/
Автор: Воскресенский К.Д.
Теги: физика теплотехника теплопередача задачи по физике теплообмен сборник задач
Год: 1959
Текст
К. Д . ВОСКРЕСЕНСКИЙ
СБОРНИК
РАСЧЕТОВ И ЗАДАЧ
ПО ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
ГОСЭНЕРГОИЗДАТ
к. д. воскресенский
СБОРНИК
РАСЧЕТОВ И ЗАДАЧ
ПО ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
Издание второе, переработанное
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебного пособия
для энергетических
высших учебных заведений
и факультетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1959 ЛЕНИНГРАД
ЭТ-5-2
Второе издание сборника содержит задачи и расчеты, темы
которых охватывают программу курса „Теплопередача*.
Сборник составлен применительно к третьему изданию учеб-
ника М. А. Михеева „Основы теплопе редачи*, 1956 г.
Все задачи снабжены ответами, а половина их — подробными
решениями.
Сборник предназначен для студентов теплотехнических спе-
циальностей энергетических втузов.
Автор Воскресенский Кирилл Дмитриевич
СБОРНИК РАСЧЕТОВ И ЗАДАЧ ПО ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
Редактор Шорин С. Н. Техн, редактор Ларионов Г. Е.
Сдано в набор 8/VI 1959 г. Подписано к печати 3/IX 1959 г.
Т-10202 Бумага 84X108Ve 17,22 печ. л. Уч.-изд. л. 18
Тираж 15000 Цена 7 р. 30 к.Заказ 336
Типография Госэнергоиздата. Москва, Шлюзовая наб., 10.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник является систематизированным задачником по
теплопередаче, который составлен применительно к опре-
деленному учебнику (М. А Михеев, „Основы теплопере-
дачи*, 1956 г.).
Темы помещенных в сборнике задач и расчетов охва-
тывают в основном все разделы курса „Теплопередача*,
предназначенного для студентов теплотехнических спе-
циальностей энергетических втузов. Вторая часть сборника,
посвященная теории подобия, теплопроводности и конвек-
тивному теплообмену, может быть использована также и
на теплофизических отделениях втузов.
Все задачи снабжены ответами, а половина их — под-
робными расчетами.
Часть задач заимствована у других авторов, что от-
мечено соответствующими ссылками. В пределах каждой
главы задачи и расчеты расположены в порядке возраста-
ния их сложности.
Второе издание сборника содержит примерно в 3 раза
больше задач, чем первое. При этом ряд глав написан
заново (главы 4, 8, 9, 12, 13, 18, 19, 20, 21, 22 и 23),
а остальной материал переработан и дополнен.
4
Предисловие
Автор приносит глубокую благодарность коллективу
кафедры Теоретических основ теплотехники МЭИ за кри-
тическое обсуждение этой работы, С. Н. Шорину — за ее
редактирование, Б. С. Петухову, В. А. Осиповой и
Е. А. Краснощекову — за ценные замечания и темы неко-
торых задач, Е. С. Турилиной —за помощь в работе
над рукописью.
Автор будет признателен за все замечания, которые по-
могут устранить недостатки задачника.
Замечания просьба направлять по адресу: Москва,
Шлюзовая набережная, 10, Госэнергоиздат.
Автор
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ................................................ 3
Список основных обозначений................................. 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава первая. Теплопроводность в плоской стенке ............ 9
Глава вторая. Теплопроводность в цилиндрической и шаровой
стенках................................................ 23
Глава третья. Теплоотдача при свободном движении теплоно-
сителей ................................................ 36
Глава четвертая. Теплоотдача при вынужденном движении теп-
лоносителей в трубах и каналах.......................... 48
Глава пятая. Теплоотдача при вынужденном обтекании труб . . 79
Глава шестая. Теплоотдача при кипении жидкостей............ 90
Глава седьмая. Теплоотдача при пленочной конденсации паров 96
Г лава восьмая. Лучистый теплообмен между телами, разделен-
ными прозрачной средой ............................... 102
Г лава девятая. Лучеиспускание газов и факела............ 121
Глава десятая. Теплопередача через плоскую стенку..........133
Г лава одиннадцатая. Теплопередача через цилиндрическую, ша-
ровую и ребристую стенки...............................145
Глава двенадцатая. Теплопередача через жидкостные прослойки 158
Глава тринадцатая. Тепловая изоляция.......................164
Глава четырнадцатая. Средний температурный напор и конеч-
ные температуры теплоносителей..............w...........175
Глава пятнадцатая. Примеры расчетов теплообменных аппара-
тов ....................................................181
5 Содержание
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Глава шестнадцатая. Подобие процессов теплопроводности . . 197
Глава семнадцатая- Гидродинамическое подобие...............208
Глава восемнадцатая. Подобие процессов конвективного тепло-
обмена .................................................222
Глава девятнадцатая. Общие задачи теории теплопроводности 235
Глава двадцатая. Стационарные процессы теплопроводности . . 238
Глава двадцать первая. Нестационарные процессы теплопровод-
ности ..................................................263
Глава двадцать вторая. Тепловой и гидродинамический погра-
ничные слои.............................................302
Глава двадцать третья. Теплоотдача в трубах................315
Список использованной литературы...........................333
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
d — диаметр, м.
г, г9 — радиус, м.
I — длина, м.
Ъ — толщина, м.
F — поверхность нагрева, jw2.
f — поперечное сечение канала, лса.
, y,z — абсцисса, ордината и апликата.
h — высота, м.
П — периметр, м.
т — время, ч, сек.
Q — поток тепла, ккал/ч.
q—удельный поток тепла или тепловая нагрузка поверхности
нагрева, ккал/м2*ч.
О, t — температура, °C.
Т — абсолютная температура, °К.
qt — тепловая нагрузка трубы, ккал/м-ч.
М— температурный напор, ° С.
а — коэффициент теплоотдачи, ккал/м2»ч*град.
k — коэффициент теплопередачи, ккал/м2»ч*град.
— коэффициент теплопередачи через стенку трубы,
ккал/м-ч-град.
С — коэффициент излучения, ккал/м*»ч» град*.
е — степень черноты.
X — коэффициент теплопроводности, ккал!М'Ч*град<
с — теплоемкость, ккал/кГ*град.
Т — удельный вес, кГ/м1
8
Список основных обозначений
а — температуропроводность, м2/ч.
ц— динамический коэффициент вязкости, кГ'Сек/м2.
ч— кинематический коэффициент вязкости, м2/сек.
р — массовая плотность, кГ•сек2/м*.
— коэффициент объемного расширения, \/град.
— температурный коэффициент изменения теплопроводности,
\/град.
— температурный коэффициент изменения теплоемкости»
\/град.
V — объемный расход теплоносителя, м*/ч\ м2/сек.
G—весовой расход теплоносителя, кГ/сек.
ix — температура теплоносителя, град.
tc — температура стенки, град.
Лж — теплопроводность теплоносителя, ккал/м*ч*град.
I — сила тока, а.
р — давление, кГ/м2.
Ар— перепад давлений, кГ/м2.
Р — сила, кГ.
g—ускорение силы тяжести, м/сек2.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Г лава первая
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ
1-1. Определить потерю тепла q \ккал[м2-ч] через
свод пламенной печи, выложенный из шамотного кирпича
(8 = 250 мм, Л =1,1 ккал!м-ч-град). Температура свода
на горячей стороне равна tcl — 1 000° С, а на холодной
/с2 = 200 °C.
Ответ:
<7 = 3 520 ккал]м2 -ч.
1-2. Определить расход тепла Q [ккал)ч] через кир-
пичную стену толщиной 250 mm~va площади 3X5 м\
если температуры поверхностей стены равны /с1 = 10°С и
/с2 =— 20°С, а коэффициент теплопроводности кирпича
Я. = 1,0 ккал]м-ч-град.
Ответ:
Q — 1 800 ккал)ч.
1-3. Температурный напор в стенке равен £С1 — ^с2=10°С,
а ее толщина 100 мм.
Определить поток тепла q через эту стенку, если она
выполнена из красной меди (^ = 320 ккал!м-ч-град) или
стали Ст. 3 (Я2 = 40 ккал)м-ч-град), или бетона (Я3 =
= 1,1 ккал)м-ч-град), или диатомитового кирпича (Я4 =
= 0,1 ккал[м-ч-град).
Ответ:
^ = 32-10’ ккал]м2-ч; = 4 000 ккал/м^-ч-,
q, = ПО ккал[м2-ч\ </4=10 ккал]м2-ч.
1-4. Через плоскую стенку толщиной 100 мм проходит
поток тепла </ = 60 ккал!м2-ч. Определить падение тем-
10
Теплопроводность в плоской стенке
(Гл. I
пературы Д/с = /с1— tc2, а также градиент температуры
в этой стенке, если она выполнена из латуни (Ля =
= 60 ккал)м-ч-град) или красного кирпича (Х2 =
= 0,6 ккал{м ч град), или пробки (2=0,06 ккал)м • ч -град).
Ответ:
Д£1 = 0,1°С; град/м;
Д#2 = 10°С; =100 град(м;
уаХ у 2
Д^ = 100° С; (37) = 1 000 град(м.
1-5. Антикатод рентгеновской трубки выполнен в виде
медного стержня длиной 300 мм и диаметром 15 мм.
Определить разницу температур между горячим и холод-
ным концами стержня, если через боковую поверхность
стержня тепло не проходит, а холодный конец омывается
проточной водой. Вода нагревается на 3°С при расходе
1 кГ[мин.
Ответ: 955°С.
1-6. Слой льда на реке имеет толщину 500 мм и тем-
пературы на нижней и верхней поверхностях ^с1 = 0°С и
/с2 =—10°С. Определить поток тепла q \ккал{м*-ч]
через лед, если его коэффициент теплопроводности равен
v2 ккал!м-ч-град.
Ответ: 40,0 ккал)м2 -ч.
1-7. Решить задачу 1-6 для случая, когда лед покрыт
слоем снега толщиной 500 мм. Температуры нижней по-
верхности льда и верхней поверхности снега равны соот-
ветственно /с1 = 0°С и /с2 =—10° С, а коэффициент тепло-
проводности снега равен 0,4 ккал[м-ч-град.
Ответ: ^6,7 ккал)м*-ч.
1-8. Обмуровка топки парового котла состоит из двух
слоев. Внутренний слой выполнен из шамотного кирпича
(Si==:350 мм; Ля=1,2 ккал)М'Ч-град), а наружный — из
красного (3, —250 мм; 1, = 0,5 ч!ка.л]м-ч-град)
Гл. 1]
Теплопроводность в плоской стенке
11
Температуры внутренней и наружной поверхностей об-
муровки равны соответственно £с1 = 900°С и /с3 = 90°С.
Определить потери тепла q [ккал/м2 ч] через обмуровку,
а также наибольшую температуру tc2 красного кирпича.
Ответ:
q= 1 050 ккал!м2-ч\
^ = 595° С.
Рис. 1-1. К задаче 1-9/
1-9. Определить поток тепла q [ккал)м2* ч] через
стену холодильника (рис. Ы), состоящую из наружного
слоя красного кирпича (8Х = 250мм, = 0,6 ккал[м,- ч • град)
и внутреннего слоя сухой пробки (82 = 200 мм\
= 0,06 ккал]м,'Ч'град). Обе по-
верхности пробкового слоя покры-
ты гидроизоляцией, термическим
сопротивлением которой можно пре-
небречь. Температуры наружных по-
верхностей кирпичного и пробкового
слоев равны соответственно ^с1 =
= 25° С и tc3 — — 2° С. Определить
также температуру tc2 в плоскости
касания кирпича и пробки
[В. А. Осипова].
Ответ: 7 = 7,2 ккал1м2-ч\
/с2 = 22°С.
1-10. Решить задачу 1-9 при условии, что пробковый
слой не покрыт гидроизоляцией, вследствие этого пары
воды проникают в пробковый слой; здесь они конденси-
руются, а конденсат замерзает.
Коэффициент теплопроводности влажной пробки равен
Л, = 0,12 ккал]м-ч-град, а промерзшей пробки Л4 = 0,30.
Влажность наружного воздуха такова, что образование
росы происходит при температуре /е3=10°С. Все осталь-
ные данные такие же, как и в условии задачи 1-9.
Определить также толщину 8, зоны конденсации паров
воды в слое пробки и толщину 84 зоны промерзания пробки
[В. А Осипова]
12
Теплопроводность в плоской стенке
[Гл. 1
Ответ: q =12 ккал]м2-ч, fc2 = 20°C, 83 = 100 л«л«,
84 = 50 мм. Распределение температуры в стене холодиль-
ника представлено на рис. 1-2.
Решение
Слой красного кирпича, а также сухая, влажная и промерзшая
части пробкового слоя образуют стену, состоящую из четырех слоев
с различными теплофизическими свойствами. При этом предпола-
гается, что диффузия влаги в сухие слои пробки и кирпича отсут-
ствует.
В этих предположениях получаем:
^С1 ^с2) — б2 (^с2 + ^сз) ~ аз (ЛзЗ ^с4) “
к
=X('c4-W (О
Кроме того,
*2 П U = 55, (2)
где — общая толщина всего пробкового слоя.
Формулы (1) и (2) содержат пять уравнений с пятью
эти
стными q; /с2; д2; &3; б4. Решая
Рис. 1-2. К задаче 1-10.
неизве-
уравнения относительно неизве-
стных, находим:
<7 = 12 ккал/м2-ч\ tc2 = 20° С;
82 = 50 мм, 63 = 100 мм и &4 =
= 50 мм (рис. 1-2).
Следовательно, отсутствие
гидроизоляции на поверхностях
пробкового слоя приводит к уве-
личению потока тепла через сте-
ну холодильника до 12 ккал/м2*ч
вместо 7,2 ккал/м2'Ч при нали-
чии гидроизоляции.
Необходимо заметить, что по-
становка задачи 1-10 и ее реше-
ние являются приближенными.
В действительных условиях обыч-
но'бывают заданы температуры
воздуха внутри и снаружи поме-
щения, а не температуры поверх-
ностей его стен. Поэтому при из-
менении внутреннего термиче-
ского сопротивления стены вслед-
ствие ее увлажнения и промерза-
ния изменяется и температура
ее поверхностей, что повлияет на
определение толщин зон конден-
сации и промерзания. Решение
Гл. 1]
Теплопроводность в плоской стенке
13
задачи является приближенным также и потому, что оно не
учитывает процесса диффузии пара в стене. Таким образом, поста-
новку и решение задачи 1-10 следует рассматривать в качестве при-
ближенной оценки.
1-11. Обмуровка печи состоит из слоев шамотного и
красного кирпича и диатомитовой засыпки между ними
(рис. 1-3).
Диатомитовая засыпка имеет 82 = 50 мм и 22 =
= 0,12 ккал1м-ч-град, а красный кирпич 83 = 250 мм и
= ккал!М'Ч,-град.
Рис. 1-3. К задаче 1-11.
Рис. 1-4. К задаче 1-12.
Во сколько раз необходимо увеличить толщину слоя
красного кирпича для того, чтобы обмуровка без диатоми-
товой засыпки имела такое же внутреннее термическое
сопротивление, как и с засыпкой.
Ответ: Толщину слоя красного кирпича необходимо уве-
личить в 2 раза.
1-12. Определить эквивалентный коэффициент тепло-
проводности 2ЭКВ пакета .трансформаторной стали,
если тепловой поток направлен поперек листов ме-
талла и изоляционной бумаги (рис. 1-4). Листы металла
имеют толщину 8м = 0,5 мм и теплопроводность 2м =
= 50 ккал!м-ч-град, а листы бумаги 8 = 0,05 мм и
2 = 0,1 ккал!м-ч-град.
Ответ:
^ЭКв=1>08 ккал!м-наград.
14
Теплопроводность в плоской стенке
I Гл. i
1-13. Определить поток тепла q [ккал/м-ч-град]
через поверхность нагрева стальной стенки варочного
котла (§! = 20 мм; Л1 = 50 ккал')М-ч-град), покрытую
слоем накипи (62 = 2 мм; Л2 —1,0 ккал{м-ч-град). Наи-
большая температура поверхности нагрева равна 250° С,
а наименьшая температура накипи 100° С. Определить
также наибольшую температуру накипи.
Ответ:
<7 = 62 500 л:^л/л«2-^;’/С2 = 2250С.
1-14. В приборе для определения коэффициента тепло-
проводности твердых материалов методом пластины между
плоскими поверхностями нагревателя и холодильника рас-
Рис. 1-5. К задаче 1-14.
положена круглая пластина
из испытуемого вещества
(рис. 1-5) Диаметр пластины
120 мм. Расход тепла через
пластину равен Q = 50 ккал)ч,,
а температуры горячей и хо-
лодной плоскостей тел прибо-
ра гс1 = 180°С и fc2=30°C.
Найти погрешность в опре-
делении коэффициента тепло-
проводности, вызванную терми-
ческим сопротивлением воз-
душных зазоров (S2 = 0,1 мм),
которые остались между по-
верхностями прибора и пласти-
ной вследствие плохой их при-
гонки [Б. С. Петухов].
Ответ: Д*=28о/о
Лист
Примечание. Коэффициенты теплопроводности воздуха в за-
зорах выбирать при температурах /cj и /с2, а передачу тепла излуче-
нием не учитывать.
Решение.
Искомая погрешность равна:
-А =(1-тМ 10°-
Л‘ист \ лист/
Гл. lj
Теплопроводность в плоской стенке
15
Величина коэффициента теплопроводности, вычисленного без
учета термического сопротивления этих зазоров, равна:
(2)
а истинное значение этого коэффициента
X 4Q8»
ист •
Подставив (2) и (3) в (1), получим:
ДХ Zcl ~ *с2
^ист \ *с1 ^с2
Далее
Подставив последнее уравнение в (4), получим:
ДХ 4QS2 ^в2 ^В1 юо
^ист 71 2 ^с! ^с2
(3)
(4)
(5)
Коэффициенты теплопроводности воздуха Лв1 и Хв2 равны [Л. 20]:
Хв1 (180° С) = 3,11 -IO'2 ккал!м-ч,'град\
^в2(30° С) = 2,22.10“2 ккал/м-ч-град\
4.50.0,1.10-’f2 22 10_2+3 j 10_2^
_ =_______________2___________’______L 100% = 28%.
Л 3,14 (120-10-»)2(180 — 30) 7 '
В реальных условиях ошибка -у- будет иметь меньшую вели-
чину благодаря наличию лучистого теплообмена, а также точечных
контактов между поверхностями образца и прибора. Это же заме-
чание относится к задаче 1-15.
1-15. Найти ошибку в определении коэффициента тепло-
проводности методом плоского слоя (см. задачу 1-14),
если прибор, служащий для этого определения, поме-
стить в водород. Лучистый теплообмен не учитывать.
Все величины, кроме Q [ккал[ч,]у имеют прежние зна-
чения
Ответ: -^-=3°/0 вместо 28°/0, когда в приборе нахо-
Лист
дится воздух.
16
Теплопроводность в плоской стенке
(Гл. 1
Решение.
В решении задачи 1-14 найдено следующее выражение для
ошибки в определении Л:
ДХ 4QS2 \аз! ^газ2 /^ч
^ист ^с1 ^с2
Для водорода имеем [Л. 11]:
Хгаз1 = X (180° С) = 0,24 ккал[м>ч>град,
Хгаз2 = X (30° С) = 0,16 ккал/м>ч*град»
Определим количество тепла Q, которое проходит через измери-
тельный прибор, помещенный в водород. Для этого напишем выра-
жения для термических сопротивлений прибора, работающего
в воздухе и водороде:
о _> ( 1 I 1 , 81
X'- QB ’
RH, -+Л )+ X
\ 1 Г1$ 9^* If /
*с! ~ *с2
^Н2
Из последних уравнений следует:
Подставив в последнее уравнение известные величины, по-
лучим:
QHa 50 ккал/ч.
Следовательно, ошибка в определении X равна:
ДХ —4.50.0,1.IO-3-100 / 1 1 \
0,785.0,1202-150 \0,24 + 0,1 бу = 30//°-
1-16. Стена имеет толщину 8, температуры поверхно-
стей ^>^2 и переменный коэффициент теплопроводности
X = Z(/). Найти поток тепла q [ккал/м2 -ч] через эту
стену.
Гл. 1]
Теплопроводность в плоской стенке
17
Ответ:
ч и.
где Р(,)Л
* *с2
Решение.
Разделяя переменные t и х в уравнении для закона Фурье
«--’<') di
и интегрируя, получим:
*С1
*С2
Поделив и помножив правую Часть последнего уравнения на Д/=/с/—/с2,
найдем:
^С1
*с2
*с1
Величина J X (/) dt является среднеинтегральным значением
'с2
коэффициента теплопроводности Лср в интервале температур от /с2
ДО *ci.
Поэтому
^ср Л/
? = —ДЛ
1-17. Решить задачу 1-16 для наиболее распространен-
ного в технике случая, когда Я = Л0 (1 —Н ) [ккал[я • % • град].
Ответ:
где
^сР=~(^с1+^с2)-
2 К. Д. Воскресенский
18
Теплопроводность в плоской стенке
[ Гл 1
Решение.
Так как X = Хо (1 + то
^с!
Хср=7Г
'с2
^С1
7^М"+мл"
'с2
Г ^сТ “Н ^с2~1 1
= 1 + ₽х 2 J ~ ~2~ (\:1 + ^с2)-
Следовательно, в тех случаях, когда коэффициент теплопровод-
ности материала стены линейно зависит от температуры, в качестве
Хср следует использовать для определения q среднеарифметическую
величину этого коэффициента, вычисленную с помощью его крайних
значений при температурах /с1 и /с2<
1-18. Определить поток тепла q через кирпичную обму-
ровку нагревательной печи, если толщина обмуровки равна
8 = 360 мм, коэффициент теплопроводности кирпича
Л = 0,4 (11 • Ю~3/) [ккал!м • ч-град]
и температуры поверхностей обмуровки
/с1=800°С и ^ = 50° С.
Ответ: q= 1 225 ккал]м2-ч.
1-19. Найти распределение температуры в стене, если
ее коэффициент теплопроводности равен:
Я — [ккал1м-чград].
Кроме того, задан поток тепла q [ккал}м2-ч] через
стену, а также температуры ее поверхностей.
Ответ:
( - [/Ир
гХ У \ ^0 /
где \ = M1+IVCI)-
Решение.
Распределение температуры t — t (х) в стене, материал которой
имеет переменный коэффициент теплопроводности X = Хо (1 +
найдем с помощью закона Фурье:
, dt
Гл. 1]
Теплопроводность в плоской стенке
19
Разделив переменные
qdx — — X (/) dt
и проинтегрировав по х в пределах от 0 до х и по t в пределах от
/с1 до Л получим:
X t
q Jtfx = — (/) dt.
0 ?cl
После преобразования найдем:
^cl
qx — ^K(t)dt. (1)
t
По заданию X (/) = Xo (1 + px/). Продифференцируем последнее
уравнение:
d'K — K^ydt,
Следовательно,
.A
Л~Мх •
Подставив найденное выражение для dt в уравнение (1) и заме-
нив соответственно пределы интегрирования, получим:
X,
Г KdK
9X=jMr-
к
Выполнив интегрирование, найдем:
= qx — 2 (\ — ^2)*
Из последнего выражения следует:
к = / Х2_2хо^х.
В свою очередь, X = Хо (1 + Сравнивая два последних выра-
жения для X, получим:
0 + М) = V
Из этого соотношения находим искомое распределение темпера-
туры в стене _____________
. 1 Г-./7 м2 2М /
2*
20
Теплопроводность в плоской стенке
(Гл. 1
1-20. Вычислить и изобразить на графике распределе-
ние температуры в стене, выполненной из динасового кир-
пича. Задана толщина стены 8 = 250 мм, температуры ее
поверхностей ^с1 = 1 600э С и ^с2= 1 ООСР С и коэффициент
теплопроводности динаса
Я = 0,9 (1 + 0,89• 10-Ч) [ккал/м -ч • °C].
Ответ:
t = 1 125 (/5,88 —9,20х — 1).
Распределение температуры в стене представлено на
рис. 1-6.
1-21. Определить поток тепла q {ккал)мг-ч] через
пластину из графита, коэффициент теплопроводности кото-
рого является показательной функцией от температуры
(рис. 1-7):
Л=144-10 (200°) [ккал!М'Ч,-град]*.
* Эта формула интерполирует опытные данные по теплопроводно-
сти графита, приведенные в работе [Л. 41 [.
Гл. 1 ]
Теплопроводность в плоской стенке
21
Толщина пластины равна
8=10 мм, а температуры ее
поверхности /С1 — 1 300э С и
/с2=Ю0э С.
Ответ:
<7 = 8,32- 10е ккал!мг-ч.
1-22. Решить задачу 1-21,
приняв в качестве расчетного
значения коэффициента тепло-
проводности среднеарифмети-
ческую величину из его край-
них значений.
Рис. 1-7. К задаче 1-21.
Определить ошибку, которая при этом получается по
сравнению с точным решением.
Ответ: 15®/о-
1-23. Определить толщину 8 тепловой изоляции, выпол-
ненной из совелита ^Яср = 0,0775 4-0,0075-^0 либо из
/ 0,0125L. X
асботермита ^ср = 0,0944----[qq—)•
Заданы потери тепла через изоляционный слой q =
= 385 ккал!мг-ч и температуры его поверхностей t. =
= 450° С и /с2 = 50эС.
Ответ: Для совелита 5=100 мм\
для асботермита 8=130 мм.
1-24. Вычислить распределение температуры в шамотной
стенке толщиной 8 = 250 мм. Задан коэффициент тепло-
проводности шамота Я = 0,74*5-10-4 t [ккал/м-ч-град] и
температуры поверхностей стенки /с1=1 000° С и /с2=400°С.
Полученные результаты сравнить с распределением
температуры в той же стенке при постоянном коэффици-
енте теплопроводности.
Ответ: х, мм 0 62,5 125 187,5 250
1 = Ц1); t,°C 1 000 870 723 568 400
Я = const; t, °C 1 000 850 700 550 400
22
Теплопроводность в плоской стенке
[Гл. 1
Распределение температуры в стенке представлено на
рис. 1-8.
1-25. Определить поток тепла q [ккал{м-ч] и темпера-
ТУРУ ^С2 в плоскости касания слоев хромомагнезита и
красного кирпича, из которых выполнена стена нагре-
вательной печи (рис. 1-9). Хромомагнезитовый слой
t°C
Рис. 1-8. к задаче 1-24.
имеет 8, = 250 мм; = 3,67(1 —
— 0.12-10"3/) \ккал!м-ч-град] и
/С1 = 1 000э С.
Красный
+ 1,1 • 10-’/)
Ответ:
t
кирпич имеет: -82 = 250 мм-,
ккал]м-ч-град и /с3 = 0°С.
<7=1410 ккал!м2-ч;
с2 = 892° С.
Рис. 1-9. К задаче 1-25.
г2 = 0,4(1 +
1-26. Найти поток тепла q \ккал!м2-ч] и распределе-
ние температуры в стене металлургической печи, состоя-
щей из слоев шамота (82 = 360 мм; 2, = 0,60,55 X
X Ю-’/ ]ккал/м-ч-град] и красного кирпича (8а=330 мм;
Я2 = 0,44*0,44-10 3/ ]ккал/м-ч-град]).
Наибольшие температуры шамота и красного кирпича
равны соответственно /с1 = 1 2003 С и /с2 = 800°С.
Ответ: q = 1 280 ккал[м2-ч.
Гл. 2] Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках 23
_ „ х, = 0 93 180 270 360 мм
Слои шамота /==1200 1 105 Г008 9J7 80J °C
Слой Красного х2 — 0 82 165 247 330 мм
Кирпича — 800 658 485 326 93 °C
Распределение температуры в стенке представлено на
рис. 1-10.
Глава вторая
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
И ШАРОВОЙ СТЕНКАХ
2-1. Определить расход тепла qt ккал(м-ч через стен-
ку трубы (djd2 — 20/30 мм) из жароупорной стали,
коэффициент теплопроводности которой равен А =
24 Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках [ Гл. 2
= 15 ккал1м-ч-граду а температуры внешней и внутрен-
ней поверхностей /с2 = 600эС, /с1 = 450эС.
Ответ: 35000 ккал!м,-ч.
2-2. Найти наибольшее отношение наружного диаметра
d2 трубы к внутреннему при котором расход тепла
через ее стенку еще можно рассчитать с ошибкой до 4°/0
по приближенной формуле
где
4 = 0-5 4 + ^) и 8 = 0,5(6?, — ^).
Ответ: 9
Решение.
Относительная ошибка в определении [ккал/м*ч] для стенки
трубы по приближенной формуле равна:
Лприбл
41_____
„точи
Ql
Так как
точн _ .
1 *2
2,303 1g
прибл __ j 2l Kf ____ ~Ь A f
<7/ — к“ср а д/ — 2 d2 — di2U/’
d,
« 1— 1,15 1g 100%.
^точн
L di J
С помощью этой формулы вычислена ошибка ~т'очн ДЛя Различ"
ных d2/dv
Результаты вычислений сведены в табл. 2-1 и представлены на
рис. 2-1.
Из рассмотрения этого рисунка следует, что наибольшая вели-
чина отношения dt/db при котором ошибка в определении по при-
ближенной формуле не превосходит 4%, равна 2,
Гл. 2] Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках 25
Таблица 2-1
dtldx ^i/qiT04ii,%
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
О
1,2
3,9
6,8
9,7
2-3. Найти зави-
симость тепловой на-
грузки qv на внут-
ренней поверхности
стенки длинной тру-
бы и шара от толщи-
ны 5 этих стенок и
представить эти за-
висимости в виде безразмерных уравнений
<?1П
а безразмерные уравнения изобразить на графике.
Ответ:
/<71Н \ ___1 I 1 . 1Г1 \ = 1
Г1
26 Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках [ Гл. 2
2-4. Показать, чю при безграничном увеличении внут-
реннего радиуса гг стенок трубы и полого шара уравнение
для тепловой нагрузки qx на внутренней поверхности этих
стенок становится таким же, как и для плоской сгенки.
Решение.
Для стенки полого шара
1 । 1
АД/ ~ 1 (Ъ\
VI/
или
яЛ б /б \
+v“sU+i)=i-
Поэтому
А
11тйГ = 1 и
Для стенки трубы
Поэтому
2-5. Найти безразмерные уравнения для поля темпера-
туры в стенках трубы и полого шара и изобразить эти
уравнения на графике.
Ответ:
0 = — • 0
тр In /?, ’
Гл. 2] Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках 27
Функции 0Ti,U?) и 0Ш(/?) представлены на рис. 2-3.
Здесь /? = -, =
'1 Г1 'с1“‘с2
2-6. Определить наибольшую допустимую силу тока
для медного провода (с1 = 2мм', /? = 5-10“’о.и/.и),
покрытого резиновой изо- рис. 2-4. к задаче 2-8.
ляцией (8 = 1 мм\ 2 =
=0,15ккал^м-ч-град), если наибольшая температура изоля-
ции не превышает 60э С, а наименьшая не должна быть ни-
же 0° С.
Ответ: 137,5 а.
2-7. Железобетонная дымовая труба (</2 = 800 мм, d3 =
= 1 300 мм, — ккал/м-ч-град) покрыта с внут-
ренней стороны слоем огнеупорной футеровки (At =
= 0,5 ккал)м-ч-град).
Определить толщину слоя футеровки 8t и температуру
наружной поверхности трубы tc3 при условии, чтобы по-
тери тепла не превышали qt = 2 000 ккал]пог • м • ч, а наи-
большие температуры футеровки и бетона не превышали
/с1 = 425°С и /с2 = 200°С.
Ответ: 8 = 120 мм-,
/с3 = 59°С.
2-8. Паропровод (наружный диаметр <71=100 мм) по-
крыт двумя слоями тепловой изоляции толщиной 25 мм
каждый (рис. 2-4).
28 Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках [Гл. 2
Внутренний слой выполнен из магнезии Р-! =
= 0,06 ккал!м-ч-град), а наружный —из асбестовой изо-
ляции (Л2 = 0,075 ккал/м- ч-град).
Поверхность паропровода имеет температуру /с1 =
= 200° С, а внешняя поверхность асбеста f3=40°C.
Определить потерю тепла трубопроводом на 1 м его
длины, а также температуру t 2 на поверхности соприко-
сновения слоев:
Ответ: q^SAfi ккал[м-ч;
^сЭ=98эС.
2-9. Стальной паропровод (d1 = 100 мм; = 110 мм;
^ = 50 ккал/м-ч-град; /с1 = 250эС) покрыт двумя слоями
тепловой изоляции одинаковой толщины (Ь — 50 мм, %2 =
= 0,06 ккал/м-ч-град; Л, = 0,12 ккал/м-ч-град).
Определить потери тепла qt [ккал[м ч] и температуру
/с3 на границе соприкосновения этих слоев. Повторить
эти расчеты при условии, что изоляция первого слоя уста-
новлена на место второго, и наоборот. Температура /с4
на внешней поверхности в обоих случаях одинакова и
равна 50эС.
Ответ: 1) qt = ?S ккал/м-ч; fc3 = 224°C*
2) 104,5 ккал1и-ч; fc3= 151° С.
2-10. Паропровод покрыт двумя слоями тепловой изо-
ляции одинаковой толщины. Средний диаметр второго слоя
в 2 раза больше среднего диаметра первого слоя, а ко-
эффициент теплопроводности второго слоя в 2 раза мень-
ше коэффициента теплопроводности первого. Кроме то-
го, заданы температуры внутренней и наружной поверхно-
стей изоляции.
На какую величину и в какую сторону изменятся по-
тери тепла с 1 пог-м паропровода, если слои изоляции
поменять местами, сохранив прочие условия без измене-
ний (рис. 2-5) [Л.24]. Для решения воспользоваться при-
ближенной формулой для qv
Ответ: После перемены местами слоев тепловой изо-
ляции потери тепла паропроводом уменьшатся на 20°/д.
Гл. 2] Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках 29
Рис. 2*5. К задаче 2-10.
Решение.
По приближенным формулам для расхода тепла через стенку
трубы находим:
1
’м. — а 1 1 ;
^1 ^cpl ^7/ ^ср2
«Д/ 1
‘Z/B =т 1 | 1
^cpl \ ^ср2
так как rfcp2 = 2dcpl и Х// = 0,5Х/, то^~ = g =1,25. Следова-
тельно, #/в = 0,8‘<7/а. Таким образом, после перемены местами слоев
тепловой изоляции потери тепла паропроводом уменьшаются на 20/о.
2-11. Трубопровод покрыт двухслойной тепловой изо-
ляцией (рис. 2-6). Заданы ее размеры гх, г3, 6а и коэф-
фициенты теплопроводности и Л2.
Во сколько раз изменятся потери тепла с 1 пог-м тру-
бопровода, если слои изоляции поменять местами, сохра-
нив температуры /с1 и /с3 внутренней и внешней поверхно-
стей двухслойной изоляции без изменения.
Ответ:
Х/1 + 61/г»
Чц ____ у/ 1 $г1г»
Чш V 1 + 8г/Г1
1Пх/
30 Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках [ Гл. 2
Реше н и е.
Потери тепла qlr для первого варианта расположения слоев изо-
ляции
qH = 1 / , 1 / 1 \ “
А,1П V +rJ + X2ln( 1 - ш)
Для qin имеем:
(^с1-^сз)
1 + 6> г,
Поэтому
In
Чп _ 1/
1П 1-7-
2*12. Решить задачу 2-11 для двухслойной тепловой
изоляции, покрывающей котел сферической формы.
Гл 2] Теплопроводность в цилиндрической и Шаровой сТенках 31
Ответ:
2-13. В прибор для опре-
деления коэффициента тепло-
проводности жидкости мето-
дом „нагретой нити“ [Л.34]
(рис. 2-7) залита вода под дав-
лением 24 апга.
Вычислить коэффициент те-
плопроводности \ и сред-
нюю температуру £ср воды,
находящейся в этом приборе
в кольцевом зазоре между
платиновой нитью и стенками
d3<7-
Рис. 2-7. К задаче 2-13.
кварцевой трубки, если в результате
следующие величины:
измерений получены
Диаметр нити....................... dx = 0,1 мм
Длина нити.......................... / = 100 мм
Температура нити.................. /с1 =221° С
Внутренний и наружный диамет-
ры кварцевой трубки .... d2 — 0,7 мм
d3 = 2,7 мм
Температура внешней поверхно-
сти кварцевой трубки . . . ?с3 = 206°С
Коэффициент теплопроводности
кварца....................Ха = 1,36 ккал[м*ч*град
Расход тепла через кольцевой
слой воды...................... Q = 2,16 ккал]ч
Ответ: Ях = 0,577 ккал!м-ч-град-,
f = 215° С.
ср
Решение.
Температурный напор в стенке кварцевой трубки
fdA 2,7
^ln(da) 2,16’1пб7
_____________ ____________'_____з 4е С
2пХг/ ~ 2.3,14.1,36.0,1
32 Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках [Гл. 2
Поэтому /с2 = /с3 + 3,4 = 206 + 3,4 s 209° С;
«1,4;
X. = ---------------__----------------—L----= 0,577;
1 2к/(/с1—/с2) 2-3,14*0,1 (221 — 209)
'ср = | ('cl + /с2) = Т <221 + 209)= 215° С‘
2-14. Найти наибольшую возможную относительную
ошибку определения коэффициента теплопроводности
воды методом „нагретой нити* (см. задачу 2-13), если
заданы следующие величины абсолютных ошибок:
8dx = 5-10”4 мм; 8Z= 10"1 мм; Ма = 5- Ю”3 мм;
8^ = 5-10"3 мм; 8/с1 =0,5° С; 8Q= 5« 10"3 ккал/ч;
8Яа = 5• 10-3 ккал[м• ч-град; 8/с3 = 0,5°С.
Ответ:
3,3%.
Решение.
Так как
X.
__
2*^ (^с 1 ^с2)
и
д,
Qlnda
tc2 = te3 + ~2^’
то
AXt __ BQ
М ~ Q
Id.
, . d2
djn
В свою очередь,
2 । bcfj . В/ . dXj
ТТЛ г
"‘"г;
»Кс.-^с2)
*С1 — ^с2
&('с1 — 'с2) 8'с1 . ^'сЗ . BQ ВХг dd2
3 «2 2 d2
Гл. 2] Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках 33
Поэтому
U. / 8Q
Х>=|2 Q
М2 SZ Л
---Т~ + 2Г + 2Г +
d2ln£ 1 Ла
Sd8
б/о
d^t
d2
WC1
-г +
ГС1
Ml \
d^d-J
100/о.
Подставив известные величины, после вычислений получим наи
большую возможную относительную ошибку
?T = W0.
Найденное значение ч— является завышенной оценкой искомой
Л1
ошибки, так как получено для наиболее неблагоприятного сочетания
знаков частных ошибок.
2-15. Определить ошибку
в вычислении коэффициен-
та теплопроводности жидкости
методом „нагретой нити“ (см.
задачу 2-13), если платиновая
нить расположена в кварцевой
трубке с эксцентриситетом s
(рис. 2-8). Ошибка возникает при
расчете Л по формуле, справед-
Рис. 2-8. К задаче 2-15.
ливой при отсутствии эксцент-
риситета. Диаметр кварцевой
трубки в 7 раз превышает диаметр платиновой нити.
^2___„ у
Ответ: При
получаем следующие значения оши-
бок:
- 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 2,0 3,0
Г1
ьТ
yi’O/o 0,0 0,0 0,2 0,4 0,7 1,1 5,3 12,0
3 К. Д. Воскресенский
34 Теплопроводность в цилиндрической и ишровой аенких I Гл. 2
Решение.
SAj
Ошибка -д-* равна:
ЬА. ( ^поибл \
= ) 100> 0)
где
QlnG
Х"₽ибл = 2я/Д?
. Q . Г У(гг + г,)‘ - + Г(г2 - г,)2 - ег
* - 2пш1П [у(г, + Г1)г_е2 _ у (?;- г,г^] •
Формула (3), учитывающая наличие эксцентриситета, получена
в работе [Л. 30].
Подставив (2) и (3) в (1), после преобразований найдем:
r2
Результаты вычислений при — = 7 представлены на рис. 2-9.
2-16. Стенка длинной трубы (rfj </3; /с1>/с2) выполнена
Гл. 2 j Теплопроводность в цилиндрической и шаровой стенках 35
Решение:
Закон Био—Фурье для рассматриваемого случая имеет вид:
Л dt
ql = —‘2.TtrK
Разделив переменные и проинтегрировав, получим:
fc2
= — 2к j X (t) dt
^cl
или
2 л:
lnS]
X (0 dt.
Введем в рассмотрение среднее значение коэффициента тепло-
проводности
^с1
Хср ~ дГ J (0 dt-
Zc2
Тогда
^cl
Jx(O<« = хсрд/
'с2
И
2тсХср Д/
2-17. Определить потерю тепла qt [ккал/м-ч] для па-
ропровода, покрытого слоем шлаковой ваты (если 8 =
= 75 мм; X = 0,035(1 + 2,25-10“3/); ^ = 180° С; /с2 = 30°С.
Ответ: ^—70 ккал[м-ч.
2-18. Стенка полого шара (d^ d2; /с]; /с2) выполнена
из материала с переменным коэффициентом теплопровод-
ности 2 = 2(/). Найти расход тепла Q [ккал/ч] через эту
стенку.
3*
36 Теплоотдача при свободном движении теплоносителей [ Гл. 3
Ответ: Q =
где
^с1
‘с2
Г лава третья
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ
ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ*
3-1. Определить коэффициент объемного расширения
для идеального газа при температурах /,= 100’0 и /2 =
= 200’С, а также среднее значение этого коэффициента
в указанном интервале изменения температуры.
Ответ: pi = 2,68-10~3 град-1;
ра = 2,11-10-’ град-1;
р = 2,38-10"’ град-1.
Решение.
Коэффициентом объемного расширения называют величину
v (di);
Для идеального газа, подчиняющегося уравнению Клапейрона—
Менделеева pv—RTt имеем:
/ду\ R.
\dTj~ Р •
Поэтому
Р “ pv RT Т
и
]00 + 273==2,68’10‘’8; Р1 2 = 200 + 273==2’11 ’10"’-
1 При решении задач этой главы лучистый теплообмен не учи-
тывать.
Гл. 3] Теплоотдача при свободном движении теплоносителей 37
Среднее значение
/2 Га
1 1 rtzr _ 1 1 г2
f — /2 — tx J (dt ~ Lt J Т LT ln ГI •
fl Tt
Подставив известные величины, получим:
f = 2,38.10-3 град-'.
3-2. Определить потери тепла qt [ккал]пог. м-ч] гори-
зонтального паропровода (d = 0,3 м\ /с = 450°С), если
вдали от него воздух имеет t^~ 50° С.
Ответ: ^ = 2 560 ккал\пог. м-ч.
Решение.
При /ж = 50эС для воздуха [Л. 20]
v = 17,95-10"6 м2!сек и Л = 2,43-10“2 ккал]м,‘Ч-град.
Поэтому
Пг_ЯМ^3— 9,81 (450- 50) 0,33
(273 +50) (17,95-ю-6)2 i,vio-iu.
Число Нуссельта [Л. 22]:
Nu = 0,47Gr‘'‘ = 0,47(1,013-10’)‘/4 = 84;
NuX 84-2,43.10-2 со . , ,
а=-^- =---------------=6,8 ккал]м2-ч-град
и
qt = акаГД/ = 6,8-3,14-0,3 (450 — 50) =
= 2 560 ккал!пог. м-ч.
3-3. Во сколько раз уменьшаются потери тепла паро-
проводом в условиях задачи 3-2, если температуру стенки
паропровода уменьшить в 3 раза (/с=150°С), а прочие
условия сохранить без изменений.
Ответ: Потери тепла уменьшатся в 5,9 раза.
3-4. Две горизонтальные трубы имеют одинаковую тем-
пературу поверхностей и охлаждаются при естественно?!
конвекции воздуха. Диаметр первой трубы в 10 раз больше
диаметра второй. Найти отношение коэффициентов тепло
38 Теплоотдача при свободном движении теплоносителей [ Гл. 3
отдачи —L и отношение потерь тепла — для этих труб
а2 '
если для каждой из них число GrPr заключено в интер-
вале 5 - IO2-— 2-108.
Ответ:
—=0,562; —=5,62.
Решение:
Для первой и второй труб имеем:
Nui = 0,47Qr°'25 и Nu2 = 0,47Gr^25.
Поэтому
Далее
q^ = a1diTt'\t и q^~a2d3n&t;
q^ «2^2
' dx \s/4
=5,62.
3-5. Горизонтальный электропровод охлаждается воз-
духом при естественной конвекции и нормальном давле-
нии.
Во сколько раз и в какую сторону изменится коэффи-
циент теплоотдачи от провода к воздуху, если его давле-
ние увеличить в 10 раз, сохранив температуры воздуха и
провода без изменений.
Во сколько раз и в какую сторону следует изменить
при этом силу тока в проводе.
Воздух подчиняется уравнению Клапейрона—Менделеева,
а число GrPr заключено в интервале 5-102-^2-10*.
Ответ:
^-=3,16; ^- = 1,78.
«1 Л
Решение.
Так как Nuj == О.бЮг’/Фг^4 и Nulo = O,51 (GrP1*)^4 ,
Гл. 3] Теплоотдача при свободном движении теплоносителей 39
то
“i \ ^1 / \ 71 )
Далее, так как Q2 = 0,86/^ и Q10 ~ 0,86/^07?, то
= 1/"—= /зТГб 1,78.
Л г а1
3-6. Горизонтальный электропровод охлаждается воз-
духом при естественной конвекции. Во сколько раз и в ка-
кую сторону изменится коэффициент теплоотдачи от про-
вода, если его поместить в водород, сохранив темпера-
туры провода и газа без изменения.
Физические параметры воздуха и водорода связаны
следующими приближенными соотношениями:
гп,=7АвОЗд; Тн. = 0,07увозд; сн, = 14,3.свозд;
^ = 0,5^ и ₽Н2 = ₽ВОЗД, а число QrPr заключено в ин-
тервале 5-102 ч-2-108.
Ответ:
-Jis-= 2,61.
*возд
Решение:
Так как NuH# == 0,51 (GrPr)^ и Мивозд = 0,51 (GrPr)^, то
ан, (GrPr)Hg
авозд (^ГРГ)вэЗД
________ СН2 ^возд 7н, ( ^Н,
\зозд _ свозд (АНя 7ВОЗД Х^возд / .
=р«^^р=2,61«.
3-7. Во сколько раз и в какую сторону следует изме-
нить силу тока в электропроводе для условий задачи 3-6.
Ответ:
^- = 1,62.
^возд
3-8. Решить задачу 3-6 при условии замены воздуха
углекислым газом. Физические параметры этих двух газов
* См. сноску на стр. 40.
40 Теплоотдача при свободном движении теплоносителей [ Гл. 3
связаны следующими приближенными соотношениями Хсо =
= 0,6Л ;
Тсо^’-ЗТвозд; ссо3=°>ЧозД;
У'со, = 0>81Хвозд> Рсо, = Рвозд-
Ответ:
^ = 1,16* *.
авозд
3-9. Решить задачу 3-6 при условии замены воздуха
гелием. Физические параметры этих двух газов связаны
следующими приближенными соотношениями:
2Не = 5>9*ВОЗД; ТНе=°>138Твозд; сне = 5«2свозд;
^Не ~ 1 > ®^^возд> Рне ~ воз д’
Ответ:
а,.
-^-—2,08*.
авозд
3-10. Электропровод (/с = 90°С) охлаждается воздухом
(/ж=10°С) при естественной конвекции. Во сколько раз
и в какую сторону изменится коэффициент теплоотдачи
на поверхности провода, если его поместить в воду, со-
хранив температуры tc и /ж без изменений. Во сколько
раз и в какую сторону следует при этом изменить силу
тока в проводе. Число GrPr заключено в интервале
5.102~-2.108.
Ответ:
вода _gQ ^вода g
авозд Азозд
Решение:
Числа Нуссельта для рассматриваемых случаев [Л.22]
,, /РГж \'Л
NuBOAa = 0,51(GrPr)V‘Aa ;
\ с / вода
, „ “со, “Не °Н,
* Полученные значения величин -----> ----и ---- являются при-
авозд ®возд авозд
ближенными. Более точные значения этих величин зависят от темпера-
туры газа (см. решение задачи 3-16).
Гл. 3] Теплоотдача при свободном движении теплоносителей 41
ГЧОЗД=0.51 (GrPr)X;
Отношение коэффициентов теплоотдачи
Для воздуха при = 10° С имеем [Л. 20]:
авода
авозд
ЛВОзд — 2,16-10-2 ккал/м-ч-град\ \»возд = 14,16.10~в м2/сек\
«возд = 7.22'10-2 1>возД = 173Тю=3-53'10’3 гРад~'
Для воды при /ж = 10° С имеем:
Хвода = 49,4.ю-2 ккал/м-ч-град-, чвода = 1,306.10“® м2)сек\
авода = 4,94.10-*Л7ч; Ргвода = 9>52; ₽воДа = °-7’'°-4 град-'
и при /с = 90° С Ргвода с = 1,95.
Поэтому
14,16-10-«.7,22.10-2.283- L32 ГЛ
1,95 49,4-10-2
1,306-10-6.4,94-10-* 2,16-10-2 = 80 >5-
0,7.10-*
Следовательно, интенсивность охлаждения провода водой больше
в 80,5 раза, чем воздухом. Это позволяет увеличить силу тока, про-
пускаемого по проводу, в 1^80,5^9 раз.
3-11. Определить коэффициент теплоотдачи от гори-
зонтальной трубы (d — 60 мм; /с=120эС) к свободному
потоку мазута (/ж = 20°С), физические параметры которого
равны [Л. 8J:
Z = 0,107 — 0,013[ккал[м-ч-град];
£ = 0,415— 6Л0-4/ [ккал!кГ-град];
у = 990 кГ1м3;
==2-^-[м*1сек];
$ = Ъ-\Ъ-*град-\
42 Теплоотдача при свободном движении теплоносителей [ Гл. 3
Ответ: а = 131 ккал)ма-ч-град.
Решение:
При /ж = 20° С и tQ — 120° С имеем:
20
Хж =0,107 — 0,013^—0,104 ккал/м-ч-град\
120
Ас == 0,107 — 0,0132qq=0,0914 ккал/м-ч-град',
сж = 0,415 + 6-10~4-20 = 0,427 ккал/кГ-град\
cQ = 0,415 + 6.10~4-120 — 0,487 ккал/кГ-град\
2,56
='20г ==0’32'Ю-3 м*/сек\
2,56
vc = у2оз = 1,47И0~е мг/сек.
Пользуясь этими величинами физических параметров мазута, на -
ходим:
Ргж = 4 680; Ргс = 28; Огж = 622;
/ 4 680 ?/«
Ь1иж =0,51 (622-4 680--23~J =75,5
и
75,5-0,1044
а = —go, । о L 4— = 131 ккал/м2* ч • г рад.
3-12. Решить задачу 3-11 при условии, что направле-
ние теплового потока изменилось на противоположное
(tc = 20° С; /ж = 120° С; л d = 60 мм).
Ответ: а = 36,4 ккал\м* -ч-град.
Следовательно, перемена направления теплового потока
в рассматриваемых условиях уменьшает интенсивность
теплоотдачи в 131/36,4 = 3,6 раза.
3-13. Для интенсификации процесса подогрева нефте-
продуктов в настоящее время применяют так называемый
ввиброподогрев“: поверхность нагрева заставляют совер-
шать колебания и при определенных частотах и ампли-
тудах удается заметно увеличить интенсивность теплоот-
дачи [Л. 11].
Гл. 3] Теплоотдача при свободном движении теплоносителей 43
Решить задачу 3-11 при условии, что труба совершает
периодические колебания с частотой п = 0,5 сек"1 и ам-
плитудой а = 0,5- 10"а м.
Ответ: а = 386,0 ккал\м*-ч-град.
Решение.
Теплоотдача вибрирующей трубы при естественной конвекции
жидкости в определенных условиях описывается следующим прибли-
женным уравнением [Л. И]:
Ыиж =0,146Re“’67Pr“:54,
vd
где Кеж — ——среднее число Рейнольдса для колеблющейся трубы;
2кпа * . , ,
v = — средняя скорость вибрирующей трубы, м/сек.
Эта формула найдена для жидкостей, имеющих 200 < Рг < 105,
а также для 4 < Кеж <С 80.
В рассматриваемом случае
Ргж = 4 680; >ж =0,32-10 “3 м*/сек\
2-3,14.15-0,5.10-2 л
v =-------------------==0,334 м/сек-,
0,334-60.10-» „ „
Кеж = 0,32-10-’ 62,б;
Ыиж = 0,146-62,б0,67-4 6800,54 = 0,146-16-95,5 = 223;
223-0,104
60-10-’
386 ккал/м*-ч-град.
Следовательно, использование „виброподогрева" в условиях за-
386
дачи 3-11 позволяет увеличить интенсивность теплоотдачи в yyj
3 раза. Это улучшение теплоотдачи достигается в результате за-
трат энергии на завихривание жидкости около вибрирующей трубы.
3-14. Электронагреватель воздуха выполнен из нихро-
мового провода (й?=1 мм\ р= 1,1 оммм*1м), охлаждае-
мого свободным потоком воздуха (/ж=0эС). Найти наи-
большую силу тока, которую можно пропустить через на-
44 Теплоотдача при свободном движении теплоносителей [ Гл. 3
греватель, при условии, чтобы температура провода не пре-
вышала tc — 1 000э С.
Ответ: /^9,95.
Решение.
При /ж = 0° С физические параметры воздуха имеют следующие
значения [Л. 20]:
Ргж =0,707;
= 13,28.10-в м2/сек\
Аж=2,1.10“2 ккал/М'Ч-град\ f = 2^3“3,66-10“3 град-'.
Пользуясь известными величинами, находим:
(GrPr)M = 144; Ыиж 1,8; а 37,8 ккал/м2-ч-град.
Полученное значение а является приближенным, так как формула
Ыиж =0,51 (GrPr)0,25 справедлива для GrPr ^500; это же замечание
относится и к задаче 3-15.
Допустимую силу тока I определим из следующих соображений:
0,86
qi = = {tz~ <ж)'
4
Следовательно,
,/\2-10e adz /2 , к _ adz ,1 . ч
/=Г 4.0,86'"р~ с /ж) 1 700 V ~ с
Подставив известные величины, получим:
I = 1 700 j/" —7’8^11° 3)3 (1 000 — 0) э, 95 а.
3-15. Определить коэффициент теплоотдачи при есте-
ственной конвекции воздуха около горизонтального нихро-
мового провода реостата, а также силу протекающего
в нем тока. Диаметр провода d=\ мм, температуры про-
вода и воздуха /с = 600эС и /ж=309С.
Ответ: / = 6,85 а, а^31,3 ккал1м*-ч-град.
Гл. 3] Теплоотдача при свободном движении теплоносителей 45
Реше н и е.
Определяющая температура в рассматриваемых условиях равна
/0 = /ж = 33° С. При этой температуре физические параметры воз-
духа [Л. 20]
р = 3,3-10“3 \/град\ м = 16-10“в м2/сек\
Х = 2,3-10~2 ккал/м-ч-град\ Ргж= 0,701.
Подставив известные величины в выражения для чисел Грасгофа
и Прандтля, после вычислений получим GrPr = 51.
Следовательно,
Nu 0,51-511/4 = 1,36;
1,36-2,3.10-2
а =------nF"3-----=31,3 ккал/м2-ч-град
и
3-16. Горизонтальный цилиндр охлаждается при есте-
ственной конвекции водорода, углекислоты и гелия. Во
сколько раз теплоотдача данного газа отличается от тепло-
отдачи воздуха в указанных условиях, если температура
газа равна 100° С; 20СРС; ЗОР С; 400эС; 500°С,
а число GrPr заключено в интервале 5-102->2-108.
