Математическая логика и теория множеств. (О соотношении абстрактного и конкретного) - Харин Н.Н.

Автор: Харин Н.Н.

Теги: математика теория множеств математическая логика

Год: 1963

Похожие

Диалектика абстрактного и конкретного в "Капитале" Маркса

Восхождение от абстрактного к конкретному

Диалектика абстрактного и конкретного в научно-теоретическом мышлении

Текст

Н. Н. ХАРИН
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
(О соотношении абстрактного и конкретного)
Под редакцией
¦роф. Я. Л. Харапинского
РОСВУЗИЗДАТ
1963

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение 3
Глава первая
О соотношении абстрактного и конкретного в некоторых понятиях теории
множеств 15
Глава вторая
О соотношенин абстрактного и конкретного в некоторых понятиях матема-
математической логики 65
Роль практики в возникновении математической логики .... ^ 74
О соотношении математической логики и традиционной формальной 77
Об отношении математической логики к общей логике и к матема-
математике : 91
Содержательна ли математическая логика? Ш
О необходимости связи философских исследований в области мате-
математической логики с идеями В. И. Ленина 132
Глава третья
О соотношении абстрактного и конкретного в некоторых понятиях теории
алгоритмов ; ,141
Глава четвертая
О соотношении абстрактного и конкретного в приложениях математической
логики и теории алгоритмов . . . .* 169

ВВЕДЕНИЕ
Развитие современной науки все с большей необходимостью ста-
ставит вопрос о тесном союзе естествоиспытателей, математиков и фи-
философов.
Необходимость укрепления союза естествознания, математики,
з одной стороны, и марксистской философии — с другой, еще более
возрастает в связи с принятием ХХП съездом КПСС новой програм-
программы строительства коммунизма в нашей стране.
Н. С. Хрущев в докладе «О программе Коммунистической пар-
партии Советского Союза» отмечает, что «коммунистическое общество
будет иметь самую развитую технику, самое развитое и организо-
организованное производство, самые совершенные машины». В связи с этим
в огромной мере возрастает значение комплексной механизации и
автоматизации производства.
Новая Программа КПСС подчеркивает важное значение форми-
формирования передового научного коммунистического мировоззрения в
период развернутого строительства коммунизма, что обусловливает
повышение роли и значения общественных наук, >в том числен
марксистской философии. J
Проблемы современного естествознания и современной матема-
математики являются настолько сложными, что для их решения требуется
глубокое проникновение в их философское содержание. С другой
стороны, развитие марксистской философии может быть успешным
только при условии плодотворного использования многообразного и
сложного фактического материала современного естествознания и
математики. Поэтому работы, в которых рассматривается развитие
естествознания и математики в свете какой-либо проблемы марк-
марксистской философии, имеют актуальное значение. Однако философ-
философских работ, посвященных анализу закономерностей развития естест-
естествознания, и в особенности математики, в нашей советской литерату-
литературе имеется недостаточно.
Одной из наиболее важных философских проблем, которые дол-
должны привлечь внимание философов, естественников, математиков,
является проблема соотношения абстрактного и конкретного. На-
Настоящая работа посвящена именно этой проблеме. В ней ставится

задача показать процесс взаимодействия абстрактного и конкретно-
конкретного как одну из сторон развития математики.
Вопросу связи современной математики и физики с марксистской
философией не всегда уделяется должное внимание. Это создает
большие трудности в усвоении проблем теории познания и содержа-
содержания таких философских категорий, как количество и качество, про-
пространство и время. С другой стороны, отсутствие правильного фило-
философского подхода к математическим теориям зачастую является
причиной невозможности глубокого усвоения математики, распро-
распространения в ней формализма (имеется в виду не метод формализа-
формализации математических теорий, который в них с успехом применяется,
а идеалистический отрыв содержания от формы, стремление рас-
рассматривать математические формулы в отрыве от материальной дей-
действительности). Работы, в которых конкретно показывалась бы
связь современной математики с марксистской философией, пред-
представляют довольно редкое явление.
Настоящая работа имеет своей целью показать, что одной из
важнейших закономерностей в развитии современной математики
является взаимодействие абстрактного и конкретного, что разви-
развитие математики отражает развитие объективной действительности,
носит диалектический характер. Отсюда следует, что познание
сущности математических понятий предполагает диалектико-мате-
риалистический подход, так как математика — наука о количест-
количественных отношениях и пространственных формах объективного ми-
мира. Только такой подход дает возможность глубоко усвоить мате-
математику и плодотворно применять ее в решении задач современной
науки и техники.
Следовательно, данная работа может способствовать более, глу-
глубокому усвоению содержания некоторых основных понятий совре-
современной математики, таких ее разделов, как теория множеств, мате-
математическая логика и теория алгоритмов. Она может пробудить ин-
интерес к философскому анализу проблем математики, к применению
марксистской философии для изучения математических теорий.
Кроме того, она показывает (на примере соотношения абстрактно-
абстрактного и конкретного), что математика помогает более глубоко познать
сущность категорий марксистской философии.
Работа рассчитана на читателей, знакомых с математикой.
Она может быть использована философами, интересующимися
проблемами логики и математики, а также преподавателями мате-
математики, интересующимися ее философскими проблемами, студен-
студентами физико-математических факультетов, инженерно-технически-
инженерно-техническими работниками.
* *
*
Соотношение абстрактного и конкретного в мышлении должно
рассматриваться как отражение их соотношения в природе.
В. И. Ленин писал: «.Природа и конкретна и абстрактна, и явление
и суть, и мгновение и отношение. Человеческие понятия субъектив-

ны в своей абстрактности, оторванности, но объективны в целом, в
процессе, в итоге, в тенденции, в' источнике» 1-
Из этих слов В. И. Ленина следует, что абстрактное и конкрет-
конкретное не могут быть отнесены только к мышлению. Эти категории
имеют объективный характер, отражают определенные стороны, за-
закономерности развивающейся действительности. Такое понимание
абстрактного и конкретного противоречит идеалистической трак-
трактовке, сводящей их только к сфере мысли.
Каждый материальный объект, процесс имеет какие-то отдель-
отдельные свойства, стороны, связи и отношения, одни из которых су-
существенны, общи, играют важную роль, а другие несущественны, не
обладают общностью, не играют важной роли.
В то же время каждый материальный предмет, каждый про-
процесс существует как нечто целостное, как многообразие свойств, сто-
сторон и отношений, которые находятся в связи, во взаимодействии
друг с другом. Вне этого «единства многообразного» нет конкретно-
конкретного. Конкретное — это данное дерево, данный человек и конкретное —
это вся природа, природа как целое. И дерево и человек имеют раз-
различные особенности, и природе присущи многие качества, свойст-
свойства, но они конкретны только потому, что существуют лишь как
единство многообразного, как система связей и отношений.
Конкретное — это не только целостность вещи или явления, но
целостность их связей и отношений с другими 'вещами и явлениями,
их естественных связей с условиями, в которых они существуют2.
Это и означает, что природа конкретна, содержит конкретное.
Человеческое сознание отражает мир при помощи ощущений, пред-
представлений, понятий. Но любое понятие является абстракцией, так
как оно возникает в результате отвлечения от целого ряда свойств,
сторон, отношений и представляет собой отражение какой-либо од-
одной существенной стороны, существенного свойства объектов.
Абстракция, абстрактное иногда употребляется для обозначения
таких свойств предметов, которые непосредственно при помощи ор-
органов чувств не воспринимаются. Такое употребление имеет целью
различение этих свойств от чувственно-воспринимаемых.
Например, бесконечно малое не может быть непосредственно
воспринято при помощи органов чувств. Формирование абстрак-
абстракций необходимым образом связано с отвлечением от каких-то
свойств, отношений предмета и выделением каких-то существенных,
для данного случая, общих свойств и отношений. Образование как
простых понятий, выраженных словами, например в названии пред-
предмета (дом, звезда", дерево и т. п.), так и сложных, весьма общих
понятий, категорий (материя, пространство, время и т. п.) связано
с процессом отвлечения.
В научном познании главное значение имеет обобщающая аб-
абстракция, которая формируется в процессе отвлечения от некоторых
признаков, свойств, отношений предметов, явлений. Этот процесс
1 В. И. Л е н и н. Соч., т. 38, стр. 199.
* См. М. М. Розенталь. Г. ринципы диалектической логики, 1960, стр. 428.

приводит к образованию общих понятий. В дальнейшем мы будем
писать только о научных абстракциях.
Конкретное в мышлении является отражением целостности,
единства многообразных свойств, признаков, связей, существующих
в объективном мире. Конкретное в мышлении представляет собой
сочетание многочисленных определений, причем каждое из них от-
отражает какую-то одну сторону, свойство действительности. В кон-
конкретном проявляется связь таких противоположных сторон, как-
тождественное и различное. Если между какими-либо свойствами,
отношениями нет ничего общего, то невозможным является и взаи-
взаимодействие их друг с другом. Так, К. Маркс отмечает, что различ-
различные товары вступают в отношения друг с другом на основе сущест-
существенно общего между ними. «Если отвлечься от потребительной
стоимости товарных тел, то у них остается лишь одно свойство, а
именно то, что они—продукты труда . . . конкретные формы . . .
труда . - . не различаются более -между собой, а сводятся все к
одинаковому человеческому труду, к абстрактному человеческому
труду»1. - *
Чувственное познание является одним из видов конкретного по
знания, так как оно содержит многообразие единичных признаков,
Конкретность понятий отличается от чувственной конкретности, она
является результатом работы мышления, представляет собой соче-
сочетание многочисленных определений, единство многообразного
В. И. Ленин подчеркивает, что «бесконечная сумма общих понятий
законов... дает конкретное в его полноте»2.
Чувственно-конкретное знание есть такое отражение действи-
действительности, в котором из массы единичного и случайного не выделено
общее, существенное. Здесь общее выступает как недифференциро-
недифференцированное, одинаковое для многих предметов. Познание, же всеобщей j
природы предмета еще не достигнуто. Переход от чувственно-кон-
чувственно-конкретного к конкретному в мышлении может произойти только через
абстрактное.
Конкретное в мышлении отражает существенные свойства, приз*
наки, отношения в их внутренне необходимой связи. Конкретные (
понятия связаны с единичными особенными и общими признаками.!
Каждый отдельный предмет существует как некоторая целост-
целостность его стороны, свойства находятся в необходимых связях друг с
другом, точно так же, как сам предмет находится в необходимых
связях с другими предметами. Поэтому отдельное тесно связано с
конкретным, хотя и не является тождественным с последним. При
рассмотрении вопроса о соотношении абстрактного и конкретного не«
обходимо остановиться на вопросе о том, что такое отдельное и чтс^
такое общее. Отдельное такое понятие, которому соответствует
лишь один единственный предмет или признак его.
'К.Маркс. Капитал, т. I, стр. 44.
s В. И. Леями. Соч., т. 38, стр. 275.

Общее является категорией, близкой к категории абстрактного.
Понятие является общим, если-ему в данно'м классе предметов или
явлений соответствует более чем один предмет или признак.
Под отдельными понимаются такие свойства предметов, по ко-
которым можно отличить, выделить данный индивидуальный предмет
из других предметов. Общими свойствами называются такие, кото-
торые принадлежат многим предметам, а не только одному пред-
предмету.
Связь абстрактного и конкретного друг с другом может быть
понята только при условии, если общее и отдельное также рассмат-
рассматриваются в связи друг с другом. Через всеобщее мы приходим к
постижению закона, а также к пониманию того, как он проявляет-
проявляется в любом отдельном случае. Общее понятие может быть образо-
образовано через исследование огромного количества отдельных предме-
предметов, явлений. \
Отрыв общего от отдельного приводит к отступлению от мате-
материализма и диалектики в теории познания.
Движение познания от менее общих понятий к более общим
представляет собой более глубокое проникновение в сущность дан-
данного предмета. Обобщение дает возможность глубоко постигать
истину, полнее отражать действительность и, следовательно, яв-
является движением и в направлении конкретизации содержания на-
наших знаний. Общий закон развития явлений включает в себя от-
отдельные случаи его проявления.
С развитием познания понятия одной степени конкретности мо-
могут превращаться в понятия другой, более высокой степени кон-
конкретности. Поэтому история развития понятий включает историю
их конкретизации.
Абстрактное и конкретное в познании неразрывно связаны
друг с другом, они предполагают друг друга, не могут существо-
существовать друг без друга.
Абстрактные понятия по своему содержанию связаны с содер-
содержанием отдельных конкретных понятий, поскольку они отражают
не только всеобщее, но и свойственное отдельным вещам, а пото-
потому являются средством их познания. Конкретное в мышлении не
является механическим соединением отдельных абстракций, не
имеющих друг с другом необходимости связи. В развитии позна-
познания каждая новая абстракция возникает в необходимой связи с
какими-то другими абстракциями, являясь их дополнением и ре-
результатом изменения их содержания. Абстракции по сравнению с
чувственными восприятиями обладают не только более высокой
степенью общности, но и более конкретны; они выше чувственных
восприятий в качественном отношении, являясь отражением сущ-
сущности предметов, явлений. Конкретность содержания абстрактных
понятий проявляется и в том, что они способствуют познанию за-
закономерных связей определенных предметов, явлений, обнаруже-
обнаружению их новых свойств.
Познание развивается от чувственно-конкретного к конкретно-
конкретному в мышлении через абстрактное. Маркс пишет: «. . . абстрактные

определения ведут к воспроизведению конкретного посредством
мышления... способ, при помощи которого мышление усваивает
себе конкретное, воспроизводит его как духовно конкретное»1.
Таким образом, отображение конкретной действительности осу-
осуществляется через абстрактное, которое само имеет конкретное со-
содержание. Через абстракции происходит движение познания в на-
направлении все большей и большей его конкретизации, а также все
более полное, точное и разностороннее отражение действительности
в ее изменении, развитии. Это значит, что взаимосвязь абстрактно-
абстрактного и конкретного в математике может быть понята только при ус-
условии рассмотрения истории ее развития. Это обстоятельство в
значительной мере обусловило характер данной работы, где для
анализа соотношения абстрактного и конкретного используется
конкретный исторический материал.
История развития какой-либо области науки связана с разви-
развитием общественно-исторической практики. Без учета этой связи, без
рассмотрения практических приложений математики нельзя понять
взаимодействия в ней абстрактного и конкретного.
Для понимания этого взаимодействия существенным является и
то обстоятельство, что развитие математики необходимо
включает как движение от конкретного к абстрактному, так и дви-
движение от абстрактного к конкретному, причем это не два раздель-
раздельных процесса, последовательно происходящих друг за другом, а две
стороны единого процесса развития математики. Познание предме-
предмета начинается с восприятия материальных объектов в их целост-
целостности, причем уже здесь в какой-то степени выделяются отдельные,
существенные свойства стороны объекта, т. е. в какой-то мере здесь
проявляется момент абстрагирования. Формирование абстракций
не является концом процесса познания данного объекта. Эти аб-
абстракции применяются для более глубокого изучения данного
объекта. Так, законы, открытые в какой-либо области науки, позво-
позволяют более целенаправленно и более широко производить экспери-
эксперименты, расширять приложение данной области науки к практике.
В результате этого углубляется познание фактического материала,
открываются новые его свойства, стороны. Он познается более
полно, глубоко, всесторонне, а значит, и более конкретно. Таким
образом, формирование научных абстракций обусловливает движе-
движение познания в сторону его конкретизации. В результате накопле-
накопления фактического материала может измениться содержание абст-
абстракций, могут появиться новые абстракции еще большей степени
общности, они могут быть абстракциями от абстракций.
Эти более широкие абстракции в состоянии охватить и боль-
большее многообразие конкретного, они применяются к познанию боль-
большего количества отдельных предметов, явлений; они способствуют
расширению практических приложений данной области науки и
позволяют еще более полно, глубоко познавать действительность.
Этот процесс взаимодействия абстрактного и конкретного не имеет
1 К. М а р к с, Ф. Э н г е л ь с. Соч., т. 12, стр. 727.

конечного пункта, он продолжается все дальше и дальше, так как
само познание есть бесконечный процесс.
Каждый последующий этап в развитии какой-либо области на-
науки является и более абстрактным и более конкретным, чем преды-
предыдущий этап. Если наше знание охватывает все большее и боль-
большее количество отдельных объектов, а в каждом отдельном
объекте отражает все большее и большее количество сторон,
свойств, отношений, то это значит, что оно становится все бо-
более многосторонним, полным, глубоким, т. е. более конкретным.
Значит, появление в науке все более и более широких абстракций
нельзя понимать просто как ее удаление от действительности, а
следует понимать, в известном смысле, как ее приближение к
действительности. В результате такого развития познания возни-
возникает часто необходимость в пересмотре некоторых теоретических
положений, а иной раз — в замене теории новой. Замена какой-
либо старой теории новой сопровождается возникновением новых,
своеобразных понятий. Но эти новые понятия являются отраже-
отражением каких-то свойств, сторон, связей, которые ранее были неиз-
неизвестны. Поэтому возникновение таких понятий способствует
более полному, точному отражению действительности, т. е. яв-
является движением не только в сторону все большей и большей
общности, но и одним из моментов конкретизации и углубления
знания.
Дифференциация наук, возникновение новых ее разделов так-
также связано с единством абстрактного и конкретного. Новые раз-
разделы науки возникают на основе новых, более широких научных
абстракций и принципов. Но одновременно появление нового раз-
раздела науки означает специализацию научного знания; более тща-
тщательное, более точное изучение объекта в каком-то особом направ-
направлении, вследствие чего становятся известными новые свойства, осо-
особенности, связи объектов. Следовательно, дифференциация наук
является результатом конкретизации знания. Она способствует по-
познанию неизвестных ранее отношений между понятиями наук,
дальнейшей конкретизации знания.,
Расширение практического приложения научных теорий озна-
означает расширение круга изучаемых объектов, явлений, выявление
новых свойств, особенностей, связей предметов, явлений, проверку
правильности познания. Практика обусловливает в значительной
степени и перспективы развития научных теорий. Это значит, что
расширение практического приложения общих понятий также яв-
является одним из моментов конкретизации знания.
Таким образом, развитие познания включает в себя движение
от конкретного к абстрактному и от абстрактного к конкретному.
Наиболее важными существенными чертами математики явля-
являются ее общий характер, отвлеченность и взаимодействие абстрак-
абстрактного и конкретного. Простейшие операции с числами содержат
уже известную отвлеченность, поскольку мы их можем не.связы-
не.связывать с определенными предметами.

Понятие, геометрической линии уже содержит некоторую сте-
степень обобщения, отвлеченности, так как является отражением ш
сознании протяженности в двух противоположных направлениях.
Арифметика рассматривает количественные отношения отвлеченно,
а геометрия — пространственные формы. Алгебра представляет
собой более высокую степень обобщения по отношению,к элемен-
элементарной арифметике, так как отвлекается от конкретного значения
величины. Каждый последующий этап в развитии какой-либо ма-
математической теории представляет собой более высокую степень
общности по отношению к предшествующему этапу. Следствием
этой закономерности является чрезвычайно высокая степень общ«
ности современной математики, которая оперирует весьма широ-
широкими абстракциями.
Математические абстракции наряду со специфическими для них
чертами обладают и рядом общих- свойств с абстракциями других
наук. Они (как и вообще абстракции) отражают общие, сущест-
существенные признаки предметов, явлений. Математические абстракции
необходимы в процессе развития математики, так как без выделе-
выделения, отражения общих, существенных, основных признаков, свойств
конкретных предметов невозможно изучить связанные с ними ко-
количественные отношения и пространственные формы.
В математике, как и в других науках, процесс абстрагирования
также является противоречивым. С одной стороны, математические
абстракции необходимое средство математического знания, с дру*
гой — они отходят от действительности. Какая-либо математиче-
математическая абстракция не может отобразить все многообразие мира. Она
выделяет какую-либо одну сторону предмета в так называемом
«чистом» виде, т. е. в таком, в котором она не существует в дейст-
действительности. Она отражает закономерности объективного мира уп-
упрощенно, схематично. Но этот отход от действительности является
только методическим приемом, необходимым условием ее глубоко-
глубокого познания, каждая абстракция является ступенью познания.
Это противоречие в развитии математики может быть понято
только при условии рассмотрения абстракции в связи с ее противо-
противоположностью, в связи с конкретным. Конкретное в познании яв-
является отражением единства, целостности различных сторон,
свойств, отношений, присущих предметам и явлениям действитель*
ности. Взаимодействие, взаимопроникновение этих противополож-
противоположных сторон играет особо важную роль в развитии познания,
в том числе и математического. Иногда, подчеркивая абстрактный
характер математической науки, забывают о конкретном, недооце.*
нивают значение конкретного в развитии математики.
При таком одностороннем понимании развития математики по-
повышение степени ее общности трактуется как все больший и боль-
больший отрыв от конкретного, от содержания, а следовательно, и от
действительности. Но абстрактное не является конечным пунктом
познания. Процесс познания от абстракций вновь возвращается к
конкретному, которое является исходным пунктом познания. В со-
10

вокутгости абстракции отражают свойства конкретных предметов
н делают более глубоким их конкретное познание.
Конкретное знание как совокупность, сочетание многочисленных
абстракций, полученных в процессе познания объективного мира,
является-«самым глубоким и содержательным знанием о предме-
предметах внешнего мира» '.
Оно выше чувственно-конкретного, так как отражает существен-
существенные стороны предметов, явлений; оно выше и абстрактного, так как
отражает не одну какую-либо существенную сторону, а различные
существенные стороны в их связях, т. е. дает многостороннее отра-
отражение предмета. Но познание не останавливается на каком-либо
этапе достижения конкретного, а идет дальше; анализ его может
дать абстракции еще более высокого порядка, сочетание которых
дает еше более глубокое знание о предметах, явлениях. Таким об-
образом, процесс познания развивается бесконечно, что находит свое
выражение во взаимодействии абстрактного и конкретного.
Современные математические науки обладают высокой сте-
степенью общности, что делает особенно трудным понимание их содер-
содержания. Здесь особенно велика опасность отрыва абстракций от
конкретного, от реальной действительности. Этот отрыв является
одной из существенных причин распространения идеализма в мате-
математике, искажения содержания математических теорий. Диалекти-
Диалектический материализм требует рассматривать понятия, формулы ма-
математических теорий как единство и взаимодействие абстрактного
я конкретного. Проблема соотношения абстрактного и конкретного
в математике является столь сложной, широкой и многообразной,
что не может быть решена сколько-нибудь полным образом в од-
одной работе. Решение ее требует создания, по крайней мере, нес-
нескольких фундаментальных работ как результата труда целого кол-
коллектива ученых. Настоящая работа не претендует на сколько-ни«
будь полное решение этой проблемы и должна рассматриваться
только как один из шагов на пути к ее решению.
Возникновение современной математики связано с потребностя-
потребностями быстро развивающегося производства во второй половине XIX
я начале XX века. Эти потребности обусловили исключительно бы-
быстрое развитие естествознания и техники, которые стали предъ-
предъявлять к математике все более и более высокие требования. Так,
уже в начале XIX века существенно.расширяются приложения ма-
математического анализа. Развитие электродинамики, термодинами-
термодинамики, теории магнетизма стало требовать применения сложного ма-
математического аппарата. На развитие математики оказывают влия-
влияние запросы новой техники, связанные с применением тепловых ма-
Сб. Категории материалистической диалектики. 1956, стр. 341.
11

шин, баллистикой, задачами технической механики. В связи с этим
интенсивно разрабатываются теория потенциала, теория дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными. Развитие механики
и физики привело к более отчетливому пониманию природы «ска-
«скалярных» величин, к установлению того, что они являются лишь
частным случаем величин многомерных. Исследование- функци-
функциональных зависимостей между этими величинами и привело к воз-
возникновению и развитию векторного и тензорного исчисления. При-
Применение этого исчисления в области бесконечномерных величин
связано с потребностями квантовой механики.
В 1866 г. Риман создает концепцию n-мерного многообразия
с метрической геометрией, где определяющую роль играет диффе-
дифференциальная квадратичная форма
ds2=ZaikcTxtdxk.
Была создана общая дифференциальная геометрия п-мерных
многообразий. Возникновение общей теории относительности дало
мощный толчок этому направлению геометрических исследований.
Положения теории я-мерных векторных пространств способство-
способствовали развитию линейной алгебры, которая находит все более ши-
широкие применения в механике и физике. Многие из разделов алгеб-
алгебры (в частности, теория групп) находят применение в естествозна-
естествознании, например в работах Федорова Е. С. по кристаллографии, в
квантовой физике.
Круг применения математических теорий к задачам, которые
выдвигаются естествознанием и техникой, становится все более и
более широким. Связь математики с естествознанием приобретает
все более и более сложный характер. Математические теории воз-
возникают не только под непосредственным влиянием запросов есте-
естествознания, но и под воздействием внутренних потребностей самой
математики (теория функций комплексного переменного, геомет-
геометрия Лобачевского и др.). В математике накапливается огромный
фактический материал, в связи с чем происходит существенное
расширение предмета математики. В математике рассматриваются
отношения любых элементов произвольной группы, отношения меж-
между векторами, операторами, пространства любого числа измерений
(теория абстрактных пространств, геометрия Римана). Существен-
Существенным является то, что в математике вырабатываются приемы созна-
сознательного построения новых геометрических систем, новых «алгебр»
в зависимости от необходимости решения определенных практи-
практических задач. Существенно возрастает влияние конкретной прак-
практики на процесс формирования математических теорий.
Расширение предмета математики в XIX веке вызвало необхо-
необходимость усиленного внимания к вопросам ее обоснования, т. е. к
рассмотрению вопросов, касающихся предмета математики, ее
места в науке, внутренней структуры математических дисциплин,
их взаимосвязей, закономерностей развития математики. Появляет-
12

ся необходимость критического пересмотра исходных положений
математики, а также построения строгой системы определений и
доказательств 1.
В 1879—1884 гг. были опубликованы основные работы Канто-
Кантора по общей теории бесконечных множеств, причем предполага-
предполагалось, что на их основе могут быть решены основные- проблемы
обоснования математики. Согласно теоретико-множественной точ-
точке зрения, каждая математическая теория имеет дело с некоторы-
некоторыми множествами объектов, находящимися между собой в опреде-
определенных отношениях. Все формальные свойства и отношения объек-
объектов математической теории выражаются определенной системой
аксиом, абстрагированных от конкретной природы объектов и от-
отношений между ними.
Аксиоматизированная таким образом математическая теория
применима к любой совокупности объектов, которая удовлетворяет
данной системе аксиом. Теория множеств дала возможность уста-
установить, в чем должны заключаться требования математической
строгости, позволила внести систему в разнообразие математиче-
математических дисциплин и определить их предмет.
Теория множеств внесла большую ясность в определения и
большую убедительность в доказательства математических теорий.
Но теория множеств не содержит никаких логических средств, ко-
которые могут быть необходимы для развития математической теории.
Эти средства указывает современная математическая логика. В
результате развития математической логики создана общая тео-
теория алгоритмов, которая дает строго определенные методы решения
некоторого класса проблем.
Теория множеств и математическая логика с теорией алгорит-
алгоритмов дают возможность решить некоторые проблемы обоснования
современной математики. Решение проблем, связанных с понятием
бесконечности, теорией множеств сводится «к обоснованию и кри-
критическому выяснению содержания понятия бесконечного множест-
множества» 2.
Теория множеств способствует формированию достаточно общих
взглядов на изучаемые математикой количественные отношения,
позволяет с единой точки зрения рассматривать строение матема-
математических теорий и «до известной степени осветить как вопрос об
отношении математической теории к действительности, так и
вопрос о своеобразии математического метода исследования»3.
Таким образом, в современной математике значительное место
занимают теория множеств, математическая логика с теорией алго-
алгоритмов.
В переходе математики на эту ступень развития важнейшую
роль играли определенные общественные условия: потребности об-
общественного производства, связь математики с естествознанием и
1 См. А. Н. Колмогоров. Математика. БСЭ.
2 Т а м ж е.
* Т а м ж е.

техникой. Переход математики на эту более абстрактную ступень
своего развития самым существенным образом связан с накопле-
накоплением конкретного фактического материала в самой математике.
Теория множеств и математическая логика являются важным эта-
этапом на пути ее развития в направлении большей абстрактности, а
также и большей конкретности. Этот последний вопрос -и является
предметом рассмотрения последующих параграфов, причем здесь
категории абстрактного и конкретного применяются в том смысле,
который им придает К. Маркс в следующих высказываниях.
«Всякий труд есть, с одной стороны, расходование человеческой
рабочей силы в физиологическом смысле слова, — ив этом своем
качестве одинакового, или абстрактно человеческого, труд образует
стоимость товаров. Всякий труд есть, с другой стороны, расходова-
расходование человеческой рабочей силы в особой целесообразной форме, и в
этом сбоем качестве конкретного полезного труда он создает
потребительные стоимости... ткачество, поскольку оно ткет стои-
стоимость, не отличается от портняжества, следовательно есть абстракт-
абстрактно человеческий труд... выражение эквивалентности разнородных
товаров..., разнородные виды труда... действительно сводит к тому,
что в них есть общего, — к человеческому труду вообще>1.
1 К. Марне Капитал, 1952, т. 1, стр. 53, 57.
14

ГЛАВА ПЕРВАЯ
О СООТНОШЕНИИ АБСТРАКТНОГО И КОНКРЕТНОГО
В НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЯХ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Характерными чертами развития математики в XIX веке яв«
ляется быстрое расширение применения математики к решению
многообразных практических задач, а также необходимость разра-
разработки новых, более совершенных методов исследования, системати-
систематизации основных понятий математики, обоснования их. Обоснова-
Обоснование арифметики действительных чисел, основных положений мате-
математического анализа привело к возникновению одного из важней-
важнейших разделов современной математики-—теории ¦множеств.
Возникновение теории множеств является важным этапом в
развитии математики по пути все большего абстрагирования, а так»
же в направлении дальнейшей конкретизации математического
знания. В теории множеств общее и абстрактное также находятся
в неразрывной связи с конкретным.
Теория множеств может рассматриваться по отношению к ма-
математическому анализу как следующий этап более глубокого про-
никновения в сущность бесконечного. «Однако, — пишет Д. Гиль-
Гильберт,— сам анализ, еще не ведет нас к глубочайшему проникнове-
проникновению в сущность бесконечного. Такому проникновению гораздо
больше способствует дисциплина, которая стоит ближе к общефи-
общефилософским приемам мышления и которая была призвана опять,
уже в новом свете, поставить весь комплекс вопросов, касающих-
касающихся бесконечного. Этой дисциплиной является теория множеств, соз-
создателем которой был Г. Кантор» '.
Характернейшей чертой теории множеств является и то, что она
представляет собой следующую ступень в развитии математиче-
математических понятий в направлении их дальнейшего расширения и вместе
с этим дальнейшей их конкретизации.
Кантор в начале своей работы «Основы общего учения о много-
многообразиях» отмечает, что развитие этого учения стало с необходи-
необходимостью требовать расширения понятия целого реального числа за
* Сб. Основания геометрии. 1948, стр. 345.

бесконечное и что без такого расширения невозможно сделать да-
даже малейший шаг вперед в учении о множествах.
Теория множеств имеет своими исходными определяющими по-
понятиями— множество (конечное и бесконечное) и взаимоодно-
взаимооднозначное соответствие. Без ясного понимания сущности этих поня-
понятий невозможно сознательное глубокое усвоение содержания этой
теории. При освоении теории множеств существенно учитывать, что
эти понятия не могут быть логически определены через другие: они
являются наиболее простыми понятиями.
Основой этих понятий является материальная действитель-
действительность, ее конкретное многообразие; источником их формирования
является практика, миллиардное повторение опыта, при котором
элементы множеств приводились во взаимооднозначное соответст-
соответствие друг с другом. Существенно усвоить также и то, что введение в
математику такой абстракции, как множество, означает не только
подъем математики на более высокую ступень абстрагирования,,
но и дальнейшую конкретизацию математического знания. Понятие
бесконечности играет в теории множеств весьма значительную роль.
Поэтому целесообразно предварительно познакомиться с освеще-
освещением этого понятия в произведениях Ф. Энгельса «Анти-Дюринг>
{стр. 44—49, 50, 349—354, 81—82, 114, изд. 1957 г.) и «Диалектика
природы» (стр. 160, 188, 189, 206, 185—187, изд. 1953 г.).
Теория множеств оказала весьма существенное влияние на
понимание содержания таких основных понятий математического
анализа, как бесконечно малая величина, функция, предел функ-
функции. Для того чтобы понять характер этого влияния, необходимо
составить отчетливое представление о сущности этих понятий в ста-
старой их трактовке (без учета влияния теории множеств), о том, ка-
каков их смысл, какие свойства действительности они отражают.
Бесконечно малая прежде всего есть величина переменная, причем
при своем изменении она проходит бесконечное множество отдель-
отдельных, конкретных значений. Только при таком определенном из-
изменении величин они могут быть бесконечно малыми. Следователь-
Следовательно, формирование абстракции бесконечно малой величины органи-
органически связано с ее отдельными конкретными значениями. То же
самое может быть отнесено и к абстракции бесконечно большой
величины, так как последняя является противоположной бесконеч-
бесконечно малой величине.
Понятия конечного и бесконечного, применяющиеся в матема-
математическом анализе, являются отражением бесконечного множества
многообразных свойств конкретных материальных объектов, про-
процессов их изменений. Они являются отвлечением от бесконечного
множества конкретного, являющегося основой абстракций. Каж-
Каждый конкретный материальный объект (тело, микрочастица, поле)
является неисчерпаемым, он обладает бесчисленным множеством
всевозможных свойств, сложной специфической структурой. Сое»
тавляющие его свойства связаны друг с другом определенным,
закономерным образом.
16

Свойства материальных объектов проявляются во внутренних
связях, а также во взаимосвязях с другими объектами. Чем много-
многообразнее эти связи, тем сложнее данный объект. Во взаимосвязях
о другими объектами проявляются также и свойства каждого кон-
конкретного объекта. Эти свойства в зависимости от условий могут
проявляться в большей или меньшей степени. Это значит, что каж-
каждое качество может проявляться через бесконечное множество ко-
количественных многообразий. Например, микрочастицы обладают
многообразными свойствами, которые зависят от их связей с дру-
другими частицами и с внешним полем, т. е. зависят от конкретных ус-
условий, в которых они находятся. Так, электрический заряд частицы
характеризует ее связь с электрическим полем, масс — с гравита-
гравитационным полем, мезонный заряд характеризует-ее связь с мезон-
ным полем. Конечные явления — проявление бесконечного.
Следовательно, понятие о бесконечном имеет основу в конкрет-
конкретном, в конкретных условиях существования материальных объек-
объектов. Материальная действительность включает бесконечное множе-
множество материальных объектов. Каждый из них связан с другими
объектами многообразий. Все это бесконечное многообразие кон-
конкретного в действительности и отражается в сознании, в форме
абстракции о бесконечном.
Математические понятия о бесконечном, как видно, тесно свя-
связаны с бесконечностью материи в пространстве и времени. Данные
современной космологии о структуре известной нам части вселен-
вселенной подтверждают бесконечность материи в пространстве и време-
времени. Понятие о бесконечности в математике рассматривается в
тесной связи с понятием о конечном, что является отражением в
сознании единства конечного и бесконечного в конкретных мате-
материальных объектах. О связи конечного и бесконечного Ф. Энгельс
писал: «Бесконечность есть противоречие, и она полна противоре-
противоречий. Противоречием является уже то, что бесконечность слагается
из одних только конечных величин, а между тем это именно так»1.
Каждое материальное тело ограничено в пространстве и вре-
времени, и в этом смысле оно является конечным, но с каждым телом
связаны поля, которые способны простираться до бесконечности, и
в этом смысле каждое тело обладает пространственной бесконеч-
бесконечностью. Каждое тело имеет начало во времени, а также конец
своего существования. Оно конечно во времени. Но материальная
субстанция, сущность, связанная с данным телом, неуничтожима,
она обладает вечностью. Каждое тело неисчерпаемо, оно обладает
бесконечным множеством свойств, находится в бесконечно многооб-
многообразных отношениях с другими телами. Однако каждое конкретное
свойство в, каждый данный момент времени обладает вполне опре-
определенным значением. Так, например, масса тела, скорость движе-
движения, температура, объем и т. д. в каждый определенный момент
имеют какое-то определенное конечное значение.
1 Ф.Энгельс. Анти-Дюринг. 1957, стр. 49.
2 3jk«» юзе 17

Следовательно, единство конечного и бесконечного, которое про-
проявляется в некоторых математических понятиях, имеет свою осно-
основу в конкретном, именно в свойствах, отношениях конкретных ма-
материальных объектов.
Одним из основных понятий математического анализа является
понятие предела. Оно является результатом абстрагирования от
множества частностей, представляет собой отражение в сознании
границы существования множества конкретных предметов, процес-
процессов. В реальном мире нет тех совершённых точек, линий, поверх-
поверхностей, которыми оперирует математика. Конкретные объекты
могут давать лишь асимптоматическое приближение к ним. Напри*
мер, Гаусс определял поверхность как тело, бесконечно тонкое в
одном из своих измерений, — но ведь в природе такого тела нет.
Поверхность, линия, точка—- пределы, к которым могут прибли-<
жаться тела при безграничном уменьшении толщины и длины.
Следовательно, эти предельные понятия являются отражением в
сознании существования в объективном мире материальных тел,
толщина и длина которых может уменьшаться до очень незначи-
незначительной величины, т. е. быть очень малой. Точка без протяжения,
так же, как мгновение без продолжительности, есть идеальный пре-
предельный объект. Современная физика особенно ярко подтверждает
это положение. Измерение длины или объема тел нельзя осущест-
осуществить с абсолютной точностью, нельзя какую-либо длину дробить до
тех пор, пока не получится точка без протяжения. Поэтому понятие
абсолютно точных размеров является идеализированной абстрак-
абстракцией. Бесконечная делимость отрезков длины и промежутков вре-
времени существует лишь в возможности, но не в действительности.
Данные современной физики говорят о том, что в микромире,
очевидно, существует некоторая элементарная длина величиной в
—13 —14
10 см — 10 см а также элементарный промежуток времени в
-24
10 сек т. е. интервал времени, за который свет может рас-
распространиться от одной области элементарной частицы до другой.
Эти величины длины и длительности являются наименьшими из
тех, которые обнаружены или измерены в любых опытах, относя-
относящихся к элементарным частицам. Поэтому, эти величины длины
и промежутка времени могут рассматриваться (хотя бы в отно-
относительном смысле) как предельные. Конечно, этот предел следует
рассматривать как относительный. Определенные материальные
процессы, очевидно, могут происходить в еще меньших областях
пространства и времени, а ряд других процессов, возможно, может
происходить при условии проявления непрерывности простран-
пространства и времени.
В природе существуют и другие величины, имеющие значение
предела. Так, верхним известным пределом распространения скоро-
скоростей является скорость света. Данные современной науки говорят
о том, что масса тела не может быть сколь угодно большой, су-
18

шествует верхний предел массы тела. Так, самые тяжелые звезды
имеют массу, которая может превышать массу Солнца, примерно, в
сто раз. При больших массах звезд в недрах их развиваются столь
большие силы давления, что возникают интенсивные термоядерные
реакции, вслелствие чего звезда столь большой массы распадает-
распадается на ряд меньших звезд. Можно предполагать, что существует и
нижний предел массы, т. е., что существуют такие объекты, масса
которых является наименьшей. Но пока каких-либо определенных
данных об этом нет. Можно привести ряд других величин, которые
имеют значение предела. Так, например, частицы не.могут иметь
электрический заряд, который был бы меньше заряда электрона,
температура имеет своим нижним пределом — 273°С, возможно, что
существует и верхний ее предел, хотя значение его неизвестно. Та-
Таким образом, в природе существует бесконечное множество раз-
различных величин, которые обладают общим свойством — при своих
изменениях они могут стремиться к некоторому предельному зна-
значению.
Понятие предела, являясь одним из важнейших общих поня-
понятий математического анализа, в то же время богато конкретным
содержанием. Это понятие способствует решению множества кон-
конкретных практических задач, расширяет сферу приложений мате-
математики, отражает единство многообразных свойств множества
конкретных предметов, процессов природы. Оно способствует кон-
конкретизации математического знания.
В математическом анализе весьма важную роль играет понятие
функциональной зависимости, представляющее собой отражение в
сознании многообразных, конкретных зависимостей, имеющих
место в природе. Понятие функции, обладая высокой степенью сбщ-
ности, отличается в то же время исключительной конкретностью.
Оно отражает подвижность, изменчивость реального мира, слож-
сложность, многосторонность его взаимосвязей. Это понятие является
отражением в сознании всеобщего характера зависимостей между
различными величинами. Многообразному характеру зависимо-
зависимостей между величинами в природе соответствуют различные формы
функциональной зависимости. Свойства каждого материального
объекта зависят от характера его связей и взаимодействий как
внутренних, так и внешних.
Исследование бесконечно многообразных зависимостей осуще*
ствляется общими методами, средствами математического анали-
анализа, который делает возможным более глубокое познание конкрет-
конкретных свойств материальных объектов. Каждая формула функцио-
функциональной зависимости соответствует определенному типу взаимо-
взаимосвязей в природе. Например, пропорциональные функции отража-
отражают пропорциональные зависимости, проявляющиеся в природе.
Квадратичные, степенные функции отражают более сложные вза-
взаимосвязи в природе. Сложные взаимосвязи между величинами от-
отражаются в форме многозначных функций, а также функций от
функций. Дальнейшее расширение понятия функции, когда сама
19

форма функциональной зависимости рассматривается как пере-
переменная, привело к возникновению особой области математики —
функционального анализа.
Поскольку понятие функции является весьма широкой абстрак-
абстракцией, оно приложимо к решению всех конкретных задач, связан-
связанных с зависимостями между величинами.
Связь абстрактного и конкретного проявляется и в понятии
интеграла. Общий метод интегрирования представляет собой
отыскание предела сумм бесконечно большого числа бесконечно
малых слагаемых. При неограниченном уменьшении слагаемых ве-
величина, стремящаяся к пределу, проходит бесконечное множество
отдельных значении. Применение этого общего метода расширяет
сферу приложения математики.
Для усвоения теоретико-множественной трактовки понятия чис-
числа неооходимо рассматривать это понятие в его историческом раз-
развитии, изменении его содержания в направлении все большей аб-
абстрактности, одновременно и большей конкретности, как все более
глуоокое и полное отражение количественных отношений действи-
действительности.
Понятие числа, как и всякое другое понятие, есть отражение в
сознании человека определенных свойств объективного мира. Содер-
Содержание этого понятия может быть правильно понято при условии,
если оно рассматривается в процессе развития, основой которого
является опыт, практика человечества.
В практике человек имеет дело с предметами, которые облада-
обладают различными свойствами, например весом, объемом, длиной
и т. д. степень этих свойств может быть различной, она может из-
изменяться в зависимости от изменения условий. В соответствии с
этим в сознании человека возникает понятие о величине. Когда мы
говорим, что величина объема данного тела велика, то имеем в ви-
виду то, что тело обладает свойством объема в значительной степени.
Предметы действуют друг на друга, причем в этих действиях
проявляются их свойства, т. е. в объективном мире существуют от-
отношения свойств предметов, а следовательно, и отношение величин.
1ечение процессов природы существенным образом зависит не толь-
ко от качественных изменений явлений, но и от отношения
каких-то определенных величин. Например, состояние тела
может зависеть от того, какова будет величина его теплоты. Есди
величина напора воды весной в реке будет достаточна, чтобы прео-
преодолеть величину сопротивления льда, то лед будет взломан и нач-
начнется ледоход. Если величина давления ветра будет достаточна,
чтобы преодолеть величину сопротивления корней дерева, то оно
может быть вырвано ветром, и т. д.
Объективный мир представляет собой многообразное сочетание
совокупностей различных предметов, явлений. В практике человек
на каждом шагу наблюдает различные совокупности, их отноше-
отношения, сочетания. Например, группы деревьев, стаи птиц, стада жи-
животных и т. д. В природе различные совокупности находятся в ка--

ких-то отношениях друг с другом. Например, количество ног ка-
какого-либо стада животных в четыре раза больше количества самих
животных. В практике человек сравнивает величины различных со-
совокупностей (множеств) между собой. Тогда возникает необходи-
необходимость в такой операции, как счет, измерение, взвешивание и т. д.
Результат сравнения выражается в числе.
Понятие числа — отражение в сознании человека количествен»
аых отношений множеств, существующих в объективном мире. По-
Порядковое число — отражение в сознании отношений последователь-
последовательности элементов совокупностей (множеств).
Отсюда ясно, что понятие числа имеет объективное содержа-
содержание. Его возникновение и формирование происходило на основе
практических операций измерения и счета, науки, занимающие-
занимающиеся изучением отношений между величинами, имеют объективное
содержание.
Развитие числа противоречиво. Важную роль в этом развитии
играет взаимоотношение таких противоположных сторон, как аб-
абстрактное и конкретное. По мере развития понятие числа становит-
становится все более широкой абстракцией, но одновременно оно приобре-
приобретает все более богатое конкретное содержание. Вся история раз-
развития знаний о числе с полной очевидностью подтверждает спра-
справедливость этого положения. Это развитие закономерно привело к
возникновению понятия дробного, отрицательного числа. Понятие
рационального числа является более общей абстракцией, чем поня-
понятие натурального числа, вместе с тем оно обладает и более бога-
богатым конкретным содержанием.
Расширение практических приложений числа, развитие счета,
измерений, а также внутренние потребности развития математики
привели к понятию действительного числа, которое представляет
собой дальнейшее обобщение и конкретизацию понятия рациональ-
рационального числа. Понятие комплексного числа является оолее оощим,
чем понятие действительного числа, в то же время оно расширяет
приложения математики, способствует конкретизации математиче-
математического знания '.
Понятие числа обобщается в теории множеств.
Для формирования понятия множества необходимо исходить из
гого, что между объектами существует различие и общность, един-
единство. Кантор выдвинул по этому поводу следующее положение:
«Множество есть многое, мыслимое как единое»2.
Понятие множества есть абстракция, оно формируется путем
отвлечения от многих, несущественных для данного случая свойств
объектов, отражает какую-то существенную сторону, существенное
свойство их. В то же время понятие множества включает в себя
отдельные, конкретные объекты, обладающие тем свойством, кото-
1 О развитии понятия числа можно прочитать в кн. В. Беллюстина «Как по-
постепенно люди дошли до настоящей арифметики», в кн. Б Васильева «Число»
л в «Энциклопедии элементарной математики», т. 1, 1951.
2 Цит. по кн. Н. Н. Лузина «Теория функций действительного переменного»,
1948, стр. 8.
21

рое принято за основу их объединения. Например, пусть мы име-
имеем в виду множество людей, населяющих земной шар. За основу
их объединения в одно множество приняты некоторые существен-
существенные свойства человека, то, что каждый человек является обще-
общественным существом, обладает способностью мыслить, говорить,
имеет более или менее определенный вид. При этом отвлекаются
от огромной массы частностей, от несущественных для данного
случая особенностей, которые может иметь каждый человек (пол,
рост, вес, профессия, цвет кожи и т. д.). Следовательно, понятие
множества, в данном случае множества людей на земле, есть аб-
абстракция. С другой стороны, это понятие содержит в себе и конк-
конкретное, поскольку в него включается множество отдельных лю-
людей, конкретных лиц, каждый из которых обладает многими инди-
индивидуальными особенностями..
Бесконечное множество может быть задано только на основе
неразрывной связи отдельного и общего. Конечное множество мо-
может быть задано, если даны все его элементы, т. е. ни один из его
элементов не пропущен. Бесконечное же множество не может быть
задано таким способом. Бесконечный ряд элементов (U] + U2 + ...Uп)
можно полагать данным тогда, когда его общий член дан как фун-
функция от «п», Un =f(n), когда известен тот закон, по которому оп-
определяются его члены. Этот закон выражает единообразную связь
между всеми отдельными членами бесконечного ряда (или эле-
элементами множества), он является общим для всех отдельных чле-
членов, «он является скрепляющим все его члены в одно целое»'.
Таким образом, для задания бесконечного множества необходи-
необходимо должны быть отдельные элементы, какие-то объекты, а также
единообразная, общего характера связь между ними, т. е. оно мо-
может существовать при условии неразрывной связи между отдель-
отдельным и общим.
Понятие множества обладает чрезвычайно высокой степенью
общности. Оно отражает общее для всех материальных объектов,
поскольку каждый из них обладает какими-то общими свойства-
свойствами с некоторым рядом других объектов. Эта высокая степень об-
общности обусловливает и широту применения множества.
Элементами множества могут быть самые разнообразные
объекты: растения, животные, буквы, числа, молекулы, атомы
и т. д. При оперировании с множествами совершенно отвлекаются
от конкретного содержания объектов, рассматривают их как эле-
элементы множества, связанные друг с другом определенным обра-
образом. Следствием этого является широкая приложимость теории
множеств к очень многим областям науки и техники, к решению
самых разнообразных практических задач. Абстракция множества
используется для познания существенных сторон, свойств весьма
многих отдельных конкретных предметов, явлений.
1 Цит. по кн. Н. Н. Лузина «Теория функций действительного переменного»,
1948, стр. 10.
*2

Таким образом, понятие множества наряду с высокой степенью
общности обладает и значительным конкретным содержанием.
Существенным различием между конечным и бесконечным мно-
множествами является то, что конечному множеству свойственно толь-
только одно количество, независимо от того, в какой последовательно-
последовательности находятся его элементы. Бесконечному множеству свойственны
различные количества в зависимости от последовательности, кото-
которую придают его элементам.
В связи с этим понятие числа в области бесконечного получает
большую общность, чем в области конечного. Г. Кантор пишет об
этом следующее: «...понятие целого числа, имеющего в области
конечного под собой лишь понятие количества, как бы раскалыва-
раскалывается, когда мы поднимаемся в область бесконечного, на два поня-
понятия — на понятие мощности, независимое от присущего некоторо-
некоторому множеству порядка, и понятие количества, необходимым обра-
образом связанное с некоторым закономерным порядком множества,
благодаря которому последнее становится вполне упорядоченным
множеством. А когда я обратно опускаюсь из области бесконечно-
бесконечного в область конечного, то я также ясно и прекрасно вижу, как оба
понятия снова становятся одним и соединяются в понятие конечно*
го целого числа»1.
Расширение понятия числа в теории множеств привело к су-
существенному изменению понятия количества, мощности, а также
соотношения между ними. Известно, что для конечных множестз
мощность совпадает с количеством элементов, так как здесь коли-
чество элементов множества не зависит от их порядка.
Понятие мощности есть обобщение понятия числа элементов.
В случае бесконечных множеств нельзя говорить о каком-либо оп-
определенном количестве элементов, но в то же время этому множе.
ству можно приписать определенную мощность, не зависящую ог
порядка элементов.
Наименьшей мощностью бесконечных множеств обладают те из
них, которые можно привести во взаимооднозначное соответствие
с первым числовым классом (бесконечный натуральный ряд чи-
чисел). В таком понимании наименьшей мощности бесконечных мно-
множеств проявляется связь бесконечного с конечным, так каких мощ-
мощность определяется через соответствие их элементов с элементами
множества ряда конечных целых чисел. Такой способ определения
мощности бесконечных множеств связан с процессом неограничен-
неограниченного перехода от одного числа к другому, т. е. то, что мыслится
как постоянное, завершенное, определяется через процесс.
Одним из существенных моментов того нового, что вносит тео-
теория множеств в понятие количества, является то, что здесь вводит-
вводится понятие количества элементов вполне упорядоченного множе-
множества, в котором элементы связаны между собой некоторой опреде-
определенной последовательностью. Эта связь выражается в том, что за
1 Г: Кантор. Учение о множествах. В сб. «Новые идеи в математике»,
!914, № 6, стр. 29—30.
23

каждым отдельным элементом следует определенный другой эле*
мент, а также за любым конечным и бесконечным множеством
элементов следует некоторый определенный элемент, представляю*
щий ближайший, следующий за всеми ими в последовательности
(исключая случай, когда вообще в последовательности не сущест-
существует следующего за всеми ими элемента).
Для конечных множеств имеет место положение: два эквива-
эквивалентных конечных множества М и М1 суть равночисленные множе-
множества. Понятие равночисленное™ по отношению к бесконечным
множествам обобщается в понятии равномощности. Понятие мощ«
ности является расширением понятия количества. Оно дает воз-
возможность получить более всестороннее конкретное знание, позволя-
позволяет исследовать отношения не только для конечных множеств, но
и для бесконечных, охватывает больше отдельных, конкретных
предметов, явлений, их свойств, чем обычное понятие количества,
Расширение понятия числа в область бесконечного привело
Г. Кантора к созданию учения о трансфинитных числах. Положи-
Положительные реальные целые числа Г. Кантор называет I рядом или пер-
первым числовым классом. Образование конечных реальных целых
чисел происходит путем присоединения единицы к имеющемуся
уже образованному числу. Этот ряд чисел является бесконечным,
и между ними нет наибольшего числа. Далее Кантор вводит чи-
число w, которое является первым целым числом и следует за всеми
числами, 1, 2, 3, .., v, и, следовательно, больше, чем любое из
чисел ряда 1.2. 3 v.
Присоединяя к числу w последовательно единицы, Кантор по-
получает числа w+\, w + 2,..., w + v. В этом ряду чисел также не
имеется наибольшего числа, поэтому вводится новое число, обозна*
чаемое 2w, которое является первым числом, следующим за всеми
числами v и w + v.
Таким же образом можно получить ряды чисел: 2w + l, 2ш+
+ 2, .., 2w+y.
Далее можно построить такие ряды чисел: Зш, 3w-\-l,.., 3w + o,.,
+
Число большее, чем все эти числа, Кантор обозначает через w.
Каждый из этих рядов бесконечен и не содержит самого большо-
большого числа Гаким образом, получаются все новые числа, которые
имеют «предметную реальность, что и прежние числа» '.
Понятие трансфинитных чисел отражает свойства реального ми-
мира: существование в объективном мире бесконечного множества
бесконечных многообразий.
Ф. Энгельс пишет: «... чтобы познавать природу, мы не нуждаем-
нуждаемся в тех бесконечно многих вселенных, которые находятся за преде-
пределами нашей вселенной»2.
1 Г. Кантор. Учение о множествах. В сб. «Новые идеи в математике».
1914, №6, стр. 61
2 Ф Энгельс. Диалектика природы. Госполнтнздат, 1955, стр. 188.
24

Здесь Энгельс говорит именно о бесконечном множестве беско-
бесконечных многообразий, так как каждая вселенная, о которых гово-
говорит Энгельс, содержит бесконечное и их имеется бесконечное мно-
множество. Каждая из этого множества вселенных, очевидно, включа»
ет в себя какое-то количество объектов, и нет оснований полагать,,
что эти количества одинаковы для всех вселенных, что множества,,
соответствующие этим объектам, имеют одинаковую мощность.
Таким образом, трансфниитные числа Кантора можно некото-
некоторым образом связать со свойствами действительности, можно ут-
утверждать, что понятия о классах трансфинитных чисел являются
отражением некоторых весьма общих свойств действительности,
т. е. что они являются абстракцией весьма широкого характера.
Одновременно с этим учение Кантора о трансфинитном охватывает
отдельные, конкретные явления природы, дает всестороннее и, сле-
следовательно, конкретное знание. Чрезвычайно широкое понятие-о
классах чисел Кантор конструирует через операцию прибавления
к имеющемуся числу отдельных единиц. В этом проявляется так-
также один из моментов связи общего с отдельным.
Расширение понятия числа в область бесконечного означает пе-
реход математического мышления к качественно новому этапу.
Энгельс писал, что «количественная разность однородных величин
заостряет качественное различие до несоизмеримости»1.
Учение Кантора о трансфинитных числах является исключи-
исключительно ярким подтверждением этих слов Энгельса, так как оно
привело к открытию качественно новых свойств множеств, отноше-
отношений между ними. Там для бесконечных множеств является справед-
справедливым положение: бесконечному множеству М может быть присуще
га же самая мощность, что и его части, которое, как известно, про-
противоречит одной из аксиом, относящихся к свойствам конечных чи-
чисел.
Даны два множества чисел:
1,2,3, 4, 5, (М).
2, 4. 6, (М1).
Очевидно, множество М богаче, чем множество М1, так как оно
содержит, кроме четных чисел, еще и нечетные. Другими словами,
М1 есть часть М. Одновременно с этим правильным является и то,
что этим множествам присуща одна и та же мощность.
Действительно, когда мы имеем бесконечное множество, то меж-
между этими положениями нет никакого противоречия. Дело в том,
что имея дело с конечными множествами, мы привыкли отожде-
отождествлять мощность множества и его количественное число. Для ко-
конечных множеств целое больше части, потому что при сопоставле-
сопоставлении элементов целого с элементами части элементы части в какой-
то момент оказываются использованными, а в целом остается еще
избыток элементов, ho в случае бесконечных множеств элементы
части не могут быть использованными до конца, так как конца
Ф Энгельс. Диалектика природы, стр. 207.
2ft

здесь нет. Какое бы число мы ни взяли в натуральном ряду, ему
всегда можно найти соответствующее в ряду четных чисел.
Равномощность, которая присуща множествам, определяется
-сопоставлением их элементов. Если каждому элементу одного мно*
.жества находится соответствующий элемент в другом множестве,
го мощности, свойственные этим множествам, равны. • Ведь мощ-
мощность есть отражение в сознании определенных отношений совокуп-
совокупностей элементов. Исследование отношений таких совокупностей,
как бесконечные множества, из которых одно является частью дру-
другого, приводит к заключению, что здесь является возможным равен-
равенство части и целого.
Это равенство не следует понимать таким образом, что мощ-
мощности этих множеств (части и целого) тождественны. Г. Кантор
пишет: «Разве какое-нибудь множество и соответственное ему
количественное число не представляют совершенно различных ве-
вещей? Разве первое не противостоит нам в качестве объекта, между
тем как последнее есть лишь абстрактный образ его в нашем
духе»'.
Когда мы устанавливаем равенство мощностей, свойственных
«аким-либо множествам, то в этом факте выражается только од-
одно определенное отношение множеств, возможность взаимоодно-
взаимооднозначного соответствия их элементов. Какие-либо другие отношения
множества при этом не рассматриваются, и о тождественности
множеств здесь говорить нельзя.
В теории множеств действия сложения и умножения сущест-
существенно отличаются от алгебраических действий сложения и умноже.
яия. Здесь основные действия с целыми числами, как конечными,
так и бесконечными, получаются из понятия вполне упорядочен-
упорядоченного множества. Если М и Af1 — два вполне упорядоченные мно-
множества, то М + М1 есть также вполне упорядоченное множество.
Если а — число, соответствующее множеству М, р— число, соот-
соответствующее множеству Мг, то множеству М + М1 соответствует
число а + р. Если аир числа не оба конечные, то а + р не тождест-
тождественно р + а, т. е. в случае сложения коммутативный закон теряет
силу. Точно так же в случае бесконечных множеств теряет силу
коммутативный закон и для произведения, т. е. р-а отлично от
«Р.
При сложении конечного числа с бесконечным имеет место сле-
следующее равенство: a + v = a, т. е. прибавление к трансфинитному
количественному числу (а) какого-нибудь конечного числа не уве,
личивает величины первого. При умножении трансфинитного числа
на какое-либо конечное число имеет место следующее равенство:
a-v = a. Для возведения транофинитного числа а в степень v имеем
соотношение а? —а (черточка над v показывает, что здесь абстра-
абстрагирование произведено только один раз, отвлеклись лишь от сое*
тава элементов, определенный порядок элементов сохраняется).
1 Г. Кантор. К учению о трансфинитном. В сб. «Новые идеи в математи-
математике», 1914, № 6, стр. 141.
26

Если мы имеем бесконечное число w, то его можно записать
таким образом: w = w-2 и w = l-+w -2, откуда следует, что беско-
бесконечное число может быть одновременно и четным и нечетным. От-
Отмеченные особенности, касающиеся основных действий с бесконеч-
бесконечными целыми числами, показывают, что в области бесконечных чи-
чисел действия сложения, умножения, возведения в степень имеют
более общий характер, чем в области конечных чисел.
Эти соотношения превращаются в обычные алгебраические, ес-
если бесконечные числа заменить конечными. Это значит, что фор-
формулы, выражающие основные действия с конечными числами,
являются частным случаем более общих формул, выражающих
действия с бесконечными числами. Одновременно" с этим формулы
действий с бесконечными числами обладают и большей конкретно-
конкретностью, так как они соединяют в единое, более обширное многообра-
многообразие (не только конечные, но и бесконечные числа), дают возмож-
возможность исследовать некоторые новые стороны количественных отно-
отношений, дают более многостороннее, более конкретное знание.
В области трансфинитных чисел понятие предела качественно
отличается от понятия предела в области конечных чисел. Послед-
Последнее обладает следующими двумя существенными признаками: из-
изменяющаяся величина может произвольно близко приближаться
к пределу, предел есть наименьшая из всех числовых величин, ко-
которые больше, чем все числовые значения изменяющейся величины.
В области трансфинитных чисел действительным является только
лишь второй из этих признаков, первый признак не является здесь
действительным. В соответствии с этим w является пределом конеч-
конечных растущих целых чисел v, потому что w есть наименьшее число
из всех, которые больше, чем все конечные числа v. Здесь разность
w—v постоянно равна w, и поэтому нельзя сказать, что растущие
конечные числа v приближаются сколь угодно близко к своему
пределу w; любое сколь угодно большое число из ряда v остается
таким же далеким от w, как и самые малые числа этого ряда.
Понятие предела в области трансфинитных чисел является более
широким, чем в области конечных чисел, и включает последнее как
частный случай. Вместе с этим оно дает возможность исследовать
определенные свойства, относя их не только к конечным числам,
но и к бесконечным, т. е. дает возможность получить более всесто-
всестороннее, более полное, конкретное.знание о числах и их пределах.
Качественные особенности трансфинитпых чисел настолько
значительны, что число w и все трансфинитные числа, большие чем
w, находятся совершенно вне бесконечного числового ряда
1, 2, 3 .... и т. д. Число w не является максимумом конечных чи-
чисел 1, 2. 3 ... и т. д., такого максимума вообще не существует,
оно есть минимум всех бесконечных порядковых чисел.
Связь абстрактного и конкретного особенно ярко проявляется
в таких понятиях учений о трансфинитном, как я-кратное упоря-
упорядоченное множество, я-крагно порядковый тип или идеальное
число. Если элементы множества М упорядочены в я не зависимых
27

друг от друга отношениях, которые можно назвать направлениями,
то такое множество и называется /г-кратно упорядоченным.
Примерами таких множеств могут служить: т точек, упорядо-
упорядоченных по трем ортогональным осям; т точек, упорядоченных по
двум осям в плоскости; звуки музыкальной мелодии, упорядочен-
упорядоченные по 1) времени, 2) продолжительности звука, 3) вусоте, 4) ин*
тенсивности.
Это множество является отражением взаимосвязей, отношений
бесконечного множества элементов по множеству направлений
(ведь т, вообще говоря, может быть бесконечно большим). Это по-
понятие представляет собой единство бесконечно многообразного, «са-
«самые разнородные веши могут быть соединены между собой общей
связью идеальных чисел» '.
Оно в огромной мере расширяет возможности познания предме-
тов, явлений действительности,.дает более полное, всестороннее,
более конкретное знание, чем понятие конечного числа.
Допустим, имеется /г-кратный тип а, который состоит из единиц,
находящихся в определенных отношениях друг к другу по п нап-
направлениям. Если взять не все эти единицы, а только некоторую
часть, то тогда мы получим также некоторый тип у, который может
рассматриваться как часть типа п. Следовательно, каждый тип а
имеет как виртуальные части типы у, у', у"..., которые могут нахо-
находиться вне друг друга. Отношения между целым и частями у типов
могут быть весьма многообразными.
С каждым типом а связан ряд типов, которые могут быть полу»
чены из него при помощи операций замещения и обращения. При
замещении изменяется иерархический порядок типа а таким обра*
зом, что все порядковые отношения единиц е. е', е"..'., по направле-
направлению цМ заменяются порядковыми отношениями единиц по направ-
направлению v, и наоборот. По остальным же направлениям никакого
изменения порядка не происходит. При обращении новый тип полу»
чается при изменении порядка всех единиц в каком-либо одном на-
направлении на противоположное, по другим же направлениям поря-
порядок единиц остается без изменения. Все эти производные понятия,:
как части типов, операции замещения, обращения, способствуют щ
еще большей мере исследованию многообразных явлений природы,;
увеличивают то многообразие, которое заключает в себе как едино*;
n-порядковый тип. ¦
Единство абстрактного и конкретного проявляется и в других,
понятиях теории множеств. Например, мощность представляет co*f
бой весьма общую характеристику множества, является тем общим,;
что имеется у всех равномощных между собой множеств. Форми*,]
рование же этого общего понятия возможно только на основе ана*|
лиза соотношения между отдельными элементами множества. Поня*'
тие мощности дает возможность обобщить, уточнить понятие бес-1
конечности. Под бесконечным множеством имеется в виду такое!
1 Г. К а н т о р. К учению о трансфинитном. В сб. «Новые идеи в математике»-,"
1914. № 6, стр. 150.

