Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статика стержневых систем) - Клейн Г.К., Леонтьев Н.Н., Ванюшенков М.Г., Габбасов Р.Ф.

Автор: Клейн Г.К. Леонтьев Н.Н. Ванюшенков М.Г. Габбасов Р.Ф.
Теги: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций теоретические основы строительства строительство строительные конструкции строительная механика учебное пособие
Год: 1980
Похожие
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений Кн.1
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Книга 1
Строительная механика
Текст
                    РУКОВОДСТВО
К ПРАКТИЧЕСКИМ
ЗАНЯТИЯМ
ПО КУРСУ
СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
(СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ)
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
под общей редакцией
Д-РА ТЕХН. НАУК,
ПРОФ. Г. К. КЛЕЙНА
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
строительных специальностей
• высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА> 1980
ББК 38.112
Р85
УДК 624.04
Г. К. Клейн, Н. Н. Леонтьев, М. Г. Ванюшенков, Р. Ф, Габ-
басов, Л. И. Кошелев, Л. П. Портаев, А. С. Яковлев
Рецензент:
Кафедра строительной механики и теории упругости Саратовского поли-
технического института (зав. кафедрой — проф. В, В. Петров)
Руководство к практическим занятиям по курсу строи-
Р85 тельной механики (статика стержневых систем): Учеб, пособие
для студентов вузов/Г. К. Клейн, Н. Н. Леонтьев, М. Г. Ваню-
шенков и др.; Под ред. Г. К. Клейна. 4-е изд., перераб. и доп. —
М.: Высш, школа / 1980. — 384 с., ил,
В пер.: 90 к.
Пособие охватывает расчет статически определимых и неопределимых стержне-
вых систем. Содержит большое число характерных типовых примеров с подробными
решениями, которым предшествует краткое изложение основных положений и окон-
чательных результатов теории.
По сравнению с предыдущим изданием бблыпая часть текста коренным образом
переработана; введены новые главы, относящиеся к расчету пространственных рам
и к программированию задач строительной механики; многие примеры заменены
более информативными.
Предназначено для студентов строительных специальностей вузов.
30106—1171
Р 00Г(01)—80 71~80	2105000000	ББК 38.112
Руководство к практическим занятиям
по курсу строительной механики (ртатика стержневых систем)
Под общей редакцией д-ра техн, наук, проф. Г. К. Клейна
Редактор Т. М. Минаева
Художественный редактор Н. К- Гуторов
Технический редактор Т. Д. Гарина
Корректор Р, К. Косинова
ИБ № 2112
Изд № От-317. Сдано в набор 12.07.79. Подп. в печать 17.01 80. Формат 60X90T/ie.
Бум, тип. № 1, Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 24 усл, печ. л.
21,68 уч.-изд. л. Тираж 50 000 экз. Зак. № 770. Цена 90 коп.
Издательство ^Высшая школа»
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького
«Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли, 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
S Издательство «Высшая школа», 1973
Издательство «Высшая школа», 1980 с изменениями
(s) BRacus
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее руководство к практическим занятиям по общему
курсу строительной механики, предназначенное для студентов
III курса строительных специальностей вузов, отвечает действующей
в настоящее время программе.
Прослушав лекции по соответствующему разделу курса, студент
может приступить к решению задач и к самостоятельному выполне-
нию домашних расчетных работ, пользуясь этим руководством, при-
меры в котором расположены в логической последовательности и
в порядке возрастания их сложности.
Настоящее издание по сравнению с предыдущим, вышедшим
в 1973 г., значительно переработано. Добавлены главы 17 и 18, отно-
сящиеся к расчету пространственных рам и к программированию
задач строительной механики стержневых систем; заново написаны
главы 1", 3, 8, 13, 14 и 15; расчеты сооружений в матричной форме,
содержащиеся в предыдущем издании в обособленной главе, рассмот-
рены здесь в каждой из глав, что повышает их роль и теснее срязы-
вает с другими разделами курса; многие примеры заменены другими,
несущими большую информацию.
Руководство составлено коллективом преподавателей кафедры
строительной механики Московского инженерно-строительного инсти-
тута имени В. В. Куйбышева. При этом § 1.1—1.3 написаны М. Г. Ва-
нюшенковым; § II.1—П.4 — Р. Ф. Габбасовым; § II.5 —Л. П. Портае-
вым; § III. 1 и III.2 — Р. Ф. Габбасовым; § Ш.З — Л. П. Портаевым;
§ IV. 1—IV.4 — Л. И. Кошелевым; § IV.5 — Л. П. Портаевым;
§ V.1—V.3 — Л. И. Кошелевым; § V.4 — Л. П. Портаевым; § VI.1—
VI.3 — Р. Ф. Габбасовым; § VII.1—VII.3 — А. С. Яковлевым;
§ VIII.1—VIII.8 — М. Г. Ванюшенковым; § VIII.9 — Л. П. Порта-
евым; § IX.1—IX.6 — Г. К. Клейном; § IX.7 — Л. П. Портаевым;
§ Х.1—Х.7 — Л. И. Кошелевым; § Х.8 — Л. П. Портаевым; § XI.1—
XI.3 — Л. П. Портаевым; § XII.1 и ХП.2 — А. С. Яковлевым;
§ XIII. 1—XIII.5 — Н. Н. Леонтьевым; § XIII.6 — Л. П. Портаевым;
§ XIV.l—XIV.3 — Н. Н. Леонтьевым; § XV.l—XV.6 — Г. К. Клей-
ном; § XVI.l—XVI.7 —Г. К. Клейном; § XVII.l—XVII.3—
Г. К. Клейном; § XVIII.1—XVIII.5 — Р. Ф. Габбасовым.
При подготовке настоящего издания авторами с благодарностью
учтены ценные замечания кафедры строительной механики и теории
упругости Саратовского политехнического института, возглавляе-
мой проф., д-ром техн, наук В. В. Петровым, а также пожелания,
содержащиеся в откликах читателей на предыдущее издание.
1»
3
ГЛАВА I
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
СООРУЖЕНИЙ
§ 1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ И АНАЛИЗ
СТРУКТУРЫ ПЛОСКИХ СИСТЕМ
В строительной механике при решений задач расчета реальных
сооружений на прочность, жесткость и устойчивость вместо самого
сооружения рассматривается его упрощенное изображение, свобод-
ное от второстепенных, не играющих существенной роли в работе
сооружения факторов, называемое расчетной схе-
мой. В дальнейшем для краткости расчетную схему будем назы-
вать сооружением и ограничимся рассмотрением лишь сооружений
в виде плоских систем, составленных из отдельных элементов, свя-
занных между собой. Такие системы могут воспринимать Нагрузку
лишь в том случае, если они сохраняют заданную им при возведении
внутреннюю структуру, т. е. геометрическую форму и положение.
Изменяемые системы не в состоянии уравновесить внешние силы и
под их действием приходят в движение, меняют свою форму. Естест-
венно, что такие системы нельзя использовать в качестве сооружений.
Другими словами, сооружение должно быть структурно, или
геометрически неизменяемым (т. е. изменение его
формы возможно лишь за счет деформации элементов) и неподвиж-
ным относительно основания. Для выяснения того, обладает ли дан-
ная система этой способностью, какими условиями она обеспечена,
а также для уяснения роли, которую играют отдельные элементы
в работе сооружения, служит кинематический анализ,
который должен предшествовать расчету.
Изменяемость внутренней структуры и подвижность сооружения
относительно основания характеризуются его степенью сво-
боды — числом независимых геометрических параметров, опреде-
ляющих положение всех элементов сооружения. Поэтому кинема-
тический анализ сооружения начинается с определения его степени
свободы.
Каждый структурно (геометрически) неизменяемый элемент соору-
жения, называемый диском, имеет на плоскости три степени сво-
боды, так как он может перемещаться поступательно в двух направ-
лениях и поворачиваться вокруг любой точки. Простейшим диском
является стержень. Для обеспечения неизменяемости структуры и
неподвижности сооружения диски соединяют различными устрой-
4
ствами, ограничивающими степень свободы. Всякое устройство, отни-
мающее у тела одну степень свободы, называется кинемати-
ческой связью. В качестве связей используют шарниры и
опоры. Шарниры бывают простыми (рис. 1.1, а) и кратными
(рис. 1.1, &)• Простой шарнир соеди-
няет'два диска, кратный—более двух	О)	5)
и эквивалентен (п — 1) простым шар- (	о——	---р. ...
нирам, где п — число соединяемых ।	/ X.
дисков. Каждый простой шарнир экви- '	Х
валентен двум связям, так как пре-
пятствует любым двум взаимным ли-	Рис. 1.1
нейным смещениям двух дисков, ос-
тавляя возможность взаимного их поворота. Различают следующие
типы расчетных схем опор (рис. 1.2): а — цилиндрическая
подвижная, или шарнирно подвижная, б —
цилиндрическая неподвижная, или шарнирно
Рис. 1.2
двум опорным стержням, в
Рис. 1.3
неподвижная, в — защемляющая неподвижная,
или жесткая заделка, г—защемляющая под-
вижная, или скользящая чз а де л к а, эквивалентные
соответственно одному, двум, трем и
каждом из которых действует опор-
ная реакция. На рис. 1.3 показа- Н
ны шарнирно-стержневые эквива-
ленты жесткой и скользящей за-
делок. Здесь расстояние /0 назы-
вается глубиной заделки,а произ-
ведение V2/0 = М — опорным мо-
ментом или моментом в заделке.
Каждый опорный стержень экви-
валентен одной связи, так как препятствует перемещению диска в
направлении стержня.
Из сказанного выше следует, что степень свободы W сооружения,
состоящего из Д дисков, соединенных Ш простыми шарнирами и име-
ющего Со опорных стержней, может быть определена по формуле
П. Л. Чебышева:
№ = ЗД-2Ш-СО.
Для определения числа Д необходимо предварительно отбросить
все шарниры и опоры, а для определения числа Ш — все опоры.
5
Для шарнирно-стержневых систем (ферм), т. е. систем, состоящих
из стержней, соединенных между собой по концам шарнирами (причем
каждый стержень прикрепляется к соседним только двумя шарни-
рами), степень свободы может быть определена по более простой
формуле:
№ = 2У-С-С0,
(1.2)
где У — число узлов фермы; С — число внутренних стержней фермы;
Со — число опорных стержней. Эта формула получена исходя из того,
что каждый узел, как точка, имеет на плоскости две степени свободы,
а каждый стержень, соединяющий два узла, или опорный Эквивалентны
одной связи, так как налагает на координаты этих точек единствен-
ное условие — постоянство расстояния.
Степень свободы системы, не имеющей опорных стержней, скла-
дывается из двух частей: степени изменяемости внут-
ренней структуры системы и степени подвижности ее
относительно основания, которая равна трем. Обозначая степень
изменяемости структуры системы через И, можно записать
И = Г-3 = ЗД-2Ш-3	(1.3)
или для шарнирно-стержневых систем
И = 2У —С —3.	(1.4)
Для системы, имеющей опорные стержни, не делают различия
между степенью свободы и степенью изменяемости, рассматривая
основание в качестве диска, связанного с сооружением опорными
стержнями.
При определении степени свободы или степени изменяемости
системы возможны следующие три качественно различных результата:
1.	W > 0 или И > 0 — система структурно изменяемая, так как
не имеет достаточного количества связей. Система, для которой
W = 1 или И = 1, называется механизмом.
2.	W = 0 или И = 0 — система обладает необходимым мини-
мумом связей, чтобы быть неподвижной и неизменяемой.
3.	W < 0 или И < 0 — система имеет лишние связи.
Аналитические условия W 0 или И 0 являются необходи-
димыми, но недостаточными для суждения о неизменяемости и непо-
движности сооружения, так как эти характеристики зависят не только
от числа связей, наложенных на диски, но и от их расположения.
Для того чтобы узнать, является ли сооружение действительно неиз-
меняемым и неподвижным, а также выяснить, какую роль играют
отдельные элементы в его работе, необходимо произвести анализ
структуры сооружения, для чего нужно знать принципы
образования структурно неизменяемых сис-
тем. Перечислим основные из них:
1.	Присоединение к неизменяемой системе двухстержневого звена
(диады) не изменяет степени свободы системы (рис. 1.4, а).
2.	Два диска могут быть соединены жестко с помощью шарнира С
и стержня АВ, ось которого не проходит через центр шарнира
(рис. 1.4, б).
3.	Два диска могут быть соединены жестко тремя стержнями,
не пересекающимися в одной точке и, следовательно, не параллель-
ными (рис. 1.4, в). Этот принцип может быть сведен к предыдущему,
поскольку два стержня всегда могут быть заменены фиктивным шар-
ниром, расположенным в точке пересечения этих стержней.
Рис. 1.4
4.	Три диска можно соединить жестко с помощью трех шарниров,
не лежащих на одной прямой (рис. 1.4, г).
Все перечисленные принципы могут быть сведены к одному: шар-
нирно-стержневой треугольник (рис. 1.4, д) — фигура структурно,
т. е. геометрически, неизменяемая.
§ 1.2.	МГНОВЕННАЯ ИЗМЕНЯЕМОСТЬ СИСТЕМ
Если в структурно неизменяемой системе изменять длину стерж-
ней или угол наклона связей, то можно получить систему, которая
обладает свойствами некоторой структурной изменяемости.
Рассмотрим, например, вариации простой балки, опирающейся на три опор-
ных стержня. Эта система, очевидно, неподвижна и неизменяема до тех пор, пока
ось правого опорного стержня не проходит через центр шарнира А (рис. 1.5, а).
Если же эту опору повернуть в горизонтальное положение (рис. 1.5, б), система
станет изменяемой на какое-то мгновение, пока узел В не переместится на бесконечно
малую величину по общей касательной к дугам 1 и 2. Как только это перемещение
произойдет, три шарнира А, В, С перестанут находиться на одной прямой и, следо-
вательно, система станет неизменяемой.
Такие системы называются мгновенно изменяемыми.
Как и изменяемые системы, их нельзя использовать в качестве инже-
нерных сооружений. Также следует избегать систем, близких к мгно-
венно изменяемым. Поэтому кинематический анализ должен содер-
жать проверку на мгновенную изменяемость.
Для анализа несложных систем достаточно знать принципы обра-
зования неизменяемых систем. Все исключения из них приводят
к мгновенно изменяемым системам. Например (рис. 1.6), два диска,
соединенные тремя и более пересекающимися в одной точке О (или
параллельными) стержнями (рис. 1.6, а), или три диска I, II и III,
соединенные тремя шарнирами Ох, О2 и О8, лежащими на одной пря-
мой (рис. 1.6, б).
7
Статическим признаком мгновенно изменяемых систем является
то, что в их элементах при действии конечных нагрузок или даже
без них могут возникать бесконечно большие усилия или усилия
неопределенной величины, что можно видеть на примере той же
балки (см. рис. 1.5).
Опорная реакция в стержне ВС может быть определена из уравнения равно-
весия — 0; RBC — Мд/r, где Мд— суммарный момент внешних сил относи-
тельно точки А; г — плечо реакции RBC. При приближении стержня ВС к горизон-
тальному положению г-> 0 и в пределе (см. рис. 1.5, б) т — 0. Следовательно, RBq —
= Мд/0 = со. При отсутствии же нагрузки RBC = [0/0], т. е. неопределенность.
На этом признаке основан статический способ проверки систем
на мгновенную изменяемость, в соответствии с которым определяют
усилия во всех элементах системы при произвольной внешней нагруз-
ке. Если они имеют вполне определенные и конечные значения, а без
нагрузки (нулевая нагрузка) усилия во всех элементах равны нулю
и такое нулевое решение является единственно возможным, то система
структурно неизменяемая.
Для проверки на мгновенную изменяемость шарнирно-стержневых
систем со сложной структурой может быть с успехом использован
способ замены стержней, суть которого состоит в сле-
дующем: вместо заданной системы со сложной структурой рассматри-
вается так называемая заменяющая система, которая
получается из заданной отбрасыванием одного или нескольких стерж-
ней и заменой их действия неизвестными силами Xt. При этом в дру-
гих местах системы необходимо добавить столько же стержней, сколько
было отброшено, чтобы не изменить степень свободы системы. Добав-
лять стержни надо таким образом, чтобы полученная в результате
8
заменяющая система была заведомо геометрически неизменяемой и
удобной для расчета. Заменяющая система будет эквивалентна задан-
ной, если усилия в добавленных, так называемых заменяющих,
стержнях будут равны нулю от действия заданной нагрузки и сил Х{,
приложенных вместо отброшенных стержней. Для системы с п заме-
няющими стержнями это может быть записано так:
Ni = X ПХ1 + N 12Х2 +... + NlnXn + Nlp = б;
Л\ =	A^X-j-J-. • • + Х2ЯХПХ2р == 0;	/т еч
Nn — Х,11Х14-Хп2^2_1_- +	+	= 0,
где Nik — усилие в i-м заменяющем стержне от силы X* = 1, прило-
женной вместо k-ro отброшенного стержня; Nlp — усилие в том же
стержне от действия внешних сил.
Данная система п алгебраических уравнений допускает единст-
венно возможное определенное решение, если определитель, состав-
ленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля. Следо-
вательно, если
Nn ... Nln
D =
Nni ••• Nпп
(1.6)
или =# 0 при одном заменяющем стержне, исходная система неиз-
меняемая, в противном случае — мгновенно изменяемая.
Итак, при анализе расчетных схем сооружений можно рекомендо-
вать придерживаться следующего порядка: сначала по формулам
(1.1) или (1.2) определяют степень свободы системы W, а для систем
без опор — степень изменяемости И по формулам (1.3) и (1.4). Если W
или И > 0, анализ заканчивается, так как система изменяемая. При
W или И 0 проводят анализ структуры, пользуясь принципами
образования неизменяемых систем. Если окажется, что система имеет
неизменяемую структуру, делают проверку на мгновенную изменя-
емость одним из указанных способов.
§ 1.3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример 1.1. Произвести кинематический анализ системы, пока-
занной на рис. 1.7.
Вначале с помощью формулы (1.1) определяем степень свободы
системы. Отбросив все шарниры и опорные стержни, находим, что
система состоит из пяти дисков, т. е. Д = 5. Отбросив все опорные
стержни, определяем число шарниров, приведенное к простым,
Ш — 6 — по два в точках В и С, по одному в точках А и D. Число
опорных стержней Со — 3, следовательно, W — ЗД — 2Ш — Со—-
= 3-5"— 2-6 — 3 = 0, т. е. система может быть структурно неизме-
няемой и статически определимой. Чтобы убедиться, что это так,
производим анализ ее структуры. Так как три диска: АВ, ВС и АС
связаны тремя шарнирами А, В, С, не лежащими на одной прямой,
9
они образуют диск, к которому жестко присоединен диск BD с по-
мощью шарнира В и стержня CD, ось которого не проходит через
центр шарнира. Эта неизменяемая фигура в соответствии с третьим
принципом жестко присоединена к земле с помощью трех опорных
Рис, 1.7
Рис. 1.8
стержней, не пересекающихся в одной точке. Поскольку система
образована в соответствии с принципами образования структурно
неизменяемых систем, она неизменяема и не является мгновенно
изменяемой.
Пример 1.2. Произвести кинематический анализ системы, изо-
браженной на рис. 1.8.
Поскольку система является шарнирно-стержневой, для опре-
деления ее степени свободы используем формулу (1.2). Число узлов
системы У = 6, число стержней С = 8, Со = 3, следовательно,
IF =2-6— 8 — 3 = 1. Система имеет одну степень свободы, т. е.
Рис, 1.9
является механизмом и не может быть использована в качестве строи-
тельной конструкции.
Пример 1.3. Исследовать систему, показанную на рис. 1.9.
Пользуясь формулой (1.1), определяем степень свободы системы.
Число дисков Д = 11, простых шарниров Ш— 14 — по одному
в точках Л, В, G, К, по два в точках D, Е, Н и четыре в точке С, опор-
ных стержней Со = 77 W = 3 -11 — 2 -14 — 7 = —2, следовательно,
система имеет две лишние связи. Чтобы убедиться в ее неизменяемости,
необходимо произвести анализ структуры.- В данной системе можно
выделить два неизменяемых треугольника: A CD и ВСЕ, которые
10
жестко соединены между собой и с землей, рассматриваемой как диск,
с помощью трех шарниров А, В, С, не лежащих на одной прямой.
Стержень .FFF прикреплен к этой неизменяемой части системы с по-
мощью шарнира F и стержня СН, не проходящего через центр шар-
нира, так же как и стержень HL с помощью шарнира Н и опорного
стержня L. Стержни DG и ЕК. лишние, так как и без них система
неизменяемая. Проверки на мгновенную изменяемость производить
не надо, поскольку соблюдены принципы образования неизменяе-
мых систем.
Пример 1.4. Произвести кинематический анализ системы, по-
казанной на рис. 1.10.
Пользуясь формулой (1.2) для шарнирно-стержневых систем,
определяем число степеней свободы. Поскольку'. У = 7, С = 11,
Со = 3, W = 2 «7 — 11 — 3 = 0, следовательно, система имеет необ-
ходимое количество связей, чтобы быть неизменяемой и статически
определимой. Производим анализ ее
структуры. Для этого вначале выде-
ляем в системе неизменяемые тре-
угольники. Их двагРСД и CED. Стер-
жень АВ составляет единое целое с
землей (третий диск), так как прикреп-
ляется к ней тремя опорными стер-
жнями, не пересекающимися в одной
точке. Чтобы проверить, жестко ли со-
единены эти три диска, воспользуемся
теоремой о трех полюсах, в соответст-
вии с которой три диска не могут иметь взаимных перемещений, ес-
ли их три мгновенных центра вращения не лежат на одной прямой.
Шарнир Е является мгновенным центром вращения дисков I и //, а
также дисков II и III, так как здесь находится фиктивный шарнир,
заменяющий стержни АС и DB, соединяющие эти два диска. Следо-
вательно, система мгновенно изменяемая, так как где бы ни находил-
ся мгновенный центр О вращения дисков / и III, через него и точку
Е можно всегда провести прямую, на которой будут лежать все три
мгновенных центра вращения.
Пример 1.5. Исследовать ферму, показанную на рис. 1.11.
Определив по формуле (1.2) степень свободы W = 2-7 — 11 —
— 3 = 0, делаем вывод, что система может быть неизменяемой и
статически определимой. Чтобы убедиться в ее неизменяемости, про-
изводим анализ ее структуры. Система состоит из трех дисков —
треугольники ABC, CFG и стержень DE, — связанных между собой
стержнями BE, AD и EG и DF, которые могут быть заменены фик-
тивными шарнирами Ох и О2, а также шарниром С. На основании
четвертого принципа образования неизменяемых систем можно сде-
лать вывод, что все стержни соединены между собой жестко и при-
крепляются к земле так же жестко с помощью трех опорных стержней,
не пересекающихся в одной точке. Для проверки системы на мгновен-
ную изменяемость применим способ нулевой нагрузки — определим
опорные реакции и усилия во всех стержнях при условии, что внеш-
11
ней нагрузки нет. Из условия равновесия всей системы (S Мл — 0;
2 Мв = 0; S Y = 0) находим, что опорные реакции равны нулю.
Затем, вырезав узел Е и спроектировав все силы на вертикаль, нахо-
дим, что усилие в вертикальном стержне Nde = 0. После этого,
записывая уравнения проекций двух сил, сходящихся в узле D
(третья сила равна нулю), на направления нормалей к этим стержням,
находим, что усилия в стержнях DA и DF также равны нулю. Рассмот-
рев затем равновесие узлов A, F, В, G, находим, что усилия во всех
стержнях системы при отсутствии нагрузки равны нулю, следова-
тельно, система неизменяемая.
Пример 1.6. Произвести кинематический анализ системы, пред-
ставленной на рис. 1.12.
Определив по формуле (1.2) степень свободы W — 2 -9—11 —
— 7 = 0, устанавливаем, что система обладает необходимым минимумом
связей, чтобы быть^неизменяемой. Для
проверки того, является ли действите-
льно система неизменяемой, исполь-
зуем метод замены стержней. Для это-
го вначале необходимо выбрать заме-
няющую систему. Их может быть пред-
ложено несколько. Например, можно
выбрать систему, представленную на рис. 1.13. Она получена отбра-
сыванием стержня BD, замены его действия силами и добавле-
нием одного стержня (заменяющего) между узлами D и G. Нетрудно
убедиться, что выбранная заменяющая система неизменяема: стержни
АВ, ВС и земля жестко соединены тремя шарнирами, не лежащими
на одной прямой. Нижняя же часть заменяющей системы имеет неиз-
12
меняемую структуру, поскольку состоит из треугольника, например
GHJ> к которому жестко присоединены все остальные узлы с помощью
_иад’ и все это прикреплено к земле тремя опорными стержнями.
Очевидно также, что выбранная система несложна для расчета.
После выбора заменяющей системы нужно определить усилие в заме-
няющем стержне от действия сил = 1. Вырезав последовательно
узлы Е, J, G и рассмотрев их равновесие (сумма проекций всех сил,
сходящихся в узле, на нормаль к двум стержням, лежащим на пря-
мой, т. е. DEF,_DJH, FGH), получим, что усилие в заменяющем
стержне DG от Aj = 1 равно нулю, следовательно, исходная система
мгновенно изменяемая.
Пример 1.7. Исследовать систему, показанную на рис. 1.14.
Поскольку система не имеет опорных стержней, определим степень
ее внутренней изменяемости по формуле (1.4): И = 2У — С — 3 =~
= 2-8 — 13 — 3 = 0. 'Следовательно, система может быть неизме-
няемой. Чтобы проверить, так ли это, нужно произвести анализ ее
структуры. Нетрудно заметить, что система состоит из двух дисков
(треугольника АВС и многоугольника DEGHF, образованного из
треугольников DEF и EHG, жестко связанных шарниром Е и стерж-
нем Ffl), которые соединены между собой тремя стержнями BE,
CD и AF, пересекающимися в одной точке О, следовательно, система
мгновенно изменяемая.
Пример 1.8. Исследовать на мгновенную изменяемость сис-
тему, изображенную на рис. 1.15.
Составим уравнение равновесия в форме уравнения моментов
всех сил относительно точки О:
^Mo = Pb-Ra = 0,
отсюда R~^-
При а = 0, т. е. при прохождении линии действия силы R через
точку 0, R ->оо, и, следовательно, система станет мгновенно изме-
няемой. При Р = 0 получим = т. е. неопределенность.
ГЛАВА II
ЛИНИИ И МАТРИЦЫ влияния
§ пл. построение линии влияния
ДЛЯ ОДНОПРОЛЕТНЫХ БАЛОК СТАТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
Линией влияния называют график зависимости искомого
усилия или перемещения от положения единичной силы, сохраня-
ющей постоянное направление.
Необходимость в линиях влияния возникает при расчете соору-
жений на подвижные нагрузки. Пусть по балке (рис. II. 1) переме-
щается нагрузка, распределенная равномерно на отрезке с. Следует
выяснить, при каком положении этой нагрузки (при каком значении
переменной х) изгибающий момент в сечении D, например, будет
иметь наибольшее значение. Для ответа на этот вопрос необходимо
х с	рассмотреть все возможные
*— *+*—Н	положения заданной нагруз-
_____ Ч	ки. Для этого распределен-
у||►	ную нагрузку заменяют од-
JvL 1	""...5""”^ ной сосредоточенной верти-
калькой силой Р — 1. Вели-
Рис цд	чина искомого изгибающего
момента зависит от положе-
ния единичной силы на балке. Эту зависимость можно выразить в
виде некоторой функции Мд = f (х) и построить ее график, изобра-
жающий влияние силы Р = 1 на величину изгибающего момента (или
другого усилия) в рассматриваемом сечении. После этого задача
по определению максимального значения искомого усилия от задан-
ной нагрузки q (рис. П.1) или любой другой легко решается.
Линии влияния обычно строят в прямоугольных осях координат.
Ось абсцисс удобно выбирать перпендикулярно линии действия силы
Р = 1. По оси ординат откладывают значения искомого усилия или
перемещения. Начало координат можно размещать в любой точке.
Статический способ основан на рассмотрении условий равновесия
всего сооружения в целом или любой его отсеченной части.
Пример II.1. Построить линию влияния (л. в.) горизонталь-
ной составляющей опорной реакции На (рис. II.2) при условии, что
сила Р = 1 перемещается по участку АС, оставаясь горизонтальной.
Из уравнения равновесия рамы S X = 0 получаем НА = 1,
т. е. величина Нл не зависит от у и равна 1. Графически этот закон
изображается прямой, параллельной оси у. По оси НА откладываем
14
ординату» равную 1. Прямая действительна на участке АС (на участке
действия Р = 1). В дальнейшем при построении линий влияния оси
координат изображать не будем.
Линии влияния опорных реакций и внутренних усилий одно-
качестве самостоятельных решений
координат изображать не будем.
пролетной балки используют в
при расчете таких балок и в ви-
де промежуточных результатов
при построении линий влияния
в многопролетных балках, трех-
шарнирных системах, балочных
и распорных фермах.
Пример II.2. Построить
линии влияния опорных реак-
ций Ra и Rb простой балки (рис.
П.З, а).
Уравнение равновесия балки
S Ма = 0 имеет вид — RBl 4- В) 1
4- 1 'X = 0. Решая его относи- ц.а ИШтЬтгттптг^!
телыю Rb, находим RB = х/l, -у—LLm.1 Ш ,1.11 ЦТПТттг-г>.—вещ™
т. е. закон изменения RB прямо-	.1
линейный. Прямую (рис. П.З, б)
можно построить по двум наи-
более просто определяемым ор-
динатам: RB = 0 при х = 0 (Р = 1 над опорой Л), RB = 1 при х= I
(Р = 1 над опорой В).
Полученная прямая является линией влияния RB. Она ограни-
чена крайними положениями подвижной единичной силы —at
х -С I 4" й2.
Из условия S Мв = 0 Ra — G —XW- График этой линейной
функции строится аналогично предыдущему случаю. Построенный
график (рис. П.З, в) назовем линией влияния Ra- Любая ордината
15
этой линии на расстоянии х от точки А равна значению RA при нахожде-
нии силы Р = 1 на балке на расстоянии х.
Нетрудно заметить, что ординаты линий влияния опорных реак-
ций безразмерны и зависят от отношения абсциссы точки приложе-
ния силы Р = 1 к величине пролета.
Пример П.З. Построить линию влияния изгибающего момента
в сечении К балки АВ (рис. П.З, а).
Рассмотрим равновесие отсеченной части балки КВ (рис. II.4)
при положении силы Р = 1 левее точки К. Из уравнения S Мк = О
следует Мк = Р.вЬ — xbll. Прих = 0
Мк — 0, при х = а Мк = ab/l. По
этим ординатам строим участок линии
влияния Мк, справедливый при ле-
вых положениях силы Р = 1, или
левую прямую (см. рис. П.З,г). Урав-
нение правой прямой получаем, рас-
сматривая равновесие части балки АК
при положениях груза Р = 1 правее
точки К- Мк = Ra а = (I — х) all.
При х = а Мк = (I — a) all = аЫ1,
т. е. под рассматриваемым сечением
левые и правые прямые пересекаются.
На рис. П.З, г участки, имеющие фи-
зический смысл, заштрихованы.
Для построения линии влияния
поперечной силы QK поступаем ана-
логично. При левых относительно
точки К положениях силы Р = 1 из
уравнения равновесия S Y = 0 отсе-
ченной части балки КВ (см. рис. П.4)
следует (?« = —Rb, т. е. левая пря-
мая линии влияния совпадает с
линией влияния RB, взятой с обрат-
ным знаком. При положениях Р = 1
правее точки К Qk= Ra- Линия влия-
ния изображена на рис. П.З, д. При
известных значениях надопорных ор-
динат, равных единице, прочие ор-
динаты определяются весьма про-
сто.
Пример II.4. Построить линии влияния Мк и Qk в консольной
балке (рис. II.5, а).
Начало координат выбираем в точке К- Рассматриваем положение
силы Р = 1 правее точки /С; из условий равновесия правой части
балки КВ S Мк = 0 и S Y = 0 следует Мк = —х, Qk — 1. При
х = О Мк = 0, при х = b Мк = — Ь. По этим ординатам строим
правую прямую линии влияния Мк- Правая прямая QK параллельна
оси х и имеет постоянную ординату 1. Если рассматривать равновесие
части консоли КВ при левых положениях силы Р = 1, получим
== QK = 0. По этим результатам строим левые прямые линий
влияния Мк и QK, которые совпадают с осью х. Линии влияния Мк
л QK показаны на рис. II.5, б, в.
§ II.2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
ДЛЯ ОДНОПРОЛЕТНЫХ БАЛОК КИНЕМАТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
Наряду со статическим применяется кинематический способ, осо-
бенно удобный для быстрого получения очертания линии влияния.
Сущность этого способа разберем на примере.
Пример II.5. Построить линию влияния RA балки, изобра-
женной на рис. II.6, а.
Вместо отброшенной опорной связи в точке А, не нарушая условий
равновесия, приложим реактивную силу RA (рис. II.6, б). Условие
равновесия полученной системы за-
ф	| Р=1	пишем в виде равенства нулю работ
А. . V 8 _____________
Рис. П.6
Рис. II.7
всех приложенных сил на возможных малых перемещениях (послед-
ние выберем так, чтобы точка А переместилась по направлению RA):
Ra^a — 1 «б = 0, откуда Ra = б/бд; 6 — перемещение произвольной
точки системы. Отсюда следует, что очертание линии влияния иско-
мого усилия целиком совпадает с эпюрой перемещений полученного
механизма с одной степенью свободы. Для вычисления ординаты
линии влияния необходимо силу Р = 1 поставить в определенную
точку. Если Р — 1, например, в точке А, то б = 6А и RA = 1. Полу-
ченная линия влияния Ra (рис. II.6, в) ничем не отличается от постро-
енной статическим способом.
Обобщая результаты рассмотренного примера, можно отметить
следующие характерные положения кинематического способа:
1)	отбрасывается связь, усилие в которой определяется; полу-
чается механизм с одной степенью свободы;
2)	вместо отброшенной связи прикладывается искомое усилие
(удобнее использовать положительное направление усилия);
17
5)
&
Л-в.
Рис. II.8
К
Р=1
3)	строится эпюра перемещений полученного механизма так, чтобы
точка приложения искомого усилия переместилась по направлению
усилия. Построенная эпюра дает очертание линии влияния;
4)	для получения ординаты линии влияния записывается уравне-
ние работ при определенном положении силы Р = 1.
При построении линий влияния внутренних усилий используется
условное представление целого сечения (рис. II.7, а). При построении
линии влияния М устраняется внутренняя связь отбрасыванием
одного из горизонтальных стержней, что равносильно врезанию шар-
нира (рис. II.7, б). При построе-
нии линии влияния Q отбрасывает-
ся поперечная связь, оставшиеся
два горизонтальных стержня обра-
зуют ползун (рис. П.7, в). Послед-
ний характерен тем, что при пере-
мещениях системы упомянутые два
стерженька, а следовательно, и при-
мыкающие к ним стержни системы
всегда остаются параллельными
друг другу.
Пример II.6. Построить ли-
нии влияния Мк и QK в простой
балке кинематическим способом
(рис. II.8, а).
Для построения линии влияния
Мк в сечении К врезаем шарнир и
по обе стороны от шарнира при-
кладываем внутренние изгибающие
моменты Мк. Далее строим эпюру
перемещений полученного меха-
низма с одной степенью свободы от действия моментов Мк; эта эпюра
дает очертание искомой линии влияния, которое совпадает с резуль-
татом статического способа (рис. П.8, б). Для построения линии влия-
ния QK врезаем ползун и прикладываем усилия Q/6 от действия этих
сил возникает эпюра перемещений полученного механизма.
Найдем для примера правую ординату линии влияния Q/<b точке К.
Для этого сила Р — 1 помещается на рассматриваемом механизме
правее точки К. (рис. II.8, в). Записываем уравнение работ для ука-
занного положения силы:
Q А + Q^a/b - 1 • 6Х = 0;	QK(a + b)/b = 1,
откуда Qk — b/l. Линия влияния QK изображена на рис. II.8, г.
Она совпадает с линией влияния, построенной статическим способом.
§ 11.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ПО ЛИНИЯМ ВЛИЯНИЯ
Построив линию влияния некоторого усилия SK, можно найти
величину этого усилия от заданной нагрузки.
1)	Действие сосредоточенной силы Р. Обозначим через у ординату
линии влияния под силой Р, у — значение усилия Sr от единичной
18
силы, от силы Р будем иметь значение SK в Р раз больше:
SK=yP.	(ПЛ)
2)	Действие равномерно распределенной нагрузки интенсивно-
стью q. В этом случае SK = qa, где’ со — площадь, ограниченная
той частью линии влияния, которая находится под нагрузкой.
При действии на сооружение системы сосредоточенных сил и рас-
пределенных равномерно по нескольким участкам нагрузок
п	т
=	(П.2)
1	1
Пример П.7. На простую балку действует нагрузка интенсив-
ностью q, распределенная равномерно по всему пролету I. Найти
величину изгибающего момента в середине пролета с помощью линии
влияния.
Линия влияния момента для простой балки, как было показано
выше, имеет вид треугольника с вершиной под рассматриваемым
сечением. Ордината под сечением аЫ1 = 1/4. Площадь, ограничен-
ная линией влияния, а> — I -//(2 4) = Р/8, величина изгибающего
момента М = qP/8.
Пример 11.8. Найти значение изгибающего момента в заделан-
ном сечении консольной балки пролетом /, если балка нагружена
равномерно распределенной по всему пролету нагрузкой интенсив-
ностью q и сосредоточенной силой Р на конце консоли.
Согласно результатам примера II.4 линия влияния имеет вид тре-
угольника с наибольшей ординатой I. Площадь, ограниченная ли-
нией влияния, равна 14/2. Значение момента в заделке от распреде-
ленной нагрузки Mq = qP/2\ от силы Р Мр = Р 4. Видно, что резуль-
таты, найденные с помощью линии влияния, совпадают с известными
значениями момента, найденными другим путем. Пользуясь прин-
ципом независимости действия сил, суммарный момент находим,
складывая найденные значения, М = qP/2 + Pl.
Отметим, что при действии сосредоточенного момента т искомое
усилие определяется по формуле Sk = т tg а, где а — угол найлона
той части линии влияния, где приложен момент т.
§ 11.4.	НАХОЖДЕНИЕ НЕВЫГОДНЕЙШЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ НА СООРУЖЕНИИ
Поскольку подвижную нагрузку можно рассматривать при неко-
тором фиксированном положении, приведенные выше формулы для
неподвижной нагрузки и в этом случае справедливы. Обычно при
действии подвижной нагрузки ищут наибольшее или наименьшее
значение усилия, следовательно, прежде чем пользоваться упомяну-
тыми выше формулами, необходимо найти невыгодное (критическое)
положение нагрузки.
1)	Действие одной сосредоточенной силы Р. Рассмотрим определе-
ние по построенной выше линии влияния (см. рис. II.3, б) наиболь-
19
шего и наименьшего значений реакции (см. рис. 11.3, а). Будем
обозначать эти значения соответственно max Rb и min Rb- Очевидно,
невыгоднейшим для сооружения положением подвижной силы Р будет
точка С, поскольку этой точке соответствует наибольшая положи-
тельная ордината линии влияния RB. Итак, max RB = (1 + a2/Z)^;
min RB = —a-Jl -P.
2)	Действие равномерно распределенной нагрузки постоянной ин-
тенсивности, имеющей любые разрывы по направлению движения
(нагрузки от толпы). Такая нагрузка встречается при расчете мосто-
вых сооружений. Нетрудно догадаться, что наибольшее значение ис-
комого усилия получим при одновременном нагружении всех поло-
жительных участков линии влияния, наименьшее значение — при
нагружении отрицательных участков. Если обозначить через сох и ®2
площади отрицательных участков линии влияния QK (см. рис. П.З, д),
min QK = q (®х -f- ®2); q — интенсивность нагрузки, невыгодное по-
ложение которой показано над линией влияния.
3)	Действие равномерно распределенной нагрузки постоянной
интенсивности, имеющей заданные разрывы (нагрузки от колонны
гусеничного или колесного транспорта). Невыгодное положение ждан-
ной нагрузки характеризуется равенством сумм ординат линии влия-
ния под левыми и под правыми краями нагрузки. Сформулированная
выше задача (см. рис. II. 1) соответствует частному случаю указан-
ной нагрузки.
4)	Действие системы связанных сосредоточенных грузов (давле-
ние осей локомотивов). Невыгодное (критическое) положение такой
нагрузки над треугольной линией влияния характеризуется одно-
временным выполнением следующих двух неравенств:
(Ялев + Ркр)/а > ₽пр/&; ЯдевМ	(Р«р + #пр)/&,	Щ .3)
где Ркр — одна из сосредоточенных сил (см.' рис. П.9), при располо-
жении которой над вершиной линии влияния удовлетворяются оба
неравенства; 7?лев — равнодействующая сил, находящихся левее вер-
шины; Rap — то же правее вершины. Одновременное удовлетворе-
ние обоих- неравенств достигается путем нескольких попыток.
5)	Эквивалентная нагрузка. Эквивалентной называется
нагрузка, распределенная равномерно по всей длине линии влияния
(см. рис. П.9) и вызывающая то же усилие, что и соответствующая
система сосредоточенных грузов при их невыгодном расположении,
т. е. Sk max = где со — площадь, ограниченная линией влияния:
<л = ук(а+Ь)/2.
При критическом положении сосредоточенных сил S« max ЪР^.
Отсюда
= S	<п-4)
Вычисленную по этой формуле qa применяют для нагружения
всех «подобных» линий влияния. Подобными называют треуголь-
20
ные линии влияния с одинаковыми значениями а и Ь; ординаты их
могут быть какими угодно.
Пример II.9. Найти критическое положение нагрузки, состоя-
щей из шести связанных сосредоточенных сил (рис. II.9), вычислить
Sg «ах и соответствующее значение qa.
Пусть а — 6 м; b — 4 м; ук = 2,4; d4 = d2 = 0,5 м; d3 = d4 =
=	= 1 м; Рг = Р2 = Р9 = Рв = 10 кН; Р4 = 18 кН; Ps = 14 кН.
Методом попыток устанавливаем, что не-
равенства (П.З) одновременно удовлетво-
ряются при нахождении над вершиной ли-
нии влияния силы Р4; действительно, при
этом Рлев = 30; Рп„ = 24; (30 + 18)/6 >
> 24/4 и 30/6 < (18 + 24)/4. При поста-
новке над вершиной другой силы одно из
неравенств нарушается. Исходя из подо-
бия прямоугольных треугольников, опре-
деляем ординаты под каждой из сил; обо-
значив их через у, получим: у4 = 1,6;
Уг = 1,8; Уз = У4 = Ук = 2,4; у9 = 1,8;
mxinzizEzxmi,
Ув = 1,2. Тогда 5к,тах = 10 (1,6 + 1,8 +
+ 2) + 18-2,4 + 14-1,8 + 10-1,2 = 134,4 кН -м, <0=10-2,4/2 =
= 12 м2; по формуле (II.4) qa — 134,4/12 = 11,2 кН/м.
В предыдущих примерах было задано сечение, для которого, можно
было построить линию влияния искомого усилия и уже по ней найти
опасное положение подвижной нагрузки и соответствующее усилие,
максимальное для данного сечения. Однако задача может быть по-
ставлена так, что ни сечение, ни опасное положение нагрузки не
заданы и требуется найти и то и другое из условия, чтобы искомое
усилие было максимальным. Эта задача легко может быть решена
для простой балки на двух опорах, по которой движется система свя-
занных между собой сосредо-
R=3D0kH^ pz=!20 кН	точенных грузов. Один из
этих грузов будет критиче-
ским и при каком-то опреде-
ленном положении его под
ним будет находиться сече-
ние с наибольшим изгибаю-
щим моментом.
Какой груз окажется кри-
тическим, заранее неизвестно,
Рис. П.10	поэтому в качестве критиче-
ских нужно последовательно
рассмотреть все грузы за исключением тех, которые из-за небольшой
величины или крайнего положения заведомо не могут быть критиче-
скими.
Исследуемый груз Р« и равнодействующую R всех грузов нужно
расположить симметрично, т. е. на равных расстояниях а/2 по отно-
шению к середине пролета I балки. Тогда расстояние груза Рк от ле-
вой опоры балки и изгибающий момент в сечении под этим грузом
21
будут выражаться такими формулами:
х — {1 — а)/2;	(П.5)
Afn,ax = W-MK,	(П.6)
где а — расстояние между критическим грузом и равнодействующей
всех грузов; Мк — момент всех грузов, находящихся левее Рк, отно-
сительно сечения, в котором находится этот груз.
Пример 11.10. Найти опасное сечение и наибольший изгиба-
ющий момент в балке при движении по ней системы грузов (рис. 11.10).
В качестве критического рассматриваем груз Р2, для которого
а = 5,44-6 = —0,56 М; х = (/-а)/2= 15 + 0,56/2 = 7,78 м;
Л1тах = ВД/ - Мк = 300 • 7,782/15 — 60 • 6 = 850,57 кН • м.
§ 11.5.	МАТРИЦЫ ВЛИЯНИЯ
Матричная форма записи может вводиться на различных этапах
расчета строительных конструкций, что определяет задание необхо-
димой, исходной информации о рассчитываемой конструкции. На-
пример, она может быть введена в виде матриц координат узлов,
нагрузки и граничных условий. Либо в матричной форме можно
записать уравнения равновесия и совместности деформаций или за-
писать матрицы влияния, т. е. их ввести после построения эпюр
изгибающих моментов, поперечных и продольных сил от единичных
внешних нагрузок и единичных усилий в лишних связях.
В данном руководстве матричная 1форма записи расчета построе-
на на использовании матриц влияния.
При расчете конструкций в матричной форме весьма ответствен-
ной частью является выбор идеализированной расчетной схемы рас-
считываемого сооружения и действующих внешних нагрузок.
Основой идеализированной расчетной схемы плоской стержневой
системы служит прямолинейный стержень постоянного поперечного
сечения, плоскость симметрии которого совпадает с плоскостью дей-
ствия внешних нагрузок. К этому стержню никаких внешних силовых
нагрузок непосредственно не приложено*, а принимается, что по
концам его действуют только внутренние усилия М, Q и N, подлежа-
щие определению.
В процессе расчета определяются значения внутренних усилий
или перемещений по концам элементов и все эпюры представляются
ломаными, так как в пределах каждого элемента внутренние усилия
изменяются по линейному закону.
Исходя из приведенных положений выбор идеализированной рас-
четной схемы плоской стержневой системы осуществляется следую-
щим образом:
1)	границы участков системы должны совпадать с точками при-
ложения сосредоточенных сил и переломами прямолинейных осей;
2)	распределенные нагрузки заменяются сосредоточенными силами,
число которых должно гарантировать достаточную точность оконча-
тельных результатов расчета;
* Мы иногда будем отступать от этого положения и считать, что к некоторым
элементам приложена равномерно распределенная нагрузка,
22
3)	криволинейные оси стержней заменяются вписанной ломаной,
число участков которой также зависит от требуемой точности расчета;
4)	стержень с плавно меняющимся поперечным сечением заме-
няется ступенчатым, имеющим постоянное поперечное сечение в пре-
делах каждого участка.
На рис. 11.11, б показана идеализированная расчетная схема
рамы, изображенной на рис. 11.11, а, с нумерацией участков и расчет-
ных сечений.
Рис. П.П
Во избежание ошибок при выполнении расчетов в матричной
форме следует придерживаться одинакового порядка нумерации
участков, сечений, внешних нагрузок, принятого правила знаков
усилий и перемещений для всех без исключения матриц от начала
до конца расчета.
Матрицей влияния будем называть линейный оператор,
позволяющий определить компоненты вектора внутренних усилий
непосредственно через вектор внешних сил Р:
3 = L5.P,	(II.7)
где S — искомый вектор внутренних сил; Ls — матрица влияния фак-
тора s; Р— вектор внешних сил.
Вектор изгибающих моментов выражается так:
M = Lm-P,	(II.8)
где М. — вектор изгибающих моментов; Lm — матрица влияния изги-
бающих моментов; Р— вектор внешних сил.
Вектор поперечных сил определится следующим образом:
Q = Lq-P,	(II.9)
где Lq — матрица влияния поперечных сил.
Аналогично можно представить вектор нормальных сил и других
внутренних усилий.
23
В качестве примера рассмотрим однопролетную балку, нагружен-
ную тремя сосредоточенными силами Р1г Р2 и Р3 (рис. 11.12).
Как известно, на основании принципа независимости действия
сил изгибающий момент в любом сечении балки можно выразить
в виде суммы воздействия от каждой силы отдельно. В заданных
фиксированных точках балки 1, 2 и 3 (в точках приложения сил
Р1г Р2 и Р3) изгибающие моменты соответственно равны:
Мк = тиР! + т12Р2 -J- mlsP3;
М 2 = т21Рх + т22Р2+т23Р3-,
М3 = т31Р1+т32Р2+т33Р3,	(11.10)
где ти— изгибающий момент в сечении 1 от силы Рх = 1, прило-
женной в сечении /; т12 — изгибающий момент в сечении 1 от силы
Р2 = 1, приложенной в сечении 2, и т. д.
Выражения (11.10) в матричной форме можно записать так:
(П-11)
Или в компактной форме его можно представить как (II.8).
Элементы й-й строки матрицы влияния Lm изгибающих моментов
тк1, mk2> tnk3, .... ткп представляют собой последовательность орди-
нат линии влияния изгибающего мо-
ipt рг	|р3 мента Мк в сечении k. Элементы
* ______У	'i i-ro столбца матрицы влияния ,тг1,
*	23	тзь ♦ mji представляют
собой последовательность ординат
рис> и 12	эпюры изгибающих моментов от
груза, равного единице, приложен-
ного в сечении i. Таким образом,
для построения матрицы влияния изгибающих моментов Lm для
балки, имеющей п сечений и нагруженной внешними силами в / точ-
ках, необходимо построить, либо п линий влияния моментов для
сечений 1, 2, 3, .... п, либо / эпюр изгибающих моментов от единичных
сил Рк = Р2 = ... — Pj = 1, приложенных в точках 1, 2, 3, ...,/.
На основании приведенных рассуждений устанавливаем, что для
определения вектора изгибающих моментов М в заданных сечениях
необходимо вычислить элементы тк{ матрицы влияния изгибающих
моментов Lm, представить заданную внешнюю нагрузку в виде матри-
цы-столбца (вектора) Р и умножить матрицу Lm справа на вектор Р.
ГЛАВА III
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ
БАЛОЧНЫЕ СИСТЕМЫ
§ III.	L ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Среди статически определимых балочных систем наиболее рас-
пространены многопролетные шарнирно-консольные балки, идея и
метод расчета которых были предложены в 1871 г. Г. С. Семиколено-
вым.
Многопролетной шарнирно-консольной бал-
кой называется совокупность простых балок, имеющих консоли и
связанных между собой промежуточными шарнирами. В зависимости
от расположения шарниров могут применяться различные схемы,
примеры которых приведены на рис. III.1, а—в.
Рис. Ш.1
Для структурной неизменяемости и статической определимости
многопролетной шарнирно-консольной балки число шарниров, вве-
денных в пролеты, должно удовлетворять условию
Ш = С0-3,	(III.1)
где Со — число опорных стержней.
Из этого следует, что при крайних шарнирных опорах число шар-
ниров в пролетах должно быть равно числу промежуточных опор.
Условие (III. 1) является необходимым, но недостаточным для
структурной неизменяемости балки. Для обеспечения неизменяемости
балки размещение шарниров в пролетах должно еще подчиняться сле-
дующим правилам:
25
1.	В каждом пролете должно быть не более двух шарниров.
2.	Пролеты с двумя шарнирами должны чередоваться с проле-
тами без шарниров.
3.	Пролеты с одним шарниром могут следовать один за другим
при условии, что один пролет остается без шарнира.
С точки зрения оптимизации конструщщи шарниры целесообразно
располагать так, чтобы наибольшие изгибающие моменты в пролетах
и на опорах были равны между собой по абсолютному значению или
находились в определенном соотношении.
Большим преимуществом шарнирно-консольных балок является
то, что благодаря статической определимости в них не возникает уси-
лий от теплового воздействия и осадок опор. Недостаток — меньшая
жесткость по сравнению с неразрезными и конструктивные трудности
при устройстве шарниров.
Для лучшего уяснения взаимодействия отдельных частей много-
пролетной шарнирно-консольной балки ее заменяют «этажной схе-
мой». На рис. II 1.2 показаны этажные схемы, соответствующие бал-
кам, изображенным на рис. III. 1.
На схемах II 1.2, а и II 1.2, б отчетливо различается основная
часть многопролетной балки, на которую опираются подвесные части,
оказавшиеся на этажной схеме во втором этаже. На схеме III.2, в
все балки, кроме крайней левой, являются подвесными, причем каждая
нижележащая балка служит опорой для всех вышележащих.
Нагрузка, действующая на основную часть балки, не передается
на вышележащую подвесную; нагрузка же, действующая на подвес-
ные части балки, передается на основную, которая служит опо-
рой.
Расчет многопролетной шарнирно-консольной балки удобно вести
по частям, начиная от самых «верхних» балок и последовательно пере-
26
ходя к нижележащим. При расчете нижележащих балок следует учи-
тывать не только ту нагрузку, которая к ним непосредственно прило-
жена, но и опорные давления от вышележащих балок, равные опорным
реакциям последних, но имеющих обратное направление.
Расчет многопролетной шарнирно-консольной балки сводится к по-
строению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, которые
связаны между собой и с нагрузкой дифференциальными зависимв-
стями, установленными Д. И. Журавским.
Рис. Ш.З
Эти принципы распространяются и на более сложные балочные
системы.
Пример Ш.1. Построить эпюры М и Q в шарнирно-консоль-
ной балке от заданной неподвижной нагрузки. На рис. Ш.З приво-
дятся окончательные эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Окончательная эпюра изгибающих моментов строится путем объеди-
нения соответствующих эпюр, построенных для каждого пролета
в отдельности; окончательная эпюра поперечных сил — непосред-
ственно по общей эпюре М с учетом Q = dMIdx. ,
При передаче нагрузки на шарнирно-консольную балку не непо-
средственно, а через узлы балки сначала строят эпюру М для случая
передачи нагрузки непосредственно на заданную балку. После этого
на эпюру сносят точки, соответствующие узлам передачи нагрузки,
27
и эти точки соединяют прямыми линиями. Совершенно так же поступают
и при построении эпюры Q.
Пример III.2. Определить опорные реакции и построить эпюры
М, Qu N для двухпролетной рамы (рис. III.4, а).
Данную раму можно рассматривать как шарнирно-консольную
систему, крайняя Г-образная часть которой DFK является подвесной,
а средняя П-образная рама — основной частью. В таком разделенном
виде они изображены на рис. II 1.4, б. На основную раму от правой
части действуют сосредоточенные горизонтальная и вертикальная
силы, равные 8 кН, обе силы приложены в сечении D.
На рис. III.4, б изображены и опорные реакции, найденные из
условий равновесия.. Реакции Нк, HD, VD определяются из уравне-
ний равновесия подвесной nacTHiDFK: ЕЛ4О = 0; EX = 0; ЕУ = 0.
Реакции VE, Vа, На вычисляются с учетом упомянутых выше сил
давления со стороны подвесной части DFK из условий равновесия
основной части системы: ЕМЛ = 0; ЕУ = 0; SX = 0.
На рис. II 1.4, в показана эпюра изгибающих моментов, построен-
ная со стороны растянутых волокон. Эпюру М удобно строить отдельно
для Г-образной и П-образной частей рамы с учетом действующих
на них непосредственно сил и реакций, а затем объединить эти эпюры
в общую эпюру М аналогично тому, как это было сделано в предыду-
щем примере.
На рис. II 1.4, г изображена эпюра Q; значение поперечной силы
в пределах каждого участка с прямолинейной частью эпюры находим
как тангенс угла наклона этой прямой к стержню рамы. Знак попе-
речной силы определяется по следующему правилу: если стержень
для совмещения его с прямолинейной частью эпюры необходимо по-
ворачивать по часовой стрелке, знак Q положительный, в противном
случае — отрицательный. Например, QAb = 52/4 — 13; Qkf =
= —16/2 = —8. Для построения эпюры Q в пределах стержня DF
криволинейную эпюру разбиваем на два участка: прямолинейную
(штриховая линия) и симметричную квадратную параболу. Тогда
Qdf — 16/4 + 2 *4/2 = 8; Qed — 16/4 — 2 -4/2 = 0. Через эти две
найденные ординаты проводим прямую, поскольку первая произ-
водная квадратной параболы изменяется по линейному закону.
На рис. II 1.4, д показана эпюра N, которая строится с учетом
эпюры Q путем вырезания отдельных узлов рамы. В качестве примера
рассмотрим узел В, изображенный на рис. II 1.4, е. К узлу следует
приложить внешнюю сосредоточенную силу. Кроме того, в сечениях
перерезанных стержней, сходящихся в данном узле, показывают поло-
жительные направления искомых продольных сил (УВа, Уве) и при-
кладывают поперечные силы с учетом их знаков. Если поперечная
сила положительна, то ее прикладывают так, чтобы она стремилась
вращать узел по часовой стрелке, в противном случае — против ча-
совой стрелки. Узел рамы под действием всех приложенных сил дол-
жен быть в равновесии. Из уравнений SX = 0 и ЕУ = 0 находим
соответственно Уве = 8; N ВА = 7,2. В остальных стержнях продоль-
ные силы определяются аналогично:
28
Рис. III.4
§ Ш.2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Построение линий влияния статическим способом рассмотрим на
примерах.
Пример Ш.З. Построить линию влияния опорной реакции
Ra многопролетной балки (рис. II 1.5, а).
Для этого удобно пользоваться этажной схемой, изображенной
на рис. II 1.5, б. Балки CD и АВ являются основными, DE и FN —
подвесными. Рассмотрим движение груза Р = 1 по балке АВ. При
Рис. III.5
этом подвесные балки, а
следовательно, и балка CD
не работают. Тогда участок
линии влияния
Рд, соответствующий пере-
движению силы Р — 1 по
EABF, ничем не будет от-
личаться от линии влияния
левой опорной реакции от-
дельно стоящей простой
балки (рис. III.5, в). При
положении силы Р = 1 в
точке Е Ra = 5/4. При
движении груза Р = 1 по
балке DE в точке Е на бал-
ку Л В передается давление
Re- Поскольку 5/4 — зна-
чение реакции Рд от еди-
ничной силы, от РЕ будем
иметь Рд = 5Ре/4. Значе-
ние Re как опорной реак-
ции балки DE меняется по
линейному закону. Следо-
вательно, и Рд при движении Р = 1 по балке DE меняется по зако-
ну прямой. При положении Р = 1 в точке D RE = 0. Найденную вы-
ше ординату 5/4 соединяем с нулевой ординатой под точкой D прямой
линией DtEv При движении силы Р = 1 по участку PPL рассуждаем
аналогично. При положениях груза Р = 1 на балке CD балка АВ
не работает, Рд = 0, соответствующий участок CtDx линии влияния
совпадает с осью абсцисс.
Далее построим линию влияния изгибающего момента Мк в сече-
нии К. Как правило, вначале рассматривают передвижение груза
Р = 1 по той балке, которой принадлежит сечение. При движении
Р = 1 по балке CD подвесная балка DE, а также другие элементы
многопролетной балки не работают. Следовательно, участок K1Dl
линии влияния Мк имеет тот же вид (рис. III.5, г), что и линия влия-
ния Мк, изображенная на рис. II.5. При движении Р = 1 по DE
Мк = 0,9Рр; давление Ро меняется по линейному закону, что и опре-
деляет участок DjE! линии влияния Мк- При прочих положениях
зо
груза Р = 1 сечение Д' никаких усилий не испытывает, соответствую-
щий участок линии влияния совпадает с осевой линией.
Построение линий влияния усилий в сечениях подвесных балок
выполняется проще. Балка FN, например, работает лишь при непо-
средственном действии силы Р = 1, т. е. как обычная простая балка.
Линия влияния поперечной силы Qa (рис. III.4, д) по существу ничем
не отличается от линии влияния QK (см. рис. П.З, д').
Ниже покажем построение линий влияния кинематическим спо-
собом на примере балки, изображенной на рис. II 1.6, а.
Пример 1П.4. Построить линии влияния Мк и Qk, в сечениях
К и Ki- В точке К врезаем шарнир. Полученный механизм с прило-
Рис, Ш.6
женными моментами Мк показан на рис. III.6, б. Выберем в качестве
возможных перемещения, соответствующие действию моментов Мк.
Стержень АК не перемещается, так как имеет достаточное количество
связей. Под действием правого момента Мк стержень КВ повернется
по часовой стрелке вокруг неподвижной шарнирной точки К, если
может опуститься точка В. Последняя опускается благодаря повороту
стержня BCD вокруг точки С. Показанная штриховой линией эпюра
перемещений по форме полностью совпадает с линией влияния Мк.
Линия влияния Мк на рис. Ш.6 уже не приводится.
Для построения линии влияния QKt на рис. Ш.6, в показываем
соответствующий механизм и рассматриваем его перемещение, соот-
pyTC™j^ee «ействию сил Qki- Линия влияния Qki изображена на
Для большинства реальных сооружений линии влияния необхо-
димо строить с учетом передачи нагрузки в узлах. При этом подвиж-
ная нагрузка перемещается по подвесным балкам, опирающимся на
несущую часть сооружения (рис. III.7, а).
л * Р и м е р Ш.5. Построить линию влияния Мр. Мысленно от-
оросив второстепенные балки 0—1, 1—2, 2—3, строим прямую
31
(рис. Ш.7, б), которая представляет собой линию влияния Мр, соот-
ветствующую передвижению груза Р = 1 по участку АВ несущей
части конструкции. Обозначим ординаты этой линии под узлами
/ и 2 через уи у2 и рассмотрим передвижение силы Р = 1 по балочке
1—2. При этом на несущую часть конструкции действуют силы Rt
и R2. Следовательно, Мр — y^R^ + г/2Т?2. Величины уг и у2 постоянны,
a Ri и R2, как уже было установлено ранее, меняются по линейному
закону. При положении Р = 1 в точке 1 Ri = 1, R2 = О, Мр — у-у,
при положении Р = 1 в точке 2 Rt = Q, R2 — МР = у2. Значит,
передвижению груза Р — 1 по второстепенной балке соответствует
линейный закон изменения искомого усилия, причем прямая эта
проходит через ординаты под
узлами. В данном случае отре-
зок этой прямой Г—2' совпал
с прямой Используя полу-
ченную выше закономерность,
проводим отрезки 0'—Г и 2'—3'
линии влияния Мр (рис. Ш.7, б)
и строим линию влияния Qg
(рис. Ш.7, в).
Линии влияния всех усилий
при узловой передаче нагрузки
строятся подобным образом.
Пример Ш.6. Построить
линии влияния для балки с ло-
маными осями на примере си-
стемы, изображенной на рис.
Ш.8, а.
Нетрудно увидеть, что бал-
ка DABC является основной,
DE — подвесной. Построим ли-
нию влияния Ra. Рассмотрим движение груза Р — 1 по участку DC.
При этом балка DE не работает. Из уравнения равновесия главной бал-
ки 2 У = 0, поскольку реакции в точках В и С строго горизонталь-
ны, следует RA = 1. Этому значению Ra соответствует участок линии
влияния DxCi (рис. Ш.8, б), параллельный осевой линии. Рассуж-
дения при построении участка F^E^Di, соответствующего передви-
жению груза Р — 1 по подвесной балке DE, ничем не отличаются от
рассмотренных выше.
Из приведенных примеров видно, что для построения линии влия-
ния используется такое уравнение равновесия, из которого искомое
усилие определяется наиболее просто. Например, для построения
линии влияния RB (рис. Ш.8, а) следует воспользоваться уравне-
нием 2Л4О = О (Р = 1 на участке DC).
Линии влияния внутренних усилий в балках с ломаными осями
удобнее строить после построения линий влияния опорных реакций.
Построим линиювлияния QK в сечении К балки АВС (рис. Ш.8, а).
Пусть груз Р = 1 находится на участке КС. Из уравнения равнове-
сия 2 У = 0 левой части балки DK следует Qk — Ra = 1, чему соот-
32
тствует участок К\Сг линии влияния (рис. III.8, в). Этот результат
легко получить и из условия равновесия части балки КС. При поло-
Рис. II 1.8
жениях силы Р = 1 левее точки К из рассмотрения равновесия части
балки КС следует QK = 0.
§ Ш.З. МАТРИЧНАЯ ФОРМА РАСЧЕТА
Пример Ш.7. Построить эпюру изгибающих моментов в одно-
пролетной балке, нагруженной тремя сосредоточенными силами
Pi = 3 кН, Р3 = 4 кН, Р4 = 6 кН (рис. Ш.9, а).
Разобьем балку на пять равных участков так, чтобы заданные
сосредоточенные силы совпадали с границами деления участков.
Пронумеруем точки деления слева направо: 1, 2, 3 и 4. Крайние точки
не пронумерованы, так как в этих сечениях изгибающие моменты
равны нулю. Приложим (последовательно) в точках деления сосредо-
точенную силу Pj = 1 и построим эпюры Mi, М2, Л43, М4
(рис. Ш.9, б—д). Ординаты единичных моментов внесем в матрицу
влияния (по столбцам):
/Иц	«12	Ш1з	ти		0,8	0,6	0,4	0,2
	т22	^23	m2i		0,6	1,2	0,8	0,4
«з1	та2	т33	m3t		0,4	0,8	1,2	0,6
^41	тю		ты		0,2	0,4	0,6	0,8
2 п/р. Клейна Г. К.
33
Составим вектор внешней нагрузки F:
3
О
4
6
Теперь для нахождения М остается выполнить только формальную
операцию умножения матри-
цы влияния Lm справа на век-
тор Р:
Рис. III,9
По полученным данным
вектора М строим эпюру из-
гибающих моментов (рис.
III.9, е). '
Из приведенного примера
видно, что самая трудоемкая
часть расчета статически оп-
ределимых балок связана с
построением матриц влияния
Lm. Для однопролетной балки, когда ее пролет I разбит на п равных
частей длиной d, матрицу Lm можно построить без построения эпюр
или линий влияния. В этом случае элементы ты матрицы влияния
34
изгибающих
моментов можно вычислить по формулам:
mki — (ft — k) Н/п*
tnkl = (n — i)kl/n2
при
при
0<t=^£<n;
п > i k > О,
(III.2)
где ты — элемент в матрице Lm, стоящий на пересечении k-и строки
с t-м столбцом.
Сообщая k и i значения 1, 2, 3, п и вынося общий множитель
Urf = d/n за знак матрицы, получаем Lm в таком виде:
(п-1) (п-2) (п-3) ...	1
(п - 2)	...	2
2	4	6	... (п-2)
1	2	3	... (п-1)
__ d Т
(Ш.З)
где /(п-i) — натуральная центробежная матрица порядка (п — 1).
Матрица /(„Л) симметрична относительно обеих диагоналей; эле-
менты первого столбца и первой строки в ней, считая строки снизу
вверх, а столбцы слева направо, представляют ряд натуральных чи-
сел 1, 2, 3, ... (п — 1), а любой элемент, лежащий ниже главной диа-
гонали, включая и элементы на главной диагонали, равен произведе-
нию номеров его индексов, т. е. mki = ki.
Например, если пролет однопролетной балки разбит на п = 6 рав-
ных частей длиной d, то матрица Lm (для всех внутренних точек де-
ления балки, кроме крайних, где моменты равны нулю) приобретает
такой вид:
	5	4	3	2	1
	4	8	6	4	2
*	d »	d г d (n-1) — ~Q — -fj-	3	6	9	6	3
	2	4	6	8	4
	1	2	3	4	5
Для консоли, разбитой на п равных частей длиной d и защемлен-
ной левым концом, матрица Lm имеет вид
	0 —1 —2		—3	.0.		 П
— dl\n = d	0	0 —1	—2	... -(n- 1)
	0	0	0	0	» ... —1
				
