-
вав U' два раза по z, получим выражения U" н U"'. Продифференцируем уравнение
(8.15) один раз по z и подставим в него выражения U" н В результате получится
дифференциальное уравнение, содержащее только функцию V н ее производные:
l/v-2A»k’+ В’И = 0, (18.15)
где А. В — постоянные, которые получаются в процессе указанных подстановок.
Уравнение (18.15) интересно тем, что оно аналогично дифференциальному урав-
нению (3.15) гл. 14. Оба они представляют собой дифференциальные уравнения изгиба
стержня, находящегося в упругой среде, но в уравнении (16.15) среда имеет две
характеристики: она сопротивляется не только перемещениям V стержня, но и его
изгибу. Роль упругой среды по отношению к раме-полоске играет оболочка. Аналогия
эта имеет важное значение, так как позволяет воспользоваться при расчете призмати-
ческих< систем хорошо разработанным аппаратом расчета балки на упругом основании,
в частности способом начальных параметров.
Для получения интеграла уравнения (16.15) вычисляем корни характеристического
уравнения
4-Д4 = 0; xlf2==±a; Х34=±р,
где _____________ ______________________
а = 4- /А* — 0 = Уда - /Д4 — #4 .
Общее решение однородного уравнения (18.15) можно написать в следующем
виде:
V = + C2e-“ + С^г + Cte~
Постоянные Сь С21 С3) С4 определяются из граничных условий.
^ешим задачу для весьма длинной оболочки, которую без большой погрешности
можно принять бесконечно длинной. Начало координат расположим в том сеченни,
п котором приложена сила Р. Вследствие симметрии достаточно рассмотреть половину
оболочки, лежащую по одну сторону от этого сечения:
при z-О |
при z = ОО
|/~0; Q^0.
404
Из третьего и четвертого условий вытекает, что Cj = С3 — 0;
V(z) = C2e-« + C4e-^;
(20.15)
V'(«) = —«Сзе"“ —V (г) = (21.15)
Подставим выражения V и V" в уравнение (17.15) н, 'проинтегрировав его, найдем
У(*) ” 4" [-Г (aVn - + у- (32г„ - fS,,) C4e-^. (22.15)
Поперечная сила Q есть суммарная проекция всех сил, действующих в плоскости
сечения, на направление силы Р. Она, очевидно, складывается из снл сдвига, действую-
щих вдоль ригеля. Согласно
фиг. 409 и 411 для ригеля у' =*
4-, ф- 1,
а2 т
следовательно,
по формуле (7.15) касательные напряжения по всей длине ригеля имеют постоянную
величину, равную
’=°(т4 G+v')-
Отсюда
Q - -zi2d2 = G (252У + М,)")-
(23.15)
Используем граничные условия (19.15):
(aVji — у$ц) С2 + у- $2Гц — С4 = 0;
Р
— GSjrfj (аС2+РС$)=—~2~ •
Из этих двух уравнений определятся постоянные С2, С4, после чего можно будет
написать окончательные выражения для перемещений U(z)2 V(z) по формулам (22.15)
и (20.15); для напряжений ff и т — по формулам (6.15) и (7.15); для изгибающих
моментов — по формуле
где — эпюра момен-
тов по фиг. 412; попереч-
ную силу вычислить по
формуле (23.15),
Значения всех пере-
численных величин по-
степенно убывают по ме-
ре удаления сечения от
нагруженного силой Р.
Эпюра продольных
перемещений края гори-
зонтальной пластинки
имеет примерно вид, по-
казанный в перспективе
на фиг. 413. Перемеще-
ния противоположного
края имеют обратный
знак.
На фиг. 414, взятой
нз книги проф. В. 3. Вла-
сова, показан закон убы-
вания нормальных на-
пряжений о для следую-
щего частного случая:
оболочка состоит нз трех
пластинок, имеющих оди-
наковую ширину d и тол-
щину 8; взяты три раз-
li
личных отношения . На
фиг. 415 дан помещенный в той же книге график убывания
касательных напряжений, равномерно распределенных по ширине верхней пластинки. Из
этих графиков следует, что чем тоньше оболочка, тем медленнее затухают напряжения.
405
Изложенный здесь в очень сжатом виде и проиллюстрированный простейшим при-
мером метод заслуживает исключительного внимания, Проф. В. 3. Власов рассчитал
этим методом призматические оболочки с весьма сложным многосвязиым контуром и
таким образом практически разрешил эту важную задачу.
Экспериментальные исследования, проведенные Центральным научно-исследова-
тельским институтом сооружений для поверки этой теории, показали ее пригодность
для практического применения. Все это заставляет признать ее выдающимся достиже-
нием нашей науки.
Фиг. 415
Проблема расчета призматических оболочек является частью более обширной про-
блемы практического расчета тонкостенных пространственных систем типа оболочек.
В этой области строительной механики и теории упругости, разрабатываемой в СССР
рядом исследователей (проф. А. А. Уманским, проф. А. И. Лурье, проф. В. В. Новожи-
ловым и др.), наша наука также имеет выдающиеся Достижения.
□ Г л а в a 16
О РАСЧЕТЕ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
С ОДНОСТОРОННИМИ связями
§ 1.16. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТАКИХ СИСТЕМ
Что такое односторонние связи и где они встречаются, об этом гово-
рилось в I ч. настоящего курса (в гл. 12). Здесь речь будет идти исклю-
чительно о системах статически неопределимых, причем в целях упро-
щения задачи мы ограничимся такими сооружениями, в которых основ-
ная, геометрически неизменяемая система содержит только двусторон-
ние связи. Следовательно, мы будем считать, что односторонние связи
встречаются только среди лишних связей. Таким образом, вопрос о гео-
метрической неизменяемости нас не будет беспокоить.
На практике допускаются исключительно такие системы. Там, где
число односторонних связей больше степени статической неопределимо-
сти, должна иметься уверенность в том, что геометрическая неизменяе-
мость обеспечена. Например, неизменяемость висячей мостовой системы,
состоящей из кабеля и балки жесткости, хотя эта система и имеет много
односторонних связей, не вызывает сомнений, так как растяжение всех
элементов кабеля обеспечено и их односторонний характер не может про-
явиться.
Система с односторонними связями, хотя бы и идеально упругими,
не является линейно деформируемой. Тот факт, что при изменении на-
грузки те или иные связи включаются или выключаются, делает возмож-
ным лишь частичное приложение законов линейной механики. В общем
виде к такой системе неприложим закон независимости действия сил и
все его следствия. Лишь небольшая, наиболее общая часть основных
теорем строительной механики упругих систем сохраняет свою полную
силу.
Работа, производимая внешними или внутренними силами при пере-
ходе системы из одного состояния в другое, зависит только от этих двух
состояний, а не от промежуточных, так как энергия не рассеивается. Что
же касается закона взаимности работ или перемещений, теоремы о дей-
ствительной работе внешних сил при статическом загружении системы
и т. п., то они могут оказаться нарушенными при выключении тех или
иных связей.
Основная проблема теории расчета статически неопределимых си-
стем, имеющих в числе лишних связей односторонние, состоит в следую-
щем: выяснить, какие из этих связей участвуют в работе при действии
заданной нагрузки; короче — выяснить рабочую систему.
При наличии п односторонних связей можно при помощи различных
вариантов выключения связей образовать 2Л различных систем. Напри-
мер, при п — 10 число систем ранно 2Л = 1 024. Анализировать все такие
407
системы для нахождения фактической рабочей системы практически не-
возможно. В этом и состоит трудность проблемы.
§ 2.16. КРИТЕРИИ РАБОЧЕЙ СИСТЕМЫ
Предположим, что при действии заданной внешней нагрузки одно-
сторонние лишние связи Ah Л2,..., работают, а связи Am+i, Ат+г, ...,
Аг выключены. Приняв такую рабочую систему и считая, что связи
Дц j42, Ат являются двусторонними, определим в ней одним из мето-
дов расчета статически неопределимых систем все усилия, затем вычис-
лим перемещения по направлению связей Дт-м, Дт + 2, ...» Аг.
Усилия и деформации, возникающие ,в односторонних связях в их
рабочем состоянии, будем считать положительными.
Критерий рабочей системы таков: если усилия в работающих связях
Ah А2, ...,Ат окажутся положительными, а перемещения по направле-
нию выключившихся связей Ат + ь Ат Аг — отрицательными, то
рабочая система выбрана правильно. Иначе говоря, в результате рас-
чета усилия и деформации всех односторонних связей должны оказаться
в согласии с исходной рабочей схемой. Напротив, разногласие свидетель-
ствует о неправильности принятой расчетной схемы.
§ 3.16. ТЕОРЕМА ОБ ОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЯ
Пусть на систему с односторонними лишними связями действует
заданная внешняя нагрузка или температура и требуется решить задачу
о напряженном состоянии системы, т. е. об усилиях и напряжениях во всех
ее элементах. Вопрос о том, является ли решение этой задачи однознач-
ным, имеет фундаментальное значение для всей теории таких систем..
Для того чтобы придать дальнейшим рассуждениям несколько боль-
шую наглядность, будем представлять себе односто-
II ронние связи как внутренние или опорные затем-
JL ления, способные развивать моменты заделки только
j в одно,м направлении (фиг. 416). Мы нисколько не
уменьшим этим общность рассуждений,
Фиг. 416 Докажем теорему от противного: предположим,
что заданной нагрузке или температуре отвечают
два различных состояния усилий; назовем их состояниями / и II. Воз-
можны три группы односторонних лишних связей:
;1) группа связей Ah Д2,..., Ak, которые работают только в состоя-
нии Z;
2) группа связей В2,..В7, работающих только в состоянии //;
3) группа остальных связей, каждая из которых одинаково уча-
ствует (т. е. работает или не работает) в обоих состояниях.
Таким образом, различие между рабочими системами I н II сводится
к элементам А1 и
Перережем мысленно все заделки At и которые в рассматривае-
мом состоянии р31бот1ают, и заменим их реактивными парами Xh Xj. На
фиг. 417 показаны две такие заделки: в состоянии I заделка A-t развивает
реактивные пары Х;, а заделка выключена; в состоянии II заделка В;.
развивает реактивные пары Xj, а заделка At выключена.
Для того чтобы перевести систему из состояния 1 в состояние II, т. е.
для того, чтобы исчезли реактивные моменты в заделках Дг- и возникли
реактивные моменты в заделках Bh нужно прибавить к силам, действую-
щим в состоянии I, следующие: 1) две пары, равные в заделке Д7
408
। (они те показаны на фиг. 417); 2) две пары, равные Лу ib Заделке Ву.
I Ли!алогиЧ|НЫ1м образом нужно поступить со всеми заделками группы Л и
I всеми — группы В.
] В итоге все заделки Д, окажутся свободными от моментов, а в
сечениях В появятся реактивные моменты X > и получится состоя-
I ние //.
Из чертежа видно, что при переходе из состояния / в состояние /7
сечения Л7 поворачиваются в сторону, противоположную парам — Xlt
а сечения В у— в сторону, противоположную парам Ху. Следовательно,
j вся эта совокупность пар совершит на перемещениях, вызванных ею же,
отрицательную работу. Так как это невозможно, то исходное положение
неверно, т. е. одной нагрузке не могут соответствовать две различные
рабочие системы.
Фиг. 417
Остается еще рассмотреть такое допущение: возможно ли, чтобы
данной нагрузке отвечала одна рабочая система, но два разных состоя-
ния усилий. Но одна рабочая система ничем не отличается от обычной
статически неопределимой, так как выключившиеся односторонние эле-
менты нигде не фигурируют, работающие же односторонние элементы
ничем не отличаются от двусторонних. Но для обычной статически не-
определимой системы однозначность решения доказана (она вытекает из
линейности и определенности системы канонических уравнений).
§ 4.16. ХОД РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ
С ОДНОСТОРОННИМИ лишними связями
Особая трудность, отличающая расчет такой системы от расчета
системы с обычными связями, состоит в необходимости выяснить рабо-
чую систему.
Обычно можно наметить вероятную рабочую систему и положить ее
в основу предварительного расчета. Если результаты расчета окажутся
в полном согласии с исходными предположениями, то расчет следует
считать окончательным. Если такой удачи не будет, то нужно, частично
опираясь на данные первого расчета, выбрать новую рабочую
систему и произвести второй расчет. Такие попытки следует продолжать
до получения полного совпадения исходных допущений с данными рас-
чета.
Пусть мы за рабочую систему первого расчета приняли такую, в кото-
рой все односторонние связи заменены двусторонними, и пусть мы полу-
чили в результате в односторонних связях Дь , Ak положитель-
ные усилия, а в связях В2,..., Bt —отрицательные (невозможные)
409-
усилия. Можно доказать 1, что это решение не может быть полностью не-
правильным, т. е. не может быть, чтобы на самом деле все связи A k вы-
ключились, а все связи BL работали.
Можно также доказать2, что не являются полностью неверными те
результаты, которые получаются из расчета, основанного на схеме с вы-
ключенными всеми односторонними связями. Это надо понимать так: если
в результате такого расчета окажется, что по направлению некоторой
группы односторонних связей получаются положительные перемеще-
ния, а по направлению другой группы — В. — получаются отрицатель-
ные, то в действительной рабочей системе не может быть все наоборот.
Эти теоремы несколько облегчают поиски правильного решения.
§ 5.16. ПРИМЕРЫ
□ а) Требуется рассчитать двухпролетную симметричную балку со средней одно-
сторонней опорой (фиг. 418). Нагрузка — равномерно распределенная интенсивностью р.
Предположим, что рабочей системой является балка с выключенной средней опо-
рой (фиг. 419). В такой системе изгибающий момент на крайних опорах равен
а в среднем сечеиии
да2 р/2 р
Чтобы проверить правильность расчета, необходимо убедиться в том, что прогиб
над средней опорой отрицателен, т. е. направлен в сторону выключения этой опоры
(вверх). Формула прогиба:
__5_ p(20« ра* (ЗД2 _рР_
у В — 384 * EJ ~ 2EJ ‘ 8 “ 24Е/ (S‘ ~~Ьа '•
Решение будет справедливо, если
б/2 — 6л2 < 0 или а > I ]/*“
Если это неравенство ие будет соблюдено, то средняя опора включится в работу
и балка превратится в неразрезную. Тогда
"в - ТГ (2«а- В в = -0- (-+ 5/!)-
Это решение справедливо в том случае, если реакция положительна,
т. е. если
5/2—6а2 > 0.
Нетрудно также решить задачу о расчете такой балки при условии, что одно-
сторонняя средняя опора отделена от балки небольшим зазором или, наоборот, распо-
ложена несколько выше крайних опор.
б) Для той же балки определить усилия при действии заданной подвижной на-
грузки.
1 См. статью автора «Некоторые вопросы теории сооружений, содержащих одно-
сторонние связи», «Инженерный сборник», т. VI, 1950.
2 См. ту же статью.
Так как в этой системе имеется только одна лишняя связь, то нетрудно восполь-
зоваться линиями влияния. Прежде всего нужно построить л. в. для средней опорной
реакции, принимая опору двусторонней и балку неразрезной. Пусть требуется, напри-
мер, определить изгибающий момент в сечении К (фиг. 420). Для этого нужно при
любом положении нагрузки загрузить прежде всего л. в. Rg и выяснить, какой знак
имеет эта реакция. Если окажется, что то нужно для вычисления момента Л1
воспользоваться л. в. Л4/;, построенной для неразрезной балки, а если Rq <0, то нужно
прибегнуть к л. в. простой балки.
в) Балка иа сплошном упругом основании, сопротивляющемся вдавливанию, ио
сосредоточенной силой Р (фиг. 421).
не отрыву, нагружена по середине своей длины
Построить для иее эпюры М, Q, у.
А Н В С
Фиг, 420
Рабочей системой в данном слу-
чае является та часть пролета балки,
которая находится в контакте с ос-
нованием. Длина этой части неиз-
вестна. Обозначим ее через г.
Рассмотрим участок АВ. Гра-
условиями для него яв-
точке Л:
Л1о = О,
яичными
ляются: в
в точке В
'fz.
2
О,
Qo = O;
Q
i. 2
2
По этим данным находим выражение прогиба в точке А:
(1-16)
где А, В, С, D — гиперболо-тригонометрические функции, указанные в § 2.14, а
Чтобы найти рабочую длину z, необходимо ввести условие
Уо = 0-
На основании формулы (1.16) оно примет вид
DZAZ -CzBz — 0.
2 2
(2.16)
Решение этого трансцендентного уравнения легко получить, если воспользоваться
таблицами численных значений левой его части, приведенными в книге проф.
А. А. Уманского «Специальный курс строительной механики», ч. I, 1935. Оказывается,
2
что =3,15. Если длина балки I < 3,15Д то контакт обеспечен по всей длине; если
/>3,15Л то контакт будет только на длине, равной 3,15L.
Если бы мы, исходя из заданной длины I балки, написали уравнение упругой
линии и разыскали ее нулевую точку, то могли бы получить неверный результат.
г) Требуется рассчитать балку на сплошном упругом основании, нагруженную так,
как показано на фнг. 422, а.
411
Примем сначала, что основание способно развивать реакции в обоих направле-
ниях. При этих условиях составим обычным способом уравнение упругой линии. Если
все ординаты окажутся положительными, т. е. на всей поверхности основания напряже-
ния будут сжимающими, полученное решение будет окончательным.
Если ва каком-нибудь участке CD (фиг. 422, б) ординаты упругой линии окажутся
отрицательными, то найденное решение не будет отвечать действительности. Точками
с нулевыми прогибами будут какне-то точки Ci и Р] (фиг. 422, в), которые нужно
разыскать. Для того чтобы решить задачу, придется за неизвестные принять абсциссы
Можно поместить в С] и
?ь 2*2 этих точек.
5)
опорные стержни. Составим формулы
опорных реакций для одиопролет-
ноЙ двухконсольной балки, консо-
ли которой .4 Ci и BD\ поддержи-
ваются упругим основанием. Прирав-
няв реакции в воображаемых опор-
ных стержнях нулю, получим два
трансцендентных уравнения для не-
известных Zi и После того как по-
следние будут найдены, нужно будет
составить уравнения упругой линии
для всех трех участков балкн и выяс-
нить знаки всех прогибов.
Если на участке С^ все орди-
наты окажутся отрицательными, а на
остальных двух участках — положи-
тельными, то решение будет оконча-
тельным. В противном случае балка
будет иметь не два, а больше точек
с нулевыми прогибами. В связй с
с этим придется поставить три или
больше опорных стержней и снова
произвести расчет. Изложенная здесь схема расчета указана проф. А. П. Синицыным,
д) В последние 20 лет у нас получили применение арочные мосты с наклонными
подвесками, которые более выгодным образом распределяют усилие в арке, чем верти-
кальные подвески. Схема такой арки с проезжей частью показана на фиг. 423. Она
содержит столько лишних неизвестных, сколько в проезжей части имеется узлов, содер-
жащих по две подвески.
Так, в системе фиг. 423 число лишних неизвестных равно 8.
Подвески, сходящиеся в незагруженном узле проезжей части, являются нулевыми.
Действительно, из уравнения вертикальных проекций для такого узла видно (фиг. 424)
с
Фиг. 423 Фиг. 424
что одна из подвесок должна быть растянута, а другая — сжата. Так как подвески на
сжатие не работают, то растянутая подвеска оказывается в роли одиночного стержня,
а потому усилие в ней также равно нулю.
Примем за неизвестные Х2, Х3,... усилия в одной из двух парных наклонных
подвесок, сходящихся в загруженных узлах (фиг. 425). Составим и решим канонические
уравнения, принимая сначала, что все эти подвески работают. Мы найдем значения всех
неизвестных Хт.
Для того чтобы решение отвечало действительности, необходимо: 1) чтобы все
неизвестные оказались положительными: Хт > 0; 2) чтобы все усилия Sm (фиг. 425)
также оказались положительными: Sm > 0 или Рт — sin > 0.
Если не все такие неравенства удовлетворяются, то полученное решение не
годится. Естественно считать выключившимися все подвески, в которых из этого реше-
ния получились сжимающие усилия. Пользуясь такой расчетной схемой (в ней число
412
лишних неизвестных будет уже иным), следует произвести второй расчет и т. д. Таким
путем можно после немногих попыток получить правильное решение.
д) На фиг. 426 показана схема раскосной фермы с перекрестными раскосами,
расчет которой дай был Д. И. Журавским в 1852 г. в статье, напечатанной в «Журнале
Главного управления путей сообщения и публичных зданий». Журавский считал, что
деревянные раскосы могут работать только на сжатие, растянутые же раскосы выхо-
дят из своих гнезд и выключаются нз работы. Это, повиднмому, первая работа по
строительной механике, содержащая учет односторонних лишних связей. □
Глава 17
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ
§ 1.17. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ СООРУЖЕНИЯ
Расчет, основанный на рассмотрении сооружения как упругого тела,
позволяет установить с точностью, в большинстве случаев достаточной
для практических целей, картину распределения усилий и напряжений
в элементах сооружения, определить характер деформаций, вычислить
перемещение любой точки сооружения по любому направлению. «Упру-
гий» расчет, как мы видели, позволяет учесть влияние переменных и под-
вижных нагрузок, температуры, смещения опор, неточности сборки и т. п.
Нельзя сказать, чтобы он был слишком сложен. Читатель мог в этом
убедиться, изучая ‘курс строительной механики.
Серьезный дефект любого «упругого» расчета состоит в том, что он
как бы останавливается та полпути: он не дает ответа на вопрос о запа-
сах прочности рассчитываемого сооружения. Он не может дать такого
ответа, так как исчерпание прочности сооружения, влекущее за собой
выход сооружения из строя, может произойти лишь при напряжениях,
превышающих предел упругости и пропорциональности. Поведение си-
стемы, испытывающей столь высокие напряжения, не поддается изучению
методами, разработанными для упругих систем.
Вследствие ограниченности области применения «упругого» расчета
остается без ответа вопрос о мере действительной прочности сооружения,
о величине соответствующего ему коэффициента запаса.
Для ответа на этот важный вопрос нужно, не ограничиваясь упругой
стадией работы сооружения, рассмотреть его предельное состояние. Та-
ким образом, строительной механике приходится покинуть привычную
область упругих явлений и распахнуть дверь в область неупругих дефор-
маций, где ее встречает ряд неожиданностей.
Разработка в СССР вопросов расчета по предельному состоянию
привела в последнее время к мысли о необходимости рассматривать сле-
дующие возможные предельные состояния: 1) по прочности (несущей
способности), 2) по развитию недопустимо больших деформаций, 3) по
образованию трещин, не позволяющих эксплуатировать сооружение
вследствие потери им требуемой водонепроницаемости, сопротивления
коррозии и т. п. *. Строительная механика должна дать ответ на вопрос
о том, при каких нацрузках наступит то или иное из предельных состоя-
ний. Она должна также ответить на вопрос о том, как подобрать раз-
меры сооружения, для того чтобы его предельное состояние наступило
1 В. А. Балдин, И. И. Гольденблат, В. М. Ко ченов, М. Я. Пиль-
д и ш, К. Э. Таль, Расчет строительных конструкций по предельным состояниям,
под ред. проф. В. М. Келдыша, 1951.
414
с
именно при той нагрузке, при тех условиях, которые заранее преду-
смотрены.
Правильное решение этих вопросов имеет .важное значение с точки
зрения экономии государственных средств, вкладываемых в строитель-
ство. Размеры последнего, предусмотренные директивами XIX съезда
КПСС, громадны, и это заставляет отнестись к разработке данного метода
расчета сооружений
большим вниманием.
Разработка метода
расчета, отвечающего на
эти вопросы, составляет
содержание ряда опубли-
кованных в последние го-
ды в СССР и за рубежом
теоретических и экспери-
ментальных работ.
В настоящей главе
мы ограничимся кратким
изложением расчета по
несущей способности,
иначе (не вполне точно)
называвшегося раньше
расчетом по разрушаю-
щим нагрузкам.
В основу расчета будет положена упрощенная диаграмма работы ма-
териала, которая выражает следующую расчетую схему: вплоть до пре-
дельного напряжения, равного ат. материал принимается упругим,
а после этого переходит в состояние текучести и может принимать не-
определенно большие деформации при том же напряжении. Такая упро-
щенная диаграмма изображена двумя сплошными прямыми на фиг. 427;
ею можно приближенно пользоваться только в том случае, когда пло-
щадка текучести, имеющая, разумеется, конечную длину, при работе
сооружения не используется до конца.
В изгибаемых железобетонных элементах перед разрушением
появляются трещины в растянутой зоне бетона, и начинается течение
арматуры. Поэтому и для них можно считать допустимым пользование
той же диаграммой; ею можно пользоваться также для бетона
в обойме.
§ 2.17. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ
НА ПОСТОЯННУЮ НАГРУЗКУ
Рассмотрим сначала простейший пример, представленный на фиг. 428:
абсолютно жесткий стержень, нагруженный вертикальной силой Р, под-
держивается тремя вертикальными стержнями. Система, равно как и на-
грузка, симметрична. При обычном, методе расчета, когда деформации
не выходят за пределы упругих, задача содержит одну лишнюю неизвест-
ную. Решив ее, найдем, что напряжения выражаются следующими фор-
мулами:
ibFi + aF* °CD ” 2^
При Ь < а средний стержень более напряжен, чем крайний, поэтому
при постепенном возрастании силы Р предельное напряжение ат по-
явится в первую очередь в нем.
415.
постоянным, по так как он
формаций в этом стержне
Фиг. 428
Проследим за поведением стержней при дальнейшем возрастании
нагрузки. То обстоятельство, что мы заранее можем указать, какой стер-
жень более напряжен, позволяет нам легко разобраться во всем процессе.
После того как в стержне CD появится предельное усилие aTFz, он
начнет течь, т. е. несмотря на рост деформации, усилие ib нем останется
1яется лишним, то это не опасно; рост де-
нет ограниченным, так как весь избыток
нагрузки будут брать на себя остальные
два стержня. Так будет продолжаться до
тех пор, пока и в последних напряжение
не достигнет величины ат, т. е. пока на-
грузка не достигнет величины
^, = (2^ + ^)’г- (2.17)
После этого несущая способность со-
оружения будет исчерпана. Большей на-
грузки оно уже не сможет воспринять;
равновесие между внешними и внутрен-
ними силами нарушится, и наступит раз-
рушение.
Предельная сила Рпр не зависит от
соотношения между площадями и Ег, а
также между длинами а и 6; она зависит
только от суммарной площади всех трех
стержней.
Свя-зь .между деформацией сооружения, т. е. вертикальным переме-
щением у стержня BDF, и переменной силой Р, может быть выражена
графиком, представленным иа фиг. 429. Участок ОА отвечает упругому
состоянию всех трех стержней.
После того как средний стержень по- ‘
течет, податливость системы увели-
чится, и дальнейшая часть графика
пойдет по прямой АВ, которая на-
клонена к оси абсцисс под меньшим
углом; тангенс этого угла выражает
собой как бы приведенный коэффи-
циент упругости сооружения. Нако-
нец, когда в обоих крайних стержнях
напряжение также достигнет вели-
чины ат, дальнейшая деформация
будет нарастать по закону горизон- О
тальной прямой ВС, т. е. при по-
стоянной внешней силе Рпр , приве-
денный же коэффициент упругости
сооружения обратится в нуль.
Если мы будем отсчитывать коэффициент запаса k относительно пре
дельной силы Рпр, то получим, допускаемую нагрузку
р' -__
гдоп £
То, что данный метод позволяет при исчислении (меры запаса соору-
жения опираться на понятия о предельной нагрузке и предельном состоя-
нии, является его важной особенностью н достоинством.
Вторая особенность такого расчета состоит в следующем: предель-
ная нагрузка Р пр может быть найдена непосредственно из условий равно-
весия, без решения уравнений, обусловливаемых статической неопреде-
416
лимостью сооружения. Действительно, в предельном состоянии усилия во
всех трех стержнях равны предельным, откуда сразу ясно, что
Pnp = (2^ +Л2)ат. (3.17)
Столь же просто решается обратная задача: по дайной допускаемой
нагрузке Рдоп и данному коэффициенту запаса k подобрать сечения
стержней; из условия (2^ + F2) <?т — &РД0П получается
ПР [ £7 _
Величины Z7! и f2 можно выбирать произвольно, лишь бы они удо-
влетворяли полученной формуле.
В разобранном, примере можно было сразу указать, какова схема
разрушения. В случае системы, содержащей много лишних неизвестных,
схема предельного состояния не может быть указана сразу. Приходится
рассмотреть различные воз-
можные схемы.
На фиг. 430 представ-
лен пример системы, содер-
жащей два лишних стержня.
Предельное состояние харак-
теризуется тем, что какие-то
три вертикальных стержня
потекут. Так как горизон-
тальные перемещения невоз-
можны (этому мешает гори-
зонтальный опорный стер-
жень) , поворот плиты может
произойти только вокруг
точки, лежащей на прямой
АВ, или на ее продолжении.
Число комбинаций из
четырех стержней по три
равно четырем, следователь-
но, существуют четыре раз-
личных механизма, в кото-
рые система может перейти
в момент исчерпания несу-
щей способности. Они пока-
заны на фиг. 433. Схема б
соответствует предположе-
нию, что потекли три правых
стержня; из уравнения мо-
ментов относительно точки
прикрепления А четвертого стержня находим
Рпр=1,53,Р.
Аналогичным образом вычисляются значения Рар по остальным
трем схемам. Действительной предельной нагрузкой является всегда
наименьшая их всех, найденных таким способом, т. е. в данном случае
Pn(.= l>33 aTF.
Этот факт очевиден. Впрочем, невозможность остальных схем, при
которых Рпр имеет большую величину, видна из уравнений вертикаль-
ных проекций: в этих схемах четвертый стержень должен был бы иметь
усилия, соответственно равные 1,5атЛ; в то время как факти-
27—И. М. Рабинович
417
ческое усилие не может превысить величину атЛ. Способ расчета, со-
стоящий в определении наименьшей величины Рлр из рассмотрения рав-
новесия различных механизмов, проф. А. А. Гвоздев предложил назвать
кинематическим.
Кинематическая картина в данном примере настолько проста, что
некоторые (Комбинации знаков усилий aTF сами собой отпали: в стерж-
нях, лежащих по одну сторону от точки вращения диска АВ, усилия aTF
не могут быть разных знаков. Если бы диск был не абсолютно жестким,
а деформирующимся, дело осложнилось бы. При расчете ферм с лиш-
ними стержнями кинематическим методом мы и встречаемся с таким
осложнением: приходится рассматривать значительное количество схем
разрушения.
Чтобы обойти это затруднение, иногда оказывается более выгодным
прибегнуть к «упругому» расчету. Рассматривается процесс постепенного
возрастания «Загрузки. В первой стадии процесса сооружение, имеющее п
лишних связей, работает упруго. Составив и решив канонические урав-
нения, найдем тот стержень, в котором напряжение имеет наибольшую
величину, и который, следовательно, потечет в первую очередь. Во второй
стадии этот стержень сохраняет неизменную величину своего усилия, сле-
довательно, его можно удалить, приложив вместо него названное усилие
как внешнюю нагрузку. Сооружение при этом имеет уже только п — 1
лишних связей и может снова рассматриваться как упругое. Составив
для него новые канонические уравнения и действуя аналогичным обра-
зом, можно проследить за всеми стадиями постепенного снижения числа
лишних стержней, пока мы не дойдем до1 последней стадии — статически
определимой системы, в которой появление предельного усилия в наи-
более напряженном из оставшихся стержней приводит к разрушению.
При переходе от одной стадии к другой может случиться, что какой-
нибудь стержень, находившийся в состоянии текучести, начнет разгру-
жаться. Так как разгрузка происходит по упругому закону, то усилие
в этом стержне начнет изменяться, и степень статической неопределимости
фермы снова повысится на единицу.
Может также случиться, что тот или иной сжатый стержень потеряет
устойчивость раньше, чем усилие в нем достигнет величины cjtF.
Все это показывает, что определение несущей способности статически
неопределимой фермы представляет собой хотя и простую с теоретиче-
ской точки зрения, но иногда весьма утомительную задачу.
§ 3.17. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ НА ОДНУ
И ТУ ЖЕ МНОГОКРАТНО ПОВТОРЯЮЩУЮСЯ НАГРУЗКУ
Своеобразные обстоятельства выясняются при рассмотрении того,
как работают статически неопределимые системы за пределом упругости
на повторяющуюся нагрузку. Эти особенности являются следствием спо-
собности статически неопределимой системы иметь начальные или соб-
ственные напряжения, т. е. такие, которые вызываются исключительно
внутренними 'Силами системы, без участия внешней .нагрузки.
Вернемся к примеру, представленному на фиг. 428. Представим себе,,
что -внешняя сила Р имеет такую величину, которая ниже разрушающей,
но которая в то же время вызывает в стержне CD пластические дефор-
мации. Если бы деформации этого стержня не были связаны с деформа-
циями остальных, то после разгрузки усилие в нем упало бы до нуля, но
он сохранил бы некоторую остаточную деформацию (удлинение), следо-
вательно, его нижний конец D не вернулся бы в первоначальное положе-
ние. Отсюда ясно1, что в статически неопределимой системе, изображен-
418
ной на фиг. 428, получится такая картина: после разгрузки стержни АВ
и EF окажутся растянутыми, а стержень CD — сжатым, причем алгебра-
ическая сумма всех трех усилий будет равна нулю. Эти усилия мы и бу-
дем называть начальными или собственными.
Нагрузим систему вторично. Представим себе, что внешняя сила воз-
ptacraeT постепенно от нуля до прежнего значения Р. Очевидно, что при
некотором значении внешней силы сжимающее усилие в стержне CD
исчезнет, и только при дальнейшем росте этой силы до величины Р стер-
жень будет снова удлиняться. Может случиться, что в итоге стержень CD
снова потечет и получит, следовательно, новую, дополнительную
остаточную деформацию, но она начнется уже при большем значе-
нии силы и будет меньше первоначальной. Когда сила достигнет
величины Р, то усилие в стержне будет опять равно предельному, т. е.
aTF2, поэтому и в крайних стержнях усилия примут прежнее значе-
ние.
При дальнейших последовательных загр ужениях и разгрузках
стержень CD будет получать постепенно уменьшающиеся дополнительные
остающиеся удлинения; все большая часть силы Р будет уходить на уни-
чтожение начального сжатия, и все меньшая — на создание удлинения.
В конце концов при некотором очередном загружения окажется, что стер-
жень CD получил только упругое удлинение, -а остаточного не получил.
Начиная с этого момента, мы смо-
жем безопасно повторять процесс за-
гружения и разгрузки неограничен-
ное число раз, не вызывая больше
остаточных деформаций: ферма бу-
дет работать как идеально упру-
гая.
Процесс деформирования систе-
мы графически представлен на
фиг. 431, где на оси ординат отло-
жена внешняя сила, а на оси абс-
цисс — вертикальное перемещение
нижнего конца стержней. Процесс
разгрузки, как известно, можно счи-
тать упругим, поэтому
BC/B.fi.B.aB^AJ).
Вертикальное перемещение у после первой разгрузки выражается отрез-
ком OCf, после второй разгрузки добавляется перемещение С]С2: после
третьей — С2С3 и т. д. Из чертежа видно, что
В конце концов график нагрузки и разгрузки превратится в- одну пря-
мую ВпСп. Можно доказать, что если в состав статически неопределимой
фермы с п лишними стержнями входит такая основная статически
определимая ферма, в которой при многократном загружении и раз-
грузке данной силой напряжения остаются ниже предельного, то
удлинения и укорочения лишних стержней ограничены определенными
пределами, после достижения которых ферма будет работать как
упругая.
Анализ показывает, что расчет сколько-нибудь сложной фермы на
многократно повторяющуюся неподвижную или подвижную нагрузку за-
ключает в себе ряд трудностей. Одна из главных трудностей состоит
27*
419
в необходимости считаться с возможностью нарастания сжимающих
усилий и выходом отдельных стержней из состояния устойчи-
вости
§ 4.17. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ БАЛКИ НА ОДНОКРАТНОЕ
нагружение И РАЗГРУЗКУ
Рассмотрим диаграмму распределения нормальных напряжений
в балке (фиг. 432, я), материал которой характеризуется-идеальной диа-
граммой, представленной на фиг. 427. Представим себе, что нагрузка
постепенно возрастает, вследствие чего возрастают ненормальные напря-
жения. Пока все напряжения будут ниже предельного, диаграмма будет
иметь вид фиг. 432, б. Такой же вид она будет иметь, когда предельное
напряжение появится только в крайнем волокне. При дальнейшем нара-
стании нагрузки, предполагая справедливым закон плоских сечений, мы
получим диаграмму вида фиг. 432, в; часть волокон потечет, и в них на-
пряжение будет равно предельному; остальная часть сечения будет рабо-
тать упруго. Высоту упругой области (упругого ядра) обозначим через 2и,
Фнг. 432
Затем пластические деформации будут распространяться все дальше
вглубь сечения, однако до тех пор, пока будет существовать упругое
ядро, момент внешних сил будет уравновешиваться моментом внутрен-
них. За предельное напряженное состояние сечения принимается такое,
которое представлено на фиг. 432, а, т. е. такое, при котором все волокна
испытывают предельное напряжение аг. Момент внутренних сил дости-
гает при этом наибольшей возможной для данного сечения величины.
Если нагрузка будет еще возрастать, он сохранит ту же самую величину,
следовательно, сечение уже не в состоянии будет сопротивляться неогра-
ниченному нарастанию деформаций.
Сечение, находящееся в таком предельном состоянии, условно назы-
вают пластическим шарниром. Последний можно рассматривать как
обыкновенный шарнир, к которому приложены две взаимно противопо-
ложные пары с постоянным моментом. Этот предельный момент внутрен-
них сил назовем Л4пр.
Разумеется, что изгибающий момент сможет достигнуть предельной
величины Л4пр только в том случае, если балка еще раньше не разру-
шится от касательных напряжений. Пластический шарнир является одно-
1 Подробнее об этом см. в статьях проф. С. А. Бернштейна «Работа статически
неопределимых ферм в упруго-пластической стадии» в сборнике «Расчет металлических
конструкций с учетом пластических деформаций», Госстройиздат, 1938 и проф.
Н. С. Стрелецкого, К вопросу разрушения ферм под циклической нагрузкой,
Известия АН СССР, ОТН № 12, 1946.
420
сторонним; при разгрузке изгибающий момент уменьшается, и сечение
теряет свойства пластического шарнира.
Из предыдущего рассуждения ясно, что момент Л1пр выше того мо-
мента, при котором предельное напряжение появляется только в крайнем
волокне. Расчетная нагрузка, составляющая от предельной, будет
1
поэтому больше, чем — от нагрузки, вызывающей предельное напряже-
k
ние в крайнем волокне, следовательно, и здесь расчет по предельной на-
грузке экономичнее расчета по допускаемым напряжениям.
Момент Л1пр для симметричного сечения можно определить из диа-
граммы 432, г. Обозначим площадь сечения через F. Тогда
h h
2 2
Ма9 = J y^dF = 2отJ>d/r = 23TS(),
о
2
(4.17)
где So — статический момент верхней или нижней половины сечения отно-
сительно нейтральной оси.