множество, в котором всегда можно выделить подмножество одина-
одинаковой мощности с самим множеством. В конечном множестве такое
подмножество выделить невозможно. Таким образом, понятие мно-
множества содержит единство абстрактного и конкретного.
Определение отдельных видов множеств, характеристика раз-
различных свойств их всегда производятся таким образом, что общее,
абстрактное рассматривается в связи с отдельным, конкретным.
Действительно, о каком бы виде множества, о каком бы характер-
характерном свойстве его ни шля речь,, всегда рассматриваются отдельные
элементы множества (их число, последовательная связь, соответ-
соответствие и т. д.). Например, конечное множество определяют как та-
такое, которое состоит из конечного числа элементов; бесконечное как
такое, которое состоит из неограниченного числа элементов; счет-
счетное множество как такое, все элементы которого можно занумеро-
занумеровать посредством натуральных чисел. Последовательность опреде-
определяется как такое упорядоченное множество, которое не имеет са-
самого последнего элемента, в котором за всяким элементом непре-
непременно имеются дальнейшие элементы множества.
Теория множеств расширяет сам предмет математики, так как
здесь рассматриваются не только величины, числа, но, вообще, ка-
какие угодно объекты, над которыми можно производить действия, по-
подобные алгебраическим. Например, можно сложить два цвета и
получить какой-то результирующий цвет, можно сложить два дви-
движения и получить какое-то результирующее движение.
Если математика начинает рассматривать не только числа, ве-
величины, но вообще какие-то объекты, то это не значит, что она пе-
перестает быть наукой о количественных отношениях и пространствен-
пространственных формах. В теории множеств имеют дело с количественными
отношениями, поскольку множества (конечные) сравниваются друг
с другом, по их мощностям, которые характеризуют множества в
отношении числа, количества входящих в них элементов. В основе
сравнения множеств по их мощностям лежит принцип взаимоод-
взаимооднозначного соответствия, применяя который мы имеем дело с коли-
количественными отношениями (составляем пары элементов двух раз-
различных множеств). В теории множеств рассматриваются не только
количественные отношения, но и отношения, подобные количест-
количественным.
Расширение предмета математики в связи с возникновением тео-
теории множеств связано с возрастанием ее научной абстрактности и
конкретности. Абстракция отражает лишь какую-либо одну сторону
(существенную) объекта. Так, понятие множества отражает нали-
наличие объектов и отношений между ними, при которых они могут об-
обладать какими-либо общими свойствами. Но эта одна из сторон
объектов в теории множеств изучается в более многообразных про-
проявлениях, более конкретно, чем в классической алгебре, так как
здесь имеют дело со всевозможными объектами, а не только с чи-
числами и величинами.
Расширение предмета математики в теории множеств с неоОхо-
29

димостью приводит к расширению понятия алгебраической опера-
операции. При сложении или при умножении двух каких-либо чисел мы
отыскиваем какое-то третье число, соответствующее числам, над ко-
которыми производятся действия. Исходя из этого, на основе принци-
принципа соответствия дают весьма общее определение алгебраической
операции в теории множеств, имея в виду не только числа и величи-
величины, а любые объекты. «Соответствие, в силу которого каждой паре
«а» и «в» элементов множества «М», взятых в данном порядке, соот-
соответствует единственный третий элемент «с» того же множества
«ЛЬ. называется алгебраической операцией, определенной в «М-»1.
На основе этого определения алгебраической операции дается
единообразное определение действий сложения, вычитания, умноже-
ния и деления натуральных чисел.
Понятие взаимооднозначного .соответствия по-новому освещает
содержание понятия натурального числа. Опираясь на понятие вза-
взаимооднозначного соответствия, можно установить равночислен--
ность двух каких-либо конечных множеств, не обращаясь к поня-
понятию натурального числа, к операции счета. В связи с этим нату-
натуральное число может пониматься как количественная характеристи-
характеристика, общее свойство всех равномощных друг другу множеств.
Теория множеств дает возможность, исходя из понятия нату-I
ральных чисел, единообразным способом построить все другие чио 1
ловые множества — целые, рациональные, действительные и ком-
комплексные, в более обобщенной форме определить эти понятия. Но j
и в теории множеств эти общие определения не оторваны от отдель-
отдельного, конкретного, а тесно с ним связаны. Например, исходя из те-
теоретико-множественных понятий, дается следующее определение
действительного числа: «Всякое сечение (А, В) рациональной сети
R с открытым нижним классом А называется действительным чи-
числом. Если сечение (А, В) есть рациональное, т; е. если верхний
класс В закрыт некоторым рациональным числом г, действитель-
действительное число (А, В) называется рациональным числом и обозначает-
обозначается знаком этого рационального числа г, г=(А, В). Если сечение
(А, В) есть иррациональное, т. е. если верхний класс открытый*
действительное число (А, В) . называется иррациональным чи*
слом»2.
Совершенно очевидно, что приведенное определение действи*
тельного числа имеет общий характер, так как при этом указывает*
ся существенный, общий для всех действительных чисел признак —
открытость нижнего класса А.
В то же время это определение включает бесконечное многооб*
разие отдельного и конкретного. Рациональная сеть R представляет
собой совокупность всех рациональных чисел, т. е. бесконечное-
множество отдельного. Нижний и верхний классы чисел А и В так-
также состоят из бесконечного множества отдельных рациональных
чисел. Затем для определения действительного числа выделяете*
1 Энциклопедия элементарной математики. Кч. 1. 1951, стр. 101.
1 Н. Н. Лузин. Теория функций действительного перемениого. 1948, стр. 295..
30

какое-то одно, отдельное сечение и в зависимости от того,
общим признаком оно обладает (класс В закрытый или класс
В открытый), число является или рациональным или иррациональ-
иррациональным.
Теоретика-множественная точка зрения позволяет в совершен*
но общей форме определить условия неравенства, а также и равен-
равенства двух действительных чисел, состоящее в следующем. Действи-
Действительное число с= (А, В) меньше действительного числа с'= (Л', В'),
если нижний класс А числа «С» образует правильную часть нижне-
нижнего класса А' числа «С». Два действительных числа с= (А, В) а
с'= (А', В') называются равными тогда и только тогда, когда их
нижние классы Л и Л' (а стало быть, и верхние классы В и В')
совпадают друг с другом, т. е. когда А=А' (а стало быть, В=В')Х.
Это определение основано на указании такого общего свойства
сечений, ка^ совпадение или несовпадение классов А и А' (а стало
быть, и В и В') друг с другом. Но чтобы установить это совпаде-
совпадение или несовпадение, необходимо рассматривать, сопоставлять
отдельные рациональные числа классов А и А'. Для совпадения
классов А и А' необходимо, чтобы каждое рациональное число,,
входящее в класс А, входило бы и в «ласе А', и наоборот, каждое
рациональное число, входящее в класс А', входило бы и в класс Л.
При несовпадении один из этих классов содержит другой класс
(например, А содержит в себе Л) и, кроме того, содержит бесконеч»
ное множество элементов, которые не входят в класс Л. Неравен-
Неравенство двух действительных чисел характеризуется еще и тем, что
между всякими двумя неравными действительными числами содер-
содержится бесконечное множество отдельных рациональных действи-
действительных чисел.
Место каждого действительного числа с—(А, В) определяется
а совокупности действительных чисел / путем сопоставления этого
числа со всеми отдельными рациональными числами классов А и
В. Число «с» больше всякого рационального числа, входящего в
нижний класс Л, и меньше всякого рационального числа, входяще-
входящего в класс В.
Таким же образом определяется место любого иррационально-
иррационального числа в совокупности действительных чисел. Иррациональное
число с= (Л, В) является числом промежуточным, оно больше всех
рациональных чисел класса Л и меньше всех рациональных чисел
класса В, отделяет эти классы друг от друга.
К обоснованию понятия числа можно подходить с различных
точек зрения, но во всех случаях оно должно рассматриваться как
отражение в сознании количественных отношений совокупностей
каких-то объектов. Следовательно, понятия о числе, числовых мно-
множествах необходимо связаны с определенными конкретными объ-
объектами, процессами и являются результатом их исследования. Они
не могут быть образованы без этой связи с отдельным и конкрет-
1 См. Н. Н. Лузин. Теория функций действительного переменного. .1948.
Щ>. 296.
31

ным, а будучи уже сформированными, не могут рассматриваться »
абсолютном отрыве от них. " ^
Многообразная длительная практика человечества доказывает,
что объекты, величины, их отношения находятся в состоянии из-;
менчивости. Эта изменчивость имеет противоречивый характер,-
представляет собой единство прерывности и непрерывности. Не«;
прерывность изменения величин проявляется уже в том, что ев'
стояние их после сколь угодно малого промежутка времени будет
«ным. Но каждому состоянию величины можно (потенциально) сопо-
сопоставить какое-то число. Какой-то конечный отрезок времени может
включать бесконечное множество состояний, с которым можно соч
поставить бесконечный ряд чисел, а также бесконечное множеств©
точек какого-то отрезка прямой. Прерывность изменения величин
проявляется в том, что каждое конечное изменение ее включает
бесконечное множество, бесконечный ряд состояний, Значений, ко-
которые могут быть фиксированы (потенциально) при помощи-от*
дельных чисел, С этими свойствами величин (прерывность и не-
непрерывность их изменения) связаны понятия о числовых множе-
множествах, классах чисел, сечениях числовых множеств и т. д. Измене-!
ния величин могут протекать по-разному, в одном состоянии вели«|
чина может находиться дольше, чем в другом; одни состояния мо«|
гут играть большую роль, чем другие, в общем процессе изменения
величины. В соответствии с этим человек в практике может фик-
сировать свое внимание на различных моментах изменения вели-
чин, отмечать эти моменты каким-то рядом чисел, получать какие
то их множества. Следовательно, понятие числового множества, а
значит, и понятие действительного числа отражает единство пр
рывного и непрерывного в изменениях величин, а также изменени:
в отношениях совокупностей объектов.
Теоретико-множественные понятия оказали существенное влия
ние ,на понимание многих разделов математики, в частнбети мате
матического анализа* В усвоении содержания теории множеств и
ее влияния на трактовку понятий математического анализа боль
шое значение имеет понимание того, что такое актуальная бесш
нечность, как она связана с потенциальной бесконечностью. При
рассмотрении этих вопросов существенным является то, что эти по
нятия являются отражением таких, связанных между собой сторо?
действительности, как устойчивость и изменчивость. Поэтому ак
туальная и потенциальная бесконечности не должны противопо
•ставляться друг другу, а должны рассматриваться в связи друг
другом.
Сущность парадоксов теории множеств можно понять только
том случае, если рассматривать ее понятия как отражение свой
отношений объективного мира, как единство абстрактного и ко
кретного. Объекты материальной действительности находятся в
стоянии изменения, но теория множеств рассматривает их вне и
менений. В теории множеств рассматриваются абстракции, ко
рым придается общность, излишняя для каких-либо приложени
12
1

что представляет собой отрыв от конкретного. Основной вывод, к
которому должен прийти читатель после знакомства с материалом
данной работы, относящимся к теории множеств, состоит в том, что
правильное понимание содержания теории множеств заключается
в признании ее как отражения свойств объективного мира, приз-
признании взаимодействия абстрактного и конкретного как одной из
закономерностей ее развития.
На основе понятия множества дается более общее определение
предела по сравнению с тем, которое дается в классическом ана-
анализе. Н. Н. Лузин пишет об этом следующее: «...числовая последо-
последовательность имеет не один только предел, но несколько, иногда
даже бесчисленное множество, так что, давая определение преде-
предела числовой последовательности, мы определяем только один из
возможных пределов. Наше определение предела будет, таким оо-
разом, более общим, чем то, с которым читатель до сих пор ветре*
чался в анализе и относительно которого доказывалось, что «по-
«последовательность может иметь только один предел» '.
Предел числовой последовательности определяется следующим
образом: «Действительное число «а» называется пределом число-
числовой последовательности М, М= {е если, каков бы ни был интер-
интервал б, содержащий точку «а», всякий остаток р (е) последователь-
последовательности М имеет точку е' в интервале б»2.
В определении числовой последовательности, ее предела, также,
как во всех определениях, касающихся пределов, содержится един-
единство общего и абстрактного, отдельного и конкретного. Так, за
всяким элементом какой-либо последовательности непременно име-
имеются дальнейшие элементы этой последовательности. Следователь-
Следовательно, определение такого абстрактного общего понятия, как числовая
последовательность, основано на рассмотрении отношений отдель-
отдельных элементов. Интервалы б, остатки [р(е)], которые фигурируют
в определении предела, включают бесконечное множество отдель-
отдельных значений чисел (точек).
В теории множеств дается более точное и более общее опреде-
определение понятия функции. В обычном определении функция рассмат-
рассматривается как переменная величина, зависящая от другой перемен-
переменной величины. Это определение не обладает достаточной точно-
точностью и общностью. В нем речь идет лишь о величинах, т. е. о та-
таких объектах, между которыми могут быть отношения больше или
меньше. Но в математике рассматриваются и такие функции, для
которых такие отношения могут и не иметь места, например для
элементов некоторого множества. Затем, не всегда значение функ-
функции «г/» зависит от значения «х», в некоторых случаях функция
«(/» имеет одно и то же значение при всех значениях «х» (напри-
(например, функция y = sin2x+cos2x).
Если за основу определения функции взять понятие соответ-
1 Н. Н. Лузин. Теория функций действительного переменного. 1948,стр. 103,
104.
1 Та м же.
3 Заи»1 teas 83

ствия, то это определение будет более общим и более точным. Тог-
Тогда понятие функции можно определить следующим образом:
«Функцией, заданной (или определенной) на некотором множе-
множестве «X», называется соответствие, в силу которого любой элемент
«х» множества «X» определяет некоторый (соответствующий ему)
объект f(x)»1. Это определение отражает существование связей
между объектами весьма общего характера. Оно, являясь более
общим (по сравнению с обычным), является в то же время и бо-
более конкретным, так как оно может применяться не только к ве-
величинам, а к гораздо большему количеству отдельных, самых раз-
разнообразных объектов, отражая одну из. их существенных сто-
сторон— наличие между ними общей связи определенного вида. Это
новое понятие функции способствует более глубокому и полному
познанию свойств самых многообразных конкретных отношений.
Таким образом, теория множеств дала возможность уточнить,
обобщить ряд понятий математики, причем эти новые определения
понятий являются не только более общими, но и более конкретны-
конкретными. Эти изменения взглядов на содержание математических поня-
понятий связаны с изменением системы обоснования математики. Тео-
Теория множеств имеет серьезное значение в разработке проблем
обоснования математики, так как, опираясь на ее положения, ос-
основные понятия математики могут получить более определенное,
отчетливое выражение; вся структура математических теорий мо-
может быть сделана более стройной, оформление их более совершен-
совершенным. Но при этом нельзя забывать о том, что исходным для мате-
математических теорий являются не абстракции сами по себе, а кон-
конкретная действительность, опыт, практика, на основе которых фор-
формировались исходные, основополагающие понятия математики.
Теория множеств оперирует рядом этих понятий уже как готовыми,
данными (множество, один, больше, меньше, равно и т. д.).
Понятия математического анализа, являясь более широкими
абстракциями по сравнению с понятиями элементарной математи-
математики, дают возможность более глубоко познавать конкретное, более
глубоко познавать вещи, процессы в их целостности, вскрывать
единство в многообразном, отражать всесторонние связи действи-
действительности. Каждая из этих абстракций отражает какую-либо от-
отдельную, существенную, основную сторону вещей, процессов. Со-
Совокупность их дает многостороннее знание, т. е. конкретное зна-
знание. Более глубокое познание конкретного приводит к формирова-
формированию еще более широких абстракций, а также к пересмотру соОер-
жания и тех абстракций, которыми оперировали уже с давних пор.
Этот пересмотр происходит в направлении уточнения содержа-
содержания этих абстракций, более четкого их определения, более совер-
совершенного оформления теории. В связи с этим приобретают особен-
особенно актуальное значение проблемы обоснования основных поня-
понятий теории.
В первой половине XIX века (когда был уже достаточен кон»
1 Энциклопедия элементарной математики. 1951, стр, 34—35.
J4

кретный фактический материал в области математики) Коши бы-
была создана теория пределов, .которая использовалась для обос-
обоснования и дальнейшего развития математического анализа. Основу
этой теории пределов представляет понятие потенциальной оеско-
нечности. Теория пределов в значительной мере способствовала
развитию математического анализа. Но идея потенциальной бес-
бесконечности оказалась недостаточной для его обосновании.
Исследования таких математиков, как Больцано, Г. Кантор, по-
показали, что математический анализ требует использования идеи
актуальной бесконечности, понятия бесконечного множества. В ма-
математическом анализе переменная величина может принимать бес-
бесконечное множество числовых значении, значит, изучение этих
множеств (т. е. бесконечных) является здесь необходимостью. Оп-
Определение понятия предела, бесконечно малой величины, в матема-
математическом, анализе дается через понятие процесса и его момента,
которые не имеют четкого математического определения, являют-
являются понятиями расплывчатыми. Возникает необходимость уточне-
уточнения понятия предела и бесконечной величины.
А. Я. Хинчин пишет «...вводя вместо расплывчатых, обращен-
обращенных к наглядному представлению терминов «процесс» и «момент»
соответствующие четко определенные математические понятия, мы
имеем теперь полную возможность сделать и понятие бесконечно
малой величины (а значит, и понятие предела) совершенно точ*
иым»'.
Для уточнения основных понятий математического анализа
множество действительных чисел принимается за его числовой фун-
фундамент. Определения основных понятий математического анализа
формулируются на основе теоретико-множественных понятий, та-
таких, как числовая последовательность, предельная точка, окре-
окрестность точки, область значения аргумента или функции и др. Бла-
Благодаря этому стало возможным определить основные понятия ма-
математического анализа в более отчетливой форме.
Так', понятие функции может быть определено следующим об*
разом: «Величина «г/» есть функция переменной величины «х», за-
заданная на множестве Х=\л)\ если каждому значению х гХ, со*
ответствует по некоторому закону единственное значение величи-
величины «у»2.
Это определение функции является более общим и точным, чем
старое определение, так как здесь имеется в виду некоторый опре-
определенный закон соответствия между величинами «я» и «г/», а так-
также указывается область определения функции, т. е. множество X.
Новое определение предела функции может быть сформулировано
следующим образом: «Пусть дана функция y=f(x), определенная
на некотором бесконечном множестве значений аргумента, имею-
имеющем предельную точ,ку «а».
Говорят, что число А есть предел функции f(x) при <х», стрем*-
1 Краткий курс математического анализа. 1957, стр. 56.
2 И. Е. Ж а к. Дифференциальное исчисление. 1960, стр. 34.

щемся к «а», если, какова бы ни была е — окрестность точки А,
всегда найдется такая (б) v—окрестность точки «а», что для любого
значения «х» аргумента, принадлежащего (б) v окрестности точки
«а», значение f(x) функции принадлежит е — окрестности точки Л,
исключая, быть может, значение f(a) '.
Это определение понятия предела является более.определен-
более.определенным, точным, оно не содержит недостаточно четко определенных
терминов («процесс», «моменты») и содержит лишь понятия,
смысл которых является совершенно ясным и точным. Это опре-
определение свободно от понятий «становится», «изменяется», связан-
связанных с понятием потенциальной бесконечности.
Функция y=f(x) определена на некотором бесконечном мно-
множестве значения аргумента, которое рассматривается как нечто
существующее вполне определенно, как то, что не подвержено из-
изменению, т. е. в этом определении фигурирует актуальная беско*
нечность. Окрестности точек «а» и А также рассматриваются как
данные совершенно определенные.
Понятия бесконечно малой и бесконечно большой определяют-
определяются на основе понятия предела числовой последовательности таким
образом: «Если Нтап = 0, то последовательность {а„\ называют
бесконечно малой последовательностью (или кратко: бесконечно
малой)»2.
Из этого определения следует, что для любого числа е>0 су»
ществует такой номер N, что при п > N имеем /а/<е «... { ап)
есть бесконечно большая последовательность... Шпа„=оо, если,
как бы ни было велико число М>0, начиная с некоторого номера п
выполняется неравенство /а„/>М»3.
В этих определениях также отсутствует понятие о процессе,
моменте, за основу определения принята числовая последователь-
последовательность, т. е. бесконечное числовое множество, которое рассматри-
рассматривается как определенное, завершенное, постоянное. Следовательно,
в этих определениях основой является понятие актуальной беско-
бесконечности; они могут рассматриваться как более точные, опреде*
ленные по сравнению со старыми определениями, основанными на
понятии потенциальной бесконечности.
Эти новые определения основных понятий математического ана-
анализа также содержат в себе единство общего и отдельного, аб-
абстрактного и конкретного. Так, в этих определениях фигурируют
числовые последовательности, состоящие из элементов, отдельных
чисел, каждое из которых при определенных условиях может быть
конкретным, определенным числом, занимающим вполне опреде-
определенное место в данной числовой последовательности, иметь какой-
то определенный последующий член и предыдущий член. Элемент
данной числовой последовательности имеет ряд определенных
свойств, его характеризующих, т. е. представляет собой нечто оп-
1 См. С. П. Виноградов. Краткий курс высшей математики. 1946, стр. 117.
s И. Е. Ж а к. Дифференциальное исчисление. 1960, стр. 94.
'Там же, стр. 9&
36

ределенное, целостное и в этом отношении обладает конкретно»
стью.
В то же время все эти отдельные определенные, конкретные
члены последовательности объединены одним общим законом, ко-
который связывает их в единое целое. Множество отдельных связы-
связывается в единое. Эга числовая последовательность отражает связь
общего характера, существующую между числами, некоторые су-
существенно важные отношения между ними, т. е. она представляет
собой определенную абстракцию.
В определении функции бесконечное множество отдельных и
конкретных значений аргумента связывается с бесконечным мно-
множеством отдельных и конкретных значений функции некоторым об-
общим для всех них законом соответствия, здесь также множество
отдельных связывается в единое.
Такие понятия, как интервал, сегмент, окрестность точки, игра-
играющие важную роль в математическом анализе, представляют собой
некоторые числовые множества, т. е. состоят из отдельных элемен-
элементов— чисел, точек. Эти отдельные элементы связаны друг с дру-
другом определенной зависимостью общего характера, которая, нап-
например, для интервала выражается неравенством а<х<в, для сег-
сегмента условием а<.?<?. Понятие окрестности точки отражает от-
отношение общего характера, состоящее в принадлежности, во вклю-
включении в какое-то множество.
В определении предела функции бесконечное множество от-
отдельных значений аргумента рассматривается как единое, так как
все они принадлежат к окрестности одной и той же точки «а», точ»
но так же бесконечное множество отдельных значений функции
принадлежат к v — окрестности одной и той же точки А. Беско-
Бесконечное множество отдельных значений аргумента и бесконечное
множество отдельных значений функции связываются друг с дру-
другом общим законом соответствия.
Бесконечное множество отдельных точек, находящихся в ок-
окрестности предельной точки «а», содержит в себе противоречие.
Каждая точка мыслится как нечто самостоятельное, отдельное.
Она не может иметь соприкосновения с другими точками1. В то же
время все эти точки сливаются в нечто единое, так как тяготеют
к одной и той же точке «а». Они представляют собой нечто со-
совершенно плотное, между ними нет никаких просветов, все они об-
обладают общей чертой: поблизости от точки «а» они располагаются
совершенно плотно по отношению друг к другу2.
Новое определение предела дает возможность оперировать по-
понятием двустороннего предела функции, которое учитывает, что
величина «х», приближаясь к числу «а», не обязательно непрестан-
непрестанно возрастает или непрестанно убывает. Она может менять направ-
направление своего изменения и, в частности, может становиться то боль-
1 См. Б. Больцано. Парадоксы бесконечного. 1911, стр. 68—69.
2 См. Н. Н. Лузин. Теория функций действительного переменного. 1948,
ет». 60—63.
37

ше, то меньше «а». Отсюда следует, что новое определение предела
является более широким, общим, позволяет изучать те свойства,
которые присущи как конечным, так и бесконечным пределам, не
рассматривая отдельно различные частные виды пределов1.
Одновременно с этим оно позволяет более глубоко познавать
конкретные процессы, учитывать такие их стороны, особенности, ко«
торые не могли быть отражены в понятии предела в старом смыс-
смысле. Следовательно, новое определение предела дает более всесто*
роннее, более конкретное знание, чем старое определение. Харак-
Характерной чертой теоретико-множественных определений понятий ма«
тематического анализа является то, что они основаны на понятии
актуальной бесконечности, и то, что при формулировании их стре-
стремятся избежать терминов, связанных с понятием потенциальной
бесконечности, таких, как процесс, момент, изменение и т. д. Хач
рактерными в этом отношении являются некоторые положения, вы*
сказываемые Н. Н. Лузиным, который утверждает, что «математи*
ческий анализ нисколько не нуждается ни в понятии времени, ни в
понятии изменения»2.
Согласно этой точке зрения понятие времени является совер-
совершенно чуждым для математического анализа. Если согласиться с
этим, то тогда невозможно объяснить, как понятия математическо-
математического анализа могут отражать свойства реальных предметов, про-
процессов, поскольку последние изменяются во времени. Содержание
математических понятий определяется не способами их обоснова-
обоснования, а свойствами материальной действительности, причем связь их
с материальной действительностью может иметь сложный харак-
характер, может проявляться косвенным образом.
Понятия математического анализа связаны с изменением, со
временем даже и в том случае, если их рассматривать с теоретико-
множественной точки зрения. Так, упорядоченность множества
иногда связывают только и исключительно с некоторым принятым
соглашением, правилом и совершенно не связывают «ни с располо-
расположением в пространстве его элементов, ни с получением их во вре-
времени. Таким образом, упорядоченность множества зависит лишь
от правила его упорядочения»3.
Далее, рассматривается пример применения одного правила для
упорядочивания точек единичного квадрата. Если не принято
какое-либо правило, то множество точек этого квадрата не являет-
является упорядоченным, «потому что совершенно не ясно, какую из двух
любых его точек р' и р" нужно считать «предшествующей» и какую
«последующей». Но примем теперь следующее соглашение: согла-
согласимся считать из двух точек р' (х\ у') и р" (х", у") «предшествую-
«предшествующей» ту, у которой абсцисса меньше, а в случае равенства их аб-
абсцисс—ту, у которой ордината меньше..- это правило удовлетворяет
1 См. М. К. Гребенча и СИ. Новоселов. Курс математического
анализа. 1953, стр. 82.
2 Н. Н. Л узин. Теория функций действительного переменного. 1948,стр.97.
•Там же, стр. 98.
88

основному свойству «упорядочивания множеств» . . . Итак, мно-
множество М, первоначально заданное в неупорядоченном виде, после
принятия указанного правила сделалось упорядоченным множе-
множеством» '.
В рассматриваемом примере точки квадрата являются так или
иначе расположенными в пространстве. Мы можем располагать их
в том или ином порядке согласно принятому правилу, но во всех
случаях -они будут являться как-то расположенными в простран-
пространстве. Квадрат в данном примере связывается с осями координат,
но понятие системы координат является отражением в сознании
объективной пространственной координации материальных отноше-
отношений. Величиной абсциссы и ординаты как раз характеризуется про-
пространственное расположение каких-либо объектов. Совершенно яс-
ясно, что в данном примере упорядочивание множества нельзя счи-
считать не связанным с расположением в пространстве его элементов.
Предметы, явления объективного мира представляют собой
единство таких противоположных сторон, как устойчивость и из-
изменчивость. В зависимости от конкретных условий какая-либо
из этих сторон может являться преобладающей. Объекты являются
устойчивыми, поскольку они существуют как нечто определенное,
как совокупность некоторых свойств. Но эта устойчивость не яв-
является абсолютной, так как объекты, их свойства, находясь в со-
состоянии некоторой устойчивости, все-таки изменяются. Если измен-
изменчивость объектов проявляется в сильной степени, то она также не
исключает устойчивости, так как сами изменяющиеся свойства су-
существуют как некоторая определенность.
Количество элементов совокупностей, какие-либо величины
(длины, поверхности, объемы и т. д.) могут находиться в состоянии
формирования, становления. Но при определенных условиях они
могут являться уже сформированными, существовать как нечто от-
относительно устойчивое. Математические понятия отражают устой-
устойчивость и изменчивость материальных отношений объектов. Измен-
Изменчивость отношений отражается, например, в таких понятиях, как
переменная величина, предел, производная. Числовые последова-
последовательности, вообще, множества киких-то объектов, могут рассматри-
рассматриваться как бесконечно изменяющиеся совокупности, но одновре-
одновременно существуют как уже сформированные, как нечто данное,
готовое. /
Множества каких-либо объектов в математике мы можем рас-
рассматривать в отвлечении от процесса изменения, в относительно
устойчивом состоянии. Но такой подход не, дает основания для из-
изгнания из какого-либо раздела математики (например, из матема-
математического анализа) понятия изменчивости и понятия времени. В оп-
определениях математического анализа, которые даются на основе
теории множеств, понятие изменения во времени, хотя бы в неявной
форме, все же присутствует. Так, в определении понятия предела
числовой последовательности (которое приводилось выше) говорит-
1 Н. Н. Л у з и и. Теория функций действительного переменного. 1948, стр. 98.
39

ся о том, что интервал б всякий остаток р (е) 'могут быть какими
угодно. Тем самым предполагается их изменение во времени.
По мере уменьшения интервала б, содержащего точку «а»,
некоторая точ'ка «е'», принадлежащая остатку р (е), может все
больше и больше приближаться к точке «а», которая является пре-
пределом числовой последовательности. Следовательно, в этом опреде-
определении содержится мысль о том, что какая-то точка е/приближается
к точке «а» сколь угодно близко, т. е. говорится о движении, из-
изменении.
Наибольший предел числовой последовательности определяется
таким образом: «. . . . наибольший предел В последовательности
М характеризуется тем свойством, что как бы мал ни был интервал
б, содержащий В, имеется элемент е" такой, что остаток р (е") не
имеет точек направо от б, но всякий остаток последовательности
М имеет точки в б"» '.
Числовая последовательность может быть связана с какими-то
состояниями изменяющейся величины. Тогда в этом определении
наибольшего предела числовой последовательности говорится о том,
что некоторая величина может иметь сколь угодно значений, мень-
меньших В, но не может иметь ни одного значения больше В. Следова-
Следовательно, и в этом определении содержится изменение каких-то вели-
величин. Как видно, теория множеств. не устраняет из математики
понятия изменения во времени. Таким образом, теория множеств
не дает оснований считать, что понятие потенциальной бесконечно-
бесконечности оказалось изгнанным из математического анализа или даже
что оно является ложным, ненаучным понятием.
Следует ли абсолютно противопоставлять новые и старые оп-
определения понятий математического анализа в том смысле, что
первые являются правильными, научными, а вторые —ложными?
Нет, не следует. А. Я. Хинчин пишет: «. . . что эти новые форму-
формулировки ни в чем не противоречат нашему старому определению, во
всех случаях укладываются в его рамки, давая лишь его уточнен-
уточненные спецификации для различных возможных случаев»2.
Актуальная и потенциальная бесконечности не должны проти-
противопоставляться друг другу, они связаны друг с другом. Их отноше-
отношения— «отношения сотрудничества», а не взаимной нетерпимости
Нельзя также абсолютизировать преимущества (определенность,
точность) новых определений понятий математического анализа п©
сравнению со старыми. Как уже отмечалось, иногда считают, что
существенным недостатком старых определений основных понятий
математического анализа является то, что в них оперируют поня-
понятиями процесса, момента, которые не имеют точного математическо-
математического определения, связаны с наглядными представлениями3.
Но являются ли новые (теоретико-множественные) определения
1 Н. Н. Л уз н н. Теория функций действительного переменного. 1948, стр. 108.
3 Краткий курс математического анализа. 1957, стр. 59.
3 См. А. Я. X и н ч и н. Краткий курс математического анализа. 1957,
стр. 55—56.
40

понятий математического анализа совершенно овободными от упот-
употребления понятий, связанных с.наглядными представлениями и не
имеющих точного математического определения? На этот вопрос
следует ответить отрицательно. В теории множеств оперируют та-
такими понятиями, которые не имеют точного логического или мате-
математического определения, формирование которых связано в конеч-
конечном счете с опытом, практикой, наглядными представлениями. К
таким понятиям относится прежде всего понятие множества, а так-
также понятие соответствия. «Понятие соответствия (как и понятие
множества) является простейшим понятием»1.
Н. Н. Лузин пишет о понятии множества следующее: «Что такое
смножество?». Мы не станем доискиваться ответа на этот вопрос
потому, что понятие множества является столь первоначальным, что
затруднительно, по крайней мере, на сегодняшний день, определить
его при помощи более простых понятий ....
Действительно, когда некоторое понятие Р определяется при
помощи более простого понятия Д, само это понятие Д также
нуждается в определении посредством более простого понятия С.
а оно, в свою очередь, нуждается в определении посредством еще
более простого понятия В. и так далее. Таким образом, в конце
концов мы должны будем прийти к столь первоначальному понятию
А, которое не удается определить с помощью более простых поня-
понятий; все, что можно здесь сделать,—это только разъяснить на ряде
примеров смысл такого понятия А. Итак, мы не станем искать оп-
определения слова «множества»2.
Нетрудно видеть, что таким же образом обстоит дело и с по-
понятием взаимооднозначного соответствия. Так, С. Клини в своей
книге «Введение в математику», рассматривая это понятие, не
дает ему строго логического определения (его и невозможно дать),
а обращается к примеру, к наглядности, с чего и начинает книгу.
Рассматривая конкретные совокупности — стадо из четырех овец,
рощу из четырех деревьев,— он говорит, что элементы этих совокуп-
совокупностей могут быть приведены во взаимооднозначное соответствие
друг с другом3.
Клини рассматривает натуральное число как одно из простей-
простейших понятий, не подлежащих логическому определению через дру-
другие понятия. Он пишет: «Мы не можем надеяться, что наше позна-
познание натурального ряда сведется к познанию чего-либо существенно
более простого»4.
Понятие натурального числа Клини использует для введения
ряда основных понятий теории множеств. Так, говоря о счетном
бесконечном множестве, Клини указывает на множество натураль-
1 М. К. Гй е б е и ч а и С. И. Н о в осе лов. Курс математического анализ».
1953, стр 17.
а Н Н. Лузин. Теория функций действительного переменного. 1948, стр. 1.
1 См там же. стр. 11.
4 С. Клиии. Введение в метаматематику. 1957, стр. 11.
4!

яых чисел: О, 1, 2, 3,...,п — 1 (вообще, это понятие объясняется таким]
образом. Клини здесь не представляет исключения). Конечные кар»]
динальные числа, а следовательно, и конечные множества Клини'
определяет через натуральные числа. Бесконечные множества
он определяет через конечные (как отрицание конечных). «Мно-
«Множество, не являющееся конечным, мы будем называть.бесконечным,|
а его кардинальное число — бесконечным или трансфинитным кар-
кардинальным числом»'. :
Таким образом, понятие натурального числа используется не
только для определения конечного множества, но и бесконечного,
Клини отмечает, что понятие кардинального числа данного мно»!
жества М (или понятие мощности) мы получаем, когда абстрагиру-j
емся от природы его различных элементов, а также от их порядка.
Для определения понятия кардинального числа используется также
понятие равенства для натуральных чисел. Но известно, что поня-
понятие о натуральных числах, об отношениях равенства и порядка их
формировалось в процессе общественно-исторической практики!
человека, причем наглядное восприятие определенных конкретных]
объектов опыта играло здесь исключительно важную роль. Индук»
тивные определения, которыми пользуется Клини (и которые вооб-
ще в математике имеют широкое применение и играют исключи-,
тельно важную роль), также опираются на то, что известно из опы-
опыта, практики, например операция прибавления единицы к какому-
либо числу.
Таким образом, теорий множеств также не может обойтись
без понятий, которые не имеют каких-либо строгих логических1
определений. Через ряд исходных, первичных понятий она также
связана с конкретным многообразием действительности. Каким об-
образом может быть получена числовая последовательность? Какие
свойства действительности она отражает? Числом, точкой отмечает-
отмечается какое-то определенное значение величины, которое характери-
характеризует какое-то свойство объекта. Если это свойство не меняется,
соответствующая ему величина является постоянной и может быть
отмечена определенным числом или точкой на оси. Если же эта
величина изменяется по какому-либо закону, то различным момен-
моментам времени будет соответствовать различное числовое значение
этой величины. Совокупность этих значений может дать числовую
последовательность. Если иметь в виду определенное свойство
определенного объекта, то при отсутствии изменений мы можем по-
получить только какое-то одно определенное число, соответственн®
одну неподвижную точку на оси, но не получим множества число-
числовых значений, числовую последовательность.
Допустим, мы наблюдаем за каким-то определенным свойством,
(например, температурой) бесконечного множества объектов, фик
сируем состояние этих объектов в какой-то строго определенный
момент времени (мгновение), т. е. мы отвлекаемся от течения вре-
времени. В этом случае мы можем получить некоторую числовую пос-
1 С. К л и н н. Введение в метаматематику. 1957, стр. 19.
43

ледовательность, которая будет являться результатом отвлечения
от реальных процессов, протекающих во времени. Это отвлечение
от течения времени может носить более радикальный характер.
Какое-либо свойство объекта, изменяясь в течение определенного
промежутка времени, может принимать ряд значений, составляю-
составляющих числовую последовательность. Мы можем не учитывать вели-
величину промежутка времени, в течение которого данная величина
принимала этот ряд значений, и тогда числовая последовательность
представится нам готовой, данной, сформированной, постоянной.
Для исследования отношений, связей между элементами число*
вых последовательностей такое отвлечение вполне целесообраз-
целесообразно, но его нельзя абсолютизировать. Без изменения процессов не
могли бы существовать различные чередующиеся состояния, не мог-
могли бы в сознании человека сформироваться понятия о различных
рядах чисел последовательностях. Последовательность чисел мо-
может быть получена при измерении длины какого-либо отрезка.
Этот процесс при соответствующих условиях может продолжаться
неограниченно и может привести к двум последовательностям
приближенных значений длины измеряемого отрезка:
а,,, аг, а2 . . . ая . . . (по недостатку).
Ре- К Р« • • Ря • • • (по избытку), где
ал~а ~Г ю ~Г jQj T • • • • ~T\Qn>
Эти числовые последовательности, конечно, могут рассматри-
рассматриваться как данные, постоянные, завершенные, от распределения из-
измерительных операций во времени можно здесь отвлечься.
Несмотря на то, что числовые последовательности рассмат-
рассматриваются в теории множеств как сформировавшиеся, постоянные,
они в действительности отражают не только устойчивость сущест-
существования материальных отношений объектов, но и их изменчивость.
Поскольку понятие числовой последовательности является осново-
основополагающим в теоретико-множественной трактовке понятий мате-
математического анализа, то и в новых определениях его понятий из-
изменчивость в той или иной форме проявляется. Иногда авторы не-
некоторых курсов математического анализа общий член последова-
последовательности «Х^ называют просто переменной величиной. Напри-
Например, Г. П. Толстов пи,:иет: «Общий член последовательности . . .,
т. е. величину «Хл», конкретными значениями которой являются
числа Х\, х2, х3 и т. д., мы часто будем называть переменной вели-
величиной или просто пробегающей эту последовательность .... Есте-
Естественность наименования «переменная величина» для «Х„» вряд
ли вызывает сомнения, если среди членов последовательности . . .
имеются отличные друг от друга, так как в этом случае числовое
значение «Хп» на самом деле изменяется, когда п пробегает значе-
значения 1, 2, 3. . -»1.
1 Курс математического анализа. Т. 1. 1954, стр. 57—58.
43

Интересно то, что в этой книге используются понятия теории
множеств: числовое множество, числовая последовательность, ин>
тервал, окрестность точки, предельная точка и др.
Выше приводилось определение понятия предела функции, в
основе которого находятся понятия бесконечного множества, пре-
данные, они есть, а не становятся, значения «х» и «</» сколь угод-
угодно близко находятся от «а» и «Л», а не приближаются к ним. В
этом определении взят результат процесса. Но и в этом определи
нии «х» стремится к «а», т. е. говорится о некотором процессе, из-
изменении. Содержание же самого определения может быть
выражено и в другой форме. Например, если «х» стремится к «а»
как к своему пределу и если «у» в этом случае стремится к некото-
некоторому значению А и может сколь угодно мало отличаться от него,
то А есть предел функции у = f{x). В этой формулировке понятие
предела функции рассматривается сам процесс изменения значений
аргумента и функции. Эти два как будто различных определения
предела функции тесно связаны друг с другом и не могут быть
друг другу противопоставлены, так как они отражают две сторо-
стороны в существовании объектов: процесс изменения объектов и их
отношений и результаты этого изменения, другими словами, они
отражают изменчивость и устойчивость материальных объектов.
В приведенном ранее определении бесконечно малой последо-
последовательности также идет речь об изменении. К определению имеет-
имеется пояснение: «Термин «бесконечно малая» указывает на то, что
значения переменной а „ при неограниченном возрастании п дела-
делаются и остаются по абсолютной величине меньше любого как угод-
угодно малого положительного числа-» 1.
С. П. Виноградов определяет бесконечно малую функцию следу-
следующим образом: «Функция, имеющая пределом нуль при х-а, на»
зывается бесконечно малой в окрестности точки «а»2. Поскольку
здесь фигурирует символ х — а, означающий, что «х» стремится
к «а», то и это определение не свободно от понятия процесса, из-
изменения.
Иногда в курсах математического анализа дается, по сущео-
ву, два определения бесконечно малой; одно исходит из понятия
изменения, а другое — из актуальной бесконечности. «Переменная
<хя, пробегающая последовательность значений аь аг, аз- . . , на-
называется бесконечно малой при п, стремящимся к бесконечности...,
если lima = Cb 3.
«... Переменная апявляется бесконечно малой при п-*оотогда в
только тогда, когда для всякого е>0, |ал' <е при всех значениях пу
начиная с некоторого»4. Далее даются следующие разъяснения;
«Термин «бесконечно малая» прилагается к переменно*
1 И. Е. Ж а к. Дифференциальное исчисление. 1960, стр. 94.
1 Краткий курс высшей математики. 1946, стр. 126.
1 Г. П. Толстое. Курс математического анализа. 1954, стр. 58.
* Таи же, стр. 59.

величине, имеющей пределом 0. Поэтому нельзя именовать беско-
бесконечно малым никакое конкретное, фиксированное число, если оно
не О»1.
Насколько понятие изменения не является несовместимым с по-
понятиями теории множеств, показывает тот факт, что иногда поня-
понятие переменной величины дается на основе понятия множества.
«Если же «х» . . . обозначает произвольное число из некоторого
числового множества Е, то мы говорим, что «х» есть переменная
величина . . . изменяющаяся на множестве Е. Каждое конкрет-
конкретное число из множества Е называется значением переменной «х-».
Множество Е называют областью изменения переменной «хъ2.
Определение непрерывности функции может быть дано на ос*
нове понятий множества, предельной точки, а также на основе
понятия приращения (изменения) значений аргумента и функции.
«Функция f(x) непрерывна в точке «а», являющейся предельной
точкой для множества значений аргумента, каким бы малым ни
было наперед заданное число е>0, существует такое число б>0,
что неравенство If (х)—/ (а)/<е имеет место при всех значениях
аргумента, удовлетворяющих неравенству /х—а/<б . . .
Определению непрерывности можно придать и другую форму.
Разность fix)—f{a) есть приращение функции Ау в точке а,
соответствующее приращению аргумента Ах—х—а; следовательно,
условие непрерывности функции f (х) в точке «а» может быть за-
записано посредством следующих неравенств: (Ау)<е, если /Ах/<б,
(число б>0 определяется заданием е). Значит, для функции, не-
непрерывной в точке «а», имеем: lim А у —0 Ах -+03.
Применение понятия множества в математическом анализе дает
возможность использовать понятие области определения функции,
которое безусловно связано с изменением значений аргумента.
Область определения функции — совокупность значений, которые
аргумент может принимать при своих изменениях,— это область
возможных изменений аргумента. Определение монотонной функ-
функции дается на основе понятий о возрастании, убывании, невозраста-
невозрастании, неубывании, т. е. это определение связано с понятием процес-
процесса, изменения.
Понятие континуума также иногда связывают с изменением
величины. Так. например, о множестве действительных чисел (веще-
(вещественных), которое является числовым фундаментом математичес-
математического анализа. А. Я. Хинчин пишет следующее: «Множество всех
вещественных чисел называют континуумом. Этот континуум и со-
составляет собой совокупность тех «значений», какие может прини-
принимать «непрерывно» изменяющаяся величина»4.
Приведенных фактов достаточно, чтобы признать, что теорети-
теоретико-множественные понятия применяются в математическом анализе
1 Г. П. Т о л с т о в. Курс математического анализа. 1954, стр. 59.
2 Т а м же, стр. 95.
3 М. К. Гребенча и С. И. Новоселов. Курс математического анализ*.
Т. 1. 1953, стр. 147.
4 Краткий курс математического анализа. 1957, стр. 70.
46

в связи с понятием изменения. В связи с этим есть основания сч!
тать недостаточно обоснованным следующее утверждение: «. . .ма
тематический анализ нисколько не нуждается ни в понятии врем*
ни, ни в понятии какого-либо изменения, потому что весь он може
быть основан стационарным образом, не зависящим от понятия из
менения»1.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что во многи
курсах математического анализа понятия производной и диффере!
циала получаются на основе приращений (изменений) аргумент
и функции, то же самое можно сказать о выводе формул диффе
ренциального исчисления. Стационарное обоснование дифферент
ального исчисления не сказывается здесь сколько-нибудь заметньп
образом.
Можно ли объяснить эту связь теоретико-множественных поня
гий с понятием изменения," недостаточной строгостью изложена
курсов математического анализа, своего рода недостатком, недо
смотром? Очевидно, нет. Она обусловлена тем, что понятия ак
гуальной и потенциальной бесконечности являются противополож
ностями. находящимися в единстве друг с другом. Они отражаю1
определенные закономерности существования материальных объек
тов. Оторвать их друг от друга нельзя, так как они предполагаю1
друг друга. Без актуальной бесконечности невозможна потенциалы
ная, и наоборот. Актуальная бесконечность отражает одну сторо|
ну существования материальных объектов (устойчивость, опреде
ленность), понятие потенциальной бесконечности — другую (измеь
чивость). Глубокое познание закономерностей существований
материальных объектов требует не противопоставления актуально^
и потенциальной бесконечностей друг другу, а исследование
единства, взаимосвязи.
Что же представляют собой актуальная и шотенциальная бес|
конечности и каково их соотношение? При рассмотрении содержа)
ния понятия бесконечности необходимо исходить из следующих пс
ложений Энгельса: «Математическое бесконечное заимствовано!
из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтом)
оно может быть объяснено только из действительности, а не из
мого себя, не из математической абстракции. А когда мы подвер
гаем действительность исследованию в этом направлении, то мы на
ходим, как мы видели, также и те действительные отношения, и;
области которых заимствовано математическое отношение беско
нечности, и даже наталкиваемся на имеющиеся в природе аналоги!
того математического приема, посредством которого это отношенж
проявляется в действии»2- Бесконечность должна быть состав
лена из одних только конечностей. «Мы можем познавать тольт
конечное... Это постольку совершенно верно, поскольку в сферу на
шего познания попадают лишь конечные предметы. Но это поло
1 Н. Н. Л у з и н. Теория функций действительного переменного. 1948, стр. 9)
1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг, стр. 354.
[-Дюринг, стр
4»

жение нуждается вместе с тем в дополнении: «по суще-
существу мы можем познавать только бесконечное». И в
самом деле, всякое действительное, исчерпывающее познание зак*
лючается лишь в том, что мы в мыслях поднимаем единичное из
единичности в особенность, а из этой последней во всеобщность;
заключается в том, что мы находим и констатируем бесконечное
в конечном, вечное—в преходящем. Но форма всеобщности есть
форма внутренней завершенности и тем самым бесконечности; она
есть соединение многих конечных вещей в бесконечное»1.
Итак, бесконечность может быть объяснена только из дейст-
действительности и может быть познана только через познание конечно-
конечного. Она может быть объяснена не из абстракций, а из свойств кон-
конкретного материального мира. Объяснение этого понятия не сле-
следует искать в логических определениях его через абсолютное, уни-
универсальное, всеобщее и т. д. или же в отождествлении этого поня-
понятия с понятием абсолютности, а также с каким-либо другим общим
понятием. Бесконечное связано с абсолютным, но не тождественно
ему. Процесс познания конечного, реальных, конкретных предметов,
явлений в опыте, в практике обусловил формирование в человечес-
человеческом сознании понятия о бесконечности. Человек в опыте восприни-
воспринимает лишь конечное. Допустим, он воспринимал некоторое опреде-
определенное количество предметов, а затем он мог воспринимать еще
большее количество этих же предметов. Постепенно в его сознании
формировалось убеждение в том, что, сколько бы он ни восприни-
воспринимал подобных предметов, их может быть еще больше. С различны-
различными количествами этих предметов он мог сопоставлять какой-то
числовой ряд, который мог быть неограниченно продолжен путем
прибавления единиц.
В процессе восприятий материальных объектов человек мог
обнаружить, что какой-либо из них обладает рядом свойств, через
некоторое время он открывает еще какое-то свойство этого объек-
объекта, затем еще и т. д. В его сознании возникает постепенно пред-
представление о том, что, какое бы количество этих свойств он ни об-
обнаружил, все равно впоследствии может быть обнаружено еще
какое-то свойство, что количество их может быть неограниченным.
С каждым свойством объекта может быть сопоставлено какое-
го определенное число, и совокупности свойств может соответство-
соответствовать представление о ряде чисел, который может быть продолжен
неограниченно.
Человек мог обнаружить, что какой-то объект находится в
каких-то определенных отношениях, связях с другими объектами,
причем число постепенно обнаруживающихся типов, форм связей
может увеличиваться в ходе развития познания. Каждое отноше-
отношение, тип отношения он может связать с каким-либо числом (прону-
(пронумеровать его). Отражение в сознании неограниченного увеличения
ряда отношений, находит свое выражение в понятии бесконечного.
1 Ф. Энгельс. Диалектика природы, стр. 185—186.
47

Выше отмечалось, что измерительные операции могли привести к
получению числовой последовательности. В опыте человек убеж-
убеждался в том, что процессы могут протекать в противоположных
направлениях, величины могут изменяться также в противополож-
противоположных направлениях, причем эти изменения могут быть неограничен-
неограниченными. Это послужило основой для формирования представления о
линии, бесконечной в двух противоположных направлениях; о чис-
числовом ряде, продолжающемся в двух направлениях (положитель-
(положительное от нуля и отрицательное).
Таким образом, понятие о бесконечной числовой последователь-
последовательности связано с существованием множества материальных объек-
объектов, множества их свойств, с качественным многообразием этих
объектов, с множеством различных отношений мбкду ними, с су-
существованием неограниченных процессов изменения материальных
объектов, т. е. с развитием материи, которая бесконечна в простран-
пространстве и времени.
Исходным для формирования понятия числовой последователь-;
яости является познание конечного. Поэтому без рассмотрения ко-]
нечного нельзя объяснить бесконечное. Иных путей объяснения бес- ^
конечного (идущих, например, не через конечное, а через абсолют-
абсолютное, универсальное и т. д.) не может быть, так как оно познается
только через конечное. Поэтому нельзя не согласиться со следую-,
щим пояснением понятия бесконечного, которое дает Б. Больцано:
«Само название показывает, что бесконечное противопоставляется
всему конечному ... мы представляем себе понятие бесконечного
происходящим из понятия конечного . . . Что оба эти понятия отно-
относятся к многообразиям, к количествам (т. е. многообразиям еди-
единиц), а потому и к величинам». Для выяснения понятия о беско-
бесконечном «мы должны обратиться к одному из простейших понятий
нашего ума . . . мы говорим о понятии, лежащем в основе союза
«и». Это понятие можно выразить следующими словами: совокуп-
совокупность известных вешей или целое, состоящее из известных ча-*
стей» '. Итак, бесконечность ейгь то, что противоположно конечно-
конечному, к этому сводится сущность объяснения данного понятия у
Б. Больцано. А как же определить понятие конечного? Очевидно,
это понятие является столь общим, что его нельзя строго логически
определить через другие понятия. В рснове формирования этого
понятия лежит непосредственное восприятие конкретных мате-
материальных объектов, процессов, при котором человек наблюдал оп-
определенные, имеющие начало и конец совокупности объектов
C, 5 и т. д.), свойства, присущие им в какой-то мере, выражающей-
выражающейся конечным, определенным числом.
Бесконечную числовую последовательность Гегель называет
дурной бесконечностью. Числовой ряд он называет дурной бес-
бесконечностью потому, что она, эта бесконечность, не выходит за
пределы долженствования и, таким образом, на самом деле остает»
1 Парадоксы бесконечного. 1911, стр. 7—8.
48

ся в конечном1. Например, в ряде 1 + 1 + 1 бесконечность выступа-
выступает как сумма ряда единиц, который не заканчивается. Здесь бес-
бесконечность чужда конечному, лежит за пределами его. «Истинное
бесконечное не должно рассматриваться как нечто лежащее по ту
сторону конечного»2.
С этими положениями можно согласиться, если числовой ряд
рассматривать в отвлечении от того, каким образом понятие о нем
формировалось и как он связан с конкретной действительностью.
Но если понятие бесконечной числовой последовательности рас-
рассматривать в связи с теми свойствами действительности, которые
оно отражает, если иметь в виду процесс формирования этого поня-
понятия, то такой взгляд на числовую последовательность можно счи-
считать необоснованным. Совершенно очевидным является, что число-
числовая последовательность не может быть чужда конечности, так как
она состоит именно из конечного. Она связана и с многообразием
развивающегося мира. Противопоставление истинной бесконечно-
бесконечности и так называемой дурной бесконечности в том смысле, что вто-
вторая ложна в противоположность первой, вряд ли имеет основание.
Энгельс не придерживался такого противопоставления, он считал,
что истинная бесконечность включает в себе дурную бесконечность
как один из моментов. Он пишет об этом следующее: «Когда мы
говорим, что материя и движение не сотворены и не уничтожимы,
то мы говорим, что мир существует как бесконечный прогресс, т. е,
в форме дурной бесконечности: и тем самым мы поняли в этом про-
процессе все, что здесь нужно понять. Самое большее, возникает еще
вопрос, представляет ли этот процесс некоторое — в виде больших
круговоротов—вечное .повторение одного и того же или же кругб-
вороты имеют нисходящие и восходящие ветви . . . Истинная
бесконечность была уже Гегелем правильно вложена в заполнен-
заполненное пространство и время, в процесс природы и в историю. Теперь
также и вся природа растворилась в истории, и история отличается
от истории природы только как процесс развития самосознател>~ ных
организмов. Это бесконечное многообразие ^природы и истории
заключает в себе бесконечность пространства и времени — дурную
бесконечность — только как снятый, хотя и существенный, но не
преобладающий момент»3.
Г. Кантор пишет: «Новейшие математики нередко называют
несобственно-бесконечное «дурной» бесконечностью, на мой взгляд,
несправедливо, так как в математике и естествознании сно оказа-
оказалось весьма хорошим и в высшей степени ценным орудием»4. Та-
Таким образом, можно говорить о недостаточности, ограниченности
понятия «дурной» бесконечности, но нет оснований считать это по-
понятие ненаучным.
Учение Г. Кантора о трансфинитных числах имеет своим пред-
1 См. Гегель. Соч., т. 1, 1929, стр. 180.
1 Т а м ж е.
3Ф. Энгельс. Диалектика природы, стр. 188.
4 Новые идеи в математике. Сб. статей. 1914, № 6, стр. 15.
4 Заказ 1036 49

метом исследование числовой последовательности, получаемой пу-
путем прибавления все новых и новых единиц. Это учение играет
настолько важную роль в развитии математики, что математики
вряд ли когда-либо согласятся просто отбросить его как ненаучное.
Правда, часть математиков склонна изгнать из математики
вообще бесконечное как таковое и все рассуждения, относящиеся
к бесконечному, сводить к конечному. В этом отношении характер-
характерными являются взгляды Вейерштрасса на основные понятия мате-
математического анализа. Но Д. Гильберт отмечает неудачность попыт-
попытки Вейерштрасса исключить бесконечное из математики. Он пишет:
«Но бесконечное все же выступает снова в бесконечных числовых
последовательностях, определяющих действительное число, и затем
в понятии системы действительных чисел, которая воспринимается
точно так, как предстоящая перед нами готовая и законченная со-
совокупность . . . бесконечное сумело снова в прикрытом виде про-
пробраться в теорию Вейерштрасса, не будучи задето остротой его
критики»1.
Факт, о котором говорит Д. Гильберт, имеет своей причиной не«
разрывную связь конечного и бесконечного в материальной дейст*
вительности, именно поэтому не удается оторвать бесконечное от
конечного, в котором оно проявляется. Сам Д. Гильберт не пы-
пытается, подобно Вейерштрассу, изгнать бесконечное из математики,
но он изгоняет его из действительности. Так, он считает, что тен-
тенденцией современной науки является освобождение от бесконечно
малого. Основанием для такого утверждения у Д. Гильберта явля^
ется невозможность неограниченного деления материальных объек-
объектов. Д. Гильберт пишет, что в науке «выявились веские возражения
против бесконечности вселенной»2.
В заключение он пишет: «Итак, мы установили конечность дей>
ствительного в двух направлениях: в отношении бесконечно мало-
малого и в отношении бесконечно большого»3.
Отрицая бесконечность в действительном мире, Д. Гильберт
признает его исключительно важную роль в математике. Так, он
пишет: «Все же может случиться, что бесконечное в нашем мышле^
нии занимает полноправное место и является необходимым поня-
поня4
«. . . Математический анализ можно в известном смысле
вать единой симфонией бесконечного. Громадные успехи, достиг
нутые в исчислении бесконечно малых, основываются большей
частью на действиях с математическими системами, состоящими иг
бесконечного числа элементов. . . теперь анализ в своей облает*
стал безошибочным наставлением и практическим инструменте!*
для пользования бесконечным»5.
1 Основания геометрии. 1948, стр. 339.
1 Там же, стр. 342.
'Там же, стр. 343.
1 Там ж «.
'Там же, стр. 345.