	0	0	0	0	0
('г + 1) — матрица порядка		(n+l).		
2*				
(II 1.4)
35
Например, если пролет правой консоли разбит на п. = 3 равных'
частей длиной d, то матрица Lm имеет вид
О —1 —2 —3
Lm = dll = d
О —1 —2
О 0—1
0	0	0	0
Для консоли, разбитой на п равных частей длиной d и защемленной
правым концом, матрица	Lm имеет вид			
	0	0	0	... 0	
	—1	0	0	... 0	
Lm ~ di (п _|_ 1) = d	—2	—1	0	... 0	. (II1.5)
	— п —(п — 1)	-(п-2)	... 0	
Например, если пролет левой консоли разбит на п — 4 равных частей
длиной d, то
Lm = dl* = d		0	0	0	0	0 —1	0	0	0	0 —2—1	0	0	0 —3	—2—1	0	0 —4	_з	_2	—1	0
Так как при расчете сооружений в матричной форме обычно внеш-
нюю нагрузку представляют в виде системы сосредоточенных сил, то
эпюра поперечных сил на любом участке балки или рамы является
постоянной, поэтому для построения эпюры Q достаточно найти одно
значение поперечной силы на каждом участке. Если однопролетная
балка разбита на п участков длиной d1( d2, d3, ..., матрица влияния
поперечных сил Lq может быть получена по формуле
LQ = KQ-Lm,	(II 1.6)
где Lm — матрица влияния изгибающих моментов; Kq — матрица
преобразующих коэффициентов поперечных сил порядка п (п + 1)
при условии, что левая опора шарнирная;
KQ =	-J-	0	0	...	0	0 -J-	4-	0	...	0	0 ug	^2 о -1 1 ... о 0 a3 d3	(III.7)
	000	0	
36
В случае, если балка разбита на п равных частей длиной d, матрица
преобразующих коэффициентов K.Q упрощается и записывается так:
	1	0	0 ...	0	0	
	—1	1	0 ...	0	0	
	0	—1	1 ...	0	0	(Ш.8)
	0	0	0 ...	—1	1	
	0	0	0 ...	0	—1	
Q выражается через матрицу преобразу-
Вектор поперечных сил
ющих коэффициентов следую-
щим образом:
Q = Lq- Р = Kq- Lm- Р = KQ- М.
(III.9)
Пример III.8. Построить
эпюры М и Q в однопролетной
балке, нагруженной тремя сосре-
доточенными силами Р1г Р3 и
Р4 (рис. II 1.9, а).
Разбивку балки на участки и
нумерацию сечений произведем
также, как и в примере II 1.7. В
данном случае п = 5 и d = I.
Матрица влияния изгибаю-
щих моментов Lm согласно (111.3)
будет равна:
4	3	2	1
£	_1	3	6	4	2
т	п	»	5	2	4	6	3'
12 3 4
Вектор изгибающих моментов
Рис. III.10
37
Для вычисления вектора поперечных сил Q воспользуемся матри-
цей преобразующих коэффициентов по выражению (Ш.9):
	1	0	0	0		5,2 *7 Л		5,2
	—1	1	0	0				2,2
5 =	= 4	0	—1	1	0	•	7,4 9,6 7,8	—	2,2
	0	0	—1	1				—1,8
	0	0	0	—1				—7,8
Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил показаны на
рис. Ш.9, е, ж.
Пример Ш.9. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
нагруженной двумя сосредоточенными силами: Рг и Р2 (рис. III. 10, а).
Разобьем раму на шесть участков, обходя по часовой стрелке.
Наметим цифрами 0, 1,2, ..., 9 характерные сечения, в которых будем
определять изгибающие моменты. Все эпюры изгибающих моментов
будем Строить со стороны растянутых волокон. Положительные зна-
чения ординат изгибающих моментов, отмеченные знаком плюс, по-
казаны на рис. III. 10, а.
Приложим к раме (последовательно) в_точках 6 и 9 силы Рх = 1
и Р2 = 1 и построим единичные эпюры Mt и М2 (рис. III. 10, б, в).
По эпюрам Л4Х и М2 составим матрицу влияния изгибающих момен-
тов Lm.
Вектор изгибающих моментов М равен:
По этим значениям построена эпюра изгибающих моментов в раме
(рис. III. 10, г).
ГЛАВА IV
ТРЕХШАРНИРНЫЕ! АРКИ И РАМЫ
§ 1V.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Аркой называется распорная система, имеющая форму кривого
стержня, обращенного выпуклостью в направлении действия основной
нагрузки. Трехшарнирная арка представляет собой статически опре-
делимую распорную систему, состоящую из двух полуарок, соединен-
ных между собой и с поверхностью земли шарнирами. Опорные шар-
ниры обычно называются пятовыми, а средний — ключевым (см.
рис. IV.1).
Трехшарнирные рамы представляют собой статически опреде-
лимые распорные системы, составленные из прямолинейных стержней.
Характерной особенностью распорных систем является наличие
горизонтальных составляющих опорных реакций при действии вер-
тикальной нагрузки.
Трехшарнирные арки и рамы могут иметь опорные шарниры на
одном и на разных уровнях. Трехшарнирные арки на практике чаще
встречаются с опорами на одном уровне.
В трехшарнирных арках и рамах одна из шарнирно неподвижных
опор может быть заменена щарнирно подвижной с вертикальным
опорным стержнем. В этом случае для обеспечения геометрической
неизменяемости вводится затяжка, которая и воспринимает распор
(см. рис. IV.3). Ключевой (средний) шарнир трехшарнирной арки
и рамы может быть заменен двумя стержнями, оси которых должны
пересекаться, при этом точка пересечения этих стержней не должна
располагаться- на прямой, соединяющей опорные шарниры (см.
рис. IV.14).
Трехшарнирные арки или рамы в различных соединениях между
собой или с другими системами могут образовывать и более сложные
^у^б^ски^пределимые арочные или рамные системы (см. рис. IV. 11;
Для трехшарнирных арок с опорами на одном уровне характерными
величинами являются длина пролета I, определяемая расстоянием
между опорами, и стрела подъема f, определяемая расстоянием по
нормали от прямой, соединяющей опоры, до ключевого шарнира
\или до точки пересечения стержней, заменивших ключевой шарнир).
Координаты оси арки у = f (х), угол наклона касательной к оси
рки <р, а также sin <р и cos ф могут быть определены по следующим
ось о лам,еслиначал° координат расположить в точке А (см.рис-IV.l),
направить в правую сторону, ось ®у — вверх:
39
(IV.2)
(IV.3)
а)	ось — квадратная парабола:
y = 4/x(Z —x)/Z2; tg<p = y' = 4/:(Z —2х)^; '
С05ф=ГТТ^: sin ф = cos ф tg <p;
б)	ось — окружность:
у =	-R+f-, R — f/2-\- Z2/8/;
8{пф = ^ — 2x)/2R; cos ф = (у 4-7? — f)/R.
В трехшарнирных арках и рамах будем считать положительными:
момент — если растягивается нижнее волокно, поперечную силу —
если она поворачивает часть конструкции, на которую действует,
по часовой стрелке, продольную силу — если она растягивает ось
стержня.
§ ГУ.2. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ АРКИ НА НЕПОДВИЖНУЮ
ВЕРТИКАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
Аналитический расчет арок. Для арки с опорами на одном уровне
опорные реакции раскладывают на вертикальные и горизонтальные —
распор Н (см. рис. IV. 1).
Вертикальные составляющие опорных реакций Уд и Ув опреде-
ляют из уравнений моментов относительно опор *:
2 7Ив = 0, VA = (l/Z)SP/(Z-a;) = V5i,
2Ма = 0, Vb = (1/Z)SPa=^,
где at — плечо силы Pz относительно точки А.
Правильность определения Уд и Ув проверяют, составив уравне-
ние 2У = 0. Из уравнения 2Х = 0 устанавливают, что Яд = Нв = Н.
Значение распора аналитически определяют из уравнения 2А4сев = 0
или 2Мср = 0:
2 Млсев = VAU2 - 2 Pz (Z/2 - a,) -Hf = O,
поскольку
VAl/2-^Pl(l/2-al) = M°c,
TO
H = Mc/f-	(IV.4)
Изгибающий момент M, поперечная Q и продольная N силы
в любом сечении арки с координатами х, у и углом наклона касатель-
ной ф могут быть определены из уравнения моментов относительно
точки (х, у) и уравнений проекций сил, действующих на левую или
* Через V°A, V°B, М°с, A4°, Q’ обозначены соответствующие величины для одно-
пролетной балки такого же пролета, что и арка, но при отсутствии среднего шар-
нира.
40
(IV. 10)
правую часть арки, на касательную и нормаль к оси в точке (х, у)'.
Mx=VAx-^Pl(x-al)-Hy, Мх = М°х-Ну, (IV.5)
Qx = (Va — SP/)cos<p — ZZ sin q>; Qx — Qx cos<p — /fsincp; (IV.6)
= —(Уд —SPJsinrp —//costp; Nx = —Q£sin<p —//costp. (IV.7)
В трехшарнирной арке с затяжкой (см. рис. IV.3) Уд = V°a, Ув =
= УЬ; усилие в затяжке определяют из уравнения 2Мсев = 0:
(IV.8)
Изгибающий момент М, поперечная Q и продольная N силы в любом
сечении трехшарнирной арки с затяжкой будут равны:
а)	для участков ниже затяжки
МХ = М°Х; Q^ = QRos<p; Nx = — Qi sin ф; (IV.9)
б)	для участков выше затяжки
МХ = МХ — Н (y — t); Qx = Qxcos<p — H sinq>;
Nx = — Qi sin ф — Я cos ф.
Как видно из приведенных выше формул и примеров, рассмотрен-
ных ниже, в арке по сравнению с балкой существенно уменьшаются
изгибающий момент и поперечная сила, что является результатом
влияния распора. Наличие в арках распора вызывает необходимость
создания массивных опор, способных воспринимать большие горизон-
тальные усилия.
Напряжения от совместного действия изгибающего момента и
продольной силы проверяют в сечениях, где абсолютное значение
момента является наибольшим М = I М |тах, по формуле
g=n/f±miw.
Пример IV. 1. Рассчитать трехшарнирную арку в форме квад-
ратной параболы, изображенную на рис. IV. 1.
Для определения координат оси арки, вертикальных опорных
реакций, распора, усилий М, Q, N в сечениях арки используем фор-
мулы (IV. 1), (IV.3), (IV.4), (IV.5), (IV.6), (IV.7). Арку разбиваем
на восемь частей с проекциями оси, равными 3 м. Расчет сводим в
табл. IV. 1. Расчетная схема арки, заданная нагрузка и полученные в
результате расчета эпюры М, Q, N приведены на рис. IV. 1. Распор
Я = ЛГс//=120/6 = 20 кН.
На рис. IV.2 показаны эпюры М и Q для простой балки того же
пролета при заданной нагрузке.
После построения эпюр М, Q, N проверим нормальные напряжения
, где М — 9,0 кН -м (максимальный), a N = —23,27 кН.
поперечное сечение арки прямоугольным с размерами,
равными Ь — 1 м и d = 1,5 м, тогда F — 1 *1,5 = 1,5 м2;
W = Ь • cP/б = 1 • 1,52/6 м3 = 0,375 м3;
о%ах, min = N/F ± M/W = (— 23,27 • 103/1,5 ± 9 • 103/0,375) Н/м2 =
- (- 15,5 ± 24) • 103 Па; отах = 8,5 кПа; omin = — 39,5 кПа.
в сечении 6
Принимаем
41
Рис. IV.l
Рис. IV.2
Таблица 1V.I
-		 Номер сече- НИЯ	Координаты, м		ф	sin ф	COS ф		мх		Qx	
	X	У				кН-м	кЦ-м	кН	кН	кН
0	0	0	45°*	0,707	0,707	0	0	19	—0,69	—27,59
1	3	2,625	36°50'	0,598	0,798	52,5	0	16	0,79	—25,53
2	6	4,5	26°35'	0,447	0,895	96	6	13	2,69	—23,72
								~7	—2,68	—21,03
3	9	5,625	14°0'	0,242	0,968	112,5	0	4	-0,97	—20,32
4	12	6,0	0	0	1,0	120	0	1,0	1,0	—20
5	15	5,625	—14°0'	—0,242	0,968	116,25	2,75	—3,5	1,46	—20,20
6	18	4,5	—26°35'	—0,447	0,895	99	9	—8,0	1,78	—21,48
								—12,0	—1,79	—23,27
7	21	2,625	—36°50'	—0,598	0,798	26,25	3,75	—16,5	—1,19	—25,83
8	24	0	—45®	—0,707	0,707	0	0	—21,0	—0,71	—28,99
Примечание. Числитель —значение ординаты слева от сечения, знаменатель—справа.
Пример IV.2. Рассчитать трехшарнирную параболическую арку
с затяжкой, показанную на рис. IV.3.
Для определения координат оси арки, вертикальных опорных
реакций, усилия в затяжке, усилий М, Q, N используем формулы
(IV. 1), (IV.3), (IV.8), (IV.9), (IV. 10). Арку разбиваем на восемь частей
с проекциями, равными 6 м. Кроме того, крайние участки оси арки
разбиваем точкой присоединения затяжки. Расчет сведен в табл. IV.2.
Усилие в затяжке
Н =	- 0 = 624/(8 - 2) = 104 кН.
Расчетная схема арки, заданная нагрузка и полученные в результате
расчета эпюры М, Q, N приведены на рис. IV,3. На рис. IV.4 изобра-
жены эпюры /И® и Q° для простой балки того же пролета и нагрузки.
После построения эпюр М, Q, N следует проверить соответствие
эпюр расчетной схеме, заданной нагрузке и их взаимной увязке.
При этом: 1) на эпюре М должны быть равны нулю моменты на опорах
и в среднем шарниреТТ в точках действия сосредоточенных сил, а
в трехшарнирных арках с затяжкой и в точках присоединения затяжки
Должны быть переломы на эпюре /И; 2) на эпюре Q в точках действия
^ертикальных сосредоточенных сил должны быть скачки, равные
i cos <pz, а в точках присоединения затяжки — скачки Н sin ср;
таюшЛ°ЖИТельные Участки эпюры Q должны соответствовать возрас-
щим участкам на эпюре М, отрицательные участки эпюры Q —
43
убывающим участкам на эпюре М-, на эпюре Q точки с ординатами,
равными нулю, — экстремальным (максимальным или минимальным)
значениям на эпюре М; 4) на эпюре N в точках действия сосредото-
Рис. IV.3
ченных сил (за исключением силы, приложенной при <р = 0) дол-
жны быть скачки Pt sin <pz, а в точках присоединения затяжки —
скачки Н cos ср.
44
Таблица IV.2
Номер сече- ния	Коорди- наты, м		Ф	sin ср	cos ср	М°	Мх	Qx	0	Nx
	X	У				кН -м	кН-м	кН	кН	кН
——-— 0	0	0	33°40'	0,555	0,833	0	0	50 1	41,7	-27,8
.	-—		 1	3,2	2,0	30°	0,5	0,867	149,76	149,76	43,6	37,8	—21,8
									— 14,2	— 112
——	6,0	3,5	26°30'	0,456	0,895	264	108	38	— 13,5	-110,4
	12,0 | 6,0 |	18°25'			0,316	0,948	456	40	26	—8,3	-106,9
	18,0	7,5	9°30'	0,165	0,986	576	1 4	14	—3,4	—104,7
5	24,0	8,0	0	0	1	624	0	2	2	—104
								—8	—8	
6	30,0	7,5	—9°30'	-0,165	0,986	5о8	— 14	—11	3,4	— 104,7
7	36,0	6,0	—18°25'	—0,316	0,948	456	40	—20	13,9	— 105
								—32	2,6	— 108,8
8	42,0	3,5	—26°30'	—0,456	' 0,895	246	90	| —38	13,5	— 110,4
9	44,8	2,0	—30°	—0,5	0,867	135,7	135,7	—40,8	16,6	—110,6
									—35,4	—20,4
10 П]	48,0 зиме	0 чан	—33°40' и е. См. пр	—0,555 имечание 1	0,833 к табл.	0 IV.1.	0	—44 |	—36,7	—24,4
45
Рациональное очертание оси трехшарнирной арки. Рациональ-
ным очертанием оси арки является такое, при котором момент в любом
сечении равен нулю. Уравнение
рациональной оси арки зависит
от вида нагрузки.
Пример IV.3. Для арки
при равномерно распределенной
постоянной по длине вертикаль-
ной нагрузке интенсивностью q
(рис. IV.5, а) найти рациональ-
ную ось.
Уравнение рациональной оси
Рис, IV.5
получим из условия:
Мах = VAx — qx2/2 =
= qlx/2 — qx2l2;
H = qP/(8f);
Mx=^-(l-x)-y^- = 0,
откуда
У = ^-х(1-х).
Это уравнение квадратной параболы (IV. 1).
Пример 1V.4. Для арки при. действии нагрузки по закону
треугольника (гидростатическое давление, рис. IV.5, б) найти рацио-
нальную ось.
Уравнение закона изменения нагрузки имеет вид
qx^qax/l, VA и VB
определим из условий 2Л1Д = 0; 2Л4В = 0 и получим:
Va = %//6; Vb = ^oZ/3,
а»=-^4-4"т44-«л16;
W = <70/2/(16f).
По условию примера:
МХ = М°Х — Ну; у = М^Н;
Мо_ q<>l v__L ™LV Х _ q<>X (1	х®\
6 X 2 • I х 3 — 6 V	I )’
откуда
У = ЦХ(1~ т)’
т. е. получено уравнение кубической параболы.
46
(IV.H)
9 IV.3. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИИ
В ТРЕХШАРИИРНОЙ АРКЕ
Аналитический способ. Линии влияния вертикальных составля-
ющих опорных реакций Va и Vb в трехшарнирной арке, поскольку
уд = V°a и VB = Vb, имеют такой же вид, как и линии влияния опор-
ных реакций для простой однопролетной балки.
Значение распора определяют по формуле Н = Mrjf, а поэтому
линия влияния распора будет иметь тот же вид, что и линия влияния
момента для балки в сечении С (Мс), но будет отличаться от нее
постоянным множителем 1// (рис. IV.6, б).
Для произвольного сечения К с координатами х = хк, у = ук
и углом наклона касательной к оси <р = ук, при любом положении
силы Р = 1 изгибающий момент в сечении Д' определяют по формуле
Мк = М^-Нук,	(IV. 12)
где — линия влияния изгибающего момента в том же сечении
для простой балки; Нук — линия влияния распора Н с ординатами,
умноженными на постоянный множитель у%.
Таким образом, линию влияния изгибающего момента Мк строят
или путем наложения линий влияния и Нук (рис. IV.6, в), или путем
вычисления ординат линии влияния в точках перелома по формуле
(IV. 12), что дает линию влияния с ординатами, отложенными от оси
абсцисс (рис. IV.6, г).
Линии влияния поперечной QK и продольной N# сил строят по
формулам
Qk = Qk coS Чк — Н sin Фаг;	(IV. 13)
Nk — — Qk sin Фк — // cos <рк,
(IV. 14)
где Qk — линия влияния поперечной силы в сеч^рии К простой балки.
Таким образом, линии влияния Q«- и NK строят также путем нало-
жения линий влияния Qk и Н, предварительно умноженных, согласно
формулам (IV. 13) и (IV. 14), на постоянные величины sin <рк и cos Фаг,
или путем вычисления ординат линий влияния для характерных
сечений (см. пример IV.5).
Пример IV.5. Для параболической арки, изображенной на
рис. IV.6, а, построить аналитическим способом линии влияния рас-
пора Н, изгибающего момента Мк поперечной силы QK и продольной
силы NK для сечения, расположенного на расстоянии а = 3 м от левой
опоры.
__ По данным примера IV. 1 у к = 2,625; sin фаг — 0,598; cos <рк =
 0,798.
Линия влияния Н представлена на рис. IV.6, б. Максимальная
ордината будет в середине пролета: Н = Mclf, поскольку ордината
с в середине пролета равна М’с = //4, то ордината// = 24/(4 -6) = 1.
—7/.9Hr Ю ВЛИяния Мк строят по формуле (IV. 12), откуда М.к — Мк —
жен На рис. IV,6, в линия влияния Мк построена путем нало-
_ оИк9чИнии влияния Мк и линии влияния Н, умноженной на ук =
47
На рис. IV.6, г линия влияния Мк построена по данным вычисления
ее ординат в точках перелома по формуле. Так, ординаты Мк равны;
под точкой К
Мк <х=з и) = 3 (24 - 3)/24 - 1 • 2,625 • 3/12 = 1,97;
под точкой С
МК(х=12 м) = з • 12/24 - 1 • 2,625 = — 1,12.
На рис. IV.6, д построена линия влияния QK- Ее ординаты вычис-
лены по формуле (IV. 13).
В точке К слева от сечения
($и=з м) = — 1 • (3/24) • 0,798 - 1 • (3/12) • 0,598 = - 0,25;
Рис. IV.6
справа от сечения
Qn&*=3 м) = 1 • [(24 - 3)/24] • 0,798 - 1 • (3/12) • 0,598 = 0,548.
В точке С
Qk <х = 12 м) =-- 1 • [(24 - 12)/24] • 0,798 - 1 • 0,598 = — 0,199.
48
На рис. IV.6, е построена линия влияния Nk- Ординаты вычислены
по формуле (IV. 14).
В точке К слева от сечения
Nk™^ м) = + 1 • (3/24) • 0,598 - 1  (3/12) • 0,798 = — 0,125;
справа от сечения
ЛЭДж=з м) = — 1 • [(24 - 3)/24] • 0,598 - 1  (3/12) • 0,798 = - 0,723;
в точке С
N к («=12 И) = — [(24 - 12)/24] • 0,598 - 1 • 0,798 = — 1,097.
В сечении К линия влияния QK имеет скачок, равный cos q>K =
= 0,798, а линия влияния NK — скачок, равный sin <рк = 0,598.
Приведенные на рис.
IV.6 линии влияния уси-
лий трехшарнирной арки
показывают существенное
отличие ее работы от бал-
ки. Так, ординаты линии
влияния Мк значительно
меньше ординат Мк, Мк
двузначна и имеет между
опорами нулевую точку;
линия влияния Qk имеет
также значительно мень-
шие ординаты, чем Qk.
Кроме того, в отличие от
балки появилась линия
влияния Nk, причем ее ор-
динаты значительны и в
промежутке между опора-
ми при обычном очертании
арки имеют постоянный
знак сжатия.
Способ нулевых точек.
Каждая из линий влияния
Мк, Qk, Nk (см. рис. IV.6)
'состоит из трех прямых,
крайние из которых пере-
секаются с осью абсцисс
под опорами. Для построе-
ния линии влияния в про-
извольном масштабе необ-
ходимо найти точку пересечения средней прямой (или ее продолже-
ния) с осью абсцисс. Эти точки называются нулевыми, так как в них
ординаты линий влияния равны нулю. Обозначим их соответственно
Oq и ON. Чтобы определить положение этих точек, найдем такое
положение силы Р = 1, при котором сначала усилие Мк, затем усилие
Чк и, наконец, усилие Nk будут равны нулю.
49
Пример IV.6. Построить способом нулевых точек линии влия-
ния Мк, Qk, Nk для сечения К трехшарнирной параболической арки,
изображенной на рис. IV.7, а. Точка К. расположена от левой опоры
Рис, IV.8
на расстоянии х = а = 9 м, cos <р^ = 0,968, sin <рк = 0,242. Линии
влияния построены на рис. IV.7, б—г.
Точка Ом расположена_на пересечении прямых ВС и АК, так как
при расположении силы Р = 1 в точке Ом правая опорная реакция
совпадает с прямой ВС, а левая проходит через точку К и поэтому
момент в точке К равен нулю.
Точка Oq расположена на пересечении прямой ВС с прямой, про-
веденной из точки А параллельно касательной к оси арки в точке К,
поскольку при расположении силы Р = 1 в точке Oq и одновременно
на левой половине арки (допустим, на консоли, прикрепленной к левой
полуарке правее точки К) правая опорная реакция совпадает с прямой
ВС, а левая будет параллельна касательной в точке К., и, следователь-
но, ее проекция на нормаль будет равна нулю.
50 '
Аналогично этому точка ON будет расположена на пересечении
прямой ВС и прямой, проведенной из точки А перпендикулярно
касательной к оси арки в точке К.
Масштаб очевиден из сопоставления линий влияния, построенных
аналитическим методом и методом нулевых точек.
Пример IV.7. Методом нулевых точек построить линии влияния
Мх, Qk> Мк ДЛЯ сечения К трехшарнирной параболической арки с за-
тяжкой (рис. IV.8, а). Затяжка расположена на высоте 2 м от уровня
опор. Точка К имеет координаты: х = а — 18 м; у = 7,5 м; cos <рк =
= 0,986; sin <рк = 0,165. Линии влияния построены на рис. IV.8, б.
Определение нулевых точек аналогично тому, как это делалось
для арки без затяжки в примере IV.6. В качестве исходных используют
взамен точек А и В (см. пример IV.6) точки £' и Г, находящиеся на
пересечении оси затяжки и вертикалей, проходящих через точки А и В.
Таким образом, для трехшарнирной арки с затяжкой нулевые
точки линий влияния Мк, Qk, Мк сечения Д, расположенного выше
затяжки, находят следующим образом:
точку Oq — на пересечении прямой F'C	./>	/
с прямой, проведенной из точки Е' па-	/
раллельно касательной к оси арки в ч/ \ Z I
точке Д; точку QN — на пересечении
прямой F'C с прямой, проведенной из / ' А. у
точки Е' перпендикулярно касательной •	I у'
к оси арки в точке Д; точку Ом — на	J
пересечении прямых F'C и Е'Д.	/
Кинематический способ. При исполь-	'
зовании кинематического способа в арке	Рис. IV.9
устраняют связь, воспринимающую уси-
лие, линию влияния которого требуется построить. Арка вследствие
этого превращается в механизм; линию влияния строят как график
перемещений этого механизма. График будет состоять из прямых,
нулевые точки этих прямых находят как проекции мгновенных цент-
ров вращения дисков относительно земли, точки взаимного пересе-
чения прямых— как проекции взаимного вращения тех двух звеньев
механизма, которым соответствуют эти прямые. Дл/i построения ли-
нии влияния М.к вводят в заданном сечении шарнир; для построения
линии влияния QK вводят механизм типа, изображенного на рис.
1у.9, а, для построения линии влияния NK — на рис. IV.9, б.
Таким образом, построение линии влияния кинематическим спосо-
бом, по существу, сводится к нахождению мгновенных центров взаим-
ного вращения дисков полученного механизма и мгновенных цент-
ров вращения дисков относительно поверхности земли. Масштаб
ще^6“ ^ЫТЬ Установлен из Уравнения принципа возможных переме-
Пример на построение линий влияния усилий М, Q, N для трех-
шарнирной арки без затяжки не приводится (оно имеется почти во всех
так НИКах по строительной механике). Графическое построение здесь
щГ°е Же> как и при способе нулевых точек, однако они имеют совер-
енно иное физическое содержание.
61
Ниже даны примеры построения линий влияния М кинематическим
способом для трехшарнирной арки с затяжкой и для бoлtee сложной
арочной системы.
(2,0)
Рис. IV. 10
Пример IV.8. Построить кинематическим способом линию влия-
ния Мк для сечения /С трехшарнирной арки с затяжкой (рис. IV. 10).
Введем в сечение К шарнир, арку превратим в механизм, цифрами
в кружках обозначим номера дисков, землю — номером 0. Положение
мгновенных центров вращения (0, /), (/, 2), (2, 3), (5, 3), (5, 0), (/, 4),
(4, 3) очевидно. Затем найдем мгновенный центр (/, 3) на пересечении
Рис. IV. 11
прямых (1, 2)—(2, 3) и (/, 4)—(4, 3), что символически может быть
записано так: (/, 2) (2, 3) + (/, 4) (4, 3) = (/, 3); аналогично этому
(0, /) (/, 3) + (0, 5) (5, 3) = (3, 0) и далее (0, 1) (/, 2) + (0, 3) (3, 2) =
= (2, О). После нахождения мгновенных центров вращения построить
52
линию влияния не представляет больших трудностей. Определение
мгновенных центров вращения (/, 3), (3, 0), (2, 0) и построение линии
влияния Мк см. на рис. IV. 10.
Пример IV.9. Построить линию влияния Мк для сечения К
в сложной арочной системе (рис. IV. 11).
Введем в сечении К. шарнир, превратив таким образом систему
в механизм. Пронумеруем диски механизма, найдем мгновенные
центры вращения, а затем построим линию влияния Мк. Все построения
выполнены на рис. IV. 11.
§ IV.4. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ РАМ
Расчет на неподвижную нагрузку. В трехшарнирных рамах, как
и в трехшарнирных арках, расчет начинают с определения опорных
реакций, после чего построение эпюр М, Q, N выполняется так же,
/77=3 у=1Кц/м
। f j f'Ltt Hi
C
Рис. IV. 12
Da ?Тибыло Рекомендовано выше для ломаных балок (безраспорных
Dae" ”апомним> что ординаты эпюры М откладывают со стороны
сох1янУтого волокна. Правила знаков при построении эпюр Q и N
ДелеНЯЮТСЯ те же’чт0 и для балок» безраспорных рам, арок. Для опре-
ения опорных реакций составляют уравнения равновесия, при этом
53
HQ:
Рис, IV,13
целесообразно выбирать наиболее простые уравнения. Следует стре-
ляться к тому, чтобы в каждом уравнении было одно неизвестное.
Если это не удается, то необходимо составить и решать систему урав-
нений.
Наиболее рациональные пути определения реакций рассмотрены
на примерах.
Пример IV. 10. Для трехшарнирной рамы, изображенной на
рис. IV. 12, а, построить эпюры М, Q и N. Используя принцип незави-
симости действия сил (принцип суперпозиции), построим предвари-
тельно эпюры' моментов от каждой из нагрузок отдельно. Сначала
произведем расчет на нагрузку интенсивностью q = 1 кН/м
(рис. IV. 13, а). Вертикальные опорные реакции могут быть определены
из уравнений 2Л1д = 0, SMg = 0, но поскольку рама симметрична и
Рис, IV. 14
симметрична нагрузка интенсивностью q, то VA — VB = V°A = VB =
= qll 2= 1 -8/2 = 4 кН. Из равенства SX = 0 находим, что НА —
= Нв — Н,в свою очередь Н — Mc!h, Мс = qP/8 = 1 *82/8 = 8 кН • м
и И = 8/8 = 1 кН. Эпюра Мд представлена на рис. IV. 13, б.
Затем выполним расчет на нагрузку т — 3 кН -м (рис. IV. 13, в).
Из уравнения 2 У = 0 находим, что VA = VB и далее 2Л4д = 2/п —
—VBl = о, откуда VA = VB = 2 -3/8 = 0,75 кН. Из уравнения
WeB = о находим, что Н = 0. Эпюра Мт представлена на
Рис. IV. 13, г.
Наконец, произведем расчет на нагрузку Р = 3 кН (рис. IV. 13, д).
•Из уравнения 2У = 0 находим, что VA = VB, из уравнения %МВ =
~ Va-8 — 2Р -4 — 0 получаем Уд = 3 кН, из уравнения 2Мсев =
— Уд -4 — НА -8 + Р  4 = 0 имеем НА = 3 кН. Эпюра Мр пред-
ставлена на рис. IV. 13, е.
Отметим, что при действии на симметричную раму симметричной
?агрузки опорные реакции и эпюра моментов также симметричны
(Рис. IV. 13, а, б); при действии на симметричную раму обратно сим-
етРичной нагрузки опорные реакции и эпюра моментов обратно
55
Рис. IV. 15
лить опорные реакции и построить
симметричны (рис. IV. 13, в—ё). Суммарная эпюра моментов будет
равна сумме эпюр моментов от каждой из нагрузок М = Mq 4- Мт 4-
+ Мр (см. рис. IV. 12, б). По эпюре М строим эпюры Q и N (см.
рис. IV. 12, в, г).
Пример IV.11. Определить опорные реакции и построить
эпюру М для рамы, показанной на рис. IV. 14, а.
Величины Уд и VB определяют из уравнений = Он ЕМд = О,
откуда Уд = Vb = Р = 4 кН. Значение Н находят из уравнения
— 0: 2Л1'ср = 4 -2 — 4 -4 + 2 -Н = 0, откуда Н — 4 кН. Из
уравнения 2Х == 0 для левой
или правой части определяется
Ndk = —4 кН; из уравнения
SV — 0 определяется NEp — 0.
Эпюра М построена на рис.
IV.14, б.
Пример IV. 12. Опреде-
лить опорные реакции и пост-
роить эпюру М для рамы, изо-
браженной на рис. IV. 15, а.
Из уравнения 5Л4С = 0 для
правой части определяем VB = 0;
затем из уравнения S Y — 0 для
рамы в целом находим =
= iq — 4-2 — 8 кН; далее из
уравнения 2Х — 0 получаем
НЕ — НР = Н и, наконец, из
уравнения 2Л<с = 0 для левой
части определяем Н: SMC =
= — НА +,7д-4 — <7-4-2 =
= - Н -4 + 8 -4 — 2 -4 -2 = 0,
откуда Н = 4 кН.
Эпюра М приведена на рис.
15, б.
Пример IV. 13. Опреде-
эпюры М, Q и N для рамы, по-
казанной на рис. IV. 16, а.
Из уравнений
2МС = 0: V, -16 + 1 -4 -2 — 2 -16 -8 4-4-2 = 0, VA = 15 кН.
2Мд = 0: -14-16 4- 2-16-8 4- 4-2 4- 1 -4-2 = 0, Ус - 17 кН.
Проверка -• 15 4- 17 — 16-2 = 0 удовлетворяется.
Из уравнений
= 0. 15 -4 - НА -4 — 1 -4 -2 — 2 -4 -2 = 0; НА = 9 кН.
= —17 -4 4- Нс • 4+ 2 -4 -2 = 0, Нс = 13 кН.
Из уравнения X = 0: 94-44-4 — 13 — Нв = Нв — Ь кН.
Эпюры М, Q и N приведены на рис. IV. 16, б—г.
Построение линий влияния усилий. Построение линий влияния
в трехшарнирных рамах может выполняться теми же методами, что и
в трехшарнирных арках.
56
Пример IV.14. Построить линии влияния Va, Vb,
И М-к> Qk> Hd Для трехшарнирной рамы, представленной на
IV. 17, а.
F Ординаты на участке ECF определяют по формулам (IV. 12) и
(IV. 13). Затем груз поочередно располагают в точках R и U и вычис-
qz-2KH/M
кИВИИИИИИИИЦИИИ
а)
Рис. IV. 16
ляют соответствующие ординаты линий влияния. Следует иметь в виду,
что при расположении груза Р = 1 в точке U на раму AECFB в точке F
Действуют одновременно вертикальная сила, равная единице, и гори-
зонтальная сила, равная двум и направленная вправо.
Линии влияния построены на рис. IV. 17, б—ж.
57
«^nflal г.»
Рис. IV.17
§ IV.5. МАТРИЧНАЯ ФОРМА РАСЧЕТА
Трехшарнирные арки в матричной форме проще рассчитывать,
с использованием преобразования базиса нагрузки. Применение этой
методики покажем на примере.
Пример IV. 15. Для трехшарнирной арки с параболическим
очертанием оси у = ^(1х — х*), нагруженной сосредоточенными си-
лами, как показано на рис. IV. 18, а, построить эпюру изгибающих
моментов.
Разобьем пролет арки на восемь (п = 8) равных частей длиной
d = 2 м. Вычислим: у± = у, = 1,75; у2 = уй = 3; у3 = у6 = 3,75 и
У1 = f = 4 м.
Вектор изгибающих моментов во всех внутренних пронумерованных
сечениях арки от вертикальной заданной нагрузки можно записать
в таком виде:
M = Lma-P,	(IV. 15)
где Lma — матрица влияния изгибающих моментов в арке.
кя
Рис. IV. 18
Вектор изгибающих моментов в тех же сечениях арки от само-
уравновешенно го базиса Р* записывается так:
M = L*mJ.-P*,	(IV. 16)
где Lma — матрица влияния изгибающих моментов от самоуравнове-
шейного базиса Р] — 1.
Используя зависимость Р* = Lm  Р, вектор изгибающих моментов
в арке можно представить в таком виде:
M = L*ma-Lm-P,
(IV. 17)
где Lm — матрица влияния изгибающих моментов для однопролетной
балки того же пролета, что и арка.
Для составления матрицы Ь*па надо арку рассчитать на самоурав-
новешениую нагрузку, приложенную в сечениях 1—7. При приложе-
нии нагрузки Р* в сечениях 1, 2, 3, 5, 6 и7 эпюры изгибающих момен-
тов будут локальными с единичной ординатой в данном сечении, т. е.
эти эпюры будут такими, как и в простой балке. Например, эпюра
М* показана на рис. IV. 18, б. При приложении нагрузки Pf в среднем
шарнире (сечение 4) изгибающий момент в этом сечении должен быть
равен нулю, а в остальных сечениях отличным от нуля. С учетом
сказанного матрица влияния приобретает вид
	1	0	0	mli	0	0	0
	0	1	0	tnli	0	0	0
	0	0	1	W3I	0	0	0
Г * — —	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	Ши	1	0	0
	0	0	0		0	1	0
	0	0	0	mli	0	0	1
Таким образом, для составления матрицы Lma необходимо трех-
шарнирную арку рассчитать на самоуравновешенную нагрузку Р*,
приложенную только в сечении 4. Эпюра Ml показана на рис. IV. 18, в,
а соответствующие значения равны:
— yjyt -= — 1,75/4; т= — y.Jyi = — 3/4;
m'si = т»4 = — У3/У1 = — 3,75/4.
Матрицу изгибающих моментов Lm в балке построим, пользуясь
натуральной центробежной матрицей 7-го порядка:
60
Вектор изгибающих моментов в сечениях 1, 2, ..
Ml		1	0	0	—0,4375		0	0 0		7	6	5
м2		0	1	0	—0,75		0	0 0		6	12	10
Мз		0	0	1	—0,9375		0	0 0		5	10	15
м4	=	0	0	0	0		0	0 0	1 4'	4	8	12
М6		0	0	0	—0,9375		1	0 0		3	6	9
м6		0	0	0	—0,75		0	1 0		2	4	6
м7		0	0	0	-0,4; X	375 1 4 2 0 0 2,5 0	0	0 1 2 6 3 0 — 1 0 — 1	,75 >75 ,25 ,25	1 •	2	3
Окончательная эпюра изгибающих моментов в
рис. IV. 18, г.
., 7 арки равен:
4 3 2 1
8 6 4 2
12 9 6 3
16 12 8 4 х
12 15 10 5
8 10 12 6
4 5 6 7
арке построена
ГЛАВА Vj
ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
$ V.l. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НА НЕПОДВИЖНУЮ
НАГРУЗКУ
Фермой называется стержневая система, которая остается
геометрически неизменяемой после условной замены в расчетной
схеме жестких узлов шарнирами. При этом считают, что оси стерж-
ней проходят через центры шарниров, а шарниры являются идеаль-
но гладкими, лишенными трения.
Если нагрузка на ферму передается только в узлах в виде сосредо-
точенных сил, то она' вызывает в стержнях лишь продольные усилия.
В случае распределенной или подвижной нагрузки предполагается
наличие на ферме дополнительных элементов, опирающихся на узлы
фермы и передающих нагрузку в узлы.
Статический расчет сводится к определению опорных реакций
и усилий в стержнях фермы. Расчет может быть выполнен аналити-
чески и графически.
Структурообразование геометрически неизменяемых статически
определимых ферм рассмотрено в гл. I.
Аналитический расчет может быть выполнен способами вырезания
узлов, простых или совместных сечений, круговых сечений, замены
стержней.
Результаты аналитического расчета могут быть проверены по фор-
муле
=	(V.1)
где Ni — усилие в стержне, полученное расчетным путем; lt — длина ,
стержня; Рх, Ру — проекции нагрузки, включая опорные реакции,
на оси х и у\ х, у — координаты точек приложения нагрузки.
Способ вырезания узлов. Этот способ состоит в том, что последо-
вательно вырезают узлы и составляют уравнения равновесия. При
составлении уравнений равновесия можно брать сумму проекций
усилий в стержнях и действующих в узле сил на вертикальную и
горизонтальную оси, но удобнее брать сумму проекций на оси, пер-
пендикулярные направлениям стержней, так как это позволяет полу-
чать уравнения с одним неизвестным каждое.
Определение усилий начинают с узла, содержащего не более двух
неизвестных, и далее, последовательно вырезая узлы, определяют
62
усилия во всех остальных стержнях. Стержни, в которых усилие
равно нулю, будем называть нулевыми.
Недостатками способа вырезания узлов является зависимость
последующих вычислений от предыдущих и постепенное накопление
логрешностей при достаточно большой цепи вычислений.
При использовании способа вырезания узлов необходимо запомнить
некоторые частные случаи их равновесия: а) в ненагруженном двух-
стержневом узле (рис. V.1, а) оба стержня являются нулевыми: Nx = 0;
Рис. V.1
(Р)
(от 40) °
v •
Рис. V.2
у2 = 0; б) в ненагруженном трехстержневом узле (рис. V. 1, б) Л\ = N3,
а стержень 3 называется одиночным и усилие в нем равно нулю:
дг3 = 0; в) в трехстержневом узле (рис. V.1, в) с нагрузкой Р, направ- •
ленной вдоль оси стержня 3, N-l = N3; N3 = —Р; г) в трехстержневом
узле с произвольным направлением нагрузки Р усилия будут равны:
Л\ — ЛГ2 = Р'; Af3 = —Р" (рис. V.1, г); д) в ненагруженном четырех-
стержневом узле, в котором оси стержней направлены по двум прямым
(рис. V. 1, д), усилия Ni =
= N2- N3 = Nt.
Пример V.l. В фер-
мах, изображенных на рис.
V.2 и V.3, определить ну-
левые стержни.
Нулевые стержни опреде-
ляют на основании частных
случаев равновесия узлов; на
рис. V.2 и V.3 они отмечены
нулями.
Пример V.2. Определить усилия в стержнях фермы, изобра-
женной на рис. V.3.
Сначала определим опорные реакции: Ra = Rb = 2,5 Р. Вырежем
^е^_;;_из Уравнения проекций на вертикальную ось находим N13 —
3 ~2,5 Р’ из Уравнения проекций на горизонтальную ось — N13 — 0.
осьТ1 выРежем узел 2 (рис. V.4, а); из уравнений проекций сил на
яз> перпендикулярную стержню 2—3, и на ось перпендикуляр-
63
ную стержню 2—4, соответственно получим:
У Z23= 2,5Р cosa + A^24 sin (« + ₽) = 0;
2 Z24 = 2,5Р cos р — JV23 sin (a+P) — 0»
откуда
Ni3 — 2,5P cos P/sin (cc -J-J3); Л/24 = -г- 2,5P cosa/sin (a-f-P).
Рис. V.3
Далее вырежем узел 3 (рис. V.4, б). Из уравнения проекций на
вертикальную ось 2 У = N23 sin a + NM — P = 0 после подста-
новки значения Ni3 получим
N3i = — 2,5Р sin a cos p/sin (a + P) + P;
из уравнения проекций на горизонтальную ось
X = — Ni3 cos a + Х35 = 0
также после подстановки значения N23 найдем
N33 = 2,5Р cos a cos p/sin (a + P).
Итак, последовательно вырезая далее узлы 4, 5, ..., 14, можно
определить усилия во всех стержнях фермы. При этом следует иметь
в виду, что при вырезании узла 13 уравнений, как и при расчете всех
узлов, будет два, а неиз-
вестным является лишь уси-
лие в стержне 13—14-, од-
но из уравнений будет кон-
трольным. При вырезании
узла 14 оба уравнения бу-
дут контрольными.
Способ сквозных сече-
ний. Сущность способа со-
Рис. V.4	стоит в следующем: рассе-
кают ферму на две части
таким образом, чтобы в разрез попало не более трех стержней с не-
известными усилиями; одну из частей мысленно отбрасывают, а ее
действие заменяют усилиями. Затем составляют три уравнения ста-
тики: уравнения моментов относительно моментных точек, находя-
щихся на пересечении двух из трех стержней, или уравнения проек-
64
ций, если два из пересекаемых стержней параллельны. Таким обра-
зом, можно получить три уравнения и в каждом будет по одному
неизвестному.
Точка пересечения осей стержней, относительно которой состав-
ляют уравнения равновесия, называется моментной. Следует
отметить, что в разрез может попасть и более трех стержней, если все
они, кроме стержня с искомым усилием, пересекаются в одной точке.
Преимущество этого способа по сравнению со способом вырезания
узлов состоит в том, что усилие в любом стержне определяется неза-
висимо от усилий в других стержнях.
Пример V.3. Определить способом сквозных сечений усилия
в стержнях 6—7, 6—8, 5—8, 6—5, 4—6, 4—5 фермы, показанной на
рис. V.3.
Разрежем ферму сечением /—1, отбросим правую часть и будем
рассматривать равновесие левой части:
2 М6лев = 2,5Р -2а —Ра — N-aSh = 0; tf58 = 4Ра/й;
2 МГ = 2,5P-3a-P-2a-Pa + N^h = 0; W67 = — 4,5Pa/h;
У Улев = 2,5Р — Р — Р — NliS cos <р = 0; Neg = 0,5P/cos q>.
Разрежем ферму сечением II—II, отбросим правую часть и также
рассмотрим равновесие левой части *:
2 MF = - 2,5Pb + Р (Ь + 2а) + Р (b+а) - N5e (b + 2а) = 0;
ЛГ56 = Р (За - 0,5Ь)/(Ь + 2а);
2 Кев = 2,5Р • 2а - Ра + N^ri6 = 0; Nie = — 4Pa/riS.
Аналогично поступим, проведя сечение III—III:
, 2 МГ = - 2,5РЬ + Р (Ь + а) +	= 0; ^45 = Р (1,5b - а)/г45.
Итак, последовательно рассекая ферму, можно независимо друг от
друга определить усилия во всех ее стержнях.
Способ совместных сечений. В ряде случаев для определения уси-
лий бывает необходимо проводить одновременно два или несколько
сечений, составлять и решать систему уравнений. Примером этого
может служить полураскосная ферма, усилия в полураскосах которой
определяют способом двойных сёцений.
Пример V.4. Определить усилия в стержнях фермы, показан-
ной на рис. V.5.
Предварительно определим опорные реакции: Ра — Рв = 3,5 Р.
Вырежем узел 4 круговым сечением I и составим уравнение проек-
ций сил на горизонтальную ось (рис. V.5 и V.6, а):
2 А = Л\2 since 4-Л/47 since = 0; Af42 =— W47.
из мо Здесь J Далее через г,будем обозначать длину перпендикуляра, опущенного
соответствуют Точки на стержня, усилие которого определяется. Индексы I, k
П/p. Клейна Г. К.
66
Далее разрежем ферму сечением II—II, отбросим правую часть,
а для левой части составим уравнения проекций сил на вертикальную
ось:
У, Улев = W42 cos а — cos а + 3,5Р — Р — Р = 0;
Af47 = 0,75P/cosa; Ni2 — — 0,75P/cosa.
Вырежем узел 2 (см. рис. V.5 и V.6, б) и, составив уравнение
проекций на вертикальную ось, найдем усилие в стержне 2—5, а затем,
Рис. V.6
вырезав узел 7 (рис. V.6, в), — усилие в стержне 5—7:
= — W24cosa-tf25 = 0; W25 = 0,75P;
Sy = W47cosa + W57-P = 0; tf67 = 0,25P.
Разрежем ферму сечением III—III и, составив уравнения моментов
2М,лев = 0 и
66
найдем усилия в стержнях 2—3 и 7—9:
ЛГ?ев = 3.5Р • За - Р  2а - Ра + N33h = 0; У23 = — 7,5Pa/h-,
2 М™ = 3.5Р • За - Р • 2а - Ра - Nnh = 0; У79 = 7,5Pa/h.
Отметим, что, зная NM, значение усилия Nn можно найти из урав-
нения проекций сил, действующих на левую часть фермы, на горизон-
тальную ось:
2Х = ^з + ^9 = 0; ^79 = -^.
Для определения усилия в стержне 3—9 предварительно вырежем
круговым сечением узел 5, составим уравнение проекций на горизон-
тальную ось и получим: ЛГ53 = —ЛГ59. Далее рассечем ферму сечением
jY—IV, отбросим правую часть, а для левой части составим уравне-
ние проекций сил на вертикальную ось:
2 у лев _ дг35 cos а _	Cos а + 3,5Р — ЗР = 0,
откуда найдем:	।
У35 =— 0,25P/cosa, Af89 = 0,25P/cosa.
Исходя из симметрии фермы и нагрузки усилия в симметрично
расположенных стержнях 3—5 и 3—10, а также 5—9 и 9—10 равны:
N3> 10 = N33 = — 0,25P/cos a, N3,10 = N33 = 0,25P/cos a.
И тогда, вырезав круговым сечением узел 3 и составив уравнение
проекций на вертикальную ось (рис. V.6, г):
£ F = — ЛГ35 cos a — N3tl0 cos a — N33 = 0;
после подстановки значений N35 и Af3,10 получим Af39 = 0,5 P.
Если круговым сечением вырезать узел 9 и составить уравнение
проекций на вертикальную ось (рис. V.6, д)
= N33 cosa4-Af9,10cosa4-W39 — Р = 0,
то также получим, как и следовало ожидать, W39 = 0,5 Р.
Способ замкнутых сечений. В некоторых задачах применение спо-
соба вырезания узлов или способа сквозных сечений приводит к необ-
ходимости решать совместно несколько уравнений, что делает опреде-
ление усилий громоздким. Способ замкнутых сечений в таких задачах
может быть эффективным, поскольку поможет определить усилия
в некоторых из элементов фермы независимо друг от друга.
Пример V.5. Определить усилия в стержнях фермы, изобра-
женной на рис. V.7.
Предварительно определим опорные реакции:
Ул = 0,5Р; УВ=1,5Р; ЯД=1,5Р.
Проведем замкнутое сечение и рассмотрим равновесие части фермы,
пр7Поло>кенной внутри его, мысленно отбросив элементы фермы за его
Р делами. При этом уравнения моментов составляются ошосительно
3*
67
точек, лежащих на пересечениях прямой 3—4 с прямыми 1—2 и 6—5:
2JMm=l,5P-2a + ^e-3a + P-2a = 0; Х8в = —5Р/3.
Усилия в стержнях 3—6 и 2—6 в уравнение не включены, посколь-
ку эти стержни пересекаются дважды и усилия в них взаимно уравно-,
вешиваются:
2М„ = 0,5Р.За+1,5Р-2а-Ра + ^2-За = 0;
Х12 = —7Р/6;
2Х = —1,5Р-Х43 = 0; У4з = —1,5Р.
Усилия во всех остальных стержнях могут быть определены спо-
собом вырезания узлов с использованием полученных результатов.
Способ замены стержней. В более сложных задачах определение
усилий может быть выполнено способом замены стержней. Сущность
его состоит в следующем. Из
фермы исключают k связей и
их действие заменяют неиз-
вестными силами Хь Х2, ...,
X*, одновременно с этим вво-
дят такое же число новых свя-
зей, усилия в которых обозна-
чают А/. После замены связей
ферма должна быть геометри-
чески неизменяемой, не обла-
дать мгновенной изменяемо-
стью и быть проста по струк-
туре, с тем чтобы в ее стерж-
нях можно было определить
усилия способом простых се-
чений или способом выреза-
ния узлов. Для определения
усилий в отброшенных связях
ктва нулю усилий в каждой
из введенных связей от совместного действия нагрузки и сил Хп
Х2, .... X*.
После определения усилий в отброшенных связях можно вернуться
к заданной ферме и определить усилия в остальных ее стержнях из-
вестными способами. Но можно также произвести полный расчет фер-
мы, полученной в_результате замены связей, на заданную нагрузку
и силы Хх = 1, Х2 = 1, .... Xk — 1- И тогда усилие N{ в каждом
элементе фермы следует определять по формуле
Ni = NцХ1 + ДАZ2X2 ... + NikXk + Xip,	(у .2)
где Nik — усилие в стержне i от силы Xk = 1; Nip — усилие в стержне i
от нагрузки.
Пример V.6. Определить усилия в стержнях фермы, показан-
ной на рис. V.8, а.
68
Рис. V.7
составляют уравнение, исходя из
Отбросим опорные стержни в узлах В и С и их действие заменим
силами Xi, Х2. Введем стержни и Л2 и получим простую по струк-
туре геометрически неизменяемую систему (рис. V.8, б). Определим
Рис. V.8
известными способами усилия Ли, Л21, вызываемые силой X, = 1;
усилия Л12, Л22, вызываемые силой Х2 = 1; усилия А1р и Л2р, вызы-
ваемые нагрузкой. Составим уравнения:
^11^1 + 412Х2 + А1р = 0; Л21Хх + Л22Х2 + Л 2р = 0.
Из этих уравнений найдем значения усилий Хг и Х2. После определе-
ния Xi и Х2 легко могут быть найдены опорные реакции ВА и RD
Рис. V.9
Для заданной фермы и далее методом сечений определены усилия во всех
е ^тержнях.
опредР и м е Р V.7. В стержнях фермы, изображенной на рис. V.9, а,
ностьрасч УСИЛИЯ способом замены стержней. Проверить правиль-
69
Отбросим стержень 3—5, заменив его действие силой и введем
стержень 4—6 (рис. V.9, б). После такой замены во всех стержнях
усилия могут быть легко определены способом вырезания узлов.
Определим предварительно опорные реакции: от нагрузки Уд =
= —о,5 Р; Vb = 0,5 Р; Нд — Р\ от силы XY — 1 опорные реакции
равны нулю. Результаты определения усилий в стержнях заменяющей
фермы (рис. V.9, б) от нагрузки — Nip, от силы Хг — 1 — Nt и конеч-
ные значения усилий в заданной ферме, определяемые по формуле
= Nip + NtlXlt сведены в табл. V.I.
Составим уравнение ЛиХх + Aip = 0, из таблицы находим А1р —
= —Р, Ли = У2 (стержень 4—0) и тогда получим = 0,5 ]/2 Р as
а; 0,707 Р.
Таблица V. 1
Номер стерж- ня		Nil	NilX!	Ni	1	Nill
3—2	0	1	"2 P		Via	аР
3—4	0	-/2	— Р	— р	а	— аР
2—1	0	/2	Р	р	а	аР
2-6	0	—1		-	/2Р	/2 а	— аР
1—4	~/2Р 1	—2	- К 2 Р	- 2 Q	V 2 а	— аР 3 аР
1-6	2Р	V2	Р	2“ Р	а	2аР
4—7	i V2P	—2	— К'2 Р	~ 2 ^Р	V2a	— аР
4—6	— р	/2	Р	0	а	0
5—6	Г'2Р	— 1	^Р	f2P	V2a	аР
5—7	- р	/2	Р	0	а	0
6—7	1 “ 2 Р	V2	Р	5 Р	а	аР
3—5	0	1		б ^2Р	V'2a	аР ^Nl=2aP
Проверку правильности определения усилий проведем по формуле
(V.1).
Значения /, NI и T.NI приведены в табл. V.I.
Проекции нагрузки Р: Рх = Р; Ру = 0, ее координаты: х = 2а,
у = а. Проекции опорной реакции РА: Рх — —Р, Р„ = --Р/2, ее
координаты: х = 0, у = 0. Проекции опорной реакции ра-. Рх = 0;
Ру — Р/2, се координаты: х = 2а, у = 0.
2аР==Р-2а —Р-0 + 0-2а + 0-а —Р/2-0 + Р/2-0,
70
или
2аР = 2а Р,
т е. требования проверки выполняются.
Пример V.8. Для фермы, изображенной на рис. V.10, а, опре-
делить последовательность расчета способом замены стержней.
Отбросим опорный стержень В, заменим его действие силой и
введем стержень 2—6 (рис. V. 10, б). После такой замены усилия во
всех стержнях могут быть
легко определены спосо-
бом вырезания узлов. Со-
ставим уравнение для оп-
ределения силы Х^.
А1-Х1 + А1р = 0;
Xi = А]р/Ап.
Для фермы схемы рис.
V.10, б, последовательно
вырезая узлы 4, 5 и 2, на-
ходим усилие в стержне
2—6 от нагрузки Р: Ар —
— —Р, от силы Xi- Лп =
= 0. Из решения уравне-
ния находим: = Р/0 =
= оо, что является призна-
ком мгновенной изменяемо-
сти фермы. Для устранения
мгновенной изменяемости структура фермы должна быть изменена и
представлена в виде, изображенном на рис. V.10, в; при этом угол а
между стержнями 1—4 и 4—6 должен существенно отличаться от нуля,
с тем чтобы усилие во введенном стержне 2—6 от силы Xi = 1 не было
близким к нулю. Для расчета фермы с измененной структурой может
быть принята аналогичная схема замены стержней (рис. V.10, г).
§ V.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
В ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ
Определение усилий в стержнях статически определимых ферм
графическим способом в настоящее время изучается в курсе теорети-
ческой механики. Однако в ряде случаев для графического расчета
ферм сведений, полученных в курсе теоретической механики, оказы-
вается недостаточно. В пособии на примерах рассматриваются лишь
Дополнительные сведения, необходимые для построения диаграммы
усилий в особых случаях.
Пример V.9. Установить возможность графического опреде-
лил усилий в стержнях фермы, показанной на рис. V.11.
Ствипределение усилий во всех стержнях этой фермы путем непосред-
2 и^з1014"* постРоения диаграммы усилий невозможно,так как в узлах
J встречаемся с тремя неизвестными усилиями в стержнях. Это
71
вызывает необходимость определять усилия в стержнях ферм такого
типа комбинированным способом. В данном случае сначала на основа-
нии частных случаев вырезания узлов найдем усилия в стержнях
7—9 и 9—10, затем аналити-
ческим способом определим
усилие в стержне 3—15, для
чего ферму разрежем сече-
нием /—/ и воспользуемся
уравнением = 0. Най-
Рис. V.11
Рис. V.13
денное аналитическим путем
усилие используется при гра-
фическом определении усилий
в стержнях 3—2 и 3—4\ по-
следующие графические по-
строения выполняются обыч-
ным способом.
Пример V.10. Показать
возможность графического оп-
ределения усилий в стержнях
фермы, изображенной на рис.
V.12, а.
Трудность построения диа-
граммы усилий в данном слу-
чае обусловлена наличием на-
грузки внутри контура фер-
мы. Для возможности реали-
зации графического способа
определения усилий введем
дополнительный стержень (на
рис. V. 12, б изображен штри-
ховой линией) и силу Р пере-
несем за пределы контура,
после чего диаграмму усилий
можно построить обычным
способом. На этой диаграмме
будет лишнее усилие в добав-
ленном стержне и дважды по-
вторится усилие в верхнем
Р поясе, который оказался раз-
деленным шарниром узла. На
усилия во всех остальных
стержнях перенос силы за
пределы контура влияния не
окажет.
возможность построения диаграммы
Пример V.11. Показать г------------- -----Г----- ----;-----
усилий в стержнях фермы, изображенной на рис. V.13, а.
Для возможности использования при построении диаграммы
усилий известной системы обозначения полей следует ввести в местах
пересечения стержней фиктивные шарниры 1, 2, 3 (рис. V.13, б).
72
усилия в стержнях фермы при этом останутся без изменений. Далее
диаграмму усилий строят обычным способом, при этом некоторые
усилия повторяются на диаграмме по два раза.
у П р и м е р V.12. Построить диаграмму усилий для фермы, пока-
занной на рис. V.14, а.
Для построения диаграммы усилий зададимся произвольно рас-
тягивающим усилием в стержне п — т (отрезок а—2 на диаграмме
Рис, V.14
усилий, рис. V.14, б) и будем строить диаграмму, начиная с узла п.
Подойдя к узлу k, считаем силу Р неизвестной и получаем ее в мас-
штабе диаграммы (отрезок а—Ь). После этого можно установить
масштаб, в котором построена диаграмма, и в этом масштабе измерить
усилия во всех стержнях фермы. Такой способ построения диаграммы
усилий называется способом неопределенного мас-
штаба.
§ V.3. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Линии влияния усилий в стержнях фермы являются графиками,
характеризующими закон изменения усилий в рассматриваемых
стержнях в зависимости от положения сосредоточенного груза Р = 1;
при этом предполагается, что груз устанавливается последовательно
в узлах нижнего или верхнего пояса. Линии влияния усилий могут
быть построены статическим и кинематическим способами. Ниже
рассмотрен только статический способ как более эффективный.
Статический способ. Статический способ построения линий влия-
ния состоит в том, что груз Р = 1 устанавливают в произвольном
узле фермы и для определения усилия составляют уравнения статики,
которые являются аналитическим выражением линии влияния. Для
получения уравнений статики могут быть использованы как способ
сечений, простых или сложных, так и способ вырезания узлов. Обычно
используют тот способ, который дает более простые выражения.
Линии влияния опорных реакций балочных ферм имеют точно
такой же вид, как и в балках, и не зависят от внутренней структуры
Фермы, а лишь от взаиморасположения ее опор.
При построении линий влияния способом сечений исходят из
ого, что линии влияния опорных реакций известны, считают извест-
*Ми также линии влияния «балочных» моментов М° для моментных
ек фермы. Линии влияния опорных реакций и балочных моментов Л1°
73
принимают исходными, для них определяют, исходя из структуры
фермы, поправочные коэффициенты, с учетом которых и могут быть
получены ветви линии влияния, расположенные слева или справа
Рис. V.15
от рассекаемой панели грузового пояса. Поскольку в ферме приложе-
ние нагрузки узловое, то левую и правую ветвь линии влияния в рас-
секаемой панели соединяют прямой.
Пример V.13. Построить линии влияния усилий для фермы,
представленной на рис. V.15, а, Груз перемещается по нижнему поясу.
74
Пинии влияния RA и Rb имеют аналитическое выражение (рис. V. 15,6):
= (/ — x)/l, RB = х/1.
При построении линий влияния усилий в стержнях фермы 1—3,
2.—4, 1—4 ферму разрежем сечением I—I.
Для получения аналитических выражений линии влияния А31 соста-
вим уравнения моментов относительно узла 4.
Расположим груз справа от сечения, составим уравнение равно-
весия для левой части фермы; мысленно отбросив правую часть и
заменив ее действие усилиями в стержнях, получим уравнение для
правой ветви линии влияния:
2 М4 = Ra • 2а — N3lh = 0; А31 = 2aRA/h = 2a(l — x)/hl — Ml/h,
поскольку для балки уравнение правой ветви ЛД = 2а/?л = 2а (/ — х)Н.
Аналогично этому расположим груз слева от сечения и составим
уравнение равновесия для правой части фермы; мысленно отбросив
левую ее часть, получим уравнение для левой ветви линии влияния:
Л /И4 = — Rb • 4а + N3ih = 0; N31 = 4aRB/h = (4а/Л) (x//) = Ml/h,
поскольку для балки уравнение левой ветви Ml — 4aRB — 4ax/l.
Имея аналитические выражения, построим линию влияния N3l
(рис. V.15, в). Левая ветвь действительна слева от рассекаемой панели
3—1, т. е. левее узла 3, правая — правее узла 1. Ординаты под уз-
лом 3 и 1 соединяем прямой; в данном случае соединительная ветвь
совпадает с правой ветвью линии влияния. Заметим, что левая и правая
ветви всегда пересекаются под моментной точкой, а поэтому достаточно
составить уравнение для левой или правой ветви, спроектировать на
нее моментную точку и точку линии влияния с этой ординатой сое-
динить с нулевой (в данном случае под опорой).
Для построения линии влияния Ni3 составим уравнения моментов
относительно узла 1. Подобно тому, как это было сделано для стержня
1—3, Ni2 = —Ml/h. Напомним, что левая ветвь имеет уравнение
Mi = ЗахН, уравнение правой ветви Ml = За (I — х)/1. Имея анали-
тические выражения, построим линию влияния Ni2 (рис. V.15, г).
Для построения линии влияния Na составим уравнения проекций
на вертикальную ось.
Расположим груз справа от сечения, составим уравнение равно-
весия левой части, получим уравнение для правой ветви линии влия-
S V = Ra — Nu cos a = 0; (V4l = RA/cos a = (I — x)/(l cos a).
Аналогично этому расположим груз слева от сечения, составим
Уравнение равновесия для правой части, получим уравнение для левой
етви линии влияния:
~ = Rb + Ntl cos а — 0; Ntl = — Rb/cos a = — x/(l cos a).
Левая ветвь действительно левее узла 3, правая — правее узла 1.
Зам На™ П0Д Узлом $ S * * * * * 11 П°Д Узлом 1 соединяем прямой (рис. V.15, д).
папяТИМ’ ЧТ0 левая и пРавая ветви параллельны, поскольку
Р ллельны верхний и нижний пояса; уравнение 2 У = 0 рав-
75
позначно уравнению моментов относительно точки, располо-,
женной в бесконечности — на пересечении стержйей 4—2 й 3—//
Это позволяет здесь также считать, что левая и правая ветви лйнии
влияния пересекаются под моментной точкой.
При построении линии влияния усилия стержня 4—3 используем
сечение II—II, а линии влияния усилия стержня 6—3 — сечение ///—
III.
Для построения линии влияния усилия N3i составим уравнение
моментов относительно точки /С, расположенной на пересечении стерж-
ней 6—4 и 5—3. Поместим груз Р = 1 справа от сечения, составим
уравнение равновесия левой части, мысленно отбросив правую часть,
получим уравнение для правой ветви линии влияния:
2 Мк = — RAb-(b + 2а) = 0;
N3i = - RAb/(b + 2a) — —b (I — x)/[l (b + 2a)}.
Поскольку левая и правая ветви пересекаются под моментной
точкой, то левую ветвь можно провести через проекцию моментной
точки на правую ветвь и проекцию левой опоры, где левая ветвь
имеет нулевую ординату (рис. V. 15, е). Левую и правую ветви соеди-
няем прямой между проекциями точки 3 на левую ветвь и точки 1 на
правую ветвь линии влияния.
Для построения линии влияния усилия в стержне 6—3 ферму
разрежем сечением III—III. Расположим груз Р = 1 справа от сече-
ния, составим уравнение левой части; мысленно отбросив правую
часть, получим уравнение для правой ветви линии влияния:
2 Мк = — RAb + Ne3r63 = 0; Ne3 = (b/re3) (I - x)/l.
Левую ветвь проведем аналогично тому, как это делалось для линии
влияния TV34. Левую и правую ветви соединяем прямой между проек-
циями точки 5 на левую ветвь и точки 3 на правую ветвь линии влияния
(рис. V.15, ж).
\ Для построения линии влияния усилия в стержне 7—8 вырезаем
узел 7 и составляем уравнение равновесия Y = 0; при этом рас-
сматриваем два возможных случая: 1) груз Р = 1 за пределами раз-
резанных панелей 9—7 и 7—5, тогда N™ = —RA = — (I —. x)/l; 2) груз
в узле 7, тогда Ni3 =1 — RA = 0, так как в точке 7 RA = 1, W78 = 0
(рис. V.15, з).
Пример V.14. Построить линии влияния усилий для стержней
4—5, 9—10, 3—10, 3—8, 8—1 фермы, изображенной на рис. V.16, а.
Груз перемещается по нижнему поясу фермы.
Сначала, исходя из частных случаев равновесия узлов, установим
нулевые стержни и отметим их нулями (0). Затем разрежем ферму
сечением I—I. Для построения линии влияния усилия в стержне N&
составим уравнение равновесия относительно моментной точки 10,
отбросив мысленно левую или правую часть, и получим уравнение
линии влияния Ni5 — —Mi0/4 (рис. V.16, б).
Аналогично этому получим уравнение линии влияния W8il0 = Af3/4;
однако левая ветвь линии влияния будет действительна до проекции
76
точки 9, правая — до проекции точки 10; в пределах разрезанной
панели 9—10 проведем соединительную ветвь (рис. V.16, в).
Если проведем сечение II—II и составим уравнение проекций
сил на горизонтальную ось, то получим N33 = —W9,10.
Для построения линии влияния усилия стержня 3—10 составим
уравнение равновесия 2 У = 0 (начало координат расположим, как и
ранее, на опоре Д): для левой части, располагая груз Р = 1 справа
Рис. V.16
от сечения I—I, получим уравнение правой ветви линии влияния
^зчо = 7?a/cos а — (/ — х)/(/ cos а), для правой части, располагая
груз слева от сечения I—I, получим уравнение левой ветви линии
влияния Ns 10 = —RB/cos а — —x/(l cos а); соединительная ветвь
будет под разрезанной панелью (рис. V.16, а).
Вырезав узел 3, установим, что N3S = —N3M cos а, откуда сле-
ДУет, что уравнение левой ветви линии влияния (левее узла 9) будет
”38 = Рв = х/1, уравнение правой ветви N3a = —RA = — (I — x)/l;
Передаточная ветвь между проекциями узлов 9 и 10 (рис. V.16, д).
,В>ЛЯ построения линии влияния усилия стержня 1—8 вырезаем
У ел 3 и составляем уравнение равновесия 2 У = 0, при этом рассмат-
77
риваем два возможных случая: 1) груз Р = 1 левее узла 7 и правее
узла 9, тогда Af18 = — Af38cos а; 2) груз в узле 8, тогда A^g = (1 —
— AT^/cos а (рис. V.16, ё).
Пример V.15. Построить линии влияния усилий для стержней
/—10, 2—3, 9—8, 1—8,1—9, 10—9 консольной фермы (рис. V.17, а).
Груз перемещается по нижнему поясу.