Ответ: Результаты вычисления функций
=fAt) И ^ = /,(0
возд возд возд
сведены в табл. 3- 1 и представлены на рис. 3-1.
Таблица 3-1
t 0° с 100° с 200° С 300° с 400е С
«Не 1,98 1,98 1,93 1,93 1,90
“возд
“Н, 2,645 2,62 2,59 2,56 2,54
“возд
“СОа 0,840 0,996 1,08 1,15 1,21
“возд
46 Теплоотдача при свободном движении теплоносителей [ Гл. 3
Решение.
/Ргж\1/4
Так как для газов ( -р—
\ ГГс /
и то
Физические параметры воздуха
Не, СО2 и Н2 при заданных темпера-
турах имеют значения [Л. 6, 20],
приведенные в табл. 3-2.
Подставив в формулу (*) из-
вестные значения физических пара-
метров, после вычислений получим следующие величины (см.
возд
табл. 3-1 и рис. 3-1).
Таблица 3-2
Газ Физический параметр 0° с 100° с 200° С 300° с 400° С
Л О6 13,28 23,13 34,85 48,33 63,39
Воздух ЛЮ2 2,10 2,76 3,38 3,96 4,48
Рг 0,707 0,688 0,680 0,674 0,678
ДО8 105 176 270 362 474
Не Х102 12,3 15,4 18,3 21,0 23,7
Рг 0,684 0,667 0,660 0.656 0,648
ЛО5 93 157 233 323 423
н2 МО2 14,8 18,9 22,7 26,4 29,9
Рг 0,688 0,677 0,666 0,655 0,644
ЛО6 7,09 12,6 19,2 27,3 36,7
со2 МО2 1,26 1,96 2,66 3,36 4,06
Рг 0,78 0,733 0,715 0,712 0,709
Гл. 3] Теплоотдача при свободном движении теп юносителей 47
3-17. Как влияет d, Д/, р, у, с и 0 на теплоотдачу го-
ризонтального цилиндра при естественной конвекции газа
(число GrPr заключено в интервале 5-102 -н2-108).
Ответ:
_ (^Л/с)0,25Х0,757°>5
а~ №)0'25
3-18. Как влияет d, &t, р., у, с и р на теплоотдачу го-
ризонтального цилиндра при естественной конвекции
жидкости (число GrPr = 5-102 2-108).
Ответ:
_ (^хс)1/4(М0,5
(W’25 ’
где Лс и cQ выбраны при температуре стенки.
3-19. Определить температуру tc горизонтального ни-
хромового провода (d=l мм), электронагревателя воз-
духа. Провод нагревается током силой 1 = 8 а и охлаж-
дается при естественной конвекции воздуха (/>к=10°С).
Ответ: /с = 726°С.
Решение.
Для воздуха [Л. 20]
Nu* = 0,47Gr^25
или
Г S? ('с ~ & 10.25
, it _f , = 0,47
Ис ^ж)
qd
2
'ж
Из последнего уравнения находим:
/ / 2 \ 1/4-10,8
q ( а^ж \
\к-°-47 \ & J
~ ^ж +
При / = 10° С имеем:
Хж = 2,16• 10-2 ккал/м-ч-градч
— 14,16• 10~6 м2/сек\ ft = руд । ~~ 2бЗ ^fepad»
Кроме того,
Q 0,86/2р4 0,86.82.1,1-4 л
9=7td~ rdnd2 “ 3,14М0-М 2,45• 104 «кал/л -ч.
48 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [Гл. 4
Подставив в (*) известные величины, получим:
г 2,45-Ю4 /10-М4.162.10-12 \0,25-]0,8
fc=10 +[2,16-10--!-0>47 ( 9,61 283J J ~726°С-
Ниже, в гл. 8, приведено решение этой же задачи, но с учетом лу-
чистого теплообмена.
3-20. Решить задачу 3-19 при условии, что воздух за-
менен водородом (ZHj = 7Лвозд, Нн, = 0,5Ивозд; yHj = 0,07Гвозд
и рн = рв03д), а прочие исходные данные сохранены без
изменений.
Ответ: /с=342°С вместо ^с = 726эС при охлаждении
воздухом.
Решение.
Решение задачи 3-19 при охлаждении водородом имеет следую-
щий вид:
^н, \°’25
Ч’°-47
0,8
Я
Учитывая, что ун = —£ = 7» 15vBO3A, получим:
• Hj
= +0,464
/(1.7 1Ч2у2 \0,25
увозд
7^возд‘0’47 \
(di V’25
Хж'°-47 \ J
0,8
g? J J -
0,8
= 10 + 0,464-716 — 342° С.
q
Г лава четвертая
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ДВИЖЕНИИ
ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ
4-1. Определить средний коэффициент теплоотдачи в
трубе водоподогревателя, если заданы следующие вели-
чины:
внутренний диаметр трубы J = 32 мм.',
средняя скорость воды и, = 0,8 м!сек\
температуры воды до и после подогревателя /ж =
= 150°С и /Ж1 = 2303С;
длина трубы I =70 м..
Ответ: а = 5480 ккал[м*-ч-град.
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 49
Решение.
Средняя температура воды в подогревателе
/ж = у (150 + 230) = 190° С.
Теплофизические параметры воды при этой температуре [Л. 20]
\»ж = 0,165-10-6 м2/сек\ Ргж = 0,96; = 876 кГ/м*
и Хж = 0,576 ккал/м-ч-град]
/ж =151,0 ккал/кГ и /ж2 = 236,5 ккал/кГ-
Для этих условий число Рейнольдса
Следовательно, в трубе водоподогревателя имеет место развитый
турбулентный режим течения.
В этих условиях средний по длине трубы коэффициент теплоот-
дачи следует определять по формуле М. А. Михеева [Л. 20]
/рг \0,25
Миж = 0,021 Re^8 ₽443 ( ) •
Ж Ж \ Г^Г 1
Полагая (Ргж/Ргс 1, в первом приближении имеем:
- = = °-576 . .0,021.155 000°'8.0,96°'43=
d 32.10-’
= 5 480 ккал/м2-ч-град.
Определим в первом приближении среднюю температуру стенки
7 . ? , лй2“оТж(гЖ2-'Ж1)3 600
'с! - 'ж + - ~ 'ж + 4 -mdt =
, „ 32 • 10 - 0,8 • 876 (236,5 — 151,0) 3 600
= 190 +---------- 4.5 480.70-------------= 194° С>
при этой температуре Ргс1=0,95.
Следовательно,
/Рг \0’25 /ЛОА\°’25
( Prc,J I 0,95 J ~1,ии
и второе приближение для коэффициента теплоотдачи определять
нет необходимости.
4 К. Д. Воскресенский
50 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах ( Гл. 4
4-2. Определить внутренний диаметр d и длину I труб-
ки водоподогревателя, если заданы следующие величины:
средняя температура стенки трубки ^с = 250°С;
температуры воды перед и после подогревателя /Ж1 =
= 160° С и /ж2 = 240°С;
средняя тепловая нагрузка поверхности нагрева трубки
7 = 3,17-105 ккал!м2-ч\
средняя скорость воды «0 = 1,0 м!сек, а режим ее тече-
ния турбулентный.
Ответ: d~36,0 мм\ 1 = 1$ м.
Решение.
Средняя температура воды
/ж = (160 + 240) = 200° С.
При этой температуре »ж = 0,158-10“® м21сек\ Ргж = 0,93; Хж =
= 0,57 ккал/м2-ч-град; Тж=863 кГ/м* и сж = 1,076 ккал/кГ*град.
Кроме того, при /с = 250°С имеем Ргс = 0,86; полагая, что иско-
мая длина трубы превышает длину начального участка, находим:
(1 \ б / \ 4 , pr \ 1,25
0,021^) р) Рг2’15 р^) (*)
Средний коэффициент теплоотдачи в рассматриваемых условиях
равен: _
q 3,17-105
а = —------ = 25o'Z-2OO = • 108 ккал/м2рад.
tc —
Подставив в (*) известные величины, получим:
/ 0,57\«/ 1 V 1ч/0.93\*'25
d= Ю‘^0,021 6340J ^0,158.10-’) 0,93 ' (о,86 J
= 36,2 мм.
Определим длину трубы водоподогревателя
3 600»<7с(^ж2 —/ж1)
4 qud
_ 36,2 • 10 - »• 3 600• 1,0 • 863 • 1,076 (240 — 160)
4.3,17.10s =7,9 м-
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 51
Следовательно, == оо^б"= что пРевышает Длину начального
участка примерно в 4 раза.
4-3. Определить средний коэффициент теплоотдачи
л ккал! м?-ч-град от стенки трубки конденсатора к потоку
с охлаждающей воды, если заданы следующие величины:
внутренний диаметр и длина трубки d = 17 мм; 1=2 м;
средняя скорость и температура охлаждающей воды
«0 = 2 м)сек и /ж = 29°С;
изменение средней по сечению температуры воды вдоль
трубки 5/ж = 10°С;
Ответ: а = 6340 ккал1м2-ч-град.
Решение.
При /ж = 20° С физические параметры воды
^ж = 1,006.10-• 1&1сек\ Ргж = 7,02;
Хж = 51,5.10“2 ккал1м*ч*град\
Тж = 998,2 кГ/м*\ ср=1 ккал/кГ'град.
Число Рейнольдса
2-17.10-8
*еж = 1,006.10-6 = 3400°-
Средний коэффициент теплоотдачи в первом приближении
1 / рг \ 0,25
а = 0,021 ^Re£8P443(p^ =
= 0,021 34OOO°’8.7,O2o’43= 6 250 ккал/м2-ч-град.
Количество передаваемого тепла
Q = 0,785<РТ«.<> (/я2 - /я1) 3 600 =
= 0,785- 17а-10-«-998,2-1 -10 = 16 300 ккал/ч.
Тепловая нагрузка поверхности нагрева
16 300
= 2 14.17.10-’.2 == ккал!м?*ч.
4’
52 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [Гл. 4
Средняя температура стенки в первом приближении
, , . 7 1,53-10*
С1 ж + — = 20 + —6 250 = 22,4-
а
При этой температуре Ргс1 = 6,62.
Поправка на влияние направления теплового потока
/Рг \0’25 /7 09 \0’25
=i,oi5.
I Prc J I 6,62 J
Коэффициент теплоотдачи во втором приближении
а2 = 1,015-6250 = 6340 ккал/ы2-ч-град.
Второе приближение для коэффициента теплоотдачи мало отли-
чается от первого.
4-4. Определить тепловую нагрузку q трубки конденса-
тора, а также среднюю скорость охлаждающей воды, про-
текающей в этой трубке, если заданы следующие вели-
чины:
t / 9 = 23°С; 7=40эС; б/= 20 мм\ 1=2м.
Ж1 ж/ с
Ответ: и0 = 5,4 м/сек; q = 2,9-105 ккал/м2 -ч.
Решение.
При средней температуре
'ж = 4 ('ж! + 'ж2> =4 <17 + 23) = 20° С-
Физические параметры воды равны следующим величинам [Л. 20]:
мж=10“6 м2/сек\ Ргж = 7,02; Хж =51,5-10“2 ккал/м-ч-град;
7Ж = 998 к Г/м* и сж=^1 ккал/кГ -град.
Кроме того, при tc = 40° С имеем Ргс == 4,31.
Запишем выражение для средней тепловой нагрузки поверхности
нагрева трубки
~ 3 600 _ 900^27uocS
q = ТйП l
Поэтому обобщенное уравнение для расчета теплопередачи в длин-
ных трубах принимает следующий вид:
900d27Woc&
/ л\0’8 /Рг \°-25
-0,021 •
\ ж / \ с J
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 53
Из последнего уравнения находим:
ГО021 Рг^43 /Ргж A0’25 ]5
°-
L ж \ / J
Подставив известные величины, получим:
Г0,021 7,02°-43 2-0,515 /7,02 \°’25 20
11Q 900 (Ю~6)0,8 (20-10-3)1,2 у 4,31 ) 998-1,6
= 5,4 м/сек.
Следовательно,
q =
900-20-10“3-998-5,4-1,6
2
= 2,9-105 ккал/м2-ч.
4-5. Определить температуры воды ^ж1 и /ж2 перед и пос-
ле водоподогревателя, а также средний коэффициент тепло-
отдачи в нем а, если заданы следующие величины:
/с = 230°С; q — 2-105 ккал/м2-ч\ z/0=l,2 м)сек\
d= 16 1 — 3 м.
Ответ: /ж1 = 188°С; /ж2 = 226°С;
а = 8,7-103 ккал\м2-ч-град.
Решение.
Определим среднюю по длине трубы температуру воды tx из
общего уравнения теплопередачи в трубах
/Рг \°’25
Nu = 0,021 Re£8Pr°’43( j
или
Подставив известные величины, получим:
2-105« 16-10~3
*ж (230-Гж)
= 0,021
/ 1,2-16-10-3
рг0,43
ж
Решая подбором последнее уравнение относительно средней тем-
пературы жидкости, находим = 207° С. При этой температуре
= 850 кГ/м* и сж = 1,08 ккал/кГ-град.
54 Iеплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [ 1 л. 4
Весовой расход воды
G = 3600^\о7 = ^(16.1О-«)2 3 6ОО.1,2-850 = 738 кГ/ч.
Перепад температуры вдоль потока
Gc
3,14.16-10-3.3.2.105
738-1,08 =38,0° С.
Итак, для определения /ж1 и /ж2 имеем два уравнения
'«2- <ж> = «ж = 38.°0С;
'ж2 + 'ж! = 2 = 2,207 = 414° С-
Жл 1 Ж I Ж
Решая эти уравнения, находим:
'ж1 = 188° С;
/ж2 = 226° С.
4-6. Определить средний коэффициент теплоотдачи и
среднюю температуру охлаждаемой поверхности защитной
оболочки цилиндрического тепловыделяющего эле-
мента атомного реактора (рис. 4-1).
Рис. 4-1. К задаче 4-6.
Элемент охлаждается потоком
воды, имеющим кольцевое попе-
речное сечение. Заданы следую-
щие величины: наружный диаметр
защитной оболочки и ее толщина
dx=25 мм; 8=1 мм.
Средняя температура и ско-
рость охлаждающей воды
/ж = 40эС и и0 = 2 м/сек.
Мощность внутренних источ-
ников тепла, действующих в ак-
тивной части тепловыделяющего
элемента
^=150-10* ккал[м*-ч.
1л. 4 J Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 55
Ответ: tc= 66,2° С; <х = 3,02-104 ккал1м*‘Ч-град.
Решение.
Тепловая нагрузка охлаждаемой поверхности защитной оболочки
равна:
9
(12,5-1)И0-«-150-10« =7 2.10s ККал^-ч.
Чс 2itr, 2.12,5-10-’
Число Рейнольдса для потока воды в канале с кольцевым попереч.
ным сечением:
216-10-»___
к ж~ уж о,659-ю-’ -Ь021^-
Для определения средней температуры охлаждающей поверхно-
сти запишем обобщенное уравнение теплоотдачи при турбулентном
течении жидкости в трубах и каналах:
————— — 0 021 .Re0,8Pr0,43 V 25
-°>021-Re«Pr« ^Ргс; •
Из этого уравнения следует:
7~__7~ I ffc (^2 )
с Ж 0.021Л Re^8Pr^43(Pr /Рг.)0,25 '
Полагая в первом приближении Ргж/Ргс = 1, получим:
7,92-105-6* 10~8
Л = 40 4- --------~ ------пТГ = 40 4- 28,8 = 68,8° С,
с 0,021-0,545-18 2ОО°,8-4,310,43 Т
при /с = 68,8° С имеем Ргс = 2,9.
Тогда поправка на влияние направления теплового тока
/Ргж \’/4
I 4 = М-
Рг.
- 28,8
Температура охлаждаемой поверхности ic = 40 + = 66,2° С.
Средний коэффициент теплоотдачи
- 7,92-1О5
262— = 3,02-10* ккал/м*-ч*град.
а —
4-7. Определить средний коэффициент теплоотдачи и
среднюю температуру стенки канала атомного реактора,
охлаждаемого водой, если заданы следующие величины:
диаметр и длина канала с? = 8 мм; /=1 570 мм;
56 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [ Гл. 4
средняя скорость воды и0 = 3,5 м]сек;
температуры жидкости до и после канала /ж| = 150°С
и / =250° С.
Ответ: /с=265°С; а = 2,3-104 ккал[м.2-ч.-град.
Решение:
При средней температуре жидкости
7Ж = у (7Ж, + гж2) = 4 (150 + 250) = 200° С
физические параметры воды имеют следующие значения:
Ргж = 0,93; = 0,158• 10-6 м2/сек’, Аж = 0,57 ккал/м>ч- град',
7Ж = 863 кГ/м*\ сж = 1,076 ккал/кГ-град.
Средняя тепловая нагрузка стенки канала
- _ ЭОО^и.с (/ж2 —/ж1)
9с /
900-8.10-»-863-3,5-1,076-100
qc = -----------j-gy----------= 1,49 • 106 ккал/ч.
Средняя температура стенки в первом приближении
7с -7Ж + 0(021x~Re£8pr0,43 ~200 +
________1,49-106-8-IO-3 2б5о с
/3,5-8-10-» °'8 п,ч
0,021 • 0,57(п 1=0.<п_« 0,93
При этой температуре Ргс = 0,865, а поправка на влияние направ
ления теплового потока
<M’25-^V’25- 0 99
lPrc ) “ I 0,865 J — и,уу-
Поэтому первое приближение дает достаточную точность и /с =
» 265° С.
Средний коэффициент теплоотдачи равен:
а =----------= —------—— == 2,3 104 ккал м2• ч •град.
~i —1 265 — 200 г
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 57
4-8. Система из цилиндрических те-
пловыделяющих элементов ядерного
реактора охлаждается продольным
потоком воды (рис. 4-2).
Определить средние значения ко-
эффициента теплоотдачи и температу-
ры охлаждаемой поверхности элемен-
тов, если заданы следующие величины:
наружный диаметр элемента d =
= 9 яя;
расстояние между центрами сосед- Рис. 4-2. К задаче 4-8.
них элементов s = 13 ям;
средняя температура и скорость охлаждающей воды
/ж = 200°С; zz0 = 8 м,1сек\
средняя тепловая нагрузка охлаждаемой поверхности
нагрева qc= 1,5- 10е ккал! м2 >4.
Ответ: /с = 237°С; а = 4,05-104 ккал!м2-ч-град.
Решение.
При /ж = 200° С имеем:
— 0,158-10-® мг!сек\ Хж == 0,57 ккал/м-ч-град и Ргж=0,93.
Эквивалентный диаметр поперечного сечения потока, охлаждаю-
щего систему тепловыделяющих элементов
/ к \ / 3,14 \
4( s2~ 4 ИЗ2—j-92 П0-®
Tzd 3,14.9-Ю-з
15-IO-8
м.
Число Рейнольдса
«<А _ 8-15-10-3
Re= -7Ж " 0,158-10-®
7,56.10s.
Температура стенки в первом приближении
71 = + 7 =
с 0,021 ХжКе0,8Ргж43 “
1,5- 10е-15 • 10-3
—---------------------!Гя---та + 200 = 237° с.
0,021 -0,57 (7,56- Ю5)0,8 0,93°'43
58 Теплоотдача при вынужд, движении в трубах и каналах [ Гл. 4
При этой температуре Рг0 = 0,88. Поправка на влияние направлю
яия теплового потока
Следовательно, первое приближение дает достаточную точность.
Коэффициент теплоотдачи равен:
2^_ = 4,05.10< ккал/м^.град.
4-9. Индукционная катушка радиопередатчика выпол-
нена в виде змеевика из трубки, в которой протекает
охлаждающая вода.
Определить температуру /ж2 воды на выходе из змее-
вика, если заданы следующие величины:
температура воды перед змеевиком
/ж1=20°С;
внутренний диаметр трубки
d— 12 мм\
средняя температура стенки змеевика
1с = 80эС;
средняя скорость охлаждающей воды
zzo = 0,6 м[сек\
число витков и диаметр каждого витка
п = 4; D = 300 jhjh.
Потери тепла в окружающую среду не учитывать.
Ответ: ^ж2 = 85эС.
Решение.
В качестве первого приближения принимаем:
42 = 80°С.
Тогда средняя температура воды равна:
7Ж = у (80 + 20) = 50° С.
Гл. 4] Теплоотдачи при вынужд. движении в трубах и каналах 59
При этой температуре:
= 0,556-10~8 м*1сек\
Лж = 0,557 ккал/м-ч-град;
Ргж = 3,54;
сж = 1 ккал/кГ -град
Тж = 988 кГ/м>,
при /с — 80° С имеем Ргс = 2,21,
Число Рейнольдса
uad _ 0,6-12.10-’
Re= 0,556.10-’ =
1,3.10’.
Средняя тепловая нагрузка
~qc = 0,021 Re^Pr^^J’2 =
Л 0,557 (80 — 50) п я п п / 3,54 Л25
• °>021 12.10-» (ЬЗ- Ю’)0-8 3,510,43 ( =
= 1,105-Ю5 ккал!м*-ч.
В качестве второго приближения для температуры воды на вы-
ходе из змеевика получаем следующую величину:
jj qnDmtd_________
~ "Ь nd2 """
— (Т*)ж «о-З 600
1,105* 105-0,3-4-3,14
= 20 + 900(988.1).0,6.12-10-’ = 85° С-
Второе приближение незначительно отличается от первого. По-
этому в дальнейших приближениях необходимости нет.
4-10. Определить средний коэффициент теплоотдачи для
потока сухого воздуха, протекающего в прямоугольном
канале, если заданы следующие величины:
Размеры канала — длина 7=10 м, ширина 0,4 м и вы-
сота 0,8 м. _
Средняя температура и весовой расход воздуха t* =
= 300° С и 0 = 4,8 кГ1сек.
Ответ: а = 21 ккал1м?-ч-град.
60 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [ Гл. 4
Решение.
При /ж = 300° С физические параметры воздуха равны следую
щим величинам:
уж = 48,3• 10”6 м2/сек\ Лж = 3,96• 10-2 ккал/м»ч-град;
7ж = 0,615 кГ/м*.
Средняя скорость воздуха
_ G 4,8
“° — 777 “ 0,4.0,8.0,615 = 24,4 м!сек-
Эквивалентный диаметр поперечного сечения канала
4F _ 4-0,4-0,8
^экв = /у ~ 2 (0,4 + 0,8) = 0,533
Число Рейнольдса
24,4.0,533
“ уж 48,33.10-6 ~
269 000.
Отношение длины канала к его эквивалентному диаметру
_L= ю________187
0,533 ~ 1б,/-
Поправка на влияние длины канала на теплоотдачу [Л. 20J
е( —; Re )= е (18,7; 269 000) = 1,1.
\ аз J
Число Нуссельта
Nu = 0,018 (269 OOOf'8 1,1 = 443.
Средний по длине и периметру канала коэффициент теплоотдачи
- Nu\k 443-3,96-10-2 О1 , , л
а = ——— — --------Д——-----— 21 ккал/мР-ч-град.
а9 0,533
В этом расчете предполагается, что тепло проходит через весь
.смоченный* периметр канала.
Однако расчет сохраняет силу и для случаев когда тепло про-
ХОДИТ через часть периметра. В этих случаях эквивалентный диаметр
поперечного сечения канала сохраняет свою величину, так как в вы-
ражение
4F
d3~~ П
см
входит „смоченный* периметр /7СМ сечения F, а не „тепловой*. Это
замечание касается определения коэффициента теплоотдачи. Для рас-
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 61
чета количества переданного тепла необходимо учитывать только ту
часть поверхности, через которую передается тепло.
4-11. Определить средний коэффициент теплоотдачи в
продольно омываемом пучке труб, если заданы следующие
величины:
Наружный диаметр труб </ = 38 мм.
Средняя скорость воздуха zz0 = 5 м)сек.
Средняя температура воздуха /ж = 1 000° С.
Длина пучка / = 4,5 м.
Трубы расположены по вершинам квадрата со стороной
х= 120 мм.
Ответ: а = 8,82 ккал[м2-ч-град.
Решение.
Эквивалентный диаметр
( 71 \
4 [ х2 __ /72 )
. _ V 4 ) _ 4(0,12®— 0,785-382-10-«)
9 nd 3,14-38-10"3
Отношение длины канала к эквивалентному диаметру
/ = 4,5
d3 0,466 10*
Физические параметры воздуха при /ж = 1 000° С
174,3-10-6 м2/сек\
Хж = 0,0937 ккал/м-Ч'2рад.
Число Рейнольдса
Щ$3 5-0,466
Re = V7 = 174,3-10-*
1,33.10*.
Число Нуссельта для воздуха [Л. 20]
Ыиж = 0,018 (1,33-10*)°-8 = 36.
Поправка на влияние длины канала на теплоотдачу
е (т; Re) = е <10; 13 300) 1,22ф
Коэффициент теплоотдачи в пучке
NuX е 36-0,0937
а = —т-----п ,ра— 1,22 = 8,82 ккал!мг-ч-град.
62 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах I Гл. 4
4-12. Решить задачу 4-11 при условии, что скорость
воздуха увеличена в 2; 4 и 6 раз.
Ответ: аа= 15,4 ккал)м2-ч-град;
а4=26,7 ккал!м2-ч -град-,
ав = 37,1 ккал]м2 -ч-град.
4-13. Обмотка электрогенератора выполнена в виде
пустотелого медного канала с прямоугольным поперечным
сечением (рис. 4-3). В стенках канала выделяется тепло,
которое отводится потоком воздуха, про-
---------------------- текающим в канале. Определить средние
—----------1---значения коэффициента теплоотдачи и тем-
I пературы стенки канала, если заданы сле-
*3 дующие величины:
_______I Объемная мощность внутренних тепло-
выделений в стенке канала qv = 1 вш • ч(см2 - ч.
~~ Средняя скорость воздуха и„ =
I = 50 м[сек.
Температура воздуха при входе в канал
Рис. 4-3. к за- /ж1=40°С.
даче 4-13. Длина канала / = 0,6 м.
Среднее давление воздуха /? = 4 ата,.
Ответ: а = 512 ккал/м2-ч-град; /с=51,4°С.
Решение.
Объем медной стенки канала
V = (13-22 — 12-6)600-10-’ = 0,112.10-* м1.
Объемная мощность внутренних источников тепла
qv = 1 • 0,86 • 10е = 0,86 • 10е ккал[м* • ч.
Количество тепла, выделяемого в стенках канала:
Q = Vqv = 0,86- 10е.0,112-10-6 = 96 ккал/ч,.
Тепловая нагрузка охлаждаемой поверхности канала
96
4с = 2 (12-|-6) 600-10-* = 4210 «лгал/л*-*-
Температуру воздуха на выходе из канала определим из уравне-
ния баланса тепла:
Q = Ьж ежио (^Ж2 ^ж1)’
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 63
'«2- + и<>.збоо •
В качестве первого приближения определим ^ж и сж при /ж1 =
= 40° С:
7 = 1,128-4 = 4,5 кГ/м\
сж = 0,24 ккал/кГ-град.
Поэтому
96
'ж2 = 40 + 12-6-10-’-4,5-0,24-50-3600 = 46,3° С’
Первое приближение для /ж2 дает достаточную точность, так
как оно мало отличается от /ж1.
Средняя температура воздуха в канале
7Ж = у (40 + 46,3) = 43° С.
При этой температуре имеем:
17,3-10-в
уж =---------= 4,32-10”® м^сек.
Х.ж = 2,39.10”2 ккал!м-ч*град.
Эквивалентный диаметр канала
4F _ 4-12-6-10-*
А = П ~ 2 (12 + 6) 10’ = 8,2‘ 10~ ’ м-
Число Рейнольдса
М9 50-8,2-10-’
Re»— *= 4,32-10-’ = 95000-
Число Нуссельта для длинного канала
Nu = 0,018 Re^8 = 0,018-95 0000’8 = 175,5.
Отношение длины канала к эквивалентному диаметру
I 0,6
~d9 ~ 8,2-10-’ = 73 > 50-
Поэтому поправку на влияние длины трубы вносить не следует*
Средний коэффициент теплоотдачи
- Ййжхж 175,5-2,39-10-’ .... , , ,
а = —------ = —q-л- 1П ”i-----=512 ккал/м^ч-град.
а3 о,2 • 10 ~4
64 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [ Гл. 4
Средняя температура стенки
__ _ <7С 4 210
/^/-+T = 43 + ’W = 43 + 8’4 = 5I’4°G-
4-14. Решить задачу 4-13 при условии, что объемная
мощность внутренних тепловыделений в стенке канала
увеличена в 5 раз, а все прочие заданные в 4-13 условия
сохранены без изменений.
Ответ: а = 492 ккал[м2-ч-град;
Г=99ЭС.
Решение.
Количество тепла, выделяемое в стенках канала:
Q == 96- 5 — 480 ккал/ч.
Тепловая нагрузка охлаждаемой поверхности канала
qc~ 4 210.5 = 2,10-10* ккал/м2-ч.
Температура воздуха на выходе из канала в первом прибли-
жении
/’ж2= 404-5-6,3 = 404-31,5 = 71,5° С.
Средняя температура воздуха в первом приближении
7Ж=4 (40 4-71,5) = 56° С-
При этой температуре имеем:
сж = 0,24 ккал/кГ • град\
7Ж = 1,08-4 кГ/л* = 4,32 кГ/мг.
Температура воздуха на выходе во втором приближении
4,51
/ж2 = 40 4- 31,5 ^32 = 40 4- 33 = 73° С.
Средняя температура воздуха в канале
7Ж= (40 + 73) = 56° С-
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 65
При этой температуре и давлении 4 апга
18,6-10-6
\»ж =------------------------- =4,65-10-6 м2/сек\
Лж = 2,46-10-2 ккал/м-ч*град.
Число Рейнольдса
*50-82-10-3
Re*= 4,65.10-»-= 88 °00-
Число Нуссельта
Ййж = 0,018-88 0000-8 = 164.
Средний коэффициент теплоотдачи
__ 164-2,46.10-2
а--------------32'. IO-3— ккал/м2'4'2рад.
Средняя температура стенки
2,10.10*
/с — 56 492 “ 99° С*
4-15. Решить задачу 4-13 при условии, что воздух заме-
нен водородом, а все прочие исходные величины сохра-
нены без изменения.
Ответ: а = 730 ккал)м2' ч-град\
1с=49°С.
Решение.
Температура водорода на выходе из канала
Q
(ж2~ *ж1 + f7Ctto.3 600 •
При /ж1 = 40° С 7ж1 = 0,0802 кГ/м*Л = 0,321 кГ/м*;
с = 3,41 ккал/к Г • г рад.
Поэтому
96
zx2 — 40 + 70.10-6.0,321.3,41.50.3 600 ~ 46’2° С;
7ж^43°С.
При этой температуре имеем [Л. 6]:
1,2-Ю-4
*Ж ------4---= 3-10-’ иЧсек-,
5 К. Д. Воскресенский
66 Теплоотдача при вЬшужд. движении в трубах и каналах [ Гл. 4
Лж =0.166 ккал/м-ч-град\
Ргж = 0,672.
Число Рейнольдса
Число Нуссельта
КЩк = 0,021 Re°’8Pr0’43 = 0,021 (1,365-104)0,8 - O.6720’43 = 36.
Средний коэффициент теплоотдачи
_ NuXM 36-0,166
а = ------§ 2-10-» = ккал/м*-ч-град.
Средняя температура стенки
_ _ 4 210
= 'ж + Т = 43 + 730 = 49 °
4-16. Определить средний коэффициент теплоотдачи а
в длинной трубке перегревателя водяного пара, если
заданы следующие величины:
Среднее давление пара /? = 40 кГ{см\
Средняя скорость пара zz0=18 м1сек.
Средняя температура пара /ж = 350°С.
Диаметр трубки d = 32 мм.
Ответ: а = 655 ккал!м*-ч-град.
Решение.
При /ж =350° С и р = 40 кГ/см2 физические параметры пара [Л.20]
^ж = 2,21-10“в м2/сек\ Лж = 4,67-10“2 ккал/м-ч-град',
Ргж = 1,02.
Число Рейнольдса
u*d 17.32-10-* Г
Re — = 2,21 -10-6 = 260 500.
Число Нуссельта
Миж = 0,021 -260 5ОО0,8 = 450.;
Поправка (Ргж/Ргс) °’25^1, так как на изобаре р— 40 кГ/см\
при /ж > 350 число Рг изменяется слабо.
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 67
Средний коэффициент теплоотдачи
Nu«X>k 450.4,67.10-2
а-----— = 32• 10-3 — 655 ккал/м2-ч*град.
4-17. Определить средний коэффициент теплоотдачи в
трубе воздушно-гелиевого теплообменного аппарата газотур-
бинной установки. По трубке протекает гелий со средней
скоростью zz0 = 25 м)сек, средней температурой ^ж = 400°С
и средним давлением /? = 16 аша. Внутренний диаметр
трубки d =12 мм, а ее длина 8 м.
Ответ: а = 545 ккал!м2- ч-град.
Решение.
При /ж = 400° С физические параметры гелия имеют следующие
значения [Л.6]:
474
^ж= -pg-10 -6 = 29,6 • 10 ~6 м21сек\
Хж= 0,237 ккал!М'Ч-град\
Ргж = 0,648.
Число Рейнольдса
Re_^= 25-12-1°-,.-101.10«
Ке — 29,6.10-’ — 1>щ 1и •
Число Нуссельта
Ййж = 0,021 (1,01 • Ю4)0'8 O.6480,43 = 27,6.
Средний коэффициент теплоотдачи
_ 27,6-0,237
а = |2.ю-з = 545 ккал/м2'Ч-град.
4-18. Определить средний коэффициент теплоотдачи а
в межтрубном пространстве воздушно-гелиевого теплооб-
менного аппарата газотурбинной установки. Вдоль трубок
теплообменника протекает воздух со средней скоростью
м0 = 15 м/сек, средним давлением р = 30 аша и средней
температурой ^ж = 530°С.
Наружный диаметр труб равен d= 13,5 мм. Центры
труб расположены на вершинах равносторонних треуголь-
5»
68 Теплоотдача при вынужд» движении в трубах и каналах [Гл. 4
ников со стороной 5 = 16,5 мм. Длина теплообменника
1 = 8 м.
Ответ: а = 575 ккал)м2- ч-град.
Решение.
При /ж = 530° С физические параметры воздуха имеют следую-
щие значения [Л.20]:
84,6-10-6
---30---= 2,82-10“6 м2/сек\
Ргж= 0,691;
Аж = 5,07-10“2 ккал!м-ч*град.
Эквивалентный диаметр поперечного сечения межтрубного про-
странства
(к к \
s2 cos g— у- d2j
2 d
4 (16,52 cos 30 ° — 3,14 • 0,125 • 13,52) 10 -3
------------------------—-------=8,75 • 10-3 m.
^13,5
Число Рейнольдса
„ “А 15-8,75-Ю-’ ,nr
Re«— мж 2,82-10-« — 4>65'10-
Отношение длины трубы к эквивалентному диаметру -^г =
8
= 8 75 • 10 ~3 ~ > 50. Поэтому поправку на влияние длины на ко-
эффициент теплоотдачи вводить не следует. Число Нуссельта для
воздуха [Л.20]
Ййж = 0.018 (4,65-104 )0’8 = 99.
Средний коэффициент теплоотдачи
- НижХж 99-5,07.10-’
а= —— = 8 75-Ю'-3 —5'5 ккал/м2-ч-граа. .
4-19. Определить средний коэффициент теплоотдачи
от воздуха к стенке длинной трубы диаметром й = 25мм,
если средняя скорость воздуха равна мо = 300 м/сек, а
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах QQ
средняя его температура /ж = 300эС. Среднее давление —
нормальное.
Ответ: а = 379 ккал[м2-ч-град.
Решение.
При /ж = 300° С физические параметры воздуха
мж = 48,3-10“6 м2/сек\
Хж = 3,96-10“2 ккал/м-ч-град.
Число Рейнольдса
Среднее число Нуссельта
Ййж = 0,018 (1,5-105 )0’8 = 239.
Средний коэффициент теплоотдачи
- _ 239- 3,96- 10-’ „7Q
а =—— == -------25.10-3--=379 ккал/м2-ч-град.
4-20. Определить средний коэффициент теплоотдачи в
длинном круглом канале атомного реактора. Чистые стен-
ки канала охлаждаются потоком одного из следующих
металлов: висмута, натрия, эвтектического сплава висмут—
свинец и эвтектического сплава натрий—калий.
Диаметр канала 10 мм, средняя температура металла
500° С, а средняя скорость потока 5 м[сек.
Ответ: aBi=22 500 ккал!м2-ч-град',
aNa = 38 100 ккал)м2-ч-град',
aBi__pl = 21 400 ккал{м2-ч-град',
aK_Na=18150 ккал]м2-ч-град.
Решение.
Средний по длине трубы коэффициент теплоотдачи при турбу-
лентном течении тяжелых и щелочных металлов и их сплавов для
чистых поверхностен нагрева определяется следующей форму-
лой [Л. 21]:
Nu = 4,5 + 0,014 (КежРгж )°’8.
70 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [ Гл. 4
Физические параметры натрия при /ж = 500° С имеют следующие
значения [Л.20]:
Ргж = 0,53-10-2; ^ж = 28,9.10-» м?1сек\
Хж = 49 юкал/м-ч-град.
Число Рейнольдса для рассматриваемых условий
uQd 5-10.10-’
Re» = >ж 28,9-Ю-8 ~ 1’73-105-
Число Нуссельта
Nux = 4,5 + 0,014 (1,73 • 10s • 0,53 • 10 -2 )0'8 = 7,8.
Средний по длине трубы коэффициент теплоотдачи
- NuXM 7,8.49
а = ——= ю iq_8 = 38 100 ккал/мг-ч-град.
4-21. В результате увеличения скорости турбулентного
потока в длинной гладкой трубе средний коэффициент
теплоотдачи возрастает в п раз. Во сколько раз увеличи-
вается при этом затрата мощности на прокачивание жидко-
сти, если для коэффициента гидравлического сопротив-
ления принять формулу Блазиуса $ Re-0,25.
Ответ: В /г3,44 раза.
4-22. Решить задачу 4-21 для случая шероховатой тру-
бы при квадратичном законе сопротивления.
Ответ: Затраты мощности возрастают в /г3'75 раз.
4-23. В результате уменьшения диаметра длинной ше-
роховатой трубы (при м0 = const) средний коэффициент
теплоотдачи увеличился в п раз. Во сколько раз возра-
стают затраты мощности на прокачивание жидкости при
квадратичном законе сопротивления.
Ответ: в /г5 раз.
4-24. Решить задачу 4-23 при условии, что неизменную
величину сохранили для расхода жидкости, а не для ее
скорости.
Ответ: Затраты мощности возрастают в /г3-89 раз.
4-25. В результате уменьшения динамической вязкости
р жидкости, протекающей при турбулентном режиме в
Гл. ,4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 71
длинной гладкой трубе, средний коэффициент теплоотда-
чи увеличился в п раз. Во сколько раз уменьшаются за-
траты мощности на прокачивание жидкости, если коэффи-
циент сопротивления трубы подчиняется закону Блазиуса.
Ответ: в ^77- раз.
. 4-26. Решить задачу 4-25 при условии, что увеличение
среднего коэффициента теплоотдачи в п раз достигается
за счет увеличения массовой плотности жидкости.
Ответ: Затраты мощности возрастают в /г0,927 раз
(и15/16)..
4-27. Вычислить относительное изменение среднего ко-
эффициента теплоотдачи воздуха при изменении его сред-
ней температуры от tx= 20° С до 7ж= 200° С.
Воздух протекает в длинной трубе при турбулентном
режиме с неизменной средней скоростью'.
Ответ:
t, °C = 20; 40; 80; 120; 160; 200.
0 = опГ29п = ° 0,11 °>33 0,560 0,78 1
£\J\J £\J
aJaM 1 0,968 0,900 0,847 0,812 0,776
Зависимость я ...) представлена на рис. 4-4.
Решение.
Для турбулентного течения воздуха в прямой длинной трубе
число Нуссельта равно [Л.20]:
^ж/=0.018(КеЖ/)°18
или
Для воздуха при /ж = 20° С имеем:
а20^
^ж20
= 0,018
?ж20/
72 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [ Гл. 4
Рис. 4-4. К задачам 4-27 и 4-28.
Из последних двух уравнений
следует:
Результать) расчетов — сведе-
ны в табл. 4-1 и представлены на
рис. 4-4 в виде графика функции
Из рассмотрения этого рисунка
следует, что с увеличением темпе-
ратуры от 20 до 200° С теплоотдача
воздуха уменьшается примерно
на 22%.
Таблица 4-1
t, °C Х.10а v.10® «/ аао л /—20 6~ 180
20 2,23 15,06 1 0
40 2,37 16,96 0,91 0,968 0,11
80 2,62 21,09 0,766 0,900 0,33
120 2,87 25,45 0,658 0,047 0,560
160 3,13 30,09 0,578 0,812 0,78
200 3,38 34,85 0,512 0,776 1
4-28. Решить задачу 4-27 для случая, когда по длин-
ной трубе протекает турбулентный поток воды. Средняя
температура воды изменяется от 20 до 200° С при неиз-
менных скорости воды и температуре стенки трубы.
Решение.
Для теплоотдачи при турбулентном режиме течения воды
Nu„ =0,021 Re^ -Рг^3-
да./ ' да^
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 73
или
При /ж= 20° С
Из последних двух уравнений следует, что
Результаты расчетов сведены в табл. 4-2 и представлены на
рис. 4-4 в виде графика функции
~*t /t—2Q\
- —'( 180 Г
“20 \ /
Таблица 4-2
t. °C X-Ю2 V. 10е, MtjceK *20 ( *ао у, 12 ^20 м2[ч Д20 at «20 д_/-20 180
20 51,5 1 000 1 1 1 5,16 1 1 0
40 54,5 0,659 1,53 1,053 1,06 5,51 0,94 1,08 0,11
80 58,0 0,365 2,76 1,13 1,13 5,96 0,88 1,17 0,33
120 59,0 0,252 4,00 1,18 1,15 6,16 0,84 1,21 0,56
160 58,7 0,191 5,27 1,22 1,14 6,23 0,83 1,23 0,78
200 57,0 0,158 6,37 1,25 1,11 6,14 0,84 1,24 I
4-29. Вычислить средний коэффициент теплоотдачи при
ламинарном течении воды в горизонтальной трубе, если
заданы следующие величины:
Диаметр трубы rf = 10 мм.
Длина трубы Z = 0,2 м.
Средняя температура воды /ж = 60°С.
Средняя скорость воды zz0 = 0,1 м)сек.
Средняя температура стенки /с=20°С.
Ответ: а = 1 400 ккал!м2-ч-град
74 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [Гл. 4
Решение.
Среднее значение числа Нуссельта при ламинарном течении жид-
кости в трубе [Л.20]
/РГ \0,25 / / \
NUjK = 0,17 Re^Pr^G^1 е (у).
При 1Ж = 60° С физические параметры воды имеют следующие
значения:
=0.478-10-6 ул21сек\
Аж = 0,567 ккал/м*ч-град\
Ргж = 2,98;
?ж = 5,11-10-* 1/°С.
При /с = 20° С имеем Ргс = 7,02.
Число Рейнольдса
U^d 0,Ы0-10-»
Re*~ 0,478-10-’ 2090-
Число Грасгофа
«М'жЧ)"’
-------2----- =
Ж
_ 9,81-5,11 • 10~* (60 —- 20) (10-10-3)3 _
(0,478 -10 -в)2 0,875 *1 °7'
Поправка на влияние длины трубы
Число Нуссельта
___ 7 п 1 /2 98 \0,25
Nuw = 0,17’2 О9О0,33-2 980,43 (0,875 • 1О7)0’1 ( ) 1,13 = 24,8.
Ж ’ ' \ ' /
Средний коэффициент теплоотдачи
_ Г4ижАж
а==—~ =
24 8-0,567
Т(Г-'Тб13 = 1 4°° ккал!м**ч-°С.
4-30. Решить задачу 4-29 при условии, что поток воды
в трубе заменен потоком воздуха, а все прочие условия
задачи сохранены без изменений.
Ответ: а = 3,4 лжал/лс2 • ч, • град.
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах 75
4-31. Решить задачу 4-29 при условии, что поток воды
в трубе заменен потоком воздуха, а диаметр трубы уве-
личен в 3 раза.
Ответ: л = 2,82 ккал[м2-ч-град.
4-32 Определить средний коэффициент теплоотдачи,
длину и гидравлическое сопротивление трения горизон-
тальной трубы, по которой протекает мазут.
Заданы следующие величины:
Диаметр трубы d = 20 мм.
Средняя скорость мазута ио = 0,4 м!сек.
Средняя температура стенки /с=110эС.
Температура мазута перед и после трубы /ж1 = 15°С;
/ж2 = 85°С.
Ответ: а = 363 ккал!мг>ч-град; /=10,2 м; Дртр =
= 650 кГ/м2.
Решение.
Средняя температура Мазута
_ 1 1 ।
^=2-(Z»i+^ = 2 (85 + 15) = 50’C-
Физические параметры мазута [Л.8|
7 ж 50
Лж = 0,107 — 0,013 yqq- = 0,107 — 0,013 [qq = 0,1 ккал/м-ч-град\
ПО
Лс = 0,107 — 0,013 jog = 0,093 ккал/м-ч-град',
сж= 4154-6-10-4 Гж = 0,4154-6-10-4-50 = 0,445 ккал/кГ-град',
сс = 0,4154-6-10-М10 = 0,481 ккал/кГ-град',
2,56 2,56
»ж=^з“ =-gQ3"= 2,045-10'5 м^сек',
*ж
2 56
»с= = 1,925* 10“ • м*1сек',
рж = 3-10-3 град'1',
7ж = 990 кГ/м*.
76 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [ Гл. 4
Числа Рейнольдса, Грасгофа и Прандтля
uQd 0,4-20-10“3
Кеж=7ж 2,045-10-’ 391;
„ 9,81-3-10-’(110-50)(20-10-’)’ qqa 1П1
Gr*=----------2-----=-----------(2,045-Ю-’)2----------= 3-34‘10 •
Ж
''ж VA 2,045-10-’. 990-0,445-3 600 оол
Рг« = =--------------0J------------- - 324;
vcTccc 1,925-10-’-990-0,481-3 600
Ргс= “^7 =----------------0^927----------= 35-6-
Среднее число Нуссельта для длинной трубы
/Рг 4 °’25
= 0,17 Ееж33Ргж43Сгж' (-рт- =
ж ' ж ж ж I у г с 1
= 0,17-391° 33.3240,43(3,34- Ю4)0’1 72,6.
Средний коэффициент теплоотдачи для длинной трубы
- 72,6-0,1
а =----— — ~20.1~0 -3 = 363 ккал/м2-ч^град.
Средняя тепловая нагрузка для длинной трубы
q = a(tc — /ж) = 363 (ПО — 50) = 21 800 ккал/м2-ч.
Расход тепла
Q = 3 600 d2txcKua (tx2 - <ж1) =
= 0,785 (20-10-э)2 990-0,445-0,4(85— 15)3 600= 14000 ккал/ч..
Длина трубы
Q = 14 000
Z= ndq ~ 3,14-20-10-’-21 800 = 10,2 м
I 10,2
Так как = ~2q.|q~3' =510 ^>50, то труба является длинной
и поправку на влияние длины на теплоотдачу вводить не следует.
Гл. 4] Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах ??
Коэффициент сопротивления трению в длинной трубе при неизо-
термическом ламинарном течении [Л. 20]
и [ Рт,_ V'-f
Ь+0’22
п\°’51
IGr Рг \
\ Re /ж J
64
391
35,6 \1/з Г I 3,34-104• 324 ,0,151
W Р+0-22 (—^91------------------- =0-158’
Гидравлическое сопротивление трения
I 7жио 990-0,42
д^тр = ” 2g = 0,158.510 2-9,81 = кГ/м2.
4-33. По горизонтальной трубке диаметром rf=16 мм
протекает вода. Расход воды G = 20 кГ!ч, ее температура
перед входом в трубу /ж1 = 90°С. Средняя температура
стенки трубы /с=16°С.
Какую длину должна иметь трубка для того, чтобы
на выходе из нее температура воды равнялась /ж2 = 30°С.
Ответ: / = 16,4 м.
Решение.
Средняя температура воды
7ж = 4(90 + 30) = 60°с-
Физические параметры воды при средней температуре [Л.20]
^ж = 0,478- 10~в м2!сек\
Хж = 0,567 ккал/м-ч-град;
рж=5,Ц.1О-4 1/град;
7Ж = 983 кГ/м*;
Ргж =2»98;
Ргс = 8;
сж =0,998 ккал/кГ-град.
Скорость жидкости
w0=
G 20
nd* 3,I4-162 |П_, ~ 0,0281 м/сек,
3 600—уж 3 600-983 J—4-----10 ‘
78 Теплоотдача при вынужд. движении в трубах и каналах [Гл. 4
Числа Рейнольдса и Грасгофа
uod _ 0,0281.16.10-’
Кеж~чж 0,478-10-» 937;
«4’Д/₽Ж = 9,8 (16-10-’)’-44-5,11 -10-*
^2 (0,478-10-»)2
= 3,97-10».
Среднее
течении
число Нуссельта для длинной трубы при ламинарном
Nu = 0,17 Re2r33Pr<’33Or0-1
ЛХ ЛХ лх
Ыиж = 0,17-937о,33-2,98о,43(3,97-Ю»)0,1 =9,25.
Средний коэффициент теплоотдачи для длинной трубы
-_^Лк_9 23.<).567_зг!1 град.
d 16-I0-*
Расход тепла
Q = Gcxit = 20-0,998 (90 — 30) = 1 200 ккал pt.
Длина трубки
Q f 1 200
l=aMxd 329-44-3,14-16-10-’ “ 16,4 м
4-34. Определить средний коэффициент теплоотдачи
в горизонтальной трубе, по которой протекает мазут. За
даны следующие величины:
Температуры мазута на входе и выходе из трубы /Ж1 =
= 20° С; /ж2 = 85°С.
Средняя температура стенки трубы /с=100°С.
Средняя скорость мазута ио = О,2 м]сек.
Диаметр и длина трубки <5 = 20 ММ', 1 — 2м (физиче-
ские параметры мазута приведены в решении задачи 4-32).
Ответ: а = 257 ккал[м2-ч-град.
4-35. Определить средний коэффициент теплоотдачи
в длинной горизонтальной трубе, по которой протекает
мазут.
Гл. 5 ] Теплоотдача при вынужденном обтекании труб
79
Диаметр трубы d — 50 мм.
Температуры мазута до и после подогрева в трубе
'ж1 = 20°с; ^ж2~88°С.
Средняя скорость мазута ио = 0,2 м/сек.
Средняя температура стенки трубы tc = 105°С.
(физические параметры мазута приведены в решении за-
дачи 4-32).
Ответ: а =190 ккал/м*-ч-град.
4-36. Определить средний коэффициент теплоотдачи от
ламинарного потока воды к стенке горизонтальной трубы,
если известны следующие величины:
Диаметр трубы <7 = 40 мм.
Средняя температура и скорость жидкости в трубе
/ж = 80°С и zzo = 0,01 м/сек.
Средняя температура стенки трубы /с — 40° С.
Ответ: а = 195 ккал/м*-ч-град.
Г лава пятая
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ОБТЕКАНИИ
ТРУБ
5-1. Алюминиевый провод диаметром d = 5 мм охлаж-
дается поперечным потоком воздуха (рис. 5-1). Вдали от
провода температура скорости воздуха равна /ж=10°С и
«0=1 м/сек. Температура провода /с = 90°С. Определить
коэффициент теплоотдачи от провода к воздуху, а также
силу тока I, протекающего по проводу. Для алюминия
р = ^5 ом мм*/м.
Ответ: а = 35,2 ккал/м*-ч-град\
7=188 а.
Решение.
При /ж=И0°С физические параметры воздуха
Аж = 2,16-10~2 ккал/м-ч-град}
= 14,16-10“в м2/сек .
80
Теплоотдача при вынужденном обтекании труб [Гл. 5
т- » Число Рейнольдса
* Re« = = 14Д6Л0-» = 353-
/'"’Т'Х
» ( л5 \ Число Нуссельта для lOs^Re^
— ' > 103 [Л.20]
— ; Миж = о,52 Re«47 =
-------- = O.52-3530-47 = 8,14.
Рис. 5-1. К задаче 5-1.
Коэффициент теплоотдачи
NuA. 8 л.2,16. ю-
d 5-10-’ ' r
Ток I в проводе (см. решение задачи 3-14)
1 /~a.dz
/ = 1 700 — (^с-^ж) =
= 1 700 /35,2-35 (5-Ю’3)3 (90 — 10) = 188 а.
5-2. Решить задачу 5-1 при условии, что скорость воз-
духа увеличена в 2 раза, а все прочие заданные величины
сохранены без изменений.
Ответ: а — 49 ккал[м2-ч-град;
1 — 223 а вместо 188 а в задаче 5-1.
5-3. Решить задачу 5-1 при условии, что диаметр про-
вода увеличен в 2 раза, а все прочие заданные величины
сохранены без изменений
Ответ: а = 24,5 ккал{м2-ч-град;
1 = ^5 а вместо 188 а в задаче 5-1.
5-4. Решить задачу 5-1 при условии, что давление воз-
духа увеличено в 10 раз по сравнению с нормальным,
а прочие заданные величины сохранены без изменений.
Принять, что воздух подчиняется уравнению идеального
газа.
Ответ: а =123 ккал/м2 -ч - град;
7 = 353 а вместо 188 а в задаче 5-1.
5-5. Электронагреватель из нихромовой проволоки d= \ мм
охлаждается поперечным потоком воздуха, температура
Гл. 5] Теплоотдача при вынужденном обтекании труб
81
и скорость которого равны ^ж = 0°С и zz0 = 5 м[сек. Тем-
пература провода tc = 1 000° С. Удельное сопротивление
нихрома р= 1,1 ом-мм,2[м. Найти силу тока, протекаю-
щего по проводу. Результат расчета сопоставить с отве-
том задачи 3-14.
Ответ: 7 = 21,5 а вместо 9,95 а для охлаждения
нагревателя при естественной конвекции.
5-6. Решить задачу 5-1 при условии, что воздух заме-
нен водородом, а физические параметры воздуха и водо-
рода связаны следующими приближенными соотношениями:
2н~7ЛВозД; Гн = 0>07Гвозд: Нн = 0.5^возд; сн = 14,3свозд.
Ответ: 7 = 315 а вместо 188 а при охлаждении воз-
духом.
5-7. Решить задачу 5-1 при условии, что воздух заме-
нен водой при нормальном давлении, а прочие заданные
условия сохранены без изменения: б/= 5 &0=1 м!сек\
/ж=Ю°С; /с = 9(ГС; р=1/35 ом-мм2/м.
Ответ: 7 = 3 490 а.
Решение.
При /ж = 10°С и tc — 90° С физические параметры воды равны
следующим величинам:
уж — 1,306-10-6 м2{сек\ Хж = 0,494 ккал/м-ч- град',
Ргж = 9,52; Ргс= 1,95.
Число Рейнольдса
и<4 1.5-10-3
Кеж = V* 1,30610-’ 383°-
Число Нуссельта [Л.20] при Иеж > 103
/Рг \0,25
NUjK = 0,21 •Re^62Pr^38l-рр-) =
zt\ zn. ztv, I jnl /
= 0,21 -3 830°’62 . 9,520’38 '* = 122.
Коэффициент теплоотдачи
а NuA 122-0,494 _ 12 050 ккал/м2-ч-град,
d 5-Ю-3 Р
6 К. Д. Воскресенский
82
Теплоотдача при вынужденном обтекании труб [ Гл. 5
сила тока
I = 1 700 1/ 12050 <5'10 Т (90 — 10) = 3 490 а.
