Автор: Олехник С.Н. Мельников И.И. Вавилов В.В. Пасиченко П.И.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика задачи по математике
ISBN: 5-02-014201-8
Год: 1990
Текст
ЗАДАЧИ
ПО МАТЕМАТИКЕ
НАЧАЛА АНАЛИЗА
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
R
el
МОСКВА «НАУКАж
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1990
ББК 22.161
3-15
УДК 517(039)
Коллектив авторов
ВАВИЛОВ В. В., МЕЛЬНИКОВ И. И., ОЛЕХНИК С. Н.,
ПАСИЧЕНКО П. И.
Задачи по математике. Начала анализа: Справ. пособие/Ва-
вилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н,, ПасиченкоП. И.—
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.—608 с. ISBN 5-02-014201-8
Содержит теоретические сведения и систематизированный
набор задач по началам анализа. Методическое построение спра-
вочника позволяет углубленно повторить этот раздел матема-
тики и самостоятельно подготовиться к поступлению в вуз с
повышенной математической программой. Типовые задачи со-
провождаются подробным разбором.
Создана на основе преподавания математики на подготови-
тельном отделении МГУ (механико-математический факультет).
Для поступающих в вузы и преподавателей.
Табл. 18. Ил. 319.
Рецензент
доктор физико-математических наук Л4, К. Потапов
1602070000—-142
3 053(02)-89 40“90
ISBN 5-02-014201-8
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1990
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................... 4
Глава 1. Последовательности .......................... 5
§ 1. Арифметическая прогрессия * * . I . . » • . , 5
§ 2. Геометрическая прогрессия................... 23
§ 3. Числовые последовательности и их свойства * * . 43
§ 4. Предел последовательности.............. ♦ 69
Глава 2. Функции и их свойства ...................♦ 108
§ 1. Основные понятия........................... 108
§ 2. Четные и нечетные функции.................. 122
§ 3. Ограниченные функции ...................... 129
§ 4. Монотонные функции......................... 134
§ 5. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения
функции.................... . . . ............ 141
§ 6. Периодические функции • .................. 152"
§ 7. Выпуклые функции 166
Глава 3. Графики функций............................ 179
§ 1. Свойства и графики основных элементарных функ-
ций ............................................ 179
§ 2. Простейшие методы построения графиков функций 220
§ 3. Графики сложных функций ................... 264
Глава 4. Предел функции. Непрерывность функции . • 292
§ 1. Предел функций............................. 292
§ 2. Непрерывность функции.................. . 329
Глава 5. Производная и ее применение . . . .~. . 340
§ 1. Производная................................ 340
§ 2. Производная и касательная................. 360
§ 3. Исследование функций и построение графиков 377
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции 391
§ 5. Применение производной................... , . 409
Глава 6. Интеграл и его приложения ............. , 446
Ответы и указания .................................. 549
Дополнение. Некоторые задачи из вариантов всту-
пительных экзаменов по математике в МГУ им.
М. В. Ломоносова. 605.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является справочным пособием по мето-
дам решения задач по началам математического анализа. Она
создана на основе опыта преподавания математики на подгото-
вительном отделении естественных факультетов Московского
государственного университета им. М. В. Ломоносова. Книга
содержит материал по следующим основным темам: последова-
тельность и предел последовательности; функции и их графики;
предел функции и непрерывность; производная и интеграл.
В начале каждого параграфа приведены необходимые опре-
деления и краткие теоретические сведения. Теоретический ма-
териал иллюстрируется большим количеством примеров и задач
различной трудности. По мере возможности типы задач и ме-
тоды их решения систематизированы. В конце каждого пара-
графа имеются задания, которые .нацелены на отработку поня-
тий и основных методов решения задач. Как правило, число
заданий в каждом параграфе является четным; при этом, на-
пример, задания с нечетными номерами могут использоваться
при работе с преподавателем, а с четными номерами—для са-
мостоятельной работы. Как количество задач в задании, так и
число самих заданий значительно превышает необходимый ми-
нимум для усвоения основного материала, и авторы не предпо-
лагают, что все понятия, задачи из заданий и методы их реше-
ний будут изучаться с равной степенью подробности и тщатель-
ностью. Главная цель пособия—дать возможную схему изучения
той или иной- темы и подкрепить ее специально подобранным
материалом, обеспечить достаточно богатый выбор задач для
усвоения понятий и методов.
Книга в целом или отдельные ее главы могут быть полезны
для организации учебного процесса на подготовительных отде-
лениях вузов и для проведения факультативных занятий в сред-
них школах, при самостоятельной подготовке к поступлению
в высшие учебные заведения. Справочник поможет без помощи
преподавателя организовать планомерное повторение материа-
ла— не только основных понятий и положений теории, но и
основных приемов и методов решения задач.
Книга тесно примыкает к опубликованным ранее пособиям
авторов «Задачи по математике. Алгебра», «Задачи по матема-
тике. Уравнения и неравенства».
Отзывы, критические замечания и пожелания просим на-
правлять по адресу: 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15,
Главная редакция физико-математической литературы изда-
тельства «Наука».
ГЛАВА 1
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность
чисел {«„}, ngN, у которой каждый член, начиная со второго
(см. с. 43), равен предыдущему, сложенному с одним и тем же
постоянным для данной последовательности числом d, т. е.
««+i = «n+^ n^N.
Число d называется разностью арифметической прогрессии, чис-
ло ai — первым ее членом, а ап—общим ее членом.
Так, например, последовательность
1, 6, 11, 16, 21, 26, ,,f,
у которой последующий член, получается из предыдущего при-
бавлением числа 5, а первый член равен 1, является арифмети-
ческой прогрессией с разностью, равной 5.
При любом п^2 имеем
^п + 1 •й/г = б/,
t an^an-i=id.
Таким образом (при п^&2),
fln+i—ип — ап—
. ИЛИ
=------2-----»
т. e. каждый член арифметической прогрессии, начиная со вто-
ч рого, равен среднему арифметическому предшествующего и по-
£ Следующего членов. Так как верно и обратное, то имеет место
следующее утверждение: числа а, b и с являются последова-
I? Тельными членами некоторой арифметической прогрессии тогда
; и только тогда, когда одно из них равно среднему арифмети-
* «ческому двух других.
Пример 1. Доказать, что последовательность {ап} с общим
Членом а„==2п—7 является арифметической прогрессией.
Решение. Для доказательства воспользуемся сформули-
рованным выше утверждением. При п^2 имеем
—2/г—-7, fln-i = 2(n — 1)—7 = 2/г—9,
1 — 2 (я 1) *»—7 = 2/1 5.
6 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Следовательно,
„ о„ 7_ (2/г—5) + (2п—9) _ en+i+a„_j
ап — *,пл— ‘ — — 2 — 2 ’
что и доказывает нужное утверждение.
Для арифметической прогрессии {ап} с первым членом сц и
с разностью d ее n-й член может быть найден по формуле
an = ai4-(n— \)d, n^N.
Например, а) если дана арифметическая прогрессия
1, 3, 5, 7, 9, 11.
членами которой являются все последовательные положитель-
ные нечетные числа, то
а„=1 -f-2 (п—l)~2n — 1;
б) если fli = 7 и d=3, то
л„=74-3 (/г-— 1)==Зя4-4;
в) если «1=10 и d =—0,5, то
ап~ 10— 0,5 (л —1) = — 0,5«+10,5.
Для арифметической прогрессии {ап} с разностью d имеет
место также следующая формула:
= (n — А?), 1 —1,
где п и k—натуральные числа. Таким образом, n-й член ариф-
метической прогрессии {«„} может быть найден также через лю-
бой предшествующий ему член последовательности и раз-,
ность d этой прогрессии.
При 1«С&Ог — 1 из последней формулы следует, что
ап + kd>
an~an+k“~~ kd.
Отсюда находим, что
+ , КЖя—-1,
т. е. любой член арифметической прогрессии, начиная со второго,
равен полусумме равноотстоящих от него членов этой прогрессии.
Кроме того, для любой арифметической прогрессии {«п}
справедливо равенство
ат + ап~ак+а1>
если m-{-n~k-{-L
Рассмотрим, например, арифметическую прогрессию {«л},
у которой б?! —7 и d=4. Для этой прогрессии получаем;
а) — 7(м — 1)• 4= 3;
п___аъ + а1ъ
о) аю=---g----
так как «6 = «30-б и «f6 = «fo+55
§L АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
7
в) = Лю, \
так как 7 + 8—5+10.
Записав ап следующим образом:
ап — nd-\~(ax — d),
получим, что n-й член арифметической прогрессии {ап} с раз-
ностью d есть значение, которое принимает линейная функция
y=rfx+(ai—d)
при х~п. Поэтому точки
(1; ах), (2; а2), (3; а3), ...» (п; ап), ...,
т. е. точки
(1; ах), (2; (3; ai + 2d), ..., (n; а/+ (/г—1) d),
принадлежат прямой r/==<ix+(a1—d).
Например, прогрессию с об-
щим членом an = 2/z — 1, т. е. про* у
грессию
1, 3, 5, 7, 9, И, 2л —1, ...,
7
можно геометрически представить
как ординаты точек, расположен- g
ных на прямой # = 2х + (1—-2) =
= 2х— 1 (рис. 1.1).
Верно и обратное утвержде- 3
ние: значения любой линейной
функции у — Ах-^В, когда х про-
бегает множество всех натура ль- *
ных чисел, т. е. •----0
4 + В, 24 + В, ЗД + В, ...
иЛ + В, ...»
7
образуют арифметическую про-
грессию, первый член которой Рис. 1.1
равен А + В, и разность равна 4.
4
Например, функция у~—- х + 8 определяет арифметиче-
4 , _ 20
скую прогрессию с первым членом, равным ——+8=-з-, и раз-
о о
4
ностью d~—д- (рис. 1.2):
20 16 12 8 _4 __8_
3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3 ’ 3’ 3 ’ • • •
Формула для общего члена арифметической прогрессии {пп}
связывает четыре величины: alt ап, d и п. Если три из них
заданы, то из этой формулы можно найти четвертую величину;
8
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Рис. 1.2
приведем соответствующие формулы нахождения а±, d и п\
ai=a„—d(n— 1); B==~2’d----*" L
Пример 2. Сумма второго и четвертого членов арифмети-
ческой прогрессии {ап} равна 16, а произведение первого и пя-
того ее членов равно 64. Найти первый член этой прогрессии и
ее разность.
Решение. По условию задачи a2:|-a4=sl6 и ахаб = 64;
получаем следующую систему уравнений:
/ ^'i“l~2d=s8,
| ai (flj- + 4d) = 64.
Находя из первого уравнения этр| системы 2d и подставляя это
значение во второе, получим уравнение <
otj «w 16#! —-J—- 64 = О,
или
(«1*-8)2 = 0.
Таким образом, —8; следовательно, 2d==8—«1 = 0, т. е. d=0.
Пример 3. Пусть {ап} — арифметическая прогрессия. Най-
ти «f2, если «j«4 = 22 и a2a3=s40.
Решение. Пусть d— разность прогрессии, тогда имеем:
e45=s«l+3d, «2 —#1+^, «3~«i + 2d. Таким образом, для нахож.
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
9
дения чисел а± и d из условия задачи получаем систему урав-
нений
Г ((Zf -J- 3d) = 22,
| (aj+d) (fli + 2d) = 40,
которая равносильна следующей системе:
( cif (ctf -j- 2d) cifd = 22,
tzf (tzj -f- 2d) -j- d (#1 -f- 2d) = 40.
Вычитая из второго уравнения этой системы первое уравнение,
получим
zzid-j-d (fltj -j—2d) = 18,
т. e. 2da = 18. Таким образом, для значений d имеем две воз-
можности: di — —3 или d2 = 3. При d=di~—3 первое уравне-
ние имеет вид d^^9ai— 22 = 0, откуда находим, что для воз-
можны два значения: Л1 = 11 или «1 = —2. При d = d2 = 3 полу-
чаем для at также две возможности: ai =—11 или af = 2.
Так как ^i2 = «i +1 Id, то отсюда следует, что для ац воз-
можны следующие значения: —22, 22, —35, 35.
Пример 4. Числа 5 и 38 являются соответственно первым
и двенадцатым членами арифметической прогрессии {а«}« Найти
ап при п = 2, 3, ..., 11.
Решение. Так как
J Дуг—а,- 38—5
12—1 и-' ’
то искомые члены соответственно есть
8, II, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35.
Пример 5. Найти количество всех трехзначных натураль-
ных чисел, делящихся на 7.
Решение. Наименьшее трехзначное число, делящееся на 7
без остатка^ есть число 105, а наибольшее—число 994.
Если количество всех трехзначных чисел, делящихся на 7,
обозначить через /и, то прогрессия {аи}, первый член которой
равен 105 и разность которой равна 7, в качестве первых своих
т членов содержит все трехзначные натуральные числа, деля-
щиеся на 7 без остатка; при этом а^ = 994. Отсюда 994 = 105 4-
+7(/n—1), или т = (994—98):7=128.
Сумма Stt = #i+a2+ • • • ^гап первых п членов арифметиче-
ской прогрессии {а«} равна произведению полусуммы крайних *
слагаемых на число слагаемых, т. е.
о ai + an
i>n-----2---
Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать
члены ...» ап (1 < k^n) арифметической прогрессии,
то предыдущая формула сохраняет свою структуру, т. е.
* »• ~bfln==.(n—&+1).
?Ю ГЛ. L ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Дадим геометрическую иллюстрацию этой формулы. Для
этого каждому члену прогрессии ak, аь+t, ..., ап сопоставим
прямоугольник, высота которого соответственно равна |лд|,
1ай+11> l^nl а ширина каждого из них равна 1; при этом
Прямоугольник с высотой |а/| будем откладывать выше оси
абсцисс, если «у > 0, по другую ее сторону, если ау < 0, и про-
межуток оси ОХ, длина которого равна 1 (вырожденный пря-
моугольник), если яу = 0. Так, на рис. 1.3, а показаны первые
семь членов прогрессив, у которой ац~2 и d==*l,-a рис. 1.3,6
отвечает случаю ^ = 6, d =—2. В такой интерпретации-каждый
член арифметической прогрессии представляет собой площадь
прямоугольника, взятую со знаком плюс или минус в зависи-
мости от того, выше или ниже оси абсцисс расположен соответ-
ствующий прямоугольник, и член прогрессии равен нулю, если
ему соответствует вырожденный прямоугольник. Тем самым фор- ,
мулу для суммы +-• •+йа можно интерпретировать
как алгебраическую сумму (с учетом знаков) площадей соот-
ветствующих прямоугольников.
Так как = 1)+(л—1) = (&+ 2) + —2)—..., то
«/г+^n:=:::CZ/2-bi +.
Для прогрессии, которой соответствует рис. 1.4, а (га = й+3),
эти равенства означают, что если к первому слева прямоуголь-
нику приложить сверху четвертый, ко второму—третий, к треть-
ему«*второй, к четвертому —первый, то в результате получим
прямоугольник ABCD, стороны которого равны /г-|-3—&-J-1 = 4
и Uk^a^+з, (В случае, когда число слагаемых нечетно, то к
среднему прямоугольнику прикладывается он сам.) Как видно
из рис. 1.4, а, сумма + +^+2+^+3 представляет собой
половину площади четырехугольника ABCD, т. е. равна
*2* (ak + ak+s) *4=2 (а^ + з).
Для прогрессии, которой соответствует рис. 1.4, б (л=&4-5),
получается прямоугольник ABCD со сторонами и
1 =6. Отличие здесь от рис. 1.4, а состоит в том, что
на первый слева прямоугольник сверху наложен шестой, на
второй—пятый, на пятый—второй, на шестой—первый, к треть-
ему приложен четвертый, а к четвертому**» третий. (Если соот-
ветствующие прямоугольники суммы двух членов прогрессии
расположены по одну сторону от оси абсцисс, то они прикла-
дываются друг к другу, а если по разные, то они накладыва-
ются друг на друга.) В этом случае сумма • • •
'. ♦. также равна -половине площади прямоуголь-
ника ABCD, т. е. равна
-g- 3 (Д&+ ak+&)-
Аналогичные рассуждения можно провести и в общем
случае.
Пример 6. Фруктовый сад имеет форму правильного тре-
угольника, причем в первом его ряду посажено 1 дерево, во ч
втором**-2 дерева, в третьем—3 дерева и т. д., в n-м ряду — '
л деревьев. Может ли такой сад иметь 105 деревьев?
12
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
13
Решение. Заметим, что если найдется такое значение п,
при котором- справедливо равенство 1+ 2+...+« = 105, то
такой сад возможен. Так как . последовательность
1, 2, 3, 4, ..., п, ...
является арифметической прогрессией, то из приведенного ра-
венства следует, что
+±1U1O5.
Отсюда находим, что п=14.
Таким образом, такой сад возможен, и он может быть по-
сажен указанным способом в 14 рядов.
Пример 7. Доказать, что:
а) 13Н-28+... +»3= ( " ;
чисел, находящихся на рисунке между любыми двумя выделен-
ными линиями, например суммы
4 + 8+12+16+12 + 3 + 4;
Aj + 2А; + 3/г + + 5Я; + ... + А2+ ... + 5k + 4k + 3k + 2k + k.
По формуле для суммы членов арифметической прогрессии на-
ходим, что эти суммы равны соответственно
4.(1 + 2 + 3 + 4+1+2+3) = 4-4-4 = 43;
А (1 + 2+3+ ... +k+ 1+2+ ... +(6-1)) =
= й {2 (14-2+... 4-fe)—k} = k /2.h\=й«.
1 Z I
14
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Таким [образом, сумма всех чисел в квадратной таблице пхп
равна 1* 3+23+*..+я3. С другой стороны, суммы чисел, стоя-
щих в первой, второй, третьей, ..., n-й строках, равны соот-
ветственно
1 + 24-3+...+«,
2(1 +2+3 + .., +п),
3 (1 + 2+3+ * • • + п),
п (1 +2+3+ ..»+ я).
Сложив все эти равенства, получим, что сумма всех чисел, стоя-
щих в таблице, равна
(1 +2+3+.,, + п) (1 +2+3+ ... +п) =
= (1+2+3+...+п)2=(-^^±Д-у.
Требуемое равенство доказано.
б) Воспользуемся тождеством
а (а +1) (и+2) *-* (я— 1) а (о, +1) = Зя2+Зо.
Положив в нем последовательно а=1, а=2, ,,,, а = п, полу-
чим п равенств:
1.2.3-0‘1.2 = 3-12 + 3-1,
2.3.4—Ь2.3 = 3«22+3.2,
3.+ 5—2.3.4 = 3-32 + 3-3,
(n—l)n(n+l)-(n—2)(n-l)n = 3(n-l)2 + 3(n-l),
п (п+1) (п+2) — (п — 1) п (п+1) = 3п2+3п.
Сложив эти равенства и приняв обозначения Sx = 1 + 2+ ,., + п,
S2== 12 + 224~ ...+п2, получим равенство
n (n +1) (п + 2) = 3S2 + 3SX,
из которого следует искомое выражение для <S2:
n (n +1) (п + 2)—3SX
3
_ п (n+D (п+2)-^ п (п+1) (n+ п(2п+
3 6
Если дана арифметическая прогрессия {ап}, то величины at,
ап, d, п и Sn связаны двумя формулами:
an=ai+d(n—l)-, Sn=ai^"n.
Поэтому, если значения трех из этих пяти величин даны, то
соответствующие им значения двух остальных величин опреде-
ляются из этих формул, объединенных в систему двух уравне-
ний с двумя неизвестными.
Пример 8. Сумма третьего и пятого членов арифметиче-
ской прогрессии равна 5, а их произведение равно 6. Найти
сумму первых десяти членов этой прогрессии.
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 15
Решение. Пусть арифметическая прогрессия с раз-
ностью d, удовлетворяющая условию задачи. По условию задачи
имеем систему
J аз + а5=5,
I ед»=6,
из которой находим два ее решения: (а*1); а*Р) = (2; 3), (а®>;
= (3; 2). Так как a6 = a3 + 2d, то для разности прогрессии d
получаем две возможности: dW^l/2 и d<a> =—1/2. Таким обра-
зом, имеется две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи:
a)of>=l, d(1)=l/2; '
б) а(2> = 4, ^2> =—1/2;
Отсюда получаем
aft’= 1 4--у-(10—0=5,5,
aS> = 4—1^(10-1) = -0,5}
Z
и, следовательно,
10=32,5,
S$ = 4~°:L. 10=17,5.
П р и м е р 9. Найти разность арифметической прогрессии,
если ее первый член равен а и для каждого натурального
числа п сумма ее первых п членов равна ап2.
Решение. Так как ап — £f+d(n—l) = a+d(n—1), то из
формулы для суммы и условия задачи имеем
2а+^п~.?1д=:ада,
т. е«
2а+^ (п—1) = 2ап.
Так как это равенство должно иметь место при всех п, то, по-
лагая заключаем, что d=2a. Проверив, что при at—а
и d — 2a получаем «1 + 02+ • • • -\-ап — ап\ убеждаемся, что зна-
чение d — 2a служит ответом к данной задаче.
Пример 10. Могут ли числа 10, 25 и 40 в указанном по-
рядке быть членами некоторой арифметической прогрессии?
Решение. Будем искать прогрессию {ап}, у которой 01—10,
аЛ = 25 и 0^ = 40, где 1 < tn < п. Для этой прогрессии имеем
систему уравнений
( 25=10+d(m—1),
\ 40= 10+d (n—‘1),
16 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где d^разность этой прогрессии. Исключая из этой системы 4»
получим соотношение, связывающее натуральные числа тип:
т —1 1
п —1 ~~“2 '
Полагая, например, т = 2, получаем n = 3, d= 15. Полагая т==3,
получаем n = 5, d = 7,5.
Вообще для каждого т 2 получаем п = 2т — 1, d == — .
Таким образом, числа 10, 25 и 40 могут быть членами бесконеч-
ного числа арифметических прогрессий.
ЗАДАНИЕ 1
1. Найти первые семь членов арифметической прогрессии,
у которой первый член равен 2, а разность равна 3.
2. Найти первые пять членов арифметической прогрессии,
у которой шестой член равен **»1, а седьмой член равен 1.
3. Известно, что сумма первых пяти членов арифметической
прогрессии равна нулю. Найти третий член этой прогрессии.
4. Пусть арифметическая прогрессия, у которой а8 —а
и а^Ь, Найти разность этой прогрессии.
5. Пусть {nw}—-арифметическая прогрессия, у которой а5==6
и «7 = 8. Найти «4, «б и «10.
6. Доказать, что величина одного из углов треугольника
равна 60°, если известно, что величины его углов составляют
арифметическую прогрессию.
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти первые шесть членов арифметической прогрессии,
у которой первый член равен —3, а разность равна 2.
х 2. Найти первые пять членов арифметической прогрессии,
у которой седьмой член равен 5, а восьмой член равен 8.
3. Известно, что сумма первых семи членов арифметической
прогрессии равна нулю. Найти четвертый член этой прогрессии,
4. Пусть {«„}—арифметическая прогрессия, у которой «g = «
и «5 = 6. Найти разность этой прогрессии.
5. Пусть арифметическая прогрессия, у которой «4 = 6
и «в = 8. Найти «5, «2 и «9.
6. Дан треугольник, длины сторон которого составляют
арифметическую прогрессию. Найти длину средней стороны
этого треугольника, если его периметр равен 12.
ЗАДАНИЕ 3
1. Пусть {«„} —арифметическая прогрессия, у которой «х = 3
и d—2. Найти «б.
2. Дана арифметическая прогрессия {ап}, у которой из-
вестны «2 и разность d. Найти «б, at0 и «100.
3. Сколько имеется трехзначных нечетных чисел?
4. Сколько имеется натуральных чисел, не превосходящих
1000, которые при делении на 3 дают в остатке 2?
1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
17
5. Пусть^и} — арифметическая прогрессия, у которой 02f=31
и d = 0,l. Найти а± и 0i7.
6. Пусть {аЛ — арифметическая прогрессия, у которой 01з=7
и а24=12,5. Найти d± и разность этой прогрессии.
ЗАДАНИЕ 4
1. Дана арифметическая прогрессия {«„}, у которой из-
вестны 03 и разность d. Найти 0в, 02Оо-
2. Пусть {0Л}—-арифметическая прогрессия, у которой 04 = 2
и d——3. Найти 0в.
3. Сколько имеется двузначных нечетных чисел?
4. Сколько имеется чисел, не превосходящих 1000, которые
при делении на 5 дают в остатке 3?
5. Пусть {0П}—-арифметическая прогрессия, у которой 0/7=2,7
и d = 0,l. Найти 0j и 02f-
6. Пусть {0Л}—*арифметическая прогрессия, у которой ац — 6
и aie = 8,5. Найти at и разность этой прогрессии.
ЗАДАНИЕ 5
1. Пусть {0w}-es*арифметическая прогрессия, у которой 0f = 3
и 08 = 5~. Найти 02, as, ав.
2. Сумма первого, второго и третьего членов арифметической
прогрессии равна 3. Сумма второго, третьего и пятого ее членов
равна 11. Найти первый член и разность этой прогрессии.
3. Разность третьего и первого членов арифметической про-
грессии равна 6, а их произведение равно 27. Найти первый
член и разность этой прогрессии.
4. Может ли число 6,125 быть членом арифметической про-
грессии, у которой 0i = 2 и d = 0,28?
5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые делятся
на 3.
ЗАДАНИЕ 6
1. Пусть {ап} — арифметическая прогрессия, у которой 0f=l
и я6 = 2~-. Найти 0з, 04, 0б.
2. Сумма второго, третьего и четвертого членов арифмети-
ческой прогрессии равна 12, а сумма третьего, четвертого и
пятого ее членов равна 21. Найти первый член и разность
этой прогрессии.
3. Сумма первого и четвертого членов арифметической про-
грессии равна 1,5, а их произведение равно — 4,5. Найти пер-
вый член и разность этой прогрессии.
4. Может ли число 5,124 быть членом арифметической про-
грессии, у которой 01 = 3 и d = 0,64?
5. Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся без
остатка на 9.
18
ГЛ. 1, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Упражнения
1. Найти формулу общего члена арифметической прогрес-
сии {«„}, если известно, что:
1) а$ = 5, «2 = —5;
2) ai = — 3, ав=12;
3) а/ = 6, ai’O = 33.
2. Пусть {«„}—^арифметическая прогрессия с разностью d
и сумма первых п ее членов.
Найти:
1) at и d, если «7 = —5, а32=70;
2) «is» если «6 = 2, «40=142;
3) «io, если «25—«2о= Ю, «i6=13;
4) «13, если «44=5, «12=1;
5) «14-020» если «з+«i8 = 50;
6) «1, если «75 = 190, S76 = 7500;
7) л, если «1 = 3, «2 = 5, S„ = 360;
81 d, если «1 = 7, Si0 = 25;
9) «f и d, если «к+«го =35, «ie«2i = 150;
10) S40, если «2 = 7, «з=11;
11) *$26, если лп = 2л—*5, ngN;
12) «1 и d, если «2+«4= 16, «1«б = 28;
13) «1 и d, если «1«ц = 44, «2 + 010 = 24;
* 14) л, если «2*4“«2п=42, «2 + 04 + »♦ ♦ + «2/t== 126;
15) «д, если «^ = л, ап~т (и ^т)\
16) $2о> если «в+ «0 + 012+015 = 20;
17) «„, если «4=—4, «ц=—17;
18) «„, если 5„ = л2;
19) «$12» если «1 = — 3, a8«7 = 24;
20) Sio, если «5 = 9, «2 +«о=20; ч
21) S8, если «1+л8=25, «3+«5=19;
22) Sf6, если S4 = —28, S6 = 58;
23) «1 и d, если 5„=3л2 + л;
24) at и d, если 5„ = 2ла—-3л;
25) «10, если £„=3л2—2л;
26) «i и d, если 4S„ = Srt2;
27) at и d, если «5=18, 4S„=S2„;
28) «7, если «„ = 22, л = «1«2, «2 + «п~20.
3. Найти сумму:
1) 1 + 2 + 3 + .. ,+л;
2) 2+4+6+...+(2л+ 2);
3) 1+3 + 5+.. -+ (2л+1);
4) 3+8+13+... + (5л + 3);
5) всех натуральных трехзначных чисел;
6) всех натуральных трехзначных чисел, делящихся на 3}
7) всех натуральных треханачных чисел, не делящихся на 3;
8) всех натуральных двузначных чисел, каждое из которых
не делится ни на 2, ни на 13;
9) первых 100 натуральных чисел, каждое из которых при
делении на 5 дает в остатке 2;
Ю) 1002-—992+982—972+ ... +22— I2.
4. Могут ли данные числа быть членами одной арифмети-
ческой прогрессии: _ _
1) 1, у 3, 3; 2) / 3, 2, 2 к 2;
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 19
3) У"2, О, /5; 4) 2, 6, -| ?
5. Три числа являются последовательными членами ариф-
метической прогрессии. Сумма их равна 33, а произведение
равно 1287. Найти эти числа.
6. Четыре положительных числа являются последователь-
ными членами арифметической прогрессии, разность которой
равна 2. Произведение этих чисел равно 19305. Найти эти числа.
7» Найти первый член и разность арифметической про-
грессии, если сумма ее первых трех членов равна 27, а сумма
их квадратов равна 275.
8. Найти трехзначное число, цифры которого являются
последовательными членами некоторой арифметической про-
грессии и которое делится на 45.
9. Арифметическая прогрессия {а„} такова, что «2+^4 +
+• cig -|~Uqбчр = 15, ^7 Ч-== 12,5. Найти первый
член и разность этой прогрессии.
10. Первый член арифметической прогрессии равен 2, вто-
рой и третий соответственно равны квадратам двух последова-
тельных натуральных чисел. Найти разность этой прогрессии.
11. Сумма четырех последовательных членов арифметиче-
ской прогрессии равна 1, сумма кубов этих же чисел равна 0,1.
Найти эти числа.
12. Найти числа, являющиеся последовательными членами
арифметической прогрессии, зная, что сумма первой четверки
этих чисел равна 68, сумма последней четверки равна —36, а
сумма всех этих чисел равна 68.
13. Найти формулу общего члена последовательности {ап}>
если известно, что при любом значении п сумма первых п
ее членов равна -g- (n2—6п).
14. Найти условие, при котором три числа а, b и с являются
членами некоторой арифметической прогрессии.
15. Могут ли цифры
I) трехзначного; 2) четырехзначного простого числа быть
последовательными членами некоторой арифметической прогрес-
сии с положительной разностью?
16. Решить уравнение:
1) 52545б .. . 52* = 0,04~?8;
2) 1 +7+13+ ... + % —280;
3) (х+1) + (х+4)+...+(х + 28) = 155.
17. Даны две арифметические прогрессии:
5, 8, 11, 14, ... и 3, 7, 11, 15, ...
Сколько равных членов будет среди первых 100 членов первой
последовательности и 98 членов второй последовательности?
18. Решить уравнение
х3+х2 = а,
вная, что его корни являются тремя последовательными чле-
нами арифметической прогрессии.
19. Какая зависимость должна существовать между р и q
для того, чтобы уравнение х4+рх2 + <?=0 имело четыре корня,
являющихся четырьмя последовательными членами некоторой
арифметической прогрессии?
20
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
20. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника
являться последовательными членами некоторой арифметической
прогрессии?
21. Найти отношения длин сторон треугольника, зная, что
величина одного из его углов равна 120° и что длины сторон
являются последовательными членами некоторой арифметической
прогрессии.
22. Длины сторон треугольника являются последователь-
ными членами некоторой арифметической прогрессии, разность
которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см2. Опре-
делить длины сторон.
23. Определить длины сторон треугольника, если они выра-
жаются целыми числами и являются последовательными чле-
нами некоторой арифметической прогрессии, причем периметр
треугольника равен 15.
24. Найти все арифметические прогрессии, у каждой из
которых среднее арифметическое первых ее п членов равно п.
25. Найти все значения х, для каждого из которых сле-
дующие числа:
1) V"x, х, х*>
2) 1 + sin х, sin2 х, 1 + sin Зх;
3) lg2*, lg(2*-l), 1g (2* + 3);
4) cos4 ~ ~ sin 2x, — sin4 ~ ;
Л л
5) /TZI, K’12x+1
являются последовательными (в указанном порядке) членами
арифметической прогрессии.
26. Пусть {ад}, {&„} —арифметические прогрессии. Яв-
ляется ли арифметической прогрессией последовательность:
1) 2) —Ьп}’, 3) {апЬп}}
4) {ап/Ьп}, если Ьп £ 0; 5) {| ап |}? v
27. Найти арифметическую прогрессию, в которой, сколь-
ко бы ни взять членов, сумма их всегда будет равна утроен-
ному квадрату числа этих членов.
28. Дана арифметическая прогрессия
1, 18, 35, ...
Указать все члены этой прогрессии, которые можно записать
с помощью одних троек.
29. Найти четыре целых числа, являющихся последователь-
ными членами некоторой арифметической прогрессии, при усло-
вии что наибольшее из них равно сумме квадратов трех осталь-
ных.
30. Найти условие, при котором три числа а, b и с
были бы &-м, р-м и q-м членами некоторой арифметической
прогрессии,
31. Найти четыре четных положительных числа, являющихся
последовательными членами арифметической прогрессии, при
условии что произведение суммы трех последних на сумму двух
крайних будет равно кубу полусуммы двух первых.
32. Найти сумму п членов арифметической прогрессии
х — 1 , х—2 , х—3 . . 1
—4—Г-+--+У-
§1 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 21
33. Найти такую арифметическую прогрессию, в которой
между суммой ее первых п членов и суммой kn следующих
существовало бы постоянное отношение, не зависящее от п.
34. Доказать, что в арифметической прогрессии между лю-
быми двумя последовательными членами можно вставить по k
чисел таких, что новая последовательность будет составлять
также арифметическую прогрессию.
35. Доказать, что если положительные числа а, b и с
(а^Ь^с) являются последовательными членами арифмети-
111
ческой прогрессии, то числа —----7^, ----7-=, ---7^
К &+/ с / с+К а / а+/ Ь
также являются последовательными членами некоторой арифме-
тической прогрессии.
36. Доказать, что если числа - 9 , , 9, -^4—5, -75-;—яв-
я2 + я2 с2 + я2 Z?2 + с2
ляются соответственно первым, вторым и третьим членами
арифметической прогрессии, то числа a2, Z?2, с2 являются после-
довательными членами некоторой арифметической прогрессии.
37. Даны две арифметические прогрессии {ап} и {Ьп}. Известно,
что ai=a, а^~Ь, и /?х = 1/а, b2=l/b, Ьз~1/с. Доказать,
что а — b = с. /
38. Доказать, что если положительные числа а, b и с, где
а^Ь^с, являются последовательными членами арифметической
прогрессии, то
3(a2+b2—c2) = 6(a^b)2^(a + b+.c)2,
39. Доказать, что если Sn обозначает сумму первых п чле-
нов арифметической прогрессии {ап}, то:
2)
3)
$зп — 3 (S2n — Sn);
$п+з—3Srt+2 4-3Srt+i-r-Sn = 0;
S S
— p)-[—я)Н——•(« — m) = 0, если числа n,
тир различны;
4) ' 5) Sn(S„n-St„) = (Sen-Sn)*.
^m + n m-j-n
40. Доказать, что если второй член арифметической прогрес-
сии есть среднее пропорциональное между первым и четвертым
членами, то шестой член будет средним пропорциональным
между четвертым и девятым членами.
тт 111
41. Доказать, что числа 7—:—, —;, —г-т являются чле-
Ь+с с + а а + Ь
нами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда
числа а2, Ь2 и с2 содержатся в некоторой арифметической про-
грессии.
42. Пусть {0П} — арифметическая прогрессия и существуют
такие числа тик, что Sm — rn2p, S^ — k^p, где т, k и р — неко-
торые натуральные числа. Доказать, что Sp — p3,
43. Доказать, что если {ап} — арифметическая прогрессия, то:
1) ——|—!—i—-—к-.4—-——1;
ata2 ‘ а2Яз * 1 an-ian ^ian
22
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2) J_____ t,._1_____г I 1____-з-
? г^+r^r^+r^’’’^r^+r^
_ п— 1
^«i+Ko^ ’
если сц > 0 при 1=1,2, .,», л.
44. Доказать, что
П4-1 1 1 I , п + 1
^1^2»+2 * азДд ’ ^ап^2п+1 ^i^2a+i’
где {«я)—возрастающая арифметическая прогрессия с положи-
тельными членами.
45. Доказать, что для всякой арифметической прогрессии
&2> Лз> «»•> аП> •
имеют место равенства:
af—2«2 + «з=0,
а± — 3«2 + За8—«4 = О,
—'4«2 +6«g — = О
и вообще при всяком п^2
ai-cAa2 + cU~. • +(- 1)«-1СГЧ + (- 1)”С^„+1 = 0.
46. Доказать, что если «/—целые нечетные числа, не де-
лящиеся на 3 и составляющие арифметическую прогрессию, то
число «1+ ... +«3i—А делится на 384.
47. Первый член и разность арифметической прогрессии
являются целыми числами. Доказать, что произведение четырех
последовательных членов прогрессии, увеличенное на четвертую
степень ее разности, является квадратом целого числа.
48. Пусть {«/}—арифметическая прогрессия с разностью d
и 0 < d < 2«х, k > 1—целое число. Доказать неравенство
у J_<_______1_______
Zu / d
£1
49. Числа «1, «2, ..., ап+1 являются членами арифмети-
ческой прогрессии. Из этих чисел составлено новое множество
чисел {6/} так, что ^z = a/+a/+i (/—1, 2, ..., п); из последних
составлено новое множество {cj, где Cj~<b/+&f+f (t = 1, 2, ...
...» n —1) и т. д. до тех пор, пока не получилось множество,
состоящее из одного числа. Найти это число.
50. Доказать, что в треугольнике Паскаля, составленном
из биномиальных коэффициентов, имеется бесконечно много
строк, которые содержат три, стоящих рядом в этой строке,
члена некоторой арифметической прогрессии.
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 23
§ 2. Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность
чисел {6П}, у которой каждый член, начиная со второго,
получается из.предыдущего умножением его на некоторое по-
стоянное для этой последовательности число q 0, т. е.
— n(“N.
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии,
число bi — первым ее членом, а Ьп—общим ее членом.
Так, например, последовательность
1, 4, 16, 64, 256,
у которой каждый последующий член, начиная со второго,
получается из предыдущего умножением на 4, является геомет-
рической прогрессией со знаменателем #~4 и bi=l.
Для геометрической прогрессии {Ьп} со знаменателем q при
п^2 имеем
Ьц __bn+i __
bn ’
т. е.
Например, для геометрической прогрессии
1, 4„ 16, 64, 256, 4*-Ч ,tt
имеют место равенства
4*=Ь16; 162 —4*64; 2562 = 64.1024; 42» = 4"-М«+*.
Отметим, что три числа а, Ь, с являются последовательны-
ми членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только
тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух
других.
Пример 1. Доказать, что последовательность с общим
членом Ьп — {—3)-2П является геометрической прогрессией, пер-
вый член которой равен —6, а знаменатель равен 2.
Решение. Для доказательства того, что последователь-
ность {#«} является геометрической прогрессией, достаточно про-
верить равенство b^ — bn~ibn+i (п^2). При каждом п^2
имеем
&п = (-3)*2", = &ft+i = (—3)»2n+1
и, следовательно,
й = (-3 • 2«)а = (-3 • 2» -1) (-3.2"+!)=b„_ ibn+i.
Далее, так как bi ——3*2 = —6 и Ь2 ——-3«22 = —-6*2 — Ь±-2, то
нужные утверждения доказаны.
Пример 2. Пусть числа а, Ь, с являются последователь-
ными в порядке их записи членами некоторой геометрической
24
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
прогрессии. Доказать, что
(1з-+-^+4-)=«8+68+а
Решение. Так как числа а, b и с являются последова-
тельными членами геометрической прогрессии, то = Сле-
довательно,
2.2 2 / 1 . 1 . 1 \ Ь2с2 . а2с2 . а2Ь2 асе2 . Ь* . а2ас
+—+-т-=—+Т+—=
==£3+*3+а3.
Пример 3. Три положительных числа являются после-
довательными членами арифметической прогрессии, а квадраты
этих чисел—-последовательными членами геометрической про-
грессии в том же порядке. Найти знаменатель геометрической
прогрессии.
Решение. Пусть положительные числа a—d, a, a-\-d —
три последовательных члена данной арифметической прогрес-
сии. По условию задачи числа (a—*d)2, а2, (а4~ф2 таковы, что
а4 = (а—a)2 (a-^-d)2. Отсюда имеем, что d2 (d2—2а2) = 0, т. е.
d2 (с1-—У~2а) (d + р2~2а) === 0. Если d = то а—d = tz —
— а У1! = а (1 — У 2) < 0; если d = —У~2а, то a^d — a —
— У 2а = а(1 — У~2) < 0, что противоречит предположению
о положительности чисел а—d и a-\-d. Следовательно, d — 0.
Итак, разность данной арифметической прогрессии равна 0,
поэтому знаменатель геометрической прогрессии с тремя после-
довательными членами а2, а2, а2 равен 1.
Пример 4. Три целых числа а, Ь, с являются последо-
вательными членами геометрической прогрессии. Найти эти три
числа, если известно, что числа а, &+8, с в порядке их записи
являются последовательными членами арифметической прогрес-
сии, а числа а, &+8, с+64 также в порядке их записи —по-
следовательными членами геометрической прогрессии.
Решение. Так как числа a, Z>+8, с являются членами
арифметической прогрессии, то, обозначив ее разность через d
и положив я = & + 8, получим а = х—d и c = x+d. Тогда, со-
гласно условию задачи, тройка чисел x—d,x—8, x-±d и.тройка
чисел х—d, х, х+^+64 являются последовательными членами
некоторых геометрических прогрессий. Поэтому х и d удовлет-
воряют следующей системе уравнений:
( (х—8)2 = (х—d)(x+d)t
( х2 = (х—d) (х+^ + 64).
Проделав алгебраические преобразования, найдем, что
j 16x = 64+d2,
j 3d2—64d+256 = 0.
Эта система имеет два решения: Xi = 20, dj=16 и ха = 64/3,
d2=16/3.
Условию задачи удовлетворяет только первое из этих реше*
ний. Поэтому а=4, b = 12, с=36.
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
25
Общий член Ьп геометрической прогрессии {Ь^} может быть
найден через первый ее член bi и знаменатель q по формуле
Ьп^Ь^-К ,n£N.
Например,
а) если bn+j~10bn и ^=1, то bn=lOn~i*t
б) если bn+j— — ЗЬп и й = 2, то Ьп — 2'(—3)п-1.
Общий член Ьп геометрической прогрессии {Ьп} может быть
также выражен через любой из ее членов, предшествующий
ему, и знаменатель прогрессии q следующим образом:
Ьп~ biq"-^=b2qn~2 = b3qn~3 = ... = bn_2ср = Ьп-ЛЧ,
т. е.
bn = b^qn^u или bn — bn~kqk,
При любых натуральных фиксированных п и k имеет место
равенство
bn+k~bnq*t
и поэтому
Ьп = bn~kbn+fa 1 k н— 1,
т. е. квадрат любого' члена геометрической прогрессии, начиная
со второго, равен, произведению равноотстоящих от него членов
этой прогрессии.
Кроме того, для любой геометрической прогрессии {6П} спра-
ведливо равенство
bmbn~bkbi,
если /п + п = &+/.
Например, для геометрической прогрессии с общим членом
£п = 7«(13)п-* имеем:
а) Йо —&5Й5, так как 10—5 = 5 и'10+5= 15)
б) &7&8==Mio> так как 7+8 = 5+10.
Пример 5. Третий член геометрической прогрессии {£«}
равен 8, а пятый ее член равен 32. Найти Ь^.
Решение. По условию &3 = 8 и 65 = 32. Так как Й = ^б,
то Й — 8*32 = 256, т. е. для Ь± имеем две возможности #4=16
или &4 = —16. Следовательно, для знаменателя прогрессий соот-
ветственно также имеем две возможности:
q=zbjb3 = 2 или <7 = д4/^з = —2.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прогрессии!
для первой прогрессии найдем, что
bi0 = 8*27 = 210= 1024,
для второй
bio = S * (— 2)7 = —2^=—1024.
1
26 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 6. Геометрическая прогрессия {Ьп}^ все члены
которой положительны, такова, что Ь^~2 и &ls = 3. Найти
и W>27-
Решение. Так как 10+18=14+14, то&х4=&10&18=6; следо-
вательно, Ьп—К 6. Поскольку 14+ 18= 16+16, то й = &14/?18=
= 3 У' 6, т. е. ^6=1^3)/^ 6. Наконец, из того, что 14 + 16 =
= 30 = 3 + 27, следует, что
М27=bi А« = V 6 К 3 /6=3 К 2/6.
Пример 7. Найти четыре числа х, у, г, w (х < у < z < до),
которые являются последовательными членами геометрической
прогрессии и такие, что х+до = 27 и t/+z=18.
Решение. Обозначим через q знаменатель искомой про-
грессии. Тогда y — xq, z~xq\ w — xq3, и по условию задачи
имеем систему
х + х?3 = 27,
Х(/ + х^2= 18.
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3; затем после
вычитания второго уравнения из первого получим
2х+2х<73—3xq—3xq2 = 0.
Так как х =£ 0 (в противном случае х=# = и = до=0), то
2(^+1) —(</+1) = 0,
или
(<7+1) (2<72—5?+2) = 0.
Таким образом, имеется три возможности: # = —1, q= 1/2, q~2.
Значение q~—1 не удовлетворяет первому уравнению системы.
При q=\/2 и q~2 для возможных значений х соответственно
получаем х = 24 и х = 3. Так как пара <? = 1/2 и х = 24 опреде-
ляет убывающую последовательность, а пара q~2 и х = 3 опре-
деляет возрастающую последовательность, то условию задачи
удовлетворяет четверка чисел: х = 3, #=6, z=12, до = 24.
Пример 8. Пусть {&„} —геометрическая прогрессия, у ко-
торой Ьь = а, bi~b, где !<;&</ и а > 0, b > 0. Найти знаме-
натель прогрессии.
Решение. Пусть д—знаменатель геометрической прогрес-
сии {Ьп}. Тогда
и, следовааельно,
qi-k=bt/bk = b/a.
Если I—k — четное число, то имеется две прогрессии, удовлет-
воряющие условию задачи, для которых соответственно q~
= b/а и q~— b/а. Если I — & —нечетное число, то зна-
менатель прогрессии равен j/"b/a.
Пример 9. Могут ли числа 12, 20 и 35 быть членами не-
которой геометрической прогрессии?
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 27
Решение. Ни одно из расположений данных чисел:
12, 35, 20; 20, 35, 12; 20, 12, 35; 35, 12, 20
в геометрической прогрессии невозможно, так как ее знамена-
тель не может одновременно быть больше единицы и меньше
единицы.
Если порядок следования данных чисел в геометрической
прогрессии есть 12, 20, 35, то 20== 12^* и 35 = 12дй+Я1, где q —
знаменатель прогрессии, a k и т—некоторые натуральные
числа. Тогда qm = 7/4, и тем самым
5 = 3 (<?«)ft/'n=3- (-j)*7”*’
Отсюда находим, что
Зот-7*,
а это противоречит единственности разложения числа на про-
стые множители. Таким образом, данные числа в указанном
выще порядке не могут быть членами никакой геометрической
прогрессии.
Случай расположения чисел в порядке 35, 20, 12 рассмат-
ривается аналогично предыдущему. Итак, числа 12, 20 и 35 не
могут быть членами никакой геометрической прогрессии.
Сумма Sn = &f + &2+ • •• +&и первых п членов геометри-
ческой прогрессии {&rt} со знаменателем q 1 вычисляется по
формуле
1__ап
а при q = 1— по1 формуле
Sn = nbf»
Заметим, что если 1 < n, q Ф 1, то
$п—^ = ^+1 + ^+2+ •••
Например,
1—2“
а) 14-2+4+8+ ... +2«-*=-j—=
б) ±+±+ +-J______1 l-U/5)»-\ ..
J бзТ-54-Г ••• -Г5п-1 —53 !_1/5 —
=_!_ fi_____!_Л
5М [ \ 5} J 100 \ 5П~3)'
Пример 10. Найти сумму первых восьми членов геомет-
рической прогрессии {/?„}, если £П = 3*2Л.
Решение. Так как = 3-2 = 6, ^ = 3-22= 12, то знамена-
тель данной прогрессии находим из равенства 0 = &2:/>i, откуда
0=2. Тогда
1—/7« х! ___98
S8=bi -7—^- = 6-г-т=6(2«-1)= 1530.
1
28
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример И. Сумма п первых членов некоторой геометри-
ческой прогрессии при ^любом натуральном п вычисляется по
формуле 5„ = 3(2"—1). Найти пятый член и знаменатель этой
прогрессии.
Решение. Пусть —геометрическая прогрессия со зна-
менателем q, удовлетворяющая условию задачи. Так как Si=3,
a S2 = 3 (22 —1) = 9, то ^i = Si==3 и bi (1 +?) = S2~9. Отсюда
следует, что q~2> и тем самым Ь^ — 3-2* = 48.
Пример 12. Найти
S„=l + 2a+8a2 + 4a3+ • •• + па"~\ а £ 0.
Решение. Так как
aSn = a + 2a2 + 3a3 + ... -\-пап,
то
aSn — Sn — nan — (1 -|-а + а2 + а3 + ••• + аи~1).
Поскольку
пП_________________________________________1
1 + а + а2 + а3 + ... + а"~1 = *
то
ап — 1
ctSn —Sn = Sn (а 1) = пап q
Таким образом,
„ z пап 'ап — \
п~ а — 1 ~ (а —I)2*
Пример 13. Найти
5 = 1 + 11 + 111 + ... + 1111...111.
1000 цифр
Решение. Так как число 1111... 111 при любом н ату рал ь-
п цифр
ном п можно записать в виде
1111...111
п цифр
п цифр
999...99
9
10" —1
9
то
„ 10—1. 10а— 1 , 103— 1 , Ю100®—1
5-------- | _ I - I- • • • •+• 9 “
=1 (104-102+10»+ ... 4-1010в°—1000) =
— * [ 10Д^ —1) 1000j _ 1 (1!! , 10_ Ю00) =
У Г 1 v 1 J У < - - и
1000 цифр
=1(111... 10110).
997 цифр
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
29
П р и м'е р 14. Найти сумму первых десяти членов геомет-
рической прогрессии {Ьп}> у которой &j = 3 и Z?9—&5 = 36.
Решение. Если знаменатель прогрессии, то по усло-
вию
&9 btq* == 3</8—З#4.
Обозначив <74 = /, получим уравнение
З^2 —3/ — 36,
корнями которого являются числа ^ = 4 и /2==—3.
Поскольку ! t ^0, то ^2 = —3 не удовлетворяет условиям
задачи; следовательно, <у4 = 4. Отсюда имеем две возможности
для знаменателя прогрессии: q — ]T~2 и q — —
Для геометрической прогрессии с Ь± — 3 и q—V 2
5„_М!Ер_2й=за=93(1 + ^),
а для геометрической прогрессии с Z>i = 3 и q = —
^М>=М=93(1_О.
Для геометрической прогрессии {Ьп} со знаменателем q
имеют место следующие свойства монотонности',
1) прогрессия является возрастающей, если выполнено одно
из следующих условий:
а) Ь± > 0 и q > 1; б) bi < 0 и 0 < q < 1;
2) прогрессия является убывающей, если выполнено одно
из следующих условий:
а)д1>0и0<#<1; б) bi <0 и q > 1.
Если q < 0, то геометрическая прогрессия {Ьп} является
знакопеременной: ее члены с нечетными номерами имеют тот
же знак, что и ее первый член, а члены с четными номерами—
противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геомет-
рическая прогрессия не является монотонной.
Пример 15. Геометрическая возрастающая прогрессия
и арифметическая прогрессия {ап} таковы, что
—/?f = 9, &5~—&з = 36, bi~ai и Ьъ-а^,
Найти сумму первых 12 членов арифметической прогрессии и
первых 6 членов геометрической прогрессии.
Решение. Если q—знаменатель геометрической прогрес-
сии, то имеем систему
Г ^2-^ = 9, Г ^-*1==9,
I biq* — М2 = 36, ‘ * \q* (btq* — bj = 36.
Подставляя 9 вместо — bi во второе уравнение системы,
имеем <72 = 4, откуда ? = 2 или # = —2. Так как геометрическая
прогрессия возрастающая, то q = —2 не удовлетворяет условиям
задачи.
30
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если д = 2, то bi = 3; поэтому сумма первых шести членов
геометрической прогрессии равна
3(1-64)
Если d—‘разность арифметической прогрессии, то по усло-
вию имеем систему
f #1 = 3,
( ах + 2d = 6,
откуда d —3/2. Следовательно, a12 = ai+Ud = 39/2; тем самым
сумма первых 12 членов арифметической прогрессии равна
F(«i + ^i2)‘12 _
2
(з+у)-6=135.
Итак, искомая сумма равна 189+135 = 324.
Пример 16. Пусть {ап} и {Ьп}--соответственно арифмети-
ческая и геометрическая прогрессии, причем а2 > > 0, ai — bi
и а2=&2. Доказать, что < Ь^ при любом k^3.
Решение. Если q — знаменатель геометрической прогрес-
сии, то £==&2/&i== аг/ai >1» и тем самым {&„}-—возрастающая
геометрическая прогрессия: 0 < Ь± < Ь2 < Ь3 < < Ьп < Ьп+1.
Так как
bi/b2 = bn/bn+i,
то из производной пропорции
—b2 __bj
bn~~~bn+i bn
и того, что br/bn <1 и Ьп—bn+i<$, имеем
> bn-\-b2—bi
при любом п^>2.
Таким образом,
Ьз > b2-\-(b2 — bi),
b^ > &3 + (Ь2—bi),
Ьп > bn_х + (^2—^1)»
Ьп + 1 > Ьп~\~{Ь2 — bi).
Складывая эти неравенства, получим
bn+i > Ь2-^(п—1) (&2 — &1).
Кроме того, так как Ь2—bi = a2—а±, то
62 + (п — 1) (62—&i) = а2 + (м — 1) (п2—ах) = %+Ь
Итак,
Ьп+1>ап+ъ п^2,
что и требовалось доказать.
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
3!
При &i = l и q Ф I формула для суммы первых п членов
геометрической прогрессии {6rt} имеет вид
Sn== 1 +?+<72 +... •
Эта формула допускает простую геометрическую иллюстрацию.
Пусть 0<g < 1. На рис. 1.6 ОАС±В и OPMN«-квадраты,
длины сторон которых соответственно равны 1 и 1/(1**^),
OB||CiDi||CaDa||CsD8b.M BCi||DiC2|]D2C8||.,*
Так как треугольники МОВ и MC^Dt подобны, то отноше-
ние длин их сторон О В и CiDt равно отношению соответствую*
щих им высот этих треугольников, т. е.
ОВ _ ор .
CtDi ~~ АР '
отсюда следует, что C^L^ — q. Треугольники
BCfDf, • * ♦
подобные,, так как
DiCj __ Р2С2 Р&Сь ___ __
ВС$ Р1С2 О2Р3
Поэтому
0В=1, CiP^ — q, C%D%~q\ Сд/Эз —g3, .
Таким образом,
Sn = OB+CtDi 4- CZDZ +... + CnDn,
32
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
т. е. сумма первых п членов геометрической прогрессии с общим
членом bn~qn равна ординате точки Dn,
Рассмотрим теперь случай, когда —1 < q < 0. На рис. 1.7
ОЛС1В—квадрат со стороной, длина которой равна 1, C1D1=|<7|=
= - q > 0; О А || DXC2 || D2C31| D3C41|...; OB || C2D21| C3D31| C4D4|| ...
Заметим, что точка М (точка пересечения ОСХ и BDt) имеет
координаты ’ T-lg) ’ И3 подобия треугольников ОВМ,
С^М, C^D^M, C3D3M, C4D4M, ... следует, что
CxDi = kl> С2Р2 = И|2, C3D3 = |d\ C4D4 = | |4, .. t
Таким образом (так как | q [ = — q),
Sn~OB — . + (— l)rtCrtDnj
следовательно, и в этом случае сумма первых п членов геомет-
рической прогрессии с общим членом bn — qn равна ординате
точки Dn.
Так как в обоих случаях точка Dn приближается к точке М
при увеличении члена п, то при всех достаточно больших п
имеет место следующая приближенная формула:
при 0 < I </| < 1.
* ч
Произведение ПП = 6Х&2...&П первых п членов геометри-
ческой прогрессии {Ьп} со знаменателем q вычисляется по фор-
муле
п (ft—1)
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 33
Произведение bJtl+tbm+%.. >bm+k любых & последовательных
членов геометрической прогрессии {Ьп} со знаменателем q вы-
числяется по формуле
+ (2m+ft- i)/a #
Пример 17. Пусть {Ья}—-геометрическая прогрессия со
знаменателем q. Найти:
5 /— 15
а) П1о, если у 6, q— у 3; ’
б) Ь^Ьь .. Л>ю, если &з = 8, /?1^2^з==64.
Решение. Имеем: __ _ .
a) ni0=*iV5 = (l/<б)1°.(к/з)4В ==32.22.3з=35,4 972;
б) из условия задачи получаем, что &fg2 = 8 и 61^ = 64.
Отсюда &i<7==4, и, следовательно, <7=2, &i = 2. Поэтому
Ь* ... &ю—щ-ge— -2 •
Пусть {Ьп} — геометрическая прогрессия со знаменателем q
и <7>0, <7?б 1. Тогда все точки
(1; Ьх), (2; д8).(и; Ьп\
т. е. точки
(1; bi), (2; btq), (n; М"“х),
на координатной плоскости, принадлежат графику функции
4 А. / / 1 \ ге~1\
^=-£<7^ Например, все точки вида n; (, где ngN,
Q \ \ J J
ординаты которых являются членами геометрической прогрессии
7 1
с общим членом bn~l 1 , лежат на графике функции ^ =
/ 1 V
= 2Ш (рис. 1.8).
2 Задаем поэмахематике» Начала анализа
34 ГЛ. L ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Из свойств показательной функции следует, что верно и
обратное утверждение: значения любой показательной функции
вида у = где b Ф 0 и q > 0, <7 1, когда х пробегает мно-
жество всех натуральных чисел, образуют геометрическую про-
грессию с первым членом b и знаменателем q, т. е. прогрессию
b, bq, bq2, ... Например, функции у ——(2/3)*“* соответствует
геометрическая прогрессия с общим членом Ьп — — (2/3)"“*
(рис, 1.9).
Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны
между собой.
Если {««} — арифметическая прогрессия с разностью d, то
последовательность
bn~b°n, n^N,
где Ь>0 и b 1, является геометрической прогрессией, первый
член которой равен bai, а знаменатель равен И, т. е. прогрес-
сией с общим членом
bn^bai (И)"“*.
Например, если дана арифметическая прогрессия с общим
членом flrt = 7 + 4(n—1), то последовательность с общим чле-
ном Ьп = 107*10 000п~* является геометрической прогрессией,
у которой 61 = 107 и <? = 104.
Если {&п}—геометрическая прогрессия, у которой первый
член bf и знаменатель q положительны, то последовательность
с общим членом
On=logc*n>
где с> 0 и с1, является арифметической прогрессией, пер-
вый член которой равен logff bf, а разность равна logtf q, т. е.
прогрессией с общим членом
а» = logc bi+(n — 1) logc q.
Например, если дана геометрическая прогрессия с общим
1 / 1 V-A
членом = —I ~ а то последовательность с общим членом
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 35
aw = —lg2 + (n— 1) lgявляется арифметической прогрессией,
у которой «1==—-1g 2, d = lg .
Если {&»} — геометрическая прогрессия со знаменателем q
и — последовательность возрастающих натуральных
чисел, являющаяся арифметической прогрессией с разностью d,
то последовательность k£N является геометрической про-
грессией, первый член которой равен bnv а знаменатель равен qd.
/ 1 \n-i
Например, пусть Ьп = ( —% , а последовательность {п^}
состоит из натуральных чисел, которые при делении на 5 дают
в остатке 1. Последовательность есть арифметическая
прогрессия
1, 6, II, 16, 21,
первый член которой равен 1, а разность равна 5, т* е. после-
довательность с общим членом
nft==5 (&—1)+I,
Тогда последовательность с общим членом
1 / I V-1
Ч = "(-32) > W
является геометрической прогрессией с первым членом «—1/2
и со знаменателем —1/32.
Если {brt} — геометрическая прогрессия со знаменателем q и
последовательность также является геометрической
прогрессией со знаменателем qd, где d — натуральное число, то
последовательность натуральных чисел {nfe}, fcgN, является
арифметической прогрессией, первый член которой равен П(,
а разность равна а.
Последовательность {хп}, общий член которой определяется
рекуррентным соотношением
xtt+i~qxn + d, xi=a,
где q и d—заданные числа, g2+da $£0, обладает многими свойст-
вами арифметической и геометрической прогрессий. В частности,
при q=l последовательность {хп} является арифметической
прогрессией с разностью d, а при d = 0—геометрической про-
грессией со знаменателем q.
Формулу для ’общего члена последовательности {xrt}, опре-
деляемого рекуррентным соотношением, можно получить, если
заметить, что при q 1 последовательность {&w}, для которой
&n+f— xn+i +77 > — & 4~ "'" 7 »
4 * 4 **•
является геометрической прогрессией со знаменателем 9. Тогда
&»+1 = (а + “т)?ге-
\ у*/ V Я * / у,ввв1
2*
36
гл. l Последовательности
и тем самым
xn==-^i+(a+-^-r] qn, »€N, п^Ч.
Ч л \ ч * /
Отсюда следует, что числа q и d для последовательности {xw}
(при 1) определяются через члены этой последовательности
по следующим формулам:
Из первой формулы следует, что при q Ф 1 последователь-
ность {у„}> для которой
Уп~ хт У! — Xz^Xi,
является геометрической прогрессией со знаменателем q; по-
этому, в частности, имеет место равенство
(*К + 1 Хп)% = (Хп ——1) (Хд4-2 + П^2.
Пример 18. Последовательность {хп} такова, что
xn+i=== Зхп -f- 2п —3, Xf = 2.
Найти формулу общего члена последовательности.
Решение. Так как
1 ~|~ Д-j- 1 == 3 "4“ я)2, 1,
то последовательность {у^ где #п = хп + п, удовлетворяет сле-
дующему рекуррентному соотношению:
Уп+1~ЗУп У1~^'
Отсюда при п^1 имеем (см. формулу выше)
/ __2\
Уп+1 == । _ 3 I I 3^21’1 J ‘
т. е.
yn+i=l + 2.3«,
Таким образом,
Xi = 2, хп+х==--п + 2«Зп при и^1.
Поэтому
2
xn — 1 —
о
ЗАДАНИЕ 1
L Найти шесть первых членов геометрической прогрессии,
первый член которой равен 2, .а знаменатель равен 1/2.
2. Найти четыре первых члена геометрической прогрессии,
у которой второй член равен 3, а третий равен 9.
3. Третий член геометрической прогрессии равен 4, Найти
произведение первых пяти членов.
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
37
4. Пусть {£>„}•— геометрическая прогрессия, у которой d5 = 3
и d7 = 3/4. Найти Ьь Ь3.
5. Пусть {dn}—геометрическая прогрессия, у которой
заданы Ь3 и q. Найти d4, Ьъ Ь23, Ь&.
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти четыре первых члена геометрической прогрессии,
первый член которой равен 1/2, а знаменатель равен 2.
2. Найти пять первых членов геометрической прогрессии,
у которой третий член равен 4, а четвертый равен 8.
3. Второй член геометрической прогрессии равен 2. Найти
произведение первых трех членов.
4. Пусть {dn}—геометрическая прогрессия, у которой d4 = 2
и bQ~ 1/2. Найти b3t ^б, Ь3.
5. Пусть {drt}—геометрическая прогрессия, у которой
заданы Ь3 и q, Найти b3t bflt b31t Ь&
ЗАДАНИЕ 3
1. Пусть {&„}—геометрическая прогрессия со знаменате-
лем q.
Найти:
1) Ьъ если bi—1/2 и 7=1/2;
2) b^ ^17, если Ь9 — —1 и 7=— 1;
3) bi и q, если Ь^ — 8 и d8==128.
2. Пусть {dn}—геометрическая прогрессия, у которой df=l
и d4=l/8. Найти b2, b3t Ьъ, Ь3.
3. Сумма первого и третьего членов геометрической про-
грессии равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна 20.
Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
4. Может ли число 75 быть 'некоторым членом геометри-
ческой прогрессии {dn}, у которой bi —4 и 7 = 3/2?
ЗАДАНИЕ 4
1. Пусть {&д}—-геометрическая прогрессия со знаменате-
лем 7. Найти:
1) Ь5, если df =1/3 и 7=1/2;
2) bi и Ь9) если di2=—2 и 7 = —1;
3) bi и 7, если d8=9 и &7 = 729.
2. Пусть {dn}—геометрическая прогрессия, у которой bi =
= 1/27 и d7 = 27/64. Найти da, b3, bif Ьъ> Ь3.
3. Сумма первого и третьего членов геометрической про-
грессии равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна 30,
Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
4. Может ли число 26 быть некоторым членом геометри-
ческой прогрессии {dn}, у которой dj = 3 и 7=4/3?
ЗАДАНИЕ 5
I. Найти сумму пяти первых членов геометрической про-
грессии {Ьп}} у которой bi—З и 7=2.
38 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2. Сумма двух первых членов геометрической прогрессии
равна — 1, а сумма ее следующих двух членов равна —4.
Найти сумму первых 6 членов этой прогрессии.
3. Вычислить А^З+3 + ---+3 .
о*'* —< 1
4. Найти число членов геометрической прогрессии {bn}t если
q~ 1/3» £>4 = 1/54, а сумма этих членов равна 121/162.
2.
равна
сумму
3.
4.
6Х = 5,
ЗАДАНИЕ 6
1. Найти сумму семи первых членов геометрической про-
грессии {6П}, у которой &i=2 и 1/2.
Сумма трех первых членов геометрической прогрессии
3/8, а сумма следующйх трех членов равна —3. Найти
первых 9 членов этой прогрессии.
D 1 + 2+22+...4-2U
Вычислить 1+2+,, ,+2*
Найти число членов геометрической прогрессии {bn}t если
6б = 405 и сумма которых равна 1720.
Упражнения
1. Пусть {6rt}—геометрическая прогрессия со знаменате-
лем q и <§д—сумма первых п ее членов.
Найти:
1) Ь%, если £>1= 18, <7=1/9;
2) q, если 61 = 24, 62 = 36;
^6б, если 6б = 36, 67=144;
4) Ь7, если 6в= 1/486, 63 = 1/4374;
5) Ьъ, если 6Х = 5, <7=3;
6) 6f, если 62=10, 6в = 40;
7) 68, если 61 = 0,01, 62 = 0,03;
J$X q, если 6i=10, 62+63=60;
9) <7, если 8 (61+62 + 63) = 64+6б + 6б;
10) 6В, если 63 = 4, 67 = 0,25;
11) 61з, если 6ц = 25, 6хв = 400;
12) 632, если 613 = 8, 66i=128;
13) 67, если 64 = 5, 6i6 = 45;
14) 614, если 6в=1/12, 617 = 1/144;
15) S4, если 61 = 3, <7=5;
16) S6, если 62 = 8, 63 = 4;
17) 61, если g = 5, 8В = 781/75;
18) п, если 6i=5, q=^3, Sn~2№, _ _
19) S12, если bi=yS 2—1, 68 = (р//Г 2—1) 4;
20) 61 и <7, если 6i+62 + 63 = 62, Й + б1 + б| = 2604;
21) 8в, если 6i = —2, 6в = —486;
22)
23)
24)
25)
<7, если 6i = pr 2, 69=16 К 2;
61, если <7 = —1/2, <S8 = 85/64;
67, если <7=/ 2, S7 = 15 V 2+14;
, Q , 64 _34
п, если 6i = 9, 6Д = ^ , 8Д=25 —;
26) 7, если 6Х= V 3, 6^=4/ 3, 5Д = 7 / 3 + 3 Кб;
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
39
Z7) п, если bi — — 2, Ч=-£> S»=8^;
28) bn, если &1 = КЗ, q=V~3, S„=4 /3(1 + /"3);
29) bit если 9=1/2, &„=2, £„=254;
30) п, если 9=у, 6n=y, Sn=8^;
2
31) qt если = 15, S3 = 21 ;
<э
32) &3, если &1 = V 2, Ss=4K 2+К 6;
33) bi, если Ь3 — 18, S3 = 26;
34) q, если 63= 135, S3=195;
35) bf, если 9=4, &в = 2^;
Z О-о 1
36) S4, если q — З, &4 —54;
37) bi и q, если £„==3П-— 1;
38) bi и q, если bi +^2+^я = 70, ==8000;
39) Sn, если bi~a, bn~b\
40) bi и q, если bi + b2+b3 = 31, ^i+Z>3 = 26;
41) bi и q, если ^i + ^+^з—14, ^+^ + ^3 = 584;
42) bi и q, если bi'^-b%~\~b$~\.3, 3 (Z?i~f—6g) = Z?gS’-|—Z?3;
43) bi, q и n, если 62 + &6 = 34, b3+&7 = 68, Sw = 63;
44) b2, если &f-|-l>2+&8=26, ^+^+&|=364;
45) &2&3, если bl-f-bl+&з+й=85, £4= 15;
46) /Ж, если +&I+$+&!=340, S4 = 30;
47) bi и b8, если q = 2, S7=635;
48) n, если bi+b$ — 51, ^+^=102, Sn —3069;
49) b5, если Z?2—^i~18, b^—63=162;
1117
50) bi и q, если Z?i + ^ + ^s = 21, -т—H—Hr—Tn 5
P2 #3 i &
51) если bi + &2 + &3= 195, b*—^ = 120;
52) b„, если bm~a, bn=fi, bi > 0, b$> 0;
r 1117
53) Й, если &1+&2-Нз=21, _+_+_=_;
ч 54) n, если &f + ^n = 66, M«-f=128, Sn=126;
55) S5, если &i + &4 = 7/16, &3—&2 +^1 = 7/8;
56) S6, если S2 = 4, S3=13.
2. Найти сумму квадратов первых п членов геометрической
прогрессии, у которой первый член равен 6 и знаменатель
равен q (q* Ф 1).
3, Число членов геометрической прогрессии четное, сумма
всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на
нечетных местах» Найти знаменатель прогрессии»
4. Даны две прогрессии с положительными членами«*ариф-
метическая {ап} и геометрическая {Ьп}, у которых а3 = ^3,
а8 5^ &2. Какое из двух чисел а2 или Ь2 больше и почему?
5. Между числами 3 и 19 683 вставить семь чисел таких,
чтобы все девять чисел являлись членами геометрической про-
грессии (Ьп) Если /?1=»3, то найти Ь6>
40
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
6. По преданию, индийский шах позволил изобретателю
шахматной игры самому себе назначить награду. Изобретатель
просил, чтобы ему за первую клетку шахматной доски было
дано одно пшеничное зерно, за вторую —два, за третью — че-
тыре и т. д. В общем за каждую следующую клетку в 2 раза
больше, чем за предыдущую. Узнать, сколькими цифрами изобра-
жается число зерен, предназначенное изобретателю шахмат; про-
читать полученное число.
7. Если (аи) и геометрические прогрессии, то яв-
ляется ли геометрической прогрессией последовательность:
0 2) 3)
4) {an/bn}t если bn & 0; 5) {| ап |}?
8. Какому условию удовлетворяют три числа а2> а3,
которые одновременно являются последовательными членами
как геометрической, так и арифметической прогрессии?
9. Доказать, что любые три различных числа не могут
одновременно быть последовательными членами арифметической
и геометрической прогрессий.
10. Могут ли быть членами одной и той же геометрической
прогрессии три числа:
1) 10, 1b 12; 2) 18, 64/27;
3) 2, V 6, 4,5; 4) V 2, V 5, V 7?
11. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника
являться последовательными членами некоторой геометрической
прогрессии?
12. Найти острые углы а, р, у, если они являются после-
довательными членами арифметической прогрессии с разностью
я/12, а их тангенсы—последовательными членами геометриче-
ской прогрессии.
13. Решить уравнение:
1) 1+х+х2+...+ххо9 = 0;
2) 31 + sin xz+ sin2 xz + . . . + sin» хг __ 3/"9,
14. Найти сумму:
(I \2 / 1 \2 / 1 \2
x+t) +(x2+>) +•••+(*”•
15. Найти все числа x, у и z, если известно, что 2х4=г/4-(-г4,
xyz=8 и числа log^x, log^ у и logxz являются последователь-
ными членами геометрической прогрессии.
16. Найти все значения х, при каждом из которых данные
три числа в указанном порядке являются последовательными
членами геометрической прогрессии:
л / 1 \c0s2x
I)9, З2 , (I] ;
2) 1g2, lg(2*-l), lg(2*+ll).
17. Решить систему уравнений;
х2 х3 х4 ’
%! 8х4;
хх "f- Xg 4- х8 -J- х4 = 15,
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
41
18. Вычислить сумму:
1) 2+22+222+...+222...2;
п цифр
2) 7+77+777 +.. .+777.. .7.
п цифр
19. Вычислить при каждом натуральном
V44...44-11...1
2/2 Цифр
цифра
66...6.
п цифр
является
является
20. Доказать, что
(66.. .6)*4-88.. .8 = 44.. .4.
п цифр п цифр 2П цифр
21. Доказать, что число (11.. .1)»(100.. .05) +1
п цифр п4-1 цифра
квадратом натурального числа.
22. Доказать, что число 99.. .97 00.. .0 2 99.. .9
п-1 п-1 '"гТцифр
цифра цифра
кубом натурального числа.
" 23. Числа xt и х2—корни уравнения х2-—Зх + а==0, а числа
х8 и х4—корни уравнения х2— 12х+д = 0. Найти а и bt если
числа Xf, х2, х8, х4 являются членами возрастающей геометри-
ческой прогрессии.
24. Доказать, что при каждом натуральном п:
1) 1+ 2 + 22+... +25и~1 кратно 31;
2) 1 + з+З2 +... + З6" ~ 1 кратно 364.
25. Доказать, что если сумма 2/г первых членов геометри-
ческой прогрессии, у которой первым членом будет а и знаме-
нателем q, равна сумме п первых членов геометрической про-
грессии, у которой первым членом будет b и знаменателем q2t
то 6 = а+а<7.
26. Доказать, что для геометрической прогрессии {Ьп} при
любом натуральном п^2 справедливо равенство:
1) ^2 + ^4 + ^6 + » * • + &2П “ | У $2п >
2\ J___|_J_I I 1______
27. Доказать, что в геометрической прогрессии сумма квад-
ратов нечетного числа первых ее членов делится без остатка на
сумму тех же членов.
28. Доказать, что сумма п первых членов геометрической
прогрессии {Ьп}, некоторой Ьр~(-~1)Р а*Р при каждом натураль-
ном р, равна ((— а4)» —1).
29. Доказать, что если Sn есть сумма п первых членов гео-
метрической прогрессии {Ьп}, то
42 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
30. Доказать, что если геометрическая прогрессия, то
последовательность {рп—±—Ьп} также является геометрической
прогрессией.
31. Доказать, что если все члены геометрической прогрес-
сии положительны, bp+k~a и bp_k — b, то
32. Доказать, что если ху, у2, г2 являются последователь-
иыми членами арифметической прогрессии, то числа у, г, 2у—г
являются последовательными членами геометрической прогрессии.
33. Доказать, что если a, b, с, d являются последователь-
ными членами геометрической прогрессии, то:
1) (a2+d2+p2)(62+c2+d2) = (trd+^+^)2;
2) (а^)а + (*-~с)2+(&—d)2=(a-rf)2.
34. Доказать, что если три числа х, у, г являются последо-
вательными членами геометрической прогрессии, то
(x-\-y+z) (х—{/+г) = х2 + у2 + г2.
85. Доказать, что во всякой геометрической прогрессии {£„}
(*<+ Ьь + *в)2 = (bt + b3 + b3) (b7 + b*+b9).
36. Доказать, что если в геометрической прогрессии
Ьп=а, bp~b, Ь^—с, то aP~kbk~ncn-P=zl,
37. Доказать, что при любых натуральных т и k таких,
что т^2 и Q^k<k + 2^nt биномиальные коэффициенты
Cji, См'1, Ст2 не могут быть членами одной и той же геомет-
рической прогрессии.
38. Найти трехзначное число, если его цифры являются
последовательными членами геометрической прогрессии, а цифры
числа, меньшего данного числа на 400, являются последова-
тельными членами арифметической прогрессии.
39. Три числа bi, b%, Ь3 в указанном порядке являются по-
следовательными членами геометрической прогрессии. Найти
эти числа: если три числа bi, bg+% Ь3 и три числа bt, ^ + 2,
Ь3+9 в порядке их записи являются соответственно членами
арифметической и геометрической прогрессий.
4IL Пусть даны арифметическая прогрессия {яи} с раз-
ностью d и геометрическая прогрессия {&п} со знаменателем q.
Найти:
Щи^если ох-|-й2,,*|*Зпз»6х-|-&2>
если «2=хсщц, bi=a^ b$~a3, b3~a9*t
если ^««2+^ ^=as+9, &4=®д<+15;
если flt=6-(=245 а5=Ь?3 ^1=^;
(fyq, если a$=bi, a$~b%t a$-}A2~b3\
vf q и d, если ai==&i, «3=^ a^b3^2, a^b^l^
4} q^d* если «1 = ^2, a2~b3, ^+аз==я14, b8+fli = 12, b2> bt;
8) bi, если aj4-Л2+^з==2Ь b3^a^^l9 b3 == a3 +1;
9j bQ-, если bi + b2^b3ss28, at=sbf, a^b^ as=s^3«*4;
10) й + если b.i+^+^ = 42 ai*=bf, a^^b^ a^^b3,
aj > «2»
11) если ^2=»8j Ьб«=512, q^2di
§3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 43
12) 64 4" 65, 6СЛИ 61 + 62 + 63 = 19,5, #2 = ^1, &2> «23 = ^35
13) если bi = at, 62 = «2—0,25, 63 = «3, «4 < 0;
14) /г, если «i + «2+«3 = 61, bi=ai— 1, b2~a2-~7, b3=a3—&,
at < a2> «х+«г + ...+art = 555;
15) п,если 61+62+63=65, «i=6i—1, 6X2=62—8, a3~b3 —35,
bi < 62, 61+62 +... +6n = 200;
16) zi, если 6f 4"6a + 63 = 217, 6X = 6I2, 6a :== «g, 63 = 6I44, «i+«$+
+... 4“ «д == 820;
17) /1, если 6i+&2+63 = 76, 6i = ai, 62 = 614, 63 = 6X3, «14-«2+
+ •.. +«д = 176;
18) ai+a2+•••+«!<)> если 62-—6X = 4, 68 —6a=12, 6i = «i/
68=«6;
19) 6X1+6X2 + • • • + «12» если 68—6i = 9t 65—68 = 36, 61 < 62,
Ь^ =: at, b2 = a3,
20) 64, если «1 + «2+«з = 84, a± > «2, bi = «1, 62 = a2—0,
63 = 613—6;
21) a3 и 65, если 6i + 4 = «i, 62+21=бх2, 6з + 29=а3,644-l=a4;
22) 67, если 6t = «i = l, a9=69, at+«2+... +«9 = 369;
23) 646/4-03(7, если 6ii = 6i = 24, «б = 62, ац = 63;
24) 6I3 + 63, если Oi+a2+...+«io=155, 6x4-62 = 9, a-^ — q,
b1 = d.
41. Доказать, что если последовательность {ап} такова, что
«л+1 = <7«»+^, где q 1 и d & 0, то:
1) an+v=z(\+q)an--qan~i, п^2;
2) Sn+i = ((/ + 2) Sn— (2(/+1) _f+<?«$»—2>
где Srt = «i+«2 + • • • +а«- л
42. В треугольник Д1В1С1 вписан треугольник А2В2С2, вер-
шины которого являются проекциями центра вписанной окруж-
ности треугольника XiBiCf на его стороны. В треугольник А3В2С^
аналогичным образом вписан треугольник Лз^зСз и т. д. Найти
величины углов треугольника An+iBn+iCn+i.
43. В трапеции АА^В с основаниями АВ = а и AiBi = b>
а < 6, отрезок Л2В2 соединяет середины, ее диагоналей. В тра-
пеции АА^В^В снова проведен отрезок A3B3i соединяющий се-
редины ее диагоналей, и т. д. Найти длину отрезка ЛЛ+1ВП+^.
44. Последовательность задана рекуррентной формулой
art+i = 2an--l, n^l.
Найти общий член последовательности, если «1 = 4.
§ 3. Числовые последовательности
и их свойства
Если каждому натуральному числу п поставлено в соот-
ветствие число ап, то говорят, что задана числовая последова-
тельность (или короче последовательность)
«1, «2, «3» «й> • • *
Числа at, «2, называются членами последовательности, ап —
общим членом последовательности, число п—номером члена ап.
Последовательность часто обозначают так: {«rt}~=1» {««} или
просто ад, /г=1, 2, ,м
44 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Последовательность может быть задана при помощи формулы
an=f(«). «€N.
где y==f(x), xgX, где NczX (см. с. 108), некоторая функ-
ция; в этом случае эта формула называется формулой общего
члена последовательности {«п}. Например,
а) «„ = 1^ «, rcgN;
б) «„ = «!, -ngN;
. (л2, если n — 2k, . . n
в) «„ = < ,. о, * k~ 1, 2, .
\’ ( 1/ft, если n — 2k~-1,
Последовательность может быть задана и многими другими
способами. Например, если для натурального числа п через
d(n) обозначить число всех различных делителей числа п, то
получим последовательность {«„}, где an = d(n), ngN, для
которой
«1=1, «2 = 2, а3 = 2, «4 = 3, «ё=2, «б = 4, «7 = 2, ...
Для задания последовательностей используют также рекур-
рентные соотношения. При таком способе задания последова-
тельности обычно указывают один или несколько первых ее
членов и формулу, которая позволяет найти ее n-й член через
предшествующие члены, т. е. через члены с меньшими номерами.
Например, если
а) «1=1, «»+! = «»+1 при п^1;
б) 6^=1, &а = 2, bn = 2bn^i+bn^2 при «^3,
то из этих рекуррентных соотношений находим, что
«i=l, «2 = 2, «з = 3, «4=4, а5=5, „4
&<=1, ^2 = 2, ^з=5, 64= 12, ^5 = 29, •».
Последовательность {«п}, заданная рекуррентным соотноше-
нием вида
«w = ai«n_j + a2«n-.2+ •.. +а*«п-а при п > 6,
где aj, a2, ..., и /г—заданные числа, AgN, называется воз-
вратной последовательностью порядка k.
Пример 1. Последовательность {«„} задана рекуррентным
соотношением
«1 = 1, «2=1, «n+2 = 6«w+i — 6«п при «^1.
Найти формулу общего члена этой последовательности.
Решение. Найдем все последовательности вида {qn}t где
некоторое число, которые удовлетворяют соотношению
&л+2 = 5&л+1—при п^1.
После подстановки в это соотношение bn+$~qn+2t bn+i = qn+l,
bn — qn найдем, что q^**5^4-6=0, а тем самым для q имеем
два значения: (ft=2, ^2 = 3. Таким образом, последовательности
{2П} и {3*} удовлетворяют рекуррентному соотношению. Так
как тогда и последовательность с общим членом d„=c,f*2'4-c2’3w,
где Cf и с&™некоторые постоянные, удовлетворяет этому же
рекуррентному соотношению, то для решения задачи осталось
подобрать числа и так, чтобы bi=i и 62=1.
§3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 45
Для нахождения с± и с2 получаем систему
I +3с2— 1,
( 4сх ~f" 9с2 = 1,
откуда находим, что Сх = 1, с2 = —1/3.
Таким образом, получим формулу общего члена
я„ = 2"--3"-1, п^1,
последовательности, удовлетворяющей условию задачи.
Пример 2. Последовательность {ап} задана рекуррентным
соотношением
= 2, а2 = 3, ап+2 = 6аи+х—9а„ при п^1.
Найти формулу общего члена этой последовательности.
Решение. Пусть последовательность с общим членом
Ьп — Уп> где q — некоторое число, удовлетворяет рекуррентному
соотношению
bn+2~Gbn+i~-9bn при п^1.
Тогда для величины q получаем уравнение 6^4-9 = (^—3)2=0,
откуда находим, что <7 = 3. В этом случае, как легко проверить,
данному рекуррентному соотношению удовлетворяет не только
последовательность {3"}, но также последовательности {п-3"} и
тем самым последовательность {сх,3"4-С2Я,3"}> где Cf, с2*~ не-
которые постоянные. Подберем постоянные с± и с2 так, чтобы
они удовлетворяли системе
f Зсх 4- Зс2 = 2,
{ 9<?х 4~ 1'3с2 = 3.
Из этой системы найдем, что Сх=1> с2==—1/3.
Таким образом, получаем формулу общего члена
ап=(1 — 4-пЪп = (3—п) 3«“*
\ о J
последовательности, удовлетворяющей нужным требованиям.
Сделаем .замечание общего характера. Если последователь-
ность {#п} задана рекуррентным соотношением
fl!x = <2, 6Z2 = £>, ntt + 24~P^n + i =
т. е. является возвратной последовательностью порядка 2, то
формула общего члена последовательности {ап} находится сле-
дующим образом:
а) если уравнение ft,2 4-pft, 4~ <7 = О имеет два различных дей-
ствительных корня %х и ft,2, то
Лд = Сх^'^4“^'2^2>
где ci, с2—некоторые постоянные;
б) если уравнение №+pk+q = O имеет два совпадающих
действительных корня fti = ft-2 О, то
an = (ci4*r72«) №>
где с^ с2—некоторые постоянные.
46 . ГЛ. Л. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В обоих случаях постоянные. Cj и с% определяются па на-
чальных условий «<==«, а2==&.
Последовательность {ап} называется возрастающей, если для
любого натурального п справедливо неравенство aw+i > ап,
т. е. если
Пример 3. Доказать, что последовательность с общим
п— 1
членом —-— является возрастающей.
Решение. Рассмотрим разность nn+f —-ап. Имеем
„ '.,(»+О—* ^-n24-l 1
«п+i—ап— я+1 п — п(п4-1) п(«+1)
Таким образом, при любом натуральном п справедливо нера-
венство аят > ап, и» следовательно* данная последовательность
является возрастающей.
Примерами возрастающих последовательностей, могут слу-
жить также последовательности, с общим членом
«п=К«, lrn = 2№-\ c„ = lag2n.
Последовательность {ап} называется убывающей, если для
любого натурального п справедливо- неравенство an+i < аПт т. е.
если
«/i+Л п N.
Пример 4. Доказать, что последовательность с общим
членом а„ =—(п + 1) является убывающей.
Решение. Рассмотрим частное an.+i№n- Имеем
«п+1 —-(1 + (п + О) __—2 п+2 . 1
«п —•(«+!) —п—1 п+1 ‘п+1
Так как все члены последовательности отрицательны, то
при любом натуральном п из неравенства ап+±/ап > 1 полу-
чаем, что an+1 <
Следовательно, данная последовательность является убы-
вающей.
Примерами убывающих последовательностей могут служить
«также последовательности с общим членом
«п=———? ^п===‘дГ’ Сп===—С«2+«+1)*
Последовательность {an} называется невозрастающей, если
для любого натурального п справедливо неравенство
т.е. если
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 47
Например, последовательность ал=1/[Кл], где [К п] —
целая часть числа Y п, т. е. последовательность
1 1 JL JL ±
I, 1, 1, 2 ’ “2 ’ 2 * 2’ 2 ’ 3 ’ м”
является невозрастающей, так как
- 1 1
[Г^+Т] [ГлГ
Последовательность называется неубывающей, если для
любого натурального п справедливо неравенство
т. е. если
ngN.
Примером неубывающей последовательности является по-
следовательность
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, ...
Ясно, что если последовательность {ал} является одновре-
менно невозрастающей и неубывающей, то такая последователь-
ность постоянна, т. е.
• *»'= й л'= ...
Последовательности убывающие, (возрастающие, неубываю-
щие и невозрастающие называются монотонными последователь-
Mwomi мы е тюодедода те ль пости
Неубывающие
Невозрастающие
Возрастающие
Убывающие'
Рис. 1.10
ностями, а убывающие и возрастающие—строго монотонными.
Связь этих понятий показана на рис. 1Л0.
Пример 5. Исследовать на монотонность последователь-
ность 6 общим членом
_ 2п+1
вй-_ЙЙ2
48 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Решение. Рассмотрим разность an+i~‘йп. Имеем
2(п +1)4-1 ' 2«4-1_
ал+1 — аи— (п+1)_|_2 п + 2
(2п+3)(п + 2)~ (п+3)(2п+1)_
~ (п + 3) (п + 2)
2п2 + 4п+3п + 6—2п2—п—6п—3_ 3 0
(п+3) (п + 2) (п+3)(п + 2)
Так как art+i“-ап> 0 при любом натуральном п, т. е. ап+г >
> ап, то данная последовательность является возрастающей.
Пример 6. Исследовать на монотонность последователь-
ность с общим членом
, ап=Кп + 1 — К п-
Решение. Рассмотрим частное are+i/aB- Имеем
ап+1_ К(п+1) + 1-КН~Т_.
ап Vn-j-1 — V п Vn + 1 — V п _
_ (/^+2^-/^+Т) (/^+2+ Кп+Т) (Кгё+Т + V п)_
(^^+Т-Кп)(КМЙ4-/й)(/п + 2+Кп+0
К/ТП+К» < j
/п + 2+К п+1
Так как все члены последовательности положительны, то при
любом натуральном п из неравенства ап+±1ап < 1 получаем, что
«П4-1 < ап> ngN. Следовательно, данная последовательность
убывающая.
Последовательность {aw} называется возрастающей, начиная
с номера nQ (п0^1), если для любого имеет место нера-
венство an+f > ап, т. е. если
До-
Последовательность {ап} называется убывающей, начиная
о номера по (п0^1), если для любого п^п0 имеет место нера-
венство ап+% < ап, т. е. если
( ^п + 1 < «п, П^П().
Аналогично определяются последовательности неубывающие
и невозрастающие, начиная с номера Ио.
Пример 7. Исследовать на монотонность последователь-
ность в общим членом
2"
§8. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 49
Решение. Так как все члены последовательности положи-
тельны и
«n4i„ 2n+1 п!_ 2
ап (п+1)!’2" п + 1’
то an+i — an при п = 1, т. е. а2 — ai> и an+t < ап при п^2,
«£N. Следовательно, последовательность {ап} является убы-
вающей, начиная с номера п0 = 2. Эта последовательность яв-
ляется также невозрастающей, так как
= ^2 > Пз > Д4 > Un > + i .
Член аП9 последовательности {ап} называется наибольшим
(наименьшим), если аПо^ап (аПй<ап) для любого n£N.
Пример 8. Найти наименьший и наибольший члены после-
довательности '
Решение. Так как
__3п—18__3п—19 + 1 1
°п~3п—19“ Зп—19 +3п—19’
то ап— 1= 5—Цд. Так как (рис. 1.11) Зп—19 < 0 при п=1, 2,
иП —’ 1У
3, 4, 5, 6 и Зп—19 > 0 при п^7, то каждый из первых шести
членов последовательности {пм} меньше 1, а каждый член после-
довательности, начиная с седьмого, больше 1.
J--1-!-1-1-1-1—4-4—1-1-1-1--1-1-
12 3 4 5 1 8 9 10 11 12 13 14 П
3*
Рис. 1.11
Следовательно, наименьший член последовательности нахо-
дится среди первых шести ее членов, а наибольший*® среди
остальных ее членов.
Найдем разность ап+±—ап. Имеем
__3(п+1) —18 Зп —18_
«п+1 °П—з„_19
= 1+_J______!_____I - -3
'Зп—16 Зп—19 (Зп —16) (Зп—19)’
Отсюда заключаем (рис. 1.12), что
< 0 при п=1, 2, 3, 4, 5,
> 0 при п^7Л
50 ГЛ. L ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Таким образом, ав=0 и а?=3/2 являются соответственно
наименьшим и наибольшим членами последовательности
оо оо
- I .. . I_I_1_1_/Тх---1--1--L—«/--!--L—!--1--
12 3 4 5 ЛбА 7 8 9 70 11 12 13 14 П
-------------- у
Рис. 1.12
Отметим, что не любая последовательность имеет наибольший
(наименьший) член. Так, например, убывающая последователь-
ность aw = l/n, n£N, не имеет наименьшего члена, а возраста-
ющая последовательность £л = д2, ngN, не имеет наибольшего
члена.
Последовательность {ап} называется ограниченной сверху, если
существует число А такое, что для любого натурального п спра-
ведливо неравенство ап^А, т. е. если
ап^А, ngN.
Число А называется верхней границей последовательности {ап}.
Так, например, последовательность с общим членом ап ——п2
является ограниченной сверху, так как все ее члены отрица-
тельны и поэтому а,п < О, ngN.
Примерами последовательностей, ограниченных сверху, яв-
ляются также последовательности с общим членом
/ « 1 . о 7СП
а„ = (—!)» c„ = sin3-y.
Последовательность {ап} называется ограниченной снизу, если
существует число В такое, что для любого натурального п спра-
ведливо неравенство ап^В, т. е. если
ап^В,
Число В называется нижней границей последовательности {ап}.
Так, например, последовательность с общим членом ап~п3-
является ограниченной снизу, так как при любом натуральном п
справедливо неравенство п? > 0, т. е. ап > 0,
Примерами последовательностей, ограниченных снизу, яв-
ляются также последовательности с общим членом
а„=Г-<^+1>, ba = (_!)», с„ = 3«
Заметим, что если последовательность {ап} ограничена сверху
(снизу) числом А (числом В), то любое число, большее числа А
(меньшее числа В), также является верхней (нижней) ее границей.
Последовательность {а„} называется ограниченной, если она
ограничена и сверху, и снизу, т« е. если существуют числа А
и В такие, что для любого натурального п справедливы нера-
венства В *^ап^А, т, е. если
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 51
Например, последовательность с общим членом яй = 1/3"+1’
является ограниченной. Действительно, при любом натуральном п
справедливы неравенства
°<3^+1<1- т' е- о<в„<1, regN.
Примерами ограниченных последовательностей .являются
также последовательности с общим членам
о ЯП к П* /
a« = coss-j-,
Последовательность {ял} является ограниченной тогда и только
тогда, когда существует число С > 0 такое, что для любого на-
турального п справедливо неравенство [ ап | С, т. е. если
|а/г|<С, ngN.
с общим
Пример 9. Доказать, что последовательность
я—2
членом аи = —-j-j является ограниченной.
„ _ я—2 п + 1—3 ,
Решение. Так как ап=—г-г —----------рт— = 1—•
«+1 п+1 . t_
т. е. ап < I при любом натуральном п, то последовательность
{ап} ограничена сверху.
Рассмотрим разность ап—an+f. Имеем
3
п2 n—~— 1 — 3 _
ап—ал+1=^р— рр2==(ге+1)(п + 2) < °’
т. е. при любом натуральном я справедливо неравенство ап <
<ай_|_1. Поэтому «1 = —1/2—наименьший член этой последова-
тельности. Таким образом, для любого натурального я справед-
ливо неравенство ап^— Х/Ъ т. е. последовательность {ап} яв-
ляется ограниченной снизу.. Итак, последовательность огра-
ничена сверху и ограничена снизу, поэтому она является огра-
ниченной последовательностью.
Пример 10. Доказать, что последовательность с общим
членом «1000w/n! является ограниченной.
Решение. Так как все члены последовательности поло-
жительны, то ап > 0 при любом натуральном я; таким образом,
последовательность ограничена снизу.
Рассмотрим частное aw+i/an. Имеем
ап +1 _1000«+г я! _ 1000
ап (п+1)! 1000" я+1*
Отсюда получаем, что при я+1 «^1000, т. е* при
1< я «£ 999; поэтому ап < а999, 1 «с я «С 999. Кроме того, при
я^999 имеем а^+1/^^1, т, е. an+i^an. Таким образом,
при любом я ^999.
Итак, для любого натурального я справедливы неравенства
1000»»»
О < ап < 99$)! .
Следовательно, данная последовательность ограничена.
52 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ... .
Пример 11. Доказать, что последовательность с общим
членом ап — п? не является ограниченной.
Решение. Предположим, что данная последовательность
является ограниченной сверху, т. е. пусть существует такое .
число Л, что для любого п справедливо неравенство п2^Л. Из
последнего неравенства следует, что А > 0. Рассмотрим целое
число т, .большее, чем число р^Л; положим, например, т =
= [Гл]+1. Тогда /па==([угЛ] + 1)а > (угЛ)2 = Л. Итак, полу-
чено противоречие: при предположении, что существует такое
число Л, что для любого натурального «справедливо неравенство
«2<Л, в то же время оказалось, что существует номер /п =
— [У Л] + 1 такой, что ат = т2 = ([УЛ] +1)2 > Л. Следовательно,
последовательность с общим членом ап = п? не является ограни-
ченной сверху, и тем самым доказано, что она не является огра-
ниченной. /
Если {ап} и {&„}—две последовательности, то под суммой,
разностью, произведением и частным этих последовательностей
понимаются соответственно последовательности
{ап+Ъп}, {ап—Ьп}, {апЬп}, {ап/Ьп};
при этом при определении частного последовательностей пред-
полагается, что Ьп Ф 0 при любом «.
Например, последовательности {(-— 1)п + «}, {(—1)п—«},
{(— 1)” п} и {(— 1)п/п} являются соответственно суммой, раз-
ностью, произведением и частным последовательностей {(— 1)"}
и {«}.
Пример 12. Является ли ограниченной последовательность
{ап}, если < а2 и каждый ее член, начиная со второго, не
превосходят среднего арифметического двух соседних ее членов?
Решение. Из условия задачи следует, что последователь-
ность — ап} является неубывающей, и поэтому при всех п
имеем
ап+1ап ^2 а1 •
Отсюда получаем, что
ап~(ап—+ —Яп-2)+ • • * + (^2—
^п(а2+
поэтому последовательность {ап} не является ограниченной по-
следовательностью.
Имеют место следующие свойства монотонных по-
следовательностей:
1Q. Пусть с— некоторое число. Тогда, если {аи}—возраста-
ющая (убывающая) последовательность, то:
а) («п+с}—возрастающая (убывающая) последовательность;
б) {сап}—возрастающая (убывающая) последовательность
при с > 0;
в) {сап}—убывающая (возрастающая) последовательность
при G < 0.
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 53
В частности, если {ап}—возрастающая (убывающая) после-
довательность, то последовательность {— ап) является убывающей
(возрастающей) последовательностью.
2°. Если одна из последовательностей {ап} и возраста-
ющая, а другая неубывающая, то {an + ^ft}—возрастающая по-
следовательность; если же одна из этих последовательностей
убывающая, а другая невозраетающая, то {ап + &д}— убывающая
последовательность.
3°. а) Если одна из последовательностей {«„} и {&rt} возра-
стающая, а другая неубывающая, то {апЬп}—возрастающая
последовательность, если все члены обеих последовательностей
{ап} и положительные; последовательность {апЬп} является
убывающей, если все члены последовательностей {ап} и {Ьп}
отрицательные;
б) если одна из последовательностей {ап} и {£„} убывающая,
а другая невозрастающая, то {апЬп}—убывающая последователь-
ность, если все члены обеих последовательностей {ап} и {&„}
положительные; последовательность {апЬп} является возраста-
ющей, если все члены последовательностей и {Ьп} отрица-
тельные.
В частности, если {ап} —возрастающая (убывающая) после-
довательность, то:
а) {а*} — возрастающая (убывающая) последовательность,,
если ап > О, ngN;
б) {««}—убывающая (возрастающая) последовательность,
если ап < 0, n^N.
4°, Если {ап} — возрастающая (убывающая) последователь-
ность, то:
а) {1/ап}-— убывающая (возрастающая) последовательность,
если ап > О,
б) {!/«„}—возрастающая (убывающая) последовательность,
если ап < 0, ngN.
Пример 13. Доказать, что произведение двух убывающих
последовательностей {ап} и {&п} с положительными членами яв-
ляется убывающей последовательностью.
Решение. Так как последовательности {aft} и {&rt} убы-
вающие и их члены положительные, то для любого натурального п
получаем
< an^n+i < anbn, n£N,
т. e. последовательность {anbn} является убывающей последо-
вательностью.
Пример 14. Доказать, что последовательность с общим
членом является возрастающей последователь-
ностью.
Решение. Последовательность {п2} является возрастающей
как квадрат последовательности {л} с положительными членами.
Последовательность {п2 + п + 1} является возрастающей как сумма
двух возрастающих последовательностей {п*} и {п+1}. Так как
все члены последовательности {п2 + п+1} положительные и она
возрастающая, то последовательность +г 7 г убывающая.
I/» +* П “j" 11
54
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1
Наконец, последовательность <-я-т----является возраста-
\Т1гtl-j- 1J
ющей по свойству 1°, в.
Пример 15. Найти наименьший член последовательности
с общим членом
25
Решение. Так как &w=2n2—20n4-48 = 2(n—5)2—2, то
последовательность {Ьп} является возрастающей последователь-
ностью, начиная с номера п=5; кроме того,
bi> Ь%> Ь3> Ьл> 65.
Последовательность {<?„}, Где си=(5п—31)2+10, имеет только
положительные члены и/возрастает, начиная с номера п = 7, и
ci > с2 > с3 > с4 > с8 > сб.
Отсюда и из свойств Г—4° заключаем, что последовательность
где dn = — 25/сп, является возрастающей последователь-
ностью, начиная с номера /г = 7, и
df > > d6 >
Таким образом, данная последовательность {ап}, где an — bn^dnt
возрастает, начиная с номера п=7; кроме того,
а± > а2 > аз > а4 > аб.
Следовательно, наименьший член последовательности {ап}
содержится среди членов аб, ав, а^. Непосредственным вычисле-
нием находим, что а8==—117/46—наименьший член данной по-
следовательности.
Отметим еще одно общее свойство монотонных последова-
тельностей. Пусть все члены последовательности {ап} принадлежат
множеству М, которое содержится в области определения функ-
ции ys=sf(x). Тогда:
а) если {«„}—возрастающая (убывающая) последовательность
и функция y—f (х) возрастает на множестве /И, то {/ — воз-
растающая (убывающая) последовательность;
б) если {аи}—возрастающая (убывающая) последовательность
и функция y — f(x) убывает на множестве УИ, то {/(ап)}—убыва-
ющая (возрастающая) последовательность.
Например, отсюда следует, что последовательности
6п==1пп, =
являются возрастающими, а последовательности
8/Т и 1 1 ( 1 V
I/ » bn — In , Си—— I ]
" V п п п ’ \п J
являются убывающими.
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 55
Для последовательности {ап} через
N
an^aiJTa2Jr * * •
п=1
обозначим сумму первых ДО членов этой последовательности.
Если существует последовательность {&п} такая что
то
$№^1 + 02+ • • • + #У-1 + ядг—
= (&2 — &1) + (Ьз — &г)+ •«• + (&№—&AT-i) + (&2V+S —
т, е»
5дг = &дг+1 —&1, ДО^1.
Так как, например,
k(k+i)~\ k+i) \ k)'
к k[k+\) fe(fe--i), feSsl>
TO
J, J, 1 1 -________1 1 1- N
1 •2"*"2-3"' ' ’' N (/V-J-l) /V-|-l ' V — 1’
1+2+,..+^M_o=M.
Пример 16. Найти
N Г
Sjv==^4 n8+6/i«4- ll«+6'
Решение. Так как уравнение хУ4~^2 +11^+6=0 имеет
три различных корня: *i = — 1, %2 =—2, х8 =—3, то, используя
метод неопределенных коэффициентов, найдем, что
_______1______=2. 1_______, j___1_____!__==
ж- -|-1 lx -j- 6 2 х~|~ 1 2 x-j~3 x-f-2
^—2 / 1__________1 \ 1 / 1
2 \х-|-2 1) 2
^+2,
Следовательно,
N N
1 У ( 1 1 А 4 1 У / 1 1 \
2^\п+2 п+1/^2"\м+3 «+2/
1/1 И_ N (Л/4-5)
-2<Л/+2 2/t"2\JV4-3 3/12(Л?-f-2)(Л? 4-3)*
56 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 17. Найти
м
S№ 2 «(«+1) («+«)»
/2=1
где m—-натуральное число.
Решение. Положим
6п = т"Х~2 <П~ОЯ^ + П ••• (« + «).
т I
Тогда
л(л + 1)..*(п + /п + 1)-*»
^-^2 «(«+!) (n+m)=n(n + l) #.. (n+tn)f
и тем самым
5№=Ьлг+1-&1=—l^AU/V + l)... (Л/4-m-f-l).
tn -j-Z
ЗАДАНИЕ 1
1* Найти первые шесть членов последовательности {а~п}
с общим ее членом:
1) ад = п3; 2) ад = 81плп; 3) «Д = [}/Гп2 +«]’,
4) an=n(~iyl; 5) ав=(1-|-2Л . 6) ап~ 2 к.
\ и/ 4=1
2. Написать первые пять членов [последовательности {ап},
задаваемой рекуррентным соотношением:
1) ^й+1 =
2) an+a = «n4-i:«n, «1=1» «2 = 2;
3) an+i==«i+«2 +• • *+««, «1=1.
3. Найти формулу общего члена последовательности {««},
если известны следующие первые ее члены;
- £ £ 16 25 36
2* 6’ 24’ 120’ 720* *
2) 1 _1 1 _1 1 _1 •
4 «. з-5’ 7’9’ ц> •••’
2_ £ 10 17 26 37
3)Г 2 ’ 3’ 4 ’ 5’ 6”‘,:
4) 1, 0, —1, 1, 0, —1, 1, 0, —1, ... J
«1.|. 3,1. 5,1, 7,1,...
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА gfi
ЗАДАНИЕ 2
- 1. Найти первые пять членов последовательности {ап}соб«
щим ее членом:
i) ап=7ГГ2; 2) а»=(-1)п<л+1)/2; 3)
П "-р л
п
4) Яп=^1^+П^ ; 5) ап = ~п^ ’ 6) а"= (2п+1)11
2. Найти первые шесть членов 'последовательности {a»}w
задаваемой рекуррентным соотношением:
г» an~Van + ^ „ _ 1 _ _п.
1) an+i-----2---♦ а*— I*
2) «»+i = y^n + ~^» .«1 = 2.
3. Найти формулу 'общего члена последовательности {%}f
если известны следующие первые ее члены:
1) 1, 7, 31, 127, 511, ;
2) 1 1 1 1 1 , •
о. 1_____i_ 1__________i_ 1________L
’ ’ Кг’/з’ /'4’Кб’ /б””1
4) 3, —3, 3, —3, 3, —3, ...;
5) 1, —2, 1/3, —4, 1/5, —6, 1/7,
задание з
1« Доказать, что последовательность {«„} является воз<
растающей, если:
1)й„=п«+1; 2)й„ = ^р; 3) «„ = 2"-*;
4) а'’=7Т+Т: 5) ап=п'6~п" 6) а»=^тт-
2. Доказать, чго последовательность {«„} является убываю-
щей, если:
. 2п 4" 3 1
^а',_3л^2’ 2 * * *) а"“п24-2п4-4;
Зпг+2 .. 3/——г з/-
3) “»=з^2фт; «4-1— V П,
3. Доказать, что последовательность {ап} не является воз-
растающей, если:
1) а„=(-1)«; 2)а„=[К«]1 3)
lif
4. Исследовать на монотонность последовательность {ай},
если:
!)«„= /«-[/«]; 2)
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
$8
3) an = sin«; 4) «„=2^-3-.
5. Доказать, что сумма возрастающей и неубывающей после-
довательностей есть возрастающая последовательность.
ЗАДАНИЕ 4
1. Доказать, что последовательность {ап} является воз-
растающей, если:
1) ал=д®4-4а+1; 2) ап~ + 3;
3) aw==log2n; 4) an==ctg~.
2. Доказать, что последовательность {ап} является убываю-
щей, если:
1) a„==log1/2n; 2) а„ = —1=^;
3) ап — 2~п; 4) ««=§—ру-
3. Доказать, что последовательность {ап} не является убы-
вающей, если:
1)а„ = созя; 2) а„=2« (1+(-1)»); 3) =
4. Исследовать на монотонность последовательность {«„},
если:
1) an = |2—п|; 2) ап = ; 3) ап==(па/ .
5. Доказать, что сумма двух последовательностей, одна из
которых убывающая, а другая невозрастающая, есть убываю-
щая последовательность.
ЗАДАНИЕ 5
1. Доказать, что последовательность {ап} является ограни-
ченной сверху, если:
1)а»=Йг; 2) а„=100-Гп; 3)а„=7-?«-п».
Д “у* 1
2. Доказать, что последовательность (а„} является ограни-
ченной снизу, если:
1) = п—11; 2) + sin К п;
з,
' п п 1 - па
3. Доказать, что последовательность {att} является ограни-
ченной, если:
1) 2) а»=^Г~'с°83
Л 4~ 3
1 а“_аа4-2п+3’
§3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 59
4. Доказать, что сумма двух ограниченных последовательно-
стей есть ограниченная последовательность.
5. Привести пример последовательности, которая:
1) является ограниченной сверху, но не является ограни-
ченной снизу;
2) является ограниченной снизу, но не является ограничен-
ной сверху;.
3) не является ограниченной ни сверху, ни снизу.
ЗАДАНИЕ 6
1. Доказать, что последовательность {«п} является ограни-
ченной сверху, если:
1) ап = 5—2”; 2) «„-щ! 3) =
2. Доказать, что последовательность {ап} является ограни-
ченной .снизу, если:
__________________
1) а„ = п— у п; %) =
3) an=4"cos2(ft~ft3+2); 4> а» = п+2~ 9" jZq •
п ли, -j- о
3. Доказать, что последовательность {ап} является
ченной, если:
1)
ограни-
а п+га2+Р. 2) а — ” +2-
вп~ „2+4/1 ’ ’ п~ 2» ’
3) 54) а„ = Гпа+2-Гп»+1.
4. Выяснить, какая из последовательностей {ап} является
ограниченной, если:
1) пп-УЛ2+К2 + К2+...+/2 ;
п корней
2) y^n^+w—]/"п+Т;
ti=2k, j j
, 4) а»+1=а«+тоб- а^~ 100’
/г = 2&+1;
5. Является ли сумма двух последовательностей, одна из
которых ограничена снизу, а другая —сверху, ограниченной
последовательностью?
ЗАДАНИЕ 7
1. Найти формулу общего члена последовательности {«д},
заданной рекуррентным соотношением:
1) а± — а, ^rt+i = (n+1) (1 + «»),
2) «1-1/2, «n + i-l/(2-«w)> п^Г;
3) «1 = 0, «2==1> «Д + 2 = *2“ (З«й + Х —«л), /1^1»
60
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2. Найти наибольший член последовательности {%}, если:
Ц a*=21/(3n2— 14п —17); 2)J«„ = n/(n2 + 9).
3. Найти наименьший член последовательности {яп}, если:
1) а„ = (2п—5)(2га—11); 2) а„=п+-1.
4. Доказать, что последовательность {««} убывает, начиная
с некоторого номера, если:
n а -(6п+1)2 • 2) а
5. Найти:
s«=Гз+зТб+гП?+ ’+(2п—1) (2« +1):
2) 5п = ГГз"*"2Тз1+гГ5+", + п(п + 1)(/г+-2)’
ЗАДАНИЕ 8
1. Найти формулу общего члена последовательности {«„},
заданной рекуррентным соотношением:
1) ar = a, an+i=aan + ^2n, п>1, а 56 2;
2) «1=1/2, «и+1 = 2/(3—an)t n^l;
3) «i = «, «2 = ^ «n+2 = «n+i+2«n,
2. Найти наибольший член последовательности {«„}, если:
1) art = (l/2)«—3(1/4)«; 2) а„ = п2/2"
3. Найти наименьший член последовательности {«„}, если:
1) «л = 1о§зп—31ogsn; 2)«д=1,4п/п.
4. Доказать, что последовательность {«„} возрастает, начи-
ная с некоторого номера, если:
1) а„ = 2"~И0п; 2) ап = Зп—2п.
5. Найти:
5'’ = 2Т5+?8'^8ПТ+'“ +(Зи—1)(3/1 + 2) ‘
2) Sn== 3^741'^7-1Ы5'^1Ь 15-19+*“
(4re—l)(4rt+3)(4n+7) *
Упражнения
1. Найти 'формулу общего члена последовательности, если
известны следующие ее первые члены:
11 1111 1
1) 1, 2> 3. —4. 5. 6> 7. 8 >... 1
2) 0, 3, 2, 5, 4, 7, ;
1 2_ _3_ _4 _5 _6 7_ _ 8_
Л’ Т’ 5’ 8’ “1Г 14’ 17’ 20’ 23’’“*
§3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.И ИХ СВОЙСТВ^
*>' i- ’• i- 51-
5) 2, 10, 26, 82, 242, 730, ... ;
61 -1-111 _1 _1 1
’ ’ 4 ’ 9’ 16’ 25’ 36 ’ 49’“’
2. Найти общий член последовательности {ап}, заданной
рекуррентным соотношением:
.. . 1 1
) «1 2 ’ а"+1 2—ап ’
2) «f = 7, «п+j = 3«/z-{-5 • 2П;
3) at = 3, ап+i = 5
^~Тап
4)ах = 2,
кч 1 2
б)“1—2’ a"+i~3^n’
6) «i = 0, а2=1, ап+2 = 3-^=^1
7) «1=4, «2 = 2, an+2 = «n+i+2a„;
О\ ___ 1 _ 1 + f ~1~ ап 1 1 .
о) — 1, «2 — 1 > ап+я---—2-----' 1*
9) «£==1, «2 = 1, «п+2 — «л+1 + 2«п+2.
3. Найти члены «37 и «19б7 последовательности {ап}, еслиз
«1—1, «2 = 2, «п + 2 = -~^‘
ип
4. Найти члены «90 и «885 последовательности {««}, если|
«1 = 0, «2=1, «п + 2 = +
5. Найти 1224-й член последовательности {ап}> если:-
( 1, /г=3£ — 2,
1) я?г = < —2, /г = 36 — 1,
I 1/п, n = 36, k g N;
j 2n + l, n = 26,
} ( 3n-l, n = 26-l, 6gN,
6. Последовательность чисел
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
два первых члена которой равны 1, а каждый член, начиная
с третьего, равен сумлле двух предыдущих:
«»+2 —ап + 1Чгап»
называется последовательностью Фибоначчи. Доказать, что
1) «„=y=^4^^ (формула Бннэ);
2) «1 + «з+ » s * +«2n + l = 6!2rt+2j
62
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3) 1 +«2+^4+ • • • =«2^+1;
4) ah—«n-.i«n+f=(“l)tt“J;
5) «П-1+^n = ^2n-i>
6) «1 + «2+«з+. • .+«rt = «n^n + f>
7) 2^n—i
8) «п4-1^п4-2ш-“^nan4-3 = ( 1)”>
9) «1«2 + ^2^3 4“ «3^4 4~ • • • 4~ «2П - i^2n — &%П?!
10) Of—«2+^3’be^«+ • • • i я»= ± йя-х+1»
11) «п+аП4-1“*йП-1 = ^Зд;
12) а*—«п—2«n—i^n+i^n+2 1 >
13) «1 + «2”|”^з+ • • • 4-йП = йП+2“ И
14) ^(«rt4-eo—«»)—'Целое число;
15) последняя цифра числа «i6^ (k^целое) есть нуль;
4ЛЧ , п—2
16) число цифр ап больше —=—.
7» Исследовать на монотонность последовательность^}, если:
1) ап
^п2 + 1.
п ’
2) ап
п24~2п-|-7 е
п2 + 2« + 8 '
q z-- t— ( Пи-1 1
3) a„ = z /»+1-К га; 4) an=^—F=-Ь~
5)
7)
а"=ТГЯ; 6) «*=1+т+т+---+-7;
ап=1+(-!)“+»;
8) ап—
/ 1
КМ7!-!'
1
а -р 1 +1
если п=2£—1,
если п = 2^.
8. Доказать, что последовательность {«„} не является моно-
тонной, если:
1) ап=(—!)«; 2) a„=lSin-^-; 3) а„=2л-(-1)«;
4} art = sin-~^; 5) «П=2созлп; 6) a^=n<“’:t)rt;
7) а„=(-1)'’п; 8) 9) ajl=ctg«lf«±^;
10) a„=(l+«)’ta (я"/2): П) a„=raC0S5Tn; 12) ап=п~^"~п-,
13) а„=2сов(’иг/*>; 14) a„=ra2sln
9, Доказать, что последователь ость {«п) является монотон-
ной, начиная с некоторого номера, если:
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 63
2) 3)«.-^+2о:
лч ft2+ 48 кч ft3 л2
4) п-|-4 б> а«-я2—2п + 3 ; 6) “"~^+32:
7)й„=2=±; 8) 0„=.ЛП^; 9) ав=КМ-'3-У»;
V п У л2 +1
10) ап= ft3+2ft —ft; 11) а« = 2й —10«; 12) an = 2n/tv}
Зп+1^2Й+1 1ЛЧ ' 3»~1+2й~л
13) ап— 3» + 2« ’ ап~~ 3« + 2« ;
15) art = lg(ft+l)—1gя; 16) art = ln (па+12я)—2 Inn.
10. Доказать, что последовательность {«„} является убыва-
ющей, начиная с некоторого номера, если:
1) а„ = (Зя+1)2/3«; 2) аа = п3/2п; 3} ап-У~п-,
4) а„ = 2«+1—З»"1; 5) aB = logi/2 (Зга2—18« + 29);
6) ап ——и2] п — 4|.
11. Доказать, что последовательность {ял} является возра-
стающей, начиная с некоторого номера, если:
1) ап=3«~-10п; 2) а„ = 4«~2 —3«+х; 3) a„=ln (ft2 —8ft+17)j
I 2 OI к\ я2—4ft+3 3й
4) ав = п|па—9|; б) а„= 2ra_3 ' ? 6) ап = ~^-
12. Доказать, что последовательность {ап} является возра-
стающей, если:
—2я—3 в —3
*' а"~ п-1-1 : а"~ га2 + Юга+27 ’
3) ап=arctg (З/г2 + 6ft+5); 4) ап == In (ft2 + 2n + 3);
5) aB = 3-2'> + log1/2-+r; 6) an=Vn*+n»+3»-*.
13. Доказать, что последовательность {an} является убы-
вающей, если:
n 6ft+19. _______2
'' а" 2я+в ’ 2> а" п«4-6п+11 ’
п3 4- 1
3) aB = arcctg(na + 2n+1); 4) a„ = log2/s—J— J
5) aB = 2l“n + 32_n; 6) aB = 2-» + -4-r.
ft --f- 1
14. Найти наибольший член последовательности {an}, если:
1 \ 2 I Л I 1 1 4“ *4" 6
о "«==3^4 ’ 2> «П=-п?+4«+11; 3) «„=-5—^;
4 а“~/п4-1ОО4 5 5 «а-НОО ; 6) an“ 2» J
7) ап---n?+14^45+^--^,
8) «п=К«4-1 —К«•
64 ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15. Найти наименьший член последовательности {ап}, если:
О ап = пг—5«+1; 2) аи = п+~;
3)
5)
ап
art==n + 5 sin~p; 4) = — 2n + 9;
1+2+ + « . 1 .
n («+ 1) ‘ n *
9
6) <.n_2..-2ta + 69-js_a?-F3,
16. Даны две монотонные последовательности {ап} и {Ьп}.
Является ли монотонной последовательность:
1){а„+М; 2) {«п-М; 3) {апЬп}; 4) {ап/Ьп}?
17. Даны монотонная последовательность {aw} и последова-
тельность {Ьп}, которая не является монотонной. Является ли
монотонной последовательность;
О 2) {ап—Ьп}; 3) {ап*Ьп)> 4) {an/6rt}?
18. Доказать, что если последовательность {ап} возрастает
и ап > 0 при любом ngN, то последовательность J-----------
I ^» + ^п I
убывает.
19. Доказать, что последовательность {ап} является огра-
ниченной, если:
п+1
2n—1
2) ап
2п*—3.
“ п2 + 3 ;
3) л» —
2—п
У7^+з
„ ГЗп+(-1)" . п п^+бя+Ю .
9n—1 ’ °) (п+2)2 ’
(n + 2)(n-2n2) . (ft2-4)(n«+l)
п~ 2п»—1 ’ п~ п4+2 1
1) >« =
__ 5п6 + 6
а"_1(п4+1)(«2—2) ’’
К п»+ 4 .
(п+2) (/п+3) ‘
10)_ап=-^Ш±^-; 11) ап = /4п2+2—2п;
| у ft3 + « + n
12), an=V"п—2—•!/"«+ 2; 13) art = n (рлп4+п-*-1/гп4—п);
14) ап~1/8п—п3+р/8« + п3; 15)ап=^/п3 + 2—
17) ах = 2, ад+х=—g—
3 1
18) ах— L ^»+1 = ^’йп + —;
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 65
19) at = 2,
20) ai=l,
^2 — 3,
ап + 2 =---2------ »
I
an + 2 — ^n + f Н 2п •
20. Доказать, что последовательность {art} не является огра-
ниченной, если:
1) а„ = (—1)"яг; 2) о„ = гаа—2га; 3) ап=П~_^ ;
-ч n3 + n еч 2—п
4) ап I | р » *) ctfi _— —,
+ у 1 -\-п
6) ап — п — (— 1)" + г п\ 7) =
8) а« = -^ЕрЙтГ; 9)а« = 2"-“3: 10) ап = 3«+2-"?