Теория трансфинитных чисел «представляется мне наиболее
заслуживающим удивления цветком математического духа и, вооб-
ще, одним из высших достижений чисто умственнрй деятельности
человека»1.
В этих положениях Д. Гильберта проявляется резкий разрыв
между математикой и действительным миром: отрицание бесконеч-
ного в действительном мире и преклонение перед бесконечным в
математике.
Данные космологии, оперирующей огромными числами, рас-
расстояниями, объемами, подтверждают бесконечно большое в дей-
действительном мире. Данные физики, химии о свойствах материаль-
материальных объектов также подтверждают положение о бесконечном мно-
многообразии свойств объектов и о бесконечном их изменении, разви-
развитии. Правда, для настоящего уровня науки существует предел де-
делимости материальных частиц, но этот факт не может служить ос-
основанием для утверждения, что понятие о бесконечно малом не
©тражает действительности.
Наукой доказано, что в природе имеются процессы предельно-
предельного характера, в которых величины, изменяясь, могут сколь угодно
близко подходить к некоторым предельным значениям. В природе
имеются величины, отношения между которыми могут быть весьма
малыми, например размер Галактики и размер электрона. В поня-
понятии бесконечно 'малой эти отношения абсолютизируются, но все
же они могут рассматриваться как его основание, существующее
в объективном мире. Непрерывность, которая (наряду с прерывно-
прерывностью) свойственна процессам природы, обусловливает возмож-
возможность существования сколь угодно малых различий между величи-
величинами, характеризующими какие-либо два соседние состояния про-
процесса.
Какая же бесконечность свойственна развивающейся материи:
актуальная или потенциал^ая? Какая из этих двух видов беско-
бесконечности должна быть принята за истинную и какая должна быть
отвергнута, как не истинная? Оба эти два вида бесконечности яв-
являются истинными. Известно, что основателем учения об актуально-
бесконечном является Г. Кантор, он же иногда считается последо»
вательным противником признания потенциально-бесконечного.
Однако же в работах Кантора нет категорического отрицания
потенциальной бесконечности, хотя он преимущественное внимание
уделяет актуально-бесконечному, а потенциальную бесконечность
считает вспомогательным понятием.
Потенциальную и актуальную бесконечность Кантор определя-
определяет таким образом: «Потенциально бесконечное имеют в виду преи-
преимущественно тогда, когда идет речь о неопределенной, переменной
конечной величине, которая или растет сверх всяких границ (в та-
таком виде мы можем представлять себе так называемое время, от-
отсчитываемое с известного начального момента) или убывает, ста-
Основания геометрии. 1948, стр. 345.

новясь меньше всякой конечной величины (таково, например, пра*
вильное представление о так называемом дифференциале).
Более общим образом я говорю о потенциально-бесконечном
везде там, где рассматривается неопределенная величина, могущая
принимать бесчисленное множество значений. Под актуально-беско-
актуально-бесконечным, наоборот, следует понимать такое количество, которое, с
одной стороны, не изменчиво, но определенно и неизменно во
всех частях и представляет истинную постоянную величину, а с
другой, в то же время превосходит по своей величине всякую ко-
конечную величину того же вида. В качестве примера приведу сово-
совокупность, комплекс всех конечных, целых, положительных чисел.
Это множество есть некоторая вещь для себя и образует, — отвле-
отвлекаясь от натурального ряда относящихся сюда чисел — некоторое
неизменное во всех частях и определенное количество... которое при-
приходится назвать большим, чем всякое конечное количество. Другой!
пример — это совокупность всех точек, лежащих на данной окруж-
окружности (или какой-либо определенной кривой)»1.
Таким образом, Г. Кантор и с потенциальной бесконечностью
связывает некоторые реальные процессы — изменение величин, ко-
которые могут принимать бесчисленное множество значений. Г. Кан-
Кантор не отрицает и большой положительной роли, которую играет в
науке не только актуально-бесконечное, но и потенциально-беско-
потенциально-бесконечное. Так, он пишет о бесконечности следующее: «... в обеих этих
формах она содействовала величайшим успехам в геометрии, ана-
анализе и в математической физике»2.
Г. Кантор исчисление бесконечно малых считает областью, где
проявляется лишь потенциально бесконечно малое. Актуальные
бесконечно малые он считает, вообще, невозможными. Бесконечно-
малые актуальные величины, по мнению Г. Кантора, «представля-
«представляют невозможные, т. е. внутренне противоречивые мысленные вещи...
строгое обоснование этого мнения должно следовать из теории
трансфинитных чисел»3.
Таким образом, Г. Кантор считал полностью оправданным при-
применение потенциально-бесконечного в математическом анализе и
резко выступал против смешения потенциально-бесконечного и ак-
туаиьно-бесконечного. Теория пределов, обоснованная Коши. приз-
признавалась Кантором как существенно положительное в развитии ма-
математического анализа. По этому поводу он писал: «...рассматрива-
«...рассматривают так называемые дифференциалы как актуально-бесконечно-ма-
актуально-бесконечно-малые величины, хотя они имеют лишь значение переменных, могу-
могущих стать произвольно малыми вспомогательных величин, как это
уже было ясно высказано... Ньютоном и Лейбницем. Эту ошибку
можно считать теперь вполне устраненной благодаря выработке
1 К учению о траисфинитиом. В сб. «Новые идеи в математике» 1914, № 6
стр. 122—123.
2 Т а м же, стр. 4.
'Там же, стр. 128.
52

так называемого метода пределов, в которой приняли столь слав*
ное участие французские математики во главе с великим Коши» '..
Особого внимания заслуживает то, что Кантор усматривал не-
неразрывную связь между актуальной и потенциальной бесконечно-
бесконечностью в понятиях математического анализа. Он писал об этом1
следующее: «Но можно объяснить неопровержимым образом на-
наличность актуально-бесконечного и неизбежность его как в анали-
анализе, так и в теории чисел и в алгебре, исходя также из другой точки
зрения. Если не подлежит никакому сомнению, что мы не можем
обойтись без переменной величины в смысле потенциально-беско-
потенциально-бесконечного, то отсюда можно вывести также необходимость актуально-
брсконечного следующим образом. Для того чтобы можно
было использовать подобную переменную величину в каком-нибудь
математическом исследовании, «область» его изменения должна,
строго говоря, быть известной наперед благодаря некоторому оп-
определению. Но эта «область» не может быть сама, в свою очередь,
чем-то переменным, ибо в противном случае наше исследование не
имело бы под собой никакой прочной основы. Следовательно, эта
«область» представляет некоторое определенное актуально-беско-
актуально-бесконечное множество значений.
Таким образом, всякое потенциально-бесконечное, которое же-
желают использовать строгим математическим образом, предполага-
предполагает наличность актуально-бесконечного2.
Отсюда вытекает, что Кантор, создатель учения об актуально-
бесконечном, далек от того, чтобы отбрасывать, считать ненаучным
понятие потенциально-бесконечного. Коши, как известно, отрицал
возможность существования актуального бесконечного числового
ряда. Но следует иметь в виду, что его взгляды на природу беско-
бесконечного находились под весьма сильным влиянием религии, дока-
доказательства же его о невозможности актуальной бесконечности без-
безусловно несостоятельны, как об этом справедливо говорит Кантор.
Коши пишет: «Итак, один Бог бесконечен, кроме него все ко-
конечно. Духовные существа и существа телесные находятся в ко-
конечном числе и мир .имеет свои пределы в пространстве и во вре-
времени. Бесконечность, вечность суть божественные принадлежно-
принадлежности, присущие только Творцу...»3.
Невозможность числового ряда, продолженного до бесконечно-
бесконечности. Коши доказывает следующим образом: .имеем два числовых
ряда:
1, 2, 3, 4, 5 и т. д.
1, 4, 9, 16, 25 и т. д.
При продолжении первого ряда полные квадраты, заключающиеся
в этом ряду, будут составлять все более и более резко выраженное
меньшинство по отношению к остальным числам этого ряда. Если
1 К учению о трансфинитном. В сб. «Новые идеи в математике». 1914, стр. 132.
1 См. там же, стр. 133.
8 Семь лекций по общей физике. 1872, стр. 18—19.
S3

ряд ограничить числом 10, то количество квадратов будет 3 A, 4,
9) для 100, оно будет равно 10 A, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100)
для 1000, оно будет равно 31 и т. д.
Коши считает, что если ряд целых чисел продолжить до беско-
бесконечности, то квадраты этого ряда должны «составлять в этом ряду
очень ничтожное меньшинство, на самом же деле в бесконечном
ряду чисел будет находиться, с каждым числом не квадратом}
квадрат этого числа, потом квадрат квадрата числа и т. д.» '.
Следовательно, считает Коши, мы пришли к противоречию. По-
Поэтому допущение о существовании бесконечного ряда чисел следу-
следует отбросить. Несостоятельность этого доказательства очевидна.
Из этих рассуждений следует только то, что бесконечный ряд чисел
обладает совершенно иными свойствами, чем конечный, но никоим
образом из них нельзя сделать вывод о невозможности существо-
существования бесконечного ряда чисел. В этом доказательстве Коши пере-
переносит свойства конечного ряда чисел на бесконечный ряд.
Действительно, почему в числовом ряде, состоящем из 10 чисел,
количество квадратов чисел этого ряда равно 3? Потому, что ряд
ограничен десятым числом, он конечен, и квадратам остальных чи-
чисел ряда негде разместиться. То же самое можно сказать и о ряде,
состоящем из 100 чисел, из 1000 чисел и т. д. То, что квадраты чи-
чисел составляют малую часть от всех чисел конечного числового
ряда, является специфическим свойством именно конечных число-
числовых рядов. В бесконечном числовом ряду хватит места для квадра-
квадрата любого числа. Здесь квадраты чисел не должны составлять нич-
ничтожного меньшинства от остальных чисел ряда. В этом и заключа-
заключается одно из характерных специфических свойств бесконечного чи-
числового ряда.
Хватит ли места в бесконечном числовом ряду квадратам пер-
первых десяти чисел? Конечно, хватит. А квадратам первых ста чисел?
Тоже хватит. Можно ли назвать такое по порядку число, квадрату
которого не хватило бы места в бесконечном числовом ряду? Нет,
нельзя. Ведь нехватить места может лишь тогда, когда ряд окон-
окончен, дальше не продолжается, но бесконечный ряд никогда не мо-
может быть оконченным. Таким образом, приведенное доказательство
Коши явно несостоятельно.
Против существования актуального бесконечного числового ря-
ряда могут быть выдвинуты следующие аргументы. Если такой ряд
существует, то он должен быть дан, сосчитан, написан и т. д. Но
мы сосчитать, написать, перебрать можем только конечное число
членов ряда, поэтому бесконечный ряд невозможен. Эти аргументы,
хотя и серьезные, все же не являются доказательством невозможно-
невозможности существования актуального бесконечного числового ряда.
Задать такой ряд вовсе не значит исчерпать один по одному все
его члены, таким путем можно получить всегда только конечное
число членов ряда. Бесконечный ряд задан тогда, когда мы знаем
1 Кантор. К учению о траисфииитном. В сб. «Новые идеи в математике*.
1914, № 6, стр. 18—19.
54

закон, по которому можем определить его члены, когда иищии
член ряда а„ дан как функция от п. Этот закон свойственен всем
членам ряда без пропусков и без -повторений. Что же означает дать
закон ряда? Это значит дать общее, характерное свойство для всех
членов ряда, общего характера связь 'между ними. Таким образом,
закон ряда связывает множество в единое. Такой способ задания
бесконечного числового ряда, а также любого бесконечного мно-
множества вполне согласуется со следующим положением Энгельса:
«Мы знаем, что хлор и водород под действием света соединяются
при известных условиях температуры и давления в хлористоводо-
хлористоводородный газ, давая взрыв; а раз мы это знаем, то мы знаем также,
что это происходит всегда и повсюду, где имеются налицо выше-
вышеуказанные условия, и совершенно безразлично, произойдет ли это
один раз или повторится миллионы раз и на скольких небесных те-
телах. Форма всеобщности в природе—это закон... Всякое истинное
познание природы есть познание вечного, бесконечного, и поэтому
оно по существу абсолютно»1.
Из этих слов Энгельса ясно, что если нам известен закон, по
которому хлор и водород, соединяясь, дают взрыв, то для нас не-
необязательно перебирать все возможные случаи по одному, для то-
того чтобы убедиться в том, что это происходит всегда и повсюду при
наличии необходимых условий. Это знание у нас имеется в силу из-
известного нам закона, который охватывает, соединяет в единое, мо-
может быть, бесконечное множество таких явлений, как соединение
хлора и водорода при взрыве.
Способ задания бесконечной числовой последовательности
(вообще любого бесконечного множества) при помощи закона, вы-
выражающего характеристическое свойство всех его элементов, пред-
представляет собой яркий пример единства абстрактного и конкретно-
конкретного. Общий закон открывается через познание отдельных элементов
(предметов, явлений, чисел). В них подмечается какое-то общее
свойство, зависимость, отношение и в конце концов устанавлива-
устанавливается, что это свойство, отношение обладают всеобщностью для оп-
определенной группы вещей, явлений, чисел и т. д., т. е. устанавлива-
устанавливается характеристическое свойство многих отдельных и конкретных
объектов, открывается закон в соответствии с которым они объе-
объединяются в единое целое, во множество. Установленное общее поз-
позволяет исследовать глубоко связи, отношения различных множеств
друг с другом, частей множества с множеством как целым, частей
множества друг с другом и т. д. Это значит, что общее, закон дает
возможность познать новые связи, отношения, свойства элементов,
т. е. получить более многостороннее, конкретное знание, которое
может привести к открытию нового закона, и т. д.
Из самого определения актуальной и потенциальной бесконеч-
бесконечности следует, что они не могут противопоставляться друг другу, а
находятся в органической связи друг с другом. С актуальной беско-
1 Ф. Энгельс. Диалектика природы, стр. 186.
55

нечностью связаны: постоянство, определенность, неизменность.
С потенциальной бесконечностью связаны: изменчивость, неопре-
неопределенность, непостоянство. Другими словами, понятие актуальной
бесконечности отражает устойчивость материальных объектов, по-
понятие потенциальной бесконечности отражает их изменчивость, т. е.
эти понятия отражают различные стороны одного и того же—кон-
же—конкретных материальных объектов. Эти стороны материальных объек-
объектов неразрывно связаны друг с другом. Об этом можно сказать сле-
следующее: например, в том, что вещь остается тою же самою и в то
же время непрерывно изменяется, что она имеет в себе противопо-
противоположность между «устойчивостью» и «изменением», заключается
противоречие.
Если происходит какое-либо изменение, то оно связано с неко-
некоторой относительной устойчивостью, т. е. оно сохраняется в тече-
течение того промежутка времени, который находится между его на-
начальным и конечным моментами. Если существует какой-либо опре-
определенный объект как нечто устойчивое, то он не может не находить-.
ся в состоянии некоторого изменения. Без устойчивости нет измен-
изменчивости, и наоборот. Всякая устойчивость относительна, так как со-
содержит в себе изменчивость. Всякая изменчивость относительна,
так как содержит в себе устойчивость. Единство таких противопо-
противоположностей, как устойчивость и изменчивость, обусловливает связь,
единство актуальной и потенциальной бесконечности.
В каждый момент времени совокупность материальных объек-
объектов вселенной представляет бесконечность, в то же время эта со-
совокупность в какой-то степени определенная, и мы можем сопос-
сопоставлять с ней классы трансфинитных чисел Кантора. Однако же
момент времени (промежуток времени, равный нулю) есть абстрак-
абстракция, каждый реальный промежуток времени отличен от нуля, и сле-
следовательно, за какой угодно малый промежуток времени совокуп-
совокупность материальных объектов вселенной изменится, их будет, мо-
может быть, меньше или, может быть, больше, чем было в тот момент,
когда мы мысленно сопоставили им числовой ряд. Поэтому устой-
устойчивость, определенность этой актуальной бесконечности относи-
относительна, она содержит изменчивость, неопределенность, т. е. то, что
относится к потенциальной бесконечности.
В природе существует бесконечное множество объектов, со-
состояние которых, а также частей их является в известной степени
стационарным, определенным. Изменение их может происходить
очень медленно. Например, длина металлического стержня пред-
представляет собой нечто определенное. Мы ее можем выразить отрез-
отрезком прямой линии, каждую точку которого обозначим числом. Мы
получим тогда соответствующий ряд чисел, который в теории мно-
множеств может приниматься за актуальную бесконечность.
Но определенность этого свойства (длины стержня) связанна с
изменением, движением, обусловлена закономерностями внутрен-
внутренних движений его частиц.
56

Таким образом, определенность, постоянство 'полученного чис-
числового ряда обусловлено движением, взаимосвязью частиц тела.
При соответствующих условиях мы считаем, что тело имеет посто-
постоянную, определенную температуру. Мы можем произвести измере-
измерения температуры в каких-то местах поверхности тела и в результа-
результате получим числовой ряд. Но и в этом, случае определенность чисел
обусловлена движением элементарных частиц — молекул тела.
То же самое можно сказать о напряжении в каждом сечении
стержня, находящегося под действием деформирующей силы. Из-
Измеряя эти напряжения, мы получим ряд определенных чисел, но
эта определенность также имеет причиной взаимосвязи между ча-
частицами стержня, закономерности их движения. Наблюдая за из-
изменением какого-либо свойства множества объектов или за изме-
изменением множества свойств, принадлежащих одному и тому
же объекту, мы также (можем получить определенный числовой
ряд.
Например, мы можем наблюдать за изменением температуры
нескольких тел или же наблюдать за изменением температуры,
длины объема, плотности одного и того же тела.
Если мы отвлечемся от времени, будем фиксировать значения
величин в какой-то определенный момент времени, то мы получим
в соответствии с измерениями ряд определенных чисел. Но этот ряд
чисел будет характеризовать один из моментов изменчивости объ-
объектов. Такой определенности, постоянства, которые были бы не свя-
связаны никаким образом с изменчивостью, получить невозможно.
Точно так же такого процесса изменения, который не был бы
связан с устойчивостью, определенностью, не существует. Изме-
Изменяющиеся объекты существуют, имеют определенное качество (в
каких-то границах изменения). Сам процесс их изменения также
существует как что-то определеннее, может подчиняться совершен-
совершенно определенным за.конам. Значения изменяющихся величин, ха-
характеризующих давный объект, в каждый момент времени могут
быть определенными.
Проявление потенциальной бесконечности в процессах приро-
природы связано с единством прерывности и непрерывности, так как
изменяющаяся величина за какой-либо промежуток времени про-
проходит бесконечное множество каких-то определенных, отдельных
значений. Возможность этого бесконечного множества значений
связана с непрерывным переходом изменяющегося объекта, вели-
величины из одного состояния в другое. После каждого состояния из-
изменяющаяся величина обязательно переходит в какое-то следую-
следующее состояние. Поэтому изменения величины можно сопоставить
с отрезком прямой, где после каждой точки следует какая-то дру-
другая точка или же бесконечный ряд чисел, где за каждым числом
идет следующее число.
Если бы после каждого какого-то состояния объекта и соответ-
соответствующей ему величины .не наступило бы никакого следующего;
если представить себе, что объект, величина в течение какого-то
57

промежутка времени прекратили изменение, то тогда в этом процео
се образовался бы перерыв, тогда нельзя было бы его отобразить
яепрерывным, бесконечным рядом чисел, точек. Отсюда совершен-
совершенно ясно, что потенциальная бесконечность связана с единством
прерыености и непрерывности в процессах природы.
Актуальная бесконечность также связана с единством прерыв-
прерывности и непрерывности. Примером актуальной бесконечности может
являться континуум. Точки континуума имеют непрерывное рас-
расположение, т. е. для каждой точки на сколько угодно малом рас-
расстоянии .находятся соседние точки. Это значит, что точки конти-
континуума расположены совершенно плотно. Но могут ли эти соседние
точки непосредственно соприкасаться друг с другом? Очевидно,
нет. Б. Больцано пишет об этом следующее: «Должно требовать
того», возражают нам, «чтобы каждая точка соприкасалась не-
непосредственно с другой». Но-в таком случае ставится очевидно не»
возможное требование, заключающее в себе явное противоречие.
В самом деле, когда же можно оказать, что две точки соприкасают-
соприкасаются? Быть может тогда, когда граница одной точки (скажем, правая
ее сторона) совпадает с границей другой (скажем, с ее левой сто-
стороной)? Но ведь точки—простые части пространства; они, следо-
следовательно, не имеют никаких границ, никакой правой и левой сто-
стороны. Если бы одна точка имела только одну часть общую с другой,
то она совпала бы с этой точкой; а если одна из них имеет нечто
отличное от другой, то они обе должны лежать совершенно отдель-
отдельно и, следовательно, между ними должно быть место еще для одной
точки, даже для бесконечного количества точек, так как для этой
средней точки, при сравнении ее с другими точками, справедливо
то же самое» 1.
Мы видим, что в расположении точек континуума проявляются
я непрерывность (поскольку они располагаются совершенно плот-
плотно) и прерывность (поскольку каждая точка лежит совершение
отдельно от других).
Итак, как потенциальная, так и актуальная бесконечности свя-
связаны с единством прерывности и непрерывности, что с необходи-
необходимостью свидетельствует о том, что они связаны и друг с другом.
Понятия актуальной и потенциальной бесконечности содержат в;
себе единство общего и абстрактного, отдельного и конкретного. \
Эти понятия обладают высокой степенью общности, являются весь-'
ма широкими абстракциями. Так, понятие актуальной бесконечно-,
¦сти является отражением в сознании такого общего свойства ма- i
териальных объектов, процессов, как их относительное постоянство, j
устойчивость (под которой можно понимать весьма медленное их
изменение). Понятие потенциальной бесконечности является отра-
отраженном в сознании изменчивости материальных объектов. Однв-
временно с этим понятия актуальной и потенциальной бесконечно-
бесконечности охватывают бесконечное многообразие конкретного. Так как
1 Парадоксы бесконечного. 1911, стр. 69.
SS

бесконечность составляется из конечностей, то она содержит в себе
все материальные объекты, вс.е конечные процессы, каждый из
которых есть нечто определенное, некоторая целостная совокуп*
ность Свойств, сторон, отношений, т. е. конкретное. Каждый мате-
материальный объект, каждый процесс обладает множеством отдельных
состояний, значений изменяющихся величин, совокупность которых
также охватывается понятием бесконечности.
Связь актуальной и потенциальной бесконечности друг с другом
обусловливает в математическом анализе связь теоретико-множе-
теоретико-множественных понятий с понятием изменения. Теория множеств содейст-
содействовала мощному развитию математики, но она вызвала ряд
противоречий, известных Под названием парадоксов теории мно-
множества. Причина этих парадоксов заключается в ограниченности
метода теории множеств,, в том, что в ней обоснование математ,и«
ческих понятий происходит в рамках формальной логики, беско-
бесконечные последовательности элементов рассматриваются как даиные,
неизменные, застывшие. В ней оперируют только понятием акту-
актуальной бесконечности, рассматриваемой вне связи с.потенциальной.
Такой подход может приводить к положительным результатам
лишь в определенных границах, за которыми теория, опирающаяся
на такой метод, неизбежно должна столкнуться с неразрешимыми
для нее противоречиями.
Одно из таких противоречий возникло при разрешении вопроса:
можно ли построить множество всех кардинальных чисел? Допу-
Допустим, мы построили множество каких-то кардинальных чисел. Если
мы построим множество всех его подмножеств, то получим новое
множество с большей мощностью и, следовательно, с большим
кардинальным числом. Отсюда следует, что мы должны строить
новое множество всех кардинальных чисел еще более мощное
и т. д. до бесконечности, т. е. налицо противоречие. В процессе
построения множества кардинальных чисел происходит изменение
мощности множества, увеличение наибольшего кардинального чис-
числа. Но теория множеств не рассматривает процесса изменения пос-
последовательностей элементов, считает их застывшими, постоянны-
постоянными, поэтому вполне закономерным является то, что она не в сос-
состоянии разрешить это противоречие.
Аналогичное противоречие возникло также при решении вопро-
вопроса: можно ли построить множество, характеризующее всевозмож-
всевозможные порядки следования. При построении такого множества созда-
создается новый тип порядка следования, что вызывает необходимость
построения нового, более мощного множества и т. д. Один из из-
известных парадоксов теории множеств называется парадоксом о
нормальных множествах. Такое множество, которое не содержит
само себя как элемент, называется нормальным. Множество, кото-
которое содержит само себя как элемент, называется ненормальным.
Если построить множество всех нормальных множеств, то каким
оно будет само—нормальным или ненормальным? Если его отнести
к нормальным множествам, то оно должно входить во множество

всех нормальных множеств. Это значит, что оно будет содержать
самого себя, а следовательно, будет являться ненормальным мно-
множеством. Бели его отнести к ненормальным множествам, то оно не
может входить в множество всех нормальных множеств. Это зна-
значит, что множество всех нормальных множеств должно быть нор-
нормальным. Таким образом, отнеся множество всех нормальных мно-,
жесте к нормальным множествам, мы получим вывод о том, что
оно является ненормальным. Наоборот, когда это множество отне-
отнесено к ненормальным, то получается вывод о том, что оно нор-'
мально. В данном примере конструируемое нами множество яв-
является противоречивым.
Поскольку теория множеств ограничивается рамками формаль-
формальной логики, рассматривает множества в застывшем, неизменном со-
состоянии, то .переход понятий ъ противоположность она объяснить,
не может. Клини приводит интересный пример для иллюстрации
парадоксов теории множеств (парадокс Рассела). «Каждый муни-
муниципалитет в Голландии должен иметь мэра и два разных муници-!
палитета не могут иметь одного и того же мэра. Иногда оказывает-
оказывается, что мэр не проживает в своем муниципалитете. Допустим, что
шдан закон, по которому некоторая территория 5 выделяется
исключительно для .таких мэров, которые не живут в своих муни-
муниципалитетах, и предписывающий всем этим мэрам поселиться на
этой территории. Допустим далее, что этих мэров оказалось столь-
столько, что 5 образует муниципалитет. Где должен проживать
мэр 5?» 1.
Оказывается, мэр муниципалитета 5 не может проживать в сво-
своем муниципалитете и не может .проживать вне его: Действительно,
если он будет жить в своем муниципалитете, то он подлежит удале-
удалению из него, так как муниципалитет 5 предназначен только для тех
мэров, которые не проживают в своих муниципалитетах. Но если
мэр S не проживает в своем муниципалитете, то он должен быть
согласно закону поселен в муниципалитете 5. Таким образом,
имеет место парадокс.
Парадоксы теории множеств связаны с тем. что в ней рассмат-
рассматриваются абстракции, которым «придается общность, излишняя
для каких-либо приложений»2.
Такой абстракцией является, например, понятие о множестве
всех множеств. Эта абстракция оказывается выходящей за рамки
возможных конкретных приложений и в этом смысле она оторвана
от конкретного. Парадоксы теории множеств говорят о том, что
оперирование абстракциями не может быть абсолютно свободным,;
не стесненным никакими ограничениями. Отрыв абстрактного от
конкретного проявляется в теории множеств и в том. что опериро-
оперирование предельно широкими абстракциями сопровождается невоз*
можностью указать какой-либо конкретный объект, связанный е
1 Введение в метаматематику. 1957, стр. 40.
1 А. Н. Колмогоров. Математика. БСЭ.

данной абстракцией, или хотя .бы возможный способ его по-
построения.
Возникновение парадоксов в теории множеств вполне согла-
согласуется с положениями марксистско-ленинской теории отражения о
противоречивом характере развития человеческого познания.
Поз'нание в своем развитии не имеет границ, (представляя собой
процесс все более полного и точного отражения действительности.
В то же время человек в своих абстракциях никогда не сможет
отразить абсолютно точно и полно, исчерпывающим образом мно-
многообразие бесконечной вселенной, так и получение достаточно пол-
полного и точного знания о яножестве всех множеств представляется
задачей: отразить в форме математического понятия все много-
многообразие бесконечной вселенной. Не лриходится удивляться, что
такая задача не разрешима.
Парадоксы теории множеств нельзя рассматривать как нечто
несущественное для этой теории. Наоборот, эти парадоксы заде-
задевают самые основы теории. Они касаются самого содержания
канторовского понятия множества и' с необходимостью выдвигают
вопрос о перестройке теории множеств; другими словами,
ставят на критическое рассмотрение вопросы обоснования мате-
математики.
Клини о парадоксах теории множеств пишет следующее: «Они
ставят нас перед проблемой перестройки теории множеств на
совершенно измененной основе, детали которой содержатся в них
разве что в виде намека. Например, если мы запретим множество
всех кардинальных чисел, мы не сможем рассматривать множество
всех натуральных чисел, .пока нам не станет известно, что этими
числами не исчерпываются все кардинальные числа, и та же
самая трудность возникает на более выооких ступенях. Если мы
запретим множество всех множеств, то получим конфликт р канто-
ровским определением множества. Чтобы вообще имелась теория
множеств, надо иметь теоремы, справедливые для всех множеств,
а все множества, по канторовскому определению, образуют мно-
множество. Если это не так. то мы должны указать, каким определе-
определением множества мы будем пользоваться взамен, или же дополнить
канторовское определение некоторым дальнейшим критерием, уста-
устанавливающим, когда описанная в его определении совокупность
объектов образует множество» Ч
Проблема парадоксов привела к интенсивному изучению ряда
общих вопросов, касающихся обоснования математики, таких, на-
например, как вопрос о природе математической истины, о.смысле
математических предложений, о характере доказательств, на кото-
которых они основаны.
Оперирование абстракциями излишней общности без каких-
либо ограничений вызвало в теории множеств ряд трудностей дру-
другого характера. Так, в теории множеств не имеется доказательств
1 Введение в метаматематику. 1957, стр. 42—43.
61

общих теорем, относящихся к любым кардинальным числам]
Теория множеств содержит ряд соотношений, для которых не су-
существует доказательств. Не создана теория трансфинитных поряд-
порядковых чисел. «...В настоящее время, по существу говоря, еще не
имеем общего учения о кардинальных трансфинитных числах»'.
В теории множеств создалось такое положение, которое должно
было вызвать попытки построения математических теорий, сво-
свободных от тех трудностей, парадоксов, с которыми приходится
иметь дело в этой теории. К таким попыткам относится создание
аксиоматической теории множеств, где понятие множества связана
с ограничениями, исключающими образование слишком обширных
множеств, что предупреждает возникновение парадоксов. Такая
система аксиом была выдвинута Цермело, который пытался с ее]
помощью преодолеть трудности обоснования теории множеств. Это!
построение связано со следующей аксиомой Цермело: «...Если дано!
множество М. все элементы которого не пустые множества Р, то
можно выбрать в каждосм из этих элементарных множеств Р па
одному элементу; совокупность выбранных элементов образует
новое множество N»2.
Эта аксиома дает возможность построить арифметику карди-
кардинальных трансфинитных чисел во всей их общности. Но при помо-
помощи аксиомы Цермело оказалось невозможным устранить трудности
обоснования математики. Несмотря на попытки ограничения этой
аксиоматики, она все же касается любых множеств и, следователь-,
но. связана с парадоксами. Поэтому в аксиоматике Цермело также]
получаются неопределимые множества. В ней также бывает воз-
возможно определить некоторый класс множеств, но в то же время не
представляется возможным указать какой-либо объект этого
класса.
Положение, сложившееся в теории множеств, привело к тому,
что конец XIX века оказался периодом ломки основных понятий
математики, а также постановки перед математикой новых важных
проблем весьма общего характера. К ним относится проблема су-
существования в математике, связанная с отношением к эффектив-j
ным и неэффективным доказательствам. До возникновения этого
критического периода в развитии математики считали истинными
как эффективные, так и неэффективные доказательства существо-'
вания математических объектов.
Трудности, связанные с парадоксами теории множеств, с ак-
аксиомой Цермело, явились причиной существенного изменения
взглядов ряда математиков на неэффективные доказательства.
Появилась точка зрения, согласно которой следует признавать
истинными такие доказательства, которые дают возможность вы-
вычислить, определить, построить математический объект, существо-
1 В. Н. М о л о д ш и й. Эффективизм в математик». 1938, стр. 23.
* Та м же, стр. 17.

зание которого доказывается, Неэффективные же доказательства
(не дающие средств вычисления, определения, построения объекта)
не истинны. Возникновение этой точки арения связано со стремле-
стремлением математиков к обоснованию возможно более широкой части
математики, свободной от .противоречий, для чего следовало устра-
устранить излишнюю общность абстракций, характерную для теории
множеств. Таким образом, появилось новое направление в мате-
математике, известное в настоящее время под названием интуициониз-
интуиционизма, связанное в первую очередь с именами Брауэра, Вейля.
Интуиционизм по своему философскому содержанию представ-
представляет собой субъективный'идеализм в математике. Ряд математи-
математиков стал искать выхода ш кризиса основ математики на пути
материалистической трактовки возникающих новых идей, след-
следствием чего явилось оформление такого направления в математике,
как конструктивизм. К этому направлению относится ряд видных
советских математиков — А. Н. Колмогоров, С. П. Новиков и др.
Абсолютизация абстракций, преувеличение их общности в
теории множеств оказали отрицательное влияние на развитие
математики не только со стороны ее фактического содержания, но
и философского истолкования. А. Д. Александров следующим об-
образом характеризует теорию множеств с философской стороны:
«Абстрактные математические понятия, и прежде всего именно бес-
бесконечные множества (как множество всех чисел, множество всех
функций и т. п.), понимаются как некоторые самостоятельные сущ-
сущности, подлежащие идеальному познанию. Это есть платонизм в
математике, ибо Платон как раз и приписывал самостоятельное
существование идеям»'.
Теория множеств дала математике значительно меньше того,
чем это полагают некоторые математики. Так, она не представляет
собой теории, которая полно и окончательно решила все проблемы
обоснования математики (это и принципиально невозможно для
какой угодно теории). Правда, она внесла ясность в определения
некоторых математических понятий, устранив из них некоторые
неясные, расплывчатые термины, не имеющие строгих математиче-
математических определений. Но наряду с этим теория множеств пользуется
рядом понятий, которые также не имеют строгих математических
определений (без таких понятий, вообще, обойтись нельзя). Поня-
Понятия процесса, изменения, теории множеств не удалось изгнать из
математики, что принципиально невозможно.
Несмотря на наличие ограниченных сторон теории множеств,
было бы заблуждением не видеть ее положительной роли в разви-
развитии математики. Понятие актуальной бесконечности имеет основу
в объективном мире, поскольку вселенная составляет бесконечное
множество объектов. Материя бесконечна в своих свойствах и про-
проявлениях. Материальные объекты и их совокупности обладают
устойчивостью, определенностью, хотя и относительной.
Конечно, следует иметь в виду, что понятие актуальной беско-
1 Об идеализме в математике. «Природа», 1957, № 7, стр. 6.
«8

вечности есть шеализиоованная абстракция (поскольку имеется
в виду бесконечность завершенная). Утверждение об актуальное^
бесконечного ряда не подтверждено экспериментально и может
поэтому считаться гипотетическим, но использование таких сужде-
суждений в науке не является редким делом. Понятие материальном
точки, линии есть идеализированная абстракция. Измерение длины
за определенными пределами теряет всякий смысл. Абсолютизиро-1
вание абстракции актуальной бесконечности, применение ее за ра-1
зумными и возможными пределами также теряют всякий смысл]
следствием чего и являются парадоксы теории множеств.
Теория множеств оказала чрезвычайно плодотворное влияние
на развитие математики в целом. Она привела к существенной
перестройке математического анализа, геометрии и алгебры. Она
играла существенную роль в обосновании современной математики.
В ней получило обобщение то, что было известно предшественни-
предшественникам и современникам Кантора в качестве отдельных, не связанны!
между собой фактов
На основе теоретико-множественных принципов были созданы
новые методы высокой степени общности, которые способствовали
развитию целого ряда математических дисциплин, а также возник-
возникновению новых (например, теория функций действительного пере-
переменного, функциональный анализ, топология)- Теория множеств
способствовала решению многих проблем вариационного исчисле-
исчисления, теории вероятностей, теории чисел и интегральных уравнений.}
Порядковые трансфин'итные числа получили широкое применение
современной алгебре, теории функций, топологии, что способствс
вало развитию этих разделов математики.
Таким образом, теория множеств является важным этапом
развитии математики в направлении все более и более широки*
обобщений. Ее понятия обладают высокой степенью общности, с
повременно с этим они имеют многообразное конкретное содержа-s
ние. в них проявляется единство общего, абстрактного, а такжй'
отдельного и конкретного. Теория множеств расширяет сфер)
практического применения математики к вопросам естествознани?
и техники, позволяет глубже, полнее познавать свойства отдельны*
и конкретных объектов. Но вместе с тем теория множеств имеет
свои недостатки, поскольку она рассматривает бесконечные послед
довательности элементов в статическом состоянии, без изменений!
в то время как реальные конкретные объекты находятся в состоя!
нии изменчивости. Эти недостатки обусловливают ее парадоксы!
Теория множеств является важным этапом в развитии мате|
матики. Однако следует иметь в виду, что на развитие теорш
множеств оказало отрицательное влияние идеалистическое мире
воззрение ее основателя Г. Кантора, который понятие бесконечной
множества не связывает необходимым образом с конкретными ма!
териальными объектами, а рассматривает как нечто самостоятель^
яое по отношению к ним, существующее в готовом, неизменном,
вершенном виде.
€4

ГЛАВА ВТОРАЯ '
О СООТНОШЕНИИ АБСТРАКТНОГО И КОНКРЕТНОГО
В НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Математическая логика относится к числу таких областей
siaTeMaTHKH, понятия которых обладают весьма высокой степенью
общности. Следствием этого зачастую является такое понимание
математической логики, при котором она отрывается от объектив-
объективного мира, представляется системой последовательностей знаков,
символов, лишенных какого бы то ни было содержания. Сторон-
Сторонники такой точки зрения утверждают, что математическая логика
имеет дело не с абстрактными понятиями, выраженными симво-
символами, а только со знаками, которые понимаются как материальные
объекты (следы чернил, краски или мела). Метод формализации
Рассматривается при этом, как один из способов исключения абст-
абстракций из теории, всякое практическое применение теории также
понимается как исключение из нее абстракций.
Такое истолкование математической логики чрезвычайно за-
затрудняет ее понимание. Действительно, трудно понять, как может
существовать научная теория, которая не содержит абстрактных
понятий. Затем, если математическая логика не отражает дейст-
действительности в своих понятиях, если она имеет дело не с содер-
содержательными понятиями, а с символами, лишенными всякого содер-
содержания, то непонятно, каким образом она может весьма широко и
плодотворно применяться в практике.
Для того чтобы избежать этих затруднений ери усвоении
содержания математической логики, необходимо учитывать, что
она возникла как результат закономерного развития математики,
которая связана с действительностью, развивается в тесной связи
с опытом, с практикой. Известно, что на первых порах своего раз-
развития математическая логика не имела непосредствен«ых конкрет-
конкретных приложений, но это не значит, что она появилась, развивалась
без всякой связи с практикой, с действительностью. Эта связь
(мела тогда косвенный характер,, так как математическая логика
была связана с практикой, опытом через некоторые другие -мате-
103t 65

матичеокие дисциплины. А при дальнейшем развитии она сама
нашла широкие практические приложения. Эти существенные для
понимания математической логики положения и рассматриваются
в параграфе «Роль практики .в развитии математической логики».
Известно, что основные законы традиционной формальной ло-
логики связаны с объективным миром, отражают его связи и отноше»
ния. Математическая логика в своем возникновении связана е
традиционной формальной. Она использует эти же самые законы!
(наряду с некоторыми понятиями специфики для нее). Логические
постоянные также являются отражением свойств, отношений дейст-
действительности. Следовательно, исчисления математической логики,*
какой бы сложной формой они не обладали, являются отражением;
свойств объективного мира. В математической логике употребле-
употребление логических постоянных может отличаться от употребления их;
в обычной речи, что может.рассматриваться как проявление отно |
сительной самостоятельности научных теорий, абстракции которых1
могут быть связаны с действительностью косвенно, через другие
понятия, причем не для каждой абстракции может быть найден не
посредственный аналог в действительности. Но при всем этом необ-
необходимо подчеркнуть, что научная теория в целом (в том числе и.
математическая логика) связана с материальной действительно
стью, является ее отражением.
Вопрос о том, как относится математическая логика к матема '
тике и к логике, имеет очень существенное значение для понима-
понимания ее предмета, а значит, и ее содержания. Всякие попытки
свести математическую логику только к логике или только к ма
тематике несостоятельны. Этот вопрос может быть разрешен
только при условии, если понятия математической логики рассмат ,
риваются как отражение действительности и как единство, взаимо
действие абстрактного и конкретного.
Знакомство с параграфом «Об отношении математической ло '¦¦
гики к общей логике и к математике» должно привести к вывод*
о том. что в исчислениях математической логики имеется синтез i
логического и математического содержания. Эти две сторонь, ''••
тесно связаны друг с другом, взаимодействуют друг с другом. На !
ряду с этим каждая из этих сторон имеет свою специфику и hi> ;
одна из этих сторон не может быть сведена к другой. Обоснова
ние абстракций математической логики может быть найдено только
при условии, если они рассматриваются в связи с конкретным мно
пообр'азием действительности.
Содержание математической логики дает основание утверждать
что она является особой научной дисциплиной (а не просто вело
могательным аппаратом), имеет основные, строго научные понятия,
обладающие объективным содержанием, а также специфические
для нее методы исследования. Она включает в себя как элементы
общей логики, так и элементы математики и может быть названа
логико-математической дисциплиной, имеющей объективное со-
содержание и развивающейся в соответствии с законами материали-
материалистической диалектики.
66

Для понимания роли символов, знаков в математической ло-
логике необходимо учитывать, что они представляют собой единство
смыслового значения и чувственно-материальной формы и не могут
быть сведены к последней, которая в свою очередь не может
смешиваться с материальными объектами. Тогда математическая
логика не должна рассматриваться как последовательность зна-
знаков, лишенных содержания, как какой-то лишь вспомогательный
аппарат, а должна пониматься как содержательная наука, отра-
отражающая в своих понятиях свойства, отношения действительности^
Взаимодействие таких противоположных сторон, как абстрактное
я конкретное, представляет собой одну из важнейших закономер-
закономерностей математической логики. На эти положения и следует обра-
обратить особое внимание при знакомстве с параграфом «Содержатель-
ча ли математическая логика?».
В развитии современной математики математическая логика
играет особо важную роль. Она в значительной степени способ-
способствует расширению приложений математики в различных областях
техники, естествознания, дает возможность решать множество раз-
различных весьма важных практических задач. Математическая логи-
логика является ареной острой борьбы материализма с идеализмом,
диалектики с метафизикой, которая оказывает существенное влия-
айе на развитие самой математической логики. Идеалисты, напри-
например, логические позитивисты, пытаются найти опору для своих
взглядов в математической логике. Но ее развитие все более опро-
опровергает идеализм и неопровержимо подтверждает материализм.
Противоположность трактовки содержания человеческого по-
мания материалистами и идеалистами определяет противополож-
противоположность понимания философских проблем, связанных с математиче-
математической логикой. Диалектический материализм исходит из того, что
развитие познания отражает развитие материальной действитель*
ности. Основным же тезисом, который защищают идеалисты в
эбласти теории познания, является утверждение того, что познание
яолностью оторвано от действительности, не зависит от нее в
своем развитии. Так, один из видных представителей логического
позитивизма Б. Рассел утверждает, что человек всегда остается
в мире своих идей, что он может обладать научным знанием, на
обращаясь к действительности, а сравнивая свои идеи с идеями,
логические умозаключения с логическими умозаключениями. Для
доказательства этого тезиса идеалисты пытаются использовать
математическую логику, применяя для этого ряд приемов. Один
из них, применяющийся, например, Расселом, состоит в том, что
математическая логика, как и вся математика, включается в ло-
логику, считается частью логики. Рассел считает, что натуральный
Числа «можно анализировать вовсе не чисто математически, а ско-
скорее логически. Таким образом, всю чистую математику можно
вывести из логики»1.
М. Корифорт. Наука против идеализма. 1948, стр. 144.
67

А. Тарский утверждает, что «понятие самого числа и подобным
же образом все другие арифметические понятия можно определить
не выходя за пределы логики... можно доказать все арифметиче-
арифметические теоремы на основе законов одной только логики... То обстоя-
обстоятельство, что оказалось возможным развить всю арифметику в
целом, включая и возникшие из нее дисциплины — алгебру, ана-
анализ и т. п. как часть чистой логики, составляет одно из величайших
достижений современных логических исследований» •.
Диалектический материализм отвергает подобные взгляды на
соотношение математики и логики и считает, что каждая из этих
наук имеет свое специфическое содержание и что они не могут
быть включены друг в друга.
Следующий прием идеалистов состоит в том, что они объявляют
логику основой всего человеческого познания в целом, устраняют
из логики всякое содержание, рассматривают ее как чистейшую
форму мышления. Так, например, А. Тарский пишет, что при дедук-
дедуктивном построении математической дисциплины «надлежит пре-
пренебрегать значениями всех без исключения выражений, встречаю-
встречающихся в данной дисциплине, и при создании дедуктивной теории
мы должны действовать так, как будто ее высказывания являются
лишь сочетаниями з'намов, лишенных какого-либо содержания;
всякое доказательство будет теперь состоять в том, что аксиомы
или предварительно доказанные теоремы будут подвергаться ряду
чисто внешних преобразований»2.
Карнап, представитель логического позитивизма, считает, что
«наука лишена всякого значения и есть лишь простая система
построения слов»3.
Витгенштейн говорит о субстанции мира, которую образуют
объекты, но под объектами понимаются не предметы материаль-
материального мира, а «аксиомы», «простые предложения», «атомные
факты», которые могут быть обозначены символами, знаками. Но
эти объекты никакого отношения к материальному миру не имеют.]
Логические позитивисты математические теории рассматривают!
как простую последовательность знаков, лишенных какого бы то!
ни было содержания.
По мнению Карнапа, наука имеет своей основой некие прото-
протокольные положения.
Он пришет: «Простейшие положения на протокольном языке!
являются протокольными положениями, то есть положениями, не
нуждающимися в оправдании и служащими основаниями для всех
прочих положений науки»4.
Как же получаются протокольные положения? Карнап считает,
что «согласно логическому «принципу терпимости» можно совер-
1 А. Тарский. Введение в логику н методологию дедуктивных наук. 1948,
стр. 122-123
J Гэ м ж р, стр. 183.
8 М. Корнфорт. Наука против идеализма. 1948, стр. 20.
4 Г а м же, стр. 227.
68

шенно произвольно выбирать любые предложения в качестве своия
протоколов, и если при этом у них возникнут какие-либо затруд-
затруднения, они могут отбросить эти протоколы, а вместо них принять
другие>'.
Таким образом, положения науки, по мнению Карнапа, основа-
основаны на протокольных положениях. Проверка их производится путем
сравнения с протокольными положениями. Следовательно, у ло-
логических позитивистов истинность науки заключается в определен-
определенной связи между положениями логики, а соответствие с объектив-
объективным миром не играет при этом никакой роли. Поскольку прото-
протокольные положения могут выбираться произвольно, могут проиэ»
вольно заменяться другими протокольными положениями, то зна-
знания приобретают чисто субъективный характер и теряют какую бы
то ни было значимость и определенность. Таков способ «обоснова»
ния» логическими позитивистами отрыва знаний от реальной
действительности.
В противоположность этим взглядам диалектический матег
риализм рассматривает развитие научного знания как отражение
свойств объективного мира, как органическое единство, постоянное
взаимодействие содержания и формы.
В соответствии со своими взглядами на соотношение матема»
гики и логики, на соотношение научного знания и объективного
мира логические позитивисты определяют предмет математики.
Математика, по их мнению, есть результат свободного творчества
мышления математиков. Например, интуиционист Брауэр заявляет!
существует столько математик, сколько существует самих матема-
математиков:»2.
Логисты считают, что математика является наукой об отно-
отношениях порядка, отношениях структур «логических атомов>.
Б. Рассел определяет математику таким образом: «Чистая матема-
математика состоит исключительно из утверждений следующего типа:
асли такое-то предложение верно по отношению к чему бы то ни
было, то какое-то другое предложение верно также по отношению
к этому чему-то. Ни вопрос о том, верно ли первое предложение,
ли вопрос о том, что_ такое то, по отношению к которому это пред-
предложение верно, не касаются чистой математики; оба вопроса при-
принадлежат к области математики прикладной. В чистой математике
лы исходим из известных правил вывода, благодаря которым мы
чожем вывести, что если одно предложение верно, то верно и не-
¦соторое другое. Эти правила вывода составляют начала формаль-
гой логики. Затем мы избираем гипотезу, которая кажется правдо-
правдоподобной, и выводим ее следствия. Если наша гипотеза относится
че к одной или нескольким частным вещам, но к чему бы то ни
мыло, то наши выводы составляют математику. Таким образом,
1 М. Корифорт. Наука против идеализма. 1948, стр. 227.
г Цит. по ст.: Г. И. Рузавии. Знание книги В. И. Ленина «Материализм и
«мпириокритицизм» для критики «математическою идеализма». «Вопросы фило-
философии», 1959, Nt 5.

математика может быть определена как доктрина, в которой мь
никогда не знаем, ни о чем мы говорим, ни то, верно ли то, что мы
говорим» *.
С точки зрения диалектического материализма, учитывая со-
современное состояние математики, ее определение можно сформу-
сформулировать таким образом: «Математика имеет своим' объектом
пространственные формы и количественные отношения деиствитель.
ного мира, а также такие отношения материальной действителы
чости, которые подобны либо тем, либо другим»3.
Взгляды современных идеалистов на предмет математики, иг?
ее содержание делают невозможным для них дать, хотя бы *
какой-либо степени, научное обоснование' математики. Оторвавши
математику от реального мира, они ищут обоснование математика
в боге, или же в области мистического. Так, например, Витгенштейн
пгишет: «Чувство мира как ограниченного целого (имея в виду
ограничение знания кругом моего собственного непосредственного
опыта, ограничение «мира» «моим миром») является мистическим
чувством. Тут конечно, есть то, что не поддается никакому выра-
выражению. Это ясно: здесь мистика»3.
Вейль заявляет: «Последний ответ на то, что такое матема-
математика, лежит все же по ту сторону знания — только в боге». Мате-
Математики-идеалисты пытаются найти основание математики в аб-
абстрактных, окончательных и неизменных системах аксиом. С точки
зрения диалектического материализма основание математики нахо
дится в конечном счете в объективной действительности. Так, ь
полном согласии с диалектическим материализмом известный
польский математик А. Мостовский пишет: «Единственно последо-
последовательной точкой зрения, согласной как со здравым смыслом, так
и с математической традицией, является допущение, что источни-
источником и окончательным «raison d'tre» понятия числа как натураль-
натурального, так и действительного является опыт и практическая приме-
применимость. Это же относится к понятиям теории множеств, если мы
их рассматриваем в достаточно узких пределах — таких, в каких
они нужны в классических разделах математики»4.
Математические «понятия и методы имеют свой окончательный
источник в опыте... попытки обосновать математику, не учитывая
ее происхождения из естествознания, обречены на неудачу»8.
Математики-идеалисты, оторвавши математику от объективной
действительности, лишают ее какого бы то ни было критерия
«станы. Понятие истины рассматривается вне связи с каким-либ©
объективным содержанием, как чисто логическое свойство. Если
1 Новые идеи в математике. № 1, 1913, стр. 83.
* Э. Кольман. К критике современного «математического» идеализма
В сб.- «Диалектический материализм и современное естествознание». 1957
стр. 207—208.
8 М. Корнфорт. Наука против идеализма. 1948, стр. 103.
4 Успехи математических наук. 1954, т. 9, вып. 3, стр. 13.
•Там же, стр. 36.
ГО

логические позитивисты говорят-об опыте <как критерии истины,
го имеют в виду лишь возможный опыт, воображаемый. Некото-
Некоторые же из современных идеалистов отвергают даже и воображае-
воображаемый опыт, считают, что обращение к какому бы то ни было опыту
является выходом философа за пределы логики, «бессмысленным
удвоением мира, «утонченной метафизикой» и т. д.
Диалектический материализм считает критерием истинности
положений математики (как и всякой другой науки) в конечном
счете опыт, практику. Например, критерием истинности положений
математической логики являются ее многочисленные приложения
я технике, в различных областях естествознания. Совершенно
очевидно, что отрыв познания от объективного мира приводит к
агностицизму, к установлению некоторых «пределов» развития че-
человеческого познания (Витгенштейн). Подобные измышления
лучше всего опровергаются практикой, развитием самой науки и
расширением ее приложений. Развитие математической логики,
кибернетики, их приложений самым убедительным образом пока-
показывает могущество человеческого разума, не имеющего предела в
познании мира.
Отрыв логического мышления' от опыта, от практики приводит
математиков-идеалистов к извращенному, одностороннему понима»
4ию вопроса о соотношении дедуктивного и индуктивного методов.
Дедуктивный метод объявляется единственно научным, совершен-
совершеннейшим из всех методов, которыми пользуются при построении
наук. Индуктивному методу отводится второстепенная роль. Несо-
Несостоятельность подобных взглядов очевидна. В этом нас убеждает
кстория развития наук, в которых наряду с дедуктивным методом
применяется и индуктивный. Эти методы исследования находятся в
гесной связи, взаимодействии друг с другом.
Логические атомисты рассматривают мир как совокупность
«атомарных фактов», изолированных друг от друга. Каждый ато-
атомарный факт обозначается посредством простого предложения.
В действительности не может быть каких-либо изолированных,
неизменных фактов и событий. В мире события возникают друг из
друга, взаимопроникают и влияют друг на друга. Развитие матема-
математической логики, кибернетики отвергает подобный метафизический
взгляд на мир и подтверждает положения диалектического мате-
материализма о всеобщей связи явлений, о материальном единстве
мира.
Логические позитивисты не являются оригинальными в своих
попытках оторвать человеческое познание от объективного мира,
замкнуть его в субъективном мире идей, переживаний. Беркли в
свое время весьма четко выразил такого рода взгляды на природу
человеческого познания. Он утверждал, что наука имеет дело толь,
ко с нашими ощущениями, которые связаны друг с другом в опре-
определенном порядке, в определенных сочетаниях, так что в них мож-
можно уловить некоторые неизменные законы и правила. Задача науки
п состоит будто бы в том, чтобы открывать эти правила, система-
71

газировать их. Следовательно, говорил Беркли, наука не имеет ни-
никакого отношения к действительному миру и поэтому ее выводы не
могут каким-либо образом противоречить религии. По сравнению с
этими положениями Беркли современные логисты и логически--
возитивисты не сделали вперед ни одного шага, они просто по
вторяют Беркли.
Таковы основные философские проблемы, касающиеся матема
тической логики, по которым материалисты и идеалисты выска-1
зьгвают противоположные взгляды. В критике идеализма в мате-|
матической логике, в доказательствах правильности материал)*•]
стических взглядов «а ее содержание необходимо исходить из по
ложений В. И. Ленина о кризисе в физике и о математическом|
идеализме, высказанных им в книге «Материализм и эмпириокри
тицизм». Ленин писал: «Крупный успех естествознания, нриближе
ние к таким однородным и "простым элементам материи, законы]
движения которых допускают математическую обработку, по
рождает забвение материи математиками»1.
Математики, о которых говорит Ленин, в математических по-|
нятйях не видят никакого материалистического содержания и I
считают их только символами, не имеющими никакого отношения к j
действительности. По мере своего развития математика становится j
все более и более абстрактной наукой, благодаря чему возрастает]
роль формальных методов исследования. Следствием этого являет-
является то. что математики, не знающие диалектики, преувеличивают
роль абстрактной стороны в развитии математики и преуменьшают)
или же просто отбрасывают конкретную сторону. Например,'
ошибочные взгляды логических позитивистов на сущность понятий
математической логики (и вообще математики) тесно связаны
с тем, что они отрывают абстрактное от конкретного. Следствием;
этого'и является то, что математики-идеалисты приходят к агности- [
цизму. Человеческое познание они рассматривают в отрыве от всех]
других сторон человеческой деятельности, в частности в отрыве]
от практики, т. е. рассматривают его абстрактно. Если же челове-i
ческое познание рассматривать конкретно, т. е. в связи с другими
сторонами человеческой деятельности, в связи с '.практикой, то,
тогда закономерным является вывод о возможности познания че-1
ловрком объективного мира.
Некоторые идеалисты рассматривают ощущения как барьер.*
отделяющий человека от объективного мира. Такой подход к ощу-j
шениям также является следствием того, что в познании абстракт-
абстрактное отрывается от конкретного, ощущения рассматриваются как;
данные," т. е. абстрактно, вне связи их с многосторонней деятель-
деятельностью человека, с жизнью. Научный подход требует рассматри-
рассматривать ощущения, чувственные восприятия конкретно, т. е. исходя пз:
практической деятельности человека, из данных науки, экспери-,
мента. Тогда будет ясно, что чувственное знание представляет собой!
1 В. И. Л е н н н. Соч., т. 14, стр. 294.
72

такую деятельность, при которой человек выявляет в вещах, его
окружающих, различные их стороны, свойства. Объединяя, обра-
обрабатывая данные действительности, отражаемые в чувствах, он фор-
мирует рредставления, понятия, сообразно с которыми действует
на окружающий мир. Таким образом, чувства следует понимать не
как барьер, отделяющий человека от окружающего мира, а как
мост, непосредственно связывающий человека с миром. Отрыв
абстракций от конкретного проявляется в том, что они рассматри-
рассматриваются вне практики, вне истории их возникновения. Например, иг-
игнорируется тот факт, что аксиомы математики могли возникнуть
как следствие миллиардного повторения опыта людей, т. е. что
они возникли в процессе взаимодействия человека с конкретными
сторонами, свойствами действительности. Следствием преувели-
преувеличения абстрактной стороны познания и явилось понимание абстрак-
абстракций в математике как самостоятельных сущностей, которые не
зависят от материального мира, относятся только к сфере чистого
мышления.
Основной ошибкой логических позитивистов М. Корнфорт счи-
считает то, что «эти философы мыслят познание в абстракции и пы-
пытаются представить содержание сознания как мир независимо су-
существующих объектов»1.
Характерными в этом отношении являются следующие слова
А.. Пуанкаре: «...чем больше математика удаляется от природы и
приложений, тем яснее видно для нас, что может сделать человече-
человеческий ум, когда он освобождается все более и более ет тирании
внешнего мира»2.
Диалектический материализм, в противоположность идеализму,
рассматривает научное мышление как диалектическое единство
абстрактного и конкретного. Истина конкретна, так как она яв-
является отражением объективной действительности, которая содер-
содержит в себе конкретное. Маркс писал: «Конкретное потому конкрет-
конкретно, что оно есть сочетание многочисленных определений, являясь
единством многообразного. В мышлении оно поэтому представляет-
представляется как процесс соединения, как результат, а не как исходный
пункт, хотя вно представляет собою исходный пункт в действитель-
действительности и, вследствие этого, также исходный пункт созерцания и
представления»3.
В. И. Ленин, подчеркивая органическую связь абстрактного и
конкретного, писал, что логика есть учение не о внешних формах
мышления, а о законах развития всех материальных и духовных ве-
вещей, т. е. развития всего конкретного содержания мира и познание
его, т. е. итог, сумма, вывод истории познания мира. «Прекрасная
формула: «Не только абстрактно всеобщее», но всеобщее такое,
которое воплощает в себе богатство особенного, индивидуального,
1 Наука против идеализма. 1948, стр. 133.
г Наука « метод. 1910, стр. 26.
'К. Маркс. К критике политической экономии. 1953, «-рр, 213.
73

отдельного (все богатство особого и отдельного!)!! Tres bien!1.
«Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отхо
дит — если оно правильное... от истины, а подходит к ней. Абстрак-
Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним
словом все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абст-
абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее*2.
Следовательно, правильные научные абстракции дают более
верное, глубокое, конкретное отражение действительности, чем
простые наглядные представления. Чем более общим является на
учное понятие, тем оно в известном смысле богаче по своему кон-
конкретному содержанию, тем больше содержит конкретного, являясь
обобщением огромного количества конкретного, фактического ма
териала, тем больше оно заключает в себе отдельного, особенного
индивидуального.
При рассмотрении содержания математической логики в свете
положений диалектического материализма о единстве абстрактного
и конкретного становится очевидной несостоятельность взглядов
идеалистов в этой области науки, а также становится очевидным,
что развитие математической логики подтверждает марксистско-ле-
марксистско-ленинскую теорию отражения. Ниже делается попытка подтвердить
это положение фактическим материалом математической логики
Роль практики в возникновении математической логики
Элементы математической логики появились в XIII веке в схола-
схоластических трактатах, которые в значительной степени имели своим
основанием логику Аристотеля. В последней имеются определенные
правила для преобразования предложений, связанных между собой
определенным образом.
Применение символических обозначений дает возможность опе-
оперировать с предложениями по правилам буквенного исчисления.
Лейбниц пытался применить в логике буквенное исчисление. При
этом он считал необходимым рассматривать процесс умозаключе-
умозаключения не зависимым от конкретного смысла предложений. Лейбниц
считал возможным создание некоторого искусственного универ-
универсального языка, который даст возможность решить любую задачу
науки. Применение этого языка должно позволить решать любые
спорные вопросы посредством вычисления на бумаге. Но эта попыт-
попытка Лейбница была забыта, так как во времена Лейбница наука не
нуждалась в подобном исчислении.
' Возникновение математической логики было связано с общим
процессом развития математического мышления. Оно подготавли-
подготавливалось развитием целого ряда математических дисциплин. Напри-
Например, разработка проблем дифференциального и интегрального ис-
исчисления, анализ его основных понятий стимулировали применение
1 В. И. Ленин. Соч., т. 38. Философские тетради, стр. 87.
2 Там же, стр. 161.
74

символического метода выражения мыслей, а также применение
формальных методов в математике.
В проективной геометрии плоскости, как отмечает Э. Кольман,
Понселе в 1822 г. применял «принцип двойственности», «согласно
которому всё понятия проективной геометрии разбиваются на два
класса взаимно соответствующих «двойственных понятий»1.
Затем было установлено, что этот принцип проявляется и в ал»
гебре Буля, в теории множеств, и в топологии. Развитие математи-
математической логики связано с развитием аксиоматического метода.
Открытие Лобачевским неэвклидовой геометрии способствовало
дальнейшему развитию аксиоматического метода, новому его пони-
пониманию, при котором аксиоматизированная система не должна рас-
рассматриваться как нечто абсолютное, обусловливающее незыбле-
незыблемость всех вытекающих из нее следствий. Согласно новому понима-
пониманию аксиоматического метода исходные положения аксиоматизиро-
аксиоматизированной системы должны рассматриваться как гипотеза, правиль-
правильность которой проверяется сопоставлением ее с действительностью.
В связи с возникновением неэвклидовой геометрии возник метод
доказательства непротиворечивости системы путем интерпретации.
Интерпретацией или моделью данной аксиоматизированной систе-
системы является всякая система объектов, существующая в действи-
действительном мире, которая удовлетворяет положениям этой системы.
Одна и та же система аксиом может иметь несколько различных
интерпретаций. В связи с развитием аксиоматического метода воз-
возник ряд задач общелогического характера, таких, как доказатель-
доказательство непротиворечивости системы аксиом, ее полноты, а также
проблема разрешимости, которая состоит в возможнссти доказа-
доказательства в рассматриваемой теории какого-либо ее положения.
Вопросы логики стали играть очень важную роль в развитии
математики. Строго оформилась поэтому математическая логика,
которая очень важна для обоснования математики и ее новых проб-
проблем. Ее роль еще более усилилась в связи с проникновением тео-
теоретико-множественных методов в математические дисциплины.
В математике возникли новые сложные и трудные проблемы, каса-
касающиеся применимости законов формальной логики к теории мате-
математических доказательств и парадоксов теории множеств.
Возникновение и развитие математической логики связано с раз-
развитием целого ряда важных разделов математики и может рассмат-
рассматриваться как результат внутренних потребностей развития матема-
математических теорий и логики. Известно, что в начальный период своего
существования математическая логика не имела связи с техникой,
с решением непосредственных практических задач. Эта связь появи-
появилась в более поздний период ее развития. Но отсюда не следует, что
математическая логика в начальный этап своего развития не име-
имела никакой связи с практикой, с решением многообразных задач
познания конкретной действительности.
1 Значение символической логики. В сб.: «Логические исследованиям "Изд-во
АН СССР, 1959, стр. 9.
75

Возникновение математической логики связано с практикой,
конкретной деятельностью человека косвенно, через другие MaTeMj
тические дисциплины, как,-например, математический анализ, про|
ективная геометрия, геометрия Лобачевского и геометрия Эвкли|
да. Проблемы же обоснования математики связывают математичв-!
скую логику с арифметикой. Но совершенно ясно, что арифметика^
геометрия Эвклида, математический анализ связаны с практикой
прямо и непосредственно.
Таким образом, возникновение математической логики нельзя
представлять как результат процесса, протекавшего в сфере чисто*
го мышления, в отрыве от материальной действительности. Связь
математической логики с практикой, с решением многообразных
задач стала особенно очевидной с возникновением кибернетики.
О связи математической логики с кибернетикой один из ее основа-
основателей Н. Винер пишет следующее: «Примерно в это же время на
сцену выступает фактор, который неоднократно появляется в исто>
рии кибернетики, влияние математической логики. Если бы мн<
пришлось выбирать в анналах истории наук святого покровителя
кибернетики, то я выбрал бы Лейбница» '.
Математическая логика является теоретической основой кибер-;
нетики. Н. Винер возникновение кибернетики рассматривает в тес-
тесной связи с необходимостью решения целого ряда конкретных
практических задач современной техники. Он отмечает, что харак-
характерной чертой современной техники является «быстрое развитие и
широкое внедрение различных... устройств управления и связи»2.
Это относится к вычислительным машинам, средствам радио*
связи, к автоматическим и телемеханическим устройствам, которые
представляют собой средства обработки информации, так как они
регистрируют, запасают различные данные, их передают и преобра-
преобразуют.
Потребность в разнообразном и гибком сочетании современных
средств связи вызвала необходимость рассмотрения процессов об-
обработки информации в их единстве и общности. Совершенствование
средств управления и связи Н. Винер связывает с задачами роста!
производительных сил страны, укрепления обороноспособности!
Он пишет: «Заводы-автоматы, большие быстродействующие вычис<|
лительные машины, разнообразные управляющие и информацион-|
ные машины, беспилотные космические ракеты... вот будущее, в ко<|
торое мы уже вступили... Все это ставит перед техническими (и не
только перед техническими) науками весьма серьезные и весьма
отложные задачи»3.
Н. Винер называет ряд конкретных практических задач, pemeJ
ние которых привело его к обоснованию кибернетики. К таким за-
задачам относятся: разработка «вычислительных машин (для реше-|
1 Кибернетика. 1958, стр. 24-
1 Т а м же, стр. 5.
'Там же, стр. 6.