V 1/35 ' 1
5-8. Привести к безразмерному виду уравнение
a, = X(t —t } 14-т/~[ккал/м-ч},
которое получено в результате приближенного теоретиче-
ского расчета теплоотдачи от цилиндра к поперечному
потоку теплоносителя [Л.26]. Представить эту формулу
в виде:
Nu = f(Re, Рг)
и сравнить ее с общепринятой формулой для расчета теп-
лоотдачи цилиндров в поперечном потоке газа
Nu = c Re"Pr0,4.
Сравнение провести для воздуха, положив Рг = 0,722.
Результаты сравнения представить на графике
lg Nu=/(lg Re).
Ответ: Nu = 0,318(1 +|/6,28-RePr],
Рис. 5-2. К задаче 5-8.
Гл. 5] Теплоотдача при вынужденном обтекании труб
83
Сопоставление этой формулы с результатами экспери-
ментального исследования для воздуха представлено на
рис. 5-2.
Решение.
<7/ = ('с - 'ж) [ 1 + / -^Г°] = ™d «С - U
Лж
или
' Г 1 Г тс dlFol
and = хж 1 + у 2к '—2 ,
I Лж J
откуда
или
Nu —0,318 [I + /6,28-Re-PrJ.
Так как для воздуха Рг = 0,722, то последняя формула принимает
следующий вид:
Nu — 0,318 [1 -j- /4,54 Re]. (1)
Результаты сравнения последнего уравнения с эмпирической
формулой Nu — с Rert представлены на рис. 5-2. Из рассмотрения этого
рисунка следует, что формула (1), полученная в результате прибли-
женного теоретического расчета, дает систематическое завышение по
сравнению с эмпирической формулой.
5-9. Платиновая нить термоанемометра длиной / =
= 10 мм и диаметром €/ = 0,1 мм охлаждается попереч-
ным потоком воздуха. По нити протекает ток / = 1,22 а.
Температура воздуха /ж = 20°С. Сопротивление нити /? =
= 0,215 ом. Для платины
р = 0,1 [1 -Р38-104(/ — 20)] [ом-мм2/м].
Определить скорость воздуха, омывающего нить.
Ответ: zzo = 3,08 м{сек.
Решение.
Удельное сопротивление платиновой нити в условиях задачи
равно:
nd2 3,14-0,12
= 4~10-1б'~3 0’215 = 0,169 ом-мм2/м;
6’
84
Теплоотдача при вынужденном обтекании труб [Гл. 5
из уравнения pc — f(tc) для платины находим температуру нити
/с = (10рс - 1) + 20 = (10-0,169 — 1) + 20 =s202°C.
Из уравнения баланса тепла для проволоки термоанемометра на-
ходим коэффициент теплоотдачи от нити к воздуху
_ 0,86/27? __ 0,86.1,222-0,215
а ~ ndl — ~ 3,14-0,1 -10-10-6 (202 — 20) =
= 482 ккал/м2-ч-град.
Физические параметры воздуха при ?ж = 20°С
мж = 15,06-10-6 м2/сек; Хж=2,23-10-2 ккал/м-ч-град.
Число Нуссельта
Nu*= 2,23-10-2 2’15-
Для Ниж 13,3 уравнение подобия для теплоотдачи воздуха
NU)K =0,52Re°’47.
Число Рейнольдса
/Миж\1/0'47 /2,15\1/0-47 „
Re» (,6752/ (o,52j =20,4.
Скорость воздуха, измеряемая термоанемометром:
„ 15,06-10-’.20,4 ,
“0= = --одно-. = 3,08 м/сек-
5-10. Определить средний коэффициент теплоотдачи от
поперечного потока дымовых газов к стенкам труб первого
газохода парового котла. Трубы расположены в шахмат-
ном порядке, если:
наружный диаметр труб rf = 83 мм;
число рядов труб вдоль потока газов 4;
температура газов перед пучком /ж1 = 1 020°С, после
него /ж2 = 950°С;
средняя скорость газа в наиболее узком сечении и0 =
=11 м/сек;
дымовые газы содержат 13%СО2, 11°/0Н2О и 76°/0N2.
I л. 5 ] Теплоотдача при вынужденном обтекании труб
85
Расчет сделать также для случая, когда вместо дымо-
вых газов протекает воздух.
Ответ: а тжг гао = 54 ккал!м2• ч• град\
дым. газ * *
авозд = 43,9 ккал(м2-ч,-град.
Решение.
Средняя температура газов
Тж = у (1 020 + 950) = 985°С
При этой температуре физические параметры газов заданного состава
и воздуха [Л. 20] равны следующим величинам:
ч = 171 -10 —6 мг1сек\ Рг = 0,580;
1 do ' ' i do
Агаз = 0,0926 ккал/м-ч- град;
'возд = 174'1о'6 Ргвозд= 0,719;
Авозд =0,069 ккал/м-ч-град.
Число Рейнольдса
11-83-10'3
^евозд 174-10~6 5 30°-
Числа Нуссельта для третьего и четвертого рядов труб
/Рг 0.25
_о.41 -
= 0,41-5 34О°’6-О,530’33-1 =58,7;
NuB"~lv = 0,41-5 ЗО0о,6-О,7190,33 = 64.
Коэффициенты теплоотдачи для третьего и четвертого рядов
труб
arL~IV = N--U-ra^— = 5 sJ uFF- = 65,5 ккал/м2-ч-град\
1 аэ /у • 1U
in tv 64*0,069
Чозд = 83Л0-»~ = 53,2 ккал1м2-ч.-град.
86
Теплоотдача при вынужденном обтекании труб [ Гл. 5
Рис. 5-4. К задаче 5-12.
Коэффициенты теплоотдачи для первого и второго рядов
агаз “газ’0’6 == 65,5-0,6 = 39,3 ккал/м2-ч-град\
агаз~ “газ’О’^ = 65,5-0,7 = 45,8 ккал/м2-ч-град’,
“возд == 53,2-0,6 = 31,9 ккал/м2-ч-град;
“возд = 53,2-0,7 = 37,2 ккал/м2-ч*град.
Средние значения коэффициента теплоотдачи в пучке
1=4
“raa^Y У] “газ~ 4"(39»3 + 45,8 + 65,5 -{-65,5)=54 ккал/м2 • ч-град
/-1
_ 1
“возд = Т (З1 >9 + »2 + 63,2 4- 53,2) = 43,9 ккал/м2-ч-град.
5-11. Определить средний коэффициент теплоотдачи от
поперечного потока дымовых газов к трубам водоподо-
гревателя. Трубы расположены в шахматном порядке
(рис. 5-3). Наружный диаметр труб d = 38 мм, число
рядов по ходу газов 30.
Температура газов перед
подогревателем ^ж1 = 680эС,
после него /ж2 = 345° С. Сред-
няя скорость газов в наибо-
лее узком сечении пучка
zz0 = 11 MfceK.
Состав дымовых газов
такой же, как и в условии
задачи 5-10.
Ответ:
а = 85,5 ккал/м2 -ч-град.
5-12. Решить задачу 5-11
при условии, что трубы во-
доподогревателя расположе-
ны в коридорном порядке
(рис. 5-4), а все прочие за-
данные выше условия сохра-
нены без изменения.
Ответ:
а^=77,3 ккал) м2-ч-град.
Гл. 5 ] Теплоотдача при вынужденном обтекании труб
87
5-13. Определить средний коэффициент теплоотдачи
в воздухоподогревателе, который состоит из семи рядов
труб, расположенных по коридорной схеме. Поток воздуха
омывает этот пучок труб под углом атаки 60э. Диаметр
труб d — 60 мм. Средняя температура воздуха /ж = 40ЭэС,
а средняя скорость в наиболее узком сечении zz0 = 5 м/сек.
Состав дымовых газов такой же, как и в задаче 5-11.
Ответ: а = 44,5 ккал/м2-ч,-град.
5-14. Электропровод (d — 5 мму /с = 100эС) охлаж-
дается поперечным вынужденным потоком воздуха при
/ж = 20эС. Определить скорость этого потока zz0 из усло-
вия одинаковой теплоотдачи как при естественной, как и
вынужденной конвекции воздуха около горизонтального
провода.
Ответ: zzo = 0,12 м/сек.
Решение.
При /ж=20аС физические параметры воздуха
уж = 15,06-10“6 м2/сек; Лж = 2,23* 10~2 ккал/м-ч-град.
Число Грасгофа
£?ж('с~'жИ’ 9,81 (100-20) (5-10-’)’
Огж — у2^ — (273 + 20) (15,06-10-»)’ — 1 47U
Число Нуссельта для воздуха при естественной конвекции
NuM = 0,47-Gr^:S = 0,47-1 47О')>25= 2,91.
Число Нуссельта для воздуха при вынужденном обтекании
провода
Миж=0,52 Re£47.
Из последнего уравнения находим число Рейнольдса
Кеж
<2 91 U0.47
+ 52) = 38,9.
Следовательно, скорость вынужденного движения воздуха равна
38,9 15,06.10-» „
4/q —L 5*10"“^ 0,12 м/сек.
88
Теплоотдача при вынужденном обтекании труб [Гл. 5
Этот расчет носит характер приближенной оценки, так как при
столь малых скоростях вынужденного движения потока появится
дополнительная составляющая скорости в результате действия есте-
ственной конвекции.
5-15. Определить средний коэффициент конвективной
теплоотдачи в шестирядном шахматном пучке труб d —
= 100 мм, расположенном в камере для термической пере-
работки нефти. Средняя скорость дымовых газов в наибо-
лее узком сечении пучка zz0 = 2,5 м]сек. Средняя темпе-
ратура газов ^ж = 350эС.
Ответ: а = 23,7 ккал[м,2- ч-град.
5-16. Определить тепловую нагрузку qx на поверхности го-
рячего цилиндра, омываемого поперечным потоком холодной
жидкости, если известна тепловая нагрузка q2 на поверх-
ности холодного цилиндра, омываемого горячей жидкостью.
В обоих случаях диаметр цилиндра, температура жид-
кости и температурный напор имеют одинаковую величину,
а жидкость одинакова.
/Ргс2\0’25
Ответ: q^qd р— .
\ el /
5-17. Спай термопары, выполненный в виде шарика
(rf=l мм), охлаждается потоком воздуха (/ж = 200°С;
zzo = 20 м{сек). Определить коэффициент теплоотдачи на
поверхности спая.
Ответ: а = 503 ккал] м2-ч-град.
Решение. При /ж = 200° С физические параметры воздуха имеют
следующие величины:
уж = 34,85-10-6 мР^сек',
Лж == 3,38-10“2 ккал/м-ч-град\
Ргж = 0,68.
Число Рейнольдса
и<4 _ 20И0-3 =
Кеж=Чж 34,85-10-» — 573-
Число Нуссельта при вынужденном обтекании шара [Л.14]
Nu 2 -j- 0,03 Pr^Re?:54 +0,35 Pr2:356Re^8.
’ Ж Ж 1 ж Ж
Гл. 5 ] Теплоотдача при вынужденном обтекании труб
89
Подставив известные величины, получим:
Ыиж = 2 + 0,03-0,68°’33-573(,>54 + 0,35-0>680’356.5730>58= 14,9.
Коэффициент теплоотдачи на поверхности спая термопары
Миж X 14,9-3,38-10-2 ,
а ~ !—ГТсР’з---- = 503 ккал/м2-Ч'град.
5-18. Сравнить коэффициенты теплоотдачи от стенки
трубы к воздуху для двух случаев:
аг при движении воздуха в длинной трубе d = 50 мм;
а2 при внешнем поперечном обтекании трубы rf = 50 мм.
Сравнение произвести в диапазоне скоростей воздуха
от 4 до 25 MfceK, при средней температуре воздуха, рав-
ной 50° С [Б. С. Петухов].
Ответ: Графики функций at =Ц (zz0) и а2 = /2 (zz0) пред-
ставлены на рис. 5-5, а результаты вычислений сведены
в табл. 5-1.
Рис. 5-5. К задаче 5-18.
90
Теплоотдача при кипении жидкостей
[ Гл. 6
Таблица 5-1
и0, м/сек аь ккал/м* *4'г рад а2, ккал/мР'Ч'град
4 15,18 30,4
8 26,4 42,8
12 37,3 56,3
16 44,8 66,5
20 54,5 76
25 65 87,5
5-19. Поток воздуха имеет скорость и0 = 200 м1сек.
Для измерения температуры воздуха используется зонд,
выполненный в виде тонкой пластины шириной 1= 10 мм.
Температура этой пластины /с = 200°С,
Определить температуру воздуха.
Ответ: / =184°С.
возд
Решение.
В первом приближении при tc = 200° С вязкость воздуха равна
^^35-10”6 мЧсек. Число Прандтля Рг = 0,68 и теплоемкость сп =
= 0,245. р
При этом число Рейнольдса на пластине равно:
ис1 200.10.10-3
^е1 — у 35-10-° 57 000.
Так как Rex<^105, то пластина омывается при ламинарном режиме
в пограничном слое. При этом коэффициент восстановления равен
г = Рг0»5 = О,680,5 = 0,824. Тогда истинная температура воздуха
г и2 „ 0,824 2002
ZB —zc 4272J3----200— 427 2-9,81-0,245 184°с-
Глава шестая
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КИПЕНИИ ЖИДКОСТЕЙ
6-1. Найти наибольшую силу тока, который можно про-
пустить по проводу электроиспарителя воды (/?ж = 1 кГ/см2',
/ж=100°С) при условии, чтобы на поверхности провода
сохранился пузырчатый режим кипения. Диаметр прово-
да 1 мм. Удельное сопротивление провода р=1,1 ом-мм2/м.
Ответ: /^57,2 а.
Гл. 6]
Теплоотдача при кипении жидкостей
91
Решение.
При пузырчатом кипении воды в большом объеме (при Рг =1 atna)
наибольшее значение коэффициента теплоотдачи равно а = 5 X
ХЮ* ккал/м2-ч-град [Л.20]. При этом /с—-/н = 25°. Поэтому наи-
большая сила тока, который можно пропустить по проводу при усло-
вии, чтобы сохранился пузырчатый режим кипения, не должна пре-
восходить следующей величины:
i/а^- 5-104 (10-3)3«25 к7о
/<1700 у — Д/= 1 700|/ ---------д у '--=57,2 а.
6-2. Решить задачу 6-1 при условии, что вода имеет
температуру насыщения при давлении /? = 10 кГ[см2, а все
прочие заданные величины сохранены без изменения.
Ответ: /<81,8 а.
6-3. Определить температуру провода /с, имеющего
d — 1 мм и р — 1,1 ом • мм2[м.
На поверхности провода имеет место пузырчатое кипе-
ние воды (/ж= 100° С; /?ж=1 кГ[см2). По проводу про-
текает ток 7 = 10 а.
Ответ: t = 108° С.
С
Реш е н и е.
При пузырчатом кипении воды в большом объеме коэффициент
теплоотдачи равен [Л. 20]:
а = 39(/с — /Н)2-33/А5.
Поэтому
[✓уз 3.33 ч0»5
£39^0,54/ 1 . (1)
Из уравнения (1) находим:
5
Д/ 3 =-------1 ----_
1 700 [/ 39/А5<Р ’
р
Следовательно,
[I I0’6
1 700 у 39p°-5d>
₽
92
Теплоотдача при кипении жидкостей
[ Гл. 6
Подставив известные величины, получим:
tc= 100 +
10
0,6
108°С.
1 700 у 39-10’5 (10-3)
6-За. Решить задачу 6-3 при условии, что вода имеет
температуру насыщения при давлении 10 кГ/см2.
Ответ: 184°С.
6-4. Определить силу тока /, который необходимо про-
пускать по проводу в условиях задачи 6-3 для того, чтобы
на поверхности провода наступил пленочный режим кипе-
ния.
Ответ: 7 = 115 а.
Решение.
Сила тока, проходящего по проводу, определяется с помощью
следующего уравнения: (см. задачу 3-14)
_^(аД0пл=1700 |/ +<7ПЛ.
Пленочный режим кипения воды в большом объеме при рп ==
== \ кГ/см2 наступает при дпл = 1,25• 106 ккал[м.2'Ч.
Поэтому ____________
Л.л== 1 700 )/(+^3 1,25-ю» ='15 а.
6-5. Во сколько раз можно увеличить тепловую нагрузку
поверхности нагрева при пузырчатом кипении воды в боль-
шом объеме, если:
а) давление жидкости увеличить в п раз при постоян-
ном температурном напоре;
б) температурный напор увеличить в пг раз при неиз-
менном давлении.
гл з,зз
Ответ: q^-п -пг .
6-6. Определить коэффициент теплоотдачи при кипении
воды в большом объеме на трубке испарителя, если тем-
пература поверхности трубки равна /с = 180°С, а вода на-
ходится при температуре насыщения при давлении р —
= 9,6 к Г /см2.
Гл. 6]
Теплоотдача при кипении жидкостей
93
Наружный диаметр трубки d2 — 38 мм.
Ответ: а = 694ккал[м2-ч-град.
6-7. Решить задачу 6-6 при условии, что температура
стенки трубы равна 193°С.
Ответ: а. = 1§8№ ккал\м2 -ч-град.
6-7а. При увеличении температуры стенки трубы на
13° С (от 180 до 193° С) в условиях задач 6-6 и 6-7 коэф-
фициент теплоотдачи при кипении в большом объеме воз-
79800 11С
растает в б94 =115 раз.
Определить, во сколько раз необходимо увеличить ско-
рость вынужденного поперечного обтекания водой трубки
для того, чтобы при отсутствии кипения можно было уве-
личить коэффициент теплоотдачи в 115 раз.
Ответ. Если Re= 1О’ч-2-105, то —=2140. Если
“01
Re = Ю-4-103, то—= 21 900.
w01
6-76. При увеличении температурного напора tc—/ж от
5 до 25° С коэффициент теплоотдачи воды при пузырчатом
кипении воды и неизменном давлении возрастает в 43 раза.
Во сколько раз необходимо увеличить скорость воды в трубе
при турбулентном течении без кипения для того, чтобы коэф-
фициент теплоотдачи возрос в 43 раза Во сколько раз при
этом возрастут затраты мощности на прокачивание жидко-
сти, если имеет место квадратичный закон сопротивления.
Ответ: — НОраз; ^^1,35-10в.
«01 н Ni
6-8. Определить тепловую нагрузку поверхности нагрева
испарителя при различных давлениях кипящей воды р=А\\
12; 13; 14 кГ[см\ Температура поверхности нагрева tc —
— 200° С.
Ответ: 9Ы= 1,52- 10е ккал]м2 -ч-град\
q12 = 0,662 • 10е ккал)м2 • -град\
qlz = 0,231-10® ккал[м2 -ч-г рад\
q^— 0,0523- 10е ккал/м2-ч-град.
94
Теплоотдача при кипении жидкостей
[ Гл. 6
График функции <7 = <7С°Н)
представлен на рис. 6-1.
6-9. Тепловая нагрузка по-
верхности нагрева испарителя
равна q — 2,3-105 ккал[м2-ч, а ее
температура /с=190°С. Опреде-
лить температуру и давление ки-
пящей воды.
Ответ: рп = 10,33кГ]см2-,
/„=180,4° С.
Решение.
Из формул
а = 3-(7°’7/20’15 и q = alt
следует:
^ЗЭр0’5^-^)3-33
Подставив известные величины, получим:
39-р°’5 (190 — ZH)3’33 = 2,3-105.
Последнее уравнение содержит одну* неизвестную величину рн
или tRi так как на линии насыщения рн и tR однозначно связаны
друг с другом. Решая это уравнение подбором относительно давления
рн, находим:
Ря = ю,3 кГ!с^\ tR = 180° С.
6-10. Найти коэффициент теплоотдачи при пузырчатом
кипении пропана в большом объеме, если заданы следую-
щие величины [С. Н. Шорин]:
Тепловая нагрузка поверхности нагрева
qz = 4-104 ккал!м2-ч.
Температура кипения ^н = 0°С.
Физические параметры пропана при /н = 0°С.
Коэффициент поверхностного натяжения а — 30 X
X 10~4 кГм]м2.
Коэффициент теплопроводности ккал/м -ч-град.
Динамическая вязкость 12-10~6 кГ/сек-м2.
Гл. 6]
Теплоотдача при кипении жидкостей
95
Теплоемкость жидкой фазы с =0,5ккал)кГ-град.
Скрытая теплота парообразования г = ^ккал)кГ.
Удельные веса жидкой и паровой фаз у, = 508 кГ[м'\
у2 = 1,9 кГ[м*.
Ответ: <х = 2 WQ ккал\м?-ч-град.
Решение.
Коэффициент теплоотдачи при пузырчатом кипении жидкостей
в большом объеме равен [Л. 20]:
Подставив известные величины, получим:
О,130,75 (4-1О4)0,7
х ^1О-6)о,45О57/6О.273о,37 = 2 110 ’ * • град.
6-11. Определить критическую тепловую нагрузку
<7кр [ккал]м2- ч\ при кипении пропана в большом объеме
для условий задачи 6-10.
Ответ: ^кр =4,15• 10б ккал]м2-ч-град.
6-12. В канале атомного реактора имеет место кипение
недогретой воды в пограничном слое. Определить темпе-
ратуру стенки канала, если заданы следующие величины:
Давление воды р = 100 кГ1см2.
Местная тепловая нагрузка поверхности нагрева q =
= 1,5- 10е ккал!м,2-ч.
Ответ: /с =320°С.
Решение.
Температура стенки, охлаждаемой потоком недогретой воды при
кипении в пограничном слое, равна [Л. 3]:
<С = <Н +(41 - 0,105/н)(9.ю-.)0.з;
при р = 100 кГ/см2 температура насыщения равна /н = 310°С.
Подставив известные величины в расчетную формулу, получим
/с = 310 + (41 — 0,105 • 310) (1,5 • 10» • 10 -в)0’3 = 320° С.
96
Теплоотдача при пленочной конденсации паров [ Гл. 7
Г лава седьмая
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПЛЕНОЧНОЙ КОНДЕНСАЦИИ
ПАРОВ1
7-1. Горизонтальная трубка, расположенная в верхнем
ряду конденсатора, имеет наружный диаметр d — 2^MM и
температуру стенки /с —15° С. На поверхности трубки
конденсируется сухой насыщенный водяной пар при давле-
нии р = 0,045 кГ1см2.
Определить средний по периметру коэффициент тепло-
отдачи от пара к трубке, а также количество пара, кото-
рое конденсируется за час на погонном метре этой трубки.
Ответ: а = 7 \%дккал!м2-ч-град-,
G = 12,35 кГ1ч-пог м.
Решение.
Температура насыщения водяного пара и скрытая теплота паро-
образования при давлении р = 0,045 кГ/см2 равны [Л. 6]: /Н^=31°С;
г = 580 ккал/кГ.
Средняя температура пленки конденсата
?ж = 4- (^ + Q = 4 0 5 + 31) = 23°с-
При этой температуре физические параметры воды
Ргж = 6,59; = 0,94-10'6 м21сек\ Хж = 0,52 ккал/м-ч-град;
сж = 1 ккал/кГ >град.
Произведение чисел Галилея, Прандтля и К:
gd* г
(Ga • Рг • К)ж = —2 Ргж ~ ~
« Vh с)
9,81 (20 10-3)з 6,59-580
~ (0,94 • 10 ~6)2 (31 — 15) =21>3-10’-
Среднее по периметру трубы число Нуссельта при пленочной кон-
денсации
Ййж = 0,72 (Ga Рг К)°’25=0,72(21,3- Ю’)0’25 = 274.
1 В гл. 7 помещены задачи на определение теплоотдачи при ла-
минарном течении пленки конденсата.
Гл. 7 ] Теплоотдача при пленочной конденсации паров 97
Средний коэффициент теплоотдачи
- Й“жХж _ 274-0,52
а „----------— _____ _ 7 120 ккал/м2-ч-град.
Количество пара, конденсирующееся на 1 пог. м трубки:
G = (ZH — Q = 3,14»20 • 10 —3 ♦ 7 120 (31 — 15)
г
580 -
= 12,4 кГ/ч-пог. м.
7-2. Решить задачу 7-1 при условии, что давление кон-
денсирующегося пара увеличено до 1 кГ1см\ а все прочие
заданные условия сохранены без изменений.
Ответ: а = 5 730 ккал]м2 • ч*град;
G = 56 кГ[ч • пог. м.
7-3. Решить задачу 7-1 при условии, что трубка кон-
денсатора находится в пятом (считая сверху) ряду труб.
Трубы расположены в шахматном порядке.
Ответ: а = 5 690 ккал1м2* ч • град;
G = 9,9 кГ)ч-м.
7-4. Решить задачу 7-1 при условии, что трубка распо-
ложена вертикально и имеет высоту Н = 1 м.
Ответ: а = 4 270 ккал[м2 -ч-г рад;
G = 7,4 кГ)ч• пог. м.
7-5. На горизонтальной трубке длиной I и диаметром d
происходит пленочная конденсация пара. Во
изменится средний коэффициент теплоотдачи,
расположить вертикально.
- . о-25
Ответ: 0,63(-5-) •
аверт ' '
7-6. При каком отношении теплоотдача
тальной и вертикальной трубках будет одинаковой в усло-
виях задачи 7-5.
Ответ: -^- = 6,3.
а
7 К. Д. Воскресенский
сколько раз
если трубку
на горизон-
98
Теплоотдачи при пленочной конденсации паров [Гл. 7
7-7. На вертикальной трубке водоподогревателя конден-
сируется пар. Для улучшения теплоотдачи по высоте этой
трубки на равных расстояниях друг от друга установлены
конденсатоотводные диски. Определить зависимость сред-
него коэффициента теплоотдачи а от числа дисков п.
Ответ: —
При этом существует верхний предел для числа ди-
сков п. Этот предел определяется наименьшим разумным
расстоянием между дисками, которое обусловлено их тол-
щиной, технологией монтажа, а также толщиной стекаю-
щей пленки.
7-8. Определить количество п конденсатоотводных ди-
сков, которые необходимо установить на вертикальной
трубке водоподогревателя для увеличения среднего коэф-
фициента теплоотдачи в 2 раза.
Ответ: /г= 15.
7-9. Конденсатор выполнен в виде горизонтального ко-
ридорного пучка труб, расположенных в 20 рядов по высоте.
Определить отношение среднего коэффициента теплоотдачи
а в пучке к 04 — коэффициенту теплоотдачи для первого
верхнего ряда.
Ответ: —^0,6.
Решение.
Средний коэффициент теплоотдачи равен:
где s- = f (/) — поправочный коэффициент для ряда, если считать
сверху.
Следовательно, для п — 20 имеем:
_ i=20
«_____L V
“1 ~ 20 Zj ei •
/=1
Гл. 7]
Теплоотдача при пленочной конденсации паров
99
Рис. 7-1. К задаче 7-9.
1 — шахматный пучок; 2 — коридорный пучок.
Из графика функции е2 — f (t), представленной на рис. 7-1, следует,
что для коридорного пучка величины е- имеют такие значения:
ч = 1,00; е5 = 0,68; е9 = 0,58; е1з = 0,52;
е2 — 0,85; ев = 0,64; е10 = 0,56; е14 = 0,52;
е3 = 0,77; е7 -_--0,62; еп = 0,55; е15 = 0,50;
= 0,72; £8 = 0,60; е12 = 0,54; е16 = 0,50;
е17 = 0,49;
е18 — 0,48.
е19 = 0,48;
е20 = 0,47.
Складывая эти величины, получим:
4=20
4=1
Поэтому
12
-------------------------------= огГ = 0,6.
04-----------------------------20 ’
7-10. Решить задачу 7-9 для шахматного расположения
трубок в конденсаторе.
Ответ: — 0,7.
ai
7-П. Определить зависимость коэффициента теплоот-
дачи а от давления водяного пара, конденсирующегося на
горизонтальной трубке подогревателя питательной воды.
Заданы следующие величины:
7*
100
Теплоотдачи при пленочной конденсации паров [ Гл. 7
Наружный диаметр трубки d = 20 мм.
Давление пара
р = 25; 27; 29; 31; 33; 35 кГ/см2.
Температура стенки трубки /с=210°С.
Ответ: а25 = 12 500 ккал)м2-ч-град;
а2, = 11 600 ккал/м.2 -ч-град-,
а20 = 11 020 ккал/м2- ч-град-,
а31 — 10 700 ккал{м2-ч-град-,
а33 = 10250 ккал]м2-ч-град-,
а35 = 9 900 ккал/м2 ч -град.
Зависимость а = /(р) представлена на рис. 7-2.
7-12. Определить среднюю по окружности трубы тол
щину пленки конденсата в условиях задачи 7-11 в зави
Рис. 7-2. К задачам 7-11 и 7-13.
симости от давления конденси-
рующегося пара.
Рис. 7-3. К задачам 7-12 и 7-14.
Гл. 7] Теплоотдачи при пленочной конденсации паров
101
Ответ: В2. = ^- = 4,47-10’2 мм;
а25
827 = 4,8-10 “2ло/;
629 = 5,03- 10-2 мм;
131 = 5,18-10“2 мм;
Ззз = 5,37-10-2 мм;
. 83. = 5,57-10“2 мм.
Зависимость 8 = У7 (/?) представлена на рис. 7-3.
7-13. Решить задачу 7-11 для случая, когда трубка
подогревателя высотой 1 м расположена вертикально.
Ответ: Зависимость а = <р(/?) для вертикальной трубки
представлена на рис 7-2.
a2S = 7 ЬЗЗ ккал) м2-ч-град; а.,,,-—6 560 ккал/м2-ч-град;
а31 = 6 370 ккал/м2-ч-град;
а27 — 6900ккал 1м2-ч-град; а33 = 6 110ккал[м2-ч-град;
а35 = 5 900 ккал)м2 - ч -град.
7-14. Решить задачу 7-12 для вертикальной трубки.
Ответ: 82S = 7,52-10~2мм;
827 = 8,07-10'2 мм;
829 = 8,45-10“2 мм-
831 = 8,7 • 10~2 мм;
833 = 9,03-10"2 леи;
835 = 9,33-10“2л«лг.
(см. рис. 7-3)
7-15. На наружной поверхности вертикальной трубы
конденсируется сухой насыщенный водяной пар давлением
р = 2,5шиа, tn— /с = 15°С.
Найти а и 8 в зависимости от Н:
// = 0,1; 0,5; 1м; 2м; Зм.
Ответ:
a0 j = 11 600 ккал[м2- ч-град; 80 (= 5,03-10“2 мм-
а05=7730 ккал)м2-ч-град; 805 = 7,62-10“2мм;
102
Лучистый теплообмен между телами
[Гл. 8
«4 = 6520 ккал/м2-ч-град; 81 = 9,05-10'2 мм;
а2 = 5500 ккал)м2-ч-град; S2 = 10,7• 10“2мм;
as = 4950 ккал1м2-ч-град; 83 = 11,9- 1О'!мм.
Примечание. Задачи 7-13, 7-14 и 7-15 решены в предположении,
что режим течения пленки конденсата во всей высоте вертикальной
поверхности нагрева является ламинарным.
В действительности на нижней части поверхности нагрева течение
турбулизируется. Поэтому приведенные в ответах задач 7-13, 7-14 и
7-15 величины а следует рассматривать как несколько заниженные.
Г лава восьмая
ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТЕЛАМИ,
РАЗДЕЛЕННЫМИ ПРОЗРАЧНОЙ СРЕДОЙ
8-1. Двастальных листа расположены параллельно, под-
держиваются при температурах ^ = 527° С, /2 = 27°С и
имеют степени черноты £1 = е2 = 0,8.
Расстояние между листами мало по сравнению с их
высотой и шириной. Определить интенсивности собствен-
ного, эффективного, результирующего, отраженного, падаю-
щего и поглощенного излучений для обеих пластин.
Ответ: £рез2 = — £резj = 13 116 ккал\м2-ч\
£соб 1 ~ 056 ккал/м2- ч; Есоб2 = 318 ккал\м2 -ч\
£эф 1 = 16 790 ккал1м2 • ч; Е9ф 2 = 3 676 ккал]м2 • ч\
£отр 1 = 734 ккал1м2-ч-} Еотр 2=3 358 ккал)м2-ч;
£пад 1 = з 670 ккал!м2 • ч\ Епад 2 — 16 790 ккал)м* • ч.
Решение.
Интенсивность результирующего излучения для второй пластины:
[/ \4 / 72 \41
(д00) \ 100 ) I [ккал/м2'Ч]. (I)
Приведенная степень черноты системы, состоящей из двух парал-
лельных пластин:
1 1
епр1-2— 1 1 . § — 0,667,
— 1 б?-1
Гл. 8]
Лучистый теплообмен между телами
103
Подставив известные величины в (1), получим:
£pe3 2 = W.4,9
527 + 273x4 /27 + 273
100 ) 100
= 13 116 ккал/м2-ч.
На основании закона сохранения энергии для системы, состоящей
из двух пластин:
^рез 1 + ^рез 2 =
Следовательно,
£рез 1 — — £рез2 = — 13 И&ККал/м‘-Ч.
Интенсивность собственно излучения
р _ /Г1У ...п/527 + 273у_
£соб 1 — е1с«^юоу — °.8-4.9^ 100 J —
= 16 056 ккал/м1 ч;
/Т,\4 /274-273 \4
Есоб 2 = чс. (^looy = °>8-4>9^ 100 J ~
= 318 ккал/м2*ч.
Интенсивность эффективного излучения
р ( —____1^£ I ^соб 1
£Эф 1 = \ ч / £рез 1 ё =
/ 1 \ 16 056
= ~ 1 Q-g- — 1 j 13 116 + —Q = 16 790 ккал/м2-ч\
( 1 \ 318
£эф 2 = ( Qg-— 1 I 13 116 + g-g- = 3 676 ккал/м2-ч
Интенсивность отраженного излучения
£отр 1 = ^эф 1 — ^соб ! = 16 790 - 16 056 = 734
Еотр 2 = £Эф 2 — Есоб 2 = 3 676 — 318 = 3 358 ккал/м2-ч.
Интенсивность падающего излучения
£пад 1 = = "j - о;г = 3 670 ^ал/М^-Ч.
£пад 2 = = 16 790 ккал/м* Ч.
104
Лучистый теплообмен между телами
(Гл. 8
8-2. Определить интенсивность результирующего излу-
чения £рез 2 для условий задачи 8-1, если между стальными
листами расположен стальной экран, имеющий степень
черноты
% = s1 = e2 = 0,8.
Ответ: £рез2 = 6 558 ккал!м2- ч.
8-3. Определить интенсивность результирующего излу-
чения £рез 2 для условий задачи 8-1, если между стальными
листами установлен экран из алюминиевой фольги, имею-
щей степень черноты еэ = 0,05.
Ответ: £рез 2 = 486 ккал/м2-ч, т. е в 13,5раза меньше,
чем в случае стального экрана (см. задачу 8-2).
8-4. Определить коэффициент теплоотдачи излучением
от нагретой проволоки, если ее температура и степень чер-
ноты равны /с = 600°С и е = 0,7, а температура огражде-
ний /о = 30°С.
Ответ: ал = 34,5 ккал)м2-ч-град.
8-5. Определить температуру поверхности провода, на
подогрев которого затрачивается Зквт. Диаметр, длина и
степень черноты провода равны соответственно d = 0,5 мм,
/—300 мм и 8 = 0,9 а температура ограждений /о=20°С.
Тепло отводится от провода посредством лучистого
теплообмена.
Ответ: /с = 3 067°С.
8-6. Определить расход электроэнергии, необходимой
для поддержания металлической нити (rf = 0,l мм, 1 =
= 100 мм и s=l), находящейся в вакууме, при темпера-
туре 3 000° К- Падающим на нить лучистым потоком пре-
небречь.
Ответ: 0,145 квпг.
8-7. Горизонтальный нихромовый электропровод охлаж-
дается посредством лучистого теплообмена и теплоотдачи
при естественной конвекции воздуха.' Определить силу
тока I, протекающего в проводе, если температура провода
— 1 000° С, его степень черноты е = 0,75, диаметр про-
Гл. 8]
Лучистый теплообмен между телами
105
вода d=i мм, температура окружающего воздуха Zo=0°C
и удельное сопротивление нихрома р = 1,1 ом-мм2\м.
Ответ: I — 18,7 а.
Решение.
В решении задачи 3-14 найдено следующее уравнение силы тока»
протекающего по проводу:
/-I 700 J/S.
Тепловая нагрузка на поверхности провода
Я луч + ^КОНВ •
Из решения задачи 3-14 следует, что конвективная составляющая
тепловой нагрузки ^конв = 37 800 ккал/м2-ч.
Радиационная составляющая тепловой нагрузки
И 1 000 4-273 V / 0 + 273 VI
---100----) —100—) j =96000ккал/л+ч.
Тепловая нагрузка поверхности провода
q = 37 800 -f- 96 000 = 133 800 ккал/м2-ч-град
Сила тока в проводе
-!/ (10~3)3 133 800
I = 1 700 у ±----------= 18,7 а.
Вычисление I без учета лучистого теплообмена дает I = 9,95 а
(см. задачу 3-14).
8-8. Определить температуру нихромового провода,
если диаметр провода d=\ мм, его степень черноты е=
= 0,8, удельное сопротивление р = 1,1 ом-мм2/м, темпе-
ратура ограждений ^ж=10эС. По проводу проходит ток
1 = 8 а. Тепло отводится посредством лучистого тепло-
обмена.
Ответ: /с = 617°С.
8-9. Определить температуру провода, находящегося
в условиях задачи 8-8, если тепло от провода отводится
106
Лучистый теплообмен между телами
[Гл. 8
посредством лучистого теплообмена и теплоотдачи при
естественной конвекции воздуха.
Ответ: /с = 515эС вместо 617°С без учета теплоот-
дачи при естественной конвекции (см. задачу 8-8).
Решение.
Тепловая нагрузка охлаждаемой поверхности провода
q = (Поо) ’5г==^Г7бо’) (10-3)3 =2»43,1°4 ккал/м*-ч,
так как тепло q отводится посредством конвективного и лучистого
теплообмена, то
Теплоотдача происходит при естественной конвекции воздуха,
поэтому
аж/гМ\0'25 1И1
4 = 0,47^- — ('с-'*)’ +
\ 'ж /
г/гс + 273 у /^ж4-273у-|
+ 100 ) \ 100 ) ]•
При ?ж = 10° С имеем [Л. 20]:
Хж=2,6-10-2 ккал/м-ч-град;
>ж == 14,16-10-6 м2/сек;
, - 1 - 1 «к-.
Рж 273 + 10 283 14 •
Подставим известные величины в расчетное уравнение
0,47.2,16.10-2 / 9,8-10-» \о,25 . 9.
,43.104= 10 _3 283-14.162-10-12 ) (*с—10)’ +
Г/ t. + 273 \4 /10 + 273 Л I
+ °>8’4.9Ц юо ) ЮО ) I-
После вычислений получим:
/ f I 273 \*
6 270 = 1.667 (tt - 10)’ -25+ -£-1пп )
• \ IvU /
Последнее уравнение необходимо разрешить относительно
Решая эту задачу подбором, находим /в = 515°С.
Гл. 8]
Лучистый теплообмен между телами
107
8-10. Решить задачу 8-8 при условии, что провод охлаж-
дается поперечным вынужденным потоком воздуха со ско-
ростью и0 = 5 м!сек.
Ответ: /с = 142°С вместо 515°С при охлаждении
провода свободным потоком воздуха
(см. задачу 8-9).
8-11. Определить приведенный
коэффициент излучения и потери
тепла лучистым теплообменом для
трубопровода (d — 200 мм), который
проходит в канале прямоугольного
поперечного сечения (400X500 мм)
(рис. 8-1).
Коэффициенты излучения и тем-
пературы трубы и стенок канала
равны соответственно £тр—
= 0,735, е =0,92, t =527° С и
/к=127°С.
Рис. 8-1. К задаче 8-11.
Ответ: Спр = 3,52 #/<<2л/.м2-^-оК4;
£/рез^ — 850 ккал{м-ч.
Решение.
Приведенный коэффициент излучения
Со
1 3,14*0 2/1 \ =3,52 ккал/м2' ч• °К4.
0,735 +2 (0,4 4-0,5) НЦ)2 — 1 )
Потери тепла трубопроводом с одного погонного метра
Р - г Г| ^+273У ^к+273 \4] „
с/ре» 'npLx 100 / V 100 /J’te!TP =
= --850 ккал/м**.
108
Лучистый теплообмен между телами
[Гл. 8
8-12. Определить количество тепла Е/рез [ккал/м-ч],
которое отдает посредством лучистого теплообмена ого-
ленный паропровод. Температуры поверхности паропровода
и ограждений равны /с = 450°С и /ж = 50°С. Степень чер-
ноты поверхности трубы и ее диаметр г = 0,8 и d=0,3 м.
От гет: Е1рез — — 9800 ккал[м-ч.
8-13. Решить задачу 8-12 при условии, что паропровод
окружен экраном. Степень черноты экрана и его диаметр
равны еэ —0,82 и б/э = 0,4 м. Внешняя поверхность экрана
охлаждается посредством лучистого теплообмена и тепло-
отдачи при естественной конвекции воздуха.
Коэффициент теплоотдачи экрана
аэ = 30 ккал/м2-ч-град.
Ответ: Е1р&з =— 7 970 ккал[м-ч.
Решение.
Приведенная степень черноты системы паропровод—экран
е"р = Л=_1_+о^_1_ Л = °’706'
0,8^0,4’0,82 у
Баланс тепла для экрана
t9 + 273 \4]
100 / ] = я^эеэсо х
t3 + 273 V
“100 )
tK + 273V I
100 ) ]~1~П^9’аэ Уэ
Подставив в последнее уравнение известные величины, получим:
= 0,4.0,82.4,9
’ Г,у /50 + 273
100/ \ 100
) ] +0,4-30 (/э - 50)
или
/ Т V
3 620 = 2,64 ^[q^) +12/э.
Гл. 8 J
Лучистый теплообмен между телами
109
Решая подбором это уравнение относительно /э, найдем:
/э = 195° С.
Результирующий лучистый поток с единицы длины паропровода
£/рез = -лАпрС.- ]=-3,14.0,3.0,706.4,9Х
Г,-450 + 273 * /195 + 273\4|
X (-----100 ) — (----ТОО—) =— 7370 ккал!м.-ч.
8-14. Решить задачу 8-12 при условии, что паропровод
окружен десятью экранами, выполненными из алюминиевой
фольги (еэ = 0,05). Расстояния между экранами одинаковы
и равны 8 = 5 мм.
Ответ: Ерез1 =— 36,7 ккал1м-ч.
Решение.
Результирующий лучистый поток от трубы к первому экрану
с 1 м длины паропровода
r/_£cf ( Гэ1 VI
£рез/0 = — яй?о£0-1С'о [ \100/ — \ 100 / J '
Здесь е04—приведенная степень черноты для системы „паропро-
вод— первый экран".
Результирующий лучистый поток от первого экрана ко второму
Г/ тэ1у /Гэ2\4]
Ерез1, =~’crflenp 1-2Со [ДЛоб/ ~\Л00/ J ’
Аналогичные выражения справедливы для всех экранов, кроме
последнего, десятого. Для десятого экрана без учета конвективной
теплоотдачи
£рез/10 = — я^1ое1оС’о [ ("ТОСТ) ~ ( 100 ) ] *
На основании закона сохранения энергии
^рез li Ерез12 ^рез /10 Врез Г
Из (1)-— (4) следует:
f Л? f ^рез1
\Т00/ \ 100 / = ""к^0.1Со ’
ГЭ1 \4 / ГЭ2 \4 £рез /
ДбО/ \ 100 / ’
по
Лучистый теплообмен между телами
[Гл. 8
Г\4 / Т \4
э2 \ [ э3 }
100 ) \ 100 /
^рез/
7с^2е2-3^>®
^рез I
JqC Jq (S Q
Складывая эти уравнения, получим:
(1)
Приведенная степень
центрических экранов i и
черноты системы, состоящей из двух кон-
i С равна:
->(«+!)- 1 di / 1 \ ‘ (2)
V+ di+\ \/i+l ~ /
Подставив (2) в (1) и выполнив преобразования, найдем следую-
щее выражение для потерь тепла трубой:
Степени Черноты всех экранов одинаковы
е. = еэ = 0,05 (/ — 1, 2,. 10).
Поэтому вместо (3) имеем:
1=1
(4)
Гл. 8]
Лучистый теплообмен между телами
111
Подставив известные величины в (4), получим:
£рез I
0,32 + 0,33 *
/50 + 273 \41
к 100 J j
xJ_+_L4-L.+-!-+-L+J-+J-
‘ 0,34 '0,35 '0,36"'000?”*'0,38т0,39~0,40
=— 36,7 ккал/м-ч.
Потери тепла за счет лучистого теплообмена паропровода без
изоляции 9 800 ккал[м-ч (см. задачу 8-12). Следовательно, после уста-
9600
новки 10 экранов потери тепла снижаются в • — 267 раз.
В действительных условиях снижение потерь тепла будет меньше
чем в 267 раз, так как в этом расчете не учитывался перенос тепла
посредством теплопроводности и конвекции в воздухе, заключенном
между экранами.
8-15. Нагретая труба имеет
ноты «о = 0,б. Для уменьшения
левого излучения труба окру-
жена системой концентриче-
ских экранов, расположенных
на одинаковых расстояниях
а
друг от друга, равных -т-=
«о
1
=Т20 * Степень черноты экранов
еэ = 0,05. Определить зависи-
мость относительной потери
тепла Q—-г—ез 1,п от числа эк-
рез 1,п=0
ранов п.
Здесь £рез,_„=0 потери те-
пла трубопроводом без экра-
нов.
Ответ: График зависимо-
сти Q (/г) представлен на рис. 8-2.
112
Лучистый теплообмен между телами
[Гл. 8
Решение.
Обобщая уравнение (4), полученное при решении задачи 8-14 на
случай п экранов, получим для
Поделив предыдущее уравнение на последнее, найдем:
так как , 25
—у—= 1 4- —т— I,
то
Подставив в последнее уравнение известные величины, получим
расчетную формулу для п^1:
1+3'-2S;7zr
1 + 60
Гл. 8]
Лучистый теплообмен между телами
из
Результаты расчетов зависимости Q(i) представлены в табл. 8-1 и на рис. 8-2. Таблица 8-1
Необходимо заметить, что эти результа- ты получены без учета переноса тепла по- средством теплопроводности и конвек- п Q
ции в воздухе, заключенном между экра- нами. 8-16. Найти ошибку в опреде- лении коэффициента теплопро- водности твердых веществ методом плоского слоя, если используемый для этой цели прибор (см. зада- 1 2 3 4 5 10 1/31.7 1/62 0,01092 0,00827 0,00672 0,00349
чу 1-14) поместить в вакуум.
Степени черноты поверхностей испытуемого образца и
прибора одинаковы и равны е==0,8. Все остальные задан-
ные величины, кроме Q, такие же, как и в задаче 1-14.
Внутреннее термическое сопротивление пластины из испы-
туемого материала равном2-ч-град/ккал.
Ответ:
13-3°/0-
Решение.
Тепловая нагрузка пластины из испытуемого вещества
<7 —епр*со‘
(1)
где
1 1
епр= 2 = 2 = 0,67‘
Т-1 Щ8-1
Система (1) содержит три уравнения с тремя неизвестными у, Тс1
н Тс2.
8 К. Д. Воскресенский
114
Лучистый Теплообмен между телами
(Гл. 8
Решая (1), получим три уравнения для определения неизвестных:
(2)
Подставив в (2) известные величины, получим:
Разрешая подбором последние три уравнения относительно q, Гс1 и
Гс2, получим:
q ~ 500 ккал/м2ч\
ГС1 = 405° К и Тс2 = 392° К.
Относительная
теплопроводности
величина ошибки в определении коэффициента
Так как
" НСТ~7’с1-7"с2
Л- Л-тг
Гл. 8]
Лучистый теплообмен межу Телами
115
то
ДА Д qb
^7=(J
100 =
Тс[-Тс2 \ ( 405 —392\
1 - --------- ) 100 ~ ( 1 — птй-100 = 13,3%.
jj—Т2 / \ 180— 30/ ’ 7
Следовательно, поместив прибор в вакуум и сохранив прочие За-
данные величины без изменения, находим ошибку в определении
коэффициента теплопроводности методом плоского слоя равной 13,3%
вместо 28%, которая получается при отсутствии вакуума и без
учета лучистого теплообмена (см. задачу 1-14).
8-17. Сосуд, имеющий двойные стенки, наполнен жидким
кислородом. Обе стенки покрыты слоем серебра, степень
черноты которого равна е = 0,02. Воздух из объема между
этими стенками откачан. Температуры внутренней поверх-
ности внешней стенки и внешней поверхности внутренней
стенки равны соответственно /с1=20°С и /с2 =—183° С.
Определить расход тепла Q [ккал/ч] через стенки со-
суда, если его поверхность F = 3-10"2 Л£2. Определить
эквивалентную толщину 8ЭКВ цилиндрического слоя пробко-
вой теплоизоляции, если диаметр сосуда равен 100 мм.
Ответ: 0,108 ккал/ч; ^экв~0,33 м.
8-18. Решить задачу 8-17 при условии, что в объеме
между двойными стенками сосуда находится воздух при
нормальном давлении, а передача тепла происходит по-
средством теплопроводности воздуха и лучистого теплооб-
мена. Расстояние между стенками сосуда равно 8 мм.
Ответ: Q —13,44 ккал!м2ч, т. е. примерно в 102 раз
больше, чем при наличии вакуума.
8-19. Для измерения температуры /ж горячего воздуха,
протекающего по каналу, в поток помещена термопара
(рис. 8-3), показание которой равно /с1 = 200°С. Степени
черноты спая термопары и стенок канала одинаковы е=0,8,
а температура стенок канала ^с2 = 100° С.
Коэффициент теплоотдачи от потока k спаю равен а =
= 40 ккал)м2-час-град.
Определить ошибку в показаниях термопары, которая
возникает в результате лучистого теплообмена между
спаем и стенками.
Ответ: Ы = 30°С.
116
Лучистый теплообмен между телами
[Гл. Й .
Решение.
Баланс тепла для установившегося теплового состояния спая
Г//С1+273Л /*с2 + 273\‘
ц—гоо—; Ч“тоо-/
Следовательно, ошибка в показаниях термопары
.. t t епрСо [Y Гс1 У / Гс2 У1
м-гж —ГС1~ a LV 100 7 U00/J-
Подставив известные величины, получим:
0,8-4,9 Г /200 4- 273\4 /100 4-273\4
Ь*~ 40 ( 100 ) —( 100 ) =30°С-
Истинная температура воздуха в канале
= 200 + 30 = 230° С.
8-20. Для уменьшения ошибки в показаниях термопары
за счет лучистого теплообмена (см. задачу 8-19) спай за-
крывают экраном (рис. 8-4). Определить ошибку 8/ в пока-
заниях экранированной термопары, если заданные величины
имеют такие же значения, как и в задаче 8-19. Коэффи-
циент теплоотдачи от поверхности экрана к потоку воз-
Гл. 8]
Лучистый теплообмен межу телами
117
духа аэ = 10 кка,л[м?-ч-град, а степень черноты экрана
еэ = 0Л
Ответ: 8/ = 8°С.
Решение.
Балансы тепла для спая термопары и экрана
Система (1) содержит два уравнения с двумя неизвестными —
температуру экрана /э и температуру воздуха /ж.
Из (1) находим
Подставив известные величины, после вычислений получим:
= 248 —0,098
/ж = 121 +0,33. /э + 6,53.10-г^—
Решая эту систему уравнений подбором, находим /ж = 208°С.
Следовательно, ошибка в показаниях термопары равна
/С1—/ж = 208 — 200 = 8° С вместо 30° С без экрана.
8-21. Непрозрачный шар имеет диаметр d и степень
черноты поверхности е. В шаре действуют внутренние
источники тепла мощностью qv [ккал1м?-ч].
Выделенное тепло посредством излучения отводится
в окружающую среду, которая имеет температуру Т2.
Определить температуру поверхности шара 7\.
Ответ: 7,= 100^/(-^)‘+йг •
118
Лучистый теплообмен между телами
[Гл. 8
Решение.
Баланс тепла для установившегося теплового состояния шара
Г/ Л V Л т2 V]
6 100 \ 100 У Г
Следовательно, температура поверхности шара
Для звезд Т2 < Тг Поэтому здесь 7\ d0,25.
8-22. Определить мощность внутренних источников тепла
qv [ккал[м3-ч] для условий Солнца, если 7\ = 6 000°К;
7\<7\; е = 1 и d= 1,38-109 а мощность qv предпола-
гается одинаковой во всех точках объема.
Ответ: ^ = 0,28 ккал1м,3-ч.
Решение.
Из решения задачи 8-21 следует, что
d [v00/ V00/J*
Подставив известные величины, получим:
6-Ь4,9 /6000\*
<7^ 1,38•1О9 ( 100 J ккал/м1 *ч.
8-23. Определить мощность внутренних источников
тепла qv [ккал]м*-ч], необходимую для поддержания чер-
ного сферического тела заданных размеров (пылинка d =
= 10"4 м\ мяч гора d=103 м, и звезда d =
= 109 м) при температуре 7\ = 0,5-10е4-10е °К. Тепло
отводится от тела посредством теплового излучения, тем-
пература окружающей среды мала по сравнению с темпе-
ратурой тела. Результаты вычислений представить в виде
графика функции qv — f{T^ d) [Л. 4].
Ответ: <70=-^(1ои) •
Зависимость qv = f(Tl, d) представлена на рис. 8-5 в
полулогарифмических координатах.
Гл. 8]
Лучистый теплообмен межу телами
119
ккал/м3ч
Ц5-10е 1-10s WOS 210s 25-106 3-10s &10eaK
Рис. 8-5. К задаче 8-23.
Решение.
При решении задачи 8-21 найдено следующее выражение для q v\
6еС0
~d~
1Л4_72к\41
юо; ^юо; ]•
Таблица 8-2
Л, °К qv, ккал}м^»ч
d=10-*M d=10-tw б/=103л* d=10®A<
0,5.10е 1-108 1,5.10е 2- 10е 2,5.10е 3.10е 3,5.10е 4.10е 1,84-Ю2» 2,94-1021 1,48.10м 4,71-Ю22 1,15-Ю23 2,38-Ю23 4,4110” 7,52-1023 1,84-Ю1’ 2,94.1013 1,48-10” 4,71-10” 1,15-Ю2» 2,38-Ю2» 4,41-Ю2» 7,52-102» 1,84.10” 2,94-10” 1,48-10” 4,71.10” 1,15-10” 2,38-10” 4,41-10” 7,52-10” 1,84-10’ 2,94-Ю3 1,48-10» 4,71-10» 1,15-10” 2,38-10” 4,41-10” 7,52-10”
120
Лучистый теплообмен между телами
[Гл. 8
Подставив заданные величины и учитывая, что Т8 < 7\, получим:
__6.4,9 /7\ \4
d (100/ d (100) •
Результаты вычислений зависимости qv=^f{TXid) сведены в
табл. 8-2 и представлены на рис. 8-5.
Из рассмотрения этих результатов следует, что для поддержания
высокой температуры тел малого объема требуется значительно боль-
шая мощность внутренних источников тепла, чем для тел большого
объема. Так, например, поддержание пылинки при температуре
2-10® °К требует в 1013 раз большей мощности внутренних источни-
ков тепла, чем для поддержания звезды при той же температуре.
8-24. Определить температуру Тт черного излучения,
при которой отношение энергии &Е излучения восприни-
маемого глазом участка спектра к полной энергии Ео из-
лучения достигает наибольшей величины. Границы види-
мого участка спектра 0,4 • 10~3 мм • 10“8 ММ.
Ответ: Т ^6 150° К.
ш
Решение.
Полагая воспринимаемый глазом участок ДА. спектра черного
излучения достаточно узким, запишем приближенное выражение за-
кона Планка для этого участка:
Гс2—у
ехр( V )
где
0,4-10”3 + 0,8-10~3 Л _
Хср =----------$----------— 0,6 • 10 ~3 мм.