11) a„=log2(n2+n); 12) ап= log3(га2 + 4га)— 3;
. о, * Я “1“ 1)
13) а„ = я tg-A-^__L;
14) ап=Кга4+га3+1 — /га4—п3+1;
1 к\ «4-1 * дч ___Зге ,
5) Лп~ log2(raT2T; 6) «3 ’
ZV2 , Р
17) g,\ — 3, ап4-1 g >
18) ai = l, an+i = an+ ;
19) af—1, а2=1, are+2 = an+i+6a„;
з
20) «т = —4, tz2 = 3, an+2 = an+i+-j-an.
21. Является ли ограниченной последовательностью {а,*}»
если:
4 /•-- 4 Z—
1) ап = 2п^3; 2) an = log7 п\ 3) ап—у —у п\
.ч п2 + 2п с Л . 1 V Лч nk f
4) ; 5) а«=(<1+т; : 6) а”==^--а> 15
71 а -[2П 81 а - 1+2 + 3+ . . +« .
7) «„--j- , 8) ап-
9) а»==ь2+27з"^“'+ га(га+1) :
10) ап—1 +-§2’+’^'+---+-jj2 1
Р+22+32+ ... +га2.
П) «п- «2(га4-2) ‘
12) a„=lg(3ra4-2)-lg(n+l);
13)01=1, o„+f = a„ + -^-;
ап
14) 01=8, on+i = i(2a„+ Д-Y
8 \ ап /
3 Задачи по математике. Начала анализа
66
ГЛ. 1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
15)
tfj=s:3# «п+1
16)
22.
«п(«п+2) . I
24 +1 ’ I
«1=1, «2=2, an+2—2«n+i+an=3? |
Доказать, что любая возрастающая последовательность!
ограничена снизу. 1
23. Доказать, что любая убывающая последовательность]
ограничена сверху. 1
24. Привести примеры двух последовательностей, каждая!
из которых не является ограниченной сверху, но таких, что их!
разность есть ограниченная сверху последовательность. j
25. Привести примеры двух последовательностей, каждая из|
которых не является ограниченной, но таких, что их сумма?!
есть ограниченная последовательность. *
26. Последовательности {an} и {Ьп} таковы, что последова-1
тельности {art} и {апЬп} являются ограниченными. Является ли |
ограниченной последовательность {&„}?
27. Доказать, что монотонная последовательность {дп} яв- ।
ляется ограниченной, если последовательность {Ьп} является^
ограниченной, где bn — a2n> ngN. -j
28. Привести пример последовательности {ап}, не являю-
щейся ограниченной и такой, что если bn~a2n~t, rcgN, то j
последовательность {&„} является ограниченной. I
29. Дать определение того, что последовательность {an} не |
является: |
1) возрастающей (неубывающей); |
2) убывающей (невозрастающей); |
3) ограниченной сверху (снизу); I
4) ограниченной; I
5) монотонной. 1
30. Найти такую последовательность {6П}, что
если:
П п - ”(»+!) . m „ п («+!)(Я +2) _
1) ап----, 2) ап-----11 g ”’з » °' ®п— —1,
4) a„ = n (3/г*** 1); 5) е7п = 3п2—-3n+1;
ЛЯ С 9 I л 1 -74 Л (fl I ) 'jl 4~2) (Л 4“ 5)
6) а„=4п8—6^+4n —1; 7)
8) a„=2’’-»(n~l)!(2«-l); 9) a„= т-р: ;
п (/i-f- *)
10) ап== (2и~1)(2п+ 1); Н) a“ = (3n —1) (3« + 2):
J2) а”= (7п—«3) (7п +4): 13) йп== п (п + 1)(л+2) 5
14)в" (4п—1)(4« + 3)(4« + 7)’
п («+П(« + 2)(л+3) :
16) =——г-777——ГоГ7—гт: *, 17) ап»п• /г!.
" п (n+ 1) (п + 2)(/7 + 3)(л4-4) ' "
§3, ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА 67
31. Доказать, что:
1) s,_, + 3+e + 10+l5+...+2^=d<l±;y«±^;
2> S.-1 -И<+10 + 20 + - + "^.г.'з + 21 -
_п (л 4-D (п + 2) (п + 3).
1-2-3-4
3) S„=14-34-54-74-...4-(2n—1) = па;
4) Sn= 1-2 + 2-5 + 3-8+...+п (Зп—l) = na (n+1);
5) Sn= 1+?+19+37+...+ (3п3 — 3п +1) = п3;
6) Sn=14- 154-654-1754-... 4-(4п»—6гаа4-4га—1) = п4;
7) Sn— 1 +54-154-354-... 4-1(п+11£№5+^4<1±^=
_п(п + 1) (л + 2)(п+3) (п + 4).
“ 1-2-3-4-5
8) Sn= 1 +2-3 +2-4-5 + 2-4.6.7+ ...
...+2-4-6-..--(2п—2) (2п —1) = 2»-п! —1;
9) Sn = Ь2'^2^з+2Г4'^• • п («+ 1) = п+1 ’
Ю) 5»=17з+з++5^+ • • • +(2п— 1)(2п+1)== 2п+1 ’
П) 5п==2^5+Г8'^8ЛТ+"*'*‘(Зп — 1)(Зп + 1)“
—1 f1 — 1 V
“3 \ 2 Зп + 2 7’
12) 5"=4ЛТ“^ТТЛ8+1Ж25^',,+ (7п—3)(7п+4) ~
__ 1 / 1 1 \
7 \ 4 7п+4 J’
13) S"= 1-2-3"^2^4п(п+1) (п + 2) =
_ 1 7 1 1 \
2 \1-2 (п+1)(п+2)У:
14) 5в=З^ПТ"1_7-11-15+", + (4п —1)(4п+3)(4п + 7) =
= ! / 1 1 \
8 \3-7 (4n + 3)(4n + 7)J;
15) Sn = 1-2-3-4 + 2-3-4-5+ • • • + п(п+1)(п+2)(п+3)=
__1_ ( 1____________________________1______\ .
3 \ 1 • 2• 3 (п+1)(п+2) (п+3)/
3*
68
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
16) s„_ j _2 3>4 5+2.3.4.5-б+ "'
^n(n+l)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
1 / 1 ________________1_______ \
==4\l-2-3-4 (n-j-l)(n+2)(n+3)(n+4)J
17) S„ = l.ll + 2-2l + 3-31 + ...+n-n! = (n-H)! — 1.
32. Пусть
Sjf*= l^ + 2/’4-3^4-... +nP,
где n и p —любые натуральные числа. Доказать, что:
1) sA1)=i+2+3+...+n=!LfcLL);
2) s^2> = la+224-32+... 4-п2=”(я+ 9 (2п+9;
з) $)?>=13+2s+33+... + я»=?2(га+-В-=(s^)2;
<4, 6SFSF-S™ S(„2>(6S^-1) .
4) S„ ------g-----=-------g------
5. o©_ 4(S<?>)8-S<8> _(S(n1>)2(4Sk1>-l).
> n ~ 3 — 3
128^(8^58^ sk2>U2(S~)2-6S'n141).
o<7>8(S«r-4S^ (sn*(6m2-4Skn+ 1).
_ S<f> (40 (S„>)8—40 (S<?>)2+ 18S£>~3).
— 15
9) Sk2) = C^4-C2; 10) 5^ = С^ + ЗСГ+2С^;
11) s^’=cA+7Cn+i2Cn+6Cn;
12) S^=cA+ 15Cn+50C^+60Cn4-24C^,
13) S„=l-22+2-32 + 3-424-...4-(n~l)n2 =
_ tl (П2 — 1) (3n 4- 2) „(3) „<2).
----------12----==dn ~‘г>п ’
14) S„=l2+32+52-}-...+(2n—1)2 =
n(4n2— 1) (2) .„(2) .
=-----g---= O2n-l 40/2-. 1,
15) S„^=2U2+3.22 + 4«32+...+(rt+l)ft2 =
= n (П~Ю (nH~2) (3n-hl) __ $(3) 1 £(2).
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
69
§ 4. Предел последовательности
Число а является пределом последовательности {att}, если
для любого положительного (числа е найдется номер N такой,
что для каждого натурального числа п > W справедливо нера-
венство
—а| < 8.
То, что число а является пределом последовательности {ап},
записывается так: limart = a или ап—>а при п—> оо,
П->00
Если последовательность {art} имеет предел, то она назы-
вается сходящейся; в противном случае—'расходящейся:
Так как неравенство |ап—а| <8. равносильно неравенству
— 8 < ап—а < 8, т. е. а—8 < ап < а + в, то утверждение о том,
что число а является пределом последовательности {а„}, озна-
чает, что для любого е > 0 найдется номер N такой, что, начи-
ная с номера М-р, все члены последовательности ajv+Ь ^+2,--«
принадлежат интервалу (а—в, а+в), а вне этого интервала
находится, быть может, лишь конечное число членов последо-
вательности (не более N).
Пример 1. Доказать, что число 1 является пределом по-
(п 4-11 .. fi+1 ,
следовательности < , т. е. что lim —— = 1.
Решение. Надо доказать, что для каждого положитель-
ного числа 8 найдется номер Я такой, что для любого нату-
рального п > N справедливо неравенство
Г4М<е-
-г И+1 , I |1| 1 |«+1 , I
Так как —5-----1 — — =—, то неравенство —1----1 <в
\ п I | п j п r In j
равносильно неравенству 1/п < е, т. е. неравенству п > 1/8.
Если взять некоторое натуральное число большее числа 1/8,
например число [1/8] +1, то для каждого натурального л, боль-
шего этого числа 2V, выполнено неравенство
р + 1 .11 , 1 _ И _ < 1 8
| п |~п №(1/81+1 4 \/ъ ’
а это означает, что для произвольного числа 8 > 0 нашелся
номер N такой, что для любого п> N справедливо неравен-
ство —11 < е. Следовательно, число 1 является пределом
{/&+11 .. л+1 .
—— > , т. е. lim ——=1.
п J п-> + « п
В данном примере в качестве /V может быть взято одно из
чисел вида [1/е] + &, где 6—-любое, но фиксированное нату-
ральное число. В самом деле, если /V = [ 1/е] + kt то для любого
п> N имеем
р+1 11-1 . 1_________1 < 1 _е
|п *| n^N (1/81+* 1/8- •
70
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
после-
после-
Заметим, что в определении предела последовательности
номер N, вообще говоря, зависит от в. Так, например, в при-
мере 1, если е^1, то, начиная уже со второго номера, каж-
дый член последовательности удовлетворяет условию
|/? + 1 J 1 1
—Г----1 = —с ~ < 1^е.
I п I п 2
Если 8=1/10, то, начиная с 11-го номера, любой член
довательности удовлетворяет условию
—1 1 = 1^1 < ~ = 8, т. е. А/ = 10.
I п I п 11 10
Если 8=1/50, то, начиная с [51-го номера, любой член
довательности удовлетворяет условию
И+1 11 1 I 1' А, сл
—---------1 = — <=7 < =^ = 8, Т. е. N =50.
I п I п 51 50
При нахождении номера N такого, что для любого
справедливо неравенство < 8, иногда полезно оценить
разность \ап—а \ через некоторую переменную величину^ та-
кую, что для любого л, начиная с некоторого, \ап—a\<bnt
а затем найти номер N из условия Ьп < е (см. пример 2). Во
многих примерах в качестве Ьп можно взять Ьп = с/па (с > О,
а > 0) или bn — cqn (с > 0, 0 < q < 1).
Пример 2. Доказать, что
п2_з1п + 4
2л2 4“ 17л —57 2 ‘
Решение. Нужно доказать, что для любого положитель-
ного числа 8 найдется номер N такой, что для любого n> N
справедливо неравенство
I п2— 31л 4~4 1 I
12па+ 17/г—57 — 8*
Для любого натурального п имеем
। П2_3U-f-4 1 I 12л2 — 62л4-8—2л2— 17л4-57|
12л24~ 17л— 57 2 |“| 2(2л2+17л —57) |“~
I -79л 4-65 I |—79л 4-651
|2(2л24~ 17п — 57) | |2(2л24-17п—57)|
79п|4~|65| 80л 4-80 _
| 2 (2л2 4-17л —57)| 2 | 2л2 4-17л—57 | ~
__ 40 (л 4-1) 40-2л __ 80л
— |2яа+17п—57| |2п24-17и—57| |2п2 + 17п—57| •
Так как 2л24- 17л**57 = 2п24~(17л — 57) > 2л2 при каждом л^4,
то при л^4 получаем
80л 80л _ 40
|2л2 + 17л—571 < 2л2 л*
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
71
Итак, для любого натурального п^>4 справедлива оценка
| д2— 31д + 4 1 I 40
I 2п2 + 17ге —57 ~ 2"| < ~п '
Выберем число N такое, что /V^4h 40/TV < 8 (например, за N
можно взять 2V — [40/е] -|-5). Тогда для каждого п > N имеем
I п2_з1п_[_4 j । 40 40__ f40 40
|2д2 + 17д—57 2 Р п < W [40/8)4-5 < 40/8
Пример 3. Доказать, что если р | < 1, то
lim qn = 0.
n~>+ 00
Решение. Для того чтобы доказать, что lim?n = 0, надо
8->а>
показать, что для любого 8 > 0 существует натуральное число N
такое, что для каждого натурального числа n> N справедливо
неравенство \qn — 0| < е.
В случае, когда 7 = 0, доказываемое равенство очевидно.
Пусть q Ф 0. Так как 0 < | g | < 1, то \/\q | > 1, и, следова-
тельно, существует положительное число а такое, что 1/| q\ =
= 1+а. Так как а > 0, то из неравенства Бернулли получаем,
что для любого натурального числа п имеет место оценка
1 f 1
=(l+«)n>l+na>na.
Отсюда И1” < ~ ПРИ всех натуральных п. Возьмем некоторое
N > —, где a = —1. Тогда при каждом п> N имеем
as | q I
1 1
ft > - , ИЛИ --- <8,
ае да
и тем самым
.|<?n_0| = h«| = |?|« < A- < е.
Итак, для любого положительного числа 8 существует номер N
такой, что для любого п > N выполнено неравенство \qn — 0| <8,
а это и означает, что lim 7" = 0.
/1~> + 00
Пример 4. Пусть = ,. ftgN.
Доказать, что число а—\ не является пределом последова-
тельности {«„}.
Решение. Доказательство проведем от противного, т. е.
предположим, что число а=1 является пределом последователь-
ности. Тогда для 8=1/3 найдется число W такое, что
|2п4-3 J , 1
I п + 2 Ч 3
, 4% ГЛ. ,1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
для каждого п > W. Поскольку 2N > то при ft==2^ имеем
И^ + З .Г1
12N + 2 1 I
С другой стороны,
I4JV + 3 | 22V+1 1 . 1—3^1
I 2/V + 2 |'“2Л/ + 2'“1 2/V+2>1 4 4 3 '
Полученное противоречие доказывает, что число 1 не являет-
ся пределом последовательности.Заметим, что lim
\ П-> + со п г /
Пример 5. Доказать, что последовательность ап = (—4)п
не имеет предела.
Решение. Доказательство проведем от противного. Пред-
положим, что последовательность {ап} имеет предел и он равена.
Тогда для любого 8 > 0 существует номер 7V=A/(s) такой, что
для любого п> N справедливо неравенство | ап — а! < 8. В част-
ности, для е— 1/2 также существует номер Nf такой, что для
любого п > Ni справедливо неравенство
|ап—л I < 1/2.
Поскольку 22Vf > и 2^4-1 > N& то для членов последова-
тельности и Й2М+1 выполняются неравенства
1«2М—«I < 1/2, |Я2М+1—al < 1/2.
Так как а2м==(—1)2-лг1 = 1, а2дг1+1=(—1)2^+1 = —1, то имеем
неравенства
11—а| < 1/2, 1—1— а | < 1/2,
из которых следует, что
2^|(1-а) + (а+1)|<| 1-а| + |а+11 < 1+1 = 1.
Итак, из предположения о сходимости последовательности {ап}
получим неверное неравенство 2 < 1. Следовательно, последо-
вательность {«„} не имеет предела.
Если последовательность не является ограниченной, то она
не является сходящейся.
Пример 6. Доказать, что последовательность ап~Зп—*7
не является сходящейся.
Решение. Докажем, что данная последовательность не
является ограниченной.
Пусть С—произвольное положительное число. Тогда для
любого натурального п, большего числа ДГ=-- , имеем
о
Зп—7 > > С+7—7 = С.
О
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
' 73
Это означает, что данная последовательность не является огра-
ниченной сверху и, значит, не является ограниченной, а следо-
вательно, не является сходящейся.
Имеют место следующие свойства сходящихся по-
следовательностей:
Г. Сходящаяся последовательность {art} имеет только один
предел.
2°. Сходящаяся последовательность ограничена.
3°. Пусть существует предел последовательности рав-
ный а. Тогда имеется предел последовательности {ад+^}, где
А—фиксированное натуральное число, и он равен а, т, е,
11m an+k = lim ап.
П-><Ж> П-+Н)
4°. Пусть последовательность {art} такова, что
lima2& —я, lim
&->оо /г->оо
Тогда 11тап = а.
ft—>00
5°. Если ап = с, n(£N, где с—константа, то
lim ап = с.
6°. Пусть существуют предел последовательности {ап}, рав-
ный а, и предел последовательности {Ьп}, равный Ь, Тогда:
а) существует предел последовательности и ои
равен a+bt т. е.
lim («п+М= Нт Hm bn*
П-+<Ж> П-+Я П-+СЛ
б) существует предел последовательности {ая—•Ьп}, и оя
равен а — Ь, т. е.
lim (ап —-Ьп)= limart— lim bn;
п-+<» п-+<»
в) существует предел последовательности и он ра-
вен ab, т. е.
lim (anbn) = lim ап lim bn.
В частности, если некоторая константа, то существует пре-
дел последовательности {сап}, и он равен са, т. е.
lim (сяп)—с lim ап;
п-><ю п->со
г) если Ьп 0 при каждом натуральном п и b Ф 0, то су-
ществует предел последовательности и он равен а/Ь, т. е»
1. (&п\ /ПтаД
Ьт I — |г=/ ------ \
'™Abn) ( lim bn •
\ n-+b /
Отметим, что в каждом из свойств 6°а)—6°г) утверждение со-
стоит из двух частей:
74
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
во-первых, утверждается существование пределов последо-
вательностей {Лп+^п}, {ап— ^п}, {ап^п} и ВО-ВТОрЫХ, ПРИ-
ВОДИТСЯ правило их нахождения.
Свойства 6°а) — 6°г) без предположения о существовании
каждого из пределов последовательностей {ап} и {Ьп} могут
быть неверны. Например, каждая из последовательностей ап —
= (—1)" и Ьп~(—1)п + \ n£N (см. пример 5) предела не имеет,
однако последовательности
cn = (a„ + ^) = ((-l)n + Hl)n + 1) = (-l)n-(-~l)n = 0,
= 1)« (—1)«+1 =—1
имеют пределы, соответственно равные 0 и — 1L
Поэтому говорить, например, «предел суммы равен сумме
пределов» или «предел произведения равен произведению пре-
делов» без предположения о существовании предела у каждого
слагаемого суммы и соответственно у каждого множителя про-
изведения, вообще говоря, неверно.
7°. Пусть предел последовательности {art} существует и ра-
вен а, и пусть предел последовательности {Ьп}, Ьп > 0, суще-
ствует и равен b > 0. Тогда существует предел последователь-
ности и он равен Ьа, т. е.
lim bann = ba.
n-+tn
В частности, если & —фиксированное положительное число и
существует предел последовательности {аи}, равный а, то су-
ществует предел последовательности {//*"}, и он равен Ьа, т. е,
lim ап
lim ban = bn~** ^ba.
п-+ оо
8Q. Пусть существует предел последовательности {«„}, рав-
ный а, и существует предел последовательности {bn}t равный Ь.
Тогда, если при каждом натуральном л, начиная с некоторого
номера, имеет место неравенство ап^Ьп, то
lim ап^ lim bn,
п-* оо п -> СО
В частности, может быть, что при каждом натуральном л, на-
чиная с некоторого, имеет место неравенство ап > ЬП1 однако
lim ап^ lim bn. Например, для последовательностей пи=~
П -> оо П о© Л
и имеем ап > Ьп, но lim ап= lim bn — 0.
П -* оо П -> оо
9°. Если последовательность {ап} имеет предел а и число р,
меньшее а; тогда найдется номер N такой, что для любого
п> N справедливо неравенство р < ап.
10°. Если последовательность {лп} имеет предел а и число q,
большее а; тогда найдется номер N такой, что для любого
п > N справедливо неравенство q > ап.
11°. Если lim ап= lim bn—А и неравенство ап«Ссп^Ьп
п-> оо п -* 00
выполнено при каждом натуральном л, начиная с некоторого
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
75
номера, то существует предел последовательности {сп}, и он
равен А.
12°. Пусть существует предел последовательности {гп}, рав-
ный г. Если члены последовательности {гп} и число г принад-
лежат области определения основной элементной функции f (х),
где f(x)—одна из следующих функций: ах, х'х, loge х, sinx,
cosx, .tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, то имеем
lim f(rn) = f(r), t. e. lim аГп=аг, lira (гп)а=яа,
n -> 00 rt -> 00 n 00
lim loga rn== loga r, lim sin rrt —sin г и т. д.
n oo n -> 00
Вообще, если члены последовательности {rn} и ее предел —
число г — принадлежат области определения элементарной функ-
ции f (х), то lim f Это свойство справедливо для
п -> 00
всех так называемых непрерывных функций, речь о которых
будет идти ниже.
Пример 7. Доказать, что если последовательность {я^}
сходится к числу а, то последовательность {sin Яд} сходится
к числу sin а.
Решение. Рассмотрим 8 > 0. Так как lim то для
п -> со
этого е существует номер N такой, что для любого п> N
справедливо неравенство | ап—>а | < 8. Тогда для этих же но-
меров имеем
| sin ап—sin а | = 2 | sin - cos |
< 21 sin [ < 21 |=| яга—а | < e.
А это и означает, что для любого е > 0 существует номер N
такой, что для всех п > N
] sin ап — sin а | < 8, т. е.
lim sin = sin a.
п <ю
Пример 8. Доказать, что если ап^0 для любого ngN
и lim ап = а, то lim К a-
п во п -> со
Решение. Заметим, что я^>0. Рассмотрйм сначала слу-
чай, когда я > 0; тогда
I Кап— V а|
1«п—«| < I |
/°п + К а У~а
Возьмем любое положительное число 8. Так как Вт яп=я,
__ П СО
то для числа e-[ = ej/" я существует номер Nt такой, что для
любого натурального n > Nt справедливо неравенство ]яд—я| <
< 8 К а. Тогда для каждого п > Nt имеем
У я у а
76
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пусть теперь « = 0 и е—произвольное положительное число.
Тогда существует номер ЛГ2 такой, что для каждого п >
справедливо неравенство | ап | < е8, и, следовательно, для каж-
дого п > N имеем
1Кай--/"а| = |/"ой—0|=| = < У"^ = \г\—б.
Следовательно, в обоих случаях а>0н а = 0 для любого
числа 8 > 0 нашелся номерJV такой, что для каждого п> N
выполнено неравенство Y а| < е, а это и означает, что
lira рЛа^=рЛя = ~|/ lim
«-►00 >'«-►«>
Пример 9. Найти
.. 2ft+ 3
Um s—*-7.
п -* оо 3ft—4
Решение. Так как каждая из последовательностей
{2ft+3} и {3ft— 4} не является сходящейся (см. пример 6), то
применить правило о пределе частного нельзя. Разделив числи-
тель и знаменатель дроби |~“j на п (отчего ее значение не
изменится), получим
2-4-1
2п + 3_ ' п
зЛ—4—-; г *
о——
п
1 Ч 1
Так как lim — = 0, lim 2 = 2, lim —=3- lim —=0,
П -> oo tl ft -+ oo n оо ft Ц -+ <x, tl
4 1
lim 3=3, lim —=4- lim —=0, то, согласно свойству 6°a),
Я -> oo fl oo ft fl -> оо ft
(3 \ 3
2-|—)== lim 2-|- lim —= 2, а, согласно свойству 6°б),
ft/ n -> OO fl 00 tl
lim (3—i\=s lim 3— lim 1=3 0. Применив свойства 6°,
n -+ 00 \ ft/ fl —> oo fl -> oo ft
получим
Обычно на практике при вычислении пределов сначала
предполагают, что условия соответствующих теорем выполнены,
а затем в обратном порядке обосновывают законность постав-
ленных знаков равенств между выражениями.
Пример 10. Найти
lim ( ,““3я V V я + 2
„“ЛД4П+5/ пЧ« + 1 *
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
77
Решение, Поскольку
lim -А—rr=! lim
П -> 00 4/1 -f- О n -+ о
lim
n 00
K» + 2 _
/I2 -j- fl -j~ 1
lim
П oo
3
T
^Q+Q ~
~~i+o ’
то no свойствам 6° имеем
lim
1-*Зп\з
4n + 5/
К n + 2
/12 + «+1
Пример 11. Доказать, что последовательность { Yn24-l—п}
имеет предел, и найти его.
Решение. Так как каждая из последовательностей
{Кя24-1} и {п} не является сходящейся, то применить свой-
ство 6°, б о пределе разности нельзя. Поэтому сначала разделим
и умножим выражение j/"n24-l—я на сопряженное ему выра-
жение + Тогда получим
Та~Т~Т „ (/n* + l->n)(Kn2 + l+n) _ п2+1-*П*
+ угп«Н-1 + Угп К«2 + 14-п
1
— КлЧТ+п *
Поскольку
О < -у.—-L-=—7--у. 1-=--г < ~
/п2+1 + п / ,/ . 1 2я
\ V я+^-Н)
и lim -jr—=0, то по свойству 1Г последовательность
п оо 2tl
{Кп2+Т —«} имеет предел, и он равен нулю, т. е.
lim ==0.
п со
Последовательность называется бесконечно малой, если
lim ап=0.
М -> 00
Для того чтобы число а являлось пределом последователь-
ности {ад}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ра-
венство ад=а+ап, где (ап}—бесконечно малая последова-
тельность.
78
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример 12. Найти
n1 2+2n+l+sinn
Дтоо п2 + л + 1
Решение. Выделяя целую часть, имеем
л n + sinn _ п+1 2п 2
Поскольку О < я8+ - 4Т < < П И
2 л „ но v n+sinn л
lim —=0, то по свойству Н Вт —-------------=0; следова-
и^ооП J н^оо п2 + «+1
jn + sinn 1 л
тельно, последовательность у-~2 n ^|1'’f г есть бесконечно малая
последовательность, и поэтому
м n2 + 2n+l+sinn .
Um -----—---------= 1
I -> оо П2 + И + 1
Имеют место свойства бесконечно малых после-
довательностей:
1°. Сумма любого конечного числа бесконечно малых после-
довательностей есть бесконечно малая последовательность.
2°. Разность двух бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность.
3°. Произведение бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность.
4°. Если последовательность {ап} бесконечно малая, а по-
следовательность {Ьп} ограниченная, то последовательность
{ап6и} бесконечно малая.
Пример 13. Доказать, что
„ 1 . л/«+2
Um —г—г sin —+-7-7—
п оо п+1 п2 + 4п
0.
г» o' , . л У п + 2
Решение. Так как последовательность drt==sin—J—
п2 + 4п
(ngN) является ограниченной последовательностью
/] л Кп + 2 I А .. 1 А
I sin—— <1 ) и Um —г~г = 0, то последовательность
\| | / П оо п+1
<—гт? есть бесконечно малая последовательность, а значит,
| п+ 1 ]
/1 . л У п + 2 1 л
и данная последовательность <—г-г sin—.....; > есть беско-
I n +1 n2 + 4n J
1 . л У п+2 л
нечно малая последовательность, т. е. lim —гт sin—+-+ =0.
лоо п +1 п2 + 4п *
Пример 14. Доказать, что
Um
П-» 00
У 5=1.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
79
Решение. Для любого п 2, ngN, справедливо нера-
венство {/^5 > 1. Поэтому ад=}^5—«1 > 0. Отсюда имеем
5 — (art +1)" l+nart > пап, и, значит, 0 < ап < 5/я для всех
«^2 и поэтому lim аи = 0. Так как у^5 = 1-{~ай и ап — бес-
п -> сю
конечно малая величина, то lim у^ 5 = 1.
п -> СЮ
Пример 15. Доказать, что
lim
/7 -> СО
у п~ L
Решение. Поскольку при любом п^2 имеем у п >
> у/ 1 = 1, то п —1=а„>0. Отсюда д = (1+art)n 1+
«(ft— 1) .2 rt(rt —1) 2 т. 1 ,л
+ пап-|--—- ап >—Н,—-On* Так как /г — 1 /г/2 при
п^2, то п > п20Ся/4; таким образом, 0^ад^2/|/" п при п^2.
Следовательно, lim art = 0, и, значит,
П -> 00
п/—
lim у п= lim (1+»«) = !.
П-* 00 П 00
Пример 16. Доказать, что
lim
П оо
>1°
3"
= 0.
Решение. Имеем
ю
, где а =
Так как
п
п
а" П+(й—!)]«
п
2
2
п _ '2_______________(«т^Е
»(»—!) (а _ 1)з <п~0(«—1)? я—I
и lim 1 —=0, то lim -4=0-
/г-юоП — 1 п ап
Следовательно,
Um
п -> со
п \10 nw _
— = lira -о=-=0.
ап ) п-*«, Зп
80
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Пример
17. Доказать, что
74»
Пт 4=0.
fl оо л!
Решение. При п > 8 имеем
n.7«_2. L L L LL
и< п!“~ Г 2 ‘ 3 ‘ 4 8 ‘ 9 ‘м п
7* 7 7 7 f9Y (1Лп
^~8Г'\Т) ”8! ’\Т/ \9/ •
Так как
lim 4^=0.
fl -> OQ^I
Пример 18. Найти
lim
Р=0 (см. пример 3), то по свойству 11°
lim
П оо
2«4-па
3« + ««‘
Решение. Поскольку 3" > 2” > и® > па, начиная с неко-
(2 \ п п3
) =0, lim тт=0, lim ^=0, то
<5 / П -> оо Оп п-t ооОп
имеем
lim
П -> °о
2« + п2_
Зп + дз—
2« п2
3«+з«
lim ------я-
I -> ОО « | Л
В теории сходимости последовательностей одно из централь-
ных мест занимает вопрос о существовании предела у данной
последовательности.
Отметим, что одним из достаточных признаков сходимости
последовательности является следующее свойство:
если lim ап— lim 6„ = Л и неравенство ап^сп^Ьп вы-
п -> 00 п 00
полнено при каждом натуральном п, начиная с некоторого
номера, то существует предел последовательности {сп}, и он
равен Л.
Другим важным достаточным признаком существования
предела является следующая теорема Вейерштрасса:
неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограни-
ченная сверху (снизу), имеет предел.
Иногда эту теорему формулируют так:
если последовательность монотонна и ограничена, то она
имеет предел.
Итак, понятия монотонности, ограниченности и сходимости
последовательности тесно связаны между собой.
Отметим, что теорема Вейерштрасса устанавливает только
сам факт существования предела, но не дает метода его нахож-
дения. Тем не менее для некоторых последовательностей факт
существования предела позволяет найти его.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
81
Призер 19. Доказать, что
lim qn~0,
оо
если 0 < | q | < 1.
Решение. Ограничимся только случаем q > 0. Последо-
вательность qn ограничена, так как 0 < qn < 1 при любом
ngN. Эта последовательность также монотонно убывает; дей-
ствительно,
qn + \=,qnq < qn.
Следовательно, последовательность {qn} удовлетворяет условиям
теоремы Вейерштрасса, и, значит, она имеет предел. Обозначим
его величину через а. Поскольку по свойству 3°
lim aw+i= lim ап>
п-+ <ю п -> со
то a — lim qn+i = q> lim qn — qa. Из равенства a~qa следует,
п -+ оо п -> 00
что а(1—q) — 0. Так как q^l, то а = 0, что и требовалось
доказать.
Пример 20. Доказать, что
где & —натуральное число.
Решение. Рассмотрим последовательность ап
т, (я+1)*2« 1 /. , 1 И
Имеем ----—— 1 1 J’
ап 2« + 1 п* 2 \ г п) ‘
Выберем N так, чтобы для каждого n^N выполнялось He-
x' 1 \й з
равенство И+“ ) < "g" (Для этого достаточно за N взять неко-
торое из чисел, больших числа l/(j/ 3/2 — 1))» Тогда при n> N
имеем
an+i
ап 4
т. е. an+t < ап. Таким образом, начиная с /V, последователь-
ность {ап} убывающая. Так как эта последовательность ограни-
чена снизу, например, числом 0, то по теореме Вейерштрасса
она имеет предел. Обозначим его через А. Докажем, что Л = 0.
Из равенства an+t — (14-—ап с учетом того, что lim
& \ И / п -* оо
/ 1 \л 1
= lim an+f — A и lim (1-4—) =1, получаем А = -^ А, откуда
А = 0.
дй
Заметим, что для доказательства того, что lim -?гг = 0,
П оо 2rt
можно и не пользоваться теоремой Вейерштрасса, а использо-
вать непосредственно неравенство 2д±1 < А для любого п > N.
ап
82
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Действительно, из этого неравенства легко следует, что
/ з \п
О < ап+± , п > N, где c = afa2 • • • лдл Отсюда по свой-
ству 11° имеем нужное равенство.
Пример 21.
Установив, что последовательность xt —
а
*2’
a Xi а Х2 а <
^2 2 2 ’ *8 — 2 2****’ Хп — ~2 2 * 0 < а < 1, яв-
ляется сходящейся, найти ее предел.
Решение. Имеем
a Xi а а2 а (4—al л л
х2 ==“2—> °» т- е- 0 < ** < ЛГХ;
а х2 а , Xi 1/2 2\ л
х3—х2 =у---------у+ -у==y(xi-“-xi) > 0, т. е. х3 > х2;
a xl a xi л
*з-~Х1 = у--2---У-------г < °’ т’ е* Хз < *15
значит, х2 < х3 < хъ Далее,
%2 — Х з л
х4 —хз=---х— < 0, т. е. > х4;
%1—Х3 л
х4—х2 =---g— > 0, т. е. х4 > х2;
значит, х2 < х4 < х3.
Аналогично находим х4 < х5 < х3. Применяя метод математи-
ческой индукции, можно доказать, что х2п < х2п+1 <
и х2п < x2n+2 < x2n+f. Отсюда следует, что последовательность
Xi, Хз, Xg, ...» x2n_i, ... является убывающей, а последователь-
ность х2, х4, хб, ..., x2rt, ...—возрастающей.
По теореме Вейерштрасса эти последовательности являются
сходящимися, поскольку для любого натурального п имеем
О < хп < а/2.
Обозначим их пределы соответственно через А и В. Пере-
ходя к пределу при п —>оо в соотношениях
2 2
а Хзп а х2п—1
х2п + 1 — “л 9^ ’ Х^П — “л о >
имеем
А 2 2 ’ 2 2 •
Затем находим, что
42^ Р2
— , т. е. (Л-В)(2—Л—В) = 0.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
83
Так как 0 < А < а/2 и 0 < В «с а/2, то 0 < А + В < у+у =
« а < 1. Поэтому 2*-Л — В О и, значит, А —В, Тогда из соот-
л а
ношения А = ~----находим, что
а = УТ+а —1, Л=—УГ+а —1.
Поскольку А > 0, то А~]/~ 1+а—1.
Итак, доказано, что последовательности xf, х8, хб, ...
♦ . ., X2rt-f, • • • И Х2, *4> Хв> • • х2п> • • • сходятся к одному и тому
же числу. Следовательно, последовательность {хп} сходится
к этому же числу, а именно Нт хп~ У1 + а —1.
п -> 00
Теорема о сходимости монотонной ограниченной последова-
тельности позволяет также обосновать алгоритм для приближен-
ного извлечения квадратного корня.
Пример 22. Доказать, что если а > 0, то последователь-
ность хп, определенная рекуррентным соотношением
1 / , а \
*«+1 = -9 ( *п + — > Х£==а,
4 \ хп /
имеет предел, и он равен У а.
Решение. Так как а > 0 и Xf > 0, то хп > 0 при любом я.
Из неравенства между средним арифметическим и средним гео-
метрическим двух чисел имеем
Следовательно, для любого натурального числа п^2 справед-
ливо неравенство хп^У а, т. е. а/хп=сУ а. Таким образом,
._а __
у . ___,_____хп 4” У а xn~i~xn
хп+1 — 2 2 2 —Хп)
и, следовательно, последовательность [хп} является невозрастаю-
щей. Так как последовательность {хп} также и ограничена снизу,
например, числом У а, то по теореме Вейерштрасса она имеет
предел. Обозначив его через с, по свойству 8° имеем У а*.
Переходя к пределу в исходном рекуррентном соотношении
и пользуясь тем, что для любой сходящейся последовательно-
сти {ап} по свойству 3°
lim а„ = lim an+f, •
П-+ GO со
находим, что с —f с -J--— V т. е. 2с2 = с24~а, или с? = а. По-
скольку 0, то с = У а.
84
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Так, алгоритм вычисления корня квадратного из числа 2
в этом случае дает:
^ — 2;
1/9 \ ч
^=т(4+2)Ч=,-5;
Xs = "2 (з72’’^'2)==12=1’41(6);
**=4(п7тг+Й)“^=1’4,4{2156Г9’-
Заметим, что /"2 = 1,4142135..и тем самым х4 дает при-
ближение числа /2с точностью до К)-»6.
Замечание. Можно показать, что для разности ап =
= хп**/а справедливо рекуррентное соотношение
2 (У а+ад)
откуда следует, что
an+i < > п € N,
2 у а
т. е. ошибка в вычислениях в этом алгоритме на (п + 1)-м шаге
с точностью до постоянной не превосходит квадрата ошибки,
полученной на n-м шаге.
Пример 23. Доказать, что последовательность ап =
/ 1 \ п
*= ( 1 j , п € N, сходится. <
Решение. Применяя неравенство между средним арифме-
тическим и средним геометрическим к «4-1 следующим числам:
1+—. 1+—.........1+—, 1,
‘ п п 1 п
получаем, что при любом «^1
«4-! Г \ П J
или
Возводя обе части последнего неравенства в («4~1)-ю степень,
получаем
Таким образом, an+i > ап при любом «^1, и, следовательно,
последовательность {ап} возрастает.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Докажем, что последовательность у является
ограниченной. Для этого рассмотрим еще одну последователь-
(1 V
' П N- Аналогично предыдущему можно
доказать, что эта последовательность также является возрастаю-
щей, т. е. bn+i > bn при Поскольку
(1 \п / 1 \п / 1 \п
1+±) ( 1------=( 1—L) < 1,
л / \ «/ \ ft2 /
то ап < \/Ьп при (при « = 1 имеем di = 0). Так как после-
17, 1 VI
довательность г монотонно возрастает, то все ее
члены, начиная с третьего, больше ее второго члена:
/ 1 \2 1
bn > = ( 1 2 ) =“4" ПРИ любом п^З.
Таким образом, при любом п^З справедливо неравенство
< 1/^п < 4.
Так как «1 = 2 и «2 = 9/4, то 0 < ап < 4 для каждого натураль-
ного ft.
Итак, последовательность 1 ограничена и моно-
тонна, и, следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет
предел.
. Этот предел йрипято обозначать через е. Доказано, что
число е является иррациональным и е равняется 2,718281828.,,
Пример 24. Найти
.. Zft+[2\2/i
lim —7-7
п -> оо \Я*1~ 1 /
Решение. Имеем
/ft-f-2\2" Z 1 , 1 \»+iHn/(n + i)
\ft+U + j
Так как
/ 1 \n+1 / 1
lim ( 1+—--г ) == lim 1-f-—) = e
П -> oo \ ft 4“ 1 / n -> oo \ ft/
2ft
и lim ——=2, то отсюда (согласно свойству 7°, если
П -> оо ft ~Г I
lim ип — и, где ип >0, и > 0, и lim = д то существует
п-* оо п-> 00
предел lim который равен uv) получаем равенство
Отметим, что кроме приведенных примеров применения тео-
ремы Вейерштрасса она широко применяется в геометрии (для
86
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
обоснования методов вычисления длины окружности, площади
круга, площадей поверхностей, объемов круглых тел), а также
в теории действительных чисел.
Пусть дана убывающая геометрическая прогрессия {ап} со
знаменателем q, 0 < |g| < 1. мСумма Sn первых п членов этой
прогрессии вычисляется по формуле
Так как lim <?п = 0, если |<?| < 1, то lim S„ = ——. Это ПО-
rt оо П -> оо * -Я
другому записывают в следующем виде:
«i+at4+«i<72 +... +<ЭД”~1 + ...
величину называют суммой убывающей геометрической
прогрессии.
Например,
1 / 1 \2 ( 1 \з /1
а) 1+у+(-з) +(-д) +--- + (у) +•• =
в) 8_4 + 2-1 +1-’ +...+8(-1)"-»(1у
Z г \ Z у
__ 8 16
г) 1 4-0,1+0,01 + ... +0,00000.. .01 +... =—1—.=15.
V —____1 V, 1 У
гг-2 нулей
Если положительное число а представлено в виде бесконеч-
ной десятичной периодической дроби т. е. в виде
а=ггг2 .. • гь qtq2 ...qk (pipt
то и формула для суммы убывающей геометрической прогрессии
позволяет доказать, что а является рациональным числом,
и найти его представление в виде обыкновенной дроби. Дейст-
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
87
вительно,
zv__77 Г 1 #172* •‘7/? । Р\Ръ***Рт t , Р1Р2* • • Pm ।
а —ГхГг .. .Г/-| Г 10л+т • ♦ • “г jg/z+rm । ' * * ‘
_—--------- । P1P2---W1 , 1 , , 1 Y.
•••—'1'2-•-ЧТ ]0Й -Г |qa>+/zz 1 * Ю/л‘” ‘ ‘ 10<л-4)'»у-~
— 77-----7 I 91?2* ‘ ‘ । Р1Р2 •Pm 1 _
Г1Г2’««^"Г 10Л ~7 |0Й + /Л ।
’“Тб-
------ I • • - 4k I Р1Р2•••Pm
1QA (10w—• 1)« 10A*
Полученное равенство позволяет записать число а в виде отно-
шения двух натуральных чисел:
г1г2...гг1()ст + А-~г1г2...г/»10АЧ-71?2>-.7^-10л?г
(1О'Л —1)« 10А
_ № . ff/?“t~PiP2- • >Рт ___
(1О'Л — 1)-10А
Г1/-2- • • Г;- 10® + й + ?1?2- • • <7fe - 10m + pip2- • -Риг _
(10® —1)-10й
_(Уг-.-Гг Юй + Р192---<7^ _...
(Ю® —1).10й
Уц.. .rt д^2. .qk Р1Р2.. Рт — г^.. ,Г1Ч1д2... д;,
(10®—1)10*
Для представления числа а, заданного бесконечной десятич-
ной периодической дробью в виде полученного выше отношения
двух натуральных чисел, [можно поступить также следующим
образом: если a1 = /'1r2.. .rb qtq2 (pipz ... рт), то, умножив
сначала это равенство на 10A+/w, получим равенство
10A+^a = rxr2 .. • . qkPip2 ••• Рт> (PiPz • • • Рт)>
а умножив на 10А, получим равенство
10^ = ^ ... г^2 ...qk, (Pip2 ... рт).
Вычитая из первого равенства второе, получаем
(IO** — 1). 10А а = Г5Г2“-П^2.“^Р1Р2.«‘РОТ — Г1Г2...П<71<72---<7й ;
следовательно,
ггг2 .,. riqyq2 ,,. QkPip2 > -. Pm — r^z . . . ^ <71^2 ♦ ♦
10А(10от— 1)
Пример 25. Представить бесконечную периодическую деся-
тичную дробь а в виде обыкновенной, если:
а) сс = 2,(3); б) а=0,3(14).
Решение, а) Так как а = 2,(3), то, умножая его сначала
на 10 и вычитая из полученного равенства равенство а = 2,(3),
88 ГЛ. Г ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
получаем
10а-«а = 23,(3)— 2,(3), или 9а = 21,
откуда а=7/3. Итак, 2,(3) = 7/3.
б) Так как а = 0,3(14), то, умножая его сначала на 1000
и вычитая из полученного равенства равенство а = 0,3(14), умно-
женное на 10, получаем
1000а— 10сс = 314,(14)—3,(14), или 990а = 311,
суммы бесконечно
J со знаменателем
откуда а = 311/990. Итак, 0,3(14) =311/990.
Замечание. Формула 5=^21^ для
убывающей геометрической прогрессии {ап,
7, 0< |<?|< 1, позволяет представить данное рациональное
число а различными способами в виде суммы бесконечно убы-
вающей геометрической прогрессии с различными знаменателями.
Например,
ч 7 7/3 7 / . 1 / 1 V ~ /1 \Л-1 \
а)‘2==Т^Й7з=^11+’з+’"+(-з) +•••; =
rt 7 _ 77/20 _77 /11 1 ,
°' 2 “ 14-1/10“20 V 10' 100 1000
.7 5/2 5 /. , 2 .7 2V . , 7 2\п-1 . \
В)_2-Ь^277=-2 + + +•••)•
Последовательность {ап} называется расходящейся к плюс
бесконечности, если для каждого положительного числа А суще-
ствует номер N такой, что для любого п > N справедливо нера-
венство ап > А.
То, что последовательность {««} расходится к плюс беско-
нечности, принято записывать следующим образом:
Um /zn = +oo или ап —> + оо при п—> оо.
00
Отметим, что если lim ^ = +оо, то lim —=0, и, об-
П->00 п~>00 &П
ратно, если lim —~=0 и существует такой номер ^, что для
п -> оо ап-
всех п > N справедливо неравенство ап > 0, то lim аи = + 00•
п оо
Пример ^26. Доказать, что
lim п3 = +оо.
п -> 00
Решение. Возьмем произвольное положительное число А
и положим АГ = [|/Л]+1. Тогда для любого п> N справедливо
неравенство
п=* > №=([з/Д]+1)3 >(3/Л)8 = А.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
89
Тем самым для каждого А > 0 указан номер N, начиная с ко-
торого выполняется неравенство п3 > Л, а это, согласно опре-
делению, значит, что последовательность {п3} расходится к плюс
бесконечности.
То, что последовательность {%} расходится к плюс беско-
нечности, можно истолковать следующим образом: для любого
Л >0 найдется такой номер N, что все члены последовательности
{ап}, начиная с(JV+1)-го члена, т. е. членыоу+2» лу+з, •••,
принадлежат интервалу (Л, +оо), а вне его находится, быть
может, лишь конечное число членов последовательности, но не
более1 N ее членов.
Последовательность {ап} называется расходящейся к минус
бесконечности, если имеет место соотношение
lim (— ап) = + оо.
п -><»
То, что последовательность! {ап} расходится к минус беско-
нечности, принято записывать следующим образом:
lim ап~— оо или ап—► — оо при п—► оо.
п -► со
Отметим, что если lim ап —— оо, то lim -— =0, и, обратно,
лг —> оо &п
если lim —=0 и существует такой номер N, что для всех
п -► о© ап
п> N справедливо неравенство ап < 0, то lim ап~— оо.
а>
Пример 27. Доказать, <гго
lim (— и2) = — оо,
П 00
Решение. Согласно определению, нужно доказать, что
lim п2 = + оо. В самом деле, для произвольного положительного
п -► а>
числа Ли М = [Л] + 1 получим, что при любом п > N имеет место
неравенство п2 > Л. Отсюда по определению следует, что lim п2=»
о©
= 4-оо; таким образом,
lim (—п2) = —©о.
П 00
То, что последовательность {ап} расходится к минус беско-
нечности, можно истолковать следующим образом: для любого
Л > 0 найдется такой номер N, что все члены последователь-
ности {ап}, начиная с (М+ц-го члена, т. е. члены ам+$, ay+2i
flV+s, •••, принадлежат интервалу (—оо,—Л), а вне его нахо-
дится, быть может, лишь конечное число членов последователь-
ности, но не более N ее членов.
Последовательность {«„} называется бесконечно большой или
расходящейся к бесконечности, если имеет место соотношение
lim | ап | = + оо.
п -► со
То, что последовательность {ап} расходится к бесконечности.
90
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
принято записывать следующим образом:
lim или ап—> оо при п—> оо.
п ОО
Отметим, что если lim | | -f-оо, то lim — = 0, и,
п -> 00 п->оо^п
обратно, если lim -j---г = 0 и существует такой номер N, что
п -> оо I &п I
для всех п> N справедливо неравенство ап 0, то lim | ап | =
П -•> оо
= ОО.
Пример 28. Доказать, что последовательность {(—1)п и}
является бесконечно большой.
Решение. Возьмем произвольное положительное число Л
и положим Af = [Л] +1- Тогда для любого п > N справедливо
неравенство
|«„| = |(— 1рп| = |п|>[Л] + 1>Л,
т. е. |ап| > Л, а это значит, что lim |яп| —+ оо, т. е. после-
п -> оо
довательность {(—1)п п} является бесконечно большой.
То, что последовательность {ап} является бесконечно боль-
шой, можно истолковать следующим образом: для любого числа
Л > 0 найдется такой номер N, что все члены последовательно-
сти {ап}, начиная с (М+1)-го члена, т. е. члены ед+f, ед+2,
оу+з, находятся вне конечного отрезка [—Л, Л], а отрезок
I— Л, А] может содержать лишь конечное число членов после-
довательности.
Если последовательность {ап} такая, что lim ап = +оо или
00
lim ап — — оо, то она является бесконечно большой. Обратное,
п -> 00
вообще говоря, неверно, т. е. если последовательность {ап} яв-
ляется бесконечно большой, то отсюда не следует, что lim
п -> СО
= + оо или lim ап~ — оо. Такой последовательностью является,
П -> оо
например, последовательность {(— 1) п}, для которой lim | ап | =
00
= 4-о°, но эта последовательность не является ни расходящейся
к — оо, ни расходящейся к +оо.
Бесконечно большая последовательность не является огра-
ниченной. В то же время существуют неограниченные последо-
вательности, которые не являются бесконечно большими. Дейст-
вительно, такой последовательностью является, например, после-
( ял 1 ~
довательность <ncos-^->. Эта последовательность не является
ограниченной, так как для любого Л > 0 и, например, =
=4 ([4] +1) aNo = 4 ([4] +1) cos 2л <[Л] +1) = 4 ([А] +1) > 44 > А.
В то же время она не является бесконечно большой, так как
ап~0 при п — 4&4-1 (&£N), и, следовательно, любой отрезок
I— Л, Л], где Л > 0, содержит бесконечно много членов после-
{ m 1
довательности <ncos —>, равных нулю.
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
91
Свойства 6° (см. с. 73) в случае бесконечных пределов имеют
место не всегда: на случай бесконечных пределов они перено-
сятся лишь частично.
Имеют место следующие утверждения:
1Q. Если ап—>-[-оо и последовательность {Ьп} ограничена
снизу, то («п + &л)—> + оо.
2°. Если ап —> — оо и последовательность {Ьп} ограничена
сверху, то (ап 4- Ьп) —-> — оо.
3°. Если ап-->4-оо и последовательность {Ьп} такова, что
bn > М >0 при любом /г, то апЬп—> + оо.
4°. а) Если ап—>4" 00 и последовательность {Ьп} такова, что
О < bn < М при любом п, то ап!Ьп—> 4- оо;
б) если ап —> 0 и последовательность {/?„}'такова, что | Ьп | >
> М > 0 при любом я, то ап1Ьп—> 0;
в) если [ап[<М и последовательность {&п} такова, что
|дп|—> + оо при любом я, то ап1Ьп—>0;
г) если | Ьп | —> 0 и последовательность {ап} такова, что
\ап | > М >0 при любом п, то | anjbn | —> 4* 00;
д) если ап—► 4" 00 и последовательность {Ьп} такова, что
Ьп^ап ПРИ любом я, то Ьп—>4-оо.
Например, если я„ = я2 и bn~ sin3 (я24~я) 4~2 (fl£N), то
lim art=4- оо и при любом натуральном я; поэтому
гс-> с©
lim (а„+&п) = 4-оо,
П -> »
lim (апЬп)=+<х,
п
lim оо,
п-*«>Ьп
lim —=0.
п ~> СО аП
Пример 29. Доказать, что
lim (я — К^4“ 1 4-К п4~я21пя) = 4- оо.
гг-> со
Решение. Так как при я^З
я —* я 1 4* я 4- я21п я == я-7------—г4-я2 In я
К я-h 1 4-К я
Я----------[-я2 In я > я2 In я я2
/ 2+1 П
и lim я2 = 4’00» то lim (я — У я 4-14~1/' я4-я21п я) = 4~ °°*
п -> СО Z? со
Отметим, что в общем случае для двух последовательностей
{ап} и {Z>n} нет точных утверждений, дающих однозначные ответы
на следующие вопросы:
а) имеет ли предел последовательность {ап — bn]t если ап—>
—> 4“ °о и Ьц ——> 4~ оо;
б) имеет ли предел последовательность {ап6п}, если ап—>
—> 4"00 и Ьп —> 0;
в) имеет ли предел последовательность {ап/Ьп}, если ап—>
—>4-оо и Ьп—>4~°о;
г) имеет ли предел последовательность {an/bn}t если ап—>0
и Ьп—>0?
92
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В то же время в тех конкретных случаях, когда каждая из
последовательностей задана формулой общего ее члена, на эти
вопросы иногда ответить можно. Например,
а) каждая из следующих последовательностей:
ад = л + 3, bn~ «4-2,
cn = n, dn — 2n, tn~n2
расходится к + оо, но
lim (an-6„) = lim ((п + 3)-(п + 2)) = 1,
П->00 00
lim (ап—сп) = lim
гг-> a> п -> оо
lim (&„*—сд)== lim
оо п 00
lim (с„—fn)= lim
((п -ЬЗ)—«) = 3,
((n + 2)-n) = 2,
(n —n2)== lim
— 00,
lim ~= lim
n-> 00 n -> C
« + 3
n + 2
n
lim —
n -* oo „
= 1,
lim 4й-— lira
n -> 00 “n n -> c
n 1
2n~ 2"’
lim lim -Д-= lim —=0,
n-> оо In п->&> /г-> оо П
1* f П 1 т >
hm lim lim n = 4-00;
rt-4-OO^n n -> 00 n -> 00
б) последовательности an~—n, fn~ — n2, dn =—У""п рас-
ходятся к —оо, а последовательности bn—\!n и сп — 5/п стре-
мятся к нулю при п—> оо, но
Urn (anbn) = lim ((—/г)—lim (—1) = —!,
00 п -> оо \ Я/ n->Q0
(5 \
— (—«))=—5,
п /
г п .. 1 л
lim------lim ---------= lim х...==0,
» ап п-*<» —п п-^ <» у п
lim (andn)~ lim ((— п) (— /*"«))= lim «/**« = + 00,
tl~> 00 n -> 00 n 00
§4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
93
в) последовательности яп=1/п, &п=1/я2, си = 3/п стремятся
к нулю при п—> оо, но
V «« V 1/П г ,
hm lim 77-2= hm п — + °°,
П~>00^П П-> о> ‘/^ И-> <5©
Ьп .. 1/n2 r 1 л
lim —= lim -у—= hm — = 0,
п -> 00 ап П-* 00 п -> 00
Um JZ» = Um lim 3=3,
п -> 00 «П п 00 А2-> 00
V «П и 1/Л „ 1 1
hm -~ = lim lim т=т,
П->00СП Г1 —> 00 ° °
г и W и 3
h m — = lim -7—= lim — = 0,
n~>oo cn n—> ю &/П п-+a> П
lim -~- = Um -777— lim 3n = + oo*
n->oo^n л->оо*М n-> 00
ЗАДАНИЕ 1
1. Привести пример двух различных последовательностей,
каждая из которых имеет своим пределом число:
1) 5,1; 2) 1/10.
2. Пусть ngN. Указать число Af = Af(e) такое,
что | хп—1 I < 8 при каждом я > N, если:
1) 8 = 0,1; 2) 8 = 0,04; 3) 0,001.
3. Для каждого 8>0 определить номер AZ = N (8) такой,
что |xrt — а| < 8 для каждого ngN, если:
1 л лх 1—«• 1
Хп~3п* ’ а~°’ 2) Xn—^+“l ’ “---:
„ 2n2-f-l „ .. п _
3> хп= - -у- > «=2; 4) x„=^, а = 0;
5) xn=i^, а=0.
4. Доказать, что если предел последовательности {яп} равен
1/10, то, начиная с некоторого номера, каждый член этой после-
довательности больше 1/20.
ЗАДАНИЕ 2
1. Привести пример двух различных последовательностей,
каждая из которых не является монотонной и предел которых
равен:
I) 3/7; 2) л.
(_1)п + 1
2. Пусть хп=-—, n^N. Указать число N == N (8) такое,
что |х„| < 8 при каждом п > N, если:
1) 8 = 0,2; 2) 8 = 0,01; 3) 8 = 0,005.
94 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3. Для каждого е > 0 [определить номер AZ=2V (е) такой,
что я| < е для каждого п> N, если:
1) *П = —т-о> fl = 0; 2) а=0;
’ п п + 2 " п2
оч Л+2 1. лч 3—-Я2
3) Хп~п^-1 ' а~1; 4' Хп~~ «24-1 ’ а~ 1;
Зп
5) х„ = (— 1)ге5п_|_3п> а=Е
4. Доказать, что если предел последовательности {ап} равен я,
где а > 0, то, начиная с некоторого номера, каждый член после-
довательности {яд} также больше нуля.
ЗАДАНИЕ 3
1. Исходя из определения, доказать, что последовательность
{xrt} имеет предел, если:
1 \ Зя "F о\ ( 1 \п
Хп----п~’ 2) Ж"~Д-3 j ;
3) хп~2”п+2; 4) хп = cos2 ля-f-sin2 ля;
1 sin п + cos п
5) 6) хп=—.
14-П2 V п
2. Известно, что lim ап—1/2, lim ^=1/)/^ 3. Применяя
п 00 п 00
теоремы о пределах, найти:
I) lim (За„ + 26„); 2) Мт
п -> 00 п -> оо ап ^оп
3) lim 4) lim 2йп(7 + кта, 6„>о.
п 00 п -> со
3. Найти:
2я4~3 .. —2я24~Зя4-1
п->оо — 5 /г~>оо Я2-}- 1
ox lim П + 4 . 4Л Нт .
3) 2 Ъ J-9 ’ 4' «2 q >
П->00 п *ЭЯ /г->00
5) lim (я— У я2-|-3); 6) lim(p^я— я 4-1);
П->со п->оо
sin2 («4- 2) Q4 rts/2_|_2„_|_ 1
7) lim -—!8) hm ---------7=—5—.
n->oo я n-^oc 7я"|^я4-4
4. Известно, что каждый член некоторой сходящейся после-
довательности положителен. Может ли предел такой последова-
тельности быть равным нулю?
ЗАДАНИЕ 4
1. Исходя из определения, доказать, что последовательность
{хп} имеет предел, если:
J) 2) з) *п=(К2)3-п;
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
96
4)
хп
stolen . _ (— 1)"
“ п+2 ’ ' П~п + 2П
6) x„ = sini.
2. Известно, что liman=l/2, limbn— L Применяя теоремы
о пределах, найти:
2 । /3
1) lim (2аА,-М; 2) lim ;
П-+0О П->0О Ufl i *
3) lim(34- кта, bn^0-,
П-+<ж>
4) lim f- p-r h^«+s^»+1 > an > 0, bn >
n-*oo \un On + 2 /
3. Найти: 3
2)
1-*Зя24-4п
lim -77—5—:
2л2 — Зи + 7 ’
lim ..T ~....
JJ” n(n+ l)(n + 2) ’
5) lim (Уn 4- V n —-;
«->00
n^+l-l/n2)-.
6) lim
fl->00
7) Иш .С°М«Н»); 8) um
П->оо ft-fl П-*ор у П^2~^2
4. Известно, что limari==a, limbn = 6 и an < bn для любого
n—>00 «->00
ngN. Всегда ли а < b?
ЗАДАНИЕ 5
1. Доказать, что число 0 не является пределом последова-
тельности art=l+(—!)"•
2. Сформулировать утверждение: «число А не является пре-
делом последовательности {«„}».
3. Доказать, что последовательность {ап} нэ имеет преде-
ла, если:
а) оп—1+(—!)"; б) a„ = n(-1)re.
4. Доказать, что сходящаяся последовательность является
ограниченной, Привести пример ограниченной последователь-
ности, не являющейся сходящейся.
5. Пусть {««} и {&«}--две последовательности. Известно,
что lim«n = 0. Всегда ли последовательность {апЬп}:
п-+<х>
1) ограничена;
2) имеет предел?
6. Найти lim 5^.
«-►оо 2"
ЗАДАНИЕ 6
1. Доказать, что число —1 не является пределом последо-
вательности {cos шг}, ngN.
2. Сформулировать утверждение: «последовательность не
имеет предела».
96
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Доказать, что последовательность {ап} не имеет предела,
если:
1) а„=81п^+1; 2) = .
“ П -j- 1
3. Привести пример знакопеременной последовательности
{ап} такой, что:
1) {ап} имеет предел;
2) {ап} не имеет предела.
4. Пусть {ап} и {£п} —две последовательности, причем Ьп > О
для любого ngN. Известно, что limart = 0. Всегда ли последо-
Н->00
вательность {ап1Ьп}\
1) ограничена;
2) имеет предел?
и.2
5. Найти lim -г.
П->00 Л*
ЗАДАНИЕ 7
1. Доказать, что если последовательность бесконечно
малая, а последовательность {Ьп} ограниченная, то последова-
тельность {апЬп} бесконечно малая.
Найти:
hm —г-х- cos (
n->oo\n 4-2
г f "4-2
lim 2 ,
w^oo\n24-n4-3
lira f (-
П->оо \
.. / 1 , 1
hm — tg -7-77
2.
5)
7)
3.
1)
3)
4.
Доказать, что:
lim l- = 0; 2) lim
V l°g3 П А V
hm --Ц-- =0; 4) hm
«-►oo Л2 «->oc
Найти:
г "4-2”
2n______1 ’
«-►oo 1
.. 5re + 31n/i
5«+:4-21nn
5030"+2n
lira ---;
«-► 00 я! 4~ 1
, 1 2Л v ( 1 . n24-2n4-l\
/14-П2) ; 2) hm --^sin——7Ц- •
'/ n и24-я + 2/’
sin-M; 4) lim((K« + 2— Kn4-1) cosn);
fl J n-*. 00
)/2 444) • lim (sto я1/4);
” “T" 1 / n 00
\ оч n 4-sinn
); 8) hm 77-*. .—.
J n-><x> 2n4-sin n
1)
-t = 0;
n\
log2 Л_
5« -u-
3)
5)
2) lim
n-.oo3rt4-21n n
2»+i4-niooo
; 4) hm —5^-1—;
rt^.00 3n“t*l
c. In n100 4-Vn 4- n23
в’Л"—»+-- '
ЗАДАНИЕ 8
1. Найти:
1) hm
П^оо
/1п24-]/Г n
\ «+3
cos я\
n2 /
2) lim
Л-*оо
f-in 1 «*+3"+2 .
V «2/5n24-4n4’7*
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
97
3) lim (
71-х» \
n2 + 4 1
nsin д + n2 д3+1
5) lim (Ycosyn)—LA
n-+oo \\ “J у
2. Доказать, что:
4) lim ((1+ (-!)«) tg-*);
6) lim f sin — sin я \
rt-x»\ n J
1) lim 1/2=1; 2) 11m ^ = 0;
П-х» 11-too О
3) lim g=0; 4) lim ^-=0.
П-юо fll n->oo у n
3. Найти:
1)
lim
П-х»
ft2 + 5«
n + 5«+*
2)
lim .10Мя + 1>;
П-hoo
3)
5)
. .. ln(n6+l)
n\“ (n + 2)! + (n+3)l ’
n100l) + 2
n™ 1,2" ’
lim . я, + <”+1.)1.
20/—
V n
2»+«!
; 6) lim
"-‘°0 2(nl)+ j7«
ЗАДАНИЕ ,9
1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии {Ьп} со знаменателем q, если:
1) &i==—3, д= 1/2; 2) bi = 7, <7 = —3/4,
2. Обратить бесконечную десятичную периодическую дробь
в обыкновенную:
1) 0,4(4); 2) 1,23(3); 3) 0,423(7).
3. Привести пример последовательности {а„}, для которой;
1) liman —+00; 2) limап = —-оо; 3) liman= оо,
я-х» п-хю П->оо
4. Доказать, что:
1) lim я =4-00; 2) lim2'l =+oo$
п->а>
3) lim log2 n = + °°’
n-х»
5. Доказать, что:
1) lim (1—/г2) = — оо; 2) lim (2«-^3«) =—оо;
/г~х» п-хю
3) lim п — ~~оо.
п-х»
6. Доказать, что следующая последовательность является
бесконечно большой:
1) а„=(-1)”п; 2) ап=я8+1; 3) а„=-я+2«.
4 Задачи по математике. Начала анализа
98
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ЗАДАНИЕ 10
1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии {ал} со знаменателем q9 если:
1) ^=2/3, tf^l/4; 2) = —2, 4 =—1/2.
2. Обратить бесконечную десятичную периодическую дробь
в обыкновенную:
1) 1,2(1); 2) —0,71(8); 3) 0,23(23).
3. Привести пример последовательности {ап}, для которой:
1) liman = + oo; 2) limап~—оо; 3) lim 0^= оо.
«-><Ю «->00 «->00
4. Доказать, что:
1) lim (n2—n)s=-|-оо; 2) lim (3rt-f-/i2) =+00*»
«->00 «-><»
3) Bm „-qri =+«o.
5. Доказать, что:
1) lim (1 — 2ft) =—oo; 2) lim (ft —ft2) —— oo;
«->00 «->«
ft2
3) lim
П-ь-оо 1 ft
I дй 1
6. Верно ли, что последовательность <-j——
1) не является ограниченной;
2) является монотонно возрастающей?
ЗАДАНИЕ 11
1, Доказать, что если liman —-[-оо и ап Ф 0, то
«->«
Иш —=0.
П-> + оо
2. Доказать, что если limftn*=0 и ап 0, то
«->00
lim —= оо.
П->оо Ctn
3. Доказать» что:
.. (п ft-M\ г m w П2 + ^
1) lira f 2п--Х5)=+«; 2) Нт -^. = 4-00;
«~>оо \ /?_.>оо II Г* £•
3) lim (2ft4H 1)3«=+<ао; 4) lim (n2-**» In ft) =-Нос;
«->00 «-><©
5) lim|(—ft)n| —оо; 6) lim|(—l)w lnn|-со;
«->«> «~>ОР
7) 11m (2w^fti00°) —-}-oo; 8) Hm (—fta4~= —oo;
?/->» n--»09
9) Мт(]Лй’«*угй24в0==5'^ОС)*
и«!>ео
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
99
4. Доказать, что следующая последовательность является
неограниченной, но не является расходящейся к +оо или —оо:
l)nsin-^; 2) n(-1)n; 3) ------------—.
2 1+^cos^
ЗАДАНИЕ 12
1. Доказать монотонность й ограниченность следующей по-
следовательности {an}> если:
1) 2)
2. Доказать, что последовательность {ап}, заданная рекур-
рентно, имеет предел, и найти его, если;
1) ^ = 2, а„+1- = 25±1, ngN;
3) =
3. Последовательность задана рекуррентно:
xi=a, *n+i =
/igN.
Найти ее предел и вычислить У3 с точностью до 10~8.
Найти:
(1 \ЗП+1
ч-^г) ; lim
Zfl / П-^оа
4.
1)
1-72
3)
5)
,, /n24-2\n2 v (, 1
lim -ftt 5 4) lim 1 —=— j
n^oo \я24“1 / n->°° \ 5/i /
(1 \ n
— ) ; 6) lim n (In (n +l)-*ln/i).
/ /2~>оо
ЗАДАНИЕ 13
1. Доказать монотонность и ограниченность последователь-
ности {ап}, если;
1) вв==йт: 2) а"=°-23£;^3-
п цифр
2» Доказать, что последовательность {ап} имеет предел, и
найти его, если:
1) а1 = 2, a„+f=a-^, ngN;
1 2
2) at==—, ««+1=7-7.
7 о—'an
3)ai=K2, «„+i=/2^, ngN.
4*
100
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3, Пусть последовательность {ап} задана рекуррентной / )
лл 1 / п , М
ai — Mf art+i==-q ( 2аи-|—%
6 \ ап
Доказать, что ее предел равен М. Вычислить j/9 с точно-
стью до 10~3.
4. Найти:
1) lim
«->«>
3) lim
П->оо
4) lim
«-> 00
(1+
2«~3
2) lim
«->oo
2+д\1-бП
1 +« J *
6) lim
«~>oo
_1_
n
/п2_|_ 1 _|_«\ 2«.
\ M2 + 2 ) ’
/ n2-tn+ 1 \ 2«
\'~n24-2 J ‘
lim 8/i (In (n + 3) —In (n+ l))j
П-¥оо
Упражнения
1. Исходя из определения предела последовательности, до-
казать, что:
1) lim Т = 0; 2) lim ^=4=1; 3) lim 4^ = 0;
«->оо И- П~>оа и+6 «->оо п2 + 1
4)Иш^±1=1; 5) lim ^=0; 6) lim 1 = 0;
П->-оо^ ’Т‘2 «->оо р/ д| «->оо оп
7) lim ”,~1, :=0; 8) lim ~^7~2 =0;
«->оо Я + п+1 1 Кп+1
9) lim ; 10) ИтО/’»-РгЙП) = 0(
«->00 Art '—*ш -|-0 Z П->00
11) lim = 0; 12) limd^n + 1 —п) = 0;
П->оо 1 -j-О'* П->оо
13) lim (]^n24-5n+ l^-j/’n2—n) — 3; 14) limsinJa = O;
rt-*oo «->00
,r» ,• t 3 n te. sins(n24-Vn +1) n
15) lim tg-^=O; 16) lim---1————— = 0i
П-^оо Я «->oo tl
17) lim M(~U2 = 0; 18) lim 0,88” = 0;
«->00 fl «”>00
19) lim51/n=l; 20) lim 1g= ’g 2-
«->00 «->00 /1-7-1
2» Доказать, что последовательность {an} является сходя-
щейся, если:
1)
2) «»=14"2
§ 4« ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
101
гл * 1
к а з ан и е, Использовать неравенство - < ш
n-f-1
<
3) 1+у4"з2“Ь• • •+3^;
4) «»=‘+й+2|+---+^;
1 L 1 < _1_ 1
5) ап~п+1 +п + 2 + •••+ 2п ’
6) an=l+-4+^+-'-+4^ri;
9) ап~2га+1'^’“+з« ’
1°) + +
3. Доказать, что числа 0 и 1 не являются пределом по*
следовательности {ап}:
1Ч (“О" +1 пх л т Оч пп
1) a„=i—у2—; 2) “« = sin-y; 3) a„==cos-g-.
4. Доказать, что последовательность {ап} не имеет предела,
“если:
ля пч е । (—0" я о\ * ли
1) a„ = cos —; 2) «n = 5+Lj-q^-1 3) an = tg—g—;
4) a„ = sin лп + sln-qp-; 5) an = n-)-l;
6) a» = (-!)»+-£; 7) a„ = l-n+n*; 8) a„ = [(-l)««];
9)
5.
n
. 3)
1 9 Q /__]
aw = cosn; 10) an=;-4----. ---——
" ’ ' n n n r n * n
Найти lim yn> если известно, что lim an=l:
n~> 00
ya~~^+\' } Vn------------
^=•^4’an^1’4)
Уп — аП + 1 "i~an + b~l~an + 8f
a„—l * an* 1;
Уа
к» „ 2anan+i““®n .
6) ya-----,
7) г/«=и + йв)'1
c\ ,, _ an °и + 1 । an+i
4
an 0»
102
ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
6. Пусть lim ап — а. Доказать следующие равенства:
3 /“““ з z"“
1) lim cosan=cosa; 2) limy ап—у а\
П-+<х>
3) lim — ==—, an560, а & 0; 4) Нт2а« = 2д;
П -+ оо Clfi Cl П-*оо
5) lim а, ап^0\
п-+ 00
6) lim log2 «п = log2 a, ап > 0, а > 0.
71->00
7. Найти:
1)
4)
6)
7)
.. 5п+2 оч .. 4—5/г
lim ; 3) lim д-s-r----------г-н
П-+ оо И* tl nj-t- оо 2Я2 —|— Л —|— 1
-ч .. 5п2 + 3
5) hm 5
п->ое 4—Зя—9п2
2)
я2—я4-4
пТ~2п2 + я+3:
Um р2»+1 «4-3
„ЛД 2—2я 4я4-5/’
. ох п4-(—1)« . m п’4-4
oo 0,l/z — 3 п->ооП—(—1)«+* п-*ооП + 5п3+8
10) lim M«+D(«+2)
*и\Лт„(я4-3) («4-4) («4-5)
/«+2
12) lim
. П) Iim. 2n(l+3«)(» + 4)
’ 14 (44-5n) (2«4-l) («4-1)
2rt
; 13) lim
______________________
14) Hm - ---<=•; 15) Hm (Vя2—n—n)
n->°> Kn2—2«4- /я2 «->»
16) lim (/3n2 4- 2n — 1 — VЗп^ — 4n 4-8);
17) Hm (/гГРТ— V"2n)-,
n-+ a>
18) lim n+K n+V n-V я);
n ~>ao
19) lim (р/я34-я24-1— i/n3—я24- 1);
H-> 00
20) Hm ^_re+1 n.;
n-* 00 у n+ 1
nn u fn2+n3n+l\ OO4 .. n2sin(n!)
n4-2
lim 5n (У"n2~{-2—*n);
rt --> 00
n->co \M34"1 Д4~2 J n-*an
23) lim (п+1)соз(я2-5я + 4); 24)
«-*« V я34-4я
25) Km
П -> O<
lim
n oo
27) lim
П -> oo
/ ft3 n — 4 \
\3n3 + l+ n + 5’ J
3n
5Г+Т
— 1;
28) Jlm _^£±>±£i
'i/n2+n~v ni
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
103
8. Доказать, что:
1)
3)
5)
9.
1)
4)
lim (nqn)—O, |?| < 1; 2) lim \/a = l,
«-> 00
5"
lim ^ = 0;
«-> оо I
lim ^ = 0;
«-*oo Z
Найти:
2” + l.
JL“2»+5*
( 3rt — 4
4) lim 12^=0,
m->oo n
5»
lim —=0.
«->oo
6)
2)
6)
2«+3« .. 2-3n + l
j_o Qn ’ lim p nn j
П~*оо П«~>оо 2----0-3"
5"+1Л. кч ]im 0+(-!)")".
3«ln(n4-2) ’
7\ lim w + 5n4-lg(« + l) .
’ 4-lln2-5« + lg(n+ l) ’
8)
n~>oo \ 7n + 5 4-3-5"
lim lg(n2 + «~l) .
lim lg(nio+55-|-l) ’
3» + 4"+6”. q,
2» 4-6" ’ '
I Ig^ + tefo + O . ln lim У2 + 2»
Ug(n+2) + lg(n + 3)’ 14 “”«..lgn+n! ;
«! + («+2)l . /oi/n.oi/n . и/г
lim
«-►оо
lim
10) lim
П -> oo
w” ((n+l)!4-n!)n ’
12)
л/ । й/ гт i л/—п;
V n+r /г + 1 + у и4-2
14) Вт ------L-J——L—L-±----!—.
j/ n^_2
15) lim ;<>g2«+l°g>»; 16) ]im lggH«7+1)t
H-J.OO logs 4“ io§4 n n-*<x> fl 4* 2
10. Найти:
1) lim sftifK n—K^+l); 2) lim sin [л ргп24-1];
«->00 H->00
3) £msinS[«K^]; 4) nlim(n(l+l + ... + «)) $
5) lim (Г 2 У 2 У~2 . . V 2); 6) lim ^-+У +••>+”*;
Z?-> OO n->oo tl /
7) limn(K^24-2n—2 Уп24-л + /г);
оо
3
8) nt” /ЯРЗ- / « ’
9) Hm «Kl+3 + 5+... + (2n-l)_
«-►00
2n2 4- n 4“ 1
10) lim f T-5+0-5+• • • 4—тт^ I
n-00\l-2~2-3~ ~n(n+l)/’
/111 t lin-^X
104 ГЛ. 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
12) ??« [ (т 4'т)+(^+f) + * ‘‘ + ’
13) Л"1 [ьУЗ+2^4 + • • • +п(п + 1)(п4-2)]•
Кг 1
(Указание. —-р-—
\ п (п + 1) (п + 2)
- 1 Г 1 _ I
~ 2 [п(п + 1) (п+1) (п + 2)
И. Пусть предел последовательности равен 0. Могут ли
в этой последовательности:
1) быть члены больше 1010;
2) все члены быть отрицательными;
3) все члены быть больше 10"10?
12. Доказать, что, добавив, отбросив или заменив конечное
число членов сходящейся последовательности, получим после-
довательность, имеющую тот же самый предел.
13. Доказать, что если последовательность имеет предел,
равный а, то последовательность, полученная любой переста-
новкой членов данной последовательности, также имеет предел,
равный а,
14. Доказать, что если lim ап — а, то lim | ап | = | а |.
оо гг-> со
15. Дана последовательность {ап}. Известно, что lim | ап |=а.
00
Следует ли отсюда, что {«„} сходится?
16. Дана последовательность {ап}. Известно, что lim | ап |=а
П->00
= | а |. Следует ли отсюда, что lim ад = а?
оо’
17. Доказать, что если последовательность {ап} имеет пре-
дел, то существует либо такой номер k, что а^= шах {ап}>
п 6 N
либо такой номер /, что a^ = min{nn}.
пе N
18. Пусть lim ап = а. Доказать, что lim а2& — а и
lim n2^+i = n.
19. Пусть последовательность {ап} такова, что lim а2ь~а
оо
и lim = Доказать, что lim ап — а.
k-* 00 00
20. Известно, что в некоторой окрестности точки а нахо-
дится бесконечно много членов последовательности {ая}. Следует
ли отсюда, что:
1) lim ап = а;
00
2) число b £ а не является пределом этой последователь-
ности?
21. Известно, что в любой окрестности точки а находится
бесконечно много членов последовательности {ап}.
Следует ли отсюда, что:
1) lim = 2
2) число b & а не является пределом этой последователь*
ности;
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 10g
3) последовательность {ап} ограничена?
22. Пусть {бд)—-некоторая последовательность. Можно ли
утверждать, что lim («Л) = 0, если lim яп = 0?
га-> оо п-> 00
23. Пусть lim (anbn) = 0. Следует ли отсюда, что хотя бы
гг->оо
одна из последовательностей {ап} или {Ьп} является сходящейся?
24. Привести пример ограниченных последовательностей
{яп} и {&„}, каждая из которых не имеет предела, но:
1) сумма их имеет предел;
2) разность их имеет предел;
3) произведение их имеет предел.
25. Доказать, что lim 6п=0, если lim ап = 0 и
п -> 00 п 00
Um (а„+&„) = 0.
00
26. Доказать, что lim = если lim ап~а ?£ О и
00 00
lim (anbn) = Q.
27. Дана последовательность {а„}, для которой ап—> 0.
Верно ли, что lim ал = 0? Привести примеры.
П->00
28. Доказать, что каждая из последовательностей имеет
предел, и найти его: _________
1) ^1=}^ 2; an~V~2 + an.j;
2) fill nt , аП п । п >
л\ _ 1 1 । —1
3) , du — "2" » 2
4)^-5,
5) 3, 3+|, 34-—Ц-, 34
3+т
а0 > 0}
1
34—Ц-
34-1
29. Пусть а и /У—произвольные положительные числа и
т^2 (т—натуральное число). Доказать, что последователь*
ность
W /и«»1 .N
сходится к числу . Используя этот результат, найти при*
ближенное значение числа:
1) Y 5 с точностью до
2) точностью до 10~8|
3) /да с точностью ДО 10-
30. Найти:
о um 2> lim f1
/z-^.00 V _ Л“г 1/ n-к»
1
ТГ57 '
106
ГЛ. I. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
3)
б)
6)
7)
8)
lim ; 4) lim ;
rw<x> \Зп+1/ п-хх> \ Л2+2 )
lim n (In (n + 2)~In (n+3));
lim n2(ln(n2 + 2) —ln(n2 + 5));
n -> co
/ 3—2n2 + 4n V2+1
Л1(.4л-а>'+1) ’
Иш
п-^<х> \ д3 4-n-}-1 /
31. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии со знаменателем q, если известно, что:
1) а1==2, </=1/4; 2) ai = 3, <7 =—1/3;
3) ai = —2, <7=1/5; 4) ^ = —3, <7=1/9.
32. Перевести бесконечную десятичную дробь в обыкно-
венную:
1) 1,17(2); 2) 0,4(3); 3) -—0,27 (7); 4) 21,1(5).
33. Доказать, что последовательность {ап} либо расходится
к + оо или к —оо, либо является бесконечно большой:
1)
а„ = п + 4; 2)а„=^±1; 3) ая = -2"2;
4)
6)
7)
9)
an = V п + 3; 5) а„ = (—1)«-2«;
а„ = _и[2 + (-1)п1;
ап = (—l)ttign; 8) а„ — п? cos лп;
1,1,1. ,1
ап — 1“Ь ’11 -»/~'77 ~Ь * • • Н—
Ю) ап=1+'2’+‘з’+---+’^’-
34. Доказать, что если последовательность расходится к + оо,
то среди ее членов есть наименьший.
35. Пусть последовательность {«„} сходится, а последова-
тельность {&д} является бесконечно большой. Может ли после-
довательность {аЛ}:
1) сходиться к нулю;
2) не иметь предела, но быть ограниченной;
3) быть бесконечно большой;
4) сходиться к некоторому числу, отличному от нуля?
36. Известно, что бесконечно много членов последователь-
ности (<zn} находится вне любой окрестности точки 0. Является
ли последовательность {«„}:
а) бесконечно большой;
б) неограниченной?
37. Пусть последовательности {ай} и {Ьп} таковы, что
lim ап= lim dn = 4-oo и bn & 0 при любом п. Привести при-
П-+ 00 00
мер последовательностей {ап} и таких, что:
1) {ад/^д}—бесконечно большая последовательность;
2) сходится к нулю.
§ 4. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
107
38. Пусть последовательности {ап} и {&„} таковы, что
lim ап— lim bn — 0 и Ьп Ф 0 при любом и. Привести пример
оо п -> 00
последовательностей {ап} и {Ьп} таких, что:
1) {ап/Ьп}—бесконечно большая последовательность;
2) {an/bnj сходится к нулю.
39. Последовательность {ап} не является ограниченной.
Следует ли отсюда, что последовательность:
1) расходится к + оо;
2) расходится к — оо;
3) является бесконечно большой?
ЦЛАВА 2
ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
§ 1. Основные понятия
Пусть дано некоторое числовое множество X и указан за-
кон f, по которому каждому числу х£Х ставится в соответ-
ствие единственное число у. Тогда говорят, что задана функция
y = f(x) с областью определения X, и в этом случае пишут
y—f(x), х£Х.
Множество Y всех значений у, для каждого из которых
существует по крайней мере одно число х из X такое, что
y—f(x), называется областью изменения (или областью значений)
функции.
Тот факт, что задана функция y — f(x), х£Х, область изме-
нения которой есть У, часто записывают в следующей форме:
f: X -ч- У или X Д У.
Для нахождения области значений, например, функции
у=1/]/~1-*х2, xg(—1; 1), рассмотрим уравнение
Решая его, получаем, что если а < 1, то уравнение решений не
имеет; если а > 1, то уравнение имеет два корня: хх =
= 1 —1 — если а=1, то х1=х2 = 0.
Отсюда следует, что при каждом 1 существует хотя бы
одно значение х из интервала (— 1; 1), при котором f(x)~a.
Тем самым областью значений данной функции является луч
11; +*>).
Если функция задана формулой, то говорят, что она задана
аналитическим способом. Например, каждая из следующих
функций:
а) у=х\
б) У=1
х|0» 4~ оо)»
х, если а: «С О,
х2—4а;, если х > 0)
в) //== x£R,
задана аналитическим способом,
Если область определения функции не указана,
то функция считается заданной на ее естественной области
определения, называемой областью ее вуиугвтвования^ т» е. на
§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 109
множестве всех тех значений xt для каждого из которых выра-
жение f(x) имеет смысл. Например,
а) для функции у=10* естественная область определения
есть множество всех действительных чисел;
б) для функции y=log2(x—1) естественная область опреде-
ления есть открытый луч (1; +00);
в) для функции у=.естественная область опреде-
ления есть объединение двух множеств —промежутка |—8;—5)
и открытого луча (—5; +°°)«
Пример 1. Найти область существования функции
у= .......-
К 1—х2 •
Решение. Область существования данной функции состоит
из всех чисел х, для которых выражение j/”1—х2 имеет смысл
и возможно деление на Y1—х2. Таким образом, имеем
1—х2 > 0, т. е. | х | < 1. Следовательно, областью существования
данной функции является интервал (—1; 1).
Пример 2. Найти область существования функции
f (*) + g(x), если / (х) = К 1g (2—j/'x—1) и g (х) =
_ , — logo,а (х— 1)
“ у х2+2х4-8
Решение. Так как
1g (2 —кX — 1) 5г ОФЗ 2 — Ух— 1S5 1 <=> lss/x— 1 <3
<з/ х<2^
то областью существования функции /(х) является отрезок
П; 2].
Поскольку
— х2 + 2х4-8 > 0Ф>х2 —2х —8 < 0Ф£(х—4)(x-f-2) < 0Ф>
—2 < х < 4,
*-*log0i2 (х —1) ^0 logo,2 1) СО Ф> х—1 1 Ф> х^2,
то, решая систему х>2 * находим» что областью суще-
ствования функции g (х) является промежуток [2; 4).
„ [ 1«Сх^2,
Решая систему < 2«Сх<4 находим» что область сущест-
вования функции f(xJ + g(x) состоит из единственной точки
х=2.
Пример 3, Найти область существования и область зна-
чений функции f(x), если f (х) = Vl°gi3 sin х,
Решение. Так как
logis Sin X 0 ФФ Sinx^s 1 Ф£$1ПХ=1 ФФхгзу-р2^»
110 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
то областью существования данной функции является множе-
ство ё zk
При каждом fegZ имеем sin = 1. Поэтому при
каждом х из области существования функции logi3sinx = 0,
а следовательно, и f (х) = 0.
Таким образом, область изменения данной функции состоит
из одного числа 0, т. е. представляет собой множество {0}.
Значение функции у== / (х), х g X, в точке х0, где х0 g X*
Обозначается символом f(xQ).
Например, если f (х)=-7 v~"T » то f 0) обозначает численное
значение функции /(х) при х=1, т. е. число -; таким
образом, Аналогично, если g(x) = |x|, то g(—2) = 2,
если h(x) — yr 1—ха, то h (0) == 1.
Функции y=f(x) и y = g(x) называются тождественно рав-
ными или просто, равными на множестве УИ, если они опреде-
лены на множестве М и для каждого х0, принадлежащего М,
справедливо числовое равенство f (х0) = g (х0); в этом случае
пишут f(x)=sg(x), х g М. Примером функций, тождественно
равных на множестве всех действительных чисел, могут служить
функции f(x)==j/"x2 и g (х) = | х |, так как они обе определены
на множестве всех действительных чисел, обозначаемом R, и для
каждого х g R имеет место тождество У~ х2 ss | х |.
Пример 4. Доказать,чтофункцииу=2хиу=|х—1|+
+ |х-|-1| тождественно равны на множестве [1; + оо).
Решение. Если х^ 1, то х—1 ^0и x-J-l > 0, и поэтому
|х—*1| = х— 1 и [х4-1| = х+1; следовательно,
|х— 1| + |х+1 | = х— 1+х+1=2х.
Итак, для каждого xg[l; Ч-оо) справедливо равенство
|х—1 | + |х+1 | = 2х, и поэтому данные функции тождественно
равны на множестве [1; -|-оо).
Число х0 из области существования функции yz=f{x) назы-
вается нулем функции, если f (хо) = О.
Например, число Х($=1 является нулем функции y=log2x,
так как log2 1=0.
Пример 5. На отрезке [0; 1] задана функция /(х).
Известно, что f (0) = f(l) = 0 и для любых Xf и х2 из отрезка
[0; 1J справедливо неравенство f «С f (xi) + f (х2). Дока-
зать, что /(х) на отрезке [0; 1| имеет бесконечно много нулей.
Решение. Пусть х$==х2 и Xj g Из условий задачи
имеем f (Xi) С 2/4X1); следовательно, /(х3)^0. Если хг — 0
и х2=1, то по доказанному выше и из условия задачи имеем
$1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ||f
(^)</(°)+/(1) = 0, откуда f^)=0.
Далее, из предположения, что имеем
0<f ( 2^)=f ($У-) (0)+f (^)=0,
т. е. f ) — 0 при любом натуральном k. Отсюда и из
принципа математической индукции следует, что
/(i)=o. «€N.
Некоторые классы элементарных функций?
1°. Многочлены и рациональные функции.
Многочленом степени п называется функция вида
f(x) = anxn + an~1xn-l + ... +ajx4-a0, ап =£ 0,
где а0, «i, •••» «п — постоянные коэффициенты и п g N.
Отношение двух многочленов, т. е. функция вида
f/и— ЯпХ" + ап-1Х""1+- -+а» „ h
fW“&wx”+6m_1x^-i+...+&e • «В?4 0, Ьт*0,
называется рациональной функцией.
Так, например, функции
f(x) = *+K 5, f (х) = х3+ Их, Их) —
являются рациональными функциями.
Функции / (х) = ах-\-Ь и f (х) = ах2 + Ьх + с, где а 0, назы*
вают соответственно линейной и квадратичной функциями.
2°. Степенная функция.
Функция вида /(х) = хх, где а—*действительное число,
называется степенной функцией. Примерами степенных функций
являются функции
= f/ = X1/2, г/ = х4/3.
При целом а /(х) — рациональная функция.
3°. Показательная функция, т. е. функция вида f(x) = axt
где а—положительное число (отличное от единицы), например
Их) =10*, Цх)=е* Нх) = (4)*’ Г(*)=(7^У'
4а. Логарифмическая функция, т. е. функция вида /(x)=logax,
где а ««положительное число и а 1, например
f (X) = 1g X, f (х) = log1/a X, / (X) = In X.
112
ГЛ. 2.. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
5*. Тригонометрические функции*.
f(x) = sinx, f(x) = cosx, /(x)=tgx, f(x)=ctgx<
6°. Обратные тригонометрические функции*.
f (х) в arcsin х, f (х) = arc cos x, f (x) = arctg x, f (x) = aroctg x.
Пример 6. Найти линейную функцию /(х), если /(—4) =6
и / (4) = 4.
Решен и е. Пусть f (x) = kx-}-b. Тогда, согласно условию
вадачи, получаем следующую систему двух уравнений относи-
тельно двух неизвестных k и Ь:
( 6 = —4^+6,
} 4 = 4&+Z>.
Складывая эти уравнения, получим 10 = 26, или 6=5. Вычитая
из первого уравнения системы второе, найдем, что 2 = —8k,
откуда 6 = —1/4.
Таким образом, /(х) =—i-x+5.
Пример 7. Найти квадратичную функцию Их), если
f(-10) = 9,7(~6) = 7 и f(2)=—9.
Решение. Пусть f (х) = ах2 + 6х4-с. Тогда имеем систему
трех уравнений относительно трех неизвестных а, 6 и с*.
( 9 = 100а— 106+с,
| 7 = 36а—6&4-0,
V —9 = 4а+264-сь
Вычитая из первого уравнения системы третье, получим
18 = 96а—126, или 3=16а—26.
Вычитая из второго уравнения системы третье, получим
16 = 32а—86, или 4 = 8а — 26.
Вычитая из уравнения 3= 16а—26 уравнение 4 = 8а—26,
найдем, что а =—1/8.
Подставляя а =—1/8 в уравнение 4 = 8а—26, получим
6=—5/2.
Подставляя а =—1/8 и 6=—5/2 в третье уравнение системы(
найдем с = —7/2.
ТЛ £ / \ 1 о
Итак, /(*)=— g-^2~2Х~у
Множество элементарных функций (из классов Г—6°) по
аналогии с числами делят на два класса—на элементарные
алгебраические (рациональные и иррациональные) функции и
элементарные трансцендентные функции;
§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
11#
Смысл этого деления на два класса функций состоит в сле-
дующем. Рассмотрим многочлен от двух переменных Р (х, у).
Предположим, что функция у == f (х) на некотором промежутке
[а; Ь] удовлетворяет уравнению Р (х, у)~0 (называемому ал-
гебраическим), т. е.
P(x,f(x))s0, х g [а; Ь].
Тогда функция y=f(x), х g [а; д], называется алгебраической.
Например, функция y~V' 1—х2 является алгебраической, так
как при —1<х<1 она удовлетворяет алгебраическому урав-
нению х2 + ^2=1.
Всякая рациональная функция (в том числе и многочлен)
является алгебраической, так как функция y~P(x)/Q(x), где
Р(х), Q (х)—некоторые многочлены, удовлетворяет уравнению
Q (х) У~~Р (*) =0. Подчеркнем, что не всякое алгебраическое
уравнение, которому удовлетворяет рациональная функция,
обязательно должно быть уравнением первой степени относи-
тельно у\ например, функция у — х удовлетворяет уравнениям
^2 = А;2, Г/3 = Х3.
Алгебраические функции, которые не являются рациональ-
ными, называются иррациональными функциями. В качестве
простейших примеров иррациональных алгебраических функций
можно привести функции y—V^ х и у—у/х2.
Пример 8. Доказать, что функция |/”х является
алгебраической иррациональной функцией.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим,
что функция ]/” х является рациональной функцией:
(1>
где Р(х)*-многочлен степени и Q (х) —многочлен степени
т^О. Без ограничения общности можно считать, что много-
члены Р (х) и Q (х) не имеют общего множителя вида х& (k > 0).
Рассмотрим тождество (1) на отрезке [a, £], b > а > 0, Имеем
(2)
114
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
и, следовательно, многочлен Р2 (х) делится на х без остатка.
Отсюда заключаем, что и сам многочлен Р (х) делится на х без
остатка. Таким образом, степень многочлена Р (х) не меньше 1,
и, следовательно,'Р (x)==xS (х), где S (х)—некоторый многочлен
степени n—1. Подставив xS (х) в (2) вместо Р (х) и сократив
на х, получим
Q2(x) = xS2(x).
Рассуждая аналогично, докажем, что многочлен Q (х) имеет
степень не меньше 1 и делится на х без остатка. Таким обра-
зом, многочлены Р (х) и Q (х) имеют общий множитель х. Полу-
ченное противоречие доказывает, что равенство J/r'x==P (x)/Q (х)
не выполняется ни на каком отрезке.
Функция y = f(x) называется трансцендентной функцией
(в переводе —«превосходящей», а именно превосходящей силу
алгебраических операций), если она не удовлетворяет никакому
алгебраическому уравнению вида Р (х, у) = 0, где Р (х, у) —
многочлен относительно переменных х и у.
Можно доказать, что показательная, логарифмическая, три-
гонометрические и обратные тригонометрические функции
являются трансцендентными функциями.
Пример 9. Доказать, что функция ^=10* является
трансцендентной функцией.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим,
что функция является алгебраической. Это означает, что
она тождественно удовлетворяет некоторому алгебраическому
уравнению вида Р (х, #) = 0. Записав многочлен Р (х, у) по убы-
вающим степеням yt получим
Р (х, у) = а (х) уп(х) Уп~*+... -И (х) t/+ 6 (х),
где я—«натуральное число и а(х), ₽(х), ,,,, 6 (х)—многочлены
от х, Пусть
а (х) = Дхот-{-...,
где Д 0 и т^О. Без ограничения общности можно считать,
что А > 0.
Тождество Р (х, 10х) ^0 можно переписать в виде
а(х)* 10й* 4-р (х)40<«-^*+.., + у (х)« 10*+5 (х) = 0
или
а (х)=— Р (х)40-* —.,. —у (х)« IO-*"-*) * —6 (х). 10-"*.
Если х неограниченно возрастает, то многочлен Ахгп+.,. стре-
мится к 4-оо (при т > 0) или равен постоянной положительной
величине А (при т~0). Правая часть этого тождества есть
сумма конечного числа членов, каждый из которых имеет вид
сх40“#* (k > 0) и, следовательно, стремится к нулю. Поэтому
и вся правая часть стремится к нулю. Полученное противоречие
доказывает трансцендентность функции 10*в
§1. ОСНОВНЫЕ понятия
115
Пусть заданы функция g(x) с областью определения X
и областью значений Z и функция f (Z) с областью определения,
содержащей множество Z, и областью значений Y. Тогда функ-
ция, обозначаемая через f(g(x)), которая каждому х из мно-
жества X ставит в соответствие единственное число у из мно-
жества Y такое, что z—g(x) и y = f(z), называется сложной
функцией
y=f(g(x)}> х£Х.
Таким образом, если
g: X Zt f: Z-+ У,
то можно определить новую функцию ^=/(g(x)), xgX, такую,
что
X—+Y.
Например, функции
z/=Klog23x, y=sin(>:2),
\X-f-l у
являются сложными функциями.
Пусть задана функция y = f(x) с областью определения X
и областью значений К, которая разным значениям аргумента
ставит в соответствие разные числа. Тогда функция x—f-Цу)
называется функцией, обратной к функции f(x), х^Х. При этом
она имеет область определения Y и область значений X и каж-
дому уо ставит в соответствие х9 так, что f (х0) = y9t xQ g X.
Следовательно, при любом х из множества X имеет место
тождество
f-i(f(x))^xtx£X.
Заметим, что если функция x—f~l(y)t у g У, является обратной
к функции y — f (х), х g X, то функция y—f(x), х^Х, является
обратной к функции x = f“*(#), и справедливо тождество
f (f~1 (у)) SS у, у g У.
Таким образом, если f: X —► У и функция f (х) такова, что
f (%i) # f (х2) при xt & х2 и xi, х2 (2 X, то /“’i; У —> X и
Г1 (ft: Х-+Х,
У—У.
при этом
f-i(Hx))^x, xgx,
f(f-i(y))^y, y£Y.
Пару функций f и называют парой взаимно обратных
функций.
При изучении взаимно обратных функций f и незави-
симые переменные принято обозначать одной и той же буквой
(обычно х) значения этих функций—также одной буквой
(обычно уу другими словами, для функции y—f (х), xgX, об-
ратная функция записывается в виде /”1(х), xgK»
116 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Отметим, что в этих новых обозначениях имеют место сле-
дующие тождества:
f-i(f(x))^x, х£Х,
Например, функции ^==х+Ь x£R, и у~х-~1, xgR, а также
функции y = 2xt xgR, и £/=log2x, xg(0, +«>)» являются вза-
имно обратными.
Пример 10, Найти функцию, обратную к функции
r/=(x+l)2, xgj-l; +оо).
Решение. Покажем, что для любых Xf и х2, принадле-
жащих множеству [—1; +оо) и таких, чтохх?бх2, выполняется
неравенство y(xi)^у(х2). Действительно, пусть (xi+I)2—(х2+1)^
и Х10х2, тогда (xi+l)2 — (х2н+1)2 = 0, т, е.
(*i^x2)(2 + xf+x2)==0.
Так как х$ & х2, то
2+х1 + х2г=(хх + 1) + (х2+1) = 0.
Поскольку Xixb 1 0, x2 + J^O и хх х2> то последнее равен-
ство не выполняется. Таким образом, сформулированное выше
утверждение доказано.
Теперь для заданного значения yQ из области значений
данной функции, т. е. для найдем то (единственное)
значение х0 из множества I—1; 4-оо), для которого у$ — (х0 +1)2.
Из последнего равенства находим два возможных значения
для х0: 'Куо—1 и Множеству [ — 1; +^°) принад-
лежит только одно из этих чисел, а именно Xo = yrz/o —1. Таким
образом, для каждого существует число x0 = ]/"z/0—1
такое, что #о = (*о+О2- Следовательно, функция у—У х— 1,
xg[0; +оо), является функцией, обратной к функции у=(х+1)2,
х£[—1; + <*>)•
Для данной функции ^=(х+1)2, xg[—1; +©о), и обратной
к ней функции у— Ух — 1, xg[0; Н-оо), отмеченные выше
тождества (/(х)) х, х^Х, и f (/“Я (х)) ssх, х£У, соответ-
ственно имеют вид
((|G-l) + l)W х£[0; +оо).
К(*4-1)2 — 1 = |х4-1 l-lej, xg[—1; 4-00),
Достаточный признак существования обрат-
ной функции: если функция строго возрастает (убывает)
на множестве X, то для нее существует обратная функция, и она
также строго возрастает (убывает) на множестве значений дан-
ной функции.
Пример 11. Найти функцию, обратную к функции
4 Л 1П -Ил\
0==siDX, *€ 1^—10; 4
§1. ОСНОВНЫЕ понятия
117
Решение. Так как функция r/=slnx убывает на проме-
жутке [—10; —11л/4), то обратная к ней функция существует.
Найдем ее. Область изменения данной функции есть промежуток
(—]Л"2/2; sin (—10)]. Известно, что если sin/ = a и — л/2^
то / = arcsina.
Так как для любого xQ, удовлетворяющего неравенствам
< Л л Пл
—Ю^х0 <-—Нл/4, справедливы неравенства —< —---------------
— 2л < х0 — Зл < 10—Зл < — , то для пары чисел (х0, у0), где
Л ’ ' 11 л \ п
—10; —j— 1, справедливо равенство —х0 —Зл=
= arasin г/о- Отсюда заключаем, что х0 = —arcsin Зл для
каждого_х0 £ [—10; —11л/4) такого, что y0^=sinx0, где
g(— У 2/2; sin(—10)]. Обозначив искомую функцию через /(х),
получим, что /(х) =—arcsinx— Зл на промежутке (—У 2/2;
sin (—10)] является функцией, обратной к функции # = sinx
на промежутке [—10; —11л/4).
ЗАДАНИЕ 1
1.
1)
3)
2.
1)
2)
3)
4)
б)
6)
3.
Найти линейную функцию /(х), если:
/ (—2)= 10, / (1) = —5; 2) /(—10) = —2, f (5) - 1;
/(-2) = -5, /(2) = —3; 4) /(-3) = 3, /(6) = 0.
Найти квадратичную функцию f (х), если:
/(-!) = -!, /(3) = —3, /(6)= 12;
Н~1) = 3, f(l) = 3, /(2) = 12;
/(—2) = 9, Н1) = 3, /(3)= 19;
Ц-К2)=-4, /(2) = —5. /(2К2)=-7;
/(-3) = -8, f (0) = —2, НЗ)=10;
f(_3) = _ll, f(0)= 10, f(2) = -6.
Найти область существования функции /(х), если:
- . ' i/C 2х2—5x4-3"' о f / ч Г—2х
/«=]/ iog1/4 —; 2)f(x)=y 10ё*7+з-;
3) f (х) — log2 (4—х) — logs (х+7);
2 *
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти линейную функцию ffx), если:
1) f(—4) = 2, f (6)=—3; 2)7 (-4) = -12, f(2) = 6;
3) f(-l)=l, f(l)=5; 4) f(0).-1, /(4)«-9.
2. Найти квадратичную функцию f (х), если!
1) /(-2) = 2, f(2)=2, 7(4)=8;
2) /(-D=-2J(4-----------------«I
3) f(-4)=-l, f(2)=—4, f(6)=4;
4) f(-l)=-2, f(2)=-14, 6)=-22j
Б) f(-2)=9, f(-l) = 4 f(3) = 24;
в) Ц-З)==2о, ;u)=o. / 2)=0.
118
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
3. Найти область существования функции f(x), если:
1) f (*) = }/"log1/2 j-; 2) f (х) = V— loge (х—х2);
3) f (x) — logs (2—x) + loga (x + 2);
4) f (x) = V logx 2 • loga* 2 — log4je 2.
ЗАДАНИЕ 3
1. Найти 0(0), 0(1), 0(—3), если 0=-j-^—j--
2. Дана функция 0(x)=x2. Найти:
1) У (—•*); 2)0(x—1); 3) 0(l/x); 4)0(cosx); 5)20(x);
6) У2 (x); 7) KFW; 8) у (у (x)); 9) 1 у (x) -2y (1 ).
3. Найти область существования и область значений функции:
1) 0 = х2; 2) 0=Кх; 3) y—f/ х; 4) 0=1/х;
5) # = (1/3)*; 6) y = sinx; 7) £/ = cosx; 8) £/ = tgx;
9) # = ctgx; 10) £/ = arcsinx; 11) г/= arc cos %; 12) «/ = arctgx.
4. Привести пример функции, заданной аналитически, у ко-
торой:
1) область существования есть множество, состоящее из
одного числа;
2) область существования есть множество, состоящее из двух
чисел;
3) область существования есть множество, состоящее из
всех чисел отрезка [1; 2];
4) область значений есть множество, состоящее из одного
числа;
5) область значений есть множество, состоящее из двух
чисел;
6) область значений есть множество, состоящее из всех на-
туральных чисел.
б. Найти функцию, обратную к функции f(x)t xgX, если:
1) Д1)=0, fj-3)=7, f(5) = 2, Х={1; -3; 5};
2) f(x) = V х,_х€(1, 2];
3) /(х) = -Кх, xg(0; +«);
4) /(x)==sinx, xg[3n/2; 2л].
ЗАДАНИЕ 4
1. Найти у (—2), у(0), у(1), у (3), если
( 2-|- х, х > 0,
^(х) = -| 5, х=0,
( 2* х < 0.
2. Дана функция ТЛ' Найти:
X **]*• 1
1)у(-х); 2) 1/0 (х); 3) 0(2х);
4) 0(x)-f-l; 5) 20 (х); 6) 0(1— х).
3. Найти область существования и область значений функции:
1) 0 = log2(—х); 2) 0=|/ lgcosx-f-4; 3) 0=cos Кх+2;
§1. ОСНОВНЫЕ понятия
119
7) у==-Щ-е^2; 8) i/ = 210g2%; 9) y = ctgxtgx;
_ ( 1, х > О,
10) у = sin хК 3cosx; И) у=-{ 3, х = 0,
V —2, х < 0;
12) i/==| | х |— 11—л:.
4. Найти f(g(x)), f(f(x)), g(f(x)), g (g (x)), если:
1) g(x)=x2t 1(х) = 2х; 2) g(x) = signx, /(x) = l/x2.
5. Привести пример функции, заданной аналитически, для
которой:
1) область существования есть множество, состоящее из трех
чисел;
2) область существования есть множество, состоящее из
всех чисел интервала (0; 1);
3) область значений есть множество, состоящее из трех
чисел;
4) область значений есть множество, состоящее из всех
целых чисел.
6. Найти функцию, обратную к функции у = /(х), xgX,
если:
1) ^=/2—я + К*2-44-5, х£{2}-,
2) у = х*+х, х€П/2; 2];
3) у=х*+х, xgb-3; 1/2];
4) у —cosx, х£14; 5].
Упражнения
1. Дана функция
। х2,
/(*) = < —2х+1,
I cos лх,
—1 <х < О,
0<х< 1/2,
1/2<:х=С 1.
Найти /(-1/3), /(0), f (1/2), f (4/5).
2. Найти область значений функции /(х), xg{l; 2; 3; 4},
которая определена следующим образом: числу п из области
определения ставится в соответствие число f (п), равное:
1) квадрату n-го десятичного знака после запятой числа л;
2) квадрату n-го десятичного знака числа е,
3. Найти область существования функции:
„ Vх2—16 ,г---- . 4
П У~ log2 (*2+Зх-ТоГ ’ } У~^ *+КЗ+^
3)
4) у = V(х —iog23) (logo7—%);
5) ^ = arcsin^+ 4x211 » 16—x2;
120
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
1 — COS X ( . X , X V
7) --------( sin-4+cos -j. 1 ;
2 sin тг V 7
8) y=' 7"-— .*..——;
К। x |_2 |x— 11
9) у = logcosx sin x; 10) у= arccos -|-/x2 3 (x—I)2 (x—3)'.
4. Найти область значений функции:
1) y=v24-х—х2; 2) y=-y~j- ; 3) у = logs (1 —2cosx)j
л Т 1
2х
4) £ = sinx + |sinx|; 5) ; 6) r/=sin2 х-4~3 cos х—4;
7) у = sin2 х cos2 х; 8) y = 2sin 5х+3 cos 5х; 9)# = 21cos*lj
2 1
“»»=Т>=ЖГ '"7И5-
1, X > О,
ТТИ’ х<2;
12) У-
13) у=х2—-х4 *, x€l—1; 4]; 14) y=(Ksinx-l)2.
5. Являются ли тождественно равными следующие функ-
ции на множестве 44:
v2 1
1) j-3 и у=х*™2, 44 = {х: х£(5; Ч-оо)};
2) у = 21оё^х+1^ и ^ = x+L 44 = {х: xg(—1; +оо)};
3) ^==log3x6 7 * * 10 и ^=51og3x, 44 = {х: *ё(0;_+оо)};
4) f/ = log3x2 и f/ = 21og3x, 44 = {x: xg(0; -pco)};
б) у = /7^1 / 2Т+Г и y=V(X-l)(2x+l),
44 = {x: xg(2; +oo)}j
6) # = log2x4 и y^4log21x|, 44=={x: xgR\{0}};
7) y^ J/rx2-«4x+4 и г/ = х**2, 44 = {x: xgR};
§) 0=|x-j-4| и y~ j/"^24-8x+16, 44 = {x: xgR};
§) y=ctgxtgx и ^/=1, 44 = {x: xg(0; л/2)};
10) y=4/3tg (4x—5) и y = 4/"3’|/r tg 4 ^x—
44 = {x: *€(44)}?
6. Найти коэффициенты квадратного трехчлена f (х) = ах? +
+&х+#, если
/(1)«3, f(O) = L
7« Привести пример функции, заданной аналитически, об-
ласть существования которой есть:
1) интервал (1; 2); 2) множество {1; 2);
3) отрезок |—1; 1J; 4) отрезок j0; 1] и точка х=2.
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия
121
8. Найти функцию f(x), если известно, что:
1) f(x+l) = x2+2x+2; 2) f =х?+^’
3) Н*+1)+Н*4-2) = 2х+3; 4) f (sin х) 44 (cos х) = 3.
9. Известно, что f(x) = cosx, xg[0; л/2].
Доказать, что:
1) f(2x) = 2/«(x)~-l; 2) /(!)= Y•
10. Известно, что f(x) = cos2x, <р (х) = cos х, Показать, что
<р(2х) = 2/ х)-1.
11. Известно, что область изменения функции y~f (х), xgX.
есть интервал (0; 1). Определить множество X, если:’
1) f(x) = x3; 2) f(x) = 2x; 3) f(x) = lnx; 4) /(x) = tgx.
12. Пусть
f (x) —
x > 0,
x^O,
g(x) = 2x.
Найти функции;
4)/teW); 5н(ф); 6)f(*-lxD.
13. Функция y=y(x) задана параметрически?
1) x(/) = sin/, ^(0 = costf, /g[0; л/2];
2) x (/) = 1 -W, ^(0=l + /2, oo; 4-oo).
Исключив параметр t, найти зависимость у (х), а также область
существования функции у (х). ____
14. Функции х2, xg[—4; 1], и /2 = —х2,
удовлетворяют соотношению x2+f2 (х) = 1. Существ
вуют ли другие функции с областью определения отрезком
J—1; 1], удовлетворяющие указанному соотношению?
15. Рассмотрим функцию f (х) — arccos (р (х). Привести при-
мер функции <р(х) такой, что область существования функции
/(х) является:
1) отрезком [—1; 1];
2) интервалом (—-1; 1);
3) одной точкой х=1.
16. Привести пример элементарной функции, удовлетворяю-
щей условию:
1) f(x+y) = f(x)f(yy, 2) f(x+y) = f (x) + f(i/y,
3) f (ху) — f (х) f (у); 4) f(xy)~f(x)+f(y).
17. Найти функцию, обратную к функции f (х), х£л. если;
1) /(3)=2, Х-|1; 2; 3};
2) f-х», Ч-oo); 3) f-х», х€(-оо; 0|5
4) *€П: +оо): 5) f==lT^’ *€(-в01 ~115
6) = П /=|Х“‘ 11 х€1~5; 0,!
8) /=СО8Х, *ё13л; 4л]; 9) /=2* 2; 4];
122 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
JO) х€[1; 2]; П) f = tsx, xg(n/2; 2я/3).
i8. Найти все функции f (х), удовлетворяющие условию:
1) xg(-оо; 0)U(0; 4-00);
2) (х-1)/(х)+/('Г)= ’ х£(0; 1);
3) 2f(x)+3f (-Ц=*8> xg(-x; 0)U(0; Н~оо);
4) f + У (^ту}==х, *€(— 1; 1).
' ' \x-2j 1 \хЦ-1/
§ 2. Четные и нечетные функции
Множество точек X числовой прямой называется симмет-
ричным относительно начала координат (точки 0), если для
любого числа xgX число —х также принадлежит множеству X.
Примерами таких множеств могут служить множества:
а) вся прямая; б) объединение промежутков (—оо; 0) и (0; +оо)_;
в) отрезок [—а; а]; г) интервал (—а; а); д) множество {*—2; —1;
1; 21-
Промежуток [—а; а) не является множеством, симметрич-
ным относительно начала координат, так как точка —а при-
надлежит этому промежутку, но точка —(—а) = а ему не при-
надлежит. Отрезок (—1; 2] не является множеством, симметрич-
ным относительно начала координат, так как, например, 3/2
принадлежит этому множеству, а —3/2 ему не принадлежит.
Функция y — f(x), заданная на множестве X, называется
четной, если выполнены следующие условия:
1°. Множество X симметрично относительно начала коор-
динат.'
29. Для любого х£Х справедливо равенство
f(x) = f(-x).
Примерами четных функций могут служить следующие
функции:
у=х*, ^ = 2,х| — [sinx|, y=cosx, xg[— л; я],
1 X •
r------------ r---------- 1
у = У x2-—1, y~V 4—x2 4-arc cos
Функция y=f(x), заданная на множестве X, называется
нечетной, если выполнены следующие условия:
1°. Множество X симметрично относительно начала коор-
динат.
2°. Для любого xgX справедливо равенство
/(-Х)=-/(Х).
§2. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
123
Примерами нечетных функций могут служить следующие
функции:
У = х3, y = sinx, у==’7'
,----- 4
у^хУ х2—9, ^/ = a resin —.
Если f (х), xgX,— четная функция, то для любого xgX
точки ее графика (х; f(x)) и (— х; f (— х)) расположены симмет-
рично относительно оси OY. Таким образом, график четной
функции симметричен относительно оси OY.
Рис. 2.2
Если f (х), xgX,— нечетная функция, то для любого xgX
точки ее графика (х; f (х)) и (—х; }(—х)) расположены сим-
метрично относительно начала координат. Таким образом, гра-
фик нечетной функции симметричен относительно начала коор-
динат. Например, на рис. 2.1, а приведен график четной функ-
ции, а на рис. 2.1,6—график нечетной функции.
Из определения нечетной функции следует, что если точка
х — 0 принадлежит множеству X, то f(0) = 0 (на рис. 2.2, а, б
приведены графики нечетных функций, а на рис, 2.2, в—гра-
фик функции, не являющейся нечетной функцией)*
124
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Отметим, что существуют функции, не являющиеся ни чет-
ными, ни нечетными; например,
а) функция y—V^ х не является четной и не является не-
четной, так как ее область существования не есть множество,
симметричное относительно начала координат;
б) функция у = (1/2)х также не является четной и не яв-
ляется нечетной; хотя область ее существования является мно-
жеством, симметричным относительно начала координат, однако,
например,
У (1)^= 1/2 # 2 = у (-1), У (1) = 1/2 # -2 = - у (-1).
Единственной функцией, заданной на симметричном отно-
сительно начала координат множестве М и являющейся одно-
временно четной и нечетной на этом множестве, есть функция
/(%)=== О при xgAl^R.
Любую функцию y — f(x)> определенную на множестве X,
симметричном относительно начала координат, можно прёд-
ставить в виде суммы функций ф(х) и ф (х), каждая из которых
определена на том же множестве X, а именно f (х) = ф (х) + ф (х),
где ф(х)—четная функция, а ф (х) — нечетная функция. Здесь
Свойства четных и н е ч е т н ы х ф у н к ци й:
1°. Если f (х) и g (х)— четные функции, заданные на одном
и том же множестве X, то функции f(x)+g(x), f (х)—g (х),
f (х) g (х), f (x)!g (х), g (х) # 0, являются четными функциями
на множестве X.
2°. Если f(x) и g (х)—нечетные функции, заданные на
одном и том же множестве X, то f(x) + g(x) и f(x)~~g(x)
являются нечетными функциями на множестве X, а функция
f (х) g (х)—четной функцией на множестве X; если к тому же
функция g (х) отлична от нуля на множестве X, то на мно-
жестве X функция f(x)/g(x) будет четной функцией,
Пример 1. Является ли функция
j/=log2 (х+У 14-Х2)
четной или нечетной?
Решение. Область существования данной функции со-
стоит из всех х таких, что x+J/" 1-|-х2 > 0. Этому неравенству
удовлетворяет любое действительное число х, В Самом деле,
если х»0, то 1+х2== 1 > 0* Для любого х#0 имеем
л;4-КТ+^=х4-|х| ]/" 14~^->x4-|x|SaO.
Таким образом, область существования данной функции симмет-
рична относительно начала координат»
§2. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ 125
Далее, для любого действительного х справедлива сле-
дующая цепочка равенств:
у (— х) — log2 (— х+У 1+(— х)2) = log2 (— V"l + %2) =
_tog!, _________________i_=
х+К1+*2 х+к 1 + х2
= loga (х + К1 + *2)-1 = — loga (х + /Т+х2) = — у (х).
Так как область существования данной функции есть числовая
прямая, т. е. множество, симметричное относительно начала
координат, и */(—х) = — у(х) для любого xgR, то данная
функция является нечетной.
Пример 2. Представить в виде суммы четной и нечетной
функций функцию
У = 2^
Решение. Положим
, ч 2* + 2~* , ( . 2* —2~*
<₽(*)=---2---’ ---2---’
Тогда <р(—х) = <р(х), if (— х) — — 4 (х), т. е. ф(х)--1Йтная
функция, а Ф(я)-—нечетная функция. При этом
У(х) = <р(х) + 4(х),
Пример 3. Исследовать, когда сумма двух нечетных
функций есть нечетная функция.
Решение. Пусть даны две нечетные функции!
с областью определения X и y=g(x) с областью определения м.
1. Если симметричные относительно начала координат мно-
жества X и М таковы, что их пересечение не содержит ни од-
ной точки, то понятие суммы этих функций f(x) + g(x) лишено
смысла. Поэтому в таком случае сумма двух нечетных функ-
ций не является нечетной.
2. Если пересечение множеств X и М не пусто и равно 2V,
то множество N симметрично относительно начала координат.
Действительно, любое x£N таково, что х£Х и х£М. Поэтому
в силу симметричности множеств X и М число —х принадле-
жит и множеству X, и множеству М, а следовательно, 1 мно-
жеству N. Далее, для любого x£N имеем
f (— х) = — /(х), так как xgX,
g (—. х) = — g (х), так как xgM.
Следовательно,
(f (- х) + g (- X)) = f (- X) + g (- X) = (- f (X)) 4- (- g (X)) -
Таким образом, на множестве N функция ^ = /(x)+g(x)
является нечетной функцией.
Итак, сумма двух нечетных функций является нечетной
функцией, если сумма этих функций имеет смысл.
126 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Пример 4. Является ли четной или нечетной функция ,
f (x) = floga-j±^ fx—logal+l'j?
Решение. Так как
( £±1
х—1
2-}-х
k 2—х
то область существования функции f(x) является симметричной
относительно начала координат.
Для любого х из области существования функции имеем
f (-*) = (10g2 (- х- 10g« 2^T^j-) =
=(-10g27fl)(x+10g3^) =
=(iog2 (Si)’1) (*~10g3 (ЙГ)=
=(1o^tzt) (Л£-1о^Ю==/(х)-
Следовательно, функция f (x) является четной.
ЗАДАНИЕ 1
1. Является ли четной или нечетной следующая функция:
1) j^==x2—х4; ( 2)z/~sin (cos x); 3)y = |cosax|;
2*+2-*x .K. , 1— x c. 1*1+'
4) V~1X —2~* ’ 5)/“ 1+x’ 6) {/_(l + x«)sinx;
2*+ 2"* o. 3х—3_JC
7) jr— 2 ; 8) У — g
9) t/=log3(x+/1 -• xa); 10) y = x—1;
И) (X«1)2 4-^Z(x + l)a; 12) //=x2—3, *€(—2; 5)?
2. Функции f (x) и g(x) определены на множестве X, сим-
метричном относительно начала координат. Является ли четной
функция:
О f (*)+#(*)> если f(x) и g W ** четные функции;
2) f(x)—g(x), если f (x) и ^(x) —четные функции;
3) f(x)g(x), если f(x) и g(x)«**нечетные функции;
4) fW.gf(x), если f(x)-*четная функция и ^0, а ^(х) —
нечетная функция?
3. Представить в виде суммы четной и нечетной функций
следующую функцию:
1) iZ«(l/2)%; 2) г/ = х+1;
3)^=х2 + 2х; 4)y=*Vx+3, xgl-3; 3].
§2. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
727
4. На рис. 2.3, а, б дан график функции y = f(x), xf^X*
Нарисовать график функции у = £(х), определенной на всей
числовой прямой, который совпадает с графиком функции
y=f(x) на заданном множестве X, и такой, что
а) функция g(x) является четной;.
б) функция g(x) является нечетной.
ЗАДАНИЕ 2
1. Функции f (х) и g{x) определены на множестве X, сим-
метричном относительно начала координат. Является ли нечет-
ной функция:
1) f (х)+g (х), если f(x) и g(x)—нечетные функции;
2) f (х)—g(x), если f ix) и g (х)—нечетные функции;
3) f (x)g(x), если f(x) и g(x) —нечетные функции;
4) f (x)g (x)t если f(x) —четная функция, a g (х) — нечетная
функция?