лая дифференциальных уравнений в частных производных)»1, усо-
усовершенствование зенитной артиллерии, связанное с возможностью
аредсказания полета по кривой, проектирование волновых филь*
гров.
Таким образом,возникновение кибернетики обусловлено необ-
кодимостью решения целого ряда сложных практических задач тех-
техники. Кибернетика, имея теоретической основой математическую
логику, в значительной степени способствует ее развитию. Сле-
Следовательно, развитие математической логики через кибернетику
гесно связано с практикой.
О соотношении математической логики
и традиционной формальной
Математическая логика в своем возникновении тесно связана
с традиционной формальной логикой. Э. Кольман об этом пишет
следующее: «Современная логика как метод научного исследова-
исследования исторически развивалась на базе традиционной формальной
логики путем внедрения в нее символического метода>2.
Возникновение и развитие традиционной логики связано с
практической деятельностью людей, с задачами научного познания
мира. Возникновение традиционной логики относится к V веку до
н. э. На самом первом этапе своего развития логика рассматри-
рассматривалась как практическое руководство для ведения диспутов и
споров. Логика способствовала совершенствованию самого мышле-
мышления, его приемов. Создателем ее как HavKH считают Аристотеля,
хоторый не рассматривал логику как только искусство спора, а
считал ее, кроме того, необходимым орудием научного знания. В
середине века логика Аристотеля использовалась широко, но бого-
богословы придали ей схоластический характер, и она тогда оказалась
з значительной степени оторванной от научного познания, от
жизни.
С возникновением капиталистических производственных от-
Еюшений логика вновь стала развиваться в связи с задачами
научного исследования, в связи с практикой. Большое значение
для развития логики имели труды Декарта, Лейбница, Канта. Но
благодаря влиянию идеалистическрй философии логика приобрела
крайне формалистический характер, ее стали рассматривать как
безразличную к содержанию мыслей, к их истинности, как науку
о формах мышления, не связанных каким-либо образом с законо-
закономерностями развития объективного мира, со свойствами предметов,
явлений. Логические понятия рассматривались как условные сим-
символы, лишенные какого бы то ни было содержания, логика же
стала сводиться к операциям с такими символами. Формальная
логика изучает формы мысли, но это не означает, что ее положения
1 Кибернетика. 1958, стр. 14.
* О значении символической логики. В сб. «Логические 'исследования». 1959,
стр. 12.
77

совершенно безразличны к содержанию мыслей. Формальная логи
ка изучает формы мышления. Но эти формы обладают содержани]
ем, отражающим различные стороны действительности. При иссле]
довании форм мышления целесообразно отвлекаться от их конкрет]
ного содержания. Но это не означает, что они лишены содержания
Даже если за суждением остается только свойство быть истинным
или ложным, то уже это означает наличие известного Содержания]
отражающего определенное свойство действительности.
Основные законы формальной логики отражают весьма существ
венные свойства, стороны действительности, и человек к их форму-
формулированию пришел через опыт, практику. В. И. Ленин писал об
этом следующее: «. . . практика человека, миллиарды раз повторя-
повторяясь, закрепляется в сознании человека фигурами логики. Фигуры
эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер
именно (и только) в силу этого миллиардного повторения» '.
В практической деятельности человек имеет дело с определен]
ными предметами, может выделять их из среды других предметов,]
рассматривать их отдельно, рассуждать о них. На практике человек)
убеждался и в том, что несмотря на то, что явления окружающего
нас мира изменяются, вследствие чего изменяются и мысли о них,
они все же сохраняют в процессе изменения некоторое относитель-
относительное постоянство. Был сформулирован закон тождества, который
является отражением определенности, устойчивости предметов,
явлений реального мира.
В процессе практической деятельности человек убеждался и в
том, что один и тот же предмет в одно и то же время и в одном и
гом же отношении не может иметь двух противоречивых признаков.
Например, если данный предмет есть растение, то он не может быть
животным; если данный предмет является хвойным растением, то
он не может быть растением лиственным и т. д. Поэтому он понял,
что приписывание одному и тому же предмету в одно и то же вре-
время и в одном и том же отношении противоречивых признаков дела-
делает рассуждения бессмысленными, неотражающими свойств действи-
действительности. Это свое понимание человек выразил в логическом зако-
законе противоречия. Связаны с практикой, с опытом и другие основ-
основные законы логики.
Математическая логика также связана с практикой, с опытом,
поскольку она развилась на базе традиционной формальной логики.
Математическая логика представляет собой значительное расши-
расширение традиционной формальной логики. Свойственное математиче-
математической логике присоединение к традиционной логике двух союзов
«и» и «или» делает ее более эффективной, чем формальная логика.
Знаки «и», «или» подчиняются тем же законам, что и знаки умно-
умножения и сложения, т. е. законам переместительному, сочетатель-
сочетательному и распределительному. Поэтому «и» — логическое умножение,
а «или» — логическое сложение. Открывается возможность приме-
1 В. И. Ленин. Соч., т. 38. Философские тетради, стр. 209.
78

иения арифметики к логике, т. е. арифметизация символической ло-
логики. «Арифметика предложений подчиняется законам обычной
арифметики и, кроме того, двум выражаемым равенствам: р + р =
=0, рр = р» '.
В традиционной формальной логике все предложения были
субъективно-предикативными, она имела дело с выводами, имею-
имеющими форму силлогизма, в ней главной функцией предложений
являлась классификация предметов. Эти особенности традицион-
традиционной логики связаны были с тем. что научные знания того времени
находились в стадий классификации. Математическая логика ох-
охватывает не только классификацию предметов, но и дает возмож-
возможность рассматривать вопросы с более общей точки зрения. Вслед-
Вследствие этого в традиционной логике используется только класси-
классификационный способ образования понятий, в то время как в
математической логике используется еще и теория отношений.
«Именно последнее является ключом к анализу образования
понятий в абстрактных науках, в которых мы имеем дело не с
классификационным, а реляционным путем образования понятий» 2.
Математическая логика, являясь более общей, более абстракт-
абстрактной, чем традиционная формальная логика, в то же время яв-
является и более конкретной, так как она имеет более широкое при-
применение, дает возможность решать множество конкретных практи-
qecKHx задач, не разрешимых средствами традиционной формальной
логики. Аппарат исчисления в математической логике гораздо
более совершенный, чем аппарат традиционной логики. Поэтому
он может применяться к решению таких сложных задач, которые
недоступны классической логике.
В то же время математическая логика рассматривает формы
вывода с такой общей точки зрения, что формы вывода традицион-
традиционной логики оказываются лишь их частным случаем". Математиче-
Математическая логика способствует более глубокому пониманию логики
традиционной. Традиционная логика «снята современной лргикой.
т. е. упразднена и в то же время сохранена и поднята нЪ более
высокую ступень» 3.
Математическая логика в своих понятиях, законах, формулах
отражает некоторые общие, основные свойства материального
мира.
Она исследует наиболее общие структуры правильного мышле-
мышления, наиболее общие законы истины и наиболее общие связи мыш-
мышления, в которых истина проявляется. Исследование этих общих
законов истины происходит при условии отвлечения от конкрет-
конкретности предметов. Это исследование имеет своим основанием общие
отношения объективной реальности. Так, общие суждения утверж-
1 И. И. Ж е г а л к и н. Арифметизация символической логики. Математиче-
Математический сборник. Т. 35. Вып. 3—4, 1928, стр. 335.
2 С. К. Шаумян. Логические исследования. Сб. статей. Изд-во АН СССР,
1959, стр. 159.
'Г, Клаус. Введение в формальную логику. 1960, стр. 169.
79

дают, что любой предмет, относящийся к некоторому виду, обла-
обладает определенными свойствами или же находится в определенных
отношениях с другими предметами.
Одним из наиболее важных разделов математической логики
является исчисление высказываний. Нетрудно видеть, что понятия
этого исчисления связаны с определенными сторонами, свойства-
свойствами действительности, что в этих понятиях проявляется единстве
абстрактного и конкретного. Иногда в системах математической
логики оперируют понятием функции-высказывания, под которым
понимают выражение, содержащее переменные. Например, выра<
жение «х» есть целое число» представляет собой функцию-вы-
функцию-высказывание. Эта функция-высказывание отражает определенное
содержание нашего познания: наличие в нем целого класса поня-
понятий, каждое из которых является целым числом. Выражение «х>
есть человек» отражает определенное свойство объективного мира,
т. е. наличие в нем класса объектов, которые обладают рядом оп-
определенных существенных признаков и являются людьми. Если!
в функцию-высказывание внести определенность, конкретизиро-f
вать ее, т. е. вместо переменного подставить совершенно опре
деленное понятие, обозначающее определенный объект, то тогда
она превратится в высказывание, которое может быть или истину
ным или ложным. Какое-либо определенное высказывание являет
ся отражением в нашем сознании какого-либо свойства действий
тельности, например наличия б мире объекта, который относите
к определенному классу или не относится, обладает каким-либв
свойством или не обладает и т. п. Если бы в действительном мире
не было бы никаких объектов, следовательно, не было бы никакиз
свойств, отношений, связанных с ними, то тогда в сознании че|
ловека не было бы 1аких понятий, как функции-высказывания
и высказывания. Функции-высказывания, составленные целикои
из математических знаков, А. Тарский называет формулами. При|
менение математических знаков ничего не меняет в содержании по!
нятия функции-высказывания. Поэтому эти формулы также следу|
ет рассматривать как отражение определенных свойств реальног
мира.
И. И. Жегалкин в своей работе «Арифметизация символиче
кой логики» в первую очередь рассматривает понятие предложе
ния. Предложения он разделяет на три вида: реальное предложе
ние, произвольное предложение и переменное предложение. «Р«
альное предложение,— пишет И. И. Жегалкин,— есть предложе
ние в строгом смысле слова. Это есть нечто, что может быт
истинным или ложным»
Далее, И. И. Жегалкин подчеркивает, что «истинным или ло>
ным может быть только реальное предложение» 2.
Совершенно очевидно, что под реальным предложением имее
ся в виду предложение, имеющее смысл, которое может соотве
1 Математический сборник. Т. 35. Вып. 3—4. 1928, стр. 312.
1 Математический сборник. Т. 36. Вып. 3—4. 1929, стр. 224,
80

ствовать некоторым свойствам действительности (истинное) или
же не соответствовать им (ложное). На основе понятия реального
предложения И И. Жегалкин определяет произвольное предложе-
предложение и переменное. Он пишет: «Произвольным предложением мы
называем всякий символ, относительно которого мы предпола-
предполагаем, что он обозначает некоторое реальное предложение, безраз-
безразлично какое. Переменное предложение есть символ, который
может обозначать, в различные моменты рассуждения, различные
реальные предложения» '.
Следовательно, исчисление предложений И. И. Жегалкин рас-
рассматривает с четких материалистических позиций; предложения
в его исчислении являются отражением свойств материальной
действительности. То же самое относится и к символам, если они
являются обозначением1 предложений. И. И. Жегалкин совершенно
далек от мысли считать предложения символической логики и при-
применяемые в ней символы лишенными всякого содержания, как
простые последовательности знаков, ничего не обозначающие.
кроме самих себя.
Известно, что в математической логике «истинность или лож-
ложность сложного высказывания зависит только от истинности или
ложности составляющих высказываний, а не от их содержания...
Таким образом, мы имеем право рассматривать основные связи
как функции истинности...»2.
Исходя из этих положений, Д. Гильберт и В. Аккерман считают
возможным рассматривать в логике такие сложные предложения:
если «дважды два равно четырем, то снег бел», если «дважды два
равно пяти», то «снег черен». Эти предложения следует считать ис-
истинными, заявляют Д. Гильберт и В. Аккерман. А такое предложе-
предложение: если «дважды два равно четырем», то «снег черен» следует
считать ложным. Основанием для этого они считают формулу им-
импликации. \
В связи с подобным подходом к сложным высказываниям
математической логики возник целый ряд недоразумений, споров
относительно ее содержания. Формалисты (например, Д. Гиль-
Гильберт), основываясь на приведенных положениях, считают, что
формулы математической логики лишены всякого содержания,
не связаны с действительным миром и относятся только к сфере
чистого мышления, представляют собой чистую-форму.
Некоторые же считают недопустимым рассматривать в логике
сложные высказывания, приведенные выше, и не замечают, что
следствием этого может быть отрицание самой математической
лигики как научной дисциплины3. На самом деле, кто из ученых,
разрабатывающих. проблемы математической логики, рассматри-
1 Математический сборник. Т. 35. Вып. 3—4, 1928, стр. 312,
2 Д. Гильберт и В. Аккерман. Основы теоретической логики. 1947.
"р. 21.
3 С этим выводом нельзя согласиться. — Ред. (Я. X.)
^ Заказ 1036 81

вал сложные высказывания, не отвлекаясь от конкретного содер
жания составляющих высказываний? Таких ученых не обнаруж»
вается. Жегалкин, Бочвар, Порецкий и другие считали необходи
мым такого рода отвлечение. Подобный странный подход к слож:
ным высказываниям иногда склонны объяснять влиянием идеалиЗ'
ма, на позициях которого стоят Д. Гильберт, В. Аккерман и др. Не
ведь бессмысленно говорить об идеалистических взглядах, напри
мер, И. И. Жегалкина. Очевидно, влиянием идеализма. нельз5
объяснить такой подход к сложным высказываниям в математиче
ской логике. Отвлечение от конкретного содержания составляющиз
высказываний необходимая черта логики (и не только математи-
математической, но и традиционной, формальной). Без этого анализ форы
мышления был бы невозможен и никакой логики как науки вообщ<
бы не было.
Но признание возможности отвлечения от конкретного смысла
простых высказываний, входящих в состав сложного высказыва^
яия, не означает отрицания всякого смысла, всякого содержания
сложных высказываний, формул математической логики. Простыв
высказывания при этом обладают весьма содержательным призна-
признаком: они могут быть истинными или же ложными. Отвлечение от
конкретного содержания составляющих высказываний дает воз»
можность глубоко изучать отношения истинности и ложносп
высказываний.
Признаки истинности и ложности высказываний необходимым
образом связывают математическую логику с объективным миром
Если в каком-либо высказывании утверждается, что какой-то
предмет включен в некоторый класс предметов и это включение
действительно существует в реальном мире, то такое высказыва
ние является истинным, если же этого включения нет, то тогда онс
является ложным. То же самое можно сказать о высказываниях
касающихся наличия у каких-либо объектов некоторых свойств
наличия определенных отношений, связей между ними.
Существование в математической логике истинных и ложньн
высказываний является отражением в сознании существованш
каких-то объектов в материальном мире, каких-то свойств их
общих и отличительных признаков, отношений между объектами
Если бы в материальном мире не было никаких объектов, следо
вательно. никаких их свойств и отношений, то не могли бы суще
ствовать истинные и ложные высказывания. Отвлекаясь
математической логике от конкретного смысла составляющи
высказываний, исследуют общее, характер связи между ними
Логические построения выражают общее в связях между высказы
ваниями, и в этом смысле они имеют определенное содержание.
Поскольку мы признаем математическую логику наукой, в
абстракции научными, аостольку мы не можем отрицать всяко
содержание в ее абстракциях. При формировании научных 0
стракций наше мышление не может отвлечься от всех свойег
«2

объектов абсолютно1. Абстракция, при формировании которой на-
наше мышление отвлекалось бы от всех свойств объектов, которое
не отражало бы ничего, ни одного их свойства, отношения, просто
неосуществима. Предположение осуществимости такого процесса
приводит к противоречию.
Допустим, мы считаем, что подобная абстракция (т. е. не
имеющая совершенно никакого содержания, не являющаяся ни
истинной, ни ложной) возникла в нашем сознании. Это значит,
что мы признаем существование субъекта, в сознании которого эта
абстракция появилась. Значит, она выражает существование неко-
некоторого субъекта, а также существование какой-то абстракции в
его сознании. Следовательно, такая абстракция не является аб-
абсолютно бессодержательной, и мы пришли к противоречию.
Абстракции любой степени общности отражают какие-то свой-
свойства действительности, связь с которой может быть весьма
сложного характера. Она может быть косвенной, осуществляться
через ряд каких-Либо других абстракций (меньшей степени общ-
общности). Такие предельно широкие абстракции, как понятие мате-
материи, движения, пространства, времени, отражают определенные
свойства действительности, связаны с ее конкретным многообра-
многообразием. Понятия истинного и ложного обладают исключительно
высокой степенью общности, так как в любой области материаль-
материального мира существуют объекты с их свойствами и отношениями, а
с их существованием и связано образование этих понятий. Эта
высокая степень общности и обусловливает широту применения
этих понятий математической логики в целом, даёт возможность
с чрезвычайной глубиной и многосторонностью изучать многочис-
многочисленные объекты действительности. Следовательно, наряду с высо-
высокой степенью общности эти понятия имеют и богатое конкрет-
конкретное содержание. В этом находит подтверждение положение
В. И. Ленина о научной абстракции, которая включает в себя все
богатство конкретного, отдельного.
Формы связи высказываний, изучаемых в математической ло-
логике, могут быть настолько общими, что некоторые из них истин-
истинны всегда, независимо от того, являются лисрставлятощие" их вы-
высказывания истинными или ложными. К ним относятся следующие
выражения: X—*"Х » XVX J XjX' причем первое выражение
соответствует закону тождества, второе — закону исключенного
третьего, третье — закону противоречия. Эти выражения представ-
представляют собой «эстолько далеко идущие отвлечения ют конкретного
содержания. составляющих предложений, что истинность их не
зависит даже от того, истинны или ложны составляющие их вы-
высказывания.
Значит ли это, что всегда истинные высказывания не имеют"
никакого содержания, не связаны с материальной действительно-
1 Это совершенно правильно. Но не так это понимают Гильберт, Аккерман,
Тарский и др. — Ред. (Я. X.)

\
стью? Конечно, не значит. Основные законы логики отражаю
определенные свойства, отношения в объективном мире, о че
говорилось ранее. Формулы всегда истинных высказываний обла
дают не только высокой .степенью общности, но и конкретным со«
держанием. Они применимы к каждому отдельному высказыва
нию, как к истинному, так и к ложному.
Математическая логика имеет в качестве своих основных по>
нятий: «если... то», «и», «или», «не». Эти понятия имеют
определенное содержание, обладают большой степенью общности,
имеют широкое применение. Они отражают определенные связи!
отношения, существующие в объективном мире. Каждый предмет,]
явление имеет свою положительную сторону. В соответствии q
этим мы применяем высказывания, связанные друг с другом
таким образом, что одно из них является отрицанием другого
Такие высказывания называются противоречащими друг другу.
Отрицание какого-либо высказывания образуемся при помощи
Понятия отрицания («не»). Отрицание «не» отражает тот факт,
что высказывания, утверждающие наличие какого-либо свойства
или отношения предмета, не соответствуют действительности, в ко*
торой данного свойства или отношения может и не быть.
Соединение двух или более высказываний при помощи союза
«и» образует логическое произведение, называемое конъюнкцией,
которая истинна тогда, и только тогда, когда истинны оба состав-
составляющие ее предложения. Логическое произведение может читать
ся «р и <7* Связь логического произведения с действительностью
совершенно очевидна, она может рассматриваться как отражени
в сознании хотя бы того, что предметы могут иметь два или ж
несколько свойств одновременно, одному из свойств предмет
обязательно сопутствует другое свойство. А. Тарский приводи
следующий пример логического произведения: «2 есть целое по
ложительное число и 2<3», из которого смысл связи предложены
совершенно ясен. Соединение высказываний при помощи союз
«или» образует логическую сумму (дизъюнкцию), которая истинн
тогда, и только тогда, когда одно из данных предложений истинн
другое ложно. Понятие логической суммы отражает определенну
связь между предложениями, а следовательно, определенную сп
рону действительности, например, наличие .таких свойств объек;
тов, которые не могут принадлежать одному и тому же предмет
в одно и то же время (это относится к разделительному «или»)
Об объективном смысле дизъюнкции можно сказать и следу
шее: если имеются две какие-либо возможности, то касающаяс
их дизъюнкция истинна, если может осуществиться хотя бы одн
из них. Она тем более истинна, если осуществляются обе во:
можности (это относится к неразделительному «или»). Следов
тельно, истинность дизъюнкции отражает свойство действительн
сти, заключающееся в том, что в ней могут осуществиться во:
можности — одна или несколько.
Отсюда ясно, что ложность дизъюнкции является отражение!
такого свойства действительности, что в ней может не быть ос
М

ществлена ни одна из возможностей. Соединение высказываний
при помощи союза «если... то» образ/ет импликацию, которая
ложна только в том случае, если предыдущий член ее истинен,
а последующий — ложен, в остальных же трех случаях имплика-
импликация истинна. Импликация отражает существенные свойства сле-
следования (хотя и не совпадает с ним). Однако И. И. Жегалкин
выражение р -* q понимает как отношение следования. Он пред-
предлагает читать это выражение так: «из р следует q» или «р влечет
цъ. Иногда основное свойство импликации формулируют таким
образом: из лжи следует все, что угодно, т. е. как истина, так и
ложь; истина следует из всего, что угодно, т. е. как из лжи, так
и из истины. Из этого положения можно сделать выводы, что упо-
употребление фразы «если... то» в математической логике и в обыч-
обычной речи различно. Следствием этого явились острые споры отно-
относительно употребления импликации, некоторые утверждали, что
общепринятое употребление импликации приводит математическую
логику к бессмыслице. И. И. Жегалкин причиной этих споров счи-
считает то, что «нормальное мышление склонно считать утвержде-
утверждение: из «р следует qy> истинным только тогда, когда из истинности
«р» неизбежно заключение об истинности «q». Оно при этом со-
совершенно не интересуется тем случаем, когда «р» ложно» •.
Следовательно, для более точного выяснения смысла импли-
импликации необходимо стать на более общую точку зрения, рассматри-
рассматривать и такие случаи, когда «р» является ложным.
Логическая импликация отражает наличие в объективном мире
отношений весьма общего типа, где играет роль только истинность
или ложность исходных суждений, но не их конкретное содержа-
содержание. Ложность импликации имеет место только в том случае, ког-
когда ложен консеквент (<7). Связь логической импликации с объек*
тивной действительностью может быть подтверждена простыми
примерами.
Допустим, имеется такое суждение:
«Если у меня будет достаточно времени, то я обещаю вам
закончить эту работу». .
В данном примере возможны следующие ситуации:
1. Время свободное было (р — истинно), работа закончена
(<7— истинно). Импликация истинна.
2. Времени свободного не было (р—ложно), работа не была
закончена (<7 — ложно). Импликация истинна. Приведенное выше
предложение соответствует тому, что произошло в действительно-
действительности.
3. Время свободное было (р — истинно), работа не закончена
(q— ложно). Импликация ложна. Приведенное выше предложение
расходится с тем, что произошло в действительности.
4. Времени свободного не было (р — ложно), работа закончена
(<7 — истинно). Импликация истинна.
1 Математический сборник. Т. 3. Вып. 3—4. 1928, стр. 327.
И

Данный пример показывает, что утверждение: из лжи следуе
все что угодно — может соответствовать связям в объективной ?
ствительности. На самом деле, если человек не имел свободного врс
мени, то он мог работу не закончить (ложь), но мог и закончит|
ее, за счет отдыха, сна или других временных ресурсов (истина).
Вызывает недоумение и такое положение, когда при ложном «f.
и ложном <«7» импликация остается истинной. Данный же пример
показывает, что это вполне понятно. Если времени не было и вслед!
ствие этого работа не была закончена, то никто не будет обвинят™
высказывавшего суждение во лжи. При ложном «р» может бытС
истинным <«7» и истинной импликация. Это может быть непонят
ным только на первый взгляд. В данном же примере это соотно!
шение является совершенно ясным. Если говорящий выполнил ра|
боту даже и в том случае, если у него не было свободного време
ни, то никто его не обвинит в • ложном высказывании. Наоборот
ему могут быть тем более благодарны, что он ее выполнил даже
при недостатке времени. В исчислении высказываний импликации
применяется без учета связи, по смыслу между составляющим*
высказываниями. Таким образом, логическая импликация является
отражением некоторых общих связей объективной действитель'
ности.
Следовательно, понятия «не», «и», «или», «если .. то» являютс^
отражением в сознании .определенных отношений, связей действи
тельности, т. е. они связаны с ее конкретным многообразием;]
И. И. Жегалкин считает, что «при строго формальном построена
теории предложений за основные неопределимые предложения
можно принять логическое произведение и предложение эквива-^
лентности. Тогда сумма определится через эквивалентность»1.
Построение теории предложений предполагает наличие некото-
некоторых исходных, первичных понятий, которые логически через другие
понятия не определяются. Откуда же берутся эти понятия? Их воз-
возникновение нельзя объяснить, не обращаясь к конкретному, т. е. к
многообразной материальной действительности. Они возникли в
процессе, практики в результате многочисленного повторения опы^
та, взаимодействия человека с реальным миром, в процессе выде*
ления из конкретного многообразия определенных существенных,
основных свойств, отношений объектов.
Интересно отметить, что, вообще, многие наиболее общие поня-
понятия науки не определимы строго логически через другие понятия:
Исходным для их возникновения является непосредственная связь
человека с действительностью, с ее конкретным многообразием.
Конкретное является и исходным для формирования подобных
абстракций, и областью приложения их.
Следовательно, основные понятия логики не принадлежат к сфе-
сфере чистого мышления. Они связаны с действительным миром. В про-
процессе их формирования и применения в практике проявляется един-
единство абстрактного и конкретного.
1 Математический сборник. Т. 3. Вып. 3—4, 1928, стр. 322.

Современные системы математической логики строятся обычно
яо аксиоматическому методу. Фальсифицируя сущность этого мето-
метода, математики-идеалисты используют его для доказательства своих
взглядов на содержание математической логики. А. Тарский изла-
излагает основные принципы построения дедуктивных теорий следую-
следующим образом. Прежде всего он выдвигает идею компромисса, будто
бы необходимую для построения аксиоматических теорий. Идеаль-
Идеальным построением какой-либо научной теории, по мнению А. Тарско-
го, является такое, при котором объясняется смысл каждого выра-
выражения этой теории и обосновывается каждое из ее утверждений. Но
этот идеал неосуществим, так как, объясняя смысл одного понятия,
утверждения, мы обращаемся к другим понятиям, т. е. попадаем
в порочный круг. Чтобы выйти из этого круга, мы и принимаем
путь «компромисса между этим недостижимым идеалом и осуще-
осуществимыми возможностями» '.
Для построения научных теорий мы принимаем первичные тер-
термины и употребляем их без объяснения смысла, так как они понят-
понятны сами по себе. Некоторые утверждения, «которые кажутся нам
очевидными, избраны в качестве так называемых первичных утвер-
утверждений или аксиом... мы их принимаем за истинные, не устанавли-
устанавливая каким-либо образом их достоверности» 2. Далее, на базе аксиом,
применяя определенные правила вывода, мы доказываем теоремы
данной теории, строим эту теорию в целом.
Построение научных теорий, которое предлагает А. Тарский, не
является обоснованным, убедительным. Прежде всего обращается
внимание на то, что исходные понятия, утверждения теории не име-
имеют никакого обоснования, они понятны сами по себе, принимаются
за истинные без доказательства их достоверности. Теория, построен-
построенная на таких исходных данных, конечно, не производит впечатления
обоснованной. Причина этого заключается в том, что построение та-
такого рода оторвано от действительности, абстракции рассматри-
рассматриваются в отрыве от конкретного. Конечно, все понятия науки логи-
логически определить через другие понятия невозможно. Такая попытка
приводит к порочному кругу. Но выход из этого круга невозможен
при помощи какого-либо компромисса. Этот выход необходимо тре-
требует обращения к материальной действительности, к конкретному
многообразию явлений. Исходные понятия формируются на базе
практики, опыта, его повторения как результат выделения общего,
существенного из множества частностей, второстепенных сторон,
свойств. Этими же причинами, опытом, практикой, определяется
«понятность сама по себе» первичных терминов и возможность при-
принятия некоторых утверждений за истинные без доказательств.
Ф. Бэяен считал необходимым обращаться к природе, к практи-
практике при формировании аксиом. Он писал: «Никоим образом не может
быть, чтобы аксиомы, установленные рассуждением, были пригодны
1 А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных иаук. 1948,
стр. 164.
'Там же.
87

для открытия новых дел, ибо тонкость Природы во много раз пре^
восходит тонкость рассуждений. Но аксиомы, отвлеченные должным
образом из частностей, в свою очередь легко указывают и опреде*
ляют новые частности и таким путем делают науки действенными» v,
Дидро также считал необходимой связь понятий с природой. О»
писал: «Понятия, не имеющие никакой опоры в природе, можно
сравнить с теми лесами севера, где деревья — без корней." Достаточ-
Достаточно легкого порыва ветра, чтобы перевернуть целый такой лес, — до»
статочно незначительного факта, чтобы перевернуть целый лее
представлений» 2.
Конечно, проверка теории может производиться после того, как
ена уже построена. Но все же в выборе основных исходных понятий,
в конструировании теорий не может быть произвопя, так как это
привело бы к тому, что построенные таким путем многочисленные!
теории не выдерживали бы проверку и отбрасывались бы, а возмож-|
ность получения правильной теории была бы делом случая и пред-
представляла бы собой исключительно редкое явление. По такому пути i
наука не могла бы развиваться. В современной математике есть
такие теории, которые имеют исходными понятия, не вытекающие
непосредственно из опыта, практики. Но в этих случаях связь с дей-
действительным миром, с практикой осуществляется косвенно, через
другие понятия, математические теории, зачастую эта связь имеет
весьма сложный характер.
Признание какой-либо аксиоматизированной системы истинной
требует доказательства ее непротиворечивости посредством интер-
интерпретации этой системы. Дать интерпретацию системы — значит по-
показать хотя бы одну область объектов, отношения между которым»
соответствуют заданной системе аксиом. Если эта область объек*
тов найдена, существует в действительном мире, то данная аксио-
аксиоматизированная система признается истинной.
Более общее понимание непротиворечивости означает возмож-
возможность выполнения, построения какой-либо области объектов. Если
же обнаруживается невозможность найти какую-либо систему объ-
объектов, которая бы удовлетворяла положениям данной аксиоматизи-
аксиоматизированной системы, то эта система считается противоречивой, т. е.
ложной. Непротиворечивость данной аксиоматизированной системы
считается доказанной, если установлено, что ее положения соответ-
соответствуют положениям другой системы, непротиворечивость которой
доказана.
Но для возможности этого непротиворечивость, по крайней ме-
мере, одной системы должна быть доказана средствами, находящи-
находящимися вне математики. Обычно непротиворечивость систем в мате»
матике доказывается путем сопоставления их с арифметикой на-
натуральных чисел, непротиворечивость которой доказана многооб*
разной практической деятельностью в течение всей истории чело-
человечества. ;
88
1 Ф. Бэкон. Новый органон. 1935, стр. 112.
я Дидро. Соч., т. L «Академия». 1935, стр. 304—305.

Аксиоматизированная система может иметь несколько интерпре»
таций. т. е. ее положениям могут соответствовать отношения не-
нескольких областей объектов. Это значит, что данная система выра-
выражает то общее, что существует в отношениях объектов различных
областей, т. е. одинаковость формы связей некоторых областей
объектов. Чтобы выявить это общее, оказалось необходимым рас-
рассматривать переменными не только объекты, но и отношения между
ними, благодаря чему математика поднимается на более высокую
ступень абстрагирования. Так, например, в системе аксиом Пеано
знаки >, =, <,— и т. д. имеют различный смысл, в зависимости
от того, обозначают ли знаки 1, 2,... количественные или поряд-
порядковые натуральные числа. В первом случае запись 7<12 читается:
семь меньше двенадцати, во втором: семь, предшествует двенад-
двенадцати1.
Рассматривая законы переместительный и сочетательный, мы
можем отвлечься от смысла операиий (сложения или умножения),
исследуя некоторые общие свойства отношений объектов. При изу-
изучении нескольких интерпретаций теории рассматривается только
структура отношений, формы связей, в которых находятся объекты
любой интерпретации. Поскольку данная математическая теория
отражает общность структуры различных областей объектов, то это
делает возможным ее широкое применение для исследований объ-
объектов различной природы.
Способ доказательства истинности (непротиворечивости) аксио-
аксиоматизированных теорий с убедительностью показывает несостоятель-
несостоятельность идеалистических взглядов на природу математики. Это дока-
доказательство не может быть найдено в сфере чистого мышления, оно
может быть найдено только путем обращения к конкретному мно-
многообразию действительности, к определенной области объектов.
Аксиоматический метод означает не только повышение степени об-
общности математических теорий, он также дает возможность более
глубоко, всесторонне познавать различные объекты материальной
действительности. Применение этого метода делает наше знание и
более конкретным.
Анализ содержания понятий математической логики убедитель-
убедительно подтверждает справедливость материалистического подхода к
математике, так как при этом всегда обнаруживается так или иначе
связь этих понятий с объективным миром. Это относится также и к
исчислению предикатов. Понятия исчисления предикатов также
представляют собой отражение определенных свойств, отношений
действительности. Исчисление предикатов по сравнению с исчисле-
исчислением высказываний представляет собой следующий шаг в развитии
математической логики к более широким обобщениям и к большей
конкретизации зияния.
Так, в исчисления предикатов вводятся выражения нового вида,
которые являются обобщением пропозициональных букв исчисле-
1 В. Н. Молодший, Очерки по вопросам обоснования математики. 1958,
стр. 96,

иия высказываний. Эти выражения называются предикатными бук-?
вами с приданными переменными и имеют вид: Л, А (а), Л (л, Ь), р.
Р(а),р(а,6)>.
Буквы, стоящие в скобках, являются приданными переменными^
предикатных букв, число этих переменных может быть равно «л».|
При «л», равном нулю, предикатная буква является пропозицио-
пропозициональной буквой, т. е. последняя является частным случаем первой.1
Выражения Л (a, b); A (b, а); Л (с, d) — «три называющие формы]
предикатной буквы, образованной Л и двумя приданными перемен-j
ными, но А(а) и А(а, Ь, с)—это уже другие предикатные буквы, а
А (а, а) не является предикатной буквой» 2.
Следовательно, понятие предикатной буквы отражает то общее,"
что имеется в различных формах этой буквы. Предложение: «Сократ;
есть человек» — выражает некоторый предикат. Отсюда видно, что»
под предикатом можно понимать свойства определенных вещей и;
некоторые из предикатов могут быть названы пропозициональной;
функцией с одной переменной. В исчислении предикатов рассмат-]
риваются также двухместные и многоместные пропозициональные
функции, что дает возможность исследовать весьма сложные много-]
образные связи.и отношения.
Общий характер исчисления предикатов проявляется и в том,
что здесь может иметь место отвлечение как от природы предметов/
так и от характера предикатов. Так, Клини пишет о возможности
такого отвлечения следующее: «...мы потребуем, чтобы формулы, до-
доказуемые в исчислении предикатов, были истинными, независимо;
как от того, какой предикат представлен той или иной предметной!
буквой, так и от того, какой предмет из предметной области пред-
представлен той или иной свободной индивидуальной переменной»3.
Исчисление предикатов охватывает и большее многообразие кон-j
кретного. Так, предикатные буквы с «л» приданными переменными!
могут рассматриваться как функции от «л» переменных «над об-'
ластью {1,..., к), принимающими значения в области (t,f). Ta-\
ких различных функций имеется ровно 2К."- Мк будем называть их;
логическими функциями от «л» переменных над областью из «к»
предметов. Значения истинности t, /, которыми мы пользуемся в
случае л=0, можно рассматривать как 2/=2* / логические функ-
функции от 0 переменных»4.
Отсюда ясно, что исчисление предикатов отличается большей
общностью, чем исчисление высказываний, в то же время оно може1*
быть применимо к большему многообразию предметов. Таким обра-
образом, исчисление предикатов является отражением в сознании
свойств предметов и отношений между ними. Формулы этого исчис-
исчисления обладают весьма общим характером и. имеют многообразной
конкретное содержание.
1 См. С. Клини. Введение в метаматематику. 1957, стр. 130.
* Там же, стр. 153.
'Там же, стр. 153.
'Там же, стр. 154.
«О

Об отношении математической логики
к общей логике и к математике
Вопрос о соотношении логики и математики в исчислениях ма-
математической логики имеет большое значение для понимания со-
содержания м'атематической логики. Логисты (Рассел, Уайтхед и др.)
включают математику в логику. Формалисты, наоборот, включают
логику в математику. Первые рассматривают логику как продукт
чистого мышления, а вторые — математику. Те и другие приходят к
одинаковому результату, к отрыву знания от объективного мира.
Для понимания предмета логики имеет основополагающее зна-
значение указание В. И. Ленина о том, что логика есть учение о зако-
законах развития всех материальных и духовных вещей, а также поло-
положения Энгельса о согласованности законов развития объективного
мира и законов развития мышления. Энгельс писал: «Над всем на-
нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой
тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир под-
подчинены одним и тем же законам и что поэтому они и не могут проти-
противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласовать-
согласоваться между собою»1.
«Если наши предпосылки верны и если мы правильно применя-
применяем к ним законы мышления, то результат должен соответствовать
действительности, точно так же как вычисление в аналитической ге-
геометрии должно соответствовать геометрическому построению...»2.
Таким образом, при рассмотрении этого вопроса прежде всего
нужно иметь в виду связь логики с объективным миром.
Приведенные положения Энгельса и Ленина о логике полностью
относятся и к математической логике. Предметом математической
логики является изучение «методами математики связи между по-
;ы гками и следствиями-» 3.
Содержание математической логики включает элементы, относя-
относящиеся к логике, а также элементы, относящиеся к математике.
И. И. Жегалкин .в своих работах с исключительной отчетливостью
подчеркивает наличие как логической, так и математической сто-
сторон в математической логике. Так, основная задача, поставленная
им в работе «Арифметизация символической логики», формулирует-
формулируется таким образом: «Найти правила для вычисления истинности или
ложности выражения любой ступени, но не содержащего реальных
переменных...»4.
Эта задача содержит логическую сторону, так как речь идет об
истинности или- ложности комбинации логических выражений. Она
содержит и математическую сторону, так как речь идет о математи-
математическом вычислении по определенным правилам.
1 Ф. Энгельс. Диалектика природы, стр. 213.
2 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг, стр. 317.
3 С. Л. Соболев, А. И. Китов, А. А. Ляпунов. «Основные черты ки-
кибернетики». «Вопросы философии», 1955, № 4, стр. 138.
4 Математический сборник. Т. 36. Вып. 3—4. 1929, стр. 225,
91

Далее, И. И. Жегалкин пишет: «Вопрос об истинности или лож-
ложности' логического выражения» приводит к задаче «исследовать,
чему равна, нулю или единице, некоторая рациональная комбина-
комбинация H = R(qt, q2... qn), составленная только из основчых предложе-
предложений»'. Основные предложения могут быть истинными или ложны-
ложными, в соответствии с этим могут быть обозначены символами 1 или
О, в зависимости от этого определяется, чему равна данная рацио-
рациональная комбинация основных предложений. Следовательно, и
здесь подчеркивается логическая сторона основной задачи.
Когда мы в логике применяем символы «О» и «1», то они являют-
являются логическими по их содержанию. Для обозначения истинности или
ложности предложения мы могли бы применять и другие символы
(не 1 и не 0). но содержание этих других символов осталось бы тем
же самым. Отношения истинности и ложности имеют черты, сход-
сходные с количественными отношениями. Поэтому представляется воз-
возможным применение некоторых соотношений формул, законов ариф-
арифметики в логике. При решении основной задачи, поставленной
И. И. Жегалкиным. определяется, собственно говоря, не количест-
количественный результат, а иаинность или ложность логического выраже-
выражения, т. е. вычисления, связанные с решением этой задачи, имеют ло-
логический смысл.
Понятия «один» и «истинный» сходны, они отражают общее в
объективном мире, но они не тождественны. «Один» может означать
какой-то объект, какое-то свойство объекта, которые могут быть вы-
выделены из ряда других. Если имеется какой-то один объект, какое-то
отдельное свойство и мы высказали предложение: «Есть один
объект», то это предложение истинно. Если в действительности не
существует ни одного объекта, о котором мы говорим: «есть одив
объект», то наше предложение ложно.
Как видно, истинность или ложность могут ассоциироваться с
единицей или нулем. Понятие «истинный» не тождественно поня-
понятию «один». Так, истинное предложение может относиться не только
к одному объекту, свойству, а множеству их. В этом смысле оно
шире понятия «один». Понятие «один» может применяться для
утверждения наличности какого-либо предмета, для выделения его
из среды других, для установления порядка следования объектов
друг за другом, т. е. оно существенно отливается от понятия «истин-
«истинный». Следовательно, эти понятия имеют общие черты, но они не.
тождественны, не совпадают. Логическое содержание символов «1»
и «0» в математической логике проявляется уже в том, что «симво-
«символы «0» и «1» можно соответственно рассматривать как символы
всегда ложной или всегда истинной функции»2.
Логическую формулу И. И. Жегалкин определяет следующим
образом: «Назовем формулу логической, если истинность или лож-
ложность ее зависит только от истинности или ложности значений ее
1 И. И. Ж е г а л к и н. Математический сборник. Т. 36. 1929, стр. 257.
'Там же, стр. 287.
93

аргументов, но не от их материального содержания. В дальнейшее!
мы будем рассматривать только логические формулы» '.
В системе двухзначной логики, построенной И. И. Жегалкиным,
логическое содержание имеет весьма существенное значение.
В двухзначной математической логике сумма и произведение дан-
данных двух чисел выражаются следующей таблицей: 0+0 = 0;
1+1=0; 1 +0 = 1; 0-0 = 0; 1-1 = 1; 1-0 = 0.
Из этой таблицы следует, что, какое бы ни было предложение
«р», всегда имеют место соотношения: 0 + р = р; р + р = 0; 0-р = 0;
рр р\ р р
Совершенно ясно, что эти формулы имеют логический смысл, так
как предложение «р>> может иметь значение истинности или ложно-
ложности. Например, формула р + р = 0 означает, что если из двух данных
предложений оба истинны или оба ложны, то их логическая сумма
всегда есть ложное предложение.
В системе двухзначной логики, построенной И. И. Жегалкиным,
весьма важную роль играет операция свертывания, сущность кото-
которой состоит в том, что от функции <р(х) осуществляется переход к
предложению (х)ц>(х), свертку функции. Сверток функции ф(х)
означает, что существует такой класс объектов, для всех элементов
которого выражение, представленное данной функцией, является
истинным. Свертывание является специфически логической опера-
операцией. В заключении своей работы И. И. Жегалкин указывает ряд
основных свойств операции свертывания, которые нужны для дока-
доказательства теорем символической логики, и отмечает, что «кроме
этих свойств основной неопределимой логической операции сверты-
зания, ни в каких иных общих аксиомах нет нужды»2.
Роль операции свертывания показывает, что в системе двухзнач-
двухзначной логики логическое содержание имеет первостепенное значение.
В системе двухзначной логики И. И. Жегалкина исключительно
важное значение имеет понятие конституента, специфически логиче-
логического," основанного на понятии истинности. Это также является
одним из доводов в пользу признания.важности логической стороны
8 системах математической логики. Д. А. Бочвар в построенной им
•системе трехзначной логики также особенное значение придает ее
логическому содержанию. Он пишет: «Трехзначная система, состав-
составляющая предмет этого исследования, представляет интерес именно
как логическое исчисление по двум причинам: во-первых, потому,
что ее развитие исходит от формализации ряда основных и очевид-
очевидных в содержательном мышлении соотношений между предметами
истинности, ложности и бессмысленности высказывания, в силу чего
система допускает ясную интерпретацию собственно логического
характера; во-вторых же, потому, что в этой системе разрешается
специфически логическая проблема анализа парадоксов классиче-
классической математической логики методом формального доказательства
бессмысленности определенных высказываний»3. Совершенно ясно,
1 Математический сборник. Т. 35. Вып. 3—4. 1928, стр. 316.
1 Математический сборник. Т. 36. Вып. 3—4. 1929, стр. 331.
• Математический сборник. Т. 4. Вып. 2 1938, сир. 287.
93

что здесь Д. А. Бочвар рассматривает построенную им систему как
логическую по содержанию.
В работе «К вопросу о парадоксах математической логики и
теории множеств» Д. А. Бочвар пишет: «Система «Principia
Mathematica» представляет собой не чистую логику, а особую ма-
математическую дисциплину — специальную теорию предикатов —,
от п переменных (/1=1,2,...), построенных в терминах логики (т. е.
из элементов логической символики). В теории предикатов в широ-i
ких пределах формализуема математика и прежде всего теория;
множеств, особенно родственная теории предикатов»'. Здесь:
Д. А. Бочвар называет математическую логику — математической;
дисциплиной, но, конечно, не в том смысле, что она-не является на-'
стоящей логикой и не имеет логического содержания, а в том смыс-
ле, что она не есть чистая логика (как это утверждают логические,
позитивисты). Поскольку она построена на терминах логики, то!
безусловно ее содержание имеет и логическую сторону.
Иногда математическую логику считают только лишь математи-
математической дисциплиной, логическое же содержание признают лишь no-i
стольку, поскольку в ней рассматриваются истинность и ложность:
высказываний, их соотношение. Но ведь в работе И. И. Жегалкина
«Арифметизация символической логики» все посвящено анализу от^
ношений истинности и ложности. Следовательно, это «постольку»
означает очень много.
Понимая под математической логикой математическую дисцип-:
лину, ее иногда не признают настоящей логикой, а считают лишь
вспомогательным математическим аппаратом. Эта точка зрения
особенно отчетливо выражена в некоторых статьях проф. С. А. Янов-
Яновской. Так, С. А. Яновская пишет: «Порочность установок Гильбер-
Гильберта и Аккермана проявляется прежде всего в стремлении истолко-
истолковать математическую логику не как вспомогательный аппарат ма-
математических исчислений и доказательств, а как настоящую — тео-
теоретическую логику... авторы не просто развивают математическую
логику как специальную математическую дисциплину: они хотят
подменить обычную логику математической, которая, как уже было
отмечено, вообще не является настоящей логикой, изучающей за-
законы мышления, и может лишь претендовать на роль вспомога-
вспомогательного аппарата, имеющего свою — ограниченную — область*
применений»2. «Больше того, без настоящей логики не может быть]
построена никакая математическая логика, никакой вспомогатель- j
ный аппарат математических исчислений, дополненных употреб-1
ляемыми в них правилами логического вывода»3. j
Письмо в редакцию, из которого взяты эти строки, является I
ответом на статью В. П. Тугаринова и Л. Е. Майстрова под назва-1
нием «Против идеализма в математической логике», опубликован-!
ную в этом же номере журнала. Авторы этой статьи основной порок |
1 Математический сборник. Т. 15. Вып. 3. 1944.
* Письмо чв редакцию. «Вопросы философии». 1950. № 3, стр. 340—341.
* Т a im к е.