Рис. V.17
Установим нулевые стержни и отметим их нулями. Построим
линии влияния опорных реакций VA и НА, уравнения которых будут:
VA = 1; НА = Нв = x/h (рис. V.17, б, в), если начало координат
расположено на опоре А, Затем разрежем ферму сечением I—I. Харак-
терной особенностью консольных ферм является то, что здесь как при
расположении груза Р = 1 справа, так и слева от сечения выгоднее
рассматривать равновесие той части, где нет опор (в нашем случае
правой части).
78
в стержнях 2—3, 8—9, 1—8 моментными точками будут соответ-
ственно узел 8, узел 1 и точка К- Левые ветви линий влияния будут
нулевыми, правые же будут пересекаться с левыми под моментными
точками; крайние правые ординаты (под узлом 6) могут быть найдены
лз уравнения равновесия, если груз Р = 1 расположить в узле 6;
они будут равны: для линии влияния N12 — N23 = NSi = 2a/r2S;
дЛя линии влияния TV89 = —4а/h.; для линии влияния N18 — Ыг18
(рис. V.17, г—ё).
Вырезав узел 10 и составив уравнение равновесия SX — 0, полу-
чим аналитическое выражение усилия в стержне 9—10, которое будет
Л^9,1о — —НА = —(Рис- V.17, в); составив уравнение 2 У = О,
построим линию влияния N1M, аналитическое выражение которой
для точек правее узла 9 N1M’= — 1 (рис. V. 17, б).
Рис. V.18
Вырезав узел 9 и составив уравнение равновесия SX = 0, получим
Л\9 = 0 при положении груза в узлах 10, 8 и правее узла 8 и N19 =
= 1 /cos а при положении груза в узле 9 (рис. V.17, ж).
Шпренгельные фермы. Шпренгельные устройства в фермах пред-
назначены для уменьшения длины панелей нагруженного пояса и
по существу являются фермочками, заменяющими стержни грузо-
вого пояса. Шпренгельные устройства работают только на местную
нагрузку.
Различают три основных вида шпренгельных устройств ферм
(рис. V.18): одноэтажные,’ двухэтажные и с треугольной решеткой.
„В шпренгельных фермах различают четыре основных типа стерж-
ней: 1) стержни, принадлежащие только основной ферме (на рис. V.18
обозначены сплошной линией); на их работу шпренгельные устройства
влияния не оказывают;; 2) стержни, принадлежащие только шпрен-
гелям (на рис. V.18 обозначены штриховой линией); они работают
только на местную нагрузку; 3) стержни, принадлежащие одновре-
енно основной ферме и шпренгелям (на рис. V.18 обозначены сплош-
ои линией с параллельной ей штриховой); шпренгельные устройства
Ки местной нагрузке вызывают в них дополнительные усилия; 4) стой-
н ШпРенгельных ферм с двухэтажными шпренгелями; за счет передачи
Рузки шпренгелем из нижнего пояса в верхний в этом стержне
79
происходит перераспределение усилий, вызываемых нагрузкой в смеж-
ных панелях. Ниже каждой панели отдельно изображены шпренгель-
ные устройства.
При построении линий влияния в стержнях 1-го типа нужно
отбросить шпренгельные устройства и строить линии влияния усилий
без их учета.
Для построения линий влияния усилий в стержнях 2-го типа
следует пользоваться способом вырезания узлов, местный характер
работы этих стержней будет сразу виден по линиям влияния.
В стержнях 3-го типа линии влияния усилий строят обычно спо-
собом сечений, влияние шпренгедьных устройств учитывается в боль-
шинстве случаев автоматически вследствие изменения границ разре-
занной панели.
Для построения линий влияния усилий в стержнях 4-го типа для
стоек в качестве основы строят линии влияния без учета шпренгель-
ных устройств; мысленно их отбросив, проводят передаточные прямые
80
линии влияния как при езде понизу, так и при езде поверху, узлы
двухэтажных шпренгелей сносят иллинию влияния с ездой поверху,
узлы основной фермы и узлы одноэтажных шпренгелей сносят на линию
влияния с ездой понизу, и эти точки соединяют прямыми (рис. V. 19, д).
Примеру. 16. Построить линии влияния усилий в стержнях
4—2, 4—1, 4—3, 2—в шпренгельной фермы, изображенной на
рис. V.19, а.
Эта ферма отличается от фермы, показанной на-рис. V.15, наличием
двухэтажных шпренгельных устройств. Линию влияния стержня
4—2 (стержень 3-го типа) строят так же, как это делалось для такого
же стержня фермы, представленной на рис. V.15, однако граница
правой ветви передвинулась подточку б (рис. V.19, б). Линии влияния
усилия стержня 3—1 (стержень 1-го типа) для обеих ферм не отли-
чаются друг от друга. Линия влияния усилия стержня 1—в (стержень
1-го типа) не отличается от линии влияния усилия стержня 1—4
(рис. V. 15; на рис. V.19, в передаточная ветвь показана штриховой
линией), линия влияния усилия стержня 4—в (стержень 3-го типа)
отличается передаточной ветвью (рис. V.19, в).
Линию влияния усилия стержня 2—в (стержень 2-го типа) строят
путем последовательного вырезания узлов б и в и составления уравне-
ния проекций сил (рис. V.19, г).
Основу линии влияния усилия стержня 4—3 (стержень 4-го типа)
строим так же, как линию влияния стержня 4—3 фермы, изображенной
на рис. V.15. Затем поступаем в соответствии с указаниями, изложен-
ными выше для построения линий влияния усилий стержней 4-го
типа (рис. V.19, д).
§ V.4. МАТРИЧНАЯ ФОРМА РАСЧЕТА
Будем считать, что ферма нагружена узловой нагрузкой. Вектор
внутренних продольных усилий в стержнях фермы от внешней нагрузки
записывается так:
N = Ln-P,	(V.3)
где Ln — матрица влияния продольных сил в стержнях фермы от
единичных внешних сил, приложенных раздельно в пронумерованных
узлах фермы.
Элементы каждой строки матрицы LN являются ординатами линии
влияния продольного усилия в стержне, соответствующем номеру
строки, а элементы каждого столбца являются усилиями в стержнях
фермы от силы Pk = 1, приложенной в узле k.
Для балочных, консольных и балочно-консольных ферм, нагру-
женных вертикальной нагрузкой, вектор N проще вычислить при по-
мощи изменения базиса нагрузки. Вектор N в тех же стержнях фермы,
НагРУженной самоуравновешенным базисом, равен:
N = L*n-P*.	(V.4)
81
Переходя от вектора Р* к вектору Р, получаем
N = L*N-Lm-P,	(V.5)
где L*n — матрица влияния продольных сил в стержнях фермы от
самоуравновешенного базиса Р/.
5)
Примеру. 17. Определить внутренние усилия в стержнях
фермы, нагруженной вертикальной узловой нагрузкой (рис. V.20, а).
Вектор внутренних усилий в стержнях фермы будем определять
по зависимости (V.5).
Для вычисления элементов последовательно нагрузим ферму
самоуравновешенным базисом Pj, Р* и Р», как показано на рис.
V.20, б—г.
82
Ректор продольных усилий в стержнях фермы от заданной нагрузки
		— 10	0					— 5
х2-		0—1	0					— 8
N3		0—1	0					— 8
У4		0 о —1					— 7
Л\		— 10 о					— 5
N«		1 -1	0					— 3
Mi		0	0	о					0
		о -1	1					— 1
Na		0 о —i					— 7
	i			3 2 1	2		
Л\о	i ~~ d	yj 0	0	d 4	2 4 2	• 4	=	10 K2
Nu		- Л- 2	0		1 2 3	6		6
		/2	/2					/2
Nu		0-4- —					2
		/2	У 2					/2
Nis		0	0	2					14
		/2					/2
Nu		0	0	0					0
Nu		1	0	0					5
Nle,		0	0	1					7
N17		0	0	0					0
ГЛАВА VI
РАСПОРНЫЕ ФЕРМЫ
И КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
§ VI. 1. ТРЕХШАРНИРНАЯ АРОЧНАЯ ФЕРМА
Фермы, в которых возникают горизонтальные составляющие опор-
ных реакций при вертикальной нагрузке, называют распор-
ными. Из распорных ферм чаще всего встречается трехшарнирная
арочная ферма. Так называется трехшарнирная арка, у которой обе
полуарки представляют собой фермы. Распор в этой системе опреде-
ляется так же, как в сплошной трехшарнирной арке.
Неизменяемые системы, составленные из балок или ферм, соеди-
ненных с шарнирной цепью или аркой, называют комбиниро-
ванными системами. Комбинированные системы, в которых
шарнирная ц$пь работает на растяжение, называют висячими, при
работе цепи на сжатие — арочными. Здесь ограничимся рассмотре-
нием статически определимых комбинированных систем.
Фермы с гибкими стержнями называют вантовыми. Усилия
в них могут быть только растягивающие.
Рассмотрим вначале расчет на подвижную нагрузку.
Пример VIЛ. Построить линии влияния усилий в стержнях
трехшарнирной арочной фермы, изображенной на рис. VI. 1, а.
Горизонтальные составляющие реакций будем называть, как и
при расчете трехшарнирных арок, распором и обозначать Н. Пост-
роим линию влияния усилия V12. Для этого проведем сечение I—I
через три стержня. Рассмотрим равновесие левой части фермы при
произвольных положениях груза Р = 1 правее точки 2, Уравнение
равновесия запишем относительно моментной точки 7:
VA'3d-H-2d + N12d = 0-t VA-3d = M^
откуда
V12 = -(M?-tfz/7)/d.	(VI. 1)
Можно показать, что формула (VI. 1) справедлива и при положе-
ниях груза Р = 1 левее точки 1. Следовательно, аналитический путь
построения линий влияния для арочных ферм, так же как и для трех-
шарнирных арок, требует предварительного построения линий влия-
ния балочного момента и распора Н.
Формула (VI. 1) может быть использована и при определении
усилий от действия постоянных узловых нагрузок. Для определения
84
У
cosp	О'
Рис. VI.1
85
усилий от постоянной нагрузки можно применять также и графиче-
ский метод.
Для получения очертания линии влияния искомого усилия пря-
мым путем используем метод нулевой точки, который при изобра-
жении схемы фермы строго в масштабе дает достоверные значения
и ординат линий влияния без излишних вычислений.
Пусть сила Р — 1 расположена правее точки 2 и левее точки С,
Тогда направление полной опорной реакции RB совпадает с прямой
ВС. Найдем такое положение силы Р = 1, при котором N12 = 0.
Последнее (из условия равновесия левой части фермы) возможно
тогда, когда направление Ra проходит через моментную точку 7.
Искомое положение Р = 1 найдем на пересечении прямых А7 и ВС
в точке К (ферма под действием Р =-- 1, RA и RB будет в равновесии,
если эти три силы пересекаются в одной точке). Найденному положе-
нию силы Р — 1 соответствует нулевая ордината линии влияния V12,
обозначенная К' (рис. VI.1, б).
Для определения еще одной ординаты линии влияния при поло-
жениях Р = 1 правее пересеченной панели 1—2 искусственно удли-
ним участок 2—С, приделав жесткую консоль, и поставим груз Р = I
на этой консоли над точкой А (рис. VI. 1, а). При этом положении Р = 1
из условий равновесия фермы в целом VB — Н -= 0; Уд = 1. Вели-
чину V12, соответствующую положению Р = 1 над точкой Л, найдем
из уравнения равновесия части фермы, отсеченной на рис. VI. 1, а
штриховой линией, а именно: 2Л1;1ев	0. В развернутом виде это
уравнение имеет вид
VA-3d + Nud = 0.
С учетом VA 1 получим Л\.? = —3. Отложив эту ординату под
точкой А и соединив с точкой К' прямой А^К\ получим часть линии
влияния Л\2, справедливую при положениях Р — 1 правее пересе-
ченной панели в пределах 2'С'.
Левую прямую А'2' получим, исходя из известного положения
о том, что она проходит через нулевую ординату под левой опорой
и пересекается с правой прямой под моментной точкой. Передаточ-
ная прямая Г2' совпадает с левой прямой. Участок линии влияния
С'В' получим, соединив найденную выше ординату подточкой С пря-
мой линией с нулевой ординатой В' подточкой В. Построенная линия
влияния Л\2 изображена на рис. VI. 1,6.
На рис. VI.1, в, г изображены соответственно линии влияния V27
и V76, построенные изложенным выше способом нулевой точки. При
построении линии влияния V76 точка 2 — моментная,./^ — нулевая.
При построении линии влияния V27 точка С одновременно является
моментной и нулевой. Заметим, что линию влияния N27 нетрудно
построить также другим способом: последовательно вырезая узлы 2,
3, 4 при различных положениях силы Р = 1.
Для построения линии влияния Л\7 рассмотрим равновесие выре-
занного узла 1 (рис. VI. 1, д) вначале при положении Р = 1 вне этого
узла. Проектируя все силы на ось v, найдем
= (— cos a/cos р) V12.	(VI .2)
86
Это значит, что для построения линии влияния V17 все ординаты ли-
лии влияния Л^12 необходимо умножить на «поправочный» коэффици-
ент—cos a/cos р. При положении Р=1в узле 1 формула (VI.2)
примет вид
N17 — (— cosa/cos Р) V12 — 1 • sin а/ cos р.	(VI.3)
Линия влияния V17, построенная с учетом формул (VI.2) и (VI.3),
изображена на рис. VI. 1, е. В пределах пересеченных панелей 8—1,
1—2 проведены передаточные прямые 8'—Г и Г—2’.
Метод нулевой точки может быть использован и при расчете на
подвижную нагрузку ферм с наклонными опорными стержнями
(рис. VI.2, а). Здесь роль правого диска трехшарнирной арочной фермы
играет стержень ВС.
Пример VI.2. Построить линию влияния усилия V23 в ферме,
изображенной на рис. VI.2, а, при езде поверху.
Проводим сечение /—I. Точка 6 — моментная. Нахождение нуле-
в°и точки Д' показано на чертеже. Далее рассуждаем аналогично
Рассмотренным выше случаям. Линия влияния V23 изображена на
87
рис. VI.2, б. На рис. VI.2, в приведена линия влияния V36, построен-
ная тоже способом нулевой точки. Моментная точка в бесконечности,
фиктивная нулевая точка обозначена Левая прямая А'2' прове-
дена параллельно правой. В пределах пересеченной панели 2—3
имеем передаточную линию 2'3'.
Пример VI.3. На рис. VI.3, б показано построение линии влия-
ния усилия N3S способом нулевой точки для распорной фермы, изо-
браженной на рис. VI.3, а. Точка 6 — моментная, точка 7 — нулевая.
Рис. VI.3
Жесткая консоль не показана. Левая прямая А'2' пересекается с пра-
вой под моментной точкой. В пределах пересеченной панели проведена
передаточная прямая 2'3'.
Из приведенных примеров может создаться впечатление, что
расчет распорных ферм на подвижную нагрузку ассоциируется со
способом нулевой точки. Применять же нужно в каждом конкрет-
ном случае наиболее простой способ построения линии влияния.
Например, линию влияния М47 легко построить вырезанием узла 4
(рис. VI.3, в).
При определении усилий от постоянной нагрузки вначале вычис-
ляются опорные реакции, затем из условия равновесия той или иной
отсеченной части фермы находится искомое усилие. Найдем N23 от
действия силы Р в узле 5 (рис. VI.3, а). Из уравнений равновесия
2/Ид — 0 и SМс — 0 получим
Vc = 2Р/3; VA = Р/3; Н - Vc tg сс = (2Р/3) (5d/h) = 10Pd/(3h).
88
Для определения N23 записываем условие равновесия части фермы
левее сечения /—I:	— 0 (точка 8 — моментная). Находим N33 =
== 10 Pd/(9h).
§ VI.2. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
В комбинированных системах балка жесткости сплошного сече-
ния работает на изгиб, элементы цепи испытывают продольные уси-
лия. Комбинированные системы чаще всего применяются в мостостро-
ении.
Пример VI.4. Рассмотрим расчет комбинированных систем на
примере конструкции, представляющей собой цепь, усиленную бал-
кой жесткости (рис. VI.4, а).
Применим вначале аналитический способ, полагая, что нагрузка
вертикальная и приложена к балке жесткости. Прежде всего из урав-
нения равновесия SX = 0 нижней части конструкции, отсеченной
линией I—1, найдем, что Ua — 0. Затем из уравнения SX = 0 ча-
сти конструкции, отделенной замкнутым сечением AEFB, установим,
что На — Нв = Н, где НА — горизонтальная составляющая усилия
S01 элемента цепи 0 — 1; VA — вертикальная составляющая этого
усилия; V'a — вертикальная составляющая реакции в точке Л; Нв,
Vb, Vb имеют аналогичный смысл. Из уравнения = 0 части
конструкции, отделенной замкнутым сечением AEFB, найдем, что
V'b + Vb = PxH = Vb,	(VI.4)
т. е. сумма неизвестных пока усилий Vb и Vb равна правой опорной
реакции простой балки пролета I от действующей вертикальной на-
грузки.
Аналогично можно установить, что
V’a+Va = Va.	(VI.5)
Далее, вырезая любой из узлов цепи, например узел 1 (рис. VI.4, б),
получим, что горизонтальные составляющие усилий во всех звеньях
цепи одинаковы и равны Н. Действительно, из уравнения SX = 0
всех сил, приложенных к узлу 1, следует
S12 cos р — SQl cos а = Н\
ранее было замечено, что горизонтальная составляющая усилия S01
обозначена символом Н.
Для определения распора // рассмотрим равновесие отсеченной
части системы АЕС. Представим уравнение SA4ceB = 0 в развернутом
виде:
(V'A-hVA)l/2-I/f = 0.	(VI.6)
С учетом формулы (VI.5), обозначив УЛ//2 = МЪ, где Мс — балоч-
ный момент в точке С, из формулы (VI.6) получим формулу, извест-
Ую из теории трехшарнирных арок:
H =	(VI .7)
Физический смысл f ясен из чертежа.
89
Рис. VI.4
90
Зная Н, легко вычислить все остальные усилия. Из силового тре-
угольника (рис. VI.4, в) следует:
n = Htga; S01 = tf/cosa.	(VI.8)
Аналогично определяют Vb и усилия во всех звеньях цепи. При
известных Va и Vb из формул (VI.5) и (VI.4) найдем:
V'a = Va-V'a; Vb = Vb-Vb.	(VI.9)
Наконец, составив уравнение 2 У = 0 всех сил, приложенных
к узлу / (рис. VI.4, б):
V18 + Htgp-Htga = 0,
найдем
V18 = H(tga-tg₽).	(VI.10)
Усилия во всех подвесках определяют по формуле (VI. 10) с заменой
а и Р на соответствующие углы.
Далее получим формулы для определения изгибающего момента Мк
и поперечной силы QK в произвольном сечении К балкой жесткости
АСВ. Для этого рассмотрим равновесие отсеченной части АЕК,
изображенной отдельно на рис. VI.4, г. Из уравнения равновесия
2Л4х = 0 найдем
Мк = (V'A + Уд) хк - Ну к = Улх/< - Нук-,
обозначив V а*к — М/о получим окончательно
Мк = М°к-Нук,	(VI.11)
Л1к — балочный момент в сечении /С.
Эта формула справедлива и при положениях внешней нагрузки
левее точки /<.
Из уравнения 2 У = 0 получим формулу для QK:
QK = ^-tftgp = (Q’xcosp-tf sinp)/cosp. (VI. 12)
По формулам (VI.7)—(VI. 12) можно найти искомые усилия при
произвольных вертикальных постоянных нагрузках и построить ли-
нии влияния этих усилий при действии одной подвижной силы Р = 1.
На рис. VI.4, д построена линия влияния И по формуле (VI.7),
на рис. VI.4, е — линия влияния V’a по первой формуле (VI.9) с уче-
том формулы (VI.8) и с использованием уже построенной линии влия-
ния И.
Подобие между формулами (VI.7), (VI. 11), (VI. 12) и формулами
расчета трехшарнирной арки позволяет рассматривать комбинирован-
ную систему условно как некоторую трехшарнирную арку с пятами
в течках Е, F (применительно к рис. VI.4, а) и с расчетными сечени-
ями на линии цепи. В таком случае для построения линий влияния
можно воспользоваться удобным для практического применения спо-
собом нулевой точки. Линии влияния Мк и QK на рис. VI.4, ж, з
яостроены именно этим способом. Для этого точки С и К в соответ-
ствии со сказанным выше сносят на линию цепи и обозначают Cj
91
и Кг. Точка пересечения tn линий FCr и ЕК1 соответствует нулевой
точке линии влияния Мк. В дальнейшем построение этой линии влия-
ния полностью совпадает с построением аналогичных линий влияния
в трехшарнирных арках.
Для нахождения нулевой точки линии влияния QK из точки Е
проводим прямую Еп параллельно линии 1—2 до пересечения с линией
Рис. VI.5
FCt в точке п. Снося эту точку по вертикали на базовую линию, нахо-
дим нулевую ординату, обозначенную на рис. IV.4, з точкой п' и име-
ющую фиктивный смысл. В отличие от трехшарнирных арок согласно
формуле (VI. 12) для построения правой прямой под точкой А отклады-
ваем ординату, равную единице. Левую прямую проводим параллельно
правой. Участок C'F' получаем, соединяя найденную ординату в точке
С' прямой линией с нулевой ординатой F'.
Пример VI.5. На рис. VI.5, б, в способом нулевой точки пост?
роены линии влияния Мк и QK для арочной комбинированной системы,
изображенной на рис. VI.5, а.
Условной аркой с пролетом I и стрелкой подъема f служит лома-
ная линия, проходящая через точки А^В^ а также через узлы си-
92
стемы О, 1, 2...При построении линии влияния Мк нулевую точку
находим в точке т пересечения прямых и Нулевая точка п
используется при построении линии влияния п является точкой
пересечения прямых ВГСГ и Агп, причем прямая Лхп параллельна
прямой 1—2. В остальном построение линий влияния Мк и QK ничем
не отличается от рассмотренного выше.
Отметим, что абсциссы нулевых точек хт и хп могут быть найдены
аналитически. Формулы для их вычисления (довольно громоздкие)
здесь не приводятся. Как уже было сказано, при изображении расчет-
ной схемы сооружения строго в масштабе и при условии соблюде-
ния масштаба в процессе построения линий влияния абсциссы нуле-
вых точек, а также ординаты линий влияния могут быть определены
с достаточной для практики точностью.
§ VI.	3. ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ
Вантовые фермы, будучи геометрически неизменяемыми, не нуж-
даются в балке жесткости. Следует, однако, помнить, что расчетные
значения усилий в вантах должны быть растягивающие.
Пример V1.6. Для симметричной вантовой системы (рис. VI.6, а)
построить линии влияния усилий МЛ1, Nac и VC5.
При действии постоянной нагрузки усилия могут быть найдены
нагружением линий влияния или непосредственно из условий равно-
весия. В последнем случае для расчета используют те же приемы,
что и при построении линий влияния.
Для построения линии влияния Nai рассмотрим равновесие части
фермы, отделенной замкнутым сечением I (штриховая линия). При
этом необходимо иметь в виду узловую передачу нагрузки, а также
то, что продольные усилия в подвесных балочках равны нулю (это
легко доказать последовательным вырезанием узлов нижнего пояса
А 'В', начиная с узла В').
Для упомянутой выше отсеченной части фермы составим уравне-
ние равновесия 2МС = 0. При положениях Р = 1 левее узла 3 и
правее узла 5 это уравнение имеет вид N Aifi = 0, т. е. А1лх — 0.
При положениях Р = 1 на участке 3—4 уравнение 2МС = 0
имеет вид
^Л1П-(12-х) = 0,
откуда
VAi = (12 —х)/гх.
На рис. VI.6, б изображена линия влияния N Ai, построенная
с учетом полученных выше результатов при гх = 4,4 м. В пределах
пересеченных панелей Л'—3 и 4—5 построены передаточные прямые.
Для построения линии влияния А/Лс рассмотрим часть фермы
в пределах замкнутого сечения II. Воспользуемся уравнением равно-
весия 2Д4Л = 0. При положениях груза Р = 1 левее точки 3 и пра-
вее точки 7 это уравнение имеет вид
откуда
Nac = — N Air&/гъ.
93
Поскольку при расположении Р = 1 в точках Л' и В' NA1 = О,
при этом также N_AC = 0.
При движении Р = 1 в пределах участка 3—7 уравнение = 0
приобретает вид
N асг 2 + N А1г з — (4 • 7 — х) = 0,
т. е.
N ас = (28 - x)/r2 - N 31 г 2.
Далее строим график этой функции с использованием получен-
ной выше линии влияния NА1 при г2 = 6 м, г3 = 14,5 м. Ординаты,
подсчитанные при х = 4 м, х = 12 м и х = 24 м, показаны на чертеже
(рис. VI.6, в). В пределах пересеченных панелей А'—3 и 7—В' про-
ведены передаточные прямые.
Линии влияния усилий в остальных элементах строят аналогично.
При построении линий влияния усилий в подвесках удобно вырезать
узлы нижнего пояса. На рис. VI.6, г показана линия влияния Vc5,
построенная исходя из условий равновесия вырезанного узла 5.
Следует отметить, что вантовые фермы находят в строительстве ши-
рокое применение. То обстоятельство, что стержни вантовых ферм ра-
ботают только на растяжение, позволяет перекрывать с помощью этих
ферм большие пролеты, добиваясь при этом существенной экономии.
ГЛАВА VII
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
§ VII.	1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Пространственной фермой называют геометрически не-
изменяемую систему, составленную из прямых стержней, не лежащих
в одной плоскости и соединенных по концам шаровыми шарнирами.
При узловой нагрузке в стержнях фермы возникают только продоль-
ные силы.
Степень свободы пространственной фермы определяют по формуле
Г = ЗУ-СФ-СО,	(VII. 1)
где У — число узлов фермы; Сф — число внутренних стержней фермы;
Со — число опорных стержней.
При W = 0 система не имеет лишних стержней и опорных связей,
и уравнение (VII. 1) принимает вид
ЗУ = СФ + СО.	(VI 1.2)
Эта формула дает необходимый (но недостаточный) признак стати-
ческой определимости и неизменяемости системы. Чтобы окончательно
убедиться в этом, необходимо проделать также структурный анализ
пространственной фермы.
Поскольку минимальное количество опорных связей, необходи-
мых для прикрепления к земле неизменяемой пространственной си-
стемы, равно шести, то для фермы, отделенной от опор, необходимый
признак неизменяемости и статической определимости имеет вид
ЗУ = Сф + 6.	(VII.3)
Достаточный признак неизменяемости для пространственных си-
стем (так же, как и для плоских) может быть установлен только из
кинематического анализа, основанного на принципах образования
пространственных систем.
Основные принципы образования геометрически неизменяемых
пространственных ферм следующие:
1-	Каждый новый узел пространственной фермы должен быть
присоединен к жесткому диску «триадой» — тремя стержнями с ша-
ровыми шарнирами по концам, не лежащими в одной плоскости.
2.	Пространственная стержневая система, имеющая вид выпук-
лого многогранника с треугольными гранями, все стержни которой
лежат на замкнутой наружной поверхности, отделенная от опор,
сегда удовлетворяет условию геометрической неизменяемости и ста-
95
тической определимости (VI 1.3). Подобные стержневые системы назы-
вают сетчатыми.
После проверки выполнения необходимого условия статической
определимости системы W = 0 для исследования ее неизменяемости
можно также воспользоваться методом нулевой нагрузки.
Число опор для пространственной фермы должно быть не меньше-
трех, и они не должны все лежать на одной прямой.
Способы расчета пространственных ферм принципиально не отли-
чаются от способов расчета плоских ферм.
Для определения реакций связей необходимо составить шесть
уравнений статики. Чаще всего используют два варианта составле-
ния уравнений равновесия:
первый вариант
2Х = 0; 2У = 0; £Z = 0; 2МЛ- = 0; 2^==0; 2^ = 0. (VII.4)
Оси х, у, z не должны лежать в одной плоскости и быть параллельны;
суммы моментов не обязательно составлять относительно тех же осей
х, у, г, на которые проектируются силы;
второй вариант
2Мх = 0; 2М2 = 0; 2М3 = 0; 2^ = 0; 2Л45 = 0; 2Я = 0. (VII.5)
При этом должны соблюдаться следующие условия:
1.	Оси, относительно которых составляются уравнения момен-
тов, не должны пересекать одну прямую.
2.	Не более трех осей могут быть параллельны.
3.	Если три оси пересекаются в одной точке, то три остальные
не должны быть параллельны.
Напомним, что моментом силы относительно некоторой оси назы-
вается момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную этой
оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью. Момент силы
относительно оси может быть равен нулю в двух случаях: 1) если ли-
ния действия силы пересекается с осью и 2) если линия действия силы
параллельна оси.
Для определения усилий в стержнях пространственных ферм
используют в основном способ вырезания узлов, способ простых
и нескольких сечений, проекций и «моментных прямых», способ за-
мены стержней. Эти способы аналогичны тем, которые применяют для
плоских ферм, но использовать их для пространственных ферм слож-
нее, поскольку равновесие рассматривается в пространстве. Приме-
няются также способы, приложимые только к пространственным
системам, например способ разложения пространственной фермы на;
плоские.
§ VII.2. ОБРАЗОВАНИЕ И КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Пример VII. 1. На рис. VII. 1 изображена пространственная
ферма, для которой У = 12, Сф = 30, Со = 6; поэтому по формуле
(VII. 1) W = 3*12—30—6 = 0, следовательно, ферма имеет доста-
точное число связей.
96
С другой стороны, все грани фермы представляют собой треуголь-
ники, т. е. данная система является сетчатой, прикрепленной к земле
шестью опорными стержнями. Поэтому о ней можно сразу сказать, не
интересуясь числом стерж-
ней и узлов, что она гео-
метрически неизменяема и
не имеет лишних стерж-
ней.
Пример VII.2. Фер-
мы, приведенные на рис.
VII.2, представляют собой
сетчатые системы, прикреп-
ленные к земле шестью
стержнями. Первая ферма
(рис. VI 1.2, а) геометриче-
ски неизменяема и не имеет
лишних стержней. Вторая
же ферма (рис. VII.2, б) —
мгновенно изменяема. Дей-
ствительно, четыре опор-
ных стержня этой фермы
параллельны, а два других
пересекаются в точке А,
поэтому прямая 1—1, проходящая через бесконечно удаленную точку
и точку А, является осью вращения, вокруг которой возможен бес-
конечно малый поворот всей системы.
Пример VII.3. Рассмотрим ферму, изображенную на рис. VI 1.3.
Имеем W = 3 *18—36—18 = 0, т. е. данная ферма содержит достаточ-
Рис. VII.2
ное для неизменяемости число связей. Для кинематического анализа
рассмотрим способ образования этой фермы.
Опорные точки фермы А, В, С и т. д. неподвижны, поскольку
прикреплены к земле каждая тремя опорными стержнями. Узел 1
присоединен к земле триадой — тремя стержнями 1—С, 1—D, 1—Е-,
следовательно, эти три стержня образуют жесткий неизменяемый
диск. К этому диску и к земле при помощи триады (стержней 1—2,
4 п/р. Клейна Г. К.	97
2__В, 2—D) присоединен узел 2. Обходя последовательно узлы 3, 4,
5, 6, убеждаемся, что все они неподвижны, поскольку прикрепляются
к неподвижным дискам и к земле
при помощи триад. Итак, нижний
ярус фермы неподвижен. Узел 7
присоединяется к неподвижному
нижнему ярусу фермы посредством
трех стержней 7—/, 7—5, 7—2, не
лежащих в одной плоскости, и,
следовательно, также неподвижен.
Обходя далее последовательно узлы
8, 10, 9, 12, 11, убеждаемся, что
все они присоединяются к непод-
вижным дискам и к нижнему яру-
су фермы посредством триад и по-
этому неподвижны. Итак, система
геометрически неизменяема.
Пример VII.4. Исследуем
геометрическую структуру фермы,
представленной на рис. VI 1.4, а.
Прежде всего воспользуемся
формулой (VI 1.1) . Подсчитаем число
Рис. VII.3
узлов, стержней фермы и опорных связей: У = 24, Сф = 60, Со = 12;
поэтому W = 3 «24 — 60 —- 12 — 0. Можно поступить и иначе. Чтобы
данная система была сетча-
той, ей недостает шести
стержней: трех диагоналей
в верхнем и трех в нижнем
основаниях. Однако вместо
недостающих стержней
ферма имеет столько же до-
полнительных опорных
стержней (общее число
опорных стержней равно
12 вместо 6).
Итак, ферма имеет
структуру, приемлемую
для геометрически неизме-
няемой системы. Для даль-
нейшего анализа применим
способ нулевой нагрузки.
В узле 1 фермы (рис.
VI 1.4, б, где представлена
верхняя часть фермы) схо-
дятся четыре стержня, три
из которых лежат в одной
плоскости; следовательно,
при отсутствии внешней
нагрузки в этом узле уси-
Рис, VII.4
98
лие в стержне 1—2 будет равно нулю. По тем же соображениям
будет равно нулю и усилие в стержне /—6 (при этом рассматри-
вается равновесие узла 6). Очевидно, что усилия в остальных двух
стержнях (/—7, 1—12), сходящихся в узле 1, также равны нулю.
Переходя далее к узлам 2, 3 и т. д., убеждаемся, что усилия во всех
стержнях верхней части фермы (за исключением стержней шестиуголь-
ника 7—12) равны нулю. Далее точно таким же образом рассмотрим
работу нижней части фермы, начиная с узлов 7 и 12, переходя последо-
вательно к узлам 8, 9 и т. д., при отсутствии внешней нагрузки. В ре-
зультате найдем, что усилия во всех стержнях фермы, кроме стержней
нижнего шестиугольника, равны нулю. Вырезая последовательно узлы
нижнего шестиугольника, начиная, например, с В (рис. VII.4, в),
легко убедиться, что равны нулю все реакции в опорных связях и уси-
лия в стержнях шестиугольника. Итак, система действительно непод-
вижна и неизменяема.
§ VII.3. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Пример VII.5. Определить усилия в стержнях системы, изобра-
женной на рис. VI 1.5, а.
Рассматривая равновесие узла О (рис. VII.5, б), спроецируем
все силы, действующие в этом узле, на оси у и г, учитывая, что в силу
симметрии усилия NqA и Nob равны. В результате получим:
2 Y = 0; Nqc cos 15° + 2N0A sin 45° cos 30° = 0;
2 Z = 0; Nqc sin 15° + 2Vqa sin 45° sin 30° -j- P = 0.
Решив эту систему уравнений, найдем искомые усилия:
Voc — р cos 30°/sin 15°= 101,5 кН;
Noa = nOb = — Nqc cos 15° cos 30°/(2 sin 45°) = — 78,6 кН.
4*
99
Пример VII.0. На рис. VII.6 показана жесткая плита, при-
крепленная к земле шестью опорными стержнями. Определить спор-
ны оси, а силы NDE и Nae лежат с
это уравнение войдут только сила Р
Nd'c'-
£Маа' = 0; cosa-f-P/= 0;
ные реакции, возникающие в
стержнях при действии нд
плиту заданной нагрузки.
Разрежем опорные стерж-
ни и заменим их действие
реакциями, которые опреде-
лим из условия равновесия
рассматриваемой системы.
Как обычно, усилия в разре-
занных стержнях предпола-
гаются растягивающими, так
что изображающие их векто-
ры (стрелки) направлены от
узлов (рис. VI 1.6).
Прежде всего составим
уравнение моментов относи-
тельно оси а—а'. Поскольку
силы Neb' и Nee параллель-
ней в одной плоскости, то в
и усилие в опорном стержне
Ar^c = -(PZ/&)(l/cosa).
Второе уравнение моментов составим относительно оси d—d'.
В это уравнение также войдут две силы: сила Р и усилие в стержне
а'—В:
£Aldd' = 0; —Nа’вЬ cos a 4- Pl = 0;
Na’в = (Pl/b) (1/cosa).
Далее составим уравнение моментов относительно оси а'—d',
пересекающей стержни Е—D, Е—А, а'—В, d'—С. Так как сила Р
параллельна этой оси, то в уравнение войдут только усилия в стерж-
нях Ь'—В и с'—С, поэтому
Nb’sl + Neel = 0 и Nb'B = — NC’c-
Составим теперь сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
5^ = 0; (NEdA~ NЕд) sin 0 4~ {Nа>в 4- N</'c)sina 4- Nb’B 4" NC’c = 0.
Учитывая найденные выше соотношения для усилий Na’B> NbrB>
NC'c, Nd-c, находим из последнего уравнения, что
NEd — — NEa-
Для определения усилия NC'-c составим уравнение моментов отно-
сительно оси а' — Ь':
^МО’Ь’=0; —Nc’cb — Na’csina + Ph = 0.
В это уравнение не вошли силы NED и NEA, поскольку они приложены
в одной точке, равны по величине и противоположны по знаку. Итак,
100
находим
Nb,B = _ Ncc = (— P/b) (ft + Z tg a).
Рис, VII.7
Наконец, чтобы найти последнее усилие Ned* спроецируем все
силы на направление а'—dr:
(Nea — Ned) cos 0 -J- P = 0,
откуда
Nea = — Ned = — P/(2 cos ₽).
Пример VII.7. Опреде-
лить усилия в стержнях про-
странственной системы, изо-
браженной на рис. VI 1.7.
Расчет начинаем с опре-
деления нулевых стержней.
Поскольку узел 1, в котором
сходятся три стержня, нена-
гружен, то усилия в этих
стержнях равны нулю. Уси-
лие в стержне 4—5 равно нулю, так как он не лежит в плоскости
остальных стержней, сходящихся в узле 4. Далее последовательно
устанавливаем, что равны нулю усилия в стержнях, сходящихся в уз-
Рис. VII.8
лах 5 и 6, а также в стержнях 3—D, 2—3, 4—Е. Ненулевыми стерж-
нями являются стержни 2—А; 2—В, 3—С, 3—Е и 3—4, усилия в
161
которых находим из условия равновесия узлов 2, 3, 4:
У2д Р tga> N2B = — P/cosa,
Л^зс = —^(1 — tg₽), A^ = -P/cos0, N3i = P.
П
ример
лучим:
VII.8. Определить усилия в ферме двускатного покры-
тия от заданной горизонтальной
нагрузки (рис. VII.8, а).
Для определения усилий в
стержнях заданной фермы восполь-
зуемся способом разложения про-
странственной системы на плоские.
Разложим все заданные гори-
зонтальные силы на две осп, на-
правленные вдоль скатов фермы
(рис. VI 1.8, б). Тогда задача све-
дется к расчету двух плоских ферм,
показанных на рис. VII.9, а, б и
нагруженных соответствующими
нагрузками. После того как будут
определены усилия в стержнях
плоских ферм, находим усилия в
стержнях 1—8 и 4—5, рассматри-
вая равновесие соответствующих
узлов заданной пространственной
фермы. Так, вырезав узел 8 и со-
действующих в узле, на ось %, по-
yVS9 cos а + Ns> 10 cos а sin (3 + Ni8 = О,
= ЬР • 4/(8 • 5) + 1,6Р • 4 • 5/(5 • 6,4) - ЗР/2.
Таким же образом определим усилие в стержне 4—5:
Л^ = ЗР/2.
Усилия в стержнях 9—10, 10—11, 11—12 получим суммированием
усилий, найденных при расчете обеих плоских ферм.
Таблица VII. 1
Номер стержня	Усилие	Номер стержня	Усилие	Номер стержня	Усилие
1-2	0	4 — 11	1,6Р	7-11	0
2—3	— р	7—8	Р	6-12	1,6Р
3—4	— р	6—7	Р	9—10	р
1—9	15Р/8	5—6	0	10—11	0
2-10	1/25Р	8—9	-5Р/8	11-12	—р
3-11	0	7—10	0	1-8	ЗР/2
4—12	5Р/8	6-11	—1,25Р	4—5	ЗР/2
9—2	— \,6Р	5—12	— 15Р/8		
3-10	0	8—10	—1,6Р		
102
Значения усилий в стержнях заданной фермы приведены
в табл. VII.1.
Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие соот-
ветствующих узлов фермы. Вырезав узел 8 и спроецировав все силы,
действующие в узле, на оси z и у,
найдем вертикальную и горизон-
тальную реакции Т?8 и Н8.
Т?8 = V89 sin а -|- Na, 10 sin а sin 0 =
=9Р/8; f/8 = V87 + V8ilocos0 = O.
Аналогично находим вертикаль-
ные опорные реакции в узлах 1,
4, 5:
-------------9Р/8, 7?5 = 9Р/8
и горизонтальные реакции в узлах
1 и 4:
Hl = Hi = 3P.
Вертикальные реакции во всех
остальных опорных стержнях рав-
ны нулю, поскольку эти стержни
являются одиночными в соответст-
вующих узлах (т. е. все стержни,
сходящиеся в узлах, кроме опор-
ных, лежат в одной плоскости).
Пример VII.9. Определить
Рис. VII.10
усилия в крановой ферме, нагруженной вертикальной силой Р (рис.
VII. 10).
Рассчитываем заданную ферму способом вырезания узлов, наме-
чая следующий порядок их обхода: 7, 4, 5, 6, 3, 2, 1. Направления
координатных осей выбираем, как показано на рис. VII. 10, прини-
мая каждый раз за начало координат соответствующий узел. Все не-
известные усилия считаем растягивающими и в соответствии с этим
определяем знаки проекций. Длины стержней вычисляем по формуле
Z = /xe + i/2 + z2,
где х, у, z — проекции стержня на координатные оси.
Направляющие косинусы определяем по формулам
cos (xl) = х/1, cos (yl) = у/1, cos (zZ) = z/l.
Для вычисления геометрических и тригонометрических величин
составляем табл. VII.2.
Для определения усилий в ферме последовательно вырезаем узлы,
начиная с узла 7, и составляем уравнения равновесия.
Узел 7:
2 X = 0; V47 (- 0,915) + V57 (- 0,804) + AZ„ (- 0,804) = 0;
2 У = 0; V47 • 0 -f- V57 (0,267) + V87 (— 0,267) = 0;
22 = 0; N„ (— 0,406) + ЛГ„ (— 0,535) + N„ (— 0,535) = P,
103
откуда
ATe7 = jV75 = —3.62Р, У47 = 5,78Р.
Узел 4:
2 X = 0; Nia (0,834) + W45 (0,834) + Nu • 0 + 5,78P (0,915) = 0;
2 Y = 0; Nw (— 0,556) + Ni5 (0,556) +	• 0 + 5.78P -0 = 0;
2 Z = 0; W4e • 0 + У45 • 0 + W14 (— 1) + 5,78P (0,406) = 0.
Таблица VII.2
Номер стерж- ня	Проекций на оси				У2	22	Длина м	Направляющие коси- нусы			Усилия в долях от Р
	X	У	2					cos (xl)	cos {yl)	cos (z/)	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
7—4	—9	0	—4	81	0	16	9,85	—0,915	0	—0,406	5,78
7—5	—6	2	—4	36	4	16	7,48	—0,804	0,267	—0,535	—3,62
7—6	-6	—2	—4	36	4	16	7,48	—0,804	—0,267	—0,535	—3,62
4—6	3	—2	0	9	4	0	3,6	0,834	—0,556	0	—3,18
4—5	3	2	0	9	4	0	3,6	0,834	0,556	0	—3,18
4—1	0	0	—10	0	0	100	10	0	0	—1	2,35
5—1	—3	—2	-10	9	4	100	10,63	—0,283	—0,188	—0,945	—0,87
5—2	0	0	-10	0	0	100	10	0	0	— I	—1,12
5—6	0	—4	0	0	16	0	4	0	— 1	0	2,898
6—1		з	2	-10	9	4	100	10,63	0,283	—0,188	—0,945	—0,87
6—2	0	4	-10	0	16	100	10,77	0	0,372	—0,93	0
6-3	0	0	-10	0	0	100	10	0	0	— 1	—1,12
3-1	3	2	0	9	4	0	3,6	—0,834	0,556	0	0
3—2	0	4	0	0	16	0	4	0	1	0	0
2-1	—3	—2	0	9	4	0	3,6	—0,834	—0,556	0	0
откуда
W4e = Arte = —3,18P, ЛГ41 = 2,35Р.
Узел ё:
2Х = 0; Х61 (-0,283)+ ^2-0 + ^0 +
+ 3,62Р (— 0,804) + 3,18Р (0,834) = 0;
2У = 0; jV61(-0,188) + ^2-0 + ^6(-l) +
4- 3,62Р (0,267) + 3,18Р (0,556) = 0;
2Z = 0; ЛГи(-0,945) + ^2(-1) + ^и-0-
- 0,535 • 3,62Р — 3,18Р = 0.
откуда
ДГ61 = —0.87Р, JV6e = 2,898P, Х62 = —1,12Р.
Узел 6:
2 X = 0; ЛГв1 (— 0,283) + ЛГв2 • 0 + ЛГ63 • 0 - 0,804 • 3.62Р +
+ 0,834 •3,18Р = 0;
2 Y = 0; #в1 (0,188) + Nez (0,372) + N63 • 0 - 0,267 • 3.62Р -
— 3,18Р (0,556)4-1 -2,898Р = 0;
22 = 0; Nei (- 0,945) 4- Л'в2 (- 0,93) +	(-1) -
- 3,18Р • 0 - 0,535 • 3.62Р = 0,
104
откуда
#в1 = -0,87Р, Ув2 = 0, 2Ve3 = —1.12Р.
Рассматривая далее равновесие узлов 3, 2, 1, нетрудно найти уси-
лия во всех остальных стержнях.
Значения усилий в стержнях фермы приведены в табл. VII.2.
Пример VII. 10. Определить усилия в стержнях пространствен-
ной фермы, изображенной на рис. VII. 11.
Рис, VII,11
Рис, VII, 12
Рассматриваемая система получена из сетчатой, в которой вместо
диагонали 5—10 поставлен дополнительный опорный стержень. Итак,
ферма неподвижна, геометрически неизменяема и статически опреде-
лима.
Расчет начинаем с определения нулевых стержней. В ненагружен-
ном узле 11 сходятся три стержня, не лежащие в одной плоскости
(12—11, 11—10, 11—5); следовательно, усилия в этих стержнях равны
нулю. Таким же образом устанавливаем, что равны нулю усилия
в стержнях 12—10, 9—10, 10—4. Стержень 4—5 одиночный, поэтому
усилие в нем равно нулю.
Далее определим усилия в опорных стержнях 1—В, 1—D и 5~С.
Проецируя все силы, действующие на ферму, на ось 1—5, получаем
сразу, что Nt_D = 0. Затем составляем уравнение моментов относи-
тельно оси 1—7:
2 М17 = Р//2 + N5(4 COS у = О, N5c = — Р/(2 cos у).
Проецируем все внешние силы на ось 1—2:
N1B cos у + N6C cos у + Р = 0;
NiB = — Р/ cos у — V6C = — Р/(2 cos у).
105
Перейдем к определению усилий в горизонтальных связях фермы
(усилия в вертикальных опорных стержнях пока не определяем).
Из условия равновесия узла 12, проецируя все силы, приложен-
ные к узлу, на направление 12—9, получаем
N 9,12 == — Р > A\i, 12= Afю, 1? = 0.
Рассматривая последовательно равновесие узлов 9, 7, 8, найдем сле-
дующие усилия:
V78 = .P/cosa, ^-8 = — Р, V18 = P/cosa.
Из условия равновесия узлов 1 и 5 получим уравнения:
N1B cos у + N18 cos а Nl2 — 0, NsC cos у -|- NS3 cos а = 0,
откуда
Vi2 = —Р/2, N33 = P/(2cosa).
И, наконец, из условия равновесия узла 2: N23 = Р/(2 cos a).
Найдя усилия в горизонтальных связях, сводим дальнейший рас-
чет к определению усилий в двух плоских фермах, нагруженных
проекциями усилий в связях, действующих в соответствующих узлах.
Эти фермы с действующими на них нагрузками приведены на
рис. VII.12, а, б.
Последним этапом расчета является нахождение усилий в верти-
кальных опорных стержнях: Л\л, V2B, V5D, NiC. Эти усилия находят
из условия равновесия соответствующих узлов.
Значения усилий в стержнях, определенных из расчета плоских
ферм, а также усилия в вертикальных опорных стойках приведены
в табл. VI 1.3.
Таблица VII.3
Номер стержня	Усилие	Номер стержня	Усилие	Номер стержня	Усилие
9-4	\ Ptga	1—7	P tga	1—A	P (3tg« + tgy)
	2 cos a		2		2
3—4	Ptga	1—6	0	2—В	3P tga
	2				2
2—3	P tga	5—12	/tga 2 cos a	4 —С	P tga
	2				2
2—8	3Ptga	5—6	0	5-D	Ptga
	2				2
3-8	Ptga	7-8	f tga		
	2 cos a		2 cos a		
					
8-9	Ptga	7—12	Ptga		
	2'		2		
3—9	Ptga 2	12—6	P tga 2		
ГЛАВА VIII
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
УПРУГИХ СИСТЕМ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
§ VIII.1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ
Любое сооружение под действием внешних факторов деформи-
руется, изменяя свою первоначальную форму и принимая форму рав-
новесия, при котором влияние внешних воздействий уравновешивается
внутренними силами сопротивления. Для расчета статически неопре-
делимых систем, а также для проверки жесткости и устойчивости кон-
струкции необходимо уметь определять перемещения, вызванные де-
формацией ее элементов.
В основе классических методов строительной механики лежит по-
нятие об идеально упругом теле или идеально упругой
системе, для которых справедлива линейная зависимость между пере-
мещениями и нагрузками. Математически эта зависимость может быть
записана в виде:
= Wi +	+... + 8кпРп = 2 8kiPh	(VIII. 1)
где Aip — перемещение точки К сооружения по определенному на-
правлению от действия системы сил Р{ (i — 1, 2, ..., n);	— переме-
щение той же точки К по тому же направлению от действия единичной
силы Р[ = 1.
Линейный закон, выражаемый формулой (VIII.1), называется
обобщенным законом Гука, а системы, для которых он
справедлив, называют линейно деформируемыми или
упругими. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь таких
систем.
В процессе деформирования упругой системы внешние и внутрен-
ние силы совершают работу. Если нагрузки прикладываются статиче-
ски, т. е. таким образом, что они плавно возрастают от нуля до конеч-
ного значения, не вызывая при этом сил инерции деформируемых
масс (вернее эти силы инерции пренебрежимо малы по сравнению
с самими нагрузками), то действительная работа внешних сил на осно-
вании теоремы Клапейрона может быть вычислена по формуле
107
где pk _ конечное значение данной обобщенной силы; А* — конеч-
ное значение обобщенного перемещения точки приложения силы Pk
по направлению ее действия от действия всех сил.
Действительная работа внутренних сил упругой системы на пере-
мещениях, вызванных статически приложенной внешней нагрузкой,
для плоских стержневых систем, состоящих из прямых, ломаных
или слабо искривленных (отношение радиуса оси стержня к высоте
его поперечного сечения не менее десяти) элементов определяется по
формуле
<V4.3)
где Л4, Q, N — изгибающий момент, поперечная сила и нормаль-
ная сила, действующие в элементе, по длине которого вычисляется
интеграл; El, GF, EF — жесткости элемента соответственно при
изгибе, сдвиге и растяжении — сжатии; р, — безразмерный коэффи-
циент, зависящий от формы поперечного сечения элемента и равный
1,2 для прямоугольного сечения и 32/27 ^1,18 для кругового сече-
ния. Суммирование интегралов производится по всем элементам
стержневой системы. Знак минус показывает, что работа внутренних
сил при нагружении тела или системы всегда отрицательна.
На основании принципа возможных перемещений Лагранжа при
переходе упругой системы под действием внешней нагрузки из неде-
формированного состояния в деформированное уравновешенное состо-
яние суммарная работа, произведенная в этом процессе внешними и
внутренними силами, должна равняться нулю. Отсюда следует, что
действительная работа внешних сил равна и противоположна действи-
тельной работе внутренних сил.
Действительную работу внутренних сил, взятую с обратным зна-
ком, называют потенциальной энергией деформа-
ций упругой системы или ее потенциальной
энергией. Следовательно, потенциальная энергия упругой си-
стемы равна работе, произведенной теми внешними силами, которые
вызвали ее деформацию, и может быть вычислена по формуле
<™'4>
Из рассмотрения выражения (VIII.4) можно сделать вывод, что
потенциальная энергия всегда положительна и является однородной
функцией второй степени внутренних усилий, а также что к потен-
циальной энергии не применим принцип независимости действия сил.
Иными словами: потенциальная энергия, вызванная группой сил, не
равна сумме потенциальных энергий, вызванных каждой из сил в от-
дельности.
Следует отметить, что при определении потенциальной энергии
различных стержневых систем через внутренние усилия не всегда
необходимо учитывать все три слагаемых. Так, для систем, работаю-
щих в основном на изгиб (балки, рамы), основную роль играют изги-
бающие моменты Л4, поэтому члены, содержащие Q и /V, можно не учи-
108
тывать. Для систем, работающих на растяжение — сжатие (фермы
при узловой нагрузке), потенциальная энергия определяется по од-
ночленной формуле, содержащей N. Для комбинированных систем,
где часть элементов работает на изгиб,
остальные на растяжение — сжатие, мож-
но не учитывать член, содержащий Q. В
конструкциях, где влияние деформации
сдвига значительно, пренебрегать слагае-
мым, учитывающим поперечную силу Q,
не следует.
Пример VIII. 1. Вычислить потен-
циальную энергию консольной балки по-
стоянной жесткости £7, изображенной на
рис. VIII.1.
Из курса сопротивления материалов
известно, что прогиб точки приложения
силы для консоли равен А = Р/3/(3£/), следовательно, потенциаль-
ная энергия, вычисленная через работу внешних сил, будет: U =
= РД/2 = Р2/3/(6£/). Вычисляя потенциальную энергию через рабо-
Рис. VIII.2
ту внутренних сил и учитывая лишь член, содержащий изгибающие
моменты, получим тот же результат:
i	i
С M2dx __ С (Px)2dx _ Р2х3 К __ Р2/з
U “ J 2EI “ J 2EI "" QE1 |о ~ '6ЁГ*
о	о
Пример VIII.2. Вычислить потенциальную энергию фермы,
приведенной на рис. VIII.2, а, если известно, что площади £2 вер-
тикальных и наклонных стержней равны половине площади гори-
зонтальных стержней.
Эпюра продольных сил приведена на рис. VIИ.2, б. Вычислим по-
тенциальную энергию через работу внутренних нормальных сил:
77 _ У f N2dS — V	__ 2 /5Р \2 £ !
Z J 2EF ~~ L 2EF “ 2EF2 \ 6 J b +
1	9	/ 9Р \2
+ 4=21
109
§ VIII.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Если в формулу (VIII.2) для вычисления потенциальной энергии
упругой системы, нагруженной силами Р2, Рп, подставить вы-
ражение (VIII. 1) для перемещения ДА, после приведения подобных
членов получим:
грузки). Оно и определяет
U = (1/2) (бнЛ +	+... + 8ппР*п) + 812РгР2 + 613РхР3 +...
>. • + ^Р.Рп + 823PJ>3 +... + 8п.ъпРп. гРп =
= (1 /2) S 8иР'1 + v W/P* А).	(VI11.5)
Считая все силы Р/ независимыми переменными, продифференцируем
выражение (VIII.5) по одной из сил, например Р19 получим:
dU/дР, = 611Р1 + S12P2 +... + 8lnPn = Alp.	(VI11.6)
Следовательно, частная производная от потенциальной энергии по
одной из сил равна перемещению точки приложения этой силы по на-
правлению ее действия (теорема Ка-
р	стильяно). Отсюда вытекает один из
возможных способов определения пе-
1 f	ремещений стержневых систем —
энергетический. Последова-
тельность вычисления перемещений
этим способом такова: 1. К сооруже-
нию прикладывается соответствующая
сила в том направлении, в котором
отыскивается перемещение. 2. Запи-
сывается выражение потенциальной
энергии от совместного действия при-
ложенной силы и заданной нагруз-
ки. 3. От полученного выражения
вычисляется значение производной по
приложенной силе при нулевом ее
значении (или действительном ее зна-
чении, если она входит в состав на-
искомое перемещение.
Пример VIП.З. Вычислить прогиб в середине пролета балки
на двух опорах под действием равномерно распределенной нагрузки
интенсивностью q при постоянной жесткости EI поперечного сече-
ния.
Приложив \в точке, перемещение которой ищем, вертикальную
силу Р (рис. VIII.3), строим эпюру моментов. Изгибающий момент
в сечении х равен:
при х 1/2
Mx = (ql/2 + P/2)x-qx2/2;
при х^ 1/2
Мх = (ql/2 + Р/2) (Z - х) - q (/ - х)*/2.
110
Рис. VIII.3
Потенциальная энергия системы определится следующим выраже-
нием:
7/2
,, V f M2ds f 1 П Я1 , М	<7*212j I
J 2EI ~ J 2EI [( 2 + 2 )Х	2 ] dx +
О
+ Ш(4+4)<г-
1/2
_ /3 / 2^2/2 5Pgl	Р2 \
~ 32Е/ \ 15 + ~Т2-"	3 )’
а ее первая производная по силе Р
dU/dP = /3/(32£/) (5g//12 + 2Р/3) = 5g/4/(384£/) + Pls (48£/).
Вычислив значение производной при Р = 0, получаем искомое зна-
чение прогиба: 5д/4/(384£/). Если бы отыскивался прогиб того же се-
чения от совместного действия распределенной нагрузки интенсив-
ностью q и сосредоточенной силы Р, то его значение было бы равно:
5д/4/(384£/) + Р/3/(48£/).
Следует отметить, что хотя этот способ является наиболее общим,
для определения перемещений стержневых систем более простым ока-
зывается способ, рассмотренный ниже.
§ VIII.3. ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА - МОРА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Если на упругую статически определимую систему, состоящую
из прямолинейных, ломаных или слабо искривленных стержней,
действуют внешние силы Р, тепловое воздействие (температура стерж-
ней изменилась на величину tt по сравнению с начальной) и еще задано
смещение с каких-либо связей (рис. VIII.4),то перемещение произволь-
ной точки К по заданному направлению /—/ может быть вычислено
по универсальной формуле, которая называется формулой
Максвелла — Мора и записывается следующим образом:
^,.>-25^+2)^+
+2Jн-тг*+2J“тR,c- <vnг7>
Первые три слагаемые в этой формуле представляют перемещение
от действия внешней нагрузки Р. При этом первым слагаемым учиты-
вается влияние изгибающих моментов, а вторым и третьим слагае-
мыми — влияние соответственно продольных и поперечных сил. Чет-
вертый и пятый члены формулы представляют перемещение от изме-
нения температуры t (четвертый — от действия равномерного нагрева
всех волокон на величину t, пятый — от неравномерного нагрева
или разности температур А/ = tr — t.2). Наконец, последний член
представляет перемещение от заданного смещения связей с.
111
В формуле (VIII.7) обозначено: Л?*, Qk, Nk, Rk— соответственно
эпюры моментов, поперечных и продольных сил и реакции в смещае-
мых связях от действия обобщенной силы Pk — 1, приложенной в точке
Л-, перемещение которой ищется, по направлению искомого перемеще-
ния; Мр, Qp, Np — эпюры моментов, поперечных и продольных сил
от действия заданной нагрузки; El, EF, GF — жесткости соответст-
венно при изгибе, растяжении — сжатии и сдвиге; ц — коэффициент
зависящий от формы поперечного сечения элемента; d — высота по-
перечного сечения элемента; а — коэффициент теплового линейного
расширения материала; t — температура нейтрального волокна, рав-
ная (4 + Q/2 для стержня, центр тяжести поперечного сечения
которого находится посредине высоты сечения; А/ = tr — t2 — раз-
Рис. VIII .4
дение Mk&t положительно, если
ность температур; и /2 — прира-
щение температур крайних воло-
кон стержня.
В этой формуле_подынтеграль-
ное произведение МкМр для эле-
мента ds положительно, если оба
момента изгибают этот элемент в
одну сторону, другими словами, ес-
ли обе эпюры Мк и Мр располо-
жены по одну сторону от оси (на-
помним, что эпюры изгибающих
моментов строятся на растянутых
волокнах). Произведения QkQp и
NkNp положительны, если усилия
имеют_одинаковый знак. Произве-
момент Мк и тепловое воздействие А/
искривляют элемент в одинаковом направлении (эпюра моментов
Mk расположена со стороны более нагретых волокон). Произведение
(7^ положительно, если нормальная силами температура нейтрального
волокна t одного знака, а произведение 7?fcc положительно, если реак-
ция Rk от обобщенной единичной силы направлена в сторону задан-
ного смещения связи с.
Для вычисления перемещений по формуле Максвелла — Мора вна-
чале нужно построить грузовые эпюры внутренних усилий Мр, Qp,
Np, затем в точке, перемещение которой ищется, приложить обобщен-
ную единичную силу по направлению искомого перемещения и от ее
действия вычислить реакции Rk в связях, перемещение с которых за-
дано, и построить единичные эцюры Мк, Qk, Nk. Наконец, вычислить
соответствующие интегралы и суммы произведений. Если перемещение,
вычисленное по формуле (VIII.7), положительно, то точка перемеща-
ется в сторону действия приложенной обобщенной единичной силы,
если отрицательно, то в обратную сторону.
В качестве обобщенных сил прикладываются при вычислении:
1) линейного перемещения точки — сосредоточенная единичная сила
Р = 1 в направлении искомого перемещения; 2) угла поворота — сосре-
доточенный единичный момент т = 1; 3) взаимного линейного переме-
щения двух точек (изменения расстояния между ними) — две сосре-
112
доточенные самоуравновешенные единичные силы Т5 = 1 по. прямой,
соединяющей данные точки; 4) взаимного угла поворота двух сечений—
два сосредоточенных самоуравновешенных единичных момента tn — 1
в обоих сечениях.
При вычислений перемещений в пространственных стержневых
системах в формуле (VIII.7) нужно еще добавить члены, содержащие
изгибающие моменты и поперечные силы, которые действуют во вто-
рой плоскости изгиба, а также крутящие моменты.
Технику вычисления перемещений по формуле Максвелла — Мора
рассмотрим на примерах отдельно для каждого из трех воздействий:
силового, теплового и смещения опор.
§ VIII.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ОТ СИЛОВОГО
ВОЗДЕЙСТВИЯ
Пример VIII.4. Определить горизонтальное перемещение точки
приложения силы в полуциркульном стальном стержне радиуса
г = 6 м прямоугольного поперечного сечения (рис. VIII.5) при Р —
= 32 кН, & = 0,5d, Е= 200ГПа,
v = 0,25, d — 0,1г = 0,6 м.
Для вычисления перемеще-
ния от силового воздействия ис-
пользуем три первые члена фор-
мулы (VIII.7). Предварительно
необходимо построить грузовые
и единичные эпюры внутренних
усилий. В качестве обобщенной
единичной силы прикладываем
сосредоточенную горизонтальну
выбрать таким же, как и у заданной силы Р, то очевидно, что еди-
ничные эпюры будут отличаться от грузовых лишь множителем Р.
Выражения для внутренних усилий от нагрузки имеют вид: Мр —
~= —Ру, Qp = —Р cos <р, N_p = —Р sin <р, а от единичной силы:
Л4Х = —у, Qi =—cos ф,	= —sin ф. Подставив эти выражения в
формулу (VIII.7), получим искомое перемещение:
Рис, VIII.5
силу Р = 1. Если ее направление
str	str	str
=	§ Py2ds + ~^r j Р sin2 ф dsj PC0S^ds =
str	str
sin2 ф ds-}--^ f §ш2ф ds + -^--^r § cos2 ф ds
о	о
Для удобства вычислений перейдем к полярным координатам и
заменим переменную интегрирования ds = rdrp и соответственно изме-
ним пределы интегрирования, а также учтем, что для прямоугольного
сечения jx = 1,2; HF = dd3/(126d) = d2/12; G = £/[2 (1 + v)l = 0,4E.
113
Р/-3 я /1 . 1 cP . 1	\
EI 2 \	' 12 га + 4 га )'
После несложных преобразований получим:
(Я	л
j sin2 <р й j sin’ Ф Й +
Л
+-$J cos2<p й
о
Как видно из полученного результата, влияние деформаций сжа-
тия и сдвига (соответственно второе и третье слагаемые выражения
в скобках) на перемещение зависит от отношения dlr (в прямолиней-
ных стержнях от d/Z) и будет тем меньше, чем меньше это отношение.
Так, при dlr = 0,1—стержень малой кривизны — перемещение,
обусловленное деформацией сдвига (влияние Q), составляет 0,25%,
а деформацией сжатия (влияние N)— лишь 0,08% от перемещения,
обусловленного изгибающими моментами (первое слагаемое), поэтому
их влиянием можно пренебречь. Окончательно
= 3,14 • 32 • 103 • 63 • 12/(2 • 200 • 109 • 0,5 • 0,64) м =
= 0,01 м= 1 см.
Из рассмотренного примера видно, что для вычисления перемеще-
ний от силовых воздействий в системах, работающих на изгиб (балках,
Рис. VIII.6
рамах, пологих арках), можно пользовать-
ся лишь первым членом формулы (VIII.7),
не учитывая влияния Q и N. В фермах при
узловой нагрузке, поскольку М и Q рав-
ны нулю, перемещения вычисляются по
одночленной формуле, содержащей про-
дольные силы N. В комбинированных си-
стемах можно пренебречь влиянием пере-
резывающих сил Q.
Для практического применения форму-
лы Максвелла — Мора при вычислении
перемещений от силовых воздействий не-
обходимо уметь вычислять интегралы от
произведения двух функций. Эта задача
значительно угфощается, если одна из по-
дынтегральных функций линейная. В этом
случае можно пользоваться правилом А. Н. Верещагина,
которое формулируется следующим образом: определенный интеграл
от произведения двух эпюр, одна из которых прямолинейна, равен
произведению площади криволинейной эпюры Q на ординату у0, вы-
численную в прямолинейной эпюре под центром тяжести
(ц. т.) криволинейной (рис. VIII.6).
/
Ali/И., dx = 2у0.
о
(VIII.8)
114
При этом результат будет положителен, если центр тяжести криво-
линейной эпюры и ордината у0 в прямолинейной эпюре расположены
по-одну сторону от оси стержня. Если обе эпюры прямолинейны, то
можно брать площадь любой из них, например той, положение центра
тяжести которой известно. Если же оно не известно, то эпюру можно
VIII.7
разложить на составляющие, положение центров тяжести которых
известно. Например, эпюра, имеющая форму трапеции, может быть
представлена в виде суммы двух треугольников, либо прямоугольника
и треугольника, а криволинейная эпюра в виде прямолинейной со-
ставляющей и параболы (рис. VIII.7).
Рис. VIII.8
Напомним, что площадь квадратной параболы, представляющей
эпюру моментов в балке на двух опорах под действием равномерно
распределенной нагрузки, равна 2/3 площади описанного прямоуголь-
ника:
Q = (2/s) (<?Z2/8) Z = qZ3/12,	(VIII.9)
а ее центр тяжести находится на оси симметрии, т. е. посредине.
Центр тяжести половины этой эпюры лежит на расстоянии 5Z/16 от
опоры (рис. VII 1.8, а). Площадь квадратной параболы, представляю-
щей эпюру моментов в консольной балке от действия равномерно рас-
115
пределенной нагрузки, равна Vg площади описанного прямоугольника:
Q = (1/8) (</Р/2) I = ql3/6,	(VI11.10)
а ее центр тяжести расположен на расстоянии 1/4 от основания криво-
линейного треугольника (рис. VIII.8, б).
При вычислении интеграла от произведения двух трапеций
(рис. VIII.9) можно пользоваться сле-
дующей формулой:
г
J МiM2 dx — (1/6) (2aLa2 4-
о
+ 2&Д + аД + М2); (VIII.il)
при этом при вычислении произведений
в правой части формулы необходимо
учитывать знаки ординат, например: ес-
ли ах и а2 расположены по одну сторо-
ну от оси, то их произведение положи-
тельно.
Если обе подынтегральные функции
Мг и /И2 криволинейны на участке дли-
ной I, то для приближенного вычисления такого интеграла можно поль-
зоваться формулой Симпсона (формула парабол для численного интег-
Рис. VIIL10

рирования). Для этого участок разбивают на четное число п равных
частей и вычисляют значения подынтегральной функции у МгМ2
для всех сечений; точность вычислений тем выше, чем больше п:
i
\у dx^ (l/3n) (yQ + 4у± + 2у2 + 4уз +... + 2ул_2 +	+ У»). (VI11.12)
о
116
Пример VIII.5. Определить угол поворота на опоре В и вза-
имное линейное перемещение точек 1 и 2 трехшарнирной рамы
(рйс. VIII.10, а), если жесткость всех стержней одинакова EI —
= 100 МН -м2, q = 15 кН/м.
Поскольку требуется вычислить перемещения в раме — системе,
работающей на изгиб, от действия внешней нагрузки, используем
первый член формулы Максвелла — Мора, учитывающий изгибающие
моменты. Для этого предварительно строим грузовую (рис. VIII.10, б)
эпюру моментов, затем прикладываем в точках, перемещение которых
ищется, обобщенные единичные силы: сосредоточенный единичный
момент в точке В для определения угла поворота этого сечения и две
единичные сосредоточенные силы в точках 1 и 2 для вычисления вза-
имного линейного их смещения. От действия этих сил строим единич-
ные эпюры моментов (рис. VIII.10, в и VIII. 10, г). Пользуясь прави-
лом Верещагина для вычисления интегралов, находим угол поворота
сечения В:
^=4-2$^ds==“^[i'-4<7-4(0’5+l,0>5)+
+ 2.-1.49.3-4-0»5 + 4.4^-44-0.5+4-2<7-4- |-0,51 =
«6	О	О	О	Z-	J
_ 40 q _ 40 • 15 • Юз
~ 3 El ~ 3 • 100 • 10е
2- IO-3 рад.
Знак минус показывает, что сечение В повернется в направлении, про-
тивоположном приложенному моменту, т. е. по часовой стрелке.
Для вычисления взаимного смещения точек 1 и 2 нужно «перемно-
жить» по правилу Верещагина эпюры Мр и М2. Для этого сначала раз-
ложим грузовую эпюру на левой стойке на треугольник и параболу,
после чего нетрудно заметить, что интеграл от произведения прямо-
линейной составляющей грузовой эпюры Мр и единичной эпюры Л42
равен нулю (одна из эпюр симметрична, другая обратносимметрична
относительно вертикальной оси симметрии рамы), поэтому _остается
«перемножить» лишь параболу из грузовой эпюры и эпюру Л42 на ле-
вой стойке. Вычисляя интеграл по правилу Верещагина на участке
А—1, где эпюра М2 прямолинейна, и удваивая результат (два таких
участка), получаем:
&1-2, р — ~Ej~ 2 ^i^pds = -gy -g- • 2<? • 2 • -g- • 1 =
Mg 10 • 15 • Юз
3EI ~ 3 • 100 • 10«
m = 5 • 10-4 m = 0,05
CM.
Знак плюс показывает, что расстояние между точками 1 и 2 уменьши-
лось на 0,5 мм — точки переместились в направлении приложенных
сил.
Пример VIII.6. Вычислить прогиб шарнира С и взаимный
угол поворота сечений 1 и 2 в раме со ступенчатым изменением жестко-
сти на левой стойке (рис. VIII.11, а), если q = 20 кН/м, : /2 : /3 =
= 1:3:2, EIt = 90 МН -м2.
Перемещения вычисляем по одночленной формуле Максвелла —
Мора, учитывающей лишь изгибающие моменты. Поскольку жесткость
на различных участках не постоянна, умножим левую и правую части
П7
формулы на постоянную приведенную жесткость Е10, за которую
может быть выбрана жесткость любого участка. Внеся ее под знак
суммы и интеграла, после сокращения на Е (для конструкций, выпол-
ненных из одного материала) получаем: EI^kp = У j MkMp — ds.
При вычислении интегралов на разных участках нужно результаты
умножать на отношение жесткостей или моментов инерции, которые
обычно и задаются. Как уже указывалось, обобщенной единичной си-
лой для вычисления прогиба какой-либо точки является сосредото-
Рис. VIII.ll
ченная вертикальная сила Р = 1, приложенная в этой точке, а для
вычисления взаимного угла поворота двух сечений — два самоуравно-
вешенных сосредоточенных момента т — 1, приложенных в этих сече-
ниях. На рис. VIII.12 приведены грузовая и единичные эпюры момен-
тов, необходимые для вычисления обоих перемещений. При построе-
Рис. VIII.12
использовалась этажная схема, показанная на
нии этих эпюр
рис. VIII.11, б. Выбрав за/1Е/0 жесткость Е1и полуцаем:
для прогиба шарнира С
1	/1 О О	2	1 Q г /1	2	9 n	1	О ^1 |
“ EIt	\ 2" ’3 ‘3'	3 '13,5^ 7?	3 ’ 8" У ‘3 	2	 3 /я +
।	13,5g-f- 18g	g .	g Zi । 18g4-22,5g, g # g	___
__ g /40,5	27	X283,5 , 121,5 \	3537g
~ £/г \ 2	16 + ~	* ~~2 j	\SEli
3537-20- 103	3
~~ 16-90-106 m —49,125*10 m,
118
для взаимного угла поворота сечений 1 и 2
^1-2, р — ~ёц' 2 § М2^р	d s —
"-Ё7Г[Т'1'34-4,5,А-4.1.3(13,57+А.4,5,)Ь +
+ 1 • 1 • 3 (18<7 + 4 • 4,57) А] =	(4,5 - 22,5 +10,5) =
_	7-5? _	7,5-го"-10° _ 11 67. ю-з оап
----~	90-10® ~	1,Ь' W раД‘
Знак минус показывает, что сечения 1 и 2 повернутся в направлениях,
противоположных приложенным
единичным моментам.
Пример VIII.7. Вычислить
прогиб точки С фермы (рис.
VIII.13), если площади попереч-
ных сечений Fr вертикальных и
наклонных стержней в два раза
меньше площади Г2 горизонталь-
ных; Р = 18 кН, EFi = 200 МН.
Для вычисления перемещений
в фермах используют второй член
формулы (VIII.7), учитывающий влияние продольных сил N. Пост-
роив грузовую и единичную эпюры нормальных сил от действия
Рис. VIII.14
заданной нагрузки и вертикальной обобщенной единичной силы,
приложенной в точке С (рис. VIII. 14), получим по формуле Макс-
велла — Мора:
^Ср = £?7	ds в 2 ^i^pl ~
_ ^-(24.2,5?.5i+2.|4p.5A +
+244',-4£+44-2','4'£)-
Р /125 . 125 . 128 . 32 \	474Р	474-18-10»	. 1П 3
“ Ж\ 6	18 + 9+ 3 / ~ 9£fj ~ 9-200 10’ м —4,74-10 м.
119
Пример VIH.8. Вычислить прогиб шарнира С системы, пред-
ставленной на рис. VIII.15, если q = 10 кН/м, EI = 45 МН «м8,
EF = 100 МН.
Данная система является комбинированной: балка АСВ работает
на изгиб, остальные стержни на растяжение — сжатие. Поэтому
для вычисления перемещений в
таких системах пользуются пер-
выми двумя членами формулы
(VII 1.7). При этом интегралы,
зависящие от изгибающих мо-
ментов М, вычисляются на эле-
ментах, работающих на изгиб,
а интегралы, учитывающие про-
дольные силы, — на элементах,
работающих на растяжение —
сжатие. На рис. VIII. 16 представлены грузовые и единичные эпюры
изгибающих моментов и продольных сил на соответствующих стерж-
нях, при построении которых предварительно определялся распор Н
Рис, VIII.16
в стержне DE (см. рис. VIII. 15)пиз условия, что момент в шарнире С
равен нулю. Используя правило Верещагина для вычисления инте-
гралов, получаем:
= 4 (2 J M^ds +	=
-£7-[24'2'448’-2--r2’'44'2+
+>(24  т’-5+2-1-4«-з+|  4И]=
=4(з2+^т>4?- ^4^ ю- м.
120
§ V1II.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ТЕПЛОВОГО
ВОЗДЕЙСТВИЯ
Под тепловым воздействием понимается изменение температуры
стержней по сравнению с некоторой начальной. Для вычисления пере-
мещений от такого воздействия в статически определимых системах
используются четвертый и пятый члены формулы Максвелла — Мора
(VIII.7). Выбирая за участок интегрирования длину стержня, где
задано одинаковое изменение температуры, можно упростить фор-
мулу, вынеся за знак интеграла постоянные величины at и aAttd.
Тогда, учитывая геометрический смысл определенного интеграла —
площадь подынтегральной эпюры, получим:
b.kt — ^1at^Nkds-\-^ia.(Mld)\Mkds =
= £a/Q^+£a(A//d)Q^.	(VIII.13)
Здесь — площадь единичной эпюры изгибающих моментов,
a йп — площадь единичной эпюры нормальных сил. Обе эти эпюры
™ k
Рис, VIII,17
строятся от действия обобщенной единичной силы, приложенной
в точке /(, перемещение которой ищется, по направлению искомого
перемещения. Знак произведения положителен в первой сумме, если
Nk и t имеют одинаковый знак, во второй сумме — если эпюра
расположена на более нагретых волокнах.
Пример VIII.9. Определить вертикальное перемещение опоры
D в раме, показанной на рис. VIII. 17, от заданного изменения темпе-
ратур, если а = 1,2 •10“6 град-1, d = 0,1 длины стержня.
Вычислим предварительно d, t и А^ для каждого участка рамы.
Для стержня АВ', t = —5°, At = 10°, d — 0,4 м; для ВС: t = 10°,
At = 40°, d = 0,3 м; для CD: t = —15°, d = 0,2 м, At = 10°. Прило-
жив в точке D единичную вертикальную силу, построим единичные
эпюры изгибающих моментов и продольных сил. Они приведены на
рис. VIII.18. Используя формулу (VIII.13), находим искомое переме-
121
щение:
Д/)/ = а(5.1-4 +10-1,5-3-15-1.2 + -^-. |-6-4 +
. 40	6 + 3 о 10	1 о о\ ,пос
+ 0,3 * 2 '3 0)2’2-3-2j — 1985a —
= 1985-1,2-10-5 м = 2,38-10'2 м = 2,38 см.
Рис. VIII.19
Поскольку результат положителен, опора D опустится вниз по на-
правлению приложенной единич-
ной силы.
Пример VIII. 10. Определить
угол поворота сечения на левой
опоре балки (рис. VIII.19) от нагре-
ва затяжки, если а=1,2 -10'5 град-1.
Чтобы воспользоваться форму-
лой (VIII.13), надо построить еди-
ничные эпюры моментов и нормаль-
ных сил на нагретых стержнях
от действия единичного момента, приложенного на опоре А. Но оче-
видно, что в единственном нагретом стержне DE, шарнирно опертом
по концам, будет действовать лишь нормальная сила Nx = —1/6.
Это легко определить из условия, что момент в шарнире С равен нулю.
Следовательно,
<рл, = а/йд^ = а • 5 [(—1 /6) • 6] = — 5а = — 5 • 1,2 • 10 5 = — 6 • 10-6 рад.
Знак минус показывает, что сечение А повернется против часовой
стрелки, т. е. в направлении, противоположном приложенному еди-
ничному моменту.
§ V1I1.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ОТ СМЕЩЕНИЯ СВЯЗЕЙ
Под смещением связей подразумевается заданное смещение опор
или каких-либо других узлов системы, обусловленное, например,
неправильным изготовлением элементов конструкции. Для определе-
ния перемещений в статически определимых системах, вызванных
заданным смещением связей, используют последний член формулы
Максвелла — Мора (VIII.7), порядок пользования которой рассмо-
трим на примерах.
Пример VI11.11. Определить горизонтальное перемещение точки
А многопролетной балки от заданного смещения заделки (рис. VIII.20),
если Ci — 2 см, с2 = 3 см, с3 = 0,01 рад.
Приложив в сечении А горизонтальную единичную силу, вычис-
ляем реакции в заделке по направлению заданных смещений. Их
значения указаны на рис. VIII.20.
В соответствии с формулой (VIII.7) имеем:
Длс — — S Ял-c = — (— O.Scj +1 • с2 + 4 • о3) =
= — (— 0,5 • 0,02 + 1 • 0,03 + 4 • 0,01) = — 0,06 м.
122
Перед первым произведением в скобках стоит знак минус, поскольку
реакция направлена в противоположную от заданного смещения сто-
рону. Знак минус в результате показывает, что сечение А сместится
влево.
Рис. VIII.20
Необходимо помнить, что для получения правильного результата при подста-
новке в формулу (VII 1.7) заданных значений с их необходимо выражать в метрах
и радианах, если при вычислении реакций размеры элементов системы измерялись
в метрах, а также не забывать, что пе-
ред суммой стоит знак минус.
Пример VIII. 12. Опреде-
лить, на какую величину из-
менится стрела подъема арки с
затяжкой (рис. VIII.21), если
при изготовлении затяжки она
была сделана на 2 см короче,
чем предусматривалось проек-
том, т. е. короче I. По проекту
f = Z/6. Для определения вер-
Рис. VIII.21
тикального перемещения шарни-
ра С (то же, что и изменение f)
средоточенную единичную силу и
затяжке — распор. Как известно,
приложим в нем вертикальную co-
ot ее действия вычислим усилие в
он равен Н = M%/f = Ис-
пользуя последний член формулы Максвелла — Мора, получаем:
Д/ = _ Н • с = — [//(4/)]ч- 0,02  --0,005/// = — 0,03 м.
Произведение сомножителей Н -с положительно, поскольку распор
и смещение опор направлены в одну сторону. Знак минус у результата
показывает, что шарнир С поднимется (сместится в сторону, проти-
воположную приложенной единичной силе).
§ VIII.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ
УПРУГИХ ГРУЗОВ
При расчете конструкций часто бывает необходимо определить
перемещения (линейные или углы поворота) не отдельных, а целого
ряда точек. Если же число таких точек будет выбрано достаточно боль-
123
шим, то можно вычертить упругую линию — эпюру перемещений —
сооружения. Использование формулы Максвелла — Мора при этом
связано с большим объемом вычислительной работы, особенно при
переменной жесткости конструкции, как это часто бывает в арках.
Для этой цели целесообразно применять способ упругих
гр у з о в, который является обобщением известного в курсе сопро-
тивления материалов графо-аналитического метода определения де-
формаций при изгибе балок. В соответствии с этим методом эпюра
перемещений ряда точек от действия внешней нагрузки является
эпюрой изгибающих моментов в условной (фиктивной) балке, заменя-
ющей заданную, от действия фиктивных
сосредоточенных сил, называемых уп-
ругими грузами.
Для построения эпюры перемещений
сплошной системы, работающей на изгиб,
ось этой системы разбивают на ряд прямо-
линейных достаточно малых участков, в
пределах которых без особой погрешности
можно считать эпюры внутренних усилий
от заданной нагрузки прямолинейными.
Заданная нагрузка в пределах каждого участка заменяется эквива-
лентными сосредоточенными силами, приложенными в узлах, т. е. в
точках стыка участков. От действия этих сил строятся на растянутых
волокнах эпюры изгибающих моментов Мр, после чего вычисляют зна-
чения упругих грузов Wn для всех узлов по формуле, при выводе ко-
торой не учитывалось влияние продольных и поперечных сил:
Wn =	+ 2М„) + [S„+1/(6£/n+1)](2M„ + М„+1). (VIII. 14)
Здесь Wn — упругий груз, прикладываемый в n-м узле; Sn и S„+1 —
длины участков, примыкающих слева и справа к этому узлу; Е1п
и £7„+1 — жесткости соответствующих участков; М„ — момент в п-м
узле от заданной нагрузки. Вычисленный упругий груз Wn при по-
ложительном его значении следует направлять в сторону, где распо-
ложена действительная эпюра изгибающих моментов Мр.
Приложив найденные упругие грузы к условной балке, строится
на растянутых волокнах эпюра изгибающих моментов, которая и пред-
ставляет искомую эпюру перемещений сооружения как по величине,
так и по направлению.
В табл. VIII.1 приведены схемы некоторых сооружений и соот-
ветствующие им схемы условных балок.
П р и м е р VIII.13. Построить эпюру прогибов для консольной
балки ступенчато-переменного сечения, находящейся под действием
равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (рис. VIII.22).
Разбиваем пролет на четыре равных участка и строим со стороны
растянутого (верхнего) волокна эпюру изгибающих моментов
(рис. VIII.23). Вычисляем по формуле (VIII.14) упругие грузы, при
этом заделку рассматриваем как стержень бесконечно большой жест-
124
кости EIq = 00:
= w	+ W W + MJ =
__ ^0 (1\л _1_9Л4 \ 1	(2с№ 1 9^2 \_ 41 ql3 e
-^(М-1 + 2Мо) + -24£Ц— + -з2^- 768 El’
w^=Sn	+2M^+w(2M1+Ma)=
___l_ f<T ,\^1г\ , I	, qp\_ 7 g/« .
“ 24£7 \ 2 "r 32 )'r 24EI 32	8 /	96 El ’
= 6Ш7 (Mi + 2M2) +-Д- (2M2 + MJ =
= _2_/^_ ,29<?Z2\ .. 43	.
24EI \ 32 * 8 У"1- 48£/	8	32 ) ~ 1536 El ’
r3= 6^7 (M.+2MJ + (2Мз + М4) =
= _L(^+2^-\+^-(2^+q\_______________q-^~
48EI \ 8	32 J т 48E1	32	192EI ’
Вычисление упругого груза для точки 4 является излишним, так
как он не влияет на фиктивные эпюры сил и моментов в условной балке
(приложен в заделке).
Таблица VIII.1
125
Нагружаем условную балку, правый конец которой защемлен
упругими грузами, направленными в сторону действительной эпюры
моментов Мр, т. е. вверх, и строим от них эпюру изгибающих моментов
Рис. VIII.23	Рис. VIII.24
со стороны растянутых волокон. Моменты в точках 0 — 4 условной
балки равны:
М,-0;	=	=
М, = ^-'- + ^1-^.^--4,48. lO ’-g-;
+	' =-^^-=12,33-10 >-’А.
Эпюра изгибающих моментов от действия на условную балку упру-
гих грузов, изображенная на рис. VIII.24, представляет собой иско-
мую эпюру прогибов от действия заданной нагрузки. Отметим, что
вертикальные перемещения точек 0 — 4 являются точными значени-
ями прогибов балки в этих точ-
ках. Ординаты упругой линии
между этими точками несколько
отличаются от действительных
прогибов балки. Разбивая ось
балки на большее число участ-
ков, можно построить упругую
линию более точно.
Рис. VIII.25	Для построения эпюры пере-
мещений сквозных систем (ферм)
при узловой нагрузке вначале строится эпюра продольных сил Np
от заданной нагрузки. Затем к двум стержням, сходящимся в каждом
126
узле п, прикладываются единичные пары сил (рис. VII 1.25), от дейст-
вия которых строятся единичные эпюры Nn продольных сил. Единич-
ные пары прикладываются к узлам того пояса фермы, перемещения
которого требуется вычислить. После этого определяются упругие
грузы для каждого узла по следующей формуле:
Wn =	$ WnNp/(EF)] dS = %NnNpl/(EF). (VIII. 15)
Если упругий груз, вычисленный по этой формуле, положителен,
его следует направлять в сторону действия средних сил единичных
пар. Приложив к условной балке найденные упругие грузы и постро-
ив на растянутых волокнах эпюру изгибающих моментов, получим
искомую эпюру прогибов, которая будет справедлива для всех точек
соответствующего пояса фер-
мы.
Пример VIII. 14. Пост-
роить эпюру прогибов ниж-
него пояса фермы, изображен-
ной на рис. VIII.26, если же-
сткость всех стержней по-
стоянна и равна EF.
Для построения эпюры
прогибов нижнего пояса фер-
мы вычисляем по формуле
(VIII.15) упругие грузы для
узлов 1—5. Для этого прикладываем
единичные пары последовательно к каждым двум смежным стерж-
ням нижнего пояса и от их действия строим единичное эпюры про-
Рис. VIII.27
дольных сил Nn, а также грузовую эпюру Nj от заданной нагрузки.
Из_условий симметрии следует, что эпюра N5 аналогична эпюре
аА\— эпюре Грузовая и единичные эпюры приведены на рис.
127
VIII.27. Используя формулу (VIII. 15), вычисляем упругие грузы:
к?,=г.=2 ял 4-=(4 4 р  s+2 4. । р . 4)=™
Г,-2ЯЛ-8Г=4-24  Тр-4= ТV-
Упругие грузы получились положительными и, следовательно, должны
Рис. VIII.28
быть направлены в сторону дей-
ствия средних сил, образующих
единичные пары, т. е. вниз.
Условное сооружение, соответ-
ствующее рассматриваемой си-
стеме, представляет собой гори-
зонтальную балку на двух опо-
рах, которая вместе с действую-
щими на нее упругими груза-
ми изображена на рис. VIII.28.
Там же показана эпюра фиктив-
ных изгибающих моментов, яв-
гибов. Значения фиктивных
равны:
Мг = уг = Ra • 4 = 637Р/(9£Р);
ляющаяся искомой эпюрой про-
моментов (прогибов) в точках 1 — $
М2 = у2 = Ra • 8 - Wx • 4 = 1146P/(9EF);
М3 = у3 = Ra • 12— W\ • 8 - U72 • 4 = 1274P/(9EF).
§ VHI.8. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Для построения линий влияния перемещений можно пользоваться
либо формулой Максвелла — Мора, либо теоремой о взаимности
перемещений.
При построении линий влияния перемещений с помощью формулы
Максвелла — Мора прикладывают в сечении К, линия влияния пере-
мещения которого строится, обобщенную единичную силу по направ-
лению искомого перемещения и строят единичную эпюру изгибающих
моментов Мк (в системах, работающих на изгиб), либо единичную
эпюру продольных сил NK (в фермах). Затем фиксируют единичный
подвижный груз Р = 1 на расстоянии г от начала координат и от дей-
ствия этой силы строят грузовую единичную эпюру соответствую-
щего внутреннего усилия — Мр или Np. Затем по формуле Максвелла—
Мора вычисляют соответствующий интеграл. В результате получают
формулу, содержащую переменную г, на основании которой и строят
искомую линию влияния, задавая г различные возможные значения.
Пример VIII.15. Построить линию влияния угла поворота
свободного конца консольной балки постоянной жесткости EJ
(рис. VIII.29).
128
Приложив в точке В единичный сосредоточенный момент, пост-
роим единичную эпюру изгибающих моментов Мв- Затем построим
единичную грузовую эпюру моментов Мр от единичной силы 1,
приложенной на расстоянии z от свободного конца балки. Момент
в сечении на расстоянии х от точки приложения единичной силы ра-
вен х. Используя первый член формулы Максвелла — Мора (VII 1.7),
получаем угол поворота сечения В:
V С Мв^Р .	1 ‘Т .	X2 |/-2 (/-г)2
Ч’Я —El dS~ El J KdX- 2E} Q — 2£; .
o
Как видно из результата, он меняется по закону квадратной параболы
в зависимости от положения единичной силы Р — 1 на балке. Задавая
различные значения z (0 г Z), строим искомую линию влияния.
Она показана на рис. VIII.29.
На основании теоремы Максвелла о взаимности перемещений
612 — ^21 построение линии влияния перемещений д12 какой-либо
точки 1 по заданному направле-
нию от действия единичной под-
вижной силы Р2 — 1, приложен-
ной в точке 2, может быть заме-
нено более простой задачей о
построении эпюры перемещений
д21 точек приложения силы Р2
по направлению ее действия от
неподвижной обобщенной еди-
ничной силы, приложенной по
направлению заданного переме-
щения в точке 1, линия влияния
перемещения которой строится
(рис. VIII.30). Для этой цели,
как уже указывалось, можно ис-
пользовать метод упругих гру-
зов. Покажем это на только что
рассмотренном примере VIII.15.
В соответствии с теоремой о
взаимности перемещений линия
влияния угла поворота сечения
В является эпюрой прогибов
данной консольной балки от дей-
ствия единичного момента, при-
ложенного в этой точке. Для
построения эпюры прогибов ис-
пользуем метод упругих гру-
зов, разбив пролет на четыре равных участка. Эпюра моментов Мв>
Необходимая для вычисления упругих грузов, уже построена и пока-
зана на рис. VIII.29. Упругие грузы определяем по формуле (VIII.14),
рассматривая заделку как стержень бесконечно большой жесткости
б п/р. Клейна Г. К«
129
»'«” w(«-i + 2*>+TW? (2M« + Mi) = 2^7-3—8^-;
“ 1И77 <м»+2M-’+w	=тт- 6 ~ «п- •
Поскольку S, EI и М для всех участков одинаковы, упругие грузы
для точек 2 и 3 равны Wv Для точки 4 упругий груз не вычисляем,
так как он не влияет на эпюру фиктивных моментов. Условная балка,
соответствующая рассматриваемой
системе, с приложенными к ней
Яслобная Валка
"“I pg |«А®
{ч f^2
О П Р Гз 4^
1/4	L/4	1/4	1/4
Эпюра прогиВоВ
Рис. VIII.31
упругими грузами, которые направлены в сторону действительной
эпюры моментов Л4В, т. е. вверх, изображена на рис. VIII.31. Там же
показана эпюра фиктивных моментов, представляющая собой искомую
эпюру прогибов. Как видно из сопоставления полученного результата
с точной линией влияния, приведенной на рис. VIII.29, значения
ординат в точках 0 — 4 совпадают полностью, ординаты же упругой
линии между этими точками несколько отличаются от действительных
прогибов балки (прямолинейный закон изменения во втором слу-
чае — квадратная парабола в действительности).
§ VIII.9. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
В стержневых системах типа балок, рам и т. д., стержни которых
в основном работают на изгиб, перемещения от внешних нагрузок
определяют по формуле Максвелла — Мора с учетом одного инте-
грала:
Vi с М„Мь ds
В том случае, когда — линейная функция, а функция МРЦЕ1)
не выше третьей степени, вычислять интеграл (VIII. 16) можно по
правилу Симпсона.
130
Например, для (-го участка длиной 1{ (рис. VIII.32), имеющего
границы а и Ь, выражение для перемещения можно представить так:
с МпМ. ds I. / «	М^м^п \
&Ьр = \ - Рр, - = 4 ' pi р' +....Й-— +	, (VIII. 17)
J Eli о \ Е1&	£7ср	/
а
где Mik, Mbik и Л4“р, Mip — значения изгибающих моментов по концам
участка /г от единичной обобщенной силы и внешней нагрузки; Mt£ =
= (Mfk + Mik)/2 и М% — значения изгибающих моментов по середине
участка lt от единичной обобщенной силы и внешней нагрузки.
В матричной форме выражение для перемещения имеет вид
Дл,=|М, MfkW-Q^
а
Si
о
о
о о
4^р О
О sbi
м?Р
м®
мьср
(VIII.18)
где gt = Е1й1(ЕЦ) — отношение жесткости Е10, принятой за эталон,
к жесткости в данном сечении i-ro участка.
Представим выражение (VIII.18) в компактной форме:
bkp = MikbiMlp,	(VIII.19)
где Mik — матрица-строка (транспонированный столбец) влияния
изгибающих моментов на i-м участке от обобщенной единичной силы;
bi — матрица податливости i-ro участка; М1р — вектор изгибающих
моментов на i-м участке от заданной внешней нагрузки.
При постоянной жесткости по длине i-ro участка (g* = gcp=g* =
= 1) матрица податливости принимает вид
о о
4 О
О 1
Ь, = -1.
°1 &ЕЦ
О
О
(VII 1.20)
Если жесткость постоянна и обе функции Mik и Mtp линейны, то
Ж=(Ш + М)/2, МРР= (М?Р + Ю/2 и gi=l.
Подставив эти значения в выражение (VIII. 18), после соответствую-
щих преобразований получим
‘I • *1.	(VII1.21)
В том случае, когда на i-м участке один из концевых моментов
равен нулю, что соответствует шарнирному прикреплению этого
участка к заданной системе или к неподвижной опоре, порядок мат-
рицы податливости bt можно понизить до первого:
г,'“бИг121--зЙ711|.	(VIII.22)
б*
131
Для системы, состоящей из т стержней, при вычислении перемеще-
ния ДАр следует выполнить суммирование по всем стержням:
&kp ~ У (Mmk ' Ьт • М-тр) — Lmk ' В • Мр,	(VIII.23)
1
где L'mk — матрица-строка влияния изгибающих моментов в задан-
ной системе от обобщенной силы Хк = 1, приложенной в сечении К,
по направлению искомого перемещения; Мр — вектор изгибающих
моментов в заданной системе от внешних сил; В — квазидиагональная
матрица податливости всей системы, порядок которой зависит от числа
участков, на которые при расчете разбивается заданная система;
В=
(VIII.24)
При одновременном вычислении перемещений по п направлениям,
т. е. нахождении вектора перемещений Др, матричная запись может
быть представлена в виде
Xp = L'm-B-Mp,	(VIII.25)
где Lm — транспонированная матрица влияния изгибающих моментов,
имеющая п строк, состоящих из ординат эпюр моментов от обобщен-
ных сил Хг = Хг = ... — Хп = 1.
Если все п действующие внешние нагрузки равны единице, при-
ложены раздельно и определяются перемещения по этим п. направле-
ниям, то получим матрицу перемещений
— Lm. ’ В • Lm —
$11
$21
$12 • • • $1я
$22 • • • $2» ’
$Я2 • • • $ЛЛ
(VII 1.26)
где Lm — матрица изгибающих моментов, имеющая п столбцов и i
строк; L'm — матрица, транспонированная по отношению к Lm.
При большом числе участков в системе матрица податливости В
получается очень громоздкой, что усложняет процесс расчета. Для
облегчения расчетов следует понижать ее порядок, пользуясь следу-
ющими правилами:	_ _	_
1.	Если все единичные эпюры Mlt М2, .... Мп непрерывны на гра-
нице двух участков, например первого и второго, то следует вторую
матрицу Ь2 сдвинуть вверх на одну строку, т. е. совместить верхнюю
строку матрицы Ь2 с нижней строкой bv
132
В общем случае, когда все единичные эпюры непрерывны на гра-
нице участков bi и Ь;+1, сдвигают соответствующие матрицы bi и bi
по строкам по схеме
В-
2.	Если на границе двух участков bt и bt+1 непрерывны все грузо-
вые эпюры, то нужно сдвинуть элементы Ь^ влево на один столбец
в общем случае по схеме
м
l*zl_
1а?
В =
3.	Если непрерывны на границе участков bt и bt+1 как единичные,
так и грузовые эпюры, то следует сдвинуть элементы матрицы bi+1
в обоих направлениях, при этом складывая угловые элементы смеж-
ных матриц bi и &/+1 по схеме
Перемещение от теплового воздействия на i-й стержень по &-му
направлению определяют по формуле
ь	ь
=	^lkds,	(VIII.27)
til J	Z J
a	a
где az — коэффициент линейного расширения материала i-ro стержня;
4 > t2 — значения температуры в крайних волокнах; h{ — высота
сечения i-ro стержня; Mtk, Nik — функции изгибающих моментов и
нормальных сил для i-ro стержня от единичной обобщенной силы
Хк = 1.
Перемещение от осадки опор и перемещений связей определяют по
формуле
ДАс = -2^Дл,	(VIII.28)
где Rn — реакция в n-й связи от единичной обобщенной силы Xh = 1;
Д„ — заданное перемещение n-й связи.
133
Перемещение в ферме, нагруженной узловой внешней нагрузкой,
в матричной форме имеет вид
Др — Ljv • Bjf • N р,
(VI 11.29)
где Ln — транспонированная матрица нормальных усилий в стерж-
нях фермы от обобщенных единичных сил; Vp — вектор внутренних
усилий в стержнях фермы от внешней нагрузки; BN — матрица по-
датливости стержней фермы;
	1	0 ...	0
Вц =	0	1 2	0
Пример VIII.16. Для рамы, изображенной на рис. VIII.33, а,
найти горизонтальное перемещение точки 1 и угол поворота сечения 6.
Разобьем раму на четыре участка: I — стержень 13, // — стержень
34, III — стержень 45, IV — стержень 56. Для составления матриц
Lm и Мр построим эпюры изгибающих моментов Afi, М2, Мр от еди-
ничной силы Хг = 1 и от единичного момента М2 = 1, приложенных
в сечениях 1 и 6 и направленных по направлению искомого перемеще-
ния (рис. VI11.33, в, г) и от заданной внешней нагрузки (рис. VI11.33, б).
Так как эпюра Мр на участке I очерчена по квадратной параболе, то
необходимо вычислить изгибающие моменты в трех сечениях — 1,
2, 3. На участках II, III и IV эпюры Ми М2 и Мр линейны, поэтому
вычисляем изгибающие моменты в крайних сечениях этих участков:
II
Вт —
III
IV
о о
3 о
6 о
6 о
6 1
6 1
3 1
3 1
О 1
I
II
Мр —
III
IV
о
9
36
36
96
96
48
48
О
Квазидиагона льна я матрица податливости В в этом случае будет
состоять из четырех матриц — Ьг, Ь2, Ь3 и bt:
О О О
о О Ь2 О О
В —
О о ь.л о
О О 0
134
a)
Р=4кц л
Г|3 Ё1

