АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР
ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
ВСЕСОЮЗНЫЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ
И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
И НЕКЛАССИЧЕСКИМ
ЛОГИКАМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1976

В сборнике представлены статьи по аксиоматической
теории множеств, теории моделей, дескриптивной теории
множеств, арифметике второго порядка, нестандартным
моделям арифметики, логике предикатов высших ступеней,
а также по многозначным, модальным и другим
неклассическим логикам.
Ответственные редакторы
Д.А.БОЧВАР, В.Н.ГРИШИН
g 148-76 (кн. 1) © Издательство «Наука», 1976 г,
042 @2)-76

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ
Сборник содержит статьи по аксиоматической теории множеств,
теории моделей и неклассическим логикам.
В. Г. Кановей, В. А. Любецкий и В. И. Фуксон
рассматривают теоретико-множественные вопросы на базе аксиоматической
системы теории множеств Цермело—Френкеля. В их статьях
теоретико-модельный аппарат, основанный на методе
вынуждения П. Коэна и иерархии конструктивных по К. Гёделю
множеств, применяется для решения некоторых проблем
дескриптивной теории множеств (В. А. Любецкий, В. Г. Кановей); для
изучения континуума М. Суслина (В. И. Фуксон), для всестороннего
исследования понятия степени конструктивности,
являющегося обобщением понятия степени неразрешимости (В. Г.
Кановей). В. Г. Кановей степени конструктивности применяет и для
решения вопросов определимости в теории множеств и
арифметике второго порядка.
В статье В. Н. Гришина содержится редукция системы теории
множеств В. Куайна к некоторой ее подсистеме.
Механизму теоретико-множественных парадоксов посвящены
работа Д. А. Бочвара и В. И. Фуксона и заметка В. Е. Вайля.
Исследование некоторых общих свойств (наследственность
и локальность) классов моделей проводится С. Р. Кагаловским
и Б. А. Чепурновым. В статье С. Ф. Сопрунова обсуждаются
нестандартные модели арифметики Пеано.
В проблемной статье Д. А. Бочвара рассматриваются
непрерывные (континуум-значные) логики и предлагается
формализация понятия степени правдоподобия.
В книге рассматривается (Д. А. Бочвар и В, К. Финн)
трехзначная логика предикатов Д. А. Бочвара (вопросы аксиомати-

зации и представления в виде натурального исчисления);
описывается (Р. Григолия) структура финитно-аппроксимируемых
расширений бесконечно-значной логики Я. Лукасевича;
изучаются (Н. М. Ермолаева и А. А. Мучник) различные модальные
логики с точки зрения их алгебраической характеризации и ха-
рактеризации моделями С. Крипке; исследуется (В. Н. Гришин)
алгебраический аспект логики, получающейся удалением правил
сокращения из классического исчисления секвенций.

В, Г. КАНОВЕЙ
ОПРЕДЕЛИМОСТЬ
С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕНЕЙ КОНСТРУКТИВНОСТИ
Введение
1 (а). Под конструктивностью в математике понимается
возможность построения некоторого объекта с помощью фиксированного
набора операций (на данной совокупности объектов) из другого
объекта.
Если задана некоторая совокупность объектов U (в настоящей
статье U — множество всех функций из о) в со, т. е. U = шо>) и
некоторая совокупность ^={F(X\oi^A} операций на U (т. е.
функций из U в U, некоторые из которых допускаются частичными,
т. е. не функциями на U в строгом смысле), причем <^° замкнута
относительно композиции и содержит тождественную операцию,
то на U вводится отношение порядка ^^> так: х ^.&у, если Яа [а £ А
&x = F0L(y)]. В указанных предположениях <^— частичный
порядок на U, причем х ^&х для любого х. Вводится отношение
эквивалентности £&у. х tt&y, если х ^i&y и у ^&х; ©Р — степень х
(т. е. степень конструктивности х относительно операций из ©9°):
[х}^ ={у\х tt&y). Легко видеть, что [х]& — класс эквивалентности х
относительно £&&, разбиение U на {[х]& \ х £ U) согласовано с
порядком ^о (более подробно о таком определении см. [18], гл. 4).
Различные совокупности $* и соответствующие степени
изучаются в [18], начальные сегменты таковых — в ряде статей (см. [19],
[20] и др.). В основном рассматриваемые степени (тьюринговы,
m-степени, 1-степени и др.) имеют рекурсивный характер (т. е»
соответствующее ©9° содержится в множестве всех (частично)
рекурсивных функций из U в U). Более общим степеням, носящим
скорее теоретико-множественный, чем рекурсивный характер, и
посвящена настоящая статья.
(б). В теории ZF (без аксиомы выбора) определяется весьма
естественная совокупность операций, нумеруемых ординальными
5

индексами — {^а|а£0п} и отображающих.класс V всех множеств
в себя (точное определение см. ниже). Поскольку мы
ограничиваемся изучением ша>, то можно ограничить эту совокупность на ша),
а именно, определить FJ = Fan(<0@ X "«>)• В этом случае класс
индексов излишен и мы можем ограничиться их множеством. Например,
{^£|aEaJ} исчерпывает все {Faja^On} (это легко доказать с
помощью теоремы Сколема—Лёвенгейма). Соответствующие степени-
будут называться L-степенями, порядок — ^£, эквивалентность ^^L%
Если о структуре степеней, упомянутых в (а), можно доказать в ZF
массу интересных фактов ([18], [19], [20]), то относительно
структуры L-степеней почти ничего сказать нельзя; все результаты
в этой области, известные автору, имеют характер относительной
непротиворечивости (например, из аксиомы конструктивности V = L
легко доказать, что есть всего одна L-степень; в [2] строится
модель, где таковых две и упоминается о нескольких иных
возможностях).
Значительная часть настоящей статьи посвящена выяснению
возможных структур L-степеней (и более сложных степеней) в
различных моделях ZF.
2 (а). Как известно, формула х^£г/-класса ^2 (см., например,
124], [8]). В силу этого построение моделей с заранее выбранной
структурой L-степеней дает возможность делать многие важные
действительные числа и множества таковых определимыми
формулами анализа.
Например, пусть 90? — счетная, стандартная и транзитивная
(с. с. т., см. [6]) модель ZF -|-F = L, x(<CJl, яСш, х
неопределимо в СЗЛ формулой анализа. Предположим, что нам удалось
построить с. с. т. модель Э^ЗЗИ, такую, что ОпП^^^ОпПЭ^ и
структура L-степеней в 9^ имеет вид: (на тг-ом уровне
треугольник, если п£х, и точка, если п^х) (см. рисунок на стр. 7). Тогда,
используя вышеуказанное свойство <^z, легко [показать, что х
определимо в $ft формулой анализа.
В этом примере- раскрывается сущность метода «кодировки
с помощью степеней конструктивности», разрабатываемого в
настоящей статье.
Этот метод имеет некоторые преимущества по сравнению с
известными автору. Сделаем краткий обзор последних.

(б). В [5] действительное число х становится определимым
формулами типа [п (< х = континуум-гипотеза верна для кардинала ItfJ.
Недостаток этого метода — в привлечении к определимости
действительных чисел объектов, не имеющих к ним прямого отношения.
В [7] в исходной модели SD? строится определенное множество
ХСР(о)), такое, что Yx, y^X[x=^=y-^xf]y конечно]. Затем для
любого фиксированного 7CI (F£9D?) строится z£P(a)) (z^STO
необязательно), такое, что $1 = SD? [z] — модель ZF (определение
см. ниже) ив91 имеет место Y = {x\x^X&xf\z
конечно}, т. е. в $ft Y становится определимым
через X и z.
Недостаток — в существенности константы z и
в трудностях с итерированием процессов расширения
(т. е. если множество Y возникает в процессе
последовательного расширения исходной модели).
Весьма интересен метод [15]. Его сущность —
построение в исходной модели <ЗЛ множества Т
вынуждающих условий, не имеющего в 90? конфинальных
порядковых вложений Tx = {t\t£T8ct^x} в Ту,
если х,у£Т — противоречивы в Т. Тогда доказывается,
что если G —9^-генерический фильтр на 7\ то в SW [G] нет других
ЭД-генерических фильтров на Т, т. е. G определим в <3R[G].
Возможности этого метода изучены слабо, помимо [15] автору
неизвестны иные его применения.
3 (а). Основные теоретико-множественные обозначения берутся
из [22] со следующими дополнениями:
card (о:) — мощность х (вместо \х\)\
On, Cn, Fun — классы ординалов, кардиналов и функций
соответственно;
ехр (х) = card (P (х));
dom° (/) = {х | / (х) =^= 0} (если / — функция);
fog — композиция функций (fоg(х) = f(g(x))); для Х£Оп
cf(X) — конфинальность X и Х+—наименьший кардинал,
превосходящий X; для г С со x(x) = {(nf 0)\n£x}\J{(n, l)|n£<o — х);
ТС (х) — транзитивное замыкание х; если £ — частично-упорядочен-
ное множество (ч. у. м.), то обозначаем /(|) = {т]|7] — начальный
сегмент (н. с.)?}.
7

(б). Стандартными транзитивными (с. т.) моделями ZF будем
называть и классы (например, класс всех конструктивных множеств
L — с. т. модель ZF).
Упорядочим {(а, р, £) | а, р £ On Sci £ 9} в соответствии с
лексикографическим порядком на четверках (max (а, C), min(a, р), a, i).
Пусть ф: On X On X 9->On — единственный порядковый
изоморфизм, фх, ф2, ф3 — обратная к ф тройка функций, т. е. ф(фх(а),
Фг(а)» Фз(а)) = а- Пусть, Д, /2, . . ., /8 — геделевы операции (см. [6]).
Определим Fa: V-+V индукцией по a£On так. FQ(x)~x (т. е.
Fo — тождественная операция); если {F^ | Р £ а} определено, у = ф2 (а),
8=ф2(а), г = ф3(а)> 1 = 0, то ^аИ={^(^IРба}; если же г^О,
то очевидно ^6а и S^а, и определяем FVL(x) = fi(F (x), Fb(x)).
Пишем Fa z (х) вместо Fa(z X ^)- Определяем F«f ^ = Fa> г f|
П (wa) X "и). Таким образом, dom (FJ, z) С шш. Полагаем F**, =
= Fl,\J{(z, a)X{0})|^G^-dom(^%)}.
Пусть 90? — произвольная с. т. модель ZF. Определим с$1[х] =
= {F«,Ax)\z£W&*QWinOn} и ^gR = {F^|«G9»&a69»n0n}.
Пишем ^ofR» ^^ЭД' t ]^Ш вместо ^^9^, ^^^9^' t Ь°ЗХ соответственно.
Для всякого Z определяем Gonsto^ (X) = ({Мэд | ^ ^ X f] шы), ^с^) —
структура степеней ^-конструктивности элементов X, упорядочен
ная с помощью ^9Л*
Легко доказать, что если х, у £ шсо и ^[я] и ^[^/J —с- т- м^>
дели ZF, то х^уху = х£ 99? [г/] = 90? М С 93? [г/]. В частности,
при 90? = ^ порядок ^эд совпадает с ^£, определенным выше.
4 (а). Список основных теорем статьи приведен в конце
Введения. Краткий анализ таков. Теорема Т\—вариант [11], 4,
отвечает на вопрос о возможных структурах constc^E)Z); T2 —
частный случай [11], 3 (полные доказательства [11] 1, 2, 3 весьма
громоздки и используют привлечение других идей помимо
изложенных; то же касается [11], 7 и [1OJ 1, 2, 4); ГЗ — теорема [10], 3;
74 интересна в связи с вопросом существования определимых
объектов с парадоксальными свойствами; Г5 имеет важные
приложения в исследовании дескриптивных свойств проективных
иерархий (см. [8], [13]) типа редукции и отделимости и является
частным случаем [11], 6.

Статья разбита на три главы, обозначаемые I, II, III; главы —
на параграфы, обозначаемые заглавными русскими буквами;
параграфы — на пункты, обозначаемые строчными русскими буквами
в скобках: (а), (б), (в), ...
Отдельные места доказательств и части определений нумеруются
так: (i), (и), (ш), (iv), ... и A), B), C), ... При ссылках внутри
рассматриваемой главы (параграфа, пункта, подпункта) их номера
опускаются.
В главе I разрабатывается основной технический аппарат статьи
со всеми необходимыми, по мнению автора, подробностями, в главе II
доказывается Т\—Г5, в главе III — Г6. В главах II—III —
изложение сжатое. В конце статьи — список обозначений. Если читатель
не заинтересован в детальном изучении довольно громоздкого
аппарата главы I, то он может начать чтение с главы II,
возвращаясь по мере надобности к главе I.
Основные результаты получены автором в 1973—1974 гг. и
частично опубликованы в [10], [11], [12]. Для чтения существенно
необходимо знакомство с [3], [6], [8] и желательно с [2], [9], [12], [13].
Автор надеется, что статья может служить введением в теорию
определимоети в ZF и анализе с помощью степеней конструктивиости.
Автор благодарен за полезную помощь профессору В. А.
Успенскому и В. Н. Гришину.
(б). Список основных теорем, доказываемых в статье.
Теорема Т\ (ИБ2(г)). Пусть 9W — с. с. т. модель ZFC, ££$)?,
<3)?(=[^ — ч. у. м. & card (/(£)) ^ю]« Тогда найдется 9?— с. с. т.
модель ZFC, такая, что 9ft С 9?, ОпП9Я = ОпГ|9* и Constc^(9}) ^
^(/(Е)П9Й, С).
Теорема Т2 (НГЗ(и)). Пусть Ж как в П, и£<ЗЛПа2, Г^ЗЯ,
X СШ2, 9ft(=F = L[a]. Тогда найдется такая 91-е. с. т. модель ZFC,
что (i) 9)? (Z 9?; (и) кардинальные ряды в 95? и 9? совпадают; (Ш) и
и ®С определимы в 9^ формулами анализа без параметров; (ш) если
b 6 9^ П ш®9 то 9^ f= [b определимо в {х \ card (ТС (х)) ^ со}
формулой ZF с параметрами из a)J.
Теорема ТЗ (ПГ4(а)). Пусть 90?, как в Т\. Тогда найдется с. с. т.
модель 9Z теории ZFC, такая, что (i) 90? С 9?; (И) Q = constc^ (9Z) £ 9Z;
(ш) VaVX[aGSttn*<* &Х63Й М &Х£ / (Q) -> $П |=card (X) < о>];
(io) 9* (= card (Q) > ш.
9

Теорема ТА (НД5(г)). Пусть Ж как в Г1 H<$fl\=V = L. Тогда
найдется 91-с. с. т. модель ZF, такая, что (i) 9J? С 9^; (it) кардиналы
д# и Qfi_совпадают; (Ш) если X = ш^, то Э/ЯЯ[ZCW2&2 деде-
киндово множество (т. е. бесконечно, но не содержит счетных
подмножеств) &/ — функция из Z на X & Z определимо формулой
анализа без параметров] истинно в 91.
Теорема ТЪ (ИВЗ (а)). Пусть <ЗЯ, как в Г4, 6£<ЗЯ, еде (-.^ —
кардинал & с/F) ;> ю]. Тогда найдется 9^-с. с. т. модель ZFG,
такая, что (г) SWC9i; (ti) кардиналы 9)? и 9? совпадают; (ш) 911=
|= [ехр (со) == 6 и Ш2 имеет полное упорядочение ло типу G,
определимое формулой анализа].
Пусть СА, АС — схемы аксиом свертки pi выбора в анализе,
СА* и АС* — их части, не содержащие параметров, СА BJ) и
АС Bг) — части СА и АС, в которых основная формула — формула
класса 2г> EL— элементарный анализ (см. IA2 (а)).
Теорема TQ (ШАЗ(б), ШБЗ (в)). Найдутся такие примеры СА
и АС — Вх и В2 соответственно, что (i) Con (EL -f- AC*-f- AC B1)+
+ ~BJ; (w)Gon(EL + AC* +ACBi)+CA+ ^Д2) (доказуемы в ZF).
Глава I. НОРМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
§ А. Основные определения
1 (а). Определим <Ш2 = U {п2 \ п £ ш}, <шо> = |J {"<o | n G со}. Для
краткости, обозначаем (ть) = {@, п)} ( £ 1ш). Если гг, г; ^ <<оа), то
определяем цу ^ <@со так: dom (ггг;) = dom (^г) + dom (и); если i ^
dom(ii), то uv(i) = u(i); если i^ dom (у), то uv (dom (tt) + 0 = ^ (О-
(б). Пусть 5 —произвольное множество. Определяем i?(S) = ^(@2)r
(^ (?) = ^2, Glos (Е) — совокупность всех замкнутых подмножеств Q A)у
Perf(?) — совокупность всех совершенных (в частности, непустых)
подмножеств Q(l), Goni(l) — совокупность всех непрерывных
функций (н. ф.) из Q (?) в шо) (топология на указанных пространствах
определяется стандартным образом).
(в). Пусть I — как выше. Определяем Т^= {t\t — функция
&dom(OG«)&rng(^)ce X 2}. Если t£Tv a££, i£2, n = dom(t)y
то полагаем t+ai = t\J{(n, (а, г))}. Если 7г^ш, 1СГ^, то полагаем
Х[п]^= {tlt^XStdom(t) = п). Если 2, 5£ 7^, то определяем te
аналогично определению uv в (а).
10

Если при этом К£ш% и Va[a££-> сатв.(К_г {а}) = <о], то
называем К Е-допустимой функцией. Если £ — допустимая .ЙТ явно
фиксирована в контексте, то пишем f* вместо g+*(dom(O)*.
Определяем в этом случае Т\к как наименьшее подмножество 7^,
содержащее 0 и содержащее £** вместе со всякими t£ T\K и i^2.
Очевидно, что Т*^—полное бинарное дерево высоты о) (в смысле
включения). Пусть $#:<Ф2 —> Г^— единственная биекция,
удовлетворяющая условиям: 5^ @) = 0; sk (в <7» = Sz (е)**\
(г). Если S, т] — произвольные множества, #£(?(£), 1С^(?),то
определим ж ft т] = [я | ц при т] С 5; {у \ у £ (? (т\) & г/1Е = х) при 6 С %
^й^П7]^7]^ остальных случаях]; X ft т] = [{ж ft t\ \ x ^ Z} при т] С I;
U {x ft т] | а: £Х} иначе]. Если Е С т] и / — функция из (?(Е)в°а), то
определим / ft т] = {(ж, г/) | х ^ (? (tj) &f(xfti) = y). Ясно, что / G
£Cont (E)-> /ft т] ^GontG|). Если a — произвольно, я£(?(^)> то
полагаем # ft a =={(&, ж(«, &)) | Л; £ a) & (a, A:)G^} (B частности, если
{а} х о) С 6, то х ft a f Ш2; если {/с | (а, к)£Ц = т£а), то ж ft а £ М2).
(д). Если ?, т], как выше, X С <?(£), 7С(?(т]) и имеет место
^ft^U^G^ft^U7]* то пишем IC*F. Ясно, что С* —
отношение порядка.
Для X С <>(&), Х=^=0, /GGont(E), определяем [X 1 = 6, 1/|| = Е.
(е). Для е£<ш2 определим U/e = {x\ e С ж^ш2}. Если 1СШ2,
то положим If (X) == U {е | X С С//в}, Ш (X) = dom (If (X)). Если х,
у£ш2, х=^=у, k = lh({x, г/}), то определим р(ir, i/) = —. Если х = г/,
то полагаем р(ж, г/) = 0. Легко видеть, что р—метрика на <Ю2.
2 (а). Под языком анализа будем понимать язык
арифметики второго порядка с переменными для ша), расширенный
возможностью использовать рекурсивные отношения на Рп к =
= о) X • • • X & X ш<*> X • • • Xм® в качестве атомарных (см. [18]).
п раз fc раз
Переменные и константы типа 0 обозначаем буквами к, I, т,
пу U h типа ! — х> У* z> u> v> w> /» g"-
Пусть EL — «элементарный анализ», т. е. теория в этом языке,
в которую входят:
(i) все аксиомы арифметики (первого порядка) для переменных
и констант типа 0;
(и) полная аксиома индукции: А @) & Vn [А (п) -> А (п -\- 1)] ->►
-> УдгЛ'(д), где Л любая формула языка.
11

(Hi) схема ЧпшпА (га, п) -+ RxVmA (га, х (га)), где А — любая
формула языка, не содержащая кванторов типа 1 и не
содержащая х свободно.
(б). Введем некоторые важные схемы аксиом в указанном языке.
Пусть СА — совокупность аксиом вида \ 771*3.71 А (га, п) ->
-^RxYmA (га, х (га)), где А — любая формула языка, не содержащая
х свободно; АС — совокупность аксиом вида VmRxA (га, х) -»
-> RxYmA (га, (х)т), где А — любая формула языка и (х)т =
= {(к, х Bт Bк 4-1) — 1)) | к £ со}; DC — совокупность аксиом вида
УхЯуА (ж, у) -> УхЯууп [(уH = х к А ((х)п, (х)я+1)], где А — любая
формула языка, не содержащая п свободно.
Если К — какой-нибудь класс формул (например, К=-2и\),
то определяем С А (К) как часть СА, в которую входят те и
только те примеры С А, основная формула которых (А выше) входит
в К. Аналогично для AC, DC.
Пусть С А* — часть СА/в которую входят те и только те
примеры СА, основная формула которых не содержит свободных
переменных кроме тех, которые были указаны явно. Аналогично — для
AC, DC. Всякую формулу в языке анализа можно трактовать как
формулу ZF, проведя очевидную релятивизацию к со и "V Во
многих местах дальше подобная релятивизация подразумевается, но
не всегда указывается.
3(а). Определим Word = {х\ х£ шсо&{(га, п) \хBт . 3w) = 0} —
полное упорядочение некоторого подмножества со}; для х £ Word
пусть \х\ — порядковый тип указанного полного упорядочения. Как
показано в [9], множества Word, {(х, у) | х, у £ Word & |#К
<(— <)М}, {(*> ^ z)\z£Wor& 8tх, y^^kx = F[z](y)
являются множествами класса Щ A). Поэтому формулу Со (х, у) ^ За [а £ сох
&х = Fa (у)] &х, у £ %о можно считать формулой класса^ B)«
Нетрудно доказать, что если х, г/б^со, то х ^Ly = x£L[y]
Со(х,у)C).
(б). Определим еще некоторые объекты. Если х, у £ шсо, то
положим <#, у} = {Bл, х (п)) | п G <о} U {Bп + 1, У (п)) | п £ со}.
Определим следующие формулы:
Eq (х, у) ^ Со (х, у) & Со (у, х); Ls (х, у) ^ Со (х, у) & -Со (у, х);
Sc (х, у) ^ Со (х, у) Sc gzугг [Со (х, z) & Ls (z, у) & [Ls (щ у) & Со (х, и) -+
-+ Со (и, z)]]; Sc (x) ^ Sc (со X {0}, х).
12

§ Б. с ii-исчисление
1(а). Пусть 1° — ч. у. м. с порядком<, § = |ох2, S = §X<*>.
Считаем 1° фиксированным до конца 1Г. Будем обозначать
элементы Е буквами а, Ъ (с индексами или без них), подмножества Е
буквами т], а, р., v, е, <р, ^, ф, элементы и подмножества Е° и | —
соответственно теми же буквами, но со Знаком ° или полужирно.
Для а = (а°, г)£? определим са — (а°, 1—г); для а = (а, п)
£% — са = (са, л); для >j С § и ij С Е c7j = {ca]aG ч},
ст] = {са|а^7]}. Если #£(?(ir|), tjCS, to определим c#£(?(c7])
равенством х (а) = с# (са) для всех а ^ tj. Если X O.Q (tj), to
сХ^{сх\х£Х}.
Введем на § порядок так: (a0, i)<^(b°, /)^а°<&°. Пусть на I
задан порядок<^, причем (i) УаУтУп[&(+ %8ст(*п£о)->(а, w)<^
<(а, »)J; (ii) VaVbVw[a<(b, m)-> ЗАг[/г^щ&а = (Ь, лI\/Г«<
<(&, 0)&a<(cb, 0)&ca<(b, 0)]]; (ш) Va[~ a<ca]& VaVb[V^
[(а, ^г)<(Ь, rc)]->a<bj.
Считаем <^ также фиксированным.
Если а£Е, то полагаем <^ Еа = {6 j 6 ^ Е &6<^а} и т. п.
(б). Определим язык исчисления предикатов с одним
трехместным предикатным символом va (т) = i (предполагается а £ §, т (< со,
££2, а у — особая буква, смысл которой будет ясен в главе II);
символами 0 и 1 для тождественных лжи и истинности; константами
трех сортов — элементами §, со и 2. Отрицание, импликация и
конъюнкция в этом языке будут обозначаться ~|, 3, Д. Пусть V —
совокупность всех предложений языка. Для *21£2 определим
*(<Л)С£ так: s(O) = s(l)=0; s(va(m) = i) = {(ar m)}; *ПЯ) =
Ясно, что 5B1) конечно. Пусть s B1) = {а | Яттг f(a, лг)£50201}«
(в). Для т] С Е, а: ^ (? (ttj), 21G 2» 5 (^1) £ Ч определим
истинность ж |=21 индукцией по построению 21: (£)#)= 1; (jj) а; (=
(= г;а (т) = i, если (а, т) ^ т] ид; (а, га) = £; (иг) переход от
простых предложений к сложным осуществляется обычным способом.
Для 21 £ 2 определим с21 заменой всех а £ s B1) на са на
соответствующих местах.
13

(г). Пусть для всякого а0 £ 1° определено предложение 21 (а0) £ ^»
такое, что (i)Va[a £ s B1 (а0))-* а < (а0, °> 0М-
Рассмотрим следующую совокупность схем аксиом:
ПО: va(m) = i= ~] va(m) = l—i];
Ш: Ш(а°)з[^(ао, i)@) = i];
П2: -| 21 (а0) з 1*<во, о) (*) = * = у(а0, i> (Л) = *].
В схеме ПО предполагается а£§, ттг£а>, г £2; в Ш и П2 —
— а°££°, if ш, j£2.
Легко видеть, что из П2 выводится П20: [г^о, о> (Щ = i&V(ao, i) (Л) =
= 1-*]Э21(а°), аивШ-ПЮ: у(а0, 0 @) = 1 - i D  S2t (а0).
Пусть К — совокупность всех указанных аксиом.
Лемма (д). Пусть у\ £ / (£), о ^ / (?), tq С а, о — т] фундировано,
»6^(Ч) и V2l[216K&sBI)C?)^z|=2l]. Тогда Яг/[^6^(°) &У^
Доказательство. В силу фундированности а — tj найдутся ординал
а и биекция /:аДа-к|, такие, что VC[p^a~>7] (J (/)} (В)^ / 5)].
Пусть для Р<а а^ = т] U (/)}C). Ясно, что ао = т], аа = а.
Индукцией по р ^ а построим систему {^ | Р ^а} так, что
*эе<?Ы «о = ^ VPVT[T6P<a-^ = ^U^ VpV2I[p<a
&21еК&*B1)Со3-а:э|=ЭД.
Полагаем жо = о:. Для предельных C берем #р= (J {жт|тбР}'
Ясно, что при такОхМ построении (для предельного шага) все
свойства имеют место. Рассмотрим переход [3->|3-}-1. Пусть х^
построено, /(р) = а = (а, п), а = (а°, i), ^ = о^. Тогда очевидно, что
а минимально в a — [л и s (ЭД (а0)) С [х.
Имеют место следующие случаи:
Случай 1. яэ|=2l(a0).
Случай 1. 1. тг]>0. Тогда полагаем #p+i = #pU {(a> 0)}-
Ясно, что если 21 £ К и 5 B1) С ар+1, то либо 5 B1) С [х (и тогда
^+if=2l в силу жэ(=21); а если $B1)<£>, то либо 21 частный
случай ПО. (и тогда ^з+1 (=21 очевидно), либо 21 частный случай П2
(и тогда #э+1{=21 в силу Жр|=21(а0)).
Во всех случаях #s+1 искомое.
Случай 1. 2. п = 0. Тогда полагаем Sp+i = SpU {(a» 0)-
Опять имеем: если 21 £к> «B1)Саэ+1, 5B1)^^» то либ°
216П0 (и все ясно), либо 21 £111 и тогда #р[=21 по построению,
либо 21£П2 и тогда #8+1(=21 в силу х^\=91(а0).
14

Случай 1 разобран»
Случай 2. #pf= ~|51(а°). Тогда при са^р полагаем #p+i =
= #{з U {(а, У)}, где / = ^(са), а при са^ц х^ = х^ U {(<*> 0)}-
Как и в случае 1, разбором вариантов легко доказать, что
Хр+1 искомое.
Итак, {#р|Р^а} построено. Тогда у = ха, очевидно, искомое.
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть ?] £/(£), x£Q{y\) и V51[51£K&sE1)Ct] ->
-* ж Н ЭД. Тогда Яу [у £ £ (S) & V21 [21 £ К -* у |= ЗД] (усиление (д)).
Доказательство. Достаточно доказать, что А = {51151 £ 2 &
#(=21} не противоречит К. В свою очередь достаточно доказать,
что К' U А непротиворечиво для всякого конечного К'СК.
В силу же (д) достаточно считать, что VaV/?&[(a, 0)£т|-*>
->(а, т)£7\8с(сь, т)£г\\. Тогда 4 = 4 X «>, Ч = 4° X 2 для
некоторых 7]°се°, ЧС§. Пусть К' = {^|^л}, ^=и{*B1*)|*еяЬ
{t = {а | Я/гг [(a, m) g ц]}, j4° = {а01 Э.1 [(а°, t) f jt]}. *B силу конечности
К' [х° конечно.
Положим gj = |x° U 4°; если a0G?? и 5 E1 (а0)) С 1Х (^ = §х X ©,
|1 = ?1°Х2), то полагаем 51Х (а0) = 1 (а0), в противном случае
полагаем ^(a^ssl.
Введем на EJ, §х, ?х порядки, индуцированные из S0, 5, 6. Ясно,
что (а) (t, и, iii) имеют место для 8, §г ^. Также ясно, что если
л°6 6ь *€*C21i(*°)), то a<(a°, 0, 0).
Пусть ^ — теория, построенная из 6J, §х ?х и {QIi (a0) | a0 g 6X},
как в (г).
Заметим, что если а0 £7]°, то 5 E1 (а0)) С т|, и поэтому 5i(#°) =
= 51! (а0). Это значит, что V5t[5l£ K1&5E1) С т|^а:{==51] A).
Пусть теперь 51£К#. Покажем, что 51ЕКГ В самом деле,
если 51 частный случай ПО, то все ясно. Если же 51 частный случай
П1 или П2, то фигурирующее там а0 таково, что а°£|х0 и
sEt(a°))C£r Отсюда имеем 5lx (a0) = 51 (а°) и 51бКг
Заметим далее, что ix —1\ фундировано (это легко следует
из конечности [х° и (а) (it)). Значит, применяя A) и (д), получим:
некоторое y^Qi^x), таково, что х = у{\г\ и V51 [5t£Кг->у(= 51].
Это значит, что A (J Кх непротиворечиво, а в силу доказанного
К' С Кх имеем: A (J К' непротиворечиво.
15

Теорема доказана.
2 (а). Пусть заданы следующие объекты:
W°, F°y Х°, v°, л°, В0, С0, причем:
(г) ро _ функция, dom (F°) = W° и если w£W°, f = F° (ы>),гто
/ £ Cont (т]° X 2 X <*>) Для некоторого не более чем счетного
непустого 7]°СЕ°, которое обозначаем символом ri°(w); mg(f)O.a2.
(И) Х°— функция из W0 X «> в £°, Х°—биекция и если м^ТУ0,
a°^Tf(w) и mf(D, то а0 < Х° (w, т); £°ПСг°=0, *S0UC° =
= E°-mg(X°).
(ш) v° — функция, dom (v°) = W° X <*> и если w£W° и ттг^шг
то v°(h;, m) С т^°(гг;) и v°(m;, m) конечно; гг° — функция из W X «> в ш.
(ш) Если h;£PF0 и ттг^^^ш, то vo(iz;, m)Cv°(^, тг) и Аг°(м;, ттг)^
О0 К /г).
(у) Если шбИ^°, рбшбш, а;6^F), >б'^F), / = ^°И и для
всяких а°£>°(и;, m), г £2 и &£/г°(м;, /гг) имеет место х(а) = у(а),
где а = (а°у i, к), то f (х) (р) = f (у) (р).
(vi) Если u;^^0, /7i G«>» ^G2, а° = Х°(ш, т), b°£v°(w$[m),
к£п° (w, т\ то F°, I, ЛХ(а°, 0, 0).
Фиксируем эти объекты до конца 1Г и обозначим х = (^, W°9
F°, X°, v°, п°, 5°, С0). Пусть Л°(е, х)— конъюнкция ;i (a) (i — ш),
2(a)(i —щ) и card(E)<<D.
(б). Заметим, что если W°, F0, Х° удовлетворяют (а) (г, и) и
дополнительно VaVbVw[a, bf ^&a<^b &m.^co-> (a, m)<^(b, 0)],
то найдутся v° и п°, такие, что будет иметь место (ш), (iv), (и),
(vi) (это легко следует из непрерывности всех F°(w)) A).
Определим Qo= {x\x^Q(^) и если ао££0, а = (а°, 0), а = (а, 0),
M?GTF0, wG«>, f = F°(w), y]=^yf(w)X2x^ то [при а°^5° или
а° = Х°(м;, /гг)&/(а:^1Г])G7г) = О имеет место ж(а) = 0&а;(са) = 1] и
[при а0 £ С0 или а0 = Х° (ц?, т) & / (ж ^ т|) (w) = 1 имеет место ж ft a =
= #ftca]}.
Для изучения этого множества определим ^(а0) следующим
образом.
в). Пусть w£W°, f = F°(w), 7]0 = т]0(ш), Ч = 7]°х2, wGco,
v° = v°(w;, m), v = v0x2, n = n°(w, m), s = "Xn2, u£s, a^v, й£л.
Определим Ql«.^ fe G2 так: ^;S fc^ya(fc) =Z' r^e l~u(a> *)•
Определим далее $ttt w = Д {2Й;»ЭЛ|а£ v&A^ л}. Для iG^ поло-
16

жим: Pi = {u\u£s&4x[x£Q{y>Xu)&[x\=^m}^f(x){rn) = i]}-
Из определения v и (а) (у) ясно, что Pon^i=0, ^0U^i = 5«
Определим ЭД. - = V {5t, т \ и £ Р.}.
Ясно, что имеет место VW#[^^(tjX^)-^ [[#|= ^t' w]=
= Г/(«) (те) = ои A).
Определим для а0 £ S0 51 (а0) = 1, для а° £ С0 51 (а0) = 0, для
a° = X<V, т) 5l(a°) = 5iJm.
Легко видеть, что в силу (a) (vi) 1 (г) (i) имеет место при таком
определении.
Пусть К (х)— теория, определенная, как в 1 (г).
Определим для всякого т\ £ / (?) Q* (у\) = [х \ х ^ Q (tq) & V2I [*2l G
6 К (х) & 5 E1) С т]-> ж |=QI]}. Тогда из теоремы 1 имеем:
Теорема 2. Bх Gl) = QK (^) ft ^ Для всякого т\ ^ / (I).
В самом деле, если x^Qx (!•), то гс ^ т] ^ (^х С7]) очевидно.
Обратное же включение следует из теоремы 1.
Лемма (д). <?0 = #*F).
Доказательство легко следует из определения Olj; w.
Подробности оставляются читателю.
Лемма (е). QQ=^=0.
Доказательство. В силу (д) достаточно показать, что (?*(!) =7^ 0»
Пусть т] = 0, д:=0^BG])- Ясно, что ^G^?xGl) (B силу т]=0).
Применяя теорему 2, легко имеем искомое.
3 (а). Пусть а°е?°, а = (а°, 0), т] £/(?), ^^40, a?G^x(tj).
Определим х /I а = са, если 5 E1 (а0)) С i\ и ж (= ~] 51 (^°).
Определим в тех же условиях хЦъ^са, если s E1 (а0)) С tj и
а: (=51 (а0).
Для X С ^х(т|) определим X Ц а = са, если V#[;r g Х-^ х // а = са],
аналогично X // а ^= са; X || а ^= X // а = са\/ X // а ^= са. Определим
хЦа = са, если а = (а, га) и ж//а = са и т. п.
Легко видеть, что если а = (а, 0)££, ^] G -^ (S)» ^б7! или са^т),
a:f ^x(tj), то хЦа = са или хЦа^са A) (применяя l(r)(i)).
Также ясно, что если # £(?*(£) и #//а = са, то ж^а = о:^са B),
а если ^//а^са, то ^ (а, 0)=^=^(са, 0) C).
Лемма (б). Пусть p,v £/(£), ^G^?7^^)» 2/G^?x(v)» ег=р-Пу>
ж^е = г/^е = 2, Уа[а£р — v&ca^v — \ъ-*> z Ц а=£са\/ х(а) =
= г/ (са)]. Тогда и = ж U г/ G Q* (p- U v)«
17

Доказательство. Пусть 51 £ К (х), s E1) С kj = [х (J v. Нужно
доказать и|=51. Если sEl)CfJi или sBl)Cv, то все очевидно.
Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда s E1) С т], но
— [5 E1) С р* V s B1) £ v]« Это значит, что 21 — аксиома типа П2
(в силу 1(г)@).
Пусть 51 = ~151 (a0) d tv. о) (й) =*= »{*. D (*) = *L a = (а0, 0),
а = (а, &). Опять в силу 1 (г) (i) и предположения относительно
5E1) имеем: a£jx — v, ca(+v — ^ (или наоборот). В обоих случаях
в силу l(r)(i): s E1) (а0)) Се, откуда zt=5l(a°) или z^"\SH(a°).
Если z[=5l(a0), то й(=01 тривиально. Поэтому пусть z(=
(= 121 (a°), т. е. я//а = са. Но тогда х(а) = у(са) по условию,
т. е. гг (= [уа (/с) = i = уса (&) = £], что и требовалось.
Лемма доказана.
Лелша (в). Пусть w;£PF0, f = F°(w), w£a>, а° = Х°(м;, w),
7]° = y]0(^), 71 = 71°x2Xco, a = (a°, 0). Тогда
(i) Yx[x£(?*(I)->[/(sft7])(m) = l^a://a = ca^xfta = rcftca]&
&[/(a:ft7])(m) = 0 = ^//a=7^ca = ^(a, 0) = 0&(ca, 0) = l]];
(и) VX [X С ^x (£)-> [Var [ж G X-> / (ж ft 7]) (m) = 1]=X // a = ca=
= V^[^GZ^^fta = ^ftca]]&[V^[^e^->/(^u7l)H = °J = ^//
//a^ca = V^[^eX-^o:(a, 0) = 0&a:(ca, 0) = l]]J.
Доказательство легко следует из определений (а) и 2(д).
Заметим, что если £°=0, то х = @, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
очевидным образом-удовлетворяет Л°(?, х) и тогда Qx(l)=:0.
§ В. х-нормальные множества
Напомним, что Е и х с условием 40C, х) фиксированы до
конца 1Г.
1. Определим для ^G^(^) такие формулы:
Шт)х (X) ^X£Clos (y|) 8с X ^ 0 &Х С <?х (т|).
7У27|х(Х)^еслиаб1, {а} X coCij, а = (а, 0), е = <Еа, a:G^ftst
то (X П (ж ft 7])) ft a — совершенное множество.
7V2V (X) ^ если а £ S, л G «>» е G » {а}Х»Ст|, е = <5 (а, 0)
то {y\y(:Xi\£&.Vx[x(:X&:y = xfte->eg!:xfta]} замкнуто в X ft e'
7V3t]x (X) ^ если p., v£/(E), ar^^d)» ^ftP'G^UP'H^ftvGZftv,
то a:ft^UvG^ft[AUv-
Nor x^ (X) ^ iVlTjx (X) & 7V2t]x (X) & tf 2'ipc (Z) & iV37|x (X).
18

NorxG])-{X|Norx^(X)}.
Лемма (а). <?*(£) 6 Nor x(g).
Доказательство. Пусть X = (?x(E). Тогда MEx(X) очевидно
(Х=^=0 из Б2(е)). N31* (X) легко следует из определения.
Рассмотрим N21*. Пусть а = (а°, г), а, е, ж —как в условии
iV2Ex. Тогда, используя Б1 (д), легко показать, что при хЦа=:са
(X П (*ftE))fta=£//0 и при х\\афса (X П (zft E))fta = C//<Y>.
В обоих случаях искомое очевидно. А х || а следует из Б1(г)(£).
Аналогично доказывается и N2llx{X).
Лемма доказана.
Лемма (б). Если т) £ / (Е), X £ Nor х (Е), то X ft ч G Nor x (т|).
Доказательство тривиально.
Лемма (в). Пусть |х, v, a:, i/, как в Б3(б), и дополнительно
XGNorx(£), x£X{\p, y£X{\v. Тогда x(Jy£X{\p[J v.
Доказательство. По БЗ (б) л; (J г/ ^ (?х (р, |J v). Значит, по Б2,
некоторое z£(?xF), таково, что o;r=zft{x, z/ = zftv. После этого
тривиально применяем iV3£x(X).
Следствие (г). Если jj., v, х, у, X, таковы, что x^XftjA, i/^Xftv
X G Nor x (S), p., v ^ / (S), ^ftp-rivr^z/ft^nv и Va[aG[A&caGv->
-> a f v V ca f (x], то ^U^/G^UP-U7.
Доказательство тривиально следует из (в).
Следствие (д). Если X £ Nor х (Б), (х, v g / (E), ^^Xftjx, y^Xftv,
xcft[xriv = ?/ft[xnv и р. = qi, то ^U2/6^ft[AUv-
Тривиальное следствие (г).
2. Лемма (а). Пусть а = (а, m)G5, ^£^?х(^)» a = <Ea, ox =
= a(Jca, е = <^Е(а, 0). Тогда следующие три предложения
эквивалентны: (i) Vx[x ^ X ft s -*• (^ П (ж ft E)) ft а совершенное множество];
(«) Ул:[ж ^ X ft a-> (X П (^ ft ?)) ft а совершенное множество; (ш) Vx [ж ^
^ X ft ох -> (X П (^ ft £)) ft а совершенное].
Доказательство. Из Bl(a)(jj) ясно, что o = s(J({a}X^),
(^ = 6 U ({а, са} X ^), после чего доказательство тривиально.
Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть т]£ /(Е), Х£ Nor x(g), FGNorxG]), 7CXft7|,
Z = Xn(rftE). Тогда ZGNorx(E).
Доказательство. iVlEx(Z) очевидно. Докажем 7V2Ex (Z). Пусть
a —(a0, i)gg, a = (a, 0), e = <Ea, #£Z, z/=a;fts. Обозначим
19

s = U {n + 11 (a, n) £ t|}, cs=\j{n+l\ (ca, rc) £ r\}. Имеют место
случаи:
Случай 1. s < о> & cs < «>. Пусть т = s + cs -f- 1, ах = е U
U({a, ca} X т), у1 = х{\о1. Тогда из Б1(а)(й) имеем ох £/($), a
из (а) достаточно доказать, что (Z f| {у1 ft I)) ft а совершенное. Но
очевидно из 1 (д), что если S = s (J ({а, са} X <»), ср = ttj П 8, то Zft8 =
= (*n(Fft<pftE))ft8; отсюда (Z П Q/xft 6» ft а = (Х П (fcft 6» fta
совершенное из (а).
Случай 2. 5 = со. Тогда а = § (J ({a} X а)) Е ^ и очевидно, что
(Zn@fHMa = (Fn(y<hMa.
Осталось, таким образом; 5<^а)&с5 = о) A).
Случай 3. г///а=т^са&A). Пусть /?г = 5, а = е |J ({a} X ^),
г/1 = о;^а(£ У^о), |х = s (J ({a} X «>). Тогда из Б1 (а) (и) будет
aG^((JL)> Iх G^^)» а из определения 7/г — а = р, П ^. Ясно, что если
Ь= (Ь, тг)£ [х — т] и с&(йт] — [л, то Ь = а B). Отсюда, используя
у // а =7^= са и 1 (в), нетрудно показать, что (Z fl (*/i й ^)) й Iх =
= (Х Г\ (Ui i\ ?)) й Iх- В самом деле, включение слева направо
очевидно. Пусть xr£X, xf{\a = y1, xfft\b = u. Учитывая а С т\ и
У\G -^йа> найдется z£ F, такое, что z§Q-=yx. Применяя 1 (в) к z,
щ т], {г, X и учитывая FClf[T|, B), у//а = са, имеем: zlJ^G
G -X" ft Iх U 71> откуда в силу z ^ У очевидно и ^ Z fI jjl, что и
требовалось. Далее — как в случае 1.
Случай 4. г///а = са&A). Тогда из Б3(в) легко получить
(Z П (У it Е)) ^ а = (Z П (У i\ £)) й са» а так как из Б1 (а) (и) следует
е = <^£са, и С5=^со, то мы имеем ситуацию случая 2.
Это завершает доказательство 7V2£x(Z). Аналогичными
рассуждениями доказывается и N2f& (Z). Подробности оставляются
читателю.
Осталось, таким образом, 7V3Ex(Z). Пусть p., v£/(E), ^G<?x(^)>
^r^[x^Z^[x, rcf^v^Z^v. Обозначим cp = jx |J {ca|a^p.&^f|k[x//a =
= ca}, ф== v U {ca\a(< v &ж^ v// a = ca}. Очевидно ср, ф^/E).
В силу x^Qx(l) и определений ср, ф ясно, что «j^<p^Z^cp, ^^ф^
f Z/^ф. Поэтому достаточно считать <?==[*, ^ = v. Пусть a = p-|Jv,
X = P-nv, Х* = ХП-»1, Z* = Z — Ч и аналогично [Л {х¥, v*1, v#, a*, a^.
В сиду Л^Зт]х(У) легко получить x{\o*£Y ft о*. Значит, для
некоторого г/£^ будет иметь место #fta* = z/fta* = &. С другой
стороны, в силу У С X ft т] и /V3E* (X) имеем z = £fta£XftaHZ/£Xft7].
20

Покажем, что к z, у, а, т], X применимо 1 (в). В самом деле, если
а = (а, т)£о — ц и са^т^ — а, е = <£(а, 0), то еСаП^, т. е.
еСа*. Пусть иЦа = са. Заметим, что в силу #£?] будет a£\i
или а £ v. Не ограничивая общности, можно считать а £ [х. В силу же
иЦа = са и ср = р, будет x^\\j, Ц а = са и са£[л, что противоречит
са£т]— а. Итак, и Ц а = са привело к противоречию. Значит,
и /I а=у£= са. Таким образом, если а^о — tj иса£т] — а, то и^а^= са.
Значит, 1 (в) применимо, т. е. у (J z£X{\-r\ \J о, откуда z£Z{\of
что и требовалось. Теорема доказана.
Следствие (в). Если tj £ / (£), X £ Nor х (£), то (?х (Е) П (-У Л ^ Л £) G
£ Nor х (S).
Легко получается из В2, 1 (а), 1 (б).
Лемма (г). Если X, 7£Norx(£), p., vg/(S), Х^р.= У^[1. и
Доказательство. Пусть л:£Х, у = xf\ \ь \J v. Покажем y£Y{\
fl'jjL U v. В самом деле, #£(?*(£) (так как # £ ^ CI <?* (^))> ^ft^G
£ Y ft р< (так как a:ft[x£Xft[x=Fft[x по условию), я ft v £ F ft v
(по аналогичным соображениям). Применяя 7V3£x(F), отсюда имеем
^ft[xUvG^ft[xUv> что и требовалось. Лемма доказана.
Лемма (д). Пусть X g Nor x (g), а == (а, 0) £ £, е = <b, U С Ш2 —
открыто-замкнуто. Тогда {г/1 г/ £ X ft е & Уж [х£Х&х{\е = у->х{\
ft а С С/]} замкауто в Xfte.
Доказательство. В силу компактности "^ для некоторого
конечного Е С <Ш2 имеет место С/=П{Ш2 — U/e\e(*E}. Но для
множеств U вида Ш2 — U/e лемма фактически является утверждением
N2r&(X). Дальнейшее доказательство очевидно.
3(а). Введем некоторые обозначения. Для т\ С Е пусть ср°(т]) =
= {6|fe^?&Va[aG7|^^6^a]}, для ЧС§ т°(Ч) = (р0(Ч X <о).
ДляХ, FG Nor х(^) пусть срО(Х, У)= U{^1 h6 /(^)&Xft tj = Fft tj}.
Тогда из 2 (г) и замкнутости X, Y легко следует Xftcp°(X, Y) =
= FftcpO(X, F) A).
Пусть x£X£ Nor x(S), a = (a, 0)£5, 6 = (а, /г), е = <^|а.
Определим ех(а, ж) = //рпИеЛ^Ма)> ^х(а, ^) = dom(ez(a, #)),
a(X, ж) = (а, лх(а, «)), ^(b, x) = [^°({b}) приж//а^=са; cpO({6, c&})
при ж//а = са], ?i(a, ж) = ср1(а(Х, ж), х).
Легко видеть, что есди х, у£Х и a;fte = i/fte, то е*(а, ж) =
= ех(а, ») и т. д. B).
21

Определим X ||| а^Х || а&УяУг/[я, г/£Х->а(Х, х) = а(Х,у)].
Если Х|||а, тг£а>, b = (а, л), то пусть а(Х)^а(Х, ж), <piF) =
= ср1 (Ь, ж) и <?х (а) = cpi (а, х) для произвольного ж £ X (в силу а; ||| a
зависимости от выбора х нет).
Положим J° (I) == {cp° (tj) | т| С S & card (tj) < ш} (С / (Е)).
Для X С (?х (S), а £ §, i £ 2 определим X (-► a, i) = {ж | х £ X &
&#(а(Х, x)) = i).
Лемма (б). Пусть X^Norx(?), a = (a, 0)^S, if 2, е=<^Еа,
У = Х(-а, 0. *£Y, y = xf\sy u = (Xn(yftl))ha, e = It(U),
n = dom (e), cp £ J (I), s С <p, 5 = U {w + 11 (a, m) £ <p}, C5 =
= U {m + 1 I (c^j m) 6 т} (возможно 5 = 0, 5 = o) и аналогично cs),
0 = <^?(a, s), s1 = maLx(s, cs), o1 = <^5(a, 5X) (при s = <o o^
^^ U{<€^(a» k)\k£v>} (=s|J({a} X®)) и аналогично аг). Тогда
(i)y//a^cfl&ii>«^(Zn(»ftE))^T = (yn(y1>S))fy?;
(ш) уЦа^са&п<8-*ХП(х{\оЦЬ) = ГП(хЪоЦ1);
(iu) y//a = ca&7i<51->Zn(a?1>o1^E) = yn(a:ftclfyg).
Доказательство. Заметим, что a = e|J({a} X ^), ах = е(J({а} Х^),
Xffe = Fffе. Также очевидно, что Yz[z£X8cz{\e = y —>[z£Y =
= z(a, n) = i]](l).
(i). Пусть и ^ (Xfl (y it 5)) YV f. Это значит, что &£Xffcp игг^е = г/.
Пусть v = <£(a, n + 1) (=eU({a}X(» + l))), ^ = ^v. Тогда
в силу г///ат^= са к v, ср, ш, и применимо 1 (г), т. е. u\Jw(<Xft <pUv*
Теперь в силу A) и (a, n)£v легко заметить, что &|Jm>£: Y ftfUv»
т. е. a^yftcp, что и требовалось.
(и). Полагаем v = e (J ({а, са} X (^ + 1)) и действуем аналогично (£).
1 (г) применимо в силу v = cv.
(ui). Пусть u£Xf)(xi\ai\%). т. е. u£Xiiui\a = xi\o. Но в силу
n<^s будет (а, п)£о. Отсюда учитывая A) легко имеем искомое.
(iv). В силу у//а = са достаточно предполагать s^cs, т. е.
^х = 5, o1=zo — приходим к случаю (iii). Лемма доказана.
Лемма (в). Пусть X, а, а, е, ср, как в (б), Х|||а, 6 = а(Х),
У = Х(-*а, 0), Z = X(->a, 1). Тогда
(О X//a^=ca&b^cf^XftcP = yftcP = ZftcP;
(й) X//a = ca&&^c?Uccp^Xftcp = yft(P = Zftcp;
(Ш) X//a^=ca&b6<P-^l'UcpnZftcp = 0;
(w) X//a = ca&b6?Uc<p-^yft?n2ftcp = 0.
22

Доказательство (i) и (П) получается из соответствующих
пунктов предыдущей леммы «интегрированием по у» с учетом X \\\ аг
а доказательство (Hi) и (iu) получается из (б) (Hi) и (iu) с
использованием такого замечания: VxVi [х£Х 8li£2->[z£X (-> a, i) =:
= #(Ь) = г]]. Подробности оставляются читателю.
Лемма (г). Пусть X, 7£ Nor*F), a^S, *£2, U = X(-»a, i),
F = 7(-*a, О, ТС/®, *ft<P = Fft<p.
Тогда [7ftcp = Fftcp.
Доказательство. Если a = (a, 0)(£<p, ca^cp, то по (б) (г, w)
^ftcp = Xftcp = 7ftcp=z=:Fftcp A). Поэтому считаем а £ cp \/ ca £ cp.
Тогда e=<^?aCcp и С/^е = Х^е = 7^е = 7^е. Пусть Xfte =
— W. Достаточно показать Vu[u(<W -> (Uf\(u{\ l)){\ cp = (Ffl
П(^1^^))^ср]. Пусть w^W, 5, C5, 5l7 a, Oj определены, как в (б),
^//РТКвЛ&М*). еа = //((ГП(и^6))йа), n^domCe,), n2 =
= dom (е2). В силу X f^ cp = Y ft cp заметим, что [и \\ а =^= са & ?гх <^ ^ -^
->7г1 = я2] B) и [иЦa = c8i8in1<C.s1-> п± = п2] C). Имеем случаи:
Случай 1. иЦa^ca&n-L^s. Тогда из A) n2^s и по (б) (г)
Случай 2. и Ц a^cafkn-L^ s± аналогично из (б) (ii).
Случай 3. и I/ a^caScn-L^s. Тогда п±=:п2 из B). Пусть
^ = ^ = ^2, b = (a, n). Тогда согласно замечанию A) из (б) имеем
Vx\x£X&x{\e = u->[xAU = x(b) = i]]8iVx[xAY &x ft e = u->
"^[^G V=z(b) = i]] D). В силу n±<^s будет &£?• Вместе с Xftcp =
=Y ft cp и D) это обстоятельство дает (С/ П (и ft ^)) ft cp = (F fl (и ft £)) ft ?•
Случай 4. и I/ a = caScn1<^s1 аналогично.
Все случаи разобраны, лемма доказана.
Лемма (д). Пусть X, Г, ср,^а, как в (г) и дополнительно: X ||| а,
71|| а, [U /} = 2, £/ = *(-> аГг)> F = 7(->a, /). Тогда (i) ,если
Х//а=^=са&а(Х)^ср, то C/ftcp^Fftcp; (й) если Х//а = са&а(Х)$
<р U ССР» то С7 ft cp = F ft cp; (Hi) если a (Z) £ cp, то £7 ft cp f| F ft cp = 0.
Доказательство. Заметим, что а (X) £ cp -> a (X) = a G) B).
(i). В силу а(Х)^ср (откуда и из B) а(У)(£<р), ХЦа^са п
(в) (i, и) имеем: f/ftcp = Zftcpr=7ftcp = Fftcp A).
(и). Аналогично.
(Hi). В силу а(Х)£ср имеем аG) = а(Х) (по B)). Пусть
V±=Y (-*>*, i). Тогда по (г) f/ftcp = F1ftcp, а по (в) (ш, iu)
Fftcpf|F1ftcp=r:0, откуда имеем искомое.
2а

Лемма доказана.
4. Лемма (а). Пусть а = (а, 0) £ £, Ь = (Ь, 0)£S, е = <£а,
7| = <|6, XGNorx(g), *£2, F = Z(^a, i), x^Yifq. Тогда (*)
если Н{а, са}, то (Zfl(«ft E)) ft b = (m(*ft £)) ft Ь; (й) если b^
№ *a}, /62, то7(^Ь, /) = УП*(->Ь, /) = *(-> b, /)(->a, i)
(т. e. (-> a, i) и (-> b, ;) коммутируют); (Hi) (yn(^ft^))ftb —
совершенное множество.
Доказательство, Рассмотрим (г). Пусть сперва а^7]&са^т|.
Положим ср = e|J^U({b} X <*>)♦ Тогда в обозначениях 3 (б) очевидно
s = cs = 0, т. е. по 3F) (г, и) имеем (ZfKyft £)) ft T = (Fn(j/ft £)) ft ?
для любого 2/G^fte- В силу очевидного Zfte = Ffts отсюда
следует Zftcp = Fftcp, а так как tj(J({b} X а>) С ср, то легко имеем
искомое.
Пусть теперь a^y\\J ca^f\. Тогда очевидно sCtj, Полагаем
<pr=Y]|J({b} X со). В силу Ь(£{а, са} и Б1 (а) (и) имеем Уд [(а, тг)^
^ср^(са, гг)^?]> т- е- s = cs A) в обозначениях 3 (б). Пусть U, е,
п, а, ах, определены, как в 3 (б), для г/ = х ft е (в силу е (ZyiO.®
будет z/G^ft6)-
Случай 1. п^s(=cs). Тогда по 3F) (i, ii) имеем (Xf)
(У{\%)){\У = (¥Г\(У{\%)){\<?, откуда в силу е С г\ и {Ь} X <о С ср
имеем искомое.
Случай 2. n<^s (=cs). Тогда по 3F) (ш, iv) имеем Xf]
f|(zftE) = Fn(zft^) для всякого z^Ffta (так как 0 = 0! из A)).
Но очевидно а С т\ (так как Ь=^=а, Ь^^а), откуда Xf)(x ft ?) =
= Fn(^ft^)> что легко дает искомое.
Все "случаи разобраны, (i) доказано.
Докажем (и). Из определения -> имеем:
xt£X^[x'GY = xlftb£USQi((Xn(x'tis№1t*)<t>)\ BY>
х>£Х->[х'£Х(^Ъ, /) = «/^b6^/(H((Xn(«'U4ft
й^))йЬ)</»] C);
х>£У^[х'£Г(-+Ъ, j)=sx4tbGU/(U((Yn(x4fn1t
ftS))fyb)</»]D).
Но в силу уже доказанного (i) из D) имеем:
xi£Y^[x>£Y(-+b, j) = x' ЦЪеи /AЩХП(х'Ъ-цЦ
Соединяя это с B) и C), легко получаем Y (-> Ъ, /) = Y f\
С\Х(^Ъ, /), т. е. Х(-*а, i)(-*b, /) = Х(-*а, i)C\X(-*b, j).
24

В силу очевидного равноправия а и Ь имеем аналогично
Х(->Ь, /')(-»a, i) —X(->b, j)f]X(-^a, i), что и доказывает (и)).
Докажем (iii). В силу (i) и N2&(X) достаточно считать Ь = са
(случай Ь = а вовсе тривиален). Ясно, что е = т] (по Б1 (a) (i—iii)).
Если ж//а = са, то легко видеть из БЗ (в) (i), что (У П(# ft ?))ff b =
= (УП(ж^Е))^а, т. е. приходим к случаю Ь=а. Если же х\\ъ=^
=£=са, то, полагая в 3F) у = х и cp=e(J({b} X со), легко получаем
искомое из 3 (б) (i) и у//а = са (ясно, что 5 = 0). (iii) доказано,
лемма доказана.
Лемма (б). Если X£Norx(£), а££, г£2, то У = Х(-*а, i)£
GNorx(E).
Доказательство. Пусть е = <^?(а, 0). Докажем сперва
замкнутость У. Определим для этого t = {(xfte, еж(а, ж))|ж£Х}. Из
3 (а) B) ясно, что т — функция из If[e в<иJ. Далее, из
замкнутости X и 2 (д) нетрудно доказать, что т непрерывна (на <<02
дискретная топология). Значит, в силу компактности X ft г E = rng(i)
конечно. Пусть Е = [ek \к£т). Для всякого к£т пусть пк=.
= dom(efc), ak = (a, nk), Uk^=z_1{ek}. Тогда из непрерывности т
и конечности Е имеем: {U%\k£m}—совокупность попарно
дизъюнктных открыто-замкнутых подмножеств Xfte A).
С другой стороны, очевидно Y = \J{Yk\k£m) B), где УЛ =
= {х \х£Х Scxfte g UkScx(ak) = i), откуда и из A) замкнутость У
очевидна. Это доказывает /VIE* (У). 7У2£х(У) легко следует из (a) (Hi).
Рассмотрим N2'h(Y). Пусть е£п2, п£<о, 6 = (Ь, 0)^S, 4 =
= <Sb, £7={»|yGyfte&Va:[a:Gy&a;fte = y-^e2a;ftbJ}.
Разберем сперва случай b = а. Тогда е = т] и из B) следует, что
U=\J{Vk\k£m), где Vk = {y\y£Uk8cVx[x£X8cx(ak) = i&xft
fte==y-*eQ£xfta]}. Но очевидно, что Vk={y\y£Uk8cУх[х£
£X&Lxfts = y-+xftb£Wk]}, где ^ = {а|цеш2&[а(дЛ) = ^^
-^>еЯ=и]} открыто-замкнуто в Ш2. Значит, всякое Vk замкнуто
по 2 (д), т. е. U замкнуто, что и требовалось.
Пусть теперь Ь^а&Ьт^са. Тогда из (а) (и) очевидно U =
= {2/I^G Yfts &У%[х(:ХScxfte = y->e ^xftb]}, откуда в силу
N2'lx.(X) и уже доказанной замкнутости У имеем искомое.
Наконец, пусть b = са. Обозначим S0={y\y£ Y fts&y//a^^a},
S1—{y\y£ Yfte&cyIIа = са). Тогда легко доказать, что U =
25

= {y\y£S0&Vx[x£X&x1\e = y-+e£xfib]}[J(Sln(\J{Vk\k£m})),
что, как и выше, дает искомое. Таким образом, ДО2'Ьс(У) доказано.
Осталось N3l*(Y).
Пусть x£Q*(t)9 (t, vС /F), ? = р1К zft^Yftn, zftv^Fftv.
Тогда в силу X £ Nor х (£) будет х ft cp £ X ft ср.
Далее, если а = (а, O)(£cp|Jc<p, то совершенно аналогично
первому абзацу доказательства (а) мы получим X ft cp = Y ft <р, откуда
искомое тривиально. Поэтому считаем #£cp(Jccp. Тогда е С ср и
полагая z/ = #fte, мы можем применять 3F).
Пусть (в обозначениях 3 (б)) имеет место (£). Тогда получаем
<Xn(^ft£))ft? = (rn(*/ft£))ft<p, откуда в силу y = xfte легко
имеем искомое. Случай 3 (б) (и) аналогичен.
Пусть имеет место 3 (б) (ш). Тогда очевидно aCly и Xf)(z{\l) =
= F П (z ft Е), где 2 == о: ft о, откуда в силу z = x ft а, как и выше,
имеем искомое. 3 (б) (iv) аналогично.
Все случаи разобраны, N3ix(Y) и лемма доказаны.
(в). Для всяких Х£ Norx(S) и t£T$ определяем X(=>t)
индукцией по dom (t) так: X (=><р)=Х, X (=>^) = X (=>t) (-> а, 0- Тогда из
(б) имеем X(:=>£)£ Nor х(Е) при любых X£Norx(|), t(*T$.
Лемма (г). Пусть X, F^Norx(E), a = (a, 0)^S, e = <^Sa,
Zfte=7fte и УжЭАгЯеЭ/а/[а;е^->^е^&еби2&{^ /} = 2&e<i>C
Cex(a^)&e<7>CeF(a,a:)&(Xn(^fteftl))ftcpi((a,fi),^) = (Yn(a:ft
fteft|))ftcpi((a, n), x)l Тогда Z = X|J У б Norx(E).
Доказательство. Достаточно проверить 7V3Ex (У). Пусть [х, v g /(I),
<p = p.|Jv> ^G9X(S)» ^ftl^G^ftl1'» ^ftv^Zftv. Если a(fcp и са^(р,
то по условию X ft cp = Y ft cp, откуда очевидно следует искомое.
В противном случае eC[i или е С v. He ограничивая общности,
считаем вС[а. Пусть a = rcfte. В силу Xfts=Ffte и е Сер
некоторое хг£Х таково, что x1fte = u. Тогда по условию,
некоторые i, /, п, е таковы, что {i, /} = 2, е ^ И2, е ф С ех (а, о:!),
е</)>Сву(а, xj. Последнее означает, что Vy [y£X 8ty {\e = u^>
^e<^>Ci/fta] A) и Vy[y£Y8cytis = u-+e<j>QyH*] B).
Пусть аг = (а, /г), -q = fl (av х). Тогда если ах ^ (х, то при х (а±) = {
из A, 2) следует #ftp<£^ftklJL—^ftf*» a ПРИ х(аг) = ] аналогично
Если а^р-иц // а=7^=са, TO(xC7]na;ft[xgZft[i.n57ft[Ano условию.
Аналогично если ах (£ [а & cd^ $ [л и iz//a = ca.
26

В силу этого имеем:
Случай 1. иЦа^=са. Тогда при % G Iх Пv будет [zftp-E
kXftpScxftv^Xft^Vlxftp^Yfip&xflv^Yftvl откуда по
7V3E* (X, У) имеем #ft<p£Xft<p|jyft<p. При ах $ [х будет я ft [* £
^Zftixfl^ftP" Поэтому в зависимости от o;ftv£Xftv или zftv£
^yftv опять имеем ^ft^GXftcp или ^ftfG^UT- Если ах(£у
аналогично.
Случай 2. и И а = са. Учитывая Z С (?х (£), можно считать,
что Vm [[(а, т) £ [х = (са, га) £ fx] & [(a, яг) £ v = (са, га) £ v]]. Дальше
действуем аналогично случаю 1.
Лемма доказана.
Лемма {ж). Пусть X, F£Norx(E), а = (а, 0)£Е, Х|||а, У|||аг
?GJ(S). Fft?CXft? [если a(X)G<pV[a(XNc?&X//a = ca],
то aG)Gcp], Z = Zn(Fftcpfte). Тогда Z|||a; a(Z) = a(X) при
a(X)(£<p и a(Z) = aG) при а(Х)£ср.
Доказательство. Z^Norx(^) из В2, Z || а из ZCI и ^|||в*
Пусть \ = а (X) = (а, /тг^, Ь2==а(У) = (а, w2), е = <^а, e< = <^S6<.
Если е — ср^= 0, то а^ср, са^ср и, как указано в доказательстве
N2& в В2, V«[a:eZ^(Zn(a:ftej>6))^a = (Xn(«U^E))fta](l)-
Отсюда легко имеем искомое. Поэтому пусть е CZ®. Тогда
X II а = са = Y // а^г=са. Значит, если X//а = са, то можно считать
Vm [(а, т) £ у = (са, /га) £ <р] B).
Случай 1. X Ца=£са и 6Х ^ ср. Тогда Ь2£у, b±^b2, тг^т2.
Учитывая Y {\у (ZX {\<р имеем отсюда: Vu[u(+Z fte (=Y 1*И)->
->RxRylx£Z&y£Z&x(b2)=z0 &уF2) = 1], откуда V^r[^£Z^
-->7гз(а, aO^mJ. По Z ^ cp =z У ^ ср и Уж[ж^ У-> тгг(а, «) = /№,]•
Значит, Yx[x£Z->nz(sLj x) = m2], Z ||| a, a(Z) = 62.
Случай 2. Х//а = са&61£ср действуем аналогично с
учетом B).
Случай 3. Х//а=74са&61Eср. Пусть 5= (J{&+ I | (a> k)d?}*
а2 — (а, 5), а = <^а2. Тогда a2^bv В силу У f^ f С X ^ ср ясно,
что Ь2^ср. Отсюда следует, что VxYy[[[x£X&y(<X]\/[x£Y&
&y£Y]]&x{\e = y{\e^>x{\G = y{\G]. Теперь, учитывая X // а=^= са
и 3(в), можно доказать A) (подробности оставляются читателю).
Случай 4. X Ц а = са&Ь1§у аналогично предыдущему с
учетом B).
Лемма доказана.
27

Лемма (е). Пусть XQQ* F), t£ Ть а = (а, 0) £ 5, и = card ({Л | A £
£ dom @ &*(&) = (a, i) для некоторого * £ 2}), х£Х (=>*), e = <^£а,
«7 = (X(=>0n(^^eftS))^a, e = If(U).
Тогда dom (е) ^ я.
Доказательство легко проходит индукцией по п (всякий
оператор (-*а, i) сужает «в два раза» (X(=>t)f)(xfts ft£))fta).
Подробности оставляются читателю.
(ж). Пусть X, У, ZgNorx(E), а£§. Будем писать {У, Z} —
п. р. X с. а (правильное раздвоение X по слою а), если X ||| а,
Y ft и (а) = Z ft <рИа) и Для некоторых j, /, таких, что {i, j} = 2
имеет место УСХ(-^а, i) и ZCX(-^a, /).
Легко доказать, что если X ||| а, то {Х{-> а, 0), Х(->а, 1)} —п. р.
X с. а A).
Лемма (з). Пусть {У, Z} п. р. X с. а.
Тогда W=Y\JZ£NoYx$) и У = И^(->а, 0, Z = JF(-»a, ])
для некоторых i, / £ 2.
Доказательство. Легко видеть, что условия (г) выполняются
для У, Z (можно для всех х (< У брать е = ех (а) и указанные
в определении п. p. i, /'). Значит, И7 («Nor x (?). Очевидно, что
WCZ, откуда PF||a. Далее, из У ft cp^ (a) = Z ft cp^ (а) легко
показать V#[#£ PF-> e^r (x, a) = e = ex(x, а)], откуда имеем И7" ||| а,
а из УСХ(->а, i) следует Y = W (->a, i). Z = TF(~>a, /)
аналогично. Лемма доказана.
5 (а). Пусть К (--допустима. Если х£ш2 и X£Norx(E), то
положим Gx, к(х)= П {^ (^sk (х | п)) | п £ со}. Поскольку s#
сохраняет включение, то Gx, к {%) замкнуто и непусто. Определим
формулу: NilxK (X) t~Yx[x£w2-> card (Gx, к (х)) = i]. Положим
Nor Ж (I) = {X | X б Nor x (E) & 7V4M: (X)}.
Фиксируем с этого момента и до конца 1Г некоторую § —
допустимую К и определяем Т = Т*к.
Лемма (б). Пусть 5 фундировано. Тогда Norx(£) = Nor хЯТE)#
Доказательство, Пусть X б Nor х (£), ж ^ Ш2. В силу фундиро-
ванности I и Б1(а)(£ — Ш) можно построить такие Xg^i и
последовательности {т]а | а ^ X} С / (?) и {аа | а ^ X} С 8, что (i) тг]а41 =
=4.U({ae}Xco);(«)(ae, 0)^^; (Ш)Чо=0, 4x = S;(fo) Чв=и{чэ|Рб«>
для предельных а ^ X. Индукцией по а покажем, что card (Gx, к (х) ft
ft7]J = l A). Если а = 0, то Gx,^(^)ft7l = {0} и все очевидно.
28

Если а^Х пределен и для всех В («а A) доказано, то и для а A)
очевидно.
Пусть а£Х и card(Gx,z(s) ft i)e)==l, {у} = Gx, к(х)ft %. Но
тогда из 4(е) и ^-допустимости К следует, что card ((Gx, к (х) П
n(yfteftE))fta) = l, где е = <^£(аа, 0), откуда в силу (г) имеем
искомое. Индукционный шаг сделан, A) доказано. Полагая в A)
а = Х, имеем искомое по (ш).
Лемма (в). Пусть х таково, что С° = 1° (тогда очевидно W° =
= F° = В0 = Х° = v° = п° = 0), X £ Nor х#(I), /^-допустима.
Тогда Z £ Nor хАГ' (E).
Доказательство. Пусть #£Ш2, Z = Gx,K'(x). Подберем г/
такое, что Z = Gx,K(y)- Пусть для а°£Е° и (а0) = {п \ К (п) £
£ {а, са}}, и'(а0) = {л | ^ (/г) g (а, са}}, где а = (а°, 0). Ясно, что
{и (а0) | а0 ^ Е0} — разбиение со на бесконечные множества и {и1 (а0) | а0 £
(«?0} — аналогично. Пусть /ао — единственный порядковый
изоморфизм и! (а0) на и (а0), / = U {/«о | а0 ^ Е0}. Ясно, что / — биекция
а) на со. Определим г/ £ Ш2 так, что х(п) = у (/ (гс)) при всех д.
Покажем, что у искомое. Для всяких 2£Г$ и а°(*10 определяем
£ ft а0 так: полагаем rc = dom(£), u = {k\k^n Scrdj [j ^2Sct(k) =
= (<z°, /)]}, m = card(a), t—единственная порядковая биекция т
на и, tfta° = {(k, t(z(k)))\k£m}. Тогда из 4 (а) (и) ясно, что для
всякого t^T$. имеет место X(^>t)= r\{X(=>tfta°)\a°£l°}. Отсюда
Gx, ж- (х) = П {G"l Е, (х) | а» 610} A), где G* „(г) = П {^ (=>**' (ж | ») ft
^а«)|^еш} и Сх,ж(^)=П{С«°)/сЫ|а«е^} B), где С£^(у)
определено аналогично. С другой стороны, из С° = 1° легко
следует У(->а, j) = F(->ca, i) для всяких F^Norx(^), a^§, i^2.
Отсюда с учетом определения / и у индукцией по п легко дока
зать X (=>$£' (х | п) ft а0) = X (=>sz (у | п) ft а0) для всех а0 («S0 и и («а>.
Вместе с A) и B) это дает Gx, ir(y) = Gx, *'(#), что и
требовалось. Дальнейшее доказательство тривиально.
Лемма (г). Пусть х, как в (в), Х = @х(£). Тогда X£Norx# (S).
Доказательство. Ясно, что (?х (Е) = {re | x ^ (^ f I) & Va [a ^ § -> о: ft
fta = irftca]}. Отсюда следует, что если #£Х, а£§, е = <^£(а, 0),
то (Zn(^ftsft^))fta = aJ. Теперь учитывая 4(а)(й) и С° = ?°,
индукцией по dom(^) легко доказать, что если ху y£X(=>t), то
(X (=>*) П (ж ft в ft 6)) ft а = (X (=>t) П (У ft £ ft S)) ft а. Наконец, приме-
29

няя 4 (е), имеем: если t £ Г$ [п], а £ §, card ({& | & £ га & £ (А) = а}) = /тг,
то lh(X(=>£)fta)^m. Отсюда в силу ^-допустимости К легко
следует искомое. Лемма доказана.
(д). Пусть Аоо(%, х)^Л°E, х)&[6 фундировано \/С0 = £0]. До
конца 1Г предполагается 400(?, х). Определим Nor*x(£) = [Nor x(S),
если £ фундировано, и Nor кК1 (£), если С0 = £° и #' ^-допустима
(независимость от К1 следует из (в))]. Определим Nor*xG]) =
= {Xfh|*€ Nor* *(£)}.
В этих предположениях card (Gx, ю (х)) = 1 для любых a:^w2t
Z^Nor*x(E), ^-допустимой К1. Определим gx ^,так, что Gz x,(a:) =
= {g'z>Zf(«)}. Ясно, что gx к, — непрерывная функция из Ш2 на X.
Лемма (д). Пусть X£Nor*x(E), a^?, *£2> F = X(->a, i).
Тогда FGNor*x(e).
Доказательство. Если 5 фундировано, то из 4 (в); если С0 = £°г
то берем К1, такую, что X £ Nor /.К1 (S). Ясно, что У £ Nor х/Р (£),.
где ЛГ/Х (ш) = К1 (п -\- 1) для всякого ?г f ш.
Теперь ygNor*x(E) следует из определения Nor*x(S).
Лемма доказана.
Следствие (ё). Если в условиях (д) t£T^ то X(=>t)£ Nor*x(?).
Тривиально следует из (д), 4 (в).
Лемма (ж). Пусть X£Nor*x(£), т|^/(Е), UClQ(r\) открыто-
замкнутое множество, т] = ст]. Тогда (i) найдется п ^ со, такое, что
если г^М* то X (=>t) {\ г] (Z U или Х(=>^) f^ т]П ?7= 0; (и) если
иГ\(Х^у\)=^= 0, то найдется F£Nor*x(E), такое, что YQXfi
Доказательство. Докажем (/). Пусть V = U ft l
(открыто-замкнуто в <?(£)). Учитывая непрерывность gx к и компактность Ш2,
легко найти п£и>, такое, что если e^w2, Z = gx KJ9U/e, to Z CIV
mmZf]V=0. Значит, если t£T[n], to!(=>^)CF или Х(=>^)П
pF=0 A) (так как ясно, что X(=>sK (e)) = gx K"U/e.
Учитывая A) и определение F, легко видеть, что п — искомое. Это
доказывает (i).
Теперь заметим, что если Uf](Xf\ i\)^k 0, то в силу (I)
некоторое t£ Ть таково, что X(-=>() QXC\(U{\ £). В силу (е) У =
= X(=>t) искомое. Лемма доказана.
30

Теорема 5. Пусть в условиях В2 дополнительно Х(< Nor*x(£),
Y £ Nor* х (Е). Тогда Z £ Nor* х E).
Доказательство. В силу В2 и 5F) достаточно предполагать
С° = 1°. Пусть y'£Nor*x(£) таково, что Y = Y' {\у\ и пусть 3^2.
Тогда из 3 (г) легко получить V* р £ Г$ -> Z (=>*) ft tj = У(=>*) ft t\] A).
Отсюда следует G^ K (x) ft tj = Gr, z (ж) ft ч, т. е. в силу Yf £ Nor* x (?)
card (Gz, к (х) ft tj) = 1. Пусть i/' £ (? (ч) таково, что G^ z (ж) ft tj =
= {*/'} B).
Определим <т —{b|(b, 0)£т]}, а = аХи>. Тогда из Bl(a)(t— Hi)
следует у\С1а£ 1 (S). Но из определения а имеем: если (а, п) £ а,
то (а, 0)£т]. Отсюда с помощью 4 (в) и B) легко получить
card (G*,z (ж) ft а) = 1. Пусть {у} = G^, z (ж) ft о C).
Далее, из Б1 (а) (и) ясно, что а = с<з, т. е. аг = аох2 для
некоторого о0 С S0. Определим для всякого t£T$ p0 (^) и рх (t) так:
m = dom(J), w0 = {/с|/сG^&^(Л)G§ — ^}, M1 = (AlAG/^&lt(*)GGr}
(=щ — гг0), ?г0 = card (ц0), ггх = card (щ) (ясно, что п0 -\- п± = щ),
/о и Л — порядковые биекции п0 на ^г0 и пх на ггх соответственно,
So(*) = № *(/о(*)))!*€»«,}. Ri(*) = {(*. *(/i(*)))|*Gni}-
Совершенно ацалогично изложению первого абзаца
доказательства 4 (а), легко доказать, что если С/"£ Norx(?), а^§ — а,
г^2, то Gfto=C/(->a, ОН0- Отсюда с помощью 4(а)(и) легко
доказать, что (j) если f/ g Nor х (Е), ^ ^ Г$, то U (=>£) ft a = f/ (=>px (^)) ft о.
Далее, легко видеть, что если [/£Norx(E), u(*U, a^§ — or,
i£2, то (C7n(^ftoft^)(->a? t) = C7(->a, Ofl(»ftoftE). Отсюда с
помощью 4 (а) (и) имеем (и), если и£ U£ Norx(E), ^G^l» T0 U (=>t)f\
n(^ft^ft ^) = (^n(^ft0ft^))(:=>Po@)- Из (ii) в свою очередь легко
следует (ш) Gz, к (х) = П {(Z П (^ ft 6)) (=^Р0 (** («I»))) | я б «>} Для
всякого ж (< Ш2, где {^} = Gz, к (х) ft о.
С другой стороны, в силу v\Clo и Z = XC\(Y ft?) имеем
(и;) Zfl(^/ft ^) = ^П(У ft S) и (г;) для некоторого ж'^^ имеет место
У~8х к(х')^0* Определим xf/ £ Ш2 так, что Утг [[ЛГ (д) ^ а -> а/' (тг) =
= rc/Gi)]&[jff(/i)G5 — <з-+х"(п) = х(п)]]. Из определения а/'
следует (ui) р0 EZ(^ | п)) = р0 Ejt (х | л)) и рх (sK (x" | л)) = Pi (sK (xf | л)) для
ВСЯКОГО П.
Отсюда и из (г) следует: (vii) y"{t<* = gZtK(xf)fto(=y), где
г/" = g*x^ z (of). Имеем окончательно: GZt к (х) = П {B П (У ft £))
31

(=>po(sz(z\n))) I n£u}(no(iii)) = n{(Xn(y1\W=>?0(sK(x\n)))\n€«>}
(no tiv))=n{(XnWit°itt))(=>Po(s*(*\n)))\n£<»} (no (i;ii)) =
= П {(X П (/ ft aft I)) (=>Po (sz (*" | *))) I ^ б «>} (по И) = Gx, к {х")
(в силу (ш) и y"-=gx к(х")\ откуда легко следует искомое.
Теорема доказана.
Лемма (з). Пусть Z£Norx(£), а£§. Тогда найдется t(<Ty
такое, что Х(=>£)||а.
Доказательство. Пусть а = (а°, i). Если ao£i?oUC0, то Х||а
очевидно. Пусть a°^B°\jC0. Тогда a° = X0(&;, m) для некоторых
ы;£И/0, /тгб«). Пусть е = <£(а, 0), f = F°(w), rf = f(w), t\ =
= v]0x2Xco.
Тогда из Л° (Е, х) легко следует конечность т\, tjCs и /б Gont (т|).
А в силу B3(b)(i) ясно, что Уи [и £ @* (£)"-* [ц//а = са =
^/(иft т])(m) = 1]], т. е. в силу непрерывности / U1={u\uQi
£<?*(£) &сиII а = са} открыто-замкнуто в Qx(%). Соответственно
Uo = {и | и Q Qx (I) & и I/ а =т^= са} открыто-замкнуто в @х (I) и Uo \J
\jU1 = Qy. (I). Теперь, применяя (ж) (i), легко имеем искомое.
Лемма доказана.
Лемма (и). Пусть X£Norx(£), а££« Тогда найдется t(*T,
такое, что X (=>t) ||| а.
Доказательство. В силу (з) можно считать, что Х\\&.
Определим для всякого е£<ш2 U(e) = {x{\ e | x^XScex {а, х) = е}, где
e = <g$a и а = (а, 0). Из 2(д) ясно, что всякое U (е) замкнуто
в Zfte и Х{\е = \J{U(e) | е£<@2}. Значит, по известной теореме
Бэра, некоторые е ^ <С02 и открыто-замкнутое U Q.Q (е), таковы,
что E/n(Xfte)=^0, f/n(^fts)CC/(e).
В силу (ж) (£) найдется ^^ 7\ такое, что X(=>^)fts С С7(е)A).
Определим ar = {b|(b, 0)^е}, о = аХ<о, р0 и Pi» как в
доказательстве теоремы 5. Тогда аналогично утверждению (i) доказательства
теоремы 5 имеем X(-^£1)fto = X(=>£) ft a, где t = p1(t1)f что
в силу A) и sCo дает X (=>t) ft e С U (е). С другой стороны, из
определения рх, ясно, что, если (Ь, i) ^ rng (t), то b ^ a. А так
как а (£ а и са ^ а, то для всякого (b, i) ^ rng (t) имеет место
Ь^{а, са}. В силу 4(а)(г) отсюда следует ех(а, а:) = еХ(=>^ (а, х)
для всякого #£Х(=>г). Наконец, учитывая A) и определение
32

U (е), имеем ех(=>о (а, ж) = е для всякого #£Х (=>£)> Т- е- *
искомое. Лемма доказана.
6 (а). Определим формулы: Х\(п)*=? VkVt[k^nSct^ Т[к]-*>
->X(=>*)GNor*x(E)&X(=>t)|Jr(&)]; X|||(rc)^V/cV* [&£>*&*£ r[&]-*
-^ Z (=>*) G Nor* х (g) & X (=>*) HI Z (A)]; X С (п) У ^ V* [* £ Т [и] ->
-»I(^)CF(=>i)] (везде предполагается ?г£о>, X, y£Norx(E)).
Если X £ Nor х (£), п £ о, 5, £ £ Г [тг], то определим ijz E, *) =
= cpO(Z(zz>5), Х(=>*)). 4xW = 4x(^ 5*Х)-
Леж^а (а). Если X, FGNorx(E), X С (л + 1) У, то X С (n)Y.
Доказательство. Пусть ^rW- Тогда X(=>t) = X(=>f°)\J
UX (=> f1) C7(=> f°)U У (=> t*1) =Y(=> t).
Лемма доказана.
Лемма (б). Пусть X, F£Norx(E), а^5, Х|||а, У(-»а, 0) С
СХ(-*а, 0), 7<-^а, 1)СХ(->а, 1). Тогда 7|||а.
Доказательство. Пусть а = а(Х) = (а, п). Тогда очевидно, что
Х(^а, i)={x\x£Xkx{a) = i), откуда У(-»а, О = {»|^6У&
&y(a) = i}, т. е. Vy[i/^y->My(a, у)<?г]. Но в силу YQX и
а(Х) = (а, 7г) имеем: Vy [у G У -^ ^F (а, ^)>^], т. е. Vy[j/£y~>
->дг(а, г/) = гг]. Лемма доказана.
Лемма (в). Пусть X, У^ Norx(S), YQ(n)X, X\\\(n). Тогда
У ||] (п).
Доказательство. Ясно, что VkVt[k^n&tt£T[k]--> Y(=>t) CZ
QX(=>t)] A). Отсюда Y\\(n). Пусть k^n, * = K(k). Тогда из F)
и A) имеем: У(=>£)|||а. Лемма доказана.
Лемма (г). Пусть XGNorx(^), u</ig(o, Х||](тг), 5, ^ГВД,
Тб/B)- Тогда Х(=>*)А? = Х(=>*)^<рили X(=>s)f^cpnX(=>0 ^
Доказательство — индукцией по А;. й = 0 очевидно. Пусть к<^Щ
*, 7*62, *оеГ[й], *oer[fcL-« = *S', * = *;Л U = X(=>s0), У =
= X(=>g, JC(u) = a и Vcp[cpe/(E)->t/^cp = Frt?\/^u?n
f|F j^ <р = 0] A). Покажем, что A) имеет место и для иг= Е/(-> а, г)
и Vx = V (->Еа, /). В самом деле, если <р£^(£) и {7^<рП^1|<Р==0т
то С/хf^српух^ср = 0. Если i = / и C/^cp = F^^, то ^^<р =
= Fift? по 3(г). Пусть i^/, £/ftcp = Fft<p, f/2= С/(=>а, /),
1 Ч = Чх Eо> У» а = ^ Eо)» 9i = Ч П а- Покажем сперва, что С7Х ^ <р2 =
= ^iucPiB). В самом деле, tfft?1=Fft?lf ^|||a, К||[а. Далее,
33

а= а(£/)(£а (т.к. а = <р^(а)). Значит, если са§а, то по 3(д)(г, и)
будет U1 ftсрх = Uft fх = Fft <px = Fx ft<pr Аналогично при cafo и
£/ // а =£ са (тогда е = < I (а, 0) С <p, откуда V // а т4 са). Осталось
ca £ a & UI/ а = са. Но если С/ // а = са, то из определения ср* (а)
следует Vm[(a, m)£a = (ca, яг)£а], T- e- должно быть а(<ау что
дает противоречие. Т. е. U // а = са & са £ а невозможно. Таким
образом, B) доказано. Пусть теперь [х £ / (Е), р, — <рх ^= 0. Покажем
^iuP«nF1ft{x=0. В самом деле, если ц — т] ^ 0, то из A) легко
имеем искомое. Поэтому предполагаем [aCt|&[jl — a=^=0. Тогда
по 3 (г) Fxft [x= C/2ft |x D). Далее, учитывая определение а, можно
считать, что а = а(С/)£р. (в противном случае са^\^ и и//а = са,
откуда, меняя jx на cjx, придем к случаю а^{х). Теперь поЗ(д)(г^)
получим C/Xft (iflt/2ft[A= 0. Вместе с D) это дает #iftp<n
nF1ft^=0. Итак, при срСсрх будет f/xftcp = FX ft f, а при
Ф £ ?i - # i ft <Р П Fx ft cp = 0.
Индуктивный шаг сделан, лемма доказана.
Следствие (д). Пусть Х|||(л), к£п, s0, to£T[k], i, /£2, * = ^S
5 = 50Ч fx = 7|x(^0, g, v = ^E, f), a = K(k), a = a(X(=>t0)).
Тогда
(£) если t = /, то [x = v;
(й) если i=7^=/, то v = |xf|cpX(:>jf} (a) (в частности, при agp v = ji).
Доказательство легко получается из анализа доказательства (г).
Следствие (е). Пусть X, F£NorxF), fc^^^o, 7c(n)I,
Х\\\(п), s, t£T[k]. Тогда 7|xE, t) = n7(s9 t) и т]хE, 0б^0(^).
Доказательство тривиально следует из (в, г, д).
Лемма (ж). Пусть Х£ Nor *(£),- Х\\\(п)у а^?, «, ^G^W>
щ = Их(8, t), x£X{z>t), a = 8i(X(=>t)} x). Тогда a^-q\/
Доказательство — индукцией по п. Если п = 0 очевидно. Пусть
для п=к доказано и rc = &+l, s = si*, t = ty, irH = 7]x(s0, to)t
<p = fX(s>0 (^). Тогда при i = ; из (д) будет tj = т]0 и по
предположению Vw [(a, w) £ т]0] или ах = а (X (=> ^0), ж) (Ц ki0. Если V/тг [(a, w) ^ ^0]»
то из т] = 7]0 имеем Утгг[(а, /лN^]; если ^^-q^ то из очевидного
а^^ имеем аЩщ. Случай i — j разобран. Пусть i=£j*
Тогда из (д) 7] = т]0П? С7]0, и поэтому если а^т^, то «1^^.
Поэтому, учитывая индуктивное предположение, считаем Ym[(a, w)^
34