2. Функция у == / (х) определена на всей числовой прямой
и f2 (х) = Р (—• х) для любого xgR. Привести пример такой
функции f(x), которая не является ни четной, ни нечетной,
но для которой Р (х) = /2 (— х).
3. Является ли четной или нечетной следующая функция;
1) у==х3—х6; 2)у = х2 cos х;
оч <> , 1 лч 1 1 + sinx
4)
х€12; 4J; 6)4,==----Ц—;
Х х4—Ц-
7) у=|/гхД— I XI log2x2; 8) ^==1 х— 1 14-1 х-4- 11 — 2]x|j
9) y=V~x, i; ij; 10) y^V^ix—W
4. Представить в виде суммы четной и нечетной функций
следующую функцию:
2)^=-^; 3)4/=2л + 3;
128
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Упражнения
1.
1)
4)
7)
Является ли четной или нечетной функция:
у=0 + 2^. 2)f/==/^—. 3)у = ^+ 1 .
У=\х-2|-3|х| + |х+21; 5) f/ = ln|=i; 6) </=^-1;
Z-j-X j х—• 11
j/=(2—x)6 —(2-J-x)s; 8) y=log3(KT+^-x);
m .. f Ь x—рациональное число, —
j —1, х — иррациональное число; sn]/ х,
П) У — V 14-х+х2 — /Т—х — х2; 12) p = sinxtg5x;
2х
13) ^ = arcsiny-j--^-; 14) # = arcsin x + arccos х;
15) у = arccos (cos х); 16)^ = д? * ?
2. Функции f (х) и g(x) определены иа всей числовой пря-
мой, кроме точки х~0, и g(x)^0. Является ли четной или
нечетной функция f(x)/g(x), если:
1) f (х) —четная функция, a g (х) — нечетная функция;
2) /(х) и g(x) —четные функции;
3) Цх) и g(x) —нечетные функции?
3. Доказать, что если функция f (х) четная, а функция g(x)
нечетная, причем f^O, g(x)^0, и они заданы на одном и
том же множестве X, то функция f(x)+g(x) не является ни
четной, ни нечетной функцией.
4. Существует ли функция, определенная на всей числовой
прямой, которая одновременно является:
1) нечетной и возрастающей;
2) нечетной и убывающей;
3) четной и возрастающей;
4) четной и невозрастающей?
5. Пусть четная функция f (х) и нечетная функция g(x),
отличная от тождественного нуля, определены на всей числовой
прямой. Доказать, что каждая функция
|Н*)|. Ig(x)|, Н— *)+g(l*l)
является четной функцией, а каждая функция '
g(—х), xf(x)+x*g(x), g(x|x|)
является нечетной функцией.
6. Представить в виде суммы четной и нечетной функций
каждую из следующих функций:
f 1, Х^аО, f О, X^-sO, о. , , ,
*<0; 2)Н*. *<°: 3)у=|^1|:
X 1
4^=гг^-; 6)g=x(2+x),
7. Привести пример четной функции, определенной на всей
числовой прямой, принимающей как положительные, так и
§ 8. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
129
отрицательные значения, но ни в одной точке не обращающейся
в нуль.
8. Доказать, что если у = f (х) и х = ф (£) —четные функции,
то у==/(ф(0)— четная функция.
9. Доказать, что если y — f(x) и х = ф ($) — нечетные функ-
ции, то y~f (ф(Л) — нечетная функция.
10. Доказать, что если у — f (х) — четная функция, а х =
= Ф (/) —нечетная функция, то y—f (ф (Л)—четная функция.
11. Пусть f (х) —четная функция и /(х) #0 для любого х.
Доказать, что 1/f (х) — четная функция.
12. Продолжить четным образом следующую функцию:
1) y=lnl±i, хё[1; 1);
2) 4<=1о§1/?(х+К 14-х2).
13. Доказать, что если рациональная функция /?(x) = P/Q,
где Р, Q — многочлены, один из которых содержит хотя бы
одну четную степень х, является четной, то она есть функция
аргументах2.
§ 3. Ограниченные функции
Функция у = /(х), определенная на множестве X, называемся
ограниченной снизу на этом множестве, если существует число А
такое, что для любого х из множества X справедливо нера-
венство f(x)^A,
Число А называется нижней границей функции f (х) на мно-
жестве X. Например, функция z/ = x2+1 ограничена снизу на'
множестве R, так как неравенство х2 +1 1 верно при любом
xgR.
Функция у— fix), определенная на множестве X, называется
ограниченной сверху на этом множестве, если существует число В
такое, что для любого х из множества X справедливо неравенство
f (х)<В.
Число В называется верхней границе^ функции f (х) на мно-
жестве X. Например, функция y=log2sirix ограничена сверху
на интервале (0; л), так как неравенство log2sinx^0 выпол-
няется при каждом х из этого интервала.
Отметим, что при установлении ограниченности сверху
(снизу) функции f(x) на множестве X достаточно указать
хотя бы одну верхнюю (нижнюю) границу функции f (х) на мно-
жестве X.
Пример 1. Доказать, что функция /у = 5 cos Зх + 2 sin Зх
является ограниченной сверху на множестве всех действитель-
ных чисел.
Решение. Так как при каждом xgR справедливо нера-
венство
5 cos 3x-f-2sin Зх 1 4-2* 1=7,
то данная функция ограничена сверху, и тем самым задача
решена. Заметим, что при таком решении использование грубых
оценок cos 3x^1 и sin 3x^1 позволило найти одну из верхних
S Задачи по математике. Начала анализа
130 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
границ (число 7) данной функции. Однако, используя тождество
5 cos Зх + 2 sin Зх =
= К29 (cos Зх-4—sin 2лЛ= К29cos ^Зх—ф),
\1<29 ^/29 . /
где ф — arccos., заключаем, что 5 cos Зх + 2sin Зх К29, и
/ 29 _
тем самым число К29 является наименьшей из всех верхних
границ данной функции.
Функция r/=f(x), определенная на множестве X, называется
ограниченной на этом множестве, если существует положитель-
ное число С такое, что для любого х из множества X справед-
ливо неравенство |/(х)|«С С,
Например, функция j/ = 2cos8* + 3sin х ограничена на мно-
жестве R, так как
12C0sS х + 3 sin х | < | 2COS”х ] + 3 | sin х | 2 + 3 = 5.
Геометрически понятие ограниченности сверху (снизу) функ-
ции (х) на множестве X означает, что график данной функ-
ции на этом множестве находится не выше (не ниже) некоторой
горизонтальной прямой (рис. 2.4, а, б). Ограниченность функ-
ции означает, что ее график находится внутри некоторой гори-
зонтальной полосы (рис. 2.4, в).
Рис. 2.4
Функция у — f (х), определенная на множестве X, является
ограниченной на этом-множестве тогда и только тогда, когда
она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу.
Пример 2. Доказать, что функция у
чей а на множестве R.
Решение. Так как
х2 + х 6
ог₽ани-
х2-|-х4-6 _ , 5 5
x2+x+1-‘-t-x?+x+1 t ду t з Ti
§3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
131
ТО
%2 + х + б 5 _23
%4-x+I Г 3/4 ” 3 ’
Следовательно, для любого действительного числа х справед-
ливо двойное неравенство
? + х+6 23
< х2 + %+1 3 ’
Таким образом, данная функция ограничена и снизу, и сверху
и поэтому является ограниченной на R.
Пример 3. Доказать, что функция у — х2, xg(0; 4-00),
не является ограниченной сверху.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим,
что функция у = х2, xg(0; +<х>), ограничена сверху. Тогда
существует число А такое, что для любого x(J(O; +оо) справед-
ливо неравенство х2^А (из этого неравенства следует, что
А > 0). В то же время, например, при х = х0 —"К А 4-1 имеем
х0 > 0 и
У(х0)=4-(П+1)‘=Л4-2 К1+1 > А,
что противоречит предположению. Такимх образом, данная функ-
ция не является ограниченной.
Пример 4. Доказать, что функция y — xsinx не является
ограниченной на всей числовой прямой.
Решение. Предположим противное, т. е. предположим,
что функция y = xsinx ограничена на множестве всех действи-
тельных чисел. Тогда существует число С > 0 такое,' что для
любого xgR справедливо неравенство | х sin х | «СС. В то же
время, например, при х = х0= ^2 (С] 4-~^ л имеем
| х0 sin %о | = л + |sin((2tC’]+4)n) | =
= (2[С]+1)л>[С] + 1>С,
что противоречит предположению. Таким образом, функция
t/ = xsinx не является ограниченной на всей прямой.
Свойства ограниченных функций:
1°. Если функции f (х) и g(x) определены и ограничены на
одном и том же мйожестве X, то функции
К*)+£(*), fW—g(x), f(x)g(x), \f(x)\
также ограничены на множестве X.
В частности, функции Cf (х) (С—константа) и Р (х) ограни-
чены на множестве X.
2°. Если функции f (х) и g(x) определены на множестве X
и функция f (х) ограничена на этом множестве, а функция g(x)
такоца, что | g (х) | > М > 0, то функция f(x)/g (х) ограничена
на множестве X.
5*
132
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
3°. Если функция f (х) ограничена, то функции
у/f (х), a? cos / (х), sin f (х), arcsin f (х),
. arccos f (x), arctg f (x), arcctg f (x)
ограничены на том множестве, на котором они определены.
ЗАДАНИЕ 1
1. Является ли ограниченной снизу функция:
1) у = х2\ 2) у~ arctg х; 3) j/ = log2x?
2. Является ли ограниченной сверху функция:
1) ^=]/’х; 2) #=1/х2; 3) #=cosx? 1
3. Является ли ограниченной функция
1) #=arcsinx; 2) у—2х; 3) r/ = tgx?
4. Привести пример функции с областью^ существования —
отрезок [0; 1], и которая является:
1) ограниченной снизу;
2) ограниченной сверху;
3) ограниченной.
5. Доказать, что сумма двух функций, определенных и огра-
ниченных на одном и том же множестве X, является функцией,
ограниченной на множестве X.
6. Исследовать, является ли ограниченной функция:
1) ^«=2 sln,x + cosх; 2) ~t"-;
л *т* 1
3) у=arcsin 4) V4—х2;
у3 I 1 1
б)* = х^;6)* = 10&С087+2-
ЗАДАНИЕ 2
1. Является ли ограниченной снизу функция:
1) г/ = х3; 2) # = arcctg х; 3) ^ = ctgx?
2. Является ли ограниченной сверху функция:
1) г/ = х-|-5; 2) # = sinx; 3) г/=(1/л)*?
3. Является ли ограниченной функция:
з /—
1) #=logi/2x; 2) r/=^arccosx; 3) y~v х2?
4. Привести пример функции с областью существования —
открытый луч (0;~|-оо), и которая является:
1) ограниченной снизу;
2) ограниченной сверху;
3) ограниченной.
5. Доказать, что если каждая из двух функций ограничена
на множестве X, то их сумма также является функцией, огра-
ниченной на множестве X.
6. Исследовать, является ли ограниченной функция:
1)// = х2-2х + 3; 2) 3) ji=Ksin4x-1;
1 -4- X
4) j/=5 cosx+3sinх; 5) 3'!6) 0=22 *•
$3. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ ИЗ
ЗАДАНИЕ 3
1. Сформулировать, что означает утверждение:
. 1) функция y~f(x) не является ограниченной на множе-
стве X;
2) функция y=f(x) не является ограниченной сверху на
множестве X;
3) функция y~f(x) не является ограниченной снизу на
множестве X.
2. Доказать, что каждая из следующих функций не явля-
ется ограниченной:
1) 2) г/=1/х; 3) г/— 1
3. Исследовать, является ли ограниченной функция;
1) £ = *€12; оо); 2) r/ = logi/2(l + cosx);
x2+sln(x+l) / 1 \|sinx|
5) y=arccos g-py ; 6)
ЗАДАНИЕ 4
1. Является ли функция y~f(x} ограниченной на множа*'
стве X, если для каждого х^Х найдется В > 0 такое, что
справедливо неравенство | f (х)| <£ В?
2. Доказать, что каждая из следующих функций не явля-
ется ограниченной:
*8 + * q П ОЧ Х+1
о V-^2’ 2) У = ^~2; 3) У^—2.
3. Исследовать, является ли ограниченной функция;
О log2 х, xg(O; 1); 2) f/ = tgx, xg(O; л/4);
3) у — tg2%+ctg2 х\ 4) г/ —% sin2 x;
5) ^23,’п3* + со8*х. б) | х | — J х — 11.
Упражнения
1. Исследовать, является ли ограниченной функция?
1) z/ = x2+3x+5, xg[l;3];2) y = p==-, xg(-l;l)|
3) У~ + Г''; 4) + Ь
5) y = (x4-l)(x-f-2)(x+3) (х-|—4); 6) у = | х| —|х +11)
7) у=--У 1-х2— V х2 — 1; 8) (/=/х-Н — /х;
9) [У = х—[х]; 10) У =
11) y=2~v х-, 12) j/ = sin33x—4 sin 17х.
2. Доказать, что каждая из следующих функций не явля-
ется ограниченной:
1) У=Кх-Н; 2) 0 = ха4-х; 3) 4) у=\/х;
Б) y = ctg х; 6) f/ = log2 2х; 7) # = | х-]-21; 8) 0=2v7j
134
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
9) ^ = х4-1; 10) у=Ух«+1;
11) у=|х] + | 2х+11; 12) 0=(2Л*.Х.
3. Привести пример функции с областью существования —
интервал (0; 1), и которая:
1) ограничена снизу, но не является ограниченной сверху;
2) ограничена сверху, но не является ограниченной снизу;
3) не является ограниченной ни снизу, ни сверху.
4. Привести пример двух функций, одна из которых явля-
ется ограниченной, а другая не является ограниченной на мно-
жестве X и таких, что:
1) их произведение является функцией, ограниченной на
множестве X;
2) их произведение не является функцией, ограниченной
на множестве X;
3) их частное является функцией, ограниченной на мно-
жестве Х\
4) их частное не является функцией, ограниченной на мно-
жестве Хл
5. Может ли разность двух функций, каждая из которых
не является ограниченной на множество X, быть функцией,
ограниченной на этом множестве? Привести примеры.
6. Может ли сумма двух функций, каждая из которых не
является ограниченной, на множестве X, быть функцией, огра-
ниченной на этом множестве? Привести примеры.
7. Доказать, что сумма двух функций, одна из которых не
является ограниченной, а другая является ограниченной на
множестве X, есть функция, которая не является ограниченной
на этом множестве.
8. Функции f (х) и g(x) являются ограниченными на всей
числовой прямой. Всегда ли частное f(x)/g(x) является:
1) функцией, ограниченной снизу;
2) функцией, ограниченной сверху;
3) ограниченной функцией?
9. Доказать, что квадрат любой функции есть функция,
ограниченная снизу.
10. Привести пример неотрицательной и не являющейся
ограниченной на всей числовой прямой функции такой, что для
любого числа А существует число В > А такое, что f (В) = 0.
§ 4. Монотонные функции
Функция # = /(%), х£Х, называется возрастающей на мно-
жестве AlczX, если для любых х± и х2 из множества М таких,
что Xi < х2, справедливо неравенство
f (Xi) < f (х2).
Функция y—f(x), xgX, называется убывающей на множестве
М^Х, если для любых х± и х2 из множества М таких, что
Xi < справедливо неравенство
/(Х1) > f(x2).
§4. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 135
Функция y~f (г), xgX, называется неубывающей на мно-
жестве М^Х, если для любых Xi и х2 из множества м таких,
что xt < х2, справедливо неравенство
Функция y~f(x), х^Х, называется невозрастающей на мно-
жестве М^Х, если для любых Xf и х2 из множества М таких,
что xt < х2, справедливо неравенство
f(xi)^f(x2).
Если функция y=f (х), х(£Х, обладает одним из перечис-
ленных выше свойств (является возрастающей, убывающей, не-
возрастающей или неубывающей) на множестве Ma:Xt то такая
функция называется монотонной на М.
Если функция y=f(x), х£Х, является возрастающей или
убывающей на множестве Мя^Х, то такая функция называется
строго монотонной на множестве Л4.
Пример 1. Доказать, что функция у~х2 является воз-
растающей на множестве [0;4-оо) и убывающей на множестве
(—ео; 0].
Решение. В самом деле, для любых Xi и х2 таких, что
0 Xi < х2 < + со, имеем
У (^2) = x|--x|==(xi—х2) (%х + х2) < О,
так как Xi + *2 > 0, Хх—х2 < & Следовательно, у(х$ < у (х2),
и по определению функция у=х2 является возрастающей на
[0;+со). Для любых Xi и х2 таких, что —оо <xi<x2<0,
имеем
У&д — у(х2) = х% — x* = (xi—x2)(xi+x2) > 0,
так как Xi + *2 < 0, Xi — х2 < 0. Следовательно, ^(Хх) > у(х2), и
по определению функция у=х2 является убывающей на (—оо; 0].
Пример 2. Доказать, что функция У=К« + 1 является
возрастающей функцией.
Решение. Область существования данной функции есть
множество [—1; + оо). Пусть —l<Jxi<x2. Покажем, что
Xi + 1 < Кх2+1. Действительно.
(]/“ х2 +1 — V х1Ч-1)(|/г х2 -р 1 -р Xj +1)
V х2+1 —* V"* *4“ L—
/Х2+1 + /Х1 + 1
Следовательно, функция является возрастающей на
Своей области существования (рис. 2.5).
Пр-имер 3. Найти промежутки монотонности функции
__ X
У~~ 1 •
136
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Решение. Составим разность у (xt)~-j/ (х2). Имеем
Xi х2 _Xi+xiX|—х2—х2х|_
У Ш~У (Х2) - 1+д(2 1 +х2 - р +д2) +х^
(Xj^X2)+XjX2(X2^Xj) _ (Xj —Х2)(1^ХХХ2)
(1+^)O+XD (l +X1)(1 +4) /
Пусть Xf < x2, t. e. Xi*— x2 < 0. Так как 1 +x| > 0 и 1 + %2 >0,
то знак разности у (xj)«*у (х2) зависит от знака выражения
1—-XjX2. Если 1 «Сх± < х2 < + оо, или — оо< xi < х2«С— 1, то
1— XiX2 < 0, поэтому у (xi) > г/(х2). Тем самым на промежутках
U; +оо) и (—оо;—1] функция У~т~т—2 Убывает. Если же
1 -[-X
—1^Х£<х2^1, то XiX2 < 1, т. е. 1— xix2 > О, и значит,
У (xi) < у (х2). Следовательно, на промежутке [—1; 1] функция
х т, . X
У—т~Т"^2. возрастает. Итак, данная функция у==——2 на про-
1 Т“ X 1 «-J- X -
межутках (—со;—1] и [1; -|~оо) убывает, а на промежутке
[—1; 1] возрастает (рис. 2.6).
Чтобы доказать, например, что данная функция y = f(x),
xgX, не является возрастающей на множестве М^Х, доста-
точно указать два числа Xi и х2 из множества М таких, что
1) XI < х2 и 2) f (Xj) Ss f (х2).
Пример 4. Доказать, что функция у = х2 не является ни
убывающей, ни возрастающей на множестве R.
Решение. Пусть = —1 и х2=1. Тогда х± < х2, но
у(х1) = Ь1)2=12 = у(х2).
Поскольку не выполняются и неравенство у(хх) <у(х2), и
неравенство #(хх) > у(х2), то данная функция не является ни
возрастающей, ни убывающей на всей числовой прямой.
Заметим, что если функция y — f (х) является возрастающей
(убывающей) на .множествах Mi и М2, то на объединении этих
множеств Мг1УМ2 она может и не быть монотонной. Например,
функция у—1/х убывает на каждом из множеств (—оо; 0) и
(0; + оо), но эта функция не является убывающей на множестве
(—-оо; 0)U(0;+00). В самом деле, если, например, xi =—1 и
х2=1, то Xi < х2, но /(%!) =—1 < 1=/(х2).
§4. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
137
Свойства монотонных функций}
Пусть функции f (х) и g (х) заданы на одном и том же мно-
жестве М, МсХ, тогда:
Г. Если функция f (х) возрастает (убывает) на М и кон-
станта, то:
а) функция возрастает (убывает) на М;
б) функция cf(x), с > 0, возрастает (убывает) на
в) функция cf (х), с < 0, убывает (возрастает) на М,
В частности, если функция / (х) возрастает (убывает) на М,
то функция — f (х) убывает (возрастает) на М.
2°. Если функции f (х) и g(x) возрастают (убывают) на М,
то функция f (x)+g(x) также возрастает (убывает) на М.
3°. Если функции f (х) и g (х) неотрицательны на М и обе
возрастают (убывают) на М, то функция f(x)g(x) также йоз-
растает (убывает) на М.
Напротив, если функции f (х) и g(x) отрицательны на М и
обе возрастают (убывают) на М, то функция f (x)g(x) убывает
(возрастает) на М. ”
В частности, если f (х) > 0 и функция f (х) возрастает (убы-
вает) на М, то Р(х) также возрастает (убывает) на М\ если же
f (х) < 0 и функция f (х) возрастает (убывает) на М, то Р (х)
убывает (возрастает) на М.
4°. Если функция f (х) возрастает (убывает) на М и f(x) > О,
то функция 1/Л (х) убывает (возрастает) на М.
Если функция f (х) возрастает (убывает) на 'М и f (х) < О,
то функция 1// (х) убывает (возрастает) на М.
5°. Если f (х) 0 и функция f (х) возрастает (убывает)
на М, то функция V/ (х) также возрастает (убывает) на М.
6°. Если функция f (х) возрастает (убывает) на Л4,то:
а) функция af<x) при а > 1 возрастает (убывает) на Af;
б) функция afw при 0 < а < 1 убывает (возрастает) на М|
в) функция logaf(x) при а> 1 возрастает (убывает) на М,
если f (х) > 0;
г) функция logaf(x) при 0<а<1 убывает (возрастает)
на М, если f (х) > 0.
Пример 5. Найти промежутки возрастания. и убыванкя
функции*
Решение. Функция f0(x)=x является возрастающей на
R, причем fo(x)^O при х^О и ?0W<0 при х<0. По свой-
ству 3° функция fl(x) является возрастающей на множестве
[0; -|—оо) и убывающей на множестве (—оо; 0]. Отсюда и из свой-
ства 1° следует, что функция /1 (х) =/^ (х)-|-1 = х2 +1 сохраняет
свойство быть возрастающей или убывающей соответственно на
множествах [0; +оо) или (— оо; 0]. Так как (х) > 0 при всех
1 I
xg R, то по свойству 4° заключаем, что функция f (х) — р7~т=тт
является убывающей на множестве [0; + оо) и возрастающей яа
множестве (—оо;0] (рис. 2.7). Таким образом, на множестве
[0; 4-оо) функция убывает, а на множестве (•— оо;0] возрастает.
138 ГЛ. 2 ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Символически решение этого примера можно записать в
виде следующей логической схемы:
при хЗэО: xt=>x2t=> (х2+1)|=>-^-т|;
л -"г* 1
при х<0: xf=>x2|=>(x24-l)|=>^q-jf,
где запись <р| означает, что функция <р(х) возрастает, а запись
ф| означает, что функция ф(х) убывает. _
Пример 6. Найти промежутки возрастания и убывания
функции
f(x) = x+l.
Решение. Заметим, что если х > 0, то
1 / /-— 1 \а
/(х) = х+±=2+( Г х —.
х \ V х /
Отсюда заключаем, что при х > 0:
а) по свойству 5° функция У х является возрастающей;
б) по свойству 4° функция \/У х является убывающей;
в) по свойству 1°в) функция —1/Ух является возрастающей;
г) по свойству 2° функция 1/К х является возрас-
тающей.
Так как
У: х 1/К Х^О при XS& 1,
V~x — 1/уг"х<0 при 0 < х«С1,
то имеем:
д) по свойству 3 функция (У х)2 является возрас-
тающей при и убывающей при 0 < х< 1;
§4. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ
139
е) наконец, по свойству 1°а) функция
f(x) = x+l/x = 2+0<7—1//7)2
является возрастающей при и убывающей при 0 < 1,
Аналогично убеждаемся, что функция f (х) возрастает при
1 и убывает при—1«Сх<0.
Итак, на множествах (—оо;—1] и [1;+оо) функция f(x)
возрастает, а на множествах [—1; 0) и (0; 1] убывает (рис. 2.8).
Логическая схема решения этого примера при х > 0 имеет
вид
X > 0: fxf => —^=7-|=>—-J=-
ух ух
(К х-1/V x)t
(К X — \/V х)1
ИУ х—\/У x)2t при х^1,
\ (К х — \/У х)21 при 0 < х «С 1
при х^ 1,
при 0 < xsC 1,
( f(x) t при х^1,
( f (х)| при 0 < 1.
ЗАДАНИЕ 1
1. Является ли монотонной функция:
1)У==хЗ; 2) y = log2x; 3) у = {1/2)*;
4) S)^=^±p; 6){/=tgx?
_ гг ж 2х -f“ 1 *
2. Доказать, что функция у=-г~.—4—т убывает на каждом
1 -j-X-f*X-
/ Кз+i 1 Г Vз-1
из промежутков ( — оо; — ~~— I и | ——~;
\ Z J I £t
И
возрастает на отрезке---------~~—-----------.
3. Найти промежутки монотонности функции:
1) У = (х—2)2; 2) £ = logi/2|x];
3) у = sin 2% 4-cos 2х; 4) y = ctg2x.
4. Сформулировать, что означает утверждение: функция
y~f(x)j xgX, не является возрастающей на отрезке [0;
Привести пример функции, не являющейся возрастающей на
отрезке [0; 1].
5. Доказать, что следующая функция не является возра-
стающей:
1) = 2) у= 11 х —1 |—-2 |;
3) у = [х]; 4) y=x2sinx.
ЗАДАНИЕ 2
1. Доказать, что четная функция на множестве М не может
быть возрастающей на этом множестве.
2. Является ли монотонной функция:
1) у=х4+|х|; 2) у=2х,+1;
140
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
3) ^=]/*“xsinx; 4) #=1/х2+х2?
3. Доказать, что функция #=х+1/х2 убывает на проме-
жутке (о; V 1/2] и возрастает на промежутке [f/ 1/2; + оо)*
4. Найти промежутки монотонности функции:
1) ^=2—х—х2; 2) tg х;
3) У = ’ 4) у = cos2 х+siD 2*:
8) У=(1/2)"^*; 6) р=Р*+21’ 3’
I log2 (—х), х<—3.
б. Сформулировать, что означает утверждение: функция
y~f(x)> xgX, не является убывающей на множестве MqX.
Привести пример функции, не являющейся убывающей на от-
резке [—2; 3].
6. Доказать, что следующая функция не является убыва-
ющей:
1) #==хЗ--х; 2) £/= 1пх —х;
( — х + 2, х < О,
3) y = sin4x + cos4x; 4) у~ I б, х==0,
\ — х~—2, х > 0.
У пражнения
1. Может ли сумма двух функций, не являющихся моно-
тонными на множестве М, быть монотонной функцией на Ж?
2* Можно ли функцию, не являющуюся монотонной на всей
прямой, представить в виде разности двух монотонных функций?
3. Пусть
1 х, х€[0;2),
Л 1 x-J-l, х£[2; 4].
Представить эту функцию в виде разности двух монотонно воз-
растающих функций на отрезке [0; 4].
4. Доказать, что если определенная на всей числовой пря-
мой четная функция f (х) монотонно убывает на промежутке
(— оо; 0), то на промежутке (0; + оо) она монотонно возрастает.
б. Найти промежутки монотонности следующей функции:
in it пх X — 3 Оч |х—II л. ilx—-II
1) 0=|2х—1|; 2) 0=^—р.; 3) «/ = |—— ; ——L;
5)у=2х«+х+4; 6) 0 = х2—5|хЦ-6; 7) У=у^\
3) У— V^x + 2—l; 9) # = tg 2х; 10) # = sinx—Зсозх;
И) £ = ctgy—2; 12) t/=tgxctgx;
13) у= К cos2 х—cos х; 14) j/=log211 х|—-11;
15) # = logi/s (х2 + я+1); 16) г/= 2 cos2 2х—sin 4х;
« nii fl —I x I, x > 1,
171 18> »-l ’='
\ Л а, Л X, X •
§ 5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 141
§ 5. Экстремумы.
Наибольшее и наименьшее значения функции
Точка xogX называется точкой локального максимума функ-
ции f (х), х^Х, если существует интервал (х0—б; х0 + б), б > О,
содержащийся в X и такой, что для каждого х из этого интер-
вала имеет место неравенство f (х) (х0).
Точка xQ$X называется точкой локального минимума функ-
ции f (х), х^л, если существует интервал (х0 —б; х0 + б), б > О,
Рис. 2.9
содержащийся в X и такой, что для каждого х из этого интер-
вала имеет место неравенство f (x)^f(x0).
Точки локального максимума и локального минимума назы-
ваются точками локального экстремума данной функции, а зна-
чения функции в этих точках называются экстремальными зна-
чениями функции '(или просто экстремумами).
Если вместо нестрогих неравенств потребовать выполнение
строгих (т. е. неравенства f (х) < f (х0), х # х0, в первом опре-
делении и неравенства f (х) > f (х0), х Ф х0, во втором определе-
нии), то точка х0 называется точкой строгого локального макси-
мума (минимума).
Например, на рис. 2.9, а точки х2 и х4 являются точками
локального Максимума, а точки х± и х3—точками локального
минимума; данная на рис. 2.9, б функция не имеет точек строгого
локального минимума и локального максимума на отрезке [a;
На рис. 2.9, а показан график функции y~f (х), xg[a; &], кото-
рая имеет только точки строгих локальных экстремумов: xi —
точку строгого локального минимума и х2—точку строгого ло-
кального максимума. Отметим, что для функции, заданной на
отрезке [а; Ь], ни точка х = а, ни точка х —Ь не являются локаль-
ными экстремальными точками, так как для каждой из этих
142 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
точек нет интервала с центром в этой точке, принадлежащего
отрезку [а; £].
'Достаточный признак локального экстре-
мума:
Если функция х^Х, возрастает (убывает)на неко-
тором промежутке (Хо^о; х0]с:Х и убывает (возрастает) на не-
котором промежутке (х0; х0+б)сХ, то точка х0 является точкой
строгого локального максимума (минимума) функции f (х).
Пример 1. Найти точки локальных максимумов и локаль-
ных минимумов и экстремальные значения функции
|х|
У 1-1-ха •
Решение. Для того чтобы найти точки локальных экстре-
мумов, достаточно найти участки возрастания и убывания функ-
£ 1*1 Я
ции о . Анализ показывает, что:
1 + ха
а) функция f (х) строго возрастает на каждом из промежут-
ков (—оо; —I] и [0; 1];
б) функция f (х) строго убывает на каждом из промежут-
ков 1—1; 0] и (1; + оо).
Таким образом, точки х =—1 и х = 1 являются точками ло-
кального максимума, а точка х = 0—*точкой локального мини-
мума. Соответствующие им экстремальные значения равны 1/2,
1/2 и 0 (рис. 2.10).
Если существует точка х0 из множества М, MgzX, такая,
что при любом х из множества М имеет место неравенство
f(x)>f (Хо) (f (х)<f (х0))>
то говорят, что функция y=f(x) на множестве М принимает
свое наименьшее (наибольшее) значение y=^f(xb) при х = х0.
Заметим, что таких точек может не быть либо может быть
конечное число или бесконечно много.
Так, для функции, график которой показан на рис. 2.11,
существуют две точки, в которых функция достигает наиболь-
шего значения, и одна точка, в которой функция достигает
наименьшего значения. На рис. 2.12 изображен график функ-
ции у—Х/х, которая не принимает ни наибольшего, ни наи-
меньшего значения. Случай, когда точек, в которых функция
достигает наибольшего (наименьшего) значения в бесконечном
числе точек, соответствует рис. 2.13.
Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на отрезке
[о; 6], то наименьшее (наибольшее) значение она принимает
в точке х = а наибольшее (наименьшее) значение—в точке
Так, например, наименьшее значение функции g/ = log2x на
отрезке 11/2; 4] равно log2-g-=—1, а наибольшее значение
равно logg 4 = 2.
Если функция y~f (х), xgX, не является ограниченной
сверку на множестве Мехл, то она не принимает наибольшего
§ 5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 143
Рис» 2.10
Рис, 2.13
144 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
значения на множестве Л1; если функция у—f (х), х£Х, не яв-
ляется ограниченной снизу на множестве М^Х, то она не при-
нимает наименьшего значения на множестве М (рис. 2.14).
Заметим, что и ограниченная функция может не принимать
яаибольшего и наименьшего значений (рис. 2.15).
Большое число задач сводится к нахождению_наибольшего
в наименьшего
значений квадратичной функции. Так как выра-
жение ах*-]-Ьх+сг а # 0, можно
представить в виде
(6 \ 2
Х~^2а)
&2
то отсюда следует, что:
а) при а > 0 функция у = ах24-
ЬхА-с имеет наименьшее значение,
равное и оно достигается
b
при *=--22-;
б) при а<0 функция у~ах*-\~Ьх+с имеет наибольшее
& b
значение, равное > и оно достигается при х = —
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
Зя2-|-6х4-7.
Решен не. Имеем Зх24-6х4-7=3(х+1)2+4. Отсюда сле-
дует, что наименьшее значение функции г/=3х24~6х4~7 равно
4, и принимается это значение в точке х =—1. Так как функ-
ция у=3х24-6х4“7 не является ограниченной сверху, то наи-
большего значения она не имеет.
Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
у а= 1 4- COS 2х 4“ sin х 4- sin2 х.
§5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ J45
Решение. Так как cos2x = l«*2sin2x, то, выделяя пол-
ный квадрат, получаем
у~ 1 +1 —2 sin2 x-j-sin x + sin2 x = 24-sin x —sin2x=
( • 1 Vi 9
= — jsinx- у \ +y.
Отсюда следует, что наименьшее значение данной функции
равно 0, и оно достигается в тех точках х, гдев1пх==—1. Наи-
большее значение функции равно. 9/4, и оно достигается в тех
точках, где sin х—1/2.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
^=3sin 5x4-7 cos 5х.
Решение. Имеем f
^=3 sin 5х-|-7 cos 5х= Y324~72 sin 5*4"
cos 5х^ =s /58 (cos a sin 5х + sin а cos 5х)=»
» ж= Y58 sin (5х 4“ а),
3 7
где а = arccos - = arcsin Так как наибольшее значение
/58 /58 ’
sin (5x4-а) равно 1, а наименьшее значение равно —1, то, сле-
довательно, наименьшее значение функции #»=3sin5x4-7cos5x
равно — /58, а наибольшее равно /58. Точек, где принимаются
наибольшее и наименьшее значения, бесконечно много.
П р и м е р 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции
х2—х4-2 /
У~ Х2+1 ‘
Решение. Для каждого действительного
уравнение
х2—-х4-2
х24-1 ~а'
числа а решим
(1)
а) если а —О, то уравнение (1) решений не имеет, а это озна-
чает, что функция у(х) в нуль не обращается;
б) если а # 0, то уравнение (1) равносильно уравнению
(а —1) х24-х4~(а —2) = 0. (2)
При а—1 получаем, что х= 1, и тем самым г/(1) = 1. При а Ф 1
и а # 0 необходимым и достаточным условием того, что урав-
нение (2) имеет действительные корни, является условие
D = — 4а2 4- 12а—7^0,
3—/1 _3+/2
откуда находим, что уравнение (2) при ~—у—,
а & 1, имеет корни хх и х2, причем у (хх)«у (х2) = а. Следова-
146 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
тельно, функция у(х) принимает все значения из отрезка
ГЗ-/ 2 34-j/“21
I --; -----— и только их, и тем самым наименьшее
. .. 3-/2 ,
значение функции у (х) равно --, а наибольшее равно
3+/2
2
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение непрерыв-
ной на отрезке [а; Ь] функции у=/(х), имеющей конечное число
локальных максимумов (минимумов), [нужно вычислить значе-
ние функции в каждой точке локального максимума (минимума)
и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наиболь-
шее (наименьшее).
Наибольшее значение функции f (х) на отрезке [а; />] при-
нято обозначать через max f (х), а наименьшее — через
хе[а; 6]
min f(x),
Х€[а; 6]
Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции у=х* 2 *+х на отрезке [—2; 5].
Решение. Имеем
2 » / , 1 V 1
у=х2+х= —4-
Данная функция непрерывна и на отрезке [—2; 5] имеет един-
ственный экстремум (локальный минимум), который достигается
в точке х =—1/2, и он равен —1/4. Кроме того, у(—2) = 2,
£/(5) = 30. Таким образом,
max у (х)~у (5) = 30; min у(х)~у(—1/2) = —1/4.
д;в£~2; 5] х€[-2; 5]
Пример 7. Найти наибольшее значение [площади прямо-
угольника, вписанного в данную окружность диаметра d.
Решение. Обозначим через х одну из сторон прямоуголь-
ника, тогда другая его сторона равна Yd2*-x2. Тем самым
площадь такого прямоугольника равна х Yd2*~x*. Таким обра-
зом, нужно найти наибольшее значение функции # = x]/~d2—х?
на отрезке [0; d], Отметим, что функции г/ = х х2 и // =
= (xprd2—х2)2 на отрезке [0; d] достигают наибольшего значе-
ния в одних и тех же точках. Поэтому достаточно рассмотреть
функцию у = х2 (d2***х2) и найти ту точку, в которой она дости-
гает наибольшего значения. Так как
х* = - (x2—lda)24-ld\
то max (x2(d2—x2))==4-d4, причем это наибольшее значение
хв[0; d) 4
достигается при x=d/K^
§ 5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 147
Таким образом, наибольшее значение площади прямоуголь-
ника, вписанного в окружность диаметра d, равно
71У d—2~T
Пример 8. Тело брошено под некоторым углом а к гори-
зонту с начальной скоростью и0. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, найти наибольшую высоту подъема тела.
Решение. Поместим начало координат в точку, из кото-
рой брошено тело. Из курса физики известно, что движения по
горизонтали и по вертикали можно рассматривать независимо.
Горизонтально тело будет двигаться с постоянной скоростью
cos а, и поэтому абсцисса движущегося тела выражается через
время t линейно: x = /p0cosa. Вертикально тело будет пере-
мещаться с начальной скоростью t>osina и ускорением—g, и
поэтому ордината движущегося тела выражается через время t
oft
квадратично: у= —~—|-у0 t sin а. Выражая у через х, находим,
что
Vo sin2 а
2у~
У
Итак,
tip sin2 а
2g ’
g f Vo sin 2а
2wo cos2 a \ 2
2 , n
Vo sin 2а
при x=-----------тело будет находиться на высоте
которая является наибольшей.
Пусть функция f (х) определена на множестве М и в точке
х0, xogM, принимает наибольшее значение, тогда имеют
место следующие свойства:
Г.^Пусть с—некоторая константа, тогда:
а) если с > 0, то в точке х~х0 функция cf (х) принимает
наибольшее значение на множестве М;
б) если с < 0, то в точке х = х0 функция cf (х) принимает
наименьшее значение на множестве М.
В частности, в точке’х = х0 функция — f (х) принимает наи-
меньшее значение на множестве М,
2°. Функция f(x) + c, где с — константа, в точке х = х0 при-
нимает наибольшее значение на множестве М.
3°. Если f (х) > 0 (или f (х) < 0) на множестве М, то в точке
х = х0 функция 1//(х) принимает наименьшее значение на мно-
жестве М.
4°. Пусть функция g (х) определена на множестве М и
в точке х = х0 принимает наибольшее значение на нем. Тогда
в точке х=х0 функция af (x)+bg(x) принимает наибольшее зна-
чение на множестве М, если а > 0 и b > 0.
s 5°. Если /(х)^0 на множестве М и ngN, а > 1, то каж-
дая из функций
/Tw, 10ge (1 +/ (х))
в точке х = хо принимает наибольшее значение на множестве AL
148
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Аналогичные свойства имеют место для наименьшего зна-
чения функций f(x) на множестве М, й также для ее локаль-
ных экстремумов*
Пример 9. Найти наименьшее значение функции
/(*) =---z —.
К х2+1 + 1
Решение. Воспользуемся свойствами Функция
fi(x)=x2 в точке х«=0 принимает наименьшее значение на R,
равное нулю. По свойству 2° функция /2 (х)=х24-1, а по свой-
ствам 5° и 2° функция (x)=»}4 х2+1 4-1 в точке х«= 0 принимают
наименьшее значение на R. Отсюда и из свойств 3° и 1° заклю-
чаем, что функция (%) в точке х = 0 принимает наи-
/8 (я)
меньшее значение на R, и оно равно f (0) = —1/2. Таким обра-
зом, наименьшее значение функции f (х) равно —1/2.
Коротко решение этой задачи можно записать так:
min х2 =0 min (х2+ 1) — 1 min V х24-1== 1
x€ R x€ R
=^>min (/x2+14-l) = 2r> max - =
xeRvr x«R /x2+1 + 1
/ 1 \ I
=> min f----r .......---)—____!_
*6R\ 2
ЗАДАНИЕ 1
l. Найти точки локального минимуму и максимума функции:
3) y=|*-l |-|х-2|; 4)0=4 1А1 + 1, *^0°’
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) л/=2+х—х2; 2) у=,-.....L... 3) y=/l + cos2^;
» “ Л ' 1,1J £
4) у- 4—; 5) у~log,(х2+2х+2); 6) 0= ;
у 1 + х2 х* 4-х 4-1
• 7) #= cos 3x4-5 sin Зх+1; 8) y=cos 2x4-3 sin x-f-4;
9) y== j/"x24~x4-14-K*2,*“*+1; 10) y=sin4 * 6x4-cos6x.
3. Привести пример функции, определенной на промежутке
(0; 4~ оо) и принимающей на нем наименьшее значение, но не
принимающей на нем наибольшего значения.
4. Привести пример двух функций, определенных на всей
числовой прямой, каждая из которой не имеет ни наименьшего,
ни наибольшего значения таких, что их сумма есть функция,
имеющая наибольшее й наименьшее значения.
§ 5. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 149
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти точки локального минимума и максимума функции:
2) 1*+11;
г *4-2, х > О,
3) # = х2—х4; 4) 0, х «= О,
I 1—«х, х < 0.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции!
1) # = х2 + х+1; 2) ; 3) y = sin2 x+2sin х—3;
Xй -j-1
4) y=log3x, *ё[1; 3]; 5) у = —log2sinx;
6) у = 3 sin 7x-f-4 sin 7х;, 7) ^ = 2COS*; 8) у==| х-~21 + | 3*-х|;
9) # = 3-|-4 ]/" 1 х2; 10) y = sin4 x+cos4x.
3. Привести пример функции, определенной на всей число-
вой прямой и не имеющей Гни наименьшего, ни наибольшего
значения.
4. Привести пример двух функций, определенных на интер-
вале (0; 1), каждая из которых не имеет ни наименьшего, ни
наибольшего значения, и таких, что их разность есть функция,
имеющая и наибольшее, и наименьшее значения на этом интер-
вале.
ЗАДАНИЕ з
1. Найти наибольшее значение функции:
1) f(x) = /13 + 2 sin 5x4-3 cos 5х; 2) f (х) = 2**-*г~6;
3) f(x) = /T=x+/f+x;
4) f (x) = log2 (cos2 2x 4- 5 cos 2x + 6);
" 4
5) f (x) = arcsin2 x + arccos2 x; 6) / (x) = —- x8—
2. Найти наименьшее значение функции:
1) f (х) —— 4 cos х —5 sin х + ]/"41;
~— 3 COS 7X
2)f(x) = 42 ;
3) f (x) — arcsin x — arccos x;
4) f (x) = 2 cos2 x •— cos x 1;
5) f(x)= cos4x —2sin2 x+5;
6) /(x) = arcsin-x + arctg x + ~.
3. При каких значениях x и у выражение
А = 4х2 + 12ху + 12//2 + 4х — 12у+9
принимает наименьшее значение? Найти его.
4. В окружность радиуса R вписать прямоугольник, пери-
метр которого наибольший.
150 ГЛ, 2. -ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
ЗАДАНИЕ 4
1. Найти наименьшее значение функции:
1) f (x) = 4cos 2х—7sin2x4-]/"S; 2) f (x) = 2s"I2 arccosx;
3) /(x) = sin x—cos2 x — 1; - 4) f (x) == cos2 x +12 cos x-|-15;
5) f(x) = ctg2 x^H-ctg2 + ; 6) f(x) = xe4-l.
2. Найти наибольшее значение функции:
1) 0 = 7—3 cos 4х—-11 sin 4х; 2) / (x) = 34“cos
3
3) f (x) = sinxcos3x —sin3 x cos x-j-3^;
4) f(x) = sin2x—5sinx-|-6; 5) f(x) = i^£i^;
л OO
Jl3
6) f (x) == arcsin3 x + arccos3 хЧ--^.
о
3. При каких значениях х и у выражение
А = 2х2 4-2ху+#2—2х + 2у+9
принимает наименьшее значение? Найти его.
4. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот,
площадь которого наибольшая.
Упражнения
1. Найти точки локального максимума и локального мини-
мума функции:
1)у=2х2+х+1; 2) у=х-х2+2; 3)
4) у = |х| —|х—1 |; 5) г/= |х2—5х-J-61;
6) y = |log2|x||; 7) y=|-i-x2—|х| —з|;
8) у = | х2—-Зх + 2 | + 2 + х2—Зх; 9) у — 2]Г sinx+1;
10) 0=sin х+3 cos х; 11) у= Ksin2 х—sin х;
12) #=2*4-*2; 13) y-2sillA:; 14) у = /1 + sin 2х;
15)у=х*-х2+1; 16) 17)*/=||=т|;
р”~Х% v
18),_<6|х|; 19)»-^; ») <'-(1+>чц„р
21) у=^х~' Ы1+1 I; 22) ц=(х—3)= (*—2>21
23) у=х2-х, х (а; 2]; 24) .
У 1 + cos х
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции;
1) # = х2+2х+3, xg[—2; 4];
2)у=х2+х-{-1. х^[а; 6]; 3) у;
К х* х 1
§ Б. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 151
Х2 +2x4-5,
4) ^-х«+ 1 ’ 5) г'“х2+2х+3’ 6) У~ хг4-1 ’
7) ^=|х+1|-1х+2|;
8) f/=|x+l| + |x|, xg[-1; 0];
9)*=?ТГ- х€(—1; 4-оо);
10) ^=4 sin х4~3 cos х4-1»
Ц) # = 4cos 2х«— sin х 4-б;
12) // = 34-cos.2х —sin2 х, xg[0; 2л];
13) у —24-*4-“> Х€1Н 3]; 14) ^==sin4х —cos4х;
15) 0=tgx4-ctgx, xg(0; л/2);
16) ^=21 + 3C0Sf, xg[3; 10];
17) ^=ax24-x47 1, xg[2; 3];
18) /y = sin x sin 2x; 19) #= cos x cos 2x;
20) z/ —sin6 x —cos6 x; 21) у == 2 4- log2 - — ^0S X;
22) ^=x(x4-l)(x4-2)(x + 3)4-4; 23) #==x/Т—4х2;
олч I 1 OCX a44-x4
24) y=.x + —25)^—L--;
26) y=2 , xg(-8; 0).
У X
3. Найти все пары чисел (х; у), для каждой из которых
справедливо равенство:
1) х24-1=2-^2; 2) 2Х4"2""Х = 2 sin t/;
3) У*—4у2—cosax-f-5=0; 4) (у* 4--^-)2 = f^?—?!
5) tg z/4-ctg г/ = 6х—х2 —7;
о
6) 1g4 х —6 lg2 х4- 10 — — arcsin у;
7) 2<*1-cosy+lg(14-xa + |у |) = 0;
/ 1 \2 . / 1 \2 J
8) ( sin2 х 4—г-2““) + ( cos? х Ч-Г“ ) —12+-q" sin #•
’ \ 1 sin2xy 1 \ 1 cos2x) 1 2
4. Число 100 представить в виде суммы двух положитель-
ных чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
5. Число 20 представить в виде произведения двух положи-
тельных чисел так, чтобы сумма этих чисел была наименьшей.
6. На ‘плоскости даны три точки 4, В и С, не лежащие на
одной прямой. Найти такую точку 24, сумма квадратов расстоя-
ний которой от точек Д, В, С была бы наименьшей.
7. Найти коэффициенты трехчлена ах24-^4“с> зная, что он
обращается в нуль при х = 8 и что его наименьшее значение
равно —12 при х = 6.
8. Найти коэффициенты трехчлена ах24-^+с» зная,
что при х==—2 он имеет наименьшее значение, равное 7, и при
х = 0 — значение, равное 15.
152 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
9. Определить а так, чтобы сумма квадратов корней урав-
нения х2 + (2—а) х**-А«“-3==0 была наименьшей.
10. Определить коэффициенты квадратного трехчлена ах2 +
+ ^х4-с, зная, что его наибольшее значение равно 25 при х= 1/2
и что сумма кубов его корней равна 19.
§ 6. Периодические функции
Функция y~f(x), х^Х, называется периодической на X,
если существует число 7, Т Ф 0, называемое, периодом функции
f (х), такое, что:
а) х + Т и х—Т принадлежат множеству X для каждого х£Х;
б) для каждого xgX имеет место равенство
f(x + T)^f(x).
Так, например, на рис. 2.16 показан график функции с периодом !♦
Пример'1. Для функции f/ = cos2x число 7==—Зл яв-
ляется периодом, так как:
а) для любого действительного х числа Х“*-Зл и х+Зл при-
надлежат области существования функции # = cos2x;
б) справедливо равенство'
cos (2 (х -* Зя)) = cos (2х—6л) = cos 2х, х g R.
Отметим, что при проверке того, является ли функция перио-
дической, все требования, перечисленные в определении, сущест-
венны. Так, например, для функции у = sin х)2, х^О, имеем:
а) х+2л > 0 для любого х^О;
б) для любого х^О справедливо равенство)
sin х+ 2n)a = sin (К х)2.
Однако число 2л не является периодом данной функции, так
как например, число 0—2л не принадлежит области определе-
ния функции y = sin(]/* х)2, х^О. Вообще, для любого числа
Т £ 0 либо 17/2 14-7, либо |7/2] —7 не принадлежит области
определения данной функции, поэтому она не является периоди-
ческой.
$6- ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ JK3
Пример 2, Доказать, что функция
1 2лх
log* cos р=-
является периодической, и найти один из ее периодов.
Решение. Находим область существования функции f (xV
logs COS 0 фф COS —=т 1 ФФ COS -7— =
/13 /13 /13
— 1 ффх = у 13 м, я^г.
Таким образом, область существования функции f (%) есть
множество X — {j/~13 п |n£Z}. _
Если взять, например, Т*=У 13, то при любом ngZ
КТзя+т-КТз^+пех и /Тзм-т=/Тз(п~-1)€Х.
Так как при любом xgX, т. е. при любом ngZ, справед-
ливы равенства
2л(/ТЗп+К13) о / , is 1 п
COS -—---T..I----L = cos 2л (п + 1) = 1« cos 2ля =
/13
2л(/13я)
— cos—4 >2-1'
/Тз
Vlogs М
то f (х+К13) = / (я), £оэтому функция f (х) является периоди-
ческой с периодом У 13.
Пример 3. Доказать, что если график функции y=f(x)i
x£R, симметричен относительно прямой х = а и относительно
прямой х~Ь (а & Ь), то функция y=f(x) является периоди-
ческой.
Решение. Из условия симметрии графика функции у =
= f (х) относительно прямых х — а и х = & при каждом х и каж-
дом t из области определения функции имеем „
f(a-j-x) = f (а —х), .
Положив b—a~d и x — d-^-t, получим
Если t~a—d—z, где г — любое из области определения функ-
ции у — f (х), то
f(z)^f(a-d-t)^f(b-t)^f(b-a + d + z)^
(b~.a + b—a + z) = f (2 {b—a)-\-z) — f (z-f-2d).
Таким образом, при каждом z из области определения функ-
ции /(х) имеем 7 (z) = f (z4-2d); следовательно, f (х) является
периодической с периодом 2(Ь—а).
164 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Пример 4, Доказать, что если функция
f (x) = sinx+cos bx
есть периодическая функция, то рациональное число.
Решение. Областью существования данной функции есть
вся числовая ось. По условию f (х)-~ периодическая функция.
Если Т (где Т 0) —период, то при каждом х и £ справедливо
равенство
sin (х + Т) -j- cos Ь (х + Т) = sin х+cos bx.
Положив в этом равенстве х = 0 и х~—7, соответственно по-
лучим
sin Т -|- cos ЬТ = 1,
—• sin Т -j- cos ЬТ = 1.
Складывая эти равенства, а затем вычитая из первого второе
и сокращая на 2 полученные равенства, получаем
cos 67= 1, т. е. ЬТ ~2типу /ngZ,
sin 7 = 0, т. е. 7 = л&, fcgZ.
Отсюда bnk — 2nrn. Так как Т^О, то £ # 0; следовательно,
b^2m/k, т. е. b — рациональное число.
Пример 5. Доказать, что функция
#=х2, xgR,
не является периодической.
Решен ие. Для любого числа х и любого 7, Т 0, числа
х4~7 и х—7 принадлежат области определения функции ^~хй.
Если некоторое число Т является периодом данной функции,
то для любого числа х должно выполняться равенство (х+Т)*=х*,
и в частности оно должно выполняться и при х = 0. Отсюда
имеем 72 = 0 и, следовательно, 7 = 0, что противоречит пред-
положению о существовании периода, т. е. функция # = х2 не
является периодической,.
Из определения периодической функции y~f(x)> х^Х, сле-
дует, что если 7Х и 72— периоды функции, причем Ti-\-T2 0,
то Tt^T2 также является ее периодом. Действительно, так как
Т^ и 72 —периоды, то для любого xgX имеем, что f(x+7x)
и/ (Х—Л), и поэтому f (х+7\4-Т2) и f (х + 7х —72), f (х—7Х —72)
и f(x —7{ + 72) существуют одновременно с f (х). Кроме того,
Н^ + (Л + 7У)-/((х + 71) + 72) = /(х + 7х) = /(х). По условию
7х + 72 & 0; поэтому Т1 + Г2 является периодом функции y—f (х),
х£Х. Отсюда вытекает справедливость следующих утверждений:
— если Tf и Т2—периоды функции у — f (х), х£Х, и Т1 ф Т
то Tf—72 также, является ее периодом;
— если 7Х —период функции г/ = /(х), х£Х> то при каждом
ngZ\{0} число пТ также является ее периодом;
— если Ti и 72 —периоды функции y = f(x), х£Х, причем
я7х+&72 5^ 0, где k и п — любые целые числа, то nTi-\-kT2
также является ее периодом.
- Наименьший из положительных периодов (если он сущест-
вует) данной функции называется ее главным (основным) периодом.
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 155
Пример 6. Найти главный период функции
1 х
y^sm у.
Решение. Докажем, что число Г=4л «главный период
данной функции. Действительно, число 7=4л «ее период, так
как областью существования данной функции является вся число-
вая ось и
а х4-4л . / х , n \ s х
sin—-— — sin [ у + 2л 1 — sinу, xgR.
Покажем, что любое число Tj, 0 < < 4л, периодом функции
y = sin-^- не является. Пусть Tj, 0 < 7\ < 4л, таково, что для
любого х имеет место равенство sin 1 = sln-g-. Тогда, в част-
ую *
ности, при х = 0 имеем sin ~^ = sin 0 = 0. Таким образом, для
нахождения возможного значения 7\ получаем систему
I sin ^=0,
I 0 < Ti < 4л,
решая которую находим Т1 = 2л.
Так как
а л+2л . Зл , . , л
sin—=sin-j- =—1 #sin-p
то число 2л не является периодом данной функции. Итак, дока-
зано, что любое число Tf, 0 < 7\ < 4л, периодом данной функ-
ции не является. Следовательно, число 4л—главный период.
Пример 7. Найти главный период функции
# = 3 cos % + cos 2х.
Решение. Областью существования данной функции яв-
ляется вся числовая прямая. Пусть Г—период данной функ-
ции; тогда для любого х имеем равенство
3 cos (х + Г) + cos (2 (х + Л) = 3 cos х + cos 2х.
В частности, при х = 0 отсюда получаем, что возможное зна-
чение периода данной функции удовлетворяет уравнению
3 cos T + cos 2Г=4.
Поскольку cos Т 1 и cos 2Т 1, то 3 cos Т+cos 2Т«с4»
Поэтому число Т удовлетворяет системе уравнений
Г cos Т = 1,
| cos 2Г= 1.
Среди решений этой системы наименьшим положительным реше-
нием является число Т0 = 2л.
156
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Проверим, что Г0==2я действительно является периодом
данной функции. В самом деле, для любого х числа х-|-2л;
и х-—2л принадлежат области существования данной функции и
3 cos (х+2л) + cos (2 (х+2л))=»3 cos x+cos2x, xgR.
Таким образом, число Т0 = 2л является главным периодом дан»
ной функции.
Пример 8. Является ли периодической функция
f (x) = C0S2x + C0S2 (1 +^)~“2 COS 1 COS X COS (1 + %) — i?
A
Решение. Областью существования данной функции есть
вся числовая ось. Для каждого х справедливы равенства:
2 cos 1 cos x»cos (1 +%)-|-cos (1— х),
— 2 cos 1 cos X COS (1 4-х) == — COS2 (1 +x) — COS (1 +x) cos (1 —x),
COS3 (1 +x) —2 COS 1 COS X COS (1 -|-x) == — cos (1 +x) cos (1 —x)«
— cos 2 cos 2x
2 2 *
o 1 2cos2x—'1 cos 2x
cos^~y=---------2----:
поэтому данная функция тождественно равна функции f (х) =
— cos 2
j—•
Далее для любого xgR и любого TgR, Т ф 0, числа х-\-Т
и х«-Т также принадлежат области существования данной
функции и
Следовательно, данная функция является периодической с пе-
риодом Т, где Т—любое отличное от нуля число. Так как среди
всех положительных чисел нет наименьшего положительного
числа, то данная периодическая функция не имеет главного
периода
Итак, не всякая периодическая функция имеет главный
период. Кроме функции f(x) = c, xgR, где с—фиксированное
число, примером периодической функции, не имеющей главного
периода, служит также функция Дирихле:
( К если х-рациональное число,
0, если х — иррациональное число.
Действительно, сумма двух любых рациональных чисел есть
рациональное число, а сумма любого рационального и любого
иррационального чисел есть иррациональное число. Поэтому для
каждого иррационального числа ос, например, при х=1 имеем
D(l+a)==0?6 !=£>(!),
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 157
Следовательно, среди всех иррациональных чисел нет ни одного,
которое было бы периодом функции Дирихле
При любом х и каждом рациональном числе Т справедливо
равенство
D(x + T)=;D(x).
Следовательно, любое рациональное, не равное нулю число
является периодом функции Дирихле. Но среди всех положи-
тельных рациональных чисел нет наименьшего положительного
числа; поэтому функция Дирихле главного периода не имеет.
Однако если функция f (х) непрерывная, периодическая
и отличная от постоянной, то можно показать, что она имеет
главный период.
Свойства периодических функций:
1°. Если точка х0 принадлежит области определения перио-
дической функции f (x) с периодом Г, то ее области определения
принадлежат и все точки х^пТ, где п —любое целое число.
В частности, это означает, что область определения периодиче-
ской функции содержит положительные и отрицительные числа,
сколь угодно большие по абсолютной величине.
Например, функция у — log2 (— х) не является периодической,
так как любое х^О не принадлежит ее области определения.
2°. Периодическая функция не может иметь на своей области
определения конечного числа точек разрыва.
1
Например, функция у — 2х(х+1) не является периодической,
так как она имеет только две точки разрыва: х = 0 и х==—1.
3°. Периодическая функция принимает каждое свое значение
в бесконечном числе точек х, среди которых есть положительные
и отрицательные числа, сколь угодно большие по абсолютной
величине. В частности, периодическая функция не может быть
строго монотонной на всей области определения.
Пример 9. Доказать, что функция
Z(v)_10^-x+l
не является периодической.
Решение. У равнение
1 Ох2 — х + 1_
х2 + х+1 а*
где а —некоторое фиксированное число, принадлежащее области
значений функции f (х), не может иметь более двух корней. По-
этому каждое свое значение а из отрезка
функция f (х) принимает не более чем в двух
точках; следовательно, она не является периодической,
23 — 2 V 103 .
3
23+2 К103
3
158 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
4Q. Если / (х)— периодическая функция, определенная на
всей числовой прямой, то уравнение
+ =
где Т рассматривается как неизвестное, а х-^как параметр,
имеет по крайней мере одно положительное решение Т = Г0,
удовлетворяющее этому уравнению при каждом значении х.
В частности, если для функции f (х) существуют такие х — а
и х=4, что уравнения f (а + Г) =7 (а) и f (b+ Т) ~ f (b) не имеют
общего положительного решения Т=Т0, то f(x) не является
периодической функцией.
Пример 10. Доказать, что функция
f (x) = x4-[x]4-arctg х
не является периодической.
Решение. Согласно свойству 4°, достаточно указать такие
х=а и х==&, что система
J f(a+T) = f(a)t
I f(b+T)^b
относительно Т не имеет положительного решения.
Ёозьмем х = 0 и х = —Т. Тогда получим систему
Г Т—[ГЦ-arctg Т = 0,
I _ Г— [— Т] — arctgT=0,
которая не имеет положительного решения. Действительно, скла-
дывая уравнения системы, получаем, что — [Г] — [— Т] = 0, т. е.
ГП + 1—71].==0, которое верно только при Т — п, где n^Z. Тогда
из первого уравнения системы имеем, что arctg/i —0, п g Z; это
верно только при « = 0, т. е. Т = 0. Таким образом, функция
х —[хЦ-arotgx не является периодической.
5°. Если функция f (х) с периодом Т ограничена на некото-
ром отрезке [а; а-|-| 7* |] из области определения, то она ограни-
чена на всей области определения. В частности, если периоди-
ческая функция f (х) непрерывна на всей числовой прямой, то
существует такое число М > 0, что неравенство |/(х)|^Л1 вы-
полняется при каждом х.
Отсюда следует, что непрерывная и не являющаяся ограни-
ченной на всей числовой прямой функция не будет и периоди-
ческой.
Пример И. Доказать, что функция
^/ = Х2 COS X
не является периодической.
Решение. Данная функция непрерывна на всей числовой
прямой.
Если покажем, что функция у — х2 cos х не является ограни-
ченной, то, согласно свойству 5°, она не будет и периодической.
В самом деле, если для любого числа М > 0 взять Xq==
==(2+2[Л4])л, то
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 159
| Хо cos Xq | = л2 (2 + 2 [Af])2 cos (2л^2 [УИ] л) = л2 (2+2.[Л4])2 > М.
Следовательно, данная функция не является ограниченной, а зна-
чит, не будет и периодической,
6°. Пусть функции fi (х) и /2 (х) определены на всей числовой
прямой и являются периодическими. Если Tj > 0 — период функ-
ции ft (х), а Т2 > 0 —период функции f2(*)> причем Т\ и Т2
таковы, что число является рациональным, то функция
fi W (х) периодическая.
Аналогичные утверждения верны для разности и произве-
дения двух периодических функций, определенных на R.
Пример 12. Доказать, что функция f(x) = cos Злх + sin 2лх
является периодической.
Решение. Заметим, что функции ft (х) = cos Злх и /2 (х) —
— sin2nx определены на всей числовой прямой, являются перио-
дическими и имеют в качестве своих периодов, например, числа,
равные соответственно 7^ = 2/3 и Т2=1. Так как —2/3, то
функция f (х) по свойству 6° является периодической; ее перио-
дом, например, является число Т = 4, так как 7=671 = 47^.
Пример 13. Найти главный период функции
, Зх х
f(x) = sin-j — cos у.
Решение. Область существования данной функции есть
гт v , Зх ' 2л 4л
вся числовая ось. Период функции sinравен 7^i=-57n=”5~»
£> О/ & О
х 2л
а период функции cos пт равен 7,2=-г^-=6л. Так как 12л ==
о 1/о
==97\ = 2Т2, то 12л есть период функции /(х). Докажем, что
12л — главный ее период. Пусть существует период t функции f (х)
такой, что 0</< 12л. Тогда при каждом х справедливо ра-
венство
, 3 . ... x-\-t , Зх х
sin у (х + 0— COS—l~==siny — cos у.
В частности, при х = 0 и х=—t соответственно получим
'3/ t
Sin—----COSy = —1,
, 3t , t л
sin -у-4-cos у = 1.
Вычитая из второго равенства первое и сократив полученное
равенство на 2, имеем cosy==l, т. е. / = 6лА, где k£Z. Из ус-
ловий 0 < 6л£ < 12л и k^Z следует, что k—i. Поэтому, если
существует положительный период функции f(x) меньше 12л,
он равен 6л. Но, например, при х = —5л имеем/(—5л+6л)
9&f(—5л); следовательно, 6л не является периодом f(x). Итак,
12л—главный период функции f (х).
160
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Пусть дана функция у — ?(х), х g (а; Ь), где а < Ь. Если при
некотором положительнохм I каждому х g (а; Ь) поставить в соот-
ветствие g(x)== / I ----1—j , то функция #=g(x), xg(0; Z),
принимает соответственно все значения функции y — f(x), х
g (а; д). Например, на рис. 2.17, а изображен график функции
х g (—2; 3). а на рис. 2.17, б—график функции у==
*==£(*)> которая принимает все значения функции у=х2 + 1,
#€(—2;3), на интервале (0; 1), т. е. график функции у=(5х—2)а+1,
х € (0; 1).
Пусть дана функция y=f(x), х £ (0; /), где /—фиксирован-
вое положительное число. Эту функцию можно доопределить на
всю числовую ось так, что полученная функция будет периоди-
ческой с главным периодом I и называться продолжением данной
функции на R. Действительно, если каждому х g (n/; 1-%-nl), где
п € Z, поставить в соответствие g(x) — f(x—nl) и каждому х g
g гДе rcgZ, поставить в соответствие g (х) = с, где с — фикси-
рованное число, то функция y=g(x), x.g R, является периоди-
ческой функцией с главным периодом I и периодическим продол-
жением данной функции на R.
Например, на рис. 2.18, а изображен график функции f (х)=»
«=х^4-1, х g (0; 1), а на рис. 2.18, б—график ее периодического
продолжения на R с главным периодом Т=1, т. е. график
функции
J (х—п)й+1, х g (д; д4~1), д g Z,
о, х.gw. ngz.
Пусть дана функция ^ = f(x), х g (0; Z), где фиксирован-
ное положительное число. Эту функцию можно доопределить
на всю числовую ось так, что полученная функция будет нечет-
ной и периодической с главным периодом 2Z и называться ее
нечетным периодическим продолжением на R, Действительно,
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
161
если каждому х € (°; О поставить в соответствие g(x) = f(x),
каждому xg (—/; 0) поставить в соответствие g(x) =—f(—х)
ft положить g(0) = 0, то функция (/ = g(x), % g (—Z; /), является
нечетной. Затем, если каждому х g (~ l^2ln\ l+2lri)t где ngZ,
X
поставить в соответствие т (x) = g (х—2Zn), а каждому xg{2nZ-pZ},
где п g Z, поставить в соответствие т(х) = 0, то функция у =
= т (х), х g R> является четной и периодической функцией
с главным периодом 2Z и нечетным периодическим продолжением
данной функции на R.
Рис. 2.19
Например, на рис. 2 J9, а изображен график функции f (х) ==
= х?4-1> х g (0; 1}, на рис. 2.19, б—график ее нечетного про-
должения на (— 1; 1), т. е. график функции
fx2+i, х g (0; 1),
g(x) = { О, xg{0},
V—х2—1, хё(— 1; 0),
а на рис. 2.19, вграфик ее нечетного периодического продол-
жения на R с главным периодом Т=2, т. е. график функции
( (х—2л)а4-1, х g (2n; 1 4-2л), п g Z,
т (х) = ! 0, х. g {«}, п g Z,
\ — (x-*n)a—> 1, х g (— 14~ 2м; 2n)t и g Z.
6 Задачи по математика. Начала анализа
162
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Пусть дана функция у — f (х), х g (0‘, 0> гДе —фиксирован-
ное положительное число. Эту функцию можно доопределить
на всю числовую ось так, что полученная функция будет четной
и периодической с главным периодом 21 и она называется е©
четным периодическим продолжением на R. Действительно, если
каждому х g (0; I) поставить в соответствие g(x)—f (х), каждому
х g (— 0) поставить в соответствие g (х) = } (— х) и положить
g(O)~c, где с — некоторое фиксированное число, то функция
y = g (х), х g (— Z; Z), будет четной. Затем, если каждому х g
g (—Z4-2nZ; 1-{-21п), где п g Z, поставить в соответствие т(х) =
= g(x —2Zn), а каждому х g {(Z + 2Zn)}, п g Z, поставить в соот-
ветствие т(х) — А. где А — некоторое фиксированное число, то
функция у— /п(х), xg R, является четной периодической функцией
с главным периодом 2Z и четным периодическим продолжением
данной функции на R.
Например, на рис. 2.20, а изображен график функции f (х) =
= х24-1, х g (0; Г), на рис, 2,20, б—график ее четного продол-
жения на (—1; 1), т, е, график функции
fx*+l, х g (0; 1),
— L x g {0},
xgHhO),
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 163
а на рис. 2.20, а—график ее четного периодического продолже-
ния на R с главным периодом Т = 2, т. е. график функции
' (х—2n)2 + 1, х (2п; 1 4-2n), п £ Z,
, ч — 1, х б {2n}, п g Z,
w | (х —2п)2+1, х g (—l+2n; 2n), п £ Z,
1, xg{l+2n}, n g Z.
Пусть дана периодическая функция y = f(x), х g R, с глав-
ным периодом I. Если каждому х g R поставить в соответствие
g (х) — f (lx/а), то функция y~g(x), х g R, является периодиче-
ской функцией с главным периодом а.
Например, на рис. 2.21, а изображен график периодической
функции f(x)=3sinx, х £ R, с главным периодом 2л, а на
рис. 2.21, б —график соответствующей ей периодической функ-
ции g (х) = 3 sin , х g R, с главным периодом 4.
ЗАДАНИЕ 1
1. Доказать, что число 2л является периодом функции:
1) y==4^°sS 6ib2x: 2) 4'=«>s*+s«n5*; 3) {/ = cos2x+tgy.
2. Найти главный период функции:
1) # = 3sin2x; 2) #==cos x-|-sin х;
3) z/ — 3 sin x + sin 2х; 4) z/ = sin4x.
3. Сформулировать, что означает следующее утверждение!
число Г, Т Ф 0, не является периодом функции ^ — /(х), х^Х»
4. Доказать, что каждая из следующих функций не является
периодической:
1) у =:'х2 sin2 х; 2) у = х2 — 3) у = cos х2;
.. х~—8
4) z/=cos ]/ х; 5) у=--^.
5. Доказать, что сумма двух периодических функций с оди-
наковыми областями определения и общим периодом Т есть
функция, периодическая с периодом Т.
6. Доказать, что функция f (x) = sin Злх + cos 2лх4-Л£
является периодической, и найти один из ее периодов.
ЗАДАНИЕ 2
1. Доказать, что число л является периодом функции:
м ™ лч sin 2х
1) #=cos70x; 2) —г-т-;
' у J l + sm2x
3) # = tg2x-**|cosx|; 4) #=ctg2x,
2. Найти главный период функции:
1) f/ = cos-i-, 2) ^=cos2x;
3) У~\ sin3x[; 4) #=»2 sin x-f-cos х,
6*
164 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
3. Сформулировать, что означает следующее утверждение:
функция y = f(x)9 х g X, не является периодической.
4. Доказать, что каждая из следующих функций не является
периодической:
1) sin 2) у~х cos х; 3) у~ | sin х |—х; 4)
5. Является ли периодической следующая функция:
1) г/ —sin 1К| х |; 2) ^=K|sinx|.
6. Является ли периодической функция h (х) — f (x)-f-g W,
если функции f (х) и g (х) определены на одном и том же мно-
жестве X и f (х) имеет период 2л, a g (х) имеет период л?
7. Доказать, что функция
____________________ "[/'"я ,
у = sin р^ Зх -J- cos —— х tg 7 р^ Зх
является периодической, и найти один из ее периодов.
Упражнения
1. Доказать, что каждая из следующих функций является
периодической:
1) ji=2sin ; 2) tg (2х-|-5-) ;
3) у = log1/2 cos 2х; 4) y=tg (sin х);
б)^=2+^:
7) у=$ ’inx+cosxl. 8) у==у | gin | х 11 j
9) у = 5 sin Зх—7 cos Зх; 10) у— 1 + Кlog2 cos xj
11) </ = 2 cos2 rx+tg xctg x; 12) y = tg x-f-—i-;
1V CUo X
13) у = 1g sin x+ lg cos x; Г4) у = sin 2x sin 3x cos 5x;
15) у = | sin (tg x4-ctg x) I; 16) # = arcsin (sin x);
17) y=arctg (ctg x); 18) у(81п x-J-cos x)24-2;
Z SIH -ZJp
^^arctglijcosx , = arcsin4±tg_x
' 1—4 cos x ’ y 4—tgx
2. Доказать, что число T не является периодом функции
r/ = tg х, если 0 < Т < л.
3. Доказать, что число Т = 2 не является периодом функции
*/=ctgx.
4. Доказать, что каждая из следующих функций является
периодической, и найти ее главный период:
1 х
l)^=ycos2v; 2)// = siny; 3) # —sin^x;
4) у~ | cos x I; 5) ^^tg4mx, tn 0;
§6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 165
6) у~3 cos x-f-sin 2х; 7) у —sin ^2x~J—;
8) у = {2х}; 9) y = sin2 (х—1); 10) у= cos J^lx.
5. Доказать, что каждая из следующих функций не является
периодической:
1) у ~xs; 2) у = х4; 3) # = cos(]/ х)2; 4) # = хсоз2х;
5) y==sin|x|; 6) у — tg|x|; 7} у~ sin х2;
я\ «-sin 1 • 9) и- x2+1 • 10) и- Кt°ga | stn х|
8)j/--Sinx, У) ^-х2 + 2х+3’ 10)f/---------
11) y=)/’ lg sin2x+xtgx; 12) r/ = x + sinx;
13) y~ cos V 2x; 14) у = (sign2 x) cos x.
6. Доказать, что каждая из следующих функций не является
периодической:
1) у~ cos x-f-sln (х К 2); 2) у~ cos х cos У^2х\
3) у — sin x4-sin лх.
7. Доказать, что если функция у (х) = cos х+sin ах периоди-
ческая, то а—рациональное число.
8. Привести пример функции, у которой все рациональные
числа, отличные от нуля, являются ее периодом, а иррациональ-
ные числа периодом не являются.
9. Существует ли функция, для которой каждое иррациональ-
ное число является ее периодом, но не существует рационального
числа, являющегося ее периодом?
10. Привести пример двух периодических функций, опреде-
ленных на всей числовой прямой и имеющих одинаковый пе-
риод Т, произведение которых есть функция с периодом 7\
(0 < Т1 < Т).
11. Доказать, что функция, определенная на всей числовой
прямой, кроме одной точки, не является периодической.
12. Доказать, что если функция не определена для всех
х^а (х<:а), то она не является периодической.
13. Привести пример функций f (х) и^(х), каждая из которых
не является периодической, таких, что функция:
1) Ш+gW; 2)f(x)g(x)
является периодической и имеет главный период.
14. Привести пример периодической функции f (х) и функ-
ции g(x), не являющейся периодической, таких, что функция:
l)/W+g(x);
2) f(x)g(x)
является периодической и имеет главный период.
15. Функция у = /(х) имеет период Т = 1 и на промежутке
(0; 1) задана формулой у = х2-—х. Найти f(2), f j,
25у).
16. Доказать, что если функция y=f(x) определена на всей
числовой прямой и ее график симметричен относительно двух
осей х~-а и х==6 (Ь £ а). то функция является перио-
дической.
166
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
17. Доказать, что если функция y—f (х) определена на всей
числовой прямой и ее график симметричен относительно двух
точек А(а\ yQ) и В (£>; yi) (b > а), то функция y=f(x) есть
сумма линейной функции и периодической функции.
18. Доказать, что если функция y—f(x) определена на всей
числовой прямой и ее график симметричен относительно точки
А (а; уп) и прямой х = 6 (Ь /= а), то функция y=f(x) является
периодической.
19. Привести пример четной периодической функции такой,
что ее значения в каждой точке множества X совпадают со зна-
чениями функции y=f(x), х^Х, если:
Х = [0; 1];
( 0, xg [0; 1/2],
2) Ф х = 10; И»
3) # —2—|х—3|, Х = [2,5; 4,5].
20. Продолжить функцию у=(х—2)2—-1, xg(l/2; 2) на всю
числовую прямую так, чтобы полученная функция была:
1) периодической и четной;
2) периодической и нечетной.
§ 7. Выпуклые функции
Функция f (х), непрерывная на промежутке X, называется
выпуклой вверх, если для любых хх и х2 из этого промежутка
и любого числа ag(0; 1) имеет место неравенство
f (а*! + (1 — а) х2) а/ (хх) 4- (1 — а) f (х2)
(соответственно для выпуклой вниз
f (ах, + (1 — а) х2) < а/ (xi) + (1 — а) f (х2)).
Геометрически свойство
выпуклости вверх функции
f (х) на промежутке X озна-
чает, что точки любой ду-
ги АВ графика функции
У=Цх), где Л = (хг, f (х,))
и В==(х2; f (х2)), лежат
не ниже хорды, стягиваю-
щей эту дугу (рис. 2.22)*
В самом деле, левая часть
неравенства есть значение
функции f (х) в точке
х = ахх + (1—а) х2, а правая
часть—значение в этой же
Рис. 422 точке линейной функции,
график которой проходит
через точки Л = (хх; f (xi))
и В = (х2; /(х2)) .
Отметим, что точка ахх + (1 х2 для любого ag(0; 1)
принадлежит интервалу (xi;x2). Верно и обратное: любое число х
такое, что х$ < х < х2, может быть единственным образом пред-
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
167
ставлено в виде х —+ —а) х2 (где ag(0; 1)):
х2 —* . Л Х2 — Х\ х2 —х . X—*Xi
*=-—— *х+Х2==/ г *i+~;—т~х*-
X2~~~“Xi \ Х2 Xi J Х2*“--ХХ Х2 *"*“ Х1
Пример 1. Доказать, что функция у—х* 3 выпуклая вниз
на всей числовой прямой.
Решение. Рассмотрим любые числа xt и х2 и число
ag(0; 1). Тогда
У (ахх + (1 — а) х2) = (ахх + (1 — а) х2)2 =
==а2хх + 2а (1 — а) ххх2 + (1 —а)2 х2,
ay (*i) + (1 —а) У (*г) = ах! + (1 —а) xi,
и поскольку
у (ахх + (1 — а) х2)—ay (хх) — (1 — а) у (х2) =
= а2хх + 2а (1 —а) ххх2 + (1 —а)2Х2—ах! —(1 —а) xt =
= xi (а2 — а) + xi ((1 — а)2 — (1 —а)) + 2а (1 —а) ххх2 =
« Xi (а2 — а) + xl (а2 — а) — 2 (а2 —а) ххх2 ==
==(а2 —а) (х! — 2ххх2 + х!) = а (а— 1) (хх—х2)2 < О,
то требуемое утверждение доказано.
Для непрерывной на промежутке функции данное выше
определение выпуклости (при а=1/2) равносильно следующему:
функция f(x), непрерывная на промежутке X, называется
выпуклой вверх (вниз), если для любых точек хх и х2 из этого
промежутка имеет место неравенство
f 4~ *2 f (xi) 4~ f (^2)
(соответственно неравенство
xi+x2 \ f (xt) + f (х2)\
' V 2 2 J‘
Пример 2. Найти участки выпуклости функции у~х\
Решение. Найдем знак разности f ——
/ (х^ f (х2) в .
— v для Даннои функции.
Имеем
/ ХХ*£~Х2 Х1*4~Х2 ЗхХ Зххх2 ЗхХХз *”“ Зхз
J _
3
=— g- (*1+*2) (Xi—х2)2.
Таким образом, если х2>хх^0, то исследуемая разность
отрицательная, и, следовательно, функция у = х3 выпуклая вниз
на промежутке [0; 4-оо); при хх<х2^0 исследуемая разность
168 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
положительная, и, следовательно, на промежутке (—со; 0]
функция выпуклая вверх. "
Пример 3. Доказать, что функция у==sin х выпуклая
вверх на Зтрезке [0; я].
Решение. Для доказательства достаточно показать, что
при любых Xf и х2 из промежутка {О; я] имеет место неравенство
, Xf + *2 sinxi + sin х2
sin---я--------------п-----
Имеем
хг + х2 sin Xt + sin х2 sin *i + *2
-г» . Х1 Ч~-^2 — Х2
2Sin^__ cos-^-
-------------------=sm-
cos (Xi — х2)
2
Так как 0<1Х1«Ся и 0«Сх2^л, то 0^—•“^‘ — ^я, и, следова-
. Xi Ч” Х'2 - л г-т 1 Xi Ч~ ^2 л
тельно, sin-i——^0. Поскольку 1—cos ——2^0, то для
любых Xi и х2 из промежутка [0; я] имеет место неравенство
с. Xi + x2 sinxi+sin x2 .
sm 2 2 ’
тем самым нужное утверждение доказано.
Свойства выпуклых функций:
1°. Если функция f(x) выпуклая вверх (вниз), то функ-
ция —f (х) является выпуклой вниз (вверх).
2°. Произведение выпуклой вверх (вниз) функции на поло-
жительную постоянную является выпуклой вверх (вниз) функ-
цией.
3°. Сумма двух выпуклых вверх (вниз) на одном и том же
промежутке функций также является выпуклой вверх (вниз)
функцией.
4°. Пусть функция # = ф(и) выпуклая вниз и возрастающая
и функция ц = /(х) также выпуклая вниз. Тогда сложная функ-
ция y = q(f(x)) будет выпуклой вниз.
В частности, если функция f(x) выпуклая вниз и прини-
мает только положительные значения, то функции
Р (х), а/ <*>, а > 0, а # 1,
являются выпуклыми вниз.
Справедливы также утверждения, содержащиеся в табл. 2.1.
В частности, если функция f (х) выпуклая вверх и прини-
мает только положительные значения, то функции
> ioga f{x), О < а < 1,
являются выпуклыми вниз.
§7, ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ $9
.Таблица 2.1
Ф (и) « = / (X) Ф (f (х))
Выпуклая вниз, убывает Выпуклая вверх, возрастает Выпуклая вверх, убывает Выпуклая вверх Выпуклая вверх Выпуклая вниз Выпуклая вниз Выпуклая вверх Выпуклая вверх
5°. Пусть функции У— f (х) и y = g(x) являются взаимно
обратными функциями (в соответствующих промежутках), тогда:
а) если функция f (х) выпуклая вверх и возрастает, то
функция g(x) выпуклая вниз и возрастает;
б) если функция f (%) выпуклая вверх и убывает, то функ-
ция g (х) выпуклая вверх и убывает;
в) если функция f (х) выпуклая вниз и убывает, то функ-
ция g(x) выпуклая вниз и убывает;
г) если функция / (х) выпуклая вниз и возрастает, то функ-
ция g(x) выпуклая вверх и возрастает.
6°. Выпуклая вниз (вверх) на отрезке [а; д] функция f(x),
отличная от постоянной, не может достигать наибольшего (наи-
меньшего) значения во внутренней точке отрезка [а; 6].
7°. Если каждая из функций fi (х), ..., fn (х) выпуклая
вверх на некотором промежутке и принимает только неотрица-
тельные значения, то функция ft (х)*... *fn(x) также является
выпуклой вверх на этом проме-
жутке.
Отметим, что произведение
двух выпуклых вверх на одном
хи том же промежутке функций
может не быть выпуклой вверх
функцией. Действительно, функ-
ция г/==х2/з при х^О является
выпуклой вверх, однако функция
у = х^/з3 х^О, являющаяся квад-
ратом функции // = х2/з, х^>0,
будет выпуклой вниз (рис 2.23).
Пример 4. Исследовать на
выпуклость функцию
у = ах2-^Ьх+о.
Решение. Ейли а = 0, то данная.функция является ли*
нейной й поэтому является как выпуклой вверх, так и выпуклой
вниз на всей числовой прямой.
Если а £ 0, то, выделяя полный квадрат, получим
/ b V — 4ас
у~а х4-т~- 1 ------------
* \ 1 2а ] 4а
Отсюда замечаем, что данная функция получается из функции
/ . b \2
путем умножения на постоянную величину а и
170
ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
4cic. b2
последующего прибавления числа—. Так как прибавле-
ний постоянной (свойство 3°) не меняет характера выпуклости, то
(fo \ 2
Х~^2а) ’
/ Ъ V
Функция у = ( х+j является выпуклой вниз на всей
числовой прямой (геометрически это ясно, так как график функ-
ции у== ( х^2а ) получается из графика функции у — х2 при
помощи параллельного переноса вдоль оси абсцисс). Отсюда
(свойство .2°) заключаем, что если а > 0, то функция у =
= , а следовательно, и функция у==ах2~\-Ьх~[-с
выпуклая вниз на всей числовой прямой. Если же а < 0, то
(свойство 1°) заключаем, что функция у~ах2-\~Ьх-[-с является
выпуклой вверх.на всей числовой прямой.
Пример 5. Доказать, что функция у = loga х, а > 1, яв-
ляется выпуклой вверх на промежутке (0; +<ю).
Решение. Пусть Х{ и х2—произвольный точки такие, что
х2 > Xi > 0. Имеем
logfl --у-—1о8о loga xa = l°g«-2y=--
Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометри-
ческом следует, что
Xi-J- x2
2
т. е.
Xj + *2
Следовательно,
loga-^^
2 КХ]х2
и тем самым
log®
2
xf + x2 logg Xi + logg х2
2
Это означает, что функция у =loge x, a > 1, является выпук-
лой вверх на промежутке (0; +<ю).
Отметим, что из доказанного в примере 5 свойства функции
y==logax, а > 1, и свойства 5° следует, что функция у=а\
а > 1, является выпуклой вниз на всей числовой прямой.
Пример 6. Доказать, что если функция <р (у) является
выпуклой вниз и возрастает на интервале (/ (a); 1(b)), а функ-
ция y^f(x) выпуклая вниз на интервале (а; &), то сложная
функция у = ср (f('x)) является выпуклой вниз на интервале (а; 6).
Решение. Так как функция f (х) выпуклая вниз, то для
любых Xi и х2 из интервала (а; Ь) и таких, что xi < х2, имеет
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
17L
ФШ
место неравенство
Xj -j- Х2
2
Так как функция ф («/) возрастает, то
<р (/ (—) <(р (yfM+y ^(*2)) •
Ввиду того что функция ф является выпуклой вниз, то правая -
часть в последнем неравенстве не превосходит величины
У ф (*!» + у Ф (/ W) т- е-
Х1 + *2^ ф(/(Х1))+ф(/(Ж2» .
Это и означает выпуклость вниз функции cp(f(x)).
Пример 7. Доказать» что если функции y=f(x) и x=g(y)
являются взаимно обратными функциями (на соответствующих
промежутках) и функция y~f(x) выпуклая вниз и возрастает,
то функция x=g(y) выпуклая вверх.
Решение. Пусть х± < х2, где Xj и х2 —любые точки из
промежутка, на котором функция ^ = f(x) выпуклая вниз и
возрастает. Так как f (х) и g (у)-—взаимно обратные функции, то
У1=ЦХ1), ys—fiXi), Xi=g(yt), x2=g(y2).
Поскольку функция f (х) выпуклая вниз, то
« [ \__.f (*i)+f (*г)_Z/i+z/г
Г\ 2 2 ~ 2 ’
Так как по свойству обратных функций функция g(y) является
возрастающей, то
Г,(У1+У2\~^„(f (Xi + X2\\ Xi + X2 _g(y!)+g(y2)
g 2 )^8\' \~2 ) J------2 2 ’
что и доказывает выпуклость вверх функции g(y).
Отметим, что доказанное свойство легко проиллюстрировать
на рисунке, используя способ, построения графиков взаимно
обратных функций.
Пример 8. Доказать, что выпуклая вниз на отрезке [а; Ь]
функция у = /(х), отличная от постоянной, не может достигать
своего наибольшего значения ни в одной точке интервала (а\ Ь)<
Решение. Допустим противное, т. е. предположим, что
функция y~ f (х) в некоторой точке xog(a; b) достигает своего
наибольшего значения. Так как функция отлична от постоянной,
то найдутся такие точки х± и х2 из интервала (а; Ь), что хотя бы
в одной из нцх значение функции будет строго меньше, чем
значение в точке х0. Пусть, например, f(xt) < /(х0), f (х2)<С/(х0).
Существует число а, ag(0; 1), такое, что Xo = axi + (i **а)
Умножив обе части неравенства f (xi) < f (х0) на а, а неравенства
f (х2) < f (х0) на и сложив полученные неравенства, по-
лучим
«/ +11 -а) / М < / W =/ 4- (1 —а) х2).
|72 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
чт& противоречит тому, что функция f (х) является выпуклой
вниз на [а; Ь].
Значит, на интервале (а; Ь) не существует точки, в которой
функция достигает наибольшего значения.
Отметим, что так как непрерывная функция на отрезке [а;
----- наибольшего значения, то для функции f (х), выпуклой
зна-
кон-
достигает
лости
на отрезке [а; Ь\, наибольшее
одном из
Доказать,
и f2(x) выпук-
что
чение достигается в
цов отрезка [а; Ь].
Пример 9.
если функции fa. (х)
лые вверх на некотором промежутке
и принимают только неотрицательные
значения, то функция уfх (х) f2 (х)
также является выпуклой вверх на
том же промежутке.
Решение. Пусть F (х) =
=fi Wfa (*). По условию для лю-
бых х и у из промежутка выпук-
вверх функций fi (х) и fa (х), х < у, и любого a, ag(0;l),
имеем
F (ах + (1 —а) у) = fa (ах+(1 —а) у) f2 (ах + (1 —а) у)
й" (а/i (х) + (1 — а) f i (г/)) (а/2 (х) -f- (1 — а) f 2 (у)) =
= а2/1 (х) h (х)+а (1 — а) (fi (у) f2 (х) + fi (х) (У)) +
+(1-«)2М</)Му).
Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем
геометрическом, имеем
h (У) f» (х) + fl (X) h (У) 2 Vfi(x)f2(x)fi(y)fay1) = 2 /F(x)FG/).
Таким образом,
F (ах-f-(1 ~a)y)^a*F(х) + 2а(I -a) /F(x)F(y) -f-(l-а)*Г (у)=
ЧаК^х) + (1-а)/>(у))2,
т. е.
/F(ax+(l~a)(/) Ssa + (1 -а)
Следовательно, функция У ft (х) /2 (х) является выпуклой вверх.
Пример 10. Биссектрисы внутренних углов А, В и С
треугольника АВС пересекают описанную около этого треуголь-
ника окружность в точках At, В± и С< соответственно. Дока-
зать, что периметр треугольника АВС не превосходит пери-
метру треугольника AiB^Ct.
Решение, По свойству вписанных в окружность углов
(рис, 2,24) имеем
^=4'(Л+е)- ^=4(Л+й)<
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 173
Так как из теоремы синусов следует, что длина стороны
треугольника равна произведению удвоенного радиуса описан-
ной около него окружности на синус противолежащего угла,
то для периметра треугольника АВС и периметра треуголь-
ника AiB^Ct имеем соответственно
Р АВС = 2/? (sin А + sin В + sin S);
== 27? (sin Л t + sin Bf + sin Si).
Таким образом, для доказательства утверждения задачи нужно
доказать неравенство
sin Л sin й + sin С «с sin - + sin - + sin .
Поскольку функция y = sinx, х(£(0; л), выпуклая вверх, то
sin Л 4-sin В < 2 sin -At/L ; sin В + sin С< 2 sin I
л Л-4-С
sin Л + sinC< 2 sin—----
Складывая почленно эти неравенства, получаем нужное нера-
венство.
Отметим, что равенство достигается лишь тогда, когда
ЛВС—правильный треугольник.
Приведем полезное в приложениях неравенство Йенсена:
если выпуклая вниз функция f (х) определена на интер-
вале (a; b), a Xf, х2, .хЛ—точки интервала (а; Ь) и ах, а2> •••
..аи—неотрицательные числа такие, чтоа1+а2+ ... +а»= Ь
то справедливо неравенство
f (<ВД+«2^2 + • • + апХп) < aj (Xi) +... + anf (х„).
Отметим, что если среди чисел <Х{, а2, .an по крайней
мере два отличны от нуля, то знак равенства имеет место тогда
и только тогда, когда xi = x2== ... =хп
Для функции, выпуклой вверх, имеет место неравенство
f (ai^i 4~a2X24~ • ♦ • «if (Xi) 4" • • • + anf
Приведем примеры, как из неравенства Йенсена можно
получить некоторые другие неравенства.
Рассмотрим функцию у(х) = хр> х^О, р> 1. Поскольку
функция выпуклая вниз на [0; 4~°°)> то из неравенства Йенсена
получаем
(aixi +а2х2 +... + anXnf < «<х? + а2х? +«.. +-artx&
если ai + a2+... 4~an~ 1 и 04 > 0, ..an > 0.
Так как функция y—lnx выпуклая вверх на множестве
положительных чисел, то, согласно неравенству Йенсена, имеем
c&i In Xj a2 In ха 4“ •»» 4г In (P&iAi *4* * ♦ • 4г
174
ГЛ, 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
или
x*‘xfl .,.х%п*£ aiXj +...+ апхп,
где Xi > 0, а/ > 0, 1 С i«Сп и ai+a2 + • • • +а» = 1«
В частности, если aj = a2== *.. ~ап — l/п, то получаем не-
равенство, связывающее среднее арифметическое и среднее гео-
метрическое п положительных чи-
сел:
«/“—7 xi+*2+ • • •+хп
У *1^2 4 9 tXn ~.
При п = 2, «1= 1/р,
. 1 । 1 .
Xi=a, x2=b, — + „=1
неравенство Юнга
«2=1/^
получаем
Р 4 Q
Рио. 2.25 Пример 11. Среди всех выпук-
лых n-угольников (л^З), описан-
ных около данной окружности, найти л-угольник с наимень-
шим дериметром.-
Решение. Пусть Д1Д2.. .Дп**выпуклый n-угольник, опи-
санный около окружности радиуса г с центром в точке О. Если
Ва, точки касания его сторон с окружностью
(рис. 2.25), то
дл
А2В/ —А2В2—г ctgAsB3=AgB2 = rctg ...
Тогда периметр л-угольника AiA%itiAn равен
Рп=^ (ctg-^ А^ +ctg yA + ...+ctg-1-Лв) , Л,ё(0;л).
Функция P==ctg~, xg(0;л), выпуклая вниз. Тогда из нера-
венства Йенсена получаем, что
l(«g£+... +elgAl) - * 1 (ф+... +4).
Так как сумма внутренних углов вписанного л-угольника равна
л(л*»2), то отсюда следует, что
. Л । „ Ап л (л** 2)
ctgy-b • • 4- ctg -у Э» п ctg 1,
причем равенство достигается лишь в случае, когда Xf=Z2t=3 •»•
т. е. только в случае правильного n-угольника. Таким
©бравом,наименьшее значение периметра Рпбудет у правильного
^•угольника, и оно равно
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
175
ЗАДАНИЕ 1
1. Найти промежутки выпуклости вниз и вверх функции!
1) f(x) = x2; 2) f(x)—x3;
3) f (х)= 1/х; 4) f(x)~\/x*.
2. Доказать, что если функция y=f(x) на отрезке [а;&1
выпуклая вниз, то функция
y = f (x) + ax-}-b, at 6g R,
на этом отрезке также является выпуклой вниз.
3. Доказать, что если а > 0, то функция
^==ах2 + 6х+с, 6, cgR,
выпуклая вниз.
4. Доказать, что функция
у = х3-[-ах2 + Ьх+с, а, 6, cgR,
на промежутке [—а/3; + оо) выпуклая вниз.
5. Доказать, что если а < 0, то функция
^==ах8+6х24~са+^> а, 6, dgR>
/ —6]
на промежутке (—оо; -к— выпуклая вниз.
\ ud J
6. Доказать, что функция
1
У~ 1+Ха
1) на промежутке (—оо; —1/У" 3] и промежутке [ 1/У"3; +оо)
выпуклая вниз; _ _
2) на отрезке [—1/К 3; 1}^ 3] выпуклая вверх.
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти промежутки выпуклости 'вниз и вверх функции?
1) = 2) = х;
3) f(x)=l//7; 4) f (х)=1/р/х.
2. Доказать, что если функция y=f(x) на отрезке {а; Ь\
выпуклая вверх, то функция
y~f (x) + <2x-J-6, a, 6gR,
на этом отрезке также является выпуклой вверх.
3. Доказать, что если а < 0, то функция
y~ax2-{-bx-\-c> 6,cgR,
выпуклая вверх.
4. Доказать, что функция
^==х3+ах2 + 6х4-е?, а, 6, cgR,
на промежутке (—оо; —а/3] выпуклая вверх.
5. Доказать, что если а > 0, то функция
y — ax^^bx^cx-^-d, 6, с, JgR,
г \
на промежутке +00 1 выпуклая вверх.
J76 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
6. Доказать,. что функция
X
у~т+х*
1) на промежутке (— оо; 3] и отрезке [0; V" 3] выпук-
лая вверх; _ _
2) на отрезке [—К 3; 0] и промежутке [|/" 3;+©о) выпук-
лая вниз.
ЗАДАНИЕ 3
1, Найти промежутки выпуклости функции:
1) 0 = 1 *4-21; 2) 0=^4-х; 3) 0=tg х; 4) у=хъГ'.
2. Доказать, что если функция у=<р(и) является выпуклой
вциз и убывает, а функция и = /(х)-~ выпуклой цверх (на со-
ответствующих промежутках), то функция (р (/(*)) будет выпук-
лой вниз.
3. Среди всех выпуклых н-угольников (п^З), описанных
около данной окружности, найти n-угольник с наименьшей пло-
щадью.
4. Доказать, что если функция f(x) выпуклая вниз на
интервале (а; &), a xt, х2, хп принадлежат интервалу (а\ Ь)
« Pi» Р2> ♦ Рп**положительные числа, то
f ( Pixi+P^+-*+Pnxn \ Pi/OM+.-.+pnf (*я),
\ Pi + p2+**«+p« / Р1+Рг+ •• «+Рл
ЗАДАНИЕ 4
1. Найти промежутки выпуклости функции:,
1) 0=lg|*b 2) у=Л±1;
2. Доказать, что если функция ух=<р(«) является выпук-
лой вверх и убывает, а функция w — f (х)—-выпуклой вниз (на
соответствующих промежутках), то функция q(f(x)) будет вы-
пуклой вверх.
3. Среди всех треугольников с заданным углом А, описан-
ных около заданной окружности, найти тот, который имеет
наименьший периметр,
4. Пусть xt, х2, хп-** положительные числа и k > 1,
Доказать, что
Упражнения
1. Найти промежутки выпуклости функции;
§7. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
177
4) #==' 2Т-,-; 5) j/=x+slnx; 6) y=xlnx;
% “Г 1 (
7) z/=xsinx; 8) у = хх\ 9) # = arcsinx2;
10) ^ = arctgx; 11) # = x+ctgx;
12) (x24-l)(x2 + 2); .13) x(x+l)(x+2);
14) У-х^х+Г' 15) S'=l*l + l*-l |-Hx-2|;
16) y~\ xslnx|.
2. Доказать, что если функции f (х) и g(x) являются вы-
пуклыми вверх (вниз) на одном и том же интервале, то функ-
ция а/(x) + (Jg (х), где а^О, р^О, также является выпуклой
вверх (вниз) на этом интервале.
3. Доказать, что если функция y=f (х) является выпуклой
вверх (вниз) на всей числовой прямой и
.. f W г f W л
lim hm '—^ = 0,
Х-*Ч-00 X Х-+ — оо
то функция f(x)sO.
4. Функция f (х) такова, что”для любых Xj и х2
Доказать, что для любых Х£, х2 и х3 справедливо неравенство
f (*+.*±*) < 1 (f (Х1) + f (х2) + f (х8)).
5. Доказать неравенства:
1) х\пх-}-у\пу^(х+у) , х > 0, у > 0;
2) у (хи+г)^ х > °- у > °;
3)е1+£1>^+^) х^у.
6. В треугольник АВС вписана окружность. Отрезки ОА,
ОБ и ОС, где О—-центр окружности, пересекают ее соответст-
венно в точках М, N и Р. Касательные, проведенные в точках
М, N и Р, образуют треугольник АВС. Доказать, что периметр
треугольника АВС не меньше периметра треугольника
7. Доказать, что для любого треугольника АВС, длины
сторон которого равны а, Ь, в и радиусы вписанной и описан-
ной окружностей равны г и R соответственно, имеет место не-
равенство
8. Среди всех треугольников с данным углом А, вписанных
в данную окружность, найти тот, который имеет наибольшую
площадь»
178 ГЛ. 2. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
9. В треугольник АВС вписана окружность, а в нее вписан
треугольник Доказать, что периметр треугольника АВС
не меньше удвоенного периметра треугольника
10. Доказать, что если a-f-p + y — n;, то:
1)- sin a+sin P4-sin y=Ccos ~4’"cos”|’+cos7r *>
£ z z
2) ctg-|-(a+P) + ctg-i-(₽ + Y) + ctg -A- (a + y) <
<ctgy4-ctg-|-|-ctg^-;
3) tgy+tg y+te y<ctga+ctg P+Ctg Y-
11. Доказать, что для любого остроугольного треугольника
АВС С'углами А, В и С справедливо неравенство
ctg4-^+ctgl^+ctglc<tg Л + tgB + tgt?.
Z Z Z
ГЛАВА 3
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
§ 1. Свойства и графики
основных элементарных функций
Графиком функции у=/(х), xgX, называется множество
всех точек координатной плоскости XOY вида (х; f (х)), где
xgX, т. е.
Г/=={(х;у): xgX, y=f(x)}.
Графики двух тождественно равных функций совпадают,
Поэтому при исследовании свойств функции и построении ее
графика можно функцию заменить тождественно равной ей и ис-
следовать последнюю. Так, например, функцию у = х2/х заме-
няют функцией у=х, xgR\{0}; функцию z/ = 2log^—функцией
#=х, xg(0;+oo); функцию z/=sin a resin х—функцией г/=х,
*€[-1; 1] (рис. з.1).
Ри@, ЗЛ
Исследование свойств функции проводится по следующей
схеме:
1) находится область ее существования, если не задана
область определения;
2) находятся нули функции и промежутки, на которых
функция положительна, и на которых она отрицательна; изу-
чается характер поведения функции в граничных точках области
определения, в частности при х —> + оо и х —> *** оо, если область
определения не ограничена;
3) выясняется, является ли функция четной или нечетной;
4) выясняется, является ли функция периодической;
5) выясняется, является ли функция ограниченной;
6) находятся точки экстремума и промежутки возрастания
и убывания функции;
7) находятся промежутки выпуклости функции.
180 гл. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
При построении графика функции y — f(x)t х£Х, следует
иметь в виду, что под этим понимается эскиз графика функции,,
который бы полно отражал все ее свойства полученные в ре-
зультате проведенного исследования.
В дальнейшем слова «эскиз графика функции у — f (х)» за-
меняются словами «график функции г/ —/(%)».
Свойства основных элементарных функций*
Степенная функция у~ха.
Функция у — х*т (т^ некоторое натуральное число).
1) область существования: (—со, + оо);
* 2) область изменения; [0;+°°);
3) функция обращается в нуль в единственной точке х = 0;
на множествах (—оо;0) и (0;+оо) она принимает положитель-
ные значения;
4) функция четная;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху, причем
lim х2т= lim х2/л = -[-оо;
Л»-СО
, 7) точка х=0 является точкой минимума; в ней функция
принимает свое наименьшее значение #=0;
8) функция не является монотонной на всей области су-
ществования; она убывает на промежутке (—со;0] и возрастает
на промежутке [0; 4~°о);
9) функция выпуклая вниз на области существования*
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 181
Графики функций у---х2, у~х\ у~х8 изображены на
рис. 3.2.
Функция у = х2т~1 (т —некоторое натуральное число)'.
1) область существования: (—оо; +оо);
2) область изменения: (—оо;-(-оо);
3) функция обращается в нуль в единственной точке х = 0;
на множестве (—оо; 0; она принимает .отрицательные значения,
а на можестве (0; + оо) — положительные значения;
4) функция нечетная;
5) функция не является периодической;
6) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу,
причем
lim —оо, lim х2^"1 —-|-оо;
#->-<» х->+<ю
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция возрастает на всей области существования;
9) функция выпуклая вверх' на промежутке (—оо;0] и вы-
пуклая вниз на промежутке [0;+оо).
Графики функций у — х, у = х\ у = хь изображены на
рис. 3.3.
Функция у-=-х~2т (т — некоторое натуральное число)'.
1) область существования: (—оо; 0)U(0; +00)*,
2) область изменения: (0; +оо);
3) функция в нуль не обращается; на промежутках (—оо;0),
(0; +оо) она принимает положительные значения;
4) функция четная;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху, причем v
lim х~2/7г — lim х~2т = +°о,
х->0 + х->0-
lim x~2/7z = lim x~2z7z = 0,
X~> - 00 X-> + 00
Прямая x = 0 является вертикальной асимптотой, прямая
у —О— горизонтальной асимптотой;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования; она возрастает на промежутке (—оо; 0) и убывает на
промежутке (0; +оо);
9) функция выпуклая вниз на промежутках (—оо;0) и
(0;4-оо).
Графики функций у=1/%2, #=1/х4 изображены на рис. 3.4.
Функция y~x~2m+l (т—-некоторое натуральное число):
1) область существования: (—оо;0)(J(0; +°о);
2) область изменения: (—оо; 0)0(0; +©о);
3) функция в нуль не обращается; на промежутке (—оо;0)
он® принимает отрицательные значения, а на промежутке
(0; + оо)—положительные значения;
4) функция нечетная;
182
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
б) функция не является периодической;
6) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу,
причем
lim lim —оо,
+ х->0-
lim х~^+1 = 0, lim
х-> + оо л»-оо
Прямая- х=0 является вертикальной асимптотой, прямая
у== 0 —* горизонталь ной асимптотой;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования; она убывает на промежутках (—оо;0) и (0; +°о);
9) функция выпуклая вверх на промежутке (— оо;0) и вы-
пуклая вниз на промежутке (0; +оо).
Графики функций у=1/х, у=1/х?, у=1/хб изображены на
рис, 3.5.
Функция у=ха> х g [0; -f-oo) (а—положительное нецелое число):
1) область определения [0; 4-оо);
2) область изменения: [0; +оо);
3) функция обращается в нуль в единственной точке х==0
и принимает положительное значение на промежутке (0; +со);
4J функция не является ни четной, ни нечетной;
5) функция не является периодической;
6) ; функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху^ причем
Нт ха==+°°>
А»+<Ю
7) функция принимает наименьшее значение у — 0 при
8) функция возрастает на всей области определения;
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 183
9) функция на всей области определения при а > 1 выпук-
лая вниз, а при 0 < а < 1 выпуклая вверх.
Графики функций у=х3^2Я\ л: g [0; —|-оо); 17, х£ [0; оо);
у = хе, [0;изображены на рис. 3,6.
Функция у = х~а, xg(0;+oo) (а—положительное нецелое
число):
1) область определения: (0;-|-оо); ,
2) область изменения: (0; -|-оо);
3) функция принимает положительные значения на проме-
жутке (0; -|-оо);
4) функция не является ни четной, ни нечетной;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху, причем
lim х-а = +оо,
х->0 +
lim г« = 0.
х->+ оо
Прямая х = 0 является вертикальной асимптотой, прямая' г/ = 0—
горизонтальной асимптотой;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция убывает на всей области определения;
9) функция выпуклая вниз на всей области определения.
Графики’функций ==__£, y^^J— изображены
V * Ух* У х
на рис. 3.7.
В ряде случаев функция //=ха, где а=p/q, определяется
на всей числовой прямой. Примерами таких функций могут
служить функции у~У х, у~ УX2.
Функция х:
1) область определения: (—сю;+оо);
2) область изменения; оо;4*°°)»
184
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
3) функция обращается в нуль в единственной точке я=0$
она принимает положительные значения на промежутке (0; 4-°°)й
отрицательные значения на промежутке (—оо; 0);
4) функция нечетная;
5) функция не является периодической;
6) функция не является ограниченной ни снизу, ни сверху,
причем
х=+оо,
lim
Л»-00
- 7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция возрастает на всей области определения;
9) функция выпуклая вниз на промежутке (—оо; 0] и вы-
пуклая вверх на промежутке [0; +оо); график функции ка-
сается в точке х=0 оси Оу.
График функции у~1^ х изображен на рис. 3.8, а, а гра-
фики функций х3, у~}/-на рис. 3.8, б; на рис. 3,9
изображены графики функций у— У~х, у—у/ I/ х.
Функция у~ |х|:
1) область существования: {—оо;
2) область изменения; [0; 4"00)»
§1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3) функция обращается в нуль в единственной точке х~0
и принимает положительные значения на промежутках (—оо; 0)
и (0; Ч-оо);
4) функция четная;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена снизу и не является ограниченной
сверху, причем
lim |х|= lim |х | = + оо;
"* Х->-00
7) точка х==0 является точкой минимума; в ней функция
принимает наименьшее значение # = 0;
8) функция убывает на промежутке (— оо; 0] и возрастает
на промежутке [0; Ч-оо);
9) на промежутке (—оо; 0] функция тождественно равна
функции у ——х, —оо; 0]; на промежутке [0; Ч~°°) функция
•тождественно равна функции у — х,
х£10; Ч-°°)‘
График функции # = |х| изобра-
жен на рис. 3.10.
Показательная функция у~ах>
а > 0, а # 1:
1) область существования: (—оо;
Ч~
2) область изменения: (0; Ч-°°)1
3) на области существования
функция' принимает только поло-
Рис. 3.10
жительные значения;
4) функция не является ни- чет-
ной, ни нечетной;
5) функция не является-периоди-
ческой;
6) функция ограничена снизу и не
является ограниченной
сверху, причем:
а) если а > 1, то
lim ах — Ч- оо,
Х->+ со
lim ax = fy
б) если 0 < а < 1, то
lim а* = 0,
х->+ со
lim ах — 4- оо.
Х->- 00
Прямая # = 0 является горизонтальной асимптотой графика
функции у—ах\
7) функция не имеет точек экстремумов;
8) функция на области определения возрастает, если а> 1,
и убывает, если 0 < а < 1;
9) функция выпуклая вниз на промежутке (—со; Ч- оо).
Графики функций #=1,1*, # = 2*, у^ех изображены на
рис. 3.11, а графики функций # = 0,2*, #=0,7*, # = 0,9**»-на
рис. 3.12.
Логарифмическая функция х, а > О, а 1;
1) область существования: (0; 4"°°)5
2) область изменения; (— оо; Ч"00)»
186
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
8) функция обращается в нуль в единственной точке х=1;
при а > 1 функция принимает положительные значения на про-
межутке (Г, оо) и отрицательные значения на интервале (0; 1);
при 0 < а < 1 функция принимает положительное значение на
интервале (0; 1) и отрицательные значения на промежутке
4) функция не является ни четной, ни нечетной;
5) функция не является периодической;
6) функция не является ограниченной ни снизу, ни сверЛх,
причем:
а) если а > 1, то'
lim logax =—оо, lim logax=-}-oo;
X->0+ *->+<»
б) если 0 < a < 1, то
lim loga x = + oo, lim loga x = — oo.
x->0+ x->+a>
Прямая x==0 является вертикальной асимптотой графика функ-
ции */ = logflx;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) если а > 1, то функция возрастает на всей области су-
ществования; если 0 < а < 1, то функция убывает на всей об-
ласти существования;
9) функция выпуклая вверх на области существования, если
а > 1, и выпуклая вниз, если 0 < а < 1.
Графики функций #==log2x,z/==lnx, z/~lgx изображены
на рис. 3.13, а графики функций y=log0jx, £ = log0,3X, у =
l°g2/8 х—на рис. 3.14.
Функция y—sinx:
1) область существования: (-—со; -f-oo);
2) область изменения: I—I; 1];
3) функция обращается в нуль при х = лп} ngZ; она поло-
жительная на интервалах (2л&; л4-2я&), и отрицательная
на интервалах (л4-2я&; 2л (k-f-1)),
4) функция нечетная;
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 187
5) функция периодическая, главный период 2л;
6) функция ограничена и снизу, и сверху;
7) точки х = л/2 + 2шп, mgZ,— точки локального максимума^
точки х =— л/24~2лт, mgZ,— точки локального минимума^
функция принимает наименьшее значение у~ — 1 при каждом
х =—'л/2-4-2шп, /ngZ, и наибольшее значение у=1 при каж-
дом х — л/24-2шп, /ngZ;
8) функция не является монотонной на всей области суще-
[ах
~ 1Д g Z, и убывает на каждом отрезке Г у+2л&; -~-+2л& 1,
L J
188
. ГЛ. 3. графики ФУНКЦИЙ
9) функция выпуклая вверх на каждом отрезке [2л/; л-)-2л/],
ZgZ, и выпуклая вниз на. каждом отрезке [л+2л/; 2л-{-2л/],
/§Z.
График функции y = sinx изображен на рис. 3,15.
Функция y=cosx:
1) область существования: (—оо; 4~©о);
2) область изменения: [—1; 1];
3) функция обращается в нуль при х=~+лп, ngZ; она
&
положительная на интервалах —-~-[-2л1; 2л/, /gZ, и
(Л 1 ГЧ /_ Зл> I р. у \ f г—
—-|-2л£; —|-2л&) , &gZ;
4) функция четная;
(я функция периодическая, главный период 2л;
6) функция ограничена и снизу, и сверху;
7) точки х=г2лА, &gZ,— точки локального максимума; точки
Х=л + 2л/г, k^2t—точки локального минимума; функция при-
нимает наименьшее значение — 1 при каждом х = л + 2л&,
fcgZ, и наибольшее значение у—1 при каждом х==2лЛ, fcgZ;
8) функция не является монотонной на всей области суще-
ствования, но возрастает на каждом отрезке [2л&—-л; 2л£],
£^Z, и убывает на каждом отрезке [2л&; 2л&+л], &gZ;
9) функция выпуклая вверх на каждом отрезке —~4“2л/;
L
-5-+2я/1, /(£Z, и выпуклая вниз на каждом отрезке I ~|~2л/;
Л J | А
iql.
График функции # = cos.k изображен на рис. 3.16.
Функция # = tgx:
1) область существования: xgR, кроме &gZ;
2) область изменения: (—оо; 4-оо);
3) функция обращается в нуль при я=л&, fcgZ; она поло-
жительная на ^интервалах ( sik; ) , kQL; и отрицатель-
fcgZ;
ная на интервалах I ля—
4) функция нечетная;
б) функция периодическая, главный период я;
6) функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция не является монотонной на всей области сущест-
л .
2 ’
вования, но возрастает на каждом из интервалов
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ |£9
9) функция выпуклая вниз на промежутках л&; —+
6gZ, и выпуклая вверх*на промежутках (jik— -2-; jt&j, k^Z,
График функции у — tgx изображен на рис. 3.17.
Функция i/ = ctgx:
1) область существования: xgR, кроме x = nk, Z?gZ;
2) область изменения: (—оо; 4-оо);
3) функция обращается в нуль при 6gZ; она
положительная на интервалах ^л&; и отрица-
тельная на интервалах f1-л&; л + л^р &gZ;
4)
5)
6)
7)
8)
нечетная;
периодическая, главный период л;
не является ограниченной ни сверху, ни снизу;
не имеет точек экстремума;
не является монотонной на всей области суще-
функция
функция
функция
функция
функция
ствования, но убывает на каждом из интервалов (л&; л-клб),
k£Z.
9) функция выпуклая вниз на промежутках ( л£; 4г+I,
^gZ, и выпуклая вверх на промежутках л + л£^ tk£Z,
График функции # = ctgx изображен на рис. 3.18.
Функция # = arcsinx: .
1) область существования: [—1; 1];
2) область изменения: [—л/2; л/2];
3) функция обращается в нуль в единственной точке х = 0;
она положительная на промежутке (0; 1] и отрицательная на
промежутке [-—1; 0);
4) функция нечетная;
5) функция не является периодической;
6) функция является ограниченной;
7) функция принимает наименьшее значение у = — л/2 при
х — — \ и наибольшее значение у—л/2 при %— 1;
8) функция возрастает на всей области существования;
9) функция выпуклая вверх на отрезке [—1; 0) и выпуклая
вниз на отрезке [0; 1].
График функции # = arcsinx изображен на ]эис. 3.19.
Функция у — arccos х:
1) область существования: [—1; 1];
2) область изменения: (0; л];
3) функция обращается в нуль в единственной точке х=1;
она положительная на промежутке I—1; 1);
4) функция не является ни четной, ни нечетной;
5) функция не является периодической;
6) функция ограничена и снизу, и сверху;
7) функция принимает наименьшее значение г/ = 0 при х= 1
и наибольшее значение у~п при х = — 1;
8) функция убывает на всей области существования;
190
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Ри@. 3.17
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ [91
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
9) функция выпуклая вверх на отрезке [0; 1] и выпуклая
вниз на отрезке [—1; 0].
График функции y=arccosx изображен на рис. 3.20.
Функция у = arctg х:
1) область существования: (—оо; + оо);
2) область изменения: (—л/2; л/2);
3) функция обращается в нуль в единственной точке х = 0;
она положительная на промежутке (0; +оо) и отрицательная
на промежутке (— оо; 0);
нечетная;
не является периодической;
ограничена и снизу, и сверху;
не имеет точек экстремума;
возрастает на всей области существования;
выпуклая вверх на промежутке [0; +00) и
4)
5)
6)
7)
8)
9)
функция
функция
функция
функция
функция
функция
выпуклая вниз на промежутке (—оо; 0].*
График функции у= arctg х изображен на рис. 3.21.
Функция y=arcctgx:
1) область существования: (—оо; +оо);
2) область изменения: (0; л);
3) функция положительная на области существования;
4) функция не является ни четной, ни нечетной;
51 функция не является периодической;
6) функция ограничена и снизу, и сверху;
7) функция не имеет точек экстремума;
8) функция убывает на всей области существования;
9) функция выпуклая вверх на промежутке (-— оо; 0] и
выпуклая вниз на промежутке [0; + °°)«
График функции y==arcctgx изображен на рис, 3,22.
Результаты исследования свойств основных элементарных
функций приведены в табл. 3.2—3.4; в этих таблицах и всюду
в дальнейшем используются обозначения, приведенные в табл. 3.1.
Сделаем несколько замечаний относительно поведения гра-
фика функции в зависимости от ее свойств.
1. Если область определения (существования) функции
состоит из нескольких промежутков, то ее график расположен
в вертикальных полосах или полуплоскостях, каждая точка
которых имеет абсциссу, принадлежащую области определения
(существования) функции. Так, например, для функции
1
Кх(*—1)(х--3)
областью существования которой является множество (0; 1)(J
U(3; +°о), ее график расположен только в тех областях, кото-
рые на рис. 3.23 не заштрихованы.
2, а) Нулями функции являются точки оси ОХ, в которых
график функции пересекает эту ось или касается ее.
б) «График функции у — f (х) расположен выше (ниже) оси ОХ
при всех тех х, для каждого из которых f (х) > 0 (f (х) < 0).
в) Прямая х=а называется вертикальной асимптотой гра-
фика функции y=f(x), если имеет место хотя бы одно из сле-
дующих соотношений:
lim |f(#}| = + оо, lim |/(х)|^=4-оо.
х-*а-
Задачи по математике. Начала анализа
Таблица 3.1
Табличные обозначения Пояснение табличных обозначений
R Множество всех точек числовой оси х
(о; + оо) ([а; + оо)) Множество всех точек числовой оси х, лежащих правее а (включая ее)
(—оо; а) ((— оо; а)) Множество всех точек числовой оси х, лежащих левее а (включая ее)
(а; Ь) ([а; 6]) Множество всех точек числовой оси х, лежащих между а и b (включая их)
(а; Ь) Множество всех точек числовой оси х, лежащих между а и Ь, включая а
(а; 6] Множество всех точек числовой оси х, лежащих между а и Ь, включая b
<ео Функция f(x) в точке х — Ь равна нулю; в точках х=а и х=с она не опреде-
лена, при этом она бесконечно большая при х—> с; в точке x—d значение
а £ с Аж ее равно f(d)
0 л Ж- а jfr ~ С dL 2? у Функция f(x) на множестве (&; с) (J (d; -f- оо) отрицательна, на множестве
(a; b) U (е; d} положительна, на множестве (— со; а) □ {b*t с} не определена
чет, нечет, — Соответственно функция четная, нечетная, не является ни четной, ни нечетной
Г, — Соответственно Т—главный период периодической функции, функция не яв- ляется периодической
огр, огр. снизу, огр. Соответственно функция ограничена, ограничена снизу, ограничена сверху,
сверху, неогр. не является ограниченной
min /(х), max f(x) Соответственно наименьшее, наибольшее значения f(x) на указанном множе-
la; bl R стве
« I. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (93
Продолжение табл. 3.1
Табличные обозначения Пояснение табличных обозначений
X со Функция f(x) убывает на (— оо; Ь) от lim f (х) до — оо, обращаясь в нуль
d £ СС при х==а; возрастает на 0; d) от — оо до f(d), обращаясь в нуль при х^сг убывает на (d; е) от /(d) до lim f (х); на множестве [е; + 00) U {Ь} она не определена х+е*
1 Точка х=а—точка строгого локального минимума, точка х==д—точка стро-
а b min тал S того локального максимума
/е f Функция /(%) на множестве (— оо; b} (J [о; d) (J (d; /] выпуклая вверх, на мно- жестве (£; с] (J [f; + оо) выпуклая вниз
у=а ± (х - -> — оо) Кривая проводится влево так, чтобы она приближалась к прямой у=а свер- ху, если y = a-f-> и снизу, если у~а—
У=Ь ± (х - -*4-00) Кривая проводится вправо так, чтобы она приближалась к прямой у^Ь свер- ху, если и снизу, если у~Ь— с
х=с± [у — * 4-00) Кривая проводится так, чтобы она, приближаясь к прямой х=с слева, если х~с—, и справа, если х = «уходила» вверх
, X=d±(y- -♦ —00) Кривая проводится так, чтобы она, приближаясь к прямой x=d слева, если x — d—, и справа; если x=d+, «уходила» вниз
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Свойства &-х (рис. 3.3) (рис. 3.5)
Область суще- ствования R R\{0}
Нули, интерва- лы знакопо- в» .