El
I'D
1ПШ
fl 2
5
ц-2кН/м
f
1=3м
Б
И
Xм
Рис. VIII.33
Составим матри! b — 01 ~ GEh bz = &3 =	ты подат. 1 0 0 0 4 0 0 0 1 -Л-12 6£/2 [ 1 -Л-12	71ИВОСТИ К __	6	:аждого 1 0 1 0 4 ( 0 о : II2 ч ’ll1 2|| II2 ч	У 9 ) I.	гчастка с 	1		сдельно: 1 0 0 0 4 0
		~ 6•4Е1 11— 3			4£i 1 II = 4£7 II 1	1 4 2 4	0	0	1 2 4	’ 2II
	 6£/з 11 -Л_|2 ' $ЕЦ 1	2	6£/ || 1 2|| Ч=-л1|2 1 2|	||1 2		•	~ 4Е/	2	4II’
Так как все единичные эпюры Ми Mz и грузовая Мр непрерывны
на границах участков (/ и II, II и III, III и IV), то сократим поря-
док матрицы В, сдвинув строки и столбцы по диагонали; соответственно
уменьшится порядок матриц Lm и за счет вычеркивания одинако-
вых строк (3, 5 и 7-й):
1 0 0 0 0 0
1
4EI
0 0 0 0
5 2 0 0
2 8 2 0
0
о
о
4
0
О
0	0	0	2	6	1
0	0	0	0	1	2
Вектор-Искомых перемещений Др определим
= Lm 'В -Мр.
др—
&1Р II _ Р
д2Р|| |о
1
4EI
1
О
о
о
о
о
о
4
О
О
О
О
из выражения Др —
0 0 0 0
О 0 0 о
5 2 0 0
2 8 2 0 Х
0 2 6 1
0 0 12
о
9
36
96
48
О
1
Е1
!23491
I 3661
3
о
6 6
О 1
X
3
1
О
1
ГЛАВА IX
РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ СИЛ
§ 1Х.1. ПОРЯДОК РАСЧЕТА РАМ
Рамой называется система, состоящая из стержней, жестко сое-
диненных в узлах. При этом некоторые из стержней могут быть соеди-
нены с другими также и шарнирно.
Расчет статически неопределимой рамы может быть произведен
различными методами. Одним из важнейших является метод сил, в ко-
тором з_д основные (лишщте)_неизвес1ные принимают обобщенные реак-
тивные силы в отброшенных связях системы.
Число лишних неизвестных, равное числу лишних связей и назы-
ваемое степенью статической неопределимости, может быть опреде-
лено исходя из формулы (1.1):
Л = —№ = СО + 2Ш-ЗД=С-ЗД,	(IX.1)
где С — общее число связей.
Для рам с большим числом лишних связей степень статической
неопределимости проще определять исходя из того, что каждый зам-
кнутый бесшарнирный контур обладает тремя лишними связями,
а каждый шарнир или ползун, введенные в такой контур, снимают по
одной связи и снижают степень статической неопределимости на еди-
ницу. Тогда, обозначив количество замкнутых контуров через К,
количество снятых связей, т. е. общее число шарниров и ползунов,
через Сси, получим
Л = ЗА —Ссн.	(IX.2)
Все связи статически неопределимой системы разделяют на абсо-
лютно необходимые и условно необходимые (они же условно лишние).
При этом усилия в абсолютно необходимых связях оказываются стати-
чески определимыми.
Для перехода от заданной статически неопределимой рамы к основ-
ной системе нужно отбросить лишние связи и приложить вместо них
неизвестные обобщенные силы Xlf Х2, ..., Хп. Выбор основной системы
является важным этапом расчета, так как от него зависит простота и
точность расчета рамы.
После перехода к основной системе составляют канонические
(т. е. написанные по определенному правилу) уравнения метода сил
из условия, что основная система должна работать так же, как
137
заданная:
+ 612Х2 + • • • + 8]ЯХЯ 4" &1р ~ О,
621Xj + 622Х2 4~ •••4' 8.,пХп + Д2р — О,
(IX.3)
8^ + 6Я2Х2 +... 4- 8ппХп 4- Дяр = О.
Каждое из этих уравнений выражает условие, что перемещения
по направлению каждой неизвестной обобщенной силы, от всех неиз-
вестных и от заданной нагрузки должны равняться нулю, так как в за-
данной системе по каждому из этих направлений имеются связи.
Входящие в канонические уравнения коэффициенты при неизвест-
ных (6П, 612, б22, ..., бяя) являются перемещениями основной системы
по направлению неизвестных от единичных сил Х1( Х2...Хп, дей-
ствующих по направлению неизвестных Хъ Х2, ..., Хп. Свободные
же члены уравнений (Д1р, Д2р, .... Дяр) — это перемещения основной
системы по направлению неизвестных от заданной нагрузки.
Коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений опре-
деляют с помощью интеграла Максвелла — Мора; они выражаются фор-
мулами (IX.4):
v f Ml ds « V С М.-ЛТь ds
И--
Предварительно должны быть построены эпюры М2, .... Л?я
от единичных сил Хх, Х2, ..., Хп и эпюра Мр от заданной нагрузки.
Для нахождения этих интегралов в случае прямолинейных стерж-
ней с постоянной по длине жесткостью применяют «перемножение»
эпюр изгибающих моментов по способу А. Н. Верещагина.
Коэффициенты при неизвестных с одинаковыми индексами назы-
вают главными, а с разными — побочными. Как это сле-
дует из приведенных выше формул, главные коэффициенты (или глав-
ные перемещения), содержащие величину Ml, всегда положительны и
не равны нулю. Побочные же коэффициенты (перемещения), содержа-
щие произведение MiM/t, могут быть положительными, отрицатель-
ными или равными пулю. Одно из важнейших требований к основной
системе состоит в том, чтобы возможно большее число ее побочных
перемещений было равно нулю.
Вычисленные коэффициенты при неизвестных и свободные члены
перед решением уравнений следует проверить. Универсальная, т. е.
одновременная, проверка всех коэффициентов при неизвестных со-
стоит в том, что их сумма 26 = 26п 4- 2S6Zfe, представляющая собой
условное перемещение по_направлению всех неизвестных от всех еди-
ничных сил Xlt Х2, .... Хя, должна быть равна величине
= (>х-5)
138
При этом эпюра A4a, называемая суммарной единич-
ной эпюрой, получается в результате сложения всех единичных
эпюр:
Ма = Мг + М2 + ... + Мп.	(IX.6)
Чтобы не перенести на эпюру Ма какую-либо случайную ошибку,
вкравшуюся в одну из единичных эпюр, и не свести тем самым на нет
всю проверку, следует строить эпюру Ма независимо от уже построен-
ных эпюр Мх, М2, ..., Мп, т. е. непосредственно от единичных сил
Xlf Х2....Хп, действующих на основную систему одновременно.
Если универсальная проверка коэффициентов при неизвестных
приводит к недопустимо большому расхождению (более 1 %) между
величинами, которые должны быть равны между собой, то для нахож-
дения ошибки в вычислениях нужно произвести построчные проверки,
которые состоят в том, что сумма коэффициентов при неизвестных
каждого уравнения 26/ = 6/х + 6/2 + ... + 6М должна быть равна
величине
Если построчные проверки дают расхождение только в одной
строке, то ошибку следует искать в вычислении главного перемеще-
ния этой строки. Если же расхождения обнаруживаются одновременно
в двух строках, то ошибка вероятнее всего допущена при вычислении
того побочного перемещения, которое присутствует в обеих строках.
Проверка свободных членов уравнений состоит в том, что их сумма
2Д/р = Д1р 4- Д2р + ... + Дпр должна быть равна величине
^ = 2$^-	0Х.8)
Для вычисления интегралов (IX.5), (IX.7) и (IX.8) в случае пря-
молинейных стержней постоянного поперечного сечения может быть
применен способ А. Н. Верещагина.
После определения и проверки всех коэффициентов при неизвест-
ных и свободных членов канонических уравнений последние решают
совместно и находят значения Х1Г Х2, ..., Хп.
При решении системы уравнений в табличной форме по способу
Гаусса — Пастернака может быть обеспечен непрерывный контроль
правильности вычислений на каждом этапе.
Для построения окончательной эпюры изгибающих моментов в раме
(эпюры Л1) все ординаты единичных эпюр умножают на соответствую-
щие значения Xlt Х2, ... или Хп и складывают с ординатами эпюры Мр
от заданной нагрузки:
М = Й1Х1 + М2Х2 + ... + МаХп + Мр.	(IX.9)
Проверкой правильности выполнения последней операции служит
условие равновесия окончательных моментов во всех узлах рамы.
Итоговой проверкой окончательной эпюры изгибающих моментов
рамы является кинематическая проверка, состоящая
139
в проверке равенства нулю условного перемещения основной, или,
что то же, заданной, системы по направлению всех неизвестных от
всех неизвестных и нагрузки, т. е. выполнения условия
Да = 2 J =	(IX. 10)
Таким образом, суммарная единичная эпюра Л4а будет использо-
вана уже третий раз.
Точно так же должно выполняться любое из условий
=	(г’=1>2....«)’ (IX.П)
где Mt — любая единичная эпюра; п — число неизвестных в раме.
Вариантом последней проверки является проверка по
замкнутому контуру, состоящая в том, что сумма приве-
денных (т. е. деленных на жесткость EI соответствующих стержней
рамы) площадей эпюры М, находящихся внутри каждого замкнутого
бесшарнирного контура, должна быть равна сумме Приведенных пло-
щадей, находящихся снаружи этого контура.
Эпюры поперечных сил (эпюры Q) и продольных сил (эпюры X)
строят так же, как в статически определимых системах. При этом
для построения эпюры Q исходной может служить заданная нагрузка
или построенная эпюра М, а для построения эпюры N — заданная
нагрузка или построенная эпюра Q. При этом в последнем случае
применяют способ вырезания узлов.
Проверка эпюр Q и N состоит в том, что для любой отсеченной части
рамы сумма проекций на две оси всех действующих сил — внешних
и внутренних — должна быть равна нулю.
Пример IX. 1. Для рамы, показанной на рис. IX. 1, а, построить
эпюры М, Q и N и произвести промежуточные и окончательные про-
верки расчета.
Рама имеет в своих опорных закреплениях пять связей (две в опоре 1
и три в опоре 2), из которых две оказываются лишними. Следовательно,
Л = 2 и система дважды статически неопределима.
На рис. IX. 1, б показана основная система с неизвестными и Х2.
Канонические уравнения имеют вид:
бцХ1 + 612Х2 + А1р = 0;	-ф 622Х2 4* ^2р — 0.
Для вычисления перемещений, входящих в эту систему уравнений
в виде коэффициентов при неизвестных и свободных членов, необхо-
димо построить для_ основной системы эпюры изгибающих моментов
от сил Хх = 1 и Х2 — 1, действующих по направлению неизвест-
ных, а также оф заданной нагрузки. Эти эпюры, обозначенные соот-
ветственно Л41( М2 и Мр, показаны на рис. IX.1, в, г, е. Так как эпюры
Mi и М2 ограничены прямыми линиями, то для нахождения переме-
щений можно воспользоваться «перемножением» эпюр по способу
А. Н. Верещагина. Индексы у перемещений показывают, какие эпюры
перемножаются. Для удобства вычисляем перемещения, увеличенные
140
в EI раз:
£/бхх = 6-6-4/(2-2) + 6-6-6/2 + 3-3-4/(2- 1) + 6- 3-5/2 = 207;
£/6Х2 = £/б2Х = —6-6-3/2 —4.5-3-6/1 =—135;
£/622 = 6-6-4/(2-2) + 6-3-6/1 = 144.
При вычислении diX и б22 площади и ординаты берем из одних и
тех же эпюр Л4Х или /И2. Трапециевидную эпюру Л4Х на правой стойке
рамы разбиваем на два треугольника, каждый из которых при вычис-
лении 6ХХ умножаем на соответствующую ординату трапеции, т. е.
Рис. IX.1
на 4 и 5. При вычислении S12 взята вся площадь трапеции 4,5 -3 из
эпюры Мг и умножена на ординату прямоугольной эпюры /Й2, рав-
ную 6.
При перемножении эпюр следует придерживаться такого правила
знаков: если обе эпюры одного знака, т. е. если они отложены с одной
и той же стороны стержня, то произведение и соответствующее пере-
мещение считают положительными, если перемножаемые эпюры раз-
ных знаков, то — отрицательными. Естественно, что главные переме-
щения бхх _и б22, которые получаются умножением эпюры Afx на-Л4х
и эпюры Л12 на /Й2, оказались положительными:
£/ДХр = -!^4-!5. +	+ 9 3 6 + 9 3 4 + 27 3 5 =
=_ [“Lil + iil + iiiiL] ~ _ 520.
При вычислении свободных членов уравнений взята площадь эпюры
Мр от заданной нагрузки и отдельные ее участки умножены на орди-
141
наты эпюр /1Д и Д>, расположенные против центра тяжести данного
участка эпюры Мр.
Для проверки вычисленных коэффициентов при неизвестных и
свободных членов уравнений построена сум ма р н а я единичная
эпюра Мв от совместного действия сил Xr — 1 и Х2 — 1 (рис. IX.1, д).
Проверка коэффициентов при неизвестных состоит в том, что резуль-
тат умножения эпюры Мп на эту же эпюру должен равняться сумме
всех коэффициентов при неизвестных. Действительно,
£/6оа = 6-6-4/(2-2)4-6-6-4/(2-2)4-3-3-2/(2-1) = 81
и
Е^8 = Е1 (6П +622 + 2612) = 207+ 144-2-135 = 81.
Проверку свободных членов уравнений производят путем умноже-
ния эпюры Мр на эпюру Ма‘
£7Дар= 18-6-4,5/(3-2)4-18-6-3/24-9-3-1/(2-2)-3-3-15/2= 182
и путем сложения свободных членов:
ЕIS Д/р = EI (Д1р + Д2Р) = 702 - 520 182.
Подставляя полученные и проверенные значения перемещений
в уравнения и сокращая на EI, получаем:
207Хх - 135Х2 + 702 = 0; — 135А\ 4-144 Х2 - 520 = 0.
Решая эту систему уравнений, находим
%! = — 2,67 кН; Х2=1,11кН.
Окончательную эпюру изгибающих моментов строят согласно выра-
жению (IX.9):
М = M-jXi -J- М2Х2 Мр = Мх 4" М2 4" Мр.
Чтобы не ошибиться при вычислении изгибающих моментов в от-
дельных сечениях стержней рамы, можно построить эпюры Mt и М2
путем умножения соответствующих единичных эпюр и М2 на
найденные значения неизвестных. Эпюры Мг и М2 показаны на
рис. IX.2, а, б, а окончательная эпюра М — на рис. IX.2, в. Ее ста-
тическая проверка состоит в том, что все узлы рамы должны быть
уравновешены, т. е. сумма моментов в любом узле равна нулю
(рис. IX.2, г). Такая проверка необходима, но недостаточна, так как
может лишь служить контролем правильности суммирования отдель-
ных эпюр. Кинематическая_проверка состоит в том, что при умноже-
нии эпюры М на эпюру Ма по формуле (IX. 10) должен получиться
нуль:
£7Да = 2-6-4/(2-2)-4,5-2-6-3/(3-2)4-2-6-4/(2-2)4-
4-4,4 • 2 • 6/(2 • 2) — 4,5 • 6 • 3/(2 • 2) — 4,4 • 3 • 1/24-5,6 • 3 • 2/2 =
= 12-274-124-13,2-20,25-6,604-16,8 = 54-53,85 = 0,15.
Погрешность составляет всего
0,15 -100/53,85 = 0,28 %.
142
Допустимой можно считать невязку до 1%.
Для построения эпюр поперечных и продольных сил можно восполь-
зоваться тем же способом, который был применен для построения окон-
чательной эпюры изгибающих моментов, но_для этого пришлось бы
дополнительно построить эпюры Qlt Q2, Qp, N2, Np. Поэтому более
простым оказывается другой путь, основанный на использовании диф-
Рис. IX.2
ференциальной зависимости между изгибающим моментом и попереч-
нои силой = Q и формулы для определения поперечной силы
в нагруженном пролете:
3 = 30 + (А1прав-Л1дев)//.
Рассмотрим каждый стержень отдельно.
На стержень 1—3 действует равномерно распределенная нагрузка
интенсивностью 1 кН/м:
<213= 1 -6/2 + (-2-0)/6 = 3-0, 33 = 2,67 кН;
Q31 = — 3-0,33= —3,33 кН.
143
На левой половине стержня 3—4 поперечная сила оказывается
равной:
Q35 = Q53 = (l,3 + 2)/3=l,10 кН,
на правой половине
= (?« = (-4,4-1,30)/3 = -1,90 кН.
На всем протяжении стержня 2—4 поперечная сила поствшна
и равна
Q24 = <?42 = (5,6 + 4,4)/3 = 3,33 кН.
Эпюра поперечных сил показана на рис. IX.2, д.
Для построения эпюры продольных сил вырезают узлы 3 и 4 и
к ним взамен отброшенных стержней прикладывают известные попе-
речные силы и неизвестные продольные силы (см. рис. IX.2, г). При
этом положительные поперечные силы направляют так, чтобы они вра-
щали узлы по часовой стрелке. Искомые продольные силы направ-
ляют от узла, т. е. предварительно принимают растягивающими. Полу-
чение результатов со знаком минус означает, что/от или другой стер-
жень сжат.
Для узла 3:
у; X = 3,33 + Х31 = 0; Х31 = —3,33 кН (сжатие);
£У = —1,1-Х31 = 0; Х31 = -1,1 кН (сжатие).
Для узла 4:
£У = — 1,9 —Х42 = 0; Х12 = —1,9 кН (сжатие).
Продольная сила Ni3 = —3,33 кН в этом узле уже показана сжи-
мающей.
Эпюра N изображена на рис. IX.2, е. Проверкой построенных
эпюр Q и N служит проверка равновесия сил для всей рамы.
На рис. IX.2, ж показана рама с отброшенными связями и с при-
ложенными взамен силами, взятыми из эпюр Q и N:
£Х = 1-6-2,67-3,33 = 0; £ У = —3+1,1 + 1,9 = 0.
Следовательно, эпюры построены правильно.
Необходимо еще вычислить максимальные изгибающие моменты
в пролетах ригеля и левой стойки. Положение сечений, в которых
возникают эти моменты, определяем по эпюре поперечных сил.
В ригеле поперечная сила меняет знак под сосредоточенной си-
лой Р. Пользуясь интегральной зависимостью Д. И. Журавского между
изгибающим моментом и поперечной силой, найдем
Afmax = <235*/2 — М33 =1,1- 6/2 2 = 1,3 кН • м.
На стойке сечение, в котором изгибающий момент достигает наи-
большей величины, определяем исходя из дифференциальной зависимо-
сти между нагрузкой и поперечной силой:
x0 = Q13/(7 = 2,67/1,0 = 2,67 м.
Ш
Для определения наибольшего изгибающего момента в пролете
стойки служит зависимость между изгибающим моментом и попереч-
ной силой:
Л1тах = Q13 •	= 2,67 • 2,67/2 = 3,56 кН • м.
§ IX.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ РАСЧЕТЕ РАМ
Если рама обладает геометрической и упругой симметрией отно-
сительно оси, то возможно упрощение расчетов, связанное с исполь-
зованием симметрии. При этом нагрузка может быть и несимме-
тричной.
Возможны три способа использования симметрии. Первый способ
связан с разложением несимметричной нагрузки на симметричную и
обратносимметричную составляющие. При этом расчет на каждую
составляющую нагрузки производится отдельно и вместо одной системы
уравнений с полным числом неизвестных приходится иметь дело
с двумя независимыми системами, из которых одна содержит только
симметричные неизвестные, а другая — только обратносимметричные.
Второй способ состоит в разложении неизвестных на симметрич-
ные и обратносимметричные группы. Нагрузка же преобразованию
не подвергается. Тем не менее за счет обращения в нуль коэффициен-
тов при неизвестных, получаемых путем интегрирования (или пере-
множения по способу Верещагина) симметричных эпюр с обратно-
симметричными, происходит такой же распад полной системы урав-
нений на две независимые системы, как и в предыдущем случае. Этот
способ отличается от предыдущего только тем, что при вычислении
свободных членов уравнений придется иметь дело с одной несиммет-
ричной эпюрой Мр, а не с ее симметричной и обратносимметричной
составляющими.
Как при использовании первого, так и второго способа могут быть
два случая: а) когда неизвестные располагаются на самой оси симмет-
рии и б) когда они располагаются симметрично по сторонам от нее.
В последнем случае неизвестные будут уже групповыми, т. е. состоя-
щими из двух симметричных или обратносимметричных обобщенных
сил. Построение групповых единичных эпюр в большинстве случаев
даже более простое, чем обычных единичных эпюр.
Третий способ использования симметрии рамы, рассмотренный
в гл. XV, состоит в расчете только одной ее половины при замене
влияния другой половины соответствующими опорными или гранич-
ными условиями. Этот способ при расчете рам методом сил обычно не
применяется.
Пример IX.2. Для рамы, показанной на рис. IX.3, а, построить
эпюры М, Q и N.
Для определения степени статической неопределимости восполь-
зуемся формулой (IX. 1):
Л = С0 + 2Ш-ЗД = 6 + 2-1-3-2 = 2.
Переходя к основной системе (рис. IX.3, б), сохраним симметрию,
имеющуюся в заданной системе. В данном случае удобнее всего сде-
145
лать разрез по шарниру Сив качестве основных неизвестных при-
нять силы Xi и Х2.

1
2
21
а) Я~20кН/м
"ЯТ~й
6 м
6 и
6 м
Рис. IX.3
Так как Хх — симметричное неизвестное, а Х2 — обратносиммет-
ричное, то бХ2 = б21 = 0 и канонические уравнения имеют вид
6xxXx-f-ДХр=0; 622Х2-|-Д2р=0.
На рис. IX.4, я—г построены эшоры изгибающих моментов Л7Х
и Л?2 от Хх — 1, от Х2 = 1, эпюра Ма и эпюра Мр от заданной на-
Рис. IX.4
грузки. Так как все единичные эпюры ограничены прямыми линиями,
то для нахождения перемещений можно воспользоваться способом Ве-
рещагина:
£/6хх = 2[4.4.2.4/(2.3-1) + 4-6-2.4/(2-3-2)] = 74,67;
£/622 —2[3-6-2/(2-2) + 3-3-2/(2-2)] = 27;
Е1\1р = 2 • 90 • 6 • 2/(3 • 2) = 360;
Е/Д2р = —[2-90-6-3/(3-2-2)] = — 270.
146
Подставляя эти величины в канонические уравнения и решая их,
находим:
= — Д1р/6и = — 360/74,67 = — 4,82 кН;
Х2 = — Д2р/622 = 270/27= 10 кН.
Для построения по формуле (IX.6) окончательной эпюры М =
= TWjXi + /И2Х2 + Мр (рис. IX.5, а) используем уже построенные
эпюры. Вырезая узлы 1, 2, 3 и 4, можно убедиться, что в каждом из
них моменты уравновешены.
в)	г) 20кН/м
4,82 кН
18,22 кН 18,22 кН
Рис. IX.5
Кинематическая проверка окончательной эпюры М произврдится
путем ее перемножения с эпюрой Мв, показанной на рис. IX.4, в:
£/Д(Т = —2 ^/у/^ +-Д(—2-19.28-4 + 2-30-3-30-4 +
+ 19,28-3)+^/^- + -^2 (2-30-3-2-19,28-4 + 30-4-
— 19,28 •3)+-^?^ = 223,96-223,85 = 0,11 вместо нуля,
о • и • Л • Л
Невязка составляет только 0,11 «100/223,85 = 0,049%.
Эпюра поперечных сил (рис. IX.5, б) построена так же, как и
в примере IX.1. Для построения эпюры продольных сил вырезаны
узлы 1, 2, 3 и 4 (рис. IX.6, а—г). Сама эпюра N построена на
рис. IX.5, в. Проверкой эпюр Q и N служит проверка равновесия сил
для всей рамы (рис. IX.5, г).
Спроецировав силы на горизонтальную и вертикальную оси,
получим:
= 4,82-4,82 = 0; £У = —20-6 + 58,21+71,79 —
— 18,22 + 8,22 = 0.
147
На эпюре Q найдем сечение, в котором действует максимальный из-
гибающий момент:
Хо = Q12/^ = 58,21/20 — 2,91 м,
и значение этого момента
Mmax = Q12 • Хо/2 - М12 = 58,21 • 2,91/2 - 19,28 = 65,41 кН • м.
Пример 1Х.З. Построить эпюры изгибающих моментов, попе-
речных и продольных сил в раме, изображенной на рис. IX.7, а.
1	4.82^/Г 2 ТУ
4, 82 кН, |	4,82 кН	\U- I 'J/' 4>82 кН
19,28 кН- М * А 110 кН
01 кЮкН
4,82 кН^ 3
30 кН- м
8,22 кН 8) 19,28 кН-М
\4,8$кН	/*18,22 кН
Г 4.82кН\,Л	*
"ТЗОкН-М
18,22 кН 4,82 кН
^/-19,28 кН-И
-8,22 кН
Рис. IX.6
Рис. IX.7
Степень статической неопределимости рамы определяем по формуле
(IX.2), исходя из того, что рама имеет три замкнутых контура, четыре
шарнира и один ползун:
</7 = ЗХ —Ссн = 3-3 —5 = 4.
При переходе к основной системе (рис. IX.7, б) проведено сечение
по ползуну 1, в котором из-за его конструктивного устройства верти-
кальные силы равны нулю, поэтому в нем возникают только горизон-
148
тальная сила Хх и момент Х2. Кроме того, удалены горизонтальные
опорные стержни у крайних опор и вместо них приложены неиз-
вестные силы, которые разложены на симметричную Х3 и обратносим-
метричную Х4 группы.
Так как Xlt Х2 и Х3 — симметричные группы сил, а Х4 — обрат-
носимметричная, то 614 == б41 — 624 = 642 — 634 — б43 = 0.
+ ^12-^2 + 613Х3 4- Д1Р = 0;
ФгЛ + 622Х2 4* 623Х3 + Д2р = 0;
бзхХ 14- 632Х2 4- 633Х з 4- Дзр = 0.
Эпюры Л1г, /Й2, /й3, М4, Ма и Мр показаны на рис. IX.8, а—е.
Перемножая эти эпюры с использованием формулы перемножения
двух трапеций, получаем увеличенные в EI раз перемещения:
£76п = 2-5-3-2/(2-4)4-[2-3/(6-2)](2-3-34-2-6-64-3-6 4-
4-6 3)4-[2-6/(6-4)](2-6-64-2 12 124-6-124-12-6) = 322,5;
£7612 = 2 [5 • 3 • 1/(2 • 4) 4- (3 + 6) 3/(2 • 2) 4- (6 4-12) 6/(2 • 4) ] = 44,25;
£7613 = —2[6-6-10/(2-4)] =--90;
£7б22 = 2(5-1-1/44-3-1-1/24-6-1-1/4) = 8,5;
£7623 = —2[6-6-1/(2-4)] = —9;
£7633 = £7644 = 2(6-6-4/(2-1)4-6-6-4/(2-1)4-6-6-4/(2-4)) = 252;
£7Д1р = [ —80-5-3-3/(3-4-4) —80-3-4,5/2 —80-6-9/4] = —1695;
£7Д2р = [ —80-5-1/(3-4) —80-3-1/2-80-6-1/4] = — 273,33;
£7Дзр = £7Д4р = [80 - 6 • 3/4 - 30 • 6 • 3/(2 • 2) ] = 225.
Для проверки вычисленных коэффициентов при неизвестных умно-
жаем эпюру Ма на эту же эпюру:
£/6w=2-g^-(2-i.l4-2-4.44-b44-4-l)4-
4-2^(2-4-44-2-7.74-4-74-7-4)4-^4 (2-7-74-2-1-14-7-1 +
4-1-7)4-^т(2,7-7 + 2-13-13+7-13 + 13-7)4-
+ 12_б_8+12_^8=725,5.
Сумма всех коэффициентов, увеличенная в £7 раз:
’ £726 = 322,5 4- 8,5 4- 252 4- 252 4- 2 (44,25 - 90 - 9) = 725,5.
Для проверки свободных членов уравнений умножаем эпюру Мр
на эпюру Ма'.
£7Дар = —80-5-3,25/(3-4) —80-3-5,5/2 —80-6-4/4 —
-30-6-6/(2-2) = — 1518,33.
Сумма всех свободных членов уравнений, увеличенная в £7 раз:
£7 2 А = — 1695 - 273,33 4- 225 4- 225 = — 1518,33.
149
Так как в обоих случаях результаты совпадают, то, следовательно,
коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений вычис-
лены правильно.
Рис. IX.8
После подстановки числовых значений перемещений в канониче-
ские уравнения (IX.3) при п = 3 последние принимают такой вид:
1)	322,5 Хх + 44,25 Х2 - 90 Х3-1695 = 0;
2)	44,25+ 8,5Х2-9Х3-273,33 = 0;
3)	—90Х1-9Х2 + 252Х3+225 = 0;
4)	252 Х4+225 = 0.
Из последнего уравнения, независимого от трех первых, непосред-
ственно находится Х4 = —225/252 = —0,893 кН.
Первые три уравнения образуют систему и их решение проведено
по способу Гаусса — Пастернака в табл. IX.1.
В первой строке этой таблицы записано уравнение 1 под номером I,
а во второй строке — уравнение 2. Затем найдено значение коэффи-
циента а12 = —612/SU = —44,25/322,5 = —0,1372 и на него умножено
уравнение I; результат занесен в строку I -а12. Уравнение 2 алгебра-
150
ически складывается почленно с уравнением I •а12, в результате по-
лучено уравнение II.
Таблица IX.1
Номер уравнения		Хя	Хз	д	S6 4-А
I	322,5	44,25	—90	—1695	—1418,25
2 1-а13	44,25 —44,25	8,5 —6,07	—9 12,35	—273,33 232,55	—229,58 194,58
II	•	2,43	3,35	—40,78	—35
3 I-CC13 II • а23	—90 90	—9 12,35 —3,35	252 —25,12 —4,62	225 —473,06 56,22	378 —395,83 48,25
III	•	•	222,26	—191,84	30,42
Далее вписано уравнение 3 исходной системы и из уравнения I
найдено значение коэффициента а13 = —^хз/^и — 90/322,5 = 0,2791,
Рис. IX.9
а из уравнения II — коэффициента а23 = —6*3/622 = —3,35/2,43 —
= —1,3786. Уравнения I и II умножены соответственно на эти коэф-
151
фициенты и полученные результаты почленно алгебраически сложены
с уравнением 3. В результате получено уравнение III, содержащее
только одно неизвестное Х3, которое оказывается равным Х3 =
= 191,84/222,26 = 0,863. Подставив это значение в уравнение II и
решив его, получим Х2 — 15,59 кН -м. Для получения подставим
найденные значения Х2 и Х3 в уравнение I и после его решения най-
дем Хх = 3,36 кН.
Непрерывный контроль за правильностью решения уравнений
состоит в том, что каждый итог в последнем столбце таблицы должен
получаться одним и тем же как по вертикали, так и по горизонтали,
например в строке II:
2,43 + 3,35 - 40,78 = —35;
— 229,58+194,58 = —35.
Окончательная эпюра изгибающих моментов (рис. IX.9, а) пост-
роена согласно выражению
М = MjXi + М2Х2 + М3Х3 + M^Xi + Мр.
Кинематическая проверка эпюры М выполняется путем ее умно-
жения на^энюру Ма:
£/Д = —0,18-6-8/(2-1) —0,18-6-8/(2-2) —30-6-6/(2-2) —
— [6/(6 • 4)] (2 • 23,91 • 1 + 2 • 44,25 • 7 + 23,91 • 7 + 44,25 • 1) —
— [3/(6-2)] (2-44,25-7 + 2-54,33-4 + 44,25-4 + 54,33-7) +
+ [5/(6 • 4)] (2 • 54,33 • 4 + 2 • 15,59 • 1 - 54,33 • 1 + 15,59 • 4) +
+ 2 • 5 • 20 • 2,5/(3 • 4) + [5/(6 • 4)] (2-15,59-1+2 • 25,67-4 +15,59-4 +
+ 25,67 • 1) + [3/(6 • 2)] (2 • 25,67 • 4 + 2 • 35,75 • 7 + 25,67 • 7 +
+ 35,75 • 4) + [6/(6 • 4)] (2 • 35,75 • 7 + 2 • 45,37 • 13 + 35,75 • 13 +
+ 45,37 • 7) = — 981,46 + 982,8 =1,34.
Погрешность составляет всего 1,34-100/981,46 = 0,137%, значит,
эпюра М построена достаточно точно.
Эпюры Q и N (рис. IX.9, б, в) построены исходя из рассмотрения
сил, действующих на основную систему, а также по эпюре М:
Q13 = — Q13 = — Q31 = —	sin а = — 3,36 - 0,6 = — 2,02 кН;
Q2X = QX2 + 0,5 <?/cos а =— 2,02 + 0,5-10-8-0,8 = 29,98 кН;
Q25 = ^62 — — Qae ~ — Qea = X 1 ~	3,36 кН;
Q46 = 0,5P - Af21/Zi = 0,5 • 20 -0,18/6 = 9,97 кН;
QM = 0,5P + M21/li = 0,5 • 20 + 0,18/6 = 10,03 кН;
Qe7 = Q76 = - 10,54/6 = - 1,76 кН;
Q48 = Q8i = _ x3 - Xi = — 0,863 + 0,893 = 0,03 кН;
Qaa = Q95 = - Xi + X3 + Xi = — 3,36 - 0,03 = — 3,39 кН,
Qs. 10 = Qio. a = Xi - X3 + Xi = 3,36 - 0,863 - 0,893 = 1,6 кН;
Q7.11 = Qu.7 = X3 - Xi = 0,863 + 0,893 = 1,76 кН;
152
ЛГ13=У13 = N31 = _ X, cos a = — 3,36 • 0,8 = — 2,69 кН;
Ntl = N12 - 0,5 ql sin a = — 2,688 - 0,5 • 10 - 8 • 0,6 = — 26,69 кН;
/V25 = W52 = _ 0,5?/ = —0,5-10-8 = —40 кН;
Л^зв = ^аз = 0»
X45 =	---X8 — X4 = 0,03 кН;
N„ = Nn = — X3+X4 = — 0,863 - 0,893 = 1,76 кН;
N4s — N8i = Qi5 = — 9,97 кН;
jV89 = y254-QM = _ 40-10,03 = — 50,03 кН;
Ne. io = Л/io, в = Na3 - Q„ = 0 4-1,76 = 1,76 кН;
A^7,ll = ^11,1 ~ Qis — —1,76 кН.
Для статической проверки эпюр Q и N на рис. IX.9, г показана
рама, отсеченная от опор с действующими на нее силами, и составлены
условия равновесия:
2Х = —0,034-3,39 —1,6—1,76 = 0;
27 = 9,974-50,03-1,764-1,76-10-4 - 20 = 0.
Рис. IX. 10
Кроме того, проверяется равновесие сил в узлах 1, 2 и 3, показан-
ных на рис. IX. 10:
2 X = (2,69 - 2,69) cos a 4- (2,02 - 2,02) sin a = 0;
2 7 = 2-2,69-0,6-2,02-2-0,8 = 0;
2 X = 3,36 - 26,69 • 0,8 4- 30 • 0,6 = 0;
27 = 40 - 26,69-0,6 — 30-0,8 = 0;
2X = — 3,36 4- 2,69 • 0,8 4- 2,02 - 0,6 = 0;
2 7 = — 2,69 - 0,6 4-2,02 • 0,8 = 0.
По эпюре Q определяется положение наибольшего изгибающего
момента в ригеле среднего пролета и значение этого момента:
х0 = Q21/(qcos2a) = 29,98/(10• 0,64) = 4,68 м;
Мтах = -to- - /И21 = 29,98 • 4,68/2 - 54,33 = 15,82 кН • м.
153
Пример 1Х.4. Построить эпюру изгибающих моментов в сим-
метричной раме, показанной на рис. IX.11, а.
Рама имеет два замкнутых бесшарнирных контура, поэтому она
шесть раз статически неопределима.
Рис. IX.11
Заданные несимметричные силы Рх и Р2 раскладываются на сим-
метричные и обратносимметричные составляющие, показанные соот-
ветственно на рис. IX.11, б, в, на которых уже изображена основная
система/рамы.
При действии самоуравновешенных симметричных сил Рх/2 =
= 5 кН и Р2/2 = 2,5 кН, приложенных в узлах, в раме не возникает
изгибающих моментов и поперечных сил. Только в стержнях 3—4 и
5—6 появляются продольные силы, которые находятся непосредст-
венно из условий равновесия узлов 3 и 5 или 4 и 6:
—	— b кН; М8в = Р2/2 = —2,5 кН.
При действии обратносимметричных сил Рх/2 и Р2/2 в разрезах,
сделанных по оси симметрии рамы, прикладываются обратносимме-
тричные неизвестные поперечные силы Хх и Х2. Что касается продоль-
ных сил и изгибающих моментов, то они как симметричные усилия
обращаются при обратносимметричной нагрузке в нуль.
Таким образом, для расчета рамы необходимо составить только два
канонических уравнения метода сил:
61Л1 + Sia-X 2+ДХр — 0; 62ХХ х + 622Х2 4- Д2р = 0.
Эпюры изгибающих моментов от единичных неизвестных и от
заданной нагрузки показаны на рис. IX. 12, а—в. Перемножением
этих эпюр получены следующие значения коэффициентов при неиз-
вестных и свободных членов уравнений, увеличенных в EI раз:
Е/6хх = 2[3-3-2-3/(2-3-2)4-3-4-3/2] = 45;
Е/6Х2 = Е762Х = 2-3-4-3/2 = 36;
Е/622 = 2[3-3-2-3/(2-3-2)-|-3-4-3-|-3-4-3/2]= 117;
£7Дхр = 2 (10 + 40) 4 • 3/(2 • 2) = 300;
Е/Д2р = 2 [10 - 4 • 3/2 + (10 + 40) 4 • 3/(2 • 2)] = 420.
154
Для проведения проверок построена эпюра (рис. IX. 12, г).
Проверка коэффициентов при неизвестных:
£/6w = 2[3-3-2-3-2/(2-3-2) + 3-4-3 + 6-4-6/2] = 234;
E/v 6 = 45 + 2-36 +117 = 234.
Рис. IX.12
Проверка свободных членов уравнений:
Е/Д ар = 2 (10 • 4 • 3/2 + 25 • 4 • 6/2) = 720;
Е7 S А/р = 300 + 420 = 720.
После подстановки найденных значений коэффициентов при неиз-
вестных и свободных членах в канонические уравнения и умножения
последних на EI получаем:
45Хх+36Х2 + 300 = 0; 36Хх +117Ха + 420 = 0.
Отсюда Хх = —5,04 кН; Х2 = —2,04 кН.
155
Окончательные изгибающие моменты в характерных сечениях
стержней рамы вычисляются по формуле
М = ЯХ1+Я2Ха+Мр;
/И13 = 3-5,044-3-2,04-40 = —18,76 кН-м;
Л431 = 3-5,044-3-2,04- 10= 11,24 кН-м;
/И34 = 3-5,04 = 15,12 кН-м;
Л135 = 3 • 2,04 - 10 = — 3,88 кН • м;
М53 = 3-2,04 = 6,12 кН-м.
Положительными считаются изгибающие моменты, вызывающие
растяжение нижних волокон в ригелях и правых волокон в стойках.
Откладывая полученные ординаты в соответствующих сечениях,
строим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. IX. 12, д).
При этом на правой половине рамы эпюра М обратносимметрична
по отношению к эпюре на левой половине.
Для универсальной кинематической проверки этой эпюры пост-
роена суммарная единичная эпюра Ма (рис. IX. 12, е). Перемножив
эпюры М и Ма, получим
Е/Аа = 2[( 18,76 - 11,24) 4 • 6/(2 • 2) 4- (3,88 -6,12)-4-3/2 —
— 15,12-3-2-3/(2-3-2) —6,12-3-2-3/(2-3-2)] = 90,24 —90,60.
Погрешность составляет (90,60 — 90,24)100/90,24 = 0,4%. Это оз-
начает, что эпюра М построена достаточно точно.
Поперечные силы в ригелях равны найденным значениям неиз-
вестных:
Qsi= Q43 = Xj = •—5,04 кН; Q8e = Q65 = X2 = — 2,04 кН.
Поперечные силы в стойках равны соответствующим нагрузкам:
Qi3 = (Pi + P2)/2 = (104-5)/2 = 7,5 кН;
Q35 = P2/2 = 5/2 = 2,5 кН.
Эпюра поперечных сил (рис. IX. 12, е) при обратносимметричной
нагрузке симметричная.
Продольные силы в стойках равны найденным значениям неизвест-
ных с учетом их направления на левой и правой половинах рамы:
N13 = NM = — (Хх 4- Х2) = 5,04 4- 2,04 = 7,08 кН;
д/35 = _Л/4в = -Х2 = 2,04 кН.
Соответствующие эпюры обратносимметричны.
Продольные силы в ригелях от обратйосимметричной составляю-
щей нагрузки равны нулю, а от симметричной найдены выше и дают
симметричные эпюры:
М34 = Л^з = — 5 кН; Уи = Ув6 = — 2,5 кН.
Эпюра продольных сил показана на рис. IX. 12, ж.
156
Пример IX.5. Построить эпюру изгибающих моментов в круго-
вом кольце, показанном на рис. IX. 13, а, при действии равномерной
нагрузки интенсивностью q сверху и снизу.
Основная система кольца показана на рис. IX. 13, б.
Благодаря симметрии системы и нагрузки обратносимметричная
поперечная сила в сечении С равна нулю. Из условия равновесия
левого или правого полукольца следует, что в сечении С нулю равна
также и окружная нормальная сила.
Рис. IX. 13
Таким образом, в качестве неизвестного в сечении С остается
только момент Хг. Для его определения достаточно одного уравнения
+ Aip = 0.
Для определения перемещений кривого стержня приходится вы-
полнять интегрирование, так как перемножать эпюры уже нельзя.
Для кругового кольца удобнее всего выражать изгибающие моменты
в полярных координатах г и 9. При этом благодаря симметрии доста-
точно рассмотреть одну половину кольца, т. е. взять пределы интегри-
рования от 0 до л:
EI8U = J Л?’ ds = J1’ • rdQ = г J dG = nr,
оо	о
Е/Д1р= jMxMpds = —J l-^-rd6 =
= _^.f sin20dG = -^.
2 J	4
о
Следовательно,
Х1 = -Д1Р/6ц = ^/4.
Изгибающий момент в любом сечении 0 кольца
М = ЛЗхХх +	= 1 • (<?r2/4) - (</r2/2) sin2 в = (<?г2/4) (1 - 2 sin2 в).
157
При в = 0 Мс = дгг/4;
при 6 = л/2 Мв — —дгг!4\
при 6 = л Мд — qr2l4.
Проверка окончательной эпюры М по замкнутому контуру:
Л	л
EI^ — f =	(1 — 2sin20)t/9 = ~-^-(л —л) = 0.
Рис. IX.14
Эпюра изгибающих моментов показана на рис. IX. 13, в.
Наличие у системы двух или более осей симметрии позволяет зна-
чительно упростить расчеты.
Пример IX.6. Для кольца с двумя затяжками, показанного
на рис. IX. 14, а, подверженного действию несимметричной нагрузки Р
и шарнирно опертого в точках
А и В, требуется произвести
разложение нагрузки и пока-
зать неизвестные.
Данная система пять раз ста-
тически неопределима и имеет
две оси симметрии — горизон-
тальную и вертикальную.
Разложим силу и опорные
реакции на четыре составляю-
щие и одновременно перейдем
к основным системам так, как
это показано на рис. IX. 14,
б—д.
На рис. IX. 14, б нагрузка
симметрична относительно обеих
осей, а окружное нормальное
усилие в разрезе определяется
из условия равновесия верхне-
го или нижнего полукольца и
равно Р/4.
На рис. IX. 14, в нагрузка
симметрична относительно вер-
тикальной оси и обратносиммет-
рична относительно горизонталь-
ной. Из последнего условия сле-
дует, что усилия в затяжках
противоположны по знаку.
На рис. IX. 14, г нагрузка
симметрична относительно гори-
зонтальной оси и обратносим-
метричиа относительно вертикальной. Последнее условие приводит к
тому, что окружная нормальная сила и изгибающий момент в разре-
зе, а также усилия в затяжках равны нулю.
На рис. IX. 14, д нагрузка обратносимметрична относительно обеих
осей, поэтому в сечениях, совпадающих с любой из этих осей, изги-
158
бающие моменты и нормальные окружные усилия равны нулю. Обра-
щаются в нуль и усилия в затяжках. Из условия равновесия верхнего
полукольца следует, что в сечениях А и В поперечная сила равна
нулю. Поэтому система, изображенная на рис. IX. 14, д, не содержит
лишних неизвестных.
Полная система из пяти уравнений с пятью неизвестными распа-
дается в итоге на три независимые системы с числом неизвестных
в каждой, не превышающим двух.
Из этого примера следует, что разрезы целесообразно делать
по оси обратной симметрии, так как здесь из трех неизвестных усилий
два обращаются в нуль.
§ IX.3. УПРУГИЙ ЦЕПТР РАМЫ
Полностью разделить неизвестные в канонических уравнениях
при расчете трижды статически неопределимых систем можно, пере-
неся неизвестные при помощи бесконечно жестких консолей в так на-
зываемый упругий центр, координаты которого относительно осей
уг и хх выражаются формулами
'•-СШЛМЬ	<1ХЛ2>
НЖ)/(Ж	<1ХЛЗ>
В этих формулах числители являются статическими моментами
величин ltl(EIi) относительно осей г/х и хх, а знаменатель — суммой
этих величин. При криволинейных стержнях суммирование заменя-
ется интегрированием.
При наличии у рамы хотя бы одной оси симметрии одну неизвест-
ную силу, перенесенную в упругий центр, направляют вдоль этой
оси, а другую — перпендикулярно ей. Для несимметричной рамы
требуется еще определить направление неизвестных сил.
Пример IX. 6. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
показанной на рис. IX. 15, а.
Рама трижды статически неопределима (Л = 3), так как имеет
один замкнутый контур, прикрепленный к земле тремя опорными
стержнями.
Основная система, при переходе к которой неизвестные перене-
сены в упругий центр, показана на рис. IX. 15, б.
Так как рама симметрична относительно вертикальной оси, то упру-
гий центр лежит на этой оси и требуется определить только одну его
ординату по отношению к какой-либо случайной оси. Примем эту
ось хх совпадающей с нижним ригелем рамы и найдем ординату упру-
гого центра по формуле (IX.13), при этом рассматриваем одну поло-
вину рамы:
»=»=
= (2|0 + il.5 + ^3,6)/(i + T^ + ^) = ^ = 2.13„.
159
Благодаря симметрии рамы х0 = 0 [по формуле (IX. 12)] и полная
система канонических уравнений распадается на две независимые
системы, из которых первая содержит только симметричные неизвест-
ные Хг и Х3. Вторая же система в данном примере сводится к одному
уравнению с одним обратносимметричным неизвестным Х2.
При переносе неизвестных в упругий центр обращается в нуль
единственное остающееся побочное перемещение б13 = б31 и вместо
системы уравнений получаем три независимых уравнения:
бцХ14-Д1р = 0; 622Х2 + Д2р = 0; 63зХ3 + Дзр = 0.
Для вычисления перемещений, входящих в эти уравнения, пост-
роены единичные эпюры изгибающих моментов в основной системе,
а также эпюра от нагрузки (рис. IX.16, а—г).
Коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений,
увеличенные в EI раз:
£/6ц = 2 [(3,23/6) (2 • 2,072 + 2 • 0,872 + 2 • 2,07 • 0,87) +
+ [3,00/(6 • 1,2)] (2 • 0,872 + 2-2,132 — 2 • 0,87 • 2,13) + 2,132-3/2] = 34,1;
£/622 = 2[3-3,23-2/2 + 3-3-3/1,2 + 3-3-2/(2.2)] = 73,4;
£/633 = 2 [1  3,23 • 1 +1 • 3 • 1/1,2+1  3-1/2) = 14,46;
£7Д1р = [11,25 • 3/(12 • 1,2)] (3 • 2,13—0,87)+11,25 • 6 • 2,13/(2 • 2)=48,9;
£7Д2р = 11,25 • 3 • 3/(1 • 2) + (11,25/6) (2 • 3 - 3) 3 = 45,0;
£/Дзр = 11,25 • 3 • 1/(3 • 1,2) - 11,25 • 6 • 1/(2 • 2) = —26,25.
Из решения канонических уравнений находим:
Хх = —1,434 кН; Х2 = — 0,613 кН; Х3= 1,815 кН-м.
Окончательная эпюра изгибающих моментов, показанная на
рис. IX. 16, д, построена по формуле
/И = Л4]Х1 + /И2Х2 + +3Х3 + Мр.
Ограничимся кинематической проверкой по замкнутому контуру:
£7Д3 = (—4,54 + 2,40) 3/(2 • 1,2) - 2 • 2,81 • 3/(3 -1,2) +
+ (2,40 - 1,16) 3,23/(2 • 1) - (1,16 + 1,28) 3,23/(2 • 1) +
+ (3,03 - 1,28) 3/(2 -1,2) + (3,03 - 4,54) 6/(2 • 2) = 8,87 - 8,87 = 0.
Эпюры поперечных и продольных сил показаны на рис. IX. 16, е, ж.
160
Рис. IX.16
6 п/р. Клейна Г. К*
§ IX.4. РАСЧЕТ РАМ НА ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
И НА СМЕЩЕНИЕ ОПОР
При расчете рам на тепловое воздействие и на смещение опор
переход к основной системе осуществляется так же, как и при рас-
чете на силовое воздействие. Аналогично вычисляют и проверяют
коэффициенты при неизвестных в канонических уравнениях.
Система канонических уравнений подобна (IX.3) с той разницей,
что в качестве свободных членов вместо А1р, Д2р, ..., Аяр должны быть
подставлены А1/( Д2/, ..., Ая/ при расчете на тепловое воздействие и
Д1С, Д2с, ..., АЯ(.— при расчете на смещение опор.
Свободные члены уравнений при расчете рамы на тепловое воздей-
ствие вычисляют, используя четвертый и пятый члены формулы
(VIII.7).
Проверка свободных членов уравнений состоит в том, что должно
удовлетворяться равенство
2“^ J + j Nads = 2&lf	(IX.14)
ИЛИ
(ix.15)
где и й^ — площади соответственно суммарных единичных
эпюр изгибающих моментов и продольных сил.
При этом в левых частях уравнений (IX. 14) и (IX. 15) суммирова-
ние распространяется на все стержни рамы, а в правых частях — на
все свободные члены системы уравнений.
Окончательную эпюру изгибающих моментов строят путем сумми-
рования единичных эпюр, умноженных на соответствующие значения
неизвестных, т. е.
Л4==Л41Х1 + Л42Х24-... + ^4яХя.	(IX.16)
Кинематическая проверка окончательной эпюры изгибающих мо-
ментов состоит в том, что полные перемещения основной системы
по направлению отброшенных связей от совместного действия неиз-
вестных и теплового воздействия должны быть равны нулю. Это
условие выражается уравнением
(1ХЛ7>
Для прямолинейных стержней постоянного поперечного сечения
интегрирование может быть заменено перемножением эпюр.
Вместо отдельных проверок по формуле (IX. 17) с определением
перемещений по направлению действия каждого неизвестного может
быть сделана одна универсальная проверка:
Aa=2j^^+2	(1ХЛ8>
При расчете рам на смещение опор свободные члены канониче-
ских уравнений в общем случае вычисляют, используя последний
член формулы (VIII.7).
162
В тех случаях, когда неизвестные прикладываются по направле-
нию заданных смещений, свободные члены уравнений будут непо-
средственно равны этим смещениям. При этом положительными счи-
тают смещения, совпадающие по направлению с направлением тех
неизвестных, которые приложены не к отсеченной от опоры части
рамы, а к самой опоре.
Проверка свободных членов уравнений в общем случае сводится
к выполнению условия
=	(IX.19)
где — условная опорная реакция от всех единичных сил, действу-
ющих на основную систему рамы по направлению неизвестных; с —
соответствующие смещения опор.
Окончательную эпюру изгибающих моментов строят в соответствии
с выражением (IX. 16). Ее кинематическая проверка состоит в удовлет-
ворении условия	_
= + = <1Х-20>
Пример 1Х.7. Построить эпюры М, Q и N в раме, рассчитанной
в примере IX. 1, от теплового воздействия (рис. IX. 17, а), если EI =
— 13,5 МН-м2 при высоте сечения левой стойки и ригеля = 0,4 м,
Рис. IX.17
а правой стойки d2 — 0,3 м. Коэффициент теплового линейного расши-
рения материала а — 0,00001 град'1.
Основная система остается такой же, как при расчете на силовое
воздействие (рис. IX. 1,6).
Канонические уравнения:
6цХх 4- 612X2+Дх/ — 0; 63X.Xi -f- 622Х2 4"	~ 0.
Сохраняются без изменений эпюры Л?х, и изображенные
на рис. IX. 1, в — ди вычисленные по ним коэффициенты при неиз-
вестных: Е18п = 207; Е/612 = —135; Е7622 = 144.
6*	163
Для нахождения свободных членов уравнений, тЛе. тепловых пе-
ремещений основной системы использованы эпюры и М2, а также
эпюры Л\ и (рис. IX. 17, в, г).
По формуле (VIII.7) имеем:
Дх/ = —(25° +15°) а • 6 • 6/(2 • 0,4) - (25° +15°) а • 6 • 6/0,4 -
- (25° +15°) а • (6 + 3)3/(2 • 0,3) - (25° - 15°) а • 6  1/2 =
= — а (1800 + 3600 +1800 + 30) = — 7230а;
Д2< = (25° + 15°) а • 6 • 6/(2 • 0,4) + (25° + 15°)а-6-3/0,3-
- (25J - 15°) а • 1 • 6/2 + (25° - 15°) а -1 • 3/2 =
= а (1800 + 2400-30+15) = 4185а.
Как и обычно, в данном примере перемещения от равномерного
нагрева малы по сравнению с перемещениями от неравномерного на-
грева.
После подстановки перемещений в канонические уравнения и умно-
жения последних на EI они принимают такой вид:
207Хх — 135Х2 —7230а£7 = 0; - 135Хх+144Х2 + 4185а£/ = 0,
где aEI = 10~5 • 13,5 • 106 Н-м2 = 135 Н-м2 = 0,135 кН-м2.
Из решения этих уравнений находим:
Хх = 41,11а£/ = 41,11 -0,135 = 5,55 кН;
Х2 = 9,48а£/ = 9,48 • 0,135 = 1,28 кН.
Изгибающие моменты в характерных сечениях рамы вычисляем
по формуле (IX. 16):
М — /ИхХх + /И2Х2.
Окончательная эпюра изгибающих моментов изображена на
рис. IX. 17, д. Универсальная кинематическая проверка ее произво-
дится путем составления выражения (IX. 18), которое должно привести
к нулевому результату:
Да = 33,2 • 6 • 4/(2 • 2EI) + [6/(6 • 2£/)] (2 • 6  33,2 + 6 • 25,6) -
- [3/ (6£Z)] (2  3 • 9 + 25,6 • 3) - 7230а + 4185 • а =
= (!/£/)( 199 + 277 - 65,4) - 3045 • а =
= 410,6/13 500 - 3045 • 0,00001 = 0,0304 - 0,0304 = 0.
Эпюры Q и N, изображенные на рис. IX. 17, е, ж, построены непо-
средственно по найденным значениям Хх и Х2, приложенным к основ-
ной системе рамы.
Пример IX.8. Для рамы, рассмотренной в примерах IX. 1 и
IX.7, построить эпюру изгибающих моментов от горизонтального,
вертикального и углового смещений опоры 2, которые соответственно
равны: а — 1 см, b = 2 см и <р = 0,01 рад (34'30") (рис. IX. 18, а).
Канонические уравнения:
6цХх + 612Х2 + ДХс = 0; 621Хх + 622Х2 + Д2С = 0.
164
Коэффициенты при неизвестных остаются такими же, как в при-
мерах IX. 1 и IX.7.
Так как сами неизвестные приложены не в том сечении, которое
подверглось смещениям, то для определения свободных членов
уравнений, т. е. перемещений основной системы от смещений
(рис. IX. 18, б), нужно воспользоваться последним членом формулы
Рис, IX,18
(VIII.7) и схемами возникающих реакций от = 1 и = 1
(рис. IX. 18, в, г). Так как коэффициенты при неизвестных уже были
увеличены в примере IX. 1 в EI раз, то увеличиваем в EI раз и свобод-
ные члены уравнений:
Е/Д1С = — EIZRuCt = — EI (Rala+R^y) - — EI (— 1 • a+3<p) =
= 135 • 106 (1 • 0,01 - 3 • 0,01) = —2,7 • 106;
£/Д2с = — EI^Rt^i = — EI (Rb2b + R^tp) —
= —EI (1 • b - 6<p) = 135 • 10е (—1 • 0,02 + 6 • 0,01) = 5,4 • 10е.
Подставляем значения перемещений, увеличенные в EI раз, в ка-
ионические уравнения:
207X1 - 135Ха - 2,7 -106 - 0; — 135Хх + 144Х2 + 5,4 • 106 = 0.
165
Решение этих уравнений дает:
= —2930 Н = —2,96 кН; Х3 = —6490 Н = —6,49 кН.
Изгибающие моменты в характерных сечениях определяем по
формуле
М = /ИхХ1 + ^3Х2.
Окончательная эпюра изгибающих моментов в раме показана на
рис. IX. 18, а.
Кинематическая проверка этой эпюры производится по выражению
(IX.20):
Да = —17,5 • 6 • 4/(2 • 2EI)—[6/(6 • 2£/)] (2 • 17,5 • 6 - 22 • 6) -
- [3/(6Е/)] (2 • 30,75 • 3 4- 22 • 3) + Д1С + Д2С =
= _[_]/(£/)] (Ю5 + 39 + 125,5) - 0,02 + 0,04 =»
= —270/(13,5 • 103) + 0,02 = —0,02 + 0,02 = 0.
Это означает, что эпюра М построена правильно.
§ IX.5. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ
ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ
-Обычно при переходе к основной системе отбрасывают все лишние
связи заданной системы, заменяя их таким же числом неизвестных
обобщенных сил.
Для уменьшения количества неизвестных и числа необходимых
канонических уравнений можно выбрать в качестве основной стати-
чески неопределимую систему. Тогда число лишних неизвестных
уменьшится и будет равно разности степеней статической неопредели-
мости заданной и основной систем.
Однако такое упрощение расчета в стадии решения уравнений
и построения окончательной эпюры изгибающих моментов вызывает
дополнительные затруднения на этапе определения коэффициентов
при неизвестных и свободных членов уравнений. Эти перемещения
уже придется определять в статически неопределимой основной
системе. Для этого потребуется произвести предварительные рас-
четы основной системы при действии единичных неизвестных и задан-
ной нагрузки.
Такие расчеты значительно облегчаются, если для принятой
основной системы удается найти готовые решения в виде окончатель-
ных формул или графиков для определения изгибающих моментов
в характерных сечениях рамы. В противном случае расчет основной
статически неопределимой системы производится методом сил или
каким-либо другим методом.
Пример IX.9. Для рамы, показанной на рис. IX. 19, а, пост-
роить эпюру изгибающих моментов и эпюру поперечных сил.
Эта рама пять раз статически неопределима (Л = 5), а избран-
ная для ее расчета основная система (рис. IX. 19, 6) четыре раза ста-
тически неопределима. Поэтому условие эквивалентности работы ос-
166
новной и заданной систем выражается только одним каноническим
уравнением:
+ &ip — 0.
Для определения перемещений 6И и Д1р нужно построить эпюры
изгибающих моментов Мг и в статически неопределимой основной
Рис. IX.19
системе. Это требует решения вспомогательной задачи по расчету
статически неопределимой основной системы на действие сил Хх = 1
и нагрузки интенсивностью q. При этом левая и правая части рамы,
которые при заданных длинах и жесткостях стержней ничем не отли-
чаются, могут быть рассчитаны независимо друг от друга по готовым
формулам, например, приведенным в книге Г. И. Глушкова, И. Р. Его-
рова и В. В. Ермолова «Формулы для расчета сложных рам» (Машгиз,
М., 1960). Эпюры Mi и Мр изображены на рис. IX. 19, в, ». Перемно-
167
жив эти эпюры, получим перемещения, увеличенные в EI раз:
£/6и = 0,6 • 6 • 0,4/(2  2) + [6/(6 • 2)] (2 • 1 • 1 + 2 • О,2-0,2-
— 10,2 — 0,21) + (6/6) (2 • 0,4  0,4 + 2 • 0,2 • 0,2 - 0,4 • 0,2 -
-0,2-0,4)+ (6/6) (2-0,2-0,2 + 2-0,1 -0,1-0,2-0,1-0,1 -0,2) =
= 0,36 + 0,84 + 0,24 + 0,06 =1,5;
£/А1р = 18 • 6 • 0,4/(2 • 2) - 2 • 45 • 6 • 0,3/(3 • 2) + [6/(6 • 2)] (—2 • 18 х
х0,2 +1 • 18) — 2-45• 6• 0,4/(3-2)+ (6/6) (—2-18-0,4-2-0,9х
X0,2+ 9-0,4+ 18-0,2)+ (6/6) (-2-18-0,2-2-9-0,1+ 18-0,1 +
+ 9  0,2) = 10,8 - 27 + 5,4 - 36 - 10,8 - 5,4 = —63.
%! = — Д1р/6П = 63/1,5 = 42 кН • м.
Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная по выра-
жению М —	+ Мр, изображена на рис. IX. 19, д.
Проверка этой эпюры производится по правому замкнутому бес-
шарнирному контуру рамы и состоит в том, что приведенная площадь
эпюры изгибающих моментов (т. е. деленная на жесткости EI стерж-
ней) должна быть равна нулю.
А, = — (42 + 9,6) 6/(2 • 2) + 2 • 45 • 6/(3 • 2) + (1,2 - 0,6) 6/2 -
— (9,6 —4,8) 6/2 = —77,4+90 +1,8—14,4 = 91,8 —91,8 = 0.
Эпюра поперечных сил показана на рис. IX. 19, е.
§ IX.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАМ
Для определения перемещений статически неопределимой системы
от заданной нагрузки применяется способ интегрирования эпюр по
Максвеллу — Мору, а в случае прямолинейных стержней постоянной
жесткости — перемножение эпюр по способу А. Н. Верещагина. При
этом, как и при определении перемещений статически определимых
систем, рассматривают два состояния упругой системы: в первом
состоянии — при действии заданной нагрузки, во втором — при дей-
ствии обобщенной единичной силы, по направлению которой опреде-
ляется перемещение. Для обоих состояний строят эпюры изгибающих
моментов М и Mt, а если нужно, то и эпюры продольных сил N и Nt.
Можно заметно упростить расчет, если заменить определение
перемещений заданной системы определением соответствующих пере-
мещений любой ее основной системы. Это возможно на том основании,
что при правильно найденных значениях основных неизвестных
основная система работает совершенно так же, как заданная. Поэтому
окончательную эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки
можно с одинаковым основанием относить как к заданной системе,
так и к основной.
Во втором состоянии также можно рассматривать вместо задан-
ной статически неопределимой системы любую ее основную систему
и прикладывать к ней единичную обобщенную силу по направлению
искомого перемещения. Это избавляет от вторичного расчета статиче-
ски неопределимой системы и позволяет заменить этот расчет значи-
168
тельно более простым расчетом статически определимой основной
системы.
Рассчитывать же статически неопределимую систему придется
только один раз — для построения эпюры М первого состояния.
Пример IX. 10. Для рамы, рассмотренной в примере IX. 1, опре-
делить вертикальное перемещение (прогиб) сечения 5 и горизонталь-
ное перемещение узла 4.
Окончательная эпюра изгибающих моментов, полученная в при-
мере IX. 1, показана на рис. IX.20, а.
Рис. IX.20
Для определения вертикального перемещения сечения 5 к основ-
ной системе рамы прикладываем единичную вертикальную силу и от
нее строим эпюру М[ (рис. IX.20, 6)1 Перемножив ее с эпюрой MJ
получим искомое перемещение:
Дл=[3/(6 • 2ЕГ)] (2 • 4,42 -3-1,29.3)+(4,42—5,58) 3 • 3/(2£7)=0,44/£7.
При определении горизонтального перемещения узла 4 эпюру ЛЦ
(рис. IX.20, в) от горизонтальной единичной силы, приложенной к ос-
новной системе, перемножают с эпюрой М:
Д2 = [3/(6£/)] (2 • 5,58 • 3 - 4,42 • 3) = 10, !/(£/).
§ IX.7. РАСЧЕТ РАМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Начальная стадия расчета статически неопределимых стержневых
систем в матричной форме, связанная с определением степени стати-
ческой неопределимости и выбором основной системы, ничем не отли-
чается от расчета обычным способом.
Пусть для рамной системы выполнена первая стадия расчета.
Для п раз статически неопределимой системы канонические урав-
нения при нагружении ее одним вариантом внешних сил имеют вид
системы п линейных уравнений с п неизвестными Xlt Х2, ..., Хп,
которые в матричной форме можно представить так:
(IX.21)
169
или в виде
Лб-Х + 4 = 0.	(IX.22)
где Лs — матрица перемещений в основной системе по направлению
всех Х1г Х2,.... Хп от действия (раздельно) всех Х\ = Х2 = ... = Хп—
— 1; матрица Лб—квадратная симметричная порядка п; X — век-
тор неизвестных усилий; ~&р — вектор перемещений в основной си-
стеме от нагрузки по всем направлениям Xlt Х2, .... Хп. Так как
нагрузка приложена одновременно, то Ар содержит один столбец,
число же строк равно числу направлений Xlt Х2, ..., Хп.
Матрицу перемещений Лб можно представить в виде
Лб = £?;.В-А°,	(IX.23)
где Lm — матрица влияния внутренних усилий (обычно изгибающих
моментов, так как при расчете рам влиянием продольных _и попереч-
ных сил пренебрегают) в основной системе от каждой силы Хг = Х2 =
= ... = Хп = 1 отдельно. Матрица L"m содержит п столбцов и т строк.
Число строк т зависит от числа сечений, в которых определяются
изгибающие моменты; L"m — матрица, транспонированная по отноше-
нию к матрице Lm\ В — матрица податливости отдельных элементов
(участков), на которые разбивают заданную систему.
Вектор перемещений Др в основной системе от одновременного на-
.гружения внешними силами можно представить в виде
=	=	(IX.24)
Решив матричное уравнение (IX.22), найдем вектор неизвестных:
Х = — Лб-.ХР.	(IX.25)
Подставим в (IX.25) выражения (IX.23) и (IX.24), получим выра-
жение для вектора неизвестных X:
Я = -ЛГ‘-ДР = —	(IX.26)
Найденное выражение для вектора X подставим в выражение
M = L»mp-P + Un-X,
получим вектор изгибающих моментов в пронумерованных сечениях
заданной статически неопределимой системы
М = [LS,p - Lm • В  Liy L°’-B- С,.] P (IX.27)
или в таком виде:
/4 = М’-£^.Л6-1-Др.	(IX.28)
По вектору М строят окончательную эпюру изгибающих момен-
тов. Выражение (IX.27) является алгоритмом расчета статически
неопределимой системы методом сил в матричной форме. Для его
реализации' на ЭВМ необходимо составить четыре исходные матрицы
Lnm, В, И Р.
170
Окончательная эпюра изгибающих моментов должна удовлетворять
как уравнениям равновесия, так и всем кинематическим условиям.
В матричной форме последнее равносильно отысканию полного
вектора перемещений Z, значение которого должно быть равно нулю.
Вектор Z можно выразить через вектор М в таком виде:
Z = £^-B-M = 0.	(IX.29)
При расчете статически неопределимой системы методом сил на теп-
ловое воздействие и неравномерную осадку опор канонические^рав-
нения отличаются от уравнений при расчете на силовое воздействие
только свободными членами, а именно:
на тепловое воздействие
Лй-Х + Д» = 0,	(IX.30)
на неравномерную осадку опор
Лв-Х+Дс = 0,	(IX.31)
где — вектор перемещений в основной системе от теплового воздей-
ствия, элементы которого вычисляют по формуле Максвелла — Мора
или в матричной форме; Дс — вектор перемещений в основной системе
от заданного перемещения опор, элементы которого вычисляют либо
по формуле Д/с = —ХР*Д*, либо по заданным смещениям в зависимо-
сти от выбранной основной системы.
Дальнейший расчет статически неопределимой системы совпадает
с расчетом на силовые воздействия (нагрузки).
При действии на статически неопределимую систему раздельно t
вариантов внешних воздействий (к которым можно отнести временные
нагрузки, температуру, осадку опор и т. д.) системы канонических
уравнений имеют вид
ЛЙХ + Д = О,	(IX.32)
где X — матрица неизвестных, имеющая t ^столбцов; Лй — матрица
перемещений в основной системе от всех Хх = Х2— ... — Хп — 1;
Д = Lm-B’Amp^P — матрица перемещений от всех t вариантов
нагрузок в основной системе; АтР — матрица влияния изгибающих
моментов в основной системе от всех t вариантов нагрузок Р)1’ = Р2 ’ =
= ... = Pi' — Р'2 = ... = Рр — 1, приложенных раздельно; Р —
матрица всех t вариантов внешних воздействий.
Решение системы (IX.32) производится аналогично и имеет вид
Х = - Лй‘-Д.
Окончательные значения изгибающих моментов от всех t вариантов
внешних воздействий получим в виде матрицы
Л41”	... Мр ... мР М== Л1<” <> ...	— Атр ‘ Р + Lm ’ X,
мр мр ... мР	
171
Пример IX. 11. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
нагруженной равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточен-
ной силой (рис. IX.21, а).
Заданная рама три раза статически неопределима. Отбросим три
связи на правой опоре, получим основную систему (рис. IX.21, б).
Рис, IX.21
От сил Xi == Х2 -= Х3 — 1 в основной системе построим единичные
эпюры и М3, а также единичные эпюры М9 и Мр от соответ-
ствующих нагрузок, равных единице (рис. IX.21, в—ж).
Разобьем раму на три участка. На участках I и III все эпюры
линейные, поэтому вычислим значения моментов только на концах
этих участков. На участке II эпюра Мд очерчена по квадратной
параболе, поэтому, кроме крайних, найдем значения и по середине
этого участка. В силу того что все эпюры изгибающих моментов не-
172
прерывны, на границе участков (в сечениях 2 и 4) в матрицах влияния
Lm и LmP значения изгибающих моментов будем фиксировать один
раз. Тогда матрица Lm будет состоять из трех столбцов по числу сил
X], Х2, Х3 и пяти строк по числу характерных сечений. Согласно при-
нятым знакам изгибающих моментов (см. рис. IX.21, б) Lm имеет вид:
Z0 —	—6 0 1 —6 3 1 —3 3 1 0 3 1 0 0 1
Матрица Lmp будет состоять из двух столбцов по числу задан-
ных нагрузок q и Р и пяти строк. В нашем случае первый столбец
соответствует распределенной	нагрузке, :	второй — сосредоточенной
силе: 7 0	__ L-ttnp —	18	—3 18	0 4,5	0	
Вектор заданной нагрузки	° ° • (N 00 II ° ° “	
Так как заданная рама разбита на три участка, то матрица В
будет состоять из трех подматриц blt Ьг, Ь3.
На первом участке все единичные эпюры линейные и матрица подат-
ливости первого участка Ьг будет второго порядка:
Ь1=6^|1 2|==бТ^5Г7|1	4I*
На втором участке грузовая эпюра от q очерчена по квадратной
параболе, а все остальные линейные, поэтому Ь2 будет третьего порядка:
h _ 1
°2 ~ 6£/2
О
4
О
О
О
1
1
О
о
о
4
О
О
О
1
О
о
1
о
4
О
6
~~ GE1
__ 1
~ Ё1
О
О
О
о
На третьем участке
порядка
все
эпюры линейные,
поэтому
Ь3 будет второго
. _ h
3~бЕ13 1
ill 3 112 ill j 112 1
2 ~6-0,5£7 1 2Ei 1 2
2
При составлении матрицы В учтем, что все единичные и грузовые
эпюры непрерывны на границах участков (в сечениях 2 и 4), и окон-
173
чательный вид ее будет следующий:
4
В =
1
Е1
2 О
5 О
О 4
О О
О О
О
О
О
3
1
о
о
о
1
2
2
О
О
о
Матрица перемещений Яв — Lm • В • Lm'.
4 2 0 0
~~ EI
—6
О
1
_6 —3 0 0	2 5 0 0
3	330-0040
1	1 1 1	0 0 0 3
0 0 0 1
504	—162	—90
—162	108	45
-90	45	24
О
3
3
3
о
1
1
1
1
1
Вектор перемещений &p = Lm-B-Lmp-P — Lm-B-Mp:
	Д1р			—6 —	6
Др —		_ 1 ~ Е1		0	3
	&3р			1	1
			1	8 —3	
			1	8	0	
		X	4,5	0		•
				0	0	
				0	0	
				4	2	0	0
	-3 0	0		2	5	0	0
	3 3	0		0	0	4	0
	1 1	1		0	0	0	3
				0	0	0	1
911		-2592					
з||	1 = Е1		810 450		•		
О
О
2
Обратную матрицу А&1 находим через союзную:
где
ЯГ
Лц
Л12
Л и
Л 21
Л 22
Л зз
Л 31
Л 32
Л зз
1
Det | Лб |
Л12 — Л 21
1108
I 45
—162
45
Л и
11-
174
..............................i «
= 2430;
иН™6;
Ли = Л.я = (-1)^|2“*
—16211 О1пл
= -8100;
45
Л 33 =
504 —162
—162
,ло|1 = 28188
108
504
Ое1|Л6| = -162
—90
— 162
108
45
—90
45
24
= 93 312.
Лл‘ = -^-
93 312
567
-162
2430
—162
3996
-8100
2430
—8100
28188
Проверяем обратную матрицу по условию Л^Лв1 = Е:
	504	—162	—90		567	—162	2430		1	0	0
1 EI	—162	108	45	EI 93 312	—162	3996	—8100	=	0	1	0
	—90	45	24		2430	—8100	28188		0	0	1
Обратная матрица Л^1 вычислена верно.
Находим вектор неизвестных:
Xi V _ I V _ _	567	—162	2430 —162	3996	—8100 2430 —8100 28188 5,4375 = —0,125 • 1,875	1	—2592 810 450
л “	2 ~	93312 X3		EI	
Подсчитываем значения изгибающих моментов в пронумерован-
ных сечениях заданной статически неопределимой рамы М = Мр +
			27		—6	0	1		5,4375		—3,750
	M2		36		—6	3	1				4,875
A4 =	M3	=	9	+	—3	3	1	•	—0,125	==	—5,8125
	M4		0		0	3	1		1,875		1,500
	M,		0		0	0	1				1,875
175
Производим проверку
= L^-B-M = 0:
полученного
вектора М по условию
—6
о
1
—6
3
4
2
О
О
О
2
5
О
О
О
О
о
4
О
О
О
О
о
3
1
о
о
о
1
2
—3,750
4,875
—5,8125
1,500
1,875
Z ——
Л — EI
—3
3
1
о
3
1
о
о
1
Z =
1
~ Е1
О
о
о
Универсальная кинематическая проверка подтверждает, что век-
тор 70 вычислен верно. Эпюра изгибающих моментов изображена
на рис. IX.21, з.
176
Пример IX. 12. Построить эпюры изгибающих моментов в раме,
нагруженной двумя вариантами внешних нагрузок (рис. IX.22, а):
1) 41, Pi, 2) <7а.
Кроме того, правая опора рамы переместилась вниз по верти-
кали на b и по горизонтали вправо на а.
Выбираем основную систему (рис. IX.22, б) и строим эпюры Л7Х,
Л12, Л?3 от сил Х1г Х3 = Х3 = 1 и грузовые эпюры /И?1, Л?Р1 и М?2
от двух вариантов нагрузок, равных единице (рис. IX.22, в—з).
Составляем матрицу В податливости отдельных участков рамы:
О
с
1
1
h
bi
< ___ h
°3~6ЁГ3
_____3
6 • 0,257.7
1
о
о
о
4
0
0
0 ;
2
0
0
1
. _ I
’ll Б _ 2 1|	j 2 111
2||	6-0,517 j 2|	г|
рицы blt b2 и Ь3 по

Матрицы влияния
Все единичные и грузовые эпюры на границах всех участков непре-
рывны, поэтому можно уменьшить порядок матрицы В, сдвинув мат-
(и:
2	0	0	0	0	0
0	8	0	0	0	0
0	0	3	0	0	0
0	0	0	4	0	0'
0	0	0	0	3	1
0	0	0	0	1	2
IX моментов Lm будут содержать шесть
строк:
—6	0	1
—6	1,5	1
—6	3	1
Lm~ — 3	3	1 ’
0	3	1
0	О	1
и транспонированная
 II 6 —6	—6—3 0 0
£»;= О	1,5	3	3 3 0-
I 1	1	1	111
177
Матрица Amp влияния изгибающих моментов от внешних сил, рав-
ных единице, состоит из трех столбцов по числу нагрузок:
	18	—3	4,5
	18	—1,5	1,125
	18	0	0
До __ ™тр —	4,5	0	0
	0	0	0
	0	0	0
Матрица заданной нагрузки Р
имеет вид
в данном случае от двух вариантов
О
О
8
<71
Р,
О
Найдем произведение матриц	АтрР г	которое		i буде!	г встречаться
в дальнейшем расчете:					
	27 J	16			
	31,5 J	)			
	36	0				
л°тр.р=	9	(	)	•		
	0	0				
	0	(	)			
Найдем также произведение -В:					
—12 —48 —18			— 12	0 0	
L°m-B = ±j	0	12	S		1	12	9 3	
2	8	3		4	4 3	
Вычислим матрицу перемещений Лб:					
—12	—48 -	-1	8 -	-12 0	0
A6 = Lk-B-L°m = ~	0	12		9	12 9	3 X
2	8		3	4 4	3
—6	0 1				
—6	1,5 1				
—6	3 1				
х —3	3 1	»			
0	3 1				
0	0 1				
504	— 162		—90		
Лв =±|-162	108		45	•	
—90	45		24		
178
и матрицу перемещений Д от двух вариантов нагрузки:
					27	36
					31,5	9
	—12 —48 -	-18 —12 0 '	0		•эр.	л
Д — £7	0	12	9	12 9	3	•	□□ и Q	Л
	2	8	3	4 4	3		У	и
					0	0
					0	0
		-2592 -864			
1 EI		810	108	•		
		450	144			
От осадки правой опоры перемещения равны: Д1С = 0,1: Д2с = 0,05
и Д3(. = 0.
Матрица перемещений от трех вариантов внешних воздействий
примет вид
	д$ д$	Ajc		2592 Е1	864 EI	0,1
д=	д$ д$	Д>2С		810 EI	108 EI	0,05
	д$	Дзс		450	144	Л
					ш.	 »	
				EI	EI	
Обратная матрица Да1 вычислена ранее (см. предыдущий пример)
и равна:
567 —162	24301
—162	3996 —8100 •
2430 —8100 28188
93 312
Находим матрицу неизвестных от всех трех внешних воздействий:
	XIй  XI2’ XJ8'		
X 11	Х>* Х$>	—	Дб’Д =
	Xi1’ X»’ Хз'		
			2592
			 		 		