взглядов Гильберта и Аккермана на сущность математической ло-
логики усматривают не только в попытках подмены всякой логики
математической логикой, но в отрыве математической логики от
объективной реальности, в исключении из нее всякого объективного
содержания..Они пишут:'«Таким образом, такая интерпретация ло-
логического исчисления... покоится на том же исхо'дном методологи-
методологическом «принципе» авторов этой книги (речь идет о книге Гильбер-
Гильберта и Аккермана «Основы теоретической логики». — Н. X.): искать
источник и критерий истины не в объективной действительности, не
в практике, а в сочетании, комбинации понятий, обозначающих, в
свою очередь, «чистые» отношения, словесные связи; видеть крите-
критерий истинности не в объективности содержания суждения или выво-
вывода, а в общности их формы, понимаемой при этом как словесная
или символическая форма. Они заменяют оценку истинности или
ложности суждений лутемих сравнения с действительностью комби-
комбинаторикой отношений истинности-ложности, взятых в отрыве от дей-
действительности...
Во всей этой литературе усиленно подчеркивается чисто фор-
формальный характер аппарата и всех операций математической логи-
логики, полное исключение из них всякого содержания»1.
Здесь Тугаринов и Майстров совершенно правильно характери-
характеризуют порочность взглядов Гильберта и Аккермана. Рассматривая
этот вопрос, трудно не обратить внимания на эти моменты идеали-
идеалистического содержания их установок в области математической ло-
логики. С. А. Яновская следующим образом определяет содержание
математической логики: «Дело в том, что содержанием этой дисцип-
дисциплины является прежде всего изучение аппарата математических
исчислений и алгоритмов, выполняемых над материальными объек-
объектами — цифрами и другими знаками, используемыми в математике.
О «логике» при этом идет речь лишь постольку, поскольку подвер-
подвергаются исследованию свойства «положительной достоверности», о
которой говорит Энгельс, и выясняются границы ее действительной
достижимости. Специфические особенности предмета этой матема-
математической дисциплины предполагают создание в ней особого вспо-
вспомогательного аппарата формул («исчислений»), охватывающего
правила оперирования с математическими знаками, в том числе и
правила математического доказательства в той мере, в какой оно
само допускает материальную проверку»2.
В этом определении содержания математической логики не уде-
уделяется достаточного внимания ее объективному содержанию, про-
проявляющемуся в том, что понятия, законы математической логики
отражают определенные свойства, отношения действительности,
связаны с конкретными материальными объектами. Упоминание "о
таких материальных объектах, как цифры, знаки, которыми опери-
оперируют в математической логике, является недостаточным для харак-
1 Против идеализма в математической логике. Письмо в редакцию. «Вопро-
«ы философии», 1950, № 3, стр. 333.
1 Там псе, стда. 340.
96

геристики ее.объективного содержания (что будет показано поз;
нее).
Математическая логика не является обычной логикой, она
тождественна с общей логикой, имеет специфический характер и
этом смысле она^может быть названа не настоящей логикой и н<
обычной логикой.'Общая логика и математическая логика отличнь
друг от друга. Они не сводимы друг к другу. Ни одна из них ж
может включать другую как частный случай, но в го же время out
тесно связаны, переплетаются друг с другом. А. Ветров пишет о(
этом следующее: «Есть, логические вопросы, которые могут быт{
решены с помощью математической логики (а в некоторых случая?
только с ее помощью)... Но, с другой стороны, существует мно
стро и таких вопросов, для решения которых недостаточно средств
логического исчисления, например, сущность понятия, понятие
представление, понятие и слово, понятие и суждение, природа су-
суждения, суждение и предложение, познавательное значение силло-i
гизма и его отдельных форм, природа индукции, аналогии, гипоте-
гипотезы, соотношение индукции и дедукции и т. д. и т п.
При рассмотрении подобных вопросов решающую §оль играет
знание марксистской гносеологии (опирающейся на данные психо-
психологии, языкознания и других наук). Ни один специалист по матема»
тической логике, разрабатывающий свою науку в целях решения
математических проблем, не касается, да и никогда не будет касать-
касаться, перечисленных выше вопросов. Их исследование — задача фи-
философов.
В свою очередь математическая логика содержит... гораздо
больше, чем нужно для общей логики. Математическая логика воз-
возникла и развивалась как наука, которая должна была справиться
с трудностями, вставшими перед математикой, вследствие чего не
все разработанные ею методы носяг общий характер, то есть имеют
значение для любой конкретной науки» '.
Отсюда совершенно ясна несостоятельность тенденции ряда бур-
буржуазных ученых (например, Гильберта) заменить общую логику
математической, тем более абсурдными являются утверждения о
том, что математическая логика должна рассматриваться как осно-
основа всего человеческого знания (Тарский).
Утверждая, что математическая логика есть математическая ди-
дисциплина, С. А. Яновская, однако, не вносит ясности в вопрос: какое
место математическая логика занимает в системе математических
знаний. Поскольку математическая логика объявляется лишь вспо-*
могательным математическим аппаратом, то можно предполагать,
что она должна включаться в математику. Но С. А. Яновская отвер*
гает такую точку зрения. В докладе С. А. Яновской на тему «О раз»
личных взглядах на современную математическую логику>2 лэд
вергаются критике взгляды американского математика Карри
немецкого математика Лоренцэна. В результате этой критики д©
1 Г. К л а у с. Введение в математическую логику. I960, стр. 13.
1 См. «Вопросы философии». 195/, № 3.
96

даются следующие выводы: «Таким образом, пример Лоренцэна
подтверждает несводимость логики к математике, поскольку для
построения логики всегда требуются определенные общие логичео
кие предпосылки»'.
Если матем.атическая логика — вспомогательный логический ап-
аппарат, то она должна бы входить в логику, а если она и вспомога-
вспомогательный математический аппарат и вспомогательный логический
аппарат, то она должна входить и в математику, и в логику. Таким
образом, ясности в поставленном вопросе здесь действительно нет.
Какое же отношение к математике и к общей логике имеет ма-
математическая логика? Почему она является лишь вспомогательным
математическим аппаратом? Эти вопросы не получили у С. А. Янов-
Яновской какой-либо ясной аргументации, хотя такая аргументация
была бы очень нужной, поскольку выдвигается радикально особая
точка зрения на сущность математической логики, которую нельзя
найти в работах Порецкого, Жегалкина, Бочвара, Новикова, Клини,
Черча и др.
0 поставленных вопросах С. А. Яновская пишет следующее:
«Итак, логика изучает формы мышления, методы, с помощью кото-
которых люди в действительности производят выводы, связь логических
форм с языком. Математическая же логика занимается построением
вспомогательных математических аппаратов, которые изучаются
средствами математики и применяются прежде всего также к мате-
математике. Эти аппараты не отражают тех способов, которыми люди в
жизни делают логические выводы (курсив наш — Н. X.); но они
помогают людям в определенных, особых случаях получать логиче-
логические следствия, выяснять невыводимость (или выводимость) чего-
нибудь и т. д.
Проводя аналогию, можно эти логические аппараты сравнить с
телефоном, а обычное человеческое мышление —со слухом. Законы
логики носят объективный характер; логика в действительности
одна, но аппаратов, помогающих делать логические выводы, может
быть множество. При этом они должны удовлетворять общему тре-
требованию: от истинных посылок они должны приводить к
истинным же следствиям... Эти аппараты находят свое применение
в человеческой деятельности, поскольку человек не пассивно вос-
воспринимает действительность, а активно преобразует ее. Такая по-
постановка вопроса о соотношении объективной логики и вспомога-
вспомогательных логических аппаратов исходит из марксистского положения
о том, что каждый общий закон носит оперативный характер, то
есть является также и руководством к действию.
Вспомогательные логические аппараты математической логики
строятся главным образом в связи с проблемами математического
доказательства,— в частности, с логическими проблемами обосно-
обоснования математики; именно в этом смысле мы говорим о математи-
математической логике как о математической науке. Это не означает, что
математическая логика не должна быть связана с общей логикой;
1 «Вопросы философии»., 1957, № 3, стр. 210.
7 lets юзе 97

напротив, развитие логики требует применения в ней результатов
и средств, разрабатываемых математической логикой; в свою оче
редь, математическая логика должна учитывать потребности и про-1
блематику общей логики» '.
В этом определении содержания математической логики дей-
действительно много неясного. Ранее математическая логика называв
лась вспомогательным аппаратом математических исчислений и до-
доказательств2, а также вспомогательным аппаратом математики
и логики, что уже выглядит несколько иным3. Здесь математиче*
екая логика не называется вспомогательным математическим аппа-
аппаратом, а говорится о том, что она лишь занимается построением
вспомогательных логических аппаратов, из чего следует, что суще-f
ствует математическая логика и,-кроме того, существует вспомога-
вспомогательный логический аппарат, построением которого она занимается,^
т. е. что эти вещи не являются идентичными. <![
Термин «вспомогательные логические аппараты математической
логики» можно понять таким образом, что эти вспомогательные
логические аппараты принадлежат математической логике или ohi
входят в нее как составная часть, т. е. что математическая логика
и вспомогательные логические аппараты не есть одно и то же.
Таким образом, здесь под математической логикой понимается^
1) вспомогательный математический аппарат,
2) вспомогательный аппарат математики и логики,
3} вспомогательный логический аппарат,
4) дисциплина, которая занимается построением вспомогатель-
вспомогательных логических аппаратов,
5) дисциплина, которой принадлежат вспомогательные логиче<
ские аппараты.
Смысл этих определений математической логики не является
одинаковым. Поэтому приведенная выше характеристика сущности
математической логики не является ясной и определенной. Если
вспомогательные логические аппараты математической логик*
строятся, в частности, в связи с логическими проблемами обоснова-f
ния математики, то это значит, что логический момент здесь игр^
очень существенную роль. Почему же математическая логика, кс
торая занимается построением как вспомогательных математиче^
ских аппаратов, так и построением вспомогательных логически;
аппаратов, называется' математической дисциплиной? Это неяснС
из приведенных высказываний С. А. Яновской.
Еше более неясностей вызывает утверждение о том, что мат
матическая логика есть лишь вспомогательный аппарат (не то ма|
тематический, не то логический). Прежде всего здесь нет ясног
ответа на вопросы: каким образом этот вспомогательный annapaf
связан с объективным миром, а также как он связан с общей лог»
кой? Например, общая логика понимается как наука, изучающа^
1 «Вопросы философии», 1957, № 3, стр. 210—211.
3 См.4 «Вопросы философии», 1950, № 3, сир. 340,
3 См. там же, тр. 342.
98

формы мышления, методы, с помощью которых люди в действитель-
действительности делают выводы, связь логических форм с языком.
Вспомогательные же аппараты '(т. е. математическая логика, по
мнению С. А. Яновской), утверждает С. А. Яновская, не отражают
тех способов, которыми люди в жизни делают логические выводы,
они помогают получать логические следствия только в особых слу-
случаях. Утверждается, что законы логики имеют объективный харак-
характер, логика в действительности одна, но вспомогательных аппарат
тов может быть множество. Здесь говорится лишь о связи законов
)бщей логики с объективным миром, но ничего не говорится о том,
как эти вспомогательные аппараты связаны с объективным миром,
связаны ли они с объективным миром только через общую логику
или же эта связь существует в какой-то мере самостоятельно, осу
ществляется не только через общую логику, или же она просто не
имеет места.
Фразы: «Законы логики носят объективный характер; логика в
действительности одна, но аппаратов, помогающих делать логиче-
логические выводы, может быть множество» и «Такая постановка вопро-
вопроса о соотношении объективной логики и вспомогательных логиче-
логических аппаратов исходит из марксистского положения о том, что
каждый общий закон носит оперативный характер, то есть являет-
является также и руководством к действию»,— могут быть поняты чи-
читателем и так, что свойство объективности является обязательным
лишь для законов общей логики, что математик может создавать
множество вспомогательных аппаратов (систем математических ло-
логик), вопрос об объективном содержании которых не играет суще
ственной роли, и О; нем можно не задумываться, т. е. у читателя мо-
может возникнуть впечатление, что вопрос об объективном содержа--
нии такой наукой дисциплины, как математическая логика, явля-
является несущественным.
Фраза: «Эти аппараты не отражают тех способов, которыми лю-
люди в жизни делают логические выводы» — может у читателя создать
мнение о том, что математическая логика не имеет тесной связи с
жизнью и весьма малопригодна для практических шриложений.
Если эти вспомогательные аппараты должны от истинных посы-
посылок приводить к истинным следствиям и находят применение в че-
человеческой деятельности, то не говорит ли это о том, что она (т. е„
математическая логика) является отражением свойств, отношений
объективной действительности и в этом отношении не может про-
противопоставляться общей логике? Понимание характера связи ме-
между общей логикой и математической осложняется утверждением о
том, что вспомогательные аппараты не отражают тех способов,
которыми люди в жизни делают логические выводы, что они помо-
помогают только в особенных случаях получать логические следствия.
В математической логике существенную роль играет использо-
союзов «и» и «или», что дало возможность оперировать понятиями
логического сложения и логического умножения и открыло перед
логикой новые горизонты.
99

Использование теории отношений также является существенш
новым моментом, связанным с математической логикой. Но союз!
«и», «или», так же, как и теория отношений, безусловно, являются
отражением свойств, отношений объективной действительности
Применение этих союзов (так же, как и импликации) в математиче
ской логике может иметь особенности по сравнению с применениел
их в общей логике, но это не дает оснований, подчеркивая связь
общей логики с действительностью, ее объективный характер, ни-
ничего не говорить об объективном характере содержания математи-
математической логики.
Непонятным является и то, каким образом математическая логи-
логика, являясь лишь вспомогательным аппаратом, смогла играть
исключительно важную роль в проблемах обоснования математики
Это обстоятельство должно, пожалуй, ориентировать на совершенно
иное понимание сущности математической логики. Аналогия межд\
человеческим мышлением и математической логикой, с одной сторо-
стороны, и слухом и телефоном — с другой мало помогает выяснению
сущности обсуждаемого вопроса, так как она носит внешний ха-
характер.
Математическая логика является существенным элементом,
входящим в человеческое познание,' тогда как телефон является
чем-то внешним по отношению к человеческому слуху.
Утверждение о том, что математическая логика есть вспомога-
вспомогательный (математический или логический) аппарат, действительно
создает неясности в понимании сущности этой науки. Д. С. Порец-
кий писал: «Математическая логика по предмету своему есть логи-
логика, а по методу математика. Что она есть логика, с этим согласит-
ся каждый» '.
Таким образом, в работах таких выдающихся отечественных ма-
математиков, как И. И. Жегалкин, Д. А. Бочвар, П. С. Порецкий, ма-
математическая логика рассматривается как наука, в которой логи-
логическое содержание занимает большое место. Это означает, что в
системах математической логики логическое содержание не может
быть сведено к математике, т. е. логика не сводима к математике.
Очевидно, они не были склонны считать ее и вспомогательным ма-
математическим или логическим аппаратом.
В системах математической логики имеется специфическое ло-
логическое содержание, а также и специфическое математическое со-Г
держание. Эти стороны связаны друг с другом, взаимопроникают!
друг в друга, « в то же время они не растворяются друг в друге,|
сохраняют свою специфику. Интересно высказался по этому поводу|
А. Пуанкаре, который отрицал возможность сведения математики к]
логике. Он писал: «Разве вся математика исчерпывается правилами!
совершенной логики? Это было бы все равно, как если бы мы сказа-1
ли, что все искусство шахматного игрока сводится к правилам хода!
1 Цит. по кн.: В. Н. Моладший. Очерки по вопросам обоснования математики
1958, стр. 187.
100

пешек. Из всех построений, которые могут быть скомбинированы
из материалов, доставляемых логикой, нужно сделать выбор» '.
Представители логистики основные понятия арифметики (к ко-
которой они сводят всю «чистую» математику) определяют при помо-
помощи теории -множеств, а последнюю включают в логику. Таким об-
образом, математика сводится ими к логике. Фактическое содержа-
содержание математической логики показывает полную несостоятельность
подобных построений, так же, как и несостоятельность попыток све-
сведения логики к математике,
И. И. Жегалкин арифметизацию символической логики связы-
связывает прежде, всего с наличием общих простых законов, которым под-
подчиняется и логика и арифметика. Он пишет: «Под арифметизацией
символической логики мы разумеем то направление, которое стре-
стремится преобразовать внешние формы изложения символической
логики так, чтобы основные логические операции подчинялись таким
же простым законам, какие наблюдаются нами в обыкновенной
арифметике»2.
Эта общность между логикой и арифметикой и делает возмож-
возможным применение при построении арифметики предложений хорошо
известных приемов, методов арифметических вычислений. И. И. Же-
Жегалкин об этом пишет: «Благодаря тому что законы ее совпадают с
законами обыкновенной арифметики с добавлением двух, выража-
выражаемых равенствами р+р = 0, р-р = 0, мы в дальнейшем при изложе-
изложении можем и будем пользоваться тем методом рассуждения, кото-
эый нам привычен в арифметике и алгебре»3.
Эта общность для математики и логики основных законов приво-
приводит к тому, что всякая логическая формула может быть истолко-
истолкована с арифметической точки зрения, как арифметическая функция,
так как ее аргументы и она сама могут принимать числовые значе-
значения, равные 1 или 0. В то же время всякая арифметическая функция
может рассматриваться как логическая формула, так как с ней мо-
могут быть связаны понятия истинности и ложности. При этом совер-
совершенно ясно, что основой связи между арифметикой чисел и арифме-
арифметикой предложений является соответствие: нуль — ложность, едини,
ца — истинность.
Вследствие общности арифметики чисел и арифметики предло-
предложений символы математической логики могут быть истолкованы с
двух точек зрения, с логической и с арифметической. Если имеется
некоторое переменное предложение «р», то оно имеет два смысла:
логический и арифметический. Первый проявляется в том, что оно
может быть истинным или ложным, второй — в том, что этому пред-
предложению может соответствовать 1 или 0.
Если имеется какая-либо арифметическая функция Ф{х, y,...,z),
то она обращается в логическую формулу, как только символы
ее аргументов мы будем рассматривать не только как числа, но и
1 Наука и метод. 1910, стр. 190.
2 Математический сборщик. Т. 35. Вып. 3—4, 1928, стр. 312.
•Там же, стр. 322.
101

как предложения. Таким образом, всякая логическая" формула
арифметической точки зрения есть арифметическая функция, в cboi
очередь всякая арифметическая функция с логической точки зрени
есть логическая формула. Это значит, что между арифметическим
функциями и логическими формулами имеется полное взаимоодш
значное соответствие1.
Алгебра предложений у И. И. Жегалкина строится как просто
следствие того факта, что каждый символ предложения имеет дво{
ное значение — логическое и арифметическое, так как он може
рассматриваться не только как символ предложения, но и как сим!
вол числа. В соответствии с этим двойное значение имеют и
основных действий — сложения и умножения. Формулы p = q, p +
p-q могут рассматриваться с двух точек зрения, с логической и
арифметической. С первой точки зрения они представляют собо
логическое равенство, логическую сумму и логическое произвед<
ние. Со второй точки зрения — это равенство, сумма и произведен»
чисел.
Логическое и арифметическое значения находятся в полном со
ответствии друг с другом, они определяют друг друга. На основа!
нии этого соответствия решается вопрос о соотношении логический
и арифметических формул. Арифметическая формула в системе
двухзначной логики является всегда линейным многочленом (на
основании р-р=р), поэтому понятие арифметической формулы
есть уже понятие арифметической функции вообще. Но всякая^
арифметическая функция является с логической точки зрения логи-
логической формулой. Поэтому понятие логической формулы является
более общим, чем понятие арифметической формулы.
Между этими формулами имеется зависимость следующего ха
рактера: «Всякая логическая формула одного аргумента равна не
которой арифметической формуле»2. Это значит, что двух основны
действий, сложения и умножения, или двух основных логически
формул p + q, pq достаточно, чтобы через них выразить любую ло
гическую формулу, т. е. осуществить арифметизацию учения о пред
ложениях. Об этом исключительно важном результате своих иссле
дований И. И. Жегалкин пишет следующее: «Конечно, такой ре
зультат нам ничего не дает для построения логической теории ка
самодовлеющей дисциплины. Напротив, мы получаем очень мно
в смысле указания, щ каком направлении и как строить теори
символической логики» 3.
¦И. И. Жегалкин, как это следует из приведенного суждения;
считает невозможным построение логической теории, которая был
бы самодовлеющей дисциплиной, т. е. включала бы в себя и матема
тику, но он считает возможным построение символической логик:
в которой понятия имеют как логический, так и математически!
смысл.
1 См. Математический сборник. Т. 35. 1928, стр. 318, 319.
» Там же, стр. 334.
3 Там же, стр. 319.
102

Таким образом, в исчислениях математической логики логиче-
логическое содержание органически.связано с математическим, находится
с ним в отношении соответствия. Ни одна из этих сторон не может
быть сведена к другой, т. е. логика не может быть сведена к мате-
математике, а математика к логике. В самом деле, как можно матема-
математику свести к логике, если сами логические формулы, символы име«
ют математическое содержание? Арифметические же формулы
имеют логическое содержание, поэтому и логика не сводима к ма-
математике.
Основание математических понятий следует искать в объектив-
объективном мире, а не в сведении математики к логике. Например, принцип
полной математической индукции играет очень важную роль в раз-
развитии математики. Применение этого принципа подчеркивает связь
математики с действительным миром, показывает взаимодействие
абстрактной и конкретной сторон в ее содержании.
Например, Д. Пойя в книге «Математика и правдоподобные
рассуждения» пишет: «Индуктивный подход имеет целью приспо-
приспособление наших представлений к нашему опыту в такой степени,
в какой это возможно. Он требует определенного предпочтения
для того, что фактически существует. Он требует готовности к
подъему, от наблюдений к обобщениям и готовности к спуску от
наиболее широких обобщений к наиболее конкретным наблюде-
наблюдениям» 1. Следовательно, Д. Пойя считает, что основание для индук-
индуктивного метода следует искать в том, что фактически существует
в конкретной действительности, но не в сведении математики к
логике. «Логический тезис может быть, наконец, подвергнут сом-
сомнению по той причине, что логика уже предполагает математиче-
математические идеи в своей формулировке»2.
Как известно, в этом вопросе (сведения математики к логике)
играет большую роль определение основных понятий арифмети-
арифметики, в частности понятия числа, через теоретико-множественные
термины. Нетрудно убедиться в том, что эти определения не яв-
являются строго логическими и что для выяснения того, что такое
число, необходимо обращаться к материальной действительности.
Так, например, Рассел считает, что натуральные числа можно
определить логически через понятие класса. Класс представляет
собой множество индивидов, обладающих определенным свой-
свойством, и характеризуется числом своих членов. Два класса имеют
одно и то же число, если между их членами можно установить
взаимооднозначное соответствие. Число является основной m ха-
характерной чертой класса. Натуральные числа можно определить
как классы классов.
А. Тарский пишет, что «натуральное число есть кардинальное
число конечного класса»3. Кардинальное число определяется та-
1 Д. Пойя. Математика и правдоподобные рассуждения. 1957, стр. 26.
1 С. К. К лин и. Введение в метаматематику. 1957, стр. 47.
1 Введение в логику и методологию дедуктивных наук. 1948, стр. 122.
103

ким образом: «Теперь рассмотрим произвольный класс К; несом-]
ненно существует свойство, присущее всем классам, равномощньш!
классу К, но не присущее всем другим классам (а именно—\
свойство быть равномощньш классу К); это свойство называется
мощностью, или числом элементов, или кардинальным числом,
или степенью класса К» *.
Равномощность определяется таким образом: «Как пример
двух равномощных или эквивалентных классов мы можем рас-
рассматривать множества пальцев правой и левой руки; эти множе-
множества равномощны, потому что возможно разделить по парам
пальцы обеих рук таким образом, чтобы, во-первых, каждый па-
палец встречался только в одной паре и, во-вторых, каждая пара
содержала только один палец левой руки и только один палец
правой руки» 2.
Итак, натуральное число определяется через кардинальное
число, кардинальное число определяется через равномощность,
равномощность определяется через понятия два (пара), один,
каждый, т. е. через определенные значения натурального числа.
Несостоятельность такого определения натурального числа с ло-
логической точки зрения совершенно очевидна, так как определение
осуществляется через понятия, которые в свою очередь зависят от
понятия числа.
А. Тарский определяет число 1 следующим образом: «Число 1,
например, может быть определено как число элементов класса, со-
состоящего только из одного элемента» s. Поскольку логическая не-
несостоятельность такого определения совершенно очевидна, А. Тар-
Тарский счел необходимым заверить, что «в действительности здесь
нет никакой ошибки, потому что выражение «класс состоит только
из одного элемента» рассматривается как целое и его значение бы-
было определено предварительно»4. Эти разъяснения А. Тарского все-
таки не делают определение числа 1 более ясным и обоснованным.
Мы, конечно, можем рассматривать выражение «класс состоит
только из одного элемента» как целое, но от этого ничего не ме-
меняется, ведь все-таки понятие «один» входит в это выражение. Мы
не можем не принимать во внимание содержание определения, так
как тогда оно теряет всякое значение.
В чем же состоит предварительное определение выражения:
«Класс состоит только из одного элемента»? Об этом А. Тарский
пишет: «...класс К состоит только из одного элемента, если... имеет-
имеется только один х, при котором х s /С; см. параг. 20» 5. Значит, класс,
состоящий из одного элемента, определяется и здесь через понятие
«один». В параграфе 20, на который ссылается А. Тарский, гово-
говорится следующее: «Так, в выражении: «существует по меньшей
1 Введение в логику и методологию дедуктивных наук. 1948, стр. 121.
3 Там же, стр. 120—121.
¦Там же, стр. 122.
4 Там же.
• Т аи же.
104

мере один предмет, удовлетворяющий данному условию» — слова
«по меньшей мере один» можно попросту опустить, не изменяя
смысла. Выражение: «существует не больше, чем один предмет,
удовлетворяющий данному условию», означает то же, что: «при
всяком х и у, если х удовлетворяет данному условию и если у
удовлетворяет данному условию;-*=f/»J.
Посредством такой замены выражений А. Тарский стремится
показать, что термины «один», «два» чисто логической природы и
мы можем в логических рассуждениях обходиться без них. Если
мы из первого выражения выпустим слова: «по меньшей мере один
предмет», то получим выражение: «существует предмет, удовлетво-
удовлетворяющий данному условию». По смыслу выражение не изменилось
(об этом говорит и сам А. Тарский), т. е. как в первом выражении,
так и во втором (преобразованном) речь идет об одном предмете,
понятие «один» присутствует и во втором выражении.
Рассмотрим сущность преобразования второго выражения. Сло-
Слова: «при всяком х и у» означают: существует некоторый предмет
к (он может быть любым, но это один предмет) и некоторый пред-
предмет у (он тоже может быть любым, но это один предмет). Далее го-
говорится о том, что как первый предмет х, так и второй предмет у
удовлетворяют данному условию и что они одинаковы, тождествен-
тождественны или что мы имеем дело с одним и тем же предметом (х=у). Та-
Таким образом, и в этом преобразованном выражении хотя слово
«один» и не фигурирует, но оно неявно включено в смысл этого вы-
выражения.
Число «два» А. Тарский определяет следующим образом: «Вы-
«Выражению: существует по меньшей мере два предмета, удовлетво-
удовлетворяющих данному условию, мы придаем следующее значение: суще-
существуют хну, при которых и х, и у удовлетворяют данному условию
и хФу»2. В последнем выражении говорится собственно о том, что
существует один предмет х и существует другой предмет у (суще-
(существует два предмета), они удовлетворяют данному условию и не
тождественны. Выражение хфу означает, собственно, что суще-
существуют два различных предмета. Следовательно, при помощи сло-
словесных манипуляций А. Тарскому не удается изгнать из рассмат-
рассматриваемых выражений понятия «один» и «два». Если смысл выра-
выражений сохраняется, то в них сохраняются и эти понятия. Поэтому
он, собственно, 1 определяет через 1, два определяет через 2.
Иногда понятия 1 и 2 определяются таким образом: «... число
1... множество всех множеств М, обладающих следующими свой-
свойствами: (а) каждое М не пусто, т. е. содержит какие-либо элемен-
элементы; (б) если установлено, что хну суть элементы М, то х совпада-
совпадает с у. Аналогично число 2 определяется как множество всех мно-
множеств М, характеризующихся тем, что (а) существуют такие раз-
различные предметы хну, которые являются элементами М; (б) вся-
1 Введение в логику и методологию дедуктивных наук. 1948, стр. 101.
' Там же.
105

кий предмет, о котором установлено, что он является элементом М,
совпадает либо с х, либо с у»'.
Эти определения не более состоятельны, чем те, которые имеют-
имеются у А. Тарского. Понятие множества, которое имеется в этих опре-
определениях, конечно, связано с понятием много, множество состоит
из отдельных элементов, каждый из которых является одним. По-,
нятие множества всех множеств связано с понятием отдельного,!
одного множества. Выражение: «каждое М не пусто» — означает,
что оно содержит хотя бы один элемент или же несколько элемен-'
тов. Выражение: «х» и «(/» суть элементы М» — означает, что
имеется один элемент «х» и другой элемент «у», которые входят во
множество М. Выражение — «х» совпадает с «у» — означает, что
один элемент (х) совпадает с другим (у).
Выражение: «Существуют такие различные предметы «х» и
«у» — означает то, что существует один предмет «х» и другой пред-.'
мет «#», а всего существует два предмета. Выражение «2» совпа-j
дает либо с «х», либо с «у» означает, что третий предмет совпадает
с одним из имеющихся двух предметов. Таким образом, здесь так-
также понятие «один» определяется через понятие «один», а понятие
«два» определяется через понятие «два» и «один».
Далее утверждается, что это определение единицы и применяет-
применяется в математических доказательствах единственности, однозначно-
однозначности, при этом «доказывают сначала, что существует объект «р»,
удовлетворяющий требуемым условиям, а затем показывают, что
всякий объект, удовлетворяющий им, совпадает с «р»2. По этому
поводу можно заметить, что так поступают для доказательства
однозначности, но это означает только то, что при этом пользуются
имеющимся понятием «один» (если бы не существовало понятия
«один», то не было бы и понятия однозначности и не ставился бы
вопрос о ее доказательстве), никакого же логического определения
гакие доказательства не содержат.
Определение числа как свойства равномощных друг другу мно-
множеств нельзя считать строго логическим определением. Понятие
равномощности определяется через понятие взаимооднозначного
соответствия, которое уже включает понятие о числе, понятие боль-
больше или меньше. Сравнение различных множеств производится пу-
путем сопоставления одного какого-то элемента одного множества'с
каким-то одним элементом другого множества. Если соответствие
элементов не соблюдается, то одно множество имеет меньшую мощ-
мощность, другое большую, т. е. при этом сравнении мы оперируем ко-
количественными понятиями (больше, меньше), которые уже были
сформированы в нашем сознании. Определяя арифметические поня-
понятия (т. е. количественные) через понятия множества, класса, мы.
приходим также к количественным понятиям. Следовательно, опрег
1 А. Д. Г е т iM а н о в а. О соотношении математики и логики. В сб. «Лог
ские исследования:». 1959, стр. 209.
'Там же.
106

деление понятия числа через понятие множества не может считать-
считаться строго логическим определением.
Может быть, целесообразно попытаться определить строго ло-
логически понятие множества? А тогда уже на основании этого поня-
понятия яснее будет содержание понятия числа? Что же такое множе-
множество? Это совокупность элементов, объединенных по какому-то об-
общему признаку. Каков главный признак множества? Мощность.
Что такое мощность множества (конечного)? Это количество эле-
элементов, входящих во множество. Что же такое количество эле-
элементов множества, когда оно бывает больше, когда меньше? Для
выяснения этого, очевидно, нужно сравнить различные множества,
каждому элементу одного.множества сопоставить элемент другого.
Если первое множество будет иметь свободные элементы, то коли-
количество его элементов будет больше, если второе множество будет
иметь свободные элементы, то количество элементов первого —
меньше.
Поставлен вопрос: что такое множество? Ответ на него дается
на основании сравнения множеств, т. е. на основе понятия мно-
множества. Таким образом, понятие множества также неопределимо
строго логически. Вопрос об основании таких понятий математики,
как число, количественные отношения, множество, не может быть
решен в рамках этой науки или же в рамках логических определе-
определений. Решение этого вопроса требует выхода за пределы математики
и логики, требует обращения к конкретному многообразию дейст-
действительности. Применение положений диалектического материализ-
материализма к анализу содержания этих понятий является необходимым ус-
условием решения данного вопроса.
В практике, в опыте человек сталкивался с различными сово-
совокупностями объектов (множествами), и первые, элементарные
представления о множествах он получает путем непосредственного
восприятия. Прежде всего он убеждается в существовании этих
совокупностей. Этот начальный процесс формирования понятия
множества не требовал никаких логических определений, человек
имел дело с определенными, конкретными множествами вещей, вос-
воспринимая их при помощи органов чувств. Между различными мно-
множествами объектов могут быть многообразные отношения (не толь-
только количественные; когда стая волков нападает на стадо коз, то
нельзя сказать, что это просто количественные отношения); в
практике человек постепенно начинает выделять из многих различ-
различных отношений, совокупностей именно количественные отношения.
Сравнивая друг с другом различные совокупности объектов в пра-
практике счета, измерений, он пришел к понятию количества и к по-
понятию числа. Этот путь не требовал строгих логических определе-
определений этих понятий.
Сформировалось понятие о натуральном ряде чисел, которое
можно рассматривать как некоторое отвлеченное особенное мно-
множество. Далее, оказалось возможным формирование понятия мно-
множества, обладающего определенной мощностью, упорядоченностью
107

и т. д. Без оперирования понятием натурального числа нельзя было
бы получить понятие мощности множества, упорядоченности мно-
множества, а также взаимооднозначного соответствия. Следователь-
Следовательно, понятие натурального числа нельзя рассматривать как резуль-
результат логического вывода из понятия множества. Исходным для фор-
формирования этих понятий являются конкретные множества мате-
материальных объектов.
Путем отвлечения от ряда их свойств формируется понятие не-
некоторого особенного, отвлеченного множества, некоторого ряда чи-
чисел, а затем понятия множества в широком смысле как весьма об-
общего понятия современной математики.
О связи понятий числа и множества друг с другом, а также и с
материальными объектами С. А. Яновская пишет следующее: «Эти
исходные понятия науки должны во всяком случае безусловно
удовлетворять требованию быть отвлеченными, абстрагированными
из реальной, материальной действительности, причем должен быть
ясен путь, способ их образования... Но если и очень трудно свести
понятие о числе к чему-нибудь еще более простому или общему, то,
«определяя» его через равночисленность, мы вскрываем все же
связь этого основного понятия математики с реально существую-
существующими множествами (агрегатами) вещей» 1.
Таким образом, происхождение таких абстракций, как множе-
множество, количество, число, может быть понято только при условии,
если они рассматриваются в связи с конкретными, с реальными
объектами, процессами материального мира.
В связи с этим необходимо заметить: признавая возможность
включения теории множеств в логику, а также возможность опре-
определения понятия числа через теоретико-множественные термины,
трудно отрицать возможность включения математики в логику. Не-
Невозможность строгого логического определения понятия числа через
теоретико-множественные термины является в значительной степени
опровержением возможности такого включения.
Понятие числа очень часто связывается с понятием множества.
Это сопоставление, безусловно, полезно, помогает выяснению того,
что такое число. Но это сопоставление следует рассматривать как
пояснение понятия числа, а не как его строгое логическое опреде-
определение.
Для выяснения того, что такое множество, также широко при-
применяются количественные понятия, но и здесь имеет место лишь
пояснение того, что такое множество, характеристика некоторых
свойств его, но не как строго логическое определение.
Всякие попытки строго логически определить такие понятия,
как «один», «нуль» и т. д., очень скоро обнаруживают свою несо-
несостоятельность. Как пример этого можно указать на определение
А. Тарским нуля. А. Тарский определяет нуль как число элементов
1 О так называемых «определениях через абстракции». В сб. «Философия ма-
математики». 1936, стр. 133.
108

нулевого класса. А что такое нулевой класс? А. Тарский определя-
определяет его как такой класс, который «не содержит никаких элементов»1.
А что значит «никаких элементов»? Это значит, что данный
«ласе не содержит ни одного элемента, т. е. количество элементов
этого класса равно нулю.
Какое-нибудь число, например 10, иногда определяется как ха-
характеристика некоторых равномощных друг другу множеств. Ка-
Какая же это характеристика? Для ответа на этот вопрос обращают-
обращаются к понятию взаимооднозначного соответствия, которое зависит
от понятия «один». Почему же элементы этих равномощных мно-
множеств соответствуют друг другу? Ответ на этот вопрос может быть
таким: потому что эти множества содержат одинаковое количество
элементов, равное 10. Следовательно, здесь также понятие 10
определяется через понятие 10.
Связь математической и логической сторон в исчислениях мате-
математической логики является настолько тесной, что возникновение и
развитие этих исчислений вне этой связи было бы невозможным.
В математической логике большое место занимают непосредствен-
непосредственно математические вопросы, решение которых без использования
средств логики, например в доказательствах, является невозмож-
невозможным. С другой стороны, решение логических проблем невозможно
без использования понятий математики. Формулирование законов,
определений в логике выражается при помощи фраз, в которых чи-
числовые понятия применяются очень часто.
Например, И. И. Жегалкин разъясняет смысл логической сум-
суммы таким образом: «Логическая сумма двух данных предложений
есть истинное предложение тогда и только тогда, когда из данных
аредложений одно истинно, другое ложно. Если же два данных
предложения или оба ложны, или оба истинны, то логическая сум-
сумма их есть ложное предложение»2. В этом определении используют-
используются арифметические понятия «один», «два», «оба».
В результате исследования вопроса об истинности или ложно-
ложности всякого произвольно данного логического выражения И. И. Же-
Жегалкин делает следующий вывод: «Однообразным применением
одного и того же принципа выноса предложения всегда можно вы-
вычислением решить вопрос об истинности или ложности всякого
произвольно данного логического выражения, составленного из
функций одного аргумента, но какого угодно числа областей и
реальных переменных»3.
Здесь также используется целый ряд понятий арифметики. Во-
Вообще, использование арифметических понятий в логике необходимо
хотя бы потому, что в ней употребляется единственное и множест-
множественное число почти во всех рассуждениях. Связь логического и ма-
математического в математической логике приводит и к тому, что при
характеристике свойств какого-либо логического понятия одно и
1 Введение в логику и методологию дедуктивных наук. 1948, стр. 113.
2 Математический сборник. Т. 35. 1928, стр. 320.
• Математический сборник. Т. 36. 1929, стр. 369.

то же слово может употребляться и в логическом, и в математи-
математическом смысле. Например, выражение pvP2-- Pk Pk+i¦¦¦ Рп =• 1 на"
зывается И. И. Жегалкиным конституентом (где символ обозна-
обозначает предложение). Каждый из множителей здесь равен единице,
конституент в целом также равен единице, что означает: каждое из
предложений является истинным, конституент также является
истинным предложением. Далее утверждается, что «сумма всех
конституентов равна единице: a.i + a.2+ — + an—l» (где <ц... — кон-
ституенты).
Как в первом выражении, так и во втором понятие 1 употреб-
употребляется в смысле логическом как символ истинности. Затем подчер- *
кивается следующее свойство конституентов: «Среди всех консти-
конституентов всегда один, и только один равен единице, а остальные рав-
равны нулю» '. В этом суждении слово «один» употребляется в -ариф-
-арифметическом смысле, а слово «единица» — в логическом.
И. И. Жегалкин подчеркивал, что формальное представление
логических выражений требует применения законов, понятий ариф-
арифметики. Он писал: «Под формальным представлением какого-либо
логического выражения мы разумеем представление его только с i
помощью действий сложения, умножения и свертывания, произве-
произведенных в конечном числе раз»2.
При решении основной задачи символической логики И. И. Же-
Жегалкин вводит теоретико-множественное понятие класса. Он пишет:
«В основу дальнейших исследований мы положим понятие класса...
будем предполагать, что нам дан только некоторый единственный
класс объектов, который назовем основным... хотя мы ни слова не
будем говорить о мощности основного класса, тем не менее в ко-
конечном результате она неожиданно появляется. Как окажется,:
истинность или ложность логического выражения, как общее пра-
правило, находится в самой тесной зависимости от мощности основного
класса»3,
«Предложение ел=е(~) эквивалентно предложению: «число объ-
объектов в классе равно л»4. Истинность или ложность предложения\
е„=е I - I зависит от числа объектов основного класса.
Таким образом, исследование истинности или ложности лопи-!
ческих выражений существенно связано с понятием мощности клас-1
са, т. е. с понятием математическим. Ранее было показано, что по-|
нятие числа, мощности не подлежат логическому определению. Все!
это является убедительным доводом, показывающим, что матема-|
тика не может быть сведена к логике. Основание математики нуж-j
но искать в материальной-действительнФсти. А. Мостовский писал
об этом следующее: «...искать определение арифметики при помоЛ
1 Математический сборник. Т. 36. 1929, стр. 369.
2 Т а м же, стр. 287.
'Там же, стр. 221.
4 Т а м же, стр. 289.
ПО

щи исключительно математических методов, без ссылки на опыт-
опытное происхождение понятия натурального числа невозможно. Окон-
Окончательное упрочение оснований арифметики принадлежит, таким
образом, философии, а не математике»1. Попытки обоснования ма-
математики путем сведения ее к логике также являются несостоятель-
несостоятельными.
Таким образом", в системах математической логики имеется и
логическое содержание, и математическое содержание. Эти две
стороны тесно связаны друг с другом, взаимодействуют друг с
другом. Наряду с этим каждая из сторон имеет свою специфику,
ни одна из них не может быть сведена к другой. Обоснование аб-
абстракций математической логики может быть найдено только при
условии, гели они рассматриваются в связи с конкретным много-
многообразием действительности.
Содержание математической логики дает основание утверж-
утверждать, что она является особой научной дисциплиной (а не просто
вспомогательным аппаратом), имеет основные, строго научные по-
понятия, отражающие объективный мир, ей свойственные специфи-
специфические методы исследования. Она включает в себя как элементы
логики, так и элементы математики и может быть названа логико-
математической дисциплиной.
Важность этой науки становится понятной, если учесть, что сре-
среди современных наук имеются такие научные дисциплины, как
физическая химия, в которой методами физики изучаются химиче-
химические явления. Хотя эта дисциплина не изучает общих химических
законов, а только те, которые существуют на грани химии с физи-
физикой, однако никто не утверждает, что она только лишь вспомога-
вспомогательный аппарат (физический, а может быть, химический или фи-
физический и химический вместе). Это, конечно, настоящая химия, но
специфическая. Не говорят также и о том, что есть одна химия
(общая), законы которой имеют объективное содержание, а вспо-
вспомогательных аппаратов (физических химий) может быть множест-
множество. Объективное содержание имеют не только законы общей химий,
но и физической химии (как <и каждой научной дисциплины).
Содержательна ли математическая логика?
Вопрос о том, содержательна ли математическая логика, содер-
содержательны ли положения, формулы, которыми в ней оперируют,
имеют ли какой-либо смысл применяющиеся в ней символы, отно-
относится к числу таких вопросов, по которым высказываются сущест-
существенно различные точки зрения. Правильное решение этого вопроса
имеет большое философское значение и поэтому он является ареной
острой борьбы между материализмом и идеализмом.
Д. Гильберт рассматривает формулы математической логики
как простые последовательности не имеющих никакого смысла и
ничего не выражающих значков, которые могут быть написаны
1 Успехи математических наук. Т. 9. Вып. 3. 1954, стр. 16.
111

чернилами на бумаге или мелом на доске. Теория при этом рассмат-
рассматривается как чисто формальная система, символы, формулы кото-
которой преобразуются по определенным правилам. Таких же взгля-
взглядов придерживается Рассел.
Математики, стоящие на материалистических позициях, выска-
высказывают противоположные взгляды на формулы, символы матема-
математической логики. Например, И. И. Жегалкин в своих работах нигде
не говорит о символах в том смысле, что они не имеют никакого
содержания. Он в них пользуется понятием «основной класс объ-
объектов». Он пишет: «Всякий объект основного класса есть реальный
объект. Понятие реального объекта отличаем от понятий произ-
произвольного и переменного объекта. Произвольный объект есть символ]
(обычно буква), относительно которого мы мыслим, что он обозна-'
чает некоторый реальный объект, безразлично, какой именно. Пе-j
ременный объект — это символ, могущий обозначать объекты клас-
класса, но значение для которого еще не выбрано» К
Следовательно, у И. И. Жегалкина символ обозначает реальный!
объект, т. е. то, что существует в действительности. Например,!
он может быть каким-то материальным телом и т. п. Значит, под]
символом понимается здесь определенное реальное содержание.
Символом И. И. Жегалкин обозначает какое-то предложение,
имеющее какой-то смысл. Так, он пишет: «Реальное предложение!
есть предложение в строгом смысле слова. Это есть нечто, что мо-
может быть истинным или ложным. Так, например, предложение: 1
«квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» — есть реаль-1
ное предложение... Произвольным предложением мы называем вся-]
кий смысл, относительно которого мы предполагаем, что он обозна- ]
чает некоторое реальное предложение, безразлично какое. Перемен-
Переменное предложение есть символ, который может обозначать в различ-j
ные моменты рассуждения различные реальные предложения»2.
Здесь символ понимается как обозначение некоторого предло-j
жения, отражающего реальную действительность. Конечно, отвле-
отвлечение от нее предложения не означает, что оно не имеет никакого |
смысла. Каждое реальное предложение о каком-то объекте что-либо |
утверждает или отрицает. Значит, понятие реального предложения i
отражает существование объектов, обладающих какими-то свойст-!
вами и находящихся в каких-то отношениях. Это означает, что оно
имеет смысл, содержание. И. И. Жегалкин пишет: «Фактически в]
наших суждениях всякий объект фигурирует не сам по себе, а через \
некоторый символ, обозначающий его, причем имя символа служит]
нам именем объекта. Два тождественных объекта есть один и тот]
же объект, обозначенный двумя различными символами. Предло-
Предложение: «объект «х» тождественен объекту «г/» — которое будем за-|
писывать так х—у, имеет для нас только такой смысл: «символ» |
обозначает тот же объект, который обозначен символом «г/»3.
1 Математический сборник. Т. 36. 1929, стр. 221.
2 Математический сборник. Т. 35. 1928, стр. 312,
* Математический сборник. Т. 36. 1929, стр. 226.
112

Сложный символ типа Ф(р, q, .... г) И. И. Жегалкин называет
формулой, аргументы которой р, q, ..., г. Формула такого типа «есть
;имвол, могущий обозначать различные реальные предложения, а
потому всякая формула есть переменное предложение»'. И. И. Же-
Жегалкин 0 и 1 рассматривает как символы заведомо ложного и заве-
заведомо истинного предложения, т. е. как символы, имеющие значение,
содержание.
И. И. Жегалкин подчеркивает, что в алгеире предложений «каж-
«каждый символ имеет двойное значение. Он может рассматриваться и
как символ предложения, и как символ числа», т. е, имеет и логи-
логическое значение, и арифметическое. И. И. Жегалкин вводит символ
х\ и объясняет его таким образом: «Предложение (х\) <$х значит:
существует хоть одно такое значение для х, три котором ф(*)
истинно»2.
Всегда, когда И. И, Жегалкин пользуется каким-либо символом,
эн рассматривает его как имеющий какой-то смысл, как связанный
с чем-то реальным. В его работе нет ни одного символа, который
эыл бы бессодержательным. Следовательно, математическую логи-
логику он не рассматривает как простую последовательность знаков,
ничего не выражающих.
Д, А. Бочвар, точно так же, как и И. И. Жегалкин, о каждым
символом, которым он пользуется, связывает какой-то смысл, какое-
го содержание. В своей системе трехзначного исчисления он в про-
противоположность высказываниям, имеющим смысл (истинное и
ложное), вводит особое высказывание — бессодержательное, бес-
бессмысленное. Так, Д. А. Бочвар следующим образом разъясняет
смысл некоторых символов: «символ f(x) читается: «х» обладает
свойством f». Символ f(x, у) читается: «х состоит в отношении
f к у». Знак (х) —основной квантор — называется знаком всеобщ-
всеобщности. Символ (х) f (х) читается: «все х обладают свойством /»3.
Д. А. Бочвар пишет: «... всякий символ высказывания есть фор-
формула... Будем говорить (в согласии с принятым словоупотребле-
словоупотреблением), что высказывание имеет смысл, если оно истинно или ложно.
Будем далее называть высказывание предложением в том, и только
в том случае, если оно имеет смысл. Высказывание, не имеющее
смысла, будем называть бессмысленным или бессодержательным»4.
Совершенно ясно, что здесь Д. А. Бочвар рассматривает символы
как имеющие содержание, смысл, так как у него символами обоз-
обозначены высказывания, являющиеся истинными или ложными,
г, е. имеющие смысл. Высказывания, не имеющие смысла, выделя-
выделяются в особую группу и называюТся?у Д. А. Бочвара бессодержа-
бессодержательными.
П. Л.Чебышев отношения между символами рассматривает как
отображения отношений между реальными вещами, Он пишет: «Вся-
1 Математический сборник. Т. 36. 1929.
s Математический сборник. Т. 35. 1928, стр. 343.
3 Математический сборник. Т. 4. Вып. 2. 1938, стр. 297.
4 Там же, стр. 287—288.
3 Заказ 103в 113

кое соотношение между математическими символами отобража<
соответствующее соотношение между реальными вещами; мг
тическое рассуждение равнозначно эксперименту безукоризненно!
точности, повторенному неограниченное число раз, и должно привс
дить к логически и материально безошибочным выводам»'.
Г. Клаус с символами и формулами математической логики
зывает какое-то определенное содержание и во многих местаэ
своей книги («Введение в формальную , логику», 1960) проводит
мысль о том, что форма, формализация в математической логик<|
не должна пониматься как полная абсолютная независимость chmj
волов и формул от какого бы то ни было содержания. Так он пишет!
«...формальный не означает не зависимый от содержания вообще..}
а лишь независимый от единичного, частного содержания»2.
Формализм в математической логике Г. Клаус связывает с при-j
менением в ней переменных, которое и дает возможность не обра^
щать внимания на смысл, содержание знаков. В связи с этим он за
мечает: «О формальной логике мы говорим именно потому, что i
ней использование переменных стало системой. Следовательно
«формальная логика» не означает, что в науке логики речь иде1
о «чистых» формах, не зависимых от содержания, ибо переменны*
обязательно относятся либо к определенной предметной области
либо ко всей совокупности реально существующих предметов. Этс
не те формы, которые не относятся к содержанию»3.
А. Черч строит свое изложение математической логики достаточ
но формальным образом, подчеркивая, что «основное внимание об
ращается на форму в отвлечении от содержания»4. Но он предлс
жения, символы математической логики не рассматривает как то
что совершенно оторвано от содержания и не имеет никакого смыс
ла. Так, он пишет: «Собственное имя, всегда чье-то имя, обозна
чает или называет то, чьим именем оно является. Предмет имени на
зывается денотат» s.
О символах математической логики А. Черч пишет следующее
«Мы называем их собственными символами и считаем, что они
ют какое-то содержание, даже взятые сами по себе: исходные име;
на — потому, что они что-то обозначают (или, по крайней мере
задуманы, чтобы что-то обозначать), переменные — потому, что
имеют (или, по крайней мере, задуманы, чтобы иметь) непустую»
ласть значений»6. Как видно из этого, А. Черч весьма далек от тс
го, чтобы с символами не связывать никакого содержания.
Идея бессодержательности математических символов являе
настолько противоречащей развитию научного знания, настольк
нелепой, что зачастую даже и идеалисты выражают определенно
1 С. Н. Бериштейи. Чебышев и его влияние иа развитие матеиатяж
Учебные записки МГУ. Вып. 91. 1947, стр. 37.
2 Введение в формальную логику. 1960, стр. 45.
'Там же, стр. 77—78.
4 Введение в математическую лопику. 1961, стр. 15.
5 Т а м же, стр. 13
1 Введение в математическую логику. 1961, стр. 37.

несогласие с ней. Например, Лейбниц не считал математические
символы лишенными содержания. Он считал лишь необходимым
отвлекаться от их конкретного содержания при выполнении каких-
либо действий. Об употреблении символов Лейбниц писал: «Следует
заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий.
Это большей частью бывает, когда обозначения коротко выражают
интимнейшую сущность вещей. Тогда поразительным образом со-
сокращается работа мысли» К
Гегель также считал, «что внешние формы мышления, оторван-
оторванные от содержания и противопоставленные ему, не способны охва-
охватить истину, но зато могут стать орудиями ошибки и софистики»'.
Некоторые из современных математиков-идеалистов также не
вполне согласны с Расселом по вопросу употребления символов.
Например, А. Тарский пишет: «Время от времени встречаются поло-
положения, подчеркивающие формальный характер математики пара-
парадоксальным и преувеличенным образом; хотя в основе своей и пра-
правильные, эти положения могут стать источником неясности и пута-
путаницы. Так, случается слышать и даже читать, что математическим
понятиям не может быть приписано никакое определенное содер-
содержание; что в математике мы, по существу, не знаем, о чем идет речь,
и что мы не интересуемся, истинны ли наши утверждения. К подоб-
подобным высказываниям следует подходить критически. Отвлечься при
построении теории от смысла ее терминов — совсем не одно и то же.
что отрицать всякий смысл за этими терминами»3.
Далее, в своей работе «Понятие истины в формализованных язы-
языках» он пишет по вопросу о «формальном» и «формализации» сле-
следующее: «Пожалуй, излишне добавлять, что в настоящем труде нас
совсем не интересуют «формальные» языки и науки в смысле слов?
«формальный», именно те науки, знакам и выражениям которых не
присущ никакой реальный смысл. По отношению к таким наукам
обсуждаемая здесь проблема (т. е. проблема истины. — Г. /(.) те-
теряет всякое значение, более того, она Становится просто непонят-
непонятной. Знакам, встречающимся в рассматриваемых нами языках, мы
всегда приписываем совершенно конкретные и понятные для нас
значения. Выражения, которые мы называем высказываниями, оста-
остаются высказываниями даже при переводе входящих в них знаков
на разговорный язык»4.
Содержание математической логики подтверждает материалис-
материалистическое понимание ее формул, символов, а также показывает пол-
полную несостоятельность их идеалистического истолкования. В мате-
математической логике отвлекаются от конкретного содержания прос
тых высказываний, а также от конкретного смысла отношений меж-
между объектами, рассматривают отношения как переменные. Но это
1 Цит. по кн. В. Н. Молодший. Очерки по вопросам обоснования математики.
1953, стр. 100.
2 Э. Кольман. О значении символической логики. В сб. «Логические ис-
исследования», 1959, стр. 4.
3 Введение в логику и методологию дедуктивных наук. 1948, стр. 177. -
* Цит. по кн. Г. Клаус. Введение в формальную логику. 1960, стр. 401.
115

не дает никаких оснований утверждать, что положения, формулы
математической логики лишены всякого содержания^ Ранее было
показано, что логические построения являются отражением в созна-
сознании существования каких-то объектов в материальном мире, нали-
наличия у них каких-то свойств, общих признаков, наличия каких-то
отношений между ними. Логические построения выражают в свя-
связях между высказываниями, и в этом смысле они имеют опреде-
определенное содержание.
Символы, которые бы ничего не обозначали, невозможны, так
же, как и формулы, представляющие собой простую последователь-
последовательность знаков, не выражающую никакого содержания. Допустим, мы
имеем некоторую последовательность бессодержательных символов
А, В я С. Нетрудно показать, что в таком понимании выражения
А, В, С имеются противоречия. Символы А, В, С — отражение в со-
сознании объектов, существующих в действительности. Поэтому, опе-
оперируя ими, мы не можем устранить из них содержание, так как они
служат для обозначения как различия, так и сходства у материаль-
материальных объектов. Мы употребили также понятие «последовательность»,
которое также связано с каким-то отношением объектов друг к дру-
другу, с наличием между ними какой-то связи.
Таким образом, предложение: «Л, В, С есть простая последова-
последовательность знаков, лишенных всякого содержания» — противоречива,
так как понятия «.символ А», «знак», «последовательность» имеют
определенное содержание.
Иногда символы математической логики (цифры, знаки) назы-
называют материальными объектами и, очевидно, в этом видят основной
момент материалистического содержания математической логики.
Так, С. А. Яновская пишет: «Дело в том, что- содержанием этой дис-
дисциплины является прежде всего изучение аппарата математических
исчислений и алгоритмов, выполняемых над материальными объек-
объектами—цифрами и другими знаками, используемыми в математи-
математике» '.
Как это было показано ранее у С. А. Яновской, при характери-
характеристике содержания математической логики ничего не говорится о том,
что ее понятия, формулы отражают свойства объективной действи-
действительности. С последними связывалась лишь общая логика. В связи
с этим можно думать, что утверждение о том, что цифры, знаки,
употребляемые в математической логике, являются материальными
объектами, понимается здесь как некоторый, весьма важный прин
цип, обусловливающий материалистическое содержание математи-
математической логики, особенно в той ее части, которая имеет совершенно!
специфический характер, и не может быть связана с объективной
действительностью через общую логику, так как «математическа
логика содержит... гораздо больше, чем нужно для общей логики»
1 «Вопросы философии», 1957, № 3, стр. 340. ;
2 А. Ветров. Предисловие к книге Г. Клауса «Введение в формальную лей
гику», 1960, стр. 13. I
116

Нетрудно видеть, что это утверждение, несмотря на его правиль-
правильность, не может играть роль такого принципа.
Конечно, в математике оперирует со знаками, отвлекаясь от то-
того, что они обозначают, и знак, написанный на бумаге, является ма-
материальным объектом. Мы можем изучать отношения между таки-
такими материальными объектами, но эгот момент не является для ма
тематики самоцелью. Оперируя знаком как материальным объек-
объектом, математик исходит из признания существования объектов в
окружающем нас мире, из признания существования различия,
или сходства между ними, т. е. он оперирует понятиями, представ-
представляющими собой отвлечение от действительности. Следовательно,
отвлечение от содержания символов имеет относительный харак-
характер.
Материалистическое понимание математики заключается преж-
прежде всего в том, что ее понятия являются отражением свойств, отно-
отношений объективного мира. Это относится и к исчислениям матема-
математической логики. Вне связи символов с материальной действитель-
действительностью в математической логике не может быть ее материалистиче-
материалистического понимания даже в том случае, если мы будем называть циф-
цифры, знаки материальными объектами.
Цифра, знак, написанный на бумаге, существует, является мате-
материальным объектом, обладает известной «жесткостью», может слу-
служить конструктивным элементом при создании какой-либо матема-
математической теории. Но при этом следует иметь в виду, что для мате-
материалистического понимания этой теории этот момент не является
основным. «Жесткость» этих конструктивных элементов опреде-
определяется также не способом написания знаков и даже не самими зна-
знаками. Она определяется тем, что эти знаки, цифры определенным
образом связаны со свойствами материальной действительности.
«Жесткость» конструктивных элементов имеет своим основанием
относительную устойчивость, относительное постоянство, определен-
определенность ряда свойств, отношений материальных объектов. Способы
обозначения понятий могут быть самыми различными, материал,
применяющийся при их начертании (чернила, мел и т. д.), также
может быть различен, но содержание символов при этом может быть
одним и тем же.
Материалистическое понимание математической логики не мо-
может сводиться к тому, что в ней имеются цифры, знаки, написанные
на бумаге. Главное здесь состоит в том, что эти знаки каким-то об-
образом связаны с объективной действительностью. Применяя термин
«материальный объект» по отношению к цифрам, знакам, нужно
учитывать, что это особые материальные объекты, которые могут
быть написаны только субъектом, без сознания которого они бы не
появились; когда не было человека, не могло быть никаких цифр,
знаков. В материальной же действительности имеются такие объек-
объекты, которые существуют независимо от человеческого сознания. Хо-
Хотя математика имеет дело непосредственно с цифрами, знаками, но
задачей математических исследований является познание свойств,
117

отношений предметов, явлений материальной действительность
обозначаемых этими цифрами, знаками.
В связи с вопросом о роли символов в математической логике!
представляет интерес следующее высказывание Г. Клауса: «К поль-1
скому логику Тарскому, выдающемуся математику, но совсем не
выдающемуся философу, восходит псевдоматериалистическая тео-
теория истины, в которой утверждается следующее: истина и ложь
присущи высказываниям, которые в свою очередь представляют со-
собой материальные явления, именно следы от чернил, отпечатки ме-
мела или звуковые волны, так что истина оказывается отношением
между материальными вещами, например между некоторым коли-
количеством типографской краски и физическим событием. Это лож-
ложное и вредное утверждение замазывает различие между материа-
материализмом и идеализмом, отрицая функцию отражения, свойственную
человеческому сознанию. На самом деле следы от чернил или отпе-
отпечатки мела являются, конечно, только внешней формой высказыва-
высказываний, которые в свою очередь представляют собой лишь словесное
выражение суждений. Истина и ложь присущи не внешней форме
высказываний, а только их содержанию, заключенной в них мысли.
Точно так же является ложным утверждение, будто имеются ис-
истинные суждения, которые не относятся к действительности. Может
показаться, что этому противоречит факт существования математи-
математических суждений. Однако это противоречие только кажущееся.
Правда, математические суждения относятся непосредственно не
к действительности, а к математическим объектам, например к чис-
числам и геометрическим фигурам. Но сами числа и геометрические
фигуры заимствованы из действительности посредством отвлечения.
И это не просто общее соображение. Современное исследование ос-
оснований математики привело к очень точному изучению и описанию
этого процесса отвлечения. Следовательно, математические сужде-
суждения, хотя и не прямо, также относятся к объективной реальности»'.
Особенно интересной здесь является мысль о том, что знак сам
по себе, след от чернил или отпечаток мела есть только внешняя
форма высказываний, которой не может быть присуща ни истина,
ни ложь. Но знак, цифра не должны рассматриваться только с этой
стороны (как следы чернил или мела), они обладают содержанием,
так как в них выражено какое-то понятие, мысль, являющаяся от-
отражением объективной действительности. Отрыв их от действи*
тельности приводит к тому, что книга, например, написанная каки-
какими-то знаками, не выполняла бы своей основной функции, не могла
быть средством познания действительности. Г. Клаус пишет: «Вне;
отношения к сознанию книги являются лишь материальными тво-
творениями, созданными из бумаги и типографской краски»2.
Допустим, что перед нами имеется знак. Мы должны установить
его истинность или ложность. Как это можно сделать? Мы устанав-
устанавливаем, какому суждению, понятию он соответствует; и если последу
1 Введение в формальную логику. 1960, стр. 63—64.
'Там же, стр. 35.
118

ние соответствуют действительности, то они истинны, если не соот-
соответствуют, то ложны. В соответствии с этим и знаку приписывается
истинность или ложность. Если же мы знак не будем связывать с
объективной действительностью, то невозможно будет судить об его
истинности или лжи. Материалистическое понимание символов ма-
математики необходимо предполагает их реальное содержание и связь
этого содержания с объективной действительностью.
Точка зрения, согласно которой в исчислениях математической
логики оперируют с материальными объектами, под которыми по-
понимаются цифры, знаки, якобы не обладающие смысловым значе-
значением, приводит к утверждению о том, что формализация теории яв-
является одним из способов исключения научных абстракций, кото-
которые в процессе применения теории к практической деятельности
должны быть заменены материальными вещами, конкретными мате-
материальными объектами. Таких взглядов на формализацию матема-
математических теорий, на практическое их применение придерживается
проф. С. А. Яновская.
Введение символа не устраняет понятия, обозначением которого
он является. Сводить понятия к знакам нельзя, так же, как и сим-
символы, знаки нельзя смешивать с теми материальными объектами,
которые они обозначают и которые существуют независимо от соз-
сознания.
В. И. Ленин предостерегал от неправильного употребления сим-
символов в математике, при котором теория сводится лишь к символам,
знакам, и указывал, что такое применение символов приводит к
«деализму. Так, он писал: «Отметить лишь ...замечания о символах,
что против них вообще ничего иметь нельзя. Но «против всякой
символики» надо сказать, что она иногда является «удобным сред-
средством обойтись без того, чтобы охватить, указать, оправдать оп-
определения понятий»... А именно в этом дело философии»1. «Новое
течение в физике видит в теории только символы, знаки, отметки
для практики, т. ^е. отрицает существование объективной реаль-
реальности, независимой от нашего сознания и отражаемой им»2.
Энгельс, критикуя эмпирический подход к абстракциям, писал:
«Это старая история. Сперва создают абстракции, отвлекая их от
чувственных вещей, а затем желают познавать их чувственно,
желают видеть время и обонять пространство. Эмпирик до того
втягивается в привычное ему эмпирическое познание, что вообра-
воображает себя все еще находящимся в области чувственного познания
даже тогда, когда он оперирует абстракциями»3.
Следовательно, Энгельс и Ленин считают неправильным сме-
смешение понятий с их чувственно-материальными формами, сведе-
сведение понятий к знакам, символам, при котором исчисления мате-
математической логики рассматриваются как простая последователь-
последовательность знаков, лишенных всякого содержания, или знаки рассмат-
1 В. И. Л е и и и. Философские тетради, стр. 93.
1 В. И. Л е и и н. Материализм и эмпириокритицизм. 1950, стр. 239.
* Диалектика природы. 1953, стр. 137.
119

риваются как материальные объекты (поскольку они написаны
краской или мелом, следы краски или мела материальны).
Для правильного понимания роли символов в математике не-
необходимо четко отграничивать от обозначаемых ими понятий,,
а также от материальных объектов, которые существуют незави-
независимо от сознания, Символы, знаки есть чувственно-материальная
форма понятий. Символ, знак представляет собой единство его-
смыслового содержания с графическим изображением. В то же.
время символ, знак выполняет особую функцию, состоящую в
том, что применение знаков делает возможным фиксирование
содержания понятий и передачу их другим лицам. Сведение по-
понятий к символам, замена их чувственно-материальными форма-'
ми (знаками) глубоко ошибочны.
Символы, знаки появились в связи с тем, что развитие челове-
человеческого познания требовало, чтобы содержание понятий было вы-
выражено в более обобщенной форме. По этой причине они приме-
применяются в математической логике. Отсюда следует, что ее исчис-
исчисления не могут рассматриваться как системы правил оперирова-
оперирования не с понятиями (обозначенными символами), а только лишь'
со знаками, якобы не имеющими смысла и не отражающими |
свойств действительности. В этих исчислениях оперируют со зна- ,
ками, но последние осмысленны. Следовательно, формализация]
теории не может рассматриваться как способ исключения из нее \
научных-абстракций. '
Таким образом, для материалистического понимания матема-
математической логики ее абстракции необходимо рассматривать в свя-
связи с конкретным, с многообразной действительностью, хотя эта
связь имеет свои специфические стороны. С. Клини в книге «Вве-
«Введение в математику» весьма обстоятельно показывает, каким об-
образом осуществляется в математике построение формализован-
формализованной теории. Из этого видно, что символы в математике невозможна
применять как полностью лишенные какого бы то ни было смысла,
что математическая теория не может быть построена таким обра-
образом, чтобы она была полностью оторвана от отношений конкретных
объектов материальной действительности.
Построение формализованной теории связано с выбором аксиом,
из которых логически выводимы остальные предложения. У Клини
введение в формализованную теорию формальных объектов связа-
связано с применением понятий «переменные», «постоянные», «сходство»,
«различие», «последовательность», которые имеют определенный
смысл. Клини пользуется понятием «терм», который аналогичен су-:
ществительному в грамматике. «Термы... натуральные числа, фик-
фиксированные или переменные»1. С этим термином связывается не-
некоторое содержание, смысл.
Клини пользуется также понятием соединения, сочленения, кото- i
рое также имеет определенное содержание. Он определяет через.!
1 Введение в метаматематику. 1957, стр. 64.
120