2
В соответствии с законом Стефана-Больцмана полная энергия Ео соб-
ственного излучения черного тела
Следовательно, для искомой величины имеем следующее выраже-
ние:
ДЕ _ С^\
г f с2 \ 1'
С° (юо) [ехР^ \срТ J
Гл. 9]
Лучеиспускание газов и факела
121
Д£
Для определения максимума функции продифференцируем
знаменатель уравнения (1) по Т:
д f Г / С2
ат { L ехр Q Хсрт
= 0.
После преобразования получим:
. С 2
1 — "4Х Т = е
ср 1 m
с2
Решая это уравнение относительно -г—?— подбором, находим:
Лсру пг
С2
Следовательно, Тт = —.g g .
Константа С2 = 1,44.10~2 л/-°К [Л. 20].
Поэтому
_ 1,44-Ю-2 _
^“З.Э-О.б-Ю-МО-8 6
Следовательно, относительная величина энергии воспринимаемого
глазом участка спектра достигает наибольшей величины примерно
при температуре поверхности Солнца.
Г лава девятая
ЛУЧЕИСПУСКАНИЕ ГАЗОВ И ФАКЕЛА
9-1. Определить интенсивность собственного излучения
Есоб изотермического слоя газа, имеющего различную тол-
щину (8 = 0,1; 1; 2,5; 5 м) при температуре 1000° С. Газ
содержит 10°/о СО2 и 4°/0 Н3О. Общее давление газа
1 ата.
Ответ: 8 = 0,1; 1,0; 2,5; 5 м.
Есоб = 9320; 25 950; 43000; 51700 ккал!мг-ч.
График зависимости £’еоб = /:(8) представлен на рис. 9-4.
122
Лучеиспускание газов и факела
[Гл. 9
Рис. 9-1. К задаче 9-1.
Решение.
Средняя длина пути луча для плоского газового слоя (табл. 6-1
[Л. 20])
/ = 1,85 = 1,8.0,1 =0,18 м,
произведение парциального давления паров воды и СОа на длину
луча
P^qI = 0,04*0,18 = 0,0072 м^ата;
pCOi — 0t 10*0,18 = 0,018 м-ата.
Степень черноты Н2О и СО2 определяем по рис. 9-1 и 9-2 в зави-
симости от температуры газов t = 1 000° С и величин
и Рсол'Ъ
есо, = ен#о = 0,013.
Гл. 9]
Лучеиспускание газов и факела
123
Поправочный коэффициент £ на парциальное давление для водя-
ного пара в зависимости от /7НаО и /-/?Н2о (Рис- 9-3).
Поправкой Дег на излучение смеси СО2 и Н2О пренебрегаем.
Степень черноты газовой смеси СО2 и Н2О
е = еГг. + Венп = 0,06+ 1,05.0,013 = 0,0736.
Г LU2 1 1 ri2<^
Интенсивность собственного излучения плоского газового слоя
(Т \4
Too )
/ 1 000 + 273 \ 4
=0,0736-4,9 1----jqq----] =9320 ккал/м2*ч.
В такой же последовательности выполняем вычисления для дру-
гих толщин газового слоя. Результаты вычислений представлены на
рис. 9-4 в виде графика зависимости Есоб = f (б).
124
Лучеиспускание газов и факела
[Гл. 9
Рис. 9-3. К задаче 9-1.
9-2. Определить коэффици-
ент теплоотдачи излучением
дымового газа, протекающего
в дымогарной трубке паро-
вого котла. Диаметр трубки
45 мм.
Степень черноты поверхно-
сти нагрева ес = 0,9. Ее тем-
пература tc = 100° С.
Состав газа: 14,5% СО,
и 4% Н2О.
Расчет выполнить для сле-
дующих температур газов:
400; 600; 800;
1000; 1 200; 1 400° С.
Ответ:
/г= 400; 600; 800; 1 000; 1 200; 1 400° С;
ал = 1,07; 2,06; 3,3; 4,54; 5,6; 7,85 ккал)м?-ч-град.
График зависимости а = ?(/г) представлен на рис. 9-5.
Решение.
Средняя длина пути луча для длинного газового цилиндра
I = 0,9 «d = 0,9-0,045 =0,0405 м.
Гл. 9]
Лучеиспускание газов и факела
125
Произведение парциального давления паров воды и СО2 на длину
луча
/?нао,/ = 0’04,0’0405== 1’6,2,10"3 *-ата;
Рсо2'1 =0,145-0,0405 = 5,87.10- * м-ата.
Степень черноты Н2О и СО2 по рис. 9-1 и 9-2 при температуре
/г = 400°С
е ==0,039 и Етт п = 0.
Степень черноты смеси газов
Ег = &СОа =5= 0,039^0,04.
Поглощательная способность газа при температуре оболочки в
рассматриваемом случае равна:
ТГ \0,65
Лг ЛСОа = еСОа. I у— \
/ 400 + 273
0,04 ( 100 4-273
0,65
= 0,0572.
126
Лучеиспускание газов и факела
[Гл. 9
Эффективная степень черноты оболочки при ес = 0,9 приближенно
равна:
ес==0’5(ес+ 1) = 0,5 (0,9 + 1) = 0,95.
Интенсивность результирующего излучения на поверхности на-
грева
г Г. /400 + 273 г /100 + 273/1
= 0,95-4,9 0,039 Г—\ -0,057 (--------------—j =
= 321 ккал/м-ч.
Коэффициент теплоотдачи излучением
£рез 321
®л = —t— 400 — 100 = 1 >07' ккал/м2• ч• град.
Выполнив аналогичные расчеты для tr — 600; 800; 1 000; 1 200;
1 400° С, получим ал = 2,06; 3,3; 4,54; 5,6; 7,85 ккал/м2-ч-град.
График зависимости ал=?(^г) представлен на рис. 9-5.
9-3. Решить задачу 9-2 при условии, что диаметр трубы,
по которой протекают дымовые газы, увеличен до 1 м,
а все прочие исходные данные сохранены без изменений.
Ответ:
При Zr = 400; 600; 800; 1 000; 1 200; 1 400° С
имеем а =4,62; 9,4;
л 1 1 ’
15,7; 21,8; 28,1; 34 ккал)м2• час -град.
Зависимость ал=<р(^г)
представлена на рис. 9-5.
9-4. Определить коэф-
фициент теплоотдачи из-
лучением от поперечного
потока дымовых газов
Рис. 9-6. К задаче 9-4.
(15«/о СОа; 7,5®/о НаО)
к стенкам труб первого
газохода парового котла.
Трубы расположены в
шахматном порядке (рис.
9-6). Наружный диаметр
труб (Z = 83 мм.
Гл. 9]
Лучеиспускание газов и факела
127
Шаги расположения труб по глубине и по фронту
равны х, = 200 мм и х2 = 350 мм.
Температуры дымовых газов перед газоходом ^ж1 =
= 1 020° С и после него /ж2 = 950°С. Температура и сте-
пень черноты наружной поверхности труб t =500° С и
е = 0,8.
Ответ: ал = 34 ккал)м2-час-град.
Решение.
Определим среднюю длину пути луча в межтрубном пространстве
пучка [Л. 19]:
/ = 1,03-d — 0,785) =
/ 200 350 \
= 1,08-0,083 (-по- • -55-0,785 ) =0,843 м.
\ ОО O<J J
Произведение среднего пути луча на парциальное давление угле-
кислоты и водяных паров равно:
/?СОа * = 0 • 15 • 0,843 = 0,126 м • ата\
/>н О.1 = 0,075 • 0,843 = 0,063 м • ата.
Средняя температура газов в газоходе равна:
'ж.ср-"=4 + 'ж2> =4 0 020 + 95°) = 9850 С-
По найденным величинам Pqq *1» Phq‘1 и ^жср с помош«ью гра-
фиков, представленных на рис. 9-1, 9-2 и 9-3 находим степень черноты
СО8 и Н2О при средней температуре газов
егп = 0,11;
8енп= 1,06-0,074 = 0,0784.
Таким же образом находим степень черноты СО2 и Н2О при тем-
пературе поверхности труб tc = 500° С:
еСО2==^’^>
бе = 1,06.0,12 = 0,127.
Вычислим степень черноты дымовых газов при средней темпера-
туре газов:
ег = £СОа + f£HaO = 0,11+ 0,0784 = 0,188.
128
Лучеиспускание газов и факела
[ Гл. 9
Вычислим поглощательную способность газов при температуре
поверхности труб
/ Т \О,65
Л ( ж.ср \ , п
“= еСОа ( Тс I + РеН2О =
/985 +273\ 0,65 ,
~ 0 ’11 (бОО + 273у +0.127 = 0,28.
Тепловая нагрузка поверхности труб, обусловленная излучением
дымовых газов:
(ес + [ ег (лосп) ("Too) ] =
1 Г /985 4-273V
^(0,8+ 1)4,9 [0,188^ ...J -
(500 + 273VI
---j-qq— ] =16 300 ккал/м2 • ч.
Коэффициент теплоотдачи лучеиспусканием
дл 16 300
ал = -t--= 985_5Q0 =s 34 ккал/м? ч. град.
ж.ср с
При этом коэффициент теплоотдачи конвекцией в том же самом
газоходе равен а = 54 ккал! м2-ч-град (см. решение задачи 5-10).
Следовательно, в первом газоходе парового котла интенсивности
теплоотдачи за счет конвекции и излучения имеют одинаковый поря-
док величин.
9-5. Решить задачу 9-4 при условии, что парциальное
давление водяных паров увеличено в 2 раза, а прочие ис-
ходные данные сохранены без изменений.
Ответ: ал=42,8 ккал]мг ч град.
Решение.
Так как парциальное давление водяных паров увеличено в 2 раза
по сравнению с рНа0 в условиях задачи 9-4, то
/?На0/ = 2-0,063 = 0,126 м-ата.
При средней температуре газов ^ж.ср = 985°С с помощью приве-
денных выше графиков находим:
реНаО = 0,115-1,1 =0,127.
Гл. 9]
Лучеиспускание газов и факела
129
Величина ?еНа0 при температуре поверхности труб /с == 500° С
= 0,17-1,1 =0,187.
1 1’12^-'
Все прочие величины остались без изменения такими же, как и
в решении задачи 9-4.
Поэтому степень черноты дымовых газов при средней темпера-
туре газов равна:
ег= 6СО2+ ?£На0 = °>11 + о, 127 = 0,237.
Поглощательная способность газов при температуре поверхности
труб
/7’жср\')’65 /985 + 273\0'65
4 = £co2-(jT7j + ?ен2о= 0.11 ^5оо$273^ +0,187 = 0,34.
Тепловая нагрузка дл [ккал/м^ч] поверхности труб
= 1-(0,8 + 1). 4,9
= 20 800 ккал!м?-ч.
При этом коэффициент теплоотдачи ал равен:
4 л 20 800
«л = “ 985 — 506 = 42-8 ккал1*г^ гРад-
Сравнивая полученный результат с ответом задачи 9-4, приходим
к заключению, что увеличение в 2 раза парциального давления во-
дяных паров в газах приводит к увеличению коэффициента теплоот-
дачи лучеиспусканием на
/42,8 \
^- 1 )100 = 26»/о.
9-6. Решить задачу 9-4 при условии, что шаги распо-
ложения труб увеличены до л\=300 мм и х2= 500 мм, а
остальные исходные данные сохранены без изменений.
Ответ: % —49 ккал[м2-ч-град.
Решение.
Определим среднюю длину пути луча в межтрубном пространстве
пучка
I = l,08df%-. — 0,785^ = 1,08-0,083^922. 222 — 0,785^= 1,87 м.
\d d ' ) ’ 83 83 ’ ) 9
9 К. Д. Воскресенский
130
Лучеиспускание газов и факела
[Гл. 9
Произведение среднего луча на парциальное давление углекис-
лоты и водяных паров
рсо 1 =0,15-1,87 = 0,28 м • ата\
= 0,075• 1,870 = 0,14 м-ата.
Степени черноты углекислоты и водяных паров при средней тем-
пературе газов /ЖфСр= 985° С для найденных выше значениях pl\
есоа =
feHaO = 0,122-1,06 0,13.
Величины есо и рен о при температуре поверхности труб tc =
= 500° С имеем
еСОа = 0,135;
?енао ~ 1,06-0,18 = 0,191.
Степень черноты дымовых газов при температуре 985° С
•г = ‘со;+ Ко = 0,14 + 0,13 = 0,27.
Поглощательная способность дымовых газов при температуре
/^ж.срУ'65 „ „ /985 + 273 \0,65
'z'r_’eCO1f j'c J + ₽ен,О ~ 0,135 (500 + 273 J +0,191 = 0,378.
Тепловая нагрузка дЛ поверхности труб газохода
(0.» +.)4.9[«,27
= 23 800 ккал!м2-ч.
Коэффициент теплоотдачи лучеиспусканием
23 800
ал = 985—"ббб^49 «лгал/л2-ч-град.
Сравнивая полученный результат с ответом задачи 9-4, приходим
к заключению, что увеличение шага труб по фронту от х, = 200 мм
по — 300 мм и шага по глубине пучка от х2 == 350 мм до 500 мм
приводит к увеличению коэффициента теплоотдачи лучеиспусканием на
/49 \
( 34 - 1 1100 = 44%.
Гл. 9]
Лучеиспускание газов и факела
131
9-7. Определить коэффициент теплоотдачи излучением
ал от потока дымовых газов (15°/0 СО2; 7,5% Н2О) к стенке
труб водяного экономайзера парового котла. Трубы распо-
ложены в шахматном порядке. Наружный диаметр труб
38 jwjh, шаг труб поперек потока х1 = 95 мм, вдоль по-
тока х2 = 75 мм. Температура газов перед экономайзером
^ж1 = 680°С, после него /ж2 = 345°С. Температура и сте-
пень черноты наружной поверхности труб
t =300° С и е =0,8.
Ответ: ал = 5,85 ккал)м2-ч-град.
9-8. Определить величину лучевоспринимающей поверх-
ности Нл [ж2] экранов, расположенных на стенках топоч-
ной камеры парового котла при сжигании природного газа
в количестве Вр = 6710 нм2!ч, если объем топочной ка-
меры равен Ут=362 м2, температура газов на выходе из
топки /"=1 100° С, теоретическая температура горения
/теор = 2 037° С, количество тепла, передаваемое в топке
<Элуч = 4 270 ккал[нм2, давление в топке р = \ата, объем-
ная доля водяных паров = 0,184 и RO,rDr. =0,085.
Ответ: Ял = 243 м2.
Решение [Л. 8].
Поверхность стен топочной камеры
рсы = 6 Vх у2 = б^’бзГ2 = 442 м3.
Суммарная объемная доля и суммарное парциальное давление
трехатомных газов
гп - гНаО + 'RO. = °>184 + °>085 = °>269;
рп = рГп = 1 *0,269 = 0,269 ата.
Эффективная толщина излучающего слоя пламени
VT 362
s = 3,6 р— = 3,6 ^2 = 2,95 м.
9‘
132
Лучеиспускание газов и факела
[Гл. 9
Коэффициент ослабления луЧей топочной средой для несветяще-
гося пламени
/zvi V - "
0,8 4-1,6-0,184
/0,269-2,95
1 100 4-273 \
1 — 0,38--ToUo—У*’269 °’158’
Степень черноты топочной камеры
а = 1 — ехр (— k-p-s) = 1 — exp (—0,158-2,95) -= 0,372.
Эффективная степень черноты факела
аф = ра= 1-0,372 =0,372,
так как для несветящихся пламен р= 1.
Степень черноты топки
0,82-аф 0,82-0,372_____________0,305
а4-(1— a Y— 0,372 4-(1—0,372)1 0,372 4-2^1^
аф+(* афЬ₽ -tv ’ ' 442 ’ 442
ср
Лучевоспринимающая поверхность экранов
BQ, 3 r~Tt 4- 273 у
л ’ ?-М/т' 4-273)(/теор4-273)* / tT + 273 ~lj
НЛ = 0,79-108
7 0,628 „ \
+ ?//2037 + 273
1 -0,305 (1 100 4- 273) (2 037 4- 273)’ У (j 100 4- 273 1
Решая последнее уравнение относительно /7Л, находим Нл= 243 м2.
9-9. Определить величину лучевоспринимающей Ял[л«3|
экранов, расположенных на стенках топочной камеры при
сжигании высокосернистого мазута в количестве 2?р =
= 6 580 кГ[ч, если объем топочной камеры равен VT= 239 м\
температура газов на выходе из топки t'' — l 150° С, теоре-
тическая температура горения /теор = 2 022°С, количество
тепла, передаваемое в топке, QJI = 4 530 ккал]кГ, давле-
ние в топке р = 1 ата.
Ответ: Нл — 162 м2.
Гл. 10]
Теплопередача через плоскую стенку
133
Г лава десятая
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ СТЕНКУ
10-1. Определить температуры
стенки котла (8 = 20 мм, 2 = 50
тепловую нагрузку q [ккал/м2-ч],
мовых газов равна ^ж1 =
=1 000° С, а температура во-
ды ^ж2 = 200°С.
/с| и /с2 поверхностей
ккал! м-ч-град) и ее
если температура ды-
Коэффициент теплоотда-
чи от газов к стенке а,=
= 100 ккал)м2-ч-град, а от
стенки к воде
а2 = 2 000 ккал]м2-ч-град
Ответ: /с1 = 266°С;
tc2 = 237° С. Распределение
температуры в стенке котла
представлено на рис. 10-1
7 = 73 400 ккал)м2-ч.
10-2. Решить задачу 10-1
при условии, что со стороны
газов стенка котла покрыта
слоем сажи (81 = 0,5 мм,
2, = 0,08 ккал[м-ч-град),
а со стороны воды—слоем
= 1 ккал'м-ч-град).
Рис. 10-1. К задаче 10-1.
накипи (83 = 2 мм, 23 =
Определить тепловую нагрузку стенки q [ккал1м2-ч\п
температуры fcI, tc2, и /с4.
Ответ: 7 = 41 600 ккал1м2-ч; /с1=541°С; /с2=325°С;
/с3 = ЗО6эС; ^с4 = 221°С.
Распределение температуры в стенке котла представ-
лено на рис. 10-2.
10-3. Определить тепловую нагрузку q [ккал/м2] и
температуры tcI и tz2 поверхности нагрева парового котла,
если заданы следующие величины:
/ж)=1 000°С; tx2— 150°С; аг = 30 ккал! м2-ч-град;
134
Геплопередача через плоскую стенку
[Гл. 10
а2 = 5 000 ккал] м3-ч-град; Я = 50 ккал\м-ч-град и тол-
щина стенки 8 = 10 мм.
Ответ: </ = 25200 ккал\м3-ч;
/с1 = 160°С; ^с2=Г55°С.
10-4. Решить задачу 10-3, если поверхность нагрева
котла на стороне газов покрыта слоем сажи (8t = 1 мм-,
Л, = 0,08 ккал)м-ч-град), а на стороне воды—слоем на-
кипи (83 = 5 мм; Я3 = 0,8 ккал!м -ч-град.
Определить тепловую нагрузку q [ккал[м3-ч], а также
температуры /с1, tc2, tc3 и /с4.
Ответ: </=16200 ккал/м3-ч, что составляет 64°/0
от тепловой нагрузки чистой поверхности нагрева (см. за-
дачу 10-3); /с1=460°С; /с2=256°С; /с3=253°С и /с4=153°С.
10-5. Определить величину коэффициента теплопередачи
k [ккал/м1-ч-град] через плоскую стенку для следующих
значений коэффициентов теплоотдачи: а3 = 50; 100:
250 ккал/м3-ч-град; а, = 2000; 1 000 ккал]м3-ч-град.
Внутреннее термическое сопротивление стенки равно
|- = 10~4 град-м3-ч1ккал
Гл. 10]
Теплопередача через плоскую стенку
135
Результаты расчетов представить в виде графиков
k — при а2 = 2 000 ккал!м3-ч-град;
k=fa(a^) при а, = 50 ккал) м2-ч-град.
Ответ: Результаты расчетов k для различных значе-
ний коэффициентов теплоотдачи сведены в табл. 10-1 и
представлены на рис. 10-3.
Таблица 10-1
а ,=50 ккал/м2-ч-град, <х2=2 000 ккал/м2-ч-град
а2 /г (а2) ОС] k (а>)
2 000 48,6 50 48,6
юооо 49,5 100 94,3
49,7 250 218
10-6. Вычислить потери тепла q \ккал!м3-ч] через кирпич-
ную обмуровку котла (8 = 250 мм, 2 = 0,6 ккал/м-ч-град),
если температура дымовых газов /ж1=600°С, а темпера-
тура воздуха в котельной /ж2 = 30° С. Коэффициенты те-
плоотдачи от газов к обмуровке и от обмуровки к воздуху
«4 = 20 ккал)м.2-ч-град;
а2 = 8 ккал]м2-ч-град.
Ответ: </ = 963 ккал1м3-ч.
10-7. Определить температуры /с1 и tc2 на поверхностях
кирпичной стены жилого помещения, а также ее тепловую
нагрузку q [ккал!м2 - ч].
Заданы следующие величины:
Температуры воздуха в помещении и в окружающей
среде /ж1=4-18°С и /ж2=— 30°С. Теплопроводность кир-
пича 2 = 0,8 ккал[м-ч-град.
Внутренний и внешний коэффициенты теплоотдачи
<хг = 7,5 ккал1м3-ч-град;
а, = 20 ккал]м3-ч-град
(величина а, соответствует ветреной погоде)
136
Теплопередача через плоскую стенку
[Гл. 10
Рис. 10-4. К задачам 10-7 и 10-8.
Ответ:
7 = 58,5 ккал)м2 -ч\
/с1 = 10,2°С;
/с2 = 27,1 °C.
Распределение темпера-
туры в стене представлено
на рис. 10-4.
10-8. Решить задачу 10-7
при условии, что стена по-
крыта снаружи слоем шту-
катурки (82 = 50 мм, 22 =
= 0,08 ккал^м-ч-град), а
все прочие условия сохра-
нены без изменения.
Ответ:
7 = 33,2 ккал!м2-ч\
/с1 = 13,6°С;
^2= —7,2°С;
/с3 = —28,4°С.
Распределение температуры в стене представлено на
рис. 10-4.
10-9. Определить тепловую нагрузку q [ккал]м2-ч] сте-
ны, выполненной из материала с переменным коэффициен-
том теплопроводности:
Я — (1 + V) [ккал!м-ч-град].
Задана толщина пластины 8, температуры горячей и хо-
лодной жидкостей /ж1 и /ж2, а также значения коэффи-
циентов теплоотдачи и а2,
Ответ: Величина q определяется из квадратного урав-
нения
где
q = {qn+Cq){i - П
\ ЧОО/
_____LY
Ь — 28 V “г /
Гл. 10]
Теплопередача через плоскую сгенку
137
__ ^ср.ж (^ж1 ^жг) .
7о— g ’
__ ^ж1 ^ж2
7оо ==’ —i Г •
«1 «2
Решение.
Тепловая нагрузка стены определяется системой уравнений
<7 = «1 «ж1—*С1Х
4 = V р ₽Х ('с1 + j(^cl“^c2);
= «2 (/с2 — /ж2).
(1)
Три уравнения (1) содержат три неизвестных q, tc{ и /с2. Из этих
уравнений следует:
1
Zd “ ^Ж1 ctj
1
^с2 = <ж2 + аг ?•
Подставив эти значения температур во второе выражение для qt
получим:
Хо ( 1 Г / 1 1\1)
<?= 8 J1 [ ^1+^k2+<7 а1?)](Х
(2J
Введем следующие обозначения:
Д/ = /ж1—/ж2 — полный температурный напор;
- хо О +МЖС0) а.
™ р Дг — тепловая нагрузка стены при ctj-юо и
о а2 -> °°;
_ Д*
^00 =“j--р — тепловая нагрузка стены с бесконечно боль-
----1— шим коэффициентом теплопроводности;
ai ®2
1
^ж.ср = 2”(^ж1+ ^ж2) “ сРеДняя температура горячей и холодной
жидкостей;
c=Mx/±__Lw
25 \а2 «1/
138
1еплопередача через плоскую стенку
[Гл. 10
Подставив эти обозначения в уравнение (2), получим квадратное
уравнение относительно q:
( q\
q = (qQ + Cq) (i )
\ Чоо /
или
10-10. Определить тепловую нагрузку обмуровки печи>
если заданы следующие величины:
Я = 0,07(1 -f-0,3-10”’/) [ккал/м-ч-град];
8 = 0,25 м-, txi= 850°С; /ж2=50°С;
at = 60 ккал!м2-ч-град-, <х2 = 15 ккал\м2-ч-град.
Ответ: 7 = 248 ккал]м2-ч.
Решение.
Определим коэффициент С (см. задачу 10-11):
Л Mi/1 0,07.0,3.10-3/1 1\
С ~ 28 (а, а,^Д/= 2-0,25 (15 во) <850 “ 50) = 1’68'10"’'
Так как С<1, то расчетное уравнение
Ч = (<7о + Cq) (1 —
\ Чоо/
приводится к более простому виду:
Решая последнее уравнение относительно qt после преобразований
найдем:
Чр.ж + «3
Средняя температура горячего и холодного теплоносителей
1 1
ср =- (^1 + “2 (S50 + 50) - 45Q* С
Гл. 10]
Теплопередача через плоскую стенку
139
Средняя величина коэффициента теплопроводности материала
стены
Хср =0,07(1 -f-0,3- 10~а-450) = 7,95-10~2 ккал/м-ч-град.
Тепловая нагрузка стены по формуле (3)
850 — 50
q = -j--0~25-----j- = 248 ккал/м2-ч.
60 + 0,0795 +150
10-11. Плоская стенка с поверхностью нагрева F [м,]2
имеет толщину 8М и коэффициент теплопроводности
Л [ккал/м, -ч-град]. Коэффициенты теплоотдачи и
а2 \ккал!м,2-ч-град] не равны друг другу, причем а2<аг
Кроме того, а1 по порядку величины сравним с внутренней
проводимостью стенки, т. е. Для улучшения теп-
лопередачи на поверхности нагрева стенки со стороны а2
установлено У ребер. Каждое ребро имеет поверхность
теплоотдачи fp [м2], площадь основания f0<Zfp и внут-
реннее термическое сопротивление /?р \м2-ч-град1ккал].
Определить оптимальное число Уопт ребер, которое не-
обходимо установить для того, чтобы поток тепла Q [ккал1ч]
через оребренную поверхность нагрева достигал наиболь-
шей величины.
Ответ:
1 — 1f«25
^опт _„ _ ' А2 Т
— — ^опт — 7 ,
1/ А‘^2
X
р —
где = —; Д2 = А—1.
Решение.
Поток тепла через оребренную поверхность нагрева
Q = fa, (/ж, _ /с1) = (F- tff,) + (/с) -7с2) =
L T+V
- (F - Nf. 4- М„) a2 (7e? - <ж2) (1)
140
Теплопередача через плоскую стенку
[Гл. 10
Здесь /с2 — средняя температура на оребренной стороне поверх-
ности нагрева.
Исключая из (1) /с1 и ^с2, после преобразований получим:
^ж2)
Q-=------Ъ-------1
где /?v — общее термическое сопротивление ребристой поверхности
нагрева
R+ м «г» + г . / гр лТ' (2)
5 (1 — nfo) -f- * а2 | 1 nf0 f —- 1)
— L Wo /J
Af •
Здесь n = -p X/m2— количество ребер, установленных на единице
гладкой поверхности нагрева, т. е. плотность расположения ребер.
Приведем (2) к более удобному виду:
_ 1 , 8 1 1 1 m
R'~ ~ а, + X 1 - + “2 1 + nf»At ’ ' ’
где
X
1 + /?рх/в’
Д2 = 2р-1.
/о
Из рассмотрения формулы (3) следует, что зависимость полного
термического сопротивления от плотности расположения ребер п
имеет минимум. Величина попт, соответствующая минимуму общего
термического сопротивления, определяется из условия
^.=0.
дп
(4)
Подставив (3) в (4), после преобразований находим:
Лопт
,1/Л “28
Г Л Л
д,д2-^+д,
г Л
Эта формула получена в предположении, что а2 не зависит от
числа ребер.
Гл. 10 ]
Теплопередача через плоскую стенку
141
10-12. Стенку прогре-
вают потоком инфракрас-
ного излучения. Опреде-
лить установившуюся тем-
пературу £с1 подогревае-
мой поверхности стенки,
если заданы следующие
величины:
Интенсивность падаю-
щего излучения £
Степень черноты по-
верхности е.
Толщина и теплопро-
водность стенки 8 и 2.
Температура окружаю-
щей среды 1ж.
Коэффициент теплоот-
дачи от стенки к окру-
жающей среде а.
Лучистый теплообмен
Рис. 10-5. К задаче 10-12.
на правой стороне пластины не
учитывать.
Схема задачи представлена на рис. 10-5.
Ответ:
у __j. | е^пад 1 + В1
Cl ж а 24-Bi’
где В1 = -^.
Решение.
Поглощенная часть е£пад падающего излучения превращается
в тепло. Часть этого тепла
Х_
Г ^ci — Сг)
передается посредством теплопроводности сквозь стенку и переходит
в окружающую среду посредством конвективной теплоотдачи. По-
этому
^(^cl-Zc2) = “(^-^)- О
Другая часть поглощенной лучистой энергии также передается
в окружающую среду посредством конвективной теплоотдачи, но
142
Теплопередача через плоскую стенку
[Гл. 10
не проходит сквозь пластину. Поэтому уравнение баланса тепла
имеет следующий вид Ч
^пад = « ('с! ~ 'ж) + “ (*с2 - 'ж) = “ Pci + 'с2 “ 2*ЖЬ <1 2 * * *)
Два уравнения- (1)' и (2) содержат две неизвестные величины
/С1 и /с2. Решая эти уравнения относительно /с1, находим:
ер aS
^ = ^ + 4^2^, где Bi = у.
10-13. Решить задачу 10-12 с учетом различной вели-
чины коэффициентов теплоотдачи и а2 на обогреваемой
и необогреваемой сторонах пластины, а также с учетом
дополнительного термического сопротивления, которое
имеет слой краски.
Ответ: t с1=/ж-|-------------- при ax=a2= а и 6Х +
°* а---£---Г + 8 а = 8 и ^1—^-2=
----------получаем ответ к за-
А1 Аа “а даче 10-12.
10-14. Найти ошибку в определении коэффициента теп-
лопроводности твердых веществ методом плоского слоя
(см. задачу 1-14), если через воздушные зазоры между
испытуемым образцом и плоскостями прибора тепло пере-
дается посредством теплопроводности воздуха и лучистого
теплообмена. Иначе говоря, необходимо решить задачу
1-14 с учетом лучистого теплообмена. Все исходные дан-
ные такие же, как и в задаче 1-14. Степени черноты по-
верхностей прибора и образца одинаковы и равны е = 0,8.
Ответ:=22,3°/о вместо 28°/0 без учета лучистого
Лист
теплообмена (см. 1-14).
Решение.
Тепловая нагрузка поверхности испытуемого образца
1 Если подогреваемая поверхность стенки окрашена и произво-
дится ее просушка, то в правую часть уравнения (2) следует ввести
дополнительный член, учитывающий расход тепла на испарение.
Кроме того в этом случае необходимо учесть термическое сопротив-
ление слоя краски.
Гл. 10]
Теплопередача через плоскую стенку
143
Здесь Q = 50 ккал/ч — поток тепла через образец;
F = 0,785’d2 = 0,785-0,122 м2 — площадь поверхности образца;
б2 = 0,1 -10~3 м — толщина воздушных зазоров между испытуе-
мым образцом и плоскостями прибора;
/1 = 180°С и /2 = 30°С — температуры плоскостей прибора:
Лв1 = 3,11 • 10-3 и Лв2 = 2,22.10-2 ккал!м* ч-град—коэффициенты
теплопроводности воздуха, находящегося в зазорах S2;
CQ = 4,9 ккал/м2- ч°К4— коэффициент излучения черного тела;
1 1
Епр = 2--~ ; ^0,67—приведенная степень черноты си-
е \ 0,8 J
стемы, состоящей из поверхности прибора и образца.
Два уравнения (1) содержат две неизвестные величины Гс1 и Гс2е
Подставив в (1) известные величины, после вычислений получим:
/ *ci + 273 у 94 =
\ 100 ) С1
Г^2±^У+67,4./с2=3 450.
\ 100 J с2
Решая эти уравнения методом подбора, находим:
/с1^166° С и /с2 = 49,5° С.
Следовательно, относительная ошибка в определении Лист образца
равна (см. 1-14):
= (1 _ 4^100 = Л ’00 = 2W
Лист \ Ч— Z2 J 180 — 30 J
вместо 28% без учета лучистого теплообмена.
10-15. Определить среднюю тепловую нагрузку
q \ккал!м,2'Ч\ поверхности нагрева вертикального испари-
теля высотой #=1 лг. На горячей стороне поверхности
нагрева происходит пленочная конденсация водяного пара
давлением /?1 = 8 кГ1см2. На холодной стороне кипит вода
при давлении /?2 = 2 кГ[см2. Толщина разделяющей стенки
8 = 5 мм, коэффициент теплопроводности ее материала
Х = 35 ккал1м-ч-град.
Ответ: </=1,3-105 ккал!м2-ч.
144
Теплопередача через плоскую стенку
[Гл. 10
Решение.
Средний по высоте коэффициент теплоотдачи
“* 115 И (Хкя кн1-tc)-
Средняя тепловая нагрузка поверхности нагрева
_ _ _ УЛа7
Я = ~ 'cl) = 1.15 I/ (tal- <ci)3/4.
Г Г к 27
Обозначив
А1=1Л5У (1)
получим: _
<? = Л^н1-/с1)а/‘
Перепад температуры в стенке испарителя
*ci ~ *с2 <7 Г *
Коэффициент теплоотдачи при кипении воды
_______________________on „0,5// / \2,33
а2 — 39/7 (гс2 tн2 )
Тепловая нагрузка поверхности нагрева
Я — а2^с2 — ^н2) = ^*pQ,^c2 ^н2 ) ,33‘
Обозначив
Л2 = 39-/Л5, <4)
получим: _ _
<7 = Л2(/с2-<н2)3'33
И
( — \ 0,3
f2) • (5)
Складывая (2), (3) и (5), получим расчетное уравнение для опре-
деления q:
Вычислим значения коэффициентов At и Л2<
Тл.11] Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист, стенки 145
При pi = 8 кГ/см2 имеем:
/н1 = 170° С; г = 489,2 ккал/кГ, 7К = 897 кГ/^\
Хк= 0,584 юкал/м- ч-град и |iK=16,6-10-6 кГ -сек/м2.
В рассматриваемом случае физические параметры конденсата без
большой погрешности можно выбрать при температуре насыщения,
/72Х3
так как в интервале температур от 100 до 250° С величина I • \
слабо зависит от температуры.
Коэффициент А! равен:
Л, = l.is/ 1^ 3 600=1,15 / 897^.489,2-0,5843.3600 =1320П
1 г р.кя г 16,6-10-в
При р2 = 2 кГ1см2, /н2—120°С, коэффициент Л2 равен
Л2 = 39’2°,5= 55,2.
Подставив At и А2 в (6), после вычислений найдем:
50 — _£_= ( ?......Y/3+ (JO0,3
7 000 < 13 200/ г\55,2/
Решая подбором это уравнение относительно q, получаем q ==
= 1,3-102 ккал/м2-ч.
Полученный результат является несколько заниженным. Причина
этого заключается в том, что на нижней части поверхности нагрева
в действительности будет иметь место турбулентный режим течения
пленки конденсата, а решение задачи выполнено в предположении ла-
минарного характера ее течения.
Г лава одиннадцатая
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ,
ШАРОВУЮ И РЕБРИСТУЮ СТЕНКИ
11-1. Определить тепловую нагрузку [ккал/м • ч] и
коэффициент теплопередачи [ккал/м-ч-град], а также
температуры /С1 и /с2 стенки трубы аппарата для термиче-
ской переработки нефти. Заданы следующие величины:
Диаметры трубы </,= 100 мм; </2=108 мм.
10 К. Д. Воскресенский
[^Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист, стенки [Гл. 11
Средние температуры нефтепродуктов и топочного про-
странства ^Ж1 — 350° С; tx2 = 1 500° С.
Коэффициенты теплоотдачи на внутренней и наружной
поверхностях трубы ах = 300; а2=100 ккал[м2-ч-град.
Коэффициент теплопроводности стенки трубы
Л = 40 ккал/м-ч-град.
Ответ: <?; = 2,84-104 ккал/м-ч-,
й; = 7,87 ккал/м-ч-град-,
^, = 651° С;
t , = 664° С.
С 2
11-2. Как изменится решение задачи 11-1, если на
внутренней поверхности трубы появится слой пористых
отложений, пропитанных нефтепродуктами.
Толщина пористых отложений 8 = 5 мм, а коэффици-
ент теплопроводности этого слоя — 0,18 ккал/м-ч-град.
Ответ: qt — 1,31 • 104 ккал/м-ч-,
fez = 3,62 ккал/м-ч-град-,
/с1 = 1 107° С;
t „=1 114°С.
С 2
В этом случае температура стенки трубы становится
недопустимо высокой и она может сгореть.
11-3. Электропровод диаметром rft = 2 мм имеет тем-
пературу ^с0 = 90°С. Провод охлаждается потоком воз-
духа. Температура воздуха и коэффициент теплоотдачи
на поверхности провода /ж=207С и ах=20 ккал[м2-ч-град.
Определить температуру /с, которую будет иметь этот
провод, если его покрыть резиновой электроизоляцией тол-
щиной 8 = 4 мм, а силу тока в проводе сохранить без
изменений. Коэффициент теплоотдачи от изоляции к воз-
духу а2 = 10 ккал[м2-ч-град, а коэффициент теплопровод-
ности резиновой изоляции Л = 0,15 ккал[м-ч-град.
Ответ: /с = 63эС.
Решение.
Расход тепла через поверхность провода без изоляции
<7 = г</1а(/с0-/ж). (|)
Гл. 11] Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист, стенки 147
После покрытия изоляцией
__ л )
JLi i ’
2Л 1П dr ’ a2J2
Сравнивая (1) и (2), находим:
/с = /ж + ^1а1 (гГ1п )^со—*ж)-
(2)
Подставив известные величины, получаем:
f I 10 , 1 \
tc = 20+2• 10-з• 20( 2^3 Ш у + ю.ю. Ю-з/90 ~ 20) = 63° С-
Следовательно, температура провода после покрытия его рези-
новой изоляцией снижается с 90 до 63° С. Это объясняется тем, ЧТО
диаметр провода d{ — 2 мм меньше критического диаметра изолиру-
ющего слоя
2Х 2-0,15
rfKP= ^-=ПГо_==0’03
Таким образом, в рассмотренном примере резиновое покрытие
выполняет электрическую защиту провода и снижает его темпера-
туру.
11-4. Во сколько раз следует увеличить силу тока
в проводе (см. задачу 11-3) для того, чтобы температуры
изолированного и оголенного проводов имели одинаковую
величину tc = 90э С.
Ответ: Силу тока необходимо увеличить на 28%.
Решение.
Сила тока, протекающего в изолированном проводе, при —
== 63° С равна:
/ - 1/ -^-
11 ~~ Г 0,867? ’
а при
/с2 = 90°С
, _ 1/ZKZ
‘г ~ т 0,86/? •
Следовательно,
h V <7, •
10:
148 Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист, стенки [Гл. 11
В свою очередь,
('с1 - 'ж)
q'~ 1 , 1
2Х ln di г o2d2
я (^с2 ^ж)
1 . ^2 , 1
2/. ln di a2d2
Поэтому
Таким образом, через покрытый электроизоляцией провод оказы-
вается возможным пропустить ток, на 28% больший, чем через ого-
ленный провод при одинаковой его температуре.
11-5. Определить толщину 5 резиновой изоляции на
проводе (см. задачу 11-3), при которой через провод воз-
можно пропустить максимальную силу тока /макс при не-
изменной температуре провода /с = 909С. Определить ве-
личину — *-кс .
' о
Ответ: 8 — 14 мм; --мукс — 1,42.
'о
Решение.
Максимальный ток можно пропустить через провод, диаметр изо-
ляции которого равен критической величине. Для условий задачи 11-3
критический диаметр изоляции
2Х 2-0,15
d — — — —гх—= 0,03 м.
кр а2 10
Поэтому
30 — 2
5 = —2— = 14 мм-
При неизменной силе тока температура провода покрытого
критическим слоем резиновой изоляции, равна:
, /1 . 1 \
'с = <ж + (гхln di)(/с~и =
= 20+2. ю-’.20 (2^15 In +ю.зо. 10-'’)<90~20) = 54-6° С
Гл. 11] Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист. стенки\49
Для увеличения температуры изолированного провода от 54,6 до
90° С необходимо увеличить силу тока
^макс у / I Г 90 — 20
11-6. Вычислить зависимость температуры'провода t'z от
толщины резиновой электроизоляции 8 для условий задачи
11-3 при неизменной силе тока, протекающего в проводе.
Для 8 принять следующие величины:
8 = 5 мм; 10 мм; J5 мм; 20 мм-, 25 мм.
Ответ: 8 = 5 мм-, 10 мм-, 15 мм; 20 мм; 25 мм.
t' =60°С: 55,1°С; 54,6°С; 55,3°С; 55,7°С.
Зависимость /'=/(8) представлена на рис. 11-1.
Решение.
При неизменной силе тока, протекающего в проводе, его темпе-
ратура t'Q после покрытия электроизоляцией равна (см. задачу 11-3):
» Г 1 А а \ , 1 ]
=<ж + М.[2л1п (* + d, —
150 Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист, стекли [Гл. 11
Подставив известные величины, получим расчетную формулу для
определения зависимости t'c = f (д):
/с — 20 + 20-2-10-3[ 2.0,151п + 1 ) 10 (2 + 26). 10-3] (9°—20) —
= 20 + 2,8 7,67 lg (1 + 8) +
Результаты вычислений /с в зависимости от 8 представлены на
рис. 11-1 в виде графика функции = f (8).
11-7. Вычислить зависимость силы тока протекаю-
* о
щего по проводу, от толщины 8 резиновой электроизоля-
ции для условий задачи 11-3, при неизменной температуре
провода /с0 = 90эС.
Ответ: 8 = 5 мм; 10 мм; 15 мм; 20 мм; 25 мм;
1,32; 1,41; 1,42; 1,41; 1,40.
' о
Решение.
В задаче 11-5 найдено следующее выражение для отношения сил
токов I и /0, протекающих по изолированному и оголенному проводу
при заданной его температуре:
Подставив известные величины, получим:
Значения tc для различных 6 при неизменной силе тока найдены
выше (задачи 11-6). Подставив в последнее уравнение известные зна-
чения t’c> получим:
& = 5 мм; 10 мм, 15 мм; 20 мм; 25 мм;
_/_= 1,32; 1,41; 1,42; 1,41; 1,40.
' о
График функции -г~ = f (5) представлен на рис. 11-1.
о
Гл. \\]Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист, стенки 151
11-8. Определить расход тепла Q [ккал/ч] через реб-
ристую трубу вертикального отопительного прибора с про-
дольным расположением ребер,, если заданы следующие
величины:
Высота трубы /г = 915 мм.
Внутренний диаметр трубы дг = 50 мм.
Наружный диаметр трубы б?2 = 70 мм.
Диаметр по концам ребер </3 = 175 мм.
Число ребер п =18 шт.
Толщина каждого ребра 8 = 3 мм.
Температура у основания ребра /р0 = 80эС.
Температура окружающей среды /ж2 = 18°С.
Средний коэффициент теплоотдачи ребра
ар = 6,5 ккал]м2-ч-град.
Коэффициент теплопроводности материала трубы Л =
= 40 ккал/м-ч-град.
Определить также, во сколько раз уменьшится расход
тепла через ребристую трубу, если ребра удалить.
Коэффициент теплоотдачи гладкой трубы
а0 = 9,5 ккал/м2-ч-град.
ккал/ч-,
ккал/ч-,
Ответ: Q — 698
Q0=H9
Р е ш е н и е.
Поперечное сечение
ребра
f = (J/z = 3-915 = 2 745 мм2.
Разница температур у основания ребра и окружающей среды
Д' = 'ро-,ж=80-18 = 62’С.
Длина ребра
d3-d2 175-70
I =--2— -------2---= 52,5 ММ'
Расход тепла через ребра
/ ,/2ар \
2Л5-
40.3.F6~2 745-10~‘th k52,£
= 637 ккал/ч.
2,6,5 1А9
40.3.10"* ) 62=гг
[^Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист. стенки[Т
Расход тепла через поверхность трубы, не занятую ребрами:
Qr.i =ар (^2 — nb)h±t =
= 6,5 (3,14-70 — 18-3) 10-3-0,915-62 z-60,9 ккал/ч.
Расход тепла через стенку ребристой трубы
Q = Qp 4. Qrji = 637 4- 60,9 = 698 ккал/ч.
Если удалить ребра, то расход тепла через гладкую стенку
трубы
Q = a^d2h\t — 9,5.3,14.70-10-б-915-62 == 119 ккал/ч.
698
Следовательно, расход тепла через гладкую стенку трубы в ууд
6 раз меньше, чем через ребристую.
11-9. Определить коэффициент теплопередачи и количе-
ство передаваемого тепла в подогревателе питательной
воды, который состоит из 550 стальных трубок (dx=16 мм;
d^ — 20 мм; 1 = 2,9 м).
Снаружи трубок конденсируется пар давлением р2 =
= 25 кГ[см2. Коэффициент теплоотдачи от конденсирую-
Рис. 11-2. К задаче 11-10.
щегося пара к стенке а2 =
4 250 ккал!м2 -ч-°C.
Внутри трубок протекает вода,
нагреваемая от /^(1)=180°С до
Г 2 = 215° С. Коэффициент тепло-
отдачи от стенки к воде а2 =
= 9 700 ккал{м2 -ч-град.
Ответ:
k = 2390 ккал)м2-ч-град\
Q — 4,95- 10е ккал[ч.
11-10. Определить коэффици-
ент теплопередачи через стенки
сосуда Дюара, в котором мед-
ленно испаряется жидкость.
Заданы следующие величины
(рис. 11-2):
Диаметр сосуда D.
Скрытая теплота испарения
жидкости г, ккал!кг.
Гл. 11 ] Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист, стенки 153
Удельный вес жидкости кГ]м\
Температурный напор Д/, °C.
Два уровня жидкости в сосуде м.
Время Дт [<<], за которое уровень испаряющейся жидко-
сти снизится с величины /гх до Л2.
Решение
За малый промежуток времени dr уровень испаряющейся жидко-
сти изменится на величину—dh. Баланс тепла при этом имеет следую-
щий вид:
/ tzD2 \ nD2
kit I nDh + jdr = — r j —j— dh.
Интегрируя это уравнение в пределах (ть т2)
преобразований получим:
и (/гп Л2), после
МТг~ *1)
О
+ 4
Д/ — — In---
+ 4
Из последнего уравнения следует, что коэффициент
дачи через стенки сосуда равен:
теплопере
1
Dry D
k = 0,575 lg jr-
l+4-jf
11-11. Определить коэффициент теплопередачи через
стенки сосуда Дьюара, в котором испаряется жидкий кис-
лород. Заданы следующие величины:
0=100 мм; Af = 20 —(—183) = 203° С;
Л, = 225 мм; /г2 = 100 мм; Дх = 700 ч;
г = 51 ккал!кГ; 1,14-103 кГ[м\
Ответ: k = 0,00711 ккал[м2-ч-град.
11-12. В сосуде Дьюара вследствие притока тепла через
стенку испаряется жидкий кислород. Вычислить зависи-
154 Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист. стенки[Гл. И
мость свободного уровня h кислорода от времени т для
условий задачи 11-11.
Ответ:
h = 25 [10 exp (— 0,992 • 10“Зт) — 1].
Решение.
Выше найдено следующее выражение для баланса тепла за ма’
лый промежуток времени dx при испарении жидкости в сосуде Дью*
ара (см. задачу 11-10):
/ тг£)2 \ к/)2
k\t I nDh + —4— i dr = — /7 —j- dh.
Интегрируя это уравнение в пределах (0, т) и (hlt h), получим:
Из последнего уравнения находим
ного уровня h от времени испарения т:
D Г/ h' \
h=~l (1 + 4 -д- I exp
зависимость высоты свобод-
4/гД/т
Dr\
Подставив известные величины, получим:
4.0,00711.203т \
0,1 -51 -1,14.10s 1
= 25 [10 ехр (— 0,992.10-4) — 1].
Необходимо заметить, что уравнение (1) можно переписать в иной
форме:
1+4-^-=^1+4^j-)exp mr), (2)
где обозначено
4Ш
Из уравнения (2) вытекает простой метод экспериментального
определения коэффициента теплопередачи через стенки сосуда Дьюара
h
Определяя в результате измерений зависимость 1 + 4 от т и изо-
Гл. 11] Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист. стенки\§§
бражая эту зависимость в полулогарифмической системе координат,
получим прямую
/ h \
In f 1 + 4 -р- 1= const — mx.
Измерив на графике величину mt из формулы (3) находим коэф-
фициент теплопередачи через стенки сосуда Дьюара
Dn
11-13. Определить диаметр который следует ис-
пользовать для расчета теплопередачи через стенку трубы
по формулам плоской сте ки. Рассмотреть три случая,
когда a2^ax; а2 < 04 и а2 >
Кроме того, задано, что — <0,1 и —1.
Ответ: При а2^аг имеем dQ
^1 + ^2.
2
при а2 < аг имеем dQ = d2\
при а2 3> имеем dQ = d1.
Решение.
Расход тепла через стенку трубы и эквивалентную плоскую
стенку
2я/Д/ 2тгг0/Д/
Q = —+—+-1П^- (1)
04/4 a2r2 X 1 /д 04 а2 X
где 5 = -^-(d2 — di)—толщина стенки.
Из уравнения (1) находим:
—+—+4-
04 а2 X
го _ _ __ > (2)
1 । 1 I__1 . • 2
а1Г1 "Г<Х2Г2 ‘ X Ш Tj
так как
то
156 Теплопередача через цилиндрич., ишрозую и ребрист. стенки[Ул. П
По условию задачи — <0,1. Поэтому с точностью до 5%
Подставив последнее соотношение в (3), после преобразований
получим:
так как
^2
г0 = ''1 +
а, Г, X
а2§
и -у- < 1, то вместо (3) получаем:
(3) ;
8
''о П + ~а-------или ^0^1 + ---------• (4)
-^-4- 1 —+ ’
«1 «1
Уравнение (4) справедливо для любого соотношения между 04 и
а2. Укажем три частных случая, вытекающих из (4).
tZ2 — di -f- 1
Если ot2, то dQ = d± + & — +-----2---------2--*
(5)
Если 04 < a2, to d0 dp
Если 04 > a2, to dQ di + 28 = d2.
Из условия этой задачи следует, что приближенные правила (5)
справедливы, если выполняются два соотношения
8 аЛ
— <0,1 и -f-« 1.
ri л
11-14. Определить температуру /с1 нагревателя лабора-
торного парового котла (рис. 11-3). Заданы следующие
_________ицц_ . . _ _ величины:
------------ ------- Диаметр нагревателя dl —
____________________/ TZZ~ZZ 50 мм.
__ Тепловая нагрузка охлаж-
г даемой поверхности нагрева-
теля ^1~Ю5 ккал1м2ч.
3 ___ Размеры защитной трубы
rfa —52 мм\ = мм, ее
Рис. 11-3. к задачам 11-14 и 11-15. коэффициент теплопроводности
Гл. 11]Теплопередача через цилиндрич., шаровую и ребрист, стенки 157
Л,= 15 ккал1м-ч-град (труба выполнена из нержавею-
щей стали).
Температура кипящей воды /ж = 100°С.
Зазор 3 между нагревателем 1 и защитной трубой 2
заполнен песком, коэффициент теплопроводности которого
равен: At = 0,3 ккал[м-ч-град [Б. С. Петухов].
Ответ: fcl = 890°C.
Решение.
Тепловая нагрузка на поверхности защитной трубы, на которой
имеет место кипение воды в большом объеме:
d. 50
q3 — Я1 — Ю5 54 = 0,927.105 ккал/м2-ч\
Яз — акип (^сЗ ^ж) 39 (^сз ^ж) ’3 р0,5.
Температура Zc3 на внешней поверхности защитной трубы
/ Яз \0’3 ™ / 0,927.10s 0,3
<сЗ = <жЧ-(-^Д5>) =>00+(^-39--------; ^ЧО’С.
Температура 7С| нагревателя 1
/ 1 rf2 1 d.\
= + -j-j-
= 110+ 0,05.1in g +,L и g) = 890° C.
11.15. Решить задачу 11-14 при условии, что песок
удален из зазора между рабочим нагревателем и защитной
трубой. Тепло передается через этот зазор посредством
лучистого теплообмена и теплопроводности через воздух.
Степень черноты нагревателя и трубки е = 0,8 [Б. С. Пе-
тухов].
Ответ: t— 1 050°C.
Решение.
Приведенная степень черноты системы нагреватель — защитная
трубка
1
епр= 2
--------1
1
_2__
0,8 1
= 0,667.
158
Теплопередача через жидкостные прослойки
[ Гл. 12
Результирующий лучистый поток через зазор между нагревате-
лем и защитной трубкой
£рез/ = = ’rfi^np1
5
+ 7-----Г ('cl - 'с2)-
'возд
Следовательно, расчетное уравнение для определения имеет
вид:
Ff'd+273 ‘ //c2 + 273 yi di_di
~Епр-со|Д ЮО J 'г\ 100 / 2ЛВОЗД (Гс1 гс2/’
Приближенное значение коэффициента .теплопроводности воздуха
Лвозд выберем при средней температуре в зазоре для условий зада-
чи 11-14
'ср = he: + 'с2) - 12 (89° + 110) = 500° С-
При этой температуре Хвозд = 4,94.10”2 ккал/м-ч*° С.
Подставив известные величины в расчетное уравнение для опре-
деления /сР получаем:
10= = 0,677.4,9 [(^У+ 4,9ТТ^ -('с. ~ "0)Х
Х 2,993.10. = (^)4+-^=^.
Разрешая это уравнение относительно /с1, находим
/с1 = 1,050° С.
Г лава двенадцатая
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ ЖИДКОСТНЫЕ ПРОСЛОЙКИ
12-1. Определить эффективный коэффициент теплопро-
водности и тепловые потери q через вертикальную воздуш-
ную прослойку, если заданы следующие величины:
Толщина прослойки 8 — 25 мм.
Температуры и степени черноты стенок прослойки
/с1 = 150° С; /с2 —50эС; S1 = s2 = e = 0,8.
Ответ: Лэф = 0,248 ккал/м-ч-град-,
<7 = 990 ккал/мг-ч.
Гл. 12] Теплопередача через жидкостные прослойки
159
Решение.
Средняя температура воздуха в прослойке
'ж = 5 ('cl + = J (150 + 50) = 100° С.
При этой температуре Хвозд=0,0276 ккал/м-ч-град\
-возд = 2.31 • \Ь-*м>/сеК и Ргвозд = 0,688.
Критерии подобия при естественной конвекции
П9Г /^Д/83 0,25 / 9,81 • 100 - 0,0253
(GrPr)°*==^-Pr^ =^_2)31......о-_
0,688
Приведенная степень черноты системы, состоящей из двух па
раллельных стенок:
епр= £ 1_ = 7 Г= 0,667
е. е2 1 е 0,8
Коэффициент теплоотдачи излучением
(Т \4 /Т \4
1 С1\ __Р с2\
_ 100/ ""‘100/
~ ьпр^о------;---7--------
Гс1 — Гс2
/150 + 273у 50-273 4
« 0,667• 4,9\ ____L____- ^22—L = 6,9 ккал/м2-ч-град.