Если принять во внимание, что по обычному расчету 3ia предельный
момент принимается тот, при котором предельное напряжение возникает
лишь в крайнем, волокне:
ЛТу„ = атГ,
то отношение обоих моментов напишется так:
я=322Л = 25». (5.17)
<7TUZ W 4 ;
Величина а показывает, во сколько раз расчетная нагрузка по одному
способу выше, чем по другому. Например, для сплошного прямоуголь-
ного сечения, имеющего размеры получается
т. е. в этом случае «пла-
стический» расчет позво-
ляет повысить нагрузку
на 50%.
Распределение напря-
жений по длине балки бу-
дет зависеть от эпюры из-
гибающих моментов. На-
пример, для балки с опер-
тыми концами, нагружен-
ной в середине пролета
сосредоточенной силой,
диаграммы напряжений
показаны на фиг. 433, где
одновременно показана
также зона пластических
деформаций. Там, где момент имеет величину или более низкую, пла-
стических деформаций не будет вовсе.
Если мы начнем, разгружать балку, то процесс изменения нормаль-
ных напряжений будет протекать упруго. Вследствие этого во время
процесса разгрузки изгибающий момент в пластическом шарнире будет
421
уменьшаться, т. е. шарнир з ia к роется. Сохраняется ли в каком-нибудь
сечении балки пластический шарнир или нет, зависит не только от вели-
чины действующей нагрузки, но и от направления изменения нагрузки.
Это обстоятельство, с которым приходится считаться при различных ва-
риациях нагрузки, 'может значительно усложнить расчет статически не-
определимых балок, так как может оказаться, что одни шарниры будут
появляться, а другие будут исчезать J.
Вернемся к диаграмме нормальных напряжений статически опреде-
лимой балки и проследим за процессом разгрузки. Он повлечет за собой
появление дополнительной, имеющей обратный знак диаграммы abed
(«фиг. 432,3), «которая будет налагаться на основную. Когда балка пол-
ностью разгрузится от внешней Нагрузки, окончательная диаграмма при-
мет вид фиг. 432, е; та же диаграмма представлена на фиг. 432, е'. Так
как при этом внешние силы отсутствуют, то в статически определимой
балке момент внутренних сил также будет равен нулю, т. е. остаточные
напряжения в «сечении сами себя уравновесят. Диаграмма е' будет иметь
такой вид, что для любой ее половины окажется
л_
2
J oydf—O,
о
где а —суммарное напряжение, заштрихованное на диаграмме. Можно
еще так выразиться: для любой из двух половин сечения равно действую-
щая элементарных нормальных усилий направлена по нейтральной оси.
§ 5.17. УЧЕТ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛКИ.
РЕШЕНИЕ ПРОФ. Н. И. БЕЗУХОВА
□ Касательные напряжения, развивающиеся при изгибе, могут ока-
зать влияние на предельное состояние балки, а именно уменьшить вели-
чину предельного изгибающего момента. Этот вопрос впервые был рас-
смотрен проф. Н. И. Безуховым * 2.
Когда балка начинает работать в упруго-пластической стадии, в ней
быстро развиваются большие касательные напряжения. Возьмем два бес-
конечно близких поперечных сечения. В верхней и нижней зонах, где
нормальное напряжение в обоих сечениях одинаково и равно <зт (фиг. 434),
касательные напряжения отсутствуют. Поперечная сила Q восприни-
мается только упругим ядром.
Пусть в пределах этого ядра ширина b сечения постоянна. Высоту
ядра обозначим через и. Тогда наибольшее касательное напряжение
выразится формулой
Ьи2
QS 3Q /й
•'маке— bJ ~ b2b^~iiu- f (6Л7>
Чем меньше будет высота ядра 2и1 тем больше будет величина тмакс.
Главное нормальное напряжение выражается, как известно, фор-
мулой
J См. статью А. Г. Н а з а р о в а «О применении понятия идеального профиля к ана-
лизу несущей способности статически неопределимых систем», «Труды конференции по
пластическим деформациям», 1938, стр. 18.
2 Проф. Н. И. Безухов, Основы теории сооружений, материал которых ие
следует закону Гука, «Труды Московского автомобильио-дорожиого института» сбор-
ник № 4, 1936.
422
__ a
°макс “
<V4+”-
(7-17)
На крайних участках сечения, где t — 0, оно равно
°макс ст >
на нейтральной осн, где о = 0, оно равно
°макс хмакс*
При некотором значении и получается
^макс ®т*
Согласно формуле (6.17) это происходит при
3Q
—— = тг или
4Ьи т
Примерный вид диаграммы
главных нормальных напряжений
показан на фиг. 434. Такое состоя-
ние сечения можно условно принять
за пластический шарнир, а соответ-
ствующий этому состоянию изгибаю-
щий момент Ммакс— за предельный.
Из фиг. 434, а видно, что этот
момент меньше момента, отвечаю-
щего значению и = 0.
Разница равна моменту внут-
ренних сил, выражаемых на
фиг. 434, а участками ОАВ и ОА'В', т. е. величине
4&ат
Ьи^л. и _ _____ Ь-г / 2Q \2 3Q2
2 ’ 3 — ~3 ” Vi 4fcaT / ~ 16Ьгт *
Итак;
Михе = ЛС> - —
МаКС Пр 16^^
(8-17)
Для двутаврового1 сечения вследствие малости размера b поправка,
вносимая учетом касательных напряжений, значительна.
При более точном решении задачи можно потребовать, чтобы усло-
вие пластичности соблюдалось на протяжении всего поперечного сечения,
включая и среднюю его часть (участок ВВ' на фиг. 434). □
§ 6.17. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ БАЛКИ *
НА ОДНОКРАТНОЕ НАГРУЖЕНИЕ И РАЗГРУЗКУ
Предельное состояние статически неопределимой балки можно найти
из условий равновесия, не решая статически неопределимой задачи.
Например, в балке с защемленными концами (фиг. 435) предельное
состояние наступит тогда, когда появятся три пластических шарнира, ко-
торые превратят балку в механизм. Наибольшие моменты отвечают сече-
ниям А, В и С, поэтому в балке постоянного сечения именно здесь и по-
явятся эти шарниры.
Для того чтобы моменты в названных сечениях были равны между
юобой, следует провести замыкающую На фиг. 435 так, чтобы она раз-
делила пополам ординату Cd, которая равна, как известно, -у-. Отсюда
423
следует, что все три момента будут равныПроизведенная операция
носит название «выравнивания моментов». Обозначив предельную силу
через Рпр, а предельный для сечений данной балки момент через М1;р,
получим
/И д .^раЬ или р = 2ЛМ
2 пр 2/ "Р ab
Подобным же образом при помощи выравнивания моментов опреде-
ляется предельная интенсивность равномерно распределенной нагрузки.
На фиг. 435, б достаточно провести
замыкающую так, чтобы она разде-
лила пополам максимальную орди-
^Т^нату параболической эпюры, рав-
ную
ъ
<5?
А?Ж
21
с) и—-а—-
>fC
Фиг. 435
7ИПР = ^ или <7пр = ^>.
Какова бы ни была внешняя нагрузка такой балки, замыкающую
всегда можно провести так, что получатся три равных наибольших мо-
мента. В том случае, когда на одном конце балки имеется шарнир, можно
всегда получить два равных момента.
Если концы балки защемлены упруго, то предельные опорные мо-
менты независимо от степени упругости заделки будут иметь ту же вели-
чину, что для балки с абсолютно защемленными концами.
Например, предельное состояние балки АВ постоянного сечения
с одним заделанным и другим шарнирно опертым концом (фиг. 436) опре-
деляется из условия равенства моментов
Мв — Л$с ~/Ипр,
где ?Ипр — предельный момент:
Р^пра „ Д/Г
I I 2KJnp,
откуда
М = ~ПРД - или Р = Mnp(Z±_gj„
2Wnp 1^_а y iip- ab
Наоборот, по данной силе Р и коэффициенту запаса k можно подобрать
сечение, приняв
h р_ р -^пр U + а)
откуда
д/ = _ka*L р
2KJnP / + « ’
424
По формуле (4.17) найдем статический момент половины сечения
с ^пр
после чего уже легко будет подобрать и само сечение.
Для двухпролетной неразрезной балки постоянного сечения (фиг. 437)
предельная эпюра может быть построена сразу на основании решения
предыдущей задачи. Например, если оба груза Р стоят в середине про-
лета, то
В п-пролетной неразрезной балке с опертыми концами число лишних
связей равно п— 1, поэтому для превращения ее в механизм достаточно,
чтобы в ней образовались п пластических шарниров. Это условие, однако,
не является необходимым: при неблагоприятном расположении шарниров
балка может потерять свою несущую способность раньше. Например,
если на концах какого-нибудь пролета и в его промежуточном сечении
появятся три шарнира, то несущая способность этого пролета будет исчер-
пана независимо от состояния остальных пролетов.
Расчет неразрезной балки можно произвести очень просто. Пусть,
например, дана пятипролетная неразрезная балка с разными сечениями
в разных пролетах, натр уженная заданной внешней нагрузкой (фиг. 438).
Требуется определить коэффициент запаса. Первый пролет может поте-
рять свою несущую способность только тогда, когда изгибающий момент
под грузом Pi и момент на опоре 1 сделаются равными соответствующим
предельным моментам (на каждой опоре за предельный момент следует
принимать меньший из двух, отвечающих двум смежным пролетам). Сле-
довательно, первый пролет может быть рассчитан независимо от прочих
пролетов, как балка с одним опертым и другим защемленным концом.
Любой промежуточный пролет может потерять несущую способность,
425
когда наибольший из моментов >в его промежуточных сечениях и оба
опорных достигнут предельного значения, следовательно, расчет проме-
жуточного пролета также производится независимо от прочих пролетов.
Для каждого пролета получится свой коэффициент запаса. На фиг. 438
показан вид предельных эпюр изгибающих моментов -неразрезной балки
для 'всех пролегав.
Если коэффициенты запаса н нагрузка заданы, а сечения неизвестны,
то на основании такого же рассуждения можно подобрать сечения для
каждого пролета.
Что же касается последовательности появления пластических шарни-
ров, то для ее выявления потребовался бы более глубокий анализ.
Мы говорили до сих пор только о балке постоянного сечения.
В том случае, когда балка имеет переменное сечение, (величины предель-
ных моментов получаются для различных сечений различными, и поэтому
указать заранее те (места, в которых расположатся шарниры в предель-
ном состоянии балки, является делом более трудным. Приходится разы-
скивать их путем попыток. Особенно осложняется вопрос при отсутствии
симметрии.
На фиг. 439 представ-
лен пример балки пере-
менного сечения, имею-
щей ось симметрии. Верх-
няя ступенчатая линия
представляет собой эпю-
ру предельных отрица-
тельных моментов, а ниж-
няя — эпюру предельных
положительных
Когда сечения балки из-
вестны, то и
эпюры известны. Предель-
ная эпюра моментов для
силы Л приложенной
в середине пролета, должна коснуться верхнего и нижнего графиков
в трех точках. Сила Рпр определяется из эпюры поперечных сил
(фиг. 439, б):
< + Л^р_ 4(<р + <)
I
б)
с
цгъ
-г^Л
моментов.
обе эти
Фиг. 439
Р = 2
7:ip Z
На фиг. 440 представлен случай загружения той же балки силой,
приложенной несимметрично, на расстоянии а от левой опоры. Предель-
ная эпюра легко получается из чертежа (см. заштрихованную эпюру).
В данном случае пластические шарниры оказываются расположенными
в сечениях А, £>, Е. Имея эту эпюру, нетрудно определить графически
(из эпюры поперечных сил) или аналитически силу Рпр. Аналитически
получается следующее выражение изгибающего момента в сечении D:
Af?p = Pnp^- d-М*,
откуда
р (<р+<н
ad
Мы получили бы еще меньшее значение Рпр, если бы приняли за
предельную эпюру ту, которая изображена на фиг. 440 пунктиром; однако
426
она лишена реального- смысла, хотя и касается предельного контура
в трех точках.
Действительно, эпюра изгибающих моментов, вызванных силой Р, не
может иметь одни отрицательные ординаты, так как при этом, упругая
линия была бы всюду обращена выпуклостью вверх и точка приложения
силы Р переместилась бы в сторону, противоположную направлению этой
силы. Поэтому мы должны такую эпюру исключить из рассмотрения.
Из сказанного следует, что нужно различать возможные и невозмож-
ные предельные эпюры моментов и принимать во внимание только первые.
Если в однопролетной или
двухпролетной балке (фиг.
435—437) происходит осадка
той или иной опоры, то это мо-
жет повлиять на последователь-
ность появления пластических
шарниров. Но предельная эпю-
ра, вызванная совместным дей-
ствием осадки и внешней на-
грузки, остается той же самой,
что при действии только внеш-
ней нагрузки, так как в обоих
случаях опорные моменты и максимальный момент в пролете должны
равняться предельному моменту Отсюда следует, что предельная
нагрузка в обоих случаях остается одной и той же: смещение опоры, не
влияет на предельное напряженное состояние балки.
Действительно, в предельном состоянии сооружение представляет
собой изменяемую систему, а в такой системе перемещения опор не вы-
зывают усилий
То же -Самое 'можно сказать о начальных напряжениях, вызываемых
температурой, неточностью сборки и т. и.: они не оказывают влияния на
предельное состояние системы.
Перейдем теперь к вопросу о влиянии
однократной разгрузки статически неопреде-
лимой балки, получившей те или иные оста-
точные деформации. Очевидно, что, освобо-
дившись от внешней нагрузки и превратив-
шись снова в упругую систему, она будет
испытывать какие-то начальные усилия. Рас-
смотрим для примера двухпролетную балку
постоянного сечения с равными пролетами,
нагруженную сплошной, равномерно распре-
деленной по всей длине нагрузкой интенсив-
ностью q (фиг. 441, а). При постепенном воз-
растании нагрузки пластические деформа-
ции появятся в первую очередь на некото-
Фиг. 441 ром участке, примыкающем к средней опоре.
Если мы выделим ту часть эпюры, где мо-
мент превышает величину aTW\ то тем самым выделим и упруго-пласти-
ческий участок балки. После разгрузки этот участок балки останется
искривленным, и если бы мы убрали среднюю опору, то ось балки имела
1 Более строгое общее доказательство см. в работе проф. А. А. Гвоздева «Опре-
деление величины разрушающей нагрузки для статически неопределимых систем»,
«Проект и стандарт» № 8, 1934. См, также его цитированную выше статью в «Трудах
конференции по пластическим деформациям» н книгу «Расчет несущей способности кон-
струкций по методу предельного равновесия», 1949,
427
бы вид, указанный на фиг. 441,6. При наличии средней опоры ось балки
и эпюра моментов будут иметь вид, представленный на фиг. 441, s. Сле-
довательно, в статически неопределимых системах после разгрузки полу-
чается более сложное напряженное состояние, чем в статически определи-
мых: кроме тех напряжений, которые являются самоуравновешенными
для каждого сечения (фиг. 432), получаются еще напряжения от реакций
лишних связей.
Определение величины этих реакций является достаточно сложным,
так как оно требует предварительного определения величины неупругих
деформаций. Но на несущую способность сооружения они не влияют,
поэтому нахождение их не является необходимым.
§ 7.17. РАСЧЕТ НА МНОГОКРАТНОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗКИ
□ В условиях эксплуатации сооружение обычно подвергается много-
кратному нагружению различными нагрузками. Такой вид воздействия
сложнее, чем повторное приложение одной и той же нагрузки, так как
оказывается, что поочередное действие двух различных нагрузок иногда
может привести к разрушению сооружения, если даже каждая из нагру-
зок в отдельности при бесконечно большом числе воздействий безопасна.
Если речь идет о многократном приложении одной и той же на-
грузки, то разрушающее значение нагрузки получается такое же, как при
однократном ее приложении. Оно может быть найдено сразу при помощи
выравнивания моментов.
Если сооружение подвергается многократному действию различных
нагрузок, то его необходимо спроектировать так, чтобы при любом числе
и любой последовательности загружений заданными нагрузками оно со-
хранило свою несущую способность. Коэффициент запаса мы будем счи-
тать равным k, если эта способность сохраняется, когда все нагрузки
увеличиваются в k раз, и пропадет при большем увеличении нагрузок.
Допустим, что сооружение удовлетворяет такому требованию. Это
значит, что после достаточного повторения загружений нарастание дефор-
маций прекратится, и все напряжения сделаются упругими. Произойдет
это по той причине, что остающиеся деформации вызовут появление до-
полнительных реакций в лишних связях. Начиная с этого времени, мы мо-
жем считать систему идеально упругой, но находящейся под совместным
действием внешней нагрузки и начальных усилий. Поэтому для напряже-
ния в любой точке можно написать
+ 3/1 < стт, (9.17)
где а;.— напряжение, которое получилось бы от данной нагрузки из обыч-
ного расчета статически неопределимой системы при условии ее идеаль-
ной упругости;
— напряжение в каком-то начальном состоянии, вызв-анное лиш-
ними неизвестными при отсутствии внешней нагрузки;
зт —- предельное напряжение.
Если ни при каком, подборе значений лишних неизвестных нельзя
придумать такого напряженного состояния которое удовлетворяло бы
условию (9.17), то деформации будут неопределенно нарастать, и соору-
жение будет разрушено. Условие (9.17) является таким образом необ-
ходимым признаком того, что данные нагрузки не превышают несущей
способности сооружения.
Справедлива и обратная теорема: если существует такое начальное
напряженное состояние при котором напряжение во всех точках при
428
любом из заданных нагружений удовлетворяют условию (9.17), то де-
формации будут ограниченными. Действительно, напряжения, вызванные
каким-нибудь начальным значением лишних неизвестных, можно уподо-
бить тем напряжениям, которые вызываются смещением опор или дей-
ствием температуры. Они не влияют на напряжения в предельном состоя-
нии системы, так как последняя при этом обращается в механизм. Сле-
довательно, если при наличии какого-то искусственного начального на-
пряженного состояния з/ все напряжения окажутся ниже предельного <зпр,
то и при отсутствии искусственных мероприятий они также не превысят
этой величины.
Итак, условие (9.17) является необходимым и достаточным крите-
рием сохранения сооружением несущей способности.
Основанный на этой теореме расчет весьма прост. Пусть, например,
для трехпролетной балки постоянного сечения (фиг. 442) даны постоянная
и временная нагрузки и требуется подобрать сечения с коэффициентом
Фнг. 442
запаса k. Так как балка имеет постоянное сечение, то вместо напряжений
мы можем сравнивать изгибающие моменты. Строим объемлющие
эпюры Л1макс и Л1МИН от совместного действия собственного веса и уве-
личенной в k раз внешней нагрузки. Проводим эпюру начальных момен-
тов A BCD, что может быть сделано бесчисленным множеством способов,
и измеряем наибольшие ординаты между объемлюшими эпюрами,
с одной стороны, и эпюрой начальных моментов, с другой стороны. В це-
лях экономии материала желательно провести последнюю так, чтобы
получилось несколько одинаковых максимальных ординат. Эти орди-
наты принимаем равными
М.Р = ТГат.
откуда найдем W, а следовательно, и сечение балки. Если собственный
вес такой балки будет сильно отличаться от принятого в расчете, то мо-
жет потребоваться перерасчет.
Из сказанного видно, что приходится производить расчет сначала по
упругой теории, чтобы построить объемлющие эпюры, а затем уже про-
водить линию начальных моментов или напряжений, отвечающую упруго-
пластической работе сооружения. □
§ 8.17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
□ Эта задача решается для системы, находящейся в упруго-пласти-
ческой стадии работы, значительно сложнее, чем для системы, работаю-
щей упруго.
429
При выводе формулы перемещений для плоской стержневой системы,
работающей на изгиб, будем принимать гипотезу плоских сечений. Бу-
дем считать, что в сооружении еще не образовалось ни одного пластиче-
ского' шарнира.
Мы можем воспользоваться тем же общим методом, «который послу-
Фнг. 443
Мы можем написать
жил для вывода формулы в случае
упругой системы. Отбросим лишние
связи н приложим к полученному
статически определимому сооруже-
нию силу Xi = 1 в той точке, пере-
мещение которой разыскивается. Со-
ставим выражение работ внешних и
внутренних сил упругого сооруже-
ния, нагруженного этой силой, иа
действительных перемещениях,
Обозначим угол взаимного по-
ворота двух смежных сечений в дей-
ствительном состоянии через dy
(фиг. 443).
1, Д,р— или Д/р =
где — эпюра моментов, вызванная силой =, 1.
Для тех участков, в которых сечения работают упруго, угол dy вы-
ражается так:
Mpds cWs a yds
=~ЁГ ” EJ ~ Еу ’
у — расстояние произвольного волокна до нейтральной оси.
Для участков, в которых упругое ядро занимает лишь часть сечения
и имеет высоту г, можно написать
так как от—напряжение ® крайнем, волокне упругого ядра.
Итак:
MJMp d s
~^~J
£Д/р=
упр
(10.17)
упр пл
где первый интеграл относится к упругим участкам, а второй к упруго-
пластическим. Величина z, вообще говоря, переменная.
Для примера рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения
с размерами b X нагруженную силой Р по середине пролета (фиг. 444).
Длину упругих участков обозначим через а. Этот размер определяется
нз условия
-^а = Муп = ОтП7 =
ст&й2
6
На участке CD момент внутренних сил согласно фиг. 443 будет
Жр = 2ат* (А - г) (А + + 2<зт
^-(Зй2 - 4z2),
430
откуда
Итак, прогиб под грузом Р выражается формулой
а
к t ZtfMMpds
Д/р—/ - £ U } ч
о
После подстановки выражений ~, МР = и выполнения
интегрирования получается окончательно
!(’-<S <,u7>
Pl
При — >Мф выражение f становится мнимым, равновесие невое-
Р1
можно. При — УИ[1р, т. е. в момент, когда под грузом Р образуется
пластический шарнир:
-РР = 0,032 .
162£J EJ
Пря ^ = АМпр,
т. е. при условии, что напряжение ат возникло
только в сечении под грузом и притом только в крайнем волокне, полу-
чается
48 £7
0,021 —.
EJ
При меньших значениях Р пользоваться формулой (11.17) нельзя, [с]
§ 9.17.'РАСЧЕТ НА СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ
И ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
□ Ограничимся рассмотрением сечения, имеющего ось симметрии.
Обозначим продольное сжимающее или растягивающее усилие через N,
изгибающий момент — через М, площадь сечения — через F.
Диаграммы, распределения нормальных напряжений по сечению по-
казаны на фиг. 445. После выхода крайних участков сечения за предел
упругости диаграмма последовательно принимает вид, показанный на
схемах б, в н г. Поперечное сечение (произвольное) показано на
фиг. 445, б.
431
Предельное состояние сечения, т. е. образование в нем пластического
шарнира, характеризуется диаграммой фиг. 445, г.
Обозначим меньшую из двух площадей, на которые разбивается се-
чение Л через Flt а расстояние центра тяжести этой площади до оси
симметрии — через z. Отделим такую же площадь на противоположной
стороне сечения.
Внутренние усилия на обеих площадках F\ друг другу равны и про-
тивоположны; поэтому равнодействующая внутренних сил всей пло-
щади F равна равнодействующей внутренних усилий средней части пло-
щади, т. е.
При вычислении изгибающего момента можно, очевидно, игнориро-
вать среднюю часть сечения, поэтому
= (13.17)
где —статический момент площади F\ относительно оси симметрии.
Уравнения (12.17) и (13.17) связывают друг с другом величины /Vnp
и Л41]р, так как оба эти параметра являются функциями одной и той же
переменной Fi. Каждому значению Fx отвечают вполне определенные
значения величин WIIt> и Л4пр, каждому значению A'np отвечает опре-
деленное значение Мпр и каждому значению /И1;р— определенное зна-
чение Л%. Следовательно, существует бесконечное множество предель-
ных состояний, вызывающих появление пластического шарнира в данном
сечении. х
Чем. больше величина одного из параметров Хпр и Л4пр, тем
меньшей получается величина другого. Однако обе величины ограни-
чены. Наибольшая абсолютная величина Nnp получается при
Ar,ip <C-TF; наибольшая абсолютная величина /ЧпР получается при
Fi = ~ ; Л1пр < 2aTS, где 5 — статический момент половины площади Л
Для примера рассмотрим прямоугольное поперечное сечение с раз-
мерами b X А (фиг. 446). Здесь
[h — 2 (Л -2 г)] = 6ат(4г-Л),
откуда
Wnp + bh от #
Z~ 4 ат &
432
<, = 2^ = 2aTA(A — 2z)z = 2атА(~^пр )(
4а.д
После небольших преобразований этой формулы получается следую-
щее соотношение, связывающее предельные значения параметров:
^p + 4a,6<p = O?W. (14.17)
Если мы будем откладывать в прямоугольных координатах вели-
чины № и М, то получим уравнение прямой (фиг. 447). Точкам, лежащим
на этой прямой, отвечают предельные состояния; точкам, лежащим вну-
три заштрихованной области, — упруго-пластическое состояние; точкам,
лежащим вне области, — невозможные состояния.
Фиг. 447
Полученное общее решение годится также для случая внецентрен-
ного сжатия или растяжения. Нужно только ввести обозначение.
тИпр = Nl[pc,
где с — эксцентриситет силы Япр. □
§ 10.17. ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ
□ Стержни рамы обычно находятся под совместным действием изги-
бающих моментов и продольных сил, поэтому их предельное состояние
определяется при помощи формул, выведенных в предыдущем параграфе.
Найдем предельную интенсивность — дпр горизонтальной нагрузки,
приложенной к раме, изображенной на фиг. 448. Пусть стойки имеют по-
стоянное сечение fc, а ригель— постоянное сечение Fp.
Рама имеет лишнюю связь и приходит в предельное состояние, во-
обще говоря, тогда, когда в ней образуются два пластических шарнира.
В ригеле продольное усилие постоянно, поэтому шарниры могут обра-
зоваться в сечениях С и D, где изгибающий момент наибольший. В стой-
ках продольная сила также постоянна по всей длине, поэтому иа правой
стойке шарнир может образоваться в сечении D, а,1 в левой — в проме-
жуточном сечении, где момент имеет максимум. Расстояние х этого сече-
ния от опоры А определяется из условия Qx = 0, т. е. qx — X = 0. Нужно
разобрать различные возможные варианты образования двух шарниров,
найти для каждого варианта значение <?пр и взять наименьшее из них.
•28— И. М. Рабинович
433
Например, если шарниры образуются в сечениях С и D ригеля, мы
имеем следующие соотношения:
MC=-MD нли XI. - - X) 1„
Х = ат(Гр-2Л),
(#прА X) Ц — 2
В этих формулах под величиной понимается абсолютная вели-
чина предельного напряжения.
Так как величина z является вполне определенной для каждого зна-
чения то в 'написанных трех уравнениях содержатся три неизвестных:
X и F\. Из первого уравнения находим
^=4-Wi-
Подставив это выражение в
остальные два уравнения, и исклю-
чив из них #пр, получим
Отсюда, имея заданный контур по-
перечного сечения Fp, найдем Г»,
после чего определяется X и ^пр.
Аналогичным образом иссле-
дуются другие варианты.
При рассмотрении той же рамы,
находящейся под действием верти-
кальной нагрузки (фиг. 4-19), может
оказаться, что образование в узлах
двух шарниров еще не влечет за со-
бой исчерпания ее несущей способ-
ности. Теоретически говоря, вертикальная нагрузка может еще возра-
стать вплоть до того, что «а ригеле возникнет третий шарнир; только
Фиг. 449
после этого система сделается изменяемой. Если после образования двух
шарниров появится горизонтальная нагрузка, то при отклонении рамы
вправо или влево один из шарниров закроется, и система снова станет
неизменяемой (фиг. 450). Однако мы все же должны считать такое со-
434
стояние предельным, так как практически отклонение может оказаться’
очень большим.
Как видно из этих примеров, расчет рам значительно сложнее рас-
чета балок. □
§ 11.17. О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОБОСНОВАНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ,
ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ СООРУЖЕНИЯ
□ Для того чтобы расчет сооружения мог обеспечить достаточную
прочность, надежность и долговечность последнего, а также его соответ-
ствие будущим условиям эксплуатации, необходимо выяснить статистиче-
ским путем наиболее вероятную величину ряда параметров.
Первую группу параметров образуют те, которые характеризуют ме-
ханические свойства материала. Таковы предел упругости, предел теку-
чести, временное сопротивление, модули упругости первого и второго
рода и т. д. Если мы не будем знать этих (величин, то теоретическим' рас-
четом, хотя бы и самым совершенным, мы никогда не сможем подобрать
размеров, обеспечивающих при заданной нагрузке требуемую прочность,
сооружения.
Мы не можем подвергать механическому испытанию каждый эле-
мент сооружения — каждую балку, стойку, плиту и т. п. К тому же во
время проектирования и расчета мы еще не имеем этих элементов. Следо-
вательно, их механические характеристики, фигурирующие в расчете,
должны быть основаны на предварительном массовом опытном- изучении
образцов, сделанных из подобного материала.
Механические характеристики материала, изготовляемого в массовом
порядке согласно определенным техническим условиям, не являются
строго постоянными. Они колеблются в каких-то пределах, принимая
в этом интервале различные значения. Возникает вопрос: какие значения
модуля упругости, предела текучести и т. д. -следует признать наиболее
типичными и заслуживающими того, чтобы они были узаконены как обя-
зательные при расчете сооружений.
Ответ но этот -вопрос дает тщательное изучение опытных данных,
произведенное по правилам теории (вероятностей и (математической ста-
тистики. Допустим, что речь идет о пределе текучести 'стали определен-
ной марки. Для получения надежных данных необходимо произвести
значительное число испытаний. Чем 'больше будет получено опытных
данных, тем меньшее 'значение будут иметь случайные факторы, могущие
исказить общий результат.
Получив опытные данные предела текучести, необходимо разобраться
в том., насколько часто повторяется то или иное значение. С этой целью
разбивают всю область значений исследуемой величины на интервалы.
Пусть в интервале от некоторого значения до а? = х + Дх
располагается Р(х) опытных значений предела текучести, в то время
как число всех имеющихся опытных значений от равно некоторому
числу k. Среднее число опытных данных, которое пришлось бы на еди-
ницу длины интервала Д при равномерном их распределении, очевидно,
равно , а в процентах по отношению ко всему числу наблюдений
оно равно
100Р (х)
АД
Эти числа откладываются в виде ординат на графике, у которого абсцис-
сами служат величины х. Полученный график, состоящий из горизон-
28*
435
талый ых участков, носит название «частотной кривой». Пример такого
графика, вписанного в частотную кривую, для предела текучести некото-
рого сорта стали показан на фиг. 451.
Площадь каждого прямоугольника, отвечающего интервалу А, равна
а площадь всего графика, очевидно, равна
100%= 1,
В дальнейшем любая ордината графика рассматривается как ее роят-
кость того, что в случайно взятом образце предел текучести будет иметь
значение, лежащее в том же интервале, что и данная ордината. При этом
предполагается, что никаких существенных изменений в условиях про-
изводства стали, которые могли бы оказать систематическое влияние на
изучаемое качество, не будет.
При наличии большого числа наблюдений можно делать интервалы
более узкими и тем самым увеличивать количество ступеней. В пределе
при бесконечно 160лыпом числе наблюдений и бесконечно малых интерва-
лах А получится непрерывная кривая. Она выражает распределение
плотностей вероятности и коротко называется кривой распределения.
Площадь элементарной полоски P(x)dx (фиг. 452) выражает собой
вероятность того, что -предел текучести будет равен как раз данной ве-
личине х. Интеграл J Р(х) dx, т. е. площадь части кривой, которая рас-
положена левее данной ординаты, выражает собой вероятность того, что
в случайно 'взятом образце предел текучести не превысит данной вели-
чины х. Площадь остальной части кривой выражает вероятность того,
что ожидаемый предел текучести окажется выше величины х, наконец,
площадь участка, заключенного между любыми двумя ординатами, вы-
436
оси стержня, который по расчету
Фиг. 452
ражает (вероятность того, что предел текучести окажется в интервале
между соответствующими двумя абсциссами.
При теоретическом расчете сооружений принимаются, как известно,
некоторые допущения, имеющие целью упростить расчет. Благодаря
этому действительные усилия «в элементах сооружения более или менее
Отклоняются от теоретических. Например, вследствие .неполной жесткости
узлов железобетонной рамы, или вследствие неучитываемого расчетом
трения в подвижной опоре (в катках) пролетного строения моста, или
вследствие начального искривления
предположен прямолинейным, и т. п.
одни элементы дополнительно на-
гружаются, а другие разгружаются.
Вероятность того, что отклонения
действительных усилий от расчетных
окажутся ниже той или иной задан-
ной величины, также может быть
охарактеризована соответствующей
кривой распределения.
Величина действительной на-
грузки, которая передается сооруже-
нию во время его эксплуатации, в
свою очередь отклоняется от расчет-
ной. Такие отклонения имеют место
в снеговой и ветровой нагрузках, в
собственном весе сооружения, в колебаниях температуры и т. п.
Путем изучения многолетних метеорологических данных о наблю-
давшихся давлениях и скоростях ветра, о толщине снегового покрова
и т. п., а также путем собирания опытных данных о других видах на-
грузки можно получить необходимые кривые распределения.
Если учесть эти соображения, то становится ясной недостаточность
понятия о едином коэффициенте запаса сооружения. Поскольку пара-
метры, от которых этот коэффициент зависит, не имеют строго определен-
ной, точно установленной заранее величины, коэффициент запаса тоже
не может иметь определенной величины. Самое содержание этого понятия
тоже теряет свою определенность: можно говорить отдельно о вероят-
ности того или иного запаса по отношению к нагрузке, отдельно — по от-
ношению к пределу текучести материала, из которого сделаны конструк-
ции, и т. д.
Представляется более естественным характеризовать безопасность
'сооружения определением вероятности того, что оно не окажется в пре-
дельном состоянии.
Возьмем простейший пример: однопролегную балку с шарнирно
опертыми концами и с равномерно распределенной по всему пролету на-
грузкой интенсивности q. Условие, гарантирующее от появления предель-
ного состояния, может быть записано так:
/(?, О = -°т-2$<0,
где S — статический момент половины сечения.
Это неравенство означает, что изгибающий момент в середине про-
лета должен быть меньше предельного.
Имея кривые распределения для расчетной нагрузки q и для напря-
жения <?т данного материала, можно по правилам, которые указыва-
ются в теории вероятностей (мы здесь не будем их приводить), иайтн
кривую распределения функции f (q, ат). Обозначим ординаты этой
437
кривой через p(f). Тогда вероятность того, что функция f(q, sT) отрица-
тельна, выразится интегралом
о
p=[p(f)df.
При проектировании балки мы можем потребовать, чтобы величина
Р была достаточно малой, нацример, Увеличивая размеры попе-
речного сечения балки и тем самым повышая величину S, мы всегда
сможем этого добиться.
Таким образом, статистический метод создает как бы мост для пере-
хода от предельного состояния сооружения к его состоянию при эксплуа-
тационных условиях.
Методология вопроса о расчете сооружений по предельным состоя-
ниям заключает в себе еще немало элементов, требующих дальнейшего
уточнения. Однако целесообразность этой методологии ясна.
В то же время необходимо иметь в виду, что сооружение фактически
работает не в предельном состоянии, а в упругом или близком -к упру-
гому, поэтому расчет по предельным состояниям далеко не исчерпывает
всех вопросов, которые призван разрешить расчет сооружений. Полный
ответ на все вопросы может быть получен только при условии использо-
вания обоих видов расчета. □
§ 12.17. К ИСТОРИИ РАСЧЕТА ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ
□ При возведении сооружений, несущих ту или иную нагрузку,
строители, естественно, интересовались всегда вопросом о том, выдержат
ли сооружения эту нагрузку и если выдержат, то намного ли можно ее
увеличить, прежде чем произойдет разрушение. Задача решалась сначала
эмпирически.
Попытки выяснить, какова математическая зависимость между раз-
мерами поперечного сечения и пролета балки, с одной стороны, и ломаю-
щей нагрузкой, с другой стороны, имеются в вышедшей в 1638 г. книге
Галилея «Математические доказательства, касающиеся двух новых отрас-
лей науки», день второй
В живой форме беседы Галилей излагает своп умозрительные рас-
суждения по этому вопросу, дает некоторые формулы, касающиеся раз-
рушения балки от изгиба, ошибаясь при этом вследствие своего непра-
вильного предположения о совпадении нейтральной оси с крайним волок-
ном поперечного сечения. Однако своей знаменитой книгой Галилей при-
влекает широкое внимание читателей к вопросам сопротивления материа-
лов и .кладет начало тому оживленному интересу к механике, который
отвечал потребностям нового общественного строя, идущего на смену
феодализму.
На протяжении XVII и XVIII столетий эта наука, как известно, полу-
чила блестящее развитие. Изучая работы механиков этого периода, начи-
ная от Ньютона и кончая Лагранжем, мы не находим в них сколько-ни-
будь заметного интереса к задачам прочности сооружений. Отчасти это
объясняется, невидимому, тем, что в XVII н XVIII столетии строительство
мостов, дорог и зданий не претерпело какого-либо резкого скачка, и
строители довольствовались до поры до времени привычными приемами.
Расчет сооружений по предельному состоянию представлялся не
только вполне естественным, но и способным дать исчерпывающее реше-
1 См. издание Техтеоретиздата, 1934.
438
ыие задачи. Кулон в своей работе, представленной французской Академии
наук в 1773 г., показал примеры расчетов, основанных на рассмотрении
предельного состояния подпорных стенок и арок. Идеи Кулона разраба-
тывались затем рядом авторов. Их внимание было преимущественно при-
ковано к проблеме несущей способности арок: задаваясь формой разру-
шения аркн, которая в предельном состоянии превращалась в шарнирный
механизм с жесткими звеньями, искали такое расположение шарниров,
при котором разрушение наступало легче всего, т. е. при наименьшей
наррузке.
В 1826 г. на русском языке была опубликована статья Ламе и Кла-
пейрона, бывших тогда профессорами в Петербурге, по вопросу о пре-
дельном состоянии арок и сводов Ч Эти авторы выводили условия равно-
весия таких сооружений, рассматривая арку в момент ее излома каи
шарнирную кинематическую цепь, состоящую из четырех жестких
звеньев, а сферический овод — как совокупность звеньев, образующихся
при изломе свода по меридиональным плоскостям.
В 1849 г. Г. Е. Паукер, 27-летний адъюнкт-профессор Инженерной
академии и училища в Петербурге, опубликовал статью 1 2, в которой со-
ставил неравенства, характеризующие условия прочности арки, как
системы жестких звеньев, прижатых друг к другу и удерживаемых от
взаимного скольжения и поворота только силами взаимного нажатия и
силами трения. Места взаимного скольжения или поворота он не пред-
решал 'заранее. Решение дано им в графической форме, наиболее есте-
ственной для решения системы линейных неравенств.