			EJ
			810
		X	EI
450
Е1
	567	— 162	2430	
EI 93 312	—162	3996	—8100	х
	2430	—8100	28188	
01
El ’
Ут 0.05
С I
144
Е1
5,4375
Х = —0,125
1,875
1,687 —0,000525/
6,375 —0,001965/
—11,625	0,001745/
179
Вычисляем изгибающие моменты в пронумерованных сечениях
заданной системы от всех трех вариантов внешних воздействий по
уравнению М = Amp 'Р + L"m -X:
	27	36 0		—6	0 1	
	31,5	9 0		-6 1,5 1	
	36	0 0		—6	3 1	
м=		+		X
	9	0 0		—3	3 1	
	0	0 0		0	3 1	
	0	0 0		0	0 1	
5,4375
1,687 —0,000525/
6,375 —0,001965/ ;
—11,625	0,001745/
х —0,125
1,875
—3,75	14,253	0,004865/
0,572	—3,122	0,001915/
4,875	—2,622	—0,001045/
—5,8125	2,439	—0,002615/
1,50	7,50	—0,004175/
1,875	—11,625	0,001745/
в)
0,00Ю4Е1	0,0ОШ7Е1
0.0048BEI
Рис. IX.23
0,00 774 £1.
180
Проверяем вычисленные значения изгибающих моментов по кине-
матическим условиям Z = L0' -В -М:
		—12 -	-48 —18 -	-12	0	0	
	Z ——- EI	0	12	9	12	9	3	X
		2	8	3	4	4	3	
	—3,75	14,253	0.00486Е/				
	0,572	-3,122	0.00191Е/		Л	л	—0,1 —0,05 . л
К/	4,875	-2,622	—0,00104Е/		и л	и л	
X	—5,8125	2,439	—0.00261Е/		и л	и л	
	1,50	7,50	—0,00417 EI		и	и	и
	1,875 -	-11,625	0.00174Е7				
Строим три эпюры изгибающих моментов (рис. IX.23, а—в).
ГЛАВА X
НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ
§ Х.1. УРАВНЕНИЯ ТРЕХ МОМЕНТОВ
Неразрезной называется статически неопределимая сплош-
ная балка, имеющая более двух вертикальных опор. На рис. Х.1, а
изображены два смежных про-
лета такой балки.
Уравнения трех моментов
могут быть выведены из ка-
нонических уравнений метода
сил, если основную систему
получить путем введения над
опорами шарниров, превратив
тем самым неразрезную балку
в совокупность однопролет-
ных шарнирно опертых балок,
и в качестве неизвестных при-
нять опорные изгибающие мо-
менты (рис. Х.1, б).
Опоры и соответственно
этому опорные моменты при-
нято нумеровать слева напра-
во, присваивая первой опоре
номер 0 и далее 1,2,...; про-
летам присваивается номер
правой опоры.
Балки основной системы п
мировать балку, поэтому каждое
содержать лишь три неизвестных:
@и п + 1, расположенные соот-
ветственно слева и справа от
опоры п (рис. Х.1, б), будут
деформироваться только на-
грузкой и опорными момента-
ми Mn.i, Мп и Мя+1. Опор-
ные моменты, действующие
левее опоры п — 1 и правее
опоры п + 1, не будут дефор-
из канонических уравнений будет
бл,	бЛ1 пМп "Ьбл, л+1Л4л+1"Ь ^пр — О* (Х.1)
182
Это уравнение, как и любое другое каноническое уравнение метода
сил, является по существу уравнением неразрывности, показывающим,
что взаимный поворот сечений балки, расположенных бесконечно
близко слева и справа от введенного шарнира на опоре п, равен нулю.
После умножения уравнения (Х.1) на 6£/Д)) подстановки значений
п-i» ^п, п, п+1, &пР, найденных путем перемножения эпюр,
показанных на рис. Х.1, в—е, и переноса свободного члена в правую
часть, уравнение трех моментов примет вид
M.n~iln + 2МЛ +1) + ^,(+1^-1-1 =
= -6^°-В*+(Х.2)
\' п	‘ /г+1	/
где 70 — произвольное значение момента инерции, к которому при-
водятся моменты инерции всех пролетов; Гп — 1п10/1п и /л+1 =
Рис. Х.2
— In+yljln+i — приведенные длины пролетов; В* = (апН^&п —
правая опорная реакция пролета от фиктивной нагрузки, равнодей-
ствующая которой равна а>„; Лфп+1 = (й„+1//„ + 1)сол + j — левая
опорная реакция пролета 1п + х от фиктивной нагрузки с равнодейст-
вующей со„ + х; а,г и Ьп 4 х — расстояния от равнодействующих фиктив-
ных нагрузок до опор соответственно п — 1 и п + 1.
«Фиктивные» опорные реакции, умноженные на 6, от различных
видов нагружения пролетов приводятся в табл. X.L
При использовании уравнения в расчетах следует:
а)	заделки на крайних опорах балки (рис. Х.2, а) в основной сис-
теме условно заменять эквивалентными им дополнительными проле-
тами бесконечно малой длины и бесконечно большой жесткости
(рис. Х.2, б, слева);
б)	консольные части балки в основной системе условно отбрасы-
вать и их действие заменять известными моментами и поперечными
силами (рис. Х.2, б, справа); поперечная сила на опорные моменты
влияния не оказывает.
Составив систему уравнений трех моментов и решив ее, найдем
опорные моменты.
183
Таблица X.l
Эпюры М и Q для каждого пролета могут быть построены по сле-
дующим формулам:
M =	+	(Х.З)
Q=Q£+^=^4	(Х.4)
где Мр, Qp — эпюры М и Q от заданной нагрузки для простых шарнир-
но опертых балок основной системы.
Эпюру М можно также построить путем геометрического сложения
эпюры Мр с эпюрами от опорных моментов в основной системе. Для
этого над опорами откладывают значения опорных моментов, ординаты
184
которых соединяют прямыми линиями и от них откладывают ординаты
Ml, т. е. как бы «подвешивают» к линиям опорных моментов.
Эпюру Q после построения эпюры М можно построить также
по формуле Q = ^. В точках, где Q = 0, определяют максимальные
значения пролетных изгибающих моментов.
После построения эпюры М необходимо выполнить кинематичес-
кую проверку; погрешность должна быть не более 1%.
Очевидно, что если ординаты эпюры М хотя бы на каких-либо
двух смежных пролетах имеют по всей длине
один знак, то в расчете следует искать ошибку.	А	п	I
С учетом эпюры Q могут быть найдены опор-	|	?	~
ные реакции по формуле (рис. Х.З):		I	’
Rn = Qn+i — Qn,	(Х.5) Т
где Qn +1 и Q„ — поперечные силы, действую-	Г Rn
щие справа и слева от опоры п.	I
После определения опорных реакций необхо- рис х
димо сделать проверки равновесия сил и момен-
тов.
Пример Х.1. Трехпролетную балку с размерами и жесткостями
пролетов, указанными на рис. Х.4, а, рассчитать на постоянную равно-
мерно распределенную нагрузку интенсивностью q.\
Пользуясь формулой (Х.2) и основной системой (рис. Х.4, б),
составим уравнения трех моментов для заданной балки,'их будет
три — по числу неизвестных моментов Мо, Mlt М3; момент на опоре 3
известен:	( .
2М0/; + Му1\ 4-6 (Zo/Zx) 4
А в? -б£ л*;	(Х.6)
М& + 2Л42 (/; + /0 + /зМ3 = -6 lf- В| - 6 А л3ф.
Приняв Zo s= Z, найдем значения ZJ; /2; /3; Л$; В$; 7И3. Поскольку
I't — IiIqH, то 1\ = 6,0 м; /2 = 4,0 м; /3 = 4,0 м.
При равномерно распределенной нагрузке, пользуясь табл. Х.1,
находим
6Й = 6В? = 2 • 63/4 = 108; 6Л£ = 6В.| = 6Л? = 6Bf = 2 • 83/4 = 256.
На рис. Х.4, в изображена эпюра изгибающих моментов в основной
системе.
Момент на опоре 3 определяется нагрузкой на консоли и равен
М3 — — qa2/2 = —2 • 22/2 = —4 кН • м.
Подставим значения приведенных пролетов, фиктивных опорных
реакций и известное значение Л43 в систему уравнений (Х.6):
2М0-6 + Мх-6 = —108;
Мо • 6 + 2 (6 + 4) Mr + 4М2 = — 108 - (1 /2) • 256;
Mi • 4 + 2 (4 + 4) М3 - 4 • 4 = — (1/2) 256 - (1/2) • 256.
1-85
Произведем преобразования:
2М0 + М1 = ~18;
ЗМ0 + 10Мх + 2М3 = — 118;
М1 + 4Л42 = —60.
В результате решения этих уравнений получим: Л40 = —5,2 кН *м;
М,= —7,63 кН-м; М2= -13,1 кН-м.
В каждом пролете окончательную эпюру М строим как сумму най-
денных значений опорных моментов и эпюры Мр для простых одно-
О)
$-2 кН/м
ИНПН»Н1ШИ»1ПШ1И»ННП1ИНШШИШИ1ПИ
2
21
3
2м
3 м
21
1%- Зм
I
6 м
Рис. Х.4

пролетных балок основной системы. Эпюру Q строим также как сумму
эпюр Qp для однопролетных балок и эпюры Q от опорных моментов.
186
Максимальные значения моментов будут в сечениях xt max, где
Q = 0.
Сечения xt max могут быть найдены на основании первой части
теоремы Журавского. Поскольку q = ^; a q = const, то xt max =
=
На основании второй части теоремы Журавского могут быть легко
найдены и значения /Итах из выражения
Mfflax= mf № + ЛСв = Й + ЛСв,	(Х.7)
о
где Q — площадь эпюры Q между левой опорой пролета и сечением
max'
В данном случае
Xi max = 5,6/2 = 2,8 м; х2 тах = 7,3/2 = 3,65 м; хзтах = 9,1/2 = 4,55 м.
На основании теоремы Журавского:
Mj, max = ( 1 /2) 5,6 • 2,8 - 5,2 = 2,64 кН • м;
Л12 тах = (1 /2) 7,3 • 3,6£ - 7,6 = 5,79 кН • м;
М3 max = (1/2) 9,1  4,55 -13,1= 7,77. кН • мл
Эпюры М и Q, построенные по результатам расчета; приведены
на рис. Х.4, г, д.
По ординатам эпюры Q определяем опорные реакции (рис. Х.4, ж):
Яо = 5,6 кН; #! = 13,7 кН; #2=17,8 кН;
#3=10,9 кН.
После построения эпюры М выполняем кинематическую проверку
правильности расчета балки (эпюра /И2 изображена на рис. Х.4, е):
^у(^*=-т?’6-8-0т4-у13-1'844-=ь
+ |16.8-1-4-±13,1.844-J.4.81.± + 416.814 =
= —5,07 - 17,47 + 21,33 - 17,47 - 2,67 + 21,33 =
= —42,68 + 42,66 = —0,02.
Погрешность 100% = 0,047%.
Выполняем статические проверки правильности расчета балки:
2У = 5,6+13,7 +17,8+ 10,9-2 24 = 48-48 = 0;
SM0 = —5,2-13,7-6-17,8-14-10,9-22 + 2-24-12 =
— —576,4 + 576 = —0,4.
Погрешность 100% = 0,07%.
187
$ Х.2. МЕТОД ФОКУСОВ
Если в неразрезной балке нагружен только один пролет п
(рис. Х.5, а), то эпюра изгибающих моментов имеет вид, представлен-
ный на рис. Х.5, б; установлено, что в каждом ненагруженном про-
лете при положении нагрузки справа (или слева) от него эпюра мо-
ментов имеет нулевую точку, причем местоположение этой точки по-
стоянно и не зависит от интенсивности и вида нагружения пролета.
Эта точка называется моментным фокусом. Различают
левые и правые моментные фокусы (FfeB, F"eB, ...; F"?, F”p, ...).
Левым (правым) моментным фокусом называется нулевая точка
эпюры моментов данного пролета при нагружении одного или несколь-
ких пролетов, расположенных правее (левее) рассматриваемого.
Рис. Х.5
Поскольку фокусные точки в каждом пролете имеют постоянное
местоположение, то и отношение моментов ненагруженного пролета
является постоянным. Различают соответственно левое ^ев и правое
/г”? фокусные отношения (рис. Х.5, б):
С-1 = - М„^/Мп.2 = Ь™ х/а™!;	, = - Мп/Мп+1 = а"р+ х№+1.
Рекуррентная формула для определения левых фокусных отношений
получена из уравнения трех моментов, составленного для опоры п
при ненагруженных пролетах 1п и /я+1 балки (рис. Х.6):
! = 2+(/;,//;+>) (2 - 1 /£Г);	(Х.8)
для определения правых фокусных отношений таким же путем полу-
чена формула
= 2-f-(/^/Zn~i)(2 —1/£"р).	(Х.9)
Для определения фокусных отношений по этим формулам необхо-
димо знать хотя бы одно из них. Для крайних пролетов эти отношения
известны. При шарнирном опирании крайнего пролета нулевая точка
находится в шарнире крайнего пролета (рис. Х.7, а), поэтому ^ев =»
188
= —Afj/Af0 = oo; при заделанном конце балки, что эквивалентно
наличию дополнительного пролета длиной 10 — 0 (рис. Х.7, б):
£лев=2 4-£(2—И = 2.
1	'	\ со)
Рис. Х.6
Если нагружен только один пролет п, то опорные моменты для этого
пролета могут быть получены из совместного решения двух уравне-
ний трех моментов, составленных для
опор п — 1 и п (см. рис. Х.5, а). Они
будут равны:
для левого конца нагруженного про-
лета
(Х.10)
для правого его конца
Мя = -6
где k^s, kF? — соответственно левое и
правое фокусные отношения пролета
п; ЛФ, В* — «фиктивная» реакция
(Х.11)
соответственно на левом и правом концах нагруженного пролета п.
Если крайняя левая опора шарнирная, то МпЛ = Af0 = О,
£лбв _ оо и ПОэтому
М1 = —6В*ЖР.	(Х.12)
Аналогичную формулу можно получить для крайнего правого про-
лета с шарнирной опорой на правом конце.
Остальные опорные моменты могут быть получены через фокусные
отношения. При нагружении пролета п они будут равны:
Mn.s = - Mn_2/k™2\ ...	(Х.13)
М„+1 = -МЖР+1; Мй+г = -Мл+1/^р+2; ...	(Х.14)



/ДЛр-1)’
189
Метод фокусов, как это видно, удобно и целесообразно применять,
если нагружен какой-либо один пролет; он особенно эффективен при
последовательном нагружении пролетов временной нагрузкой.
Рис. Х.8
П р и м е р Х.2. Трехпролетную балку с размерами и жесткостью,
такими же, как в примере Х.1, рассчитать методом фокусов на
Рис. х.9
последовательное нагружение пролетов нагрузкой, показанной на
рис. Х.8.
190
Предварительно по формулам (Х.8), (Х.9) определим левые и пра-
вые фокусные отношения:
S«- = 2;	+	»;» = 2 +{(2= 3,76;
t;p_2+|(2-i) = 4; tJP-2 + |(2- 1) =3,17.
Расчет на нагрузку в 1-м пролете (рис. Х.9, а):
6Л* = 6В*=3-68/4 = 162 (табл. Х.1 и рис. Х.9, б).
Рис. Х.Ю
На основании формул (Х.Ю), (Х.11), (Х.14)
Мо = - (162 • 3,17 - 162)/[6 (2 • 3,17 — 1)] = —10,98 кН • м;
Л1! = — (162-2 —162)/[6 (2-3,17—1)] = — 5,06 кН-м;
М.2 =-—5,06/4 = 1,26 кН • м; Ма = 0.
М1тах определяем так же, как и в примере Х.1:
Ximax = 9,99/3 = 3,33 м; М2тах = (1/2)9,99-3,33- 10,98 = 5,64 кН-м.
После определения опорных моментов строим эпюры М и Q так же,
как и при расчете по методу уравнений трех моментов. Эпюры М и Q
приведены на рис. Х.9, в, г. Определение опорных реакций показано
на рис. Х.9, е.
191
Кинематическая проверка (эпюра /И1( рис. Х.9, д):
ElS f ^-1ds=4,^-f’6v + 4(—2'5’06-1-10’98-1) +
u Z-i J EI о о 2	6 '	' *
+ | (—2 • 5;06 + 1,26 • 1) у = 27 - 21,1 - 5,92 = 27 - 27,02 = —0,02.
Погрешность 100% = 0,07%.
Статическая проверка:
2У = 9,99 8,80 - 0,95 + 0,16 - 3 • 6 = +18,95 - 18,95 = 0.
Расчет на нагрузку во 2-м пролете (рис. Х.10, а).
6ЛФ = — 6В* = —8*8/4 = —16 (табл. Х.1; рис. Х.11).
Рис. Х.11
На основании формул (Х.10),
(Х.11) и (Х.13)
Мг = — (—16 • 4 - 16)/[8 (4,25 • 4 -
— 1)] = 0,625 кН-м;
/И2 = — (16 • 4,25 +16)/[8 (4,25 • 4—
— 1)] = —0,657 кН-м;
Л40 = —0,625/2 = —0,312 кН-м;
М3 = 0.
Эпюры М и Q приведены на рис. Х.10, б, в. Определение опорных
реакций показано на рис. Х.10, д. _
Кинематическая проверка (эпюра /И2, рис. Х.10, г):
J ТТ ds = 42 ‘4,02 ’0,5 + °>625 ’ °’5) У +
+	• (2 • 3,98 • 0,5 - 2 • 0,657 • 1 +3,98 • 1 - 0,657 • 0,5) у -
- у8 • 0,657 у 1 у =—1,236 + 2,106 - 0,876 =
= —2,112 + 2,106 = 0,006.
Погрешность 100% = 0,286%.
Статическая проверка:
2У = 0,15-1,30+1,23-0,08=+1,38-1,38 = 0.
Расчет на нагрузку в 3-м пролете (рис. Х.12, а):
6Л£ = 6fif = (3/8) • 6 • 82 = 144.
На основании формул (Х.10) .и (Х.13)
Л42 = — (144 • оо — 144)/[8 (3,76 • оо - 1)] =
= —144/(8 • 3,76) = —4,78 кН • м;
Л43 = 0; /Их = —(—4,78)/4,25=1,13 кН*м;
Мо = —1,13/2 = -0,57 кН-м.
192
Рис. Х.12
в)
©

©
0,33

1,27
40
7 п/р. Клейна Г. К.
Рис» Х.13
193
Эпюры М и Q приведены на рис. Х.Ю, б, в. Определение опорных
реакций показано на рис. Х.12, г. _
Кинематическая проверка (эпюра М2, см. рис. Х.Ю, г):
^г^ = |(-2-4,78-1 + 1,13-1)| + -U12-8J -
- • 4,78 • 8 •	• у = —5,62 +12,00 - 6,38 = —12,00 + 12,00 = 0.
Статическая проверка:
2 Y = 0,28 -1,02 + 4,34 + 2,4 - 6 = 7,02 - 7,02 = 0.
Расчет на нагрузку консоли (рис. X. 13, а):
Л43 = — 2-4 = — 8 кН м;	Л12 = — (—8/3,76) = 2,13 кН-м;
Afx = —2,13/4,25 = —0,5 кН-м;	/И4 = - (—0,5/2) = 0,25 кН-м.
Эпюры М, Q приведены па рис. Х.13, б, в. Определение опорных
реакций показано на рис. Х.13, г.
Статическая проверка:
SK = _0,12 + 0,45 - 1,60 + 5,27 - 4,0 = +5,72 - 5,72 = 0.
§ Х.З. ПОСТРОЕНИЕ ОБЪЕМЛЮЩИХ ЭПЮР
Если кроме постоянной нагрузки имеется временная, которая
может действовать, а может и быть снята с того или иного пролета
балки, то бывает необходимо находить такое сочетание постоянной
и временных нагрузок, которые вызывают в различных сечениях наи-
большие и наименьшие изгибающие моменты и поперечные силы.
Для определения максимального момента /Итах в данном сечении
к моменту от постоянной нагрузки А4ПОст прибавляют все положитель-
ные моменты от временной нагрузки ХА4+вр в данном сечении.
Для определения минимального момента A4min в данном сечении
к моменту от постоянной нагрузки А4ПОСТ прибавляют все отрицатель-
ные моменты от временной нагрузки SAf_Bp:
Мтах = Мпс:т+2М+вр;	(Х.Ю)
Afmin — А4ПОСТ + 2/И-вр.'	(Х.16)
Аналогично этому находят Qmax И Qmin-
Qmax — Споет +2<2+вР;	(Х.17)
Qmin = <?nocT + 2Q-BP.	(Х.18)
Ординаты Afmax и Afmin определяют обычно в табличной форме,
построение Qmax и Qmin может быть выполнено без таблицы.
Пример Х.З. Для трехпролетной неразрезной балки (см.
рис. Х.4, а), рассчитанной в примере Х.1 на постоянную нагрузку
и в примере Х.2 на временные нагрузки, построить объемлющие
эпюры моментов и поперечных сил.
194
Результаты вычисления ординат Afmax и 7Hmin приведены в
табл. Х.2. Ординаты определены над опорами и в серединах про-
летов соответственно в точках a, б, в. Графически результаты расчета
представлены на рис. Х.14.
Таблица Х.2
Номер сече- li ИЯ	^ПОСТ’ кН-м	М от временной нагрузки, кН-м				^тах» кН-м	^min’ кН-м
		в 1-м пролете	во 2-м пролете	в 3-м пролете	на кон- соли		
0	-5,2	—10,98	—0,31	—0,57	+0,25	—4,95	—17,06
а	2,6	5,48	0,15	0,28	—0,12	+8,51	—2,48
1	—7,60	—5,06	0,62	1,13	—0,5	—5,85	—13,16
б	5,65	—1,90	—4,02/ -|-3,98	—1,83	0,81	6,46/10,44	—2,10/4-1,92
2	— 13,1	1,26	—0,66	—4,78	2,13	—9,71'	—18,54
в	7,45	0,63	—0,33	+9,61	—2,93	17,69	4,19
3	—4,0	0	0	0	—8,0	—4,0	— 12,0
Примечание. Числитель — значение ординаты слева от сечения, знаменатель —
справа.
Для построения эпюр Qmax и Qmjn под балкой, нагруженной по-
стоянной и временной нагрузками (рис. Х.15, а), предварительно
построим эпюру QnoCT (рис. Х.15, б), затем эпюры Q1Bp, Q2bP, <2звр
11 Qk-bP соответственно от нагружения временной нагрузкой пролетов
1, 2, 3 и консоли (рис. Х.15, в—ё). После этого на основании формул
(Х.17) и (Х.18) строим эпюры Qmax И Qmin (рис. Х.15, ж).
Эпюру Qmax строим так. Сначала вычерчиваем эпюру QnoCT — тон-
кие линии. Затем ординаты Qn0CT суммируем с ординатами SQ+Bp,
имеющими по всей длине однопролетпой балки постоянное значение
7*
195
(штриховые линии). Далее добавляем Q+B„ с ординатами, изменяю-
щимися по длине балки: при распределенной нагрузке — треугольник,
Рис. Х.15
при сосредоточенной силе — прямоугольник. Результирующие обве-
дены жирно.
Эпюру Qmin строим аналогично.
§ X. 4. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ
В НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКЕ
Напомним, что линией влияния той или иной величины называется
график, характеризующий закон изменения этой величины в зависи-
мости от положения на конструкции силы Р = 1.
196
Для построения линий влияния груз Р = 1 поочередно помещают
[ выражают интересующие величины как
на всех пролетах балок и
функции от координаты
положения груза. Решение
задачи обычно начинают
с построения линий влия-
ния опорных моментов.
При определении опор-
ных моментов пролета, в
котором находится груз
Р = 1, можно воспользо-
ваться формулами (Х.10)
и (Х.11), но предваритель-
но необходимо выразить
Ап и Вп как функции по-
ложения груза в этом про-
лете, координату которо-
го обозначим uln (рис.
X. 16). Используя данные
рис. Х.16, составим уравнения равновесия и из
6Л^ = Intiv (1	v) = /£а (и);
6В* = /1му(1+«) = /^(ы),
них
найдем:
(Х.19)
(Х.20)
где
a(u) = uv(l +у) = м(1 — и) (2 — и)-,
Р (и) — uv (1 +и) = и (1 — и2).
(Х.21)
(Х.22)
Подставив значения 6Д* и 6В* (Х.19) и (Х.20) в формулы (Х.10)
и (Х.11), получим формулы для определения ординат линий влияния
опорных моментов пролета, в котором находится груз:
м _ , ^ра («)-₽(«)
^лев^пр_।
„	, СВР («)—<%(«)
Мп------In k^Bknv_x
где а (и), Р (м), а следовательно, Mn_t и Мп являются функциями
третьей степени от и.
Чтобы облегчить построение линий влияния, составлена табл,
для определения значений а (и) и р (м).
(Х.23)
(Х.24)
Х.З
Таблица
Х.З
и	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0;5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,о
а(«)	0	0,171	0,288	0,357	0,384	0,375	0,336	0,273	0,192	0,099	0
В («)	0	0,099	0,192	0,273	0,336	0,375	0,384	0,357	0,288	0,171	0
197
При определении ординат линий влияния опорных моментов не-
нагруженных пролетов можно воспользоваться методом фокусов,
применив формулы (Х.13) и (Х.14).
л. в. м3(м)
сэ
сТ
Рис. Х.17
Линии влияния момента и поперечной силы в пролете п для сече-
ния С, расположенного на расстоянии а от левой опоры любого про-
лета, могут быть построены по формулам
Мс = М°с + Мп-! [(/„ -a)/ln] + Мп (a/ln);	(Х.25)
Qc = Qnc + {Mn-Mn^lln.	(Х.26)
Линию влияния вертикальной опорной реакции согласно рис. Х.З
в соответствии с выражениями (Х.6) и (Х.26) строят по формуле
Rn =	- (Мп - М„ х)//л + (Мд+1 - Mn)/ln+1.	(Х.27)
В формулах Л1с, Qc^ Rn — линии влияния соответствующих усилий
в основной системе.
Пример Х.4. Для балки с размерами и жесткостью такими же,
как в примере Х.1, построить линии влияния опорных моментов
Л10, Mlt Мг, линии влияния моментов в сечениях D, К, С, линию
влияния поперечной силы для сечения С и линию влияния вертикаль-
ной опорной реакции 7?х (рис. Х.17, а).
Фокусные отношения известны из примера Х.2:	= 2; &2ев =
= 4,25; k3e3 = 3,76; k”p = 3,17; k"p = 4; k"p - oo.
Построим сначала линии влияния опорных моментов. Ординаты
линий влияния опорных моментов пролетов, в которых находится
груз, определим по формулам (Х.23) и (Х.24), ординаты линий влия-
ния опорных моментов ненагруженных пролетов — по формулам
(Х.13) и (Х.14).
Произведем расчеты, поочередно перемещая груз из пролета в про-
лет и принимая значение и в каждом пролете с интервалом 0,2.
Груз в 1-м пролете:
Мо = — 6 [3,17а (а) - 0 (м)]/(2  3,17 - 1) =—1,1236 [3,17а (и) - 0 («)];
Л4Х = _6 [20 (и) - а (ы)]/(2 • 3,17 - 1) = — 1,1236 [20 (и) - а (и)];
М2 = —Мх/^р = —Мх/4 = —0,25Л4х; Л43 = 0.
Груз во 2-м пролете:
Мх = —8 [4а (w) - 0 (н)]/(4,25 • 4 - 1) = —0,5 [4а (и) - 0 («)];
Л42 = —8 [4,250 (и) - а (w)]/(4,25 • 4 - 1) = —0,5 [4,250 (и) - а (и)];
Л40 = — Л4х/^ев = — Мх/2 = — 0,5Л4х; Л43 = 0.
Груз в 3-м пролете:
Л42 = —8 [ооа (и) - 0 (и)]/(оо • 3,76 - 1) =
= — 8а (м)/3,76 = —2,12766а (и);
М3 = 0.
Груз на консоли:
М3 = —х *1 = —х, где х — расстояние от груза до опоры 3;
М2 = — M3/k3eB = — М3/3,76 = —0,266Л43;
Мг = — М2/^ев = M3/(k2BBk3BB) = М3/(4,25 • 3,76) = 0,0626М3;
м0=- мж3 = - м3ЖеХев*Г) =
= — М3/(2 • 4,25 • 3,76) - —0,0313Л43.
Результаты расчета сведены в табл. Х.4.
Построив линии влияния Л40, Л4Х, М2 и М3 (рис. Х.17, б, в, г, е),
на основании зависимостей (Х.25), (Х.26), (Х.27) можно построить
линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил в любом сече-
нии балки и линии влияния опорных реакций.
Построение линий влияния опорных реакций. Используя формулу
(Х.27), получим
/?о = ^ + (Л«1-Л4о)/6.
199
Таблица Х.4
и	Af0, м	М1, м	М2, м		Mq, м	Af/^, м	М м	Qc
	Груз	в 1-м	пролете (^ев =		= 2,	= 3,17, /	1==6 м)	
0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,2	—0,810	—0,103	0,027	0,100	0,014	0,024	0,224	—0,003
0,4	—0,990	—0,324	0,081	0,340	0,041	0,073	0,432	—0,010
0,6	—0,765	—0,485	0,121	0,629	0,061	0,109	0,127	—0,015
0,8	—0,360	—0,431	0,108	0,879	0,054	0,097	0,016	—0,014
1,0	0	0	0	1,0	0	0	0	0
	Груз	в о 2-м	пролет	е (КГВ	= 4,25, К£р = 4,0		/2 = 8 м	)
0	0	0	0	1,о	0	0	0	0
0,2	0,240	—0,480	—0,264	0,947	—0,132	—0,238	0	0,033
0,4	0,300	—0,600	—0,522	0,760	—0,261	—0,470	0	0,065 *
0,6	0,240	—0,480	—0,648	0,499	—0,324	—0,583	0	0,081
0,8	0,120	—0,240	—0,516	0,225	—0,258	—0,464	0	0,065
1,0	0	0	0	0	0	0	0	0
	Груз в 3-м		пролет	е (д’лев.	= 3,76, KJP =оо,		/3 = 8 м)	
0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,1	—0,043	0,086	—0,364	—0,078	0,218	0,392	0	—0,054
0,2	—0,072	0,144	—0,613	—0,131	0,494	0,088	0	-0,123
0,4	—0,096	0,192	—0,817	—0,174	1„191	—0,255	0	—0,298
0,5	—0,094	0,188	—0,798	—0,170	1,601	—0,318	0	—0,4/0,6
0,6	—0,084	0,168	—0,715	—0,152	1,242	—0,323	0	0,489
0,8	—0,048	0,096	—0,408	—0,087	0,596	-0,207	0	0,251
1,0	0	0	0	0	0	0	0	0
		Груз	на консоли (х = 2 м, Л			13 = -2)		
	I 0,063 I	| -0,125 I	I 0,532 I	1 0,113 |	1 -0,734 I	1 0,279 I	0 1	—0,310
При положении груза в 1-м пролете 7?3 = 1 — и, во 2-м и 3-м
пролетах и на консоли 7?# = 0:
= R1 - (7MX - 7И0)/6 + (М2 - MJ/8.
При положении груза в 1-м пролете 7?J = и, во 2-м пролете 7?, =
= 1 — и, в 3-м пролете и на консоли 7?, = 0:
Т?2 = R'l - (М2 - 7ИО/8 4- (7И3 - 7И2)/8.
Значение Т?2 определяют аналогично.
7?3 = 7?з —(7И3 —7И2)/8.
На рис. Х.17, д изображена линия влияния
Построение линий влияния изгибающих моментов и поперечной
силы. В сечении D, расположенном в 1-м пролете на расстоянии а — 2 м’
от левой опоры, на основании формулы (Х.25)
MD = МЪ + Мх/3 4- 2Мо/3.
Для левой ветви ординаты ТИЬ определяют по формуле МЪ = 4м,
для правой ветви МЪ = 2 (1 — м).
2С0
В сечении С, расположенном в середине 3-го пролета, также на
основании формулы (Х.25)
Мс = Мс + 0,5М3 + 0,5Ма = Мас + (М8 + ЛТ3)/2.
Ординаты левой ветви линии влияния Мс определяют по формуле
М°с = 4и, правой ветви МЪ = 4 (1 — и).
Рис. Х.18
На основании формулы (Х.26) для того же сечения С
Qc = Q£ + (M3-M2)/8.
Ординаты левой ветви линии влияния Qc определяют по формуле
Qc — —и, правой ветви Qc = (1 — w).
2Э1
В сечении К, расположенном в 3-м пролете на расстоянии а —
= 0,8 м от левой опоры (а/13 = 0,8/8 = 0,1):
Мк = Мк + 0,1М3 + 0,9Л12.
Левая ветвь линии влияния Мк определяется уравнением Мк —
— 7,2и, правая ветвь Мк = 0,8 (1 — и).
Значения ординат MD, Мк, Мс, Qc приведены в табл. Х.4.
На рис. Х.18: а — схема неразрезной балки; б —линия влияния
МЪ\ в — линия влияния MD\ г — линия влияния Мк\ д — линия
влияния Мс, е — линия влияния Qc! ж — линия влияния Qc.
Из построенных графиков видно:
1.	Поскольку точка D является левым фокусом 1-го пролета, то
при положении груза Р—1 в любом из пролетов правее первого момент
в точке D равен нулю.
2.	Линия влияния Мк в отличие от линии влияния Мс в 3-м про-
лете меняет знак; таким свойством обладают линии влияния моментов
для всех сечений, расположенных между левой опорой и левым фоку-
сом, а также между правым фокусом и правой опорой.
3.	Касательная в точке 0 ко всем линиям влияния (за исключе-
нием линии влияния /Ио) совпадает с осью абсцисс.
4.	Линия влияния MD над опорой 1 имеет касательную, совпадаю-
щую с осью абсцисс.
5.	Все линии влияния над консолью прямолинейны.
§ Х.5. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
НА ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
В неразрезной балке равномерный нагрев усилий не вызывает,
поскольку все вертикальные опорные стержни параллельны между
собой и не препятствуют изменению длины оси балки. Расчет ведется
лишь на неравномерный нагрев — разность изменения температуры
с верхней и нижней стороны балки. Используя уравнения (Х.1)
и (Х.2) и заменяя Д„р на Д„/, для расчета неразрезной балки на изме-
нение температуры получаем уравнение
Mn-rl'n + 2Л4Л (/; + /;+!) + О+« = -6£7О	(X .28)
где Д„/ — угол поворота в основной системе на опоре п по направле-
нию неизвестного Мп, вызываемый изменением температуры и опре-
деляемый по формуле
Дл/ = —[^л/(2с^л)Ч-^л+1/(2<^л+1)],	(Х.29)
где а — коэффициент теплового линейного расширения; dn и d„+1 —
высота поперечного сечения балки соответственно п и п + 1 проле-
тов; t' — ti — t3 — разность изменения температуры.
В формуле (Х.29) знак плюс принимают, если /2 (рис. Х.19),
и, наоборот, знак минус, если < /2.
Пример Х.5. Трехпролетную балку с размерами и жесткостью,
такими же, как в примере Х.1, рассчитать на тепловое воздействие
202
согласно рис. Х.19, а. Высоту сечения в каждом из пролетов принять
равной dn — 0,С51п.
а)
Предварительно вычислим Д„д
Ао/ = а • 40 [6/(2 • 0,05 • 6)] = 400а;
Дк = а • 40 [6/(2 • 0,05 • 6) + 8/(2 • 0,05 • 8)] = 800а;
Д,/ = а • 40 [8/(2 • 0,05 • 8) + 8/(2 • 0,05 • 8)] = 800а.
Составим уравнения трех моментов:
2МА + МА = —QEI оДо/j
ma+2MX (/;+Q+ma=-6ez0 Av;	(X .30)
MA+2M2 a+/3)+MA = -6E/0 Д2Л
Подставим в них значения /[, /2, /,, вычисленные в примере Х.1,
значения До/, Д1Л Д2/ и учтем, что /И3 = 0:
2М0 • 6 + Му • 6 = —6£/0 • 400а;
Мо • 6 + 2/Их (6 + 4) + М2 • 4 =-6£70 • 800а;
Му • 4 + 2М2 (4 + 4) = — 6£70 • 800а.
После преобразований получим:
2Л40 + М1 = —4ООа£/о;
ЗМ0+10/^ + 2412 = — 24ООа£/о;	(Х.31)
/И1 + 4/И2 = — 1200а£/о.
203
В результате решения уравнений (Х.31) найдем:
Мо = — 125а£/0;	Mi = — 15Oa£/o;
М2 — —262,5a£70.
На рис. Х.19: а — заданная балка, б, в — эпюры М и Q, вызывае-
мые тепловым воздействием.
Кинематическая проверка при расчете на тепловое воздействие
выполняется по формуле
2^Л+д„ = 0.
В данном примере (см. на рис. Х.9, д)
2 J +	150-1 - 125-1)^ +
+ 4 (—2 • 150 • 1 - 262,5  1)	+800a = —800a + 800a = 0.
Погрешность равна нулю.
§ Х.6. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
НА СМЕЩЕНИЕ ОПОР
Используя уравнения (Х.1) и (Х.2) и заменив Дяр на Д„с, для рас-
чета неразрезной балки на заданное смещение опор получаем уравне-
ние
Mn-jn4-2мп (/;+/;+1)+мп+1гп+,=-б£/ дяс,	(х .32)
где Дяс — угол поворота в основной системе на опоре п, вызываемый
заданным смещением опор, по направлению неизвестного момента Мп.
Определение Дяс показано на примере.
Пример Х.6. Трехпролетную балку с размерами и жесткостью,
такими же, как в примере Х.1, рассчитать на заданные поворот край-
ней левой опоры по часовой стрелке на угол <р0 = 0,01 рад и осадку
опоры 2 на Д2 = 0,08 м (рис. Х.20).
Предварительно вычислим величины Дяс:
Дое = —0,01; Д1е = 0,08/8 = 0,01; Д2С = —0,08/8-0,08/8 =—0,02.
Составим уравнения трех моментов:
2M0l'i + МА = —6EI0 ДОс,
MQl'i + 2 (/; + /2) Мг 4- лад = -6£/0 дк,
МА+2/И2 А+/2) + МА = —6£{о Д2С.
(Х.ЗЗ)
Подставим в них значения ZJ, /2, 1'3, вычисленные в примере Х.1,
значения ДОс, Д^, Д2С и учтем, что М3 = 0:
2/И0 • 6 +	• 6 = —6£/0 (—0,01);
Мо • 6 4- 2 (6 + 4) /Их+4М2 = —6£70  0,01;
/Их • 4 4- 2 (4 4- 4) /И2 = — 6Е10 (—0,02).
204
После преобразований получим:
2Л4о+Л41 = О,О1Е/о,
ЗЛ40 +1 QMj. + 2М2 = —0,03Е/о,
Л41+4Л42=О,ОЗЕ/о.
(Х.34)
Рис, Х.20
В результате решения уравнений (Х.34) найдем:
Мо = +87,5 • 10- 4Е/0 кН • м; Л4Х = —75 • 10 4Е/0 кН • м;
Л42 = 93,8 • 1О~4Е/о кН • м.
205
Кинематическая проверка при расчете на смещение опор произ-
водится по формуле
2 J^ds + A„c = O.
В данном примере (Л^ см. на рис. Х.9, 5)
2 J ^ds + Д1С = 4 (-2 • 0,0075 +1 • 0,00875)	1 х
X (—2 • 0,0075 + 1 • 0,00938)	4-0,01= —0,00625 - 0,00374 4-
4-0,01= —0,00999 4-0,01 = 0,00001.
Погрешность 100 = 0,1%.
Статическая проверка:
2У = (—0,00271 + 0,00482 - 0,00328 + 0,00117) Е10 =
= (—0,00599 + 0,00599) Е10 = 0.
На рис. Х.20: а — заданная балка; б — основная система; в, г —
эпюры Мс и Qc, вызываемые смещением опор, и д — определение
опорных реакций.
§ Х.7. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
НА УПРУГИХ ОПОРАХ
Упругой называют опору, перемещение которой пропорционально
действующей опорной реакции. Примерами таких опор могут служить
длинные колонны, на которые опирается неразрезная балка, попереч-
ные балки проезжей части металлического моста, на которые опи-
раются продольные неразрезные балки, а также понтоны, которые
служат опорами наплавного моста.
Упругие опоры характеризуются коэффициентом податливости с.
Коэффициентом податливости называется перемещение опоры, вызы-
ваемое единичной силой.
За основную систему при расчете неразрезной балки на упругих
опорах, так же как и при расчете неразрезной балки на жестких опо-
рах, принимают балку, разделенную шарнирами на однопролетные
балки (рис. Х.21, а). Неизвестными, так же как и ранее, будут опор-
ные моменты. Перемещение по направлению неизвестного Мп (пере-
лом упругой линии на опоре п в основной системе) будет вызываться
только опорными моментами Мп_2, Mn-i, Мп, Мп+1, Мп+2 и на-
грузкой, расположенной в пролетах 1п, 1п+1, 1п+2. Канониче-
ское уравнение метода сил для n-й опоры будет иметь вид уравнения
пяти моментов:
$п, n-v.Mn-% 4~ 6Я)	6я, ЛЛ4П 4"
4~ $п, я+1Л4л+14~ бл> я+гМя+а 4~	= 0.	(X .35)
Это уравнение отличается от уравнения трех моментов (Х.1) тем, что
в нем угловое перемещение 6„, „_2 является следствием вертикаль-
206
пого перемещения опоры п—1, вызываемого моментом ЛГ„_2,
а угловое перемещение „ + 2 — следствием вертикального переме-
щения опоры п + 1, вызываемого моментом Мп_ „ + 2; по этой же при-
чине на угловое перемещение будет оказывать влияние не только на-
грузка на пролетах 1пи 1п + ъ но и нагрузка на пролетах 1„ _ х и 1п + 2.
При шарнирном опирании крайней левой и крайней правой опор пер-
вое и последнее уравнения, получаемые из уравнения (Х.35), будут
содержать по три неизвестных, второе и предпоследнее — по четыре,
остальные — по пяти.
Выполнив необходимые вычисления перемещений, исходя из
эшор, изображенных на рис. Х.21, б—д и учтя при этом не только из-
гибные деформации в пролетах, но и осадки опор, получим выражения
для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов
уравнений (Х.35). Они будут иметь вид:
207
Коэффициенты бл, п +1, ^п, п + 2 могут быть записаны по аналогии
бл> п _ i> 5Л, п _ а. Свободный член определяется по формуле
Л — В" । ^«+1 । c»-iр _r f1 I 1 р i С”+1Р	(X 37)
&пр— р[ + рт I I Кп-1	Т 1 j Кп i 1 Кп+lf	\ • /
Lln Ып+1 *п	'In hi+1' ln+l
где i, Rn, Rn „ i — реакции опор п — 1, п, п + 1 в основной
системе; Вл, Л„+1 — фиктивные реакции опоры п в п и п + 1 проле-
тах. Прогиб на n-й опоре балки на упругих опорах равен суммарной
реакции этой опоры, умноженной на сл:
Уп = сп\^ - (Л + Л) Мп + ^ + Я,}	(Х.38)
L ln V/i 1п+1 /	ln+i J
Если все пролеты балки постоянного сечения равны между собой,
а опоры имеют одинаковый коэффициент податливости с, то, введя
обозначение а = &Е1сН3, являющееся безразмерной величиной, после
умножения уравнения (Х.35) на 6EI/I, получим более простое урав-
нение:
а-М«-2 + (1 — 4а) Л4л-1 + (4-|- 6а) Л4Л + (1 — 4а) Л4л+1 +	/
+ аМл_2 = -^Длр.	(Х.39)
В этом случае
Дпр = | (В*+ Л*+ 0+а/ (/?„_! - 2ЯЛ + Rn+J).	(Х.40)
Пример Х.7. Пятипролетную балку постоянного сечения с рав-
ными пролетами рассчитать на равномерно распределенную нагрузку
интенсивностью q\ крайние опоры абсолютно жесткие, все остальные
опоры упругие с постоянным коэффициентом податливости с
(рис. Х.22, а).
Учитывая абсолютную жесткость крайних опор, упрощенным
уравнением (Х.39) воспользоваться нельзя. Поэтому расчет будем
вести, используя общее уравнение пяти моментов (Х.35); однако
умножим его на &EIH, введем коэффициент а = ЪЕ1сН3 и восполь-
зуемся симметрией. Определим коэффициенты при неизвестных по
формулам (Х.36):
6EI «	6EI д . , - 6EI д	6EI д . , с
1~	----1~ Оц — 4 + 5а, -j- о22---j- о33 = 4 + 6а;
б£/д 6£/д	6£/д	.	.	6£/-	6£/-
— 612 =—62з = —Оз4= 1 —4а; — о13 =-у-б24 = а;
свободные члены по формуле (Х.37):
6£/ А 6£/ л ql2 . 6£/ .	6£/ А ql2
-гД1р = —Д4р = ^(1-2а); — Аар = — Д зр = ^.
После подстановки в уравнение (Х.35) вычисленных значений
коэффициентов при неизвестных и свободных членов для опор 1 и 2
получим канонические уравнения:
(4 + 5а)	+ (1 - 4а) М2 + аМ3 = — (g/2/2) (1 - 2а) ;
(1 - 4а) Л4Х + (4 + 6а) Л12 + (1 - 4а) М3+аМ4 = — qP/2.
208
Учитывая симметрию, подставляем в уравнения Л43 = М2 и ЛГ4 =
= после преобразований получим:
(4 + 5a)M1 + (l-3a)M2 = -(<7/2/2)(l-2a); 1
(1-За) Мх + (5 + 2а)	= — ql2/2.	J 1 ' 1}
*)
В результате решения уравнений (Х.41) получим формулы для
определения значений опорных моментов:
м _ (4-5а-4а2) др _	= __ (3 + 10«-6а2) ql* k 2
11	2(19 + 39а + а2)	19 ’ 112	2(19 + 39а + а2)	’
где
. _	4—5а — 4а3	.	___ 3-|-10а — 6а2
R1~ 2(19 + 39а + а2) :	2(19 + 39а + а2) ’
Числовые значения коэффициентов и k2 приведены в табл. Х.5.
209
Таблица Х.5
а	0	0,5	1,0	2,0	10,0	со
*1	—0,105	-0,0066	0,0423	0,109	0,438	2,0
&2	—0,079	—0,086.	—0,0593	0,00495	0,557	3,0
На рис. 22, б—д приведены эпюры изгибающих моментов при
различных значениях величины а; при этом все ординаты следует
умножать на qP.
§ Х.8. МАТРИЧНАЯ ФОРМА РАСЧЕТА
Неразрезные балки являются статически неопределимыми систе-
мами и их расчет в матричной форме производится, как указано в
методе сил или в методе перемещений. В данном параграфе ограни-
чимся только построением линий влияния.
Задача о построении линии влияния сводится к нахождению функ-
циональной зависимости между искомым усилием и перемещающимся
по сооружению грузом Р — 1. В статически определимых системах
эта зависимость для всех без исключения внутренних усилий и реак-
ций линейная и находится непосредственно статическим или кинема-
тическим способом.
При построении линии влияния в статически неопределимой сис-
теме вначале находят зависимость между усилиями в «лишних» свя-
зях (вектор X). Затем по найденному вектору X строят линию влия-
ния заданного усилия. В тех случаях, когда количество требуемых
линий влияния меньше или равно степени статической неопредели-
мости системы, можно эти усилия принять в качестве «лишних» и
построение вести непосредственно по вектору X.
Линии влияния вектора усилий в «лишних» связях X для п раз
статически неопределимой системы находят из выражения
л. в. Х = —  Lm-В АтР,	(Х.42)
где Лё1 — обратная матрица перемещений; Lm—транспонированная
матрица влияния изгибающих моментов в основной системе от всех
Хх = Х2 = ... — Хп = 1; В — матрица податливости отдельных
участков системы; Аптр — матрица влияния изгибающих моментов
в основной системе от силы Р = 1, приложенной в пронумерованных
сечениях.
После определения вектора усилий (л. в. X) линии влияния век-
тора М изгибающих моментов в пронумерованных сечениях статически
неопределимой системы находят из выражения
л. в. М = Л;„Р + иг-(л. в. X).	(Х.43)
Пример Х.8. Для статически неопределимой балки, изобра-
женной на рж:. Х.23, а, построить линии влияния усилий в лишних
связях (л. в. X) и вычислить ординаты линий влияния изгибающих
моментов во всех пронумерованных сечениях. Основная система по-
казана на рис. Х.23, б.
210
Разобьем 1-й и 2-й пролеты на пять равных частей, а консоль на две
части и вычислим исходные матрицы.
_ Матрица влияния изгибающих моментов L°m составлена по эпюрам
Мг и М2 от Хг = Х2 = 1 (рис. Х.23, в, г):
(1)	0	0
(2)	0	0
(3)	0	0
(4)	2	0
(5)	4	0
(6)	6	0
=	(7)	8	0
(8)	10	0
(9)	8	2
(Ю)	6	4
(П)	4	6
(12)	2	8
(13)	0	10
Матрицу податливости В всей балки представим в виде трех мат-
Матрица Bi состоит из двух матриц второго порядка и Ь2, соответ-
ствующих двум участкам консоли, которая после их сдвига по диаго
нали будет равна:
2
1 О
4 1
1 2
B1 ~ 6Е1
1
О
Каждая матрица Вц и Вщ состоит из пяти матриц второго порядка
(по числу участков), которые после их сдвига по диагонали имеют вид
	2	1	0	0	0	0		4	2	0	0	0	0
	1	4	1	0	0	0		2	8	2	0	0	0
1	0	1	4	1	0	0	1	0	2	8	2	0	0
Вп = ИЁГ	0	0	1	4	1	0	:	^п1=§£7-	0	0	2	8	2	0
	0	0	0	1	4	1		0	0		2	8	2
	0	0	0	0	1	2		0	0	0	0	2	4
211
Вычисляем матрицу перемещений по формуле A& = Lm’B -Lm'.
15
5
~ 3EI
1о|-
Рис, Х.23
Обратная матрица
3£/ II 10 — 5
Яб - 125 —5	15
Матрица АтР в данном случае представляет собой квазиматрицу вида
птр —
^21
Л31
-^12
^22
Л32
^13
^23
Л33
212
Здесь Ли, Л22 и Л33 — главные подматрицы,			равные
	0	0 0	
Л и —	i -5	0 0	
	—10 —	5 0	
4 3 2 1 0		4,8	3,6 2,4 1,2 0
3 6 4 2 0		3,6	7,2 4,8 2,4 0
Л22=4 2 4 6 3 0	; Л33 = у	2,4	4,8 7,2 3,6 0
1 2 3 4 0		1,2	2,4 3,6 4,8 0
0 0 0 0 0		0	0	0	0	0
Матрицу А21 вычисляем через Л22, для чего первый (левый) стол-
бец Л22 умножаем последовательно на нуль, на (—1) и на (—2):
•4 21 —
—8 —4
—6 —3
—4 —2
—2 —1
О О
О
О
О
О
О
Второстепенные подматрицы Л12, Л13, Л23, Л31, Л32 будут нуле-
выми, так как только 1-й пролет имеет консоль 1—3.
Подставив вычисленные значения матриц в выражение (Х.42),
найдем линии влияния вектора X:
х10
-JXil_3£/|| Ю -5
л. в. Х-|Х2	125 I „5 15
0002468 10 864
0000000	0246
X
2
8
О
10
2 1
1 4 1
1 4 1
14 1	0
1 4 1
1 4 1
2 8 2
2 8 2
О
2 8 2
2 8
2
2
4
213
	0	0	0 —5	0	0 — 10 —5 0	0	0
4	О	О	О	О	О Tf	со	сч	гн	о 1	1	1	1 1	1	1	1 00	о	сч	о	4	3	2	1	0 3	6	4	2	0 2	4	6	3	0 1	2	3	4	0 0	0	0	0	0	0
	0	0 i	4,8	3,6	2,4	1,2	0 3,6	7,2	4,8	2,4	0 2,4	4,8	7,2	3,6	0 1,2	2,4	3,6	4,8	0 0	0	0	0	0 1
Л. В. X — 1250 X
11—500 —250 0	240	420	480	360 0 576 648	432 144 0
Х 250	125 0	—120	—210	—240	—180 0 432 936	1224 1008 0
По этим данным построены линии влияния опорных моментов
М8 = Хх и Л413 = Х2 (рис. Х.23, д, е).
Вектор влияния изгибающих моментов находим по выражению
(Х.43):
	0	0	0 —5	0	0 —10 —5 0	1 0	1 0
Л. В. Л1==т~ 0	—8 —4 0 —6 —3 0 —4 —2 0 —2 —1 0 0	0	0	4	3	2	1	0 3	6	4	2	0 2	4	6	3	0 1	2	3	4	0 0	0	0	0	0	0
	0 ! S 1	0	4,8	3,6	2,4	1,2	0 3,6	7,2	4,8	2,4	0 2,4	4,8	7,2	3,6	0 1,2	2,4	3,6	4,8	0 0	0	0	0	0
214
о
о
о
2
4
О
О
О
О
О
10
8
6
4
2
О
2
4
6
8
10
1250Х
Il—500 —250 0 240 420 480 360 0 576 648 432 144 0||
Х|| 250 125 0 —120 —210 —240 —180 0 432 936 1224 1008 о|-
В результате выполненного расчета получен полный вектор орди-
нат линий влияния изгибающих моментов Л? во всех пронумерованных
сечениях заданной статически неопределимой балки. На рис. Х.23, ж
показана линия влияния Мй.
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	(1)
	—1250	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	(2)
	—2500	—1250	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	(3)
	—1900	—950	0	952	666	404	178	0	—115	—129	—86	—29	0	(4)
	—1300	—650	0	654	1332	808	356	0	—230	—259	—176	—58	0	(5)
	—700	—350	0	356	748	1212	534	0	—345	—389	—259	—86	0	(6)
л. в. М — 1250 X	—100	-50	0	58	164	366	712	0	—461	—518	—345	—115	0	(7Г
	500	250	0	—240	—420	—480	—360	0	—576	—648	—432	—144	0	(8)
	350	175	0	—168	—294	—336	—252	0	653	194	29	17	0	(9)
	200	100	0	—96	—168	—192	—144	0	382	1036	451	ПО	0	(Ю)
	50	25	0	—24	—42	—48	—36	0	ПО	379	893	237	0	(П)
	—100	—50	0	48	84	96	72	0	—161	—278	—165	365	0	(12)
	—250	—125	0	120	210	240	180	0	—432	—936	—1224	—1008	0	(13)
ГЛАВА XI
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ АРКИ
§ XI.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В ДВУХШАРНИРНОЙ АРКЕ
ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Двухшарнирная арка является однократно статически неопреде-
лимой системой, для которой составляется одно каноническое урав-
нение метода сил, из которого находится распор или усилие в затяжке:
Х1 = Я = -А1р/б11.	(XI. 1)
Так как ось арки очерчена по кривой у = f (х), то для вычисления
перемещений основной системы уже нельзя пользоваться правилом
А. Н. Верещагина и необходимо применять интегральную формулу
Максвелла — Мора. На практике моменты инерции поперечных сече-
ний арок принимаются постоянными или переменными. Наиболее удо-
бен для интегрирования такой закон изменения моментов инерции
поперечных сечений арки:
Лс =/c/cos <р,	(XI.2)
где /с — момент инерции в среднем сечении арки; <р — угол наклона
касательной к оси арки по отношению к координатной оси х.
Для двухшарнирных арок по конструктивным и эстетическим сооб-
ражениям более подходит другой закон:
/*=/ccosq>.	(XI.3)
При этом высоты поперечных сечений плавно повышаются от опор
к середине пролета арки.
В последующих примерах расчета арок приняты следующие пра-
вила знаков внутренних усилий: изгибающий момент, вызывающий
растяжение во внутренних волокнах, считается положительным;
растягивающая нормальная сила принята положительной; попереч-
ная сила считается положительной, если она вращает оставшуюся
часть по часовой стрелке.
Пример XI. 1. Построить эпюры изгибающих моментов, попе-
речных и нормальных сил для параболической двухшарнирной арки
постоянного поперечного сечения (b х h = 0,4 X 1 м), нагруженной,
как показано на рис. XI. 1, а. Коэффициент Пуассона материала р =
= 0,17.
4f
Ось арки очерчена по квадратной параболе у — ~(1х — х2),
отнесенной к началу координат на левой опоре.
217
Выберем основную систему, отбросив в точке В горизонтальный
опорный стержень и заменив его силой Хх (рис. XI. 1, б).
Рис. XI.1
Вначале найдем значения вертикальных составляющих опорных
реакций в точках А и В. Эти составляющие определяют так же, как
и в однопролетной балке того же пролета, нагруженной заданной
218
нагрузкой:
Улд6.10. ».2.+20.№.12-Н0.111..8 н = 44.10, н„44 кН.
Гд 6 10..6.3+М.10..12+11).1<1..18 н = 2210, н = 22 кН
При расчете двухшарнирных арок со стрелой подъема f < ИЗ и с
высотой поперечного сечения h < //10 можно при определении бхх
пренебрегать влиянием поперечной силы, а при определении АХр
пренебрегать влиянием поперечной и продольной сил, т. е. находить
их по следующим формулам:
В данном примере будем вычислять перемещения с учетом всех
внутренних усилий и затем произведем оценку влияния Q и N на вели-
чину распора Н = Хх; тогда
би=£Т	+	(XI.6)
j MpM1ds + ^ J Np^ds + J Q&ds. (XI.7)
Внутренние усилия Л?х, ЛГХ, фх от единичной силы Хх = 1 в основ-
ной системе с учетом принятого правила знаков выражаются так:
Л4Х = — 1-у, J7X = — costp; $х = —sintp. (XI.8)
Эпюра Л?х показана на рис. XI.1, в.
Внутренние усилия Мр, Np и Qp в основной системе от заданной
нагрузки можно выразить через балочные изгибающие моменты и
поперечные силы следующим образом:
МР=М°; Np= — Q°sin<p; Qp=Q°cos<p. (XI.9)
После внесения этих зависимостей перемещения Sxx и А1р примут
вид:
6н = лТ f + ( coscpdx-f-jX ( ~^-dx; (XI.10)
11 EI J costp 1 EF J T 1 Or J costp ’	'	'
l	i	l
= A j —Ё-ф ^-- + ^ | Q°sin<prfx +A j (-QOsintpjdx. (XI.ll)
Произведем замену:
Z* = №/cos q>; Чгдг== costp; Qx = sinatp/costp;
^=Q°sin<p; Йр=-Q°sintp.
Vwv 11/
219
С учетом заданных размеров поперечного сечения арки Ь X h =
= 0,4-1 ми коэффициента Пуассона р, = 0,17 находим:
£F=12£Z;
G = Е/[2 (1 + р)] = £/2,34; GF/k = 12^7/(2,34 -1,2) = 4,27EI.
Подставим эти данные в выражения для перемещений du и Д1р:
i	i	i
Zxdx-}- ФЕ} ^xdx-f- ^gjEI ^xdx',	(XI.12)
I	I	t
^LP~~EI ^p^4~ J2E7 4?pdx-}- ^t27EI J Qpdx.	(XI.13)
Полученные интегралы невозможно вычислить точно, поэтому
интегрирование заменим суммированием. Разделим пролет на четное
число равных участков так, чтобы сосредоточенные силы совмещались
с точками деления, а распределенная нагрузка находилась в, пределах
участков. Примем п = 8, Ах = 3 м и, используя формулу Симпсона,
получим следующие выражения для 6и и Д1р:
6ц =	(Zxa+42*1+22* 2+42*з 4- 22*4 4- 42*5 -J- 22*j 4* 42*74-2*в)4-
+ ^7(^ + 4^*1 + 2^*2 + 4Т*з + 2Т*4+4Т*6+2Т*ё+4Т*7+Т*в)+
4"12,81е7^'*^4-4^*14" 2£2*з 4~ 4 £2*з4-2£2*4 4* 4£2*6 4* 2£2*з4-4£2*74- ^*в)>
Дц>=ggy (Zpa 4- 42pi 4- 22р2 4- 42^ 4- 22р44- 42р84-224- 42р7 4* 2рв) 4*
+ 3^7^+ 4Тр14-2ТР2 4-4Тр84-2^Р44-4^р54-П4-
4-^4-4^7 4-^в)4-12^£-/(Йра4-4£2р14-2ЙР2 4-4£2р84-
4* 2£2р4 4- 4£2рв 4- £2Р6 4~ йрв 4- 4£2р7 4* ^рв)-
Дальнейший расчет сведен в табл. XI. 1.
Подставив числовые значения величин £*, Т*. £2*, 2Р, ..., получим
следующие значения перемещений:
6ц = 4т (211,39 4-1,88 4- 0,79) = 214.06/FZ;
Д1р = 4/(—10086,244-12,85 - 35,06) = —10108,45/EZ.
Горизонтальная составляющая опорной реакции
Хх = /7 = 10108,45/214,06 = 47,22 кН.
Без учета Q и N имеем:
8U = 213,27/£Z; Д1р = —10086,24/£7; Хх = 47,29 кН;
погрешность составляет /--'0,15%.
Изгибающие моменты в двухшарнирной арке находят по формуле
М = М°-Ну.	(XI. 14)
220
Таблица XI.l
[ Номер сечения	|	2 X	2	%	sincp	2 X йб II а.	X йб о»			T* SB COS ф					е- а на О’ + II	е- а 'со о» 1 II сз	Н • д, кН • м	Н • sin ф, кН • м	Н • cos ф, кН	М, кН	Q, кН	N, кН
								COS ф		е- о То	COS ф	о** 1	COS ф								
							П			0 н а		0									
А	0	0	0,667	0,5544	0	44	0		0,8320	0,3694		1	0	+24,394	—24,394	0	26,19	39,23	0	10,42	—63,62
1	3	1,75	0,500	0,4488	105	26	3,427		0,8936	0,2244		—205,630		+11,669	—11,669	82,64	21,19	42,19	22,36	2,04	-54,03
2	6	3,00	0,333	0,3173	156	8	9,491		0,9483	0,1056		—493,504		+2,438	—2,438	141,66	14,98	44,79	14,34	—7,39	—47,23
3	9	3,75	0,167	0,1650	180	8	14,258		0,9863	0,0275		—684^213		+1,320	—1,320	177,08	7,79	46,57	2,92	0,10	—47,89
4	12	4,00	0	0	204	8 —12	16,000		1,0000	0		—816,00		0	0	188,88	0	47,22	15,12	8 —12	—47,22
5	15	3,75	—0,167	—0,1650	168	—12	14,258		0,9863	0,0275		—638,750		+1,980	—1,980	177,08	—7,79	46,57	—9,08	—4^04	—48,56
6	18	3,00	—0,333	—0,3173	132	—12	9,491		0,9483	0,1056		—417,590		+3,808	—3,808	141,66	—14,98	44/79	—9,66	3,60	—48,60
						—22								4-6,980	—6,980					—5,88	—51,77
7	21	1,75	—0,500	—0,4488	66	—22	3,427		0,8936	0,2244		—129,252		4-9,874	—9,874	82,64	—21,19	42,19	—16,64	1,53	—52,06
В	24	0	—0,667	—0,5544	0	—22	0		0,8320	0,3694		I	0	4-12,197	—12,197	0	—26,19	39,23	0	7,89	—51,43
Примечание. В числителе — значение ординаты слева от сечения, в знаменателе — справа.
Эпюры Q и
Окончательная эпюра изгибающих моментов в арке показана на
рис. XI.1, г.
Поперечные и продольные силы в арке вычисляют по формулам:
Q = Q°cos(p-Я sin tp,	|
N = — (Q°sin<p4*Яcostp). J	(Л1.1О)
N показаны на рис. XI. 1, д, е.
Пример XI.2. Опреде-
лить усилие в затяжке двух-
шарнирной арки кругового
очертания (рис. Х1.2,а) и по-
строить эпюру изгибающих
моментов в сечениях арки.
Влиянием продольной и по-
перечной сил в арке прене-
бречь. Сечение арки постоян-
но (EI = const), сечение за-
тяжки E3F3.
Выбираем основную систе-
му. Для этого разрезаем за-
тяжку и прикладываем в ме-
сте разреза силы Хх.
Так как ось арки пред-
ставляет собой половину ок-
ружности, то удобно перейти
к полярным координатам (рис.
XI.2, б). Из чертежа видно,
что
x = r — rcosa = r (1 — cosa);
t/ = rsina; ds = г da. (XI.16)
Составляем выражениядля
изгибающего момента в основ-
ной системе отдельно_от си-
лы Р и отдельно от Xi = 1:
Мр = Рх/2 = Pr (1 — cos a)/2,
Ях = — 1 -y = r sin a. (XI. 17)
Переходим к определению
перемещений 6Ц и Д1р.
При определении перемещения 6и учитывают деформации арки
от изгиба и затяжки от растяжения:
Я С Ml ds ,	14	1 С , , I 2r r3	I 2r
81l~ J EI +~E^~EI J V ds+ E3FS ~ EI ) Sln ada+ EiFa ~
л
1- a 1 , 2r
4 sin 2aJ 4-	- 2E/ -г Езрз-
0
— f3 Гw
~ EI I 2
яг3 . 2r
222
При определении перемещения Д1р учитывают только деформации
арки от изгиба:
Л/2
А С MpMids 2 f Р Z1	ч	j
д1р == L —= — gy v 2“f(l — cosa)r since-г da
о
Я/2
Рг3 С
= —(sina — cosasina)da =
о
Л/2
Pr3 I	1 • 2 I Pr3
=--£r|-cosa-Tsln a j =-w
Усилие в затяжке или распор
Aip _	Pr3/(2£/)	_ Pr*
n-Ai- gu -nr3/(2EI)+2r/(E3F3) ~nr*+4EI/(E3F3) '
Значение распора H в арках с затяжкой зависит от жесткости послед-
ней: с увеличением жесткости затяжки распор возрастает. Значение
изгибающего момента в арке с затяжкой, который определяют по
формуле М = М° — Ну, также зависит от жесткости затяжки. С
уменьшением жесткости затяжки положительные моменты в арке
увеличиваются, с увеличением — уменьшаются. Построим эпюру
изгибающих моментов для случая, когда жесткость затяжки равна
бесконечности E3F3 = оо, и для случая E3F3 = ЬЕЩш3). В первом
случае усилие в затяжке равно Н = Р/л, во втором Н = Р/(2л).
Для построения эпюры изгибающих моментов вычислим моменты
в сечении К, при х — г/2 и у = 0,866 г и в среднем сечении при х =
= У = г.
при Н = Р/л
УИх-г/2 — VлХ — Ну = Рг /4 — Р • 0,866г/л = —0,026Рг;
АЪ-Г = Рг/2 - Рг/л = 0,18Рг;
при Н = Р/2л
AG-rZ2 = Рг/4 - Р • 0,866г/(2л) = 0,112Рг;
Мх-Г = Рг/2 - Рг/2л = 0,34Рг.
Соответствующие эпюры изгибающих моментов построены на
рис. XI.2, в, г.
§ XI.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИИ В БЕСШАРНИРНОЙ АРКЕ
ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Бесшарнирные арки в отличие от двухшарнирных являются трижды
статически неопределимыми системами. Для упрощения расчета
основную систему выбирают с введением жестких консолей. В этом
случае общая система канонических уравнений метода сил распадается
на три независимых уравнения, каждое из которых содержит одно
неизвестное:
бцХ1 + АХр = 0; 623Xjj-|-= 0; 633X3 -|-Дзр = 0.
223
Правила знаков М, Q и N примем такими же, как и при расчете
двухшарнирных арок.
Пример XI.3. Для бесшарнирной арки параболического очер-
тания у = ^(1х—хг) (рис. XI.3, а) переменного поперечного сечения
(lx — Iclws ф) построить эпюру изгибающих моментов.
Выберем симметричную основную систему, разрезав арку в сред-
нем сечении и введя абсолютно жесткие консоли, к которым приклады-
ваем неизвестные усилия Хх, Х2 и Х3 (рис. XI.3, б).
Длину жестких консолей находим из выражения:
1/2
С (f—y)dslElx
Ус= iji	•
j ds!Elx
Подставим EIX = £7c/cosq>; ds — dx/cosqj; y = ^(lx—x2), получим
1/2	Z/2
I fdx — (lx—x*)dx
Ус —--------jn---------- = у = у = 1,333 M.
j dx
В основной системе построим единичные эпюры Л4Х, Л?2 и ЛГ3,
а также эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки (рис. XI.3,
в — е). Запишем выражение для_изгибающих моментов в основной
системе отдельно от сил Хх = 1, Х2 = 1, Х3 = 1 и нагрузки, приняв
начало координат совпадающим с опорами Л и В:
Л?ГР = Ъ-!/; Л?Г = -//2+х; <р = + (/2-х;
о	о
Л23ев=1; Л??р=1; МГ=Юх-32; Л^р = 5х-24.
Перемещения и. Аур будем вычислять без учета поперечных
и продольных сил:
« Р M*ds	iPl 22,755
°u J Eix “ Z j ЁЦ. - 45EIC ~
_	Z/2
. _ f Algds _ 2 C	____t____341,333 .
22 “J Elx ~ Elc J \ 2 XJ UX ~ 12EIC ~ EIC •
224
Рис. XI .3
8 п/р. Клейна Г. К.
225
3,2	4,8
Д1р = С ^ds = 1 С Л4ГЖев^ +	f AfpVdx^
V	X	С f\	С л
3,2	4,8
= £77 j (№-32)(4/-!^+^ j(5x-24)(|/-f,)Ife = !^.
_	3,2	4,8
г = I ё M™M™dx+ I С M^dx=s
J £Jx £Jc «!	r/c *
3,2	4,3
= £T^( (10x-32)(-4-+x)dx + ;— j (5x-24)(— x+~}dx=>
_	13,653
“ £/c ;
Д3р= J = J- j MTBMrdx+1±-c j <<<(*=□
3,2	4,8
= -?}- ( (lOx — 32)dx+pJ- ( (5x-24) dx = -—-.
ZX / «j	th 1 J	LL1 f
C O	L 0	c
Находим значения неизвестных Xx, X2 и X3:
X1==_Д1р/611= 162,645/22,755 = 7,147 кН;
X2 = — Д2р/622 = 13,653/341,333 = 0,04 кН;
X3 = — Дзр/633 = 108,6/16 = 6,787 кН • м.
Умножив эпюры Л?!, Л12, Л73 на значения неизвестных и сложив
их с эпюрой от нагрузки, получим окончательную эпюру изгибающих
моментов в арке (рис. XI.3, ж).
Пример XI.4. Построить эпюру изгибающих моментов для бес-
шарнирной арки постоянного сечения, имеющей форму полуокруж-
ности и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой
(рис. XI.4, а).
Выбираем симметричную основную систему, разрезая арку в клю-
чевом сечении. При таком выборе основной системы от действия на
арку симметричной нагрузки неизвестных остается только два: Хх
и Х2. Обратносимметричное неизвестное Х3 равно нулю. Чтобы остав-
шиеся два уравнения содержали только по одному неизвестному,
опускаем из ключевого сечения арки абсолютно жесткие консоли до
упругого центра и прикладываем к ним Хх и Х2. Неизвестные Хх и Х2
найдем из выражений:
Х2 = — Д^р/Х2 =	6 >2>
228
В данном случае пру постоянном сечении арки упругий центр
совпадает с центром тяжести полуокружности, который находится
на расстоянии у0 от центра круга:
у0 = 2г/л = 0,637г.
Основная система дана на рис. XI.4, б.
Составим выражения моментов для а\
любого сечения арки, если
х = г cos а;
2г
у = г sin а — у0 = г sin а ——;
Л
ds = г da:
момент от заданной нагрузки
Мр = — qx*/2 = — (qr* cos2 а)/2;
момент от Xi = 1
Л?1 = — 1 •«/ = — (rsina —у0) =
== — г sina-|-2r/n:
момент от Х2 = 1
Жа = -1.
Переходим к определению переме-
щений. Перемещение по направлению
Хх, вызванное силой Хг = 1:
Л/2
Р /	2г\2
611 = 2 I I —rsina-f---) rda==
Jt/2
= 2r3A (sin2a--^-sina+^da =
Рис. XI.4
о я | a sin 2a , 4 cos a
“Zr I 2	4 + л
Перемещение по направлению Х2, вызванное силой Х2 = 1:
Л/2
S22 = 2 § rda = nr.
о
8*
227
Перемещение по направлению Хх от нагрузки
Л/2
ДХр = 2 \ -у г® cos® ar (sin a — -^rd
л/2
= <7r4 C
0
П/2
— qr* l (sina — sin3a —	— sin®a )da =—
J \	*1 Jv J	о
cos® a
Перемещение по направлению Х2 от нагрузки
Д2р = 2 ( ~ -г2 cos® a • г da = <?r3 f cos®a-da = ^?^.
b	b
Находим значения неизвестных усилий Хх и Х2:
у _ Д1д _ qrl _ qr
1 6ц	6 (я/2—4/л) г3	6 (п/2—4/п) ’
Х2 = — Д2р/622 = — qran/4nr = — qr2/4.
Определим изгибающие моменты в опорных и среднем сечениях арки:
Д4л = Л<д--^+Х1Уо-Х, = -^ + .6.(Х^)„+^-0,108^,
Мс - - X, (г - J.) + X, = -	('--)+¥ = 0.046,с».
Составим общее выражение изгибающего момента в любом сечении
арки:
Мх = — qx2/2 - Хху - Х2 =
~ - cosa ^а/2 - 6 (л/2^4/л)- (sin a - 0,637) г + qr2/4 =
= —0,5<jr® cos® a — 0,562gr® (sin a — 0,637) 4- 0,25</r®.
Угол, определяющий сечение, в котором действует наибольший
по абсолютной величине отрицательный изгибающий момент, найдем
dM Л
из условия = 0:
= 0,5gr® sin 2a — 0,562gr®cosa = <7r®sinacosa— Q,562qr2 cosa = 0;
sin a = 0,562; cos a = 0,827; a = 34° 10'.
Наибольший отрицательный изгибающий момент
Afmin = 0,5^0,827® - 0,562<7г® (0,562 - 0,637) + 0,25qr2 = — О.Об^г®.
Окончательная эпюра изгибающих моментов показана на
рис. XI.4, в.
228
§ XI.3. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ влияния
Арки наряду с фермами широко применяются в мостах, переходах,
эстакадах и других транспортных сооружениях, подверженных дейст-
вию подвижных нагрузок, для расчета которых используются линии
влияния. Как известно, задача о построении линий влияния сводится
к нахождению функциональной зависимости между искомым усилием
и положением перемещающегося по сооружению единичного груза.
Поскольку двухшарнирные и бесшарнирные арки являются статически
неопределимыми системами, то линии влияния внутренних усилий
строятся по общим правилам для этих систем. Подробнее процесс
построения линий влияния рассмотрим на примере.
Пример XI.5. Для бесшарнирной арки параболического очер-
тания, переменного поперечного сечения (Е1Х — Elclcos q>) построить
линии влияния неизвестных усилий Х1г Х2, Х3 (рис. XI.5, а).
Выберем основную систему, как показано на рис. XI.5, б, т. е.
разрежем арку в среднем сечении и приложим в упругом центре уси-
лия Х2 и Х3. Зависимость между усилиями Xlt Х2, Х3 и положе-
нием единичной подвижной нагрузки найдем из канонических уравне-
ний:
Х1 =--Х2=	-Хз= бзр/^33>
где б1р, й2р, б3р — перемещения в основной системе от подвижной
нагрузки Р — 1, зависящие от ее местоположения; б11,_622, dgg — пере-
мещения в основной системе от сил = 1, Х2 = 1, Х3 = 1, которые
являются постоянными.
Все перемещения 6<р, будем вычислять с учетом только изгибаю-
щих моментов, пренебрегая влиянием продольных и поперечных сил.
Пусть вначале груз Р = 1 двигается по левой полуарке и находится
на текущем расстоянии и <ут левой опоры А. Запишем выражения для
изгибающих моментов от каждой силы отдельно:
=	2ЙГ = -//2 + х; Д,ев=1; Ялрев = х-и.
Вычислим бХр, б2р и 63р:
Перемещения ё// вычислены ранее (см. предыдущий пример):
= 4Р1/(45Е/С); 622 = l'J/( 12EIC); 633 = l/(£/c).
229
Подставив получерные значения перемещений, получим выражения
для линий влияния Х1г Х2 и Х3:
У_____15и8 (2и	. и2 \ у _	(I и\ у и2
Л1— 4ft \1	1 PJ’ л2--------Лз—2Г
При движении единичного груза по правой полуарке выражения
для Хх и Х3 будут аналогичными, поскольку линии влияния и Х3
симметричны, а для Х2 следует знак изменить на обратный, так как ли-
ния влияния Х2 обратносимметричная. Сообщая и различные значения
(0^ и < //2), построим соответствующие графики, которые приве-
дены на рис. XI.5, в — д.
ГЛАВА XII
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ
ФЕРМЫ
§ ХП.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При расчете статически неопределимых ферм в качестве основных
неизвестных принимают усилия внутренних или опорных стержней
фермы и для их определения составляют уравнения метода сил, не
отличающиеся по форме от уравнений, составляемых при расчете
рам. Различие состоит в том, что при определении коэффициентов
и свободных членов уравнений учитывают не изгибающие моменты
в стержнях основной системы, а продольные силы.
При расчете на действие неподвижной нагрузки коэффициенты
при неизвестных и свободные члены уравнений метода сил определяют
соответственно по формулам
в __V' .л _________V' fyNph	fYTT n
где 27/, Nk__— продольные усилия в стержнях основной системы от сил
Xi = 1, Хк=1; Np — продольные усилия в стержнях основной
системы от внешней нагрузки.
Усилия Nit Nk, Np определяют аналитически либо путем построе-
ния соответствующих диаграмм усилий; суммирование распростра-
няется на все стержни фермы.
Окончательные усилия в любом стержне фермы находят по формуле
N (i> = N^Xj, + N^X2 +... + N^Xn + Np.	(X11.2)
Правильность решения проверяется выполнением условия
2t7T'--=0’	<xii3>
где
Для проверки можно также воспользоваться и формулой
А. А. Уманского
^Nili = ^(Pxx + Pyy),	(XII.4)
где РхяРу — проекции действующих сил на оси х и у, х, у — коорди-
наты приложения нагрузок.
Начало координат можно выбрать в любом месте; учитываются
все внешние силы, в том числе и опорные реакции.
231
При построении линий влияния (при расчете на подвижную на-
грузку) свободные члены уравнений &1р определяют при действии
силы Р = 1, которая перемещается по нижнему или верхнему поясу
фермы. Кроме того, используется теорема о взаимности перемещений,
согласно которой 6/р — bpt.
Величина &р{ может рассматриваться как линия прогибов нагру-
женного пояса фермы от силы Х{ = 1.
Для построения линий влияния в статически неопределимых
фермах удобно использовать способ упругих грузов.
§ XII.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ФЕРМ
Пример XII.1. Определить усилия в стержнях фермы, пока-
занной на рис. XII. 1. Площади поперечного сечения F всех стержней
приняты одинаковыми, модуль упругости Е постоянен.
Рис. XII.1
Ферма один раз статически неопределима. Ее основную систему
получаем путем отбрасывания среднего опорного стержня и замены
его влияния на ферму неизвестной реакцией (рис. XII. 1).
Таблица XII.1
Номер стержня	1ь см	см8	Nt	Nil ЕЕ	Np, кН	EF	N, кН	EF
0-1	500	200	0,825	1,74	—100	-208	—39,8	—82,3
1—2	400	200	1,333	3,56	—80 “	—213	16,2	43
0-7	400	200	—0,667	0,89	80	—107	31,8	-42,5
7—6	400	200	—0,667	0,89	80	—107	31,8	—42^5
1-6	500	200	—0,825	1,74	0	0	—60,1	124
1-7	300	200	0	0 6И = 8,82	60	0 Д1р = —635	60	0 167—167,3= = —0,3
Весь расчет, включая проверку вычислений, выполнен в табл.
XII. 1. Вследствие симметрии в таблицу внесены данные, относящиеся
к одной (левой) половине фермы.
Х1 = — Д1р/6и = 635/8,82 = 72,2 кН.
232
Наряду с проверкой вычислений, выполненной в последнем столб-
це табл. XII. 1, воспользуемся также для контроля формулой (XI 1.4)
£ЛМ = —5-39,8 + 4-16,2 + 2-4-31,8-5.60,14-60-3 = —0,3;
. S(PxX+PJ/l/) = V-0 + /f 0-60.0 = 0.
Здесь V и Н — соответственно вертикальная и горизонтальная состав-
ляющие реакции на левой опоре (в начале координат).
(3)
9 Л0 fl 12	13	14	15 16	17
Рис. XII.2
Обе проверки дали одну и ту же погрешность вычислений, равную
—0,3 и составляющую всего 0,18% от 167.
Пример XI 1.2. Построить линии влияния опорных реакций и
усилий в стержнях 2—3 и 2—12 фермы, изображенной на рис. XI 1.2,
833
а.	Площади сечений всех стержней равны F, и все они изготовлены
из одного материала.
Ферма имеет один лишний опорный стержень и, следовательно,
один раз внешне статически неопределима. Основную систему получим,
отбросив средний опорный стержень и заменив его основным неизвест-
ным Хх.
Поскольку в статически неопределимых системах все внутренние
усилия и их линии влияния зависят от значений основных неизвест-
ных, то очевидно, что прежде всего необходимо построить линию влия-
ния основного неизвестного Хх.
Уравнение линии влияния неизвестной опорной реакции Xt имеет
вид
Х,=-уби,	(XII.5)
где бп — единичное перемещение от силы Хх = 1; бр1 — эпюра вер-
тикальных перемещений узлов грузового (в данном примере нижнего)
пояса от силы Хх = 1;
6“=2ж-	<хп-6)
Здесь — продольное усилие в t-м стержне основной системы от
действия силы Хх = 1; lh F{ — соответственно длина и площадь попе-
речного сечения i-ro стержня; £z — модуль упругости материала
i-ro стержня.
Усилия XZ1 в стержнях основной системы от действия силы Хх = 1
можно определить графически, построив диаграмму усилий, или ана-
литически способом сечений. Значение найденных усилий указаны
на рис. XII.2, б.
Эпюру брХ строят при помощи упругих грузов, величины которых
для ферм определяют по формуле
=	(XII.7)
где IF„X — упругий груз n-го узла грузового пояса; Nln — усилие
в i-м стержне основной системы от действия единичной группы сил,
приложенной в n-м узле грузового пояса.
Не останавливаясь на теории определения перемещений при по-
мощи упругих грузов, напомним только, что упругими грузами Wn
называют систему фиктивных нагрузок, которые, будучи приложены
к горизонтальной балке, вызывают в ней изгибающие моменты, эпюра
которых совпадает с эпюрой прогибов.
Поскольку заданная ферма симметрична, то достаточно найти
упругие грузы lFnl только для узлов п = 1, 2, 3, 4. Для определения
упругого груза Fxx в узле 1 устанавливаем группу сил, как показано
на pric. XI 1.2, в. Возникающие в этом случае в стержнях фермы уси-
лия Ntl легко определить, построив диаграмму усилий, или способом
сечений. Значения найденных усилий указаны на рис. XI 1.2, в у осей
стержней фермы. Как видно, отличными от нуля оказываются усилия
в стержнях только двух нагруженных панелей фермы.
231
Полагая для упрощения вычислений Et — Е = \, Ft — F — 1,
подсчитаем по формуле (XII.7) величину первого упругого груза IFn:
Wn = 2 • 0,38 • 0,26 • 3/(1 • 1) = 0,593.
Выражение для упругого груза содержит только два слагае-
мых, равных по величине и зависящих от усилий в поясах фермы.
Остальные же четыре слагаемых, зависящих от усилий в раскосах
и стойках, сокращаются, поскольку они представляют собой произ-
ведения симметричных усилий Ntl па обратносимметричные усилия
N{1. То же самое будет иметь место при вычислении упругого груза
Ц721; при вычислении упругого груза IF31 добавятся два слагаемых,
содержащих произведения значений усилий в стойках, а в выражение
для упругого груза IF41 войдут все пять слагаемых, представляющих
произведения значений симметричных усилий Nti на значения симмет-
ричных усилий Ntl.
Для определения этих упругих грузов помещаем последовательно
группу сил в узлы 2, 3, 4; значения возникающих при этом усилий
в стержнях фермы указаны у осей стержней (рис. XII.2, г — е). По
формуле (XII.7) находим:
Ц7 21 = 2 2:76.	= 1,184;
, о 1,14.0,26-3 , 0,33-0,5-4
31-2 гп 1- ПТ
0,33 - 1 - 4 _
1-1 —
1,12;
,	„ 0,26-1,52-3 ,„0,42-0,62-5 ,
«~2 ПТ + “ ПТ +
= 7,605.
Основная система для заданной фермы представляет собой одно-
пролетную ферму с ездой понизу и с шарнирными опорами по концам.
Поэтому упругие грузы прикладывают к фиктивной однопролетной
балке, имеющей по концам шарнирные опоры. Поскольку все упругие
грузы положительные, то они направлены вверх. Фиктивная балка,
нагруженная упругими грузами, Изображена на рис. XII.3, а.
В этой фиктивной балке строим эпюру изгибающих моментов, кото-
рая представляет собой эпюру перемещений узлов фермы 6р1 от дей-
ствия силы XT = 1 (рис. XII.3, б).
Для принятой основной системы нет необходимости вычислять
величину перемещения 6П по формуле (XII.6), так как 6и в данном
случае равно по абсолютной величине и противоположно по знаку
перемещению 6р1 в узле 4, где приложена направленная вверх сила
Xj = 1. Следовательно, 6и = 64,587.
Подставив значения 8р1 (взятые из эпюры перемещений узлов фер-
мы — рис. XII.3, б) и величину 6П = 64,587 в уравнение (XII.5),
найдем ординаты линии влияния опорной реакции средней опоры фер-
мы, т. е. ординаты линии влияния неизвестного Хг (рис. XI 1.3, в).
Линию влияния левой опорной реакции построим по формуле
/?л = ^1Х1 + ₽лР,	(XII.8)
где 7?д — искомая линия влияния опорной реакции для заданной
фермы; RA1 — величина реакции на левой опорё от силы — 1
235
в основной системе;
ЯЛ1 = -1/2;
Rap — линия влияния реакции на левой опоре в основной системе
(рис. ХП.З, г); Хг— линия влияния основного неизвестного.
Линия влияния опорной реакции RA, построенная по формуле
(XII.8), приведена на рис. ХП.З, д. Линия влияния правой опорной
реакции RB будет иметь такой же вид, только ордината, равная еди-
нице, будет теперь на правой опоре.
п} 0,593 1,184 1,12 7,605 1,12 1,184 0,593
Рис. ХП.З
Линии влияния усилий в стержнях 2—3 и 2—12 построим, исходя
из формулы
N^NnX^Nip,	(XII.9)
где — линия влияния усилия в стержне; АГ^ — усилие в i-м стерж-
не от действия силы = 1 в основной системе; Nip — линия влияния
усилия в i-м стержне в основной системе.
Поскольку Ai(2sji = —1,14, N(2, 12)1 = 0,62 (см. рис. XII.2, б),
то получаем:
N 23 = —ItMXj+AT^p; АГ2,/2 = 0,62Х1 + ^2>/2)р.
По этим формулам вычисляют ординаты линий влияния усилий
в стержнях 2—3 и 2—12.
236
На рис. XII.4, а, в приведены линии влияния усилий N^syp и
N(2, аур, а на рис. XII.4, б, г — окончательные линии влияния уси-
лий в стержнях фермы и N2,12.
В заключение следует сделать два замечания относительно построе-
ния линий влияния в статически неопределимых фермах:
1.	В фермах с опорными стойками при езде по верхнему поясу
при построении эпюры перемещений узлов грузового пояса 6р1 необ-
ходимо учитывать перемещения от продольных деформаций опорных
стоек.
Рис. XII,4
В этом случае при основной системе с устраненной промежуточной
опорой (рис. XII.5, а) фиктивную балку с фиктивной нагрузкой при-
нимают по схеме, показанной на рис. XII.5, б; здесь фиктивная балка
нагружена упругими грузами, приложенными в узлах грузового (верх-
него) пояса и фиктивными моментами на опорах, выражающими
перемещения от продольных деформаций стоек:
М% = [tf <w) 1/(^0)]I09;	1/(ЕЛ)]к.7. (XII. 10)
2.	Вид фиктивной балки зависит от схемы заданной балки и опре-
деляется по правилам, изучаемым в курсе сопротивления материалов.
Для консольной фермы, изображенной на рис. XII.5, в, при указанной
основной системе фиктивная балка с фиктивными нагрузками изобра-
жена на рис. XII.5, е; фиктивные опорные моменты, определяемые
выражениями (XII. 10), при езде понизу отсутствуют.
Пример ХП.З. Построить линии влияния усилий в стержнях
2—3 и 2—12 фермы, усиленной шпренгелем (рис. XII.6, о).
237
Ферма один раз статически неопределима. Основную систему полу-
чим, разрезав затяжку шпренгеля и приняв усилие в этой затяжке
за основное неизвестное Хх (рис. XII.6, б).
Построение линий влияния усилий в стержнях фермы начинаем
с построения линии влияния основного неизвестного Хг. Для упро-
щения вычислений положим, что площади всех стержней одинаковы
и равны F, а также что = Е. Это позволит принять при расчете
Ft = 1, Е{= 1.
Линию влияния основного неизвестного строим по формуле
(XII.5). Перемещение Su находим по формуле (XII.6), беря значения
Рис. XII.5
усилий /7а в основной системе от действия силы = 1, приведенные
на рис. XII.6, б. Проделав соответствующие вычисления, найдем
би = 99,07. Заметим, что при определении 6и суммирование распро-
страняется на элементы шпренгеля и разрезанную затяжку.
Эпюру вертикальных перемещений грузового (нижнего) пояса
фермы 6р1 строим при помощи упругих грузов, определяемых по фор-
муле (XII.7), устанавливая единичную группу сил последовательно
в узлы грузового пояса фермы. Поскольку основная ферма аналогична
ферме, -Рассмотренной в предыдущем примере, то для определения
усилий Nin в ферме от последовательного нагружения узлов нижнего
пояса единичной группой сил воспользуемся уже полученными ранее
результатами. При вычислении упругих грузов 1ГЯ1 значения усилий
Nln берем из рис. XII.2, в — е, а значения усилий Ntl — из рис. XII.6,
233
Рис. XII.6
6)
сз
77. в. N23
Л-в» ^2,12
Рис. XILT
239
б.	Так, например, определим величину упругого груза TFU:
+(=£!26)E24d = _lt477 и т д.
Фиктивная балка, нагруженная упругими грузами, изображена
на рис. XII.6, Ъ. Поскольку все упругие грузы отрицательны, то они
направлены вниз. Эпюра перемещений узлов фермы 6р1 приведена
на рис. XII.6, г.
На рис. XII.7, а показана линия влияния основного неизвестного
Хх, ординаты которой вычисляют по формуле (XII.5).
Линии влияния усилий в стержнях 2—3 и 2—12 строят по формуле
(XII.9), в которой N(23)i = 1,72, ЛГ(г> /2)1 = —0,42, поэтому
Nзз — 1,72ХхN(23}р\ N2, /г — —0,42Х14*Л^(2,12)р>
По этим выражениям вычисляют ординаты линий влияния усилий
в стержнях (рис. XII.7, б, в). Необходимо отметить, что при наличии
распора в затяжке шпренгеля значительно уменьшаются величины
ординат линий влияния. Следовательно, усилия в стержнях шпрен-
гельной фермы будут меньше, чем в такой же ферме без шпренгеля.
ГЛАВА XIII
РАСЧЕТ РАМ И НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
§ ХШ.1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАСЧЕТА РАМ
Как и метод сил, метод перемещений является одним из важней-
ших методов расчета статически неопределимых систем. В качестве
основных неизвестных в этом методе принимают упругие перемеще-
ния узлов системы: углы поворота узлов и их линейные перемеще-
ния (рис. ХШ.1, а).
Общее число неизвестных метода перемещений п, называемое
степенью кинематической неопределимости
системы, определяют как сумму неизвестных углов поворота и не-
известных линейных перемещений узлов пл:
п = пу4-/гл.
Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов,
вследствие чего определение пу сводится к простому подсчету числа
«жестких» узлов рамы (например, узлы 2, 3 на рис. ХШ.1, а).
Для определения числа линейных перемещений узлов пя вводится
предположение о том, что длины хорд упругих линий прямых стержней
рамы после их деформации остаются равными первоначальным длинам
этих стержней, т. е. не учитывается сближение концов прямого стержня
при его изгибе и действии продольной силы. В результате этого число
независимых линейных смещений узлов заданной системы будет
равно степени свободы шарнирной схемы, полученной из заданной
системы введением шарниров во все узлы, включая и опорные
241
(рис. XIII. 1, б). При этом все статически определимые консоли, если
они имеются в заданной системе, должны быть предварительно от-
брошены.
Таким образом, для рамы, представленной на рис. ХШ.1, а,
число независимых линейных перемещений узлов будет равно:
пд = 2У —С —Со= 12 —5 —6 = 1,
а общее число неизвестных при пу = 2 составит
п = 2+1=3.
В том случае, если заданная система содержит кроме прямых
и криволинейные стержни (рис. XIII.2), необходимо учитывать воз-
можное сближение концов криволинейных стержней после их дефор-
мации. При этом формула, определяющая число независимых линей-
ных смещений узлов системы, получит следующий вид:
пд = а4-2У — С — Со,
где а — число криволинейных стержней.
Например, для рамы, изображенной на рис. XIII.2, будем иметь:
пл= 1 + 12 —5 —6 = 2 и п = 34-2 = 5.
После определения числа неизвестных образуют основную систему
метода перемещений путем наложения на узлы заданной системы
связей, препятствующих их перемещениям. В соответствии с приня-
тыми неизвестными эти связи бывают двух типов: связи, препятствую-
щие повороту узлов (защемления), и связи, препятствующие линей-
ным перемещениям узлов (опорные стержни) (рис. XII 1.3). Заметим,
что вводимые в основную систему метода перемещений защемляющие
связи отличаются от обычной жесткой заделки тем, что оказывают пре-
пятствие лишь повороту узла и не лишают его линейной подвижности.
Общее число вводимых в основную систему связей равно, естественно,
числу неизвестных метода перемещений.
На рис. ХШ.З представлены примеры образования основных сис-
тем метода- перемещений и показаны предполагаемые направления
неизвестных перемещений. При этом здесь, как и в дальнейшем, все
перемещения вне зависимости от их типа (угол поворота или посту-
пательное смещение) обозначены для общности единым символом Zt.
242
Для определения основных неизвестных Zt записывают систему
канонических уравнений метода перемещений:
Г 11^1 + Г 12^2 + • • • + f 1П%П + Rip = О,
r 21^1 + r 22^2 + • • • + r in^n + R<lp —
(XIII.1)
r П1%1 + f П2^2 + • • • + r tinZn + Rnp-0.
Каждое из этих уравнений выражает условие, что суммарная реак-
ция каждой наложенной на заданную систему связи равна нулю, так
как в заданной системе эти связи отсутствуют. Так, в левой части пер-
Рис. XIII.3
вого уравнения стоит суммарная реакция первой дополнительной
связи, во втором уравнении — суммарная реакция второй дополни-
тельной связи и т. д. Отсюда следует, что уравнения метода переме-
щений — статические в отличие от уравнений метода сил, которые
имеют кинематический характер.
Входящие в канонические уравнения коэффициенты при неизвест-
ных гik представляют собой реактивные усилия (моменты или силы),
возникающие в связи i от единичного перемещения Zk связи k. Свобод-
ные члены этих уравнений Rlp — реактивные усилия в связи i от
внешней нагрузки. Единичные г1к и грузовые Rip реакции имеют поло-
жительный знак в том случае, если их направления совпадают с задан-
ным направлением перемещения связи i. Коэффициенты с одинаковы-
ми индексами ги, г2а,.... гпп называют главными, а коэффициенты
ru, ....... Гц, — побочными. Главные коэффициенты всегда
243
положительны и не равны нулю, а побочные коэффициенты, как и в
методе сил, обладают свойством взаимности, т. е. rlk = rkl. Благодаря
этому система канонических уравнений метода перемещений симмет-
рична относительно главной диагонали и ее можно решить при помощи
сокращенного способа Гаусса.
Для определения коэффициентов и свободных членов канонических
уравнений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих
моментов в основной системе от единичных неизвестных перемещений
узлов рамы и от внешней нагрузки. Поскольку основная система метода
перемещений представляет собой совокупность независимых элемен-
тов— однопролетных статически неопределимых балок (рис. XIII.3),
построение указанных эпюр сводится к определению усилий в одно-
пролетных балках от перемещений их концов и от нагрузки. Эти уси-
лия, вычисленные для наиболее важных случаев перемещений и на-
гружений однопролетных балок постоянного сечения, приведены
в табл. XIII.1.
После построения единичных эпюр и грузовой эпюры моментов
с помощью табл. XIII. 1 приступают к вычислению единичных коэффи-
циентов rlk и свободных членов Rlp канонических уравнений. При
этом могут быть использованы два способа: статический способ и спо-
соб перемножения эпюр.
Статический способ является основным в методе пере-
мещений, что объясняется его простотой и наглядностью. Он основан
на использовании уравнений равновесия для определения реакций
введенных связей, которые и являются искомыми коэффициентами
при неизвестных и свободными членами канонических уравнений.
Например, коэффициенты и свободные члены, представляющие реак-
тивные моменты во введенных защемлениях, определяются из условий
равновесия вырезанных из основной системы узлов в виде SA4 = 0.
Коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений, пред-
ставляющие реактивные усилия во введенных стержневых связях,
могут быть определены из условий равновесия некоторой отсеченной
части основной системы, содержащей эти связи. Как уже было сказано,
положительное направление определяемой реакции, моментной или
силовой, совпадает с принятым направлением неизвестного угла пово-
рота или линейного смещения узла.
Способ перемножения эпюр целесообразно приме-
нять, например, при расчете рамы с наклонными стойками, когда
применение статического способа усложняется. Коэффициенты при
неизвестных в этом способе определяют путем интегрирования (пере-
множения) соответствующих единичных эпюр:
г»“2^ТГ1<Ь’	(ХП1.2)
где Мь Мь — эпюры от единичных перемещений, построенные в основ-
ной системе метода перемещений.
Свободные члены уравнений находят по формуле
«<.—2$^*. <хпи>
244
Таблица ХШ.1
№
п/п
Схема балки и эпюра
изгибающих моментов
Формулы моментов и реакций
г
Ra =5ql/8',
RB—3ql/8 =
3
Pl
Pv
ra=~ (3-°2);
p,,2
^„^-(3-ц)
245
Продолжение табл. XIII. 1
№ п/п	Схема балки и эпюра изгибающих моментов	Формулы моментов и реакций
1	2	3
«л
3Zaf Z;
“2d ;
Неравномерный нагрев