£ij0]. Пусть Ъ = К(к). Если b${a, са}, то из A), (д) и Bl(a)(tf)
получаем Vw[(a, тга) £ ?]] V (а> 0)(j<7]. Поэтому пусть Ь£{а, са}.
Если Ь = а, то в силу (д)(и) и а(£<р получаем а(£т). Аналогично,
если b = са и X (=> g // а = са. Если же b = са и X (=> g // а =^= са,
то из Б1(а)(г— ш) имеем: Vm[(a, лг)(]<р], откуда, учитывая A),
имеехм Ym [(a, m) £ т|].
Все случаи разобраны, лемма доказана.
7. Лемма (а). Пусть X£Norx(£), гг ^ со, Х|||(ю), to£T[n]f
Y0QX(^t0), 706Norx(E).
Для всякого t G 71 [п] положим Y(t) = X(=>t)f](Yoi\y\x(t, to)ftl)9
Y = \J{Y(t)\t£T[ri\). Тогда FGNorx(E), YQ(n)X, и У(«) =
= Y(-=>f) для всякого ^Г[п].
Доказательство проводим индукцией по п.
Заметим сперва, что если t^T[n], то по В2 будет Y(t)(*
GNorx(£).
Для п = 0 лемма тривиальна. Пусть для?г = & лемма доказана,
и докажем ее для п = к-\-\. Пусть a = K(k), rQ£T[k] и V £2
таковы, что £0 = г**'. Для простоты считаем V =0 (случай г' = 1
аналогичен). Пусть tx = rj1.
Пусть ?0 = т]х(г0) (=i|z(^0, t±)).
Заметим, что в силу 6 (д) (ii) для любого г £ Т [к] имеет место
Чх(^) = Й(^)(«)A)^всилуЗ(а)A) —X(=>Oft4x(r) = X(^Oft.
^ т)х (г) B). В частности, ?0 = ?i E>Гв) (а) & X (=> tj ft ?0 = X (=> g ft
ftcpoC). Покажем 7 (^) ftcpo = У (^) ft<p0 D). В самом деле, Yfa) —
=X (=> ^) П (Уо ft To ft £) по определению, откуда Y fa) ft <p0 = X (=> у ft
ft?on^oftTo = yoftcPo(TaKKaK7o£^(=>0HBC™yC))=y(gftcfo
(так как Y0 = Y(t0) очевидно). D) доказано. Из A) и D) легко
следует, что {Y (t0), Y (tj)—п. p. X(=>ro)c. а, откуда по 4(з)
Z0=F(guF(^NNorx(E) и F(gftcpo = F(^)ft9o E).
Определим для r£T[k] Z(г) = Х(=>r)fl(Zoft4l(r, ro)ft?)r
Z= U{^(r)lr6 ^W}- Тогда в силу E) и индуктивного
предположения имеем Z £ Nor х(£), ZCD)Zh Z(r) = Z(=> г) для всякого
*-е г и F).
Фиксируем некоторое г f Г [fc]. Пусть т] = т}х (г, г0) и <р = т]х(г).
Тогда в силу 3(а)A) и 6(д)(*) имеем X(=>t0) ft 7j = Z(z>r*°)ft -q
и Z (=>^1)ft^ = X(=>r*1)ft7jG). Из определения и 6(д) легко
35

видеть, что Г(г*°)=Х(=>ОПAг(дЛчЛЕ) (8) и Y(r*l) =
= Х(=>гп)П(ПШ?оГИ1^) (9). Кроме того, из 6(д) можно
доказать, что X(=>г0) // а =^= са V Vm[(а, т)£т\ = {са, т)£т\]A0).
Докажем, что имеют место: Y (г*1) = Х(=> г*1) f| (Y (tx) ft i\ ft Б) A1),
F(r*0)ftcp = r(r*i)ftcp A2), 7(r*°)UF(r*1) = Z(r)A3). Пусть ао =
= a(X(=>r0)), a = a(X(=>r)). Имеют место два случая:
Случай 1. ао§7\. Тогда из A0) очевидно y\Cl¥Q, откуда
в силу (9) и E) легко следует A1). Далее, из G), C) и ^С^
легко следует Х(=> r*°)ft y\ = X(^> r*1) ft % откуда у\С1<? A4).
Соединяя т\С1¥0, B) и A4), легко имеем A2). Осталось A3). Имеем:
Z(r) = (Z(=>OUX(=>/M))n(Z0ft4^6) A5). KoZ0=Y(t0)\jY(tJ
по определению, a Y (t0) ft t\ = Y (tjft у\ A6) в силу f\Q% и E).
Поэтому из A5) следует Z (г) = (X (=> г*°) П (У (t0) Л Ч Л Q) U (X (^г*1) П
П (Y (t±) ft г] ft ?)), откуда по уже доказанному A1) и (8) имеем
искомое. Случай разобран.
Случай 2. floG7!- Тогда в силу X(=>r0) ft т] = Х" (=>rj)ft t\
(которое имеет место из 3(а)A) и определения i\) легко доказать
а = а0 и 9 = ^ A6), а в силу 6 (г) и т] g£ ^z (г) = ^х (г0) = ср легко
следует Х(=>г*°)^чПХ(=>/-п)йч = ^(=>ОйчП^(=>У 1>Ч =
= 0 A7).
Докажем A1). Отметим, что в силу (9) и E) легко доказать
включение в A1) справа налево. Докажем обратное включение.
Пусть xfcYfr*1). В силу (9) это означает х£Х(=>г*г) и ^ft^ofl
()n£Yft<pQr\n. А нужно доказать х ft tj G Y (t±) ft f\ A8). Пусть у £ Уо,
таково, 4To;zftcponTr] = */ft<porH, xr=xft% yf = yfty0. Тогда по D)
ц G) x'GX&tJitu и у'еХ(=>Ь)Ц?0.
Читателю предоставляется проверить, что условия 1 (в) (для х1,
У** Ч» ^о» Х(=> tj)) выполнены (для этого нужно воспользоваться A0)).
Значит, х1 U у1 £ X (=> ^) ft ср0 |J i\. Вместе с у1 £ Го ft cp0 отсюда
очевидно ж' U £/' 6 F'^i) Л ?oU Ч, т- е- х1 6 ^ (*i) й Ч» что и доказывает A8)
и (И).
Докажем A2). Отметим, что для любого UC.Q(i) имеет место
и{\т\{\Ц<?0 = и{\г1П<?01\<?0(Щ. Имеем: Y(r*°)ftср = X(=>г*°)ftср0П
n(F(gfr^ft^ft?o)(noA6)H(8)) = X(z>^)ftcPn(F(gftir]ncp0ftcp0)
(по ,A9)) = Z(z>r*1)ftcPon(y(gftirinfou%) (по C) и A6)) =
=рг1Г(г*1)Л<Р (по (9) и A6))» что и требовалось.
36

Докажем, наконец, A3). В силу A7) легко имеем Z(r) =
= (X(=>On(lr(gft4^£))U(X(=>r*1)n(Irfe)^4^E)), откуда в силу
уже доказанного (И) следует искомое.
Итак, A1), A2), A3) в обоих случаях доказаны. Но из A2) и
определения У (t) ясно, что {Y%r*°), У (г*1)} - п. р. Х(=>г) с. а,
т. е. по 4(з) и A3) Y (г**) = Z (г) (-> a, i) для любого i£2. Теперь
возвращение к F) завершает индуктивный шаг и доказывает
лемму.
Лемма (б). Пусть в условии (а) дополнительно X, F0£Nor*x(E).
Тогда F£Nor*x(E).
Доказательство. Пусть х £ Ш2, £ = 5Я (я | п). Тогда из (a) Y (=>£) =
= Y[(t) (в обозначениях (а)), откуда GY, к (#) = Gt(*),*' (s')i где ЛГ7
и ж' определяются условиями if7 (Л) = ЛГ(тг + &) H^D) = a;(« + /с).
Но в силу В5, У,(£)£ Nor*x(£), откуда card (GF(if)>ir, (#')) = 1, что
и требовалось. Лемма доказана.
Лемма (в). Пусть Ж£ Nor*x(E), UQQ(%) открыто, t£T[n],
X(=>t)f)U=£ 0, Х|||(тг). Тогда найдется y£Nor*x(£), такое, что
Y Q(n)X и У(=>*)С£Л
Доказательство очевидно следует из (б), 5 (ж).
Лемма (г)(г). Пусть XGNor*x(E), Х|||(*г), в = К(п), тСГ[л],
*обГ[л]«-т, У«рет-*Х(=>0И|л]- ТогДа найдется 7 6Nor*x(e),
такое, что Y Q(n)X и V/ [* £ т U {t0} -^X(=>t) \\\ a].
Доказательство. В силу 5 (и) найдется Yo £ Nor* x (I) такое, что
Y0CZX(=>t0) и Уо ||] а. Строим У по X, t0 и Уо, как в (а). Тогда
по (а), (б) и 6 (в) ГеМог*х(£), YQl(n)X, Y\\\(n), Y(^>to) = Yo.
Отсюда следует Y (=> tQ) \\\ а. Достаточно доказать V^ [t(< т ->
->F(=>OII|a] B). Пусть ^^ Ч = ЧХ(*, ^о)> а = й(Х (=>«)). Тогда
из 6(ж) имеем a^i\\/Ym [(а, т)£tj] C),»а из (а) A0) X(=>t)\\a =
= ca\/Ym [(a, m) £ ^ = (са, тд) б ч]» откуда X(=>t) \\ а = са & а ^ ctj ■»>
->а^ т] D). Покажем, что условия 4(д) имеют место (дляХ(=>^),
Уо, tj). В самом деле пусть а^т]\/[а^с7]&Х(=>^)//а = са]. Тогда
по D) имеем а£т]. Достаточно доказать а(У0)£т] E). Но из af tj
и C) имеем Vm[(a, т)^г\]у откуда E) очевидно. Теперь,
применяя 4(д), получаем У (=>*) = Х(=> t)f](Y0 f[f\ {\t) ||| а, что и
доказывает B) и лемму.
Следствие (г). Если X£Nor*x(E) и Х|||(и), то найдется
У G Nor* х (g), такое, что У С (л) Z и У ||| (п + 1).
37

Доказательство получается применением (г) (i) card (T [п]) раз.
8. Лемма (а). Пусть {Хп\ га £ со} С Nor х (£), Vra [Хи+1 С (га) Хп &
&Хя|||(га)], функция g определена на Ш2, для всякого х£ Ш2 имеет
место {g(x)}= f]{Xn(=>sK(x\n))\n^a)y Тогда g непрерывна и
Доказательство. Из условия легко следует, что для всякого
е£<ш2 имеет место g"U/e = XOXaom(e)(=>sK(e)>) A). Отсюда при
е = 0 получаем rng (g) = X.
Пусть теперь V — открытое подмножество Ш2, х£ш2, g(x)QV.
Учитывая условие и компактность Ш2, отсюда следует, что для
некоторого га£о) Хп (=> sK (х | га)) С V B). Пусть e = rc | лг, U = Uje.
Тогда из A) и B) немедленно вытекает g"U CIV. Но х£ U (по
определению е) и С/ открыто, что и завершает доказательство.
Лемма (б). Пусть в условиях (а), 7г£а), ££Г[>г], ^ = т] (/).
Тогда (X П Хя+1 (=> Н) П v) = (X П Хя+1 (=> И) ft Ч.
Доказательство. В силу 6 (д) ясно, что если т £ о>, г £ Г$ [ттг],
f °г £ 71 (это очевидно равносильно t*xr £ Г), то tj = tjx (f°r, ^^(l),
т. е. по 3(а)A) будет X^&f*r)tiil = X1J^f*rI\ilB).
С другой стороны, в силу У к [Хк+1 С (к) Хк & Хк \\\ (к)] легко видеть,
что Хт+п+1ПХп+А^П^и{Хт+п+А^^г)\г^Тат]^г^Т} C),
откуда, используя B), получаем (Xm+n+1 П Хп+1 (=> f °)) ft tj = (Хт+Я+3 П
П Хп+1 (=> f1)) {\ т] D) (при любом т£о>). Отсюда в силу
компактности *°2 искомое тривиально.
Лемма (в). Пусть в условиях (а) а= (а, 0) £ £, е = <^ Ы, е(« <@2,
С7 = {и| izG^ 1Y© &(XП(^й ^)) 1> аПС7/^ = 0}- Тогда С/ замкнуто
вХ{\в.
Доказательство. Для всякого га £ со положим ?7W = {и \ и £ Xn ft
Ле&(ХяП(аЛЕ)I>аП^/в=0}. В силу Х=П{Хя|и6«>} и
компактности Ш2 ясно, что U= U{Un\n^(o} A) и UnQU B) для
всякого га. Достаточно доказать, что Xfte— С/ открыто в Xft e C).
Пусть и = х{\е£Х{\е — U, x£X, k=: dom (e), Z £ со, таково, что
КA) = а и card({£ [if Z &.ЙГ(г) = а})=& (такое есть из
^-допустимости К). В силу /V2/?x(Z/) имеем: найдется такая окрестность V
точки и в Q (в), что У П иг = 0.
Докажем, что если т^1, то Vf]Um=0 D). Действительно,
для гаг = Z D) следует из выбора V. Пусть доказано Vf]Um= 0 E) и
38

нужно доказать Vf]Um+1=. 0 F). Пусть напротив, uf =xf fte^Vfi
П Um+1, x1 £ Xm+l. Для всякого t £ T [m] обозначим Wt = (Xm (=> t) f|
П (в' ft 2)) ft a, W — (Xm П (ur ft £)) ft а и ИР], W1 аналогично с
заменой Xm на Хт+1. Тогда из Xm+1Q(m)Xm имеем VFJ С VF, G) для
всякого t £ Т [пъ]. С другой стороны, в силу 4 (в) /, (WM) ^ /с + 1 (8)
для всякого £ £ Г [т]. Но в силу и' ^ V и E) имеем мг (£ f/w, что
означает WП С^/ет4 0, т. е. WtП С^/бт4 0 Для некоторого ^f T [m].
Учитывая (8) и dom (e) = к, отсюда имеем Wt С U/e, и далее по G)
W) С U/e и PFJ П ^"/б =т^ 0, что в силу определения £7т+1 означает
w; (£ C/m+1, а это противоречит выбору и1. Противоречие
доказывает F). Индуктивный шаг сделан, D) доказано* А из A), B) и
D) очевидно U{\V=0, т. е. V — окрестность и, не
пересекающаяся с U, Это доказывает C) и лемму.
Лемма (г). Пусть в условиях (а) а = (а, 0)£Е, х(*Х, е = <^|а,
х1 = х i\ в, U =c= (ZП (#; ft £)) ft а. Тогда С/ — совершенное
множество.
Доказательство. Достаточно доказать отсутствие
изолированных точек у U. Предположим, что, напротив, и — изолированная
точка U, е £ <аJ, таково, что {и} = Uf]U/e. Можно считать и=х ft a.
Пусть & = dom(e), I определено, как в (в), t(*T[l] и ££2, таковы,
что х£Хм(=>^). Для простоты считаем i = 0 (случай i = l
аналогичен). Тогда в силу (б) и очевидного еСт]х (t) имеем:
найдется у £ Х1+1 (=> t*1) f] X, такое, что i/fte = #fte = a;'. Пусть
i; = i/fta.
Заметим, что х, y£Xl+1(=>t). Отсюда в силу выбора I и 4 (е)
Р(х> У) ^F> T- e- v£Ule(l). Далее, в силу у £ X имеем v£UB).
Докажем u=^v C). Действительно, пусть Y =X[+1(=>t). Тогда
очевидно, #£<F(->a, 0), г/£У(->а, 1), что по определению в 3 (а)
означает х(а) = 0 и г/(а)-=1, где a = a(F, x) (=a(F, г/) в силу
#fte = yfte). Отсюда ц^1' тривиально. Но A), B) и C) очевидно
противоречат выбору U и в. Противоречие доказывает лемму.
Следствие (д). В условиях (a) Z£Nor>c(£).
Доказательство. NlU{X)y iV2£x(X), 7V2;Sx(X) следуют из (в), (г);
N3&(X) — из iV3|x(ZM) для всех п и компактности W2.
Лемма (е). В условиях (a) XQ(n)Xn и Z(=>^ = Zf|Xw(z>^)
для всяких 71 £ а) и 2£Г[>г].
39

Доказательство проводим индукцией по п. Для п = 0 лемма
очевидно следует из (д). Пусть лемма доказана для п и докажем
для п + 1. Таким образом, пусть t = г** £ Т [п + 1 ], г £ Г [и], £ £ 2.
Тогда по предположению ХС1(п)Хп A) и X (=> г) = X П Хп (=> г) B).
В силу Хя+1 С (?г) Хп и определения X отсюда очевидно X (=> г) =
= Xn^1(=>r)===t7UVr,rAe^==Xn^1(=>^Vr==XnXjrfl(=>*1)f
^ = г*1"' C). Пусть а = К (/г), tj == tj^ (г). Тогда в силу (б) будет
U {\t\-V {\т\ D). Далее, если для всякого т(«ш определим Ут =
= **n+w+i№+i(^) и £' = {(*, Я(л+1+0)М6«>Ь то очевидно
С7= r\{Ym\m£(i)}, и семейство {^I^G^0} удовлетворяет
условиям (а) (с заменой в определениях 6 (а) Т на Т1 = Т\к'). Поэтому
в силу (д) [/£ Norx(£). Аналогично и F£Norx(E). Таким образом,
С/, V £ Nor х (I) E). Кроме того, очевидно, U С Хп+1 (=> г) (-*> а, 0) =
= Х„+1 (=> *) и У С Хй+1 (=> г) (^ а, 1) = Хп+1 (=> tx) F). Значит,
учитывая D), E), F) и т] = у£(=>г) (а) (которое легко следует из6(д)(д)
и Хя+1|||(я+1)), {С/, F} будет п. р. Хй+1(=>г) с. а, т. е. по 4 (з)
W = U\jV£NoTK(s)y U=--W{->3i, 0), F = W(->a, 1). Но из C)
имеем W = X (=> г). Таким образом, U = X(=> r*°), т. е. С/ = Z (=> *).
В силу произвольности ^ доказательство индуктивного шага и
леммы завершено.
Теорема 8. В условиях (a) X£Nor*x(£).
Доказательство. В силу(д) достаточно доказать card(Gx K(x)\—A
для всякого х£ш2. Но из (е) легко следует Gx,к(х) = f] {Xn X
X (=> 5^ (ж | л)) I п £ со} A). Правая часть A) имеет мощность 1 по
условию (а), а левая очевидно непуста, что и доказывает card (Gx, к (#)) = 1
и теорему.
Лемма (ж). Пусть iV С Nor*x(£), таково, что (i) если X£Ny
а£Ъ,1£2,тоХ(-+а, i)£Nn(ii) если X, Y£N, т]£ /°(£) и У ft ч С
Clf[i|, то Zn(Fft7]^)GiV. Пусть также X'£N и {5я|/г^<«>} —
совокупность подмножеств N, такая, что (ш) если X £ 5Я, У £ ЛГ
и 7CI, то 7fSw и (iv) если л f (о, X £ iV, то найдется У £ £я,
такое, что Y CLX. Тогда найдется такая последовательность
{XJ*Ga>}CNorx(S), что X0QXf, VnVt[t£T[n]-+Xn(=>t)£Sn]
и имеют место условия (а) для некоторой д.
Доказательство. Отметим, что имеют место такие факты:
(и) если X£N, С/С(?(Е) — открытое множество и Xf]U =7^ 0, та
40

найдется Y£N, такое, что YCZXftU (следует из (i) и 5(ж));
(ui) если X£N и а£§, то найдется 7£/V, такое, что YQX и
Y ||| а (следует из (£), (и) и доказательства 5 (и); все операции,
указанные в доказательстве 5 (и), имеют вид (i) или (и))] (vii) если
X£N, t£Tb то X (=>*)£ TV (очевидно из (*)).
Проводим построение индукцией по п. В силу (Hi), (iu)y (ui)
найдется XQ£N, такое, что X0Cl' и Х0\\\К@).
Пусть Хо, . . ., Хя с выполнением указанных условий построены,
а = К(п). Тогда, учитывая (i, ii, ш, ш, и) и метод доказательства
7 (а), 7 (в), имеем: найдется Z £ Nor х (I), такое, что Z С (л) Хп и
V«pGr[i»]->W(XJ(=>Qfta)>/i] A), и V*per[*]-»Z(=>*)G
G *^J B)- Совершенно аналогично, учитывая (г), (г7) и метод
доказательства 7 (а), 7 (г), получаем: найдется Хп+1 £ Norx(£), такое,
что XnnC(n)Z и Хя+11|| (д + 1).
Легко видеть, что это построение дает искомый результат
(одноэлементность Gx,k{x) следует из A)). Лемма доказана.
§ Г, Исследование непрерывных функций
Напомню, что ^-допустимая К фиксирована, Т = Т*к,
1 (а). Выберем для всякого счетного множества tj
гомеоморфизм f : Q(r\) ™>Ш2. Если при этом т) С S, то пусть рт ^Cont (S)
определяется равенством fP (х) = у11 (х ft у\) для всякого x(*Q(l).
Пусть для а ^ § Ра G Gont (8) определяется равенством Ра (а;) =
= #fta для всякого а;^9(^)*
Введем некоторые сокращения. Пусть Ху Y, Z ^ Nor* х (Е), а £ §,
/, g"G Cont E), ттг, тг£<о, т)£/(Е), а = (а, л).
Определим XЦf^g^Hh [А — функция из g"X в /"X и
Vz [з £ X-^ / (я) = A (g (ж))]] (отметим, что если X ///<g, то
указанная А единственна и непрерывна; непрерывность следует из
компактности Q(t) и непрерывности /, g); XЦf = g^XЦf^.g&
&X//g</; X///<^^X///<g&VC/[f/GNor*x(E)&C/CX^
-+~UHg^f]; {7, Z}//(/, т)^ЯЛШ[й, l^kk^l&iYyYz
ly£Y&z£Z-*f(y)(m) = k8cf(z)(m) = l]]; X Ц f => т, ^ Х///<р^
(X///=>7| означает, что /,|Х фактически зависит лишь от zftij,
а не от «G^(g)); X//(/, a)^RmRYRZ [{7, Z} - п. р. X с. а&
41

&{Y, Z)H(f, m)&(Y{JZ)\\\a&a(Y\jZ) = a]; (/, ч) || {Y, Z) ^
^Y^fl = Z^-nScVyVz[y^Y&z^Z&y^7l = z^yi^f(y) = f(z)];
X\\\(n, /)^'X|||(n)&VuVrV*[*<n&r, t£T[k]-* [(/, ijx(r, *))|
| {Xf(=> r), X (=> *)} V Ят [{X (=> r), X (=> 0} // (/, n»)]] & VzVj/ [ж, у £
еХ(=>г)-»р{/A), /(^X-i-jj; X|||(n,/<g)^X|||(n, /)&
& X III (re, 'g) SiVkVrYt [k < re & r, t£T [k] & (g, т,х (r, 0) II (X (=> r),
X(=>«)}-(/, tix(r, 0I1 {X(=>r), X(=»<)}]; X//(«. /<g)^X|||a&
&[Яш[Х///=»<рх((а, m))]\/VmVFlm6(o&yeNor*x(S)&FCX->
■*~y//«r=>?i((«. w))]].
В дальнейшем в hT буквами X, У, Z (возможно с индексами)
будут обозначаться лишь элементы Nor* x (!), и это иногда не будет
дополнительно оговариваться.
Цель этого параграфа выделить в Cont (I) функции вида [За
«в терминах формулы X// f^g».
Лемма (б). Пусть ?]£/(£), X {\ti = Y {\г\, /GGont(S). Тогда
имеет место (i) или (и), где (t) (/, tj) || {Z, У}; («) ЯттгЯХгЯУ!
[X1QX&Y1QY&X1i\7i = Y^rlk{Xv Гг) // (/, m)].
Доказательство. Пусть (j) не имеет места. Тогда найдутся
х0 ^Х,у0^ У, m,k,l£ со, такие, что х0 ft т) = г/0 ft т), /с^4Z, f(xQ)(m)=k9
f(yo)(m) = l. В силу непрерывности / имеем: найдется
окрестность С/ точки х0 в (?(£), такая, что Vx[x£U^> f (x)(m) = k\ (I).
В силу же В5 (ж) (i) найдется Х2 С X, такое, что гс0 £ Х2 С С/
(напомним, что предполагается Х2 ^ Nor* x (?)). Пусть У2 = У f| (X2 ft
ft т] ft?). В силу В5 y2£Norx(E), а в силу z/oft т\ = хо{\ т\ж хо£Х2
будет у0 ^ ^2» Аналогично выбираем Ух С У2, такое, что Vi/ [г/ ^ Ух-^
-»f(y)(m) = l] B) и ^x^^rKyxftTiftl). Вновь в силу В5 Х±£
^Nor*x(E), а из A) и B) ясно, что {Yv Хг) U(f9 m), что и
требовалось.
Следствие (в). Пусть а£?> ^|||л» а = а(Х), т] = ^(а). Тогда
Х//(/, a) = ~XHf=>n.
Доказательство справа налево получается применением (б)
к Х(->а, 0), Z(-^a, 1); слева направо очевидно.
Лемма (г). Пусть tj, a£/(l), /6Gont(S), Х///=>т], Х///=>о,
Уа[аба —7]&|caG4 —а-*Х//а^са]. Тогда Х///=>7]Г|а.
42

Доказательство. Пусть е = т] р|а, х, y£X,xfts = yfte,u = xfti\,
v = у ft а. Тогда, применяя В1 (г) к и, и, т\, а, X, получаем:
некоторое z(<X таково, что a — z ft т], v = zfto. Но тогда f(x) = f(z)=z
= f(y) в силу X///=>7j и Х///=>о. Т. е. f(x) = f{y). Лемма
доказана.
ЛЪыию (д). (г) если X ||| (л, /) и У С (п) X, то У ||| (п, /); (и) если
Х|||(д,/<г)иУС"<*)Х,тоУ|||(*, /<£); (Ш) если Х//(а,/<*),
У CI и У ||| а, то У//(a, /<g); (и;) если Х|||(л, /), то найдется
YQ(n)X, такое, что У ||| (тг + 1, /).
Доказательство. Докажем (Г). В силу Y С1(п)Х и В6(в), В6(е)
имеем: если k^n, r, t^T[k], то Y(=>t) QX(=>t) A)ит}х(г, ^) =
= 7|F(r, *)B). Пусть к^п, г, ^r№- тогДа из х\\\(п, f) имеет
место (/, Tjz(r, *))||{Х(=>г), Х(^^)} C) или {Х(=>г), X (=>*)}//
// (/, т/г) D)г для некоторого т.
Пусть имеет место C). Применяя B), определение у\х(г, t) и
3(а)A), отсюда легко получить (/, т]7(г, t))\\ {Y(^>r), Y(=>t)} E).
Аналогично, из C) вытекает {Y(=>r)y У(=>^)}//(/, т) F). Т. е.
имеет место E) или F). Отсюда У ||| (п, /) тривиально, (i)
доказано.
Остальные пункты доказываются аналогично. Подробности
оставляются читателю.
Лемма (е). Пусть X ||| (л, g^/), a = if(ra), X(=>J)|||a для
всякого t£T[n], i\t m = TxC=>^((a, w)) для всяких ££Г[7г] и wfo) и
имеет место VYVtYmRZ'&k [t£T [n]ScY QX(=>t) & У // / => tj#>w ->
-> Z С У & Z // g1 => y\t k]. Тогда найдется У С (^г) X, такое, что если
t£T[n], то У(=><)//(«. g<f).
Доказательство. Совершенно аналогично В7 (г) (i) можно,
используя (%)(ш)у доказать, что имеет место (i) если Y С.(п)Х,
чСГМ, t£T[n] — т, Уг[гет->У(=>г)|||а&У(=>г)//(а, ^</)],
то найдется Z С (дг) У, такое, что Vr [г ^ т U {^} -> Z (=> г) ||| а &
&Z(=>r)//(a, g^f)]- После этого лемма следует из (/) аналогично
доказательству В7 (г) из B7(r)(t). Подробности оставляются
читателю.
2. Лемма (а). Пусть X, w, /, g\ а, как в 1 (е)„ Тогда ЗУ [У £
С (д)Х&У ||| (гс+1, £</)].
43

Доказательство. Пусть Хх С (п) Ху таково, что Vt[t£T (n] ->
-+X1(=>t)H(a,g^.f)] A). В соответствии с 1(д)(ш) можно
подобрать У С (п) Хг так, что У \\\ (п + 1, /) и У ||| (п + 1, g). В силу 1 (д)
(ш) можно считать Y = XV
Учитывая 1 (д) (i — Ш) и В7 (а), можно считать также, что если
t £ Т \п], т наименьшее из таких, что Y(=>t) // g=> <?у> ^ ^ ((а, ттг))
(т. е., в частности, если такие т есть), то ^<C^y(=>n (a)«
Покажем, что Y искомое. Пусть г, t£T[n-\-l], г = го\ £ =
= С, Г0=7(^г0), Г1=Г(=>*0), Z0=F(^r), Z1==y(=>0,
^o^^F^o^o)» ^ = ^г(г, 0» (A^IK^o^i} C)- Нужно доказать,
что (g, т]) || {Zo, Zjj. Предположим противное. Тогда по Y \\\ (п + 1, g)
некоторое т g (о, таково, что {Zo, Zx} // (g, m).
Случай 1. i = f. Тогда по В6 (д) у] = у\0 и из D) и Г|||(л +
-f-l,fif) легко имеем {Уо, Уг} Ц (g, т). С другой стороны, из C)
имеем (/, т]) || G0, FJ E), что дает противоречие с У|||(ю, g^f)-
Случай разобран.
Случай 2. I =т^= /• Достаточно считать i = 0, / = 1. Пусть С/ =
= У(=>^°). Тогда в соответствии с доказанным в случае 1, E),
В6 (д) и У ||] (п + 1, /) легко получить (/, у\) \\ {Zo, U}. Вместе с C)
это очевидно дает (/, у\) || {Zv U). С другой стороны, из E) и
Yll(n>g<f) имеем (g, т]0) || {Уо, Ух} и, как и выше, (g, ц0) || {Zo, С/},
что вместе с D) дает {Zv U) \\ (g, m). Таким образом, (/, t\) || {Zly
U) 8с {Zv U) I/ (g, т). Ясно, что Z± = Y± (-> а, 1) и U = Ух (-> а, 0).
Учитывая У ||| (п + 1), имеем: Ух ||| а. Пусть а = а (Ух) = (а, т0).
Отметим, что в силу (/, т]) || {Zx, С/} будет Y1H f=>r\. Далее, в силу
i^Lj и В6(д)(й): 7jCo = 7]F(^^°). Вместе с У|||(тг + 1» /) отсюда
легко следует Y±H f=>a. Но тогда в силу A) для некоторого п и
о1 = ср^1((а, /г)) будет Y1l/g=>31 (так как очевидно о = <ру1((а, m0))).
В силу B) можно считать п <^ mQ. Но тогда ох С а и очевидно
Ух // gf => о, что дает очевидное противоречие с {Zx, С/} // (g, m) и
Оба случая разобраны, лемма доказана.
Лемма (б). Пусть X ||| (л, g</), я, у£Х, f(x) = f{y). Тогда
Р(«Г(«)» «r(»)XgJi.
Доказательство. Пусть г, £ (« ГИ, 7| = 7]Z(r, f), ^ ^ Х(=>г),
z/G^(=>0- Тогда в силу Х\\\(п, /) и f(x) = f(y) имеем (/, т]) ||
44

|| {X (=> г), X (=> #)}, откуда по X ||| (п, g < /) получим (g, tj) || {X => г),
X (=>£)} A). Теперь в силу X (=>r){\*ri=:X(=>t){\ri подбираем
y1^X(=>t)f такое, что у1^1\ = х^у\. Тогда из A) g (x) = g(y1),
откуда, используя X ||| (nt g), легко имеем искомое.
Лемма (в). Пусть YnX [|| (и, £ < /). Тогда X//g</.
Доказательство. Используя (б), легко видеть, что если /(#) =
= /(?/), то Уи£р(г(ж), g(*/))<^+i],T. e. g(x)=g(y), что и
требовалось.
Теорема 2. Пусть X, /, g, таковы, что V У Va3Z [а £ § & У С Х->
^ZCF&2//(a,f</)]. Тогда ЗУ [У С Х& У//g<./].
Доказательство. Используя (а) и метод В8 (ж), можно
построить {Хп\п(<со} С Norx(^) так, что будут иметь место требования
В8 (а), Х0О.Х и дополнительно VraXw ||| (n, g ^ /). Пусть У=
==П {^иI w 6 ®)> Тогда по В8 будет У ^ Nor*x (?), а по построению—-
YCZX. Далее, по В8 (е) имеем: Yn[YCl(ri) Хп]. Теперь,
учитывая выбор {Хп\п£а} и 1 (д) (и), легко получить YnY\\\(n,g^f).
Применяя (в), отсюда легко получить искомое. Теорема доказана.
Следствие (г). Пусть X,f,g, таковы, что VyVir]3Z [У С Х&т]£
6/°(£)&y///=>7]->Zcy&Z//£=>7]]. ТогдаЗУ[УСХ&У//^<
Доказательство. Покажем, что имеет место условие теоремы B).
В самом деле, пусть YCZX, а£?- Можно считать У|||а.
Пусть 1Rm13.Zl\Z1QY hZx\\ f=>cpy ((a,m))] (если это не так, то
имеет место У//(а, ^^/), что нам и нужно). Обозначим т}=£=
= Ту ((а, иг)). Тогда т] (< /° (Е) и по условию некоторое Z2 С Zx, таково,
что Z2 // g1 => 7j. Возьмем теперь Z CZ2 так, что Z ||| а. Ясно, что
Теперь по теореме 2 имеем искомое.
Таким образом, свойство Xl/g^f может быть проверено по
свойствам У///=>т] и YЦg=>y\ для t\£J°(%). В следующих
пунктах 1Г доказанная теорема будет широко использована для
доказательства ряда прочих свойств элементов Cont (I).
3. Лемма (а). Пусть о, т] £ 7 (I), тг] С о, YmYaSLn[(а, яг) ({• тг| ->
-> (а, п) $ о], X е Nor*x (Е). Тогда ЗУ [У С X & У // ра => т|].
Доказательство. Пусть а = {а | 3zn [(а, 7тг)^а-- ?}]}, о°={а°|Яг
[(а0, г) ^ а]}, для a £ <j определяем т(а)= f[{m\ (a, ттг) ^ о} (из усло-
45

вия и определения а ясно, что т (а) £ ш, (а, т (а)) (£ а), для а0 £ о0
определяем т (а0) = [т (а), если са(£а; тгг(са), если а(£а; max
<m(a), m(ca))9 если а£ *&caG*] и ^={(/,((а°,0), 0)) | * £ m (а0)} (J
U{(«,((a°,l). 0))|m(a°)<i<2m(a0)}, где а = (а0, 0). Очевидно tj£
£ Г* [2/л(а0)]. Определим Ха<> = Х(=> tj)y У = П {^ | а0 £ <j0}.
Покажем, что У искомое.
Пусть о°= (а° | тг£ со}—какая-то нумерация а0, для всякого га
*(ю =ЭД- • •*«& ^(Wj =х(=> ^(»з). ТогДа из в4 (а) (й) очевидно Х(п) =
= ХаоП...П^ A)иГ=П{^(Я)|«6«>}B). Из B) очевидно У=^
7^0» F^Glos(S), т. е. N1 Ех(У); а из компактности (?(£) и 7V3 Ех
(Хш) для всякого л —7V3 ExG)(X(ll)GNor*xE) из 5 (е)).
Далее, если a = (а, 0) £ S, е = <^ Ы, и (< Y {\ е, то из В4 (а) и
компактности (?(£) имеем: если а^аох2, то (Yf)(u{\%)) ft&=:(ХГ\
(u{\l))i\a C); если a = (a°,0» tt°G^ то (ГП(^^?))йа = (ХаоП
Л (в ft E)) ft а D). Из C) и D) легко следует N2 Ех (У) и 7V2; Ex (У).
Далее, если ж (< ^2, то методом В5 (д) нетрудно подобрать х1 ^ Ш2
и ^-допустимую ЛГ^ так, что Gx,Kr {х1) = Gy,k (x). Отсюда следует
yGNor*x(E).
Докажем теперь, что х, y£Y, a;ftY] = ?/ft7|, то х ft o== г/ ft a E).
Предположим противное, т. е. пусть х ft a =7^ г/ ft з. Тогда для
некоторого а = (а0, г) ^ а и некоторого & £ ттг (а) имеет место х (аг) =£
=£у(аг) F), где а1 = (в9к). Пусть е = <^Е(а, 0). Ясно, что sCtj,
т. е. xfte = z/fte. Значит, в силу F) имеем lh((Yf)(uf\ I)) ft а)^&,
где к = ж ft e. С другой стороны, У С Хао, а из определения tao и
В4 (е) следует lh((Xaof](u{\ I)) ft а) ^ ттг (a°)> А, что дает очевидное
противоречие, доказывающее E). А из E) легко следует У//[3* => т],
что и требовалось. Лемма доказана.
Следствие (б). Если X, т| и а, как в (а), то ЯУ[УСХ&У//
//Р' = РЧ.
Доказательство очевидно из (а) и г\ С а.
Лежжа (в). Если X£Nor*x(£), &Gi, ^]б/(i), 3wf(a, m)^7j] и
^//Ра<Р\ то Х//а = са и Vw[(ca, лтгN^].
Доказательство легко следует из N2 &(Х). Подробности
оставляются читателю.
Следствие (г). Пусть X £ Nor*x (E), >j С g, tj = >j Х«>, а = {Ь | ЗаЗтп
[а6Ч&Ь<(а, ш)]}. Тогда ЗУ [У С XScY //j3a = p7»]. В частности,
если ч = {а}> то У//ра = ра.
46

Доказательство. Покажем, что f = $r] и g = pff удовлетворяют
условию 2 (г). В самом деле, если |а£/°(£) и F///=>|a, to по
(в) имеем VaVm [а £ nj -> (а, т) £ ;х\/ [(са, m)£\i8cY // а = са]].
Значит, можно считать njX^Q^, т. е. оСц и очевидно У//^=>[л.
Теперь по 2 (г) имеем искомое.
Следствие (д). Пусть X£Nor*x(E), а£§, е = <^5(а, 0). Тогда
3F[FCX&F//C8<Pa].
Доказательство тривиально следует из (в) и (г).
Лемма (е). Пусть bgg, X||b, /£Cont(£) и если F С X и
m£u>, то — F Hf=>y\ ((Ь, ттг)). Тогда найдется 7CI, такое, что
У//Рь</.
Доказательство. Покажем, что X, g = $h и / удовлетворяют
условиям теоремы Г2. Пусть YCIX, а£§. Можно считать У|||а*
Заметим, что если b = а или b = са & F // Ь = сЪ, то в силу
iV2Ex(F) будет иметь место F//(а, g^/). Поэтому считаем Ь=^=а&
8t[by£=ca\/Y ЦЪ=^сЪ]. Пусть некоторые т£ ш и ZO.Y таковы,
что Z /I f => еру ((а, т)) A). (Если таких т и Z нет, то вновь
^//(а> g^f))- Обозначим 7) = <pjr((a, m)). Покажем {b}X«> С tq B).
Действительно, если (Ь, тг) ^ т), то легко доказать т] С у\ ((Ь, тг)), и
поэтому из A) имеем Z///=>?f((b, д))> чег0 не м°жет быть по
условию. Таким образом, B) имеет место. Тогда очевидно
Z /I рь => тг], т. е. Z /I g=>y\ и Z // (a, g ^ /). Итак, условие теоремы
Г2 имеет место, откуда, применяя Г2, имеем искомое.
Лемма (ж). Пусть b ^ g, т] ^ / (Е), 7г ^ а>, (Ь, тг) ^ tj, X || Ь, X // Ь =
= cb^Vfc[(b, AN^i = (cb, Л) б т]], /, gGCont®, X//pb<ft
X///=>7i, FCI Тогда -У//«г</.
Доказательство. Если УС1, Yllg^f, то У//РЬ^РЧ, что
противоречит (в).
Лемма (з). Пусть/, ^6Gonf(?) и V F[F С Х--> -F//g< /].
T^^a3F3a37][FCX&a = (a, w)G 6& У || a&ij = ^ (а) &У///=>
=>Ч&У//Рв<Й-
Доказательство. Учитывая Г2, имеем: некоторые F2CI и а б I
таковы, что VZ[ZQ F2->~Z//(a, g"^/)]. Можно считать F2 || a»
В частности, ~F2//(a, g</), откуда З^Яш [^СУ^^///^
=><Рг1(а^ где а = (а» т)- Пусть т] = ср^(а).
47

Покажем, что YYVa[Y С Y1&o£ /°(£)& У//£=><?-> {a} X «> £
Co] A). В самом деле, если YCZ Yv a£ /°(S), Yl/g=>o и Згс[(а, ra)(£a],
то У//£ =><p£((a, га)), что невозможно в силу —У//(a, g<!/).
Итак, A) имеет место. Теперь, применяя 2 (г), имеем: ЗУ [У С
£Г1&Г//Ра<*]-
Ясно, что У, г], а искомое.
Лемма доказана.
4. Лемма (а). Пусть X£/Vor**(£), а = (а, 0)£S, е =<^Ы, о =
= sU({a}Xo)), /GGont(g), Х///<Р'. Тогда ЗУ[УСХ&У///<
Доказательство, По 3 (з) можно найти FjCl, •»] ^ /° (?)
Ъ(«§ такие, что Ух || b, Ym[Y1HЪ = сЬ ^>[(Ь, т)£т] = (сЪ, т)(+г(]]
и Y1llf=>r\8tY11/pb<Pff&Зяг[(b, w) $ ц]. Эти свойства
позволяют, как легко видеть, применить 1 (г) и получить У1///=>*У]Па»
кроме того, из Ух // Рь <С ра и 3 (в) следует b = a V Vm [(b, m) «^ a].
В обоих случаях Зяг[(а, m) ^ ^П0]» т- ©• 3/^[У1///=>е |J({a}X /w)].
Отсюда, применяя 3 (б), имеем: ЗУ [УСУДУ///^ е], что и
требовалось.
Лемма доказана.
Лемма (б), Пусть а, Ь £ g, X G Nor*x(|), Vw[(a, m)<(b, 0)].
Тогда ЗУ[УСХ&У//Ра<Рь].
Доказательство легко следует из (а), 3 (в).
Лемма (в). Если а£§, X£iVor*>c(£), то при Х"//а = са будет
^//Р. = Р«, а ПРИ ^//а=^са-~Х//|За<Роа.
Доказательство легко следует из 3 (в) и БЗ (в).
Лемма (г). Если а, Ь б g, X е Nor*x (&), X // Ра <РЬ, то Vi»[(a, то)<
<(Ь, 0)].
Доказательство легко следует из (а), 3 (в) и <^ % (Ь, 0) =
= <*ЦсЪ, 0).
Теорема 4. Пусть X £ ЛГог*хE), /, ^ 6 GontF), Z//g</
it VF1V/13F[F1CZ&/16GontE)&F1///1</->FCF1&F///1<
<g]. Тогда 3F3a[FCZ&F/// = pa].
Доказательство. Учитывая 3 (з), найдутся УС1, к] ^ 7°(?),
а = (а, nt), такие, что F || a, [rj = «p°({a})& F//a=^=ca] V [ =
=?«({а, ca})&F//a = ca]) F//g=>4, У//Ра</. В cnflyF//pa</
48

имеем: Г//ра =/ V ^Yl[Yl СУ&У^/р^/] A). Если Г//Ра=/
имеем искомое. Поэтому пусть 7ХС 7 и FJ/P </. Но тогда
по условию теоремы можно считать 71//pa<^gr, т. е. F1//Pa=>T],
что противоречит 3 (в). Итак, YY1[Y1 С Y ->^Fi//Pa</].
Значит, из A) имеем искомое.
Теорема доказана.
5 (а). В последнем пункте этого параграфа предполагается, что
card (/ (?)) ^ со, <^г задается формулой:
(a0, U m)^(b°y U n)^ao<b°\/[ao = bo8a = j&m<:n];
С° = е°, W° = Fo = Bo = \o = vo = n°=0-
Для X£Nor*x$) и /GGont(S) определим [i/(X) = {a| VF[F С
СХ->~7///^<р<>({(а, 0), (са, 0)})]}, v,(X) = {a| VF [7 С X -+
-+ ^У//ра</]}, ^(Х) = {а°|Ш[(а°, i) 6 ^(X)]}, vJ(Z) аналогично.
В силу определения х ясно, что Va[a(n§->
^х(Е)//а==са] A).
Лемма (б). Пусть т)£^ (Е), ff = {a|3/ra [(а, те) £•»]}, а =
= <j X », / б Cont(S), X 6 Nor*x(i), ХЦ/=>о. Тогда (j) ЯГ [У С
СХ&У///=>7]]; (й)об/(Е).
Доказательство, (и) следует из определения <^, а (г) из 3F).
Лемма (в). Пусть ц° 6 /0(^), 7] = -r]ox2Xu), а0 ^Н° — ^°, *£2,
а = (а°, 0, XeNor*x(|). Тогда ~Х//ра < рт.
Доказательство тривиально следует из 3 (в).
Лемма (г). Если X, F£ Nor*x(!), ycl, /6Gont(i), то (х«(Х)£
6/F°), ^-v0(ZN/(^), ix«(X)nv»(X)=0, Р»(Х)Ср)(Г),
v»(X)Cv«(y).
Доказательство легко следует из (б), (в),^С° = 10, 3 (в), 3 (з)»
Подробности оставляются читателю.
Лвжжа (д). Если X и /, как в (г), а°£Е°, то @ а0 $ [х<>(Х) ->
^3F[7CJ&a°G v^(F)]; . (й) а0 $ v» (X) ~+ 37 [7 С Z&a°G
€ ^ (УI-
Доказательство тривиально следует из определения fx}, v^ и (г),
3 (в). Подробности оставляются читателю.
Лемма (е). Если J£ Nor*x(?), /£Cont(£), то найдется YCZX,
такое, что ^ G) |J v°,G) = i°.
49

Доказательство. Если J A°) конечно, то £° конечно, и
доказательство легко следует из (г), (д). Пусть 7(£°) счетно. Тогда 1°
счетно. Пусть £°= {aj|i£io}, /(^°) = {^M6U)}- Предположим
противное, т. е. пусть VF[7CX->|xO(F)U v°G)^E°] A). Тогда,
используя (д), легко можно построить {Хп \ п £ со} С Nor* х (£) так,,
что Х0 = Х&У^[Хя+1СХя&аое^(Хя+1)и
^(^+i)&(^(^+i)-^) U (^(Хп+1 П ifi)^0] B)-
Положим р°= U {(^(Хя)|тг £ «>}, v°= U{^(Xw)|w £ (о}. Тогда из
построения и (г), (д) следует, что ц°£/(£0), p-°nv°=0, [x°Uv° = ^°-
Значит, [х° = т]0 для некоторого п. Но это противоречит последнему
члену конъюнкции B), так как [л**, (Хя+1) С [х°, v^(Zw+1)Cv°.
Полученное противоречие доказывает лемму.
Теорема 5. Если X, /, как в (е), то найдутся Z (< Nor*x(£)
и 7]°£/(Е°), такие, что ZCI и Я/// = рт, где т] = т]0х2Хо).
Доказательство. Пусть 7CI, таково, что p-^(F) U v°(Y) = l°,
7]° = p,o(F), 7j = 7j°x2x°) (наличие такого следует из (е)). Тогда
из определения [х^ имеем: F //Р*1^/. С другой стороны,
учитывая (а) A), (г), 3 (з), [xO(F) = v«(F), имеем: некоторое ZC7,
таково, что Z///=>7].
Теорема доказана.
^Геж^а (ж). Пусть т}°, а0 ^ / (^°), у\ = ^° X 2 X «>, а = а0 X 2 X <»,
X б Nor* х (£). Тогда (i) yf С а0 -> X \\ рт < ра; (и) tj° j£ а°-> ~ X // рт <ра.
Доказательство тривиально следует из (в).
§ Д. Несчетный случай
1 (а). Пусть фиксированы объекты 2°, Q = 2° х 2, 2 = Q X <»,
х = «, W°, F0, Х°, v°, тг°, Л°, С0), ZH, такие, что (i) выполняются
все требования Л°B, х) за исключением card B)^со;
(ii) D0 С {^° | Е° С 2° & card A°) <а>&£ох2Х">- начальный сег-
хмент 2}, О°=£0;
(in) D0 замкнуто относительно образования счетных объединений
и пересечений;
(ш)и^° = 2°;
(и) 2 с порядком <^ фундировано или D°={20} (в последнем
случае очевидно card B°) ^о> в силу (iv));
50

(vi) если £°£ZH, w£W°, m, п£ш, Х°(ш, n)£V>, то \°(w, m)^°
и 7j°(u;)C?0.
(б). Положим D = {e°X2|?°eZH}, 0 = {g x «IS€&}.(>(a)=
= U «?F)|6G-O}-
Для всякого V£D° определим <^o = <^|(| x £), где £ = £°х
X 2 X ">; W» ={w\w£W°&\°(w, 0) б i0}, /^ = F°|W™, C». =
= С°П1°, 5»0=50П^0, X».= X«j(^»ex«))t v«.= v»|(^».x«),
/z0o = n°|(^ooX">), *e.= (<^., W»M F»o, X»o, v«0, n°0, 5оо( q>^
очевидно, что при этом имеет место А00(Ъ, хЛ A). Поэтому можно
определить Q+ (|°) = Qx^ (Щ и Nor+ A°) = Nor* x^ (I). Определим <?+ =
= U {<?+(^°)И06^0}. Nor+=U{Nor+(eo)|i°6£>0}. Для ZeNor+(?°)
определим supp0 (X) = 1°, supp (X) = У> X 2, supp (X) = ^° X 2 X «>.
Если l°£D°, а£§ = ^ох2, ^СЕ = ?Х«>, card(у\) = со, то
определим Р5°»т и Р5„ а (Q Gont (?)) аналогично Г1 (а).
Если 1°, if£D°, т]°С^°, ? = 10х2х«>, ХС<?+(т]0), то
определим X ft +?о = (X й ?) П <?+ (Е0).
^ел«л«а (в). Пусть 5°, 7]°е#0, 1°С?, е = 10х2Х"), r) = i)°X
X 2 X «о, * € 2, а б V* X 2, а б /(ч), card (а) = <■>, X, Z6 Nor+(ij°),
У 6 Nor+(Р»), /, g б Gont(Ч). Тогда (г) рР.• = рч°.• ft l и р5„а =
= Р,о>а ft Е; (Я) <?+ Dе) = <?+ E°) ft п " <?+ F°) = <?+ (^i0) ft +^°; («0 если
XQYftn, то yn(Xft+e°)-Fn(Xft?NNor+(|0) и Y ft ч б Nor+ft0);
(й;) X(-^а, 0 ft +£° = (X ft +6») (-^а, i) и У (- a, i) ft т, = (У ft i,) (^a, /);
}У) если XftaCZfta, то (Zfl^ftaft ij)) ft+eo= (Zft+l«) fl (^ft«ft+?°
Ц x///<?^xft+i°///ftK?ft^
Доказательство, (i), (W), (v), (vi) очевидны, (tt) следует из (б) A)
и Б2, (Hi) — из В5, В2 (в). Подробности оставляются читателю.
2. Лемма (а). Пусть {()я | п ^ ш} — совокупность подмножеств Nor+,
такая, что (i) если X£Qn, Y£ Nor+, Y С*Х, то У £<?я и (н) если
X £ Nor+, то найдется Y £ @я, такое, что 7 С *Х; и пусть Z £ Nor+.
Тогда найдутся Y £ Nor+, E°GO° и {^Иб^}» такие> что Y Q*Z,
Y£Nor+(t°), <?;cNor+(E°)n<?w, YCUQnf Qn конечно и состоит
из попарно дизъюнктных множеств для всякого п.
Доказательство, Пользуясь 1 (в) (ш, iv, v), 1 (а) (Щ) и
свойствами (i), (и) из условия, нетрудно подобрать Е°£/)° и iVC Nor1"^0^
такие, что supp0 (Z) С S°, card (/V) ^ а>, и если обозначить X1 =
51

= Zft+£°, § = E°X2, 6 = gX«>, Sn = QnClN, то выполнятся @,
(ii), (Ш), (ta) из В8 (ж). Пусть У то, которое в этой ситуации
гарантируется В8 (ж). Полагаем для всякого п Q'n = {Y (■=>£) \t£
£Т[п]} (для некоторой заранее фиксированной §— допустимой if)»
Легко видеть, что У и [Q'n | п £ со} — искомые. Подробности
оставляются читателю.
Лемма (б). Пусть в = card (ш(о) (мощность ^континуума). Тогда
мощность любой антицепи в Nor+ не превосходит 0.
Доказательство. Пусть А С Nor+ — антицепь (в смысле порядка,
обратного С*) и card (А) ]> 6. Предполагаем, что А —
максимальная антицепь.
Ясно, что если А0 С 2°, 0< card(A°)<e, то в = card (U {Nor4*
(Е°) | Е° £ D0 & е° С А0}). Значит, если А0 С 2°, card (Д°) < в, то най.
дется такое Д° С 2°, что A°CA°, 0<card(AJ)<0 и VXRYRZ
[Х£ Nor+ & supp0 (X) С А0 ^ У £ А & Zg Norf & supp°(Z)C AJ&ZC
C*X&ZC *У] A). В силу этого можно построить [&Ра | a G ^ll
так, что (i) если а£о)х, то Д£ — объединение некоторого
подмножества D0 и card (До) ^ в; (ii) Ag£Z)°; (ш) {AojafcDj} возрастает
(в смысле включения) и непрерывна (т. е. на предельных шагах —
объединение предыдущих), (iv) если а£ш1; то VX3y3Z[X£ Nor+&
&supp°(^) С До-► У б 4 &ZG Nor+ &Z С *Х &Z С *У &supp°(Z) С
Положим Д° = U {Д£ | a g ш1}. Ясно, что card (А0) ^ в. Также легко
видеть, что если X £ Nor+, supp0 (X) С А0, то supp0 (X) С Д0, для
некоторого a^coj B). Определим А*= {Х\Х(+ A &supp°(X) С Д°}«
Из (i), (iv) и B) очевидно, что 4*^=0и 4* — максимальная
антицепь в N = {X | X £ Nor+ & supp0 (Z) С А0} C). Покажем А* = А.
Действительно, если Х£А — А*, то из C) имеем X§N, т.е. 1° =
= supp0 (X) <£. А0. Пусть т)° = £°П Д°. Тогда из (г) и 1 (а) (Hi) нетрудно
доказать т]° ^ А0. Отсюда в силу 1 (в) (Hi) У = Х{\ ?]£ Nor4* (т]0), где
т] = т]0 х 2 X <*>• Значит, в силу C) "найдутся Z, U £ /V, такие, что
С/£-4*> ZC*[/ и ZC*y. Пусть a°=:suppo(Z). He ограничивая
общности, можно считать т}° С о0 (иначе полагаем 8° = у\° \J a°r
b°£D0 no 1 (а) (ш), и Z/ = Zft+5°). Пусть cpo = a°U^0, Z1 = Z^\^\
Y1 = Zi\fi, X1 = Xn(Y1it^% Как и выше, cpOgZH, У^ Nor+G]°),
Zi^Nor4"^0), X^Nor4-^0) D). Далее, пользуясь В1 (д), нетрудно
доказать, что Zx ft 5 = Z1{\aC[i ft+£° E), где, как обычно, £ = !°Х
52

X 2 X «>, о = о0х2хш. Но по определению у\° и o°Q Д° ясно,
что о°П^0 = ^0, т. е. аГ|£ = 7]. Поэтому из E) имеем Z1ft£ =
= Ух Л +£°, т. е. в силу определения Хг будет Хх С Zx ft \. Значит,
вновь применяя 1 (в) (ш), получим W = Zif](X1{\ +<p°) £ Nor+. С
другой стороны, из построений очевидно W С *Х и W С *С/, т. е.
учитывая X, С/ («А и то обстоятельство, что А — антицепь, имеем
X=U. Но supp°(C/)CA° (так как г/6 Л*), a supp0 (X) = 1° <£ Д°,
что дает очевидное противоречие, доказывающее А = Л*. Отсюда,
из определения Л* и из card (А0) = card (ша)) = в легко следует
искомое. Лемма доказана.
Глава II. ОПРЕДЕЛИМОСТЬ В ZF
§ А. Связь структуры Q с вынуждением
1 (а). В этом параграфе будет указано, как анализ
непрерывных функций, сделанный в 1Г, поможет исследовать степени
конструктивности в предполагаемом расширении. На протяжении всего
параграфа фиксируются 2°, Q, 2, <, W°, F°f 5°, С0, Х°, v°, n°r
D0, х, удовлетворяющие условиям 1Д1 (а). Все остальные
обозначения из 1Д1 (а, б) также будут использоваться без
дополнительных определений.
(б). Определим параметрическое пространство S следующим
образом:
50 = {х | ранг (х) <^ ранг B \J х) -{- ш} — совокупность «имен» мно~
жеств указанного ранга «из исходной модели».
51 = {W}, W — имя «геяерического множества».
Если Sa определено, a^l, то определяем Sa+1 = {х\ранг(х)^
<а}и{я4в(з, с1э ..., сп)\А(х, у19 ..., уп) — формула ZF, все
свободные переменные которой выписаны, и с±, . .., сп£ Ui^lP^a}}.
Если Х^Оп пределен, то Sx= U {Sa|ag X}. Наконец, S =
= U{SJ«6On}.
Пусть «5? — расширение языка ZF одноместным предикатом 1п(х\
возможностью брать константы — элементы S и ординально-ограни"
ченные кванторы.
(в). Определим вынуждение X fore А, где X £ Nor+ и А —
замкнутая формула i?, индукцией по сложности А так:
5а

(i) если А есть ££уу то XlorcA^x£y;
(ii) X fore In (x) для всякого х;
(iii) если А есть я^И^, то X fore Л ^ [х есть пара (а, /), где
a £ 2, a = (a°, i, k), i, j £ 2, ft £ ш, причем a0 £ supp0 (X) и¥ж[а;^Х-»
_> x (a) = /]] (таким образом, W является именем генерической
функции из 2 в 2);
(iu) для более сложных А определение происходит стандартным
путем (см., например, [6] или [8]); при этом на Nor+ берется
порядок, обратный с С* и [X fore Л]&7С*Х-»У fore A.
Как обычно, пишем X |[— А ^=р Xforc ~ —А.
(г). Введем некоторую полезную символику. Пишем 11|— А,
если YX[X£Nor+->X\\-A].
Пусть О (xv ..., хп, yv . .., ук) — какой-то
теоретико-множественный оператор (т. е. ZF |— [для всяких xv ..., хп, yv .., 1/Л
существует не более одного О (xv . . ., хп, yv ... ук)]; например,
О(х1У у1) = [(х1, у±), если x-l^m; не определено иначе]), с1У ..., cM£S,
Mi» • • •» йя — произвольные множества и c£S. Будем называть с
именем О (сх, ..., ся, гг1? ..., ггЛ), если имеет место 1 |(— с==
= [О(сх, ..., ся, йх, ..., йк), если О (cv .. .„ йЛ) существует; в
противном случае 0].
Нетрудно доказать, что при указанных условиях имя
существует, но не единственно. Однако во всех рассматриваемых далее
случаях это имя можно выбрать равномерно, относительно cv ...
..., сп, %,..., ик из некоторого множества; его (имя) мы будем
называть каноническим именем.
(д). Введем некоторые конкретные канонические имена.
(i) если c£S, то Scl(c) — имя {с};
(ii) если CCS, С — множество, то Set (С) С S, таково, что
11[_ с g Set (С) для всякого с£С и VXRYRc1 [[X\\-c£ Set (С)]-н>
^FGNor+&7C_*Z&c/GC&F|l— c = c'] для всякого c£S;
{ш)уа-имя W(a) (a^Q);
(ш) иа — имя {(Л, г;(а, к))\к£о)} (а£ Q);
(у) г/i _имя TF|ti (т]С9);
(yj) уч — имя {(а, г;а) I аG Ч> и м*4 —имя {г;а |а^ ч} (ч С Q);
(i;w)-3l# — имя CL(X) (где Z^ G1os(t]) для некоторого т\ и СЬ(Х)*=?
^=р [замыкание X в топологическом смысле, если X£C1os(t|) для
некоторого т]]);
54

(uiii) /#— имя CL{f) (где /£ContGj) и т. д. аналогично (vii)).
(ix) c[c2 — имя [^(Cg), если сг— функция и с2£ dom (q)] (cv c2£S);
(.г) если 7]CS, card (?]) ^ ш, / £ Cont (?]), то /* ^ /* 'z/1 (легко
видеть, что 1||— i7a = pjo,a, если а£10х2 и £°££°).
Лемма (е). Пусть X £ Nor+, £ = supp(X), / £ Cont(E), m, к (< a>
иУж[^1^/(а:) (m) =&]. Тогда (i) X||—i*£Z#; (й)X[f-/*(*)=«,
(Hi) 1||—|W-функция из & в 2].
Доказательство (£, г7) тривиально, но весьма громоздко, и
опускается. А (ш) легко следует из 1Д1 (в) (ш) и IB5 (ж) (и).
(ж). Пусть e£S, С С S, Л(гс), В (я, i/) — формулы, не имеющие
других свободных переменных помимо указанных.
Если имеет место 1 ||— Vx[A (z) = x = c], то пишем Defo(^4(a:), с).
Если имеет место 11|— Vx [А (х) = В (х, с)], то пишем Def^^, yy
(А(х),с). Если имеет место 1 ||—Vx [А (х) = х g Set (С)], то пишем
ВеР(А(х), С). Если имеет место 1\\—Чх[А(х) = 3.у[В(х, у)&у£
£Set(C)]], то пишем ВеРв(х,&)(А (х), С).
Аналогичные определения введем для двухместных формул
A (xv х2) и с £ S X S, С С S X S и т. п.
2. Лемма (а). Пусть Л — замкнутая формула i?, X£Nor+, £°=
= supp°(Z), (?CNor+(E0), (? конечно, XQ\JQ и VFfFG^-^
->У|[1л]. Тогда Х\\-А.
Доказательство. Предположим противное. Тогда в силу 1Д1 (в)
(ш) можно считать Х\\——^4A). Из условия очевидно, что
некоторое У(н Q таково, что X П Y не является нигде не плотным в X.
Значит, по IB5 (ж) (Н), найдется Z£ Nor+ (S°), такое, что ZCXD^.
Тогда из A) Z ||—~4, а из Y£Q и условия — Z Ц—Л, что дает
очевидное противоречие, доказывающее лемму.
Лемма (б). Пусть X0£Norf, c£S, Zo||—с^ш(о. Тогда найдутся
F£Nor+ и /gGont(S), где ? = supp(F), такие, что FC*XohF||—
Доказательство. Достаточно считать, что 1\\— с(+ши> (Г) (если
это не так, то пусть cf — имя [с, если с£шо); ш X {1} иначе] и т. д.).
Определим для всяких п, к £ со Qnk = {X\X£ Nor+ & X ||— с (д) = Ж}
и @я= U{^?w,л |^6Ш}- В силу A) ясно, что имеют место
условия (i) и (ii) из 1Д2 (а). Значит, применяя 1Д2 (а), находим F^ Nor+
и {Q'n | п £ со} такие, что F С *Z0, ^ — конечное подмножество
55

Qn П Nor+(E°), элементы которого попарно дизъюнктны, где £° =
= supp°(F), причем Y Q\jQfn для всякого п.
Определим Q'n, к = Q'n П Qn, к и Unt к = П Q'n, k. Тогда из A)
и выбора У и Q'n ясно, что ufi= {k\Untk=^= 0} конечно для
всякого пB), Y=\J{Unik\k£un} для всякого п C), Untkf\Untl = 0
при А; =^=1 D) и C/wA. открыто-замкнуто в Y при п, к£и> E).
Определим на У функцию ^гУ-^ю так, что если y£Unk,
то g (у) (т) = к. Учитывая C, 4, 5), ясно, что определение g
корректно и g непрерывна. Значит, существует /£Cont(£) (где ? =
= Е° X 2 X ю), такое, что / | Г = gf.
Теперь, используя (а) и 1 (е), легко доказать, что Y и /
искомые. Лемма доказана.
Лемма (в). 11|—[<S и (ох неравномощны].
Доказательство. Нетрудно видеть, что предположение
противного ведет к наличию Хо£ Nor+и c£S, таких, что 11|—[с —
функция из й в &J и XQ ||— [с — биекция й на йх]. Для тг ^ со и а £ а)!
•определяем <?я,а= {Z \Х б Nor+&X |Нс(й)=й} и Qn = \J {Qnta\a б Од}.
Аналогично (б) можно найти 7 б Nor+ и {Q'n \ п б <о} так, что 7 С*Х0,
^ — конечное подмножество (?w П Nor+ (^°), элементы которого
попарно дизъюнктны, где Е° = supp0 (F), причем У С (J ^ для
всякого п.
Вновь полагаем (^f e = (^ П (?„. в и имеем: ия={а|^>и^0}
конечно, т. е. и= U{un I ^б00} не более чем счетно A). С другой
стороны, используя (а), легко доказать, что У ||— rng (с) С й,
т. е. в силу A) У ||—rng (с) =^= o)v что противоречит Y С2*Х0 и
выбору Хо. Это доказывает лемму.
3 (а). Определим такие формулы ^: x^Jny^rdz[zQ0io)&In(z)Sc
8tx(<L[y, z]] (иными словами, х конструктивно из у и некото"
рого z^^co «из исходной модели»), Со* (х, у)^х, у£юю&х^1пУ>
Eq*(x, у)^Со*(х, у) 8с Со* (у, х), Ls* (х, у)^Со*(х, у) к-Со* {у, х),
~Sc* (а, х) ^ Со* (в, х) & KzVy [Co* (a, z) & Ls* (z, x) & [Со* (и, у) &
&Ls*(y, x)->Co*(y, z)]]. Вместо 5с* (й X {0}, я?) пишем Sc*(x).
Будем писать Сои(х, у) вместо Со«^, а:>, <и, у» и ^дм(ж, г/),
Z5tt(^, у), |Уси(а:, г/), *5с„(а;) аналогично.
Лемма (б). Пусть Xб Nor+, g = supp (X), fyg£ Gont (I), X///<g
Тогда X|H Co* (f, g*).
56

Доказательство. X ||— [/*, g* £ шо)] очевидно из определений.
Пусть h — функция из rng(g) в rng(/), такая, что Yx[x£X-*-
-> f(x) = h(g (ж))], й* £ S определено для h аналогично 1 (g) (viii).
Тогда, используя 1 (е), нетрудно показать Х|(— f* = h#*g* A).
Пусть теперь z £ шо> — код /г в смысле какой-нибудь разумной
кодировки непрерывных функций (например, «пусть {/Jra£o>}—
эффективная нумерация всех базисных подмножеств ша) X шш и z —
характеристическая функция {п \h П /Я7^ 0}« Тогда легко
доказать (в силу непрерывности /г), что 1 ||—Yx[x£ dom (/г#)->/г#(#)£
££[£, ж]]. Вместе с A) отсюда имеем Х||—/*£L[z, g*]. Это
завершает доказательство леммы.
Лемма (в). Пусть £££>, ? = Е°Х2х«), X£Nor+(E°), t)£Z),
т] С S, c£S, agco-p z — какое-то множество, X ||—c = fa(iX^).
Тогда для всяких 7, Z(]Norb(£0), таких, что FC% ZC*Z
и F^7] = Zf^7] и всякого х имеет место [Y \\—,r(<cl = [Z||—х£с].
Доказательство легко получается индукцией по а с разбором
всех геделевских операций.
Лемма (г). Если X, I как в (б), /, #GCont(£), X||— Со* (/*, g*),
то найдется Y £ Nor+, такое, что supp0 (F) = supp0 (X), Y С X
и У///<?.
Доказательство. Предположим противное. Тогда в силу 1ГЗ (з)
найдутся X1^Not+A°) (l° = supp°(X)), .чб /(Е) и а = (а, m)G^
такие, что XXQX, Хг\\а, т\ = <р^ (а), Хх // g => т| и Хх // Ра < /.
В силу (б) и двух последних соотношений имеем Х1|(—Co*(va, гЯ)е.
Значит, некоторые a £ On, z и У £ Norb таковы, что У С*ХХ
и У \\—■ иа = FaB X У4)- В силу IB5 (ж, и) можно подобрать Z £ Nor+
так, что Z(ZY, Z ||| а и a(Z) = (a, га), таково, что п^>т.
Полагаем ZQ~Z(-+ а, 0), Z1 = Z(->а, 1). Тогда очевидно, что Vx[x£Z.->
~> ж (а, га) = £], откуда в силу определения ||— и va легко получить
^||—va(n) = i A) для всякого i ^2. С другой стороны, в силу
п^>т a(Z)^7] и, используя IB3 (в), имеем Zoft т] = Zx ft т\. Отсюда
по (в) получаем: Zx ||— ж ^ уа и Zo ||— х ^ уа имеют место
одновременно для всякого х, что дает очевидное противоречие с A) (при
х = (п, 0) и х = (пу 1)). Лемма доказана.
Следствие (д). Пусть X £ Nor+, £ = supp(X), /, g £ Cont(E)-
Тогда (i) если X // / < g, то X ft- Ls* (f, g*); (й) если X Ц- L5*(/*, gT)r
57

то найдется F G Nor+ A°) F° = supp0(X)), такое, что F С X и F // /<g.
Доказательство, (i). В силу (б) имеем X ||— Со* (/*, g*).
Предположим, что ~Х|| Co*(g*, /*). Тогда найдется F £ Nor+, такое,
ЧТО ГС1и F||-£<f (/*, /) A). Пусть a° = supp°(F), a = a°X
Х2х«. Полагаем Д = / ft о, gx = g ft a. Тогда из 1Д1 (в) (vi) легко
следует Y Ц f1<^g1 B). Кроме того, очевидно из 1 (е) (и), что
У ||—f* = f*&g*z= g*x C). В силу C) и B) достаточно считать
o° = i0, т. е. FGNor+(E°), FCZ. Тогда из A) и (г) следует, что
найдется Z£Nor+(l°), такое, что Zjlf = g и Z С F, что
противоречит FCl и X Ц f <Cg. Противоречие опровергает —X |[—
II— —-.fi'g* (/*, g*). Таким образом, Х|| Eq*(f*, g*), (i) доказано.
Аналогично доказывается и (и). Подробности оставляются
читателю.
Лемма (е). Пусть a£Q, X£Nor+. Тогда Х||— Sc* (va).
Доказательство. Как и в (д), можно считать а£§ = supp (X).
Пусть E° = supp°(X), l = supp(X), е = <?(а, 0), c = ^'*(^S).
Покажем, что имеет место X ||— Ls* (с, va) & Vy [Ls* (у, va) ->
~+ Со* (у, с)] A). Предположим противное. Тогда некоторое Y £ Nor1",
таково, что F С *Х и имеет место F || Ls* [с, ий) B) или F ||— Зу
[Ls*(y, иа)8с~ Со*{уу с)] C). Как и в (д), можно считать supp°(F) =
= Е°, т. е. FCX.
Рассмотрим случай B). В силу 1ГЗ (д) найдется Z£Nor+(£°),
такое, что Z С F и Z // ^°»6 < ^ а. Тогда по (д) будет Z ||— Ls*{c9 vj),
что дает очевидное противоречие с B).
Рассмотрим случай C). В силу 2 (б) найдутся Z £ Nor+ и / £ Cont(a),
где o = supp(Z), такие, что ZCI*Y, Z\\— Ls* (/*, и&) D) и Z ||—
]{ Co*(f, с) E). Как и в (д), можно считать supp°(Z) = E°,
т. е. о = ? и Z С F. Далее, из D) и (д) имеем: некоторое U £ Nor+(£°)
таково, что U С Z и U // / < C$0 а. Отсюда в силу 1Г4 (а) найдется
F£ Nor+(^°), такое, что V С U и У ///<Ре°'6. В силу (б) из
последнего имеем F |[— Со* (/*, с), что противоречит V С t/ С Z и E).
Итак, оба случая B) и C) ведут к противоречию,
доказывающему A). А A) и означает X |[— Sc* (va), что и требовалось. Лемма
доказана.
Лемма (ж). Пусть X£Nor+, cfS и X|f— 5c*(с). Тогда
найдутся F£Nor+ и а б 2, такие, что FC*X и Г|[—2?д*(с, г;а).
58

Доказательство. Учитывая определение Sc* (x) и 2F), имеем:
найдутся Хх £ Nor+ и /, g £ Gont (I) (где I = supp (X^), такие, что
Xi\t~c = f* A), XJh-L^fcT, f) B) и X^t-YylLs'iy, Л-
-^Со*(г/, g*)] C). В силу B) и (д) найдется Z2GNor+(i°) (где 5°=
= supp°(X1)), такое, что Х2 С XL и X2//g</ D). С другой
стороны, в силу C) и (б), (г), (д) имеем: если A£Cont(E), Z£Nor+(E°),
ZCI2 и Z//ft</, то найдется C/£Nor+(£°), таКое, что C7CZ
и Ul/h^g E). Используя E), D) и теорему 1Г4, имеем: найдутся
7 6Nor+(E°) и аб£°Х2, такие, что Y С Х2 и У/// = Р6в,а F).
Теперь из F) и (б) следует Y \\—Eq* (/*, ^а)> что в силу A) дает
У ||—Eq*(c, va). Таким образом, У и а искомые. Лемма доказана»
Лемма (з). Пусть X£Nor+, a, b£Q. Тогда
(О Vm[(a, m)<(b, 0)\ = X\\~Ls*(va, vb);
(ii) X\\-Co*(vayvb)^8L = b\J[b = cb8cXll8L = ca]yVm[(a,m)<4
<(b, 0)];
(tii)XHa = ca = Xft-Etf(va, vcs) и Z//a=^ca = Z|(~ -Co*
Доказательство легко следует из 1Г4 (б, в, г) методами,
аналогичными доказательствам (б), (г), (д), (е), (ж). Подробности
оставляются читателю.
Следствие (и). Пусть w£W°, для всякого п ^ = Х°(ш, п),
«Я = К, °) и c£S —имя {(Л, O^G^&L^^a», ^aj-*i = l]&
&[~£g*(£aw, ^aJ-^j = O]}, f = F*(w). Тогда 1 Ц—с =/*.
Доказательство. Предположим противное. Тогда некоторые тг
к £со, Z^Nor+, таковы, что Х|[— с (/й) = Ж A), но Х|[—/*(/й)=^Л? B).
Как и в (д), достаточно считать, что {^I^G03} £^° и ^ = '»lo(w7) X
X 2 X со С S, где £° = supp°(Z), 1 = 1° Х^Х^ Из A) имеем к = 0
или & == 1.
Случай 1. к = 0. Тогда из определения с имеем Х||—~Eq*
(yam, vcaj, что в силу (з) (ш) дает ХЦат=£сат. Но в силу
определения X Ц a=^=ca последнее означает V#[ж^ X ft т] -> f(x)(m)=
= 0], что в силу 1 (е) (и) дает -ХГ ||— f (ift) = 0, т. е. X|(— f (m) = JZr
что противоречит B).
Случай 2. /с=1 разбирается аналогично.
Следствие доказано.
59

Лемма (к). Если «G"a> и V = L[z], то l\\-Yz4y[[Co* (х, у) =
= Со,{х, y)]&[Eq*(x, y)^Eq,(z, y)]&.[Ls*(x, y)==Lst(x, у)] &
&[Sc*(x, y) = Sc,(x, у)] &[Sc* (*) = &:,(*)]]•
Доказательство тривиально следует из определений.
Теорема 3. (i) DefV(я,у) (Sc*(x), {^a|a£Q}); (и) Def^*(a.,y)
(Sc*(z)8tSc*(y)8LLs*(x, у), {К ^ь) I a, b£Q&Vm[(a, m)<(b, 0)]}).
Доказательство (i) — из (е), (ж); (ij) — из (г) и (з) (i).
Подробности тривиальны.
Эта теорема и является выражением связи между порядковой
структурой £ и вынуждением. В следующем параграфе будет
установлена зависимость между свойствами х и вынуждением,
гарантирующая те или иные свойства определимости.
4. Лемма (а). Пусть £°£D°, £ = Е°Х2х<», у\ — начальный
сегмент I (в смысле <), с = f' ч*, а £ Q, X £ iVor+ (P) и X |[— Со* (уа, с).
Тогда У/г[(а, /г)^т|] или X // а = са & Уд [(са, wJG7)]-
Доказательство. В противном случае, учитывая /В5(з),
найдется 7£/Vor+(£°), такое, что 7СХ, Я/г[(а, п)$т\] A) и [F//a^=
^са^Я/г[(са, /г)^^]] B). В силу Х||— Со*(уа, с) и 3 (г) можно
считать У//pto а^Р*°'\ что очевидно противоречит A) & B) и
/ГЗ (в). Противоречие доказывает лемму.
Лемма (б). Если X £ /Vor+, cv c2 £ 5 и X \ (— сх, с2 £ ш<о & - Со* (сх, с2),
то найдутся У£7Уог+ и а£ Q, такие, что YO*X, Y\\—Со*(va, сг)
и У|| Со*(и*, с2).
Доказательство получается аналогичным образом из (а) и /ГЗ (з).
Лемма (в). Пусть X£Nor+, а0 £ Е° = supp0 (Z), *£2, a = (a°,i),
Х\\а, yi = {b\b£i=zt0x2X<»&13.n[nA<o8c~b^>Ci, п)&[ХЦа =
= са-> ^ 6> (са, п)]]}, / 6 Gont (I), X | (— ^ Со*(ya, f). Тогда
j|[__Co*(f, pSMi*).
Доказательство легко следует из (а), (б) и 3(з).
Лемма (г). Если а£2, e = <Q(a, 0), то 1 |(-Ls*(^°>e*, ya) для
любого подходящего l°£D°.
Это — фрагмент доказательства 3(е).
§ Б. Введение в кодировку
1 (а). Указанные в А1 (а) объекты остаются фиксированными.
Пусть Ord2 — язык второго порядка с предикатом «£» между
переменными типа 0 и типа 1 и двухместным предикатом «-£»
60

между переменными типа 0 и Ord2 (Q) — расширение Ord2
возможностью брать константы типа 0 из Q и типа 1 из P(Q)*
Если ср — замкнутая формула Ord2(Q), то определим обычным
образом Q (= ср (интерпретируя а —$ Ь, как Vn [(a, n) <^ (b, 0)]).
Для всякой ср — формулы Ord2 B) определим ср — формулу X так:
(г) меняем всякое a£Q, входящее в ср, на уа;
(и) меняем всякое § С Q, входящее в ср, на ш*;
(Hi) меняем всякую запись ^5 на Ls*(t, s);
(iv) релятивизуем всякий квантор ср типа 0 к {ж| Sc*(х)}
(т. е. меняем ... 3# ... х ... на ... Яя [Sc* (х) & ... х ... ].
(и) релятивизуем всякий квантор ср типа 1 к {я|#(< Set
({w^QQ})}.
Определим далее формулу ср, произведя дополнительно:
(vi) релятивизуем всякую свободную переменную ср типа 0
к {x\Sc*(z)} и типа 1 к {х\х£ Set({w% |§ С Q})}.
Лемма (б). Пусть ср — замкнутая формула Ord2 и X£Nor+.
Тогда[2|=ср] = Х|[-ср.
Доказательство проводим индукцией по сложности ср. Если ср
ость а£с|, где a^QncfCQ, тоср есть ua^w^j и лемма следует
из определения w$ в Al(R)(vi). Если ср есть а-^Ь, где a, b£Q,
то лемма следует из А3(з)(г). Пусть теперь ср = ~ф и для ф лемма
доказана. Тогда [Q|=<p] -► ~[2(=ф]-> yY [Y G Nor+-> ~7 |(— Щ
(по-индуктивному предположению) -> VX [X £ Nor+-> X |[— ср] (из
известных свойств ||—). С другой стороны, если X£Nor+ и Х||—ср,
то очевидно ~Х\\—$ и по предположению —Qf= ф, т. е. Qj=cp#
Случай ср=~ф разобран. Случаи ср = ф&^, ср == Ф^Х» Т = ф-^Х
рассматриваются аналогично.
Пусть теперь ср = Я°#ф (х) (х — переменная типа 0) и если а £ Q,
то лемма доказана для ф (а). Тогда очевидно <р = 3.x [Sc*(x) & ф (х)] A).
Если Q|=cp, то для некоторого a£Q О(=ф(а), т. е. по индуктив.
ному предположению X |[— $ (иа) для всякого Х£ Nor+. Вместе с A)
и пунктом (i) теоремы A3 отсюда имеем X \\— ср для всякого X ^ Nor+.
Наоборот, пусть Х\\—ср. В силу A) и указанного пункта (i)
теоремы A3, отсюда имеем: для некоторых F£Nor+ и а£ Q будет
ylh"?(ya), т. е., по предположению, 2{=ф(а), или Q(=<p, что и
требовалось.
61

Случай ср = У°#ф (х) и случаи ср = Я1^ (х), <р = V1^ (x)
рассматриваются аналогично и представляются читателю. Лемма доказана»
Следствие (в). Пусть <?{хх, . . ., хп) — формула Crd2B), все
свободные переменные выписаны и все они — типа 0, K={(vai, ..,
.-•■ УаяIа1=<Р(а1. ••-. а,)}. Тогда DefVc*,*) (<?(xv • • •> *„). #)•
Доказательство легко следует из (б) и пункта (г) теоремы A3,
2 (а). Пусть теперь 90? — с. с. т. модель ZFG, указанные в А1 (а)
объекты являются элементами 9W, и все построение 1Д, ПА, ИБ1
произведено в 90? (т. е. Nor+gSDi, S С 3W, ||— определено в ЗЛ
и т. п.). Пусть также G— некоторый 9D? — генерический фильтр
на Nor+, <31 = <3JI[G], для всякого cfSc «наполнение» с согласно G
(определяемое, как в [6] или [8]) (тогда $1 = {с\ с£ S}).
Лемма (б). Если х^^ыОЖ, то x = f для некоторой /£ П
n{Gont®(E)|6G^}-
Доказательство. Пусть х = с, c^S. Тогда найдется X£Gr
такое, что Х\\—cf V После этого применяем А2 (б).
Лемма (в). Пусть х, у^^П^» x = cv y = c2. Тогда (i) если
z^cjftZ/, то найдется X^G, такое, что Х\\—Co*(cv с2) и (и) если
некоторое X£G, таково, что -ЗГ11— Со* (сх, с2), то х^с^у.
Доказательство. Если ж ^с^г/, то ж ^ L [z, г/] для
некоторого z^9D?. Тогда очевидно, что найдется X0£G, такое, что
-ХоН—cx^L[z9 c2]. Далее, в силу А2(б) можно считать, что cx = f*
и c2 = g* для некоторых /, g ^ Gont^* (?), ? = supp (Xo). После этого
методом A3 (г) нетрудно доказать, что некоторое X(*G, таково,
что XQX0 и XHf^g. Но тогда по A3 (б) X\[-Co*(cv c2), что и
требовалось.
Наоборот, если X£G, X\\— Co*(cv c2), то найдется (в силу
определения Со*) z ^ 5КПЧ такое, что х £ L [z, у]. Лемма доказана.
Лемма (г). Пусть дополнительно 2° = 5°, D°= {^°}, <3ft|=[S0 и х
удовлетворяют условиям из 1Г5(а)], / есть совокупность всех
начальных сегментов 1°, лежащих в 9J?, упорядоченная по
включению. Тогда Constoft(9^) порядково изоморфно J.
Доказательство. В силу теоремы 1Г5 и (б), (в) для всякого
яб^ГГ*0 найдется 7H£/, такое, что хжс^Хг?, где ay —p*°f4* и
т] = т]° X 2 X со. Покажем, что такое yj° единственно. В самом деле,
62

иначе было бы з^^эд 2*0A) для некоторых а0, т]0£/, а°=£т]0.
Пусть a0z=a°x2x«>, 7| = 7|°х2Х"> и для определенности
а°- yf=£0 B). Пусть / = р*°'\ g = f'°. Тогда из A) и (в) ясно,
что некоторое X£G, таково, что Х||—Eq*(f*, g*), т. е. в частности
Х||—Co*(g*, /*). В силу A3 (г) отсюда следует: некоторое F£G,
таково, что FCIX и Y \\ g ^ /, что дает противоречие с B) и
/Г5 (ж). Итак, т]° указанного вида единственно. Обозначаем его х(#).
Ясно, что rng(z) = J (например, х (хПо) = rf для всякого
Теперь совершенно аналогично с использованием A3 (б, г, д)
и /Г5 (ж) можно доказать, что х я^с^у -+х(х) = х(у) их <С<$1У -*
—> t {%) а х (у). Отсюда легко следует искомое.
Эта лемма является доказательством Т\. 3 (а). Рассмотрим более
интересный пример. Пусть E0 = coU{co}, D°= {I0} и т.д., £ = £°Х
X 2 X «>• Упорядочим £° так: m<^n^m(«n и а><^лг для всяких
пг, д^ш. Упорядочим S так: (со, i, m)<^((o, /, n)^?i = j 8cm£n;
(o), i, m)<^(n1 ;, k)^m^n; (mv iv п^^щ, i2, п^^рЩ^
6Щ\/[Щ = m2&Li1 = i2!kn1£n2]. Определим W° = {0}, yj°@) = {со}.
Определим f = F(O)A Gont (tj) (где tj = {0} X 2 X a>) равенством:
/ (^) = а: ^ (со, 0) для всякого ж £ Q (т)) (т. е. если m £ со, г g 2, ж £ () (т|),
а:(со, 0, w) = i, то f(x)(m) — i). Определим далее Х°@, щ) = т,
v°@, 7?i) = {a>}, гг°(О, m) = m, B°= 0, С° = {со}. Легко видеть, что
указанные в /Д1 (а) условия имеют место при таком определении.
Пусть <р(#) есть формула Ord2, выражающая [ср — минимальный
и максимальный элемент], <?0(х) — [х — минимальный, но не
максимальный элемент], 9«+1(ж) — [существует сплошная цепь длины лг -f- 2,
наибольший элемент которой — х, а наименьший удовлетворяет ср0]
(цепь U в частно-упорядоченном множестве Q называется
сплошной, если YuYvVq [u, v£Ukq^Q&u<q<v~+ q£U]).
Лемма F). (i) {а| Q|=<p(a)} = {(со, 0), (со, 1)}; (И) если лг ^ со, то
{а|Й|=сря(а)} = {(/г, 0), (п, 1)}.
Доказательство очевидно.
Лемма (в). 11|— иы> 0) = /*.
Доказательство легко следует из определения / = F@).
Лемма (г). Если п£а>, то DefJ^*, у) (<р, (ж), {у(я#0), ^(llfl)}).
Доказательство очевидно из (б) и 1 (в).
63

Следствие (д). Пусть для всякого п£ш А1 — формула ЭхЯу
Ы*)&?*0/)&~Я<?*(*> У)]. Тогда 11[—[^ссо, о> (Л) = 0 = ЛУ для
всякого гс£«>.
Доказательство легко следует из (в), (г) и A3 (и).
Лемма (е). Пусть Ап— формула, получающаяся из А*п заменой
в записи А*п Со* на Со, Ls* на Ls и т. п. и пусть имеет место
V = L. Тогда 1Ц-4, = Л;.
Доказательство легко следует из A3 (к).
Лемма (ж). Можно подобрать такую формулу Ф (х) языка ZF,
что ZF |— [Ап = ЯЮ1 (= Ф (л)] для всякого я £ <о, где Яв>1 = (ж | card X
X (ГС (х)) ^ со} — совокупность наследственно не более чем
счетных множеств.
Доказательство очевидно.
Следствие 3(з). Если V = L, то 11(—[uilOt 0) определимо в Яш
формулой ZF1].
Легко следует из (ж) и (д).
Следствие (и). Если F = L, то 11|—[v((lit0) определимо
некоторой формулой анализа].
Доказательство легко следует из (з) и следующего факта,
который мы берем из [23], лемма на стр. 281.
Предложение (к). Пусть xv ..., хп £ "ш, х £ ша), ICV Тогда
[X определимо формулой анализа с константами а^, . .., £„] =
^ [X определимо в НШ1 формулой ZF с константами xv ... жя] и
аналогично для х.
Изложенный здесь пример построения определимого
действительного числа будет широко использоваться в главе III.
Приступим теперь к другим примерам.
§ В. Построение проективного полного упорядочения
1 (а). Пусть 9К и 9 таковы, как в условии теоремы ТЪ, Все
построения пунктов 1 и 2 этого параграфа происходят в ^fft.
Определим 2° = ({0} X вI(({1} X © X <оI1{B, «, 3, *)I*GPG
£б&*£2}, # = {T|y£e&O<(>ard(T)<<0}, для Т£# 5°(т) =
= ({0} XT)U({1}XTX«>)U{B, а, р, г) I«GP G T&«G T&* € 2},
g(T) = 8O(T)X2f 6(T) = g(T)X», Ci^=U{GontF(T))|TGH}. Для
/ £ Cont (S (у)) обозначаем y = bas(/).
64

В силу тех обстоятельств, что с/(8)^>со и имеет место V = L
(в <3Jl) по условию теоремы Т5, легко подобрать такую биекцию р:
Cnt^Q-{0}, что V/VT[TGff&/eGont(E(T))-TCP(/)](l).
Для а £ в — {0} определим aa = р (а), у (а) = bas (аа); пусть
8а £ Cont (Е (у (а))) определяется равенством: [§а (ж) B™ Bп -f- 1) — 1) =
= 0^ajx)(m) = n]8t = [\(x)B™Bn + l)-l) = l^oa(x)(m)^n]
(таким образом, rng (8а) С Ш2); определим далее у* (а) = П (т I T (а) ^
С у С в & V р [р £ у — {0} -^ у (Р) С у]}. Легко видеть, что если
а е в - {0}, то 8а £ Cont (I (у (а))) B); у (а) С у* (а) и card (у* (а)) < ш C);
Vp[SeT*(«)-y(p)Cy*(a)] D).
(б). Введем на 2° порядок <] так:
(г) @, а)<A, а, т)<^A, а, тг), если а^в и т^п^щ
(й)@, а)<B, а, р, 0)<B, а, р, 1) и @, р)< B, а, В, 1),
если а£C£в;
(ш) @, а)<A, р, иг) и A, а, тг)<A, C, т), если тгг, гг£а>
и абт*(Р);
(ш) B, а, р, 0<A» v? ^)» если ^ Р б Т* (v)' aGP» n£a> и ^ 2.
(Легко видеть, что так определенное отношение действительна
будет порядком).
Введем соответствующие порядки наО = й0х2 и Q = Q X w,
положив (a0, 0<(^°» j)^a°<b° и (а, тг)< (Ь, га)^а<Ь\/
\/[а = Ь&7г^т] (как и раньше, элементы Q0 будем обозначать
буквами а0 и 6° и т. п.).
Определим Я* = {у | у £ Я & Va [a £ у -> у (а) С у]} и D0 =
= {£°(y)|ye#*}, ^о=0-{О}.
Положим для и; = а^ W0 ии^ю 7го(а) = 8а, Х°(а, гг) = A, а, тг)>
5°=0, С° = ({0}хв)и{B, а, р, 0|«GPGe&iG2}.
Подберем v° и ^г° по уже построенным объектам так, чтобы
выполнялись условия А0 B, х) (без card B) ^ со); это можно
сделать согласно 1Б2 (б) A).
Читателю предлагается проверить, что 2 с порядком <^
становится фундированным множеством и условия [1Д1 (а) имеют место.
2 (а). Рассмотрим теперь формулы, определяющие в 2 те или
иные элементы Q. Пусть <рп(х), /г^со — формулы, определенные
в БЗ (а), для тг£о) фя(#, у) ^=? [существует сплошная цепь с
минимальным элементом х и максимальным г/, содержащая п-\-2
элемента &<Ро(я)]»' Ф(«, У. и, у) ^f ср0 (аг) & <ро (г/) & ф0 (а:, и)&%(у, и)&
65

&%(u,v)&ty1(x, о); f (и) ^ ЯжЯг/Я^ (ж, у, в, у); f (у) ^ ЯжЯуЯи
<|» (ж, у, в, у); X (ж, г/) ^ ЯггЯуф (ж, г/, в, у); х« (*. У) — Ф, (*. У)& ~
~f 0/)&~f0/)-
Лемма (б), (г) (a|Qf=fo(a)} = {O}xe X 2; (й) при ге>2
{(a, b)|Q(=*-(«» Ь)} = {(@, о, О, A, <*, л, /)) |абв&*. /62};
(Ш) {а, Ь)|О(=ф0(а, Ь)} = {(@, a, i), A, а, 0, /)) | а е в & h /62}U
U {(@, а, i), B, а, Р, О, /)) | а G Р € © &«» /62}U{(@, о, i), B, р,
а, 1, /))|ре«бв&«, /62}; И {(a, ^IQHtiCa, Ь)} = {((О, a, i),
A, а, 1, /))|а6в&г, /б 2} U {((О, а, 0.B, а, Р, 1,/)) | »6Р 6 ® &».
/ 6 2}; (у) {(а, Ь, с, d) | О^Ф («.ь, с, d)} = {(@,a, г), @, р, /),B, ос, р, 0, к),
B,о,р, 1, 0)|<*бРбв&». /, A;,Z62};H{a|S|=f(a)} = {B,a,p,
О, 01«6Рбв&*62}; И) {a|fl|=f (а)} = {B, а, р, 1, 01«€Р€
6 в & i 6 2}; (отй) {(а, Ь) | Q (= X (а, Ь)} = {(@, a, i), @, р, /)) | в б Р €
6 6&i, /62}; (te) при всяком п£ш {(а, Ь) | й(= х„(а, Ь)} =
= {(@, a, i), A, а, и, /))|а6в&;, /62}.
Доказательство тривиально и предоставляется читателю.
(в). Пусть теперь для всякого п А*п (х) — формула Яг/Яг [уя (х, у) &
& in (х, z) & ~ е?* (j/» z)]> а -^я (ж) — формула, получающаяся из А1 (ж)
заменой всех вхождений Со* на Со, Ls* на Ls и т. п. Совершенно
аналогично БЗ (ж), можно определить такую формулу ZF Ф (п, х),
что для всякого п£а>, ZF\—Yx[An{x) = Ha,l\={&(n, ж)].
Определим далее формулу 4F (ж, у) ^ г/ 6  & Уи [у (п) = 0 = Ф (ге, ж)] и
Ф^ж, z)^Hy[W(x, j/)&z6'"«>&VmVw[z(/n) = n = i/BB>Bra+l) —
— 1) = 0]. О)вершенно аналогично БЗ (г, д, е, ж) из (б) (ix) имеем:
Лемма(г). Если а£в — {0} и ig2, то 11|—Vy[у = 8J == Я»,|=
И=ф("(в.«.„. У)] и lB-Vzfz^oJs^^,,..,,,, *)].
Подробности предоставляются читателю.
Лвжжа (д). Defij^y) (^ (ж, г/), {(у(Ов а# л, ^@,p,y))la6PG
G еы, / g 2}.
Доказательство следует из (б) (уш) и Б1 (в). Пусть теперь
М(и, v)±?Kx&y[i(x9 у)&Чгг(х, 11)&^г(у9 v)] и Less(^, v)±?
^ М (и, v) & ЯхУу [ЧГХ (ж, и) & [Ч\ (у, у) -> 2^ (ж, у)]]. Тогда из (г) и (д)
легко следует:
Следствие (ж). 11|—[формула Less(#, v), релятивизованная
к #ov осуществляет полное упорядочение Set({o*|a^6}) и по
типу <; в].