Во второй половине XIX в. расчет по предельному состоянию был
отодвинут на задний план и почти полностью вытеснен из строительной
механики. Появление железных дорог с их тяжелой нагрузкой на мосты,
мощное развитие металлических конструкций всех видов, увеличение
пролетов инженерных сооружений, металлическое судостроение, а также
в известной степени машиностроение с его задачами обеспечения прочно-
сти и точной работы машин, станков и их деталей показали всю ограни-
ченность такого расчета, в кото-ром интересуются исключительно состоя-
нием разрушения сооружения. Изучение работы сооружений в упругой
стадии оказалось в центре внимания.
Вновь пробудившийся в последние десятилетия текущего столетия
интерес к анализу предельного состояния сооружений не является воз-
вратом к прошлому, так как теперь расчеты по предельному состоянию и
по упругой стадии не исключают, а дополняют друг друга.
Теория расчета сооружений за пределом упругости составляет сейчас
один из важных разделов строительной механики. В советской литера-
туре этот раздел получил значительное развитие и представлен рядом
значительных теоретических и экспериментальных работ.
Ряд ценных исследований принадлежит проф. А. А. Гвоздеву, кото-
рый указал общие методы расчета на действие многократно повторяю-
щейся нагрузки и много сделал для теоретического и экспериментального
обоснования расчета железобетонных конструкций по стадии разрушения.
Результаты его исследований объединены в недавно вышедшем труде 3.
Проф. А. Г. Назаров предложил в качестве простейшей модели, на
которой наиболее легко можно изучить все характерное для предельного
1 Об устойчивости сводов, соч. подполковников Ламе и Клапейрона, «Журнал
Путей сообщения», книжка вторая и третья, 1826.
5 Г. Е. Паукер, О проверке устойчивости цилиндрических сводов, «Инженер-
ные записки», ч. ХХХШ, 1849.
3 А. А. Гвоздев, Расчет несущей способности конструкций по методу предель-
ного равновесия, 1949.
439
состояния; поперечное сечение, названное им «идеальным профилем» <
Сечение состоит из двух параллельных полок, соединенных очень тонкой
стенкой; пластический шарнир в таком сечении образуется почти тотчас
же после появления текучести в (Крайних волокнах полок, следовательно,
при расчете можно игнорировать упруго-пластическую -стадию работы.
Проф. Н. И., Безухов в отмеченной выше работе впервые учел влия-
ние сил сдвига на предельное состояние изогнутой балки. Этим он пока-
зал, что более совершенная теория несущей способности сооружений не
может игнорировать особенностей сложного напряженного состояния^
соответствующего моменту исчерпания несущей способности.
Неразрезные балки изучались рядом советских исследователей тео-
ретически и экспериментально в упруго-пластической стадии -с доведением
до предельного состояния, причем выяснялся процесс последовательного
образования пластических шарниров, а также зависимость деформаций
от нагрузки1 2.
Вопрос о работе балок, которые подвергаются усилению под нагруз-
кой и затем дополнительно нагружаются с переходом в упруго-пластиче-
ское состояние, представляет собой важную практическую задачу, кото-
рую приходится решать при усилении конструкции. Для простой балки
вопрос теоретически и экопериментально рассмотрен канд. техн, наук
Е. И. Беленя 3.
При расчете рам возникает много вопросов, -касающихся предельного
состояния статически неопределимой системы, стержни которой испыты-
вают совместное действие изгибающих моментов и продольных сил.
Теоретический и экспериментальный анализ процесса перехода рам
в предельное состояние дан д-ром техн, наук Л. И. Маламентом 4 5. Полу-
ченные этим автором экспериментальные данные хорошо сходятся с дан-
ными теоретического расчета. Однако исследование ограничилось срав-
нительно простыми системами. Расчет сложных рам остается проблемой,
не имеющей еще удовлетворительного решения.
Большие исследования проводились в СССР по вопросам, которые
необходимо было разрешить для создания новой теории расчета железо-
бетонных конструкций; основы этой теории созданы и вошли в жизнь.
С этапами ее развития можно познакомиться по специальной литературе,
посвященной железобетонным конструкциям Б.
Трудную и не имеющую пока простого решения задачу представляет
собой расчет статически неопределимой фермы с большим числом лишних
неизвестных. Трудность обусловлена необходимостью учитывать поведе-
ние сжатых стержней, испытывающих продольный изгиб.
1 А. Г. Назаров, См. ссылку н сноске на стр. 422.
2 Н. Д. Ж у д и н, Расчет стальных конструкций с учетом пластических деформа-
ций, «Сборник трудов Киевского строительного института», вып. 2, 1935; В. С. Тур-
кин, Экспериментально-теоретическое исследование упруго-пластической работы сталь-
ных неразрезных балок, сборник «Расчет металлических конструкций с учетом пластиче-
ских деформаций», М. 1938; А. И. Стрельбицкая, Исследование остаточных
напряжений в металлических неразрезных балках, Киевский инженерно-строительный
институт, «Сборник трудов», вып. VIII, 1948.
3 Е. И. Беленя, Исследование упруго-пластнческих процессов работы балок,
усиленных до загруження и под нагрузкой, сборник статей «Исследования по стальным’
конструкциям», М. 1950.
4 Л. И. Мал а мент, Исследование работы металлических рам в упруго-пла-
стической стадия, сборник под ред. проф. С. А. Бернштейна «Расчет металлических,
конструкций с учетом пластических деформаций», М. 1938.
5 Проф. В. И. М у р а ш е в, Расчет железобетонных элементов по стадии раз-
рушения, М. 1938; Сборник под ред. проф. В. М. Келдыша «Расчет и проектирование
элементов железобетонных конструкций по разрушающим усилиям», М. 1940 и «Расчет"
строительных конструкций по предельным состояниям», М. 1951; В. И. Мураш ев,,.
Трещиноустойчивость, жесткость и прочность железобетона, М. 1950.
440
Проф. С. А. Бернштейн 1 показал, что при продольном изгибе лиш-
него стержня усилие в ием при возрастании внешней нагрузки падает
настолько стремительно, что укорочение хорды его упругой линии сна-
чала даже уменьшается и лишь после достижения некоторого минимума
начинает снова увеличиваться. Когда ферма находится в предельном
состоянии, то не во всех сжатых лишних стержнях усилия равны предель-
ной величине "т F; в некоторых из них усилия значительно ниже. Это
чрезвычайно усложняет расчет статически неопределимых ферм по несу-
щей способности.
Некоторые стержни фермы приходится рассчитывать иа чередую-
щиеся растягивающие и сжимающие усилия. При таком «циклическом»
процессе загружений лишнего стержня за пределом упругости остаточные
напряжения играют существенную роль. Этот (вопрос исследован проф.
Н. С. Стрелецким 2.
Существенную помощь расчету сооружений по несущей способности
должна оказать теория пластичности, успешно разрабатываемая в СССР
проф. В. В. Соколовским, проф. А. А. Ильюшиным 3 и другими учеными 4.
Привлечение статистических методов к расчету сооружений произ-
водилось проф. Н. С. Стрелецким, начиная с 1935 г., в ряде статей 5 6.
В дальнейшем эти идеи получили развитие также в трудах проф.
А. Р. Ржаницына е, д-ра техн, наук И. И. Гольденблата 7 и др. □
1 С. А. Бернштейн, О расчете статически неопределимых ферм в пластической
стадии, «Труды конференции по пластическим деформациям», изд. Академии наук
СССР, 1938.
2Н. С. Стрелецкий, К вопросу о разрушении ферм под циклической нагруз-
кой, изд. Академии наук СССР, ОТН № 12, 1946.
3 В. В. Соколовский, Теория пластичности, 1946; А. А. Ильюш и и,
Пластичность, ч. I, «Упруго-пластические деформации», Техтеоретиздат, 1948.
4 Н. М. Беляев, Теория пластических деформаций, «Труды конференции по
пластическим деформациям», 1938; Л. М. Качанов, Механика пластических сред,
1948; акад. Л. С. Лейбензои, Элементы математической теории пластичности, 1943;
А. Ю. И ш л и н с к н й, Линейные законы деформирования не вполне упругих тел,
«Доклады Академии наук СССР» № 1, 1938.
5 Н. С. Стрелецкий, К анализу общего коэффициента безопасности, «Проект
и стандарт» до, 1935; К вопросу установления коэффициента запаса сооружений,
«Известия Академии наук СССР», ОТН № 1. 1947.
6 А. Р. Р ж а н и ц ы н, Расчет сооружении с учетом пластических свойств мате-
риалов, 1949; Метод определения допускаемых нагрузок на сооружения, Сборник статей
«Исследовательские работы по инженерным конструкциям», Стройиздат, 1949.
7 И. И. Гольденблат, К вопросу о выборе допускаемых напряжений,
«Строительная промышленность» № 2—3, 1942.
Глава 18
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 1.18. ЗНАЧЕНИЕ РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ
В механике давно известно, что равновесие может быть устойчивым
и неустойчивым. В первом случае система, отклоненная случайными при-
чинами на малую величину от положения равновесия, возвращается
в первоначальное положение после устранения этих причин; во втором
случае отклонение не исчезает, а, наоборот, продолжает расти.
В строительной механике специальное внимание привлекает к себе
вопрос об устойчивом или неустойчивом равновесии геометрически неиз-
меняемых систем, находящихся под действием нацрузки. Будь они сде-
ланы из абсолютно жесткого материала, они никогда не могли бы поте-
рять равновесия. Понятие о неустойчивом состоянии относится здесь
к деформациям: при известной величине внешних сил возможно такое
явление, что ничтожное увеличение нагрузки будет вызывать неопреде-
ленное или во всяком случае недопустимо большое возрастание деформа-
ции. Нагрузка, дающая такой эффект, носит название критической.
Во многих случаях потеря устойчивости характеризуется так назы-
ваемым раздвоением формы деформаций. Так, иапример, прямолиней-
ный центрально сжатый стержень, до того как нагрузка достигла крити-
ческой величины, имеет только прямолинейную форму равновесия, а при
действии критической нагрузки, говоря теоретически, может иметь как
прямолинейную, так и криволинейную форму; круговое кольцо, сжатое
гидростатической нагрузкой, при критическом значении последней может
иметь как круговую, так и волнистую форму и т. д.
Необходимо подчеркнуть, что потеря устойчивости может иногда
произойти и при небольших напряжениях. Например, длинный, гибкий
сжатый стержень может выпучиться при сравнительно небольших сжи-
мающих напряжениях. Разумеется, после того как он потеряет свою
прямолинейную форму, напряжения могут в нем быстро возрасти при
небольшом увеличении нагрузки, что поставит его под угрозу раз-
рушения.
Потеря устойчивости служила причиной многих крупных катастроф,
происходивших в процессе возведения или в процессе эксплуатации
сооруженийПоэтому вопросам расчета сооружений на устойчивость
посвящены обширная литература и многочисленные экспериментальные
исследования во многих странах. Работа продолжается и в настоящее
время; далеко не все еще доведено до вполне удовлетворительного
состояния. Однако в XIX и в особенности в XX столетии теория расчета
1 Д-р техн, наук Ф. Д. Дмитриев, Крушения инженерных сооружений, Государ-
ственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1953.
442
сооружений на устойчивость получила большое развитие; главным обра-
зом это относится к приближенным методам расчета.
В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением немногих приме-
ров плоских стержневых систем с прямыми стержнями, притом таких,
в которых потеря устойчивости характеризуется раздвоением формы
равновесия. Точно так же мы не будем рассматривать здесь вопроса
о потере устойчивости за пределом упругости, несмотря на большую
практическую важность этого вопроса. Мы ограничимся неучением явле-
ний потери устойчивости в упругой области.
§ 2.18. О ТОЧНОМ И ПРИБЛИЖЕННОМ РАСЧЕТЕ
Точный расчет состоит в выводе дифференциального уравнения
равновесия элемента ds стержня в деформированном состоянии,
возникшем под действием критической нагрузки, затем — в интегрирова-
нии этого уравнения и в нахождении постоянных интегрирования из гра-
ничных условий. Путь этот оказывается для -большинства стержневых
систем слишком сложным, и на практике поэтому применяются почти
исключительно приближенные методы. Для лучшего понимания послед-
них необходимо сначала остановиться на некоторых свой-
ствах точного решения.
Представим себе, что требуется точно решить задачу
о продольном изгибе стержня постоянного сечения с шар-
нирно опертыми концами (фиг. 453).
Дифференциальное уравнение
— EJy”—Py
требует, чтобы в каждом элементе dx существовало ра-
венство между моментами внешних и внутренних сил.
Проинтегрировав это уравнение и подчинив постоянные
граничным условиям, мы получим точное решение, кото-
рое обладает следующими свойствами.
1) Оно дает все те кривые, которые могут служить
формами искривления оси выпучившегося стержня в со-
стоянии его равновесия, и одновременно соответствующие
им критические значения силы Р. Очевидно, что раз оно
дает все формы, то наименьшая из найденных таким
способом критических сил Р будет наименьшей возможной критической
силой.
2) Так как при критическом значении нагрузки искривленная форма
является формой равновесия, то сумма работ, произведенных внешней
силой (или внешними силами, если их несколько) при деформировании
стержня, должна равняться потенциальной энергии, накопленной внут-
ренними 1сил<ами. Разумеется, что обратная теорема несправедлива, т. е.
если мы возьмем произвольную кривую в качестве упругой линии и под-
берем внешнюю нагрузку Р так, чтобы работа, произведенная ею, равня-
лась потенциальной энергии изогнутого стержня, то найденная на осно-
вании такого интегрального критерия сила не будет критической, так как
она не обеспечит равновесия (момент 1внутренни!х сил в любом сечении
не будет равняться моменту внешних).
3) Исходя опять из того факта, что искривленная ось стержня при
действии критической нагрузки является формой равновесия, можно
утверждать, что при любом бесконечно малом возможном отклонении
от этой формы виртуальная работа внешних н внутренних сил в сумме
должна равняться нулю. Обратное также справедливо: если форма упру-
Р
Фиг. 453
443
гой линии и нагрузка выбраны так, что 'При всяком возможном бесконечно
малом отклонении сумма работ равна нулю, то выбранная форма является
формой равновесия, а сила — критической. Но если форма выбрана так,
что только при некоторых перемещениях сумма работ равна нулю, то
равновесия нет и сила не является критической, хотя, быть может, и не
отличается от критической значительно.
4) Назовем потенциальной энергией системы выражение
U= W— £рд, (1-18)
где Д — перемещения точек приложения продольных сил Р, вызванные
искривлением стержня;
W — потенциальная энергия внутренних сил:
Здесь Л4 — эпюра моментов, отвечающая данной упругой линии. Извест-
но, что в состоянии равновесия — устойчивого или неустойчивого—энер-
гия имеет экстремальное значение; следовательно, если мы будем варьи-
ровать форму упругой линии, отвечающую состоянию равновесия,
а именно если мы будем давать тем или иным из ее геометрических пара-
метров аь а2,. •. бесконечно малые приращения (вариации) 6а2,..
то приращения энергии MJ должны равняться нулю, т. е.
откуда
•4—= 0; -^ = 0,...,
(?«! 1 ’ да% J ’ ’
.^ = 0, -^ = 0,...
(3.18)
5) Легко убедиться, что уравнения (3.18) (в несокращенном виде)
представляют собой не что иное, как выражение принципа возможных
перемещений; их левые части представляют собой виртуальную работу
внешних и внутренних сил при перемещениях, отвечающих бесконечно
малому изменению того или иного из параметров кривой. Поэтому опера-
ции, выражаемые п. 4, с удобством могут быть заменены операциями
п. 3. При этом можно будет обойтись без предварительного составления
выражения потенциальной энергии, а непосредственно писать уравнения
возможных перемещений. При наличии нескольких параметров такой ход
расчета проще и удобнее.
§ 3.18. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ ДЛЯ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Вернемся к понятию о степени свободы деформируемой системы: мы
будем называть этим термином количество независимых геометрических
параметров, полностью определяющих возможные деформации системы.
Всякий упругий стержень или система упругих стержней имеет бесконеч-
ное множество степеней свободы. Система, составленная из абсолютно
жестких стержней с упругими связями между ними, имеет конечное число
степеней свободы. Например, система по фиг. 454, имеющая три промежу-
точных шарнира и три упругие опоры, при абсолютной жесткости прого-
нов имеет три степени свободы; на фиг. 456 показаны два промежуточных
шарнира и две упругие связи, создающие момент в шарнирах при взаим-
ном повороте элементов; в случае абсолютной жесткости стержней эта
система обладает двумя степенями свободы.
444
Для системы с конечным числом степеней свободы точное решение
может быть основано на любом из свойств, указанных в предыдущем
параграфе. Рассмотрим для примера систему с одной степенью свободы,
представленную на фиг. 455.
Такой схемой можно приближенно заменить сжатый стержень,
у которого на небольшом участке, примыкающем к середине пролета,
имеется значительно ослабленное сечение. Требуется найти критическое
значение силы Р. За независимое переменное примем угол а.
Фиг. 454
1. Составим уравнение, выражающее равенство моментов внешних
и внутренних сил. Обозначим реактивный момент в шарнире, возникаю-
щий при взаимном повороте обоих стержней на угол, равный единице,
Фиг. 455
Фиг. 456
через Гц. Тогда момент упругих сил будет равен ?ц2а .Момент внешней
силы Р относительно шарнира будет, очевидно, равен
Р-^-tga = P-g- а.
Произведенная подстановка tga = а законна, так как угол а мы счи-
таем бесконечно малым.
Уравнение, заменяющее в данном случае дифференциальное уравне-
ние изгиба, напишется в виде простого алгебраического уравнения
Р ^- = Гц2а,
откуда
р —
Форма равновесия здесь имеется только одна. Угол а остается
неопределенным.
445
2. Критическую силу можно определить также, приравняв нулю
сумму работ внешних и внутренних сил, производимых при переходе
стержня из прямолинейной формы в ломаную. Реактивный момент при
этом перемещении постепенно возрастает от 0 до 2агн и производит
работу, равную
——2® = — 2а*Гп.
Перемещение точки приложения силы Р
А — 2 ------ cos a j = I (1 — cos a) =2Z sin2 ~^2l%
Итак:
p-^r — 2r„a!«=0 или P=-^.
3. Если мы воспользуемся принципом возможных перемещений
и дадим параметру а бесконечно малое приращение Sa, то получим
р^-8а — 2гпа&- 8а = 0,
да 11 да >
ИЛИ
PZaSa — 2гпа28а = О,
илн
PZa — 4rna = О,
откуда
р=^ .
4. Наконец, определим силу Р из условия минимума суммарной
потенциальной энергии внешних и внутренних сил LA
£/=2r1Ia3 —РД; -^=4r„a-P^ = 4r11a-P/a=0>
откуда
р=^у.
Все четыре приема дали точное решение задачи.
Рассмотрим еще пример системы с двумя степенями свободы
(фиг. 456).
Такой схемой может быть приближенно заменен стержень, имеющий
по своей длине две выточки нли два небольших участка с ослабленными
сечениями.
За независимые переменные можно принять углы и а2;что касается
угла а3, то он определится из условия равенства нулю горизонтальной
проекции ломаной оси:
Zi«i Z2a2 4~ Z3a3 = О
или
a
3 — (7^ + t “2)'
446
Напишем снова, что моменты внутренних сил в шарнирах равны
моментам внешних. Мы получим два уравнения:
гп (ai аа) =Pai/i
и
г22 (а2 — а3) = Р (а^ + ^4),
где Гц и 7м— реактивные упругие моменты, возникающие в шарнирах
при угле взаимного поворота, равном единице.
После исключения угла а3 эти два однородных уравнения примут вид
(г п PZJ 04 г ПО2 = О
и
(V - “1 + “2=о.
Эти два уравнения удовлетворяются, во-первых, при 04 = а2 — 0,
во-вторых, при обращении в нуль определителя, т. е. при
Гц — Ph, — Гп
-9^— Ph, г22 + -pi2 = °-
‘3 *3
Последнее уравнение, квадратное относительно Р, позволяет иайти
два значения критической силы. При обращении в нуль определителя
однородные уравнения системы, как известно, .перестают быть независи-
мыми. В таком случае написанные выше два уравнения фактически пре-
вращаются в одно; из него определяется
отношение ~~~ , т. е. форма
излома. Таким образом, система имеет две критические силы и две
соответствующие нм формы деформации.
Если бы мы воспользовались принципом воз-
можных перемещений или условием минимума по-
тенциальной энергии и т. п., то получили бы те же
два однородных линейных уравнения.
Таким образом, для системы с конечным числом
степеней свободы все эти методы дают точное
решение. Они показывают, что имеется столько
критических значений нагрузки и столько форм
деформации, сколько степеней свободы содержит
система.
Для гибкого стержня, который имеет бесконечно
большое число степеней свободы, система однород-
ных алгебраических уравнений содержит бесконечно
большое число неизвестных и, как известно, может
быть заменена одним дифференциальным уравне-
нием; обращение определителя в нуль приводит к
характеристическому уравнению бесконечно высо-
кой степени, т. е. к трансцендентному уравнению.
Приближенный метод решения состоит в замене
системы с бесконечно большим числом степеней сво-
боды системой с конечным числом степеней свободы.
В рассмотренных примерах критическая нагрузка характеризовалась
тем, что при ней получалось раздвоение форм равновесия. В отличие от
этих примеров на фиг. 457 показан такой способ нагружения, при кото-
ром раздвоение невозможно: сила Q задана, а сила Р может изменяться
вплоть до своего критического значения. Каждому значению силы Р при
447
одновременном действии постоянной силы Q отвечает определенное,
отличное от нуля значение угла а.
Уравнение моментов относительно среднего шарнира имеет вид
Pl а . Qa n
-2- + -^= rn-2 a,
откуда
Q«
Pl '
2(2ru—
Критическое значение силы P аналитически характеризуется обра-
щением угла а в бесконечность. Для этого необходимо, чтобы было
2г„—у-=0.
откуда
р___ 4 ги
I *
Таким образом, наличие силы Q не влияет иа критическое значение
силы Р. Этот вывод справедлив и для системы с любым числом степеней
свободы.
§ 4.18. ПРИБЛИЖЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Приближенный энергетический метод определения критической
нагрузки проиллюстрируем прежде всего на простейшем примере (фиг.
458). Зададимся формой упругой линии
. 11 X
у = a sin —j— ;
Фиг. 458
она удовлетворяет граничным условиям.
Приняв это соотношение, мы тем самым заменим
упругий стержень системой с одной степенью свободы;
действительно, положение всех точек оси определяется
единственным параметром а, т, е. прогибом в середине
пролета.
Примем, что искривленная колонна находится в рав-
новесии. В таком случае при возможном бесконечно ма-
лом перемещении, характеризуемом бесконечно малым
изменением параметра а, сумма работ должна быть равна
нулю. Работа изгибающих моментов М будет равна
интегралу из произведения моментов М на элементарные
углы взаимного поворота сечений, равные
1 .MLladx,
EJ да *
а работа силы Р — произведению
р-^~ъа-
Итак:
^-ladx-P-^-la=Q
да да
448
или
-^dx-Р-^- = °.
да да
(4-18)
Но
м=-EJ = EJ^~sin —f~;
I I
с м дм , С с-г . <> ъх ,
J ~ЁГ * ~дТ dx — ^EJ a sm- -j— dx —
о и
Величина Д, которая представляет собой разность между длиной
упругой линии и длиной ее вертикальной проекции, для прямого стержня
приближенно определяется так:
z 1 I
Д = j (ds — dx) = j (1 — cos a) ds = J 2 sin2 ~ ds,
0 0 о
где a—угол между касательной к упругой линии и осью х.
Записав приближенно
Sin^- = -2-; a = tga —у; ds = dx,
получим формулу, которую необходимо запомнить:
i
\ = -~^{y')-dx. (5.18)
о
В данном случае
i
. I Р/ tea ТС X \2 J тс2д2 д А тс2д
д = -2-](-т-СО8—) dx=~4T-; 1г = -2г-
о
Из уравнения (4.18) находим
KJtAh п n п F.JtZ
2 /з Р 21 0 ИЛИ Ркр jg •
Мы получили точное решение, потому что задались точной формой
потери устойчивости.
Зададимся теперь формой упругой линии в виде ряда
тс х . sin 2 тс х । . sin п тс х ,
.у =Я| sin-у—-j-а2 —------И . . . +а„---?----Н . . .
Этот бесконечный ряд, как известно, также является точным реше-
нием задачи Эйлера, поэтому при пользовании им можем также ожидать
получения точных значений 'Критической нагрузки:
ЛТ rwV Л2тс3 . Пт.х
м= EJ2j—p-ans^—i-;
дМ г. т л2 тс® . п тс х
s^ = EJ-p-&m—r--
29—И. М. Рабинович
449
Учитывая известное свойство взаимной ортогональности функций
вида sin^y- и cos т. е. свойство, выражаемое тождеством
г г
I sin—j-sin—y- dx=O; I coscos-у-ах = О
и о
при т фп (т и п — целые числа), получим
f Sr *«- >» т •>* - ej •
О о
Далее, на основании того же свойства
I I Л=оо Л—<» 0
и 0 л-1 Л-1
ЗА п2п2ап
дап 21 ’
Отсюда
ИЛиРкр = ^У
Результат показывает, что стержень имеет бесконечное множество
критических нагрузок. Наименьшая из них равна
р —^EL
^КР р •
§5.18. КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА ДЛЯ СТЕРЖНЯ, ШАРНИРНО
ОПЕРТОГО ПО КОНЦАМ И ИМЕЮЩЕГО УПРУГУЮ
ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ СВЯЗЬ (фиг. 459)
Здесь возможны два случая: при малой жесткости горизонтальной
упругой связи, т. е. пружины на фиг. 459, а и балки CD — на фиг. 459, б,
потеря устойчивости произойдет раньше в форме горизонтального откло-
нения стержня АВ без его искривле-
ния. При большой жесткости пружи-
ны и малой жесткости сжатого стер-
жня АВ потеря устойчивости про-
изойдет путем выпучивания этого
стержня без отклонения верхнего
конца.
Критическая сила, отвечающая
второму случаю, как известно, равна
Найдем критическую силу для
первого случая. Обозначим жест-
кость пружины через Гц.
Для фиг. 459, б при условии аб-
солютной жесткости соединительно-
го стержня АС реакция г и представ-
ляет собой ту силу, которая вызывает в балке CD на ее конце С прогиб,
равный единице:
_3£Л
450
При горизонтальном отклонении на величину f вертикальное пере-
мещение точки А будет
I2 j /2
А — 2 j
О
Реакция балки CD равна ruf; изгибающие (Моменты в колонне АВ
равны нулю. Уравнение работ, (продифференцированное по переменной f,
имеет вид
П1/— или г»/—-^ = 0.
Нетрудно заметить, что мы получили бы то же самое уравнение, если
бы приравняли нулю сумму горизонтальных проекций сил, приложенных
к узлу А деформированной системы. Отсюда
р ___r I___ %EJr I
^кр — 'll 4 — •
Расчетной критической силой будет меньшая из двух величин
rlEJ 3EJ, I
* “ (3 •
§ 6.18. КРИТИЧЕСКАЯ ПРОДОЛЬНАЯ СИЛА ДЛЯ ДВУХПРОЛЕТНОЙ
НЕРАЗРЕЗНОИ БАЛКИ С УПРУГОЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ОПОРОЙ
Обозначим жесткость промежуточной опоры (фиг. 460) через гп
и зададимся формой упругой линии
„ ~ . пх । sin2?tx
Sin -J- “Г«2-1--•
Фиг. 460
Уравнения (3.18) имеют вид
~EJ [ М 'аГ dx + 'hJ'c & -р-ЗГ == 0;
Е J J Oflj * 1 J С Ой±
о
J ОЙ2 С иа2 &а2
о
Используем выражение интегралов, данное на стр. 450; учтем, что
дус . п л EJ . „
—- = sin7c =0; кроме того, введем обозначение —=i. Тогда
^ + ^-^^ = 0;
о о2 Я2да _ л
2/2 2/ “и-
29*
451
(7-18)
Вместо двух совместных уравнений в данном случае, как видно, полу-
чаются два самостоятельных.
Из первого уравнения при #= :0 получаем
р ___ I 2/гц /г' 1 qx
— I л •“ /2 "Г" - <0.1 о;
Для того чтобы при этом второе уравнение также обратилось в тож-
дество, необходимо положить Й2=6. Очевидно, что эта критическая сила
отвечает искривлению по одной полуволне. При гп =0 получается
р
кр I >
т. е. в этом случае балка превращается в однопролетную. При гц=^О зна-
чение Ркр растет с увеличением жесткости гп и обращается в Ркр ==
при Гц = оо. Следовательно, при гп ~ оо потеря устойчивости с искрив-
лением по одной полуволне невозможна.
Из второго уравнения получается при а% =# О
р — 4тс'2£7
Укр / /а •
Для того чтобы при этом и первое уравнение обратилось в тождество,
необходимо положить сц — 0. Очевидно, что это решение отвечает искрив-
лению по двум полуволнам, при котором средняя опора остается непод-
вижной. Расчетной критической силой является меньшая из двух.
„ , Зя:2 T^EJ . л о u2£J п
При = ~2~ •—“ 14,8 —р- значения силы Ркр , вычисленные
по формулам (6.18) и (7.18), совпадают. Это, значит, что при гп I >
>* 14,8 первая форма потери устойчивости имеет две полуволны, как
^EJ
в неразрезной балке с жесткой опорой; при Гц 14,8 —/2— первой фор-
мой служит одна полуволна.
Задача легко решается точным методом—путем интегрирования
дифференциального уравнения равновесия. При этом получается коэффи-
циент 16 вместо 14,8. Разница составляет около 7,5%.
§ 7.18. КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА ДЛЯ СТЕРЖНЯ, ИМЕЮЩЕГО НА ОДНОМ
КОНЦЕ ШАРНИР, А НА ДРУГОМ —УПРУГУЮ ЗАДЕЛКУ (фиг. 461)
Обозначим через Гц реактивный момент, возникающий в упругой
опоре А при ее повороте на угол, равный единице. Чтобы получить сразу,
без введения большого количества параметров, достаточно хороший
результат, необходимо хорошо выбрать уравнение упругой линии выпу-
чившегося стержня. Можно рекомендовать принять за упругую линию
такую, которая получается от той или иной поперечной нагрузки стержня.
Примем (в данном случае равномерно -распределенную нагрузку интен-
сивностью, равной единице.
Стержень АВ имеет одно лишнее закрепление. Установив на верх-
нем конце шарнир, построим показанные на фиг. 462 основные эпюры
Мр и Mi, после чего найдем
С ГА F 1 /3
EJ^P— 12 ‘"Г- 24 '
Взаимное перемещение верхнего конца колонны и ее опоры состоит
ив двух частей — из поворота этого конца и поворота опоры:
£А. = р1^ + ^ = -з- + <.
О
452
Из канонического уравнения 4Л + Ai/> =0 найдем
v . V __ £7Д1р __ Z3
Л!—/ил— — 24£ЛИ '
Уравнение упругой линии, вызываемой совместным действием на
основную систему равномерно распределенной поперечной наврузки ин-
тенсивностью q = 1 и момента МА, таково:
У = 24Л7 “ 2^3 + ~6ЕТ ^Х Г)
Фиг. 461
Введя для упрощения! выкладок неопределенный множитель 24 EJa,
получим уравнения
/ 4Ждх3\
у = а \Ех — 2/х3 х* — 4Л4д lx Н--J ;
/ л 12Л4Д jcs\
у' = а I6/х2 + 4х3 — 4МЛIН-----.
При этом в сечении А вместо момента МА будет действовать момент
24 EJaMA *
Далее
i i
£/ dx = a /3 — 4Мд I + ( — 6/ 4
о о
12МД \
I )
X2 +
+4х3Гйх = а(— р _ 4 8М, Z5 + 12,8Ж/:,'|.
^35 А Л /
Работа внутренних сил складывается из работы изгибающих момен-
тов стержня и работы опорного момента 24 Е1аМл на угловом перемеще-
нии опоры. Изгибающие моменты М выражаются так:
М = - EJy" = EJa (12Zx - 12х2 -
Отсюда
Л- С 7Иdx = EJa (712/х _ 12л:2
EJ J да J \
о о
24Л1дХ V
—г—)'
453
= EJa (4,8Z5 — 48MaP + 192^0.
Из написанного выше выражения для г/ находим
а (- Z8 + 8MAZ) = - а (? - 87WJ).
Если бы мы отсчитывали абсциссы х от верхнего конца, то полу-
чили бы
у'А=а(Р-8МА1).
Первое из выражений у’А отрицательно, а второе — положительно.
Действительно, наибольшее возможное значение момента Ма (при пол-
ч тх *
ном защемлении) равно —. Итак, абсолютная величина угла поворота
8
равна
a(Z3 — ЗМА1),
Отсюда
24£7аЛГд — = 24£ЛШл(Z3 - 8МЛ1).
да
Фиг. 463
(8.18)1
В том частном случае, когда в сечении А колонна шарнирно оперта,
нужно положить МА ~ 0, или Гп—0, Зп = со. Тогда
р EJ 4,8 _9,88£J
KpS== /2 * 17/35 “ /2
(точное решение дает численный коэффициент 9,87).
В случае абсолютного защемления верхнего конца
/2
1 В книге автора «Строительная механика стержневых систем», изд. 1946 г. в эту
формулу (стр. 383) вкралась ошибка.
454
Тогда
р 20EJ
— /2 •
(При точном решении численный коэффициент равен 20,16.)
Как видим, точность приближенного решения оказывается вполне
удовлетворительной.
На фиг. 463 изображено несколько схем, где устойчивость сжатого
стержня определяется по формуле (8.18).
Аналогичным образом можно решить задачу о расчете сжатого
стержня, имеющего на обоих концах упругие заделки или на одном конце
упругую, а на другом — абсолютную заделку.
§ 8.18. КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА ДЛЯ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ
Рассмотрим случай продольного изгиба стержня, состоящего из двух
поясов, связанных между собой простой треугольной или раскосной
решеткой (фиг. 464). Концы его будем считать шарнирно опертыми.
Особенность работы такого стержня по сравнению со стержнем сплош-
ного сечения состоит в том, что в составном стержне _
значительную роль играет взаимный сдвиг поясов, обу- |
словленный деформацией решетки. |
Для упрощения расчета примем, что ось стержня -----
изгибается по синусоиде
y = asin—;
более точное решение потребовало бы представления У i f
в виде суммы нескольких синусоид. Для синусоиды по- ffSJ 1
лучается
G 0
При вычислении возможной работы внутренних I .
сил необходимо иметь в виду, что в стержне с пря- г
мой осью при действии центральной продольной силы фиг> 464
решетка не работает; она вступает в работу только
после того, как ось примет криволинейную форму.
При возможном перемещении, отвечающем приращению За, изме-
няется кривизна оси, но не меняется ее длина, поэтому работа первона-
чальных усилий, имевшихся в поясах до выпучивания, равна нулю; ра-
боту совершают только те поясные усилия, которые возникли благодаря
искривлению стержня. Эти усилия найдем, разделив момент Лер*У внеш-
ней силы Ркп на плечо h. Но
кр
Г.Л
у == asm »
откуда усилия в поясах
Arn=±^p-“sinJT-
Целесообразно считать, что усилие на протяжении каждой панели
пояса остается постоянным, а за х принимать абсциссу моментной точки
рассматриваемого элемента пояса.
455
Решетка работает на поперечную силу составного стержня, которая
равна
dM п п ях
-^=Ркратсо8—.
Отсюда усилие в раскосах (их длину обозначим через d)
* 7 м ТС.Х
/V =— Ра--------— cos — ,
р кр I h I
где за х можно принять абсциссу середины рассматриваемой панели.
Наконец, усилие в стойках
Nc = Q = PKta^-C0S^-.
Уравнение возможных работ напишется так:
-р [y'-^-dx=o
4-i da k ЕЕ, / ,t₽J-y да
или
2
VI / Д<г> Т'Х \2 // VI / тс d
а S Hrsm —) +а U -г -т с°8
П р
ку УД / — я -пх \2 li ъРа
EFi Н~ а ,2j \^кр ~ Cos i j EFt ^КР 2/ ~ ® ’
с
где первая сумма относится к поясам, вторая — к раскосам, а третья —
к стойкам. Отсюда
тг2
^КР_ С ул 1 кх т&Р уд 1 тех УД 1 тех * (9*18)
—- 7, — sin2------------Ч-------д — cos2 —------Г - У — cos2-------
й2 Fi I № Fl I 12 Zj Fl I
П P C
Для того чтобы разобрать, какое значение имеет податливость ре-
шетки, заметим, что по мере уменьшения) площадей /\под знаком J и 2
р с
эти две суммы стремятся к бесконечности, а величина Рк? — к нулю.
Наоборот, увеличение этих площадей влечет -за собой увеличение крити-
ческой силы Ркр, которая достигает своей наибольшей величины при
абсолютно жестком соединении обоих поясов, устраняющем всякий вза-
имный сдвиг. При этом нужно положить для элементов решетки со,
тогда получится
Е 21
р ___________________
кр С V 1 „ пХ
п
Для того частного случая, когда оба пояса имеют по всей своей длине
постоянное сечение, это выражение совпадает с выражением критической
силы для сплошного стержня, момент инерции которого равен сумме
моментов инерции обоих поясов относительно нейтральной оси L
Можно поставить вопрос о замене расчета составного стержня рас-
чётом некоторого эквивалентного ему в смысле устойчивости сплошного
1 Ф. Блейх, Теория и расчет железных мостов, 1934, стр. 171.
(10.18)
456
кр-
Фиг. 465
стержня. Если момент инерции последнего будет Ль то для критической
силы получится выражение
р _
КР /2
Вся трудность задачи состоит, разумеется, в нахождении величины
Ль которую можно' назвать «приведенным моментом инерции» сечения
составного стержня.
Мы видели, что величина критической.силы зависит от работы внут-
ренних сил системы при заданной форме упругой линии. Но работа внут-
ренних сил численно равна работе внешних сил. Отсюда вытекает про-
стой экспериментальный и теоретический прием определения приведен-
ного (момента инерции Jq и критической нагрузки Р1
Пусть требуется определить
критическую силуРкр (фиг. 465, а)
для составного стержня. Нагру-
зим его какой-нибудь поперечной
нагрузкой (фиг. 465,6), подходя-
щей для ожидаемого характера
деформаций, причем на схемах а
и б опорные устройства должны
быть одинаковыми. Опытным или
теоретическим путем определим
перемещения всех узлов (в слу-
чае теоретического подсчета нуж-
но рассматривать составной стер-
жень как ферму). После этого
подсчитаем работу внешних сил
или внутренних сил; назовем ее
W Одновременно подсчитаем ра-
боту тех же внешних сил для
сплошной балки того же пролета,
момент инерции J поперечного сечения; назовем ее 1^. Тогда очевидно,
что данный составной стержень эквивалентен в смысле жесткости
W
балке сплошного сечения с моментом инерции Jq. где /о = / —. Крити-
W'o
ческая сила Ркр может быть найдена энергетическим методом, как для
сплошного стержня с моментом инерции Jo-
имеющей произвольный заданный
§ 9.18. УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВОГО КОЛЬЦА, СЖАТОГО РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ГИДРОСТАТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ
□ Точное решение этой задачи оказывается более простым, чем при-
ближенное, поэтому здесь нет надобности прибегать к энергетическому
методу.