стоянства -* Q Д? *———3 ~ 0 Л
Четность, не- четность нечет. нечет.
Периодичность *•—’
Ограничен- ность неогр. неогр.
Наибольшее и наименьшее значения —
Таблица 3.2
Функции
у~Х2т (рис. 3.2) y,=x™+1 (рис. 3.3) (рис. 3.9) 2П+1^Г (рис. 3.3/
R R [0; +«) R
4- + • t 4 _
& & — 0 х 0 я
чет. нечет. — нечет.
— — •—
огр. снизу неогр. огр. снизу неогр.
min x2w ~ 0 R — min 2к/Г = 0 {0} +«) —’
§ I. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 195
Свойства У-х х=1/х
(рис. 3.3) (рис. 3.5)
Монотонность
и точки экст-
ремумов
Выпуклость
Асимптоты
х = 0 +
(У — +оо)
х = 0 —
(£-“► — <»)
У^ +
(х +<ю)
У~Ь-
(У —* — оо)
Продолжение табл. 3.2
Функции
д-х%т (рис. 3.2) ^^an+i (рис. 3.3) , - 2n/““ 7 = у X (рис. 3.9) 2/2 + 1/~* 7= у X (рис. 3.8)
лип О
' я
— — — —
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Свойства
У-ах, а > 1 (см. рис. 3.11)
Область существования Нули, интервал^ знакопостоян- ства Четность, нечетность Периодичность R '---г
Ограниченность Наибольшее и наименьшее зна- чения огр. снизу
Монотонность и точки экстрему- мов
Выпуклость «2?
Асимптоты У = 0 + (*—*—оо)
Таблица 3.3
Функции
(/=1о£а X, а > 1 (см. рис. 3.12) г/=ах» 0 <а< 1 (см. рис. 3.12) ,v=log X, 0 <а < 1 (см. рис. 3.14)
(0; +<эо) R (0; -f- оо)
_А т*, ?
ft 1 •а & i
— —
— — —
неогр. огр. снизу неогр.
—• —
«е> У а, , tf >
0 ^/1 Ж TZ7 0 1'\Л7
0 7л з; &
x—Q + [y—>-—оо) &=0 + (х —> 4-со) *=о-Ь(0—*+<»)
§ 1 СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 197
Свойства #=sin х (см. рис. 3.15)
Область существования R » + а. •>-
Нули, интервалы знаконостоянства 0 & "2%*
Четность, нечетность Периодичность Ограниченность Наибольшее и наименьшее значения нечет. Т—2п ОРр. min sin х= — 1 R max sin я=1 R
_ /\ ' 2Л
Монотонность и точки экстремумов так min
Выпуклость
Асимптоты —
Таблица 3.4
<©
00
Функции
arcsin х
(см. рис. 3.19)
peCOS X
(см. рис. 3.16)
y=arccos х
(см. рис. 3.20)
[-1; 13
-л „*г >.
-1-0 1
(-1; Ц
•I 1 л?
нечет.
огр.
min arcsin х= — л/2
f-И П
max arcsin х=П/2
t-h И
чет.
Г=2л
огр.
min cos х= — 1
R
max cos х=1
R
огр.
min arccos х=0
[-I; И
max arccos #=&
е-1; ц
гл. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
4 0 1 л?
Свойства
(см. рис. 3.17)
Область существования
оо оо —4— — 0 Л
Нули, интервалы знакопостоянства
"Т Т
Четность, нечетность нечет.
Периодичность Г=л
Ограниченность неогр.
Наибольшее и наименьшее значения —
Монотонность и точки экстремумов оо зуоо 4 S 4 >
„х” Л 'к
2.
1 оо /ео
Выпуклость
Асимптота Л) , t f-9 х = —+лй, fegZ
Продолжение табл. 3.4
Функции
v=arctg х
(см. рис. 3 2Ь
.y=ctg х
(см. рис. 3.18)
£=arcctg х
(см. рис. 3.22)
R \ {лиг | zneZ)
ой со
О -Л X
2
нечет.
Г=л
неогр
х=лти, meZ
R
+
огр. 32
0
7=0 + (х —> + со)
L у-л— (X > - — СЮ)
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ |$9
200
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Прямая у~Ь называется горизонтальной асимптотой гра-
фика функции если имеет место хотя бы одно из сле-
дующих соотношений:
lim /(х) = ^ lim f (x)=b.
х->ч-а>
Так, например, прямая х~0 является вертикальной асимп-
тотой, а прямая, # = 0—горизонтальной асимптотой для графика
функции у~ 1/х (рис. 3.24).
Прямая y = kx+bt k / 0, называется наклонной асимптотой
графика функции y=f (х), если имеет место хотя бы одно из
следующих соотношений:
lim (/ (x)-^kx^b)=^09 lim (f (x)—kx-~b) = 0.
x-*+o& x->-oo
Для нахождения наклонной асимптоты y~kx-}-b при
х —> + ©о (х —> — оо) графика функции y~f (х) последовательно
применяют следующие формулы:
/г — lim b~ lim (/(x)—kx).
л»-Too % x->4-a>
(x->-00)
График функции имеет наклонную асимптоту, если оба эти
предела существуют и конечны. Наиболее характерные примеры
поведения графика функции при приближении к асимптоте при-
ведены на рис. 3.25.
3. График четной функции симметричен относительно оси OF,
а график нечетной функции — относительно начала координат О.
График четной функции строится так: сначала строится
график этой функции для всех х^О, затем в области х«С0
строится график, который является симметрическим отображе-
нием относительно оси ОУ построенной части графика для х^О.
График нечетной функции строится так: сначала строится
график этой функции для х^О; затем в области х«с0 строится
график, который является симметрическим отображением отно-
сительно начала координат построенной части графика для х^0>
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК1ЩЙ 201
Рио. 3.26
202
М. В. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
На рис. 3.26 изображены графики четных функций, а на
рис. 3.27 —графики нечетных функций.
4. График периодической функции y — f(x), xgX, с перио-
дом Т > О обычно сначала строится на множестве X П [0, Г],
а затем периодически продолжается на каждое множество вида
[kT, (fe+l)7W. *£Z\{0}.
Примеры графиков периодических функций показаны на
рис. 3.28.
5. График ограниченной снизу (сверху) функции располо-
жен выше (ниже) горизонтальной прямой у^С, где С—неко-
торая постоянная. Так как ограниченная функция является
ограниченной снизу и сверху, то график ограниченной функ-
ции расположен внутри некоторой горизонтальной полосы
(рис. 3.29).
6. Свойство возрастания (убывания) означает, что с увели-
чением х увеличивается (уменьшается) также и значение функ-
ции f (х); напротив, с уменьшением х уменьшается (увеличи-
вается) и значение функции (рис. 3.30, где у — f (x)t xg[a, £])•
Как правило, в некоторой окрестности точки строгого ло-
кального максимума (минимума) график функции слева от этой
точки возрастает (убывает), а справа убывает (возрастает)
(рис. 3.31); пример графика функции, для которой в окрест-
ности точки х~0 это свойство не имеет места, показан на
рис. 3.32.
Наибольшее (наименьшее) значение на отрезке [а; Ь] функ-
ция может принимать как во внутренней точке отрезка, так и
в его граничных точках (рис. 3.33). Примеры графиков функ-
ций, которые не имеют наибольшего (наименьшего) значения на
отрезке [а; приведены на рис. 3.34.
7. График функции y~f(x), заданной на отрезке [а; Ь] и
выпуклой вверх (вниз) на этом отрезке, расположен выше (ниже)
прямой, проходящей через точки (a; f (а)) и (Ь; f (6)) (рис. 3.35).
Пример 1. Провести исследование функции у —х2 и по-
строить ее график. (Этот график называется параболой.)
Решение. 1, Область существования функции у — х2 со-
стоит из всех действительных чисел.
2. Уравнение х2 = 0 имеет единственный корень х = 0 (крат-
ности 2). Так как х2 > 0 при х # 0, то график функции у = х2,
кроме вершины параболы —точки (0; 0), расположен в верхней
полуплоскости. При х—> 4~00 и х—> — оо функция у~х2 стре-
мится к 4-оо.
3. Функция у — х2 является четной, так как ее область
существования симметрична относительно начала координат, и
при любом х выполнено условие у(—х) = (—- х)2 = х2 = у (х).
4. Функция у = х2 не является периодической, так как из
равенства (х4-Г)'2 = х2 следует равенство Т (2х-|-7,)~0, которое
должно выполняться при любом х. Таким образом, Т = 0, что
противоречит определению периода.
5. Данная функция ограничена снизу, так как х2^0 при
любом х, но не является ограниченной сверху, так как х2 ->4- 00
при Х--> —WHX-> + ‘°°’
6. Так как функция у~х2 является четной, то достаточно
исследовать ее на монотонность только при х^О. Пусть любые
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 203
Рис. 3.29
Рис, 3.33
Рив, 3,35
206
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
*14-Х2\ . УМ+уЫ
2 Г 2
Xi и такие, что 0<Xj < х2. Тогда
«/(Xa)“-’1!/(xi) = X2—x? = (xa + «i) (х2— х2) > 0,
так как (x2 + xj) > 0 и (х2—х,) > 0.
Таким образом, функция у = х2 является возрастающей на
множестве х^О. Тогда в силу четности на множестве х^О она
является убывающей.
Точка х = 0 является точкой строго локального минимума,
так как х2 > 0 при х Ф 0, значение у (0) = 0—наименьшее
значение функции на ее области существования.
7. Функция у=х2 является выпуклой вниз на области
существования. Действительно, неравенство
У
для данной функции имеет вид
Ml-На V . Хх+ха
\ 2 J 2
Это неравенство равносильно каждому из неравенств
Л14-2х1Х2+х2 < 2x14-2x2,
Xi**— 2ххх24~^2 > 0,
(XI—х2)2 > 0.
Последнее неравенство имеет место, если xi и х2—любые дей-
ствительные числа их!# *2, в частности, при Xf < х2.
Результаты исследования функции у=х2 приведены в табл. 3.5<
На основе приведенного выше исследования свойств функ-
ции у = х2 строим график этой функции
(рис. 3.36).
Пример 2. Провести исследова-
ние функции у=х4;~ и построить ее
график.
Решение. 1. Областью существо-
вания функции является множество
всех действительных чисел, отличных
от нуля.
2. Так как
1х24-1
1Э у (х) > О
ункция не
при х>0
имеет.
х—0 явлш
и у(х)<0 при х<0. Нулей данная
гея вертикальной асимптотой, так как
lim fx4--l^ =+ 00» Um = —оо.
iWO-j- \ л / ^-*0- \ X /
Свойства
у—х2 (см. рис. 3.36) 1 у—х+ — (см. рис. 3.37, а)
Область существования R R\{0}
Нули, интервалы зна- 4* , 4*^
непостоянства ~ «ж?
Четность, нечетность чет. нечет.
Периодичность — —
Ограниченность огр. снизу неогр.
Наибольшее и пнпл:2 = 0
наименьшее значения R
- > к I г*
Монотонность и точки 0 1 'х
экстремумов О «д; ^'п
рэ\ /
Выпуклость
Асимптоты —' х = 0, у—х
Таблица 3,5
Функции
1 У=Х~*~- X (см. рис. 3.37, б) у=Х&—Х (см. рис. 3.38, а) r/=X8 + X (см. рис. 3.38, б)
R\{0} R R
; <зз р 4-1е±г ‘
х ~1 0~1 Д7 ш ~ G я:
нечет. нечет. нечет.
—> •
неогр. неогр. неогр.
—- —
о
- / > \
/
шал ямп
/ са у* J 1
уЧ 0 [ 5“
х = 0, у=х —
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 207
208 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Проверим существование наклонной асимптоты у графика дан-
ной функции. Так как
- (у (х) \ .. /. , 1 \ 1
/e = Iim £X-t)=:Hm (14-—5-)=й1,
6= lim fe(x)-*x) = lim ( — )=0,
то прямая y«x является наклонной асимптотой графика функ-
ции y==#4“~ при х—*+оо. Аналогично доказывается, что
прямая у~х является наклонной асимптотой графика этой
функции при х—► — оо (это вытекает также из нечетности
функции).
Поскольку //(х)—х=%4~“““х=,~ > то график функции
*/=х-|--~- на промежутке (0; -}-оо) лежит выше асимптоты у^х,
а на промежутке (— оо; 0) —ниже асимптоты у~х.
3, Так как область существования данной функции есть
множество, симметричное относительно начала координат, и для
любого х из области существования функции имеем
у (_ х) = — х 4--^- m — ( х+ Д-) — у (X),
то функция у = х+~ является нечетной.
’ 4. Данная функция не является периодической, так как
любое значение Т # 0 принадлежит области определения функ-
ции, а, например, число Т—Т не принадлежит ей.
5. Если х > 0, то
^(x)=x + -I=(/"x)2—2 У"х-i=+(т4=У +2 =
х ух \у х/
Л-4=) +2^,2,
V XJ
и поэтому на промежутке (0; 4~оо) функция ограничена снизу*
Отсюда, учитывая нечетность функции, следует, что на проме-
жутке (—оо; 0) функция ограничена сверху: х4--~-«С**2 при
ж<0. В то же время lim f (х)~—оо, lim f (х)= 4~оо. По-
X - оо х~> + оо
Этому на всей области существования функция не является
Ограниченной ни снизу, ни сверху.
6. Для любых положительных чисел xi и х2 имеем
. . /ч / < J \ I I 1 \ v Ха—-xi
» W — и1*1) = ( *2 4-— ) — ( *1 + -- )=(*»—*<)-ГГ”—
\ *2 / k Хх у XjXg
=фа—*1)
5 I. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 209
Если 0 < xi < «с 1 то х2 — > 0 и 1----------< 0. Поэтому
*i*2
и следовательно, на промежутке (0; 1J функция
убывает.
Если 1 <C*i < х2> то х2 —*j > 0 и I-----> 0. Поэтому на
*j*2
промежутке [Г, -f-oo) функция возрастает.
Так как у (х) — нечетная функция, то отсюда следует, что
на промежутке (— оо; — 1] она возрастает, а на промежутке
[—1; 0) убывает.
Точка х==1 является точкой строгого локального минимума,
а точка х =—1*—точкой строгого локального максимума, при-
чем
7. Для исследования свойства выпуклости графика функ-
ции заметим, что
/Х14-х2\ У(*1)+у W _*t+*2 , 2 а~*~х2
у\ 2 ) 2 — 2 -r’xi + xa 2
*i . х2 . 2 *i *2 *i+*2 2 ___ xi+*2 _
4 ‘ 2 ‘ 2 2 2*iX2 ~~Xf + *2 2xix2
__4x1x2~-(xi + *2)2 _ __ (Х1~*Ха)а
~~ 2XiX2 (%i + *2) 2*1*2 (*14" *2) *
Отсюда следует, что если положительные числа xt и х2 таковы,
что Xf < х2, то
(*1-^х2)а 0
2*1*2 (Xf + *2)
и, следовательно, на промежутке (0; +оо) функция у=*4-у
Рис. 3.37
210 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
выпуклая вниз. Так как данная функция нечетная, то на про-
межутке (— оо; 0) она выпуклая вверх.
Результаты исследования функции У~х-\—i- приведены
в табл. 3.5, а ее график изображен на рис. 3.37, а.
Аналогично проводится исследование свойств функции
У — х——. Результаты этого исследования приведены в табл. 3.5,
а график функции у=х —~ изображен на рис. 3.37,6.
Пример 3. Провести исследование функции у==х3—х и
построить ее график.
Решение, 1. Областью существования функции является
множество всех действительных чисел.
2. Так как у (х) = х (х-~ 1) (x-J-1), то:
а) У(х) > 0 при -1 < х < 0 и х > 1;
б) у (х) < 0 прйч х < •— I и 0 < х < I;
в) 1)=у(1) = 0.
Горизонтальных и вертикальных асимптот график функции
г/ = х3-—х не имеет. Кроме того,
Um ±21= lira (Х2_ i) = + оо,
X -*• оо X сю
и, следовательно, график функции у — х3—х не имеет наклон-
ной асимптоты.
3. Так как область существования есть множество, симмет-
ричное относительно начала координат, и для любого х имеет
место равенство
у (~ х) = (— Х)3 —(— X) =—• Х34-Х“—- (х3—-х) =—- у (х),
то функция у — х*—х является нечетной.
4. Функция не является периодической, так как она, напри-
мер, равна нулю только в трех точках 'см. гл. 2, §6).
5. Функция не является ограниченной ни снизу, ни сверху
на области существования, так как
lim у(х) = lim (х3—х) = lim х3 ( 1—^==-|-оо,
X ~>"+оо х ->• +оо X -> +”о \ X у
lim у (х) = lim (х3—х) — — оо.
X - оо х - оо
6. Для нахождения промежутков возрастания и убывания
функции в силу ее нечетности достаточно рассматривать ее на
промежутке [0; +оо).
Докажем, что на промежутке [l/J^ 3; + оо) функция у —
s=x3—х возрастает, а на промежутке [0; 3] убывает. Дей-
ствительно, если Xi > х2, то на промежутке возрастания функ-
ции должно быть выполнено неравенство
Х1 — X! > Х2 — х2,
т. е.
(Х1—х2) (xl + xtx2+xl— 1) > О,
§1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 211
которое эквивалентно неравенству
%24~Х1Х2 и > о» (1)
Если xt > х2^ !// 3, то из неравенства о среднем арифмети-
ческом и среднем геометрическом для трех чисел получим, что
xi + x-fXz + Х2 > 3 х/г > Зххх2 > 1.
Таким образом, неравенство (1)_ выполняется для любых Xi и
х2 та^их, что Xi > х2^ 1/К 3; тем самым на множестве
[1/”/ 3; + оо) функция у = х3-**х возрастает.
Если Xi и х2 такие, что 0^х2 < «С 1//3, то
9 » г» / 1 \2 1 * 1 , / 1 V ,
Xi+XlXz+Xl < [ --р— ) Н----—г ..7Д- ) =3 1,
1 2 К /V Кз КЗ \КЗ/
и тем самым
(xi—х2) (х2+ял+ **-*-1) < 0.
Отсюда следует, что для любых значений xt и х2 таких, что
0«^х2 < 1/КЗ, имеет место неравенство xf—Xf < xl«-x2.
Таким образом, функция ^ = х2**х убывает на отрезке [0; 1/К"з].
Так как на отрезке [0; 1/К 3] функция у^х3-~х убывает,
а на промежутке [1/К 3; 4~°°) возрастает, то точка
является точкой строгого локального минимума, при этом
#(1/К"3)===--2 КЗ/9. Так как функция у — х^-^х нечетная, то
отсюда заключаем, что на промежутке (—оо; —1/К 3] функция
возрастает, а на промежутке [—1//"”3; о] убывает, и точка
х = —-1/КЗ является точкой строгого локального максимума,
причем у(—\/У 3) = 2/ 3/9.
Итак, данная функция возрастает на промежутках
Г—оо; —1/К 3] и [1//”3; 4“°°) и убывает на промежутке
L—1/1< 3; 1/К 3].
Точками строгого локального максимума и минимума соот-
ветственно являются точки я=—1//3 и х—ИУ 3.
7. Докажем, что данная функция выпуклая вниз на проме-
жутке [0; 4^о°). Для этого достаточно доказать, что неравенство
(х? — Xt) + (х® — х2) (Х1+х2 \» Xj-j-Xj 2
--------2---------> \ 2 ) 2
имеет место для любых хг и х2 таких, что xi > х2^э0. Неравен-
ство (2) равносильно каждому из неравенств
(Xi 4~^а) (xi~"Xi^24“^2 1) Л14~*2 / /'Х14-*2V
2 2 ~J Г
9 1 9 / Х1 4- Х2 \ 2
X2— ХЛ4-*2 > ( ----,
4x1 — 4XiX2 4~ ^xl > х* 4- 2xiX2 4- ,
Зх^~— 6х5х24-Зх| > О,
(xi—х2)2 > 0.
212 гл. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Последнее неравенство верно, тай как xj>X2^0. Поскольку
функция у = х3—х является нечетной, то на промежутке (—оо; 0)
она выпуклая вверх.
Результаты исследования функции у^х9^х приведены
в табл, 3.5, а эскиз ее графика изображен на рис. 3.38, а.
Аналогично проводится исследование свойств функции
у—х^-^-х. Результаты этого исследования приведены в табл. 3.5,
а эскиз графика функции #=х3+х изображен на рис. 3.38,6.
ЗАДАНИЕ 1
1. Провести исследование функции и построить ее график:
1) у^1/х2; 2) ^=(1 — х2)/х2.
2. Установить соответствие между графиками, приведен-
ными на рис. 3.39, и следующими функциями:
1) #=sin2x + cos2 х—2; 2) sin arcsin х; 3) г/— 1/(1—- х);
4) ^=2log2 5) # = х3/х2; 6) у~ arcsin sin х.
ЗАДАНИЕ 2
1, Провести исследование функции и построить ее график:
W J/==X2_5>. + 6 ; 2) У = ^~Х2.
2. Установить соответствие между графиками, приведенными
на рис. 3.40, и следующими функциями:
2) // = cos arccos х; 3) = >
4)z/~ | | x | —11 — 1; 5 # — arccos cos x; 6) #=2x+l—
§1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 213
Рис. 3,40
214
ГЛ. Э. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ЗАДАНИЕ 3
!• Провести исследование функции и построить ее график:
l)j/~Iog28x; 2) ‘
2. Привести пример функции, областью существования ко-
торой является:
1) отрезок [0; 2J; 2) интервал (0; 2);
3) промежуток [0; 2); 4) множество (0; 1)U*(2; 3);
5) множество {—2} U (0; 1]; 6) множество {—2}U(0; 1);
7) множество {—2}U{—1} U+00);
8) множество (—оо; 0)(J(0; +оо).
3. Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
а) область существования есть множество (1; 2) (J(2; 4-00),
б) прямая х = 2 есть вертикальная асимптота графика
функции,
в) прямая у=Л есть горизонтальная асимптота графика
функции.
ЗАДАНИЕ 4
1. Провести исследование функции и построить ее график:
1) i/ = 21“2-v; 2) # = sin x-f-cos х.
2. Привести пример функции, областью существования ко-
торой является:
1) отрезок [0; 3]; 2) интервал (0; 3);
3) промежуток [0; 3); 4) множество (0; 2)U(2; 3);
5) множество {0}(J[l; 5); 6) множество {—5}U[0; 2];
7) множество {—2} (J {0} U [ 1; +оо);
8) множество (—оо; —+оо);
9) множество (2} U {3} U {4} (J {5}.
3. Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
а) область существования есть множество (0; 1)U(1*> +,00);
б) прямая х=1 является вертикальной асимптотой для'гра-
фика функции;
в) функция принимает положительные, значения на множе-
стве (1; «4» оо) и отрицательные значения на множестве (0; 1).
ЗАДАНИЕ 5;
1. Привести исследование функции и построить ее график:
1) = х; 2) у=-~~.
2. Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
1) а) область существования есть множество (—оо; 0)(J
U(0;+oo).
б) функция является четной,
в) прямая # —О является горизонтальной асимптотой гра-
фика функции;
2) а) область существования есть множество (1; 2),
б) прямая х=2 является вертикальной асимптотой гра-
фика функции;
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 215
3) а) область существования есть множество (0; 4-оо),
б) функция является ограниченной,
в) прямая f/ = 0 является горизонтальной асимптотой для
графика функции.
ЗАДАНИЕ
1. Провести исследование функции, и построить ее график:
l)jz = x2-h-; 2)
' X х(х4-1)
2. Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
1) а) область существования есть множество (0; + оо),
б) функция принимает положительные значения на множе-
стве (5; + оо) и отрицательные значения на множестве (0; 5],
в) прямая у~2 является горизонтальной асимптотой для
графика функции;
2) а) область существования есть множество {—2}U(0; 1),
б) функция является ограниченной;
3) а) область существования есть множество (—4; —3)U
U(—2; 0)U(0; 4) U(5; 6),
б) прямые х=—3, х ——2, х = 5 являются вертикальными
асимптотами для графика функции,
в) функция в точке х—0 имеет предел, равный 1.
Упражнения
1. Провести исследование функции и построить ее график:
1) = -2х; 2)^=1 + ах\ 3) у~2х-\-а\
4) у — | 2х—1 |; 5) у — а\ х\ — 2\ 6) у | ах +1 ];
7) , = х2 —4; 8) ,= 1—|-х2; 9) (/=х2Ч-2х;
10) у = х — х2; 11) ,=х2 —2x-f-l; 12) t/ = x2—Зх-|-2;
13) # = х2 + «+3; 14) у—2 — log2x; 15) , = log24x;
16) ,= log1/2 2х; 17) jr=3i-*; 18) z, = (д 19)}
20) 2I) 22)
23) У--~ъ—j...-j a- ; 24)^=sin2x; 25) #=cos2x;
x “ — ox -f-
26) ^ = sin ^x-|-~^ J 27) ^ = cos ^x—; 28) #=ax24-2f
29) # —ax2 —2; 30) z/ = ax2-}-* + 1; 31) # = ax2 + |x|;
32) ,= £<?; 33)z/=K2x; 34) У=-Л= ; 35) ,=x4+x2;
V x
36) ^ = x4 —4x2; 37) у'=х + х3] 38' #=x3 —x;
QO\ *2+l x2— 1 1
39)f/=—1 40), = —; 41), = — ;
42) y = —4— ; 43) , = -r2—; 44) y = ~—;
cosx logsx я 10gi/3X
216
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
45) xi'Lxi : 46> y*=xi/'x> 47) Р^хУ *'>
48) у=х+ У7 *' 49) «/=«-— у/' х; 50) у-х^у/ х\
51)у=/>+1; 52) y=Frx2—1; 53)х=К1 — х*;
54) У^т^х*’ 55) ^Т^х2; 56) ^=sln2x;
57) r/ = cos2 х; 58) £/ = 21 *1; 59) £/ = 2~1*1; 60) у — ] log2 х |;
61) У=1-^1^; 62)z/=Ktog^; 63) j/=jc2—21х|+г,
64) £/=|х2—4|—%2 + 4; 65) £/= j/x2—x; 66) £/= Кх2+ х;
67) £^=sin х—cos х; 68) у = 2 sin х+ cos х;
69) у = cos2 х + sin 2х; 70) у = sin2 х—cos 2х;
71) £/ = 3log»*; 72) // = 310^*2; 73) £/ = | х |,ogl * Р;
74) £/= /З^х2 /х*—16; 75) £/ = /4--4х--х2;
76) у= К^-/х2~2х+1; 77) j/ = ctgxctg (у+*) + х2;
78) у~ Ух*(х-\); 79) у= 1/ ; 80) у = log1/2(х2-х).
F 1 "j* X
2. Привести пример функции, областью существования кото-
рой является:
1) промежуток [—2; -f-oo);
2) промежуток (—2; -f- оо);
3) отрезок [1; 4];
4) промежуток [1; 4);
5) промежуток (1; 4J;
6) интервал (1; 4);
7) множество (— оо; 2)(J(2; +<ю);
8) множество (2; Ч-оо);
9) множество [2; +00);
10) множество (—со; 1];
11) множество (— оо; — 1);
12) множество (0; 1)U(1; 2);
13) множество [0; 1)U (1; 2];
14) множество [0; 1)U(1; 2);
15) множество {3}U{5}‘,
16) множество {2};
17) множество {— 1}U[O; +°о)>
18) множество{—1}U(0; +°°)>
19) множество {—2}(J(0; 1);
20) множество {—3} U [2; 3];
21) множество {—1) U{2};
22) множество (—1; 1)(J[2; 3];
23) множество всех натуральных чисел;
24) множество всех целых чисел;
25) множество четных чисел;
26) множество промежутков 2k < х < 2&+ 1,
27) множество промежутков 2k^x^2k-^\, k^Z\
28) множество (—2; 2) (J(3; 4) (J (5; 6];
29) множество (— оо; —2)(J[2; 3)U(3; +*>);
30) множество [0; 1J U {2} U [3; 4] U {5} U [6; 7J.
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 217
3. Привести пример функции, обладающей одновременно
следующими свойствами:
1) а) область существования есть вся прямая,
б) функция принимает положительные значения на проме-
жутке (—3; —2) и отрицательные значения на промежутках
(— оо; —3) и (—2; -J-oo);
2) а) область существования есть вся прямая,
б) функция принимает положительные значения на интер-
валах (—3; —2) и (0; 1) и отрицательные значения на про-
межутках (— оо; —3), (2; 0) и (1; + оо);
3) а) область существования есть отрезок [—3; —2],
б) функция ограничена;
4) а) область существования есть промежуток [—3; —2),
б) функция является ограниченной;
5) а) область существования есть отрезок [—3; —2],
б) функция не является ограниченной;
6) а) область существования есть промежуток (—3; —2],
б) функция не является ограниченной;
7) а) область существования есть интервал (—3; —2),
б) прямые х = ——3 и х = —2 являются вертикальными асимп-
тотами для графика функции;
8) а) область существования есть промежуток (0; 1),
б) функция ограничена, причем ее предел справа при х,
стремящемся к 1, равен 2;
9) а) область существования есть промежуток (0; 1),
б) функция ограничена, причем ее предел справа при х.
стремящемся к 1, равен 2, а предел слева при х, стремящемся
к 0, равен 1.
4. Привести пример функции, обладающей одновременно
следующими свойствами:
В а) область существования функции есть вся прямая,
б) график функции имеет наклонную асимптоту z/ = 2—Зх;
2) а) область существования функции есть вся прямая,
б) график функции имеет при х —>4~оо наклонную асимп-
тоту г/===х, а при х —> — оо наклонную асимптоту у ——х;
3) а) область существования функции есть вся прямая,
б) график функции имеет при х~~> + оо наклонную асимп-
тоту 0 = х+1, а при х —>— оо наклонную асимптоту у'——х+3;
4) а) область существования функции есть вся прямая,
б) график функции имеет наклонную асимптоту б/=х,
в) функция является нечетной;
5) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точки х — 1,
б) график функции имеет горизонтальную асимптоту г/ = 3,
в) график функции имеет вертикальную асимптоту х=1;
6) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точек х = 1 и х =—1,
б) график функции имеет вертикальные асимптоты х=1
и х==—1,
в) функция является четной;
7) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точек х= 1 и х==—1,
б) график функции имеет вертикальные асимптоты х=1
их=-1;
в) функция является нечетной;
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Рис. 3.41 (I)
8) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точек х~ 1 и х=—1,
б) график функции имеет вертикальные асимптоты х=1
и X — —1,
в) график функции имеет горизонтальную асимптоту у = 2;
У) а) область существования функции есть вся прямая, кроме
точек х=1 и х=—1,
б) график функции не имеет асимптот.
§ 1. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 215
Рис. 3.41 (II)
220
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
5# Привести пример функции, одновременно обладающей
следующими свойствами:
1) а) область существования есть множество [0; 2) (J (2; +оо),
б) прямая х=2есть вертикальная асимптота графика функции,
в) прямая у = 3 есть горизонтальная асимптота графика
функции;
2) а) область существования есть промежуток (0; 1),
б) область значений есть промежуток (—оо; +©о},
в) прямые х = 0 и х=1 являются вертикальными асимпто-
тами графика функции;
3) а) область существования есть промежуток (—оо; 4~оо),
б) функция является четной,
в) прямая является горизонтальной асимптотой гра-
фика функции;
4) а) область существования есть промежуток (—оо; +оо),
б) функция является нечетной,
в) прямые //=1 и у = —-1 являются горизонтальными асимп-
тотами графика функции.
6. Установить соответствие между графиками, приведенными
на рис. 3.41 (I) (с. 218), и следующими функциями:
1) # —tgxctgx; , 2) y = tgxcosx; 3) z/ = Kcos*x;
4) # = cosx; 5) х/= [sinx] + 1; 6) # = sinx;
7) Z/=k>g2|x|logul2; = 9)
olll Л A
10)y = Signx+sign(x-l). U) y^si&ax. 12)y=(xa)iogx«Sj
7. Установить соответствие между графиками, приведенными
на рис. 3.41 (II) (с. 219), и следующими функциями:
1) # = х(х— 1) (х —2); 2) y=Vx (х— 1) (х—2);
3) у = |/х(х-1)(х-2); 4) ;
6)У=Ка>(х-0; 7) y = log2x(x-l);
8) # = arctgх(х—• 1); 9) y = arcctg —;
х
П) 12) y = arccos (cos х).
§ 2, Простейшие методы построения
Графиков функций
График функции вида
y = Af(ax+b) + B
может быть получен из графика функции y — f(x) при помощи
следующих геометрических преобразований:
1. а) Осевой симметрии относительно оси ОХ;
б) осевой симметрии относительно оси OY;
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 221
в) центральной симметрии относительно начала координат —
точки О.
2. а) Параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ОХ\ .
б) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y.
3. а) Растяжения (или сжатия) по направлению оси ОХ\
б; растяжения (или сжатия) по направлению оси ОУ,
Отметим, что:
1. а) При осевой симметрии относительно оси ОХ точка (х; у)
переходит в точку (х; —£/);
б) при осевой симметрии относительно оси 0Y точка (х; у)
переходит в точку (— х; уУ
в) при центральной симметрии относительно начала коорди-
нат точка (х, у) переходит в точку (—х; •—{/).
2. а) При параллельном переносе вдоль оси ОХ точка (х; у)
переходит в точку (х$~а; у), где «—некоторое число, при этом
перенос происходит «вправо», если а > 0, и «влево», если а < 0;
б) при параллельном переносе вдоль оси OY точка (х; у)
переходит в точку (х; у~УЬ), где 6 — некоторое число, при этом
перенос происходит «вверх», если b > 0, и «вниз», если Ь < 0.
3. а) Пои растяжении (сжатии) в р раз (р > 0, р 1)
вдоль оси ОХ относительно оси OY точка (х; у) переходит в
точку (рх; у)\
б) при растяжении (сжатии) в q раз (<? > 0, ? 1) вдоль
оси OY относительно оси ОХ точка (х; у) переходит в точку
(х; ЯУУ
Применительно к графикам функций эти свойства дают те
конкретные геометрические преобразования (табл. 3.6), использо-
вание которых позволяет из известного графика функции у =
== / (х) строить графики других функций (риск 3.42—3.51).
В дальнейшем построение графика функции // = g (х) по гра-
фику функции y = f(x) с использованием преобразований, пере-
численных в таблице (а также некоторых других), будем обо-
значать следующим образом:
f(x)~+g(x).
П р и м е р " 1. График функции р=2х—-3 получается из гра-
фика у=2х при помощи параллельного переноса его вдоль
оси Оу вниз на отрезок длины 3.
(( 3 \
’ 8амечаем» что гРаФик
3 \
х—можно получить из графика функции
у~2х при помощи параллельного переноса его вдоль оси ОХ
вправо на отрезок длины 3/2 (рис. 3.52).
•" Пример 2. График функции р = 4х2 получается из графика
функции у — х2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси OY
относительно оси ОХ,
Переписав 4х2 в виде (2х)2, замечаем, что график функции
р = х2 можно получить из графика функции р = х2 сжатие^
последнего в 2 раза вдоль оси ОХ относительно оси OY (рис. 3.53),
Пример 3. График функции у = 2х~3 получается из гра-
фика функции у— 2х при помщци параллельного переноса его
вдоль оси ОХ вправо на отрезок длины 3.
ГЛ. 3, ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Таблица 3.6
Функция Преобразование графика функции #a=/(jc)
y=f(x) + A Параллельный перенос его вдоль ОУ на А еди« ниц вверх, если 4>0(рис» 4.42), и на ]4| еди- ниц вниз, если Л<0 (рис. ЗЛЗ)
y = f(x~-a) Параллельный перенос его вдоль оси ОХ на а единиц вправо, если а>0 (рис. 3.44), на —а единиц влево, если а<0 (рис. 3.45)
U^kSU), *>0 , Растяжение его вдоль оси ОУ относительно оси ОХ в k раз, если k>\ (рис, 3.46), и сжатие в 1Д. раз, если 0<Л<1 (рис. 3.47)
у=/(И. *>о Сжатие его вдоль оси ОХ относительно оси ОУ в k раз, если &>1 (рис. 3.48), и растяжение в 1/л раз, если 0<&<1 (рис. 3.49)
Симметричное отражение его относите,тгьно оси ОХ (рис. 3.50)
F-I/W1 Его часть, расположенная ниже оси ОХ, симмет- рично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается бе^ изменения (рис. 3.51, а)
Симметричное отражение его относительно оси ОУ (рис. 3.51, в)
9”“t (1 х[) Его часть, расположенная в области л^О, остается без изменения, а его часть для обла- сти ж:0 заменяется симметричным отображе- нием относительно оси ОУ части графика для (рис. 3.51, б)
Переписав 2Jff~3 в виде "2*, замечаем, что график функ-
©
।
ции // = -£• *2* можно получить из графика функции у—2х сжа-
тием последнего в 3 раз вдоль оси OY относительно оси ОХ
(рис. 3.54).
Рассмотренные выше геометрические преобразования графи-
ков функций могут комбинироваться между собой. Так, при
построении графиков функций вида
y=Af(ax + b) + B
"'достаточно сначала построить график функции // — Af [ах) 4- В,
Действительно, так как
Цах+ty — f [а
. то график функции yt=Af{ax^b)^B получается из графика
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 223
Рио. 3.42
Рис. 3.44
Рис. 3.45
224
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Рис. 3.46
Рис. 3.48
Рис. 3.49
Задача др Maie&idAHKe. Начала анализа
226
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
функции y~Af(ax)-A~B параллельным переносом последнего
вдоль оси ОХ на величину |Ь/а| вправо, если bja < 0, и» влево,
если Ь/а > 0. Заметим теперь, что график функции Af (ах)4-#
получается из графика функции y~Af(ax) параллельным пере-
носом последнего вдоль оси OY на величину | В | вверх, если
В > 0, и вниз, если В < 0.
В свою очередь, производя растяжение (сжатие) вдоль оси OY
относительно оси ОХ графика функции y~f(ax) (с возможным
применением преобразования сим-
метрии относительно оси ОХ,
если А < 0), получим график
функции y~Af(ax). Наконец,
график функции у—f (ах) получа-
ется из графика функции y = f(x)
при помощи растяжения (сжатия)
его вдоль оси ОХ • относительно
оси OY в | а | раз (с возможным
применением преобразования сим-
метрии относительно оси OY, если
ГА
о
К
3
I М?
п
Рис. 3.54
(И
жет быть проведено
f(x) -* f (ах)
Таким образом, построение
графика функции у—Af (ах~\-Ь)-\-В
по графику функции # = /(х) мо-
по следующей схеме:
Af (ax' —>
——> Af (ах) 4* $ Af ( а х4— 4~ В ♦
Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что
для построения графика функции вида у = Af (ах4-Ь) + В может
быть использована и другая схема, например
/ (х) -* Af (х) —> Af (ах) -
Во избежание ошибок обращаем внимание на то, что длина
отрезка, на которую производится параллельный перенос графика
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 227
вдоль оси ОХ (т. е. величина | b/а |), определяется той констан-
той, которая прибавляется к аргументу х, а не к выражению ах;
именно поэтому выражение ах^Ь сначала приводится к виду
( I М
а хЧ— .
\ а /
Пример 4. Построить график функций:
а) У== р^Зх—1; б) ^ = logif2 (1—Зх).
Решение, а) Так как 3j/Зх—* 1
то график
функции у — Зх—। получается при помощи параллельного
переноса графика функции Зх вдоль оси ОХ на отрезок
Рио. 3.55
длины 1/3 вправо^ а график функции .(/= j/^Зх—при помощи
растяжения в 3 раз вдоль оси OY относительно оси ОХгра-
фика функции // = у х.
Таким образом, график функции у~у^Зх—*1 может быть
построен (рис. 3.55) по схеме
х ~~+ Зх 3 J ;
б) так как log1/2 (1 —Зх) = log1/2 — 3 , то для по-
строения графика данной функции достаточно построить график
функции у = log1/2 (—Зх). График этой функции может* быть
построен по графику функции г/ —log1/23x> а последний—по
графику функции #==log1/2x.
Тем самым построение графика функции # —loglyr2 (1 — Зх)
может быть проведено (рис. 3.56) по следующей схеме:
bg1/a х -* 10§1/2 <3х) 1о81/« <~3х> -* 1о§1/а (~3 (ж“4) ) ’
Пример 5. Построить график функции:
. 1 ж / * \ >еч 2—Зх
a) i/==-g-arctg I ; б) #=arccos —j—.
а*
228
ГЛ.З. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Решение, а) Построение графика дайной функции может
быть проведено по следующей схеме (рис. 3.57):
arctg хarctg (—х) —arctg (—х) —arctg (r-^x—-I
2-—jJ сводится
к построению графика тождественно равной ей функции
график которой в свою очередь получается из графика функ-
ции у=arccos х по следующей схеме (рис. 3.58):
(3 \
—j-x 1 —►
Пример 6. Построить график функции
^s=ax2 + ^x+c, а 0.
Решение,
записать в виде
Квадратный трехчлен ах2+&х+с можно
а
4ас***&
4а
Отсюда видно, что график функции у~ах2+Ьх-}-о получается
из параболы у=»х8 по следующей схеме:
х8 —> ах8 —> ах8+
4а^«-*д8 / , b \2 4ас—-д8
+Т~*
т. е, для построения графика у~ах1^Ьх-\-с надо:
L Растянуть в | а | раз, если | а | > 1 (сжать в | \/а | раз,
если [ a j < 1), вдоль оси OY относительно оси ОХ график функ-
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЯ 229
230
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ции ^=х2 (с возможным последующим отображением получен-
ного графика функции #== | а ] х2 относительно оси ОУ, если а < 0).
2. Параллельно перенести вдоль оси OY на отрезок длины
14&с •** b2 I
——— вверх (вниз) график функции #.= ах2, если величина
4ас —№ . .
—— положительна (отрицательна).
ar ссо s urccos arc oos£- arcces 8/3)/4)
Рис. 3.58
3. Полученный после предыдущего преобразования график
параллельно перенести вдоль оси ОХ на отрезок длцны
вправо, если =- < 0, и влево, если > 0.
&CL
Например, квадратный трех-
член х2 —5x4-6 после выделения
полного квадрата представим в
виде
' (х—5/2)2 — 1/4.
Тогда построение графика
функции у = х2—5х + 6 можно
осуществить по следующей схеме
(рис. 3.59):
Рис. 3.59
х2 х2—1/4 (X—5/2)2 —1/4
На рис. 3.60 показана последовательность построения гра-
фика функции у~—х2-**2x4-3 по схеме
X2—(х4-1)24-4е
Пример 7, Построить график функции
^===ах^4-&х2+сх+^> а#0.
Решение. Построение графика функции
// = йх34“^2 + сх4“^> я $£ 0,
также может быть выполнено с помощью геометрических пре-
образований.
Преобразуем выражение для у к следующему виду:
у = а ((x-J-aP + D (л4-<х) + р). (1)
где
b Зас—Ь2, n 2b3^27a2d—9abc
За~а' “3a5 27а3 ~р'
Теперь, если D 0> уравнение (1) можно записать гак:
y = a /iwf ( 4tx Y ± -4^4—тХ=Д (2)
k\K|D|/ K|D| K|O|3/
причем перед вторым слагаемым в скобках (2) следует брать
знак плюс, если D > 0, и знак минус, если D < 0.
Если 0 = 0, то (1) принимает вид
г/=а((л+а)3 + р). (3,
Из (1)—(3) следует, что график функции t/ = ax3-f-^x2+cx-|-rf>
а 0 (в зависимости от D) может быть получен п.ри помощи
геометрических преобразований графика одной из следующих
232
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
функций:
при Ь > 0, #=х3—-х при О < О
или у = х3 при D = Q.
Свойства функций у~х4—~х и у ==х84-х приведены в табл. 3.5,
а их графики изображены на рис. 3.38.
Рассмотрим построение графика многочлена третьей степени, .
например,
#=х3—Зх2 + %—3.
Так как
у=х3—. Зх2+х—• 3 =
«=х3+3х2 (— 1) + Зх(— I)2 + (— I)3—2х—2 = (х-~ I)3—2х—2 =
то для построения графика данной функции воспользуемся сле-
дующей схемой:
Данная схема реализуется следующим образом (рис. 3.61):
I. Производим растяжение графика функции у-х^—х
в 1^*2 раз вдоль оси ОХ относительно оси OY
(х х
\ —__ переносим вниз параллельно
оси ОУ на отрезок длины (бн->а).
(X \3 X Г~~
2 переносим
вправо параллельно оси ОХ на отрезок длины 1 (вн->а).
(X— 1 \3 X — 1 ./--и
ya-I-------у 2 растягиваем
вдоль оси ОУ относительно оси ОХ в 2 У~~2 раза (at—»д),
График данной функции изображен на рис. 3,61, д,
Пример 8. Построить график функции
__ах-^Ь
У~~сх+сГ
& 0.
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 23|
Решение. Если числитель и знаменатель дробно-линейной
, их b ч . . ,, t.
функции имеют общий множитель x-J-oc (a~bla=dlc)y
СХ “J” и
то данная функция всюду, кроме точки х =—d/or&mt постоян-
ная а/с, и график ее представляет прямую, параллельную оси ОХ
и проходящую через точку (0; а/с), без точки (d/c; —а[с}.
Если дробно-линейная функция
ах+Ь
ox+d'
с 0,
не сводится к постоянной (если ad Ьс), то из представления
, ах + Ь
функции в виДе
a ad^bo
^сЦх+Л/с)
(4)
следует, что график функции ^===—7-3 можно получить из гра-
фика функции у=Л[х (см» рис» 3,24) путем геометрических пре-
гл. з. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
образований по схеме
1 ad—be 1 ad —be 1 ad — be 1 t a
T x c2 x + d/c c2 x-\-d/c' c'
Таким образом, сначала нужно произвести растяжение графика,
функции у — i/x вдоль оси 0Y относительно оси ОХ в j j раз
(если ad—be > 0, то полученный график следует симметрически
отразить относительно оси ОХ). Полученный после этого преоб-
разования график нужно перенести параллельно оси ОХ на от-
резок длины ]d/cl (влево, если d/c > 0; вправо, если d/c < 0).
Наконец,вновь полученный график нужно перенести параллельно
оси OY на отрезок длины ja/ef (вниз если а/с <0; вверх, если
а/с > 0).
2%__1 3
Построение графика функции --~2----—- может
X 1 X -у- 1
быть проведено по схеме
хх х х-Н *4-1 х-Н
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ: ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 23$
(на рис. 3.62 соответственно а н-> б н-> в н-> г н-» д). График функ-
2j£ —и |
ции у~—— изображен на рис. 3.62, д.
х-r ь
Из (4) следует, что асимптоты графика функции т. е,
прямые у~0 и х=0, переходят соответственно в. асимптоты
у — а/с и x~—d/c для графика функции у==^^^ (ad be),
а положение одной из ее ветвей определяется точками пересе-
чения этого графика с осью Ох или осью Оу, Таким образом,
чтобы построить график дробно-линейной функции, достаточно
знать крест асимптот и расположение относительно этого креста
одной из ветвей гиперболы, так как вторая: ветвь симметрична
с первой относительно точки пересечения асимптот.
Пример 9. Построить график функции
х = A sin (со (.х—(₽)),. А > 0, со > 0.
Решение. График данной функции получается из графика
функции z/ = sinx по следующей схеме:.
sin х —► sin cox —> Л sin сох —* A sfti (со (х — ср)),
т. е. последовательным выполнением следующих преобразований:
1. Сжатия в*со раз вдоль оси ОХ относительно оси OY, если
<о> 1, и растяжения в 1/а> раз,, если 0 < со < 1.
2. Растяжения в А раз вдоль- оси OF относительно оси ОХ,
если А > 1, и сжатия в If А раз, если О < А < 1.
3. Параллельного переноса на отрезок длины |<р| вдоль
оси ОХ влево, если ср < 0, и вправо, если ср > 0.
На рис. 3.63, г приведен эскиз графика функции
(1Б \
Зх-----г ,
4 /
построенный согласно предложенной выше схеме:
sin х —> sin Зх —> 3 sin Зх —► 3 sin 3 ^х—sa 3 sin ^Зх—-*-^
(на рис. 3.63 соответственна а «г—> б н-г).
Построение графика функции (x)f по графику функции
y^f(x) основывается на следующем замечании:
I f м | _ / f W ДЛЯ гех х, где f (х) 0,
Н V /1 | — f (х) для тех х, где f (х) < 0.
Таким образом, чтобы построить график функции #==|/(х)|,
нужно все точки графика функции y = f (х), лежащие на оси ОХ
и выше ее, оставить на месте, а все точки графика функции
£ = /(х), лежащие ниже оси ОХ, симметрично отобразить отно-
сительно оси ОХ.
Заметим, что график функции # = |/(*)1 не_ имеет точек,
лежащих ниже оси ОХ,
Пример 10. Построить график функции;
а) у~{х1^Ъх-\-Ъ f; 6)
^86
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Решение» а) Построим график функции ^«х2—5х+6
(рис. 3.64, а) по схеме
( 5 V ( 5 \ 2 1 2 К . Г
г- —> х 77 —> X—я- г=х2 —5x4-6.
\ 2 / \ 2) 4
На рис. &64, б изображен график функции «-5x4-6^
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ 23*
б) так как
х — 2____x-f-2 —4_____х-|-2' —4 ______ 4
х -|- 2 х 2 х -(• 2 * х 2 х ~f- 2 *
то построим
график функции #=
х — 2
Х“|~ 2
(рис. 3.65, а} по схеме
± 1 ~4 —4 ~4 II
х х х х~|-2 х+2 ‘
На рис. 3.65,6 изображен график функции ‘ТГо|*
I X-j-21
На рис. 3.66—3,70 соответственно приведены графики
функций;
yaajcos xl, у = \ logs (х—2)|, г/ = |Зл|,
0 = |arcslnjc|, ц—
№
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Рие. 3.70
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 23$
Построение графика функции z/ = /(|x|) по графику функции
y?=f(x) основывается на следующем замечании: функция у
«= f (I х |) четная, так как /(| — х|) = /(|х|).
Поскольку |х|==х для х>^0, то график функции у=f (| х |)
для х^О совпадает с графиком функции y^=f (x). При построе-
нии графика функции # = /(|х|) для х<0 надо часть графика
^=/(|х|), уже построенного для х^О симметрично отобразить
относительно оси OY.
Таким образом, для построения графика функции у=х/(|х[)
надо:
1) стереть все точки графика функции у = /(х), лежащие
слева от оси OY\
2) оставить на месте все точки графика функции у = /(х),
лежащие на оси ОУ и справа от нее;
3) в левой полуплоскости дорисовать график таким образом,
чтобы полученный график был симметричен относительно оси ОУ.
Построим этим способом графики функций:
y = log3| х| (рис. 3.71,6); r/ = sin [x| (рис. 3.72,6);
^ = х2—3|х| + 2 (рис. 3.73,6); y = 3i*i (рис. 3.74,6);
z/ = arcctg (| х| +1) (рис. 3.75,6).
Пример 11. Построить график функции
*/ = log1/3||21xl+l|-3|.
Решение. Построение графика (рис. 3.76, ж) данной функ-
ции произведем согласно следующей схеме:
bgi/з х l°gi/3 %х * !о^/з I %х I * ^1/з | 2*)|
s 1о81/з I 2х—31 1о81/з I 2 I х I ~31 logi/s {2|*+у|—3|в
- log1/311 2х+ 1 |-31 -+ log1/?| | 21 х | +11 —31
(на рис, 3.76 соответственно а н-> 6 н-» в г
В40 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
I+Z
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 241
Приведем определения и графики часто встречающихся еле*
дующих функций: ;
y=signx—сигнум х (знак х);
х = [х] — целая часть х;
у={х}—дробная часть х\
( 1, если х > О,
signx—1 0, если х=0,
( — 1, если х < 0 (рис. 3.77);
у=[х] = А?, если х=^+а, где k g Z и О^а < 1 (рис. 3.78}
(т. е. [а]—ближайшее к а целое число, не превосходящее а);
г/ = {х} = х—[х] (рис, 3.79) (т. е. {х} = а, если х=&+а, где
Z и < 1).
Заметим, что график функции у={/(*)} целиком находится
в полосе 0 <; у < 1.
Поскольку {Л:-{-ос} = сс, если k £ Z и О^а < 1, то для по-
строения графика функции у = {/(%)} нужно ту часть графика,
которая попадает в полосу а^у < п g N, параллельно
242
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
перенести на п единиц вниз, а ту часть графика, которая по-
падает в полосу -- п < -—«+1, п g N, параллельно перенести
на п единиц вверх; ту же часть графика, которая находится
в полосе Q^y < 1, следует оставить без изменения.
X
Н
--г
--а
k -4
Рис. 3.77
Рис. 3.78
Пример 12. Построить график функции:
а) у —sign cos X} б) y = (arctgx]; в) у = х2|-.
Решение, а) При — у-^2л& < х < & € z> имеем
cos я > 0, и поэтому для таких х, имеем sign cos х=1;
при у4*2яп < х < ~^Ц.2лп, ngZ, имеем cos х < 0, и по-
этому для таких х имеем sign cos х = — 1;
при х==~«^2л/, I £ Z, имеем cosx = 0, и поэтому для та-
ких х sign cosx = 0.
График функции # = signcosx приведен на рис. 3.80,6. За-
метим, что график функции y^sign f (х) является периодической
функцией, если функция y~f{x} периодическая.
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 243
б) Разобьем область значений данной функции на проме-
жутки k^y < fc-H, k £ Z, или на множества, содержащи-
еся в одном из этих промежутков. В данном примере такими
множествами будут промежутки (— ят/2; — 1), [—1; 0), [0; 1)
и (1; л/2). Найдем х, при которых значения функций соответ-
ственно из указанных промежутков (рис. 3.81, а): (— оо; —tg 1);
I—tg 1; 0); [0; tg 1) и [tgl; + оо).
При — оо < х < — tg 1 имеем —-л/2 < arctg х< —-1, и поэтому-
[arctg х} =—2 для таких х;
при — tg 1<х < О имеем — 1 «С arctg х < О, и поэтому
[arctg х]== — 1 для таких х;
при 0«Сх < tg 1 имеем О arctg х < 1, и поэтому [arctg х]=
= 0 для таких х;
при tg 1 х < + оо имеем 1 «сarctg х < зт/2, и поэтому
[arctg xj —1 для таких х.
График функции y = [arctgx[ приведен на рис. 3.81,6.
в) Разобьем область значений данной функции на промежут-
ки или на множества, содержащиеся
244
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
в одном из этих промежутков. В данном примере такими мно-
жествами будут промежутки [0; 1), [1; 2), [2; 3) и т. д.
Часть графика функции (рис, 3.82, а), лежащего
в полосе О^у < 1, оставим без изменения; часть его, лежащую
“2 о 2 V^VT24Vz6 X
Рис. 3.82
в полосе < 2, перенесем параллельно на одну единицу
вниз и т. д.; часть графика функции лежащую в по-
лосе п^у < п + 1, перенесем параллельно на п единиц вниз.
Таким образом получим график функции (рис. 3.82, б).
ЗАДАНИЕ 1
1. В одной и той же системе координат построить графики
следующих функций:
1) У~х, у~х\
2) у=х, у~х% у~х6;
3) у~х, y~V~x, £=*/7, y^l/~x\
4) у=Л!х> У^У/хЬ
5) у=х, у*=1^х* 1 2 3 4 5 6, у—^/хЯ, у^^/^Х
6) у^х, у = 2х, у«=3* z/ = 2^;
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 248
8) у—х, 0=log2x, 0=logex;
9) У—х, y=log1/ax, 0=log1/8x;
10) у—х, у — в\пх, у:=х~*2я, у=ях;
... я Зя
11) У=х, 0=cosx, у=-^—х, у = х—g-;
Г.) у=х, y—igx, у = я—х-,
13) у—х, 0 = arctgx;
14) 0=у—х, 0=arcctgx;
15) <.=х, у — arcsin х\
я
16) у=-^—х, y = arccosx.
2. Построить график функции:
1) у=— ха; 2) 0=>ух®; 3)0 = 21og2x; 4) у=—3tgx;
5) 0=— logi/n-»: 6) # = 4 У7) У=°—
8)0=yctgx; 9)0=3*/^; 10) у=- 1/х;
11) 0=2/ха; 12) У=2^з ; 13) 0=1/V~2xi 14) у=— 2sinx;
15)0=ycosx; 16) у—— у «5*; 17) у=2s*; 18) 0=3~а*|
19) 0=0,2ла*; 20) У=уarcsinх; 21) у=— 2arocosx;
22) 0=—3aretgx; 23) y==^arcctgx.
ЗАДАНИЕ 2
Построить график функции:
1) 0 = 2х2; 2) у=~ -1-х6; 3) 0=—у log5x; 4) y = 2ctgx;
5)0 = log1/ex; 6)0=—2/х?! 7) 0=у р/х4; 8) 0=2/xj
9) 0=ysinx; 10)0 = —2cosх; 11) 0=2*.3*; 12)0 = 4~*.2««;
2 1
13) ^ = —2 arcsin х\ 14) #=?=—arccos я; 15) ^==-н-arctgx;
«и л
16) 0=— 2arcctgx; 17) 0=3 log2x+log2xa — log1/2x;
18) 0 = 2*+l—2-2*+2; 19) y=V~ic— f"x;
20) 0 = log2x—log2x+l; 21) 0 = log2xs+log4x;
22) 0=»2*+*4-2*+a + 2*+s; 23) 0=xxa-j--f-2x«j
246
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
О у
24) У=~р-^4--^- ; 25) У=^У >4-togi(x-^a_loglI(A5-2)2;
28) £ = sin Зх+4sin3-x.
ЗАДАНИЕ 3
Построить график функции:
1) ^ = х2 + 2; 2)^=1—cos х; 3) #=22* + 2;
4) y = log1/2 х—3; 5) у=\ — 3*; 6) у—у-{-arcsinх\
Л 1
7) у = я—2 arctg х; 8) j/=y 4-у arcctgx;,
9) У—$/ —1; 10) зг=3—arccos х;.
11) г/=-2х«-мб; 12) у=^.
ЗАДАНИЕ 4
Построить график функции:
1) r/== 1 — 2х2; 2) t/=l— sinx; 3) у==(1/2)~*--1;
4) z/==log6x+2; 5) ^=-2. - arccos х; 6) у = arcsin х+у ;
7) </=у arcctgx—у; 8) у = 1— arctgх; 9)
Ю) У=~\ ll)j/=K4^-l;
12) (/ = 3j/x-1; 13) {/=2/1-8;
14) {/=4*—2«*+1; 15) j/=y КК^-2; 16) у=р//^+Ь
ЗАДАНИЕ 5
Построить график функции:
1} y=V"2x\ 2)g=v/4x; 3) у= logaЗх;
4) ^«=sin2x; 5)^ = cos-g-x; 6)#=ctg4x;
7)0=tgyx; 8) j/=logi/83x; 9) f/ = 22*; 10)^=-^-;
11)^/== arcsin ~ x; 12) у = arccos 2x; 13) ^/= arctg 5x;
£
14) f/ = arcctgy x; 15) y— f 64xei 16) g=tg2xctg2x.
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 247
ЗАДАНИЕ 6
Построить график функции:
1) */== lQgi/4 4х; 2) //=lag2 2x; 3)^=3^; 4)z7 = ctgyxt
5)y=tg3x; 6)£/ = sin-~x; 7)r/=cos2x; 8)#=l/2-2*i
9) у— 4х; 10) у — х/2.; 11) у = arcsin 2х;
1 1
12) y = arccosyx; 13) #==arct;gy х; 14) ^=arcctg 1Дх<
ЗАДАНИЕ 7
Построить график функции:
l)^==j/'—-х; l)^=|Z--x; 3) z/ = sin (—х);
4) ^ = cos(—х); 5) y=log2(—х); 6) z/ = log1/3(— x);
7) ^ = 2~x; S)y~tg(-xy, 9) ,y = ctg (-x); 10) = (1/3) ~*|
11) у = arcsin;(— x); 12) y~ arccos (—x);
13) ^==arctg (—x); 14) r/ = arcctg (—x);
15) y=l/2-*; 16) y^l + (1/4)-**.
ЗАДАНИЕ 8
Построить график функции:
1) 1—х; 2) ^=24- х; 3) f/= 1 + sin (—х);
4) ^ = 2 —cos (—х); 5) //=x-~bgs(—х); 6) у^—2-*-
7) y=-2tg(-x); 8) 0 = -lctg(-x);
Ю) £/==у arcsin (—х)+'Я/2; 11) г/== —anxos (— х) —-л/3;
12) j/=2—arctg(— х>; 13) у~л/4 + arcctg /— х);
14) у = logs (—• х) —*log1/3 —х); 15) ^ = 42^/2“^-
16) i/==tg (—х) ctg (—х).
ЗАДАНИЕ 9
Построить график функции:
1) у = (х— I)2; 2) (/ = УТ+2; 3) у = 1;
4) £/ = sin(x — л/3); 5) cos (х + л/4); 6) у~ log2 (х—4);
7) # = 2*~2; 8) у = arosin (х—1/2); 9) г/ —arctg (х— 1);
10) у = arcctg(x+$); 11)^/=arccos^x +1); 12) у = 1 — 2j/” —2х;
13) уtogs<1—UH=4 1/1—Их-, 15) у=^х~\
16) у— 1 —arcsin (1 — 2х); 17) у=л2-^-2л-|-3)
18) у=^-х + 1.
248 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ЗАДАНИЕ 10
Построить график функции:
1) у-1+(»+2)‘| 2) (/=1(х-.1)з-.2; 3)г/=ГгГ=^;
4) £/ = logs (2—х); 5) z/ = cos (х—л/4); 6) #=sin (х4~л/4);
7) у»=-Ь(х+4)‘-1; 8) # = log2 (2х—1);
9) //— arcsin (1—Зх); 10) # = arccos (2x4-3);
11) ^«(1/2)1^; 12) # = arctg (1 —х);
13) i/==aroctg (х + 2); 14) z/ = x24-x4-2;
15) ^ = х2—х4-4; 16) ^х=2х2+4х+7.
ЗАДАНИЕ 11
Построить график функции:
Vy==2£—i' 2)у==Йт; 3) г/=*2-“3л:+4;
4) у=2—31-2*; 5) у=1 — у VT+2x;
6) 0 = loga(l--4x)-2; 7) у=У(1-2х)Ь
8) у=—arcsin (1 — Зх)-|-л/2; 9) j< = arccos —;
Ю) y==-g-arctg (1-|-5х)—3; 11) у=4 2 4-3;
12) t/=cos 13) j/ = tg (2х—л/3); 14) # = ctg ;
, блх—л . /л „ \
15)y=sin—=—; 16) y = tg I -5-—2x ).
О \ О У
ЗАДАНИЕ 12
Построить график функции:
1) J's=1~x~.x2; 2) е/=3х* +4x4-5; 3) jf= j/T-2x4-1;
4) cos (2х +л/3); 5) г/—-у sin (л/3-*2х);
6) log2 (2x4-3)+ 4; 7) ^=sA arcsin (2x— 1)— л/4;
8) ^/«2arotg (1— Зх)4-л/4; 9) y=l—2,2*~^; -
‘“’'-таг ‘"’-2-sbr l2’«4$v
О у r. 1 у 2 _.t J
13> ’ 14> У^^-i 1б)£==(2х4-3&
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ „ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 249
16) 0=1 + -^ У2х—1; 17) y==yarccos^^}
л . 1— 2х
18) arctg—
ЗАДАНИЕ 13
Построить график функции:
1) £/ = |х2—х|; 2) 3) у~\log2x|;
4)0 = 1*—2|; б)0=4^/х—1|; 6) 0=|^±р|;
7) 0=|arctgx| —я/4; 8) 0=| sin (2х—л/3) |;
9) 0=||*-1|-2|; Ю) 0 = ||Iog1/8(x+l)+l|-2|;
И) 0=|| \/ х— 11 — 21; 12) 0=||arcsin(2—х)| — я/4 |;
13) 0 = || 2**->-11-11; 14) 0=||2-^|-1|;
15) 0 = ||arccos (2х— 1)— л/4| —1/21;
16) 0 = | [ tg (2х—л/3) | —11.
ЗАДАНИЕ 14
Построить график функции:
1)0 = 1*2+*|; 2) 0=|22*—11; 3) 0=|tg(x+n/4)|s
4) 0= | arcsin (1—х) |; 5) 0 = | log1/8 (2х—3) |;
IOv__QI
г ; 8) 0 = | 2x4-51;
9) 0=|(1/2)2*-11; 10) 0=|| arctg (2х-1)-л/4|-1|}
И) У=
13) 0=
15) 0=
16) 0=
1-2х|-11; 12) 0=|| pZx2—11 —2[;
arcsin -~2Х I-я/4 В I4) У — 112«*—21 —1 h
о I I
arcctg (2х— 1) | — эт/8 |;
1 I 1—Зх. ...
-у arccos —— I—л/61;
17) 0=|(|*4-2|)?—11; 18) 0 = | 12ctg (2x—л/4) J—31{
19) 0=l2|i±||-l|; 20) 0=|n/3-n|cos(2x-n/3)||.
ЗАДАНИЕ 15
Построить график функции:
1) sin 1 х |; 2) 3) £ = log3 |я|;
4) уя= arcsin |х |; 5) </ = arccos | х |; 6) у^= \х [;•
7)0 = ctg|x|; 8)0 = 2'*'; 9) 0 = (|х|Ч-1)2;
10) 0=log1/2(|x|—2); 11) 0=log1/2(|x—2|);
12) # = sin | л—31/41; 13) # = соз (21 х |*«а/3);
250
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
14) f/=2l 1б)0=И*-2|; 16) tg I *+1 I;
17) 0=-ctg(|x|-2); 18) 0=arctg (2|х|—3).
ЗАДАНИЕ 16
Построить график функции:
l)0 = cos]x|; 2) 0 = log1/a|x|; 3) 0 = arcctg|x|;
4) 0=arctg|x|; 5)0=у^|х|; 6) 0 = tg|x|;
7) 0= (1/3)1 x 8) 0= ctg | x |; 9) 0= (| x |— I)2;
10) 0 = log2(|x|—1); 11) 0 = 2; 12) 0 = sin (21 x | — л/3);
13) 0=|/|x—11; 14) 0=tg | x—л/41;
15) 0=arcctg| x—21; 16) 0=arctg| 1—2x|;
17) y = sin|x—л/3 |; 18) z/ = cos | 2хЦ-л/41.
ЗАДАНИЕ 17
Построить график функции:
1) 0==||х|—2|; 2) у = \\ 2х|-3 |; 3) у=|
4) 0 = |2 ^/ГП —11’> 5) 0=| 1—у loga|x| ;
6) 0=1 arcsin] х |—5- [; 7) 0=| -L loga |3х—1 |—2 I;
I V I I о |
8) 0) ^^arccos|l£kzi£.| ;
10) 0=|1-tog1/8|2| 3||; 11, ^=arctgЦ2|х| —11—31;
12) = arcsin ; 13) —tg (| 2х — л/3 | + л/3);
14)y=ctg(n/4—2|л—л/3|); 15) z/=cos(|2x—л/4 |—л/4);
16) z/ = cos (| х^п/4 14-Л/4); 17) // = sin (21 х—л/31 + л/3);
18) у = | 21 л:1-**2|.
ЗАДАНИЕ 18
Построить график функции:
1)0 = |3-|х||; 2) у«||Зх| + 1-|; _
3) 0 = 11 |V — 11—1 1 — 11; 4) y = |l-2v/|x||;
5) 0 = | 2—log31 х 11; 6) 0 = |arccos| x|—n/4|;
1 7 1 \ I 2X- 3 I - 1 I
7) 0 = |21ogl/a|2x-l|-l|; 8)0=Цу) —1|;
9) 0 = arcsiri|Lik^L|; iQ) у == | ^/|2x—11—2 — 11;
П) 0-IKIHI-2I-1|; 12) 0 = 1оё1/а(|х-л/3|-л/3);
13) 0=logx,a(||x|-f-re/3|—л/3); 14) 0=ctg(2]
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 251
f1—2К
15) # = tg(n/4 —|2х—л/4|); 16) ,«/=arctg у--L J\
17) |Зх+2| ’ 18) у== 1+|2|х|—11 ’
19) y=(||x| —2|—З)3; 20) у=е[ 11*”11“2 >“81.
ЗАДАНИЕ 19
Построить график функции:
1) у=х—|х|; 2)g=x+|x—1|; 3) у=\х [—| х+11—2;
4) y=|x+l|-|x-l|; 5) ^=хЗ-|х+1|-1;
6) j>=|x2 —х х2—х; 7) g=x2—5|х|-|-6;
8U = xa-2|x4-l |+3; 9) У=|х2-1 |-|х2+1 |;
( 10)' g=ix+2|-|*®-il; Н) </=IRI-l|-|x|+H
’ 12) t/ = |x2—5х+6|—х+2; 13) {,= /(x+l)2—x;
14) i,= fx2 + 2x+f-(x+l); 15)
16) y=Vx2 + 6x+9 —/x2—6x+9;
17) ^=1^-11; 18)y=^±l.
& п £ Д, • j jf £
ЗАДАНИЕ 20
Построить график функции:
1) i/=x + |x|; 2) f,=x-|x+l|; 3) 0=|*4-1 l + |x|-2j
4) y=|2+x|-|2-x|; 5) i/=x2-|x| + 2;
6) j/=|x2 + x|—x2 + x; 7) i/=x2—2|x|+l;
8) f/ = x2 —3|x + 2| — 4; 9) y = |x2—4|-|x2 — 1 |;
10) 0 = ||x —11 —2|—x; 11) #=|x2—x—2|—x + 1;
12) !/=="|^™'ТТ 1 l3) y== |x2-5x+6l : 14> У=*(|х|+1)|
15) y=(x+\) |x+11; 16) {/=^=1;
17) j/=(|x|-l)(lx|+2); 18)g=Kx2-2x+l-Kx2 + 2x+l;
19) i/= 3/^-КУ2; 20) y^ ^2-+4^+4..
ЗАДАНИЕ 21
Построить график функции:
14 Я 04 I Х I 04 И1 Л4 Iх!
1) ----- • 2) уъ=Д-г ; 3) • 4) &=-—7 :
кч х <74 f 2л — I |
б)^Т^ТТ; 6)y==T^2T: 7)^-T+^J
252
ГД. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
8)1 ; ---1Т+Г
12),_
I X j -—л
1||Я-1|~2| .
....jx-^Tf—2 ’ ’ 14)//=
у—..16) 0 =
/х?+2х+1
11)
13)
15)
1*4-11-1 . 1(й ... |*|—1*4-2| .
’ } V 1*14-1*4-21 ‘
|х| — 1 I.
2**»| х| I*
х2 —| х2—2|
3 х + 1
х4+ 1
||х-1Н2Ц-Г
ЗАДАНИЕ 22
Построить график функции:
Пг/_ид:+1- 21«=1л:+11- 31«—1Х1 + 1- 4\и_1г1+1.
2)г/=|Г+2|’ 3)y-|7FR’ 4>у~~1±2~’
5)уд.1*+Ц.; 6)^-Л+* ; 7) ^1±±Д±1;
х+2 • 1У |x4-2f ’ 4 у |х + 1|+2 ’
1*|-|*+1| . 91„ Г+21-1. 10>1-|1-1*11.
8)^|ж_ц_|ж+ц> 9)^-|7+2Т+Т’ 10)2 "|х+2| '•
,. И—1*4-111 . 121 ** .
^~||х|-1| — 1 * l ) у~~ |«4-2| —1 ’
ЛЕНЕ. 141... 1*14-2|*—11.
ГМ-|*Г п*+2|-н ’
„ >|х|4-1 . 16 1|х|-|х+1||.
У 6|х|4-9 ’ ' V ||х—2|—2|—Г
Н)
13)
у=
15)
ЗАДАНИЕ 23
Построить график функции:
1) # = signx8; 2) f/ —sign х2; 3) 17 = sign sin х; 4j z/ = signtg 2x;
5) у=sign (K6) sign (| |x I —’ 11—*2);
7) у=sign (x2—x—2); 8) z/^sign log1/3 | x —21;
9) y=sign (x3—-l) ; 10) sign arctg (| 2x4-1 |—-2);
11) z/==sign (x2~2| x 1 + 1); 12) ^==sign(£x| + 2) (] x | - 1));
13) resign 14) ^=sign—Щ-А-р;
15) у=sign (I x2—x| — K(*+ I)2); 16) #=s gn (sinx+cos x).
ЗАДАНИЕ 24
Построить график функции:
1) ^==signx6; 2) fz — signx4; 3) y=:signcosx; 4) ^=signctgx;
5) ^ = sign p/ x«2; 6) ^ = sign(^x2«»l);
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 253
7) y=sign logs (II х I— 11— 1); 8) y=sign (l—2«~»);
9) y=sign {(4—x2)-^) ;
\ 1*1/
10) y«=sign(x2—5|x|4-6);
11) y=sign (arcctg | х—>л/31 —n/4); 12) у=sign-
13) y=sign (sin x-|-K^cosx); 14) у =sign (|2*-—11—2*);
15) у = sign ()^sin2 x—sin x);
16) y=sign(]/"x2—2|x-|-l | —|x—1 |);
17) у=sign sin (21 x |—я/3); 18) у=sign -J* ~~*L ;
19) у = sign (cos sin x); 20) y=sign f x-j-^+arctg x
ЗАДАНИЕ 25
Построить график функции ([а] —целая часть числа а,
{а}—дробная часть числа а):
1) У=И; 2) у=[х-Н|; 3) у=|Ух]; 4) у= || x-f-21 ||;
5) У=[| х| —I х—11|; 6) у=[1-2'*-Ч];
7) y = [fx2-2х+1 + V(x+1)2]; 8) у=[|х2-х|-|х4-1|]|
9) у—{х}; 10) у—{х—2}; 11)у={Гх})
12) y={sin х}; 13) у={[| х— 11 — 11};
14) У = {(| *1 —|х—11)};
ЗАДАНИЕ 26
Построить график функции ([я]—целая часть числа а»
{а}—дробная часть числа а):
1) у= 12x4-3]; 2)у=[^х]; 3)у=|2=2];
L о j
4) У= ||х-J- 11-1 х-21]; 5)у=[)<^-/'х24-4х4-4];
6) У = [| log2 (х—2) ||; 7) У=Г^=Л;
L *4 J
8) у=[sin х—cos х|; 9) y=[arctg (|| х|— 11 — 1)];
10) у=[|х2--х|—|х24-х|]; П) У={х4-2};
12) У={Ух*}-, 13) у={|х4-1|-|х|};
14) r/={cosx}; 15) y = {arctg (2х+3)};
16) у == {sin х+cos х};
'»>НтЙтЬ |9,8-{?+Ы'
20) (/ = {1-{-cos^x sin2 х}.
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
£64
ЗАДАНИЕ 27
Построить график функции, предварительно заменив ее
тождественной функцией:
1) у — cos2 — ; 2) y=cosx—K3sinx; 3) y = sinxcos x\
4) y=z{}/~x)2t, 5) y~ Ki—’Cos2x; 6) y==3log8<v; 7) y=2log2*2;
log,/ г-sta *
8) y = log2x2; 9) y=tg 2xctg 2x; 10) у =2 ;
(1 Xctgxtgx
"2 ) *
13) y=J<x2 + 2x + l (x+1); 14) 0=x,os*(**+1);
15) 0=sin4x+cos4 x; 16) 0=2l lo8**L
ЗАДАНИЕ 28
Построить график функции, предварительно заменив ее
тождественной функцией:
1)0=у/х®; 2) у=У 1 —cos х; 3) у=(Ух—1)2;
4) у = (Кcos 2x)2J 5) у=log2 (х—I)2;
8) у=У 1— sin22x; 9) y=xlogje<1~*!);
Ю) t/=/x2 + 4x + 4(x+2); 11) y=21O8’lx-1’;
12) (/ = 2l-logl/2*l; 13) 0=tgxcosx;
14) y= Уsin2 x+ Уcos2 x;
cos 2x 1C. 1 , . . .
) V cosx+sinx’ ^~tgx"^"C ®’
17) 0=310* x+cos‘x+lstaa2x; 18) ^~2]x|+1.
ЗАДАНИЕ 29
Построить график функции:
1) у = х3^2х; 2) ^=2х3—ха;
3) у~х* + 2х* + ‘3х+ 1; 4) у =-|-x8-f-3x— 1;
5) у^\х^\^х; 6) y==l|x3|-*Ul«»2J.
ЗАДАНИЕ 80
Построить график функции:
1) у 39 х8+2х; 2) у^ 2xs+#%
3) ^39Xs«*2x24‘3x+1; 4) ^=х8**|х|;
5) ==11 х31 + 1 х|-21; 6) = 1-Jх||-»1,
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 258
ЗАДАНИЕ 31
1. Построить график функции:
1) у = arcsin (sin х); 2) у~ sin (arcsin х);
3) = arcsin (cos х); 4) r/ = cos (arcsin х);
5) у = arccos х-рarcsin х; 6) у — arocos х—arcsin х;
7) у — sin (2 arcsin х); 8) у = cos (2 arccos х);
9) у «= cos (arcsin х—arccos х); 10} cos (3 arccos х).
2. Вычислить:
1) arcsin (sin 10); 2) arccos (cos 7); 3) arcsin (cos 37).
ЗАДАНИЕ 32
1. Построить график функции:
1) (/== arccos (cos х); 2) у — cos (arccos x); 3& у == arccos (sin x)|
4) r/ —sin (arccos x); 5) = arcsin x—arccos x;
6) у = cos (2 arcsin x); 7) у = sin (2 arccos x);
8) r/==sin (arccos x 4-arc sin x); 9) // = sin (arocos x—arcsin x)j
10) t/ = sin (3 arcsin x).
2. Вычислить:
1) arcsin (cos 10); 2) arccos (cos 25); 3) arocos (sin 11)»
ЗАДАНИЕ 33
1. Построить график функции:
1) // — arctg (tg х); 2) # = tg (arctg x);
3) // = arcctg (tg x); 4) у = ctg (arctg x);
5) // = arctg * +arcctg x; 6) ^==tg (2arctg’x);
7) y —ctg (2 arccig r); 8) y —ctg (arcctg x —arctg x);
9) y = tg (arcctg (x + 1)); 10) у = ctg (arctg 2x)
2. Вычислить:
1) arctg (tg 5); 2) arcctg (tg 17); 3) arctg (ctg 8).
ЗАДАНИЕ 34
1. Построить график функции:
1) у = arcctg (ctg х); 2) у= tg (arcctg x);
3) у == c tg (arcc tg x) ;• 4) у =* arct g (ctg x);
5) у = arct g x —• arcctg x; x6) у == ctg (2 arct g x);
7) y = tg(2 arcctg x); 8) y= tg (arctg x-f-arcctg x);
9) y = tg (arcctg x—arctg x); 10) y=ctg (arctg (1 —x))t
2. Вычислить:
1) arcctg (ctg 23); 2) arctg (ctg 19); 3) arcctg (tg 11).
ЗАДАНИЕ 35
Найти обратные функции и построить их графики для функ-
ции с заданной областью определения:
х -- - 1
•«€’(— со;+ оо); 2) У=х1 х£(—95; 0)1
256
ГЛ. 3., ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
3) *€(0; 1); 4) ^=sinx, xg[— л/2; n/2j;
б) //=sinx, xg[«/2; л]; б) xg(O; 4-00);
7) у=2*\ xg(—оо; 0).
ЗАДАНИЕ 3b.
Найти обратные функции и построить их графики для функ-
ции с заданной областью определения:
1) xg(—оо; +оо); 2) # = х\ xg(O; 4~оо);
о
3) у = fx, xg[l; 4J; 4) г/= cos х, xg[O; nJ;
б) #=cosx, х^[зт; Ззт/2]; 6) У^“~^> xg(—-оо; 2);
7) £=log1/7x2, оо; 0);
8) // = — х2-—2х—3, xg(—оо; 1).
ЗАДАНИЕ 37
1. Решить уравнение и привести геометрическую интерпре-
тацию полученного решения:
1) |х4-21 = 4; 2)|х— 1|Ч-х~ 1 = 0;
3) I х—314-| Х-4-51 = 8; 4) 114-х—| х ||4-2х==—1;
5) 1 2х—х2—31.= 1; 6) х J х4-11—-2 = 0;
7) х24*х+1 = sfnх; 8) )/'х4-2—х—4;
9) У ха (х—3) = 2 ( х2~ х V; 10) х3—х—sin лх=0.
2. Для каждого значения [а решить уравнение и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения:
1) 1х—*2| = а; 2) |х«*а| = 2; 3) |х—а| = х; 4) ах=|х—11.
ЗАДАНИЕ 38
1. Решить уравнение и привести геометрическую интерпре-
тацию полученного решения:
1) [2х— 3 ] = 5; 2) |х4-2|—х=3;
3) |х—114-| х4-2| = 3; 4) |||| х-114-21 -1 Г4~11 = 2;
5) |ха—3х4-11 = 1; 6) (х4-1)|х|+2 = 0;
7) /J2LZ74-X3—1 = 0;
8) Vх2 (х— I)2 (х—2) = (х— 1)*-(х— I)3;
9) <х24- 1) (I * |+ 1)= 1; 10) If х + 1-*х*—х=0.
2. Для каждого значения ,а решить уравнение и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения;
1) I х 4* 1 {4-а 2) 12x4“^ I = Ц
3} | х«*а |=х4~ 1; 4) |х| = ах^<
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 257
ЗАДАНИЕ 39
1. Решить неравенство и привести геометрическую интер-
претацию полученного решения:
1) |х—2| >3; 2) |х+11 < 2;
3) И < *+1; 4) |х2—3| > 2;
5) I х |*~| х+11 > 1/2; 6) |х| > |2х+1|;
7) Vх~2Sax; 8) х2 + 2х-|-1 >/8л -|-8;
I X — 1 I
9) 41 %+ 1 |—х2 <0; 10)
2. Для каждого значения а решить неравенство и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения:
1) | х—21 > а\ 2) | х—а | < 2;
3) | х***а | < х; 4) ах > | х— 1 ].
ЗАДАНИЕ 40
1. Решить неравенство и привести геометрическую интерпре-
тацию полученного решения:
1)|1— х | < 2; 2) | 2х-|-11 > 1;
$|х+И>— х; 4) |х2— 2|<2;
$ |х|-Цх+1| > 1; 6) |х+2| <|х-1|;
t) l—xSs/З^х; 8) х8 > х2-|-2х;
9) (х2 + |х| + 1)(1+|х|)> 1; 10) |j-b| < [ Д
2. Для каждого значения а решить неравенство и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения:
1) |х+1 |4-а > 0; 2) | 2х^а | < 1;
3) | х—а | < х+1; 4) | х | > ах2.
ЗАДАНИЕ 41
Изобразить на плоскости XOY множество точек Р(х,
координаты которых удовлетворяют условию:
1)|!/|=х; 2) у2=х2; 3) |у|>х+1;
4)|у|<2—х; 5) |у| — у = х\ 6) | х-±у | < 1;
7) |у—2| = log2x; 8) ху+у = 0; 9) | х|-| у-l | = 0;
Ю) у+у2|х| = 0; 11) ||х-21-|у|| = 1;
12) | х-|-11 < I у |; 13) |у—sinx|=y;
14) |у| = cosx; 15) \у—2| = log2|xl; 16) | х 14-| у I = 1.
ЗАДАНИЕ 42
Изобразить на плоскости XOY множество точек Р (x, у},
координаты которых удовлетворяют условию:
1) |у| = |х|; 2) у2 = х4; 3) х2 = у4;
4) ||х|—х| = |у|; 5) |х|<|у|; 6) |х|—|у| = 1;
7) |х—у\^у, 8) xy-f-x/ = 0; 9) |у|— |х— 11=0;
9 Задачи по математике. Начала анализа
258 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Ю) |# —cosx| = y; И) | у | = sin х; 12) | х — 11 — log2 У\
13) max (х, у) = 1; 14) min (х, у)~ 1;
15) | х—|у|| = |^—|х||; 16) |y|^|sinx|.
ЗАДАНИЕ 43
1. Для каждого значения а определить число корней урав-
нения и привести геометрическую интерпретацию полученного
решения:
1) |х2 + х| = а; 2) х+-~ = а;
3) х8+х+ая=0; 4) Yх4-а»=х;
б) ах2 — (а+ 1) х=а— 1; 6) х4—х24~а = 2.
2. Для каждого значения а определить число решений си-
стемы уравнений и привести геометрическую интерпретацию
полученного решения:
0 I 1*1 + 1у1=1, 2) J x+f/ = a,
( x2+y?=a; ( х^4-у2=1.
ЗАДАНИЕ 44
1. Для каждого значения а определить число корней урав-
нения и привести геометрическую интерпретацию полученного
решения:
1) |х2—х|+а = 0; 2) || х | — 11+а= 1;
3) х?—*х + а = 0; 4) х—~=а;
5) ах2 + (а + 2) х+2а= 1; 6) У^х =х+а,
2. Для каждого значения а определить число решений си-
стемы уравнений и привести геометрическую интерпретацию
полученного решения:
D f 1*1 + 10| = М 2) ( х—у=а,
I x2+y2«l; ( А'2+г/2~4,
Упражнения
1. На рис. 3.83, а изображен график функции y=f (х). По-
строить график функции:
1)у = /(2х); 2) y=f(— х); 3) y^f^ — x^;
4) »=f(x+2); 5)y=f(|x|); 6)fz=|/(x)|;
7) J/=-y/(x); 8) jr=f(2x+l); 9) y=f(\ x-11).
2. На рис. 3.83, б изображен график функции y=f(x)t По-
строить график функции:
1)«/=/(4х); 2)//=1/(х); 3) у—/(Зх);
4) г/=/(х—• 1); 5)f/=HUI); 6)f=I/WI;
§2 МЕТОДЫ ПОСТ РОЕНИЯ' ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 259
7)^-2/(х); 8) // —/ (1 —2х); 9) y~f (| 2-х |).
3, На рис. 3.83, в изображен график функции ys=f(x). По-
строить график функции:
1) f/ = f(2x+3); 2) 3) y~f(\ х-11);
4)j/=|f(x)|; 5) 0 = f(l/x); 6) У=/^—L-);
7) ^ = 2/(x) + lf(x+l); 8) jz=f(|x|)+H-x);1
m „_/(*)+/(2*)+Н3х). f{x)+f{i-x)
V) у----------------, IU) y~-----------4 4
4. Построить график функции:
1) y=(2x-3)+l; 2) y = | 21 x —11 —11;
3) z/=|||x|-l |-H; 4) j/ = 2/5-x+3;
6H=y(x+4)*-l; 6)У=|2^ТД-1|;
7) ^(Ixl + ^ + l; 8) «,= 1/4+3^;
2*
260
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
9) У= ^2+3|х|; 10) ^=log1/3(l-2|x+2|);
11) у = loga (8х + 4); 12) y=2-V-x-\’,
13) «/=2—3 ^2х; 14) у=|1—11об1/г(1+2л)|;
1 I , , ч I 2ЛХ—Л
15) у— 1 arcsin (— х); 16) у — cos —---;
17) у——2 log2 (I 21 х | — 11 — 1); 18) # = arccos (2 | х |—3);
19) g=(l/n)2'x~1l“2; 20) z/ = 2-KTH7|; 21)
22) у=г4тх1 ' 23) ^=1+Й\; 24)^=~Йт-;
1 “• о | х I х -j- 1 х **г* о
* I х4-2 г ' * |х| + 3 ’ f у х2—1 *
30) 31) £/ = sin x+cos х — 2;
32) f/ = 2 cos х—-3 sin х—1; 33) # = sin4 x—cos4 x + 2;
34) = | x2—1 [—x2; 35) ^ = | x| + | x+ 1 I—| x4-2 J;
36) f/ = [ x2 —1/x2 |; 37) r/ = x2 — 3|x| + l;
38) ^ = |x2+x|-x+l; 39) = (| x |-1) (2-| x |);
40) £/ = [ x24-3x Ц-2х— 8; 41) #==x+signx;
42) #=x4-[x]; 43) y^x + {x}\
44) у = ^Zx^sign (cos лх); 45) у = arctg J-21LL^illL$
46) y—V~ 1 — cos22x; 47) у = cos2xsin2x;
48) i/ = 2l0gl/?SinX; 49) ^ = (j<2x)2; 50) ^=(KsiT3x)2;
51) # = log24x2; 52) ty = tg 2x ctg 2x; 53) y — x/x\
54) t/=^2.y2*Ctg*; 55) i/x) ;
56) у — Yx24-lx-f~4; 57) у — arcsin -J—-L^zLLL .
58) ^ = arccos—^1A±JLL ; 59) 4/ = 2,lo^x|;
о
60) y = slnx—J^sin2*; 61) y = cos x—Kcos2x;
62>У=Й7; 63) f/=tg(|x|-3);
64) у = V2^ + V~^i\ 65) у = x^* - 4>;
66) t/=/x2(l—x)2; 67) y = (V"i^-iy-,
68) f/ = (|<(T=^2j)2; 69) у = х^«х-,
§2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 261
70) у= 72)
У 1—х V 1+х у 1— х
73) y==^L^^^; 74) ^ = arctg (| х | — | х—11);
У х—1
75) y = arcctg(| х| — |х -11); 76) у U*2 + 2хД3И* + 2i;
77) у = V х2—6х4-9 — / х24-4х4-4;
78) у = 1-^|х|-|х4-2|;
79) ^=izr; so)
х “~“1 \ У х /
81) // = |log2||x| —11 —+ 82) y=-j/(l-x)2;
83) ^ = ) (| х | — I)3—*7 |; 84) #=х sign (cos £);
85) r/ = x34-x2 + x; 86) # = 2х3-[-х2;
87) $/ = х3 —2x2—x; 88) у = x3 — 2x2 + x;
89) # = x2 sign (Sin x); 90) y = \ sin x —| sin x | |;
91) £/ = |sinx| + | cosx|; 92) ^ = (j/' 1 —.x2 + Ysinxj
93) у = log2 (x2 — x) — log2 (x2 — 1) + Iog21 x +11;
94) у == log2 j-p-—log2 | x I;
95) у = arcsin(sinx), х£[7л/2; 9л/2];
96) £/ = arcsin (sin x), х^[13я/2; 15л/2];
97) ^ = arccos (cos x), х^[5я; 6я];
98) i/ = arctg (tg x), xg(5n/2; 7л/2);
99) у = arcctg (tg x), х£(9я/2; 5л);
100) y = arcctg (ctg x), х£[7л/2; 4л).
5. Найти обратные функции к заданным и построить их
графики:
1)0=Ц^. *€(-!; 2];
2) у — 2х-уЗг х^(—3; 4-оо);
3) у——(x~i~ 2)2 -|- 3, х (—2; 4“°о)>
4) ^ = х2 + 2х + 5, xg(— 1; +оо);
b)y=v^-i, хё(1; +оо);
6) «'=Й|’ хё0; +«о);
7) !/ = 10g2(x—2), х(Е(2; 4-0°);
8) у=~14-х8 ’ *€(—°°;°г.
9) у = У1—х2, xg[0; 1];
10)j/=yctgx, xg(0; n/4);
11) # = 14-Sinx, xg[—-л/2; л/2];
262
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
12) r/ = l + sinx, х£[л/2; Зл/2];
13) # = cosx, х^[2л; 5л/2];
14) у = tg х, х^[л; Зл/2];
15) ^/ = tgx, х£(Зл/2; 2л];
3*
16) /у-1 + lg (х + 4); 17) ^=1^;
18) 19) у~logx2;
20) </=ln(x— V «2— I);
si) • x^(- —И;
22)*=TzW’ *€1-1/2; 1/2];
23^=кр?г *€П;+оо);
24) у — sin3 х, х £ [— л/2; л/2];
25) еЯ+е~--, х€{0; +оо); 26) ^ = /Г=^;
27) {/ = {*}. х£(2; 3); 28) У=^Г > хё(0; 1):
29) у=/1— 21п(— X), xg[- /7; 0);
30) „_J *2> *€Ю; 4-оо).
dU) у~ \ х3, х€(— °0; 0);
ЧП J X2—4x4-6, xg(— со; 2],
} У-\ -х+4, х€(2; 4-«о);
32) у = arcsin (sin х), х£[7л/2; 9л/2];
33) у = arcsin (sin х), х(£[13л/2; 15я/2]|
34) г/— sin(arctgх), xg[O; 4-оо);
35) £/=x2signx;
36) у ~ 2 sin Зх, х £ [л/6; л/2];
37) ^ = 3arcsin — , xg(—3; 3);
о
38) у — arcsinp^l—ха, 1; 0];
39) // = sinx+cos х, х^[—Зя/4; л/4];
40) g=,in£±l, xg(0; 4-оо);
41) £/ = х| х |-f-2x, xg(—оо; + оо);
42) г/ —х—]/"х2 — 1, xg(—оо; —1].
6. Решить уравнение и привести геометрическую интерпре-
тацию полученного решения:
1) |2х—1 |=3; 2) |х—2|—х + 2 = 0; 3) | х^2| + |х+3 | = 5;
4) 111 11_1 | —2 | =4; 5) |х2—Зх+2| = 2;
6) /х+3 = *4-1; 7) К2^ = 44-х;
8) ^1^=1— |х|; 9) /^ZT-хЗ—1=0;
§2 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 263
10) Vrx2 + 4x-f-4 — yх3—12x4-36=16; 11) 2«»=х4-7;
12) У"х+ У2^х=2; 13) /х+Кз+^=3,
14) 3 Ух-f-1 = 3х3—8x4-3; 15) x3 = sin — х;
16) У(х4-1)3х = |2х4-1 | —1; 17) ||х4-1| —1|=— х;
18) х—х3-|-252 рУ х=0; 19) log2x—х-[-2 = 0;
20) 31og3x—2x4-2=0; 21) 2* = 1 — х3;
22) х3—xs4-l/x3=0; 23) Iog1/ie х=(1/16)*.
7, Решить неравенство и привести геометрическую интер-
претацию полученного решения:
1) |1—xl>2; 2)|2-Н|<3; 3)|3х—1]<2;
4) | 21 > х+3; 5) | х—*1 | < 1 — | х |;
6) |х — 1 | > 2—| х 1; 7) |х + 1 | — |*1 < И
8) |х| 4-12x4-1] >1; 9) | х3 —1 | < 1 —| х|;
10) /х4-2 > 2х—2; 11) Ух3—1 <х2—3;
12) У^Т > х—1; 13) Ух34-16x 4-64 —Ух34-2х-Н >5;
14) Ух34-16x4-64—У х34-2x4-1 < 8;
15) 3log2х > 2(х—1); 16) 1 —xSs (х-|- 1)2х;
17) 1=^2*; 18) j/x+Ixsx— 5;
19) Ух4-1 < Зх3—х; 20) 21og2x-j-2 рУ х<—5.
8. Для каждого значения а решить уравнение и привести
геометрическую иллюстрацию полученного решения:
1) |х—3| = а; 2)]х+21=а+1; 3)|2х —а| = 1;
4) | х^-а | = 14~х; 5)] х2—х|=а; 6) | x-J—21 = х-|-а;
7) ] х +1 | = а(х—1); 8) 11 х]— а | = 2;
9) |х—<2| + |х] = 1; 10) У”х-^а=х\ 11) xj х+а| = 2;
12) Х4 + %2—<& = 0; 13) ох2—*ах 4-2=0;
14) ах34-(а4-1)х-3 = 0; 15) %^=а;
16) 12x4-3|=а(х—2); 17)
18) |х| —1х4-1|=а; 19) Ух3(х3 —1)=а; 20) У х=а—х.
9. Для каждого значения а решить неравенство и привести
геометрическую интерпретацию полученного решения:
1) |х— 1|>а; 2) |х—3|<i2“4~1; 3) ] х—а | < х4-4;
4) ах > |х+ 11; 5) а | х | < %4-2; 6) Ух+а > х\
7)||х|—1|>а; 8) ах2+х4-1 > 0;
9) ах2 +1 х | — 1 > 0; 10) х2—а | х | + 1 > 0.
10. Изобразить на плоскости X0Y множество точек Р(х; у),
координаты которых удовлетворяют условию:
I) 2) |х|-Ш1 = 1; 3) |хЧ-^]=—х+1^1;
264
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
4) ||Х|-IJ/1]=1; 5) ||х| + ||у|—3|—3| = 1;
1/"3
6) |У|=-^(1И-х); 7) |j/+kll<lkl-xl;
8) х*-\-У*—х"> 9) *2 + '/ = *+y; Ю) х2/4 + уг = 1;
( ^<5—2|х|,
11) х2/2-у2 = 1; 12) ху-у^х+2; 13) { 1
( -2,Х
14) у —4—{у—6/х |—2 | 3/х—1 |;
15) j/ = 2 | 1 + 1/х l + 2/х—| Z/ + 4 |;
16) x2 + 4xj/—5j/2=0; 17) | ^~^+2 > °’
20) {х}+{(/}=1; 21) [x] + [f/]=l; 22) х=у-у\
23) х2 = у-г/?; 24) log1/2(|x| + | у |) -> 0;
25) log2 х log4Z/== 1; 26) log^ | sin х | > 0;
27) logcos х (| у |-2) > 0; 28) { = ’’
§ 3. Графики сложных функций
Используя геометрические преобразования, рассмотренные
в § 2, в их различных комбинациях, можно построить и графики
более сложных функций.
Пример 1. Построить график функции
^=1||х|-1|-2|.
Решение. График данной функции можно построить по
графику функции у = ||х| — 11, если последний параллельно
перенести вдоль оси OY вниз на отрезок длины 2, а затем ту
часть полученного графика функции # = ||х|—1| — 2, которая
расположена в нижней полуплоскости, симметрично отобразить
относительно оси ОХ. График функции # = ||х|—1| можно
построить по графику функции z/ = |x|, если последний парал-
лельно перенесли вдоль оси OY вниз на отрезок длины 1,
а затем ту часть полученного графика функции у = | х | — 1,
которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично
отобразить относительно оси ОХ.
Таким образом, график заданной функции (рис. 3.84, е)
может быть построен согласно схеме
х _^ | Х| _^ | Х|_ 1 ц Х|_ 11 _^ || Х|_ 11_2 —HI х|— 1| —2|
на рис. 3.84 соответственно a t—» бь—> в г-» д f—» е).
Заметим, что построение графика функции, в аналитическом
задании которой содержится несколько знаков абсолютной вели-
чины, можно осуществить построением графика тождественно
равной ей функции, в аналитическом задании которой не содер-
жится ни одного знака абсолютной величины. Для этого всю
§3. графики СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
265
область определения данной функции надо разбить на проме-
жутки таким образом, чтобы на каждом из них, исходя из
определения абсолютной величины, можно было раскрыть все
знаки модуля и получить на нем функцию, тождественную
данной.
Пример 2. Построить график функции
^-Н1-|х+И+3|х + 21.
Решение. Точки числовой оси хх =—2, х2 ——Ь Хз = 0
разбивают всю область определения функции на четыре проме-
жутка знакопостоянства функции: (—оо; —2), [—2; —1], (—1;0),
[0; +оо). Построение графика данной функции (рис. 3.85)
сводится к построению графика тождественно равной ей функ-
ции, заданной следующим образом:
' — 3x^5, xg(— со;— 2),
J 3x4-7, 2; — 1],
«4-5, х£(— 1; 0),
к Зх 4 х [0; 4" оо).
Пример 3. Построить график функции
е/ = |х2 —2х | — |х2—Зх+2 [—х.
Решение. Имеем х2—2х=х (х—-2), х2—3x4-2 — (х— 1)X
X (х—2). Точки числовой оси Xi = 0, х2=1, х3 = 2 разбивают
всю область определения данной функции на четыре промежутка:
(— оо; 0), [0; 1], (1; 2], (2; 4>оо).
Так как на множестве (—оо; 0)(J(2; 4оо) имеем ] х2—2х[ =
= х2—-2х и | х2—3х4-2 | = х2 — 3x4-2, то на нем
у = (х2 — 2х) — (х2—Зх 4 2) х = х2—2х—х2 4-Зх—2—х = —2.
Так как на отрезке [0; 1] имеем |х2 — 2х | =—• х24~2х
и | х2 —3x4'21 — х2 — 3x4-2, то на нем
у —— (х2— 2х) — (х2—3x42) —х =— х242х—х243х—2—х =
=—2х244х—2 = —2 (х— I)2.
Так как на промежутке (1; 2] имеем ] х2—-2х| =—(х2— 2х)
и | х2-—3x421 =—(х2—3x42), то на нем
у =— (х2 — 2х)4(х2 — 3x42) —х —— х2 4 2x4я2—3x42—х —
= —2x42.
Итак, построение графика данной функции сводится к по-
строению графика (рис. 3.86) тождественно равной ей функции
( —2, хен оо; 0)U(2; 4 оо);
—2(х—I)2, Х0О; 1];
V -2x4-2, х^(1; 2].
Пример 4. Построить график функции
S/ = |tgx[-|tgx-l[42.
Решение. Так как данная функция является периоди-
ческой с главным периодом я, то достаточно построить график
266
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Ук
|л?2«2й7]-|л?г" 3#+ 2 [-й?
Рис, 3.86
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
267
данной функции на любом интервале длины я, например, на
интервале (—л/2; л/2), а затем периодически продолжить его
на всю числовую ось.
Разобьем интервал (—л/2; л/2) на промежутки таким обра-
зом, чтобы можно было раскрыть все знаки модуля в записи
данной функции.
На промежутке (—л/2; 0] имеем | tg х | =—tgx и |tgx—1[==
=—tgx+L поэтому # = 1 на нем.
На промежутке (0; л/4] имеем |tgx|=tgx и | tg х— 11 =
tgx-J-t, поэтому # = 2tgx+ 1 на нем.
На промежутке (л/4; л/2) имеем |tgx|=tgx и |tgj:-*-l|=s
= tg х— 1, поэтому z/ = 3 на нем.
Итак, построение графика функции у~ \ tg х | — | tg х— 11 -f-2
на промежутке (—л/2; л/2) сводится к построению графика
(рис. 3.87, а) тождественно равной ей функции
( 1, л/2; 0J;
/(*)={ 2 tg 1,- xg(0; ог/4];
V 3, *ё(л/4; л/2).
Продолжив периодически на всю числовую ось построенный
график на промежутке (—л/2; л/2), получим график исходной
функции (рис. 3.87, б).
Заметим, что график функции г/= 111 х | — 1 | —21 примера 1
можно построить, осуществив построение графика тождественной
ей функции, в аналитической записи которой не содержится
знаков абсолютной величины.
Действительно, точки числовой оси х±=—3, х2 = — U х3—О,
х4=1, х5 = 3 разбивают область определения функции на шесть
промежутков: (— оо; —3), [—3; — 1], (—1; 0], (0; 1], (1; 3],
(3; +оо).
268 ГЛ. 3- ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Данная функция тождественно равна функции
— х—3, х^(—оо; —3);
х + 3, xg[—3; —1];
f(x\— . —x+h *(Е(—1; ЭД;
'U х —1, xg(0; 1];
— *4-3, x€(I; 3];
v x—3, xg(3; 4~°°)>
график которой изображен на рис. 3.84, е.
Ниже на примерах разбираются приемы построения графи-
ков сложных функций y — F (f (х)), xgX, основанные главным
образом па сопоставлении промежутков монотонности каждой
из функций.
Приведем описание метода построения графика функции
y~l/f(x) по графику функции y = f(x).
а) Если из области определения функции y = f(x) исклю-
чить все те значения х, для каждого из которых /(х) = 0, то
получим область определения функции y—l/f(x).
Если функция y— f(x) непрерывна в точке х = х0 и /:(хо) = О,
то прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика
функции y=l/f(x),
б) Функция 1//(х) положительна (отрицательна) на тех
промежутках, на которых положительна (отрицательна) функ-
ция y = f (х). Функция y=l/f(x) нулей не имеет.
в) На тех промежутках, где функция y = f(x) возрастает
(убывает), функция #=1//(х) убывает (возрастает), причем
стремление функции f (х) к нулю (к бесконечности) приводит
к стремлению функции у~1Ц (х) к бесконечности (к нулю).
г) Если в точке х = х0 функция у — f (х) достигает макси-
мума (минимума) и f (х0) $6 0, то в этой точке функция у= 1//(х)
достигает минимума (максимума).
д) Так как ±1 = 1//(х), когда f(x) — ±l, то точки пересе-
чения прямых у~ 1 и ij~— 1 с графиком функции y = f(x) при-
надлежат также и графику функции у=1//(х).
е) Если функция y—f(x) является периодической, четной
или нечетной, то таковой является и функция y=l/f(x).
Пример 5. Построить график функции
X
у~х*- Г
Решение. Так как у(—-х)=— у(х), то данная функция
является нечетной, и поэтому достаточно построить график для
х^О, а затем получим график ее для х<;0, осуществив цент-
ральную симметрию относительно начала координат. Точка
(0; 0) принадлежит графику данной функции. Если х ф 0, то
данную функцию запишем следующим образом:
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
269
Т. е. = где f(x) = x—— График функции у=4(х),
(£(0; +°о), изображен на рис. 3.88, а.
Так как в точке х = 1 функция y = f(x)t xg(0; + оо), непре-
рывна и обращается в нуль, то прямая х— \ является верти-
кальной асимптотой графика функции ^=1//(х), xg (0; 1)U
U(l; +°о). Так как на. интервале (0; 1) функция у = f (х) воз-
растает от —оо до 0—, то функция y=z\/f(x) на этом интервале
А „ п (—i + Z's' А
убывает от О— до —оо. При этом точка I --; —1 \ при-
надлежит графикам функции y=f(x) и y=l/f (х). На проме-
жутке (1; +00) функция y=f(x) возрастает от 0-|- до +оо,
поэтому функция y=\/f(x) убывает от -f-oo до 0+. При этом
прямая //=0 является горизонтальной асимптотой графика функ-
ции г/— 1// (х), xg(0; 1) U (0; 4»оо). Точка принад-
лежит графикам функции y~f(x) и y~\if(x). График функции
z/=l/f(x), xg(0; 1)U(1 J+<*>), изображен на рис. 3.88, б, график
функции j/=l//(x), оо; —l)U(—1; 0)(J(0; 1)U(1’> +00) —
на рис. 3.88, в, а график функции у~-~-—xg(— оо; —1)U
U(—U +00) —на рис. 3.88, г.
270
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Пример 6. Построить график функции
Решение. Так как $ (—%)==—у(х), то данная функция
является нечетной, и поэтому достаточно построить график для
х > 0, а затем получим график ее для х < 0, осуществив централь-
ную симметрию относительно начала координат. Точка (0; 0)
принадлежит графику данной функции. Если х & 0, то данную
функцию запишем следующим образом:
1
0=-—Г’
т. е. где /(х) = х + -~. График функции у—*4--—,
+00), изображен на рис. 3.89, а.
Так как точка является точкой минимума функции
y — f (х), xg(0; Н~оо), причем f (1) # 0, то точка х = 1 будет точ-
кой максимума функции z/— 1//(х), xg(0; +оо). Так как на
интервале (0; 1) функция y=zf(x) убывает от +00 до 24-> то
функция у—\Ц (х) на нем возрастает от 0+ до ~—* На про-
межутке (1; +оо) функция y=f(x) возрастает от 2+ до Н-оо,
поэтому функция у=1//(х) убывает от до 0-Ь при этом
г/ —0 является горизонтальной асимптотой графика функции
y~l/f(x), xg(0; -j-oo). На промежутке (0; V3_] функция у =
= 1// (х) выпуклая вверх, а на промежутке [)/~3 ; -|~оо) выпук-
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
271
лая вниз. График функции p=l/f(x), xg(0; 4-00), изображен
на рис. 3.89, б, график функции y~l/f(x), xg(0; +°°)U(—оо; 0) —
на рис. 3,89, в, а график данной функции—-на рис. 3.89, г.
Рассмотрим функцию вида
__ах2-\-Ьх-{-с
У px+q
а 0, р 0.
Вынесем за скобки р в знаменателе и положим а =—q/p, а чис-
литель разложим по степеням х—а. Получим
t __а (х—а)а + (б+2аа) (х—а) + (аа2+с + ^«)
У р (х-а)
Отсюда следует, что
= j (<х~а)+(-7+2а)+т4^)> 0)
Л 9.6 I С
где Д —а2-^—а-]—.
а а
Если Д = 0, то данная функция тождественно равна функ-
ции у(х) = ~ ^(х—, х Ф а, графиком которой
является прямая без точки (а; 0).
Если А < 0, то из (1) следует, что
..,.л М-2аа , аУ\Т] ( х—а 1
У(’ Р + Р х~а Г
( К|Л| )
Если А > 0, то | А | = Я, и из (1) следует, что данную функ-
цию можно записать в виде
. . &-f-2aa , а у
уЮ~^-+—
FT)
Таким образом, график функции получается
px-f-z?
Ь с 1
при а24—-а-|—0 либо из графика функции р = х-----------~
d CL X
(рис. 3.37, б), либо из графика функции р = х+~ (рис. 3.37, а)
посредством простейших геометрических преобразований.
Пример 7. Построить график функции
х2 +2х+3
У== х + 2
272 ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Решение. Разложив х?4-2х4-3 по степеням л4-2, по
лучаем
х2 4- 2х 4- 3 = (х+2)3^ 2 (х 4- 2) + 3,
Поэтому
_(х+2)2^2(х4-2)+3
у~~ х4-2
или
J=_2+!i±gi3 2+((2+2)+^)=
V УЗ )
Следовательно, построение графика данной функции можно
Рис. 3.90
273
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
произвести согласно следующей схеме (рис* 3.90):
(на рис. 3.90 соответственно а н-» бн-д).
гд ж х2-|-2х + з л
График функции у=——° изображен на рис,
х-ф- z
Пример 8, Построить график функции
3.90, д.
X2 + х+ 1
у~х*—х+г
Решение. Заметим, что точка (0; 1) принадлежит графику
данной функции. Так как
О
^(х) = 1 + -7--рт----, х^О,
\ * /
то для построения графика функции можно использовать сле-
дующую схему (при х Ф 0):
, , 2 _л2 + х + 1
, 1 \ ~х2—x + i
хч---— 1
\ л у
(на рис. 3.91 соответственно гн-^бь~-> е).
Результаты исследования свойств функции */ = х+-~- приве-
дены в табл. 3.5. На основании этих свойств находятся участки
монотонности функции у = —1 + (*+у) ’ а значит» и Участки
монотонности функции----~----рр (табл. 3.7).
1 + ^x+yj
Так как х2—х+1 & 0, то вертикальных асимптот график
данной функции не имеет. Кроме того,
«ш у*+}=1.
Я»±а> X X 1
274
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
и поэтому прямая #=1 является горизонтальной асимптотой
как при л;—*4~оо, так и при х—оо.
Так как
lim
я-»-о
Х2 + х+1
X2 — % + 1
= 1 ~У (0),
то, использовав предложенную выше схему построения графика
функции у(х) при *0 0, а затем дополнив построенный таким
образом график точкой (0; 1), получим
X2-J-x4“ 1 / л л» \
---гч (рис. 3.91, е)>
X2 — х+ 1
график функции # =
При построении графика функции y~logaf(x) (а > 1) пр
графику функции y~f(x) нужно руководствоваться следующим:
§ 8. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 275
а) функция log^f (я) (а > 1) определена для тех значений х,
при каждом из которых функция f (х) определена и положи-
тельна;
б) функция loga f (х), а > 1 равна нулю в каждой точке xg
числовой прямой, где /(х0)=1; положительна на тех промежут-
ках, где f (х) > 1; отрицательна на тех промежутках, где 0 <
<Цх)< 1;
в) если функция / (х) непрерывна справа (слева) в точке
x=X(j и f(Xo) = O, то прямая х=х0 является вертикальной асимп-
тотой графика функции y = logaf(x);
г) функция loga f (х) (а > 1) возрастает (убывает) на тех
промежутках, на которых функция y~f(x) положительна и
возрастает (убывает). Функция имеет локальный максимум (ми-
нимум) в тех точках числовой оси, в которых f (х) имеет поло-
жительное максимальное (минимальное) значение.
Таблица 3.7
Функция Значения аргумента
-00<Х<-1 х=—1 — 1<х<0
0=_ (см. рис» 3.91, б) ; 1 у- -( ру -1+ х+- ) \ х / (см. рис. 3.91, в) -3 (max) —— 1 (min)
Значения аргумента
Функция х = 0 0<х<1 1 <Х< + ОО
у=—,+(д:+4)
(см. рис. 3.91, б)
1
у------7---И
~1+(х+т)
(см. рис. 3.91, в)
Не опре-
делена
Не опре-
делена
1
(min)
1
(max)
При 0 < а < 1 можно провести аналогичные исследования
или воспользоваться, например, формулой
bga/W=^lg/(x)
276
ГЛ. 3 ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Пример 9. Построить график функций
^=Ig (х2—х).
Решение, Так как на промежутке (0; 1) функция f =
= х2 —х (рис* 3.92, а) отрицательна, то область определения
данной функции есть множество (—оо; 0)U(h +00)- Так как
функция f(x)~x-—х непрерывна в точках х = 0 и х=1 и так
как f (0) = /:(1)==0, то прямые х = 0 и х= 1 являются вертикаль-
ными асимптотами графика функции #=lg(x2—х).
На промежутке (—оо; 0) функция f (х) убывает от +оо до 0,
поэтому на нем функция ^=lg(x2—х) убывает от +оо до —оо,
\ — У 5
пересекая ось ОХ в точке х0 =—~—, так как f(x0) = l. На
промежутке (1; 4~оо) функция f(x) = x2—х возрастает от 0 до
+ оо. Поэтому на нем функция lg f (х) возрастает от—оо до
, . _v i+Кб
4-оо, при этом ее график пересекает ось ОХ в точке xi=—— »
так как f(x1)=l.
Сведем полученные результаты в табл. 3.8. График данной
функции изображены на рис. 3.92, б.
Аналогично разобранным выше примерам проводится по-
строение графиков функций вида F (/ (х;), когда «внешняя»
функция (т. е. функция F (и)) [является строго монотонной на
всей своей области существования; в частности, таковыми яв-
ляются функции вида
Рп + 1 11(х), 2П+]/У(х), arccos f (х), arctg f (х),
arcsin f (x), arcctg f (x).
Зная промежутки монотонности функции y = f(x)t находим
промежутки монотонности функции y — F(f(x)).
Пример 10. Построить график функции
Решение. Поскольку имеет место равенство
1—f=—14——
14-х ^х4-Г
1 — X
го график функции у—у—- (рис. 3.93, г) получается из гра-
фика функции у~\/х по следующей схеме:
11 2 2 J-x
х х4-1 х4-1 1+х4-1~'1+^'
(на рис. 3.93 соответственно a t—> б н-» вн-> а)
§3. ГРАФИКИ сложных ФУНКЦИЙ
277
Рис. 3.93
278
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Таблица 3.8
Функция Значения аргумента
— оо<х<0 а=0 0 <х<1 .= 1 1 <Х< + со
^ = х2—X (см. рис. 3.92, а) 0 Отри- цательна 0
y=lg(xa — х) (см. рис. 3.92, б) Не опре- делена (—оо) Не су- ществует Не опре- делена (—00)
1 __
Функция J/=r-5— является строго убывающей на проме-
1 -f-X
жутках (—оо; —1) и (—1; -J-oo). Функция у~2х возрастает на
всей числовой прямой. Участки возрастания и убывания дан-
ной функции приведены в табл. 3.9.
Таблица 3.9
Значения аргумента
Функция
— 00 <Л7<—1
-1 <Х<+ 00
1— X
V— 1+х
(см. рис. 3.93, г)
У = 2Х
(см. рис. 3.11)
Не определена
(оо)
1
(см. рис. 3.93, д)
Не определена
(-* о+),
(+<»*-)
/к 1—Х .
Функция имеет вертикальную асимптоту х = —-1 и
горизонтальную асимптоту у~—1. Так как
Um 2(1-*)/(1+*)! =+оо, Um 2(1"х>/(1+л:) =0,
-1 + 0 -1-0
то прямая х =—1 является вертикальной асимптотой графика
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
279
данной функции. Так как
lim 2<,-х)/<1+х’=4-, lim
Х-++°° Л'->—ОО &
то прямая у=1/2— горизонтальная асимптота графика функ-
ции #=2(1~х)/(1+х).
Отметим также, что
2d~*)/(t+4 > 1/2 при х > —1,
2<i-*)/(i + *) < 1/2 при х < — 1.
График функции у = 2(1 +х) изображен на рис. 3.93, д.
Пример 11. Построить график функции
у = arccos f . (2)
\ 1 +*/
1 — х
Решение. График функции - изображен на
рис. 3.93, г. Так как областью существования функции у~arccos х
является промежуток [—1; 1], то, решив неравенство — 1
1 —— х
ГП—h находим, что областью существования функции (2)
1 —х
служит промежуток [0; 4~оо). Отметим, что для отыскания
области существования функции (2) можно было бы, не решая
этого неравенства, воспользоваться соображениями геометриче-
ского характера: на рис. 3.93, г найти те значения х, при ко-
1 х
торых график функции у = —- находится в горизонтальной по-
лосе— l^y^l (предполагая, что все свойства этого графика
доказаны).
Так как функция # = arccosx является строго убывающей
1 X
на своей области существования, а функция у — — - убывает
на промежутке [0; + оо), то из табл. 3.9 заключаем, что функ-
ция (2) является строго возрастающей на промежутке [0; +<эо),
при этом при х = 0 она принимает значение, равное arccos 1=0,
а при х—1—значение arccos 0 = эт/2.
280
ГЛ. 3. графики ФУНКЦИЙ
Имеем также, что
1- 1—х .
lim arccos —— = arccos (—1) = л.
Х»4-оо 1+$
Поэтому прямая у — л является горизонтальной асимптотой
графика функции (2), и он расположен ниже этой прямой при
0 < х <с *4~ оо •
График данной функции изображен на рис. 3.94.
Пример 12. Построить графВД функции
У= ]/*+*• (3)
Решение. Область определения данной функции есть
объединение промежутков (—оо; 0) и (0; + оо). Достаточно
провести исследование данной функции только при х > 0, так
как она является нечетной.
Таблица 3.10
Функция Значения аргумента
0<х<1 х= 1 1 <Х< + СО
. 1 (см. рис. 3.9) 2 (min)
3/— У=]/ X (см. рис. 3.8) 1
(см. рис. 3.95) ^2 (min)
Функция «/=1/ х возрастает на всей числовой прямой. Во-
спользовавшись свойствами функции у = х-}--^ (табл. 3.2), со-
ставим табл. 3.10, в которой отражен характер монотонности
функции
У— xg(0; 4-00). (3')
Поскольку
lim
х-*о+
=+°°»
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 281
то прямая я=0 является вертикальной асимптотой графика
функции (3').
Так как
lim
Я-> + оо
то график функции (3') не имеет наклонной асимптоты при
х —-роо.
Отметим, что
lim ( 1/"х Н—х \ = О,
f оо \ V ' х J
। 1 3/”
Х-|-— >1/Х -при X —>4-00.
Поэтому при достаточно больших положительных значениях х
3 у-*
график функции (3) лежит выше графика функции у~ у х и
мало от него отличается.
На основании проведенного исследования и свойства нечет-,
ности данной функции строим ее график (рис. 3.95).
Если функция F (и) не является строго монотонной, то для
построения графика функции у~ F (f (х)) ее область существо-
вания разбивают на промежутки Х[ так, что на каждом из эти#
промежутков функция y — f (x) является монотонной, и на мно-
жестве значений Y[ функции y = f(x), принимаемом на про-
межутке Х[, функция F (и) также монотонна. В частности*
282
ГЛ, 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
таковыми являются, например, функции вида
/2п(х), sin/(x), tg f(x), ctgf(x) и др.
Пример 13. Построить график функции
# = sin(atK х), xg[0; 9].
Решение. Так как Ос. л У хСЗлпри 0СхС9, то до-
статочно рассмотреть функцию гу —sin а на промежутке 0 Са^Зл
(табл. 3.11).
Так как функция у=пУ х является строго возрастающей,
то, исходя из табл. 3.11, находим участки монотонности данной
функции (табл. 3.12). Учитывая, что х=0, х=1, х = 4 и х==9
есть нули функции ^ = sin(^K *)> строим график (рис. 3.96).
Таблица 3.12
Значения аргумента
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
283
Рис. 3.96
Пример 14. Построить график функции
Е___sin2 х— sin 2х
V cos2 х
Решение. Запишем функцию в виде
sin2 х—sin 2% sin2 % —2 sin х cos %
------5----=-----------5-------=tg2 x—2 tg X — tg x (tg x—-2).
cos2 x cos2 x
Функция (4) определена при всех х, за исключением точек
эт/2+пп, ngZ. Функция является периодической с главным
периодом л, поэтому построение графика функции (4) доста-
точно провести на множестве [0; л/2) UW 2; яг).
Положим £ = tgx и рассмотрим функцию — —2).