3 (а). Вернемся теперь к внешнему рассмотрению. Пусть G —
какой-то 9W — генерический фильтр на Norf, для всякого с£8
пусть с — наполнение с согласно G (см. Б2(а)), 9t = 9J?[G].
Тогда из А2(б) получаем: 9*ГГ«> = {<£| а£ в — {0}} A), что
в силу 2 (ж) дает: 9^ |= [формула Less (и, и), релятивизованная
к НШх, вполне упорядочивает шо> по типу ^ в] B).
С другой стороны, в силу 9ftf=F = L, 1Д2 (б) и А2(в), имеем:
кардиналы ЭД и 91 совпадают C). Кроме того, из А3(з)(ш)
нетрудно доказать, что v(Of в# 0) =£ £@, ^ 0) при а =^= Р, т. е. 9Z |= card (в) <
^ card (шо)) D). Соединяя B), C), D), получаем: 9i f= [формула
Less(w, и), релятивизованная к Нщ, вполне упорядочивает шсо по
типу в] E).
Теперь в силу Б3(к) из E) следует 911= [некоторая формула
анализа без констант вполне упорядочивает континуум]. Вместе с C)
это завершает доказательство Г5.
(б). Совершенно аналогично можно доказать теорему Г5;,
получающуюся заменой в ТЪ «без констант» на «с константой z» и
«9ft|=:F = L «на» <5R\=V = L[z\%.
Подробности оставляются читателю.
§ Г. Кодировка с помощью введения
несчетного числа кодов
1 (а). В этом параграфе будет доказана теорема Т2. Рассмотрим
сперва некоторый частный случай — ?ffl\=V — L. Все построения
этого пункта происходят в ($Л.
Пусть ^ С . Определим Q0 = Г X со, Q = 2° X 2, Q = Q X «>•
Введем на 2° порядок: (х, тп) <^ (г/, ri)±=?x = y 8c m(* п; на Q: (a0, i) <^
<(&о? fi^-ap^ift. Ha 2: (a, w)<(b, «)^а<Ь\/[а = Ь&щ^].
Определим W° = F° = vo = tiO== 0, 5°=:{(a:, n + l)\x£&&
&x(n)^0}} C°={(x, n + l)\x£$:&x(n) = l}\J(rx {0}), Z)» =
= {ZX«)|ZC£f& card (Z) ^ со}. Ясно, что условия ТД1 (а) имеют
место. Пусть %(х) и фя(ж, у) — формулы из В2 (а).
Лемма (б). @ {а|Й|=сро(а)}=1Г Х{О}Х2; (й) {(а, Ь) | Q |=
(= Ф, (а, Ь)} = {((*, 0, г), (х, п + 1, /))|a?6iT&i, /G2}; (ш) если
*£<Г, ngco, [л = 0\/[л = *+1 &«(*) = !]] и XGNor+, a =
67

= (#, п, 0), то ХЦа = са; (iu) если #£5\ п = к-\-1 £<о, a —
= (*, л, 0), *(&) = 0 и X£Nor+, то Х//а^=са.
Доказательство очевидно.
(в). Как и раньше, пусть Л„ (ж) — формула ср0 (х) & Яг/Яз;
[%{х, у)&%(х> z)8t~Eq*(y, z)] и Ап(х) — формула,
получающаяся из А*п захменой Со* на Со, Ls* ш Ls и т. п. Аналогично
БЗ (ж), существует формула ZF Ф (тг, х), такая, что ZF[— Yx [An(x) =
= Нт1^=Ф(п, х)] для всякого тг. Пусть ЧГ (ж, г/) — формула <ро(я)&
&г/е°°2&Угг[гге«>^[Ф(^ «) = У И = 0]].
Тогда с помощью 1 (б) имеем аналогично БЗ (в—ж):
Следствие (г). (I) Def^(^)S(cp0(*), {^,0, л 1^6^^б 2}); (и)
DefV,,)(fc(^ ^ {(^.о.«. Ч*.*и. j>)\*GXbi> /6 2}); (ш)
МНуу1У = ^ = ^«11=^(^,0. о» УI Ддя в°яких ^^.f и iQ2.
Подробности оставляются читателю.
Следствие (д). 11|- £ = {я | Я^ |= За [?0 (в) & ЧГ (^ |^)]}.
Доказательство легко следует из (г) (£, г и).
Следствие (е). 1|=[J? определимо формулой анализа без
констант].
Доказательство из (д) и БЗ (к).
(ж). Это завершает доказательство фрагмента Г2 (для 'ЗЯ^
f=F = L). Аналогичным образо^м можно доказать более слабый
вариант Т2 (а именно, заменить «определимо формулой анализа»
на «определимо формулой анализа с константой и». Однако
элиминация представляет особый интерес и в этом параграфе
предлагается метод элиминации, связанный с введением а)х «кодов».
2 (а). Пусть Т — частично-упорядоченное множество. Назовем Г
точкой, если card (Г) = 1, и треугольником, если card (Г) = 3 и
порядок на Т имеет вид: a<^b, c<^b, а ж с несравнимы, где
Т = {а, 6, с}. Назовем Т квазилинейным, если существует
разбиение Г= U{^J o^G^ib причем (i) всякое Та — треугольник или
точка; (и) если а = 0 или а пределен, то Га—точка; (ш), если
«GPG0)i» ^б^оо yG^p» то Х<У «—порядок на Г).
Очевидно, что такое разбиение Т единственно (если
существует) A).
Пусть Т — квазилинейное ч. у. м., t(< Т. Определим гт(г) =
= a^t£Ta&. [Га —точка \Jt — не вершина Га, если ^ —
треугольник] и rT (t) = а+ *ь? [t£ Га & Га — треугольник & t — вер -
68

шина Га]. Ясно, что для t £ Тгт (t) существует единственно и
входит в о»! U {а+1 а £ а^} (где -\ просто значок) B).
Определим Г'а = сагA(Га). Для всякого а£а)х, пусть гет(<х) =
= {(п, 0)\п£ш&Г (а + л + 1) = 3}и{(л, 1)|눫>&Г> + л +
~J- 1) == 1} (£ Ш2). Положим й° = сох х 3 X «> с лексикографическим
порядком. Ясно, что &° с этим порядкохм изоморфно coj (с
естественным порядком). Пусть р: Q0 -^а^— соответствующий
порядковый изоморфизм.
Пусть и£ш2. Назовем Т w-линией, если Т—квазилинейное
множество и имеет место (iv) Va [a £ a^ -> гет (р (а, 0, 0)) = и].
Лемма (б). Пусть Г — а-линия, Г' — &' — линия, jx, jj-' ^ a)t
и {t \t g Г & rT (t) > [х} порядково изоморфно {/' | ^ £ Г7 & а> (^) > [х^}.
Тогда и = и'.
Доказательство. Легко индукцией noa^a^ доказать 7" (р, -f-
-j-oo-f-a) = Гг> ([х/-j-co-f-a) A). Далее, найдется «oG^i» такое, что
jx —[~ со —|— a0 = jx; —}— со -f- a0 = X и Х==р(|3, 0, 0) для некоторых X,
Р £ o>v Применяя A) к a = a0, a = a0 -)- 1, a = a0 -f- 2 и т. д., легко
получаем reT(k) = reT,(k) B). Но в силу (а) (iv) и выбора X будет
reT(k) = u, reT,(k) = uf, откуда в силу B) имеем искомое
(в). Назовем # £ ш24-числом, если Constx[#] (^co) с порядком <Сцх\
является ж-линией. В силу наличия формулы анализа Со и
эквивалентности Со (х, у) и х£L[у] для х, у£ши> легко видеть, что
некоторая формула А(х) языка ZF, такова, что Vx[x A — число
=ЯШ1 (= Л(ж)] — теорема ZFA).
Если ж Л — число, то пусть Тх = ConstLi^^oy) с порядком
<ед. Если при этом г/£%°> то пусть г^(г/) ~ггл.([г/]х[л;]). Из (а) B)
ясно, что в этом случае гх определено для всех у£ши> и
принимает значения в a^U {a+| a (£ toj B).
Легко видеть также, что если ж А — число, то х(*ш2 C); если
дополнительно af ^ и Х = г~1(а), то X состоит из одной степени
^-конструктивности или двух, образующих порядок
неупорядоченной двойки и в последнем случае г~1(а+) состоит из одной
степени х — конструктивности D).
Лемма (г). Пусть х А — число, и и, v £ шсо, ~Сох (и, и), ~Сох (и, и).
Тогда гх (а) = тх (и) и Vz [[Lsx (z, и) = Lf, B, у)] & [Lsx (и, z) =
==L^(y, z)]].
69

Доказательство очевидно следует из (в) B,4) и определения
А — числа.
Лемма (д). Если х А — число, a£u)v Х = р((а, 0, 0)), /г£со,
Х = г/(Х + ^)> то #(гс) = 1=Х состоит из одной степени я-кон-
структивности.
Доказательство очевидно.
Лемма (е). Пусть х, и, и как в (г), а = гх(и), а^C£аIУ
У&Г^Ф) (^(i3*) соответственно). Тогда найдется z £ г~г ф) (г~г ф+)
соответственно) такое, что Со (и, z)\/Co(v, z).
Доказательство. Пусть у£г£-ф) и C = а. Тогда из (в) D)
ясно, что Eqx (г/, и) V Eqx (у, и). Если 25^. (у, и), то полагаем
z = (jj, uy, если Eqx(y, у), то z = <(jy, z/>. Ясно, что z — искомое.
Пусть а£Р и г/^г (р). Тогда легко видеть, что Сох{и,у)&
8tCox(v, у) и z = <j/, ц> (или <(г/, у^>) — очевидно искомое.
Случай у £ г~х (Р+) аналогичен.
Лемма (ж). Пусть ж, и, и, как в (г), z/G^0» C°x(ui У) и
^Со^(у, у). Тогда #дя(и, у).
Доказательство очевидно из (г).
Лемма (з). Пусть х, и, и, как в (г), у А — число, Lsx(y, u)y
Lsx (у, v), Lsy (я, и), Lsy (#, у). Тогда (*) - Соу (и, v)8t~ Coy (и, и);
(ti)Equ(x, y)&Eqv(x, у); (Hi) если zly z2J таковы, что [Со (и, zx)\/
\/Co(v9 z^&lCoIji, z2)\/Co(v, z2)l то Cox (zv z2)~Coy (zv z2).
Доказательство, (i). Если Соу (и, и), то в силу Сох (у, v)
очевидно имеем Сох(а, и), что противоречит условию (г). Второй
член конъюнкции — аналогично.
(и). Из Lsx(y, и) имеем y£L[x, и]; из Соу(х, и) — х^Ь[у, и\у
откуда Equ(x, у) очевидно.
(ш). В силу очевидной симметрии достаточно рассматривать
случаи Со (и, Zj) & Со (и, z2) A) и Со (и, zx) & Со (v, z2) 8t~Co (у, zx) &
к~Со{щ z2) B).
Рассмотрим случай A). Ясно, что Cox(zl9 z2) = z1(<L[x> zj==
= гх£Ь[у, z2] (L[x, z2\ = L[y, z2] в силу в^ИПЬЫ
(которое следует из A)) и L[u, x] = L[a, у] (которое следует из уже
доказанного (H))) = C0y(zl9 z2), что и требовалось.
Рассмотрим случай B). Из Со (и, z±) и Cox(zv z2) следует
Сох(и, 22), после чего имеем u£L[x, z2] и L[x, z2] = L[yy z2] и
далее аналогично A). Лемма доказана.
70

Следствие (и). Пусть в условиях (з) р< = лс(ц), v = ry(w),
Р £ Ш1" Тогда Г*+{3 и Г*^ одновременно треугольники или точки.
Доказательство. Пусть 7 = {z|C0(tt, z)\/Co(v, z)}. Тогда из
(з) (ш) имеем: l^Jz^j П У = Мвд П У A) Для всякого z£"o); далее,
из (е) ясно, что если ?£шг, гЛ(z) = р. + у, то [z]Llx]C[Y =£ 0 B)
и аналогично, если r^(z) = v + T> то [z]LMf\Y =^= 0 C). Из A),
B) и C) имеем: если zv z2f "ш и jj.^гЛ(%)<гж(za) (имеется
в виду а<[а+<^а+1 в определении порядка на ^iUI^^G^i})»
то v^r^Xr^) и, наоборот, если v^r^^X^W. то
P<r*(*i)<r*(*2)-
Дальнейшее доказательство тривиально и оставляется читателю.
Следствие (к). Если х, у А — числа, то х = у.
Доказательство. Если х = у = и>Х{Цу то все ясно. Поэтому
можно считать, что х (т) = 0 для некоторого т. Тогда в силу (д)
и определения Л-числа можно подобрать и, v такие, что имеет
место [условие (з). Пусть [х и v как в (и). Тогда в силу (и)
имеем: {t \ t£ Тх & rTX (t) ^ [а} порядково изоморфно {t \ t£ Ty &
^V(^VI' Отсюда и из (б) имеем искомое.
Теорема 2. Если х А — число, то х определимо формулой
анализа.
Доказательство. В силу (к) х — единственное Л-число.
Значит, по (в)A) {х} определимо в Я^, формулой ZF без констант.
После этого, применяя БЗ (к), имеем искомое.
3(а). Пусть теперь 95?, и, SC, как в условии Т2, т. е. ЭД(=
\=V = L[ul гг£ш2, №£<ЗП, Ж С Ш2. Достаточно считать Ш\=
(= card («ff) > «>, т. е. ЭД (= card (jT) = %• Все дальнейшие
построения этого пункта проходят в (z0l. Пусть JT= {^JocG^i}*
Определение 2°, р и < берем из 2 (а). Порядки < на Й =
= 2°Х2 и <^ на ЙХа) = 2 определим аналогично В1 (б).
Пусть а^ш1. Определим следующим образом /а.
Обозначим ао = р~1(а), а = (а°,0), 7]° = {а°}, 7| = т]0х2х«>.
Полагаем /а £ Gont (т|), определенной равенством /a (a;) = <(ж f^ а, ж fj* са)>
для всякого x£Q(r\).
Определяем далее W0 = (%, для м; = a £ И™: F° (a) = /а, Х° (а, п) =
= (а, 2, л), v°(a, гг)={р-1(а)}, л°(а, л) = л, Д°= {аХЗХ«)|Об
a6aI},B°={(a,0,w)|aea>1&ii(^) = 0}U{(a, 1, п)|аеа>1&вв(л) =
71

= 0},C°={(a, 0, п)|ае«1&и(л)==1}и{(а, 1, п) \ а £аг 8сил(п) =
= 1). Легко видеть, что условия 1Д1 (а) имеют место.
б). Если а = (а°/ i)£Q, то определим £а = {b | b £ й &b ^a},
g+ = gaU{Ca}, ?a = ?a — {а}. Если a^, * = рИ, ^^0, a =
= (а°, 0), то определим ^а,0 = §а, Ч«д = §.а, 4j = 5j(=§i)' 4l =
= §;(=§;а); 7]а,о = >?«,оХ«> и т. п. Если при этом а°££° и >ja>0 С
Со°х2, то определим g£0 = p*0' Vo (£Cont(a0x2Xo>)) и х£0 =
= g°°* (£ #, # — параметрическое пространство). Аналогично — g^v
Х*о1 и Т. П.
' Лелелса (в). Пусть Е°б^0, XGNor+(E°), g = £0x2x«>, /GGont(S).
Тогда найдутся a £ сог, У G Nor+ (S°), такие, что У СХ, >j~ С £° X
X 2 Xой и имеет место одно из четырех: (i) Y Ц f — g%00; (ii)Y \\
/// = С' ФО Г/// = #*• и У//а^са, где а = (а°, б) и а<> =
= p~1(a); (iv)YHf = g-a0 и а пределен или равен 0.
Доказательство предоставляется читателю (всякий начальный
сегмент 2 имеет один из указанных четырех видов; выбираем
наименьший из них по включению и доказываем, что он искомый,
при помощи материала 1ГЗ (б—з)).
Следствие (г). Пусть Х£ Nor+, с £ 8, Х\\—с£йсб. Тогда
найдутся ja^coj и У £ Nor+, такие, что если положить a° = p~1(a),
а=:(а0, 0), то Y (Z*X, и имеет место одно из четырех: (i) Y \\—
IH^K с); (и)У||-£д*Ка, с); (ш) Г |f-Я?* «i;a, ^а>, с) & ~
~Eq*(va, vca); (iv)a пределен или равен 0 и У ||—Eq*(yr°\ с),
где а0 = supp0 (У).
Доказательство легко следует из (в) и А2 (б), A3 (г) (при
этом замена в (i) — (Hi) *«°она va и т. п. возможна в силу А4(г)).
Подробности оставляются читателю.
Следствие (д). То же самое с заменой Eq* на Eq.
Очевидно, из (г) и A3 (к).
Следствие (е). Пусть <*(<(%, a° = p~1(a), a = (a°, 0). Тогда (г)
11|—гул — квазилинейное множество]; (и) 11|—[^+i состоит из
Степеней КОНСТРУКТИВНОСТИ Ua, UCdi И ^а^са] (гДе иаиса(*8 ИМЯ
<^а, vca»; (Hi) 1||-[Гй' (а+1) = 1=ЕЯи(и^ иСЛ)]; (iv) если a
пределен, то 11|—[Г? — степень конструктивности х~ст°] (независимо
от выбора подходящего а0).
Доказательство легко следует из (д) и А4 (а, б, в).
Подробности оставляются читателю.
72

Предложение (ж). Если а^о^, &£3, а° = (а, к, 0),
л = Р(а0), то (i) при /с = 0 1 Ц—гетйEС) = м; (ц) при й = 1 1 |J—
|(— гетц(Ъ) = йа; (ш) при А = 2 1 |f— гегй(Х) = <уа, ува>.
Доказательство легко следует из (е), определений в (а),
А3(з), A3 (и). Подробности оставляются читателю.
Следствие (з). 1 ||— [Г" й — линия] & [й — 4 — число].
Легко следует из (ж) (г).
Теорема 3(и). (£) 11|—[й определимо формулой анализа без
констант]; (ft) 11|—[jt определимо формулой анализа без констант];
(ш) если a£Q, то 11|—[va ординально определимо в НШг].
Доказательство, (i) немедленно следует из (ж) и теоремы 2.
Из (i) и (ж) (и) следует (и) A1|— [формула Ф (х) ^ ЗаЯХЯ^ [a g ш1 &
& X = р ((а, 1, 0)) & А (и) & х = геу» (X)] определяет JT в Я^] в силу
2(в)A), (i) и (ж) (it); далее используем Б3(к)). Аналогично
доказывается и (ш).
Эта теорема, очевидно, доказывает Т2.
4 (а). Сделаем теперь набросок доказательства ТЗ. Проведем
все построение пункта 3 в произвольной модели 9D?, взяв в ней
произвольные и £ Ш2 и $С С Ш2 с условием 9D? f= card («ff) = ш1.
Дальше рассуждаем в ^01.
Пусть т ^ S — имя для [шо), факторизованное отношением Eqk,
с порядком Ls*]. Тогда, проведя аналогичные рассуждения, легко
доказать, что имеют место аналоги 3 (е) и 3 (ж), получающиеся
заменой в них Тй на т на всех местах. Из аналога 3(ж) (ш)
легко видеть, что 1|—Va[yaG^[x]] (!)• G другой стороны, из
несчетности Q (в 5ГО) и А2 (в) ясно, что 11|— VxRy [x g йш ->
-> г/ ^ йсб & ~ Со* (г/,^)] B). Далее, легко видеть из аналога 3 (е) (£), что
11|— [всякий несчетный начальный сегмент т совпадает с х] C).
Пусть теперь G — ^Л — генерический фильтр на Nor+, $ft =
= CJl[G]. Тогда аналогично Б2(в) имеем Q = Constc^ (9^) = х
(х — наполнение х согласно G). В силу A) это означает 9^ = 95? [Q].
С другой стороны, в силу B) 9^ = S!ft[#] не может иметь места
Для любого х^ЖП^, т. е. (?$9Р?М для всякого аг^Э^ГГ00-
Наконец, в силу C) и А2(в), всякий начальный сегмент Q,
несчетный в 9^, совпадает с Q. Это завершает доказательство ТЗ.
73

(в). Комбинируя метод ПВ и метод введения несчетного числа
кодов, можно элиминировать z из Т5' (см. ВЗ (г)).
Подробности оставляются читателю.
§ Д. Проективное дедекиндово множество
В этом параграфе предполагается V = L.
1 (а). Возможность существования дедекиндовых множеств в ZF
была открыта Коэном в [6]. Его первая модель для ~ АС в [6]
именно такова. Однако все дедекиндовы множества в модели
Коэна не являются проективными, что мы сейчас и увидим.
Действительно, пусть А(х, уъ ...,уп) — формула анализа (все
свободные переменные выписаны), р— вынуждающее условие
(т.е. р £ Р = {q | q £ Fun &dom (q) С со & card (dom (q)) < со & rng (q) С
£{(*> y)\z[Jy Ceo & xf)y = 0& card (x\J y)< со}}), cl9 ...,cn£S
(S, как в [6], гл. 4, § 9), р^с^иЬ... &ся6шсо], p\[-[{x\A(zf
cv --">cn)} бесконечно, но не содержит счетного подмножества].
Пусть #г£со таково, что если тс£Пш (т. е. 71^шсо&Yi[i£m->
-> 7т (i) — у & 3ra0Vj [Wq g (о& [^ п0 -> те (i) = г]]), то тесх = сх, ...
...,тея = ся, пр~р A). Заметим, что р|(— [{ж | Л (ж, сх . . ., ся) &
&x£L[a0J ...,ak]} конечно] для всякого &£<о (иначе в силу
наличия формулы ZF с константами ао>---»а&> ° которой
вынуждается, что она вполне упорядочивает L[a0, . . ., ак], вынуждалось
бы наличие счетного подмножества {х\А(х, cL, ...,cj}). В силу
этого найдутся q^p, т! ^ т, А: ^ со, {с'о, ...,Cj}CS, такие, что
в lh-vo:[B(*) = [х = со\/ ...\fx^c'k}} &с; =и= с; & с;^с;& ...
••• ^c'k-i¥=cfk B), где 5 (ж) ^ Л (a?, cv ..., ся)&ж^^К, • • .,М&
Заметим, что если с = с\ для какого-то i^.k, r^q, то
найдутся такие qv q2(< Р, что qx^r, q2^r, q1\m = q2\m и для
некоторого s£co qL\\—s(<с и д2||—s§c (иначе, как указано в [6]г
гл. 4, § 9, было бы г ||—c£L[a0, ..., ат-1]). В силу этого
найдутся qf, д"£Р и К7|г, /<Л}Ссо, такие, что qf, 4'^q, q! \m =
= <f\m и для всяких г, / <Л будет [?ЧН*</G сД &[д^Н*</€СЯ
иди [?4M,76<]cWiM,ye^i C)-
^ (б). Пусть все предыдущие рассуждения велись в 9К — ест.
модели ZF -\-V =L. Легко показать, что найдутся такие две
74

полные последовательности {/^|*£«>} и {#J ££(*>}, что @ еслп ^
и 9^' соответствующие им модели, то 9^ = 91'; (w) Vj[£(hco->
аг. — наполнение а,, согласно {pt-| *£<*>} и ai соответственно
согласно {q. | ^ ^ со}, то ai «ща..
Пусть xv . . ., хп — наполнения cv . .., сп согласно [p. \ i £ со},
х'о, . . ., х'к — наполнения с'о, . . ., ск согласно {р4 \ i £ со} и yv . .., уп,
Uv • • •> У к ~" соответственно согласно {^f | ^ G03}* ^ силу (££) и (а) A)
имеем Ч1[х. = у.]; в силу (ш) и (а) B, 3)—все xQi,..,xk%
у'{), . . ., у'к попарно различны. Пусть c£S таково, что у'о совпадает
с наполнением с согласно {ft | *£<*>} (из (i) такое найдется). Тогда
некоторое ££со, таково, что pt\\—[с =^=c'QSc... Scc=f^cfk]. Далее
в силу х1 = у1&с... &хп = уп и (ш), (iu) имеем: некоторое 7^ш
таково, что р . ||— В (с).
Можно считать, что i = j и pf.^g;. Но это противоречит
qf>q и (а) B).)
Противоречие доказывает, что в модели Коэна дедекиндовы
множества не определяются формулами анализа (даже с
константами).
Можно показать, что не определяются даже формулами ZF
с константами — подмножествами L.
Поэтому поиски -дедекиндовых проективных множеств нужно
вести не в столь симметричных расширениях.си
2 (а). Для всякого &Cw определим E2 = wX(a>U{a)})'
Упорядочим £о так: (Z, со) <^ (/, п) <i (/, к) при п£к (и других отношений
в определяемом порядке нет). Определим D0 = {Q \ и С со & 0 <
<сагс1Aг)<со}, 20 = ^? Q = go><2> 2 = аха>, ?м и ^ аналогично.
На 2 введем порядок <^ так: (Z, со, j, т)<^A, со, /, /г) =±^ ггг ^ /г;
(Z, со, i, т)<^A, п, /, к)^т^п; (Z, mx, ^, wxX(Z, m2, i2, w2)^
^? mx ^ m2 V [^ = m2 &. ix = i2 & n± ^ гг2].
Определим FF° = co, для Z^co r\° A) = {(Z, со)}. Если Z^co, то
определим i?0 (Z) = / £ Gont (tj (/)) (где tj (I) = yf(l)X2X^)
равенством: /(x) = x{\ (Z, со, 0) для всех ^G^l7!^)) (т* е* если т£®>
i £ 2, # (Z, со, j, m) = /, то / (x) (m) = /). Определим далее X° (Z, m) =
= (Z, m), v°(Z, m) = {(Z, m)}, »°(Z, m) = m,' B°=0, C° = coXW-
Это определение является со-мерным вариантом определения из
БЗ (а).
75

Если XfNor+(Q), то полагаем bas (X) = u. Если /£Cont (У,
то аналогично bas (/) = и.
Отметим однако, что не все свойства 1Д1 (а) имеют место.
Точнее, не имеет места только свойство, гарантирующее
замкнутость D0 относительно счетных сухмм A). В силу этого
доказательства А2 (б) и А2 (в) не проходят (можно даже доказать
обратные утверждения). Отметим, однако, что все утверждения Щ9
кроме 1Д2 (б), тем не менее верны, что предлагается проверить
читателю B).
Мы вернемся к этому вопросу в рледующем пункте, а пока
рассмотрим симметрии множества вынуждающих условий и
соответствующего вынуждения.
(б). Пусть П = {/1/£ ши>Шт?п[т£ a>&[w<>£ о>->/(п)=п]]} —
группа всех пермутаций о; для всякого т Пт = {/1 / £ П & / | m —
тождественная функция} — подгруппа П.
Пусть и^П,иСш,а° = (I, s) £ 2°, a = (а°, i) £ Й, а = (а, т) £ 2,
6° £ 2°, § С И, 6 С 2, я G <?(£), 1С(?(?), /£ Gont(S). Определим
действие тс на эти элементы тривиальным образом: tzu = tz"u (нэ
путать с тс (и) в случае, когда &£ш), tc<z° = (tc(Z), s), тса = (тш°, j),
тса==(тса, т), тсЕ° = {тса°| а°£ ^°}, тс§ и тс£ аналогично; определим
7zx £(?(тс£) условием ^ (а) = пх (тса) для всех <х£Е; наконец, тсХ =
= {пх\х(*Х}, Tcf={(Tc^, y)\(x, y)G/}« В частности, тсХ
определено для всех X £ Nor+; при этом легко проверить, что X £ Nor+—►
->TcZGNor+ и Z, 7 6Nor+&ZC*F-^TcXC*TcF B). Также легко
видеть, что выполняется свойство ассоциативности, т. е. если
тсх, тс2£П, iz = 7z1otz2 — композиция (т. е. тс (щ) = тсх (тс2 (т)))у то
для любых объектов а вышеуказанных видов будет ка = т:1тс2<з C).
Слегка видоизменим определение параметрического
пространства S в А1 (б), положив 81={izW\is£TI} (совокупность
некоторых формальных символов). Вместо eW, где е = {(тг, /г)|тг£а)} —
единица П, пишем просто W.
Продолжим действие тс на элементы S, положив тсг = £ для
всякого ж, TCTc-JF = тс о iZjW и далее пхА^ (х, cv ..., сп) = хАа (х, ncv ...
•.., 7сся). Если А — формула <2\ т. е. формула ZF с некоторыми
константами из S, некоторые кванторы которой ординально
ограничены, то определим пА как результат замены всякого с £ S,
76

входящего в А, на тес. Вновь очевидно, что указанная в C)
ассоциативность имеет место D).
Определим наконец вынуждение, изменив пункт А1 (в) (ш)
так: если А есть х £ vW, X £ Nor+, Y = п~гХ, то X fore A ±=p
±=?Y ioxtx^W, а последнюю формулу берем непосредственно из
А1 (в) (ш).
После этого обычным путем (см. [6], гл. 4, § 9) с использова~
нием A), B), C) и D) можно доказать:
Предложение (в). Если Х£ Norf, A — замкнутая формула «£?»
ТО [X\^A] = [7ZX\[-7ZAI
Подробности оставляются читателю.
(г). Далее, учитывая определение X fore А для A = x^nW и
А1 (ё) (iii) (которая, как легко убедиться, имеет место в силу (а)
B)), легко доказать, что если т^, т:2£П, те = ^0112, c = tzW,
c2 = Tz2Wy то 1 ||—c=ztz1c2 A). Отсюда легко следует, что если
тг£П, a£Q, tiQQ, a£Q, )]CfJ, /fContfa), с = /*, то 1 |[—
||— [иш = киа & W (па) = nW (а) & v%v = теуч & уте71 = пи^ & М7теч = тем;1* &
& тес = («/)*] B).
Определим теперь М = Set ({/* | Ш° [S0 £ -D0 &/ G Gont (S°X 2 Х«>)]})-
Тогда из последнего равенства в B) и очевидного /£Cont(E°X
Х2х«>)->«/бСопЬ(теЕ°х2х«>) имеем 1 ||— тгМ = М C) для
всякого тг f П.
Лемма (д). Пусть А — форхмула X, содержащая в качестве
констант элементы вида х, вида /* для /£ (J {Gont (S°X2X<o) | E°£
fZH}, а также М. Тогда найдется ттг£о), такое, что Уте[те^Пда-^
—^ 1 |р- V [Л ^ тсЛ]], где V означает совокупность кванторов
всеобщности по всем свободным переменным А.
Доказательство. Пусть /*,•••>/* — список всех констант А,
имеющих вид /*, ^ = bas (Д.), т^со, таково, что и.Ст для
всякого i = 1, . . ., т. Легко видеть, что если п £ Пт, то nf4 = /р
т. е. в силу последнего равенства в (г) B) будет 11|— тг/* = /*„
Вместе с (г) (з) и очевидных^ 1 ||—кх = х ясно, что т — искомое.
Лемма (е). Пусть! А — замкнутая формула X, т £ со и Vir [71 ^ Пш->
-^ 1 |j- А = пА]. Тогда VX [X £ Nor+ & m С bas (Z) & [X ||— Л] ->
Доказательство. Пусть X^ Nor+, Х\\— А, по Y = Xft%m таково,
что —ЗГ ||— ^4. Тогда найдется Z£Nor+, такое, что Z Q*Y и
77

21| А. Пусть a = bas(Z), ^ = bas(X), v = u — m, £/ = ZftEw.
Ясно, что C/CF, а из 1Д1 (в) (Hi) легко следует £/£ Norь (£?w) A)
и X' =Xf](u{\ ID £ Nor+ (S°) B). Отсюда ясно, что у =^= 0 (так
как иначе было бы 1'С1и X1 C1*Z). Пусть «Сш — w таково,
что card (s) = card (и). Подбираем п £ Пш так, что тиу = s, izs = v и
тс тождественна на m — (v{Js). Пусть Zl = nZ. Тогда по условию
имеем Zx ||— ~А. С другой стороны, очевидно Zx f\ lm = Z ft SOT = U,
и bas(Z1)nbas(X) = m C). Пусть t = bas (Zx) (J bas (X) и F =
= {^|^G^(U&^U^as(xo6^/&^Ubas(^N 2i}. Из B) и (З) легко
доказать V ^ Nor+. Кроме того, очевидно V С *XJ и FC *ZV что
дает очевидное противоречие с Х'С1Х\\—А и Z1\\ А.
Противоречие доказывает лемму.
Следствие (ж). Пусть А (х, у) — формула вида, указанного
в (д), свободные переменные которой выписаны. Тогда 1 ||—[если
{(п, к) | А (п, к)} G "Ч то {(и, к) | А (п, к)} G М].
Доказательство. Пусть т то, которое гарантируется (д).
Тогда из (е) ясно, что для всякого п^т Qn= \J{Qn,k \ &£«>}
плотно в Nor+(£°w), где Qn>k = {X \ X G Nor+ E°m) & [[Z j|- VZ ^
—-Л (/г, Z)]V^|I—^(^» ^)J}- После этого действуем методом
А2 (б). Подробности оставляются читателю.
Следствие (з). 11(- L [М] П ш«> = М.
Доказательство. Если X С ша), то всякий элемент L [X] П ^
определим некоторой конкретной формулой, в которой в качестве
параметров могут быть лишь X, элементы X и ординалы. После
этого применяем (ж).
Следствие (и). Пусть А (х, у) и т, как в (ж), a£Q—§w.
Тогда l|H*>a74(*, k)\A(n9k)}.
Доказательство. Пусть X ||—i;a = {(и, /^) | А (гг, к)} A).
Можно считать т £ bas (X). Тогда методом A3 (г) можно
построить Y, Z£Nor+ так, что Y,ZOl*X, Y ft lm=-Z{\ £wB), и для
некоторого га £ со F ||— ^а (^) == 0 и Z Ц— va (n) = 1. С другой
стороны, в силу B), выбора т и (е) ясно, что [Г||— Л(д, 0)]^
= [Z|[—j4(ri, 0)], что дает противоречие с A).
Следствие (к). Пусть N = Set({vittWt0)\l£(o}). Тогда 11|— [нет
счетных подмножеств N, лежащих в L[M]].
Доказательство. Предположение противного ведет к наличию
X£Nor+ и c£S, таких, что Х|[— [c^Mfi^ScVmYn[m£n£u>-^
78

-* (х)т¥*(х)я&(х)т£М}Ь ^ СИЛУ C) можно считать с = /*, где
/£Cont (Е0х2Х«>), Ео£/)°. Кроме того, можно считать, что
найдутся Z, т, тг£о), такие, что bas(/)Cm, Z(£m и X ||—у(/>я,>0) =
= (/*)#. А это дает очевидное противоречие с (и) (для а =
= A, со, 0)).
Таким образом, 11|— [некоторое подмножество М является деде-
киндовым в L[M]] (хотя еще и не доказано 1 (== N £L [М]).
Приступим к вопросам, связанным со степенями конструктивности.
3. Лемма (а). Пусть X£Nor+, E° = supp°(X), £ = £0X2X<d,
/GGontF), c£S и X|f-Co*(с, /*). Тогда найдутся Y£Nor+(£°) и
g£Cont(£), такие, что YQX и 7||— с = g*.
Доказательство легко получается методом А2 (б) с учетом такого
факта: если У£]Чог+, YQ*Xy У|[— х£с, то Y§%^=х£с (который
следует из 2(е)). Подробности оставляются читателю.
Предложение (б). Леммы A3 (а, б, в, г, д, е, з, и, к) имеют
место.
Доказательства всех указанных лемм не зависят от наличия
указанного в 2(а)A) свойства (при необходимости пользуемся (а)
вместо А2 (б)).
А лемма A3 (ж) принимает такой вид:
Лемма (в). Пусть ZGNor+, c£Sy E° = supp°(X), £ = |°Х 2 X «>,
/ £ cont E), X ||— Sc* (с) & Co* (с, f). Тогда найдутся У G Nor+ и а £ 2,
такие, что 7С*1и у||—#д*(с, Уа).
Следствие (г). Имеют место все утверждения (а), (б), (в) после
замены в них Со* на Со, Eq* на 2?<7 и т. п.
Очевидно следует из предположения V=L (в начале
параграфа) и A3 (к).
Лемма (д). Пусть a = (Z, a, i)£ 2, a£a>(J{«>}. Тогда 1 "|f— уа£Д/.
Доказательство. Берем произвольное l°^D°f такое, что а££ох2
и определяем на (?(£°Х2ХС*>) функцию / равенством f(x) = xfta.
Ясно, что 11|— /*£М (по определению М) и 1 |f— ^а = /* (из А1 (е)
и определения /). Отсюда легко следует лемма.
4 (а). Обозначим для всякой формулы анализа А и всякого
X С шсо символом Лх результат релятивизации всех свободных
переменных и кванторов типа 1, входящих в запись А, к X.
79

Предложение (б) ZF (—[Если ХСшо)Д конструктивно замкнуто
(т.е. YxVy[x, y£X+L[x, yJfl^CX]), то VzV?/ [ж, г/ б X ~>
-^[Со(ж, у) = Сох(х, у)]] и аналогично для 2?g, Ls, Sc.
Доказательство легко следует из анализа Определения этих
формул (в них говорится лишь о тех элементах шсо, которые лежат
в L[y]).
Следствие (в) (новый аналог A3 (ж)). Если X£Norf, с £ S,
-X"||—ScM(c), то найдутся F£Nor+ и a£Q, такие, что FC*X и
Y\\-Eq(c, иЛ).
Доказательство легко следует из (б), 2 (з), 3 (в), 3(г).
(г). Определим теперь формулы ср и сри, как в Б3(а).
Дополнительно определим фя (х, у) ±=? <р0 (х) & [существует сплошная цепь
длины п -J- 1 с наибольшим элементом у и наименьшим х]. Пусть
Ап(х) — формула ^(х)8с^у^[^(ху y)&t(x> z)&~Eq(y, z)].
Нетрудно написать такую формулу Ф (п, х) анализа без констант,
что EL ~f- СА |— Yx [Ап (х) ^ Ф (п, х)] A) для всякого п £ о).
Лемма (д). Если гг ^ со, то 11|—Vrc[4f (ж)^Фж(гг, ж)].
Доказательство тривиально следует из (г)A) и 2(з) (так как
1 [— м — модель EL + СА).
белела (е). (i) Defiff(a?, y) (jf (ж), {^(/,о, о I^G^&^G2});
(ii) если ^G">, a = (Z, 0, г)^О, то Def^, v) (^f (ya, «), {у(/,я,0),
^(/.«,1)})» (ш) если «6Ш» a = (Z, 0, *), b = (Z, со, /), то 1||— [vb(n)~
(iv) в условиях (Ш) 1||-[уь = {(л, 0)|Ф*(л, i;a)} U {К 1)|-
~Ф*(л, i;a)}].
Доказательство (i) — (iii) проходит совершенно аналогично
Б3(в—г—д—е) с использованием 3(г, д), 4 (в). A (iv) следует из
(«0 и (д).
Следствие (ж). Пусть W (х, у) — формула у £ Ш2 & Vn [у (п) = 0 =
= Ф(тг, х)]9 а и b таковы, как в (е) (iii). Тогда 11(— {иъ} —
Доказательство очевидно из (е) (iv).
Следствие (з). Пусть N (у) ^ &х [^ (х) & Ф (ж, у)]! Тогда ± ||—ЛГ ==
= {y|^VJf(y)} (определение /V в 2 (к)).
Доказательство очевидно из (е) (i) и (ж).
80

Теорема 4. 11|— [iV ^ Z. [М] & L [M] \= [N — дедекиндово
множество, определимое формулой анализа]].
Доказательство очевидно из (з) и 2 (к).
5 (а). Пусть теперь с £ S — имя [/, если / — функция из N в %,
такая, что для всякого x£N f(x) есть [<*)Х{0}, если (xH$L; (xH,
если (#H££]].
Лемма (б). 1 ||— [с —функция из N на L fl юа>].
Доказательство предоставляется читателю (нужно
воспользоваться тем, что всякое X £ Nor+ вынуждает нетривиальные
суждения о v(lt0)tQ) лишь для конечной совокупности Z).
Лемма (в). 11|— [о^ несчетно в L [М]].
Доказательство получается из 2 (з) методом 3 (а) и А2 (в).
Подробности оставляются читателю.
(г). Соединяя (б), (в) и теорему 4, легко имеем доказательство
теоремы Т4.
Глава III. ОПРЕДЕЛИМОСТЬ В АНАЛИЗЕ
§ А. Существенность параметров в схеме СА
В этом параграфе используется конструкция, близкая к НД.
Предполагается V = L.
1 (а). Для mCcoj определрш ?2 = иХ («>(J {<*>})• Положим 2° = ^.
Определим Q, 2 и порядки аналогично ПД2(а). Определим D° =
= {52|ttC(o1&0<card(tt)<(o}. Определения W°, F°, X°, v°, n°, 5°,
С0, bas делаем аналогично ИД2 (а) (но с заменой в нужных местах
о на (%). В отличие от ПД2(а)A), все требования 1Д1 (а) имеют
место и мы будем пользоваться результатами НА, ПБ в полном
объеме без дополнительных ссылок.
Изменим определение параметрического пространства S
аналогично ПД2(б): 81 = {п\¥\п£Щ, где П = {/1/ — биекция (ох на
ш1<&ЯаУр[а^оI&[а^р^(о1-^/(Р) = р]]. Определим для а^ш1
Па={т1|ти^11&тс|а — тождественная функция}. Сделаем также
все прочие определения аналогично ПД2(б). Однако М определим
иначе: М = Set ({f | ЯЕ°Ят]0[Е06^0&^1° С i°&Y]° — ограниченная часть
&/GGont(^x2Xo))&(?(^0x2x«))///=>^0X2x4}), где
ограниченной частью называется tj0CQ0 такое, что card {if) ^ со, эле-
81

менты вида (а, со) не входят в т\° и VaRrnVn [а £ а)х -> m £ со &
Предложение (б). Имеют место аналоги всех утверждений
ПД2(б — в — г — д — е) (после замен в соответствующих*;местах о>
на coj и т. п.).
Доказательство предоставляется читателю.
Лемма (в), i ||—[М конструктивно замкнуто] (см. ПД4(б)).
Доказательство. Легко видеть, что объединение конечного
числа ограниченных частей — вновь ограниченная часть A). В силу
этого 11|—VxYy[x, y£M->(x, уУ^М]. Значит, достаточно
доказать 11|— VxVy [х£М&Со(у,х)-+у£ М]. Пусть X £ Nor+, с, сг £ S,
-X"||— с£М&Co(cv с). В силу ИА2(б) можно считать, что с = /%
c1 = g* для некоторых/, g£Cont(£) (£ = E°X2x<», £° = supp°(X))*
Далее, в силу ПАЗ (г) и X\\—Co(cv с) можно считать X//#<!/B),
а в силу X ||—с(<М и определения М можно считать, что
некоторая ограниченная часть у\° С £° такова, что Q (?) // / => tj, где
y| = 7]°x 2 Х«). Отсюда и из B) имеем Xljg-=>y\. Легко построить
h Q Cont (I) так, что Q (I) // h => t\ и h \ X = g \ X. Тогда очевидна
11|— h*£M, a из ИА1 (е) легко следует X\\—g* = h*. Дальнейшее
доказательство тривиально.
(г). Отметим, что в ПД эта лемма следовала из ПД2(з), аналог
которой не имеет места (на этом и основана основная идея этого
параграфа).
Лемма (д). Пусть а = (а, тгг, i)£Qy т£<*). Тогда 1 ||— va£M»
Доказательство. Берем произвольное £°(н D0, такое, что а£^°Х 2
и определяем на Q (|° X 2 X w) функцию / условием / (х) = х ft a*
Ясно, что 11|—Г£М (так как т]° = {а0}, где а° = (а, т), очевидно
ограниченная часть в силу т=^=и>), а из определения / pi IIA1 (е)
ясно, что 11|—f = va. После этого лемма очевидна.
Следствие (е). Пусть формула^Ф (п, х) определена, как в ПД4 (г)г
а^со^ а = (а, 0, j), Ь = (а, о, /), i, ;£2. Тогда 1||—[уь =
= {A1, 0)|Ф'(Л> va)}[J{(n, 1)|~Ф*(|», va)}].
Доказательство получается из (в), (д) и ПД4(б) совершенно
аналогично НД4(е)(ш). Подробности оставляются читателю.
Лемма (ж). Пусть а = (а, со, i)(+Q. Тогда 1|[—уа^Л/.
Доказательство. Предположим противное. Тогда некоторые
X£Nor+, E° = supp°(Z), 7]°CE°, /6Gont(E0x2x4 таковы, что
82

^—ограниченная часть, Х||— уа = /*A) и X///=»?) B), где
т] = 7]°Х 2 Х<а)- Из определения ограниченной части ясно, что
если обозначить а = {Ъ | За [а £ -ц & & ^ а]}, то некоторое тгг £ со,
таково, что (а, т)(£а&(са, т)§<з. Но это, очевидно, противоречит
A), B), ПА4(а). Противоречие доказывает лемму.
Следствие (з). 1 ||—М не является моделью СА.
В самом деле, возьмехм произвольное а^о^ и определим
а = (а, 0, 0), Ь = (а, со, 0). Тогда из (е) и (ж) легко следует, что
1 ||— [в М не выполняется некоторый пример СА с константой va]
(можно написать этот пример).
2 (а). Покажем теперь, что 1 ||—М — модель АС*. Зафиксируем
в этом пункте некоторую формулу анализа А (п, х) (все свободные
переменные выписаны).
Предложение (б). Пусть {Щп) \ п £ со} С D0 и Е?я) П £?т> = 0 ПРИ
п=£т; Xw£Nor+(^и)) и 5(я) = £?„, X 2 X «о Для всякого п; I° = U
U{S(i.)|*e«>}, t = t°X2x<», Y = {z]zeQ®8c Vn[x{\tin)eXn]}.
Тогда FGNor+(E°).
Доказательство тривиально.
Предложение (в). Пусть {Щп)\п^а>} и ^°, как в (б), т$ С Щп) и
у\°п — ограниченная часть для всякого п. Тогда 7]°= U I7!? I ^ 6:ш} —
ограниченная часть.
Доказательство тривиально.
Лемма (г). Пусть Х\\— RxAM(щ х). Тогда \\\-Ъ.хАм(щ z).
Доказательство легко следует из 1 (б) и ПД2 (е) (поскольку
ъА = А для всякого тс^П).
Лемма (д). Пусть Х|[— Уп&хАм (п9 х). Тогда Х|[— гЯ.хУпАм (пу
<*)-)■
Доказательство. Предположим противное. Тогда можно считать
X ||— ^ RxVnAM (n, (х)п) A). В силу (г), 1F) и ПД2(е) можно
подобрать {Щп)\п£®}, {^I^G^}» {^SI^G00} так> что имеют место
условия (б) и (в), и дополнительно {/J^G^} так, что /я£Cont(%Cn)),
Q (У // / => П„ F(„ = 5?я) X 2 X <», т]в = < X 2 х») и Хя ||- А (Я /;) B)
для всякого ^ ^ со. Также можно считать supp0 (X) С ^0) и Х0С *Z.
Определим 7, как в (б). Тогда по (б) Y £ Nor+ (£°), 7 С *ХЯ C) для всякого п
(и, в частности, FC*X), где 6°= и{Е?я) I»€«>}• ПУСТЬ ^ = S°x2x«>.
Определим /£Cont(£) равенством: (/(^))Я = /Й(^Л^(Я)). Ясно, что /
в самом деле непрерывна. Кроме того, очевидно Q (I) // / => т| D),
83

где Y] = 7)°X2X<», 71°= U {^21 ^б ш}- Из определения / и ПА1 (е)
ясно, что 11|—/^= (/*)п для всякого тг£о). Кроме того, из D)
и (в) имеем: 11|— f£M E). Значит, в силу B), C) и E) будем
иметь F[|— Ам(й, (/*)#) для всякого п, т. е. F ||— YnAM (n, (f)n)
и Г ||—QxVnA*1 (п, {х)п), что противоречит A) и 7С*Х.
Противоречие доказывает лехмму.
Следствие (е). [11|—М\=А] для всякого А, являющегося
примером АС*. Легко следует из (д).
3. Рассмотрим теперь часть Г6 (£), связанную с АС(Х^).
Лемма (a). ZF\—[если ХС^со конструктивно-замкнутое
множество, А — замкнутая формула класса Щ с константами из X,
то А=:АХ (напомним, что А фактически означает ш(о\=А).
Доказательство. Для всякого х £ X пусть XX = L [х] Г) %.
Тогда по условию имеем: Х= \J{Xx\x(+X} B) и {<(#, у)\х, г/£
f Z} СХB). Кроме того, из известной теоремы об
абсолютности Щ — формул (см., например, [16]), имеем: если х (< X, А —
замкнутая формула класса 2>\ с константами из Хх, то Ае^АХх C).
Из A), B) и C) обычными теоретико-модельными рассуждениями
имеем искомое.
(б). Соединяя (а), 2(е), 1 (в) и 1 (з), легко имеем: 1 ||—М —
модель Г6(/), что и завершает доказательсто Г6 (г).
§ Б. Существенность параметров в схеме АС
В этом параграфе предполагается V — L.
1 (а). Определим Q0 = о)г X «>; Для всякого & С (%: £°и = и X <*>,
D°= {и X со | и С о)х &0 < card (w)<co}, C° = Q°, 5° = WT° = F0 =
= Х° = v° = ft°= 0. На Q° введем порядок <^, положив (a, m)<[
<(Р, п)^и = $8ст£п. На Й = й°х2 и 2 = Qxw определим
порядки <, <^ соответственно аналогично НБ1 (б). Ясно, что все
требования 1Д1 (а) имеют место.
Если £°£D°, 7]°С^° и Va'RmVn[aAaI->m£(D&[m^nAo)->
-^►(a, д)^т]0]], то называем rf ограниченной частью. Определим
М = Set ({/* | Эа°37]° [5° £ £° & 7)° С Е° & 7]° — ограниченная часть & / £
£Cont(go x 2 х со) &<?(Е° X 2 X о)) ///=>Ч° X 2 X «>]}).
Предложение (б). Пусть ^4 (ж, ^) — формула i?, свободные
переменные которой — х и г/, а константы — элементы вида /*, где /
84

таково, как в определении М# вида х для любого х или само М.
Тогда 11|—[если {(л, к) \ А (п, к)} £ "со, то {(л, Л) 14 (тг, /с)} £ М].
Доказательство полностью аналогично ИД2 (ж) и
предоставляется читателю.
Следствие (в). 11|—М—конструктивно замкнуто &£[Л/]ПШ@
Следует из (б) аналогично ПД2(з) из 11Д2(ж).
Предложение (г). Если a£Q, то 11|—иа£М.
Доказательство аналогично ПДЗ(д).
Предложение (д). Если а £ сох, с £ S, X £ /Vor+, X ]|— с £ М, то
найдутся тг (< со и 7 £ Nor+, такие, что 7 С *Х и 7 |[— — Со (уа, с) &
&~Co(z;ca, с), где а = (ос, п, 0).
Доказательство аналогично А1 (ж).
2 (а). Пусть сря и фя — формулы из ПД4 (г). Тогда совершенно
аналогично ИД4 (е) (i) с учетом 1 (в) и 1 (г) имеем:
Лемма (б). Если а£сох, а = (а, 0, 0), то Defi^y) (ф?(Уа> #)»
{y(a,w,o)}) (y(«,«,i) бРать не нужно в силу С0 =2°).
Подробности доказательства предоставляются читателю.
(в). Пусть теперь Ф(п, х, у) — такая формула анализа, что для
всякого п ZF\—VxVy[<&(n9 x, y) = tyn(x, у)] A).
Лемма (г). Пусть a £ a^, а = (a, 0, 0). Тогда 11[— У^гЯг/Ф^ (/г, уа» У)
и lIH-ayVnQ^^, Ja, (»)„).
Доказательство. Первая часть непосредственно следует из
(в)A), (б) и 1 (г). Для доказательства второй части предположим
противное, т. е. пусть X £ Nor+ и с £ S таковы, что X ||— с(<М
и Х||—УпФм (п, уа. (с)я) A). Тогда в силу 1 (д) можно считать, что
для некоторого п £ <о имеет место X || Со (уь, с) 8с~ Со (исЪ, с) B),
где b = (а, п9 0). С другой стороны, из A), (в) A) и (б) имеем
Х||—Eq(vh, (с)л), т. е. 7||—Со(иь, с) что, очевидно, противоречит B).
Противоречие доказывает лемму.
Следствие (д). Можно написать такой пример АС с некоторой
константой, что 11|— [этот пример ложен в М].
Тривиально следует из (г).
3. Лемма (а). 1 ||— М(=СА.
Доказательство легко следует из 1 (в) и такого факта: ZF |— [если
X С шсо & L [X] П ш^ = X, то X — модель СА] (так как L [X] —
модель ZF для всякого ХС^со).
85

Лемма (б). 11|- [М \= АС* & АС (Ц)].
Доказательство полностью аналогично А2 (е) и A3 (а),
(в). Соединяя (а), (б) и 2(д), имеем: 11|—[М — модель для
Т6 (и)], что и завершает доказательство Т6 (и).
§ В. Вынуждение в анализе
1 (а). Анализируя доказательства в § А и Б этой главы, а также
весь предварительный материал глав I и II, можно заметить, что
в доказательствах участвуют лишь действительные числа,
непрерывные функции, замкнутые множества и т. п., т. е. в конечном
•счете только действительные числа (элементы ша>). В связи с этим
возникает вопрос: нельзя ли доказать теорему Т6 внутри какой-
нибудь теории в языке анализа.
(б). В этом параграфе мы кратко наметим возможности
проведения доказательств независимости относительно теории EL + DC,
не привлекая при этом ZF и оставаясь в рамках указанной
теории. Для простоты и наглядности рассмотрим доказательство
совместимости с EL предложения Я# ~ Со(х) (т. е. «существует
неконструктивный элемент ши»>).
2 (а). Пусть оМ — стандартная C-модель EL -|- DC (т. е. оМ^^^у
-оМ = Цх)п | п £ о)} для некоторого х (< ша) и для всякого х^оМ
Word (х) = Word0^ (#), где Word(#) — некоторая каноническая фор-
жула, определяющая Word). Это предложение, конечно, выходит
за рамки EL + DC. Обсуждение элиминации этого предложения —
в пункте 4.
Если оМ\=.^х — Со(х), то доказывать нечего.
Поэтому считаем qM\=YxCo(x) A).
(б). Отметим, что можно ввести эффективную кодировку
непрерывных функций из Ш2 в "со и совершенных подмножеств Ш2
действительными числами (конкретный выбор кодировки
несущественен). Для х£шю пусть Ргх — совершенное множество с кодом ху
Cntx — соответственно непрерывная функция из <02 в %.
(в). Положим Cont# = {Cont^| х£<М), Nor* == {Ргх\х£оМ).
Определим «параметрическое пространство» £# = (со, Gont*).
Определим вынуждение X fore А, где X £ Nor*, A — замкнутая формула
86

анализа, в которую допускаются вхождения элементов Cont*>
индукцией по сложности А так:
(i) если А = R (nv . . ., пк, /1? . . ., fm) — рекурсивная формула
(nv ..., пк £ ю, Л» • • •» /да 6 Cont#), то определяем X fore А ±=?
^Yx[xeX^R(nly..., пк, Ь(х),.. .,/*(*))];
(и)~, &, V» -*— стандартно;
(ш) Z fore Эгс А (п) *=? RnX fore A (n);
(iv) X fore ЯхА (х) ^ 3/ [/ G Cont* & Z fore Л (/)];
(у) V — стандартно;
(vi) X\[-A^Xforc~~A.
Предложение (г). ||— выразимо в оМ, т. е. если А (%,..., пк>
хп * *-> хт) — формула анализа без констант, все свободные
переменные выписаны, то {(nv ..., пк, хг, . . ., хт, х) \ щ, . . ., пк ^ о) &
Scxv...,xm, x£oM&Prx\\--A (п1У . . ., пк, СпЦ, . .., Gnt^m)}
определимо В qM.
Доказательство легко проходит индукцией по сложности А+
Лемма (д). Пусть А(т, п) — формула анализа (возможно,
с константами типа 1 из Gont*), свободными переменными которой
являются тип, X£Nor#, X |[— Vm3 ! пА (т, п). Тогда Х||—
|(— rAxVmA (m, x (т)).
Доказательство. Предположим противное. Тогда можно
считать Х|| ЯхУтА(т, х(т)) A). В силу (г) и оМ\\—DC можно
построить {хе | е (< <@2} С оМ так, что если обозначить Хе = РгХе,
то e1Qe2^Xe2QXeiB); Xe<0>ПX.<i> = 0 C); X0ClD), если
e^m2, то для некоторого гг^со будет Хе\—А(т, п) E) (в силу B)*
D) и X ||— УтЯ ! пА (тгг, тг) такое д единственно; обозначаем его п (е))
и, наконец, {хе \ е £ <@2} лежит в сЖ в том ^смысле, что найдется
х^оМ такое, что для некоторой фиксированной «рекурсивной»
биекции р:со—><tt>2 имеет место Yn [x (я) = (х)п] F). Полагаем
Y =Г\\){Хе\е£п2). Тогда из B) и C) ясно, что У —совершен-
п
ное подмножество ^2, а вместе с F). это дает Y ^ Nor*.
Определяем на Y функцию g: У->ш<о так: если y^Yf]Yei e£m2, та
g(y)(rn) = n(e). Ясно, что g — действительно непрерывна, а из F)
легко доказать, что найдется /£Cont#, такое, что /|F=g. Дальше
доказывается, что Y\\—A(m, f(m)) (с учетом определения g и G))^
8Т

т. е. У||— RxVmA(m, x(m)), что противоречит УСХи A).
Противоречие доказывает лемму.
3(а). Пусть теперь G— оМ — генерический фильтр на Nor*,
т. е. если X С оМ, X определимо в оМ и Р = {Ргх \ х £ X) плотно
в Nor*, то Gf]X=^=0. Для всякого /£Cont* определим / =
z={(m,n)\KX[X£G&X\\-f(m) = ri]}. Положим Jf = {/1/£Gont*}.
Читателю предоставляется проверить, что имеют место известные
соотношения между вынуждением и истинностью.
В силу этого и из 2 (д) имеем:
Следствие (б). /Cw(oh является моделью СА.
Лемма (в). oM^off-
Доказательство. Пусть для всякого х^оМ /х =
ш2х{%}—постоянная функция. Легко доказать fx £ Cont* и ?х = х, что и
доказывает лемму.
Лемма (г). oM=fcoff-
Доказательство. Пусть h £ Gont* — тождественная функция,
т. е. h={(z, z)\z(iw2}. Тогда нетрудно доказать Х||—h=^=fx для
любых х£ оМ и Xf Nor*, что вместе с доказательством (в) дает
искомое.
Лемма (д). Для всякого X С шсо определим Опх = {\ х \ \ х £ Xf]
flWord}. Тогда Оп^^-Оп^ и off — C-модель.
Доказательство. В силу того, что оМ — р-модель, достаточно
доказать, что если x£o/f, o/f\= Word (x), то некоторое у^оМ
таково, что G^(=Word(i/) и g/J/3|= Eql(#, у), где Eql(#, у)—
некоторая каноническая формула класса Щ, выражающая тот факт,
что х, у £ Word & | х | = | у |. В силу же (б) предположение противного
легко приводит к наличию x^o/f такого, что если у £ оМГ\ Word, то
для некоторого п £ со Eql (у, (х)п). Переходя к вынуждению, имеем
отсюда: некоторые X£G и/^Cont*, таковы, что Х\\—Э.п[Eql ((/)й,
fx)] для всякого #£|G#nWord. После этого нетрудно получить
противоречие методом ИА2(в) с учетом g^(=DC.
Следствие (е). Если А — формула класса 2£ с константами из оМ,
то А одновременно истинна в оМ и off.
Доказательство. Известным путем (см., например, [16]), можно
привести А к эквивалентному относительно EL + СА виду
Rxrdy [Word (x) & Р (#, у)], где Р (х, у) — такая формула, что
88

EL + CX\-YxlYx2Yy[Eql(xv x2) & P (xv y) -> P (x2, у)]. После
этого, используя (д), имеем искомое.
Лемма (ж). {х\о/1Г\=Со(х)} = {х\оМ\= Со(х)}.
Доказательство. Легко можно написать формулу F(x, у)
класса П|, выражающую тот факт, что x£ Word8c[y = F\X\ при
F\x\ CV ?/ = а)Х{0} иначе] (подробно это сделано в [9]). Тогда
можно считать, что Со(х) есть формула 3wF(&, x). После этого
применяем (д) и (е).
Следствие (з). o/f^'S.x ~ Со (х). Легко следует из (г), (ж).
4 (а). Таким образом, всякую C-модель EL + DC можно
расширить до модели EL + СА -f- ~ YxCo(x) «с тем же On».
Можно доказать, что обычный метод, применяемый в ZF для
перевода модельных доказательств совместимости в «чистые»
доказательства (производимые в элементарной арифметике), с
некоторыми изменениями годится и для перевода изложенного в этом
параграфе доказательства в «чистое» доказательство совместимости.
(б). Впервые такого рода «чистое» доказательство
совместимости с аналитическими теориями подробно сделал, по-видимому,
А. Левин. Используя принадлежащую автору общую конструкцию
расширений с заданной структурой степеней конструктивности
и синтаксическое изложение конструкции этого параграфа
(последняя также принадлежит автору) он доказал совместимость ~В1 с
EL-fGA и ~В2 с EL + АС, где Вх и В2 — некоторые конкретные
примеры АС и DC соответственно ([30]).
В первом случае он использовал определение 2° = С0 = ш,
< = Bo = \o = vQ = n° = Wo = Fo=0y D°=:{w|iiCa)&0<
<С card (гг)<С Ц и формулу А(п, х) ±=? [существует не менее п
различных степеней конструктивности, лежащих «ниже» х].
Во втором случае — несколько более сложное определение
2° = С0 = <шоI (с порядком, совпадающим со включением) и
формулу А(х, у)±=? Sc (x)8cSc(y)8cLs(x, у).
При этом в обоих случаях вводится необходимая
симметризация (типа ПД2 в первом, и типа ШБ во втором).
(в). Читателю предлагается проверить, что после должных
переформулировок (связанных, в основном, с кодировкой объектов
типа «частично-упорядоченное множество», «непрерывная функция»
и т. п.) все построения главы I, параграфов А, Б, Г, Д главы II
8Э

и главы III могут быть проведены в теории EL + DC. На этом
пути можно получить такой аналог теоремы Т6.
Теорема Т6'. (i) если EL + DC непротиворечиво, то некоторый
пример СА не является теоремой EL + АС* +АСB*);
(и) в условиях (i) некоторый пример АС не является теоремой
EL + CA + AC* + AC(£i).
Также можно получить (менее непосредственные) аналоги
Т1— Т4.
(г). Требование Con(EL + DC) можно заменить требованием
Con (EL + СА). Это следует из объявленного в [4] результата о том,
что EL + АС интерпретируется в EL + С А (а интерпретируемость
EL -f- DC в EL + АС проходит достаточно стандартным путем).
Подробные доказательства этого результата в литературе не
появились и автор планирует опубликовать собственное
доказательство.
Заключение
1. Упомянем о двух заметках, близких по теме к настоящей
статье. В [25] Симпсон объявил, что некоторый пример АС*(П*)
невыводим в EL -f- СА и некоторый пример DC* (ГЦ) невыводим
в EL + АС. Судя по тексту, это доказательство осуществляется
в элементарной арифметике, хотя недвусмысленного указания на
это в [25] нет.
В [26] Харрингтон объявил такой результат: если 90£ — с. с. т.
модель \ZF + V = L, то существует ее расширение, в котором
континуум имеет «сколь угодно длинное» проективное полное
упорядочение класса Д*. Слова «сколь угодно длинное» не
разъясняются в [26] и могут иметь различные толкования. При одном
из них объявленный результат является «усилением теоремы Т5.
Автору неизвестно доказательство такого усиления (можно
заметить, что предлагаемое в ИВ полное упорядочение нельзя
синтаксически привести к виду из AJ).
2. ВсЬ результаты об определимости в главах II и III не носят
«оптимального» характера с точки зрения минимальности «уровня»
определимости с точки зрения иерархии £*— П*— А*. Для
некоторых из них автору удалось получить их оптимизированные
90

варианты. Например, в Т4 можно потребовать, чтобы дедекиндово
множество было класса ГЦ, а в Т6 (и) — В2 £ Щ (мы не можем
требовать в обоих случаях EJ, так как EL -(- СА [— АС (Щ) в
EL + СА |— нет дедекиндовых множеств класса 2*, что следует
из теоремы Новикова—Кондо—Аддисона).
3. Интересной задачей теории определимости является
«разностная» задача, которую в общем виде можно сформулировать
так: доказать совместимость с рассматриваемой теорией (ZF>
EL -f- СА и т. п.) предложения: существует объект,
удовлетворяющий свойству S и определимый формулой некоторого класса,
но не существует таких объектов, определимых формулами
некоторого более узкого класса. Например, доказать Совместимость
Ях \х £ % — L & х £ Д1+1] & Vx [х £ шсо — L -> х § Ц]. Доказательство
совместимости с ZF этого предложения содержится в [28], а
некоторые родственные «разностные» теоремы объявлены в [27].
4. Что касается взаимоотношений различных формул АС и DC
между собой и с EL + CA, то известные автору результаты в этой
области выглядят так:
(i). EL + СА |— DC B^) (следствие теоремы Новикова—Кондо—
Аддисона).
(и). При всяком п EL + СА + DC (П£) и EL + СА + DC (E^)
равнонепротиворечивы (доказательство этого факта носит
тривиальный синтаксический характер).
(ш). Аналогично с заменой DC на АС.
(iv). При всяком п EL + СА + DC (Щ) \— АС (Щ) (доказательство
такое же, как и в (и)),
(и). Отрицание некоторого примера СА совместимо с EL -(-
-f- AC*-f- AC B^) (доказательство в ША настоящей статьи;
методом ШВ оно может быть проведено в элементарной арифметике).
(vi). Отрицание некоторого примера АС совместимо с EL-f-
-(- СА + АС* + АС (Щ) (ШБ настоящей статьи с аналогичным
замечанием).
(vii). EL + СА -(- DC* \— DC (доказательство — как в (и)).
(viii). AC совместимо с EL + CA (Крейсель, [4]; подробное
опубликованное доказательство автору неизвестно, но автор имеет
собственное).
91

(ix). Отрицание некоторого примера АС*(Щ) совместимо с ZF
(А. Леви, [29]).
(х). Отрицание некоторого примера АС* совместимо с EL + CA,
отрицание некоторого примера DC* — с EL + АС (А. Левин, [30]).
(xi). To же с заменой АС* на АС*(Щ) и DC* на DC(IIi) (Симп-
сон, [25]).
(xii). При всяком п^2 отрицание некоторого примера АС*(П*)
совместимо с ZF + АС (EJ) и отрицание некоторого примера DC* (IIJ)
совместимо с ZF + АС + DC (Ц) (автор, [27]).
(жш). То же с заменой ZF на EL + СА (автор, не опубликовано).
Пункты (i) — (х),
(xii), (xiii) доказываются в элементарной арифметике.
Ряд открытых вопросов возникает при аналогичном сравнении
АС и DC с некоторыми другими аксиомами, упомянутыми в [4].
5. Аналогичное обозрение результатов в области проективных
полных упорядочений шсо имеет такой вид. Пусть для всякого
класса К формул анализа NW0 (К) есть утверждение: «нет
полного упорядочения %, определимого формулой из К», понимаемое,
как единая формула ZF, если речь идет о ZF, и как схема в
анализе, если речь идет о последнем.
(i). EL + СА [— NW0 B} (J П}) (наличие полного
упорядочения %о класса Щ ведет к наличию неизмеримого множества этого же
класса с помощью известной конструкции Витали; П} аналогично).
(и). ZF + V = L\-~NW(T№) (Гёдель).
(ш) YnNWOfil) совместимо с ZF (Коэн; см. также [29],
теорема 2).
(iu). ZF-\- F = Z> (где [J- — нормальная мера на некотором
измеримом кардинале) |— ~ NWO*(&1).
(v). Для некоторого п ~ NW0* (Д£) совместимо с ZFC-\-
-f- ехр (ш) > а)х (автор, теорема Т5 настоящей статьи).
(vi). Аналогично для п = 3 (толкование [26]).
(vii). Если п > 1, то -NW0* (Д^) совместимо с ZFC + NWO (EJ)
(автор, [27]).
(viii). Если п^1, то найдется такой пример NWO(&1+1),
отрицание которого совместимо с EL + DC + NWO (EJ) (автор, не
опубликовано).
92

В этом пункте * (в NWO*) означает то же, что и в AC*, Т>(*
(т. е. отсутствие свободных переменных-параметров).
Список обозначений и фиксированных объектов
Введение. ^L, «£, [x]L, card, On, Cn, Fun, exp, fog, cf (X),
X+, z(tf), TC, /(£), с. т. модель, Fa(x), <c^, «эд, Consto^(X),
T\, ..., Г6.
Глава I. § A. 1 (a) «°2, <«a>, <n}, цу (для и, и£«»«>); (б)Д(Е),
<?(&), С7<ю(Е), Per/(E), Со^(^); (в) Г£, ^, Х[п], st (для MG?U
S — допустимая функция, *•', r*z, ^; (г) {\; (д) С*, ||Х||, ||/||;
(е) U/e9 If, lh, p. 2 (а) язык анализа, EL; F) CA, AC, DC, CA*,
CA(£) и т. п.. 3(a) Word, \x\, Co; F) <x, ?/>, Eq, Ls, Sc.
§ Б. I (a) E°, g, 6, ^(фиксированы), ca, ca, oj, ctj, car, cZ, <[,
<?a; F) i;aH = i, 2, sBl), sBI); (в) а:Н^; (г) ПО, П1, П2, К.
2 (a) VP, F°, X°, v°, л°, B°, C°, x (фиксировано), Л°; F) Qo; (в) 21 (a0),
<2x(^). 3(а) ^^a = ca, ж^а^са, Х^а = са, Х^а^са, X || a,
^r^a = ca и т. п.
§ В. I (а) iVlijx, iV2tjx, 7V37,x, iV2V, ЛГогх (ij). 3(а)ч>°D), ?° (tj),
<P°(X, У),ех(а, x), nx(a,x),a(X, x), <?(Ь, х), ^(а, x), X|||a,a(X),
«Pi(ft), flx(a), /°(E), XK«, 0- 4(в) X(=>*).' (ж) п. р. X с. а.
5 (a) NHxK, Gx,k, Nor хЛГ, ЛГ (фиксировано), Т (фиксировано); (д)А°°,
Nor*x(i), ^хж.
6(а) Х\\(п), Х\\\(п), XQ(n)Y, -q^s, t), цх(з).
§Г. 1(а) ?, рт, ра, X^f^g, X^f = g, XJf<g, {Y, Z}^
J{f, m), X^f=>ti, X^{f, a), (/, ц)\\{¥, Z), X\\\{n, f), X\\\(n,
g<f), a:in (a, g</).
§Д. l(a) 2°, Q, 2, x, W», F°, X», v«\ n», 5°, C», D°, £>, <;
F) x5., <?+(l°), Nor+(P>, ^+, Nor+, supp0, supp, supp, р«°.т, |3Ео;а,
Глава II, § A. 1 (а) обозначения типа 1Д1 (a); F) S, Sa, W, In,
X, x; (в) X fore 4, X ||— Л; (г) (каноническое) имя; (е) Scl(c), Set(c),
va, ию и\ v\ w\ X#, CL(X), /#, CL{f), c{c2, f; (ж) Def°, Def1.
3(a) <Jw, Co*, Eq\ Ls*, Sc*, Cou, Equ, Lsu, Scu.
§ Б. 1 (a) <9rd2 (Q), <p, 9; 3(a) сплошная цепь; (ж) НШ1.
§ Д. 2 (a) bas. 4 (а) конструктивно замкнуто.
93

Остальные обозначения определяются в тех же параграфах,
где и употребляются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций. М.,
1948.
2. Sacks G. Е. Forsing with perfect closed sets. — «Proc. Symp. Pure Math.»y
1971, vol. 13, № 1.
3. Solovay R. M. A model of set theory in which every set of reals is Lebes-
gue measurable. — «Ann. of Math.», 1970, vol. 92, № 1.
4. Kreisel /. A survey of proof theory. — «J. Symbol. Log.», 1968, vol. 33r
№ 3.
5. McAloon K. Gonsistensy results about ordinal definability. — «Ann. of
Math. Log.», 1970, vol. 2, № 4.
6. Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум—гипотеза. М., 1969.
7. Jensen R. В., Solovay R. M. Some applications of almost disjoined sets. —
In: Math. Log. and Found, of Set Theory, Amsterdam, 1972.
8. Levy A. Definability in axiomatic set theory I. — In: Logic. Methodology
and Philosophy of Science. Amsterdam, 1965.
9. Addison J. W. Someconsequences of the axiom of constructibility. —
«Fund. Math.», 1959, vol. 46.
10. Кановей В. Г. О степенях конструктивности и дескриптивных свойствах:
множества действительных чисел в исходной модели и в ее
расширениях. — «ДАН СССР», 1974, т. 216, № 4.
11. Кановей В. Г. Определимость с помощью степеней конструктивности. —
«Третья Всесоюзная конференция по математической логике».
Новосибирск, 1974.
12. Кановей В. Г. Построение моделей с заданной структурой степеней
конструктивности действительных чисел. Депонировано в ВИНИТИt
1974, № 325—74.
13. Addison /. W. Separation principles in the hierarchies. — «Fund. Math.»
1959, vol. 46.
14. Jensen R. B. Modelle des Mengenlehre. — «Lectures Notes in Math.» vol. 37.
Berlin, 1968.
15. Jensen R. B. Definable set of minimal degree. — In: Math. Logic and
Found, of Set Theory. Amsterdam, 1972.
16. Shoenfield /. R. The problem of predicativity. — In: Essays on the Found,
of Math. Jerusalem, 1961.
17. Кановей В. Г. О гипотезе сингулярных кардиналов. — «Математические
заметки», 1973, т. 13, вып. 5.
18. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость.
М., 1972.
19. Lerman M. Initial segments of the degrees of insolvability. — «Ann. of
Math.», 1971, vol. 93, № 2.
20. Yates С. E. Initial segments of the degrees of insolvability. — In: Math.
Logic and Found, of Set Theory. Amsterdam, 1972.
21. Moschovakis Y. Determinacy and prewellorderings of the continuum. —
In: Math. Logic and Found, of Set Theory. Amsterdam, 1972.
22. Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М., 1973.
23. Jensen R. В. A new construction of a non-constructible Д£ subset of o>. —
«Fund. Math.», 1974, vol. 81, № 4.
94

24. Devlin K. Aspects of constructibility.— «Lectures Notes in Math.», vol. 354.
Berlin, 1973.
25. Simpson S. G. Choice schemata in second order arithmetic. — «Notices
Amer. Math. Soc», 1973, vol. 147, A—499.
26. Harrington L. A. Long protective wellorderings. — «Notices Amer. Math.
Soc», 1974, vol. 151, A—23.
27. Кановей В, Г, О независимости некоторых предложений дескриптивной
теории множеств и арифметики второго порядка. — «ДАН СССР», 1975,
т. 223, № 3.
28. Кановей В. Г. Некоторые вопросы определимости в арифметике третьего
порядка и обобщение теоремы Енсена о минимальном Д<£ — числе.
Депонировано в ВИНИТИ, 1975, № 839-75.
29. Levy A. Definability in axiomatic set theory II. — In: Math. Logic and
Found, of Set Theory. Amsterdam, 1972.
30. Левин А. И. Аксиома выбора в классическом анализе. — «Вестник МГУ»,
1975, № 4.