На фиг. 466 показана половина такого кольца.
Продольное сжимающее усилие всюду равно qr.
При критическом значении нагрузки q становится возможной наряду
с первоначальной формой новая форма равновесия, при которой кольцо
получает деформации изгиба. Продольными деформациями мы прене-
брежем.
Дифференциальное уравнение равновесия в данном случае имеет вид
1 / . \d2w \ М
— w 4- ------ =-------,
Г2 I ‘ / EJ
(11.18)
457
где г — радиус кольца;
w — радиальные перемещения;
6 — угловая координата сечения.
Для доказательства заметим, что в левой части уравнения (11.18)
первый член есть изменение кривизны кольца, вызванное уменьшением
радиуса г на величину w:
-1-------L =-----»-----(12.18)
r—w r {r — w) г г3
Смысл второго члена становится ясным если учесть, что rd 9 —ds
или
d-w d2w
второй член представляет собой обычное выражение кривизны деформи-
рованного прямого стержня. Итак, левая часть уравнения (11.18) выра-
жает собой суммарное изменение кривизны стержня. Более строгий вывод
того же выражения можно найти в курсах теории упругости.
Известно, что до потери равновесия круговое кольцо, находящееся
под радиальным равномерным давлением, можно считать свободным от
изгиба (если пренебречь уменьшением кривизны, которое возникает от
продольной деформации), следовательно, его ось совпадает с кривой дав-
ления х. Суммарное усилие всюду равно qf. По свойству кривой давления
можно написать для любого сечения деформированного кольца
Д1 = qrw.
Таким образом
гЦ 1 </0г ) EJ
или
-^ + А’® = 0,’ где А2 = 1+-^-. (12'.18)
на3 r.J
Интеграл этого однородного линейного дифференциального уравне-
ния имеет вид
w = A sin в -р В cos kB. (13.18)
1 См. I ч. курса, глава VH. § 8.
458
При замене значения 0 величиной 0 + мы приходим в ту же точку
кольца, следовательно, значение w должно остаться без изменения. Но
так как аргумент йб возрастает при этом на 2 k~, то k должно быть
любым целым числом. Следовательно, существует бесконечное множество
форм равновесия и отвечающих им критических значений нагрузки q.
При k — 1 получается
w == A sin 6 + В cos 0, (13418)
т. е. радиальное перемещение w представляет собой проекцию постоян-
ного вектора, состоящего из вертикальной составляющей А и горизон-
тальной В, на радиус-вектор рассматриваемого сечения. Следовательно,
в этом случае кольцо перемещается поступательно, как жесткий диск, по
направлению этого вектора, сохраняя первоначальное круговое очерта-
ние. Это решение не отвечает смыслу задачи.
При k—2
fes = 4=l+-g_; = (14.18)
Найденное значение qKP является наименьшим, поэтому на него сле-
дует вести расчет.
С увеличением радиуса кольца величина qKp быстро уменьшается,
следовательно, кольца или трубы большого диаметра значительно менее
устойчивы, чем трубы малого диаметра. □
§ 10.18. РАСЧЕТ КРУГОВОЙ ДВУХШАРНИРНОЙ И БЕСШАРНИРНОЙ
АРОК, СЖАТЫХ РАВНОМЕРНЫМ ГИДРОСТАТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ
□ При расчете таких арок дифференциальное уравнение (12.18)
остается без изменения, но вводятся граничные условия.
Для двухшарнирной арки (фиг. 467) условия записываются так:
при 0= ± а
-w = 0
или
A sin йа 4- В cos /га = 0
н
— A sin 4- В cos = 0,
откуда
Asin£a = 0, jBcos£a = 0.
Так как одновременное обращение коэффициентов А и В в нуль при-
водит к отсутствию деформации, то по крайней мере один из них отличен
от нуля. Допустим, что А^О, тогда
= Д sin ,
т. е. получается обратно симметричная деформация. При этом
• t. л г пп nW < . grs
sin ka = 0; £a = птс: k —--; Я2 = —— = 1 4"
a a2 nJ
ИЛЯ
f t&n? . \ E J
^=(— -р-д-’
где n — произвольное целое число.
Наименьшая критическая интенсивность
= (15.18)
459
Деформация изгиба арки, не сопровождаемая продольными дефор-
мациями оси, требует, чтобы часть арки выпучилась наружу, а часть —
внутрь. Отсюда легко заметить, что допущение А — 0, w = В cos&O, т. е.
допущение симметричной деформации, приводит к большим значениям
7кр. Следовательно, первой формой потери устойчивости является обратно
симметричная.
Для арки с защемленными концами решение имеет вид
где т — наименьший корень уравнения;
т tga = tg wa*.
§ П.18. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННОГО
СТЕРЖНЯ, СЖАТОГО ПО КОНЦАМ ПРОДОЛЬНЫМИ СИЛАМИ
(ПО ПРОФ. В. 3. ВЛАСОВУ)
□ Мы рассмотрим здесь вопрос об устойчивости стержня с прямой
осью, сечение которого имеет незамкнутый (открытый) контур, жесткий
в своей плоскости. Жесткость или недеформируемость контура в его
плоскости может быть достигнута достаточно частой расстановкой попе-
речных диафрагм по длине стержня. В то же время будем считать, что
эти диафрагмы не могут помешать сечениям дефор муроваться из своей
плоскости (деплактировать).
Введем дополнительное условие: будем считать, что стержень на
концах имеет такие диафрагмы, которые жестки не только в своей плос-
кости, но также из плоскости. В таком случае нормальные напряжения
во всех сечениях будут выражаться законом плоскости.
Выберем начало координат х, у, z в центре тяжести О поперечного
сечения (фиг. 468) и направим ось z по длине стержня, а оси х, у совме-
стим с главными центральными осями поперечного' сечения. Положение
любой точки срединной поверхности будем определять этими тремя коор-
динатами, либо координатами z, s, где s — расстояние по контуру, отсчи-
* Проф, И. Я* Штаерман и А. А. Пиковский, Основы теории устойчи-
вости строительных конструкций, 1939, стр. 71. Там же, см. другие случаи расчета арок
на устойчивость. Удобный приближенный расчет параболических арок на вертикальную
нагрузку см. в книге проф. И. П. Прокофьева н А. Ф. Смирнова «Теория сооружений»,
ч. III, § 16—17, 1948.
460
тываемое до рассматриваемой точки от некоторой начальной точки кон-
тура.
Будем считать, что (продольная сила приложена В' произвольной точке
поперечного сечения с эксцентриситетами ех, еу относительно осей
у, х. Обозначим моменты силы Р относительно этих осей:
Мх = Реу, Му = Рех. (17.18)
До того как стержень потеряет устойчивость, нормальные напряже-
ния во всех его сечениях одинаковы и распределятся по линейному закону
(17'18)
Фиг. 468
Касательные напряжения во
всех сечениях будут равны нулю.
По мере возрастания сжима-
ющей силы Р нормальные напря-
жения также будут возрастать,
сохраняя тот же закон распреде-
ления по сечению. Это будет про-
должаться до тех пор, пока сила Р
не достигнет критического значе-
ния. Тогда наряду с основной, из-
гибной формой равновесия сде-
лается возможной другая форма,
сопровождаемая появлением до-
бавочных напряжений и деформа-
ций, также удовлетворяющих
условиям равновесия.
Прообразом для точного ре-
шения задачи может служить ре-
шение, изложенное в начале этой
главы для простейшей схемы, по-
казанной на фиг. 456; оно сво-
дится к составлению уравнения равновесия
стояния системы. Разумеется, здесь мы встречаемся с несравненно более
сложной задачей устойчивости, так как деформации имеют сложный про-
странственный характер, а условия равновесия должны соблюдаться для
каждого бесконечно малого элемента. Однако существо метода от этого
не изменяется.
Обозначим перемещения линии центров изгиба в деформированном
состоянии, параллельные осям х, у, соответственно через ?(£), '’l (г),
а углы поворота поперечных сечений — через б (z); перемещения центра
изгиба сечений вдоль оси z назовем С (z). Главные моменты инерции при
изгибе обозначим через Jx, Jy, а момент инерции при чистом круче-
нии — Jd- Для тонкостенного складчатого профиля
для деформированного со-
где d, 3 — ширина и толщина пластинок, образующих стержень;
а — эмпирический коэффициент, близкий к единице.
Наконец, будем пользоваться обозначением
где векториальная площадь каждого элемента контура отсчитывается
461
от полюса At расположенного в центре изгиба, (при начале отсчета, совпа-
дающем с секториальной нулевой точкой Мо (фиг. 469).
Для двутаврового сечения секториальный момент инерции
т ЬЫЪ
= “24 -•
(18.18)
где b — ширина полки;
h — высота стенки;
о — толщина, которая принята одинаковой для полок и стенки.
Выделим двумя плоскостями, перпендикулярными оси zt полосу
шириной dz (фиг. 470) и составим для нее уравнения равновесия в дефор-
мированном состоянии, отвечающем критическому состоянию стержня.
После перехода стержня в новое деформированное состояние нор-
мальные напряжения в любой точке (z, s) перестают быть параллель-
ными первоначальному направлению оси z, поэтому они дают отличные
от нуля проекции на осн х, у, т. е. вызывают появление касательных
напряжений в плоскости поперечного сечения. Кроме того, нормальные
напряжения, не будучи параллельны первоначальному направлению оси
z, дают отличный от нуля крутящий момент вокруг этой оси. Векторы
моментов Мх, Mv перестают быть перпендикулярными оси z, поэтому
появляются крутящие составляющие этих моментов. Поперечные силы
и крутящие моменты, действующие на полоску шириной dz (фиг. 470),
можно рассматривать как внешние по отношению к полоске силовые фак-
торы. Они должны уравновешиваться внутренними силами, которые обра-
зуются вследствие деформаций изгиба и кручения.
Приравняв нулю сумму проекций сил иа ось х, сумму проекций на
ось у и суммарный момент относительно оси zf получим три дифференци-
альных уравнения равновесия стержня, получившего в критическом
состоянии дополнительную деформацию. Эти три уравнения, выведенные
проф. В. 3. Власовым, приведем здесь без вывода. Предварительно
введем обозначения:
ах, — координаты центра изгиба;
г2=^_ + аИ4.
/ у
= Ux=&dF+pydF-,
^x3dF.
(19.18)
462
Здесь F— (площадь поперечного сечения; Л, Jy — моменты инерции.
Интегрирование ведется по всей площади поперечного сечения.
В случае, если сечение имеет две оси симметрии,
= = ^=6^ = 0,
поэтому
Дифференциальные уравнения имеют следующий вид:
EJ^ + Р1 + (Мх+ауР) 0=0;
£Jx1J,v + A)' + (^-a,P)6'=0; }
(Л1Х + ауР) |’+ (М, - <+ 0,v +
+ (г2Р + 2M*V - 2?уМх —OJa) 6" = 0.
□
§ 12.18. СТЕРЖЕНЬ С ШАРНИРНО ОПЕРТЫМИ КОНЦАМИ
□ Рассмотрим *случай стержня, концы которого не могут переме-
щаться в плоскости поперечного сечения, но могут свободно поворачи-
ваться вокруг осей х, у, лежащих в этой плоскости. Тогда при г=-0 и
z=l будут существовать условия
$ = ^ = 0 = 0 и ^ = ^ = ©"==0
и можно принять
S = i4sink?; 7] = Z?sinte; 0 = CsinXz, ’
где
(21.18)
п — произвольное целое положительное число.
Эти выражения подставим в систему (20.18) и произведем сокраще-
ние на V sin кг:
(EJyW - Р) А-(Мх + ауР) С 0 ;
(EJJ* - Р) В — ('Му - а^Р) С = 0 :
- (Мх + ауР) А — (Му — ахР) В + [£Х К - (г2Р + 2$хМу -
-2^Mx-GJd)]C-0.
(22.18)
Определитель системы (22.19) представляет собой многочлен третьей
степени относительно Р. Если мы приравняем его нулю, то каждому зна-
чению а следовательно, каждому значению X будут соответствовать
три значения силы Р как корня кубического уравнения. Все корни дей-
ствительные. Следовательно, имеется бесконечное множество критических
значений силы Р. Наименьшее из них будет расчетной величиной.
Особый интерес представляет классический случай центрального
действия сжимающей силы Р, т. е. случай, когда
ех=еу —0; Мх = Му*=0,
Тогда характеристическое уравнение, образуемое приравниванием нулю
определителя системы
ЫуК - Л
0,
— avP,
(22.19), принимает вид
0
ЕЛ^-Р,
-ауР
= 0
EJ^-r2P + GJd
463
или
(£V/2 _ Р) [(EJx)2 - р) _ Г2р + Qjd) _
- ах2Р*] - а/Р2 (EJ^2 - Р) = 0. (23.18)
Проанализировав это уравнение, проф. В. 3. Власов показал, что
его наименьший корень всегда меньше или в крайнем случае равен вели-
чинам EJX№ и EJV№, т. е, что наименьшая критическая сила для цен-
трально сжатого тонкостенного стержня всегда меньше или равна мини-
мальной эйлеровой критической силе.
Форма, которую стержень принимает под действием критической
силы, определяется (с точностью до неопределенного параметра) форму-
лами (21.18) для перемещений 6. Отсюда видно, что форма потери
устойчивости при центральном сжатии есть изгиб но-крутильная. Для того
чтобы поперечные сечения не поворачивались, т. е. для получения чисто
изгибной, эйлеровой формы, пришлось бы ввести дополнительные связи,
которые, конечно, повысили бы критическое значение Р. Этим и объяс-
няется, почему критическая сила, отвечающая изгибно-крутильной форме,
в общем случае меньше эйлеровой.
Замечательно, что потеря устойчивости тонкостенного стержня может
получиться не только при сжатии такового, но при растяжении. Проф<
В. 3. Власов показал, что существует область устойчивости, характери-
зуемая тем, что продольная растягивающая сила, приложенная внутри
этой области, никогда не может вызвать потери устойчивости. При
любой форме поперечного сечения эта область представляет собой круг
(«круг устойчивости»). Если растягивающая сила приложена вне круга
устойчивости, то она может принимать критические значения.
Частным случаем решенной здесь задачи является задача об устой-
чивости тонкостенного стержня при чистом изгибе — при действии двух
равных и противоположных моментов М, приложенных по его концам.
Нужно только положить в дифференциальных уравнениях (20.18)
Р — 0, Mx = Msina, Му = — М cos a,
где a—.угол между плоскостью действия момента М и осью Ох, Система
дифференциальных уравнений примет более простой вид:
£V/v + 2Wsina9'' = O;
EJxr^ — AlcosaG"—0;
М sin — M cos a-iq" -|“ ®IV — 2 cos a +
(24.18)
+ ^sina)Al + OJd] O" = 0.
Отсюда получается более простой вид характеристического уравнения
(23.18), которое служит для определения критической величины
момента М. □
§ 13.18. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА
ТОНКОСТЕННОЙ БАЛКИ
□ Задача об устойчивости плоской формы изгиба балки, представ-
ляющей собой тонкостенный стержень с незамкнутым профилем попереч-
ного сечения, есть частный случай общей задачи об устойчивости тонко-
стенного стержня, решенной проф. В. 3. Власовым.
Ограничимся для примера рассмотрением однопролетной шарнирно
опертой по концам балки, сечение которой имеет две оси симметрии.
Пусть опорные шарниры имеют такое устройство, что они не мешают
464
повороту концов вокруг осей х, у поперечного сечения, но препятствуют
их повороту вокруг продольной оси z балки.
К одной из полок приложена поперечная нагрузка в плоскости сим-
метрии. В этом случае до потери устойчивости балка будет подвергаться
только изгибу в плоскости действия нагрузки. Когда последняя достигнет
критической величины, балка получит дополнительный изгиб в перпен-
дикулярном направлении и кручение. При этом сечения в пролете пере-
местятся параллельно оси х на величину
z на углы ; (с) (фиг. 471).
Так как дополнительный прогиб по
направлению оси у отсутствует, то остает-
ся написать только два дифференциаль-
ных уравнения равновесия балки, пере-
шедшей в новое деформированное состоя-
ние: уравнение проекций на ось ; и мо-
ментов относительно оси z. Можно вос-
пользоваться первым и третьим из диффе-
ренциальных уравнений (20.18), введя в
них лишь следующие изменения:
(z) и повернутся вокруг оси
1; Р U, М v — U;
2) вследствие наличия у поперечного
сечения двух осей симметрии
= ау “ Зх ~ К? ~ ’
3) в уравнении моментов относительно оси z появится дополнитель-
ный член гвыражающий .момент погонной внешней нагрузки
обусловленный появлением плеча
4) изгибающий момент ЛГХ не будет постоянным по всему пролету
балки, поэтому -место М/" придется писать (Л4.
Итак:
£7/v+GW=0;
EJJi,v - GJ Ji" + q*eji + МЛ" = 0.
(25.18)
Разберем случай действия на балку сосредоточенной силы Р, прило-
женной в середине пролета, в центре поперечного сечения (фиг. 472).
Для левой половины пролета имеем
V . Ж . / Pz
Следовательно:
EJjf* + фР(г0)" = О;
(26.18)
EJJt'v - G//’ + ф- РгГ = 0.
30—И. М. Рабинович
465
Проинтегрируем дважды первое уравнение и учтем граничные усло-
вия. Получим уравнение
Pzb = 0.
Легко заметить, что -^Рв есть поперечная составляющая опорной
реакции ~~Р (точнее было бы написать -i-^sinO), а произведениеPbz
есть изгибающий момент.
Сделав подстановку
г,„ _ pzb
5 ” 2EJy
во второе уравнение, мы превратим его в такое:
£7.9lv -G//--g^-=0.
Это однородное нелинейное дифференциальное уравнение четвертого
порядка с переменными коэффициентами может быть проинтегрировано
в бесконечных рядах, которые будут содержать четыре постоянных.
Введя граничные условия, получим для этих постоянных систему однород-
ных линейных уравнений, из которой обычным путем выводится харак-
теристическое уравнение для вычисления критической нагрузки.
Критическая сила Р выражается формулой вида
р k y EJyGJd , (27. ] 8)
кр г» * 4 J
где k определяется из приведенной ниже таблицы при помощи характе- ристики жесткости балки Таблица 17
0,4 4 8 16 24 32 48 64 160 400
k 86,4 31,9 25,6 21,8 20,3 19,6 19,0 18,3 17,5 ! 17,2 1
Приближенное решение той же задачи можно получить энергетиче-
ским методом, для чего следует задаться законом изменения величин i
и 0 в функции от zt затем подсчитать энергию дополнительного изгиба
и кручения и приравнять ее работе силы Р при той же дополнительной
деформации □
§ 14.18. ПОНЯТИЕ О ТОЧНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА РАМ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Как уже указывалось, приближенный метод расчета на устойчивость
не всегда проще точного. В частности, это относится к энергетическому
методу: при расчете рам он приводит к громоздким выкладкам и ослож-
1 См., например, И. П. Прокофьев н А. Ф. Смирнов, Теория сооружений,
ч. III, стр. 107—108, 1948.. Справочные таблицы см. в книге И. И. Гольденблата и
А. М. Сизова. Справочник по расчету строительных конструкций на устойчивость
и колебания, § 26, 1952.
466
ияется большими трудностями При назначении формы упругих линий для
многочисленных стоек и ригелей рамы. Последняя операция весьма
ответственна, так как неудачный выбор формы этих кривых может по-
влечь за собой значительную неточность определения величины критиче-
ской нагрузки, причем эта неточность остается неизвестной.
Для рам не слишком сложных вполне возможно точное решение
задачи. Для этой цели можно использовать различные методы, аналогич-
ные тем, которые применяются при обычном статическом расчете рам, —
методы сил, деформаций, смешанный, метод моментных фокусов и др.
Однако каждый из названных методов должен при этом подвергнуться
существенным изменениям.
Одним из лучших методов расчета рам на устойчивость является
метод деформаций. Метод сил оказывается удобным значительно реже,
поэтому 'мы здесь его не излагаем !. Ограничимся изложением метода
деформаций.
Нагрузку будем считать направленной так, что при значениях сил,
меньших критического, все стержни остаются прямолинейными. В крити-
ческом состоянии прямолинейная форма перестает быть устойчивой, и ста-
новится возможной искривленная форма равновесия. Для определения
этой формы необходимо разыскать обычные
неизвестные метода деформаций — углы по-
ворота узлов и их линейные перемещения.
Например, на фиг. 473 неизвестными будут
шесть углов поворота узлов и два линейных
смещения ярусов. Основная система будет
иметь шесть заделок в этих узлах и два
опорных стержня, препятствующих линей-
ным смещениям. Канонические уравнения
составим для деформированного состояния
рамы, которое наступит при критическом
значении нагрузки. Внешняя нагрузка, при-
ложенная в узлах, не вызовет в названных
дополнительных закреплениях основной си-
стемы никаких реакций, поэтому уравнения
получатся однородными:
гп-^1 + ri2^2 +• • - 4- г1п^п zzSli
Г21^1 + Г22^2 +• • • + ” Oj
(28.18)
г «1^1 + r + • • • + г пп^п — О-
Здесь /1, /2,. •., — неизвестные углы поворота и линейные сме-
щения.
Смысл уравнений известен из предыдущего изложения метода
деформаций; он состоит в том. что суммарная реакция любой дополни-
тельной связи равна нулю.
Для того чтобы эта система имела решение, отличное от нуля, т. е.
для того чтобы рама, кроме прямолинейного, могла иметь уравновешек-
1 С этим методом можно познакомиться по книге проф. И. П. Прокофьева
н А. Ф. Смирнова, «Теория сооружений», ч, III, 1948, Оригинальное изложение
известных методов н ряд новых можно найтн в книге проф. Н. В. Корноухова,
«Прочность и устойчивость стержневых систем», 1949. См. также книгу проф.
В. Г. Чудновского «Методы расчета колебаний и устойчивости стержневых
систем», изд. Академии наук УССР, 1952; проф. Н. К. Снитко, Устойчивость стержне-
вых систем. Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре,
1952.
30*
467
ное деформированное состояние, необходимо, чтобы определитель системы
(28. 18) был (равен нулю:
£)=- Hi, г21, - • ^22» • • •> П, 1 - 1 = 0. (29.18)
Гц, ^2, - • •’ пп I *
Таким образом, точное решение задачи требует вычисления коэффи-
циентов rlk и затем решения уравнения D = 0.
Между коэффициентами rik системы уравнений (28.18) и коэффи-
циентами rik обычных уравнений метода деформаций существует корен-
ное отличие, вытекающее из самой природы рассматриваемой задачи.
В обычных уравнениях коэффициенты г,-Л не зависят от внешней нагруз-
ки; нагружена ли система или нет, — для того чтобы вызвать в данном
закреплении данное перемещение, всегда требуется одно и то же усилие.
В этом и состоит закон независимости действия сил. В задаче об устой-
чивости мы рассуждаем иначе, м.ы принимаем во внимание те изгибаю-
щие моменты, которые возникают от продольной силы после того, как
стержень принял криволинейную форму; поэтому для единичного пово-
рота или смещения конца стержня, нагруженного продольной силой, тре-
буется иное усилие п, чем для ненагружеиного. Эти коэффициенты яв-
ляются функциями продольных сил.
Например, чтобы повернуть конец сжатого стержня на угол, равный
единице (фиг. 474,й), требуется, очевидно, тем меньший момент Гц, чем
сильное сжат стержень. Продольная сжимаюшая сила как бы уменьшает
жесткость стержня при работе его на изгиб.
В обычном методе деформаций мы не можем подчинить коэффици-
енты rik требованию D ==? 0, так как они являются величинами постоян-
ными. Можно доказать, что для них всегда D 0, а условие D = 0 ни-
когда не выполняется. В задаче об устойчивости, где коэффициенты яв-
ляются функциями продольных сил, условие /9 — 0 позволяет определить
критические значения этих сил. Перейдем к вычислению коэффициен-
тов Гц* .
На фиг. 475 показан стержень, сжатый двумя равными противо-
положными силами М; на фнг. 475, а он изображен прямолинейным, а на
фиг. 475, б — .в состоянии криволинейном. При этом искривлении сила N
может несколько измениться, но так как мы считаем отклонение от перво-
начальной формы бесконечно малым, то приращением ДА? по сравнению
с N можно пренебречь. При искривлении возникнут на концах реактив-
ные моменты Мав, Л1ва и поперечные реакции Qab, Qba.
Из условия равновесия ясно, что
Qab = -Qba = ~ . (30.18)
Дифференциальное уравнение изгиба имеет вид
- EJ-&. = МАВ + QABx + Ny. (31.18)
Введем обозначение
— = = t2. (32.18)
EJ
* В дальнейшем изложении мы будем следовать упомянутой выше книге проф.
Н. В. Корноухова.
468
Параметр t2 (отвлеченный) представляет собой увеличенное
в тг'2 раз отношение продольной силы N к эйлеровой критической силе
гЛ'Д./
р
Интеграл дифференциального уравнения (31.18) имеет вид
/я t* QarxA-Mar
v = Asin-r + Bcos----АВ „ АВ
(33.18)
Определив постоянные А и В из граничных условий и сделав неко-
торые преобразования, получим следующие формулы:
А^ав === 2/ а&А “Ь — (а "г ?) —j ’>
ЖВА = 2г ₽?д+ао — (а
(34.18)
Qab = Qba “
‘“1' / ' / 1 А ]
Здесь
Фиг. 475
__* tg*-f
2tg' 2tg2._, ’
г = Щ;
I
— _L_
2 sin t
t — sinf
2tgT”z
/2,gT
2lgy~'
2tg~~~Z
(35Л8)
j
При Al — 0 эти .коэффициенты принимают следующие известные в»
обычного расчета значения:
а = 2; р = 1; а —р = 3; у = 6.
469
Если стержень растянут, то Л/ отрицательно и величина t получается
мнимой. Введя обозначение
«•-Л,
где |^~ абсолютная величина, получим вместо формул (35.18)
и
а==-----
2 th/i
(36.18)
th/i — a
it
2lh — -u
a
2 sh ti
zi—sh и
и
2tgA — — и
1
7 = -T
и8
2 th —-----и
2
(37.18)
В том случае, когда стержень АВ имеет на конце В шарнир, формулы
(34.18) переходят в (Следующие:
== i 01 I ) ) О-АВ
t - ^AB
(38.18)
где для сжатого стержня
а = ----&---; -Г — а — ,
tg t — tg t — t
а для растянутого стержня
— tfi th и
a —--------------------------------
th и — и
(39.18)
— и8
Т==----------
_ — th а — и
Если продольное усилие N = 0, то а=7 = 3.
Формулы (34.18) — (40.18) показывают, что реактивные моменты и
реактивные поперечные силы, возникающие на концах стержня, являются
трансцендентными функциями продольной силы Л/ и в то же время линей-
ными функциями перемещений срд, срв, Здв. е
При неизменном значении силы Л/ реакция, вызываемая каждым из
этих перемещений, не зависит от остальных перемещений. Это дает нам
право писать канонические уравнения (28.18).
Коэффициенты rik сохраняют свойство -взаимности:
rik = •
(40.18)
§ 16.18. ПРИМЕР
□ Определить критическую силу Р для симметричной рамы, изобра-
женной на фиг. 476, а.
Неизвестными являются углы поворота <?2 и горизонтальное пе-
ремещение о ригеля.
Для левой стойки Л/ — Р; для остальных стержней N — 0. Поэтому
tiA=У=у/~v’ ^=^=°-
Введем обозначение
^2 _ _____ *
V ” eJj? “
Канонические уравнения можно записать в следующем виде:
Гц<Р1 + Г12?2 + Г1#* = 0;
Г21 ?1 "1“ Г22?2 4" ^23^ = О?
Г31?! + Г32?2 + Г33$ === 0 . .
470
Раскрывая выражения Гц, г12 и т. д., при помощи формул (34.18),
получим
(2г,а + 4«2) <?! + 2»2<р2 — 2ij (а + р) -^- = 0;
Л
24?i + 4 (^ -|- h) ?2 — — —0;
л
---ТЧ« + ₽)<Р!---^-3?2+-^Н7 + 6)4- =0
л----------------л а л
или после сокращения
(а + 2k) ф1 &р2 — (а -J- р) -L = 0 ; 1
Л
й?1 + 2(а+1)<Р2-з4-=0;
Л
(а + ?) ?i — 3<р2 -j- (у + 6) — — 0.
л )
Приравняем определитель системы нулю:
(а + 2k) ;
-(* + ₽);
/г;
2(^+1)
-3;
”(* + ₽)
-3
(т + 6)
(41.18)
Раскрыв этот опреде-
литель, мы получим урав-
нение второй степени от-
носительно k. Неизвест-
ным в этом уравнении яв-
ляется /, которое входит
в состав величин а, р,
Целесообразно будет по-
ступить следующим обра-
зом: давая числу t раз-
личные значения, вы-
числять соответствующие
значения а, [3, 7 и по
ним из уравнения (41.18)
определять соответствующие значения k. После этого можно будет по-
строить по точкам график зависимости k от t и из этого графика по задан-
ному значению k найти требуемое значение t.
Тем самыми найдется и критическая сила Ркр:
р
КР Л?
Таи как уравнение (41.18) квадратное, то каждому значению i будут
отвечать два значения k\ получим два графика. Характер их примерно
показан на фиг. 476, б. Из них ясно, что каждому значению k в свою оче-
редь будут отвечать два значения t
Разумеется, мы должны считать за критическое значение t меньшую
из двух величин, т. е. ординату нижнего графика; последний получается,
когда по заданным значениям t откладываются большие значения k.
Из этого же уравнения (41.18) можно было бы определить и высшие
значения критической силы, так как для аргумента t тригонометрических
функций а, р, т получается бесконечное множество значений; однако
эти значения не представляют практического интереса. □
471
§16:18. О МОДЕЛИРОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ
□ Теория устойчивости не менее других теорий строительной меха^
ники нуждается в опытной поверке. Особенно важна такая почерка дл?
расчета сложных сооружений, которые не поддаются точному расчету и
могут быть рассчитаны только приближенно. Испытание уменьшенной
модели сооружения на устойчивость позволяет установить величину кри-
тической нагрузки. Если испытанию подвергается серия моделей, то
можно также установить влияние отдельных параметров, характеризую-
щих конструкцию (влияние поперечных сечений того или иного элемента,
дополнительных связей И’т. п.).
Для правильного использования результатов опыта необходимо
знать, каково соотношение между критическими нагрузками модели и
самого сооружения.
Пусть размеры модели получены из размеров сооружения следую-
щим образом: длины стержней умножены на некоторый меньший еди-
ницы коэффициент пропорциональности kpt линейные размеры попереч-
ных сечений стержней умножены на &2, сосредоточенные нагрузки —
на т, модуль упругости — на п.
Допустим, что потеря устойчивости сооружения происходит в упру-
гой стадии по изгибной форме, и что влиянием продольных деформаций,
а также деформаций сдвига можно пренебречь.
Разберем прежде всего, каково должно быть соотношение между
всеми коэффициентами пропорциональности, для того чтобы за гружение
сооружения и модели характеризовалось одним и тем же значением без-
размерного параметра, выражаемого формулой (32.18) § 14.18:
Напишем равенство
(42.18)
п да
/2 ..... _____
nEk'j
тл ATZ2
Из него после сокращения на получается
__ 1
' 1
При соблюдении этого соотношения между размерами и нагрузками
сооружения, с одной стороны, и модели, с другой стороны, параметр t
будет иметь соответственно равные значения для всех стержней сооруже-
ния и модели. Все функции от t (параметры a, S и т. д.) тоже будут
соответственно равны.
Обратимся к характеристическому уравнению (29.18), составленному
для сооружения. Решив его, мы найдем соответствующие критические
значения параметра t. Подставим эти значения в аналогичное характери-
стическое уравнение, относящееся к модели. При одинаковых значениях
этого параметра реакции rik пропорциональны величинам погонной
жесткости стержней 1, т. е. для модели они равны
"*2 ,
*1 1к '
nki
От умножения всех членов уравнения (29.18) на-------- тождество не на-
h
рушится. Следовательно, критическое значение параметра t для модели
и для сооружения одно и то же.
472
Найдя из опыта над моделью критическую величину нагрузки и
убедившись, что она отвечает упругому состоянию модели, мы найдем
критическую нагрузку сооружения
1 А?
W=_/V]=_tLA'i. (43.18)
т k.-}n
Если система нагружается не одной продольной силой N, а группой
сил, то при переходе от модели к сооружению нужно умножать на — ,—
^2^
все нагрузки, которые действовали на модель при потере устойчивости.
Если в число нагрузок входит собственный вес сооружения, то такой
переход от модели к сооружению уже не будет правильным., так как соб-
ственный вес является функцией размеров сооружения и не может быть
назначен путем умножения на
Моделирование возможно также за пределом упругости Ч Оно
возможно не только для стержневых, но и для других систем.
Особая трудность при моделировании состоит в невозможности обес-
печить полное подобие жесткости узловых соединений и заделок кон-
цов, так как технологические условия изготовления модели и сооружения
различны. Недостаточное внимание к этому вопросу может значительно
исказить результаты опыта, □
§ 17.18. КРАТКИЙ ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА
□ Теория устойчивости упругих систем, разработка которой напита
была впервые Эйлером в 1744 г., продолжает до сих пор привлекать
к себе внимание исследователей как актуальная и не решенная до конца
проблема. Значительное развитие она получила в конце XIX столетия
благодаря замечательным исследованиям проф. Ф. С. Ясинского1 2.
В течение последних десятилетий опа плодотворно разрабатывалась
у нас по всем направлениям, и этот процесс интенсивной разработки про-
должается и в настоящее время.
Далеко выходя за пределы теории стержневых систем, теория устой-
чивости соор ужений охватывает вопросы устойчивости пластинок, обо-
лочек и всевозможных систем, в состав которых входят стержни, пла-
стинки и оболочки как элементы. Поэтому особый интерес представляет
разработка общих методов, применимых к расчету любой системы и со-
оружения. Так как опыт показал, что точное решение в простом и удоб-
ном виде удается получить для сколько-нибудь сложных систем, встре-
чающихся на практике, довольно редко, то особый интерес представляет
разработка хороших приближенных методов. Замечательный по своей
общности, простоте и высокой точности приближенный метод был пред-
ложен в 1915 г. акад. Б. Г. Галеркиным 3. При пользовании этим методом
1 См, статью проф, И. Я. Штаермана: Устойчивость и принцип подобия в строи-
тельной механике, «Вестник инженеров и техников» № 9, 1938 г.; В. Л. Кирпиче в,
О подобии при упругих явлениях, собрание сочинений, том I, 1917. Более подробное
изложение вопросов подобия — в книге акад. Л. И. Седова, Методы подобия и раз-
мерности в механике, 1951; акад. М. В. К и р п и ч е в, П. К- Кондаков, Математиче-
ские основы теории подобия, изд. АН СССР, 1949.
2 См. Ф. С. Ясинский, Избранные работы по устойчивости сжатых стержней
с приложением очерка проф. А. Н. Митинского о жизни и научно-иижеиериой
деятельности Ф. С. Ясинского. Гостехиздат, 1952.
3Б. Г. Гал ер кн н, Стержни и пластинки, «Вестник инженеров» № 19, 1915.
473
не требуется составлять выражение потенциальной энергии и разыски-
вать ее -минимум, так как он (метод) представляет собой прямое при-
менение принципа возможных перемещений и задаче устойчивости; он
оказался полезным для решения не только инженерных, но и чисто ма-
тематических задач; ему посвящена большая литература
Проф. В. 3. Власов 1 2 дал решение задачи об устойчивости и колеба-
ниях тонкостенного призматического стержня, который рассматривается
как складчатая, т. е. составленная из пластинок, конструкция. Каи выяс-
нилось из его исследования, опасной для такого стержня, сжатого про-
дольной силой, обычно является изгибно-крутильная, а не просто изгиб-
ная форма потери устойчивости. Краткое изложение вывода проф.
В. 3. Власова дано выше.
Отечественными учеными предложены специальные методы для рас-
чета стержневых систем. Уже при расчете отдельного сжатого стержня,
в особенности если он имеет ступенчато или непрерывно меняющееся се-
чение, а также поперечную нагрузку или изменяющуюся по длине про-
дольную нагрузку и имеет податливые опоры, задача расчета на устойчи-
вость значительно осложняется. Были предложены удачные новые спо-
собы составления точного уравнения упругой линии для сжато-изогнутого
стержня, а также способы приближенного задания ее формы и основан-
ные на этом аналитические и графоаналитические способы определения
критической нагрузки 3.
Трудности математического характера встречаются при расчете аров
различного очертания, постоянного и переменного сечения при действии
даже простейших нагрузок. Трудами ряда советских ученых, и в первую
очередь акад. А. Н. Динника, удалось получить вполне удовлетворитель-
ные решения для многих важных случаев действия ’вертикальной на-
грузки на арку 4. В числе их заслуживают особого упоминания способ
последовательных приближений, разработанный проф. Б. Н. Горбуно-
вым 5, и «принцип спрямления», сформулированный проф. И. Я^ Штаер-
маном (арку можно без значительной погрешности заменить прямым
стержнем, сжатым, такими же продольными силами, какие действуют на
арку, при надлежащем выборе характера кривой изгиба)6.
1 См. например, Ю. В. Р еп м а и, К вопросу математического обоснования
метода Галеркииа решения задачи об устойчивости упругих систем, «Прикладная мате-
матика и механика», т. IV, вып. 2, 1940; Л. С. Л е й б е и з о н, Вариационные методы
теории упругости, 1943; Я. А. Пратусевич, Вариационные методы в строительной
механике, 1948.
2 В. 3. Власов, Тонкостенные упругие стержни (прочность, устойчивость, коле-
бания), 1940.
3 А. Н. Крылов, О формах равновесия сжатых стоек, «Известия Академии
наук СССР» № 7t 1931; проф. Н. К. Снитко, Устойчивость стержней переменного
сечения и при действии различных систем продольных нагрузок, «Строительная про-
мышленность» № 10, 1938. А. Н. Д н и и и к, Устойчивость упругих систем, 1935; Про-
дольный изгиб, 1939; Я. Л. Нуд ель май, Методы определения собственных частот
и критических сил для стержневых систем, Гостехиздат, 1949.
4 А. Н. Д и и и и к, Устойчивость арок, 1946; А. П. Локшин, Об устойчивости
-стержня с криволинейной осью, «Прикладная математика и механика», т. II, № it 1934;
Л. С. Г и л ь м а н, К вопросу об устойчивости параболических арок, нагруженных вер-
тикальной равномерно распределенной нагрузкой, «Известия Ленинградского политех-
нического института», т. XXXIII, 1931; А. Б. Морга евский, Об устойчивости Двух-
и трехшарнириых параболических арок с учетом поведения нагрузки, «Вестник инжене-
ров и техников» № 1, 1938.
5 Б. Н. Горбунов, Расчет устойчивости стержней и арок при помощи после-
довательных приближений, «Исследования по теории сооружений», сборник статей, 1936.
s И. Я. Штаерман и А. А. Пиковский, Основы теории устойчивости
строительных конструкций, § 28, 1939.