Функция F (t) = t (/ — 2) —(/ —1)2—-1 убывает на промежутке
Таблица 3.13
Значения аргумента
Функция О II * t>x>0 «к 11 н К |см V ► и V II 9 $ К {со | х=л |
i = tgx 0 1 Не опре- делена (оо) 0
0 —1 (min) Не опре- делена (+оо) 0
tg х (tg х—2) 0 -1 (min) Не опре- делена + оо 0
284
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
(—оо; 1] и возрастает на промежутке [1; +°°)« Функция £ = tgx
возрастает на промежутке [0; л/2), и на интервале (л/2; л) в точке
х = л/2 она имеет разрыв. Значение t — 1 функция / = tgx при-
нимает при х = л/4. Когда х возрастает от 0 до л/4, то t воз-
растает от 0 до 1, a F (t) убывает от 0 до —1. Если х возрас-
тает от л/4 до л/2, то t возрастает от 1 до +оо, a F (t)—от—1
до-|-оо; кроме того, F(/) = 0 при / = 2. Если х возрастает от л/2
до л, то t возрастает от —оо до 0, и тогда F (t) убывает от +оо
до 0. Поскольку
lim tgx(tgx—2) = lim tgx(tg х—2) = + оо,
то прямая х=л/2 является вертикальной асимптотой графика
функции z/ = tg х (tg х —2), хg [0; л/2) (J (л/2; л). Полученные
результаты исследования приведены в табл. 3.13, а график
функции (4) изображен на рис. 3.97.
Пример 15. Построить график функции
3 1
у (х) = cos х —cos Зх. (5)
Решение. Так как функция (5) является периодической
fi главным периодом 2л, то достаточно исследовать ее на про-
межутке [—л; л], а поскольку она является и четной функци-
ей, то —на промежутке [0; л].
Так как cos3x = 4cos3x—3cosx, то имеем
3 3
z/(x) = —. cos х—*2 cos3x+-y cosx = 3 cos x—-2 cos3x.
Полагая t = cos x и t = и имеем
у = — Ж = — 3 jZ у (u8 - и).
Функция
х=0 0<х< ~ 4
t = COS X 1
/т **^4
us—и -4/?
§(«3-и) 1
Таблица ЗЛ4
Значения аргумента
л Х~ 4 л Зл ТГ <х< Т“ 4 4 Зл Х~~ Зл -т- <Х<Л 4 х=л
КТ 2 -КТ 2 — 1
/I ч/т К з jc^|oo 1
-4/4 (min) 1т/т 3 г 3 (min) l.l/'L 3 К 3
Кт ^»ах) -Кт (min) —1
§ 3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
286
ГЛ. 3 ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Характер монотонности функции w3— и меняется в точках
= 1/3 и V 1/3 (см. пример 3 в § 2), которым соот-
ветствуют точки t-^V^T/2 и /2 = — К1/2, т. е. точки хх — л/4
и Ха — Зл/4.
Рассматривая образованные этими точками промежутки и
пользуясь свойствами возрастания и убывания функций, полу-
чаем данные, представленные в табл. 3.14.
Построив график функции (5) на отрезке (0; л] и четным
образом продолжив его на отрезок [—л;0], а затем продолжив
периодически на всю прямую, получим график данной функции
(рис. 3.98).
ЗАДАНИЕ 1
Построить график функции:
1) У =
3) у=
5) У~
7) У =
х| —|х+3 —х; 2) «/ —11 х |— х| —х;
х2 —х|+х+1; 4) у:==|х2—11—-х^«—1;
х2—4| х| | + 3; 6) г/ = |sinх|—|sinх—
tgx—1|— tgx|.
11+1;
ЗАДАНИЕ 2
Построить график функции:
1) ^=1 х+21 + | х I —х; 2) у~\х—|х+11| —*х;
3) у = x2 + 2jq-L|x2 + 5x+6|i-x;
4) z/==|x2—х | — 11x2+-x|—x|; 5) y~\ x2 — | x | + 21+1;
6) y~]/~ cos2X-—| cosx—11 —1;
7) y~V~l+sin2x—Y1—sin2x;
8) */ = 2tg x-|tg x+/3|-/3;
9) 9 = (1-2-)-|2«>_1|+2«; 10)
§3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
287
ЗАДАНИЕ 3
Построить график функции:
У=х+2’ У==~х?+\ ’ 3) У=1ё=\'' 4) у~х*—2х+$
51 ’"лк 6> 7> 8=Й ' 8>
У~~ ||х|—11 —1 ’ 10) log2 X * ^"arcsin х'
11 S
12) z/=-L— ; 13) у==пт—= ; 14) .
у arcctgx ' * 2х—5 у fJLV_|_5
ЗАДАНИЕ 4
Построить график функции:
1) у__ х| , 2) ^—*x2_|x|^2 * У~~ cos х *
4) ctg х ’ ^“"2—2х ’ 6) У~х (| х| —1) *
7) “ arccos х’ 8) arctg х ’ j1
10) ys=\o^(x+2) ’ U) у^ ’
12) ^siniTcosx1 13)^=^TT: 14) ^=1_(1/2H»
ЗАДАНИЕ 5
Построить график функции:
1) ^ = х(х—1); 2) (л:—I); 3) х (х^ 1)|
4) 0 = х2(х—1); 5) у^Ух2 (х—1); 6) у— х2
7) ^ = х(х—1)2(х—2)3; 8) у~ъ^х (х—1)2(х—2)3;
9) у=Д/х (х—1)2(х—2)3; 10) у=У(х+ 1)(х+2)(х— ljl|
11) у=У(х+1)х; 12) ^=/7+7 Кх;
13) у~У1£х\ 14) ^=Kcosx.
ЗАДАНИЕ 6
Построить график функции:
1) у=х(х-\-2)\ 2) у=Ух(х+2);
3)У=/7/7+2; 4) y=i/x(x+2y,
5) у=х2(х—1)2(*4-2); 6) j/=/x2(x—1)2(х4-2);
7) у=^х^(х—1У(х—2)-, 8) у=Ух2 (х—I)2(2—х);
288
РЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
9) y=.(x+l)i/«(^+2)V«(jr—2)«»;
10) у=У2)»(*4-3)5; П)
12) z/= К arcsin х; 13) y~V ctg х; 14) (/== J^sinx.
ЗАДАНИЕ 7
Построить график функции:
о
1
х2(х+2) ’’
Х^
(х— 1) (х+2); 6) -У=Г+х5
х3—*4х , ___(х+2)х
(х— 1)2(1+х); 9) У~ х2—4 ;
,_|*1(* + 1). 12\ х2(* + *).
---------’ ^>у~—х^2'
1 оч х~{~ 1 оч г
У~х(х+2) ’ 2) У~х(х+2) ’ 3) У~
х—2 ~ х(х-|~1)
У^^+2У 5)У=----------
8)
10) in у—т—п-
131 „_£Ц±1). 141 «-£Ц±12
' У (х— 2)2 ’ 14> (х—2)3 ‘
4)
ЗАДАНИЕ 8
Построить график функции:
W y== х2^?1 2) y==x24-x+l;
лч Fx(x4-1) х2
4) г/-(х+2)(х4-3); 5) У==\— х’ 6)
_ х(х2 + 1) оч х2 — 4х оч
^У~ х3—1 : 8) y_2x2—3’ 9) y~(x+2j3(x+l)?’
1 • Ill •
У х3(/х—2|)(х4-3)’ у-х6—х3’
|х|(х+1). (х-3)2(х+1)(х+2) .
У-х2+х^1> У- (Х2_4)(Х_2)« ’
(х2-х+2)(х2+Зх-4)
у (х«--3х+2)(х2—5x4-6)*
3) У
1
“ х2(х—3) ;
х4-2
у“х2+1:
х2(х—I)2
10)
12)
И)
ЗАДАНИЕ 9
Построить график функции:
1){,==гЦ; 2)г'=(Й^)2; 3}у:
, Х4“1 . х+1
4) у = arcctg g—-- ; 5) у = log2 ;
7) ^=logi/2|il; 8) г/= ]/"
9) У
X
si ГРАФйй^ЬяОЖНьГХ функций 289
10) 11)0 =arccos
2—x
12) 0=arcsln|il; 13) 0=2tg*; 14) 0 = (-^)C<M*’
ЗАДАНИЕ 10
Построить график функции:
1) f/=xa—5x4-6; 2)#===^-—^* 6ж+®;
3) у=зх*~бх+в; 4) y==arctg(xa— 5*4-6);
5) г/ — arcctg (ха—5*4-6); 6) у=log3 (х2—5*4-6);
7) y=logi/8 (*2-~5*+6); 8) у = Уха—*5*4-6;
9) х2—5*4-6; 10) у=arccos (х2—5*4-6);
1
11) у = arcsin (х2*-.5х4-6); 12) 57^;
—L-_ 1
13)^2**-**+*; 14)ys=arctgJ5—g^p.
ЗАДАНИЕ 11
Построить график функции:
1) у=arcsin (sin ха); 2) у—arcsin (cos К"*);
3) arccos (sinx2); 4) y=arccos (cos (2x4-1));
5) у=sin (arccos 2x); 6) у « cos (arcsin ]/”x);
7) у = tg (arcsin x); 8) у == ctg (arctg x);
9) у = ctg (arcsin x); 10) £/ — tg (arccos x);
И) у = arccos —; 12) у=arctg—;
X X
13) 0=arctg ; 14) 0 = arcctg
ЗАДАНИЕ 12
Построить график функции:
1) у=arccos (cos х2); 2 у = arcsin (sin j/^x);
3) у — sin (arccos p^x); 4) у = ctg(arcsin2x);
5) у == tg (arccos (x4- 0); 6) у=arctg jJ—;
7) y==tg (arcctgx); 8) y==sin (arctg x);
лх / x ч Im <. x2—5x4-6
9) У=cos (arcctg x); 10) у=arctg
11) j/=arcsin ~12) £== arccos
10 Задача по математике. Начала анализа
290
ГЛ. 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
13) ff=arctg*(2ffij2 ; 14) 0=arctg (tgx?);
15) у = arctg 16) 4/== arcctg—jy.
У пр аж н ен ия
Построить график функции:
1) |х*+5х+б|-1х2-хI; 2) £=|*а--11-141+2;
3) и_ |х+2| + |х-1| . 4. |х—2|х—1|| .
} у- |х-2Ц-|х+1| ’ У |х-|*+1|| ’_____________
Б) ^ = |sinx—1|—sinx+l; 6) (P"sin2x—prcos2x)2;
7) </=21/со’х; 8) 0=(4-Y8*; 9)j/==5ct8X;
\ О /
10) 11) »==10g|stajc|y;
12) {/ = log8ln x cos x; 13) y = logCO8 x sin x; 14) y= tg
15) y=x+sinx; 16) £ = xsinx; 17) t/=x2cosx;
18) y==x2sinx; 19) t/~cosx2; 20) #=sinx2;
IlzllLI
21)j/ = 2 s+* ; 22) t/=JC2(x_1)2(x+2)«:
^iofod-xp 24)
25) у = Vx(x+2)4(x+3); 26) у = /x2 (x—2)* (x +1);
27) f/ x2 (x-2)3(x-f-3)*(x+4)« ; 28) у=arctg
29) (/=arctg y~^'> 3°) '/S=arccosp^;31)«/=arcsinj^;
32) Кlogi/8 x2; 33) у=arcsin 34) 0=arctg
35) y=2^1; 36) 0=[x]/x; 37) j/={x)/x;
38) f/ = (x-lx])2; 39) i/=(-l)h/x]; 40) у=| log1/21 sin x 11;
xa+*+4 x2 + l o x—x2+2
42)4,=^; 43) y^—
... x2+x+l X»+l ... x»]/jx+^.
44> 46)4,=^-jXXJ;
47)4/=K7(x+2); 48) 4?= i/x(x+2)-,
49) cos* x—• sin* x—cos 2x4-5; 50) У—
51) ^=max{sinx, cosx); 52) y«=max{x8, x*, 1};
53) 4/=min{x, x2, x8}; 54) 4/=2~*sinx; 55)
§ 3. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ 291
56) #=/”xsinx; 57) у— 4(х+3);
58) {/ = /4—х2 sin х; 59)у= v °2~; 60) у=-====5
у 14»tg2X
61) ys= 1+%; 62) z/ = x— j/\a — 1;
63) //~Kl°g2 sin л; 64) y~i/ xx+1;
65) у == V"x — 1 — V x +1; 66) у=arccos (cos x4);
67) у ~ arcsin (sin x4); 68) у==log2 (arcsin x+arccos x);
69)^=x/x^4; 70)^=x/4^x2;
71) у « arctg x—arcctg ~; 72) у = cos (log2 x);
X
73) ^a=cosy; 74) r/=sin-^-; 75) =sin (3arccosx);
76) cos (4 arccos x); 77) y=tg (3 arctg x);
78) у—x (arccos (cos x) —x); 79) у=xa arcsin (sin x);
80) у«arccos (cos x)•**arcsin (sin x).
10*
ri'taox® яядя«г«
ГЛАВА 4
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 1. Предел функции
Теория пределов выясняет точный смысл таких понятий,
как «/ (х) приближается к А, если х приближается к а», «/(х)
приближается к А, если х неограниченно возрастает» и др.
Рассмотрим, например, функцию у=х2. Значения этой
функции будут близки к 4, если значения аргумента будут
близки к 2, значения функции будут близки к 25, если значе-
ния аргумента будут близки к 5, и т. д. В этом случае при-
нято говорить соответственно, что значения этой функции при-
ближаются к 4, если х приближается к 2, значения х2 прибли-
жаются к 25, если х приближается к 5, и т. д. Факт, что х2
приближаются к 9 при значении х, приближающемся к 3, озна-
чает, что величина ] х2—9 | может быть сделана как угодно ма-
лой, если брать значения х из соответствующей малой окрест-
ности точки х—3.
Рассмотрим функцию f(x)==x/x. Эта функция определена
при всех х, отличных от 0, и равна 1 для каждого х из обла-
сти существования, и в частности, для всех х, близких к точке
х=0. Поэтому естественно считать, что данная функция стре-
мится к 1 при х, стремящемся к 0, несмотря на то, что функ-
ция не определена в точке x=Q.
Если существует такое число Л, что для любого 8 > 0 най-
дется такая окрестность (а—6; а+6) с центром в точке х = а,
что для каждого х # а из этой окрестности значение функции
f (х) будет принадлежать окрестности (4—-8; А 4-е), то принято
говорить, что (х) приближается к Л, если х стремится к а»,
и записывать это так: «f(x) —> Л, если х —> а» или lim /(х) = Л,
х-+а
В этом случае говорят, что число Л является пределом функции
f(x) в точке х==а.
Для каждогб х, принадлежащего окрестности (а—6; «4-6),
справедливы неравенства
а-*б<х<«4-^ или ^б<х***а<6.
Последнее неравенство записывается так:
|х—а| < 6.
Заметим, что по свойству абсолютной величины |х—а 0 для
каждого х, причем
| х а ]=0, если х=а,
|х«*а[>Ол если х&а.
$ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
293
Поэтому все значения х, принадлежащие окрестности (а—б;
#4-6), но не равные а, можно записать следующим образом:
О < | лг—а | < 6;
множество (а—а)Ц(а; «4-6) принято называть проколотой б-
окрестностью точки, а. Для любого значения /(х), принадле-
жащего окрестности (Л—<8; А + &), справедливы неравенства
Л — е < f (х) < Л4-е или — & </(х) — А < в.
Последнее неравенство можно записать так:
Л| < е.
Следовательно, данное выше определение того, что «/(х) —► А,
если х —> аъ> можно сформулировать в другой форме:
число Л называется пределом функции f(x) при х —> а,
если для любого положительного числа е существует число
6(e) > 0 такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию
О < | х—а | <6, выполняется неравенство
|/(X) —Л | < 8.
Из определения предела функций в точке х—а следует,
что если функции f(x) и g(x) таковы, что f(x) — g(x) в некото-
рой окрестности точки х==а, кроме, быть может, точки х=а,
и lim f(x) =s Л, то Пш£(х) = Л.
х->а х-*а'
Геометрически тот факт, что А является пределом функции
f(x) при х —> а можно проиллюстрировать следующим обра-
зом (рис, 4.1, а):
для произвольного положительного в можно найти такое
положительное 6, что все точки (х; f (х)) графика функции у =
= f(x) при xg(a—6; a)(J(«; п + б) будут лежать внутри поло-
сы Л—«8 < у < Л4-8, при этом, если f (х) определена при х = а,
точка (a; f (а)) не обязательно принадлежит этой полосе
(рцс. 4.1, б).
Опишем, как, пользуясь геометрическими соображениями,
по любому положительному 8 можно найти число 6(e).
Рассмотрим произвольное положительное число е. На оси
OY отметим точки с ординат?ми Л, Л —8 и Л + е. Через точки
с ординатами Л—>8 и Л+8 проведем прямые, параллельные
оси ОХ, В горизонтальной полосе между прямыми у~А—е и
у=^А-}-ъ лежат все те точки (х; f (х)) графика функции у = /(х),
для каждой из которых справедливо неравенство | / (х) — Л| < 8.
Отметим на оси ОХ точку х—а. На оси ОХ найдем все точки
х около точки х = а, для каждой из которых соответствующие
точки графика функции y=f(x), т. е. точки (х; f(x)), х^а,
лежат в полосе Л—е < у < Л^-е. На рис. 4.1,в видно, что для
каждого х (х yfe а) из промежутка (а; р) точка (х; f (х)) лежит
в указанной полосе. Длину меньшего из двух промежутков
(а; а) и (а; Р) обозначим через 6. Тогда для каждого х^а,.
удовлетворяющего неравенству a—6<x<a-f-6, справедливо
неравенство А—8 < f (х) < Л + 8. Ясно, что в качестве 6 можно
также взять любое положительное число, меньшее найденного.
294 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Пример 1. Доказать, что
lim (Зх+2) = 8.
х->2
Решение. Надо доказать, что для любого 8 > 0 найдется
6>0 такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию 0 <
< |х«*2| < б, справедливо неравенство | (Зх+2) -*81 < 8. Тан
как
| (3x4-2)^81 == | Зх-*61=31 х—21,
то для 6=8/3 и каждого х, удовлетворяющего условию
О < |х«**2| < 6=8/3, имеем
|(Зх4-2)—8| = 3|х—2| < 36яя34=«8.
О
Поскольку приведенные рассуждения верну для любого 8 > О,
’о тем самым доказано, что Пщ (3x4-2)=8.
2
Пример 2. Доказать, что
Решение. В определении предела функции при х —>
аргумент х не может принимать значение, равное at Тан как
§1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
295
х2—9
при х # 3 имеем ^^jr—x+S, то предел данной функции при
х—>3 совпадает с пределом функции f(x) — х-|-3 при х —> 3.
Возьмем произвольное е > 0 и по нему подберем 6 такое, что
для каждого х, удовлетворяющего условию 0< |х—3| < 6,
справедливо неравенство | (х + 3)—6| < 8. Так как | (х+3)—61 =
= |х—3|, то, например, для 6 = 8/3 имеем, что для каждого х,
удовлетворяющего условию 0 < |х—3| < 6, справедливо нера-
венство
| (х+3)—61 = | х—31 < 6=е/3 < е.
хч__9
Тем самым lim (х+3) = 6, а следовательно, lim ---q-=6.
Пример 3. Доказать, что функция f (х) = | х |/х при х —* О
предела не имеет.
Решение. Доказательство проведем от противного. Пред-
положим, что при х —> О функция /‘(х) = |х|/х имеет предел,
равный А. Это означает, что для любого 8 > 0 существует та-
кое 6(e), что |/(х)— Д| <8 для каждого х, удовлетворяющего
условию 0 < | х | < 6. Тогда, в частности, и для 8 = 1 сущест-
вует 61 такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию
О < | х| < 6i, имеем
\ \f (х) — А\< 1.
Так как при х > О имеем f (х) = |х|/х = 1, а при х < 0 /(х) =
= |х]/х=-4, то при 0 < х <61
|1—Л|<1, (1)
а при 6f < х < О
] —1 —Л |==| 1 +Л | < I. (2)
Из неравенства (1) имеем 0 < А < 2, а из неравенства (2) име-
ем —2 < А < 0. Итак, если число А является пределом данной
функции, то, с одной стороны, А должно быть положительным,
а с другой—отрицательным, что невозможно.
Из полученного противоречия вытекает, что предположение
о существовании предела функции f(x) = |x|/x при х —> 0 не-
верно.
Пример 4. Доказать, что
a) lim sinx=sinx0; б) lim cosx = cosx0.
X Xq к —•> Xq
Решение, а) Возьмем произвольное 8 > 0 и по нему под-
берем 6 (е) > 0 такое, что для каждого х, удовлетворяющего
условию 0<| х—х0| <6, справедливо неравенство | sin х—sinx0| <
<8. Используя неравенство | sin х | | х |, справедливое дл-
каждого х, получаем
| sin х— sin х01 = 2 cos
х + %о
2
. X — х0
sin—2^
, X Хо I .
sin——- <|x—x0|
296 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Если, например, взять 6 = е/10, то для каждого х, удовлетво-
ряющего условию 0 < | х—х0 | < 6, выполняется неравенство
|slnx—sin х0 |<|ж—• аг0 | < 6 = 8/10 < е.
Тем самым доказано, что lim sinx=sinx0. В частностиj
lim sinx=0;
%-> о
б) аналогично предыдущему, если для любого положитель-
ного числа е взять, например, 6 = 8/4, то для каждого х, удов-
летворяющего условию 0 < ]х—х0| < 6, имеем
|о . Х4-Хо . х —Хо
2 sin —sin —<
& I
< 21 sin - <|х—х0| < 6=~ <в,
а это означает, что lim cosx = cosx0. В
Пример 5. Доказать, что
КяЧП— 1
частности, lim cosx=l.
О
0 X
Решение. При х 0
1 1)(К^+7+0 x2+i-i _
* х(Г^П + 1) x(j/F+T+i)~
_____X___
“ /х*+Т+ 1 '
Так как при каждом х справедливо неравенство Ух2+14-1 > 1,
то при каждом х # 0 имеем
I х I . ,
Возьмем произвольное в > 0 и положим, например, 6=8/2.
Тогда для каждого х, удовлетворяющего условию 0 < | х | < 6,
справедливо неравенство
. х
К^+1+i
О <|х|<б=|<8.
Это по определению означает, что lim ----==0, а зна-
х~> о у х2+ 1 + 1
ЧИТ| и
lim
х->0
У х2+1 —1
X
х~>0 }<х2+ 1 + 1
=0.
Для функций* имеющих предел, имеют место следующие
утверждения:
§ L ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 297
1. Если предел функции ^ = /(х) при х—+а существует, то
он единствен.
2. Если функция y~f(x) при х —> а имеет предел, то у
точки х = а существует окрестность (a—d; a)(J(a; а+6), на ко-
торой функция f (х) ограничена.
3. Если lim f(x) = A и А > О (Л < 0), то существует окре-
х -> а
стность точки х — а такая, что для каждого х из этой окрест-
ности, кроме, быть может, х=а, имеем f (х) > A (f (х) < Л).
4. Если функция f (х) тождественно равна постоянной С,
то lim f(x)^=C.
х-+ а
5. Если lim f (х) = Л, то существует предел функции у =з
а
= |/(х)| при х—>а, и он равен | Л |, т. е.
lim | f (х) | = | Л |.
х -> а
6. Если точка х=а вместе с некоторой окрестностью при-
надлежит области существования элементарной функции f(x)t
то существует предел функции f (х) при х —и он равен f (а),
т. е.
Um =
х-+а
7. Если lim /(х) = Л, и lim g(x) = B, то
х-+ а х-*а
а) существует предел функции f(x)+g(x) при х —> а, и он
равен Л + В, т. е.
lim (f(x)+g(x))=^ lim Дх) + lim g(x) = A + B;
x-+ a x ~>a x-> a
б) существует предел функции f(x)—g(x) при x—±at и он
равен Л—В, т. е.
lim (/ (х) — g(x))^ lim f (х) — lim £(х) = Л—В;
х-+ а х-> а х-+а
в) существует предел функции f (х) g (х) при х —* а, и он
равен ЛВ, т. е.
lim (/(x)g(x)) = lim /(х) lim £(х) = ЛВ;
х-+ а х-+ а х-+а
в частности, если С—константа, то существует предел функции
С/(х) при х—и он равен СЛ, т. е.
lim Cf(x) = С lim /(х) = СЛ;
х —>а х—> а
г) при В 0 существует предел функции f{x)lg{x} при
х—и он равен Л/В, т. е.
lim
х-+а
lim f(x)
x-> a
Um g(x)
x-*a
A
В *
298 гл. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
8. Если lim f(x) = A, lim g(x) = B и существует окрест-
а а
ность точки х = а, для каждого х из которой, кроме, быть мо-
&ет, х = а, справедливо неравенство f (x)^g (х), то 4<:В, т. е.
lim f (х) «с lim g (х).
х -> а х-+а
Отметим, что если вместо неравенства f (х) «С g (х) выпол-
нено неравенство f(x) <g(x), то все равно можно утверждать
только, что
lim f(xX lim g(x).
xa xa
Например, для функции f (x) = | sign x | и функции g(x) = l+x2
имеем f(x) < g(x), однако
lim (1 + x2) = lim |signx| = 1.
x-> о о
9. Если lim /(x)= lim g(x)—A и существует окрестность
x-> a x-+a
точки x=a, для каждого x из которой, кроме, быть может,
х = а, справедливо неравенство /(х) (х) «Cg (х), то сущест- '
вует предел функции h (х) при х —> а, и он равен 4.
Пример 6. Найти
lim (10 sin2 х+3 cos3 х+^=^
х-> О \ Х + 2
Решение, Так как
lim sin2 х—[ lim sin х]2 = 0,
0 х-> 0
lim cos3 х = [ lim cos x]3 «= 1,
-?Лх+2 lim (x+2) 2’
x -> 0
то на основании утверждений 6 и 7 имеем
(у 1 \
10 sin2 х+3 cos3 хЧ ) =
Х + 2/
= lim 10sin2x+ lim 3cos3x+ lim 0 + 3—-=-5..
Пример 7, Найти
x2 —1
hm -Г| g-£•.
x-^1 x2+5x—6
Решение. Так как x2 + 5x—6 = (x—1) (x + 6) и для лю-
бого x Ф 1
х2—1 _(х— 1)(х+1)_х+1
х2+5х—6 (х—1) (х+6)“"х+6’
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
299
то
„ , . , lim (х+1) „ '
.. х2—1 __. х+1___х-»1 __2
/*”1 х2+5х—6“ Н6“ Um («+6)— 7*
I
поскольку lim (х+6)=7^0и lim (х4-1)=2,
ЛС-> 1 1
Пример 8. Доказать, что
lim -i—!—:-------------------=m,
к->0 X
где т—некоторое натуральное число.
Решение. По формуле бинома Ньютона имеем при х О
X X ~~
=/714-----L х+ *., +**»**•
Так как для любого натурального числа k имеем 11шял=я0, то
х-* о
.. П+дгР—-1 , т (т—1) . , m .Д
lim *- ----- lim j /п-|-Цг—-х+.>. + хт~* )=з
X х -> о \ & /
= lim т 4- lim —~ х-|- *.. 4- lim
х->о х -*о 2
Приведем следующие часто встречающиеся пределы:
т sinx ,
I. lim-----=1.
х->0 х
II. Нт (14-х)1/ж=в.
О
III, Um !н£±*)=1.
х-> X
IV. Ita, о^О.
жно х
У. lim in а, а > 0, а L
X ->0 X
Пример 9. Найти
.. sin ах
lim 3 -л-,
о sin рх
а(3 О»
Решение, Заметим, что теорему о пределе частного
применить нельзя, таи каи limsinpx»=o. Вычисляем предел
90Q гл. *. предал функции, непрерывность функции
следующим образом:
lim Ит _Д-----------
к «♦) ita рх к «♦ о staft*
sin ах .. sin ах
......... - lim —
lim а а* __а ах У
** ***° Р sin fix Т Цт sin рх р *
ffx ₽Х
Здесь использован следующий факт: если х —► О, то и ах —► 0.
Поэтому
UmMU lim ^=lim =1.
««♦о ах ах«*о и ~>о и
Пример 10. Найти
Ит ?.+с”.Ч
«-►-Л/2 COSX
Решение»
.. J4-cos2x „ 2cos2x
lim —-я- Пт -----------------
««♦—Л/2 COS X «<*♦—Л/2 cos X
Um 2cosx=0.
«-►-Л/2
Пусть функция f (х) определена внутри некоторого интер-
вала, содержащего точку а, за исключением, возможно, самой
точки Говорят, что функция f(x) при х—>а стремится
к +оо, и при этом пишут
lim f(x)=+oo,
х+а
если для любого числа Е > 0 существует такое число 6 > 0,
что для каждого х, удовлетворяющего условию 0 < |х—а| < 6,
выполнено неравенство
f(x)>E.
Пусть функция f (х) определена внутри некоторого интервала,
содержащего точку а, за исключением, возможно, самой точки
х=а. Говорят, что функция f(x) при х—>а стремится к — оо,
и при этом пишут
lim /(х)=—оо,
«-►а
если для любого числа Е > 0 существует такое число 6 > 0, что
для каждого х, удовлетворяющего условию 0 < | х —«а | < б,
выполнено неравенство
/(*)<-£.
Пусть функция f (х) определена внутри некоторого интер-
вала, содержащего точку а, за исключением, возможно, самой
точки х-с, Говорят, что функция / (х) при х—у а бесконечно
§ i. йрёдел Функции r ’ 30Р
большая или стремящаяся к оо, и при этом пишут
lim f (х) «= оо,
х->а
если
lim | f(x) |=4-oo.
X-+O
На рис. 4.2, а изображен график функции, которая при
х—>а стремится к 4-оо; на рис. 4.2, б—-график функции,
которая при х—>а стремится к —оо; на рис. 4.2, в—графим
функции, которая при х—стремится к оо.
Рис. 4.2
Из определений следует, что если при х—► а функция f(x)
стремится +оо или к — оо, то она является бесконечно боль-
шой. Однако если функция f (х) при х—бесконечно боль-
шая, то при х—>а она не обязательно стремится к 4-оо или
к —оо (рис. 4.3).
Пример 11. Доказать, что для функции
f W “ (л—1)«(х—2)(х—3)3
имеют место следующие соотношения:
a), lim f (х)=—оо;
Х-* 1
б) lim /(x) = 4-ooj
х*>3
в) limf(x) = oo.
2
Решение, а) Так как в этом случае рассматривается
предел функции при х, стремящемся к 1, то достаточно рас-
сматривать функцию при значениях аргумента, близких к еди-
нице, например для х, удовлетворяющих неравенствам 0 <
302 гл. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
< |х-*1 | < 1/2. При всех таких х имеем неравенство
f 1 __ 8 1
’5<«-
Возьмем произвольное положительное число Е. Для доказа-
тельства соотношения а) нужно подобрать такое б, 0 < б < 1/2,
Рив< 4.3
чтобы для каждого х, удовлетворяющего условию 0 < | х— 11< б,
выполнялось неравенство
(3)
Так как
75(X_ip
при 0 < ] х—11 < 1/2, то подберем число 0 < б < 1/2 таким,
чтобы для каждого х, удовлетворяющего неравенству 0 < I х-*-11 <
< б, и для числа Е выполнялось неравенство
г 8 I— £
75 (х— 1)? < ’
или
..1_> т/Ж,
|х—1 | V 8
Это неравенство при условии 0 < |х—11 < б равносильно не-
равенству
v-lKl/"-2^2 1
1 11 < V 75 Е~ /75
fl. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
303
Отсюда следует, что если в качестве 6 взять наименьшее из
2/2 11 .
чисел—• и -fi , то неравенство (3) будет выполнено!
5 У 3 V Е
тем самым соотношение а) доказано.
б) Доказательство соотношения б) можно провести анало-
гично тому, как это делалось в п. а). Для этого заметим, что
при 0 < | х—31 < 1/2 имеем неравенство
1 I 1 __8 1
/ W^i7/2_2 (7/2— 1>а (х—З)2 ~~75 (х—З)2*
в) Так как при 0 < | х—2 | < 1/2 имеет место неравенство
х-2|(|-Зу=
2| < 6|х—2|,
то на множестве 0 < |х—2| < 1/2 имеем
HWI > 6|Jt—2|‘
Возьмем произвольное положительное число Е. Если в качестве
числа б выбрать такое число, чтобы были одновременно выпол-
нены неравенства 0<6<~-Hgg>£, т. е. неравенства 0 <
<б<-~иб<^,то тогда из (4) получим, что для выбран-
ного числа Е существует число б, например, число б == min
> 0, такое, что справедливо неравенство | f (х) | > Е для
каждого х, удовлетворяющего неравенству 0 < | х—2 [ < б. Тем
самым доказано соотношение в).
График функции /(х) приведен на рис. 4.4,
|х— 1 р | х—2 11 х
(4)
Рио, 4,4
304 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Для бесконечно больших функций справедливы следующие
утвер жден и я:
Пусть каждая из функций f(x) к g(X) определена в неко-
торой окрестности точки х=а, кроме, быть может, самой точки
х — а (проколотой окрестности точки х=а), тогда:
I. Если Нт /(*) = + 00 и Нт 8 (*)=+*»
х-*а х-+а
а) UnHfW+g(*))==+»»
6)*lim(f(x)g W)=+oo.
II, Если lim f(x)=+oo и lim g(x)=—’oo, to
x+a x-+a
a) Hm (/(*)—g(x))=4-oo;
x-+a
6) lim (/W g(x))=—oo.
x~+a
III. Если lim /(*)=+oo и lim g(x) = At to
x-+a x-+a
a) Hm (f(x)g(x))=+oo, если A > 0;
6) lim (f (x) g (x)) =—oo, если A < 0.
x-+a
IV. Если lim f(x)=—oo, to
x-+a
a) lim f2»(x)=+oo, ngN;
x~ta
6) lim рп+Цх) = —ъ, ngN.
x-+a
V. Если lim f(x)=+oo, T0
x-+a
lim f(x) = 4-oo, n^2, ngN.
x-+a
VI. Пусть lim f (x)==+00 > т°гда:
x-t-a
а) если g(x)^m> 0 в некоторой проколотой окрестности
точки х=а (т. е. всех х таких, что 0<|х—а]<6), то
lim (f (x)g(x)) =+oo;
б) если g(x)<M <0 в некоторой проколотой окрестности
точки то
lim
х-+а
VII, Если lim /(х) = 4-оо, то
&-*а
$1, ПРВДЕЛ ФУНКЦИИ - 305
УЩгЕсли lim /ф)=О и f (х) & 0 в некоторой проколотой
х-*а
окрестности точки х=а, то
Иш-77-7 = 00,
х-*а f (х)
Например,так как для функции из примера И
„ 1 1 I
lim т-tvs=+©о и lim ------------575=—,
x-+i(x— 1)а *->i(x—2)(х—3)* 4'
то по утверждению III. б) имеем, что
(х-1)Чх-2)(х-3)г==~°°-
Пример 12. Доказать, что
Решение. Так как
lim -т—-=4-оо
1 х | 1
и в некоторой окрестности точки х=0 имеем cosx ^51/2, то
по утверждению VI. а) заключаем, что
.. cos х ,
lim п—г=4-оо.
х-01*1
Пример 13. Доказать утверждение VI. б)
Решение. Поскольку g(x)^M < 0 в некоторой проко-
лотой окрестности точки х=а, то это значит, что существует
6i > 0 такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию
О < | х—а | < 6i, справедливо неравенство g (х)^М. Возьмем
произвольное положительное число Е. Так как Jim f (х) = 4-00,
то для числа £7| М | существует такое число 62 > 0, что для
каждого х, удовлетворяющего условию 0 < | х*-а | < 62, имеет
место неравенство
> риг
Если взять 6=min (6Х; 62), тогда для каждого х, удовлетво-
ряющего условию 0 < |х—а \ < 6, справедливо неравенство
/И8И<^<г4|*< — В.
Тем самым утверждение VI. б) доказано.
Пусть промежуток [а; +<эо) входит в область определения
функции /(х). Число А называется пределом функции f(x) при
х—если для любого положительного числа е найдется
такое положительное число А, что для каждого х, удовлетво-
306 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ряющего условию х > А, справедливо неравенство | f (%) — А | < 8J
при этом пишут
lim f(x)~A.
Х-* +00
Пусть промежуток (—оо; а] входит в область определения
функции f(x). Число А называется пределом функции f(x) при
х—> — оо, если для любого положительного числа 8 найдется
такое положительное число Д, что для каждого х, удовлетво-
ряющего условию я < — Д, справедливо неравенство |/ (х)-~А |<в;
при этом пишут
lim /(х) = 4.
Пример 14. Доказать, что
Ura ^тт=0-
X -* + оо X* -j- 1
Решение. Возьмем произвольное положительное число 8.
Требуется доказать, что существует Д такое, что для каждого х,
удовлетворяющего условию х > Д, выполняется неравенство
ьЬ-<8’ __
Действительно, если взять, например, число Д==^ 1/е, то
для каждого х, удовлетворяющего условию х > Д (Д > 0), имеем
1 1 1 — 1 _
ТП5* < х* < Д** (У' цф
Пусть каждый из промежутков (— ©с; а] и [&; + ©о), а,
входит в область определения функции f (х). Число А называется
пределом функции f (х) при х—>©о, если для любого положи-
тельного числа 8 найдется такое положительное число Д, что
для каждого х, удовлетворяющего условию | х | > А, справед-
ливо неравенство \f (х)«*~Л| < в; при этом пишут
Um f(x) = A
оо
Пример 16. Доказать, что
lim ~т;®=0, п > 0«
Х-»>оо X
Решение. Возьмем произвольное положительное число 8.
Требуется доказать, что существует А такое, что для каждого х,
удовлетворяющего условию (х | > А, выполняется неравенство
11/х» | < 8«
Действительно, если взять, например, число А «= 1/8 то для
каждого х, удовлетворяющего условию | х | > А, имеем
§1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
307
Отметим, что утверждения, приведенные на с. 297—298, спра-
ведливы и для пределов функции при х—>+оо (х—оо или
х—> оо). Например, если lim f(x)~A и lim g(x) = B, то
Х-+ +<Ю Г-+ +00
lim (/(х) + §(х)) = Л+В, Um (f (х) g (х)) = Л5;
+ 00 х-+ + оо
если В 0, то
lim
д^+оо g(X)
А
В
и т. д<
Пример 16. Найти
. 1- 4х—1 х34-1
a ) lim --т; б) lim --------.
' х-> + оо х—2 ' х_>-оох8+х2Ч-х+1
Решение. Так как при х#0
то, применяя соответствующие утверждения, получаем
a) lim
4—L
lim ---
X—”*£ £-* + <*> ।
X
lim (4—4— lim
jy-»4-oo \ X /______X—X
Вт (1------) 1— hm —
JC-> + oo \ X/ Х->+<» X
1J- —
яЗД.1 v3
б ) lim —о-:---г-7= Hm ----------:-г-г—=Н.
7 А34“Х2 + Х-}-1 х-*-°° 11^-t j I *
^'х*х*"ГхЪ
Пример 17, Найти
lim (К я-+#****)•
+ да
308 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Решение,
lim Ит =,
Х-* + ”° х-*+оо у хг-\-Х-\-Х
= 11Ш —7=====------= lim '7 ----S3»
х->+<» х->+оо х(К1+ 1/^+0
« 1 1
х->+« Kl+l/x+l 2
Пример 18. Найти
4 V~9x*+l — Ух* + 1 .
a) hm -----.1..—, £--LX ।
Х->+<Ю j/ £3_|_2
Кэ^+Г-УТ+Т
6) hm ------- .
x->-oo i/x* + 2
Решение.
a)
K9x2 + 1- У^ + l
lim --------yt===2==-----’=»
*->+<» x3 +2
$ !. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
309
Пусть промежуток [а; + оо) входит в область определения
функции f(x). Если для любого положительного числа М су-
ществует число N такое, что для каждого х, удовлетворяющего
условию x>N, справедливо неравенство f(x) > М, то говорят,
что функция f(x) при х, стремящемся к + оо, имеет предел, рав-
ный + ПРИ этом пишут
lim /(%)==+оо.
Например,, lim х2 = + оо, так как для любого положи-
X -*+СО __
тельного числа М существует число AZ = )/"Л4 + 1 такое, что
при каждом х > /V справедливо неравенство
х2 > № = (//И + 1)2 > (У"М)^=М.
Аналогично определяются пределы при х> — оо их—> оо.
Приведем некоторые часто встречающиеся пределы:
С С
1. lim -5-=ss-|-oo, lim -о—г==оо, С=const, С > 0, ngN.
X -> о X2n х _>ox2n* » ч.
2. lim Cx2« = +oo, lim Cx2«-“x = —00,
X + 00 X ->-00
lim Cx2n~i = + 00, C=const, C > 0, ngN.
QO
3. lim -2-=0, C—const, n£N.
x -> «> xn
4. um =
x -*+<*> bmxmx+».,+&0
О, если
-~L если
bm
00, если
— оо, если
n < tn\ tn, ngN, bm Ф 0,
n^=tn\ ngN, bm 0,
n > tn', tn, rcgN, anbm >0,
n > m; n, mgN, anbm < 0.
310 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
5. a) lim аАГ = + со, если 0 < а < 1;
Х->-оо
б) lim я* —0, если 0 < а < 1.
Х->+оо
6. a) lim =-[-оо, если а > 1;
X ->+ а>
б) lim ах = 0, если а > 1.
#-►-00
ах хп
7. а) Ит -—=4-оо, lim —=0, если а>1, ngN;
' х" *-+«> ах
пХ х^
б) lim —'=0, lim —«оо, если а > 1, ngN.
8) a) lim -2--=0, lim -~т-= + оо, если 0 < а < 1, wgN;
X ->.4-00 X" х -> + оо а*
б) lim -^--sssoo, lim -^--=0, если 0<а<1, ngN.
' Х^оо Хп х->-^ <*х
Иногда полезно пользоваться понятиями односторонних
пределов функции f(x) при х —► а—понятиями предела справа
Рио* 4*5
и предела слева, которые определяются соответственно следу-
ющим образом:
предел функции /(х) справа при х—+а
lim Hm/(a+UI); (5)
х->а+0 f->0
предел функции f(x) слева при х—>а
Нт Um / (а-ЧИ)* (6)
Отличие в определениях односторонних пределов функции
в точке х=а от определения предела функции в точке х=а
состоит в том, что на способ стремления переменной х к числу
а в определениях односторонних пределов накладываются огра-
ничения: при определении предела справа переменная х долж-
на быть больше а, а при определении предела слева перемен-
ная х должна быть меньше а (это и выражают правые части в
равенствах (5), (6)).
§1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
311
Так, например, для функции /(х), график которой приве-
ден на рис. 4.5, а, имеем равенство lim f(x)~ А, а для
_________________ х->а + 0 _
функции у~У х (рис. 4.5,6)—равенство lim Ух =0.
х -> 0 + 0
Имеет место следующее утверждение: для того чтобы функ-
ция f (х) при х—имела пределом число Л, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство
lim f(x)~ lim f(x) — A.
x -> a + 0 x -> a-0
Пример 19. Найти lim f(x), если
x-+ 1
*2 + 3x+4, x > 1,
| 7x2+l, x<l.
Решен ие. Так как
lim f(x)=lim f(l+P|) = lim ((1+P |)2 + 3 (1+p |)+4) =
1+0 t-+ 0 0
= Kmo (8+5 PH-1 N2) = 8,
lim f(x)=lim /(I—J H)= Um (7(1—1/1)^ + !) =
x-> 1—0 Z *-> 0 /->0
= limo (8—14 p |+7 Pl2) =8
и lim /(x) = lim /(x), to lim f (x)=8.
x -> 1 + о x -> i - о x -> 1
Пример 20. Выяснить, имеет
ли функция
sin x
x 9
1
у COS Xt
предел при х 0.
<Г г Sin|/| . .. 1 Ijtl 1
Решение. Так как lim —cos р = — и
|q / о 2 11 2
lim f(x) = l#4-= lim f(x}, то данная функция не имеет
х •+ о+ * X о—
предела при х —> 0.
Отметим также, что определения предела функции f (х) при
х—> + оо, х—>— оо и х—> оо могут быть даны соответственно
следующим образом:
lira /(*)== lim f (т-тА lim f (х)= lim f f— +
X -> + «> t Q \ I* I / X ->-00 I -f 0 \ PI
lim f(x)= lim f (Д-\
X •* «> 0 \ * /
312 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
По
аналогии с предыдущим считается, что
a) lim /(л) = 4-00, если lim f(a+|/|) =+oo;
*->а+о /->0
б) lim f(x) =+oo, если lim / («—I /
X-*a~Q / —> О
Так, например, для функции /(*) =
1
(х-1)2 (х-2) (х-3)2
имеем
lim /(х)=—00,
х-* 1-0
lim /(х)=— 00,
*-> 2-0
lim f(x) = -|-oo,
*->3-0
lim f(x)=O,
X ->-00
lim /(*)=—ooj
*-> 1+0
lim /(*) = +00;
*-> 2+0
lim /(%) —+00;
x-> 3 + 0
lim f(x)~O.
*->+<»
Приведем следующие часто встречающиеся пределы:
I. a) lim logax=— со, если а> 1;
*->о+о
б) lim loga х== + оо, если а > 1.
х ->+ 00
II. a) lim logax=+ со, если 0 < а < 1;
х~>0 + 0
б) lim logax=— 00, если 0 < а < 1.
*->+<»
III. lim хп logtf х=0, а > 0, a^l, n^N.
*->о+о
f 1 \* / IV
IV. lim (1+— =* lim ( 1I =<?.
x ->+<» \ x J x ->-«> \ % j
ЗАДАНИЕ 1
1. Какие из функций, графики которых приведены на
рис. 4.6, имеют предел в точке х=1?
2. Для функции f(x)=x2 и заданного числа 8> 0 указать
число 6 такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию
0 < | х—“21 < б, справедливо неравенство | х2—41 < 8, если:
1)8 = 1; 2) 8 = 1/2; 3) 8 = 1/4; 4) е = 80.
3. Пользуясь определением предела функции в точке, до-
казать, что:
1) lim (2х—1)=3; 2) lim (х24-2) = 6; 3) lim *3=1;
х-> 2 х-> 2 х-> 1
4) lim cosx=cosx0; 5) lim х0 # 0;
*->*о X^XqX X(j
6) lim
*->*o
4. Доказать, что если lim f(x)=A и функция y~f(x)
*->*o
определена в точке х=хо, то в некоторой окрестности этой
точки функция является ограниченной.
§1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
31Э
ЗАДАНИЕ 2
1. Привести пример функции # = /(*)> удовлетворяющей
условию:
1) lim /(х) = 3;
х -> 2
2) функция у ~ f (х) не имеет предела в точке я = 2$
Рис. 4.6
3) функция y~f(x) определена на всей числовой прямой и
не имеет предела ни в одной точке этой прямой.
2. Для функции /(х) = 2х+3 и заданного числа е > О ука-
зать число о такое, что для каждого х, удовлетворяющего
314 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
условию 0 < | х—31 < 6, справедливо неравенство | (2х+3) — 91 <
< 8, если:
1)е = 1; 2) 8 = 1/2; 3)8 = 0,001; 4) е = 80.
3. Пользуясь определением предела в точке, доказать, что:
1) lim (Зх —7) = 2; 2) lim х* = 1;
3 х-> I
3) lim sinx = sinx0; 4) lim К х = /”хо, х0 > 0.
X *0 х х0
4. Доказать, что если lim /(х) = Л, А > 0, функция у =
Х-*Х0
— / (х) определена в точке х = х0 и f(xo)>O, то в некоторой
окрестности этой точки функция у=/(х) принимает только по-
ложительные значения.
ЗАДАНИЕ 3
1. Известно, что lim /’ (х) == Л и lim g(x) = B. Найти:
1) lim /«(х), ngN; °2) lim (/1 2 (x) + g(x));
X х0 х -> х0
3) lim (fW+l)teW-2); 4) Пт
5) lim (х/ (х) + x2g (х)); 6) lim g (х) sin f (х).
X Хо х х$
2. Найти:
1) lim f2x2 +—4-3x— 1); 2) lim (x3+2cosx);
X 1 \ X / X -► Л/4
3) lim (sin x) (4x2+l); 4) lim —— ;
5) lim (2—x)10; 6) Um .
3. Доказать, что если lim f (x)=0, to lim sinf(x) = O.
x X0 X -> Xo
4. Привести пример функций y — f(x) и у — g(x)t каждая
из которых не имеет предела в точке х = 0 и таких, что их
1) сумма; 2) произведение
имеет предел в точке х=0.
ЗАДАНИЕ 4
1. Известно, что lim f(x) — A и lim g(x) — B. Найти:
х -> х0 х -> х0
1) lim (PW-^U)+2); 2) lim
X ->x0 X -> Xo ё W 4
3) lim cos/(x); 4) lim j/"/2 (x).
X ->• Xo X -> x0
2. Найти:
1) lim (x3—3x2-f-2x-f-l); 2) lim xsinx; 3) lim — b * .
X->2 X-*2 X-f-2
§1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
315
4) !.(.'+
6) lim
X + 1
К х2-рЗх—х3
/J+2-7 ’
3. Привести пример функции у—f (х), определенной на всей
числовой прямой, принимающей только отрицательные значе-
ния и такой, что
lim f (х) = 0, lim / (х) =—1.
х-* о х~> 1
4. Привести пример функций # = / (х) и у~g(x), каждая из
которых не имеет предела в точке х = 0 и таких, что их
1) разность; 2) частное
имеет предел в точке х = 0.
ЗАДАНИЕ 5
Найти:
x2—4 .
x—-2 ;
x—2
1.
О
lim
X -» Й
2) Um ; 3) Hm *+**+*3±**-4-
x-—i X-J- 1
х—1
4)
lim
. 6)
lim
Ух— v2 ’
x2—1
3/~ f »
l/ X — 1
5)
lim
7)
lim
8)
Вт ;
^x—1
I A\ „ / 3
x—1 ’
-3.1, ____________,
x i \ 1— x3 x -> Ц. 1«-1^-p/x /
Сформулировать, что означает утверждение:
число А не является пределом функции y = f(x) при
2)’функция ^==f(x) не имеет предела при х->Хб«
3» Доказать, что число 1 не является пределом функции
/у = /(х) при х~*0, если:
1} f (x)=signx;
9)
2.
1)
X ”> X0J
1, X&sO,
0, x < 0,
ЗАДАНИЕ 6
!• Найти:
у2 О
1) Um ^г-4-; 2)
Xя*» о
.. х^Зх+2
3> ?”,.гат+3'
Ч1д,£«Е=1
Bn. <|+?-<1+^,
х->о х24-х§
х-**2
4) lim Х.д^..г;
к х-**4
3/~ 4/—
u F Х***у X
1
316 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
4”1fer> m’n€Ni 8) lim^^g-^fi;
9>Ыт^-Г^)- «• *€*
10) (г^+х^-к+г)'
2. Доказать, что число 0 не является пределом функции
gmf(x) при х-*0, если:
х<о’ 2П<*)=1
3. Доказать, что функция
. . ( sin—
«(«)=< а
I о,
не имеет предела
точке 0.
в
х#0,
№0,
ЗАДАНИЕ 7
1.
1)
4)
Найти:
sin2x
lim------- ;
Х-+0 X
1 cos 5х
7)
9)
m .. sin 5x
2) lim ——
' x->o sin 3x
Um —; 5) lim
x->o x sin 7x #-►()
stox . 8)
V" 1 COS X8
1—cosx *
.. sin22x
sin2 ix *
; 6) Mm
tg 2x %->o x
„ cos x-** cos a
Um------ь——•
x-+a x*»a
3)
2.
1)
4)
6)
9)
Ilin
l-/o sin6x«*sin 7x
lim------; IO) lim
X x->0
Найти:
lira (!4-2x)1/x; 2) lim 3) lim (I —
X->0 X->0 \1***X/ X-*<X>
lim (x/(x-|-3))*+3; 5) lim x (in (x+1)—In x);
x->ao
2*—I _ .. 3s,nx—I (l-|-2x)V» —i
lim-------; 7) lim-----x-----; 8) lim -2—-1—I----------;
x->o x x->o 2x x->o x
; 10) B„ «1
lim
Х->0
х—* 1
х
X
ЗАДАНИЕ 8
1.
1)
4)
Найти:
.. sin 3x
sin 7x *
llm^;
X-*0 X
sin3 ax o , л
^ЙЧР afM0:
5) lim 6)
z arosifi3x 9 1
3)
lim
„ 1 — cos 4х
lim —r—x—
х+о sin 3x
tg x—-sinx
x3 *
11. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
317
7) lim
x-t-a
9) lim
X->1
sin x—sine
x—a ’
sin лха .
sin лх3 * '
m • cosmx—cosnx
8)Kl——1
lim ...S?!*
Х->Л/2 Х-*-Л/2
2. Найти:
1) lim (l+3x)I/(2x>; 2) lim (I—x)l/JC;
A»0 A»0
3)
5)
7)
9)
lim
x-»o
lim
X->0
lim
X->0
lim
2x\i/sin*; x [in (2x4-1) —ln2x];
24“ Xj X->+oo
&X.-.&X
X *
In COS X
In cos 3x ’
In x—In 7
’ x—7
?/14-2x—[/1 +
6) lim У..........
x~>0 x
O4 v 2*2—In cos x—1
8) lim —;------r-s-----
x_>o sin2 x
1 (vX vd
10) lim ----—, a >
x-*a X—a
J
ЗАДАНИЕ 9
1. Найти односторонние пределы функции y~f (х) в точке
х = а, если:
«/ ч Г 2—х, х > 0, л -
1) f(x) = < о ! а=0, а=1;
' v 9 (х3—4, хСО,
ох *. . f sinx/x, х^О, л
2) г(х) = < 1 J а = 0;
v ' ( cos х, х < 0,
3) f(x)=х[1/х], а —0, а=1;
4) f (x) = signx2, а = 0, а = 2.
2. Доказать, что функция y — f(x) не имеет предела при
х->а, если:
14 £ 7 4 ( х, х > 0, л
» 'м-1 1+>, ,«;0, “=0;
2) t И-{ «+’’+«+ ’ '^1.
ЗАДАНИЕ 10
1. Найти односторонние пределы функции в точке
х = а, если:
14 £ / 4 ( 14~*> X > 0, л j
,)ZW = {l-x.x<0, «=<>>«=»?
2)/WJ<8?*’’ хх°:
3) Н*) = иЬ « = 0> « = 2. а==5/2;
2. Доказать, что функция (х) не имеет предела при
х->а, если;
318 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
IX х / ч f %2> Х^О, л
,)/(z) = V. х<0, ° = 0;
2) f(x) = {x}, а = 0, а —2.
ЗАДАНИЕ 11
1. Привести пример функции ^==/(х), для которой!
1) lim f (х) =+оо; 2) lim /(х)=—оо; 3) lim / (х) = оо.
х->1 х->1 х->1
2. Доказать, что:
1) lim (—1/х2)= —со; 2) lim 1/(х2~ 1)= ©о;
х->0 л»1
3) Um 1/(1—х)« =+<Ю.
х->1
3. Доказать, что для функции
f (ж) = (х—2)« (х—3)3(*—4)1
имеют место следующие соотношения:
lim /(х)——оо, limf(x)==oo, lim f(x)==+oo.
х->2 х->3 х->4
4. Найти:
1) lira ; 2) Um ; 3) Um т * ; 4) Um
Х->0 х х-*0 Ха х->0 1—ЙСО8 х x->oSinx
5. Доказать, что если lim /(х) = 4-оо и lim g(x) = — оо, то
х->а х->а
lim f (x)g(x)= —оо.
ЗАДАНИЕ 12
1. Привести пример функции y — f(x}, для которой:
1) lim /(%)—+оо, lim f(x)=—-оо;
х->1 х->2
2) lim /(х) = оо, lim f(x) = 4-oo; lim /(х) ——оо;
x->0 х-И x->2
3) lim f(x) = oo, lim f(x) = oo.
Й»! X->~1
2. Доказать, что:
' 9 1 -L у2 1
1) lim -r =+oo; 2) lim —----=—oo; 3) lim—------==oo.
X» О X4 ‘ x3 sin x sin x
3. Найти:
« *+l nx « cosx o. .. cosx
1) Ит -7-; 2) Um —-3— ; 3) Um -г-™-;
x->o x x->o | x J
4. Доказать, что если lim /(x) =+oo и lim g(x) = B, В > 0,
x-*a
TO lim /WsW=4-oo«
x**a
§ I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
819
ЗАДАНИЕ 13
1. Привести пример функции y=f(x)t для которой!
1) lim f(x) = l; 2) lim f(x) = 2;
X->4-00
3) lim /(x)=0; 4)
2. Доказать, что:
з)
Х*>оо «ул
3. Найти:
•х v *2+*
Л+- 2х*4-х4-1
3) Ига (/х*+2-х); 4) Ига (/*«+2+х);
*-++00 *-*•-«
lim /(х) —1.
х-+®
4)
2) lim
Х-> —ОО X
„ 1+х«
Пт -5—
Х~>оо X
1.
* у- *2+4*+7
2) Д™ Зх2—2х+3
5)
]/ х+/7+/х
lim —----7=----
Х-> + оо у х+ 1
т Нт +2~ +1
8) lim----Г7===-----*
р/^+8
4. Найти наклонные асимптоты графика функции
если:
J) t (*)=; 2) / (x)=-§ig-;
3)/(x)=/i5+T~2x; 4)f(x)=^2x« + l-l.
ЗАДАНИЕ 14
1. Доказать, что если lim f(x)~A и lim то|
1) lim 2) lim Hx)g(x)«*ABt
X-+ + O)
3> “1.7Й-Т'
2. Доказать, что:
1) Ит -j-jedja) Um-2—=0;3) Um 1 * „i,
X**»+oo Л“Г • X* X
8. Найти:
r (x—-l)(x + 2) o. r x24-x+l
1) lim ; 2) hm -д-.Х. \ g
4320 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
5) Bra (х+(KF+8); 6) lim (V~х*4-2х—ОТВ;
х->® Х-+®
7) lim (j/^х8+3х2--У"х*~-2х); 8) lim
Х"* + 00 4С->®
9) Um
«->+» |/ х& _|_2
w, „т Z2^±^±L.
**-<» ух*+2
4. Найти наклонные асимптоты графика функции У»"/(х),
если:
2)f(X)^-^;
3) f (x)»x~K^"-|«x-|-l; 4) f (*)=== я+arctg я,
ЗАДАНИЕ 15
1. Привести пример функции y=f(x), для которой:
1) lim f(x)==+oo; 2) lim f(x) ——оо;
х->0 + 0 л»0+0
3) lim /W = »; 4) lim f(x) —oo.
x->0 + 0 x->0-0
2» Привести пример функции, для которой:
1) lim f(x)»l, lim f(x) = oo, lim f(x) = oo;
x->® x->-1 x-*l
2) lim f(x)~lt lim f(x)=+oo, lim f(x) =—00J
X-*a> X->-1 й»1
3) lim f(x)==l, lim fW=“"l> lim fW =+00»
x->+® x->-co я»—1
lim f(x) = —oo,
x->l
3. Сформулировать с помощью неравенств, что означает:
1) lim f(x)~+<x>-t 2) lim f(x)=~oo;
x->-l-ao x->-®
3) lim f(x) = oo.
x->ao
Привести примеры»
4. Доказать, что:
1} lim х?=+оо; 2) lim (х3 44~х2+х) —+©о;
Я»+<Ю Х-> — СО
3) lim (х-*х8)=оо; 4) lim (]/гх^4-1+2х) =—оо»
х-+а> х->-во
ЗАДАНИЕ 16
!• Привести пример функции y—f(x), для которой;
1) lim f(x) =—оо; 2) lim f (х)«+ оо;
х-*0+0 £->-2-0
3) Um f(x)=oo;
х-М + О
§1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
821
4) 11m f(x) =+oo, 11m f(x) = -—oo;
x->0 + О x->0 - 0
5) lim /(x) =+oo, lim f(x) = oo;
x->0 + 0 x->0-0
6) Um f(x)=3 0o, lim f(x) = oo.
x~*0 + 0 x->0~0
2. Привести пример функции, для которой!
1) lim f(x)==O, lim /(x) = -j-oo, lim f(x) =+ooj
x-> + oo x->0 + 0 x->l
2) lim f(x)«=l, lim f(x) = -|-oo, lim /s(x)=—oo;
X->~00 Х-И +0 Х-И-0
3) lim/(x)=—4, Um f W==+°o, lim f(x) =—oo.
x->a> x->0 + 0 x->0-0
3. Сформулировать с помощью неравенств, что означает!
1) lim f(x) =+oo; 2) lim j(x) = oo.
X-* - oo X-> + ®
Привести примеры.
4. Доказать, что:
1) Hm 2) lim (—x2+x+l)=—oo.
x->® x->-oo
Упражнения
1. Пользуясь определением предела функции в точке, дока-
зать, что:
1) lim(2x—1)=3; 2) limx2=9; 3) Um ----------i-=2)
Х-»2 Хч-3. Х-*1 X—1
4) lim xcos~=0; 5) lim —=-3-; 6) lim х3 = х3;
X->0 X x-*2 X 2 x->x0
rJl
7) lim tgx = tgx0, Xo k&Z',
, ’ X-*XQ *
8) lim ctgx=ctgx0, Хб Ф m, n^Z.
x->x0
2. Доказать, что число Л = 1 не является пределом функ-
ции y=f(x) при х-*0, если:
2»
3. Доказать, что функция y~f(x) не имеет предела в точке
х=»а, если:
1) /(*) = f 0 у Г) 1—2,’ x<(X a==0’ 2) H^)=signal, «==0j
3) fW= J t ^—2, „_n. x < 0,
4) f(x) = J xa —1, I x+2, X^! 1, , a = l; x < 1,
5)f(x)=- | x2 —41 x—2 •, a=2; 6) /(x)==cos-i-, a=0<
4. Найти односторонние пределы функции y—f(x) в задан-
ной точке х=а и выяснить существование предела функции
в каждой точке ее области существования, если:
И Задачи по математике. Начала анализа
322 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1) | (я) == sign (sin х)9 а = 0, а=л/2;
2)fW-{2«+1’ »— 1:
оч я / ч ( X sin -1-, X & 0, л 1
3) |(х) = < х я=0, а= —;
I 2, х=0, П
( Х2^9 > о
4) f(x)=< ]*+31 ’ ’ а=0, я=—3;
v 0, хг==*~~3,
«‘«-O+t4' “-1' -°'
( СОЗ™ | X I < 1,
6) f(x)=| 2 a=l,a=-lt
( |х-11. |х| > 1,
. ( dx+t>, х > О,
7) f(x)—< „ „ а==0;
I 2—сх, х < О,
8) f (х)=arctg (tg х), а—0, а = я/2, a—ni
( ех -** 1 л
я 1 \ > 111 ' о X т2^ О, л
9) /(х) = < х 9 » л=0;
к 1, х=0,
_ П, х-* рациональное число,
Ю) /(x) = xD(x), где £>(х) = <
(О, х—иррациональное число;
Г 1/п, если х—т/п, где т и п—взаимно простые
Ц)/(л:) = <[ числа,
( 0, если х—иррациональное число.
5. Найти:
3)
-*+3^ ; 2) lim (x Kx+2—x2-—x);
\ & / Jf->2
?i±l. 4) »'+!%+4- ; 5) lira —1-;
1 x+2 ' x^.i x—1
x2^-+g- 7)limx3'~1‘
lim 5-----г,
ж-»1 Зх— 1
6) lim
^а2Х3-Зх+2’ ''““Jx2-!’
8) lim * к> ^€N, n^2; 9) lim
x->U~i X1>V"2
х4—4х2 + 4
х3—2х 5
x—V3x—2
hm ---я--7—;
x->2 x4—4 ’
1Л\ lim X— 1—*2 e ... „ j/*5—'X — 2#
10) lim ' , 11) lim
X-.S x—5 у2—x— 1
i/l—x—l/'14-x у x—1
13) hm ------------1—; 14) hm -----;
x-0 X x-»l x —1
16) lim log^-~1; 17) hm ?-'“3X-; 18) lim ———— 5
X-.5 x—5 ’ х^.ч x x^&x + lx — 2
19) lim10-1”* ; 20) lim (14-2x)1/(3x); 21) Um (1—x)1/<2X)s
X—e £->0 x->o
15) liml^l+2-);
Л-0 x
3*—5*
§1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
323
22) lim Kl+^H-2* ; 23) lim •
л-м.1 in(i-j-ox) x->u
24) lim (x4-e*)Vx.
x-*0
6, Найти:
х
1) lim (sin x+2 cos x); 2) lim ; 3) lim — ;
x—x~> i x x-*-0 sin 3x
4) Um tg x ctg x; 5) Um -v*"*2'; 6) lim —-A ?to 1;
X-*Q x~>2 xa —4 X-+-1 x+1
cos 2x—cos 4 ctgx—ctg 5 л tgx—tg7
7> rew •_“> а Л-Л • ’> J“ >
x-+v"3 sin V 3-*sinx x-+-i sin44-sin4x
12) Um £=±-, 13) Um 14) Um ltg4xl
х-и sin лх х-*л/з tga 6x x-*o l-—*cos4x ’
15\ hm . 16x нт 14~2sinx .
' x^ni 4 cos (x+л/4) * х->л/б sin (x+л/6) ’
1^74 sin(x—-Л/6) 1O4 v 8cos3x—1
17)Л“ч 1 — 4sin2x ; 18) J*®;i x/2—Л/6 5
19) Um ^±i; 20) Um ;
л/S OX-f-Jl 1 «"-о COS3 X
lim (1—sinx)tg2x; 22) lim sin^~~tg~;
Х->Л/л X-*~5 3 it)
sin К"*—sin К 7 . 24) ym ctgx—1 .
2x— 14 х->л/4 З/’ адд 2X
К sin 2x— 1 # .. 1 — у sin3x
>£/tgx-l у tg^-I
21)
23)
lim
25)
lim
Х->Л/ 4
Ktgx—v"tg 1
27) lim
;X->1
7. Найти:
v sin3/nx , л пч
1) lim t-s—, mn # 0; 2)
' X^Q sin3 nx
arctg (x—3) л.
---2-1-----L ; 4) lim
v x—sin 2x
hm ----7-=-;
Х_>ох— sin 5x
3) lim -------5—
f x-з x—3
5) Iimtg x-Sta x
x-*0
sin3 2х
Y COS X— у cos X .
sin2x
1 +xsinx—cos 2x л
sin2 x *
7) lim
8)
sin nx
6) lim
x-*o
, X
In— , n
e m .. In cos 3x
lim -----; 9) lim 7---------=-
x~*e x~-e x^.q In cos 5x
11*
324 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
«л\ lim Sta (Sln . in lim ' l + 2x— V l-bsinx
10) “fjlta&r ; 11 ’ b”0-----ind + sinxj-
12) Um(l + x+sin *)V*; 13) lim •
их к tg3 x-*“3 tg x 1Г-Ч ..
жДадз cos (x-j-л/б) ’ 2—ctgx
16) 11m . -*~S* ; 17) lim (tg*)'®8*;
1 K+oSiax—-sin2x x-*w,i
sin ха *
l~-Ctg3X
ctg3*
. ax
.ct8~
18) Um (cos x)®*»2*-, 19) Um (2—4)
#->o х~>з \ о /
20)
22)
24)
1/
21) Iim f э-~л_;
j/14-xa—xa 'r^° * + sinx
lim fт~Зз+“7^ i 23) (——2xtg ’>
X-+1 \1 1 X***1J Х-+Я1И к COS X J
11 cos x cos 2x cos 3x
lim ----г-т--------;
л * + COS X
25) Um1".!!4^?/4.); 26)Ump£±iy/xa.
X->O x X^\xn +^J
8. Привести пример функции y — f(x), определенной на всей
числовой прямой, не имеющей предела ни в одной ^точке и та-
кой, что функция y*saf2(x) имеет предел в каждой точке.
9. Функция ycsf(x) определена и ограничена в некоторой
окрестности точки х=2 и не имеет предела при х—>2. Дока-
вать, что функция g = (x-»2) f (х) имеет предел в точке х==2, и
он равен 0. Показать, что требование ограниченности функции
f(x) существенно.
10« Доказать, что если функция y = f (х) имеет предел, рав-
ный А при х—► «, и функция y=g(x) совпадает с функцией
ycaf (x) всюду, кроме конечного множества точек, то предел
функции y«=g(x) существует при х—и также равен А.
11< Привести пример функций ye=f(x) и y=g(x) таких, что
каждая из них не имеет предела в точке х=0, однако:
1) Um (/(x)+g(x))=0; 2) Um (f (x)g(x))=l;
3) lim (x/(x))«=0; 4) lim (xf(x)) не существует.
AW-0 x->0
12ж Известно, что lim (f (x)g (х))»0. Следует ли отсюда, что
я;—>0
lim/{*)=□ 0 или limg(x)=0?
jc->0 я» 0
13. Известно, что lim и функция y<=f (х) не
лмеет предела в точке я ==0* Следует ли отсюда, что lim ^(а')=0?
л»0
14< Привести пример функций yx=f(x' и y^g(x) таких, что
f (х)>§ М в некоторой окрестности точки х=0 и lim / (x)=limg (х),
х->0 я->0
§1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
325
15. Доказать, что если Пт/(х) = Л и функция y=sf(x) опре-
делена в точке х=а, то в некоторой окрестности точки х~а
функция y~f(x) ограничена. Верно ли обратное утверждение?
16. Известно, что lim f (х) — limg(x)==0. Привести примеры
х->0 х->0
функций y=f(x) и ^=g(x) таких, что:
1) Um i^=l; i2) lim Ш=0; 3) lim Ш-=₽ + <»;
x^og(x) ’ ‘ »-og(x) x-og(x)
4) Um Д^=—oo; 5) Um Д4=09: 6) Ит XUl,= l.
x-og(x) x-»og(x) \v^ox“g(x)
17. Доказать, что если функции y~f(x) и y=»g(x) опре-
делены в некоторой окрестности точки х=%$ и такие, что функ-
ция y~f(x) ограничена в этой окрестности, а Дп^£(х)=>0, то
И® |f (x)g(x)|=0.
х-+а
18. Доказать, что:
1) lim —5=—оо; 2) lim -г-—г==оо;
x->oxW ’ 1
3) 1,га <v__9V.i=+00'’ 4) llmn~r2~“—00!
Х~>2 (X—-’2) Х-*0
5) lim --у=-[~оо; 6) lim —L-asoo,
Х->-Э у Х24“Х4 cos X
19., Найти
Um f (х), Um f (x), Um f (x),
x->l X->0 x-*Z
если:
!) f = (x—l)?x(x—2)S; 2) f“(x—1) J(x—Й)4s
3) ^x) = (x— l)3x2(x—2)’
20. Найти:
1) lim cos^~T: 2) Ига(х*-1п I x|); 3) Um
X-+Q COS X —— I X-*2 X
4) Um 5) limpi; 6) lim-r^—I
’ x_.l (X— I)3 ’ xh.0 X2 ’ x-^9 81П"» X
3 у ......
rrv V V 1+<XX—1 O4 v In COS X
7) hm У-—^—3,---; 8) hm-------g—.
X->0 X x-+o vP
21. Доказать, что если limf(x)=—-оо и limg (х)==—-оо, то:
х-*а
1) lira (/(x)+g(x))=—оо; 2) lim (f (х) g (х)) =+оо;
х-+а х-^а
3) Um (If(x)|g(x))=—оо.
х->а
22. Доказать, что если lim/(x) = —оо и limg(x) = 4, то:
х-+а х-^а
I) Um(f(x)+g(x))=—оо; 2) Um(f(x)g(x)) = +oo, 4<0.
x-*a x^a
Зйб ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕИРЕРЫВОСТЬ ФУНКЦИИ
23. Доказать, что е;сл«и lim/(«)=== А (Л # 0), то:
х-*о
.Г) lim -^=00, &g>N; 2) ,lim{j»V'W) = 0, kfiN.
Jt->0 XK x-*o
24. Привести пример функций y~f(x) и y = g(x) таких,
что llmf(x) =+oo, lim £{&)=<, ню:
1) lim <Hx) g2) ta (f W 1;
A»0 x->0
3) 4> liml/(x)g.(x)) = — oo,
x->0 ж-^0
25. Привести «фиадер функции $=f (х) и y—gW таких,
что Im f (^)=4“оо, —*ю, но:
1) lim (/ (л>)+g (х)) =+оо; 2) lim (f (х)+g (х)) =—оо.;
х~*а х-+а
3) Нт Ш.=-оо; 4) Нт ^=г=0;
t-agW x->af(x)
5) lim — /(x) = oo; 6) Нт Ц±Ц1^=0.
x-*a g W x-*a A — a
26. Показать, что функция # = —cos — не является огра-
ниченной в любой окрестности точки х=0‘(х^0) и в то же
время не является бесконечно большой при х —> 0.
27. Привести пример функции, для которой lim f (х) ==4~оо,
х->0
но которая не является монотонной ни на каком интервале
(0;б).
28. Доказать, что если Hm f(x) — A, lim f(x) = B, то:
1) lira (f(x)+g(x)) = ^ + B; 2) Km (/ (x) |g (x) |) = 4 |В |;
X-*+QO X->+«>
3) Um 4^0; 4) Цщ Ж=А B * °’
,t-> + co x~> + oog{%) D
29. Доказать, что для того, чтобы lim f(x) — A, необходимо
1 и достаточно, чтобы
lim f (х) == A, Um / <х) == А.
Х-> + '<50 х->- 00
30. Доказать, что:
1- 2х о пч х*2+1 1
1) hm —г-5—2; 2) hm —L__=—1;
X-*“i-xxi 'X tJ—’3 ,x -* — *» x — -X
3) Km 4) Km (/^+2-У^П) = 0.
Х» + эо 1фХй
31. Найти:
1Ч .. 2x+3+sinx пч 2х2 —3x4-4+2*
1J hm —!—— ; 2) hm ..;
х-*+™ 1—-x4-x24-2x
У^(х+2) .
х2—4
х—2
0. „ Ух^хч-г) ,ч
3) Вт -——т-J—4) ,iim
X^-t-oo ха + 4
§L ПР ЕЖ Л Ф УН КДда
327
5> Ил> |1 + *)И+2«)...<1 + 10»)
х->+<>»
(2х-1)» (Зх—I)»* . ]
(х2+13х + 4)® ’ "Л?/
6) lim
Х'-><х
8) lim
оо у 2х-М
10) lim (х— Ух3 + х-Ь2);
Я»~С»
11) lim х1/3[(х4-1)2/3-(х-1)2/3]>,
; 9) lim (х—/*л®’+х4-2);'
12)
13)
lim К^+г-р/8x*+x .
х -* +<» x®-f-5 ’
—У Зх’+х
1ТПГ ........ .---!—> ?
х -* -<ю у х2 +5
lim К*2+2—
# оо У"х2 -J-5
15) lim <У х2,+ Уха+ У х2 — Ух2-.
х-> <ю
IS) Um (:4И’",; 14 Нёт1У”!
X -> оо \X-\-4 / X оо \ £Х ТО/
18) lim 2x[ln(l^-x) —In (2+х).];
х-> +®
im г Г^ + Зх2 \ от 2*+3»
19)х^Д_т+^“л7; 2Q)2l®„w^J
21) lim 22) lim
X» + oo In (х4 + е2лг) 7 x + - oo In (x*+eW)
32. Найти наклонные асимптоты графика функции y^f (л),
если:
I) р=Ух2+Зх+2{ 2) ;
3) j^x+y^^H; 4), у=х+arcctg х;
5) у=1п(х« + е^); 6) у=х j-pg ,
83. Найти числа а и b из условия:
(у2 1_ 1 \
i-Xt- «х-&)=0;
*-Н______ /
2) lim (Кх2 Н“Х+1 —ах+$ = 0;
Х-> - СО
3) lim (Ух2+х+1+ах— &)=0.
+®
328 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
34. Сформулировать с помощью неравенств, что значит?
1) lim f(x)=4-oo; 2) lim /(х)=4-°°’>
3) lim f(x) =—оо; 4) lim f(x)==oo;
л->л+0 x*+a—0
6) lim f;(x)e=—oo; 6) lim f(x) = oo;
H- + « x *> + <ю
7) Urn /(x)==oo; 8) lim /(x)=-~oo;
я*->а+© x^+a-O
9) lim f(x)=—oo; 10) lim f(x) = oo.
X^ » X«+ -“00
35. Найти односторонние пределы функции #==/(х) в точ-
ках х = 0, х=1 и х = 2, если:
n f /дл в- I *1 (х4~2) . 2) f (х\ х 1) •
х(х^1)а(х— 2)2* )f{X) (х—1)2(% + 2) ’
х2 «**> 4 1 1
3) f (#) « । | ха (/*» IP ’ (sin х) (х -* I)31 х**21’
36. Доказать, что:
1) lim (хг*»х-*2)== 4" 2) lim V^+sin *= + оо;
*£►’+ со А'-> +00
3) lim х+2«—оо; 4) lim J^x2 4-х 4- 1 = 4-оо;
-оо х-+ +с©
5) Mm —АА «=а 4- оо; 6) lim х"^--с=а «~оо;
X *> + оо X X -»• — оо X
7) Мт (1^х24-х-*K^ld-14-х)«о®.
»
37. Привести примеры функций rg^f (х) и #=g(x), для
которых:
1) Мт ЛИВВ + ОО> Нт ^W^-00)
Х&> +00 +оо
Мт (/(л)+^;(х))«0;
Х«=+ +со
2) Мт /(х) = 4-оо, Мт g(x) = — oo,
х + со х=^ +»
lim (f(x)+g (х))=Б;
+оо
3) lim /(я)==4-оо* Мт ^(х)«**оо,
№->+« Х^ +<ю
Мт (/(х)+§(х))«4-оо;
X +00
4) Нт fWes4“°°>
X +00
Нт
X -> + оо
Мт
X +-00
fWe + «>,
lim £(*)==+«>»
Л-> +00
Um g(x) = 4-oo,
+«
lim
X •+ + оо
^4=0;
sW
$ 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 329
6) Mm /(«) = +00, Um g(x)== + o»,
X-> +00 +00
x" + cog(x)
7) lim f(x) = + 00, lim g(x)~0,
X —► + 00 x —► + 00
Mm (f (x)g(x))=0;
x-+ +<x>
8) I'm ~Ла'== + 00> lim g!(*)= + «>,
X -+ + oo I \X) x •+ +00
Um (f (x) — g(x))=0;
X -> +00
9) Um (x/(x))=+oo, Hm f/W+-r7-r') = + Л>2;
X -> + ~ X -» + 00 \ lW/
10) Um (f (x)~g(x))=0, Um (f (x)+xg(x)) = l.
X~> + 00 X~> + 00
38. Доказать, что если lim f(x) = + oo и функция y=g(xj
X -> + CO
ограничена на [a; + oo), то
Um (f(x)+g(x))=+oo, Um (f (x)— g(x))= + oo.
X-+ +00 #-++<»
§ 2. Непрерывность функций
Напомним, что в определении предела функции в данной
точке значение функции в этой точке не учитывается.
Особый интерес представляет случай, когда предел функции
y = f(x)t xg(a; b), в точке xog(a; b) равен значению f(x0).
Пусть функция f (х) определена на интервале (а; Ь) и х0 —
точка из этого интервала. Функция называется непрерывной
в точке х0, если
lim f(x)=f(x0).
х —> х0
Например,
а) функция у = х3 непрерывна в точке х = 2, так как
lim х?=8, #(2) =8, т. е. lim х3=8=23;
2 х -> 2
б) функция у = sig Их в точке хо = О не является непрерыв-
ной, так как не существует lim sign х:
о
lim signx==l, lim signx=—1,
я->0+ x->0~
т. e.
lim signx?& lim signx;
o+ o~
в) функция
{(sin x)/x, x 0,
2, x=0,
3^0 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
в точке хо = 0 не является непрерывной,, так как, хотя и суще-
ствует
.. sin х . 1ч
lim ------ (он равен
: о X
не совпадает со значением функции в точке
Выяснить, является ли непрерывной в каж-
но этот предел
х = 0: у (0) = 2.
Припер t
дой точке Xq^R функция
( 1—. COSX , А .
I --------- хг#О;
X2
V Л, х — 0.
Решение. Пусть х0~* любое действительное число, отлич-
ное от нуля. Тогда, так как lim х2«==хо 0 и Mm (1—cos х) =
Х-*Х0
== 1*»со8Хо, то по утверждению о пределе частного имеем
, х 1—cosx 1—cosx0 . х
lim у\х)*~ hm ------1=у(х0).
х->х6 х-*х» х хь
Следовательно, данная функция непрерывна в точке х0,
если х0 0.
Пусть Хо==О. Так как
п , п х / , х \2
2 sin2 -тг - / sin -г \
1 —cosx_________L-—_________2 I
ха х2 2 \ х/2 / 9
то
f . X \2
, , / БШ-тт \ ,
.. l«cosx 1 2 ) 1
lim---------=-— hm \—тх- =-?г.
х -> о я 2 х -> о v х/2 / 2
Поэтому, если j/(0) = l/2, данная функция непрерывна в точке
х=0, а если у(0) = Л й 1/2, функция не является непрерывной
в точке х=0.
Итак, при А=1/2 данная функция непрерывна в каждой
точке xgT?, а при Л й 1/2 непрерывна в каждой точке x^R,
кроме х==0.
Основные теоремы о непрерывных функциях
в точке.
I. Пусть функции р = #(х), xg(a; и ^=g(x), xg(a; b)t
непрерывны в точке xog(«; ty, тогда:
1) у точки х0 существует окрестность (х0 — 6; х0 + 6), 6 > 0,
на которой функция y^fix) ограничена;
2) если f (х0) > 0- (/ Оо) < ОК то у точки х0 существует
окрестность (х0-~б; х0+б), б > 0, такая, что для каждого х из
этой окрестности /(х) > 0 (/ (х) < 0);
3) функции y=f (x) + g (х) и y~f (х)—g (х) непрерывны
в точке х0;
4) функция y==^f{x)g (x) непрерывна в точке х0;
§2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 33J
5) если функция у = £(х) в точке не обращается в нуль,
то функция y — f(x)Jg(x) непрерывна в точке х0;
6) если функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает) на
(a; b)t тогда обратная ей функция x—f-Цу) непрерывна
в точке f (xq).
II. Если функция /(х) [непрерывна в точке х$, а функция
g(u) непрерывна в точке UQ=f (xiQ), то сложная функция g(f (я))
непрерывна в точке х0, т. е.
lim g(f(x))=g( lim f(x)\~g(fM).
x-+Xq \x-+x9 J
Более того,, для сложной функции g (f (х)) верно также сле-
дующее утверждение: если функция gfeij непрерывна в точке
п= А и lim / ,(х}) = Д, то
^->х0
lim gtf(x))=g( lim f№\~g(A).
x x° V^?» J
Отсюда следует, что каждая элементарная функция непре-
рывна в любой внутренней точке своей области существования.
Так, например, поскольку функции f (x)&C и g(x)~x
непрерывны в любой точке числовой прямой, то
а) многочлен Рп (х) = . + я/хп~^ +...
... +an-ix + an есть функция, непрерывная в каждой точке
числовой прямой;
б) рациональная функция где й
Qz» W — многочлены, есть функция, непрерывная в каждой
точке числовой прямой, в которой она определена.
Пусть функция y~f(x) определена на некотором интервале
(а; 6). Функция y~f(x) называется непрерывной справа {слева)
в точке xog(a; b)t если
lim f(x) = lim /(x)=./(x0) / lim f(x)=* Hm f(x)=7(*d)\ •
x-+x0 X->Xo + O I X-*X9 1
X>X9 \x<x9 7
Например,
а) функция # = x2 непрерывна справа и непрерывна слевд
в любой точке xogR, так как
lim х2 = х2 = lim х2;
x->xo--O х->хо+О
б) функция
/ х, х^О,
I 1+х, х < О,
непрерывна справа в точке х=0, так как
lim у(х)~ lim у{х)~ lim х—0 = у(0),
#->0 + 0 х->ч0
х > 0 х > ;0
и не является непрерывной слева в точке :х~§> так как
lim у(х)= lim у {х)~ Нт Щ-х)— 1
х-> 0-0 0 х-><0
х < 0 х < 0
332 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
в) функция y==signx не является непрерывной слева
в точке х=0и не является непрерывной справа в точке я=0,
так как
lim у(х) = Пт у(х)^ Пт (1) = 1,
х->0+0 х->0 х-»0
х > 0 х > 0
Пт у(х) = Нт 0(х) = Пт (— !)=—!,
х —> 0— 0 0 0
х<0 х<0
а у(0) = 0.
Функция y—f(x}, b), непрерывна в точке xog(a; b)
тогда и только «тогда, когда y^f {x) непрерывна слева и не-
прерывна справа в точке х$.
Функция y~f(x), непрерывная в каждой точке интервала
(а; Ь) (числовой прямой), называется непрерывной на этом ин-
тервале (прямой).
Функция y~f(x) называется непрерывной на отрезке[а;ЭД,
если она непрерывна на интервале [(а\ ЭД и в точке а непре-
рывна справа, а в точке b непрерывна слева.
П ример 2. Исследовать на непрерывность функцию
_____________________sin х
9=х«—5x4-6’
Решение. Данная функция существует всюду, кроме
точек х=2 и хе=3. Докажем, что она непрерывна в каждой
точке своей области существования. Действительно, функции
0~slnx и у=х^-*»бх+6 непрерывны в каждой точке числовой
прямой, и функция у=х2—5x4-6 всюду отлична от нуля, кроме
точек х = 2 и х=3. Поэтому по теореме о непрерывности част-
ного данная функция непрерывна в каждой точке числовой
прямой, кроме точек х —2 и х = 3; следовательно, она непре-
рывна на множестве (— оо; 2)U (2; 3)U(3; оо).
График непрерывной на некотором промежутке функции
представляет собой сплошную линию, т. е. линию, которую
можно нарисовать, «не отрывая карандаша от бумаги».
Свойства функции непрерывной на отрезке.
Пусть функция y—f(x) непрерывна на отрезке [а; ЭД, тогда:
Г. Функция y—f(x) ограничена на этом отрезке.
2°. Функция 0=f(x) достигает своего наибольшего и наи-
меньшего значений, т. е. если т—наименьшее значение, а /И—
наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [а; ЭД, то
существуют такие х± и х2 из отрезка (a; Ь]> что
f(Xi) = m, 1(хъ)=*М.
3°. Если f(a)f(b) < 0, то существует точка х^(а; ЭД такая,
что f(xo) = O. Это утверждение означает, что график функции
gz=f(x), непрерывной на отрезке [а; ЭД, хотя бы в одной точке
пересекает ось {ОХ, если точки (a; ((a)) и (b*t f (ЭД) лежат по
разные стороны от оси ОХ (рис. 4.7).
4°. Если т—наименьшее значение, а М *- наибольшее зна-
чение непрерывной функции y~f(x) на отрезке [а; ЭД, то для
§ 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
333
любого М] существует хотя бы одно х^ (S|a; b\ такое,
что f(x0)=c<
5°. Если функция У—f (х) обращается в нуль в точках х — а
и x—b (f (a)—f (4=0) и не обращается в нуль нив каких дру-
гих точках отрезка [а; &], то на всем интервале (а; Ь) функция
y~f(x) либо отрицательна, либо положительна.
Пример 3. Решить неравенство
(1—х2) arcsin х > 0.
' Решение. Рассмотрим функцию #=(1 ^х2) arcsin х, обла-
стью существования которой является отрезок [—1; 1]. Заметим,
что данная функция непрерывна на этом отрезке и Обращается
в нуль только в точках х=—1, х=0 и х = 1. Следовательно,
по свойству 5° функция # = (1—*х2) arcsin х на интервалах (—1; 0)
и Г(0; 1) сохраняет постоянный знак. Так как =
— arcsin у > 0, то на интервале (0; 1) функция у =
== (1 — х2) arcsin х положительна. Так как f
= 1 — ~arcsin < 0, то на интервале (—1; 0) функция
отрицательна. Итак, каждое х из интервала (0; 1) является
решением данного неравенства.
Пример 4. Доказать, что уравнение
(1+х)-2*2+*+2^уТ+х2 sin2x=0
имеет хотя бы один действительный корень.
Решение. Рассмотрим непрерывную на всей числовой
прямой функцию г/ = (1 + х)*2х2+Л?+§ — У 1 +х2sin2х. Так как
у(0) = 4> 0 и ^(—1)=— К 2 sin2 1 < 0, то по свойству 4° су-
ществует точка Xog(—1; 0) такая, что £/ (х0) =0; тем самым
доказано существование корня у данного уравнения.
Пусть функция y~f(x) определена на интервале (а; 6),
кроме, быть может, точки Xq—•точки этого интервала.
334 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Если в точке х# равенство lim t(x)t=f(x^) не выполняется,
X х0
то точка х0 называется точкой разрыва функции
На рис» 4.6 приведены графики функций, у которых точка
я© является точкой разрыва,
ЗАДАНИЕ I
1. Является ли функция непрерывной в точке *0>
если:
1) у = х2+2, х0 = 3; 2) у = *о==О;
1 —~*х2
3j у= । , х0 = 1;
( 1 х^2
4) у^\ х-2’ Х^’ х0=2;
V 5, х=2,
( sinx / о
5) </={ х ’ х ' хо=О;
V 2, х=0э
( я2—'4 „
6)у={ х—2 ’ ’ х0=2;
( 4, лг»=2э
§2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
335
( - * % 1
7) у=\ 1-х3 ’ ь х0 = 1;
V 2, х= 1,
( 1, х —рациональное число,
8) ^ = 4 хй = 0?
(О, х—иррациональное число,
2. Найти точки разрыва следующей функции:
1) #=signx; 2) у~{х}, х02; 8]; 3) #=»tgx$
лч х + 2 кч х2+х+1 4 cosx e
) х—1 ’ х2—х—2 ’ х3—8 5
у2 ..... f Л
7) j/=ctgxsin2x; 8) #= |xsl_4t •
3. При каком значении А следующая функция является не-
прерывной в точке х=0:
1) «/={
(
2)j/={
к
tgx/x, xg(— л/4; 0)U(0; я/4),
А, х=0;
1" ^—. «ё(-1; О.
Л, х=0?
4. Привести пример двух функций, каждая из которых не
является непрерывной в точке х0, но их сумма есть функция,
непрерывная в точке Xq.
5. Доказать, что следующее уравнение имеет хотя бы один
действительный корень:
1) 1пх+х = 0; 2) 8^ —3-2* —16 = 0;
3) х5—6х2+3х—7 = 0; 4) х3—|х| + 2 = 0.
6. Решить неравенство:
1) log2 (х+5) logn(3—-х) /(х+5)(3-х) < 0;
2) (х*-1) /Чб—x2logiZ2(10-x)SsO.
ЗАДАНИЕ 2
I. Является ли непрерывной в точке х$ следующая функция!
1) #=|х+2|, Хо=1; 2) # = 2*+sinx-f-3, хо=0|
3) у~\sign х |, хо = О;
4) У = < х+2 ’ Х ’ х0=—2;
I _4, х==—2,
( 1
I cos —, х О, п
5) у=1 х хо = О;
I 1, х=0,
_( 0, х—рациональное число, —о?
' х, х-* иррациональное число, Хб
2. Найти точки разрыва функции:
1) #=signx; 2) £=ctgx; 3) ^=-^1===-;
У 1—«х2
336 гл. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
4) у —-----—;
7 * arcsin х
5)0=1 7^7’ х*7> 6)0=1 SiDT’ Х540’
15, х = 7; I 2, х =
3. При каком значении А следующая функция является не-
прерывной в точке х=0:
n о= / х&О, *€[0j 10];
,У I А, х = 0; lV \ А, х = 0?
4. Привести пример двух функций, каждая из которых не
является непрерывной в ^очке xQ> а их произведение есть функ-
ция, непрерывная в точке х§.
5. Доказать, что следующее уравнение имеет хотя бы один
действительный корень:
1) х§+х +17«0; 2) 3sin3х**5sinx+1 «=0;
3) sin х***х+1 =0; 4) х3«»Зх+1=0г
6. Решить неравенство:
1) (1 +*)* V4*»х? cos х > 0; 2) V4—х (logs х) sin х < 0.
Упражнения
1. Исследовать на непрерывность следующую функццн^
1) 0=К*+5;
3) г,=(1 — х)«?
2) ^=2x^1+A:^4-sInx?;
( xsin-^, х#0,
4) х
10, х=0;
r\ — J sinjtx, рациональное число,
' 0, х**иррациональное число;
г пх , . _ 1 ( fl х |
6)J/=Jcos-r> НК1’ 7)0=1 ЙЙ5’
I |х— 11, |х|>1; 11/2,
х = 0;
8) y=e’,nx(l+x+xa+5x?);
j xOH- cos *)
9) у = < x+sinx
I 0, х==0;
— / Зх«**2, х—рациональное число,
x2t х—иррациональное число)
и) 9=M+W; i2)^=i«tgxtg(y+x).
2. Найти точки разрыва следующей функции:
( 1ж+2| , „ ( 1
1)0=4 «4-2 ’ *54“-2’ 2)0=1 Х*1г
I 1, х==—2; к 3, |вв1;
§2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
337
f COS "А”» х °, ,ч 1
3)У = < X* 4)^ = ——;
I 1, х—0; х l*J
I 21/х, х £ 0, _ х2 + |х|Н-х
х = 0; 6) у~х*—|х|+3х
х2«*|х| QX Х«* 1 Н-] X—1 ]
7) 9=’гаГ; 8) -----------га—;
оч 2 (х—х3) +1 х х3 j 1 ( 1.11
9) я=к“7--«rra-----чт ‘» 10) #=(х+1)ехр <---Ьт~тг
** 2(Х-*Х§)-*|Х-~Х3| х I ]х| J
( х2, х«** рациональное число,
' —х2, х-** иррациональное число;
12^ =/ ^“т/Л*в*несокРатимая Дробь,
’ 0, х*«» иррациональное число.
3. Пусть функция y«f(x) определена на интервале (а; Ь)
и непрерывна в точке х0(£(а; Ь). Доказать, что функция y~f (х)
ограничена в некоторой окрестности точки Хо.
4. Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а; Ь)
и непрерывна в точке xQ£(a\ b). Доказать, что если /(х0) > О,
то f (х) > 0 в некоторой окрестности точки х0.
5, Пусть функция #=/(х) определена и ограничена на интер-
вале (а; Ь) и точка х^(а\ Ь) является ее точкой разрыва. При-
вести пример функции (х), определенной на интервале (а\Ь)
и такой, что функция y = f(x)g(x) непрерывна в точке х0.
6. Пусть функции y = f(x) и y~g(x) определены на отрезке
[а; £] и известно, что их сумма и разность являются функциями,
йепрерывными в точке. х$(£(а; Ь). Доказать, что тогда функции
у==/(х)и y=g(x) являются непрерывными в точке х0.
7. Пусть функции y~f(x) и y~g(x) определены на интер-
вале (а; Ь) и известно, что их сумма есть функция, непрерывная
в точке х0(£(а; Ь). Являются ли функции y~f(x) и y~g(x)
непрерывными в точке х$
8. Доказать, что если функция y~f(x) непрерывна в точ-
ке Хо, то функция р«=|/(х)| также непрерывна в точке х0.
9. Привести пример рациональной функции, определенной
на отрезке [2; 5] и непрерывной на множестве [2; 3)0(3; 4) U (4; 5].
10. Привести пример функции, определенной на интервале
(0, 1), разрывной в каждой точке этого интервала и такой, что
функция у~\ f (х)j непрерывна на интервале (0; 1).
11. Являются ли непрерывными на всей числовой прямой
функции y—f(g(x)) и y==g(f (х)), если
f (х) = sign х, g ® 1+х** [xl?
12. Является ли непрерывной на всей числовой прямой
функция
где
{х, х«-рациональное число,
— х, х**иррациональное число?
338 ГЛ. 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
13. Является ли непрерывной на всей числовой прямой
функция
f(u) = cos ut
где
{х, х — рациональное число,
— х2, х—иррациональное число?
14. Функция задана следующим образом:
2)>
' w (х—4)*4~6, xg[2; 4].
Существует ли точка х0 такая, что хо^[О; 4] и f(x0) = l? Суще-
ствует ли точка х0 такая, что xog(O; 4] и /(х0) = 7?
15. Функция y~f(x) задана следующим образом:
УбЯЛ. *€1-1; 1].
Существует ли точка ха такая, что f(x0) < 15?
16. Пусть функции y=f(x) и y~g(x) непрерывны на отрез-
ке [а; &], причем f(a) < g (а) и f (b) > g(b). Доказать, что суще-
ствует точка с из интервала (a; b)t для которой f(c)~g(c).
17. Доказать, что множеством значений непрерывной на
отрезке функции является отрезок.
18. Доказать, что уравнение х3+рх>+1 ==0, где р—некото-
рое действительное число, имеет по крайней мере один действи-
тельный корень.
19. Пусть для функции y—f(x), непрерывной на отрезке
(0; 1], область значений есть отрезок [0; 1}. Доказать, что суще-
ствует точка xo£[O; 1] такая, что f(x0)=x0.
20. Пусть функция y—f(x) непрерывна на промежутке
[а\ 4-со) и lim f(x) = A. Доказать, что функция f (х) ограничена
00
на {а; 4- °0)-
21. Функция y~f(x) определена и непрерывна на (2; 5].
Известно, что для любого х, принадлежащего отрезку [2; 5],
функция у=/(х) принимает только рациональные значения.
Найти f (е) и /(л), если f(4)=7/9.
22. Доказать, что следующее уравнение имеет хотя бы один
действительный корень:
1) х3+12х—-8 = 0; 2) х4-«*х3+2х2+х—3 = 0;
3) 6х3—х2—20x4-12 = 0;
4) 5х4—14х3—79х2 4-84x4-180 = 0;
5) 27х34-8—(х— I)3—(2х4-3)3 = 0;
6) х! —6х4—9х3—6х24-8х4-8 = 0.
23. Доказать, что следующее уравнение имеет более одного
действительного корня:
1) х3—19х—30=0; 2) 9х2—27х44-4 — 14х = 0;
3) ЗОх4— 17х?—228х24- 17x4-30=0;
4) (х6—1)4-2(х4—1)4-1=0;
§2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 339
5) 2 к2х2—х+1 — х— 3=0;
6) |х| —|х—2[—|х+2|+3=0.
24. Решить неравенство:
1) (Xе—1) (х— 1X0; 2) (х«—I) (Xе—1) < 0^
3) (х«—1) logs (х+у) >0;
4) (х2—2х—>35) arcctg х < 0;
5) (х4—2х2) arctg х 0;
6) f х2 Varctg х 0.
ГЛАВА 5
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. Производная
Пусть функция y — f(x) определена на интервале (а; &),
х0(£(а; Ь), и величина Ах такова, что х0 +Ах также принадлежит
интервалу (а\ Ь). Разность
f (хо + Ах)—f (х0)
называется приращением функции в точке х0, а прираще-
нием аргумента в точке х0. Приращение функции у — f (х) в точ-
ке х0 принято обозначать А/ (х0) или А// (х0), т. е. по определению
Д/ (х0) — f (х0 + д*)—f (ХО).
Если через х обозначить х0+Д*, тогда Дх=х—х0> и прираще-
ние функции в точке х0 можно записать в виде f (х)—f (х0).
Производной функции y~f(x) в точке х0 называется предел
отношения Af(x0)/Ax при Ах—>0 (если предел существует).
Производная функции y~f(x) в точке х0 обозначается через
у' (х0), или f' (х0)> или ~ .
ах |х=х0
Итак, по определению
f' (*о) =
=» iim цт
Дх -> о Ах Дх о
f(x)-*-f(x^
X — Xf)
f(xl> + &x)^f(xo)_ hm
Д-V X -+ Xo
Функция, имеющая производную в точке Хо, называется
дифференцируемой в точке х0.
Если функция y=f(x) дифференцируема в каждой точке
интервала (а\ Ь), то говорят, что функция y — f(x) дифференци-
руема на этом интервале.
Пример 1. Найти производную функции у = х2 в точке
Хо=2.
Решение. Найдем приращение функции f (х) = х2 в точке
х0 = 2:
Д#=f (2+Ах) (2) = (2+Дх)2 -*»22 = 4Дх+(Ах)2.
Имеем
Д/(х0) 4Ах+(Дх)2 /л 1 л \ л
hm hm ------Р—hm (4+Дх)=4.
Дх -> 0 Дх Дл: -> о Дх дх -> о
Таким образом, производная функции в точке Хб=2
равна 4, т. е. ^'(2)—4*
§1. ПРОИЗВОДНАЯ
341
Если производная данной функции вычисляется при каждом
допустимом значении аргумента, то его обозначают той же бук-
вой, что и аргумент, без каких-либо индексов при нем.
Пример 2, Доказать, что
(х2)' = 2х, xgR.
Решение. Найдем приращение функции f (х) ~х2 в точке х:
А/ (х) == f (х+Ах) f (х) = (х+А*)2 **х2 = 2х Ах+(Ах)2<
Таким образом, А/(х)/Ах=2х+Ах, и, следовательно,
lim lim (2х+Дх)=2х«
Дх -* о Ах Дх. -<0
Итак, (х2)' = 2х в каждой точке х.
Пример 3. Найти производную функции f (х) ® 1/х8 в про-
извольной точке х, х 0.
Решение. Так как при х ?£ 0 и х+Ах £ 0,
Л f (1_____________L — (2х + Ах)
' W ~ _|_ дХ)2 , Х2 Х2 (л. + ДХ)2 ’
.. W>__ г л“".(2,,+ад г
дх-? о Ах х2(х+Ах)2 lim х2 (х~(-Ах)2
дх-> о
Таким образом,
(1/х2)'=—2/хЗ, х^О.
Пример 4. Доказать, что
(xn)f ~пхп~\ ngN, xgR.
Решение. Придадим аргументу х приращение Ах; тогда
приращением функции f(x)==x" будет величина
f (х+Ах) — f (х) = (х+Ах)"—х" =
= (х"+сйх’,-1д*+с^'’-з (Дх)а+ ... +Crt(Ax)n)—х” =
=пх”-1 Дх +C£x”~s (Дх)а+(Дх)».
Таким образом,
-^^-=Ях«-1+СпХ«-? Дх+,,, 4-СЙ (Дх)”"*.
Так как при Ах —> 0 все слагаемые, кроме первого, стремятся
к нулю, то
f' (х)« lim =пхп ” \
Дх о ДХ
что и требовалось доказать.
Пример 5. Доказать, что
a) (cos х)' — —sin х, xgRj
б) (sinxy = cosx, xgR.
342
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Р е ш е н и е. а) Для отношения приращения функции / (х)=
= cos х к приращению аргумента в точке х имеем
А/ (х)__ cos (х-|-Ах)—« воз х_
Ах Ах
Ax
Sin~ (
==•— lim —т--- lim sin(x4
Дх -* ° Ax Дх -> о \
2
Итак, (cosx)' ——sinx в каждой точке x.
б) Для отношения приращения функции f (x) = sinx к при-
ращению аргумента в точке х имеем
А/ (х)sin (х-|-Ах) —sinх
Ах Ах
п , Ах / , Ах
2 sin-ту- cos I х-|—~
—
. Ах
sin —
—-----cos
Ах
2
Следовательно,
.. А/ (х) .. I 2
iim —lim I —-—
x -> о Ax Дх -> о I Ах
. &х
sm~2~ /
= lim —j------ lim cos ( x
&x ° “lL Дх -> ° \
2
Итак, (sin x)' = cosx в каждой точке x.
При вычислении
cos (х+Ах)—cos x sin (х+Ах) — sin х
hm -----—J-T-2----- и lim ----*—-----------
Ах -> о Ах £х -> о Ах
были использованы следующие утверждения:
1) lim 1; 2) lim sin f х+Д^-У—sin х;
и -> о и дх->о \ 2 /
§1 ПРОИЗВОДНАЯ
343
3} lim cos f x-F — ) — cos х; 4> теорема о произведении
&х -> о \ * /
пределов.
Пример 6. Доказать,, что
(е*У xgEL
Решение. Пусть f (х) = е*; имеем
Д/ (х)_ех+Дх— ех 1
Дх Дх Дх *
Так как
дх -> о Дх *
ТО
Вт Вт
Дх -> и Дя Дх -► о &Х &Х -*• о* Дх
и тем самым утверждение доказано.
Пример 7. Доказать,, что если х л/2-рлп, zi(SZ, то
^t.gx)7 ——is—.
v z cos2x
Решение. Так как tgx=sinx/cosx, то при указанны»
значениях переменной и при достаточно малых значения^ j Arf |
имеем
, . , А х . sin (х + Дх) sinx
tg (х4-Дх)—tg X ---; »ТЦ-----------
v 1 1 to соя(х + Дх) cosx
Fs in; (x+Ax) cos x—cos (x 4~ Ax) sin X
~~ cos (x-j-Дх) COS XJ
— sin (x+ Ax —'x) _ sin Дx
COS Сх + Дх) COS x ~~ COS X COS (x + Дх)*
Поскольку константу можно выносить за знак предела и
lim cos (х+Дх) = cos х, то при х # ~ + ля, жё Z, получаем
Дх -+ о А
lim tg^ + ^)-tgx= Jim /steAr....... 1 ----\
Дх -♦ 0 Дх Дх -> А Дх COS (x4~ Ax), COS X/
Г 1Г sinAx .. 1 1
s==——-— lim —т——- lim ——~......5= —~ ,,
COS X Дх -> 0 Дх Дх -> О COS (х +Дх) COS2 X
т. е. утверждение доказано.
Основные правила нахождения производ-
ных:
Г. (с)'=0, где с—постоянная величина.
2°. Если функция f(x) имеет производную в точке х и с —
постоянная величина, то функция cf (х) также имеет производ-
ную в точке х, и
344
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНА^ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
3°. Если каждая из функций f (х) ng (х) имеет производную
в точке х, то функция f(x)+g(x) также имеет производную
в точке х, и
(Кх)+ё(х)У^Г(х)+§Чх).
4°. Если каждая из функций f(x) и g(x) имеет производную
в точке х, то функция f(x) — g(x) также имеет производную
в точке х, и
(f (х) — S (X))' = f (х) —g' (х).
5°. Если каждая из функций f(x) и g(x) имеет производную
в точке х, то функция f(x)g(x) также имеет производную
в точке х, и
(f (X) g (х))' = f' (х) g(x)+f (х) g’ (х).
6°. Если каждая из функций f(x) и g(x) имеет произвол-
ную в точке х и g(x)#0, то функция f(x)/g(x) также имеет
производную в точке х, и
/7 (*) У f' W g(x)~f (х) g' (х) .
7°. Если функция x=g(y) дифференцируема в точке у,
g' (у) 0, и имеет обратную функцию y = f(x), непрерывную
в точке х, то функция y~f(x) имеет производную в точке х, и
g'(Hx)) •
8°. Если функция g(y) имеет производную в точке у, где
y=f(x)t причем функция f (х) имеет производную в точке х,
то сложная функция h~g(f(x)) также имеет производную
в точке х, и
hx^gyfx-
Пример 8. Доказать, что если в точке х каждая из
функций f(x) и g(x) имеет производную, то
(f (X) g (х))' = f (x) g (X)+f (x) g' (X).
Решение. По условию имеем
Дх->о Дх
Г (х),
цт g(x+&x)-»g(x)_
дя-,.0 Дх
g'(х).
Отсюда, например, получаем, что
e(,+A^-g(>Uf,,w+cb
где а —» 0, если Дх —► 0. Следовательно, g (х+Дх) =g (х) +
+ Ax(g* (х)4-а), где Дх(£* (х)+а) —> 0, если Дх-—>0, а это
значит, Зто
Пт g(x<4-Ax)=g(x).
$1. ПРОИЗВОДНАЯ
345
Поскольку
f (х+A х) g (x 4- Дх)—f (x) g (x) .
=f (x+Дх) g (x+Дх) — f (x) g (x 4- Дх) 4- f (x) g (x4- Дх)—f (x) g (x)=
= (/ (x4- Дх)—f (x)) g(x4-Ax)4-f (x) (g (х4-Дх)—g(x)),
TO
lim f(x+^x)g(x+^x)-^f(x)g(x) __
Дя~*о Ax
^№+Ag-;wg(>+aj()+,w,(«+^-ew\
Дл-*0 \ &X ISX /
H /(x4»Ax) — f (x) .. z , A x , f/ s g(x4-Ax)-*g(x)
= ifm xA—1—Z—LLZ hm g(x+Ax) + f (x) lim SA-J—/—
Дх»о Ax Дл»о Ax
= f' (x)g(x) + f(x) £'(*)>
что и требовалось доказать. Подобным образом обосновываются
остальные правила нахождения производных.
Пример 9. Найти производную многочлена
Pn(x) = anxw + an^ix»-l+ ... +aix+a$.
Решение. По правилу 3°, а затем 2° имеем
Рп (х) - (апх*У + (ап-1хП~1У +... + (а&У+(а0)' =
= ад (x*/4-a»-f (х«~хГ+♦ н +аде+(«бГ.
Используя теперь правило Г и формулу из примера 4, получаем
Р'п(х) — папхп-*+(п — 1) а»«1Х"-^+ ♦. * +2a2x+af*
Пример 10. Найти f' (х), если:
a) f (х) = (х?—5x4-6) sin х; б) f
Решение, а) По п равилу 5°
f' (х) = (ха 5х 4- 6)' sin х 4~ (х?—5х 4- 6) sin' х.
Так как (х?—5x4-6/ = 2х*~5, sin'x = cosx, то отсюда нахо-
дим, что
(х) = (2х**5) sin х4-(х2~*5%4-6) cos х.
б) Так как
f + _ 2-Зх
zw х?4-х4-1 1'гд:24-Х4-1’
то
1 < 2-»3x tv । ( 2«**»3х V / 2-*-Зх
ZW (14-xa+x+J =J) +^2+x+jj —^x»+x+J«
34G ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
и, согласно правилу 6°, имеем
и _ (2—Зх)' (хг + + 1) — (2 — Зх) . х2 + х + 1)' _
W (х2Н~х+1Р —
_ __ 3(х^+ х+ ту— (2—Эх) (2х+ 1)
(x^-f-x-M)2 —
— Зх2—Зх—3 — 4х + 6х2—2 + Зх Зх2 — 4х—5
(х2 + х+1)2 (х2 + х+1)2 •
Пример 11. Доказать, чт&
х^пп, ngz.
Решение. Так как ctgж = cosx/sinх при указанных
аначениях переменной и (cosx)/ ——sinx, (sin x)'= cos х,, то,
согласно правилу 6?’, имеем
~ , ( соа х \\' (cos х)' sin х — (sin х)' cos х
(ctgx) =——ж----------------------=
__—sin2x— cos2;x — 1
sin2 x sin2’ x *
что и требовалось доказать.
Подобным образом можно обосновать, что
(tg*),==Eir x*n/2+nk> k<&
Пример 12. Найти f' (х), если:
я> f ------jjgFj----* х # лй„ k g Z;
б) ^(x),=tg2x—cig2jf„ х#л>6Д, &£Z;
ct£|-ta|
k<&,
(ctg|_tg|) —4
Решение, а) Поскольку
sin4x-—cos4x__(sin2 x + cos2 x) (sin12 x— cos2 x)
isin2x “ sin2 x ~~
TO
f (x) = (1 —ctg2 X)' (Ctg2 x)/ = — 2ct&X (Ctg x)/ «X
n 1 f 1 \
==!— 2 ctg X-----7-x— ]
& \ sin? x /
б) Так как
. ft . Л sin 2^ cos 2x sin2 2x— cos2 2x
g x—c g x— COS2X sin 2x cos2xsin2x
__ 2 ctg x
sin2x *
—2 cos 4x n . .
------—----=± — 2 ctg 4x,
sin 4x-----&
§1. ПРОИЗВОДНАЯ
347
то
(1 \ о
в) Поскольку (см. пример б))
. X . X
ctgy-tgy _ ,
/ . X . X V л . X х >х А / f. X . X \~х
(ctgy-tg_j -4 ctgT-tgy_4^gу-tg-gj
_____ 1 __ 1 _tg2x
S-cig х—2tg X 4dtg2x 4 ’
TO
Пр-и мер 13, Доказать, что
1
а) (1пгс)'=—, х>@;
в) (arctg X)' = j-^5-, х € R.
Решение. Применяя правило 7° для дифференцирования
обратных функций и формулы
(ех) ' — ех, (sin х)' = cos х, (tg х)' = - ,
находим, что
а) (1п*)'=тк=4;
б) (arcsin х) ----------t
cos (arcsin х) У 1 — sin2 (arcsin х)
1
УТ^Х* 5
в) (arQtgx)'==!--j------=cos2 {arctg х) =
cos2 (arctg x)
1 1
1 + (arctg x) 14- x- *
Подобным образом доказывается, что
...
(arccosx)'=«7==, | х ,| < 1,
У 1 — х2
(arcctgx)'=Y^5-, xgR.
848
ГЛ. б. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Пример 14. Найти f' (х), если
a} f (х) ® In8 х8, х > 0;
б) f (х) = arcsin4-^-, | х I > 1;
в) f (x)==arccos ]/"1 **X8, 0 < | х| < L
Решение, а) Так как
In8 х8=(3 In х)8=27 In8 х,
то
f(x) = (271n’x)?=27(lnSx)'=81 ln2x(lnx)'=^-^-.
б) f' (X) = 4 arcsin8 -V ( arcsin ДЛ ==a
v ' x8 \ x8 j
«= 4 arcsin3 Д-
x2
*-*8 arcsin3 X
x2
в) Поскольку (}^ 1—x2)z =— .1—.- (—2x) s= /~“X —, to
2/ 1-х2 К 1-x2
f (x)=-r=^L== (Г b^)'=—
Пример 15. Доказать, что
a) (a*)'= a* Ina, xgR, a > 0, a & 1;
<5) (loga *)'в7БГ7;’ * > °* a > °« a * !•
x in a
Решение, а) Поскольку
aJC==elna* = eXlnaf
то, согласно правилу 8°, а затем правилу 2°, имеем
(ах)' = (ех ln а)' = ех ln а (х In a)' = ах In а (х') = ах In а.
б) Так как
то, согласно правилу 2°, имеем
Z1 ZlnxV 1 /1 w 1
(loga x)' = 1- =-; (In x) =—i .
\ / \lna/ Ina v ' xlna
Пример 16. Найти ff (x), если
a) f (x) - loge УТх-, 6) f (x) = V2.52*+i;
7
в) /(x)=5cos3— logs у.
§1. ПРОИЗВОДНАЯ
349
= / 10.5?x/21пб(^-
Решение, а) Поскольку
logs У= -i- (log6 7 + log6 х) = j log6 7+-|- log5 x,
TO
/ 1 i V/1 V/1 V
( у loge7+y log6xl =f—log67) 4- f j log6 x j =
1 ,1 ч,_ 1 1
=y (logBx) »Ж=ПП25'
б) Поскольку V 2>5ax+l= V 10*5?Лг^а, то
(Ki0.5?x/2)'= Kio (58*/8)'=
в) Поскольку
7
logs —«a logs 7 *• logs Xt
X
TO
(5 cos 3 + logs 7 •*» logs x)!=
I
= (5 cos 3+logs 7)^ (logs xY*=—YTn3 *
Приведем основные формулы для нахождения производны»!
(0*8x0, где С*»постоянная!
(*)М;
(хаУ^аха^
цу_______1_,
\ х J х% *
(ex)f,^=eXef
(аху^ах In aj
(1пя)г=-|;
<log«*)'=nk-5
(Sin %)' == COS х;
(arcsin х)’«у==- 5
(arctg J
330 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
(cos х)' = —sinx;
(arccos ;
К 1-Х*
(ct«x)'=^7;
ш* i
(arcctg х)'«—
Используя таблицу производных и правило дифференциро-
вания сложной функции, получаем следующие формулы, спра-
ведливее для дифференцируемой функции f (х):
irW-FjW''W'
(hit) =“7Пч,'М;
(«/<*>)'=е/<х) f' (x);
(In a)/'(*);
(lnf(x))'®-^ Г(х);
<10^(x))'=7w1K7rW:
(sin f (x)Y = cos f (x) /' (x);
(arcsin/
(tgfW),=OTxTfW;
(arctg f (x))'=y-A-^ f (x);
(cos f (x))' = (— sin f (x)) /' (x);
(arccos/(x))'-^-L — ftx);
(ctg/(x))'-
(arcctg f (x))' = — i f' W-
Пример 17. Найти производную функции:
a) y=5xs+V~x-Y-^; б) ₽=log2x+log3x+2*;
ех f--------
в) z/=sin Зх-*-х cos2 х; г) у=== । х2-±х\
§1. ПРОИЗВОДНАЯ 351
Решение. Применяя таблицу производных и правила
дифференцирования, имеем:
a) j/=10x+—2х-3;
2 К х
б) у’= —1—-X.—L---U2* 1п2;
' х In 2 • х In 3 1
в) r/'=3 cos Зх—(cos2 х+2х cos х(— sin я));
. , г*(1 + х2)—е**2я 1
—(!+?>•----------?тщ7‘2«+»'
д) у' = 3 cos2 (In 2х) (— sin (In 2x)) -X«2-Ц- (— ДЛ ।
cos?— ' '
x
e) #'=
1па(х+/ГТВ)
Пример 18. Найти производную функции
0=(l + 4x)ct8*.
Решение. Первый способ. Так как ^==ect8*ln(1+4*b
то
./ — z>ctsхin(1+ах) /(1~Ь4х) . cig* л\
у-~е \ sin2я? Т'1 + 4х /
_Л4. A^tzx( -ln(l+4x) , 4ctgx\
\ sin2 х ^т+й;в
Второй способ. Рассмотрим логарифм данной функции^
In y~ctgx In (1 + 4х).
Дифференцируя обе части этого равенства по х и считая, что
функция In у (х) является сложной функцией, получаем
1 1 4
7’'“-№^'"'1+4>’+№”Гн7-
и, следовательно,
„/ _ (I . 4ж)«8х (_ 1п(1+4х) , 4ctgx\
я-и+ад) sin2x -j-—
Применение предварительного логарифмирования функций
иногда упрощает нахождение производной.
Пример 19. Найти производную функции
V= jzpj (х2+2х)8 при х > 1.
Решение. Рассмотрим логарифм данной функции
In In х+4In (* — О—Т In (*+1)4-3 In (x®+2x).
352 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Дифференцируя обе части этого равенства, получаем
1” ' __1_________!__| 3 (2x4-2)
‘ я?4-2х *
Отсюда
/ = j/’ —. (х2-|-2х)з^—4- 4-
, 3 (2x4-2) \
’г х24-2х /'
Пример 20, Доказать, что
(_______________1 У- Г(х) t
cos f (х) J cos f (x) B' w*
Решение. Используя правило 6° для дифференцирования
частного двух функций, найдем, что
1
cos f (х)
у_ (<x>sf(x)Y
} cos? / (х)
Так как (cos f (х))'==— (sin f (х)) /' (х), то
1 \_ (sinf(x))f (х)^ f (х)
cos f (х) / cos2 f (х) cos f (x)
Пример 21, Доказать, что если функция f(x) имеет про-
изводную f' (х), то
(f (sin t)y «= f' (sin t) cos t.
Решение. Отметим, что в этой формуле символ /'(.,.)
означает производную по аргументу sin t9 от которого зависит
функция.
Функция y=/(sin/) является сложной функцией, для ко-
торой, если x=sin/, имеем у=/(х). Тогда по правилу 8°
(f (sin t)Y == f' (x)j^a= fl (х) cos t = f • (sin t) cos t.
Чтобы найти производную этой функции в точке х0, при-
надлежащей (а; Ь)> поступают следующим образом: находят про-
изводную этой функции в произвольной точке xg(a; Ъ)9 если
это возможно, а затем в выражение для у' (х) вместо х под-
ставляют х0; в противном случае вычисляют производную
в точке х0, исходя из ее определения.
Пример 22. Найти производную функции f (х)==х?4*
в точках:
а) х=1; б) х=— 1/2; в) х=0.
Решение, Так как ff (х)«2x4-1, то
a) /f(l)=3j б) Г(-1/2)=0} в) Г (0) = 1.
§1. ПРОИЗВОДНАЯ
353
Пример 23. Найти производную функции
... ( х2 sin —, х # О,
/(*)={ х
к О, х = 0,
в точках х = 2 и х = 0.
Решение. Для каждого х, х О, используя правила и
формулы для нахождения производной, получаем
/'(х) = (х2 sin — = 2х sin — 4-х2 cos — (----=
\ х J ' x 1 x \ x* J
— 2х sin J--—cos 45
X X
поэтому f' (2) = 4 sin --— cos
Производную данной функции в точке х = 0 найдем непо-
средственно из определения производной в точке:
Р(0)_ й, lta
Ах о Дх Дх -> о
Дх
Дх
Так как Дх—*0, a то
lim (Дх sin -4^ =
Дхо \ Дх/
Итак, Г(0) = 0.
Пусть функция f(x) определена на интервале (a; Ь) и
х£(а; Рассмотрим односторонние пределы
lim
Дх -> о-о
А/(х)
Дх
lim
Дх •* о+о
А/(х)
Дх *
Если эти пределы существуют и конечны, то они соответственно
называются левой и правой производной функции g=f(x)n точке х
и обозначаются через f'_ (х) и f'+ (х).
Для существования производной f' (х) в точке х необходимо
и достаточно, чтобы обе односторонние производные (х) и /1(х)
существовали в точке х и были равны, т. е. f'+ (х)=£ (х).
Заметим, что если функция g=f(x) определена на интер-
вале (а; Ь) и дифференцируема в точке xg(a; b), то она непре-
рывна в этой точке.
Обратное утверждение, как показывает следующий пример,
неверно.
Пример 24, Доказать, что функция р=1 х| не дифферен-
цируема в точке х=0,
12 Задачи по математике. Начала анализа
854
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Решение. Приращение функции f(x) = |х| в точке х=«=0
равно
&f (0) = /(0+Дх)—/(0) = |0+Дх| —0 = |Дх|.