«терм» и логические постоянные (импликация, конъюнкция,
дизъюнкция, отрицание), которые обладают определенным содержа-
содержанием, смыслом. Они отражают свойства, отношения объективного
мира. Какие бы сложные исчисления не содержала формализован-
формализованная система, все они основаны на использовании понятий истинно-
истинности, ложности, сходства, различия, последовательности, терма, ло-
логических постоянных, являющихся содержательными. Следователь-
Следовательно, исчисления формализованной системы также обладают смыс-
смыслом.
А. Тарский приводит пример построения формализованной си-
системы (фрагмент арифметики действительных чисел). Для этого он
вводит первичные термины и первичные утверждения (аксиомы).
Первичные термины, по его мнению, понятны сами собой, и при по-
построении формализованной теории их употребляют без объяснения
смысла. Аксиомы принимают за истинные, «не устанавливая каким-
либо образом их достоверности» 1. Тогда в этой теории «высказыва-
«высказывания являются лишь сочетаниями знаков, лишенных какого-либо со-
содержания»2. Первичные термины, которые здесь использует Тар-
Тарский, такие: действительное число; меньше, чем; больше, чем; сумма.
Аксиомы: 1. х — у или х<у или х>у.
2. Если х<у, то y<tx.
3. Если х>у, то у > х.
4. Если х<у и у <z, то х <z.
Ъ: Если х>у и у >z, то x>z3.
Все эти термины и аксиомы, само собой, понятны, очевидны бла-
благодаря опыту, практике. Они связаны и с предыдущим развитием
теории, не произвольны, обладают смыслом, отражают определен-
определенные связи и отношения объективного мира. А это значит, что и фор-
формализованная теория, которую строит здесь А. Тарский, также
имеет содержание. Следовательно, при построении формализован-
формализованных теорий не происходит исключения научных абстракций. Форма-
Формализованные теории, исчисления математической логики выражают
общее в связях между высказываниями и в этом смысле они имеют
определенное объективное содержание. Отвлекаясь от конкретного
смысла составляющих высказываний, формализованные системы
дают возможность более глубоко исследовать отношения истинно-
истинности и ложности, отвлечение же от последних, может служить поля-
полями более глубокого анализа каких-либо других отношений, напри-
например, сходства и различия.
Формализация теории означает не исключение научных абстрак-
абстракций, а подъем познания на более высокую ступень абстрагирования,
что обусловливает расширение приложений математики и ее кон-
конкретизацию.
Теория, из которой абстракции исключены, была бы лишенной
1 А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. 1948.
стр. 164.
8 Т ам же, стр. 183.
'Там же, стр. 208, 209.
121

содержания, пустой, и практически ее применить было бы невоз-
невозможно. Применять, собственно, было бы нечего, так как исключение
абстракций означало бы прекращение существования данной тео-
теории. Исключить из формализованной теории абстракции, заменить
их знаками невозможно, так как между абстрактными понятиями
и материальными объектами, так же, как и между абстрактными
понятиями и их чувственно-материальной формой, имеется качест-
качественное различие. Маркс писал, что «идеальное есть не что иное, как
материальное, пересаженное в человеческую голову и преобразо-
преобразованное в ней»'.
Понятие есть отражение вещи в сознании, идеальный образ ма-
материального В. И. Ленин писал: «Что и мысль и материя «дейст-
«действительны», т. е. существуют, это верно. Но назвать мысль мате-
материальной— значит сделать ошибочный шаг к смешению материа-
материализма с идеализмом»2. «Что в понятие материи надо включить и
мысли... это путаница, ибо при таком включении теряет смы1;л гно-
гносеологическое противопоставление материи духу, материализма
идеализму...»3.
_. Эта мысль Ленина популяризуется советскими авторами. Так,
И. С. Нарский совершенно правильно отмечает, что «стирать вся;
кую грань между фактом и его фиксацией в языке — значит стирать
грань между объектом и деятельностью субъекта, как это и делают
неопозитивисты (а также операционалисты)»4. «Рассмотрение абст-
абстракций как фикций или словесных знаков, лишенных объективного
содержания, характерно для многих школ современной буржуазной
философии»5.
Д. П. Горский пишет: «Неопозитивизм исключает из рассмотре-
рассмотрения мышление (и, следовательно, и абстракции как результаты от-
отражательной мыслительной деятельности), а анализ знания огра-
ограничивает чисто формальным анализом языка, фиксирующего это
знание. При этом то общее, что выражено в языке неопозитивисты
стремятся свести к чувственным данным... Попытки современного
позитивизма освободить от абстракций науку, в том числе и мате-
математику, которая постоянно оперирует абстракциями, также несо-
несостоятельны. Изгоняя одни абстракции, позитивизм вынужден вво-
вводить другие... Поэтому стремление неопозитивизма устранить абст-
абстракции из науки можно объяснить лишь мотивами мировоззренче-
мировоззренческого порядка»6.
Отождествление чувственно-материальной формы понятия с
материальными объектами, существующими независимо от созна-
1 К. М а р к с. Капитал, т. 1, 1950, стр. 19
* В. И. Л е н и н. Материализм и эмпириокритицизм. 1950. стр. 227.
•Там же, стр. 229.
4 Критика основных принципов теории познания неопозитивизма. «Вопросы
философии>, 1962, № 1, стр. 66.
6 П. В. К о п н и н. Диалектика как логика. 1961, стр. 175.
1 Д. П. Горский. Вопросы абстракции и образование понятий. 1961,
стр. 42, 263.
122

s-шя, от результатов познавательной деятельности человека, приво-
приводит к утверждению о необходимости исключения научных абстрак-
абстракций из теории всякий раз, когда последняя применяется в практике.
При таком подходе абстракции изгоняются из формализованной
теории, а также и при применении этой теории на практике. Но это
изгнание абстракций является совершенно несостоятельным.
Энгельс пишет: «...вся так называемая чистая математика зани-
занимается абстракциями...»1.
В. И. Ленин в своих работах много уделял внимания вопросу
связи теории с практикой, но у него нет и намека на такой характер
этой связи, при котором абстрактные понятия исключаются и заме-
заменяются конкретными материальными объектами, предметами, ве-
вещами. Ленин подчеркивал, что мы, действуя на предметы в соот-
соответствии с нашими знаниями о них, можем получить тот результат,
который ожидали, и тогда наши знания соответствуют действитель-
действительности, в противном же случае не соответствуют ей2.
Ленин указывал также и на то, что идея становится объективной
истиной через практику. «Истина есть процесс. От субъективной
идеи человек идет к объективной истине через «практику» и (тех-
(технику) 3.
Таким образом, практическое применение теории представляет
собой применение наших знаний (в том числе и абстрактных поня-
понятий) к действительности. В результате этого мы можем отделить
истинное от ложного, прийти к объективной истине. Но объективная
истина — это мысль, которая соответствует объективному миру.
Следовательно, при практическом применении теории абстрак-
абстракции не могут исключаться из процесса познания. Если мы практи-
практическое применение теории начнем с того, что исключим абстракции,
то у нас не будет знаний о предмете, о том, как действовать на него.
«Практическое и теоретическое (мышление) неразрывно связа-
связаны между собой, теоретическое находит в практическом свое мате-
материальное воплощение. В каждом орудии производства, научном
эксперименте воплощена определенная идея, теоретическое построе-
построение. Посредством своего материального, практического воплощения
происходит процесс проверки объективной истинности содержания
мышления»4.
Но это не означает, что абстракции исключаются, заменяются
материальными объектами при практическом применении теории.
Если признать, что при практическом применении теории происхо-
происходит исключение абстракций, это приведет к парадоксальным выво-
выводам. Например, в институте студенты усвоили очень много сложных
научных понятий, изучили ряд теоретических дисциплин (сопромат,
теорию сооружений, детали машин и т. д.). Когда же они стали ин-
инженерами и на заводе, на стройках должны приступить к практи-
1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг, стр. 354.
1 См. В. И. Ленин. Материализм и эмпириокритицизм. 1950, стр. 93, 94.
1 В. И. Л е н и н. Соч. т. 38, Философские тетради, стр. 192.
' П. В. Ко пнин. Диалектика как логика. 1961, стр. 200.
123

ческому применению своих знаний, то должны начать с исключения!
абстракций, с исключения того, что они усвоили в вузе. Они ка«?
ким-то образом (непостижимым) должны заменить усвоенные в про-
процессе обучения понятия материальными объектами, с которыми
встречаются в практике. Как же должна произойти эта замена? Ка-
Каким образом понятия, связанные с расчетными формулами, относя-'
щимися к размерам балок, опор, валов, заменить самими этими
предметами? Эта задача — выше всякого человеческого разумения, j
В действительности применение теории на практике начнется с то-
того, что эти инженеры постараются получше разобраться в научных
понятиях, которые им известны, будут действовать на предметы в
соответствии с усвоенными ими понятиями (по Энгельсу и Ленину).
В результате этого понятия получат некоторое воплощение в ма-
материальной действительности, поскольку последняя изменена благо-
благодаря деятельности этих инженеров. Кроме того, сами понятия полу-
получат проверку, уточнение, обогащение, а некоторые из них будут от- •
брошены как ложные. Какое же здесь может быть исключение абст-
абстракций? Чему оно должно служить и как оно может быть осуществ-
осуществлено? Единственно возможный ответ на этот вопрос может быть та-
таким: при практическом применении любой научной теории никако- \
го исключения из нее абстракций не происходит, как и не проис-
происходит никакой замены их вещами, предметами.
XXII сьезд КПСС принял новую Программу, которая включает
немало новых понятий, а также развивает некоторые прежние поня-
понятия. Согласно концепции исключения абстракций развернутое
строительство коммунистического общества должно происходить
при исключении абстракций, понятий, замене их материальными
объектами, с которыми связано практическое применение данных
понятий (заводами, фабриками, мясом, молоком, хлебом, обувью,
одеждой и т. д.). Но это не соответствует действительности. Наобо-
Наоборот, практическая деятельность советских людей сочетается с глубо-
глубоким изучением, усвоением научных абстракций новой Программы
КПСС, так как это необходимо для их применения на практике.
Признание возможности замены абстрактных понятий мате-
материальными вещами может привести к совершенно неправильному
пониманию соотношения между мозгом человека и электронной
счетной машиной. Действительно, если считать, что в формализован-
формализованной теории абстракции исключены, заменены знаками, затем при
конструировании счетных машин связи между этими знаками заме-
заменены связями между такими материальными объектами, как лам-
лампочки, проводники, выключатели и т. д., то, значит, нет качествен-
качественной разницы между человеческим мозгом и машиной. Абстракции,
которыми оперирует человеческий мозг, оказались замененными
материальными объектами, которыми оперирует машина. В дей-
действительности дело обстоит не так.
«Машина не может создавать идеальный образ действительно-
действительности путем абстракций, это функция человеческого мозга, и только
его... она имеет дело только со всевозможными чувственными зна-
124

ками и оперирует только с их материальным содержанием... Маши-
iia — только материальное средство человеческого мышления. Чело-
Человек все большее число функций, выполняемых им в процессе мыш-
мышления, будет передавать машине, оставив за собой единственную —
само мышление как способ отражения действительности путем абст-
абстракций» '.
Таким образом, здесь имеет место замена некоторых действий
человека действием машины. Возможность этого основана на том,
что между материальным и идеальным есть связь, сходство, прояв-
проявляющееся в функции отражения. Но между материальным и
идеальным есть принципиальное различие, и поэтому идеальное
(понятие) не может быть заменено материальным (конкретным ма-
материальным объектом). Утверждение о возможности, а иногда да-
даже необходимости такой за\чены связано с тем, что не принимается
зо внимание то, что понятия есть отражение действительности.
Следовательно, сведение понятий к чувственно-материальной
форме, к знакам, а затем смешение этих знаков с материальными
объектами, существующими независимо от сознания человека, при-
приводит к отступлению от материалистического решения основного
вопроса философии.
«Буржуазные философы пытаются заменить понятие материи, в
содержании которого строго выражено материалистическое реше-
решение основного вопроса философии, понятием объект," под которым
можно понимать все: и предметы материального мира, существую-
существующие вне зависимости от нашего сознания, и результаты мыслитель-
лой деятельности человека, которые могут служить объектом для
теоретических исследований субъекта»2.
Содержание математической логики не дает никаких оснований
для концепции (исключения из нее абстракций. Эта концепция мо-
может послужить причиной того, что математическая логика как фор-
формализованная теория может трактоваться как некий вспомогатель-
вспомогательный аппарат, не имеющий объективного содержания, а посему не
имеющий никакого практического значения.
Преувеличение формальной стороны математической логики
иногда приводит к тому, что исчисления математической логики
противопоставляются так называемому содержательному мышле-
мышлению. Можно встретить утверждения, что в математической логике
имеются исчисления, которые почти совершенно не связаны с зако-
законами, формами содержательных рассуждений, но они дают возмож-
возможность из истинных посылок получать истинные заключения. Когда
сложные технические практические задачи нельзя решать методами
содержательного мышления, тогда обращаются к исчислениям ма-
математической логики (т. е. к формализованным теориям). Действи-
Действительно, в математической логике отвлекаются от конкретного со-
содержания высказываний, от конкретного смысла отношений, и ма-
1 П. В. Копбин. Диалектика как логика. 1961, стр. 159—162.
•Там же, стр. 148.
125

тематическая логика позволяет решать такие задачи, которые без
применения ее средств решить невозможно. Но исчисления матема-
математической логики не могут быть противопоставлены содержатель-
содержательному мышлению. Если различение вообще допустимо, то его нужно|
понимать как относительное, но не абсолютное. Абсолютизирование
этого различения приводит к следующему. Есть содержательное
мышление, оно обладает конкретным смыслом, так как отражает
свойства вещей, процессов материального мира. Есть исчисления
математической логики, которые будто бы не связаны с конкрет-
конкретным, со свойствами вещей, процессов материального мира. Они
подчиняются особым законам и лишь в очень слабой степени свя-
связаны с законами содержательного мышления.
Нетрудно видеть, что здесь математическая логика трактуется
таким образом, что ее развитие будто бы происходит по совершенно ]
другим законам, которые почти не связаны с законами содержа- j
тельного мышления. Но ведь законы содержательного мышления,
так же, как и законы исчислений математической логики (и вообще,
каждой области научного знания), обусловлены теми законами, по
которым развивается объективная действительность.. Они не могут
быть не связаны друг с другом или же быть связанными в очень ]
слабой степени. Есть такие законы, которые действительны для при-
природы, общества, мышления, а значит, и для любой области челове-
человеческого знания.
Энгельс об этом пишет следующее: «Над всем нашим теорети-
теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что
наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним
и тем же законам и что поэтому они и не могут противоречить друг
другу в своих результатах, а должны согласоваться между со-
собою»1.
Таким образом, как содержательное мышление, так и исчисле-
исчисления математической логики должны согласовываться с законами
развития объективного мира. Поэтому непонятно, каким образом
исчисления математической логики могут быть лишь в очень сла-
слабой степени связаны с законами содержательного мышления. Кро-
Кроме того, высказывания математической логики отличаются от со-
содержательных высказываний более высокой степенью отвлечения.
в то время как законы связи понятий в том и другом случае имеют
много общего.
Например, к содержательному мышлению могут быть отнесены
высказывания: «Тепло и светит солнце», «Грустно и тоскливо». В ис-
исчислении высказываний этим предложениям будет соответствовать
«р» и «<7» (р • q). Характер употребления союза «и» является в этил
случаях одинаковым. Конечно, употребление союзов в математиче-
математической логике имеет особенности по сравнению с их обычным упот-
употреблением (например, импликация, дизъюнкция), но все же это не]
дает оснований утверждать, что исчисления математической логик»!
1 Диалектика природы. 1953, стр. 213.
126

в очень слабой степени связаны с законами содержательного мыш-
мышления. Ведь общие формы употребления логических постоянных
как раз и возникли как результат отвлечения от употребления их в
огромном количестве содержательных конкретных высказываний.
Если бы в отдельных конкретных высказываниях не применялись
союзы «и», «или» и т. п. или же применялись бы совершенно иным
образом, то было бы невозможным создание именно тех исчислений
высказываний, которые имеются в математической логике. Абстрак-
Абстракции математической логики формировались как отвлечение от кон-
конкретного, их формирование было связано с общественно-практиче-
общественно-практической деятельностью людей, в которой, конечно, применяются со-
содержательные высказывания. Учитывая все эти обстоятельства,
можно думать, что очень слабая связь исчислений математической
логики с законами содержательного мышления представляется, по
крайней мере, маловероятной.
Клини в книге «Введение в метаматематику» весьма обстоятель-
обстоятельно показывает, каким образом осуществляется в математике пост-
построение формализованной теории. Из этого построения видно, что
символы в математике невозможно применять в отрыве от всякого
содержания как полностью лишенные какого бы то ни было смысла,
что математическая теория не может быть построена таким обра-
образом, чтобы она была полностью оторвана от свойств, отношений
конкретных материальных объектов. Построение формализованной
теории начинается с выбора аксиом как предложений, из которых
логически выводимы остальные предложения. Клини пишет, что при
формализации теории «все значения всех слов исключены из рас-
рассмотрения, и все условия, регулирующие употребление этих слов
в теории, явно высказаны... Так как мы полностью абстрагирова-
абстрагировались от содержания или сущности, сохранив только форму, то мы
будем говорить, что данная теория формализована. Будучи фор-
формализованной, теория по своей структуре является уже не системой
осмысленных предложений, а системой фраз, рассматриваемых как
последовательность слов, которые, в свою очередь, являются после-
последовательностью букв... строгая формализация теории предполагает
полную абстракцию от смысла» '.
Уже в этих положениях, характеризующих формализованную
теорию, слова, фразы связаны с определенным смыслом, поскольку
они рассматриваются как последовательности знаков. Понятие по-
последовательности характеризует определенное отношение объектов
друг к другу, а понятие знака связано с их отличием друг от друга,
математик должен иметь возможность отличать символы теории
друг от друга, чтобы иметь возможность ими оперировать.
Для построения формализованной теории применяется мета-
метаязык, являющийся содержательным, затем она должна быть интер-
интерпретирована, для ее исследования строится метаматематика, явля-
являющаяся содержательной, представляющая собой систему
Введение в метаматематику, 1957, стр. 59—60.
127

положений об объектах формализованной теории. Почему же ока-
оказалось необходимым строить метаматематику? Очевидно, это связа-
связано с тем, что формализованная теория имеет содержание, которое
необходимо исследовать. Но ведь сама 'метаматематика также мо-
может рассматриваться как объект 'исследования для какой-то теории.
Тогда эта теория может быть названа метаметаматематикой, а за
ней следующая (мета) метаметаматематика и так без конца.!
Клини пишет: «Если бы мы пожелали при этом быть пунктуаль-
пунктуальными, то пришлось бы построить метаметаматемат.ику»1.
Совершенно ясно, что этот процесс бесконечного построения ме-
таматематик не может дать математикам опоры и они вынуждены
обращаться к чему-то другому. И тогда в качестве опоры для мате-
математики при ее идеалистическом истолковании выдвигается то, что
является интуитивно ясным, очевидным. «Утверждения метатеории
должны быть понимаемы. Ее выводы должны убеждать. Они долж-
должны состоять в интуитивных умозаключениях, а не в применении
установленных правил, как выводы в формальной теории. Чтобы
формализовать предметную теорию, были установлены правила, но
теперь без всяких правил мы должны понимать, как эти правила
действуют. Интуитивная математика необходима даже для опреде-
определения формальной. (Мы будем понимать это" в том смысле, что для ;
обоснования математического умозаключения приходится обра-
обращаться в конечном смысле к очевидности, а не к какому-либо мно-
множеству условно принятых правил)»2.
А что же собой представляет очевидная ясность, убедительность?
Для материалиста эта очевидная ясность, убедительность имеет
основание не в прирожденной интуиции, представляющей собой, по
мнению интуитивистов, нечто сверхъестественное, иррациональное,
а в материальной действительности, в свойствах, отношениях опре-
определенных конкретных объектов, в практике, в бесчисленном повто-
повторении опыта. Почему математику представляется ясным понятие
единицы, или операции «следования за»? Потому, что эти понятия
имеют в своей основе опыт.
Следовательно, формализованные теории не могут быть пост-
построены в полном отрыве от содержания, их абстракции не могут
быть оторваны от конкретного многообразия действительности.
Этим и объясняется тот факт, что для формализованной теории
строят интерпретации, а также метатеорию. В том и другом случае,
математика должна искать свою опору в объективной действитель-;
ности, в опыте, в практике, в связи ее абстракций с конкретным.
При задании символов формализованной теории Клини не вы-,;
держивает принципа, согласно которому «формальные символы...!
простые знаки, а не... символы, которые что-либо означают. Пред-1
полагается только, что мы умеем распознавать каждый символ как!
тот же самый при каждом из его вхождений и отличать его от всех!
1 Введение в метаматематику. 1957, стр. 80.
2 Т а м же, стр. 61.
128

других формальных символов. В частности, предполагается, что мы
умеем распознавать переменные»-1.
Здесь формальные символы связаны с весьма содержательными
дризнаками, т. е. с признаками сходства и различия.
«Задаются-также логические символы: } (втечет), $> (и).
V (или),— (не), V (для всех) ,}-> (существует). Символы предика-
предикатов: = (равняется). Символы функций: + (плюс),- (умножить),...1
(следующее за). Индивидуальные символы: 0 (нуль). Переменные:
а, Ь, с. Скобки: /, Ь2.
Но ведь такое задание формальных символов связывает их о
определенным смыслом, содержанием, причем смысл слов, поме-
помещенных в скобках, очевиден для всех из опыта. Хотя Клини и гово-
говорит, что эти интерпретации символов (т. е. пояснения в скобках) не-
несущественны, однако это не устраняет их связей с содержанием.
Конечные последовательности вхождений формальных симво-
символов называются у Клини формальными выражениями. О них он пи-
лет: «...для формальной системы как таковой выражения ничего не
выражают, а являются только некоторыми распознаваемыми зна-
знаками и различными объектами»3.
Из этой фразы следует, что выражения, о которых идет речь, вы-
выражают отношения различия, т. е. они также в какой-то степени
связаны с содержанием..
Таким образом, из самого построения формализованной теории
следует, что последняя не может быть полностью, абсолютно отор-
зана от какого бы то ни было содержания, смысла. Принцип форма-
формализации математических теорий, как известно, является весьма по-
полезным, играет положительную роль в развитии математики, но не
следует его абсолютизировать. Применение его означает необходи-
необходимость, полезность отвлечения от какого-то определенного конкрет-
конкретного содержания, например от конкретного смысла исходных вы-
высказываний, составляющих сложное высказывание, или же от ка-
какого-то иного содержания, но при этом отвлечение не должно пони-
пониматься как отвлечение от какого бы то ни было содержания и
смысла.
Теорема Геделя опровергает возможность устранения содержа-
содержания из математики. Она показывает, что любая математическая
теория не может быть полностью формализована внутренними сред-
средствами самой же этой теории. Для доказательства ее непротиворе-
непротиворечивости требуется использование средств внешних для данной тео-
теории. В последнем же счете необходимо обращение к конкретному
многообразию материальной действительности. Теорема Геделя
о непротиворечивости формальной системы формулируется следую-
следующим образом: «Если арифметическая формальная система... (прос-
(просто) непротиворечива, то не consis, иначе говоря, если указанная си-
система непротиворечива, то не существует доказательства ее непро-
1 Введение в метаматематику. 1957, стр. 68.
2 Т а м же, стр. 67,
'Там же, гтр. 68,
заказ 1036 129

тиворечивости, проведенного средствами, формализуемыми в этой
системе»1.
Оценивая влияние теоремы Геделя на развитие математики,
А, Мостовский пишет: «Теорема полноты имела сильное влияние
на наши воззрения, на так называемые формализованные логиче-
логические и математические системы. Нам кажется, что эти системы
имеют уже только историческое значение»2.
Преувеличение роли формы в математике и отбрасывание содер-
содержания приводит к невозможности выяснения природы математики.
«Выяснение природы математики относится не к математике, а к
философии и возможно только в рамках широких философских
воззрений, понимающих математику не в отрыве от остальной нау-
науки, а учитывающих ее происхождение из естествознания, примене-
применение, связи с другими науками, и, наконец, ее историю»3.
Следовательно, в рамках чистой формы математика не может
развиваться. Необходимым условием ее развития является связь
с конкретным многообразием действительности. I
Связь содержания с формой ярко проявляется в понятиях, фор-
формулах математической логики. Например, всякая логическая форму-
формула может быть представлена как многочлен, линейный относитель-
относительно каждого аргумента. Такой вид логическая формула может иметь
только вследствие двухзначности исчисления. Это значит, что со-
содержание предложений определяет форму логических выраже-
выражений. Форма же в свою очередь оказывает активное влияние на со-
содержание. Возможность представлять логические выражения в фор-
форме линейных многочленов значительно облегчает, упрощает вычис-
вычисление истинности или ложности логического выражения, т. е. яв-
является целесообразной формой логических выражений и значитель-
значительно облегчает исследование их содержания.
Математическая логика, как и вся, вообще, математика, содер-
содержательна. В работах Энгельса имеется немало высказываний, ко-
которые полностью подтверждают положение о неразрывной связи со-
содержания и формы в математике. Так, Энгельс пишет: «Чистая ма-
математика имеет своим объектом пространственные формы и ко-
количественные отношения действительного мира, стало быть — весь-
весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает
чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать
его происхождение из внешнего мира»4. Здесь Энгельс указывает;
на то, что математические абстракции не оторваны от содержания^
Далее, Энгельс пишет о соотношении содержания и формы сле-J
дующее: «Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и от-]
ношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их|
содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безраз-
безразличное;
1 Введение в метаматематику, 1957, стр. 190.
2 Успехи математических наук. Т. 9. Вып. 3. 1954, стр. 26.
3 Там же, стр. 36.
4 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг, стр. 37.
130

таким путем мы получим точки, лишенные измерений, линии, ли-
лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и у, постоянные и пе-
переменные...»1.
Когда Энгельс говорит о том, что пространственные формы и
количественные отношения следует оторвать от их содержания, то
он имеет в виду лишь прием изучения, метод абстрагирования, при-
применяемый в математике (так же, как и в других науках), при кото-
котором мы отвлекаемся от множества частностей, от несущественного,
второстепенного и сосредоточиваем внимание на том, что является
при данных условиях существенным, главным, общим.
Изучая пространственные формы и количественные отношения,
мы можем отвлечься от того, с какими конкретными телами они
связаны, из какого материала эти тела состоят, каково их внутрен-
внутреннее строение и т. д. Это значит, что при абстрагировании мы отвле-
отвлекаемся от конкретного • содержания материальных объектов.
Но абстрагирование — это лишь одна из сторон процесса познания,
она находится в единстве со своей противоположностью, с конкрет-
конкретным, мышление от абстракций вновь идет к конкретному. Каждая
абстракция отражает какую-либо существенную сторону множе-
множества отдельных, конкретных объектов. Совокупность математиче-
математических абстракций дает многостороннее отражение этих объектов.
Общность абстракций, их многочисленность обусловливают
полноту, конкретность познания и широкую применимость их в
практике. Там же, где Энгельс пишет о необходимости отвлечения
от конкретного содержания при абстрагировании, он пишет о необ-
необходимости обращения от абстрактного к конкретному. «Этими то-
тощими положениями, — пишет Энгельс,— ни в математике, ни где-
либо вообще никого не соблазнишь. Чтобы подвинуться дальше,
мы должны привлечь реальные отношения, отношения и простран-
пространственные формы, отвлеченные от действительных тел»2.
Таким образом, если рассматривать процесс познания как един-
единство и борьбу таких противоположностей, как абстрактное и конк-
конкретное, то отсюда следует вывод о том, что математика развивается
в направлении еще более тесной связи содержания и формы.
Каждое понятие имеет определенное содержание как совокуп-
совокупность всех его существенных признаков, отражающих какие-то свой-
свойства предметов, явлений. Математические понятия также имеют
своим содержанием совокупность существенных признаков, являю-
являющихся отражением свойств пространственных форм и количествен-,
ных отношений. Это содержание должно иметь какое-то выражение,
т. е. содержанию математической теории соответствует свойствен-
свойственная ей определенная форма.
Изменение содержания математической теории может вызывать
возникновение совершенно особой формы, специфической для дан-
данной теории. Например, когда-то содержание математических позна-
познаний людей было чрезвычайно ограниченным, бедным, когда они не
могли считать даже до 10, не имели понятия о количестве как та-
1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг, стр. 37.
2 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг, стр. 38.
131

ковом. Соответственно этому тогда не возникала и необходимость в
какой-либо определенной системе счисления, в письменной позици-
позиционной арифметике, т. е. в соответствующем оформлении содержания
математических знаний. Расширение, обогащение содержания мате»;
матических знаний, более глубокое понимание количественных отно-
отношений закономерно привели к возникновению буквенно'й символи-
символики, т. е. определенного элемента математической формы, который]
сыграл огромную роль в развитии содержания математики. В про-!
цессе возникновения новых теорий происходили соответствующие ]
изменения форм в математике, которые оказывали серьезнейшее
злияние на развитие содержания этих теорий. Математическая ло-
логика дает яркий пример такого взаимодействия между содержани-
содержанием и формой.
О необходимости связи философских исследований
в области математической логики с идеями В. И. Ленина
Философское содержание математической логики может быть
аонято только на основе марксистско-ленинских идей. Но, необхо- j
димо отметить, что не всегда работы по философским проблемам]
математической логики должным образом связаны с идеями
3. И. Ленина. Например, об этом свидетельствует вышедший в
1962 г. сборник статей .под названием «Философские вопросы совре-
современной формальной логики», а также работа Д. П. Горского «Во-
аросы абстракции и образование понятий» A961 г.).
Название сборника не отражает связи его содержания с марк-i
систско-ленинской философией. В сборнике нет предисловия или
эводной статьи, где было бы указано, с какой целью он выпускает-
выпускается, была бы дана характеристика философских исследований в об- <
ласти математической логики, было бы указано, какие положения
марксистско-ленинской философии являются наиболее важными
для понимания сущности исчислений математической логики, ка-(
кие произведения классиков марксизма-ленинизма (натр., Фило-
Философские тетради В. И. Ленина) имеют особенно существенное зна-j
^ение для философских исследований в этой области, какие момен-j
ты фактического содержания математической логики имеют особо;
эажное значение для марксистской философии, какие перспекти-j
вы, наиболее актуальные задачи стоят перед философами-маркси-1
стами, занимающимися исследованием философского содержания!
а значения математической логики..
В сборнике, посвященном философским шроблемам, нет ни од-|
аой статьч, в названии которой была бы видна связь ее содержания
с какой-либо проблемой марксистской философии. В самом содер*
жании статей положения марксистско-ленинской философии почт
не встречаются и не видно, чтобы они являлись в них руководящи!
ми принципами исследования. Например, в статье А. И. СубботинаГ
«Смысл и ценность формализации в логике» не используются по!
ложения В И. Ленина о единстве содержания и формы, об апреле
ляющей роли содержания.
132

В статье Д. П. Горского «Формальная логика и язык» говорится
о том, что математическая логика определенным образом связана
о обычным языком, представляет собой известное отвлечение от это-
этого языка. Вопрос же о связи исчислений математической логики с
объективным миром фактически здесь не рассматривается. Конечно,
исследование вопроса о связи исчислений математической логики с
обычным языком является полезным делом. Но все же для матери-
материалистического истолкования сущности этих исчислений являете*
необходимым показать связь этих исчислений с объективным ми-
миром. Вопрос о связи математической логики с объективным миром
ле может быть подменен вопросом о связи ее с обычным языком,
так как первый вопрос является вопросом о связи сознания с мате-
материальной действительностью, а второй о связи сознания с созна-
сознанием же.
Д. П. Горский пишет: «Используя тот факт, что в современной
математике иногда числа рассматривают как знаки вместе с прави-
правилами оперирования с ними, неопозитивисты стали утверждать, что
математика освободилась от абстракций. По этому поводу следует
заметить, что абстракции при таком толковании чисел не изгоня-
изгоняются из математики, а переносятся из сферы объектов в сферу
правил, которые имеют весьма абстрактное содержание.
Диалектический материализм справляется с такого рода труд-
трудностями, поскольку не отрицает сферы мышления, и рассматривает
«абстрактные предметы», как идеализированное и опосредствен-
ное отражение в нашей голове известных сторон действительности.
При этом, рассматривая процесс познания диалектически, мы име-
имеем возможность проследить, как эти абстракции образуются и как
они (в случае необходимости) могут быть элиминированы и све-
сведены к тем чувственно-воспринимаемым предметам и их отноше-
отношениям, в результате изучения которых они были образованы»1.
Конечно, автор совершенно прав, когда он возражает против
изгнания абстракций из математики неопозитивистами, прав он и
в своем утверждении, что правила оперирования с математически-
математическими объектами имеют весьма абстрактное содержание. Но затем ов
сам признает возможность исключения абстракций и сведения их к
чувственно-воспринимаемым .объектам. Д. П. Горский утверждает.
что абстракции могут быть не связаны с числами, но тогда они свя-
связаны с правилами оперирования над числами. Такое категориче-
категорическое разделение сферы объектов и сферы правил вряд ли возможно.
Если нет сферы объектов, то не может быть и сферы правил опе-
оперирования объектами, если рассматривать числа как знаки, не
имеющие никакого содержания (даже свойств различия или сход-
сходства друг с другом), то вряд ли можно к ним применить какие-либо
правила. Правила оперирования имеют содержание, но это содер-
содержание-как раз состоит в том, что какое-либо правило связывает
определенным образом объекты друг с другом. Несостоятельность
взглядов неопозитивистов в вопросе невозможности исключения
1 Философские вопросы современной формальной логики, 1962, стр. 58.
133

абстракций из исчислений математической логики заключается не
в том, что они разделяют сферу объектов и сферу правил, а в том,
что числа рассматривают как знаки,не имеющие никакого содержа-
содержания, никакого смысла.
Д. П. Горский впадает в противоречие, когда он, с одной сторо-
стороны, говорит об абстракции, как об отражении действительности, а
с другой, считает возможным сведение их к чувственно-восприни-
чувственно-воспринимаемым предметам. Но теория отражения исходит из качествен-
качественного различия между материальными предметами и абстракциями
и исключает возможность сведения их друг к другу, замены их
друг другом.
Концепция исключения абстракций более полно и определенно
излагается Д. П. Горским в его работе «Вопросы абстракции и об-
образование понятий», вышедшей в 1961 г. Несостоятельность этой
концепции была рассмотрена выше, поэтому здесь можно выска-
высказать лишь некоторые дополнительные соображения.
Д. П. Горский пишет: «... стремление неопозитивизма устранить
абстракции из науки можно объяснить лишь мотивами мировоз-
мировоззренческого порядка... введение абстракций является -правомерным
тогда, когда оно сопровождается указанием правил, позволяющих
исключать эти абстракции, ^поскольку всякое применение теории
на практике предполагает исключение последних (курсив мой. —
Н. X.)... Если же введение абстракции не сопровождается прави-
правилами их исключения..., то это означает, что теория неприменима на
практике, что введенные в теорию абстракции—неправомерны...
Абстракции и понятия в такой теории заменяются материальными
объектами—знаками, рассматриваемыми автономно (курсив наш
Н. X.)... Элиминация абстракций высоких уровней в данном слу-
случае осуществляется за счет того, что натуральные числа начинают
рассматриваться нами как материальные объекты (знаки) вместе
с правилами оперирования с ними»1.
Всякое ли применение теории на практике предполагает исклю-
исключение абстракций? При выполнении таких, часто применяющихся .
в практике операций, как счет или измерение, мы должны строго '
соблюдать определенные закономерности и не можем обойтись без
оперирования понятиями больше, меньше. Если мы не будем по-
понимать, что значит больше, меньше, то такие практические опе-
операции, как счет, измерение, будут неосуществимы. '
Применение в технике чертежей, схем, графиков Д. П. Горский
также понимает, как исключение абстракций из теории (стр. 341), j
но с этим нельзя согласиться. Чертежи, графики, схемы, это не]
просто материальные объекты, листы бумаги, на которых имеются
какие-то знаки, линии и т. д. Для инженера это такие чертежи, гра-
графики,-в которые вложен какой-то смысл, они «трактуют» о каких-;
го связях между понятиями и только поэтому могут применяться-'
°в практике. Исключение абстракций делает невозможным их при-;
менение на практике.
1 Вопросы абстракции и образование понятий. 1961, стр. 334, 341, 344.
134

Д. П. Горский пытается связать сведение абстракций к мате-
материальным объектам со следующими словами Ф. Энгельса: «Вычи-
«Вычисляющий рассудок — счетная машина! — Забавное смешение мате-
математических действий, допускающих материальное доказательство,
проверку.—так как они основаны на непосредственном материаль-
материальном созерцании, хотя и абстрактном,—с такими чисто логически-
логическими действиями, которые допускают лишь доказательство путем
умозаключения и которым, следовательно, не свойственна положи-
положительная достоверность, присущая математическим действиям,—
а сколь многие из них оказываются ошибочными!»1.
Попытки использовать, в указанном выше смысле, эти слова
Энгельса, не являются состоятельными. В них вкладывается смысл,
которого они не содержат. Здесь Ф. Энгельс ничего не говорит о
том, что знаки, применяемые в математике, не имеют никакого со-
содержания, смысла и что их надо рассматривать как материальные
объекты и только. У Ф. Энгельса говорится о материальном созер-
созерцании, но абстрактном, а это значит, что знаки он рассматривает
как единство смыслового значения и чувственно-материальной фор-
формы, графического изображения. Приведенные слова Ф. Энгельса
можно понять в том смысле, что он подчеркивает целесообразность
применения символики в математике.
Д. П. Горский считает, что обосновать применение абстракций
в науках можно лишь исключением их из науки, но не разъясняет,
как можно применить в науке то, что из нее исключено, не разъяс-
разъясняет, почему обоснование применения абстракций при помощи
практики его не устраивает. По его мнению сама практика, воз-
возможность применения абстракций в практике должны получить
обоснование в некоторых формальных правилах исключения абст-
абстракций. Ведь он утверждает: если есть правила исключения абст-
абстракций, то теория применима на практике, если нет таких правил,
то абстракции не правомерны, теория на практике не применима.
Таким образом, применимость теории на практике (другим слова-
словами, ее истинность), а также истинность абстракций основываются
на некоторых формальных правилах, вопрос о применимости аб-
абстракций на практике решается вне самой практики, в сфере
правил.
В чем же заключается сущность этих «магических» правил ис-
исключения абстракций из науки, которые должны перевернуть науч-
научное понимание соотношения между теорией и практикой, а значит
и все научное мировоззрение? Оказывается, они состоят в том, что
мы начинаем рассматривать логические, математические символы,
как материальные объекты. (См. цит. привел, выше). Значит, все
зависит от того, как мы рассматриваем математические символы;
если мы желаем их рассматривать одним образом, то получаем
один результат, а если другим образом, то другой результат. В со-
соответствии с этим мы можем научные абстракции то исключать из
1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, стр. 318.
13S

¦теории, то включать (непонятно только, как в этом случае научная
теория продолжает существовать, что это за теория без абстрак1
•ций).
Имеются ли в виду при этом какие-либо объективные факто-
факторы? Ведь введение и использование символов в математике являет-
является результатом длительного исторического развития научного зна-
знания, основой которого является общественно-историческая практи-
практика человечества. Это развитие математического знания «вложило*
в символы какое-то содержание и «сообщило» им какую-то роль
в развитии математических теорий. Поэтому символы должны
«меть объективное содержание и их роль в математике не может
определяться тем, как математик их начинает рассматривать.
Каковы же мотивы, основания того, что мы начинаем рассмат-
рассматривать математические символы как материальные объекты? Сле-
Следовало бы указать их. Нельзя ограничиться голым утверждением
о том, что мы начинаем их рассматривать как материальные объ-
объекты. Почему начинаем? В силу закономерных, объективных фак-
факторов, или же просто в результате нашего желания, соглашения?
Таким образом, попытка Д. П. Горского обосновать, разъяснить
концепцию исключения абстракций не является состоятельной. Ста-
Статья А. Л. Субботина. «Смысл и ценность формализации в матема-
математической логике» (см. сб. «Философские вопросы современной
формальной логики», ]962) в значительной части посвящена доказа-
доказательству тезиса о том, что формализованные логические системы
отличаются от общей логики тем, что последняя содержательна и
объективна. В заключительных выводах статьи он пишет: «Совре-
«Современное логическое исследование в своей основной части осущест-
осуществляется методом формализации... Таким образом, следует отли-
отличать объективную, содержательную логику человеческого мышле-
мышления от формально-логических систем» (стр. 109). В связи с таких*
«пониманием формализованных систем Субботин считает, что со-
содержание современной логики распадается на три области: 1. Со-
Содержательно-описательная конценпция, 2. Формально-логические
системы, 3. Металогика. 1 и 3 области являются содержательными,
а 2 не имеет содержания, но несмотря на это, она служит целям-
выявления логического содержания (стр. 104). А. Л. Субботин счи-
считает несущественным вопрос о том, считать ли логической систе-
системой формализм сам по себе, или же в единстве с его определенной-
содержательной интерпретацией, так как в том и другом случае
формализация выявляет реальное логическое содержание (стр. 103).
В статье рассматривается исчисление высказываний, как пример-
формально-логической системы, которая будто бы включает в се-
себя только морфологические элементы (первоначальные составляю-
составляющие системы, операции, элементарные формулы и правила обра-
образования).
Нетрудно видеть, что такое понимание логического формализ-
формализма .несостоятельно.
При конструировании формализованной системы отправных*
136

пунктом является содержание, так как оно начинается с использо-
использования метаязыка, элементарной, ограниченной части русского язы-
языка, содержание которой общеизвестно и не вызывает никаких сом-
сомнений. Без использования метаязыка—невозможно построение фор-
формализованной системы. Это обстоятельство свидетельствует о не-
неразрывной связи содержания и формы и может рассматриваться
как проявление определяющей роли содержания при построении
формализованных систем.
Когда при помощи метаязыка вводят исходные символы, пра-
правила, определения, то с ними связывается - какое-то содержание
так как с ними связывается свойство вхождения в данную систему,
свойство образовывать последовательности символов, формулы.
Введенные правила обладают свойством связывать элементы систе-
системы каким-то определенным образом. Формализованная система
включает в себя ряд элементов, находящихся друг с другом в ка-
какой-то связи, следовательно, в этом смысле она обладает опреде-
определенным содержанием. В формализованных системах оперируют по-
понятиями сходства и различия символов, что является одним из мо-
моментов свойственного им содержания. Формализованная система
имеет правила вывода, правильно построенные формулы, с кото-
которыми связано определенное содержание. Правильные формы мыс-
мысли абстрагированы от конкретного содержания мыслей, они могли
бы быть выделены в результате многократного применения кон-
конкретных умозаключений, на основе истинных посылок. Правиль-
Правильность и истинность, хотя и не тождественны друг другу, но тесно
связаны, что говорит о связи правильности форм мысли с объектив-
объективной действительностью, которая может иметь сложный, многосту-
многоступенчатый характер.
В формализованных системах исследуют многообразные связи
различных элементов, принимая за исходное: существование самих
объектов системы, наличие сходства или различия между ними,
возможность образования последовательностей элементов, причем
здесь используется понятие порядка группировки их, существова-
существование постоянных и переменных элементов, правила вывода. Во взаи-
мосвязах объектов системы проявляются их свойства, выводы в
формализованной системе могут давать некоторое новое знание, что
является одним из моментов ее содержания.
Таким образом, формализованная система, построенная при по-
помощи метаязыка, обладающего содержанием, сама также имеет
некоторое содержание (даже помимо обращения к содержательной
интерпретации). Это значит, что не может быть таких формализо-
формализованных систем, которые представляли бы собой чистую форму и
могли бы по признакам объективности и содержательности быть
противопоставленными общей логике. Подобное противопоставле-
противопоставление неизбежно связано с трудностями в понимании сущности этих
систем.
Например, А. Л. Субботин считает, что исчисление высказыва-
высказываний, являясь формально-логической системой, включает в себя
137

только морфологические элементы. Элементарные высказывания,
истинные значения высказываний, логические союзы, таблицы ис-
истинности, сложные высказывания «относятся к содержательной ло-
логической области, к содержательной логике человеческого мышле-
мышления»1, рассматриваемой как интерпретация исчисления высказы-
высказываний. Возникает вопрос: каким образом можно построить исчис-
исчисление высказываний, не включающее в себя элементы, из которых
оно обычно строится. Конечно, можно построить формально-логи-
формально-логическую систему в отвлечении от понятий: быть высказыванием,
быть истинным, или ложным и отношения между объектами этой
системы могут соответствовать отношениям между объектами ис-
исчисления высказываний. Но это будет уже не исчисление высказы-
высказываний, а какая-то иная формально-логичеокая система, с которой
связывается иное специфическое содержание.
«Формализованное,—пишет А. Л. Субботин,—... всегда пред-
предполагает логически содержательное»2.
Однако первое может предполагать второе, если оно само име-
имеет какое-то содержание, если же этого содержания нет, то между
этими двумя областями создается разрыв. Почему первое предпо-
предполагает второе. Да потому, что при построении формализованной
системы при помощи метаязыка было указано, какие элементы она
должна включать и из чего нужно исходить при ее построении, как
ее нужно строить, т. е. было внесено содержание в эту систему и
оно играло определяющую роль при ее построении. Поэтому мы
можем рассуждать так: если формализованная система построена,
то пр-едполагается. что была использована содержательная область
(метаязык), а без этого мы не знали бы, из чего ее строить и ка-
каким образом. Следовательно, здесь формализованное и содержа-
содержательное связаны друг с другом через содержание.
Почему формализованное должно предполагать содержатель-
содержательное, как какую-либо область интерпретации? Да потому, что интер-
интерпретация необходима для решения вопроса о том, является ли дан-
данная совокупность символов, формул, правил, аксиом областью на-
научного знания, другими словами, имеет ли она какое-либо содер-
содержание, отражает ли связи каких-либо объектов. Таким образом, и
в этом случае формализованное и содержательное связаны друг
с другом через содержание.
А. Л. Субботин связывает формально-лЬгические системы лишь
с логическим содержанием, считает их методом выявления реаль-
реального логического содержания (там же, стр. 103), т. е. он считает
возможным связывать их только лишь с областью сознания, но не
с объективным миром (логическое относится к области сознания).
А как связано формализованное с таким содержанием, которое
является отражением каких-то свойств отношений материальной
действительности? Каков характер этой связи, через какие звенья
Сборник философских вопросов современной формальной логики 1962
стр. 98.
2 Там же, стр. 105.
138

она осуществляется, как здесь проявляет себя логически содержа-
содержательное. Эти вопросы являются для материалистического истол-
истолкования математической логики особо важными, и их обходить не
следует. В связи с этим нужно заметить, что метаязык, а также
какая-либо содержательная интерпретация не могут рассматри-
рассматриваться вне связи с действительностью.
А- Л. Субботин считает, что формально-логические системы яв-
являются теоретическими моделями содержательных логических про-
процессов и, кроме того, отмечает, что логическая система отражает,
в конечном счете, некоторые общие ^свойства и отношения дейст-
действительности. Против этого нечего возразить. Но это означает, что
формализованная система есть опосредствованное отражение дей-
действительности, т. е. ей свойственно объективное содержание. Следо-
Следовательно, нет никаких оснований проводить отличие формализован-
формализованных систем от логики человеческого мышления (см. стр. 109), по
признакам содержательности и объективности, так как этими приз-
признаками обладает и то и другое.
А. Черч'считает, что формально-логической системой следует
считать формализм в совокупности хотя бы с единственной его
интерпретацией. Формализм же сам по себе, без интерпретации
представляет собой лишь формальную часть формализованной си-
системы. То обстоятельство, что формализованная система может
считаться научной системой знаний только тогда, когда имеется
ее интерпретация, исключительно ярко показывает, что в самой
формализованной системе содержание играет весьма существенную,
определяющую роль.
Если интерпретация найдена, то это значит, что формализован-
формализованная теория правильно отражает некоторые отношения, связи объек-
объективной действительности (иногда через другую теорию, непротиво-
непротиворечивость которой доказана), т. е. она имеет определенное объек-
объективное содержание. Сущность интерпретирования в том и состоит,
что мы проверяем: имеет данная формализованная система содер-
содержание или не имеет. В первом случае мы принимаем ее за систе-
систему научных знаний, во втором—нет. Определяющая роль содержа-
содержания проявляется здесь совершенно очевидным образом.
Построение формализованных систем означает не только пере-
переход математического знания на более высокую ступень абстраги-
абстрагирования, но и конкретизацию математического знания, которая по-
понимается как обогащение его конкретного содержания. Поэтому
А. Л. Субботин впадает в противоречие, когда он, с одной стороны,
противопоставляет формализованную систему общей логике по
признаку содержательности и объективности, а с другой стороны,
построение таких систем рассматривает как конкретизацию мате-
математического знания, утверждает, что математическая логика по
сравнению с традиционной формальной логикой является и более
абстрактной и более конкретной (см. там же, стр. 108). Противоре-
Противоречие становится здесь очевидным, если учесть, что абстракция любой
степени общности является, в конечном счете, отражением каких-
139

то весьма общих свойств, отношений действительности, т. е. с ней
связано какое-то содержание. Поэтому если формализованная си-
система не имеет содержания, то она не может быть ни абстрактной,
ни конкретной.
Формализованная система может быть построена только при ус-
условии, если в нее внесено содержание при помощи метаязыка и.
может считаться системой научных знаний, только при условии, ес-
если интерпретированием установлено, что она имеет содержание.
Система, не имеющая содержания, не может быть построена, не
может считаться системой научных знаний, и следовательно, не
может применяться для выявления чего-либо, в том числе и реаль-
реального логического содержания.
Таким образом, смысл и ценность формализации в математиче-
математической логике заключается совсем не в том, чтобы формализованные
системы противопоставлялись общей логике по признакам объек-
объективности и содержательности.
Неудовлетворительность такой трактовки метода формализации
отмечается в работах весьма видных математиков (А. Мостовский,
А. Черч, Н. Бурбаки и др.). Так, А. Черч пишет: «Автор предпочи-
предпочитает термин «математическая логика», понимая под этим содержа-
содержательную логику, изучаемую математическими методами, в част-
частности формальным аксиматическим (или логическим) методомэ.
Таким образом, идеи В. И. Ленина о содержании и форме, об
их неразрывной связи, об определяющей роли содержания и ак-
активной роли формы находят в математической логике полное под-
подтверждение.
Поэтому неоправданным является*тот факт, что в упоминаемом
выше сборнике, в восьми статьях нет в списках литературы про-
произведений Маркса, Энгельса, Ленина. В них ле использованы идеи
этих произведений. В остальных четырех статьях сборника, эти
произведения используются .крайне недостаточно.
140

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
О СООТНОШЕНИИ АБСТРАКТНОГО И КОНКРЕТНОГО
В НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЯХ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
Поиски новых, более совершенных средств обоснования матема-
математики привели к возникновению особого направления в математи-
математике— конструктивного. Конструктивная математика имеет своей
существенной частью теорию алгоритмов, которая представляет со-
собой один из разделов математической логики. Конструктивное на-
направление в математике возникло как закономерный результат ее
длительного развития. Противоречия, возникшие в теории множеств,
с очевидностью показали, что «свобода> в образовании абстрактных
понятий недопустима, что ее нужно ограничить, если не хотеть
впасть в абсурдные противоречия> *.
Возникновение конструктивизма как раз и является следствием
этой тенденций к ограничению свободы образования абстракций а
математике. Вместе с этим возникновение конструктивизма можно
рассматривать как проявление закономерности связи абстракций
математики с материальной действительностью, с опытом, с прак-
практикой. Здесь в особенности существенную роль сыграли потребности
вычислительной техники.
Возникновение конструктивизма можно считать новым, важным
этапом в развитии математики. «Не будет преувеличением сказать,
что в современной математике с развитием новой вычислительной
техники и достижениями математической логики связан новый пе-
период, характеризующийся тем, что предметом исследования стано-
становится не только тот или иной объект, но и те пути, те формы, посред-
посредством которых этот объект задается, не только те или иные задачи,
но и возможные способы их решения:»2.
Одним из определяющих понятий конструктивизма является по-
понятие конструктивного объекта, под которым понимается такой
' А. Д. А леке а н дров. «Природа». 1951, № 7, стр. 11.
2 А. Д. Александров. Общий взгляд на математику. В сб. «Математи-
«Математика, ее содержание, методы и значение». 1953, стр. 59.
141

объект, который может быть вычислен, построен весь, целиком и
может явиться предметом математического исследования. Опреде-
Определенный класс таких объектов, именно класс числовых функций, яз-
ляется предметом изучения теории рекурсивных функций. «В при-
применении к числовым функциям требование конструктивизма проще
всего понять в смысле «вычислимости»: функцию m = ф(т, п2,...,
п г) мы будем считать вычислимой, если она может быть задана
при помощи определенного правила, которое позволяет по любым
заданным П\, п2,..-, пг фактически вычислить соответствующее зна-
значение функции т. Этой идее вычислимой функции и соответствует
по современным представлениям точное математическое понятие
общерекурсивной функции»1.
В теории рекурсивных функций фундаментальную роль играет
метод прибавления единицы, который является способом определе-
определения теоретико-числовых функций. Применение этого метода пред-
предполагает натуральный ряд чисел и операцию прибавления единицы.
Здесь существенное применение находит также операция «следо-
«следования за», являющаяся частным случаем сложения. Но «эта опера-
операция проще, чем сложение, не только потому, что она одноместна,
в то время как сложение двуместно, но и потому, что она историче-
исторически предшествует сложению. Еще не- научившись складывать, ребе-
ребенок знает, что 10 следует за 9»2.
В теории рекурсивных функций, основываясь на этих простей-
простейших понятиях, определяют все арифметические действия, а также
ряд других функций, встречающихся в комбинаторике, теории мно-
множеств или связанных с функциями математического анализа. Эти
простейшие понятия принимаются в теории рекурсивных функций
как непосредственно очевидные, как доступные непосредственному
пониманию. Совершенно ясно, что эта непосредственная очевидность
понятия натурального числа, прибавления по единице, операции
«следования за» является результатом длительной общественно-
исторической практики человека, опыта, взаимодействия с конкрет-
конкретными объектами материальной действительности.
Обращение к непосредственной очевидности, непосредственному
пониманию связано с тем, что математика не может обходиться
только и исключительно теми понятиями, которые логически выво-
выводятся из других понятий. Для последних нужна опора, которая, в
конечном счете, находится в объективном мире. Следовательно,
обоснование математики необходимо искать в свойствах материаль-
материальной действительности, в опыте.
Теория рекурсивных функций представляет собой интересный
пример возврата к старому на более высокой основе. Известно, что
развитие математики началось с формирования простейших поня-
понятий натурального числа, прибавления единицы, «следования за».
В результате длительного развития через ряд сложных, весьма об-
1 Р. Петер. Рекурсивные функции. 1954, стр. 4.
2 Т а м же, стр. 14.
142

щих теорий математика для своего обоснования снова обращается
к этим простейшим понятиям. Это м.ожно видеть и в некоторых опе-
операциях этой теории. Так, здесь вычитание считается действием, при
котором результатом, имеющим смысл, считается только тот, кото-
который не меньше.нуля (т. е. исключаются отрицательные числа). Но
ведь это характерно для математики весьма раннего периода раз-
развития, когда вычитание, очевидно, связывалось с некоторыми явле-
явлениями в практике человека, где отрицательные числа не имеют
смысла (например, последовательное уменьшение веса, взыскание
налога с человека, у которого ничего не осталось, и т. д.).
Общая теория рекурсивных функций строится таким образом,
что отдельное и конкретное при этом играют весьма существенную
роль. При построении рекурсивной функции применяется операция
перехода от одного отдельного к другому отдельному, к следующе-
следующему, находящемуся непосредственно за ним. К определениям посред-
посредством рекурсии относятся такие, «при которых задается значение
определяемой функции в некоторой начальной точке и указывается,
как значения функции в остальных точках вычислить по значениям
в предшествующих точках» Ч За исходные функции достаточно при-
принять 0 и п+\. «Функции, которые можно получить из заданных ис-
исходных функций конечным числом подстановок и рекурсий, назы-
называются рекурсивными»2.
Следовательно, понятие рекурсивной функции включает такие
функции, значения которых могут быть вычислены во всех конкрет-
конкретных точках, т. е. общее понятие рекурсивной функции определяется
через отдельное и конкретное.
Теория рекурсивных функций дает более конкретное понятие
функции, чем классический анализ. В классическом анализе функ-
функция определяется через соответствие вообще. В теории рекурсивных
функций говорится уже и о характере этого соответствия, указы-
указывается, как можно эту функцию построить, какими операциями. Ре-
Рекурсивные функции классифицируются в зависимости от способов
их построения (примитивно-рекурсивные, частично-рекурсивные,
общерекурсивные). Понятие общерекурсивной функции неразрывно
связано с конкретной операцией, т. е. с вычислением, с определе-
определением значения функции во всякой отдельной точке.
«Утверждение, что значение функции в каждой точке можно вы-
вычислить в конечное число шагов, имеет смысл лишь при условии, что
это вычисление не зависит от произвола вычисляющего лица,
а представляет собой такой процесс, который может быть в любое
время повторен и выполнен с тем же результатом также и другим
лицом»3.
Следовательно, процесс вычисления значений общерекурсивной
функции является строго детерминированным процессом, не содер-
содержащим каких-либо элементов субъективизма. Здесь математика
1 Р. Петер. Рекурсивные функции. 1954, стр. 34.
2 Т а м же, стр. 37.
3 Там же, стр. 197.
143

стремится к осязаемому, к конкретному. Все, что может быть по-
построено, вычислено, применено в практике и представляется вполне
обоснованным, нужно рассматривать как проявление материалисти-
материалистической тенденции в математике. Эта тенденция становится особен-
особенно отчетливой, если понятие рекурсивной функции сопоставить с по-
понятием порядковых трансфинитных чисел в канторовской тео-
рии множеств. Конечно, с этими числами можно сопоставить неко-
некоторые свойства действительности (бесконечность вселенной, беско-
бесконечное множество бесконечных многообразий в ней и т. д.). Оно
может найти и некоторое применение в математике, но это сопостав-
сопоставление неизбежно несет на себе печать неопределенности. Создается
впечатление чего-то в очень большой степени умозрительного, что
не приводит к достаточному удовлетворению даже при условии на-
напряженного размышления о смысле этих понятий.
Развитие конструктивного направления в математике привело к
возникновению теории алгоритмов, являющейся более общей, чем
теория рекурсивных функций. «Теория рекурсивных функций в ос-
основном имеет дело с тем частным случаем алгоритма, когда роль'ис-
роль'исходных данных играют натуральные числа, а результат его примене-
применения есть число» '.
«В математике 'принято понимать под «алгоритмом» точное
предписание, определяющее вычислительный процесс, ведущий от
варьируемых данных к исходному результату»2.
Это описание алгоритма не является точным математическим
определением, так как употребленные здесь термины «процесс»,
«точное предписание» не являются математически точными. А. Черч
дает следующее понимание термина алгоритм:
«Вообще, эффективный метод вычисления, особенно если он рас-
распадается на отдельные шаги, среди которых последующие зависят
от предыдущих, называется алгоритмом»3.
Возникновение теории алгоритмов является результатом дли-
длительного развития математики, в котором само понятие алгоритма
изменялось в направлении все большей конкретности. Алгоритмы
применялись в математике с древнейших времен для решения самых
разнообразных задач математики, естествознания, техники. Поня-
Понятие алгоритма развивалось в самой тесной связи с потребностями
практики. На весьма ранней ступени развития люди выполняли не-
некоторые счетные операции по определенным правилам. Операция
прибавления по единице может уже рассматриваться как некоторый
элементарный алгоритм. Счет группами: по два, по пяти, десятками,
сотнями, дюжинами и т. д. — также может считаться операцией, со-
совершающейся по некоторому алгоритму.
Расширение сферы конкретной практической деятельности, воз-
возрастание количества отдельных конкретных вопросов, задач, кото-
которые должен был решать человек, обусловили возникновение число-
1 А. А. Марков. Теория алгорифмов, 1954, стр. 4.
2 Там же, стр. 3.
3 Введение к математическую логику. I960, стр. 374. :
144