5
р -р -3t'af 
Л!л _Л?В--— ,
а—коэффициент теплового линейного
расширения;
4 > /а> Z'=4—/2
8
Л1Л=Л1В =^2/12;
246
Продолжение табл. XIII. 1
Ха п/п	Схема балки и эпюра изгибающих моментов	Формулы моментов и реакций
1	2	3
Неравномерный нагрев

9
МА — uv2Pl;
Мв —u2v Pl;
RA=v2(\--2u)P±
RB=u2(\+2v) P
МА = МВ —iai'l/d;
ra=Rb=q-
а —коэффициент теплового линейного
расширения;
12ч I ~ll
12
—MB ==tj
%А ^В
247
Продолжение табл. X111.1
№ п/п	Схема балки и эпюра изгибающих моментов	Формулы моментов и реакций
1	2	3
15
Неравномерный нагрев
М А = МВ = iafl/d;
RA~RB=b
а — коэффициент теплового линейного
расширения;
h>li

где Мр — эпюра моментов от нагрузки, построенная в любой стати-
чески определимой системе, образованной из заданной рамы.
Заметим, что способ перемножения эпюр может быть применен
в качестве контроля правильности вычисления коэффициентов и сво-
бодных членов канонических уравнений, найденных статическим спо-
собом.
После определения из канонических уравнений основных неиз-
вестных Zx, ..., Zn эпюра изгибающих моментов от нагрузки строится
по формуле
м=ад+ад+... +мпгп+мр,	(X ш .4)
248
а эпюры поперечных и продольных сил — при помощи приемов, ана-
логичных тем, которые используются в методе сил.
Проверкой правильности полученных эпюр является статическая
проверка условий равновесия вырезанных узлов и отдельных частей

ж
Г
II
4
EI
1
1=10 кН/м
1^8,0 и
£1
5
EI
3
4
о-
1
1,2~5)0 м
Рис. XIII.4
рамы. Эта проверка является необходимой и достаточной при условии
правильности исходных единичных и грузовых эпюр. Наряду с ней
могут быть применены и кинематические проверки (универсальная
и построчные), применяемые в методе сил. Для этого необходимо
окончательную эпюру моментов умножить на единичные эпюры (или
их сумму), построенные в любой основной системе метода сил, обра-
зованной из заданной рамы.
Пример ХШ.1. Для рамы, показанной на рис. XIII.4, а,
построить эпюру изгибающих моментов М. и произвести необходимые
проверки расчета при условии, что жесткости всех стержней одина-
ковы и равны EI.
Подсчитаем число основных неизвестных. Так как число неизвест-
ных угловых перемещений равно числу жестких узлов рамы, то пу =
= 2. Число линейных сме-
щений получим из рассмот-
рения шарнирной схемы,
образованной из заданной
рамы (рис. XIII. 4, б), по
формуле ’
пл = 2-6 —5 —6= 1.
То, что узлы рамы имеют
только одно независимое
линейное перемещение,
можно определить и без
применения формулы. Дей-
ствительно, узлы рамы 4
из-за опорных закреплений 1 и 2 и принятой гипотезы о нерастяжи-
мости стержней и неизменности их длины при изгибе. Им доступно
только горизонтальное перемещение, которое будет одинаковым для
Первая
связь
4
5
Третья
> у связьх
'Вторая Г_
связь

7
WIT
Рис. XIII.5
и 5 не могут перемещаться по вертикали
249
узлов 4, 5 и 3 вследствие того, что они связайы между собой стерж-
нями 4—5 и 5—3.
Образуем основную систему, введя связи, препятствующие воз-
можным угловым и линейному смещению, и обозначив предполагае-
мые направления трех неизвестных перемещений (рис. XIII.5). Исполь-
Рис. XIII.6
зуя табл. XIII. 1, построим эпюры моментов Mlt Л72, Л?3 от единичных
перемещений введенных связей по заданным направлениям и эпюру
Мр от действия нагрузки на основную систему (рис. XIII.6, а—г).
На рис. XIII.5 и XIII.6 использованы следующие обозначения:
i^EIflh^EUl, i2 = EIllt — El!3t 13 = ЕЦ11г = ЕЦЬ.
Заметим, что при построении единичных эпюр полезно предварительно
нанести на схему рамы перемещение оси каждого стержня, вызванное
заданным единичным смещением (штриховая линия на рис. XIII.6,
а—в), что позволит установить положение растянутых волоков и пра-
вильно изобразить эпюру моментов.
Система канонических уравнений имеет вид:
Г11%1 + Г 12^2 + Г 13^3 4" Rip ~
^21-^1 4” 22^2 4" Г 23^3 4" Rzp ~ О»
^81^14- f 32^2 4" 83^3 4" Rsp = О-
250
Для определения коэффициентов и свободных членов этих уравне-
ний — реактивных усилий в наложенных связях — применим стати-
ческий способ. Для этого вырежем вначале узел 4 и рассмотрим усло-
вие его равновесия в случаях, представленных на рис. XIII.6, а—г,
т. е. определим коэффициенты первой строки канонических уравнений.
Рис. ХШ.7
На рис. XIII.7, а—г показан узел 4 с действующими на него момен-
тами со стороны отброшенных частей рамы и реактивными моментами
в защемлении (первой связи). Условия равновесия этого узла позво-
ляют получить:
ги = 4г1+4г2 = 3£'//2; г12 = 2г2 = £7/4; r13 = — Qijht = — 3EI/8;
Rlp = — ql[/\2 — — 10-10»-82/12 Н-м = —160/3 кН-M.
Отрицательный знак в двух последних случаях объясняется тем, что
направления реактивных моментов г13 и Rlp противоположны задан-
ному направлению угла поворота первой связи.
Аналогично могут быть определены коэффициенты второго канони-
ческого уравнения, для чего из рамы должен быть вырезан узел 5
и рассмотрены условия его равновесия при тех же четырех воздейст-
виях на основную систему (рис. XIII.6, а—г). Из рис. XIII.8, а—г
следует:
r2i= г22 — EI г22 — Ц- 4/2 3t3 -|- 3t3 = 5£7/2;
r23 = 6i1//i1 — 8i3lh3 — lEll24\ /?2р = ^1/12== 160/3 кН-м.
Для определения коэффициентов третьего уравнения, представ-
ляющих реакции во введенном стержне (третьей связи), рассечем
стойки и рассмотрим условие равновесия средней части рамы, содер-
жащей введенный стержень (рис. XIII.9, а—г). При этом под условием
равновесия будем понимать равенство нулю проекции всех сил, дейст-
вующих на выделенную часть рамы, на горизонталь: 2 X — 0. Отлич-
ные от ну^я проекции дадут искомые реакции во введенном стержне
и поперечные силы, приложенные в местах рассечения стоек. Послед-
ние определяется обычным путем по эпюрам Mlt Л/2, /И3, Мр.
251
Из рис. XIII.9, а—г следует:
Пи — Пз “ —&EI /8; Г32 = fgg — 7Д//24;
r38= 12ii//iJ+ 12i;//t? + 3i3//4 = 7£Z/18; /?sp = 0.
Проверка найденных коэффициентов и свободных членов может
быть осуществлена способом перемножения эпюр. Для выполнения
Рис. XIII,8
Рис. XIII.9
универсальной проверки построим суммарную единичную эпюру Д,,
представляющую сумму единичных эпюр (рис. XIII. 10), и перемножим
ее саму на себя:
£ $^-<fc = 85£7/16.
То обстоятельство, что сумма всех найденных коэффициентов равна
тому же числу 2r/ft = 85£//16, подтверждает правильность их вы-
числения.
252
Для проверки свободных членов необходимо построить эпюру
изгибающих моментов М'р от внешней нагрузки в любой статически
определимой системе, обра-
зованной из заданной ра-	—„
мы, и перемножить ее с	yJljlL
эпюрой
Для двух из возможных
эпюр Л1р, представленных
на рис. XIII.11, этот ин-
теграл обращается в ноль,
что также подтверждает
правильность вычислений,
так как в нашем случае
S	Ц- 7?2р4” R'sp~
= 0.
Рис. XIII.10
Найденные значения коэффициентов и свободных членов позво-
ляют переписать систему канонических уравнений в виде:
8/2z14-1/1z2-8/8z3=-^, .
1Лг1+5АЛ+’/21Х3 = -~-,
--3/8^1 + V21^2 + 7/18%3 ~ 0.
Решение этой системы дает:
Z1 = 65,4/(£/), Za = —38,4/(£7), Z3 = 91,8/(£7).
Единичные эпюры (см. рис. XIII.6, а—в) могут быть теперь исправ-
лены, т. е. умножены на найденные значения неизвестных. При этом
знак у второй эпюры изменится на обратный, так как Za имеет отри-
цательный знак. Окончательную эпюру изгибающих моментов
(рис. XIII. 12) построим согласно выражению
М =	+ MaZa + M3Z3 + мр.
253
Достаточной проверкой ее правильности являются статические
проверки, приведенные на рис. XIII. 13 и XIII. 14. При желании еде-
Рис. ХШ.12
Рис. XIII.13
1.М5-0
Рис. ХШ.14
лать дополнительную кинематическую проверку подобно тому, как
это делается в методе сил, необходимо построить единичные эпюры
в основной системе метода сил
и перемножить их или сум-
марную единичную эпюру М'а
(например, рис. XIII. 15) с
окончательной эпюрой изги-
бающих моментов. При пра-
вильном расчете результат та-
кого перемножения должен
быть равен нулю. Эта провер-
ка будет служить контролем
правильности принятых для
расчета единичных, эпюр и
грузовой эпюры изгибающих
моментов.
Рис, XIII,15	Пример XIII,2. Для ра-
мы с наклонными стойками,
показанной на рис. XIII. 16, а, построить эпюры М, Q, N при усло-
вии, что жесткость ригеля 2—3 вдвое больше жесткости стоек 1—2
и 3—4.
254
Степень кинематической неопределимости рамы
п = пу+пл= 14-1=2.
Образуем основную систему, введя защемление в узле 2 и поставив
горизонтальный опорный стержень в узле 3 (рис. XIII. 16, б). Для
Рг = 80 кН
Рис. XIII.16
определения неизвестных перемещений Zx и Z2 по направлению введен-
ных связей запишем систему канонических уравнений:
f п^1+ri2^2+Rip—0;
Г 21^1 + Г «2^2 + Rzp — 0-
Построим эпюры изгибающих моментов от единичного перемещения
Zi и от указанной нагрузки и Р2, пользуясь табл. XIII.1, позиции
2, 4, 7 (рис. XIII.17, а, б). Заметим, что узловая нагрузка не вызы-
вает изгибающих моментов в основной системе. Для построения эпюры
от единичного горизонтального перемещения Z2 второй связи необхо-
димо знать, как перемещаются в этом случае концы стержней, обра-
зующих раму. Дело в том, что перемещение узла 3 происходит по на-
Рис. ХШ.17
правлению, перпендикулярному линии 3—4 (искомое перемещение Z2
является горизонтальной проекцией полного смещения узла 3),
а узла 2 — по направлению, перпендикулярному линии 1—2. В ре-
255
зультате этого происходит относительное перемещение узлов 2 и 3
по вертикали.
Для определения указанных перемещений построим для шарнир-
ной схемы, образованной из заданной рамы (рис. XIII. 18, а), поляр-
Рис. ХШ.18
ный план перемещений (рис. ХШ.18, б). Из этого плана определим
взаимное перемещение концов стержней:
Д12 = Д34 = l/cos 30° = 1,155; Д23 = 2 tg 30° =1,155.
Так как введенное защемление препятствует повороту узла 2, от
найденных взаимных смещений произойдет изгиб стержней (рис.
ХШ.18, в). Эпюра моментов М2 может быть теперь построена
с помощью формул первой и шестой строки табл. XIII. 1
(рис. ХШ.18, г).
Рис. XIII.19
Коэффициенты ru, г12 и свободный член Rlp определим из условия
равновесия узла 2:
rn = 0,667£/ + 1,50£/ = 2,167£/,
г12 = 0,433£/ —0,192£/= 0,241£7, Rlp = ~ 60 кН-м.
Для определения коэффициента г22, представляющего собой реак-
цию во введенном стержне от смещения Z2 = 1, следует рассмотреть
условия равновесия ригеля, отсеченного от стоек. Для этого необ-
ходимо определить поперечные и нормальные силы, соответствующие
256
эпюре Л12> вырезав из рамы вначале узел 2, а затем узел 3. Так, напри-
мер, условия равновесия узла 2 (рис. XIII. 19, а) дают:
= 0; (0,108 + 0,064 sin 30°) EI - N2l cos 30° = 0,
откуда = 0,16257;
5)
Nzr51,755
Рис. ХШ.20
2Х = 0; (0,162 sin 30°+0,064 cos 30°) EI - N33 = 0,
откуда NM = 0,13657.
Условия равновесия узла 3 (рис. XIII. 19, б) позволяют получить:
= 0; (-0,108 - 0,016 sin 30°) EI - N3l cos 30° = 0,
откуда N3i = —0,13457;
£Х = 0; (0,136+0,016 cos 30°+0,134 sin 30°) 57 - r22 = 0,
откуда, наконец, r22 = 0,21757.
Аналогично может быть оп-
ределен и свободный член урав-
нения Т?2р по эпюре Мр (рис.
ХШ.20,аиб):₽2р= - 37,320кН.
Использование статического
способа для определения коэф-
фициентов типа г22 для рамы с
наклонными стойками приводит
к усложнению расчетов. Поэто-
му в подобных случаях проще
воспользоваться способом пере-
множения эпюр:
Рис. ХШ.21
г!, = 25§* = (О-^-4-о.192.2 + О-^±4-о.433.1 +
+ °'°” 6 •	0,096^EI = (0,074 + 0,125 + 0,018) Е1 - 0,217£/.
Zu	J
Для определения свободного члена уравнения R3p этим способом
необходимо построить эпюру моментов от нагрузки в статически опре-
делимой системе, образованной из заданной рамы (рис. ХШ.21),
9 п/р* Клейна Г. К.
257
а затем произвести вычисления по формуле
R2p = _ 2 J ^2- ds = — (2 • 503,92 -2-160+160- 503,92) 0,192 +
+ (2 • 0,433 + 0,216) 160 • ~	= —66,17 + 28,85 = —37,32 кН.
Рис. ХШ.22
Запишем теперь канонические уравнения в численном виде, поде-
лив их почленно на ЕГ.
2.167Z! + 0,241 Z2 - 60/EI = 0; 0,241Z, + 0,217Z2 - 37,32/£/ = 0.
равновесия
рамы (рис.
Решение этих уравнений дает:
lw	Z^gjee/r/; Z2=161,132/£Z.
"' *— —q	Окончательную эпюру моментов '
\2,515 строим по формуле
M = M1Z1 + ^Z2 + MP.
(кН) \ Эта эпюра, а также соответствующие
54,722\ ей эпюры поперечных и продольных сил
показаны на рис. ХШ.22, а—в. Можно
ХШ.23	видеть, что в узле 2 изгибающие моменты
уравновешены. Удовлетворяют условиям
и силы, действующие на верхнюю отсеченную часть
ХШ.23):
= 0; 20 + 34,125 sin 30° - 8,684 cos 30° - 2,576 cos 30° -
— 54,727sin 30° = 37,520 —37,420 —0,100 (погрешность — 0,3%);
2У = 0; 80-34,125 cos 30°-8,684 sin 30°+2,576 sin 30°-
- 54,727 cos 30° = 81,288 - 81,288 = 0.
Следовательно, расчеты выполнены правильно.
§ XIII.2. УПРОЩЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ СИММЕТРИЧНЫХ РАМ
При расчете симметричных рам методом перемещений, так же как
и в методе сил, можно использовать условия симметрии, применив груп-
пировку неизвестных. При этом неизвестные перемещения симмет-
рично расположенных узлов группируются в новые парные неизвест-
258
ные, представляющие собой симметричные и обратносимметричные
перемещения. В результате этого все эпюры от единичных неизвест-
ных будут только симметричными или обратносимметричными, а
канонические уравнения распадутся на две независимые системы,
содержащие только симметричные или только обратносимметричные
групповые неизвестные. Заметим, что неизвестные перемещения узлов,
расположенных на оси симметрии, всегда обладают симметрией или
обратной симметрией и поэтому не группируются.
Форма канонических уравнений при группировке неизвестных
остается прежней. Однако значения единичных коэффициентов и сво-
бодных членов приобретают в них иной смысл. Здесь rik и Rip — обоб-
щенные реакции, соответствующие обобщенному перемещению Zz
от парного смещения Z* и от нагрузки. Эти обобщенные реакции опре-
деляются как алгебраические суммы простых реакций в связях, кото-
рые одновременно смещаются при групповом парном перемещении Zk.
Положительные направления простых реакций принимаются, как и
ранее, совпадающими с задаваемыми направлениями перемещений
тех связей, в которых они определяются.
Рис. ХШ.24
it 11
В качестве примера на рис. ХШ.24, а, б показана рама с несиммет-
ричной нагрузкой и соответствующая ей основная система метода
перемещений с применением группировки неизвестных. Общее коли-
чество неизвестных перемещений составляет здесь п = пу 4- пя =
==54-3 = 8. Неизвестные перемещения Z3, Z4, Z6, Z8 являются сим-
метричными, а неизвестные Zr, Z3, Z5, Z7 — обратносимметричными.
П р и м е р XIII.3. Для рамы, показанной на рис. XIII.25, а,
построить эпюры М, Q, N при условии, что жесткости всех стержней
одинаковы и равны EI, а / = 5 м.
Степень кинематической неопределимости рамы
и = му 4~ = 2 4-1=3.
В соответствии с этим выберем основную систему в виде показан-
ной на рис. XIII.25, б. Используя условия симметрии, сгруппируем
неизвестные углы поворота, т. е. угол поворота узла 2 представим
в виде суммы двух углов поворота Zx и Z3, а поворот узла 2', симмет-
9*	259
ричного узлу 2, в виде разности Zt и Z2. Горизонтальное перемещение
ригеля Z8 является обратносимметричным неизвестным, так как узел 2'
при этом смещается от оси симметрии рамы, а симметричный ему узел
2 — к оси симметрии.
Рис. XIII.25
Для определения групповых неизвестных Zx, Z2 и Z3 запишем си-
стему трех канонических уравнений:
f f	+г 18Z8 4* Rip = 0;
Г 21^1 + г	4- г 28Z8 4- /?2р “
Г31^1 4" г82^2 4" Г88^8 4" Rap — 0.
Единичные эпюры изгибающих моментов от действия неизвестных
21, Z2, Z9 и внешней нагрузки представлены на рис. ХШ.26. Эти эпюры
позволяют получить для коэффициентов и свободных членов канони-
260
ческих уравнений следующие значения:
ru = rii + ги =77 + 71 =14l‘‘>
ri2==r?a+rn=7t’-7Z:=0;
Г13 = Г13 + ris=	~ bi I1 = —12///;
r22==r22 + r"2==7Z + 7t’=14Z;
r23 =	+ r"»=~6'7Z + 6//Z = 0;
r33 = 27Z/Z2;
Rlp = RZP = RiP + RiP = “ Ч12/8 + 0 —
RbP ~ 0*
2,25м
13,
~4,fz
Здесь индексами «л» и «п», стоящими при реакциях, обозначены соот-
ветственно левая (узел 2) и пра-
вая (узел 2') дополнительные за-
делки, в которых определяются
простые реакции (реактивные
моменты). Реакции в дополни-
тельном стержне г33 и R3p опре-
делены из условия равновесия
(SX = 0) отсеченного ригеля
рамы.
Вследствие равенства нулю
четырех единичных коэффициен-
тов система канонических урав-
нений распадается на две систе-
мы, которые в числовых значе-
ниях имеют вид
l4iZr— VZiZ8/l =
— 12iZ1//-+-27iZ3/Z2 = 0;
14tZ2 = ^2/8
0,94 0,80.
и позволяют найти для неизвест-
ных следующие значения:
7 —L.3^ 7 -
1	208 i ’	2	112i ’
7 -
Лз- 156Г
Умножив единичные эпюры
Л?1, Л?2, М3 на найденные зна-
чения неизвестных и сложив их
Рис. ХШ.27
с эпюрой от нагрузки Мр, а также учтя, что ^=10 кН/м, а / = 5м,
получим окончательные эпюры моментов поперечных и продольных
сил (рис. XIII.27). Эти эпюры отвечают всем условиям равновесия,
что подтверждает правильность выполненного расчета.
261
§ XI1I.3. РАСЧЕТ РАМ НА ТЕПЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
И НА СМЕЩЕНИЕ СВЯЗЕЙ
При расчете рам на тепловое воздействие и на заданное смещение
опор переход к основной системе осуществляется так же, как и при
расчете на силовое воздействие. Аналогичным образом вычисляют
и проверяют коэффициенты при неизвестных в канонических уравне-
ниях. Отличие состоит лишь в том, что вместо свободных членов Rlp,...,
Rnp, соответствующих нагрузке, должны быть записаны Rlf..........
Rnt при расчете на тепловое воздействие и 7?1с, ..., Rnc при расчете
на смещение опор.
Для вычисления свободных членов Rtf канонических уравнений
при расчете рамы на тепловое воздействие необходимо построить
в основной системе метода перемещений эпюру изгибающих моментов
от действия температуры. Эта эпюра будет состоять из двух частей:
эпюры от неравномерного нагрева стержней М'( и эпюры от равномер-
ного нагрева стержней Mt.
Эпюра M't от неравномерного нагрева_/' = /х — /2 строится при
помощи табл. XII 1.1 (строки 5, 10, 15). Построение эпюры Mt от рав-
номерного нагрева t" = (4 + /г)/2 является более сложным. Для ее
построения нужно знать тепловые перемещения узлов основной си-
стемы, т. е. перемещения концов каждого стержня по перпендикуляр-
ному его оси направлению. Эти перемещения происходят вследствие
удлинения или укорочения стержней от теплового воздействия. При
этом узлы рамы не поворачиваются, так как этому препятствуют за-
щемляющие связи основной системы.
После построения эпюр M't и Ml свободные члены Rit, представ-
ляющие собой реакции во введенных связях от теплового воздейст-
вия, вычисляются по формуле
Rit^Rlt + Ru.	(XIII.5)
Эпюра изгибающих моментов от теплового воздействия строится
по формуле
Mt =	+ M2Z2 +... + MnZn + Mt + M’t.	(X111.6)
Для..вычисления свободных, членов канонических уравнений Rlc
при расчете рамы на смещение опор нужно построить в основной
сйстеме Зпюру Ml от заданного смещения опор. Построение такой
эпюры легко выполняется при помощи табл. XIII.1 (строки 1,6, 11, 17),
если предварительно определены поступательные перемещения кон-
цов стержней в основной системе по -перпендикулярному им направ-
лению, вызванные заданным смещением опор.
Окончательная эпюра" изгибающих "моментов от смещения опор
определяется выражением:
,МС = AljZj,-|-..Af2Z2...-J- MfiZu -|- Мс; 	(XIII.7)
Проверки правильности построенных эпюр Mt и Мс, как и при расчете
на нагрузку, заключаются в проверке выполнения условий равновесия
для всех узлов и любых отсеченных частей рамы. Наряду с этим воз-
262
Можна й проверка перемножением Этих Эпюр с любой единичной илй
суммарной единичной эпюрой Ма метода перемещений:
2j2&.ds = °; 2j2!^ds==0	(XIII.8)
Пример ХП1.4. Построить эпюры Mt, Qt, Nt в раме от ука-
занного на рис. XIII.28, а теплового воздействия, приняв жесткости
стержней одинаковыми и равными EI — 60 МН -м2, высоту сечения
d = 0,6 м, а коэффициент теплового линейного расширения а —
= 0,00001.
а)
'' d-0,6M
II
t2-0
4
————Q
t3=+20aC
tfO

1
ж
5
LsBm
Рис. XIII.28
Заданная система дважды кинематически неопределима, в резуль-
тате чего система канонических уравнений запишется в виде:
Г11^1 Ч" Г 12^2 + Rlt = 0»
f21^1 + 22^2 “Ь ^2t = О'
Основная система с неизвестными перемещениями Zj и Z2, а также
с значениями температур неравномерного и равномерного нагрева
стержней показана на рис. XII 1.28, б.
Единичные эпюры, показанные на рис. XIII.29, позволяют найти
для коэффициентов канонических уравнений следующие значения:
rn — 2,5EI, г12 = г21 = 0, г22 = 27Е1/64.
Эпюра моментов M't от неравномерного нагрева стержней f строится
при помощи табл. XIII. 1 (строки 5 и 10) и имеет вид, показанный
на рис. ХШ.ЗО, а. Для построения эпюры моментов М? от равномер-
ного нагрева определим сначала удлинения стержней рамы:
удлинение стойки 1—2
Дх = at^h = 20а;
удлинение ригеля 2—4
Д2 = at^h = 60а;
263
Рис, XIII.29
2ig-0,5EI
Рис, ХШ.30
а
удлинение стойки 4—5
Д3 = а/45/1 = 40а.
Новое расположение узлов основной системы после равномерного
нагрева показано на рис. XIII.30, б. Из рассмотрения этого рисунка
найдем величины взаимных смещений узлов:
Д12= Д<23 = Да = 60а, Д 24 = Д3 — Д4 = 20а.
Эпюра моментов Mt (рис. XII 1.30, в) строится теперь умножением
эпюр от единичных смещений опор (табл. ХШ.1, строки 1 и 6) на вели-
чины найденных взаимных смещений Д.
В соответствии с эпюрами M't и М” свободные члены уравнений при-
нимают значения:
Rlt = Ri+Rb = (50 - 50 - 16,667) aEI -|-1,667а£7 = — 15а£7,
R* = R^t + Rr2t = — 50а£7/4 - 45а£7/4 = — 35а£7.
После подстановки единичных коэффициентов и свободных членов
в канонические уравнения и деления последних почленно на EI полу-
чим:
2,5ZX - 15а = 0; 27/64Z2 - 35а = 0,
откуда для неизвестных найдем значения:
Zx — 6а; Z2 — 82,963а.
Эпюру изгибающих моментов получим по формуле
Mt = MtZt + A12Z2 + Mt + Atf.
Эта эпюра приведена на рис. XIII.31, а. Значения изгибающих момен-
тов здесь подсчитаны при aEI = 0,6 кН «м2.
Эпюры поперечных и продольных сил показаны на рис. XIII.31,
б, в.
Пример XIII.5. Для рамы, показанной на рис. XIII.32, а,
построить эпюру изгибающих моментов от вертикального смещения
опоры 7 и горизонтального смещения и угла поворота опоры 4, кото-
рые составляют соответственно: Д4 = 1 см, Д4 = 2 см, <р4 = 0,001 рад.
Жесткости всех стержней рамы одинаковы и равны EI = 60 МН «м2.
Заданная система дважды кинематически неопределима. Основная
система метода перемещений показана на рис., XIII.32, б, а каноничес-
кие уравнения имеют вид:
Т11^1 + Г12^2 +	= 0»
21^1 Ч" ^22^2 + ^2С = 0.
По единичным эпюрам (рис. XIII.33, а, б) вычисляем коэффициенты
при неизвестных:
ru = (0,5 + 0,667) £7 = 1,167£7; г12 = г21 = - 0,167£7;
г22 = (0,187/4 + 0,334/6) £7 = 0,102£7.
Эпюру моментов М° от заданных смещений в основной системе
строим при помощи табл. ХШ.1, используя строку 1 для стержня
265
=4-м
Рис. ХШ.32
266
2—3 и строки 6 и 7 для стержня 3—4 (рис. XIII.33, в). По эпюре
определяем значения свободных членов:
Я1С = (0,167 + 0,200) • 10~2£/ = 0,367 • 102^/;
/?2С = —1 (0,2334-0,200). 10*Е1 = -0,072- 10~а£Л
3^=0,501	5)
21=0,33301 Т^й'187Е1
Ц1=0,16701
*’	2г-1
4 I, to* 0,233-10~г£1
<f>
0)
г
^44+2tz fy-
!,200-ЦГгЕ1
^-AfO,167-Ю'2 OI
ht
Б. Тяяя
—1=0,16701
h1
Рис. XIII.33
Рис. XIII.34
Подставив найденные значения коэффициентов и свободных членов
в систему уравнений и решив эти уравнения, получим:
Zx = —0,278-10-2, Z2 = 0,252-IO2.
Окончательную эпюру моментов (рис. XIII.34, а) строим по фор-
муле
мс=ад4-ад4-л«.
267
Эпюры поперечных и продольных сил от заданных Смещений пока-
заны на рис. XIII.34, б, в. Все эти эпюры отвечают условиям равно-
весия рамы, что подтверждает правильность выполненного расчета.
§ XIII.4. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ
Метод перемещений, как и метод сил, может быть использован для
построения линий влияния внутренних усилий (изгибающих моментов,
поперечных и продольных сил), возникающих в том или ином сечении
рамы. Для этого необходимо предварительно построить линии влияния
основных неизвестных метода перемещений (углов поворота и посту-
пательных смещений узлов), а затем с их помощью построить и линии
влияния искомых усилий.
Пример XIII.6. Для рамы, показанной на рис. XII 1.35, а,
построить линии влияния изгибающего момента и поперечной силы для
сечения /С, расположенного в первом пролете на расстоянии 0,4/
от опоры /, в предположении, что единичный вертикальный груз пере-
мещается по всей длине ригеля от узла 1 до узла 3.
Рассматриваемая рама имеет одно неизвестное — угол поворота
Рис. XIII.35
среднего узла. Построим вначале линию влияния этого неизвестного,
для чего Запишем каноническое уравнение метода перемещений:
r4* rip = 0.
Для определения коэффициента гп построим единичную эпюру
(рис. XIII.35, б), из которой найдем:
ru = 4/ 4- 4i+3/ = 11 /.
Величина свободного члена г1р канонического уравнения зависит от
положения на ригеле груза Р = 1. При положении груза в пределах
первого пролета (рис. XII 1.36, а) реакция г1р определяется по формуле
(строка 4 табл. XIII.1):
г1Р = |(1-«2)/.
268
При положении груза в пределах второго пролета (рис. ХШ.36, б)
получим (строка 9 табл. ХШ.1):
г1р= — uv2l = — и (1 — и)2/.
Рис. ХШ.36
Величины г1р, вычисленные для некоторых значений и, приведены
в табл. XIII.2. В этой же таблице даны и значения ординат линии
влияния Zlt вычисленные по формуле
=
Таблица ХШ.2
Груз в 1-м пролете			Груз во 2-м пролете		
и	%	Ординаты л. в. Zt	и	л1р	Ординаты л. в. Zt
0	0	0	0	0	0
0,2	0,096 1	—0,00873 /2/£/	0,2	—0,128 1	0,01164 1*/Е1
0,4	0,168 1	—0,01527 1*/EI	0,4	—0,144 1	0,01309 1*/Е1
0,6	0,192 1	—0,01745 1*/Е1	0,6	—0,096 1	0,00873 1*/Е1
0,8	0,144 1	—0,01309 /2/£7	0,8	—0,032 1	0,00291 1*/Е1
1,0	0	0	1,0	0	0
Линия влияния ZT показана на рис. XIII.37, а. Она представляет
собой кубическую параболу от независимого переменного и. Заметим,
что очертание этой линии влияния совпадает с линией прогибов 6р1
ригеля от поворота защемления на угол Zx = 1 (рис. XIII.35, б),
так как в соответствии с теоремой о взаимности реакций и перемеще-
ний — г1р = 6р1.
Для построения искомых линий влияния Мк и QK при расположе-
нии груза Р = 1 в первом пролете следует воспользоваться формулами
Мк = Mk-3iZx
QK = <&-^ZU
где М?< и Qk — линии влияния соответственно изгибающего момента
и поперечной силы в сечении К. однопролетной статически неопреде-
лимой балки, входящей в основную систему (рис. XIII.37, б), a Zt —
построенная линия влияния угла поворота среднего узла 2 рамы.
269
При расположении груза Р = 1 во втором пролете ординаты линий
влияния Мк и Qk определяются формулами
Л4к = -3/хД^ = -1,2^21; Qk^-3-^-Z.,
т. е. совпадают с ординатами линии влияния Z„ умноженными на соот-
ветствующие коэффициен-
ты.
Таким образом, для по-
строения искомых линий
влияния необходимо пост-
роить еще линии влияния
Мк и Qk для статически
неопределимой балки, изо-
браженной на рис. XIII.37,
б, воспользовавшись для
Рис. ХШ.37	этого формулами строки 4
табл. XIII. 1, в которых
нужно поменять местами величины и и v. При положении груза Р = 1
слева от сечения К. этой балки (рис. XIII.38, а), т. е. при и 0,4, по-
лучим:
ЛП = Мс -	+ Мс)= -Ц^-(2+«) 0,4/ - (0,4 - и) I;

При положении груза справа от сечения К (рис. XIII.38, б), т. е.
при и 0,4, будем иметь:
M0A = Mc^==fc^(2 + «)0,4/; Q°k~Ra = £^$ + u).
Подсчитанные по этим формулам значения ординат линий влия-
ния Л1к и Qx и по приведенным ранее формулам значения ординат
искомых линий влияния Мк и Qx приведены в табл. ХШ.З и показаны
на рис. XIII.39, а—г.
Таблица ХШ.З
Груз в первом пролете
Груз во втором пролете
и	мк	N sb сч 7		о0	sb 7	Уд	и	сз 7 И	00 1 II О
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0,2	0,0816/	0,0105/	0,0711/	—0,2960	0,0263	—0,2697	0,2	-0,0140	—0,0349
0,4	0,1728/	0,0183/	0,1545/	—0,5680	0,0458	—0,5222	0,4	—0,0157	—0,0393
				0,4320		0,4778			
0,6	0,0832/	0,0209/	0,0623/	0,2080	0,0523	0,2603	0,6	—0,0105	—0,0263
0,8	0,0224/	0,0157/	0,0067/	0,0560	0,0393	0,0953	0,8	—0,0035	—0,0087
1,0	0	0	0	0	0	0	1,0	0	0
270
Рис. XIII.38
271
§ XIII.5. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
Метод перемещений можно использовать и для расчета неразрез-
ной балки, приняв в качестве основных неизвестных углы поворота
ее опорных сечений. При этом система канонических уравнений (XIII.1)
Рис. XIII.40
приобретает трехчленную структуру. Так, k-я строка системы уравне-
ний (XIII. 1) запишется в виде:
fk,k i^k i +	=	(XIII.9)
в соответствии с чем выражение (XIII.9) может быть названо уравне-
нием трех углов поворота. Оно может быть представлено и в развер-
нутой форме, подобно уравнению трех моментов.
Пример XIII.7. Для неразрезной балки, показанной на
рис. X 111.40, а, построить эпюру изгибающих моментов при условии,
что длины и жесткости всех пролетов одинаковы и равны EI и I — 4 м.
272
Составим систему канонических уравнений относительно трех
неизвестных углов поворота на опорах 1, 2 и 3 (рис. XIII.40, б):
Г11^1 + Г12^2 4* Rip ~ 0» Г21^1 4- /"22^2 4" Г23^3 4“ &2р ~ 0»
^32^2 4"гзз^з 4" Кзр — 0-
Для определения коэффициентов и свободных членов этих урав-
нений построим единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов
(рис. X 111.40, в—е). При этом получим:
Лц = 8/; Г12 ^2i ~ 2ц ^22= ®Ц f-^s ~ ^зз ~	г3з = 7ц
/?1р = 50кН-м; /?2р = 0; R3p —— 40 кН-м.
Решение системы канонических уравнений позволяет теперь найти
следующие значения для неизвестных:
Z^ —6,29/£/; Za = 0,15/£7; Z3 = 5,67/£7.
Окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. XIII.40, ж)
строим по формуле
М = MyZy 4“ ^2^2 4" Я^з 4" Мр.
§ XIII. 6. РАСЧЕТ РАМ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Для п раз кинематически неопределимой системы канонические
уравнения имеют вид системы п линейных алгебраических уравнений
с п неизвестными (XIII. 1).
Представим эти же уравнения		В	матричной форме:			
	Г11 Л12 ••• Г1п		Zi		Rip	
	Г21	^*22 • • • Г ЯП • • • • • • • •	•	Z2	4-	R%p	= 0
	Гп1 ?П2 ••• ^ПП		Zn		Rnp	
или
£rZ4-£p = 0,	(XIII.10)
где Rr — матрица реакций во введенных дополнительных связях
в основной системе от единичных перемещений этих связей; матрица
Rr — квадратная, симметричная порядка п; Rp — вектор реактивных
усилий в дополнительных связях от заданной внешней нагрузки;
Z — вектор неизвестных перемещений.
Для вычисления элементов матриц Rr и Rp можно воспользоваться
известными выражениями (XIII.2) и (XIII.3) реакций в связи от еди-
ничных перемещений связей и внешней нагрузки:
V f MtMkds, р _ V f MpMt ds
r/ft==2iJ EI ’ ^ip ZiJ £7 ’
где Mi, Mk — изгибающие моменты в основной системе метода пере-
мещений от единичных перемещений дополнительных связей Zt =
- Zk — 1; М'р — изгибающий момент от внешней нагрузки в любой
273
основной статически определимой системе, которую можно получить
из заданной статически неопределимой, удалив «лишние» связи.
В силу того что элементы rlk, Rip выражаются так же, как и 6/А,
то и матрицы R, и Rp можно вычислять аналогично матрицам
Др»
Rr — L'm-B-Lm,	(ХШ.П)
~Rp = -L'm-B-Ump~P,	(XIII.12)
где Lm — матрица влияния изгибающих моментов в основной си-
стеме метода перемещений от единичных перемещений дополнительных
связей Zj = Z2 = ... = Zn = 1. Матрица содержит п столбцов и т
строк. Число столбцов п равно числу единичных перемещений, число
строк т — числу сечений, в которых вычисляются внутренние усилия;
L'm — матрица, транспонированная по отношению к Lm; В — матрица
податливости отдельных, не связанных элементов; L*mp — матрица
влияния изгибающих моментов в любой статически определимой си-
стеме от внешних сил, равных единице:. Pt — Р2 — ... = Pf = 1;
? — вектор внешних сил.
Решив матричное уравнение (XIII. 10), найдем вектор неизвестных
Z = -R/ • R = (L'm-B-L^L'm -B-L^-P.	(XIII.13)
Окончательные значения изгибающих моментов в пронумерован-
ных сечениях заданной системы находят по уравнению
M=Lmp-P+Lm-Z,	(XIII.14)
где Lmp — матрица влияния изгибающих моментов в основной системе
метода перемещений от внешних сил, равных единице.
Расчет статически неопределимой системы методом перемещений
на неравномерную осадку опор или тепловое воздействие аналогичен
расчету на внешние воздействия. Так же как и в методе сил, каноничес-
кие уравнения отличаются только свободными членами, а именно:
на неравномерную осадку опор
Т?г.2+Л = 0,	(X1II.15)
где Кс — вектор реактивных усилий во введенных дополнительных
связях в основной системе метода перемещений от заданного смещения
основных связей системы.
Вектор ~$с вычисляют на основе перемещений узлов основной си-
стемы от заданных смещений основных связей. Численное значение
перемещений можно получить либо аналитически, либо при помощи
построения полярного плана перемещений.
Из решения уравнения (XIII. 15) находят вектор Z:
Z = — R^-Rc.	(XIII.16)
Вектор изгибающих моментов М в пронумерованных сечениях за-
данной системы определяют по уравнению
M = Me + LCT-Z,	(XIII.17)
274
где Мс — вектор изгибающих моментов в основной системе от задан-
ного перемещения основных связей;
на температурное воздействие:
Rr-Z+~Rt = 0,	(XIII.18)
где Rt — вектор реактивных усилий во введенных связях от теплового
воздействия.
Если все элементы системы имеют симметричные поперечные
сечения стержней, то тепловое воздействие для каждого стержня рас-
кладывается на симметричное, вызывающее только удлинение осей,
и обратносимметричное, вызывающее искривление без изменения длин
их осевых линий.
От этих двух видов деформаций стержней строят в основной системе
две эпюры изгибающих моментов: симметричную Mt сим, обратно-
симметричную Mt обр и на их основе вычисляют вектор Rt-
Решив уравнение (XIII.18), находят вектор Z:
Z = — R~rl-Rt.	(XIII.19)
Вектор изгибающих моментов в пронумерованных сечениях задан-
ной системы определяют по уравнению
М = ЯсИм + ЯобР + Ьт-2.	(XIII.20)
При действии на статически неопределимую систему независимо
друг от друга t вариантов внешних нагрузок векторы Z и Rp перехо-
дят в прямоугольные матрицы порядка п х Л где п — степень кине-
матической неопределимости. В остальном методика расчета остается
такой же, как и при расчете методом перемещений на однократное
нагружение.
Пример	XIII.8.	Рассчитать раму, показанную на
рис. XIII.41, а.
Степень кинематической неопределимости рамы
ti = tiy — 2 ф-1	3.
Заданная рама имеет два жестких внеопорных узла и одно линейное
горизонтальное перемещение узлов. Выбираем основную систему.
Для этого в два жестких узла вводим защемления и добавляем один
горизонтальный опорный стержень. Основная система показана на
рис. XIII.41, б. Разбиваем заданную раму на семь участков, руковод-
ствуясь тем, чтобы в пределах каждого участка все эпюры Мъ Л?2,
М3 и Мр не имели разрывов и точек перелома. Принимаем рабочее
правило знаков для изгибающих моментов. Например, на участке /
(стержень 1—2) изгибающие моменты, вызывающие растяжение в пра-
вых волокнах, приняты положительными, что отмечено знаком «+»,
и т. д. (рис. XIII.41, б).
Для составления матрицы Lm строим эпюры изгибающих момен-
тов Mlt М2 и М3 в основной системе от перемещений Zr — Z2 = Z3 —
== 1, пользуясь табличными данными для однопролетных статически
неопределимых балок (рис. XIII.42, а—в).
275
Рис. ХШ.42
276
Для составления вектора М'р вначале определяем степень стати-
ческой неопределимости заданной рамы Л = 6.
Выбираем статически определимую основную систему (метода сил),
отбросив две связи в сечении 6 и удалив шарнир в сечении 9.
В полученной статически определимой системе от заданной нагрузки
строим эпюру Мр (рис. XIII.42, г).
Ординаты Л72, Жз и М'р с учетом принятого правила знаков
вносим в Lm и Мр:
(1)	2	0	—1,5		—36
(2)	—4	0	1,5		—12
(3)	—8	0	—3		12
(4)	—2	0	0		0
(5)	—2	0	0		0
(6)	4	0	3		0
Lm= (7)	6	0	0	» Lmp • Р — Мр —	0
(8)	0	0	1,5		0
(9)	0	0	0		0
(Ю)	0	—3	0		—6
(11)	0	—6	0		—24
(12)	0	4	-1,5		—24
(13)	0	—2	1,5		—24
Матрица В податливости отдельных несвязанных элементов будет
представлять квазидиагональную матрицу, состоящую из семи мат-
риц bt.
Матрицы податливости каждого элемента (участка) вычисляют
обычным способом:
&а —
61 =
1	0,5
0,5 1
Ь9 —
1	0,5
0,5 1
щТ21 = -й-|2|;
Ьл = —1____
6<j,n
1 I4
1 |2 1____
«uJl 2	12 2
:i

3
1
о
о
о
4
О
О
О
О
____1_
~ 12
О
о
о
4 0 •
0
1
277
Вычисляем матрицу реакций по формуле Rr = L'm- B-Lm:
—8 —2 —2 4 6 0 0
О 0 0000 О
—3 О О 3 0 1,5 О
ООО О
—3 —6
1 0,5
0,5 1
2
£
з
1
О	4
О 0 —1,5	1,5|
2	0	—1,5
—4	0	1,5
—8 О —3
—2 0 0
О —2 0 0
4	0	3
.6	0	0
О 0	1,5
ООО
0—3 О
1	0—6 0
4 2	0 4 —1,5
4 —2 X
2 4|	0-2	1,5
18
О
1,5
О	1,5
10	—1,5
—1,5	3,5
Рис. XIII,43
278
Вычисляем вектор свободных членов по формуле —Rp = L'm-В X
X Lmp‘P'
2 —4
О О
-1,5 1,5
4 2
2 4
1 0,5
0,5 1
—8 —2 —2 4 6 0 0 0 0 0	0
0 0 0 0 0 0 0 —3 —6	4 —2
—3	0 0 3 0 1,5 О
х2_
А 12
1 0,5
0,5 1
2
_8
3
4 2
2 4
О
—6
—24
—24
—24
Находим обратную матрицу 7?;1:
32,75
—2,25
—15
—2,25 —15
60,75	27
27	180
Отыскиваем вектор неизвестных перемещений Z:
32,75	—2,25	—15
—2,25	60,75	27
—15 0,1177	27	180
—0,5119 0,5873	•	
По эпюре изгибающих моментов, построенной в основной кинема-
тически определимой системе Мр (рис. XIII.43), вычисляем матри-
цу Lmp • Р.
279
изгибающих моментов в заданной раме
Окончательные значения
будут:
	0		2	0		-1,5						0	
	0			•4	0	1,5						0	
	3			8	0	г	1					3	
	—3			2	0	0						—3	
	—3			2	0	0						—3	
	3		4	0		3			0,1177			3	
м=	0	+	6	0		0			—0,5119		=	0	+
	0		0	0		1,5			0,5873			0	
	0		0	0		0						0	
	3		0 —3		0						3	
	—6		0 —6		0						—6	
	0		0	4		—1,5						0	
	0		0 —2		1,5						0	
				—0,645		—0,645			(1)			
				0,410		0,410			(2)			
				—2,704		0,296			(3)			
				—0,235			3,235		(4)			
				—0,235			3,235		(5)			
				2,233		5,233			(6)			
			+	0,706	ss		0,706		(7).			
				0,881			0,881		(8)			
				0			0		(9)			
				1,536			4,536		(Ю)			
				3,072'			2,928		(П)			
				—2,928			2,928		(12)			
				1,905			1,905		(13)			
По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов в
заданной системе (рис. XIII.44).
Пример Х1П.9. Построить эпюру изгибающих моментов в раме
(рис. XIII.45, а) от перемещения опоры 7 вправо на расстояние а =
= 12 см и вниз на величину b — 10 см.
Степень кинематической неопределимости заданной рамы п =
= 2+1 = 3. Основная система показана на рис. XIII.45, б. Там же
указаны участки, на которые разбита заданная рама, и положитель-
ные направления изгибающих моментов (в кружках).
280
281
Для составления матрицы Lm вначале построим эпюры изгибаю-
щих мЪментов Л?2 и М3 в основной системе от единичных перемеще-
ний Zi = Z2 = Z3 = 1 (рис. XII 1.46, а—в).
В нашем случае матрица влияния изгибающих моментов Lm будет
равна:	2	0	—1,5	(1)
	—4	0	1,5	(2)
	6	0	0	(3)
Lm ~ 1	0	0	0,75	(4)
	0	—6	0	(5).
	0	4	—1,5	(6)
	0	—2	1,5	(7)
Матрицы податливости каждого элемента (участка):
2 1
1 2
1
Ь1~ б/18 1 2 “ « 1
1
2
*з=з^11Ч=4и211;
^==з^1|1Ц=4-Р0;
.___Ll2 1
8-6/e, L 2
_1_||2
« h
1
2
Матрицы податливости В системы представляют квазидиагональ-
ную матрицу, состоящую из пяти матриц bt.
Вычисляем матрицу реакций Rr:
		2	-4 6 0		0	0	0		
Rr	= 1	0	0 0 0		—6 4	—2	X
		—1,5	1,5 0 0,75		0 —1,5 1,5		
	2	1 0 0	0 0 0		2	0 —1,5	
	1	2 0 0	0 0 0		—4	0	1,5	
	0	0 1 0	0 0 0		6	0	0	
1 х бГ	0	0 0 2	0 0 0	i	0	0	0,75 .	
	0	0 0 0	10 0		0 -	6	0	
	0	0 0 0	0 2 1		0	4 —1,5	
	0	0 0 0	0 1 2		0 —	2	1,5	
			60	0		-9		
		^=4	0 60		-9	•	
			—9 —9		10,125		
282
Находим обратную матрицу R71:
p-i —	6
*r “26 7301
526,5 81	540
81	526,5 540
540 540 3600
Строим эпюру изгибающих моментов Мс в основной системе от
заданного перемещения опоры 7 (рис. XIII.46, г) и вычисляем вектор
%:
Rc — L>m ‘ В ' мс,
где Л1С — вектор изгибающих моментов от заданных смещений опоры 7:
	0	(1)
	0	(2)
	0	(3)
Я=1	0	(4).
	0,12	(5)
	0,18	(6)
	—0,18	(7)
Вектор неизвестных перемещений
2—	6
26 730t
526,5
81
540
81	540
526,5 540
540	3600
0
0,36
—0,54
0,009818
0,003818
0,065450
283
Вектор изгибающих моментов в заданной раме
M = MC + Lm-Z=i
О
О
О
О
0,12
0,18
—0,18
2
—4
6
О
О
О
О
О —1,5
О 1,5
О О
О
—6
0,75
О
4 —1,5
—2	1,5
X
0,009818
0,003818
0,065450
—0,0785
0,0600
0,0600
0,0480
0,0971
0,0971
—0,0895
(1)
(2)
(3)
(4)	.
(5)
(6)
(7)
Рис. XIII.47
По полученному вектору строим окончательную эпюру изгибаю-
щих моментов (рис. XIII.47).
ГЛАВА XIV
РАСЧЕТ РАМ СМЕШАННЫМ
И КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДАМИ
§ XIV.1. СМЕШАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАМ
Смешанный методпр.именяется для расчета рам, структура которых
по длинеили-по высоте неоднородна,/т. е. в том случае, когда одна
часть сооружения имеет малое .количество лишних связей,, а другая,
наоборот, большое количество лишних связей и малую подвижность
узлов (например, рис. XIV.1, а). Основная система для таких соору-
жений образуется устранением, лишних связей.в одной части рамы (как
в методе сил) и введением дополнительных связей в другой части рамы
(как в методе перемещений) (рис. XIV.1, б). Таким образом, в качестве
неизвестных в смешанном методе принимаются усилия Xt в устранен-
ных связях и перемещения Zk тех узлов, в которые введены допол-
Рис. XIV.1
нительные связи) Это позволяет, как правило, сократить общее коли-
чество неизвестных по сравнению с тем, что дает метод сил или метод
перемещений. Например, для рамы,"представленной на рис. XIV. 1, а,
количество неизвестных по методу сил равно .семи, по методу переме-
щений — семи, по смешанному методу — трем (рис. XIV. 1, б). Заме-
тим, что в качестве неизвестных X/, Z* смешанного метода могут при-
ниматься как простые, так и групповые усилия и перемещения подобно
тому, как это делается в методе сил и методе перемещений.
Канонические уравнения смешанного метода, содержащие два типа
неизвестных, будут двух видов: часть уравнений, как в методе сил,
будет выражать мысль об отсутствии перемещений по направлению
отброшенных связей, а другая часть, как в методе перемещений, —
равенство нулю реакций во введенных в основную систему связях.
285
Например, для рамы, изображенной на рис. XIV.1, б, получим:
SiiXi + 6HZ2+ 613Z3 +Д1р = 0;
Г21-^1 + Г22^2 + Г23^3 + %2р “
Г31X1 + Г32^2 4" Г33^3 4" *3р = 0.
(XIV.1)
Здесь первым уравнением, носящим кинематический характер,
записано условие о равенстве нулю перемещения по направлению
силы Хг (отсутствие взаимного перемещения концов разрезанного
стержня), а вторым и третьим уравнением, имеющими статический
характер, — условия о равенстве нулю реактивных моментов соот-
ветственно в защемлениях 4 и 5. Можно видеть, что коэффициенты
канонических уравнений смешанного метода распадаются на. четыре
^категории: коэффициенты метода хшл. (например^ бп), коэффициенты
метода перемещений Снапримерд222>./2з> гз2, гзз) н коэффициенты, обозна-
ченные.сверху, штрихом и представляющие собой в отличие от первых
.лвух^категорий «перемещенидот единичного перемещения»! (например,
612, 6J3) и «рещщиюжхдшшнн^	При этом
побочные коэффициенты гвяэаны~мсжду собой соотношениями':~
6/Z? = $kh tlk = Г kh &ik = — f'ki-
После нахождения неизвестных Xi, Zk ига^реигёния системы канони-
ческих уравнений цкончательдая^эпюра изгибающих моментов строит-
ся из исправленных единичных эпюр~дю_формуле
М = M1X1-\zM2X2^•. .4- A4n-1Zn_1 MnZn + Mpt
где Мр — эпюра моментов в основной системе от заданного внешнего
воздействия. Так, для рамы, изображенной на рис. XIV. 1, а, будем
иметь:
М — МхХ± + M2Z2 4* M3Z3 + Мр.
Пример XIV.1. Для рамы, изображенной на рис. XIV.2, а,
построить эпюру изгибающих моментов и произвести проверку ее
правильности.
286
Количество неизвестных для рассматриваемой рамы по методу сил
равно трем, по методу перемещений также трем, а по смешанному ме-
тоду (рис. XIV.2, б) — двум, в результате чего выбираем для расчета
смешанный метод.
Для определения неизвестных Хг и Z2 составим систему канони-
ческих уравнений:
4- Д1р = 0;
+ Г 22^2 + ^2р =
т. е. приравняем нулю перемещение точки приложения силы Хг по ее
направлению (первое уравнение) и реакцию во введенном защемлении
(второе уравнение).
Построим_ в основной системе единичные эпюры изгибающих мо-
ментов Л?2 и эпюру моментов от нагрузки Мр (рис. XIV.3, а—в).
Рис. XIV.3
Для определения коэффициента би и свободного члена первого
уравнения Д1р, характерных для метода сил, воспользуемся форму-
лами
611 = 2J>*-^(~4'64 + 6'4'6)“180',£/:
Коэффициенты и свободный член второго уравнения, представляю-
щие собой реактивные моменты во введенном защемлении соответствен-
но от воздействий Xt = 1, Z2 = 1 и нагрузки, определим, как это де-
лается в методе перемещений, из рассмотрения условий равновесия
узла 2 (рис. XIV.3, а—в):
г21 =— 6; r22 = 2£7; R2p — 90 кН • м.
Для определения коэффициента 6J2 (рис. XIV.3, б) можно восполь-
зоваться геометрическими соотношениями:
= (4 — 4') cos а = b • 1 • cos а = I = 6,
или, что проще, равенством 6J2 = —г'л = 6.
237
Канонические уравнения можно переписать теперь в виде
l8QX1 + QEIZi = Q;
— 6X1 + 2£/Z2 = —90
и получить для неизвестных следующие значения:
= 1,364; Z2 = — 40,909/(Е7).
Умножив единичные эпюры ЛТх и /И2 на найденные значения неиз-
вестных и сложив их с эпюрой Мр от нагрузки по формуле
M = Xi1X1+M2Z2+Mp,
получим окончательную эпюру изгибающих моментов (рис. XIV.4).
Рис. XIV.4
То обстоятельство, что узел 2 на эпюре М уравновешен, подтверж-
дает правильность ее построения. Однако для полной проверки пра-
вильности выполненного расчета необходимо еще убедиться в том, что
перемещение точки приложения силы Хх по ее направлению равно
нулю, т. е. необходимо проинтегрировать окончательную эпюру М
с единичной эпюрой моментов /WJ, построенной от действия силы Хх =
= 1 в любой статически определимой системе, образованной из задан-
ной рамы (например, рис. XIV.5).
Выполняя эту проверку, получаем:
VI (* ММ{ ,	1 /8,184-6	2 с 1 , q 1О. . с
•т6т+8'184'4'6-
-6-4 40.S08- 20.4B4j _ Д. (245,520_245,448)	0,
что дает окончательное подтверждение правильности построения
эпюры М.
§ XIV.2. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
СИММЕТРИЧНЫХ РАМ
При расчете симметричных рам комбинированным методом задан-
ная нагрузка раскладывается на симметричную и обратносимметрич-
ную составляющие и расчет проводится раздельно на каждое из этих
288 '
нагружений. При этом па симметричную составляющую нагрузки
рама рассчитывается по методу перемещений, а па обратносимметрич-
ную — по методу сил. Заметим, что при расчете на одну из составляю-
щих нагрузки иногда бывает удобно использовать и смешанный метод.
Это позволяет в некоторых случаях уменьшить общее количество
неизвестных по сравнению с тем, что дало бы применение одного из
названных классических методов.
Пример X1V.2. Для симметричной рамы, изображенной на
рис. XIV.6, построить эпюры Л1, Q, N, если жесткость ригелей вдвое
больше жесткости стоек.
Подсчитаем количество неизвестных по методу сил и по методу
перемещений (табл. XIV. 1). Учтя симметрию рамы и произведя группи-
ровку неизвестных, выберем основные системы, соответствующие каж-
дому из этих методов (рис. XIV.7). Можно видеть, что из трех неиз-
вестных метода сил (рис. XIV.7, а) два неизвестных — Х2 и Х3 являют-
ся симметричными, а одно — Хг — обратносимметричным. Проти-
Таблица XIV.1
Вид неизвестных
Метод сил
Метод
перемещений
Комбиниро-
ванный способ
Симметричные.............
Обратносимметричные , . . .
Всего * . ,
2	1	1
1	2	1
3	3	2
воположная картина наблюдается в методе перемещений (рис. XIV.7,
б); здесь неизвестные Z2 и Zs обратносимметричны, а неизвестное Zr —
симметрично. Из этого следует, что при расчете рамы на симметричную
нагрузку более целесообразно применять метод перемещений, а при
расчете на обратносимметричную нагрузку — метод сил, так как в
каждом из этих случаев необходимо определить лишь одно неизвест-
ное (соответственно Zx и Хх). Таким образом, для решения рассматри-
ваемой задачи проще применить комбинированный метод, приводящий
10 п/р. Клейна Г. К.
289
к определению двух неизвестных (см. табл. XIV.1). Для этого следует
заданную нагрузку разложить на симметричную и обратносимметрич-
ную составляющие и произвести расчет на каждую из этих составляю-
щих раздельно.
При расчете рамы на симметричную составляющую нагрузки
(рис. XIV.8, б) выберем основную систему по методу перемещений
и построим эпюры и Мр (рис. XIV.8, а, б). Для определения неиз-
вестного составим каноническое уравнение
еэо
Коэффициент ru и свободный член Rlp этого уравнения имеют
значения:
ги = 2 (0,5 4- 0,75 + 0,75) EI = 4EI; Rlp = 2 • 45 = 90 кН • м.
Решение канонического уравнения позволяет получить
Zx = —22,5/(Е/).
Умножив эпюру ЛГХ на найденное значение неизвестного и сложив
полученную эпюру с эпюрой Мр, получим эпюру изгибающих
4	4
р
Рис. XIV,9
моментов от действия симметричной нагрузки ЛТСИМ (рис. XIV.9).
То обстоятельство, что в узлах 2 и 2' этой эпюры моменты уравнове-
шены, подтверждает правильность ее построения.
Рис, XIV.10
Расчет рамы на обратносимметричную составляющую нагрузки
произведем по методу сил (рис. XIV. 10, а, б). Для определения неиз-
вестного Xi запишем каноническое уравнение
4-Л1р = 0.
Коэффициент 6И и свободный член Д1р определим при помощи
эпюр и Мр (рис. XIV. 10, а, б) в виде:
6“ = 2 5 # * = гТ (тг ’ 4“' + ТГ ' Т4) 2 “
V, с	1 /160 - 6	2	1	2	1
J £/ - ^s~~eT\2	’з4’2+'з 45-6-2-g4-
80 - 4	2 . \	1246,667
+ 2	’	~ EI ’
10’
291
Из решения канонического уравнения найдем:
Xi = — 33,393.
Эпюру изгибающих моментов от действия обратносимметричной
нагрузки ЛТобр найдем сложением эпюр AljXi и Мр (рис. XIV. 11).
Рис. XIV. 11
Проверку полученной эпюры осуществим интегрированием ее с эпю-
рой
21
.	1 /26,427-6	2 . 1 . 2 с n 1
-gr-ds=£T(—2—--3 4-2 + 3 45-6'2'2 “
53,573-4	2	_
------— ’ з-4) = °-
Окончательную эпюру изгибающих моментов М получим после
сложения эпюр /Исим и Afo6p (рис. XIV. 12,а). По этой эпюре построим
эпюры Q и N поперечных и продольных сил (рис. XIV. 12, б, в).
§ XIV.3. КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАМ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Комбинированный метод может применяться и для расчета рам,
не обладающих симметрией. В этом случае один из методов расчета,
например метод сил, является основным, а другой метод, т. е. метод
перемещений, — вспомогательным, или наоборот. Если в качестве
основного метода выбран метод сил, то основная система образуется
удалением не всех лишних связей и является, таким образом, стати-
чески неопределимой. Для ее расчета на нагрузку и на действие еди-
ничных неизвестных в качестве вспомогательного метода применяется
метод перемещений. Если же в качестве основного метода расчета при-
нят метод перемещений, то при выборе основной системы устраняются
не все перемещения узлов, что приводит к ее кинематической неопре-
делимости. В этом случае основная система будет содержать нестандарт-
ные элементы (т. е. элементы, не рассмотренные в табл. XIII. 1), для
расчета которых потребуется применение метода сил в качестве вспо-
могательного метода.
292
15,7 St
Miiiiiiiiiiiiin
293
Описанный вариант комбинированного метода целесообразно при-
менять для расчета таких рам, которые в одной своей части удобно
рассчитываются по методу сил, а в другой — по методу перемещений.
Для расчета подобных рам рациональным является и смешанный ме-
тод, описанный в § XIV.1. Однако комбинированный метод может
оказаться здесь более удобным: при равном числе неизвестных система
совместных уравнений в комбинированном методе имеет меньший поря-
док, чем в смешанном, так как основные неизвестные здесь отделены
от вспомогательных.
Пример XIV.3. Для рамы, показанной на рис. XIV. 13, а,
построить эпюру изгибающих моментов при условии, что жесткость
ригелей вдвое больше жесткости стоек.
Для рассматриваемой рамы число неизвестных по методу сил равно
восьми, по методу перемещений — шести, по смешанному методу —
четырем. Применим для ее расчета комбинированный метод, выбрав
в качестве основного метода расчета метод сил и образовав основную
систему удалением только двух лишних связей (рис. XIV. 13, б). Для
определения основных неизвестных Хх и Х2 запишем систему канони-
ческих уравнений метода сил:
6uXx + 6Х2Х2 + ДХр = 0;
б2Л+б22Х2 + Д2р = 0.
Коэффициенты и свободнйе члены уравнений (Х1у.2)_определяются,
как обычно, интегрированием единичных эпюр М1г М2 и грузовой
эпюры Мр, построенных в основной системе соответственно от дейст-
вия единичных неизвестных Хх = 1, Х2 = 1 и нагрузки. Так как
выбранная нами основная система статически неопределима, для по-
строения эпюр Л?х, М2 и Мр применим в качестве вспомогательного
аппарата метод перемещений.
Принятая основная система метода сил содержит два неизвестных
по методу перемещений: Zx и Z2 (рис. XIV. 14, а, б). Эпюры изгибаю-
щих моментов М* (рис. XIV. 14, а) и Ml (рис. XIV. 14, б), построенные
от действия неизвестных Zx = 1 и Z2 = 1, позволяют найти для коэф-
фициентов канонических уравнений метода перемещений следующие
значения:
rxx = 2,333£Z; rX2 = r2X = 0,667£Z; r22 = 3,667£Z.
294
При действии на основную систему силы = 1 (рис. XIV. 15, а)
свободные члены канонических уравнений метода перемещений, т. е.
Рис, XIV. 14
:Рис, XIV.15
реактивные моменты в защемлениях 2 и 3, будут равны соответственно:
^ixt =— 3; Rixt = — 3.
В этом случае из канонических уравнений
2,333ZX + 0,667Z2 = 3/(EZ);
0,667Z1+3,667Z2 = 3/(EZ)
найдем для неизвестных следующие значения:
Zx = 1,110/(£Z); Z2 = 0,616/(£Z).
Умножив эпюры Л?*, Л1* на найденные значения неизвестных и
сложив их с эпюрой получим эпюру изгибающих моментов от
Действия силы Хх = 1 в выбранной основной системе метода сил
(рис. XIV. 15, б).
При действии на основную систему силы Х2 = 1 (рис. XIV. 16, а)
свободные члены канонических уравнений метода перемещений имеют
значения:
Rix, = — 4; Rtxt =* 4.
295
В этом случае из канонических уравнений
2.333Z, + 0,667Z2 = 4/(£/);
0,667Zx + 3,667Z2 = — 4/(EZ)
получим
Z1 = 2,137/(£'Z);
Окончательную эпюру изгибающих моментов М2 от действия силы
= 1 (рис. XIV. 16, б) построим, сложив эпюры AfiZj, AlaZa, Mxt.
Рис. XIV. 16
Рис. XIV.17
При действии на основную систему заданной нагрузки (рис. XIV. 17,
а) свободные члены канонических уравнений метода перемещений име-
ют значения:
Rlp = 0; /?2р = 230 кН«м.
В этом случае канонические уравнения
2>333Z1 + 0,667Z2 = 0;
0,667Zx 4- 3,667Za = — 230/(Е Z)
позволяют найти
Zx== 18,904/(£Z); Za = —66,164/(£Z).
296
Умножив эпюры М*, М*2 на эти значения неизвестных и сложив
их с эпюрой Мр, получим грузовую эпюру Мр (рис. XIV. 17, б).
Рис. XIV.18
Построив эпюры Mi (см. рис. XIV. 15, б), М2 (см. рис. XIV. 16, б),
Мр (см. рис. XIV. 17, б), коэффициенты и свободные члены канонических
уравнений (XIV.2) определим по формулам:
б“ = и#^=86’178/(£/);
в13 = б2х = J J	ds = 1,973/(Е/);
6a2=2S^ds=60’967/(£/);
Д1р = 2 J -ir- ds = ~
Дар = 2 J ~TT-ds== 1966,87/(E/).
Решение уравнений (XIV.2) позволяет найти для неизвестных
и Ха следующие значения:
Х1 = 31,48; Х2 = —33,28.
Окончательная эпюра изгибающих моментов, построенная по фор-
муле	_
M^MiXi + M^+Mp,
показана на рис. XIV. 18. Правильность произведенного расчета под-
тверждается проверками, характерными для метода сил:
Пример XIV.4. Для рамы, показанной на рис. XIV. 19, а,
построить эпюру изгибающих моментов, приняв жесткость всех стерж-
ней постоянной и равной EI.
2'Л
Рассматриваемая рама имеет шесть неизвестных по методу сил,
четыре по методу перемещений и три по смешанному методу. Применим
для ее расчета комбинированный метод, приняв за основной метод
расчета метод перемещений и устранив только угловые перемещения
Рис, XIV, 19
узлов 5 и 6 (рис. XIV. 19, б). Для определения неизвестных углов
поворота Zx и Z2 запишем систему двух канонических уравнений ме-
тода перемещений:
г11%1 + r12^2 + R1P = О’.	/у TV
^ + /^ + ^ = 0.	<AlV^
Принятая основная система метода перемещений кинематически
неопределима и содержит «нестандартный элемент» 1—3—4—5. В ре-
зультате этого для построения эпюр Л1Х, Л?2, Мр от действия еди-
ничных неизвестных Zx = 1, Z2 = 1 и нагрузки, необходимых для
определения коэффициентов и свободных членов уравнений (XIV.3),
для левой части рамы нельзя воспользоваться данными табл. XIII.1.
Нужно вначале произвести расчет этой части (рис. XIV.20, а) на при-
ложенную к ней нагрузку и единичный поворот узла 5, используя ме-
тод сил как вспомогательный аппарат.
298
Рама 1—3—4—5 один раз статически неопределима. Основная
система метода сил для этой рамы, единичная эпюра М* и грузовая
эпюра Мр показаны на рис. XIV.20, а—в. Эти эпюры позволяют полу-
Рис. XIV.21
чить для коэффициента Su и свободного члена А1р канонического
уравнения метода сил следующие значения:
S11 - 2 j	* = 144Д£/); А1Р=2 j ds=-
Таким образом, при расчете рамы на заданную нагрузку для неиз-
вестного Xt получим значение:
Хх = 540/144 = 3,75,
а эпюру моментов Мр (рис. XIV.21, а) построим по формуле
МР = Л?ГХ1+М*.
При расчете рамы на единичный угол поворота опоры 5 (см.
рис. XIV.20, а) свободный член Д1с канонического уравнения опре-
деляется по формуле
Aic = -S/?c=-(-61) = 6.
Для неизвестного Хх в этом случае получим значение:
Хх = — 6 • EZ/144 = — 0,0417Е/,
а эпюру изгибающих моментов Мс &т поворота опоры (рис. XIV.21, б)
построим по формуле
Mc = A?i*Xi.
Для определения коэффициентов и свободных членов канонических
уравнений метода перемещений (XIV.3) можно теперь построить эпюры
299
Л?2, Mp (рис. XIV.22, a—в). Эти эпюры позволяют получить:
/ц = (1 +1,333 + 0,25) EI = 2,5835/;
r12 = r21 = 0,6675/;
'и = (1 +1 +1,333) EI = 3,3335/;
/?1р = 67,5 кН-м;
/?2р — — 26,667 кН • м.
Рис. XIV.22
Из решения системы канонических уравнений (XIV.3) находим
значения основных неизвестных:
Zx = —29,735/(5/); Z2 = 13,947/(5/).
Окончательную эпюру изгибающих моментов М для заданной рамы
(рис. XIV.22, г) строим по формуле
M^M^ + Al^ + Mp.
То обстоятельство, что моменты в узлах 5 и 6 рамы уравновешены,
подтверждает правильность произведенного расчета.
ГЛАВА XV
ИТЕРАЦИОННЫЙ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ
СПОСОБЫ РАСЧЕТА РАМ
§ XV.1. РАСЧЕТ НЕСВОБОДНЫХ РАМ СПОСОБОМ
ИТЕРАЦИИ
Итерацией называется процесс последовательных прибли-
жений, приводящий к решению задачи с требуемой точностью.
Среди многих итерационных способов расчета рам наибольшее
распространение благодаря своей простоте получил способ уравно-
вешивания (распределения) узловых моментов рамы. Теоретической
основой этого способа служит метод перемещений, но в отличие от
последнего способ уравновешивания моментов позволяет обойтись
без составления и решения уравнений.
Как и любой другой способ, способ уравновешивания моментов
имеет свою область целесообразного применения, которая распро-
страняется на несвободные рамы и на свободные рамы с линейной под-
вижностью узлов не более одного-двух. Особенно эффективен этот
способ при отсутствии в распоряжении расчетчика вычислительных
машин или программ для расчета рам.
Для несвободных рам, т. е. для рам, узлы которых могут иметь
только угловые перемещения, итерационный способ базируется на
следующих положениях.
В качестве основной используется основная система метода пере-
мещений, т. е. на все узлы (кроме шарнирно опертых и жестко заде-
ланных концов стержней) заданной системы накладываются защемляю-
щие связи, препятствующие упругим поворотам узлов.
За исходные реактивные моменты, т. е. за моменты первого при-
ближения, принимаются реактивные моменты от заданной нагрузки
в основной системе, определяемые по соответствующим формулам
табл. ХШ.1 и равные свободным членам уравнений метода пере-
мещений.
Реактивные моменты, действующие на концы стержней от узлов
рамы, считаются положительными, если они направлены по часовой
стрелке.
Сумма реактивных моментов, действующих на концы всех стерж-
ней, сходящихся в любом узле А основной системы (рис. XV. 1),
может быть не равна нулю, так как введенная в узел связь восприни-
мает неуравновешенный момент и препятствует повороту узла. После
устранения этой связи, т. е. при возвращении от основной системы
к заданной, узел повернется на некоторый угол <р и произойдет уравно-
301
вешивание моментов за счет появления в узле уравновешивающего
момента, равного неуравновешенному, но противоположного по знаку.
Уравновешивающий момент распреде-
лится между стержнями, образующими
узел, пропорционально моментам, воз-
никающим на концах стержней от по-
ворота защемления на угол ф = 1.
Исходя из формул табл. XIII. 1 сле-
дует, что эти моменты будут равны: для
стержня АВ, имеющего на противопо-
ложном конце заделку, МАВ= 4iAB, для
стержня АС с шарниром на противопо-
ложном конце МАС = 3iAc', для стержня
AD с ползуном MAD = iAD. Коэффициен-
ты жесткости равны значениям этих мо-
ментов, уменьшенным в четыре раза,
т. е. kAB = iAB, kAC = 31’лс/4; kAD = iADH. Коэффициент распреде-
ления составляет долю уравновешивающего момента, приходящего-
ся на данный стержень в узле А. Для стержней данного узла коэф-
фициенты распределения будут следующие:
_	_____________kAC______.
Рлв“*дв + *лс + *до ’ РЛС~ Чв + ^Ас + Чо '
— kAD
kAB + kAc + kAD '
Их сумма для каждого узла равна единице.
При повороте узла А на угол ф = 1 на противоположных концах
стержней возникнут моменты: МВА = 2iAB; МСА = 0; MDA = —iAD.
Отношения этих моментов к соответствующим моментам на концах
стержней в узле А называют коэффициентами передачи или переноса.
Для стержней, изображенных на рис. XV. 1, коэффициенты передачи
будут:
Кав — МВА/МАВ — 21ав/(4лав) = 0,5; &дс = 0» &др =—1.
В процессе расчета, который производится в табличной форме,
к неуравновешенным узлам рамы поочередно прикладываются урав-
новешивающие моменты, которые распределяются между стержнями
с помощью коэффициентов распределения. После этого производится
передача моментов на противоположные концы стержней, т. е. в со-
седние узлы. Эти циклы повторяются до тех пор, пока не будет достиг-
нута требуемая точность, результата. При этом процесс итераций
довольно быстро сходится.
Пр и м е р XV. 1. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
изображенной на рис. XV.2, а.
Основная система этой рамы с относительными погонными же-
сткостями, показанными в кружках, изображена на рис. XV.2, б.
Там же записаны и показаны реактивные моменты на концах стержней,
302
подсчитанные по формулам табл. XIII. 1:
AR, = — М?п = — ql2/12 = — 4 • 108 • 62/12 Н • м =
= — 1,2-10* Н-м =—12 кН-м;
М°з = _Л1°2 = _Р//8= - 30.103-6/8 Н-м = —2,25-104 Н-м =
= —22,5 кН-м.
Для стержней, которые в основной системе оказываются жестко
заделанными обоими концами, коэффициенты жесткости равны их
погонным жесткостям, т. е.
fe12 = 0,667;	/г23=1;	й34 = 0,25.
Рис. XV.2
Для стойки 2—5, имеющей на одном конце шарнир, коэффициент
жесткости равен 0,75 от ее погонной жесткости, т. е.
^ = 0,75-0,4 = 0,3.
Коэффициенты распределения для узлов 2 и 3:
^12	_ 0,667	_ 0,667 _л оол в
И21== *«+*»+*!» “ 0,667+1+0,3 — 1,967 “	’
нгз = «,	= -гбк=°.508;
*^23	#12 + ^23 + ^26	L 967
"2б	&12 + ^23 + ^25
-------^3___ — -------
Из2	1+0.25
и — км - = -0,2_- = 02
Иа4“А»+Лм	1.25 U’Z’
=-^7- = 0,153;
1	0,8;
303
Для каждого узла сумма коэффициентов распределения должна
быть равна единице, т. е.
М21 + Паз + Р-25 = 0,339 -ф 0,508 -4-0,153= 1;
Рзг “Ь Рз< — 0,8 0,2 = 1.
Итерационный процесс уравновешивания узловых моментов про-
веден в табл. XV. 1, в которой для каждого узла, в зависимости от
числа сходящихся в нем стержней, отведен одиночный, двойной или
тройной столбец. В первых четырех строках таблицы кроме номеров
узлов и обозначения стержней записаны их коэффициенты жесткости
и распределения, т. е. величины, не зависящие от действующей на-
грузки. Коэффициенты передачи моментов Х21 = Х23 = Х32 = Х34 =
= 0,5 и Zs5 = 0 в данном случае опущены.
В пятой строке таблицы записаны исходные реактивные моменты
Л4°, а в последующих строках — уравновешивающие и переданные
моменты. Нижняя строка предназначена для записи окончательных
моментов М на концах стержней.
Таблица XV.1
Узлы		1	2			3		4
Стержни		1—2	2—1	2—5	2—3	3-2	3—4	4—3
Коэффициент жест- кости k		0,667	0,667	0,3	1	1	0,25	0,25
Коэффициент рас- пределения ц		—	0,339	0,508	0,153	0,8	0,2	—
Л1°, кН • гл		— 12	12	—	—22,5	22,5	—	—
Уравновешива- ние моментов в узлах	3	—	—		-^.—9	—18	—4,5	—2,25
	2	3>3L	_6,61	Л),91	2,98—	--У,49		
	3	—-	—	—	.-—0,6^	- —1J9	0,3	0,15
	2		„ 0,2>	х'0,31>	 ^09	0,05 ? 1 \	—	—
	3	—		—	—0.02	..... ..	V. —0,04	>-0,01	—
	2	—	0,01 '	0,01^	—	—	—	—
Окончательные мо- менты, кН • м		—8,68	18,82	10,23	—29,05	4,81	— 4,81	—2,4
Уравновешивание моментов начато с узла 3, в котором действует
неуравновешенный реактивный момент М32 = 22,5 кН -м. Этот мо-
мент уравновешивается отрицательными уравновешивающими момен-
тами 18 и 4,5 кН *м, найденными путем умножения неуравновешенного
момента 22,5 кН -м на соответствующие коэффициенты распределения
304
(i33 = 0,8 и jjl34 = 0,2 с переменой знака. Половины уравновешиваю-
щих моментов, равные 9 и 2,25 кН *м, переданы с теми же знаками «—»
на противоположные концы стержней, т. е. в соседние узлы 2 и 4.
После этого переходим к узлу 2, в котором действует неуравнове-
шенный момент 12 — 22,5 — 9 = —19,5 кН -м. К концам стержней,
сходящихся в этом узле, прикладываем уравновешивающие моменты
6,61; 9,91 и 2,98 кН -м, полученные с помощью коэффициентов распре-
деления 0,339; 0,508 и 0,153. Половины уравновешивающих моментов,
равные 3,31 и 1,49 кН «м, переданы в узлы 1 и 3. В результате этого
потребовалось снова уравновешивать узел 3. Однако неуравновешен-
ный момент уже в 15 раз меньше первоначального.
Циклы попеременного уравновешивания узлов 2 и 3 повторяем
до тех пор, пока передаваемые моменты не станут меньше наперед
заданной величины, определяемой требуемой точностью расчета,
которая в данном примере принята равной 0,01 кН -м.
Окончательные реактивные моменты на концах стержней получаем
алгебраическим суммированием в каждом столбце исходных моментов
с уравновешивающими и переданными. Наибольшие изгибающие
моменты в пролетах определяются, как обычно. Окончательная эпюра
изгибающих моментов изображена на рис. XV.2, в.
§ XV.2. УПРОЩЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ СИММЕТРИЧНЫХ РАИ
Расчет симметричных рам можно значительно упростить, если рас-
смотреть только часть расчетной схемы рамы, а действие отброшенной
части учесть введением
изменением жесткостей
некоторых стержней. В
случае одной оси сим-
метрии рассматривается
половина рамы, а при
двух осях — четвертая
ее часть. Это приводит к
соответствующему уме-
ньшению граф расчетной
таблицы и к ускорению
сходимости итерацион-
ного процесса.
При совпадении осн
симметрии рамы с ее
средними стойками (рис.
XV.3, а) и при действии
симметричной нагрузки
соответствующих опорных закреплений или
ВЖЖЖЖЖЯ
Illi ГТ
24 Ч
рассчитывается одна по-
ЖЖЖЖЖЖ1
г)
I ~я
Рис. XV.3
^//2
24/2
41 р |р L
н