В. А. ЛЮБЕЦКИЙ
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ
И Л2-МНОЖЕСТВА
Дескриптивная теория множеств развивалась под влиянием
идеи: найти простые и естественные в своей постановке проблемы,
которые были бы «очень трудными» для решения и даже
неразрешимыми. В теории чисел много трудных для решения и в то же
время простых по постановке задач; однако, по-видимому, и
сейчас существует уверенность в том, что все они могут быть решены
в обычном смысле. Первые неразрешимые задачи возникли в
общей теории множеств; среди них находится
континуум-проблема: верно ли, что 2^° = $v Однако вопрос о том, в какой мере
континуум — проблема удовлетворяет исходным требованиям
неясен, так как ее постановка проста и естественна только в рамках
теоретико-множественных абстракций, которые сами по себе
создают много других трудностей. В дескриптивной теории
множеств искали подходящие объекты и проблемы в области анализа:
известно, что борелевские (А}) и проективные B^) множества
возникают совершенно естественно, все что есть у них от теоретико-
множественных концепций — это понятие произвольного
действительного числа и, в части суждений о таких множествах, —
использование классической логики (в частности, классическое,
неэффективное понимание квантора существования). В качестве
свойств дескриптивная теория множеств выбрала такие
характерные для анализа свойства, как измеримость, свойство Бэра,
наличие совершенного ядра. Эти множества и свойства (особенно
два последних) не часто встречаются в конкретных вопросах
анализа; тем не менее они вполне соответствуют духу анализа. Итак,
96

дескриптивная теория множеств нашла свои неразрешимые
проблемы:
I существует несчетное множество типа IIJ, не содержащее
совершенного ядра;
II существует неизмеримое, по Лебегу, множество типа Ъ\
(И0 существует неизмеримое, по Лебегу, множество типа А*);
III существует множество типа Ъ\ без свойства Бэра (IIP
существует множество типа А* без свойства Бэра). Их
неразрешимость была доказана в работах [1], [2]. Пусть Lx— класс
конструктивных по Гёделю множеств относительно некоторого #,
a L+ — множество конструктивных по Гёделю чисел относительно
числа х. Число — это элемент ш10, множество чисел с топологией
произведения составляет континуум е%. К. Гёдель указал для
множества L+ вполне упорядочение -^ типа Д!2 в L (там верно
L+=R) и типа 2£ в произвольной модели, [3]. С помощью этого
вполне упорядочения обычные построения дают в L проективные
множества без совершенного ядра, неизмеримые, без свойства
Бэра. В работе [1 ] тот же результат получается без
использования геделевского упорядочения и наоборот с помощью метода,
изложенного там, таковое может быть получено [4]; с другой
стороны, легко построить модель 9^, в которой множества LJ
являются счетными для любого числа х (результат А. Леви),
тогда S>Z J=« [I и [II». Доказательство этих утверждений в модели
Леви в силу некоторых ее особенностей не проще, чем
доказательство гораздо более сильных утверждений. Совсем простое
доказательство неразрешимости I, II, III, использующее другую
модель, дано в пункте 3. Его содержание не зависит от следующего
за этим пунктом 2. Еще один глубокий результат дескриптивной
теории множеств состоит в установлении эквивалентности «L*
несчетно» = «существует ГЦ несчетное и без совершенного ядра».
Доказательство слева направо может быть проведено или с
помощью некоторой модификации метода П. С. Новикова [4], или
с помощью геделевского упорядочения, это не удивительно, так
как оба метода в сущности эквивалентны. Доказательство в
другую сторону содержится в работе [5].
Эквивалентности такого типа представляются нам весьма
интересными, их левая часть дает каноническую форму для дес-
97

криптивных проблем, далее мы получим ряд таких эквивалент
ностей:
«LJ несчетно» = 1Л, A)
*&х не меры нуля» = И^, B)
«аГх не первой категории» = 111^.. C)
Здесь 1а, П^, 111^. — обычные утверждения, в которых
фигурируют П}, 23» 2г> а ^*> <$>х* $\ — конкретные единообразно опре-
XXX
деляемые 22~множества* Можно считать, что таким образом осу-
X
ществляется лузиновская «постановка проблемы в резольвенту»,
т. е. приведение различных проблем к единообразной форме.
Мы предполагаем, что такое приведение возможно для широкого
класса дескриптивных проблем.
Пусть А идеал в алгебре В борелевских множеств
континуума q%, AC5. Множество Хч X С $1 назовем Д-измеримым,
если существует борелевское множество ВрУ Вр £ В и ХАВр С Bq,
где Bq (< Д. Измеримость, по Лебегу, соответствует идеалу Дх,
составленному из множеств лебеговской меры нуль, свойство
Бэра — идеалу Д2, составленному из множеств первой категории.
Далее мы определим терм Slx^ который задает множество чисел
неслучайных относительно числа х и идеала Д. Причем $1хьх
совпадает с о^д., а е$а;Д2 совпадает с оГх. При весьма общих условиях
на идеал А мы докажем: «е^д не из идеала Д» ^«существует Д-
неизмеримое 22~множестВо>> [6], [9].
X
Вернемся к неразрешимым проблемам. Н. Н. Лузин высказал
гипотезу о неразрешимости 1, II, III и полагал, что возможная
причина этого явления состоит в том, что термин «существует»
понимается в них теоретико-множественным образом. Он
предложил эффективные варианты этих проблем: верно ли, что I:
существует такая формула <р (х) языка ZF, что множество {#|ср (х)}
есть несчетное множество без совершенцого подмножества —
анологично формулируются проблемы II, III, И0, III0. Конечно,
формулировки Лузина не были столь точными, ту же мысль
он выражал на современном ему, более философском языке.
Как на одну из глубоких задач Н. Н. Лузин указывал на необхо-
98

димость выяснения взаимоотношений между эффективными и не-
эффективными постановками, например, верно ли, что II -> II.
Эффективные постановки также оказались неразрешимыми.
Обозначим § любое из предложений I, II, III, а §, i-oe счету
по счету среди них £=1, 2, 3; аналогично § любое из
предложений I, II, III, a I, i-oe по счету среди них. Если в формулировку
проблемы § добавить условие, что {х\у (х)} типа §*, то
неразрешимость эффективных постановок легко следует из
неразрешимости неэффективных: когда в L доказываются I, II, III, то
соответствующие множества явно описываются с помощью вполне
упорядочения -<J, а оно в свою очередь задается явной формулой.
Однако такая добавка только в случае неэффективной постановки
выглядит естественной: она сужает класс, в котором ищется
объект, от многообразия, составленного из всех множеств, до
класса Е^-множеств. В случае эффективной постановки ищется
формула ср (х) и представляется неестественным накладывать
ограничения на вид этой формулы: любая формула достаточно
хороша. Неразрешимость f была установлена в [2], там
доказано, что в модели Леви $1 любая формула ср (#, сг, . . ., сп) даже
содержащая в качестве констант с19 . . ., сп любые ординалы и
числа, определяет множество счетное или с совершенным ядром,
измеримое по Лебегу и обладающие свойством Бэра. Любое
проективное множество задается формулой, содержащей число в
качестве константы, поэтому в модели Леви все проективные
множества обладают упомянутыми свойствами. Это не позволяет
использовать модель Леви для сравнения § и §. В связи с
эффективной постановкой можно добавить такой результат, [6]: один
и тот же терм L+ в различных простых моделях задает 2|-мно^
жество с различными свойствами. В модели 90? (г), г£<$>
множество L+ неизмеримое по Лебегу, но со свойством Бэра; в 90£ (g),
g^oT оно* без свойства Бэра, но измеримое; в 9W({g^}a<aJ9R —
коэновская модель, в которой нарушается
континуум—гипотеза — оно несчетное и без совершенного ядра, хотя измеримое
и обладает свойством Бэра, а в L оно обладает всеми хорошими
свойствами (там L+ весь континуум).
Итак, неэффективные § и эффективные постановки § оказалиеь
неразрешимыми. Очередная задача могла бы состоять в обнару-
99

жении широкого класса неразрешимых проблем дескриптивной
теории множеств.
В этой работе излагаются доказательства результатов о
взаимоотношениях §,. и §,.. Рассматриваются всевозможные связи между
ними. Эти результаты были получены автором давно,
[6]—[9] и доказаны в том числе в диссертации [10].
Аналогичное полное исследование проблем типа I, II, III для П\
и 2£+1 множеств (в общем случае для П\ и SJJ представляется
интересной и трудной задачей.
В пункте 2 указывается оригинальный метод доказательства
этих результатов, который не использует таких обычных понятий
коэновского метода, как вынуждение, генерический фильтр и т. п.
По-видимому он может быть применен для доказательства
неразрешимости любых проблем обычного типа, сформулированных
в языке дескриптивной теории множеств, метод основан на
понятии случайного числа.
2. Пусть 93? рекурсивно-замкнутое множество действительных
чисел1, содержащее число xQ, а 99?х— некоторая алгебра
(относительно обычных операций U, П» ) подмножеств 93?, СЗЯ1 С 2^.
Пусть далее А-идеал в а-алгебре В борелевских множеств,
а 03 — фактор-алгебра Б/А. Обозначим Асде = [Вр £ А*| р £ 90?},
Вс$1 = {BplPd^R}, ^9Я = ^эд/д9Я> 3Десь Вр — борелевское
множество .с кодом р. Семейство Fа}-элементов ОЗэд можно задавать
(многими способами) в виде семейства {Вр}, где В какой-то
представитель из класса Ьа, а последнее в виде семейства {ра}, где
ра — какой-то код борелевского множества Вр. Потребуем, чтобы
A) Я5<%1 была полна (замкнута) относительно объединения (и
пересечения) семейств ее элементов, определяемых множествами из 90?г
Пусть R(x, У, 2,а, ж0) произвольный разрешимый предикат с
параметром х0, остальные переменные свободные и пробегают х, у, %
по 90?, a i по о. Потребуем, чтобы 93?х обеспечивало
существование в булевой алгебре ОЗэд П Ху и U Ху,
1 Будем считать, что Ш состоит только из тех чисел, которые являются
кодами непрерывных функций, обозначим ж, у переменные,
пробегающие 9ЛЭ a xlz, y^z соответствующие функции.
100

Эти пересечения и объединения обозначим ^ П» U в отличие
от настоящих пересечения и объединения, конечно, Ху =
~^f\Ry2 и X = ^(JXY определены с точностью до элемента 2А.
z у
Пусть <z0lx равно {у'я| z/£9J?}, потребуем, [чтобы B) любая
2^Ф°РмУла была абсолютна к (z0ix по крайней мере для СЛуЧаЙ-
ного относительно 20^ числа х. Можно было взять за 9)?
множество LJo, за C3R1 — семейство конструктивных из х0 множеств
чисел, (z0l1 = 2^ П LXq, тогда первая часть A) и условие B)
выполнены. Если предикат В £ А абсолютен к L и #/Д — полная булева
алгебра, то выполнена и вторая часть условия A). В частности,
можно взять за SSJ? множество LJo, 5a А идеал множеств меры
нуль (по любой абсолютной мере) или первой категории (в любой
абсолютной топологии), в этом случае о ($11 можно не упоминать.
Определение 1. Число г назовем Д-случайным относительно 9J?,
если 1) не существует такого ВрУ p^SW, Вр£А, что х(<Вр и
2) если х принадлежит ^U {Ba}f то существует слагаемое Ва и
а
х£Ва. Из 2) следует: если х£Ва для всех а, то #£^П {BJ.
а
Для некоторых булевых алгебр ОЗэд свойство 2 вытекает из
свойства 1. Слагаемые в сумме ^U {Ba} можно так выбрать, что они
а
будут почти дизъюнктны, среди них только небольшая часть
не из идеала Д, но сумма именно этой части слагаемых
содержит г (по свойству 1), последняя сумма совпадает с настоящим
объединением ^U — U • В некоторых интересныхслучаях свойство
2 не следует из 1.
Если предполагается только свойство 1 и это обстоятельство
может быть не ясно из контекста, то будем употреблять термин
слабо Д-случайные числа. Если некоторый идеал Д
подразумевается, то будем Д опускать и говорить о случайных числах.
Пусть Д1? Д2 соответственно идеалы из множеств лебеговской
меры нуль и первой категории. Числа Д2-случайные были опре-
2 Более строго, Ху — какой-то представитель класса [А^]^ и [Zy]^ =
z
101

делены П. Коэном [11 ] в иной форме, числа Ах -случайные —
Р. Соловеем [2], оба определения относились к случаю, когда 90?
есть континуум счетной модели ZFG.
Теорема 1. Если множество Д-случайных чисел ^сдед имеет
дополнение3 в Д, то все 22*множества Д-измеримы, т. е.
отлило
чаются от некоторого борелевского множества на элемент Д.
Доказательство. Напомним, что 90^ состоит из значений
непрерывных функций с кодами из 9ft на числе х. Очевидно, 3ft С 90^,
#£90^ и <ЭЛХ рекурсивно замкнуто. Если, например, 90? содержит
код всякого счетного ординала, то 90^ также содержит код
всякого счетного ординала и по теореме Шёнфилда все 22~Ф°РМУЛЫ
абсолютны к ($1Х* Однако такое условие на 901 не всегда удобно,
так как оно означает несчетность 90?.* Для доказательства рассмотрим
Определение 2. Пусть X определяется какой-то 2|-формулой:
х £ X = Зг/VzaiR (х, у, z, U х0);
используя абсолютность этой формулы к 90?^, имеем
Зг/УгЯШ = <ЗЯЯ {= RyVzSiR = <ШХ f= ЗуVz3ji? (xlx, y'x, zlx)y
где х — код тождественной функции, &£90?> х'х = х и х0—код
константной функции, xQ £ 90?, xolx = х0. Как и в условии A), пусть
i?yz = {х | ЗШ (х1х, у'х, z'x, i, xolx)}, XY= П i?yz, X= \J Xy, ко-
z У
нечно, пока ни из чего не следует, что Ху и X измеримы. Положим
Х$ = ЪП Ryz и XA = ^U Ху, эти Х^ и Хл - борелевские мно-
z у
жества по условию A). Однако4 Х^ДХуС«2%ЭДд и ХЛД1С^Д,
откуда и следует измеримость X, Эти включения вытекают в одну
сторону из свойства 2 определения 1 и в другую сторону — просто
из определения ^П> ^U-
Следствие 1. Если существует Д-неизмеримое (где Д есть о-идеал)
22~множество» то существует и несчетное] множество без совер-
8 Точнее, <^с^д С В и5 (Д.
4 Все соотношения, включающие Х^ и Х^9 нужно понимать в том смысле,
•что они верны для любого бурелевского множества из, строго говоря,
классов Х^ и Х^.
102

шенного подмножества типа Щ. В частности, ZFC (— II -»I и
ZFG |— III -^ I.
Доказательство. Из условия следует, что о^с^д не принадлежит
А, пусть для удобства (ЗЛ = Ыо, тогда L$o несчетное множество
(иначе, используя тот факт, что Д есть а-идеал, мы заключаем
<2^СЩД £ Д). В пункте 1. указано, что несчетность L%Q влечет
заключение следствия 1.
Следствие 2. Для любой проективной формулы у(%)
дк,1=?(*)Е=9й !==**(*)
для всех случайных относительно 90? чисел х; здесь ^ср
получается из <р релятивизацией кванторов к 90? и 93 так же, как и
в доказательстве теоремы 1: 3 это U> оно заменяется на ™\J;
V это П> оно заменяется на ^П« Очевидное доказательство
протекает индукцией по длине ср. При исследовании некоторых
проблем дескриптивной теории множеств бывает необходимо
расширить исходную модель 90? не одним числом х, а последовательностью
чисел х = {#a}a<v или более сложным объектом. В этих случаях
указанный метод может быть применен: пусть $? — произведение
континуумов $1 в числе v/b $£ имеются борелевские множества
и их алгебра 5\ на ней точно так же может быть рассмотрены
идеал Д, фактор-алгебра 5V/^ и т* Д« Единственное изменение на
этом пути может коснуться способа кодирования элементов SWx*
Пусть 90? = Lta и Д есть a-идеал счетного типа (т. е. не
существует несчетного дизъюнктного семейства борелевских множеств,
не входящих в Д), предикат Вр(<& типа 2г В случае 9D? = bJo
будем обозначать е%с^д через Мхйь* Эти условия предполагаются
в теоремах 2, 3.
Теорема 2. В ZFG выводимо c$Loa(^= «существует Д-неизме-
римое 2j2~MHO>KeCTBO>>> гДе хо и У о равноконструктивны.
Уо
Доказательство. В одну сторону теорема есть частный случай
теоремы 1.
Пусть е%^од g Д. Если <$,хйь Д-неизмеримо, то оно само является
искомым 2j2~MHO}KeCTBOM' Действительно, при наших условиях
103

на 90?, А в определении случайного числа можно опустить
условие 2.
Пусть Lt? = {p£L%o\Bp£A), это ^-множество, Т униформное
П|-множество на «плоскости» Si X е%> проекция которого дает
L%°q, a Re — решето для Т. Заметим, что ТС1Ыо (это означает,
что свертки элементов Т суть конструктивные из х0 числа, вообще
точки «плоскости» е^Хей мы представляем себе как числа).
Действительно, формула y(x) = 13.vy(v(<T. v = (y, x}) — типа 2*,
она истинна для любого х, х £ LJo°, следовательно, верно LJo j= <p (х),
но отсюда v^T. v = (y!, ху. у1 £LtQ. Используя униформность Г,
получаем ix П Т = у', где хх—перпендикуляр к оси, на которой
лежит LJ° в точке х. Множество L%Q вполне упорядочено
отношением —^ типа 2Ь в частности Т вполне упорядочено ими. Выберем
с помощью —3 по одной точки из каждой конституанты Re,
получим Т1, Т1 С Т, Т1 типа 2г Последнее следует из того, что
х£Т'=х£Т. Ухх-^х ~] (хх% П Relsom^ fl Re)
и xv x пробегают L+o, второй конъюнктивный член (обозначим его
ф (х)) типа Щ и абсолютен к LJo, в LJo формула ф (х) типа AJ,
(действительно, там -^ типа AJ, a {^l^^a:} счетно и квантор
V^ —$x не повышает типа), итак L\=ty(x)= «2*(я;)-формула»,
поскольку левая и правая часть этой эквивалентности абсолютны
к t, то ж^Г. ф(#) = #£ Г. «22~Ф°РмУла>> и Т1 типа 2г (на самом
деле типа AJ).
хп
Если Г содержит ядро Ру (где г/ — код совершенного
множества Р ), то все числа конструктивны из х0, и весь континуум
вполне упорядочен отношением —3, тогда искомое Д-неизмеримое
множество легко построить (например, так же как и для более
сложного случая, когда Т не содержит ядра). Действительно,
если Ру С Г, то можно считать, что y£Lt0 (предикат Р^СГ
с переменной у типа П}, предикат Иг/(РуСГ) типа 2г> он абсо"
лютен и потому L5Q\= Щ(Ру С Т)). Если /^ плотно на каком-то
интервале, то весь он состоит из точек LJo, PyQ,T С LJo и кон-
104

тинуум R совпадает с L%Q. Если Р нигде не плотное множество,
то пусть / — порядковый изоморфизм системы интервалов смежных
к Ру и множества рациональных чисел Q. Мы считаем, что
интервал — это пара его концов, в этом смысле система смежных
интервалов принадлежит L, и / находится в L. Всякое число z
абсолютным образом определяется по / и числу х из Р . Пусть
z = sup()', гДе (?'—множество рациональных чисел, Q" — система
интервалов, соответствующая Q1, в смысле /, fliQ" = Qf, положим
sup Qf' = x (точнее здесь Q" — множество правых концов
интервалов из Q"), х(*Ру. Очевидно
z = sup{&|3Z (Z—смежный интервал Ру. 1<^х. u = f(l))}.
Итак, z£L5o.
Если Т не содержит ядра, то все его конституанты счетны.
Всего различных конституант у Re и Т — несчетное число, иначе
L%Q и L%°q были бы счетными. В частности, Т1 — несчетное
множество. Положим и пробегает Т' и г множество всех рациональных
чисел Q, пусть
Kr = {z\z£T'- c;nReIsomTttnRe},
^ = {z|aZlG^(^nReIsomT,tnRe)b
Киг={*\ЯгеК'иг^еВИ1. 4zi(z'<z-+z£BiM,h)};
Re
здесь т£ — отрезок перпендикуляра в точке z до числа г, {z\ —
первая координата точки z (ведь точка z лежит на «плоскости»
oR, X е%)> с^- отношение частичного порядка между точками Т:
Re
точки из меньших в смысле Re конституант находятся в
отношении £— с точками из больших конституант, точки одной
конституанты несравнимы. Легко видеть, что K"ur типа A*, a K'ur и Kur
типа 2г«
Множество K'ur содержит или не содержит конституанты
целиком. При ux=^u2 множества KUir и К«зГ не пересекаются.
Действительно, если v £ KUxr П Кщг, то пусть zv z2 элементы K'Uir и
К'щг соответствующие и. Если гг и z2 из одной конституанты Г,
то оба К'^г и КщГ содержат zx и z2, по определению K'ur
существуют tv t2 соответственно из ЛГ«1Г, K'u%r и т^ f| Re Isom iZl f] Re и
105

iti П ReIsomT#1 П Re> следовательно, ztl fl Relsom^ f| Re, £/и t2
из одной конституанты Т и принадлежат Т1, отсюда *\ = ^ и
Наконец, по определению K"ur zrtl fl Relsomx^n Re и xjt f|
f| Relsomx^HRe, откуда^и и2из одной конституанты Т и,
следовательно, равны. Противоречие. Если zx и z2 из разных
конституант, то, например, z1—$z2 и по определению /Гжг множество Кщг
Re
не может содержать и. Противоречие. Допустим все множества Км
А-измеримы.
Пусть X1 — какое-нибудь борелевское множество, отличающееся
от Д-измеримого X на элемент идеала Д.
Множество (U КигУ не принадлежит идеалу Д. Действительно,
множество U Киг отличается от $ХоА на объединение тех Вр>
Вр ^ Д, у которых коды соответствуют точкам Т из счетного числа
младших конституант. Для всякого и найдется такое г, что K'Uf
не из идеала Д. Назовем такое Киг отмеченным. Существует такое
г0, что среди КиГо, и и£ Т1 несчетное число отмеченных. Заменим
каждое отмеченное КиГо на К'иГй, все они не из идеала Д,
дизъюнктны и их несчетное число. Это противоречит условию на идеал Д.
Положим yo = <(uQy xoy, где и0 соответствует Д-неизмеримому Kttr.
Следствие 1. В ZFG выводимо
$1хйьх ^ Ai = II-«существует неизмеримое по Лабегу 22~мно~
жество»,
о%л;0д2^Д2^Ш-«существует 22"множество ^ез свойства Бэра».
Здесь х0 равноконструктивно с г/0, Д2 — идеал множеств лебе-
говской меры нуль, Д2 — идеал множеств первой категории. Для
доказательства достаточно заметить, что Дх, Д2 а-идеалы счетного
типа.
Теорема 3. В ZFG выводимо
<2%Лод = R ^ «существует Д-неизмеримое Д^-множество».
Доказательство, Пусть X есть Д-неизмеримое Д^-множество.
Конституанты X и его дополнения ~~}Х разбивают континуум <$t
на coj борелевских множеств, причем некоторые их коды
рекурсивны относительно х0 и любого кода а счетного ординала а»
106

Множество Lio несчетно, так как иначе по теореме 1 не могло
бы существовать такое X. Следовательно, всякий счетный ординал
имеет конструктивный из х0 код а. Поскольку идеал А счетного
типа, то среди конституант только счетное число не принадлежит А,
конституанта X, не входящие в А, составляют борелевское
множество Вр, у которого код р конструктивен из х0. Конституанты
~~]Х, не входящие в Д, составляют борелевское множество В ,
где q£Lto. Борелевское множество ^ = й — Вр — Bq не
принадлежит А и его код s из LJo, оно разбивается конституантами X
и ~]Х, не вошедшими в Вр и BqJ на сох борелейских множеств
из идеала А. Следовательно, Bg не содержит случайных
относительно LtQ чисел. Однако легко видеть, что случайные числа
распределены равномерно; если <2%*од содержит хотя бы одно такое
число, то любое борелевское множество В8, s(*Lio, не
принадлежащее идеалу А, содержит случайное число (рассмотрим
борелевское отображение /, /£Z^o, сохраняющее идеал А, /~1иА = А и
переводящее окрестность г в В8, число /'г случайное).
Итак, е^д пусто.
Пусть Six^ = R, тогда повторим конструкцию из доказательства
теоремы 2, получим А-неизмеримое 22-множество Киг- Докажем,
что на самом деле это Киг типа AJ. Действительно,
^Kv=^&x^-Km = {x\nz£(T—K'ur)-x£BiM)l,.Vzi(zf<z^
Re
-**£#(*')l)}.
Множество Т — К'иг равно {z \ Я^ £ (Tf — K'ur) x^fl Re Isom ^П Re} и
Т1 — К"иг типа А^так как К"иг типа Д^. Следовательно, Т — К'иг
типа ^2 и ~]Киг того же типа«
Уо
Следствие 1. В ZFC выводимо.
Six^ = R ^ П° «существует неизмеримое по Лебегу А^-мно-
Уо
жество».
Мх0^ = R = IIP «существует А^-множество без свойства Бэра».
Уо
Здесь х0 и у0 равноконструктивны. Заметим, что имеет место
следующее утверждение: если ^-множество Д-неизмеримо и| х0
равного
107

конструктивно с г/0, то существует Д-неизмеримое 2гмножество.
Поэтому в теоремах 2, 3 и их следствиях можно положить уо=хо.
Конструкция множеств Киг может быть использована каждый раз,
когда имеется некоторое построение из отдельных точек с помощью
трансфинитных процессов до а^. Вместо отдельных точек берутся
множества Киг, вместо ординалов — числа из Т*, причем
получается заведомо проективное множество. Таким образом, может
быть построено Д-неизмеримое множество и для идеала не
счетного типа, нужно постулировать какое-либо другое свойство
Д достаточное для образования Д-неизмеримого множества
(например, инвариантность относительно сдвига и т. п.).
3. Рассмотрим взаимоотношения предложений I, II, III между
собой. В пункте 2 показано, что
ZFCf-11-^I и ZFC|— Ш->1.
Никакие иные импликации не могут быть доказаны в ZFC, как
принято считать, отсюда вытекает, что все они не имеют места.
Сначала мы докажем это для предложений I, 11°, ИГ, где 11°
формула языка ZF, утверждающая существование неизмеримого
множества типа В2 (типа А\), а ИГ — аналогичная формула,
утверждающая существование множества типа 52, не
обладающего свойством Бэра. Обобщим определение 1 (соответствующим
образом обобщается и определение 2).
Определение 3. Пусть v ординал и R=RV произведение прямых
R в числе v с обычной топологией произведения, алгеброй боре-
левских множеств Sv и мерой произведения \х* на ней. Борелевское
множество Вр из этой алгебры кодируется последовательностью
чисел р=р* длины v. Его проекции на различные оси а, 1 ^ а < v
отличны от всей оси R только для счетного их числа. Некоторая
неопределенность связана с v-й осью: иногда мы ее не включаем
в i?v и а остается строго меньше v; в других случаях удобнее
включать v-ую ось в i?v и тогда а пробегает все оси до v-й
включительно— в дальнейшем из контекста будет ясно, какой случай
имеет место. Также мы будем опускать индекс v в тех случаях,
когда размерность пространства подразумевается.
В алгебре 5V может быть задан идеал А, мы интересуемся теми
его элементами В , коды которых принадлежат некоторому мно-
108

жеству 90?, р£90?. Допуская некоторую вольность, можно считать,
что А состоит только из таких множеств В . Под 90? можно
понимать, как и в определении 1, некоторое рекурсивно-замкнутое
множество кодов, но в дальнейшем мы принимаем за 90? счетную
модель ZFG вида La, ol<^(ov Так же, как были определены слабо
Д-случайные над 90? числа, определим теперь Д-случайные
последовательности чисел {#a}«<v, как те, которые избегают
множеств В , Вр £ Д и р £ 90?. Мы опустим здесь слово «слабо», так как
аналог условия 2 из определения 1 нигде не будет нужен.
Мы будем часто использовать две очевидные леммы.
Лемма 1. Если Д a — идеал и 90? счетно, то всякое множество,
не меры нуль (т. е. не накрывающееся никаким элементом идеала Д)
содержит Д-случайное число.
Лемма 2. Если 90? ({#a}a<v) = Ж модель ZFG и {ха}
последовательность чисел (или других наследственно счетных объектов),
то в 9? любое число х конструктивно из отрезка {#a}a<ot иа0<((о^,
Кроме того <3l$=x = F({xo}oi<oi, Р), где F — геделевская функция,
а р счетный в 9? ординал.
Доказательство. Пусть в 9^ множество X содержит множества
со, р, х и все их наследство, множества х = {#a}a<v и v (но не
обязательно все их наследство) и замкнуто с помощью сколемовских
функций таким образом, что Х\= «х конструктивно из х на шаге р»
и X счетно, и, наконец, к X абсолютно суждение «ас
конструктивно из z», где z — любой объект из X. Это множество X не
транзитивное, но существует транзитивное множество Хг, которое
s-изоморфно Х. При этом е-изоморфизме со, р, х и хи переходят
в себя (так как все их наследство содержится в X). Множество х
переходит в последовательность чисел {#a}a<a, а v—в a0. Тогда
в Хг\= х = F({xa} , Р), и это обстоятельство абсолютно.
Теорема 4. Если ZF непротиворечивая теория, то в теории ZFG
невыводимы утверждения а) I -> II0, 1 -> Ш° и б) I, II0 -> IIP и
I, IIP->II°.
Доказательство. Пусть 90? = L*, а <^ соа некоторая счетная
модель ZFC, а R = д^ЗЛ есть тихоновское произведение бэровских
прямых R в числе соЭД, в R определена алгебра борелевских
множеств и мера на ней. Рассмотрим семейство борелевских мно-
109

жеств Вр, коды которых принадлежат 90?, р£90?и 90?f=<<5P£R
и мера В есть нуль». Пусть {га} — случайная последовательность,
1<^а<«>£^> относительно этого семейства, определение 3.
Положим 90? ({га}) = 9?, 90? С 9?; это и есть искомая модель ZFG.
Множество 9?, как обычно, может быть получено в виде 90? (G), где G
есть 90?—генерический фильтр: пусть °р семейство борелевских
множеств ВрУ коды которых принадлежат «90?, р£90? и 90? |=
-SpCZR и мера Б^ положительная»; это °р не принадлежит 90?*
но в 90? имеется двойник5 cpf изоморфный °р, Sjy = {В^ \ Вр £ °Р),
будем ср/ также обозначать ср. Пусть G = {#р£ °p| {rj £ 5^},
это G есть 9W — генерический фильтр на ф и 9Eft({ra}) = 90?(G)
Множество «вынуждающих условий» °р удовлетворяет условию:
дизъюнктное семейство элементов °р не более чем счетно — отсюда
следует, что кардиналы 90? и 90? (G) совпадают, в частности,
а)9Я = о)^ и 9Z|= «L* несчетно». Отсюда согласно теореме, которая
упоминалась в пункте 1 следует, что 9Zf=I, [4], [5].
Покажем, что 91(=~]П0. Допустим противное, пусть 9^f=
«X неизмеримое множество, X типа А| и x(<R». Можно считать,
X
что верхняя мера X единица, а нижняя — нуль (в противном
случае вычтем из X, борелевское множество, мера которого равна
нижней мере X). Само X и его дополнение ~]Х типа 2г> они раз-
биваются на конституанты Sa, a < a)9*, каждое Ва борелевское
множество меры нуль, итак 9lf=-ff=U#a* Хорошо известна
а
в сущности классическая лемма о том, что некоторый код любой
конституанты Ва рекурсивен из кода х самого X и любого кода
ординала а, [5]. По лемме 2 х конструктивно из некоторого счетного
отрезка {ra}, пусть это {га}а<% и a0 < atf*. Тогда х £ 90? (Wa<<Xo) = 9^
и коды всех конституант Ва принадлежат 90?х (очевидно, всякий
ординал до (о9* имеет код в 90? и тем более в 90?i). Следовательно,
в 9? не может быть чисел случайных относительно 90?! (точнее
относительно семейства борелевских множеств меры нуль с кодами
из 90?2). С другой стороны, мы покажем, что г«о (и все га, а^а0)
случайные относительно 90?i числа. Это приведет к противоречию
5 Здесь Вр обозначает объект, являющийся в 9ft борелевским
множеством с кодом р.
110

Ординал а0 счетен и в 90?, пусть В — произведение бэровских
прямых в числе а0, это Да° счетномерное подпространство R.
В 90? существует гомеоморфизм между Д"° и Д, например, это
обычная свертка матрицы в последовательность. Тогда свертка
случайной относительно 90? последовательности {га} дает число г,
равноконструктивное ей и также случайное над 90?. Заметим, что
пара <>, г*^> случайна над 90?, т. е. избегает любых плоских бо-
релевских множеств меры нуль с кодами из 90?. Действительно,
в 90? существует гомеоморфизм пространства /?а<> Хй на R X R
(по первой координате — свертка, а по второй-тождественный).
Он переводит <^{т*а}а<а» г«о^ в (Г> Га^) и сохраняет случайность
над 9Q?. Допустим $ftD=«r«o£ Bp и p = F(ry Р) и Вр— меры нуль»,
здесь р — счетный ординал и F — геделевская функция. Тогда
90? «r> r«0»f= <<r«o&Bp и p = F(r, P) и Вр — меры нуль», но
отсюда следует, что существует X борелевское подмножество R X R
положительной меры с кодом , из 90? и Х\\—«г«0^^(г,Э) и ^(г, Э)
меры нуль», здесь г«о, г ярлыки для г% и г. Заметим, что почти
все точки множества R X R случайные относительно 90?. Очевидно,
существует такое г1, что XfTv положительной меры и для почти
всех его точек г" пара (г1, г")> является случайной над 90? (мера
ХПо%9Я равна мере X). Будем расширять 90? всевозможными
такими парами <У, г">, тогда 90? «V, г"» |= г" £ BF(r^ p} (так как
<V, ^f X и X вынуждает это обстоятельство) и, следовательно,
г';£ <В*(г',р),' но ^(г', Р) равно независимо от г'7 одному и тому же
числу /?', значит 5^^ «положительной меры, а с другой стороны
Х||—«5^(Г,р) меры нуль и следовательно, Вр> меры нуль.
Противоречие.
Итак, указанная модель обладает теми свойствами «Lf несчетно»
и «Гр случайно относительно {ra}a<a, ao^p», которые
обеспечивают 9^|= I и 9^ f= "] П°. Покажем, что кроме того в 9Z имеется В2
без свойства Бэра, т. е. Э^^Ш0. Тем самым будет доказана
невыводимость в ZFG утверждения I, П10->11°.
Мы уже замечали, что в 9? любое число х конструктивно из
счетного отрезка последовательности {ra}a<v, т. е. из некоторого
{ra}a<^a, 'a0 < о)9^ = о)9Л и, что такое {ra}a<aQ равноконструктивно
со случайным над 90? числом г, следовательно, x£L+. Генериче-
111

сков число не может быть конструктивно из случайного числа
так же как и случайное число не может быть конструктивно из
генерического числа (это будет доказано jm стр. 119). Отсюда
следует, что все числа в 9^ негенерические и по следствию к теореме 3
пункта 2 91 существует Д2-неизмеримое В2. Докажем упомянутое
утверждение: допустим g генерическое над 9ft число, а г
случайное над 9ft число и g = F(r, ос). Тогда 9ft (r) |= «g=$F(ry а) и
g генерическое над 9ft число». СуществуетВр, г£Вр, борелевское
множество положительной меры с кодом из 9ft, которое вынуждает
это предложение. Почти все числа являются случайными над 9ft.
Рассмотрим F(rf, а) как функцию от г', определенную на В .
Ясно, что множество X значений этой функции не может быть
нигде не плотным множеством, так как оно типа 2! и S Е X (зам-
Р* «
кнем X, получится нигде неплотное борелевское множество с
кодом из 9ft, накрывающее генерическое над 9ft число g).
Следующее построение проведем в 9ft.
Если существует х, х£Х и мера прообраза х относительно
g = F(r, ос) положительная, то возьмем этот праобраз за Bq1
BqQ.Bp. Если такого х не существует, то во всяком интервале
содержится достаточно короткий подинтервал, прообраз которого
имеет меру меньшую любого наперед заданного »числа. Тогда
пусть 10 — интервал, содержащий X, выберем на нем плотную
дизъюнктную систему интервалов 1{1п}, прообраз которой имеет
меру меньшую y[j.Ep), f~Ui \JlnCLBp (для этого, выбирая 1п,
нужно в достаточной степени уменьшить его длину). ^Положим
Bq = Bp — f'1" \Jln. Это Bq положительной меры и, очевидно,
f"Bq нигде не плотное множество.
Выберем в Bq произвольное случайное число г0. В 9ft (г0)
истинно «F(r0, а) генерическое число», так как Bq вынуждает это.
Следовательно, F (г0, а)—генерическое над 9ft число, но с другой
стороны, F (г0, а) накрывается нигде не плотным множеством
^о — U 1п с кодом из 9ft. Противоречие.
п
Осталось доказать те утверждения из теоремы 3, в которых
меняются местами 11° и IIP. Для этого расширим исходную
модель 9ft = La, a <; ш1А2-случайной (генерической) относительно 9ft
112

последовательностью {ga} сщ, определения 1, 2. Получается
модель Cl1 = <3R({ga}), в которой кардинальный ряд сохраняется,
в частности wflR = affix и 9l|= «L+ несчетно», а следовательно
9?(= I, далее дословно повторяя предыдущие рассуждения и меняя
при этом местами идеалы Дх и А2, генерическое на случайное,
получим 9Z (= ~| Шо и 9Z |= И0. Теорема 3 доказана. Заметим, что
фактически доказано более сильное утверждение, во-первых, в 9Z
существуют Щ — множество с рекурсивным кодом без
совершенного ядра и одновременно &\ — множество с таким же кодом без
свойства Бэра, во-вторых, Вхместо меры Лебега и свойства Бэра
можно было взять, как и в пункте 2, любую меру, топологию или
в общем случае а — идеал Д в алгебре борелевских множеств,
ограниченный рядом очевидных условий.
Сейчас мы покажем, что в 9^ множество L+ неизмеримое по
Лебегу (в 9ZX оно же без свойства Бэра), отсюда следует, что
в 9^ множество L+ собственно типа 2г» в 9^ существует
неизмеримое ^г-множество с рекурсивным кодом и случайные числа в 9t
образуют неизмеримое Щ-множество с нижней мерой нуль, а
верхней — единица.
Теорема 5. Если ZF непротиворечивая теория, то в теории ZFG
не выводимы утверждения.
I, 1Р->П и I, IIP-* III.
Доказательство. В модели 91 имеют место I и II0, покажем,
что L+ (множество типа ^2 с рекурсивным кодом) неизмеримо в 9^.
Для этого заметим, что если L+ измеримо, то его мера либо нуль,
либо Ь+ содержит все числа.
Лемма 3. Если Д — идеал счетного типа, то либо Vе — счетное
множество, либо одно из множеств вида Vе -}- х = {z \ Яг/ £ L+(z =
= у -j- х)} Д-неизмеримо, либо L+ £ Д, либо L+ содержит все числа.
Доказательство. Напомним, что идеал счетного типа,
характеризуется тем свойством, что не существует несчетного почти
дизъюнктного (т. е. пересечения разрешаются только по элементам
идеала) семейства его элементов. Обозначение X £ Д в отношении
неборелевских множеств означает, что существует В, ZCB и
2?£Д. Допустим все множества вида L*-\-kx — Д-измеримы, здесь
113

х — неконструктивное число, а & — произвольное конструктивное
число. Если L+ — несчетное множество, то {L+-\-k'x} образует
дизъюнктное семейство множеств. Действительно, если z£(L+-f-
+ &'*)П£+ + #Ъ> то z = y1 + k'-x = y2 + k'-x Hx=|^|i. По
скольку все эти множества измеримы и не принадлежат А,
постольку существуют Вк, (L+ -\- к • х) АВк £ А и Вк почти дизъюнктны,
и5Л5А. Противоречие. Заметим очевидное следствие: множество Z/1*
без свойства Бэра или L+ первой категории, или Vе содержит все
числа. Конечно, все тоже относится и к множествам вида LJ. Если
Д-неизмеримость L+ характеризуется числовой функцией, то она
носит крайний характер: нижние меры L+ и й — L+ суть нули.
Вернемся к доказательству теоремы.
Множество Vе в 9^, очевидно, не содержит случайного числа г,
л
и если L+ в 91 измеримо, то ^НЬ+СОр-[АОр<у,
Код р конструктивен из {га} , ао<]<1)9} = A)93?.
Последовательность {га}о<о случайна над S0?, и поэтому свертка г случай*
ное над <ЭЯ число, тогда $1 (= «L+ С О*(г, а) • ^Of^ «) < у • а — счет*-
ный ординал», это Щ — суждение, и оно истинно в 9??(г) =<ЗЛ1.
г, а
Итак, а — счетный ординал и 9Df?1f=i+С О^(Г#а), следовательно,
это предложение вынуждается некоторым Bq1 g£9}?, \iBq^>0.
Рассмотрим в 9Л множество X = \ х \ х ^ Bq • [Ю^,«) ^ у Г» ^ — ^°"
релевское множество, X С Bq. Если X положительной меры, то
существует случайное над 9D? число г', г1 £Х. Рассмотрим 90^(^M
в нем верно Va: f X ^0^,«) =— /так как это IIJ — суждение и оно
верно в 9WJ, с другой стороны, в Ж (г1) верно г; gZ, [хО^(гг,а) < у
(так как это вынуждается Bq и X). Противоречие. Если X — меры
нуль, то Хг = Bq — X — положительной меры, в 9D? множество
Х2 = {^, г/> | х £ Z2 • у ^ Of(*,«)} С i?2 — положительной меры#
По теореме Фубини существует такое у0, что р. (тУо f| Z2) ^> 0,
пусть В8 С пр^ (хУо П -^г) £ ^i £ ^<г Существует случайное
над 9JJ число rfy принадлежащее Вш. В 9К(г') верно г/06^(г',*)
[так как Щ — суждение Ух£В8 УО6°^(^«) верно в 9ft\, а с дру-
114

гой стороны, в 9ft (г1) верно £+С О^(гЛ а) (так как это
вынуждается Bq и Вш). Это доказательство можно провести и
непосредственно для модели 9?, рассматривая вместо борелевских
множеств в R, борелевские множества в R.
Прежде чем переходить к- построению моделей, в которых
верно 1, ill, и I, "| III покажем, что оно требует привлечение
каких-то новых понятий.
Теорема 6. Если А есть а — идеал счетного типа в алгебре
Sv(v^l и v£<3ft), предикат. Вр£к типа А}, и для
любого борелевского множества, обладающего свойством Bq =
= nP<vX 5 А и Yx 6 Bqzx П X g А, верно Яг/0 (тУо П X £ А), тогда
в модели 9^ = 9ft({#a}a<v) существует 22-множество с
Рекурсивным кодом и А-неизмеримое, это множество L+.
Доказательство. Допустим L+ А — измеримое в 9Z> по лемме 3
9^|=£+£Д, тогда в 9? множество L+ накрывается Вр, Бр£А, и
его код по лемме 2 конструктивен и5 ж= {ха}а<а и ао<С"^
Поскольку А счетного типа, то (!)9ft = a)9£ и, следовательно, 9t|=p =
= F(x, Р) и а0, C<;а)Ж. Тогда в <3ft существует S?, 5?^д и
Ва(=^+С^(х,Р) • ^(Х,Р)^А, где х —ярлык для X.
Рассмотрим в 90? борелевское множество
X = {a:G^.i/g5F(,,p).5^,P)GA}, ICBg.
Если Хх = прХ^ А, то (Bq — ХХ)^А и содержит А — случайное
число х'. Тогда в <^Sl(xj) верно BF^t в) G Д (это вынуждается) и
в то же время в ^(х1) верно #*•(*', э) G А, так как xf(*Bq — Хх и
9ft |= Va: (ж £ Sff — Хх -^ Вр(Х, р) ^ А)» а это последнее суждение
абсолютно и подымается в SOZ (^')- Противоречие. Если XxgA, то оно
само содержит А-случайное число. Далее X есть фубиниевское,
т. е. npXj^A и для всякого х из прХ множество т^П^б^» сле"
довательно, существует у0 и т^оf|X^ А, пусть Z^ = пр тУоf|X, Bs£ A.
Выберем в нем А — случайное число хг, тогда в 90? (ж') f= i/0 (< 2?у(д^ р)
(это вынуждается), и в то же время в 9DfJ(#/)l==2/o£ Дг(*',Р)» так как
xf £BS и W^Vx^Bs (уо б 5^(д;, р)). Противоречие.
Определение 4. Пусть °р^ совокупность борелевских множеств Б
с кодами из 90? меры ]> — в пространстве R = Лv и удовлетворяю-
115

щих еще одному дополнительному условию, которое мы укажем
ниже. Упорядочим это tyl по включению. Фильтры на tyl будем
обозначать Gv. Назовем число р —случайным, если борелевское
множество Вр, В р С R является пересечением генерического над 90?
фильтра G1 на множестве условий tyln. Назовем последовательность
чисел {pa}a<v —случайной над 90?, если всякое Вр есть проекция
на ось а пересечения генерического над 90? фильтра Gv на
множестве условий °р^. Далее под 90? понимается некоторая счетная
модель ZFG вида La, a^a^, хотя, как и в пункте 2, можно
считать, что 90? рекурсивно-замкнутое множество кодов для борелев-
ских множеств из алгебры 2?\ Будем обозначать срп множество tyl
для v = о)Ш и также опускать индекс v у множеств °)X, 2Г, [xv, Gv
в тех случаях, когда размерность пространства /Г ясна из контекста.
Проекция множества X из срп на любое подпространство R
имеет очевидно меру ^> —, пусть np<aX, np^aZ проекция на
пространство, натянутое на оси до a-ой (соответственно — до ос-ой
включительно), тогда [л np<a X ^> — , [х пр^« X ^> — .
Дополнительное условие, которое предполагается выполненным для
элементов °)Х состоит в том, что одномерные перпендикуляры вдоль а-ой
оси к точкам множества np<aZ пересекаются с np^aX (и в
частности с X) по множествам линейной меры ^> —. Фильтр Ga =
= np^aG\ составленный из проекций элементов Gv, является гене-
рическим над 9D? на множестве условий tyl. Достаточно
рассмотреть в 90? проекцию np^a: tyl ->tyl, она сохраняет порядок С.
Дополнительное условие стандартным образом обеспечивает
то обстоятельство, что npaGa = npaGv есть генерический фильтр
над 90?г = 90? ({Pp}g<a) на множестве условий ^J,. Множества Рр
меры — и состоят из случайных над 90? точек. Действительно,
если Вр — множество меры нуль, р£93?, то накроем Вр в 90?
последовательностью открытых множеств Ос^ сколь угодно малой
меры. По любому элементу Bq множества tyl найдем его более
информативный элемент, проекция которого на ось а не
пересекается с Вр. Для этого вычтем из (^П^)» где х^щ<лВд, такое
116

открытое множество Оо^, что на перпендикуляре останется
множество меры > — • Полученное множество по теореме Фубини
имеет меру >-. Эти множества составят плотное подмножество ^я.
Поскольку проекция пра6? генеричная над 9D?i, постольку числа
из Рр^ случайные над 9R ({рэ}э<в). Пусть (zK = ($fl{{p§}).
Теорема 7. Если теория ZF непротиворечивая, то в теории ZFG
невыводимы утверждения:
а) I -> II, I — III,
б) I, II -> III, I, III -> И.
Доказательство. Рассмотрим модель 9^ = 90£/{ра} ^N. Легко
V 1 /
видеть, что множество условий срп не содержит несчетного
дизъюнктивного подмножества, следовательно, кардинальные ряды
9^ и 90? совпадают, в частности, а)ЭД = а)91 и 91}= «L* несчетно».
Отсюда следует, что $ft|=I. Покажем, что 9^{=П П*
Пусть X — неизмеримое (нижняя мера нуль) 22"множество в 91 •
Как мы уже раз отмечали, х конструктивно из отрезка {Рр}а<а и
а <^ o)f* = а)£^. Пусть ^Яг = 9D1? ({Рр}^<а)» все числа из Рра
случайные над CJ?1 и [хРра ^> 0, следовательно, почти все числа в 9}
случайные над с$11. Множество X содержит такое число г, оно
попадает в некоторую конституанту этого X, все они меры нуль, и
коды их содержатся в ^flv Противоречие.
Для построения модели, соответствующей пункту б) теоремы 6,
нужно аналогичным образом рассмотреть совокупность борелев-
ских множеств второй категории в пространстве R=iT,
удовлетворяющих следующему дополнительному условию: любое
счетное подмножество, которое может быть накрыто некоторым
П§-множеством, не содержащим других точек того же множества,
является Д^-множеством.
4. Разумно различать по крайней мере два сорта кванторов
существования: один сорт кванторов ЭХ выражает традиционное,
подчиняющееся обычным логическими аксиомам,
неэффективное существование, а другой сорт кванторов ЭХ — эффектив-
117

ное существование. Таким образом, ЁХ ср (X) означает, что
существует такая формула ф (х) языка ZF (или терм в языке ZF
пополненном t-термами), что верно ср ({х\ ф (#)})• Если в качестве ср (X)
рассматривать формулы языка дескриптивной теории множеств,
то для исследования вопросов эффективного существования может
быть применен метод пункта 2. Однако язык ZF позволяет
описывать такие объекты, которые не могут эффективно существовать
в языке дескриптивной теории множеств. Другая трудность,
связанная с рассмотрением квантора ЁХ [в формальных теориях
заключается в том что утверждение SX ср (X) не выразимо в
теории ZFC из-за отсутствия в ней понятия «истины», это
обстоятельство можно преодолеть, или выражая смысл &Х ср (X) на
синтаксическом уровне ^как мы и делаем в следующей теореме), или
заметив, что понятие истины, отнесенное к континууму и его
подмножествам, все-таки выразимо в теории ZFG.
Теорема 8. Если теория ZF непротиворечива, то ни для какой
формулы ср(#) языка ZF в теории ZFC не выводимо предложение
§,. -> «{х | ср (х)} обладает свойством §,.». Здесь «X обладает
свойством §#.» означает, например, для i = 2, что X неизмеримое
множество.
Теорема 9. Если ZF непротиворечивая теория, то в ZFG не вы
водимы утверждения
§♦•->§/ Для i*£j.
Для доказательства теоремы 8 в той части, которая утверждает
ZFCbA§2->§2> рассмотрим 90? счетную модель ZFG вида L\
V<@r
ПуСТЬ V1=TQ)£^ И V2 = (i)!pe
Определение 5. «Континуум» i?Vl в отличие от обычного
континуума R состоит из всевозможных отображений а) в vx с обычной
топологией произведения и алгеброй борелевских множеств. Пусть
R = /?v" произведение «континуумов» i?Vl с топологией
произведения и алгеброй борелевских множеств. Пусть Д2 — идеал множеств
первой категории в этой алгебре. Назовем последовательность
{/&Ja<v А2-случайной (генерической) относительно 9W, если она
избегает всех множеств первой категории Вр с кодом р из 9W.
Пусть 31 = Ж ({ha} ), где {ha} — такая Д2-случайная последова-
118

тельность. Заметим, что каждое ha очевидно равноконструктивно
с числом ha из «настоящего» континуума, которое является кодом v1#
В этом смысле последовательность {Аа} можно рассматривать
как обычную последовательность чисел {^а}а<>, рассмотрение таких
особых «чисел», как ha, связано со специфическим характером
случайности чисел Ла. Поскольку в этой работе нет оснований делать
различия между равноконструктивными объектами, можно
отождествить ha и ha.
Покажем, что в 9^ существует неизмеримое Д£-множествог
х
где х — любой член последовательности {ha} . Для этого по
теореме 1 достаточно показать, что в 91 почти все числа неслучайные
относительно 90? (х). Положим, например, x = hv и пусть далее а
меняется, начиная с двух. Последовательность {Aa}2<a<v A2 —
случайная (генерическая) над 90? (/^) = 9J? (х). В 91 все равноконструк-
тивны с Д2-случайными (генерическими) относительно 90? (х)
числами g"a, эти ga не совпадают с ha. Число х позволяет установить
в 90?(#) взаимно-однозначное соответствие между у± и со, и
изоморфизм i?Vl и Л, а также изоморфизм R = Rl[ и i?v\ где v2 теперь
совпадает с со{^(:с). При этом изоморфизме \ переходят в ga, а
{Aa}2<«<v2 B {?a}2<a<v2- Последовательность fea}2<a<Vj A2 - случайная
(генерическая) над 3D? (х), так как такова последовательность {ha}.
По лемме 2 в 91 любое число у конструктивно из счетного отрезка
{ga}a<0, и a0 <^ оуУ1 = &Ш(Х) — v2. Свертка этой счетной
последовательности, число g является Д2-случайным (генерическим) над 90? (х)
числом. Действительно, достаточно рассмотреть в 9J?(x) борелевский
изоморфизм между i?a° и R, сохраняющий свойство «быть
множеством первой категории». Однако никакое А^случайное над 90?(х)
число у не может быть конструктивно из А2-случайного (генери-
ческого) над 9WX = 9ft (x) числа g.
Допустим противное: 9Df?i(g)t= «у Агслучайное над 9D?X число».
Мы рассматриваем утверждение о Д^случайности в 9D?i (g), а не в 9^
потому, что оно абсолютно, типа 1Ц . Следовательно, это утвер-
у у fit, д
ждение вынуждается некоторым интервалом /0. Тогда найдется
такая плотная дизъюнктная система интервалов 1\, что I1 \\—pln<Z
119

<^F(g)<^qln1 гДе F—геделевская функция и F(g) = y (в F еще
входят кг и счетные в <ЗЛ1 (g) и (ЗЛ1 ординалы), а (/£, д*) —
интервалы с рациональными концами и открытое множество (J {(pj, gj)}
n
длины ^ег Выберем вт, ew->0, и для каждого из них проведем
указанное построение плотной дизъюнктной в 10 системы
интервалов (р™, q™) и такой, что
п
тогда иС1Ь-^)еиосо и писн-^доепиос, О-
и ю w n m n
Важно, что семейства {I™} и {(р™, О) принадлежат <ЗЛ1 (и,
следовательно, их объединения и пересечения являются борелевскими
множествами с кодами из 5D?i), и множества U С» Л U С плотные
в /0 множества типа G8 (это обеспечивает тот факт, что они не
первой категории).
Пусть В = П UI™, это В -борелевское множество не первой
т п
категории с кодом из 9J?r Выберем в Вр какое-нибудь Д2-случайное
число gf, g'£B . В 9Df?1(gf/) верно, что F(^;) Д^случайное число
над 9D?! (это вынуждается 10 и 5р), ас другой стороны, B9Rife')
верно, что /^(g') входит в 5 — ft О(рГ' ?Г) (так как это обстоятель-
т п
ство также вынуждается В ). Борелевское множество Bq с кодом q
из 9D?! меры нуль. Противоречие.
Осталось показать, что 9^(=~]§2« Для этого следует рассмотреть
произвольную формулу <р(х) языка ZF и показать, что 9Z ||—«{^1^(^I
измеримое». Для этого достаточно по формуле ср(ж) найти такую
замкнутую формулу ф (слабая абсолютность), что 9^ f= Vrc ^ <2%с^д X
X (<р (ж) ^ 50? (ж) (= ф). После этого с помощью следствия 2 к
теореме 1 (используя при этом и доказательство самой теоремы 1)
получаем, что в 9? множество {х \ <р (х)} измеримое. Слабая
абсолютность произвольной формулы <р (х) в модели 9^ следует из того,
что эта модель, как и модель Леви, о которой говорилось в пункте 1,
обладает однородным континуумом: это означает, что для всякого х,
х £ е%<зяд модель 9^ является расширением 9D? (х) с помощью
последовательности {ha} (зависящей от выбора х) Д2-случайной
относительно 9ft (x). Доказательство этого последнего утверждения для
120

модели Sft протекает точно так же, как и для модели Леви, [12],
стр. 89 или [2]. Теорема 8 доказана.
Дескриптивные проблемы не зависят от аксиом теории
множеств V=L, континуум-гипотезы GH или GCH и аксиомы выбора
АС; эти последние также не зависят от дескриптивных
утверждений [4].
Результаты, изложенные в этой работе (за исключением
теоремы 7) получаются с помощью расширения исходного множества 90£
последовательностью {ха}а<у (или одним числом #, v = l) случайной
над 99? относительно некоторого идеала А в алгебре борелевских
множеств В пространства вида R\\ (обычно ч± = cd) или все то же
самое можно получить методом, указанным в пункте 2, заменяя
квантор V на операцию П » а ее на операцию ^ П, где Q3 = В/Д.
Некоторые результаты (например, теорема 7), требуют иной
конструкции, связанной с идеалом А: нужно рассмотреть «фильтр».
Ф=В—А и числа (или последовательности числа), определяемые
им, как множеством вынуждающих условий. Такие числа и
последовательности можно называть А-генерическими.
Этой конструкции также можно придать геометрический
характер.
Если за А3 взять идеал из тех счетных множеств, коды
которых принадлежат 9D?, то полученные А3-генерические числа не
могут быть охарактеризованы как Д-случайные числа ни для
какого идеала Д. Модель 9D? (#), где х Д3 — генерическое число,
имеет ровно две степени конструктивности и обладает рядом
других интересных свойств.
Автор благодарит В. Г. Кановея за ряд полезных замечаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Новиков П. С. О непротиворечивости некоторых положений
дескриптивной теории множеств. — «Труды математического института имени
В. А. Стеклова», 1951, т. XXXVIII, с. 279.
2. Solovay R. A model of set theory in wich every set of reals is Lebesgue
measurable. — «Ann. Math.», 1970, vol. 92, № 1.
3. Addison J. Some consequences of axiom of constructibility. — «Fund.
Math.», 1959, vol. 46, p. 337.
121

4. Любецкий В. А. Некоторые следствия гипотезы о несчетности множества
конструктивных действительных чисел. — «ДАН СССР», 1968, т. 182,
№ 4.
5. Solovay Л. The cardinality of у\ sets. — Iu: Foundations of
Mathematics». Berlin, 1969.
6. Любецкий В. А. Тезисы доклада на конференции по алгебре и логике.
Иваново, 1970.
7. Любецкий В. А. Тезисы доклада на Всесоюзном симпозиуме по
математической логике. Алма-Ата, 1969.
8. Любецкий В. А, Независимость некоторых предложений дескриптивной
теории множеств от теории множеств Цермело—Френкеля. —
«Вестник МГУ», 1971, № 2.
9. Любецкий В. А. Из существования неизмеримого множества типа А2
вытекает существование несчетного множества, не содержащего
совершенного подмножества типа СА. — «ДАН СССР», 1970, т. 195, № 3.
10. Любецкий В. А. Измеримость и наличие совершенного ядра у
проективных множеств. Канд. дис. М., 1971*
11. Коэн П. Теория множеств и континуум—гипотеза* М., 1969»
12. Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. M.t 1973»

В. И. ФУКСОН
СИЛЬНО ЖЕСТКИЙ КОНТИНУУМ
Континуум S называется сильно жестким, если любое
непрерывное отображение S в S постоянно или тождественно. Докажем
с помощью аксиомы конструктивности следующую теорему.
Теорема (V=L). Существует сильно жесткий суслинский
континуум. Доказательство аналогично доказательству (см. [1])
существования жесткого континуума, т. е. континуума, недопускаю-
щего нетривиальных автоморфизмов.
Для каждого суслинского континуума S можно построить сус-
линское дерево Г, состоящее из трансфинитных
последовательностей нулей и единиц, такое, что S изоморфно множеству ветвей Г,
упорядоченных лексикографически при отождествлении ветвей
вида «!, . . ., ат, 0, 1, 1, . . . и ах, . . ., су 1, 0, 0,. . ..
Если х£Ту то 1(х), длина последовательности х, определяет
уровень х в Т. Если С — замкнутое и неограниченное
подмножество сох, то Тс = {х£Т:1(х)£С}.
Отображение тс : Rx —> R2 назовем частичным отображением if
в i?2 если Лх С R- Гомоморфизм тс: Т -* Г назовем
^-гомоморфизмом, если I (тг (х)) = I (х).
Пусть Т | а = {х£ Т : Z(ж)< а) и Ь\ = {х£ Т :1 (х) = а}. Назовем
гомоморфизм тс : Т -> Т непрерывным, если тс непрерывно на каждом
уровне Ua относительно топологии порядка при лексикографическом
упорядочении Ua. По отображению тс : Т -^ Т определим частичное
отображение тс : S -> S следующим образом: если а £ S и а = lim xn^
где xn£UaCZT, то тс (а) = lim тс (хп).
Будем далее обозначать ветви дерева Т (элементы S) через
а, Ь, . . . . Так как ветвь adT состоит из удлиняющихся
последовательностей уа£Т, то будем отождествлять а с \Jya. В
частности, для ветвей Ьх и Ь.2 через ЬгГ)Ь2 обозначим пересечение после-
123

довательностей Ъх и Ь2; тогда bxf\b2—максимальный элемент в Г,
принадлежащий Ь± и Ь2.
Пусть х£ Г, тогда отрезок х = {a: x£a/\a£S} назовем
/-отрезком.
Лемма 1. Если bv b.2£S и Ьг<^Ь2, то существует #£7\ такое,
что Z(^)<ZFin&2) + a)<i]ain(Z(&1), ZF2)) и ж С ft, Ьа].
Утверждение леммы очевидно.
Лемма 2. Пусть отображение у : S -> S непрерывно. Существуют
множество С-замкнутое и неограниченное в о)х и частичный
непрерывный ^-гомоморфизм п: Т° -*> Тс, такие, что % = ср на
интервалах 5, где ср не является локально постоянным.
Доказательство. Отметим, что ср (£) для х £ Т есть либо точка,
либо отрезок в S, и из определения суслинского континуума
следует, что cp-i(int£)= UK а>*2), где (а{, ^)П«', ^) = °-
Пусть
ag = a),
aLi = sup {у : Т = aS + «> V 3^ (I (*)< *i Л Т = тах (^ (%)> ^ Ю)>
где (ax, a2) — максимальный интервал в cp(int^) или ср(ж) =
= [a1, a2]},
ag+1 = lim aj,
ao = U ao> если ^ предельно.
Пусть С = {<х§ :!:<<«>!}.
Лемма 2.1. Пусть ж^ Г6', Z(^) = a и ?(^) = [61, 62], где Ъ^Ъ^
тогда ny(y£T<>hl(V) = ate(£)Qg).
Доказательство. Пусть г/ = Ь1П&2> Очевидно, что
у—наименьший ^-отрезок, содержащий [Ьх, 62].
Если 1(у)<^а, то по лемме 1 существуют хг и #2, такие, что
1{хг)=1 (х2)<а/\£1Г)£2 = 0/\£1С1[Ь1, Ь2]/\£2 С [bv 62]. Пусть
cp~1(int^1)= U (с[, с[) и ср (int х2) == U №, d^)- Существуют i и /
такие, что £П[с{, с*]^=0, £[\[d{, d(]^0 и [с{, с*]П№, d{] = 0.
Так как max(Z(c1), Z(c2))<a по построению Сих содержит
только ветви длины большей а, то с\, с* (fc£. Следовательно,
х С [с[, с*]. Аналогично, ж С [d{, d(], и отсюда [cj, cjint^i» ^JT40;
противоречие.
124

Ебли Z (*/)!> а, то для z^y и l(z) = a имеем cp(^)Cf.
Лемма 2.2. Пусть у£Т° и #Crng<p, тогда Rx (I (х) = I (у)/\
Доказательство. Пусть Z(z/) = a и ср (int г/) = U (a(, a^), где
*<О)
(aj, а^ГК^/» а£) = 0. Пусть x = a[f]al и ср (ж) — отрезок.
Если I (х) < а, то по лемме 1 существует z, такое, что I (z) <
<CaA^£[ai> аг]' Для cp(^) = [^i> Ь2] по построению С имеем
max (Z (&J, Z (&2) <[ а; противоречие, так как [&х, &2] С у и $ не
содержит ветвей длины меньшей а.
Пусть I (x)^а, тогда для и^х, 1{о) = а, существует w, такое,
что I (w) = а и ср (£) С w. В силу ср (v) f| у =^= 0 получаем w = y и,
следовательно, ср (£) С у.
Положим теперь tt(#) = z/, если ср(^)Су. В силу лемм 2.1 и
2.2 получаем, что п:Тс->Т° есть частичный непрерывный
^-гомоморфизм.
Лемма 2.3. Если ср всюду непостоянно в (fl,6)cS, то (а, Ъ) С
d dom тс и тс = ср на (а, 6).
Доказательство. Пусть *21 — множество ветвей в Т°, с £ ^ПС^» Ь)
и с = lim #я, где а<^хп<^Ьи I (хп) ^ С. Отображение ср непостоянно
на хп, поэтому ср (жя) — отрезок иж^ dom тс. Следовательно, тс (с) =
= lim ти (жя) = ср (с) и eg dom тс. Так как ЭД плотно в (а, &), то
(а, &) С dom тс и тс = ср на (а, &).
Таким образом, лемма 2 доказана.
Теперь построим суслинское дерево Г, недопускающее для
любого замкнутого и неограниченного С С шх непрерывного,
нетождественного ^-гомоморфизма Тс в Т°. Если Т —
построенное таким образом дерево и S — множество ветвей Г, то S не
допускает непрерывных нетривиальных отображений в себя в силу
леммы 2.
Для построения Т сопоставим взаимнооднозначно каждой
счетной последовательности нулей и единиц счетный ординал и
применим принцип Иенсена: существует последовательность
{ha : а < а)!} функций, такая, что для каждой функции h 1*^-+ о^
множество {\<х : h/a=ha} стационарно.
Будем строить Т по индукции. Пусть Га, где а предельно,
построено. Если rng Аа — максимальная в Та антицепь ЭД, тогда Га+1
125

есть такое продолжение Та, что <21 максимальна в Га+1. Если
существует С-неограниченное и замкнутое в ot.nha:TG -+Т° есть
непрерывный, нетождественный ^-гомоморфизм и существует ветвь dcTa,
такая, что l(d) = a, d£domha, ha(d)^=d и d ;не является точкой
экстремума-для Ла, тогда в качестве ТамЛ возьмем такое
продолжение Гв, что й^Га+1 и ha(d)£Ta+v Пусть a = C + 1, тогда Га+1 =
= Га+С/а, где C/a={a::(^ = i/U{(a, 0)} V^ = y\J {(а,1)})Дг/б t7p}.
Нетрудно проверить, что Г-искомое суслинское дерево и
множество ветвей Т есть суслинский континуум, недопускающий
непостоянных и нетождественных непрерывных отображений в себя»
Автор выражает благодарность Б. А. Ефимову за
существенные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jech Т. Automorphisms of io1—trees. — «Trans. Amer. Math. Soc», 1972,
vol. 173, p. 57—70.

СР. КОГАЛОВСКИЙ, Б. А. ЧЕПУРНОВ
НЕКОТОРЫЕ КРИТЕРИИ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ
И ЛОКАЛЬНОСТИ
ДЛЯ ФОРМУЛ ВЫСШИХ СТУПЕНЕЙ
Введение
Ю. Лось [3] заметил, что классы элементарных структур,
определимые предваренными предложениями 2-й ступени без
кванторов существования по индивидным переменным,
определяются универсальными предложениями A-й ступени).
А. И. Мальцев [4] показал, что классы элементарных структур,
определимые предложениями квазиуниверсального вида —
предваренными предложениями 2-й ступени без кванторов
существования по индивидным переменным,, в которых допускаются
ограничения на кванторы по предикатным переменным i/\
выразимые системами универсальных формул со свободными
переменными v1 — обладают локальным свойством. (В действительности
в [4] был найден более общий критерий локальности, однако во
всей своей общности он не был реализован ни в [4], ни в
последующих публикациях в этом направлении. Вместе с тем, в [1 ]
был предложен более узкий критерий локальности, достаточный
для приложений, рассмотренных в [4].) В [4] показано также,
что классы RN-, /?/-, Z-, RN-, RI-, Z-групп определяются
предложениями квазиуниверсального вида, откуда следуют (известные
ранее) локальные теоремы для этих классов.
В [2] введен вид «формул», получающийся из
квазиуниверсального вида допущением более общего вида ограничений на
кванторы (в том числе таких, которые не выразимы формульно),
и доказано, что классы, определимые такими «формулами»,
обладают локальным свойством. Этот новый критерий локальности
позволяет заметно увеличить список алгебраических локальных
теорем.
127

Среди рассмотренных в [4] и [2] приложений этих критериев
локальности более нетривиальны те, которые относятся к
классам структур, непосредственно определяемым на языке 3-ей
ступени. Таковыми являются перечисленные выше классы групп.
К таким классам эти критерии непосредственно не применимы.
Они применимы лишь к классам, определяемым «формулами»
2-й ступени. В [4] доказательство локальности, например, класса
i?iV-rpynn основывается на редукции (посредством вводимого
в этой работе предиката R) понятия нормальной системы,
непосредственно выражаемого на языке 3-й ступени, к некоторому
понятию, выражаемому на языке 2-й ступени (и на последующем
использовании внутренней локальной теоремы).
Мы находим критерии локальности более общие, чем в [2]
(и [4]), и такие, что их использование не требует подобных
редукций. Мы находим также критерий наследственности,
обобщающий теорему 5 из [4] и уточняющий теорему 2 из [2]. Пользуясь
теми же схемами доказательств, можно найти критерии других
видов замкнутости для классов структур, определяемых
формулами высших ступеней.
Во имя прозрачности и компактности изложения мы не
стремимся здесь к возможно большей общности. Так, мы
ограничиваемся рассмотрением лишь односортных структур и не
рассматриваем условия вида «существуют дополнительные базисные
множества и отношения, определенные на исходных и новых
базисных множествах, такие, что. . .» (ср. [4], стр. 327). Эти
ограничения легко снять. Получаемые в результате критерии можно
применить, в частности, к исследованию на локальность классов
абстрактных алгебр отношений в смысле [6], изоморфно предста-
вимых теми или иными конкретными алгебрами отношений.
§ 1. Основные понятия
Символом Т будем обозначать наименьшее из множеств слов
в алфавите {о, (,)}, содержащих о и вместе со всякими словами
тх, . . ., tw — слово (тх ... тя). Элементы Т будем называть типами.
Ступенью типа т будем называть число Six, такое, что Sto=:0 и
St (тх ... тя) = 1 + max {Stzly ..., Stxu}.
128

Пусть А — непустое множество. Типовой башней над А будем
называть семейство (Ax)zeT такое, что А° = А, A Tl---tjl =
= Р (А*1 X • • • X А"п) (Р (В) обозначает множество всех
подмножеств В). Для всякого типа т элементы множества Ах будем
называть отношениями типа х на А и обозначать малыми начальными
латинскими буквами с верхним индексом х и иногда с нижними
индексами.
Пусть В d А. Для всякого а £ А полагаем а \ В равным а, если
а£В, и не определенным в случае а (£ В. Для всякого отношения
a(Ti • • • тя) на А множество «aj» \ В ... а]п \ By | <aj* ... а?/) £ а<т» • • • г«>
и все aV \ В определены} будем обозначать а^---^) \В и называть
В-следом a(Ti---T*).
Родом, или сигнатурой, будем называть всякую функцию со
значениями в Т. Род будем называть элементарным, если каждое
его значение есть тип не выше 1-ой ступени.
Структурой рода р будем называть всякую упорядоченную
пару © = Л4, Fg\ такую, что А — непустое множество, Fq —
функция, определенная на domp, для которой F^{i)^Ani) для
всякого i £ dom p. Множество А называется базой S и
обозначается через |C|. Отношения Fq(i) называются определяющими
отношениями в. Часто будем их обозначать через Q(i).
Ступенью в, или ступенью р, называется ординал, являющийся
верхней гранью ступеней типов р (i). Если р — элементарный род, то Q
называется элементарной структурой.
Отношения на | S | будем называть отношениями в ©.
Отношения типа о в б (т. е. элементы | Q |) будем называть
индивидами C. В их обозначениях верхний индекс о будем опускать.
Пусть структуры S и 6' одного и того же рода р таковы, что
| & | С | в | и & (I) = в (i) f | & | для всякого i (< dom p. Тогда будем
говорить, что & — подструктура б. В этом случае для всякого
отношения ат в Q отношение ат [ | & \ будем называть ©^следом ах
и обозначать aT \Q!.
Система L подструктур C называется локальной, если каждое
конечное подмножество |6| входит в |^| для некоторой S££.
Пусть V — какой-нибудь класс структур одного и того же рода.
Класс К с V называется наследственным (в V), если
(принадлежа

жащие V) подструктуры структур из К принадлежат К, и
локальным (в F), если для всякой структуры 6 (из V) из существования
включающейся в К локальной системы ее подструктур следует
в £ К.
Каждому роду р соотносится язык высших ступеней L(p),
з алфавит которого входят:
1) константы cJ.W (i^domp),
2) переменные г^(/г<>) типа т для каждого т£Т,
3) ~] (отрицание), Д (конъюнкция), V (дизъюнкция), -^
(импликация), <+ (эквивалентность), V, 3 (кванторы общности и
существования, = (равенство).
Переменные и константы (типа т) будем называть термами
(типа т). Термы типа о будем называть индивидными термами.
В их обозначениях верхний индекс о будем опускать. Для всякого
х £ Т термы типа % будем называть термами Stt-ou ступени.
Слова видов tx = t2, t{Xi'' •Хп ># ... fn\ где tv t2, ^•••Tw), ..._
термы, называем атомарными формулами. Отправляясь от
понятия атомарной формулы, обычным образом определяем понятие
формулы и понятия свободного и связанного вхождений
переменной в формулу. Формулы без свободных вхождений переменных
называются предложениями.
Если а обозначает какую-нибудь формулу, то символ a(yjs . . -,vln)
служит и обозначением той же формулы и указанием на то, что
все вхождения переменных иТ0°, . . ., и]? в о свободны и что не
существует свободных вхождений в а иных переменных.
Ступенью формулы называется наивысшая из ступеней
входящих в нее переменных, увеличенная на единицу, а ее
степенью — наивысшая из ступеней входящих в нее термов.
Как и в [2], мы будем рассматривать обобщенные формулыу
образуемые добавлением в качестве частей в формулы из L (р)
тех или иных семантических условий. Опишем более точно класс
таких формул и семантику, связанную с ними.
Расширим язык L (р). Пусть Ф — произвольный набор
символов, не являющихся частями формул этого языка, W —
функция, определенная на Ф, со значениями в Т. Обобщенной
атомарной {^формулой будем называть всякое выражение о одного из
следующих видов:
130

1) а — атомарная формула языка L (р),
2) а есть <р# .. . fH*, где ^Фи(т0... тя) = Ф (<р).
Понятие обобщенной р-формулы определяем естественным
образом, отправляясь от понятия обобщенной атомарной
р-формулы. Формулы языка L (р) будем, в отличие от прочих
обобщенных р-формул, называть собственными р-формулами.
Понятия ступени и степени формулы и понятия свободного и
связанного вхождений переменной в формулу непосредственно
обобщаются на случай обобщенных формул. Обобщенные формулы
без свободных вхождений переменных будем называть
обобщенными предложениями.
Обобщенные формулы Yv* (о1 -^ а2) будем иногда обозначать так:
(VyTK (a,), a ЗЬТ (ах Да2) — так: (Я^ (о2), и кванторы (V^, (&v\
будем называть ограниченными кванторами. Если ах —
общезначимая формула, то (Vz;T)cri, Ci;T)ffi будем называть, также, как и Yvx,
Яг/, неограниченными кванторами.
Будем предполагать, что задана функция W*f соотносящая
каждой тройке (б (pl° ... ЬТ*У f) такой, что б — структура рода р,
ср £ Ф, (т0 ... Тп) = 1-^ (?) и ^о% . • ., ^п — отношения в б, одно из
значений: и или л.
Пусть б — структура рода р, а — обобщенная р-формула.
(S, а)-функцией будем называть всякую функцию / такую, что
1. dom/ содержит все переменные, входящие в а свободно, и
dom p С dom /,
2. / (i) = Q (i) для всякого i £ dom p,
3- f(v't)£AT для всякой переменной t;T из dom/.
Понятие выполнения (б, а)-функцией / обобщенной р-формулы
о определяется рекурсией:
1) если а—атомарная формула tx = t2 (t{x°'"Xn)tl0 ... #0, то /
выполняет а, если / &) = / (Q «/ (ф) ... / (£•)> ^ / (^(т°''' Tw)))j
2) если а — обобщенная атомарная формула -ft]0 ... ^я(<р£Ф),
то / выполняет а, если W*«6</№)••• /(С))?)) = и>*
3) если а есть "]ох, то / выполняет а,-если / не выполняет^;
4) если а* есть ol/\a2, то / выполняет а, если / выполняет ах
и / выполняет а2;
5) если / есть а, V^2(ai->а2» ai^a2)> то / выполняет а, если /
ВЫПОЛНЯеТ ~K>lA>2)OlV*2> «l">^A^2-*<»l);
131

6) если о есть Yvx (ах), то / выдолняет а, если всякая (б, о1)-функ-
ция £, такая, что g(t°)=^f(f) для всякого t°=^=vx, выполняет ах;
7) если а есть Зут(а1), то / выполняет а, если / выполняет
-|Vi;*(>i)-
Для всякой обобщенной р-формулы g(wI*, ..., wxnn) и всяких
отношений aj>, . . ., а]п в структуре б рода р будем писать б[—
|—a(aj«, . . ., aj«), если какая-нибудь (в, а)-функция /, для которой
/ (w]*) = ат/ (i ^ n), выполняет а.
Будем говорить, что а выполняется в б, если какая-нибудь
(б, а)-функция выполняет а, и что а истинна в б, если ~~]а не
выполняется в в. Выполнимость обобщенного предложения в б
равносильна его истинности в б.
Пусть F — какой-нибудь класс структур рода р. Будем говорить,
что класс К С V определяется (в V) системой обобщенных р-пред-
ложений 2» если он состоит в точности из тех структур (из F),
которые выполняют все предложения из 2- Систему 2 будем
называть выполнимой (в F), если класс, определяемый (в V) этой
системой, не пуст, и общезначимой (в F), если этот класс состоит
из всех структур рода р (из F).
Обобщенную р-формулу o(wx0^ . . ., w]p) будем называть (F—)
наследственной, если для всякой структуры б (из F), всякой ее
подструктуры & (из F) и всяких отношений aj«, ..., а\п в б,
таких, что a}i f& определены, из Q\—o(axQoy .. ., а)») следует
б'(—<j(ajo f б', . .., а]п \&). Будем говорить, что а есть (F—)
локальная формула, если для всякой структуры б (из F), всякой
локальной системы L ее подструктур (включающейся в F) и всяких
отношений ajo, ..., агпп в б из того, что (&4\—s(#5° \ б^ ..., aj» f б,-)
для всех б,- из L, следует б|—c(aj°, . . ., aj»). Ясно, что класс /£
структур рода р в точности тогда (F—) наследственен ((F—)
локален), когда он определяется (в F) наследственным (локальным)
обобщенным предложением.
§ 2. Некоторые признаки наследственности
Предваренные формулы 2-й ступени, в которых индивидные
переменные не связываются кванторами существования,
наследственны (см. [3]). Для формул 3-й и высших ступеней это, вообще
132

говоря, не так. Пусть, например, р — элементарный род и p(t) =
= р (/) == (о). Предложение Зу((°)) (у((°))с(°) Д ~}vW> сСо)), выращаю-
щее для всякой структуры C рода р несовпадение определяющих
отношений C@ и ©(/), очевидно не наследственно.
Для всякой формулы п-ой ступени, где п > 2, можно построить
эквивалентную предваренную формулу той же ступени без
кванторов существования по индивидным переменным. В самом деле,
пусть тг(у((о)), w^0^, v^)— конъюнкция следующих формул
языка L@):
RwW(v«°»wW)hYw™(v«9»wi9) -* Vi7("l^(e)^)),
o;<(e)Ve\
Vu;@) (u>(@) V0) -> ">«e»a;(i)).
Она выражает, что z;(@)) состоит из пустого множества (индивидов),
ш(@)) содержит и@) и что множества, содержащиеся в ш(@)),
не пусты. Следовательно, формула v(z;@)):
Яу((О))Яш((О))GгA;((О)), к;(@)), у@)))
выражает непустоту z/0). Всякая формула Яу(о(г;, ...))
эквивалентна следующей:
Яг;@) (v (г;@)) Д Vi; {v{0)u ->o(v, ...))).
Так как v (vi0)) преобразуема в эквивалентную предваренную
формулу 3-й ступени без кванторов существования по индивидным
переменным, то и последняя формула преобразуема в
эквивалентную предваренную формулу той же ступени (если ее ступень не
ниже 3-ей) без кванторов существования по индивидным
переменным.
В ZF -\-BА = 2Б-*> А = В) можно доказать, что для всякого
предложения п-й ступени (п > 2) из L @) можно построить
эквивалентное предложение той же ступени без индивидных
переменных. Более того, для всякого п > 2 и всякого предложения п-и.
ступени из L @) можно построить эквивалентное предложение
той же ступени, в которое не входят переменные меньших
ступеней, чем п—2.
Все это показывает, что для предваренных формул 3-й и
высших ступеней (содержащих кванторы существования по пере-
133

менным 2-ой или высших ступеней) критерии наследственности
не выразимы только через свойства (кванторных) приставок.
2.1. Пусть р — произвольный род, а — формула- языка L (р)
в предваренной нормальной форме, в которую не входят кванторы
существования по индивидным переменным и отрицания
атомарных формул выше 1-й степени. Тогда а наследственна.
Доказательство. 1) Если о — атомарная формула, то ее
наследственность очевидна.
2) Если с — отрицание атомарной формулы не выше 1-й
степени, то ее наследственность также очевидна.
3) Если о3 и а2 — наследственные обобщенные формулы, то
о, /\с2 и а1 \/ а2 — наследственные обобщенные формулы.
4) Пусть а(м;т, мф, . . ., м£»)— наследственная обобщенная
формула и tjLo. Тогда Яи/1 (a (wT, M7j», . .., wip) — наследственная
обобщенная формула. В самом деле, пусть © |—Э.шх (a (w*, ajs ...
• •••>aln))* Тогда в Q существует отношение ах такое, что б|—
|— а (ат, а^, .. ., а]*). В силу наследственности a, Q1 |— о (ах \ &,
a\i \ Q'y . . ., а]р fQ1) имеет место для всякой подструктуры б'
структуры б (такой, что a£ f б;, . . ., а]р fQ' определены).
Последнее влечет Q' |— &wx (a (w^, aj» f Q1, . . ., aj» f б').
5) Пусть a(w;T, w;^, . . ., w]p) — наследственная (обобщенная)
формула. Тогда VwT (a) наследственна. Действительно, пусть Q \—
\— YwT (a (шт, a^, . . ., aj«)). Покажем, что тогда в' [— Vw;T (a (шт,
<2*i f 6f, . . ., а]р \ Q')) (если aj» f 6;, . . ., aj» f в' определены), т. е.
что для всякого отношения а^вб' имеет место б' |— a (aT, a^ f б;, ...
. .., alp \ б;). Так как ах есть отношение в б, то б |— a (aT, af, . . .,
..., aznn). Отсюда, в силу наследственности а, & |—а (ат, а^ f б;, ...
Выразительные возможности собственных формул,
удовлетворяющих условиям 2.1, сравнительно бедны. Так как в эти формулы
не входят отрицания атомарных формул высших степеней, то
посредством таких формул не выразимы (непосредственно),
например, следующего вида условия, относящиеся к топологическим
структурам: всякое открытое множество обладает таким-то
свойством, или относящиеся к группам условия вида: существует цепь
нормальных делителей, обладающая таким-то свойством. Найдем
более широкий, чем описанный в 2.1, вид наследственных формул,
134

в значительной мере лишенный подобной ограниченности в
выразительных возможностях.
Обобщенную р-формулу <р (pj», ..., гя»», ш°о, . .., w*n*) будем
называть Е-формулой относительно w%>. .. .,и%", если для всякой
структуры Q рода р, всякой ее подструктуры Q1 и всяких
отношений aj>, . .., а]ш в ©из 3' |— ср (ajo \ б1, . . ., aj» f g'f bj», ..., Ь»*)
следует существование в Q отношений d%°, . .., d^», для которых
dj< f & = by (i <л) и Q\—<? (ajo, . .., a^«, djo, . .., d»*). Следующие
предложения очевидны.
2.2.1. Всякая атомарная формула £(т° •••т»)мф> .. . wj» есть Z?—
формула относительно M7j>, . .., m;J».
Конъюнкция .Е-формул вообще не есть .Б-формула. Однако
имеет место
2.2.2. Пусть ах есть ^-формула относительно yjo, . . ., yjm,
а a2—^-формула относительно ш^,. . ., w^n и yj< =^= w°J (i^ m, j ^ п).
Тогда сх Д а2 есть ^-формула относительно i;J», . . ., yjjy», ^°, . .., м;^».
2.2.3. Пусть ах есть ^-формула относительно yj1, . . ., z;Jj»,
а a2 — .Е-формула относительно w%>, ..., м?°». Тогда ах \/ о2 есть
^-формула относительно yj>, ..., z;^»? m;J», . .., w%*.
2.2.4. Всякая обобщенная формула t\ С ^, такая, что Ц или
^ есть переменная, является ^-формулой относительно любой из
переменных, в нее входящих («С» обозначает
теоретико-множественное включение).
Обобщенную р-формулу будем называть Н-формулой, если она
имеет вид (#ои#).о • • • (<?*<wk (a № • • •• С*> <0' • • •» "Ф1)). гДе:
1) a — наследственная обобщенная формула, 2) если Q.—квантор
существования, то v, =^= о и at. общезначима, 3) для всякого i ^ п
о4 (vx0% . .., yj»», M>g°, . .., ш^) есть jE-формула относительно m;J* и,
возможао, w*Li*, w^tg, . . ., если эти переменные связываются
неограниченными кванторами общности.
2.3. Всякая Я-формула наследственна.
Справедливость этого предложения следует из утверждения
в пункте 4) доказательства 2.1 и из следующего предложения:
#-формула Ум;;;» ... Уи>£Г (УК\^г ашиш fa ft #-о jfl(<» №, • • м <«))
наследственна. Докажем последнее. Пусть
135

и ©' — подструктура б. Пусть отношения fcjo, . . ., й°» в б' таковы,
что б' (— ох (aj> f б', ..., а%п \ б', bjt, ..., fej»). Покажем, что тогда
©' (— о (aj° f S', ..., aj» f S', Ь^, .. ., 6J«). Так как ох есть .Б-фор-
мула относительно w?g°, . . ., w^», то в б существуют city, ..., dj«,
такие, что dj< f б; = 6J< и б f— ог («S0, ..., а^, d^, . .., d%*). Но
тогда б|—a(aj«, .. ., d^«), откуда, в силу наследственности а,
б' |-о(a? f в', . .., afr\ef9 Щ», .. ., Ь^п).
Следующие примеры помогут оценить выразительные
возможности собственных Я-формул.
2.3.1. Пусть р = {(р ((о))У). Конъюнкция Тор следующих Я-фор-
мул определяет класс всех топологических структур:
-* аю<0' (w«°w> л и><0)^)) Л vv (W%lW)uM x
(V^°)) (to)) W(VwP)m)(o)Bv(e) WW> Л
Я-формула Vy(e) (с^°Ъ@)) выделяет в этом классе подкласс,
состоящий из всех дискретных структур, Я-формула
VVlV2 (UX yt=V2-> Яу(ОЦО) (С£(о)Ц0) Д С^(о))у(в) Д ^@)^ Д
— подкласс, состоящий из всех отделимых структур, Я-формула
Vv(Vv@)) (@)) (о) (v@)v ~> Я<)^) D(°))<) Д с((о))<) Д
со v
Д V^ ("] <) и; V  w^w) A wi0)» AVw(-]viO)w-+ w^w)))
выделяет jb классе всех отделимых структур подкласс, состоящий
из всех регулярных топологических структур.
136

2.3.2. Пусть р = «о((о))>, <1(ооо)>, <2(оо)>}. Рассмотрим
Я-формулы
Ущщщ (cJ^Bft -> (VaJO) (@)) (о) «Ч -> Щ*Щ*) (срЩ* Д
О 3
Д с((^)L0) Д *4°Ч Д 4°Ч Д Vi^iy;, (cf000 V2!;3 Д и[^их Д
Д^°Ч^4°Ч))))>
Увд (cf ">ba -> (V4o))c((o))m(o) (Ц°Ч -* Явр) (с<«0Ч°) Д
Д и^ Д Vv,v2 (с^\и2 Д ц{°4 -> u^v2)))).
Пусть G* — класс структур C рода р, таких, что 6A) —
групповая операция, a Q B) — операция взятия обратного элемента.
Конъюнкция Тор и последних формул определяет в G* класс
всех топологических групп.
2.3.3. Понятие нормальной системы подгрупп, непосредственно
выражаемое формулой 3-й ступени, в работе [4] было
редуцировано к подходящему понятию, выражаемому формулой 2-й
ступени. На этом пути было найдено определение класса i?iV-rpynn
^-предложением 2-й ступени. Опишем идейно близкое, но не
редуцированное и поэтому, на наш взгляд, несколько более
естественное определение этого класса //-предложением 3-й ступени.
Пусть G — класс всех структур E рода рв = {<Ъ (ооо))>, <^1 (оо)^>}
таких, что 6@) — групповая операция и EA)—операция
взятия обратного элемента. Класс всех i?ZV-rpynn определяется в G
предложением
(*) я^^^д^Л^Л^.
где ох есть конъюнкция формул
(V^(o)),((o)Mo) W>)f(со)).jo) Cfv (vpv ^ и?Ъ) V V* (vpv - i;jo)i;))f
(Vy@))e( (о) Vo) Vu (vv — v-^ vi0)v)
(здесь и ниже мы пишем «w = v~1» вместо «c[oobw» и «w; = M73a72»
вместо tcjf^WjjVzW*), выражающая, что v(@)) есть цепь
подмножеств, содержащих единицу группы; о2 есть формула (Vy@))r(@))e(o)X
X Vvw (v{0)v Д vi0)w -+ v^vuT1), выражающая, что каждый член
^(@)) есть подгруппа; а3 — конъюнкция формул
137

Яу(°) (*;(«» v°) д Yv (vi0)v ->vv = v)),
Яг/е> (v«0))vi9) ^Yv (v^v)),
выражающая, что несобственные подгруппы принадлежат v(@));
°4—формула
Yv (We>),(co)Vo) (~]v^v-* Яур)Ц(о)) (а41 Д <х Л
ЛЗ^оЦо)(а42Л<2Л^Л^))),
где а41 —формула (Vh;@)),((o)Vo) (*;((e)V0) ЛП^0^),
<i - (^(О)L^».со) (^f0^^0^ Л w(°4
Oi2 — v(@»vW Л Vo; M0^ ^ 3w;(ej (у(@))ш@) Д ^(O)w;))?
а*2 ~ y(@)V(°) Л Viz; (v^w ^ (Vw;(O)L(o))w(o) (w;@)w;)),
°4з — (уи>@)),( (o))w(o) (Vm; (m;@)m; -> z;(°)u;) V ^м; (уС«)и; -> w{0)w)),
ои - УУ11;Л (и^и± Л у|0)^2 Л ^0)у8 -* ^°ЧV2 Л
а4 выражает, что для всякого неединичного элемента а группы
существуют в va0)) наименьшая подгруппа v^\ содержащая а,
и наибольшая подгруппа v{°\ не содержащая а, такие, что v[°) —
нормальный делитель в у|0) и фактор-группа v^lu[0^ абелева.
Таким образом, предложение (*) выражает существование
разрешимой нормальной системы и, значит, действительно
определяет класс i?iV-rpynn. Оно естьЯ-предложение, и, следовательно,
класс jRiV-групп наследствен. Для дальнейшего полезно
заметить, что все формулы в (#), ограничивающие кванторы,
атомарны.
Легко видеть, что класс Л/-групп определяется #-предло-
жением
5Ь((О))(а1Л°2Л°зЛ°4Л°5)>
где о5 — формула
OV0)),«c»yo)Yvxv2 (и@\ -^ v^v-y^).
Аналогично определяется класс Z-rpynn.
138

2.3.3.1. Легко видеть, что класс всех i?/V-rpynn определяется
предложением
ау"в))(°1Л°аЛ*;л°:).
где о1 и cj2 — те же, что и выше, а* — конъюнкция формул
эквивалентная а3, а а* —
Vv (Vy(ei)f((o))fco> (>@)^ - (M">)e (Vi;^))p (^сл^од^сс^со) Д Ou))f
где а44—то же, что и выше, а(г/@)), i;{o)) выражает, что yj°>
есть объединение всех подгрупп из усс°3), не содержащих и,
a Р(у(@)), г;!>о))— что учесть пересечение всех подгрупп из и({0)\
содержащих и. Это замечание будет использовано в § 5.
§ 3. Обобщение основных понятий
Для получения признаков локальности, относящихся к
формулам 2-й и высших ступеней, понадобится обобщить основные
понятия и полученные в § 2 признаки наследственности.
Нестандартной типовой башней над непустым множеством А
будем называть всякое семейство множеств (*Лх)тет, такое, что
*А° = А и для всякого т = (х0 ... тя) *АХ является множеством
подмножеств *ЛТ°Х •. . Х*АХп, содержащим все конечные
подмножества. Типовую башню над А в смысле § 1 будем, в отличие
от других нестандартных типовых башен над А, называть
стандартной типовой башней над А.
Нестандартней структурой рода р будем называть всякую
упорядоченную пару *6 = ((Мт)Хбт> ^*б)> такую, что (Мт)тет —
нестандартная типовая башня над *А°, a F*g — функция,
определенная на dom р, для которой F*g (i) f *A?W для всякого i £ dom p.
Условимся обозначать F*g (i) (i £ dom p) через *Q (i). Элементы
AT будем называть отношениями типа z в *Q. Элементы *А°
будем называть индивидами *Q. Если (*Лт)тбт стандартная
типовая башня, тб' *в будем называть стандартной структурой.
1ак как стандартная типовая башня над А взаимоопределима с А,
то всякую стандартную структуру 6 = ((А*)тет, Fq} будем отож-
139