,474
Во многих конструкциях встречаются сжатые стержни, опертые в про-
межуточных сечениях на упруго-податливые опоры. Задача об устойчи-
вости таких неразрезных стержней впервые была поставлена и рассмот-
рена проф. И. Г. Бубновым ’. Она получила дальнейшее развитие в ка-
питальном труде проф. П. Ф. Папковича 1 2 и в отдельных статьях.
Расчет рам на устойчивость впервые проявился в форме точного
расчета отдельного сжатого стержня с упруго защемляющими или
упруго смещающимися опорами на концах 3.
Первые примеры расчета многоэтажных и многоярусных рам на
устойчивость по методу деформаций были указаны проф. В. И. Мурашо-
вым 4, который воспользовался этим методом для приближенного реше-
ния задачи.
В 1937 и 1938 гг. С. Д. Лейтес5 применил метод деформаций («метод
критических деформаций») как точный к расчету плоских рам. Одновре-
менно проф. Н. В. Корноухов6 опубликовал в наиболее общем виде при-
менение этого метода к расчету плоских, а затем и пространственных
рам.
Метод сил в теории устойчивости отличается от такого же метода
в расчете на прочность выражением коэффициентов Д.р канониче-
ских уравнений. Преобразование общей формулы перемещений для слу-
чая сжато-изогнутого стержня впервые было сделано В. Г. Чудновским
в 1943 г.7, затем получило дальнейшее развитие в двух книгах: проф.
А. Ф. Смирнова 8 и проф. Н. В. Корноухова9, а также в статье С. Д. Лей-
теса 10 11. Принципиально критическую нагрузку всякой статически неопре-
делимой системы можно определить из системы канонических уравнений
метода сил с трансцендентными коэффициентами, приравнивая опреде-
литель системы .нулю. Смешанный метод решения задачи устойчивости
впервые применен проф. А. Ф. Смирновым в его названной выше книге.
Как показал проф. Н. К- Снитко п, задача об устойчивости рам может
быть решена также методом моментных фокусов; фокусные отношения
сжато-изогнутых стержней зависят от величин продольных сил.
Проф. А. Ф. Смирнов по-новому разработал приближенный метод,
состоящий в том, что для системы, находящейся в критическом состоянии,
задаются перемещения нескольких точек, затем определяются дополни-
1 И. Г. Бубнов, Строительная механика корабля, т. I, 1912.
2 П. Ф. Папкович, Строительная механика корабля, ч. II, 1941.
3 Н. П. Павлюк, Об устойчивости стержней и простых рамных систем,
«Вестник инженеров и техников» № 5, 1934; Устойчивость прямоугольной рамы, «Труды
Ленинградского института инженеров коммунального строительства», вып. 4, 1937;
Устойчивость прямоугольных рамных систем, «Труды Ленинградского института инже-
неров коммунального строительства:», вып. 5, 1938.
4 В. И. Мурашев, Расчет устойчивости рам, «Проект и стандарт:» № 12, 1936.
5 С. Д. Лейтес, Общий метод определения эйлеровой критической силы для
сжатых стержней рамных конструкций, «Проект и стандарт» № 8—9, 1937; Шесть
задач на устойчивость статически неопределимых систем, «Строительная промышлен-
ность» № 8—9, 1938.
6 Н. В. Корноухов, Точный метод проверки устойчивости плоских рам,
«Вестник инженеров и техников» № 3, 1937; Расчет устойчивости пространственных рам-
ных каркасов, «Вестник инженеров и техников» № 2, 1939.
7 См. В. Г. Чудновский, Расчет колебаний и устойчивость стержневых
систем, Киев, 1952.
8 А. Ф. Смирнов, Статическая и динамическая устойчивость сооружений, 1947.
9 Н. В. Корноухов, Прочность и устойчивость стержневых систем, 1949.
10 С. Д. Лейтес, О применении метода сил к исследованию устойчивости ста-
тически неопределимых систем, сборник «Исследования по теории сооружений»,
вып. IV, 1949.
11 Н. К- Снитко, Устойчивость рам при узловой нагрузке, «Вестник инженеров и
техников» № 6, 1939, а также «Устойчивость стержневых систем», 1952.
475
тельные моменты, которые обусловлены приращением плеч продольных
сил. В функции от этих моментов определяются дополнительные дефор-
мации, которые и приравниваются заданным. Так получается система
однородных уравнений, определитель которой затем, приравнивается
нулю. А. С, Смирнов изложил все операции в компактной форме при
помощи матричного исчисления и удачно использовал при этом упругие
грузы.
Та же идея непосредственно приводит к интегральным уравнениям,
которые нашли себе применение в работах ряда советских авторов (доц.
В. И. Новоторцева, проф. Я. Л. Нудельмана). Проф. С. А. Бернштейн1
предложил своеобразное применение интегральных уравнений для при-
ближенного определения критической нагрузки. Этот способ интересен
тем, что он дает двустороннее (сверху и снизу) приближение к критиче-
ской величине, причем погрешность может быть доведена до любой сколь
угодно малой величины.
Из других приближенных методов отметим плодотворный по своей
идее метод расчленения сложной рамной системы на более простые, пред-
ложенный проф. Н. В. Корноуховым.
Чтобы не увеличивать объем курса, ,мы оставляем здесь без рассмо-
трения другие важные направления теории устойчивости: определение
критической нагрузки для систем, работающих за пределом упругости;
для систем, материал которых обладает свойством ползучести: для
упругих Систем, испытывающих в состоянии, близком к критическому,
большие деформации. Эти направления имеют в СССР большую и быстро
прогрессирующую литературу.
Разработка теории устойчивости не ограничивается установлением
практических методов определения величины критической нагрузки.
Больший интерес представляют общие теоремы об устойчивости упругих
систем. Этим вопросам^ посвящены исследования проф. П. Ф. Папко-
вича 2, проф. Я. Л. Нудельмана3 и некоторые другие. Q
1 С. А. Бернштейн. Новый метод вычисления частот колебаний упругих
систем и его приложение к задачам устойчивости, «Юбилейный сборник», 194L
2 П. Ф. П а п к о в и ч. Несколько общих теорем, относящихся к устойчивости
упругих систем, «Труды ленинградского кораблестроительного института», вып. 1, 1937;
Строительная механика корабля, ч. П, гл. IV, 1941.
3 Я. Л. Нудельмаи. См. названную выше книгу этого автора.
Глава 19
ОСНОВЫ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СООРУЖЕНИЙ
§ 1.19. ВИДЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
Вое расчетные схемы нагрузок могут быть разбиты на две катего-
рии: статические и динамические. К первой относятся такие нагрузки,
которые вообще .не сообщают массам сооружения .никаких ускорений или
сообщают ускорения, настолько незначительные, что возникающими «при
этом силами инерции можно пренебречь по сравнению с остальными дей-
ствующими силами. Ко второй категории относятся такие нагрузки, при
действии которых силы инерции играют существенную роль; таковы на-
грузки, появляющиеся или исчезающие внезапно, действующие ударным
способом; нагрузки, у которых достаточно быстро меняются во времени
величина, точка приложения, направление. Все нагрузки, которые мы
рассматривали раньше, относятся к статическим.
Динамическая нагрузка сооружений встречается весьма часто. Для
фабрично-заводских зданий н их фундаментов роль такой нагрузки
играют работающие в этих зданиях 1машины-орудия, станки, молоты,
краны, поршневые двигатели, турбогенераторы и т. п. Для складских по-
мещений и элеваторов — бросаемые с той или иной, хотя бы и незначи-
тельной высоты тяжелые ящики, мешки, зерно и т. д. Для фабричных
дымовых труб, радиомачт и отдельно стоящих высоких зданий—ветро-
вая нагрузка; для пролетных строений мостов — железнодорожные по-
езда, автомобили, тракторы, толпа и т. д. Для междуэтажных перекры-
тий клубов, театров, кино, концертных залов, больших магазинов — толпа,
ее движение по полу и по лестницам, вставание с места, танцы и т. п.
Динамическая нагрузка по своей природе сложнее статической, так
как она характеризуется не только своей величиной, точкой приложения
и направлением, но и законом своего изменения во времени. Поэтому
естественно, что расчет на такую нагрузку оказывается более сложным.
Основная задача динамического расчета состоит либо в определении
максимальных деформации и напряжении, вызываемых в данном, соору-
жении данной динамической нагрузкой, либо в подборе таких размеров
сооружения, которые обеспечили бы достаточно малые деформации и на-
пряжения. Первое имеет место при -поверочных расчетах существующих
сооружений, а второе-—при проектировании новых пли реконструируе-
мых сооружений. Промежуточное положение занимает задача амортиза-
ции колебаний в существующих сооружениях.
§2.19. СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ
С понятием о степени свободы системы мы уже встречались неодно-
кратно. При анализе геометрической изменяемости или неизменяемости
477
стержневых систем, а также их статической определимости или неопре-
делимости мы рассматривали эти системы как составленные из беско-
нечно жестких дисков или стержней. При подсчете упругой подвижности
узлов рамы (в методе деформаций) мы интересовались только подвиж-
ностью узлов, не делая при этом различия между упругими линиями и их
хордами. В динамике упругих систем степенью свободы называют коли-
чество независимых геометрических параметров, определяющих положе-
ние всех масс при всевозможных упругих деформациях системы. Именно
это число имеет особо важное значение для характеристики «динамиче-
ского» поведения сооружения.
Система, представленная на фиг. 477, состоит из нескольких масс,
прикрепленных к абсолютно жесткому стержню, который может вра-
Фиг. 479 Фиг. 478
от числа масс и пру-
потому что положение
Фиг. 480
щаться вокруг неподвижной точки А. Независимо
жин она имеет в плоскости одну степень свободы,
всех масс определяется углом поворота стержня около центра А. Система
жестких стержней, представленная на фиг. 478 (двойной маятник), имеет
две степени свободы; на фиг. 479 — три степени свободы.
Особого внимания заслуживает система,
о я представленная на фиг. 480, где две точечные
о...1^и массы помещены на упругой невесомой балке
АВ\ несмотря на то, что упругая линия балки
может иметь бесконечно разнообразные фор-
мы, степень свободы равна двум, потому что
положение обеих масс определяется прогибами
в двух точках балки. Если массы не точечные, то положение каждой из
них определяется прогибом и углом поворота, следовательно, система
имеет четыре степени свободы. Если будем считать упругую балку весо-
мой, т. е. введем ее массу в расчетную схему, то степень свободы такой
системы окажется равной бесконечности.
В настоящей главе, посвященной основам теории колебаний, уделим
основное внимание системам с одной степенью свободы.
Мы будем считать систему линейно деформируемой, т. е. сохраняю-
щей линейную зависимость между силами и деформациями. Как мы уже
отмечали выше, в § 1.2, такое допущение практически приемлемо при
условии, что материал является упругим, а изучаемые деформации и пе-
ремещения весьма малы.
478
§ 3.19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
И ЕГО ИНТЕГРАЛ
Рассмотрим простейшую модель системы с одной степенью сво-
боды — массу т, подвешенную на невесомой пружине и нагружеяную
силой Р(0, которая представляет собой произвольную функцию от вре-
мени t (фиг. 481).
Назовем жесткостью пружины ту силу, которую нужно приложить
к нижнему концу пружины, чтобы вызвать ее статическое перемещение,
равное единице. Разумеется, что ту же величину имеет и реакция пру-
жины при единичном смещении ее нижнего конца. Обозначим
цию знакомым из метода деформаций символом Гц. С другой
стороны, обозначим перемещение этого конца, вызываемое
единичной силой, через бп. Очевидно, что
эту реак-
Фнг. 481
Величина является мерилом податливости пружины.
В дальнейшем эта пружина будет служить символом любой
упругой связи.
Будем отсчитывать перемещения у от того положения мас-
сы т, в котором она находится при отсутствии внешней силы
Р(/). В этом положении натяжение пружины уравновешивает-
ся собственным весом mg массы т. Положительные перемеще-
ния у, скорости у', ускорения у", а также положительные силы
будем считать направленными вниз.
При отклонении массы т на величину у на нее будут действовать
d-y
следующие силы: натяжение пружины г^у, сила инерции — т—- и
dt2
внешняя сила P(t); что касается начального натяжения пружины и веса
mg, то они как взаимно уравновешенные выключаются нз рассмотрения.
Силу Гну называют в теории колебаний восстанавливающей силой, так
как она стремится вернуть массу в начальное положение, если последняя
отклонена от состояния равновесия на величину у.
Приравняв нулю сумму вертикальных проекций всех сил, получим
— rny — my" + P(t) = 0
или
у" + — у- — P(t) = O.
т т
Введем обозначение
0?=^-. (1.19)
т
Тогда дифференциальное уравнение 'Примет вид
У'+<и2у- -Lp(t)=O. (2.19)
7П
Интеграл этого (неоднородного обыкновенного линейного дифферен-
циального уравнения второго порядка состоит из общего интеграла соот-
ветствующего однородного уравнения
у+ (и2у==0 (2'.! 9)
и из частного интеграла неоднородного уравнения, который может быть
479
найден одним из известных методов, .«например, методом вариации по-
стоянных. Полный интеграл имеет вид
t
у “у0 cos mt -ф -— sin mt + j Р(н) sin <о (t — и) du, (3.19)
о
где через и во избежание путаницы обозначено время, которое изме-
няется в пределах от нуля до значения t. В процессе интегрирования ве-
личина t считается постоянной. Через у» и уР обозначены перемещение
и скорость, отвечающие моменту / = 0.
В формуле (3.19) первые двй члена правой части выражают собой
свободные или собственные гармонические" колебания, не зависящие от
силы P(t), последний же член выражает со-бой перемещения, вызывае-
мые силой P(Q. Если на протяжении интервала времени от и — 0 до
и = t сила Р(и) равна нулю, то остаются только свободные колебания;
если уп = 0 и у$ ~ 0, то остаются только вынужденные перемещения.
Продифференцировав выражение <3.19) по параметру t, найдем об-
щее выражение Скорости
t
у' = ~ шуо sin cos mt + -—J/5(и) COS <o (t — ll) du. (4.19)
и
Выражение (4.19) дает полное решение задачи о движении, совер-
шаемом упругой системой с одной степенью свободы под влиянием на-
грузки, изменяющейся во времени по какому угодно закону,
§ 4.19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ СИСТЕМЫ
Собственные колебания системы, как уже упомянуто, выражаются
так:
f
V -_Уо cos -у--- sin «Л (5.19)
Если мы дадим времени t приращение Т такое, что
(6.19)
то правая часть формулы (5.19) останется без изменения. Отсюда видно,
что Т есть период собственных колебаний, т. е. время, в течение которого
система совершает одно полное колебание. Величина w носит название
круговой, или циклической, частоты.
Для краткости будем называть ее просто частотой.
Число собственных колебаний, совершаемых в 1 сек., очевидно,
равно —.Так к-ак из (6.19) следует, что
2л
“ = у, (7.19)
то можно сказать, что круговая частота есть число полных колебаний, со-
вершаемых в 2г. сек.
Одна из важнейших -задач динамики состоит в определении собствен-
ных частот. Для рассматриваемой модели величина выражается фор-
мулой (1.19). Делая подстановку
480
а также пользуясь обозначением
Gi = 1 g = g
т тВп Д *
где Д == —статический прогиб пружины от действия собственного
веса массы т, можно получить следующие выражения для
(8-19)
Частота собственных колебаний растет с увеличением жесткости
пружины и с уменьшением (массы т. Инженер, желающий повысить или
понизить частоту собственных колебаний проектируемого сооружения,
может добиться этого путем изменения либо жесткости конструкции, либо
ее веса, либо того и другого.
Для дальнейших приложений нам. понадобится другое выражение
для ш. При свободных колебаниях условимся отсчитывать время t от
того момента, когда колеблющаяся гм асе а проходит через свое среднее
положение.
Тогда Vo =* 0 и из (5.19) получается
Уо . , , .
V— ----Sin шГ; у = у0 COS Ю
(О
или
.Умакс = —; ?макс =Уо = шУмакс. (9-19)
Кинетическая энергия массы т непрерывно изменяется в процессе
колебаний и достигает максимума:
т (-^макс)2
-----2----=' У ш “ Ц.ахс» (10.19)
где f7MaKC представляет собой кинетическую энергию массы т в ее сред-
нем положении при той же амплитуде _умакс, но при частоте 1.
Потенциальная энергия достигает максимума, когда масса т нахо-
дится в крайнем положении; кинетическая энергия .в этот момент равна
нулю: она полностью перешла в потенциальную. Обозначим последнюю
через №ыакс. Легко видеть, что
^макс = Г п У макс *
Приравняем друг другу оба выражения:
^макс ш ^макс-
Отсюда
ш, = И«акс (П Д9)
Омаке
Формулой (11.19) можно воспользоваться для точного определения
частоты собственных колебаний системы с одной степенью свободы и для
приближенного определения частоты собственных колебаний упругой
стержневой системы, имеющей бесконечно большое число степеней сво-
боды. Точное решение показывает, что такая система имеет бесконечное
множество различных частот. Свободные колебания такой системы могут
быть изображены в виде геометрической суммы бесконечного множества
простых гармонических колебаний; каждому из этих гармонических ко-
лебаний отвечают своя особая форма деформации стержня <и своя ча-
31—И. М. Рабинович
481
стота. Как показывает опыт, свободные колебания затухают тем бы-
стрее, чем выше их частота. Поэтому на практике в большинстве случаев
ограничиваются определением самой низшей, так называемой «основной»
частоты. Ей отвечает самая простая форма деформаций.
Для определения частоты задаются приближенно формой колебаний.
Например, если речь идет о поперечных колебаниих плоской стержневой
системы с несмещающимися узлами, задаются уравнением прогибов всех
стержней в виде функции X (х), удовлетворяющей воем условиям закреп-
ления концов стержней (граничным условиям). Прогиб в любой точке,
который изменяется в любой момент по закону простого гармонического
колебания, выражают в форме
у (х, t) = аХ (х) cos mt, (12.19)
где а — некоторый множитель, зависящий от начальных условий.
Отсюда скорость
уг (х, t) — — атХ (х) sin mt
или
y'^(x,t) = -a«>X(x). (13.19)
В дальнейшем для краткости будем писать X вместо X (х).
Уравнение (12.19) является приближенным, во-первых, потому, что
заданная функция Х(х) не отвечает точному решению задачи, а во-вто-
рых, потому, что это уравнение предполагает, что в процессе колебаний
форма упругой линии остается неизменной; перемещения всех точек пред-
полагаются изменяющимися в одинаковой пропорции (умножаются на
cos о /), таи что соотношение между ними в любой момент остается без
изменения.
В том случае, когда речь идет о колебаниях изгиба, максимальная
потенциальная энергия стержневой системы выражается так:
rjy __'V Р M^dx _V P£Va2 (X" )2 dx
макс J 2 '
где
Х"=^-. (14.19)
Максимальная кинетическая энергия при ш='1 на основании (13.19)
равна
о о
где — погонная масса балки и всех грузов, лежащих на ней. Отсюда
г
^£J{X’')2dx
j------. (16.19)
о
Задавшись формой упругой линии X, мы можем вычислить числи-
тель и знаменатель дроби (16.19) н определить таким образом ш'2.
На практике часто бывает удобнее задаваться не упругой линией,
а статической нагрузкой /?(х), вызывающей упругую линию. Тогда обыч-
ным. путем по< заданной нагрузке находят эпюру изгибающих момен-
тов М, а затем путем двукратного интегрирования — упругую линию X-
В этих случаях числитель может быть найден либо как удвоенная потен-
482
циальная энергия деформаций, либо как. удвоенная работа статической
нагрузки q(x) на вызванных ею перемещениях, т. е. можно писать
г
О
(16'.19)
или
^=2^
(16". 19)
§ 5.19. ПРИМЕРЫ
Пример 1. Определить частоту собственных колебаний балки по-
стоянного сечения с шарнирно опертыми концами и с равномерно распре-
деленной по всему пролету массой pZ.
Как показывают более точная теория и опыт, основной формой соб-
ственных колебаний такой балки является плавная выпуклая симметрич-
ная кривая; на нее в виде мелкой зыби налагаются деформации более
сложного характера. Пренебрежем этими более мелкими и частыми ко-
лебаниями и примем за функцию Х(х) упругую линию, возникающую
от равномерно распределенной статической нагрузки произвольной интен-
сивности q (фиг. 482). Тогда
Х = —^-(/3x-2Zx3 + x4).
Ц»ИИИ111Ш1111111Ш1»Н
<Ьиг. 482
Примем <7 — 24. При этом получим
X = ~ (Рх - 2Zx3 + х4); Л1=-у-------------Ч~ = 12/х - 12х’;
I I
Р M?dx __ Г (12Zx — 12x2)2 _ 24 /5
J EJ J EJ ~~'~e7'
о о
To же самое мы получили бы, если бы подсчитали удвоенную работу
внешних сил:
\^qXdx~-- f-|i-(Z3x-2/xs + x4)rfx=— JL.
О о
Далее
i г
f = f —— (Z3x - 2Zx3 + x4)2 dx = .
J J (EJ)i V
0 0
Отсюда
= 1/- 24/5 31^9 = 9,88 -\f~EJ
Ш ~ V 5EJ 1 630(£/p “ /2 К ix ’
(17.19)
31*
483
1 . пх
— sin—’ которая
EJ I 1
Если бы мы задались упругой линией в форме X =
также удовлетворяет условиям на опорах и представляет собой в про-
межутке от х = О до х = I выпуклую кривую» то получили бы
M*=-EJX" = — sin — =— EJX \
/2 I /2
Р NPdx ___ т^Е I С
J EJ VJ
откуда
Точное решение задачи, которое получается из дифференциаль-
ного уравнения в частных производных, показывает, что самая низшая
частота ш как раз равна этой величине, т. е.
Пример 2. Определить частоту собственных колебаний балки по-
стоянного сечения с защемленными концами, несущей равномерно рас-
пределенную массу.
Уравнение упругой линии, отвечающей статическому действию рав-
номерно распределенной нагрузки q = 24, имеет вид
X = -Т- (Г-хг — 21х3 + х4),
откуда получается
О
Z9 t
63О(£У)з ’
Affiix
о
22,45
(18.19)
Из приведенных двух примеров видно, что частота собственных ко-
лебаний балки при .всех условиях закрепления ее концов прямо пропор-
циональна корню квадратному из жесткости поперечного сечения EJ,
обратно пропорциональна корню квадратному из погонной массы р, об-
ратно пропорциональна квадрату пролета и значительно повышается при
замене шарнирного опирания защемлением концов.
§ 6.19. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Пусть на плоскую стержневую систему, находившуюся в покое, в мо-
мент t = 0 начала действовать нагрузка вида
? (*) ?(0,
где q(x) — произвольная функция от х;
ср (/) — произвольная функция от t
484
Для приближенного решения задачи снова будем считать, что упру-
гая стержневая система имеет одну степень свободы. За форму колеба-
ний Х(х) примем упругую линию, отвечающую статическому действию
нагрузки <7(я).
Ниже, в § 18.19, указано, при каких условиях это допущение может
считатьс я пр иемлемым.
Для модели системы с одной степенью свободы мы получаем из фор-
мулы (3.19) при г/о = 0 <и Уо —Л) следующее выражение:
t
у =—1— [ Р (и) sin ы (t — и) du. (19.19)
com J
о
Чтобы приспособить ее к случаю распределенной .нагрузки, преобра-
зуем ее предварительно при помощи подстановки—=(оВп, которая легко
и>т
получается? из (8.19). Тогда
у =<о8п §Р(и) sin w (t — и) du. (19'.19)
о
Эту формулу можно истолковать так: в любой момент перемеще-
ние у равно статическому прогибу, который получился бы от силы
t
Р9КВш J£*(&)s*n— tt)du.
о
Формуле (19.19) можно дать несколько иной вид, если воспользо-
ваться обозначениями
P(u)du = dS (а)
и
8пР(и)=Лт(«), (б)
где dS — элементарный импульс силы Р(и)\ yzr(u) —статическое пере-
мещение, отвечающее силе Р(и)\
t
у == J sin о? (t— и) dS (19". 19)
о
и
t
у = w f уст (и) sin ш (7 — и) du. (19'". 19)
Применяя формулу (19'. 19) к нашей стержневой системе, можно ска-
зать, что в произвольный момент t прогиб в любой точке будет таков,
как если бы на балку действовала статическая нагрузка, интенсивность
которой равна
t
&q W J ?(») sin w (t — a) du .
Но от нагрузки q(x) возникает упругая линия, ординаты которой мы
обозначили через Х(х), следовательно:
t
У (*> 0 = (х) © (я) sin (о (t — и) du. (20.19)
§ 7.19. ВЛИЯНИЕ ВНЕЗАПНОГО НАГРУЖЕНИЯ
Внезапное нагружение произвольной нагрузкой q(x), которая затем
остается постоянной, характеризуется тем, что
при t < 0 ?(/)= 0; при /> 0 ?(£) — 1.
485
Отсюда по формуле (20.19)
у (х, t) = шХ (х) j sin со (t — и) du — X (х) (1 — cos ==
=лт(1 — cos ^);
~~-У (х, 0 — °>Х (х) sin ш/.
Полученное выражение показывает, что балка совершает гармони-
ческие колебания около статической упругой линии Х(х). Перемещения
у(х, /) изменяются в пределах от 2Х(х) до 0; перемены знака не проис-
ходит. При int—Tz получается у ~2Х (х), т. е. наибольший прогиб в любой
точке равен удвоенному статическому прогибу.
(21.19)
§ 8.19. ВЛИЯНИЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ
Пусть при / = 0 внезапно появилась нагрузка q(x), которая затем
оставалась без изменения до момента t = т, после чего внезапно исчезла.
Будем считать, что продолжительность т невелика по сравнению с пе-
риодом собственных колебаний и во всяком случае не превышает !/4 пе-
риода, так что
тс
(ОТ С -— .
2
В таком случае из формулы (21.19) при t < т получается
v(x,t)<X(x), -g->0,
т. е. во время действия нагрузки деформация еще не успеет достигнуть
величины статической, а скорость еще остается положительной. Отсюда
ясно, что деформация достигнет максимума уже после исчезновения на-
грузки, т. е. при t > т. При этом
_о
-г t
У (х, 0 = (х) f 1 • sin ш (t — и) du + J0 sin (о(t—u) du
Lo т
= X (х) [cos со (t — т) — cos <о£] = 2Х (х) sin ~~ sin (о --------.
(22.19)
Из формулы (22.19) следует, что система совершает свободные гармони-
ческие колебания около ненагруженного состояния с частотой ш и ампли-
тудой 2A*(x)sin . Следовательно:
у (х, г)макс, мин = ± 2Х (х) sin^-. (22'. 19)
При статическом действии нагрузки прогиб равнялся бы X (х), сле-
довательно, множитель 2sin представляет собой динамический коэф- '
фициент, т. е. отношение наибольшего прогиба к статическому:
Уиам =2 sin — = 2 sin (23.19)
Уст 2 Т
где Т — период собственных колебаний.
Динамический коэффициент показывает, что эффект кратковремен-
ной нагрузки зависит от ее продолжительности, выраженной в долях пе-
риода собственных колебаний. В табл. 18 дано значение -Умакс- при
Уст
различных значениях величины —.
486
Таблица 18
т т 0,00 0,01 0,02 0,05 0,10 0,167 0,20 0,30 0,40 0,50 >0,50
-У макс Лт 0 0,052 0,126 0,313 0,618 1,000 1,175 1,617 1,902 2,00 2,00
Например, при -=г «0,01 величина ~Умакс =0,052, т. е. при такой
* Уст
продолжительности допускаемая деформация получится при нагрузке,
которая больше допускаемой статической в 19 с лишним* раз.
§ 9.19. ВЛИЯНИЕ МГНОВЕННОГО ИМПУЛЬСА
Мгновенный импульс конечной величины может возникнуть только
при действии бесконечно большой силы. На практике при расчете соору-
жений приходится иногда иметь дело с импульсом весьма большой силы,
имеющей весьма малую продолжительность. Такой импульс приближенно
принимается за мгновенный; как мы сейчас увидим, это идет в запас
прочности.
Представим себе импульс, распределенный по длине стержневой си-
стемы по некоторому заданному закону. Интенсивность его на погонную
единицу обозначим через s(x). Мы можем воспользоваться предыдущим
решением, если примем., что продолжительность х действия нагрузки
q(x) бесконечно мала. Импульс элементарной нагрузки q(x)dx равен.
tq (х) dx — s (х) dx,
откуда
Наибольшее перемещение выразится попрежнему формулой (22'. 19).
Умножим и разделим правую часть ее на шт:
(ОТ
sin ~2”
^макс, мин ~ i АГшт — ~ •
(ОТ
Т
Но кривая /Ушт есть упругая линия, которая возникает от статиче-
ского действия нагрузки <oq (%)т, т. е. от нагрузки ш$(х). Отсюда непо-
средственно вытекает, что по отношению к расчетному эффекту кратко-
временный, распределенный по любому закону импульс s(x), эквивален-
тен статической распределенной нагрузке, имеющей в любой точке интен-
сивность, равную
(ОТ
. . sin -у-
WS (х) 2 .
(ОТ
т
Легко убедиться, что величина ш$(х) имеет размерность кг!см\
Можно написать
(ОТ
Sin —
9.КВ W = ± <°s (X)-----— . (24.19)
(ОТ
487
Если импульс приложен в одной точке и имеет (величину S, то экви-
валентная ему статически приложенная в той же точке сила Рэкв вы-
ражается формулой
шт
sin ——
P,KB=»S-------1—. (25.19)
(ОТ
~2~
Полученный 'вывод дает нам возможность просто (Производить при-
ближенный расчет сооружения на действие импульса. Необходимо, од-
нако, еще раз напомнить, что в основу этого вывода положены два допу-
щения: 1) что колебания происходят, как в системе с одной степенью
свободы; 2) что форма колебаний совпадает с упругой линией, отвечаю-
щей названной статической нагрузке.
Известно, что для всякого угла а отношение <1 и что это отно-
шение стремится к единице, когда а стремится к .нулю. Отсюда следует,
что из двух импульсов, имеющих одну и ту же величину, но разную про-
должительность, более опасным будет более кратковременный. Наибо-
лее опасным из всех импульсов, имеющих заданную величину, является
импульс мгновенный. Для него эквивалентная статическая нагрузка вы-
ражается так:
?«.(•*) = ± “«(*): (24'.19)
Дкв = ± •»$- (25'.19)
Необходимо полностью уяснить себе, почему при уменьшении про-
должительности ~ эффект постоянной силы Р стремится к нулю, а эф-
фект постоянного импульса S стремится к максимуму. В первом случае
импульс силы S == Рт; при уменьшении т он стремится к нулю. Во вто-
ром случае импульс S при любой величине т сохраняет неизменную ве-
личину.
В формулах (24.19), (25.19), (24'. 19), (25'.19) нашла себе выражение
важная особенность действия кратковременного и мгновенного импуль-
сов. Она заключается в том, что эквивалентная статическая нагрузка за-
висит не только от величины импульса, но также от свойств самого соору-
жения. Чем жестче и легче сооружение, тем выше его частота ш и, сле-
довательно, тем значительнее эквивалентная нагрузка; чем подат-
ливее и легче сооружение, тем меньше величина эквивалентной на-
грузки.
§ 10.19. ПРИМЕР
Рассчитать однопролетную балку постоянного сечения с шарнирно
опертыми .концами на действие мгновенного1 равномерно распределенного
импульса интенсивностью s.
Для частоты собственных колебаний такой балки выше была полу-
чена формула
w== 9.88 -|/-£7
К н *
Эквивалентная статическая нагрузка имеет интенсивность
*7экв =
Отсюда
488
= , 5 q,KBP_ = Wsll_ .
У макс, мкн — 384 ' EJ у EJ,,. ’
^иаке мнн= ± ± 1.24S l/'ZZ !
MaKCj Мни Q 1/ *
Г [Л
Г) ___1_ ^экв£ = 4,94s -| Г Е] .
^макс, мин — 2 ~ I у ~ ’
F [Л
__ М _____ Me ___ Me_____, l,24s<? , Г~р
— ~^Г — ± ~Г~ у ’
„ - QS - , 4>/"T
T bl - Ibr V >
(26.19)
где e — расстояние наиболее удаленного -волокна до 'нейтральной оси;
г — радиус инерции.
Полученные формулы -показывают, что увеличение жесткости EJ не
влечет за собой столь значительного уменьшения прогибов, какое полу-
чается при статическом действии нагрузки. Изгибающие моменты и попе-
речные силы, несмотря на статическую определимость балки, зависят от
величины EJ — растут с увеличением этого параметра. Все деформации и
напряжения обратно пропорциональны корню квадратному из погонной
массы р. Достаточно увеличить вес сооружения, чтобы тем самым достиг-
нуть уменьшения напряжений и деформаций. Расчетный изгибающий
момент не зависит от пролета, а поперечная сила даже обратно пропор-
циональна пролету. В балках, имеющих геометрически подобные попереч-
ные сечения, расчетные нормальные напряжения обратно пропорциональ-
ны коэффициенту подобия. Все это показывает, насколько мало можно
руководствоваться привычными представлениями, взятыми из области
статики сооружений, когда хотят разобраться в явлениях динамики.
§ 11.19. ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИОННОЙ НАГРУЗКИ
Этот вид нагрузки встречается особенно часто в промышленных со-
оружениях и заслуживает особого внимания. Вибрационная распреде-
ленная нагрузка может быть изображена так:
q (x,t) = Я (х) cos9£,
где 9 —частота вибрации нагрузки.
В частном случае нагрузка q(x) может свестись к сосредоточенной
силе*<2; тогда
Q(0 = Qcos Gt.
Общее решение (20.19) принимает вид
V (х, t) = «>Х (х) J cos вй Sinai (t — и) du =Х (х) —.г~м~ X
о
X (cos Of — cos <nt) = — 8 (cos St - cos <ot). (27.19)
Формула (27.19) выражает совокупность двух гармонических коле-
баний, имеющих одинаковую амплитуду ---> но разные частоты
’-к)
489
<о и 0. Те колебания, которые имеют частоту ш, существенно -влияют на
перемещения только в начальной («переходной») стадии; по прошествии
времени, равного нескольким периодам, они обычно затухают, и остаются
только колебания с частотой G (так называемые установившиеся, или
стационарные, вынужденные Колебания). Для них
У<*> *) =---
1- —
(28.19)
Множитель
2
является динамическим коэффициентом, т. е. отношением наибольшего
перемещения в любой точке к тому, которое получается при статическом
действии нагрузки q(x)* На фиг. 483 показана зависимость 'коэффици-
ента k от отношения . Его абсолютная ‘величина возрастает по мере
приближения отношения ™ к единице.
При = 1, т. е. при совпадении частот вынужденных и собственных
колебаний, из формулы (28.19) получается k = со . Однако в этом случае
замена формулы (27.19) приближенной
Фиг. 484
незаконной; необходимо обратиться к более точной формуле (27.19) и
раскрыть неопределенность:
/ v / х COS 6^ COS тг / \ 0 1/ / х tot • j
У (%> t) = X (х) - . 2 = JV (х) -Q- — X (х) ~2~ sin (2g 9)
Неограниченно возрастающие колебания, выражаемые формулой
(29.19), показаны на фиг. 484.
Резонанс характеризуется еще одной особенностью: вынужденные
т
перемещения, выражаемые формулой (29.19), сдвинуты по фазе на —
относительно возмущающей силы Poos со/; они достигают наибольшей
величины в те моменты, когда сила обращается в нуль.
Следует, впрочем, отметить, что при больших амплитудах теория ма-
лых колебаний неприменима, поэтому поведение сооружения при резо-
нансе является более сложным. Во всяком случае остается верным тот
вывод, что деформации могут достигать значения, во много раз превы-
шающего их статическую величину.
490
§ 12.19. ВЛИЯНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
□ Обычно ограничиваются расчетом на 'вибрационную нагрузку
того типа, который был разобран в предыдущем параграфе. Рассмотрим
теперь движение, производимое нагрузкой, изменяющейся по произволь-
ному периодическому закону. Пусть P(t)— периодическая функция,
имеющая период х и соответственно — частоту 8 = —.
Можно было бы разложить функцию P(t) в ряд Фурье и, следова-
тельно, представить движение в виде суммы бесконечного ряда простых
гармонических колебаний. Однако этот способ решения задачи неудобен.
Проще — обратиться к общей формуле:
, t
У (ty “Vocos + — sin orf-j- ®8П Jp(n) * sin w J w) du (30.19)
и
Нетрудно убедиться, что в общем случае формула (30.19) выражает
непериодическое движение. Непериоднчность объясняется тем, что в мо-
мент / =• т состояние системы, вообще говоря, будет отличным от состоя-
ния, которое система имела в момент t = 0; поэтому второй период
начнется при других условиях, чем первый, и т. д.
Для того чтобы движение было периодическим, необходимо так подо-
брать начальные значения величины t/о н y’Qt чтобы были выполнены
условия: у (т) =#о н у' (т) =*у’о, т. е.
y0 = y0C°StDT + ~ sin СОТ -|~ 0)Sn J Р(и) since (т — ц) dir,
о
Vo =* Vo cos 0)т — “Vo sin J ^(tt) cos 0) (т — II) du.
и )
Для краткости введем обозначения:
т
соЗц J Р (и) sin со (т — и) du = Ут ;
со2Вц f Р(и) cos® (т — и) du~Yz.
о
(31.19)
(32.19)
Величины Yz и У' выражают перемещение и скорость, отвечающие
моменту t = т , при условии, что в начальный момент (при t = 0) система
находилась в покое.
Решение уравнений (31.19):
Ут (1 — COS ют) + — У х sin (ОТ
_у0 и 2 (1 — COS (От)
_уо = ь = — ( К — CD ут cig
(33.19)
Итак, если сообщим системе в начальный момент перемещение
ро — л и скорость У^~Ь, где а и b выражаются формулами (33.19), то
движение станет периодическим. Достаточно изучить движение, выражае-
мое формулой:
491
f
y(f) = a cos mt 4- sin 4~ <.o8n J P (u) sin <o (t — u) du (34.19)
о
при t. e. на протяжении первого периода. При ^ = пт-|-/ь где
п — положительное целое число, y(t) = г/(Л), y'{t) =yf{t\)*
Итак, формула (34.19) остается справедливой для любого момента
времени, если в нее вставить вместо переменной t положительную
величину которая меньше х н представляет собой остаток отделения
t на х.