ловина рамы, например
левая, концы ригелей которой принимаются жестко защемленными
(рис. XV.3, б). При обратносимметричной нагрузке (рис. XV.3, в)
средние стойки как бы разрезаются по их осям на две части, жестко-
сти которых равны половине жесткости самих стоек (рис. XV.3, г).
305
Если ось симметрии проходит через середины пролетов ригелей, то
при симметричной нагрузке (рис. XV.4, а) действие отброшенной поло-
вины рамы заменяется ползунами на концах ригелей рассматриваемой
половины (рис. XV.4, б), а при обратносимметричной нагрузке
(рис. XV.4, в) — цилиндрическими подвижными опорами (рис. XV.4, г).
Несимметричную нагрузку нужно разложить на симметричную
и обратносимметричную составляющие и вести расчет рамы на каждую
из них в отдельности.
Пример XV. 2. Построить эпюру изгибающих моментов в замк-
нутой раме, показанной на рис. XV.5, а и подверженной действию
самоуравновешенной нагрузки.
Так как рама имеет две оси симметрии, то для расчета достаточно
выделить одну четвертую часть ее (рис. XV.5, б). Погонные жесткости
стержней на этом рисунке показаны в кружках. Благодаря симмет-
рии нагрузки относительно обеих осей рама не имеет линейных пере-
мещений узлов.
Коэффициенты жесткости стержней:
^12 = ^"12/4 — 0,8/4 = 0,2; k2s —	= I23 = 0,667;
^35= ^35/4 — 0,4/4 = 0,1.
Коэффициент 1/4 вводится для стержней, имеющих на одном конце
ползун.
Коэффициенты распределения находятся, как обычно, по коэффи-
циентам жесткости стержней.
Исходные моменты, т. е. моменты в защемлениях основной системы:
М1а = </1/г2/12 = 2-103-52/12Н-м = 4,17-103Н-м = 4,17кН-м;
М’3 = _	= /и»4 = _	= — <7^/12 = — 6 • 10s • 62/12Н • м =
= -1,8-104Н-м = —18 кН-м.
Уравновешивание узлов рамы выполнено в табл. XV.2, а эпюра
изгибающих моментов для выделенной четвертой части рамы изобра-
жена на рис. XV.5, в.
Пример XV.3. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
изображенной на рис. XV.6, а и имеющей стойки со ступенчато изме-
няющейся жесткостью.
Для решения в этом случае нужно предварительно найти коэффи-
циент жесткости и коэффициент передачи для стойки, жестко защем-
ленной обоими концами и подверженной единичному угловому пере-
мещению верхнего конца (рис. XV.6, б). Эта задача решена методом
сил и при этом найдено: Af2i = 5t; Af12 = 4/.
Тогда
^21 ” Л^21/4 “ 5Z/4 = 1,25Z; Х21 = ^12/^21 = 4/5 = 0,8.
Так как рама и действующая на нее нагрузка симметричны отно-
сительно вертикальной оси, то уравновешивание моментов в табл. XV.3
выполнено для одной половины рамы, показанной на рис. XV.6, в.
306
ж
S'AX ‘»«d
ид
W.3
_ /
S

(г
z нд 9
111II
^13Ь
ид
ид
11111
!2 W
Гп
£ 13 1
и В TJ»
Н/ЦЯ7.=Ь \ I I Н f______,
и/н»9=Ь
н/Н»9=Ъ-
ид '
Li-U I.
ъ 1317
нд
пш
к
I3ft
тип
ззь
шп
13 ь
шн
(о
Таблица XV.2
Узлы		2		3			4
Стержни		2—1	2—3	3-2	3-5	3—4	4—3
Коэффициент жест- кости		0,2	0,667	0,667	0,1	0,667	0,667
Коэффициент рас- пределения р,		0,231	0,769	0,465	0,07	0,465	%
М°, кН • м		4,17	—18	18		— 18	18
Уравновешива- ние моментов в узлах	2	3,19	10,64	5,32			
	3		—1,24	-2,47	-0,38	—2,47	—1,24
	2	0,29	0,95	0,48			
	3		-0,11	—0,22	—0,04	—0,22	-0,11
	2	0,03	0,08	0,04			
	3		—0,01	—0,02	0	-0,02	—0,01
	2	0	0,01	0			
Л1, кН • м		7,68	—7,68	21,13	—0,42	20,71	16,64
Таблица XV.3
Узлы	1	2	
Стержни	1—2	2—1	2—3'
Коэффициент жесткости k	—	1,25	1
Коэффициент распределения р,	—	0,556	0,444
Коэффициент передачи X	—	0,8	—
М°, кН • м	—	—	—30
Уравновешивание узла 2	13,34	16,68	13,32
М, кН • м	13,34	16,68	-16,68
При этом коэффициент жесткости полуригеля, имеющего на конце
ползун, принимается равным
= 2/23/4 = 2-2/4= 1.
308
Моменты в защемлениях основной системы:
№ = —== —<?Г712 = —10-62/12 = —30 кН-м.
Рис. XV.6
Уравновешивание узла 2 выполнено в табл. XV.3, а эпюра изги-
бающих моментов показана на рис. XV.6, г.
§ XV.3. РАСЧЕТ СВОБОДНЫХ РАМ
Расчет таких рам может быть выполнен либо путем комбинирован-
ного применения метода перемещений и способа итераций, либо цели-
ком последним способом с уравновешиванием не только моментов
в узлах, но и поперечных сил в стойках каждого этажа. Первый путь
приводит только к уменьшению числа уравнений по сравнению с чис-
тым методом” перемещений, а второй уже полностью избавляет от необ-
ходимости их составления и решения. Здесь рассматривается второй
вариант расчета как более простой. При этом уравновешивание момен-
тов в узлах свободных рам выполняется так же, как и в случае несво-
бодных.
Уравновешивание поперечных сил служит выполнению условия,
что их сумма во всех вертикальных стойках каждого этажа свободной
рамы должна быть равна сумме вышележащих горизонтальных нагру-
зок, а при отсутствии последних — нулю. Распределение суммарной
309
поперечной силы, вызванной внешними силами и изгибающими момен-
тами на концах стоек, производится исходя из формул таблицы реак-
ций для стержней, подвергающихся единичному взаимному перемеще-
Для стойки АВ (рис. XV.7), имеющей жесткое защемление обоих
концов:
Qab = Qba — 12tАв /h*AB; Мав = Мва = Qa^ab/^-
Для стойки CD, один конец которой жестко защемлен, а другой
оперт шарнирно:
QcD — Qoc^^cD/hcD’, Mdc — Qcd^cd> Mcd~^‘
Для стойки EF, один конец которой жестко защемлен, а другой
снабжен ползуном:
QeF = QfE = MeF= Mfe = 0.
Отсюда следует, что суммарная поперечная сила Q распределится
между стойками следующим образом:
О.ав = Qba = vabQ> Qcd — Qdc = VcdQ,
где vab И vcd — коэффициенты распределения этажной поперечной
силы между стойками, выражающиеся формулами
_	{АВ^В
АВ lABlhiAB+^iCDlhlD •
V =	0,25<Ср/Д|.о
CD	iAB/^AB+0,25iCD/hb •	V^~°‘
Сумма коэффициентов распределения поперечных сил для каждого
этажа равна единице.
Если все стойки данного этажа имеют одинаковую высоту h, то
в формулах для коэффициентов v величина й2 сокращается. При нали-
чии на некоторых стойках внеузловой горизонтальной нагрузки
поперечные силы у низа и у верха этих стоек уже будут различными.
ЗЮ
о)
ЯГ?
•1
21
I '
/
21
I
If-6 M
2,72
(кН-м)
2,34
Рис. XV.8
22,93