По определению находим, что
I Дх I v —Дх .
f' (0) = ]im J——L= lim —т—=—1,
~ Дх -> о—с Дх -> о-о Дх
£, /ЛЧ V |ДХ| 1- А* 1
fl (0) = hm 1 д— = hm -д— = 1.
+ Дх -► о+о Дх дх -> о+о Дх
Так как f'+ (0) Ф fi (0), то функция у— 1х| в точке х = 0 не
дифференцируема (хотя она является непрерывной в этой точке).
Пример 25. Доказать, что функция у~ | (х— 1) (х—2) |
не дифференцируема в точках х= 1 и х = 2.
Решение. Найдем /1(1), (1) и fi (2), f'+ (2). Прираще-
ния функции f(x) в точках х=1 и х = 2 соответственно равны
Д/(1) = /(1 + Дх)—•/(1) = | Дх (Дх—1) |,
Д/ (2) = f (2 + Дх) (2) = [ Дх (1 + Дх) |.
Следовательно,
£/ /1Ч v |Дх(Дх —1)| Дх(Дх—1)
Г (1)= lim J-----4----^-= lim -------4-----1J
• Дх -> о—о Дх Дх -> о—о Дх
/1Ч .. |Дх(Дх—1)1 ,. — Дх(Дх—1) ,
fi (1) = hm J----4----— = hm ---------------=1;
+ Дх 0+0 Дх Дх -> о+о Дх
.. I Дх (1 + Дх)] v — Дх(1 + Дх)
f (2)= lim -------4г---— ~ hm ---------------=—И
“ Дх -> 0-0 Дх Дх -> 0-0 Дх
Л(2) = lim 1А*(1+А*М.= Иш +
Так как fi (1) # f'+ (1) и fi (2) f'+ (2), то функция f(x) =
= | (х—1) (х—2) | не является дифференцируемой в точках
Л = 1 и х=2.
Пример 26. Доказать, что функция f (х) = х | х |
дифференцируема в точке х=0, и найти ее производную в этой
точке.
Решение. Имеем
f (0)= lim Д*1Д*1 „ lim (—Дх) = 0!
' Дх-о-о Дх Дх -> о-о '
/Л\ 1* ДХ | ДХ | «. j л \ гх
fl (0)== hm —{-------~= lim (Дх) = 0.
+ Дх-^04-0 Дх Дх->о+о'
Таким образом, fi (0) = f(0) = 0, и, следовательно, функция
gr=f(x) дифференцируема в точке х=0 и ff (0) = 0.
Заметим, что, например, в теореме о производной суммы
двух функций предположение о дифференцируемости слагае-
мых существенно. Так, если f(x)= х| и g (х)= 1 —| х |, то
f(x)+g(x)=l. Каждая из функций (х) и g(x) в точке х = 0
не является дифференцируемой, в то время как функция
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ
355
f(x)^-g(x) в точке х = 0 дифференцируема. Поэтому высказы-
вание «производная суммы равна сумме производных» без
предположения о существовании производной у каждого из
слагаемых, вообще говоря, неверно.
Аналогичные замечания справедливы и для других правил
дифференцирования.
ЗАДАНИЕ 1
1. Найти приращение функции г/ = х2+2 в точке х=1 при:
1) Ах = 0,01; 2) Ах = —0,5.
2. Пользуясь определением производной, найти производ-
ную функции:
1) »=х+3; 2) 3) ?=у+1
в точке х= 1.
3» Пользуясь определением производной, найти производ-
ную функции в каждой точке ее области существования, если:
1) g=x3; 2) ^=cos2x; 3) #=1^ х, х > 0.
4. Найти Л0)> Г (2), Г (—2), если f(x) = 3х2 + х4-1.
5. Пользуясь правилом о производной частного, найти
производную функции y = tgX.
6. Найти производную функции:
1) у = 2) у ж;
3) 0=(1-х)*; 4)
5) y=2» + 3x4-4~*+2*.3*;
6) y=log2 %4-2 log4 х—Inx;
7) — sin x —>3 cos x—8) ^=3 tg x-f-0,1 ctg x;
9) g = arcsin x—ex cos x; 10) g = у * 2 + 22* + x3- sin x;
I rT” X
sin x—cos x 1Oi .r— 2~x
} V~ sin х-j- cos x ’ K arctg x ‘
ЗАДАНИЕ 2
1. Найш приращение функции £=х-—х? в точкех=0 при:
1) Ах = 0,01; 2) Дх =—1/10.
2. Пользуясь определением производной, найти производ-
ную функции:
1) y=2xd~l; 2) 0=х2 + х; 3) у=^/х
в точке х= 1.
3. Пользуясь определением производной, найти производ-
ную функции в каждой точке ее области существования, если:
1) y=sin3x; 2) у=х§4»х§; 3) ^=1/х2.
4. Найти Г (1), Г(—1)> Г (0), если f (х) = (1—х)3.
5. Пользуясь теоремой о производной частного, найти
производную функции ^=ctgxft
12*
356 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
6» Вывести правило нахождения производной произведе-
ния
и (х) v (х) w (х),
7. Найти производную функции:
1) 2) г/=1—±+_^_5
5 Z~“
3) £=3**—logr/;,2х; 4) у~у x««-cosx-f-ctgх;
9* 1
б) »=33г4*1п*+—5 6) p.= e*sinx;
7) у=х? arcctg к\ 8) 9) ^==—
10) in »=а+х+х8)«?
tgj л •*!* vig л
ч». 1 1OS arctg х ..ч K^sinx
12) 0-^arccosx; 13) р= 14) у= i
ЗАДАНИЕ 8
1. Найти производную функции:
1) y=cos5x: 2) у=(1 + «)ж; 3) p=K27^Is
4) t/=tg8 3xj 5) у=2*а+«+*? 6) p==e* ,n(*+2>s
7) p=sin3 4 (x—x*)-l-ctg l^T/x; 8) y=Kl-J-K^x+log^j
9) p<=sin«(cosUx); 10) y=--a— 1 2 , 9 ;
11) y~Varcsin (14- 2x); 12) у ==x*.
2. Доказать, что каждая из следующих функций является
дифференцируемой в каждой точке:
1)
3)
2) sign х;
х > 0,
х^;0;
0,
х\
х^О,
х < 0.
*/«=*8l*h
4) #=|
3, Привести пример функции, областью определения кото-
рой является вся числовая прямая и которая не имеет произ*
водной ровно в двух точках.
4. Привести пример двух функций, каждая из которых не
имеет производной в точке и таких, что:
1) их сумма имеет производную в точке х=1;
2) их произведение имеет производную в точке л=Ь
357
§1. ПРОИЗВОДНАЯ
5. Найти производную функции
, . ( х1 sin X, я # О,
= { х
V 0, х = 0,
в точках х = 2 и х = 0.
ЗАДАНИЕ 4
1. Найти производную функции:
1) У = Ctg (2х + 3); 2) # = sin3x2;
3) у=arcctg4 —J-5 ; 4) у=x2e-v*;
X а»
5) у== arccos (In хГ; б) г,= 10g2 (logs (log4 Х)):
alvCUo ^111 Л)
7) У= j/^sin^cos-^J ; 8) y=tg2^ctg yL=-);
9) у= 10g^+*2l; 10) logx. 4+log_x 2;
У x
11) #=(sin x)cos12) g = У~x* ( iij у' ’ (X+х«)в.
2. Доказать, что каждая из следующих функций является
дифференцируемой в каждой точке:
1) у = | х | sin xi 2) y=x4signx; 3) ^=x|sinx|;
л fl, х^О,
4) х4+1, х> 0-
3. Привести пример функции, областью определения кото-
рой является вся числовая прямая и которая не имеет произ-
водной в четырех точках.
4. Привести пример двух функций, каждая из которых не
имеет производной в точке х=2 и таких, что:
1) их разность имеет производную в точке х==2|
2) их частное имеет производную в точке х = 2#
5. Найти производную функции
( 1 — COS X
*5*0»
х=0,
в точках 1 и х = 0.
Упражнения
1. Пользуясь определением, найти производную функции
в заданной точке
1) ^г=2—х, *о=1; 2) г/“-х2—4, хо=О^
3) х0=1; 4) 0=sin2x, х0==л/4|
5) cos2x, я0=я/4; 6) 0»2*в *a=ij
, 858 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
хо=о;
( X2, XSsO,
)У“{ — X*, х<0,
8) y=ctg х, х0=л/4.
2. Пользуясь определением, найти производную функции
в каждой точке ее области существования:
1) у~х2+х+1;
3) у=х8+2; 4)
6) #=cos7x; 7)
9)Н !-а
2) y=Vх+1, х>—1;
г/=ТТ2’’ 5) #=sln5*;
y=logi/2x; 8) у =(1/3)*;
х 0, ( ех, х^О,
х < 0; I х-j- 1, х < 0.
3. Найти производную функции:
(1 + 2х)2 оч / f 1 O1/“V
1) у=-- ; 2) # = х+--2П ;
ух \ х /
3) г/=sin2 ^-4-cos2А; 4) )ае-х*;
5) у=(1п /Т=^)/Т+^; 6) j/=logx2-logA.3-logjc4j
7) у=arcsin х-|- arccos х;
8) ^=1п(/Г+^-х)+1п(КТ+Т24-х);
9) z/ —2log2 *+х2+х; 10) ;
их sin х +cosx 1ft4 1 . х
11) t/ = arctg—————; 12) y=lntg —— cosxlntg*;
o111 Л CUu л»
13) y = log2 У igrcg ; 14) у=агСс12трр^=;
15) j/=ln(e^Ki + e2x); 16) y = eJC4-eeX+e^;
3 Z~ d ' — ..'..л."'
17) 0=y x+i/x+ j/14-ж2 ;
18> У= -arcctg x6;
19) y=arctg (х+УТГ^У,
20) 'y= In2 (arccos -J=A + e~xtexi
X V */
21) y=x»arcsin KI+ X2ctsx :
22) ^In^+ln^l+lnl))-,
23) t/=logx2 + logA2(x24-l);
24) ^=210S4^+*+i); 25) y = x+x*-,
26) y=xW; 27) »=xcot*S 28) y^xX}.
§1. ПРОИЗВОДНАЯ
359
4. Доказать, что каждая из следующих функций является
дифференцируемой при любом значении х:
1) y=x2|sinx|; 2) r/ = |x|sin2x;
(х4 sin ~, х # О, л. о .
3) х 4) iy = x3signx.
( 0, х = 0;
5. Построить график производной функции:
1) у = х2+2х + 3; 2) j/=|x+2|;
3) г/ = |х| + |х+11; 4) f/ = tgxctgx;
( х2, х О, .Illi
5)0=j_x6, х < 0; 6) 0=11*1--Ч-
6. Привести пример двух функций, каждая из которых не
имеет производной в точке х = х0 и таких, что:
1) их сумма является функцией, дифференцируемой в
точке х0;
2) их произведение является функцией, дифференцируемой
в точке х0.
7. Привести пример двух функций, каждая из которых не
имеет производной в точках х0 и Xf, х0 #: хх, и таких, что:
1) их сумма является функцией, дифференцируемой в точ-
ках Х)0 И X1J
2' их сумма является функцией, дифференцируемой в точ-
ках Хо и хх, но не имеет производной в точке х3, х3 # Xi, х3 Ф х0;
3) их произведение является функцией, дифференцируемой
в точках х0 и хх.
8. Привести пример функции, областью определения кото-
рой является вся числовая прямая и которая имеет производную:
1) ровно в одной точке;
2) ровно в двух точках;
3) ровно в п точках.
0. Найти f' (а), если f (х) = (х—• а) <р (х), где функция <р(х)
имеет производную в точке х = а.
10. Найти f (0), если f (х) = х (х+ 1) (х+2). * .(x+n), ngN.
11. Найти правую и левую производные функции в точке х0:
1)$/ = |х+1|, х0 = —1; 2) ^=х2«-1, х0 = 2;
OV f X, X 0, Л
3)г/-\5х, х < 0, *0-°!
4) у — | sin х |, х0 —л;
( ех> х^О, Л
' ( cos х, х < 0, и
6) | х ] — |х4-11, хо = 0; 7) Г/=|Х2—х], ха=!|
8) j/^sin2 х—sin х, х0==л;
9) f/=tgxctgx, х0 = л/4;
10) у = arcsin (sin х), х0=л/2,
12. Пусть
(
I ах + &,
Х<Хб,
* > х0.
Подобрать коэффициенты а и b так, чтобы функция Цх) была
непрерывной и дифференцируемой в точке х = х0<
360 ГЛ, б. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
13, Пусть
Г/Н /«**+&*+!> *^0,
'' х < 0,
Подобрать коэффициенты аиЬ так, чтобы функция f(x) была
непрерывной и дифференцируемой в точке х=0.
14, Доказать, что производная дифференцируемой четной
(нечетной) функции есть нечетная (четная) функция.
15. Привести пример дифференцируемой функции, которая
не является нечетной, но ее производная есть четная функция.
16. Доказать, что если производная дифференцируемой
функции f (х) есть нечетная функция, то функция f (х) является
четной.
17. Доказать, что производная дифференцируемой периоди-
ческой функции есть функция, периодическая с тем же периодом»
18. Вывести формулы для суммы:
1) l+2x + 3^+...+nx"~i;
2) Р+22х + 32ха+... + п*х”-\
рассмотрев производную функции х-f-x2 + x3
19. Пользуясь тождеством
. п +1 . пх
sin——xsin -у-
sin х+sin 2х »*+ sin пх =*-----------—,
Sin у
вывести формулу для суммы
cos х4-2 cos 2х+ ... + п cos х.
§ 2, Производная и касательная
Касательная к окружности в геометрии определяется как
прямая, имеющая с окружностью лишь одну общую точку.
Это определение имеет частный характер и не раскрывает су-
щества дела. Если применить его к параболе у=х2 (рис. 5.1),
то з начале координат обе координатные оси подошли бы под
это определение; между тем интуитивно ясно, что касательной
является лишь ось абсцисс»
Пусть точка Л10(х0; у0) принадлежит графику функции
gz^Kx), определенной на интервале (а\ 6). Рассмотрим кроме
точки точку М {х\ у), также принадлежащую графику функ-
ции y*=*f(x)t и проведем прямую называемую секущей.
При перемещении точки М (х; у) по графику функции секущая
будет менять свое положение. Если точка М приближается
к точке Л40, то может случиться так, что секущая будет стре-
миться занять некоторое предельное положение, не зависящее
от того, как точка М приближается к точке (рис. 5.2).
Карательной к графику функции y=f(x) в точке Л40 = (х0;
называется предельное положение секущей MQM (если
он® существует), когда точка М (х; f (х)) стремится к точке /Щ.
Подчеркнем, что в данном определении содержится допу*
щение о тем, что предельное положение секущей существует;
$ 2. ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ
361
Рис, 5,4
Рис. 5»5
362
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
не всякая функция y—f(x) обладает касательной в каждой
точке своего графика. На рис. 5.3 показаны графики функций,
которые не имеют касательных в точках х0, 0, и х2, так как,
если бы предельное положение секущей в каждой из этих точек
существовало, то оно не должно зависеть/ например, от того,
«слева» или «справа» точка М стремится к точке Л40.
Отметим также, что в данном определении не требуется,
чтобы касательная к графику функции имела только одну об-
щую точку; так, на рис. 5.4 касательная к графику функции
у=х$ с точкой касания Мо пересекает его еще в точке A4lt
Уравнение секущей (рис. 5.5), т. е. прямой, проходящей
через две точки Л40 (х0; f (х0)) и М (х04-Дх; f(*o + ^*))» сле-
дующее:
»-/<«.>- (м>).
Если функция y~f(x) дифференцируема в точке % —х0, то пре-
дельное положение секущей MQM при стремлении точки М
к точке (при Дх ~>0) существует, и ее уравнение (уравне-
ние касательной к графику функции y=f(x) в точке (х0, f (х0))
следующее:
У — f' (*о) (я*~*о) + М*о)«
Если прямая пересекает ось ОХ в точке А (рис. 5.6), то
наименьший угол, на который надо повернуть против часовой
стрелки относительно точки А ось ОХ, чтобы она совпала
с данной прямой, называется углом между данной прямой и
положительным направлением оси ОХ, Если прямая парал-
лельна оси ОХ, то этот угол считается равным нулю.
Из уравнения касательной получаем следующую геометри-
ческую интерпретацию производной функции у=/(х) в точке
х~х& значение f' (х0) есть тангенс угла между положительным
направлением оси ОХ и касательной к графику функции у=/\х)
в точке (х0; f (х0)). Коротко говорят, что производная /' (х0)
есть тангенс угла наклона касательной к графику функции
y=f(x) в точке х=Хо.
Если прямая ij~kx-\-b пересекает ось абсцисс и является
касательной к графику функции у~[(х) в точке х==х0> то ве-
личина угла ф между этой прямой и положительным наврав-
§2. ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ
лением оси абсцисс удовлетворяет соотношению &=tg cp = f' (x0).
Отсюда находим, что
( arctg f' (х0), если f' (х0) > О,
( л+arctg /' (х0)> если /' (х0) < 0.
Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функ-
ции у = х2—х в точке х0—1.
Решение. Так как у'(х)~2х—1, то у' (1)=1, и урав-
нение касательной следующее: у~у‘ (1) (х-— 1) + у (1). Таким
образом, у = х—1 — искомое уравнение касательной.
Пример 2. Найти уравнение касательной к графику
функции:
а) у = х2; б) # = х8
в точке х = х0.
Решение, а) Так как (х2)'=2х, то уравнение касатель-
ной к графику функции у — х2 в точке х = х0 следующее:
у=2х0 (х—хо) + хо,
или
0==2хох —хо.
б) Так как (х3)' = 3х2, то уравнение касательной к графику
функции у = х8 в точке х=х0 следующее:
у=3хо (х—хо)+хо,
или
у = 3хох—2хо.
Анализ полученных уравнений показывает, в частности, что
касательные к графику функций у = х2 и у=х8 в точке х = х0
пересекают ось абсцисс соответственно в точках х0/2 и 2х0/3.
Отсюда следует простой геометрический способ построения
касательной к каждому из этих графиков. Для того чтобы
построить касательную к графику функции # = х2 (у = х3), нужно
разделить отрезок [0, х0] на две (три) равные части и провести
прямую через точку (х0; f (х0)) графика функции у=х2 (функ-
ции у=х3) и точку (х0/2; 0) (точку (2х0/3; 0)) — рис. 5.7.
Пример 3. Найти угол между положительным направле-
нием оси абсцисс и касательной к параболе у = х2—4х—17
в точке с абсциссой Хо = 2,5.
Решение. Так как у' = 2х—4, то у' (2,5)= 1. Поэтому для
искомого угла <р имеем tg<p= 1, откуда находим ф=л/4.
Угол между положительным направлением оси ОХ и каса-
тельной к графику функции y~f(x) в точке х=х0 такой, что
f(xo) = O, называется углом между, графиком и осью абсцисс
в точке хо.
Пример 4. Под каким углом график функции y=sinx
пересекает ось абсцисс в точке х=0?
Решение. Так как (sin х)' = cosx и cos0=1, то график
функции y = sinx пересекает ось ОХ в точке х=0 под углом ф,
§ля которого tg ф= 1. Таким образом, ф=45°«
364 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Пример 5. Найти все точки графика функции У—§
в каждой из которой касательная, проведенная к этому гра-
фику, образует угол 135° с положительным направлением оси ОХ.
Решение. Пусть (х0; f(x0))~точка графика функции
х + 2
х—2
в которой касательная к ее графику образует
с положительным направлением оси ОХ угол в 135°, а у =
== 6*-уравнение этой касательной. Тогда k = f' (х0) =
==tg 135°=—1.
Так как
и- 4 У-_________4—
Т W \х^2/ ~ (х^-2)2’
то для х0 имеем уравнение — 4/(х0—2)2 =—1; отсюда хо^^О
и хо2) = 4. Проверкой убеждаемся, что обе точки (0; — 1) и (4; 3)
графика данной функции удовлетворяют условию задачи.
Углом между двумя пересекающимися прямыми называется
наименьший из углов, возникающих при пересечении этих пря-
мых. Угол между параллельными прямыми считается равным
нулю. Таким образом, величина угла между прямыми равна
наименьшему из чисел | Ф1“—ф21 и л—| Ф1~-ф21> где фх и ф2 —
величины углов наклона каждой из данных прямых к поло-
жительному направлению оси ОХ.
Пример 6. Найти угол между касательными к графику
функции /(х)™х3—х в точках с абсциссами — 1 и 0.
Решение. Так как f' (х)=3х?~- i? То f' (—1) = 2 и f' (0) =
= — 1. Таким образом, нужно найти угол между прямой
0==2(л>,4-1) и прямой у = —х. Имеем tg ф1=а2 и tg<p2 = —-1,
Отсюда находим
<РХ=arctg 2, ф2 = Зл/4*
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ 365
Так как arctg2 < л/2 < Зл/4, то величина искомого угла равнз
наименьшему из чисел (р2***ф1 и л-~-(ф2—-ф^), т. е. из чисел
-|-л—arctg2 и-~4-arctg2.
Так как arctg2 > arctg 1=^~, то -j4"arctS2 > и, сле*
довательно, величина искомого угла между касательными
равна -у л-—arctg 2.
Если заданы две прямые y~kix-\-bt и g — k^x-^-bz {k± О,
&2 5^ 0),|то величина угла ф, 0«Сф<С л/2, между этими прямыми
находится из соотношений
tg4> I l+feli I’
если ^1^2 # —1,
ф = л/2, если ^2=—1«
Углом между графиками
функций g~f(x) и g=g(x) в
точке их пересечения называ-
ется угол между касательными
к их графикам в этой точке
(рис. 5.8).
В случае, когда этот угол
равен нулю, графики функций
касаются друг друга.
Рис. 5.8
При_мер 7. Найти угол между графиками функций
и g(x) = x2/2 в точке их пересечения (с положи-
тельной абсциссой).
Решение. Абсциссы точек пересечения данных графиков
удовлетворяют уравнению
У" 2х = х2/2
и тем самым следующей системе;
( х^О,
( 2х = х4/4.
Отсюда находим, что графики функций пересекаются в двух
точках, абсциссы которых равны 0 и 2. Найдем тангенсы углов
наклона касательных к обоим графикам функций в точке
абсциссой, равной 2< Имеем
f*>(#)=-! - -7~*2=-Д=-э g*(x)>=4-*2x==xe
2 /2х О* 2
Отсюда ^(2) = 1/2 и gfj (2) = 2. Так как /(2) =£(2) = 2, то урав-
нения касательных к графикам функций #=/(4 и #«=£(4
ГЛ 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
В точке (2; 2) соответственно имеют вид
^ = 2. (х—2)4-2 и //=2 (х*—2)4-2,
t»e.
У=у*+1 и $r=2x—2.
Следовательно, величина угла а между касательными удовлет-
воряет уравнению
в тем самым графики функций f(x) и g(x) в точке с абсциссой
х—2 пересекаются под углом, равным arctg-—-.
Пример 8. Найти величину угла, под которым пересе-
каются окружности
^4-^2—>4х =3 1,
х2+у2—2^=9.
(1)
(2)
Решение. Координаты точек пересечения данных окруж-
ностей удовлетворяют системе уравнений
f x2 + j/2*—4х — 1,
( л2 + ^2—2^ = 9.
Вычитая из первого уравнения системы второе, получим
—4х-|-2#= — 8, т. е. 0 = 2х-—4. Подставляя 2х —4 вместо у в
первое уравнение системы, найдем, что числа 3 и 1 будут корня-
РИСе 5«9
ми полученного уравнения.
Таким образом, решениями
системы являются пары чи-
сел (3; 2) и (1; —2). Так
как углы между окруж-
ностями в точках А и В
(рис. 5.9) равны (в силу
симметрии окружностей от-
носительно прямой Oj О2,
проходящей через их цент-
ры), то достаточно найти
угол между касательными
к этим окружностям, про-
ходящим через точку (3; 2).
В окрестности точки х~3
уравнения (1) и (2) опреде-
ляют соответственно функ-
ции yt (х) = 4-4х—«х2 и
^2 (х) = 14* Так
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ
как
/ — 2x4-4 —х+2
2К1+4х-х»
' { ч —2х —х
УЪ (х) =-;?======- = _ ..-,
2К10-Х2 V 10-х2
то #i(3) =—1/2 и #2(3)=—3. Таким образом, искомый угол о$
находится из соотношения
—
откуда а = л/4.
Пример 9. Найти на графике функции f(х) = х2—7х+3
такую точку, касательная в которой параллельна прямой
Решение. Прямые y^k2x-\-b2 параллельны
(в том числе совпадают) тогда и только тогда, когда —
Так как уравнение касательной к графику функции y~f(x)
в точке с абсциссой х0 имеет вид
j/=(2xo—7) (х-хп) + (х?-7х0 + 3),
то эта прямая параллельна прямой #=5х+2 при условии, что
2х0—7 = 5. Отсюда находим ха = 6. Таким образом, касательная
к графику функции y=f(x) параллельна прямой # = 5х+$
только в точке (6; —3).
Пример 10. Найти точку, в которой касательная к гра-
фику функции # = х2 перпендикулярна прямой 2х—#+1=0.
Решение. Прямые y — k1x+b1 и yz — k^x+bz
k2 Ф 0) взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда
^2 =—1. Уравнение касательной к графику функции #=х*
в точке (х0; Хо) следующее:
# = 2х0 (х—х0)+хо = 2х0х—хо.
Для того чтобы эта прямая была перпендикулярна прямой
#=2х+1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равен-
ство 4х0=—1. Отсюда находим, что касательная, проведенная
к графику функции # = х2, перпендикулярна данной прямой
только в точке (—1/4; 1/16).
Пример 11. Найти все значения параметров b и с, при
которых прямая #=2х+26 касается графика параболы /(х) =
= х2 + ^х+с в точке (2; 0).
Решение. Переформулируем задачу следующим образом:
найти все значения параметров b и с, при которых уравнение
касательной к графику функции #=х2+Ьх+<? в точке (2; 0)
имеет вид #=2х+26. Отсюда получаем два условия:
1) точка (2; 0) принадлежит графику функции f (х)=х2+&х+с,
т. е. 4 + 2д+<? = 0;
2) /'(2) = 2, т. е. тангенс угла наклона касательной в точке
(2; 0) с положительным направлением оси ОХ равен 2 (угло-
вому коэффициенту прямой #=2х+26).
Зб8 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Отсюда с учетом формулы f' (х)—2х-[-Ь имеем систему
( 4 + 2*-f-c = 0,
\4+&=х2,
из которой получаем & =—2, с = 0.
Пример 12. Найти все значения параметра at а > 1, для
каждого из которых график функции у~а* касается прямой
Решение. Условия касания графиков данных функций
в точке с абсциссой х0 можно сформулировать следующим
образом:
1) значения функций в точке х = х0 равны;
2) значения производных функций в точке я = х0 равны^
Таким образом, для нахождения искомых значений а
(а также х0) имеем систему уравнений
(а*о = х0,
( ахо In а = 1.
Из второго уравнения имеем а*о=1/1па. Подставляя в первом
уравнении системы 1/1п а вместо а*о, получаем уравнение
я0== 1/1па.
Подставляя во втором уравнении системы 1/1па вместо х0, по-
лучаем уравнение
а1/1па1па=1,
после логарифмирования которого, получаем уравнение
-г-—Ina-Pin 1па = 0,
Ina 1
Таким образом,
In Ina——1,
и тем самым Ina— 1/е, т. е. a=e1/e. Проверкой убеждаемся,
что значение а—е1^ является искомым.
Пример 13. На графике функции у(х) = х3—Зх2—7х+6
найти все точки, касательная в каждой из которых к этому
графику отсекает от положительной полуоси ОХ вдвое мень-
ший отрезок, чем от отрицательной полуоси OY. Определить
длины отсекаемых отрезков.
Решение. Уравнение касательной к графику функции
у(х} в точке с координатами (я0; у(*о)) следующее;
y=kx-\-bt
где&=у'(я0), Ь^у (х0) *б- Эта прямая пересекаетесь
ОХ в точке с координатами (—b/k\ 0) и ось OY в точке с ко-
ординатами (0; Ь)ь Таким образом, из условия задачи получаем
систему условий, которым должны удовлетворять координаты
искомых точек:
«-*/£> о, &<о, 2(—
Учитывая, что b < 0, последнее условие можно переписать в
виде /г=2, а всю систему условий—в виде £ = 2, b < 0.
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ 369
Таким образом, имеем систему
Г /W = 2,
\у(*о)—у' (Шо < 0.
Так как у' (х) = 3хI 2—6х—7, то абсциссы искомых. точек удо-
влетворяют уравнению Зх2—6х—9 = 0. Его корни равны xt = 3
и х2== —1. Проверим для найденных значений х выполне-
ние неравенства системы. Имеем у (3)-~у' (3)*3 =—15—2«3=
= — 21 < 0,
у(-1)-у' (—1) (—1) = 9 > 0.
Таким образом, есть только одна точка, удовлетворяющая ус-
ловию задачи. Ее координаты равны х0 = 3, yQ = у (3) = —15.
Длины отрезков, отсекаемых касательной в точке (3; —15) на
осях OY и OXt равны соответственно значениям —b и —blk,
Где —6 = / (х0)х0--У (*о) и —х0; отсюда находим,
что они равны соответственно 21 и 21/2,
Пример 14. Найти уравнение прямой, проходящей через
х2
точку (1/2; 2), касающейся графика функции у=----g"+2 и
пересекающей в двух различных точках график функции у =
scj/' 4—х2.
Решение. Обозначим через (а; (3) координаты точки,
в которой искомая прямая касается графика функции f (х) =
—[-2. Тогда угловой коэффициент этой прямой равен
/'(«)==—-а, и тем самым ее уравнение принимает вид
а(х—а).
Прямая по условию проходит через точку (1/2; 2); поэтому
должно выполняться равенство 2 = 0 —а (1/2—а), т. е. р-[-а2 —
— а/2 = 2, Так как точка (а; 0) лежит на графике функции f (х),
то найдем еще одно условие: 0 = — а2/2 + 2. Решая систему
уравнений
J 04-а2 — а/2 = 2,
j 0=-^а2/2 + 2,
находим две точки касания: (0; 2), (1; 3/2). Уравнения каса-
тельных к графику функции y=f(x) в этих точках следующие:
у=2 и у ——х4-5/2. Найдем число точек, в которых каждая
из найденных прямых пересекает график функции ^=1^4—х2.
Система
I У~Ъ
имеет единственное решение (0; 2). Значит, касательная у=2
имеет только одну общую точку с графиком функции К4—х2.
370 ГЛ. б. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Решим систему
I £= —*4-5/2.
5
Подставив в первом уравнении — х+у вместо у, получим
систему
( — *4-5/2= У 4^,
I у=—*4-5/2,
равносильную исходной системе. Множество решений первого
уравнения этой системы содержится в промежутке —2 «сх=С2.
На этом промежутке обе части этого уравнения неотрицательны,
и поэтому оно равносильно на этом промежутке уравнению
(— х4-5/2)а = 4—х2.
Полученное уравнение имеет два корня:
5 — VI 54-К7
*1=----5---- й «2=—14------->
принадлежащих промежутку —2 «С* «С 2. Поэтому рассматри-
ваемая система имеет два решения:
/5-/7. 54-К7\ /54-К7. 5 — К 7 \
\ 4 ’ 4 /’ \ 4 ’ 4 /'
Следовательно, прямая # = — х+5/2 пересекает график функции
^=уг4—х2 ровно в двух различных точках и тем самым яв-
ляется искомой.
Пример 15. Найти геометрическое место вершин прямых
углов, обе стороны которых касаются графика функции у=-^х2.
Решение. Пусть (а; Ь) — вершина искомого прямого угла,
a Xi и х2—абсциссы точек касания сторон этого угла с гра-
фиком функции ^=~х2 (рис. 5.10).
Заметим, что
1) касательная к графику функции У~-^ х2 в точке
(1 2 \ . х
— Xi I должна проходить через точку (а; Ь);
2) касательная к графику функции у=:~х2 в точке
•— xl'j должна проходить через точку (а; &);
3) обе эти касательные должны быть взаимно перпендику-
лярными.
Уравнения касательных к графику функции у=-^-х2, про-
/ 1 2\ ( 1 2\
ходящие через точки I х±; -г- Xi ) и ( х2; -г х2 I > соответственно
\ 4 ] \ 4 /
§ г. ПРОИЗВОДНАЯ и касательная
следующие:
1 1 2
У=^Х1Х—у хн
1 1 -
Х2Х--J-X2.
Из условий 1)—3) получаем следующую систему уравнений!
к 1 12
6 = хь
и 1 1 2
’ *2’
1 1 1
yx1.1-x2=-L
Вычитая из первого уравнения системы второе, найдем, что
О=у («f—х2) — Y (X!—Х2) (Xi+Хг),
т, е.
(%1 — х2) (2а — (xj + х2))« 0.
Таким образом, Xi + %2 —2а. Складывая теперь первые два
уравнения системы, получаем
2Ь=у (%1+Ха) — (*i+
т. е»
26==у (xi + x2)-~ 2х1ха)\
^2 гл. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Отсюда, учитывая, что «iX2=—4 и х£-|-х2=2а, имеем
2*=-|-.2а—1(4^+8),
т. е. 6 =—1. Так как 6 =—1, то вершина угла, удовлетворяю-
щего условию задачи, может лежать только на прямой #==—L
Проверкой убеждаемся, что точка (а; —-1), где а—любо®
действительное число, удовлетворяет условию задачи.
Понятие «касательная к графику функции» позволяет дать
важную характеристику свойства выпуклости функции. Имеет
место следующее утверждение:
Пусть функция y — f(x) непрерывна иа интервале (а; Ь) и
имеет в каждой точке этого интервала производную. Для вы-
пуклости вниз (вверх) функции f (х) на (а; Ь) необходимо и доста-
точно, чтобы ее график всеми точками лежал не ниже (не выше}
&*4aib)
-I
& 0 i х
4^0 Q £
Риа« 5Д1
любой своей касательной, m, e. для функции, выпуклой вниз,
f (X) f! (х0) (X **Х0) + f (х0)
для любых х и х$ из интервала (а; Ь) (рис. 5,11, а), а для функ-
ции, выпуклой вверх,
f (х) < f' (хо) (х—х0) + f (х0)
для любых х и хо из интервала (а\ Ь) (рис. 5.11, б}9
Пример 16. Доказать, что
еь еа+еа (Ь•**«)
для любых действительных чисел а и Ь.
Решение. Так как функция у~ех выпукла вниз, то ее
график расположен не ниже касательной к нему, проведенной
в точке (а; еЛ), и, следовательно, для любого числа b имеем
еа (Ь *•*»#) 4“
что и требовалось доказать.
В частности, если а«==0, то из доказанного неравенства
следует, что еь'£* 1-J-& при любом
§2. ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ
Пример 17. Доказать, что
In п < . +*^Z7f » л^2.
Решение. Докажем неравенство более общего характера,
имеющее и другие приложения.
Пусть y=f(x) имеет производную и выпукла вверх
на некотором интервале (a; Ь), а числа Xf, х2) .хп из этого
интервала являются членами арифметической прогрессии с раз-
ностью rf. Тогда
f (хп) «С f (xt) + d (Г (Х1) + Г (х2) + ... +Г (х^)). (3)
Действительно, так как функция у—f (х) выпукла вверх, то ее
график лежит не ниже касательной, проведенной в любой точке
(х*; f(xk)) графика функции y=f (х); в частности,
f(xA+iX/:(xA) + f'(Xft) (х^+1 —xfe), 6=1, 2, ..., n —1,
т. е.
f(xk+iXf (xk} + df (xk)> 6=1, 2, n—1.
Сложив все полученные для £—1, 2, ,,,, п—1 неравенства,
найдем, что
f (хО + Г (x2) + ,,.+f (x^i)).
Если теперь f(x)=lnx, x^ — k (£=1, 2, n), то из (3) сле-
дует, что
(1) + Г (XxJ+r (x2)+ (xn^i),
t. e.
lnn<C n^2.
ЗАДАНИЕ 1
1. Найти уравнение касательной к графику функции y=f(xj
в точке с абсциссой х0:
1) х0 = 2;
2) /(x) = cosx, х0 = л/4.
2. Найти уравнение касательной к графику функции у=/(х),
проходящей через заданную точку Л4:
1) f (х) = х\ М = (1; —1);
2) f (x)=Vx—l, М = (5;3).
3. Найти все точки графика функции в каждой
из которых касательная к этому графику образует угол 45°
с положительным направлением оси ОХ.
4. Найти угол между касательными к графику функции
у=4(х) в точках с абсциссами х = —1 и
1) f W=«2—1; 2) /1*) -
374
ГЛ. б. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти уравнение касательной к графику функции в точке
с абсциссой х0:
1) f(x)~e*, х0==1; 1 2) f(x) = x2 + x+h хо = О.
2. Найти уравнение касательной к графику функции y—f(x),
проходящей через точку М:
1) f(X^i/Xf М(—1; 1);
2) f (х) = М (0; 2).
3. Найти все точки графика функции
х+2
в каждой
из которых касательная к этому графику образует угол 135°
с положительным направлением оси ОХ.
4. Найти угол между касательными к графику функции
y~f(x) в точках с абсциссами хо = О и хх = 1/2:
1) /(х) = К 4-х*; 2) f (х) = log, (х-|-2).
ЗАДАНИЕ 3
1. Под каким углом график функции y=f(x) пересекает
ось абсцисс в точке х = х0:
1) f (х) = cos 2х, х0 — л/4;
2) /(х) = х4 —х2, х0=—1?
2. Найти угол между графиками функций y~f(x) и y=g(x)
в точках их пересечения:
1) f (х) = 1/х, g(x) = x; 2) f(x) = x*, g(x) = v~x.
3. На графике функции y=f (х) найти точку, касательная
в которой параллельна прямой у+2х—3 = 0:
1) f(x) = e~x; 2) f(x)=l — f/ х.
4. На графике функции y—f(x) найти точку, касательная
в которой перпендикулярна прямой у—2x4-1 = 0:
1) /(х) = х3—х+1; 2) /(х) = — /2х+т.
5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
касательные, проведенные к графику функции # = х3—а2х
в точках пересечения этого графика с осью абсцисс, пересе-
каются под углом л/4.
ЗАДАНИЕ 4
1. Под каким углом график функции y~f(x) пересекает
ось абсцисс в точке х = х0:
1) /(x) = tg2x, хо = 0;
2) f(x)=l-^x, х0=1?
2. Найти угол между графиками функций y—j{x} и y~g(x)
в точках их пересечения;
1) f(*) = Ki—*2; g W = К
2) f( x) = x?—x, g (X) = 12/X.
§2. ПРОИЗВОДНАЯ И КАСАТЕЛЬНАЯ 375
3. На графике функции y—f(x) найти точку, касательная
в которой параллельна прямой 2у—х 4-2 = 0:
1) /(х) = ^; 2) у = х3—Зх24-1.
4. На графике функции y — f(x) найти точку, касательная
в которой перпендикулярна прямой х4-2у+1 =0:
1) /(х) = х2; 2) f (х) = log2 х.
5. Доказать, что при любом значении а существует каса-
тельная к графику функции 0=х3~-а2х, перпендикулярная
прямой 0=—х.
Упражнения
1. Найти уравнение касательной к графику функции y=f(x)
в точке с абсциссой х = х0:
1) /(х) = х2—2х, хо = О,5;
*0=1;
3)/(х)=К^+1> *о = 2)
4) f (х) = х In х, х0 = е;
5) f(x)=-~sin2 (4х—л/3), х0 = п/6.
2. Найти уравнение касательной к графику функции
0=7 (х), проходящей через заданную точку М:
1) f(x) = —х2+1, 2И = (1; 1);
2) f(x) = x3, М = (2; 4);
3) /(х) = х2—х, /И = (—1; — 1);
4) /(х) = К*> /И = (1/4; 1/2);
5) f (х) = 1/х, М = (-1; 1).
3. Найти координаты точки пересечения касательных
к графику функции y — cosx в точках с абсциссами х =—л/3
и х=л/3.
4. Найти уравнение касательной к графику функции
y=f(x) в точке пересечения этого графика с заданной прямой:
1) f (х) = х2 — 4х + 5, х=0;
2) f(x) = 4—х2, 0=0;
3) f (x) = tg х, 0 = 0.
5. Найти уравнение горизонтальной касательной к графику
ФУНКЦИИ 0 = 0х4-£~*.
6. Найти координаты точек пересечения с осью ОХ каса-
тельных к графику функции которые образуют
угол 135° с положительным направлением оси ОХ.
7. На графике функции y = f(x) найти все такие точки,
в которых касательная, проведенная к графику, параллельна
данной прямой:
1) f(x) = x3 — Зх24-2 0 = 3>с;
2) / (х) = х2««7х4”3, =
376 ГЛ- 5- ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
3) f(x)==-~-sin 2х—sin х„ 1/.-^- х— 1 ~0;
4) f (x) = ln (4х— I), г/ = х;
1 У 3
5) f (х)=-~ sin 3x4——j— cos Зх, у~—х<
о о
8. На графике функции y—f(x) найти все такие точки,
в каждой из которых касательная, проведенная к графику,
перпендикулярна заданной прямой:
1) f (х) = х3+2х— 1, х+у=0;
2) f(x) = x?+x+l, ^+5 = 0;
3) f(x) = sinx, х—10 = 0;
4) f(x)~tgx, #4-х = 0;
5) / (х) = In х, 2^+х+1 = 0.
9. Найти координаты точки пересечения двух касательных,
j^2 I |
проведенных к графику функции у=-----5- в точках с абсцис-
X о
сами х = 4 и х=—2.
10. Найти координаты точки пересечения двух касательных,
проведенных к графику функции y = sin3x в точках с абсцис-
сами х=л/18 и х = 5л/18.
11. Найти на графике функции /(х)=4> х3—-2Х? — 22х—28
о
все такие точки, касательная в каждой из которых к графику
пересекает положительные полуоси и отсекает от них равные
по длине отрезки.
12. Найти на графике функции /(х) = х3—Зх2—7x4-6 все
такие точки, касательная в каждой из которых к графику
отсекает от положительной полуоси ОХ по длине вдвое меньший
отрезок, чем от отрицательной полуоси OY, Определить длины
отсекаемых отрезков.
13. Найти уравнение параболы у~х2 + Ьх+в, касающейся
прямой у=х в точке (1; 1).
14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
(1/2; 2), касающуюся графика функции у=—х?/24-2 и пере-
секающую в двух различных точках окружность (х—2)2+^= 1.
15. Найти на графике функции f (х)=-ух3—х2 —х4~
все такие точки, касательная в каждой из которых к графику
перпендикулярна прямой 5х—3z/4~2 —0.
16. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к па-
раболе z/=х2-—4х —-17-, проведенная в точке с абсциссой
Хо-5/2?
17. На графике функции f (х) = Зх?«-»4х24-7 найти все такие
точки, касательная в каждой из которых образует с осью ОХ
угол л/4. ___
18. В какой точке графика функции у = —]/"2х3 касатель-
ная к нему перпендикулярна прямой 4х«—3^ 4-2 = 0?
19. Найти уравнения касательных к графикам функций
/(X)=s=j/"2x и /(х)=х2/2, проведенных в точке пересечения
этих кривых»
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 377
20. Найти угол между касательными к графику функции
f (х) = 3х3—7х2-j-Зх5, проведенными в точках с абсциссами
0 и 1.
33
21. Известно, что прямая у=— Тх~“32 является касатель-
ной к графику функции f (х)=~ х*-х. Найти координаты
точки касания.
22. Найти величину угла между двумя касательными, про-
веденными из точки М (0; —1) к графику функции у—х2.
23. Доказать, что для любых действительных чисел х и у
имеет место неравенство
хп^ yn + tiyn~i (х — у), ngN
24. Доказать, что для любых положительных чисел х и у
имеет место неравенство
(*—£)•
. л У \ У /
25. Доказать, что для любых х и у из промежутка [0; я]
имеет место неравенство
sin х—sin у < (х—у) cos у,
26. Доказать, что для любых положительных чисел х и у
имеет место неравенство
у\п—<х—у.
27. Доказать, что:
1) /г*> 14-й(1й-14-2*-1+.,. + (п— 1)»-*), п^2, «,
2) K»<4+4(y^-+yj+>«-+y=Y)> «^3,
п g N;
3) пп > en~l n^2, ngN.
§ 3. Исследование функций и построение графиков
Общая схема исследования функции и построение ее графика
включает в себя такие элементы, как нахождение участков
возрастания и убывания, точек экстремума, участков выпук-
лости функции и т. д< Применение производной позволяет
упростить исследование функции. Справедливы следующие
утверждения:
1. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале
(а; Ь), Функция f(x) является постоянной на (а; Ь) тогда и
только тогда, когда f(x)=0 при любом х из интервала (а; Ь).
Если для дифференцируемых на интервале (а; Ь) функций
/(х) и g(%) при любом х из интервала (а; Ъ) справедливо ра-
венство (х)а то Ь)9 где С «-неко-
торая постоянная»
878
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
2. Если дифференцируемая функция f(x) возрастает (убы-
вает) на интервале (a; Ь), то f' (х)^0 (/' (х)<:0) при х£(а; Ь).
3. Достаточный признак возрастания (убы-
вания) функции:
а) если функция f (х) дифференцируема на интервале (а; Ь)
и f' (х) > 0 (f (х) < 0), х£(а; Ь), то функция f(x) возрастает
(убывает) на этом интервале;
б) если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь]} диффе-
ренцируема на интервале (а; Ь) и f' (х) > 0 (f (х) < 0), х£(а; Ь),
то функция f(x) возрастает (убывает) на отрезке [а; 6].
Отметим, что утверждения а) и б) остаются в силе, если
производная f (х) положительна (отрицательна) во всех точках
интервала (а; д), кроме конечного числа точек этого интер-
вала, в которых /'(х) равна нулю. Так, например, для функции
y = x+sinx на интервале (—100; 100) имеем f' (х) = 1 + cos х^0,
причем f (х) = 0 лишь в конечном числе точек этого интервала;
поэтому функция /(x) = x+sinx возрастает на интервале
(—100; 100).
4. Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена
на интервале (а; Ь) и точка х0 этого интервала является точкой
локального максимума или минимума. Тогда, если функция f (х)
дифференцируема в точке х0, то f' ^х0) = 0.
Таким образом, касательная, проведенная к графику диф-
ференцируемой функции в точке (х0; f(x0)), где х0—точка
экстремума функции, параллельна оси абсцисс (рис. 5.12).
Теорема Ферма дает необходимое условие того, что внут-
ренняя точка области определения дифференцируемой функции
является точкой локального максимума или минимума. То,
что условие f' (хо) = О не является достаточным, показывает
пример функции #=х3, у которой производная равна нулю
при х = однако точка х = 0 не является ни точкой макси-
мума, ни точкой минимума этой функции.
Отметим, что функция f (х), xg(a; Ь)> у которой х(£ Ь)
есть точка локального экстремума, может оказаться недиффе-
ренцируемой в этой точке. Например, точка х=0 является
точкой локального минимума функции #=|х|, х g(—1; 1),
однако эта функция не является дифференцируемой в этой точке.
Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума функ-
ции f (x) находятся среди ее критических точек, т. е. тех точек
области определения функции, в которых производная равна
нулю или не существует.
§ 3, ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 379
5. Достаточные условия экстремума:
а) Пусть функция f(x) определена на интервале (а; Ь)
и непрерывна в точке xog(a; b). Если f' (х) < 0 на интервале
(а; х0) и f' (х) > 0 на интервале (х0; Ь), то точка х0 является
точкой минимума функции f (х) на интервале (а; Ь).
б) Пусть функция f (х) определена на интервале (а; Ь)
и непрерывна в точке х0^(а; Ь\ Если f' (х) > 0 на интервале
(а; х0) и f' (х) < 0 на интервале (х0; &), то точка х0 является
точкой максимума функции f (х) на интервале (а; Ь).
Таким образом, то, что точка х = х0 является точкой ло-
кального экстремума непрерывной функции, характеризуется
следующей таблицей:
Знак производной Вывод
х <хй X > х0 Хо
+ 4- Не является точкой экстремума
+ —• Точка максимума
+ Точка минимума
—’ — Не является точкой экстремума
Иллюстрация для каждого из приведенных в таблице слу-
чаев приведена соответственно на рис. 5.13.
6. Критерий выпуклости функции. Пусть
функция /(х) определена и дифференцируема на интервале
(а; Ь), Для того чтобы функция /(х) была выпуклой вниз (вверх)
на интервале (а; 6), необходимо и достаточно, чтобы ее произ-
водная f (х) была неубывающей (невозрастающей) функцией
на интервале (а; Ь).
Пример 1, Найти промежутки возрастания и убывания
функции
Решение. Область определения функции есть объедине-
ние промежутков (— оо; 0) и (0; -f-oo). Так как функция /(х)
380 ГЛ. 6. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
дифференцируема в каждом из промежутков {— оо; 0) и (0; 4- оо) и
то /'(х) = 0 при х0==р/< 2. Точка x0=j/^ 2 разбивает область
определения данной функции на три промежутка: (—со; 0),
(0;^2)и(^;+оо) . В каж-
дом из этих промежутков про-
изводная f'(x) сохраняет посто-
...янный знак; знак производной
X в каждом из них отмечен на
рис. 5.14. Следовательно, данная
рис 5 функция возрастает на проме-
жутках (— оо; 0) и 2; +оо) .
Поскольку f (х) непрерывна в точке р/* 2, то эту точку можно
присоединить к промежутку, на котором функция f (х) возра-
стает. Окончательно получаем, что функция f (х) возрастает на
промежутках (— оо; 0) и [f/ 2; + оо). Так как /'(х) <0 при
хё(о; У 2) и так как функция непрерывна на полуинтервале
(б; I/ 2], то данная функция убывает на (б; 2]. График
данной функции изображен на рис. 5.15.
Пример 2. Найти точки экстремума функции
fW = (x-~l)2U+l)8.
Решение. Функция f (х) определена, непрерывна и диф-
ференцируема при всех х. Так как
Г (х) = 2 (х- 1) (х+1)*+3 (х- 1)*(х+1)2 »= (х- 1)Кх +1)2 (5х-1),
то Пх) = 0 при Xi= 1, х2 =—1, Хз=1/5. Отсюда методом ин-
тервалов получаем, что /' (х) > 0 при xg(—• 00; 1/5) и xg(l; + 00)
и /'(х) < 0 при xg(l/5; 1). Следовательно, так как функция
непрерывна при всех х, то она возрастает на промежутках
(—оо; 1/5] и [1; + <») и убывает на отрезке [1/5; 1]. Таким
образом, точка х= 1/5 является точкой локального максимума,
а точка х=1—-точкой локального минимума.
Отметим, что, хотя f' (—1) = 0, точка х2==—1 не является
точкой локального экстремума функции f (х). График данной
функции изображен на рис. 5.16.
Пример 3. Найти участки возрастания, убывания и
точки локальных экстремумов функции
f (х) = (1 + cos х) sin х<
Решение. Данная функция является непрерывной и
дифференцируемой при всех х, и
f' (X) = — SinS х+ (1 + cos х) COS X == 2 COS5* х+ COS X —> 1.
Критические точки функции находяхся из уравнения /\л)=0,
или
2 cosax+ cos х—1 s= О*
§3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ^ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 3$|
Решениями этого уравнения являются числа
х== £ л/3-|-2лп, х=л+2£л, k, ngN.
Функция / (х) является периодической и имеет период 2л»
поэтому при исследовании свойств функции можно ограни-
читься только значениями х из промежутка 0«Сх*С2л.
Из тех точек, где /' (х)==0, отрезку [0; 2л] принадле-
жат точки Х1 = л/3, х2 = л и х8 = 5л/3. Так как /• (х) =
= 2 ^cosx —(cosx+1), то /'(х) < 0 при х£(л/3; л) и
xg (л; 5л/3), a f( (х) > 0 при xg(0; л/3) и х£(5л/3; 2л).
Таким образом, на отрезке [0; л/3] и на отрезке [5л/3;2л]
функция f (х) возрастает, а на отрезке [л/3; 5л/3] убывает, Сле-
довательно, точка х = л/3 является точкой локального макси-
мума (f (л/3) = 3/3/4), а точка х = 5л/3 является точкой ло-
кального минимума (/(5л/3) = —3 У 3/4). Точка х —л не яв-
ляется ни точкой максимума, ни точкой минимума данной
функции.
Так как f (0) == f (2л) = 0, то из периодичности функции
следует, что все точки х = л/3+2лп, ngZ, являются точками
локальных максимумов, а точки х==—л/3-|-2л&, точ-
ками локальных минимумов данной фуйкции.
Кроме того, на всех отрезках [—л/3-|-2лп; л/32 л/г],
ngZ, функция убывает, а на всех отрезках [л/3 + 2ли; 5л/3+2лп|*
n§Z, функция возрастает.
График данной функции на промежутке [0; 2л] изображен
на рис, 5Л7Л
Пример 4. Найти точки экстремума функции
f (х) = (х** 1)?*
Решение, Функция /(х) непрерывна при всех значе-
ниях х. Заметим, что для того, чтобы найти точки экстремума
функции /(х), достаточно найти точки экстремума функции
gW=^z(«—о8.
ГЛ. б. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Для всех х 1 имеем
,, ч 2 , 1Ч_1/3 2 1
Так как g' (х) > 0 при х > 1 и g' (х) < 0 при х < 1 и функция
•f(x) непрерывна в точке х=1, то точка х=1 есть точка мини-
мума функции, причем значение
„Ук функции g(x) в этой точке есть
2(1)-°.
Таким образом (рис. 5.18),
функция f (х) имеет одну точку
экстремума, а именно х=1 есть
* ее точка максимума, причем
/(!)== 1.
Пример 5. Найти проме-
жутки выпуклости функции
l4 \,
y«(1+cas4?)$ln^
Рис. 5.17 f(x) = 3x4—4х3+1.
Решение. Функция f (х) дифференцируема в каждой
«очке числовой прямой, и
Г (х) = 12х8—12х2.
Для того чтобы найти промежутки [выпуклости функции f (х),
яужно исследовать на возрастание и убывание функцию
g (х) = f' (х) = 12х8 — 12х2
Для этого воспользуемся достаточным признаком монотон-
ности функции.
/ о \
g' (х) = 36х2—24х = 36х ( х—5- ).
Так как g'(x) = 0 при х = 0 и х=2/3, g' (х) > 0 при xg(—оо;0)
и xg(2/3; +°°)> (* *) < 0 ПРИ 2/3), то функция g(x) на
у л
промежутках (—* оо; 0] и £2/3; + оо) возрастает, а на промежутке
[0; 2/3] убывает. Следовательно на промежутках (—оо; 0] и
[0; 2/3J {функция f (х) является выпуклой вниз, а на проме-
жутке (0; 2/3] выпукла вверх. График данной функции изобра-
жен на рис. 5.19.
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Пример 6. Найти промежутки
выпуклости функции
f(x) = 2+i/~4.
Решение. Функция f (х) не-
прерывна в любой точке числовой
прямой и дифференцируема для лю-
бого х # 4. Имеем
j/ (х—4)а
Найдем участки возрастания и убы-
вания функции:
S W = f' (*) =—з/l—--, X & 4.
3 V (х- 4)2
Так как функция (х—4)2 возрастает при х > 4, а функция
у— у/ х возрастает на всей числовой прямой, то сложная функ-
ция y=V (X— 4)2 является возрастающей при х > 4; следова-
тельно, функция g (х) = —у—х.. является убывающей на
3 gZ (х _4)2
промежутке (4; + оо). Аналогично доказывается, что функция
g (х) возрастает на промежутке (-—оо; 4). Таким образом, учи-
тывая непрерывность функции f(x) в точке х=4, получаем
что функция f (х) является выпуклой вверх на промежутке
J4; —jP оо) и выпуклой вниз на промежутке (—оо; 4]. График
данной функции изображен на рис. 5.20.
Пример 7. Исследовать функцию
f (х) = х3—9х2+24х— 1
и построить ее график.
Решение, Исследование свойств данной функции прово-
дится по схеме, которая была описана в § 1 гл. 3, однако для
нахождения промежутков монотонности функции, ее экстрему-
мов, а также промежутков выпуклости применим производную.
Функция f(x) является непрерывной и дифференцируемой
на всей числовой прямой.
-384 ГЛ. Б. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Так как f (1)= 15 и f (— 1) = —35, то функция f (х) не является
ни четной, ни нечетной. Кроме того, так как функция f(x)
принимает значение 0 не более чем в трех точках, то она не
является периодической.
Из соотношений
lim оо, hm -L-^-=+ oo
X ->• + оо X x —oo X
следует, что ни горизонтальных, ни наклонных асимптот гра-
фик функции y~f(x) не имеет.
Найдем промежутки, на которых функция f (х) монотонная.
Так как /' (х) = 3х2 — 18х+24=3 (х—2) (х—4), то a) f' (x)==Q
при х — 2 и х = 4, б) /' (х) > 0 при х < 2 или х > 4, в) f (х)<0
при 2 < х < 4. Следовательно, функция f(x) возрастает на
промежутках (—оо; 2) и [4; 4-оо) и убывает на промежутке
[2; 4]. Точка х = 2 является точкой локального максимуму
функции f(x)(f (2)= 19), а точка х = 4—-точкой ее локального
минимума (/ (4) = 15).
Для того чтобы найти промежутки выпуклости данной
функции, нужно найти участки возрастания и убывания
функции
g (х) f' (х) = Зх2 — 18х+24.
Так как функция g (х) — квадратный трехчлен с положитель-
ным коэффициентом при х2, то она убывает на промежутке
оо; 3] и возрастает на промежутке (3; 4-оо). Отсюда заклю-
чаем, что функция /(х) является выпуклой вверх на проме-
жутке оо; 3] и выпуклой вниз на промежутке [3; +оо).
Результаты проведенного исследования функции /(х) при-
ведены в табл. 5,1, а график изображен на рис. 5.21,
Пример 8. Исследовать функцию
и построить ее график»
§3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 385
Решение. Функция f (х) непрерывна во всех точках чис-
ловой оси. Так как
/(— х) — jZk— х)2 — у/ (—х)2 —1 = р/ х2 —l~f(x\
то функция f(x) является четной. Поскольку f(x) = l только
в трех точках: х = 0, х—1 и х =—1, то функция f(x) не яв-
ляется периодической. Так как
lim х2—у/" х2—1)= lim (j/^ х2 —*1/” х2 —1) =
-> -СО Х-* +00
lim x2—f/х2 —1)(^ х^+i/ х2 (х2 — 1)+^(х2—!)2)^
Х +о° I/+ l/х2 (Х2—1) + У(Х2—I)2
= lim "А 1 .—_________-=0,
х‘>+°° у х4Н-^х2(х2—1) + р/(X2—I)2
то прямая 0 = 0 (с учетом четности функции) является гори-
зонтальной асимптотой графика функции y = f(x) как при
х —> — оо, так и при х оо.
Функция f (х) принимает только положительные значения,
так как неравенство х2 > х2 — 1 имеет место при любом
действительном х.
Для любого х, отличного от 0, —1 и 1, имеем
Г (х) =1X-V3--1 (Ж»_ 1)-2/з.2х=
о о
_2 (X2— 1)2/3 — *4/8 _2 I/(х2—I)2 — ^7
-3 Х1/З(х2-1)3/3 -3 '
Исследуя знаки "числителя и знаменателя, получим
(рис. 5.22), что Г (х) > 0 на промежутках
(-оо; -1), (-1; -1/V 2), (0; 1/V 2)
и У (х) < 0 на промежутках
(-1// 2; 0), (1// 2; 1), (1; + оо).
С учетом того, что функция^/ (х) непре-
рывна в точках х — —1/У 2, х = 0 £
х~ \[У 2,^получаем, что точки х = —1/}/~ 2
и х= 1/]/*2 являются точками локальных
максимумов, а точка х = 0—точкой локаль-
ного минимума.
Можно показать, что функция f (х)
на промежутках (—оо; —1] и [1; +00)
является выпуклой вниз, а на проме-
жутках [—1; 0] и [0; 1]—выпуклой вверх.
13 Задачи по математике. Начала анализа
386
ГЛ 5 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Так, например, на промежутке [0; 1}
г . 3 Z ‘ Л 3 7 3 / а | 3 /"7“ 2
f (X) = V X2 — у X2 «— 1 = у X2 4“ И I — *2,
т» е* функция / (х) есть сумма двух выпуклых вверх функций,
а именно If х2 и 1 — х2.
Рис. 5.22
Результаты исследования функции Цх) приведены в
табл. 5.2, а ее график изображен на рис. 5.23.
Таблица 5.2
X (—«>; —О — i - । W (-*") 0
Г(х) g‘(x) = f(x) Их) + + ОО не су- щест. экст- рем. нет 1 + 0 max 00 не су- щест. min
X (”'тт) 1 ( 1 \ I 0: ; +оо)
f'(x) g* (х) = /"(Х) /(*) > 1 + 0 оо шах 1 1 /*" ; 00 не су- ще ст. +1
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 387
ЗАДАНИЕ I
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) f (х) = 2х2 —8х+ 11; 2) f(x) = x3—2х2;
3) /(х) = х/3— ]/ х\ 4) f(x) — x\nx.
2. Найти точки экстремумов функции:
1) f(x)=4-x2; 2)
3) f (х) = хе~х\ 4) f (х) — х sin х.
Рис. 5.23
3. Найти промежутки выпуклости функции:
1) f(x) = x+l/2x; 2) f(x) = (l+2x2)^;
3) f (X) = V~х (14-Х); 4) f (х) = Iх 1/(1 +*)
4. Исследовать функцию и построить ее график:
1) = 1л?; 2)
3) f(x) = x2«-*; 4) f(x) = x(l/~x+l).
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) f (X) = | ^+-1 х2; (2) f (х) = ;
3) f(x) = x2e«; 4) Цх) = х(У~х— 1).
2. Найти точки экстремумов функции:
1) /(х) = х2(1—х); 2)/(х) = j/?—х;
3) f(x) = -l^i-; 4) f (х) = х + cos х.
3. Найти промежутки выпуклости функции:
1) f(x) = 2x3-x2; 2)/(х) = ^±у;
3) f(x) = x2lnx; 4) f(x) = j!/ x—p^x+L
13*
388 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
4. Исследовать функцию и построить ее график:
1) f (х) = (л-j- 1) (х—2)2; 2) f (х) = х8—Зх— 1;
3) 4) /(*)= Ул
ЗАДАНИЕ 3
1. Найти промежутки возрастания и убывания и точки
экстремумов функции:
1) f(x) = x?-5x4+5x3+l; 2) /(x)=^~2Hlzi^;
3) f (x)==sin x+cos 2x, xg[0; л/2];'
4) |(х)=У(2х-1)У(x-1)’.
2* Найти промежутки выпуклости функций:
1) f (х) = х2е“*2; 2) f (x) = sin x + sin2x;
3) f(x)=g/i^; 4)/(x)=-y+^->
3. Исследовать функцию и построить ее график:
1) f(*)=4-+4; 2н (*)=«-*’;
3) f(x) = 2sinx4-cos2x; 4) Цх)~у^ x+l.
ЗАДАНИЕ 4
L Найти промежутки возрастания и убывания и точки
экстремумов функции:
1) М*)=д£2х ; 2) fW=U+V'’(»*5)’!
3) f (x) = sin 2х—-х, xg[—л/2; л/2);
4) f(x)==2e*+3e-*.
2, Найти промежутки выпуклости функции:
1) 2) f(x)=2+y(7Z^;
3) f (х)—sin8 x4~cos? х; 4) f (x) = x/lnx.
3. Исследовать функцию и построить ее график:
1) f (х)=ха +1 + 1/х; 2) f (х) = х2г*2;
3) f (x) = sin xsin 2х; 4) f (х)= К*2 (1 + х).
У пражнения
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
1) f(x) = 3x4—8х3+6х2+1; 2) f (х) = 2х8—Зх2;
3) /(х) = -х3-х3-7х-л К 3; 4) f (х) = х+^-Ь ;
5) f(x)=x«—ах; 6) f<x) = axs—x; 7) f (x) = -^zL_ ;
(Хл "Я* 1)л
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 389
1 Оу ,_________
8) f (*) =-+]f±i • 9> f w = К 2х3+9х2,’;
10) /(х) =
11) f(x) = xe~6x;
14) f (x) — ext/x’,
12) f(x) = 24x-
15) f(x) = x*e~x;
13) f(x) = x2lnx;
16) f(x) = (x—2)3 У x2; 17) f (x) = x—sin2x;
18) f (x) = (x +1) 19) f (x) = In2 x/V x;
20) f(x) = x«; 21) / (x) = x2 —In x2;
22) f (x) = rt/2x—x arctg x; 23) f (x) = arctg x— In xj
24) f (x) =arcsln У 1—!4x2—2 У1— 4x2.
2. Найти точки экстремумов функции:
1) f(x) = x34-6x2—Зх + З, xg(—5; 1/5);
2) / (х) = 2х3 4-Зх2—12x4-5;
3) f (х) = (х-2)2 (х+4)/4; 4) f (х) = | х-5 | (х-3)?|
5) /(х) = х2е~^, xg[0; 4-оо); _
6) f(x) = x4-/^; 7) f(x)=i/ х2 (| x-J-1 Di
8) /(x) = x4-l/x2; 9) f(x) — xex~xt;
10) f (x) = x-|-sin2x; 11) f (x) = xe_^*4~2;
12) f (x) = V2x2—x-l-2; 13) f (x) = (2x— 1) e«*j
14) f (x) = x24-l/x2; 15) f (x) = | x3—x I;
16) f(x) = sinx—cos2x—1; 17) f(x) = sin-»Д—т;
X - -f- 1
18) f(x)=^^sin2x4--j-cos2x4-^^;
19) f(x) = V 3cos у 4-sin
20) f(x)=(x— l)2Kx2—2x4-3, x^[0; 3];
21) f (x) = In cosx—cosx; 22) f (x) = In (x2 +1) «2 aretg
23) f(x) = f/(l-x)(x-2)2.
3. Найти промежутки возрастания и убывания и точки
экстремумов функции:
1) f(x) = (x-l)e3*; 2) /(х) = -^-у-;
3)/М = -^Йр-; 4) f(x)=|x2—5x4-61;
5) f(х) = х3—2х|х—2|, xg[0; 3];
6) f (х)=— 5х34-х|х— 11, х$[0; 2];
7) f(x) = /8^=^; 8)f(x)=-nJ7; 9)/(х) = и|т»
Ю) Цх)=хУ 2-х2;
11) f (х) = 21п(х-2)-х24-4х4-1; 12) f(x)=
390
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
4. Исследовать функцию и построить ее график:
г3 х24-1
1) f (х) = (х—1) х2; 2) f (х) = ; 3) f (х) = x'4'T+i •>
4) 5) f(x) = -j^y; 6)f(x)= |Л
7) /(*)=]/; 8) /(x)=
9) f (x) = (x—6)e-VX; 10) f (x) = ^ (x— 2)2 — f/(x + 2)2 ;
11) f W = уЛ£+ 2)2+ V(x-2)2 ; 12) f (x) = j/x(x-3)2;
13) \f (x) = К x2 (2 + x); 14) / (x) = cos x cos 2x;
15) f (x) = 2 sin x •*- cos 2x; 16) f (x) = x2 In2 x;
17) f(x)]=K*1nx; 18) f(x) = ln2/*x/x;
19) f (x) == 2x+4 arcctg x; 20) f (x) = 2+ у .
5. Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых функция
у=2хб + 5ах4+ 10х3
является всюду возрастающей.
6. Найти всё значения параметра а, при каждом из кото-
рых функция
у~аsin 4х— 10x+sin 7х-|~4ах
всюду убывает и не имеет критических точек.
7. Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых функция
уе=0,5е2* + (1**-а) е*—-ах+sin 2
имеет критические точки, и найти эти точки,
8. Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых функция
y = sin2x-“-8 (a-f- 1) sin х+(4а2^|-8а-* 14) х
является всюду возрастающей и при этом не имеет критиче-
ских точек.
9. Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых функция
у — 16 (a-f-1) sin х—sin 2х—(16а?4-32а*-10) х
является всюду убывающей и при этом не имеет критических
точек.
10. Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых уравнение
х3—ах —1 = 0
имеет единственное решение.
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 391
11. При каждом значении а найти наименьшее значение
функции
1 а2
*£[2; зь
12. Найти все значения а из промежутка [3/4; +оо), при
каждом из которых наименьшее значение кубического трех-
члена
^ = х3-^2ах2 + 1
достигается на правом конце отрезка [0; 1].
13. Найти число корней уравнения
f(x)—af' (х) = 0,
где f(x) = (x—хх)(х—х2)(х-~х3)(х--.х4) и а, хь х2, х$, х<
(*i < х2 < х3 < х4)—заданные действительные числа.
14. В зависимости от значений Р найти те значения а, при
каждом из которых уравнение
х3 + 2рх2 + Р = а
имеет три различных корня.
§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции
Многие задачи на отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции сводятся к исследованию непрерывных функ-
ций на различных промежутках (отрезке, полуинтервале, пря-
мой и т. п.).
Наибольшее (наименьшее1) значение на отрезке [а; Ь] не-
прерывной функции f (х) достигается либо в критической точке
этой функции (т. е. в точке, где функция fr (х) или равна нулю,
или не существует), либо в одной из граничных точек данного
отрезка.
Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее зна-
чения непрерывной функции на отрезке [а; Ъ\, имеющей на ин-
тервале (а; Ь) конечное число критических точек, достаточно
вычислить значения функции во всех критических точках функ-
ции, принадлежащих интервалу (а; &), и на концах отрезка и из
полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Если функция f (х) исследуется на интервале, на всей пря-
мой и на промежутках [а; Ь), [а; +<»), (—со; b], (a*t 4~оо),
(—оо; Ь), (а; о], то на таких промежутках непрерывная функ-
ция может и не иметь наибольшего (наименьшего) значения.
Так, например, функция у — х не имеет на промежутке
[0; 1) наибольшего значения, на промежутке (0; 1] наимень-
шего значения и на промежутке (0; 1) ни наибольшего, ни
наименьшего значения. Функция t/==x2 на всей прямой не
имеет наибольшего значения, a # = arctgx не имеет ни наиболь-
шего, ни наименьшего значения.
Напомним, что квадратичная функция у — ах2 + Ьх+с при
4ас—Ь2
а>0 имеет наименьшее значение, равное—^—, которое
392
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
достигается в точке х —— , а при а<0 имеет наибольшее
4ас—b2 Ъ
значение, равное ——— , которое достигается в точке х=—.
Если непрерывная функция f (х) на промежутке [а; Ь)
([а; +оо)) возрастает (убывает), то на этом промежутке она
имеет наименьшее (наибольшее) значение, которое достигается
в точке х — а.
Аналогичные утверждения имеют место для функции, за-
данной на промежутке (а; 6] ((—оо; &]).
Если непрерывная функция f (х) на промежутке (а; Ь) имеет
критическую точку х0, принадлежащую рассматриваемому про-
межутку, и возрастает (убывает) на промежутке (а; х0] и убы-
вает (возрастает) на промежутке [х0; &)» то на рассматриваемом
промежутке функция f (х) имеет наибольшее (наименьшее) зна-
чение в точке xQ.
Если непрерывная функция f (х) на промежутке (а; Ь) имеет
конечное число критических точек а < х0 < Xi <... < хп < b и
возрастает (убывает) на промежутке (а; х0] и убывает (возрас-
тает) на промежутке [хп; Ь), то на промежутке (а; Ь) функция
f(x) имеет наибольшее (наименьшее) значение, которое дости-
гается в одной из критических точек этого промежутка.
Если непрерывная функция f(x) рассматривается на про-
межутке (—оо; +оо) ([а; &)) и имеет пределы (конечные или
бесконечные) при х->—оо и х->+°° (х->Ь—0), то можно
заключить, имеет ли эта функция f (х) наибольшее или наи-
меньшее значение на рассматриваемом промежутке, сравнив
значения функции в критических точках с предельными зна-
чениями на бесконечности (предельным значением при х О
и точке х — а) (рис. 5.24).
Пример 1. Найти значение х, при котором функция
f (х) = (х—aj)2 + (х—а2)8 +... + (х—а„)2,
где «х, а2, ап—заданные числа, принимает наименьшее
значение.
Решение. Так как
f (х)~пх2—2 («i+a2+ • • • +#») x+(ai+a2+ ... +«п)
есть квадратный трехчлен относительно х, то наименьшее зна-
чение функция f(x) принимает в точке ,
Ч- #2 ап
т. е. при х=———=-~----—
Пример 2. Найти наименьшее значение функции
f (x) = 4x4-^--|-sinx
на промежутке (0; -f-oo).
Решение. Запишем данную функцию в виде
/ (х) — —---^1)—12 л-J-sinx.
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 393
При всех х > 0 справедливо неравенство
f (х)^ 0 + 12л— 1 — 12л— 1,
г. е. значение функции f (х) в любой точке промежутка (0; 4“°°)
не меньше числа 12л—1. Заметим, что при х = Зл/2 имеем
f (Зл/2) = 12л— 1. Значит, наименьшее значение данной функ-
ции на промежутке (0; 4-оо) равно 12л—1.
ПримерЗ. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
f(x) = x3 + 3x2—72х + 90
на отрезке [—5; 5].
Решение. Для того чтобы найти наибольшее и наимень-
шее значения данной непрерывной функции на отрезке [—5; 5J,
достаточно вычислить значение функции в критических точках,
принадлежащих интервалу (—5; 5), а также на концах отрезка.
Среди полученных чисел нужно выбрать наибольшее и наи-
меньшее.
Поскольку функция f (х) = х34~Зх2 — 72x 4-90 дифференци-
руема на всей числовой прямой, то критические точки данной
функции найдем, решая уравнение f' (х) = 0, т. е. уравнение
Зх24-6х—72 — 0. Корни этого квадратного уравнения есть xi — 4
и х2=—6. Из этих корней только хх = 4 принадлежит интер-
валу (—5; 5). Вычислим значение функции в точкак х=4,
394
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
х = 5 и х =—5:
/(4) = —86, /(5) = -—70, /(-5) = 400.
Следовательно, наибольшее значение данной функции равно 400.
а наименьшее значение равно —86.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
f (х) = sin2 x-f-cosx — у.
Первое решение. Данная непрерывная функция имеет
период 2л, поэтому ее наибольшее и наименьшее значения
совпадают соответственно с наибольшим и наименьшим значе-
ниями f (х) на отрезке [—л; л]. Найдем критические точки f (х)
на интервале (—л; л). Так как ff (х) = 2 sin х cos х—sin х, то
для нахождения этих точек имеем уравнение
2 sin х cos х —sin х = 0.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
sinx = 0 и cosx =1/2.
Первое уравнение на интервале (—л; л) имеет единственный
корень хх = 0, Второе уравнение на этом промежутке имеет
два корня: х2 = — л/3 и х3 = л/3. Вычислим значения функции
f (х) в этих точках и на концах отрезка [—л; л]:
/ (0) = 1/2, f (- л/3) = 3/4, f (л/3) = 3/4, f (—л) = f (л) = -3/2.
Значит, наибольшее значение f (х) равно 3/4, а наименьшее
значение равно —3/2.
В орое решение. Пользуясь основным тригонометри-
ческим тождеством sin2x + cos2 х= 1, можно написать, что
f (х) = sin2 х-|~ cos х—-= 1 — cos2 x + cos X — •“=
3 ( 1 V
= T-(cosx-Y 1 .
Теперь очевидно, что при всех х функция / (х) не превосходит
3/4 и принимает значение 3/4, например, при х=л/3 I cos—=— j ;
следовательно, наибольшее значение / (х) равно 3/4. Функция
(1 \ 2
cosx*—g- 1 принимает наибольшее значение (3/2)2, например,
при х = л (соэл=—1); следовательно, наименьшее значение
о / о X 2
/(х) равно —J
Пример 5. Найти наибольшее значение функции
3_
2 *
f(x) = x3—2х|х—2|
на отрезке [0; 3].
Решение. Рассмотрим функцию / (х) отдельно на мно-
жествах О«сх<2 и 2 < х^З.
§ 4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 395
а) Пусть х принадлежит промежутку [0; 2]. Тогда [х-**2| =
= — х4~2, и данная функция может быть записана в виде
f (х) = х3—- 2х (—х+2) = х3Ц-2х2 —4х.
Отсюда следует, что она дифференцируема в каждой точке
интервала (0; 2) и f' (х) = Зх2 + 4х—4. Квадратное уравнение
Зх24-4х—4 = 0 имеет корни х3 =—2 и х2 = 2/35 первый из ко-
торых не содержится в интервале (0; 2), а второй содержится.
Имеем f' (2/3) = 0 и /' (х) < 0 при 0 < х < 2/3 и f' (х) > 0 при
2/3 < х < 2. Отсюда следует, что на интервале (0; 2) имеется
единственная точка минимума х = 2/3.
б) Пусть х принадлежит промежутку (2; 3]. Тогда | х—*2| =
= х—2, и данная функция может быть записана в виде
f (х) = х3«—2х (х—2) = х3—2х2 + 4х.
Отсюда следует, что она дифференцируема в каждой точке
интервала (2; 3' и /' (х) = 3х2— 4x4-4. Дискриминант квадрат-
ного трехчлена Зх2—4x4-4 равен —32, и, значит, уравнение
(х) = 0 не имеет корней. Следовательно, на всем интервале
(2; 3) производная положительная; тем самым функция f(x)
не имеет точек максимума и минимума на этом интервале.
Функция f (х) задается на отрезке [0; 2] многочленом
х34~2х2—4х поэтому она непрерывна на отрезке 10; 2] и диф-
ференцируема на интервале (0; 2), причем /' (2/3) = 0. Значит,
ее наибольшее значение на отрезке (0; 2] равно большему из
чисел / (0), f(2/3), f№.
Аналогично наибольшее значение f (х) на отрезке [2; 3]
равно большему из чисел f (2) и f (3). Поэтому наибольшее зна-
чение f (х) на всем отрезке [0; 3] равно большему из чисел f (0),
f (2/3), f(2), f(3). Следовательно, наибольшее значение данной
функции на отрезке [0; 3J равно 21.
Пример 6. Доказать, что для функции f (х) = cos х sin 2х
справедливо неравенство
min f (х) >—7/9.
к € [ - Л; л]
Решение. Найдем наименьшее значение непрерывной
функции f (х) на отрезке [—л; л]. Для этого сначала преобра-
зуем функцию к более удобному виду:
f (х) = 2 sin х cos2 х = 2 sin х (1 —sin3 х) = 2 sin х—2 sin^x.
Найдем теперь критические точки /(х). Поскольку f (х) диф-
ференцируема в любой точке числовой прямой, то критические
точки f(x) есть решения уравнения f (х) = 0. Найдем /' (х):
f (х) = 2 cos х—6 sin2 х cos х = 2 cos х (1 — 3 sin2 x).
Решая на отрезке [—л; л] уравнения cosx = 0 и 1—3sin2x = 0,
получаем критические точки
хг = л/2, х2 = —л/2, х3 = arcsin—Д=-
х4 = — arcsin , х5 = л—arcsin , хб = — л 4- arcsin -4=-,
396 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
принадлежащие этому отрезку* Вычислим значения f (х) в кри-
тических точках и на концах промежутка [—л; л]:
fta)-f(x2) = 0;
(1 / 1 \3\ 4
ТтГД/з) / “з/Т:
f(x4)=f(xe)=2(-pU-^-pU)
Дя)«/(-л) = 0.
Наименьшим значением функции f (х) на отрезке [— л; л] будет
наименьшее из этих чисел. Таким образом,
4
min /(х) = Нх4)=— 777=--
ле [-л; л] Зу 3
Осталось проверить справедливость неравенства —4/3]^ 3>
> —7/9. Ясно, что это неравенство будет выполнено, если будет
выполнено неравенство К 3 < 7/4. Справедливость последнего
неравенства вытекает из справедливости очевидного неравенства
3 < 49/16. Значит, действительно, справедливо неравенство
min /(х)>—7/9.
х€[~л; л]
Пример 7. Найти наименьшее из значений, принимаемое
функцией
4
у(х)=х + ^^2)?
на отрезке [0; 5|.
Решение. Данная функция дифференцируема в каждой
точке интервала (0; 5), за исключением точки х== 2, и для этих
х получаем
ZZ X 1 8
у W-1 (х—2)3 •
Из этого выражения следует, что при 0 < х < 2 выполнено не-
равенство у' (х) > 0. Таким образом, данная функция монотонно
возрастает на множестве 0 < х < 2. Следовательно, в силу не-
прерывности наименьшее ее значение на множестве [0; 2) равно
Уравнение д' (х) = 0 или 1—--5^=0 имеет единственный
(X — А)
корень х = 4. В области 2<х<4 справедливо неравенство
у* (х) < 0 в области 4 < х < 5 — неравенство у' (х) > 0. Так как
функция у(х) непрерывна в точке х = 4, то отсюда заключаем
что
1) в области 2 < х<;4 функция у(х) монотонно убывает;
2) в области 4=Сх^5 функция у (х) монотонно возрастает;
3) точка х —4 является точкой минимума.
Доказанные факты означают, что наименьшее значение у (х)
в области х>2 равно у (4) = 5. Поскольку точка х=4 содер-
жится в множестве (2; 5), то у (4) будет также и наименьшим
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 397
значением функции у (х) в области (2; 5). Таким образом, наи-
меньшее значение функции у (х) на отрезке (0; 5] равняется
меньшему из чисел ^/(0), ^(4), т. е. равно f/(0) = l.
Пример 8. Найти наименьшее значение функции
х
у~ 1+х2
на промежутке [—1; +оо).
Решение. При любом х > —1 данная функция дифферен-
цируема, и ее производная равна
1 —*2
У ~(1 + х2)2'
Отсюда видно, что производная данной функции при — 1 < х < 1
больше нуля; при х > 1 меньше нуля и при х=1 равна нулю*
Следовательно, на проме-
жутке [—1; 1] функция
возрастает, а на проме-
жутке [1; +<ю) убывает.
Так как наименьшее зна-
чение функции на отрезке
1; 1] равно —1/2 и
lim / (х) — 0, то наименьшее
Х-+ + а>
значение данной функции
на промежутке [1; +<эо)
равно —1/2 (рис. 5.25).
Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
Q
У (*) = I х2+2х—314-у In х
на отрезке [1/2; 4].
Решение. Квадратный трехчлен ха + 2х—3 имеет корни
х1 = —3, х2=1. Из них только х2 = 1 лежит на отрезке [1/2; 4j.
Найдем наибольшее и наименьшее значения у(х) на отрезках
[1/2; 1] и [1; 4]. На множестве 1/2*Сх^1 справедливо нера-
венство х2 + 2х-—ЗС0. Значит,
Q
I х2 + 2х —31 = — X2 —2х+3, у (X) = — х2—2x4-3+In х.
Функция f (х) —— х2—-2х+3+у In х определена на множестве
х > 0 и имеет производную в каждой точке этого множества,
причем
2.^^ 4ха + 4х —3^ (2х— 1) (2х+3)
‘ 2х 2х 2х *
Отсюда следует, что на множестве 1/2 < х < 1 справедливо
неравенство f' (х) < 0, т. е. на этом множестве f (х) монотонно
убывает. Так как f (х) непрерывна при х= 1/2 и х=1, то ока
убывает на отрезке [1/2; 1]. Поскольку на этом отрезке функ-
398 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
ции у(х) и f (х) совпадают, то данная функция у(х) монотонно
убывает на отрезке [1/2; 1]. Поэтому
min y(x) — y(\) = 0, max у (х) = у (!') =4—у in 2.
хе[1/2; 1J хе[1/2; I] \2 ) 4 2
На множестве 1 <Сх«с4 справедливо неравенство х2+2х — 3^0.
Значит,
|х2+'2х—3|=х24~2х—3, у(х) = х2+2х—3+у 1пх.
з
Функция g(x) = x2 + 2x**3+-g-lnx определена на множестве
х > 0 и имеет производную в каждой точке этого множества,
причем
r/ч о foi 3 4х2 + 4х+3 (2х +1)2 + 2
g'(x)=2x+2+§j=-Xr^=A—.
Отсюда следует, что на множестве х > 0 справедливо нера-
венство g' (я) > 0. Следовательно, функция g (х) возрастает на
множестве х > 0, и в частности на отрезке [1; 4]. Так как на
этом отрезке функции у(х) и g(x) совпадают, то данная функ-
ция у(х) монотонно возрастает на отрезке [1; 4]. Поэтому
min у M = i/(l)~0, max у (х) — у (4) = 214-3 In 2.
лге[1;4] лге[1;4]
Итак, наибольшее значение функции у(х) на отрезке [1/2; 4]
равно большему из чисел у (1/2) и у (4), т. е. у (4) = 21 + 3 In 2.
Наименьшее значение функции у(х) на отрезке [1/2; 4] равно
р(1) = 0.
Пример 10. Найти все значения а из промежутка [1; +©о),
при каждом из которых больший из корней уравнения
%2*—6х + 2ая+а—13 = 0
принимает наибольшее значение.
Решение. Найдем дискриминант D данного уравнения:
D = (2а—6)2—4 (а —13) = 4а2—28а + 88 = (2а—7)2+39.
Поскольку теперь очевидно, что дискриминант D положителен
для любого значения а, то исходное уравнение имеет два дей-
ствительных корня:
Xi = (3—а) — К»2—7а+22, х2 = (3—а) + /а2—7а+22.
Задачу теперь можно переформулировать следующим об-
разом: найти все значения параметра а из промежутка [1; +оо),
при каждом из которых выражение (3—а) + р^а2—7« + 22 при-
нимает наибольшее значение, т. е. надо найти наибольшее зна-
чение функции f(a) — (3—aJ + J^a2—7а+22 на промежутке
П; +оо). Рассмотрим эту функцию на промежутке (1; +оо).
В каждой точке этого промежутка функция f (а) имеет про-
изводную
. , , 2а—7 2а—7—2J<а2—7а-|-22
f (а) =—1Н--... —_=--------7 ... _J----,
2/а2 — 7а 4-22 2/а2—7а+22
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 399
Так как
2Ка2 —7а + 22= К(2а—7)2 + 39 > |2а—7|^2а—7,
то для любого а из промежутка 1 < а <+оо выполнено нера-
венство f' (а) < 0, т. е. на этом промежутке функция f (а) убы-
вает. Поскольку функция f (а) непрерывна при а=1, то функ-
ция f (а) убывает и на промежутке [1; +оо). Следовательно,
наибольшее значение функция f (а) принимает при
Пример 11. Найти наименьшее из расстояний от точки
М с координатами (0; —2) до точек (х; у) таких, что
—2, х > 0.
Решение. Квадрат расстояния от точки М с коорди-
натами (0; —2) до точки А с координатами (я; у) вычисляется
так: AM 2 = (х—0)2 + (#4-2)2. Так как по условию коорди-
наты х и у точки А связаны равенством
"16
//=—------2, то
АМ2 = х2 +
256
Зх® *
Теперь ясно, что квадрат искомой величины равен наименьше-
му значению функции
2 256
на множестве 0 < х < + ©о. Функция f (х) в каждой точке этого
множества имеет производную. Найдем ее:
г (х) = (х«4-^-)'=2х-512х-г=^=^.
Отсюда следует, что на промежутке 0 < х < 2 производная /' (х)
отрицательна, а на промежутке 2 < х < + оо производная f (х)
положительна. Значит, функция f(x) убывает на промежутке
0 < х < 2 и возрастает на промежутке 2 < х< + оо; кроме того,
функция f (х) непрерывна в точке х = 2. Следовательно, наи-
меньшее значение f (х) на множестве 0 < х < + оо равно f (2) =
= 5а искомое наименьшее расстояние равно 4/|/~3.
Пример 12. Найти наибольший член последовательности
ап = пУп, ngN.
Решение. Рассмотрим функцию f(x) — x1/x, х^1, и най-
дем ее наибольшее значение на промежутке (1; +00)- Так как
1 .
— In X
f[x)~ex , то при х > 1 имеем
— In х / in х
Г(х)=е* (--jr
—-^еХ 1ПЯ (1 —1пх),
400
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
откуда
f(x)=:0 При
f' (х) > 0 при
f' (х) < О при
х = е\
1 < х < е;
х > е.
Так как функция f (х) непрерывна на отрезке [1; е] и f' (х) > 0
на интервале (1; е), то функция f (х) возрастает на отрезке
[1; е]; так как функция f (х) непрерывна на промежутке [е; -j-oo)
и /' (х) < 0 при х > е, то функция f (х) убывает на промежутке
[е; +оо). Следовательно, наибольшее значение данной функции
на промежутке [1; + ©о) достигается в точке х = е и равно е11е.
Принимая во внимание тот факт, что 2 < е < 3, и доказан-
ное выше свойство монотонности функции f (х) для нахождения
наибольшего члена последовательности ап = п^п, достаточно
сравнить по величине только два ее члена—-второ^й и третий,
т. е. числа К2 и ^3. Так как очевидно, что V 3 > /2 , то
искомым членом последовательности является «3=1/3.
Пример 13. Найти наименьшее значение а, при котором
уравнение
4 , 1
-----L--------
sinx 1 1—sinx
на интервале (0; л/2) имеет хотя бы одно решение.
Решение. Так как функция у=sinx монотонно возраста-
ет на интервале (0; л/2) и принимает все значения из интер-
вала (0; 1), то для решения задачи нужно найти наименьшее
значение «, при котором уравнение
имеет хотя бы одно решение из интервала (0; 1).
Найдем наименьшее значение функции
4 1
^)=7+т^
на интервале (0; 1). Так как при 0 < у < 1
(и.___4 , 1 У*—4(1—у)*_____Зу^-8у+4
' w уг(1-у)2 ~
3(у—2) (у—g-)
= *
то f' (2/3) = 0, /' (у) > 0 при 2/3 < у < 1 и /' (у) < 0 при 0 < у <
< 2/3. Таким образом,
min /(у) = /(2/3) = 9.
хб(0; 1)
Следовательно, если «=9, то уравнение (1) имеет ровно один
корень у=2/3 из интервала (0; 1), а если а < 9, то уравнение
(1) на интервале (0; 1) корней не имеет»
§ 4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 401
Таким образом, а = 9 является наименьшим значением, при
котором данное уравнение имеет хотя бы одно решение из ин-
тервала (0; л/2).
Пример 14. Дан равносторонний треугольник с длиной
стороны а. Найти длину наименьшего отрезка, соединяющего
Рис. 5.27
точки двух сторон этого треугольника и делящего треугольник
на две равновеликие части.
Решение. Пусть точки М (на стороне ВС) и W (на сто-
роне АС) (рис. 5.26) таковы, что площадь треугольника CMN
равна половине площади треугольника АВС. Тогда имеем
— (1. с A- CBsin 60° 'j =4- CM • CN sin 60°,
Z \ 2# j £
1 aa
и, следовательно, CM* CN=-^ CA*CB ==—. Так как
I CM то существует число x, 0 < такое, что CM =
= ax. Тогда CN Так как CN и CM^a, то от-
сюда находим, что 1/2 <; ж 1.
Из треугольника CMN по теореме косинусов находим, что
NM СМ *+ CN 2 CM-CN cos 60°,
или
#М2 = а«(х2+ 1 2.
\ ‘ 4х2 J 2
Таким образом, для решения задачи нужно найти наимень-
шее значение функции
/(Х) = Х2+ 1
' 4х2
на отрезке [1/2; 1].
Так как при 1/2 < х < 1
f (х) = 2х —«пЦ-,
1 ' 1 2х^
402
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
то уравнение f'(х) = 0 имеет единственный корень х=1/рг2 из
интервала (1/2; 1). Функция f (х) непрерывна на [1/2; 1], и
f (1/2) == 1/4 +1 == 5/4, f (1) = 1 +1/4 = 5/4,
f (1/><2)=1/2+1/2= L
Поэтому
min f (x)= f (1//2)= 1.
хв [1/2; 1]
Отсюда заключаем, что квадрат длины искомого отрезка равен
2
а2/2, и тем самым его длина равна —а.
Пример 15. От канала шириной а под прямым углом к
нему отходит канал шириной b (рис. 5.27). Найти наибольшую
длину бревна, которое при сплаве из одного канала в другой
не застрянет на повороте.
Решение. На рис. 5.27 отрезком АВ схематично изобра-
жено бревно в одном из возможных его положений при сплаве
из одного канала в другой. Ясно, что концы бревна А и В
упираются в берега канала и бревно касается точки С—точки
излома берегов каналов при наибольшей длине бревна.
Длина отрезка АВ равна
где а—-возможный угол наклона бревна к одному из берегов
канала.
Наименьшее значение величины d и будет наибольшей дли-
ной бревна, которое можно сплавить из одного канала в другой.
Угол а изменяется в интервале (0; л/2). Так как d > 0, то наи-
меньшее значение величины d будет достигаться одновременно
с наименьшим значением da; имеем
= —I----— Y=(a+Mga)2 (14-—l-Y
\sina ‘ cos a j v*1 ' \ *tg2a/
Положим tga=£, где 0 < х < + оо. Тогда задача сводится к
отысканию наименьшего значения функции
f(x) = (a+H2(l+^r)
на промежутке (0; + оо). Имеем
Г(х)=[(а+*х)а (^Тг)] =
—2b(a-}-bx)
= 2(a+&x)[&(l+^-)-^±^]=2(a+M
Отсюда находим, что f (х)=0 при x—i/'a/b, f (х) > 0 при х >
> У а/Ь, Г (х) < 0 при 0 < х < If а/Ь-
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 403
Так как
lim f (х) = + оо и lira f (х) = + оо,
Я->0+ Х->+со
то проведенный выше анализ показывает, что min f(x) =
х6(0; + со)
тем самым величина d2 достигает своего наимень-
шего значения, если tgao—j/a/b. Так как aog(O; л/2), то
, «о 1
sin а0 = г -—г-, cos а0=— —- ,
У H-tg2a0 к l + tg2a(j
и, следовательно,
sin а0 =
cos а0 =
Таким образом, обозначив через d0 наибольшую длину бревна,
имеем
do=_^+_^_
sina0 cosa0
(а2/ 4-^2/3)3/2е
ЗАДАНИЕ 1
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции / (х)
на заданном отрезке, если:
1) f (x) = x3--3x2 + 3x4-2, xg[—2; 2];
2)/W = y+4-
3)/(*) = |Щ|. хё!-2;0];
4) Н*) = |х2 + х-2|-1п1 xg[l;2j.
2. Представить число а в виде суммы двух положительных
чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.
3. Найти расстояние между графиками функций у = х2 и
у — Х — 1.
4. Найти длины сторон прямоугольника наибольшего пери-
метра, вписанного в полуокружность радиуса так, что одна
из его сторон лежит на диаметре окружности.
ЗАДАНИЕ 2
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х)
на заданном отрезке, если:
1) f (х) = Зх* + 4х3+1, xg| — 2; Ц;
2)/W = y+y. *€1—5; -1];
404
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
3) f(x) = /'l — 2х-|-х2J-K14- 2x4-х2 xg[—2; 0];
4) f (х) = 4х3—х| х — 2 |, xg|0; 3].
2, Доказать, что
9—^85 —2x 4-3 9+^85
2 < х2 + 6х4 10 < 2
3. Найти расстояние между графиками функций у — —х и
У =
4. Найти длину высоты прямого кругового конуса наимень-
шего объема, описанного около шара радиуса R.
ЗАДАНИЕ 3
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х)
на заданном промежутке, если:
/ 2 -f- cos х \2
\ sin х /
2) f (х) = tg x-j-ctg 2х, х£[л/6; зт/3];
3) f (X) = /х(10—х), х(Ц0; 10];
X —• 1
4) / W=x>_3x+3-’ *€(- оо; 4- оо).
2. Найти наименьшее значение функции f(x) =
на интервале (0; л).
3. Найти все значения а, при каждом из которых сумма
квадратов корней уравнения
х2 —(л —2) х—а— 1 = 0
принимает наименьшее значение.
4. На графике функции у—Ух, х£[1; 9] найти такую
точку М, для которой имеет наибольшее значение площадь тре-
угольника АМВ, где А и В — точки графика с абсциссами 1 й
9 соответственно.
5, Каким должен быть угол при вершине равнобедренного
треугольника заданной площади S, чтобы радиус вписанного в
этот треугольник круга был наибольшим?
ЗАДАНИЕ 4
L Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х)
на заданном промежутке, если:
!)/(*)= К2ГГТ’
У х2
2) /(х) = 2|/ х , х(Ц—8; -1];
3) f (х) = (х— 1)2Кх2—2x4-3, х^10; 3];
4) /(x) = sin2x—х, xg[—л/2; л/2].
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 405
2. Найти наименьшее значение функции
"€N’
у 14-х у 1—X
на интервале (—1; 1).
3. Доказать, что если [0; л/3), то
___J______+-1__________
slnf4r4"4 sin f —4 3
4. При каком значении х функция
f (x) = I х— 1 l + l x—2 14-, ,, 4-1 x«- 19861
принимает наименьшее значение?
5. В данный круговой сектор радиуса R вписать прямо-
угольник наибольшей площади (угол сектора равен а). Вычис-
лить значение этой площади.
Упражнения
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на
заданном промежутке:
1) z/ = x3—х> xg[0; 4];
4
2) ^=ух3 — 4х, xg[0; 2];
3) </=х4—8ха—9, xg [— 1; 3];
4) у=2х3—9х2 J-12x4-1, xg[0; 2];
5) у=х — 2 In х, xg[l; е];
6) ^=iqrr- *€I-С 0];
7) у=2 In8 х—9 In2 *4-12 In x, xg[e3^4; e3];
8) y=x2 —41 x Ц-4, xg[—3; 3];
9) y=\(x+ 1) (2x-5)2|, x^-5; 4];
10) «/=sin2x—x, xg[0; л];
12) ^ = e2A?~;l4-2^-2A?4-7x—3, xg[0,14; 1J;
13) ^=2.23*--9.22* 4-12‘2*, xg[—1; 1];
14) 2sin 2x4-cos 4x, xg[0; зт/3];
15) y=|logi2x—log28x|, xg[l/2; 2 V2];
16^=1Л^=й’ ж4т:2];
17) y=|x3+6x24-9x+l|, xg[—3; 1];
18) 0=—|2x34-15x2 + 36x—30|, xg[—3; 2];
19) 0=cos?4sinA:’ nJ;
406
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
20) y=3x2+2*-1, xg[—2; 0|;
21) p==-g-X In х—х In 2, xg[l; 4];
22) gr=2x In х*—х In 49, xg[l; 7];
23)y=|x2+x-2|-lnl> хё[у;2];
24) y=— у Inx—|x2—2x—3|, xg^y;4p
25) jr=(x—3)e**+1l, xg[—2; 4];
26) j/=(x—3)2е|л|, xg[—1; 4];
27) y=x+V(x2+6x+9)(x2 + 2x4-l)t xg[—4; —5/4];
28) у == —2x + К(x2—10x4-25) (x2—4x4-4), x£[9/4; 6].
2. Найти наибольшее значение функции на заданном про*
межутке:
1)г/=1пх—х, я(Е(О; + °°);
2)# = 2tgx—tg2x, xg(—л/2; л/2);
о. Х2-|“ Х-f" 1 <- / х
3> ’ х€(— 00; «о);
4) у~—f/х2—х, х£[1; ЧЬ оо);
5) у=4-*1пх—~ х 1п9, xg(l; 3];
о о
6)у=Чтг- ж<=1“5= °)’
3. Найти наименьшее значение функции на заданном про-
межутке:
1) iy=3x + 2ctgx, xg(0; л/2);
2) z/== х In х—х In 5, xg(l; 5];
^(0; i);
x24-l
4) -r, "~t~7 , *€(-<»; +<»);
27 X2 +x+ 1 4-
еч /2+cosx\2 .
Ь}у=х\Г^Т-) *€(0;«);
6) j/=2x84-3x2 —120x4-100, x£(—4; 5];
7)JZ='Ип^+х10, x€[!;+“)-
4. Доказать, что max f (x) < 0,77, если f (x) = sin xsin 2x.
хе[-л; «J
5. Доказать, что min f (x) > —7/18, если f (x)=cos2xsinx.
x 6 [ - л; л}
Х.ГТ л 2 _ ( л Л \
6. Доказать, что sin 2а < -х, если ag ( 0; )«
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 407
7. Найти наибольшее значение функции:
2х
1) f (*) = 2 arctg х + arcsin j_|_y2 ;
2) f (х) = 74-2х In 25—5»-1—52~*;
3) f (x) = io'+4xln9—З*-1— З3-*;
4) /W=x8+X+4i+cosx;
4
5) f ~ х* + Злх + 2з+Sin Х-
8. Найти наименьшее значение функции:
1) f (%) = cos2 х + cos2 (л/3 + х)—cos х (л/3+х);
2) f (х) = 2*2-1+—---;
2^+2
3) f (х)=3* + 2-33~«—xln27—9;
4) f (х) = 2х-|- 18ji2/x+cos х, 0<х<ео.
9. Решить уравнение:
9г
1) ==х2-2x4-2; 2) 1пх—х = —14-(*~I)2!
3) ^2 4-11^ (14-sin2(x—2)) = 14-7 cos2 (х2—4x4-4);
4) к^+^4- И--^- = К^+3;
5) (х34~4) (х2 —4х-|-5) = 3х2.
10. Определить кратчайшее расстояние от точки М до гра-
фика функции f(x) = f(x), если:
1) f(x) = 2x4-3, 44(3; 2);
2) f (х) = Vх24-6х4-10, М (1; 0);
3) /(х) = 2-х24-у, М (2; 0);
4) f(x) = ex, М(2; —1); 5) f(x) = sinx, 2И(—1; I).
11. Найти минимум квадрата расстояния от точки М до
точек графика функции y = f(x), если:
1)/(х)=1+ТгЬ^’ М(0:1);
27
2)/(х) = -~==-----, xg(—1; 4-оо), М(— 1; 0).
7 К 2(х4-1)2
12. На интервале (0; л) задана функция у= 1— cosjf.
Найти наибольшее значение абсциссы точек пересечения каса-
тельных к графику данной функции с осью ОХ.
13. Найти координаты точки Mt лежащей на графике
функции ^=l-]-cosx при О^х^л и наименее удаленной от
прямой х/ ЗЧ-2//-]-4 = 0.
14. Найти координаты точки Му лежащей на графике
функции у~ 1—sinx при л/2^х^Зл/2 и наименее удаленной
от прямой х-»К 2 у—5 = 0,
408 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ Й ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
15. Найти координаты точки М, лежащей на графике
функции у = 24-cos х при 0х зт и наименее удаленной от
прямой х + =
16. Найти координаты точки А4, лежащей на графике
функции y==cos2x при и наименее удаленной от
прямой х 3 —2г/—7 = 0.
17. Даны точки А (0; 3) и В (4; 5). Найти на оси ОХ точку М
такую что сумма расстояний от этой точки до точек А и В
наименьшая.
18. Из всех прямоугольников, у которых две вершины
лежат на интервале (—2; 2) оси абсцисс, а две другие —на
графике функции у = 4—%2, найти прямоугольник наибольшей
площади и вычислить эту площадь.
19. В фигуру, ограниченную линиями у — %2, у = 2х2, х = 6,
вписан параллелограмм наибольшей площади так, что две его
вершины лежат на прямой х = 6, а две другие — на параболах
у — х2 и у~2х2. Найти эту площадь.
20. В фигуру, ограниченную линиями у = 3х и у — х2, впи-
сан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вер-
шины лежат на прямой, а две другие — на параболе. Найти
эту площадь.
21. Криволинейная трапеция ограничена параболой
у — х2-}-1и отрезками прямых у = 0, х — 1, х = 2. В какой точке
М данной кривой ^ = х24-1, xg[l; 2], следует провести каса-
тельную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обыч-
ную трапецию наибольшей площади.
22. Из всех прямоугольников данной площади S найти тот,
периметр которого наименьший.
23. Определить размеры открытого бассейна с квадратным
дном, объем которого равен V, чтобы на облицовку его стен
и дна пошло наименьшее количество материала.
24. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 8.
Найти минимум суммы квадратов длин всех сторон паралле-
лограмма.
25. Сумма двух сторон треугольника равна а, а угол между
ними равен 30°. Каковы должны быть длины сторон этого
треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
26. В равнобедренной трапеции меньшее основание и боко-
вая сторона равны а. Найти большее основание, чтобы пло-
щадь трапеции была наибольшей.
27. Найти высоту конуса наибольшего объема, образующая
которого имеет заданную длину I.
28. В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема.
Найти его радиус, высоту и объем.
29. Среди всех конусов, периметр осевого сечения которых
равен 8, найти конус с наибольшим объемом и вычислить этот
объем.
30. Сумма длин всех ребер правильной шестиугольной
призмы равна 36. Найти длину стороны основания призмы,
при которой объем призмы будет наибольшим.
31. Дан шар радиуса 10. Найти радиус основания и длину
образующей вписанного цилиндра, имеющего наибольшую пло-
щадь боковой поверхности.
32. В конус, радиус основания которого 6 и высота 12;
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 409
вписан цилиндр наибольшего объема (основание цилиндра
лежит на основании конуса). Найти радиус основания и высоту
цилиндра.
33. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
равнобедренный треугольник АВС, в котором С = 90°, МА — вы-
сота пирамиды, — 3, где О —середина АВ. Найти длину
высоты пирамиды, при которой ее объем будет наибольшим.
34. В основании пирамиды- MABCD лежит прямоуголь-
ник ABCD, в котором АВ—ЗВС, MD—высота пирамиды
и MD-A-BC— 12. Найти длину отрезка ВС, при которой объем
пирамиды будет наибольшим.
35. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет
постоянную длину и составляет с плоскостью основания угол,
величина которого равна а. Найти значение а, при котором
объем пирамиды будет наибольшим.
§ 5. Применение производной
Область применения производной при решении задач эле-
ментарной математики очень широка. Это, например, использо-
вание производной при преобразовании алгебраических выра-
жений, разложении на множители, доказательстве тождеств,
вычислении сумм, решении уравнений, неравенств и систем,
доказательстве неравенств, решении задач с параметрами,
исследований функции и т. д. В основе таких приложений
лежит ряд основных теорем, которые приводятся ниже.
1. Если функции f (х) и g (х) дифференцируемы на интер-
вале (а; Ь) и f(x)^sg(x), xg(a; b), то f(x)^g'(x), xg(a; b).
2. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале
(а; b) и (х) g'(х), х^(а; Ь), то f(x) = g(x) + c, где с—неко-
торая постоянная.
В частности, если функция f (х) дифференцируема на интер-
вале (а; Ь) и ff (х) = 0, xg(a; b), то функция f (х) на интервале
(а; Ь) тождественно равна постоянной, т. е. f (х)^с.
3. Если функция f (х) дифференцируема в точке Хо£(а; Ь),
то она является непрерывной функцией в точке х = х0.
4. Если функция f (х) дифференцируема на интервале (а\ Ь)
и f (х) > 0 (/' (х) < 0), х£(а\ Ь), то функция f (х) возрастает
(убывает) на интервале (а; Ь).
5. Если функция f (х) непрерывна на промежутке [а;/»)
([а; b], (а\ д]) и убывает (возрастает) на интервале (а; Ь), то
функция f (х) убывает (возрастает) на промежутке [а; Ь)
([а; (а; &]).
6. Если функции f (х), g (х) непрерывны на промежутке
[а; и дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем f' (х) <
< g'W, *(&', Ь), и f(a)^g(a), то f (х) < g (х), xg(a; b).
7. Теорема Ролля. Если функция f (х) непрерывна на
отрезке [я; 6], дифференцируема на интервале (я; Ь) и f (a) ~f(b),
то существует по крайней мере одно значение с£(а\ Ь) такое,
что Г (с) = 0.
Геометрическая интерпретация теоремы Ролля состоит в том,
что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой
внутри его функции, принимающей на концах этого отрезка
410 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
одинаковые значения, существует хотя бы одна точка (с; /(c)),
через которую проходит касательная, тангенс угла наклона
которой равен нулю, т. е. ff (с) — 0. Другими словами, сущест-
вует касательная (с точкой касания (с; f (с)) графика функции),
которая параллельна оси ОХ (рис. 5.28).
8. Теорема Лагранжа. Если функция f (х) непре-
рывна на отрезке [а; Ъ] и дифференцируема на интервале (а\ Ь),
то найдется по крайней мере одно значение eg (а; Ь) такое, что
(Ъ—а).
Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в сле-
дующем. Пусть АВ — хорда, соединяющая точки A (a; f (а))
ъ В (b; f (&)) (рис. 5.29). Тогда отношение равно
§5 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 4Ц
тангенсу угла наклона к оси ОХ прямой, проходящей через
точки Л и В, а производная ff (с) равна тангенсу угла наклона
касательной к графику функции у= f (х) в точке касания
(с; Другими словами, у графика непрерывной на отрезке
[а-, 6] и дифференцируемой на интервале (а; Ь) функции суще-
ствует хотя бы одна точка (с; f (с)), через которую проходит
касательная, параллельная хорде АВ.
Пример 1. Разложить на множители выражение
ху (х—у) 4- У* (у—z)+ xz (z *-х).
Решение. Считая х переменной величиной, рассмотрим
функцию f(x) = xy (х — y)+yz(y-*z)4-xz(z**-x). Имеем
f' W = 2ху—у2 + z2—2xz = (y—z) (2x^y*-z)<
Так как
(х2—(y4-z) х)' = 2х—у—z,
((у—г) (х2 —(у4~г) х))' = (у—z);(2x*-y—z),
то отсюда заключаем, что
Г (*) = ((У** г) (х2 — (у+г) х)\
По теореме 2 получаем
f (x)==(y--z} (x2—(y4-z) x)+G,
где С не зависит от х, но зависит, вообще говоря, от у и 2*
Так как последнее равенство верно при любом х, то, по-
лагая, например, в нем х —О и учитывая, что f (0) = yz(y*-z),
найдем C = yz(y—z).
Таким образом,
IW == (У—г) (х2 —— (у + z) х) + yz (у— г) =
~(У~-2) (х2—(y+z)x+yz) =
== (у—г) (х (х—у)—z (х—у)) = (х—у) (у—г) (х-* г>.
Итак,
ху (х—у) + у г (у—г) + xz (z—х) = (х—у) (х — z) (у—г).
Пример 2. Разложить на множители выражение
(у—2) (у+г)3+(2—x)(z+x)3+(x—у) (x-f-y)3.
Решение. Считая х переменной величиной, рассмотрим
функцию f (x) = (y—z) (y+2)3+(z—х) (г+х)3 + (х—у) (х+уЯ.
Найдем ее производную:
? (x) = —(z+x)3+3(z+x)2 (z—х)+(х + у)3 + 3(х + у)2 (х—у)==
= (z+x)2 (3z-3x-(z+x)) + (x+y)2 (х + у+3х-3у) =
=2 (г 4-х)2 (г-2х)+2 (х4~у)2 (2х—у).
Отсюда после алгебраических преобразований получаем
Г (x) = 2(z3^y34-3(y^z)x2).
412 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Так как
((г8—у3) %+((/ — г) x8)' = z3-“j/34-3(z/—z) ха,
ТО
г (х) = (2 (^-y^x+iy-^x*))',
и, следовательно, по теореме 2 заключаем, что
f (х) = 2 ((г3-^ х+(у-г) х3) + С,
где С не зависит от х, но, возможно, зависит от у и г. Пола-
гая в этом равенстве, например, х = 0 и учитывая, что f(0) =
= (y^z) + найдем
С=(у—г) (у+г)3+г4—у*.
Итак,
f (*)==2 ((г3—f/З) —Z) Х3) + (у^г) (^ + z)3 + z4—I/4,
или
f (*) == 2 (У г) (— У*х — xyz—z2x+х3 + y*z + уг*).
Для того чтобы разложить на множители выражение в по-
следних скобках, применим тот же самый прием. Считая
у переменной величиной, рассмотрим функцию
g (у)» — у*х—Xyz — г2х+х3+у*г уг*;
тогда
g' (#) = —2ху—хг+2уг+г2 = 2у (z—x) + z(z-*x) = (z—х) (2^+г).
Отсюда получаем
g(#) = (z—x) (y2 + zy)+Cit
где Ct зависит от х и г и не зависит от у. Полагая, например,
#=0 и учитывая, что g (0) =—z2x + x3, из последнего равенства
найдем Cf = x(x2—г2). Таким образом,
g (У) = (г—х) (у2 + гу) + х (х2 — г2) = (х—z) (х2 + xz—$/2 — гу) =
==(х—z) ((х-r/) (х+^) + г(х—^)) = (х—г) (х—у) (х+^+г).
Итак, окончательно имеем
f (х) = 2 (х—0 (х-*г) (у—z) (х+^+г).
Пример 3. Упростить выражения
а) (* + #+г)3 — (х + «/ —г)3—(у+г—х)? —(г + х—г/)3;
б) sin3x(14-ctgx) + cos3x(l + tgx).
Решение, а) Считая х переменной величиной, рассмот-
рим функцию
f (х) = (х + г/+г)3-~(х+у~г)*~(у+2^х)*~(г+х--уУ.
Тогда, дифференцируя ее, имеем
г (х)=3(х+г/+г)2- 3 {x+y^z^+3(y+z^x)^3(z+x^y)^2^yz.
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 413
Отсюда находим, что f (x)~24xyz-]~Ct где С не зависит от х,
но может зависеть от у и г. Полагая, например, х==0, полу-
чаем
C^f^^(y + z)^(y^zY^(y+z)^{z^y)\
Поскольку (^/4-г)3 —(f/—г)3-—*(^/+г)3*—t/)3==0, то С=0.
Следовательно,
f (x) = 24xyz.
б) Для функции /(x) = sin3x (1 + ctg x) + cos3 х (1 +tg х) на
ее естественной области существования имеем
f (х) == 3 sin2 х cos х (1 + ctg х) — sin3 х gj-g— ~~
-*3 cos2 х sin х (1 + tg х) + cos3 х =
= 3 sin2 х cos х—3 cos2 x sin x—-sin x+cos x +
4-3sin x cos2 x—3 cosxsin2x== cos x—sinxt
Таким образом, из тождества (sin x-|-cos x)' = cos х—sin х сле-
дует, что
f (х) = cos х + sin x,+C,
где С—‘Некоторая постоянная. Полагая"в последнем тождестве,
например, х = л/4, найдем, что С = 0. Следовательно, f (х) =»
== sin х+ cosx при всех действительных значениях х таких,
что х 7^ fat/2, k£N.
Пример 4. Доказать тождества
2х
a) 2arctgx+arcsin-|-р^-==л, x^sl;
б) l + 3x?+5x4+... + (2n—1)х2«~2 =
(2п — 1) х2”~2—(2n4- 1) х2” + х2+ 1 . > t
Решение, а) Рассмотрим функцию
2х
f (x) = 2arctg х4 arcsin-p-j-p-, x^l.
При х= 1 имеем f (l) = 2arctg 14-arcsin 1 = 2-~-4-~-=jt. Пусть
2
x> 1; тогда (2arctg х)'=т-.- и
i —x
( . 2x V' 1 / 2x V
\ 1+*2/ 1/1 / 2x \2 \1 + *2/
V \T+xV
i+x2 2(1—x2) _2 1—X2 1 _ 2
K(l—x2)2 (1 + x2)2 |l-x2| l+xa“" H-x3'
Поэтому
/'(x) sO, X > 1,
414 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Следовательно, функция f(x) при х> 1 является тождественно
равной постоянной. Чтобы найти эту постоянную, вычислим,
например, f(]^ 3); имеем:
f (V”3)=2arctg'K 34-arcsin J^-=2
о о
Таким образом, данное тождество доказано для всех х^\.
б) Так как
1+Зх2 + 5я4+ ... + (2л— 1) х2«-2= (x + x3-J- ...
то, используя формулу для суммы первых п членов геометри-
ческой прогрессии при | х [ #1, найдем
Поскольку
/х—х2"*1 у_ (1 —(2ге+1)х2«)(1—х2)+2х(х—х2л+1) _
\ 1—х2 ) (1—х2)2
1—(2n +1) х2«—х2+(2 га +1) х2«+2 4- 2х2—2х2в+2 _
₽ (1 —х2)2 ~
_ 1 +х2 — (2га + 1) х2«+ (2га —1) х2в+2
~ (1—х2)2
то требуемое тождество доказано.
Отметим, что из доказанного в п. б) тождества можно
получить некоторые числовые равенства. Так, например, по-
лагая в нем х —2. а затем х=1/У~ 2, соответственно найдем
1) 1+3.4+5.4Ч-...+99.4-=!”-2“,-'901-2“,+5 =
=4(1+592io“);
У
2) 1+4+^+... 4-^=4. (101.^5-103.^+1+1) =
/101 1 105
\ 2 103 J ’ 2«16 — 6 260 '
Пример 5. Найти сумму
Sn (х)=Ь2+2.3^ + 3«4х2+...+(л— l)n*«-24-M"+l)*“~x>
х Ф 1.
Решение. Пусть
fn (x)=1 + x+x2+4..+x" + x"+1.
Так как
gn (ж) = fn (X) = 1 +2х+ Зх2+... +«х«-1+(»+1) х»
g„ (х)= Ь2+2.3х+3.4х2+... +га (га—1) хл-?+(га+1) гах”-1,
то
Sn(x) = gn(x).
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
415
Поскольку fn (х) есть сумма первых п+1 членов геометри-
ческой прогрессии со знаменателем х, х й 1> то
Так как gn (x)~fn (х), то
, 1— хл+2 V — (п+2)х« + 1(1— х) + (1 — х«+2)
SnW \ 1—х ) (1— X)2 “
_ (n+l)x”+2—(п+2)хп+*+)
- (1-х)2
е ,г\_( (n+Dx'»+2-(n + 2)x'’ + »+l V
S„(x)-^-----------——г----------J =
_((л-Н) (« + 2)х»+1—(п+2)(п-|-1)х»)(1—х)8
(1—х)4 "Г
, 2(1 — х) ((n+1) хп+2—(n+2) хп+1+1)_
+ (1— х)4 —
__ —-n (n + I) xw*2+2n (n+2) xn+1—>(п+1) (n+2)x”+g
~~ (1-х)з
Пример 6. Найти сумму
Se==2>. Ь2+22.2.3+23<3‘4+... +2йп (п+1).
Решение. Рассмотрим функцию
f (х) = х2+ха+... + х"+х.
Имеем
g W - г (х)=2х+Зх2 +...+(п +1) х«,
g' (х) х = 2х+2*3х2+.,. + (п+1) пх«9
и поэтому Sn=2g'(2). С другой стороны,
Хп + 2^,х2
X—1
fM
как сумма первых п членов геометрической прогрессии е пер-
вым членом х» и знаменателем х, х Ф I. Поэтому
/ х« + 2—х2 V ((л+2)х»+1—2х) (х— 1)—(х«+2—х2)
1 ) — (х— 1)2
__(n+ I) хл+2-~(п + 2) хп+1—х2+2х
“ (X— I)2 5
((»+1) (я+2) х«+4-(п+2) («4-1) х«-2х+2) (х-1)2
g (XJ---------------------
2 (х— 1) ((«+ 1) хп+2—(п+2) х”+*—х2+2х)
(х-1)4
Таким образом,
Sn=2 ((п+ 1) (п+2).2«+4-(п+2) (п+1).2»-4+2)-
—2((п + 1)-2«+2—(п + 2)-2л+1) = 2'1+1(2(п + 1)(п+2) —
—(л + 2) (п+1)—4кп + 1)+2п + 4) —4 = 2«+1(п2—п+2)—4.
416
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Пример 7. Найти сумму
s„=cS+2cU-3c£+...+(» + !)ей, п^1,
где число сочетаний из п элементов по k элементов.
Решение. Рассмотрим многочлен
Рп (*) = Сп+2СпХ+ЗСпХ2 +... + (л +1) СЙХ«.
Значение этого многочлена при х=1 дает искомое значение
суммы, т. е. Sn = pn(l).
Рассмотрим функцию
?„+1 (х)==С^4-САх2+С^»+ ... +СЙх»+*.
производная которой равна prt(x).
Используя теперь формулу бинома Ньютона, получаем
<7п+1 (х) = х (С^4-С^4-С^+... +О) = х (1 +хр.
Тогда
Рп (х) = ^+1 (х) = (х (1 +х)«)' = (1 +х)« + пх (14-х)”-»,
и, таким образом, получаем
Sn = pn(l) = 2” + n*2«-i = (n + 2)*2«-a.
Пример 8. Найти все пары чисел (a; Ь), где а > 0, 6^0,
такие, что справедливо тождество
a In х+& = 1п (ах+&), х > 0.
Решение. Пусть пара (а0; Ьо) такова, что
«о 1пх+&о = 1п (аох+&о)
при каждом х > 0.
После дифференцирования при всех х > 0 получаем тож-
дество
ffd ао
х a0*+fy)*
На рассматриваемом множестве пар (а; &), а > 0, послед-
нее тождество справедливо только для пары (1; 0). Непосред-
ственной проверкой убеждаемся, что найденная пара чйсел
(1; 0) является решением исходной задачи.
Пример 9. Найти все функции f(x), каждая из которых
имеет непрерывную производную при всех xgR и удовлетво-
ряет тождеству f (2x) = 2f (х), xgR.
Решение. Пусть f (х) — искомая функция. Тогда из тож-
дества f (2x) = 2f (х) имеем f(0) = 0 и 2/' (2х) = 2f- (х), откуда
находим
Г(2х) = Г (х).
Так как х—произвольное число, то получаем
^(2х) = Г(х)=Г = xgR.
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 417
Так как х/2п —>0 при п —> оо и по условию y~fr (^ — непре-
рывная функция на 7?, то
Г(*) = lim f' (х)= lim f ( lim £}=Г (0), xgR.