150 — 50
Эффективный коэффициент теплопроводности воздушной про-
слойки [Л. 20]
= Хвозд °'18 <Gr .Рг)0,25 + = 0.0276-0,18 • 15,2 +
4- 6,9 0,025 = 0,248 к.кал/м-ч-град.
Тепловая нагрузка прослойки
\<ь 0,248
q = -у*- Д/ = о 095 (*60 — 60) = 000 ккал/мг' ч-
12-2. Решить задачу 12-1 при условии, что толщина
прослойки увеличена в 2 раза 8 = 50 мм, а прочие исход-
ные данные сохранены без изменений
Ответ: <7 = 940 ккал[мг-ч;
Хэф = 0,472 ккал[м ч-град.
160
Теплопередача через жидкостные прослойки
[Гл. 12*
Рис. 12-1. К задаче 12-3.
Рис. 12-2. К задаче 12-5.
12-3. Определить эффективный коэффициент теплопро-
водности и тепловые потери q через вертикальную воз-
душную прослойку, в которой установлен экран из алю-
миниевой фольги.
Толщина прослойки 8 = 50 мм.
Температуры стенок прослойки fcl = 150° С и /с2=50°С.
Степени черноты стенок и экрана
s1 = s2 = s = 0.8; еэ=0,02.
Экран установлен на середине расстояния между стен-
ками прослойки (рис. 12-1).
Ответ: q — 136 ккал/м2- ч\
Лэф = 0,0697 ккал(м-ч,-град.
12-4. Определить эффективный коэффициент теплопро-
водности и потери тепла q [ккал/м2 через горизонталь-
ную воздушную прослойку чердачного перекрытия, если
заданы следующие величины:
Толщина прослойки 8 = 25 мм.
Температуры и степени черноты стенок прослойки,
выполненных из гипсовой штукатурки и нестроганого де-
рева
/с1 = 12°С; /с2 = 6,4а С; е1==0,94 и е2 = 0,9.
Ответ: Лэ = 0,126 ккал[м-ч-град\
q = 28,1 ккал]м2-ч.
Гл. 12]
Теплопередача через жидкостные прослойки
161
Решение.
Средняя температура воздуха в прослойке
12 4-6,4
Гж = -^- = 9,2°С.
При этой температуре Лвозд == 2,6-10-2 ккал/м>ч-град\
V3a=‘4>1-10-6 *г/сек и Ргвозд = 0,705.
Произведение критериев Грасгофа и Прандтля
9,81 (12 — 6,4) (25-10-3)3
GrPr = (273 4-9,2) (14,1-Ю-6)2 •°.705 = 438-
Приведенная степень черноты системы, состоящей из двух сте-
нок, образующих воздушную прослойку:
— 1 0,94 + 0,9
Коэффициент теплоотдачи излучением
= 4,02 ккал!м2-ч-грао.
Эффективный коэффициент теплопроводности через горизонталь-
ную воздушную прослойку при потоке тепла снизу вверх равен
Л. 20]:
х9ф = 0,18 (Gr Рг)^возд k (ДО + ал 8. (*)
Здесь коэффициент k (Д/) 1 выбирается в зависимости от М
по табл. 6, приведенной в работе [Л.38].
Из рассмотрения этого графика следует, что при Д/= 12—6,4 =
= 5,6° С коэффициент k = 1,435.
Подставив в (*) известные величины, получим:
Аэф = 0,18-4380'25.2,6-10-2-1,435 4- 4,02-0,025 = 0,126 ккал/м-ч-град
Потери тепла через прослойку
0,126-5,6 оо<
q = —— = 0025 - = 28,1 ккал/м* • ч.
12-5. Определить потери тепла q [ккал[м?-ч] через
стенку летнего кинотеатра. Разрез стены представлен
на рис. 12-2.
11 К. Д. Воскресенский
162
Теплопередача через жидкостные прослойки
[Гл. 12
Заданы следующие величины:
Температуры воздуха в помещении и вне его
'ж, = 2»’ С и /ж! = 5°С.
Коэффициент теплоотдачи на внутренней и внешней
поверхностях стены
а1 = 7,5 ккал/м2 -ч-град;
а2 = 20 ккал/ м2-ч-град..
Толщины и коэффициенты теплопроводности слоев шту-
катурки по драни, войлока, внутренней деревянной об-
шивки, воздушной прослойки и внешней деревянной обшивки
83 = 15 мм-, Aj = 0,45 ккал/м-ч-град;
82 = 5 мм; Л2 = 0,05 ккал/м-ч-град;
&3 = 25 мм-, Л3 —0,15 ккал/м-ч-град
64 = 80 мм-, = 2,16-10“2 ккал/м-ч-град*-,
85 = 20 мм; 25 = 0,15 ккал/м-ч-град.
Степени черноты внутренней и внешней деревянной об-
шивок одинаковы е = 0,9.
Ответ: q= 18,3 ккал/м2-ч.
Решение.
Вначале определим тепловую нагрузку стены в первом приближе-
нии без учета конвективного и лучистого теплообмена в воздушной
прослойке.
Коэффициент теплопередачи в первом приближении
1 __
= /=2 4
1
_ 1 1 15-Ю-’ 5-Ю-3 25.10-3 80-Ю-з +
7,5 + 20+ 0,45 + 0,05 + 0,15 + 2.16.1Q-2
~1" 20-10”3 — 0,232 ккал/мР-ч-град-
0,15
* Здесь приведен коэффициент теплопроводности неподвижного
воздуха при 12° С.
Гл. 12]
Теплопередача через жидкостные прослойки
163
Тепловая нагрузка стены в первом приближении
= kx (/ж1 — /ж2) = 0,232 (20 — 5) = 3,48 к.кал/м2 • ч.
Температуры /с4 и /с5 стен, между которыми находится воздуш-
ная прослойка:
/В5 . 1 \ / 20.10-3 , 1 \
/с5 = /ж2 + ?1 (хГ+“г/ 5 +3,48 ( 0,15 +20j = 5,6°C;
8. 80-10-3
Zc4 Zc5 + “? 1 Х7 = 5,6 + 3,48 2,16-10-2 = 18,5° С‘
Средняя температура воздуха в воздушной прослойке
/ж==~(5,6 +18,5)^12° С
При этой температуре
Ргвозд - °’705; увозд = 14 Л -10 - W/сек;
Лвозд = 2,18-10“2 ккал)м-ч-град.
Произведение критериев Грасгофа и Прандтля
9,81 (18,5-5,6) (80.10-у0,706
ur Fr — (273 + 12) (14,4-10-6)2 ,Z’1U ’
Приведенная степень черноты системы, состоящей из двух сте-
нок, ограничивающих воздушную прослойку:
Snp = TJ- = 0’812-
0,9 ~1
Коэффициент теплопередачи излучением в воздушной прослойке
Г /18,5 +273 \ 4_ /5,6 + 273 \4
= 0,812-4,9 —122—Z_2_ = 3,43 ккал/м2- ч-град.
18,5 — 5,6
Эффективный коэффициент теплопроводности в воздушной про-
слойке
ЛЭф = 0,18(агРг)0'25Хвозд + ал.84 =
= 0,18 (7,7-Ю5)0-25 2,18-10-3 4- 3,43-0,08 = 0,389 ккал/м-ч-град.
11*
164
tetiAoecw изоляция
[Гл. 13
Коэффициент теплопередачи через стенку во вторОхМ приближении
1 _
ki==
«> Ч ’ГА, -*-Х2 ^Л9ф Ч
1 _
: 1 1 15-10-3 5-Ю-3 25-10-3 80-Ю-3 20-10~3
ТДГ + го"1 0Д5 * 0,05 0,15 + 0,389 + 0,15
==1,22 ккал/м2'Ч-град.
Тепловая нагрузка стены во второхМ приближении
<72 = М^ж1 — *ж2) = 1,22(20 — 5)^= 18,3 ккал/м2-ч.
Г лава тринадцатая
ТЕПЛОВАЯ ИЗОЛЯЦИЯ
13-1. По трубопроводу ^/=100 м, ^- = 200/216 мм^
протекает пар давлением р—10 ата и температурой
£ж1 = 300°С. Расход пара G=10
Определить толщину совелитовой изоляции 8, которую
необходимо положить на трубопровод для того, чтобы по-
тери составляли О,3°/о от общего количества тепла, пере-
даваемого по трубе.
Температура окружающего воздуха /ж2 = 25° С.
Ответ: 8 = 115 лш.
Решение.
Энтальпия пара при р = 10 ата и t == 300° С [Л.6]
i = 729 ккал/кГ.
Общее количество тепла, передаваемого по трубопроводу:
Q =/.0 = 7,29-10® ккал/чА
Допускаемая величина потерь тепла
QnoT=0,003 Q = 0,003.7,29-10® 21,9.103 ккал/ч.
Потери тепла на 1 пог. м трубы
Спот 21,9-10’
^пот~~~ ------ГбО— =2>19-10г ккал/пог.м-ч.
Гл. 13]
Тепловая изоляция
165
Задаемся температурой на внешней поверхности тепловой изоля-
ции
/с2 = 45° С.
Средняя температура тепловой изоляции
'ср = Йс1 + W = f <300 + 45> = 1720 С-
Коэффициент теплопроводности совелитовой формованной изо-
ляции
^ср 172
Л = 0,071 4-0,0161 jgy=0,071 4-0,0161^00 = 0,099 ккаЛ/м-ч-град.
Толщина слоя изоляции определится из уравнения
2лМ'с1-'с2)
Наружный диаметр тепловой изоляции
d3 = d2 “h = 216 4- 2 • 115 4* 446 мм.
Проверим температуру внешней поверхности изоляции.
Коэффициент теплоотдачи на внешней поверхности изоляции
[Л.20]
а2 = 8,4 4- 0,06 (/с2 — /ж2) = 8,4 4- 0,06 (45 — 25) = 9,6 ккал/м2-ч-град.
Температура внешней поверхности изоляции
q 219-Ю3
'с2 = /ж2Т = 25 + 3,14-9,6-446 = 41°С-
13-2. По трубопроводу для горячего дутья доменной
печи протекает воздух со средней скоростью wt = 35 м/сек
и средней температурой /ж1 = 800°С при нормальном сред-
нем давлении. Стенка трубы состоит из трех слоев
(рис. 13-1): слоя шамотного кирпича (толщина 81 = 250л«щ,
коэффициент теплопроводности А, = 1,1 ккал/м-ч-град},
железного кожуха (толщина 32= 10 мм, коэффициент теп-
166
Тепловая изоляция
[ Гл. 13
лопроводности Л2 —40 ккал)м-ч-град) и тепловой изоля-
ции (толщина 83 = 200 лш, коэффициент теплопроводности
1з = 0,15 ккал[м-ч-град). Внутренний диаметр трубы
равен = 1 000 мм.
Рис. 13-1. К задаче 13-2.
Трубопровод располо-
жен на открытом воздухе
и обдувается поперечным
потоком ветра (скорость
ш, = 4 м!сек, температу-
pa ^2 = (FC).
Найти потери тепла
на 1 м длины трубопро-
вода и температуру tc2
стального кожуха. Поте-
ри тепла излучением не
учитывать.
Ответ:
7z = 2 325 ккал[м-ч\
/с2 = 635°С.
Решение.
Потеря тепла [ккал/м-ч]
с 1 м длины трубопровода
равна:
('«I ~/ж2).
где ki [ккал/м-ч-град] — коэффициент теплопередачи через стенку
трубы:
1
k‘= 1 ,1 d2 в2 1 dt 1
a.rf, 2Х, lnrf, <U 2V dt a2rf4
82
Здесь “jy- — термическое сопротивление железного кожуха.
Вычислим коэффициент теплоотдачи а, [ккал/м2-ч-град] от по-
тока воздуха внутри трубопровода к его стенке.
При средней температуре воздуха в трубе /ж = 800° С его физи-
ческие параметры равны следующим величинам:
Рг1 = 0,713;
>»! = 134,8-10”6 м2/сек\
X ! = 6,17-10-2 ккал/м-ч-град.
Гл. 13]
Тепловая изоляция
167
Критерий Re, для потока воздуха равен:
WidZi 35-1
134,8-F -2'59'105-
При турбулентном течении воздуха внутри трубы уравнение
подобия для теплоотдачи конвекцией имеет следующий вид:
Nu = 0,018 Re0’8.
Подставив известные величины, найдем:
Nu = 0,018 (2,59- 10s)0’8 = 380.
Поэтому коэффициент теплоотдачи а! равен:
380-6,17-10-2
а, =--------j------= 23,4 ккал/м2-ч>град.
Вычислим коэффициент теплоотдачи а2 от внешней поверхности
трубопровода к поперечному потоку воздуха.
При температуре набегающего на трубу потока воздуха /ж2 =
= 0° С его физические параметры равны следующим величинам:
Рг2 = 0,707;
v2 = 13,28-10”6 м,2[сек\
Хж2 = 2,10-10"2 ккал/м-ч, град.
Наружный диаметр трубы
(Ц = d1 + 28х + 2d2 + 263 = 1,00 + 2-0,25 + 2-0,01 + 2-0,2= 1,92 м.
Критерий Re2 для поперечного потока воздуха
Re2
13,7-io-6 — 5,61'10 •
При Re2 = 5,61 • 105 критерий Nu2 равен
Nu2 = 0,18-Re£’62= 0,18 (5,61.105)°’62= 668.
Коэффициент теплоотдачи а2
Ни2Хж2 668-2, Ь10-!
аг = —-----=------j-g2-----— 7,32 ккал/м2• ч-град.
168
Тепловая изоляция
[Гл. 13
Коэффициент теплопередачи kl через многослойную стенку
трубы
_ 1 _
“1,1 /1 + 2-0,25\ 0,01 1 1,92 1
23,45 + 2-1,1 1п 1 у 1,5«40 ‘20,15 1п 1,52 +7,32-1,92
= 0,925 ккал/м-ч-град.
Потери тепла с 1 м длины паропровода равны:
qt = nkl (/ж1 — /ж2) = л 0,925 (800 — 0) = 2 325 ккал/м-ч.
Температура /с2 железного кожуха трубопровода равна:
^_/_J_____1_ da
zc2 = '«I — л ' 2 X, ln d,
2 325 Г 1 . 1 / 1 +2-0,25 \ 1
= 800 — 314 [ 23jj +2.1,1 ln ( 1 / J = 635° С'
Из приведенного расчета следует, что футеровка из шамотного
кирпича расположена внутри трубопровода для того, чтобы умень-
шить температуру стенки трубы /с2 до допустимой величины.
В действительных условиях температура стенки трубы имеет
более низкую величину, так как на внешней поверхности трубопро-
вода имеет место лучистая теплоотдача, которая в этом расчете во
внимание не принималась.
13-3. Паропровод диаметром d1 = 100 мм имеет тем-
пературу внешней поверхности /с1 = 500°С.
Температура окружающего воздуха /ж2 = 20°С.
Определить наружный диаметр d2 тепловой изоляции
из шлаковой ваты, которой следует покрыть паропровод
для того, чтобы потери тепла не превышали qt =
= 300 ккал/М'Ч.
Коэффициент теплопроводности шлаковой ваты равен
Хиз=0,06 ккал1м-ч-град.
Расчет произвести по приближенной формуле.
Ответ: <72 = 372 цм.
Гл. 13]
Тепловая изоляция
169
Решение.
Формула для определения размеров тепловой изоляции на трубе
с точностью 3 — 5% и при температуре воздуха /ж2 = 20° С имеет
следующий вид [Л.20]:
. 1,2^ 1,35 /1,73
. Лиз *с1
5из = 2-75 ----
Подставив известные величины, найдем:
'1001’2-0,06|’35-5001’73
\,з = 2>75------------------= 136 мм-
Следовательно, наружный диаметр тепловой изоляции равен:
</2 = rft + 2виз = 100 + 2-136 = 372 мм.
13-4. Решить задачу 13-3 при условии, чтобы потери
тепла сократились в 3 раза. Решение выполнить по при-
ближенной формуле
От вет: 8 = 710 мм.
13-5. В трубе (d1 = 90 мм\ d2=100 мм; /=100 м\
Л1 = 40 ккал[М‘Ч'2рад) протекает горячая вода (t^ =
= 120° С; V = 30 м31ч). Труба покрыта слоем инфузорной
земли (8 = 90 мм; Л2 = 0,1 ккал}м>ч град). Оценить тем-
пературу воды /ж на выходе из трубы, если окру-
жающий воздух имеет /ж2 = 20°С.
Ответ: /ж2'^ 120°С.
Решение.
Толщина тепловой изоляции
Следовательно, потери тепла
/ 2,75^’2^35/’;73 V*
qt = I ------------------I [ккал/пог.м-ч].
\ ° из /
Оценим наибольшую величину потерь тета трубопроводом, по-
ложив ГС1 =
/ 1001,2-0,1I>35.1201’73 \2/з
Qn q^l = (2,75--------------од---------) 100 = 1,23-104 ккал/ч.
170
Тепловая изоляция
[ Гл. 13
Тогда наименьшая возможная температура воды на выходе из
трубы
,, , Q 1,23. Ю4
,20— ЫО’-ЗО 43 120° С’
13-6. Определить потери тепла ql и qt [ккал/пог.м-ч]
оголенного и изолированного трубопровода, по которому
протекает горячая вода. Заданы следующие величины:
Размеры трубы d^= 150 мм; d2 = 160 мм.
Толщина слоя изоляции 8ИЗ — 60 мм.
Теплопроводность изоляции Хиз = 0,1 ккал/м-ч-град.
Теплопроводность стенки трубы ^ = 50 ккал/м-ч-град.
Температура окружающего воздуха /ж2 = 20°С.
Средняя по длине трубы температура воды ^ж1=90°С.
Коэффициенты (теплоотдачи на внутренней и внешней
поверхностях трубы
а1 = 103 ккал/м2-ч-град;
а2 = 15 ккал/мг-ч-град.
Ответ: =518 ккал/пог.м-ч;
(?; = 165 ккал/пог.м-ч.
Решение.
Потери тепла оголенным трубопроводом
71 (^ж! ^ж2)
q,0= _J____I j_i *i-i__L_ =
atdt ~2А, П d, ' a2d2
_ 3,14(90 — 20)
----j------j----j-gQ----j--= 518 ккал/пог.м • ч
103.0,15+ 2^50 111 150 + 15-0,16
Потери тепла изолированным трубопроводом (по приближенной фор-
муле)
/ Я,73\’/з / О 1 1’35 ОЛ1>73\*/»
t, = (^2.75 _ (.2.73—-°^ ” ) _
= 165 ккал1пог.м-ч-
13-7. Определить толщину В изоляции из асбестовой
массы, которой необходимо покрыть паропровод для того,
чтобы потери тепла не превышали О,5°/о от общего коли-
чества передаваемого по трубе тепла.
Гл. 13]
Тепловая изоляция
171
Заданы следующие величины:
Размеры паропровода d2 — 100 мм\ / = 100 м.
Расход сухого насыщенного водяного пара G = 103 кг!ч,
его температура /Ж1 = 180° С
Коэффициент теплопроводности асбестовой массы 2из =
= 0,175 ккал\м-ч-град.
Температура окружающего воздуха ^ж2 = 20°С.
Ответ: 8 = 144 мм.
13-8. По трубопроводу (rf1 = 300 мм\ rf2 = 320 мм\ I —
= 30 м) протекает перегретый пар, средняя температура
которого равна /ж=150°С. Тепловая изоляция паропро-
вода состоит из слоя смеси асбеста и кизельгура (82 =
= 100 мм\ Л2 = 0,12 ккал)м-ч град) и слоя пробки (83 =
= 40 мм\ 23 = 0,04 ккал[м-ч-град).
Температура окружающего воздуха /ж2 = 20эС, коэффи-
циенты теплоотдачи от пара к стенке трубы и от изоля-
ции к окружающему воздуху равны соответственно ах =
= 100 ккал) м2-ч-град и а2 = 8 ккал) м2 -ч-град.
Определить потери тепла паропроводом Q [ккал[ч] и
наибольшую температуру пробковой изоляции /с3.
Ответ: Q = 3 050 ккал!ч\
^с3 = 85°С
13-9. В трубке с наружным диаметром d= 10 мм про-
текает горячий теплоноситель. Целесообразно ли исполь-
зовать асбестовую массу (2 = 0,1 ккал\м-ч-град) для теп-
ловой изоляции этой трубки, если коэффициент теплоот-
дачи от изоляции к окружающему воздуху равен а2 =
= 10 ккал]м2-ч-град.
Определить толщину 8 слоя массы, при которой потери
тепла оголенной и изолированной трубками будут иметь
одинаковую величину, если коэффициент теплоотдачи ого-
ленной трубки равен ао = 10 ккал} м2 -ч-град.
Ответ: 8 = 25 мм. Использовать асбестовую массу
для изоляции трубы в рассматриваемом случае нецелесо-
образно.
Решение.
Уравнения для потерь тепла оголенной и изолированной трубками
*7/0 = (*с Gk)’
172
Тепловая изоляция
[Гл. 13
71 (^С ^ж)
q‘ = 1 , / \, 1 •
2Л ln d J Г 01d2
Приравнивая qlQ —q^ получим уравнение для определения такой
величины наружного диаметра тепловой изоляции, при которой по-
тери оголенной и изолированной трубок одинаковы:
i _ i . Au__L_
«„rfj 2Х1П </, a.d2 •
Подставив известные величины, получим:
1 1 . d2 1
10.10.10-3 2-0,1 1п 10-Ю-3 40.d2
или
^ТОГ^1’15^100^
Решая последнее уравнение подбором, находим:
d2 — 0,06 м = 60 мм.
Следовательно, толщина б слоя изоляции равна:
d2 — dx 60—10
б = —-------------------------= 25 мм.
13-10. Определить потери тепла qL [ккал]пог.м-ч\ для
трубопровода (^=44 мм; d2=bl мм; Я1=50ккал1м-ч-град),
покрытого слоем бетона (В = 80 мм; Я2=1,1 ккал]м-ч-град),
и сравнить полученный результат с потерями тепла ого-
ленного трубопровода. Коэффициенты теплоотдачи от го-
рячей жидкости к стенке а± = 100 ккал)м2-ч-град и от
стенки (или бетона) к окружающей среде:
а2 = 7 ккал^м2-град.
Ответ: Для оголенного трубопровода
qlb= 103,5 ккал\пог.м-ч.
Для покрытого слоем бетона
<7Z = 205 ккал\пог.м-ч,
г. е. примерно в 2 раза больше.
13-11. Определить критический диаметр трубы, выпол-
ненной из стали Я = 50 ккал!м- ч-град), изоляционной ас-
Гл. 13]
Тепловая изоляция
173
бестовой массы (2 — 0,15 ккал[м-ч- град), бетона (2 =
= 1 ккал[м-ч-град), если в этих случаях коэффициент
теплоотдачи равен:
а3=12 ккал[м2-ч-град [Л.36].
Ответ: Для стали dKp = 8,35 м, асбестовой массы
dKp = 0,025 м и бетона <а?кр= 0,167 м.
Следовательно, чем толще стенка металлической тру-
бы, тем интенсивнее теплопередача (до rfx<8,25 м). Уве-
личение толщины слоя тепловой изоляции при с?! >25 мм
уменьшает теплопередачу, а увеличение толщины слоя
бетона при 167 мм увеличивает теплопередачу. По-
следнее обстоятельство используют при конструировании
нагревательных отопительных приборов для частичной за-
мены металла керамикой.
13-12. Вывести формулу для критического диаметра
шарового слоя тепловой изоляции.
4Х _
Ответ: d =--------.
кр а2
13-13. Определить критический диаметр трубы, омы-
ваемой поперечным вынужденным потоком воздуха [Л. 14].
Ответ: d = 22,4-1] pl , если 10’<Re<2-10‘;
р
f\ \2.13 (ч \
d =3,55( = ) {— , если lO^Re^lO’.
КР \\к / \ ' Ж
Решение. Теплоотдача цилиндра, омываемого вынужденным
поперечным потоком воздуха:
Nu = 0,52 Re£47 при Ееж = 10 4- 10’;
Nu=0,18Re°;62 при Re„ = 10’ 4- 2- 10s.
Ж Ж х ж
Коэффициенты теплоотдачи в этих условиях
/и \0’47 1
а=0,52(-^-1 ’^ж’^0,53 ;
\°’62 1
а = 0,18(— J -\к- ^0,38 *
174
Тепловая изоляция
[Гл. 13
В общем случае
yj
а = —, где п =0,38 или 0,53.
Полное термическое сопротивление стенки трубы, омываемой
поперечным потоком воздуха:
1 1 d2 1 __ 1 1 d2 1
R~a1dl+2Kclndi + М2 a1d1+2Xclnd1 Ad'-n-
Критический диаметр трубы найдем из условия
Дифференцируя по d2 выражение для /?, получим:
;1 \-п
Щ Ас$-п ~ °-
Следовательно, критический диаметр стенки трубы равен:
Г 2Л (1 — п) -|1-Л
^кр
A J
Подставим известные величины А и п.
^О^кр
Если Иеж =-------=10-7- Ю3, то
уж
^кр
' 2ХС( 1—0,53)
ТиЛ \0Л7
0,52 ( -°-)
\ V I ж
1—0,53
X \2,13 V /X \2,13 У
LSH—) — = 3,55(5-^) —
Аж I Uq I Аж J
(О
^О^кр
Если Иеж = 103 + 2.105, то
ж
^кр
2Хс (1-0,38)
0,62
I
1—0,38
0,18
X \1.61 v V
6’9гЧ ^=22’WV’61^
Ж j WO
(2)
Гл. 14] Средний температурный напор и конечные температуры 175
При выполнении конкретных расчетов по определению критического
диаметра трубы, омываемой поперечным вынужденным потоком воз-
духа, необходимо вначале определить число Рейнольдса по следую-
щим двум формулам, вытекающим из (1) и (2):
“(Лр Рс\2’13
Иеж=—р = 3,55 — ;
ж \ ж J
U„dKD ( Ас \1>6*
Яеж = 4^-Р = 22,4 -М .
уж пж J
Если в результате вычислений ^получим, что Кеж = 101 4- 103, то
для определения dKp следует использовать формулу (1), а если Неж=
= 103 4- 2-105, то формулу (2).
Глава четырнадцатая
СРЕДНИЙ ТЕМПЕРАТУРНЫЙ НАПОР И КОНЕЧНЫЕ
ТЕМПЕРАТУРЫ ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ
14-1. В теплообменнике горячий мазут охлаждается от
температуры ^ж1 = 300°С до /ж2 = 200э С, а сырая нефть
при этом нагревается от &ж1’=25°Сдо иж2=175°С. Опре-
делить средний температурный напор Д/ в этом теплооб-
меннике, если его запроектировать по схеме „прямоток*
или „противоток* (рис. 14-1).
Рис. 14-1. К задаче 14-1.
176 Средний температурный напор и конечные температуры [Гл. 14
Рис. 14-2. К задаче 14-2.
•»»
"п,„=1М°С.
14-2. Определить средний
температурный напор Д/
для условий задачи 14-1,
если теплообменник запроек-
тировать по схеме „пере-
крестный ток“ (рис. 14-2).
Ответ:^пРрекр=130°С.
Решение.
Средний температурный напор
при перекрестном движении нагретой и холодной жидкостей в те-
плообменном аппарате
А^перекр = А^прот *s’
где Д^прот — средний температурный напор при противотоке;
е = е(Р, R) — поправочный коэффициент, зависящий от величин
Р и R.
Р = ^ж2
^Ж1 ^Ж1
175 — 25
300 — 25
= 0,545;
R
'ж!—*Ж2 300 —200
»ж2-»ж 1“ 175 — 25
0,667.
Функция е (Р, Р) представлена на рис. 14-3. Из рассмотрения этой
фигуры следует, что при Р = 0,545 и А = 0,667 величина поправочного
Рис. 14-3. К задаче 14-2.
1л. 14] Средний температурный напор и конечные температуры 177
коэффициента равна е = 0,88. Из решения задачи 14-1 известно, что
Ч,рот=148°С-
Следовательно,
^перекр^ 148-0,83 = 130° С.
14-3. Для приближенных расчетов температурного на-
пора при прямо и противотоке теплоносителей можно поль-
зоваться следующими формулами:
^=-Д(Д/1+Д/2); (1)
дТ^О-^ + Д^-О.ЦЛ^-Ди; [Л. 76] (2)
д? Д (д/‘ t+2 • tл- 37J (3)
Сравнить эти формулы с точной
д7__
и установить диапазоны изменения , в которых расчет
Д/ по формулам (1), (2) и (3) приводит к ошибкам, не
превышающим 4°/0.
Ответ: Формулой (1) можно пользоваться при 0,50
формулой (2)—при 0,21 ^^^1, формулой (3)—
при 0,1
г ’ д/х
14-4. Определить средний температурный напор в воз-
духоподогревателе, если воздух подогревается от 30 до
230°С за счет охлаждения газов от 430 до 270эС. Вычис-
ления выполнить для случаев прямотока и противотока.
Ответ: М =217°С;
прот f
Д?п =156° С.
прям
14-5. Определить средний температурный напор в про-
тивоточном воздушно-гелиевом теплообменнике энергети-
12 К. Д. Воскресенский
178 Средний температурный напор и конечные температуры [Гл. 14
ческого атомного реактора. Гелий охлаждается от 730 до
440° С и нагревает воздух от 390 до 670° С.
Ответ: Д/прот = 281°С.
14-6. Воздушно-гелиевый теплообменник (см. задачу
14-5) включен по схеме прямоток. Начальные температуры
гелия и воздуха равны соответственно /ж1 = 730°С и &ж1—
= 390° С. Определить наибольшую температуру $ж2, до ко-
торой можно подогреть воздух в этом теплообменнике,
если водяные числа обоих газов одинаковы.
4/
Ответ: &ж2 = 560°С.
14-7. Определить ко-
нечные температуры тепло-
носителей и а
также поток тепла
Рис. 14-4. к задаче 14-7. Q [ккал/ч] в теплообмен-
нике с поверхностью на-
грева F = 2 м2, если заданы следующие величины:
Коэффициент теплопередачи k = 103 • ккал1м2• ч• град,
начальные температуры горячего и холодного теплоноси-
теля /ж1 = 120°С и Ьж1 = 10° С, а их водяные числа W\ =
= W^ = IO3 ккал)ч-град.
Теплообменник включен по схеме прямоток (рис. 14-4).
Ответ: /ж2 = 67°С;
&ж2 = 63°С;
Q = 53 000 ккал)ч.
Решение. Конечная температура горячего теплоносителя при
работе теплообменника по схеме прямоток
представлен на рис. 4-5.
график функции П
Для заданных условий
_ ^/,’_103’2__
1 И 103 —
Гл. 14] Средний температурный напор и конечные температуры 179
Из рассмотрения рис. 14-5 следует, что
/7(1; 2) = 0,48.
Следовательно,
/ж2 = 120 — (120 — 10) 0,48 — 67° С.
Поток тепла через поверхность нагрева
Q= Г1(/ж1— /ж2) = 10» (120 — 67) = 53-10’ ккал)ч..
Конечная температура холодного теплоносителя
Q 53-10’
®ж2 = ®ж1 + Ц72 Ю + Ю’ 63° С
14-8. Решить задачу
плообменник включен по
схеме противоток (рис.
14-6).
Ответ: /ж2 — 45°С;
&ж2 = 85°С;
Q = 75000 ккал/ч.
14-7 при условии, что те-
Рис. 14-6. К задаче 14-8.
4г/=/^1
12*
180 Средний температурный напор и конечные температуры [Гл 14
Iv । Рг \
w~2 ’ •
Решение.
Конечная температура горячего теплоносителя при работе тепло-
обменника по схеме противоток
^ж2~ *ж! +(^ж1 ~^ж|) 2
График функции Z представлен на рис. 14-7.
Из рассмотрения этого графика следует, что
Z(l; 2) = 0,68.
Следовательно,
/ж2 = 120 —(120 — 10) 0,68^=45° С.
Поток тепла через поверхность нагрева
Q = W71(/>K1 — /ж2) = 103 (120 — 45)= 75-Ю3 ккал/ч.
Сравнение температурных условий работы теплообменного аппарата
при включении его по схеме прямоток и противоток представлено на
рис. 14-8. Из сопоставления полученных результатов следует, что
включение теплообменника по схеме противоток в рассматриваемых
условиях позволяет передать на 40/о больше тепла, чем при включе-
нии по схеме прямоток, а также нагреть холодный теплоноситель
до 85° С вместо 63° С при прямотоке.
Гл. 15] Примеры расчетов теплообменных аппаратов
181
14-9. В рекуперативном
теплообменнике необходи-
мо охладить мазут от
/1ж=180°С до /ж2=120°С
сырой нефтью, имеющей
начальную температуру
&1ж = 30эС. Расходы ма-
зута и нефти GM=104
кГ\ч и GH =1,4-104 кГ\ч,
а их теплоемкости см =
=0,52 ккал^кГ-град я с
= 0,46 ккал/кГ-град. Оп-
ределять конечную тем-
пературу нефги $ж2 и ве-
личину поверхности FMt
теплообменника при вклю-
чении его по схеме пря-
моток и противоток. Ко-
Рис. 14-8. К задачам 14-7 и 14-8.
эффициент теплопередачи равен & = 100 ккал]м2-ч-град.
Ответ: Для прямотока F = 36,8 м2 \ „
Для противотока F = 32,2 м )
Г лава пятнадцатая
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
15-1. Определить размеры теплообменного аппарата,
который включен в водоводяную систему охлаждения ано-
дов ламп на радиостанции (рис. 15-1). Дистиллированная
вода при охлаждении анодоз нагревается от £ж2 = 50°С
до /ж1 = 60°С и поступает в теплообменник типа «труба
в трубе*, размеры которого представлены на рис. 15-2.
Здесь эта вода охлаждается потоком сырой воды из бас-
сейна, которая нагревается от &ж1=21°С до 0-ж2 = 24°С.
Поток тепла через поверхность нагрева теплообменного
аппарата равен Q = 1,2- 10е ккал!ч.
182
Примеры расчетов теплообменных аппаратов
[Гл. 15
Н анодам радиоламп
^50°С
в=1,21двккал/ч
ЬгбОЪ
^гу°с
в бассейн
Рис. 15-1. К задаче 15-1.
Рис. 15-2. К задаче 15-1.
1 — сырая вода; 2 — загрязненная;
3 — дистиллированная вода.
имеется слои
Трубы теплообменника вы-
полнены из оцинкованной ста-
ли. На внутренней поверх-
ности трубы, по которой про-
текает сырая вода из бассейна,
(8=1 .юи); Л=1 ккал]м- ч-град). Скорость воды в тепло-
обменнике не должна превышать 2 stfceK [Л. 23].
Ответ: Теплообменник состоит из 35 параллельно
включенных секций, каждая из которых имеет длину
11,1 м.
Решение.
Расход дистиллированной и сырой воды
Q __ 1,2.10е
°д = 3 600(/ж1 —гж2)— 3 600(60 — 50) = 33,3 кГ/сек-
Q _ 1,2-10’
°с = 3 600(вж2—»ж1) 3 600 (24-—21) = 1Н кГ!сек-
Скорость дистиллированной воды в кольцевом зазоре между
трубами
4СД _ 4-33,3
я7(</2 —rf|) ~"3,14-103[(76-10-3)2 — (59-Ю-3)2] = 18,4 м/сек-
Скорость сырой воды
4GC 4-111
Wc~ ~ 3,14 (48-10-3)2 103 = 61>5 M'lceK-
Скорости и wc значительно превышают допустимую величину
2 м)сек. Поэтому разбиваем теплообменник на 35 параллельно вклю-
ченных секций»
Гл. 15]
Примеры расчетов теплообменных аппаратов
183
Тогда скорости сырой и дистиллированной воды
61,5
wc = "35~ = 1’76 м!сек‘>
18,4
= ~35~ = 0’525 м/сек.
Найдем коэффициент теплоотдачи otj от стенки трубы к потоку
сырой воды.
Средняя температура сырой воды
®ж = 4 + »Ж2) = 4 <21 + 24) = 22-5° С-
Физические параметры воды при этой температуре
== 0,965-10~6 м2/сек.
Хж —0,519 ккал/м-ч-град-,
Ргж = 6,62.
Число Рейнольдса для потока сырой воды
Число Нуссельта для потока сырой воды
/Рг \0,25
Nu j = 0,021 Re°/Pr0’43 (-57s .
1 ' Zl\. Л\ I I
Ргж
Полагая в первом приближении -pj- 1, получим:
Ииж = 0,021 -87 600°’8.6,62°'43 = 420.
Коэффициент теплоотдачи в первом приближении
Nu»i\k 420-0,519 , _
04 = ——= 48<jQ,3 = 4 540 ккал/м^ч^град.
Найдем коэффициент теплоотдачи а2 от потока дистиллированной
воды в кольцевом зазоре к стенке трубы.
При
= “2~ (/ж1 + ^Ж2)= ”2“ (50 + 60) = 55° С
184
Примеры расчетов теплообменных аппаратов
[Гл. 15
физические параметры воды равны следующим величинам:
мж = 0,517-10“6 м2/сек\ Аж = 0,562 ккал/м-ч-град\
Ргж = 3,28.
Число Рейнольдса для потока в кольцевом зазоре
да (dt — d3)
*е«2=—;-----
0,525 (76 — 59) 10-’
0,517- 1СГ~®
= 17 300.
Число Нуссельта для потока сырой воды в первом приближении
Миж2=г 0,021 • 17 300°’8-3,28олз = 87,8.
Коэффициент теплоотдачи а2 в первом приближении
Ни>к2Хж 87,8-0,562
а2 ——(76____59)10 ~3 = 2 910 ккал/мг -ч-град.
Полное термическое сопротивление поверхности нагрева тепло-
обменника
1,1 d2 , 1 d3 , 1
R - +2Х! ln di +2X2 ln d2 ~'a2d2 ’
Подставив известные величины, получим величину R в первом при-
ближении
1 I 1 50 I 1 59 I
R ~~ 4540-48-10-з Н“2.1 1п 48+2-401п 50 +
Ч—2'910-59-10- * = 0Д332 м • ч • г рад j ккал-
Средний температурный напор в теплообменнике
— ~2~ ^ж2 ^ж! + ^ж1 ^ж2) ~
«=-Г (50 — 21 + 60 — 24) = 32,5° С.
Общая длина теплообменника
QR _ 1,2-10’ 0,0332
l=nlt~ 3,14-32,5 = 390 л,
Длина каждой секции -35-= 11,1 м-
Гл. 15 ]
Примеры расчетов теплообменных аппаратов
185
/Ргж \0.25
Оценим поправку ( р^— 1 на влияние направления теплового
потока.
Средняя температура стенки на внутренней стороне поверхности
нагрева
_ _ Q . 1,2.10е
ZC1 = — 22>5 ‘|'390-3>14-4,54-103• 48-10-3 — 27° С’
При этой температуре Ргс1 = 5,9 и
Средняя температура стенки /с3 на внешней стороне поверх-
ности нагрева
- - Q 1,2.10е
'сЗ= -55— 390.3,14.59-10-’.2 910 = 49>3° с-
При этой температуре Ргс = 3,59 и
Обе поправки на влияние направления теплового потока оказы-
вают весьма малое влияние на величину общего термического сопро-
тивления поверхности нагрева. Поэтому расчет теплообменника сле-
дует ограничить первым приближением.
15-2. В водоводяном теплообменнике подогревается
вода для отопления жилого дома. Первичная (горячая)
вода протекает внутри п = 53 латунных трубок (dx =
= 14 мм\ rf2=16 мм\ X = 90 ккал1м-ч-град) и охлаж-
дается от /ж1 = 130°С до /ж2=100°С.
Вторичная вода, используемая для отопления, проте-
кает вдоль латунных трубок, расположенных в кожухе
теплообменника диаметром £)=:203 мм, и нагревается от
&ж1 = 67,5°С до &ж2 = 92,5°С.
Поток тепла через поверхность нагрева Q = l,5x
ХЮв ккал!ч. Определить величину поверхности нагрева
этого теплообменного аппарата, необходимую для передачи
заданного потока тепла при наличии слоя накипи ($н =
186
Примеры расчетов теплообменных аппаратов
[Гл. 15
= 0,3 мм, ^н — 2 ккал/м-ъ-град) на латунных трубках,
а также при отсутствии накипи [Л. 28].
Ответ: При наличии накипи F = 21,9 м\
При отсутствии накипи F = 15,5 м2.
Решение.
Расходы первичной и вторичной воды
Q _ 1,5.10s
~3 600(/ж1—/ж2)“3 600 (130—100) = 13’9 кГ/сек'>
Q _ 1,5-106
°2 = 3 600(9ж2—0ж1) ~ 3 600(92,5 — 67,5) = 16’7 кГ/сек-
Живые сечения для прохода первичной и вторичной воды
TtP2
f 2= 4 'я 4
= 0,785 (0,2032 — 53-0,0162) = 21,7-10 - 3 м2.
Скорости течения первичной и вторичной воды
°1- 13’9 ,7 ,
Ю3-8,16-10~3 — •' м/сек’
Ог _ 16,7
“а = т/7 ~ 10э-21,7-10~3 = 0,77 м/сек-
Средняя температура и физические параметры первичной воды
=4 ('«1+z«2)= 4- (1з°+1о°)=1150
njk = 0,262-10“6 м2/сек\
Ргж = 1,64;
Хж = 0,59 ккал1м*ч,-град.
Число Рейнольдса для первичной воды
1,7-14-10-3
Re«~ 0,262-Ю-6 —8-97'10-
Гл. 15]
Примеры расчетов теплообменных аппаратов
187
Число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи для первичной воды
в первом приближении
№1Ж| = 0,021 (8,97-104)0'8! ,54°’43 = 230:
^иж1^Ж
*1- dt
230-0,59
"14.10-3 = 9 700 ккал/м2>ч*град.
Средняя температура и физические параметры вторичной воды
«ж = -Г <9ж1 + М = 4 <92-5 + 67>5) = 800
vHt = 0,365- ю-6 мг!сек-,
Ргж = 2,21;
= 0,58 ккал/м -ч,-град.
Эквивалентный диаметр поперечного сечения потока вторичной
воды
D2— nd\ _ о,2032 — 53-0,0162 _
= D nd2 ~ 0,203 + 53-0,016 °’0263 м'
Число Рейнольдса
0,77-0,0263
^еж2 = 0,365-10-6 =5.55’104-
Число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи со стороны вторич
ной воды в первом приближении
Миж2 = 0,021 (5,55.104)0182,21°’43 = 184;
184-0,58
а2 = Q Q263 = 4 060 ккал/м2 -ч-град.
Средний температурный напор в теплообменнике при включении
его по схеме противоток
- (^Ж1 - аж2) - (<Ж2 - °ж|) (130 - 92,5)- (10.) - 67,5)
= , 'ж1~»ж2 - 1П 130~92>5 - 35 С-
In т—~iT“ 100 — 67,5
гж2 иж1
Коэффициент теплопередачи и поверхность нагрева при отсутст-
вии накипи на трубках в первом приближении
k = —j-----z-----j— = —j------гД-3---j--= 2 770 ккал/м2-ч-град;
— -I —4- —— __-__k —___I___-—
a, X 9 700 90 '4 060
188
Примеры расчетов теплообменных аппаратов
[Гл. 15
Q 1,510е
/** —— п 77л Qtr 15,5 М2,
kbt 2 770-35
Коэффициент теплопередачи и поверхность нагрева при наличии
накипи на трубках в первом приближении
____________1________=________________1_____________
k"~ 1 8 8H_L 1 1 -I 10" I 0-310~3 I 1
^Г + Х + 17+^Г 9700 r 90 ф 2 4400
= 1 955 ккал/м2-ч*град\
1,5.10е
F» ~ 1 955-35 = 21,9 M‘-
Расчет поправок на влияние направления теплового потока на
теплоотдачу показывает, что эти поправки в рассматр 1ваемом случае
составляют примерно 5/о от найденных выше значений 04 и а2. Влия-
ние этих поправок на общую вели-
чину коэффициента теплопередачи
лежит в пределах точности расчета.
Поэтому следует ограничиться рас-
четом в первом приближении.
15-3. Определить поверх-
ность нагрева F трубчатого
воздухоподогревателя парово-
го котла. Дымовые газы про-
ходят в стальных трубах
(d, = 50 мм; d2 = 53 мм; п —
— 2 079 шт.) и подогревают
воздух, текущий поперек труб
(рис. 15-3). Средний рас-
ход дымовых газов V, =
= 35 MifceK. Газы охлажда-
ются от /ж1=345°С до /ж2 =
= 160° С. Средний расход воз-
духа V2 = 23 мЧсек. Воздух
нагревается от &ж1 = 20°С до
&ж2 = 250°С. Трубы располо-
жены в шахматном поряд-
ке, причем шаг поперек по-
тока воздуха равен лг, = 70 мм, а вдоль потока х2 =
= 60 мм. Количество рядов труб поперек потока воздуха
Л =77, а вдоль потока пг = 27. Ширина газохода 6=5,4 м.
(Л. 27J.
I л. 15 J
Примеры расчетов теплообменных аппаратов
189
где
Ответ: F — 4 120 мг.
Решение.
Средний температурный напор в воздухоподогревателе равен:
Дг = Д/прот е,
0ж2~ °ж1)-('ж1 — М _ (160 — 20)-(345 — 250) _1)5=с
Д/пРот— 160-20
|п 345 —250
, ^ж2 ’*ж!
t ______Л
Гж1 иж2
s = t(Pi,/?) — поправочный коэффициент, зависящий от величин
п ^ж2~1%к1 250- 20
= 'ж1-»ж1~ 345-20 ^°’71;
___^Ж1-(ж2 345- 160 поп
R ~ Йж2 — Эж1 — 250 — 20 °’80‘
Функция e(PtR) для рассчитываемой схемы движения теплоноси-
телей представлена на рис. 15-4. Из рассмотрения этого рисунка сле-
дует, что
е (Р = 0,71; R = 0,8) = 0,9,
поэтому
Ы = 0,9-115= 104° С.
Живое сечение труб для прохода газов
,2
п~ = 2 079-0,785 (50-10’3)2 ^ 4,1 м\
190
Примеры расчетов теплообменных аппаратов [Гл. 13
Средняя скорость дымовых газов
Vi _ 35
«1 = 77"”4~Т °’5 я'сек*
При средней температуре
1
/ж = —(345 4- 160) = 252° С.
Физические параметры газов
= 39,4• 10~6 M^lceic
Ргж1 = 0,66;
Хж1 = 3,8-10~2 ккал/М‘Ч-град.
Число Рейнольдса, Нуссельта и коэффициент теплоотдачи для
газов
Mt-s.s-so-io-»
К ж1-*Ж1 39,4.10-» 10 W0,
Nu)K1 = 0,021 • 10 8ООо’8-О,660,43 = 30,5;
Nu«i’X>k1 =30,5-3,8.10-2 nQO
04= ---------- 5~0Т0-*—= 23,2 ккал/м2-ч*град.
Живое сечение для прохода воздуха
f2 = Z (6 — = Z (5,4 — 77-0,053) = 1,32/ [л2],
где 2/ — длина воздухоподогревателя.
Средняя скорость воздуха
1/2 _ 23 _17,4r t з
— f 1 32/ I [м1сек]'
При средней температуре
&ж = 4" (250 4- 20) = 135° С
физические параметры воздуха
\>ж2 = 27,2* 10~6 м*!сек\
Хж2 = 0,97-10“2 ккал/М'Ч-град.
Гл. 15] Примеры расчетов теплообменных аппаратов
191
Число Рейнольдса, Нуссельта и коэффициент теплоотдачи
при поперечном обтекании воздухом шахматного пучка труб (для III
ряда труб)
u2d2 17,4 53-Ю-3 33 900
Re»2 = ~~Г ' 27,2-10-’ 1~ ’
Nu”’2 = 0,37Re^6
194
ш Nu>k2-x>k2 194 2,97-io-2 108,8
а2 d2 ~ 6' 53-10-’ ~ /0.6’
Средний коэффициент теплоотдачи в пучке
N—n2
(0,6a“I+0,7а"-++ -)=
N=\
a*11 " 108,8 1 / о ог 106
=—(1 >3 + п2 — 2) — 0>б • 27 ( 1,3 4-25) 0>6.
/2 2 i \
Коэффициент теплопередачи в воздухоподогревателе
1 _
k = 1 I I 1 ~
«1 2ЛС ‘ а2
— 1 106
1 (53 —501-10-’ /°-6~8.55 + /°’6 ‘
21,9+ 2-40 +106
Поток тепла через поверхность нагрева воздухоподогревателя
Q = Срту2 (0ж2 — аж1) 3 600 = 0,242 • 0,865.23.230-3 600 =
= 3,99.106 ккал/ч.
Уравнение теплопередачи
(2 = ^ср.п.2/.Ш.
Подставив известные величины, получим:
3,14.51,5* 10-3-2 079-2./. 104.106
3’99-106 =-------------------------------1
или
1,875Z — Z0,6 = 8,55.
192
Примеры, расчетов теплообменных аппаратов [Гл. 15
Решая последнее уравнение относительно I подбором, получим:
I — 6,12 м.
Поверхность нагрева воздухоподогревателя
= 7i6Zcp./?.2Z = 3,14-51,5-10-3 2 079-2-6,12 = 4 120 м2.
15-4. Определить поверхность нагрева горизонтального
пароводяного теплообменника, в котором вода подогре-
вается сухим насыщенным водяным паром давлением р~
Рис. 15-5. К задаче 15-4.
= 1,5 кГ1см2. Вода протекает в латунных трубках (d1 =
= 18 мм; d2 = 20 мм; 1 = 90 ккал!м-ч,-град) со средней
скоростью zz0 = l,35 MjceK, нагревается от &к1 = 6О°С до
&ж2=Ю0°С и получает Q — 107 ккал1ч тепла.
На внешней поверхности трубок имеет место пленочная
конденсация пара, причем конденсат покидает теплообмен-
ник при температуре насыщения. Схема теплообменника
представлена на рис. 15-5 [Л. 28J.
Ответ: F = 72,3-лЛ
Решение.
Расход воды
- Q _ 107
G ~ 3 600(Пж2 — 0ж1) 3 600 (100 — 60) = 69-4 кГ1сек.
Общее количество трубок в обоих ходах теплообменника
2-4-G _ 8-69,4
n~nd2liu„ 3,14(18-10-’)2 103-1,35 = 404 шт'
Гл. 15] Примеры расчетов теплообменных аппаратов
193
Среднее количество N. рядов трубок по высоте
N = у/"404 20 рядов.
При р — 1,5 кГ1смг температура насыщения равна /н= 110,8° С,
а теплота парообразования г = 532 ккал/кГ. Средний температурный
напор
Д-=Л^ = _«^ = 25,8.С.
*н“°ж1 110,6 —ЬО
1 П ---2 1П 1 1 Л Я 1 лл
Средняя температура воды и значения ее физических параметров
1 1
»Ж = — (»Ж1 + »ж2) = (100 + 60) = 80» С;
VjK = 0,365 • 10 - ® мг/сек-,
Ргж = 2,21;
хж = 0,58 ккал/м-ч-град.
Число Рейнольдса, Нуссельта и коэффициент теплоотдачи для
потока воды в первом приближении
Mi 1,35-18-Ю-»
0,365-10-* — 66300>
Re
ж -ж
Ыиж1 =0,021 -66 300°'8-2,210-43 = 214;
Ииж1Хж 214-0,58 лпп„
04= —~' 16 • 10 -8 "°900 ккал/м*-ч-град.
Средний коэффициент теплоотдачи аа при пленочной конденсации
пара на 20-рядном горизонтальном пучке труб, расположенных по
коридорной схеме (см. задачу 7-9):
а2 = 0,6^2,
где «2 — коэффициент теплоотдачи от пара к трубкам, расположенным
в верхнем ряду:
4 = 0,72
гУ2кХ3к-3 600
0,6‘
В последнем уравнении имеются две неизвестные величины а, и
7с2 — средняя температура стенки, на которой происходит пленочная
конденсация пара.
13 К. Д. Воскресенский
194
Примеры расчетов Теплообменник аппаратов [Гл. 15
Для определения 7С2 составим два выражения для средней тепло-
вой нагрузки поверхности нагрева
Д/
У ~ \ £ 1 == а2 (^ci) ('н ^с2)-
-----_-L — J-------
“г (<С2) Х
Подставив известные величины, получим:
25,8
0,6-0,72
1 // |ЛК.20-10-3(110,8-^с2) Ю-. 1_
7^X3 532-3 600 + 90 '*'6 900
,У хк7к 3600-532 „ - п 7-
= 0,6-0,72 1/ • 20-10-’ (110-8 гс2) •
< 1К
В этом уравнении физические параметры конденсата выбираются
при средней температуре пленки конденсата
k = 4" ('и + ?с2) = 4" (’10-8 + Гс2)-
Решая подбором уравнение (*) относительно /с, находим:
Гс2 = 85°С.
При этой температуре стенки имеем:
Тк = (110»8 + 85) 98°
Хк = 0,587 ккал/м-ч-град',
7К = 959 кГ/м*\
Рк = 29,5«10-6 кГ-сек/м2\
- - 0 6 0 72 17 9592 °’587’3690532
“2 ’ ’ ’ У 29,5-10“’-20-10-’(110,8 — 85)
= 5 360 ккал/м2-ч -град.
Средняя тепловая нагрузка поверхности нагрева
<7 = а2 (/ж — /с2) — 5 360 (110,8 — 85) — 1,382-104 ккал/м1 -ч.
Гл. 15] Примеры расчетов теплообменных аппаратов
195
Поверхность нагрева теплообменника
Q 107
F 1,332-104 = 72>3 м2‘
ч
Поправка на влияние направления теплового потока на теплоот-
дачу от стенки трубы к потоку воды в рассматриваемых условиях
имеет пренебрежимо малую величину.
15-5. Определить поверхность нагрева теплообменного
аппарата, если в качестве одной из жидкостей выбрана
либо вода, либо трансформаторное масло, либо воздух
при атмосферном давлении.
Для этих трех случаев заданы следующие величины:
Средняя скорость жидкости и0 = 5 м]сек._
Средняя температура жидкости и стенки £ж = 100°С и
Fc=50°C.
Диаметр труб, в которых протекает жидкость, d =
= 50 мм.
Поток тепла через поверхность нагрева
Q = 5.1 О' ккал/ч [В. А. Осипова].
Ответ. Для воды Г, = 0,68 м2.
Для воздуха Г2 = 597 м2.
Для трансформаторного масла Г, = 5,6 м2.
Решение.
Физические параметры для воды (№ 1), воздуха (Xs 2) и масла
(Xs 3) при 7Ж = 100° С [Л. 20]
Ргж, =1,75;
Ргс1 = 3,54;
\Ж1 == 0,295-10”® м2/сек\
ХЖ1 =0,587 ккал/м-ч-град]
мж2 = 23,13-10-® м2/сек\
Лж2 = 2,76* 10~2 ккал)м*ч-град\
Ргж3=80;
13*
202
Подобие процессов теплопроводности
[Гл. 16
стему определяющих параметров для нестационарного
поля температуры в пластине и привести эту систему
к безразмерному виду.
Ответ: t — tc = f(x,a,z>5,t0 — tj;
Utc=/(t. Я e=№ Fo>-
16-5a. Решить задачу 16-5 при условии, что на поверх-
ностях стенки имеют место граничные условия третьего
рода. Решение выполнить методом преобразования масшта-
бов [Л. 25].
Ответ: 0=0(Д', Fo, Bi).
Решение.
Математическое описание нестационарного процесса теплопровод-
ности имеет следующий вид:
0& _ )
0г = а дх2;
Т = 0; х—^0
-> оо =* 0;
\ л за
«&) =°» дГ
(О
-0
В соответствии с методом преобразования масштабов введем
х
в рассмотрение безразмерную абсциссу Х = и безразмерную тем-
fl
пературу 0 = . Тогда х = &Х и fl = Д/0.