P=3(kKh

$
з

1%-6 M
5
При расчете свободной рамы после каждого цикла уравновешива-
ния узловых моментов по полученным значениям уравновешивающих
и переданных моментов находят
поперечные силы в стойках и
их суммы для каждого этажа,
которые уравновешивают силами
обратного знака, распределенны-
ми между стойками данного эта-
жа. При этом в расчетной таб-
лице узлам соответствуют араб-
ские цифры, а этажам—римские.
По найденным после распре-
деления поперечным силам на-
ходят соответствующие момен-
ты на концах стоек, которые
прибавляют к полученным ра-
нее неуравновешенным момен-
там и распределяют вместе с
ними обычным порядком. Циклы
уравновешивания моментов и
поперечных сил повторяют до
получения требуемой точности
окончательных результатов.
Пример XV.4. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
изображенной на рис. XV.8, а.
Коэффициенты распределения моментов найдены, как обычно,
а коэффициенты распределения поперечных сил — по формулам,
приведенным в этом параграфе:
/12	0,333	~ Q.
V12 = V21 — *12-|-0,25*34 = 0,333 + 0,25 - 0,333 = и,б;
_	0,25*34 _	0,25-0,333
V34 — «12+0,25*34 “ 0,333 +0,25 • 0,333 “
Исходные моменты на концах стержней у защемлений основной
системы метода перемещений:
М = — М> = — ql\№ = — 5- 103-6а/12 Н-м = — 1,5.10* Н-м =
= —15 кН-м;
= —Л4?3 = —Р/2/8 = —30-103-6/8 Н-м =
= -2,25-10* Н-м = —22,5 кН-м.
Эти моменты записаны в шестую строку табл. ХУЛ, а их распреде-
ление в узлах 2 и 3 сделано в последующих двух строках. После этого
первого цикла вычислений неуравновешенная сумма поперечных
сил в стойках будет:
<?! = - (М1а + М21 + M^/h = - (3 + 6 + 0,6)/3 = - 3,2 кН.
Уравновешивающая сила распределяется между обеими стойками так:
Q12 = Q21 = — vlaQi = 0,8 • 3,2 = 2,56 кН;
Q31 = Q43 = v34Qi = 0,2- 3,2 = 0,64 кН.
311
Моменты, вызванные на концах стоек этими поперечными силами,
будут:
= Л431 = — Q13/i/2 = — 2,56 • 3/2 = — 3,84 кН • м;
/И34 = — Q31ft = — 0,64 • 3 = — 1,92 кН • м.
Второй цикл вычислений завершается уравновешиванием этих
моментов в узлах 2 и 3. При этом в узле 2 уравновешивается момент
0,6 — 3,84 =—3,24 кН-м, который распределяется между стерж-
нями 2—1 и 2—3, а в узле 3 — момент 0,97 — 1,92 = — 0,95 кН -м,
который распределяется между стержнями 3—2, 3—4 и 3—5.
Рис. XV.9
Третий цикл проведем без промежуточного этапа определения'
поперечных сил в стойках и сразу найдем изгибающие моменты на их
концах:
Mi = 0,65+ 1,34-0,19 = 2,14 кН-м;
Л113 — Л431 = v13Mi/2 = 0,8 • 2,14/2 = 0,86 кН • м;
M34 = v31Mi = 0,2-2,14 = 0,43 кН-м.
Эти моменты с переменой знака записаны в таблицу и вместе с пе-
реданными моментами 0,19 кН-м и 0,2 кН-м уравновешены в узлах
2 и 3. Для получения окончательных моментов с заданной точностью
0,01 кН -м пришлось провести пять циклов итераций. Для обеспечения
точности 0,1 кН-м потребовалось бы всего три цикла. Окончательная
эпюра изгибающих моментов изображена на рис. XV.8, б.
Как сказано выше, непосредственным уравновешиванием моментов
в узлах без составления уравнений метода перемещений легко рассчи-
тываются свободные рамы с горизонтальными узловыми нагрузками.
Это показано в примере XV.5.
Пример XV.5. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
рассмотренной в примере IX.4, пользуясь способом итераций.
Так как симметричная составляющая нагрузки не вызывает изги-
бающих моментов в раме, то расчет последней производится только
на обратносимметричную составляющую, показанную на рис. XV.9, а.
312
Таблица XV.4
Узлы		1	2		3			5
Стержни		1—2	2—1	2—3	3—2	3—4	3—5	5—3
Коэффициент жесткости k		0,333	0,333	0,5	0,5	0,25	0,5	0,5
Коэффициенты распре- деления	И	—	0,4	0,6	0,4	0,2	0,4	—
	V	0,8	0,8	—•	—	0,2	—	—
Л1°, кН • м		—	—,	—15	15	—	-22,5	22,5
Уравновешивание мо- ментов в узлах и поперечных сил в стойках этажа	2	3	6	9	4,5	—	—	—
		—	—	0,6	1,2	0,6	1,2	0,6
	/	-3,84	—3,84	—	—	—1,92	—	—
	2	0,65	1,3	1,94	0,97	—	—	—
	3	—	—	0,19	0,38	0,19	0,38	0,19
	I	-0,86	-0,86	—	—	-0,43	—	—
	2	0,13	0,27	0,4	0,2	—	—	—
	3	—	—	0,05	0,09	0,05	0,09	0,05
	1	—0,18	-0,18	—	—	-0,09	—	—’
	2	0,02	0,05	0,08	0,04	—	—	—
	3	—	—	0,01	0,02	0,01	0,02	0,01
	I	-0,03	-0,03	—	—	—0,02	—	—
	2	—	0,01	0,01	—	—	—	—
	3	—	—	—	0,01		0,01	
Л1, кН-м		—1,11	2,72	—2,72	22,41	-1,61	—20,8	23,35
Относительные погонные жесткости стержней указаны на расчетной
схеме рамы в кружках.
Так как рама симметричная, то можно рассматривать одну ее поло-
вину (рис. XV.9, б). При этом по оси симметрии рамы полуригели
принимают опертыми на цилиндрические подвижные опоры, а их
погонную жесткость удваивают.
Коэффициенты жесткости и коэффициенты передачи моментов
для стоек определяют, как для стержней, имеющих на одном конце
жесткое защемление, на другом ползун. Полуригели принимают
313
жестко защемленными одним концом и шарнирно опертыми на другом.
При этом: &12 = 0,25 i12 = 0,25-0,5 = 0,125;	= 0,25 i23 = 0,25 •
• 0,25 = 0,0625; k3i' = k2V = 0,75-2	= 0,75-0,667 = 0,5;	=
= ^21 ~ ^23 ~ ^32 = I-
Исходные моменты:
MJ9 = AfSi = — (Рг + P2) Л,/(2 • 2) = — (10 + 5) 103 - 4/(2 - 2) H • м =
= — 1,5-104Н-м = — 15 kH-m;
Л423 =.	_ P2/i2/(2 - 2) = — 5 • 103 - 4/(2 - 2) H - м ~
= —5-103H-m = —5 kH-m.
Уравновешивание моментов в узлах рамы сделано в табл. XV.5.
Окончательная эпюра М показана на рис. XV.9, в. Она практически
совпадает с полученной в примере IX.4.
Таблица XV.5
Узлы		1	2			3	
Стержни		1-2	2—1	2—5'	2—3	3-2	3—4'
Коэффициент жесткости k		0,125	0,125	0,5	0,0625	0,0625	0,5
Коэффициент распреде- ления ц		1,0	0,182	0,727	0,091	0,111	0,889
Коэффициент передачи X		—	—1,0	—	—1,0	—1,0	—
Л1°, кН«м		—15	—15	—	—5	—5	—
Уравновешивание моментов в узлах	2	—3,64	3,64	14,54	1,82	—1,82	—
	3	—	—		—0,76	0,76	6,06
	2	—0,14	0,14	0,55	0,07	—0,07	—
	3	—	—	—	—0,01	0,01	0,06
	2	—	—	0,01	—	—	—
Мс кН*м		—18,78	—11,22	15,1	—3,88	—6,12	6,12
Пример XV.6. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
изображенной на рис. XV. 10, а.
Благодаря симметрии рамы и удвоенной жесткости промежуточных
стоек по сравнению с крайними можно расчленить ее на три одинаковые
рамы (рис. XV. 10, б), нагрузка на которые распределяется поровну,
и произвести расчет одной из этих рам с учетом ее симметрии и обратной
симметрии нагрузки относительно вертикальной оси. При этом, подобно
тому, как это было сделано в предыдущем примере, коэффициенты
314
жесткости стержней определяют по формулам
^12	= 2/4 = 0,5j k^f == 0,75 • 2^23 = 1,5 • 1 = 1 ,5.
Коэффициент передачи момента Х21 = —1.
Исходные моменты в основной системе:
М°12 = Л4?1 = —РЛ/4 = —4-10’-6/4 Н-м---6-10® Н м=— 6 кН-м.
Распределение этих моментов сдеЛайо й*табл. XV.6, а эпюра изги-
бающих моментов показана на рис. XV. 10, а. При ее построении мо-
менты для промежуточных стоек удвоены по сравнению с их значениями
для крайних стоек.
Таблица XV.6
Узлы	1	2	
Стержни	1—2	2—1	2—5'
Коэффициент жесткости k	0,5	0,5	1,5
Коэффициент распределения р	—-	0,25	0,75
Коэффициент передачи К	—	—1	—
М°, кН • м	—6	—6	—
Уравновешивание узла 2	—1,5	1,5	4,5
М9 кН«м	—7,5	—4,5	4,5
§ XV.4. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
Расчет неразрезных балок оказывается особенно простым, так
как у них отсутствует линейная подвижность узлов, и, кроме того,
над каждой промежуточной опорой соединяются только два стержня,
образующие смежные пролеты. По этой причине каждой промежуточ-
ной опоре неразрезной балки будет соответствовать в расчетной табли-
це двойной столбец.
315
Использование симметрии балки осуществляется так же, как и при
расчете рам.
Пример XV.7. Построить эпюру изгибающих моментов в нераз»
резной балке, показанной на рис. XV. 11, а.
Рис. XV. 11
Моменты в защемлениях основной системы:
Mio = Plnv (1 - и3)/2 = 10 • 103 • 4 • 0,75 (1 - 0,75а)/2 Н • м =
= 6,56-103 Н-м = 6,56 кН-м;
№ = - М°21 = — qly\2 = -2 • 103 • 69/12 Н • м =
= —6-103 Н-м = —6 кН-м.
Дальнейший расчет выполнен в табл. XV.7, а эпюра изгибающих
моментов изображена на рис. XV. 11, б.
Опоры		1		Таблица XV.7 1		
				2		3
Пролеты		1—0	1—2	2—1	2—3	3—2
Коэффициент жесткости k		1,5	3	3	2	2
Коэффициент распределения р		0,333	0,667	0,6	0,4	—
кН • м		6,56	—6	6	—	—
	2	—	—1,8	—3,6	—2,4	-1,2
	1	0,41	0,83	0,42	—	—
Уравновешивание узлов	2	—	—0,13	-0,25	—0,17	—0,09
	1	0,04	0,09	0,05	—	—
	2	—	—0,02	—0,03	—0,02	—0,01
	3	0,01	0,01	—	—	—
ЛЛ кН-м		7,02	—7,02	2,59	—2,59	-1,30
316
Пример XV.8. Построить эпюру изгибающих моментов в нер^з-
резной балке с упругим защемлением левого конца, изображенной
на рис. XV. 12, а. Жест-
кость защемления, т. е.
угол его поворота, вызы-
ваемый единичным момен-
том, характеризуется ве-
личиной т]12= 0,125/i. Ко-
эффициент жесткости и ко-
эффициент передачи упру-
го защемленного стержня
определяют по формулам
^2i= iО + Зг»]1а)/(1 +
+ 4й|1г) = 0,917/;
^21 = V[2 (1 + 3it)i2)] =
= 0,364.	Рис. XV.12
Для стержня 2—3 эти коэффициенты определяются, как обычно:
&23 = t; ^23 = 0,5.
Моменты в защемлениях основной системы:
Л4»3 = —	= — PZ/8 = —80 • 6/8 = —60 кН • м.
Распределение этих моментов сделано в табл. XV.8, а эпюра изги-
бающих моментов изображена на рис. XV. 12, б. При этом принято,
что i = 1.
Таблица XV .8
Опоры	1 '	2		3
Пролеты	1—2	2—1	2-3	3—2
Коэффициент жесткости k	—	0,917	1	—
Коэффициент распределения р	—	0,478	0,522	—
Коэффициент передачи X	—	0,364	0,5	—
Л1°, кН • м	—	—	—60	60
Уравновешивание на опоре 2	10,44	28,68	31,32	15,66
/И, кН*м	10,44	28,68	—28,68	75,66
Пример XV.9. Построить линию влияния изгибающего момента
на опоре 1 неразрезной балки, показанной на рис. XV. 13, а.
Приложив на опоре 1 внешний момент /0, = 1, распределим его
Между пролетами 1—0 и 1—2 согласно значениям их коэффициентов
317
распределения и найдем исходные реактивные моменты:
== 1 • 0,385 и ^^12== 0,615»
Распределение этих моментов сделано в табл. XV.9, а соответствую-
щая эпюра изображена на рис. XV. 13, б.
Рис. XV.13
Опоры		0	1		Таблица XV.&i 2	
Стержни		0—1	1—0	1—2	2—1	2—3
Коэффициент жесткости k		0,25	0,25	0,4	0,4	0,3
Коэффициент распределения р		—	0,385	0,615	0,571	0,429
Исходные моменты 7И°		0,193	0,385	0,615	0,308	—
Уравновешивание мо- ментов на опорах	2	—	—-	—0,088	—0,176	—0,132
	1	0,017	0,034	0,054	0,027	—
	2	—	—	—0,008	—0,015	—0,012
	1	0,002	0,003	0,005	0,003	—
	2	—	—	—0,001	—0,002	—0,001
	1	—-	—	0,001	—	—
Окончательные моменты М		0,212	0,422	0,578	0,145	—0,145
318
Таким же путем сделано в табл. XV. 10 распределение момента
Л?2 = 1. приложенного на опоре 2, и построена эпюра, изображенная
на рис. XV. 13, в.
При перемещении груза Р = 1 в пределах первого пролета опора /
будет находиться от него справа и искомый опорный момент выразится
так:
Mi = —	(м) = —0,578 • 4 • р (ы) = —2,312р (ы).
При перемещении груза Р = 1 во втором пролете опора 1 уже будет
находиться слева и тогда
Мх = — [2И10а (и) + Л7Х2р (и)] Z2 = — [0,422а (w) + 0,121 р («)] 5 =
= — 2,11а(«)-0,605р (и).
При этом значения Л710 = 0,422 и = 0,121 взяты из таблиц XV.9
и XV. 10 соответственно.
При перемещении единичного груза в третьем пролете, правый
конец которого оперт шарнирно:
Mt = —Л?12/Зу («) = 0,121 • бу (и) = 0,726у (и).
При перемещении единичного груза по консоли
Л4Х = —Л?12х/2 = —0,121 х/2 = —0,0605х.
Функции а (и) и р (и) относятся к стержню, защемленному обоими
концами, а функция у (и) — к стержню, один конец которого жестко
Таблица XV.10
Опоры		0	1		2	
Стержни		0—1	1—0	1—2	2—1	2—3
Коэффициент жесткости k		0,25	0,25	0,4	0,4	0,3
Коэффициент распределения р		—	0,385	0,615	0,571	0,429
Исходные моменты М°		—	—	0,286	0,571	0,429
Уравновешивание мо- ментов на ©порах	1	—0,055	—0,11	—0,176	—0,088	—
	2	—	—	0,025	0,05	0,038
	1	—0,005	—0,01	—0,015	—0,008	—-
	2	—	*—	0,003	0,005	0,003
	1	—0,001	—0,001	—0,002	—0,001	—
	2	—	*—	—	0,001	—
Окончательные моменты М		—0,061	—0,121	0,121	0,53	0,47
319
защемлен, другой оперт шарнирно; при этом приведенную абсциссу
« = хИ движущегося груза Р = 1 отсчитывают от шарнирно опертого
конца. Значения этих функций приведены в табл. XV. 11.
Подставляя в составленные выражения для Mt значения этих
функций, соответствующие значениям аргумента и от 0 до 1 с интер-
валом 0,2, получаем ординаты линии влияния, изображенной на
рис. XV. 13, г.
Таблица XV.11
и	а (и)	3(«)	V(w)	и	а (и)	₽ («)	т(«)
0	0	0	0	0,6	0,096	0,144	0,192
0,1	0,081	0,009	0,05	0,7	0,063	0,147	0,179
0,2	0,128	0,032	0,096	0,8	0,032	0,128	0,144
0,3	0,147	0,063	0,137	0,9	0,009	0,081	0,086
0,4	0,144	0,096	0,168	1	0	0	0
0,5	0,125	0,125	0,188				
§ XV.5. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ РАМ
НА ВЕРТИКАЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ
Приближенными называют такие способы, в которых
упрощению подвергается сама расчетная схема рамы, благодаря че,му
снижается число неизвестных и достигается облегчение и ускорение
расчета. Такие способы находят применение при грубом расчете для
сравнения нескольких конкурирующих вариантов конструктивного
решения объекта проектирования; при проведении предварительного
расчета для назначения размеров сечений стержней перед окончатель-
ным расчетом и, наконец, для окончательного расчета таких рам,
для которых применение строгих методов слишком затруднительно
или не имеет смысла.
Среди множества различных приближенных способов расчета рам
практическую ценность имеют только те, которые относятся к много-
пролетным и многоэтажным рамам. Эти способы большей частью
основаны на введении в расчетную схему рамы дополнительных шар-
ниров или стержневых связей, а иногда и тех и других одновременно.
В основу наиболее употребительного способа, который дает при-
емлемую точность и в то же время достаточно прост, положены сле-
дующие допущения:
1.	Линейные перемещения узлов рамы не учитываются, т. е.
заданная свободная рама путем введения стержневых связей заменя-
ется несвободной.
2.	При одинаковых пролетах число их для расчета ограничивается
тремя, а во всех промежуточных пролетах принимаются одинаковые
эпюры изгибающих моментов.	\
320
3.	Нулевые точки эпюры изгибающих моментов в стойках всех
этажей, кроме первого, принимаются посредине высоты этих стоек,
что позволяет ввести в указанные сечения шарниры.
4.	Многоэтажная рама расчленяется по высоте на ряд элементар-
ных рам с одноэтажными или двухэтажными полустойками, окан-
чивающимися неподвижными цилиндрическими опорами. Стойки
первого этажа считаются жестко заделанными своими нижними
концами.
Рис. XV. 14
Расчет каждой элементарной рамы производится независимо от
Других. Для этого может быть применен любой из рассмотренных
выше строгих методов или готовые формулы, имеющиеся в справоч-
никах. Окончательная эпюра изгибающих моментов для всей рамы
составляется из эпюр для отдельных элементарных рам. Эпюры изги-
бающих моментов в стойках спрямляются, т. е. нулевые точки окон-
чательной эпюры уже могут не совпадать с введенными ранее шарни-
рами.
Для получения наибольших изгибающих моментов в пролетах
ригелей временная нагрузка располагается только в среднем или только
в крайних пролетах, а в многоэтажных и многопролетных рамах —
в шахматном порядке.
11 п/р. Клейна Г. К.
321
Более точным будет такой приближенный метод расчета, когда
из всех перечисленных выше допущений принимаются только два
первых.
Пример XV. 10. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
изображенной на рис. XV. 14, а.
Раму расчленяем по высоте на две элементарные рамы (рис. XV. 14, б)
и каждую из них рассчитываем любым способом (например, уравно-
вешиванием моментов) без учета линейных перемещений узлов.
Так как стойки второго этажа разделены пополам, то погонная
жесткость каждой полустойки удвоена по сравнению с заданной по-
гонной жесткостью стойки. В кружках — коэффициенты жесткости.
Окончательная эпюра изгибающих моментов показана на рис.
XV. 14, в.
§ XV.	6. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ РАМ
НА ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ
Из числа многих приближенных способов здесь рассматривается
один из наиболее простых, приводящий в то же время к достаточно
точным результатам. Этот способ основан на следующих допущениях
(рис. XV. 15).
Рис. XV. 15
1.	Распределенная по стойкам горизонтальная нагрузка заменяется
узловой.
2.	Нулевые точки эпюры изгибающих моментов предварительно
принимаются посредине ригелей. ’
3.	Многопролетная многоэтажная рама расчленяется на ряд
элементарных рам, каждая из которых состоит из одной линии стоек
и полуригелей, имеющих на концах подвижные цилиндрические опоры.
322
4.	Элементарные рамы заменяются одной эквивалентной им по
погонным, ^жёсткостям полурамой, которая рассчитывается любым
Способом на заданную нагрузку.
5.	Полеченная для стоек .полурамы эпюра изгибающих моментов
распределяется между стойками заданной рамы пропорционально их
погонным жесткостям, деленным на длину в квадрате.
6.	Изгибающие моменты на концах ригелей заданной рамы нахо-
дятся из условий равновесия узлоа.
Пример XV. 11. Построить эпюру изгибающих моментов в раме,
изображенной на рис. XV. 15, а. В кружках показаны погонные
жесткости стержней.
Для приближенного расчета заданную раму заменяют эквивалент-
ной полурамой (рис. XV. 15, б).
Приведенные погонные жесткости стоек полурамы принимают
равными суммам погонных жесткостей стоек соответствующих этажей.
При этом жесткость более длинной стойки 8—11 приводится к длине
двух других стоек третьего этажа:
Мв = 5 + 6 + 4 = 15; iBc = 3 + 4 + 2 = 9;
icD ==1,54-2- 4,5/4 + 1 = 4,75.
Приведенные погонные жесткости полуригелей принимаются рав-
ными учетверенным суммам погонных жесткостей ригелей данного
этажа рамы:
tB£ = 4(104-16) = 104; t"C/? = 4 (10+16)= 104;
Mo = 4 (7,5+12) = 78.
Расчет эквивалентной полурамы на заданную нагрузку произво-
дится способом уравновешивания моментов. При этом коэффициенты
жесткости стержней принимают равными:
клв ~ 1ав№ — 15/4 = 3,75; kBc = 1вс№ — 9/4 = 2,25;
ken —	— 4,75/4 = 1,19;
kBE = 0,75 • iBE = 0,75 • 104 = 78; kCF = 0,75 • iCF = 0,75 • 104 = 78;
^0 = 0,75-78 = 58,5.
Исходные моменты от заданной нагрузки:
Wab = М°ва =—(Pi + Р2 + Р3) Zii/2 = — 45 • 103 • 6/2 Н • м =
= — 1,35x105 н-м = —135 кН-м;
Мвс = Мсв = — (Pt + Ps)h2/2 = — 25-103-5/2 Н-м =
= — 6,25- 104 Н-м = — 62,5 кН-м;
МЬ = А4Ьс = — P3/is/2 = — 8-103-4/2 Н-м = —1.6-104 Н-м =
= — 16 кН • м.
Уравновешивание этих моментов сделано в табл. XV. 12.
11*
323
Таблица XV.12
Узлы		А	В			С			D	
Стержни		А —В	В —А	В — Е	В-С	С—В	с-в	C — D	О—С	D — G
Коэффициент же- сткости k		3,75	3,75	78	2,25	2,25	78	1,19	1,19	58,5
Коэффициент рас- пределения р		•—	0,045	0,928	0,027	0,028	0,957	0,015	0,02	0,98
Коэффициент пере- дачи X		—	—1	0	—1	— 1	0	—1	—1	0
М\ кН - м		—135	-135	—	—62,5	-62,5	—	—16	—16	—
Узлы	В и D	—8,9	8,9	183,3	5,3	—5,3	—	-0,3	0,3	15,7
	С	—	—	—	—2,4	2,4	80,4	1,3	—1,3	—
	В и D	—0,1	0,1	2,2	0,1	—0,1	—	—	—	1,2
	С	—	—	—	—	—•	0,1	—	—	—
М, кН-м		—144	—126	185,5	—59,5	-65,5	80,5	—15	-17	17
Моменты, полученные для стоек эквивалентной полурамы
(рис. XV. 15, в), распределяются между стойками заданной рамы
пропорционально их погонным жесткостям с учетом длин. Так, напри-
мер, для стоек первого этажа находим окончательно:
м14=-	±*-мАВ=- 1АВ	А 144»	— 48 кН-м;
Л/f 	 		/И , *	TS141“	— 57,6 кН-м;
/И 25 —	; ЖАВ “ 1АВ		
^36	f^MAB = - 1АВ	— 144 = 15	—38,4 кН м;
м41=-	Мва = — 1АВ	4126 =	— 42 кН • м;
м52=-	1 АВ	4‘26 =	— 50,4 кН-м;
м 		*36 и __	w126=	— 33,6 кН-м.
^63 “	:	Aft-В А	 1АВ		
324
Таким же путем находят изгибающие моменты на концах стоек
второго и третьего этажей.
Изгибающие моменты на концах ригелей получают из условий
равновесия. При этом сумма моментов на концах стоек, примыкающих
к данному узлу, распределяется с переменой знака между ригелями,
примыкающими к этому же узлу пропорционально их погонным жестко-
стям. Так, например, для узла 5
М64 = — ii5 (Л452 + ЛТВ8)/(г45 + iM) =
= _ю (—50,4 - 26,4)/(10 4- 16) = 29,5 кН • м;
=---i6e(M62 + M58)/(t45 + t56) = - 16(-50,4-26,4)/(Ю + 16) =
= 47,3 кН-м.
Окончательная эпюра изгибающих моментов в раме изображена
на рис. XV. 15, а. Она достаточно близка к эпюре, полученной при
расчете рамы строгими методами.
ГЛАВА XVI
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
ПО НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ С УЧЕТОМ
ПЛАСТИЧНОСТИ МАТЕРИАЛА
§ XVI.	1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Расчет статически неопределимых систем по несущей способности
в ряде случаев, предусмотренных в Строительных нормах и правилах
(СНиП), может быть произведен с учетом пластичности материалов.
Это дает возможность снизить стоимость конструкций за счет исполь-
зования скрытых резервов их прочности, остаю-
щихся недоиспользованными при расчете их как
<5г —у	упругих систем.
/	Ниже рассмотрен расчет различных стерж-
/	невых систем с учетом пластичности материалов.
------iff-------ё" Такой расчет для краткости называют «пла-
I--------------стическим» (в отличие от «упругого»). Вместо
I	действительной диаграммы растяжения — сжа-
I	тия упруго-пластического материала — в основу
/	пластического расчета кладется упрощенная
/	диаграмма для упруго-пластического тела, в ко-
	. бр	ординатах деформация е напряжения а (рис.
XVI. 1).
р XVI1	Эта диагРамма как в области растяжения,
ис> ‘ так и в области сжатия имеет два участка — на-
клонный и горизонтальный, которые характери-
зуют соответственно упругую и пластическую стадии работы материала.'
Значение стт на диаграмме соответствует пределу текучести материала
при растяжении, а значение а? — при сжатии.
Пластическая стадия работы материала наступает тогда, когда
действующие напряжения достигают значений ат или в'т.
При расчете конструкций по СНиП вместо величин от и о'т исполь-
зуют значения соответствующих расчетных сопротивлений 7?р и 7?с и
вводят еще ряд коэффициентов.
Для стали принимают /?р = /?с.
Площадки текучести на упрощенной диаграмме обычно считают
бесконечно длинными, а следующее за ними упрочнение не учитывают.
Такой диаграммой можно пользоваться для прокатной стали и для
326
железобетона, разрушение которого во многих случаях связано с те-
кучестью арматуры и пластическим разрушением бетона.
Так как пластические деформации велики по сравнению с упругими,
то часто можно пренебречь последними и считать, что упругие участки
диаграммы совмещаются с осью ординат. Условный материал, обладаю-
щий такой диаграммой, называют жесткопластическим.
Для любого поперечного сечения, симметричного относительно
плоскости, в которой действуют силы, предельный изгибающий момент
при совместном его действии с продольной N и поперечной Q силами
выражается формулой
Afnp = o1U7.Iv = M0npv,	(XVI.1)
где ог — предел текучести материала при растяжении; — пласти-
ческий момент сопротивления поперечного сечения; Л4пР — предель-
ный изгибающий момент при чистом изгибе; v — коэффициент, учи-
тывающий влияние продольной и поперечной сил на несущую способ-
ность стержня при изгибе и зависящий от формы поперечного сечения
стержня и от соотношения между пределами текучести материала
при сжатии и растяжении.
Для прямоугольного поперечного сечения и ат = а'т коэффициент v
выражается формулой, полученной исходя из условия полного ис-
пользования несущей способности сечения:
V = 1 - (Л7пр/Л7&р)3 - (Qnp/Q°nPr,	(XVI .2)
где Vnp и Qnp — продольная и поперечная силы, действующие в пре-
дельном состоянии стержня совместно с Л4пр; и QnP — продольная
и поперечная силы, вызывающие соответственно предельное состояние
стержня при чистом растяжении и чистом сдвиге. При этом
Nnp — &tF> Qnp — t[F,
где F — площадь поперечного сечения; гт — предельное касательное
напряжение, устанавливаемое исходя из принятой гипотезы прочности.
Пластический момент сопротивления сечения может быть выражен
через упругий момент сопротивления W:
=	(XVI.3)
Коэффициент % зависит от формы сечения и равен: для круга — 1,7;
для прямоугольника—1,5; для тонкостенного кольца—1,27; для
двутавра — около 1,15.
При достижении изгибающим моментом значения, выражаемого
формулой (XVI. 1), в стержне возникает пластический шар-
нир (шарнир текучести), который отличается от идеального шарнира
тем, что в нем действует изгибающий момент постоянной величины Мпр,
равный предельному моменту внутренних сил. Кроме того, пласти-
ческий шарнир является односторонним, так как он закрывается
при разгрузке и при перемене знака изгибающего момента. При этом
стержень снова начинает работать как упругий.
Из формул (XVI. 1) и (XVI.3) следует, что предельный изгибающий
момент в пластическом шарнире характеризует несущую способ-
327
ность стержня при изгибе и оказывается в А раз больше того момента,
при котором текучесть возникает только в крайних волокнах.
При возникновении пластического шарнира в каком-либо элементе
статически определимой системы ее несущая способность оказывается
исчерпанной и наступает разрушение или конструкция делается
непригодной для дальнейшей эксплуатации.
В статически неопределимой системе достижение усилиями в не-
которых из элементов их предельных значений может не повлечь за
собой разрушения всей системы, если последняя за счет остальных
элементов остается структурно неизменяемой и, следовательно, может
воспринять еще дополнительную нагрузку. При этом благодаря
пластическим деформациям элементов, усилия в которых достигли
предельных значений, происходит перераспределение усилий в эле-
ментах, вследствие чего несущая способность всей системы повышается.
Полное разрушение системы наступит тогда, когда будет исчерпана
Рис. XVI.2
несущая способность такого числа связей, которое равно числу лиш-
них связей системы плюс единица.
Если разрушение системы наступает при выходе из строя меньшего
или большего числа связей, его называют соответственно частич-
ным или избыточным. Таким образом, при частичном разру-
шении системы ее схема разрушения обладает меньше чем одной сте-
пенью свободы, а при избыточном разрушении — больше. Примеры
полного, частичного и избыточного разрушения рамы, изображенной
на рис. XVI.2, а, приведены на рис. XVI.2, б—г.
Для заданной статически неопределимой системы при действии
нагрузки данного вида существует множество вариантов распределения
усилий, удовлетворяющих условиям равновесия. При этом в соответ-
ствии с так называемой статической теоремой истинным
будет то распределение усилий, которое соответствует наибольшей
величине предельной нагрузки.
Для данной статически неопределимой системы и при заданной
нагрузке существует множество различных форм разрушения, из
которых согласно кинематической теореме истинной
является та, которая соответствует наименьшей величине предельной
нагрузки. При этом в обоих случаях нагрузка считается заданной по
положению, по направлению и по соотношению между отдельными
ее составляющими, т. е. все нагрузки, действующие на систему, при-
нимают пропорциональными одному параметру. Такой закон нагру-
жения называют простым.
328
При решении задач пластического расчета кинематическим методом
для каждого возможного механизма разрушения составляют уравнения
равновесия в форме уравнений статики или в форме уравнения работ
всех внешних и внутренних сил на тех перемещениях, которые оказы-
ваются возможными для данного механизма. При этом работа внешних
сил Р/.пр считается положительной, а работа внутренних сил, т. е.
предельных изгибающих моментов Мк,пр< возникающих в пластических
шарнирах, — отрицательной. Это выражается таким уравнением:
£ РI,	£ ^k, пр®Л = О
ИЛИ
2Afft,npeft = ^P/inpfiz,	(XVI.4)
где 0* — углы поворота стержней в пластических шарнирах; 6г <—
линейные перемещения точек приложения соответствующих нагрузок;
перемещения считаются малыми; i и k — порядковые номера нагрузок
и предельных моментов соответственно.
Суммирование в уравнении (XVI.4) распространяется на все на-
грузки и предельные моменты во всех пластических шарнирах. При
этом в уравнениях работ распределенные нагрузки могут быть заме-
нены их равнодействующими. Так как все линейные и угловые переме-
щения могут быть выражены через один общий параметр 0, то на него
может быть произведено сокращение всего уравнения (XVI.4). Из этого
уравнения может быть найден параметр предельной нагрузки, если
известны предельные несущие способности сечений (обратная задача,
или проверочный расчет), и параметр требуемых несущих способнос-
тей сечений, если заданы предельные нагрузки (прямая задача, или
проектный расчет).
§ XV1.2. РАСЧЕТ РАМ
Основная трудность расчета рам состоит в том, что число возможных
форм их разрушения может быть очень велико и заранее не удается
установить, которая из них является действительной.
Для нахождения действительной формы разрушения может быть
применен метод комбинированных механизмов, ос-
нованный на том, что для заданной рамы при заданном нагружении
все возможные механизмы могут быть получены путем составления
различных комбинаций относительно малого числа простых незави-
симых механизмов разрушения, которые легко установить в зависи-
мости от расчетной схемы рамы и действующей на ее нагрузки. При этом
в большинстве случаев видно, какие комбинации не требуют иссле-
дования и могут быть отброшены, как не представляющие интереса *.
Среди рассматриваемых возможных механизмов разрушения ис-
тинным будет тот, которому при заданных величинах предельных изги-
бающих моментов соответствует минимальная предельная нагрузка,
или при заданной предельной нагрузке тот механизм разрушения,
* Более общими являются методы линейного программирования,; детально
разработанные проф. А, А. Чирасом,
329
которому соответствует наибольшая величина изгибающих моментов
при разрушении рамы.
Для каждого простого и комбинированного механизма разрушения
составляют уравнения равновесия, которые удобнее всего представить
в форме уравнения работ (XVI.4). Число возможных независимых
механизмов разрушения, равное числу независимых уравнений равно-
весия статики, определяют по формуле
т = п — л,	(XVI .5)
где п — число сечений стержней рамы, в которых нужно найти изги-
бающие моменты для построения эпюры изгибающих моментов; л —
степень статической неопределимости рамы.
Рис, XVI .3
Возможные независимые механизмы разрушения могут быть сле-
дующих типов: а) балочные (Б); б) бокового смещения (С); в) рамные
(щипцовые) (Щ); г) поворота узлов (У).
На рис. XVI.3 для заданной рамы (а) показаны возможные незави-
симые механизмы (б—ж) и комбинация из них (з).
Пример XVI. 1. Определить предельные и допустимые нагрузки
для портальной рамы (рис. XVI.4, а), если Q = 1,5Р, предел теку-
чести стали от = 250 МПа и расчетное сопротивление при изгибе =
= 210 МПа, а пластические моменты сопротивления ригеля и стоек
равны соответственно = 500 см3 и IVC>1. = 250 см3. Построить
график предельных сочетаний сил Рпр и Qnp.
330
Предельный изгибающий момент для стоек
Мс,пр = <JrFCtI = 250• 10е • 250• 10-« Н • м =
= 6,25 • 104 Н-м = 62,5 кН-м.
Предельный изгибающий момент для ригеля
Мр, „р = oTWp, т = 250 • 10е • 500 • 10-« Н • м =
= 12,5-104 Н м=125 кН-м.
Возможными формами разрушения рамы являются балочный
механизм (Б), показанный на рис. XVI.4, б, и механизм бокового
Рис, XVI,4
смещения (С), изображенный на рис. XVI.4, в, а также комбинирован-
ный механизм (Б + С), который показан на рис. XVI.4, г. Для каждого
из этих механизмов на основании принципа возможных перемещений
составляем уравнение предельного равновесия в виде уравнения
работ внешних и внутренних сил.
Для балочного механизма (Б)
<?пр (1/2) б = 2МР, пре + 2МС, пр6 = 0,
откуда
Qnp = 4 (Мр, Пр 4- Мс, пр)// = 12MCf Пр/1
или
Лф = Qnp/1 >5 = 8МС, пр/^*
Для механизма бокового смещения (С)
Р прЛО = 4Л4С, Пр6,
откуда
Р пр = 4 Мс, пр/h 8МС> пр/•
331
Для комбинированного механизма (Б + С)
Qnp (W + Рпрй9 = 4Л1С, пр0 + 2Л4Р, пр0.
Отсюда, имея в виду, что h — 1/2 и Л4р>пр = 2/Ис>пр, получим
Спр + Рпр=16Л4с,пр//.
С учетом того, что Q„p = 1,5 Рпр, имеем
Рпр = 6,4Мс>пр// = 6,4-62,5-103/12 Н = 3,33 10* Н = 33,3 кН;
Qnp = 1,5Рпр =1,5- 33,3 = 50 кН.
Так как минимальные значения Qnp и Рпр, являющиеся расчетными,
соответствуют комбинированной форме разрушения, то опасной будет
именно эта форма.
На основании проделанных расчетов строим график предельных
сочетаний сил Qnp и Рпр (рис. XVI.5).
Для получения допустимых значений нагрузки вместо предела
текучести стали нужно взять расчетное сопротивление и ввести коэф-
фициент перегрузки п, который
в данной задаче принят рав-
ным 1,2;
Q = <2прЯи/(<М) = 50•10®- 210 х
X 100/(250- 10е-1,2) Н = 35 кН;
P = Q/1,5 = 35/1,5кН =
= 23,3 кН.
Пример XVI.2. Построить
эпюру предельных изгибающих
моментов и определить требуе-
мые моменты сопротивления се-
чений стержней стальной рамы,
показанной на рис. XVI.6, а с
расчетными нагрузками, если
расчетное сопротивление стали
при изгибе Ри = 210 МПа.
Число возможных простых форм или механизмов разрушения по
формуле (XVI.4) т = п — л = 10 — 6 = 4. Это формы 2>х, Б2, С и У
(рис. XVI.6, б—д'). Кроме того, могут быть еще три комбинированные
формы, показанные на рис. XVI.6, е—з.
Уравнения работ для каждого из этих семи механизмов следующие:
для механизма Бх
Pi. пр (4/2) 0 = 42Ипр0, или Мпр = Рх, „р/х/8 = 20 -103 • 8/8 Н - м =
= 20-10® Н-м = 20 кН-м;
для механизма Б2
Ра,пр М 6 = 4Мпр6, или Мпр = Р2, пр/а/8 = 40 • 103 • 4/8 Н • м =
= 20-10® Н-м = 20 кН-м;
332
для механизма С
Р3, прМ = 6Л4пр8, или Л4пр = Р3, ПрЛ/6 = 20 • 103 • 4/6 Н • м =
= 13,3-103 Н-м = 13,3 кН-м;
для механизма У
ЗМ пр9 = 0, или М пр — 0,
Рис. XVI.6
для механизма Бг 4- С
Р1, пр (G/2)9 + Рз,	= 8Мпр0, или
Мпр = (Л. пр/8) (/1/2 + h) = 20 кН • м;
для механизма 4- С 4- У
Р1. пр (/1/2) 0 + Рз, пр/iQ = 9Л/„р9, или
Мф=(Pi. пр/9) (/1/2 + h) = 17,8 кН • м;
для механизма 5Х + Б2 + С 4- У
Pi. пр (/1/2) 9 + Р2, пр (/а/2) 6 + Р3, арМ = 11 Л4пр6, или
Л1Пр = (Рипр/П) (/1/2 + /а + ft) = 21,8 кН • м.
333
Наибольший изгибающий момент Л4пр = 21,8 кН-м соответствует
последней комбинации механизмов разрушения.
Для построения эпюры предельных изгибающих моментов
(рис. XVI.6, и), соответствующих разрушению рамы по схеме +
4- Б2 + С -j- У, будем исходить из того, что предельной величины
достигли моменты /И12.пр = /И32,пр = /И43,пр = Л15з.пР = М5в>Пр =
= -^вб.пр = М7,Пр = Л18,пр = 21,8 кН-м. Изгибающие моменты в уз-
лах, нё достигшие предельной величины, находим непосредственно из
условий равновесия.
Для 1-го пролета ригеля имеем такое соотношение ординат эпюры
моментов:
Л. np^i/4 - (М32, пр+М28)/2 = Мъ пр, или
20 • 8/4 -(21,8 + Л4,3)/2 = 21,8,
откуда /И23 = 14,6 кН-м.
Аналогично из рассмотрения 2-го пролета ригеля находим ЛТ38 =
= 14,6 кН-м. Условие равновесия моментов в узле 3 2Л43 = 21,8 —
—14,6 — Л434 = 0, откуда Л431 = 7,2 кН-м.
Требуемый пластический момент сопротивления сечений стержней
рамы
= /Итах/₽и = 21,8-103/(210- 10е) м3= 1,04-10 4 м3= 104 см3.
Пример XVI.3. Построить эпюру предельных изгибающих мо-
ментов в стальной раме, показанной на рис. XVI.7, а, и определить
требуемые моменты сопротивления ее стержней, относительные несу-
щие способности которых указаны в кружках на схеме рамы. На этой
же схеме указаны геометрические размеры и расчетные предельные
нагрузки.
Число основных возможных форм разрушения рамы
т = п — л= 16 — 9 = 7.
Они показаны на рис. XVI.7, б—е, а комбинированные формы —
на рис. XVI.7, ж—и. Первые три формы совмещены на одном рисунке.
Уравнения работ для каждого из механизмов разрушения и соот-
ветствующие предельные изгибающие моменты:
для механизма
72,пр^(//4)б = 47Ипре; Mnp = <72>n//16 = 20-103-62/16 Н-м =
= 4,5-Ю4 Н-м = 45 кН-м;
для механизмов 52 и Б3
41. пр //4) 6 = 8Мпре; /Ипр = qlt п//32 = 40 -103- 63/32 Н • м =
= 4,5-10* Н-м = 45 кН-м;
для механизма С4
р2. пА0 = 4Л1„ре, Мпр = Р2>’пр/12/4 = 30 -103 - 4/4 Н - м =
= 3-104 Н-м = 30 кН-м;
334
для механизма С2
Р1, п A9 + Рz, np^i® = 2МПр6; Мпр = (Pi, Пр^1 + Р2, np^i)/12 =
= (60-5 + 30-5) 103/12 Н-м = 3,75-104 Н-м = 37,5 кН-м;
для механизмов Ух и У2
Мпр = 0;
Рис. XVI.7
для механизма Б2 + Сх + С2 +
(<7ь пр/М) е + Pj, „Л9 + Р8, „р (ht+/12) 6 = 19Л4пр6;
Мпр = [0,25^, пр/а + Рх, „р/li + Р2, пр (hi + Zz2)]/19 =
= [0,25• 40-62 + 60-5 + 30(5 + 4)] 103/19 Н-м = 4,88-104 Н-м =
= 48,8 кН-м;
для механизма
^2, пР* (*/4) 9 + Р2, пА9 = 6Мпр9;
Мпр = (0,25<72. „рР + Р2, прй2)/6 = (0,25 • 20 • 62 + 30 - 4)/6 = 50 кН • м;
335
для механизма + Бъ 4- Б9 4- Ct 4- С2 4-	+ <V2
2qlt пр Р/4) б + <?2, „р (/2/4) 6 4- Рх, nph^ +
+ Р2,пр(Л1+Л2)0 = 26Мпр6;
Mnp = [2-40-0,25-624-20 0,25-624-60-54-30(54-4)]-103/26 Н-м =
= 5,65-104 Н-м = 56,5 кН-м.
Наибольший предельный изгибающий момент М„р = 56,5 кН • м
соответствует последней комбинации механизмов разрушения и отно-
сительной несущей способности стержней, принятой за единицу.
Для стержней с двойной относительной несущей способностью пре-
дельный изгибающий момент будет равен 2-56,5 — 113 кН-м.
При построении эпюры предельных изгибающих моментов, соот-
ветствующей разрушению рамы по схеме, показанной на рис. XVI.7, и,
будем исходить из того, что предельных величин достигли следующие
моменты:
М43. ПР = М45, пР = М9< пр = 56,5 кН • м;
М42> пР = М62, пр = Mgj, пр “ М75. пр “ М78, пр = М871 пр =
= м1о> пр = Mil, пр = 113 кН • м.
Из условий равновесия находятся моменты в узлах, не достигшие
предельной величины:
для 1-го пролета ригеля второго этажа:
92> пР/2/8 (М43, пр 4- М34)/2 — М3> пр» или
20 • 62/8 — (56,5 4- М34)/2 = 56,5, откуда = Л432 = 10,5 кН • м;
для 1-го пролета ригеля первого этажа:
9ьпр^/8-(М52,пр-М25)/2 = М10,пр, или 40 -62/8-(1134-Л425)/2 =
= 113, откуда Л425 = 21 кН-м.
Точно так же для 2-го пролета М57 — 21 кН-м.
Для любого сечения стоек второго этажа имеем
М23 4- М32 4- М№, пр 4" М64 4- Р прЛ2 — О,
или
М23 4-10,5 - 56,6 4-М54 4-30 • 4 = О,
откуда М23 4- Мм = —74 кН-м.
Для любого сечения стоек первого этажа можно составить такое
уравнение равновесия:
М12, Пр 4~ М 214- М56 4- М65> Пр 4- М78, пр 4- М87, пр 4- (Р i, Пр 4~ P-z, пр) ^i — О»
или
— 1134-м214-М5в-113-113-1134-(60 4-30) 5 = 0,
откуда М21 4- М66 = 3 кН • м.
Условие равновесия моментов в узле 2
M2i4-M234-M26 = 0, или M2i4-M23 — 21 =0,
откуда М21 4" М23 = 21 кН-м.
336
Для узла 5 имеем
М52, пр+М54 4- Л4И 4- Л457 = О
или
пз+Ми+Ми-г^о,
откуда Мм 4- Л15в = —92 кН • м.
1=Jx4=/2m
Рис. XVI.8
В результате получена система из четырех уравнений с четырьмя
неизвестными моментами. Решение этой системы дает:
M2i = 42,2 кН • м; М2-л = —21,2 кН • м; М51 = — 52,8 кН • м;
М53 =— 39,2 кН-м.
Предельная эпюра изгибающих моментов показана на рис. XVI.7, к.
Требуемые моменты сопротивления стержней, относительная не-
сущая способность которых принята за единицу:
IVT = Мпр//?и = 56,5-103/(210-10е) м3 = 2,69-104 м3 = 269 см3.
Пример XVI.4. Для рамы, показанной на рис. XVI.8, а,
имеющей одинаковые сечения стержней, построить эпюру предельных
изгибающих моментов при заданной расчетной предельной нагрузке.
337
Независимые и комбинированные механизмы показаны на
рис. XVI.8, б—з.
Для щипцового механизма Щ необходимо построить полярный
план перемещений (рис. XVI.8, д) для определения относительного
поворота стержней. При повороте стержня 2—3 узел 4 перемещается
в горизонтальном направлении на величину 44' = 69. Точка 3 должна
перемещаться перпендикулярно первоначальным направлениям 2—3
и 3—4 и точка 3' оказывается найденной.
Углы поворота стержней 4—5 и 3—4 будут соответственно:
44'/Ц.5 = 66/6 = 6; 3'4'/1ы = 6.
Для механизма Б:
2Рпр1б = 4Мпр0; Мпр = Рпр//8.
Для механизма С:
Pnpft16 = 4Mnp6; Мпр = РЛ1/4 = Рпр//8.
Для механизма Щ:
2 (Рпр//4) 6 + 2 (Рпр//4) 6 = 6Мпр6; Мпр = Рпр//6.
Для механизма (С -|- Щ):
2Рпр (//4) 6 + 2Рпр (1/4) 6 + РПД6 = 8Мпр6; Мп? = Рпр//5,33.
Для механизма (2Б 4- Щ):
8РПР (//4) 6 = I 0Мпр6; Мпр = Рпр//5.
Для механизма (2Б + ЗС + Щ)'-
8 (Рпр//4) 9 + ЗРпрЛ6 = 16Мпр; Мпр = Рпр//4,575.
Предельная эпюра изгибающих моментов, соответствующая послед-
нему механизму разрушения, являющемуся наиболее опасным, пока-
зана на рис. XVI.8, и.
Пример XVI.5. Определить предельную нагрузку в виде двух
диаметрально противоположных сил Р для круглого стального кольца
радиусом г, шириной b при толщине стенки h (рис. XVI.9, а). Предел
текучести стали от.
Механизм разрушения кольца показан на рис. XVI.9, б. Пренебре-
гая в первом приближении влиянием окружных сжимающих сил,
будем считать, что предельные изгибающие моменты Мпр, возникающие
во всех четырех пластических шарнирах, равны между собой.
Обозначим углы поворота хорд, соединяющих соседние пластичес-
кие шарниры, при сплющивании кольца через 9 и составим уравнение
работ.
2Рпрг9 = 8Мпр9,
откуда
Рпр = 4Мпр/г = 4<JT6/i2/(4r) = <yTWi2/r.
Предельная выравненная эпюра изгибающих моментов показана
на рис. XVI.9, в. Она построена для левого или правого полукольца
338
путем разделения наибольшей ординаты Pnvr/2 эпюры от нагрузки
на две части, равные каждая величине Л4пр.
Рис. XVI .9
Для учета во втором приближении влияния окружных сил в боковых
сечениях кольца Nw = PaJ2 нужно определить коэффициент v по
формуле (XVI.2):
v = 1 - (ЛГпр/V°np)2 = 1 - [Pnp/(2VSP)]2 =
= 1 - [^bh2/(2r<j.bh)Y = 1 - (A/2r)2.
Если отношение h!r мало, то коэффициент v очень близок к единице,
и влияние окружных сил можно не учитывать.
§ XV1.3. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
Возможными независимыми формами разрушения неразрезной
балки являются такие, которые связаны с обращением в балочный
механизм каждого ее пролета при образовании в нем трех пластических
шарниров, а в крайних шарнирно опертых пролетах — двух пласти-
ческих шарниров.
Число возможных простых независимых механизмов разрушения
по формуле (XVI.5) оказывается равным числу пролетов независимо
от способа опирания концов балки. Кроме того, могут быть комбини-
рованные формы разрушения, когда одновременно обращаются в ба-
лочные механизмы несколько или даже все пролеты неразрезной
балки.
При простом нагружении неразрезной балки ее предельное состоя-
ние определяется предельным состоянием пролета, работающего в са-
мых невыгодных условиях.
Для каждого механизма разрушения составляется уравнение пре-
дельного равновесия в форме уравнения работ, из которого можно
определить предельную нагрузку при заданных несущих способностях
сечений балки или построить предельную эпюру изгибающих моментов
в неразрезной балке при заданных предельных нагрузках.
Вместо составления уравнения работ для каждого балочного
механизма разрушения можно применить следующий способ, называе-
339
мый способом выравнивания изгибающих мо-
ментов. Сущность этого способа состоит в совмещении балочной
эпюры изгибающих моментов с эпюрой несущих способностей сечений
балки в данном пролете. Последняя эпюра на рис. XVI. 10 показана
штриховой линией.
Легко показать, что выравнивание эпюры изгибающих моментов
приводит к тем же результатам, что и уравнение работ. Для этого
рассмотрим пролет 1п неразрезной балки, нагруженный силой Рпр
(рис. XVI. 10, а). Механизм разрушения для этого пролета и предель-
ные изгибающие моменты показаны на рис. XVI. 10, б.
Уравнение работ составляется с учетом того, что предельные
моменты Л1„_11Пр, тИ„,пр и Мс, пр могут иметь разные значения:
Рпр * Д = л—1, пр ’ ® "4“ Мп, пр * 0 4“ МС, пр *4” 0)-
По малости перемещений Д, а и 0 можно написать
а = Д/а; 0 = Д/6.
После подстановки этих выражений в уравнение работ и неслож-
ных преобразований получим
Рпр^/Сг = Л4л-1, пр^/In "4”
+ Мп, npa/ln + Мс, Пр-
Рис. XVI.10
Такой же результат непосред-
ственно получается и из пост-
роения, показанного на рис.
XVI. 10, в. Поэтому для нераз-
резных балок будем в дальней-
шем пользоваться способом вы-
равнивания изгибающих момен-
тов.
При проверочном расчете не-
разрезной балки, когда даны
предельные несущие способно-
сти всех сечений на изгиб или
хотя бы их соотношения и тре-
буется определить предельную
нагрузку, строят эпюру преде-
льных несущих способностей се-
чений и в нее вписывают балоч-
ные эпюры изгибающих момен-
тов от искомой предельной нагрузки для отдельных пролетов. Из
соотношений ординат балочных эпюр и предельных несущих способ-
ностей сечений находят предельную нагрузку для каяедого из проле-
тов. Если нагрузки отдельных пролетов связаны общим параметров
(простое нагружение), то расчетным будет наименьший параметр на-
грузки.
Особенно просто находится предельная нагрузка для неразрезной
балки, все поперечные сечения которой обладают одинаковой несущей
способностью. Для такой балки достаточно выравнять ординаты
340
окончательной эпюры изгибающих моментов (рис. XVI. 11), что дости-
гается проведением двух линий, параллельных оси балки, на расстоя-
нии Afnp от нее. Между этими линиями вписывают балочные эпюры
моментов всех пролетов и консоли.
Аналогично решается задача и при более сложной эпюре несущих
способностей балки (рис. XVI. 12).
Рис. XVI. 11
Таким образом, задача определения предельной нагрузки для
неразрезной балки с заданными несущими способностями всех сечений
имеет только единственное решение.
При ступенчатом изменении несущих способностей сечений по длине
пролета балки может оказаться, что пластические шарниры образуются
Рис. XVI.12
не у самих опорных сечений, а на некотором расстоянии от них
(рис. XVI. 13, а). В этом случае предельное значение силы Р также
может быть найдено из соотношения ординат эпюр. В данном случае
предельное значение силы Р оказывается равным (рис. XVI. 13, б):
Рпр = Ме.^/Ь^ Мс. „р (а + WabJ.	(XVI.6)
Влияние поперечной силы может быть учтено коэффициентом v
по формуле (XVI.2).
341
Пример XVI. 6. Определить предельную нагрузку для нераз-
резной балки, показанной на рис. XVI. 14, а, если она имеет постоянное
по всей длине сечение, для которого предельный изгибающий момент
/Ипр = 65,5 кН>м. Балка подвергается простому нагружению равно-
мерно распределенной нагрузкой интенсивностью qnp и силой Рпр =
Соотношение ординат эпюр изгибающих моментов и предельных
несущих способностей для 1-го пролета (рис. XVI. 14, б) позволяет
найти для него предельную нагрузку:
Р^/4 = 2Л4пр; Рпр = SMhjA = 8 • 65,5/5 = 104,8 кН;
для 2-го пролета
= 2Mnp; qnp = 16/Ипр/1| = 16 • 65,5/42 = 65,5 кН/м;
Рпр = 1,5<7пР/2 = 1,5 • 65,5 • 4 = 393 кН;
для консоли
= Мпр; <7пр = 2Мпр//| = 2 • 65,5/1,5* = 58,2 кН/м;
Рпр= 1,5-58,2-4 = 349,2 кН.
Минимальный параметр предельной нагрузки Рпр — 104,8 кН.
Если требуется установить допустимую нормативную нагрузку
Рн, то вместо предела текучести нужно ввести расчетное сопротивление
/?и и разделить на коэффициент перегрузки и.
При подборе сечений по заданной расчетной (предельной) нагрузке
в каждом пролете может быть построена вполне определенная балочная
эпюра изгибающих моментов, но
линии опорных моментов в проле-
тах (если не заданы соотношения
между несущими способностями се-
чений разных пролетов) могут быть
проведены как угодно. Это озна-
чает, что данная задача допускает
бесчисленное множество решений.
Если балка, показанная на рис.
XVI. 15, а, должна иметь постоян-
ную по длине несущую способность
сечений, то эту несущую способ-
ность подбирают, исходя из рас-
смотрения наиболее нагруженного
(2-го) пролета, в котором и произ-
водится выравнивание эпюры изги-
бающих моментов (рис. XVI. 15, б).
В остальных пролетах пластичес-
кие шарниры при данной нагрузке образоваться уже не могут (частич-
ное разрушение), и для построения эпюры изгибающих моментов здесь
нужно произвести упругий расчет оставшихся пролетов, показанных
на рис. XVI. 15, в. Впрочем, такой расчет излишен, так как требуемая
несущая способность балки уже найдена и, как провести линии опор-
ных моментов в оставшихся пролетах, не имеет значения.
342
Рис. XVI. 13
Если ставится условие, чтобы при заданной предельной нагрузке
пластические шарниры образовались во всех пролетах, то требуемые
несущие способности сечений в различных пролетах уже будут раз-
ными.
Для их определения в каждом пролете и на консоли неразрезной
балки строят балочную эпюру изгибающих моментов от расчетной
нагрузки и производят ее предварительное выравнивание, при котором
Рис. XVI.15
линии опорных моментов проводят так, чтобы опорные моменты и наи-
большие изгибающие моменты в пролетах были равны между собой по
абсолютной величине.
При этом на каждой промежуточной опоре оказываются два разных
изгибающих момента, соответствующие двум смежным пролетам.
Их окончательное выравнивание производится последовательным
343
переходом от пролета к пролету в порядке возрастания значений пред-
варительно выравненных моментов.
Рис. XVI.16
Для балки, показанной
выравнивании моментов в
на рис. XVI. 16, а, при предварительном
пролетах (рис. XVI. 16, б) самые малые
моменты М31Пр оказывают-
ся в 3-м пролете. За ними
следуют выравненные мо-
менты Mi, Пр 1-го пролета,
которые также принимают
в качестве окончательных.
Так как момент М4 на опо-
ре 4 заранее известен, а мо-
менты на опорах 1, 2 и 3
уже найдены, то могут быть
однозначно проведены ли-
нии опорных моментов во
2-м и 4-м пролетах. Окон-
чательная эпюра предель-
ных изгибающих моментов
показана на рис. XVI. 16, в;
Пример XVI.7. Для
неразрезной балки, пока*
занной на рис. XVI. 17, о
при заданных значениях
Рис. XVI.J7	расчетных нагрузок Рпр Л
<7пр, построить предельную
эпюру изгибающих моментов, если балка должна иметь одинако-
вую несущую способность всех сечений по отношению к изгибающим
моментам обоих знаков.
344
Наибольшие ординаты балочных эпюр моментов для 1-го и 2-го
пролетов будут соответственно равны:
РП1А/4 = 40-103-5/4 Н-м = 5-104 Н-м = 50 кН-м;
<7„pZ|/8 = 5-10s-42/8 Н-м=104 Н-м=10 кН-м.
Изгибающий момент на опоре 2 со стороны консоли
— <7пр*з/2 = — 5 • 103 • 1,52/2 Н • м = 5,625 • 103 Н • м = 5,625 кН • м.
Выравнивание изгибающих моментов производится только в 1-м,
наиболее нагруженном пролете; во 2-м пролете и на консоли пласти-
ческие шарниры уже образоваться не могут, т. е. разрушение нераз-
резной балки будет частичным. Соответствующая эпюра изгибающих
моментов показана на рис.
XVI. 17, б. Расчетными для
подбора сечений балки бу-
дут изгибающие моменты
1-го пролета, т. е. 25 кН -м.
Пример XV1.8. Для
неразрезной балки, рас-
смотренной в предыдущем
примере, пр и заданных зна-
чениях предельных нагру-
зок Рпр и<7пР (рис. XVI. 17, а)
определить требуемую не-
сущую способность в каж-
Рис. XVI. 18
дом из двух пролетов и на консоли, считая, что разрушение в
обоих пролетах и на консоли происходит одновременно, т. е. пролеты
равнопрочные. Для построения окончательной эпюры изгибающих
моментов (рис. XVI. 17, в) исходим из того, что эпюра моментов на
консоли уже имеется. Тем самым оказывается заданным и правый
опорный момент 2-го пролета, поэтому нужно произвести выравнива-
ние положительного изгибающего момента во 2-м пролете и отрица-
тельного — на опоре 1. Для этого составляем выражение изгибающего
момента для любого сечения х 2-го пролета (рис. XVI. 18):
по <7пр^2 , Afi, Пр Л12, пр
= __ -]	_ =
5-4	Л41>по-5,625
— + —----------------= 8,59 + 0,25Mltnp;
Мх = ^1х-М1,„р-^- =
= 8,59х 0,25Afb прлг — М1г пр — 2,5х2.
Для нахождения наибольшего значения изгибающего момента
в пролете приравниваем нулю производную этого выражения по х:
= 8,59 + 0,25Mlt пр - 5х = О,
откуда х = 0,05 Af1>np 4-1,719.
345
Подставив этот результат в выражение пролетного изгибающего
момента и приравняв его левому опорному моменту Л411Пр, получим
уравнение
0,00625/И*. пр - 1.57Л41, пр + 7,39 = О,
откуда Л41>пр = 4,8 кН-м и х = 1,96 м.
Этот изгибающий момент и является расчетным для подбора сече-
ния балки во 2-м пролете.
Второе значение Л41ф пр = 240 кН • м, получаемое из решения квад-
ратного уравнения, не соответствует условиям задачи, так как пре-
Рис. XVI. 19
вышает значение всего балочного изгибающего момента 2-го пролета,
равное 10 кН-м.
Теперь произведем выравнивание изгибающих моментов в середине
1-го пролета и на опоре 0, считая момент на опоре 1 равным 4,8 кН -м.
Для этого составим выражение изгибающего момента в середине
пролета, которое приравняем опорному моменту:
^np^i/4 (Л4о, пр ~Ь Л41, пр)/2 = Л4о, пр
или
40 • 5/4 - (Л40, пр + 4,8)/2 - /Ио. пр = О,
откуда Л10,пр — 31,7 кН-м.
Этот изгибающий момент и будет расчетным для подбора сечения
балки в 1-м пролете. Во 2-м же пролете и на консоли сечение балки
может быть значительно уменьшено, так как требуемые несущие
способности могут быть уменьшены по сравнению с 1-м пролетом
примерно в шесть раз.
Сравнивая полученный результат с тем, который был найден в пре-
дыдущем примере, можно отметить, что для балки постоянного сече-
ния требуется меньшая несущая способность, чем наибольшая несущая
способность балки с различными сечениями в разных пролетах.
346
Могут быть и другие решения, выбор между которыми должен
быть сделан исходя из конструктивных и экономических соображений.
Пример XVI. 9. Определить изгибающие моменты при разру-
шении системы перекрестных балок, показанной на рис. XVI. 19, а,
без учета сопротивления их кручению, если Рпр = 600 кН и I = 4 м.
С учетом симметрии системы относительно двух осей уравнение
работ внешних и внутренних сил, соответствующее форме разрушения,
показанной на рис. XVI. 19, б, имеет вид
8Mnp0/2 + 4MIip6 = 2PnpZ9,
откуда
Mnp = Pnj(I/4 = 600.103-4/4 Н-м = 6-106 Н-м = 600 кН-м.
Эпюры предельных изгибающих моментов для крайних и средней
балок показаны на рис. XVI. 19, в, г.
Для практического расчета равнопролетных неразрезных балок
с равномерно распределенной нагрузкой qnp значения изгибающих
моментов в средних пролетах и на промежуточных опорах принимают
по формуле
Мпр = <?„//16.
Значения изгибающих моментов в крайних пролетах и на вторых
от шарнирных концов опорах определяют соответственно по формулам:
Mnp = ^npZ2/11 и Мпр = qnpP/!4,
где I — длины равных пролетов.
§ XVI. 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ АРОК
Основной формой разрушения двухшарнирной арки в ее плоско-
сти является та, при которой она обращается в механизм бокового
смещения (рис. XVI.20, а). При не-
которых нагрузках могут возникнуть
формы разрушения, показанные на
рис. XVI.20, б, в, из которых первая
является частным случаем последней,
когда два средних пластических шар-
нира сливаются в один. Могут быть
и комбинированные формы разруше-
ния. В большинстве случаев опасная
форма разрушения (рис. XVI.21, а)
выявляется при наложении балочной
эпюры изгибающих моментов на эпю-
ру моментов от распора, которая по
своему очертанию подобна оси самой
арки. Однако в отличие от трехшар-
нирной арки соотношение между мас-
штабами ординат обеих эпюр нахо-
дится не из условия равенства их ординат в ключевом сечении, а из
условия равенства моментов в пластических шарнирах предельным
347
величинам Afnp (рис. XVI.21, б). Отметим, что между предельными
моментами в пластических шарнирах может быть любое соотношение,
в том числе и равенство. При этом выявляется и точное расположение
пластических шарниров, которые при постоянной несущей способности
сечений арки должны возникнуть там, где абсолютные значения окон-
чательных изгибающих моментов достигают максимума.
Чтобы учесть влияние нормальных сил, следует определять пре-
дельные несущие способности сечений на изгиб по формуле (XVI. 1)
принимая в расчет зависи-
мость коэффициента v от нор-
мальных сил. Ввиду того что
последние в каждом сечении
заранее не известны, значе-
ниями коэффициентов v при-
ходится задаваться предвари-.
тельно. В первом приближе-
нии они могут быть приняты-
равными единице.
Построив окончательную
эпюру предельных изгибаю-
щих моментов, можно найти
предельную нагрузку при за-
данных несущих способно-
стях сечений или, наоборот,
требуемые несущие способно-
сти сечений при заданной
Рис. XVI.21
расчетной нагрузке из соотношения ординат балочной эпюры и эпю-
ры от распора.
Формой разрушения двухшарнирной арки с затяжкой (рис. XVI.22,
а) может быть появление текучести в затяжке с образованием одного
пластического шарнира в самой арке. В этом случае предельная вели-
чина распора заранее известна и равна:
^пр Л
где от — предел текучести материала затяжки; F3 — площадь попереч-
ного сечения затяжки.
Все ординаты эпюры моментов от распора оказываются при этом
известными и максимальная из них равна Hnpf.
Балочную эпюру (рис. XVI.22, б) можно построить либо по задан-
ной величине Рпр, либо по величине Мпр. Из соотношения ординар
эпюр
Р“ -^пр “1“ НпрУо*
Зная одну из величин Рпр или Мпр, можно определить другу»’
величину.
Пример XVI. 10. Найти расчетные предельные изгибающие МО'
менты и нормальные силы в параболической двухшарнирной арке
(рис. XVI.23). Несущие способности всех сечений арки на изгиб
одинаковы.
348
Так как задана предельная нагрузка, то расчет начинаем с опреде-
ления наибольшей ординаты балочной эпюры моментов:
Mi = P^ab/l = 140 • 103 • 8,5 • 3,5/12 Н • м =
= 3,471 -10® Нм = 347,1 кН-м.
Отрицательный изгибающий момент от распора Н в любом сечении
оси арки определяется выражением
Ну = Н^(1-х) = Н^(\2-х) = н(х-^
Для сечения, в котором приложена сила Рпр, при х = а = 8,5 м
этот момент будет:
НуЕ = Н (8,5 - 8,53/12) = 2,479 Н.
Расчетный изгибающий момент в этом сечении
МЕ = Mi - Нув = 347,1 - 2,479 Н.
Сечение D, в котором возникает второй пластический шарнир,
можно найти из условия, что изгибающий момент в нем по абсолютной
величине равен моменту МЕ и по знаку противоположен ему.
Изгибающий момент в сечении D выражается так:
MD = Mb - HyD = M'ix/a -Н(х-~х2/12) —
= 347,1 х/8,5 - Н (х - х2/12) = 40,84х - Н (х - х2/12).
Так как этот момент должен быть максимальным по абсолютной
величине, то
dMD/dx = 40,84 - Н + Ях/6 = 0,
откуда х = 6 — 245/77.
Подставив это выражение в формулу для Md, получим
MD, пр = — ЗЯ + 245 - 5000/Н.
349
Приравняв Мв, пр к —MD, пр, найдем
5,479 Н- 592,1 + 5000/Я = 0.
После умножения на Я и решения полученного квадратного урав-
нения получим значение распора Н = 98,8 кН.
Второй корень уравнения Н = 9,2 кН не удовлетворяет условиям
задачи, так как приводит к х — 6 — 245/9,2 м = —20,6 м.
Второй пластический шарнир образуется на расстоянии от левой
опоры:
х = 6 - 245/Н = 6 - 245/98,8 м = 3,52 м;
Mb = MaExla = 347,1-3,52/8,5 кН-м= 143,7 кН-м.
Расчетные предельные изгибающие моменты (рис. XVI.23, б):
- MD, пР = Me, пр = 347,1 - 2,47977 =
= 347,1-2,479-98,8=102,2 кН-м.
Для определения расчетных нормальных сил в тех сечениях, где
образуются пластические шарниры, найдем вертикальные составляю-
щие опорных реакций:
УЛ =140-3,5/12 = 40,8 кН; Ув= 140-8,5/12 = 99,2 кН.
Для определения угла наклона касательной к оси арки в сечениях
D и Е продифференцируем уравнение ее оси:
A = tgT = i *
dx ь т	6
Подставив х = 3,5 м, найдем tg фо «—tg фв = 0,147 и фл «
«	= 22°40'.
Расчетные нормальные силы можно определить по той же формуле,
что и для трехшарнирной арки. При этом для сечения Е нужно найти
сжимающие нормальные силы слева и справа от сечения:
Nd = Уд sin	+ И cos фр = 40,8 • 0,385 + 98,8 • 0,923 = 106,9 кН;
NB = — 40,8 • 0,385 + 98,8 • 0,923 = 75,5 кН;
N'e = 99,2 • 0,385 + 98,8 • 0,923 = 129,4 кН.
Можно уточнить полученное решение, учтя влияние нормальных
сил на значения предельных изгибающих моментов.
Возможные формы разрушения бесшарнирной арки показаны на
рис. XVI.24, а—в.
Основная форма разрушения, при которой образуется четыре
пластических шарнира, изображена на рис. XVI.24, а. Окончательная
эпюра предельных изгибающих моментов в арке, изображенной на
рис. XVI.25, а, складывается из четырех эпюр, показанных на
рис. XVI.25, б. При этом треугольник abd является балочной эпюрой
моментов; треугольник аа’Ь — эпюрой моментов от левого опорного
момента; треугольник abb’ — от правого опорного момента; фигура
a'eb', подобная очертанию оси арки, — эпюрой от распора.
350
Моменты в сечениях A, D, Е и В, имеющие чередующиеся знаки,
достигают предельных значений, соответствующих несущим способ-
ностям этих сечений при изгибе.
Влияние нормальных сил на не-
сущую способность сечений учиты-
вают так же, как и при расчете двух-
шарнирной арки.
Пример XVI. 11. Построить
эпюру предельных изгибающих мо-
ментов для бесшарнирной арки, очер-
ченной по квадратной параболе, со
стрелой подъема f = 3 м и пролетом
/ = 12 м, если на нее действует рас-
четная сосредоточенная сила Р„р —
— 200 кН, приложенная в сечении С
(рис. XVI.26, а). Несущая способ-
ность всех сечений арки на изгиб
одинакова.
Так как при разрушении арки от
заданной нагрузки должно образо-
ваться пять пластических шарни-
ров, то окончательная эпюра пре-
дельных моментов будет иметь вид, показанный на рис. XVI.26, б.
Для определения распора используем зависимость между ордина-
тами этой эпюры в сечении С:
Рис. XVI.25
Так как МА, пр = Мс, пр = Л1пр, то после приведения подобных
членов получим:
351
Н = M'c/f =	= 200•10s • 12/(4 • 3) Н = 2  10s Н = 200 кН.
Изгибающий момент в неизвестном сечении Xd, определяющем поло-
жение пластического шарнира D, выражается так:
Л1р, пр =	пр + М-Ъ — Ну D= Ма, пр + Р прХо/Я —
4fxn	50
— Н —~j2~ (I ~ xd) — Ма, пр 100хд 4- -у хЬ.
Так как этот изгибающий момент должен быть максимальным по
абсолютной величине, то возьмем производную и приравняем ее нулю:
dMn . Л 100
=_100+^-хд = 0,
откуда xD = 3 м.
Теперь можно найти /WD>np:
Md, пр = Ма, пр — 100хд-}--^-хЬ =— Afo,np— 150
или
Мд,Пр = — 75 кН-м;
Л4д,пр = Л4с,пр = —Л4дпр = 75 кН-м.
§ XVI.5. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
Расчет статически неопределимых ферм может быть произведен
исходя из тех же соображений, что и для расчета неразрезных балок
и рам. Так как форма разрушения заранее не известна, то приходится
352
рассматривать несколько возможных форм разрушения, среди которых
истинной будет та, которая отвечает наименьшему значению предельной
нагрузки.
Если число возможных форм разрушения настолько велико,
что рассмотрение их затруднительно, то целесообразно произвести
сначала расчет системы как
упругой и найти тот стер-
жень, в котором возникает
наибольшее напряжение и
который, следовательно,
первым достигнет предель-
ного состояния. Найдя этот
стержень и зная площадь
его поперечного сечения F,
нужно приложить к нему
предельное усилие Nnp =
= сттЕ и произвести расчет
фермы как упругой вто-
рично, считая это усилие
постоянным. В результате
такого расчета будет най-
ден второй стержень, ко-
торый «потечет» вслед за
первым. Таких расчетов
придется произвести столь-
ко, сколько ферма имеет
лишних стержней плюс
единица.
После того как будет	Рис. XVI .27
найдена форма разрушения
фермы, предельную нагрузку определяют из условий равновесия ме-
ханизма, в который обратилась ферма.
Пример XVI.12. Определить предельную нагрузку на ферму,
имеющую один лишний стержень (рис. XVI.27, а). Площади попереч-
ных сечений всех стержней одинаковы и равны F = 28 см2. Предел
текучести стали от = 250 МПа.
Ввиду симметрии фермы и нагрузки разрушение наступит при
появлении текучести в четырех стержнях, из которых на каждую
половину фермы приходится по два.
Произведя расчет фермы как упругой статически неопределимой
системы, найдем:
Ял = 0,4Р; /?в=1,2Р; М12 = 0,665Р; М23==0,27Р; М18 = М,8 = 0,533Р;
М27 = — Р', М28 = М37 = 0.
Таким образом, первым достигнет состояния текучести раскос
М27, усилие в котором наибольшее по абсолютной величине. Для
нахождения второго стержня, достигшего предельного состояния,
произведем вторичный расчет фермы уже как статически определи-
12 п/р. Клейна Г. К.	353
мой (рис. XVI.27, б), считая усилие раскоса М27 пр = Nn„ = orF —
= -250-10®-28-КГ4 Н = —7-10® Н = —700 кН’.
При этом остальные усилия оказываются равными:
Ра = Р- 420 кН; Яв = 840кН; М12 = —| Р + 700 кН;
^ = — 4?+1120 кН; М18 = М78 =	560 кН.
О	и
Наибольшим по абсолютной величине оказывается усилие N12.
Принимаем Л\2, пр = —700 кН. Предельное значение сил Р, т. е.
несущую способность фермы, найдем, вырезав узел 2, спроециро-
вав действующие на него усилия на вертикальную ось и считая N12 —
= n27 = —700 кН (рис. XVI.27, в):
= Mi2 cos а + М27 cos а — Рпр = 0;
Рпр = cos a (N12 + М27) = 11400 = 840 кН.
Для получения допустимой нормативной нагрузки на ферму
нужно умножить этот результат на величину Рр/(отп).
Если Рр = 210 МПа и п — 1,2, то
Ри = Pn*'R?.=840  10s • 210 • 10«/(250 • 10е • 1,2) Н=5,88 • 10® Н=588 кН.
Трудность расчета статически неопределимой фермы возрастет еще
больше, если стержни потеряют устойчивость, т. е. подвергнутся про-
дольному изгибу до того, как усилия в них достигнут предельного
значения по условию прочности. В этом случае сжатые стержни выбы-
вают из работы непосредственно после возникновения в них крити-
ческого напряжения.
Кроме того, ферма в отличие от неразрезной балки или рамы мо-
жет получить повреждения не только при нагружении, но и при раз-
грузке. Этот вопрос детально исследован С. А. Бернштейном и
Н. С. Стрелецким.
§ XVI.6. ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫЕ НАГРУЖЕНИЯ
Сооружение в течение всего срока службы, как правило, под-
вергается действию различных нагрузок — постоянных и временных,
которые создают некоторые циклы, состоящие из этапов нагружения
и разгрузки.
Для упрощения расчетов обычно принимают, что для временных
нагрузок заданы пределы их изменения и что последовательность
их приложения и число циклов могут быть любыми. Такое нагруже-
ние называется повторно-переменным. Если при этом
направления действия нагрузок не меняются, то в отдельных сече-
ниях может возникнуть нарастающее, или прогрес-
сивное, разрушение.
354
Если же некоторые из временных нагрузок могут изменять свое
направление, то в отдельных сечениях системы может возникнуть
переменная текучесть растяжения и сжатия.
После разгрузки статически неопределимой системы, находящейся
в упруго-пластической стадии работы, в ней сохраняются остаточные
напряжения и деформации, которые могут возрастать с каждым
новым нагружением и в конечном счете привести систему к разру-
шению.
В отличие от усталостного разрушения, протекающего в пределах
упругости, разрушение при повторно-переменных нагружениях на-
ступает при значительно меньшем числе циклов нагружений, изме-
ряющемся уже не миллионами, а только сотнями, десятками или
даже единицами.
Если при повтор но-переменном нагружении параметр нагрузок
остается меньше некоторой предельной величины, то происходит
«приспособление» конструкции и она начинает работать уже как
упругая. В случае же, когда параметр нагрузок превышает эту пре-
дельную величину, приспособления конструкции не происходит и она
приходит в состояние нарастающего пластического разрушения, сопро-
вождающегося недопустимо большими деформациями и перемеще-
ниями. Предельная величина нагрузки, при которой это происхо-
дит, называется предельной нарастающей или про-
грессивной нагрузкой.
Соответствующая нагрузка при переменной текучести называется
предельной нагрузкой переменной теку-
чести.
Нарастающее пластическое разрушение и особенно переменная
текучесть при прочих равных условиях наступают в данной конст-
рукции раньше, чем простое пластическое разрушение, рассмотрен-
ное выше, т. е. для данной конструкции параметр предельной нагрузки
при простом нагружении выше, чем параметр предельной нараста-
ющей нагрузки, а последний выше, чем параметр предельной на-
грузки переменной текучести.
Предельная нарастающая нагрузка и нагрузка переменной теку-
чести могут быть определены исходя из теоремы о приспособляемости.
По этой теореме предельные нагрузки отвечают такому распределе-
нию остаточных изгибающих моментов, которое удовлетворяет усло-
вию равновесия и приводит к тому, что при обращении системы в меха-
низм в каждом пластическом шарнире сумма изгибающих моментов —
остаточного, максимального Л4гаах упругого или минимального ЛТпип
упругого — должна быть равна предельному изгибающему моменту
Л1Пр. При этом выбор между ЛГтах и М.т|П зависит от того, в какую
сторону раскрывается пластический шарнир. Это условие позволяет
определить значения остаточных изгибающих моментов по формулам
M° = Mnp-Mnax	(XVI.7)
или
M° = Mnp-Mmin.	(XVI.8)
12*
355'
Для ЛТщах и Afmin берут их абсолютные значения. При определении
предельной нагрузки переменной текучести учитывают возможную
двузначность нагрузок и, кроме того, определяют еще разность мо-
ментов Afmax — Afmin, характеризующую диапазон изменения изги-
бающих моментов.
Результаты упругого расчета представляют в табличной форме.
Для каждого возможного механизма разрушения составляют урав-
нение равновесия в форме уравнения работ, в которое входят оста-
точные изгибающие моменты, выраженные через Л4пр и Afmax или
Alrnin-
П р и м е р XVI. 13. Определить требуемые несущие способности
при изгибе сечений рамы, показанной на рис. XVI.28, а, при дейст-
вии на нее произвольного сочетания временных нагрузок Р и Q, пока-
занных на схеме. Сечения рамы постоянны для всех стержней.
Рама находится в условиях однозначного повторно-переменного
нагружения и опасным для нее является состояние нарастающего
разрушения.
При расчете рамы в упругой стадии ее работы отдельно на каж-
дую из нагрузок получены значения изгибающих моментов, приведен-
Рис. XVI.28
ныевтабл. XVI. 1. Там же подсчитаны максимальные и минимальные
значения изгибающих моментов (кН-м).
Таблица XVI.I
Нагрузка	ма	Мз	
CU ОК Е Е оси	—22,5 30	—22,5 —30	37,5 0
X Й S а	30 —22,5	0 —52,5	37,5 0
356
Для балочного механизма нарастающего разрушения ригеля
(рис. XVI.28, б) остаточные моменты в пластических шарнирах выра-
жены через предельные и максимальные или минимальные упругие
моменты:
Ж = МПр-22,5; Ма = Мпр —52,5; < = Мпр-37,5.
Подставив эти выражения в уравнение равновесия ригеля, получим
22,5 +2-37,5 +52,5 = 4Мпр; Мпр = 37,5 кН-м.
Для механизма бокового смещения, показанного на рис. XVI.29, в:
Мз = Мпр-30; М|=Мпр-52,5; 30 + 52,5=2Мпр; М„р=41,25 кН -м.
Для комбинированного механизма разрушения, изображенного на
рис. XVI.28, г:
MS = Mnp-52,5; Л!» = Мпр —37,5;
2-52,5 + 2-37,5 = 4Мпр; Мпр = 45кН-м.
Расчетным будет предельный изгибающий момент Мпр = 45 кН-м,
как наибольший, а опасными — комбинированный механизм разру-
шения, сечения 2 и 3 и
цикл нагружения, харак-
теризующийся поочередны-
ми приложениями сил Рпр
и Qnp с разгрузками меж-
ду этими нагружениями.
При простом пластическом
нагр ужении Мпр=45 кН • м.
Пример XVI.14. Оп-
ределить требуемую несу-
щую способность постоян-
ных сечений рамы, пока-
занной на рис. XVI.29, а,
если разрушение происхо-
дит при произвольной ком-
бинации временных нагру-
зок, показанных на схеме.
В данном случае из-за двузначности силы Р опасным состоянием
рамы будет переменная текучесть.
Значения упругих изгибающих моментов для каждого независи-
мого нагружения указаны в табл. XVI.2. Там же приведены значения
максимальных и минимальных изгибающих моментов, а также их
разности в сечениях 1, 2, 3, 4 и 5.
Условия предельного равновесия для механизма бокового сме-
щения и комбинированного механизма будут соответственно:
9,13 + 5,87 + 9,12 +10,76 = 4Мпр; Мпр = 8,72 кН • м;
9,13 + 2-3 + 2-9,12+10,76 = 6Л4пр; Л4пр = 7,36 кН  м.
357
Таблица XVI. 2
Нагрузка	Mt		м$	м4	М-,
<7пр	1,63	-3,25	—3,25	1,63	3
РПр вправо	—9,13	5,87	—5,87 •	9,13	0
Рпр влево	9,13	—5,87	5,87	-9,13	0
^тах	10,76	5,87	5,87	10,76	3
^min	—9,13	—9,12	—9,12	—9,13	0
^тах ~ ^min	19,89	14,99	—14,99	19,89	3
При переменной текучести опасными будут сечения 1 и 4, для
которых нужно еще принять во внимание условие
19,89 = 2Мпр; Мпр = 9,95 кН -м.
Цикл нагружения, приводящий к разрушению, показан на
рис. XVI.29, б — д. При простом пластическом разрушении Л4пр
составляет всего 7,5 кН-м.
§ XV1.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ОТ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК
Определение перемещений от нагрузок, близких к предельным,
производят на основе допущения, что все сечения системы работают
в упругой стадии, кроме тех сечений, в которых возникают пласти-
Рис. XVI.30
ческие шарниры. Для определения перемещений применяют способ
Максвелла — Мора, а для прямых стержней с постоянной по длине
жесткостью для вычисления интеграла можно использовать пере-
множение эпюр по способу А. Н. Верещагина.
358
При этом в первом состоянии берут предельную эпюру изгибаю-
щих моментов, построенную для истинного механизма разрушения.
Во втором же состоянии рассматривают единичную обобщенную силу,
действующую по направлению искомого перемещения и приложенную
к той возможной основной системе, которая приводит к наибольшей
величине перемещения. Правило знаков остается тем же, что и при
интегрировании или перемножении эпюр при рассмотрении упругой
стадии работы систем.
Пример XVI. 15. Определить горизонтальное перемещение се-
чения 2 рамы, показанной на рис. XVI.30, а, в момент ее разрушения.
Сечения всех стрежней рамы одинаковы.
Механизм разрушения рамы и соответствующая эпюра предель-
ных моментов показаны соответственно на рис. XVI.30, б, б.
Единичную силу прикладываем к различным возможным основ-
ным системам (рис. XVI.30, г — е).	_
При перемножении эпюры ЛГпр на эпюры Л?ъ и Af3 соответ-
ственно получаем:
Дг = hhMnp/(2 • ЗЕГ) = МпрЛа/(6Е/);
1Г Mnphh Mnp-2hh 3Afnp.2WilMnpft«
— £/[	2-3	2-3 + 2-2-2 J“ 4EI :
Дз = MaJi • 2Л/(2 • ЗЕГ) = МпрЛ2/(ЗЕ/).
Расчетной является последняя величина как наибольшая.
ГЛАВА XVII
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ
§ XVII.1. РАСЧЕТ МЕТОДОМ СИЛ
Пространственной называется такая рама, в которой
оси стержней не лежат все в одной плоскости.
В поперечных сечениях стержней такой рамы в общем случае
могут действовать шесть компонентов внутренних сил, изображенные
на рис. XVII. 1 в левовинтовой системе осей координат. Это изгиба-
ющие моменты Му и Mz, крутящий момент Мх = Н, поперечные
силы Qy и Qz и продольная сила Nx (рис. XVII. 1).
Положительными будем считать моменты, скручивающие стержни
по часовой стрелке, и изгибающие моменты, вызывающие растяжение
у нижних граней стержней или
у тех граней, которые находятся
дальше от наблюдателя. Таким об-
разом, изображенные на рис.
XVII. 1 внутренние силы имеют:
Nx, Му и Мг — знак «+»; Мх, Qy
и Qz — знак «—».
Степень статической неопреде-
х лимости, т. е. число лишних свя-
зей пространственной рамы, не
имеющей шарниров, определяется
по формуле
Л = 6С + СО-6У,
где С — число стержней, связы-
вающих жестко узлы рамы; Со —
число опорных стержней; У — число узлов рамы, не считая опорных.
Каждый простой шаровой шарнир, введенный в стержни рамы,
снимает три связи.
Степень статической неопределимости пространственной рамы
можно еще определить по количеству замкнутых бесшарнирных кон-
туров, каждый из которых содержит шесть лишних связей. Из шести
реакций, возникающих в этих связях, изгибающие моменты и про-
дольные силы симметричны, а поперечные силы и крутящие моменты —-
обратносимметричны.
По характеру работы к пространственным рамам примыкают плос-
кие рамы, на которые действует нагрузка, не лежащая в плоскости
360
рамы. К числу таких рам относятся криволинейные или ломаные
балки эркеров, перекрестные балки и др.
Если нагрузка, действующая на такую раму, перпендикулярна
плоскости последней, то исходя из условия симметрии самой рамы и
обратной симметрии нагрузки относительно этой плоскости можно
сделать вывод, что все из-
гибающие моменты, попе-
речные и продольные си-
лы, действующие в плоско-
сти рамы, равны нулю.
Любую нагрузку, не
перпендикулярную плоско-
сти рамы, можно разло-
жить на две составляющие,
из которых одна лежит в
плоскости рамы, а другая
ей перпендикулярна. Не-
известные при этом разде-
ляются на две обособлен-
Рис. XVII.2
ные группы, входящие в
независимые друг от друга системы уравнений. Таким образом, рас-
чет плоской рамы может быть произведен отдельно на нагрузки,
действующие в ее плоскости и из плоскости.
Канонические уравнения метода сил имеют тот же смысл и вид,
как и для плоской рамы, но входящие в них в виде коэффициентов
при неизвестных и свободных членов перемещения определяются
с учетом изгибающих моментов, действующих в двух плоскостях, и
крутящих моментов.
Перемещения от крутящих моментов Д, Д и Нр определяются
по формулам	_ _
A V С ds
— GT •
где G — модуль сдвига; Т — момент инерции поперечного сечения
стержня при кручении, который для круглого сечения диаметром d
равен полярному моменту „инерции Т = nd4/32 « 0,1 di. Для квад-
ратного сечения со стороной b Т — 0,141 64, а для сечения, составлен-
ного из узких прямоугольников шириной b и высотой h, Т
Влиянием продольных и поперечных сил на перемещения пре-
небрегают, так же как и при расчете плоских рам.
Построение промежуточных и окончательных эпюр внутренних
усилий, их проверки и использование симметрии заданной' системы
производятся так же, как и при расчете плоских рам.
Пример XVII. 1. Построить эпюры изгибающих и крутящих
моментов в раме, изображенной на рис. XVII.2, а, если жесткости
ригелей при изгибе равны Е1р, а при кручении GT = Е1р/3\ жест-
кость стойки при изгибе ЕЦ = Е1р/3.
361
Основная система показана на рис. XVII.2, б, а эпюры
Л?8, Нг, Мр и Нр на рис. XVII.3, а — е. Коэффициенты при неизвест-
Рис. XVII.3
ных и свободные члены уравнений определяем перемножением эпюр:
Л „6-6-4 .б-б-б _ 144 . 216-3 _ 792
°U-Z 2£/р + GT ~Е1„ + 3£/р ~’ £/р ’
_ 4-4-2-4 .6-6-4 .4-6-4 _ 64 , 72	288	424 .
°22 — 2 • 3£/с + 2£/р + GT ~ Е1р £/р + £/р ~ Е1р ’
« _	6-6-4 _	144-3 _	432
°12- GT — Е{р ~	Б1?’
А	180-6-3-6	360-6-4	180-6-6
Л1Р~ 3-4£7р	2£/р GT ~
_	1620	4320	19 440 _	25 380 .
“	£/р	£7р	£/р “	£/р '•
Л 180'6'4	12 960
GT	— Е1р ♦
Канонические уравнения:
792Хх - 432Ха - 25 380 = 0; - 432Хх+424Ха +12 960 = 0,
откуда Хх = 34,60 кН; Ха = 4,69 кН.
Окончательные эпюры М и Н показаны на рис. XVII.4, а, б.
Проверяем равновесие моментов в узле 2 (рис. XVII.4, в):
^Ма = 18,76 + 8,86 - 27,62 = 0.
362
Для кинематической проверки умножаем эпюры М и Н на эпюры
Л?х, Нх Мг и Я2:
£7рД1 = 27,62-6-4/24-2-45-6-3/3 4-8,86-6-6-3—152,38-6-4/2 =
= 331,44-5404-956,9-1828,6 ^0;
£7рДа= 18,76-4 • 2-4 • 3/(2-3)4-28,15-6-4/2 —8,86-6-4-3 =
= 3004-338 - 638 = 0.
Пример XVII.2. Построить эпюры изгибающих и крутящих
моментов в ломаной балке эркера (рис. XVII.5, о), если жесткости
стержней при изгибе и при кручении равны между собой и приняты
равными GT = EI = 1.
Основная система с неизвестными моментами Xlt действующими,
как и нагрузка, из плоскости рамы, изображена на рис. XVII.5, б.
Рис. XVII.5
Все остальные^ неизвестные обращаются в нуль по условиям симмет-
рии. Эпюры /Иь Ни Мр и Нр изображены на рис. XVII.6, а — г.
Каноническое уравнение ОцХх 4- Д1р — 0, где
E76u = 2-1-3-1-f-2-1-3-1 = 12;
£7Д1р = 2(45-3-1)/34-2-45-3-14-0 = 360,
откуда
Хх = — Д1р/6ц = — 360/12 = — 30 кН • м.
363
Окончательные эпюры изображены на рис. XVII.7, а, б.
Кинематическая проверка:
EI — 15-6-1-2-45-6 1/34-2-15-3-1=0.
§ XVII.2. РАСЧЕТ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Степень кинематической неопределимости пространственной рамы,
т. е. степень подвижности ее узлов, как и в случае плоской рамы,
равна сумме независимых углов поворота и линейных перемещений
узлов. Число неизвестных углов поворота равно утроенному числу
жестких узлов (не считая опорных), а число независимых линейных
перемещений узлов равно степени свободы шарнирной схемы рамы,
полученной из заданной системы путем введения во все ее узлы (в том
числе и в опорные) шаровых шарниров.
Переход к основной системе выполняется путем введения в узлы
заданной системы жестких защемлений, препятствующих повороту
узлов вокруг трех осей, и стержневых связей, закрепляющих узлы
против линейных перемещений по направлению трех осей.
Одновременно к узлам прикладываются неизвестные угловые и
линейные перемещения, подлежащие определению из системы урав-
нений.
364
Канонические уравнения имеют тот же вид и тот же смысл, что
и при расчете плоских рам. Для определения реакций изогнутых
стержней от единичных перемещений узлов используются формулы,
приведенные в табл. XIII. 1, а для реакций стержня, получившего
единичный угол закручивания, формула
H — GT/l = t,
где t — погонная жесткость стержня при кручении.
Как и при расчете плоской рамы, положительными считаются
реакции, совпадающие по направлению с принятым направлением
соответствующего неизвестного перемещения.
Использование симметрии рамы, построение окончательной эпюры
изгибающих моментов и эпюры крутящих моментов и их проверки
производятся по аналогии с расчетом плоских рам.
Рис. XVII.8
Если стержни рамы взаимно перпендикулярны, то при повороте
какого-либо узла вокруг некоторой оси стержни, лежащие в плос-
кости, перпендикулярной этой оси, будут работать на изгиб, а стержни,
перпендикулярные им, — на кручение.
Расчет рам, стержни которых примыкают друг к другу под острыми
и тупыми углами, сильно усложняется, так как векторы моментов
в узлах приходится раскладывать в общем случае по трем направ-
лениям.
Пример XVII.3. Построить эпюры изгибающих и крутящих мо-
ментов для рамы, изображенной на рис. XVII.8, а, если относитель-
ные жесткости стержней при изгибе и при кручении равны между
собой (EI = GT = 1).
Основная система изображена на рис. XVII.8, б, а эпюры М1г
Нъ ТИ2, Нг и Мр — на рис. XVII.9, а — д. Относительные погонные
жесткости стержней:
i12 = /12 = £//6= 1/6;	= — EI/3 = 1/3, t24 —Е//4= 1/4.
Для каждой координатной плоскости составляем свое канониче-
ское уравнение: r11Z1 -j- Rlp — 0 и r22Z2 + RzP = 0. Реакции основной
системы будут: Гц = 2/3 + 1 + 1/3 = 2;
г22 = 4/3+1 + 1/6 = 2,5; Р1р = 7,5; Я2р = 3.
365
При подстановке их в уравнения получим:
2Zt + 7,5 = 0; 2,5Za 4-3 = 0,
откуда Zj = — 3,75, Z2 = — 1,2.
Рис. XVII.9
Окончательные эпюры изгибающих и крутящих моментов, изобра-
женные на рис. XVII. 10, а, б, построены по выражениям:
Л4=ад+ад+мр и н^н^+н^+Нр.
Проверкой этих эпюр служит условие равновесия моментов
в узле 2, изображенном на рис. XVII. 10, в.
Рис. XVII.10
Пример XVII.4. Построить эпюры изгибающих и крутящих мо-
ментов в системе из двух перекрестных балок, изображенной на
рис. XVII. 11, а, если жесткость стержней при изгибе в четыре раза
больше, чем при кручении, т. е. E1/(GT) — i/t — 4.
366
Основная система метода перемещений изображена на
рис. XVII.11, б. Благодаря симметрии системы относительно оси,
Рис. XVII.11
совпадающей с осью нагруженной балки, угол поворота в верти-
кальной плоскости, перпендикулярной этой балке, равен нулю. По-
Рис. XVI 1.12
этому остаются только два неизвестных, из которых Zx обратносим-
метрично по отношению к оси ненагруженной балки, a Zs — симмет-
рично. Благодаря этому каждое из двух канонических уравнений
3?7
будет с одним неизвестным, т. е.
rll^l + Rip == С; ^22^2 ”Ь^2/> =
Эпюры Л?1( /71( М2 и Мр изображены на рис. XVII. 12, а — г. По
ним найдены реакции ru = 2 -4i + 2t = 8,5г; r22 = 4- 12t/Z2 =
= 48г742 = Зг;
Rlp = — ^2/12 = — 20-42/12 = — 26,67 кН-м;
R2p = — ql/2 = — 20 • 4/2 = — 40 кН.
После подстановки этих значений в канонические уравнения
находим: = 3,14/г; Z2 — 13,33/г.
Рис. XVII.13
Окончательные эпюры изгибающих и крутящих моментов, пока-
занные на рис. XVII. 13, а, б, построены по выражениям:
Л4 = AljZ^ -f- A12Z, Мр и ZZ = Z/jZj_.
Проверкой правильности их построения служит выполнение усло-
вия равновесия моментов в среднем узле, изображенном на
рис. XVII. 13, в.
§ XVII.3. РАСЧЕТ СПОСОБОМ ИТЕРАЦИИ
Этот способ оказывается весьма простым для расчета несвободных
рам с взаимно перпендикулярными стержнями. Однако так же, как и
метод перемещений, способ распределения моментов приводит к значи-
тельным усложнениям при расчете рам, обладающих линейной по-
движностью узлов или имеющих косое примыкание стержней друг
к другу в узлах.
Для рам с взаимно перпендикулярными элементами расчет про-
водится в общем случае в трех координатных плоскостях, для каж-
дой из которых составляется отдельная таблица, в которой последо-
вательно уравновешиваются реактивные моменты в узлах.
При действии нагрузок только одного направления, например
только вертикальных, достаточно двух, а в наиболее простых слу-
чаях даже одной таблицы.
368
Исходные реактивные моменты в каждой из координатных плоскос-
тей определяются так же, как и при расчете плоских рам.
Реактивные изгибающие и крутящие моменты на концах стерж-
ней считаются положительными, если наблюдатель, смотрящий со
стороны положительного направления оси координат, перпендику-
лярной плоскости действия момента, видит этот момент направлен-
ным по часовой стрелке.
Коэффициенты жесткости и коэффициенты передачи моментов на
противоположные концы изогнутых стержней определяются так же,
как при расчете плоских рам.
Для стержней, подверженных кручению, коэффициент передачи
момента на противоположный жестко заделанный конец равен —1,
а коэффициент жесткости определяется по формуле
JfeKp = //4 = G7’/(40.
Для скручиваемого стержня, имеющего на противоположном
конце шаровой шарнир, коэффициент жесткости и коэффициент пере-
дачи равны нулю.
Коэффициенты распределения уравновешивающих моментов между
стержнями каждого узла определяются с учетом коэффициентов
жесткости изгибаемых и скручиваемых стержней.
Пример XVII.5. Найти изгибающие и крутящие моменты
в раме, рассмотренной в примере XVII.3, применив способ уравно-
вешивания моментов *.
Исходя из рассмотрения рис. XVII.8 найдены коэффициенты жест-
кости ригелей и стоек при изгибе:
^12== ^12==	167; &2з= (*2з ~ 0,333;	— 0,25.
Коэффициенты жесткости ригелей при кручении:
= /12/4 = 0,167/4 = 0,042;	= t^/4 = 0,333/4 = 0,083.
Найденные, как обычно, значения коэффициентов распределения
приведены в табл. XVII. 1 и XVII.2. Туда же внесены и значения
исходных реактивных изгибающих моментов в защемлениях:
Ж = _ М?! = — PlVi/8 = — 10 • 103 • 6/8 Н • м =
= —7500 Н • м = —7,5 кН • м;
—М«2 = —<Д,/12 = —4-103-32/12 Н-м =
= —3000 Н-м = —3 кН-м.
Уравновешивание моментов в двух вертикальных плоскостях
хОг и уОг сделано в табл. XVII. 1 и XVII.2 соответственно. Получен-
ные результаты совпадают с теми, которые были найдены в при-
мере XVI 1.3.
* Пример расчета более сложной рамы см.: Г. К. Клейн. Применение способа
распределения моментов к расчету пространственных рам. — Вестник инженеров
и техников, 1937, № 8; С. А. Рогицкий. Расчет плоских и пространственных рам
методом последовательных приближений. ГОНТИ, Свердловск, 1939,
369
Узлы	1 1		2	Таблица ХУПЛ 4	
Стержни	1—2	2—1	2-3	2—4	4—2
Коэффициент жесткости k	0,167	0,167	0,083	0,25	0,25
Коэффициент распределения р,	—	0,333	0,167	0,5	—
Исходные моменты М°, кН • м	—7,5	7,5	—	—	—
Уравновешивание узла 2	-1,25	—2,5	—1,25	—3,75	—1,875
Окончательные моменты М, кН • м	—8,75	5	—1,25	—3,75	—1,875
				Таблица XVII.2	
Узлы	3		2		4
Стержни	3-2	2—3	2—1	2—4	4—2
Коэффициент жесткости k	0,333	0,333	.0,042	0,25	0,25
Коэффициент распределения р,	—	0,533	0,067	0,4	—
Исходные моменты М°, кН • м	3	—3	—	—	—
Уравновешивание узла 2	0,8	1,6	0,2	1,2	0,6
Окончательные моменты Л4, кН’М	3,8	-1,4	0,2	1,2	0,6
ГЛАВА XVIII
ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЗАДАЧ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
НА АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ЯЗЫКЕ
АЛГОЛ-60
§ XVIH.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Владение одним из известных алгоритмических языков необхо-
димо для эффективного использования современных электронных
вычислительных машин (ЭВМ). На ЭВМ обычно решаются задачи,
которые для счета с использованием настольных вычислительных
устройств являются весьма трудоемкими или простыми, но много-
кратно повторяющимися. Из множества современных алгоритмиче-
ских языков, которые здесь не перечисляются, наиболее распростра-
ненными являются ФОРТРАН и АЛГОЛ-60. Первый по структуре
ближе к «языку» машины, который формируется в кодах данного
класса ЭВМ. Второй (впредь его будем называть просто АЛГОЛ)
является удобным, обозримым и применяется при эксплуатации
ЭВМ отечественного производства типа М-220, БЭСМ-4, БЭСМ-6
и др. Главное же заключается в том, что, зная один из алгоритмиче-
ских языков, при необходимости можно легко овладеть другим.
Ниже излагаются основы АЛГОЛА на примерах составления простей-
ших программ для решения на ЭВМ некоторых задач строительной
механики. Примеры по возможности подобраны таким образом, чтобы
постепенно знакомить читателя со всеми основными конструкциями
АЛГОЛА. Практика показывает, что многие задачи могут быть ре-
шены на ЭВМ самими авторами задач, не имеющими квалификации
программиста. Таким образом, конечной целью здесь является научить
читателя самостоятельно писать программы для решения интересу-
ющих его проблем (последние, разумеется, могут выйти далеко за
пределы строительной механики). Что касается задач строительной
механики, то при составлении программ обнаруживается, что неко-
торые из этих задач могут быть сформулированы и решены по-дру-
гому. Это важное обстоятельство показывает влияние расчетов на
ЭВМ на формулировку и решение самих задач строительной механики.
Программа — это вычислительный алгоритм (последователь-
ность операций), записанный в соответствии с правилами АЛГОЛА.
АЛГОЛ-программа «воспринимается» ЭВМ с помощью транслятора.
Транслятор представляет собой специальную программу, написан-
ную в кодах соответствующей ЭВМ и предназначенную для пере-
работки АЛГОЛ-программы в последовательность команд данной
371
машины, т. е. в рабочую программу. Транслятор устроен так, что,
встретив недопустимые конструкции в алгольном тексте, он указы-
вает на имеющиеся в программе формальные ошибки, но не может
обнаружить, разумеется, смысловые ошибки, т. е. устранить те или
иные недостатки самого алгоритма. Следует отметить, что авторы
АЛГОЛА не предложили единых операторов ввода и вывода инфор-
мации на печать. Поэтому каждый транслятор имеет свои особенности,
связанные в первую очередь с вводом исходных данных в ЭВМ и
выводом готовых результатов. Для практической работы необходимо
ознакомиться с руководством по тому транслятору, которым снаб-
жена данная ЭВМ. Ниже для конкретности мы будем придерживаться
транслятора ТА-1М. Во всем остальном, кроме вопросов ввода, вы-
вода и обращения к некоторым стандартным подпрограммам, алголь-
ный текст является единым для всех (алгольных) трансляторов.
§ XVIII.2. ОПЕРАТОР ЦИКЛА
Переходим к составлению АЛГОЛ-программ для некоторых прос-
тейших задач. При этом пояснения правил АЛГОЛА будут изложены
так, чтобы текст программы этими пояснениями не прерывался.
П р и м е р XVIII. 1. Требуется вычислить максимальный изги-
бающий момент в сечении шарнирно-опертой балки, если величина
пролета I, а интенсивность равномерно распределенной по всему
пролету нагрузки q. Известно, что Almax — ql2/8 и, если диапазон
изменения I и q невелик, нет необходимости эти расчеты автомати-
зировать. В противном случае многократные вычисления по приве-
денной выше формуле лучше поручить ЭВМ, тем более, что при этом
результаты получим в отпечатанном в определенном порядке виде.
Пусть изменение I подчиняется арифметической прогрессии I = 1,
2, 3, ..., 10, а значения q меняются по произвольному закону q — 0,01;
0,2; 1,2; 1,5; 2. Поскольку каждому значению q соответствует десять
значений I, результат получим в виде таблицы с десятью строками
и пятью столбцами. Такие таблицы, или матрицы, называются дву-
мерными массивами. Если имеется матрица — строка или
вектор (в виде векторов мы можем задать значения I и q), говорят об
одномерных массивах. Прежде чем иметь дело с мас-
сивами, их нужно обозначить и описать. В качестве идентификаторов,
или обозначений, используются сочетания малых букв латинского
алфавита и арабских цифр, начинающиеся обязательно с буквы.
Общее число знаков в идентификаторах не должно превосходить
шести. Наиболее простой идентификатор — малая буква латинского
алфавита. Описания носят чисто формальный характер и необходимы
как вспомогательные указания транслятору. Если элементы массива
являются обычными числами, необходимо указать (описать) real
array или просто array; если элементы массива являются непременно
целыми числами, необходимо перед идентификатором массива ука-
зать обязательно integer array. Это же относится к простым перемен-
ным. Если переменная — целое число (например, номер элемента),
необходимо перед идентификатором указать integer, в противном слу-
372
чае real. Все эти слова являются «служебными», а последние набираются
полужирно (или подчеркиваются). В нашем примере в качестве иден-
тификаторов одномерных массивов мы используем по-прежнему I и q,
для двумерного массива результатов — т. Программа должна преду-
смотреть: описание массивов, ввод исходного числового материала,
вывод этого материала на печать (чтобы видеть, что машина обрабо-
тала именно нужные нам числа, а не какие-либо другие), вычисле-
ние m для каждой пары I и q, вывод результатов на печать. Программа
и отдельно числовой материал набиваются в специально закодирован-
ном виде на перфокарты и устанавливаются на вводное устройство
ЭВМ в порядке: программа, числовой материал, причем последний
в том порядке, который указан в списке идентификаторов в операторе
ввода. Каждой строке программы соответствует отдельная перфокарта.
Поэтому каждая строка программы нумеруется. Кстати, это обстоя-
тельство позволит нам четко прокомментировать отдельные части
программы. Назовем нашу программу m max и приведем ниже ее
первый возможный вариант. Заметим, что даже для рассматриваемой
здесь элементарной задачи может быть предложено несколько вари-
антов программ.
Первый вариант программы m max:
1.	begin;
2.	integer i, j;
3.	array /[1 : 10], q [1: 5], m[l: 10,1: 5];
4.	p 0042 (Z, q);
5.	p 0165 ([/]);
6.	p 1041 (/);
7.	p0165([q]);
8.	p 1041 (q);
9.	for i: — 1 step 1 until 10 do
10.	for j: = 1 step 1 until 5 do;
11.	m[i, j] : = q[j]xZ[i]xZ[i]/8;
12.	p0165([m]);
13.	p 1041 (m)
14.	end.
Служебные слова begin и end, стоящие в первой и последней строке,
означают начало и конец программы и составляют так называемые
логические скобки. Это понятие нам понадобится и позже.
После begin (начало блока) сразу идут описания. Через i, j обозна-
чены индексы элементов упомянутых выше массивов. Индексы всегда
являются целыми числами, поэтому перед идентификаторами i, j
стоит описывающее их слово integer. Элементы используемых нами
массивов не обязательно должны быть целыми числами, поэтому мас-
сивы описаны array, далее в третьей строке идет идентификатор соот-
ветствующего массива, в квадратных скобках дается его размер,
например I [1 : 10]; последним описан двумерный массив т. Приве-
денные обозначения размеров массивов являются обязательными.
Строки 2 и 3 программы означают, что в памяти машины должно
быть предусмотрено место: для двух переменных типа integer, для
двух одномерных массивов и одного двумерного массива. Строки 2
373
и 3 программы можно поменять местами. Отметим, что мы могли
описать что-то лишнее и далее не использовать, но пытаться исполь-
зовать неописанные массивы или переменные нельзя. В строках 4—8,
а также 12, 13 программы встречаются операторы р0042, р0165, р 1041.
Отметим сразу, что эти операторы справедливы лишь для трансля-
тора ТА-1М. В случае другого транслятора их надо заменить на соот-
ветствующие. р0042 является оператором ввода числового материала,
стоящие в скобках /, q означают, что вначале вводятся элементы мас-
сива I в порядке их набивки на перфокарты, затем q. Оператор р0165
позволяет напечатать буквенные обозначения, причем последние не
обязательно должны совпадать с идентификаторами. Пятая строка
нашей программы требует, чтобы машина напечатала [/]; так условно
(для себя) мы обозначаем массив, причем это можно сделать как угодно
по-другому. Оператор р0165 использован в программе в сокращенной
форме. Следовало написать р0165 (1, ‘f f......ГЛ////’). Обилие зна-
ков в скобках означает, что [/] нужно напечатать не в левом верхнем
углу бумаги, а несколько отступая вглубь. Далее на таких формаль-
ных подробностях мы останавливаться не будем. Выше уже говори-
лось, что нужно тщательно ознакомиться с руководством к тому или
иному конкретному транслятору. Строка 6 программы требует, чтобы
числовые значения элементов массива I были напечатаны на бумаге.
Строки 7 и 8 выполняют аналогичную роль: на бумаге будет напеча-
тано [q], строкой ниже появятся числовые значения элементов
введенного нами массива q. Строки 9—11 программы представляют
собой одну из важнейших конструкций АЛГОЛА, а именно — опе-
ратор цикла. Здесь же мы знакомимся с оператором присваивания: =
(но не равенства!), с записью индексов у элементов массивов (индексы
в квадратных скобках) и с записью формулы q-Z-Z/8 по правилам
АЛГОЛА. Строку 9 программы следует читать так: для (for) целочис-
ленной переменной i, которой присваивается (: =) значение 1 с шагом
(step) 1 до (until) значения 10 включительно, делай (do). Строка 10
читается аналогично с заменой i на j и 10 на 5. Что же должна выпол-
нить ЭВМ в этом двойном цикле по i и j? Она должна элементам мас-
сива m с индексами i, j, которые «пробегают» все значения от 1 до 10
и от 1 до 5, присвоить значения элементов массива q, умноженные
дважды на элементы массива I и деленные на 8. Оператор цикла рабо-
тает так. Переменной i присваивается значение 1, при этом j полу-
чает последовательно все значения от 1 до 5; каждой паре i, j соответ-
ствует пара значений Z [i] и q [j], для которой и выполняется опера-
ция q • I • Z/8 в такой последовательности:
m[l, 11: = q [ 1 ] X Z [1 ] X Z [1 ]/8, mil, 2]: = q [2] xZ[l] xZ[l]/8
и т. д.
Затем i присваивается значение 2, при этом j снова пробегает
значения от 1 до 5; процесс повторяется, пока не будут исчерпаны
все значения i и j. Операцию умножения ЭВМ выполняет быстрее,
чем возведение в степень, поэтому мы здесь отказались от I2. Строку 11
можно было записать и так: m [i, j]: = q [j] x Z [i] ф 2/8. Здесь стрелка
означает возведение в степень. Знаки умножения и деления всегда
374
пишутся так, как это сделано выше. При отсутствии скобок арифме-
тические действия выполняются в следующем порядке: возведение
в степень; умножение и деление (в порядке их записи); сложение (+)
и вычитание (—) (в порядке записи). Отметим также, что приведенная
здесь форма оператора цикла не единственная, но удобная при работе
с массивами. Вернемся к программе. Следуя строке 12, ЭВМ печа-
тает [т] и выводит на печать вычисленные значения элементов массива
m (строка 13). Матрица выводится на печать строка за строкой.
Не все строки программы m max равнозначны. Строки 5, 7, 12
делают удобным чтение выведенных чисел, строки 6, 8 служат для
контроля введенного в ЭВМ числового материала. Если эти строки
опустить, ЭВМ смогла бы работать; если вычеркнуть строку 13, ее
работа не имела бы смысла. При пропуске хотя бы одной из остав-
шихся строк машина не будет работать. Необходимо также обратить
внимание на то, что после каждого оператора ставится точка с запя-
той (;). Перед служебным словом end этот знак может быть опущен
(строка 13).
Перейдем ко второму варианту программы. При этом попытаемся
распространить ее на случай, когда число элементов массивов I и q
не обязательно 10 и 5, а равно произвольным целым числам кип.
Следовательно, необходимо ввести массивы с произвольными грани-
цами индексов. Такие массивы в отличие от рассмотренных выше
статических называются динамическими. При этом
необходимо помнить одно важное обстоятельство: прежде чем описать
динамический массив, следует сообщить ЭВМ конкретные значения
его размеров. При составлении второго варианта учтем также, что
элементы массива I подчиняются определенной закономерности. Это
позволит не только отказаться от ввода числовых значений массива I,
но и от описания и дальнейшего использования самого этого массива.
Таким образом, здесь мы сталкиваемся с понятием об экономии па-
мяти ЭВМ. Следует помнить, что память ЭВМ ограничена. Напри-
мер, ЭВМ типа М-220 располагает примерно четырьмя тысячами
ячеек оперативной памяти (при использовании одного куба памяти).
Значит, при к « п « 60 массив m займет около 3600 ячеек, осталь-
ное необходимо для размещения в памяти машины самой программы.
Очевидно, для резкого увеличения к и п (в пределах возможностей
оперативной памяти) необходимо отказаться от массива m вообще.
Ниже вместо этого массива мы введем простую переменную т. Обозна-
чать ее можно, разумеется, и по-другому. Читатель, по-видимому,
догадывается, что наши рассуждения справедливы не только при вы-
числении m = qZ2/8, но и при работе с любыми готовыми формулами,
когда элементы правых частей меняются в широком диапазоне.
Второй вариант программы m max:
1.	begin;
2.	integer k, n, i, j; real m;
3.	p0042(k, n); p0165(k, n); p 1041 (k, n);
4.	begin array q [1 : nJ;
5.	p 0042 (q); p 0165 ([q]); p 1041 (q);
6.	p0165(m);
375
7.	for i: = 1 step 1 until к do
8.	for j: = 1 step 1 until n do
9.	begin;
10.	m: = q [j]xif 2/8; p 1041 (m)
11.	end
12.	end
13.	end
Прокомментируем второй вариант программы. Теперь это сделать
проще. Заметим, что имеются два блока: внешний и внутренний.
Внутренний заключен между строками 4 и 12. В строке 2 описываем
переменную m и целочисленные переменные k, n, i, j. Все, что описано
во внешнем блоке, работает и во внутреннем. Описания, выполненные
во внутреннем блоке, действительны только внутри него. Строка 3
предусматривает ввод значений k, п и вывод их на печать. В строке 4
уже в пределах внутреннего блока описываем массив q. После этого
можно ввести массив q и вывести его на печать (строка 5). Далее печа-
таем букву ш (строка 6), чтобы вслед за ней получить ее числовые
значения. Строки программы 7—11 представляют собой уже знакомый
нам оператор цикла. Здесь числа 10 и 5 заменены на произвольные
к и п. В цикле выполняются две операции: вычисление m и вывод m
на печать. Поэтому эти операторы заключены в логические скобки
begin — end. Совокупность операторов, заключенных в скобки, назы-
вается составным оператором. Поскольку значения I
равны i, число i непосредственно используется при вычислении гл.
Подведем некоторые итоги. На примере составления приведенной
выше программы мы познакомились с такими важными понятиями
АЛГОЛА, которые в специальных руководствах излагаются на мно-
гих страницах. К ним относятся: идентификаторы, описания, массивы
(статические и динамические), ввод и вывод числового материала,
оператор присваивания, оператор цикла, составной оператор, области
действия описаний, запись формул по правилам АЛГОЛА, знаки ариф-
метических действий и возведения в степень.
§ XVIII.3. ОПЕРАТОР ПЕРЕХОДА
Следующий пример дается для ознакомления с оператором пере-
хода.
Пример XVIII.2. Вычислить ординаты линии влияния левого
опорного момента /Ио в однопролетной балке постоянной жесткости
с двумя защемленными концами при значениях и = 0; 0,2; 0,4; 0,6;
0,8; 1.
Формулу для /Ио представим в виде, удобном для использования
ЭВМ, учтя, что ki = kJ = 2:
Л40 = — uv ((1 H-v)-2 — (1 +«)]
и запишем первый вариант программы In:
1.	begin;
2.	real 11, u, v, mo;
3.	p 0042 (/1); p 0165 (/1); p 1041 (/1);
376
4.	Zl; = —Zl/3;
5.	p0165(u, mo);
6.	c: p 0042 (u); v : = 1 — u;
7.	mo: = /lxuxvx(2x(14-v) —(1+u));
8.	p 1041 (u, mo); go toe
9.	end
В строке 2 программы описываются переменные типа real. Строка 3
предусматривает ввод нужной нам величины Z1 и вывод ее на печать.
Следует обратить внимание на то, что единица в идентификаторе 11
пишется не в виде индекса. В строке 4 переменной Z1 присваивается
значение —Z1 /3, чтобы при нижеследующем многократном применении
формулы для Мо деление на 3 не повторялось. Строка 5 требует, чтобы
ЭВМ напечатала и и то. Строка 6 предусматривает ввод значения и,
и здесь же переменной v присваивается значение 1 — и. В строке 7
вычисляется значение то, соответствующее введенному значению и.
Строка 8 предусматривает вывод на печать соответствующих друг
другу значений и и то. Здесь же приводится оператор перехода
go to, который с помощью метки с, помещенной в начале строки 6 (с :),
работу ЭВМ переводит на строку 6 и все то, что следует вслед за ней.
Это означает, что ЭВМ вначале согласно строкам 6—8 вводит и = 0,
вычисляет v = 1, то = 0, выводит их значения на печать и, встре-
тив оператор go to с меткой с, переходит снова на строку 6, т. е. вво-
дит и = 0,2; вычисляет v = 0,8 и т. д., пока не переберет все постав-
ленные на вводное устройство значения и. Результаты получим в виде
таблицы значений и и соответствующих то.
Заметим, что в альгольном тексте при записи десятичных дробей
вместо запятой употребляется точка. Например, число 12,5 в тексте
программы записывается 12.5.
§ XYIII.4. УСЛОВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Здесь вводится понятие об условных операторах.
Пример XVIII.3. Найти критическое положение системы свя-
занных сосредоточенных сил при нагружении треугольной линии
влияния.
Пусть система состоит из шести сил (см. рис. II.9). Нахождение
невыгодного положения такой нагрузки равносильно определению
Ркр, которая удовлетворяет одновременно двум неравенствам (II.3).
Согласно установившемуся при рассмотрении приведенных выше при-
меров порядку мы будем вначале писать программу, затем ее коммен-
тировать. Отметим, что программа pkrt будет предусматривать вычис-
ление равнодействующей всех сил г, левых сил rl и правых сил гр.
При вычислении этих значений мы будем мысленно двигать нагрузку
слева направо, ставя над вершиной линии влияния сначала Рв, затем
Р5 и так далее. Для каждого положения нагрузки будем проверять
удовлетворение неравенств (П.З). Та сила, при положении которой
над вершиной оба неравенства удовлетворятся одновременно, будет
зафиксирована, названа pk и выведена на печать.
377
Программа pkrt:
1.	begin
2.	reala, b, r, rl, rp, pk;
3.	integer i; array p [1: 6];
4.	p 0042 (a, b, p);
5.	p 0165 (a, b); p 1041 (a, b);
6.	p 0165 ([p]); p 1041 (p);
7.	r: = 0;i: = 6;
8.	q:r: = r + p[i]; i: = i —1;
9.	if i 1 then go to q;
10.	p 0165 (r); p 1041(r);
11.	rp : =0; i: = 6;
12.	ql: rl = r — rp — p [ij;
13.	if (rl + p[i])/a^rp/b A
14.	rl/a (p [i] 4-rp)/b then
15.	begin pk: = p (ij;
16.	p 0165 (pk); p 1041 (pk)
17.	end else
18.	begin
19.	rp:=rp + p[i]; i: = i — 1; gotoql
20.	end
21.	end
Если предыдущие примеры были изучены внимательно, первые
шесть строк программы pkrt в комментариях не нуждаются. В строке 7
г и i присваиваются соответственно значения 0 и 6. Строки 8 и 9 слу-
жат для вычисления г, причем строка 9 представляет собой так назы-
ваемый неполный условный оператор, который имеет следующую
структуру: если (if) выполняется заданное условие (в данном слу-
чае i 1), то (then) выполняется следующий за then оператор (go
to q). Если условие не выполняется, следующий за then оператор
пропускается (ЭВМ его «не замечает»). Как же вычисляется г? Со-
гласно строке 8 г = Рв, i = 5; поскольку 5> 1, срабатывает опе-
ратор перехода с меткой q, тогда г = Рв 4- Рь; i = 4 и т. д. Когда
ЭВМ к сумме предыдущих значений Pt прибавит Р)( i станет равным 0
(i < 1), оператор перехода go to q будет пропущен, и ЭВМ перейдет
к строке 10, которая предусматривает вывод на печать вычисленного
значения г. Затем гр и i присваиваются значения 0 и 6 (строка 11).
Строка 12 предусматривает вычисление rl, когда сила с индексом i
стоит в вершине линии влияния. Поскольку сила Pz стоит в вершине
(вначале Р6), а соответствующие значения гр и rl известны, можно
приступить к проверке обоих неравенств. В строках 13—20 написан
полный условный оператор для нашего случая. Этот оператор имеет
следующую структуру: если (if) выполняется заданное условие (в дан-
ном случае два условия записаны в строках 13 и 14 и связаны с по-
мощью логического выражения Д, что означает союз и), то выпол-
няется следующий за then составной оператор, записанный в преде-
лах строк 15—17 и предусматривающий вывод на печать найденного
значения Ркр; иначе (else), т. е. если условие не выполняется, дол-
жен быть выполнен следующий за else составной оператор; он записан
378
в пределах строк 18—20, предусматривает постановку в вершину
линии влияния следующей силы Pt (значения гр и i меняются) и
с помощью оператора перехода go to с меткой ql переводит работу
ЭВМ снова на строку 12. При этом вычисляется новое значение rl,
и все повторяется. Поскольку решение задачи существует, при одной
из сил Pt над вершиной оба неравенства (условия) будут выполнены
и значение Ркр будет выведено на печать.
Работая над программой pkrt, мы познакомились с такой конст-
рукцией АЛГОЛа, как условный оператор (полный и неполный), и
с логическим выражением Д (и). Приведем знаки основных логи-
ческих операций: Д (и), V (или), = (эквивалентно).
§ XVIII.5. ПРОЦЕДУРЫ. СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ
Здесь коротко дается понятие о процедурах.
Пример XVIII.4. Запрограммировать составление матрицы по-
датливостей стержней рамы при произвольном числе расчетных участ-
ков k. Матрица податливостей В квадратная порядка 2k встречается
при использовании матричной формы метода сил. Запишем ее для
случая k — 3, а программу составим для произвольного k'.
		h 3EIi	_1- о &EI1	0	0	0	
		6£Zi	.	0 3E!t	0	0	0	
	—	0	0	—г— u 3E/3	h 6E13	0	0	
		0 0 0	Л 0	&E13 0	0 0	0	^3 3El3 0 0	0 h 3El3 ^3 6£/3	0 ^3 6£/3 ^3 3£/8_	
1.	begir 2.	ini 3.	р ( 4.	bq 5.	s 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.	Программа matp: i teger k, i, j; )042 (k); p 0165 (k); p 1041 (k); >in irray I, ei [1 : k], b 11 : 2 x k, 1 p 0042 (/, ei); p 0165 ([/]); p 1041 (0; ) 0165 ([ei]); p 104J (ei); tor i : = 1 step 1 until k X 2 do tor / : = 1 step 1 until k X 2 do J [i, j] : = 0; or i : = 1 step 1 until k do aegin j : = i x 2; b Ij — 1, j — 1] : = b[j, jl: = b [j - 1. j]: = b [j, j - 1] : =				: 2 x kJ; I li]/(3 x ei lil); I Ii]/(6 x ei [i])		
379
16.	end
17.	p 0165 (tbl); p 1041 (b)
18.	end
19.	end
Рассматривая этот пример, приобретаем навыки при работе с мас-
сивами. Кроме того, здесь же показаны дополнительные возможности
АЛГОЛа. Например, если разные массивы имеют одинаковые раз-
меры, этот размер при описании можно показать лишь один раз,
перечислив перед ним идентификаторы всех массивов, имеющих
данный размер (/, ei в строке 5); при записи размера массива можно
прибегнуть к арифметическому выражению (2 х к в строке 5), это
сокращает программу. Далее прокомментируем лишь отдельные су-
щественные части программы. С помощью оператора цикла всем эле-
ментам массива b вначале присваивается значение 0 (строки 9—11).
Здесь тоже используется арифметическое выражение к х 2. Далее
также с помощью оператора цикла (строки 12—16) ненулевым эле-
ментам массива b присваиваются соответствующие им значения. Здесь
используются дополнительные возможности АЛГОЛа, сокращающие
текст программы: если элементы массива равны, значение одного
может быть присвоено другому (строки 14, 15). Проследим за работой
второго оператора цикла, пользуясь обычной формой записи. Вначале
i = 1, тогда j = 2; bn = b22 — IJSEIi, b12 = b21 = IJ6EI1, затем
i = 2, j = 4; b33 = b44 = l2/3£/2; b34 = b43 = 121ЬЕ12 и т. д. Сравни-
вая полученные результаты с соответствующими элементами матрицы
Ввз, убеждаемся, что программа составлена верно.
Ниже познакомимся с понятием procedure. Допустим, что опера-
тор цикла, записанный в строках 9—11, встречается в тексте про-
граммы несколько раз. При этом нет необходимости записывать его
повторно. Можно один раз описать этот оператор как процедуру
с некоторым идентификатором, затем по мере необходимости в тексте
программы писать лишь идентификатор процедуры. «Прочитав» иден-
тификатор процедуры, ЭВМ немедленно ее выполнит. Часто встреча-
ющиеся операции, например перемножения двух матриц, форми-
руются в виде стандартных подпрограмм (или процедур) и имеют
для данного транслятора свои постоянные шифры. Например, при
наличии транслятора ТА-1М к стандартной процедуре присвоения
нуля всем элементам массива b можно обратиться так: р 0113 (0, Ь).
Можно описать аналогичные подпрограммы (процедуры), к которым
обращаются (через идентификатор процедуры) лишь в пределах дан-
ной программы. Представим, что мы составляем программу по рас-
чету произвольной статически неопределимой рамы методом сил.
Матрица податливостей при этом может понадобиться неоднократно.
Ее можно получить один раз и держать в памяти ЭВМ, можно посту-
пить и по-другому: описать процедуру matp и по мере необходимости
обращаться к ней. Правда, при любом из этих двух случаев в памяти
ЭВМ должно быть зарезервировано место для массива Ь. Но при
применении процедуры matp массив b можно использовать не только
для элементов матрицы В, но и для временного хранения какого-либо
другого числового материала (в промежутках между обращениями к
380
matp). Ниже запишем эту процедуру. При этом предполагается, что
все переменные и массивы описаны раньше (скажем, во внешнем
блоке программы), ввод числового материала предусмотрен в теле
программы, элементы массива b выводить на печать не обязательно.
procedure matp;
begin
р 0113 (0, b);
for i : = 1 step 1 until k do
begin j : = i X 2;
b [j — 1, j — 1] : = b [j, j]: = / Fi]/(3 X ei [i]);
b [j — 1, j]: = b lj, j — 1] : = I [i]/(6 X ei [i])
end
end
Приведенное выше описание процедуры должно быть выполнено
в тексте общей программы до обращения к ней. Для обращения доста-
точно написать в программе matp; после matp обязательно ставить
точку с запятой. Обращение при необходимости может быть выпол-
нено многократно.
Заметим, что аналогично выполняется обращение к девяти стан-
дартным функциям АЛГОЛа (независимо от типа транслятора):
sin (A), cos (A), In (A), arctan (А),
ехр(А), sqrt(A), abs(A), sign (A), entier(A).
Последние четыре из этих функций означают: sq rt (А) — корень
квадратный из А 2г 0; abs (А) — абсолютная величина A; sign (А)
определяет знак А по правилу: sign (А) = 1 (если А > 0),
sign (А) = 0 (А = 0), sign (А) = —1 (А < 0); entier выдает значе-
ние А, округленное до ближайшего меньшего целого числа, например:
entier (3.8) = 3, entier (—3.2) = —4, entier (0.2) = 0. Под А может
подразумеваться также арифметическое выражение.
Программа matp позволила подойти к понятию procedure. Здесь
же мы познакомились с некоторыми возможностями АЛГОЛа и со
стандартными функциями. Для самостоятельной работы читатель
может выбрать любую интересующую его проблему: основные правила
и конструкции АЛГОЛа ему уже известны. С некоторыми понятиями,
как, например, процедуры с формальными параметрами, и с некото-
рыми опущенными здесь подробностями можно ознакомиться при
необходимости самостоятельно по одному из источников, приведенных
в списке литературы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Брудно А. Л. АЛГОЛ. М., 1971.
2.	Карамански Т. Д.9 Рангелов Р. П. Методично ръководство за решеване на
задачи по строительна статика. София, 1971.
3.	Киселев В. А. Строительная механика. М., 1976.
4.	Кузьмин Н. Л., Рекач В. Г., Розенблат Г, И. Сборник задач по курсу строи-
тельной механики. М., 1962.
5.	Лавров С. С. Универсальный язык программирования (АЛГОЛ-60). М.,
1972.
6.	Масленников Л. М. Расчет статически неопределимых систем в матричной
формулировке. Л., 1964.
7.	Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием
ЭВМ / Александров А. В., Лащеников Б. Я-, Смирнов В. А., Шапошников Н. Н.
В 2-х частях. М., 1976.
8.	Митропольский М. Н. Применение теории матриц к решению задач строи-
тельной механики. М., 1969.
9.	Рабинович И. М. Основы строительной механики стержневых систем. М.,
1960.
10.	Расчет сооружений с применением вычислительных машин / Смирнов А. Ф.,
Александров А. В., Шапошников Н. Н., Лащеников Б. Я. М., 1964.
11.	Строительная механика / Дарков А. В., Клейн Г. К., Кузнецов В. И. и др.
М., 1976.
12.	Строительная механика в примерах и задачах / Киселев В. А., Афа-
насьев А. М., Ермоленко В. А., Медников И. А. М., 1968.
13.	Снитко Н. К. Строительная механика. М., 1980.
14.	Справочник проектировщика расчетно-теоретический. Кн. 1. М., 1972.
15.	Строительная механика. Сборник рекомендованных терминов. АН СССР
и Госстрой СССР. М., 1969.
16.	Филин A. Z7. Матрицы в статике стержневых систем. М., 1966.
17.	Халилов А. И., Ющенко А. Л. АЛГОЛ-60. Киев, 1975.
18.	Чирас Л. Л. Методы линейного программирования при расчете упруго-
пластических систем. М., 1969.
19.	Williams A. The analysis of indeterminate Structures. London, Macmillan,
1967,
Стр.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................... 3
Глава 1. Кинематический анализ сооружений............................. 4
§ 1.1.	Определение степени свободы	и	анализ структуры плоских систем 4
§ 1.2.	Мгновенная изменяемость систем............................ 7
§1.3.	Примеры расчета........................................... 9
Глава II. Линии и матрицы влияния.................................... 14
§ II.1.	Построение линий влияния для однопролетных балок статическим
способом.......................................................... 14
§ П.2.
§ П.З.
§ П.4.
Построение линий влияния для однопролетных балок кинемати-
ческим способом ...........................................
Определение усилий по линиям влияния.......................
Нахождение невыгоднейшего положения подвижной нагрузки на
сооружении.................................................
Матрицы влияния............................................
Статически определимые балочные системы ...................
17
18
§ П.5.
Глава III.
§ II 1.1. Определение усилий от неподвижной нагрузки...........
§ II 1.2. Построение линий влияния.............................
§ Ш.З. Матричная форма расчета.................................
Глава IV. Трехшарнирные арки и рамы................................
§ IV.1. Общие сведения ........................................
§ IV.2. Расчет трехшарнирной арки на неподвижную вертикальную
нагрузку ......................................................
Построение линий влияния усилий в трехшарнирной арке ....
Расчет трехшарнирных рам................................
Матричная форма расчета.................................
19
22
25
25
30
33
39
39
§ IV.3.
§ IV.4.
§ IV.5. х х х х
Глава V. Плоские фермы..............................................
§ V.I. Аналитический расчет на неподвижную нагрузку..............
§ V.2. Определение усилий графическим способом в особых случаях . . .
§ V.3. Построение линий влияния..................................
§ V.4. Матричная форма расчета...................................
Глава VI. Распорные фермы и комбинированные системы .................
§ VI. 1. Трехшарнирная арочная ферма.............................
§ VI.2. Комбинированные системы .................................
§ VI.3. Вантовые фермы...........................................
Глава VII. Пространственные фермы....................................
§ VI 1.1. Общие сведения.........................................
§ VI 1.2. Образование и кинематический анализ пространственных ферм
§ VI 1.3. Расчет пространственных ферм ..........................
Глава VIII. Потенциальная энергия упругих систем. Определение перемеще-
ний стержневых систем................................................
§ VII 1.1. Потенциальная энергия упругих систем . ... Л ...... . . ........ л.
§ VIII.2. Энергетический способ определения перемещений..........
§ VIП.З. Формула Максвелла — Мора для вычисления перемещений
§ VIII.4. Определение перемещений от силового воздействия ......
§ VIII.5. Определение перемещений от теплового воздействия ......
§ VIII.6. Определение перемещений от смещения связей.............
§ VIII.7. Определение перемещений при помощи упругих грузов......
§ VIII.8. Построение линий влияния перемещений...................
§ VIII.9. Матричная форма определения перемещений................
Глава IX. Расчет рам методом сил.....................................
§ IX.1. Порядок расчета рам.....................................
§ IX.2. Использование симметрии при расчете рам.................
§ 1Х.З, Упругий центр рамы	....................
40
47
53
58
62
62
71
73
81
84
84
89
93
95
95
96
99
107
НО
111
ИЗ
121
122
123
128
130
137
137
145
159
383
Стр.
§ IX.4. Расчет рам на тепловое воздействие и на смещение опор....162
§ IX.5. Применение статически неопределимой основной системы .... 166
§ IX.6. Определение перемещений рам..............................168
§ IX.7. Расчет рам в матричной форме.............................169
Глава X. Неразрезные балки ..........................................182
§ Х.1. Уравнения трех моментов...................................182
§ Х.2. Метод фокусов ............................................188
§ Х.З. Построение объемлющих эпюр ...............................194
§ Х.4.	Построение линий влияния	усилий в неразрезной	балке......196
§ Х.5.	Расчет	неразрезных	балок	па	тепловое воздействие.........202
§ Х.6.	Расчет	неразрезных	балок	на	смещение опор................204
§ Х.7.	Расчет	неразрезных	балок	на	упругих опорах...............206
§ Х.8. Матричная форма расчета...................................210
Глава XI. Статически неопределимые арки..............................217
§ XI.1. Определение усилий в двухшарнирной арке от неподвижной
нагрузки.........................................................217
§	XI.2. Определение усилий вбесшарнирной арке от неподвижной нагрузки 223
§	XI.3. Построение линий влияния................................229
Глава	XII. Статически неопределимые фермы ..........................231
§	XI 1.1. Общие сведения........................................231
§	XI 1.2. Примеры расчета ферм..................................232
Глава	XIII. Расчет рам и неразрезных балок методом перемещений......241
§	XII 1.1. Последовательность расчета рам.......................241
§	XIII.2. Упрощения при расчете симметричных рам................258
§	XIП.З. Расчет рам на тепловое воздействие и на смещение связей . . . 262
§	XIII.4. Построение линий влияния..............................268
§	XIII.5. Расчет неразрезных балок..............................272
§	XIII.6. Расчет рам в матричной форме..........................273
Глава	XIV. Расчет рам смешанным и комбинированным методами..........285
§	XIV.1. Смешанный метод расчета рам............................285
' §	XIV.2. Комбинированный метод расчета симметричных рам.........288
§	XIV.3. Комбинированный метод расчета рам в общем случае.......292
Глава	XV. Итерационный и приближенные способы расчета рам...........301
§	XV.1. Расчет несвободных рам способом итераций................301
§	XV.2. Упрощения при расчете симметричных рам .................305
§	XV.3. Расчет свободных рам ...................................309
§	XV.4. Расчет неразрезных балок................................315
§	XV.5. Приближенный расчет рам на вертикальные нагрузки........320
§	XV.6. Приближенный расчет рам на горизонтальные нагрузки^. . 322
Глава XVI. Расчет статически неопределимых систем по несущей способ-
ности с учетом пластичности материала ...............................326
§ XV 1.1. Общие сведения ........................................326
§ XVI.2. Расчет рам..............................................329
§ XVI.3. Расчет неразрезных балок ...............................339
§ XVI.4. Расчет статически неопределимых арок....................347
§ XVI.5. Расчет статически неопределимых ферм....................352
§ XVI.6. Повторно-переменные нагружения..........................354
§ XVI.7. Определение перемещений от предельных нагрузок..........358
Глава	XVIII.	Пространственные рамы .................................360
§	XVII.1.	Расчет	методом сил...................................360
§	XVI 1.2.	Расчет	методом перемещений...........................364
§	XVI 1.3.	Расчет	способом итераций.............................368
Глава XVIII. Основы программирования задач строительной механики на
алгоритмическом языке АЛГОЛ-60 ..................................... 371
§ XVII 1.1. Общие сведения.......................................371
§ XVIII.2. Оператор цикла........................................372
§ XVIП.З. Оператор перехода......................................376
§ XVIII.4. Условные операторы....................................377
§ XVIII.5. Процедуры. Стандартные функции........................379
Список литературы....................................................382