Таким образом, функция f' (x), xgR, есть константа, откуда
f (x)~ax-\-bt где a = f' (0). Положив, например, x — 0, из по-
следнего тождества с учетом равенства f(0)=0 получим, что
£ = 0. Следовательно, искомыми функциями могут быть только
функции вида f(x) = ax. Проверкой убеждаемся, что любая
функция вида f(x)=ax удовлетворяет условию задачи.
Применение производной к решению уравнений, неравенств
и систем, а также к доказательству неравенств основано на связи
между возрастанием или убыванием функции на некотором
промежутке и знаком ее производной.
Пример 10. Решить неравенство
2х9 —х^+х > 2.
Решение. Найдем участки возрастания и убывания функ-
ции f(x) — 2x9—х5-4~х—2. Производная f' этой функции равна
18х8—5х4+Ь Так как дискриминант квадратного трехчлена
18z/2—является отрицательным числом и коэффициент
при у2 этого квадратного трехчлена больше нуля, то для каж-
дого действительного х имеем неравенство (х) > 0.
Таким образом, функция y = f(x) является непрерывной и
возрастающей на всей числовой прямой; поэтому ее график мо-
жет пересекать ось ОХ только в одной точке. Учитывая, что
/(1)=0, заключаем, что решениями данного неравенства являются
все числа х из промежутка (1; +оо).
Пример И. Решить неравенство
х2+^<й‘ (1)
Решение. Корнями уравнения
ж2 4-1/х=з/У1 (2)
являются абсциссы точек пересечения или касания графика
функции f (х)=х2+1/х и прямой 4. Найдем участки
возрастания и убывания функции г/ = /(х), а также ее точки
экстремумов.
Так как
f' (х) =2х*-Л/х2,
то
f' (х) > 0 при х > ill/ 2;
при х~1Ц/ 2;
f' (х) < 0 при х < 0 и при 0 < х < 1/^/ 2,
Таким образом, функция y=f(x) убывает на промежутках
(— оо; 0) и (б; l/i/ 2) и возрастает на промежутке {ill/2;
14 Задача до математике. Начала анализа
418 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
+ оо). Так как f (л) непрерывна в точке x=l/^Z 2, то в точке
2 она имеет локальный минимум, равный
Отсюда ваключаем, что число х—1/р/ 2 является корнем урав-
нения (2) (рис. 5.30), и, следовательно, при х > 0 данное нера-
венство решения не имеет.
Так как функция / (х) = ха + ™' непрерывна и убывает на
(—оо; 0), то при условии, что f(x0)=3/j/ 4, где xog(— оо; 0),
решением исходного неравенства
будет интервал (х0; 0),
Таким образом, если точка
xog(—оо; 0) существует, то она
является корнем уравнения (2).
Так как x—l/p/ 2 является од-
ним из корней уравнения (2), то
это число является корнем и
равносильного ему уравнения
т^х+1 = 0- (3)
|/4
Для нахождения остальных кор-
ней уравнения (3) воспользуемся
теоремой Безу. По теореме Безу
многочлен X3--—— х4-1 делит-
V 4
лен Найдем частное от
деления:
0
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
419
Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде
и поскольку
то уравнение (3) равносильно уравнению
Из (4) получаем х0=—2/j/^ 2.
Таким образом, решениями неравенства (1) являются все
числа х из промежутка (-2/^2; о).
пр и мер 12. Решить уравнение
х2— х 4-2 = 2 У2х—1.
Решение. Переписав данное уравнение в виде
х2—2х4-2 = 2 р^2х—1—х, (5)
заметим, что его корнями являются абсциссы точек пересечения
или касания графиков функций f (х) = х2 —2х+2 и g(x) =
= 2]/2х—1—х. Для выяснения взаимного расположения гра-
фиков этих функций найдем их точки экстремумов.
Так как f (х) = (х—1)24-1, то эта функция достигает своего
наименьшего значения, равного 1, в точке х = 1. Область суще-
ствования функции g (х) = 2 2х— 1 —х состоит из всех х таких,
что х^ 1/2. Так как
ТО
g' (*) > о при 1/2 < х < 1.
g' W=o при «= 1>
g' W < 0 при х > 1. §
Так как функция y = g(x) непрерывна на [1/2; -р оо), то отсюда
заключаем, что функция g(x) возрастает на промежутке [1/2; 1]
и убывает на промежутке [1; 4“ °0)- Следовательно, точка х = 1
является наибольшим значением функции g(x) на ее области
существования.
Таким образом, при любом xg[l/2; 4-°°)/
х2 — 2x4-2 1,
2 2х в®9 & •«* X
14*
420
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Следовательно, уравнение (5) и, значит, исходное уравнение
имеют единственный корень х=1.
Взаимное расположение графиков функций у = f (х) и у —g (х)
показано на рис. 5.31.
Пример 13. Опреде-
лить число действительных
корней уравнения
12х4—14х3 —Зх2—5 = 0. (6)
Решение. Найдем
промежутки возрастания и
убывания непрерывной
фу н кци и f (х) = 12х4 —
•— 14х3—Зх2—5.
Так как
f (х)~ 48х3 —42х2 —6х =
Рис. 5.32
Рис. 5.31
то отсюда заключаем, что на промежутках (— оо; —1/8] и [0; 1]
функция f(x) убывает, а на промежутках [—1/8; 0] и [1; Ч-оо)
возрастает.
Таким образом, точки х = —1/8 и х=1 являются точками
локальных минимумов функции f (х), а точка х = 0—точкой
локального максимума функции / (х) (рис. 5.32). Имеем
/(0)=-5; /(!>=—10.
и, следовательно, /(—1/8) < /(0).
Отметим также, что /(—Г) = 18 и /(2) = 63. Так как функция
/(х) возрастает на промежутке [1; +оо), то она возрастает и
на отрезке |1; 2J. Поскольку на концах отрезка [1; 2] вепре*
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 421
рывная функция f(x) принимает значения разных знаков, то по
теореме о промежуточном значении непрерывной функции за-
ключаем, что функция f(x) принимает на промежутке [1; +00)
значение, равное нулю в единственной точке х — х± такой, что
1 < Xi < 2, Аналогично находим, что существует еще ровно одна
точка х2, —1 < х2 < —1/8, в которой график функции y~f(x)
пересекает ось абсцисс.
Таким образом, уравнение (6) имеет только два действитель-
ных корня.
Пример 14. Для каждого значения а найти число кор-
ней уравнения
х3—Зх2—а — 0. (7)
Решение. Найдем участки возрастания и убывания функ-
ции f (х) = х3—Зх2. Так как f' (х) = 3х2 — 6х = 3х (х—2), то
f' (х) < 0 при 0 < х < 2;
f' (х) = 0 при х —0 и х—2;
f' (х) > 0 при х < 0 и х > 2.
Таким образом, непрерывная функция y = f(x) в точке х —2
имеет локальный минимум, а в точке х = 0—локальный мак-
симум, причем /(0) = 0, Д(2) = —4. Кроме того, функция y~f(x)
убывает на промежутке * [0; 2] и возрастает на промежутках
(—оо; 0] и [2; + оо). При этом lim f (х)=+оо и lim f(x)~—оо.
+ оо х-> - 00
Отсюда следует, что для выяснения зависимое!и числа кор-
ней уравнения (7) от возможных значений а нужно выяснить
взаимное расположение графика функции y = f(x) и прямой у —а,
когда а изменяется в промежутке (—оо; + оо). Из доказанных
выше свойств функции f (х) и того, что функция f (х) непре-
рывна в каждой точке своей области существования и является
многочленом третьей степени, а значит, имеет или один дей-
ствительный корень, или три действительных корня, заклю-
чаем (рис. 5.33), что
при а > 0 уравнение имеет один корень;
при а = 0 уравнение имеет три корня (xi = x2 = 0; х3=*=3),
среди которых два совпадающих;
при —4 < а < 0 уравнение имеет три различных корня;
при а = —4 уравнение имеет три корня (xi = x2 = 2, х3=—1),
среди которых два совпадающих;
при а < —4 уравнение имеет один корень.
Если хх, х2, ...» xrt—-корни алгебраического уравнения
f (x) = anac« + a„_1x«-I4-...+ao = O, аа £ 0, (8)
то многочлен, стоящий в левой части этого уравнения, может
быть представлен в виде
апхп+ап-IX» ~14- ... + а0=ап (х—х,) (х—х2),. . (х—хй).
Если'среди корней х/, х2/ ..., хп имеются корни, равные между
собой, то говорят, что уравнение (8) имеет кратные корни,
при' этом, если xi = x2 = ... =5=Х£ = я и среди других корней нет
равного числу а, говорят, что число х=а является корнем
422 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
кратности k. Например, так как
х4»—7х3 + 9х2-|-27х—54= (х—З)3 (x-J-2),
то корень х = 3 имеет кратность 3, а корень х ——2 является
корнем кратности 1 (или простым корнем).
Применение производной позволяет, не решая уравне-
ния (о), не только убедиться в существовании кратных корней
(если они есть), но и дать способ отобрать все кратные корни,
отделив их от простых корней. Имеет место следующее утверж-
дение:
Наибольший общий делитель многочленов f (х) и f' (х)
имеет своими корнями лишь корни многочлена f (х), причем
только те из них, которые имеют кратность не менее 2. Каж-
дый из этих кратных корней многочлена f (х) является корнем
наибольшего общего делителя кратности на единицу ниже.
Простые корни многочлена f (х) не являются корнями наиболь-
шего общего делителя многочленов f (х) и f (х).
Отсюда вытекает следующее правило для нахождения
кратных,корней уравнения (8):
1. Находим f' (х).
2. Находим наибольший общий делитель многочленов f(x)
и f (х).
3. Находим корни наибольшего общего делителя много-
членов f (х) И f' (X).
Каждый из найденных корней наибольшего общего дели-
теля многочленов /(х) и /' (х) является корнем многочлена
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 423
f (х), причем кратность этого корня на единицу больше его
кратности в наибольшем общем делителе.
Отметим, что если наибольший общий делитель многочле-
нов / (х) и f' (х) есть константа, то уравнение f (х) = 0 не имеет
кратных корней.
Пример 15. Решить уравнение
хз_8х24-13х—6 = 0.
Решение. Рассмотрим многочлен
/ (х) = 8х2+ 13х—6,
производная которого равна
Г (х) = Зх2—16x4-13.
Найдем наибольший общий делитель многочленов f(x) и f* (х)<
Имеем
x3__8x2-|-13x—6 Зх2—16x4-13
8 а , 128х 104
--3*8+—--9-
—50 , 50 50~ Т"
— -----д (х—1).
^Зх2—16x4-13 1 х—1
Зх2—Зх |3х-«13
__ — 13x4-13
— 13x4-13
0.
Таким образом, наибольший общий делитель многочленов
/(х) и f' (х) равен х—1 (с точностью до постоянного множи-
теля).
Так как х= 1 является простым корнем наибольшего об-
щего делителя, то число х=1 будет двукратным корнем дан-
ного уравнения, и, значит, многочлен / (х) делится без остатка
йа (х—I)2. Разделив f (х) на (х—I)2, находим, что f (х) =
= (х— I)2 (х—6). Следовательно, корни исходного уравнения —
это числа Х1 = х2=1 и х=6 и только они.
Пример 16. Решить систему уравнений
х2^+2х^«+^==9,
х*у—р*=7.
Решение. Перепишем данную систему в виде
у{х + у)2 = 9,
(Ю)
424 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Из первого уравнения этой системы следует, что ее решениями
могут быть такие пары чисел (х, у), для каждой из которых
у > 0. Тогда эти пары чисел должны удовлетворять неравен-
ству х > у > 0, что следует из второго уравнения системы (10).
Пусть / = у\ тогда из первого уравнения системы находим,
что х — 3/t—t2. Подставляя во втором уравнении системы
3//— /2 вместо хи/2 вместо у, получаем
((3/Z —Z2)3—/6) = 7,
или
(3—/3)3—/9—7^ = 0. (11)
Так как
((3 —/3)3 —/9 — 7/)' =— 9 (3_/2)2 /2 — 9/8 —7=:=
=— (9 (3 — /2)2 Z2 + 9/8-f-7) < 0,
то уравнение (11) имеет не более одного корня. Нетрудно за-
метить, что число / = 1 является корнем. Отсюда находим, что
решением данной системы может быть только пара чисел х = 2
и у~\. Проверкой убеждаемся, что эта пара чисел действи-
тельно является решением системы (9).
Пример 17. Доказать, что при х^О имеет место нера-
венство
х2—х3 < 1/6. (12)
Решение. Найдем участки возрастания и убывания
функции
/(х) = х2 — х3 = х2 (1 — х), Х^О.
Так как /'(х) = 2х —- Зх2 = х (2—Зх), то
Г (х) > 0 при 0 < х < 2/3;
f(x) = 0 при х = 2/3;
/' (х) < 0 при х > 2/3.
Функция f(x) непрерывна на [0; 4-оо); поэтому она возрастает
на отрезке [0; 2/3] и убывает на промежутке [2/3; +©о). Отсюда
заключаем, что точка х = 2/3 является точкой локального мак-
симума функции / (х) (рис. 5.34).
Так как f (2/3) = (2/3)2 — (2/3)3 = 4/27 и 4/27 < 1/6, то нера-
венство (12) доказано.
Ри«. 5.34
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 425
Пример 18. Доказать, что при х^О имеют место не-
равенства
х—х3/& «С sin х <; х, (13)
1—-х2/2 «с cos х=< 1. (14)
Решение. Sin х «С х справедливо для хл/2, поскольку
для таких х имеем sin х^ 1 < л/2. Рассмотрим функцию Л(х)=
= sin х— х, х0О; л/2). Так как функция h (х) непрерывна на
промежутке [0; л/2), Л(0) = 0 и h' (х) = cos х — 1 < 0 на (0; л/2),
то, согласно утверждению 6, заключаем, что h (х) < 0 на
(0; л/2), т. е. sinx < х при xg(0; л/2). Так как sinx — x при
х = 0, то неравенство sinx^x при х^О доказано.
Для доказательства неравенства
cosx^sl—- х2/2 (15)
при х^О рассмотрим функцию
f (х) = cos х + х2/2 — 1.
Так как /(0) = 0 и функция / (х) непрерывна, то для доказа-
тельства неравенства (15) достаточно доказать, что функция
f (х) возрастает на промежутке (0; +оо), т. е. достаточно дока-
зать, что
/' Гх) = — sin х+х > 0
при х > 0.
Справедливость последнего неравенства sin х < х при х > 0
уже установлена, тем самым доказана и справедливость нера-
венства (15).
Для доказательства неравенства
sinx — x—х3/6, х^0, (16)
рассмотрим функцию
gr’(x) = sin х—х+x3/6t х 0.
Так как g(0) = 0 и функция g (х) непрерывна на [0;
то для доказательства неравенства (16) достаточно доказать,
что функция g(x) возрастает на промежутке (0; + <»), т, е.} что
g' (х) = cos х-— 1 + х2/2 > 0
при х > 0.
Справедливость последнего неравенства уже установлена.
Тем самым доказана справедливость неравенства (16)» Графи-
ческая иллюстрация неравенств (13) и (14) показана соответ-
ственно на рис. 5.35, а, б.
Пример 19. Доказать, что
1 + х/2
при х^0.
Решение, Рассмотрим функцию
/(х)==— У l+x+x/2-f-l
при х^0<
426 ГЛ Ь ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Так как f (0) = О и функция f (х) непрерывна при х^О, то
для доказательства данного неравенства достаточно доказать,
что функция f (х) возрастает на промежутке (0; + оо), т. е.,
что
f' (х) =______ -к—- = 1 Х > 0
' 2/ 1 + х+ 2 2/1-^х
при х > 0. ___
Заметим, что V 1 + х > 1 при х > 0. Отсюда следует спра-
ведливость последнего неравенства, а тем самым и исходного
неравенства. Взаимное расположение графиков функций
и р=1 + у показано на рис. 5.36.
Пример 20. Доказать неравенство
In2л > In 1) In («+ 1), п > 2.
Решение, Перепишем данное неравенство в виде
In п In (п+ 1)
In 1) > Inn
Рассмотрим функцию
In y
- хё(2; +оо)’
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
427
и найдем ев производную. Имеем
1п(х—1) 1пх . х—1 . , 1Ч
----------------V-----------L----------- х 1п-In (X — 1)
Г (Г\ - х-------------------------------------1— х-_<
1 w~ ln2(x—1) х(х— 1)1п2(х— 1) -•
Так как f' (х) < 0 при х > 2, то функция y~f(x) убывает на
промежутке (2; 4-оо), и, следовательно, п > 2»
т. е.
In п In (и +1)
In (п— 1) Inn ’
откуда следует нужное неравенство.
Пример 21. Пусть a, bt с, d —произвольные положитель-
ные числа. Доказать, что
Решение. Рассмотрим непрерывную функцию
(1 \ь л л~/\а+ь
i+y) -------------
при t > 0.
Дифференцируя fit), получаем
/ (0— —— —
(1+0<г+ь-1а^—|-
Отсюда заключаем, что
f' (0 > 0 при t > bfa\
при t~b/a\
f' (0 < 0 при 0 < t < b/a>
428 ГЛ. б. ПРОИЗВОДЙАЯ Й ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Таким образом, функция f (t) в точке t — b/a достигает своего
наименьшего значения на множестве (0; + оо), и, следовательно,
7 (£-)</(О, ОО, (18)
причем знак равенства достигается лишь при t-b/a. Полагая
t~d[c в (18), получаем
(Я \ а / с / h \а / /7 \ь
1+-) (J+4) >( 1+-) (1+4) .
с J \ d J \ a J \ b }
откуда и следует неравенство (17).
Отметим, что равенство в (17) дос игается только тогда,
когда a/c — bld.
Замечание. Из неравенства (17) в качестве его след-
ствий можно получить некоторые классические неравенства:
о среднем арифметическом и среднем геометрическом, нера-
венство Гёльдера, Коши — Буняковского и др.
Действительно, переписав неравенство (17) в виде
/ Х± Х2 \Х1+Х« / Х± / Х2
\ Ui+Уг ) *\~yij кК/
и заменив в нем х2 на х2+х3, а z/2 на г/г+^з, получим
(#1 -|--Х2 -J~ Х3 \ATi+X2+X8^ / Х£\х1 f Х2 Xg
i/1 + ^2 + ^8 / \У1/ \Уз + Уз)
( ** V1 ( *2 Vя ( ХзУ8
\ W \ Уз J \ Уз J .
Отсюда, используя метод математической индукции, легко дока-
зать, что, каковы бы ни были положительные числа хь х2, ...
..., хп и у±, у%, ...» уп, имеет место неравенство
/ xi + x2+...-|-xBVi+^+«» '+Хп^ (V1 fjElV8 ( хп\Уп
\*/1+#г+ • • •+Уп / \У1) \Уз) "\Уп)
(19)
в котором равенство достигается только в том случае, когда
Xi Х2 хп
У1 Уз Уп '
Теперь, подставляя в (19) х/ = р/ и yi—ptai (i==l, 2, nh
получаем
ap*api ,,,ар»<.(.^+^+ .. +р»ап• • • +₽» (20
12 п \ Р1+Рз+»..+Рп J '
если в (20) pi = p2 = ,.. =рв==1, то получаем неравенство между
средним арифметическим и средним геометрическим чисел
#3»
а.а« а /’а* + а2+ • • • +а»
«1«2 ••• । ----------- 1 е
(21)
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
429
Выбирая в (20) числа р/ так, чтобы выполнялось равенство
Р1+Р2+ • •. +р«— получаем неравенство
• ••«„”< Piai + р2а2 + •.. + Рпвп- (22)
Во всех трех неравенствах (20) —(22) равенство достигается
только в том случае, когда aj = a2 = ... ~ап.
Из неравенства (22) следует неравенство
+ • • • + dfibn =С (Д1 + • • • + ап)а (bi + *»»+ Ьп)$, (23)
где а > 0, р > 0 и а+Р= 1.
Действительно, из (22) следует, что
_____afbi -|- -р •»• ___г=з,
(^1 + а2 + ... + ап)а 01 + ^2 + • • • + Ьп)$
__/_____Ctj___\а /bj\|3 .
\ ai + a2+ • • • Ч~^п/ \ 61 + &2+ • • • ЧгЬп /
ап \<Ч Ьп \В at
” * ‘ \«1+^2+-•-+ап/ \&i4-Ai+» • «+^п/ ^1+^2+’ • »4"а/»
I ft_________J____________I I а ип
Ь1 Ч~ 62+ • ’ • 4"^П а1 + #2+ • • • 4"ЛЛ
I ft________2?_______—а (_________________________I
^1“Ь^2"Ь • • • \ cii #2 4“ • • • ~h ап ***
к..-----—\=а+Р=1.
^14“^г+ • • • -pbn /
Полагая а—1/р и Р=1/^ и сц — х1} и Ъ^ — у^ (f=l, 2, ,tM n)
в (23), получаем неравенство Гёльдера
^1У14" х2#2 4“ • • • + хпУп
< (*? 4- X? + •.. + хй)1/р {yl + yl + ... +^)1/9. (24)
Из (24) при р = 7=2 получим неравенство Коша—Буняковского
(Х1У1+хъУъ 4- • • • + хпУп)2 4- *2 +... 4“ Хп) (у! 4-^2 4- • • • 4-^п)*
(25)
При этом равенства (24) и (25) справедливы только тогда, когда
Xityi=Хъ1Уъ =. ♦. = хп!уп.
Пример 22. Доказать, что неравенство
0^4-^+^^: Заде
имеет место для любых положительных значений а, b и
Решение. Без ограничения общности можно считать,
например, что Q <а^Ь^с. Рассмотрим функцию
/ (х} = 4- 4- « ЗхЬо9
430 ГЛ. б- ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Так как
f (х) = Зх2 =3 (х2—be),
то
f' (х) < 0 при 0 < х < Ь^с.
Отсюда следует, что функция f (х) убывает на отрезке [0; £].
Таким образом, f(x)^f (b), т. е.
х3+ь9+с9—ЗхЬс 263+с3—ЗА.
Рассмотрим теперь функцию
g (х) == 2х3+с3—Зх2с,
где с—фиксированное число и 0 < х < с.
Имеем
g' (х) = 6х2—•бхе = 6х (х — с).
Отсюда g' (х) < 0 при 0 < х < с, и, следовательно, функция g(x)
убывает на отрезке (0; с]. Заключаем, что g(b)^g(c), т. е.
2Ь9+с3—ЗЬ2с 2с3+с3—ЗА = 0.
Это завершает доказательство требуемого неравенства.
Пример 23. Доказать, что если х^О, и ngN, то
/х+у\и хп+у”
2~‘
Решение. Рассмотрим функцию
считая у фиксированным положительным числом. (Если у=0,
то очевидно, что неравенство имеет место.)
Так как
то неравенство f'(х)^0 имеет место при т. е. при
х^у. Таким образом, функция f(x) является возрастающей
функцией на промежутке [у\ оо). Следовательно,
если х^у.
Если х^у, то и поэтому f (х)«с0. Следова-
тельно, функция f (х) является убывающей на промежутке [0; у].
Таким образом, если х^у, то f (х) f (у) 0.
Итак, f (х)^0 при х^0, и требуемое неравенство доказано.
При доказательстве числовых неравенств или для сравне-
ния двух чисел часто бывает полезно перейти к более общему
функциональному неравенству.
Пример 24. Какое из чисел больше: cos 1988 или
14-соэ 1989?
§3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Решение. Рассмотрим функцию f(х) —x-]-cosx. Так как
f (х) = 1—sinx^O и f' (х)=0 при х=-~+2лп, ngZ, то функ-
ция y~f(x) возрастает на множестве всех действительных
чисел. Поэтому / (1988) < / (1989}, т. е. cos 1988 < 1+cos 1989.
Пример 25. Доказать, что
4 tg 5° tg 9° < 3 tg 6° tg 10°.
Решение. Рассмотрим функцию
f (х) == tg x/xt 0 < х < л/4.
Так как
. х—sin х cos х л
f W== ’ 0<
x—sinxcosx=~- (2x—sin2x) > 0,
то функция f(x) возрастает на
Таким образом,
tg—
ё 180
5л
180
. 6л
tg 180
6л ’
180
4 ’
интервале (0; л/4).
tgJi taJ^L
g180 g 180
9л Юл
180 180
л
4 ’
и, следовательно,
4 tg 5° tg 9° < 3 tg 6° tg 10°.
Пример 26. Какое из чисел больше: (sin л/6)з1п ^/3 или
(sin JT/3)sin
Решение.
Рассмотрим функцию
4/ . 1пх
/(х)=—, х>
Так как
-. , . 1 — In х
Г (*)
х2
то
f'(x)>® при
f' (х) = 0 при
f'(x)<0 при
х > е.
Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутке (0| е\
и убывает на промежутке |ie; -J-oo).
Следовательно, если 0 < х < у < е> то
In X In#
X < у 9
т. е* 1 -
< у* при 0 < х < у <
432
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Аналогично, если е<х < у, то
In х In j/
Т“ У ’
т* е.
ху > ух при е^х<у.
Отсюда с учетом неравенства
sin л/6 = ~ < sin л/3 = jA~3/2
ваключаем, что
(sin л/6)з1п я/- < (sin n/3)sin я/6.
Отметим, что из установленных выше функциональных нера-
венств, например, имеем
lOOOxool> 1001100% еп>я*,
(V"2)v~*- < (Кз)’/_*- 5)” <3'g6-
Пример 27. Найти все значения а>0, при каждом из
которых неравенство
In (1 + х)^х—ах2
выполняется при всех неотрицательных значениях х.
Решение. Рассмотрим на интервале (—1; + 00) непре-
рывную функцию
f (x) = ln (1+х)+ах2—х
и ее производную
''W~iT7+
2а х—1
_2ах24-(2а— 1)х
x-f-1 '
Если 2а—1^0, то
f (х) > 0 при х > 0.
Поэтому функция f (х) будет возрастающей на промежутке
[0, 4-оо); следовательно, в этом случае
f(x) > f(0) = 0 при любом х>0.
Пусть 2а— 1 < 0 и а > 0; f' (х) обращается в нуль в точках
1 2а
xt=0 и ^2=—2^—> причем в точке х=0 функция f' (x) меняет
зна$ с плюса на минус. Следовательно, точка х = 0 является
точкой локального максимума функции f (х). Кроме того, при
достаточно малых положительных значениях х выполняется -
неравенство f (х) < f (0) = 0.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют все числа
а 1/2.
Пример 28. Является ли периодической функция
f (х)=cos х sin (х Y 2)?
§б. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
433
Решение. Воспользуемся следующим утверждением:
если дифференцируемая в каждой точке числовой прямой функ-
ция имеет период Т, то ее производная также имеет период Т.
Предположим, что данная функция f (х) является периоди-
ческой с периодом Т. Применяя формулу
cos a sin b = (sin (a + &) + sin (Ь—а)),
f(x)-l(sinx(K 2+0+
получаем
sinx (К 2—l)^=-~(sin ах + sin (Зх),
где а—р/'~2+1, ₽=К"2~1-
Имеем
у (х) = — (а cos ах+Р cos [Зх),
й—а2 62
Г (х) = (У (х))' = -у- sin ах—sin рх.
Поскольку по предположению функция f (х) имеет период Т,
то функция У (х), а следовательно, и функция g (х) = f" (х) ==
а2 р2
==—sin ах——sin^x также имеют период Т,
Значит, и функция
g (X)+0V (X)=- sin ах
также имеет период Т. Отсюда следует, что существует число kt
fcgZ, k Ф 0, такое, что T = 2fort/a. Аналогично показывается,
что существует число n, ngZ, п Ф 0, такое, что Т = 2пл/р.
Но тогда
k__а___J^"2+1
~И~ ’
O+i
т. е. число - является рациональным, что неверно. Сле.
довательно, данная функция не является периодической.
Пример 29. Доказать, что все корни производной мно-
гочлена
Р (х) = х(х—1) (х—2) (х—3) (х-~4)
различны.
Решение. Применим теорему Ролля к функции у=Р (х)
на отрезке [0; 1]. Так как Р (0)==Р (1) = 0 и функция £/ = Р(х)
является непрерывной на отрезке {0; 1] и дифференцируемой
на интервале (0; 1), то по теореме Ролля существует хотя бы
одно число Xf из интервала (0; 1) такое, что Р' (xj) = O. Анало-
гично, применяя теорему Ролля к функции у = Р(х) на каждом
из отрезков (1; 2J, [2; 3] и [3; 4], убеждаемся, что внутри
каждого из них имеется корень уравнения Р' (х) = 0. Так как
степень многочлена Р' (х) равна 4, то он имеет не более четы-
рех действительных корней. Поэтому все корни хх, х2, х8, х4
434 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
многочлена Р( (х) действительны, причем 0<хх<1<х2<2<
< х3 < 3 < х4 < 4.
Пример 30. Доказать, что для любых положительных
чисел а и & таких, что b > а, и любого натурального числа
имеет место неравенство
п (&—а) а”"1 < Ьп—ап < п (6—а) Ьп~*.
Решение. Рассмотрим функцию f (х) — хп, х > 0. Имеем
— __bn—an
b—а b—а
Так как функция /(х) = хп непрерывна на отрезке [а; &] и диф-
ференцируема на интервале (a; b)t то по теореме Лагранжа
существует точка g из интервала (а; Ь) такая, что
hfl — лП
Учитывая неравенство < gw”x < bn~\ Имеем
Ьп—ап
па””1 < —т----< nbn~\
Ь~-а
Отсюда следует доказываемое неравенство.
Пример 31, Доказать, что
ех > 1 + х при х > 0.
Решение. Пусть b—любое положительное число. Рас-
смотрим функцию f(x)~ex на промежутке [0; £]. По теореме
Лагранжа имеем
ёё(0.6),
т. е.
b
где g(£(0; 6). Так как 1 при любом g>0, то отсюда полу-
чаем
т. е, eb> 1+& для любого положительного числа Ь,
Заметим, что установленное неравенство может быть дока-
зано способом, аналогичным доказательству неравенства (12}.
Вообще неравенство ех > 1 + х верно при любом х #= 0, так как
функция у~ех выпукла вниз на всей числовой оси, и поэтому
ее график при х =4 0 лежит выше прямой у=1 + х, которая
является касательной к графику у~ех в точке (0; 1).
Замечание. Из неравенства
а*~х^х,
справедливого при любом значении^, в качестве простого след-
ствия можно получить, например, классическое неравенство
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 435
между средним арифметическим и средним геометрическим
положительных чисел х2, ..., хп (а также и другие класси-
ческие неравенства). Пусть xt, х2, .хп*—положительные числа
и Sn = ^(xi + x2+‘•♦+*«)• Так как по доказанному
х —
то, перемножая эти неравенства, получаем неравенство
*1*2 --- хп
xt + x9+ . . . +Хп
<е sn "=1,
т. е. неравенство
или
...
?/—-----—^.Xi+Xi+...+Хп
У Х1Х2 . . . Хп^л-------- .
Пример 32. Решить уравнение
(^0Ч(^-Йа=1/2.
Решение. Заметим, что левая часть данного уравнения
представляет собой квадрат расстояния между точкой А (х; ех),
графика функции у~ех и точкой В (у; у), лежащей на биссект-
рисе первого и третьего координатных углов.
Так как ех^1-{-х и прямые #=1-|-х и у=х параллельны
друг другу, то из треугольника О АВ (рис. 5.37) следует, что
расстояние между любой точкой М графика функции у~ех и
любой точкой W прямой # = х не меньше 1/"/*2. Равенство ех =
= 1+х имеет место только при х = 0. Поэтому расстояние меж-
ду точками на графике функции у=е*_и точками на прямой
у~х будет наименьшим и равным 1/1^2 при х = 0. Соответст-
вующее значение у удовлетворяет уравнению #24~(1>—#)2= 1/2,
откуда находим #=1/2. Итак, пара чисел (х0; #0), где хо = О и
#0=1/2, является единственным решением исходного уравнения.
Пример 33. Доказать, что
1 . 5? ±
52 < 1П 51 < 5Г
Решен и е. Рассмотрим функцию f (х) = In х на отрезке
[51; 52]. Имеем
/(52) —^(51) . ,о . К|
=3 In 52 In 5 Е
436 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
По теореме Лагранжа заключаем, что существует такая точка
а, 51 < а < 52, что
In 52 — In 51 — f' (а) (52 — 51) = 1/а.
Так как 51 < а < 52, то отсюда следует, что ,
1/52 < 1п 52 — In 51 < 1/51,
т. е.
1 I 5? 1
52 П 51 < 5Г
Пример 34. Доказать, что уравнение
3*+2_26х = 29
имеет не более двух различных действительных корней.
Р е ш е н и е. Пусть данное уравнение имеет не менее трех
различных корней и хх, х2, х3*~ некоторые его корни такие,
что xi < х2 < Применяя теорему Ролля к функции f (х) =
= зх+2__26х — 29 на отрезках [хх; х2] и [х2; х3], получаем, что
существуют числа ^1^(хг; х2) и |а^(х2; х3) такие, что /' (ti) =
= Г (Ь) = 0. Однако уравнение f (х) = 3*+з in 3—26 = 0 имеет
только одно решение.
Полученное противоречие доказывает, что данное уравнение
имеет не более двух различных корней.
Отметим, что корнями данного уравнения являются числа
Xi =—1 и х2 = 2.
ЗАДАНИЕ 1
1« Разложить на множители выражение:
1) х(#2—z2) + ^(za—х3, + г(х2—у*)%
2) г)+^(г—^4-г4(х—у\.
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 437
2. Упростить выражение:
и х~~у ! y~z\ г~~х-
? х+у'гг/+г"гг+*’
о\ (У~г)2 I (z—x)2 . (х—у)*
; (г—х) (х—yV(x—у) (у—г) ' (</—г) (г—х)’
3. Доказать тождество:
1 3
2) sin® x + cos6 х = -Г4-"Т‘ (cos2 х—-sin2 х)2;
4 4
3) cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1 —2 cos а cos Р cos 7, где а -|~ Р +
+ у = Л.
ЗАДАНИЕ 2
1. Упростить выражение:
1) cos2 x-j- cos2 (х+z/)—-2 cos x cos у cos (x+y)\
1 1 1 I 1
’ x(x—y) (X—Z^yiy—X) (y—z)'z(z—x) (x—y)!
3j______!_______1_______!_______1______!_____
’ x* (x—yMx—z)^у* (у—х) (у—г)тхг(г-x) (x—y)'
2. Доказать тождество:
Зх x
1) arctg x+arctg Зх = arccos 4- arccos у j
2) 1 — (sin6 x+cos6 x) = 3 sin2x cos2 x;
1 15
3) cos4 x —g- cos 4x = 2 cos2 x —cos 2x—g-;
41 „ (x—b)(x—c) (x—c)(x—a) . (x—a)(x—b)
’ (a—b)(a—c)''r (b—cjlb—a)^ (c—a)(c—b) 1
5) 2 (sin6 x+cos6 x) — 3 (sin4 x+cos4 x) 4-1 = 0;
6) sin 2a 4- sin 2P 4- sin 2y = 4 sin a sin p sin у, где a 4- р4-у==л1
n 1 n n
k-1 fe=l fe=l
ЗАДАНИЕ 3
1. Доказать, что если 0 < х < у < л/2, то
sin х sin у
2. Доказать, что
х—х2/2 < In (14-х) < х
при х > 0.
3. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение
Зх44-4х3—6х-«* 12х4-я==0
имеет два различных корня.
438 ГЛ. 5.- ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
4. При каждом значении а определить число корней урав-
нения
х In х = а.
5. Доказать, что уравнение
х9+9х2 + 2х—48 == О
не имеет кратных корней.
6. Решить уравнение
Л;24-Ж-|_12 /7+1 = 36.
ЗАДАНИЕ 4
1. Доказать, что если 0 < х < у < л/2, то
tg* < tgy
х У
2. Доказать, что
X9
< tgx
при 0 < х < л/2.
3. Найти все значения а, при каждом из которых уравне-
ние
Зх4 — 14л;3 — 45х2+а = 0
имеет четыре различных корня.
4. При каждом значении а определить число корней урав-
нения
аех = х9.
5. Доказать, что уравнение
х4 15х2 — 10х + 24 = О
не имеет кратных корней.
6. Решить уравнение
VЗх—2 _ 1
х2 Г
ЗАДАНИЕ 5
1. Решить неравенство
х»+хб+448 <0,
2. Доказать неравенство
2 1
k/ ГТ । к/ 7 >
fl у|- 1 у fl >—» 1 у п
при п^2, n,
3. Решить уравнение’
зр 7х9 4~ 9л;2 27 х «« 54 = 0.
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
439
4. Доказать, что если а > О, b > 0, с > 0, то
_L4._l_4._2_>—9.. .
a-\-b ’ b~t~c с + а a-^b-j-c
5. Решить систему
( x-j-ex = y-j-eyt
1 x24-xfz+fz2= 12.
6. Доказать, что
У3+1/"з +УЗ — 1/з <2|/з.
ЗАДАНИЕ 6
1. Решить неравенство
logs ( 1 + К* ) > logfe X.
2. Доказать неравенство
—1—< In fl4-l^ <1, n£N.
п-у 1 \ «/ «
3. Решить уравнение
х4 _5хз _ 9х2 + 81 х—108=0.
4. Доказать, что если а > 0, b > 0, с > 0, то
/а2 + Ь2 + с2 у+Ъ+с
—ааЬьсс.
\ я—j-b-j-c j
5. Решить систему
J tg* — tg г/ = №у,
( sin x-j-sin 0= ]/”2 #
где xg(— л/2; л/2), л/2; л/2).
6. Доказать, чю
cos 200 < 1 4-cos 201.
ЗАДАНИЕ 7
1. Решить уравнение
е*—e~* = 2 In (х+ КТ+х2)-
2. Найти сумму
х + 2х2 + 3х3 + ... х # 1.
3. Доказать, что при | х | «с 1 /2 имеет место тождество
3 arcsin х«— arccos (Зх—4х3) = л.
4. Найти все значения а, при которых уравнение
х8-|~ ах,+ 2=0
имеет два совпадающих корня.
440
ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
5. Доказать, что функция
f (х) = sin х+ sin х К2 + sin^ КЗ +,,, + sin х
п^2, n£N,
не является периодической.
6. Доказать, что
sin 3 р/cos 2—sin 2- cos 3 > I/cos 2• cos 3.
ЗАДАНИЕ 8
1. Решить уравнение
10gl2 (/х + Vхx)=2-logex.
2. Найти сумму:
1) х + 22х2 + 32х3 + 42х44“ ... +«2хп, х Ф 1;
9\ 2’1 к3-2Д_4‘3Х5*4^ Д- "(п-Ц
} 1 "* 2 22 "• 23 ‘
3. Найти все значения а, для каждого из которых урав-
нение
х3+«х2+2 = 0
имеет три корня, причем два из них совпадающие.
4. Доказать, что функция
f (х) = cos x+cos х KS’+cosx Кз" +,,, -f-cos х
n 2, rcgN,
не является периодической.
5. Доказать, что
ееля> е2я.
Упражнения
1. Решить уравнение:
В_____£=________1==А;
X-f-J^X^ + X X — Кх2 + х х
2) хе-*+«-*+у х2—1 =0;
3) KW2S4- 1+^2 =/27+3;
4) logs (2«+l) + log5 (4n+l) + log7(6n+l) = 3n, ngN;
5) (4*+2) (2—x) = 6; 6) x+K3+/x =3;
7) logf2 (/2x+ У 2x)=4 iogs 2x;
8) l/4x+3=l/ 27— У2x; 9) xJC+xi“*=«+1;
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 441
10) |6x-5| = 4sin — ; 11) 1+2/7 = 3^(1-In у);
О X
12) l-l=ecos8'; 13) 4*+l = 2*+1sinp.
2. Разложить на множители выражение:
1) (а — Ь) (а^Ь-~с)* с-\-(Ь~-с) (&4~с—а)2 а;
2) (1+х2) у2 + 2(х^у)(\ + ху)+\-
3) (x*-l)* + (y+l)(4x-y-l).
3. Найти число решений системы уравнений
х2 = +,
*+/+ }/ х*у=26.
4. Найти число действительных корней уравнения;
1) /7=1 +/7+4+/зТ+Т=9; 2) x6+x«+l = 0j
3) /47ГТ+ /7=2=1; 4) /зТ+2—/77=1=4,
5. Решить неравенство:
1) х8+4х—16 > 0; 2) (1-х) <| j/l ;
3) х—1 < loge (х*Ч-3), xgZ;
4) log5 (1 + /4х) > logi, 4х; 5) х2?+х*«+448 < 0;
6) /37+5+ /Зх+12 > 4; 7) 2х+3 < In (х?+9), xgZ;
6 l + log2(2+x). m 6-3*+* 10 .
8)ТТП>--------X-----’ 9)—77=1’
9 l + logs (х+6)
? Зх+2 > х
6. Доказать, что если 0 < х < л/2, то:
• 2х2 пч 1 п Л
1) sin х > х-— ; 2) x+cosx > у^1—
3) 1 tg х + — sin x > x; 4) /cos x < /2 cos j
О о <&
кч . n 2 sinx 1 х2
5) sin2x< ; 6)— >1—T-,
2
7) sin 2x < 3jf_xa I
8) tg”x + ctg"x^2+n?cos2x, ngN;
9) ptg!/₽x+<?ctg’«х^ 1, где 1+1=1, p > 0, q>0;
Г 4
X* 2 1
10) x 4—“<tgx; 11) sin x >—x; 12)tgx—s-tg§x<x;
О л r о
13) X < tgx—ltg3x + ltg5xj
о о
442 ГЛ. 5. ПРОИЗВОДНАЯ и ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
14) tgx—Ltgsx_|l tg^x— 1 tgv x < x-,
О О /
1СГЧ ( sin х X3
15) I—— j ^cosx.
7. Доказать неравенство:
пг— п/-~ п/
1) / х — у а < у х—а при х > а > 0;
2) (1 + *)а + (1—“*)а^2 при |х|> 1 и 0^а^С1;
3) 2ab In у < &2—а2 при b > а > 0;
4) е2х < у—— при 0 < х < 1;
5) е~х > 1—-х при х < 0;
6) 2х4—4х3+Зх2+4х+1 > 0 при х > 0;
у2 оХ
7) ех 1+х+~у- при х^&0;
8) 2sin~4*sin^-— > 0 при п^2, ngNj
/ £Z 4- bx X X+х
при « > 0, 6 > 0, х > 0;
\ 1т* /
.<l)Дi,v^<(»+2t+3c+ц)1^
при а > О, b > 0, о > 0, d > 0;
11) (sin2 x)8ln2 * (cos2 x)cos2* у при x Ф у п9 п g Z;
х3
12) х--у < arctg х < х при х > 0;
13) ех > ех при х > 1;
i лч /1 ч , In*а X _ а2— 1 _ ,
14) (Inа) 2-|*——)<------ при а^\\
\
Оу
15) In (1 + х) >24^ п₽и xSs0;
X2
16) ех^ 1+х+у- при х0;
17) а4+^^а3/?+а/?8;
18) (а + &+02<3(а2 + ^+с?);
(1 X2 / IX2 25
] +( &-|*у j ^"2"’ если « + L л > О, b > 0;
20) (а + Ь)р^ар+Ьр9 если а > О, b > 0, 0«Ср«С1;
2!)-4т+;4—h—г-^—ГГТ— ’ а>0. &>0. в>0;
' а-}-Ь 1 Ь-}-$ * с-{-a a-j-b-j-o 9
22) cos (sin х) > sin (cos x);
23) 2x > 5 при 0 < x < -i- j
24) х* + (1~хГ^1/16, xgR;
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
4П
25) 2х4—4х3+3х24~4х+1 > 0 при х > 0;
26) 1п(1 + х)<х при х > 0.
8. Доказать, что:
1986 корней
3) sin3 1° + sin8 4° > sin3 2° + sin3 3°; 4) In 2 < 0,72.
9. Решить уравнение:
1) x3—7x24-16x—12 = 0; 2) x4—6x2—8x—3 = 0;
3) x4 + 6x3+x2—24x+16 = 0;
4) x4—9x34-23x2—3x—36 = 0;
5) x4—6x3+10x2—8 = 0;
6) x6—x4—5x8+x2+8x+4 = 0;
7) x6—15x3+10x2+60x—72 = 0.
10. Для каждого значения а найти число действительный
решений уравнения:
1) х4—4ах3—2 = 0; 2) 2х3—Зах2+1=0; 3) 1пх = ах;
4) е* = ях2; 5) cos3xsinx=a, xg[0; л];
6) х3—Зх = а; 7) Зх5—-50х3 + 135х=а;
8) хМ = а; 9) ах = logtf х; 10) 6*=ах;
И) Зх4+4хЗ— 36х2 = а; 12) -^=а.
11. Определить все значения а, при каждом из которым
уравнение имеет заданное число корней:
1) 2х3— 13х2 — 20х+а = 0,
один корень;
2) 2х8 —4х2 —30х+а = 0,
два совпадающих корня и один простой;
3) х2 — х—1пх-|-а = 0;
ни одного корня;
4) 10х = ах,
два корня.
5) ах = х, один корень.
6) 6 arctg х—х34-а = 0, три корня.
12. Доказать, что уравнение
V 2—2 cos х+ V10—6 cos х = 16—6 cos 2х
не имеет корней на отрезке [л/2; л].
13. Доказать, что уравнение
4х3—5х2—6х+3 = 0
не имеет корней на промежутке [2; 4-оо).
14. Доказать, что уравнение
х*— зх3—6х? + 14х +12 = 0
не имеет кратных корней.
444 ГЛ. б. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
15», Доказать, что если 4^34~г-==0, то уравнение
х3 з^х 4" г=== о
имеет корень кратности два.
16. Доказать, что если г (4р34~г) = 0, то-уравнение
х3+Зрх24-г = 0
имеет корень кратности два.
17. Доказать, что уравнение
х34-рх4-0 = О
имеет только один действительный корень при 4р34-27<?2 > 0 и
три действительных корня при 4р34-27#2 < 0.
18. Доказать, что сумма значений второй производной мно-
гочлена третьей степени в корнях многочлена, являющегося
производной данного многочлена, равна нулю.
19. Привести пример функции вида
_____________________ах2 + с
У~~ px* + qx^r’
которая имеет локальный максимум, равный Л, и локальный
минимум, равный В, но Л < В.
20. Найти многочлен наименьшей степени, для которого
соответственно точки х = 0 и х=1 являются точками локаль-
ного минимума и локального максимума, а значения в этих
точках соответственно равны 0 и 1.
21. Многочлен Рп (х) степени п имеет п действительных
корней. Доказать, что уравнение Рп (х)+аР'п (х) = 0, где а # 0,
имеет также п действительных корней (с учетом кратности).
22. Найти сумму:
1) 1.2.3+2.3«44-3-4-54-...4-(п—2) (п—1)и;
2) х4-х2(1 + х)4-х3(14-х4-х2)4-...
а а . +х« (1 4-Х4-Х24- . * * X ф 1.
23. Среди квадратных трехчленов со старшим коэффициен-
том 1 найти трехчлен / (х), для которого наибольшее значение
|/ (х) | на отрезке [—1; 1] имеет наименьшее значение.
24. Доказать, что при увеличении числа сторон периметр
правильного многоугольника, вписанного в данную окруж-
ность, возрастает, а периметр описанного многоугольника убывает.
25. Доказать, что если рп и qn—соответственно периметры
правильного многоугольника, вписанного в окружность радиу-
са R и описанного вокруг этой окружности, то при любом д^З
имеет место неравенство
2 1
ри <2л/г < ^рп+у7п.
26. Найти наименьшее расстояние между:
1) точками прямой р==—х и гиперболой р=1/х;
2) графиками функций у—х* и z/=x—1;
3) графиками функций у=х? и 2х—4.
27. Доказать, что уравнение Inх=sinx на отрезке (Зл/2;
7л/2] имеет единственный корень»
§5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
445
28. Доказать, что неравенство
Зх — tgx> 1,75
на отрезке [0; л/2] не имеет решений.
29. Найти все значения а, при каждом из которых урав-
нение
К х—2+ К 8—2х = а
имеет хотя бы одно решение.
30. Найти все значения а, при каждом из которых нера-
венство
V 2х— 1 х+а
имеет хотя бы одно решение.
31. Найти все значения а, при каждом из которых из не-
равенства
х > а
следует неравенство
3*—1 > 2а.
32. Доказать, что:
1) | a sin а —р sin р | 2 | а — р |, если 0«Ср«с1;
2) ^<tg₽-tga<fey если °<«<₽<у-
33. Найти все пары значений (а; Ь), для каждой из кото-
рых равенство:
1) aex-]-b — eax+b,t 2) a sin х+6 — sin (ах+&)
является тождеством на множестве всех действительных чисел х.
34. Пусть f (х) — (х3—Зх2 + 2) In (х2—2х+3). Доказать, что
система
( Г(*)+ГШ = 0,
I х2 + у2==«
имеет по крайней мере одно решение при любом значении
а 2.
35. Найти все дифференцируемые функции /: R—> R, для
которых:
/ (1)= 1, + (Х)+Ш + Х0
при любых действительных х и у.
36. На некотором интервале (а; Ь) функция
j [х) = A sin х + В sin 2х+ С sin Зх
тождественно равна нулю. Найти А, В и С.
37. Функция, отличная от константы, определена на от-
резке 10; 1] и дифференцируема на интервале (0; 1), f(0) = 0.
Доказать, чю существует такое число а, 0 < а < 1, что f(a)<f'(а).
38. Пусть функция / (х) непрерывна на отрезке (0; 1] и
дифференцируема на интервале (0; 1) /'(х) $£ 0 при х£(0; 1).
Доказать что существует такое число а4 0 < а < 1, что
1/(а)1 < !/'(«)!.
ГЛАВА 6
ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
6.1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; &J.
Разобьем этот отрезок произвольным образом на п частей и
обозначим последовательно точки деления через х0, хь ..xn_f,
т. е.
а = х0 < Xi < х2 <« ..< xn~i < xn — b.
Обозначим через Ах^ длину отрезка to-ijx^]; тогда Дх^ =
~ хь—*Хк~ч. Диаметром данного разбиения, который обозначим
через dw назовем длину наибольшего из отрезков [х^-х; х^],
т. е.
dn~ max Дх£.
k
В каждом из отрезков [х^-ь х^], 6=1, 2, ...» п, выберем
произвольную точку значение f (g$) функции f (х) в точке
умножим на Дх^ для 6=1, 2, ..., пи составим сумму всех
таких произведений, которую обозначим Sn и назовем интег-
ральной суммой функции f (х) для данного разбиения, т. е.
Sn—f (£1) to~*o)+/ (Ы to-Xi) +... +/ (gw) (х„ —x„_t) =
п
= 2 f(h)(xn-xn-i).
fc=l
Таким образом, при каждом ngN интегральная сумма
п
Sn= 2 t Ufc) зависит от выбора точек деления отрезка
/е=1
[а; и выбора точек
Для функции f (х), непрерывной на отрезке [а; Ь], справедли-
во следующее утверждение: если с неограниченным увеличением
числа п частей, на которые разбивается отрезок [а; Ь], диаметр
разбиения dn стремится к нулю, то последовательность интег-
ральных сумм Sn имеет предел, который не зависит от способа
разбиения отрезка [«;/>] на п частей при каждом ngN и вы-
бора точек gg, fn-
Число, равное этому пределу, называют определен
нным интегралом функции f (х) от а до b и обозначают
ь
J f (х) dx; b и а соответственно называют верхним и нижним
а
пределом интегрирования, a f (х) — подынтегральной функцией.
Итак,
ь н
С f (X) dx = lim 2 > (U)
j d«-*0 "i
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 447
Понятие «определенный интеграл» возникло из практи-
ческих задач, решение которых стало возможным или упрос-
тилось благодаря введению над функцией действия, содержа-
ние которого составляет рассмотренный выше предельный
переход. Одна из таких задач — вычисление площадей плоско
фигур.
Рис. 6.1
Q. 3>д 32? 322 &
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной
функции y=f(x) на отрезке [а; Ь}, принимающей только неот-
рицательные значения, двумя вертикальными прямыми х = а и
х==Ь и осью ОХ (рис. 6.1, а). Такая фигура называется кри-
волинейной трапецией. (Криволинейные трапеции могут быть
и такими, как показано на рис. 6.2.)
Придерживаясь тех же обозначений, что и раньше, соста-
вим интегральную сумму
п
8а~ 2
В этом случае Лг-е слагаемое интегральной суммы Sn можно
рассматривать как величину площади прямоугольника шириной
и высотой f (Hfc), где &=1, 2, ..., п; тогда интеграль-
ная сумма Sn выражает собой величину площади ступенча-
той фигуры, составленной из п прямоугольников (рис. 6.1, б,
где п=5). Ясно, что, чем больше число частей разбиения
отрезка [о; б] и меньше диаметр разбиения dni тем меньше
интегральная сумма Sn отличается от величины площади дан-
ной криволинейной трапеции.
Эти геометрические рассмотрения вместе со сформулиро-
ванным выше утверждением позволяют не только ввести поня-
Ъ
тие определенного интеграла но и вычислить
<48 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
величину площади криволинейной трапеции S, так как эти
ь
числа совпадают, т. е. S = J f (%) dx. Одним из первых нетри-
а
виальных примеров на вычисление величин площадей криво-
линейных трапеций и тем самым на вычисление определенных
интегралов является пример, который рассмотрел Архимед,
вычисливший величину площади между параболой у = х2 на
отрезке La; Z?] и осью ОХ.
Пример 1, Вычислить
J хт dxt tn «а 0, 1,2, b > 0.
Решение. Так как в каждом из этих случаев функция
у—хт на отрезке [0; 6] принимает только неотрицательные^
ъ
значения, то число J xmdx совпадает о величиной площади
о
соответствующей криволинейной трапеции.
а) При /п = 0 криволинейная трапеция представляет собой
прямоугольник (рис. 6.3, а), ширина и высота которого соот-
ветственно равны Ь и 1, Поэтому величина его площади равна Ь,
РЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 449
ь
Вычислим число 1 -dx согласно его определению. Вне за-
о
висимости от способа разбиения отрезка (0; Ъ} на п частей и
Рис. 6.3
выбора точек gf, |2, •»», In (рис. 6.3,6, где п = 6), для интег-
ральной суммы Sn имеем
п п
$п= 2 2 1 = +
*=1 6=1
-Н~(Х2—Х1)+ . . +(Х«—xn-i) = х„—х6=&—0=6.
Таким образом, при каждом ngN интегральная сумма равна
ь
Sn=b, поэтому \ ldx = lim = lim b~b*
" drr+0 п-><ю
b
Итак, 1 dx — b.
6
б) При m—\ криволинейная трапеция представляет собой
прямоугольный равнобедренный треугольник, каждый катет
которого равен b (рис. 6.4, а). Поэтому величина его площади
равна 62/2.
ъ
Вычислим число ^xdx согласно его определению. По-
о
скольку предел интегральных сумм Sn не зависит от способа
разбиения отрезка [0; на пчастей и выбора точек £2, ...,
то в этом случае при каждом ngN разобьем отрезок [0; Ь] на
п равных частей (рис. 6.4, где п = 4); тогда кх^-Ь/п и х#=кЬ1п*
Положим = тогда f (^ki—kb/n, и для интегральной
15 Задачи по математике. Начала анализа
450 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
суммы Sn получим
и п
sn= £иЫА^=11“ = 7а(1 + 24-...+«).
k=\ /е=1
Так как 1 + 2-}- • . • + я~ - ^—11, то
поэтому, согласно определению определенного интеграла j xdx,
о
имеем
ь
С . ГС Г I & \ *2 I *2 V 1
\ xdx — lim S„ = hm Г —— \=—hm -=y.
v dn-> co n->ao z * n->oo n л
b
ы C
Итак, \ xdx=-y.
о
в) При m = 2 криволинейная трапеция представляет собой
фигуру, ограниченную параболой у = х2, осью ОХ и прямой
х = Ь (рис. 6.5, а). Формулы для вычисления величины площади
этой фигуры в геометрии нет. Вычислив, согласно определе-
ь
яию, определенный интеграл тем самым найдем вели-
о
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
451
а
Рис. 6.5
15*
452 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
чину площади этой фигуры. Для этого разобьем отрезок [0;
на п равных частей (рие. 6.5,6, где п = 5). Тогда' Ая^ — б/п и
xk~kbln. Полагая = получаем f (^k) — k2b2/n2.
Тогда для интегральной суммы Sn имеем
п п
Sn==^f (b) 5~=5 <12+22+• ’ ’+n2)-
Так как
p_|_22 + , , . + B2 —Я<Я+1Н2П+1) >
TO
Q Az(n+I)(2n+I)^3(rt+I)(2n+I)_z>3/<1 t 1Voi Ц
^-n3 6 IT 6 n ) V + n J •
Следовательно,
ъ
fx2dx = lim S„= lim [t (1+tX2+4)1=4’
J rf„-.O n^o> L 6 V n J\ «/J 3
b
Итак, Jx2dx==68/3; поэтому величина площади фигуры между
о
параболой у=к2 и осью ОХ на отрезке |0;6] равна Ь3/3.
Рассмотрим криволинейную трапецию, т. е. фигуру, огра-
ниченную графиком непрерывной функции y—f(x)t хg[а\ Ь],
принимающей только неположительные значения, двумя верти-
кальными прямыми х = а и х~Ь и осью ОХ (рис. 6.6, а). При-
держиваясь тех же обозначений, что и прежде, составим интег-
ральную сумму
п
Ь=1
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
453
В этом случае /г-е слагаемое f (£$) Дх^ интегральной суммы Sn
представляет собой величину площади прямоугольника шириной
xk—и высотой —f (Ы> где £ = 1, 2, п, и n(JZ. Поэ-
тому интегральная сумма Sn> взятая со знаком минус, выра-
жает собой величину площади соответствующей ступенчатой
фигуры (рис. 6.6, б, где следовательно, число, равное
— у f (х) dx, совпадает с величиной площади криволинейной
трапеции S. Таким образом, если /(х)«сО на отрезке [а; Ь], то
число, равное \ f (х) dx, представляет собой величину площади
S между графиком функции у = /(х)
OXt взятую со знаком минус, т. е.
а
на отрезке [а;&] и осью
f (х) dx = — S.
Рис. 6.7
Рассмотрим фигуру, ограниченную непрерывной функцией
у==/(х), х^[а\Ь], принимающей как отрицательные, так и по-
ложительные значения. Пусть, например (рис. 6.7, а), а<с<
<d<b, f(d)—O- на множестве [а\ с} (J (d; b] функция
f (к) принимает только положительные значения, а на интер-
вале (с; d) — только отрицательные значения. Составим интег-
ральную сумму
п
s»= 2
/г=1
Согласно сформулированному выше утверждению, предел интег-
ральных сумм Sn не зависит от выбора точек деления отрезка
[а; Ь] при составлении интегральных сумм Поэтому при
n£N и «>3 точки деления отрезка [а\ /?] будем выбирать
так, чтобы среди них содержались точки с и d. Тогда в интег-
ральной сумме сгруппировав слагаемые, соответствующие
разбиению на отрезках [а; с], [с; d] и [d*, Z>], обозначим соот-
454 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
ветствующие им суммы через S«\ S^. В этом случае диа-
метр разбиения на каждом из трех отрезков не превосходит
диаметра dn разбиения на отрезке [я; Ь]. Поэтому, если с не-
ограниченным увеличением числа п частей, на которое разби-
вается отрезок [а; Ь], диаметр разбиения dn стремится к нулю,
то тем более диаметр разбиения на каждом из трех указанных
отрезков также стремится к нулю. Если обозначить через Si(S2,
S8) величины площадей между графиком функции y = f(x)\
xg[a;c] (соответственно y = f(x), xg[c;d]; y = f(x)> xg[d; b])
и осью OX (рис. 6.7,6, где n=9), то
lim S^ = Si, lim S^ = —S2, lim S^ = S,.
n->CO /2->00 rt~>O0
Так как S„ = S#y + S®y + S«3> и предел каждого слагаемого этой
суммы существует, то
ь
f (х) dx = St —S2 -|-S8.
а
Таким образом, если функция г/ = /(х), xg[a; Ъ], принимает
как положительные, так и отрицательные значения, то число,
ь
равное определенному интегралу ^f(x)dx, совпадает евеличи-
а
ной, равной сумме площадей фигур между графиком функции
0 = f (*), dj, и осью ОХ, лежащих выше оси ОХ, минус
сумма площадей фигур между графиком функции y=f(x),
xg[a;Z>J, и осью ОХ, лежащих ниже оси ОХ.
Например, для функции y~f(x), непрерывной на [а; ЭД,
график которой изображен на рис. 6.8, имеем
ь
р (х) dx = (Ss+S4) - (Si + S3 + S6) •
a
Так как для всякой четной функции y=f(x), непрерывной на
отрезке [—а; а], график ее симметрично расположен относи-
тельно оси ОУ, то
а а
J /(х) dx = 2 J f (x)dx.
-а О
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 455
Например, для функции г/—/(х), непрерывной на отрезке
f—a;a]t которая является четной и график которой изображен
на рис. 6.9, а, имеем
J f (х) dx - (Si+Si) - (S,+S2) = 2 (Si —S2) = 2 J f (x) dx.
-a 0
Так как для всякой нечетной функции непрерывной
на отрезке [—а; а], график ее симметрично расположен отно-
сительно начала координат, то
J f(x)dx = 0.
-а
Например, для функции #=f(x), непрерывной на отрез-
ке [—а\ а], которая является нечетной и график которой
Рис. 6.9
изображен на рис. 6.9, б, имеем
J / (х) d« = (Si vf-Sa)—(S2 + Si) = 0.
-а
Так как для всякой периодической функции y — f(x)> непре-
рывной на множестве всех действительных чисел с главным
периодом Т, при любом а из фигуры, расположенной между
графиком функции ^=f(x), xg[a;a4-7,b и осью ОХ, при
помощи параллельного переноса можно получить фигуру,
456 гл. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
расположенную между графиком функции y — f (х), хg[0; Т], то
а + Т Т
J f (х) dx — J f (х) dx.
а О
Например, для периодической функции y~f(x) G главным
периодом Т, график которой изображен на рис. 6.9, в, имеем
а + Т
J f (х) dx — (S5+S2) — (54-|-5б + 51 + 5з) =
а
т
= б + 5г)— (51 + S3 + S4 + So) = J f (х) dx.
о
ь
При введении выше определенного интеграла J / (х) dx
а
предполагалось, что b > а. Положим по определению
b а
J / (х) dx — -— / (х) dx, если а > Ь\
а Ь
b а
f (х) dx—^ f (x)dx — 0, если a — b.
а а
Основные свойства определенных интег-
ралов непрерывных функций (доказательства сле-
дуют непосредственно из определения):
Г, Если а < b < с, то (рис. 6.10)
с Ь с
J f (х) dx = f(x)dx+^f (х) dx.
а а ь
Ь Ь
2Q. kf (х) dx= k р (х) dx,
а а
где k константа.
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 457
3°« Если f (x) = g (х), то
b ь
J f (х) dx = J g (х) dx+ J ft (х) dx»
а а а
b b b
4’. р(х) dx=p(^) djr=p(z)dz,
а а а
т. е. определенный интеграл не зависит от обозначения неза-
висимой переменной.
5°. Если f (х)^0, xg[a; ft], и a < b, то
ft]
J f (x) dx 0.
a
Более того, если Z(x)«Cg(x), x£ [a; 6], и a < b, to
b b
J f (x) dx < J g (x) dx.
a a
6°. Если f (x) > 0, xgla; b], n a < bt to
b
J f (x) dx > 0.
a
Более того, если f (x) < g(x), xg[a; ft], и a < ft, to
b b
^f(x)dx<^g (x) dx.
a a
7®. Если a < ft, то
ft b
^f(x)dx < J | f (x) I dx.
a a
Пример 2. Вычислить
xm dx,
m—3, 4, 5,
где а и ft—произвольные
и m—натуральное число.
Первое решение.
действительные числа, ft > а > 0,
Сначала вычислим интеграл
хт dx9
458
ГЛ 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Согласно определению, отрезок [0; а] разобьем на п равных
частей. Точками деления будут
„ а n a / а
*6 = 0, Xi=— , х2=2—........xn-i=(n— 1) —, хп=а;
Гъ Tv Tv
положим — (&=1, 2, и). В этом случае диаметр раз-
биения dn~aln стремится к нулю при п—> оо.
Интегральная сумма Sn для рассматриваемого разбиения
и выбора точек принимает вид
п
о < k Лт 1^4-2^ + 3^+.
п \ п ) п пт + 1
k -1
Так как (см. гл. 1, § 4)
\т + 2т + Зт+...+пт ___ 1
Лтоо ”т+Г
то
а
. \xmdx= lim Sn ——
g п т+1
ь
хт dx=—V~r bm+х.
m+ 1
о
Отсюда и свойства Iе теперь заключаем, что
b b а
р р ^ + l_awz + X
хт dx = \ хт dx — \ хт dx~--—---.
J J т+1
а 0 0
Аналогично находим j
Второе решение. Разделим отрезок [а; Ь] при по-
мощи точек вида
х0 = а, Xi = a<7n, х2 = а^, ..., хп^1 = а^й“1, xn = aq%=b,
где дп=^Ь/а>\ и положим т. е. lk = a^~l
(k— 1, 2, п). В этом случае диаметр разбиения dn — aqn —
— aqn^ — bil — у/a/b) при п—>Ц-оо стремится к нулю. Иско-
мый интеграл является пределом при п—*4-оо следующей
суммы:
$„= 2 (^)и
6=1
= ат (aqn—a)+(aqn)m (aq2n—aqn)+ ... +(aq"~1)m (aq„—aqR~1) =
(qn^ 1) (1 +9Г1 + -7Гт+1,+ • • • +?ГП W+1>).
Используя формулу для суммы первых п членов геометри-
ческой прогрессии со знаменателем получаем
AW2 + 1_am + 1
Sn = a^ (qa- 1) —L= (qn-1) ..—
qn —’ i qn —1
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 459
Таким образом,
ь
хт dx=(bm+1~-am+l) lim .............'•
п 00 Qn — 1
а
На основании формулы для суммы первых п, членов гео-
метрической прогрессии со знаменателем qn имеем
9„-1 1________.
Qri^1 — 1 1 + <7n4~7n~h • • • ~lrQn
поэтому, учитывая теперь, что qn —* 1 при п—>оо (см. гл. 1,
§ 4), окончательно получаем
ь
хт dx ——(bm+1-— am+1).
m-\- 1
a
Пример 3. Найти
ъ
C — dx. 0 < a < b.
J x
a
Решение. Как и в примере 2, разобьем отрезок [а; 6]
точками
*о = а, Xi = a?rt, x2 = aqn, = xn = aq% = bt
где qn=yf b/a> 1. В этом случае диаметр разбиения dn =
= aqn—aqn"1— b (1 — a/b) при n—> + oo стремится к нулю.
Рассмотрим интегральную сумму Sn (положив ^ = хд-_1):
/2—1 П-1
S- = Z* (i) («<7й+1-«Л =Ц (<7п-1) =
£ = 0 4 4 ' fe=0
= п(Яп— 1) = п^|Л4 -1) •
Имеем
ь ___
Г 1 , .. /'}/' b ,
| —dx— hm п\ I/-------1
J X п -> оо \ F а
а
Отсюда с учетом равенства (см. гл. 1, § 4)
г Л 1 и 1 1 ь
hm I/---------1 )—In b—In а —In —
п -> оо \ г а / а
заключаем, что
ь
С 1 А . ь
\ — dx— In—.
J х а
а
460 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Замечание 1. Подобным образом, используя соотно-
шение
х—1 _ 1
х/л*1'1-—1 ”т4-1’
устанавливается, что
ъ
CJ-</x=----L—(б-и+1—а-»+1), zn=2, 3, ...
J хт —m+1 v
а
Замечание 2. Аналогично доказятельству формул
в примерах 2 и 3 доказывается более общая формула (Ь > а > 0,
agR)
b /1
Р « —— если а 5^—1;
\ x^dx={ а+1
а \ In b — Ina, если а = — 1,
Пример 4. Вычислить
2
J (5х + 2) dx.
-з
Решение. Используя сначала свойство 3®, а затем
свойство 2°, получаем
2 2 2 2 2
J (5x4-2)dx — J 5xdx+ J 2dx=5 J xdx4-2 j dx,
-3 -3 -3 -3 -3
Так как
2
pi i
J xdx=y(22^(-3)2)=±(4~9)=-|e
-3
2
J dx = 2 — (—3) = 5,
-3
wo
2
P 1
J (5x + 2)dx = -^+10 = -|—2±,
-3
Пример 5. Вычислить
Cx3 + x + x2 + l
J 1 + ^
-2
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 461
Решение. Имеем
г3 + х + х24-1_/(г2+1) + (г2+1)
14-Х2 Г+х2 —х+1.
Поэтому
2 2 2
/= V (x+l)dx= Cxdx + С dx=4-(22—(—2)2)4-(2—(—2))=4.
-2 -2 -2
Пример 6. Решить уравнение
х +1
J (^ + 4)dy=H.
X
Решение. Так как
х+1 я+1 х+1
J (f/3+4)rfy= J уЩ+ § 4^=-|((х+П4-г«) +
X XX
+4 (х +1 -х) =1 ((х + + 4,
то получаем уравнение
(х+1)4—jr4+5 = 0.
Положим / —^4-1/2; имеем
(*+1/2)4-*(/-* 1/2)4 = —5,
[(/ + 1/2)2_1/2)2] [(/ + 1/2)2 + 1/2)2] = _5>
2/ (2/2 4-1/2) = — 5,
4/з + /+5==о.
Последнее уравнение имеет единственный корень / =—1, таи
как 4/$+^+5 = (/;+-1) (4/2—4/4-5). Поэтому данное уравне*
ние имеет единственный корень х =—3/2.
Пример 7. Вычислить площадь, ограниченную парабо-
лой у = 2х24-*4-1, прямыми х — 1, х = 3 и осью абсцисс.
Решение. Так как функция у = 2х24-х4"1 принимает
только положительные значения на [1; 3], то величина ис-
комой площади S равна интегралу
з
J (2х24~*4-1) d*.
1
Применяя сначала свойство 3°, а затем свойство 2е, найдем
3 3 3 -зз
S=^ 2x2dx4>^ xdx-j- J 1 dx = 2 J x2dx-\- J xdx + J Idx.
1 11 ill
462
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Так как
з
*Мх=4(33-13)=?- f хЛ=1(3«-1)=4,
о о J
3
J 1 dx = 3— 1 = 2,
1
то
5=®+4+2_®+«=™_24.
Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной пара-
болой #=-^х2.+ 1 и прямой ^ = х+3.
Решение. Требуется найти площадь S фигуры, изобра-
женной на рис. 6.11. Из уравнения уХ24-1=х-|-3 находим
абсциссы точек пересечения графиков данных функций: 1 — ^5
и 1 + К 5. Следовательно,
1+V“5
<S=S1— У (±-x2+l^dx,
l-V~5
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 463
где Si —площадь трапеции ABCD. Имеем (см. свойства 3° и 2°)
3=у(1 + Кб+3+1-Кб+3)(1 + К5-(1-К 5))-
1+V"5 1+У"б 1+1/"5
— У ухМх- J 1 dx — 4-2 Кб —i У хМх—
1-V“5 l-VT 1-V5
-(1 + К‘5-1 + К5) = бК5—|((1 + К'5)3-(1-К5)8) =
= 6 Кб—К 3=^ К 5=у Кб •
Пример 9. Через точку Р (х0; yQ), расположенную внутри
параболы у — х2, провести прямую, отсекающую от этой пара-
болы сегмент наименьшей площади.
Решение. Уравнение прямой, проходящей через точку Р,
имеет вид у = k (х — х0) 4-Уо> и поэтому координаты точек пере-
сечения этой прямой и параболы у — х2 удовлетворяют системе
уравнений
( y = k(x —х0) + ув,
I У = х2.
Таким образом, абсциссы х± и х2 этих точек являются корнями
уравнения х2—kx-\-kxQ—Уо~® (рис. 6.12). Это уравнение при
любом k имеет два различных корня, так как для его дискри-
минанта имеем:
^2 —4(^х0 —уо) = ^2'—4^о + 4уо = (^—2xo)2 + 4(z/o--^) > 0;
точка Р (х0; Уо) лежит по условию внутри параболы у=ха,
и тем самым > х§.
Площадь сегмента (рис. 6.12) найдем по формуле
Xi
S = Si— J x2dx,
Xi
где Si — площадь трапеции ABCD. Имеем
5=4 (*1+^) (Х8-Х1)-у (х!-х?)=у (Х2-Х1)3.
Так как
х2 _ Xi=1 {k + К fe2-4fex0+4j/0) -1 (й - K^-4Axo+4{/o) =
= К fe2-4ftx0+4W>
ТО
$=-§- ( КА2-4йхо+4^о)з.
Таким образом, площадь S будет иметь наименьшее значение
при угловом коэффициенте & = 2xq, при котором квадратный
464 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
трехчлен £2«—4&х04-4#0 достигает своего минимального значе-
ния; при этом
^rtiin 27 V У® ) 3-
Отметим, что прямая с угловым коэффициентом & = 2х0,
проходящая через точку Р х0; «/о), параллельна касательной
к параболе $г=х2 в точке (х0; Хо).
Пример 10. Доказать формулу Ньютона для натураль-
ной степени бинома, т. е. формулу
(«+ b)n^an + C1nan^b+C2nan^b2‘+ . *. + Cn~1abn~i-j-bn. (1)
Решение. Доказательство проведем методом математи-
ческой индукции.
При л = 2 нужное равенство справедливо. Выберем теперь
любое натуральное число k > 2 и докажем, что из равенства
(1) при n^=k— 1 следует равенство (1) при Действи-
тельно, так как
ь
J k dx— (а-}-Ь)Ь**»аЬ,
0
то
ь
J k dx,
а
По предположению индукции
(a+x)»-i=a»-i+C*_iaft~?x+... +d zW~2 + xft-J.
Поэтому (ем. свойства 3®, 2° и пример 2)
ь
(«+&)*= a^+k J (aft-i+cLiaft-M-. .+Cfe=W"?+xft-i) dx=
a
= —jr—1~ t,. *ф- kCtk—id^,'a'm —— -ф- t, -ф-^.
tn
Так как при O^m^k имеет место равенство
k (k— 1) (fe—2)... 1)
ml k f
то отсюда заключаем, что
(a + ^=a^+C^"^ +. s. +Cka*~"*bm~[--... + ^,
Следовательно, по принципу полной математической индук-
ции равенство (1) верно для любого натурального значения д.
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
465
Пример 11. Доказать, что если 0 < а < Ь, то
2ab In — < 62-—а2.
а
Решение. Так как (х — 1)2 = х2 — 2х+ 1 > 0 при х > 1,
то 2х2 < х8+ х, и поэтому
1 *2+*
х 2х2
при х > 1.
Из этого неравенства и свойства 6° следует, что при с > 1
имеет место интегральное неравенство
Отсюда при с<=Ь/а получаем нужное неравенство.
Пример 12. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке
la; b], а <Ь< Доказать неравенство (см. свойство 7°)
ь
f (х) dx
а
I f (*) I dx.
Решение. Так как
-1Нх)|</(x)<|f(x)|, х£[а; Ь],
то отсюда и по свойству 5° заключаем, что
b b ь ъ
— J I f (х) I dx — J (— |/ (х) I) dx^ J f (х) dx< I/ (х) \dx*
а а а а
Таким образом,
ь ь
f(x)dx < j | f (x) | dx9
a a
что и требовалось доказать.
466 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
6.2. В гл. 5 было введено действие дифференцирования
функции. Обратное ему действие называется интегрированием
и заключается в том, чтобы найти все такие функции, произ-
водная каждой из которых равна данной функции.
Функция F (х) называется первообразной для непрерывной
функции f (х) на заданном промежутке, если для каждого зна-
чения х из этого промежутка имеет место равенство
F' (х) = /(х).
При этом, если промежуток содержит, например, свой левый
конец а, то в этом равенстве требуется, чтобы правая произ-
водная функции F (х) в точке х=а была равна f (а); аналогич-
но, если правый конец b принадлежит промежутку, то левая
производная функции F (х) в точке х = Ь должна быть равна
f(b)-
Зная таблицу производных (см. гл. 5, § 1), нетрудно при-
вести примеры первообразных. Так, функция F (х) = х2 явля-
ется первообразной для функции f(x) = 2x на промежутке
(—оо;-|-оо), а функция F (х) = —cosx — первообразной для
функции f(x) = sinx на промежутке (—оо;-|-оо).
Пример 13. Найти первообразную для функции f (х) =
= l/j/x на промежутке (0; +оо).
Решение. Пусть F (х) = -^- х2^3. Учитывая формулу
(х05)'»»*06-1, при х > 0 имеем
F'<x>=4"3x3 =х 3=yj-
Поэтому функция F (х)—'~-х2/? является первообразной для
функции f(x)~l/iSх при х > 0.
Легко заметить, что функции
А^+1, 4x^+7. 4х*/?.+ К2
4 4 4
также являются первообразными для функции f(x)=ll\/r^
при х > 0. Вообще при любом фиксированном значении в
функция ~-х2/3 + С является первообразной для функции
Пример 14. Найти первообразную для функции f (х) m
= Ух на промежутке [0; + <эо).
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 467
2
Решение. Пусть F(x)=—х3/2. Так как при х> 0 имеем
<5
F' (х) = (4 х8/2 У=4 • 4 *1/2 = Кх,
У О j D Z
то функция F (х) является первообразной для функции f (х)
на промежутке (0;+оо). Чтобы доказать, что F (х) является
первообразной для функции f (х) на промежутке [0; +оо),
осталось проверить, что правая производная F'+ (х) функции
F (х) в точке х = 0 равна /(0)==0. Имеем
4(0) = lim 4*) —4°) = lim 2 j/-- 2 Иш y--=0
x -> 0 x x -> 0 x 0
x> 0 x > 0 % > 0
Пример 15. Доказать, что функция F(x) = 5 —ctgx яв-
ляется первообразной для функции f (x) = l/sin2x на интервале
(0; л). •
Решение. При xg(0; л) имеем
F' (х) = (5—ctg х)' = (5)' — (ctg х)' =
Подчеркнем, что задача интегрирования состоит не только
в том, чтобы найти для данной функции f (х) лишь некоторую
первообразную, а в том, чтобы найти все ее первообразные.
Основное свойство первообразных:
Пусть функция F (х) является первообразной для функции
f(x) на промежутке I. Тогда
1°. При любом значении постоянной С функция
F(x)+C
является первообразной для функции f (х) на промежутке 7.
2°. Любая первообразная G (х) для функции f (х) на про-
межутке / может быть записана в виде
G(x) = F(x) + C,
где С — некоторая постоянная.
Другими словами, если для заданной функции f (х) на
Промежутке^/ найдена некоторая первообразная F (х), то ре-
шением задачи интегрирования для функции f (х) является
множество всех ее первообразных вида F(x)4~C, где С—про-
извольная постоянная.
Z Основному свойству первообразных можно придать про-
стой геометрический смысл: графики любых двух первообраз-
ных для функции y — f(x) получаются один из другого парал-
лельным переносом вдоль оси Оу (рис. 6.13).
Пример 16. Для функции f (х) = ]/"х , х 0, найти пер-
вообразную, график которой проходит через точку (9; 7).
Решение. Из основного свойства первообразной и при-
мера 14 следует, что любая первообразная для функции У~1с
468
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
записывается в виде
9 _
F(x} = ^xVx+C,
О
где С—произвольная постоянная.
Эскизы графиков некоторых из этих первообразных изобра-
жены на рис. 6.14. Чтобы найти ту функцию, график которой
проходит через точку (9; 7), надо решить уравнение
о ______
-T.9Fr9+C=7.
О
Откуда находим С=—11. Следовательно, искомая первообраз-
ная имеет вид F (х) = -|-х/Т —И.
о
Пример 17. Для функции f (х) = sin х найти первообраз-
ную F (х) такую, что^(1) = 3.
Решение. Так как (cosx)' =—sin %, то при каждом С
функция F (х) =—cosx + C является первообразной для функ-
ции f(x) = sinx. Из равенства Г(1) = 3 следует, что 3 =
= — cos 1 + С. Таким образом, при C=3-|-cos 1 получаем иско-
мую первообразную, т. е. функцию F(x) = 3+cosl— cos х.
Замечание. Часто при нахождении первообразной для
функции f (х) промежуток, на котором задана функция f (х),
не указывается; в этом случае считают, что первообразную на-
ходят на всей естественной области существования функции f (х).
Пусть F (х) — какая-либо первообразная для функции f (х);
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
469
тогда F (х)-]-С, где С—произвольная постоянная, часто назы-
вают общим видом первообразных для функции Цх). Напри-
мер, -$ х3-)-С является общим видом первообразных для функ-
о
ции х2.
Множество всех первообразных для функции f (х) называ-
ется неопределенным интегралом функции f (х) и обозначается
символом
f (х) dx,
т. е, по определению
$ f {x)dx = F (х) + С
Таким образом, неопределенный интеграл функции пред-
ставляет собой общий вид первообразных для этой функции*
Величина С, входящая в определе-
ние неопределенного интеграла,
называется произвольной постоянной.
Придавая ей то или иное значение,
можно получить из неопределенно-
го интеграла любую первообразную.
В неопределенном интеграле^ f (х) dx
функция f (х) называется подынте-
гральной функцией.
Из определения неопределенно-
го интеграла следует основное
равенство
(J f (х) dx'j =f(x),
т. е. производная любой перво-
образной подынтегральной функции
равна ей самой.
В основе всех методов нахож-
дения неопределенных интегралов,
или, как принято говорить, инте-
грирования функций, лежат инте-
гралы от простых функций.
Ниже приводится таблица нео-
пределенных интегралов некоторых
функций:
Рис. 6.14
а # —1;
4) \ ах dx = т--------1-
' J In а 1
С, а > 0, а 1;
470
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
5) ех dx — ex-J-C; 6) cos xdx==sin х-|-С;
7) sin х dx — — cos х + С;
8,jisfc=,|!'+c' ‘«z:
р dx
9) y-^F7s~ctg*+c- x^nk,k^Z;
10) C— — =a resin — -!-<?, a > 0, |x| < a;
J /fl2-x2 a
11) V -Л-5=- arctg—-J-C, а * 0;
J x2 +a2 a a 1
12) C_^_=’ln |ir^|-{-C, a^O, |x|^]a|.
J x2— a2 2a |x-|-6Z | 1 1 1 1 1
Проверка правильности каждой из этих формул состоит
в проверке того, чю производная функции в правой части
равна подынтегральной функции в ее левой части.
Проверим, например, формулу 3). При х > 0 имеем 1п|х| =
= In X и
(In | х |-|-С), = (In х-\-С)' — \/х.
При х<0 имеем In | х | — In (— х) и
(1п|х| + С)' = (1п (-х) + С)' = —L(_1)=1.
Таг им образом, при х Ф 0 получаем
(In |х| + С)'= 1/х,
т. е. формула 3) верна.
Интегралы от функций, не входящих в таблицу, при их
нахождении стараются свести к приведенным «табличным»
интегралам. Два основных и простых правила нахождения
неопределенных интегралов (первообразных) состоят в следу-
ющем:
1 . Интеграл от суммы двух функций равен сумме интег-
ралов слагаемых, т. е.
$ (/ to+g to) d*= J f to dx+ $ g to dx-
2 , Постоянный множитель k, k # 0, можно вынести за
знак гнтеграла, т. е.
J kf (х) dx — k J f (x) dx.
3 амечание. Отметим, что, например, равенство
J (f(x)+g(x))dx= J f (x)dx+^g(x)dx
понимается в следующем смысле. Для любой первообразной
Т (х) для функции f(x)+g(x) найдется такая пара первооб-
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 471
разных F (х) и G (х) для функций f (х) и g (х) соответственно,
что Т (х) = F (x) + G (х). И обратно, для любой пары каких-
либо первообразных F (х) и G (х) для функций f (х) и g(x) со-
ответственно найдется такая первообразная Т (х) для функции
f (*)+#(*)> T(x) — F (x) + G (х). Значит, справедливы сле-
дующие равенства:
J (/ W + g W) dx = F (х)+ J g (х) dx,
f (х) dx-]- g (х) dx = F (х)+ J g(x) dx,
где F (x) — некоторая первообразная для функции f(x).
Отметим также, что в этих равенствах нельзя взаимно
уничтожить в левой и правой частях g (х) dx, так как это
может привести к ошибкам. Например,
J xdx = (x-|-0)dx= J xdx-f- Odx = J xdx+C,
где С—произвольная постоянная. Поэтому, например, имеют
место равенства
Jxdx=^xdx+5, xdx= хdx+7.
Взаимное уничтожение интегралов, стоящих в левой и правой
частях, приводит к неверным числовым равенствам 0 = 5, 0 = 7.
Аналогичные замечания справедливы и для формулы
f kf (х) dx = k f f (x) dx, k # 0;
в частности, имеет место равенство
kf (х) dx — k J f (х) dx~kF (х)4-С,
где С—«произвольная постоянная, a F (х)-*некоторая перво-
образная для функций f(x).
Пример 18. Найти
С —4 sinx) dx.
Первое решение. Используя правила 1 и 2 (с уче-
том сделанного выше замечания), находим
J -----4 sin dx = § ~dx-±~ J (—4 sin x) dx —
1 C 1 C
\ (—4 sin x) ^x~—~—4 \ sinx dx —
= —-4 (— cos x)-|-C = — -~+4cosx+C,
где С—произвольная постоянная.
472
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Второе решение. Первообразными для функций
f(x)=l/x2 и g(x) = —-4sinx являются, например, функции
F (х) =— 1/х и G(x) = 4cosx. Поэтому функция F (х) 4~G (х) =
= 4 cos х является первообразной для функции -
— 4sinx. Следовательно,
( х^—4 Sin dx~---Г" 4 cos х + С,
где С — произвольная постоянная.
Пример 19. Найти:
1) У (*2 + рх+<7) dx; 2) J 2x^7 dx‘
Решение. 1) Используя правила 1 и 2, получаем
(х2 + рх + q) dx = J х2 dx + J px dx+ J q dx =
= J x2 dx-\-p x dx 4~q dx.
Затем, согласно формуле 2) таблицы интегралов, находим
У (x2+px-H)dx = y х3+-£-Ха + <?х+С,
где С—произвольная постоянная.
2) Имеем
Р 5 , __5 С dx ____5 С dx
bx2+7 ^^2+7-2j^yry-
Отсюда по формуле 11) из таблицы интегралов находим
с 5 . 5 V2 „ КТх , „
\ q 2 , ~dx=—-r=- arctg J-——j-С,
J 2х2 +7 2 К7 /7
где С—-произвольная постоянная.
Пример 20. Найти F (х), если:
1) F' (х) = 6х + 3 и F(—2) = 4;
2) Г(х) = 9х24-4х—10 и F(—1)=10.
Решение. 1) Так как искомая функция F (х) содержится
в множестве функций
F' (х) dx = J (6х+3) dx==3x24-3x4-C
то найдется такое Со, что F (х) = Зх24-3x4-Со. Для нахожде-
ния Со воспользуемся условием F(—2) = 4; имеем 4 = б4-С0*
Отсюда Со = —2. Итак, F (х) =3х24-3х—2.
2) Имеем
f F' (x)dx= f (9х24~4х—10) dx = 3x34~2x2—10x4-0»
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 473
Пусть Cq таково, что
F (х) = Зх8+2х2 — 1 Ох+
Так как
F (—1) = 3 (—1)3+2 (—1)2—1О(—1)Ч-Со = 9 + Со,
то из условия F (—1) = 10 найдем Со=1. Таким образом,
F (х) = 3х3+2х2—10х+1.
Полезным методом приведения интеграла к табличной
форме является метод замены переменной.
Первое правило. Чтобы вычислить интеграл вида
$ /(<₽(•*))<₽' (*Мх,
запишем его в форме
р (<р (х)) d<p (х),
заменим здесь ср (х) на у и вычислим (по у) полученный интег-
рал; в полученном результате произведем замену переменной у
на <р(х). При этом по определению dtp (х) = <р' (х) dx.
Так, например,
и С —С л у dx ________Cdlnx_ Cdy__
Jxln2x~-J( } ln2x J ln2x-~J t/2”"
=_1_|-C=--/-+C;
у ‘ Inx 1
P cos x dx _ P (sin x)' dx_ P dsinx __
' J l + sin2x~J 1 -J-sin2 x ~~ J 14-sin2x~"
=J 2 “ arctg у+c = arct g (sin x) тЬ C.
Второе правило. Чтобы вычислить интеграл
J f (х) dx,
положим х = <р(/), где ср (/) —дифференцируемая функция,
имеющая обратную функцию / = ф(х). Вычислив полученный
интеграл (по /), в найденном результате заменим t на ф(х).
Пример 21. Найти
Р dx
J 1+К*’
Решение. Положим t=V х; тогда х=/? и dx — 2tdt.
Отсюда
ЬтЫтр-2^1-ТТ7?'^'-2 '"I1,+'|+е-
= 2 К х-21п(1 + К х)+С.
474 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Пример 22. Найти:
1) Jcos4xdx; 2) J (Зх4-2)Мх.
Первое решение. Имеем:
1) у cos 4xdx=-^- у cos 4xd (4х)=-~ у cos ydy~
=-|- sin r/4-C= ~ sin 4x+C;
2) J (3x + 2)Mx==l J(3x4-2)3d(3x+2)=l
=-^+С=1(Зх+2)*+С.
Второе решение. 1) Положим / = 4х; тогда x=//4 и
dx — d (t/4). Отсюда
J cos 4xdx = § cos t d ^~.)=-l.y cos t dt =
=-|- sin sin 4x+C;
t__2
2) Положим / = 3x4-2; тогда я=—x— и
о
(3x+2)3rfx= f t3d( -1-/— 2^=4- C Z3d/=~/4+C=
J \ V / □ J 12
=l(3x+2)*+C.
Для усвоения методов интегрирования заменой переменной
предлагаем проверить правильность приведенных ниже выкла-
док, в которых специального обозначения для замены не вво-
дится и соответствующие действия проделываются устно:
Jdx 0 d(lnx) ... . ,
---= \ in Inх 4-С;
х In х J In x
2) у sin" x cosxrfx = y sin" xd(sin x)==—~j-sin"+1 x-J-C;
3) У sin mx dx-~- у sin mx d (mx) cos mx4-C;
4) f x<^x ____ 1 f d _________1 Cd(l—x2)
5) J(ax+d)Mx = lJ (ax+j)»d(M+6)=M^+C;
6) У sin (ax+&) dx=4 J sin (ax-]-b) d (ax-|-b) =
=— — cos (ax 4- b) 4- C;
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
475
~С dx 1 Cd(ax+b) 1 t , . . , . _
7) \--гт=- \ In ax+b +£;
J ax-{-b a J ax+b a 1 1 ’ 1 ’
p dx p dx _______p dx ______
J Sinx J2sin|cos~ J2tg-|cos2y
=f^=taHI+c-
ё 2
Приведем несколько примеров на применение неопределен-
ных интегралов.
Пример 23, Упростить выражение
F (х) ~ sin Зх cos3 х + cos Зх sin3 х.
Решение. Найдем производную данной функции; имеем
F' (%) = 3 cos Зх cos3 х—3 sin Зх cos2 х sin х —
—3 sin Зх sin3 хЦ-3 cos Зх sin2 х cos х —
= 3 (cos Зх cos х—sin Зх sin х) = 3 cos 4х.
Так как функция F (х) является одной из первообразных
для функции 3 cos 4х, то она содержится в множестве функций
J3cos4xdx, т. е. среди функций ~sin4x+C. Надо опреде-
лить постоянную С так, чтобы для каждого х выполнялось
равенство
3
-у sin 4х+С = sin Зх cos3 х+cos Зх sin3 х.
Полагая, например, х=0, находим, что С=0. Следовательно,
, 3
sin Зх cos8 х+ cos Зх sin3 x = -j- sin 4х.
Пример 24. Упростить выражение
F(x) = (x + a+^)3—(х+а—й)3—(х.-а+&)8—(—х + а+&)3.
Решение. Имеем
f(x) = F' (х) =
= 3(х+а+6)2—3(*+а—6)2—3(х—а+&)2+3(—х+а+6)«,
f* (х) — 6 (x + ^ + Z?) — 6(х4-п--Z?) — 6(х—а+&) — 6(—х+^+^)^0.
Так как Jodx = C и f (х) содержится среди всех этих
первообразных, то найдется такое Со, что при каждом х верно
равенство f (х) = С0. В частности, при х = 0 получаем 24а6=Со*
Итак, f(x) = 24ad.
476
ГЛ 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Поскольку 24ab dx = 24abx-\-C, то существует такое Ct,
что при каждом х справедливо равенство
F (x)~24abx~}~Ci.
В частности, F (0) = 0; отсюда следует, что Ci — Q,
Таким образом, F (x)—24abx, т. е.
(х-|-а + £)3—(* + а—Ь)3-—(х—я4~Ь)3-—(— x-[-a-\-b)2 — 24abx.
Пример 25. Доказать тождество
tgx +2 tg 2х4~4 tg 4x4-8 tg 8x = ctg x— 16 ctg 16xt
Решение. Положим
f (x) = tg x4-2 tg 2x4-4 tg 4x4-8 tg 8x
и найдем неопределенный интеграл
f (х) dx =
== ^ tg х dx+ J tg 2x d (2x) + J tg 4x d (4x) 4- tg 8x d (8x).
Из табличной формулы 3) получаем
j / (х) с/х~ —ln| cos х| —In | cos 2x | — In | cos 4x | — In | cos 8x |4-C=
= — In | cos x cos 2x cos 4x cos 8x 14~ £ =
____1| Sin 2x sin 4x sin 8x sin 16x I .
I 2 sin x 2 sin 2x 2 sin 4x 2 sin 8x | ‘ ~~
= — In | = — 1° I sin 16x|4-ln | sinx 14~ In 16-j-С»
Отсюда, используя формулу 3), находим
f (х) = (J f (x) dx) = —16 ctg 16x4-ctg x.
Довольно общим приемом преобразования неопределенных
интегралов является правило интегрирования по частям.
Пусть /(х) и g(x)—две дифференцируемые функции, опре-
деленные на одном и том же интервале. Тогда
(7 (х) g (х))' = Г (х) g (х) 4- f (х) g' (х),
и из определения неопределенного интеграла получаем
$ (/' (х) g (х) 4- f (х) g' (х)) dx = f(x)g (x) 4- C,
t. e.
S (x) /' (x) dx+^f (x) gf (x) dx = f (x) g (x)+C,
где C—произвольная постоянная. Так как f' (х) dx~df (х) и
gf (х) dx — dg (х), то, согласно сделанному выше замечанию,
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
477
имеем
J f М dg (х) = f (х) g (х) — ^g (х) df (х).
Полученная формула называв!ся формулой интегрирования по
частям} она представляет собой некоторое тождественное пре-
образование одного интеграла в другой.
Пример 26а. Найти
J х In х dx.
Решение. Пусть /(х)«1пх и xdx = dg(x). Тогда df(x)~
— dxfx и g(x) = x2/2. Из формулы интегрирования по частям
находим
I х Inxdx— \ In xd (J=-y Inx— \ -у d In x =
x2 * P x . x* %2 i
=_. in _ dxs=— In Х-Т+С.
Следовательно,
Г xa ( IX
\ x In x dx==-g- ( In x-—J 4*C,
где С—-произвольная постоянная.
Пример 266. Вычислить
eaxsin bxdx.
Решение. С помощью двукратного интегрирования по
частям получаем (f(x)~eax9 g (х) = — cos bx)
Р 1 а С
1 еах sin bx dx=—еах cos bx+-у \ еах cos bx dx «=
=—еах cos р- еах sin 6х-—~ J еах sin bx dx.
Определяя из полученного уравнения нужный интеграл,
находим
J еах sin bx ^==^2q_p‘ е°х (а sin bx—b cos bx) -f-C*
Пример 26в. Найти
С У a^—x^dx.
473 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Решение. По формуле интегрирования по частям имеем
(/ (х) = Кл2—х2, g(x)~x)
S ______ р ______2л
И а2 — x2dx — x У а2 — х2 — | х - -^=^=^-dx =
J 2/а2—х2
5---х- Г х2 . ---X , Р х2—а2 + а2 ,
==хУ а2—х2 + I .... ^dx — x у а2— х2 + | —г. - .--dx =
jKa2 —х2 J /а2—х2
Из полученного равенства следует, что
У а2—х2 dx~x У а2—х2+«2 arcsin
—— \ У a2—x2dx.
a J
Отсюда находим
С У аъ — х2 dx~-~ У а2 — х2-|—arcsin ~+С.
Чтобы освоить метод интегрирования по частям, предла-
гаем проверить правильность приведенных ниже вычислений:
1) J х3 Inxdx = J In xd ===‘^"л'4 I*1
—г? хМ1пх=4-х4 1пх—~х4 + С;
4 J 4 16
2) arctg х dx — х arctg х— J х d (arctg x) =
, P x , , 1 P d (x2)
=x arctg x-dx = x arctg x—у j
= x arctg x—у J x arctg xIn (1 + x2) + C;
3) x2 sin x dx = J x2 d (— cos x) =
—x2cosx—(—cosx)dx2 = —x2 cos x+2 xcosxdx =
=—x2 cosx + 2 J xd (sin x) — — x2 cos x + 2 (x sin x— J sin x dx) =
= — x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x+C;
4) J x2ex dx = x2d (ex) = x2ex — ex dx2 = x2ex—2 J ex x dx =
s=x2ex—2 J x d(ex) — x2ex—2 (^xex— ex dx^ =
= x2ex—2xex + 2ex+C == (x2—2x + 2) ex + C.
Аналогично с неоднократным применением метода интегри-
рования по частям вычисляются неопределенные интегралы
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
479
вида
хп lnw х dx, хп sinw х dx, J хп cos'® х dx,
\ хп ех dx, \ епх cos mx dx, \ епх sin пх dx.
6. 3. Пусть функция f(t) непрерывна на отрезке [а; 6],
а < 6; тогда для каждого xg[a; b] она непрерывна на отрезке
[а; х]. Рассмотрим определенный интеграл
X
f (t)dt, b,
а
как функцию аргумента х и тем самым определенную на от-
резке [а; 6].
Имеет место теорема, устанавливающая связь между опера-
циями дифференцирования и интегрирования, которую назы-
вают основной теоремой математического анализа: справедливо
равенство
(^f(t)dt^~f(x), a^x^b.
Смысл этой теоремы состоит в том, что она отвечает на глав-
ный вопрос интегрального исчисления—-вопрос о существова-
нии первообразной для данной непрерывной функции.
Приведем здесь наглядное рассуждение, поясняющее основ-
ную идею доказательства этой теоремы. Для простоты будем
считать, что функция f непрерывна на отрезке |а; Ь] и прини-
мает на нем только неотрицательные значения.
Пусть
X
ф (x) = Jf (/) dt, a^x^b.
а
Тогда Ф (я)—-площадь криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции и прямыми линиями у —0, t = a,
t=x (рис. 6.15, а).
Дадим аргументу х приращение Дх (на рис. 6.15 Дх > 0);
тогда для соответствующего приращения функции Ф (х) имеем:
х+Дх х
Дф (х) = Ф (х-(-Дх) — Ф (х) = J — ^f(t)dt =
а а
х + Дх
= J
X
Величина ДФ (х) представляет собой площадь достаточно узкой
криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 6.15, б.
Приняв приблизительно за площадь этой трапеции число,
480
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
равное площади прямоугольника е размерами Ах и f(x), най-
дем АФ (х) « f (х) Ах; таким образом,
АФ (х)
Ах
«Их).
Естественно, что для непрерывной функции /(х) это равенство
тем точнее, чем меньше Ах. Последнее и означает, что имеет
место соотношение
f(x)= lim
Ах-*
АФ (х)
Ах
а это равносильно утверждению основной теоремы.
Согласно этой теореме, например, имеем:
и т, д.
Основная теорема математического анализа позволяет
свести задачу о вычислении определенного интеграла непрерьпЬ
Рис. 6.15
ной функции к нахождению для нее первообразной, т, е.
к нахождению неопределенного интеграла.
Пусть
ь
I = р (/) dt,
а
а <Ь,
н /(/) —непрерывная функция на [а; />]. Рассмотрим функцию
X
Ф (х) = f (t) dt, a^x<b*
а
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 481
Имеем /=Ф(£). Таким образом, если функция Ф(х) найдена,
to легко вычисляется и число /=Ф(6).
Согласно основной теореме, имеет место соотношение
ФМ*)=/(*),
и тем самым функция Ф (х) является одной из первообразных
для функции f(x) на [а; 6]. Следовательно, если г(х)—какая-
либо первообразная для функции f (х), то -
Ф(х)=Г(х)+Св,
где Сб—некоторая постоянная. Так как Ф(а)==0, то отсюда
заключаем, что Со =—F (а); поэтому
Ф(х) = Г(х)-~Г(а).
В частности, при х*=Ь получаем
ъ
/=p(O<W=F(&)—Г (aj.
а
Полученная формула называется формулой Ньютона—Лейб-
ница.
При выводе формулы Ньютона***Лейбница предполагалось,
что а<Ь. Однако это несущественно. Действительно, при а«=6
эта формула справедлива:
а
.0= р (0 dt =F (a)—F (а) = 0.
а
Случай же а > b приводится к а < Ъ при помощи перемены
знаков в обоих частях формулы: если а > Ь, то
Ь а
J f(t)di=— ^f(t)dt = — (F(a)—F(6))==F(fr)— F (a),
a b
и формула доказана.
Формулу Ньютона—Лейбница принято записывать иначе,
используя для разности F(b)^F(a) удобное обозначение
F(x)\*~F(b)~F(a).
В этих обозначениях имеем
ь
$ f(x)dx=*F(x)\b.
а
Замечание. Разные обозначения переменной интегриро-
вания в определенном интеграле ничего не меняют, таи как
интегралы
t b b b ь
^f(x)dx, ^f(t)dt, ^f(y}dy9^&
a a a a
16 Задачи до математике. Начала анализа
482 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
обозначают одно и то же число. Однако это не так для обо*
вкачения переменной в неопределенных интегралах. Например,
лМх = 4-х«4-С,
О
z«dz=4-«3+C.
О
f(x)dxt fe==const.
Вычисляя интеграл
J sin3 х cos xdx,
при помощи замены z = sinx приходим к интегралу
J в* dz.
Последний интеграл не равен х3/3-]-С, а равен именно выра-
жению г8/34~С, в котором z==sinx> т. е.
С sin2 х cos
V **
Основные правила вычисления определен-
ных интегралов:
ъ ъ
1. J kf (х) dx~k
а а
b b Ь
2. W+e W1 <&==р (x) (x)dx.
a a a
b b
3. J /(*)<*£(*)=/(*)?(*)£— $ g(x)df(x).
a a
4. Пусть функция ф (0 и ее производная ф' (/) непрерывна
на отрезке Ja; ₽], а=ф(а), £=ф(₽) и множество значений
функции ф(О совпадает о отрезком {а; ЭД. Тогда для любой
непрерывной на отрезке {а; ЭД функции у=/(х) имеет место
равенство
Ъ Р
J / (х) р (ф (0) <f‘ (/) dt.
а а
6 чаетноети,
f (йх+е) dae-i J f(x)dx,
a ka+a
где k и е<*»п0сйянные, k & 0,
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 483
Пример 27. Доказать, что при любом натуральном л
имеют место следующие равенства: >
у2 уЗ уП
а) 1п(1 + х)=я-±-4-А_- ,,.+(_1)П-а£.+
Z О п
X
+*)?
о *
уЗ уб *”
б)
X
Jjridy' *€R-
У ”T 1
о
Решение* Так как
а) 1 —Х-]-х2—.. + (— х^— 1;
* i х
б) i_x«+^-...+(-l)»-»x«<»-i)=15fc^-", xgR,
1 *|* л
то
а) ~=1-»+х2-...+(-1)и-1хп-14-(-1)'‘
х^—1;
1 “Г’ л 1 л
xgR.
Из этих двух тождеств почленным интегрированием с приме-
нением правил 1 и 2 находим
X
ч С dy . Z1 . . х2 . х9 . . .
а) ]т+у= n(i+*i=*—2”*"з—
о
х
+(—1)вУНг/
о
.ч Г dy . х9 х% x9n^i
б) JTf^=aretgxx=x-T+T-....+(-!)» *2^+
О
х
Р 1/2п
+(-1)" i rf+l*
о
и тем самым требуемые равенства установлены.
Пример 28. Найти
К? \
t +p2dz\dt.
о J
16*
484 гл. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Решение. Имеем
Поэтому
Ф(х) = С (<+-§<*)
о о о -
Ч-^+п*1г4*‘+15л
Основные свойства определенных инте-
гралов:
1°. Если а < с < Ь, то
bob
J f(x)dx=>^f (х) dx-j- J f (x) dx.
a a c
2°. Если функции y=f[x) и y~g{x) непрерывны на от-
резке [а; Ь] и при каждом х£[а; 6] выполняется неравенство
f(x)^g(x), то
b ь
^f(x)dxs* ^g(x)dx.
а а
В частности, если f (х)^0 при каждом х^[а; $], то
ь
Jf(x)dx^O.
а
3°. Если функции у 5= fix) и y~g(x) непрерывны на отрезке
[а; 6], при каждом х из отрезка [а; 6] выполняется неравен-
ство f(x)^g(x) и, кроме того, существует по крайней мере
одна такая точка х0€[а; для которой f (х0) > g(x0), то
£ ь
^f(x)dx> J g (х) dx.
а а
Отсюда, в частности, следует, что если функция y~f(x)
непрерывна на отрезке xg[a; fc], f(x)^O, при каждом xg[a; b]
и существует по крайней мере одйа такая точка 6], для
которой /(Хо) > 0, то
ь
f (х) dx > 0.
а
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
485
ъ
4°. J f (х) dx < J | f (х) 1 dx.
а а
5°. Еели функция / непрерывна на отрезке (а; 6] и
min f(x), Mx= max f(x), то
хе [a; ft] хе [a; ft]
ft
т (b—a) <,^f(x)dx^M (b—*a).
a
6°, Если f (x)—непрерывная и периодическая функция
е главным периодом Г, то для любого чи&ла а имеет место
равенство
а+г, Т
j f(x}dx= J f(x)dx.
a 0
7°. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке
[— а; а], а > 0, и являетея^четной функцией, т. е. /(—#) = /(%),
xg[—а; а], то
а а
J f (х) dx =2 J f (x) dx.
-a 0
8°. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке
{—а; а], а > 0, и является нечётной функцией» т, е, f (— х) =
«—f(*)» —а* аЬ то
а
J f(x)dx = 0.
-а
9°. Если функции f и g непрерывны на отрезке |а; &], то
имеет место неравенство Коши^Буняковского
“ ft "la ft ft
j f (X) g (*) dx < J P (*) dx J g® (x) dx.
J a a
Пример 29. Вычислить:
2 зт
a) J x4 dx; 6) sin x dx.
1 °
Решение, а) Поскольку для функции одной.
из первообразных является функция то по формуле
о
Ньютона—Лейбница получаем
j xMx = yX8|2_i = y(32+l)=S.
— 1
486 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
б) Пользуясь формулой Ньютона—Лейбница и тем, что
{— cos х)1 = sin х, получаем
л
С I31
\ sin xdx~(—cos ж) I ==— cos л+cos 0=2,
Пример 30, Вычислить
лм
г dx
J cos2 др *
о
Решение. Так как иа рассматриваемом промежутке од-
ной из первообразных для функции У^-^г^ является функ-
ция //—tgx, то
Л/4
Р dx , ]Л/4 . л . л t
Пример 31, Вычислить
4 л
J КТ** cos 2xdx,
о
Решение, Так хак КТ** <&s 2ж«= К 2eln* *= ]/”2 | sin х |,
то
4л 4л
J КГ** соз 2х с?х= К 2 J I sin х | dx»
о о
Воспользуемся теперь свойством 1°; имеем
4л л 2л Зл 4л
J | sin х | dx~ Jsin х dx ** J sin x dx + sin x dx — sin x dx==*
0 0 л 2л 3л
/ . |Л . \ 12л . t . |3л , . 14л
=(— cos x) — (— cos x) +(— COS X) — (— COS X) I =
|v |7l {ZJi 1иЛ
= 24-2+2+2=8.
Поэтому искомый интеграл равен 8К~2*
Пример 32, Вычислить
2
J | 1**5х |dx.
I
Решение, Так как
11 — 1 1*ж5х,' х 1/5,
5х-1, х > 1/5,
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 487
то по свойству 1° получаем
2 1/5 2
J 11«**5х| dx= J (1—5х) dx-J- § (5х~- l)dx=
О О 1/5
1/5 2 2
с-А—5 J xdx+5 J x,dx— § dx=s
о 1/5 1/5
1 ч 1 и-5*4 54 JL—10—5Н~50°—5-90—410_±L
Т 25-2*** 2 2-25 5 ~~ 2-25 50f~ 5 *
Пример 33. Вычислить
1
-1
Решение. Так как х|^3 и функция ^/==|
является четной функцией, то по свойству 8® получим
1 ____ 1 1
С У"х%/з dx~ С |*11/3 dx~2 С х1^ dx=
•*1 -1 о
Пример 34. Вычислить
2
С e*dx
Решение. Пусть
fgle-B; а2), и по правилу
t—e*; тогда если xgf—1} 2]» то
4° имеем
2 2 е* е*
f exdx _ f _ С _ f d(* + l)_
J i+ex~- J 1+e* /+1 ~
-1 -1 e-J
=s In {t + IXГ I = In (UH2) —In (1 +<3-i) = In
Jg—*
14-e8
1
. 1 / sin2nx\ |Л
nxdx^lx-----
(-Л
488 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Пример 35. Вычислить
л л
a) J sin2 пх dx; б) J sin пх sin тх dx» п т.
-л -л
Решение, а) Так как
JL •— к—- ) ==i cos2/M) = sina пх»
то по формуле Ньютона—Лейбница получим
л
sin2
-л
б) Имеем
sin пх sin /их =-g- [cos (л-J-zn) х—cos (zn—л) х].
Поэтому, если л # /л, то
л л л
С 1 С If
\ sin пх sin тх dx~-~- \ cos (m+л) xdx—g- \ cos (zn—n)xdx=
-л -л -л
л
COS (/п + л)х</(/п + л)х—•
-л
л
cos (zn—л) xd (zzi—л) х=
-л
-2ЙТТ0 Sb {т+я) x|-«“2(^i)SIn х I” я= °-
Замечание. Вычисляя определенные интегралы при
помощи формулы Ньютона—Лейбница, следует обращать вни-
мание на выполнение условий, при которых она имеет место,
В частности, эта формула справедлива лишь тогда, когда
для непрерывной на отрезке [а; 6] функции y=f(x) равенство
f(x) = F'(x) имеет место для каждого х^[а;Ь]. Так как, на-
пример,
barctgl)^-^. х*0,
то для любых чисел а» b таких, что ab > 0, справедливо ра-
венство
ь
С 1 . ( . 1 \ р
J bRdJK~arctg TJI?
2
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 489
нельзя,
1
—5Г лишено
в то же время для любых чисел а и Ъ таких, что ab < О, инте-
ъ
f 1 .
грал j заменить выражением
а
так как при х=0 равенство —arctj
смысла.
Или, например, равенство
b
а
верно при любых значениях а и Ъ таких, что отрезок (а; не
содержит точки х=3, в то же время для чисел а и о таких,
что а < 3 < Ъ> запись
ъ
С dx
J (х—3)<
а
лишена смысла, так как в точке х=3 подынтегральная? фу нк*
ция не определена.
П р и м е р 36. Найти все значения а, а > 0, для каждого
из которых
а
а) С е* dx > Л:
J £
-а
2
б) (4—4a)x4-4x3)dx<12.
1
Р е ш е н и е. а) Так как
а
f ех dx=ех |а =
-а
то исходное неравенство равносильно неравенству
ea—e~a > 3/2,
Если г/=еа, то у > 0, и последнее неравенство можно записать
следующим образом:
1 3
у“7> 2
Полученное неравенство на промежутке (0; 4~ оо) равносильно
неравенству у > 2; поэтому исходное неравенство .равносильно
неравенству еа > 2. Отсюда получаем, что условию задачи
удовлетворяют все а > In 2»
490
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
б) Имеем
2 2 2 2
f (а2 — (4*— 4а) х + 4х8)dx — a? J dx—(4—4а) xdx + 4 J x3dx =
1 ill
X2 12 1
c=a2_(4_4a)i-|i+4.±x<
2
1 =а2—(4—4а)-2+(2—2а)+16—1=
= «2—8 + 8а+2—2а+15=а2+6а+9 = (а+3)2.
Таким образом, все искомые значения а, а > 0, удовлет-
воряют неравенству (а-|-3)2<С 12. Так как
J а> 0, ( а> 0, ( a > 0,
\ (a+3)»<12^\ а+3<2/3^ j a<2/3—3^
ОО < а<2/’3—3,
то все искомые значения а принадлежат промежутку (0; 2рл3—3].
Пример 37. Найти числа А и В такие, чтобы функция
з
/(х) = Д« 2* + В удовлетворяла условиям f( (1) = 2 и J f(x)dx — 7,
о
Р е ш е н и ё. Поскольку fr (х) = А>2Х In 2, то из равенства
f (1)=2 найдем, что 2 А In 2=2, поэтому . Таким обра-
1П Ал
зом, f (х)“ ^7]^) *2л + ^. Кроме того, функция F(x) =
является одной из первообразных для функ-
ции f (%); следовательно, по условию
3
рИ•“-(ьЙ 2'+в«) |«-и+3«-и“’-
7 (1—L.A
~ D \ 1п22/ 7 .24
Отсюда находим В =—-—5-----—=-^- Q1 — log^e).
о о
Итак, Д —log2e и (1 —logsk).
о
Пример 38. Вычислить
Л/4
а) /|= J ctg*2x dx;
п/8
3
б) /2=| (-44 Г)
Решение, а) Так как для х$[л/8; л/4] имеет место тож-
дество
t 29 — cos22x -4—sin22x„_ 1 1
g sin22x ~ sin22x ~ sin22x
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
491
ТО
Л/4 Л/4
, С ( 1 , \ . f dx |л/4
i=J \sin22x / Х~ J sin22.» Х|л/8 =
л/8 л/8
Л/4
1 р d(2x) st 1 А о |л/4 'л
= 2 J 8-ОТ-Т=—2 Ctg2x
Л/8
1 / . Л . Л \ л 1 л
==-y^tgT-ctgl-J-T=y-T.
б) Так как
31-х4.(1/3)2х-1==3.3-^+3.3~2л:=аЗ(3~л;^з-2^>
то
3 3 3
/2=3 С (3~*+3-3*)dx=3 Г 3~*dx+3 (* 3“^^»=
О 0 0
3 3
P 3 P 3~* 13 3 3~2*I3
= тну(—3,3~,+3~2"3",'}"2‘)“Тпт(~1г“18^+т)=
-ЖЭТП^'+^-^ЯТ-
Пример 39. Вычислить
1
/== J х K l +
о
Решение. Так как х /^+*==(*4-1** 1)У"Т+* ==
===(х+1)?/2-(1+х)1/а и
J (х +!)«/«dx^2^4^-—4-С.
J («+1)1/2 dx == 2(*+2^-4-С,
то
/=(j (,+и-»-! <«+d«) |>4.2«2-4.2«-|+4=
вК2 4^2,4 4/2 ,4_4(О+1)
“ Т~ 3 15“ 15 15— 15
Пример 40, Вычислить
/«=f /a2—x«dx, а>0.
492 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Решение. Используем правило 4 замены перемени^)
положим x=asin/, где 0=С/<^л/2. Легко проверить, что вс£
необходимые условия для такой замены выполнены. Так как
dx—асоз t dt, то
Л/ 2
/»а« J a&tdt~-
Замечание. При вычислении интеграла по формуле
Ь. 3
р (х) dx = р (ф (0) ф- (0 dt,
& а
т. ё. при помощи замены переменной вида х—ф (/), где ф(/)~~
дифференцируемая функция, новые пределы интегрирования
а и р определяются из системы уравнений
а==ф (а),
* = Ф(Р).
Если функция х=ф(/) не является монотонной, то может
случится так, что эта система будет иметь несколько различ-
ных решений* В этом случае следует взять любое из трех ре-
шений системы, которое определяет отрезок [а; р] и на кото*
ром функция х=ф(О является монотонной. Покажем это на
примере.
Пример 41. Вычислить
0/2
Решение. Положим х =?sin t; тогда dx = cos t dt. Новые
пределы интегрирования аир определяем из системы
1/2 = sin а,
/"5/2 = sin р.
Множеством всех ее решений является множество пар
(а; Р), где а = (—•!)* ~4-л&, &gZ, и-р ==(—-1)^—--\-пт>
Возьмем из них, например, пару (а; Р), где а = л/6 ир — л/3;
тогда на отрезке [л/6; л/3] функция # = sin/ является моно-
тонной. Следовательно, а = л/6 и р = л/3 можно взять за новые
пределу интегрирования.
Если а = л/6 и Р = л/3, то на отрезке [л/6; л/3] cos / > О,
и поэтому У1—sin21 — cos/. Следовательно, имеем
л/з л/3
/—С CQS___________с
*’’’ J sin / cos / “ J sin /
л/6 Л/6
t |л/3 2 + У 3
Intg-n =ln—-4--------------.
2 л/6 3
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО. ПРИЛОЖЕНИЯ г, 493 !
Можно взять некоторую другую Пару, например пару (a; g),
где а=бл/6, ₽=2я/3. Так как при изменении t от 5л/6 до
2я/3 функция x=sin/ является возрастающей, то в этом слу-
чае cos/ < 0; следовательно, У1—sin^/ = — cos/ и /
2л/3
/== —
di
sin/
12л/3
|5л/6
=bl±p.
□
В то же время, например, пара (а; Р), где а=л/6 и 0 =»
= 2л/3, такова, что на отрезке [л/6; 2я/3] функция x = sin/ не
является монотонной. Поэтому а=л/3 и р = 2л/3 не могут быгь
новыми пределами ,интегрирования.
Замечание, При вычислении интеграла
ь
/== J / (х) dx
а
с помощью замены переменной вида /==ф(х), где <р (х)—• диф-
ференцируемая функция на (а; Ь), монотонная на отрезке (a; bit
новые пределы интегрирования определяются из соотношений:
а=ф(а) и р==ф(£), где ф(ф(х))=х» Если функция / = ф(х)на
отрезке [а; />] не является монотонной, то он разбивается на
отрезки монотонности функции / = ф(х) и интеграл / на отрезке
[а; 6] заменяется суммой интегралов на полученных отрезкал.
Покажем это на примере вычисления интеграла J x* 2dx
« в"1
с помощью замены / —х2. .
Так как функция /=х2 на отрезке [—1; 2] не является
монотонной, то разобьем его на отрезки монотонности функции
1-1; 0] и (0; 2J.
Тогда
2 0 2
J хМх= $ х*dx+ С х8dx.
-1 -1 о
Если
1
x2=t то / на отрезке {—-1; 0] и dx=
----—dt, а на отрезке [0; 21 имеем х=1^7 ndx^—U^dt
2/ t 2/ t
Тогда получим
о о
с x»dX^—L (yidi—44^2Ii =4«
dj J X О |1 О
2 4
494
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
и, следовательно,
2
С хМх=4-+4=3.
J О О
-1
В то же время ясно, что
Пример 42. Вычислить
/=?-----.
J х у 14-In *
Решение. Положим /=14-1пх. Функция у= 14-In* на
отрезке [1; е] монотонно возрастает, непрерывна и дифференци-
руема. Поэтому, когда х возрастает, изменяясь от 1 до е, пе-
ременная t пробегает отрезок [1; 2]. Так как dt—dx/x, то
2
I — С ________1 д -1/2 I2 о (if*2 1)
“ 1 — 1/2 |1 и '•
Пример 43. Вычислить
л/3
/== j sin 3x4-cosdx.
-Л/3
Решение. Так как функции
i/=x10 sin Зх и #=lg1* х
являются нечетными функциями и промежуток интегрирования
симметричен относительно начала координат, то
л/3 z л/3
J х10 sin Зх dx = 0, j tg1-1- х dx = 0.
-л/3 -л/3
Следовательно,
л/3 л/3
/== С cos-^dx==3 С cos 4-^4“•
V J О О
-л/з —л/3
Отсюда имеем
J Q х l31^3 о f . л . { я \ \ « . л
Z = 3 SM у 1-^ = 3 Sin-д—sin ( - у J j =6 sin у.
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 495
Пример 44. Доказать» что для любой непрерывной на
отрезке [0; 1] функции имеет место равенство
л/2 л/2
J f(sinx)dx= J /(cosx)dx.
о о
Решение. Положим х=-~-—/; тогда dx——dt. При уве-
личении х от 0 до л/2 значение t изменяется от л до 0. Поэтому
rt/2 0
С / (cos х) — — J f^cos =
0 Л/2
0 л/2
s=— С § f(sin/)d/,
л/2 0
что и требовалось доказать»
Пример 45» Доказать равенство
1 1
J xw (l~-x)ndx*= J хп (1— х)т dx.
о о
Решение. Пусть 1—х=/; тогда di——dx. Имеем
1 о 1
Сх®(1— x)ndx—~ ( (1—о® tndt = f <»(1 —
о 1 о
что и требовалось доказать.
Пример 46. Вычислить
2
/=J xlnxdx.
Решение, Для вычисления интеграла применим формулу
интегрирования по частям для определенного интеграла, поло-
жив / (х) = 1пх и g(x)=x2/2. Имеем
2 2
/=2jlnxd(4)=2(4)lnx|^2^1dx=
2
=41n2-« J xrfx = 41n2—|^=4 ln.2—^2—=41п2—
I
Пример 47» Вычислить
л
I» \ х sin х dx9
о
ГЛ- в. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Реш1нив. Воспользуемся формулой интегрирования по
частям, положив f(x)=x, g(x)=—cosx. Тогда
л
Zc=— X COS J COS X d* = л + sln
Пример 48, Вычислить
л
/=з J e* sin2xdx.