Подставив последние два соотношения в систему (1), после пре-
образований получим:
00 020 .
0Fo дх2 *
QIfo = 0; 1
*Ifo^oo = °;
00
0Х
= °;
'x-l-t-O; Fo
(2)
д: = 0; Fo
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Глава шестнадцатая
.ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
16-1. Привести к безразмерному виду уравнение (1)
= 8, ДО, (1)
для тепловой нагрузки q плоской стенки толщиной 8,
теплопроводностью Л при наличии температурного напора
Ы ~ ^с! ^с2- *
Ответ: -^- = const.
Решение.
Запишем единицы измерения всех размерных величин в уравне-
нии (1)
[q\ — ккал/м2-ч, [S] = м, [X] = ккал/м-ч-град, [At] = град.
Из этих единиц выберем наименьшее количество независимых друг
от друга единиц, через которые можно выразить все остальные
единицы, использованные для составления уравнения (1).
Такими независимыми единицами здесь могут служить м,
град и ккал!м-ч-град.
Перейдем к новым независимым единицам м', град' и
(ккал>м-ч-град)', которые соответственно в Л, 0 и Л раз меньше,
чем прежние. Тогда величина q, X, о и Д/ изменяет свои численные
значения и уравнение (1) примет вид:
Л0
q~£ =f (ХА, ЪЬ, Д/0). (2)
Процесс теплопроводности в стенке не зависит от размера еди-
ниц, которые были использованы для измерения характеристик это! о
процесса. Поэтому уравнение (2) должно сохранять свою структуру
при различных значениях коэффициентов L, 0 и Л. Используем это
соображение для такого выбора L, 0 и Л, при котором в уравне-
нии (2) сохранится наименьшее количество членов. Выберегм L, 0 и А
так, чтобы
ХД = 1; tL = 1; Д/0 = 1.
196 Примеры расчетов теплообменных аппаратов Гл. 15]
Ргс3^172;
\ж3 = 3,5-10"8 м2/сек\
Хж3 = 0,102 ккал/м-ч-град.
Числа Рейнольдса для воды, воздуха и масла
Ut-d 5-50-10”3
Re®' V>K1 ”0.295-10-e = 847000:
5-50-Ю-з
^еж2 = гзлз-ю-6 =1082°;
5-50-10-’
^ежЗ = 3,510-в =71 300-
Числа Нуссельта
Nu„ = 0,021 -847 0000’8-1,75“°’43 /15- )°'2S= 1 260;
'К \ OjTrO /
Ыиж2 = 0,018-10 820°’8= 30,3
КижЗ = °.021 • 71 ЗОО°’8-8О0’43 ^^У’25= 878.
Коэффициенты теплоотдачи
№ж1Хж1 1 260-0,587 , ЛПЛ
----= —5о jqt,з— = 1,48 • 104 ккал/м2-ч-град;
30,3.2,76.10-2
а2 =----5о ю^з----- = 16,7 ккал1м2»ч-град;
878-0,102
а3 = '50.jo-Т = 1 790 ккал/м2-ч-град.
Поверхность нагрева теплообменника для воды, воздуха и транс-
форматорного масла
Q 5-Ю5
F' = а1 (ёж _ 7С) ж 14 800 (100 - 50) = °-67°
5-Ю5
Fi = 16,7(100—50) == 597 м2;
510’
F•= 1 790 (100 — 50) = 5,58 м2'
Гл. 16]
Подобие процессов теплопроводности
199
Решение.
Нестационарное поле температуры в полуограниченном теле
подчиняется дифференциальному уравнению Фурье
дъ ~адх2’ (И
а также начальному и граничному условиям
в|т = 0:х = <о-/с=Ч- &
9Uo;t>O = °- (3)
Здесь 8 = /— tc — избыточная температура.
Из (1), (2) и (3) следует, что с 1стема определяющих параметров
для нестационарного поля температуры б имеет вид:
9 = f (х, т, а, Д/). (4)
Единицы измерения величин, содержащихся в (4):
[8] = [Д/] = град\ [х] = м, [т] =«/; [а] = м2/ч.
В качестве независимых друг от друга единиц здесь могут слу-
жить три единицы: м, ч и град.
Уменьшив каждую из этих единиц соответственно в L, Т и в раз,
получим вместо (4) следующее уравнение:
/ L2 \
80 = f [xL, тТ; а , Д/BJ. (5)
Выберем L, Т и 0 так, чтобы три члена в последнем уравнении
обращались в единицу:
ДЮ = 1; а^- = 1; т7’ = 1.
Следовательно,
1 11ЛГ 1
6 ~ Д/ ; т- X '• L~V а
Подставив 0, Т и L в (5), получим решение задачи:
или
В этой задаче п = 5, £ = 3 и У = 5 — 3 = 2.
198
Подобие процессов теплопроводности
(Гл. 16
Тогда
л 1 1 I
А — к ’ L ~ 8 > 9 = Д/ • (3)
Подставив (3) в (2), получим решение задачи
7д7 = /(1. 1. l) = const.
Рис. 16-1. К задаче 16-2.
В заключение укажем правило для определения количества N
безразмерных величин, которое получается после приведения урав-
нения к безразмерному виду:
N = п — kt
где п — количество размерных
величин, которое со-
держится в уравнении;
k — количество групп од-
нородных по размер-
ности величин с неза-
висимыми друг от дру-
га единицами, которое
содержится в уравне-
нии.
Для условий задачи 6-1
имеем п = 4, k = 3 и N = 4 —
— 3=1.
16-2. Полуограничен-
ное тело (область х>0на
рис. 16-1) имеет температу-
ру tQ. В начальный момент
времени температура поверхности тела быстро снижается
до величины tc /0, которая в дальнейшем поддержи-
вается постоянной.
Найти систему определяющих параметров для неста-
ционарного поля температуры в теле и привести эту си-
стему к безразмерному виду.
Ответ: t — tc=f (х, а, -е, t0 — Q;
* /с f/ х \
Гл. 16]
Подобие процессов теплопроводности
201
парного поля температуры в теле и привести эту систему
к безразмерному виду.
Ответ: t — tx = f(x, a,t, а, Л,/о —/ж);
I ~~^ж f ( х ах \
16-4. Решить задачу 16-3 при условии, что поверхность
полуограниченного тела^ охлаждается j посредством лучи-
При г-0
Рис. 16-2. К задаче 16-3.
стой и конвективной теплоотдачи,
ности тела «.
Ответ:
Т ____________х ах TQ £С<Л
хУах’ а /
16-5. Плоская стенка имеет температуру t0. В началь-
ный момент времени температура на поверхностях стенки
бысто снижается до величины которая в дальней-
шем поддерживается постоянной (рис. 16-3). Найти си-
200
Подобие процессов теплопроводности
[ Гл. 16
16-2а. Решить задачу 16-2 методом преобразования
масштабов.
Решение.
__ 0
Введем в рассмотрение безразмерную температуру 0 — ,
х __ х
абсциссу X = — и время Т —— . Здесь х0 и т, некоторые произ-
вольно выбранные абсцисса и время. Из этих соотношений следует
х = х0-Х, т = т/Г и & = Д?-0. Подставив последние соотношения
в (1), (2) и (3) задачи 16-2, после преобразований получим:
дв
(Я
axQ д20
у2 дхг
Ло
; в|т-0,х
-- 1; 6|А, _ 0. т >0— о.
Следовательно, безразмерное решение задачи, записанное с точно-
стью до неизвестной функции, имеет вид:
Однако решение задачи 0 не может зависеть от произвольно выбран-
ных масштабов т0 и х0. Поэтому безразмерные величины —
— должны входить в решение в такой комбинации, чтобы т0 и х0
сократились. Эта комбинация имеет следующий вид:
т ах±
47
• Ло ах
X = ’
тогда получаем решение задачи в виде:
0 = 0
16-3. Полуограниченное тело имеет температуру £0.
В начальный момент времени температура жидкости, об-
текающей тело, быстро снижается до которая
в дальнейшем поддерживается постоянной (рис. 16-2). На
поверхности тела задан коэффициент теплоотдачи а.
Найти систему определяющих параметров для нестацио-
Гл. 16]
Подобие процессов теплопроводности
203
Здесь
_ аб ___ ат
Б1=—и Fo = V
Из рассмотрения уравнений (2) следует, что
0 = 0 (X, Fo, Bi).
16-6. Решить задачу 16-5 при условии, что стенка вы-
полнена из материала, теплоемкость и теплопроводность
которого зависят от температуры, причем эта зависимость
задана в виде графика из таблицы.
Ответ:
= Т, а0, b,t0 — tc, Д, fnc, Лс1> ....
^сяг ' Ар • • • • ’
t — с __f ( X aoz Сс \
— ’ й'г ’ ’ V ’
тп, тгг,, Д ,,.. ., Д„т , Л>,..., Ат )
с’ Л’ СР * с^с 'ч1
или
0 = /(Л-, Fo, С, Л,т,А,...).
Решение.
Нестационарное поле избыточной температуры & = / — /с в стенке
подчиняется уравнению Фурье
д дЬ
с(9)
(1)
По условию задачи функции С (&) и X (&) заданы в виде графика
или таблицы. Для решения задачи зависимости С (0) и Х($) необхо-
димо представить в виде формул.
Это наиболее удобно сделать в виде степенных полиномов
204
Подобие процессов теплопроводности
[Гл. 16
Подставив значения X и С из (2) в (1), после преобразования
получим:
г сс / Сс\р
~ с? / 2j Лс*\ д// J д' =
_а , / Ас\р /МИД»
~ ° дх Li;+v_V/Zj Jдх'
Начальное и граничное условия
I TeQ; —Zc —
*1х<=±5;'£?0 = 0-
(3)
(4)
Из уравнений (3) и (4) находим систему определяющих парамет-
ров для нестационарного поля температуры в стенке:
[ С с
о = f X, 8, а., Д/, , 77 • тс "»л- ЛС1..............Лшс-
^хр ..., ЛХтХ
(5)
Уравнение (5) содержит п = 6 размерных величин:
[ft] = [Д/] = град', [х] = [&] = м\
[т] == ч и [ле] = м*/ч.
Среди этих размерных величин имеется k = 3 групп однородных
величин с независимыми друг от друга единицами (например, 0 и Д/,
х и &, а0).
Приводя уравнение (5) к безразмерному виду, получим:
/ а \ х \ \
\ д/ ) = ? у 62 ’ Ь • Св ’ X, ’mc’ т'~’ ^cl ' ’ ’ ^cmc’ ^ХР • • • > ^XmX J
в = 0 (Fo, X, C, A, mc, mx, Лс|....Acmc, ЛХР ..., ЛХтХ ). (6)
Если стенка выполнена из однородного материала, то А = 1,
С = 1, пгс — пгх — Ас = = 0 и безразмерное уравнение (6) прини-
мает обычный вид:
0 = 0 (Fo, X).
Если стенка выполнена из материала, для которого X и с зависят
от температуры по закону прямой линии, то уравнение (6) также
упрощается. В этом случае mc = = 1, Лс1 = = 1 и уравнение (6)
принимает следующий вид:
0 = 0(Fo, X, С, А).
Гл. 16]
Подобие Процессов теплопроводности
205
16-7. Длинный цилиндр имеет температуру t0. В на-
чальный момент времени температура на поверхности
цилиндра быстро снижается до величины /с<^0, которая
в дальнейшем поддерживается постоянной. Найти систему
определяющих параметров для нестационарного поля тем-
пературы в цилиндре и привести эту систему к безразмер-
ному виду.
Ответ:
t~tc=f(r, т, a, r„, t0 — tcYt
= f (~h 4} или Fo).
fc \г» Го J
16-8. Необходимо опытным путем определить распре-
деление температур в длинном стальном валу (d — 2r0 =
= 400 мм) через т = 2,5 ч после загрузки его в печь.
Коэффициенты теплопроводности, температуропровод-
ности и теплоотдачи
2 = 36 ккал[м-ч-град\ « = 4,25-10-2 лт2/ч;
а =100 ккал/м2-ч-град.
Исследование решено проводить на модели вала, вы-
полненной из легированной стали. Для модели
2м = 13,5 ккал!м-ч-град-, ам = 2-10 м2]ч;
ам = 150 ккал[м2-ч-град.
Определить диаметр модели вала и интервал вре-
мени хм, через который необходимо начать измерения поля
температуры в модели.
Ответ: d100 мм, т =20 мин.
м м
Решение.
Числа Био и Фурье для вала
аг0 100-0,2
В1=¥=-Зб-=0-556;
Fo =
az
4,25.10-2.2,5
0,22
= 2,66.
206
Подобие процессов теплопроводности
[Гл. 18
Из условия BiM = Bi находим диаметр модели вала
хм 13,5
dM = 2г0м = 2 — Bi = 2-0,556 w = 0,1 м.
м
Из условия FoM = Fo находим интервал времени тм
''о 0,052
rM = — ft — 2,66 q A-g- = 0,333 = 20 мин.
м ’
16-9. Длинный цилиндр имеет температуру t0. В на-
чальный момент времени цилиндр начинает нагреваться
источниками тепла qc [ккал1мг-ч], расположенными на
его поверхности. Найти систему определяющих парамет-
ров для нестационарного поля температуры в цилиндре
и привести эту систему к безразмерному виду.
Ответ: t —= f (-е, г, гв, -у-, а);
t — t.
Ясг»
) или 0 = /(Fo,/?).
16-10. Решить задачу 16-9 при условии, что цилиндр
выполнен из материала, теплопроводность и теплоемкость
которого являются линейными функциями от температуры:
2 = И0[1+Ях (/-/«)];
С=Со[1+5с(/-/о)].
Ответ: t —1„ =f (т, г, г,, а., , Вс, BJ;
Ло
f — tt с (ар* г \
\ Г0 ’ г’ ’ J
ТГ
16-11. Шар имел температуру t0 и в начальный мо-
мент времени был погружен в жидкость, имеющую тем-
пературу /ж>^0. Найти систему определяющих парамет-
ров для нестационарного поля температуры в этом шаре
и привести ее к безразмерному виду.
Ответ: t — tB=f (t, г, rB, а, —, ДА ;
О I I ’ ’ 0’ > д > ’
Гл. 16]
Подобие процессов теплопроводности
207
= ф, Д ) или 0 = f(Fo, Bi, R).
гж~У Го Л ro J
16-12. Нагретый стальной шар погрузили в закалочную
масляную ванну. Рассчитать тепловую модель этого шара;
Модель выполнена из бетона и охлаждается в потоке
воздуха. Заданы следующие величины.
Для стального шара:
2 = 40 ккал/м-ч-град; с = 0,1 ккал]кГ-град-,
у = 7 900 кГ)м3; d = 0,2 м; ^ = 600° С; /ж = 200°С;
а = 500 ккал/м2-ч-град.
Для бетонного шара
2М = 1,1 ккал/м-ч-град ; см = 0,27 ккал/кГ-град-,
ум = 2 300 кГ/м3; <хм = 10 ккал]м2-ч-град;
^м = 20°с; zoM = loo°c-
Определить диаметр модели dM, а также соотношения
между расстояниями, временами и температурами для об-
разца и модели.
Ответ: d =276 мм; г = 0,722г:
М 7 ' м
t=p^; / = 5<4-10эС.
54,4 ’ м I
16-13. Решить задачу 16-11 при условии, что шар
выполнен из материала, теплопроводность и теплоемкость
которого являются линейными функциями от температуры:
Ответ: t — t0—f (г, т, a, -J-, г0, Ы, сж, с,, 2ж, 20);
t — /0 ( аъ аг9 г сж \
\ го 9 * г° * С° 9 /
208
Гидродинамическое подобие
[Гл. 17
или
0 = f(Fo, Bi,/?, С, Л).
16-14. Длинный цилиндр омывается поперечным пото-
ком жидкости. В начальный момент времени в цилиндре
возникают внутренние источники тепла, имеющие постоян-
ную мощность qv [ккал[м*-ч,\.
Найти систему определяющих параметров для неста-
ционарного поля температуры в цилиндре и привести эту
систему к безразмерному виду.
При нагревании цилиндра температура /ж охлаждающей
жидкости вдали от него, а также коэффициент теплоот-
дачи а (<?) в каждой точке периметра цилиндра сохраняются
без изменений.
Ответ:
£ а (?)
г. ’
или
9 = f(Fo, /?, В1ф,?).
Глава семнадцатая
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ
17-1. В трубе диаметром rf = 2r0 протекает однородная
жидкость в условиях стабилизированного ламинарного
потока (рис. 17-1). Средняя по сечению трубы скорость
жидкости равна Найти систему определяющих пара-
метров для скорости их в потоке и привести эту систему
к безразмерному виду.
Ответ: = г0, и„);
U„ ( г \
или Ux = fa(R).
Гл. 17]
Гидродинамическое подобие
209
Рис. 17-1. К задаче 17-1.
17-2. Найти систему определяющих параметров для
гидравлического сопротивления Д/7 трубы и привести эту
систему к безразмерному виду. В трубе имеет место ла-
минарный поток жидкости, удовлетворяющий условиям
задачи 17-1. Действием силы тяжести пренебречь.
Ответ: w = ^d' и°)’
-Г— = const или
к/-«о
Ьр
Р«о
const /
uQd d
V
Г7 Ь
Eu^5~.
Re
17-3. В трубе диаметром d — 2rQ имеет место ламинар-
ный, нестабилизированный поток однородной жидкости,
имеющей вязкость v [м2/сек]. На входе в трубу осевая
Рис. 17-2. К задаче 17-3.
компонента скорости распределена равномерно (рис. 17-2)
и равна а радиальная и тангенциальная компоненты отсут-
ствуют. Найти систему определяющих параметров для поля
скорости в потоке и привести эту систему к безразмер-
ному виду.
14 К. Д. Воскресенский
210
Гидродинамическое подобие
[Гл. 1?
Ответ:
г / j \ их е ( х г uQd\
ux—fi (•*’ ro> ио> d>v); ——f> (-у > •> —) ;
Ur = ft(x, Г, ий, d, =
или
R, Re).
Решение.
Условия однозначности:
1. Геометрические условия задают прямую, круглую и гладкую
трубу диаметром 2г0.
2. Физические условия задают однородную жидкость и ее вяз-
кость v \м2[сек].
3. Временные условия задают стационарный поток.
4. Граничные условия задают:
распределение скоростей при входе в трубу
U I д: = 0; г
распределение скоростей на стенке трубы
Поле скорости в потоке вязкой жидкости описывается урав-
нением Гельмгольца, которое для стационарного процесса имеет вид:
—► —> —►
rot grad) и— v rot v2 w.
Из последнего уравнения и условий однозначности находим
систему определяющих параметров для поля скоростей в рассматри-
ваемых условиях:
иг х> v> гоУ>
Чх = f2 (г, X, ил, V, г,).
Приводя эти уравнения к безразмерному виду, получим:
17-4. Найти систему определяющих параметров для
гидравлического сопротивления Др трубы и привести эту
систему к безразмерному виду. В трубе имеет место по-
1 л. 17]
Гидродинамическое подобие
211
ток жидкости, удовлетворяющий условиям задачи 17-3.
Действием силы тяжести пренебречь.
Ответ: = f (d, ив, v, I)-, Ц- = F
Р 0 ' ’ ри20 \v d)
или
Eu = F(Re, L).
Решение.
Условия однозначности здесь такие же, как и в задаче 17-3.
Гидравлическое сопротивление трубы диаметром 2г0 и длиной /
равно:
Поле давления в потоке жидкости описывается уравнением
Навье-Стокса, которое для стационарного потока при отсутствии
силы тяжести имеет следующий вид:
-> -> р
(ut grad) и — — grad -у + чу2и.
Из последнего уравнения и условий однозначности _ (см. зада-
чу 17-3) следует, что поле давления в потоке определяется следую-
щими параметрами:
—>
Р = рЛ (г> fo) + const. (2)
Из решения задачи 17-3 известно, что в рассматриваемых усло-
виях
——>
U==f2 (г, X, и0, V, Го).
Подставив последнее уравнение в (2), получим:
Р — рЛ (f’ wo> fo) + const. (3)
Подставив (3) в (1), после преобразований найдем систему опре-
деляющих параметров для гидравлического сопротивления трубы
Др
р ==: (^> wo» v» О*
Приводя последнее уравнение к безразмерному виду, получим.
Ар /М _£\
Р«о2 ’ dr
17-5. В трубе имеет место стационарной и стабилизи-
рованный в среднем турбулентный поток однородной
14*
212
Гидродинамическое подобие
[Гл. 17
жидкости. Средняя по времени и сечению трубы скорость
равна
Найти систему определяющих параметров для поля
средней по времени скорости их и привести эту систему
к безразмерному виду.
Ответ: tzx — f (г, v, d, и0);
Реше н и е.
Поле мгновенной скорости в турбулентном потоке однородной
жидкости подчиняется уравнению Гельмгольца
ди -> —>
+ g^d) и
rot
== \» rot v2^-
(О
Это уравнение описывает множество различных потоков жидко-
сти. Для того чтобы из этого множества выделить изучаемый поток,
необходимо сформулировать условия однозначности:
1. Геометрические условия задают прямую, круглую и гладкую
трубу диаметром d = 2г0.
2. Физические условия задают однородную жидкость, т. е.
постоянную величину коэффициента кинематической вязкости
v [м2/сек\.
3. Временные условия указывают, что поле средней по времени
скорости и является стационарным, т. е.
2^=о.
дт
4. Граничные условия:
указывают, что поле средней по времени скорости является
стабилизированным вдоль оси трубы х, т. е., что
“х = А(г); й"г=^ф = 0;
задают условия на оси трубы
duy
~сй =°
r=0
и на ее стенке
и I г—г0 = 0;
Гл. 17]
Гидродинамическое подобие
213
задают среднюю по времении и сечению трубы скорость и0:
_ 2
— 2
г0
/о
§ruxdr;
О
указывают, что условия входа в трубу не оказывают влияния
на поле мгновенных скоростей вдали от входа, где поток имеет
стабилизацию в среднем вдоль оси.
Воспользуемся уравнением Гельмгольца и условиями однознач-
ности для того, чтобы найти систему определяющих параметров
для их.
—>
Представим поле мгновенной скорости и как сумму полей сред-
—► —>
ней по времени скорости и и пульсации скорости и'
и = и + и'. (2)
Подставив (2) в (1), получим:
ди ди' ->
rot ~дГ + ~d^ + Srad) и + Srad)u +
+ (и\ grad) и + (их grad) и' = у rot v2u + v rot v2u'. (3)
Система (3) состоит из трех уравнений и содержит в общем
случае шесть неизвестных, так как каждый из векторов и и и'
имеет три компоненты. Для замыкания системы (3) воспользуемся
известными правилами осреднения [Л. 17]
и' — 0; и = и; и' и = 0. (4)
Эти правила принимаются независимо от уравнений (3). Поэтому
осреднение по времени уравнений (3) с учетом правил (4) не является
тождественным преобразованием, а результаты осреднения следует
рассматривать в качестве новых уравнений, которые являются неза-
висимыми по отношению к (3).
Осредняя (3) по времени и учитывая (4), получим:
ди
rot -57 + («1 grad) и + (и, grad) и1
= у rot v2u.
(5)
Система (3)—(5) является замкнутой, так как в общем случае
содержит шесть уравнений с шестью неизвестными (их, uz,
Uyt W^),
214
Гидродинамическое подобие
[Гл. 17
В применении к рассматриваемому случаю в среднем стацио-
нарного и стабилизированного турбулентного потока уравнения (3)
и (5) принимают более простой вид:
ди' -► -► -> -*
rot 77 + grad)и' + grad) и + grad) и>
= V rot v2w, + V rot v2u';
rot L(u' grad) u'\ = rot v2u.
(6)
(7)
Из уравнения (6) и граничных условий для пульсации скорости
следует, что
и’ = fi (*, г, ?, х» ro, v, их).
Поэтому
(и\ grad) и' = f2(x, г, <р, г0,
Так как поток в среднем стабилизирован и имеет осевую сим-
метрию, то из последнего уравнения аргументы х и <р выпадают.
Поэтому
(«] grad) и' = f3 (г, г„, v, их).
Подставив последнее уравнение в (7), получим:
rot [f3 (г, r0, v, ux)] = v rot v2ux. (8)
Из уравнения (8) и граничных условий получаем систему опре-
деляющих параметров для скорости их\
их = f (г' г»> «•)•
Приводя это уравнение к безразмерному виду, получим:
^£ = р ( г_
и» \г. ’ v
(9)
или
Ux - F (/?, Re).
Заметим, что для , стабилизированного ламинарного потока без-
размерное уравнение для поля скорости не содержит числа Рей-
нольдса (см. задачу 17-1).
Гл. 17]
Гидродинамическое подобие
215
17-6. Найти систему определяющих параметров для
гидравлического сопротивления Др трубы и привести эту
систему к безразмерному виду. В трубе имеет место тур-
булентный поток жидкости, удовлетворяющий условиям
задачи 17-5. Действием силы тяжести при решении этой
задачи следует пренебречь.
Ответ; ^=/(м0> d, v);
Др Р /uod\ I
или Ей = F (Re) L.
17-7. Длинный цилиндр диамет-
ром 2г0 омывается поперечным ла-
Рис. 17-3. К задаче 17-7.
минарным потоком однородной
жидкости (рис. 17-3), имеющим скорость zz0 [м/сек] и вяз-
кость v [м2/сек].
Найти систему определяющих параметров для поля
скорости в потоке и привести ее к безразмерному виду.
Ответ:
«г = Ш г, и„, г0, V);
и0 \ ' о * /
И = Г> М0> Г0> V)1 —=Л (<р, — , —) .
? ,а'г’ > О’ О’ /’ и0 а Го > v j
17-8. Найти систему определяющих параметров для
силы Р аэродинамического Сопротивления длинного ци-
линдра и привести эту систему к безразмерному виду.
Цилиндр омывается поперечным ламинарным потоком
однородной жидкости (см. задачу 17-7).
Ответ: -r- — f (zz0, A d); --r = F — )
h ' v 0 ’ Idfu^ \ 4 J
или
Eup —T’(Re).
17-9. Шар диаметром 2r0 омывается ламинарным пото-
ком однородной жидкости, имеющей скорость «0. Найти
систему определяющих параметров для поля скорости
216
Гидродинамическое подобие
[Гл. 17
в потоке и привести эту систему к безразмерному виду.
Силы инерции малы по сравнению с силами вязкости.
Ответ: ur^ = Fr, ? (ср, г, г0, и0);
“г., Р (п г\
----= г ( Ф. —
«О * V’ G) /
ИЛИ
^г,.=рг.^ #)
17-10. Найти систему определяющих параметров для
силы Р аэродинамического сопротивления шара в усло-
виях задачи 17-9. Привести эту систему к безразмерному
виду.
гл Р г \ Р const
Ответ: —=/(«, и0); ------,- =—
У
или
Г- const '
EUp = -R?--
17-11. Для измерения расхода пара в паропроводе уста-
новлена диафрагма. Тарировка диафрагмы была выпол-
нена с помощью модели, в которой протекала вода. Ре-
зультаты измерений на модели перепадов давления Дрм
и расходов воды GM сведены в табл. 17-1.
Необходимо произвести обработку этих опытных дан-
ных в безразмерных координатах и найти расчетную фор-
мулу для определения расхода пара Gnap [кГ'1ч\.
Давление и температура пара р=1 ата, / = 250°С.
Диаметр паропровода do = 400 мм. Масштаб модели х/8
натуральной величины. Температура воды в модели 20°С
В. А. Осипова].
Ответ: Gnap — 750|/ Дрпар [кГ/^]. Эта формула спра-
ведлива при
Re=—> 1,41 • 108.
Решение.
Система параметров, определяющих перепад давления в диафрагме,
имеет следующий вид:
= f (*, «о. da, аД, р).
Гл. 171
Гидродинамическое подобие
217
Приводя это уравнение к безразмерному виду, получим:
Р«0 \ v ’ do /
Здесь и0 — средняя скорость жидкости в трубопроводе.
В соответствии с условием задачи —т- имеет зафиксированную ве-
Uq
личину. Поэтому обработку опытных данных необходимо выполнять
в виде
/ Др \ _ r/uod\
\ Р“о / \ '
\ ‘ и /м \ /м
Для воды при 20° С тм = 998 кГ/м* и vM = 10~6 мг1сек. Скорость
воды в модели
<7М
“0м = ~ = 3714
3 600Тм 3 600.998 —
10-®
GM
~ 18 100 1М/Сек1-
Число Рейнольдса для модели
/400 \
СмЫ10-
W0m^m
Кем = -№
м
Число Эйлера для модели
= M2Gm.
18100-10-6
Др18 ЮО2
--------= 3,23
EUm = = 998 Z>2
р ° /м 9j81 GM
ДРМ
(? \2-
Результаты вычислений ReM и Еим сведены в табл. 17-1.
Таблица 17-
^м» кГ1ч Д/1м, лгГ/ла Кем Ецм
8 000 48,5 35 300 2,45
16 000 120 70 600 1,52
32 000 460 142 000 1,45
64 000 1 840 283 000 1,45
128 000 7 360 5,66-Ю5 1,45
218
Гидродинамическое подобие
[Гл. 17
Из рассмотрения табл. 17-1 следует, что, начиная с ReM = 141 000,
число Ей == 1,45. Следовательно, в области Re 141 000 имеем
Еим = Eunap = М5
И
А-^пар 1’45рПар^0пар = упар£ W0nap
при р — 1 ата и t — 250° С пар имеет
v — 2,45 м*/кГ.
Кроме того,
^пар^пар
Подставив последнее уравнение в предыдущее, получим:
_ 1 *45 ^пар^пар
А/^пар п сг-/ 3,14 Л Л ’
па^ ^3 600^.^
Следовательно,
/Я. тс ,-----------
Gnap=j/ ипар. 1.45 3 600 “Г d0 »^А^пар=
— 1/ 9,81 „ 3,14 ,_____
V 2,45-1,453600 4 °>42 j/^nap-
После вычислений получаем расчетную формулу для определения
расхода пара
Gnap = 750 [кГ/4
Эта формула справедлива при Re За 141 000.
7-12. В межтрубном пространстве подогревателя проте-
кает вода со средней скоростью zzo = 0,45 м]сек при тем-
пературе tx =50° С. Определение гидравлического сопро-
тивления этого подогревателя выполнено на модели, в ко-
торой протекал воздух. Размеры модели подогревателя
в 2 раза меньше натуральной величины. Гидравлическое
сопротивление модели Дрм = 260 кГ1м\ Определить сред-
нюю скорость воздуха в модели иОм и гидравлическое со-
противление подогревателя Д/>0.
Ответ: «0м=25,4 мрек; Д/?о = 69,О кГ]ма.
Гл. 17]
Гидродинамическое подобие
219
Решение.
Среднюю скорость воздуха в модели определим из условия ра-
венства чисел Рейнольдса для потоков жидкости в модели и об-
разце .
^0^0
1
По условию задачи /м = “2~^о- Поэтому
/0
“м
о м
/ • Uq — 2 и0.
‘м
Гидравлическое сопротивление подогревателя Д/?о определим
условия равенства чисел Эйлера для модели и образца:
Др0
Рм^м
(1)
из
Следовательно,
9
Ро«о
АРо =
м*
(2)
Для воды при .50° С То = 938 кГ/м* и v0 = 0,556-10~6 м21сек.
Для воздуха при 20° С и р = 1 ата ?м = 1,165 кГ1м? и =
= 15,7-10-® м2!сек.
Подставив эти значения физических параметров в (1) и (2), после
вычислений получим:
15,7-10 “®
“м = 2 0,556-10~6 °’45 = 25’4 м/сек'
к/СО / \J • ли \
А А = 1,165 (25,4 ) 260 = 09 кГ/м2.
7-13. Тонкая пластина омывается ламинарным потоком
однородной жидкости (рис. 17-4). Найти систему опреде-
ляющих параметров для поля скоростей в пограничном
слое около пластины и привести эту систему к безразмер-
ному виду.
Ответ:
и = и(х, у, v, uty,
I 1 /
V
'vuQ
X
у —у, v, zz0);
У
г УХ
и9
220
Гидродинамическое подобие
[Гл. 17
Рис. 17-4. К задаче 17-13.
Решение.
Поле скоростей в пограничном слое описывается дифференциаль-
ным уравнением Прандтля [Л. 17]
ди ди д2и
ид7+иду=^~д^
(1)
и уравнением сплошности
du . да _
дх^ду =0’
(2)
а также граничными условиями:
при у = 0 и х 0 имеем и = v — 0; |
при у->со имеем и-*0; u->u0. J
Из (1)» (2) и (3) получаем систему определяющих параметров для
поля скоростей в пограничном слое:
и = и (х, у, v, и0);
v = v (х, у, v, и0).
Гл. 17]
Гидродинамическое подобие
221
Приводя эти уравнения к безразмерному виду, получим:
(4)
Уравнение (4), как показал Л. И. Седов [Л. 29], можно привести
к более простой форме, которая не содержит безразмерной вели-
У
чины —.
Для этого преобразуем (1), (2) и (3) к безразмерному виду с по-
мощью следующих соотношений:
(5)
Из (5) следует, что
х =
Здесь xQ — некоторая постоянная величина, имеющая размерность
единины расстояния.
Подставив (6) в (1), (2) и (3), после преобразований, получим:
дУ dU __д2Ц
U дХ + V dY ' dY2 '
дХ +дУ ~ 0;
при Y = О U = V = 0; (7)
при У-оо V = 0; t/= 1.
Из уравнения (7) следует, что безразмерные решения задачи U
UqXq
и V не зависят от числа Рейнольдса Re = .
222
Подобие процессов конвективного теплообмена [Гл. 1$
Используем это обстоятельство для упрощения уравнений (4).
Подставив (6) в (4), получим:
Уравнения (8) не должны содержать члена
размерное решение задачи не зависит от числа
вместо (8) имеем:
U = Fi(Y) и V = F2(Y).
Y
—=, так
Ух Re’
Рейнольдса.
(8)
как без-
Поэтому
(9)*
Г лава восемнадцатая
ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНОГО
ТЕПЛООБМЕНА
18-1. Найти систему определяющих параметров для
поля температуры в ламинарном потоке однородной
жидкости, которая омывает тонкую пластину, и привести
эту систему к безразмерному виду. Заданы скорость и
температура жидкости zz0 и tx вдали от пластины, а также
температура пластины При решении задачи исполь-
зовать приближения, принимаемые в теории пограничного
слоя (см. задачу 17-13).
Ответ: -----
У
18-2. Длинный цилиндр диаметром rf = 2r0 имеет тем-
пературу /с и омывается ламинарным поперечным пото-
ком жидкости. Температура и скорость жидкости вдали
от цилиндра равны и Найти системы опреде-
ляющих параметров для поля температуры в потоке
жидкости, а также для местной теплоотдачи на поверх-
ности цилиндра и привести . эти системы к безразмерному
виду.
* Уравнения (9) получены Л. Г. Лойцянским [Л. 18] из других
соображений.
Гл. 18 ] Подобие процессов конвективного теплообмена
223
Ответ:
_______f f Г uQd V \ .
tc — /ж ' V ’ г0 ’ v ’ а )>
ИЛИ
e = R, Re, Рг);
Nu = F(?, R, Re, Рг).
18-3. Решить задачу 18-2 при условии, что на поверх-
ности цилиндра задана постоянная тепловая нагрузка
qc [ккал1м2-ч], а все прочие условия сохранены без изме-
нений.
Ответ:
_L 4sL,
<?</» X г» ’ V а / ’
^Ж
ctrf »-» f uQd у \
=г ( ф, — , — ) .
Лж у a J
18-4. В длинном цилиндре диаметром d = 2rQ действуют
внутренние источники тепла мощностью qv [ккал1м3 -ч].
Цилиндр охлаждается поперечным ламинарным потоком
жидкости. Вдали от цилиндра температура и скорость
жидкости равны соответственно /ж и и0. Найти систему
определяющих параметров для поля температуры tx в ци-
линдре и t2 в потоке жидкости, а также для местной
теплоотдачи цилиндра и привести эту систему к безраз-
мерному виду.
Ответ:
/ г уж uQd \ .
ЧуГц \ г° у
224
Подобие процессов конвективного теплообмена [Гл. 18
Решение.
Условия однозначности:
1. Геометрические условия задают прямой, круглый, длинный ци-
линдр. Влиянием торцов длинного цилиндра на поля температуры и
скорости в потоке жидкости можно пренебречь и рассматривать эти
поля в качестве плоских.
2. Физические условия указывают, что жидкость и материал ци-
линдра однородны и изотропны, задают постоянные значения тепло,
физических параметров аж, ?ж, Хс, Хж, а также задают постоянную мош.
ность qv внутренних источников тепла, действующих в цилиндре.
3. Временные условия указывают, что процессы переноса тепла
в системе цилиндр—жидкость являются стационарными.
4. Граничные условия задают распределения температуры и ско-
рости на твердых и жидких границах потока, а также условия со-
пряжения полей температуры в жидкости и цилиндре
и I r0; V О’ U I г-+эо, ср wo>* ^2 I г—>00, <Р О’
|01 —»«1го;<Р=0; хс— |^о.
(1)
Здесь = G и —избыточные температуры ци-
линдра и жидкости.
Перечисленные условия однозначности позволяют записать диф-
ференциальные уравнения для полей температура! (г, <р) и да(г, <р)
в следующем виде:
qv
zx
-* j
(и, grad 92) = а^29г; I
I
rot (ц, grad) и = ^ж rot v2«;
div и — 0.
Из уравнений (1) и (2) следует, что
А А (
». = ». с. f.“. аж. . г„, и,
\ ,ЧС 'х
- « ( Хж
»2 = Э2 г. т, —, аж, V , —, г., ц„
\ Лс 'х
(2)
(3)
Гл. 18 ] Подобие процессов конвективного теплообмена
225
Приводя эти уравнения к безразмерному виду, получим:
яЛ
. / г 7ж uQd \к
\ ’ г0 ’ аж ' ''ж ’ *с
4vrl
Местный коэффициент теплоотдачи на поверхности цилиндра
равен:
?г0 ^ж 0*2 (G ?)
'с~'ж ~ — Ь2(ГО, f) dr
(4)
г о+О
Подставив (3) в (4), после преобразований и приведения к безраз-
мерному виду нолучихи;
хжх ( uod 7ж ^ж \
у-= Ф <р, ----- , — , -г—
^ж уж аж J
или
Ь1и = Ф —(ср, Re, Рг, А).
Таким образом, коэффициент теплоотдачи цилиндра с внутрен-
ними источ{икали тепла зависит от теплопроводности материала,
из которого этот цилиндр изготовлен.
18-5. Длинный цилиндр имеет диаметр d = 2r0 и темпе-
ратуру /0. В начальный момент времени цилиндр поме-
щахот в ламинарный поток однородной жидкости, имею-
щей скорость uQ [м/сек\ и температуру
Найти безразмернухО систему определяющих параметров
для местного коэффициента теплоотдачи
цилиндра.
о ad Г ( Uod ^ж аст аж
Ответ: ф, — , —, , —
^ж у 7 ж аж Го ас
на поверхности
и пи
Nu = F((p, Re, Pr, Fo, A, A).
Здесь индексами ,ж“ и „с“ отмечены теплофизические
параметры соответственно жидкости и материала ци-
линдра.
18.-6. Горизонтальный длинный цилиндр диаметром d —
= 2г0 имеет температуру /с. Цилиндр охлаждается есте-
15 К. Д. Воскресенский
226
Подобие процессов конвективного теплообмена [Гл. 18
ственным потоком жидкости, имеющей температуру
t .
ж с
Плотность жидкости р является слабоизменяющейся
линейной функцией от температуры. Остальные физиче-
ские свойства жидкости постоянны.
Найти систему определяющих параметров для полей
скорости и температуры в потоке, а также для местной
теплоотдачи на поверхности цилиндра и привести эти си-
стемы к безразмерному виду.
Zc \ ’ го ’ аж ’ *ж
ad ____ f ( g-?9-M-d3\
X / 3 n > 2
Решение.
—►
Поля избыточной температуры ft = t — /ж и скорости и в лами-
нарном потоке жидкости при слабом изменении ее плотности в зави-
симости от температуры Р = Рж (1 — ?pft) описываются следующими
дифференциальными уравнениями:
(u, grad ft) = av2ft;
rot (и, grad) и — rot (g- p . ft) — v rot y2u;
(1)
div и = 0.
)
Граничные условия задают распределение температуры и скорости
на твердых и жидких границах потока
и । ~ и । г->оо; <₽ — (2)
। <р *ж = । г->оо; ф = & t
Из уравнений (1) и (2) следует, что система определяющих пара-
—»
метров для распределения температуры ft и скорости и в потоке
имеет вид:
« = Л (г. а, v, d, tit, g^);
9 = Fa (г, <f, a, v, d, Lt, g}?).
Гл. 18] Подобие процессов конвективного теплообмена
227
Местный коэффициент теплоотдачи на поверхности цилиндра
Приводя (3) и (4) к безразмерному виду, получим:
уж Л у г0 аж j
‘"‘ж / Г
г»' аж> )'
(5)
Из уравнений (5) следует, что коэффициент теплоотдачи при
естественной конвекции зависит от температурного напора. Следова-
тельно, в рассматриваемых условиях закон Ньютона—Рихмана не вы-
полняется.
urd
Из уравнений (5) следует также, что число Рейнольдса — или
^ж
u_d
ф
--- не является определяющим критерием в условиях естественной
уж
конвекции.
18-7. Решить задачу 18-6, если силы инерции в есте-
ственном потоке жидкости пренебрежимо малы по сравне-
нию с другими силами, действующими в этом потоке.
(~\ и г, <pd / г
Ответ: —— = f ф, —,
\ ' г, <р I г > г0 '
J
t ___t /21 > Гл 9 \ а ) ’
1 с 4 Ж у Г0 ужаж J
18-8. Решить задачу 18-6, если силы вязкости в есте-
ственном потоке жидкости пренебрежимо малы по сравне-
нию с другими силами, действующими в этом потоке.
15*
228
Подобие процессов конвективного теплообмена [ Гл. 18
Ответ:
t — tx г>
т-^г^Дч
с ж I
et^t-d3 yj \
*Ж °2 /
ж ж /
g^A/-d3
иг /
= F <? ..
ad р Г г g-^t-d3 /УЖ\‘
— =F* Г’ ~ 2----------- 5“
Л L ° \ ж /
18-9. В трубе диаметром d — 2rQ с изотермической стен-
кой Zc = const имеет место ламинарный режим течения
однородной жидкости. При входе в трубу жидкость имеет
температуру/ж1 ;>/с и скорость uQ. Найти систему опреде-
ляющих параметров для местной тепловой нагрузки qc на
стенке трубы и привести эту систему к безразмерному
виду.
QT вет- ___р i uod \
М'с-'ж!) Ьж ’ «ж’ d ]'
С ?К 1 ' \ Л\ Zi\ /
Решение.
Местная тепловая нагрузка на стенке трубы
Поле избыточной температуры с 0 —- / в потоке жидкости
описывается дифференциальными уравнениями Фурье—Остроградского,
Гельмгольца и сплошности:
(и, grad ft) = av2B; 1
rot («, grad) « = v rot v2u? (
div и = 0. )
Граничные условия на стенке трубы
= = = (3)
Граничные условия при входе в трубу
и I х=0; г ~ I г; х=0= И)
Гл. 18 ] Подобие процессов конвективного теплообмена
229
Из уравнений (1)—(4) следует, что система определяющих пара-
метров для местной тепловой нагрузки на поверхности трубы имеет
вид:
<7с
— ==f(x, v, at d, uQ, Д/).
Приводя это уравнение к безразмерному виду, получим:
q*d _F(±- 2 МА
М'с-'ж!) < d ' а' ч )• (5)
Вывод уравнения (5) является доказательством закона теплоот-
дачи Ньютона—Рихмана:
<7с = “ (Zc ~ Zo).
где
_____v u*d\
a ~ d \ d y a ’ \ J
— коэффициент теплоотдачи, который в соответствии с этим зако-
ном не зависит ни от температуры, ни от тепловой нагрузки q.
18-10. Решить задачу 18-9 при условии, что ламинар-
ный поток жидкости при входе в трубу имеет стабилизи-
рованное распределение скорости
и постоянную по сечению трубы температуру >> / а из-
менения теплопроводности вдоль потока пренебрежимо
малы.
ad f f u0d2\ хт е /Re Рг \
Ответ: .— =f {-?— j или Nu = //-----
Хж ' L ажх j z x I
\ d J
18-11. В длинной трубе с изотермической стенкой (t =
= const) имеет место ламинарный поток однородной
жидкости.
Определить характер изменения температуры жидкости
вдоль оси трубы z вдали от входа, если известно,
। го здесь поле избыточной температуры остается подоб-
ным самому себе, т. е. автомодельно. Изменения теплопро-
водности жидкости вдоль оси трубы пренебрежимо малы.
Ответ: t = tc(г)e~~mz.
230
Подобие процессов конвективного теплообмена [Гл. 18
Решение.
Условие автомодельности по z для поля избыточной температуры
0 имеет вид:
^(гА> 2)
(1)
Здесь гд и гв — радиусы двух любых точек А и В, расположен-
ных в сечении z.
Условие (1) будет выполнено, если
MG z) = M(r).0,(z). (2)
Функцию & необходимо определить из дифференциального урав-
нения, описывающего поле температуры в ламинарном стабилизиро-
ванном потоке жидкости в трубе:
/ г2 \ 1 д дд
2и0 ( 1 — 2 dz — а г dr г дг <3)
\ 0 /
и граничного условия
*>!,=„ = °- (4)
Подставив (2) в (3) и (4), после преобразований получим решение
задачи
t — tc = (г) e~mz, (5)
где величина m не зависит от координат г и г.
Уравнение (5) описывает поле температуры на участке тепловой
стабилизации в потоке жидкости в трубе с изотермической стенкой.
18-12. Решить задачу 18—11 при условии, что на стенке
трубы задана постоянная тепловая нагрузка qc — const.
Ответ: t = где tn не зависит от координат.
18-13. На стенке трубы диаметром d = 2r0 задана по-
стоянная тепловая нагрузка qc~const. Стенка трубы
охлаждается ламинарным потоком однородной жидкости.
При входе в трубу жидкость имеет температуру /ж1 и ско-
рость и0. Найти систему определяющих параметров для
температуры стенки tc и привести эту систему к безраз-
мерному виду.
Ответ:
/ u*d *ж *
: <7сго ¥ж аж d
Гл. 18 ] Подобие процессов конвективного теплообмена
231
18-14. Система из прямых, круглых стержней (рис. 18-1)
с внутренними источниками тепла охлаждается продольным
потоком жидкости.
Найти уравнение подобия для стационарного поля тем-
пературы в каждом из тепловыделяющих стержней.
Ответ:
'-'ж! г 5 Хс “о'’» "ж \
\ Г° Г° Г° V>K /
(обозначения см. на рис. 18-1).
18-15. Тело, на поверхности которого поддерживается
постоянная температура (/, = const), охлаждается безгра-
Форма и размеры тела заданы. Найти систему определяющих
параметров для тепловой нагрузки 7с в любой точке на по-
верхности этого тела и привести эту систему к безразмер-
ному виду. Показать, что в рассматриваемых условиях
выполняется закон теплоотдачи Ньютона—Рихмана.
Ответ:
__ Хж р /ц0^1с ХС Ус zc
С 1 с \ аж 1 с 1 с 1 с
Z2c
'.с
232
Подобие процессов конвективного теплообмена Гл. 18]
Решение.
Тепловая нагрузка qc в любой точке на поверхности тела
Ус ^ж
за
дп
/г = 4-0
(1)
После избыточной температуры d = t — /ж в стационарном лами-
нарном потоке однородной жидкости описывается следующими диффе-
ренциальными уравнениями:
(и, grad 0)= аж-?20; (2)
rot (и, grad) и = rot v2^; I (3)
div и = 0. '
Граничные условия:
если поверхность охлаждаемого тела задана в виде уравнения
? (Ас’ Ус' Zc> ^с1» ^с2» * * *» = 0’
ТО
u]F = 0; 0|F = tc - (4)
вдали от тела
Чоо = “о и °1оо = °- (5)
Из уравнений (1) — (5) следует, что тепловая нагрузка qc зависит
от следующих величин:
<7С
— = f(ut, ДЛ уж, а , хс, Ус, z, ZcI........1сп).
Ж
Приводя последнее уравнение к безразмерному виду, получим:
Ус he р /цо^с1 хс Ус zc ^с2 hn \
^Ж (^С ^ж) \ ^ж аж ^с1 ^с! 1 1 ' ^cl J
Следовательно,
^ж ЛМС1 7ж ХС Ус zc
С ^с! \ ^Ж ^1с he he
Уравнение (6) указывает на прямую пропорциональность между
тепловой нагрузкой qc и температурным напором /с — /ж.
Гл. 18] Подобие процессов конвективного теплообмена
233
Коэффициент теплоотдачи
__ ^ж уж хс Ус *с ^с2 \
^с! У УЖ ДЖ ^cl ^cl ^cl ^с! У
в рассматриваемом случае не зависит ни от температур tc и /ж, ни
от нагрузки qc. Поэтому изложенный вывод уравнения (6) следует
рассматривать в качестве общего доказательства закона Ньютона—
Рихмана.
Из сказанного следует, что этот закон справедлив только при
условии постоянства физических параметров жидкости аж, Лж и уж.
Если физические параметры заметно изменяют свою величину
в заданном интервале температура! (/с, /ж), т. е. жидкость неодно-
родна, закон Ньютона—Рихмана теряет справедливость, так как коэф-
фициент теплоотдачи а зависит от температур /с и /ж. Это обстоя-
тельство имеет место во многих случаях (см., например, задачу 18-6
или 18-16).
18-16. Горизонтальный длинный цилиндр диаметром
d — 2-r0 охлаждается естественным потоком жидкости,
которая вдали от цилиндра имеет температуру /ж и ско-
рость = 0.
На поверхности цилиндра поддерживается постоянная
тепловая нагрузка qc [ккал[м2-ч\. Плотность жидкости
является слабо изменяющейся линейной функцией от тем-
пературы. Остальные физические свойства жидкости по-
стоянны.
Найти систему определяющих параметров для темпе-
ратуры поверхности цилиндра /с и привести ее к безраз-
мерному виду.
Ответ:
или
Gr=f(<p, Рг, К),
где
v 2ХЖ
следовательно, число Грасгофа Gr является неопределяю-
щим критерием подобия, если естественная конвекция
234
Подобие процессов конвективного теплообмена
Гл. 18]
жидкости возникает под действием заданного на стенке
теплового потока qc (граничное условие второго рода).
Решение.
Температуру охлаждаемой поверхности цилиндра определим из
равенства ее температуре жидкости, прилипшей к этой поверхности:
Zc = ^r=re’
Вводя в рассмотрение избыточную температуру,
получим:
®с = »1г=г,-
Поля избыточной температуры & и скорости и в ламинарном по-
токе жидкости при слабой естественной конвекции описываются сле-
дующими дифференциальными уравнениями (см. задачу 18-6):
(и, grad 0) = av20; I (2)
rot (и, grad) и = rot (g, fp-0) + v rot v2 )
div и = 0
и граничными условиями
9 ~ ^г->оо; <Р ~ 0» ^1г-»оо; ф » ж dr L , п ~ ($)
Из уравнений (2) и (3) следует, что
» = fi (?. г, v, а. Лж> g?p, r0. qc). (4)
Подставив (4) в (1), получим:
»c=f»(?. d, V, а, Хж, g₽p, <7С).
Приводя последнее уравнение к безразмерному виду, получим:
[ ч g$ed*qc \
а ’ >2ХЖ
Следовательно, число Грасгофа --------- не определяет подобия
процессов конвективного теплообмена при естественной конвекции
Гл. 19]
Общие задачи теории теплопроводности
235
жидкости, возникающей под действием теплового потока qc, задан-
ного на стенке цилиндра (граничные условия второго рода).
Решение задачи (5) можно записать также и в следующей экви-
валентной форме:
9сКж / *
—- ^7- •
Г лава девятнадцатая
ОБЩИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
19-1. Доказать, что плотность потока тепла q [ккал/мг ч]
является векторной величиной [Л. 32].
Решение.
Пусть в некотором теле имеется стационарное поле температуры.
Выберем точку О (рис. 19-1) в качестве начала прямоугольных
координат х, у, г. Выделим малый тетраэдр АВС с вершиной в О,
I ранями AFX, kF у, &FZI основанием &Fn и объемом ДК. Составим вы-
ражение закона сохранения энергии для этого тетраэдра за малый
промежуток времени Дт:
= 4Q". (1)
В свою очередь,
А
AQX = qx-^Fx\t — qx- Д/^-Дт-соз (n, x),
A
bQy = qy-bFy-fo = qy-bFn-bz-<:os(n, y)-,
AQZ = qz-SFz‘ Ax = qz- AFrt- Дт-cos (n, y)\
^n = qn.LFn.^.
Здесь qx, qyt qz и qn— плотности потока тепла на гранях ДГх
Му, &FZ и ДГП.
Подставив (2) в (1) и поделив на AF и Дт, получим:
АЛА
qn == Qx cos (п» х) + Qy cos (п» У) + Qz cos (n>
Последнее уравнение представляет собой проекцию некоторого
вектора q на направление п [Л. 5]. Следовательно, плотность потока
тепла является величиной векторной. Изложенный вывод нетрудно
обобщить и на случай нестационарного поля температуры.
236
Общие задачи теории теплопроводности
[Гл. 19
19-2. Доказать, что в анизотропных телах вектор плот-
ности потока тепла q направлен не по нормали к изотер-
мической поверхности.
Решение.
Рассмотрим изотермическую поверхность t = const в некотором
анизотропном теле (рис. 19-2) и нормаль п к этой поверхности в точ-
—>
ке О. Угол ? между двумя векторами q и grad / равен [Л. 5]:
= arccos cos (qt cos (grad t, x^. (1)
В свою очередь,
dt
A <4
cos (grad t, Xi) =--^========~; (2)
-*A
cos (q, xt) =-j===^ . (3)
Гл. 19]
Общие задачи теории теплопроводности
237
Пусть оси координат xi (i = 1, 2, 3) совпадают с главными осями
проводимости в рассматриваемом анизотропном теле. Тогда закон
Био—Фурье принимает следующий вид [Л. 35]:
dt
= (4)
Подставив (4) в (3), получим:
dt
Подставив (2) и (5) в (1), получим:
В частном случае, когда тело является изотропным, имеем:
Xj — Х2:— Х3 — X,
Подставив последнее условие в (6), получим:
ср = arccos (—1) = к.
Следовательно, в изотропном теле угол между векторами grad t
и q равен двум прямым и вектор q направлен по нормали к изотер-
мической поверхности.
В общем случае, когда тело является анизотропным, имеем:
Xi Х2 Х3
238
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
причем
COS $ ф — 1 И =f= ТС.
к 3 -*
Поэтому в анизотропных телах -у-< <р <_-тр тс и вектор q не
направлен по нормали к изотермической поверхности [Л. 39].
19-3. Вывести дифференциальное уравнение закона со-
хранения энергии для изохорического процесса теплопро-
водности в телах с внутренними источниками тепла.
Ответ:
cv (О —<7о = 0.
19-4. Вывести дифференциальное уравнение Фурье для
—>
поля вектора плотности потока тепла q в однородных и
изотропных телах с внутренними источниками тепла.
Ответ:
4--^- — grad div 7 + grad qv = 0.
19-5. Показать, что граничное условие третьего рода
=0 является следствием условия
п = + 0
сопряжения полей температуры в твердом теле и омываю-
щем его потоке жидкости.
('-у
Г лава двадцатая
СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
20-1 а. Тонкая изотропная пластина имеет переменный
коэффициент теплопроводности Z (/). В пластине выделяется
тепло. Мощность источников тепла равна qv [ккал!м2-ч\.
На поверхностях пластины поддерживаются температуры
Определить стационарное поле температуры в этой
пластине.