зых обозначений, систем счисления. Появилась письменная арифме-
арифметика. Это дало возможность создать и более сложные совершенные
алгоритмы, широко применяющиеся для решения самых разнорб-
разных задач. К таким алгоритмам могут быть отнесены правила,
точные предписания, в соответствии с которыми производятся четы-
четыре действия арифметики, сначала с целыми положительными числа-
числами,, затем с дробными и отрицательными. Задачи на вычисление
площадей, объемов также решались в соответствии с определенны-
определенными предписаниями.
Применение алгоритмов имело огромное значение не только для
решения конкретных практических задач, но и для развития мате-
математической теории даже на весьма ранней ступени. Совершенно яс-
ясно, что без письменной позиционной арифметики, без возможности
осуществлять вычислительные операции по определенным прави-
правилам невозможно было сколько-нибудь существенное развитие мате-
математических знаний^.
Самые элементарные геометрические системы представляли со-
собой совокупность практических правил и не содержали каких-либо
доказательств, предложений. Например, индусские математики
когда-то вместо каких-либо доказательств использовали наглядные
представления, писали против чертежа: «Смотри». Некоторые па-
памятники древности, например папирус Ринда, показывают, что в
древнем Египте геометрия также представляла собой совокупность
различных правил, предписаний для решения задач большей частью
практического характера. Здесь также отсутствовали доказатель-
доказательства, пояснения правил, которые заменялись традиционным обра-
обращением: «Делай, как делается». В подготовке фактического мате-
материала, который сделал возможным создание Эвклидом своих «На-
«Начал», эти элементарные системы, включающие некоторые предпи-
предписания, алгоритмы, сыграли очень существенную роль.
Возникновение и развитие алгебры также было связано с приме-
применением определенных правил вычисления при решении задач,
т. е. некоторых алгоритмов. Так, еще за 2000 лет до н. э. древнееги-
древнеегипетские математики решали такую задачу: «Отношение двух чисел
равно отношению 2:1 '/г. сумма их квадратов равна 400. Найти эти
числа». Эта задача решалась арифметически по некоторому опреде-
определенному предписанию, применение которого можно считать первым
шагом к решению уравнений. Египетские математики 4000 лет тому
назад для решения задач применяли методы, которые в настоящее
время сводятся к решению системы квадратных уравнений.
В возникновении алгебры большую роль сыграл греческий мате-
математик Диофант, главная заслуга которого состоит в искусной раз-
разработке методов решения систем уравнений. Диофант решает урав-
уравнения исключительно путем вычислений, не обращаясь к средствам
геометрии. В решении каждой задачи он следует особым путем, на-
кодит самый близкий путь, проявляя при этом'большое искусство.
В сочинении «Арифметика» он решает около 130 неопределенных
уравнений, но в этих решениях нет никакой системы, никакого опре-
10 Заказ 1636 145

деленного метода, общего метода- вычислений, алгоритмов, что яв
ляется недостатком, ограниченной стороной представлений Дио
фанта.
В развитии алгебры значительное место занимала работа ма
рематиков по выработке все более общих методов решения1, задач
т. е. все более общих алгоритмов. После Диофанта значительный
шаг вперед в развитии алгерры делают индусские математики, ко
горые получили более общие алгоритмы. Так, в середине 6 века!
индусский математик астроном Ариабхатта решал задачи, которым
приводились к решению уравнений вида: ax+c = bx+d, т. е. общего
линейного уравнения с одним неизвестным. В 7 веке индусский ма-
математик Брамегупта рассматривал уравнения первой степени с
одним, неизвестным, квадратные уравнения, системы уравнений
Индусские математики владелл решением квадратного уравнения в
общем виде. Арабский математик- 11 века Омар Алкгайами разра-
разработал'методы решения линейных квадратных уравнений. Итальян-
Итальянские математики — Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари, Бомбел
ли — создали методы решения уравнений третьей и четвертой сте-
степени.
В развитии алгебры большое значение имело введение буквен-
буквенной символики (Виета, Гэрриот, Декарт), разработка в связи с
этим общих правил для аналитического решения задач. Буквенное
«счисление стало применяться почти также механически, как и чи-
числовые вычисления, и стало охватывать все математические опера-
операции с конечными величинами. Декарт придавал большое значение
общим методам, которые рассматривал как некий универсальный
алгоритм. (
Основные идеи математического анализа уже содержались в
трудах некоторых древнегреческих математиков, например в тру-
трудах Архимеда. Эти идеи содержатся в методе исчерпывания, кото-
который был создан Архимедом в процессе решения конкретных задач
на вычисление площадей, объемов. Метод исчерпывания может!
рассматриваться как некоторый общий алгоритм, хотя древнегрече-1
ские математики не использовали его как общий метод. Они для!
каждой отдельной задачи повторяли одни и те же доказательства
Метод исчерпывания, в сильнейшей степени способствовал формиро
ванию весьма общих понятий математики (предел, переменная ве-
. личина, бесконечно малая величина).
Известно, что формирование идей дифференциального и инте-
интегрального исчисления в 17 веке было связано с необходимостью ре-;
шения многообразных и сложных практических задач (об этом го]
ворилось ранее), с получением некоторых методов вычислений до]
статочно общего характера. Формулы дифференцирования пред!
ставляют собой совокупность некоторых вычислительных операция
для нахождения производных, дифференциалов функций, т. е. в це
лом они представляют некоторый довольно сложный алгоритм,
интегральном исчислении формулы гак называемых табличны!
интегралов также представляют собой совокупность некоторых пр?
116

зил, которые могут применяться для решения определенных задач,
г. е. также представляют довольно • сложный алгоритм или сово»
<упность нескольких алгоритмоз.
Ньютон и Лейбниц одной из важнейших задач математики счи-
гали создание весьма общих алгоритмов. Исчисление функций у
Ньютона должно было играть роль некоторого универсального ме«
года решения различного рода задач. Лейбниц имел в в-1ду со^да-
[ие универсального алгоритма, когда писал: «...наступи! время, ко-
когда люди смогут решить простым вычислением самый сложный во«
лрос: вместо того чтобы спорить, они возьмут карандаш и будут
зычислять».
Понятия векторного и тензорного исчисления также формирова-
формировались, развивались в тесной связи с применением определенных ме-
методов вычислений, алгоритмов для решения целого ряда' зачастую
зесьма сложных задач. Уже самые простейшие операции векторной
шгебры делают возможным совершенно простыми способами ре*
иать целый ряд конкретных задач геометрии, механики, естество-
естествознания, техники и других областей. Дифференцирование векторов
!,ает возможность получить весьма простые способы вычисления
сривизны кривой и радиуса кручения кривой в данной точке, скоро-
скороди и ускорения точки, движущейся по кривой. Понятие потенци*
1льного вектора дает возможность применять методы вычисления
1,ля решения конкретных задач в самых разнообразных областях
физики,техники.
На основе понятия дивергенции получен закон Гаусса, позво-
1яющий от интегрирования по объему переходить к интегрирова-
интегрированию по поверхности. Этот закон определяет методы вычисления
для решения целого ряда задач в учении об электричестве и магне-
магнетизме. Понятия векторного исчисления дают возможность приме-
лять такие методы вычисления, без которых было бы невозможна
решить целый ряд конкретных задач.
Развитие техники, естествознания привело к необходимости при-
применять особо сложные методы вычислений, связанные с понятиями
определенных комплексов величин, а также с переходом от одной
системы координат к другой. Так, например, при действии на тело
реформирующих сил в каждой точке упругого тела по каждому на-
набавлению возникает напряжение. Величина этото напряжения
дмеет очень сложный характер и может быть представлена комп«
1ексом трех векторов или комплексом 9 величин, составляющих эти
лекторы. Комплекс этих 9 величин и является тензором упругих на-
тряжений.
Тензорное и векторное исчисление дают методы перехода от
одной системы координат к другой. Если известен комплекс вели-
шн, составляющих тензор в какой-то определенной системе, то по
соответствующим формулам преобразования можно вычислить зна-
«ение компонента этого тензора в какой-либо другой системе. Мето-
Методы векторного и тензорного исчисления нашли широкое применение
й современной физике, в особенности в теории относительности.
147

Современная математика в своем развитии также тесно связана I
разработкой и применением определенных методов вычислени
алгоритмов.
Следовательно, понятие алгоритма не сводится к тем предписг
ниям, методам вычисления, которые входят в современную теорш
алгоритмов и находят широкое применение в вычислительной те?
нике, в кибернетике. Оно связано с развитием математики в целов.
начиная с самых начальных ее шагов. Оно представляет собо
весьма важную часть содержания математики в целом, мощно
средство для расширения приложений математики и развития е
теоретической часгч. Понятие алгоритма изменялось с развитие]
математики в сторону все большей общности, а также приобретал
все более конкретное содержание. Процесс получения все боле
общих видов вычисления происходил в неразрывной связи с практи
кой, с необходимостью решения множества конкретных задач.
Развитие теории алгоритмов представляет собой интересный при]
мер проявления закона отрицания отрицания в математике. Мате!
матика древних (например, в Египте) в значительной мере пред
ставляла собой совокупность правил, предписаний для решения кон
кретных практических задач. Современный алгоритм также пред
ставляет собой предписание для решения серии однотипных задач
К современным алгоритмам математика шла через ряд сугубс
абстрактных теорий (например, теория множеств). Эти абстрактны*
теории могут рассматриваться как своего рода отрицание приклад
ной математики древних. Современная теория алгоритмов есть
известном смысле (в смысле ограничения свободы оперированш
абстракциями) отрицание некоторых чрезмерно абстрактных теорий
современной математики (например, теории множеств) и поэтом)
¦может рассматриваться как отрицание отрицания, как возврат *
старому (к предписаниям), но на более высокой основе, поскольку
•она дает очень много как для практических приложений, так и дл*
развития теоретических проблем математики, касающихся ее обос
нования.
Понятие алгоритма содержит абстрактное и конкретное в и)
единстве. Оно выражает некоторый общий закон, порядок, связи
вающий отдельные операции в единую систему. Алгоритм представ
ляет собой единство многообразного, т. е. единство множества от
дельных операций, отдельных объектов, отдельных задач. Так, на
пример, в простейшем алгоритме сложения двух многозначных чн-
сел действие разлагается на цепочку элементарных операций
имеющих формальный характер, так как они могут быть выполнен!
автоматически, в соответствии с некоторой таблицей, при полноэ
отвлечении от их содержательного смысла. Здесь общее правилу
приложнмо ко всем целым числам, от конкретного содержания ко»
торых отвлекаются.
Таким же точно образом и другие правила арифметики пред
ставляют единство абстрактного и конкретного. Арифметически!
действия есть алгоритмы. Задача: «для данных двух натуральны;
148

I чисел a, b найти их общий наибольший делитель» — может быть
решена при помощи алгоритма Эвклида, т. е. предписания, которое
через ряд отдельных шагов приводит к искомому результату. Этот
алгоритм объединяет столько различных задач определенного типа,
сколько существует различных пар чисел а и Ь.
Алгоритмы, включающие арифметические действия, применяют-
применяются для решения многих разнообразных задач элементарной и выс-
высшей математики. Так, например, система двух уравнений:
ахх + Ьху = сх а2х + Ь2у = с2
может быть решена при помощи алгоритма, выраженного следую-
следующими формулами:
Этот алгоритм объединяет множество задач данного типа, в ко-
которых коэффициенты аи Ьи си а% Ы, а могут быть любыми, т. е.
jto общее правило охватывает множество отдельного и конкрет-
ного.
Понятие алгоритма имеет объективное содержание. Оно отра«
жает наличие в объективном мире некоторых связей, отношений
весьма общего характера, что и определяет высокую степень абст-
абстрактности этого понятия. Объективное содержание понятия алго-
алгоритма проявляется в его детерминированности, т. е. в том, что объ-
объекты, операции, связанные с каким-либо алгоритмом, подч шены
принципу причинности.
Результат применения алгоритма зависит от исходных данных
я от всех операций, производящихся согласно предписанию как над
исходными, так и над промежуточными данными. Эта черта алго-
алгоритма не оставляет места субъективному произволу при его приме-
применении. Вычисления, осуществляющиеся согласно данному алгорит-
алгоритму, не зависят от произвола вычисляющего лица и могут быть с та-
таким же результатом повторены другим лицом. Единство абстракт-
абстрактного и конкретного в понятии алгоритма проявляется в его массо-
массовости. Алгоритм как единое, общее предписание может применяться
к различным исходным данным, к решению множества конкретных
однотипных задач.
Понятие буквы в теории алгоритмов относится к числу основ-
основных. «Буквами мы называем знаки, которые в данном их примене-
применении рассматриваем только как целые» '.
Буквы могут сопоставляться друг с другом, причем учитывается
их одинаковость или их различие. Понятие буквы обладает высокой
степенью общности и является отражением некоторых существен-
существенных свойств действительности. Оперируя буквами, в математике
отвлекаются от ее конкретного содержани-я, которое они обознача-
обозначают. Но признается отношение сходства и различия при сопоставле»
1 А. А. М а р к о в. Теория алгорифмов. 1954, стр. 7.
149

иии буквы с другими буквами. Следовательно, буквы можно ра<
сматривать как некоторые объекты, находящиеся друг с другом
отношениях сходства или различия.
Таким образом, рассматривая буквы, мы имеем дело с некотс
рыми объектами вообще, обладающими свойствами быть целыми
находящимися друг с другом в отношениях сходства илл'различия
Эти отношения могут быть изучены глубоко, так как от обозначен
яых ими объектов и отношении здесь отвлекаются. Высокая степей
отвлеченности понятий об этих объектах обусловливает широту ю
применений, что способствует конкретизации знания.
Следовательно, буквы — отражение некоторых свойств, отноше
;шй в действительном мире. Отношение одинаковости букв позво
ляет применить к ним абстракцию отождествления. Все одинаковы!
буквы мы можем называть одной и той же абстрактной буквой
Понятие абстрактной буквы отра-жает то общее, что существует )
целом ряде одинаковых букв, принадлежащих к некоторому вполне
^определенному типу. Оно является отвлечением от возможного ко
"личества одинаковых букв.
Возможность введения абстрактных букв связана с тем, что меж
ду одинаковыми буквами существуют отношения рефлексивности
симметрии и транзитивности. Это также можно рассматривать ка»
свидетельство того, что исследуемые понятия об отношениях бук!
являются отражением отношений между объектами материальное
мира. Отношения между конкретными и абстрактными буквамь
яредставляют собой неразрывное единство абстрактного и коикрет
яого. Оно проявляется в том, что конкретные буквы являются пред
ставителями соответствующих абстрактных букв. А это значит, что
каждая отдельная конкретная буква не может не иметь общих черт
s некоторыми другими буквами, представителями какого-то класса
типа, она не может существовать вне общего (всякое отдельное есть
так или иначе общее). Всякая абстрактная буква может быть реали-
реализована только через какие-либо конкретные буквы. Ведь чтобы при-
применить какую-либо абстрактную букву, мы должны ее написать, но
после написания она уже является конкретной буквой. Эта связь
между абстрактными и конкретными буквами есть проявление об-
обшей закономерности, согласно которой абстрактное не может су-
существовать вне конкретного.
Понятие алфавита в теории алгоритмов также представляет со;
бой единство абстрактного и конкретного, что становится ясным!
если учесть, что абстрактный алфавит имеет в качестве своих пред-
ставителей конкретные алфавиты, каждый из которых является
набором конкретных букв. При построении конкретного алфавита
«твлекаются от конкретности букв, а также от их порядка. При срав|
нении конкретных алфавитов друг с другом учитываются отношен»
сходства между буквами, так как равенство двух конкретных алфг
зитов определяется на основе соответственного равенства их бук!
Рассматривая конкретные алфавиты, мы имеем дело с системо|
объектов вообще (поскольку от конкретного их значения отвлс
150

каемся), где возможными отношениями являются отношения сход-
сходства и различия. Понятие конкретного алфавита имеет содержа-
содержательный смысл и является отражением определенных свойств объ-
объективного мира существования в объективном мире систем объек-
объектов, между которыми могут быть отношения сходства и различия.
Между абстрактными и конкретными алфавитами имеет место
такое же соотношение, как между абстрактными и конкретными
буквами. Каждый конкретный алфавит обязательно является пред-
представителем некоторого абстрактного алфавита, он имеет общие чер-
черты с, другими, подобными ему конкретными алфавитами такого же
гипа. Это обстоятельство можно рассматривать как проявление из-
зестного соотношения между отдельным и общим, а также между
конкретным и абстрактным. Можно также сказать,, что конкретное-
есть так или иначе абстрактное. Каждый абстрактный алфавит за
писывается путем построения его представителей-и когда он постро-
построен, то, «говоря об этом конкретном алфавите, мы будем подразуме-
подразумевать абстрактный алфавит А и, значит, рассматривать этот кон
кретный алфавит как запись абстрактного алфавита А»'. "
Такой способ записи абстрактного алфавита (через построение
--.го конкретных представителей) не является случайным. Он совер-
совершенно необходим. Иным образом записать, реализовать абстракт-
абстрактный алфавит невозможно, так как абстрактное существует только
в конкретном, оно проявляется только через конкретное.
Алфавиты в теории алгоритмов включают в себя слова: «Ряд
написанных друг за другом конкретных букв мы называем конкрет-
конкретным словом»2. Равенство конкретных слов устанавливается путем
сопоставления букв, начиная, например, с первых левых. Это метол
может быть назван алгоритмом равенства слов. Законы рефлексив-
рефлексивности, симметрии и транзитивности применимы к равенству кон-
конкретных слов. Здесь также на основе абстракции отождествления
вводится понятие абстрактного слова. Каждое абстрактное слово
может быть записано через своих представителей, которыми являют-
являются некоторые конкретные, слова.
Понятия абстрактного, и конкретного слова также содержат
единство абстрактного и конкретного (подобно тому, как это име-
имеет место в понятиях абстрактных и конкретных букв, абстрактных
и конкретных алфавитов). Понятие слова может рассматриваться
как понятие о некоторой системе объектов вообще (поскольку с
буквами не связаны какие-либо конкретные числа, например опре-
определенные числа), с которой связаны свойства последовательного
расположения элементов (букв), а также отношения равенства и
неравенства, устанавливаемые путем сопоставления. Понятие словй
в теории алгоритмов является в определенном смысле содержатель-
содержательным и может рассматриваться как отражение некоторых свойств
действительности. Свойства: существовать, состоять из элементов,
которые располагаются в некоторой последовательности, возмож-
1 А. А. М а р к о в. Теория алгорифмов. 1954, стр. 10.
2 Т а м же, стр. 13.
151

ность сопоставления, отношения равенства или неравенства являют-
являются весьма общими, что говорит о высокой степени абстрагирования!
слова. Это обстоятельство определяет широту применения теории
алгоритмов, существенным моментом содержания которой являются
слова и их всевозможные преобразования, ее связь с практикой и
исключительно большую роль в процессе конкретизации математи-
математического знания.
Существенным свойством слова является его длина, которая
определяется количеством входящих в него букв. В теории алгорит-
алгоритмов решение вопроса о возможной длине слова осуществляется на
основе применения абстракции потенциальной осуществимости.],
«Она состоит в отвлечении от реальных границ наших конструктив-]
ных возможностей, обусловленных ограниченностью нашей жизни
в пространстве и во времени. В применении к алфавитам эта аб-
абстракция позволяет нам рассуждать о сколь угодно обширных ал-
алфавитах... В применении к словам мы получаем, таким образом,
возможность рассуждать о сколь угодно длинных словах как об
осуществимых. Их осуществимость потенциальная: их представите-
представители был-и бы практически осуществимы, если бы наша жизнь длилась
достаточно долго и мы имели бы достаточно места и материалов
для практического осуществления этих представителей» '.
Абстракция потенциальной осуществимости отрицает идею Кан-
Кантора о бесконечности данной, завершенной, абсолютной. В абстрак-
абстракции потенциальной осуществимости содержится более конкретный,
более умеренный и во многих отношениях более целесообразный
подход к построению математических /эбъектов. В ней содержится
мысль об отказе от ничем не ограниченной свободы построения ма-
математических объектов, от создания таких математических объек-
объектов, про способы построения которых нельзя сказать ничего опреде-
определенного. Абстракция потенциальной осуществимости выражает от-
отношение человека, истории его развития к проблеме бесконечности,
его реальные возможности решения задач, связанных с этой про-
проблемой, обусловленные данным историческим этапом развития че-
человеческого общества.
Эти реальные возможности включают такие существенные мо-
моменты, как факторы времени и пространства, а также материальные
ресурсы общества, зависящие от развития производительных сил и
от характера производственных отношений. Таким образом, здесь
учитывается реальная возможность, конкретные условия построения
данного математического объекта, т. е. имеет место конкретный под-
подход к этой задаче. Абстракция потенциальной осуществимости со-
_ гласуется с признанием бесконечности развития человеческого по-
познания. С развитием общества, техники границы возможностей в
построении математических объектов могут отодвигаться все даль-
дальше и дальше. Здесь можно сослаться на расширение этих возмож-
возможностей в связи с появлением электронных быстродействующих вы-
1 А- А. Марков. Теория алгорифмов. 1954, стр. 15.
J52

числительных машин. Нельзя указать границы расширения этих
возможностей. Таким образом, развитие математического знания
представляется безграничным процессом и в том случае, если по-
построение математических объектов осуществлять в соответствии с
абстракцией потенциальной осуществимости.
Абстракция потенциальной осуществимости выражает противо-
противоречивый характер развития математического знания: тенденцию -к
безграничному развитию и ограниченность его возможностей в каж-
каждый данный момент развития человеческого общества. Но это про-
противоречие присуще развитию всего человеческого познания в целом,
что Энгельс считал одной из важнейших его закономерностей. Он
писал: «Мы имеем здесь снова то противоречие, с которым уже
встречались выше, противоречие между характером человеческого
мышления, представляющимся нам в силу необходимости абсолют-
абсолютным, и осуществлением его в отдельных людях, мыслящих только
ограниченно. Это противоречие может быть разрешено только в бес-
бесконечном поступательном движении, в таком ряде последовательных
человеческих поколений, который, для нас, по крайней мере, на
практике бесконечен. В этом смысле человеческое мышление столь
же суверенно, как несуверенно, и его способность познавания столь
же неограниченна, как ограниченна. Суверенно и неограниченно по
своей природе, призванию, возможности, исторической конечной
цели; несуверенно и ограниченно по отдельному осуществлению,
по данной в то или иное время действительности»1.
Вот эта мысль Энгельса и выражается на специальном матема-
математическом языке, в специальной области в форме абстракции потен-
потенциальной осуществимости, из чего следует, что эта абстракция есть
диалектическое понятие.
Исходя из абстракции потенциальной осуществимости, понятие
алгоритма определяется следующим образом: «Алгорифмом в алфа-
алфавите А называется точное общепонятное предписание, определяю-
определяющее потенциально осуществимый процесс последовательного пре-
преобразования абстрактных слов в А, процесс, допускающий любое
слово в Л в качестве исходного»2.
Общее понятие алгоритма включает множество исходных слов,
множество отдельных операций, связанных друг с другом принци-
принципом причинности. Следовательно, это понятие имеет многообразное
конкретное содержание.
Конкретный подход к построению математического объекта (по
сравнению, например, с теорией множеств) ограничивает «свободу>
математического творчества, но это не может в какой-либо степени
уменьшить «работоспособность» теории алгоритмов, плодотворпость
ее приложений, так как остающаяся на ее долю общность понятий
оказывается достаточной для решения множества сложных задач.
Она имеет дело с конструктивными объектами, причем слово яв-
является общей формой конструктивного объекта. Алгоритмы же мо-
Ф. Энгельс. Анти-Дюринг, стр. 81—82.
А. А. Марков. Теория алгорифмов. 1954, стр. 51.
15S

гут применяться к любым словам, следствием же этого применения
могут быть самые разнообразные слова, из них можно получать
еще какие-то слова и т. д. Совершенно понятно, что таким образом
можно построить достаточно большое количество математических
обт ектов и, конечно, здесь имеются безграничные просторы для
математического творчества. Таким образом, в теории алгоритмов
имеется сочетание конкретного подхода, конкретного содержания
понятий с весьма высокой степенью их общности.
Теория алгоритмов изучает многообразные связи, отношения ме-
жду построенными математическими объектами — словами. 'Напри-
'Например, к ним относятся вхождения одних слов в другие, многообраз
аые преобразования слов путем всевозможных подстановок, отноше-
отношения эквивалентности слов и т. д. Характерной чертой этих преобра-
преобразований является их содержательность. Несмотря на отвлеченный
характер этих действий с буквами,, словами, они (действия) имеют
конкретное содержание и могут быть интерпретированы самым раз-
различным образом. Конечно, теория алгоритмов не нуждается в ин-
интерпретации как средстве, доказывающем ее непротиворечивость,
поскольку, по крайней мере, одна система объектов, удовлетворяю
щая данную теорию, всегда имеется (это именно построенные г*
данной теории системы объектов). Но интерпретация некоторых ее
понятий или указание на отражение этими понятиями явлений ма-
материальной действительности могут быть полезными для понимания
конкретного материалистического содержания этой теории.
Энгельс в книге «Диалектика природы» посвящает раздел «О
прообразах математического бесконечного в действительном мире>
анализу материалистического понимания некоторых понятий в ма-'
тематике. Он пишет: «...философия доказала на множестве приме
ров, взятых из самых разнообразных областей, аналогию межд\
процессами мышления и процессами природы и истории — и обрат-
обратно—и господство одинаковых законов для всех этих процессов..
Тайна, окружающая еще и в наше время те величины, которые при-
применяются в исчислении бесконечно Малых,—диференциалы и бес-
бесконечно малые разных порядков,— является лучшим'доказатель-
лучшим'доказательством того, что все еще распространено представление, будто здесь
мы имеем дело с чистыми «свободными творениями и продуктами
воображения» человеческого духа, которым ничто не соответствует
в объективном мире. И тем не менее справедливо как раз обратное
Для всех этих воображаемых величин природа дает нам прообра-
прообразы... Но процессы, совершенно аналогичные процессам исчисления
бесконечно малых, имеют место не только при переходе из жидкого
состояния в газообразное, и наоборот... .Математическое бесконеч-
бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным об
разом, и поэтому оно может быть объяснено только из действитель-
действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции. А ког-
когда мы подвергаем действительность исследованию в этом" направ-
направлении, то мы находим, как мы видели, также и те действительные
отношения, из области которых заимствовано математическое отно-
154

шение бесконечности, и даже наталкиваемся на имеющиеся в при-
природе аналоги того математического приема, посредством которого
это отношение проявляется в действии. И тем самым предмет разъ-
разъяснен» *.
В связи с.этими словами Энгельса представляют интерес некото-
некоторые аналогии между отношениями действительности и отношения-
отношениями, рассматриваемыми в теории алгоритмов. Например, преобразо-
преобразования слов дают некоторую их поЬледовательность, в которой сосед-
соседние слова (смежные) могут быть преобразованы друг в друга по •
средством однократного применения допустимой подстановки. Та-
Такая последовательность слов называется дедуктивной цепочкой.
В этой дедуктивной цепочке могут быть свойства, остающиеся не-
неизменными для всех слов, которые называются дедуктивными инва-
инвариантами. Понятие дедуктивного инварианта является отражением
устойчивых свойств в отношениях между объектами. Инварианты
исследуются во многих областях естествознания и имеют ясно выра-
выраженное конкретное материальное содержание. Например, масса те-
тела в классической физике является инвариантом, пространственно-
временной интервал в теории относительности является инвариан-
инвариантом.
Если дедуктивная цепочка ведет от слова Р к слову Q, а также v
от слова Q к слову Р, то такие слова являются эквивалентными
Они могут заменять друг друга. Понятия дедуктивной цепочки,
эквивалентных слов имеют прообразы в действительном мире, яв-
ляются отражением некоторых свойств материальных предметов,
явлений. В объективном мире постоянно происходят переходы одной
системы объектов в другую систему, одних состояний объектов
в другие, причем этот переход может иметь и прямое, и обратно*
направление, и здесь также может играть роль своеобразная
«подстановка».
Так, например, какое-либо вещество может перейти из одного
состояния в другое, а затем из этого состояния может снова воз-
возвратиться в первое исходное. Под «подстановкой» здесь можно по
нимать замену одной температуры другой температурой. Электри-
Электрическое поле может переходить в магнитное, а магнитное поле мо-
может переходить в электрическое. Под «подстановкой» здесь можно
понимать изменение напряженностей электрического и магнитного
яолей (замену вектора напряженности электрического поля векто
ром напряженности магнитного поля, и наоборот). Можно также
указать на последовательную смену зарядки и разрядки в колеба-
колебательных контурах. Электрон, вращающийся вокруг атомного ядра,
может переходить из одного состояния в другое, с одной орбиты, на
другую. Под «подстановкой» здесь можно иметь в виду смену уров-
уровней энергии электрона.
Своего рода дедуктивную, цепочку в натуре представляет цепь
превращений элементов в радиоактивных процессах, связанных а
Ф. Энгельс Диалектика природы, стр. 213, 214, 216, 218.
15f>

определенными преобразованиями, касающимися вхождений ка-
каких-либо элементарных частиц в состав атомного ядра. Замена
одних элементарных частиц другими, удаление каких-либо частиц
из состава атома, добавление новых частиц и т. д. — все это и есть
своего рода «подстановки», «преобразования», где комбинации
элементарных частиц могут рассматриваться как-некоторые анало-
аналоги словам, некоторым конструктивным объектам.
Молекула какого-либо вещества в химии также может рассмат-
рассматриваться как некоторый конструктивный объект, который может
быть «построен» из элементов, атомов. Здесь также рассматрива-
рассматриваются «вхождения» атомов и их групп в молекулу, здесь сложное
может превратиться в простое, из простого может возникнуть слож-
сложное (некоторая аналогия с преобразованиями слов). Здесь имеют
место «дедуктивные» цепочки химических превращений, реакций,
которым можно найти аналоги в пон-ятиях сложных слов и т. д.
Проблема эквивалентности слов, основанная на ней возможность
замены одного слова другим также может быть связана с некото-
некоторыми процессами в действительном мире. Принцип эквивалентно-
эквивалентности чрезвычайно широко используется в различных областях есте-
естествознания для изучения многих явлений природы.
В механике различные комбинации сил могут рассматриваться
(при определенных условиях) как эквивалентные, одна комбинация
может быть заменена другой комбинацией или же одной какой-либо
силой, которая называется равнодействующей нескольких состав-
составляющих сил. Несколько вращающих моментов, каждый из которых
представляет собой произведение различных сил на различные ве-
величины плеч, могут быть заменены по действию каким-то одним
вращающим моментом, в этом смысле являющимся их эквивален-
эквивалентом. Этот принцип применяется при сложении и разложении дви-
движений, где какие-то два движения могут быть заменены тремя
движениями или же одним движением. Какая-либо комбинация
электрических зарядов может быть по действию заменена другой
комбинацией или же каким-либо одним зарядом.
В оптике различные комбинации цветов могут быть эквивалент-
эквивалентными, т. е. они могут дать один и тот же цвет. Широко использует-
используется, например, в термодинамике, в электротехнике принцип эквива-
эквивалентности различных форм энергии. В теории относительности боль-
большую роль играет принцип эквивалентности тяготения и ускорения
Конечно, проведение таких аналогий должно носить осторожный
характер. Их нужно понимать как весьма грубые, сугубо прибли-
приближенные. Сравнения такого рода имеют основу только в некоторых
моментах подобия между тем, что происходит в действительности
: и тем, что происходит при конструировании объектов в матема-
математике. Математик конструирует из букв слова, располагает буквы в
яространственно-линейную цепочку. Совершенно ясно, что, напри-
например, частицы в ядре, атомы в молекуле не располагаются таким об-
образом, их расположение по отношению друг к другу определяется
¦многообразными сложными факторами специфического характера.

Эти специфические вопросы, относящиеся к области качества, не от-
относятся к предмету математики, которая изучает количественные
вопросы в отвлечении1 от качества. Операции со словами могут рас-
рассматриваться как отражение весьма общих свойств, отношений
действительности. Существование объектов, систем, которые могут
из них состоять, отношения сходства и различия между ними, отно-
отношение порядка в их расположении, эквивалентности, отношения
причинной связи, которые дают возможность путем последователь-
последовательных преобразований получить из одного объекта (системы) другой
объект (систему). Эта отвлеченность операций со словами дает
возможность применять их к чрезвычайно широким классам объек-
объектов для решения многообразных конкретных практических задач,
т. е. она обусловливает богатство конкретного содержания этих
операций.
Применение такого рода аналогий к математическим понятиям,
несмотря на их весьма грубый, приближенный характер, является
полезным для понимания связи математики с действительностью,
с практикой. Оно позволяет видеть в операциях со словами не ка-
какое-либо схоластическое мудрствование, не связанное с реально-
реальностью, с практикой, а процесс, имеющий конкретное содержание,
тесную связь с практикой, являющийся своего рода слепком с ма-
материальной действительности. При таком подходе к операциям со
словами буквы, слова, вхождения, подстановки, цепочки, эквива-
эквивалентности становятся «живыми».
Приведенное выше определение понятия алгоритма не может
считаться точным математическим определением, так как в нем не
имеют достаточной точности такие термины, как общепонятное пред-
предписание, и не содержится определенных указаний о том, каков дол-
должен быть процесс последовательного преобразования абстрактных
слов в Л. В математике в течение долгого времени удовлетворялись
таким неточным, расплывчатым пониманием алгоритма, и только в
ЗО-х годах нашего века было выработано точное математическое
определение этого понятия.
Проблема уточнения понятия алгоритма возникла как законо-
закономерный результат развития математики в направлении все более
и более широких обобщений, а также в направлении все большей и
большей конкретизации математического знания:
Долгое время термин алгоритм встречался в математике в свя-
связи с решением более или менее ограниченного круга задач, причем
в каждом отдельном случае применение алгоритма сопровождалось
его описанием, достаточно понятным для математиков, так как оно
отражало сущность процесса в каждом из этих отдельных случаев
применения алгоритма. Вследствие этого не возникала необходи-
необходимость в юччом математическом определении данного понятия. Бур-
Бурное развитие производства, техники, естествознания в 20 веке ста-
ставили перед математикой все более и более сложные задачи. Воз-
Возрастало их количество, расширялось их многообразие, накапливался
во все возрастающих масштабах конкретный фактический материал,
157

который требовал для своего исследования более совершенных мате
матических методов, применения алгоритмов более общего харак
тера, каждый из которых мог бы охватить достаточно широкий
чсласс задач. При таких условиях применение алгоритмов имеюших
так сказать, частный характер, не могдо удовлетворить'математи-
удовлетворить'математиков. Необходимость же применения алгоритмов значительной степе-
степени общности должна была потребовать уточнения понятия алгорит-
алгоритма. Интенсивная работа математиков над этой проблемой протекав
шая в различных направлениях, характерна различным' подходом
математиков к ее решению. Результатом этой работы явилось вве-
введение в математику понятии нормального алгоритма (A A Man
ков), функциональной схемы машины Тьюринга (Тьюринг) и рекуп-"
сивнои функции (Клини, Петер), которые оказались равносильными
ло своему содержанию и представляют собой уточнение понятия
алгоритма. - . ""
Нормальный алгоритм обладает следующими характерными чер
.' 1. Предписание, о котором говорится в определении алгоритма
расчленяется на ряд стандартных правил, настолько простых чтг"
их общепонятность не может вызвать никаких сомнений Уточнен™
предписания связано, в конечном счете, с конкретной материал"
*ои действительностью. Без конкретных практических действии свя
1анных со свойствами, отношениями конкретных предметов проиег
сов это уточнение общепонятности предписания было бы не'возмож
<шм. Ведь известно, что в развитии математического знания огром-
огромную роль играют некоторые наиболее простые исходные понятия
которые логически неопределимы. Эти понятия возникли из опыта'
основанного на познании конкретных свойств материальных прел
метов, процессов. Без таких понятий научное знание не могло бы
развиваться, так как оно не имело бы отправных исходных пунктов
(например, понятие натурального числа). В соответствии с этими
элементарными правилами, применение алгоритма состоит из эл!».
ментарных шагов, в такой -же степени общепонятных, как элемен-
гарные правила. ^смен
2. Нормальный алгоритм задается определенным точным алфа-
алфавитом, из которого может быть образована некоторая совокупность
слов и при помощи заданной схемы подстановок могут осушег™
ляться определенные преобразования слов. Это значит что и™'
ше данные для применения алгоритма являются совершенно точ-
3. Применение формул подстановок в зависимости от возможных
условии процесса точно регламентируется некоторой совокуп„оС?ью
„о/' Име5гся точное У^зание, когда применение алгоритма про-
процесс преобразования слова следует считать законченным
5.-Имеется вполне определенное указание о том, какие могут '¦
^возможные детерминированные результаты применения алш ]
ритма,
168

Эти характерные черты нормального алгоритма с несомнен-
несомненностью свидетельствуют о том, что он не содержит никаких элемен-
элементов неточностей, неопределенностей и является «достаточно четким
для того, чтобы можно было рассматривать нормальные алгоритмы
как объекты математической теории» '.
Понятие нормального алгоритма, возникшее как результат раз-
развития математики, может рассматриваться как существенный узло-
узловой пункт этого процесса развития. Уточнение какого-либо понятия
s науке является одним из моментов конкретизации знания, что от-
откосится и к понятию нормального алгоритма. С другой стороны,
возникновение этого понятия играет весьма существенную роль в
развитии целого ряда весьма общих математических теорий и зна-
значительно увеличивает возможности исследования ряда проблем ма-
математики.
. «Все значение для математики уточнения понятия алгорифме
выявляется, однако, в связи с проблемой конструктивного обоснова-
обоснования математики. На основе уточненного понятия алгорифма может
быть дано определение конструктивной истинности математического
высказывания, на его же основе может быть построена и конструк-
конструктивная математическая логика... Наконец, главным полем приложе-
приложений уточненного понятия алгорифма несомненно будет являться
конструктивный анализ»2.
Единство абстрактного и конкретного в понятии нормального
алгоритма проявляется особенно ярко в связи с принципом норма-
нормализации алгоритмов, а также с возможностью построения из исход-
чых нормальных алгоритмов ряда сложных конструкций, являющих-
являющихся также нормальными алгоритмами (распространение, замыкание,
композиция,, объединение, повторение алгоритма й т. д.). Не все
алгоритмы в алфавите А являются нормальными, т. е. понятие нор-
нормального алгоритма является более узким, чем понятие алгоритма
вообще в алфавите А. Но, оказывается, всякий алгоритм в А может
быть поставлен в соответствие с некоторым нормальным алгорит-
алгоритмом в А, так как «всякий алгорифм в алфавите А вполне эквива-
эквивалентен относительно А некоторому нормальному алгорифму над
4» или «всякий алгорифм нормализуем»3.
Этот принцип (принцип нормализации) делает понятие нормаль-
нормального алгоритма весьма общим, поскольку это понятие может быть
связано со всяким алгоритмом в А. Основа же этого весьма общего
принципа находится в конкретном, в опыте, в огромном количества
применений Отдельных алгоритмов для решения множества конкрет-
шх задач, причем все эти алгоритмы неизменно оказывались нор-
нормализуемыми. «А опыт, подтверждающий принцип нормализации,
©громен. Ведь математикой люди занимаются довольно долго — не
менее 4000 лет. За это время было придума,но немало различных
алгоритмов. И среди них неизвестно ни одного ненормализуемого.
1 А. А. Марков. Теория алгорифмов, 1954, стр. 56.
2 Т а м же, стр. 4.
3 Там же, стр. 91.

Как-никак, а это веский довод в пользу принципа нормализации
Не менее веский, чем, скажем, опытное подтверждение закона со-
сохранения энергии» '.
Все конкретные случаи применения различных способов сочета-
сочетания нормальных алгоритмов всегда давали нормальный алгоритм.
К проблеме уточнения понятия алгоритма был применен, как извест-
известно, различными учеными различный подход, т. е. эта задача реша-
решалась многосторонне, конкретно (поскольку многосторонность знаний
является одним из моментов конкретности). Различными учеными
при различных путях, подходах к решению этой проблемы получены
равнозначные результаты, что рассматривается как весьма веский
довод в пользу принципа нормализации. Это обстоятельство также
говорит о том, что принцип нормализации связан с конкретизацией
математического знания. Связь этого общего принципа с отдель-
отдельным, конкретным особенно ярко выражена в следующих словах
А. А. Маркова: «Наконец, в качестве еще одного довода в пользу
принципа нормализации автор позволит себе сослаться на свой лич-
личный опыт. Все конкретные алгорифмы, которые ему приходилось
испытывать в этом отношении, ему удавалось нормализовать. Автор
поэтому считает возможным сделать противникам принципа нор-
нормализации следующий вызов: «Укажите ненормализуемый алго*
рифм!»2.
Связь такой обшей абстракции, как нормальный алгоритм, с
конкретным проявляется и в том, что это понятие способствует рас-'
крытию новых связей и отношений в математике, является основой
более конкретного, более разностороннего подхода к решению ряда
задач математики, а также в значительной степени расширяет сфе-
сферу приложений математики.
Общность понятия нормального алгоритма имеет своим основа-
основанием объективную действительность. В объективном мире существу-
существуют связи, отношения весьма общего и сложного характера. Но все
они, любой степени общности, включают в себя множество отдель-
отдельных простых связей, отношений, на которые они могут быть разде-
разделены и из которых они могут быть составлены. Понятие нормально-
нормального алгоритма и представляет собой отражение в сознании человека
этой зависимости между общим и отдельным, между абстрактным
и конкретным. То обстоятельство, что в построении нормальных
алгоритмов исключительно важное значение имеет расчленение
предписания на ряд элементарных, отдельных шагов, имеет своей
основой свойства объективной действительности и не может быть
сведено к изобретательству математика. Если бы объективная дей-
действительность не обладала соответствующими свойствами, то при
сколь угодно высокой изобретательности математика не удалось бы ¦
создать столь общее и действенное для математика понятие, каким
является понятие нормального алгоритма. Объективным содержа-
1 А. А. Марков. Теория алгорифмов, 1954, стр. 92
а Та м же, стр. 93.
160

нием понятия нормального алгоритма объясняется тот факт, что
различные пути, различные методы уточнения понятия алгоритма
дали равнозначные результаты.
Понятие нормального алгоритма может рассматриваться в связи
в некоторыми положениями марксистской философии. Предложе-
Предложение: «Укажите на ненормализуемый алгоритм» — может быть при-
приведено в соответствие с предложением: «Укажите какие-либо слож-
сложные связи, отношения действительности, которые бы не включали
в себя более элементарные, простые, отдельные (по отношению к
сложным) связи и отношения». Марксистская философия отрицает
возможность таких связей и отношений действительности. Отсюда
становится понятной невозможность указания ненормализуемого
алгоритма, а также предположение, что такой алгоритм не может
быть найден и й будущем. Так же, как любое сложное отношение в
объективном мире принципиально может быть расчленено на от-
отдельные, более простые отношения, так и любое предписание в те-
теории алгоритмов может быть расчленено на отдельные более про-
простые шаги.
Таким образом, принцип нормализации согласуется с положени-
положением марксистской философии о том, что всякое общее так или иначе
есть отдельное. В. И. Ленин об этом пишет следующее: «Значит про-
противоположности (отдельное противоположно общему) тождествен-
тождественны: отдельное не существует иначе как в той связи, которая ведет
к общему. Общее существует лишь в отдельном, через отдельное.
Всякое отдельное есть (так или" иначе) общее. Всякое общее есть
(частичка или сторона или сущность) отдельного»1.
«Прекрасная формула: «Не только абстрактно всеобщее, но
всеобщее такое, которое воплощает в себе богатство особенного,
индивидуального, отдельного» (все богатство особого и отдельно-
отдельного!)!! Tres bien!»2. ¦ .
Для математиков вполне естественным является стремление со-
создавать алгоритмы все большей и большей степени общности, кото-
которые были бы приложимы по возможности к самым широким клас-
классам задач. Результатом этого стремления должна бы явиться по-
постановка проблемы о построении алгоритма, который позволил бы
решать любую математическую задачу. Поисками такого алгоритма
занимался Лейбниц, он был уверен в возможности построения тако-
такого алгоритма. Очень долгое время в математике не было средств
для решения этой проблемы. Многочисленные попытки создания та-
таких алгоритмов должны были в конце концов привести к мысли, что
построение такого алгоритма возможно не для всякого класса за-
задач. Эта мысль подкреплялась тем, что в истории математики были
примеры таких проблем, над разрешением которых долго работали
математики, а впоследствии выяснялась их неразрешимость теми
средствами, которые для этого применялись.
Вопрос о возможности или невозможности искомого алгоритма
1 В. И. Ленин. Соч. т. 38, Философские тетради, стр. 87.
•Там же, стр. 87.
И 3»к»$ юзе

мог быть решен посредством математического доказательства. По-
Понятие нормального алгоритма дало возможность осуществлять тако-
такого рода доказательства. Опираясь на уточненное понятие алгорит-
алгоритма, математики выяснили невозможность получения разрешающего
алгоритма для некоторого класса задач. Американский математик
Черч доказал теорему: «Проблема распознавания выводимости
алгоритмически неразрешима». Марков и Пост показали не-
невозможность алгоритма для решения проблемы эквивалентности
слов в любом ассоциативном исчислении. П. С. Новиков доказал
невозможность построения алгоритма для решения проблемы тож-
тождества теории групп.
Доказательства существования проблем, для которых невозмож-
невозможно построить разрешающие алгоритмы, давали возможность подхо-
подходить к рассматриваемой проблеме математики более разносторонне
и конкретно, чем прежде.
Математик, работающий над созданием какого-либо алгоритма,
должен теперь рассматривать проблему не только со стороны воз-
возможности существования такого алгоритма, но и условия, когда он
невозможен. Он должен искать пути создания алгоритма, но наряду
с этим он должен пытаться найти доказательства невозможности
искомого алгоритма. Опираясь на это доказательство, математик
имеет возможность с большей ясностью, более целенаправленно,
более конкретно подходить к решению многих проблем математики,
имеет возможность избегать в своей работе потенциальных тупи-
тупиков. В прошлом математики не имели таких доказательств нераз-
неразрешимости некоторых проблем и затрачивали колоссальные усилия
иногда в течение многих поколений на поиски несуществующих до-
доказательств (например, доказательство постулата Эвклида о парал-
параллельных).
Существование теорем об алгоритмической неразрешимости не-
некоторых классов задач не означает признания принципиальной не-
невозможности решения каких-либо отдельных задач. Здесь речь идет
о невозможности разрешения задач данного класса единым алгорит-
алгоритмом. Эта невозможность говорит о существовании столь многооб-
многообразных связей, соотношений в^задачах достаточно широкого класса,
что все они не могут быть решены посредством единого алгоритма.
Это следует рассматривать как подтверждение положения марксиз-
марксизма о том, что научные абстракции последовательнее и логичнее, а
конкретное богаче, многообразнее, что отдельное неполно входит в
общее.
Решение задач, принадлежащих к классу, для которого невозмо-
невозможен единый алгоритм, может идти по линии создания алгоритмов
для решения ряда отдельных задач данного класса, а также для ре-
решения все более и более широких подклассов задач, входящих в
данный класс. Такой подход к решению задач", принадлежащих к
достаточно широкому классу, для которых единый алгоритм невоз-
невозможен, является проявлением общей закономерности развития по-
познания, состоящей в постепенном движении познания от незнания
162

к знанию, от знания менее точного и полного к знанию более точ-
точному, полному, от относительных истин к абсолютным. Если при-
признать возможность создания алгоритма сколь угодно общего, то это
значит признать возможность такого алгоритма, который позволял
бы решать единообразно все возможные задачи. Существование же
такого алгоритма напоминало бы некую универсальную абсолют-
абсолютную истину, исчерпывающее математическое познание мира.
Теоремы о невозможности создания единого алгоритма для ре-
решения всех возможных задач показывают диалектический характер
развития математики, которая, как и другие науки, не имеет границ
развития, но в то же время не может дать полное, исчерпывающее,
абсолютно точное отражение свойств, отношений объективного ми-
мира, поскольку он бесконечен. Эти теоремы заставляют более кон-
конкретно подходить к решению задач. Для некоторых классов задач
создавать единые алгоритмы, для других же классов создавать ал-
алгоритмы, применимые лишь к ним и к некоторым подклассам задач
данного класса. Для некоторых задач потребуются особые инди-
индивидуальные, только для них пригодные методы решения.
Развитие теории алгоритмов происходит в тесной связи с прак>
тикой, и взаимодействие абстрактного и конкретного играет в нем
существенную роль. Поиски более рациональных алгоритмов про-
происходят с учетом запросов практики и идут по линии обобщения
понятия нормального алгоритма. В этом отношении представляет
интерес алгоритм, предложенный Н. М. Нагорным, где, кроме алфа-
алфавита с определенными знаками, вводится особое понятие индекса,
который может состоять из каких угодно букв, за исключением того,
что он не может содержать знака ? (различия). Схема этого алго-
алгоритма представляет собой рациональную комбинацию нескольких
схем. Применение такого алгоритма значительно сокращает количе-
количество элементарных операций при преобразованиях слов по сравне-
сравнению с тем, которое требуется при применении нормального алгорит-
алгоритма. Это сокращение имеет существенное положительное значение
при практическом применении алгоритма. Оно может способство-
способствовать в какой-то мере расширению приложений теории алгоритмов,
т. е. может рассматриваться как момент конкретизации математик
ческого знания. Таким образом, через обобщение понятия алгорит-
алгоритма достигается более конкретное знание.
Содержание теории алгоритмов показывает, что ее понятия пред-
представляют собой диалектическое единство абстрактного и конкретно-
конкретного, общего и отдельного. В возникновении и развитии понятия алго-
алгоритма исключительно существенную роль играл опыт, практика
применения алгоритмов для решения множества отдельных конкрет-
конкретных задач. Уточнение понятия алгоритма, формирование такой аб-
абстракции, как нормальный алгоритм или функциональная схема
Тьюринга, существенным образом зависит от познания отдельного и
конкретного, от возможности расчленения предписания на отдель-
отдельные наиболее простые правила. Без этой возможности нельзя было
163

создать такое понятие, как нормальный алгоритм или функциональ-
функциональная схема машин Тьюринга.
Метод расчленения предписаний на отдельные наиболее простые
шаги позволил установить, что разница между каким-либо алгорит-
алгоритмом в данном алфавите, который *не является нормальным, и экви-
эквивалентным ему нормальным алгоритмом заключается только в раз»
личии их списания, в способах задания, и дал возможность тракто-»
вать нормальный алгоритм как весьма общее понятие. Понятие нор-
нормального алгоритма дало возможность вскрыть новые весьма суще-
существенные связи и отношения в математике, более конкретно подхо-
подходить к решению многих математических проблем.
Понятие нормального алгоритма, а также функциональной схе-
схемы машин Тьюринга дало возможность автоматизировать при по-
помощи машин некоторые процессы, относящиеся к умственной дея-
деятельности человека, и прежде всего вычислительные процессы, что
в огромной мере расширило приложения математики. Следователь-
Следовательно, теория алгоритмов является существенным этапом в развитии
математического знания в направлении его конкретизации. Теория
алгоритмов вносит существенные коррективы в решение ряда наи-
наиболее важных проблем, относящихся к обоснованию математики.
Она показывает, что решение этих проблем не может быть получено,
если исходить из понятий теории множеств Кантора, рассматривае-
рассматриваемых как самостоятельные сущности, т. е. в духе Платона.
Из содержания теории алгоритмов ясно, что эти проблемы могут
получить свое разрешение только при условии тесной связи матема-
математики с материальной действительностью, с опытом, практикой. Дей-
Действительно, центральным понятием теории алгоритмов является по-
понятие нормального алгоритма, а последнее, в конечном счете, опи-
опирается на опыт. Фактическое содержание теории алгоритмов убеди-
убедительно показывает справедливость следующих слов известного поль-
польского математика А. Мостовского: «Математические понятия и ме-
методы имеют свой окончательный источник в опыте и... попытки обо-
обосновать математику, не учитывая ее происхождения из естествозна-
естествознания, обречены на неудачу» '.
Связь теории алгоритмов с марксистской философией проявляет-
проявляется в том, что она позволяет более глубоко, конкретно понимать со-
содержание законов, категорий материалистической диалектики, об-
общие принципы которой могут служить направляющими в снециаль-!
ных математических исследованиях.
Об отношении конструктивизма (речь идет о конструктивной ма-
математике, развиваемой советскими математиками) к интуиционизм)
Брауэра, Вейля имеются две противоположные точки зрения. Одн!
из них принадлежит Э. Кольману, который пишет: «...высказывани)!
конструктивистов по вопросам гносеологии^являются субъективно!
идеалистическими. В философском отношении конструктивизм ест
не что иное, как некоторое ответвление интуиционизма, но толь*
более завуалированное, и поэтому с ним труднее бороться... Таки1|
1 Успехи математических наук. Т. 9. Вып. 3. 1954, стр. 13.
164

образом, перед нами чистейшей воды субъективизм, против кото»
рого следует бороться»1.
Высказывания некоторых конструктивистов-математиков по во-
вопросам гносеологии носят характер субъективизма, но положитель-
положительная роль конструктивизма в целом не должна отрицаться. Другая
точка зрения цр этому вопросу принадлежит А. Н. Колмогорову, ко-
которую он высказал в следующих словах: «Конструктивное направле-
направление в математике широко пользуется конкретными результатами,,
полученными в основанной Брауэром школе «интуиционистов».
Однако в действительности положительные достижения конструк-
конструктивного направления не имеют никакого отношения к философии
интуиционизма» 2.
Из сопоставления философского содержания конструктивизма и
интуиционизма с несомненностью вытекает справедливость точки
зрения, сформулированной А. Н. Колмогоровым. Из фактического
содержания теории алгоритмов следует, что ее философское содер-
содержание не носит идеалистического характера.
Для интуиционистов исходным в математике является интуиция,
которая понимается как нечто подсознательное, иррациональное,
врожденный дар математиков. Согласно этой точке зрения, ряд на-
натуральных чисел является очевидным интуитивно, он дан матема-
математику особой интуицией. То же самое относится и к пониманию инту-
иционистами других основных понятий математики. Основные же
понятия теории алгоритмов имеют исходным опыт, практику, пони-
понимаются математиками-материалистами как отражение свойств, от-
отношений объективной действительности.
Иптуиционисты содержание математики ставят в полную зави-
зависимость от субъекта, считая, что существует столько математик,
сколько существует математиков. В теории же алгоритмов совер-
совершенно исключается произвол субъекта, так как одной из особо су-
существенных черт алгоритма является его детерминированность.
Против субъективизма в теории алгоритмов говорит и тот факт, что
различными математиками получены равнозначные результаты
уточнения понятия алгоритма.
Интуиционисты не признают теорем существования, не признают
неэффективных доказательств. Они оперируют только теми объ-
объектами, которые могут быть построены. Отсюда интуиционисты, в
соответствии с их общим взглядом на математику, делают вывод:
существует только то, что можно построить; то, чего нельзя по-
построить, не существует вообще. Но ведь этот вывод заранее имеет
предпосылкой идеалистическое положение: существует только то,
что существует в моих мыслях.
А разве не является возможным подход к проблеме существо-
существования, к построению конструктивных объектов с других, материа-
материалистических позиций? Конечно, такой подход возможен. Он являет-
является единственно правильным. Если исходить из признания суще*
1 Диалектический материализм и естествознание. 1957, стр. 235.
8 Р. Петер. Рекурсивные функции. 1954, сир. 9. Предисловие.
165

-ствования объективной реальности, не считать, что существует толь-
только то, что существует в моих мыслях, то тогда можно признавать су-
существующим и такой объект, который не является построенным.
А. Н. Колмогоров пишет по этому вопросу следующее: «Что ка-
касается так называемой «интуиционистской логики», то в действи-
действительности она упорядочивает и обобщает те приемы, которые упог-1
ребляют .математики любого направления при сведении решения
одних конструктивных проблем к решению других конструктивных
проблем. Таким образом, ее содержание не связано не только с
философией интуиционизма, но и вообще с философскими установ-
установками на обязательность конструкции для осмысленности утвержде-
утверждений о существовании.
Правильнее назвать систему, возникшую под названием «ин-
«интуиционистской логики», просто конструктивной логикой»1.
Из этих слов видно, что подход конструктивизма к проблеме
существования совершенно отличный от интуиционистского. Кон-
Конструктивная математика занимается эффективными способами до-
доказательства и не занимается неэффективными доказательствами.
Это обстоятельство иногда считают достаточным основанием для
того, чтобы объявить конструктивизм реакционным направлением,
ведущим чуть ли не к агностицизму. По этому поводу можно заме*
тить, что в конструктивной математике далеко не всегда категори-
категорически отрицается признание неэффективных доказательств. Так,
Р. Петер пишет: «Непризнаваемые интуиционистами методы игра-
играют, тем не менее, важную рочь в построении больших, содержатель,
ных математических теорий»2.
Иногда в конструктивной математике высказываются такие
взгляды, из которых никак нельзя сделать вывод о полной несов-
несовместимости эффективных и неэффективных доказательств. Напри-
Например, А. Н. Колмогоров пишет: «...интерес к дополнению чистых те-
теорем существования соответствующими конструкциями можно счи-
считать понятным каждому математику. Он во многих случаях обосно-
обоснован и пряктическими потребностями приложений математики»3.
Особый интерес к эффективным доказательствам со стороны ря-
ряда математиков и нежелание заниматься неэффективными доказа-
доказательствами могут быть объяснены тем, что эффективные доказа-
доказательства обладают большей ценностью, чём неэффективные. Разра-
Разработка методов эффективных доказательств позволяет глубже изу-
изучить соотношение этих доказательств с неэффективными и может
способствовать тому, что неэффективное доказательство какого-ли-
какого-либо положения окажется замененным эффективным. Во всяком слу-
случае, наиболее последовательных сторонников эффективных доказа-
доказательств можно упрекнуть лишь в известной ограниченности их под-
подхода к проблемам математики (поскольку они не признают неэф-
1 Предисловие к книге Р, Петера. «Рекурсивные функции», 1954, стр. 9.
2 Р. Петер. Рекурсивные функции. 1954, стр. 222. •
8 Предисловие к книге Р. Петера, ст,р. 8.
166

фективных доказательств), но не в приверженности к субъективно-
субъективному идеализму.
Характерной чертой конструктивизма является конкретный под-
подход к проблемам математики, который не допускает ее отрыва от
опыта, практики, от материальной действительности. Конструкти-
Конструктивизм оперирует мощными научными абстракциями. Все это делает
его весьма плодотворным-орудием развития математического зна>
ния. Таким образом, конструктивизм не только не имеет ничего
общего с интуиционизмом, но противоположен ему в такой же сте-
степени, в какой материализм в математике противоположен идеализ-
идеализму. Есть основание утверждать, что преодоление трудностей теории
множеств пошло по двум направлениям: одно из них — интуицио-
интуиционистское, идеалистическое, которое развито Брауэром, Вейлем и
другими, а другое конструктивное — материалистическое, которое
развивается рядом ведущих советских математиков.
Таким образом, в современной математике имеются два основ-
основных направления: теоретико-множественное и конструктивное. Как
известно, оба эти направления оказали положительное влияние на
развитие математики. Во многих отношениях они отличны друг от
друга, а зачастую их даже считают взаимно-исключающими друг
друга. В действительности же они имеют точки соприкосновения.
Самое главное здесь состоит в том, что эти теории (если иметь з
виду их положительное содержание, свободное от идеалистического
истолкования) являются отражением сторон, свойств, отношений
материальной действительности. Эти стороны материальной дейст-
действительности тесно связаны друг с другом, находятся в единстве друг
с другом. Поэтому отражения этих сторон в форме математических
теорий точно так же имеют связь друг с другом, хотя она не всегда
явная. Выше было показано, что теоретико-множественная трактов-
трактовка понятий, математического анализа не может «изгнать из мате-
математики понятия изменения, процесса, тесно связанных с потенци-
потенциальной бесконечностью».
В конструктивной математике оперируют в пределах конечного,
избегают понятия бесконечного. В то же время ее объект может
быть сколь угодно большим и сложным, но конечным. Для возмож-
возможности оперирования такими объектами и принята абстракция по-
потенциальной осуществимости. Но понятие о конечном, которое длит-
длится сколь угодно долго или может длиться сколь угодно долго, вы-
вызывает неясности. Когда конструктивный объект построен, то он
является конечным. Но для того чтобы иметь возможность строить
объекты без ограничения их длины, вводится понятие сколь угодно
большого конструктивного объекта, как бы принципиально при-
признается его существование.
Когда говорят об объекте, который сколь угодно большой, но
конечный, резонно попросить: «Вы покажите этот объект, покажите
такой объект, который является сколь угодно большим и конечным,
покажите, где находится конец этого объекта». Если указать конец
этого объекта, показать, на каком элементе он заканчивается, то
167

это уже не будет объект сколь угодно большой. Если же последнего
элемента объекта указать нельзя, то, значит, мы не можем построить
объект, который был бы одновременно конечным и сколь угодно
большим.
Отсюда может быть сделан вывод, что в конструктивной мате-
математике имеются такие понятия, которым не соответствует какой-
либо построенный объект, т. е. здесь не все имеет конструктивный
характер, а кое-что имеет характер гипотетический. Это также
можно считать одной из точек соприкосновения между конструкти-
конструктивизмом и неконструктивизмом. В конструктивной математике не мо«
гут обойтись понятиями, которые были бы все определенно и явно
конечными, иначе не было бы надобности вводить абстракцию по-
потенциальной осуществимости.
Энгельс писал: «...всякое действительное, исчерпывающее позна-
познание заключается лишь в том, что мы в мыслях поднимаем единичное
из единичности в особенность, а из этой последней во всеобщность;
заключается в том, что мы находим и констатируем бесконечное в
конечном, вечное — в преходящем. Но форма всеобщности есть
форма внутренней завершенности и тем самым бесконечности; она
есть соединение многих конечных вещей в бесконечное» '.
При /построении конструктивных объектов стремятся все более
полно и глубоко познать связанные с ними свойства действительно-
действительности, при этом возникает необходимость строить такие объекты, чи-
число элементов которых было бы все большим и большим. Это стрем-
стремление ведет к тому, что математики должны математические объ-
объекты (хотя бы через идеализированные абстракции) связывать с
бесконечностью. В конечном начинает проявляться бесконечность.
Абстракция потенциальной осуществимости и связывает каким-то
образом конечное с бесконечным. Эта абстракция применяется в
границах возможных приложений математики. Поэтому здесь не
возникает парадоксов, характерных для теории множеств.
Возникает вопрос: не может ли принести пользу обнаружение
точек соприкосновения двух ведущих направлений современной ма-
математики? Может быть, их взаимопроникновение даст возможность
более глубоко и полно, более разностороннеотразить материальную
действительность в математических понятиях? Во всяком случае,
эти вопросы заслуживают внимания. В связи с ними можно вспом-
вспомнить историю развития теорий о природе света (корпускулярной и
волновой), которые с разных сторон отражали один и тот же про-
процесс, каждая из них сыграла положительную роль в развитии зна-
знаний1 о природе света и внесла свою долю в современные представле-
представления о ней.
1 Ф. Э и г е лье. Диалектика природы. 1941, стр. 187—188.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
О СООТНОШЕНИИ АБСТРАКТНОГО И КОНКРЕТНОГО
В ПРИЛОЖЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
Понятия математической логики обладают высокой степенью-
©бобщений, что обусловило исключительную широту ее применений
в различных областях науки, техники, и в особенности в кибернети-
кибернетике. В конструировании и использовании электронных вычислитель-
вычислительных машин важную роль играет такой раздел математической ло-
логики, как теория алгоритмов, особенно понятие нормального алго-
алгоритма, а также функциональной схемы машины Тьюринга. «Кибер-
«Кибернетика изучает в абстрактной форме свойства и закономерности
функционирования различных систем управления, не зависимые ог
материального субстрата этих систем»'.
Возникновение кибернетики" явилось результатом взаимодей-
взаимодействия двух сторон в развитии научного знания: первая состоит в
дифференциации наук, вторая — в сближении различных областей
наук на основе открытия, исследования общих черт, закономерно-
закономерностей их развития. Кибернетика способствует выявлению единых черт
у целого ряда наук и сближению их друг с другом. Так, в связи с
ее развитием происходит сближение математики, физики, техниче-
технических наук с биологией, физиологией, психологией, лингвистикой
и др.. Сближение различных областей наук, установление некото-
некоторых общих черт между ними означает выяснение ряда новых связей,
отношений между ними и, следовательно, способствует конкретиза-
конкретизации научного знания.
Общий характер кибернетики как науки вытекает из ее опреде-
определения. Управление, которое является предметом изучения киберне-
кибернетики, имеет место в самых различных системах: в машинах, в орга-
организмах, в общественной жизни и т. д. Причем кибернетика изучает
не все, что относится к управлению, а то, что является общим для
Философские вопросы кибернетика. 1961, стр. 27.