дествлять с парой (A, F<~), структурой (над А) в смысле § 1,
и обозначение структуры в виде (A, Fg\ будет означать, что
имеется в виду стандартная структура»
Пусть А и В — непустые множества и /о — отображение А
в В. Отображения /х: А1 -> Вт определяем рекурсией:
*(ч..,„) (а(т°-Тя)) = {</ТоК°) • • • ЛяКи)>Као° • • • в?>6^-^}.
Эти отображения называются распространениями отображения fQ.
Очевидно, если /о — отображение на В, то и все /т —
отображения на J?T, и если /в взаимно однозначно, то взаимно
однозначны все /х.
Пусть *6 = <(*Лт)тбт, *@> и *61 = <(*5т)тбт, F*6l> —
нестандартные структуры одного и того же рода р и /0 — взаимно
однозначное отображение *А° на *В°. Если /0 таково, что /ХГ)*А1Х*ВХ —
взаимно однозначное отображение *АХ на *ВХ (х£ Т) и / (i) (*б (г)) =
= *Qi(i) для всякого i^domp, то будем говорить, что /0 —
изоморфизм *Q на *Cх. Если такое /0 существует, то будем
говорить, что *6 и *6Х изоморфны, и писать *2> с^: *6Х.
Пусть нестандартные структуры *S = ^(*-Ат)тбт, ^*з) и *©! =
= ^(*^4т)тбт, F*g^, таковы, что F^C F*g. Тогда *бх называется
обеднением структуры *6, а *в — обогащением структуры *6Г
Нестандартная структура *©х = /(*5т)тет, ^*6Х) называется
подструктурой нестандартной структуры *C = ^(*Лт)тет, Л©)-
(того же рода), если *В° С *4°, *5Т = *ЛТ f *В°(х(<Т), *&1(i) =
= *S @ f *5°. Очевидно, если *S — стандартная структура, та
всякая ее подструктура есть подструктура в смысле § 1.
Понятия (©, о)-функции и выполнения (<5, а)-функцией
формулы о обобщаются на случай нестандартных структур
посредством замены в определениях этих понятий «Лт» на «*ЛТ».
Соответствующий смысл приобретает при этом выражение «б|—с».
3.1. Если нестандартные структуры *C и *S2 рода р
изоморфны, то для всякого предложения а языка L (р) имеет места
Пусть -^ — наименьшее отношение частичного порядка на Тг
такое, что если т == (т0 ... тя), то т0 -^ т, ..., \ -$ т. Для всякого-
S С Т через S* будем обозначать {х | Ят* (х* £ S Д х -^ х*}.
140

Пусть *6 = <(*4т)тет, Лб> и *61 = <(*5т)тбт, F.e^ —
нестандартные структуры рода р и S — некоторое множество типов.
Будем говорить, что *б и *б1? S-изоморфны, если существует
взаимно однозначное отображение /0 множества *А° на *В°> такое,
что f^C\*AxX*Bx —взаимно однозначное отображение (на *ВХ) для
всякого т £ 5^ и /р (О (*6 @) = *Si @ Для i, таких, что ту £ £¥ (/ <[ р),
где р(г) = (т0 ... zp). Такое /0 будем называть ^-изоморфизмом *б
на *EГ Ясно, что изоморфные структуры ^-изоморфны для
всякого S. Поэтому следующее предложение обобщает 3.1.
3.2. Пусть о — предложение языка L(p) и S — множество типов
всех термов, входящих в а. Тогда для всяких ^-изоморфных
структур *<5 и *©х рода р имеет место *(S|—oo*6i|—о.
Пусть Q = /(*Лт)тбт^з\ — нестандартная структура рода р,
S — непустое множество типов. Будем предполагать, что dompfl
Пи*-4Т пусто. Рассмотрим род p* = p\J{<az'z>\a't£ 1)*АХ}. Кон-
tes* «res»
станты cJt языка L (р*), не входящие в L (р), будем обозначать
здесь и всюду далее через а\ Обозначим через б* структуру
рода р*, обогащающую Q и такую, что <5*(aT) = at для всякого
aT^U*^4T- Пусть At — множество, состоящее из всех атомарных
предложений языка L (р*) и из отрицаний таких предложений.
Множество всех истинных в E* предложений из At будем
называть S-диаграммой структуры C и обозначать через Дз(<5).
3.3. Пусть о — предложение языка L (р), где р — элементарный
род, и «S — множество типов всех переменных, входящих в о.
Тогда если D^(Q)\J{^} выполнима в какой-нибудь
нестандартной структуре (рода р*), то Ds((o)lJ{G} выполняется в некоторой
нестандартной структуре.
Во избежание громоздкости доказательство проведем для
случая, когда о — предложение 3-й ступени и |6| бесконечно. Пусть
* — произвольная конечная подсистема DS(Q)> В формулы из х
входят индивидные константы а0, . . ., av константы 1-ой ступени
do°> - • •> <fy? не из L(p) и константы 2-ой ступени ay», . . -,d™n.
Каждой константе d°J (о4 = (о ... о)) из {d^, . .., а»™) соотнесем
Pi
взаимно однозначно последовательность di0, ...,dipi из |S|\{a0,..., at)
так, что множества {di0, ..., dipi) (i^m) попарно не пересекаются.
141

По условию некоторая нестандартная структура бх = <(*Лх)т6т,
F6i) рода р* выполняет D1 = D{f)} F)U{a}. Пусть a^aQQ ... аОро,...
..., &l*drQ ... drpr — полный список содержащихся в х атомарных
формул с вхождениями а£° и без вхождений констант 2-й ступени,
bjo-множество
{<©i (%>) • • • Si KJ>, • • -I <0i Ко) ... ©х (агро)>,
<©itfoo)...©i (*>,.)>}
или <(Si(d00) ... Qi (d>op0))>, если в ^ нет таких атомарных формул
с вхождениями d|j°. По определению понятия нестандартной
структуры, оно является отношением в бг Аналогичные значения
будут иметь знаки bjs •••>&£»». Пусть б2 = ({кАх)^т, F§ \—
нестандартная структура рода р*, {о}-изоморфная (Зх и такая, что
б2 (^) = 6Х (a,) (i^l) и 62 (а«У) = by (j <w). Ясно, что 62
выполняет з, и все формулы из х не выше 1-ой степени. Пусть в х
содержатся следующие атомарные формулы с вхождениями
do°: <ЧТ§ • •. <%» • • •' do°«?o • • • йтЛ (гДе °>о = (^о • • • т,)) и только они.
Обозначим через Ь^* множество
{F2 (ой) ... ©а К;)> <62 (ajj) ... б2 (ajj)»
(или пустое множество, если в х нет атомарных формул с й£°).
Оно является отношениехМ (типа а>0) в Q2. Аналогичные значения
будут иметь знаки &£*,..., 6JJ». Пусть 63 = ((Мт)тет, ^ез) —не"
стандартная структура рода р*, {т|^т^ 1}-изоморфная б2 и
такая, что
в3 (а4) = 62 (a.) (i < Z), 63 (а}У) = б2 (а)/) (/ < /л),
©8 («**) = *?(*< *).
Эта структура выполняет ^Ul^}- Таким образом, всякая конечная
подсистема Ds (б) U {а} выполняется в некоторой нестандартной
структуре. Следовательно, по теореме компактности, некоторая
нестандартная структура выполняет Ds (б) (J {а} •
§ 4. Обобщения теорем Лося и Мальцева
Формулу о(а;|}*, . . ., ^») языка L (р) будем называть строго
наследственной, если для всякой нестандартной структуры б рода р,
142

всякой ее подструктуры <ог и всяких отношений ag°, . . ., aj|« в <3
имеет место
б Н ° К°, . . ., а;») => бг Ь ° («2° Г 6х, • • ., <« f 6х).
Аналогичным образом понятие .Е-формулы модифицируется
для собственных формул в понятие *Е-формулы. Легко видеть,
что формулы вида, описанного в 2.1, не только наследственны,
но и строго наследственны, и что всякая атомарная формула
£1»о...ои)м;|>о # # # ^ есть* /^-формула относительно wl°, . . ., w%*. Ана-
логичное справедливо в отношении 2.2.2 и 2.2.3.
Формулу {Qoufy)9o .. . (£>„<*)*,,(? № • • •> *4М> <°> • • •» <w) бУД.ем
называть *Н-формулой, если 1) ср — строго наследственная
формула, 2) если Qi—квантор существования, то о4=^=о и at
общезначима в классе всех нестандартных структур. 3) о. (yj>, . . ., v]™,
и?1°, . . ., ш°л) есть *Е-формула относительно w°J и, возможно,
M^.i-jS w\hg, . . ., если последние связываются неограниченными
кванторами общности. Следующее предложение доказывается
аналогично 2.3.
4.1. Всякая *#-формула строго наследственна.
Пусть р — элементарный род, б — структура рода р, р* и 6*-
те же, что и в § 3, ф = /В, ,PV) — (нестандартная) структура
рода р*, J3—множество {^ (г) | р* (г) = о}.
Через ^ f б обозначим структуру <(А \ В, F), такую, что
^й = ? (i) f 5 для всякого i ^ dom p*. Следующее предложение
очевидно.
4.2. Если ^ выполняет Z)^ (б) и S не содержит типов выше
1-ой ступени, то Sf6 и S* б'-изоморфны.
Очевидно также, что для иных S структуры S f б и б*
вообще не S-изоморфны. Отсюда нетрудно вывести, что из
выполнимости в §: системы AsF)U{°}> ГДе ^ — строго
наследственное предложение, вообще не следует б|—о.
Если б — стандартная структура и 5 выполняет Ds (б), то
Ф f б изоморфна некоторой структуре *б с теми же индивидами,
что и б и такой, что для всякого типа т множество всех
отношений типа т ''в *б есть часть множества всех отношений типа т
в б и *б (i) = б (г) для всякого i из {i | p (i) G ^ Л ^ Р @ < *}•
Отсюда и из 4.2 следует, что б и $[6 выполняют одни
и те же предваренные предложения языка L (р), не со дер-
143

жащие кванторов общности по переменным 2-ой и высших
ступеней и не содержащие переменных, типы которых не
принадлежат 5^. Отсюда следует
4.3. Пусть р — элементарный род и о — предваренное строго
наследственное предложение языка L (р), не содержащее
кванторов общности по переменным 2-й и высших ступеней. Тогда,
если ^ выполняет Ds (S), где C — стандартная структура и S —
множество типов входящих в а термов не выше 1-ой ступени,
то из ^|—а следует E[—о.
Пусть C — стандартная структура рода р и а— предложение
вида, описанного в 4.3. Если каждая конечная часть D{Qy(Q)\J{<j}
выполняется в некоторой нестандартной структуре, то, в силу 3.3,
Ds(Q)\J{o}, где S — то же, что и 4.3, выполняется в некоторой
нестандартной структуре. Но тогда в силу 4.3 Q\—а. Отсюда и
из наследственности а следует, что класс всех стандартных
структур рода р, выполняющих а, определяется системой
универсальных предложений 1-й ступени. Из тех же рассуждений следует,что
класс всех нестандартных структур, выполняющих а,
определяется рекурсивной системой универсальных предложений
1-й ступени. Отсюда вытекает
Теорема 4.4. Пусть р — элементарный род и a —
предваренное строго наследственное предложение языка L (р), не
содержащее кванторов общности, связывающих переменные 2-ой или
высших ступеней. Тогда класс всех стандартных структур рода р,
выполняющих а, определяется рекурсивной системой
универсальных предложений 1-ой ступени.
Эта теорема обобщает упоминавшуюся выше теорему Лося [3].
Еще большее обобщение теоремы Лося будет осуществлено в § 5
(теорема 5.3).
Приведенные в 2.3.3 предложения, определяющие классы
RN- и Д/-групп, имеют вид, описанный в 4.4. Отсюда следует
характеризуемость этих классов рекурсивными системами
универсальных предложений 1-й ступени (ср. [4], теорема 8).
Теорема 4.5. Пусть р0 — элементарный род, V—класс структур
рода Ро и a: ((V#)«oAP0 • • • (QnVXnn)*n№n(<?(vl°> ' ' > у?)) — обобщенное
предваренное предложение языка £(р0), такое, что 1) в него не
входят кванторы общности, связывающие переменные 2-й или выс-
144

ших ступеней, 2) а$. — обобщенная формула со свободной
переменной v]* и, возможно, ^i-js V\i$, . . ., если последние связываются
неограниченными кванторами общности. Отрицание а. F-локально,
3) если Q. — квантор существования, то т^о и а#-ЛР*
общезначимо, 4) р, (i#>, . . ., vV) есть *2?-формула относительно uV и,
возможно, V\i£, v^tf, • • ., если последние связываются неограниченными
кванторами общности, 5) ai или р, общезначима, 6) <р— строго
наследственная формула. Тогда а F-локально.
Доказательство. Для каждого i^п обозначим через о{ тип
(.. .тД где . . ., v\*— список всех переменных, входящих свободно
в а4. Обозначим через р объединение р0 с множеством всех тех пар
<(их/о{у> для которых р, общезначимы. Будем при этом предполагать,
что и]* не принадлежат domp и что, следовательно, р — род.
Пусть C0 — стандартная структура из V, L = (бОу) — локальная
система ее V — подструктур, выполняющих а. Покажем, что C0|—а.
Пусть Q — структура рода р, обогащающая б0 и такая, что для
всякого v"l* из dom р имеет место б [— (с^ • • • я\* ^> ocf. (.. ., бЯ») J.
Обозначим через а* предложение языка L(p), образованное из а
заменой каждого квантора (VyJ»') .8., такого, что y^^domp, на
(YuxA о- . Очевидно, что
4 * /в * ...9х.*
9\* *
4.5.1. в0\-°ое\-о*.
Пусть S — множество типов всех термов не выше 1-ой ступени,
входящих в а*. Обозначим через р* род р U К^^ /а<с 6 U |®оПв
Мы предполагаем при этом, что (J | ©О|ТП domp= 0. Черей C*
обозначим структуру рода р*, обогащающую C и такую, что
<3*(ах) = ах для всякого aT^domp*. Пусть!)—множество,
образованное добавлением к DS(Q) всех истинных в C предложений
вида с0* ... ах*, и Соп(б0, а) обозначает условие: всякая конечная
подсистема системы D (J {а*} выполнима в какой-нибудь
нестандартной структуре.
4.5.2. Соп(<$0, о)=>60|-а-
В самом деле, согласно теореме компактности, из Con (C0, <з)
следует существование нестандартной структуры Ф рода р*,
выполняющей D U {а*}. Существует (о)-изоморфизм /0 структуры
145

$f6 на в*, такой, что <2>* (v]i) С fu (§ \ б (v]*)). Следовательно,
ф[б|—а* влечет б*|—а*. Но Ф f б |—а* следует из 4.1 и из того,
что а* есть *Н — предложение. Таким образом, б|—а* и потому,,
в силу 4.5.1, <301— а.
Покажем, что Соп(C0, о) имеет место. Пусть х— конечная
часть D и X —XiUZ2> гДе Zi — множество всех формул не выше-
1-й степени из х, а х2 состоит из формуле0*0 . . . а!*°, . . ., с0*? . . . й\гк-
ПокажвхМ, что х U {а*} выполняется в некоторой F-структуре. Для
каждой структуры б0. из L обозначим через Qj ее обогащение
рода р, такое, что бу|— (c^Xi. . . ат/ <+ <х.(- • •> «V)), а через б* —
обогащение б . рода р*, такое, что б* (ат) = б* (п1) \ б0 ,• для всякого»
ах из U I б0 Iх. Легко видеть, что существует конечное А С | б0 |г
такое, что для всякой структуры QOj из L, база которой
включает А, б* выполняет %v Все такие структуры образуют
локальную систему Lo подструктур б0, и если бы ни для одной из них
не имело места б*|—c°j« ...d^°, то для всякой из них имело бы
« * о
♦о
место Qoj\— ]oii0(y • • м а/г° f боу), откуда в силу локальности "jato>
следовало бы б|—~1а*0(- • •? ^*°)> и значит, с°£° . .. ат*'° не принад-
*0
лежало бы D. Таким образом, структуры QOj. из Lo, для которых
б*|—с 1°. ...а/о\ образуют локальную систему Ьг с Lo подструк-
тур б0. Точно также, структуры бОу из Lv для которых б*-
выполняют вторую формулу из Х2» образуют локальную систему
подструктур б0, и т. д. Итак, существует локальная система L{ С £
подструктур бОу структуры б0, для которых б*- выполняют х-
В силу 4.5.1, б*. (— а*. Поэтому Con (б0, а) действительно имеет место.
Отсюда и из 4.5.2 следует бо|—а.
Нетрудно проверить, что теорема 4.5 останется справедливой,,
если допустить в а ограничения у (z;T*) на кванторы существования
по переменным иУ 1-ой ступени, представляющие обобщенные
формулы, эквивалентные системам универсальных формул. В
результате получается теорема, обобщающая теорему 1 из [2].
146

Заметим, что, пользуясь рассуждениями в [4J, доказывающими
возможность преобразования сколемских формул в
квазиуниверсальные, легко доказать (индукцией по числу кванторов), что всякая
элементарная форхмула <р(^0, . . ., ип) преобразуема в эквивалентную
ей «квазиуниверсальную» формулу ((Vo°k • • • ((У^%> ОК^о» • • •» vn>
и>1*, . . ., w°/))9 такую, что 1) Sfo, < 1, 2) а. (^, . . ., уя, и#, . . ., ^*)
есть предваренная формула без кванторов существования, 3) если
и. = о, то (?,—квантор общности, 4) ф — бескванторная формула.
Отсюда следует, что теорема 4.5 перестает быть верной при
расширении в ней условия 2), состоящем в допущении в ос, иных
свободных переменных, помимо указанных.
Примеры. 4.5.3. Пусть oc(i?@))— формула языка £(?#)>
выражающая, что у@)— подгруппа, <р(у(@)))— *Я-формула,
выражающая, что и(@)) — нормальная система (такая формула
приведена в 2.3.3). Тогда предложение (Wo))«(»(o)) Яу(@)) (у(@))у@) Д
Д ср (у(@)))) имеет вид, описанный в 4.5, и определяет класс /V-групп.
Следовательно, последний локален.
4.5.4. Предложение
Vy{°) (Щ°\^о), .со) Э^(@)) (i;(@))^) Д ^(@)Щ*) Д ср (y(@)))),
где fi(v[°\ v^) выражает, что и^ и v^o)—подгруппы и v[°) С v[°\
имеет вид, описанный в 4.5, и поэтому локально. Оно определяет
класс всех групп, в которых через всякие две подгруппы, из
которых одна включает другую, проходит нормальная система.
Класс всех групп, в которых через всякую конечную цепь
подгрупп проходит нормальная система, определяется системой
предложений
Л...Л^(@)Ч0)Л<р(^@))))-
где р выражает, что v{°\ . . ., v^ образуют цепь. Эти предложения
имеют вид, описанный в 4.5, и потому локальны.
4.5.5. Пусть ч(и[°\ и20)) — обобщенная формула, выражающая,
что существует нормальная система, проходящая через у{°) и v[°\
а ф(у(@^) — *//-формула, выражающая, что vU0)) — разрешимая
нормальная система. Тогда предложение
147

vif > (v^))T(fI.,, 4o.) a</@)' (У»°'цо) л v«'»vp л Ф (^(@))))
имеет вид, описанный в 4.5, и потому локально. Оно определяет
(в предположении АС) класс i?/V-rpynn. Аналогично может быть
доказана локальность класса /?/-групп и класса Z-rpynn.
4.5.6. Предложение (W°%(°>) ^(@)) (u«0))v<0) /\ <?(vao)% где
ср — та же, что и в примере 4.5.3, а 8 — обобщенная формула,
выражающая, что у@) — подгруппа, не являющаяся .fl/V-группой,
имеет вид, описанный в 4.5, и потому определяет локальный класс
групп. Этот класс состоит из всех групп, в которых через всякую
подгруппу, не являющуюся Я/У-группой, проходит нормальная
система.
Формулами вида, описанного в 4.5, трудно или невозможно
непосредственно (т. е. не используя редукций к понятиям,
выразимым на языке 2-й ступени) выразить многие важные локальные
свойства групп, например, свойства быть абсолютно простой,
строго простой в смысле [5], локально конечной и т. д. Для
непосредственного выражения таких свойств на языке 3-й ступени
нужны кванторы общности по переменным 2-й ступени, к тому же
ограниченные наследственными условиями. Но расширение
условий теоремы 4.5, состоящее в допущении таких кванторов,
превращает эту теорему в ложную. В самом деле (обобщенная)
формула
где (о (у(@))) выражает, что va0)) — семейство всех открытых
множеств (какой-нибудь) отделимой топологии, выражает свойство
множества быть конечным и, следовательно, не локальна. Ниже
будут найдены некоторые классы локальных формул, содержащих
кванторы общности по переменным 2-ой и высших ступеней.
Следующее тривиальное предложение заслуживает того, чтобы
быть отмеченным.
4.6. Пусть р — произвольный род, V —какой-нибудь класс
структур этого рода, a (vx, ...) F-локальная обобщенная формула.
Тогда и Уих (а (у*, ...)) F-локальна.
В самом деле, пусть (Qj) — локальная система F-подструктур
структуры © из V, такая, что бу |— Vvx (о (vx, aj> \ QJ9 ..., a*« f Sy)
148

имеет место для всякого /. Тогда для всякого отношения ах в <2>
и всякого / будет 6у|— а(ат \&j, aj> f Sy, ..., a*« f Sy). Отсюда и
из локальности о следует E|—a(a\ aj°, . .., aj«). Таким образом^
e\-Yv*(o(v\ aj», ...,aj.)).
Так как конъюнкции и дизъюнкции F-локальных обобщенных
формул F-локальны, то из 4.6 следует
4.6.1. Пусть р — произвольный род, V — некоторый класс
структур этого рода и ср = (Yvx0<>)9q . .. (VyJ»)(r|l(a) — обобщенная р-формулаг
такая, что а, ~]а0, . .., ~~)ая F-локальны. Тогда ср F-локальна.
Так как для всякой V — наследственной обобщенной формулы а#
формула ~]at. F-локальна, то имеет место, в частности,
4.6.2. Пусть р — произвольный род, V — некоторый класс
структур этого рода и ср = (Vyjo)eo ... (Уихпп)9„ (о) — обобщенная р-формула,
такая, что a F-локальна, а а0, ..., оп V — наследственны. Тогда ср
F-локальна.
Заметим, что это предложение содержит в себе критерий
локальности из [1].
Примеры. 4.6.2.1. Пусть o1(y(@))) — обобщенная рс-формула,
выражающая, что и(@))—нормальная система, а2(и(@)\ у(о))-формула
v{{0))v{0\ a3 —формула Vv(viO)v-*vv = v)\/Vv(viO)v). Первые две
из этих формул G-наследственны, третья — локальна.
Следовательно, предложение (Vy(@)))ai(Vy@})ff2(a3) локально, в силу 4.6.2.
Оно определяет класс всех групп, абсолютно простых в смысле [5].
4.6.2.2. Обобщенная р^-формула с4(г;(@))), выражающая, что
z/@J)—возрастающий нормальный ряд, очевидно, G-наследственна.
Следовательно, локально предложение (Vz/^^^Vi/^)^),
определяющее класс всех групп, строго простых в смысле [5].
4.6.2.3. Рассмотрим предложение (Vy@))a(e,@)) Эу(@)) (y(@)V0) Д
Л<Р(^(@)))) из 4.5.3. Его часть Яг;(@)) (i7(@)V0) Д ср (у(@))))
эквивалента системе универсальных предложений 1-й степени, согласно
теореме 4.4. Следовательно, наше предложение имеет вид,
рассмотренный в 4.6.2, и потому определяемый им класс TV-групп
локален.
Пользуясь известными свойствами универсально
характеризуемых классов алгебраических систем и тем, что класс ^-групп
определяется системой предложений вида О^у(О))а(„(о))(ср, (у@))), где
« — то же, что и в 4.5.3, а ср, — универсальная формула, легко
149

установить, что класс ^-трупп совпадает с классом групп, в
которых через всякую конечно порожденную подгруппу проходит
нормальная система. Отсюда следует, в частности, что класс
локально конечных ^-групп определим универсальными
предложениями A-й ступени) в классе локально конечных групп.
Пользуясь подобными же соображениями, нетрудно установить,
что класс Л/-групп есть класс групп, в которых всякий (конечный)
инвариантный ряд уплотним до разрешимой инвариантной системы.
Заметим также, что часть ЭЬС@)) (у(@)Ц°) Д иао))и^ Д ф (i/@)J))
предложения из 4.5.5, определяющего класс i?/V-rpyim,
эквивалентна системе универсальных формул 1-й степени (со свободными
переменными у{°) и v^). Следовательно, его локальность вытекает
из (доказываемого более просто, чем 4.5) предложения 4.6.2. То же
верно относительно класса Д/-групп и класса Z-групп (ср. [1]).
Область непосредственной применимости критерия 4.6.2 шире
области непосредственной применимости критерия локальности
из [1]. Вместе с тем многие важные классы групп и других
алгебраических систем определяются булевоуниверсальными в смысле
[1 ] предложениями. Классы структур, определяемые такими
предложениями, обладают рядом нетривиальных структурных
свойств. Результатам в этом направлении будет посвящена
последующая статья.
§ 5. Дальнейшие обобщения
Пусть © = <^(*Лх)тбТ, F§y — структура рода р, S — непустое
множество типов, р* = р (J /<VV> | ах (« (J *А* К при этом, как и выше,
предполагаем, что ax(Fdomp для всякого ат£ (J *А°. Пусть §: =
= (А, F%\ — нестандартная структура рода р*. Полагаем:
1) для всякого индивида а структуры $ a\Q есть а, если
^£rang7^-, и не определено в противном случае;
2) если т = (т0 ... тя) — тип из S#, не максимальный (в S#)
относительно порядка -^ на Г, введенного в § 3, то для всякого
отношения ах в <£ах\& есть «а? |,® ... а? \ 6>|<а? ... a;«>g aT},
если ах ^ rang F^, и не определено в противном случае;
150

3) если т — максимальный тип из S или не принадлежит S#, то ат [ б
определено для всякого ат в 6 и ат [, б = «ajo [ б... aj» |, б> | <aj°...
...я;«>еат}.
Для всякого т = (т0 ... тя) множество *БТ = {а1 [ б | ат £ (J Л}
есть множество подмножеств *ВТ° X ... X *5Т«, содержащее все
конечные подмножества последнего. Отсюда следует, что <((*Вх)хет, F),
где F — функция, определенная на dom p*, такая, что F (i) =
= F<§ (i) [ б для всякого i £ dom p*, есть нестандартная структура
(рода р*). Будем ее обозначать ^|,б.
5.1. Если р — элементарный род и S выполняет Ds (б), то S \ б
S-изоморфна б*, где б* то же, что и в 3.3.
В самом деле, отображение / множества *А°, такое, что /(а) =
т=Ф^б(а), есть ^-изоморфизм б* на S[6.
Формулу а(и?1°9 . . ., и?1*) языка L(p) будем называть
[-наследственной, если для всякой нестандартной структуры ^ рода р* и
всяких отношений aj°, . . ., аТп« в $ из S|—o(aj», . .., ajw) следует
^ i б |—^ (ajo ^ б, . . ., аТпп [ б) (если ахл [ б определены).
5.2.1. Всякая атомарная формула ^-наследственна.
5.2.2. Отрицание всякой атомарной формулы не выше 1-й
степени [-наследственно. Более того, отрицание всякой атомарной
формулы txtlQ ... ty, такой, что х принадлежит S и не
максимален в S^, (.-наследственно.
5.2.3. Если ах и а2 [-наследственны, то ot/\a2 и ог\/а2
[.-наследственны.
Утверждения 5.2.1—5.2.3 непосредственно следуют из
определения az [<£>.
5.2.4. Если о(а?\...) ^-наследственна, то Vwz(a(wx, ...)) 1"на'
следственна.
Действительно, пусть $[— Уц;т(а(и;т, aj«, . . ., aj»)), Ьт —
отношение в 5|,б, лт — отношение в 5, для'"которого ах^E = Ьх.
Так как ^[—о(ах, а\% . . ., aj«) и о ^-наследственна, то S^б(—
[— a FT, ajo [ б, ..., ^ I- б) (если ау [ б определены). Следовательно,
($[e[-Vw'z(o(w\ a;^6, ..., a?^S)).
5.2.5. Если а(шт, wjo, ..., u?^) [.-наследственна и т=^=о — либо^
максимальный относительно —J тип в 5, либо не принадлежит S,
то 3wT (a (wx, wl<>, . .., u;J»)) ^-наследственна.
15К

В самом деле, пусть $:[— 3wT(a(wT, а£°, . . ., а;»)), т. е. для
некоторого отношения ат в <£ имеет место Sf— o(ax, aj<>, . . ., aj«).
Пусть а]* (, C определены. Так как ах \ б определено и а |,-наслед-
<5твенна, то S \ б |— о (ат |, б, #5° |, б, . . •, (fnn \ б). Следовательно,
<^6|-aM;T(aK> <*Н®> • ••> <*?1б)).
Формулу <p(^J°, . . ., yj»», г^о", .. ., w%*) языка L(p*) будем
называть Е [-формулойотносительно w%>, ..., w*», если для всякой
нестандартной структуры ^ рода р* и всяких отношений а^у . . ., а?™> в ^
из ф \ в [— ср (ajo \ б, . .., а^™ \ в, &о°» • • •» ВД следует
существование 'В $ отношений do0, ..., dl", таких, что d?* ^ 6 = 6J'(г ^ тг)
и $|-<р№, -...a2r, а?, ...,di«).
5.2.6.1. Всякая атомарная формула £(v..«*)m?j{o. . .07^ есть £|,-фор-
мула относительно м;^0' • • •» wnn-
5.2.6.2. Пусть а3 есть Е ^-формула относительно i;Jo, . . ., yj»»,
а a2 — Z? [,-формула относительно u?Jo, . . ., ^«. Тогда ог\/а2 есть
J? [^-формула относительно г;Jo, ..., v^f wl°, . . ., ш£». Если yj», м;^/
попарно различны, то ох/\а2 есть £ ^-формула относительно^, ...
Следующее предложение обобщает 5.2.4.
5.2.7. Пусть формула о (yjo, ..., yjw, ,m>jjo, .. м ^) [,-наслед-
•ственна, cp(yjo, . . ., ^п) есть Е ^-формула относительно w^,. . ., ufj*.
Тогда формула Vw;«o...Ywfy (Vu%»)? ^ e##f ^ (a (^, . .., и%*))
Наследственна.
Доказательство совершенно аналогично доказательству 2.3.
Пусть р — элементарный род и a — предваренное
предложение языка L (р). Из множества типов всех переменных, входящих
в а, удалим все т^О, такие, что переменные типа т и ступеней
больших St'z связываются в а кванторами существования.
Оставшееся множество типов будем обозначать через S (а) или S.
Теорема 5.3. Пусть а образовано из атомарных формул и
формул, описанных в 5.2.2, с помощью связок, рассмотренных
в 5.2.3—5.2.5, 5.2.7. Тогда класс К стандартных структур,
определяемый а, определяется рекурсивной системой универсальных
предложений A-й ступени).
Действительно, пусть б — стандартная структура рода р, такая,
что каждая конечная подсистема ^{o>F)U{°} выполняется в неко-
152

торой нестандартной структуре. Тогда, в силу 3.3, D8(&)\J{g}
выполняется в некоторой нестандартной структуре рода р*. Но тогда,
в силу 5.1 и 5.2.1—5.2.7, б|—о. Таким образом, класс К, таков,
что всякая структура C рода р, такая, что каждая конечная
подсистема i3{o} F) выполнима в К, принадлежит К. Следовательно,.
К определим универсальными предложениями. Рекурсивная харак-
теризуемость К следует из тех же аргументов, что и в
доказательстве 4.4.
Следствие 5.4. Всякое предваренное предложение языка L (p)t
где род р элементарен, без вхождений кванторов существования
эквивалентно универсальному предложению 1-й ступени.
Следующая теорема обобщает теорему 4.5.
Теорема 5.5. Пусть р0 — элементарный род, V — класс структур
рода Ро и а: (Q<pl*)^Ah..-(Qfl")anApn(<?№, ' ' ^w) — обобЩенное
предложение языка £(р0), такое, что 1) (@oi>J>)po • • • (Qnul"h* (?) У%°~
влетворяет условиям теоремы 5.3; 2) если (?t. = 3 или Stx4^>2,
то а4 и pt. общезначимы; 3) если Qi — квантор общности и5^4^2,
то а4 — обобщенная формула со свободной переменной vV и,
возможно, гЛ£-^, yjig2, если последние связываются неограниченными
кванторами общности, причем среди свободных переменных в а#
нет переменных больших ступеней чем SUr Отрицание a.
F-локально. При этом, если Stit = 2, то либо а. F-общезначима, либо
fzi = {pQ ... omi), где «5^ = 1, и а4 влечет, что v^ содержит
объединения и пересечения своих непустых подмножеств; 4) р,-(^°,. . -,vy)
есть 2?|,-формула относительно и]* и, возможно, V\ti\ vbjg, . .., если
последние связываются неограниченными кванторами общности;
5) а. или Pt. общезначима. Тогда предложение о F-локально.
Доказательство, Пусть ©0, L, ©, a*, Q* те же, что и в
доказательстве 4.5. Легко видеть, что и для рассматриваемого случая
предложение 4.5.1 остается справедливым. Отсюда и из 5.1, 5.2.1—
5.2.5, 5.2.7 следует, что совместность Ds(Q)[J {s*} влечет бо|—а.
Докажем совместность D8(Q) U {а*}- В° избежание громоздкости
доказательство проведем для случая, когда а — формула 2-й
степени. Пусть х — произвольная конечная часть DS(Q) и X = XiUX2»
гДе Xi — множество всех формул не выше 1-й степени из % и Xif)
П)С2=0- Покажем, что х U {°*} выполняется в некоторой струк-
15^

туре. Пусть для каждой структуры 6оу из L Qj и б* обозначают
то же, что и в доказательстве 4.5. Легко видеть, что существует
конечное А С 1601, такое, что для всякой структуры боу из L,
база которой включает A, Q*. выполняет %v Все такие структуры Qo •
образуют локальную систему Lo подструктур ©0. Пусть в %
входит набор констант 2-й ступени d£o, . . ., д^ Не из dom p, а^ —
какая-нибудь из этих констант, сок = (о0 ... оь) и %2, л = {dtkdob • • •
• • • аЦ • • " d7dlb • • • *Ц 1 d7d*qUo • • • *Цп> • • -  «• • •«»} U***
где фл пусто или tyk= 1с^--ш^ ...а£*1, есть множество всех
содержащихся в ^2 формул, в которые входит d^fc. Покажем, что y2tk
выполняется в некоторой локальной системе подструктур ©0,
включающейся в Lo.
Пусть tyk не пусто и, значит, cffi — полная решетка. Пусть,
например, a)j. = ((o)). В этом случае отрицания атомарных формул,
входящие в %2к, таковы: ~| dk^a^}v . . ., ~~] d^°))d(o). Возможны 2
случая: либо а(°+\ таково, что aj^°)) |J {a^°f\} — решетка (и тогда она
полна), либо нет. Пусть имеет место первое. Тогда возможны
следующие под случаи и только они:
а) а£\С1 П4(о))>
б) U4@))CIa£),
в) П4Со)) CaCftC U4(o))-
В иодслучае а) существует а £ П а<ьо))\ад+г и Для всякой
структуры ©Оу из L, такой, что a£|2>oyl> имеет место C*|—~]dk^dq+v
В подслучае б) существует flG^+i\U4(o))' и дЛя в^я:кой
структуры QQj, такой, что я£|бОу|, имеет место б*-1—~}dk{o^dq+v Пусть
имеет место подслучай в) и а(°) —объединение всех множеств из а$о)\
включающихся в а^\, Ь@)—пересечение всех множеств из а$о)),
включающих а^\. В силу того, что ак^ — полная решетка, а@) и Ь(9)
принадлежат ак^\ и, значит, существуют а и 6, такие, что
aGag+i\a@) и ^G^@)\aj+r Для всякой структуры <o0J, такой,
что {а, 6}С|боу|, имеет место 6* |— ~14(о))^+г
Пусть a^f0)) U {а^\} не есть полная решетка. Тогда существуют
*e*$\n 4(о)). &е и4(о))М+1исб(п4@))Мй)икй\и4о)))»
и для всякой структуры боу, такой, что {a, b, с}с|0Оу1» имеет
место Syh-n^P^+1-
154

Таким образом, для всякого ^2,* существует конечный набор
элементов |бо|, такой, что для всякой структуры E0., база
которой включает этот набор, имеет место E*|—Хг.тг Отсюда и из того
что все положительные формулы из х выполняются во всех б*,
следует существование локальной системы Lt с L>0 подструктур E0>
такой, что ©}|—х Для ©o/G^i-
Те же рассуждения проходят, если о)к = (и0 ... о6), где о0, ...
. . ., иь — произвольные типы 1-й ступени.
Пусть tyk пусто. Из выполнимости х в ®* следует
существование конечного набора Вк элементов | ©01, такого, что во всякой
структуре 6оу, включающей этот набор, <ajj } Q0J . .. а\\\ бо/> ^
¥=(alb l&oj • • • aS 1<®оу> имеет место для всяких t^.q, a £ {g-f-
-|-1, . . ., г}. Пусть В= \J Вк и Qqj — какая-нибудь структура
из Lo, база которой включает В. Для всякого к^.п обозначим
через btk отношение типа со^ в бОу, состоящее из всех <(а$^бОу...
•••а?Н®оу> Для ^?» а чеРез ®оу — структуру рода р*,
обогащающую Q0J и такую, что ££/ (г) = ©* (г) для всякого i ^ {а^о, ..-.
. . ., а"»} из dom p* и 6J.(а^) = й^* для всякого к^п. Легко видеть,
что б:Уь-хик}-
Замечание 5.6. Теорема 5.5 остается справедливой, если
расширить условие 2) допущением, что в случае St^ = 1 обобщенная
формула а{ (ихА) эквивалентна системе универсальных формул
1-й степени.
Замечание 5.7. Пусть р — элементарный род, К — класс
нестандартных структур рода р, определяемый какой-нибудь
системой предложений из L (р) и включающий все стандартные
структуры рода р. Ясно, что если под нестандартными структурами
рода р понимать структуры из К, все результаты из §§ 4,5 останутся
справедливыми. Более того, они становятся тем более сильными,
тем более содержательными, чем уже класс К, так как с сужением К
расширяется, в частности, множество £Х-формул. Пусть,
например, К определяется (теоретико-типовыми) схемами аксиом
выделения, объединения и пересечения. Тогда формулы а и C, о
которых идет речь в замечании 2.3.3.1, будут /^-формулами, и потому
обобщенная формула
(V^(o))(e)))aw<'e»ta;«e»ci;(ie))AaiA^Ae;AO,
155

где ах, а2, а*, 04 — те же> что и в 2-3-3-1» a T (w(@))) выражает,
что wao)) — нормальная система, будет удовлетворять
условиям теоремы 5.5. Отсюда следует ее локальность. Эта
формула в достаточной мере «непосредственно» выражает свойство
группы быть Д/У-грушгой. Также дело обстоит со свойством группы
быть ^/-группой и свойством быть Z-грушюй.
Замечание 5.8. Теоремы 4.4, 4.5, 5.3, 5.5 останутся
справедливыми, если в рассматриваемых в них Предложениях с подквантор-
ными частями в дизъюнктивной (или конъюнктивной) нормальной
форме будут допускаться в качестве членов конъюнкций
(дизъюнкций) обобщенные формулы вида v] \J v\ = v\ (где т =^= о и « U »
интерпретируется как теоретико-множественное объединение), а
значит, и формулы видов vz dwx и Vх = м?\
Результаты, содержащиеся в статье, докладывались первым из
авторов на семинаре по теории моделей при Ивановском
педагогическом институте в октябре 1972 г., на XXVIII итоговой научной
конференции Ивановского текстильного института в апреле 1973 г.
и на Всесоюзной конференции по теории логического вывода
(Москва, Институт философии АН СССР) в марте 1974 г.
Когда статья была подготовлена к печати, нам стала известна
работа [7], в которой исследуется близкая проблематика.
Полученные в этой работе критерии локальности являются частными
по отношению к нашим критериям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Cleave /. P. Local properties of systems. — «J. London Math. Soc», 1969,
vol. 44, № 1.
2. Когаловский С. P. Обобщенные квазиуниверсальные классы моделей. —
«Изв. АН СССР, сер. матем.», 1965, т. 29, вып. 6.
3. Los /. Quelques remarques theoremes et problemes sur les classes definis-
sables d'algebres. — In: Math. Interpr. of Formal Systems. Amsterdam,
1955.
4. Мальцев А. И, Модельные соответствия. — «Изв. АН СССР, сер. матем.»,
1959, т. 23, № 3.
5. Плоткин В. И, Обобщенные разрешимые и обобщенные нильпотентные
группы. — «УМН», 1958, т. XIII, вып. 4.
6. Schein В, М. Relations algebras and function semigroups. — «Semigroup
Forum», 1970, vol. 1, № 1.
7. Malcolm W. G. Application of higher-order ultraproducts to the theory of
local properties in universal algebras and relational systems. — «Proc.
London Math. Soc», 1972, vol. 27, № 4.

С. Ф. СОПРУНОВ
СЧЕТНЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ МОДЕЛИ
АРИФМЕТИКИ
В данной статье сделана попытка собрать вместе ряд
результатов, относящихся к нестандартным арифметикам. При этом мы
ограничимся рассмотрением арифметик с не более чем счетной
сигнатурой, так как существенная часть результатов, относящихся
к арифметике с сигнатурой о0— { + , х, О, 1}, непосредственно
переносится на структуры с не более чем счетной сигнатурой а,
являющейся расширением а0. Некоторые результаты, относящиеся
к арифметикам с несчетной сигнатурой можно найти в [1], [2],
[23].
Кроме того, мы будем рассматривать лишь счетные структуры.
§ 1. Основные определения
Обозначим через Р обычную систему формальных аксиом
Пеано, как, например, в [5]. Пусть а—некоторая сигнатура,
такая, что о 13 {+, х, О, 1}. Тогда символом Р9 мы будем
обозначать систему аксиом, аналогичную системе Р, но содержащую
аксиомы индукции для всех формул в сигнатуре о, т. е. все
аксиомы вида (V*!, ...,*„) [A (xlf . . ., хп, 0) & (У у) (ЛЛ, . . .
• • • хт У)-+А (х±, . . ., хп, у+1)) -> (Vy)A(x1, . . ., хп, у)],
где А (хп . . ., хп, у) — формула в сигнатуре а. Всюду в
дальнейшем, говоря о произвольной сигнатуре а, мы подразумеваем, что
о э { + , х, 0, 1}.
Пусть М — некоторая структура с сигнатурой а, такая, что
носителем структуры М является множество неотрицательных
Целых чисел и символы +, х, 0, 1 интерпретируются обычным
образом. Такую структуру мы будем называть стандартной
арифметикой с сигнатурой а, или просто стандартной арифметикой,
157

если сигнатура подразумевается. Стандартная арифметика с
сигнатурой а обозначается символом Л^а. Ясно, что любая стандартная
арифметика Na является моделью системы аксиом Ра {Na (= Ра).
Символом а0 мы будем обозначать сигнатуру { + , х, 0, 1}, а
символом N — множество неотрицательных целых чисел. Заметим,
что стандартная арифметика Nao единственна; если же о^= о0,
то имеется бесконечное число попарно неизоморфных стандартных
арифметик Na.
Пусть М — некоторая структура с сигнатурой а. Мы скажем,
что М является слабой моделью арифметики, если М является
моделью Ра\ иногда, для краткости, вместо «слабая модель
арифметики» мы будем говорить «слабая арифметика», или даже просто
«арифметика». Ясно, что каждая слабая арифметика М содержит
единственную подструктуру Мо, изоморфную одной из
стандартных арифметик с той же сигнатурой а. Если всякая замкнутая
формула в сигнатуре а, истинная в М, истинна и в Мо (т. е. М
является моделью для совокупности истинных в Мо формул), то
М называется сильной арифметикой. В общепринятых терминах
теории моделей [20, стр. 86] можно сказать, что М — сильная
арифметика, если М — элементарное расширение своей
подструктуры Мо.
Таким образом, с помощью отождествления изоморфных
структур, каждую арифметику можно рассматривать как расширение
(причем сильную — как элементарное расширение) некоторой
стандартной арифметики с той же сигнатурой. Если это
расширение собственное, то мы будем называть данную арифметику
нестандартной арифметикой.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать не более чем
счетные сигнатуры и счетные структуры.
Если М — некоторая структура, то выражение а £ М
означает, что а является элементом носителя структуры М, если
М1 и М2 — некоторые структуры с одной и той же сигнатурой,
то Мх с М2 означает, что Мг является подструктурой структуры
М2, а Мх —3 М2 означает, что Мг — элементарная подструктура
структуры М2.
Стандартным образом определим сокращения х<^у7 х^у,
а именно х ^ у о (Я2) (x-\-z = y); х < у о х <^ у & ~~| (х = у).
158

Пусть М — некоторая арифметика, Мх—некоторая подструктура
арифметики М. Мы скажем, что Мг — начальный отрезок
арифметики Му если х£ Мхох^М &сC.у)(у^М±&Мf= х<[у). Если Мг —
некоторая подструктура арифметики М, то символом М1 мы
обозначим минимальный начальный отрезок арифметики М,
являющийся расширением Mv это эквивалентно тому, что х £ Мх о
ох£М Sc(rdy) (y^Mi&M^x^y). Если A7X = M, то мы скажем,
что М — конфинальное расширение структуры Mv а Мх — конфи-
нальная подструктура арифметики М.
Пусть М — некоторая структура с сигнатурой а и носителем А.
Пусть R (xv . . ., хп) — некоторое отношение, заданное на
множестве А. Мы скажем, что отношение R{xv . .., хп) формульно
в структуре Му если существует формула F(xv . . ., хп, yv . . ., ук)
в сигнатуре а, такая, что для некоторых элементов bv . . ., Ък £ А
имеет место M\=F(av . . ., ап, bv . . ., bk) тогда и только тогда,
когда R(av . .., aj, где av . . ., ап произвольные элементы
множества А. Мы скажем, что отношение R (#х, . . ., хп) формульно
в сигнатуре а, если найдется формула F (хг, . . ., х7) в сигнатуре
а, такая, что для любого набора ах, . . ., ап элементов множества.4
отношение R (аъ . . ., ап) истинно тогда и только тогда, когда
М [= F (а±1 . . ., ап). Если М± — некоторая подструктура
структуры М, то ограничением отношения R (хг, . . ., хп) на структуре
Мх называется такое отношение i?* (xv . . ., хп) на носителе
структуры М1? что для любых элементов а1? . . ., ап ^ Мг
отношение R* (аг, . . ., aw) истинно тогда и только тогда, когда
R (а±, . . ., ап) истинно.
Пусть М и Мг — некоторые арифметики с одной и той же
сигнатурой и такие, что М± —$ М. Мы скажем, что М — консервативное
расширение арифметики Мг, если ограничение на Мг любого
формульного в М отношения, является отношением, формульным
в Мг. Если М — консервативное расширение стандартной
арифметики, то М называется консервативной арифметикой [15].
Пусть М — некоторая арифметика, Мх — элементарная
подструктура арифметики М. Мы скажем, что М — минимальное
расширение арифметики М±1 если для любой арифметики М21
такой, что Мх -^ М2 -^ М следует, что илиМ2=М1 или М2=М.
159

Арифметика называется минимальной, если она является
минимальным расширением некоторой стандартной арифметики.
Мы приведем несколько результатов, иллюстрирующих связь
введенных понятий.
Теорема 1.1. Пусть Мх, М2 и М3 — некоторые арифметики
с сигнатурой о, такие, что М3 ID М2 Z) Мх.
1) Если М3 — консервативное расширение арифметики Мг>
М3 £— М2, то М2 — консервативное расширение Mv
2) Если М2 — консервативное расширение арифметики Mlf
то Мг — начальный отрезок М2.
3) Если М2 — консервативное расширение арифметики М1г
М3 £— М2 и М2 — начальный отрезок структуры М31 то М3 —
консервативное расширение арифметики Mv
4) Если M2$-Mv то М2$~МГ
5) Если g = oq и M2Z)MV to Mx^Mv
Пункты 1—4 теоремы 1.1 содержатся в работе [2]. Пункт 5
теоремы 1.1, полученный в работе [11], следует из результатов
Матиясевича о представимости перечислимых множеств в
экстенсиональной форме.
Замечание. Можно доказать, что условие а = с0 в пункте 5
теоремы 1.1 существенно, т. е. существуют сильные арифметики
Мх и М2 с конечной сигнатурой а, такие, что М2 ZD М1? но Мх
не является элементарным расширением арифметики Mv
§ 2. Простые арифметики
Пусть М — некоторая арифметика с сигнатурой a, a M1 —
некоторая подструктура структуры М. Легко видеть, что Мг
является элементарной подструктурой арифметики М тогда и
только тогда, когда Мг замкнуто относительно всех формульных
в сигнатуре арифметики М функций, отображающих М в М,
то есть для любого натурального числа п ^ 0 и для любой
формулы F (хг, . . ., хпч у) в сигнатуре с арифметики М, такой,
что M = (Vx1, . . ., хп) (Я!г/) F\(x±, . . ., хп, у) и для
любых ах, . . ., ап£Мг, если М' (= F (%, . . ., ап, fe), то
ьем1в
1G0

Отсюда следует, что пересечение любого числа элементарных
подструктур данной арифметики М, является элементарной
подструктурой арифметики М (это пересечение непусто, так как все
элементарные подструктуры структуры М являются
расширениями одной и той же стандартной арифметики).
Следует отметить, что, как указано в работах [18], [19],
пересечение арифметик в общем случае не является арифметикой,
то есть существует сильная арифметика М и сильные арифметики
Мг и М2, такие, что М 3 Мг и М D М2, но Мх fl М2 не является
арифметикой.
Если М — некоторая арифметика, А — некоторое
подмножество носителя структуры М, то через М [А ] мы обозначим
пересечение всех элементарных подструктур арифметики М, носители
которых являются расширением А. Если М=М [Аги {а}], где
Ах — носитель элементарной подструктуры Мх структуры М,
то М называется простым расширением арифметики Мх, элемент а
называется порождающим элементом арифметики М.. Арифметика
М называется простой, если М — простое расширение некоторой
стандартной арифметики.
Теорема 2.1. Пусть М — некоторая арифметика. Тогда
существует простая арифметика М\ такая, что М' £— М.
Пусть М — простое расширение арифметики Мг, а —
порождающий элемент арифметики М. Определим р (М, М1? а) —
систему некоторых формульных в Мх подмножеств арифметики Мг
следующим образом: пусть А — некоторое подмножество
арифметики Мг, задаваемое в Мх формулой А (х), содержащей, быть
может, имена некоторых констант из Мг. Тогда А ^ р (М, Мг, а)
тогда и только тогда, когда М (= А (а). Ясно, что р (М, Мг, а)
является ультрафильтром в решетке всех формульных подмножеств
арифметики Мг, упорядоченных отношением включения. Также
очевидно, что для любого ультрафильтра р в решетке всех
формульных подмножеств арифметики Мг существует единственное (с
точностью до изоморфизма) простое расширение М арифметики М17
такое, что р (М, Jlf1} a)=p для некоторого а, порождающего М.
В качестве такой арифметики может быть выбрана, например,
следующая структура М:
161

Обозначим через R множество всех формульных в Мг функций,
отображающих носитель арифметики М1 в носитель арифметики
Мг. Тогда
1) Носитель арифметики М — множество классов
эквивалентности в Я, определяемое следующей эквивалентностью:
2) Если А есть й-местный предикатный (функциональный)
символ, принадлежащий сигнатуре арифметики Мц то
соответствующее отношение (функция) определяется на Н/я& следующим
образом: A (Fx, . . ., Fk) (A (F^ . . ., Fk)=G) истинно тогда и
только тогда, когда {х\Мг\==А (fi («)» • • •, /*(*))} 6 Р ({*\Мг (=
#= ^4 (М*)» • • •, /*(з))=«Г(*)} б Р) Для некоторых AG^i, • • •»
• • м /fc 6 ^ « G G.
Некоторые понятия, введенные в § 1, в случае простых
арифметик могут быть сформулированы в терминах соответствующих
ультрафильтров.
Теорема 2.2. Пусть Мг — некоторая арифметика, М —
некоторое простое расширение арифметики Мх, а — порождающий
элемент М. Пусть р (ЛГ, Мг, а)=р, а через R обозначено множество
«сех формульных в Мг функций, отображающих Мг в Mv
Тогда
1) М — собственное расширение структуры Мх тогда и только
тогда, когда {с} (£ р для любого с (< М1в
2) М — конфинальное расширение структуры Мг тогда и
только тогда, когда {х \МХ (= х <1 с} G Р Для некоторого с ^ ^i-
3) Mt — начальный отрезок арифметики М тогда и только
тогда, когда для любой функции f (* R найдется А (* /?, такое,
что если М! (= / (#) ^ с для некоторого с £ Мг к для любого
х € 4, то / (#)=/ (у) для любых х, у £ Л.
4) М —- минимальное расширение арифметики Мг тогда и
только тогда, когда для любой функции f (* R найдется А (< /?,
•уакое, что или / (ж)=/ (у) для любых я, у £ А, или / (х)^=/ (i/)
дош любых х, у (« Ахфу.
Ь) М -— консервативное расширение Мг тогда и только тогда,
«огда для любого формульного в М1 отношения R (#, у)
подмножество {y\{x\M1^=R (ху у)} G р} формульно в Mv
Исцрльзуя эти соотношения, можно строить различные при-
162

меры нестандартных арифметик. Например, можно показать, что
для каждой арифметики М1 существует элементарное расширение
М, такое, что Мг — начальный отрезок арифметики М [13].
Гайфман в работе [10] доказал, что любая арифметика имеет
минимальное расширение (Филлипс [15] показал, что это расширение
можно выбрать среди консервативных). Кроме того, Филлип-
сом [16] было доказано, что стандартная арифметика имеет
минимальное не консервативное расширение. И, наконец, Бласс [21
для каждой нестандартной арифметики указал пример
минимального конфинального (а следовательно, по теореме 1.1 B), не
консервативного) расширения.
Часто бывает полезным следующее замечание: если М —
простое расширение арифметики Мг, то существует счетное множества
различных ультрафильтров р в множестве всех формульных
подмножеств арифметики Мх, таких, что р=р (М', Мг, а) для
некоторой арифметики М' изоморфной М и для некоторого а, порождак>-
щего М'. Это можно использовать при оценке мощности некоторых
классов простых арифметик.
Упомянем еще один результат, относящийся к простым
арифметикам.
Теорема 2.3 [1]. Пусть М — сильная нестандартная
арифметика, Мг и М2 элементарные подструктуры арифметики М, M1=M2f
Мх — простая арифметика. Тогда существует такой элемент
с £ Мг П М2, что М [с] конфинально Мг и М2. Следовательно,
арифметика Мх П М2 конфинальна Мг и М2.
Кроме построения некоторых простых нестандартных
арифметик связь между простыми арифметиками и ультрафильтрами
позволяет перенести некоторые результаты теории ультрафильтров
на случай нестандартных арифметик. Например
Теорема 2.4 [6]. Пусть М—простая арифметика, <р —
изоморфизм между М и некоторой элементарной подструктурой М%
структуры М. Тогда М = Мъ а ср—тождественное отображение.
Как указано в [2], этот результат полностью аналогичен
соответствующему результату в теории ультрафильтров.
Пусть NQ — некоторая стандартная арифметика, р —
ультрафильтр в решетке всех формульных подмножеств арифметики N9.
163

Мы скажем, что р — Рамсеевский ультрафильтр, если для любого
формульного в No отношения R (хг, . . ., хп) существует А £ р,
такое, что для любых натуральных чисел а±1 . . ., ап (< А и
Jlt . • м &„ М' еСЛИ п1 < п2 < • • • < ап И Ъ1 < Ь2 < • • • < Ь„,
то R (av . . ., an)=R (bv . . ., bn). Следующее утверждение
аналогично соответствующему утверждению в [3].
Теорема 2.5. Пусть М — простая арифметика, а —
порождающий элемент арифметики М. Тогда М — минимальная
консервативная арифметика в том и только том случае, когда р (М, Na, a) —
Рамсеевский ультрафильтр для соответствующей арифметики N9.
Кроме того, мы можем некоторые методы построения
ультрафильтров применить для построения нестандартных арифметик.
Так, например, известна такая операция, как умножение
ультрафильтров. А именно, если ряд — ультрафильтры на множестве
Uj то pXq — ультрафильтр на UxU, такой, что множество
А С UxU принадлежит pXq тогда и только тогда, когда
{х\{у\(х, у) G А} £ q} £ р. Пусть теперь М и М' — простые
расширения арифметики Мг с порождающими элементами а и а1
соответственно, причем М' — консервативное расширение.
Положим р~р (М, Мх, a), q=p (Mr, Мх, а), через U обозначим
носитель арифметики М. По аналогии с предыдущим определением
мы можем определить pXq — удьтрафильтр в решетке всех
формульных в Мг подмножеств UxU, а именно А £ pXq тогда и
только тогда, когда (#|{г/|(#, у) £ А} £ q} £ p (в силу 2.2 E)
pXQ действительно будет ультрафильтром). Подробнее аналогия
между простыми арифметиками и ультрафильтрами рассмотрена,
например, в [2], [23].
§ 3. Решетки и полурешетки, связанные с арифметиками
Каждой сильной арифметике М можно сопоставить решетку
Sm и верхнюю полурешетку S'm следующим образом:
1) Элементами решетки Sm являются элементарные
подструктуры арифметики М, отношением порядка на Sm является
отношение С. Пусть Мх и М2 — некоторые элементы решетки Sm
с носителями Аг и А2 соответственно. Легко видеть, что нижней
гранью данной пары элементов будет элементарная подструктура
164

арифметики М с носителем Аг П А2, а верхней гранью —
арифметика М [Аг U А2].
2) Определим на М отношение эквивалентности « следующим
образом: а^Ъ тогда и только тогда, когда а £ М [Ь]жЬ £ М [а].
Элементами полурешетки Sm будут классы эквивалентности в
носителе арифметики М по отношению «. Порядок ^ на S'm
определяется следующим образом: А ^ В тогда и только тогда, когда
а £ М [Ь] для некоторых а £ А ж Ъ ^ В. Ясно, что верхней
гранью пары А л В будет класс С, такой, что для некоторых
элементов а £ A, b £ В, с £ С в арифметике М истинно F (а, Ь, с),
где F (х, у, z) — формула в сигнатуре с0, такая, что
iVff \f=zF {nv п2, т) тогда и только тогда, когда щ = 2щЗп\ Поэтому S'm
является верхней полурешеткой.
Структуры Sm и S'm тесно связаны между собой, а именно Sm
изоморфна решетке всех идеалов верхней полурешетки Sm [14].
Ясно, что если М'^-М, то SM= {М*£ SM'\ М*-$ М}. Поэтому
в силу теоремы 2.1 нам достаточно иметь описание решеток Sm
в тех случаях, когда арифметика М — простая. Если М —
простая арифметика с сигнатурой с, а — порождающий элемент
арифметики М, р=р (М, Na, а), то структура Sm для арифметики М
может быть описана следующим образом:
Пусть R — множество всех одноместных функций, формульных
в N9. Определим отношение порядка <^ на R так, что / ^ g тогда
и только тогда, когда найдется множество А £ р, такое, что для
любых элементов а £ А и Ъ £ А если g (a)=g (Ь), то / {a)=f (b).
Отношение эквивалентности ^ на Л определим так, что
/^о(/^Й&(К/)- Тогда SM изоморфна полурешеткег,
множество элементов которой есть i?/^, а отношение порядка <
задается следующим образом: А ^> В тогда и только тогда, когда
А^=В и / ^ g для некоторых функций / £ A, g £ В.
В работе [14] приведены простые необходимые и достаточные
условия, при которых для данной дистрибутивной решетки L
найдется арифметика М с сигнатурой а, такая, что решетка Sm
соответствующая арифметике М, изоморфна L. В работе [23]
показано, что для любой конечной дистрибутивной решетки L
найдется консервативная арифметика М, такая, что Sm изоморфна
£• Там же замечено, что для любой сигнатуры а найдется арифме-
165

тика М с сигнатурой а, для которой решетка Sm не дистрибутивна.
Все перечисленные выше результаты не зависят от сигнатуры а.
Поэтому не исключено, что верно следующее утверждение: если
М — некоторая сильная арифметика с сигнатурой а, а а' —
некоторая другая сигнатура, то найдется сильная арифметика Mf
с сигнатурой о', такая, что Sm изоморфна S'K.
§ 4. Теорема Тенненбаума
Пусть Мг и М2 — некоторые арифметики с сигнатурой а,
такие, что Мх Z) М2. Рассмотрим ср — некоторое
взаимнооднозначное отображение арифметики Мг на М2. Пусть R —
некоторый /г-местный предикатный (функциональный) символ,
принадлежащий сигнатуре а. Определим отношение (функцию)
Ry (#!, . . ., хп) на М2 так, что R? (ах, . . ., ап) — истинно
(R (av . . ., an) = b) тогда и только тогда, когда M1j= Л (ср(а1), ...
..., ?-1(а„)) (М^Я^-Ца,), ..., ?-Цап)) = 9-ЦЬ)).
Мы скажем, что арифметика М± формульно определима в М2,
если отображение у можно выбрать так, что все отношения и
функции R будут формульны в М2- Мы скажем, что арифметика
Мг рекурсивно определима в арифметике М2, если о = о0, Мх
формульно определима в М2 и соответствующие отношения и
функции могут быть выбраны рекурсивными в М2, т. е. для
любого отношения (функции) R (хг, . . ., хп) существует формула
Q (хг. . ., хп1 yv . . ук) {Q (хг, . . ., хп, ух, . . ., ук, z)) в сигнатуре
а0, нумерически выражающая в системе аксиом i\ некоторое
рекурсивное отношение (функцию) Р (хг, . . ., хп+к) и такая, что
М2 f= {Зс^ . . ., ск) (Vxl4 . . ., хп) (Q (хг, . . ., хп, сг, . . ., ск)=
=R9 (хг, . . ., хп)). (М2(= (Яс!, . . ., ск) (V^i, . . ., хя, z)X
X(Q (^i, • • ., хп, с1? . . ., ск, z)=(R9 (хг, . . ., zn)=z))).
Мы скажем, что арифметика М формульно (рекурсивно)
определима, если она формульно (рекурсивно) определима в
стандартной арифметике.
Теорема 4.1 (Теорема Тенненбаума). 1) Не существует
рекурсивно определимой нестандартной арифметики.
2) Не существует формульно определимой сильной
нестандартной арифметики.
166

Эта теорема рассматривается, в частности, в работе [21].
Доказательство теоремы можно найти, например, в работе [7].
В работе [17] сформулировано следующее усиление части A)
теоремы 4.1.
Теорема 4.2. Существует конечная система аксиом А в
сигнатуре о0, истинная в модели N9q и такая, что любая рекурсивно
определимая модель системы А изоморфна N9o.
Можно показать, что пункт A) теоремы 4.1 может быть обобщен
на случай нестандартных арифметик с сигнатурой о0.
Теорема 4.3. Пусть Мг и М2 — арифметики с сигнатурой о0,
М2 — подструктура арифметики Мг, Мх — рекурсивно
определима в арифметике М2. Тогда Мг изоморфна М2.
Однако, как показывает теорема 4.4, пункт B) теоремы 4.1
не имеет прямого аналога в случае счетных нестандартных
арифметик.
Теорема 4.4 [23]. Пусть а — некоторая счетная сигнатура.
Тогда существуют сильные нестандартные арифметики Мг и Мг
с сигнатурой а, такие, что Мх £— М21 арифметика М± формульно
определима в М2 и Мг не изоморфна М2.
Было бы интересно построить пример, аналогичный теореме 4.4,
ограничившись тем случаем, когда арифметика Мх простая.
Если это окажется невозможным, то было бы получено некоторое
обобщение теоремы 2.4.
Доказательство теоремы Тенненбаума основано, в частности,
на том, что если арифметика Мг формульно определима в
арифметике М2, то существует формульное в М2 отображение арифметики
М2 в начальный отрезок арифметики Mv Аналогичные
рассуждения позволяют доказать следующее утверждение:
Теорема 4.5. Пусть М — некоторая нестандартная арифметика,
А — некоторое бесконечное подмножество носителя арифметики
Л/, R — отношение порядка на множестве А, вполне
упорядочивающее множество А. Тогда или А, или R не формульно в
арифметике М.
167

§ 5. Вложение нестандартных арифметик
Фридман в работе [8 ] описал некоторый метод вложения одной
модели некоторой теории в другую модель той же теории, в
частности он применил этот метод к моделям арифметики. Этот метод
был использован в [12] для доказательства того, что каждая
сильная модель арифметики может быть вложена в некоторый
гомоморфный образ полукольца рекурсивных функций. Мы изложим
основную идею метода Фридмана.
Пусть а — сигнатура вида { + ? я, 0, 1, -4}, где А —
одноместный предикатный символ. Понятие ограниченных кванторов
V# ^ у и Я# ^ у вводится, как обычно. Формула в сигнатуре а
называется ограниченной, если все ее кванторы ограничены.
Символом 2J. обозначается класс формул в сигнатуре а, определяемый
следующим образом: формула Р (хг, . . ., хп) в сигнатуре а
принадлежит классу 2£ тогда и только тогда, когда формула
Р (хг1 . . ., хп) получается из ограниченной формулы
приписыванием кванторной приставки, содержащей не более к—1 перемен
кванторов и начинающейся с квантора существования.
Рассмотрим нестандартные арифметики М1 и М2 с сигнатурой а.
Пусть элементы av . . ., ак£ Мх и bv . . ., bk, c£M2, такие, что для
любой формулы F(xv ..., хк, у) принадлежащей классу £°, если
Л/1|=(ау)^(о1, ..., ак, у), то M2\=(Sy^c)F(bv . . ., bk, у). Рас-
смотрим произвольный элемент а £ М1ш Мы хотим найти условия,
при которых для некоторого элемента Ь£М2 и для любой
формулы F(xv . . ., xk+v z/), принадлежащей классу EJ имеет место
следующее соотношение: Мг (= (Яг/) F (av . . ., ак, а, у) => М21=
f=(^<c)FF1, ...,6Л, Ь, у).
Для этого рассмотрим такую формулу R(z, xv . . .,xk+v y)££*,
что для любой формулы F (xv . . ., хк+1, I/)G^i найдется
натуральное число г, такое, что Ра(— (V^, . . ., xk+v у) (R(i, xv . . ., xk+v у)е=е
= F(xv . . ., xk+v у)) (существование формулы R (z, х1У .. ., xk+v у)
доказано, например в [5]). Рассмотрим подмножество натуральных
чисел/), определенное следующим образом: D — {i\M1\=C.y)X
XR(i, Q>\, ..., ак, а, у)} f] N. Предположим, что существует
формула ф (i) в сигнатуре а и содержащая быть может константы
из М2, такая, что i ^ D о М2(=ф (i) для любого натурального числа г.
168

Рассмотрим формулу ср (/) = C6< с) (V* < /) [ф (/) -> (Зг/ < с) X
Х#(*> &i> . . ., ЬЛ, 6, г/)]. Можно показать, что для любого
натурального числа i формула cp(i) истинна в М2. Тогда в М2 истинна
формула ср (у0) для некоторого jo£M2\N, то есть M2f=(Vj</0)X
X №(*)-*(% <с) д(*> 6i> •••» &*> fo> У)] Для некоторого Ь £ М2.
Этот элемент можно взять в качестве искомого.
Аналогичным образом можно найти некоторые условия, при
которых для любого элемента b £ Af2, такого, что Ъ ^ bt при
некотором l^i^A найдется элемент a^Mv такой, что М1\=('3.у) X
XF(av . .., аЛ, a, y)=>^2f=(%<c)^Fi» • • •» йл> &' У) для любой
формулы F(a:x, . . ., #Л+1, ^) принадлежащей Е*.
Этот метод Фридман применил, в частности, для того, чтобы
доказать следующее утверждение:
Теорема 5.1 [8]. Любая нестандартная арифметика с
сигнатурой а0 изоморфна некоторому собственному начальному отрезку.
Легко видеть, что теорема 5.1 верна в случае арифметик с любой
конечной сигнатурой, но в общем случае неверна, если
рассматривать счетные сигнатуры.
Следуя [11], мы скажем, что арифметика М2 с сигнатурой о
является fc-элементарный подструктурой арифметики Мг с той же
сигнатурой, если М1 ZD М2 и для любой формулы F {хг, . . ., хп) (<
£ 2^ и для любых элементов аг, . . ., ап £ М2 формула
F (аг, . . ., ап) истинна в М2 тогда и только тогда, когда
M^Ffa, . . ., аи).
Пусть М — некоторая арифметика с конечной сигнатурой а,
к—-некоторое натуральное число. Мы построим арифметику Мк
с сигнатурой o[J{^}, где Ака — двуместный предикатный символ
следующим образом: носитель арифметики Мк совпадает с
носителем арифметики М. Отношение, соответствующее в Мк некоторому
предикатному символу, принадлежащему сигнатуре з, совпадает
с соответствующим отношением в М. Отношение А*(х, у)
определено так, что Ака (а, Ь) истинно тогда и только тогда, когда
M\=zR(a, 6), где R(x, у) — формула, принадлежащая классу S£
и такая, что для любой формулы F(x)£I>k найдется натуральное
число i, при котором Ра \— (Ух) (R(i, x) = F(x)). Применяя метод
Фридмана, к арифметике Мк можно несколько усилить теорему 5.1.
169

Теорема 5.2. Для любой нестандартной арифметики М с
конечной сигнатурой и для любого натурального числа к существует
подструктура М' структуры М, такая, что
1) М' — /^-элементарная подструктура арифметики М.
2) М* изоморфна арифметике М.
3) ЛГ-начальный отрезок арифметики М, М'=^=М.
Если М является сильной моделью арифметики, то для любого
элемента с £ М \ N можно найти арифметику М',
удовлетворяющую условиям A)—C) и такую, что
4) М1 (Z{x£M\M\=x<c).
Как следует, например из теоремы 2.4, пункт A) теоремы 5.2
нельзя заменить на Г) М' — элементарная подструктура
арифметики М. Однако может быть доказана следующая теорема:
Теорема 5.3. Для любой сильной нестандартной арифметики Мо
с конечной сигнатурой существует счетное элементарное конфи-
нальное расширение М арифметики Мо, удовлетворяющее
следующему свойству: для любого элемента с £ М \ N найдется
элементарная подструктура М' структуры М, такая, что
условия B)—D) теоремы 5.2 выполнены.
В работе [11] сформулирован следующий вопрос: верно ли,
что каждый начальный отрезок нестандартной арифметики М
с сигнатурой а0 замкнутый в М относительно функций,
задаваемых в М формулами из 2£>, является моделью Р. Ответ на этот
вопрос тоже может быть получен методом Фридмана.
Теорема 5.4. Для любой нестандартной арифметики М с
конечной сигнатурой а и для любого натурального числа к найдется
начальный отрезок арифметики М, являющийся /с-элементарной
подструктурой структуры Af, но не являющийся моделью Р9.
§ 6. Расширение сигнатуры
Пусть М — некоторая арифметика с носителем Мо и
сигнатурой о. Мы скажем, что арифметика М' с сигнатурой а' получена
из арифметики М расширением сигнатуры, если о' ID а,
носителем арифметики М' является множество М0 и отношения (функции)
соответствующие в М и М* одному и тому же предикатному (функ-
170

циональному) символу, принадлежащему сигнатуре а, совпадают
на множестве Мо.
Рассмотрим вопрос о том, при каких условиях существуют
арифметики, обладающие заданным свойством и получающиеся
расширением сигнатуры из данной арифметики.
Мы скажем, что арифметика М' с сигнатурой о' получена из
арифметики М с сигнатурой а тривиальным расширением
сигнатуры, если М' получена из М расширением сигнатуры и для любого
/с-местного предикатного (функционального) символа А,
принадлежащего сигнатуре а', найдется формула F(хх, . . ., xn+k)(F(x11 ...
. . ., хпЛкУ zj) в сигнатуре а, такая, что М'\={Эс1У . . ., cn)(Vxly ...
•••• *k)(F (XV •••! «*. Сг, ..., cJ-dEEAfa, ..., Xk)) (М'\г=(Яс19 ...
•••» cn)(Yxv •••> **» z)(F(xv •••> ^fc. ci> •••. cn' z) = (A(xv ...
...,«*)=*))).
Из леммы Цорна непосредственно следует
Теорема 6.1. Пусть Ж — некоторая сильная нестандартная
арифметика с сигнатурой а. Тогда найдется сильная арифметика
М', полученная из М расширением сигнатуры и такая, что любая
сильная арифметика, полученная расширением сигнатуры из М\
получается из М' тривиальным расширением сигнатуры.
Теорема 6.2. Пусть М — сильная консервативная
нестандартная арифметика. Тогда не существует сильной арифметики,
полученной из М нетривиальным расширением сигнатуры.
Можно построить пример, показывающий, что утверждение,
обратное к 6.2, неверно. Действительно, пусть N9q — стандартная
арифметика с сигнатурой а0. Можно построить сильную простую
арифметику М с сигнатурой а0, такую, что для некоторой формулы
А (х, у, z) в сигнатуре о0, для некоторого элемента а £ М и для
любых натуральных чисел i, j £ N имеет место М f= А (а, £, ;')
тогда и только тогда, когда i — геделев номер формулы Р (х)
в сигнатуре а0 с одной свободной переменной и N^ (= А (у).
По теореме 6.1 существует сильная арифметика М\ полученная
из М расширением сигнатуры и такая, что не существует сильной
арифметики, полученной из М' нетривиальным расширением
сигнатуры. Однако легко видеть, что М' не консервативная
арифметика.
171

Теорема 6.3 [23]. Пусть Мх и М2 — сильные арифметики с
сигнатурой а, Мг £— М2, арифметика М2 конфинальна арифметике Мг.
Пусть сильная арифметика М2 с сигнатурой а' получена из М2
расширением сигнатуры. Тогда существует единственная
арифметика М[ с сигнатурой а', полученная из Мх расширением
сигнатуры и такая, что М[ £— М2.
Мы скажем, что элемент я, принадлежащий арифметике М
с сигнатурой о, определим в арифметике М, если существует
формула F (х) в сигнатуре с, такая, что М (= (Ух) (F (х)=(х=а)).
Используя метод форсинга, в работе [22] доказана следующая
теорема:
Теорема 6.4 [22]. Пусть М — арифметика с сигнатурой а.
Тогда существует арифметика М' с сигнатурой о U {f/}, где U —
одноместный предикатный символ, полученная из М расширением
сигнатуры и такая, что любой элемент арифметики М' определим
в М'.
ЛИТЕРАТУРА
1. Blass A. Intersection of non-standart models of arithmetic. — «J. Symbol.
Log.», 1972, vol. 37, № 1.
2. Blass A. On certain types and models for arithmetic. — «J. Symbol. Log.»,
1974, vol. 39, № 1.
3. Booth D. Ultrafilters on a countable set. — «Ann. Math. Log.», 1970,
vol. 2, № 1.
4. Chang H. Ultraproducts and other methods. — In: Sets, Models and
Recursion Theory. Amsterdam, 1967.
5. Клини С. К. Введение в метаматематику. М., 1957.
6. Eherenfeucht A. Descernible elements in models for Peano arithmetic. —
«J. Symbol. Log.», 1973, vol. 38, № 2.
7. Ehrenfeucht A., Kreisel G. Strong models of arithmetic. — «Bull. Acad.
Polon. Sci., Ser. Math., Astron. Phys.», 1966, vol. 14, p. 107—110.
8. Friedman H. Countable models of set theory. — «Lectures Notes in Math.»,
vol. 337. Berlin, 1973.
9. Gaifman H. Uniform extention operators. In: Sets, Models and Recursion
Theory. Amsterdam, 1967.
10. Gaifman H. On local arithmetical functions. In: Math. Log. and Found,
of Set Theory. Amsterdam, 1970.
11. Gaifman #. A note on models and submodels of arithmetic. — «Lectures
Notes in Math.», vol. 255. Berlin, 1973.
172

12. Hirschfeld /. Models of arithmetic and semi-ring of recursive functions. —
«Lectures Notes in Math.», vol. 369. Berlin, 1974.
13. Mac Dowell R. and Specker E. Modelle der Arithmetik. — In: Infinitistic
Methods. Warsawa, 1961.
14. Paris J. B. On models of arithmetic. — «Lectures Notes in Math.», vol. 255.
Berlin, 1972.
15. Phillips R. G. Omitting types in arithmetic and conservative extentions. —
«Lectures Notes in Math.», vol. 369. Berlin, 1974.
16. Phillips R. G. A minimal extention that is not conservative. — «Mich.
Math. J.», 1974, vol. 21, № 1.
17. Плиско В. Е. О реализуемых предикатных формулах. — «ДАН СССР»,
1973, т. 212, № 3.
18. Рабин М. Диофантовы уравнения и нестандартные модели
арифметики. — В сб. Математическая логика и ее применения. М., 1965.
19. Robinson A. Model theory and non-standart arithmetic. — In: Infinitistic
Methods. Warsawa, 1961.
20. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры.
М., 1967.
21. Scott D. On constructing models for arithmetic. — In: Infinitistic Methods.
Warsawa, 1961.
22. Simpson S. G. Forcing and models of arithmetic. — «Proc. Amer. Math. Soc»,
1974, vol. 43, № 1.
23. Сопрунов С. Ф. Сильные нестандартные модели арифметики. — «ДАН
СССР», 1975, т. 220, № 2.

В. Н. ГРИШИН
РЕДУКЦИЯ АКСИОМ СВЕРТЫВАНИЯ
ДАННОЙ ГЛУБИНЫ
К АКСИОМАМ СВЕРТЫВАНИЯ
МЕНЬШЕЙ ГЛУБИНЫ
В 1937 г. Куайн предложил ([1] см. также [2])
аксиоматическую систему теории множеств, получившую название New
Foundations (NF). Ее нелогическими аксиомами являются: акси-
*ома объемности
Vxy(Vt(t£x*>t£y)-> х — у)
ш аксиомы свертывания, получающиеся по следующей схеме
Яг/Уж (х £ у +> <р),
тде <р — стратифицируемая формула, составленная из атомарных
формул вида и £ v я u=v с помощью пропозициональных связок
я кванторов и не содержащая переменной у. Формула ф
называется стратифицируемой, если ее можно превратить в формулу
языка простой теории типов (см. ниже) приписыванием
натуральных чисел в качестве верхних индексов у переменных так, чтобы
все вхождения одной и той же переменной получили один и тот же
индекс.
Если при этом используются натуральные числа из множества
A, 2, 3, . . ., п}, то формула ф называется тг-стратифицируемой.
Очевидно, если формула ср в аксиоме свертывания (она
называется ядром аксиомы свертывания) стратифицируема, то и сама
аксиома свертывания стратифицируема (так как у не входит
в ср). При этом, если ядро тг-стратифицируемо, то сама аксиома
свертывания может быть тг+1-стратифицируемой формулой.
Фрагмент NF, содержащий аксиому объемности и аксиомы
свертывания, которые (ядра которых) являются тг-стратифици-
руемыми формулами, обозначим через NFn {NnF, соответственно).
В [3] доказано, что NF3 — непротиворечивая теория. В [4]
доказано, что в теории N3F выводимы все аксиомы NF. При этом,
174

достаточно добавить к NF3 только две аксиомы свертывания
теории N3F.
Из результатов настоящей заметки вытекает, что добавление
к NFS только одной аксиомы позволяет вывести в получающейся
теории любую аксиому NF. Вот эта аксиома:
(A) KyYx(x£y**fti4u£x(t£u)).
Нетрудно убедиться, что ядро аксиомы (А) 3-стратифицируемо
(переменным t, и, х приписываем числа 1, 2, 3 соответственно)-
1. Язык теории типов содержит: переменные — у*. (£, /^0 —
любые натуральные числа); двуместные предикатные буквы —, £ т
=; логические знаки Д, ~~|, V; скобки (,). Формулы строятся и*
атомарных формул вида (u^v^1) и (yj = yj.) обычным образом.
Буквы t, х, у, z, и, v, w (возможно с индексами) будут
использоваться как метаобозначения формальных переменных. Если х
обозначает переменную г;*., то положим typ (x) = i и число i будем
называть типом переменной х. Знаки: <* (эквивалентность),
-> (импликация), V (дизъюнкция), 3 (квантор существования)
вводятся обычным образом. Выражения вида V#£y<p и Эж^ур
являются сокращениями для Ух (х £ у -> ср) и гАх (х £ у Д ср)
соответственно.
Обозначим через Ц[ класс таких формул ср, что i^typ(o:)^»
для любой переменной х, входящей в формулу ср.
Переменные х и у назовем существенно различными, если у них
различны нижние индексы.
Выберем какие-нибудь две существенно различные переменные
а и Ъ типов i-f-2 и г+3 соответственно. Формулу ср £ 1!\ назовем
нормальной, если выполняются условия 1—3.
1. ср не содержит выбранных переменных а и Ъ\
2. если переменная х имеет вхождение в формуле ср слева
или справа от знака —, то typ (x)=^i;
3. любые две различные входящие в ср переменные являются
существенно различными.
Если х обозначает переменную v\, то через х+ обозначим
переменную U*j+1.
175

2. Сопоставим каждой нормальной формуле ?££" некоторую
формулу ср* следующим образом.
( Эм; (x+£w /\y(+w /\ьи(*Ь), если typ (x) = i
(х £* у)* ^р {
к с } I (#£*/)> B противном случае,
где w — какая-нибудь переменная типа i-\-2 существенно
отличная от переменных а, & и всех переменных, входящих в формулу ср.
(х = у)*^(х = у)
/w ,ч* fVa;+(£+£a->f), если typ(x) = i
v T/ [ Yx (ф*), в противном случае.
Очевидно, если п — г^З, то cp*^Lj+1.
3. Введем следующие обозначения
y&{tv t2}^Yx(x^y<^x — t1\Jx = t2)
Xtt{t}±^Xtt {t, t}
a(y)^Vx(x^y^ rdt(x&{t})
$(y)^Vx(x£y** RtVu (u^x^t^u))
АР^Ях(ж» {tv t2}) (схема аксиом пары).
Лемма. Пусть <p£L" — нормальная формула и zv z2, . . ., zk —
список переменных типа i, содержащий все свободные переменные
типа i формулы ср. Тогда из аксиомы пары в многосортном
исчислении предикатов (см. [5]) с равенством выводима формула
4«К}Л---Л4«{**}Л"(«)ЛР(Ь)-*(?~?*)- A)
Доказательство. Индукция по числу логических знаков
формулы ср. Пусть cp^(&£i>) и typ(^г) = i. Тогда u^Zj для
некоторого 1 ^ / ^к. В этом случае ср* имеет вид Ян; (z + £ w Д и ^ w Д w g &).
Требуется из посылок формулы A) пользуясь логическими
аксиомами и аксиомой пары, вывести эквивалентность
Zj£v**&w(z+£w /\v£w Д w£b). B)
176

Предположим, что Zj £ v, тогда в силу аксиомы пары существует w,
такое, что wtt{z+., v). Очевидно, z+.£w и v(*w. Так как посылка
формулы A) содержит член з^да^}, то Zj£z±. Из последней
формулы, предположения Zj£v и формулы w^{z+.> v} вытекает,
что Yu(u£w-> Zj£ и). Откуда RtYu (и £ w -> t£ и). Из этой
формулы, а также формулы CF), входящей в посылку A), вытекает
w£b. Этим установлена правая часть эквивалентности B).
Если для некоторого w выполняется z+. £ w, v £ w, w £ 6, то
в силу условия р (Ь) существует t, t£ z+ и t£ и. Из условия z+ж {Zj}
следует Zj=-t. Поэтому Zj^v.
Если typ (и) ^> i, то утверждение тривиально.
Пусть ср ±? Yxty и typ (x) = i. Применим индуктивное
предположение к формуле ф и списку переменных zv...,zk, x. Посылку
формулы A) обозначим через п. Получим, что из аксиомы пары
выводимо
n-+Yx, x+(x+^{x}^(^^f)). C)
Откуда
те -^ (Уж, х+ (х+ ж {х} -+ ф) *+ Yx, х+ (х+ да {х} -> f)). D)
Так как формула Yxty нормальна, то переменная х+ не входит в ф.
Из определения операции ф* видно, что ф* не содержит
переменной х. Поэтому из D) в исчислении предикатов выводимо
71 -> (Yx(Яя+ (х+ да {я}) -> ф) «*> \ж+ (Яж (гс+ да {ж}) -^ ф*)).
Откуда, используя аксиому пары и формулу а (а), содержащуюся
в посылке -л, получим
iz -> (У#ф <*> Yx+ (x+ £a-> ф*)), т. е.
гс_^ (у#ф <^ (Уяф)*).
Случаи, когда typ (ж) =^=i, а также ^^фхЛФг или ?^ПФ и
ср ^ (^ = у), тривиальны.
4. Аксиомами свертывания в теоретико-типовом языке
называются формулы этого языка, имеющие вид
(GA) У...ЯуЧх(х£у <+<?),
где ср — не содержит свободно переменной у, а запись V. . .
означает замыкание кванторами всеобщности по всем свободным
переменным формулы ср отличным от х.
177

Аксиома свертывания (СА) называется предикативной, если
ее ядро не содержит связанных переменных типов ^ typ (у).
Обозначим через РТЯ исчисление, нелогическими аксиомами
которого являются все те предикативные аксиомы свертывания
(СА), для которых существует натуральное число i ^ 0, такое,
что (СА) £ Ь\+п-1. Логическими аксиомами являются аксиомы и
правила вывода классического многосортного исчисления
предикатов (см. [5] стр. 326) с равенством. Аксиом объемности теория
РТЯ не содержит.
Введем теорию РТ равенством
РТ= LJPTW.
Теорема 1. В теории РТ3, пополненной аксиомами свертывания
вида
(А) Яг/ Vx (х£у<+ KtYu (u£x-+t£ и)),
принадлежащими РТ4, выводима любая аксиома теории РТ.
Доказательство. Можно ограничиться такими аксиомами
свертывания (СА), у которых ср не содержит переменных типа
^ typ (x)+2. Это вытекает из следующего, легко
устанавливаемого индукцией по сложности ср, утверждения. Если j — число
и хг, . . ., хп — переменные, такие, что typ (хг) <^ /, . . .,
typ (хп) ^7 и <Р — формула, не содержащая кванторов по
переменным типов ^ /+1» то найдется набор формул ср1? ср2, . . ., срт,
не содержащих переменных типов ^ /+2» что в исчислении
предикатов выводимо
Y*v . . ., Хп (ср <■* ?1) \/ . • • V Yxi> • • " Хп (? *» ?т)-
(Если ср есть формула вида ufcv и typ(&)^ 7-Ь ^> то в качестве
набора yv . . ., cp?w надо взять две формулы; одну — тождественно
истинную, например, v( = vfi, другую — тождественно ложную,
например, ~]г^ = ^).
Докажем, что если т ^ 3, то PTW + {А) I— PTW+1 (т. е. каждая
аксиома РТт41 выводима из PTW и схемы (А)). Рассмотрим аксиому
свертывания (СА) £ PTm+1 \ РТ3. В силу выше изложенного будем
предполагать, что ядро ср этой аксиомы не содержит переменных
типа > typ (у), где у — переменная, фигурирующая в формуле
178

(СА), т. е. будем считать, что ср £ L», где rc=typ {у) и i=n—m.
Так как из аксиомы пары выводимо u—v*> Yz (и £ z +*v (< z),
то можно предполагать также, что формула ср не содержит
переменных типа i, стоящих слева или справа от знака = , и что ср
нормальная формула. В силу леммы, из аксиом пары выводимо
^^(ср^ср*), E)
где тг ^ z+ да {zj Л • • • Л *J « {**} Л а (а) Л Р F)- ввиду того, что
n—i—m ^ 3 имеет место ср* £ L^+1. Интересен случай, когда
переменная х аксиомы свертывания (СА) входит в формулу ср.
Тогда х не входит свободно в тг (в силу нормальности ср). Поэтому
из E) получаем
71 -> За, 6, zf, .... z%Vx (cp «ср*). F)
Формулы 3zJ(z+. ^^ {Zy}), Яаа(а), НЬр (Ь) являются аксиомами
теории РТ3 + (А). Поэтому из F) в PTW выводимо
За, b, z+, ...,z+Vo:(cp^cp*).
Из этой формулы следует, что аксиома свертывания с ядром ср
выводима из аксиомы свертывания с ядром ср*. Из определения
операции ср* видно, что формула ср* не содержит связанных
переменных типа п, если ср не содержит связанных переменных этого же
типа и если п—i ^ 3. Поэтому аксиома свертывания с ядром ср*
принадлежит PTW (n=i-{-m). —
Итак, редукция РТт + (А)|—РТот+1 (для т^З) доказана.
Применяя несколько раз эту редукцию, получаем РТ3 -f- (А) (— РТ.
5. Теорема 2. Всякая аксиома свертывания (СА) в теоретико-
типовом языке выводима в теории РТ3 + (А) пополненной схемой
(AS) YzKyVx {x^y^m(x^t/\t^ z)).
Доказательство. Пусть п — наибольшее число, являющееся типом
связанной переменной ядра ср аксиомы свертывания (СА) и
m==typ (х). Теорему доказываем индукцией по числу п—т.
Если п—77г=О, то (СА) — предикативная аксиома свертывания.
Индукционный шаг. В силу индуктивного предположения
179

в PT3+(A)+(AS) доказуемо, что существует множество yv такое,,
что
Vu (и^уг^ Зя (и да {х} Д <р)).
Для этого ух находим, пользуясь аксиомой (AS), множество z/,
такое, что
Откуда
Vx (х £ у +> Яи (х £ и Л Я# (и я^ {^} Д ?))). G>
Из аксиом пары и аксиом равенства получаем
<t*>Ku(x£u/\Kx(u&{z}/\?)),
что вместе с G) завершает доказательство.
6. Для системы NF можно сформулировать теоремы,
аналогичные теоремам 1 и 2. Их доказательства получаются из
приведенных стиранием типовых индексов и, быть может, некоторыми
переименованиями переменных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Quine W. V. О. New foundation for mathematical logic. — «American
Math. Monthly», 1937, vol. 44, p. 70—80.
2. Френкель Л. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.
3. Гришин В. Н. Непротиворечивость одного фрагмента системы Куайна
HF. — «ДАН СССР», 1969, т. 189, № 2, с. 241-243.
4. Гришин В. Н. Эквивалентность системы Куайна NF одному ее
фрагменту. — «Научно-техническая информация», сер. 2, Информационные»
процессы и системы, 1972, № 1, с. 22—24.
5. Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960.