Если в начальный момент система имела произвольные значения
величин t/o и у(}, то при помощи подстановок t/0 = г/0 4-а — и и
V,' = у^ 4- Ь — Ь можно преобразовать формулу (34.19) следующим
образом:
6
у (t) = acos4- — sin4- (,)^ц JР(и) sinю (^ — и) du +
о
4- (у0 — и) cos a>t 4- — (_уо — b) sin (35.19)
Первые три члена формулы (35.19) выражают собой установившиеся
вынужденные колебания с периодом х . Эти колебания, вообще говоря,
не являются простыми гармоническими; их характер зависит от вида
функции Р(и). Последние два члена формулы выражают свободные
гармонические колебания с частотой «. Эта формула справедлива для
всех значений t
Формулой (35.19) следует пользоваться для вычисления перемеще-
ний, отвечающих переходному состоянию системы, когда собственные
колебания еще играют заметную роль. По истечении некоторого времени
после начала движения свободные колебания затухают; движение приоб-
ретает установившийся периодический характер, и практически можно
пользоваться формулой (35.19), приравняв в ней последние два члена
нулю, Наибольшее значение y(t) отнюдь не всегда получается во второй
стадии движения: переходное состояние может оказаться опаснее уста-
новившегося. Поэтому рекомендуем разыскать значения г/макс по обеим
формулам и большее значение принять за расчетное.
Существует бесконечное множество резонансных частот периодиче-
ской нагрузки. Все эти частоты выражаются формулой 9 = где
k — произвольное целое число. Соответствующие периоды нагрузки
равны т — = kT, т. е. они являются кратными периода Т собствен-
ных колебаний системы. Действительно, при таких значениях периода х
оказывается, что ctg + оо , следовательно, а == оо, b — оо,
т. е. для приведения системы в состояние периодического движения по-
требовалось бы сообщить ей бесконечно большие начальные перемещение
и скорость.
Наличие резонанса при х = kT легко доказывается также непо-
средственно на основании формулы (30.19). Положив в ней #0 = 0,
v;)—- 0, t — т , получаем
_у(х) = i»8n J Р(Ц) sine» ( —-uj du = — i»8n Jp(h) sin&udu = С;
о о
492
у (2т) = 1»&п J Р (u) sin с» — uj du -J-
о
2т 2т
f* /4^тт \ р
4~ <*А1 | Р(п) sin с» (—---и} du~= С — юВц I Р(и) sin <&и du.
Т
При помощи подстановки и — т -|- иг второй член преобразуется
в — шВц J Р (iii) sin ю (— + = С, следовательно» у (2т) = 2С~
о
==2у (т) и вообще у (пт) = пу (т). Отсюда ясно, что перемещения неогра-
ниченно возрастают.
Итак, резонанс возникает не только от нагрузок, период которых сов-
падает с периодом собственных колебаний системы, но и от таких на-
грузок, период которых является кратным последнего. Это необходимо
иметь в виду при расчете сооружения на периодическую нагрузку.
Исключениями из этого правила являются некоторые особые законы
изменения нагрузки во времени, а именно те, при которых оказывается,
что = Ут — 0. Такая нагрузка, будучи приложена к системе, находив-
шейся в покое, приводит ее в конце каждого периода т снова в состоя-
ние покоя. Ясно, что при этом резонанс возникнуть не может.
Одним из таких частных законов является, например, закон
P(t)= Ро cos 9 6 где — целое число, не равное единице; т •
В этом случае
т
Ут = ш8пР0 J cos 9п sin ш (т — и) du =
о
= (coset - cos (cos 2ir - cos2to) = 0;
Ft = Рощ1!&11 J cos G u cos 0)'(T ~ u) du ~
= Я (t» sin ют — 9 sin Вт) = -^-—4 (t» sin 2kn — 9 sin 2л) = 0.
<j>2 - CH 4 7 CO- -- 0^ x 7
Анализируя формулы (32.19) н (33.19) можно доказать, что при
т < “ величины а н b всегда будут конечными, т. е. периодическая
нагрузка, имеющая более высокую частоту, чем , не может вызвать яв-
ления резонанса. Это, однако, не значит, что ее можно не принимать во
внимание. □
§ 13.19. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ
И СВОБОДНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
□ Интеграл (19.19), выражающий вынужденные перемещения при
каком угодно виде функции Р(Р)> может быть изображен геометрически
в виде особой диаграммы, наглядно ’изображающей весь ход изменения
перемещения y(t).
Пусть графим Р (и) задан в прямоугольных координатах (фиг. 485).
Возьмем произвольную точку О (фиг. 486) и произвольную прямую О А
и будем откладывать величины P(u)du в последовательном порядке
493
в виде бесконечно малых векторов, наклоненных под углом «и к лучу ОЛ.
Совокупность этих векторов образует непрерывную кривую Out. Ёе урав-
нение в декартовых координатах (а, р) в параметрической форме напи-
шется так:
t t
а = J Р (и) cos <audu\ р == J sin &udu.
о о
Обе координаты имеют размерность импульса (кг. сек),
Кривая Out обладает рядам замечательных свойств, часть которых
будет здесь указана. Доказательство читатель может найти в статьях
автора этого геометрического метода
а) Любой момент времени и или t изображается той точкой кривой,
в которой касательная (наклонена к лучу Оа под углом, соответственно
равным w и илн
Касательная равномерно вращается против часовой стрелки, причем,
углу .ее поворота 2 к отвечает время = Г.
б) Длина любого участка диаграммы, заключенного между двумя
ее точками, равна импульсу внешней силы за соответствующий промежу-
' ток времени.
в) Радиус кривизны tC в любой точке t равен
т. е. выражает в определенном масштабе значение возмущающей снлы
или статического перемещения. Постоянной силе отвечает дуга окруж-
ности; бесконечно большой силе—прямолинейный участок кривой.
Если сила, начиная с некоторого момента t, исчезает, то кривая в этой
точке заканчивается, и все дальнейшие моменты времени изображаются
той же точкой.
Если сила возобновляется после интервала времени, равного т, то
кривая возобновляется, но касательная успевает повернуться за этот ин-
тервал времени на угол (фиг. 487).
Если сила в момент t изменяет свой знак на обратный, течение диа-
граммы начинается в обратную сторону (фиг. 488).
’И. М. Рабинович, К расчету сооружений на действие снл, изменяющихся
во времени по произвольному закону, «Вестинк Военно-ииженерной академии» № 20,
1937; Геометрический метод решения задач динамики упругих систем, сборник «Общая
прочность и устойчивость сооружений прн действии взрывной нагрузки», Стройиздаг,
1944; К геометрическому методу решения задач динамики упругих систем, сборник
«Исследования по динамике сооружений», Стройиздат, 1947.
494
г) Если мы разложзим радиусдзектор 1? (фиг. 489) на нормальную*
к кривой, составляющую Ki и тангенциальную КО, то получим
кд=-^-у'Ю, (37.19)
т. е. нормальная составляющая (выражает в определенном масштабе пере-
мещения у (/), а тангенциальная в другом масштабе — скорость y'\t).
Когда радиус-вектор R в какой-либо
точке нормален к кривой, перемещение y(t)
достигает максимума или минимума, а ско-
рость обращается в нуль. Когда он становит-
ся касательным к кривой, перемещение об-
ращается в нуль.
д) Свободные колебания характеризу-
ются тем, что касательная равномерно вра-
щается вокруг неподвижной точки /; переме-
щения н скорости характеризуются проек-
циями неподвижного радиуса-вектора на
вращающиеся взаимно* перпендикулярные направления. Покой характе-
ризуется обращением радиуса-вектора R в
ной точки диаграммы с полюсом О.
нуль, т. е. совпадением конеч-
е) Для примера на фиг. 490 показана диаграмма, выражающая дви-
жение под действием повторяющихся через
меня т одинаковых мгновенных импульсов
внльйого многоугольника со сторонами,
'длина которых (в условном масштабе)
равна S н угол между которыми равен ап.
Вершины многоугольника расположены,
очевидно, на окружности; диаметр по-
следней равен
D
S
(ОТ
sin "
одинаковые промежутки пре-
s. Диаграмма имеет вид пра-
Фнг. 490
Для любого момента t из диаграммы
сразу получаются проекции Kt и КО, вы-
ражающие перемещение y(t) и скорость
y'(t). Движение, вообще говоря, неперио-
дическое; оно имеет характер биения. Ра-
диус-вектор сначала растет, причем его
наибольшая величина не может превзойти диаметра D, т. е. y(t) <ш8иР;
затем R начинает убывать и т. д. □
§ 14.19. ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННЕГО ПОГЛОЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ
□ Статическое и динамическое испытание образцов из различных
(материалов показывает, что при нагружении и разгрузке часть энергии,
495
(38.19)
затрачиваемой на деформацию, теряется в необратимой форме, превра-
щаясь в теплоту и рассеиваясь в окружающем пространстве.
При статических испытаниях эти отступления от идеальной упругости
материалов и конструкций выражаются в образовании петли гистерезиса
(фиг. 491) при циклическом процессе нагружения и разгрузки, протекаю-
щем в пределах упругости. Мерилом поглощающей способности мате-
риала может служить безразмерный параметр
, Ди/
Y— “1F >
где Д1Г — площадь петли гистерезиса;
W — площадь треугольника ОАВ, выражающая работу деформации
на пути от ненагруженного до крайнего деформированного состояния
образца.
Опыты показывают, что «коэфсфнциент поглощения» Ф мало зависит
от скорости деформирования и от амплитуды t/о, что делает его весьма
удобной характеристикой материала.
При действии Динамической нагрузки и в особенности при действии
вибрационной нагрузки характер петли гистерезиса, как уже сказано,
мало изменяется ПО' сравнению с петлей, получаемой при статическом воз-
действии. При этом появляются другие, резко бросающиеся в глаза при-
знаки поглощения энергии, — затухание свободных колебаний (фиг. 492)
и снижение амплитуд деформаций при резонансе до конечной величины.
При достаточно быстрых вибрациях обнаруживается также заметное
выделение тепла. Для динамических расчетов свойство материала погло-
Фиг. 492
щать энергию в необратимой форме имеет иесравнвнно большее значе-
ние, чем. для статических расчетов.
Коэффициент поглощения имеет интегральный характер: он охва-
тывает полный цикл нагружения и разгрузки. Между тем для составления
дифференциальных уравнений движения необходимо иметь характери-
стику, относящуюся к каждому моменту /, а не ко всему циклу в целом.
Притом необходимо иметь функциональное (выражение силы, а не ра-
боты. Эта функция должна быть такова, чтобы сила неупругого сопроти-
вления не зависела от величины скорости у\ чтобы эта сила изменяла
свой знак на обратный одновременно с изменением знака у', чтобы работа
силы за цикл отвечала коэффициенту <ь ; наконец, желательно, чтобы
функция была линейной, а ме переводила бы практические расчеты со-
оружений в область нелинейных дифференциальных уравнений.
В настоящее время происходит ревизия основных гипотез, на кото-
рых должна быть построена теория колебаний с учетом поглощения энер-
гии. В этом направлении ведутся исследования Центральным научно-
исследовательским ^институтом промышленных сооружений (ЦНИПС),
показавшие неудовлетворительность применявшейся до сих лор гипотезы,
496
согласно которой сила внутреннего неупругого сопротивления - пропор-
циональна скорости К
Изложение, которое дано ниже, основано в согласии с работами
ЦНИПС на принятии того положения, что характеристикой поглощаю-
щей способности материала является указанный выше коэффициент ф,
который не зависит от скорости и величины деформаций.
Петля гистерезиса, как показывает опыт (см. вышеупомянутую
статью Е. С. Сорокина), представляет собой узкую полоску, суживаю-
щуюся к концам. Принятие того или иного аналитического выражения
для этой кривой слабо отражается на законе движения. Поэтому мы до-
пустим, что ее очертание таково, как будто на протяжении цикла сила
сопротивления пропорциональна скорости у', но в то же время эта сила
имеет такую величину, при которой площадь петли и коэффициент ф
не зависят ни от скорости у\ ни от величины деформации.
Обозначим силу, сопротивления через 2kmy'\ Коэффициент при у'
обозначен через 2km в целях получения более простых окончательных
формул. Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы
с одной степенью свободы имеет вид
или
ту” -\-2kmy' + гцУ=0 v
у” -ф- 2kyf + ш1 2 *_у = 0 .
(39.19)
Установим связь между коэффициентами k иф. Для этого pacctor-
р1им установившийся процесс вынужденных гармонических колебаний,
происходящих с какой-нибудь частотой' 6 и с постоянной аплитудой г/о-
Работа силы 2kmy'- на протяжении одного полного колебания пред-
ставляет собой площадь А1У петли гистерезиса. Она равна
В 4 4
AU7=4j 2kmy'dy = 4 j 2kmy'y'dt = 8km f (y')-dt.
oo о
Но при гармонических колебаниях
У = _у0' cosO£,
где Уо — скорость в момент t =* 0. Следовательно:
-с т
? [4 / I I
/yW=8km\ (у0'У cos2 6tdt= 8km (уй')2 \ f— + — sin 26Z
0 о 4 J
= km СУэТ' = km(y0')2 —.
Далее
w_ П1Л.Ю Hl f X V
2 2 \ 0 )
Ho A UZ= ф W, следовательно:
2
1 См. статьи E. С. Сорокина в книге: «Исследования по динамике сооружений»,
Стройиздат, 1951, а также в сборниках «Исследования по теории сооружений», Строй-
издат, вып. IV, 1949; вып. V—1951 и И. Л. Корейского в «Вестнике инженеров
и техников», № 2, 1938 г.
32—И. М. Рабинович 497
Сделав подстановку г11=тш2, получим из последнего равенства
(4O.!S>
Формула (40.19) показывает, что k не есть число, постоянное для
данного материала; оно изменяется в зависимости от величин ш и 6.
Установив выражение для k, мы будем в дальнейшем считать в со-
гласии с опытом, что оно остается достаточно справедливым и для сво-
бодных затухающих колебаний системы.
Интеграл дифференциального уравнения (39.19) имеет вид
у = е-“ (у0 cos e>! t +-^- Sin в>1< ) =
—е 4nfl (у0 cos + -^5- sin , (41.19)
\ wi /
где
= (41'.19)
Формула, близкая к (41.19), получена ранее на основании несколько
иных соображений Е. С. Сорокиным.
Частота «ъ обычно мало отличается от«. Главный эффект погло-
щения энергии выражается не в изменении собственной частоты системы,
а в затухании колебаний. Согласно формуле (41.19) последовательные
амплитуды колебаний (фиг. 492) убывают по закону геометрической про-
фессии, знаменатель которой равен
2kn
е-^+тг). е-м = е-кт1==е~ ". =6Г-\
Показатель степени 8 носит название логарифмического декремента. Он
характеризует быстроту затухания колебаний. Так как при свободных ко-
лебаниях 9 = Юр то
S = = -i- (— V. (42.19)
CDj 2 \ C1>1 /
В случае действия периодической силы Pcos tit дифференциальное
уравнение движения принимает вид
у" + 2йу' + ш2у = — cos bt.
m
Его ^интегралом служит функция
у = e~ki (Д cos + В sin о)^) -j- С sin (fit — а), (43.19)
где
С ~------7ГТТ7- ____- , tg а=----------. (44.19)
ТП У(ш2_ 02)2+ 402jfe2 & 0)2-92 V
Первый член формулы (43.19) представляет свободные затухающие
колебания, а второй — вынужденные. Когда 6 < ,
то
tga > 0, а > 0,
вынужденные колебания по овоей фазе отстают от возмущающей силы.
Когда 0 > сп, происходит обратное явление. Когда 0 — , получается
tg а = со , « = -2-.
498
Амплитуда вынужденных колебаний С может быть выражена через
перемещение 5СТ, отвечающее статическому действию силы Р на идеаль-
но упругую систему, при помощи преобразований
р
zn<o1 2 = rn И -=SCT.
Гн
Для этого нужно вынести в знаменателе из под знака корня множи-
тель о)2:
С --------7_*гт _______________ 8ст . (45.19)
/('-р+р
Такую же формулу получил И. Л. Корчннский исходя из несколько
иных предпосылок.
При малых значениях коэффициента поглощения ф амплитуды мало
отличаются от амплитуд идеально упругой системы. Чем больше вели-
чина ф, тем меньше величина амплитуды.
Влияние поглощения зависит от соотношения —. Когда — представ -
(О ш
ляет (собой малую величину по сравнению с единицей, величина 6 не
имеет существенного значения и при 6 -> 0 получается
/->______в ст___
Следовательно, при самых малых частотах возмущающей силы ампли-
туда все же остается меньшей, чем Йст. Этот вывод вполне согласуется
с основной гипотезой о 1независи1мости относительной величины погло-
щаемой энергии от скорости.
Прн больших частотах 6, когда есть большое число, влияние
коэффициента ф на амплитуду С незначительно.
Наибольшая величина амплитуды достигается не при — =. 1, а при
6 Ш1
— =1. Тогда из формулы (45.19) получается
С=— 8СТ. (46.19)
Ф
Этот вывод имеет важное
практическое значение.
Он показывает, что при до-
статочной величине коэффициен-
та поглощения ф сооружения мо-
гут безопасно работать в зоне ре-
зонанса. На фиг. 493 показано
семейство кривых, выражающих
изменение динамического коэф-
фициента
1 И. Л. Корчинский, Расчет строительных конструкций на вибрационную
нагрузку, Стройиздат, 1948, стр. 40.
32*
499
в; функции от — при различных значениях ф. Эта фигура не совпадает
ш
е графиком, который приводится до сих пор в курсах динамики сооруже-
ний, но расхождение между ними не очень значительно.
Численные величины коэффициента ф указаны для некоторых мате-
риалов и конструкций в табл. 19 и 20, которые заимствованы из статьи
проф. Ю. А. Нилендера 1 и из упомянутой выше книги И. Л. Корчинского.
Таблица 19
Материал Значение Ф Материал Значение Ф
Железобетон ........ 0,25
Сталь высокосортная Кирпичная кладка 0,23
строительная ...... 0,018 Сосна 0,10-0,07
Чугун серый . . .. . . . .. 0,23 Бук ............ 0,14
Медь . 0,33 Пробка натуральная .... 0,038
Бетон (а = 10 кг/см2) . . . 0,26 1. Резниа ..... 0,24
Таблица 20 ’
Тип конструкции Значение Ф
Металлические мосты 0,04-0,30
Деревянные клееные балкн 0,12
Обычное деревянное перекрытие 0,35
Железобетонное безбалочное перекрытие 0,35-0,76
Железобетонные ребристые перекрытия 0,39-0,78
Железобетонные мосты ..... 0,63
Как видно из этих данных, мы располагаем пока недостаточными н
довольно расплывчатыми численными значениями коэффициента ф. □
§ 15.19. ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО ИЗГИБАЮЩЕГО УДАРА
Пусть на стержневую систему с высоты h падает масса М. Скорость
этой массы в момент встречи с препятствием равна
v = V2gh,
а количество движения равно
Mv = My2gh.
По окончаии1и .процесса удара суммарное количество движения должно
остаться таким же. Отсюда мы можем определить скорость движения
стержневой системы, отвечающую моменту окончания удара.
Предварительно, однако, нужно знать, какой характер имеет удар:
упругий, (Неупругий, образуются ли на поверхности конта1кта обоих тел
значительные местные деформации. Последние охватывают часть мате-
риала <и совершаются с известной скоростью; при этом поглощается часть
количества движения, так что на долю общих деформаций всего соору-
1 Ю. А. Ниленде р, Современное состояние вопроса о внутреннем сопротивле-
нии материалов, сборник «Динамические свойства строительных материалов», Строй-
издат, 1940.
500
имения остается лишь часть всего количества движения. Таким образом»,
местные деформации уменьшают общую деформацию сооружения.
Ограничимся рассмотрением жесткого удара, т. е. такого, при котором
можно пренебречь местными деформациями. В то же время будем счи-
тать удар совершенно неупругим, т. е. таким, при котором по окончании
удара оба тела движутся совместно, не отделяясь друг от друга. Нако-
нец, продолжительность удара будем считать весьма малой.
При таких допущениях задача решается следующим образом. Пусть
удар произошел в некоторую точку А сооружения по направлению, сов-
падающему с ее перемещением _уЛ. Зададимся формой упругой линии
X (х). Ординату этой кривой в точке А казовом ХА . Ударяющее тело
имеет массу М и скорость v.
После удара масса М и сооружение будут 'иметь в точке А некото-
рую скорость va . Скорости остальных точек системы будут пропорцио-
нальны соответствующим ординатам Х(х) упругой линии, т. е.
/ / \ X (х)
V (x) = -~^-vA.
ЛА
Суммарное количество движения до удара и после удара должно
остаться одним и тем же, следовательно:
Afo = Mva + J vA Р dx
ил и
Mv
vA —------------------.
Для краткости введем обозначение
к„Р„в=SJ i *dx • (48-19*
Тогда
7.-^- -v- (49.19)
М + тприв
Здесь тприв (приведенная масса) есть, очевидно, такая масса, ко-
торая, будучи помещена в точке А, имела бы такое же количество дви-
жения, которое имеет вся стержневая система. В ряде других вопросов
динамики приведенной массой называется другая масса, а именно такая,
которая, будучи помещена в точке А, имела бы кинетическую энергию,
равную кинетической энергии сооружения:
^прив^д 1 с/х \2 ,
~т- = т)М
откуда
^прив = J V-dx . (50.19)
Кинетическая энергия системы в момент окончания удара будет
। 1 V(7 X \2 2 , (м + ,йпрнв) а
~ + Т ч (Лд) =------Г~ •
501
Обозначим максимальный прогиб в точке А через у а Прогибы во
всех остальных точках будут соответственно равны
2^LV
хА у*’
а потенциальная энергия системы в момент наибольшего прогиба будет
TOXf Дд S’257 <•*)*
Она должна быть равна сумме кинетической энергии, имевшейся в мо-
мент окончания удара, и работы силы Mg на пути, равном уд :
(М+т^^А + MgyA = dx •
Можно упростить это уравнение, определив при помощи уравнения
работ статический прогиб, вызываемый в точке А силой Mg:
о
или
V
^EJ(X'"P<tx '
Подставив это выражение уп в предыдущее уравнение, получим
М2/И?уст.уд- (М + тприв)_уст ®л2 = О
или
.. 9 О лл (М + Жприв Л/2
Mgy’A~ 2Mgy„yA - (М + <в)г Уо* = О,
откуда _________
+р/1-Н-'йН’51]- (5,|9>
Имея уд , мы тем самым получим и расчетную упругую линию
В том частном случае, когда груз не падает с некоторой высоты,
а просто внезапно появляется на балке, т. е. при v — 0, получается
Ул=2у„.
Если пренебречь разницей между величинами щприв и тври8, формула
получит вид
У=J'CTI 1 + 1/” 1 + —-лг-г^—г1- (51'.19)
Л Тот [ I У I gycT (М ,„прив) V 7
Формулы (51.19) и (5И19) показывают, что с увеличением ско-
рости встречи падающего тела с преградой (с увеличением высоты паде-
ния) прогиб резню возрастает.
502
§ 16.19. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ КАК СИСТЕМЫ
С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
□ Изложенная выше теория колебаний системы с одной степенью
свободы имеет практическую ценность для приближенного динамического
расчета сооружений, но она дает слишком неполную картину поведения
сооружений, находящихся под действием динамических нагрузок. Более
точная теория раскрывает нам более богатую и интересную ’Картину и по-
зволяет более сознательно относиться к применению приближенных мето-
дов, а также судить о степени их точности.
Рассмотрим простейшую из стержневых систем — балку постоян-
ного сечения. В(се характерное в поведении более сложных систем можно
усмотреть уже ив этою простого примера.
. Условия динамическою равновесия элемента стержня выводятся из
условия статического ра!вновеаия
EJ = р,
dx* г
где р — погонная нагрузка.
При свободных колебаниях погонной нагрузкой являются силы инер-
ции, интенсивность которых равна
д2у
р = — ,
где р — погонная масса.
Тогда дифференциальное уравнение свободных колебаний
дХ д2у
= (52,19)
Интеграл этого однородного линейного дифференциального -уравне-
ния четвертого порядка в частных производных мы будем искать в форме
произведения двух функций, из которых одна зависит только от перемен-
ной х, а другая — от t\
у = X{x)T(t) — XT. (53.19)
Производные пишутся так:
д^у diX д-у dzT
X = Т~гт=ТХ^^ -L^x xr^
dx4 dx* ’ dt* dt*
При помощи этих выражений уравнение (52.19) принимает вид
EJTX^yXT' = 0
или
Левая часть уравнения (54.19) не зависит от t, а правая — от х, сле-
довательно, обе не зависят ни от той, ни от другой переменной, и ос-
есть постоянная. Дифференциальное уравнение (52.19) распадается на
два обыкновенных:
Г' + ш2Г=0 и XV-^X=O. (55.19)
Первое нз уравнений (55.19) имеет знакомый нам вид: оно совпадает
с уравнением (2.19) при условии, что P(i) = 0, т. е. выражает собой свей
503
бодные гармонические колебания системы с одной степенью свободы,
имеющей частоту «к
Второе уравнение определяет форму X упругой линии колеблюще-
гося !стержня. Эта форма такова, что
EJX^^yX, (56.19)
т. е. X представляет собой статическую упругую линию, вызываемую по-
гонной нагрузкой о)2рХ. Особенность этой упругой линии, как показы-
вает уравнение (56.19), состоит в том, что соответствующая ей нагрузка
в любом элементе dx стержня пропорциональна перемещению (про-
гибу) X того же элемента. При действии произвольной нагрузки, распре-
деленной по стержню, такое соотношение между ее интенсивностью
в любой точке и прогибом в той же точке, как известно, не имеет места.
Функции X удовлетворяющие соотношению (56.19), носят название
«собственных функций», а по их физическому смыслу они являются
«главными» или «нормальными» формами колебаний.
Интересно отметить, что уравнение (56.19) аналогично уравнению
балки на сплошном упругом основании, ио с тем. отличием, что в данном
случае «упругое основание» обладает отрицательным коэффициентом
отпора, равным —
Проинтегрируем уравнения (55.19). Интеграл первого из них имеет
вид
Т= A cos В sin mt (57.19)
При интегрировании второго примем, что масса распределена по
длине балки равномерно, т. е. р = const. Тогда
X = sin kx + С2 cos kx + C3 sh kx + ch kx, (58.19)
где
А==|Л -jirj- или . (59.19)
Постоянные А и В зависят от начальных условий движения, а по-
стоянные С; — от граничных условий.
Пусть, например, балка шарнирно оперта по концам на жесткие
опоры. Тогда
Х(0) = 0 и Х"(0) = 0.
откуда -следует, что
С2 С4 = о и k2 (— с2 4~ £4)= 0.
Откинув решение k=0, при котором из (58.19) получается X — 0,
т. е. состояние покоя, мы приходим к выводу, что
С2 = С4 =: 0, X — C]Sin&x С3sh&x.
Далее из граничных условий Х(1) — 0 и Х"(1) = 0 следует:
CiSin^/ + C3shkl = 0; 1
— Cisin#/+ C3sh&/= 0. 1
Эти два уравнения тождественно удовлетворяются при Ci = С3 = 0,
но такое «тривиальное» решение опять выражает собой состояние покоя,
при котором X — 0; при отсутствии внешней нагрузки такое состояние,
очевидно, принадлежит к числу'возможных состояний- равновесия. По-
стоянные С] н С3 могут быть отличными от нуля только при условии, что
(а)
(60.19)
504
sin shkl
— sin kl sh kl
или
2sin£Zsh£Z = 0.
Решение sh kl опять является тривиальным, так как приводит к вы-
воду k О, X = 0. Практический интерес представляет последнее воз-
можное решение
smkl = 0.
Это так называемое характеристическое уравнение имеет бесчис-
ленное множество корней:
, ПК . ,ч EJ 1ПХ
kn= —; “»=—¥~- <61-19)
Каждому значению собственной частоты (.»„ отвечает своя форма
колебаний Хп.
Из уравнения (а), в связи с тем что sin£Z~0, получается С3 = 0.
Итак:
(62.19)
т. е. п-я. форма представляет собой кривую, содержащую п полуволн си-
нусоиды. Нечетным знаачениям п отвечает симметричная форма, а чет-
ным — обратно симметричная форма.
Известно, что интеграл однородного линейного дифференциального
уравнения представляет собой сумму его частных интегралов, поэтому
Л = 1
“00
= 2 (А» sin <^+Вп cos sin (63.19)
л-1
(произведения постоянных СхАп и С\ВП мы заменили обозначениями Ап
и Вп}.
Итак, свободные колебания балки в самом общем случае представ-
ляют собой сумму бесконечного множества простых гармонических 'коле-
баний, каждое из которых совершается w своей особой частотой и со
своей особой формой изгиба Л,г.
Нетрудно понять, что от 'суммирования таких вибрирующих упругих
линий не получается постоянная форма результирующей кривой. Если мы
будем снимать моментальную фотографию с колеблющейся балки, то в
каждое новое мгновение снимок упругой линии будет иметь другое очер-
тание. Движение настолько сложно, что оно производит впечатление хао-
тичности, беспорядочности. Произведенный математический анализ по-
зволяет разобраться в этом кажущемся хаосе и разложить его в простран-
стве и во времени на простейшие, упорядоченные элементы.
Принципиально решение остается таким же самым для балки с лю-
бым устройством опор и для любой стержневой системы. □
§ 17.19. ОСОБЫЕ СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
□ Рассмотрим любую стержневую систему с любыми граничными
условиями и любым законом распределения масс.
а) Применим принцип взаимности работ к двум воображаемым со-
стояниям статического равновесия балки, из которых первое характера-
505
эуется упругой линией Хт и соответствующей статической нагрузкой
wm?Xmt а второе — упругой линией Хп и нагрузкой где
т и п—(произвольные индексы:
§&трХтХ dx =1&п\ъХ Xmdx
о о
или
г
(<4 — ш’) \y.XmXndx = 0.
О
Так как
Ш ш ,
т ' /р
ТО
fcXmXndx = 0. (64.19)
о
Соотношение (64.19) выражает собой важное свойство нормальных
форм колебаний — свойство их взаимной ортогональности.
Соотношение (64.19) справедливо не только для систем с непрерыв-
но распределенными массами, но и для систем, имеющих наряду с непре-
рывно распределенными массами сосредоточенные. Сосредоточенную
массу M-t можно рассматривать как распределенную на участке dx и
А'Ъ
имеющую интенсивность = —, так что для‘Соответствующего элемента
dx
dx получается р$х = Мь При такой расширенной трактовке (интеграла
соотношение (64.19) остается без изменения. В явном виде свойство орто-
гональности в рассматриваемом общем случае можно писать так:
= 0, (65.19)
О
где под Xmi Хп следует понимать ординаты кривых Хт, Хп в точке •при-
ложения массы Mif а знак L распространяется на вое точечные массы.
б) Принцип взаимности, как нам известно', в одинаковой мере спра-
ведлив для работы внешних и внутренних сил. В случае балочной си-
стемы, работающей только на изгиб, обобщенной внутренней силой яв-
ляется изгибающий момент EJX", а соответствующим обобщенным пере-
мещением — взаимный поворот X"dx. Поэтому свойство ортогональности
нормальных форм для такой системы можно записать также в следую-
щем виде:
\EJX'mX'ndx = Q- (66.19)
о
Если мы будем рассматривать систему, испытывающую, кроме из-
гиба, продольные и поперечные усилия, то уравнение (66.19) заменится
более общим, содержащим работу всех внутренних сил.
в) Потенциальная энергия стержневой системы, совершающей сво-
бодные колебания, может быть выражена как работа внешних сил. В лю-
бое мгновение перемещение выражается формулой
y(x,t)= ^XmTm,
m = l
а соответствующая погонная статическая нагрузка — формулой
т
trr
506
Пютемщиальная энергия
Z 7Л = оо Л=оо
w-4J 2 ^ХпТп dx =
О m=l гс=1
т*-я /н=«, л=ао I
= 4-2 ю™ т”!^ах + 2 т-п TSv-Xm X„dx.
m*-l 0 т=1,л=1 О
Во второй сумме тч'п, поэтому по свойству ортогональности эта
сумма равна нулю, 'Следовательно:
/н= оо I т= <х>
W = 4 2 T”S t^dx = 2 (67.19)
m=l 6 m=l
т. e. потенциальная энергия раина сумме потенциальных энергий всех
нормальных составляющих полного перемещения.
Таким же способом легко доказывается, что и кинетическая энергия
в любой момент представляет собой сумму кинетических энергий всех
нормальных составляющих. При каком-либо другом разложении полного
перемещения на составляющие такой закон суммирования энергий не
будет справедлив.
Разумеется, что полная энергия, т. е. сумма потенциальной энергии
с кинетической во время свободных колебаний остается постоянной. □
§ 18,19 ВЫНУЖДЕННЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
□ Пусть на балку действует внешняя нагрузка, интенсивность кото-
рой в любой точке выражается формулой
q(x, f) = a?Xnf(t), (68.19)
где а — постоянная;
—ординаты п-й нормальной формы;
Р — погонная масса;
/(/) —.произвольная заданная функция от времени А
Эта нагрузка вследствие ортогональности нормальных форм совер-
шает работу только на перемещениях Хп\ потенциальная энергия всех
других форм остается равной нулю, следовательно, под действием такой
нагрузки система будет вести себя, как система с одной степенью сво-
боды. Она будет колебаться по форме Х„ с частотой В любой мо-
мент перемещения будут таковы, как будто на систему действует распре-
деленная эквивалентная статическая нагрузка 1интенсив1ностью
t
vnapX„$f(u) sin <оп (t — и) du.
о
Но от нагрузки Xn получаются прогибы Хп, следовательно, от выше-
указанной эквивалентной нагрузки получатся прогибы
t
у (х, t) = fW sin ш — u} du. (69.19)
о
Если на систему действует одновременно несколько нагрузок, интен-
сивности которых соответственно раины
а^Хп/(£),
507
где индекс п имеет несколько значений, то : . . . s
у (х, t)= V —J f(u) sin шл (t — и) du. (70.19)
« о
Докажем теперь, что -внешнюю нагрузку, распределенную по любому
заданному закону, можно представить в виде суммы нагрузок типа апуХп9
распространенной на всю бесконечную совокупность форм Хп, Рассуж-
дения здесь вполне аналогичны тем, при помощи которых выводятся фор-
мулы для коэффициентов разложения произвольной заданной функции
в ряд Фурье.
Пусть даиа нагрузка q(x)f(t), Попытаемся представить функцию
q(x) в виде
7(х) = £ а„рХ (71.19)
Допуская, что такое разложение нагрузки возможно, умножим обе
части этого тождества на функцию Хп, где п— произвольный индекс, и
проинтегрируем обе части в пределах от 'х = 0 до х = I:
$q(x)X„dx = m£ an‘^XmX„dx.
0 т~ 1 0
По свойству ортогональности, ib правой части пропадают все члены,
для которых т п, и остается только один член, так что
| qXndx-—atl J yX*ndx.
Отсюда
г
qXndx
й„ = Т------. (72.19)
£ рХ2п dx
Если в числе нагрузок имеются и сосредоточенные силы Pif то их
можно рассматривать как распределенные на участке длины dx, причем
qdx~P. В этом случае формула (72.19) может быть записана так:
+ £ РХп
л о
“ I ’
. J ^ndx
_ о
где Хп — ординаты кривых Хп в точке приложения силы Р.
После того как коэффициенты ап будут вычислены, перемещения вы-
разятся формулой
П = оо f
у(х, 0 = u)du, (73.19)
/2 = 1 П О
а изгибающие моменты — формулой
50§
§ 19.19. ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИОННОЙ НАГРУЗКИ
□ Пусть, например, нагрузка изменяется по простому гармониче-
скому закону с некоторой частотой 9:
q(x,t) = <7(x)cos
Тогда по аналогии с формулой (27.19) получится
П “ оэ
У (X, t) = V - (cos 9? — cos . (75.19)
~ И1 2
n =
Явление резонанса возникнет при 6 — w/;i т. е. при совпадении ча-
стоты возмущающей силы с любой из собственных частот системы.
Нужно, впрочем, заметить, что -при . О = явление резонанса воз-
никнет только при условии, если ап #= О, т. е. если нагрузка действи-
тельно содержит составляющую, пропорциональную кривой !ы¥/г Если
этой составляющей нет, резонанса не будет. Если, например, нагрузка
q(x,t) распределена по пролету симметрично, >а частота 9 совпадает с
частотой о>Л одной из обратно симметричных собственных форм, явление
резонанса, теоретически говоря, не должно возникнуть. Однако на прак-
тике мы никогда не можем гарантировать, что нагрузка абсолютно сим-
метрична или что тот или иной коэффициент ап строго равен нулю, а не
является просто малой, величиной. Это заставляет по возможности избе-
гать резонанса.
Собственные колебания могут иметь существенное значение лишь во
время переходного состояния; по прошествии некоторого времени после
начала действия вибрационной нагрузки сохраняется только стационар-
ный колебательный процесс, выражаемый формулой
у (х, t) = cos Ы у (76.19)
Бесконечный ряд, стоящий в правой части формулы (76.19), гораздо
проще рядов (73.19) и (74.19), отвечающих любому другому закону из-
менения нагрузки во времени. Действительно, по формуле (76.19) все
нормальные колебания совершаются с одинаковой частотой 6 и в оди-
наковой фазе, т. е. система ведет -себя так, как будто бы она имели только
одну степень свободы. Но для систем с одной степенью свободы нет на-
добности пользоваться бесконечными рядами. Замкнутое решение задачи
указано проф. Н. И. Безуховым L Оно основано на применении метода
начальных параметров, оказавшегося чрезвычайно плодотворным в ста-
тике сооружений.
Поскольку речь идет только о чисто вынужденных колебаниях, сле-
дует принять
Г—cos6£, = — 92,
Т
и дифференциальное уравнение (56.19) для участка, на котором нет
внешней нагрузки, заменить таким:
= (77.19)
1 Н. И. Безухое, Некоторые обобщения методов строительной механики
в динамике сооружений, сборник «Исследования по теории сооружений», вып. III, Гос-
х стройиздат, 1939.
509
а формулу (59.19)—формулой
‘-/IT
(78.19)
Интеграл уравнения (77.19) выразим, как это принято в методе на-
чальных параметров, при помощи линейных комбинаций тригонометри-
ческих и гиперболических функций; например, при помощи следующих
функций:
-i- (cos kx ch kx) — Ax ;
-i- (cos kx — ch kx) = Cx ;
-i- (sin kx + sh kx) = Bx ;
£
~ (sin kx — sh kx) = Dx,
(79.19)
где k выражается формулой (78.19). Эти гиперболо-тригонометрические
функции удобны тем, что их производные любого порядка выражаются
через те же функции:
-^- = -Юх; = ^- = -kB- ^L- = kCx, (80.19)
дх дх дх дх *
а также тем, что
(81.19)
Ло — 1J Во — Со — Dq — 0.
Интеграл уравнения (77.19) содержит эти функции с четырьмя по-
стоянными, которые мы обозначим через /?i, R?> Rz, Rv-
y = 2{R} Ax 4- R2CX + R.BX 4- R,DX) cos Ot;
<? = 2k (- R^DX - R2Bx + /?3Д v 4- R4CX) cos
M = 2k2 EJ (R {CX 4- + R.DX + R4BX) cos Gt;
Q = 2k2 EJ (RlBx — R2DX 4- R5CX 4- R4AX) cos W.