Гл. 20]
Стационарные процессы теплопроводности
239
Ответ:
Г (X) гс1
Г г <jJ2 / х \2
Zc2 *С2
20-16. Решить задачу 20-1а, если пластина разделяет
две жидкости, каждая из которых имеет постоянную тем-
пературу /ж1 и ^ж2<7ж1. На поверхностях пластины за-
даны коэффициенты теплоотдачи и а2 [ккал! м2 -ч-град].
Коэффициент теплопроводности пластины является по-
стоянной величиной.
Ответ:
(х) ^ж2____ ^ж! *ж2 /1________/ х Y
Чуй2 ~ qj2
2Л 2Х
где
«1 * «2
20-1. Определить температуру /00 на оси тепловыделяю-
щего элемента атомного реактора (рис. 20-1). Элемент со-
стоит из активной части 1 и защитной оболочки 2. Актив-
ная часть выполнена в виде длинного цилиндра (dQ—2г0=
==20 мм; 2о = 2О ккал!м-ч-град), в котором имеет место
внутреннее тепловыделение мощностью
^ = 150-10е ккал!м*-ч.
Выделенное тепло отводится потоком воды (//0—6 м)сек;
/ж^40°С), протекающей в кольцевом канале (&2=2,5 мм).
Защитная оболочка выполнена из алюминия (8Х=1 мм;
175 ккал!м-ч-град).
240
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
Ответ: t00 = 258° С.
Рис. 20-1. К задаче 20-1.
Решение.
Температура /00 на оси длин-
ного цилиндра с внутренними ис-
точниками тепла [Л. 20]
<оо=-*о+ 4д() • (*)
Температура на поверхности
активной части
^го / 8, \
Zo = 'c + -2^lnV+V/ (2)
Температура /с и тепловая
нагрузка qc на охлаждаемой по-
верхности оболочки
?С =
10.10-«.150-10®
2(1 + 0,1)
= 0,68-10® ккал)м2-ч.
При /ж = 40°С для воды
= 54,5-10-2 ккал/м -ч-град', \»ж = 0,659-10~6 м21сек\
Ргж=4,31.
Поэтому число Рейнольдса в кольцевом канале равно:
2б2ц0 2.2,5.10-3.6
Реж~ 0,659-10-» 45 500.
Уравнение теплоотдачи в кольцевом канале при турбулентном те-
чении воды [Л. 20]
/ Рг Д25
NUjK = 0,021Re^43(-p^- Рг^43.
ль ж 1 г-1 Г / ж
Ргж
В первом приближении -р- • = 1
№1Ж = 0,021 • 45 500°•8.4,31 °’43 = 206;
КижХж 206.54,5-10
« = —-----= —2.2,5- 10~а— ~500 ккал/м2-ч-град.
Гл. 20]
Стационарные процессы теплопроводности
241
При этом
0,68.10е
Zc = 40 + ^250j-==70°C; РГс = 2.55;
Ргж \0,25 /4,31 \0.25
Следовательно, во втором приближении
а = 22 500-1,14 = 25 700 ккал/м2- ч-град;
. 30
/с = 40 + i-j4 = 66,8° С.
Третье приближение мало изменяет результат.
Подставив известнее величина! в (1) и (2), получим:
„ 150-10’(10-2)2
= 66,3 +------27П5—~ 1п + °»1) = 70»5° С«‘
/оо = 70,5
150-106 (10 ~2)2
+ 4-20
=258° С.
20-2. Решить задачу 20-1 при условии, что между ак-
тивной частью тепловыделяющего элемента и защитной
оболочкой имеется воздушная прослойка толщиной 8 =
= Ю-2 мм.
Ответ: ^ОО = 486°С.
Решение.
Температура на внешней поверхности активной части
у*
4 S I В°ЗД
‘О — ‘0 + #0 т-
Лвозд
Из решения задачи 20-1 следует, что
г0^ 10-2.150.10’
/' = 70,5° С и = —2—=---------2-----—0,75- 10е ккал/м2-ч.
Поэтому
0,75.10s-10-5 750
ta = 70,5 +------=---------= 70,5 +^-— .
возд \\озд 0 '
16 К. Д. Воскресенский
242 Стационарные процессы теплопроводности [ Гл. 20
Последнее уравнение разрешаем относительно tQ методом после-
довательных приближений. В качестве первого приближения прини-
маем ГВОЗД.Ю2 = 2,55 ккал/м-ч*град при /д = 70,5° С и определяем
среднюю температуру воздуха в прослойке
Д^возд 750
гвозд = *0 + ^70,5 + 'Г2,‘55==217° С*
При этой температуре Хвозд — 3,48-10-2 ккал/м-ч-град и
, 750
+ С.
Повторяя вычисления несколько раз, получаем установившееся
значение
Так как
'возд = 184°С-
*во»д 2 то — 2^возд *0 — 2-184 70,5 —298° С.
Температура в центре элемента
<]vrl , 150-10’ (10-2)2
—— =2984---------------—=486° Г
4Х 4.20
^оо — 4
Следовательно, нарушение термического контакта между актив-
ной частью элемента и оболочкой, вызванное появлением воздушной
прослойки толщиной всего 10-2 мм, вызывает перегрев элемента на
406 —258 = 228° С.
В этом расчете не учтен лучистый теплообмен через воздушную
прослойку, который составляет примерно 0,670 от тепловой нагрузки
на охлаждаемой поверхности элемента.
20-3. Тепловыделяющий элемент реактора выполнен
в виде длинной трубы. В стенке трубы действуют внут-
ренние источники тепла с постоянной мощностью
qv [ккал/м3-ч}. Одна из поверхностей трубы (внешняя или
внутренняя) охлаждается потоком жидкости, имеющей при-
мерно постоянную температуру /ж. Найти температуру
другой поверхности, через которую тепло не проходит.
Ответ: Если охлаждается внешняя поверхность, то
t ==f -L
1 4k
2
\ 2 / I —
Гл. 20 ]
Стационарные процессы теплопроводности
243
Если охлаждается внутренняя поверхность, то
При охлаждении внешней поверхности трубы избыточная темпе-
ратура этой поверхности 02 = t2 — t* определяется из следующего
соотношения:
(''г —ri)^ = 2г2,Э2-
Следовательно,
9 п
^(г2— П)
= П '
для определения запишем
поверхности, имеющей радиус
2г2а ’
закон Био-Фурье для изотермической
г:
db 9
Qr = —х (f2 — ч)
Разделим переменные и проинтегрируем по г в
до г2:
пределах от гх
_ и»=
»,
IV.
т J
После преобразований получим:
Используя (1), находим:
16*
244
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
Следовательно,
При охлаждении внутренней поверхности в результате аналогич-
ных преобразований находим:
20-4. Для определения коэффициента теплоотдачи при
кипении в большом объеме может быть использована сле-
дующая методика измерений [Л. 1].
По горизонтальной трубке из нержавеющей стали (dt —
= 10 мм\ d2 = l[ мм\ 2=15 ккал)м-ч град\ р =
= 1 ом- мм21м) пропускается ток / = 258 а. Трубка поме-
щена в большой объем воды, имеющей температуру насы-
щения и кипящей на внешней поверхности трубки при
нормальном давлении. Температура внутренней адиабати-
ческой псверхности трубы измеряется термопарой и
равна = 112,0° С. Вычислить коэффициент теплоот-
дачи а на охлаждаемой поверхности трубки.
Ответ: а = 9500 ккал]м2• ч-град.
Решение.
Коэффициент теплоотдачи на внешней поверхности трубки
Из решения задачи 20-3 следует, чго
Тепловая нагрузка q2 на внешней поверхности трубки
•2— г2
2 Г1
2r2
=
(1)
(2)
(3)
Гл. 20] Стационарные процессы теплопроводности 245
Мощность внутренних источников тепла, действующих в стенке
трубки:
0,86/2р __ 0,86.2582.1
„(Г2_ г2)Ю-« ~ я(5,5‘-5‘)10-« -
2,11 • 108 ккал/м2-ч.
Следовательно,
/5 52 52) 1Q -6
q2 = - 2 5$; iq--3---.2,lbl08ss 105 ккал/м^ч.
Подставив известные величины в (2), получим:
е2 = (И2— юо)
2,11 • Ю8 (5-10“3)2 г/ 11 у
4-15 [Д 10 J
_i -in = 10,5° с.
Подставив известные величи-
ны в (1), получим:
105
а = уд—^ — 9 500 ккал)м2-ч-град.
20-5. В однородном и изо-
тропном массиве действуют
внутренние источники тепла
мощностью qv [ккал\м3-ч\.
Выделенное тепло отво-
дится потоком охлаждающей
жидкости, которая протекает Рис. 20-2. К задаче 20-5.
в системе каналов, располо-
женных на вершинах равносторонних треугольников
(рис. 20-2). Оценить наибольшую температуру массива,
если коэффициент теплоотдачи в каналах равен а, а тем-
пература охлаждающей жидкости слабо изменяется по
длине канала и равна /ж [Л. 45].
Ответ:
^макс ^ж 1 1 I 1 \( 2
—2 —1,1 ^1 — ]>052.s2 ууу
“4Г~ \ X
ИН-ln ( 1,05 —
I \ г0
246
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
Решение.
Максимальная температура /макс массива имеет место в точке В,
наиболее удаленной от каналов с охлаждающей жидкостью. Рассмот-
рим треугольник АВС. Из условия симметрии решетки каналов с
охлаждающей жидкостью следует, что через стороны этого треуголь-
ника тепло не проходит. Заменим треугольник АВС равновеликим
сектором АВС с радиусом гг наружной дуги ВС, через которую тепло
не проходит. Оценка наибольшей температуры /макс основана на пред-
положении о том, что /макс приближенно равна температуре на ду-
ге В'С. Тогда, используя решение задачи 20-3, получим:
Радиус Г1 дуги В'С' находим из условия равенства треугольника
АВС и сектора ЛВ'С':
1 г о 1 ТС
Т2~ КГ1 2~ s2 tg Т ’
Подставив (2) в (1), получим:
20-6. Шар диаметром d — 2rQ находится в безграничной
неподвижной среде. В шаре действуют внутренние источ-
ники тепла мощностью qv [ккал)м3- ч]. Температура среды
вдали от шара равна (рис. 20-3). Определить число
Нуссельта на поверхности шара, его наибольшую темпе-
ратуру 60, а также найти распределения температур & (г)
и /(г) в шаре и среде.
Ответ:
Гл. 20]
Стационарные процессы теплопроводности
247
Nu = 2;
2 / \
2^+1--7 Н
1 \ 2 го /
яЛ 1
ЗЛ2 г
Решение.
Для определения поля температуры в окружающей шар среде
запишем закон Био—Фурье для изотермической поверхности радиу-
или
4 з , . . dt
Разделив переменные и
тегрируя, получим:
оо ^оо
dt
ЗХ2
dr
г*
оо
зх8
Следовательно,
При этом избыточная температура и тепловая нагрузка
поверхности шара равны:
t»— зх ;
Яо
ин-
(1)
на
(2)
t
_А_ 2
3 ।
7о = 4лгд =TW
Следовательно, число Нуссельта на поверхности шара
'2 -Т—=2.
Зг0<?^?
Nu“
248
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
Для определения поля температуры в шаре вновь используем
закон Био-Фурье для области
4 а
-§-Яг’^ = -14лг2-^- .
Разделив переменные и интегрируя, получим
1 Го t (g>)
-3-7^ r-dr = — X, j M
r V
или
Следовательно
о
жг(^-г«) = Э-/(г0).
2 /
»W=/(r,)+-s; 1-7
1 \ ro
(3)
Подставив (2) в (3), получим:
2 2 /
<7„го , <7t>ro L r2
® (r)=Zoo + 3X2 'Г 6X, I 1 — r2
\ ro
Следовательно, наибольшая темпера-
тура шара равна
( К. \
»(°) = 'оо + 1И 1+2VJ-
20-7. Температура возду-
ха в резервуаре измеряется
ртутным термометром, ко-
торый помещен в гильзу
(рис. 20-4). Гильза выпол-
нена из красной меди (2 =
= 330 кка^м-ч-град) и име-
ет длину /=150 мм и тол-
щину стенки 3 = 0,5 мм. Коэффициент теплоотдачи от
воздуха к гильзе равен а = 33,0 ккал[м2 -ч-град. Опреде-
лить ошибку в показаниях термометра 8/ и истинную тем-
пературу воздуха если температура основания гильзы
Гл. 20]
Стационарные процессы теплопроводности
249
равна /о = 8ОэС, а термометр показывает /z= 120°С. Опре-
делить ошибку в показаниях термометра, помещенного
в такую же гильзу, но выполненную из нержавеющей
стали (2=15 ккал[м-ч,-град).
Ответ: Ы = 25°С;
t* = 145^С;
«х^0эС.
Решение.
Истинную температуру воздуха /ж определяем из уравнения
[Л. 20]
t —
/ж— 1 1 ch ml
/ж — ~ml ’ ** j 1
ch ml
Здесь __
/аП
XT’
Периметр гильзы равен П = nd, а поперечное сечение F = iM.
Поэтому
т = УГ x77==J//< 77=]^ Зо0-0,5. io-’ = 14>1 ;
80
120~ ch 14,1-0,15
'ж = --------i-----= 145“ С.
1 — ch 14,1-0,15
Если гильза изготовлена из нержавеющей стали, то
И '1570,5-10= 66'3 м~'-
Поэтому термометр, помещенный в такую гильзу, показывает
следующую температуру:
C-G 145-80
— * .....= 145 — < л-, ё- = 145° С.
I ж ch ml chbb,J-0,15
20-8. Температура воздуха в резервуаре измеряется по-
средством двух термометров, помешенных в две одинако-
вые гильзы. Вследствие различной тепловой изоляции
250
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
температура стенки резервуара в местах установки гильз
различна: /01 = 80эС и /оа = 60эС. По той же причине
различны и показания термометров (п = 90эС и tl2=8Q°C.
Определить истинную температуру воздуха.
Ответ: ^ж=100°С.
20-9. Температура воздуха в резервуаре измеряется
двумя ртутными термометрами, помещенными в две гильзы.
Определить истинную температуру воздуха, если пока-
зания термометров равны /п = 100°С и Z/2 = 80°C, а обе
гильзы отличаются друг от друга только длиной /t = 2/2.
Температура стенки резервуара ?о = 5О°С.
Ответ: /ж = 108°С.
Решение.
Для первой и второй гильз имеем:
^/1 1 ^ж ^/2 __________J.
/ж-/0 “chmj/f ^ж —/0 ” / h.\ '
еп \ Пг2 2 J
По условию задачи гильзы отличаются друг от друга только
длиной.
Поэтому tni = m2 = tn> Из уравнения (1) находим:
о ^ж о
= Arch “7--у— = 2Arch -7--т~ .
'ж” 42
Подставив известные величины, получим уравнение для определения
температуры воздуха
( ^ж~50 \ / *ж-50
Arch \ *ж - 100y=2Arch — »0
Решая это уравнение подбором, находим:
/ж = 108° С.
20-10. Определить расход тепла Q [ккал/ч] через
стенку ребристой трубы вертикального нагревательного
прибора с продольным расположением ребер.
Высота трубы Н=1 м; ее внутренний диаметр dt =
= 50 мм; наружный диаметр с?2 = 70 мм; диаметр по кон-
цам ребер d3 = 175 мм; число ребер 4 = 18; толщина
Гл. 20]
Стационарные процессы теплопроводности
251
каждого ребра 3 = 3 мм\ температура ребра у его осно-
вания /0 = 80° С; температура окружающей среды t* =
= 18° С; коэффициент теплоотдачи на ребре и на внешней
поверхности трубы а = 6,5 ккал]м2-ч-град; коэффициент
теплопроводности чугуна Я. = 54 ккал\м-ч-град [Л. 36].
Ответ: Q = 778 ккал]ч-,
Q, = 89 ккал[ч (без ребер).
Решение.
Расход тепла через стенку ребристой трубы
+ (1)
Расход тепла Q, через одно ребро
Qi = V ((о — m th (m 2"~ \
где
у XF*
В свою очередь, для плоского ребра
П 2Н и F = ЪН.
Поэтому
1 / а-2 ~\ Г 2-6,5
т=у 54.3-ю-3==9;
/ 175 — 70 \
Qj = 54-3-10-М (80 — 18)9 th (9-%---10-« J= 39,5 ккал)ч.
Подставим известные величины в (1)
Q= 18-39,5 + 6,5 (80 — 18) (3,14-70 — 18,3) 10’3 =
= 711 + 67 = 778 ккал/ч.
Без ребер теплоотдача трубы равна:
Qo = nd2 На (/0 — /ж) = 3,14 - 70 -10 -3 - 6,5 (80 — 18)^ 89 ккал/ч.
Следовательно, использование ребер в рассматриваемых условиях
увеличивает расход тепла через стенку отопительного прибора
778
B-gg-^8,75 раза.
20-11. Найти распределение температуры & = /г— t
вдоль рабочей лопатки газовой турбины (рис. 20-5), если
заданы следующие величины.
252
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
Рис. 20-5. К задаче 20-11.
Площадь поперечного сече-
ния и длина лопатки
F = 350 мм2\ /=130 мм.
Коэффициент теплопровод-
ности материала лопатки X —
= 19 ккал[м-ч-град.
Величина m ==. 1/ =
Г Аг
150 м~'.
Поток тепла, отводимый че-
рез основание лопатки в диск ко-
леса турбины, Q = 400 ккал]ч..
Внутреннее термическое со-
противление поперек лопатки
внешним термическим сопротивле-
мало по сравнению с ее
нием [Л. 31].
Ответ: &=400ехр [— 150(0,13 — г)].
Решение.
Распределение вдоль лопатки средней по ее сечению температуры
0 =/г—t опИСЫвается известным дифференциальным уравнением
= mbt где m =
и граничными условиями
db
dz
(I)
__ Q
г=°и аГ
Решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее гра-
ничным условиям (2), имеет вид:
Q ch mz
~ KFm ch ml *
(2)
Подставив известные величины, получим:
9 = 400 сЬТЙГоДЗ 400 ехр Г1- 150 (0,13 — z)J.
20-12. Стержень имеет переменное поперечное сечение
F(x) и периметр П (х) (рис. 20-6). В стержне действуют
внутренние источники тепла мощностью Выделенное
тепло отводится через боковую поверхность стержня и его
Гл. 20]
Стационарные процессы теплопроводности
253
Рис. 20-6. К задаче 20-12.
торцы в окружающую среду. Внутреннее термическое со-
противление поперек стержня мало по сравнению с его
внешним термическим сопротивлением.
Вывести дифференциальное уравнение для распределе-
ния температуры вдоль оси стержня х.
Ответ:
^-b(0F(x)^-]+F(x)9i,(x)- j qndn = b.
П(х)
Решение.
По условию задачи внутреннее термическое сопротивление стерж-
ня в поперечном направлении мало по сравнен по с его внешним со-
противлением. Поэтому температура стержня изменяется заметно
только вдоль его оси, а в поперечных сечениях сохраняет свою ве-
личину почти постоянной.
Выделим в стержне малый объем F(x)dx (рис. 20-6) и составим
дня этого объема уравнение первого закона термодинамики. Прене-
брегая работой расширения и учитывая, что в стационарном процессе
теплопроводности изменения внутренней энергии малого объема от-
сутствуют, получим:
^хподв + ^ = 0. (1)
Здесь
^х подв ~ Qju Qx+dx ^^бок <*QX ^бок*
В свою очередь,
dt Г
= — X (/) F (х) и dQ6oK = j qndridx.
П(х)
Поэтому
Г dt 1 С
riw
254
Стационарные процессы теплопроводности
I Гл. 20
Далее
dQv = F (x)qv (x)dx. (3)
Подставив (2) и (3) в (1), после преобразований получим диффе-
ренциальное уравнение для распределения температуры t стержня
вдоль его оси
d Г dt 1 С
+Л*)<М*)- qn-dn = Q.
П (х)
20-13. Длинный однородный стержень с постоянным
сечением F, периметром П и длиной I имеет температуру
торца /|Х=О=Л (рис. 20-7).
Стержень отдает тепло в окружающую среду, темпера-
тура которой равна
Условия теплоотдачи на боковой поверхности стержня
подчиняются степенному закону
qn = A(t — где X = const и п>1.
Найти распределение температуры стержня по его
длине / = /(х), если внутренние источники тепла отсутст-
вуют, а температура второго торца приблизительно равна
температуре жидкости t t*. Поперечное внутреннее
Гл. 20 ]
Стационарные процессы теплопроводности
255
термическое сопротивление стержня мало по сравнению
с внешним сопротивлением его.
Ответ:
1 m(n — 1) Т
1а2 J
Решение.
В рассматриваемых условиях дифференциальное уравнение тепло-
проводности в стержне (см. задачу 20-12) принимает следующий вид:
Граничные условия
OUo = 9.;0|x=z=O; 9 = /-/ж: (2)
Решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее гра-
ничному условию (2), имеет следующий вид:
1 т (п — 1) “|
LV J
20-14. Найти распределение температуры вдоль стерж-
ня в условиях задачи 20-13, если теплоотдача стержня
происходит при пузырчатом кипении окружающей жидко-
сти, которая нагрета до температуры насыщения.
Ответ:
[%-''165+0,8/пх]0>86 ; п = 3’33-
20-15. Найти распределение температуры вдоль стерж-
ня в условиях задачи 20-13, если теплоотдача стержня
происходит при естественной конвекции окружающей
жидкости.
Ответ:
i — Л =------„.„j 1--------; п == 1,25.
* [&“°>125+0,118/пх19
256
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
20-16. Для экспериментального определения местных
коэффициентов теплоотдачи на поверхности цилиндра,
омываемого поперечным потоком жидкости, используется
следующая методика [Л. 13].
В трубке из плохого проводника тепла протекает ки-
пящая вода. Снаружи трубка охлаждается поперечным
потоком жидкости, теплоотдача которой изучается. Изме-
ряется распределение температуры /2(?) на охлаждае-
мой внешней поверхности трубки, а также температуры
кипящей воды tx и охлаждающего потока /ж. Располагая
этими данными, а также коэффициентом теплопроводности
трубки, можно вычислить поле температуры в стенке и
местные значения коэффициентов теплоотдачи на ее ох-
лаждаемой поверхности.
Определить поле температуры в стенке трубки для
заданных выше условий.
Ответ:
2к In—С
0 1п г,
Решение.
Стационарное поле избыточной температуры b — tx—t (г, <р)
в стенке трубы с переменной температур )й /2 на внешней поверхно-
сти и постоянной tx на внутренней оплывается следующим диффе-
ренциальным уравнением и граничными условиями:
дг2' г дг'г2ду2~®’
8ln.f = 0: в1га = ^—=
л I
в(0.г) = О (2^. г): g- =0.
г |<р—о
(1)
Решение этой задачи найдем методом разделения переменных.
Частное решение задачи представим в виде произведения двух
функций F (г) и Ф(?):
9„ = 5(г)-Ф(?).
Гл. 20 ]
Стационарные процессы теплопроводности
257
Подставив Ьп в (1), после образований получим:
1
й2Ф
+ п2Ф = 0;
d2F dF
^+^-^=0.
(2)
Принимаем для п целые положительные
шение уравнений (2) имеет следующий вид:
J
числа. При п = 0, ре-
а при п ф 0
фо = сх + с2<р;
Fo = Сг + С4. In г,
Ф(?) = с5. cos пу + с6 sin лгср;
F(r)=c,rn + car-n.
Общее
Ний
решение задачи представим в виде суммы частных реше-
9
= (ci + csf) (сз + с* 1п +
•5-cos ny + cQ sin n<p) (C1rn + c&r n\
п=1
— 0 следует c6 = 0.
cp=O
Из условия периодичности 0(0, г) = ft (2я, г) следует, что с2 = 0,
dft
а из условия симметрии
Тогда общее решение задачи можно представить в виде:
0 = С9 + Сю In Г 4- сп cos п^-(гп + г п-сп),
п=1
Из граничного условия на внутренней поверхности трубы на-
ходим:
Л gg „ „ -2п
С10~ In г, и с,*~~ Г1 •
Тогда
00
9 = с, (1 — сп cos n<f (rn— r2lnr~n).
rt=l
17 К. Д. Воскресенский
258
Стационарные процессы теплопроводности
I Гл. 20
Используем граничное условие на внешней поверхности трубы
00
Mf) =«• (1 ~ ПТ?;) + J] СИ COS п<р (г" —
/1=1
Разлагая 02(<р) в ряд Фурье и сравнивая с9 и с коэффициен-
тами разложения, получим:
2тс л
1 Г 1 с
2^- 1&2 (?)</? — I 02 (?) eos tVfd-?
Общее решение задачи
ft = /, — t = f [G—Mr)] df----^-+ V ]~ f [<1—Mr)] cos/i<f d?|x
5 ln77 ±1 0 }
20-17. Труба омывается поперечным потоком жидкости,
имеющей температуру /ж. В трубе протекает кипящая вода
при температуре
Распределение температуры на внешней поверхности
трубы задано (см. задачу 20-16) /2 = /2(ср). Найти распре-
деление местного коэффициента теплоотдачи а2 (ср) на
внешней поверхности трубы (здесь необходимо использо-
вать решение задачи 20-16) [Л. 13].
Ответ:
2п
и ш I'. ~ Ах
О 1П Г1
2п
COS//?- J
О
— *2 (?)] C°S zzcpdfcpj .
Гл. 20 ] Стационарные процессы теплопроводности 259
Решение.
Местное значение коэффициента теплоотдачи
ности трубы
на внешней поверх*
(1)
Из решения задачи 20-16 следует, что поле температуры в стенке
трубы описывается следующим уравнением:
Из уравнения (2) следует, что радиальная компонента градиента тем-
пературы на внешней поверхности трубы равна:
2п
д/ I 1 Г 1
дг |Г2_0 ~ ~ 2it J df г3 —
2 0 г2 1п Г1'
/ Г2 \2п
1 00 (+п
---cos 4 ['i-M^lcos.M?.
"bd -1 0
Следовательно,
1 ( 1 fr 1 . 1
“2 “ «2 (2nXr2 J [z* ~'21 , Г2 +2кХг2 x
0 ln rt
оо (7^ П + n 2k
x U \2п—cos f ~cos rt<fd4
«=‘ (77) ~1 °
20-18. Найти распределение температуры в плоской
стенке, стенках длинной трубы и полого шара. Эти тела
изготовлены из материала, коэффициент теплопроводности
которого зависит от температуры X — На поверхно-
17*
260
Стационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 20
стях этих тел поддерживаются постоянные температуры
^ci и ^2^ ^ci-
Ответ: Для пластины 0=1--------
, Г2
Л 1П~
Для трубы 0 =-------.
1 г 2
1П7Г
Для полого шара
1 1
0=-Т
Г 2
Г 2
Здесь
0=-^-------
zcl
J \(t)dt
tc2
20-19. Тело произвольной формы имеет поверхность S.
Вся эта поверхность разделена на куски Su (i = 1, 2, . ..)
и S2A,; k (6=1, 2, . .На кусках S1Z поддерживается тем-
пература /с1, а на кусках S2k — ^с2<^сг Коэффициент теп-
лопроводности тела является либо заданной функцией от
температуры Л=Л(О), либо постоянной величиной Z=const.
В первом случае в теле установится распределение темпе-
ратуры & = & (х, у, г), а во втором / = /(х, у, г). Найти
связь между полями температуры & и t при условии, что
они совпадают друг с другом на кусках поверхности
SM(&C1 = U и S2ft(&c2=/c2) [Л. 7в].
Ответ:
t — ^с2
j"
*с2_____________________
*cl ~ Zc2
f A(0)d&
?с2
Гл. 20 ]
Стационарные процессы теплопроводности
261
Решение.
Поле температуры $ в рассматриваемом теле при X = X (0) описы-
вается следующим нелинейным дифференциальным уравнением:
div ЦО) grad а = 0 (1)
и граничными условиями
= = *с2<^с1
(/=•!, 2, п; k = 1, 2, щ). (2)
При X = const имеем:
div grad t — 0; 1
Zlsi>2 = 'cl? Zls2t£ = Zc2<Zcl‘ J
Предположим, что между t и 0 имеется однозначное соответ-
ствие
» = 0(Q.
Тогда
J0
grad 0 (/) =grad /.
Подставив последнее уравнение в (1), получим:
JO J0
div X (0) grad t = X (0) div grad t +
d JO
+~dt ^^~dt terad Srad = °'
Так как
div grad t = 0 и (grad /, grad t) ф 0,
Следовательно,
JO _
X(0) -^-= const z=C
или
X (0) JO = Cdt.
Интегрируя последнее уравнение дважды, получим:
О
j Х(Э)^ = са-/с2); (4)
*с2
^с1
j M0)d» = C(/cl-/c2). (5)
^с2
262
Стационарные процессы теплопроводности
I Гл. 20
Поделив (4) на (5), получим искомое соотношение между t и 0:
t
J 1(0)
zc2
zcl
J 1(0) d0
^c2
~^c2
Zcl — Zc2
(6)
20-20, Найти связь между стационарными полями век-
тора плотности потока тепла <7x=const и </x=var в условиях
задачи 20-19, при переменном и постоянном коэффициен-
тах теплопроводности тела, на кусках поверхности кото-
рого поддерживаются две температуры /с1 и /с2</с1 [Л.7в].
Ответ: ^_xcp = ^-Var-
Решение.
В соответствии с законом Био-Фурье
"?X-var = — M8)grad »•
db
Если ft = ft (/), то grad ft = grad t.
Тогда
_> Jft
<?X-var=- gradf- (1)
Из решения задачи 20-19 следует, что
^cl
J
1 (0) const = ,/.£2 . =1 (2)
гс1”"гс2
Подставив (2) в (1), получим:
"^X-var- -Ap-grad *
Последнее соотношение совпадает с законом Био-Фурье для того
же тела, но с постоянным коэффициентом теплопроводности Хср.
Поэтому
= var ~ *
ср
Гл. 21 ]
Нестационарные процессы теплопроводности
263
Г лава двадцать первая
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
21-1. Найти распределение температуры Цх, т) в полу-
ограниченном теле (область х>0 на рис. 16-1), если оно
имело температуру t0, а в начальный момент времени тем-
пературу его поверхности быстро уменьшили до te < t0
(для решения использовать ответ задачи 16-2).
Ответ:
X
2 Vox
+ j exp(~C2)dC.
J
Решение.
Поле температуры в заданных условиях описывается следующим
уравнением:
дт =а дх2’ (1>
а также начальным и граничным условиями
0|х-0,х = '.-'с = ^
«|х-0л = 0- (2)
Здесь
Из уравнений (1) и (2) следует, что система определяющих пара-
метров для распределения температуры & имеет вид:
f (&, х, а, т, Д/) = 0.
Приводя эту систему к безразмерному виду, получим:
Введем в рассмотрение новую независимую переменную
_ *
2 К ах *
264
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
Тогда уравнения (1) и (2) принимают следующий вид:
№ db
di* + 2; di~ 0;
®|^оо = д'; (3)
®|с=0 — °-
Решение (3) можно представить в виде.
X
2V ах
2 С
I ехр (•—?2)
У" <
или
2 /Г
' к о
Зависимость безразмерной температуры от х и т получается:
X
i — t. 2 / х \
—/ = 77= ехр(1-<’)<К=? (_
г° с V К .) \2/аг /
О
X
При возрастании —-_zr- безразмерная температура асимптотиче-
ски приближается к единице:
0 -> 1 при ——=• -> оо.
F 2/ат
Следовательно, процесс теплопроводности охватывает все полуогра-
ниченное тело через сколь угодно малый промежуток времени после
начала его охлаждения. Отсюда следует вывод о том, что получен-
ное решение приводит к бесконечно большой скорости распростране-
ния тепла.
21-2. Решить задачу 21-1 методом преобразования
Лапласа.
Ответ:
Гл. 21 ]
Нестационарные процессы теплопроводности
265
Решение.
Дифференциальное уравнение рассматриваемой задачи
Ох = а дхг •
где — /с.
Начальное условие:
при т = 0 и О^х^ос имеем 9 = /0 — (2)
Граничные условия:
при т > 0 и х = 0 имеем & = /с — /с = 0;*|
30 Л } (3)
при т^О и х —> оо имеем 0.
Идея решения задачи методом преобразования Лапласа заклю-
чается в следующем.
Дифференциальное уравнение в частных производных (1) и гра-
ничные условия (3) подвергают преобразованию Лапласа. Для этого
уравнения (1) и (3) умножают на e~~s'zdrz и интегрируют в пределах от
0 до I .
В результате получают дифференциальное уравнение в полных
оо
производных для величины 0—j*§exp(—st) dxt которую называют
о
изображением искомой функции 0.
Интегрируя это уравнение в полных производных, находят изо-
бражение Н искомой функции ft. Затем с помощью таблицы для пере-
хода от изображения 8 к оригиналу 0 находят искомую функцию.
В тех случаях, когда в упомянутой таблице необходимое изображе-
ние отсутствует, оригинал находят с помощью методов, изложенных
в работе [Л.1о]. В этой же работе помещена таблица для переходов
от изображений к оригиналам.
Подвергнув преобразованию Лапласа уравнения (1) и (3), получим:
[ -JI e~sxdz = fl
J dx J dx2
о о
co
При x == 0 имеем J Be““STd-u== 0.
о
00
при x -> сю имеем I e'~s’zdc -> oo,
Jdx
о
0)
(5)
где s — параметр преобразования Лапласа.
266
Нестационарные процессы теплопроводности [ Гл. 21
Выполним преобразование отдельных членов в уравнениях (4)
и (5)
где
Далее
J дх2
о
d2 (
'б/т = _ I
dx2 J
о
“‘'--Л.
dx2
Ое sxdi.
(6)
(7)
I A®. e~sxdz=9e-sz
.1 дъ
о
sxdt = sO — Д/.
(8)
Подставив (6), (7), (8) в (4) и (5),
производных д.тя изображения
получим уравнение в полных
б/20 <9 Л
dx2 а 6
и граничные условия:
Д/
а
(Ю)
при х = О имеем 0=0,
d0 Л
при х —> оо имеем —► 0.
(И)
(12)
Найдем изображение искомой
имеет вид:
функции. Общее решение
(Ю)
0 -= сх ехр
с2 ехр
(13)
о
о
о
5 •
Постоянные сх и с2 найдем из граничных условий (11) и (12). Из
(12) и (13) следует, что
J0
dx
X ехр I
_/ <9
a=C1r Техр
х-*оо
с 2
0.
s
а
Следовательно, — 0.
Из (11) и (13) следует, что
0 = с2 + у •
Гл. 21 ]
Нестационарные процессы теплопроводности
267
г,
Поэтому с2 = — у. Подставив найденные значения сх и с2 в (13),
долуч iM изображение 0 искомой функции 0:
e=^[s — $ехр(—-ух)
(14)
Воспользуемся таблицей перехода от изображений к оригина-
ла^м [Л.18].
Из этой таблицы следует, что изображению ~ соответствует ори*
соответствует
оригинал
«4»
гинал 1, а изображению ~ехр
решение задачи
Подставив в (14) вместо изображений
/ X \
их оригиналы 0, 1 и 1 —erf ( —7=').
\ 2 У аъ /
получим
9 — Д/ 1 — 1 + erf ( ’ П ~ Д/ erf f —/— .
[ \2 fat )\ \2 гat )
Следовательно,
21-3. Термические напряжения в твердых телах возни-
кают при наличии градиентов температуры. Определить
dt I
градиент температуры -^\ на поверхности полуограни-
L—о
ченного тела при быстром охлаждении (или нагревании)
его в условиях задачи 21-1.
Ответ:
dt __________ Zo — ZC
дХ х-0,г V ™
При т—>0 градиент температуры на поверхности тела
при внезапном его охлаждении (или нагревании) принимает
сколь угодно большую величину, что приводит к терми-
ческим перенапряжениям и разрушению тела.
268
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
21-4. Определить температуру в грунте на глубине
х = 0,5 м, если в результате пожара на поверхности
грунта температура этой поверхности поддерживалась рав-
ной tc = 1 0000 С, а до пожара грунт имел температуру
t0 = 0° С. Температуропроводность грунта
а = 2,5-10“3 м2[ч, [Л.40].
Ответ: 120° С.
21-5. Решить задачу В. Томпсона об оценке времени
остывания земной коры, исходя из следующих предполо-
жений:
Земная кора является полуограниченным твердым те-
лом, которое к началу остывания имело температуру /0=
1 000° С.
После начала остывания температура поверхности земли
оставалась постоянной и равной /с = 0°С, причем градиент
температуры на этой поверхности в настоящее время ра-
вен ’/so град)м, а средний коэффициент температуропро-
водности грунта
а~ 2,5-10-’ мг/ч.
Ответ: 13,5-10® лет.
21-6. Полуограниченное твердое тело выполнено из ма-
териала с постоянным коэффициентом температуропровод-
ности но с переменной теплопроводностью lit)
с \ч 4 7
и теплоемкостью с c(t). Тело имело температуру Ц, а за-
тем температура его поверхности была уменьшена до ве-
личины te Найти уравнение для нестационарного поля
температуры в этом теле.
Ответ:
t
^9
Л (0 dt
Л (/) dt
Гл. 21 ]
Нестационарные процессы теплопроводности
269
Решение.
Дифференциальное уравнение, начальное и граничное условия
имеют следующий вид:
_ $t
где а= const;
(О
— ^о;
>; х
Рассмотрим такую же задачу, но в теле с постоянными физиче-
скими свойствами
да д2а
дт “ а дх2 ’
(2)
х- 0 — ^с*
Пусть t = t (D). Тогда
д/ __d/ да = 1 dt д2° I д
дх da дх ’ дх db дх da дх2 дх дх
dt Л dt да
Х^дт Х(^а*дт’
(3)
Подставив (3) в (1), получим:
dt да dt д2а да_д_
Х М dt~K М а дхг ** а дх дх
Учитывая (2), находим:
да д Г dt 1 л
а з— X (t) пз- = О,
дх дх v 1 da J
так как а =f= О,
д Г dt~\
то dr[xWdrJ=0 и
= const = с
или
X (/) dt = cda.
270
Нестационарные процессы теплопроводности [Гл. 21
Интегрируя, получим:
t
J\(t)dt = c (Э-у;
tC
^0
j Х(/) dt = c(tQ-tJ.
*с
Исключим с из последних уравнений
t
(* * (0 dt
*С tc
I \(t)dt
Решение задачи (2) известно (см. задачу 21-1).
(-1)
^0
(5)
Подстазив (5) в (4), находим уравнение для поля температуры
в рассматриваемых условиях
t
J
tc * ( х \
eTf \'2 V '
j X(t)dt
Для определения поля температура t (х, т) необходимо задать
конкретный вид функции Х(/).
21-7. Толстая стена выполнена из шамота, который
имеет постоянную температуропроводность [Л. 106], пере-
менную теплопроводность
Л = 0,6О -{-0,917• 10”’/) [ккал[м-ч-град]
и температуру /о = 0°С. Затем температура поверхности
стены увеличена до Zc=1 500°C. Рассчитать нестационар-
ное поле температуры в стене.
Гл. 21 ]
Нестационарные процессы теплопроводности
271
Ответ:
Решение.
Общее решение задачи найдено выше (см. задачу 21-6)
t
Ь------------= erf
J X (/) dt
0,5 \
V Fo ) ’
(1)
В рассматриваемом случае X = Xo (1 + fy/)* Поэтому
Кроме того,
tZX — X6pxd/; dt ==
| Х(ол = >срдл
/о
Подставив эти соотношения в (1) и изменив пределы интегриро-
вания, получим:
х
С / 05 \
J = МЛр erf (pprjj-
Ло
Выполнив квадратуру, найдем:
*=|/ ^о + 2МхЧ,ДЛеи(^) =МЖхО.
Следовательно,
Далее Хср = 0,6(1 + 0,917-10-’-750) = 1,013.
272
Нестационарные процессы теплопроводности [Гл. 21
Поэтому
* ~0,917-Ю-3
о 1,013
2 “0 6" °’917’10'3-1 500 erf
= 1 090
1 + 4,64 • erf
—1
Безразмерная температура в стене равна:
0
t
1 500
(-?)
При постоянной теплопроводности стены решение задачи имеет
следующий вид:
"•-"'(.Ff?)- я
Результаты вычислений O(Fo) и 0О (Fo) для Fo = 1; 2; 5; 10; 15;
20 сведены в табл. 21-1 и представлены на рис. 21-1.
Таблица 21-1
N Fo е во
1 1 0,633 0,538
2 2 0,482 0,382
3 5 0,310 0,249
4 10 0,254 0,177
5 15 0,212 0,145
6 20 0,188 0,126
21-8. Найти поле вектора
Умова q(x, т) в полуограни-
ченном твердом теле, которое
Х(/)
имеет а=Щ) = const. Тело
затем температура его поверх-
имело температуру f0, а
ности была уменьшена до
Ответ: q = — Acpgrad&, где &(х, *) поле температуры
при а; Л = const.
Гл. 21] Нестационарные процессы теплопроводности
273
Решение.
Из закона Био—Фурье следует, что
—>
q — — X(Z) grad i.
Пусть т) — поле температуры в полуограниченном телес
а = const и Х = const, имеющим такие же начальное и граничное
условия.
Полагая t = t (0), получим
dt
<7 = —X(0^-grad0.
Из решения задачи 21-5 следует, что
dt 1 Г
Х = Хср = J х (0 dt-
о
Поэтому
Я = — хср grad °-
21-9. На поверхности полуограниченного тела имеют
место гармонические колебания температуры
/L=0;x=/oo + 'o-COs2l'^>
где т0 — период колебаний.
Найти нестационарное поле температуры t (х, т) в этом
теле, если процесс протекает достаточно длительное время
для того, чтобы начальные условия перестали оказывать
влияние на поле температуры.
Ответ:
Решение.
Постановка задачи для поля избыточной температуры 0^/— /оо:
»1х=0; t = '.COs(2« —J; (2)
»1г;,^=о = 0. (3)
18 К. Д. Воскресенский
274
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
(7)
Решение задачи ищем в виде произведения двух функций, каж-
дая из которых зависит только от одного аргумента
8 = JV(x)T(r). (4)
Подставив (4) в (1), после преобразований найдем:
1 <*Т
аТ dt = с‘; (5)
х dx* С1' (
где Ci — постоянная величина. Из (5) и (6) следует, что
Т = с2-ехр (cjax);
X = с8-ехр (Кере) + с4 exp (— y^x)
Из условия (3) следует, что с3 — 0. Поэтому
X=ct-exp (-Угре)- (#)
Следовательно, решение задачи имеет вид:
& = Х-Т = с6 ехр — У^х), (9)
где
с5 — с4.
Для определения постоянных и с5 воспользуемся граничным
условием (3). Записав уравнение (9) при х =0, получим:
9 I х=0 = cs ехР (с1ат)’ (10)
Сравнивая последнее соотношение с (3), найдем:
с6-ехр (ciaT) = f0 cos
последнее равенство будет выполнено, если с6 = t9, a ct — мнимое
число.
Дпя доказательства этого представим граничное условие (3) в
качестве действительной части от комплексного числа
т \ /г
cos 1 2л 4- i sin 2л —
\ то / \ то
« 0о Reel ехр [ /2л —
(2it—Y
\ т» /
8 | ^-о- х = Эв Reel Г
Гл. 21 ] Нестационарные процессы теплопроводности
275
Сопоставляя последнее соотношение с уравнением (10), получим:
Reel exp
= Reel exp (ctar).
Сравнивая множители при х, находим:
2л
С1= ат0
Следовательно, решение задачи принимает вид действительной части
от комплексного числа
у-- I -f- 1
Из теории комплексных чисел известно, что г / = ± у~~. Учи-
тывая условие (3), принимаем:
У”2 '
Подставив Yi в решение задачи, получим:
или
В свою очередь
Поэтому решение задачи получает следующий вид:
21-10. Найти наибольшее значение градиента темпера-
dt I
туры на поверхности полуограниченного тела -т— в
|х=0; х
условиях задачи 21-9.
18*
276
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
Ответ:
dt __
дх ]х=0; макс гтсаг0*
~2~
21-11. Найти скорость uQ и глубину х0 распространения
температурных волн в полуограниченном теле в условиях
задачи 21-9. Глубину х0 определить из условия уменьше-
ния амплитуды волны в 100 раз:
Ответ:
У *0 Г гО
Xo = 2,6V«oTo W»
где = и [а]=^м2/ч.
21-12. Определить глубину х0 заметного проникновения
в кирпичную и деревянную стены суточных гармонических
колебаний температуры, происходящих на поверхности
этих стен.
Для кирпичной кладки = 2-33-10“3 м2/ч, а для
деревянной стены а2 = 0,385-10“3 м2/ч [Л. 36].
Ответ: хО1 = 0,618 м\ хО2 = 0,25 м.
Эти величины определяют также толщины кирпичной и
деревянной стен, которые необходимо принять, чтобы эти
стены не пропускали наружных температурных волн с
суточным периодом.
21-13. Определить глубину х0 заметного проникновения
гармонических колебаний температуры в чугунную^стенку
цилиндра паровой машины (а —4-Ю'2 лг2/^;" /гх =
— 240 об/мин) и в стальную стенку цилиндра автомобиль-
ного двигателя (а2 = 5-10"2 м2/ч-, /г2 —4 500 об1мин).
Ответ: хО1 = 4,34 мм\ х02 = 1,1 мм.
21-14. Вычислить распределение амплитуд &Ох(х) гармо-
нических колебаний температуры, а также ее наибольших
и наименьших значений в сухом песчаном грунте (а —
= 2,73-10~3 м2/ч), если амплитуда годичного колебания
среднемесячных температур на поверхности грунта /0 =
Гл. 21 ]
Нестационарные процессы теплопроводности
277
= ztlO°C, а минимальная температура на поверхности
^=о:миН = — 5° С (эти Данные соответствуют Европейской
части Советского Союза) [Л. 36].
Ответ: &Ох= 10>ехр (—0,362л);
'макс = 5 + 1 о • ехр (— 0,362л);
'мин = 5 — 10 • ехр (— 0,362л).
21-15. Найти распределение температуры Цх, т) в по-
луограниченном теле для граничных условий второго
рода.
Тело имело температуру /0, и в начальный момент
времени начинается подвод тепла к его поверхности с по-
стоянной интенсивностью qc [ккал 1м2- ч].
Ответ:
/ — /о
X
1
л
2 /ат
х
ехр
Решение.
Нестационарное поле температуры 0 = /— /0 в рассматриваемых
условиях описывается следующими уравнениями:
аа _ д2а
дт а дх2 ;
да ______________£с_
дх х=0; X •
Из этих уравнений следует, что система определяющих парамет-
ров для О имеет вид:
- (ч 1 п
f, I а, х, т, а — 1=0.
(2)
Приводя (2) к безразмерному виду, получим:
ах х \
—, )=0,
/7с* Yew )
(3)
278
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
Введем в рассмотрение новую независимую переменную
е = -4=-.
2 у ат
Обозначив —-=Т, получим:
Т = /,(«)•
Система (1) для новой независимой переменной ? имеет следую-
щий вид:
С J (К ’
тс->оо = °; Н)
dT
I с=о + тк=о == ~ 1 •
Решая (4), получаем
1 е-<‘
т=^~-(1-erf?). -
Возрващаясь к переменным хит, находим:
t —19 \ 2 Уат / х2 \ / х \
ЯсХ ”7^ X ехр^ 4^J —’+erfl2J/— }.
X
21-16. Найти распределение температуры в полуограни-
ченном теле для третьего рода граничных условий.
Тело и омывающая его жидкость имели температуру
/0. В начальный момент времени температура жидкости
была увеличена до На поверхности тела задана
постоянная величина коэффициента теплоотдачи а
[ккал/м* -ч,-град\.
Решение выполнить методом преобразования Лапласа.
Ответ:
21-17. Определить температуру поверхности сухого
песчаного грунта /гр (т) при внезапном понижении темпера-
Гл. 21 ]
Нестационарные процессы теплопроводности
279
туры воздуха до tK =—10° С. Вначале воздух и грунт
имели одинаковую температуру f0 = -|-5oC. Заданы сле-
дующие величины: а = 10 ккал\мг-ч. град, Л=1,2 ккал1м'Х
Хград-ч; а = 2,7-10_‘ м2)ч [Л. 36].
Ответ: frp = 15-ехр(0,188т) [1 — erf (0,433/7)] — 10.
21-18. Определить нестационарное поле температуры
t (х, т) в пластине, которая имела постоянную температуру
f0, а затем в начальный момент времени была погружена
в жидкость с другой температурой ^ж>^0. Решение вы-
полнить методом разделения переменных.
Ответ:
_ sin nk cos ( пк )
S + Sin cos nk eXp( ~
Л=1
Функция nk — f (A, Bi) представлена на рис. 21-3.
Решение.
Поле температуры $ — t в пластине подчиняется уравнейию
Фурье •
dfr _ д2Ъ
Иг~адхХ
а также начальному и граничному условиям
® 1т=0; х~^ж
<Э& I
X , ~ = — ев L
М*=+»-0;г 1х=+г
df>
х=0;г
В этих уравнениях заданы следующие величины: a; S; А; а; Д/.
В соответствии с методом разделения переменных представим част-
ное решение задачи 0 в виле произведения дв х функций, каждая из
которых зависит от одного аргумента. Тогда уравнение (1) принимает
следующий вид:
1 йГГ _ a d2X ___
Т dr X dx2 const-
280
Нестационарные процессы теплопроводности
[Гл. 21
Следовательно,
= const и Г = е^0003^ .
Т аг 1
Так как при т->оо 0-» 0, то const должна быть отрицательной.
Пусть , — 2 const — — с2*
Тогда Т = Ci ехр (— cfy
и d*X , «2 dxi+ а Х = °-
Решая последнее уравнение, находим:
X — с3 cos
Из условия симметрии следует с4 = 0. Тогда решение задачи при-
нимает следующий вид:
0 = XT = с5 cos ехр (— С2Т)’
где
С5 —
граничного условия третьего рода на поверхности пластины
Из
получаем:
V а
с2 = nk ’
где
aS
Т
= Bi,
a nk удовлетворяет трансцендентному уравнению
nk
-щ-— ctg (^ = 1, 2, 3...).
Следовательно, с2 выражается через корень nk этого трансцендент-
ного уравнения. Схема решения этого уравнения относительно nk
представлена на рис. 21-2. Зависимость nk = f(kt Bi) представлена на
рис. 21-3.
Гл. 21 ] Нестационарные процессы теплопроводности 281
Таким образом,
п / 2 ат;\ / х
ехр -nk -*-) cos—
Общее решение задачи представим в виде суммы частных реше-
ний:
00
6=1
Величину с5 оказывается возможным определить теперь, исполь-
/ X \ X
зуя ортогональность функций cosfn^-y-j в интервале 1.
(х \ X
—любое, зафик-
сированное k) и проинтегрировав от 0 до 1, получим:
282
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
Известно, что
С ( х \ ( х \ х
J cos yj cos [п( — J d у- =
О, если k =/= I
Следовательно,
Так как I есть любое зафиксированное k, то
Поэтому решение задачи имеет следующий вид:
1
о
После преобразований получим:
2Д/
+ sin nk C0S nk
sin nk cos
(o ar \
21-19. Резиновая пластина (^ = 20° С; 28 = 6 мм\ а =
= 5,3-10“4 м2)ч\ 2 = 21 ккал! м2-ч-град) помещена для
нагревания в термостат (/ж=150° С; а=21 ккал) м2-ч-град).
Определить температуру пластины в ее центре tx и на по-
верхности t2 через т=2 мин после начала нагрева.
Ответ: ^ = 71ОС; /, = 81°С.
Гл. 21]
Нестационарные процессы теплопроводности
283
Решение.
Числа Фурье и Био для пластины равны:
ат _ 5,3.10-*.2 _1
Fo“ 62 (3.10-3)2 60 ,9б;
Пользуясь графиками 0x(Fo, Bi) и 02 (Fo, Bi), представленными
150 — _
на рис. 21-4 и 21-5, находим 01 = О,61 и 02 = 0,53 или j5q "~20 =
=0,61 и _ 20 = 0*53» откуда /1 = 71° С и /2 = 81° С.
Выполняя аналогичные вычисления, нетрудно найти температуру
пластины в любой момент времени.
21-20. Найти поле температуры в пластине в условиях
задачи 21-18, если внутреннее поперечное термическое
сопротивление пластины мало по сравнению с ее внешним
термическим сопротивлением. Решение получить как пре-
дельный случай общего решения при Bi < 1.
Ответ:
аг \ л с\ 1
—_^ехр(__._) при о< — <0,1.
Решение.
Нестационарное поле температуры в пластине для граничных
условий третьего рода описывается следующим уравнением (см. за-
дачу 21-18):
оо
о = Ak cos (nkx) exp (— n2k Fo),
1
где
2 sin nb
A =----------------
k nk + sin nk cos nk ’
a nk является корнем трансцендентного уравнения
Bi = ^.tg nk,
при малых значениях числа Био, когда В1 —► 0, имеем:
-*(& — !) к.
286
Нестационарные процессы теплопроводности
[Гл. 21
Поэтому для k >= 2
-______________2 sin (£ — 1) __________
(k — 1) к -|- sin(£ — 1) я cos (/г—1)к“
и для k « 1
sin nt
"1
Л1=11т----=—--------= 1.
п —кП . S1П П1
* 1 +-T-kCOSrt1
"1
Следовательно, при Bi < 1 решение задачи принимает следующий
вид:
0 cos(mxx) ехр (— nfFo).
Далее при Bi 1 имеем nt < 1 и tg nt лх.
Поэтому
COS (HjX) s* 1,
Bi = nx tg nx n\
и _
nx= /Bi.
Следовательно,
0 exp (— Bi-Fo).
Эти упрощения справедливы, как показывают более подробные
расчеты, в области 0 < Bi ^0,1.
21-21. Нагретый лист стали (2В = 20 мм
Л = 39 ккал]м-ч-град’, С = 0,1 ккал]кГ-град\
у = 7 900 кГ!м\ /о = 500эС) помещен в воздух (/ж=20°С;
а = 30 ккал1м*-ч*град).
Определить промежуток времени т, по истечении кото-
рого температура листа будет отличаться на 0,2° С от
температуры воздуха.
Ответ: т = 2,02 ч.
Решение.
Число Био для листа стали
Bi =
ад
Т
ЗО-Ю.Ю-з
39
0,77-10—2 « 0,1.
Гл. 21 ] Нестационарные процессы теплопроводности
287
Поэтому для расчета охлаждения листа можно воспользоваться
предельным законом, полученным при решении задачи 21-20;
О = ехр (—Bi Fo).
Из последнего уравнения находим:
«а 1 , Л 8’ 1 ,
х~~ а В11пв~“ a Bi ln/0-tx ' (1)
Температуропроводность стали равна:
X 39
а= су “0,1-7900 =4’94-1°~а
Подставив известные величины в (1), получим:
(10.10-»)2 1 20,2 —2 _
х-----4,94.10-2 0,77.10-’ 1п 500 — 20 2,02 *•
21-22. Стальной слиток в виде параллелепипеда 21хХ
Х2Вд,-28я. (рис. 21-6) имел температуру tg.
Рис. 21-6. К задаче 21-22.
В начальный момент времени слиток поместили в печь.
Температура газов в печи На поверхности слитка
задана постоянная величина коэффициента теплоотдачи
288 Нестационарные процессы Теплопроводности [Гл. 21
а [ккал[м2-ч-град]. Доказать, что безразмерная темпера-
tx-t „ „
тУРа 7---7 в любой точке слитка равна:
ГЖ Г0
где t и tz — температуры в той же точке трех пластин,
пересечением которых образован параллелепипед, причем
начальные и граничные условия для этих пластин такие
же, как и для параллелепипеда.
Решение.
Поле температуры в параллелепипеде' описывает дифференциаль-
ное уравнение
дъ ' a\dx2±dy2±dz2 ] ’ (1)
Начальное условие.