Д. А. БОЧВАР, В. И. ФУКСОН
АКСИОМЫ СВЕРТЫВАНИЯ
С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ
Формула R (х) языка первого порядка с одним бинарным
предикатом «£» называется расселовым ядром, если в исчислении
предикатов доказуемо отрицание аксиомы свертывания с ядром
R (х), т. е.
\--]KxQYx(x£z0 = R(x)).
Формула R называется однородной, если R содержит только
кванторы одного типа. В настоящей работе мы укажем некоторые
признаки расселовости однородных ядер. Частичные результаты
в этом направлении получены в [1].
В дальнейшем будем писать у (х) вместо х£у и у (х) вместо х (£ у.
Мы используем секвенциальный вариант GA исчисления предика-
тов и алгоритм поиска доказательства в G4, приведенный в [2].
Достаточно рассматривать только экзистенциальные рассе-
ловы ядра, т. е. ядра вида 13.х1 . . . Я#й F (х, хг, . . ., хп)*
Действительно, в силу следующей леммы универсальное ядро
Yxv . . Yxn F (#, хг, . . ., хп) является расселовым тогда и только
тогда, когда оно двойственно экзистенциальному расселовому
ядру.
Лемма. Ядро R (х) является расселовым тогда и только тогда,
когда двойственное ядро R* (х) расселово.
Доказательство. В силу принципа двойственности имеем: если
в исчислении предикатов доказуемо ЭД, то также доказуемо ~]0Г,
где *2Г получается попарной заменой в ЭД знаков Я и V, \/ и Д,
= и ф. Пусть R(x) — расселово ядро, тогда
181

Следовательно,
\-^(Ях0Ух(х0(х)е=еН*(х)))
и ядро Д* (х) расселово. Так как i?**=i?, то лемма доказана.
Пусть R (x) = Rx1. . . r3.xn F (х, . . ., хп) — расселово ядро.
Матрицу ядра всегда предполагаем заданной в дизъюнктивной
нормальной форме, т. е. F (х, . . ., xn)=f± (х, .. ., хп) \/ ... \/fr
+ (х, . . ., хп), где Д. (#, . . ., хп) — элементарная конъюнкция,
в которую входят все атомарные формулы или их отрицания,
составленные из переменных х, хг, . . ., хп. Рассмотрим
структуру R (х), прослеживая доказательство в G4 отрицания аксиомы
свертывания с ядром R (х). Будем строить дерево доказательства
сверху вниз и писать под верхней секвенцией две черты, если
вывод верхней секвенции из нижней очевиден.
-+-}nx0Yx(x0(x)=R(x))
Kx0Vx(x0(x) = R(x))-* ~* '.
Yx(xo(x) = R(x))-> d~*
Использование переменной х0 в Я~> допустимо, так как в аксиомах
свертывания ядро не содержит х0. Обозначим формулу ¥х(хо(х) =
= /?(#)) через ty, тогда
Рассмотрим доказательство правой секвенции
%-» ^о(^о)^ 3^ ... RxnF(xoy xv . .., хп) ^ д
91->ао(жо), F(xo,...,xo) _^x/
ty->xo(xo), f±(x0, . ..,xQ), ...,//К» • --^о)
Последняя секвенция доказуема только, если некоторая
конъюнкция f. (х0, . . ., х0) равна хо(хо) Д ... /\хо(хо); это возможно лишь
в случае, когда fi состоит из отрицаний всех атомарных формул.
Я - п р и з н а к. Если R (х) — экзистенциальное расселово
ядро, то элементарная конъюнкция, состоящая из отрицаний
атомарных формул, содержится в матрице R (х).
182

Заметим, что н-признак верен также для произвольных рассе*
ловых ядер.
Обратимся к доказательству секвенции % хо(хо), R(xo)^>:
<Д, хо(хо), R(x0)^ ^
Ч21» Х0 («о)» F (X0> XV • • •> *я) -+ ^ '
Применяя правило V"**» получим t доказуемых секвенций
где i^t, х = (х0, ..., хп). Далее, применяя V-» с 2|в качестве
главной формулы,
% *о(*о). Л(д)^ у >
Л (*), ^ ^о(жо)» хо(xi) = R(xi)> -"xo(xn) = R(xn) "* "^
и по правилу =-> получаем 2Л секвенций S4jlm_jm:
% ^oW' Л(Ж)» Xo(XJx)> R(xJi)>--»Xo(xJm)> R(XJm)-+Xo(XJmJ*
R(XJmJ>--->Xo(XJ*)> R(XJn)-
Секвенция Sjlaamjm доказуема, если доказуема секвенция s)lt^jm*
Х0 (Хо)> U (*)э Х0 (ХЛ)> • • '' Х0 (XJm) ~* Х0 (XJmJ> R (XJmJ> • • •
Обозначим через ft(x) множество членов конъюнкции fi{x)t
Если {х0 (х0), х0 (жЛ), . .., х0 (xJm), xo(xJm+1), . .., a:o(^yj} qL fi {x), то
секвенция 5у1#..ут становится основной после применения правил
Д ~> и "~| ->. Таким образом, если Д. (х) содержит формулу х0 (х0),
то все Sjl99mjm доказуемы.
Пусть {хо(хо), хо(х^)у . . ., xo(xjj, xo(xM+l), . . .,xo(xjH)}Qf4(x).
Тогда секвенция Sjl9ttjm эквивалентна по выводимости секвенции
ft(x)^R(xJmJt...,R(xJa).
Подстановку п: п-\- 1 ->тг + 1 будем называть допустимой для Д.(я),
если существует к^п, такое, что тс/с = 0 и формула #0(,тЛ)
содержится в Д. (£). Будем обозначать через /J (ж) формулу Д. (#те0, .. ., х%п).
183

Теперь имеем
/Лд)-»Д(О д(^)
/Л*)-*/?•• ••'/?'•••'/?''•••'#"'
где т:г — допустимая для f.(х) подстановка. Существуют k^t и
I ^ а, такие, что доказуема секвенция
Действительно, в противном случае в каждой конъюнкции fv имеется
подформула хр(xqy, где о = 0,1 и xp(xq)° = xp{xq), xp(xqI = xp(zq),
такая, что секвенция ft (x) -*> хр (xq)a недоказуема, и поэтому ft не
содержит хр (xq)a. Так как для любых р, q ^ n в f. содержится
в качестве подформулы либо хр (xq)> либо хр (xq), то секвенции
fi —> х (х V'* доказуемы и, следовательно, секвенция
доказуема; противоречие.
Отсюда следует, что секвенция s)l>##ym доказуема, если для
каждой конъюнкции /<(£), содержащей формулу xo(xQ), доказуема
некоторая секвенция
или, другими словами,
fy (*)£/, (*)•
Таким образом, получаем следующий достаточный признак.
Д-признак.* Пусть матрица F(%)ядраR(х0) содержит
конъюнкцию отрицаний всех атомарных формул, составленных из
переменных х0, . . ., хп, и для каждой элементарной конъюнкции fi (%) из
F (%), содержащей формулу хо(хо)у существуют конъюнкция fj (%)
из F (х) и допустимая для ft(%) подстановка тс, такие, что /у(^)С
С Д. (х). Тогда ядро R (х) расселово.
Для однокванторных ядер д-признак является также
необходимым, т. е. нд-привнаком. Применим этот признак для определения
всех с точностью до эквивалентности однокванторных расселовых
ядер.
Представим расселово ядро 'З.х^ (х01 хг) в виде T3.x1F1 (x0, хг) V
Va^2 (хо> ^i), где в Fx входят конъюнкции из F, содержащие х0 (х0),
184

новками
и в F2, входят конъюнкции из F, содержащие хо(хо). Так как F
содержит конъюнкцию /0 = х0 (х0) Д х0 (хх) Д хх (хх) Д хх (х0), то
H.xxFx(x0, хх) эквивалентно xq(x0), т. е. [—Rx1Fx(x09 xx) = x0(x0).
Поэтому RxxF (х0, хх) эквивалентно х0 (х0) V 13.x1F2 (х0, хх). Каждая
конъюнкция / из F2 содержит формулу хо(хх), ибо в противном
случае для / нет допустимой подстановки. Допустимыми подста-
/0 1\ /0 1\
для конъюнкций из F2 являются тс1 = I I и тс2 = I I »
Рассмотрим конъюнкцию fx = гс0 (х0) Д а:0 (а?!) Д хх (хх) Д жх (аг0)*
При замене переменных х. на x%li, конъюнкция fx переходит в себя,
т. е. f*i = fv Следовательно, в силу нд-признака fx может входить
в расселово ядро.
Конъюнкция g — xq (х0) Д х0 (хх) Д хх (хх) Д х0 (хх) не может
входить в F2. Действительно, для подстановки пх существует
единственная конъюнкция / = х0 (х0) Д х0 (хх) Д хх (хх) Д х2 (хо)у такая,
что f%Clg. Однако / не может принадлежать F2, так как для /
нет допустимой подстановки. Для п2 единственная конъюнкция
f = xo(xo)/\xQ(xx)/\xx(xx)/\xx(xo), такая, что /** С g, также не
принадлежит F2. "*
Рассмотрим конъюнкции /2 = х0 (х0) Д х0 (хх) Д х± (хх) Д хх (х0) и
U = xo(xo) /\хо(хх) /\хг(хх) /\хх(х0). Эти конъюнкции могут
принадлежать F2, так как для fo = xo(xo) Д хо(хх) Д хх(хх) Д ^(Xq) и
подстановки тг2 имеем /J2 ^ хх (хх) и /^2 С /2, /J3 С Д.
Таким образом, единственными с точностью до
эквивалентности расселовыми экзистенциальными ядрами являются хо(хо)\/
V^fAWV/sWV/sW где i, /<3 и ^;.
После эквивалентных преобразований запишем эти расселовы
ядра в следующей форме:
ях{х)=щ(^) ^W) /\Ш\
R2(х) = Яг/(х(у) Д уЩ),
R3(x) = ^y(Mi)AV¥)\
185

Ядра, двойственные к /?,, дают полный список расселовых ядер
вида VyF(z, у).
ЛИТЕРАТУРА
1. Kuroda S. Contradictions of Russel's type. — «J. Symbol. Log», 1958f
vol. 23, № 4.
2. Кангер С. Упрощенный метод доказательства для элементарной ло-
гикд. — В а6.: Математическая теория логического вывода. М., 1967.

В. Е. В АИ ЛЬ
КАНТОРОВСКАЯ СИСТЕМА АКСИОМ
ДЛЯ ZF-\-V=I*
Канторовской системой аксиом называется система аксиом*
содержащая только аксиомы свертывания, объемности и логичен
ские постулаты. Построение канторовской системы аксиом, кото-
рая эквивалентна данной системе аксиом, может быть полезным
средством для достижения некоторых целей, например, для того*
чтобы построить эквивалентное данной системе аксиом
исчисление генценовского типа.
Ниже вниманию читателя предлагается описание построения
канторовской системы аксиом ZFK, такой, что все теоремы ZF*
а также аксиома конструктивности [1], являются ее теоремами*
При этом предполагается, что логикой системы ZF является
классическое исчисление предикатов первого порядка, а специфические
аксиомы ZF суть аксиомы объемности, двух-элементного
множества, объединения, множества-степени, фундирования, выбора*
бесконечности, а также все частные случаи схем аксиом выделения
и подстановки. Построение системы ZFK производится
следующим образом. В список постулатов ZFK без каких-либо
изменений включаются логические постулаты ZF, аксиома объемности
и все аксиомы ZF, являющиеся аксиомами свертывания.
Аксиомы же ZF, которые не являются аксиомами свертывания', в ZFK
заменяются на аксиомы свертывания, приводимые ниже. Такой
замене подлежат аксиомы бесконечности, фундирования, выбора
и все частные случаи схемы аксиом подстановки. Проще всего
обстоит дело с аксиомой бесконечности. Эквивалентная ей аксиома
свертывания приведена, например, в работе Сколема [2]. Для
некоторых целей может оказаться более удобной замена аксиомы
бесконечности на эквивалентную ей аксиому свертывания,
содержательно означающую, что натуральный ряд чисел является
18?

множеством. Несколько более сложно обстоит дело со схемой
аксиом подстановки. Если взять ее в той формулировке, в которой
она приведена в книге Мендельсона [3], т. е. в виде
(Уи) (Уи) (Vw) [<р (и, v) & ср (и, w) D (Vz) [и £ z = w £ z]] Z>
3 (Va) (Яи) (Vs) [x б » = (Яг/) [y£a&<p(y, х)]],
то ее можно заменить эквивалентной ей схемой аксиом свертывания:
(Va)(Щ(Ух)[х£и = (Щ[уеа&с?(уу х)]& |
(Уи) (Vv) (Vw) [ср (щ v)&<? (и, ш) d (Vz) [у б z = wб z]]]. A)
Сложнее всего обстоит дело с аксиомами выбора и фундирования.
Поскольку они обе являются замкнутыми формулами, аксиому
выбора можно заменить аксиомой свертывания
(Яг/) (Ух) [х£у = х§х&~\ Malt Ax\,
а аксиому фундирования — аксиомой свертывания:
е&у)(Чх)[х£у = х $ х&~] Fund Ля],
где mult Ax есть сокращенное обозначение аксиомы выбора,
а Fund Ax — сокращенное обозначение аксиомы фундирования.
То, что в результате такой замены будет получена система аксиом,
эквивалентная исходной, вытекает из следующих соображений.
П. С. Новиков [4] доказал, что если в какой-либо системе аксиом
доказуемо существование пустого множества, то в ней доказуема
и любая формула вида
(Щ(Ух)[х£у = х $ хк~\ А] = А,
где формула А не содержит свободно переменные у их. Поскольку
всякая формула, имеющая вид (Яг/) (Vx) [х ^ у=х (£ х &~] Л],
является аксиомой свертывания, отсюда следует, что если
формула А совместима с ZF, то ее можно заменить аксиомой
свертывания, которая также совместима с ZF. Характерной особенностью
вводимых в соответствии с методом П. С. Новикова
дополнительных аксиом свертывания является отсутствие всякой связи между
входящими в них подформулами вида ~|4и остальными их
подформулами. В данной работе аксиомы фундирования и выбора
188

заменяются свободными от этого недостатка аксиомами
свертывания. Эти аксиомы свертывания удовлетворяют условию
связности, которое состоит в том, что в каждой из этих аксиом любые
две ее атомарные подформулы вида и £ у, где и и v —
переменные, можно соединить цепочкой подобных ей атомарных
подформул, причем любые два соседние члена цепочки имеют общую
переменную. Для компактной записи аксиом свертывания,
которыми заменяются аксиомы фундирования и выбора, удобно ввести
с помощью приводимых ниже определений ряд функций и
предикатов.
On(x)=detx — порядковое число в смысле фон Неймана. Если
"] On (ж), то ф(ж) = 0
ф@) = 0; ф (а + 1) = Р (ф (а)); Lim (к) D ф (X) = U ф (Р).
р<х
Н (х) = U <КР), если On (х) и Я (ж) = 0 в противном случае £ (х) =
— {F($) /j3<!#}> если On (а:) и L(#) = 0 в противном случае.
(Здесь 0 — символ пустого множества, Р (х) — символ множества
всех подмножеств х, а через F обозначена функция, введенная
в работе Гёделя [1]). Аксиому фундирования при переходе от
ZF к ZFK следует заменить аксиомой свертывания
(Yd) (Щ (Yx) [x£y = On (х) & а % Н (х% B)
а аксиому выбора — аксиомой свертывания
(Yd) (Щ (Yx) [x£y = On(x)&a$L (x)]. C)
Доказательство того, что аксиома фундирования эквивалентна
аксиоме B), может быть получено с помощью следующих
рассуждений. Пусть а — произвольное множество. Тогда в силу B)
существует такое у, что (Yx) [х£ у = Оп(х) & а (£#(#)]. Об этом
множестве у можно утверждать следующее. Так как у—-множество
порядковых чисел в смысле фон Неймана, оно вполне упорядочено
отношением принадлежности £ . Кроме того, если х £ у и z (< х,
то On (х) & а ^ Н (х) и On (x). Поэтсшу z— порядковое число в смысле
фон Неймана, т. е. On(z). Так как а§Н(х), то верно и то, что
a$H(z). Следовательно, z£y, т. е. у — транзитивно. Отсюда
вытекает, что у — порядковое число в смысле фон Неймана. Поэтому
189

у$у. Отсюда и из формулы у£у = Оп(у)&а§Н(у) следует, что
а£Н(у). Таким образом, у есть наименьшее порядковое число
в смысле фон Неймана такое, что а£Н(у), т. е. у есть ранг а.
[5]. Смысл формулы B) сводится, следовательно, к
утверждению о существовании ранга у каждого множества. В терминах
книги Коэна [5] это означает, что все множества фундированы.
Но для фундированных множеств аксиома фундирования верна.
Доказательство этого утверждения, равно как и доказательство
того, что из аксиомы фундирования следует, что все множества
фундированы, т. е. что ее следствием является аксиома B), имеется
в книге Коэна [5].
Доказательство того, что аксиома конструктивности (а следовав
тельно, и аксиома выбора, и обобщенная континуум-гипотеза)
является следствием аксиомы C), выглядит так. Пусть а —
произвольное множество. В силу C) существует множество г/, такое,
что (Vx) [х £ у=Оп (х) & а § L (х)]. Так же, как это было
сделано выше, доказывается, что у — порядковое число в смысле
фон Неймана и, следовательно, у (£ г/. Отсюда следует, что
а £ L (у). Из формулы C), таким образом, вытекает, что для
любого множества а существует порядковое число z/, такое, что
а £ L (у), т. е. что все множества конструктивны [1].
Предложенная Гёделём аксиома конструктивности является поэтому
следствием аксиомы C). Значит, таковыми являются аксиома выбора
и обобщенная континуум-гипотеза.
Используя все приведенные выше рассуждения, можно
доказать, что аксиомы B) и C) выполняются в V-модели Гёделя.
Можно поэтому считать доказанным, что из непротиворечивости
ZF следует непротиворечивость системы ZFK.
Исправление. В опубликованной в сборнике
«Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам»
(М., 1974), работе автора данной заметки «Генценовские системы
постулатов для теории множеств» пункт 3 определения либерально
стратифицируемой квазиформулы на стр. 111 следует заменить
на три пункта:
3) в каждом вхождении в данную квазиформулу выражений
вида х £ у, \ ху {х) £ Хуф (у) переменной у должен быть
приписан типовый индекс, на единицу больший, чем переменной х;
190

4) в каждом вхождении в данную квазиформулу выражений
вида х £ Xi/cp (у) переменной у должен быть приписан тот же ти-
повый индекс, что и переменной х;
5) в каждом вхождении в данную квазиформулу выражений
вида Хх<р (х) £ у переменной у должен быть приписан типовый
индекс на два больший, чем переменной х.
Первое предложение последнего абзаца на стр. 111 надо
заменить предложением: «Термами NFS являются все переменные и
все либерально стратифицируемые квазитермы вида \х<р(х)».
ЛИТЕРАТУРА
1. Гёдель К. Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум,
гипотезы с аксиомами теории множеств. — «Успехи математических
наук», 1948, т. 3, № 1, с. 96—149.
2. Skolem Т. Two remarks on set theory. — «Math. Scand.», 1957, vol. 5,
p. 40—46.
3. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971.
4. Новиков Л. С. О логических парадоксах. — «ДАН СССР», 1947, т. 56,
с. 451—453.
5. Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М.,

э. д. стоцкий
ТЕОРЕМА О КРАТНОМ ПЕРИОДЕ
ДЛЯ УСЛОВНЫХ ГРАММАТИК
В статье рассматриваются условные грамматики с рассеянным
контекстом, введенные в [5] в качестве обобщения условных
грамматик типа Е (см. [2]). Мы покажем, что для языков,
порождаемых грамматиками типа & + ££ и типа <§ + &&, верна теорема
0 кратном периоде1, доказанная в [3] для языков типа &. С
помощью этой теоремы будут получены новые характеристики
классов-языков £(<&2?) и £(&$), а также классов Z(EL) и 2(ЕЩ.
Все необходимые понятия и определения читатель может найти
в [1, 3, 4].
Для дальнейшего изложения понадобится следующая лемма,
доказанная в [4] в несколько более сильной формулировке.
Лемма. Язык, порождаемый грамматикой T.= (F, W, S> R)
типа S + <SX или типа & + SSL, бесконечен тогда и только тогда,
когда существуют такие терминал из уемые слова аир, что iS|=af=j3,
Z(a)<Z(P) и Pr(a)^Pr(p).
Здесь символ (= означает отношение выводимости, I (а) есть
длина слова а и Рг (а) означает слово, полученное из а
вычеркиванием всех вхождений терминальных букв. Отметим, что
доказательство леммы эффективно.
Теорема 1. Для всякой грамматики T = (F, W, S, R) типа
S + S3! или типа S + Soft, порождающей бесконечный язык L (Г),
можно указать такое натуральное число т и такие слова a0, Ct,
«i> Р2> • • •> Р»»> ат> что имеет место:
2. Все слова вида а$1а$\ ... $"тат, п = 1, 2, ... принадлежат
языку L(T).
1 Основные результаты данной статьи были объявлены без
доказательства в [4].
192

Доказательство. Будем считать, что грамматика Г имеет тип
S + &%• Для типа § + &<$> доказательство подобное.
Согласно лемме найдутся такие терминализуемые слова ф@) и
6Ш, что 5[=ф@)(=фС1), /(фA))>/(ф@)) и Рг(ф@))^г^Рг(фA)).
Зафиксируем некоторый вывод х слова фш из слова ф@): ф@)зг Yi»
Т2» •••' Tr-i» Тг^Ф'1'- Слово ф@) имеет вид V*i V*2 • • • ArV гДе
Tf.jjF и A.^W, причем некоторые А. могут совпадать. Представим
слово фA) в виде ^iTA • • • ^Л» гДе ^% 8 C^U^O и каждое слово 8#
выводится из соответствующего символа А. в силу вывода х.
Представим слово 8182 ... Ь8 в виде ^0А^хА2 ... А£8, где С, g (V(JW) и
Vi • • • ^^- Будем при этом считать, что С#. не содержит
вхождений буквы Ai+1, т. е. рассматривается самое левое вложение
слова АХА2 . .. А8 в слово 8^ .. . Ь8. Легко проверить, что для всех i
имеет место С^ g j^, ..., А{). Указанные вхождения букв Av . . ., А8,
принадлежащие левому вложению, естественным образом
индуцируют вхождения букв Av ..., As в слово фA). Индуцированные
вхождения мы будем впредь называть выделенными2.
Введем еще одно вспомогательное понятие. Сопоставим с
выводом х, переводящим слово ф@Iо:т0Л1т1 ... Agzg в слово фA)зз
ш v^ ... §s~s, где 8Х ... Ь8 m Co^liCx . .. А£8, следующий конечный
ориентированный граф G с вершинами {1, . .., s): если ^А^ ...
.. . ^i_1Ai есть начало слова Ьх .. . 8р, но в то же время не является
началом слова 81# . . Ьр_г, то соединим вершину i с вершиной р
ребром, ориентированным от i к р. Содержательно, это значит, что
выделенное вхождение А. в фA) порождено из вхождения Ар
в ф@). Легко убедиться, что граф G не имеет циклов с длиной,
превышающей 1, причем из каждой вершины исходит ровно одно
ребро (в частном случае — петля). Заметим, что в G имеется хотя бы
одна вершина с петлей. Назовем вершины графа 6?, имеющие петлю,
точками сжатия. Если из вершины i графа G в вершину / ведет
ориентированный путь, то будем говорить, что вершина i
сжимается в ). Длину h наибольшего пути, ведущего в точку сжатия,
назовем радиусом сжатия графа G. Неформально смысл точек
сжатия заключается в том, что они соответствуют тем
вхождениям А. в ф@), которые «воспроизводят себя» в силу вывода х.
2 Можно было бы прямо ввести левое вложение слова ф@) в слово фA), но для
нас в дальнейшем будет важно представление^13 с помощью 81э 52, . . ., Ь8.
193

Мы будем именовать эти вхождения также точками сжатия,
поскольку такое словоупотребление не приводит к неясностям.
Будем последовательно применять вывод х к слову фA) целое
число раз следующим образом. Назовем вхождение невыделенной
буквы А в слово фA) накрытым, если оно лежит левее такого
выделенного вхождения Ар что для некоторого выделенного
вхождения Av А. = А, вершина i графа G сжимается в /. Практически
это возможно, когда вхождение А лежит между вхождениями Ai
и Aj в фA). Каждое накрытое вхождение А связано таким образом
с выделенным вхождением A., Ai = At лежащим слева от него.
Среди связанных с А выделенных вхождений А. выбираем самое
левое и будем называть его левым, связанным с А, вхождением.
Применим теперь вывод х к выделенньш вхождениям Av .. ., Ag
в фA) и одновременно выполним преобразование каждого накрытого
рхождения А таким же способом, каким вывод х преобразует левое
связанное с А выхождение. Назовем такой способ вывода
расширенным выводом х. Полученное слово обозначаем 6B). В слове фB)
объявляем выделенные вхождения Av . . ., As тем же способом,
что и в слове ^A). Отметим, что выделенные вхождения Av . . ., А8
в фB) являются потомками (согласно расширенному выводу х)
некоторых выделенных вхождений Aix, . . ., Aiy в фA). Очевидно, что
фA)£г=£яфB), так как накрытые вхождения преобразуются
указанным способом.
В результате последовательного выполнения расширенного
вывода х получается бесконечная последовательность терминализуемых
слов фсо) {= фA) (= фС2) |= фC) (=..., где 1(^+1))У1(^{)) и в каждом
слове выделены вхождения Av . . ., А8. Очевидно также, что для
всех i имеем ф(*}^г/^ф(*+1).
Пусть граф G имеет к точек сжатия iv . . ., ik. Тогда среди
выделенных вхождений Av . . ., As в каждом слове фси можно
указать вхождения, отвечающие точкам сжатия графа G.
Обозначим эти вхождения А*х, . .., А*к и назовем их отмеченными,
причем звездочка в индексе ставится только для наглядности
рассуждений.
Будем применять расширенный вывод х к слову фA)
последовательно h раз, где h есть радиус сжатия графа G. В результате
получится слово ф(Л+1), в котором все выделенные вхождения
194

Av . . ., A8 происходят из выделенных отмеченных вхождений
А\, • • ., А*к в слове фA). Слово ф(Л+1) имеет вид ^^ .. . %£fc, где т)у
есть слово, происходящее из вхождения A*j в слово фA). Ясно,
что %o&V и все ^ состоят только из ненакрытых вхождений.
Рассмотрим представление t\j-^i}bjA*»j, где A*j отмеченное
выделенное вхождение в слово ф(Л+1). Применим снова h раз подряд
расширенный вывод х к слову ф(Л+1). Получим слово фBЛ+1), имеющее вид
УЧМ^М • • • £*-1^И*Л°А- С1)
Здесь а означает слово, полученное из слова о в силу
расширенного вывода х, повторенного h раз. Очевидно, что в под словах
вида р- и vf. слова фBА+1) не содержится^ни выделенных, ни
накрытых вхождений символов.
Из представления A) уже ясна периодическая структура.
Действительно, применяя к слову фA) расширенный вывод х
подряд th раз, t=l, 2, . . ., мы получаем слова
Терминализацию слов ^(/Afl) выполняем, используя конструкцию
леммы 1 из [4]. За основу терминализации можно взять любой
вывод 8: ф@)(=т, приводящий к слову т в алфавите V. Отсюда
ясно, что в качестве а0 можно взять результат терминализации
слова £0, в качестве (Зх взять результат терминализации р,1? в ка~
честве ах взять результат терминализации слова [^1Л*171, в
качестве Р2 — результат терминализации слова Vj и т. д. (поскольку
слова ?0 и р-х записаны в терминальном алфавите, то ссо = £о и р;,^^:^).
Роль искомого числа /7г выполняет число 2к. Отличие ^ .. . POT от
пустого слова вытекает из того, что согласно лемме I (fV^ivi • • •
... pkA*kvk) ^> I (Ах .. . А8). Теорема доказана.
Метод доказательства теоремы 1 дает возможность получить
новые данные об устройстве языков класса £ (&££) и класса £ (Sd%).
Теорема 2. Язык Lx = {anbncn | /г = 1, 2, ...} не принадлежит
классу £ (£££) и не принадлежит классу £ (<§е%).
Доказательство ведем от противного для грамматики типа §3}.
Пусть грамматика T = (F, W, S, К) типа §% порождает язык//г
Строим последовательность слов ф@) (= фA) (= ф(Л+1) (= ф^л+D ^ ^ ^
таким же образом, как это делается в доказательстве теоремы 1.
195

Граф Gy соответствующий грамматике Г, имеет не меньше двух
точек сжатия. Действительно, при наличии единственной точки
сжатия слова ф(г?Л+1) имеют вид £0 ($)* [хЛ% (v)* Sr Отсюда вытекает,
что все слова вида аДос^о^ принадлежат языку Ь± для некоторых
рх и р2, не пустых одновременно. Это невозможно в силу
устройства языка Lv
Итак, пусть граф G имеет к точек сжатия, к^2. Тогда
обязательно найдутся две такие точки сжатия А\ и А\, что слова
(Pi)' Pi^ivi (^i)' и (^У Р-2^272 (у-if удовлетворяют одновременно
условиям (а) [х^^Л и (б) [x2v2=^A. Отсюда следует, что $]у1=у£=А
и р,202=т^=Л также выполняются одновременно. Если таких А\ и А\ не
найдется, то приходим к уже рассмотренному случаю, когда имеется
по существу одна точка сжатия.
Рассмотрим подробнее случай двух точек сжатия,
удовлетворяющих (а) и (б). Пусть для определенности точки сжатия А\ и
А% являются самыми левыми в слове фA). В силу устройства
языка Lx терминализующий вывод 6 производит из р^ слово в
алфавите, состоящем ровно из одной буквы а, Ъ или с. То же самое
верно и для слов vv p-2, v2.
Ввиду того, что в выводе х используются лишь правила с
условиями типа SS£9 ту часть расширенного вывода, которая относится
к наименьшему началу слова фA\ содержащему jx1^4Jv1, можно
повторить любое число раз, кратное /г. Получаются терминализуемые
слова вида
U (h)tlh MIvi (h)tlh h (M'** М2Ч (%f k--- e*.
При этом в качестве tx и t2 можно взять любые натуральные числа,
удовлетворяющие условию tx ^> t2 ^ 1. Терминализацию
полученных слов проводим тем же способом, что и в доказательстве
теоремы 1. В результате будут выведены слова, содержащие не
одинаковое число вхождений букв а, бис. Противоречие завершает
доказательство.
Следствие 1. Имеют место строгие включения £ (S5S) С £ (S -\-
+ £%), £(£^)С£(£ + ЗД, 2(ЕЬ)а£(Е + ЕЬ)у Q(ER)a
(Z2(E + ER).
Доказательство очевидно ввиду того, что язык Lx принадлежит
даже классу £ (Я), [1].
196

Следствие 2. Классы £ (&$?), £(£,$>), £ (#L) и £ {ER) не
замкнуты относительно операции квазипересечения3.
Доказательство. Рассмотрим автоматные языки L2={anbmcq \my п,
д£{1, 2, ...}} и L3 = {(abc)n\n = l, 2, ...}. Легко видеть, что
Ьх — Ъ^1иъ, откуда и вытекает следствие.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ломковская М. В. О некоторых свойствах /с-условных грамматик.— НТИ,
сер. 2, 1972, № 1.
2. Ломковская М. В. Условные грамматики и промежуточные классы
языков. — «ДАН СССР», 1972, т. 207, № 4.
3. Стоцкий Э. Д. О некоторых свойствах условных грамматик с
рассеянным контекстом. В кн.: Исследования по формализованным языкам и
неклассическим логикам. М., 1974.
4. Стоцкий Э. Д. Об алгоритмических свойствах условных грамматик с
рассеянным контекстом. — «ДАН СССР», 1974, т. 216, № 5.
5. Стоцкий Э. Д. Условные грамматики с рассеянным контекстом. —
«ДАН СССР», 1972, т. 207, № 4.
3 Квазипересечение LXVL2 языков Lx и L% определяется как Lx f) £f» гДе ^1
есть язык, содержащий вместе с каждым словом a£L2 все перестановки
символов в слове а.

Д. А. БОЧВАР
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ЛОГИЧЕСКИХ МАТРИЦ
С КОНТИНУУМОМ ВАЛЕНТНОСТЕЙ
В математических методах металогики находят себе выражение
связи логики с другими областями математики. В этой статье
рассматриваются некоторые, до настоящего времени не
обсуждавшиеся, связи логики с анализом и формулируются некоторые
новые точки зрения.
Логические матрицы в смысле Тарского [1 ] можно
рассматривать как некоторый класс Ql-алгебр.1 С такой точки зрения
интерпретация элементов множества-носителя как истинностных
значений или, говоря общее, как некоторых валентностей
высказываний, не существенна.
Если, однако, рассматривать логическую матрицу как
описание некоторой логики, то положение меняется. Такое
рассмотрение логических матриц предполагает, что тавтологии логической
матрицы выражают в ее языке логические законы для некоторого
класса 6а (а f Z, Z — множество индексов) высказываний.
В данной статье рассматриваются логические матрицы с
континуумом валентностей. При этом мы ограничиваемся достаточно
общим для наших целей случаем, а именно матрицами с отрезком
[О, 1 ] в качестве множества валентностей высказываний.
Для характеристики намечаемого в данной статье подхода
к изучению логических матриц с континуумом валентностей
заметим, что существенное привлечение идеи континуума для
исследования этой области логики влечет естественным образом
применение понятий и методов анализа в качестве средств
исследования.
1 Для этого достаточно считать «выделенные» элементы множества-носителя
нуль-арными операторами.
198

I. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Логические матрицы и язык логики высказываний
Логической матрицей в смысле Тарского называется
упорядоченная четверка <ЗЯл = {Аа9 Ва; NJx), Ia(x, г/)}, где Аа и Ва —
некоторые множества, х, y£Aa\jBa, Aaf]B<x= 0, a£Z0 (Zo —
множество индексов), область определения Na (x) есть Аа \J Ва,
область определения /а (х, у)— (Aa\jBaJ, область значений Na(x)
и 1а (х9 у) — AJJ Ва. Элементы множества Ва называются
выделенными, элементы Аа — невыделенными.
В настоящей статье нас интересуют логические матрицы с
А.ЦВа = [0, 1], Ра=:{1}.
Следуя [1], * будем называть матрицу C)?а нормальной, если при
любых ху у^Аа\}В^ из х£Ва при у£Аа следует I (х, у)£Аа.
В приводимых ниже конкретных примерах все логические
матрицы нормальны. Класс логических матриц назовем классом ML.
Функции Na (x) и /а (х, у) образуют функциональный базис
матрицы 9ДД Функции базиса и их суперпозиции представляют
формулы языка логики высказываний в матрице 9??а.
Построение языка логики3 высказываний предполагается
известным.
Мы будем далее обозначать высказывательные переменные
прописными буквами латинского алфавита X, У, Z,. . . с
индексами или без них. В качестве исходных логических операторов
выберем оператор отрицания ~] и оператор импликации ->.
Понятие формулы языка логики высказываний определяется
индуктивно, как обычно.
В качестве сокращенных обозначений для формул логики
высказываний будем применять прописные буквы готического алфа-
2 Иногда мы будем расширять функциональный базис матрицы 9fta, вводя
дополнительно некоторые функции в качестве базисных. Класс всех
функций матрицы Жа есть замыкание множества всех функций базиса
относительно операции суперпозиции.
3 Имеется в виду классическая логика.
19

вита <5, ©, 9С с индексами или без них4. Валентность формулы ^
в матрице SO1?,* будем обозначать символом | ^ |а. В частности,
будем писать \Х\а = х.
Пусть 9D?a — логическая матрица. Положим
\-]X\a = Na(x),
Пусть
\^(X1,...,Xk)l = ?x(xv...,xk);
тогда положим
Ш(Хг, Х2 Х*I. = #.(?.(*!. «2.-••.**))•
Пусть далее
Ш*1 ^)la=^1)K.---.^).
Тогда положим
\<5г(Х19 . .., Xp)-><g2(Yv . .., ГД = /aA>№> • • •> ^
Ф?}(^--мУв)M.
Если | <5 (Хр . .., ХЛ) |а == сра (жг, . . ., жЛ), то будем называть сра ре-
презентантой формулы <J в логической матрице 9D?a. Если
репрезентанта формулы & в матрице 9Ка есть 1, то формула ^
называется тавтологией матрицы У$1а и будет ниже обозначаться Sa.
Множество тавтологий матрицы 90?а будем обозначать символом Та.
§ 2. Постановка задачи построения валентности
логической формулы относительно логической матрицы
Каждое индивидуальное высказывание из некоторого класса
(£а, т. е. высказывание из класса (£а, не содержащее высказыва-
4 Когда будет важно явно указать переменные, от которых зависит формула
логики высказываний, будем употреблять символы вида 5 (Хг, . . ., Хп)
и т. д.
Переменные Yj (соответственно yj) могут совпадать (все или некоторые)
с переменными Х{ (соответственно я,-).
200

тельных переменных, согласно нашему предположению, имеет
определенную валентность, представляемую действительным
числом из отрезка [0, 1], которое может быть найдено по правилам
данной матрицы 9J?a, если известны валентности элементарных
высказываний, входящих в состав данного индивидуального
высказывания.
Можно поставить вопрос, в каком смысле и с помощью каких
средств возможно связать с логической формулой, т. е. с
формулой, содержащей лишь высказывательные переменные и символы
логических операторов, действительное число из отрезка [0, 1],
зависящее только от формулы и от SQ^, которое естественно было бы
рассматривать как валентность данной логической формулы
относительно логической матрицы 9[)?а. Ответ на этот вопрос мог бы
доставить некоторый базис для построения варианта логики
правдоподобия. Ниже мы рассмотрим некоторые подходы к
решению этого вопроса.
Ближайшая задача состоит, таким образом, в том, чтобы
построить достаточно доступные и выразительные характеристики
логических формул относительно логических матриц.
§ 3. Внешняя степень правдоподобия логической формулы
относительно логической матрицы
Представляется довольно естественной следующая
конструкция, приводящая к следующему определению степени
правдоподобия логической формулы относительно логической
матрицы <ЗДа:
Пусть i^^) — мера (в смысле Лебега) множества6
{'I ?.(') = !}.
где t = (xv . . ., хк) — точка из области определения <ра и <ра =
= \(§(XV . . ., Хк)\. Так как мера множества всех точек области
6 Таким образом, определение степени правдоподобия, вводимое в этом
параграфе к множествам, неизмеримым, в смысле Лебега, неприменимо.
201

определения <ра7 равна 1, то кажется естественным определить
степень правдоподобия Рл(^) относительно 9D?a равенством
РЛЗ) = Ое^т)($)8- (Dey
Легко, однако, заметить уже на простых примерах, что такая
характеристика логической формулы относительно матрицы 90^
не отражает существенных различий между формулами.
Пусть, например, 90^ = ^. Рассмотрим две формулы,
зависящие от одной высказывательной переменной, а именно
^=х\/-\х и $2=хл~]х.
Их репрезентанты в L^s —
cpj = max (х, 1 — х), ср2 = min (х, 1 — х).
Легко видеть, что
Таким образом, характеристика логической формулы с помощью
степени правдоподобия P^ffi) не улавливает в этом случае
существенного различия между ^ и <52, которое находит себе ясное
выражение в графике репрезентант срх и <р2, представленном на
рис. 1.
Очевидно, характеристика логической формулы посредством
степени правдоподобия Ра(E) не отражает различий репрезентант
логических формул, более тонких, чем различия по величине
(*£)OtJi). Степень правдоподобия Ра(^) будем называть внешней
степенью правдоподобия логической формулы <5 относительно
матрицы 9Wa.
Рис. 1
7 Эта область определения ?а есть й-мерный единичный куб (Л=1, 2. . .)•
8 При выполнении некоторых условий для множества {t | cpa (t) = 1} Ра E)
может интерпретироваться как вероятность того, что 151 = 1 в 9Яа*
202

§ 4. Степень правдоподобия логической формулы
относительно логической матрицы 9)?а
Пример, рассмотренный в конце § 4, позволяет ожидать, что
валентность логической формулы <5 относительно матрицы ^ia
должна иметь характер некоторого среднего, выразимого через
репрезентанту <ра формулы <5 в матрице <$fla.
Итак, пусть сра = | <5 |а. Определим функционал
SA& «.)=(*«*'• (Def2)
DefD
Здесь ^ — тавтология матрицы 9D?a, D — га-мерный . единичный
куб, на котором определена репрезентанта <pa, dx — элемент тг-мер-
ного объема, .интегрирование выполняется по всему ^-мерному
кубу D. Присутствие буквы ^а в символе Sa(^, ^,a) станет
понятным далее. В случае сра, непрерывной на D, среднее значение
5ос(E, Фа) репрезентанты сра есть и значение <ра в некоторой
точке из D.
Возвращаясь к примеру в конце § 3 и вычисляя S (^ Sa)
для формул ^ = Х\/"]Х и <52 = Х/\~]Х относительно £«, найдем
результат, хорошо согласующийся с нашей интуицией:
Sa Ei, «г) = 3/4, Sa (%, «ь) = 1/4.
Выше мы определили валентность логической формулы &
относительно матрицы 9D?a как некоторое среднее. Привлекая
язык функционального анализа, можно полнее описать
формальные связи и возможное применение этого среднего. Предположим,
что репрезентанты логических формул в рассматриваемых
матрицах 9D?a — действительные функции, квадратично интегрируемые,
в смысле Лебега, и определенные каждая на единичном кубе, раз-
9 Имея в виду возможность очень общего рассмотрения, будем
интегрирование понимать в смысле Лебега.
Так как \ yadx= \ 1 • fadx, то функционал Sa есть интеграл неорто-
D D
тональности репрезентанты ^»а формулы $ с репрезентантой тавтологии
матрицы <3fta.
203

мерность которого равна числу высказывательных переменных
данной логической формулы 10. Тогда репрезентанты логических
формул представляют собой точки соответствующих
функциональных пространств L2 ([0, If) п.
Будем рассматривать общий случай зависимости логической
формулы <5 от п высказывательных переменных и тем самым —
зависимости репрезентанты сра также от п переменных. Исходя
из (Def2), можем написать
SJ% SJ= 5!•?„*.
Таким образом, Sa(^9 5J есть проекция репрезентанты сра
формулы <5 на репрезентанту тавтологии ^а и может
рассматриваться как степень совпадения <ра с 112.
Условимся говорить, что функционал 5а(E, SJ есть степень
правдоподобия логической формулы ^ относительно логической
матрицы 9Ла-
В заключение этого параграфа отметим два вопроса,
представляющих, по-видимому, интерес с точки зрения связей между
логическими матрицами. Так, представляется интересным
исследование классов тавтологий классической двузначной логики
высказываний с одним и тем же значением функционала Sa (<5, "SJ,
или со значением Sa(<^, SJ, не ниже некоторого заданного,
относительно логической матрицы 90^. Особенно интересны
случаи <3Ra = Lsm и C)?a = Gw«13. Интересен также и более общий
вопрос о классах формул классической двузначной логики
высказываний с одним и тем же значением S^ffi, 5J относительно
заданной логической матрицы CWa или со значением S^ffi, SJ не
ниже некоторого выбранного.
10 Наше предположение справедливо для всех рассматриваемых далее
конкретных логических матриц.
11 Константы 0 и 1 являются элементами L2 ([О, 1]W).
12 Теперь понятно, почему символ Sa E, оТ') содержит букву <^а.
18 См. II, § 2, п. 2.
204

§ 5. Обобщение понятия степени правдоподобия
логической формулы
Функционал Sa может быть введен более общим определением,
как интеграл неортогональности репрезентант ср^1) и <р№ двух
произвольных логических формул ^ и ^ в матрице CRui
BetJ
Sa (<5l, ^2) будем интерпретировать как условную степень
правдоподобия ^ по ^ (или <52 по ^i) относительно логической
матрицы 90?а. Так, например, степень правдоподобия формулы E1 =
= Х\/~\Х по E2 = ХД~]Х относительно матрицы L^s согласно
(Def^) есть
S($i, ^2) = 1/6-
Sa (^1э ^о) можно так же интерпретировать, как степень
совпадения <^1 и ^ относительно матрицы ЭДа.
В (Defg) понятие интеграла неортогональности двух элементов
L2 ([О, 1]п) используется еще недостаточно полно с точки зрения
задачи изучения логических матриц с континуумом валентностей.
Следующий обобщающий шаг представляет собой
распространение определения на случай, когда репрезентанты логических
формул <&!, <52 принадлежат, быть может, различным матрицам.
При этом будем считать, что и сами формулы ^^ <52 не обязательно
различны. Более интересен именно случай ^i^^ ПРИ СС=И=Р»
т. е. при | <5 |в = сра ^ <ЗЯа, | ^ |э = срэ ^ ^14. При этом, рассматривая
вполне определенные индивидуальные матрицы, мы вместо
индексов а, C будем писать индивидуальные обозначения этих матриц
в фигурной скобке между символом S и круглой скобкой с
обозначениями формул и условимся также, что в фигурной скобке
нижний символ относится к формуле, стоящей на первом месте в
круглой скобке, а верхний символ — к формуле, стоящей на втором.
11 В записи cpa g 9fta матрица рассматривается как множество функций,
определимых через базисные функции матрицы с помощью операции
суперпозиции.
205

Пример:
i
s{fl}(lX, -IX)=j(l—»)^J(te = 41n2-2,5s0,26.
2 0
В заключение этого параграфа следует сделать одно замечание
к нашему определению (Def2). Так как, вообще говоря,
репрезентанты <ра логических формул в матрицах <ЗЛЛ — функции
ненормированные, то степень правдоподобия Sa(^, <£a), равная
интегралу неортогональности \ 1 • ^айх, представляет собой произведе-
D
ние двух множителей — ||<ра|| и cos A, <ра):
j 1 • <padx = т/ J cp2rfx . cos A, cpj,
а потому может быть малой как вследствие малости ||<ра||, так и
вследствие малости cos(l, <раI5. Таким образом, степень
правдоподобия Sa{^, $J допускает некоторую детализацию. Такой
более детальной характеристикой логической формулы <5 в
матрице Жа может служить пара Eга(C:, Se), ||<pj).
Например, в случае
^1=xvix, %=х/\-\х, ^w = \xy-]x\, 9ю = \х/\-}х\
найдем (в матрице £^)
^(^lf ^г) = 0,75, ||?il)||^0,76,
£*(&, «г) = 0,25> |ср^||^О,29.
В этом примере значения |5fc(^, ^)—\\9ь] \\ \ (г == 1, 2)
невелики вследствие медленности изменения cos(l, cp£) вблизи
значения, равного 1.
16 Поскольку все репрезентанты логических формул в матрицах 9Ла
принимают лишь неотрицательные значения, строго ортогональной к 1 является
лишь константная репрезентанта 0 и репрезентанты, отличные от 0 лишь
на подмножестве [0, 1[п меры нуль (такой репрезентантой является,
например, 7V^) (#) в G^). Тем не менее cos (I, <pa) принимает малые значения9
если<ра приблизительно ортогональна к 1.
206

§ 6. Нормированные репрезентанты логических формул
Репрезентанты логических формул в матрицах ЗО^ — функции*
вообще говоря, ненормированные. Представляется естественным
вопрос, какой смысл может быть связан с нормированными к
единице репрезентантами логических формул в матрицах 9Dla.
Заметим, что нормировка репрезентант логических формул
к единице нарушает одно из условий, входящих в определение
логической матрицы, а именно условие принадлежности значений
репрезентант сегменту [0, 1]. Заменим это условие другим —
условием принадлежности нормированных репрезентант
полуинтервалу [0, оо ]. При этом мы получим, конечно, новый класс
функциональных систем, которые уже не являются логическими
матрицами, хотя и определяются последними 16. Условимся
обозначать нормированные к 1 функции из L2 ([0, 1]п) (п=1, 2,. . .)
символами ф, $ и т. д. Нормированные к 1 репрезентанты будут,
таким образом, обозначаться символами фа с цифровыми
индексами или без них. Соответственно, вместо 5а(^, ^а) будем писать
для нормированных репрезентант Sa(^, ^J17»
Полученный нормировкой репрезентант новый класс
функциональных систем обозначим символом AL, а сами функциональные
системы будем называть матрицами амплитуд и обозначать
символами <2la (« ^ 20).
Так как для каждой логической формулы $ в матрице 5Ia
D
то квадрат нормированной репрезентанты логической формулы
^(Xj, . . ., Хп) $\{xv . .., хп) можно интерпретировать как плот-
16 Заметим, что нормирование репрезентант логических формул к 1
сохраняет упорядочение (в терминологии книги Д. Л. Келли «Общая топология»,
стр. 31) множества репрезентант, определяемое, при заданных 9Ла и
М[0, 1 ]"), отношением ?<l) $-*i2) =DeA ^^ < Sa ($„«„)
17 Очевидно, что константная функция 1, определяемая на единичном кубе
[О, 1]п (и=1, 2,. . .) нормируема тривиально. Константная функция О
не нормируема.
Смешение с обозначением комплексной сопряженности, очевидно,
исключено.
207

ность вероятности точки (xv . ..,жя) ^-мерного куба,
представляющей набор (Xv. . -,Хп) валентностей высказывательных переменных
формулы <5(Х19 . . ., Хя). При такой интерпретации сама функция фа
получает смысл амплитуды вероятности 18.
Поскольку ф^ есть плотность вероятности, для нее может быть
вычислено значение функционала энтропии
Так как область определения ф^ D есть га-мерный единичный куб,
а максимум энтропии распределения вероятности, заданного на
тг-мерном единичном кубе, достигается для равномерного
распределения, то максимум #(ф*) реализуется при ф^=1, т. е. для
тавтологии 90?а, и равен 0. Для всех остальных фа Н (ф^) < 01Э.
Пусть теперь задано разложение единицы по полной ортонор-
мированной системе функций из L2([0> l]tl) {^.} и пусть некоторая
из $f., скажем ifL, есть нормированная репрезентанта логической
формулы <5 в матрице B0f?a (и тем самым принадлежит матрице 21J:
?1 = <Р«- Тогда
1=2сА = сЛ + са?2+... A)
г
при
2с?=1. B)
После умножения A) на фа и интегрирования по всей области D,
получим
5ф„*=С1 C)
или
18 Термин «матрица амплитуд» и связан с этой интерпретацией.
19 Следует заметить, что особая роль нулевого значения энтропии
обусловлена здесь выбором в области определения плотности вероятности и что
при бесконечной области определения нулевое значение энтропии не играет
этой особой роли. Более удобной «мерой неопределенности» является
всегда неотрицательная величида ен, [пробегающая гсегмент [0, 1] при
изменении Н от — со до 0.
208

Равенство B) позволяет высказать предположение, что
функционал
может быть интерпретируем как некоторая вероятрюсть, зависящая
от матрицы 93?а и класса ©а20.
Как отмечено выше, при некоторых условиях внешнюю
степень правдоподобия можно интерпретировать как вероятность
того, что |<5|=1. Валентности, отличные от 1, не вносят в нее
никакого вклада; они вносят вклад только в вероятность того, что
|<51=^1, т. е. в вероятность того, что формула <5 не верна. В силу
аналогии с внешним утверждением |— <521 Ра(^) и названа внешней
степенью правдоподобия.
Значение вероятности (S~2 <5, <р2), наоборот, включает и вклад
от всех валентностей, не равных 0, и в этом — аналогия с
внутренними логическими функциями.
II. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ МАТРИЦ
§ 1. Некоторые предварительные замечания
Логическая матрица £ч$ Лукасевича линейна в том смысле,
что репрезентанты логических формул в ней линейные функции.
Кроме того, это непрерывные функции [2].
Логическая матрица Гёделя ®ss также линейна. Однако
репрезентанта логической формулы ~] X в ©^ разрывна в точке 0 [3].
Ниже приведены некоторые последовательности нелинейных
логических матриц, зависящих от натурального параметра п, в
определенном смысле сходящиеся к L^ или к ©^ при п-+ со.
Формулированы также некоторые логические матрицы,
представляющие интерес в связи с известными, ранее описанными,
логическими исчислениями или алгебраическими системами.
20 В формально аналогичной ситуации в квантовой механике квадрат моду-
f - I2
ля интеграла неортогональности Состояний ф и х \ хФ^х интерпретиру-
ется как вероятность состояния х в состояния ф (здесь % — комплексно
сопряжено с х)«
21 См., например, Математический сборник, 1943, т. 12 E4), № 3, стр. 354.
209

Хотя большинство приводимых ниже логических матриц имеет
бедный запас интересных тавтологий, степени правдоподобия
(в определенном в § 5 смысле) для многих формул, доказуемых
в классической логике высказываний, имеют в ряде этих матриц
значения, близкие к 1, так что эти матрицы представляют, в
частности, интерес с точки зрения исследования рассуждений,
основанных на эмпирических данных 22.
§ 2. Гиперболические логики
Мы будем называть гиперболическими логиками логические
матрицы 90?а, для которых уравнения
y = NJx), z = Ia(x, у)
представляют собой уравнения гипербол или поверхностей
гиперболического типа 23 соответственно.
1. Логические матрицы Нп.
Определение:
22 Для конкретных типов логических матриц и для ряда индивидуальных
матриц мы вместо специализации общего символа ЭДа будем, по
возможности, выбирать обозначения, связанные с какими-либо индивидуальными
или типовыми особенностями. То же самое будем делать и для репрезентант
логических формул в аналогичных случаях.
23 При этом будем считать, что на некотором подмножестве [0, 1] 2 меры < 1
поверхность может вырождаться в плоскость.
\ х
24 Уравнение у — п» уу— есть уравнение равносторонней гиперболы, прохо-
1 — (х — у)
дящеи через точки @, 1), A, 0). Полагая в уравнении z = п • п . ,. _ , т\ =
= х — у, получим уравнение равносторонней гиперболы, расположенной
в плоскости, параллельной плоскости г/ == 1 — а:.
210

Очевидно, что при п -* оо
1) №якЦх)-+1— х,
2) Iih)(xy y)->min{l, l—x + y),
причем стремление к предельной функции (на [0, 1] или [О, I]2
соответственно) равномерное. Обозначая функции базиса бесконечно-
значной логики Лукасевича соответственно через NW (x) и I^L)(x,y),
можем сказать, что последовательности {N^ (x)} и {/£*) (х, у)}
сходятся сильно к NW (х) и IW (ху у) соответственно.
Условимся записывать это в виде
HW=>£K (n->co)
в
и говорить, что {HJ сильно сходится по базису к L^ при п -> оо
Некоторые наиболее важные и простые тавтологии матриц Ня:
2. Матрицы
Определение.
Очевидно, при п -> оо
211

где
Как и в случае матриц Hw, докажем, что
Gw=>G(r), (ц-*оо),
в
где
О(Г) = {[0, 1), {1}; ДОГ)(*), /(Г) (Ж, у)}.
Иными словами, логическая матрица G<r) есть бесконечнозначная
матрица Гёделя [3] без функций тах(х, у) и min(;z,
г/)—репрезентант логических формул X V Y и X Д F соответственно.
Пополнение базиса матриц GM функциями max (я, у) и min(#, у)
приводит к последовательности логических матриц
та
для которой справедливо предложение
G*=>G(«) (в-* со),
В
где G(^) — бесконечнозначная логическая матрица Гёделя с
континуумом валентностей.
Как и матрица Ня, матрицы Gn бедны интересными
тавтологиями.
Тавтологии матриц Ня, приведенные выше, являются
тавтологиями и в Gv Формула X -> X — тавтология во всех Gn.
Определение A(р) функций /(g) (x, у) в матрицах Gn делает возможным
определение функции
такой, что
Если язык логики, описанный выше в 1, § 2, пополнить
оператором утверждения |—, то функция Й\р (х) будет репрезентантой
логической формулы
212

обозначающей, истинно, что X ложно (внешнее отрицание X), ко*
торую, для краткости условимся писать
=\х.
В матрицах Ня соответствующая функция $W (х) тождественна
N^ (х). Что это различие обусловлено именно различием в
определениях /<Л) (х, у) и 1^ (х, у) ясно из сравнения Нх с Gv так
как при п = 1 функции N^ (x, у) и N^ (x, у) тождественны.
Функция N(®) (x) существенно обогащает запас тавтологий
в матрицах Gw.
Так, формулы
(Х-=|Х)-*=1Х
— тавтологии матриц Gn. Формула
не является тавтологией в G*25. Однако формула
— тавтология Gn.
§ 3. Некоторые индивидуальные логические матрицы
1. Параболическая логика
Определение
.Pg^tfO, 1), {1}; №»(х); Г'>(х, у)},
где
№}(х) = 1 — х* (№>)
Г»(х, j/) = min{l, 1-х2 + у} (/">>
Очевидно
25 G* — матрица Gn, пополненная функциями max (#, у) и min (x, у) в
качестве репрезентант формул X \J Y ж X /\ X соответственно.
213

Некоторые тавтологии:
Х-*Х,
X^(Y-^X),
По следов ате л ьность
{QK} (« = 0, 1, 2, ...)
логических матриц
Q«={[0, 1), {1}; Щ*Цх), ip(x, у)} (Q(«>)
где
/<«)(*, y)=minfl, l~* +yl,
при гг->оо сильно сходится по базису к матрице £^. Однако
в этой последовательности только начальный элемент Ро (т. е.
параболическую матрицу Р) естественно называть параболическим.
Матрицы Qn нормальны, так как случай
1^ (х, у) = 1 при х = 1 и у =т^= 1
исключен, как легко доказать из (Q^?)).
Однако случай
4q) (х> у) = 1 при ^2 < у и ^ > у
яе исключен.
2. Логическая матрица М°.
Определение
214

Нетрудно доказать, что
Логическая матрица М°, пополненная функциями max (х, у) и
гшп(#, г/), выбираемыми в качестве репрезентант логических
формул X \/ Y, X /\Y соответственно, т. е. матрица М°* представляет
собой модель (неточную), исчисления высказываний £°,
формулированного и исследуемого в [4].
3. Логическая матрица R.
В [5] описана функциональная система с базисом
представляющая собой замыкание множества Ro
относительно операции суперпозиции. Эта функциональная система —
квазилогическая в смысле [6]. Пополняя базис логической матрицы
М° функцией D
и \х> У)шт+Ту*
мы приходим к логической матрице
R = {[0, 1), {1}; N^(x)9 Гг>(х, у), D™ (х, у)}.
где
1<'>(х, у) = 1{т*(х9 у),
Определим
Klr)(x, y) = Nir)[Dir)(N<n(x)9 N(r}(y))].
Легко проверить, что
Ю'Цх, у) = х.у.
215

Если язык логики пополнить операторами V и А (операторы
квазидизъюнкции и квазиконъюнкции), то функции D{r) (x, у) и
К{г) (#» У) будут репрезентантами формул (расширенного языка
логики) X sjY и ХД Y соответственно.
Очевидно, матрицу R можно рассматривать и как упомянутую
выше функциональную систему, пополненную функцией /(г) (#, у).
Тогда как исходная функциональная система с базисом Ro не
содержит константных функций и в том числе 1 и 0, матрица R
содержит 1 и 0. Примерами тавтологий матрицы R являются
логические формулы (в смысле расширенного языка логики):
X-+(Y-+X);
(X->Y)->[(F^ Z)->(*-> Z)];
(X-»(Y-+Z))-+(Y-+(X-+Z));
(X->Y)->(-\Y^-]X);
T1X->X;
ХД7->Х, X&Y-+Y;
X-+XVY, Y-+XVY.
Таким образОхМ, построение матрицы R является ответом на
вопрос 2 из [5].
Пополнение матрицы R функциями max (x, у) и min(#, у),
выбираемыми в качестве репрезентант логических формул X \/ Y и
X Д 7, соответственно приводит к логической матрице R*, причем
к множеству тавтологий матрицы R присоединяются новые
формулы и в том числе формулы
I->IV^ Y-+X\/Y;
X/\Y->X, X/\Y-+Y;
(X-+Y)-+[(X-+Z)-*(X-»Y AW
(X^Z)->[(Y-*Z)->{X\/Y^Z)l
и, таким образом, матрица R* включает неточную модель L° из [4].
Формулы де Моргана для операторов ~], А, V являются
тавтологиями R.
В R* тавтологиями являются также формулы де Моргана для
-операторов ~~|, Д, \/.
216

§ 4. Геометрическое представление функций JVa (x)
Приводимая в этом параграфе диаграмма N (рис. 2), включает
графики ряда простейших функций Na (x) — репрезентант
логической формулы ~]Х. Кроме обсуждаемых выше функций Na(x)
Рис. 2. Диаграмма N
в эту диаграмму включена репрезентанта простейшего,
«эллиптического отрицания» N{e) (х) = -{-\/1—я226. На оси X рис. 2, для
трех функций Na(x), указано значение х> при котором Na(x) =
= х27. Среди приведенных в диаграмме функций четыре являются
инволюциями, а именно N(L) (х) = 1 — х, N[G) (x) = N[h) (x) =^т^
и N(c)(x) = + \Jl—x2'
Пунктиром намечены общие относительные расположения
функций №я>Цх) (/1>1), NW(x) (л>2).
§ 5. Нижняя граница степеней правдоподобия тавтологий
классической двузначной логики высказываний
относительно матрицы Лукасевича L^
Очевидно, что логическая формула <5, являющаяся тавтологией
классической двузначной логики высказываний, не может иметь
26 Функцию 7(с) (х) репрезентанту импликации в логической матрице С
представлялось бы естественным определить как
iw (x% sO = min{l, 1—л:2+^2}.
Аксиомы исчисления £>., не содержащие вхождений логических
операторов, отмеченных от оператора импликации, являются тавтологиями
логической матрицы С.
27 Значения #, за исключением случая N^ (x), даны приближенно.
217

значение SL (&, ^^)> равное нулю. Однако можно построить
последовательность тавтологий классической двузначной логики
ffiki) (* = !> 2, ...), для которой последовательность
сходится к нулю28.
Введем в описанном выше логическом языке сокращения:
Тогда, например, в последовательности тавтологий классической
двузначной логики
XVI х, (*V"W. •••' (*V W, •••
соответствующие степени правдоподобия относительно матрицы L^f
стремятся к нулю.
Вообще, если <5— тавтология классической двузначной логики,
не являющаяся тавтологией в £ч*, то в последовательности
степени правдоподобия формул <5* относительно £^ стремятся
к нулю.
§ 6. Некоторые соотношения
для внутренних степеней правдоподобия
логических формул в матрице t^
1) Из определений репрезентант <рг и <рп логических формул
в матррще £чя следует
28 Приводимые ниже пример и общее утверждение формулированы В. Н.
Гришиным при обсуждении данной статьи.
29 Эта формула имеет силу для всех ЭДа, в которых по определению
I*V Л = тах(|Х|, |У|) и | X Д Y | = min (| X |, |У|).
218

2) Из определения репрезентанты <р логической формулы
в матрице Ls* следует
и
Отсюда следует, что при I | Si-> ^ I ^х и ] I ^i I ^т> близких к 1Г
ь
\ I ^21 ^т также близок к 1. При \ | Si -^ ^21 ^т = 1
219

В неравенствах (а)—(8), очевидно, находит себе частное выражение
разумность данного выше определения внутренней степени
правдоподобия логической формулы ф относительно матрицы 90^.
ЛИТЕРАТУРА
1. Tarski A., Lukasiewicz /. Investigations into the sentential calculus. — In:
Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford, 1956, p. 38.
2. Мак-Нотон P. Кибернетический сборник, З. М., 1961, с. 59.
3. Rescher N. Many-valued logic, 1969, p. 342.
4. Гришин В. Н. Об одной нестандартной логике и ее применении к теории
множеств. В кн.: Исследования по формализованным языкам и
неклассическим логикам. М., 1974.
5. Бочвар Д. А., Финн В. Я. О квазилогических функциях. —Там же,
с. 200.

Р. Ш. ГРИГОЛИЯ
РЕШЕТКА ВСЕХ
ФИНИТНО-АППРОКСИМИРУЕМЫХ РАСШИРЕНИЙ
СЧЕТНОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ ЛУКАСЕВИЧА
В настоящей работе: (а) исследуется решетка ЭД всех
расширений счетнозначной логики Лукасевича £ц« [7], (б) дается теорема
представления решетки всех финитно-аппроксимируемых расширений
логики L^ . Подобно тому как двухзначной классической логике
соответствует класс булевых алгебр, логике L^ соответствует
класс MF-алгебр Чэна [3]. Этот класс является многообразием.
Обозначим многообразие М^алгебр посредством оМ- Тогда задача
данного исследования, на языке многообразий, формулируется
следующим образом: (а') исследовать решетку 93? всех
подмногообразий многообразия оМ\ (б') дать теорему представления решетки 90?°
подмногообразий многообразия оМ, которые порождаются
конечными МУ-алгебрами.
§ 1. Решетка всех подмногообразий многообразия
Ж Г-алгебр
Лемма 1. Многообразие оМ порождается алгеброй
{«*.• +' •- -. °- м,
где 2ss —множество всех дробей вида fe/Z, O^/b^Z; x-\-y =
= min(l, # + г/), х> у — max @, х-\-у — 1), % = 1—х.
Доказательство. Счетнозначная логическая система L^ имеет
полную систему аксиом [9]:
A) аЭ(Р=>«)
B) («DP)D((PDT)D(«DT))
C) (а Z) p) Z) (Р => а)
D) ((aDP)DP)D((PDa)D«)
221

Эти аксиомы преобразуем в следующие равенства:
A0 О(Р«) = 1;
B0 (х Z) у) 3 ((у D2)D(O z)) = 1;
C0 («D»)D(yDflJ) = l;
D0 ((O»)Dif)D((ifDi)Da;) = l.
В алгебре £^я
sl)y = £ + y = min(l, I—# + y).
Учитывая это (а также условие: [х\~ = х), A;)—D;)
преобразуем в следующие равенства:
A") x + (y + x) = U
B") [х + уТ + (\у + Z]" + {х + г)) = 1;
C") [ж+ ?Г + (^+ *) = !;
D") [»Vy]" + (»V*) = i.
где х V г/ = [х + г/Г + J/ = тах («. ?/)• Но из A")—D") выводимы
аксиомы 71/У-алгебр и, наоборот, из аксиом МУ-алгебр выводимы
A")-D") [3].
В алгебре £^ имеют место следующие равенства:
E) ож = 1;
F) 1d^ = ^;
G) (а:1ЭуK» = (уЭяг)Эж.
Поэтому согласно [6], £^ как алгебраическая система имеет
полную систему аксиом, состоящую из A;)—D') и E)—G).
Поскольку в £ч« имеют место равенства
min(l, I— x + y) = xz>y = % + y;
max (х, у) = х V У = [я + У]~ + У,
то E)—G) преобразуем в эквивалентные равенства:
E') x + z = U
F0 1 + х = х;
G!) х\/у = у\/х.
222

Согласно [3] из A")—D") выводимы равенства EГ)—G;).
Поэтому система аксиом A")— D") является полной для алгебры £^г
т. е. все равенства, верные в £^ , выводимы из A")—D").
Следовательно мы имеем
e^ = #SP£Ko.
Согласно [4] произвольная MF-алгебра является дистрибутивной
решеткой относительно V и Д, где х Д у — (х + у) • г/. Отсюда^
согласно Пиксли [8] и Ионсону [5], следует
Лемма 2. Решетка <~$1 образует дистрибутивную решетку. Кроме
того, эта решетка удовлетворяет бесконечному дистрибутивному
закону
где оЖ1, oMjii^J) — подмногообразия многообразия оМ.
Из этой леммы получаем
Утверждение 1. Решетка ЭД образует полную брауэрову алгебру.
Каждому подмногообразию оМ1 многообразия оМ соответствует
определенная логика L, а именно, множество всех тех формул,
которые общезначимы во всех алгебрах из оМ1 • Согласно [2] pi
учитывая тот факт, что в произвольной A/F-алгебре А из равенства
<р=г:ф выводимы равенства ф + ф = 1, ty-\-y = \ и наоборот,
получаем, что 9D? антиизоморфна <21. Отсюда получаем
Следствие, Решетка 21 образует полную псевдобулеву алгебру.
21 содержит ?г-значные логические системы
Лукасевича—Тарского Ln [7]. Все логические системы L £ *21 аксиоматизируемы
конечным числом аксиом [11]. Посредством L -|- а будем обозначать
логическую систему, получающуюся из L добавлением формулы а
в качестве дополнительной аксиомы. Если п — 1—простое число,
то существуют точно две системы FL и £2, которые содержат Ln
собственно (где Fl — множество всех формул); другими словами
для любой формулы (x£FL—Ln имеет место» либо Ln -f- a = FL,
либо Ln + a = L2 [10].
Рассмотрим множество В всех элементов L £ 21 со свойством:
L^\J L^L3. Множество В бесконечно, так как В содержит
множество [Li)i^T1 где Т—множество целых положительных чисел j,
таких, что i — 1 не кратно 3 [7]. Поэтому /\B~Ls* [7]. Но
223

L4 V Lss = ^4 и ^з не сравнимо с L4 [7J. Следовательно, не
существует наименьшего элемента ^0G^I со свойством L^\/ LQ^L^
Отсюда получаем, что <21 не является брауэровой алгеброй и>
соответственно, 9Л не является псевдобулевой алгеброй.
§ 2. Решетка подмногообразий многообразия оМч
порожденных конечными МF-алгебрами
Пусть Z—множество всех неотрицательных целых чисел. Для
a, b^Z соотношение «а делит Ъь мы будем записывать в виде а\Ъ
(при этом предполагается, что а=^=0). Отношение делимости
является отношением порядка на Z. Обозначим посредством 9Z
множество всех конечных последовательностей {а1У . . ., ал}, где аъ ...
,.., an(<Z, таких, что для любых а{ и ау {i=^=j) а. не делит aJ9
На 9i введем отношение ^. Для произвольных а, Ъ^УХ а^Ъ
тогда и только тогда, когда каждый элемент из а делит некоторый
элемент из Ь. Легко доказать, что ^ является отношением
порядка на 9?. Элементы из 9? называются кронами (ср.: Биркгоф [1]).
Пусть {mv ..., тп) —произвольная конечная последовательность
элементов из Z. Если т, \ mi (I =^= /), то в этой последовательности
вычеркнем т -. В конце концов получим крону. Такую операцию
над конечной последовательностью элементов из Z обозначим
посредством *.
В упорядоченном множестве 9^ определим точную верхнюю
грань (V) и точную нижнюю грань (Д). Пусть a={av . . ., ат}
и Ь={Ь19 . .., Ьп) произвольные элементы из 9Z. По определению
положим
ayb={ai9...9 ат, Ъ^ .. ., Ья}*={С1> .. ., ск} = с.
Покажем, что таким образом определенная операция является точной
верхней гранью элементов а и Ь, Ясно, что а^с и Ь^с. Из
определения операции * видно, что с4 из с есть либо аи для
некоторого и£ {],..., т), либо bt для некоторого ££{1, . . ., тг}. Пусть
d— {dv . . ., de) £9}, такой, что a^d и b^d. Тогда для аи и bt
существуют такие dv, dw £ d> что аи \dv и bt\ dw. Поэтому имеет
место либо с. | dv, либо с. \ dw. Отсюда получаем, что с ^ d.
Теперь определим точную нижнюю грань элементов а и 6.
Рассмотрим крону
224

{и. о. д. (av Ьг), н. о. д. (а19 &2), . .., н. о. д. (ат, Ьп)}* =
= {clf ..., ск) = с
и покажем, что с = а/\ Ь(н. о. д. — наибольший общий делитель).
Ясно, что с ^а и с ^ Ь. Пусть d = {d2, ..., de) £ 9?, такой, что
d^a и d^b. Тогда для произвольного djQd существуют аы£а
и &ф £ &» такие, что dj | dw и dj \ bv. Из определения с получаем,
что существует cwgc, такой, что н. о. д. (ля, ^)lcw
Следовательно ^у | С^.
Лемма 3. Пусть Л — произвольная конечная MF-алгебра и
F — собственный фильтр алгебры А. Тогда следующие условия
равносильны:
(I) F является максимальным фильтром,
(II) F является простым фильтром.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.4 [4].
Лемма 4. Пусть А — произвольная конечная МF-алгебра.
(I) Пусть F — максимальный фильтр алгебры А и п—1 —
наименьшее натуральное число со свойством
для произвольного Ь£А. Тогда A/F изоморфна {2т, +, •, —,0,1}
для некоторого т^п, где £w={0, llm—1,. . ., т—21т—1, 1},
x+y=min (I, z+y), х.у=тах@, х+у—1), х=1—х.
(II) Конгруэнции на алгебре А перестановочны.
(III) Решетка фильтров алгебры А изоморфна решетке
конгруэнции на алгебре А.
(IV) Решетка фильтров алгебры А образует дистрибутивную
решетку.
Доказательства (II), (III) и (IV) аналогичны доказательствам
теорем 2.17, 2.12, 2.11 [4].
Доказательство (I). В силу леммы 3 AIF является цепью.
Пусть а есть коатом алгебры A/F. Тогда существует наименьшее
целое положительное число т—1, такое, что am~1—0IF. Поэтому
A/F изоморфна 2т (Теорема 2.17 [4]).
Лемма 5. Произвольная конечная MF-алгебра А изоморфна
прямому произведению алгебр 2^,
225

Доказательство. В А существует конечное число
максимальных фильтров Ft, . . ., Fk. Согласно Биркгофу [1] и лемме 4нам
достаточно показать выполнимость следующих соотношений:
ЛЛ-.-Л^ = {1}.
(F1f\.../\Ft^)\jFt = A (i = 2,...,k).
Выполнимость второго соотношения очевидна (в силу Леммы 4)
Покажем, что пересечение всех максимальных фильтров есть
единичный фильтр {1}. Для этого достаточно показать, что для
любого элемента я^Ли а^=1 существует максимальный фильтр,
не содержащий а. Пусть п—1 — наименьшее натуральное число
со свойством Ьн=Ьп~1 для произвольного элемента Ъ £ А. Рассмотрим
множество F всех таких элементов с, что с^ [ап~г]~. Ясно, что
F является собственным фильтром. Причем a§F, так как
(а • [а"-1]')"-1 = а"-1. [йГ1]" = 0.
Наконец расширяем F до максимального фильтра FQ. Согласно
Лемме 4 A/FQ изоморфна £т, где т^п. Отсюда получаем, что А
изоморфна прямому произведению алгебр £ст.
Утверждение 2. Решетка 90?° изоморфна решетке 9}.
Доказательство. Построим изогморфизм h между 9^ и ЭД0.
Произвольной (отличной от {о}) кроне {mL, ..., тп} поставим в
соответствие многообразие
Я5Р{£Ж1+1,..., £Ww+x}, т. е.
h({mv ..., mn)) = HSP {£Wl+1, ..., £mj|fl}.
А кроне {0} поставим в соответствие многообразие HSPZ^^—qM).
Согласно Лемме 5 произвольная конечная МF-алгебра предста-
вима в виде конечного произведения алгебр £т. Всякое
собственное подмногообразие <М] {^Jli) из 90^° порождается конечным
числом конечных MF-алгебр. Пусть £mi, ..., Qmni — алгебры,
которые участвуют в разложениях этих МУ-алгебр. Тогда
многообразие оМ1 порождается семействОхМ алгебр £mi, ..., 2тп, т. е.
ЯЯР{£Ж|>..., £Шя}=с^/.
Заметим, что £mt, . .., £% являются далее неразложимыми
алгебрами. Многообразию HSP {£да1, ..., 2тп} {=Ш') соответствует
крона [mt — 1...., тп — 1}*. Легко видеть, что разным кронам
226

соответствуют разные элементы из ЭД° и, наоборот, разным
элементам из <^Я° соответствуют разные кроны. Следовательно, h
является взаимнооднозначным соответствием 91 на 9И°.
Пусть а= {av . . ., ат}, Ь= {61, . ,.,Ьп) —произвольные элементы
из <zft. Легко показать, что
h(a\/b) = h(a)\/h(b).
Действительно
h(a\/b) = HSP{2Cl+1,...,2ck+i},
где {cv ..., ck} = a\/b.
h(a) = HSP{2ai+l9...9 2am+i},
А(Ь) = Я5Р{£М1|...12^]}>
h(a)\/h(b) = HSP{2ai+ly..., £^и, £,1И, ..., 2Ья+1}.
По
Отметим, что для произвольных элементов е^7, с/Ж" из* 9К° и
а, Ь£$1 имеем:
если а <; Ъ, то /г (а) С h (b);
если ^С#, то Л(<^/)<А(<^//)-
Пусть а, 6=т^= {0}. Рассмотрим ыножество -В, таких элементов
г; £9?, что
и ^а и у ^ &.
Z?—конечное множество. Поэтому
а^Ъ=\/ v.
Отсюда получаем, что
h(a/\b) = h(a)/\h(b).
Из этого утверждения получаем
Следствие. Решетка *21 антиизоморфна решетке 9^.
227

ЛИТЕРАТУРА
1. Birkhoff G. Lattice theory. N. Y., 1961.
2. Birkhoff G. On the strukture of abstract algebras. — «Proc. Cambr. Phii.
Soc», 1935, vol. 31, pp. 433—454.
3. Chang С. С. Algebraic analysis of many-valued logics. — «Trans. Amer.
Math. Soc», 1958, vol. 88, p. 467—490.
4. Григолия P. Ш. Алгебраический анализ /г-значных логических систем
Лукасевича—Тарского. — «Труды Тбилисского университета». 1973,
т. А6—7 A49—150), с. 121—132.
5. Jonsson В. Algebras whose congruence lattices are distributive. — «Math.
Scandinav.», 1925, vol. 21, p. 110—121.
6. Линдой P. К. Тождества в двузначных исчислениях. —
«Кибернетический сборник», 1960, т. I, с. 234—245.
7. Lukasievicz /. and Tarski A. Untersuchungen uber den aussagenkalkul. —
«G. R. de Seances de la Soc. de Sci. et de Lettres de Varsvie», cl. Ill, 1930,
vol. 23, p. 30—50.
8. Pixly A. F. Distributivity and permutability of congruence relations in
the equatjonal classes of algebras. — «Pros. Amer. Math. Soc», 1963,
vol. 14, p. 105—109.
9. Rose A. and Rosser J. B. Fragments of many-valued statment calculi. —
«Trans. Amer. Soc. Math. Soc», 1958, vol. 87, p. 1—53.
10. Wajsberg M. Axiomatization of three—valued sentential calculus.—«C. R.
de Seances de la Soc. de Sci. et de Letteres de Varsovie», cl. Ill, 1931,
Bd 24, p. 126—148.
11. Wajsberg M. Beitrage zum metaaussagenkalkul 1. — «Monatshefte fur
Mathematik und Physik», 1935, vol. 42, S. 221—242.