Из (81.19) прих = 0 получается значение граничных параметров:
y0 = 2/?t; ?0==2ЭД3; Л10 = 2k~EJR2; Qo = 2k?EJR4,
поэтому формулы (81.19) для амплитудных эпюр, отвечающих значению
cos 0/ = 1, принимают окончательно следующий вид:
' х k х ‘ Elk2 х 1 EJ& х
<Р = <РОАГ——вх 4--2«-г -уМх\
М. = МЪАХ + -5“- вх + ynk2EJCx + '^kEJD-,
k
Q == - у ^EJBX + ^k2EJCx - M^kDx.
(82.19|
Пусть, например, однопролетная балка с шарнирно опертыми кон-
цами натружена в середине пролета пульсирующей силой PcosQ/
(фиг. 494). Требуется найти наибольшие значения у, % Д4 и Q.
Наибольшие усилия и деформации получаются во всех сечениях одно-
временно при cos (it — 1.
Граничные условия таковы:
уо = О; М„ = 0; <?г=0; <2г =4-
2 2 2
510
Последние два условия -запишутся в виде уравнений
?оЛ£+Й’2С-'=О;
2 2 2 2
Решив эти два уравнения, определим параметры
РС± Al
т „ ________2 . n _ Р 2
‘° 2£JA«M2i ° 2 А\ ~C2Z ’ (83-19)
\ "2 2"/ “ “2
после чего сможем по формулам (81.19) построить все эпюры.
Например, эпюра изгибающих моментов выражается уравнением
M=-^-Bx+<f0kEJDx-,
Фиг. 494
эпюра Q — уравнением
Q = QoAr *1~ Чъ№Е1Сх
и т. д. Все эпюры — криволинейные. Ординаты кривых Ах, Вх, CXf Dx
берутся из готовых таблиц этих функций или вычисляются по обычным
таблицам тригонометрических и гиперболических функций.
Если мы изменим жесткость EJ, или погонную массу р или частоту
пульсации 0, то эпюры не останутся подобными, а примут существенно
иной характер, так как любое из указанных изменений (вызовет измене-
ние параметра k, который входит в состав безразмерного аргумента функ-
ций Ах, &х, Сх, Dx.
Для определения усилий и деформаций, характеризующих переход-
ное состояние системы, следует обратиться к формулам (73.19) и (74.19).
Без такой поверки нельзя быть уверенным в том, что наиболее опасным
является стационарное состояние, а не переходное.
Частота собственных ‘колебаний ю не фигурировала явно при выводе
формул для у, <?, М и Q. Можем ее легко найти, если определим ту
частоту пульсации 6, при которой возникает резонанс, т. е. при которой
усилия и деформации обращаются в бесконечность. Для этого достаточно
приравнять 'нулю знаменатель формулы (83.19):
А2[ — C2Z =0 или A t — ± С z .
~2 ' '2' ~2 ~2
Если > ,
a±=c_l>
2 2
ТО
kl . . kl kl . kl
cos----Hch----=cos — — ch —•
2 1 2 2 2
или
ch — =-0,
2
511
что невозможно; если
Л±=-с±-
• ' 2 2 -
то
kl . . А/ kl , . kl
cos-—“+ch—- =— cos—- 4-ch—
2 2 2 2
или
rns ы -о M — (2л+ 1)" .
. 2 2 - 2
. ,S=,D = fe2-|/'^e=(22±l)V1/'^... . ... ...
F u /2 Г u.
Мы получили формулу для частоты симметричных собственных коле-
баний балки, совпадающую с полученной ранее формулой (61.19).
Изложенное здесь решение задачи об установившихся вынужденных
колебаниях справедливо лишь при условии, что возмущающая сила изме-
няется по простому гармоническому закону. Если она изменяется по дру-
гому периодическому закону, то стержень уже не ведет себя как система
с одной степенью свободы и решение не получается столь простым. □
§ 20.19. О РАСЧЕТАХ СООРУЖЕНИИ ПО СХЕМЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ
СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
После изложенной выше теории расчета упругих сооружений как си-
стем с бесконечным числом степеней свободы м.ы .можем лучше разо-
браться в значении приближенного, расчета, ocHOBiaiHHoro на схеме систе-
мы с одной степенью свободы.
Для того 'чтобы такой приближенный расчет дал практически прием-
лемые результаты, необходимо, чтобы статическая упругая линия, вызы-
ваемая заданной нагрузкой, была близка по своей форме к одной из нор-
мальных форм Хп данной системы. Тогда на долю остальных форм, доста-
нется лишь сравнительно не-
большая часть внешней нагруз-
ки, которую в приближенном
расчете можно игнорировать.
Например, нагрузке представ-
ленной на фиг. 495 а, отвечает
статическая упругая линия, ма-
ло отличающаяся от первой
формы собственных колебаний
симметричной балки, а на
фиг. 495, б — мало отличаю-
щаяся от второй формы. Эти
статические упругие линии
можно приближенно принять
за формы собственных колеба-
ний и по ним вычислить соот-
ветствующую частоту w, а затем вычислить перемещения как для си-
стемы с одной степенью свободы.
Несимметричной нагрузке, представленной на фиг. 495, в, отвечает
несимметричная упругая линия, которая не может быть принята за фор-
му собственных колебаний, поэтому здесь необходимо разложить нагруз-
ку на симметричную и обратно симметричную и рассматривать балку по
меныией мере как систему с двумя степенями свободы.
512
§ 21.19. К ИСТОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СООРУЖЕНИИ
□ Литературе по динамике сооружений, имеющей уже более чем
200-летнюю историю и насчитывающей огромное количество исследова-
ний, мы можем уделить здесь лишь очень немного места.
Первые исследования, оказавшие заметное влияние па дальнейшее
развитие проблемы, были опубликованы в изданиях нашей академии наук
Даниилом Бернулли в 1741—1743 гг. и Эйлером в 1744 г. Уже в этих
работах был получен тот фундаментальный результат, что все частоты
свободных поперечных колебаний струны являются корнями одного
характеристического уравнения; это уравнение связано с интегрирова-
нием дифференциального уравнения динамического равновесия.
В «Аналитической механике» Ла-гранжа \ первое издание которой
вышло в 1788 г., имеется обширный отдел «О малых колебаниях любой
системы сил». В нем указан общий метод решения этой задачи и дано
его приложение к задаче о колебаниях натянутой струны, натруженной
несколькими массами, а также к задаче о колебаниях нерастяжимой
нити, нагруженной любым числом грузов. Лагранж, как известно, вывел
также уравнения, получившие название «уравнений второго рода», кото-
рые применяются и в настоящее время для решения разнообразных задач
динамики упругих систем.
В течение XIX столетия различным задачам динамики упругих си-
стем уделяли свое внимание многие авторы и в их числе наиболее выда-
ющиеся из тогдашних механиков и математиков: Пуассон (в 1828 и
1833), М. В. Остроградский (в 1831—1833 и др.), Рэлей (в 1877), Сан
Венан (в 1883). М. В. Остроградскому принадлежат выдающиеся работы
по теории удара и наиболее общая формулировка принципа возможных
перемещений, который является основой статики и динамики сооружений.
Много задач динамики упругих тел решено в обширных примечаниях
Сан Венана к изданному им в 1883 г. переводу теории упругости Клебша.
Другим ^классическим сочинением того времени является вышедшее пер-
вым изданием в 1877 г. сочинение Рэлея «Теория звука»1 2.
Характерно, что наиболее важные работы того времени принадлежат
теоретикам — математикам, механикам и физикам. Конкретные техниче-
ские задачи в этой литературе вплоть до конца 40-х годов XIX столетия,
можно сказать, отсутствовали.
Появление первых железных дорог дало почувствовать передовым
инженерам-строителям важность теории колебаний для расчета пролет-
ных строений мостов и верхнего строения рельсового пути. Первые рабо-
ты, посвященные этим, вопросам, появились в 11849 г., а за ними последо-
вал длинный ряд теоретических и немногочисленные эксперименталь-
ные работы, в которых давались формулы для приближенного расчета
балок на действие подвижной нагрузки и на удары колес. В этой серии
работ к числу наиболее выдающихся принадлежат исследования профес-
сора Н. П. Петрова (1836—1920)3, автора многих крупных работ по
вопросам механики, создателя гидродинамической теории работы смазки
в подшипниках. Ему принадлежит теория динамического расчета рельса
как многопролетной неразрезной балки, лежащей на широких опорах
(шпалах), которые обладают упругой податливостью. Н. П. Петров
1 См. русское издание: Лагранж, Аналитическая механика, т. I, Гостех-
издат, 1950.
2См. Рэлей, Теория звука, т. I и И, Гостехиздат, 1940 н 1944.
3 Н. П. Петров, Влияние поступательной скорости колеса на напряжение
в рельсе, «Записки Русского технического общества», №2н 12, Спб. 1903; Напряжения
в рельсах от вертикальных давлений катящихся колес. Влияние скорости и неправиль-
ного вида колес, Спб. 1907.
33—И. М. Рабинович
513
исследовал влияние скорости катящегося колеса на напряжения
в рельсе, влияние колебаний вагона на рессорах и ряд других задач
динамики.
В XX столетии (наряду с проблемой расчета на подвижную нагрузку
вое большее ‘место стали занимать вопросы расчета промышленньЕх и
гражданских сооружений на всевозможные динамические нагрузки.
Значительно усилилась теоретическая и экспериментальная разра-
ботка этих вопросов. В 30-х годах накопленный материал выделился
в новый обширный раздел строительной механики — динамику соору-
жений.
Экспериментальные исследования проблем динамики сооружений
проводятся в СССР в лабораторной обстановке и в натуре многими на-
учно-исследовательскими институтами, которые изучают поведение про-
мышленных и гражданских сооружений, мостов, кранов, фундаментов,
корпуса судов и самолетов и т. д. под действием разнообразных динамиче-
ских нагрузок. Теоретическая работа, находящаяся в близком контакте
с этими экспериментальными исследованиями, проводится в тех же инсти-
тутах и в высших учебных заведениях. Контакт теории с опытом и об-
ширный размах работы позволил динамике сооружений в СССР достиг-
нуть многих важных результатов, ряд которых внедрен в проектную
практику.
Общие вопросы динамики сооружений, как, например, способы уси-
ления сходимости бесконечных рядов, выражающих колебания балок и
других систем, способы решения характеристического уравнения для си-
стем с конечным, числом (степеней свободы и многие другие вопросы осве-
щены в блестящих трудах акад. А. Н. Крылова К Общие вопросы рас-
смотрены также в ряде работ других советских авторов.
Проф. С. А. Бернштейн1 2 указал способ приближенной двусторонней
оценки значений собственных частот для системы .с любым числом степе-
ней свободы.
Проф. Я. Л. Нудешыман3 исследовал при помощи интегральных
уравнений общие свойства колебаний стержневых систем с п степенями
свободы и влияние обобщенных связей на собственные частоты; проф.
Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн 4 установили важные свойства собствен-
ных форм и частот для стержневых систем с п степенями свободы, иссле-
дуя свойства матрицы, аналогичной матрице коэффициентов Обшир-
ный круг вопросов теории колебаний (разобр-ан в книгах акад. А. А. Андро-
нова и проф. С. Э. Хайкина 5, проф. Б. В. Булгакова 6.
Способы данам1ичес|кого расчета балок, рам и арок имеют обширную
литературу. Укажем на работы проф. К. С. Завриева 7, который улучшил
способ последовательных приближений в задаче об определении частот
и форм собственных колебаний; проф. Н. И. Безухова, который в указан-
ной выше работе дал эффективное решение задачи о вынужденных коле-
баниях стержневых систем и распространил метод деформаций, метод
1 А. Н. Крылов, О некоторых дифференциальных уравнениях математической
физики, имеющих применение в технических вопросах, собрание трудов, т. Ш. ч. 2,
1949; Лекции о приближенных вычислениях, собрание трудов, т. III. ч. I, 1949; Вибра-
ция судов, собрание трудов, т. X, 1948.
2 С. А. Бернштейн, Новый метод определения частот колебаний упругих
систем, изд. Военно-инженерной академии, 1939.
3 Я. Л. Нудельман, Методы определения собственных частот и критических
сил для стержневых систем, Техтеоретиздат, 1949.
4 Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн, Осцилляциониые матрицы н малые
колебания механических систем, Гостехнздат, 2-е изд., 1951.
5А. А. Андронов и С. Э. Хайкин, Теория колебаний, 1937.
в Б. В. Булгаков, Колебания, Техтеоретиздат, 1949.
7 К. С. Завриев, Динамика сооружений, Траисжелдориздат, 1946.
514
фокусов и другие на область динамики сооружений; проф. Н. К Снитко \
который решил ряд задач о колебаниях балок на жестких и упругих опо-
рах, арок и рам; проф. С. Т. Зальцберга 2 и доц. А. А. Белоуса 3; на опу-
бликованную Сейсмологическим институтом Академии наук СССР серию
работ В. И. Новоторцева 4, посвященных применению способа последо-
1вательных приближений *к динамичеакому ipiacneiy плоских и простран-
ственных рамных систем; на книгу Е. С. Сорокина 5, содержащую сравни-
тельно простые и 'Согласованные с опытными данными расчеты балок,
плит, арок и сводов.
Колебания тонк-остедаьгх стержней рассмотрены проф. В. 3. Власо-
вым 6.
Методы расчета на действие удара даны акад. А. Н. Крыловым 7,
проф. А. П. Филипповым 8, проф. Н. М. Герсевановым 9 и др.
Расчет сооружений на действие землетрясения также имеет большую
литературу. В этом направлении следует упомянуть названные выше
статьи В. И. Новоторцева, а также проф. К- С. Завриева 10, проф. А. Г.
Назарова п, проф. В. О. Цшохера 12.
В последние годы все большее вмимание уделяется разработке тео-
рии нелинейных колебаний, т. е. таких, которые не описываются линей-
ными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
К их числу относятся обычные упругие колебания при условии, когда их
амплитуда не может считаться милой, а также колебания систем, жест-
кость 1кото|рых зависит от перемещений или от времени. Примером нели-
нейных колебаний, встречающихся в строительных конструкциях, явля-
ются поперечные колебания сжатых или растянутых стержней. Законы
нелинейных колебаний глубоко отличаются от закона линейных колеба-
ний, ia их теория значительно сложнее. Этой проблеме посвящены иссле-
дования акад. А. Н. Крылова 13, проф. Н. М. Беляева 14, академиков
1 Н. К. Сиитко, Методы расчета сооружений на вибрацию и удар, М. — Л., 1953;
Определение частот собственных колебаний рамных систем и арок методом моментов,
сборник «Исследования» по теории сооружений, вып. V, Государственное издательство
литературы по строительству и архитектуре, 1951.
2 С. Г. Зальцберг, Расчет колебаний статически неопределимых систем при
помощи уравнений узловых перемещений, «Вестник инженеров и техников» № 12, 1935.
3 А. А. Белоус, Метод деформаций в динамике рамных конструкций, сборник
«Исследования по теории сооружений» № 3, Госстройиздат, 1939.
4 В. И. Новоторцев, Метод последовательных приближений, «Труды Сейсмо-
логического института» № 22, 23, 26, 1933; № 43, 44, 1934; № 68, 1935; № 70, 1935;
№ 77, 1936.
5 Е. С. Сорокин, Динамика междуэтажных перекрытий, Стройиздат, 1941.
6 В. 3. Власов, Тонкостенные упругие стержни, Государственное издательство
строительной литературы, 1940.
7 А. Н. Крылов, Вибрация судов, гл, VII.
8 А. П. Филиппов, Удар по прямоугольной пластинке, лежащей на упругом
основании, Академия наук СССР, Отд. технических наук, 1938; Удар по круглой
пластинке, лежащей на упругом основании, «Прикладная математика н механика»,
т. II, вып. 2, 1938.
9Н. М. Герсеванов, Теория продольного упругого удара с применением
к определению сопротивления свай, сборник «Новые методы расчета свай», Транс-
печать, 1930.
10 К. С. За ври ев, Динамика сооружений. Тбилиси, 1943.
11 А. Г. Назаров, Вынужденные колебания стоек при сейсмических явлениях,
сборник Закавказск. ин-та сооружений, вып. 3, Сейсмостойкость сооружений, Тнфлис,
1931; Теория колебаний с учетом внутреннего трения в применении к сейсмостойкости
сооружений, «Труды Тбилисского геофизического института», т. II, 1937.
12 В. О. Цшохер, Динамика в вопросах сейсмостойкого строительства, «Проект
и стандарт» № 12, 1935 и «Труды Сейсмологического института» № 79/10, 1938.
13 А. Н. Крылов, Вибрация судов, гл. V.
14 Н. М. Беляев, Устойчивость призматических стержней под действием пере-
менных продольных сил, сборник «Инженерные сооружения и строительная меха-
ника», Л. 1924.
33*
515
Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбовад-ра техн, наук И. И. Голь-
денблата 1 2.
Для практического проведения динамического расчета сооружений
необходимо иметь данные о динамических нагрузках: о силах инерции и
числе оборотов различных машин, станков и орудий, о характер котиках
паровозов, о скорости и давлении ветра, об ускорениях, развивающихся
при землетрясении, и т. д. -Собирание и изучение этих данных представ-
ляет собой важную научную задачу, далеко еще не решенную.
Основы динамики сооружений изложены более подробно, чем в дан-
ном курсе, в следующих книгах: проф. С. А. Бернштейна3, проф.
А. П. Филиппова 4, в названном выше курсе проф. К. С. Завриева, в кур-
се проф. И. П. Прокофьева и А. Ф. Смирнова 5, в книге И. М. Рабино-
вича 6 и в капитальной монографии акад. А. Н. Крылова «Вибрация су-
дов». □
1 Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов, Введение в нелинейную механику,
изд. Академии наук СССР, Киев, 1937; Исследование явления резонанса при поперечных
колебаниях стержней, находящихся под воздействием периодических нормальных сил»,
сборник «Исследование колебаний конструкций», Киев — Харьков, 1935.
2 И. И. Гольдеиблат, Современные проблемы колебаний и устойчивости
инженерных сооружений, Стройиздат, 1947; Динамическая устойчивость сооружений,
Стройиздат, 1948.
3С. А. Бернштейн, Основы динамики сооружений, Стройиздат, 1941.
♦А. П. Филиппов, Методы расчета сооружений на колебания, Строй-
издат, 1941.
5 И. П. Прокофьев и А. Ф. Смирнов, Теория сооружений, ч. Ш, Транс-
желдорнздат, 1948.
6 И. М. Рабинович, Основы динамического расчета сооружений на действие
мгновенных или кратковременных сил, Стройиздат, 1945.
Глава 20
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПОДПОРНЫХ СТЕНОК
§ 1.20. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Подпорные стенки, удерживающие землю от обрушения на выемках,
откосах, уступах и т. д., встречаются в различных областях гражданского,
промышленного и дорожного строительства, а также в горном деле, в
фортификации и при возведении туннелей. Немудрено, что задача о рас-
чете таких сооружений является одной ив старейших в строительной ме-
ханике и что посвященная ей литература насчитывает к настоящему (вре-
мени (по меньшей мере 250 лет.
Гораздо более неожиданным может показаться то, что мы до сих
пор не имеем удовлетворительной научной теории расчета таких соору-
жений. Объясняется это чрезвычайной трудностью статически неопреде-
лимой задачи о распределении напряжений внутри сыпучего' тела и на
его поверхности соприкосновения с другими телами и в особенности край-
ней неопределенностью тех физических факторов, от которых зависит
напряженное состояние сыпучего тела.
Достаточно указать на то, что частицы, образующие сыпучее тело,
имеют различную величину и форму, различную твердость и шерохова-
тость: что между ними действуют силы трения, которые даже в лучшем
случае чрезвычайно усложняют всякую задачу механики, в данном же
случае делают ее еще более неопределенной, так как эти силы меняются
в широких пределах в зависимости от степени влажности сыпучего
тела. 'Кроме сил трения, действуют еще более неопределенные силы при-
липания (сцепления). Каи показали исследования, производившиеся
в последние десятилетия, напряженное состояние земляной массы зависит
также от .капиллирного натяжения жидкости между частицами и давле-
ния воздуха, замкнутого между ними. Все это отражается на давлении,
оказываемом .земляной массой на преграду.
Способ и последовательность засыпки земли позади подпорной стен-
ки, естественное и искусственное трамбование, случайные или системати-
ческие сотрясения грунта, малейшие осадки и перемещения стенки под
влиянием собственного веса и давления грунта в свою очередь вызывают
значительные изменения величины и направления давления земли.
Нетрудно представить 'себе, насколько это осложняет задачу инжене-
ра -пр о ектировшика.
Все теории, предложенные до сих пор, оперируют с идеальным сыпу-
чим телом, наделенным некоторыми гипотетическими однородными свой-
ствами, иначе говоря, оперируют с той или иной расчетной схемой сыпу-
чего тела. Наряду с элементарными теориями к этой задаче прилагаются
методы теории упругости и пластичности; делались попытки рассматри-
вать сыпучее тело как совокупность отдельных шариков или цилиндри-
517
ков, прикасающихся друг к другу своими поверхностями; привлекались
методы статистической механики. Однако эти методы ока131ал'ись доста-
точно слюмовы-ми и не нашли себе значительного применения © проектной
практике.
Существенное значение имеет -глубокое изучение основных физиче-
ских свойств коллоидосодержащих влажных грунтов — их трения, сцеп-
ления, набухания и усыхания. Значение этого особенно увеличилось
в связи с проектированием и возведением в СССР гигантских строек.
Теорией давления земли и решением инженерных задач, связанных
с этим давлением, занимались многие исследователи у нас и за рубежом.
Известны выдающиеся работы проф. Г. Е. Паукера (12/Х 1822 —
29/Ш 1889), который дал впервые формулу для расчета глубины зало-
жения фундамента, и проф. С. И. Бел-зециого *, который ее усовершен-
ствовал, -а также относящиеся к концу XIX и началу XX столетия работы
профессоров/ В. И. Курдюмова, М. А. Лехмцкого, Л. Ф. Николаи.
В СССР этими вопросами успешно занимались проф. И. П. Прокофьев и
проф. Н. М. Героев ано в. В последнее время проф. И. П. Прокофьев про-
вел в лабораторной обстановке экспериментальное -исследование давле-
ния земли на стейку, верхний конец которой удерживается от смещения2.
Серьезным шагом на пути к общему решению задачи о равновесии
и давлении сыпучего тела явилось возрождение на новой и глубокой
основе идей предельного равновесия и предельного напряженного состоя-
ния сыпучей -массы. В СССР эти идеи получили значительное развитие
в трудах дроф. В. В. Соколовского3, а также в нескольких статьях инж.
В. И. Новоторцева. Графическая трактовка тек же идей принадлежит
проф. С. С. Голушкевичу (см. § 11.20—14.20).
§ 2.20. ОБ УСЛОВИЯХ РАВНОВЕСИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ
Представим себе тело, лежащее на шероховатой плоскости и нахо-
дящееся под действием силы Р, которая образует с нормалью к плоскости
угол а (фиг. 496). Пусть коэффициент трения равен f. Разложим силу Р
на нормальную составляющую W и сдвигающую Г. До тех пор, пока
Т < Nf, тело будет оставаться в по-
кое. При Т > /V/ тело сдвинется с
места и будет перемещаться, причем
движущая сила будет равна Р — Nf.
При Т = Nf тело будет находиться
в состоянии предельного равновесия-.
достаточно ничтожного повышения
силы Р, чтобы тело начало двигать-
ся. Итак, предельное состояние на-
ступает при таком значении а = ср,
когда
T — Nf,
или
Р sincp = p/coscp,
или
__________ (1.20)
1 С. И. Белзецкий, Статика сооружений, т. I, вып. I, «Статика сыпучих тел
и расчет подпорных стенок», Спб. 1914.
2 И. П. Прокофьев, К вопросу о давлении грунта на жесткую стенку, вра-
щающуюся вокруг верхнего конца, «Труды Московского института инженеров транс-
порта», вып. 69, 1946,
3В . В. Соколовский, Статика сыпучей среды, изд. Академии наук СССР,
1942; 2-е изд., Гостехиздат, 1954.
518
/ос
р /
N
сг
Т
Фиг. 496
Угол -р, определяемый формулой (1.20), как известно, называется
углом трения. Пока сила Р отклонена от нормали на угол, который мень-
ше % она будет прижимать тело к поверхности, но неспособна будет
сдвинул; его с места.
Из сказанного следует, что если сила N остается постоянной, а си-
ла Т изменяется, то сила трения оказывается [величиной переменной, ко-
торая при условии Т < Pf равна сдвигающей силе Т. Величина Pf есть
верхний предел силы трения.
Рассмотрим теперь следующий более 'сложный случаи: пусть дей-
ствуют справа сила Т, слева— сила Q и по нормали — сила N (фиг. 497).
Если 0 < Q < Т — Nf, то равновесия не будет и тело будет двигаться
влево. Если Q > Т ф- Nf, то движение
будет происходить вправо. В обоих слу-
чаях сила трения будет иметь вполне оп-
ределенную величину, а именно Nf и оп-
ределенные направления — против дви-
Фиг. 497
жения.
Отсюда следует, что при заданной
силе Т'р> Nj существуют два предель-
ных состояния, которым отвечают два различных направления силы тре-
ния + Nf и два различных значения силы Q:
1) Q = Т — Nf (предельнее состояние для движения влево);
2) Q = Г -f- Nf (предельное состояние для движения вправо').
Что же будет при условии, что Т — Nf < Q < Т 4- Nf ?
Легко понять, что в этом случае равновесие будет обеспечено; дви-
жения не ‘будет ,ни вправо, ии влево.
Итак, в случае равновесия сила Q остается неопределенной; можно
лишь сказать, что она заключена в интервале, определяемом предыду-
щими неравенствами. Для того чтобы сделать задачу определенной, одних
уравнений статики недостаточно. Вот почему простейшие решения задачи
о давлении земли на преграды основаны на идее предельного равновесия:
она дает возможность ограничиться уравнениями статики.
К числу таких решений принадлежит грубо приближенное решение,
данное Кулоном еще в 1776 г. Как показал опыт, оно обеспечило проч-
ность бесчисленного множества построенных с того времени подпорных
стенок. Теория Кулона и будет здесь изложена (§ 3.20—8.20).
§ 3.20. ТЕОРИЯ КУЛОНА-
Теория Кулона весьма проста. Перечислим те упрощающие гипотезы,
на которых она основана.
Во-первых, сыпучее тело (земляная масса) рассматривается как од-
нородная сплошная среда, способная воспринимать только сжимающие
и сдвигающие усилия.
Во-вторых, принимается, что при равновесии результирующее напря-
жение на любой площадке внутри сыпучего тела может отклоняться от
нормали к площадке на угол, не превышающий угла трения, который -за-
висит от физических свойств данного1 сыпучего тела. Он связан с коэф-
фициентом трения f, как уже указывалось выше.
К сожалению, экспериментальное определение угла я для сыпучего
тела представляет -собой трудную задачу, не разрешенную достаточно
хорошо до настоящего времени. Приближенно принимают, что этот угол
равен «углу естественного откоса», т. е. тому углу, под которым накло-
нена к горизонту образующая конуса из свободно насыпанной (неутрам-
бованной) массы сыпучего тела.
519
На поверхности соприкосновения стенки с сыпучим телом наиболь-
шее возможное отклонение давления от нормали и поверхности прини-
мается равным срс, причем
£ tg?o=/o,
где /0 — (коэффициент трения сыпучего тела о стенку.
В-третьих, предполагается, что стенка под влиянием давления сыпу-
чего тела начинает отодвигаться, и разыскивается не то давление, кото-
рое оиа испытынает при обычных условиях, а то предельное, которое от-
вечает начавшемуся процессу отодвигания стенки, сопровождаемого осы-
панием грунта.
Кулону, вероятно, представлялось очевидным, что давление на стейку
при равновесии сыпучего тела не может (превысить того, которое отве-
чает моменту нарушения равновесия и началу обрушения. Однако та,кое
заключение, как видно из предыдущего параграфа, нельзя считать убеди-
тельным, и это является с практической точки зрения наиболее серьез-
ным недостатком теории Кулона.
В-четвертых, принимается, что обрушение сыпучего тела, наступаю-
щее вслед за подвижкой подпорной стенки, происходит следующим обра-
зам: от сыпучего тела отделяется клин, ограниченный с одной стороны
-поверхностью подпорной стенки, а с другой стороны — плоскостью, про-
ходящей через основание стенки. Эта плоскость называется плоскостью
обрушения или плоскостью сползания, а клин — призмой обрушения.
Фактически, как показывают опыты, та поверхность, которая отде-
ляет скользящую массу от остающейся в покое, является кривой; однако
это упрощение не отражается существенно на окончательных выводах.
Самый 'клин рассматривается при этом как абсолютно твердое тело.
В-пятых, задача решается в условиях так называемой плоской за-
дачи, т. е. предполагается, что стенка имеет неограниченную длину,
является в плане прямолинейной и что профиль земляной массы, вес и
прочие условия давления остаются по длине стенки постоянными. Это
позволяет провести расчет только для участка длиной 1 м, ограниченного
двумя перпендикулярными к длине стенки вертикальными плоскостями.
Призма обрушения имеет при этом высоту, также равную 1 м.
Перейдем теперь к самому расчету. Рассмотрим давление, оказывае-
мое на некоторый участок АВ подпорной стенки (фиг. 498). Проведем
плоскость естественного откоса BD и вообразим, что линия ВС есть след
плоскости обрушения. Угол ее наклома к горизонту обозначим через 0.
Найдем вес G призмы обрушения АВС, для чего нужно определить пло-
щадь фигуры АВС, (Которая служит ее основанием, и умножить ее на
объемный вес -материала р
О=рпл. АВС.
Размерность G получится в кг/м.
________________________________Таблица 21
Грунты 7 в кг]м* ч>°
Земля разрыхленная, сухая .... 1 400 40
, „ сырая .... 1 600 45
, насыщенная водой 1 800 27-30
, утрамбованная, сухая . . . • 1 200 42
Глина разрыхленная сухая или сы- рая 1 500- 1550 40-45
Глина утрамбованная, сухая .... 1800 40
, , сырая .... 1850 70
Гравий сухой ..... 1800 30-45
Песок сухой 1800 30-45
. сырой . 2000 25-30
520
В момент нарушения равновесия, когда клин начнет сползать вниз,
«реодолевая трение, реакции Ro и R отклонятся от нормалей вверх на
углы, (которые не превышают величин ср и ср0. Обычно принимают откло-
нение силы R ранным углу естественного откоса ср, а отклонение силы Ro
равным углу трения земли о стенку ф0, Для увеличения надежности рас-
чета принимают часто величину ср0 преуменьшенной; нередко считают,
что (р0 = 0, т. е. что стена является идеально гладкой.
Фиг. 498
Три силы — G, Rq и R— должны уравновеситься, поэтому величина
интересующей нас силы Ro, 1которая противоположна давлению земли иа
стенку, может быть найдена из силового треугольника, изображенного
справа. Это может быть сделано либо графически— из чертежа, либо
аналитически — из пропорции
Ro: G = sin (В — ср): sin [180° — (ф + 6 — ср)],
откуда
(2-20)
где
ф =90° —а —ср0. (3.20)
В этой формуле единственной независимой переменной является
угол В. Каждому -значению этого угла отвечает новое положение плоско-
сти обрушения, 'новое значение веса призмы G и новое значение силы R>
Остается лишь разыскать то значение 0, при котором величина Ro дости-
гает максимума. Такое значение непременно существует, так как при сов-
падении линии ВС с BD, т. е. при значении В ~ ф, призма обрушения
лежит на естественном откосе и поэтому не сползает и .не давит на стен-
ку; при совпадении же линии ВС с ВА получается G = 0, а потому
Ro = 0. Итак, искомая точка С лежит где-то между А и D. Она может
быть найдена путем нескольких попыток.
521
§ 4.20. ТЕОРЕМЫ О НАИБОЛЬШЕМ ДАВЛЕНИИ
И ГРАФИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
Удобный критерий для! нахождения наиболее опасной плоскости об-
рушения и для определения (величины (/?о)макс был указан в 1871 -г.
Ребханном. Продифференцируем формулу (1.20) по 6 и приравняем про-
изводную нулю;
rf/?o _ dG sin (6 — у) р d Г sin(0 —у) 1 „
d0 “ * sin (ф-Ь 6 — у) U-rfF[ sin(«|/-|-0 — у) J “ U
Отсюда после (Простых преобразований получим
Р_______ dG sin (6 — ср) sin ( Ф + 6 — у)
d& * sin ф
Но на фиг. 498 видно, что
(4.20)
dG __ пл. ВС'С___
~d§ —
-4т-вс*.
Знак минус показывает, что при возрастании угла 0 вес G убывает. Кроме
того, ив треугольника ВСЕ легко усмотреть, что
sin (ф + 6 — у) _ BE
sin ф ВС *
Сделав эти подстановки в (4.20), получим
G = у • ВС • BE sin (9 — р) = у • пл. Д ВСЕ. (5.20)
Найденная теорема гласит следующее: наиболее опасная плоскость обру-
шения ВС проходит таким образом, что площадь ее основания ВАС рав-
новелика площади треугольника ВСЕ.
Пользуясь этой теоремой, можно после 1немноитих попыток найти пра-
вильное положение точки С.
Для нахождения силы (/?о)макс сделаем еще следующее построе-
ние: повернем отрезок СЕ вокруг точки Е до его совпадения с направле-
нием прямой ЕВ, затем полученную точку F соединим с С. Площадь тре-
угольника ECF можно определить, исходя из того, что он имеет общее
основание СЕ с треугольником ЕСВ-.
пл. &ECF _ ЕЕ СЕ sin (6 —ср)
пл. Д ЕСВ ~ВЕ BE Siu (ф -ф- 9^- у) '
Отсюда, принимая во внимание соотношения (5.20), найдем
7-пл. Д ECF
—7*пл. Д ЕСВ
sin (0 — у)
sin (ф + 0 — у)
— G. stn (9 ~ — Р
sin (ф + 0 — у) “
(6.20)
Полученное соотношение составляет содержание, второй изящной
теоремы о на<йбольшем давлении: наибольшее давление №)макс равно
площади треугольника ECF, помноженной на объемный вес материала 7.
Величина 7?0 выражается в (килограммах или тоннах на погонную
единицу.
Другой графический способ основан на следующем свойстве сило-
вого треугольника abc (фиг. 498), которое легко обнаруживается из чер-
тежа: если совместить его вершину а с точкой В и направить сторону ab
по линии естественного откоса BD, то сторона ас пойдет по линии обру-
522
шения ВС, а сторона Ьс окажется параллельной «основной линии» MN.
Основная) линия MN отклонена от задней грани стенки на угол ?+ ?0,
а от линии естественного откоса на угол ф.
Проведем из вершины В ряд -воображаемых линий обрушения ВС{,
ВС2 и г. д. (фиг. 499). Для каждой из них найдем вес Gb G2,... призмы
обрушения, отложим его в некотором масштабе на линии естественного
откоса и из конца этого отрезка проведем прямую Ьс, параллельную
основной линии, до встречи с линией обрушения. Отрезок ЬС выразит
собой соответствующее давление Ro. Геометрическое место точек
Сь С2, С3,... образует некоторую кривую.
Фиг. 499
Наибольшая нз ее ординат, параллельных основной линии, и выра-
зит собой искомую максимальную величину Rq. Соответствующая точка
кривой легко определяется из чертежа, как точка, в которой касатель-
ная параллельна линии естественного откоса. Разумеется, 'что нет над об-
нести чертить всю кривую; можно ограничиться построением ее сред-
него участка.
В том случае, когда поверхность земли ACD представляет собой
плоскость, наибольшее возможное давление (Ео)макс определяется сразу,
без попыток. Для этой цели служит построение, указанное Понселе в
.1844 г. Оно состоит в следующем (фиг. 500): прямую АС продолжают до
встречи в точке D с плоскостью естественного откоса, затем на линии ВIX
как на диаметре, описывают полуокружность. После этого, из точки А
проводят прямую АН, параллельную основной линии, восставляют в
точке Н перпендикуляр HJ к диаметру и поворачивают хорду BJ вокруг
точки В до совпадения с диаметром. Из полученной точки Е проводят
прямую ЕС, napian дельную основной линии, до- пересечения с прямой AD.
Прямая СВ и является изображением искомой плоскости обрушения.
После этого строится треугольник CEF, который служит для определения
наибольшего давления.
523
Докажем правильность построения Пон-селе. Согласно построению
можно написать
ВР = ВЕ* = ВН- BD или BE : ВН = BD : BE; (а)
кроме того, из подобия треугольников В КН и ВСЕ следует, что
ВЕчВН = ВС\ ВК. (Ь)
Ив сравнения (а) и (Ь) получается
BD : BE =, ВС : ВК.
Фиг. 500
Последняя пропорция показывает, что CD || КЕ (линия КЕ на фи-
гуре не показана). В таком случае четырехугольник АСЕК представляет
собой параллелограмм, следовательно, А К = СЕ,
Сравним теперь площади треугольников ВС А и ВСЕ, для чего при-
мем за их общее основание сторону ВС. Для равенства площадей необ-
ходимо, чтобы были равны между собой высоты, опущенные из вер-
шин А и Е. Но длины параллельных прямых АК и ЕС пропортиональны
этим высотам, а так как мы доказали, что АК = ЕС, то тем самым до-
казано а равенство высот. Итак, прямая ВС удовлетворяет доказанной
выше теореме. Следовательно, построение сделано правильно.
Нередко бывает, что поверхность земли сама представляет собой
плоскость естественного откоса. Прямые BD и АС на фиг. 500 в этом слу-
чае параллельны между собой, точка D уходит в бесконечность, и по-
строение полуокружности становится невозможным. В этом 'случае, - как
видно из фиг. 501, треугольник ЕСЕ остается без изменения при любом
наклоне плоскости обрушения, поэтому построение его может быть сде-
лано без помощи полуокружности. Положение плоскости обрушения
легко можно было бы найти* при помощи первой теоремы о наибольшем
давлении, но эта плоскость интереса не представляет.
524
Может случиться, что поверхность земли АС (фиг. 500) совпадает
с направлением основной линии; тогда построение Понселе приводит к
неопределенности. В то же время из первой теоремы о наибольшем давле-
нии вытекает, что в этом случае след плоскости обрушения ВС совпадает
с медианой треугольника BAD (фиг. 502).
Фиг. 501
Графическое построение приходится несколько видоизменить, если
основная линия, проведенная из точки А, оказывается расположенной не
ниже поверхности земли, как на фиг. 500, а выше ее, как, например,
Фиг. 502
на фиг. 503. Б этом случае продолжают линию естественного откоса не
до встречи с поверхностью земли, а до встречи с линией AD, проведен-
ной из А параллельно основной линии. На прямой BD, как на диаметре,
описывается полуокружность. Из точки Н восставляется перпендику-
ляр HJ, затем откладывается отрезок BE = BJ; из точки Е проводится
прямая ЕС, параллельная основной линии; наконец, откладывается отре-
зок EF = ЕС. Так получается треугольник ECF.
525
Для поверки правильности этого построения следует убедиться в рав-
новеликости треугольников А СВ <и ЕС В, имеющих общее основание В С,
т. е. в том, иго у них одинаковые высоты а.