всех систем управления. Во всех системах управления действуют
определенные количественные соотношения, закономерности, не за-
зависящие от того, какими материальными элементами реализирова-
ны различные системы. Это дает возможность изучать едиными ма-
математическими методами различные системы управления. «Значение
кибернетики для техники заключается прежде всего в том, что, со-
создавая максимально абстрактные схемы, она тем самым создает
предпосылки для различнейших их интерпретаций, а также для ря-
ряда новых технических воплощений» '.
Следовательно, через абстрактные схемы кибернетика идет к
расширению технических приложений, т. е. к конкретизации знания.
В кибернетике создаются абстрактные схемы столь общего харак-
характера, что они охватывают общие моменты, свойственные не только
различным техническим системам- управления, но и относящиеся к
нервным системам. Это, безусловно; в еще большей мере расширяет
сферу приложения математической логики, теории алгоритмов к
решению различного рода задач.
Общие свойства саморегулирующихся систем возникали, закреп-
закреплялись в процессе длительного развития. Так, принцип обратной
связи, играющий в самоуправляющихся системах исключительно
важную роль, должен рассматриваться как результат этого разви-
развития. П. К. Анохин пишет об этом следующее: «...всякая функцио-
функциональная система, механическая или живая, созданная или разви-
развивавшаяся на путях получения приспособительного эффекта, непре-
непременно имеет замкнутый характер и не может существовать, если
не получает обратной афферентации о степени полезности произве-
произведенного ею эффекта»2.
Таким образом, принцип обратной связи берет свое содержание
в действительности.
Возникновение кибернетики связано с развитием ряда теорети-
теоретических дисциплин, например теории автоматического регулирования
и колебаний, теории электронных счетных машин, теории связи
и т. д.; с необходимостью решения целого ряда практических задач,
требующих применения автоматики. Развитие науки и техники в на-
начале 20 века выдвинуло множество труднейших математических за-
задач и требовало быстрого выполнения больших вычислений. Эта
потребность с необходимостью вызывала возникновение киберне-
кибернетики, а также создание электронных вычислительных машин.
Один из основателей кибернетики Норберт Винер занимался
применением математики к усовершенствованию радиопередач, к
теории стрельбы по самолетам, к управлению реактивными снаря-
снарядами и т. д. Появление электронных счетных машин подготавлива-
подготавливалось длительным развитием техники счета. Так, Э. Кольман отме-
отмечает, что Реймунд Люллий A235—1315 гг.) изобрел простейшую
логическую машину, Блез Паскаль в 1640 г. построил первую счет-
. 1961, стр. 34.

ную арифметическую машину, арифмометр был создан в 19 веке,
«первая машина для интегрирования дифференциальных уравне-
уравнений была построена в России А. Н. Крыловым в начале нашего ве-
века»
Следовательно, возникновение кибернетики подготавливалось в
течение ряда столетий и связано с необходимостью решения множе-
множества различных практических задач. Кибернетика представляет со-
собой одно из важных звеньев, связывающих математическую логику
с практикой. Математическая логика, особенно такой ее раздели, как
теория алгоритмов, составляет математическую основу кибернетики.
«По сушеству, математическая логика дает теоретическое обоснова-
обоснование и методов преобразования информации, что обусловливает тес-
тесную связь математической логики с кибернетикой. На базе матема-
математической логики появились и бурно развиваются в настоящее время
многочисленные частные приложения этой науки к различным си-
системам обработки информации: теория релейно-контактных схем,
теория синтеза электронных вычислительных и управляющих схем,
теория программирования для электронных автоматических счет-
счетных машин и др»2.
Основным понятием кибернетики является весьма широкое по-
понятие информации. Информация представляет собой сведения о ре-
результатах каких-либо событий, которые заранее не были известны,
причем «поступившие данные являются всегда одним из опреде-
определенного числа возможных вариантов сообщений»3.
Понятие информации включает всевозможные внешние данные,
воспринимающиеся системой, а также данные, вырабатывающиеся
внутри системы. Например, сведения о внешней среде и ее измене-
изменениях, которые человек получает при помощи органов чувств, явля-
являются информацией; «указания» мозга относительно движений, ко-
которые должны быть произведены мускулатурой человека или жи-
животного, также представляют собой информацию. Сведения, полу-
получаемые из книг, газет, разговоров, являются информацией.
В настоящее время понятие информации очень широкое; сведе-
сведения, получаемые по радио, телевидению, кино, сообщения, получа-
получаемые с искусственных спутников земли, — все это является инфор-
информацией. Исходные данные задачи, которые вводятся в электронную
счетную машину, промежуточные данные, а также окончательные
данные решения задачи — являются информацией.
Изучение процессов, происходящих в электронных программно-
управляемых машинах, привело к обнаружению некоторой анало-
аналогии между функциями этих машин и функциями мозга. Например,
машина может накапливать и хранить числа, что соответствует
функции памяти человеческого мозга. При решении задач машина
использует те же законы логики, которые применяет человеческое
мышление. Как электронная счетная машина, так и человеческий
1 «Вопросы филосоЛии», 1955, № 4, стр. 150.
2 Там же, стр. 138.
'Там же, •стр. 136.
171

мозг «представляют собой самоуправляемые системы, работа кото-
которых состоит в обмене информацией... между отдельными их частя-
частями и в преобразовании этой информации» '.
Общность понятия информации также имеет объективный ха-
характер и может рассматриваться как выражение весьма общего
свойства материи, свойства отображения. «Элементарны* и высшие
формы отображения лежат в основе всякой информации. Процесс
информации происходит потому, что совершается процесс отобра-
отображения, т. е. воспроизведения в иной форме особенностей объекта,
о котором поступает информация»2.
Таким образом, понятия кибернетики являются отражением
весьма общих свойств действительности. Электронная вычислитель-
вычислительная машина и человеческий мозг, конечно, отличны по своей физи-
физической природе; процессы, протекающие в них, обладают специфи*
кой, но как машина, так и мозг принимают, перерабатывают, хра»
нят и передают информацию. Введение понятия информации дало
возможность изучать с единой точки зрения самые различные про-
процессы, происходящие в природе, а также объединить «общие эле-
элементы различных областей науки: теорию связи, теории фильтров и
упреждения, теории следящих систем, теории автоматического ре-
регулирования с обратной связью, теории электронных счетных ма«
шин, физиологии и другие, рассматривая различные объекты этих
наук с единой точки зрения как системы обработки и передачи ин-
информации»3.
Высокая степень общности понятий, которыми оперирует кибер-
кибернетика (например, понятия информации), обусловливает возмож»
ность ее широкого применения для решения самых разнообразных
конкретных практических задач. Методы решения этих задач имеют
своей теоретической базой математическую логику, без которой не
может обойтись теория информации. Существенной частью вычис-
вычислительных машин являются электрические сети, включающие после-
последовательные и параллельные соединения при помощи замыкания в
размыкания реле.
Логические проблемы, связанные с проектированием электриче-
еких схем, имеют большое практическое значение. Электрические
схемы обладают логической структурой, которая определяется ко-
количеством и составом элементов, входящих в схему, а также спосо-
способом их соединения друг с другом. Логическая структура определяет
порядок и смену состояний элементов в зависимости от внешних
влияний и внутренних изменений устройства. Решение логических
проблем, связанных с конструированием логических схем, долгое
время представляло большие трудности, так как отсутствовал соот-
соответствующий математический аппарат. Математическая логика да-
дала общие методы конструирования релейно-контактных схем.
1 А. И. Китов, Н. А. Кр иницкий. Электронные вычислительные маши-
машины, 1958, стр. 5
* Философские вопросы кибернетики, 1961, стр. 119,
1 «Вопросы философии», 1955, № 4, стр. 140.
172

В. И. Шестаков в работе «Моделирование операций исчисления
высказываний посредством релейно-контактных схем»', показы-
показывает, каким образом может быть установлено соответствие между
операциями исчисления высказываний и релейно-контактными схе-
схемами. Для -этой цели В. И. Шестаков вводит ряд понятий. Так, элек-
электрическую схему, состоящую из двух полюсов, при равенстве мгно-
мгновенных сил токов, протекающих через эти полюсы, В. И. Шестаков
называет двухполюсником. Двухполюсники, которые могут иметь
проводимости 0 или ©о , называются вырожденными. Схемы, пост*
роенные только из вырожденных двухполюсников, называются вы-
вырожденными схемами. Любые величины, которые могут принимать
значения 0 или со , называются вырожденными величинами. «Пере-
«Переменные вырожденные величины будем называть вырожденными пе-
переменными, а если они являются функциями каких-либо аргумен-
аргументов,— вырожденными функциями этих аргументов»2.
Так как вырожденная переменная может принимать только два
значения: 0 и оо , а предложение в исчислении может быть либо
истинным, либо ложным, то, очевидно, между значениями предло-
предложений и значениями вырожденной функции можно установить вза-
взаимооднозначное соответствие. Если вырожденную функцию пред-
предложения р обозначить через [р], то она может быть определена еле*
дующим образом:
[р]=со, если р истинно
[р] = 0, если р ложно
Обозначим некоторый двухполюсник через <и>. Предложение,
формулирующее условия, при которых «л:» пропускает ток, обозна-
обозначим через р. Очевидно, если р истинно, то [р]=со, т. е. двухполюс-
двухполюсник будет пропускать ток, что может быть выражено уравнением:
х=[р]. В этом уравнении двухполюсник <<х» моделирует или реали-
реализует предложение р.
Если тождественно истинное предложение обозначить через Tt
а тождественно ложное через 0, то получим равенства:
. 0 = [F]oo=[7p.
Эти равенства утверждают, что «моделями тождественно ложного
и тождественно истинного предложения являются двухполюсники
О и со.
О О
Нет тока (соотв. ложному предлож.) @)
о ; о
Есть ток (соотв. истин, предлож.) A)
Эквивалентность двух предложений р и q может быть .выражена
через их вырожденные функции [р] и [q] следующим образом:
Aр] = Ы) =(<7=fl). T- е- эквивалентности предложений р и q соот-
соответствует равенство их вырожденных функций.
1 Логические исследования. Сб. статей, 1959.
2 Логические исследования. 1959, стр. 318—319.
•Там же.
173

Отрицание предложений р («не — р», или—р) может быть вы-
выражено следующим уравнением: x'=[~p], утверждающим, «что мо-
моделью ~р служит инверсия х' вырожденного двухполюсника х, мо-
моделирующего предложение р» '.
Модель дизъюнкции двух предложений р или q может быть вы-
выражена при помощи уравнения: [pVq]=[p]+{q], которое показы-
показывает, «что моделью pVq является параллельное соединение вырож-
вырожденных двухполюсников, моделирующих предложения р или q»3..
ы
Из схемы очевидно, что ток пойдет по цепи, если он идет или по
двухполюснику [q] или по двухполюснику [р]. «Моделью коньюнк-
ции предложений р и q является последовательное соединение вы-
вырожденных двухполюсников, моделирующих предложения р и д»3.
Из схемы очевидно, что ток по цепи может идти только в том слу-
случае, если он идет и по двухполюснику [р] и по двухполюснику [q].
Модель импликации двух предложений р и q может быть выра-
выражена уравнением [р ~) q]-[p]'+[q]. Методы моделирования, разра-
разработанные В. И. Шестаковым, имеют общий характер. «Так как вся-
всякая функция ф(рь ...р„ ) исчисления предложений всегда предста-
вима посредством выражения /(pi,—pi , рп, ~ р„), где предло-
предложения pi ~ pu .... рп- ~~Рп связаны друг с другом только знаками
дизъюнкции и конъюнкции, то всякую функцию ф(р1, ..., р я исчис-
исчисления предложений можно моделировать посредством некоторой
П-схемы F(x, xi', ...xn, xn'), построенной из вырожденных двухпо-
двухполюсников Х\, X/, ...Х„, *„'»*¦
Релейно-контактные схемы являются близкими к вырожденным
схемам только в том случае, если они не содержат обмоток реле.
В общем же случае они не являются вырожденными схемами, так
как содержат обмотки реле, проводимость которых значительно от-
отличается от 0 и со. Применением релейно-контактных схем можно
получить модели любых операций исчисления предложений, если
элементарные предложения в них связаны только лишь операция*
ми отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Например, двойное отри-
отрицание ~(—р) может быть моделировано схемой:
1 Логические исследования. 1959, стр. 321.
•Там же.
же.
1 Там же. стр. 323.
174

x' — размыкающий контакт;
У — реле.
Если хг размыкающий контакт
действует (левый проводник схемы
разомкнут), то по цепи ток не пой-
пойдет, т. е. имеет место отрицание р,
т. е.~ р. Замыкающий контакт «у»
при этом 1не приведен в действие.
Если же контакт «у» замкнут, то то
цепи пойдет ток, хотя «ж'» разомк-
разомкнут. Таким образом, ~ р отрицает-
отрицается, и мы получаем ~(~ р). *
Выражения ~ (р ~q), ~ (pV<]\
(знак ¦ соответствует «и») могут
быть моделированы посредством
следующих релей.но-контактмых
схем: х
••ы
• у • а
и' и vf — размыкающие контакты реле и и v.
Бели 4Р] и У—\.Ч\ то размыкающие контакты иг и vr удовлетво-
удовлетворяют равенствам гю'=и' = \хЧ )', v'= { х+А )'. При разомкнутых
контактах и' и v' ток не пойдет по двухполюсникам.и «ж», и «у» в
обеих схемах, откуда следует, что u'=[~(nBq)], v'=[~(pVq],
г. е. размыкающие контакты и' и v' моделируют выражения
~(рИ<7) и ~(pVf).
В этом моделировании исчисления предложений исключительно
ярко проявляется взаимодействие абстрактного и конкретного, об-
щего и отдельного, а также материалистическое понимание матема-
математической логики. Исходными общими понятиями здесь являются
175

понятия истинности и ложности, отражающие существование полв-
жительных и отрицательных сторон материальных объектов, т. е. юн
противоречивость. Истинность или ложность могут быть свойствен-i
ны огромному количеству разнообразных конкретных предложений.]
Зти элементарные предложения образуют множество сложных пред«(
.ложений. Предложения, рассматриваемые как аргументы, могут
«быть источником образования всевозможных функций. Таким обра*
зом, истинность и ложность образуют бесконечно многообразные со-
сочетания предложений, функций, отношений. Эти сочетания предло-1
жений, функций могут быть моделированы, получают конкретное]
воплощение в некоторых реальных процессах, например таких эле-
элементарных процессах, как замкнутость контактов и прохождение!
тока в цепи (или по какому-либо ее участку) или же разомкнутое»!
контактов и отсутствие тока. Эти элементарные процессы могут про-|
исходить в различных проводниках, обмотках реле-, контактах, отли-
отличающихся друг от друга множеством всевозможных свойств. Эле-
Элементарные процессы и схемы образуют самые разнообразные ком»
бинации, зачастую весьма сложные. Каждая из этих схем может!
служить средством решения множества каких-либо практических за»!
дач. Многообразию логических выражений соответствует многооб-]
разие различных моделей, многообразие всевозможных релейно-]
контактных схем.
Таким образом, общие положения математической логики нахэ-]
дят воплощение во множестве конкретных реальных процессов. Мо-
Модели операций исчисления высказываний могут рассматриваться как]
их интерпретации, т. е. положения математической логики являются
изоморфными отображениями некоторых совокупностей материалы;
ных объектов. Моделирование операций исчисления высказываний
¦наглядно, непосредственно показывает, что положениям математи-
математической.логики соответствуют определенные отношения материалы i
ных объектов и что эти отношения могут быть созданы по воле че-
человека, искусственно. Благодаря этому материалистическое содер-
содержание положений математической логики становится очевидным и
для ее идеалистической трактовки не остается места.
Следовательно, математическая логикадала весьма общие, пло-
плодотворные методы конструирования релейных схем, а через них воз»
можность создания совершенных, удобных в практическом приме-
применении электронных вычислительных машин. Наличие релейных
схем, элементы которых могут находиться в двух состояниях: реле —
в состоянии «возбуждено», «невозбуждено»; контакты — в состоя-
состоянии «замкнут», «разомкнут»; проводник — «под током», «без тока».
Все это дало возможность применить в электронных вычислитель-
вычислительных машинах двоичную систему счислений, в которой применяются
только две различные цифры — 0 и 1. Единица каждого старшего
разряда в этой системе вдвое больше единицы ближайшего млад-
младшего. Двоичная система счисления имеет большие преимущества
„ед Другими системами счисления, в том числе и перед десятич*
1, в отношении использования в электронных цифровых машинах.
.176

Применение двоичной системы дает возможность использования
з счетных операциях'минимального количества различных цифр,
всего двух: 0 и 1. Следствием этого является возможность примене-
применения весьма простых физических способов представления каждого
разряда чисел. Для этого может быть использован любой прибор,
который может находиться в двух различных устойчивых состоя-
состояниях, т. е. работает по принципу: «да», «нет». Конструирование та-
таких приборов значительно проще, чем многопозиционных, кроме
того, они работают более надежно. Например, электронные лампы
весьма надежно и устойчиво работают по принципу: «да» или «нет»,
при котором одно состояние лампы является состоянием полной про-
проводимости, а другое — состоянием полной непроводимости. При
этом возможные колебания в режиме работы мало отражаются на
характере сигналов.
При применении двоичной системы числа в Электронных вычис-
вычислительных маслинах представляются комбинацией электрических
сигналов. Какой-либо разряд двоичного числа представляется про-
проводом. Тогда единице данного разряда соответствует высокое на-
напряжение на проводе, нулю—низкое напряжение на проводе. Для
фиксирования и сохранения напряжений на проводе применяется
особое электронное реле, которое может состоять из двух электрон-
электронных ламп-триодов. Это электронное реле (триггер) может нахо-
находиться в одном из двух устойчивых состояний, при котором одна
лампа (например,левая) открыта (проводит ток), а другая (напри-
(например, правая) заперта (не проводит ток). Второе состояние триггера
соответствует противоположному состоянию ламп. Если первое со-
состояние триггера соответствует 1, то второе соответствует 0. Каждый
триггер соответствует одному разряду двоичного числа, одной циф«
ре. Для фиксирования двоичного числа из «я» разрядов нужно «п»
триггеров; Такое сочетание триггеров называется регистром, осуще-
осуществляющим функции запоминания, хранения одного многоразряд-
многоразрядного двоичного числа. Следовательно, запоминающее устройство
электронных вычислительных машин также работает по принципу}
€да» или «нет», т. е. его состояния находятся в соответствии со зна-
значениями истинности или ложности предложений в исчислении пред-
предложений. Комбинация триггеров дает счетчик, который осуществля-
осуществляет «счет числа импульсов, последовательно поступающих на вход
младшего разряда схемы» 1.
Комбинируя счетчики, регистры и некоторые другие электронные
схемы, «можно получить сумматоры, т. е. устройства для сложения
и вычитания двоичных чисел» 2.
Одним из основных элементов электронной вычислительной ма*
шины является электронный сумматор. С его помощью выполня*
ются сложение, вычитание, деление и умножение чисел. «Простей-
«Простейшим сумматором является одноразрядный последовательный сум»
1 А. И. Китов, Н. А. К р и н и ц к и й. Электронные вычислительные маши-
машины. 1958, стр. 57.
• Там же.
12 заказ 1036 177

матор, который производит сложение двоичных кодов двух чисел
последовательно разряд за разрядом, начиная с низшего разряда.
Он состоит из двух схем несовпадений A и 2), схем «нет» и двух
схем совпадений импульсев 3 и 4 (схем «и»)»1.
В
о—
Вход
Д
о—
Вход
нет
и
Сунгш
h
лэ
Перенос
Схема одноразрядного последовательного еу.мматора 2.
'Допустим, производится подразрядное сложение кодов двух чи-
чисел А «и В. «Положим, что код низшего разряда числа А есть 1,
а код этого же разряда числа В есть 0. Это означает, что на шину
А подан импульс, а на шине В нет импульсов. Тогда импульс
с шины А через схемы несовпадений 1 и 2 пройдет на выходную
шину «сумма». Схемы же совпадений 3 и 4 не пропустят его. В ре-
результате только 'на шине «сумма» будет импульс (т. е. 1 + 0 = 1).
Положим теперь, что на шину А и В одновременно поступают им-
импульсы. Это означает, что код данного разряда числа А есть 1 и
код этого же разряда числа В тоже 1. В этом случае схема 1 уже
не пропустит ммлульсы на выход, так как она будет закрыта. За-
Зато схема совпадений 3 дает на выходе импульс, который через вы-
выпрямитель Д пройдет на другую выходную шину, называемую ши-
шиной «переноса». Здесь этот импульс «переноса» будет запоминаться
на некоторое время с помощью электрического реле... Таким обра-
образом, в результате 'Сложения кодов чисел этого разряда на шине
«сумма» будет отсутствовать импульс, т. е. 1 + 1 = 0, а импульс
переноса запоминается на шине «перенос». Когда на вход сумма-
сумматора поступят коды следующего разрйда чисел А и В, то линия ЛЗ
пропустит задержанный импульс на входы схем 2 и 4.
Положим, что следующий разряд чисел А и В также имеет
код 1. Тогда схема 1 не пропустит импульса со входа сумматора,
1 Ф. В. Майоров. Электронные вычислительные машины. 1955, стр.24.
'Там же.
178

а схема 'совпадений 3 снова даст импульс в линию задержки ЛЗ.
На вход же схемы несовпадений 2 поступит задержанный импульс
от предыдущего сложения кодов, который будет ею пропущен на
шину «сумма». В результате получим 1 + 1 + 1 = 1 на шине
«сумма» и'1 «а шине «перенос»1.
Таким образом, электронный сумматор сконструирован и дей-
действует в соответствии с положениями математической логики, так
как он имеет две логические схемы несовпадений («нет») и две
логические схемы «и». Сложение чисел производится также в соот-
соответствии с формулами математической логики, так как 1+0 = 1
(что соответствует формуле р + 0=р) и 1 + 1 = 0 (что соответст-
вует формуле р + р = 0). Действие вычитания в двоичной системе
может быть сведено к действию сложения. Умножение сводится
к ряду последовательных суммировлний кодов чисел. Операция
деления сгюдится к операции последовательного деления кодов чи-
чисел делимого. Таким образом, применение положений математиче-
математической логики делает весьма простым выполнение всех арифмети-
арифметических действий в машинах.
Одним из важных элементов электронных счетных машин яв-
является электронный ключ, который «по заданному сигналу (им-
(импульсу напряжения) включает- нужную линию или цепь электриче-
электрического тока с большой скоростью»2.
Устройство электронных ключей включает схемы, которые яв<
ляются моделированием таких логических операций, как «и»,
«или», «нет» (схема несовпадений). Для записи программы работы
машины, исходных данных применяются перфокарты. Числа пред-
представляются системой отверстий на перфокартах. Считывание ма*
терзала с перфокарт может осуществляться пропусканием перфо-
перфокарт через систему контактов. В местах отверстий контакты замы»
каются, электрический сигнал используется для записи чисел ма-
машиной.
Таким образом, вчитывание материала с перфокарт также ос-
основано на замыкании и размыкании контактов, наличии или от-
отсутствии электрического сигнала, а значит, состояния элементов
считывающего устройства также находятся в соответствии со зна-
значениями истинности или ложности предложений в исчислении
предложений.
Следовательно, конструкция электронных вычислительных ма-
машин, устройство всех ее основных элементов имеет своей теоре-
теоретической основой положения математической логики. Элементы
этих машин (например, запоминающее устройство, электронный
сумматор и др.) включают релейные схемы, соответствующие опе-
операциям логики («и», «или», «нет» и др.), работают по принципу
или «да», или «нет», т. е. возможные состояния находятся в соот-
соответствии со значениями истинности или ложности предложений ш
1 Ф. В. М а й о р о в. Электронные вычислительные машины. 1955, стр. 25.
•Там же, стр. 19.
179

математической логике, т. е. с законом исключенного третьего в
формальной логике.
В исчислениях математической логики возможно построение
многообразных логических выражений, их комбинаций. Электрон-
Электронные вычислительные машины включают многообразные- комбина-
комбинации материальных объектов (реле, контактов, проводников, элект-
электронных ламп и др.), отношений, связи между которыми соответст-
соответствуют связям математической логики. Десятки и сотни тысяч мате-
материальных объектов, которые входят в состав электронных счетных
машин, находятся друг с другом в связях и отношениях, соответ-
соответствующих положениям математической логики, взаимодействуют
друг с другом согласно этим связям, законам.
Это означает, что в электронных вычислительных машинах об-
общие положения математической логики, связь между ее понятиями
получили конкретное воплощение в материальных объектах в мно-
многочисленных элементах этих машин. Можно считать, что двухзнач-
двухзначная математическая логика получает в электронных счетных ма-
машинах многообразную развернутую интерпретацию. Общие поня-
понятия, абстракции математической логики получают конкретное осу-
осуществление в соотношениях элементов электронных счетных ма«
шин, т. е. абстракции математической логики развиваются в связи
с конкретным.
Существование тесной связи между математической логикой и
электронными счетными машинами, является неопровержимым до-
доказательством истинности материалистического понимания матема-
математической логики.
Электронные вычислительные машины нашли применение в ре-
решении задач, относящихся к самым различным областям науки и
техники. Так, они применяются для решения системы алгебраиче-
алгебраических уравнений, которые могут возникать в связи с задачами, выд-
выдвигаемыми геодезией, астрономией, строительной механикой и т. д.
Затем применяются для решения системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений в связи с задачами, возникающими в инже-
инженерном деле, в теории управляемых и неуправляемых снарядов,
в аэродинамике, теории автоматического регулирования и т. д. При
помощи электронных счетных машин решаются диференциальные
уравнения в частных производных, которые выдвигаются газовой
динамикой, гидродинамикой, радиотехникой, оптикой, теплотехни-.
кой, метеорологией и т. д. В атомной физике, акустике, квантовой
механике возникают задачи на отыскание собственных значений
операторов, в теории вероятностей возникают задачи по вычисле-
вычислению кратных интегралов высокой кратности. Эти задачи также ре-
решаются применением электронных счетных машин. Таким образом,
электронные счетные машины применяются для решения многооб-
многообразных конкретных практических задач, математическая логика
через посредство машинных методов решения задач находит широ-
широкое практическое применение.
180

Понятия информации, обратной связи являются настолько ши-
рокими, что проявляются в объектах, процессах, принадлежащих
к существенно различным областям. Так, они могут проявляться не
только в автоматически действующих машинах, но и в нервной си-
системе, в работе мозга. Общность этих понятий позволяет приме-
применять кибернетику, а следовательно, и математическую логику в са-
самых различных областях науки (в физике, физиологии, психопато-
психопатологии, в общественных науках и т. д.), так как эти понятия яв-
ляются отражением общих черт, свойственных качественно отлич-
отличным друг от друга формам движения материи. И. Н. Баланеску
з статье «Кибернетика и некоторые вопросы физиологии и психо-
психологии» ' отмечает следующие общие черты различных форм дви-
жения:
1. Все формы движения обладают количественной определен»
яостью, поэтЬму самые различные явления, процессы подчинены
математическим закономерностям. Эти процессы отражаются в соз-
сознании и в понятиях логики, формах вывода. Поэтому глубокое изу-
изучение логики также требует применения математических средств,
2. Все формы движения связаны с пространством и временем,
вследствие этого процессы как в машине, так и в организме подчи»
нены пространственно-временным закономерностям.
3. Все формы движения могут происходить только в условия*
взаимодействия объектов, причем связи между ними могут носить
весьма сложный характер. Поэтому в системе взаимосвязей и взаи-
взаимодействий в машине и в организме существуют общие закономер-
закономерности, так, например, обратная связь существует как в машинах,
гак и в организмах.
4. Все формы движения заключают в себе ряд противопо-
противоположных сторон, например, единство прерывности и непрерывности,
положительный и отрицательный моменты. В электронных счетных
машинах эти противоположности проявляются в замыкании и раз»
мыкании реле. В нервной системе имеют место такие противопо-
противоположные процессы, как возбуждение и торможение, замыкание в
размыкание нервной цепи.
5. Источником самодвижения является борьба внутренняя
противоположностей. Эта черта, общая для всех форм движения,
.проявляется в электронных машинах,, в их саморегулировании.
Нервная система также регулирует функционирование всех частей
организма. В этом проявляется сходство между машиной и моз-
мозгом, а также и качественное различие между ними, так как си-
система саморегулирования в организме несравненно выше, совер-
совершеннее, чем в машинах.
И. П. Павлов говорит об этом различии следующее: «Чело-
«Человек есть, конечно, система (грубее говоря, машина), как и всякая
другая — в природе, подчиняющаяся неизбежным и единым для всей
природы законам; но система, в горизонте нашего современного
научного видения, единственная сто высочайшему саморегулиро-
1 «Вопросы философии», 1957, № 3,
181

ванию. Разнообразно саморегулирующиеся машины мы уже доста-
достаточно знаем между изделиями человеческих рук... Но наша систе-
система в высочайшей степени саморегулирующаяся, сама себя поддер-
поддерживающая, восстановляющая, поправляющая и даже совершенст-
совершенствующая» 1. v
6. Движение в электронных машинах требует устройства «па.
мяти» при помощи электронных записей, ртутных* 7 магнитных
ламп и т. д. В машине создаются устойчивый электромагнитные
связи, вследствие чего она не производит лишних движений Мозг
человека обладает памятью, которая существенно отличается от
«памяти, машины, .„о между „ими есть известное сходство т™к?
связи™ ТЗКЖе М°ГУТ ВОЗНИКать' сохраняться, закрепляться
Принцип действия запоминающих устройств
сохраняется,
ловек может воспроизвести ряд
3™ ¦==
ленному о Д\*нетэ' *да*'
c,rc.ir 3
«нет» и никогда не придет к определенному ответу Д\*нетэ' *да*
Совершенно ясно, что этот факт является убедительным свидр
гельством материального происхождения сознания Гт^,
чтооно является функцией'высокоорганизованной мат рииСМЫСЛе'
7. «Движение тел в материальном мире осуществляется пут™
их взаимодействия с окружающими условиями^Поэтому получе
ние, преобразование и передача информации являются общими лЛЯ
организма и для машины u °ощими для
конструирование электронных вычислительных машин
вание этих общих черт между различными формами
а также в соответствии с этим, между электронными
яыми машинами и иервной системой человека и дали
' И. П. Павлов. Полное собрание трудов. Т. 3, стр. 454.
182

в кибернетике использовать эти общие чертц» чтобы заменить от-
отдельные виды умственной деятельности человека работой соответ-
соответствующих машин.
Однако между человеком и машиной существует принципиаль-
принципиальная разница. Это станет понятным при ознакомлении со следую-
следующими особенностями машин:
«Машина обладает способностью автоматически изменять ход
вычислительного процесса в зависимости от получающихся теку-
текущих результатов вычислений»1.
«Машина может производить операции не только над обычны-
обычными числами... но и над условными числами, представляющими
команды программы. Это свойство машины служит для обеспече-
обеспечения возможности преобразования и многократного повторения всей
программы,.;или ее отдельных участков в процессе вычисления»2,
что сокращает работу по составлению программ.
Благодаря этим особенностям электронная вычислительная ма-
машина может оценивать результаты своей работы и вырабатывать
программу своей дальнейшей работы, т. е. работать по прилципу
самоорганизующегося процесса. В этом и состоит главный момент
сходства между работой счетной машины и человеческого мозга.
Работа электронной вычислительной машины сводится к огромно-
огромному числу последовательных двоичных выборов, причем каждый вы-
выбор определяется совокупностью предыдущих, при этом реали-
реализуется длинная и непрерывная логическая цепь, состоящая из зна-
значений «да» или «нет».
Выбор состояния определенным звеном цепи обусловлен кон-
конкретными условиями, ^соответствующими моменту его работы.
«...Устройство машины представляет собой совокупность реле
с двумя состояниями: «включено» и «выключено». На каждой ста-
стадии вычислений каждое реле принимает определенное положение,
лреодиктованкое положениями группы или всех реле на предыду-
предыдущей стадии операции»3.
В этих принципах работы машины ярко проявляется дшиек-
тический принцип взаимосвязи явлений, так как каждое состоя-
состояние реле связано с совокупностью условий данного момента, а так-
также с выборами состояний какого-то -количества реле в предшест-
предшествующие моменты. В работе счетных машин имеет место длинная
цепь причинных связей, общий принцип работы реализуется в ог-
огромном количестве определенных состояний множества конкрет-
конкретных объектов.
Нервная система содержит нервные «летки, или нейроны (очень
сложные по своим свойствам, строению), которые работают также
по принципу «да» или «нет»- и могут рассматриваться как реле с
двумя состояниями активности, т. е. каждая реакция нейрона на
¦С. Л. Соболев, А. И. К и т о в, А. А. Ляпунов. Основные черты ки-
кибернетики. «Вопросы философии», 1955, № 4, стр. 142.
! Там же.
•Там же, стр. 143.
183

раздражение имеет аналогию с эпетиаи*^;;-
ной машины. «Путем абстрагирования I? ""^ раб0ТЬГ счет'
мы, т. е. путем за-ведойого ееТпР0щения Р*ЗЛЬНОЙ неРвн°й систе-
ванную нервную сеть»... Поскольку ^7?' ПОЛУчают «идеализиро-
шчего», постольку определенную*УСТ1 ДЧШ.еНа за,кону «все или
^тяошетй между нти1ожтоис^ЖятНеИр0ИИЫХ °°бЫТИЙ в
ваемого исчисления высказь^аниЬ» Д ТЬ '** °СН0Ве так назы"
стему адресов памяти и различ„ь.х ХигнГлГ'НСЛ°ВНЫХ ЧИСел' си'
митивного «языка* дает возможность Тря Нали™е та-кого при.
юрые логические процессь! сюй™н??р °МТЬ В МЗШИНе Н6^
нию. В электронных счетных машинах ПппипЧеСК0Му МЫшле-
щие некоторую аналогию с формироВанР„°в^ ZT ПРоце"ы- ™ею.
организме. Сущность этих пУцекоВ ^„S^"" Р|Ф™ксов в
прочных электромагнитных связей kZw? B обРазо«ании
Например, если какой-нибудь cHrH' полТ М°ГуТ сохРа™ться.
она может отвечать надежно; еслГж Г "Т™* ЧЗСТ0' то
рр, если какойнибудь cHrH полТ у Р™ться.
она может отвечать надежно; еслГже этот Г-я "Т™* ЧЗСТ0' то
то
рты имеется много сходного ™уше™* ?Т> В ПРйнципах
должно рассматриваться как подтв1м?1» 6 Такого сх°Дс
w««0 материализма о ма1еРиаЛьн^е2^0Л0ЖеНий д
общих черт у различи фоТм'Те^ТТагериТ °
йымиТашиВн°аГи ГлоГе^иГГго^^0"™^ делитель,
ного применения кибернетики а с^едовате'льГ51" Сфбру К0НКРет"
логики, так как дает возможность Z п™' И маге^тической
ность нервной системы, а также дрУ™ Z -е изУчать Деятель-
мощью электронных машин Изучение ^.И °Рганизма с по-
Цессов, •происходящих в ж?ы? Организмах 3^ГМерН°СТеЙ Пр°*
ственную помощь в конструировании ™»' оказать суще-
ровных -вычислительных машин ' СО:ВеРшвнствован№и, элект-
Так, указанная аналогия дает вп,ипщ11п,
нетику для изучения психопа?а^1^^Т?в?ея1Ж111вИЯТЬ КИбер"
протезирования утерянных конечностей HRu ТЗКЖе ДЛЯ
идеи техники связи уже применялись ппи,п„Р отмечает. что
ра, который позволяет слепомуЧитатьТч»™иГРУИ?0*ШШ ПРиб0"
считает, что применение этих идей ^ппи!,™ ТТТ На СЛУХ- Он
возможно и в случае .конструирования^^ °бРатной связи)
Например, при замене ноги шарнвдным ппп ЫХ конечно"ей.
^ено^и лодыжко, котой ^CVSSSS^^"™
р, ри замене ноги
и лодыжко,, который
T,,..Uv.-uVunm; вопросы киоернетики IQfii ™~ in о
^*ВвргТоНа наш ВЗГЛЯД ^раведл™' питикГ^ • 3аКО? *Ке или ««чего»
еофии», № 3, 1957). Если автор не сошс Гг ,1 ЭКе1Жу.(см' «Вопросы фило-
оказать, но обой™ этот вопрос он не мог (Яей.) МрИ11НК0Й' °» Л°л«ен обэтЛ
184

с помощью оставшейся мускулатуры, отсутствуют достаточные све-
сведения о положении и скорости частей протеза (отсутствует обрат-
обратная связь), и поэтому пользующийся таким протезом ступает ito!
неровному грунту неуверенно. Если искусственные суставы и по-
подошву искусственной ступни снабдить «датчиками давления, дейст*
вующими электрически или как-нибудь иначе»1 на нетронутые
участки кожи, то это обеспечило бы в какой-то степени функцио-
функционирование обратной связи при ходьбе и было бы устранено рас
тройство согласованности в движениях.
В СССР особенно значительны перспективы применения ки*
бернетики для решения различных проблем медицины. В специаль-
специальном постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 14 ян-
января 19?0 г. «О мерах по дальнейшему улучшению медицинского
обслуживания и охраны здоровья населения -страны» указывается
на необходимость значительного расширения применений киберне-
кибернетики в медицине. В СССР разрабатываются специальные диагно-
диагностические машины и аппараты на основе применения кибернетики.
Профессор Б. Петровский пишет: «Недалеко время, когда кибер-
кибернетика в медицине — электронные диагностические аппараты, аппа-
аппараты для автоматического наркоза, для фотографирования и ки*
но<?ьемок нарушений внутренних органов ускорит и сделает более
точными наши диагностические и лечебные методы»2.
Общественные изменения также представляют собой одну иэ
форм движения материи (общественную форму), поэтому отме-
отмеченные выше общие черты движения свойственны и общественно-
общественному движению. Например, понятие информации вполне приложим©
к общественным явлениям. Это значит, что кибернетика, а следе
вательно, и математическая логика могут найти применение в об-
общественных процессах. Э. Н. Араб-Оглы в статье «Социология и
кибернетика»3 пишет, что в общественных науках могут приме-
применяться «электронные вычислительные машины, логические устрой-
устройства и автоматы для систематизации библиографии и информации
о текущих научных исследованиях, выполняемый машинами пере-
перевод с одного языка на другой и т. д.»4.
В настоящее время электронные вычислительные машины ус-
успешно применяются в социологических исследованиях. Применение
их целесообразно прежде всего в тех науках, которые имеют дело
со статистическими данными, таких, как конкретная экономика, по*
литическая экономия, социальная статистика, экономическая гео-
география и др. Электронные вычислительные машины в СССР полу
чают все большее применение в общегосударственном планирова-
планировании на предприятиях. Они могут найти применение для определе-
определения целесообразности научных открытий, технических изобретений
и рационализаторских предложений. При помощи электронных вы-
1 Н. Винер. Кибернетика. 1958, стр. 42.
2 «Правда», 30 апреля 1960 г.
• «Вопросы философии», 1958, № 15, с-ф. 138—151.
•Там же, сир. 144.
18»

числительных машин можно обобщать и систематизировать огром-
огромное количество фактов, относящихся к общественной жизни, что
окажет положительное влияние и на теоретические исследования.
«В СССР и других странах социалистического лагеря, распо-
располагающих соответствующими возможностями, ведутся широкие
исследования по разработке научных методов управления пред-
предприятиями и учреждениями, по созданию типовых структур управ-
управления предприятиями, по методам нормирования численности слу-
служащих, по разработке систем управления промышленными пред-
предприятиями «а основе (Комплексной механизации и автоматизации
инженерно-технических и административно-управленческих работ.
Особое внимание обращается на открывающуюся возможность
применения математических методов для нахождения оптимальных
решений в управлении производством. У нас много работают над
системами сводного планирования и отчетности на основе центра-
централизованной обработки 'Информации, поступающей с предприятий и
от совнархозов, с применением электронной вычислительной тех-
ники»1.
В марте 1960 г. в СССР проходило научное совещание по при-
применению математических методов в экономических исследованиях
и планировании, на котором были приняты некоторые рекоменда-
рекомендации. В них говорится: «Имеющиеся в СССР и выпускаемые вычис-
вычислительные маши.-ты могут решать большой круг плановых, учет»
ных, аналитических и оперативных задач. Совещание считает ак-
актуальной задачу разработки ,и внедрения систем вычислительных
машин, предназначенных для использования в оперативном руко-
руководстве выполнением плана. Такая система машин не только сбе-
сбережет большое количество труда управленческих работников, но и
позволит рационализировать и улучшить систему управлений»2.
Кибернетика может широко применяться в метеорологической
службе для предсказания погоды и в общественных науках для
моделирования «различных социальных процессов и отношений по-
посредством специальных электронных машин и устройств, та« назы-
называемых аналогов»3. Моделирование социальных и экономических
процессов даст возможность в известных условиях применять экс-
экспериментирование в общественных науках. В социалистическом об-
обществе имеются особенно широкие перспективы для применения
¦кибернетики в исследованиях социальных, экономических процес-
процессов. Применение кибернетики имеет особенно широкие перспекти-
перспективы в создании заводов-азтоматоз. Н. Винер лпшет об этом следую-
следующее: «Зазоды-азтоматы, сборочные конвейеры без рабочих появят-
появятся так скоро, как только мы решим затратить на их создание
столько же усилий, сколько мы, например, затратили на развитие
1 А. И. Берг. Проблемы управления н кибернетика. «Философские вопросы
кибернетики». 1961, стр 139—140.
'Там же, стр 172—173.
• «Вопросы философии», 1958, № 5, стр. 147.
180

техники радиолокации во время второй мировой войны»1. В СССР
уже созданы такие цехи и даже заводы.
Применение кибернетики, а Следовательно, и математической
логики в электронных вычислительных машинах, вообще в автома-
автоматических саморегулирующихся системах, применение этих машин
з естествознании, технике, общественных науках, практике дает
основание видеть здесь взаимодействие абстрактного и конкретно-
го. Единство, взаимосвязь противоположностей истинного и лож-
ложного, «х взаимопереходы являются основополагающими для мате-
математической логики (двухзначных систем). Исследование отношений
этих двух противоположных сторон приводит к формированию мно-
многообразных логических выражений, комбинаций.
Связь этих противоположностей обусловливает применение
принципа «да» или «нет» в релейно-контактных схемах, эта связь
получает конкретную реализацию в многочисленных разнообраз-
разнообразных релейных схемах. Эти схемы, комбинируясь, сочетаясь друг
е другом самым различным образом, дают основы конструиро-
конструирования автоматических саморегулирующих систем. Здесь связь про-
противоположностей истинного и ложного, принцип «да» или «нет» на-
находят еще более конкретное воплощение, так как каждая релейная
схема может быть реализована совокупностью различных конкрет-
конкретных объектов.
Электронные вычислительные машины, автоматические саморе-
саморегулирующиеся системы находят применение в самых различных
областях науки и техники, используются для решения многих и
многих конкретных практических задач. Широте применения этих
машин трудно указать определенные границы. Область их приме-
применения непрерывно и быстро расширяется, и этот процесс связан со
всеобщим характером противоположностей истинного и ложного.
Развитие двухзначных систем математической логики, ее мно-
многочисленных приложений можно рассматривать как исследование,
конкретизацию взаимодействия, единства таких противоположных
сторон, как истинное и ложное, которые обладают всеобщим ха-
характером. Если бы соотношение истинного и ложного не являлось
весьма существенной, основной стороной в познании .всех объек-
объектов, процессов действительности, а представляло бы некоторую ча-
частность, нечто второстепенное, то исследование свойств, отноше-
отношений этих объектов, процессов и не требовало бы необходимым об-
образом выяснения связи истинного и ложного. Очевидно, тогда
принцип «да» или «нет» не имел бы такого широкого значения, не,
играл бы такой существенной роли в логике. Тогда существующие
.системы двухзначной логики могли бы и не возникнуть, и уж, во
всяком случае, они не имепи бы такого широкого конкретного при-
применения. Широкое применение математической логики, кибернетики
в сильнейшей степени способствует более глубокому исследованию
их общих принципов, в Том числе и соотношения истинного и лож-
ложного. Следовательно, применение математической логики, киберне-
1 Н, Винер. Кибернетика, 1958, стр. 43.
1S7

обЩ„х 4epj
специфику данной
значение, для исследования сход.
ляет наличие качественных пя^аЗЛИ-НЫХ Ф°РМ ДВИЖения опРеДе-
той электродной вычислив -ЧШ М6ЖДУ раб°Т0Й М03га и Рабо<
количеством нервный ZZIT МаШИНЫ- <<В СВЯЗИ с огромным
большое количество различных "V™*™ заключает в себе такое
рефлекторных и безусловмп * элементарных связей, условно
рождают неповтооимь-р Г РеФлектоРных сочетаний, которые по-
нГс;;ГУ7оГГрав вычислитель-
мозга может иаменятьсячислс^^„ейпоно^™ отдельно« Участке
жение в известной мере случайно вТЛ' "Х взаимное Р^поло-
нах исключается всякая случайность в г-оР°'ННЫХ СЧетны* маши>
Динениях и работе. Выход„3 " " л ЗВ6 элементов, в их сое-
влияет .на работу мозга в цело? LZ^X НерВНЫХ КЛ6Т0К т
ного элемента машины может по'™? И3 СТроя хотя бы °Д"
ловечесшй мозг обладает ^SLoS ВЫВеСТИ ее И3 СТРОЯ- Че'
такой способности ищГне^ожё? Хг Сам°раЗВИГИЮ' маши^
- б ZZ\^Z Г^^^
такой способности ищ
-рчества, обобЩений,
гГльКоч;:звыГагГрГуюГп машины ^^^
мышления. Эта схема аналогична толькГ6™^ СХ6Му "Р^ессов
ленным процессам мышления человека в РгпДеЛЬНЫМ. УзконапРав-
не содержащих элементов творчества пРостейших формах,
Г^^^^^ свойственны только
М0гут быть принадлежностью автомата.
С. М. Ш а л ю т и н О vut\
Р^ш ^ибернетики>. 1961 crp %P"e™Ke и с*еРе ее применения. «Философски,
бернетики. сВопросы |и;о1офИии»КГ955 М4 стр Н5"У " ° В" °СН°ВНЫе чеРты ™"
188 '

Мысль может быть только функцией мозга, высокоорганизованной
материи, и не может быть функцией неодушевленной материи. Соз-
Сознание есть не только продукт длительного биологического разви*
гия, но и продукт длительного общественного развития.
Таким образом, фактический материал математической логики
дает все основания сделать следующие выводы:
J. Математическая логика полностью подтверждает положение
диалектического материализма о том, что развитие познания отра-
отражает развитие материальной действительности, и убедительно по-
показывает несостоятельность идеалистической концепции, которая по.
знание отрывает от материальной действительности.
2. Матеяатическая логика не является частью логики (как и
вся математика), она имеет специфическое логическое содер*
жание, которое не включается в рамки математических понятий;
она имеет также и специфическое математическое содержание,
которое не может быть включено в рамки логических понятий.
3. В математической логике элементы логического содержания
гесно связаны с элементами математического содержания, поэтому
есть основания считать ее логико-математической дисциплиной.
4. Понятия, формулы математической логики не представляют
собой чистые формы, лишенные всякого содержания. Математиче-
Математическая логика содержательна, в ней содержание и форма находятся в
тесной связи, во взаимодействии друг с другом.
5. Фактический материал математической логики показывает,
что познание может развиваться только во взаимодействии с
опытом и практикой.
6. Фактический материал математической логики показывает,
что познание' представляет собой диалектический процесс, в кото-
котором взаимодействуют друг с другом ряд противоположных сторон,
таких, например, как содержание и форма, истинное и ложное,
абстрактное и конкретное.
7. Математическая логика подтверждает положения диалекти-
диалектического материализма о материальном единстве мира, о взаимо-
взаимосвязи явлений объективного мира.
8. Математическая логика опровергает агностицизм, показыва-
показывает могущество человеческого разума.
9. Содержание математической логики (как и всякой другой
науки) может быть правильно понято, если его рассматривать как
единство и взаимодействие противоположных сторон, в частности
таких, как абстрактное и конкретное. ¦
Рассмотренный в данной работе материал, касающийся соотно-
соотношения абстрактного и конкретного в математике, свидетельствует
о правильности диалектико-материалистических взглядов на содер-
содержание математики, ее отношения к объективному миру. Математи«
ческие абстракции огрубляют действительность, не могут отразить
всю ее полноту и многообразие. Но наряду с этим абстракции яв«
ляются необходимыми для глубокого, всестороннего познания дей-
действительности в ее конкретности, взаимосвязях и развитии.
189

В процессе формирования этих абстракций преодолевает^
ся противоречие между отдельным и общим, между абстрактным}
и конкретным, между конкретными фактами опыта и данным уров-
уровнем математики. Разрешение этого противоречия обусловливае
развитие математики и делает ее пригодной для решения все более]
и более широкого круга задач естествознания, общественных наук!
и техники. Следовательно, математика развивается в направлении!
формирования все более широких и глубоких обобщений, органи-
органически связанных с дальнейшей конкретизацией знания. Эта связь]
абстрактного и конкретного в математике основана на том, что в|
материальной действительности одно и то же общее свойственно!
различным конкретным объектам, что абстрактное проявляется в]
конкретном.
А. Н. Колмогоров о связи абстрактного и конкретного в совре-
современной математике пишет следующее: «Несмотря на абстрактность)
последних наших выводов, можно утверждать, что новейшее раз-
развитие математики делает ее ближе к действительности, позволяет
ей охватить большее разнообразие реальных явлений и изучать\
их с меньшей степенью схематизации, чем это могла делать клас-
классическая математика»1.
Отрыв абстрактного от конкретного может быть причиной «обес-
предмечивания» математики, лишения ее реального предмета ис-
исследования. «В одном случае «обеспредмечивание» происходит пу-
путем подмены этого реального предмета голыми идеалистическими
схемами и субъективными логическими фантазиями. Вторая опас-
опасность— это заблуждение грубого «прикладничества», которое от-
отрицает самостоятельный предмет математической теории, низзодя
ее на ступень какой-то коллекции разрозненных фактов и методов,
ценных лишь постольку, поскольку они непосредственно годятся
для приложений» 2.
Развитие современной математики показывает, что гениальные
ленинские положения о кризисе в физике полностью приложимы и
к математике, развитие которой (как и развитие физики) подтвер-
подтверждает диалектический материализм.
Таким образом, фактический конкретный материал, характери-
характеризующий развитие математики, с исключительной убедительностью
свидетельствует о том, что его источником являются единство и
борьба противоположностей в ней содержащихся. Одним из мо-
моментов проявления противоречивого характера развития математи-
математики и является взаимодействие абстрактного и конкретного. Каж-
Каждый последующий этап развития математики, по уравнению с
предшествующим, отличается большей научной абстрактностью и
одновременно обладает более богатым конкретным содержанием.
Развитие математики полностью подтверждает положения ди-
диалектического материализма о процессе познания. В свою очередь,
1 Современная математика. В сб. «Философия математики», 1936, стр. 13.
«Там же, стр. 19—20.
19в

только с позиций диалектического материализма можно правильно
понять закономерности развития математики.
Развитие математики полностью опровергает идеалистические
взгляды на сущность математики, закономерности ее развития и
роль в человеческой деятельности.
ЛИТЕРАТУРА
К. Маркс. К критике политической экономии, Госполитиздат, 1953, стр. 15.
213, 215, 217, 218, 236.
Ф. Энгельс. Анти-Дюринг, Госполитиздат, 1957. Введение. Отдел первый,
философия.
Ф. Энгельс. Диалектика природы Госполитиздат, 1953, стр. 22, 37, 159—
165 (естествознание и философия); стр. 1 ifi. 205, 169, 160, 206, 213—218 (мате-
(математика); стр. 1, 36, 38—43, 114, 168— 170, И5. 200, 201, 206, 207, 229, 237 (законы
диалектики); стр. 22, 38, 138, 139, 145, 146. 160, 166, 176, 177, 178, 183, 184, 186,
191, 199, 213—218 (законы мышления как отражение законов природы).
В. И. Ленин. Философские тетради, 1947, стр. 65, 146, 148, 153, 168, 172,
214, 308, 330 (абстрактное); стр. 81, Ьъ. 6', 91 (бесконечное); стр. 73, 172 (всеоб-
(всеобщее и отдельное); стр. 65, 66, 152, 164, 188, 155, 158 (логика и об. мир); стр. 92,
91, 181, 61, 70 (математика).
В. И. Ленин. Материализм и эмпириокритицизм.
Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, Учпед-
Учпедгиз, 1936.
М. М. Розенталь. Принципы диалектической логики, Соцэкгиз, 1960.
М. Н. Алексеев. Диалектическая логика, Изд. МГУ, 1960.
Категории материалистической диалектики, Сб. ст. 1956.
Диапектический материализм и современное естествознание. Сб. ст. 1957.
А. Д. Александров. Ленинская диалектика и математика. «Природа»,
1951,-JNs 1.
A. Д. А л е к с а н д р о в. Об идеализме в математике. «Природа», 1951, № 7, 8,
B. Н. М о л о д ш и й. Очерки по вопросам обоснования математики, Учпед-
Учпедгиз, 1958.
А, Мостовский. Современное состояние исследований по основаниям
математики. Успехи математических наук, т. 9, вып. 3, 1954.
Э. Кольман. О значении символической логики, Логические исследования,
Сб. ст. Изд-во АН СССР, 1959.
C. К л и ни. Введение в метаматематику. Иэд-во иностран. литературы, 1957.
Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, 1951.
Математика, ее содержание, методы и значение, т. 1, 2, 3. Изд-во АН СССР,
1956.
Н. Н. Лузин. Теория функций действительного переменного, Учпедгиз. 1948.
Г. Кантор. Учение о множествах. В сб.: Новые идеи в математике, 1914,
№ 6, 1.
И. И Жегалкин. Арифметтация символической логики (матем. сб., т. 35;
выи. 3 я 4, 1928; т. 36, вып. 3 и 4, Изд-во АН СССР, 1929).
П. С. Новиков. Элементы математической логики, Физматгиз, 1959.
Г. Клаус. Введение в формальную логику, Изд-во иностран. литературы,
I960.
А. Н. Колмогоров. Математика, ст. в БСЭ.
Р. Л. Гудет е й н. Математическая логика, Изд-во иностран. литературы.
1961.
Э. В. Ильенков. Диалектика абстрактного и конкретного в «Капитале»
К. Маркса, Изд-во АН СССР, 1960.
Г. И. Р у з а в и н. О характере математической абстракции. «Вопросы фи
Софии», 1960, № 9.
П. В. К о п н и н. ДиЕлектика как логика, Изд-во Киевского Госуниверс
1961, гл. 4.
Д. П- Горский. Вопросы абстракции и образование понятий,
СССР, 1961, гл. 1, 3, 5, 6.

Философские вопросы современной формальной логики. Сборник статей,
Изд-во АН СССР, 1962.
А. Ч е р ч. Введение в математическую логику, Изд-во иностраи. литературы,
1960.
А. Я. X и н ч и н. Краткий курс математического анализа, Гостехиздат, 1957.
М. К. Гребенча и СИ. Но в осело в. Курс математического ана-
анализа, Учпедгиз, 1953.
А. Т а р с к и й. Введение в логику и методологию дедуктивных иаук, Изд-во
¦яностран.-литературы, 1948.
Д. Гильберт и В. Аккерман. Основы теоретической логики, Изд-во
яностран. литературы, 1947.
М. Корнфорт. Наука против идеализма, 1948.
А. А. Марков. Теория алгорифмов, Изд-во АН СССР, 1954.
Сборник статей. Философские вопросы кибернетики, Изд-во АН СССР, 1961.
А. И. Китов, Н. А, Криницкий. Электронные вычислительные ма-
машины, Изд-во АН СССР, 1958.
Ф. В. Майоров. Электронные вычислительные машины, Изд. «Знание»,
J955.
Н. Вии ер. Кибернетика, Изд-во АН СССР, 1958.
Н. Н. Харин
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Редактор В. А. Сперанский
Художественный редактор А. М. Чабурин
Технический редактор С. В. Швецов
Корректор Э. П. Почтарева
Сдано в набор 12/ХН—1962 г. Индекс УГ—13 Подписано к печати 15/VII—1963 г.
Формат 60X907i6 Объем 12 печ. л. Уч.-изд. л. 12,88
Л 61552 Заказ 1036 Тираж 14500 экз. Цена 90 коп.
Типография ЦБТИ Госкомитета по AM при Госплане СССР, ст- Щербинка