Н. М. ЕРМОЛАЕВА, А. А. МУЧНИК
МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ,
ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ЭНДОМОРФИЗМАМИ
ДИСТРИБУТИВНЫХ РЕШЕТОК
Многие неклассические пропозициональные логики и
соответствующие им алгебры могут быть единообразно введены и
исследованы с помощью эндоморфизмов в дистрибутивных решетках.
В большинстве пропозициональных логик присутствуют
логические связки «и» &1 и «или» — V» которые удовлетворяют
таким аксиомам, что классы эквивалентных формул образуют
дистрибутивную решетку относительно & и V (т. е. алгебру
Линденбаума) [1].
Соответствующие этим логикам алгебраические модели
являются дистрибутивными решетками, пополненными операциями
эндоморфизмов (и антиэндоморфизмов).
Так, например, булевы алгебры, соответствующие
классическому исчислению высказываний, являются расширениями
дистрибутивных решеток с 0 и 1 посредством операции дополнения,
являющегося примером антиавтоморфизма решеток.
Алгебры де Моргана [2, 3] получаются как расширения
дистрибутивных решеток произвольными антиавтоморфизмами.
Модальные операторы D и О, а также временные операторы
в ряде модальных (временных) логик и соответствующих алгебр
выражаются с помощью эндоморфизмов в дистрибутивных
решетках.
Эти эндоморфизмы имеют простой наглядный смысл в модели
Крипке.
Одну алгебру, являющуюся расширением булевой алгебры
эндоморфизмом (инволюцией), связанную с модальной логикой VII
Собочинского, мы рассмотрели в [2].
Связка «и» обозначается также через Л«
229

§ и
Пусть L = <(A, V» Л> — дистрибутивная решетка (d — решетка),
где А— носитель. Известно, что L может быть (изоморфно)
вложена в булеву алгебру В = (А', \/, Д, "|>, причем это
справедливо и для дистрибутивных решеток с 1 и О L = <^4, О, I,
\Д Д)> (при вложении 0 и 1 переходят в соответствующие
элементы булевой алгебры.) [4].
Дистрибутивная решетка L с множеством образующих М
вкладывается в булеву алгебру с тем же множеством образующих М.
Это минимальное расширение до булевой алгебры. Булева алгебра
является консервативным расширением дистрибутивной решетки.
Это свойство остается, как мы увидим, и у дистрибутивной
решетки с эндоморфизмами.
^-решеткой-/) = <(Л, V» Л» ёУ называется дистрибутивная
решетка IL = (A, \Д Д)> (т. е. А относительно V и Д) с
одноместной операцией g, удовлетворяющей условиям дистрибутив
ности:
g(x\Jy) = g{x)\Jg(y) A)
g{x/\y)=g{x)/\g{y), B)
т. е. g является эндоморфизмом L, с^-решеткой с 0 и 1—D —
— (А, V» Л» °> I» ёУ называется ^-решетка <Л, Д, У, g}
являющаяся d-решеткой <^Л, \/, Д, 0, iy с 0 и 1, причем
^@) = 0, g(l) = l. C)
Рассматривая D, как d-решетку с 0 и 1, вложим ее в булеву
алгебру В = (А!, V» Л' О» I» "])> (^ 2 А) с множеством
образующих А, т. е. минимальную такую булеву алгебру. При этом
эндоморфизм g можно и притом однозначно продолжить на всю
алгебру В.
Действительно, пусть x^B\L. Тогда х представим конечным
числом операций V и Д через элементы L и их отрицания (за
счет отрицаний и оказывается, что x^L). Если y£L, то ё{у)^.^
и дополнение к g{y) определится однозначно, a g" (~~| У) V £ (У) =
=g(lyVy)=ga) = l gny)Ag(y)=g(lyAy)=g(O)=o,
откуда
g(ly)=lg(y) D)
230

Теперь Vx£B\Lg(z) определится, если g распределить по
дизъюнкциям и конъюнкциям, с помощью которых х выражается
через элементы L и их отрицания.
Полученную алгебру назовем S^-алгеброй. Тождества d-pe-
шеток [4] вместе с A)—C) образуют аксиоматику эквациональной
теории dg-решеток, а тождества булевой алгебры вместе с A)—D) —
аксиоматику для -Sg-алгебр.
Точной моделью булевой алгебры является, как известно,
В0 = {09 1}. Легко доказать, что точной моделью 5^-алгебр
является свободная булева алгебра с множеством образующих Af =
= {gtt (а)}, где g" (a) = a, gn+1 (a) = gg»-{a) (п = 0, 1,2,...), или
булева алгебра над свободной полугруппой с одним образующим g.
В свою очередь свободная JSg-алгебра с образующими {#J является
множеством термов вида
т£К
(аналог нормальных форм в классической логике высказываний),
где при 0^ = 1, —1 а} = ао а^г= ~]aiy a F и К конечные
множества. При фиксированных F и К терм называется FjfiT-совер-
шенной дизъюнктивной нормальной формой^ (с. д. н. ф.), если для
каждой пары E£F, m£K в каждую «элементарную» конъюнкцию
входит ровно один член (терм) вида gm(a*^\ равный (gma^.
Согласно D).
Это утверждение так же, как и единственность FK — с. д.
н. ф., доказывается индукцией по числу элементов в F и К с
использованием A)—D),
Две с. д. н. ф., соответствующие разным {Fy К) и (Fx, КгK
равны тогда и только тогда, когда они равны некоторой с. д. н. ф,
пары (Ff]Fly Kf)Ki), что можно эффективно установить, устраняя
термы gm (a°z) от которых с. д. н. ф. не зависит существенно.
Докажем теорему стоуновского типа о представлении Dg-
решеток (D^-решеток с 0 и 1, Sg-алгебр) алгеброй множеств,
Dg — кольцо (g — поле) подмножеств множества X определяется
как jDg-решетка (В^-алгебра), элементами которой являются
некоторые подмножества X с операциями V — объединения и Л—
231

пересечения (и дополнения ]). Роль 0 играет пустое множество 0,
а 1 — все множество М.
Теорема. Всякая -Dg-решетка B?#-алгебра) вкладывается в
некоторое Dg-кольцо (g-поле) множеств.
Доказательство. Сначала расширим /)^-решетку L до
минимальной содержащей L Sg-алгебры 5. Рассмотрим множество 9С
ультрафильтров2 булевой алгебры В. Для а £ В через h (а)
обозначим множество ультрафильтров V, содержащих а. Известно [1J,
что h является изоморфизмом булевой алгебры В в поле
подмножеств 9С, т. е.
h(a\Jb) = h(a)\Jh(b);
h(a/\b) = h(a)nh(b);
ЛA) = Я;
h(O) = 0;
hAia) = cX\h(a).
Определим еще G(V) как множество всех ультрафильтров V,
содержащих g(V) = {g(x)/x(< V}, т. е. как
{v'/v'e9e&v'2£(v)}.
Для ZC9E положим G(X) = 'U G(v)> T- e.
vex
G(X) = {V7(av)LV'2g(V)&vex]}.
Докажем, что Va £ j8
СЛ(а) = ^(а)
Лемма: 1) gE) является булевой подалгеброй S.
2) Если V максимальный фильтр в S, а Д = В\У
(максимальный идеал в В), то
2 Напомним, что фильтром называется собственное подмножество V
элементов дистрибутивной решетки, содержащее вместе с каждым элементом а
все элементы х > а и вместе с каждой парой элементов а, Ъ элемент а д Ь.
Ультрафильтром (или максимальным фильтром) называется фильтр,
не содержащийся ни в каком большем фильтре.
Простым фильтром называется фильтр V такой, что из а V Ь f V
следует, что а (< V или Ъ £ V.
Известно, что дистрибутивная решетка тогда и только тогда является
булевой алгеброй, когда каждый простой фильтр максимален, и каждый
максимальный фильтр прост.
232

а) либо g(V)Dg(A)^0 и тогда g(V) = g(&)=g(B),
б) либо g (V) П g (Д) = 0 и тогда g (V) и g (Д) суть максимальные
фильтр и идеал в g(B)> соответственно.
Доказательство.
1) Следует из того, что g является эндоморфизмом В.
2а) Пусть x£g(V) ng"(A)- Во всякой булевой алгебре В для
всякого максимального фильтра V и всякой пары элементов г/, ]г/
один принадлежит V, а другой — A = B\V. (Это свойство
характеризует булевы алгебры среди d-решеток [1]). Возьмем прообраз х
в V и Д: Vl£V; г/2£Д; g(уг) = g(у2) = х. Тогда "]»iGA. l&G^
а значит, zx = г/г Д ~] г/2 £ V, a z2 = ~] г/х V г/2 ^ Д (по свойствам
фильтров и идеалов).
Имеем zx = ~] z2, g (zx) G g (V), но g (zj = g(yl/\ ~) y2) = g (уг) Д
Д ]g(y2) = x/\-~\x = 0.
Аналогично доказывается, что g(z2)(:g(V) и g(z2) = I.
Докажем, что, если g (V) Э 0, g (Д) Э I, то g(V) = g (В) = g (Д).
Возьмем v G 5. Тогда g (у) = g* (и) V 0 = «Г (у) V §" (zi) = £ (у V 2j) G
£g(V), так как zx^V и v\/zx£V. Т. е. g" (#) С g (V), а поскольку
5DV, то g(B)^g(V).
Итак, g(y) = g(B). Аналогично, ^(Д) = ^E).
2Ь) Так как V\Jk = B (согласно определению Д = В\У), то
g(V)\Jg(b) = g(B).
Если ^G^(^) и Ъ^а и b£g(B), то возьмем #а и гс6, такие,
что g(xa) = a, g(xb) = b, xa£V. Тогда a;eV^Gv» fWV?WG
e^(V), aV& = 66g(V).
Если a, b£g(V), xaJ xb£V и g-(^) = a, g(xb) = b, то zaA^6v,
Итак, g(V) — фильтр в g(B).
Максимальность g(V) доказывается так:
Пусть a£g(B); возьмем ха, g(xa) = a. Но xa£V или ~]xa^V,
а поэтому либо а, либо ~1а£#(^)'
Двойственное доказательство устанавливает, что g (Д)
максимальный идеал в g(B).
Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы.
Докажем, что
h (g (x)) = {V7V Э g И} = Gh (x) = {V'/(aV) [V 2 g (V) & V G /г (а:)}.
233

Пусть g(x)£V.
Возьмем прообраз V—g~1(Vf) = V.
Докажем, что V—ультрафильтр, a g~x(B\V!) = B\V = A —
максимальный идеал.
Пусть a, b£V, т. е. g(a), g(b)£Vf. Тогда Vx[(а\/х)£V], так
как g(a\/x) = g(a)\/g (x) £ V.
Кроме того, a/\b£V!, так как g(a Д b) = g(a) АзФ)^^1,
т. е. V — фильтр, a J?\V = A — идеал.
Пусть теперь с = а V Ь £ V, т. е. g (a \J b) £ V'. Тогда g(a)\J g (b) ^ V
и, так как Vr—максимальный фильтр в В, то V простой фильтр
в Б (в булевых алгебрах эти понятия совпадают), то либо ^(^G^'»
либо g"F)(:V> а тогда либо <z£V, либо &£V, т. е. V — простой,
а следовательно максимальный фильтр в В, a 5\V = V —
максимальный идеал в В.
Очевидно, что V1 Z) g(V) =gg~1(V), т. е. V £Gh(x).
Мы доказали, что hg(x)ClGh(x).
Пусть теперь V; ID g(V) & V£A(s), т. е. V'Dg(V)&a;fV. Тогда
^(жN^, т. е. Gh(x)Chg(x).
Жиак/hg (x) =z Gh (x).
Докажем теперь, что булева алгебра (поле) F всех множеств
ультрафильтров .Sg-алгебры В с операцией G является g-полем
множеств.
Очевидно,
G @) = 0 (сохранение 0)
6?(Э£) = 2Е (сохранение I).
В самом деле G(9t) = фЧ(Щ (v/ Э §"(v) & V69C)}-
Но VV7, V'Dgg^7), gr(V/)^9C, как было показано выше,
и G (£) = £.
Для разных ультрафильтров Vx и V2
G(V1)nG(Va)=0 @).
В самом деле, G (V2) = {V'/V' Dg(V,)}, i = l, 2.
Если бы существовал V7, такой, что VZ)?^!) и ^З?^)»
то g-1 (V0 3 Vx и ?-i (V) 2 V2, т. е. g-* (V7) 3 V, U Va. Но g-* (V7) -
максимальный фильтр и не может содержать два различных
максимальных фильтра Vx и V2. Из @) и определения G(X) как
U G(V) следует, что
vex
234

G(X{JY) = G(X)UG(Y) и
G(XCiY) = G(X)nG(Y);
G(9E\X) = G(9C)\G(X) = 9C\G(X).
Так как G@)=0 и G(9E) = 9E, то G является эндоморфиз-
мом в F.
Заметим, что (IJ, Г)> G) — алгебра всех множеств
ультрафильтров является полной бесконечной дистрибутивной ((J
относительно П» и наоборот, и G относительно (J, и П) атомной BG-
алгеброй, тогда как исходная Bg— алгебра В таковой могла не
быть, а даже если и была, то при представлении h бесконечные
тождества вида g V ха = \/g (%а) могли не сохраняться, как это
а а
имеет место и для булевых алгебр3.
Доказанная теорема может быть усилена. Есди в исходной
булевой алгебре В было множество эндоморфизмов {^},
удовлетворяющих к тому же системе тождеств Fa = Ha (рассматриваются
только конечные тождества) сигнатуры (\Д Д, ""], {g^}), то
теорема о представлении также имеет место, причем все тождества
Fa = Ha сохраняются в этом представлении, а других не появляется.
Как и прежде, алгебра В представляется полем множеств
ультрафильтров алгебры В, nppi этом
h(x) = {VIV}x};
h(x\/y) = h(x)\Jh(y);
3 Эту теорему можно доказать при более общих условиях. Пусть / —
операция в булевой алгебре В, удовлетворяющая тождеству:
f(x\/y)=f(x)\yf{y) (например, оператор <». Назовем такие операции
V-линейными. Тогда полагая, F(V) = {V7/(V)CV'}, F (X) = (J F(V),
vex
получаем представление булевой алгебры В с / : h (x) = {V/V^s}. Нужно
доказать, что h [/ (х)\ = F [h (x)].
а) Пусть VgA[/(s)J, т. е. Vf)/(s). Докажем, что V^F[h(x)==
= {V7(aV") (V'2/(Vff) и x£V")}. Рассмотрим f1 (V) = Л£, тогда х £М.
Если у£М, то Vz z ^y=>z£M, таккак/(г) > f (у) («Mnif(z) £M=>z g Л/.
Если u\/v(«M, то и£М или v(*M, так как / (и V v) = f (и) V / (и) и
l(uyv) б V.
Выделение в М ультрафильтра, содержащего #, далее происходит
аналогично построению ультрафильтра, содержащего х.
б) F \h (x)] С h [/ (я)] доказывается тривиально.
235

Построенную алгебру назовем g^-полем множеств или <(U> Г)> —>
С^алгеброй.
Сказанное выражает следующая
Теорема. ^U> П> —> G£> — алгебра всех подмножеств SE эква-
ционально эквивалентна <^\Д Л» ~~1> £^— алгебре 5.
Доказательство. Пусть в В выполняется тождество
Л (xv • • •> хп) = h (xi> •••»£*) (*)
Пользуясь эквивалентными преобразованиями, каждую функцию
/(#!, ..., жя) можно привести к виду СДНФ (совершенная
дизъюнктивная нормальная форма)
V Л Л Ц (х4),
где d{(x4) некоторая функция от одной переменной^., являющаяся
либо xv либо суперпозицией некоторых из функций g^ и ~~\,
причем "] может либо не входить в суперпозицию, и тогда функция di
называется положительной, либо входить один раз, и тогда d{,
называется отрицательной функцией (ввиду того, что ~~]
комхмутирует с каждой g^).
Эти определения относятся и к вводимым далее функциям
е{(х.).
Всякую функцию /(#!, . . ., хп) можно эквивалентными
преобразованиями привести также к виду СКНФ (совершенная
конъюнктивная нормальная форма)
Л V Ve{(xt),
ei <=i j=i
i
где е$ (х4) — некоторая одноместная функция, являющаяся либо
xt, либо суперпозицией некоторых g^ и ~~|.
Равенство (*) эквивалентно конъюнкции двух неравенств /г^/2
и /2^/i, которые можно рассматривать как сокращенные записи
236

равенств /xA/2 = /i, /ЯЛЛ = /» (или fy\JU = f2, /,V/i=/i)
соответственно.
Представляя Д^, ..., яя) в СДНФ, a f2{xv ..., хп) в СКНФ,
неравенство /х ^ /2 мы приведем к конъюнкции неравенств
Л Л<^>,-)<\/ V44*,) (**)
Заметим, что неравенство
т г
1=1 jo=l
гДе V т/> = 1> —4» »} = »i. Щ1=~\Уп zlP = zp> zp1=lzP> э^и-
валентно неравенству
где (а8} состоит из yv входящих в (**) с положительными
показателями, и zp, входящих в (***) с отрицательными показателями,
a {vt} состоит из yv входящих в (***) с отрицательными
показателями и z , входящих в (***) с положительными показателями.
Пример:
Неравенство
Ух A l2/2AS/3<~1W*2
эквивалентно неравенству
Ух Л У* Л Ч < Ч V У2-
Это преобразование аналогично преобразованиям в генценовско й
системе классической логики высказываний.
Каждое из неравенств (**) можно заменить эквивалентной
конъюнкцией неравенств вида
п It 11 mi
Л Ла'ЛъХ V V ь?(х<),
где все а\ (х.) и ЪУ(х.) суть либо xi9 либо суперпозиции функций
gl от х..
Суперпозиции g^ также являются эндоморфизмами В как
булевой алгебры.
2М

Если <p.(x) = gkigki...gk((z), то положим
®< = GkGk2...Gk((X).
Поскольку h — гомоморфизм, то все тождества (и неравенства)
алгебры В сохраняются в алгебре В^ подмножеств 9С,
представляющих элементы В, т. е. подмножеств вида
Легко видеть и обратно, что если а ^6, а, Ь£ В, то h (a) (£ h(b).
В самом деле существует ультрафильтр V, содержащий а, но
не содержащий 6, ^^~~\Ь, т. е. V является расширением главного
фильтра, порожденного элементом а Д ""] 6 ^ 0. Тогда h (a)\h (b) Э V
и h(a)(£h(b).
Таким образом /г — изоморфизм и все тождества Bh являются
тождествами В.
Докажем, что расширение 2?А-алгебра ЭД эквационально экви^
валентна В. Ввиду того, что все тождества Bh являются
тождествами в 5, а все тождества в ЭД являются тождествами в5лС51,
то нам достаточно доказать, что каждое тождество (и даже
специального вида, а именно неравенство вида Д.. . ^ \J...), алгебры
В является тождеством алгебры ЭД.
Рассмотрим неравенство
A ft (*!,)< \/Ф* (*«*)> A)
тождествзнно выполняющееся в алгебре В.
В неравенстве A) каждое <р, и ф#. являются эндоморфизмами
алгебры В, а именно суперпозициями g^.
Пусть Ф,., Wk суть эндоморфизмы алгебры 21, соответственно
представляющие эндохморфизмы cpt., фл алгебры В.
Докажем, что в *21
238

I Густь
F= П Ф, BT,<)={V/V/3V'LV2?,(V') и ^6ЗД,
т. e. если Vo£ F, то Vi найдется V'£X^ такой, что ^(?')CV0
Пусть фильтр
V(s) = П V.
Тогда Vz'cp^ (V (x)) С Vo, где # = #/;, а так как Vo содержит
конъюнкцию своих элементов, то
Л Л ?,(*(*)) С *о-
п г
Так как Д ^(а?;<)< V Ф*(ж«*)» когДа все ^б5»' то
V V ФЛ П V] = v V fav^cv, B)
Докажем, что из B) следует, что ^(V')CV0 при некоторых
к и i.
Предположим противное, и выберем для каждой пары к и i
в V* элемент аи к, такой, что
Но
V <*,.*€ П v=v(*). C)
i: *z<-* i: *,f.-x
Далее
VVf*f V ^.AeVV^f П v«\=v V<h№)]cv0,
а; Л=1 \t: ^/^=0; J x k=l \i: хг*=х J x ks=l
откуда V V V Ф*К-,*)€Уо> а так как Vo ультрафильтр, то
a; fc=i *: xif=x
отсюда следует, что Яг, к фЛ(а^*N^о» и мы пр^ппли к
противоречию.
По определению
239

Так как V £ Хтк и <]>к (V) С Vo, то
voe и *»(*«*)и
пфл^)£ и^*(^т*).
,•=1 *=1
что и требовалось доказать.
§ 2.
Рассмотрим теперь некоторые Dg-решетки и Л^-алгебры.
Если Yx gg (х)=х, то g есть инволюция. Соответствующие
Dg — решетки мы рассмотрели в [2]. Определяя ~ х как "]g (я),
получаем алгебры де Моргана сигнатуры (\Д Л» ~)-
Полагая в Б#-алгебре
Dx = x/\g(x)9 Ox = x\/g(x), A)
получаем алгебру Моисила, соответствующую модальной логике
УП Собочинского [5].
Если gg (x)=g (ж), т. е. идемпотентность g, то полагая — х=
= ~]g (х), получаем (\/, Д, ^-)-алгебру, аксиоматика которой
отличается от аксиоматики алгебры де Моргана тем, что вместо
^ ~ х=х добавляются три тождества:
—> х\/ ~ ~ х = 1, ~х/\~ ~х = 0, — — — х=~ х.
Полагая ux—x/\g (x) ()x=x\/g (ж), получаем алгебру,
соответствующую модальной логике К4 Собочинского. Вообще же
операции g в булевой алгебре соответствует оператор S фон
Райта—Сегерберга, означающий «завтра». Высказывание Sx
утверждает «завтра будет х».
Аксиоматика:
Аксиомы и правила вывода классической логики
высказываний A).
S(p-+q)^(Sp-+Sq) B)
snp)^is(p) C)
и правило вывода /"i* «
Вместо аксиомы 2 можно взять аксиомы
S(p\/q)*+S(p)\/S(q) D)
240

(эта аксиома соответствует V"JIHHe^Hoii операции g1).
s(pAq)^s(p)AS(g). E)
Нетрудно доказать, что S будет эндоморфизмом алгебры
Линденбаума этой логики.
Шкала («frame») Кринке этой логики, подсказываемая
интерпретацией связки S, такова:
(Ls, R)
(wRw!) означает, что w1 непосредственно следует за w, т. е.
(WfRw^, i = 0, I, .... S (х) истинно в wv если и только если х
истинно в wi+v Обычным образом строится каноническая модель
Крипке для «S-исчисления» ^ffts = (Ls, R, Фя): максимальные
непротиворечивые множества4 формул ^-исчисления
(ультрафильтры!) суть «миры» w£Ls. Переменная истинна в
«мире» w, если p£w, т. е. Ф#(р, w) = t. Отношение wRw1 означает,
что Vcp из ср £ wl следует Sy£w (т. е. 5<р «сегодня» означает ср
«завтра»).
Пусть w0 некоторое максимальное непротиворечивое множество
формул 5-исчисления. Тогда w0Rw означает, что
Vcpcp £ w => 5ср ^ wQy ~] ср ^ w => S ~] ср ^ ~] 5ср ^ м;,
т. е. ср^шоб'ср^ w;0, т. е. ,до определяется условием w0Rw
однозначно (но не взаимно однозначно!). Обозначим w через wv wxRw
определяет w однозначно, обозначим его w2 и т. д.
Можно доказать, что Ф (ср, w) = t тогда и только тогда, когда
ср £ w, и что формула ср выводима в S, тогда и только тогда, когда
Yw, ср£ш, т. е. S\—сроЗРЪз^ср. Если 5[-/-ср, то в некотором w0
из 90^? 5 шо- Рассматривая шкалу (frame), порожденную wQ, и
давая пропозициональным переменным в мирах w£Ls те значения,
которые они принимают в модели 9fts, получим Ф (ср, wo) = f
4 Фильтром логики называется всякое собственное или непротиворечивое
множество формул М = {ср}, таких, что вместе сср->фисрв М содержится ф
и содержатся все формулы аксиомы и теоремы логики. Ультрафильтром
называется максимальный фильтр. Фильтр М максимален тогда и только
тогда, когда V? либо ^(«М, либо ~~] cpgikf.
241

(«ложь»). Таким образом (w0, LSi R) является характеристической
шкалой для S.
Приведем без доказательств ряд утверждений о тождествах
в ^-алгебрах и соотношениях между атомами ^-алгебр,
образующими модели Крипке соответствующих логик.
Заметим, что по всякой .В^-алгебре модель Крипке строится
аналогично, т. е. «миры» — ультрафильтры, a Vi?V; означает, что
VDgf(V'). В атомной булевой алгебре в качестве «миров» можно
определить подмодели Крипке, рассматривая в качестве «миров»
только главные, т. е. порожденные атомами, ультрафильтры.
В конечной булевой алгебре В всякий ультрафильтр главный,
эндоморфизм (и вообще \/ — линейная операция) g определяется
указанием его действия на атомы В. Если g (a) = \/ av то в мо~
4
дели Крипке Via4Rd (то же и для атомной бесконечной булевой
алгебры). При g-эндоморфизме для каждого атома Ъ существует
не более одного атома а, такого, что bRa (единственность
завтрашнего мира»), так как если bRa и bRa', то g(a) /\g(a')^b
g(a Д а1) ^ &, а для a=^=af g (а Д а1) = g @)=0. Обозначим это а
через ^F), а если такого а не существует, положим t(b)=0. Итак,
g (а) = V а{ равносильно Vi g (а) ^ аг и равносильно Vi t (a4) = а.
Далее, gn(a)=\/ak означает
Yktn (ак) = а; [(п = 0,1,...; g°l(a) = a; t° (a) = а;
t'(a) = t(a); ttn(a) = tn+l(a)).
Известно, что граф отношения R с таким свойством распада-
ется на множество связных графов одного из видов
242

где «отростки» в а) и б) могут быть конечными или бесконечными,
и конечно или бесконечно ветвящимися, а убывающая
последовательность в а) может быть бесконечной или обрываться.
«Следующий» за «а» атом — t (а), т.е. t (a5)=a1, t (а1)=а2,
t (as)=a4 и т. д.
В случае конечной алгебры В возможны только графы вида
б) с конечными отростками.
Конечные 2?£-алгебры вполне определяются своими графами
с точностью до изоморфизма. Бесконечные атомные .Sg-алгебры
определяются ими только при условиях бесконечной
дистрибутивности (V» Л) и 8 относительно \/> Л-
Для атома а, не лежащего в цикле, gl+1(a)=0, где I длина
самого длинного пути в графе, ведущего в а. Такие а назовем вы»
рождающимися. Если длина наидлиннейшего отростка равна Z,
а длина цикла Г, то Т назовем периодом, а I предпериодом Bg-
алгебры Вг, порожденной атомами связного графа Gx, а сам граф
G^(l, T)—графом. Вся iJg-алгебра В разлагается в прямое
произведение .Sg-алгебр, порожденных связными графами отношения
R. .Sg-алгебру мы назовем связной) если граф отношения R для
нее связен.
Лемма. Для связной Bg-алгебры Во выполняется тождество
*' (x)=g<+T {xf (+).
Теорема. Если Bg — алгебра B=B± X. . -ХВк, где всеВ{ —
связные .Sg-алгебры, то в В выполняется тождество
,gi(x) = gu?(x)t (+,+)
где 1 = *тах lv а Г = НОК (Г1м ,., Тк), a li и Т. суть предпериод
и период Bi (I <I i ^ кN.
Можно доказать и обратное:
Теорема. Всякая конечная 5^-алгебра 5, удовлетворяющая
тождеству (+), разлагается в прямое произведение конечных
связных Sg-алгебр Во таких, что l{ <^ Z, a T.IT (Т4 делит Т).
Бесконечная атомная связная 2?#-алгебра В, удовлетворяющая
тождеству (++), имеет граф б) с бесконечно ветвящимися отрост-
ъ Более того, это тождество является «характеристическим» для Во, т. е.
всякое тождество в Во выводимо из (+) и тождеств ^-алгебр.
6 Тождество (+ +), однако, может не являться характеристическим для В.
243

нами конечной длины. Впрочем, в этом случае граф б) может и
не определять с точностью до изоморфизма единственную Bg-
алгебру В. Достаточным условием единственности В будет
полнота алгебры В и бесконечная дистрибутивность g относительно V
(а следовательно, и ЛO* В этом случае В изоморфна (как булева
алгебра) полю всех подмножеств своих атомов, а пользуясь
бесконечной дистрибутивностью g, можно, зная g от атомов,
определить операцию g и на всех элементах В.
Всякая 2?#-алгебра В, удовлетворяющая (+) изоморфно
(относительно конечных операций), вкладывается в полную атомную
бесконечно дистрибутивную 2?6?-алгебру $1 всех подмножеств
множества ультрафильтров В. В 21 выполняется тождество (+),
01 разлагается в прямое произведение связных 56?-алгебр,
удовлетворяющих (+), т. е. алгебр, граф которых имеет вид б).
Получается
Теорема. Всякая 5^-алгебра В, удовлетворяющая (+),
разлагается в подпрямое произведение связных 2?#-алгебр с графом
вида б).
Отметим связь с логикой. Sg-алгебры с связными подалгебрами
(или фактор-алгебрами), имеющими граф вида а), соответствуют
5-исчис л ениям.
Всякая шкала Крипке вида а) является характеристической
для ^-исчисления, т. е. средствами /^-исчисления такие шкалы
неразличимы, так же, как эквационально неразличимы
соответствующие iJg-алгебры. Однако некоторые пропозициональные
расширения ^-исчислений уже позволяют различать некоторые
шкалы вида а). Аналогично обстоит дело с (Z—Т) шкалами
типа б). Они описывают табличные супер-£-логики. С
дополнительной аксиомой
S'p'+*S'+*. F)
Используя оператор S, удовлетворяющий 6), можно ввести
различные модальные табличные логики, полагая
np*»AS4p, OP*»V S'p,
tei i6J
где / некоторое подмножество отрезка целых чисел [О, 1-\-Т — 1].
2 См.: Р. С и к о р с к и й. Булева алгебра. М., 1969, стр. 170,
244

Соответствующие операции в #£-алгебрах мы также обозначим
через D и О и в дальнейшем не будем различать также S и g.
При Z = 0, Г = 2 оказывается инволюцией, алгебра сигнатуры
О/* Л> ~>> гДе ~x=~]gx— алгеброй де Моргана, а алгебра
О/> Л> ~> D, 0>—алгеброй Моисила [2].
Супер-ЯЧлогика при 1 = 0, Г = 2, / = [0, 1] оказывается, как
уже отмечалось выше логикой VII (относительно \у, Д, ~~], п,
О), а при£ = 0, Г = 1, 1=[0, 1] —логикой К4 Собочинского [5J.
Их модели Крипке состоят из двух «миров».
В К 4 связка S просто определяется через О и □.
Sp<+ а Ор** О ар-
В VII и К4:
Sp+> dpVCIpA Op)*> ОрЛПр V ар)-
(Операция S самодвойственна.)
Как показал С. Месхи [6], пересечение логик VII и К4 есть
логика VI Собочинского, получающаяся из Si добавлением аксиомы
DpV a(p->g)V O(P-*П^-
Соответствующая S^-алгебра несвязна, распадается на две
связных Bg-алгебры с графами (шкалами Крипке) вида,
а соответствующая супер-^'-логика получается добавлением к S-
исчислению аксиомы
(Pi**S'pJ)\/(Spi*>S'p^ G)
Вообще супера-логика, шкала которой является объединением
Aк, ГА.)-шкал, где к £ ^-конечному множеству, получается из S—
исчисления добавлением аксиомы
\/{Sp%<*Spl»**). (8)
квК
В соответствующей Sg-алгебре В имеет место тождество:
г v «г1л(^)=^*+г*(**I = /(гН-+),
где y = z есть (у /\z\\f {~~\у Д ~}z).
Тождество (-|—|—|-) является характеристическим для В, тогда
как тождество (-|—\-) является, вообще говоря, более слабым. Так
245

для логики VI Собочинского' (и Sg-алгебры VI) из G) следует
Sp*+Ssp, (9)
но не наоборот.
В самом деле, полагая:
Dp*+p/\Sp A0)
из 7 легко вывести формулу
□ р^> D Dp, (И)
тогда как из (9) не следует (И), поскольку
ппр<+рЛ$рЛ$2р-
Формула (9) вместе с A0) определяет для □ табличную логику,
являющуюся расширением Т Фейса-фон Райта, но не £4 [7].
Однако, полагая
Op*>p/\SPAS2P, A2)
получим супер- бЧ-логику.
В рамках б'-исчисления возможны три супер 54-логики с 12
€ 3-элементной связной шкалой Крипке:
ЛИТЕРАТУРА
1. Расева Е., Сикорский Р. Математика математематики. М., 1972.
2. Ермолаева Н. М., Мучник А. А. Модальные расширения логических
исчислений типа Хао Вана. В кн.: Исследования по формализованным
языкам и неклассическим логикам. М., 1974, с. 172—193.
3. Epstein G. The relationship between multivalued switching algebra under
different definitions of complement. — «IEEE on Сотр.», 1973, C-22,
N 9, p. 864.
4. Биркгоф Г. Теория структур. М., 1952.
5. Sobocinski В. Certain extensions of modal system S4. — «Notre Dame Jour,
of formal Logic», 1970, vol. 13, p. 347—368.
6. Месхи В. Ю. Семантика Крипке для модальных систем, включающих
S4.3. — «Матем. зам.», 1974, т. 15, № 6, с. 875—884.
7. Фейс Р. Модальная логика. М., 1974 (Дополнения).

В. Н. ГРИШИН
ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СЕМАНТИКЕ ЛОГИКИ
БЕЗ СОКРАЩЕНИЙ
В работе [1] был определен класс £°-алгебр, адекватный
логике без сокращений L°. Секвенциальный вариант логики L°
представляет собой исчисление секвенций Генцена LK (см. [2J
стр. 26), из которого удалены правила сокращения формул в
антецеденте и сукцеденте. В настоящей работе предлагаются
различные эквивалентные аксиоматики класса £°-алгебр;
доказывается теорема о вложении произвольной /Лалгебры в полную L°-
алгебру; рассматривается вопрос о вложении произвольной L°-
алгебры в прямое произведение простых £°-алгебр и о вложении*
сохраняющем операции sup и inf для счетного семейства множеств;
дается полное описание простых £°-алгебр порядка 3 и
предлагается аксиоматика 4*-значной логики предикатов Лукасевича в
виде классического исчисления секвенций с некоторыми
ограничениями на правила сокращения.
§ 1. Аксиоматика
1.1 Опишем три аксиоматические системы Al, A2 и A3 в
сигнатурах о2=(=, <, •, +, -, 0, 1), а2=(=, <, ., -, 1), с3=(=ч
<^, ., ", 0) соответственно.
Система А1.
1. Отношение ^ есть частичный порядок (т. е, рефлексивно,
транзитивно, антисимметрично).
24Т

Замечание 1. Система А1 является самодвойственной
аксиоматикой, т. е. переходит в себя при замене каждой аксиомы на
двойственную. Формула ср* называется двойственной к формуле
ср, если получается из ср заменой + на •, • на +, 0 на 1 и 1 на О,
а также заменой знака ^ на ^. При этом мы считаем, что запись
1г ^ t2 означает £2 ^ tx. Таким образом, для системы А1
справедлив принцип двойственности*
Замечание 2. Если аксиомы 8 и 8* заменить законами
идемпотентности, то получится аксиоматика класса всех дистрибутивных
решеток с нулем и единицей, в которой выводимо, что х>у и х-\-у
есть точные нижние и верхние грани соответственно. Таким
образом, добавление ко всей системе А1 тождеств х*х=х и х-\-х=х
дает аксиоматику булевых алгебр.
Действительно, 0 = 0«A-[-;г)^0-1+# = #- Двойственным
образом, x^i. Докажем дистрибутивность
x-(y-\-z) = x-x-(y + z)^x-(x*y-\-z)^x-y + x-z^
< х • (У + *) + х . (у + z) = х . (у + z).
При этом мы воспользовались выводимым неравенством у ^ y-\~z,
которое получается из неравенства 0 ^ z прибавлением к обеим
частям у. Законы поглощения вытекают, как известно, из
дистрибутивности и идемпотентности.
Аксиоматику булевых алгебр можно получить и добавляя
к А1 только одно из тождеств х*х—х или х-\-х=х. Это вытекает
из выводимых в А1 тождеств (х+у)~=х~ *у~, (х>у)~—х~-\-у~)
х~~=х. (См. ниже, пункты 1.2.1 и 1.2.4.)
Система А2.
1. Отношение ^ есть частичный порядок.
2. x-(y-z) = (x-y)-z.
3. х-у = у • х.
4. 1 > х = х.
5. x^iy-+x • z^y • z.
6. я<1.
7. х~~ = х.
8. х^у->у-^х~.
9. х.(у.ху^у-.
248

Замечание 3. Вместо двух аксиом А2.8 и А2.9 можно взять
одну аксиому:
z • х < у -> z • (у~) < х". ,A)
Действительно, формула A) выводима в А2.
z • х <; г/ -^ г/~ <! (z • х)~ -> z • г/~ <^ z • (ж • z)~ <^ ж".
С другой стороны, полагая в A) z=l, получим аксиому А2.8.
Применяя к верному неравенству х*у ^у*х формулу A),
получим аксиому А2.9.
Система А2 определяет класс частично упорядоченных
коммутативных полугрупп с единицей и инволюцией, в которых
единица есть наибольший элемент и справедливо неравенство А2.9.
Система A3.
1. Отношение <С есть частичный порядок.
2. х-(у • z)-(x-y)- z.
3. х-у = у - х.
4. (Ья = 0.
5. х^у^х • (г/~) = 0.
Аксиома A3.5 позволяет элиминировать отношение ^ из
аксиоматики A3. Таким образом, A3 задает класс алгебр. Ввиду
аксиом транзитивности и антисимметричности отношения ^ этот
класс является квазимногообразием.
Замечание 4. В работе [1 ] была сформулирована система
аксиом, двойственная к A3, содержащая лишнюю (т. е. выводимую)
аксиому и дополнительное требование о том, чтобы отношение
^ было решеткой. Это требование в настоящем определении
опущено, как не имеющее отношения к алгебраическим операциям.
1.2. Если а — терм или формула сигнатуры av то через |а|а#
(i = 2, 3) обозначим результат замены термов вида ^ + ^2 на
(f\ • tt)~ и 0 на 1" (для i = 2) или 1 на 0" (для i = 3).
Запись Г(—ср означает, что ср выводима в узком исчислении
предикатов с равенством из формул Г. Если ср — формула
сигнатуры ох, то вместо А21— | ср | а2 (или A31— | ср | а3) будем писать
А2(—ср (или А3(-ср).
Теорема 1. Для любой формулы ср сигнатуры ах имеет место
Л1 |—ср«-> А2|— ср<->АЗ|— ср.
240

Доказательство. 1.2.1. В системе А1 выводимы все аксиомы
системы А2. Сначала докажем формулу
х • у < z «* х < у~ + z. B)
Прибавляя у~ к обеим частям неравенства х • у ^2, получим
# • У + У~^ y~ + z. По аксиоме А1.7 ж = # • (у + у')^х • i/ + JT-
Поэтому а:^у" + z. В обратную сторону, х^у~ -\-z->x • у^
< (У" + 2) • г/ < г/ • у" + 2 = z.
Проверим А2.7, х • аГ^О->#<С аГ"~ + 0 = аГ"\ Обратное
неравенство следует по принципу двойственности. Вместо аксиом А2.8
и А2.9 докажем формулу A). х • г/ ^ z -> ж ^ г/~ -[- 2 ~> ж • z~^ г/~.
Вторая импликация написана на основании формулы, двойствен
ной к B).
1.2.2. В системе А2 выводимы все аксиомы системы A3.
| А3.4 | а2 ^ | х • О = 0 | а2 «■> х . I" = 1~ <-> (я • Г < Г) & (Г <
<«.1-)^(ж.1-<1-)&((а:.1-)-<'1"")-
| A3.5 |а2^>(а:^г/<^а:«^"=1~)«а:^г/^>^« I ^1у <+х • у~ ^
^ 1~ ^> ж • г/~ = 1".
1.2.3. В системе A3 выводимы все аксиомы системы А1.
Заметим сначала, что в A3 выводимы формулы х~~ = ж^и х\^ у «^
^> х • у' ^ 0. Первая доказывается так же, как в [3] стр. 14, только
операцию Д надо заменить на • . Вторая следует из очевидного
в A3 неравенства Yx@ ^,х).
Аксиомы А1.2* и А1.3* проверяются тривиально. Проверим А1.4.
Пусть у произвольно. Тогда
Полагая у = х, получим 0" • х ^ х, а при у = 0~ • х получим
х^0~ • х. Так как |0 + #|а3 = @~ • х~)~ = х~~ = х, то А1.4*
выводима в A3. Аксиома А1.5*. 11 + х | а3 = @~~ • х~)" = @ • х~)~ = 0~ =
= 111 а3. Аксиома А1.6. Очевидно, х ^ у -> х • у" = 0 -> у" • аГ~ =
Так как z • (г/ • z)" ^ у' (это легко проверить), то z • (г/ • z)" ^ х~,
т. е. а: • z • (г/ • z)~ = 0, т. е. rc«z^i/«z.
Аксиома А1.6* сводится к А1.6 после расшифровки знака -{-.
Аксиома А1.7.
I« • (» + 2)| ст3 = ^ • (г/" • г")", |(з • у) + z |а, = ((я • г/)" • О".
250

х • (У + 2) < (х • у) + z <-> х • (у • г")" • ((а: • у)" • 2 ) " = 0 «*»
«н> а; • (г/ • а:)"" • z~ ^ г/~ . 2".
Последнее неравенство получается из очевидного неравенства
х • (у • х)~^у~ применением уже доказанной аксиомы А1.6. Аксиома
А1.8. х <1 х +> а; • х~ = 0. Аксиома А1.8* сводится после
расшифровки к А1.8.
1.2.4. В системе А1 выводимы формулы
0- = 1 C)
з + У — (х~ ' У~)~ D)
Действительно, 0~ ^ 1 (так как 1 есть наибольший элемент,
см. замечание 2). С другой стороны, 1 = 1 • @ + 0~) <С 1 • 0 -\-0~~ = 0%
В силу А1.4*, формулы B*), двойственной к B), и аксиомы А2.7,
выводимой в А1, имеехм х + У ^ (х~ • у~)~ <^ х + у ^ (х~ • у~)" -f- 0 <->
+> (х + у) • (аГ • z/~) ^ 0. Так как (х + у) • х~ • г/~ ^ (х • ж" + у) • у" <^
^г/.г/~г=О, то х + г/^(а:~ • г/~)". Двойственным образом,
(аГ + J/")" ^ ^ • У- Заменяя х на х~ и г/ на г/"", получим (я + у)" ^
^х~'у~, т. е. (а;~ • у~)~ ^ (ж + J/)"- = x-f- г/. Таким образом,
формула D) доказана.
Замечание 5. Из формул А2.7, А2.8, C), D), выводимых в А1,
следует, что если алгебраическая система А сигнатуры ах
удовлетворяет аксиомам А1, то операция х\-^>х~ есть антиизоморфизм,
переводящий -\- в • и • в -J-. Поэтому для всякой формулы
y(xv . . ., хп) сигнатуры ох имеет место
А(=ср^ А(=ср*(^г,.. .,#;).
1.2.5: Теперь докажем теорему. Если А1 (—ср, то в силу 1.2.3
A31— | ср | а3. Если А.З |— | ср | а3, то по 1.2.2 А21— 11 ср | а31 а2. Поскольку
A2f-l~=l, то A2|-(||cp|a3|a2^|cp|a2). Поэтому, А2 [— ] ср | а2.
Если А2[—|ср|а2, то в силу 1.2.1 А1|—|<р|а2. Из формул C) и D)
следует А1 (—(ср^>| <р|з2)в Поэтому А1 |—ср.
1.3. Ь°-алгеброй назовем алгебраическую систему,
удовлетворяющую одной из трех приведенных систем аксиом Al, A2, A3.
1.4. Как уже упоминалось, класс 1Л-алгебр является
квазимногообразием и по-видимому не является многообразием. В связи
с этим интерес представляют формулируемые ниже система А4
и теорема 2.
251

Система А4.
1. x-(yz) = (x*y)> z.
2. x-y = y*x.
3. х- 0 = 0.
4. x • 0~ = #.
5. ar~ = #.
6. x • (у • x)~ > z • (y~ • z)~ = 0.
Система А4 задает многообразие алгебр в сигнатуре а4 =
=(=,-, -, о).
Если ср — формула сигнатуры о3, то обозначим через | ср | <з4
результат замены в ср атомарных*подформул вида tx^t2 на tx • ££ = 0,
а подформул вида tx — t2 на ^ • ££" = 0&£2 • £[0.
Теорема 2. Для всякой формулы ср сигнатуры а3
А3[— сроА4[— |ср|а4.
Доказательство. Докажем, что если ср аксиома системы A3, то
|ср|а4 выводима в А4. Рефлексивность получается из А4.6 при
х = 0~ и z = 0~. Докажем транзитивность. Пусть | z ^ у & у ^ х \ а4,
т. е. z • г/"" = О&г/• а:~ = 0. Подставляя в А4.6 ж" вместо х,
получим аГ • z = 0, т. е. | z ^ а: | о4. Вместо аксиом равенства проверим
формулы А2.5 и А2.8, из которых аксиомы равенства выводимы.
Если | z ^ у | а4, то из А4.6 следует х • z • (х • г/)~ = 0, т. е. | # • z ^
^ж«1/|а4. Если | z^ у |о4, то из А4.6 следует при х = 0~, что
у~ • 2~~ = 0, т. е. | у" ^ z~ | о4. Проверка остальных аксиохМ основана
на эквивалентности |а: = 0|а4^> х = 0, выводимой в A4. С другой
стороны, А4.6 выводима в A3, так как х • (у • х)~ • z • (у~ • z)~ ^
^ у" • ^~" = 0. Остается показать, что A31— (ср ^> | ср | а4). Но это
очевидно в виду аксиомы A3.5 и выводимой в A3 эквивалентности
х = у <+ х* у~ = 08су • х~ = 0.
Следствие 1. Если алгебра А удовлетворяет аксиомам А4, то,
определяя х~уох»у~ = 08су*х~ = 0, получим, что отношение ~
есть конгруэнция и фактор-алгебра по этому отношению есть
£°-алгебра.
1.5. Рассмотрим теперь случай, когда отношение ^ является
решеточным. Такую £°-алгебру назовем решеточной.
Теорема 3. Класс решеточных £°-алгебр является многообразием,
аксиомами которого являются все аксиомы решетки, все аксиомы
системы А1, кроме Al.l, A1.6, А1.6*, а также следующие формулы
252

х . (у V z) = х . г/ V х • 2 E)
* + (?Л *) = (* + ») Л (* + *)• E*)
При этом, отношение х^у в А1.7 понимается как сокращение
для х/\у = х.
Доказательство. Каждая решеточная £°-алгебра удовлетворяет
аксиомам E) и E*). Действительно, из х • у ^х* (у\/ z) и x*z^,
<>-(*/V2) следует х • у \J x • z^x • {y\f z). С другой стороны,
х • у ^х • y\J х • z. Применяя B), получим г/ ^ ж" + (# • г/ \Лж • z).
Аналогично z^x~ +(ж • y\Jх • z). Откуда, y\Jz^x~ + (ж* у\/х* z).
В силу B) х • (у \J z)^х • у \/ х • z. Аксиома E*) получается
двойственным образом. Остается вывести А1.6 и А1.6* из E) и E*).
а^Ъ-^а /\b = a->(c-\-a) /\(c+ b) = c+ (а /\Ь) = с-{-а,
т. е. с + а^с + Ь.
Аксиома А1.6 получается двойственным образом.
Замечание 6. Решеточная £0-алгебра, в которой выполняется
тождество а/\а~ = 0 (или а\/а~ = 1), является булевой алгеброй.
Действительно, из верных неравенств а • (а • а)~ ^ а и а • (а •
а)"Заполучаем а • (а • а)~ ^ а Д а", т. е. а«(а-а)"^0 и а^а • а. Таким
образом, а* а = а. В силу замечания 2 данная £°-алгебра является
булевой алгеброй.
§ 2. Полные Х°-алгебры
2.1. Введем обозначения. Если 1и7 подмножества £°-алгебры А,
то положим
X.Y = {x.y\x£X&y£Y},
Х- = {х~\х£Х).
Если X и Y имеют точные верхние грани, то-множества X*Y
и Х"~ имеют точную верхнюю и тонную нижнюю грани
соответственно и
sup (X • Y) = sup X • sup Y F)
inf(X-) = (supX)-. G)
Действительно,
V#GXV^£F(a;.^<a)^V££XVye^<*~ + a)^
^>Va:G^(supF<a:- + a)^Va:6X(a:<(sup7)- + a)^supZ<
< (sup Y)" + a <* sup X • sup Y <! a и
V# £ X (a < аГ) «> Уж G X (ж < a") о sup X < of «> a <I (sup X)'.
253

£°-алгебра называется полной, если всякое ее подмножества
имеет точную нижнюю и точную верхнюю грани.
2.2. Теорема 4. Всякая £°-алгебра вкладывается в полную
£°-алгебру. .
Доказательство. Пусть А — произвольная 1/°-алгебра.
Обозначим через DA расширение Дедекинда—Макнейла алгебры А+
рассматриваемой как частично упорядоченное множество. Это
расширение можно (см. [3] стр. 78) охарактеризовать абстрактна
как такую полную решетку, содержащую данное частично
упорядоченное множество, что каждый элемент этой решетки является
одновременно и точной верхней и точной нижней гранями
некоторых подмножеств данного частично упорядоченного множества.
Имеем A CD А и V#G DA (^ = sup {а£ А | а^х) =
= inf {a£ А |ж^а}). Поэтому
sup X < sup Y ** Va G A (sup Y < a -> sup X < a). (8)
Определим на множестве DA операции «и —.
х • г/ = sup {a * b\a, b^A&a^xScb^y} (9)
х = inf {a | a G A &a < x}9 (9f)
где x, у — элементы DA.
Очевидно, операции, определенные равенствами (9) и (9;),
совпадают с операциями, заданными на А.
Пусть X, Y, Z — подмножества А С DA. Покажем, что
supX<supy->sup(Z.Z)<sup(F.Z)&inf(F-)<mf(Z-). A0)
Пусть а£А—произвольный элемент и supX^sup F. Тогда
sup(Y • Z)<а -> Vy £ YVz£ Z(у . z <a) -> Vz£ ZV?/
G 7 (y < 2~ + a) -> Vz £ Z (sup 7 < z" + a) -> Vz £ Z (sup X <
^ 2~ + a) -> Vz G ZVx£*X(x < z" + a) -> Vz G ZV^
G X (x • z <a)-> sup(Z • Z)<a.
В силу (8) sup (X • Z)<sup (F . Z).
Далее,
a<inf(y-)->VyGy(fl<y")-> V|/G F(?/<a-)->supF<a- -*
-> sup Z < a~ -> Va: G ^ (x < a") -> V^ G X (a < ж") ->'
->a<mf(Z~).
В силу эквивалентности двойственной к (8) inf (У~) ^inf (X")*
^54

Из A0) и равенств (9) и (9') вытекает, что в алгебре DA
выполняются равенства F) и G), а также аксиомы А2.5 и А2.8.
Аксиомы А2.2 и А2.3 следуют из равенства F) и очевидных
равенств X . (У . Z) = (X • У) • Z, X*Y=Y-X, где X, Y,ZQ
С A. sup Х-(sup У .supZ) = supX-sup(y -Z) = sup(X-(F - Z)) =
= sup ((X - Y)- Z) = (sup X • sup Y) • sup Z.
Доказательство выполнимости в DA аксиомы А2.4 основано на"
равенстве 1 = sup {1}, благодаря которому (sup X) • 1 = sup (X • {1})==
= supX. Аксиома А2.6 очевидна.
Докажем равенство
inf {а" | а ^ х) = sup {b~ | # <; b),
где x^DA. Здесь и далее переменные а, 6 пробегают множество А*
Va, Ь {а ^ а? ^ Ь -» &*" ^ а") -> Ya ^ ж (sup {Ь~ | х ^ 6} ^ а~) ->
-^sup {6" |х<С6} ^inf {a~\a^x}.
Существует множество Z С А, такое, что inf {а~ [ а ^ a:} = sup Z.
Так как
inf {бГ | а ^ а:} = sup Z -» Vz ^ ZVaJ^ # (z ^ьа~) -> Ya ^ a:Vz ^
G Z (a < 2") -> Vz G ^ (sup {a | a < ^r} <-z~>-> Vz G ZS(^ < Г) -»
->VzGZ(zG{b"|^<b})-^VzGZ(z<sup{6-|^<6}), то
inf {a" | a <; ж} = sup Z ^ sup {&~ | x ^ 6}.
Доказанное равенство позволяет установить справедливость
s алгебре DA формулы двойственной к G).
Проверка аксиомы А2.7 проводится теперь следующим образом:
(sup Ху~ = (inf Х~)~ = sup Х~~ = sup X.
Проверим А2.9. Пусть X, FCA. Выберем такое U С А, что
sup U = inf (У .X)-. Тогда
VttetffyGrVttGX(tt<(y*)-)-* VyG^V^G^V^G^(^-^<
<2/-)->Vi/G^(sup(X.t/)<y-)->F2/ey(supX.supC/<
< jf)-> Vy G У (supX . inf(У . X)-<iT)-* supX • inf (У • X)"<
< inf У -> sup X . (sup У • sup X)- < (sup У)".
§ 3. Гомоморфизмы и простые Х°-алгебры
3.1. Пусть А — произвольная £°-алгебра. Подмножество /С А
называется идеалом, если
255

3.1.1. Если / — идеал, то отношение
я <Л/ ** х • у' £ I
антитонно и согласовано с умножением. Действительно,
х ^/У"* х * \Г £ I-* Т • х" б I-* \Г <^!х~>
*</*/->(#• z)-(y - z)~ = x-(z-{y - z)-)^x . ?Г£/->
-*► о: • 2 ^7г/ • z.
Таким образом, отношение
х ~ху <^ х <7г/ & у ^х
есть конгруэнция на алгебре А. Поэтому фактор-алгебра по этоп
конгруэнции удовлетворяет аксиомам А4. Так как £~70<h*#£/,
то в силу следствия 1 эта фактор-алгебра является /^-алгеброй.
Если р — конгруэнция на А и / есть 0-класс (т. е. класс,
содержащий 0) этой конгруэнции, то / — идеал и имеет место
включение р С ~i> которое становится равенством, когда фактор-алгебра А/р
является ZA-алгеброй. Это следует из выводимой в А4 формулы
х • х~ = 0 и аксиомы Vu, и (и • v~ = 0 & и • и~ ■==. 0 -> и = и),
выражающей антисимметричность отношения <С и имеющей место
в £°-алгебре А/р.
3.1.2. Поскольку пересечение любого семейства идеалов есть
идеал, то множество идеалов является полной решеткой. Из выше
сказанного следует, что отображение /|—~/ есть изоморфизм
решетки идеалов и решетки £°-конгруэнций (т. е. таких
конгруэнции р, что А/р — £°-алгебра). Кроме того, для всякой собственной
(т. е. отличной от А X А) конгруэнции р существует собственная
1/°-конгруэнция р' такая, что рСр;. В качестве^ р; можно взять
~/, где / — 0-класс конгруэнции р.
3.2. Скажем, что гомоморфизм h сохраняет точную верхнюю
грань множества ХСА, если
а = sup X ->ha = sup {hx \ x £ X}.
Двойственным образом определяется понятие: «h сохраняет
точную нижнюю грань».
Пусть Q — семейство подмножеств алгебры А. Гомоморфизм
h назовем (^-полным, если h сохраняет точную верхнюю грань каж-
256

дого X(*Q. Идеал / назовем полным относительно Q (^-полным),
если
УС/-> supFG'
для всякого Y(*Q, имеющего точную верхнюю грань.
3.2.1. Пусть 1СА и идеал / полон относительно множества
всех сдвигов Q = {X • {а} \ а £ А} множества X, то естественный
гомоморфизм h алгебры А на фактор-алгебру А// сохраняет
точную верхнюю грань множестваX. Действительно, Ух (< X (fix ^ ha) —>
-> Vx£X (x-arei)-+ X.{a-}C/-^(supZ).a- = sup(Z.{a-})e
£ / -> A sup X ^ ha.
3.2.2. Для всякого идеала / естественный гомоморфизм на
фактор алгебру А/1 сохраняет точные грани любого конечного
множества. В частности, если / — идеал решеточной ZA-алгебры,
то фактор-алгебра А/1 тоже решеточная.
Так как для всякого конечного множества X любой его сдвиг
Х'{а}, а также множество Х~ конечны, то для доказательства
приведенного утверждения достаточно (в силу 3.2.1) установить
полноту идеала / относительно множества всех конечных
подмножеств. Из неравенств у. ^ г/х+. . .+уп A ^ i <^ п) следует
УгУ • • • \/Уп < Ух+ • • •+»*• Поэтому, если {уи. . . , уп) С /, то
yiV.-..Vfl,e/.
3.3. Говорим, множество ХСА порождает идеал /, если / есть
пересечение всех идеалов, содержащих X. Идеал / называется
главным, если он порождается одноэлементным множеством.
Вместо 1{ау будем писать 1а.
Положим,
1а = а аг = а
(п + 1)а = па + а а1*1 = ап - а.
Имеем следующее очевидное равенство
1а={х£А\Яп(х^па)}.
Идеал называется собственным, если 7=^4 А, т. е. если 1 (£ /•
Очевидно, идеал 1а собственный тогда и только тогда, когда
Vn(na^l).
Положим,
SA = {x£A\Yn(nx=£l)}. A1)
257

Из предыдущего следует
SA = U {111 — собственный идеал}. A2)
3.4. Абстрактная алгебра А называется простой, если она не
одноэлементна и для всякого гомоморфизма h А на В либо В
одноэлементная алгебра, либо h изоморфизм. Другими словами, если
решетка всех конгруэнции на А содержит только два различных
элемента — нулевой и единичный. Из 3.1.2 следует, что /Лалгебра А
проста тогда и только тогда, когда решетка всех £°-конгруэнций
(или решетка всех идеалов) содержит только нулевой и единичный
элементы. Принимая во внимание A1) и A2), получаем
А— простая <>.0=£ltkVx =£ 0Яп(пх=1). A3)
3.4.1. Если /С А — собственный идеал, то А// — проста <-> 7—
-максимален <*> Yx (<A(x£I\J rdn(nx)~ £ I). Действительно, в силу 3.1.2
идеал / максимален тогда и только тогда, когда конгруэнция ~/
максимальна в классе всех собственных конгруэнции. Этим
доказана первая эквивалентность. Вторая вытекает из
эквивалентности A3).
3.5. Назовем радикалом £°-алгебры А множество
ЪА = {х£А\УпЯт(пх)т = О}.
Теорема 5. RA=n{/K— идеал &А/7— простая}.
Доказательство. Пусть #£RA, / — идеал и А/7 простая
7/°-алгебра. Допустим, что х§1. Тогда в силу C.4.1) существуете
такое, что (пх)~£1. Так как a; f RA, то Ynrdm {{пх)т = 0),
т. е. Yn^lm(m((nx)~)=zl). Однако из того что (пх)~£1 и /
собственный (#(£/) следует, что Ym{m((nx)~)=£l). Наоборот, пусть х
принадлежит всякому идеалу /, такому, что А/1 простая £°-алгебра.
Покажем, что #£RA. Пусть п — произвольное натуральное число
и допустим, что ~| 3/тг ((пх)т = 0), т. е. Ym(m((nx)')^i). Тогда
идеал /у, где у = (пх)~~ собственный (см. 3.3). Расширим его до
максимального собственного идеала / Z) 1у. В силу 3.4.1 фактор-
алгебра А/7 простая/Лалгебра. По условию ж^/и, следовательно,
пх £ 7. Так как 7 Z) 1&, где у = (пх)~, то 1 = пх + у £ 7. По
построению однако идеал 7 собственный.
Следствие 2. /Аалгебра А является подпрямым произведением
простых /Аалгебр тогда и только тогда, когда ее радикал
нулевой, т. е. RA = {0}.
253

3.6. Введем обозначения.
SaA=:{xeA\Yn(n(x + a)yLl)}.
RaA = [х £ А | Vn Ят Я& {{пх)т < ка)}.
Докажем, что
RflA = П {/ 2 1а I ^Д — простая £°-алгебра},
SflA = U {7 Z) /д/7 — собственный идеал).
Действительно,
а: £ SaA <^ Я7 (ж + a £ 7 — собственный идеал).
х е RfflA ^ Vn Яте ((и*)" 6 /J - ж//в б R (A//J ч» х//в 6 П {/1 / -
максимальный идеал в A/IJ *+ х (+ f) {I Z) 1а\ I -— максимальный
идеал в А}.
Пусть Н — некоторое множество гомоморфизмов £°-алгебры А.
Назовем Н разделяющим семейством, если
V*, y£A(x^y-+Rh£H(hx^hy)).
Теорема 6. Пусть А — £°-алгебра с нулевым радикалом, Q —
счетное семейство подмножеств, содержащее вместе с каждым
множеством X любой его сдвиг X • {а}, и X С RaA -> sup X (< SaA,
для всякого а£А и X£Q, имеющего супремум. Тогда множество
всех (^-полных гомоморфизмов на простые £°-алгебры является
разделяющим.
Доказательство. Пусть ЭД — какое-нибудь абстрактное свойство
идеалов алгебры А. Скажем, что идеал / наследственно обладает
свойством 21, если всякий собственный идеал Г Z) 7 обладает
свойством 21.
3.6.1. Покажем, что для всякого собственного главного идеала I
и всякого X £ Q существует главный собственный идеал Г Z) I
наследственно {Х}-полный. Пусть 7 —7а. В силу равенства 1{а,ъ} =
= Ia+b идеал, порожденный множеством Ia \J {sup Х}-главный.
Предположим, что этот главный идеал не собственный. (В противном
случае утверждение тривиально.) Таким образом, sup X (£ SaA.
В силу условия теоремы существует хо^Х такое, что xo§RaA,
т. е. существует п0, что
Ут(ър0Г$1а. A4)
В качестве Г возьмем главный идеал, порожденный множеством
{а, (похо)~). Этот идеал собственный. Если бы для некоторого т
259

т(а + (похо)~) = 1, то (пох0)т . (та)" = О и (Vo)w < ma, т. е. (Vo)OT £
6/л, чт£> противоречит A4). Идеал Г наследственно {X}—полон.
Так как supX(£SaA = \J{I ~D Ia\I — собственный идеал}, то
достаточно доказать, что Г наследственно не содержит х0. Если бы
х0 £ /" 2 I1 и /" собственный, то похо £ /" и (похо)" £ /' и,
следовательно, /" не собственный.
3.6.2. Для доказательства теоремы достаточно в силу 3.2.1
показать, что для любого а =£=■ 0 существует максимальный ^-полный
идеал, не содержащий а. Так как RA = {0}, то существует такое п,
что Ym ((na)m =^= 0). Следовательно, идеал /(яа)- собственный и
наследственно не содержит а. Пользуясь счетностью Q и многократно
применяя доказанное выше утверждение 3.6.1, построим
последовательность собственных главных идеалов 1° С I1 С, . . ., С 1к С, ...
..., такую, что 1° = 1{паГ и
VX^QQk (Ik наследственно {X} — полон). A5)
Идеал U 1к собственный (так как 1 (J 1к для любого к ^ 0) и не
содержит а (так как /° наследственно не содержит а), G-полнота
идеала (J 1к вытекает из A5).
Следствие 3. Заключение теоремы 6 имеет место при
следующих условиях.
1) Q — счетно и замкнуто относительно сдвигов.
2) RA = {0}.
3) Если В = А//а для некоторого а («А, то
VF С RB (у = supBr -> у б SB)«
4) Для всякого а £ А идеал /а является (^-полным.
Доказательство. Пусть a£A, XCRaA, B = A//a и h —
естественный гомоморфизм. Так как h (RaA) = RB, то h (X) С RB.
В силу условия 3) supu(X)£SB. В силу 4) sup/г (X) =/г (sup X).
Поэтому h (sup X) ^ SB, т. е. supXgS^A.
§ 4. Х°-алгебры конечного порядка
4.1. /Аалгебру А назовем алгеброй порядка п (или LJJ-алгеб-
рой), если в ней выполняется тождество
ап + ап = а\ A6)
260

4.1.1. Очевидно, если А £°-алгебра порядка п, то RA = {0}.
Это следует из равенства (паJ —па двойственного к A6). Таким
образом, каждая L^-алгебра представима в виде подпрямого
произведения простых /^-алгебр.
4.1.2. Простые Z^-алгебры можно охарактеризовать следующим
образом.
А —простая Lo-алгебра <-* 0=^1 & Yx =^=1 (хп=0). A7)
Действительно, если А — простая Z^-алгебра и x=^=i и #"=^=0,
то в силу A3) существует такое к, что к(хп) = 1. Однако, к(хп) =
= хп^х=^1.
4.1.3. В простых LJJ-алгебрах выполняются тождества
хп+1 = ^г A8)
Э?г+1 + хп+1 = хп+К A9)
Поэтому тождества A8) и A9) имеют место в любой LJj-алгебре.
Из A8), точнее из двойственной к A8) формулы вытекает, что
если А — Z^-алгебра, то
1а={х£А\х^па). B0)
4.1.4. Для Z^-алгебр заключение теоремы 6 имеет место уже
при условии только счетности и замкнутости относительно сдвигов
семейства Q. Действительно, условие 3 следствия 3 выполняется
в силу равенства RB = {0}, а из B0) следует X С/a->sup X ^
4.2. Теорема 7. Пусть А—простая /^+1-алгебра, тг^>1, ап=£0
и 1 =£ а ^ А. Тогда ап — наименьший и п (ап) — наибольший
элементы в множестве А\{0, 1}.
Доказательство. ап+1 = 0 -^ а <. (ап)~ -> ап <J {{an)~)n. ап=^=0 ->
-> (ап)~ ф 1 -> ((dn)-)n+1 = 0 -> ((aw)~f < (aw)~ " == aw. Таким образом,
а" = ((а"O-. .
Теперь покажем, что если 6 ^ А удовлетворяет уравнению
6=F~)и, то 6 — наименьший элемент в множестве А\{0, 1}. Пусть
я£А\{0, 1} и предположихМ, что Ь^х, т. е. Ь>х~=£О. Тогда
Ь- + х^=1 и F~ + ^уг+1 = 0, т. е. (Ь- + *)п<Ь-аГ. Так как 6 =
= (^ Г ^ (^" + хУ-> то b^b-x~. Таким образом, b = b'X~, причем
Ь£А\{0, 1} и х(* А\@, 1}. Однако в простых £°-алгебрах имеет
место
Viz, v(u, и^А\{0, l}-*u-v=£u). B1)
261

Действительно, если бы и -v = u, то для любого п > 0 и • vn =
= ц^0. В силу простоты алгебры А найдется я>0, что1/* = 0.
Итак, 6 — наименьший элемент.
Так как операция х\-> х~ есть антиизоморфизм алгебры А на
себя, то Ъ~ — наибольший элемент в множестве АХ^О, 1}. Остается
показать, что Ъ~ = nb. Это следует из равенства Ъ = (Ь~)п,
Из этой теоремы вытекает, что множество АЧ^О, 1} простой
LJJ-алгебры содержит (если оно не пусто) наименьший и
наибольший элементы т и М соответственно. При этом, т~ = М, (п — 1)т =
= М, М*~1 = т.
Для гс = 2 получаем, что т = М. Таким образом, простых
/^-алгебр имеется (с точностью до изоморфизма) всего две, —
двухэлементная булева алгебра {0, 1} и трехэлементная алгебра Лука-
севича {о, у, lj.
4.3. Для п = 3 к названным простым алгебрам добавляется
целый класс простых алгебр. Перейдем к описанию этого класса.
4.3.1. Пусть (С/, ^, —) — частично упорядоченное множество
с инволюцией (т. е. одноместной операцией х ь-> х~
удовлетворяющей аксиомам х — х т х^у-> у~ ^ х~)9 содержащее наименьший
и наибольший элементы т и М соответственно. Добавим к
множеству U два новых различных элемента 0 и 1. Положим 0 ^ х
и #^1, 0~ = 1, 1~ = 0. Определим двуместную операцию (х, у)\-^-
h+x-y.
О, если х ^ у~
х, если у = 1
х-у= J
у, если х =11
щ, в остальных случаях.
Получаемую описанным образом алгебру, зависящую от частично
упорядоченного множества U, обозначим через А(С7).
4.3.2. Теорема 8. Алгебра В является простой Z^-алгеброй тогда
и только тогда, когда 5= @, 1} или существует частично
упорядоченное множество U с инволюцией и наименьшим и наибольшим
элементами такое, что В изоморфна А(£7).
Доказательство. Пусть В =^= @, 1} — простая Z^-алгебра. Тогда
в качестве U можно взять множество А\{0, 1}. Достаточно пока-
262

зать, что если x^y~~tky=£l&x^l, то х • у = т. Действительно,
Х^£.У~ ~*х • У¥=®- С другой стороны, х • у ^М2 =т.
Покажем теперь, что алгебра А(£/) является простой Ljj-алгеб-
рой. Коммутативность операций (#, у) ь-> х • у непосредственно
вытекает из определения 4.3.1 и эквивалентности х^у~ +>у^х~. Если
множество {#, у, z) fl @, 1} не пусто, то ассоциативность х > (у • z) =
= (х • г/) • z очевидна. В противном случае как слева так и справа
от знака = получается, как нетрудно вычислить, 0. Если х • у~ = 0,
то в силу определения либо х^у~~~ = у либо ж=:0 и тогда х^у
либо у" = 0 и в этом случае # ^ у = 1. Таким образом, аксиома A3.5
имеет место. Остальные аксиомы системы A3 очевидны. Итак,
А(С7) — /Аалгебра. Нетрудно проверить, что Д/3 = 0. Поэтому для
всякого х^М #3 = 0. В силу A7) А(£7) — простая /^-алгебра.
4.4. Элемент ж £ А называется идемпотентом, если х2 = ж.
Тождество A6) равносильно условию: «всякий элемент вида (af1)"
является идемпотентом.
Теорема 9. Пусть А простая LSJ-алгебра, в которой для всякого х
элементы (х + х2J и х + х2 + 2 (ж""J являются идемпотентами.
Тогда А изоморфна либо булевой алгебре {0, 1}, либо четы-
{12 1
®у Т» Т» ^ I c опеРаЦиями
зГ = 1 —а: и х ' y = (xZ) У~)~> где и 3 ^ = mm(l —& + ^> 1).
Доказательство. Если в £°-алгебре А выполняются условия
теоремы и А=^={0, 1}, то она имеет строение, даваемое
теоремой 8. В силу формулы B1) в простой /Аалгебре А
идемпотентность какого-нибудь элемента z означает, что z = 0\/z = l. Если
(л: + сТ2J = 0, то #2 = 0. Если бы х2 =^= 0, то в силу теоремы 7х2 =
— т — наименьший элемент в множестве А\{0, 1}. Из
определения 4.3.1 следует, что в этом случае х-\-х2^М. Поэтому (х -f-
-f- x2J J> M2 = т =fc 0. С другой стороны, очевидно, если х2 = 0,
то (х + х2J = 0. Поэтому уравнения (х + х2J = 0 и х2 = 0 имеют
одни и те же корни.
Так как (х + я2J = i^a; + ;r2:=l4H>'r~^a;2<B>(:i;z=^V^" = ^2)^
*> x — \\j х — М, то идемпотентность элемента (ж-}-#2J означает,
что х^М\/х2 = 0. Подставляя вместо х х~ получаем, что для
всякого #£А х^т\/2х — 1. Объединяя эти два факта, находим
V#£ А (х^ М\/х^т\/х = х~). Если существует х(* А, что х — х~,
263

то х2 = 0 и (х~J = 0. Поэтому х + я2 + 2(х~J = х§ {0, 1}. Итак,
Vx£A((x^M\/x^m)&M=£m).
4.5. Эта теорема позволяет сформулировать 4х-значную логику
Лукасевича £4 как классическое исчисление секвенций с
некоторыми ограничениями на правила сокращения.
Теорема 10. Если к правилам сокращения
Г, у, у-> А Г-><р> 9» A
г, ср->д г->?, д
исчисления Генцена LK добавить оговорку: «Формула ср должна
иметь один из следующих видов ф3 или (ф + ф2J или ф -[- ф2 -J-
-f- 2 (~]ФJ>>? то получится секвенциальный вариант 4х-значной логики
Лукасевича, т. е. формула ср общезначима в 4х-значной логике
предикатов £4 тогда и только тогда, когда секвенция, —> ср выводима
в рассматриваемом исчислении секвенций. При этом, связки ср -}- ф
и ср . ф определяются так
f + ty^lVlD^ ср.ф^  (ср ZD "|ф).
Доказательство. Алгебра Линденбаума для рассматриваемого
исчисления есть Ljj-алгебра, в которой элементы вида (х-\-х2J
и х-\-х2-\-2 (х~J являются идемпотентами. В силу 4.1.4 семейство
(^-гомоморфизмов (Q — семейство всех формульно задаваемых
множеств алгебры Линденбаума) этой алгебры на простые L0-
алгебры будет разделяющим, а сами простые алгебры в силу
теоремы 9 являются либо 4х-элементной алгеброй Лукасевича, либо
двухэлементной подалгеброй этой алгебры. Таким образом, если
формула ср не доказуема в рассматриваемом исчислении, то
найдется Q — гомоморфизм в 4х-элементную алгебру Лукасевича,
для которого /г,ср = 1 (т. е. найдется модель с множеством истинно-
Г 1 2 1
стных значений jO, -^ ~ Ik в которой ср не истинна).
Если предикатная формула ср доказуема в этом исчислении
секвенций, то, как нетрудно проверить, она общезначима в £4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гришин В. Н. Об одной нестандартной логике и ее применении к теории
множеств. — «Исследования по формализованным языкам и
неклассическим логикам». М., 1974.
2. Генцен Г. Исследования логических выводов. — «Математическая теория
логического вывода». М., 1967.
3. Ламбек Я. Кольца и модули. М., 1971.

Д. А. БОЧВАР И В. К. ФИНН
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ К СТАТЬЯМ
О МНОГОЗНАЧНЫХ ЛОГИКАХ
Введение
В [1 ] была построена трехзначная логика, обозначаемая в
настоящей статье посредством В3. В В3 был сформулирован анализ
антиномий Рассела и Вейля—Греллинга, а в [2] была доказана
непротиворечивость системы В3 с универсальной переменной и
с аксиомами свертывания, ядра которых суть собственно
внутренние формулы (определения внутренней формулы и собственно
внутренней формулы см. ниже). В [1] третье истинностное
значение, отличное от «истины» и «лжи», интерпретировалось как
«бессмыслица». В соответствии с [1 ] высказывание является
осмысленным, если оно принимает лишь истинностные значения
«истина» и «ложь».
Пусть р, q, r (с индексами или без них) обозначают
пропозициональные переменные, а ра, ...,р^суть знаки исходных
операций некоторой m-значной логики К, множеством истинностных
значений которой является |0, г, . . ., —~~т, if, гДе 0 и 1,
соответственно, обозначают «ложь» и «истину».
Пусть X — формула логики К, содержащая в точности п
пропозициональных переменных. Определим функцию оценки vh для
формул К, содержащих не более п пропозициональных
переменных, полагая vk(pp.q)=:vh(p)o.vh(qI i = l, . . ., s, где р, суть
исходные операции К, a vh(p), vh(q), vh(r) суть элементы
JO, 7, • • •> ——7 , if. Пусть vh(l ^.h^mn)—произвольная оценка
формулы X, рассмотрим множество всех оценок X Ax = {vv ...
• • •> vmn)y Очевидно, что Ах определяет некоторое отображение
указанное отображение посредством /х(Хх, . . ., Хя), будем
называть его функцией, соответствующей X. /х(Хг, . . .,ХЯ) графически
равна выражению, полученному из X заменой каждого вхождения
пропозициональной переменной р4 на Xrf.
265

Пусть, далее, X, У, Z (с индексами или без них) суть
формулы К, тогда логику К будем называть непостовской [3], если
/*G^Xn-i>0' * —1» •••» S> гДе /*•—m-значные функции,
соответствующие формулам К pp4q, а Т™т_и0— предгюлный класс [4],
сохраняющий истинностные значения «ложь» и «истина».
Пусть X — формула логики К такая, что pv . . ., рп суть все
пропозициональные переменные, входящие в X, пусть, далее,
/х(Хх> ..., Хя)—тп-значная функция, соответствующая X,XV ...
. . ., Хя, суть аргументы /j, тогда из определения непостовской
логики следует, что если Х4 £ {О, 1}, i = l, ...,д, той /х(Хх, ...
. . ., XJ принимает значения либо 0, либо 1. Логика В3 и логики
Я. Лукасевича [5] Lw C ^ т < ^0) суть примеры непостовскихлогик.
Пусть <§— множество всех ттг-значных функций,'соответствую-
1цее непостовской логике К, тогда для подмножеств <5 определим
операцию замыкания [ ], следуя А. В. Кузнецову [6], а именно
под [^], где $ С ^ будем понимать множество всех суперпозиций
функций, принадлежащих $. Множество ^ называют замкнутым,
если [$] = $; множество 5? называют (функционально) полным
относительно <5, если [^J^'J; замкнутое множество й называют
(функционально) предполным относительно E, если [^]т^5» но
для каждой функции /^^ такой, что /^^[^U {/Jl^^S-
Пусть /G^, тогда / будем называть внутренней функцией,
соответствующей непостовской логике К, если множеством ...
т — 21
. . ., j\ истинностных значении, отличных от «лжи» и «истины»,
ЛЬ — 1J
замкнуто относительно /, т. е, для любых наборов истинностных
значений v,, . . ., vw таких, что v.^Oh vf =£ 1, i = 1, . . ., п f (yv .. .
••- vJ^O И /(vlf ..., v.)^l.
Очевидно, что множество всех внутренних функций ^in,
соответствующее непостовской логике К, является замкнутым, т. е. [E<я]=C:^.
Пусть /£*5, где ^ — множество всех функций,
соответствующее непостовской логике К, тогда функцию / будем называть
внешней функцией, соответствующей логике К, если для любого
набора истинностных значений v1? . . ., vw f(yly . . ., vJ = O или
1 Импликация Я. Лукасевича, которой соответствует функция min A,
1—X+Y) не является ни внутренней, ни внешней функцией.
266

Отметим, что понятия внешней и внутренней функции для
логики В3, введенные в [1], являются, соответственно, примерами
внешних и внутренних функций в определенном выше смысле.
Формулу X логики К будем называть внутренней (внешней),
если функция /х, соответствующая X, является внутренней
(внешней) функцией.
Будем говорить теперь, что исходные операции логики К
Pi»« • •» 98 удовлетворяют «принципу отделимости» [7], если
множество исходных операций указанной логики разбивается на два
непустых подмножества, одно из которых состоит из внутренних
операций (т. е. операций, которым соответствуют внутренние
функции), а другое состоит из внешних операций. Очевидно,
что из данной формулировки «принципа отделимости» следует
невыразимость, соответственно, внутренних операций через
внешние и внешних — через внутренние.
В [8, 9] была предложена аксиоматизация пропозициональной
логики В3 с исходными операциями ~, р|, |J, ->, которым
отвечают функции, определенные на множестве JO, уэ ll:
Там же была сформулирована аксиоматизация пропозициональной
логики Lg, эквивалентной L3 Я. Лукасевича. Исходными
операциями Lg являются ~, &, \/> -*> которым отвечают функции,
определенные на множестве |0, — ? ll:
Bg и Lg суть непостовские логики, удовлетворяющие принципу
отделимости (это свойство В3 и Lg используется пр,и анализе
антиномий, см. § 1 и § 5). В [10] были изучены функциональные
свойства логики В3. Пусть 933— множество всех функций,
определимых посредством базисных функций [1J ~ X, X f7] Y и (=Х, где
267

тогда ЪВ^Ъ% U 932,. гДе <35' = [{~Х, XRY, (=Х}], а <В?В и
953 , соответственно, множество всех внутренних и множество всех
внешних функций. Можно показать, что [93У = 93?„ и [95^] =
= <3*х. Очевидно, что Ъ]п П 53^=0; из равенств <353 = 95JJI U 93L
и <23?w П 93^ = 0 следует отделимость внешних функций базиса
от внутренних функций базиса.
Пусть тождественно не равная О /(Хх, . . ., ХЯ) £93^, тогДа
a &0— число наборов истинностных значений (vj, . . ., v*) таких,, что
/(V*. .... V*)=l.
Указанное представление / называется /-совершенной дизъюнк-
тивной нормальной формой /.
Пусть /(Xlf ..., Хн)£<&, тогда /(Х1? . . ., XJ=7X1U ...
...y/X^U^, где /Х.^Х, П-Х,, ^ = 1,..., Л, 0<Л<п,
a G^ есть /-совершенная дизъюнктивная нормальная форма
функции {=/(Х1? . . ., XJ. Если к = 0, то / — внешняя функция; если
к=п, то / называем собственно внутренней функцией (например,
~ Хх = /Хх у 70Xt) Хх П Х3 = /Xt U /X2 U (/А П /А));
если 0 <^ к < гг, то функцию / называем не собственно внутренней
функцией (например,
f(Xv Х2) = Щ у GД, П /хХ2)) [9, 10].
В [10] были найдены все предполные в 933 множества
функций и сформулирован критерий функциональной полноты в Q33.
В [7] были указаны два вида m-значных обобщений (т ^> 3) логики
В3 (/n-значные обобщения В3 были рассмотрены также Н. Реше-
ром2 в [И]).
В [13] С. Холден с целью изучения свойств осмысленности
высказываний, которая понималась им аналогично [1], построил
трехзначную логику С с двумя выделенными истинностными
значениями («истина» и «бессмыслица»). Исходными операциями С
2 В [11] и [12] содержится матричное построение В8.
268

являются ~, 3 и ~ | . Указанным операциям соответствуют
следующие функции: —X^ 1 — X, ХэУ^-Ху F,
1, если Х^4-
О, если Х = у.
В [10] было показано, что Ъ1 С 95?, где 33£ = [{~Х, ХэУ,
~ j X}], а 95^ одно из предполных в 933 множеств функций.
В [14] К. Сегерберг построил трехзначное исчисление D с двумя
выделенными истинностными значениями «истина» и
«бессмыслица» исходными операциями ~, р|> |= (мы употребляем знак[=
вместо |—, используемого в [1] и [2]), которым соответствуют
функции —X, X р| Y, (=Х, образующие базис для 933. Таким
образом, исчисление D3 является расширением исчисления С.
В [15] К. Пируг-Жепецка сформулировала исчисление
(являющееся фрагментом классического двузначного исчисления
высказываний), достаточное для решений неравенств, содержащих
одно неизвестное. В этом исчислении учитывается тот факт, что
рациональные выражения при некоторых значениях неизвестных
могут не иметь смысла. Таким образом, указанное исчисление
формализует рассуждения, содержащие бессмысленные
высказывания, принадлежащие некоторому классу. В [16] было показано,
что упомянутое исчисление не имеет конечной характеристической
матрицы, а в [8] было отмечено, что это исчисление является
фрагментом логики В3. В [17] К. Пируг-Жепецка построила
исчисление эквивалентное В3, а в [18] Е. Слупецкий и К. Пируг-
Жепецка построили алгебру классов, в которой классы могут
задаваться выражениями, не имеющими смысла.
В [19 ]4 А. Ишмуратов построил элегантное исчисление сек-
3 В [14] К. Сегерберг рассмотрел также расширения исчисления D
—исчисления Е и F, исходным операциям которых соответствуют функционально
полные системы функций, т. е. Е и F суть исчисления эквивалентные
трехзначному исчислению Е. Поста.
4 В [19] представлено также исчисление высказываний в гильбертовской
форме.
269

венций для пропозициональной части В* и доказал теорему о
допустимости правила сечения 5.
В [20] Т. Смайли для логико-семантического анализа
выражений, не имеющих денотатов, применил логику В3. Там же он
обратил внимание на связь между трехзначными логиками и так
называемой пресуппозициональной логикой (logic of
presuppositions) 6. В [21 ] представлены статьи, в которых предлагаются
различные формализации антиномии «лжец». В частности, в статье
Б. Ван Фраассена «Истина и парадоксальные следствия» для
анализа антиномии «лжец» применяется пресуппозициональная
логика, семантика которой (основанная на так называемых
супероценках) является неклассической, а теория дедукции классической.
В статье Г. Херцбергера7 «Истина и модальность в семантически
замкнутых языках» для анализа указанной антиномии применяется
трехзначная логика с исходными операциями В3, но имеющая два
выделенных истинностных значения «истина» и «бессмыслица»
(как и в исчислении D К. Сегерберга). Г. Херцбергер замечает,
что он использует два выделенных истинностных значения для
того, чтобы сохранить теорию дедукции двузначной логики.
В [23] П. Вудруфф для формализации рассуждений,
содержащих высказывания, не являющиеся ни истинными, ни ложными,
предложил логику с исходными операциями Z), (= и константой
у, где Z) соответствует функция X3Y ^^ ~ X\/Y, X\/Y ^
^тпах(Х, Y). Очевидно, что X 3 Y, (=Х, -^ является
функционально полной системой функций, т. е. логика Вудруффа
эквивалентна трехзначной логике Е. Поста. П. Вудруфф высказывает
некоторый тезис, что алгебры, соответствующие логическим языкам,
должны быть решетками, а так как алгебра, соответствующая В3
6 См. в связи с этим в [8J, стр. 162, пункт 2.
6 Пресуппозициональная логика, или логика с допущениями, формализует
рассуждения об объектах, относительно существования которых должны
быть сделаны специальные допущения. Согласно П. Страусону,
предложения, которые содержат термы, не имеющие денотата, не являются ни
истинными, ни ложными. Ситуации подобного рода получили в литературе
название функционально-истинностного «провала».
1 См. также [22].
270

(см. § 2 настоящей статьи), не является решеткой, то, по-видимому,
поэтому для формализации рассуждений, содержащих
бессмысленные высказывания, предлагается указанная выше логика с
исходными операциями Z), |=, у, алгебра которой есть решетка.
В связи с работами Б. Ван Фраассена, Г. Херцбергера и
П. Вудруффа отметим следующее.
A) Логика В3 имеет два уровня; первый уровень образуют
внутренние формулы, которым отвечают функции из 93^я; второй
уровень образуют внешние формулы, которым отвечают функции
из 93;?а. Внутренние формулы суть выразительные средства и
представляют язык-объект, в котором рассматриваемые факты не могут
быть доказаны; внешние формулы суть дедуктивные средства,
с помощью которых могут доказываться утверждения о
внутренних формулах (в этом смысле внешние формулы представляют
метаязык). В частности, посредством внешних формул могут быть
доказаны утверждения о бессмысленности некоторых внутренних
формул (см. § 1, § 3 и § 5).
B) Множество внешних формул логики В3 содержит изоморф
классической двузначной логики, а следовательно, в В3 содержатся
средства, соответствующие дедуктивным средствам двузначной
логики.
C) Алгебра В3 (см. [9] и § 2 настоящей статьи) содержит под-
алгебру, являющуюся булевой алгеброй, которая соответствует
множеству внешних формул.
D) Анализы антиномий, осуществляемые в В3,
иллюстрируют достаточность одного выделенного истинностного значения
(«истины») для формализации рассуждений, содержащих
бессмысленные высказывания.
E) Функциональная неполнота 953 относительно множества
всех трехзначных функций и тот факт, что Q33 U J— i = 933 U туг »
дают основания для содержательной интерпретации третьего
8 В [9] было рассмотрено расширение В3 логика В^ с исходными
операциями ~, (Tj, У, -», Г, где Т соответствует функция Е. Слупецкого
Т (X) =* Для Х = 0, ~2 у 1. Очевидно, что В^ не является непостовско»
логикой, но не эквивалентна логике Поста, а есть ее фрагмент.
271

•истинностного значения Гу) как бессмыслицы. Отметим так же,
-что работы К. Пируг-Жепецка дают дополнительный аргумент
в пользу указанной интерпретации: формализация частного вида
рассуждений, включающих высказывания, теряющие смысл,
содержится в В3.
В [24] и в ряде статей Л. Годдард и Р. Раутли в связи с
анализом семантических свойств предложений естественного языка
предложили серию трехзначных логик для формализации
рассуждений, содержащих предложения, семантическая оценка которых
зависит от контекстов, в которых эти предложения употребляются,
В качестве одной из таких логик они рассмотрели логику QS2,
эквивалентную логике предикатов В3 (см. [24], глава 5 и глава 7»
§ 3).
В [25] Г. Лаков обсуждает целесообразность применения
многозначных логик для формализации семантики естественных
языков. В частности, Г. Лаков обсуждает трехзначные логики L3
Я. Лукасевича и В3, делая вывод, что упомянутые трехзначные
логики не вполне адекватны для задачи анализа естественного
языка.
В статье [26] В. Колье рассмотрел операции <-> и <^ )>,
определяемые ниже: p<+q^(p->q) П (д->р), р< >д-И((рзд) П
П (q 3 р))у где p3g^~pU?« На том основании, что формула
(р <( yq)ZDGl(p*>q) не является тавтологией (р 3 <И q ^ (р 3 q) П
р|(#3р)), Колье заключает, что «эквивалентность не является
отношением эквивалентности», а следовательно, в В3 нельзя
рассматривать тавтологии. Данное замечание Колье неверно, так как
роль отношений эквивалентности в В3 играет «р = д»,
определяемая следующим образом: p^qZ^(p *> q) р| (—р *> ~д) [1]. Более
того, система функций Bf, рассматриваемая Колье, не является
функционально полной в 93^, что следует из критерия
функциональной полноты для 93^., сформулированного в [10] в Замечании 1.
А. Эркарт в [27] предложил модели в стиле С. Кринке для
логик Э. Поста, Lw Я. Лукасевича и В3.
Отметим в заключение настоящего обзора интересное
замечание Т. Смайли [28] относительно связи внутренних операций
В3 и аналитической импликации, в смысле В. Пэрри [29, 30].
.272

§ 1. Некоторые замечания относительно логики В3
1. Метод формализованного анализа антиномий, описанный
в [1], состоит в том, что логика В3 с универсальными термовыми
переменными пополняется присоединением некоторой аксиомы
свертывания (или конечного набора аксиом свертывания9),
присоединение которой к классическому исчислению предикатов
с универсальными переменными (например к исчислению Кб
[31]) приводит к противоречию, и затем средствами такой
пополненной логики В3 (система В3) выводится формула, выражающая,
что некоторое высказывание, содержащее постоянный терм,
определяемый присоединенной аксиомой свертывания, не имеет смысла.
В [1 ] метод иллюстрирован применением к двум конкретным
антиномиям — антиномии Рассела (пример «логической» антиномии)
и антиномии Вейля—Греллинга (пример семантической антиномии).
При ограничении так называемыми логическими
антиномиями 10, т. е. антиномиями, для построения которых достаточно
языка логики предикатов с универсальными термовыми
переменными, и при исключении вхождений высказывательных
переменных в ядра аксиом свертывания, не возникает необходимости в
различении переменных, помеченных и непомеченных индексом к,
как в [1].
В [1] и [2] допустимыми в аксиомах свертывания (короче,
допустимыми в свертках) считаются все ядра, в состав которых
могут входить атомарные формулы, записанные с помощью
универсальных термовых переменных и постоянных термов,
введенных свертками, внутренние операции исчисления высказываний
~ (не), П (и) и определяемые через них, а также кванторы Vx,
3#. Такие допустимые ядра будем называть собственно
внутренними, или иначе, собственно открытыми.
Только что формулированный запас допустимых ядер сверток
может быть несколько расширен в соответствии с определением
s В случае семантической антиномии, также некоторых дополнительных
не логических аксиом.
10 Термин «логическая антиномия» следует понимать в том смысле, что
данная антиномия формулируема в логическом языке, но не в том смысле,
что она выводима в логике; аксиомы свертывания, используемые при ее
построении, не являются аксиомами логики.
273

в [7] открытой формулы (см. § 2 и 3 настоящей статьи) и притом
без всяких изменений доказательства непротиворечивости в [2 К
Открытые формулы в настоящей статье будем называть
внутренними. Высказанный в [7] принцип отделимости утверждает
невыразимость внешних операций исчисления высказываний с
помощью внутренних операций.
2. Анализ антиномии Рассела, приведенный в [1 ], представляет
собой лишь простейший случай формализованного анализа
антиномий средствами логики В3. Аппарат последней применим
и в случае антиномий, к построению которых привлекаются
свертки с более сложными расселовыми п ядрами, а также и в
случае так называемых коллективных антиномий, к построению
которых привлекается более одной аксиомы свертывания.
Ниже приведены некоторые примеры. Доказательства лишь
кратко намечены.
Определения внешних пропозициональных операций (см.
Введение) Д, V» => —» употребляемых [ниже,-даны в [], 2, 8J.
Напомним эти определения: pA^^NpHN^ где[=р^((р->р)-н»р)т
pV« — NpUN?> p = Q^(p*+q)f)(~P+>~q), где р^д^
^(р-^?)РШ~*Р); Р —IpUJp, где ~]р^((р-*р)-*~р), а
Jp^~(HpU 1p)-
Пример 1.
К логике В3 присоединим свертку
11 Ядро свертки называется расселовым, если уже присоединение одной этой
свертки к классическому исчислению предикатов с универсальными тер-
мовыми переменными приводит к противоречию.
12 В приводимых примерах мы несколько изменили обозначения из [1J.
В частности, у и g в настоящей статье обозначают внутренние кванторы
(см. [1]).
274

откуда
РЖ)- <4)
С другой стороны, из B)
^P1(P1) = ^y(Pl(y)f]y(y)) E)
п, далее,
-Р1(Р1)-*^У(Р1(У)АУ(У))< F)
откуда легко следует
Из D) и G) получаем
iPx(Pi)-
Пример 2.
К логике В3 присоединим свертку
р2(*)=Яу(~*(у)Г\~у№ (!')
Из A;) находим
Р2 (Р2) = Яу (~ Р2 (у) П ~ у (у)). B')
Далее
р2 (р2) -* яу (~ р2 (y)Aii) C')
Теперь, так как формула
Vy(y(y)\/v(v))
есть теорема логики В3, заключаем
Щр1- E')
С другой стороны, из Bf)
275

Из E;) и (9') окончательно следует
Пример 3. (Анализ коллективной антиномии.)
Присоединим к логике В3 две аксиомы свертывания
3. В заключение этого параграфа сделаем замечание к
анализу антиномии Карри в В3. Этот тип антиномии анализируется
столь же просто, как и антиномия Рассела. Однако, так как для
формулирования свертки в этом случае в состав ядра надо ввести
276

высказывание (переменное или постоянное), то следует
пользоваться правилами обозначений из [1 ]. Пусть имеем свертку
<?(*) = (*(*) ЭР*),
где /?к — индивидуальное высказывание, записанное в языке
внутренних переменных и операций, или переменное внутреннее
высказывание (причем, в этом случае следует пометить символ
Q индексом рк : Qpk).
Непосредственно очевидно, что в В3 эквивалентность
Q(Q) = (<?(<?) ЭР,)
удовлетворяется при условии
i <?(<?),
каково бы ни было рк.
§ 2. Аналитические таблицы для логики высказываний В3
В настоящем разделе мы построим формализацию логики В3
методом аналитических таблиц Р. М. Смалайна [32], который
есть результат комбинирования «семантических таблиц» Е. Бета
[33] и модельных множеств Я. Хинтикки [34]. Исходными
операциями В3 являются ~, П» U5 ->> Vh3 [9]. Пропозициональные
операции, соответственно, определяются истинностными
таблицами следующим образом:
п
0
1
2
1
0
0
1
2
0
1
У
1
2
i
2
i
2
1
0
1
2
1
1
1
2
0
и
0
1
2
1
0
0
1
2
1
1
т
1
У
1
2
1
2
1
1
1
2
1
-»
0
1
У
1
0
1
1
0
1
У
1
1
0
1
1
1
1
Пропозициональные переменные р, q, r, ... суть формулы;
если X — формула, то — X есть формула; если X и Y суть
формулы, то X (^Yy X \J Y, X -^Y суть формулы. Отметим, что
277