При любом из рассмотренных случаев построение Поиоеле можно
производить для стенок различной высоты h. При изменении размера h
все построения будут получаться геометрически подобными между собой
и длины отрезка — пропорциональными высоте h, Следовательно, давле-
ние /?0 пропорционально величине №.
§ 5.20. ФОРМУЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЗЕМЛИ НА СТЕНКУ
Давление земли на стенку 'можно определить также аналитическим
путем. Ограничимся тем случаем, когда поверхность земли является пло*
с кос тью. Это дают нам возможность использовать построение Понс еле,
которое нам останется только перевести на язык анализа.
Обратимся к фиг. 500. В треугольнике CEF имеем СЕ — EF и
CEF = ф, поэтому давление «земли может быть выражено формулой
/?0 = j. цл. A CEF = -i- у • СЕ2 sin ф, (с)
где »
ф == 90° — а — ?0.
Но
CE*.AH=DE-.DH
или
„„ AH-DE л „ DB - ЕВ
G С =------= /1Г7---------.
DH DB - НВ
Кроме того, из построения Понселе следует, что ЕВ2 — DB • НВ,
Отсюда __
_____ 1-1/™
CF-AH EB-VDB.HB\_ Г DB _ АН .
DB - НВ Г НВ ~ iFTiB' w
' ~ DB 1+ У ~DB
Длина стенки
ЛВ = з = Д-. (е)
COS а
526
Из 'треугольников АН В и ADB (Находим
ЛЯ —ssin <90°~ ? + а) = д cos(? —a). sin (у + у0) .
sin ф sin ф sin ф ’
BD^s sin(90‘а + = s cos (а~ ft)
sin (у — fl) sin Гу--p) ’
Подставив эти выражения в формулу (d), получим
СЕ—
__________S COS (у — а)
I + 1/ sin<T + То) sin (У ~ P)L|n,i, ’
F ‘ sin ф cos (3— а) J
/?o = -yT’C£'Isini]> =
cos2 (у — а)
sin (<? + то) sin (7^-~Л]2?,п A cos2 a
sin ф cos (0— а) J
1- (7.20)
где у-зависит только от углов. % с?0, а и 3. По этой формуле можно вы-
числить давление земли при любых значениях углов % у0, аир. Она
показывает, что п*ри всех обстоятельствах давление земли, ограниченной
сверху плоской поверхностью, оказывается пропорциональным объемному
весу земли и квадрату высоты стенки.
Наибольшей известностью пользуется формула, которая получается
из (7.20) в предположении, что земля ограничена горизонтальной пло-
скостью, а стенка вертикальна и (имеет идеально гладкую поверхность
(«=? = <Рв==О):
Л»=фтА^2(45°--|-'
(8.20)
Если земля ограничена горизонтальной плоскостью, а стенка идеаль-
но гладкая, но наклонная (р = у0 = О, а#:0)> то
Ro = — ТА2------. (9.20)
2 (cos а 4- sin у)2 cos а
Путем несложных тригонометрических преобразований можно привести
эту формулу к другому виду Ч
Ко = ф Т*2 ftg(45° — + tg aPcos а.
(10.20)
Формулы для /?о но теории Кулона могут быть выведены несколько
иначе и представлены в ином виде. Путем введения специальных косо-
угольных координат проф. В. В. Синельников 2 получил из формулы
(2.20) аналитическое выражение /?0 для тех случаев, когда поверхность
земли ограничена одной или несколькими плоскостями, а нагрузка рав-
номерно распределена на любом участке поверхности и имеет вертикаль-
ное или наклонное направление.
1 См., например, проф. А. С. Илов айский, Два вопроса о давлении земли на
стену, Харьков, 1933, стр. 6.
2 В. В. Сииельииков, Развитие метода Кулона при определении давления
сыпучего тела, Труды Московского института инженеров транспорта, вып. 69, 1946.
527
§ 6.20. ДИАГРАММА ПОЛНЫХ ДАВЛЕНИЙ И ДИАГРАММА
ИНТЕНСИВНОСТИ ДАВЛЕНИЯ
Для (расчета прочности стенки необходимо' знать полное давление на
любой ее участок, считая от поверхности земли до какого угодно уровня.
Если земля огрниичена .кривой или многогранной поверхностью, то нужно
определить графически по способу Кулона полное давление 7?0 на не-
скольких уровнях и полученные величины отложить в виде ординат у
на диаграмме (эпюре) полных давлений (фиг. 504, п). Так как силы /?0
параллельны между собой, то давление, приходящееся на какой-нибудь
участок ККъ выразится разностью ординат Уг — у.
Фиг. 504
Так как диаграмма полных давлений не дает никаких указаний от-
носительно точки приложения давления у или У\, то наряду с этой диа-
граммой полезно 'построить диаграмму интенсивности давления земли на
погонную единицу, взятую по направлению высоты h стенки. Для этой
цели нужно вычислить предел отношения между приращением полного
давления и приращением высоты &h:
&-~q.
dh
Мы видим, что диаграмма интенсивности давления q кг/м2 строится
как производная от диаграммы полных давлений. Величина равнодей-
ствующей давления, приходящегося на какой-нибудь участок ККъ равна
площади соответствующего участка cdcidh диаграммы интенсивности,
а точка приложения этой равнодействующей совпадает по своему уровню
с центром тяжести площади cdc^ (фиг. 504, б).
Когда земля ограничена сверху плоской поверхностью, то, как мы
видели, полное давление пропорционально квадрату высоты стенки. По-
этому в таких случаях диаграмма представляет собой квадратную пара-
болу, а диаграмма интенсивности давления—прямую (фиг. 505). Равно-
действующая давлений на какой-нибудь участок ЛК расположена на
уровне -|- h от поверхности земли.
Если земля ограничена горизонтальной плоскостью, а стенка имеет
идеально гладкую вертикальную поверхность, то интенсивность давления
выражается формулой
«- [т V (45' - f)]=(«• - i
(11.20)
528
Интересен случай ломаной стенки. Приближенно эта задача решается
так: пусть стенка ограничена плоскостями АВ и ВВ{ (фиг. 506). Произ-
ведем сначала построение Понселе для стенки АВ; ей соответствуют тре-
Фиг. 506
угольник CEF и диаграмма интенсивности дарений abc. Величину орди-
наты cb выберем так, чтобы площадь треугольника abc равнялась пло-
щади гфеугольнииа CEF, умноженной иа 7. Затем продолжим стейку ВВ{
34—И. М. Рабинович 529
Q
до пересечения с поверхностью земли и произведем построение Понселе
для воображаемой стеики Получив для нее треугольник
тем самым получим возможность построить диаграмму интенои1В1ности
давлений aj^d, нулевая точка iKoropow будет расположена на уровне
точки Дь а площадь — равновелика умноженной на 7 площади C1E1F1. От
этой диаграммы давлений возьмем только нижнюю часть, т. е. bid.
Диаграммы интенсивности давлений, с которыми мы познакомились,
имеют важное значение для расчета стенок на прочность и устойчивость.
Однако как раз эти диаграммы обнаруживают слабую сторону всей при-
ближенной теории, так как определенные при помощи их силы /? и 7?0, во-
обще товоря, не пересекаются в одной точке с силой G и, следовательно,
не удовлетворяют условиям равновесия.
§ 7.20. ВЛИЯНИЕ ВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ
Временная нагрузка, расположенная на поверхности земли, бывает
различных типов: сосредоточенные грузы в виде давлений отдельных осей
паровоза и вагонов /давление на мостовые устои), давлений колес авто-
мобиля, а также давлений, непрерывно распределенных по каким-нибудь
законам. Ограничимся рассмотрением влияния нагрузки, равномерно
распределенной по поверхности в пределах призмы обрушения. Согласно
излагаемой теории (нагрузка, расположенная за пределом этой призмы,
никакого действия на стенку не оказывает.
Пусть нагрузка на горизонтальную проекцию поверхности земли
имеет 1интенсивность q кг/л2, в то время как объемный вес земли состав-
ляет 7 кг/л3. Очевидно, что если мы пожелаем заменить временную на-
грузку слоем земли, оказывающим то же давление на квадратную еди-
ницу, то толщина слоя будет—л. Приближенное решение задачи состоит
7
530
в там, что временная нагрузка заменяется таким эквивалентным, (при-
веденным) слоем земли; предполагается, что интенсивность давления от
этого не изменяется йи ® одной точке стенки.
На фиг. 507 показано построение для случая плоской поверхности
земли. Все построение производится таким образом, как будто бы по-
верхность земли совпадала с поверхностью приведенной нагрузки, а
стенка продолжалась 1вверх до этого уровня. Найдя полное давление на
эту воображаемую стенку и построив диаграмму интенсивности давления
Ocd, отбрасывают верхнюю часть
этой диаграммы и оставляют
только часть abed. При таком ре-
шении задачи площадь диаграм-
мы abed будет меньше умножен-
ной на д площади треугольника
ECF\ она выражает собой давле-
ние, приходящееся на участок ЛВ
стенки, т. е. давление, оказывае-
мое не всей призмой обрушения
ВС А', а лишь частью ее ВСА”А,
где А"А || ВС.
Аналитическое решение той
же задачи дадим здесь только для
случая вертикальной, идеально
гладкой стенки и- горизонтальной
поверхности земли \ Если вы-
сота эквивалентного временной
Фиг. 508
нагрузке слоя земли равна hQ (фиг. 508), то по формуле (5.20) давление
на стенку
= у(Н Ao)s tg3 (45° — -2-j — -L IAo tg1 2 (45° - y) =
= 4-7A(ft+2A0)tg2(45o--i), (12.20)
а интенсивность давления на уровне нижнего сечения
Я = у (А + hQ) tg2 /45° - . (13.20)
§ 8.20. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ (ОТПОР) ЗЕМЛИ
Давление призмы обрушения на сте-нку, стремящееся отодвинуть по-
следнюю, носит название активного давления земли или распора.
На практике приходится иметь дело также с другим случаем, а
именно — со стремлением стенки оказать давление на землю и с противо-
давлением последней. В таких условиях находится, например, устой
арочного пролетного строения, воспринимающий наклонное давление
пяты арки (фиг. 509), Сопротивление земли выпиранию ее стенкой назы-
вается пассивным давлением или отпором земли.
Активное и пассивное давление отвечают двум различным предель-
ным состояниям сыпучего тела, которые аналогичны предельным состоя-
ниям, проиллюстрированньш на фиг. 497. •
1 Аналитическое решение для других случаев см. в книге проф. И. П. Прокофь-
ева «Давление сыпучих тел и расчет подпорных стенок». 4-е изд., 1940, стр. 52—56.
Там же изложен способ проф. И. П. Прокофьева для приближенного учета давлений от
сосредоточенной нагрузки.
з<* • 531
Фиг. 509
Определение пассивного давления может быть произведено на осно-
вании тех же соображений, которые служат для определения активного
давления, но с одним отличием: знак углов трения ср и <р0 приходится
изменить на обратный.
В самом деле, когда стенка смещается в сторону земли, то она вы-
пирает последнюю, т. е. стремится приподнять земляную призму — призму
выпирания. Силы трения на плоскости выпирания, а также на задней
поверхности стенки, действующие на призму, обращены в сторону, обрат-
ную ее движению, т. е. вниз. Благодаря этому давление стенки, необхо-
димое для нарушения равновесия земляной массы, сильно возрастает;
пассивное давление всегда значи-
тельно больше активного (в 10—
30 раз).
Старейшие исследователи исхо-
дили из наиболее простой идеи, при-
нимая, что призма обрушения огра-
ничена плоскостью естественного от-
коса. Повидимому, то обстоятель-
ство, что пассивное давление боль-
ше активного, и навело Кулона на
мысль о существовании внутри зем-
ляной массы двух различных поверх-
ностей раздела, не совпадающих с
плоскостью естественного откоса.
Построение для нахождения ак-
тивного давления, указанное на
фиг. 500, даст нам пассивное давление, если мы отклоним силы н
R от соответствующих нормалей на те же углы се 0 и ср в обратную сторо-
ну. Применяя снова теоремы, указанные в § 4.20, найдем ту призму, кото-
рая оказывает наименьшее сопротивление выпиранию.
Построение для определения пассивного давления показано на
фиг. 510. Вследствие изменения знаков углов ср и плоскость есте-
ственного откоса и основная линия получают новые направления.
Пересечение плоскости естественного откоса с поверхностью земли
происходит по другую сторону, чем прежде, в соответствии с чем
меняется и положение полуокружности. Из чертежа видно, что
площадь треугольника ECF значительно увеличилась (следует
еще учесть, что фиг. 510 построена в значительно меньшем масштабе, чем
фиг. 500).
Аналитические выражения для пассивного давления получаются из
формул (4.20) — (6.20) путем изменения знака углов ср и ср0.
Например, формула (5.20) переходит в следующую:
(45° +т) •
(14.20)
Пассивное давление земли как средство для увеличения устойчи-
вости стенки обычно принимается во внимание только при расчете опор,
«имеющих глубокое 'заложение.
§ 9.20. РАСЧЕТ ПОДПОРНОЙ СТЕНКИ НА ПРОЧНОСТЬ
Для расчета стенки на прочность разделим ее по высоте на несколько
«вастей при помощи горизонтальных сечений и будем определять в каждом
сечении нормальные и касательные напряжения. С этой целью постараем-
532
ся определить в каждом сечении .величину, направление и точку приложе-
ния равнодействующей всех сил, приложенных выше сечения.
На фиг. 511 показано это построение. На верхнюю часть стенки дей-
ствуют ее вес Gi и давление Равнодействующая Si проходит через
точку взаимного пересечения обеих сил; ее величина и направление бе-
рутся из силового многоугольника, построенного справа. Так получается
точка Л1 сечения а—а.
Фиг. 510
Для второго участка стенки сначала находится равнодействующая
S/ сил Si н она проходит через точку взаимного пересечения назван-
ных сил, причем ее направление берется из силового многоугольника.
Силу S/ продолжают до пересечения с силой G2 и через эту точку про-
водят равнодействующую S2 сил 52Л и 62, Она же служит равнодей-
ствующей всех сил, действующих на вторую часть стенки. Продолжив -век-
тор S2 до встречи с прямой b—Ь, найдем точку Л2-
Аналогичным образом получается точка Дз сечения с—с.
Построение 'веревочного многоугольника (многоугольника равнодей-
ствующих) было бы в данном случае менее удобным, так как равнодей-
ствующие Sb S2, S3 и т. д. образуют друг с другом малые углы, и точки
их взаимного пересечения выходят за пределы чертежа. Соединив
точки Ль Л2> Аз и т. д. непрерывной линией, получим многоугольник, на-
зываемый многоугольником давлений.
Если стенка сложена из камней на растворе, то условия прочности
требуют:
1) чтобы силы Si, S2 и т. д. были наклонены к сечениям под углом,
меньшим- угла трения, так как в противном случае произойдет взаимный
533
сдвиг частей -стенки или во всяком случае раствор будет работать на
сдвиг;
2) чтобы точки К], К2 и т. д. были расположены внутри ядра сечения,
так как в противном случае возникли бы растягивающие 1напряж'ения, ко-
торые нецелесообразно передавать на раствор;
3) чтобы наибольшее нормальное сжимающее напряжение, которое
приближенно можно определять по формуле
м । Л
1Г ' У7 *
Если стенка железобетонная, то по найденным силам Si, S2 и т. д.
« точкам, их приложения можно определить нормальные и касательные
напряжения, которые не должны превышать допускаемых.
Что касается сжимающих напряжений в самом грунте под подошвой
стенки, то при их подсчете могут встретиться два случая.
11) Равнодействующая всех вышележащих сил пересекает подошву
стенки внутри ядра. В таком случае грунт под всей подошвой будет сжат.
Обозначим длину подошвы через d (фиг. 512), эксцентриситет силы N
относительно оси подошвы — через е, расстояние ядровой точки К а ст
той же оси — через kA. Напомним, что вое наши расчеты ведутся для
стенки, длина которой в направлении, перпендикулярном плоскости
чертежа, равна единице; величина N имеет размерность кг/м.
534
Нормальное напряжение в точке А выражается следующим обра
зом:
N(kA+e) М*А ___________М*
A w W ’ в IF IF ’ '
где М^, Л1Я — абсолютные величины моментов силы W относительно
ядровых точек КА, Кв . Для прямоугольного сечения
^л=Ав=4; ^=4; %* =
о о
-у). (16.20)
то «д, в < О, T. e. грунт сжат.
2) Точка приложения силы W выходит за пределы ядра сечения. По
предыдущей формуле напряжение получается положительным, а так
как на самом деле грунт не в состоянии воспринимать растягивающих
напряжений, то формула становится неприменимой. В этом случае часть
подошвы разгружается совершенно, а другая часть имеет прямоли-
нейную диаграмму сжимающих нормальных напряжений (фиг. 513). Для
определения ординаты и расстояния а нулевой точки до края сечения
мы располагаем двумя условиями равновесия: площадь диаграммы дол-
жна равняться силе N, а ее центр тяжести должен лежать на линии дей-
ствия этой силы. Иначе
з. а т
——— ДА и а = с,
2 о
откуда
а=3С; аА = --^-. (17.20)
Если сила W приложена как раз в ядровой точке К а . то формулы
(13.20) и (14.20) дают один и тот же результат.
§ 10.20. РАСЧЕТ СТЕНКИ НА ОПРОКИДЫВАНИЕ И НА СКОЛЬЖЕНИЕ
Поверка стенки с неглубоким заложением на опрокидывание произ-
водится в предположении, что она может повернутьоя вокруг ребра.
Определяется суммарный момент сил, препятствующих опрокидыванию
стенки, и сил, стремящихся опрокинуть ее. Эти два момента сопоставля-
ются между собой. Например, на фиг. 511 устойчивость стенки вокруг
левого ребра с характеризуется суммарным моментом сил Т?2, /?3, Gj
535
Gz, G3 относительно этой точки. Из чертежа видно, что силы 7?i, fa явля-
ются опрокидывающими, а остальные — удерживающими. Если суммар-
ный момент первых двух сил меньше момента остальных, то стенка
устойчива.
При поверке устойчивости стенки фиг. 511 вокруг левого ребра d
опрокидывающими будут три силы /?i, fa, fa.
Назовем коэффициентом безопасности число, показывающее, во
сколько раз должно возрасти давление земли вместе с временной на-
грузкой на ней, для того чтобы стенка опрокинулась. Обозначим это
число через k. Тогда, например, на фиг. 511 коэффициент запаса на опро-
кидывание вокруг левой точки с определится из условия равенства нулю
суммарного момента всех сил относительно этой точки:
k [Ж( /?0 + Ж(/?2) - Ж(/?8)] = 7И(G,) + Ж(О2) + М(О3),
откуда
где Af(Gj) и т. д. — абсолютные величины моментов.
Аналогичную поверку на опрокидывание можно произвести относи-
тельно точек b, d и т. д.
Поверка стенки на скольжение сводится к определению соответствую-
щего коэффициента запаса, т. е. числа, которое показывает, во сколько
раз должно возрасти давление земли, для того чтобы стенка или какая-
нибудь часть ее сдвинулась. При этом сопротивлением раствора сдвигу
пренебрегают.
Например, для определения коэффициента запаса на сдвиг в сечении
b—b (фиг. 511) нужно спроектировать на горизонтали силы fa и fa, стре-
мящиеся сдвинуть стенку; сумму их проекций назовем X. Нормальная
сила, приложенная к тому же сечению, равна
Gt + Ga + Y,
где Y — сумма вертикальных проекций сил и fa.
Наибольшая возможная сила трения равна
/(Gl + G2+y),
где f — коэффициент трения. Исходя из данного определения понятия
о коэффициенте запаса, можно написать
kX-ftG^Gz + kY),
откуда
д__ /№ + Ga)
(Х-/У) *
Многие авторы определяют коэффициент запаса на опрокидывание
или скольжение как отношение суммарного момента или суммарной про-
екции сил удерживающих к моменту или проекции сил, стремящихся
опрокинуть или сдвинуть стенку. Такая трактовка может привести к не-
правильному представлению о действительном коэффициенте запаса.
§ 11.20. ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЬНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
И ПРЕДЕЛЬНОМ РАВНОВЕСИИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
□ Мы здесь изложим некоторые основания более точной теории рас-
чета подпорных стенок, особенно успешно разрабатывавшейся в послед-
ние годы советскими учеными. Она дает возможность определить актив-
536
ное и пассивное давления сыпучего тела на подпорную стейку при усло-
вии, что тело находится в состоянии предельного равновесия. Опр а кичим-
ся рассмотрением такого сыпучего тела, в котором сцепление отсутствует.
Рассмотрим напряженные состояния, которые имеются на всех пло-
щадках, проходящих через какую-либо произвольную точку тела. Оии
наглядно изображаются, как известно, при помощи круга напряжений
(круга Мора). Чтобы его построить, достаточно знать для двух взаимно
перпендикулярных площадок нормальные напряжения ах, % и
касательные (фиг. 514). Круг напряжений показан на фнг. 51 & от
точки О на прямой ОВ в некотором масштабе отложены отрезви
ОС = ах и OD = , затем на перпендикулярах — отрезки С С' =
DDr = ; на линии C'D', как на диаметре, описана окружность.
Каждой точке М окружности отвечают определенная площадка и
определенное по величине и направлению полное напряжение. Нормаль-
ное напряжение на этой площадке выражается горизонтальной проекцией
вектора ОМ, касательные — вертикальной проекцией того же вектора,
следовательно, угол МОВ =а, есть угол между полным и нормальным
напряжениями па площадке, или, иначе (говоря, между полным напря-
жением и нормалью к площадке. Угол МВО =<|> есть угол наклона этой
площадки к той, на которой действует меньшее главное нормальное на-
пряжение.
Фиг. 514
Каково бы ни было напряженное состояние в рассматриваемой точке,
за исключением того случая, когда круг напряжений обращается в точку
(случай равномерного всестороннего растяжения или сжатия), всегда
существуют две площадки, иа которых угол а имеет -наибольшее значе-
ние. На круге напряжений им, очевидно, отвечают точки М' и М", лежа-
щие на касательных ОМ' и ОМ". Если
^М'ОВ = ^:М"ОВ = р,
то из чертежа легко усмотреть, что
^М'ВО = ^М"ВО = — — —,
4 2
следовательно, рассматриваемые площадки наклонены друг к другу
——Р, а к главной площадке с меньшим нормальным напря-
под углом
жением —.под углами
/2L \
\ 4 2 Г
На фиг. 516 показаны две такие площадки с соответствующими пол-
ными напряжениями, которые обозначены через и о2. Из круга напря-
537
жений видно, что перпендикуляры М'Е = М"Е меньше -радиуса круга,
следовательно, касательные напряжения на обеих площадках не являют-
ся наибольшими. Тем не 'менее эти площадки являются наиболее опас-
ными в смысле сдвига.
Из круга напряжений видно, что напряжения на обеих рассматривае-
мых площадках равны между собой: действительно,
ОМ' = ОМ".
Соответственно равны также их нормальные и касательные состав-
ляющие: первые выражаются отрезком ОЕ, а вторые — равными отрез-
ками М'Е и М"Е.
Из фиг. 516 видно, что напряжение, действующее на одной (любой)
из этих двух площадок, параллельно другой площадке.- Это свойство
можно назвать свойством взаимной сопряженно-
сти напряжений и площадок. Другие площадки,
на которых угол между полным напряжением и
нормалью не является наибольшим, не обладают
этим свойством.
& Принимая, что нарушение равновесия внутри
2 сыпучего тела может выразиться лишь во взаим-
ном сдвиге частиц, можно сказать, что суще-
ствуют три случая:
U Р < ? , где ср — угол внутреннего трения
между частицами; тогда в рассматриваемой точ-
ке равновесие не нарушается;
2) р > ср; тогда равновесие невозможно;
3) тогда в данной точке имеется состояние предельного рав-
новесия, Третий случай и будет привлекать в дальнейшем наше вни-
мание.
Площадки, на которых полное напряжение отклонено от нормали на
угол, равный углу трения ср, будем называть площадками скольже-
ния.
Существуют ли в данной точке сыпучего тела при заданных условиях
площадки скольжения или нет, можно сейчас же обнаружить при помощи
круга напряжений. Для этого нужно провести из полюса О касательные
ОМ' и ОМ" (фиг. 515) и посмотреть, будет ли угол М'ОМ" больше, мень-
ше или равен углу 2ср.
Для каждого сыпучего тела угол между площадками скольжения
есть величина вполне определенная, постоянная во всех точках: он равен
-----?. Если направление одной из площадок скольжения найдено, то
сейчас же найдется и направление другой.
Если в данной точке известны направления главных площадок, то
известны и направления площадок скольжения: они образуют углы
± -----с площадкой, имеющей меньшее главное напряжение.
Какая-либо область сыпучего тела находится в предельном напря-
женном состоянии, если во всех точках тела внутри этой области имеются
площадки скольжения. При этом, само собой понятно, тело находится
также в состоянии предельного равновесия.
Состояние предельного равновесия может иногда возникнуть и при
таком условии, что поверхность скольжения имеется на границе между
двумя областями, занятыми сыпучим телом, внутри же этих областей пло-
щади скольжения отсутствуют, 'Следовательно, отсутствует и предельное
напряженное состояние. □
538
§ 12.20. НАПРАВЛЕНИЕ ПЛОЩАДОК СКОЛЬЖЕНИЯ
□ Назовем, следуя проф. С. С. Голушкевичу *, основной задачей сле-
дующую: внутри сыпучей среды, находящейся в предельном напряженном
состоянии, даны элементарная площадка, проходящая через точку А, а
также величина и направление действующего на ней полного напряже-
ния Требуется найти обе 'площадки скольжения, проходящие через
точку А, а также действующие на них напряжения.
В общем случае напряженного состояния недостаточно задать напря-
жения о на одной площадке для построения круга напряжений и, слет
довательно, для характеристики напряженного состояния в точке А.
Одиако в том случае, когда дано дополнительное условие, а именно, когда
в точке А имеется предельное напряженное состояние, задача построения
этого круга становится определенной, так как касательные к нему ОЛГ
и ОМ" (фиг. 515) должны образовать между собой угол, равный 2?. Это
показывает, что если на одной площадке задано напряжение а, то можно
ответить на следующие 'вопросы: 1) какое напряжение следует приложить
к какой-нибудь другой площадке, проходящей через ту же точку, чтобы
в итоге вокруг этой точки создалось предельное напряженное состояние;
2) как расположатся при этом площад-
ки скольжения.
Воспользуемся графическим по-
строением, которое указано проф.
С. С. Голушкевичем. Построим прямо-
угольный треугольник DBO с острым
углом, равным углу трения ср данного
сыпучего тела (фиг. 517), затем про-
ведем три концентрических окружности
с радиусами, соответственно равными:
1) гипотенузе DO\ 2) катету ОВ, кото-
рый расположен против угла ср; 3) про-
екции ОК этого катета на гипотенузу.
Назовем их соответственно окружно-
стями полюсов, вершин и площадок
скольжения.
На фиг. 518, б те же три
окружности показаны вторично. На
фиг. 518, а показаны элементарная площадка АВ -и действующее на нее
напряжение а. Нахождение площадок скольжения показано на фиг. 518, 6:
проведем касательную АВ к окружности площадок параллельно площад-
ке АВ, заданной на фиг. 518, а. Через точку касания проведем радиус
OD и из точки D проведем прямую DC параллельно вектору о. Получен-
ные точки С и С' соединим с точками А и В. Направления прямых С А
и СВ являются 'направлениями двух -площадок скольжения. То же самое
можно сказать о направлениях С'А и С'В. Таким образом, задача в общем
случае имеет два различных решения: существуют две пары сопряжен-
ных площадок скольжения, отвечающих двум различным предельным
напряженным состояниям. Смотря по тому, каковы дополнительные усло-
вия задачи, будет иметь место либо одно, либо другое предельное состоя-
ние. Проф. В. В. Соколовский 'назвал их минимальным и максимальным
предельными состояниями.
Докажем, что элементарные площадки АС и ВС, действительно, яв-
ляются возможными площадками скольжения; для этого, следуя проф.
1 С. С. Голушкевич, Плоская задача теории предельного равновесия сыпу-
чей среды, Гостехиздат, 1948.
539
С, Голушкевичу, рассмотрим условия равновесия элементарной призмы
АВС (фиг. 519). К ее боковым граням СА и СВ приложены силы Р\ и Р2,
соответственно параллельные граням СВ и С А и равные
л = СА. р, Р2 = СВ р,
где р — напряжение, которое на обеих площадках скольжения имеет одну
и ту же величину.
Равнодействующая сил Р\ и Р2 проходит через середину стороны АВ.
Разложим эти силы на нормальные составляющие Л/i и Л/2 и касательные
1 и Т2. Примем такой масштаб сил, чтобы было
Фиг. 518
Тогда
Приложим к грани АВ нормальную силу
Силы 2Vj, TV2, Q' уравновесятся, так как они создадут равномерное все-
стороннее сжатие призмы. Касательные силы Т} и Т2 должны уравно-
веситься дополнительной составляющей Q", приложенной к грани АВ.
Она должна проходить через точку С, в которой пересекаются силы и
Т2 и в то же время через точку взаимного пересечения сил Pi и Р2, сле-
довательно, она направлена по медиане стороны ЛВ. Остается доказать,
что равнодействующая Q, найденная таким способом, параллельна задан-
ному вектору а. Но треугольники CKD на фиг. 518, б и 519 равны между
собой. Действительно, стороны СК и DK на обеих фигурах соответствен-
но параллельны (сторона СК на фиг. 518,6 не показана); сторона СК на
обеих фигурах одна и та же; сторона KD на фиг. 518, б такая же, как на
фиг. 517, следовательно, она равна
Из равенства треугольников следует, что и третьи стороны также парал-
лельны, что и требовалось доказать.
540
Аналогичным образом доказывается справедливость построения для
площадок скольжения С'А и С'В на фиг. 518.
Если заданное напряжение с образует с нормалью DK к площадке
АВ угол, равный ср, то точки С и С' на фиг. 518, б сливаются с А; пло-
щадки скольжения направлены по АВ и DA\ имеется только одна пара
площадок скольжения. Если угол (между о и DK больше <р, то прямая
DCC' не пересекается с окружностью, точки С и Cf> не существуют.
В этом случае равновесие невозможно.
При помощи фиг. 518, б лег-
ко определить направления глав-
ных площадок. Если мы соединим
точки С и Е прямой линией, то
получим
АСЕ = .'ВСЕ.
В самом деле, эти два вписанных
в окружность угла опираются на
равные дуги АЕ н ЕВ. Следова-
тельно, направление прямой АЕ
как биссектрисы угла между пло-
щадками скольжения СА и. СВ
совпадает с направлением той
главной площадки, на которой
действует наименьшее нормаль-
ное напряжение.
Таким же образом можно до-
казать, что прямая, перпендику-
лярная С'Е', параллельна площадке с минимальным нормальным напря-
жением в том предельном напряженном состоянии, которое характери-
зуется площадками скольжения С'А и С'В. □
§ 13.20. ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРИБЛИЖЕННОМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ДАВЛЕНИЯ ЗЕМЛИ НА КРУТУЮ ПОДПОРНУЮ СТЕНКУ
Q В общем случае границы площадок скольжения образуют криво-
линейную сетку линий. В частных случаях, когда они образуют прямоли-
нейную сетку, задача сильно упрощается. Она еще больше упрощается,
если при построении площадок -скольжения (но не при определении дав-
ления на стенку) пренебречь влиянием собственного (веса земли, а учиты-
вать только нагрузку, приложенную на поверхности. Как указывает проф.
С. С. Голушкевич, собственный вес мало отражается на форме кривой
скольжения, проходящей через нижнюю кромку задней грани подпорной
стенки.
На фиг. 520, а показан простейший пример: подпорная стенка с плос-
кой задней гранью АВ поддерживает плоский откос АЕ, равномерно на-
груженный вертикальной нагрузкой. Требуется определить активное дав-
ление.
По заданному углу внутреннего трения грунта © строим в произ-
вольном масштабе характеристические круги (фиг. 520,6). Проводим
хорду АВ, касательную к окружности площадок, параллельно задней гра-
ни подпорной стенки; проводим перпендикулярный к ней радиус окруж-
ности полюсов ОС, затем до окружности вершин — прямую CD, парал-
лельную давлению R, т. е. отклоненную от нормали к стенке на заданный
угол трения ©. Точку D соединим с концами хорды А и В; прямые DB
и DA определяют положения площадок скольжения, отвечающих «мак-
541
счмальному» напряженному. состоянию. На фиг. 520, а проводим парал-
лельные им прямые BD и AD, которые являются линиями скольжения
области ABD земляной массы, находящейся в указанном напряженном
состоянии.
Подобным же образом на фиг. 520, б определяются направления пло-
щадок скольжения D{A{ и отвечающих минимальному напряженно-
Фиг. 520
му состоянию: проводится
касательная Д1В1 к ок-
ружности площадок, па-
раллельная поверхности
откоса АЕ, затем перпен-
дикулярный к AiBi ради-
ус OCi окружности полю-
сов; ИЗ ТОЧКИ Cl прово-
дится вертикаль CiDi до
встречи с окружностью
вершин и, наконец, пря-
мые D[Ai и DiBit опреде-
ляющие направление пло-
щадок скольжения. На
фиг. 520, а проводится
прямая AD[, параллельная
линии AiDi фиг. 520,6.
Если обе найденные
области не перекрывают
друг друга, то можно пе-
рейти к рассмотрению
средней области, которая
заключена между прямы-
ми AD и AD{. Она нахо-
дится в таком предельном
напряженном состоянии,
в котором площадки
скольжения ограничены
двумя семействами линий:
одно семейство образует
пучок прямых с центром в
точке Д, а другое состоит
пересекающихся с этими прямыми под
из логарифмических спиралей,
углом Не останавливаясь на доказательстве этого утверждения,
определим из уравнения логарифмической спирали длину отрезка ADf.
AD^AD-e~a^\
где я—угол между (прямыми AD и ADX.
Найдя точку проводим прямую D}E, параллельную прямой DiBir
полученной на фиг. 520, б. После того как найдены направления площа-
док скольжения, переходим к определению давлений. При этом будем
опираться на закон сопряженности давлений, действующих на эти пло-
щадки.
Найдем равнодействующую Р внешней нагрузки, приложенной на
участке АЕ, а также определим веса Gb G2, G3 призм EADh DXAD и
DAB и положения центров тяжести последних.
542
i
i
i
Равнодейству101цую вертикальных сил P и Gb действующих ма пер-
вую иризму, разлагаем на две наклонные силы, из которых одна парал-
лельна линии ADi и действует на площадке DtE, а другая — Т\ —парал-
лельна линии D}E и действует по площадке AD{. Построение (выполнено
на силовом многоугольнике (фиг. 520, в).
Равнодействующую сил Л и G3, приложенных к средней призме, раз-
лагаем на составляющие, из которых одна — Т2 — параллельна прямой
BD (она действует на поверхности ЛР), а другая направлена по линии
AF (она действует на спиральной поверхности DD^. Наконец, равнодей-
ствующая сил Т2 и G3 уравновешивается двумя силами, из которых одна
параллельна линии скольжения AD, а другая параллельна R. Таким об-
разом определяется активное давление /?.
Чтобы определить вес G2, необходимо вычислить площадь призмы
ADDh которая ограничена снизу спиралью. Для этого можно пользовать-
ся формулой
Л
Изложенное здесь по-
строение является прибли-
женным, но более точным,
чем построение, основан-
ное на способе Кулона.
Более детальное из-
ложение читатель может
найти в книге проф. С. С.
Голушкевича. □
§ 14.20. ПРИЛОЖЕНИЕ К
ПРИБЛИЖЕННОМУ ОПРЕ-
ДЕЛЕНИЮ ДАВЛЕНИЯ
ЗЕМЛИ НА ПОЛОГУЮ ПОД-
ПОРНУЮ СТЕНКУ
□ Рассмотрим про-
стейший случай: задняя
грань стенки н поверх-
ность откоса плоские;
внешнее давление равно-
мерно распределенное
(фиг. 521, а). Требуется
определить активное дав-
ление.
На фиг. 521, б по-
строены характеристиче-
ские круги. Касательная к
окружности площадок
проведена параллельно
поверхности откоса. Из центра О через точку касания проведем радиус
ОС до окружности полюсов, затем из точки С прямую CD, параллельную
внешней нагрузке откоса, наконец, прямые DA н DB, которые определяют
направление площадок скольжения при минимальном напряженном
состоянии. На фиг. 521, а проведены прямые DA н DB, параллельные этим
площадкам. Масса земли, имеющая основанием треугольник ADB, нахо-
дится в указанном предельном напряженном состоянии. Призма, имею-
543
щая основанием треугольник DAA', будет двигаться со стенкой, как одно
целое.
На фиг. 521, в построен силовой многоугольник. Равнодействую-
щая Р давления, приходящегося на участок АВ, складывается с .весом G
призмы обрушения DAB; сумма этих двух сил разлагается на составляю-
щие, параллельные граням AD и DB; последняя выражает собой давле-
ние земли R. Сложив последнюю с весом Gj призмы DAA', найдем пол-
ное давление Рл на подпорную стенку.
Давление R распределяется по поверхности по линейному, закону,
причем отношение интенсивностей давления вверху « внизу
Ра _ Р
Pd Р + G
Отсюда определяется положение равнодействующей R, а это в свою оче-
редь определяет положение равнодействующей R'\
Давление R распределяется по стенке A'D по указанному выше ли-
нейному закону. Площадь треугольника A'AD можно разбить на несколь-
ко частей и центры тяжести последних спроектировать на поверхность
A'D. Так определится закон распределения давления.
Если бы требовалось определить пассивное давление, то на
фиг. 521, б пришлось бы вместо площадок скольжения DA и DB взять
D'A и D'B. □
ОПЕЧАТКИ
Стр. Строка i Напечатано 1 Должно быть По вине
87 5 снизу / —=0 t =0 Автора
98 5 снизу создавалась сознавалась Издательства
123 табл. 5, верхняя
схема и ul Автора
127 7 снизу <5 II 1 & и 1 9
131 формула (12.5) п сп Типографии
сп сп
137 1 сверху
156 14 сверху трехпролетная четырехпролетная Автора
311 3 сверху в 1904 г. в 1909 г.
315 15 снизу ( <Рд + 7 — 2ф) ( 7а + 7в“ 2Ф) Типографии
370 7 сверху 5 = -г> = — rlp
403 фиг. 409 71
405 5 сверху С2е~лг С,е~аг
426 8 снизу A, D, Е A, D, В. Автора
452 1 снизу Т 1 3 Типографии
509 формула (76.19) atl *п ап 0
— 02 <4-02
За к. 305
ГАЛЕРКИН Борис Григорьевич
ГОЛОВИН Харлампий Сергеевич
(1871 — 1945)
(1844—1904)
ПАПКОВИЧ Петр Федорович
(1887-1946)
БУБНОВ Иван Григорьевич
(1872—1919)
ПЕТРОВ Николай Павлович
(1836—1920)
ДИННИК Александр Николаевич
(1876—1950)
КРЫЛОВ Алексей Николаевич
(1863—1945)