При т — 0 в любой точке тела имеем t — tQ. (2)
Граничные условия
x = ±^; а(/ж ~ Х дх = 0
При т >0 и у = + Sj,; имеем а (/ж — ду = 0; (3)
2 = ± а (/ж —z) + Х dz = 0.
Докажем, что решение этой задачи можно представить в виде
уравнения (4) или (5):
^ж ^ж ~~
^ж ^ж ^ж ^ж
^ж
где St = /0, a tx = tx (х, т), ty = ty (у, т) и tz = tz (z, т) - неста-
ционарные поля температуры в трех пластинах, пересечением которых
Гл. 21 ] Нестационарные процессы теплопроводности
289
образован параллелепипед. При этом температуры в пластинах опре-
деляют дифференциальные уравнения
dtx дЧх ’
дт ““а дх2 ’
дЧу
dz ~~аду2 ’
d2tz
dz~a dz2
Начальные условия.
При т==0 в любой точке пластин имеем /х = ^ = ^ = /0.
Граничные условия
(6)
(7)
dt
«Ж-У ’,77"°-
dt u
При г 0 и = + <3^ имеем а (/ж — t у) -f-A = О;
dt„
“(<ж-У + ^ = о.
х = ± 8Х;
(7)
Z
Для доказательства этого соотношения подставим (5) в (1). После
преобразований получим:
(*ж “ *у) ^ж — (г) ~ а дх2 )
дЧу\ ,
{^-аду^)+
(dtz д2/ж\
Так как температуры tx, ty и iz согласно условию удовлетво-
ряют уравнениям (6), то
dtx д2*х
дт ~а'дхг =0;
dtv d4v dt, дЧ,
и уравнение (8) обращается тождественно в 0.
Следовательно, соотношение (5) удовлетворяет уравнению (1).
Докажем, что соотношение (5) удовлетворяет также начальному
условию (2) для параллелепипеда. Подставив (5) в (2), получим, что
при т = 0
Д^2 (^ж (^Ж tу) (^Ж ^)=^0•
19 К. Д. Воскресенский
290
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
Подставив в последнее уравнение начальные условия (7) для
пластин, получим:
^Ж "д/2 (^ж '<>) ^Ж ^о) (^Ж =
или
Следовательно, соотношение (5) удовлетворяет также начальному
условию (2) для параллелепипеда.
Докажем, наконец, что соотношение (5) удовлетворяет гранич-
ным условиям (3). Подставив (5) в (3), получим:
Га (t I к ^*1 л
----------------[ »(к - U + * — J = °:
(^Ж Л Л dtz 1 Л
Ы* Га х dz J = 0;
('ж-СЛ'ж-Ц г „ п
ДР [“ Х z J = °'
Температуры /х, ty и tг удовлетворяют граничным условиям (7).
Поэтому последние три уравнения обращаются тождественно в нуль.
Таким образом доказано, что (4), а значит и (3) действительно яв-
ляются решениями задачи о теплопроводности параллелепипеда.
Этот прием значительно облегчает практический расчет поля
температуры в параллелепипеде, так как сводит задачу к расчету
пластиньц
В заключение заметим, что этот прием справедлив и в более
общем случае, когда коэффициент теплопроводности материала
параллелепипеда имеет различную величину \у и \z в зависимости
от направления, а также, когда коэффициенты теплоотдачи на гра-
нях ± ± Ъу, + \ различны ахф а.az.
21-23. Стальной слиток, имеющий форму параллеле-
пипеда (400X600X800 мм; /о=30эС; Л=30 ккал)м*ч*град;
а = 2,25-10~а м2[ч), помещен для нагрева в печь (/ж =
= 1 200эС; а = 150 ккал)м2*ч-град). Определить темпе-
ратуру /00 в центре слитка через т = 2 ч после начала на-
грева.
Ответ: /00 =865°С.
Решение.
Температуру /вв в центре параллелепипеда найдем из уравнения,
полученного при решении задачи 21-22:
^ж _ ^ж ^х=0 /ж
Gk ^0 ^ж t-K — to ( )
Гл. 21 ] Нестационарные процессы ?еплопроводности 291
Температуры пластин , tz_Q найдем из уравнений
^ж ^л=0 С ах а5х' 'Ч 82 ’ х \ * > ) = fi(Fox, B1J;
^ж * ж ?у=0
/ аг aSy \ V2/ к) l = fi(FOj,, Bij,);
( ах аЧ х > ) = Л (Foz, В1г),
t-ж
которые в виде графика изображены на рис. 21-4.
Подставив в (2) известные величины, найдем:
аг __2,25-10-2.2
*0ж— s2 о,22 1,125;
Л 30 ’
По графику находим, что при Fox= 1,125 и Bix = 1
^=° А ДО
/ — t — и>4°- гж
Далее а% 2,25.10-2.2 =ь0,50;
Г0^— й2 0,32
150.0,3 D J ± 1 5
По графику находим:
_п70
Далее д / и,/и. «ж fo ах 2,25-IO-2-2 F°Z-.^ 0,40 = Z = 0,281;
^Z 150-0,4 9
X 30 “
По графику находим: /ж ~zz=°=085
0>85-
(3)
(4)
19*
292
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
Подставив (3), (4) и (5) в (1), получим:
^00
^Ж *0
0,48.0,85.0,70 — 0,286.
Следовательно, температура в центре слитка равна:
= /ж — 0,286 (/ж —1„) = 1 200 — 0,286 (1 200 — 30) = 865е С.
21-24. Определить время т0, необходимое для нагрева
длинного стального вала диаметром 2/? =140 мм, который
имел температуру /О = 27°С, а затем был помещен в печь
с температурой Лж=860°С. Определить также температуру
ir=o на оси вала в кон«е нагрева.
Нагрев закончен после того, как температура на по-
верхности вала достигнет величины л=850°С.
Коэффициенты теплопроводности и температуропровод-
ности стали равны соответственно 2 = 33 ккал!м- ч-град,
а = 2,5-10-2 м2[ч, а коэффициент теплоотдачи на поверх-
ности вала равен а=140 ккал]мг-ч-град [Л. 10,а].
Ответ: т0 = 1 ч 32 мин, tr_0=848°C.
Решение.
Температуру на оси и на поверхности длинного цилиндра опреде-
ляют с помощью рис. 21-7 и 21-8, на которых представлены графики
функций
о)
“) <2>
Подставив в (2) известные величины, найдем:
z«""zr±=/? 860— 850
„0.3.
33
Из рассмотрения рис. 21-8 следует, что при 0 = 0,012 и Bi = 0,3
критерий Fo равен:
Ро-^-7,8.
Гл. 21 ] Нестационарные процессы теплопроводности
295
Следовательно, время нагрева вала равно:
то
R2 Fo
— а
(70-10-3)2-7,8
2,5 • 10 -3
= 1,53 4 = 1 4 32 мин.
Далее из рассмотрения рис. 21-8 следует, что при Fo = 7,8 и Bi=0,3
безразмерная температура на оси вала равна:
= 0,0138.
гж ~~
Следовательно,
/г=0 = — 0,0138 (/ж — /0) = 860 — 0,013 (850 — 27) = 848° С.
21-25. Короткий цилиндр длиной 28 и диаметром 2R
(рис. 21-9) имел температуру t0, а затем был погружен
в теплоноситель с температурой / > /0, причем коэффи-
циент теплоотдачи на поверхности этого цилиндра равен
а [ккал! м2-ч-град].
Доказать, что безразмер-
ная температура -------т в
гж Го
любой точке короткого ци-
линдра равна:
^ж ^ж ^х
Рис. 21-9. К задачам 21-25 и 21-2^.
^Ж ^0 ^Ж ^ж ^0
где tr и tx — температуры (в той же точке) длинного ци-
линдра и пластины 23, пересечением которых образован ко-
роткий цилиндр, причем начальные и граничные условия
для длинного цилиндра и пластины такие же, как и для
короткого цилиндра.
Решение.
Поле температуры в коротком цилиндре описывает дифференци-
альное уравнение
dt fd2t 1 dt , d2t \
дъ~а\дг2 +r дг+дхг J’ W
Начальное условие
При х = 0, 0 < г и & < х < 4- & имеем х =» те. (2)
296
Нестационарные процессы теплопроводности
[Гл. 21
Граничные условия:
dt
При х > О, г = /?и, — + & имеем а(/ж — t) — X = 0. (3)
dt
При х > 0, Х = ±^и, имеем a (t* — /) 4- X = 0. (4)
Решение этой задачи можно представить в виде уравнений (5) или (6)
^ж ж
^ж
или
= ^ж дГ ^Ж Q (^Ж
где
М = ty* — h, a tx tx(x, х) и tr = /Г(г, т)
(5)
(6)
— нестационарные поля температуры в длинном цилиндре и пластине,
пересечением которых образован короткий цилиндр.
Температуры tx и tr определяются дифференциальными уравне-
ниями:
^=a/^L+l_£fr\
дх \ дг2 г дг /
dtx
дх дх2
(7)
Начальные условия:
При х = 0 и —+ B для пластины имеем tx =- t0. (8)
При х = 0 и для длинного цилиндра имеем tr = t^
Граничные условия:
При х>0 и х= + а для пластины имеем:
»(^ж-4)ТЛ^ = 0. (9)
При х>0 и г =* R для длинного цилиндра имеем:
а (^ж ““ М "" = О*
Подставим (6) в (1). После преобразований получим:
а
ж
d^t +i_£fr
дг2 г дг
= 0. (10)
Гл. 21]
Нестационарные процессы теплопроводности
297
Температуры tx и tr удовлетворяют уравнениям (7). Поэтому
dtx дЧх А
— а_____- = 0;
дъ дх2
dz \ dr2 г dr /
и уравнение (10) обращается тождественно 0. Поэтому соотношение
(6) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1).
Соотношение (6) удовлетворяет также начальному условию (2)
для короткого цилиндра. Действительно, подставив (6) в (2), получим,
что при т = 0, и — Ь х + В температура равна:
'ж(И)
Но температуры tx и tr подчиняются начальному условию (8):
== ^о-
Подставив (8) в (11), получим тождество
= ^о) (^ ^о)-
Следовательно, соотношение (6) удовлетворяют также и начальному
условию для короткого цилиндра.
Уравнение (6) удовлетворяет также граничным условиям (3) и (4).
Подставив (6) в (3) и (4), получим:
/ж —/
дГ“
~д7
ж r’ dr J,=R
'ж — U + Х
ж X/
= 0;
= о.
х=±б
Последние два уравнения обращаются тождественно в 0, так как
и tz удовлетворяют граничным условиям (9) для длинного цилиндра
и пластины.
Следовательно, уравнения (6), а значит, и (5) являются решениями
задачи о коротком цилиндре, они удовлетворяют дифференциальному
уравнению (1) и начальным и граничным условиям (2), (3) и (4).
Этот прием облегчает практические расчеты поля температуры
в коротких цилиндрах, так как сводит эту задачу к более простым
задачам о длинном цилиндре и пластине. Этот прием справедлив и в бо-
лее общем случае, когда на боковой поверхности короткого цилиндра
коэффициент теплоотдачи равен av а на торцах а2.
298
Нестационарные процессы теплопроводности
[ Гл. 21
21-26. В печь загружают стальную болванку (рис. 21-9).
Определить температуру болванки в четырех точках через
45 мин после начала нагрева, если заданы следующие ве-
личины:
Длина болванки 28 = 0,4 м.
Ее диаметр d = 0,l м.
Ее начальная температура Z0 = 15°C.
Физические параметры стали: 2 = 20 ккал\м*ч-град,
С = §,\1 ккал1кг-град, у = 7 800 кГ1м3.
Коэффициент теплоотдачи на поверхности болванки
а=120 ккал1м2-ч-град.
Температура газов в печи ^ж = 640°С.
Координаты точек, в которых необходимо определить
температуру (г = 0; х = 0); (г = 0; х = 8); (г = г0; х = 0);
(г = 0; х = 8).
Ответ: t (0, 0) =586°С; f(0, 8) = 595°С;
Z (r0, 0) = 598°С; t (r0, 8) = 606°C.
21-27. В теле произвольной формы, имеющем объем V
и поверхность F, действуют внутренние источники тепла qv.
В начальный момент времени тело погружают в среду с из-
меняющейся во времени температурой. Интенсивность от-
вода тепла от поверхности тела является заданной вели-
чиной. Внутреннее термическое сопротивление тела по всем
направлениям мало по сравнению с его внешним термиче-
ским сопротивлением. Ввести дифференциальное уравнение
для средней по объему температуры t тела в зависимости
от времени.
Ответ:
\cVd^+^qPdF-\qvdV^
F V
Решение.
Поле температуры в рассматриваемых условиях подчиняется урав-
нению Фурье
^=aV2/ + ?K (1)
дъ tc
и граничному условию
. dt I
— XdnL= о~Чр
Гл. 21 ] Нестационарные процессы теплопроводности
299
Осредняя уравнение (1) по объему V, получим:
V = a J(div grad t)dV+ ^qvdV. (3)
V V
На основании теоремы Остроградского и уравнения (2) имеем:
jdivgrad/.dV =^(grad„.OfdF=^ -dF = - dF. (4)
V F F n=—Q,F F
Подставив (4) в (3), получим
V^c^-+j qFdP-^qvdV=0.
F V
или
21-28. Найти зависимость от времени средней темпера-
туры пластины, длинного цилиндра и шара. Каждое из этих
тел имеет начальную температуру Zo;
погружено в жидкость с /ж<^0;
имеет постоянный коэффициент теплоотдачи а на ох-
лаждаемой поверхности;
имеет малое внутреннее термическое сопротивление по
сравнению с внешним.
Для решения воспользоваться общим уравнением, най-
денным в задаче 21-27, положив qF=a(t—/ж) и qv = 0.
Отт ’ t л I CIZ ОС Г л
твет: Для пластины f——|-=ехр-2’"Г
ж ~ 0 \ ro J
Для / ’ tл [ л 6ZX ОС/*л \ цилиндра = ехр —2-у.-^ . гж —г<» у го Л / .
Для шара tx— (0 е Ч 6 Г2п ’ X ’ ж \ о /
Эти уравнения справедливы, если число Био для каж-
дого из тел не превышает ^0,1.
300
Нестационарные процессы теплопроводности
[Гл. 21
21-29. Ртутный термометр имел температуру и был
помещен в сосуд с воздухом для измерения его темпера-
туры. Через сколько времени показания термометра будут
отличаться от измеряемой температуры на 1°/0, если: а) воз-
дух неподвижен и коэффициент теплоотдачи на поверхно-
сти термометра равен а = 10 ккал]мг-ч-град; б) воздух
движется и а = 50 ккал(м2-ч,-град.
Воспринимающий элемент термометра имеет форму шара
диаметром 2г0 = 6 мм. Кроме того, для ртути
а=1,6-10_а мг]ч и 2 = 7 ккал1м'Ч-град.
Ответ: a) x=s 12 мин-, б) tss2,4 мин.
Решение.
Число Био для ртутного шара диаметром 2г0 == 6 мм равно:
аГо
К
50.3.10-’
7
= 0,0214.
Следовательно, в рассматриваемом случае Bi<^l. Поэтому для опре-
деления и хь можно воспользоваться решением задачи 21-28 для
шара (влиянием тонкой оболочки из стекла пренебрегаем):
0Ш = ехр(— 3Fo-Bi),
откуда находим:
, _ F° го _ 1 ro In 1
'* а 3 a Bi '
По условию задачи 0Ш — 10-2. Подставив известные величины,
получим:
3600 (3.10-3)2 1 _3,12
(л~ 3 1,6-10-2 Bi 1п 0,01 Bi сек-
В первом случае
Гл. 21 ] Нестационарные процессы теплопроводности
301
Поэтому
3 12
ха ~ 4 28.16-* = ’ Ю2 сек мин'
Во втором случае Bl=21,4-10“* и гг, = 2,4 мин.
21-30. Тепло произвольной формы с малым внутренним
термическим сопротивлением имело температуру /0 и в на-
чальный момент времени было погружено в среду с по-
стоянной температурой Коэффициент теплоотдачи
на поверхности этого тела является линейной функцией
от температуры а = а0-{-В(/ — /ж). Найти зависимость
средней температуры тела от времени [В. А. Баум].
Ответ:
t — t
1
Ж
ж Ра(^о ^ж)1 ехР )
где
Решение.
в
1сУ
Температура тела с малым внутренним термическим сопротивле-
нием подчиняется дифференциальному уравнению (1), которое было
найдено при решении задачи 21-27:
+J9fd? = 0, (1)
F
где qF = a (Г—1Ж).
Начальное условие имеет следующий вид:
(2)
Интегрируя (1) с учетом (2), находим:
'«~гж I1+MZ»—<ж)1ехР/и'’ —М'«—Гж)'
Здесь
_ a0Fo В
m = ~W’7t = ^
21-31. Тело имеет весьма малое внутреннее термиче-
ское сопротивление по сравнению с внешним (малое число
Био Bi«^l) и охлаждается в среде, имеющей постоянную
302
Тепловой и гидродинамический пограничные слои [Гл. 22
температуру tK. Теплоотдача на поверхности тела подчи-
няется закону Ньютона—Рихмана. В момент времени
тело имело температуру Найти зависимость темпера-
туры тела от времени /(t), если величина коэффициента теп-
лоотдачи не задана, а начальная температура тела равна tv.
Ответ:
21-32. Через сколько времени температура тела в усло-
виях задачи 21-31 достигнет 10°С, если через 3 мин после
начала охлаждения температура тела снизилась со 100
до 50эС.
Ответ: Через 100 мин.
Глава двадцать вторая
ТЕПЛОВОЙ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ
ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ
ди I
дх Ь=+о‘
22-1. Полубесконечная тонкая пластина омывается па-
раллельным ей ламинарным потоком жидкости. Вдали от
пластины поток имеет скорость «0 (рис. 22-1). Найти ин-
тегральное соотношение, которое связывает толщину б гид-
родинамического пограничного слоя с распределением ско-
рости в этом слое [Л. 42J.
8W
Ответ: j (и, — и)и dy
о
Решение.
Выделим в гидродинамическом пограничном слое (рис. 22-1) элемен-
тарный участок Дх.
Составим для этого элемента уравнение закона сохранения коли-
чества движения. Для проекций количеств движения на ось х имеем:
ДМ, — (Мх_^х — Мх) = т,Дх-1 сек.
(1)
Гл. 22 ] Тепловой и гидродинамический пограничные слои
303
Здесь т0— касательные напряжения трения на поверхности пла-
сгины. Остальные обозначения ясны из рис. 22-1.
Поделив (1) на Ах и переходя к пределу при Дх->0, получим:
d
^(Мо-Мх) = .о, (2)
В свою очередь,
dM0 = uod J
о
а(х)
dA4x = d J puMy;
о
(3)
du
хо — V* dV
аУ 7=+0
Подставив (3) в (2), после преобразований получим интегральное
соотношение Кармана [Л. 42]:
*(х)
d С ди
dt J ду
о
22-2. Показать, что толщина 8 гидродинамического по-
граничного слоя на пластине в условиях задачи 22-1 про-
порциональна величине
х
Мох ?/« *
\ /
304 Тепловой и гидродинамический пограничные слои [Гл. 22
Решение.
Оценим порядок величин левой и правой частей интегрального
соотношения Кармана:
8 9
d Г U7fi
-^yut-u)udy^
О
ди vu0
дУ j*=4-o 8
Сравнивая последние два соотношения по порядку величины, по-
лучим:
и(Р ^и9
' X
Следовательно,
т/ ц<>х
Точное решение этой задачи имеет следующий вид [Л. 17]:
22-3. Полубесконечная тонкая пластина имеет темпера-
ТУРУ и омывается параллельным ей ламинарным потоком
жидкости (рис. 22-2). Вдали от пластины температура и
Рис. 22-2. К задаче 22-3.
Гл. 22] Тепловой и гидродинамический пограничные слои
305
скорость жидкости равны соответственно. ^ж>/с и и0. Найти
интегральное соотношение, которое связывает толщину k(x)
теплового пограничного слоя с распределением температуры
и скорости в этом слое [Л. 12].
k
Ответ: i—
о
Решение.
Выделим в тепловом пограничном слое (рис. 22-2) элементарный
участок Дх и составим для него баланс тепла
AQ0 + Qx = AQc + Qx+4x.
После преобразований и перехода к пределу при Дх -* 0 получим:
ЧСр-1 (У) и (» dy-
В свою очередь,
k(x)
о
k
dQx = d
о
. dt
dQc = Аж
Подставив (2) в (1), после преобразований получим:
Л(Х)
d С I
37 J (»о-»)«^ = «фг1+0. (3)
О
где
0 = и 0о =/ж-/с.
22-4. Пластина в условиях задачи 22-3 омывается жидко-
стью, число Прандтля которой значительно превышает еди-
ницу: Pr> 1. Показать, что в этом случае местное число
Нуссельта на пластине пропорционально Рг1/з [Л. 16].
20 К. Д. Воскресенский
306 Тепловой и гидродинамический пограничные слои [ Гл. 22
Решение.
Местное Число Нуссельта на поверхности пластины по определе-
нию равно;
Nu,= + V_»|? .
' », cO'Izrf
На толщине теплового пограничного слоя у ~ 1г температура ис-
пытывает изменение 0 0о. Поэтому порядок величины для Nux
равен:
х 0о х
Nux т ~k •
(1)
Для оценки k воспользуемся интегральным соотношением
Г. Н. Кружилина:
k
d С о>а I
57 J = (2)
о
оценим порядки величин левой и правой частей этого соотношения.
При Рг» 1 имеем (рис. 22-3). Поэтому на толщине k скорость
k
их изменяется на величину порядка и0.
Следовательно,
d
dx
k
J (Ao — A) ux dy
0
flo&2«o
Sx
В свою очередь, для толщины гидродинамического слоя справед-
ливо следующее соотношение (см. решение задачи 23-2):
Поэтому
k 3!
d (* /й j bQk2uQ ( uQx\l/t________________О0£2ц0а
Далее,
dfl afl0
ady 7=0
Сравнивая (3) и (4) по порядку величины, получим:
D0/v,2w(/a а0о
Х3/ам’/а
(3)
(4)
Гл. 22] Тепловой и гидродинамический пограничные слои
307
Следовательно,
a^z у1/®#
Подставив последнее соотношение в (1), получим:
кт * (xu0\’Vv
Nik -г --------------= — — I .
k ч'1>а1*х'1* \ / V /
Следовательно, при Рг^>1 имеем:
Nux Re^-Pr’/s.
Необходимо подчеркнуть, что закон ’/3 здесь получен как пре-
дельный при Рг»1.
22-5. Число Прандтля для жидкости, омывающей пла-
стину в условиях задачи 22-3, много меньше единицы
Рг<1. Показать, что при этом местная теплоотдача пла-
стины пропорциональна РгЧ
Решение.
Порядок величины местного числа Нуссельта на пластине
(1)
При Рг < 1 имеем S <О (рис. 22-4). Поэтому на толщине k ско-
рость и изменится на величину и0. Следовательно,
k
d ( I) n и nk
6
и
I a0o
20*
308
Тепловой и гидродинамический пограничные слои (Гл. 22
Сравнивая последние два соотношения, находим:
Подставив (2) в (1), получим решение задачи:
22-6. Показать, что местное число Нуссельта на пла-
стине в условиях задачи 22-3 пропорционально Re1/a при лю-
бом значении числа Прандтля.
Решение.
Местное число Нуссельта на пластине равно:
Яу+ох X дО I
Nux “XZF = Ыду Ь=-ьо*
В свою очередь, в решении задачи 18-1 было найдено, что
(2)
Подставив (2) в (1), после преобразований найдем:
\7я
—j =?(Pr)-Rex/a.
Из решений задач 22-4 и 22-5 следует, что
?(Рг» 1) pF3
и
(Рг < 1) Рг1/2.
22-7. Для расчетов пограничных слоев с помощью
интегральных соотношений Кармана и Кружилина необхо-
димо аппроксимировать поля температуры 6 и скорости и
в этих слоях с помощью удобных функций. Выполнить эту
аппроксимацию с помощью полиномов четвертой степени.
Ответ:
е — vL — vlL? м (УЛ*-
По Ь у б ) \ ° /
Гл. 22] Тепловой и гидродинамический пограничные слои
309
Решение.
Пусть
(1)
Для определения десяти постоянных коэффициентов ап и Ьп
(п = 0, 1, 2,..., 4) необходимо располагать десятью граничными усло-
виями.
Шесть из них могут быть записаны с помощью самого опреде-
ления толщин слоев:
11 1^=0; — 0; $ |у== о; — 0’ U ~
ди I ди I
(2)
Дополнительные четыре граничных условия получим из рас-
смотрения дифференциальных уравнений для гидродинамического и
теплового пограничных слоев [Л. 12 и 17|:
ди ди д2и -ч
ид^ + = I
до да дг& (
ид^ + дду- = ад^- >
(3)
Из условий (2) и уравнений (3) следует, что
д2и 1
= 0;
д2д
ду2
= 0;
7=0
д2и I d20 |
(4)
Подставив граничные условия (2) ’и (4) в (1), после преобразова-
ний найдем величины коэффициента аппроксимирующих полиномов
а0 = Ьо = 0;
аг = Ьх = 2;
^2 === ^2 ==
= Ь3 = — 2;
а^ = Ь^=1. ,
(5)
310 Тепловой и гидродинамический пограничные слои [Гл. 22
Следовательно, искомые полиномы имеют следующий вид:
£_2z_2m2 + ш.
м х k Д k)
!L 9У. JL\3 + [LX
иа k V/
22-8. Показать, что в выражении
Nu = р (Рг) • Re*2,
полученном при решении задачи 22-6, функция Р (Рг) про-
порциональна отношению толщин гидродинамического и
теплового пограничных слоев
₽(рг)^4.
Решение.
Местное число Нуссельта на пластине равно:
м q^°X х дЬ I (П
Nu*~ хм ~ a<dyL=+o’
Из решения задачи 22-7 следует, что
Подставив последнее соотношение в (1), получим:
>4 = 2^- или Nux = 2y у.
В свою очередь [Л. 17],
8 = 5,83 -4т-.
Re^
Поэтому
Nux = ^Rex’-T-
Сравнивая последнее соотношение с найденной ранее формулой
Nux = ReV«.f!(Pr).
Гл. 22] Тепловой и гидродинамический пограничные слои
311
находим:
? (Рг) = 5Ж Т
Следовательно, отношение толщин гидродинамического и тепло-
вого пограничных слоев в рассматриваемых условиях зависит только
от числа Прандтля.
Выражение для местного числа Нуссельта получает следующий
вид:
2 8 it
Nux = 5^3-TRex-
22-9. Вычислить местное число Нуссельта на пластине
для условий задачи 22-3, если пластину омывает жидкость,
число Прандтля которой равно или больше единицы (Рг$>1).
Ответ: Результаты расчетов функции
представлены в табл. 22-1.
Таблица 22-1
(Рг)
Рг по формуле (5) Nux _ 2
Re0,5 5,83^
1,0 1,00 0,342
1,1 1,31 0,377
1,2 1,67 0,411
1,3 2,10 0,445
1,4 5,60 0,479
1,5 3,17 0,513
1,6 3,82 0,547
1,7 4,55 0,582
1,8 5,38 0,617
1,9 6,29 0,650
2,0 7,31 0,684
Решение.
Местное число Нуссельта на пластине (см. задачу 22-8)
2 17 6
Nux = WRe*’T- (1)
а
Для определения -& воспользуемся интегральным соотношением
Г. Н. Кружилина
k
d f dO
О
312
Тепловой и гидродинамический пограничные слои {Гл. 22
а также полиномами, которые аппроксимируют распределения темпе-
ратуры и скорости в гидродинамическом и тепловом пограничных
слоях (см. задачу 22-7):
Преобразуем соотношение (2) к новому аргументу <5. Так как
и
dx db ' dx '
Ъ = 5,83 1/ -
Г w0
dd 5,832 у
dx 2 uQ§ ’
то соотношение (2) после преобразований получает следующий вид:
k
d Г / В \ t 2ад дЬ
db J Г ““ v) и dy = б,8320о ду
о
(4)
у=0
Подставив (3) в (4), после преобразования получим дифферен-
циальное уравнение
d |Т 2 ( k\ 3/£у1/М41Д_4 15
dd |[ 15 < 5 ) 140 р ) + 180 \5 ) J 5,832 Рг k '
В свою очередь,
А = 1
S 3 (Рг)
dk 1
d§ ~ р (Рг) ’
Подставив последние два соотношения в предыдущее, получим:
2 1 3 1 1 1 \ 1 __ 4р
15‘f 140 f3 +180^/у 5,832Ру-
Гл. 22] Тепловой и гидродинамический пограничные слои 313
Рг =
Из последнего уравнения следует, что
15
17
2 1 1 1 ’
1 —56’JP +2П3
8
Зависимость 0 (Рг) = определена здесь в виде неявной функ-
ции.
Результаты расчетов функции Рг(£) по формуле (5),
Nux 2
функции ^0 5 = ?(Pf) сведены в табл. 22-1.
(5)
а также
Nux на
омывает
22-10. Определить местное число Нуссельта
пластине для условий задачи 22-3, если пластину
жидкость с большим числом Прандтля Рг > 1.
Ответ: Nux = 0,357-Re0/-Рг'/а.
Решение.
Местное число Нуссельта на пластине (см. задачу 22-9)
Nux = 5^Re°’5₽(Pr).
Для области Рг>1 функция Рг(^) имеет следующий
задачу 22-9):
ТП
in ГП'
1 — 56’р + 24‘Р3
По условию задачи пластину омывает жидкость, имеющая Рг» 1.
Для Рг» 1 толщина k теплового слоя мала по сравнению с S—
а
толщиной гидродинамического слоя k 5 и — ₽» 1. Поэтому урав-
нение (2) с достаточной точностью можно переписать иначе:
15
Рг==1уГ
Рг =
(1)
вид (см-
(2)
Следовательно,
Подставив последнее соотношение в (1), после вычислений най-
дем:
Nu* = 0,357-Ре/-Рг'/з.
314
Тепловой и гидродинамический пограничные слои [Гл. 22
22-11. Вычислить местное число Нуссельта на пластине
для условий задачи 22-3, если пластину омывает жидкость,
число Прандтля которой равно илй меньше единицы
(Pr^l).
Nu
Ответ: Результаты расчетов функции —Qj = F(Pr)
представлены в табл. 22-2.
Таблица 22-2
3 Рг по формуле (5) 2 Re°15 = М3?
2-10-2 3,89-10-* 0,636-10-2
510-2 2,505-10’3 1,715-10-2
10-10-2 1,052-Ю-3 3,43-10- 2
5-Ю-1 3.93-10’1 17,15-10-2
1 2,425 0,343
10 2 9,6-10~5 0,343-10-2
5-Ю-2 2,39-Ю-5 0,1715-Ю-2
Решение. Местное число Нуссельта
2 IZ 8
имеем k 8. Поэтому здесь интеграль-
принимает следующий вид:
Для жидкостей с Рг=С1
ное соотношение Кружилина
2а8
5,832§0^’^у
Подставим в (2) аппроксимирующие полиномы (3) и (4):
у=+о
• (2)
(3)
(4)
После преобразований, аналогичных приведенным в задаче 22-9,
получим:
^2-Т4₽4 + 5^5
Рг =
(5)
Гл. 23 ]
Теплоотдача в трубах
315
Результаты расчетов функции Рг (0) по формуле (5), а также
Nux 2
функции —ду = g-gg ₽(Рг) сведены в табл. 22-2.
22-12. Определить местное число Нуссельта Nux на
пластине для условий задачи 22-3, если пластину омывает
жидкость, имеющая малое число Прандтля (Рг < 1).
Ответ: Nu^ = 0,55(Rex-Pr)Va.
Решение.
Местное число Нуссельта на пластине
2
№х = 5Ж»4Г2(Рг).
(1)
Для области Рг<1 функция Рг (₽) имеет вид (см. задачу 22-11):
4 1 1
+ ₽2-й₽4 + 54?5
Если Pr< 1, то и 1- В этом случае уравнение (2) упро-
щается:
Следовательно,
(3)
Подставив (3) в (2), после вычисления найдем:
Nu* = 0,55 (Re^-Pr)0’5.
Г лава двадцать третья
ТЕПЛООТДАЧА В ТРУБАХ
23-1. В длинной трубе диаметром d = 2r„ имеет место
ламинаоный поток жидкости со средней скоростью
и0 [м/сек]. На стенке трубы поддерживается постоянная
тепловая нагрузка [ккал/м3 -ч]. Найти уравнение для
316
Теплоотдача в трубах
[ Гл. 23
поля избыточной температуры & = — t в потоке жидко-
сти вдали от входа в трубу, где имеет место гидродина-
мическая и тепловая стабилизация потока ]Л. 44].
~ д W* (Ъ Г* 1 Г* \
Ответ: &= — 7—+ Т^г
\ г0 г0 /
Решение.
Поле температуры t (х, г) в ламинарном потоке жидкости в длин-
ной трубе, вдали от входа, описывается дифференциальным уравне-
нием
/ г2 dt 1 д dt
2и\ rl г дгг дг (1)
и граничными условиями
— I - о- —I - —
drlr = 0;x“ ’ dr|r-=ro-0;x “ Л '
(2)
Кроме того, необходимо задать условие тепловой стабилизации
потока, которое при qQ = const имеет вид:
t = mx — (г). (3)
Введем в рассмотрение избыточную температуру
(4)
где /с — температура стенки трубы на расстоянии х от входа.
Подставив (3) в (4), получим:
о = mx, — f (r0) — mx + If (r) = <f (r) — (r0).
Следовательно, вдали от входа в трубу при наличии тепловой
стабилизации в потоке избыточная температура & зависит только от
радиуса
& = 0 (г).
Из уравнения (4) следует, что
Гл. 23 ]
Теплоотдача в трубах
317
Подставив последнее соотношение в (1) и (2), после преобразова-
ний получим:
^с(*>
dx,
a d da
/ г2 \ *dr'r' dr ’
2/z0 I 1 — '"о" V
\ ro ;
(5)
d§
= 0; — = — 4- ; a L_r = 0.
’ dr К ’ ,r==ro
dr r=o
Решение уравнений (5) имеет следующий вид1:
<7с,го/3 1 г4 г2 \
4 + 4 ,4 “ 2 •
\ го г0 /
23-2. Определить местный коэффициент теплоотдачи а
в условиях задачи 23-1 вдали от входа в трубу, где имеет
место гидродинамическая и тепловая стабилизация потока
жидкости. При
напора принять
•данном сечении
определении а в качестве температурного
среднее калориметрическое его значение в
трубы
г0
&= -4- f uftrdr.
rOuoJ
Ответ: = [Л. 43].
Решение.
По определению местная величина коэффициента теплоотдачи
равна
(1)
Здесь
r0
a = —? I uftrdr;
J
о
r2
r2
r0
(2)
(3)
и =
и
»
?</o/Z3 r2 , 1 r4
X ( 4 r2 + 4 4
\ ro r0
(4)
1 Промежуточные выкладки, связанные с решением уравнений (5),
необходимо выполнить самостоятельно.
318
Теплоотдача в трубах
[ Гл. 23
Уравнение для 0 (г) найдено в решении задачи 23-1.
Подставив (3) и (4) в (1) и выполнив преобразования, получим:
46 Л
Подставив (5) в (1), получим:
48 Л
11 * d ’
(5)
23-3. В длинной трубе диаметром rf —2г0 имеет место
ламинарный поток жидкости, в которой действуют внутрен-
ние источники тепла мощностью qv [ккал/м3-ч\.
На стенке трубы поддерживается постоянная тепловая
нагрузка qz [ккал'м2Средняя скорость жидкости
zz0 [м,{сек\. Найти уравнение для поля избыточной темпе-
ратуры $ — tc— t в потоке жидкости вдали от входа в
трубу, где имеет место гидродинамическая и тепловая
стабилизация потока.
Ответ:
1
.2 т 4 л
о г0
2Л \1 r2 I •
\ г0 '
23-4. Определить местный коэффициент теплоотдачи а
в условиях задачи 23-3 вдали от входа в трубу, где имеет
место гидродинамическая и тепловая стабилизация потока
жидкости. В качестве температурного напора принять сред-
нее его значение в данном сечении трубы.
Ответ: а
48
( Ыо
d
23-5. Найти поле температуры в ламинарном потоке
жидкости в трубе вдали от входа для условий задачи
23-3, если жидкость подогревается только за счет вязкого
трения. Температура стенки трубы поддерживается посто-
янной и равной tc [Л. 16].
Ответ:
f = t + 1----vY гДе а = кГ-mIkkoji.
С р I Гл /
Гл. 23 ]
Теплоотдача в трубах
319
Решение.
Поле температуры в ламинарном стабилизированном потоке при
наличии внутренних источников тепла, обусловленных вязким трением,
описывается следующим дифференциальным уравнением [Л. 16 и 17]:
г dr r dr ' я 2с р I dr J
(О
и граничными условиями
I dt
q dr =0- (2)
Iг0; х г=0; х
Для ламинарного стабилизированного потока
4ийг
го
(3)
Подставив (3) в (1), получим:
г dr dr г Л
Ср го
(4)
Решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (2), имеет
вид:
.о Л 9 / г4
/ = <с + 2ГРг “О ’““Г
Р \ г0
23-6. Определить местный коэффициент теплоотдачи а в
условиях задачи 23-5. В качестве температурного напора
принять его среднюю калориметрическую величину в дан-
ном сечении трубы.
с\ 48 X
Ответ: а = .
5 d
23-7. В длинной трубе диаметром rf = 2r0 имеет место
турбулентный поток однородной жидкости со средней
скоростью uQ [м,1сек]. На стенке трубы поддерживается
постоянная тепловая нагрузка qc [ккал/м2^]. Найти урав-
нение для поля температуры в потоке жидкости вдали от
входа в трубу, где имеет место гидродинамическая и теп-
ловая стабилизация.
320
Теплоотдача в трубах
[ Гл. 23
Ответ:
Решение.
В трубе имеет место гидродинамическая стабилизация турбулент-
ного потока жидкости. Поэтому поле средней во времени скорости
их зависит только от переменного радиуса г:
их = их(г')-
В этих условиях поле средней во времени температуры t под-
чиняется следующему дифференциальному уравнению:
dt 1 д dt д dt
и граничным условиям
д/ л д/1
ТГг = 0’ = \к Jr ’ №
г=0 'го=0
В уравнениях (1) и (2) заданы условиями однозначности следую-
щие величины:
“х (г); a-, a.rr = ft (г); атх = f2 (г); Лж; <?<.; г0.
Введем в рассмотрение избыточную температуру — t.
Из последнего тождества следует, что
t = te(x)~^ О)
где ^с(х) — температура стенки трубы, которая изменяется по ее
длине и в рассматриваемых условиях является неизвестной величи-
ной.
Условие тепловой стабилизации потока, т. е. условие автомодель-
ности вдоль оси потока х поля избыточной температуры, может
быть записано в следующей форме:
Гл. 23 ]
Теплоотдача в трубах
321
Здесь гА и г—радиусы двух произвольных точек А и В, рас-
положенных в сечении трубы х.
Условие тепловой стабилизации будет выполнено, если функцию
О (х, г) можно представить в виде произведения двух функций X (х)
и /?(г), каждая из которых зависит только от одного аргумента:
а = X (х) Я (г).
(4)
Подставив (4) в (2), получим:
dR I
Ио“°
из рассмотрения последнего соотношения следует, что при qQ —
= const условие автомодельности (4) будет выполнено, если X (х) =
= const и
О = 0 (г).
(5)
Таким образом, автомодельность по оси х поля избыточной тем-
пературы 0 находит свое выражение в том, что в рассматриваемых
условиях при qc = const величина а зависит только от радиуса г.
Следовательно, уравнение (3) принимает вид:
/ = /с(Х)-в(г).
Подставив (5) в (1) и (2), получим:
М? 1.1 ,(« + «„)
dx г dr dr г dx2
d81 „ , dfi I
dr I ~ °* — — Хж dr\
lr-=0 *г0=Э
(6)
Из рассмотрения (6) следует, что искомые переменные ^с(х) и
0 (г), которые входят в это уравнение, разделяются только при усло-
dH-
вии, если членом (я + атх) —1 можно пренебречь по сравнению с
ах
другими членами уравнения (6) Это соображение является математи-
ческим выражением того факта, что тепловая стабилизация потока
однородной жидкости вдоль оси трубы при qc = const имеет место
только при условии, если изменения теплопроводности вдоль потока
жидкости малы по сравнению с изменениями теплопроводности попе-
рек его.
d2t
Пренебрегая в (6) членом (а + атх) и разделяя перемен-
ах
рые, получим:
21 К. Д. Воскресенский
322
Теплоотдача в трубах
[ Гл. 23
atc Id, dO
d7 = -T^Trdr^a + a^-dr = const
Следовательно,
db
dr (a + aTr) — ctux (r) rdr.
Интегрируем последнее уравнение 2 раза (в пределах от 0 до г0
и от 0 до г):
их (г) Г dr;
ux (r) r dr-
Поделив последнее уравнение на предыдущее и выполнив квад-
ратуры, после преобразований получим:
'•(« + «тг) 57 \ux(r)rdr
О
dti г0
Г,,аГг Го_о
О
Следовательно,
и
(7)
Гл. 23 ]
Теплоотдача в трубах
323
Из уравнения (6) следует, что
-I = -_?£
'Гц—0 \к
Кроме того, из определения средней скорости и0 получаем:
1 о
их (r) r dr = Т W°r°*
Подставив в (7) два последних
ний найдем решение задачи:
соотношения, после преобразова-
или
где обозначено
23-8. Определить местное число Нуссельта в условиях
задачи 23-7. В качестве температурного напора принять
его среднее калориметрическое значение в любом сечении
трубы вдали от входа в нее [Л. 43].
Ответ:
21*
324
Теплоотдача в трубах.
[ Гл. 23
Реш е н и е.
По определению местное число Нуссельта в трубе равно:
?с2г»
Nu= —.
~ Л и
(О
Здесь М—среднее калориметрическое значение температурного
напора в любом сечении трубы:
г0
— 2 Г
Д/ —----2 I ur\\ dr.
U0rQ J
о
Вычислив последний интеграл по частям, получим:
г0 г
— 2 Г Г
\ -т- dr \ иг dr.
J dr J
о о
(2)
Следовательно, решение поставленной задачи сводится к опреде-
лению радиального градиента^, поля избыточной температуры.
Из решения задачи 23-7 следует, что
0 =
г О ‘
2__£с Г ___dr___ I'
“° VoJ r (] + ^J
Дифференцируя последнее соотношение по г, получим:
d»_______2<7с
dr “ \к“ого ’
ru dr.
(3)
о
Подставим (3) в (2):
— Ч f
— 4 2 3 1 1
w0r0 ^ж d
о
(4)
Гл. 23]
Теплоотдача в трубах
325
С помощью формулы (4) определим число Нуссельта (1):
После преобразований получим известный интеграл Лайона
[Л. 43]:
23-9а. В трубе протекает стабилизированный турбулент-
ный поток однородной жидкости, в котором действуют
внутренние источники тепла. Мощность источников зависит
от радиуса qv = qv(r). К потоку жидкости через стенки
трубы подводится тепло. При этом тепловая нагрузка на
стенке qc поддерживается равной постоянной величине.
Найти выражение для числа Нуссельта в этих условиях.
23-96. Решить задачу 23-9а при условии, что тепло от-
водится от потока жидкости, причем все выделяющееся
тепло отводится через стенку трубы, а температура жидко-
сти не изменяется по длине трубы.
23-9. Найти соотношение между а—средним по дли-
не трубы и — местным значением коэффициентов тепло-
отдачи в любом сечении х длинной трубы, расположенном
за пределами начального участка х^>х0. На стенках тру-
бы задана постоянная тепловая нагрузка qQ— const. В пре-
делах начального участка 0< х<Г х0 местное значение
коэффициента теплоотдачи монотонно уменьшается, до-
стигая постоянной величины при х^>х0 (рис. 23-1).
О ос 1
твет: — =-------------•
х/ Xq
326
Теплоотдача в трубах
[Гл. 23
Рис. 23-1. К задаче 23-9.
Решение:
Среднее по длине трубы значение коэффициента теплоотдачи
а на участке от 0 до х
Средний по х температурный напор
X
= i I д/ dx =
о
хи х
Ы dx J = [х0Д^0 + A/i (х — x0)j . (2)
о хь
Здесь Д^о— среднее по х значение температурного напора на
начальном участке, a — постоянный температурный напор на
участке, где имеется тепловая стабилизация (рис. 23-1).
Расход тепла, переданного от стенки в жидкость:
Qx = 4cFx- (3)
Подставив (2) и (3) в (1), после преобразования получим:
х
х0
Гл. 23 ]
Теплоотдача в трубах
327
Здесь
<7с
23-10. Решить задачу 23-9, если температура стенок
трубы постоянна и равна tc = const (рис. 23-2), а все про-
чие условия этой задачи сохранены без изменений.
Ответ: —
аоо
Решение.
^2 mx0 + [l
gQ Мр
д/0
Среднее по длине трубы значение коэффициента теплоотдачи
Средний по % температурный напор
(О
X Хо X
=4 j(f dx+Jл/стабЛ
о о Хс
(2)
328
Теплоотдача в трубах
[ Гл. 23
При наличии тепловой стабилизации в потоке жидкости (см. за-
дачу 18-11)
Д'стаб-е-7”* и
Здесь tn — темп автомодельного изменения поля температуры
вдоль оси трубы.
Поэтому
Д/стаб = Д/0-е-т(Л~Ч (3)
Подставив (3) в (2) и выполнив интегрирование, получим:
<4>
Здесь Д/о — средний температурный напор на начальном участке
О < х х0.
Расход тепла, переданного от стенки в жидкость:
XX Хо X
Qx — nd § qcdx = nd j* a\tdx — nd J яД/ dx + J aoo^tCTa6 dx
0 0 0 x0
x
— nd [xQ Д?о + J a^e-^dx
x0
= nd[xQaQ Д/о+ [1 — e m(x *o)]
I tn
Подставив (4) и (5) в (1), а также учитывая, что F = ndx, полу-
чим:
“Л . mx, + 1 - ё~т (х~х‘}
а______g0 Д/о__________________________
“°0 mx„ + 1 - е~т <*-*»’
Из последнего соотношения
труб с изотермической стенкой
следует, что для весьма длинных
Гл. 23]
Теплоотдача в трубах
329
По условию задачи в пределах начального участка местный коэф-
фициент теплоотдачи монотонно уменьшается. Поэтому Учи-
тывая это неравенство, из уравнения (6) получим:
а
lim — > 1.
Х->00 00
Следовательно, в длинных трубах с изотермической стенкой
среднее и местное значения коэффициентов теплоотдачи вдали от вхо-
да не равны друг другу.
Такой же вывод получается в результате анализа опытных дан-
ных И. Т. Аладьева [Л. 2] по теплоотдаче в трубах.
23-11. Найти зависимость стабилизированного значения
коэффициента теплоотдачи в длинной трубе от темпа
автомодельного изменения вдоль оси трубы стационарного
поля температуры в потоке жидкости. Температура стенки
трубы постоянна и равна tc [Л. 9].
icuQrQm ж 1
Ответ: =-----т,— или Nuoo ~ Т
Решение.
Стабилизированное значение коэффициента теплоотдачи
Яг
(1)
Средний по сечению трубы температурный напор
0 = —п I urtdr.
(2)
Из уравнения Фурье-Остроградского для поля температуры в
стабилизированном потоке жидкости
d& 1 д d& id
330
Теплоотдача в трубах
[ Гл. 23
находим местную тепловую нагрузку на стенке трубы
У г lr=»r0
7£
''о
г0
О
д*
Uf^dr>
(3)
при наличии автомодельного изменения поля температуры вдоль оси
трубы с изотермической стенкой имеем:
Поэтому
9 = f (г) е тх.
mx = —mb. (4)
Подставив (4) в (3), получим:
urb dr.
Подставив (2) и (5) в (1), найдем:
1
аоо = т 1сийгот.
В безразмерной форме решение задачи имеет следующий вид:
=_L L^d-in или Nu =J- Pe-d-m.
X 4 а 00 4
23-12. Парогенератор энергетического ядерного реак-
тора состоит из пучка кипятильных труб, заключенных в
барабан. Кипятильные трубы погружены в воду, имеющую
температуру насыщения /н = 236° С при давлении р2 —
= 32 ата.
На внешней поверхности труб происходит пузырчатый
режим кипения.
Внутри труб протекает горячая вода первичного конту-
ра. Ее средняя скорость zz0 = 3 м/сек, давление pt —
= 100 ата, температуры на входе и выходе ^1=275°С
и ^=250° С.
Гл. 23 ]
Теплоотдача в трубах
331
Размеры кипятильных труб 0^ = 21 мм, d2 — 24 мм.
Теплопроводность стальной стенки трубы
Л =:20 ккал]м-ч-град.
Определить длину I каждой из кипятильных труб.
Ответ: I— 13,7 м.
23-13. Канал энергетического ядерного реактора имеет
диаметр <7 = 8 мм и длину / = 1 570 мм.
В стенках канала выделяется тепло, которое отводится
потоком охлаждающей воды, имеющей среднюю скорость
ио = 3,5 м)сек, давление р —100 кГ1сма и температуру
на входе /ж| = 150° С.
Тепловая нагрузка охлаждаемой поверхности канала
переменна по его длине
<7 = (0,75-sin2x4~ 1) Ю* ккал1мл‘Ч.
Определить наибольшую температуру стенки канала
/с макс и расстояние хмакс от входа, на котором темпера-
тура стенки достигает максимума.
Ответ: t макс = 283°С; х=s 1 099 мм.
23-14. Для определения величины турбулентной темпе-
ратуропроводности ат измерено распределение средней по
времени температуры t в зависимости от радиуса г в ста-
билизированном потоке однородной жидкости в трубе.
На стенках трубы поддерживается постоянная тепловая
нагрузка qz = const. Найти выражение атг через /, если за-
дано распределение средней по времени скорости по ра-
диусу Й=Й(г).
Ответ: а.
| и (г) г dr
$
“<>Га-(С
Г dr j
а .
м
332
Теплоотдача в трубах
[Гл. 23
23-15. Решить задачу 23-14 при условии, что темпера-
тура стенки трубы постоянна: /с = const.
4а Nu J ~и (г) г (tc — t) dr
Ответ:д^ Л.-
dr
23-16. Показать, что при Re=^-*co показатель сте-
пени п в безразмерной формуле для теплоотдачи в тру-
бах
Nu^Re"
стремится к единице, т. е. Ит п=\.
Re-*oo
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Аверин Е. К.» Изв. АН СССР ОТН, 1954, № 3 и 1955, №10.
2. Ал а д ье в И. Т., Кандидатская диссертация, ЭНИН АН СССР,
1949.
3. А л а д ь е в И. Т., Додонов Л. Д., У д а л о в В. С., Тепло-
отдача при кипении недогретой воды в трубах, „Теплоэнергетика",
1957, № 9.
4. Балабанов, Термоядерные реакции, Об-во по распростра-
нению политических и научных знаний, 1957.
5. Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А., Справочник по
математике, ГИТТЛ, 1953.
6. «Варгафтик Н. Б. (ред.), Теплофизические свойства ве-
ществ (справочник), Госэнергоиздат, 1956.
7. Воскресенский К. Д.:
а) Сборник задач по теплопередаче, Госэнергоиздат, 1951.
б) „Промышленная энергетика", 1946, № 2.
в) ДАН СССР, т. XXXVII, № 4.
8. Гурвич А. М. и Кузнецов Н. В. (ред.), Тепловой расчет
котельных агрегатов, Госэнергоиздат, 1951.
9. Г у х м а н А. А., Физические основы теплопередачи, Госэнерго-
издат, 1934.
10. И в а н ц о в Г. П.:
а) Нагрев металла, Металлургиздат, 1948.
б) Труды Уральского индустриального института им. С. М. Ки-
рова, 1945, сб. 20.
11. Калашников Н. В. и Черникин И. И., Виброподогрев
вязких нефтепродуктов и нефтей, „Нефтяное хозяйство", 1957, № 3.
12. К ру ж илин Г. Н., Исследование теплового пограничного
слоя, ЖТФ, 1936, т. VI, вып. 3.
13. Кру жилин Г. Н. и Ш в а б В. А., Новый метод определе-
ния поля коэффициента теплоотдачи, ЖТФ. т. V, вып. 3.
14. К у т а т е л а д з е С. С., Основы теории теплообмена, Машгиз,
Лен. отд., 1957.
334
Использованная литература
15. Ко чин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного ис-
числения, Изд. АН СССР, М., 1951.
16. Л а н д а у Л. Д. и Л и ф ш и ц Е. М., Механика сплошных
сред, ГИТТЛ, 1953.
17. Лойцянекий Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя
ГИТТЛ. 1941.
18. Лыков А. В., Теория теплопроводности, ГИТТЛ, 1952.
19. Март улова Т. X., Тепловой расчет котлоагрегата, Гос-
энергоиздат, 1949.
20. Михеев М. А., Основы теплопередачи, Госэнергоиздат,
1956.
21. Михеев М. А., Баум В. А.. В о с к р е с е н с к и й К. Д.
и Федынекий О. С., Теплоотдача расплавленных металлов, Мир-
ное использование атомной энергии, Труды первой конференции в
Женеве в 1955 г., т. 9.
22. Михеева И. М., Кандидатская диссертация, МЭИ, 1955.
23. О с т р я к о в П. А., Воздухоохлаждающие устройства мощных
радиостанций, Связьтехиздат, 1937.
24. Павлов К. Ф. и др., Примеры и задачи по курсу процес-
сов и аппаратов химической технологии, Гостехиздат, 1947.
25. Петухов Б. С., Опытное изучение процессов теплопередачи,
Госэнергоиздат, 1952.
26. Попов С. Г., Измерение воздушных потоков, ОГИЗ, 1947.
27. Ромм Э. И. (ред.), Котельные установки, Госэнергоиздат,
1946.
28. Сал и ко в А. П., Теплофикационные установки, ОНТИ НКТП
СССР, 1935.
29. Седов Л. И., Методы подобия и размерностей в механике,
ГИТТЛ, 1957.
30. Синельников А. С., Метод конформных отображений в
применении к решению некоторых теплэзых задач, ЖТФ, 1932, т. II,
вып. 6.
31. Стечкин Б. С. (ред.), Газовые турбины, М., 1957.
32. Столетов А. Г., Собрание сочинений, т. III, ГИТТЛ, 1947.
33. Тимофеев В. Н., «Известия ВТИ“, 1933, № 9; 1941, № 2;
1947, № 11.
34. Тим рот Д. Л. и Варгафтик И. Б., „Известия ВТИ“,
1940, № 7; ЖТФ, 1940, т. 10, вып. 13.
35. Шефер К., Теория теплоты, ГТТИ, М.—Л., 1933.
36. Шорин С. Н., Теплопередача, 1947.
37. Шубин И. С.. „Теплоэнергетика", 1957, № 2.
Использованная литература
335
38. Фокин К. Ф., Строительная теплотехника ограждающих ча-
стей зданий, Государственное издательство литературы по строитель-
ству и архитектуре, 1953.
39. Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные
уравнения математической физики, Главная редакция общетехниче-
ской литературы, 1934.
40. Я б л о н с к и й В. С. и Ш у м и л о в П. П., Практический курс
теплопередачи, ОНТИ СССР, 1935.
41, wThe Proc, of the Phys. Soc.“, 1939, v. 51, p. 1, № 283, p. 153.
42. Karman T„ »ZAMM«, Bd 1, 1921.
43. Lyon, „Chem. Eng. Prog.“, 1951, № 2.
44. Nuss el t, „Zeitschrift des VDI“, 54, 1910.
45. S c h n e i d e r P. J., Conduction Heat Transfer, 1955.
Цена 7 р. 30 к