формула Y есть подформула F. Вхождение подформулы Z в
формулу X назовем закрытым, если существует подформула У
формулы X такая, что Yz°iY1-+Y2, a Z есть подформула У. («ш»
знак графического равенства формул). Формулу X будем называть
внешней формулой [7, 9], если вхождение любой подформулы X
в формулу X является закрытым. Формулу X, в которой
содержатся вхождения подформул, не являющихся закрытыми, будем
называть внутренними формулами 13.
Расширим наш язык посредством операций Т, S и F,
применяемых к формулам. Выражения вида ТХ, SX и FX будем называть
помеченными формулами, где X — непомеченная формула. FX,
SX и ТХ, соответственно, определяем как «X ложна», «X
бессмысленна», «X истинна». Помеченную формулу FX назовем
истинной, если X ложна; помеченную формулу SX назовем
истинной, если X бессмысленна; помеченную формулу ТХ
назовем истинной, если X истинна. Очевидно, что операции F, S,
Т аналогичны внешним операциям, введенным в [1 ] и названным
впоследствии Б. Россером и А. Тюркеттом /-операциями.
Пусть So, Si/2, S1? соответственно, обозначают F, S, Т; тогда
конъюгатом помеченной формулы S4X будем называть
помеченную формулу SjX такую, что i=^=j. Посредством о будем обозначать
операцию, которую назовем булевой конъюгацией: oS0X=S1X,
oSiX^SoX.
Для построения аналитических таблиц в смысле [32] для
трехзначной логики высказываний вводятся следующие правила:
Т (X R У) F(IRY)
1' ТХ, ТУ FX, TY|FX, FY|TX, FY'
9ч Т (X Ц У) F (X Ц У)
*' ТХ, ТУ|ТХ, FY|FX, ТУ FZ, FY '
3) Т<~*> F (~Х) .
4)
FX TX
T(X-*Y) F(X->Y)
FX\SX\TX TX, FY|TX, SY'
13 Очевидно, что внешние и внутренние формулы в определенном выше смысле
суть внешние и внутренние формулы в смысле соответствующих
определений из Введения к настоящей статье. 1
278

, S (X П Y) S (X U У) - S(^X)
O) SX\SY SX\SY SX '
S_(X->7)
Вертикальная черта | означает «ветвление» результата, т. е.,
например, в правиле xz FyTtx SY РезУльтатом будут или ТХ и
FF или ТХ и SF («или»—неразделительное).
Приведенные выше правила разбиваются на три типа
Приводимые ниже таблицы реализуют классификацию правил
1)—6) по типам А, В и G14:
14 Таблицы для случаев а, р, х выражают необходимые и достаточные условия
истинности формул, стоящих, соответственно, в колонках а, р, х-
279

Ради общности записи в случаях правил
будем
полагать, соответственно, (Зх = ри = C12, р2 = р21 = C22 и Хх = Хи=
==Zl2» Z2 = Х21 == Z22» Хз = Хз1 = Хз2'
В [1] были введены пропозициональные операции ~~|Х, \Х и
{=Х, которые определимы через исходные операции следующим
образом: [= X^((X->X)->X), "| X ^((Х->Х)-> -X), |Х^±
e-((=XUiX)f т. е.
!1, если X = i
О, если X=^=J,
где г = 0, у, 1, а /0 есть ~], /i/2 есть j , /х есть (=.
Указанные операции были, как сказано выше, названы
впоследствии Б. Россером и А. Тюркеттом /-операциями; истинностные
функции, соответствующие операциям ~|, | , f=, суть те же самые
функции, которые отвечают, соответственно, помеченным
формулам FX, SX и ТХ.
Пусть Х° и У0 суть внешние формулы, а I, У — произвольные
формулы, тогда из определений ~~| и F, j и S, (= и Т следует,
что приводимые ниже правила являются производными правилами
нашего исчисления:
280

Теперь легко видеть, что в исчислении В3, заданном посредством
правил 1—6, содержится изоморф двузначной логики
высказываний: а именно, заменяя X и У, соответственно, на Х° и У0,
получим производные правила (для аналитических таблиц для
внешних формул)
которые суть правила для исчисления высказываний двузначной
логики.
Следуя Р. Смалайну, определим теперь формально понятие
аналитической таблицы. Предварительно введем следующие понятия.
Под неупорядоченным деревом Г будем понимать
следующее: A) множество S элементов, называемых точками, B)
функцию Z, которая приписывает каждой точке натуральное число I (X),
называемое уровнем X, C) отношение XRY, определенное на S,
обозначающее, что"«Х есть предшественник У» или «У есть
следующая точка за X» (мы будем говорить в этом случае, что «Y есть сук-
цессор X»). Отношение R удовлетворяет следующим условиям:
D) имеется единственная точка Хг уровня 1, т. е. I (Х1) = 11
называемая корнем. E) Каждая точка, отличная от корня, имеет
единственного предшественника, F) для любых точек X и У, если У
есть сукцессор X, то I (Y) = l (Х)+1.
Точку X назовем концевой точкой, если она не имеет сукцес-
соров; точку X назовем простой точкой, если она имеет в точности
один сукцессор, в противном случае точку X назовем юнктивной
точкой. Под путем мы будем понимать любую конечную или
счетную последовательность точек, начинающуюся с корня, такую,
что каждый член последовательности, кроме последнего (если
таковой имеется), является предшественником следующего члена.
281

Под максимальным путем, или ветвью, будем понимать путь
такой, что его последний член есть либо концевая точка дерева,
либо путь, являющийся бесконечным. Под упорядоченным
деревом Г понимают неупорядоченное дерево, на котором задана
функция С такая, что она приписывает каждой юнктивной точке Z
последовательность С (Z), не содержащую повторений и
состоящую из всех сукцессоров точки Z. Дерево Г будем называть конечно
порожденным, если каждая точка имеет конечное число
сукцессоров; дерево Г будем называть m-адическим, если каждая
юнктивная точка имеет не более т сукцессоров (т=2, 3,. . .).
Аналитической таблицей для формулы X является конечнопорожден-
ное триадическое дерево Г, удовлетворяющее следующим
условиям. Пусть Тг и Г2 суть два упорядоченных триадических дерева
такие, что их точками являются вхождения формул, Г2 будем
называть прямым расширением 1\, если Г2 получено из Гх
применением правил одного из типов А, В и G, рассмотренных выше.
Тогда Г есть таблица для X тогда и только тогда, если существует
конечная последовательность 1\, Г2,. . ., Гя, где ГЯ=Г такая, что
Гх есть одноточечное дерево, чей корень есть X, и для каждого
i < п Ti+1 есть прямое расширение Г\.
Ветвь таблицы помеченной формулы назовем замкнутой, если
она содержит и помеченную формулу и ее конъюгат (т. е. Т X
и FX, либо ТХ и SX, либо SX и FZ), в противном случае ветвь
назовем открытой. Таблицу, все ветви которой замкнуты, назовем
замкнутой. Под доказательством непомеченной формулы X будем
понимать пару замкнутых таблиц для формул FX и SX.
Очевидно, что для случая двузначной логики аналитической
таблицей является диадическое дерево, а доказательством
непомеченной формулы X является замкнутая таблица для FX. Од-
нако в силу производного правила для внешних формул тхо F „0
таблица для SX0 всегда является замкнутой.
В [9] была сформулирована алгебра <21в3==\|0> Т > 1 р 1==:' "^> П > U /
для В3 и показано, что ЭДвз является трехэлементной
дистрибутивной квази-решеткой, в смысле [35], с инволюцией ~ и
эндоморфизмом (=, удовлетворяющей следующим тождествам:
282

В силу равенств
алгебра
эквивалентна алгебре ЗДВз=/|0, у, ll, (=, —-, p|, \j\ [37J.
Функцию и, отображающую множество Фх всех формул логики
высказываний В8 на JO, у, l|, где 0, у, 1» соответственно,
обозначают истинностные значения «ложь», «бессмыслица» и «истина»,
будем называть В3-оценкой, если она удовлетворяет следующим
условиям:
15 В [36] Г. Моисял предложил алгебру для В3; однако эта алгебра не
является адекватной для В3, так как она является дистрибутивной
решеткой, содержащей нульарную операцию -у (константа «бессмыслица»)
и операцию Х\/Y:?±max (X, Y) для упорядочения *<0<1, которые
не выразимы ни в Я$в, ни даже в 933 U {у} (в S33 U yj] He выРазима
X V Yj. Множество функций Г233 U VJ}] = 933 U ("JJ соответствует
расширению логики В3 —логике By [9] (см. сноску 7),
233

Под интерпретацией формулы X мы будем понимать
приписывание истинностных значений всем переменным, входящим
в X. Очевидно, что всякая интерпретация v0 может быть
расширена до некоторой Bg-оценки, так как для данной и0 истинностное
значение любой подформулы Y произвольной формулы X
определяется единственным образом так, что истинностные значения
подформулы Y определяются в силу условий A)—D). Множество
формул S будем называть одновременно удовлетворимым, если
и только если существует В3-оценка, при которой каждая Х£Е
удовлетворима. Будем говорить также, что указанная оценка
удовлетворяет S (см. аналогичное рассуждение для двузначной
логики в [32]).
X будем называть тавтологией В3, если и только если v (X)~l
для любой В3-оценки v.
Следующее определение тавтологии В3 эквивалентно
приведенному выше определению: X есть тавтология В3, если и только если
X истинна при любой интерпретации.
Формулу X будем называть удовлетворимой, если и только
если она истинна по крайней мере в одной В3-оценке.
284

Можно показать, что функция v есть гомоморфизм,
отображающий множество формул Фх исчисления В3 в алгебру $1'^
т. е. что имеют место равенства
1) v(XF)Y) = v(X)f)v(Y),
2) v(X\JY) = v(X)\Jv(Y\
3) v(~X) = ~v(X),
4) v(X-+Y) = v(X) + v(Y),
где v(X), v(Y) суть элементы ЗД^.
Рассмотрим множество формул В3 S истинных относительна
некоторой Bg-оценки и. Легко видеть, что для любых X, Y имеют
место следующие условия: (Sx) в точности одна из формул ~~]Х,
IX, \=Х принадлежит S, т. е. 7#.Х£3 если и только если
JjX^S и IhX£S,
где i =£ /, i ==£=h} j=£ h, i, /, h ^ JO, -j, 1J и /0 есть ~], /Vl есть | ,
/x есть {=;
E2) Zpl^'G^» еслп и только если, ZgS и Y £S;
E3) Ar |J F £ 2, если и только если (X £ S и j 7 g S) или (У £ ST
и IXgH);
E4) Z-^F^S, если и только если Х^НилиУ^З.
Множество S, удовлетворяющее условиям (S^—(S4), будем^
называть насыщенным множеством, или множеством истинности.
Очевидно следующее утверждение: множество формул S тогда и
только тогда есть множество всех истинных формул относительно
В3-оценки и, когда S есть насыщенное множество. Очевидно такжег
что формула X удовлетворима, если и только если она
принадлежит по крайней мере одному насыщенному множеству; формула X
является тавтологией, если она принадлежит любому
насыщенному множеству.
Сформулируем теперь определение множества истинности или
насыщенного множества для помеченных формул: множество £>
помеченных формул будем называть множеством истинности, если
оно удовлетворяет условиям (О), (А), (В), (G):
285

(О) для любой непомеченной формулы XS4X(*(Z, если и
только если SyXg<3 и SAXg6, где i^=jy i=£h, ]фН и i, j, h£
е{о,|.'};
(A) а£б, если и только если ах£б и а2£<5;
(B) Р£б если и только если Pn£<5, Pi26<5 или C21£ в, Р22G ©>
(G) Хб©> если и только если хп£б, Х126© или Z21G6»
X22GS» и™ %316 6, Хз26в.
Множеством Хинтикки для В3 будем называть множество
помеченных формул б, удовлетворяющее для любых а, C, х уело-
виЯхМ (Но), (Hj), (Н2), (Н3): (Но) для любой переменной р, St.p £ б,
если и только если S.p^S и SApj£E, где i=^=j\ i=^h, j=^h, i>
(Hi) если а £ б, то ах f б и а2 £ б;
(Н2) если Р£ б, то или Ри£б, р12£в, или^21^б, P22G©»
(Н3) если xG®» то или XuG<3, X12G©, или x2iG®> X22G6,
или XaiGS, X32G6.
Ниже мы докажем методом Смалайна [32] теорему о полноте
аналитических таблиц для В3. В силу того, что аналитические
таблицы для В3 содержат изоморф аналитических таблиц для
двузначной логики, доказанная теорема о полноте аналитических
таблиц для В3 будет обобщением соответствующей теоремы
Смалайна для двузначной логики. Более того, мы высказываем
гипотезу о том, что метод аналитических таблиц пригоден для
формализации процедур доказательства для любых непостовских ко-
нечнозначных логик, содержащих изоморф двузначной логики
и удовлетворяющих принципу «отделимости» внутренних и
внешних операций16. Подтверждениями данной гипотезы являются
аналитические таблицы для иг-значных логик Моисила (при т=3,
4 совпадающих с логиками Я. Лукасевича [3, 9]) и для т-значных
обобщений В3 [7].
Пусть в — ветвь таблицы такая, что для каждой а, р, х> еслм
а входит в в, то аг и о^входят в в; если C входит в в, то или р21
16 Аналитические таблицы для формул указанных тп-значных логик суть
конечно порожденные то-адические деревья.
286

и р22 входят в в, или р21 ир22 входят в в; если х входит в 9, то или
Хи и Zi2 входят в 9, или х21 и х22 входят в 9, или Хз1 и Хз2 входят в 9,
тогда ветвь 9 будем называть полной. Таблицу Г будем называть
завершенной, если каждая ее ветвь 9 или является замкнутой,
или является полной.
Мы покажем, что если X есть тавтология В3, то все полные
таблицы для FX и SX являются замкнутыми.
Теорема 1. Каждая полная открытая ветвь любой таблицы
одновременно удовлетворима.
Пусть 9—полная открытая ветвь таблицы Г, пусть, далее,
© есть множество всех членов 9, тогда в силу определения
полной ветви © есть множество Хинтикки.
Лемма 1. Каждое множество Хинтикки (для В3) является
удовлетворимым 17.
Доказательство леммы 1. Пусть © — множество Хинтикки,
построим интерпретацию v0, в которой каждая X" £ © истинна.
Будем придавать всем переменным, входящим в формулы из б,
истинностные значения следующим образом:
2) если же S#.p^©, i = 0, -j, 1» то Для определенности положим
ио(р) = 1. Отметим, что условия 1) в силу (Но) являются
непротиворечивыми. Покажем индукцией по построению формулы X,
что каждая Х(«б истинна при данной интерпретации v0.
Из 1) следует, что каждая помеченная переменная,
принадлежащая ©, истинна относительно vQ.
Обозначим число вхождений операций ~, f7]* U> -* в фор-
мулу X посредством d(X). (Пусть d(X)>0, предположим, что
для любой Y такой, что d(Y)<d(X) vo(Y) = l. Так как d(X)> О,
то X есть либо а, либо |3, либо х*
17 Лемма 1 равносильна утверждению, что каждое множество Хинтикки
может быть расширено до насыщенного множества (множества истинности).
287

1°. Пусть X есть формула типа ос, тогда так как а£E, то
в силу (Hj) а^б и а2£б, но d(ocf.)<d(a), & = 1, 2, а
следовательно, ио(<*4) = 1, i = l, 2, а потому уо(а) = 1.
2°. Пусть X есть формула типа р, тогда в силу (Я2) или
PuG<2, P126S, или раг£6, р22бв, но d(po.)<d(P), l<f, /<2,
а следовательно, у0 (р^.) = 1, а потому и0 (Р) = 1.
3°. Случай, когда X есть формула типа ^, доказывается
аналогично. Лемма 1 доказана, а следовательно, доказана и теорема 1.
Лемма 2—2. Если Х° — внешняя формула, то каждая таблица
для SX0 замкнута.
Из определения внешней формулы следует, что Х° имеет
один из четырех видов («ш» знак графического равенства формул):
X°^zXl^X2 A)
Х0з:Х5П^8 B)
X°3iXJUXS C>
Х°з:~Х}, D)
где XJ, & = 1, 2, суть внешние формулы, а X., / = 1, 2, суть
произвольные формулы.
Отметим, что наименьшая d (Х°) = 1, так как d (р -> д) = 1,
а т F . Пусть утверждение леммы доказано для всех внешних
формул F0, таких, что d(F°)<^d(X°), докажем его для Х°.
Очевидно, что для любой внешней формулы X°^zXx-^X2 утвержде-
ние верно в силу таблицы гр*—„„2; . Если XonzX®AX%, где Аз:П
или Дз:У, то СУП| gy() t но таблицы для SX% i = l, 2, замкнуты
в силу предположения индукции. Если Х° zsz ^-XJ, то —^0 ■ у
d (XI) <^ d (Х°) и, следовательно, таблица для SX<} замкнута.
Лемма 2 доказана.
Из теоремы 1 и леммы 2 следует теорема 2 о полноте для
таблиц.
Теорема 2. (I) Если X есть'тавтология В3, то каждая
завершенная таблица, начинающаяся с FX, является замкнутой. (II)
Каждая тавтология доказуема табличным методом.
В силу леммы 2 достаточно рассмотреть таблицу для FX.
Пусть Г есть полная таблица, начинающаяся с FX; если Г открыта,
28S

то в силу теоремы 1 Г удовлетворима, а, следовательно, удовле-
творима FX, т. е. X не является тавтологией. Таким образом, Г —
замкнута. Утверждение (I) доказано, а из него следует утверждение
(II).
§ 3. Аналитические таблицы для логики предикатов В3
В настоящем параграфе мы в стиле [32] построим
аналитические таблицы для логики предикатов первого порядка В3.
Алфавит нашего языка состоит из следующих знаков: A) — г
П » U > -> — знаки пропозициональных операций; B) счетное
множество знаков х, г/, z (с индексами или без них), называемые
индивидными переменными; C) счетное множество знаков а, Ь, с
(с индексами или без них), называемые индивидными параметрами;
D) для каждого натурального п, счетное множество знаков,
называемых n-арными предикатами (предикатами степени п); E)
V, Я — знаки для кванторов общности и существования.
Под атомарной формулой будем понимать выражение вида
Р (т1?. . ., тя), где т#. (i=l, . . ., п) суть либо индивидные
переменные, либо индивидные параметры, а Р—тг-арный предикат. Если
А и В суть формулы, то ~ A, AftB, A\JB иЛ-> В суть формулы.
Если А — формула, а х — индивидная переменная, то 3.хА и
YxA суть формулы. Формулу А будем называть чистой, если она
не содержит параметров. Определим для любых формул Л,
переменной х и параметра а формулу Аха, являющуюся результатом
подстановки параметра а в формулу А вместо каждого вхождения
переменной х:
1) если А — атомарная формула, то Аха есть результат
подстановки а вместо каждого вхождения х ъ А\
2)(Af)B)*a = A*af\B*,
(AUB)*a=A*aUB*a,
(~АГ. = ~А%,
3) (VxA)*a = VxA,
C.хА)* = 3.хА,
(VxA)l = VzA*,
. (ЪхА% = ЪхА1,
где х отлична ох у.
299

Формулу А будем называть замкнутой формулой, или
высказыванием, если для любой переменной х и любого параметра а А% = А.
Пусть U есть непустое множество. Будем U называть
универсумом индивидов. Определим понятие формулы с константами —
U-формулы. Под атомарной U-формулой будем понимать
выражение вида Р(ег. . ., еп), где е^ A= 1, . . ., п) есть либо переменная,
либо e^^U, a P — га-арный предикат. Далее, понятие U-формулы
определяется индуктивно обычным образом18. Для любого
элемента к £ U определим формулу А0^ аналогично формуле А%, где
а — параметр.
Распространим теперь определение внешней формулы на
случай формул логики предикатов и U-формул логики предикатов.
Формула вида А->В есть внешняя формула; если Л, В суть
внешние формулы, то ~Л, А^В, А У В суть внешние формулы.
Если А — внешняя формула, то VxA и ЯжЛ суть внешние
формулы. Определение внешней U-формулы аналогично.
Очевидно, что если А — внешаяя формула (внешняя и^фор-
мула), то Аха (Л£, где k^U)— внешняя формула.
Пусть Q есть множество всех замкнутых U-формул. Под
оценкой множества формул логики предикатов первого порядка В3
будем понимать функцию и такую, что она удовлетворяет
условиям (QFX) и (QF2) для каждой формулы А £ 2и и для каждой
переменной х.
(QFt) и есть В3-оценка множества Qu (см. определение оценки
для множества формул логики высказываний);
(QF2) 1°. vC.xA) = i тогда и только тогда, когда найдется
элемент к £ U такой, что v(A*)=l и для каждого Z£U либо
yDf) = l, либо yDf) = O; 2°. v(VxA)=l тогда и только тогда,
когда для каждого &£U v(A%) = l; 3°. vClxA) = -j тогда и
только тогда, когда найдется элемент к£ U такой, что v(A%) —
= у; 4° v (VxA) = у тогда и только тогда, когда найдется
элемент к £ U такой, что v (А%) = у.
18 Для того чтобы получить определение U-формулы, достаточно в
определении формулы вместо «параметров» использовать константы из U.
290

Очевидно, что из (QFJ и (QF2) следует, что иС&хА)=:О
тогда и только тогда, когда для каждого элемента к £ U v(A%) = 0;
v(VxA) = 0 тогда и только тогда, когда найдется элемент &£U
такой, что v (А%) = 0, и для каждого I £ U либо и (А*) = О, либо
v(A*) = l.
Под множеством истинности для логики предикатов первого
порядка (относительно универсума U) понимают подмножества
C CZ 2 , удовлетворяющее условиям:
@) 1) для любой Л£ йи в точности одна из формул ~}А, I А,
\=А принадлежит б; 2) AftBQQ, если и только если 4^6 и
В £ ©; 3) А У В £ б, если и только если (А £ C и J 5 £ E) или
(ВF и |Л^©); 4) А-*B£Q, если и только если либоЛ£<Зг
либо 2?£ б;
(а) V#A£<3> если и только если для каждого &£U, A%£Q;
(б) Я#Л £ б, если и только если найдется к £ U такое, что ^4| £ б
и для каждого l£U I Afjj^Q.
Под атомарной оценкой Q будем понимать приписывание
истинностных значений 0,-^-^1 всем атомарным формулам,
принадлежащим 2и. Атомарная оценка vQ множества 2и может быть
расширена единственным образом до оценки и множества формул
логики первого порядка 2и.
Пусть 2 есть множество всех чистых замкнутых формул
логики предикатов первого порядка В3. Под интерпретацией 3
множества 2 в универсуме U будем понимать функцию,
приписывающую каждому я-арному предикату Р тг-местное отношение Р*
элементов U. Атомарное высказывание Р (ev . . ., ея) будем
называть истинным относительно 3, если (е1, . . ., s^^P*19. Очевидно,
что интерпретация 3 единственным образом индуцирует
атомарную оценку и0. Обратно, если задана атомарная оценка и0 на U,
то ей соответствует интерпретация 3, которая определяет каждое
Р* как множество всех <е1? . .., ея^> таких, что P(s1 . . ., еп) истинно
относительно г;0. Интерпретация 3, в которой каждый элемент
19 Под п-арным отношением в трехзначной логике с одним выделенным
истинностным значением будем понимать (аналогично двузначному случаю)
множество упорядоченных гс-ок.
291

данного множества б является истинным, называется моделью
множества б.
Чистая формула А называется общезначимой, если она истинна
при любой интерпретации в любом универсуме. Это определение
равносильно следующему: А общезначима, если для каждого
универсума U А истинна относительно каждой оценки множества
формул логики предикатов первого порядка йи.
Формула А называется удовлетворимой, если существуют
интерпретация 3 и универсум U, такие, что формула А истинна
относительно 3 в универсуме U. Множество б чистых формул
называется удовлетворимым, если имеется по крайней мере одна
^интерпретация, в которой истинны все элементы б.
Пусть A(av ...,ай) — предложение, содержащее в точности п
параметров ах, . . ., ап. Для любого универсума U и любых кг, . . .,кп
из U под A (kv .. .,&„) будем понимать результат одновременной
подстановки к. вместо at., i—1, . . ., п. Если дана интерпретация 3
предикатов, входящих в А(а11 . . .,ал) в универсуме U, то будем
говорить, что A (#i, ...,яя) удовлетворимо относительно 3, если
существует упорядоченная га-ка (кх, . . ., кпУ такая, что (kv . . ., &я)>(<
£ Uw и A (kv . ..,&„) истинно относительно 3. Будем говорить
также, что A (av . . ., ап) общезначима относительно 3, если для
каждой (к^ . . ., кпУ£ Vn A (kL, . . ., кп) истинна относительно 3-
Будем говорить, что A (av . . ., ап) общезначима (удовлетворима)
в U, если А(а1У . . .,aw) общезначима (удовлетворима) относительно
всех интерпретаций (по крайней мере в одной интерпретации)
в U. Будем говорить, что A (av . .., ап) общезначима
(удовлетворима), если A (av ..., ап) общезначима (удовлетворима) во всех
(по крайней мере в одном универсуме) универсумах.
Определим теперь понятие одновременной удовлетворимости
множества б предложений с параметрами. Пусть ср любое
отображение множества всех параметров, входящих в формулы б,
в универсум U. Для любой Л£б под А? будем понимать
результат подстановки вместо каждого параметра а., входящего в А,
его образа ср (af.) при отображении ср. Будем говорить, что б
одновременно удовлетворимо в U, если существует интерпретация
3 предикатов из б и существует отображение ср параметров б
292

в элементы U такие, что для любой А £ б А? истинна
относительно з.
Будем рассматривать помеченные формулы логики предикатов В3.
Для логики высказываний мы рассматривали классификацию
формул по типам формул а, р и /^. Формулы логики предикатов
помимо типов а, р и х подразделяются на типы у, В и |х.
Формулами типа у являются формулы вида ТУхА и F3#4;
формулами типа о являются формулы вида S3#4 и SVxA;
формулами типа [л являются формулы вида ТЭжЛ и FVxA.
Соответственно, для любого параметра а посредством у (а) будем
обозначать ТА* и FA%; § (а), где а — некоторый новый параметр, будет
обозначать SA%; а »х(а) будет обозначать формулы ТМ* и FA%,
где а либо некоторый новый параметр, либо любой параметр
(соответствующие оговорки будут делаться для аналитических
таблиц логики предикатов).
При рассмотрении высказываний с константами в универсуме U
будем использовать у, 8 и [л аналогично и определим,
соответственно, у (ft), 8 (ft) и jx(ft) для ft£U.
Относительно любой интерпретации в унивэрсуме U имеют
место следующие утверждения:
(F^ а истинна, если и только если ах и а2 истинны;
(F2) 8 истинна, если и только если или (Зп и р12 истинны, или
Р21 и Р22 истинны;
(F3) х истинна, если и только если или %п и %12 истинны; или
&1 и Х22 истинны, или Хп п Хзг истинны;
(F4) у истинна, если и только если у (ft) истинна для каждого
(F5) 8 истинна, если и только если 8 (к) истинна для некоторого
(F6) (а истинна, если и только если jx(ft) истинна для некоторого
ft £ U и для каждого I £ U или \х (I) истинна, или ар, (I) истинна,
где op, (I) — коиъюгат [х (I).
Пусть C—множество формул, содержащих быть может
параметры, но не содержащих других констант, тогда для формул
типов а, р, х> Т> ^ и Iх имеют место следующие
утверждения:
(Gj) если в удовлетворимо и а£©> то {C, ах, а2} удовлетворимо;
293

(G2) если 6 удовлетворимо и PG6, то либо {б, Рп, РХ2} удовле-
творимо, либо {6, р21, р22} удовлетворимо;
(G3) если б удовлетворимо и х^б, то или {б, /n, Xi2b или
{б, Z2i* Xrab или I®» Xsi> Хз2} удовлетворим!*;
(G4) если б удовлетворимо и у £E, то {б, т(а)} удовлетворимо
для всякого параметра а;
(G6) если C удовлетворимо и §£б, то {£>, 8 (л)} удовлетворимо,
где а — любой параметр, не входящий в элементы Q;
(G6) если Q удовлетворимо и [^ G ®> то (S> P- (а)} удовлетворимо,
где а — любой параметр, не входящий в элементы б, и,
либо {©, (а F)} удовлетворимо, либо {б, ор.(Ь)}
удовлетворимо для любого параметра Ь.
Правила, приводимые ниже, формализуют процедуру
доказательства логики предикатов первого порядка В3. Имеются 6
типов правил для трехзначной логики предикатов В3:
Правило А:
Правило В:
Правило G:
Правило С:
Правило D:
Правило М:
бой параметр.
Правило С:
Правило D:
Правило М:
где а — новый параметр, а Ъ — любой параметр.
Можно показать, что допустимо следующее ослабление
правил D и М (см. в связи с этим [32]), а именно условие «а — новый
параметр» можно заменить на условие «а — новый параметр, или
а не был введен ранее посредством правила D (М) и а не входит
294

в §({л) и не является параметром 5((л), ранее введенным
посредством правила D (М)».
Отметим, что, заменив в правилах С, D, М формулу А на
внешнюю формулу А0, мы получим изоморф классической двузначной
логики, заданной правилами:
ТШ' -тшг* где а — любой параметр;
ТЯхА0 FVxA0
Тл^" Та^> где а —новый параметр.
Ниже мы докажем теоремы о полноте для аналитических
таблиц: каждое общезначимое предложение логики предикатов
первого порядка В3 доказуемо методом аналитических таблиц. Для
доказательства этого утверждения (как и в случае логики
высказываний) определим понятие множества Хинтикки.
Множеством Хинтикки для В3 (для универсума U) будем
называть множество © U-формул таких, что для любых формул а, 3,
X, у, 8 и [х, принадлежащих 2и, имеют место условия (Но)—(Н6):
(Но) для любой атомарной формулы А S^-Л £ Q тогда и только
тогда, когда SjA^Q и ShA g ©, где i=£j, i^h, j^h, i = 0,
1, 1; / = 0, i, 1; A=0, l,l,SoecTbF, SVlecTbS, S.ecTbT;
(Ha) если а£б, то a^6 и a2^S;
(H2) если р^б, то pn, P12G® или Р21» P226©;
(Н8) если х£<5, то Хи, Zi2G®. или Х21, X22G6, или x3i. X32G©;
(Н4) если у^б» то т№)£® для всех /c^U;
(Н5) если §£6, то 8(u)gS для некоторого k^V;
(Н6) если р-£C, то \*<(к)£<5 для некоторого /ic^U и для каждого
Z£U или ^(Z)£S, или g[j,(Z)£(S.
Лемма 1—3. Каждое множество Хинтикки в (для универсума U)
формул логики предикатов первого порядка В3 удовлетворймо в U.
Для доказательства леммы 1 построим атомарную оценку v
множества 2и, в которой все элементы C будут истинны.
Рассмотрим и такую, что
295

v{P(sv ..., ея)) =
1, если TP(sv ..., eJGS
0, если FP{ev ..., eJG®
у, если SPfo, . . ., в?г)£б
1, если S.P(ev . . ., eJgS,
где Р(еА, . . ., ея) — атомарная U-формула, a i = 0, у, 1. Покажем
теперь, что каждая формула Л £ E истинна при этой оценке, т. е.
v (А) = 1. Доказательство проведем индукцией по степени формулы Л
(т. е. по числу вхождений знаков операций и кванторов ~, (J,
р|, ->, V, 3). Расширим понятие степени формулы для формул
логики предикатов, а именно: d(VxA) = d{A)-\-\,d(ЯяЛ) = d(A)-f-1.
Очевидно, что в силу определения оценки и, если d (А) = 0, то
v (А) = 1. Пусть й D) ^> 0 и для каждой формулы В такой, что
d (В) < d (Л) v (В) = 1, тогда покажем, что и (А) = 1, т. е. А истинна.
Каждая формула А есть формула одного из типов а, р, ^, у, В, (л.
1) Случаи, когда Л есть а, C или /, были рассмотрены при
доказательстве теоремы о полноте для логики высказываний
(см. § 2).
2) Пусть А есть у, тогда в силу (Н4) для всех к £ U у (&) £ б,
но d (у (ft)) <^ d (у) и, следовательно, по предположению индукции
для каждого ft (« U у (у (ft)) — 1, а потому в силу (FJ у (у) = 1.
3) Пусть А есть 8, тогда в силу (Н5) существует к £ U такой,
что S (ft) £ E и в силу индуктивного предположения из d C (ft)) <^
<^ d (8) следует, что у (8 (ft)) = 1, а потому в силу (F5) и (8) = 1.
4) Пусть Л есть [х, тогда согласно (Н6) существует ft £ U такой,
что f*(ft)£E и для всякого Z£U или p-(OG®' или a[x@G6- Так
как d ([х (ft)) <^ d ([х) и d(\i (l))<^d(\i), то в гсилу- предположения
индукции v (|х (ft)) = 1 и или и ([х (I)) = 1, или у (ap, (Z)) = 1,
следовательно, согласно (F6) y([x) = l. Лемма доказана.
Отметим, что определения аналитической таблицы и
замкнутой аналитической таблицы для помеченной формулы Л, данные
в § 2, естественным образом распространяются на формулы
логики предикатов.
Лемма 2—3. Если формула Л°'логики предикатов первого
порядка В3 является внешней, то аналитическая таблица дл^
помеченной формулы SA0 является замкнутой.
96

Так как А0 — внешняя формула, то А0 имеет один из
следующих видов («1°:» — знак графического равенства):
1) А0 =сг В -+ С,
2) A°zszYx(B-»C),
3) A0 zsz Ях (В -^ С),
4) A0 zsz В° р| С0,
5) А0 з: 5° U С0,
6) Л° 31 — 5°,
где В0, С0 суть внешние формулы. Отметим также, что
наименьшая степень внешней формулы А0 равна 1, когда 4°х5-> С,
где Б, С суть атомарные формулы.
Доказательство леммы проведем индукцией по степени
формулы Л°. Пусть утверждение леммы верно для любой формулы
В такой, что d (В) <^ d (А0), покажем, что оно верно и для
формулы А0.
1) А° ш В -> С, Tl F ' в силу производного правила (см. § 2),
следовательно, таблица для А0 замкнута;
2) A°z°i Yx(B -> С), "cTlf—~с\х ' где а — новый параметр, но
таблица для S (В -> C)J замкнута;
3) случай A°ioz13.x(B -^ С) аналогичен предыдущему;
4) Л»!»; 5» П С°, gj^,ngff , но d(S»)< d(A°) и d (C«) < d(A%
а следовательно, таблицы для SB0 и 5С0, соответственно,
замкнуты;
5) случай A0 m S° |J C° аналогичен предыдущему;
6) ЛОш-Б0, £^р, dE°)<dD°), а, следовательно,
таблица для 55° замкнута. Лемма доказана.
Следствие, Если формула J. является общезначимой, то
аналитическая таблица для SA является замкнутой.
Из следствия леммы 2—3 вытекает, что для доказательства
теоремы о полноте для аналитических таблиц достаточно доказать
замкнутость таблицы для FA, где А — общезначимая формула В3.
Лемма Кёнига. Если дерево Г является конечно порожденным
деревом с бесконечным множеством вершин, то у этого дерева
297

существует бесконечная ветвь (т. е. ветвь, множество вершин
которой бесконечно).
В силу правил С и М аналитические таблицы для формул
логики предикатов В3 могут быть согласно лемме Кёнига конечно
порожденными триадическими деревьями (см. § 2), содержащими
бесконечную ветвь. Если дерево Г для формулы А содержит
бесконечную ветвь в, то в является открытой: ветвью. Однако не
каждая бесконечная открытая ветвь с необходимостью является
множеством Хинтикки.
Пусть А — произвольная формула, принадлежащая ветви О,
такая, что d (А) > 0, тогда будем говорить, что А выполнена на 9,
если:
1) %£© и OgG© коль скоро А есть а;
2) Ри> Pi2 6 ® или Р21» P22 £ ® коль скоро А есть |3;
3) Xii> Xi2G© или X2i, X22G®, или Хзь Хз2£® коль скоро А
есть х;
4) Т (а) £ ® Для каждого параметра а, коль скоро А есть у;
5) 8 (а) £ G для некоторого параметра а, коль скоро Л есть 8;
6) ji (а)£0 для некоторого параметра а и или р, (Ь)£0, или
о£л (Ь)£0 для каждого параметра й, коль скоро А есть jjl.
Пусть Г есть конечная таблица и пусть некоторая ее ветвь в
содержит два у-предложения — уг и у2. Будем расширять Г,
последовательно добавляя у± (ах), ух (а2),. . ., ух (ая),. . . для всех
параметров аг, а2,. .., ап,. .. . Очевидно, что мы будем иметь
последовательно ветви 0Х, 62, . . .,®я> ... и породим бесконечную
ветвь 0оо, на которой точка дерева уг будет выполнена. Однако
точка у2 окажется неиспользованной и, следовательно, не будет
выполнена, а, значит, ветвь 0^ не будет множеством Хинтикки.
Аналогичная ситуация могла бы быть, если бы точка ух была
выполнена, но остались бы неиспользованными точки,
образованные а, р, Xj 8 или ii формулами; или же, если бы была выполнена
р£0, но остались бы неиспользованными а, C, /> 8 или у
формулы. Таким образом, имеются различные способы порождения
бесконечной таблицы, содержащей открытые ветви, не являющиеся
множествами Хинтикки. Однако существует процедура,
называемая систематической, гарантирующая, что любая таблица,
которая построена в соответствии с этой процедурой, является такой,
298

что если в дереве содержится бесконечная ветвь, то эта ветвь есть
последовательность Хинтикки.
Сформулируем теперь систематическую процедуру построения
аналитической таблицы для формул В3, следуя Смалайну [32].
Первый этап: выбираем в качестве корня дерева формулу, удов-
летворимость которой проверяется. Предположим, что п-ж этап
завершен. Рассмотрим тг+1-й этап. Если таблица оказалась
замкнутой, то процедура окончена. Если каждая неатомарная точка
на каждой открытой ветви таблицы уже использована, то
процедура окончена. Если процедура не окончена, то выбираем на
дереве крайнюю левую точку А минимального уровня и расширяем
таблицу следующим образом: выбираем каждую открытую ветвь
0, проходящую через точку А, и
1°. если А есть а, то расширяем ветвь в до ветви (в, аь а2);
2°. если А есть р, то расширяем в до двух ветвей @, ри, р12) и
3°. если А есть ^, то расширяем 0 до трех ветвей @, Хт Х12)»
(в, X2i, X22) и @, /si, Хзг);
4°. если А есть 8, то выбираем первый параметр а, который не
встречался на дереве, и расширяем 0 до ветви @, 8 (а));
5°. если А есть у, то берем первый параметр а такой, что у (а)
не входит в 0 и расширяем 0 до @, у (а), у);
6°. если А есть р, то берем параметр а, который не появлялся на
дереве, и расширяем 0 одновременно до двух ветвей @,
р (a), ix (Ь), р) и @, [л (а), oji F), р,), где Ъ — параметр такой,
что fjt (Ь) и op (fe) не встречались на 0.
После применения 1°—6° можно утверждать, что точка А
использована, а это завершает я+1-й этап рассматриваемой
процедуры.
Отметим, что дерево, порожденное указанной выше
систематической процедурой из-за повторения точек у и fx, не является
таблицей в определенном ранее смысле, однако легко показать, что,
устранив эти повторения, мы получим дерево, представляющее
аналитическую таблицу. Очевидно также, что если
систематическое дерево, содержащее повторения у и р, является замкнутым,
то соответствующая таблица, в которой устранены указанные
повторения, также будет замкнутой.
299

Под систематической таблицей будем понимать таблицу,
построенную согласно описанной выше систематической процедуры,
а под завершенной систематической таблицей мы будем понимать
систематическую таблицу, которая является либо бесконечной,
либо является конечной, но не может быть расширена посредством
продолжения систематической процедуры, т. е. в каждой
открытой ветви все неатомарные точки (формулы) уже использованы.
Таким образом, доказана
Теорема 1—3. В любой завершенной систематической таблице
каждая открытая ветвь является последовательностью Хинтикки
(для счетного универсума V параметров).
Из теоремы 1—3 и леммы 1—3 следует
Теорема 2—3. В любой завершенной систематической таблице
Г каждая открытая ветвь одновременно удовлетворима.
Из теоремы 2—3 и леммы 2—3 следует теорема о полноте таблиц
для логики предикатов первого порядка В3:
Теорема 3—3. Если А — общезначимая формула, то А
доказуема, т. е. существует замкнутая таблица для FA. Причем,
если А общезначима, то систематическая таблица для ¥А должна
быть замкнутой после конечного числа шагов.
Доказательство, Предположим, что А — общезначимая
формула. Пусть Г — завершенная систематическая таблица, корнем
которой является FA. Если Г содержит открытую ветвь в, то
в силу теоремы 2—3 в должна быть удовлетворима, а
следовательно, каждый член в должен быть удовлетворим, а потому FA
должна быть удовлетворима, но это противоречит тому, что А —
общезначимая формула. Таким образом, ветвь в должна быть
замкнута, а, следовательно, А доказуема в силу леммы 2—3.
Согласно лемме Кёнига, если Г — бесконечное дерево, то
существует бесконечная ветвь, но так как Г — замкнутая таблица,
то каждая ветвь имеет конечную длину, а, следовательно, Г должна
быть конечной таблицей, т. е. за конечное число шагов для YA
может быть построена систематическая таблица Г. Теорема
доказана.
Из теоремы 2—3 следует
Теорема 4—3 (Теорема Лёвенгейма для В3). Если А
удовлетворима, то А удовлетворима в счетной области.
300

Рассмотрим некоторые примеры применения аналитических
таблиц для анализа логических антиномий. Аналогично [1 ] мы
будем рассматривать логику предикатов первого порядка с
универсальными переменными. Формулы вида у (х) и у (xv. . ., хп)
можно интерпретировать, соответственно, как х^у и (х^. . .,
хпу(:у. Постоянные предикаты будем обозначать посредством Р,
Q, Л, быть может с индексами, универсальные переменные —
посредством х, у, z с индексами или без них.
Пусть Аг, . .., Аа суть аксиомы свертывания, т. е. формулы
вида 3.yYxx ...Ухя (у (х1У . . ., хп) = В (xv . . ., хп))9 где В (xv ...
..., хп)—формула, содержащая свободные вхождения переменных
х1У . . ., хп, называемая ядром аксиомы свертыванргя. Пусть, далее,
С — некоторая формула, такая, что если аналитическая таблица
для помеченной формулы F ((A1 f7] ... f7) As) -> \ С), где \ С -^
^~(|=Су ~]С), является замкнутой, то эта таблица
представляет собой анализ некоторой логической антиномии. Замкнутость
таблицы для F ((А1G] ... П А8)->\С) эквивалентна в силу произ-
водных правил (см. § 2) ТЛо ¥А0 и тл |Fil замкнутости таблицы,
начинающейся с TAV . .., ТА8 и TC|FC, т. е. имеющей вид
Пример 1. Рассмотрим аксиому свертывания *3.yYx(у (х) =
^ ~х (х)), пусть R (х) ^ ~ х (х), где R (х) —постоянный предикат,
— х (х) — ядро аксиомы свертывания, а =^ — знак равенства по
определению, тогда анализ известной антиномии Рассела
представим следующим образом:
301

Очевидно, что (9) замыкается посредством A4), A5) и A3),
а A0) замыкается посредством A6), A7) и A9). Следовательно,
рассматриваемая таблица замкнута, или, что равносильно, замкнута
таблица для формулы
F (ЯуЧх ((у (х) == ~х (х)) -* | ~ R (Д))). -
Пример 2. Рассмотрим аксиому свертывания *3.zYx (z (x) ^
= VU (-«(?)U~» (У))) с ядром ^ (ж) ^ Vy (~x (y)U ~У (у)).
Построим аналитическую таблицу
302

так как (8ах) замыкается (9), (8^) замыкается A), а (8с2), (8с2),
(8с3) замыкаются A0), то рассматриваемая таблица замкнута, или,
что равносильно, замкнута таблица для формулы
Пример 3. Рассмотрим аксиому свертывания HzVx (z (#) =
= Яр(~з(у)П~УШ с ядром Р1(х)^Щ(~х(у)Г)~у(у)).
Постротам аналитическую таблицу
303

Так как (9а) замыкается A0), (9&) замыкается F), а (9с3) и (9с4)
замыкаются A2), то рассматриваемая таблица замкнута, или, что
равносильно, замкнута таблица для формулы
§ 4. Аналитические таблицы для логики Ig.
В [38] была сформулирована новая аксиоматизация трехзначной
логики Я. Лукасевича. Исходными операциями указанной
аксиоматизации суть ~, &, \Д ""**» которым отвечают следующие
истинностные таблицы:
Указанную логику будем обозначать посредством L3. Определение
формулы L3 строится аналогично определению формулы В3.
Отметим, что операциям - и -> в В3 и Ц соответствуют одни и те же
функции. Однако р| и U определимы через ~, V' & (В. И. Шеста-
ков [39]), но V и & через исходные операции В3 не определимы.
В [7] нами было указано представление операций f7) и (J через ~,
& и \/, а именно:
304

Алгеброй, соответствующей Lj, является трехэлементная
алгебра Моисила ЭДц=/|0, у, ll, I, ji, ~, V> &V Приводимая
ниже эквациональная формулировка ЭД^ принадлежит А. Монтейро:
3
X V 1 = 1; Х&(Х V Y) = X; X&(Y V Z) = (Z &X)V(Y&X);
X=~(~X); ~(X&Y)= ^X\/-Y; ~Х\/рьХ = 1;
X&~X=~X&!aX;
{i(X&Y) = {jlX&jiY20.
Алгебра Моисила есть деморгановская дистрибутивная решетка
с инволюцией и эндоморфизмом ji. В отличие от алгебры ЭДВз>
не являющейся решеткой, в алгебре Моисила для любых двух
элементов X и Y существуют наименьшая верхняя грань X \/ Y
и наибольшая нижняя грань X&Y.
Операции ~]Х, | X, (=Х, ~~| ~~| X и X определяются в ЭДь'
аналогично %\Вз следующим образом: (= X ^ ((X -> X) -> X), ~~] X ^^
^((х-^х)-^^х), |x^^(f=x VIх), -пх^~-|х, х-
^: —(=Х. Легко видеть, что jiX =""]'"]X и что X-^Y=~f=
b=XVN=Y, к=Х^ ~{х^Х, -]Х^~{лХ, JX^({i~X)&{iX.
Очевидно также, что Х-^ Y=^(ji — X)\/ (-~jjl — Y).
Отметим теперь следующее.
1. Истинностные значения, 0, -у, 1 для В3 мы истолковывали
как «ложь», «бессмыслицу» и «истину»; соответственно,
алгебраической семантикой для В3 является деморгановская
дистрибутивная квази-решетка с инволюцией и эндоморфизмом (= («алгебра
бессмысленности»). Истинностные же значения 0, у, 1 для L3
мы будем истолковывать как «ложь», «неопределенность» и
«истину», соответственно, алгебраической семантикой для Lg
является алгебра Моисила, т. е. деморгановская дистрибутивная
решетка с инволюцией и эндоморфизмом jji («алгебра
неопределенности»).
2. -> является внешней операцией в смысле, определенном
во Введении, т. е. функция, соответствующая -> не принимает
20 В силу выразимости [Г) и у посредством V» ~ и & в ^l' алгебра ^в
вложима в алгебру ^lL/.
3
305

значения — , а операции ~, \/, & являются внутренними в смысле
z>
Введения.
Дадим теперь определение чисто внешней формулы для Lg.
Формула вида X -> Y есть чисто внешняя формула, если X и Y
суть чисто внешние формулы, то ~ X, X&Y и X\JY суть чисто
внешние формулы. Очевидно, что понятие чисто внешней формулы
Lg аналогично понятию внешней формулы в В3. Однако каждая
формула В3 есть либо внешняя, либо внутренняя, но не каждая
формула L3 является либо чисто внешней, либо внутренней.
Например, формула р\/ (q -> p) не является ни чисто внешней, ни
внутренней формулой 21.
Очевидно, что чисто внешние формулы не определимы через
внутренние и наоборот. В связи с этим мы будем говорить, что
для Lg аналогично В3 имеет место принцип отделимости внешних
операций от внутренних (см. Введение). Отметим также, что
чисто импликационное исчисление для В3 и Lg совпадает с
соответствующим чисто импликационным исчислением для
двузначной логики.
Аналогично тому, как мы сформулировали правила для
построения аналитических таблиц для В3, сформулируем правила
для Lg, введя также пометки для формул Т, S и F:
Как и для В3, для логики Lg имеются три типа правил А;, В;, G':
21 Это различие между В3 и Lg объясняется тем, что $1В^ есть квази-ре-
шетка, a $lL, есть решетка.
306

Приводимые ниже таблицы реализуют классификацию правил 1—5
по типам А', В;, G':
Понятие аналитической таблицы теперь можно определить
аналогично тому, как это было определено для В3.
Функцию v, отображающую множество Ф^ формул логики
высказываний Lg на JO, у, ll, где 0, у, 1, соответственно/
обозначают истинностные значения «ложь», «неопределенность» и
«истина», будем называть Ь^-оценкой, если она удовлетворяет
следующим условиям:
307

Определения интерпретации формулы X, тавтологии Lg
аналогичны соответствующим определениям, данным для В2.
Можно показать, что функция и есть гомоморфизм,
отображающий множество формул Ф{ исчисления Lg в алгебру 2lL', т. е.
что имеют место равенства
где v(X), v(Y) суть элементы %1Ь'.
Рассмотрим множество помеченных формул логики Lg.
Аналогично В3 определим для помеченных формул понятия
множества истинности (насыщенного множества) и множество Хинтикки.
Ниже формулируется определение для множества Хинтикки:
множеством Хинтикки для Lg будем называть множества поме-
308

ченных формул ©', удовлетворяющее для любых а, Р' и •%'
условиям (Щ), (но, (н;), (н;):
(Но) для любой переменной p,S( />£6', если и только если SjP^Q'
и ShP£G',TR6iJ.j, i^h, j^h, i, j, he{0, \, l};
(Hj) если а' 6 в', то «^6'иа^ в';
(Н2) если р'ев', то или PJ^S', Р,'^©', ™и p^GS'. P«G®;;
(Н,) если х' G ®'. то или Хи 6 ®'. ЗС« € 6'. или х^ € в', Хм 6 в', или
Zsi€©'. з&€<3'.
Имеют место следующие утверждения:
Лемма 1—4. Каждое множество Хинтикки (для Lg) является
удовлетворимым.
Лемма 2—4. Пусть X формула Lg такая, что для любой
л
оценки v v (X) =jL-~ (X будем называть внешней формулой для Lg),
тогда каждая таблица для SX замкнута.
Для доказательства леммы 1—4 достаточно показать, что
каждая внешняя формула X эквивалентна чисто внешней формуле У0,
т. е., что доказуема формула X=Y°. В силу [8, 9] в качестве У0
достаточно взять /-совершенную дизъюнктивную нормальную
форму, если ~ (-£=0) 22. Доказательство замкнутости таблицы
для Sy°, где У0 — чисто внешняя формула, аналогично
доказательству леммы 2—2.
Определения полной открытой ветви таблицы Г и завершенной
таблицы Г' аналогичны соответствующим определениям для В3
(см. § 2). Имеют место теоремы:
Теорема 1—4. Каждая полная открытая ветвь любой таблицы
одновременно удовлетворима.
22 Пусть внешняя функция /(Х1э ..., Х„) не равна тождественно 0, тогда
/(Х1Э ..., Xn) = (/,iZ1&...&/,;Xw)V.-.V (/ЛХ1&...&/ЛХ1|), где
/^ суть /-функции, а к0 — число наборов истинностных значений
(vf. ..., vj}), таких, что /(vj, ..., vj)=:l. В качестве формулы Y0
возьмем формулу (/viPi& ... &/^V) V ... V (J,k0Pi& ••• &/аМ' где
\ 1 п /
Ръ •••> Рп суть все пропозициональные переменные, входящие в X.
Представление произвольной функции, соответствующей Lm, где т — 1
есть степень простого числа, рассмотрено в [7].
309

Теорема 1—4 следует из леммы 1—4.
Теорема 2—4. (I) Если X есть тавтология Lg, то каждая
завершенная таблица, начинающаяся с FX, является замкнутой.
(II) каждая тавтология доказуема табличным методом.
Теорема 2—4 следует из леммы 2—4 и теоремы 1—4.
Таким образом, доказана теорема о полноте для метода
аналитических таблиц применительно к логике Lg.
Мы сформулируем теперь метод аналитических таблиц для
логики предикатов первого порядка Lg аналогично тому, как
это было сделано для В3.
Алфавит языка Lg является следующим: ~, &, \Д -> суть
знаки пропозициональных операций; П, 2 суть, соответственно,
кванторы общности и существования; счетное множество знаков
х, у, z (с индексами или без них) для индивидных переменных;
счетное множество знаков а, Ь, с (с индексами или без них) для
индивидных параметров.
Определения формулы и U'-формулы аналогичны
соответствующим определениям для В8.
Пусть W есть множество всех замкнутых U-формул Lg. Под
оценкой множества формул логики предикатов первого порядка Ъ!3
будем понимать функцию и такую, что она удовлетворяет
условиям (QFj) и (QFg) для каждой формулы Л£*Ри' и для каждой
переменной х:
(QFJ) v есть Lg-оценка множества Ч?*и ;
(QFg) 1°. v(^xA) = l[ тогда и только тогда, когда найдется k(+\Jf
такой, что v(A%) = l; 2°. v(VLxA) = l, тогда и только тогда, когда
для каждого k£XJ' v(A%) = l; 3°. \v(^xA) = ^ тогда и только
тогда, когда найдется элемент kf+W такой, что v(A%) = — и для
каждого l£W либо v (Af) = у , либо и (А%) = 0; 4°. v (Их А) = -к ,
тогда и только тогда, когда найдется элемент к такой, что v (A%) =-j
и для каждого I ^ U' либо и (Af) = -j, либо v (Af) = 1.
Из данного определения следует, что и BхА) = 0 тогда и только
тогда, когда для каждого элемента k£Uf v(A%) = 0; и u(UxA) = 0
310

тогда и только тогда, когда найдется элемент к 6 U' такой, что
v(A%) = 0.
Формулу А логики предикатов L3 будем называть внешней,
если для всех и v(A)=^= — ; аналогично определению внешней
формулы В3 сформулируем определение чисто внешней формулы L^:
формула вида А-^В есть чисто внешняя формула; если А и В
суть чисто внешние формулы, то ~Д А & В и A\J В суть чисто
внешние формулы; если А есть чисто внешняя формула, то VLxA
и ^хА суть чисто внешние формулы. Очевидно, что каждая чисто
внешняя формула есть внешняя формула, но не наоборот.
Определения удовлетворимой формулы, общезначимой формулы,
интерпретации и атомарной оценки множества формул L'3
формулируются аналогично В3.
Рассмотрим теперь множество помеченных формул логики
предикатов первого порядка Lg. Указанные формулы помимо типов
а1, Р' и х' подразделяются на типы у', 8' и jj/, где формулами
frnia у; являются формулы вида ТИхА и (F^xA, формулами типа 8'
являются формулы вида Т2#-А] и FRxA, а формулами типа ja'
являются формулы вида S%xA и STLzA. Обозначения у' (#)> 8' (о)
и р/ (а) вводятся аналогично случаю В3. Соответственно, будем
рассматривать у' (к), 8' (к) и \if (к), где fe^U', для формул с
константами в универсуме U'.
Относительно любой интерпретации в универсуме U; имеют
место утверждения (F^)—(Fg), аналогичные утверждениям (Fx)—(F6)
для Bs (см. § 3). Пусть в'—множество формул, содержащих, быть
может, параметры, но не содержащих других констант, тогда для
формул типов а', Р', х'» т'> ^ и V-1 имеют место утверждения
(G{)—(Gg), аналогичные утверждениям (Gj^)—(G6) из § 3.
Метод аналитических таблиц для логики предикатов L,
формулируется посредством правил шести типов:
f Qf
Правило А': —,—7; Правило В1: -^-г—^г^—^-;
аЬ а2 Р1Ъ Pl2 I P21> Р?2
Правило Gf: —,—-гл—, ^ , . , г\
1 Хи» Xi2 I X21. X22IX31» Хз2*
Правило С': ,\ , где а — любой параметр;
аи

Правило D': -gqjp гДе а~ новый параметр;
Правило М': ^(д)> /ф){^(ь) , где а-новый параметр, а Ь —
любой параметр.
Таким образом правилами для кванторов являются следующие
правила:
Правило С': *—#Ax , где а — любой параметр;
т-т ъ, FILxA Т^хА
Правило D': FAx TAx , где а — новый параметр;
гг ,„, Б^хА БПхА
Правило М': s^ Sily|Fitf Silg> Sily|Tilg , где а-новыи па-
раметр, а Ъ — любой параметр.
Можно показать, что допустимо следующее ослабление правил
D' и М/ (см. в связи с этим [32]), а именно условие «а — новый
параметр» можно заменить на условие а — новый параметр, или а
не был введен ранее посредством правила D' (М!) и а не входит
в Ь! (р/) и не является параметром В' (р/), ранее введенным
посредством правила D; (M1).
Множеством Хинтикки для h'3 (для универсума U1) будем
называть множество C U'-формул таких, что для любых формул
а'> Р> X'i Т/» ^ и f1'» принадлежащих Ф13', имеют место условия
(н;)-(н;):
(Нд) для любой атомарной формулы A S{A G в' тогда и только
тогда, когда SjA^Q' uShA£Q', где i=£j, i^h, j^=h; i = 0,
j, 1; /=0, 1,1; h=0, {, 1, SoecTbF, S./2ecTbS, Sacral1;
(HJ) если о'бб', то 0466' и а^в';
(Hi) если р'бб', то р;,, р;2б6' или P'2V р;2бб';
(Н;) если x'G©'. то или xii» ZI266', или ^ х^бб', или Z;i(
Z;2€6';
(Щ) если y/^S/, то у^А;)^©' для всех k£\J!;
(Щ) если S/^6/, то S'^^S' для некоторого k£Uf;
(Hg) если [x'f S;, то fi/ (/с) f Sr для некоторого к £ IP и для каждого
ZGU/ или ^(ZjeS7, или ор'A)£в>.
Лемма 1—4. Каждое множество Хинтикки (для универсума IT)
формул логики предикатов первого порядка Ы3 удовлетворимо в U;.
312

Доказательство леммы 1—4 аналогично доказательству
леммы 1—3.
Лемма 2—4. Если формула А0 логики предикатов первого
порядка Lg является внешней, то аналитическая таблица для
помеченной формулы Si4° является замкнутой.
Пусть А0 — внешняя формула Lg, т. е. для любой оценки и,
v(A°)=^=y » тогДа найдется формула В0 в предваренной нормальной
форме такая, что Возг%хх ... %хп C°(xv ..., хп), где ух. суть
либо Hxi9 либо 2^, i = 1, ..., п, а С0 (xv ..., хп) формула
в /-совершенной дизъюнктивной нормальной форме [8, 9] и для
любой оценки v, v(A°) = v(B°). Следовательно, у (Л° = 5°) = 1,
а В0 — чисто внешняя формула Lg. Для чисто внешней формулы В0
легко показать, что таблица для SB0 замкнута (доказательство этого
утверждения аналогично доказательству леммы 2—3).
Понятия систематической таблицы и завершенной таблицы
формулируются аналогично соответствующим понятиям для В3
(см. § 3). Имеют место теоремы, аналогичные теоремам § 3.
Теорема 1—4. В любой завершенной систематической таблице
каждая открытая ветвь является последовательностью Хинтикки
(для счетного универсума V параметров).
Из теоремы 1—4 и леммы 1—4 следует
Теорема 2—4. В любой завершенной систематической таблице
Г каждая открытая ветвь одновременно удовлетворима.
Из теоремы 2—4 и леммы 2—4 следует теорема о полноте
таблиц для логики предикатов первого порядка Ц:
Теорема 3—4. Если А — общезначимая формула, то А
доказуема, т. е. существует замкнутая таблица для FA. Причем,
если А общезначима, то систематическая таблица для YA должна
быть замкнутой после конечного числа шагов.
Из теоремы 2—4 следует
Теорема 4—4 (теорема Лёвенгейма для Lg). Если А
удовлетворима, то А удовлетворима в счетной области.
Рассмотрим в алгебре ЭД^ счетные & и \/. Говорят, что
элемент X алгебры ЭДЬ' есть дизъюнкция всех элементов множества Q,
если A) Y<X для всех Y£Q и B) если Y<Z (Z£<21L3) для
всех Y£Q, то X<Z, т. е. X = sup {Y | Y£Q}. Пусть Q есть
313

некоторое индексированное множество Q = {XJi6g, где 3 —
счетное множество, тогда для sup {Y | Y £ Q} введем обозначение
V X, или \/ х.-
Двойственным образом определяется элемент X алгебры 5lL',
называемый счетной конъюнкцией, Z = inf {Y | Y £Q},
соответственно, для индексированного множества Q, обозначаемый по-
00
средством & Х4 или & Хг
Будем теперь истолковывать формулы НхА(х) и ^хА(х),
соответственно, как счетные конъюнкции и дизъюнкции, а именно:
ПхА(х)^ & А(аг\ ^хА(х)^ \J A(aX
где V7 — счетный универсум параметров L'3. Ради удобства записи
со со
будем писать также & А(а4) и \/ А(а4), соответственно, вместо
& А (а.) и V А{^)]
Рассмотрим элементы алгебры ЗД^ X и Y такие, что
(i)x=^&ix<jv(v(x<&~xf)j
B) Y==BlY')&(£(Y«v~Y'))'
обозначив их, соответственно, посредством ^ Х(. и у Yr Оче-
видно, что A) и B) суть обобщения тождеств
XHY = (X&Y)V(X&~X)V(Y&~Y)
и
XUY = (X\/Y)&(XV~X)&(Y\/~Y).
со со
П X. и У Y,, соответственно, будем называть счетными f7)
и у в алгебре 21Вз-
Будем теперь истолковывать формулы YxA(x) и RxV (х)
логики В3, соответственно, посредством счетных П и у, а именно:
314

YxA(x)^ П A(at), ЯхА(х)^± у A(at), где V —счетный уни-
ах £ ^ а» 6 V
версум параметров В3. Ради удобства записи введем также еле*
дующие обозначения:
YxA(x)^ П А(а4), ЯхА(х)^ Q А(а4).
♦=i *=i
Из равенств A) и B), получим, что
00 / СО \ / СО \
VxA (х) ^ Д А (а,) = ( & А (а4) \ \/ (\/ (А (а4) & ~А (аМ =
= Их А (х) V Ъх {А (х) & ~ А (х));
ЯхА (х) ^ £ А (а.) = ^V А К)) & f & (А (а,) V -Л (а,))) =
= 2хА (х) & ILr D (ж) V — А (х)).
Таким образом, VxA(x)^TLxA(x)\/^x(A (х)8с~ А(х)), КхА(х)^
^ %хА (х) & Пх (А (х) V -А (х)).
Пусть и1 — функция оценки для Lg, аи — функция оценки
для В3, пусть, далее, универсумы U (для В3) и U' (для Lg)
совпадают, тогда для каждой v найдется и1, такая, что: v(VxA(x)) =
= v1 (ПхА (х) V 2* (А (х) & —А (х))) и и (ЯхА (х)) =
= v1 (ЪхА (х) & Их (А (х) V ~А (х))). (•)
Рассмотренные выше связи между кванторами V, Я и П, Б,
а также между операциями f7), U и &, \J являются
эвристическими основаниями для определения операции р, погружающей В3
в L3. Определение операции р: пусть р операция [40],
перерабатывающая любую формулу логики В3 в соответствующую формулу
логики Lg, следующим образом:
1? р(.40) = Л0, где Ао — атомарная формула,
2? р(~Л)=~Р(Л),
3? 9(А-*В) = Р(А)-*р(В),
4? р(АГ\В) = (9(А)&р(В))\/(Р(А)&~Р(А))\/(9(В)&~р(В))9
5? р(АЦВ) = (р(А)\/р(В))&(р(А)\/ ~р(А))8с(р(В)\/ ~?(В)),
6? р (УхА (х) = Лх9(А(х)) V Еа(р (А(х)) &~9(А(х))),
7? р (ЯхА (х)) = Ъхр {А (х)) & Их (р (А (х)) \/~р(А (х))).
315

Будем обозначать, соответственно, формулы общезначимые и
доказуемые в L, где L есть В3 или L3, посредством \=ЬА и [— ЬА.
Пусть А — формула В3 такая, что |—ВзА тогда, (=в3^4- Рассмотрим
рD), из определения операции р следует, что если и(А) = 1 для
любой оценки v в В3, то и для любой оценки v' в Lg имеет место
vf (р(А)) = 1. Таким образом, из [=в3^4 следует, что \=L^p(A)f
а потому в силу теоремы 3—4 [—^р(А), т. е. существует
замкнутая таблица для Fp(A). Пусть В формула В3 такая, что |—цр(-В),
тогда f=L'P (-8), а, следовательно, (=в Бив силу теоремы 3—3 |—-в В,
т. е. существует замкнутая таблица для FB. Таким образом, имеет
место.
Теорема 5—4. A) Если формула А доказуема в В3, то
формула р(А) доказуема в Lg и B) если формула р(В) доказуема в Lg,
то формула В доказуема в В3.
Теорема 5—4 может быть доказана эффективно, а, именно:
A) можно указать алгоритм, строящий по любой замкнутой
таблице для F^ из В3 некоторую замкнутую таблицу для jFpD)
из Lg,* B) можно указать алгоритм, строящий по любой замкнутой
таблице для Fp(JB) и любой формуле В из В3, замкнутую таблицу
для FB из В3. Из A) и B) в смысле [40] будет следовать, что
операция р погружает В3 в Lg.
Сделаем теперь некоторые замечания относительно
^распространения теоремы Г. Эпштейна [41] на счетные р] и у в Шв^ Пусть
{е0,. .., ет-1} — множество констант алгебры Поста сру порядка т [42],
{em-v если i ^ ]
. .. Элементы алгебры
е0, если *>у
Поста вида Dt.a образуют булеву алгебру ОЗсл. Теорема Эпштейна
формулируется следующим образом для любых элементов X,*"Xt. (i ^ 3)
в алгебре Поста °р
1) если Х = (<£) VX,f то D,(X) = (Q3^)VD,(X,),
j = l,..., т—1;
2) если Х=(<р) & Х„ то Z),(X) = (Q3^) & D,(X,),
^еЗ * ^еЗ
i = l,...,/71 — 1. В трехэлементной алгебре Поста °р3 имеются
две D- операции ~] ~] (или pi в соответствии с обозначениями
316

Г. Моисила) и (=, а следовательно,
317
в силу деморгановского закона
Таким образом
Аналогично получим:

Нетрудно заметить, что полученные равенства суть
алгебраические представления для соответствующих табличных правил
логики предикатов В3.
§ 5. О классах допустимых ядер аксиом свертывания
1. Пусть А — некоторая формула системы В3 в предваренной
форме. Будем считать, что кванторы могут и отсутствовать.
Назовем логической структурой матрицы А формулу
исчисления высказываний, получаемую следующим образом; сопоставим
взаимнооднозначно каждой атомарной подформуле матрицы А
высказывательную переменную и заменим каждую атомарную
подформулу, во всех ее вхождениях в матрицу А, сопоставленной
ей переменной.
Достаточно очевидным расширением указанного в § 1 класса
допустимых ядер сверток является пополнение его до класса
формул, логические структуры матриц которых внутренние
(открытые в смысле [7]) формулы исчисления высказываний логики
В3. При таком расширении, как было сказано выше,
доказательство непротиворечивости системы В3 (называемой в [2]
системой 2), приведенное в [2], переносится на систему В3 с так
расширенным классом допустимых ядер сверток без изменений.
Это расширение, однако, не приводит еще к существенному
усилению.
2. Другим, и более интересным, расширением класса
допустимых ядер сверток, указанного в § 1, является включение
внешней операции I (« | X» — «X не имеет смысла») в число
операций счисления высказываний логики В3, могущих входить в
состав ядер сверток.
Нетрудно показать, что внешние операции исчисления
высказываний
К ~|, —, -*, А, V
3«l

невыразимы через операции —, р|, \. В силу того заметим, что,
тогда как замыкание класса функций {—X, Xp]Y, | X}
относительно суперпозиции функций не является даже предполным
в Q33 [Ю] классом, пополнение его любой из функций
ИХ, IX, X, X^Y, ХДУ, XVY23
делает его полным в Q33, т. е. тождественным с последним 24.
Обозначим символом AS* (|) формальную систему (без
квантификации), в которую переходит система AS*, описанная в [2],
в результате расширения класса допустимых ядер включением
оператора | в число операторов исчисления высказываний,
которые могут входить в состав допустимых ядер сверток.
Определение базиса системы AS* (j) сохраняет ту же форму,
что и определение базиса системы AS* в [2], но в пункте 2 (см. [2],
стр. 360) подразумевается теперь класс допустимых ядер,
получаемый указанным выше расширением.
Так как для построения антиномии в каждом случае
привлекается конечное число аксиом свертывания, то и для
доказательства непротиворечивости AS* ф достаточно установить, что
конечное число аксиом свертывания из базиса не порождает
противоречия. Доказательство непротиворечивости AS* (j)
основывается на следующих предложениях:
1°. Базис системы AS*(J) не содержит невыполнимых формул.
2°. Если в системе AS* (|) доказана формула А, то в системе AS* (|)
существует доказательство формулы А, нормальное в смысле
§ 3 из [2].
23 |__х читается «X истинно», IX— «X ложно», X — «X не истинно»,
Х->У--«если X истинно, то Y истинно», X Д Y — «X истинно и Y
истинно», X \у Y — «X истинно или Y истинно».
24 Невыразимость внешних операций |=, 1,—через операции —, R, 4
можно также доказать, пользуясь тем, что класс операций {е, —, ф,
~~|, Ц, ~>Ц, /, ^/}, где е —единичная операция, /Х^Х(?)—Х,
— /X ^± X U о^ X является полугруппой относительно ассоциативной
операции «умножения» операций, определяемой как последовательное
(вообще говоря, некоммутативное) применение к X и, следовательно,
замкнут относительно этой операции. Тогда, однако, операции —>>, Д, \J
также невыразимы через [{—, G), |}], так как пополнение класса
[{~~, G|, \)] любым из них позволяет определить операции |==, ~], V-
319

Сформулируем ниже план доказательства 1°. Заметим, что
именно аксиомы свертывания порождают формулы, вопрос о
выполнимости которых должен нас интересовать.
Итак, пусть задан набор аксиом свертывания25
Р1(х) = А1(х)
(АС)
Рк(х) = Ак(х)
с ядрами, допустимыми в AS* (|), определяющих множество
постоянных термов {Рг,. . ., Pk}, из которых можно построить к2
индивидуальных высказываний. На основании определения класса
допустимых ядер можем считать, что последние не содержат
вхождений внешних операций исчисления высказываний, за
исключением \ . Формулы вида
Р4(Р,) = А4(Р,) (/ = 1, 2 Л) (ас)
будем называть примерами, порождаемыми г-й сверткой из (АС).
Выполнимость каждой такой формулы легко может быть
установлена с помощью таблиц истинностных значений и следует из
невыразимости внешних операций исчисления высказывания,
отличных от | через операции ~, П> I-
Можно, далее, показать, что из невыразимости внешних
операций исчисления высказываний через операции ~, П? j следует
также и выполнимость всевозможных конъюнкций вида
(Ph (PJt) = Ah (PjJ) F)...f) (Ph (PJs) = Ah (Pj,)Je,
т. е. тех именно формул, которые порождаются в базисе системы
AS*(l) аксиомами свертывания с допустимыми ядрами.
Предложение 2° доказывается для AS*(|) так же, как в [2]
для AS*.
Из предложений 1° и 2° следует, что система AS*(|)
непротиворечива. В системе AS*(j) свертками, соответствующими
операциям, образующим описанную выше замкнутую систему (см. при-
2Ь Для краткости и простоты записи формул мы ограничиваемся случаем ядер
с одной переменной, легко обобщаемым на случай л переменных.
26 Заметим, что теорема 2 из [2], утверждающая, что если формулы А ж В
принадлежат базису, то формула A ft В также принадлежит базису,
естественно просто переносится на AS* (j).
320

мечание 24), формализуется ряд понятий, представляющих
интерес для формализованной семантики:
Рг(х) = х(х), Q3(x) = Ux(x),
Р2 (х) = ~х (х), Q, (х) =~Цх (х),
Q1(x)=ix(x), Ря(х) = 1х(х),
Q2(x)=~lx (x), Р4 (х) = ~1х (х).
Pt(i = l, 2, 3, 4) обозначают «трехзначные» термы, для которых
\=Р4(х)и~~]Р4(х)\ЛР4(х)9 тогда как <?<(* = 1, 2, 3, 4)
обозначают «двузначные» термы, для которых (= Q. (х) V "~| Q. (х).
Представляется весьма правдоподобным, что система AS*(|)
может быть непротиворечиво усилена введением квантификации,
как в Вя.
Пусть система Q есть щ-значная (яг = 2, 3, ...) логика
предикатов первого порядка с универсальными переменными.
Назовем класс ядер сверток й допустимым для системы (Зг
если присоединение к системе Q аксиом свертывания с ядрами
из й сохраняет непротиворечивость. Класс ядер сверток й,
допустимый для системы C, назовем максимальным допустимым для
системы б, если любое расширение множества операций из языка
системы ©, могущих входить в ядра сверток, делает расширенную
таким образом систему противоречивой27.
Так, класс сверток, построенных из пропозициональных
операций, которым соответствуют функции из <33Jn [10]28, является
максимально допустимым для соответствующей системы типа AS*,
которую обозначим посредством AS*(m). Класс ядер системы AS* из [2]
является для этой системы допустимым, но не максимальным
допустимым для нее. Класс же ядер AS*(j) является допустимым для
этой системы, но также не максимальным допустимым для нее.
27 Предполагается, что алфавит системы 3 точно определен и множества
операций исчисления высказываний и квантификации, которые могут
входить в состав ядер класса й, задано; тогда расширение множества
операций, входящих в ядра $, сводится к включению в класс й ядер,
в состав которых могут входить операции из языка системы 3, невы~
разимые через операции, входящие в состав ядер исходного класса $.
28 Я$% является предполным в Я$3 множеством функций.
32t

Рассмотрим аналог системы AS* [2] с классом допустимых ядер,
соответствующим классу функций ЗЗ^ [10]29. Обозначим этот
аналог системы AS* через AS* (б). Способ доказательства
непротиворечивости системы AS*(j) с некоторой модификацией переносится
на AS* (©). Можно показать, что дальнейшее непротиворечивое
расширение класса допустимых ядер для AS* (б) невозможно.
Таким образом класс допустимых ядер системы AS* (б) является
максимальным допустимым.
Нетрудно показать, что классы ядер сверток аналогов
системы AS*, которым соответствуют множества функций Q3l> 33I>
ОЗсу, 93^, 03^, и 93|;, являющиеся предполными в Q33, множествами
функций, не являются допустимыми, так как в указанных классах
определимо отрицание X, а, следовательно, имеет место антиномия
Рассела (см. § 3 настоящей статьи). Представляло бы интерес
выяснить, имеются ли среди классов ядер сверток, соответствующих
системам типа AS*, операциям которых соответствуют предполные
в 933 множества Q3r0, Я3т2 и QJir, максимальные допустимые классы
ддер сверток.
Если для логики Лукасевича L3 в качестве функционального
базиса30 выбрать ~Х, X&Y, X-^Y (вариант Ы3), где
~—внутреннее отрицание, & — конъюнкция, определяемая как минимум
и -> — внешняя импликация, то имеет место принцип отделимости,
причем основными внутренними функциями являются ~Х и Х& Y,
тогда как Х—> Y представляет основную внешнюю функцию (см. § 4).
Можно построить аналог системы AS*(ASL*) и для нее доказать
непротиворечивость совершенно так же, как это делается для AS*
в [2]. Однако расширение запаса допустимых ядер введением
операции | в множество операций исчисления высказываний,
могущих входить в состав допустимых ядер, в случае ASL* приводит
к противоречию. Именно, пусть задана свертка
Р(х)=~х{х)\/ \х{х),
где XVY^±~(~X&~Y).
29 ^% является предполным в 933 множеством функций.
30 Отметим, что XdYh |X, где XdY^^X\/Y, образуют базис для
множества функций, соответствующего L8.
322

Очевидно, подставляя Р вместо х, получаем противоречие
Р(Р)==~Р(Р)\/1Р(Р), т. е. Р(Р) = ЩЩ, где P~(F)- ~ Р(Р)\у
ViP(P).
Примечание при корректуре. По-видимому, возможны и
некоторые дальнейшие усиления системы В3. Так, интересно исследовать
систему B3Id, получаемую присоединением к В3 (с расширенным
классом допустимых ядер) постулата Ф. Фитча, утверждающего,
что формулы вида j;=i) всегда имеют смысл, т. е. что |=($=^).
• U ~~|(?=9)» гДе Е> 9— метаобозначения термов. При этом тождество
в B3Id следует определить схемами y=j, ($=t)) -> (Аг E) -^ X (ty)).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бочвар Д. А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к
анализу парадоксов классического расширенного функционального
исчисления. — «Математический сборник», 1938, т. 4, № 2, с. 287—308.
2. Бочвар Д. А. К вопросу о непротиворечивости одного трехзначного
исчисления. — «Математический сборник», 1943, т. 12, № 3, с. 353—369.
3. Finn V. К. Some remarks on non-Postian logics. — V** International
Congress for Logic, Methodology and Philosophy of Science. Contributed
papers. Section 1. London, Ontario, Canada, 1975, pp. 9—10.
4. Яблонский С. В. Функциональные построения в /с-значной логике. —
«Труды математического института им. В. А. Стеклова», 1958, т. 51.
5. Lukasiewicz J. and Tarski A. Investigations into the sentential calculus.
In: A. Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford, 1956, pp. 38—
59.
6. Яновская С. А, Математическая логика и основания математики. —
Сб. «Математика в СССР за сорок лет». М., 1959, § 13.
7. Бочвар Д. А. л Финн В. К. О многозначных логиках, допускающих
формализацию анализа антиномий. 1. — Сб. «Исследования по
математической лингвистике, математической логике и информационным
языкам». М., 1972, с. 238—295. •
8. Финн В. К. Об аксиоматизации некоторых трехзначных логик. —
«Научно-техническая информация», серия 2, 1971, № 11, с. 16—20.
9. Финн В. К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений
высказываний и их алгебр. — Сб. «Философия в современном мире.
Философия и логика». М., 1974, с. 398—438.
10. Finn V. К. A Criterion of Functional Completeness for 333. «Studia Log.»,
1974, vol. XXXIII/2, pp. 121—125.
11. Rescher N. Many-valued logic. N. Y., 1969.
12. Rescher N. Topics in philosophical logic Dordrecht-Holland, 1968.
323

43. Hallden S. The logic of nonsense. Uppsala, 1949.
14. Segerberg K. A contribution to nonseuse-logics. — «Theoria», 1965, vol. 31,
pp. 199-217.
45. Pirog-Rzepecka K. Rachunek Zdan w ktorym wyrazenia trace sens. — «Stu-
dia Log.», 1966, t. XVIII, p. 139-164.
16. Pirog-Rzepecka K. The proof of the non-existence of a finite matrix
adequate for the sentential calculus in which expressions become
meaningless. — «Studia Log.», 1968, t. XXII, p. 57—59.
17. Pirog-Rzepecka K. A predicate calculus with formulas which lose sense
and the corresponding propositional calculus. «Bulletin of the Section of
Logic». Wroclaw, 1973, vol. 2, N 1, pp. 22—29.
18. Slupecki /., Pirog-Rzepecka K. An extension of the algebra of sets. —
«Studia Log.», 1972, t. XXXI, p. 7—37.
19. Ишмуратов А, Т. Аксиоматизация трехзначного исчисления
высказываний Бочвара. — «Теория логического вывода» (Тезисы докладов
Всесоюзного симпозиума, Москва, март 25—27,1974), ч. П. М., 1974, с. 214—218.
20. Smiley Т. Sense Without Denotation». — «Analysis», 1962, N 2, pp. 125—
135.
21. «The Paradox of the Liar». Gale University Press, 1970. «Van Fraas-
sen: Truth and Paradoxical Gonsequencs» pp. 13—23; H. G. Herzberger.
Truth and Modality in Semantically Closed Languages, pp. 25—45.
22. Herzberger H. G. Dimensions of truth. — «J. of Philosophical Log.», 1973,
vol. 2, pp. £35—556.
23. Woodruff P. J7>Logic and Truth value Gaps. In: «Philosophical Problems
in Logic: Some Recent Developments» (K. Lembert, ed.), Dordrecht—
Holland, 1970, pp. 121-142.
24. Goddard L. and Routley R. The Logic of Significance and Context.
Edinburgh and London, 1973.
25. Lakoff G. Hedges: A Study in Meaning criteria and the Logic of Fuzzy
concepts. — «J. of Philosophical Log.», 1973, vol. 2, pp. 458—508.
26. Collier K. W. A result of extending Bochvar's 3-Valued logic. — «Notre
Dame J. of Formal Log.», 1974, vol. 15, pp. 344—346.
27. Urqhart A. An interpretation of many-valued logic. — «Zeitschrift f. Math.
Logik und Grundl. der Math.», 1973, Bd. 19, S. 111-114.
28. Smiley T. «Analytic Implication and 3-Valued Logic». — «J. of Symbol.
Log.», 1962, vol. 27, p. 378.
29. Parry W. T. Ein Axiomensystem fur eine neue Art von Implikation (ana-
lytische Implikation). — «Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums»,
1933, N 4, S. 5—6.
30. Dunn /. M. A Modification of Parry's Analytic Implication. — «Notre
Dame J. of Formal Log.», 1972, vol. 13, pp. 195—295.
31. Вочвар Д. А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории
множеств. — «Математический сборник», 1944, т. 15 E7), № 3, с. 369—384.
32. Smullyan R. М. First-order logic. N. Y., 1968.
324

33. Beth E. W. The Foundations of Mathematics. North Holland, 1959.
34. Hintikka K. /. /. Form and content in quantification theory. — «Acta
Philosophica Fennica», 1955, vol. 18, pp. 7—55.
35. Plonka /. On distributive quasi-lattices. — «Fund. Math.», 1967, vol. LX,
N 2, pp. 191—200.
36. Moisil G. C. Essais sur les logiques non chrysippiennes. Bucarest, 1972,
§ 38, pp. 676-684.
37. Lyndon R. C. Identities in two-valued calculi. — «Trans, of Amer. Math.
Soc», 1951, vol. 71, N 3, pp. 457—465.
38. Финн В. К. К логико-семиотической теории информационного поиска.
В сб.: «Информационные вопросы семиотики, лингвистики и
автоматического перевода», 1974, вып. 5, с. 62—89.
39. Шестаков В. И, О взаимоотношении некоторых трехзначных логических
исчислений. — «Успехи математических наук», 1964, т. 19, вып. 2 A16).
40. Шанин Н. Л. О некоторых логических проблемах арифметики. — «Труды
математического института им. В. А. Стеклова». М., 1955, т. XLIII.
41. Epstein G. The lattice theory of Post algebras. — «Trans, of Amer. Math.
Soc», 1960, vol. 95, pp. 300—317.
42. Rousseau G. Post algebras and pseudo-Post algebras. — «Fund. Math.»,
1970, vol. 67, pp. 133—145.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редакторов 3
Кановей В. Г. Определимость с помощью степеней конструктивности 5
Введение 5
Глава I. Нормальные множества 10
§ А. Основные определения ■. 10
§ Б. ?К-исчисление 13
§ В. х-нормальные множества 18
§ Г. Исследование непрерывных функций 41
§ Д. Несчетный случай 50
Глава II. Определимость в ZF 53
§ А. Связь структуры Q с вынуждением 53
§ Б. Введение в кодировку 60
§ В. Построение проективного полного упорядочения 64
§ Г. Кодировка с помощью введения несчетного числа кодов 67
§ Д. Проективное дедекиндово множество 74
Глава III. Определимость в анализе 81
§ А. Существенность параметров в схеме СА 81
§ Б. Существенность параметров в схеме АС 84
§ В. Вынуждение в анализе 86
Заключение 90
Любецкий В. А. Случайные последовательности чисел и А2-множества 96
Фуксон В. И. Сильно жесткий континуум 123
Когаловский С. Р., Чепурнов Б, А, Некоторые критерии
наследственности и локальности для формул высших ступеней 127
Введение 127
§ 1. Основные понятия 128
§ 2. Некоторые признаки наследственности 132
§ 3. Обобщение основных понятий 139
§ 4. Обобщение теорем Лося и Мальцева 142
§ 5. Дальнейшие обобщения 150
Сопрунов С. Ф. Счетные нестандартные модели арифметики 157
§ 1. Основные определения 157
326

§ 2. Простые арифметики 160
§ 3. Решетки и полурешетки, ввязанные с арифметиками .... 164
§ 4. Теорема Тенненбаума 166
§ 5. Вложение нестандартных арифметик 168
§ 6. Расширение сигнатуры 170
Гришин В. Н. Редукция аксиом свертывания данной глубины к
аксиомам свертывания меньшей глубины 174
Бочвар Д. А., Фуксон В. И. Аксиомы свертывания с однородными
ядрами 181
Вайль В. Е. Канторовская система аксиом для ZF-\-V=L 187
Стойкий Э. Д. Теорема о кратном периоде для условных грамматик 192
Бочвар Д. А. К общей теории логических матриц с континуумом
валентностей 198
I. Некоторые основные понятия 199
§ 1. Логические матрицы и язык логики высказываний 199
§ 2. Постановка задачи построения валентности логической
формулы относительно логической матрицы 200
§ 3. Внешняя степень правдоподобия логической формулы
относительно логической матрицы 201
§ 4. Степени правдоподобия логической формулы относительно
логической матрицы 9fta 203
§ 5. Обобщение понятия степени правдоподобия логической
формулы 205
§ 6. Нормированные репрезентанты логических формул 207
П. Некоторые классы нелинейных логических матриц 209
§ 1. Некоторые предварительные замечания 209
§ 2. Гиперболические логики 210
§ 3. Некоторые индивидуальные логические матрицы 213
§ 4. Геометрическое представление функций Na (х) 217
§ 5. Нижняя граница степеней правдоподобия тавтологий
классической двузначной логики высказываний относительно
матрицы Лукасевича L^ 217
§ 6. Некоторые соотношения для внутренних степеней
правдоподобия логических формул в матрице L^. 218
Григолия Р. Ш. Решётка всех финитно-аппроксимируемых
расширений счетнозначной логики Лукасевича 221
§ 1. Решетка всех подмногообразий многообразия MF-алгебр 221
§ 2. Решетка подмногообразий многообразия о/И, порожденных
конечными Л/7-алгебрами 224
Ермолаева Я. М., Мучник А. А. Модальные логики, определяемые
эндоморфизмами дистрибутивных решеток 229
327

Гришин В. Н. Об алгебраической семантике логики без сокращений 247
§ 1. Аксиоматика 247
§ 2. Полные Ь°-алгебры 253
§ 3. Гомоморфизмы и простые Ь°-алгебры 255
§ 4. Ь°-алгебры конечного порядка 260
Бочвар Д. Л., Финн В. К. Некоторые дополнения к статьям о
многозначных логиках 265
Введение 265
§ 1. Некоторые замечания относительно логики В3 273
§ 2. Аналитические таблицы для логики высказываний В3 . . . . 277
§ 3. Аналитические таблицы для логики предикатов В3 289
§ 4. Аналитические таблицы для логики Us 304
§ 5. О классах допустимых ядер аксиом свертывания 318
Исследования
по теории множеств
и неклассическим логикам
Утверждено к печати
ВИНИТИ АН СССР
Редактор Я. И. Кондаков
Художественный редактор Я. Я. Власик
Технический редактор О. М. Гуськова
Сдано в набор 15/XII 1975 г. Подписано к печати 5/Ш 1976 г. Формат 60x84f/ie
Бумага № 2. Усл. печ. л. 19,06. Уч.-изд. л. 16,6. Тираж 3900. экз. Т-00683. Тип. зак. 832
Цена 1 руб.
Издательство «Наука»
103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21.
1-я типография издательства «Наука»
199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12

Опечатки и испр авления
Страница
209
231
243
244
254
264
269
278
279
292
303
Строка
13 св.
1 сн.
7 сн.
6 сн.
17 сн.
И сн.
5—6 св.
4 сн.
1—2 сн.
13 св.
8 св.
Напечатано
V — объединения и А
(+)
а | а
Л?=1
FX | SX | ТХ
«. Р. х
предложение
F (((VzQ (x) ==
Должно быть
Si
U объединения и |~|
(++)
а~\ а
¥Х|SX|ТУ
Р. X
высказывание
F ((V* (<? (х) =
Исследования по теории множеств