о
Решен ие. Пусть f (я)«= sin2х, #(*)=»а*. Тогда по пра-
вилу 3 интегрирования по частям найдем, что
л л
/«в* sin 2я 2 J ех cos 2х dx=—2 § ех cos 2х dx.
Для вычисления этого интеграла снова воспользуемся форму-
лой интегрирования по частям (f(x) = e*, ^(я)=соз2я):
л л
Г ех cos 2xdx=e* cos 2хГ-|-2 J sin 2яех^х=вя -*-1+2/,
о ° о
Таким образом, имеем
Z«—2e”-f-2«**4Zt
Откуда
Z=-|-(l*<*e!n').
Пример 49. Какое из чисел больше:*
Л/2 Л/2
cos2xdx или J cos10 х di?
о о
Решение. Так как cos2хcos40х при х£[0; л/2] и для
всех х из интервала (0; л/2) имеет место знак строгого не-
равенства, то из свойства 3° заключаем, что
л/2 л/2
cos2 х dx > J cos10 x dx.
о о
Пример 50. Доказать, что
%2 ___________ к
у < j Kl+cosajfdjs < -g^-.
о
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
497
Решение. Воспользуемся тем, что (см. гл. б, § 5)
1</Т+7< 1+уЛ t>o.
Для подынтегральной функции f (х) = К1 + cos2 х из этого не-
равенства следует двойное неравенство:
1 < f (х) < 1+у cos2 х, 0 < х < «р
Поэтому (см. свойство 3°)
л/2 Л/2 Л/2
К1 + cos2 х dx < j 1 -|-у cos2 х^ dxt
Имеем
Л/2 Л/2 Л/2
С (1+4- COS2X^ dx« С d* + 4 \
J \ / •/ " t/ **
л/2 л/2
я=р-|'“-^в Г (1 *4“ cos 2х) rfx===-^-у cosSxdx»»
о о
л/2
=•^•4--§• j cos2xd(2x)=-^-+-4-(sln2x)|^2sa-^,
что и требовалось доказать.
Пример 51. Доказать, что
1
1 С xndx I
(п+1) К 2 J F1+* «4-1 'с
Решение. Так как при 0 < х < 1 имеет место неравенство
1 < КТ+* < V 2,
т. е*
FT < кг+* < *’
то по свойству 3° находим, что
1 1 1
1 С С хп Р
-тг=- \ хп dx < \ -7====- dx <\ хп dx.
К 2 J J F l + x J
о о ’ о
1 !
Так как хп + 1 Т° отсю,аа полУчаем
о
нужное неравенство.
498
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Пример 52. Доказать неравенство Коши—БуняковскогоВ
если f и g—непрерывные на отрезке [а; £>] функции, то
0 f (x)g (х) dx} Р (ж) <*ж^^ gi (*) dx}.
Решение. Так как при любом действительном Л имеет
место неравенство
то отсюда по свойству 3° получаем, что
ъ
J (/ W—(ж))’ dx О,
а
т, е.
ъ
J (/? «-2М(x)g W+1V(ж)) dxSsO,
а
ИЛИ 4
g* (ж) dx}—2A.Q f (ж) g (ж) Л»^4- J Р (ж) 0.
Таким образом, квадратный трехчлен относительно %, стоя-
щий в левой части этого неравенства, принимает только неот-
рицательные значения. Поэтому его дискриминант не превос-
ходит 0, т. е.
^2 J f (ж) g (x)dx} —4^ J р (ж) J g* (ж) dxJ<0,
что и требовалось доказать.
Пример 53, Доказать, что
1
о
Решение. Положим
1
о
и воспользуемся неравенством Коши—Бу ня ко веко го. Имеем
',iaG
хо
\ dx 1=у • у \ e^xd (2х) =
о ' о
=4е8*|*=Т(е2-П=£Т^Се-”1) <«-1.
откуда и следует нужное неравенство.
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 49$
Пример 54. Доказать неравенство:
a) cos х 1—, х 0;
у2 у4
б) COS X<1--гг + "НГ»
' 2 1 24
Решение, а) Воспользуемся известным неравенством:
sin/^Z,
Отсюда, проинтегрировав его в пределах от 0 до х, х^О, по
свойству 2° получаем
х х
J sin / dt dt,
о о
или
(-cosn|* <(/2/2)|*.
т. е*
—cos х+1 *Сх2/2,
что и требовалось доказать.
б) Воспользуемся неравенством
t*
cosZ^l— -g-, /^0,
установленным в п. а). Снова проинтегрируем его в пределах
от 0 до х; по свойству 2° найдем, что
хх хх
Jcos^Ssj ^1—у)л = Сл —-i-Cz24tt.
о О 0 0
или
IX
т. е.
%з.
sin х^х-—-т-. х^0«
о
Проинтегрируем теперь в тех же пределах обе части по-
следнего неравенства; имеем
X X XX
CsinZd/SsC (i— di—L-C^dt,
о о V о о
т, е.
(-c°sZ)|^±x2-l^.
500 INI. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Таким образом,
**COSx+l^y X*—^Х4, Х^О,
откуда следует нужное неравенство.
Замечание. Другое доказательство неравенств в
пп. а) и б) содержится в гл, 5, § 5.
Пример 55. Доказать, что если 0<х<л/2, то
tgx+sinx^2x.
Решение. Производные функций, стоящих в левой и
правой частях неравенства, соответственно равны х
и 2. Так как при 0<х < несправедливы неравенства
—L-+cos х —U-+cos3 х 2,
cosaxr cos^x’ *
то
-£-4-008X^2, 0<ж<|.
Проинтегрируем это неравенство в пределах от 0 до л,
< х < л/2; тогда по свойству 2° получим
( (z^n+cos/^ dtes С2<Й==2я
или
tgx-J-sinx^2x, 0<x < n/2,
что и требовалось доказать.
Пример 56. Доказать, что если функция f и ее произ-
водная непрерывны на отрезке [а; 6], то
ь ъ
a) lim \ /(х) sin nxdx—O*, б) lim \ f (х) cos nxdx~0.
CO V П-> CO *>
a a
Решение, а) Воспользуемся формулой интегрирования
по частям; имеем:
ь ь
§ f (х) sin nxdxJ / (*) d (cos пх) =
а а
г
I cos nxf* (x)dx аз
а ,1
/ (b) cos nb (а) cos па
b
J cos nxf' (x) dx
a
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
501
Так как функции f (х) и f' (х) непрерывны на отрезке 1а; Ь],
то они ограничены на этом отрезке; положим
7И==тах |/(х)|, М' = тад | f (ж) |.
(а; 6] [а; Ь]
Тогда по свойству 4° имеем
/ (х) sin пх dx
( £
2М 4-1 M'dx
а
откуда и следует нужное утверждение
б) Доказывается аналогично.
6.4. Одним из важных приложений определенного инте-
грала является его использование при нахождении площадей
плоских фигур.
Пусть функция y~f(x) непрерывна и неотрицательна на
отрезке [а; 6]. Площадь S фигуры Ф, являющейся криволи-
нейной трапецией (рио. 6,16), ограниченной графиком функции
Рис. 6.17
y=*f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х~Ь> находится,
как было отмечено выше в п. 6.1, по формуле
8 = f (х) dx.
а
Отсюда следует, что если на отрезке [а; Ь] заданы две непре-
рывные функции f(x) и причем f (х) g (х) при лг^[а; 6],
то площадь (рис. 6.17) фигуры Ф, ограниченной графиками
функций y = f(x)t y — g(x} и прямыми х = а и x = bt вычисля-
ется по формуле
ь
s = \ (f(x)—g(x))dx.
а
502.
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Пример 57. Используя геометрический смысл интеграла,
вычислить:
а
а) J У а2--» х2 dxf
~а
2
б) Za = J |[ х | — 1 \dx.
— 1
а > 0;
Решение, а) График функции у= Уа2—%2 представляет
собой полуокружность радиуса а (рис. 6.18). Так как искомый
-а
Рис. 6.18
Рис. 6.19
определенный интеграл представляет собой площадь полукруга
с тем же радиусом, то 1^ла2/2.
б) График функции у=| | х |—1|, —1, 2] показан на
рис. 6.19. Следовательно, величина искомого интеграла равна
сумме площадей двух треугольников. Таким образом,
4=4-2-1Ч-4-Ы = 1+1-11.
Пример 58. Используя геометрический смысл интеграла,
вычислить:
1 8
а) /1= J arccos xdx*t б) Z2= J 1п(1+КН~*)<&-
-1 з
Решение, а) Определенный интеграл /< численно равен
площади криволинейной трапеции, показанной на рис. 6.20.
Если дополнить эту криволинейную, трапецию до прямоуголь-
ника, стороны которого определены уравнениями —1, я=1,
у=0, уе=л и площадь которого равна 2л, то из свойства сим-
метрии графика функции у = arccos х и этого прямоугольника
относительно точки (0; л/2) следует, что число /< представ-
ляет собой половину площади прямоугольника; поэтому /=л.
б) Заметим, что функция у®=1п (1 + К1+*) является воз-
растающей функцией на отрезке [3; 8]. Поэтому при вычисле-
нии определенного интеграла Z2, который численно равен пло-
щади криволинейной трапеции, показанной на рис. 6.21, вос-
пользуемся тем, что интеграл /2 равен также площади фигу-
ры EGBF* получающейся из рассматриваемой криволинейной
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 503
трапеции после преобразования симметрии относительно пря-
мой у=х, Площадь этой фигуры, как видно из рис. 6.21, мо-
жет быть вычислена, если известна площадь криволинейной
трапеции ABCD. Действительно
Seckf—Sofcd~Sofba*--Sabcd~8 4“~3 1п 3 —S^bCD.
Из равенства у = In (1 4 К1+Д х^ — 1, следует, что х =
= е2у—2еу. Таким образом, функция, обратная к функции у=г
У.
Рис. 6.20 Рис. 6.21
== In (1 +1^14“*)» х^—1, задается формулой у~е2х—2evt
х^О.
Точки В и С имеют абсциссы х^ и х2, соответственно рав-
ные ординатам точек графика функции ^=1п (14- 14-х) при
х = 3 и х = 8, т. е. Xi = ln 3, х2 = 1п4. Поэтому для искомого
интеграла 72 получаем - .—
in 4
Р 48
/2 = 81п4—• 3 1п3— \ (е2х—2ех) dx= 1п~-
1пЗ
-(|^-2^)|11пПз=>п^-(1е2’"4-2е’»<) +
4-(4e21n3-2e'n3) = ln ^—84-8+1-6=,
216 3 . /216 _3/2\
п 27 2 П ( З3 е )’
Пример 59. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболами #=х2—-2x4-2 и ^=24-4х—-х2.
Решение. Нарисуем графики данных функций (рис. 6.22)
и найдем абсциссы точек их пересечения из уравнения х2—
— 2x4-2=24-4х—х2, Решая это уравнение, имеем х==0 и
564: ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
х—3. Искомая площадь равна
з
S = j <(2 + 4х—х2) —(x2—2x4-2)) dx=
з • ' 3
«= J (24-4х—х2—х24-2х—2)dx== j (6х—2х2)с?х=
3 3
Г Р 13 2 13
=6 \ xdx—2 \ хМх=Зх2 -4х8 =27^18=9,'
J J ООО
О о
Пример 60. Найти площадь фигуры, ограниченной гра-
фиками следующих функций и указанными прямыми:
а) у*= Sinx, у = cosx, х = 0,х=2л;
б) у = ха, Jp=x1/a, х=0, х= 1 (а > 1);
в) д®In(х4-6), ^=31пх, х==0, у=0;
2 Г л \
г) у—tg*. #=-5-cosx, xg 0; yr ), x=0;
o L z 1
д) у—6x2—5x4"L у==со8лх, x=0, x=l.
Решение, а) Искомая площадь (рис. 6.23) равна
Л/4 5 Л/4 2 л
J (cos х—sin х) dx 4- (sin х—cos х) dx + J (cos x—sin x)dx~
0 Л/4 5л/4
= (sin X4- cos X) |“/4 4- (— cos X—sin X) |^4 4- (sin X4- cos X) |^/4=
( V2 , J<2 , ( /2 , V2 , ^2 , ^2^ ,
~\j-2~+-2-1;+\-2-4“2-4—2-+-^-J+
+(K2 »1 +2 K2 +1 + K2 = 4 /2 .
\ ** •* в
ГЛ. 6, ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Ж
И
Рис. 6.23
б) Искомая площадь (рис. 6.24) равна
J ха) dx= J ха dx —
о оо
1 xi/.a+1 I1 * v«+111_ а
|о а-Н |о~ а-Н
1 ___
а-]-1 1
506
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
в) Уравнение 1п (*4-6) = 3 1п х, как нетрудно убедиться,
имеет единственный корень х=2. Поэтому площадь фигуры,
которая показана на рис. 6.25, равна
2 2 2 2
1п (64-*) dx—3 lnxdx= J In (64-х) d (64-х)—3 J In х dx—
CIO 1
= ((* + 6) In (%4-6) — (х4-6)) |о — 3 (х In X —х) |2 в
=8 In 8—8—6 In 64-6—6 In 24-3= 12 In 2—6 In 34-1.
2
г) Уравнение tg x=-x-cosx, т. e.уравнение2sin2х4-3sinx —
о
— 2 = 0, равносильно уравнению sin х= 1/2. Отсюда, учитывая
условие Xg[0, л/2), находим, что х = л/6. Поэтому искомая
площадь равна (рис. 6.26)
л/6
J cosxdx=
о
л/6
2 \ С
-тг-cos х—tg х ) dx=— i
О” /v
о о
fft/6
(* d (cos x) , 2 t -.J*/6 , , 4 W6 2 1
= \ sinx) z==ln(cosx) --------------о -TF
J cos x 1 3 ' ' |o |o 3 2
о
. Кз 1
д) Уравнение 6x2—5x4~ 1 “ cos лх, как нетрудно доказать,
используя монотонность функций, имеет два корня: х==0 и
х—1/2. Поэтому искомая площадь равна (рис. 6.27)
1/2 1
f (cos лх—6х24~5х— 1) dx4- (6х2—5x4-1 — cos лх) dx =
О 1/2
1 , ]1/2 O.J1'2 < 5 J1/2 1 , п J1 5 211 .
№-*-81йЛХ1 — 2x4 4*ТГ*2 —-о-+2л:3-----5-Х2 +
rt |о |о 1 2 |о 21 |1/2 2 |1/2 ’
,1 1 4 I1 1 2 , 5 . о Л 1 \ 5 / , 1 \ .
+ ~2-A sin пх |i/2=”'8 1 ""в ) - 2 {*“Т) +
.1 2.1
Пример 61. Прямая касается параболы ^=х2 в точке
Д, хорда ВС параболы параллельна этой касательной. Дока-
зать, что площадь параболического сегмента, ограниченного
кордой ВС и дугой ВАС параболы, равна 4/3 площади тре-
угольника АВС.
Решение. Уравнение касательной (рио. 6,28) к параболе
в точке А (а; а2) имеет вид
у=2а (х—я)4~Л
ГЛ. & ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
507
Следовательно,
является уравнением прямой, параллельной этой карательной
и проходящей через точки параболы В и С,
Абсциссы точек В и С находятся из уравнения
508 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
обозначим его корни через х± и ха, х± < х$. Тогда площадь
параболического сегмента ВО АС равна
$DBCE X2 &Х®=у X* I*
Xi
= у (xi + *2) (Xz — Xi) — у (xl — Xi) =S
да(Х2**Х1) ^y (xl + xi) g-(xi + XiX2 4-Xa))=s
==y (x2«-xi) (xt+xl*~2xixa)«=y (xa—xi) (xa —xi)a«
«у (Xa—Xi)«.
Найдем теперь площадь S^bc треугольника ABC. Имеем
(рис» 6.28)
ЗдВС « SdrcB'^DBAF-^Sface^
« у (xi+xi) (х2—Х1) —у (xi+аа) (а — xi) — у (ха+а?) (х2—а)»
дау (xix2+Х2—xi xtxl — ах!—aft + xi+xta2 л$
—x^dft +<ш+ а?)=у ((xix2^XiX2)4-a? (xi*-X2)+«(xl—х?)) да
==у (Х£—х2) (Х1х2+а3-«а (хх+ха))»
Так как Xf й х^корни ^уравнения х2—^==0, то 2а =»
= Xi+x2. Следовательно,
&АВС = у (*1 ~~*2) (xix2 (*f + хг)2 "~*у (Xi + Х2)а J да
да X (Х1 ^а) (4xixa + xi+2x1 х2 -* 2x1 *- 2x2 — 4х£Х2) =
о
(Х2-~Xi)8 = -g- (Xft— XjJ3.
Поскольку у=у (*а—Х1Я=-|-• ^.(х2—*1)? •то нуж-
ное утверждение доказано.
Пример 62, Доказать, что
1+4+4+-+п=т>1пя’ ra^N’
Реше н ие» Сумма
1+|+у+--’4-^т
ГЛ. в. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
509
представляет собой сумму площадей всех n—1 четырехуголь-
ников, показанных на рис. 6.29, Так как эта сумма постав-
ляет собой площадь всей ступенчатой фигуры (рио. 6.29), то
п
С dx
она строго больше, чем t Таким образом,
п
i+4+у+...+—?> jv=,nn’
что и требовалось доказать»
Пример 63. Доказать, что
V2 —, т1, п N, tn N,
~ « V п у т
П~ J
Решение. Рассмотрим функцию
f(x)=---L., XSsi.
х Y х
Так как на рассматриваемом промежутке функция f(x) явля-
ется убывающей, то имеют место следующие неравенства:
"р" 1<л<2'
П|,н 2<'<3'
—^=7^—~7^=- ори
S10 гл. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Интегрируя эти неравенства, получаем
2
L С—
2К2 J xV х
з
___1 С---1 А
..........7?^" \ -^=- dx,
З/З Jxfx
»««•••*•••••
т
--7=г < С 7=- dx>
тут J хух
т-1
Складывая полученные неравенсгва, найдем
2
TVT+3ibr+• • • +7гЙг S ТУ? dx+
3 т
+ ? —^=-dx+...+ С у— dx==
J хУх 2, xfx
т
с 1 . —2 |т 2
J xfx Vx |i т
откуда следует доказываемое неравенство.
Пример 64. Доказать неравенство
n! < nw+vag-n+i^ flgN.
Решение. Пусть Ль Л2, ЛЛ*— точки на числовой
оси ОХ, абсциссы которых равны соответственно 1, 2, ..., п,
и Bf, В$, Вп—точки графика функции ^=1пх с этими
же абсциссами (рис. 6.30). Тогда площадь криволинейной тра-
п
пеции AfBnAnt т. е. J Inxdx, больше суммы площадей тре-
1
угольника Л^В2Ла и трапеций AzB2BaA3t ...» An~iBn~iBnAn.
Таким образом,
1п2 , !п2 + !пЗ f
2 + 2 "Г
, In (я— 1) + 1пп
+ 2
I
In xdx.
Интегрируя по частям, получаем
п п п
lnxdx—xln — ^xdlnx = nlnn— J dx = n In л—л-f-L
l 1
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
511
Следовательно,
In 1+1п2+...4-1п(п*-*1)+у 1пя < п1пл—«+1,
откуда
или
Inn! < (л+1/2) Inп«*«+1,
In nJ < In
и тем самым неравенство
п! <
доказано.
ЗАДАНИЕ 1
1, Вычислить определенные интегралы как пределы интег
ральных сумм:
Л/2
1) j sinxdx; 2)
о
2 2
J 2*dx; 3) x*dx;
1 2 е
4) 5) 6) J Inxdx,
о X 1
2, Вычислить определенный интеграл
з
е
512
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
п
как предел интегральной суммы 2 f (Ы следую-
ЬО
щим способом:
1) разбивая отрезок [0; 3] на равные части и выбирая в
качестве g* левые концы этих частей, fc = 0, 1, 2, ...» я,
2) разбивая отрезок (0; 3) на равные части и выбирая в
качестве g* правые концы этих частей, &=0, 1, 2, .я;
3) разбивая отрезок [0; 3] на равные части я выбирая в
качестве g* середины этих частей, 6=0, 1, 2, я; ~
4) разбивая отрезок [0; 3] на части точками 3,
в выбирая в качестве g* левые концы этих частей, k^6t 1,2,«»я;
5) разбивая отрезок [0; 3] на части, как в п, 4), и выби-
рая в качестве g* правые концы этих частей, й=»0,1,2, , .,,я|
6) разбивая отрезок [0; 3] на части, как в п, 4), и выбирая в
качестве g& средние геометрические значения Яёвых и правый
концов этих частей, £==0, 1, 2, • >», я.
ЗАДАНИЕ 2
1. Вычислить определенные интегралы как пределы инте-
гральных сумм:
ъ х ь а
1) ( екх dx\ 2) J cos х dx; 3) J xn dx; 4) J xe* dx;
a о a 0
b b
0< a < 6; 6) 0 < a < b.
J X v X
a a
2, Вычислить определенный интеграл
4
J я4 dx
2
n
как предел интегральной суммы 2 / (£л) следую-
I /г=0
щим способом:
1) разбивая отрезок [2; 4] на равные части и выбирая в
качестве g# левые концы этих, частей, ^=0, 1, 2, 4S., я;
2) разбивая отрезок {2$ 4] на равные части и выбирая в
качестве g& правые концы этих частей, 1, 2, я;
3) разбивая отрезок [2; 4J на равные части и выбирая в
качестве gA середины этих частей, &=0, 1, 2, IMJ я;
^разбивая отрезок [2; 4] на части точками ^=2^, q =
== / 2, и выбирая в качестве g& левые концы этих частей,
& ~з0, 1, 2, ««nj
5) разбивая отрезок [2; 4] на части, как в п* 4), и выби-
рая в качестве g^ правые концы этих частей, ^=0, 1, 2, ...,я;
6) разбивая отрезок (2; 4] на части, как в п. 4), и выбирая
в качестве g& средние геометрические значения левых и пра-
вых концов этих частей, й==0, 1, 2, <««, я»
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
513
ЗАДАНИЕ 3
1. Исходя из геометрического смысла интеграла, вычислить:
1 2
arccos xdx\ 2) \ | х1 ] dx\
о ' -з
dx.
-1 V 2/2
3) — J к Ь^х3 х dx-, 4) V
I о
2« Какое из чисел больше:
3) arccos xdx или j arcsin
-1 -1
1 1
4) \ In х dx или \ In2 х dx?
1 1
2) \ V\+x*d% или xdx\
О О
xdx\
1/2 1/2
3. Доказать, что последовательность {а„}, ngN, имеет
предел^ и найти его, если:
1 ( . л , . |2 п . । . п — 1 \
I) a„=— ^sinT-|-sm*—+••• +8Ш—
2) апг=^Г:
4) а„= ‘/1+ \
V п \ V 2 V П /
4. Доказать, что
ЗАДАНИЕ 4
1. Исходя из геометрического смысла интеграла, вычислить?
У“2/2 4
1) j arcsin xdx; 2) 11 х—21—-1 |dx;
О -2
О Q
3) ( VT^dx; 4) J (КГЛ2—X— l)dx,
-2 -I
47 Задачи по математике. Начала анализа
514
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
2. Какое из чисел больше:
1/2 2
П С —-* или 4* > 2) \ dx или 2е;
м J К1 -*2 - 2 %
о о
л Л/2
3) f dx или 9; 4) С e~sta х dx или л/2?
•J X "t* £ J
О О
3. Доказать, что последовательность {«„}, ngN, имеет
предел, и найти его:
° °"=4’( у<1+4+-”+ у *+^):
,п
2) «»=£(l+-^sin^;
. . \ п ) п*
/?=1 4 '
о\ 1 । 2 । 2n—1
з) ап=^+^4----+-^з-;
4. Доказать, что
Иш
й»0
ЗАДАНИЕ 6
1. При каких значениях х справедливы формулы?
1) J^=lnx+C; 2) j V"x d%=y x/x+C?
2. Найти:
1) $ (/' (X)+£'(*)) dx; 2) J (f (x) g (x) +se (x) f (x)) dx.
3. Найти производную функции:
л
1) I In t dt9 x > 0; 2) C cos /2 dt, x > О*
1 i/x
4. Найти наименьшее значение функции
с С **—16 ,
f ~ J 1 4-1 dt*
о
5. Доказать тождество:
1) cos2 (jx/4~x)—sin2 (л/4—x) = sin 2я$
113
2) cos*x=-s-cos 4х+-з-cos 2х+—,
О £ О
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
515
6. Найти сумму
с"—у с'’+у С"~Т с"+• • ’ +(—!)“ с«-
ЗАДАНИЕ 6
1. При каких значениях х справедливы формулы:
2. Найти:
1) j dx-, 2) ^t(x)f (x) dx.
3. Найти производную функции:
V~x х2
1) С s-toldt, х>0; 2) J
2 Г
4. Найти наименьшее значение функции
X
f (х) = J (/ —1) (^—2)2 ей.
о
5. Доказать тождество:
1) tgx4~2tg 2x4-4 tg 4x4-8 ctg 8x = ctgx;
1 13
2) sin4x = -o-cos 4x—x-cos 2x4—q-.
о Z о
6. Найти сумму
Cfl+v Cfl+y ^n+ • • • + r 1 cS*
£t О lb I
ЗАДАНИЕ 7
1. Доказать тождество:
1) arcsin x=arccos У1 — *2 == arctg =!
V 1—x2
l/-! — x2
=arcctg-—-- , 0 < x < 1;
2) arccos x == arcsin К1 — x2 = arctg К I—*.=
X
* X
=arcctg7rCT'’ 0<x<1:
3) 2 arcsin x = arccos (1 —2x2), t 0 x «С 1; ’
4) 2arccosx=arccos (2x2 —1), O^x^l?
5) уarccosx=arccos j/ , 0<x<l;
17*
516
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
х+1^ ( —arccos х+л/4, х^1/У^ 2,
6) arccos----тг=----==/
г 2 ( arccos х *— л/4, х^ 1/У 2.
2. Доказать неравенство:
1) х*~- sin х «с 1 — cos х «С *У 2 — sin х, О «С л «С л/2;
2) sin х^х (п — х), 0«Сх<л/2;
3) cos х + In cos х < 1 «~ха, 0 < х < л/2;
4) x+cos х > л/2 (1— л2/24) 0 < х< л/2;
х^
5) sin х > х—, 0 < х < л/2.
ЗАДАНИЕ 8
1. Доказать тождество:
I х 1
1) arctg x=-arcctg—=arcsin- r_^=_^--== arccos 7===^, x>0;
7 s s x К1 +*2 К1 4-X2
x л
arccos , x>0;
К l + x«
2) arcctg x = arctg у=arcsin y====-=
1 1ГТ1 X2
3) 2 arctg x= arcctg—75— , x > 0;
.. I
4) 2 arcctg x~ arcctg —, x > 0;
б) у arcsinx = arccos -iClii+lCl——, 0 < x < 1 j
.. . . . 1 —x /л/4, x >—I,
6) arctgx + arctg
2. Доказать неравенство:
1) In(2sinx) > yx(n-x)—-2-<x<y;
1 Л
2) In (COS x) <— у xa, 0<x < -g-;
3) 2 sin x л/2 + (x —* л/2) cos x, 0 < x л/2;
4/ sin x > х**2х2/л, 0 < x < л/2;
5) 2/TPx^l + x/2 —x2/8, |x| < I.
ЗАДАНИЕ 9
Проверить вычисления:
1) J (3x4-4xa—3x3+2)!ix=3xi!/2+4x8/3—3x4/4 + 2x+C;
2) J (х4-2)2xdx= J (x?-f"4x-f-4) xdx= J (x34-4xa4-4x) dx=
= x‘/4+4x3/3+2x2+C;
3) j(K'x+3)8urfx = j(*4-6 V x+9)dx=^4-4x/x+9x+C;
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
517
^Р+2,44Г)л=-^+й+ж+С;
6) = —124-бК x—x^dx =
= 16 /7—12х + 4х/х—у+С;
Х3+1 — 1
х2 + 1
dx=
dx ____f cos2 x+sin2 x
sin2 x cos^x^J sin2 x cos2 x
9) СВх+Зсоз^
J X COS3 X
= х—arctg х+С;
“ J ( sin2 х*^ cos2 х) ^х=я
= — ctg x+tg x+Ci
dx = 2tg %+3 in | хЦ-С;
x==J(~,+^sk)dx==”x+tgx+C; \
-X2 — X2-f-X4 .
I--2—!---dx
1—x2
— х2
1—X2 x2(l— x2\ __
)x2
dx~ arcsin |-C,
ЗАДАНИЕ 10
Проверить вычисления:
1) J (x—4)3dx = J (x—4)3d(x—4)=^-(x—4)44-C;
2) $ x(x4-l)Mx= J (x+1 — 1)(х4-1)Чх =
= J (x + l)edx—
- j (x+1)8 d (x+1) el (x+Ф- -g- (x+!)• +Q
518 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
3) С (4—Зх)’ dx = — у С(4—Зх)’ d (4—Зх)==—± (4—Зх)» + С;
—3/17 —2xV . „
+С:
5) j х (х2 + 3)» dx=1J (х2+З)8 d (х2+3) = 1 (х2 + 3)’+С;
6) J sin (4x4-3) dx = -l j sin(4x4-3)d(4x4-3)=^cos(4x4-3)4-Ci
_ C , /5—7x\ . -3 f , /5—7x\ ./5—7x\
7) \ sin ( —g—j dx=-y \ sin (—g— ld(—— ) =
3 /5—7x\ । л
«yc°s^—— J+C;
8) У cos (4—5#) d#=^~ J cos (4—5#) d (4—5#) =
=—p— sin (4—5#) -p Cj
О
9) J cos (?£d^L2) dx==| J cos
e|sta(^HV12)+C|
i0> 5 Sin2(3—2x)“~ *2* J sin2 (3—2x)“"2 ctg (3“2x)+C;
“> f ЙЗД-Г2УsWx^+V-2ctg(x/2+4)+C}
19. C dx 4 C rf(5-3#/4) _
’ J cos* (5—3#/4) 3 J cos2 (5—3#/4)““
—4
=— tg(5-3#/4)+C;
13) J cos2(X/4-1)-4 J ^r(y/4-tg(*/4-1)4-0.
ЗАДАНИЕ 11
Проверить вычисления:
*> J 1^“пГпЙ^-Пь1м’-31+С;
2- ^=^F4^“-4i"i<-2-''=i+ci
3) f eS-8*dx=^ Ce$-8*d(5—3x)=—l-e8-?*4-C!
J О J d
A 3 + 0 к _ 3 + 4X , x - 3+4X
4) Ce 8 dx=-^-Ce 8 e 8 4-Cj
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
519
2’*+’dx=y C27*+M(7x4-3) = ^L..2’*+s+C;
«> J5 .. •• .. +С;
ov Г dx If d(5x-H) 1 . , ,4 , „
8) J l+(5x+4)2“ 5 J l + (5>:+4)2‘_ 5 arctg<5x+4)+C>
_ Г dx — 1 Г d(5—7x) __
J V1— (б-7ж)» 7 J jG-fg—7x)8
1 Г dx2_________
У 1 _(X2_ 1)2 - 2 J у 1 _ (X2_ “
1 f d(x*—l)
2 J
=s arcsin (x*—1) + C.
ЗАДАНИЕ 12
Проверить вычисления:
n C dx _ 1 C dx . 1 C d(x/a)
J x*+&~~ a2 J (х/аЯ+l ~ a J (x/a)*+1
=4arctg7+C;
520
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
2)
3)
4)
dx 1 f dx . C d(x/a)
/a2—x2 l«l jV l-(x/a)2 J/l-fx/a)2
f . * \ I
= sign a I arcsin — j -f
dx ___f dx ________ 1 , x
X2 + ]°—j Ж2+(/П))2~К1о arcg/To ’
dx ___ if dx If dx
ll + 7x2“7 J 11
x + 7
7
= arctg.........7-=.-— 4-С;
/77 V 11/7
dx_____С dx__________f* d(x4~2)___________
х?Ч-4*+9 J (x + 2)2+5~J (х4-2)г + (K'S)2—
1 4 x-j-2 1
— arctg ~-Л=г + С;
S)
6)
7)
8)
9)
10)
dx f dx
+ П J ( 3 \ 2 « 35 —
+4
.( 3 \ 3
P d (*-t) 9 X~T
== I-----i--; / =_^__ arctg -y-4- 4-C;
J / 3\2.//35\2 /35 /35/2
\X~'2J + \~2~)
dx f dx _P d(x—3) _
xs_6x+ 19=J (x-3)2+10“ J (x-3)2+ (/io)2 ”
__ C dx______
/ЗСТ “J /(^3)2_X2:
dx If dx
=-=-arctg x 4-C;
/10 /10T
=arcsin x—+C;
1 f_____dx____
2 J/(/Т/г)2—Xs
=_arCSIn 4
dx __ C dx___________
/3—2x—№ J /4—(x+l)a“
f d(*+l)
J /2a—(x-H)2
____dx______f dx_________
V15+4X—x2 “J/il — (X—2)2 “
_C_____d (x — 2)_
V (/II)2—(x-2)2
arcsin
arcsin
/11
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 521
-1 Г_______dx__________1__ f_____dx_______
J /11-6^3». ~ /3 .! у-
“ з J y'n_(x+1)2 ~ W J Г (Г177з)2-(х+1)«“
= * arcsin -|-C.
Г з к 17/3
ЗАДАНИЕ 13
Проверить вычисления:
1) у sin2 xdx = § 2* dx==-^- dx—~ J cos2xd(2x) =
= y—i-sin^+Cj
nx C 9 j C 1 + cos 2x j 1 С . , 1 C n j /о x
2) \ cos2 xdx—\ —!—75--dx=-~- \ dx+~ \ cos 2x d (2x) =»
V V « " V * t)
=|+^sin2x+C}
3) J sin4 xdx = ~ J (2 sin2x)2 dx=-i- J (l-*-cos 2x)2 dx=»
=~ J (1 —2 cos 2x+ cos2 2x) dx~
==y J ^1—2 cos2x+y+y cos 4л dx—
=-|- j* dx—-i- J cos 2x d (2*) +J cos 4x d (4x) ==
e= 3x/8—sin 2x/4+sin 4x/32 +C|
4) J sin® jr dx = -g-j* (2sin2x)8dtf=~« J (1 — cos 2x)3 dx^
=-~ J (1 —3 cos 2^+3 cos2 2л-—cos3 2x) dx =
===4’У^’~’1’ J cos2x J (1 +cos 4x) dx—
—— У (1 —sin2 2x) cos 2x d (2x) = x/8—3 sin 2x/16+3x/16+
+ 3 sin 4x/64—sin 2х/16 +sin8 2x/48+C=5x/16 —sin 2x/4+
+ sin8 2x/48+3 sin 4л/64 +C|
5) J cos4 x dx=J- J (2 cos2 x)*dx= J(l + cos 2x)2dx=
==~ C(l+2 cos 2*+cos2 2x) dx=Y Ju+2 cos 2x+l/2+cos 4x/2)dx^»
3 p 1 P ip
= y \ dx-^-^ j cos 2x d (2л) + gg \ cos 4x d (4x) == 3x/3 +
+ cos 2x/4+cos 4x/32+<J|'
522 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
6) Ceos6 х dx = Д- С (2 cos2 %У3 dx—Д- Г (1 + cos 2*)8 dx =
J о J о J
=4* С (1 +3 cos 2x4- 3 cos2 2х+ cos3 2х} dx~
о V
1 Р 3 Р 3 Р
s=y \ dx4~ jg J cos %* d (2x)4-yg \ О + cos 4х) dx^
4~ jg J О —sin2 2x) cos 2x d (2x) ==
r , 3 3x , 3 sin 4x . sin 2x sin3 2x . ~
=“+16 Sln 2л + 16+“-64-+-16---------48~+C=
___5x j sin 2x sin8 2x t 3 sin 4x
~~ lir 4 48 ‘ 64
7) J cos 5л cos 3x dx = -~ J (cos 8x4- cos 2x) dx-=?
s=y J cos 8л dx4-y У cos 2x dx =
» Jg I cos 8л d (8x) 4- J \ cos 2x d (2x) =——|---h C;
8) J sin 4x sin lx dx = ~ J (cos 3x—cos llx) dx =
s=y J coS 3x dx—J cos llxdx =
If 1 C .. .4 sin3x sin I lx . ~
=— \ cos3xd(3x)-~я* \ cos llx d (Hr) =—%—.----------|~C;
9) У cos 8x sin 5x dx « ~ J (sin I lx—sin 3x) dx »
==-— J sin llx dx—J sin 3xdx =
= -gl sin llxd(llx) — sin 3xrf(3x) =------1-------g-|-C;
10) J cos 2x sin 3x cos 4x dx=y J (sin 5x4-sin x) c°s ^x dx=
=4* J (sin 5x cos 4x4“ 81° A cos M dx =
s=-l J (Sin 9x4- sin x4- sin 5x—sin 3x) 4x=®
__— cos 9x cos x cos 5x t cos 3x .
“~ 36 4 20 12
11) J cos3 x sin2 x dx = J cos2 x sin2 x cos x dx~
(1 —sin2 x) sin2 x d sin x==
= C sin2 rd sin x— Csin4 xdsinx=-2li-i—^i-i.4-C;
J J do’
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
523
12) j sin3 х cos4 х dx = cos4 х sin2 х sin х dx =
= — J cos4 x (1 — cos2 x) d cos x=
P R' C 4 J cos7x cos5x , ~
= \ cos6 x d cos x— \ cos4 x d cos x=—=--—=---1- C;
13) J cos x5 sin3 x dx = cos5 x sin2 x sin x dx =»
= — J cos5 x (1 — cos2 x) d cos x =
P _ p _ cos8 X COS6 X . л
= \ cos7xdcosx — \ cos5xdcosx =-----------%---
J J 8 6 ‘
14) J cos5 x sin3 x dx = J (sin x cos x)3 cos2 x dx =
= ~ f sin32x (14-cos 2x) dx~
IO J
1 p Ip
s=7£ \ sin3 2x dx4-7£ \ sin3 2x cos 2x dx ==
lo J lb J
s=X C sin22xsin2xd(2x)4-4> C sin32xdsin 2x =
оЛ j J
=— 35 J (1 — COS2 2x) d cos 2x+- ~^2--=
cos 2x , cos3 2x । sin4 2x . r
~~ 32 “* 96 1 128~+ ’
icx С д 3 a л p/14-cos2x\2 1 —cos2x,
15) \ cos4 x sin2 x dx= \ ( —5—-J ---------dx =
=-g- J (14-cos 2x—cos22x—cos3 2x) dx =
“=4 Ji^ Jcos %x d $x)—£T
IP X 1
~7H \ cos2 2x cos 2x d (2x) = -3“4"7Z sin 2x —
10 J О 10
11 IP
—1 -jg- x — -gj- sin 4x-* -j-g- \ (1 — sin2 2x) d (sin 2x) =
x sin 4x . sin3 x . r
~~16 64 + 48 + *
ЗАДАНИЕ 14
Проверить вычисления:
С xdx — 1 с^+о
' J 14-^а— 2 t
2) Cxe*2"3dx=
j-^+T-4-l"^+n+C;
>1 Je^-M(x2-3)=ye^-s+C;
524
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
3) x cos (2 —x2) dx —
~~2~ sin (2—x2) + C;
xdx 1 P dx2 1 . 9 , ~
1 +xs ~"2J 1-H*2)2- 2 arctgX +C:
arctg3 x , C x ч j * 1 t
dx=j arctg3 x d arctg x—— arctg4 x-\-C\
dx P d In x . ., . .
---— \ ------= ln In x 4-C;
X n X J Inx 1 ‘ ‘
sin (In х) d In x — —~ cos (In x)4-C;
. P sin x dx 0 d cos x . . _ . , n
gxdx= \--------— — \---------==— In cos x H-C;
J COS X J cos X 1 ’ ‘
, , P cos x dx P d sin x < . . . , „
tgxdx— \ —: = \ ==ln sinx +C;
s J sm x J sin x 1 11
dx P dx C dtg x . . . . . _
-------~= i ------- = i =in tg x 4-C;
sm x cos x J tg x cos2 x J tg x
d
dx _ 1 f dx __P 2 _
sinx 2 J . x x J. x 9 x ~~
sin у COS у tg у COS2 у
K
io\ C __ C dx _____________1 C____________a*_________~~
' J cos x J sin (л/‘/ — x) 2 J sin (л/4—x/2) cos {я/4—x/2)~“
_ P ^(n/4—x/2) ___ P d tg (л/4 —x/2) ___
“~J tg (л/4 — x/2) cos2 (л/4—x/2)J tg (л/4 —x/2)
==— In | tg (л/4 —x/2) ] 4-C;
13) J sin3 x dx = J sin2 x sin x dx — — J (1 — cos2 x) d cos x ==
, cos3x ,
= — cos x4--------pC;
u
14) J cos3 x dx = J cos2 x cos x dx — (1 — sin2 x) d sin x =
= sin x — (sin3 x)/3 4- C;
15) J cos5 x dx = J cos4 x cos x dx = (1 — sin2 x)2 d sin x ==
P 2 1
: \ (1 — 2 sin? x+sin4 x)d sin x = sin sin3 x4~-g- sin6 x4~C<
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
525
ЗАДАНИЕ 15
Проверить вычисления:
1) f хех dx — f xdex — xex— t ех dx — xex—ex-\-C\
2) \ x2exdx — \ х2 dex—x2ex— \ exdx2 — х2ех — 2 \ хех dx —
— х2ех — 2 J х dex — х2ех—2 хех — J ех dx ) = х2ех — 2хех-\-2ех-\-С\
3) J х cos х dx = J х d sin x — x sin x — sin x dx—
— x sin % + cos х+Ф
4) J xa cos x dx — J x2 d sin x = x2 sin x — J sin x dx2 =
— x2 sin x—2 J x sin x dx — x2 sin x-|-2 x d cos x —
= x2 sinx-f-2 ^x cos x— ^cos x dx^—x2 sin x-j-2x cos x—2sinx-НФ
5) J x sin x dx — — x d cos x—— ^x cos x— cos x dx^ —
— — X cos X-f-Sin х+Ф
6) J x2 sin x dx — — Jx2 d cos x = — (x2 cos x— J cos x dx2) =»
==— x2 cos x+2 J x cos x dx=s —x2 cosx-J-2 J x d sinx^
=— x2 cos x+2 ^x sin x— J sin x dx) =
ee— X2 COS x4*2x sinx + 2 cosx + C;
7) Jin xdx=x In x—Jx d In x = x In x —Jx-i-dx=»xlnx—х+Ф
8) J x lnxdx«y J lnxdx2==y ^x2 In x—J x2 dln x)=®
=yX2 In x —J x2idx==yx2 In x —-^-Jx dx=-~-x2lnx—-|-х2+Ф
9) J arctgxdx==xarctgx—- J xdarctgx==
= X arotg X—§ x dx=x arctg *—у "
= x arctg x—у In (xa4- 1)4-C;
10) J x arctg x dx = у J arctg x dx* =
arctgx — J x*Y^x?dx} ~T x2arctg* — 14-^Г1
=y X* arctg X—У J —[7^) dz=y *2 arctS x-"4
4-y arctgx+C;
526
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
11) arcsinxdx=xarcsinх—^xdarcsinx =
s Г 1 : I 1 Cd(l—X2)
= x arcsin x — | x.?---- dx = x arcsin x -Ьтг I.
J / 1 —x2 2 J К 1—x3
= xarcsin x-f-у (1—x2)~*/2d(l—x2) =
— x arcsin x + (l — x2)1/2 + C = x arcsin x+K 1 — x2-|-C.
ЗАДАНИЕ 16
Доказать, используя метод интегрирования по частям, фор-
мулу (а > 0)
С х/'а2—х2 а2 , х . п
| У а2 — х2 dx=—-—тг-----и- arcsin-kC
J r 2 2 a 1
и проверить вычисления:
1) j V~4—^dx=X 2 arcsin -g-+C;
nx Г ----s , xfll—x2 11 . x lz>
2) J у 11—x2dx==—------yarcsinp=4-C;
-5j x/13—x2 13 , x
x2dx= ——й--------7Г- arcsin -7г—-
2 2 j/-13
—5 x Ktg22-x2 tg2 2
*— X UX —
X
arcsin j^+C;
2
log2z7 5—-x2dx=
2
Iog2V75 . x
"^“arCSine 7 8
6) J Vsin2 11— x^dx
x Y sin2 11—x2
2
sin2 11 x
------— arcsin —n-
2 sin 11
18—6x—x2rfx=
7) J Y3-x-^dx
:J=Jr27-(x+3)2 dx =y=-f/(3 К 3)2-(x+3)2d(x+3)=
_(x4-3)/(3/l)a-(x+3)2 27 x+3
2 К 6 2/6 3K 3
8) j Кб —(x+4)2dx = J /5—(x4-4)2 d(x+4) =
_(x+4) Гб-(x+4)2 5
P=------g--------у arcsin 4-C;
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
527
9) $ V11— (х—5)adx== j V11— (х—5)ad(x—5) =
(х—5) КП—(х—5)а 11 , х—5 .'
2 2 К П
10) J К10—6х—xadx=J К19—(x+3)ad(x+3) =
= (x + 3)K193xW Ю х±3
2 2 К19
11) J К11 + 4Х—xadx=K15—(х—2)М(х—2) =
(х—2) К15—(х—2)а 15 , х—2 , „
—---—------------77- arcsin -т=4-С*
2 к 15
2
ЗАДАНИЕ 17
Найти:
1) J (2x4-3) dx; 2) J (х2—3x4-5) dx;
d) j (i—x)‘xax; 4) j ^-1-^8—J“x;
5) f(V*+—)dx; 6) И--~2*Г-Лх; 7) f(4—e*)dx;
8) J(2*+28*+28*)dx; 9) J — dx;
10) § (2 sin x—3 cos x) dx; 11) J cos8 dx;
191 C dx 131 C in С й
1 ' J sinaxcos8x: ’ J 5xa+7’ ' J 3xa—4’
15) f - ** ; 16) f ...4*.17)
J К2x8+1 J КЗх8—4 J К2—5xa
f x4 . (*xa+3 , (* dx
18) J T+^dx‘ 19) J 1— x*dX< 20) J x*4-2xa—3-
ЗАДАНИЕ 18
Найти:
1) J (2x3—3x8+6x—6) dx; 2) J (1 — x) (1 — 2x) dx;
3) C fla-21^x; 4) C *)!ах-
f J \*2 J X 5 * 7
5) C dx; 6) f (e8*-
J у x J
P P / O^X \
7) I 2*.3*<5*dx; 8) I 2—)dx;
2-3*) die;
528
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
ч
sin2 х—4 cos2 х
sin х— 2 cos x
dx\ 10)
sin2 dx\
P cos 2x . . 1оч C d* , P
11) \ . о о dX) 12) \ n q . o , 13) \
f J sin2 x cos2 x zJ2x2+3 J
dx
5x2—7 ’
14) f z.....- ; 15) f
J / l+3x2 J К1—Зх2
18>)т=т^ l9>
20)
<1 f 1 *’’** X^
; 16) f /-if?.......
J / 2x2—5
Jdx
x4+x2—6’
ЗАДАНИЕ 19
Найти:
i) J 2^’з * %) §sin $X dXf 3) J (1—*)7
4) Cx(l—2x)Bdx; 5) f 6) ,
J J V x —1 J x4-t-x-|-l
7\ C dx • Я1 C dx • 01 C (£±_Ll^ •
’ J 2x2 + 4x—7 ’ 1 J Ц-2х-х2 ’ ’ J x2+1 ’
J9r*—\ Г ___
^3^411) JxKl-xMx;
P Pl dx C dx
12) I cos3xdx; 13) I sin—22; 14) 1
t) X X J X 1 "
sin X ,
—----5— dx\
1 + COS2 X
dx
(l+x)K x’
19)
X f
J^L-. 22)
(x4 + l)7’
4x—ldx' 24)
dx (
; 20) *
X in X 7 J
* dx t
sin x *
C dx
ЗАДАНИЕ 20
Найти:
1) j 1 %) j cos7xdx; 3) \ (x + 3)udx;
4) Г x (2x—3)8dx; 5) Cx2Kl— xdx; 6) C u ;
J J J Хл -“* X -f- 1
7) [--Aa—
J K2X2—x+6
10) jx/TT*5^; 11) jsln«xdxi 12) f cos X (
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
529
Г x2dx .. f dx 1С. Г .
13) * -г-"."" A-; 14 | ; 15) I ctg xdx;
J»‘ + 4 J J
,Сч Г C0S * dX 171 CKlnxdx. |S, f dx
lb> J 4 + sin2X ’ ’ J ----x--’ ’ J x In x In (In x) *
19) fx^’dx; 20) C **£* ; 21) C ;
J J (x3 + 2)3 J cos x
ЗАДАНИЕ 21
Применяя формулу интегрирования по частям, найтщ
1) Jln(x+l)dx; 2) ^х In xdx; 3) ^A~*dx;
4) i x sin x dx; 5) \ x cos2 x dx; 6) \ . — dx*
J J J srn^x
7) J ex cos x dx; 8) К x2— 4 dx;
9) C V^—x2dx\ 10) f arccos xdx.
ЗАДАНИЕ 22
Применяя формулу интегрирования по частям, найти*!
1) Jlnxdx; 2) J х In (х + 1) dx-, 3) хЗх dx\
4) ^xcosxdx; 5) yxsin2xdx; 6) J
7) § ex sin x dx; 8) К x2 4- 3 dx;
9) C y~5 ~x*dx; 10) ( arcsin xdx.
ЗАДАНИЕ 23
Найти:
x2 x dx; 2) cos x Ksin x dx; 3)
dx; 8) j -
ГЧЧ C
e^«l
530
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
ЗАДАНИЕ 24
Найти:
х2 £
sin2 х cos6 х
dx
2ех — 1 ,
3e*+ldx:
dx
-х2)8/2 ’
х2
С cos2x -
3) \ ...... dx\
' J sin4 х
dx
ЗАДАНИЕ 25
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти:
2 0 л
1) J (2х—x^dx; 2) С (2i/'x—\)dx-, 3) fsinaydjc|
1-1 о
1/2 3
f dx r\ Г dx
J : J l~*4 5
-1/2 2
Л/2
J cos^xdx;
о
0
4
9) b(x)dx, где fW = K’ £
J I Z, X > UJ
0
10) Г | 1 — x \ dx.
о
ЗАДАНИЕ 26
Применяя формулу Ньютона «-Лейбница, найти!
1 2 _ _
0 f(*4-2x*)dx; 2) J х— x)dx;
о -1
л/2 У"з
3) j cos^dxi 4) j
0 i/Vs
Iogs3 2
5) $ (5»4-5-*)?d*; 6) ^(КТ+4х)Чя}
log! 2 1
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 531
О
7) J х(1 + х)1(Чх;
— I
5
9) J f (х) dx, где
2
3
10) 2 — x\dx.
о
л/3
8) J sin3 х dx;
о
( 0, х<0,
f (х) = { *+1, 0 < х<3,
2х, 3 < х;
ЗАДАНИЕ 27
Применяя формулу интегрирования по частям, найти:
2 л/2 1
1) J In xdx; 2) J х cos xdx; 3) хе~*х dx;
10 о
Л/4 1
4) J arctg х dx; 5) J ex cos x dx;
о о
1 2
6) J arccos x dx; 7) J x3 In x dx.
о 1
ЗАДАНИЕ 28
Применяя формулу интегрирования по частям, найти:
1 л 1
1) J In (1 + х) dx; 2) ^х sin xdx; 3) J arcsin xdx;
о oo
In 5 л/4
4) J xe~x dx; 5) J xarctg xdx;
о о
2 л/4
6) J x2 In x dx; 7) J arcctg x dx,
1 о
ЗАДАНИЕ 29
Применяя указанную замену переменной, найти:
У“з 2
11 '-=,; Чтйт'
1 1
3/2
3) С ,4x+X dx, z-2 = /;
' J (х—2)3
1
532
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
4)
5)
6)
л/2
J sin2 х cos х dx, sin x —
о
Л/2
cos5 x sin x dx, cos2 x —1\
о
1
f x2 dx
i ..-a ... , x = 2 sin t; 7)
J K4-x«
0
л/4
1/2
8)
9)
C ______dx
J 3 sin x + cos x ’ 2 ’
0
in 8
f dx x .
I —7^==r, ex=xt\
J /14-е*
ЗАДАНИЕ 30
Применяя указанную замену
1/2 1
1) \ xts=ti 2) (
3)
4)
5)
7)
dx
х — iQ-
1/2 r_______
Г к 1 -x2 .
1 Xs ^X-
1/з
переменной, найти:
л/2
\ cos4 х sin х dx, cos x = t\
1
x dx
/5^1%
5 —4я = /;
л/2
J sin3 x cos x dx, sin x»i\
о
In 5 2
J eX=t> 6)
In 3 0
3 • л/4
\ x2 К9—x2 dx, x=3sin/; 8)
dx . x _____
6-3 cos я’ ь
9)
з
С dx
2
/==T: l0) f r-d^T7=- ’ x=i*-
x J x+v x
ЗАДАНИЕ 31
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
и прямыми:
1)
х=1, х —4, #=0;
X
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
533
2) у = 2х2--|-1, г/“О, х =—1, х=1;
3) ^=2 1^ х, 6—’£/ = 0, х = 0;
4) у~ \(х, у~х, х = 2;
5) у — 3х, х ——1, х = 3, $ = 0;
х
6) г/=sin-у, х = — л, х —2л, # = 0;
о
7) 0=—L_( y==Qt х = 0, х=Д;
* cos2 х * 4
8) y=V^+-i=, х = 2, х=3, y=0't
Г х
9) у = х*—2х2+5, у=1, х=0, х=1;
,П1 — х2-|-Зх—1 , о _
Ю) у=-----------, х= 1, х = 2, 0=0.
ЗАДАНИЕ 32
Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функция
прямыми:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
#=xs 6 7, r/ —8, x = 0;
^ = 4x —x2, r/ = 0, T x==2;
y=/"x, 0=2—X, 0=0;
£ = 9/x, x = 9, y~Q\
у = ех; y~®, x = 2;
(X X \ %
stoy+cosyj , x = 0,
7) 0=(x—2) КЗх^Л, x=l/3, ;
1
8) {/==-5-7-7лТ» X = 0, Х = ЗЛ,
1 * cos2(x/9) ’
9) f/ = x4*—10x2+9, x = 0, r/ = 0;
10) ^=l/x, r/ = 0, x = 0,5, x==2,5.
Л>
x=-g-» f/==0j
№=5/3, r/ = Oj
, //=0;
ЗАДАНИЕ 33
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
1)
2)
3)
4)
^=x2 и y=x+2;
^~x2—*2x + 3 и y=Зх—1;
y=x2 и ^=14-~x2;
y^2/x и y^—x/2—^-;
6x2*~x4 -
---g--и ^=1;
5)
6) 0 = Х3 И y=V"x-,
7) y=sin-^- и 0=х3;
534 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
8) ^ = Jcos2 х (l-|-sina х), xg[0; 2л], и # = 0;
9) У= * 4~^Х । и 0=7—| х |;
10) у=4-^-.р-|- и 0=1—*+21.
ЗАДАНИЕ 34
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
1) у—х2-—х и #=3х;
2) #=~х2—2х+4 и #==10—-х;
3) #=х2 и #=2х—х2;
4) #=3/х и #=4—х;
5) #=х2 и у=2 Y2х;
.6) #=х2 и #=jZ х;
7) #=cosx, х£[—л; л/4], и #=1-|-2х/л;
8) # = 4sln? х (1 + cos2 х), х(£[—л; л], и #=0;
9) #=2 —|2—х| и #=3/| хI;
Ю) #=6/|х+Ц и #=3-|3-х|.
ЗАДАНИЕ 35
1. Найти площадь фигуры, заданной неравенством:
1) |0|4-у<КТ+ГЙ; 2) |^+х2-2|<2(х+(/).
2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции:
1) # = о,5х2—2х+2 и касательными к графику этой функ-
ции в точках (1; 1/2) и (4; 2);
2) # = х2—х+2 и касательной к графику функции # =
= 1пх4-3 в точке (1; 3).
3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций # = tgx, # = sinx и прямыми х = — л/3, х = л/4.
4. Фигура ограничена графиком функции #=(х+3)2 и
прямыми х = 0, #~0. Под какими углами к оси ОХ надо про-
вести две прямые через точку (0; 9), чтобы они разбили фигуру
на три равновеликие части?
ЗАДАНИЕ 36
1. Найти площадь фигуры, заданной неравенством;
1) 10|4-4<е-,хЬ 2) я«4-0а<2(|х|+|0|).
2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
1) #== —16—х2 и Касательными к этой параболе, прове-
денными из начала координат;
2) #=cosx, xg[0; л/2], касательной к графику этой функ-
ции в точке (л/4; 2/2) и прямыми х = 0, # = 0.
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 535
3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций ^=cosx, fz=ctgx и прямыми х=л/6, х=Зл/4.
4. Фигура ограничена графиком функции ^=|sin-~-|
и прямыми #=0, х=—1. Под какими углами к оси ОХ надо
провести прямые через точку (0; 0), чтобы они разбили фигуру
на три равновеликие части?
У пражнения
1. Вычислить определенные интегралы как пределы интег-
ральных сумм:
Ъ 6 1 л/2
1) J sin х dx; 2) J xk dx; 3) J e* dx; 4) J cos x dx;
а а о о
1 Л/2
6) C(x3+x)dx; 6) j f sinx—dx,
о о
2. Доказать, что последовательность {an},
предел, и найти его, если:
n(~N, имеет
о
2)
_____1_._____1_, j_________1_.
«+1 ' я4-2 ‘ *** ‘ п^п *
I3 , 23 .____, (4д—I)3
a* п* /г4 + /г4 ’
ап~~ я2+1- п2 + 22
п .
/г2 + /г2 ’
4)
б)
6)
7)
8)
9)
10) “»==^гг(’а+2“+«>• + «“). а>-1.
536 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
3. Найти сумму:
2> 4-^+ус«+4с',+-,-+7Т2 с";
С) с’-|си-~С3п-...+(-1)'’-^СЙ;
л . 2л , , - тл
4) cos— cos —+ ••• + cos •
4. Доказать, что:
I
1) J(2/ —1)9е'-‘2Л = 0;
О
3)
5)
7)
8)
9)
Л/8 1 1
j x6sin7xdx = 0; 4) J ecosxdx==2 eCQSX dx’t
-л/8 -1 0
2л n
J sin3 x dx— 0; 6) \ cos6 x dx » 0;
о 0
1/2
I cosx In|i^dx==0|
J 1*—x
-1/2
4 1
C (1 —x)m x” dx x” (1 —X)” dx=
о 0
л/2
\ cos* xcos (n+2)xdx»=0, ngN;
Я/2
tl *“ 1 (*
10) /„=—при n>2, вели /„= \ sinnxdx|
П)
13)
15)
16)
1 __ л
J yf x2sin6xdx==0; 12) J arctg (cos x)dx=0j
2 io
C x2—l . л (* Inx . л
J VtW ' 1 > J T+^dx ;
1/2 Г 0,1
1
-1
C 17) {^Ш-dx ="ln2.
J l + cosax 4 ' J IH-x3 8
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 537
5» Доказать, что:
1
8) С / 1 + х2 К x3+ ldx<4
Л/2 2
1) < j sin10 х dx < -2-; 2) 2 < J 2*s dx < 16?
л/4 I
e 3
3) g < C dx <e • -i) 1 < f dx < ъ
1 3 J lnx+2 2 ’ ' 6 J 1 + x—2x2 13’
2
1 2
P sin x , 2 3 f 4* , AQ
j 7+TodJC<9 ; 6)T< J 7djc<48;
-I 1/2
_ < I dx__________< 2.
25 J (x2-~4x + 8)2 16*
1
1
; 9)j j/yi
0
л
P -_______ 9тг5
10) i x2 К sin x dx<—g- ;
3
2 P
11) J K(14-x3)sinxdx<2n+-2^-;
0
12> 1 < f 13) | <^-**^<11
о 0
1 20
14) sin 1 < J< 2sin 1; 15) J 1
-1 10 ,
1
1 Г xpx 2
!6) -g- < j yr==== dx < 3 ;
0
2H Л/2
17) J sta(xs)dx>0; 18) 0,7 < I sin(x2)dx < 1,8)
0 0
«/3 _
19) f ______dx _ > K3.
J cos2 x К 3+sin x 2
20) -i ln22 < Г dx < 4ln2*
** v * *T* **
0
538
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
5
21)
t) О I и
О
6. Какое из чисел больше:
1)
2)
3)
4)
6)
7)
9)
1 1
J е~х sin xdx или J е~х* sin х dx}
Q О
1 1
J х2 sin2 х dx или х sin2 х dx;
о о '
л
J е“*2 cos2 х dx
л
С sin х .
I •" dx
J i/x2 + 2
о
2л
или J е~** cos2 dx;
л
1
л _ч С cosx . 1
или ; 5) J 2jp-a- dx или У 2;
I
р рХ dx 1
j(7+W^-nT(e-l);
О
1 1
~ или С --------; 8) f х2а~*2 dx или ~ ;
6 J 4_Х2_%8 J 3
о о
3 2
J arotg х dx или J arcctg х dx?
-2 -з
7. Упростить выражение:
1) sin Зх cos8 х + cos Зх sin3 х;
2) tgx-J-tg (х — -5-)+tg (х+~^ ;
\ о / \ о /
3
3) sin Зх sin8 х+cos Зх cos3 х — - j- cos 2х;
4) 1 **3 (sin4 х + cos4 х)+2 (sinS) 6 * х+cos6 х);
5) tgx+ tg(x+^)+tg (x+^)+tg ;
S) -4-+.....r+............-Л-У
sin2 x’ 19/ , л \ ‘ 19/ я \
sin2 x+-^- sin2 I x~-y ]
\ 3 / \ о /
8. Доказать тождество:
arccos , x 0,
V1 + X*
1) arctg x=< .
arccos
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 539
2) arctg х=<
4 1
arcctg у
х > О,
х < 0;
3) arcsin у—
х
arccos -7==- = 0,
4) 4arctg — 2arcsin х = л, |x| < 1;
2х
5) arcsin --~-j--2-s=2 arctg x, | x | «С1;
6) 2arctgx+arcsin-j-q~^-==n;, x> 1
9. Найти:
И x У xdx\
X2 )
4) J К*А+д~А+£_ 5) J(5^—2^)2 dxt
P O2X-1 Q2x + 5 P 2X.32X.43X
6) J —7) j --s^ -dx;
8) J Кl-sin2xrfx, *g(O; л/2); 9)
10) C sta2 ; П) Casiri fx+-dx-, 12) ? -? . dxf
7 J 1—cosx 7 J- \ 1 4/ 7 J x2—4
13) J tg4 x dx-, 14) J ctg2 X dx-, 15) J ;^2_щх2_3)~ =
1C. P dx P l+2x2 . 1O4 PKl— x*
16) \ 7 I Л a I о ; I7) \ "a7i—i-57 dx'> I8) \ .™z.d*.
7 J x4+4x2 + 3 J x3(l + *2) J KP?
10. Найти:
n C (x + 3)dx .
J(x+2)(x-l)‘
f (2 + x)dx
—5x
3) J (3*4-5)ndx;
; 6) C x У1—3xdx;
O4 P2x —3 ,
xdx> 8> |jqT4^;
x2rfx;
x+2
~5-1--7^dx\
x2—4x+7
f—Д=г; 1
J X у In X
sin2 x cos 3xdx;
2x—3
, —.„dx;
' x2+4
f xdx .
} J 1+x4 ’
P dx
|x(2+lnx);
640 ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
18) (* sin х sin 4х dx; 19) f —sin Y x dx; 20) fsin2xdx;
J J V x J
21) J (sin я4-3 cos x)2 dx; 22) ex sin ex dx;
23) 24) C—l-K-dx;
J sin2 7x J cos 3x
25) C —--; 26) C —----------dx.
J ;sin x 4- cos x J 14- cos к
И. Найти:
1) Cx2 У 2— xdx; 2) C—.......... dx; 3) C sin3 x ?/cos x dx;
J J к1—x2 J и
il j <-v С 1 . C sin2 x .
---т— dx; 5) \ -—7— dx; 6) \ —s- dx;
cos4x f J sin4x J cos6x
7) f —; 8) f *-.r ;
J e*/2 + e* J V 1+e^
«) p(2-w>,/,*i W) j ____
11) C ; 12) C ^l~~--dx; 13) f ** dx-.
J /4-x2 J * J *
'=>ЧтгйтГ
9ГГЧ f ^X 104 C ^X 1m C l~“X7 ,
17) | ; 18) i —т-о~7-пг * l9) | —77—;—dx;
J l + f/l + x J x (*3+ 2) J
f* y2 - | I p y2 „ I, t
J л^Н-l dx’ 21) J х^х2 + 1 dxi
(Xa+1)2 ; 23) J (1 4-х2)3/3,
12. Найти:
n J In2 x dx; 2) p :2 In (14-x) dx; 3) \ arci g xd x;
4) J . arcctg x dx; 5) У x In 6) J x arctg x dx;
D j 1 x arcsin x dx; 8) \ sin (In x) dx; 9) J x2 sin 2x dx;
10) P arosinx . \ — dx; J x2 11) J x2arccosxdx;
12) J arctg VHdx; 13) e2x sin2 x dx; 14) x2e^2x dx;
15) ^x3e^x2dx; 16) fxln^i^dx; 17 J 1 —x ) X ^x»
18) J x sin У~х dx; 19) J x arccos — dx; P x^ 20) J (14-x2)2 dx'
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
541
х* In^-idjc+C,
/n£Nj
13. Доказать, что:
1) С xk 1п/л х dx^7-^—r х^+х 1п^ Х—7~~~г
J &+1 &+1
fcgR, 1,
оч Р _ . , dsin bx-\-a cos bx „„ , ~
2) \ е* * cos bx dx —--, , 9----еах 4- С;
а2~^Ь2
a sin bx — aeosbx „v , „
eax + о >
*ах sin bx dx =
а2 -|- b2
х
' dx
(х2 -]- а2)п+1 2па2 (х2 + а2)п
. 2п — 1 1 Р dx
"* 2п "о2" J (х2 +а2)«
mgN;
па
a* + b*
= — — I— x24-
/1— X* M
m — l f xm~2 , „
-4----I —dx-\-C, m^2,
m J
и/rv , / т MZZV<2Sin6x—bzosbx
xneax sin bx dx == xneax-r r ---
a2-{-b2
..9^r9 C xn^leax cos bx dx+O.
a2+b2J
14. Найти:
2 9 /— «
1 4
Л/3 1/2 $
3) J stay cos-J dx; 4) j Kb=2idx; 5) С урД
л/6 0 x
2л л/2
6) J sin3 x dx\ 7) J cos6 x dx;
о о
C ( *•
9) \ f(x)dx, где — i 2x,
-2 ( 5,
3 100л
1°) J 11*1 — •И-*"* И) J Г 1—cos2xdxj
-1/2 0
Л 1
12)fsta4xdx; 13) f
J J x24-x+l
о -i
14) Jt/2
\ sin x sin 2x sin 3x dx;
4л
8) J x sign (sin x) dxi
0
x < 0,
0<x<l,
1 < x;
0
542
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
2
15) J [ex]dx, где [а] — целая часть числа а.
о
15. Найти:
1
1) J х (1 + #)5 dx, 1Н-х —/;
О
л/2
2) sin5 х cos4 х dx, cos x = t\
о
Л/2
3) J sin2 x cos3 x dx, sinx = /;
о
Уз"
C dx . .
4) \ ———— , tg/ = x;
j Kd+xa)«
a
5) |Gz2—x2 dx, x~as\nt\
a
6) J x2 К a2 —x2 dx, x — a cos t\
о
ln2
7) J yT^Adx, ex —1=42;
o
3/4
8) C -----^=-, —гт=«5
J (x4-1) 1 *+l
2л
9) C igjL — t
}J3 + cosx' S2"r‘
0
16. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на от
резке интегрирования, то:
Л/2 л/2
1) \ f (sin х) dx= \ f (cos х) dx;
о о
Л л л/2
2) \ xf (sin х) dx= \ f (sin х) dx = я \ f (sin х) dx;
о оо
1 1 1
3) С f (х) dx= j f(l—x) dx== J f(l + ^) dx;
oo о
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
543
1 1
4) J х3/ (х1 2) 4.x=— J xf (х) dx;
о о
1 1
5) J cos f (х2) dx » 2 J cos xf (x2) dx;
-i о
i
6) J sinxf (cosx)dx —0;
— 1
л/2 ' л/2
7) J f (sin 2x) cos x dx= J f (cos2 x) cos x dx*
о о
17 » Доказать, что если функция f(x) непрерывна на всей
числовой прямой и является нечетной функцией, то для лю-
бого числа а, а > 0, имеет место равенство
% — X
р (t) dt = р (/) dt.
а —а
18. Доказать, что если функция / (х) непрерывна, возрас-
тает и выпукла вниз на отрезке [а; Ь], то
ь
(Ь— а) < р (Х) ах < / (£>)•
а
19. Найти:
в 2л е
1) J х2In2 х dx; 2) J х2 cos х dx; 3) J | In х | dx;
I о i/e
1 1 е2
4) р arctg2 х dx; 5) J arcsin2 x dx; 6) J cos (In x) dxj
о -1 e
л/3 л л
7) \ 8) f (xsin x)2dx; 9) CT dx;
1 J sin2 x ' J f J 1 + cos2 x
Л/4 0 0
C /—~
10) \ arcsin 1/ т-j— dx.
J Г I ~r X
0
20. Доказать справедливость равенства (m,
л/2 л/2
1) C sin^ xdx=^^—^ Г sinw~2xdx;
J fn J
0 0
Л/2 Л/2
2) C cos®dx=--™-"- C cos®xdx;
а о
544
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Я/2
3) f
(2л — 1) (2п—3)...3«1 я
2п (2п—2) . . 4 "2 ;
4)
о
Л/2
С * 2п+1 j 2п (2л —2).. .4-2
\ sin2"+1 dx—-^—гтт7п—Нт---гг5
J (2п4-1)(2л — ]).. .3-1
О
Л/2 Л/2 1
5) \ cos" х sin пх dx = — —[- I cos"”1- x sin xdx ;
J 2 n * J
0 (o )
Л/2
АЧ V n * A 1 /2 , 22, 28 t 2"
6) j cos" x sin nx dx = ( y4—g—|—y + --H—~
о
Л/2
7) J cos" x cos nx dx = 7^73-;
0
Л/2
8) \ cos'" x cos (m 4-2) x dx = 0;
b
л/2
9) \ cos"2 xsin (m4-2)xdx=—r-r
J tn 4-1
0
Л/2
10) \ sin'" x cos (m + 2) x dx =
О
. ntn
Sin -g-
m-\- 1
cos
11) J sinxsin(m4-2)xdx .
0
21. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций и прямыми:
1) # = 3x4-18-—х2, у = 0;
2) у — х2, y — Q, х — 3;
х2
3) -------*+2, У==Х9 Х==0;
4) # = 2(1—х), 0=1—х2, х = 0;
5) 0 = х2, 0=2—х, 0 = 0;
6) 0 = 4(х—2), 0 = (х —I)2, 0 = 0;
7) ^~х24-1, 0=4—2х, 0 = 0, х = 0;
8) 0 = 2—х2, 0=1—х, 0 = 0, х = 0;
9) 0 = х24-2, 0=1—х2, х=0, х=1;
10) 0=х8—Зх2-«-9х4-1> ^ё[°1+00)> ^ = 3;
11) 0 = cosx, 0=0, х=Зл/4, х=—л/4;
12) 0=—х\ у=^2ех, х = 0, х=«1;
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
645
13) р = 4/х2, х=1, у~х—\\
14) £/=1/х, х=1, х = 2, £/ = 0;
15) £/ = 5/х, £/ = 6 —х, х — 6;
л ..
17) у=У 4 — Зх, //=0;
18) ^/ = sinx, xg[0; я], £/ = 0;
19) y = sin6x, у—®, x = 0, х==л;
20) у = 8 sin4 x + 4 cos 2x, xg[0; л], // = 0.
22. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками
функций:
1) ^==14-х2, z/=2; 2) £/ = —х24-2, £/ = х~|-2;
3) £/==х, £/==2х—х2; 4) £/ = 7х—2х2, £/ = 7/2—х;
5) у = х2—2x-j-2, £/=2 + 4х —х2;
6) /у=х2, £/ = Зх + 4; 7) £/=х2/4, £/ = 3—х;
8) £/ = х2—2х + 3, у~4—2х;
9) £/ = х4, у^Ух\ 10) £/ = 5—х, р = 6/х.
23. Найти площадь фигуры, задаваемой неравенствами:
1) 4^х2 + ^<2(|х| + |г/|); 2) \у | + 2 | х | <х2 +1.
24. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции:
1) £/ = 2х2 — 8х, касательной к этому графику в точке (2;—8)
и осью ординат;
2) £/ = х2 + 10 и касательными к этому графику, проведен-
ными из точки (0; 1);
3) ^==х2—2х + 2> касательной к этому графику в точке
(0; 2) и прямой х=1;
4) £/=1/х, касательной к этому графику в точке (2; 1/2) и
прямой х = 1;
5) у^езх касательной к этому графику в точке (0; 1) и
прямой х = 3;
6) £/=arcsinx и прямыми t/=9, х = 0, х=1/2;
7) у = 1п (1Н-х) и прямыми у = х, х = 2;
8) ^=^, £/=1пх и прямыми £/ =—1, х = 0, х=1. <
25. Прямая, проходящая через точку (1/2; 1), образует с
положительными полуосями координат треугольник. Найти
минимальное значение площади треугольника.
26. В какой точке графика функции £/ = х24-1 надо про-
вести касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образуемой
графиком этой функции и прямыми £/ = 0, х = 0, х=1, трапе-
цию наибольшей площади?
27. В какой точке графика функции #=1/х надо провести
касательную, чтобы она отсекала от фигура, образуемой гра-
фиком этой функции и прямыми £/ = 0, х=И, х = 2, трапецию
наибольшей площади?
28. Найти значение р, р < 0, при котором площадь фигу-
ры, образуемой параболой г/ = (1+р2)2 я2 + Р и прямой у — $,
была бы наибольшей.
29. Найти наименьшее значение площади фигуры, ограни-
ченной параболой £/ = х2 + 2х—3 и прямой y =
18 Задачи по математике. Начала анализа
546
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
30. Найти площадь
венств:
фигуры, задаваемой системой нера-
1)
3)
у<х4>1,
х sin (пу),
х «С 2;
у < 14-х2,
1—X2,
< р<х4-1,
р>—1+*.
к— 1 <х< 1;
у arccos х,
< р^О,
у arcsin х,
1;
4) farcctgx^p,
«j arctg х < у,
V х^ 1.
31. Найти площадь криволинейной трапеции, ограничен
ной параболой у — х?~{-Ьх-\-с и касательными р=4х—13, у~
=—4x4-3, проведенными к этой параболе.
32. Через данную точку (х0; у$), лежащую внутри пара-
болы р=х2, провести прямую, отсекающую от внутренности
параболы сегмент наименьшей площади, и найти эту площадь.
33. Пусть f(х) = х24-рх4-^ и f(x)>0, a^x^b, Дока-
зать, что
ъ
p(x)dx=l(ft-a)(/(«)+H&)+4f (^)).
а
34. Две прямые, пересекающиеся в точке А, касаются па-
раболы р —х2 в точках В и С. Доказать, что площадь криво-
линейного треугольника АВС, ограниченного дугой, параболы
ВС и отрезками АВ и АС, равна АВ • AC-sin ВАС),
35. Доказать, что если функция f(x) имеет непрерывную
вторую производную /" (х) на отрезке [а; Ь], то
ъ
J xf” (х) dx = (&/' (&) — /(&)) —(а/' (а) — f (а)).
а
36. Доказать, что функции
X X
. 1) J sin6 х dx; 2) J cos1A x dx
0 0
являются периодическими.
37. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на про-
межутке [0;4-°°) и /(») = «> то
Х->+00
1
lim \f(nx)dx=a.
"-**» о
38. Доказать, что отношение площадей подобных криво-
линейных трапеций равно квадрату коэффициента подобия.
ГЛ. 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 547
39. Доказать, что площадь эллипса с полуосями а и b
равна nab.
40. Доказать, что если функции f (х) и g{x) непрерывны
и обе являются или возрастающими, или убывающими на
отрезке [а; 6] то
ь
р (X) g (х) dx SS
а
/ b
J /(x) dx
\a
41. Доказать, что:
2) lim
X \2
J et2 dt
2_____L
^e^di
0
x
3) lim e-x2\e&dt = ^
X -> co J
0
Г
4) lim *- ? sin (ax) sin(ftx) dx = 0, |a|^|ft|.
T J
42. Доказать, что если функция f(x) непрерывна
ется возрастающей на отрезке [а; Ь], то
и явля-
ft
(b—a)f(a) < f(x}dx < (ft—a) f (b).
а
43. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a; ft] и
ft]. Доказать, что если
ft
J f (x)dx = 0, то f(x)^Q.
а
44. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на
[0; +оо) и lim f (х) = 1, то
а
lim —{f(t)dt = O.
а ->+ с» а J
0
45. Пусть функция f (х) дифференцируема на отрезке [<2;ft],
f' (х) является непрерывной функцией на [a; ft] и, кроме того,
/(1)—/(0) = 1. Доказать, что
1
С (/' (х))2 dx 1.
о
18*
548
ГЛ, 6. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
46. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на от-
резке [а; 6], то:
1) lim
я -> <ю
2) lim
<ю
3) lim
п -> со
\0 /
f(x)>0, х£[а\ &J.
47* Доказать, что если р (.х) —* многочлен степени п и
ь
J х&р (х) dx«= 0, & = (), 1, 4.., /г —1,
а
то все его корни простые и принадлежат отрезку [а; &).
48. Доказать, что если для непрерывной на (—оо; 4~оо)
функции / (0 имеет место тождество
х+1
J /(Z)J/a»0, х(£(—со; + оо),
х
то функция /(х) периодическая*
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ГЛАВА 1 •
§ i
ЗАДАНИЕ 1
1. 2, 5, 8, И, 14, 17, 20. 2. —И, —9, —7, —5, —3. 3. #3 = 0.
4, . 5s #4=5, #6 = 7, #i0=ll,
ЗАДАНИЕ 2
L —3, — 1, 1, 3, 5, 7. 2« — 13, —10, —7, —4, —1. 3. #4 = 0.
4. 5. а5 = 7, а2 = 4; а9=11. 6. 4.
О
ЗАДАНИЕ 3
1. #5=11. 2. CL§ — #2 + 3d, #lo = #2*4~3^> #100 = #2 ~Ь ^8^. 3« 450.
4. 332. 5. #г = 29, #17=30,6. 6. #х=1, ^=0,5.
ЗАДАНИЕ 4
1. clq = #3-f-3d, #2оо—#зЧ- 197<i. 2. #g = —4. 3. 45. 4. 199.
5. #1 = 1,1, #21 = 3,1. 6. #х=1, d = 0,5.
ЗАДАНИЕ 5
1 2 2
1. #2 — 3 у , #з — 3 у , #6 = 4-у . 2. #А = — 1, d=%, 3. #i = 3,
J = 3 или #i = — 9, d — 3. 4. Нет. 5. 1665.
ЗАДАНИЕ 6
1 3
1. ад—] — , #4—. #б = 2. 2. #1= — 2, d = 3. 3. #i = 3,
d = —1,5 или #i=— 1,5, d=l,5. 4, Нет. 5. 55 350.
Упражнения
1. 1) #n = 5—10(n—1); 2) #rt = —3 + 3(n —1); 3) #„ = 6 +
-J-3(#— 1). 2. 1) #i =— 23, rf = 3; 2) #1з=34i 3) #io=lj 4) #13 = 3;
5) #1+#20-50; 6) #i=10; 7) n = 18; 8) d = —1; 9) #i = —70,
d=5; 10) aS4o = 324O; 11) S2O = 320; 12) #t = 14, rf = —3 или
#i = 2, d = 3; 13) #i = 2, d = 2 или #i = 22, rf = —2; 14) n = 6;
15) #ь =—й; 16) Sao=lOO; 17) #л = —1 — (fi—* 1);> 18) —
= l+2(n—1); 19) Si2=129 или $i2 = — 69; 20) $ю=100;
21) S8=100; 22) $ie=1488; 23) #i = 4, d=6; 24) #1=—1, d = 4;
25) #i0 = 55; 26) #i = 4, d = 8; 27) #i = 2, rf = 4; 28) #7=13.
3. 1) ” 2) n(«+l); 3) na; 4) *lre+6 ; 5) 494 550;
An A
550
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
6) 165 150; 7) 329 400; 8) 1620; 9) 25 100; 10) 5050. 4. 1) нет;
2) нет; 3) нет; 4) да. 5. 9, И, 13. 6. 9, 11, 13, 15. 7. ^ = 5, <1 = 4.
8. 135, 630, 765. 9. ai = 0,5, d=0,5. 10. <1=7. 11. 0,1, 0,2, 0,3,
0,4 или 0,4, 0,3, 0,2, 0,1. 12. 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2,
0, —2, —4, —6, —8, —10, —12. 13. а„=—2,5 + («—1).
14. с—рациональное число. 15. 1) Не могут; 2) 4567.
16. 1) х = 7; 2) х = 55; 3) х=1. 17. 25. 18. —А, —ЦрС-L
It. 4ра = 25?. 20^ Да: За, 4а, 5а. 21. 3:5:7. 22. 2(f6—1) см,
2 V 6 см, 2(/6+1) см. 23. 3, 5, 7, или 4, 5, 6, или 5, 5, 5.
24. а„=1+2(й —1). 25. 1) 0, 1, 161-72 V 5; 2) у(2* + 1),
(- 1)*+*эт/6+лЛ, k&Z; 3) log25; 4) n/2+nk, — 1)*л/6+лА,
5) 10, 2. 26. 1) Да; 2) да; 3) не всегда, например ап =
~Ьп~п, 4) не всегда, например ап~ — 6 + п— 1; 5) не всегда,
например an~nt Z?rt = n+1. 27. 3, 9, 15. 28. Числа, содержащие
16^4-4 троек, где & = 0, 1, 2, ... 29. -*1, 0, 1, 2. 30. (p-q)a-{-
+ *р)<з = 0. 31. 6, 6, 6, 6 или 10, 14, 18, 22 или
14, 70, 126, 182 или 0, 144, 288, 432. 32. $„ = —1. 33. ап =
~ at (2п—1), где произвольное число. 49. 2rt~;L («1 + ап+1).
50. Указание. Использовать равенство 2Сп = Сп~
§ 2
ЗАДАНИЕ 1
1. 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. 2. 2, 3, 9, 27. 3. 1024. 4. *4=6,
*5=3, *9 = 3/16 ИЛИ *4 = —6, *в = 3, *9 = 3/16. 5.*4 = 62^,*,=*29в,
*25 = Ы28> ьк—ь*<г~*.
ЗАДАНИЕ 2
1. 1/2, 1, 2, 4. 2. 1, 2, 4, 8, 16. 3. 8. 4. *$=4, *в=1, *8 = 1/8
ИЛИ *й —— 4, *6 = —1, *9=1/8. 5. *В = *87~, *17 = *з714» *37=*37*+
**=*зГ~9-
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) 1/128; 2) *£=*17==—1; 3) *1=1, <7 = 2 или *,=— 1,
?=—2. 2. *а=1/2, &з=1/4, *6=1/16, *5=1/32. 3. *1 = 2, ?=2.
4. Нет.
ЗАДАНИЕ 4
1. 1) 1/48; 2) *1=2, *9 = 2; 3) *1=1, 7=3 или *1=1, 7=—3.
2. *2=1/18, *а= 1/12, *4=1/8, *5=3/16, *в=9/32 или *2=— 1/18,
*=1/12, *=—1/8,| *5=3/16, *в=—9/32. 3. *i=l, 7=3. 4. Нет.
ЗАДАНИЕ 6
1. 93. 2. —21. 8. 1. 4. 5.
ЗАДАНИЕ 6
1. 3g. 2. 21 j. 3. 65. 4. 6.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
551
Упражнения
1. 1) д2==2; 2) <7=3/2; 3) &б=72; 4) 67 = 1/1458; 5) = 405;
6) bi — 2,5; 7) ^8 = 21,87; 8) q — 2 или fl —-—3; 9) fl—2; 10)_&6— 1;
11) 6i3 = 100; 12) 632 = 32; 13). 67=5/3; 14) Ьц= У12/144;
15) S4 = 468; 16) Se = 31,5; 17) 6f = l/75; 18) n = 4; 19) S12=15;
20) 6t = 2, 7=5 или 61=50, ?=l/5; 21) Se=—728; 22) q=V 2;
23) 6i = 2; 24) 67=8/~2; 25) n=7; 26) q=V"2; 27) « = 6;
28) 6„ = 9; 29) 6t = 128; 30) n=5; 31) 7=1/3 или q=—4/3;
32) 6s = 3/"2 или 63 = 4К'2+2Кб; 33) 6, = 2 или 6i = 32;
34) 7=3 или <7=—3/4; 35) 6,= l/3; 36) S, = 80; 37) 6i = 2,
A==3; 38) Z>f=10, fl —2 или bi — 40, fl—1/2; 39) Sn —
—Ь ; 40> &i=1’ Ч=5 или &i = 25 <7=1/5;
у b— у a
41) &f=2, fl —2 или —8, fl—1/2; 42) 6f=l, fl—3; 43) Z?i = l,
7=2, n=6; 44) 62=6; 45) 626s = 8; 46) /626a= 4 V"2; 47) 6Х = 5,
6g=640; 48) ra=10; 49) 68=729; 50) 6f=3, 7=2 или61=12,
m~n Г nP~n
q<=l/2; 51) 62 = 45 или 62=— 175; 52) 6p = 1/ ;
53) *2 = 36; 54) n = 6; 55) S5 = 31/96; 56) S6=121 или S6=ll
2. Sn = 7”2- 4* Указание. > У aYa3.
5. *6 = 243 или &6 = —243. 6. 18 446 744 073 709 551 615 зерен,
т. е. 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 мил-
лиарда (биллиона) 709 миллионов 551 тысяча 615 зерен. 7. 1) Не
всегда, например, {2п+2п} и {2П+3П}; 2) не всегда, например,
{2П—2^~х} и {3rt—’2й); 3) да; 4) да; 5) да. 8. а± — а2 — а3 0.
10. 1) Нет; 2) могут, например, bi — 18, fl=2/3, 62 = 8, ^ = 64/27;
14-1^*5
3) могут: fl— у 4~5* ’ 4) нет. 11. Могут: q— у —.
12. я/6, л/4, л/3. 13. 1) %——1; 2) {± У (— I)™*1 л/64-л/п,
ы ^2-^п+2 b^b^ t
'(в—*)(!—«) (а—6)(1—6)’ ' ха«(ха—1) +
4-2/1. 15. = г —2. 16. 1) {л$; л/124-л£; 5л/124-л&, k£7}\
2) x = log25. 17. Неизвестные являются членами геометрической
. Q 1 -о lx 2(Ю^1—10)-9л
прогрессии с Xi — 8 и fl —y* 8* ------81— -----’
2) 7(10”+t~~!.9).z2”, 19, 66... 67. 23. а = 2, 6= 32. 38. 931.
о! ---,т-п.'
п-1 цифра
39. 6, = 4, 6а = 8, 6, = 16 или 6,=4/25, 62=—16/25, 63=64/25.
40. 1) 7=2/5; 2) <7=3/2; 3) 7=3/2; 4) 7=3/2; 5) 7=3; 6) 7=3,
d=4; 7) 7 + <1=6; 8) 64 = 3/2 или 6, = 24; 9) 6в= 128; 10) 6,+64=
= 130; 11) в!+бв=2060; 12) 6*+&8= 109-|-; 13) 68-)-а8=0;
552
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
14)п=10; 15) п = 4; 16) я = 20; 17) п = 8 илип=11; 18) Slo=200;
19) Sis=135; 20) 64=1; 21) ав=105, 68 = 256; 22) &, = 27;
23)М+«з9=288; 24) as+&8= 118; 43. Л„+1В„+1=2-«(64-а)—а;
44. ,а„=1 + 3.2«-1.
§ з
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) 1, 8, 27, 64, 125, 216; 2) 1, 0, —1, 0, 1, 0;
3. 4, 5, 6; 4) 1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6; 5) 1, 3/2, 16/9, 125/64,
16 807/7776; 6) 1, 3, 6, 10, 15, 21. 2. 1) 1, 1, 1, 1, 1; 2)
(—Пи+1
1, 1/2; 3) 1, 1, 2, 4, 8. 3. 1) п2/«1; 2) ; 3)
3) 1, 2,
1296/64,
1, 2, 2,
пЧ-1
п
4)
Л. sin (2лп/3—л/3); Б) я<-»и+1,
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7; 2) —1, —1, 1, 1, —1; 3) 0, 0,
0, 0, 0; 4) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6;. 5) 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120;
6) 2/3, 8/15, 16/35, 128/315, 256/653. 2. 1) 1, 2, 3, 4, 5, 6; 2) 2,
_б 41 3281 21523361 926 510094 425921 2в_х
4 ’ 40 ’ 3280 ’ 21523360 ’ 926510094 425 920 ‘ 4 ’
2) 3tL r~; 3) (- 1)""х : 4) 3(- 1)и+1; 5) (- l)«+M-«n.
п~г 1 У п
ЗАДАНИЕ 3
4. 1) Не является монотонной; 2) возрастает; 3) не является
монотонной; 4) убывает.
ЗАДАНИЕ 4
4. 1) Не является монотонной; 2) убывает; 3) не является
монотонной.
ЗАДАНИЕ 5
5. Например: 1) ад = 3п-—л2; 2) ; 3) ап~пcos^~.
ЗАДАНИЕ b
4. 1) Ограниченная; 2) не является ограниченной (ограни-
чена снизу); 3) не является ограниченной (ограничена снизу);
4) не является ограниченной (ограничена снизу). 5. Может быть
любой. Например, если —я, Ьп~— 2п, то ап-}-Ьп~—п не
является ограниченной; если ад = л, Ьп — 2—п, то ап^-Ьп = 2
ограниченная.
ЗАДАНИЕ 7
/ 1 \
1. 1) ; 2) —Lp 3) 2-2»-». 2. 1) «в = 3;
\ 6=1 /
2) а.» 1/6. 3. 1) а4=—9; 2) аа = 4,5. 5. 1) Sa=-^- ; 2) S„ =
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
553
ЗАДАНИЕ 8
1. 1) аа^+2^ ..; 2) ; 3) -!((«+*) <2«~Ч>
+ (6—2а) (—!)«). 2. 1) «3 = 5/64; 2) «3 = 9/8. 3. 1) a5 = logh —
-3 logs5; 2) «8=1,48/3. 5. 1) 3„=| ) ; 2) 3„-
_ 1 / 1 1 \
8 \3-7 (4л + 3)(4л+7) ) ’
Упражнения
1. 1) 2)(«-»)/«. 2) «+(-!)«; 3)
х(_ 4) 5) 3” + (—1)«;
” х
Зп—1 Х
6> >
Х(_1)л<«+1)/2. 2. 1) ап = -~; 2) ап= 17-3”-1-10-2"
3 ' . _ 2-5»-1 _з.2«-1-2
о) «л— 2.4п-1_1 • 4) °’’- 8-3'1-1—7-5n-i ’ an~~3-2n-i —I *
6) а„=2-2*-«; 7) а„ = 2«-2-(- 1)«; 8) ая=Рп~1+(~ ;
У
9w + X 11" 3
9) ап —--------О-------- • 8* «37 = 1, «1967 = V2. 4. «90 =— L
О
«885=1- 5. 1) 1/1224; 2) 1226. 7, 1) Возрастающая; 2) возрас-
тающая; 3) убывающая; 4) не является монотонной; 5) невозрас-
тающая; 6) возрастающая; 7) не является монотонной; 8) не
является монотонной. 14. 1) «2 = 7/2; 2) «2==1б; 3) «1 = 5/4; 4) та-
кого нет; 5) «хо=1/2О; 6) «3 = 9/8; 7) «7 = 48/11; 8) а1 = ]/' 2-~1.
15. 1) «2= «з =— 5; 2) «1о = 2О; 3) «3=—2; 4) «1 = 2 У 2;
9 9 8
5) такого нет; 6) «6 = — 3^; 7) «4=— 1 ; 8) «3 = -§-.
16. Указание. Рассмотреть последовательности: 1) ап — п
и 6д = «4-2, «„ = « и 6„ = 2—п, «„ = «+— и Ьп~ —ап~п
1 (___пк
И Ьп~ — 2п----, ап = п+~--— и 6» = —-п; 2) «Л = 2л и 6п=п,
ti а
ап~2п и Ьп = 3п, ап = — п и Ьп = — 2«, «Л = 3л и bn = 3nf
ап~}/п и Ьп = п, ап~п и 6Л=1/п, ап — п и bn~n— 1, ап =
(________п»
— и бд==п2. з) ад==Л и bn=nt ап~п и Ьп=1/п,
, . , « о . К ( 2nt n — 2kt
ап^п и ^= 1/«а, «П = п—3 и &Л = п—5, а„=< 2n—1, я=2£-~1,
и У//ом~?12Г2Ь 4) вге = П и /’»=1/п> а« = п и
1 if ib —— Лгь 1 }
аЛ = 1/« и &П=1/У п, ап = п и = «„ = < —Jt пж=2^«1,
_ J —1, « = 2^,
и а~\ 2п, в=й«1.
554
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
17. Указание. Рассмотреть последовательности: 1) ап=п
и *„=(—1)и/п, я„ = /г и Ьп—-^ (— 1)и+х, ап—п и &„ = — « +
+ (—1)й+»; 2) а„=л и &„ = (—1)«+*/п. « и l)n+1,
J —Зп/2, п = 2/г,
оя=п и 6n=« + (—1) , ап — п и Ьп — | _зп/2+2, n = 2k— 1;
3) а„=л и &„=1 + (-!)»/«. а„=(3+(-1)«)/2 и &„ =
j 2+4(2<п-2>/2-1), n=2k, 4) а =и и йи==(3+(—1)»у/2,
I !+4(2(м)/2-1),л = 2^-1;
«.-»»».-{;Л"ц°--" ° '’•>=<’зд- >
1, 8/7» 1» 12/11, 1, 17/16, 1, ...}. 21. 1) Нет (ограничена снизу);
2) нет; 3) да; 4) да; 5) да; 6) да; 7) да; 8) нет (ограничена
снизу); 9) да; 10) да; И) да; 12) да; 13) нет; 14) да; 15) да;
16) нет. 24. Например, ап = п+1/п и 6п = п. 25. Например,
ап ---п + 1/п и =— л. 26. Рассмотреть последовательности:
а^^Л/п п bn — n; ап~1/п* и Z>w==l/n. 28. Например, аЛ = п(~1)П.
чл n h (п +1) (п + 2) t п (п+1) (п + 2) (п + 3) л
30. 1) Ьп-----, 2) -------Ь27з1 9
3) 6й==п2; 4) Ьп^п2 (п+1); 5) Ьп = п3; 6) Ьп~п+ 7) Z>w =
„»("+‘)<»уН» + 3> (» + <>. 8) „п==2.„,; 9)
1*а*О*тс*О П “р* 1
1 окййГ 1
«® »"-тя+т: п> ‘--зтя+зГ 12>
,3) Z'“°="2(n+l)(n+2) ’ 14) &п== 8(4п+3)(4п+7) ’ 15) Ьа~
-1 . 161 ft - -1
“3(п+1)(»+2)(л+3) ’ ' п 4(n+l)(n4-2)(n+3)(n + 4)’
17) «>„=(«+ 1)1
32. Указание. Рассматривая разность
(m+l)k^^mk+l^Ck+imk+Ck+ifnk^+Ck+itn^2+.+ 1
и полагая т=0г 1, п, получаем равенства
l^+^l,
3*+1—2й+1=Сд+12*+С^+124-*+... -j-1,
(n+ l)k+l-»4ik+l^Ck+1nll+Cl+ink-1+... +1.
Складывая почленно эти равенства, имеем
(л-f-l)^+is»C^+iS^-JrCl+iS^ 1-J~... 4-Gfe+i$? -)-яН-1.
Эта рекуррентная формула позволяет вычислить сумму Sn, если
известны предыдущие суммы Sht Положив в ней
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
555
Ы1, получим (п+1)2 = 25п+п + 1, откуда Sh = .
Затем, положив в ней k = 2, найдем Sn и т. д.
§4
ЗАДАНИЕ 1
1. Например: 1) яЛ = 5,1 + W, Ъп — 5,1 4- 1/п2; 2) лй = 0,1 +
4-0,1» ^ = 0,099...9. 2. Например: 1) М = 9; 2) W=24; 3) /V=999.
3. Например: 1) A/ = [l/3e] 4-1; 2) N = [2/814-1; 3) A = [1/8]+!;
4) Af = [l/8]+5; 5) A/ = [l/e]+ 1.
ЗАДАНИЕ 2
3 (_3 /_пя
L 1) Например, 47ff=y+v — и ^„=xy+-A_£—> 2) Ha’
. (л—3,14)(—1)" ,
пример, ап = л+—------------- и bn есть последовательность,
ДЛЯ которой: &£=1, &2 = 2> ^ + 1 = ^2/г + Ь ^ + 2 = ^ + 2,
2, .... где Pzk+i равно половине периметра вписанного в ок-
ружность радиуса /? = 1 правильного (26 + 1)-угольника, a Pzk+z
равно половине периметра описанного вокруг-окружности ра-
диуса #=1 правильного (2/? +2)-угольника. 2. Например:
1) W=5; 2) Л/ == 100; 3) W = 200. 3. Например: 1) W = [l/8] + l;
2) W = [l/e]-|-l; 3) JV = [l/e]4-l; 4) ^ = [2//”ё] +1; 5) W=
= [5/«]+1.
ЗАДАНИЕ 3
2 П3 | 2_.2)П~'2 -3) L -1)77 1 7^
‘ 1 2 +у з ’ ’у з+2 ’ 7 (/3+1) ’ 2^ + 4/з )•
3. 1) 2; 2) —2; 3) 0; 4) 1/2; 5) 0; 6) 0; 7) 0; 8) 1/7, 4. Да, на-
пример «п=-^рр.
ЗАДАНИЕ 4
2. 1) 1/2; 2) 5/6; 3) —1/4; 4) 3-1. 3. 1) /1; 2) —3/2; 3) 0;
4) 1/3;5) 0; 6) 0; 7) 0; 8) 2. 4. Нет, например ап~—1/п, Ьп—\/п.
ЗАДАНИЕ 5
2. Существует такое 8 > 0, что для любого N найдется
«б > N такое, что | аПоА | 8. 4. Например, «„ = (•—l)n + 1.
6. 1) Нет, например ап=1/п> Ьп = п2\ 2) нет, например, ап =
= (—1)”/П, б„ = п. 6. 0.
ЗАДАНИЕ 6
2. Какое бы число А не взять, существует 8 > 0 такое, что
для любого N найдется /ц > N, что 1аПо — А | ^8. 3. Например:
1) ап = (— 1)п/п2; 2) ап — 2-(— 1)”. 4. 1) Нет, например ай=1/п,
^д=1/п2; 2) нет» например = (—!)"/«» ^д=1/п, 5. 0.
656
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ЗАДАНИЕ 7
2. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) 0; 7) 0; 8) 1/2. 4. 1) 1;
8) 1/3; 3) 1/5; 4) 0; 5) .0; 6) 0.
ЗАДАНИЕ 8
1. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) 0. 3. 1) 1/5; 2) 0; 3) 0; 4) 0;
5) 0; 6) 1/2; 7) 0; 8) 1.
ЗАДАНИЕ 9
1. 1) —6; 2) 28. 2. 1) 4/9; 2) 37/30; 3) 1907/4500. 3. Напри-
мер: 1) ап — п3/2; 2) ап~-—п? — 3) ап — n cos ли.
ЗАДАНИЕ 10
L 1) 8/9; 2) —4/3. 2. 1) 109/90; 2) —647/900; 3) 23/99.
3. Например: I) ап—]^п-1~2; 2) ап -=— log2 л; 3) ап—п sin (л/2-|-лп).
6. 1) Да; 2) нет, например ап ~ 1^?z.
ЗАДАНИЕ 12
2. 1) 1; 2) ; 3) 1;з. /‘а, 1,732. 4. 1) е3/2; 2) е~2;
3) е; 4) е~2/6; 5) 0; 6) 1.
ЗАДАНИЕ 13
2. 1) 1/2; 2) 1; 3) 2. 3. 2,080. 4. 1) в2; 2) 3) 1; 4) е~™\
5) 16; 6) е2.
Упражнения
5. 1) 1/2; 2) 3; 3) /г; 4) 5/2; 5) 3; 6) 1/2; 7) 32; 8) 3. 7. 1) 2/3;
2) 0; 3) 0; 4) 1/2; 5) —5/9; 6) —1/4, 7) 0; 8) 1; 9) 1/5; 10) 1;
И) 3/5; 12) 1/2; 13) 1; 14) —1; 15) —1/2; 16) /"§; 17) 0; 18) 1/2;
19) 2/3; 20) —1; 21) 1; 22) 0; 23) 0; 24) 5; 25) (2/3)5; 26) —16/25;
27) 1/3; 28) 0. 9. 1) 1; 2) 1/2; 3) —2/5; 4) 16/21; 5) 0; 6) 1/5;
7) —1; 8) 0; 9) 0; 10) 1; 11) 0; 12) 1; 13) 3; 14) 1; 15) log2 9/4/log212;
16) 0. 10. 1) 0; 2) 9; 3) 1; 4) 1/2; 5) 2; 6) 1/5; 7) 3/4; 8) 0; 9) 1/2;
10) 1; 11) 2/3; 12) 3/2; 13) 1/4. 11. 1) Да; 2) да; 3) нет. 15. Нет,
например, = (—4)". 16. Нет, например, ап = (--1)п. 20. 1) Нет;
2) нет. 21. 1) нет; 2) да; 3) нет. 22. Нет, например, ап—\/п\
Ьп~ц(— 1)и. 23.Нет,например, —.
24. Например: I) ап=; 2) а„ =
- -W-O-. : 3) п,_2±Ь1)1, Р._
= . 27. Нет, например ага=И-|-------, a^V п.
* ti
28. 1) 2; 2) 0; 3) 2; 4) 1; 5) J+^13 . 29. 1) 2,236; 2) 1,59; 3) 1,97.
30. 1) в2; 2) е"1/3; 3) 0; 4) е; 5) е~\ 6) а"3; 7) е-1; 8) 0.
31. 1) 8/3J 2) 9/4; 3) -5/2; 4) -27/8. 32. 1) 1 ^; 2)^;
loU ои
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
557
5 * 7
3) —то; 4) 21-7=-. 35. 1) Да, например а„=1/п2, Ьп~п\ 2) да,
1о тЮ
например а„ = (—1)"/п; = 3) да, например ай=1/п, =
4) да, например art = 2/n; Ьп~п. 36. 1) Нет, например ап ==
/_____(_______________________________1)п4-1
= —— п\ 2) нет, например, ап—±—/г2. 37. Напри-
мер: 1) а„ = л2, Ьп — п\ 2) ал = п2, = 38. Например: 1) а„=
= 1/п, Ьп~ 1/п2*, 2) ал=1/п2, 6л=1/я. 39. 1) Нет; 2) нет; 3) нет.
ГЛАВА 2
§ 1
ЗАДАНИЕ I
1. 1) у——5х; 2) у=±х-, 3) 4; 4) z/ = —-g-x-f-2.
2. 1) j/ = -4-x2; 2) y=>3x\ 3) у = 2х24-1; у =
6) 0 = 1х24-3х—2; 6) £/=—Зх2 —2x4-10. 3. 1) (3/2; 4]; 2) (—3;
□
-2/31; 3) (-7; 4); 4) /о; —^=.1(1 [8; 4-оо).
\ 4^2 J
ЗАДАНИЕ 2
1. I)j=-jx; 2) у=3х-, 3) у = 2x4-3; 4)^=-2х-1.
2. 1) у—^-х*-, 2) д=— 2х2; 3) х«—5; 4) у=>— 4х2-|-2;
5) 0 = 2х24-х4-3; 6) у=х2—3x4-2.
U ---j4—; +«); 2) (0; 1);
U 2‘V а; -g-)u(l; 2V 2].
3. 1)
3) (-2; 2)! 4)(0;1)и
о и
ЗАДАНИЕ 3
1. У (0) = 1, у(1) = 1/2, //(—3) == 1/10. 2. 1) X3; 2) х2—2х4-1|
3) 1/х2; 4) cos2x; 5) 2х2; 6) х4; 7) | х |; 8) х4; 9)-^—.
3. 1) —оо < х < + °о> ®^У <+°°*> 2) 0«Сх <-J-oo, 0 < 4-°°;
3) —оо < х < + оо, —* оо < # < + оо; 4) —оо <х <0, 0 < х < - - оо,
—оо < z/< 0, 0<i/<4-oo; 5) —оо < х < 4-оо, 0<^<4-оо;
6) —оо < х <4-оо, —7) —оо< х < +°°, —
8) — n/2 + kn < х < л/24-&гс? fcgZ, «-*оо< у < + °°; 9) < х <
< «—оо < у < 4- оо; 10) —1 ^Х*С 1, —л/2^г/^л/2;
П) — 1 х I, 0=С^ < я; 12) — оо < х < 4~ оо> —л/2 < у < л/2.
4. Например: 1) ^=угх«^14“К 2) |/^х2-^х4 — ;
658
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
3) y=V(х-1)(2-х); 4) |/=5; 5) jf=sign(x«); 6) £_=[|*1+П-
5. 1) f (7)=—3, f(0)=l, f (2)=5; 2) у=х\ xg(l; V 2]; 3) у=-х\
xg(—оо; 0); 4) у — 2n4*arcsinxg[—1; 0].
ЗАДАНИЕ 4
1. Н-2)=1/4, у (0)=5, Н1)=3, И3)=5. 2. 1) —х/(1 —х),
2) 14-1/х; 3) 2х/(1 +2х); 4) 2х+ 1/(х+1); 5) 2x/(x-f-l);
6) (1 х)/(2—х). 3. 1) —оо < х < 0, —оо < у < + 00 J 2) x — 2nk,
k СЕ У:=^ 3) —2 х <С + > —1 У 1» 4) 0 х 1,
2; 5) —оо<х<2, 2 < х < 3, 3<х<4-оо,
— 00<^/еС—4, 0<#< + °О; 6) —оо < х < 1, 1 < х < + 00 >
—оо<г/<—1, —1 < у < + оо; 7) —оо < х < О, 0<x<-j~oo,
1 < У <+<», —оо < у <— 1; 8) 0 < х< + оо, 0<^< + oo;9)xgR,
л / -—• /г, у — 1; 10) —оо < х <+°о, —2<^»С2; 11) —оо <х<+оо,
//={—2; 1;3}; 12) —оо < х <+оо, —K# <+оо. 4. 1) f(g(x)) =
=2*2, f(Hx)) = 25 g(f(x)) = 24 g(g(x)) = x*; 2) f(g(x)) = \,
x&O; f(f(x))=x4, x#0; g(f (x)) = l, x 0; g (g(x)) =sign x.
4 z-----------------
5. Например: 1) g== у —x2 (x— I)2 (x — 2)2; 2) g=log2 (x—x2);
3) f/==signx^; 4) g=(x]. 6. 1) y=2 при x=5; 2) у —
= (-l + VT+4^/2, x6[3/4; 6]; 3) {/=(-1-/ThS)/2,
xg[—1/4; 6]; 4) y=2n—arccosx, xg[cos4; cos5].
Упражнения
1. f(—1/3) =1/9, /(0)=l, f(l/2) = 0, f (4/5) = cos 4я/5.
2. 1) f(l)=l, f(2)=16, f(3) = 1, f (4) = 25;_2) / (1) = 49, / (2)=1,
f (3) = 64, f (4)=4. 3. 1) — oo < x < (—3—/53)/2, (—3—/53)/2<
< x<—5, 4<Cx«Coo;2) —3 < x<0; 3) x=2;4) log67 < x <log23;
5) 1/4 < x«C 1; 6) —4<x <—?r/2, —л/2 < x < я/2, jt/2 < x«c4;
7) xg/?> x 23tk, k^Z; 8) 2/3 < x < 2; 9) 2nk < x < si/2-^2nkt
k^Z\ 10) x=0, x—1, 3Cx<+oo. 4. 1) 0<gsC3/2;
2) (—}<2-1)/2<£<(О-1)/2;3)-оо<0<1;4) 0<y<2;
5)—к_у<1; 6) — 7<y<—1; 7)0<i/<l/4; 8) —/'13<
<y<K13; 9) l<y<2; 10) 1/2<J/<1; 11) 0 < у <+oo;
12) 0 < y< 1; 13) —240<{/<1/4; 14) y=Q. 5. 1) Да; 2) да;
3) да; 4) да; 5) да; 6) да; 7) нет; 8) да; 9) да; 10) да. 6. х2+х+1.
_ тт n 1 (х—1)(2—х)(2—х),
7. Например: 1) у— ; 2) —-----У----i
/(х-1)(2-х) 2-х
3) y=Vrl — \x\-, 4) у=У(х—2У(х—х^. 8. 1) f (Х)=Х2+1;
2) f(x)=№—2; 3) f(x)=x; 4) f(x) = 3x2. 11. 1) 0 < х < 1;
2) 0 < х < 1/2; 3) 1 < х < е; 4) 0 < х < я/4. 12. 1) f (f (х)) = f (я);
/ 1 \ Г9
г),(7чч)-1: 3>г(/и>=Ш?<°;
5) ’<0; ®> 1. В. 1>»W-
=/’ь7х2, xg[0; 1]; 2) у’(х)=х2-2х-Ь_2, х£(— оо; +оо).
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
659
14. Да, например
fo(X)*=
V1—х2,
—У^Т^х2,
/1— х2,
*€1-1; 0),
хёЮ; П;
*ё[-1; -1/2],
*€(-1/2; 0],
*€(0; 1];
( У 1—х2, х—рациональное число, xg[—1; 1],
Ге (•«) = < -----
( —У 1—х2, х—иррациональное число, xg[—1; Ц.
у2_. 1
15. Например: 1) ф(х) = х8; 2) ф(х) = х3р ; 3) <р(х)=»
= (х—1)2+1. 16. Например: 1) f = 2*; 2) / = 2х; 3) f(x)=xj
4) ffx) = lnx. 17. l)/-i(l)=l, f-i(2)=3,/-И(3)=2;2)/-« = 1г7,
xg]l;+oo); 3)/-1=-/x, xg[0; +oo); 4) +
6)f-x
( 1]< i — 4x2
= < 2x
I 0,
g) arccos x,
10)
x€(-co; -/ 3).
4)
4x-f?5
3—3x *
7) xg[l; 6|;
x=0;
|x|<l; 9) f-* = logax, xg[l/4; 16];
xg[l/16; 1/2]; 11) f-i = arctgx+«,
«о 2 x 1 . 3 2 »
,8‘ * 3x 3 ‘ * 2) 1 —x ’ 3) 5x2 ~ 5 X ;
§ 2
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) Четная; 2) четная; 3) четная; 4) нечетная; 5) нечетная;
6) нечетная; 7) четная; 8) нечетная; 9) не является ни четной,
ни нечетной; 10) нечетная; 11) четная; 12) не является ни чет-
' ной, ни нечетной. 2. 1) f (x)+g(x) является четной, если сумма
имеет смысл; 2) f(x)—g(x) является четной, если разность имеет
смысл; 3) f(x)g(x) является четной, если произведение имеет
смысл; 4) f(x)g(x) является нечетной, если произведение имеет
о 1ч /ч (1/2)-*+(1/2)* (1/2)*—(1/2)-*
смысл. 3. 1) ф(х)=^-^—% \ ., -ф(х)=^-^— f—;
2) <р (х) — 1, г|) (х) — х; 3) ф (х) = х2, ip (х) = 2х;
Ух + З+^З-х t(T) Ух + З-УЗ-х .
4) <р(х) =
2
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) f (x)-f-g(x) является нечетной, если сумма имеет смысл;
2) fix) ^g(x) является нечетной, если разность имеет смысл;
3) нет; 4) нечетнаяЛ если произведение имеет смысл, 2. Напри-
560
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
X,
’ 3. 1) Нечетная; 2) четная; 3) нечет-
. ная; 4) нечетная; 6) не является ни четной, ни нечетной; 6) не-
четная; 7) четная; 8) четная; 9) не является ни четной, ни не-
четной; 10) не является ни четной, ни нечетной. 4. 1) <р(х) = х2,
W) = —х\ 2) <р(ж) = -^-у, 1|>(х) = 0; 3) <р(х)=3, ф(х) = 2х;
4) ч
Упражнения
L 1) Четная; 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) чет-
ная; 4) четная; 5) нечетная; 6) не является ни четной, ни не-
четной; 8) не является ни четной, ни нечетной; 9) четная; 10) не
является ни четной, ни нечетной; 11) нечетная; 12) четная;
13) нечетная; 14) является четной и нечетной; 15) четная; 16) не
является ни четной, ни нечетной. 2. 1) Мечетная; 2) четная;
3) четная. 4. 1) Да, например, ^(х)—х3; 2) да, например, f (х) =
=—х; 3) нет; 4) да, например, /Дх) = 5.
Г 3 х =6 о ( х
6. 1) Ф(*)-К* Ф(*) = < 0, х = 0, 2)ф(х)=ш
V *’ X~U’ I 1, х < 0;
1 । , # о\ / \ I Х-— 1 I —1~ | X—|— 1 I . .
=-—2-1*1. •ф(*)=у; 3) <p(x)=J---- «у— - '!’(*) =
-II —|х+1| .. , . А . , ч , -X .
=------'2 4) q>(x) = 0, ф(х)=-1—; 5)<р(х) =
= -g : ф(х)=0{ 6)<р(х)=х2, ф(х) = 2х. 7. Например,
/м={_2:
|х|<1,
|х|> I.
12. 1) 1/(х) =
1-Ь
1—»х ’
*е[о; 4-)и(1; +оо),
*€(—оо; 0);
О’
— lgi/з (х + V1 + х*), х < 0,
lgi/г (х 4- V 1-|-х2), х > 0.
§3
задание 1
1. 1) Да; 2) да; 3) нет; 2. 1)' Нет; 2) нет; 3) да. 3. 1) Да;
2) нет; 3) нет. 4. Например: 1) {/ = — Ух—х2; 2) Vх—х2';
3) *-• в» 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) нет.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
561
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) Нет; 2) да; 3) нет» 2. 1) Нет; 2) да; 3) цет. 3. 1) Нет;
2) да; 3) нет. 4. Например: 1) i/~|log2x|; 2) у=1—е*; 3) у
«= arctg--. 6. 1) Не является ограниченной, но ограничена
снизу; 2) ограничена; 3) ограничена; 4) ограничена; 5) ограни-
чена; 6) ограничена.
ЗАДАНИЕ 3
1. Для любого положительного числа А существует х0^Х
такое, что |/(х)| > А; 2) для любого числа Л существует xogX
такое, что f (х) > Л; 3) для любого числа Л существует х0^Х
такое, что f (х) < Л. 3. 1) Ограничена снизу, не является огра-
ниченной сверху; 2) ограничена снизу, не является ограничен-
ной сверху; 3) ограничена; 4) ограничена; 5) ограничена;
6) ограничена.
ЗАДАНИЕ 4
1. Необязательно, например, у = х2. 3. 1) Не является огра-
ниченной снизу, ограничена сверху; 2) ограничена; 3) не яв-
ляется ограниченной как сверху, так и снизу; 4) не является
ограниченной как сверху, так и снизу; 5) ограничена; 6) огра-
ничена.
Упражнения
1. 1) Ограничена; 2) ограничена снизу, не является огра-
ниченной сверху; 3) ограничена; 4) ограничена снизу, не яв-
ляется ограниченной сверху; 5) ограничена снизу, не является
ограниченной сверху; 6) ограничена; 7) ограничена; 8) ограни-
чена; 9) ограничена; 10) ограничена; 11) ограничена; 12) огра-
ничена. 3. Например: 1) уж ; 2)y=zl/
у X2 F I —-X
3) «/=logi/2(x — l) + 10g2x. 4. Например: 1) yi~l/x, y2(x)=xt
xg(0; 1); 2) ^ = 1/х2, z/2(x)==x, xg(0; 1); 3) yt^l/x, y2(x)^x,
y%(x)lyt(x)^x\ xg(0; 1); 4) yi=*l/x, y2 (x)==x, (x)/y2 (x)== 1/x2,
xg(0; 1). 5. Да, например, z/i—x2, y2==x24-1, xg(0; -f-oo). 6. Да,
например, У1=х, y2==l-~x, xg(0; + oo). 8. 1) Нет, например,
/(x) = x, g(x)=—x2, flg^\/x\ 2) нет, например, /(x)=x,
f (x)=x8, flg~\lx\ 3) нет,-например, / (x)=x, g (x)==x4, flg~\jx\
0. Например, f (x) = | x sin x|.
§4
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) нет: 6) нет. 3. 1) На
(—оо; 2] убывает, на [2; -]-оо) убывает; 2) на (—оо; 0) воз-
растает, на (0; + оо) убывает; 3) на [—Зл/8-|-л^; л/84-лй],
&£Z, возрастает, на [л/8 + л&; 5л/8 + ^], k^Zt убывает; 4) на
(ля; л/2+л&], fegZ, убывает, на [л/2+лй; л+зй), k^Zt воз-
растает. 4. Существуют Xi и х2, 0«СХ£<х2«С1, такие, что
я \ \ и ж Г *’» *€[0; I], х й 1/2,
/(^i)^/№). Например, функция £/=<0
не является возрастающей на [0; Ц«
562
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ЗАДАНИЕ 2
2. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет» 4. 1) На (— оо; —1/2) воз*
растает, на (—1/2; 4-оо) убывает; 2) на £л&; -^--{"Л^^, &gZ,
возрастает; 3) на (—оо; —1] убывает, на [— 1; + °0) возрастает;
4) на arccos-pLg-; л/2+у arccos —L=-+ л^^|, &gZ,
убывает, на Г л/2-|-i arccos —^=-+л&; л+4"агосоз —лй! »
|_ 2 У 5 2 У 5 J
fcgZ, возрастает; 5) на [2л£-*л/2; 2л& + л/2], fcgZ, возрастает,
на [2л&4-л/2; 2л& + Зл/2], &gZ, убывает; 6) на (—оо; —2]
убывает, на [—2; -|-оо) возрастает» 5. Существуют Xi и х2, хь
x2gM такие, что из неравенства х± < х2 следует неравенство
/(XiXf (х2).
У пражнения
1. Да, например, / (х)— х—х2, g(x) = x-\-x\ 2. Да, напри-
мер, #=sinx можно представить в виде разности двух функций
yi=x+sinx и у%~х.
3. Например,
. f 4х, xg[0; 2), / ч f Зх, xg[0; 2),
^~\4х4-4, xg[2; 4], 3x4-3, xg[2; 4],
У (*)=fW -~g(x).
5. 1) На (•—oo; 1/2] убывает, на [1/2, 4~оо) возрастает;
2) на (—оо; —1/2) и на (—1/2; +оо) возрастает; 3) на (— оо;0)
возрастает, на (0; 4~оо) убывает; 4) на (—оо; 0) и на (0; 1]
убывает, на [1; +00) возрастает; 5) на (—оо, —1/4] убывает,
на [—1/4; + оо) возрастает; 6) на (—оо; —5/2] убывает, на
[—5/2; 0] возрастает, на [0; 5/2] убывает, на [5/2; +00) возра-
стает; 7) на (—оо; —1), (—1; 1) и (1; 4~оо) возрастает; 8) на
[—2; + оо) возрастает; У) на [—л/24-л&/2; л/4 + л&/2], #gZ,
[3 3
arcsin — я/2+> а rcsin р=-- +
4- л/2 + 2л& j J, k g Z, возрастает, на Гarcsin yr— + л/2+2л&;
3 1
arcsin-+Зл/24-2лИ, ^gZ, убывает; 11) на [Зл&; Зл + Злй],
£gZ, убывает; 12) на у (^ + l)j » функция посто-
янная; 13) на [—л/2 + 2л£; л/24-2л&], fcgZ, функция постоян-
ная, на [л/2-р2л/; л-|-2л/], ZgZ, возрастает, на [л-(-2лт;
Зл/24-2л/п], mgZ, убывает; 14) на (—оо; —1) и [0; 1) убывает,
на (—1; 0] и (1; +00) возрастает; 15)на(—оо;—1/2]возрастает,
на [—1/2; + оо) убывает; 16) на [— л/16лАг/2; Зл/16 + л£/2],
fcgZ, убывает, на [—5л/16 + л/п/2; — л/16 + лт/2], mgZ, воз-
растает; 17) на (—оо; — 1] и [1; + оо) возрастает, на [—1; 1]
убывает; 18) на (—оо; 1) и [1; + оо) убывает»
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
563
§ 5
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) х =—1/2—локальный максимум; 2) х = 0 и х — 2 — ло-
кальные минимумы; 3) х— 1—нестрогий локальный минимум,
х = 2—нестрогий локальный максимум, на множествах (—оо; 1)
и (2; -j—оо) функция постоянная; 4) х = 0— локальный минимум.
2. 1) */гоах = 9/4 при х—1/2; 2) ymin =—1 прих = 1; 3)j/mx=/2
R R R
при х=лД 6gZ, r/min=l при x = n/2-\-nk‘t &gZ; 4) ymsiX~ 1
R __ R
при х=0; 5) £/т1ц = 0 при х = —1; 6) утах = 2//'3 прих =
_ R _ R
= (-! + / 3)/2, 2/К 3 при х = (—1—1<“з)/2; 7) г/тах=
R R
1
arccos ~2=^=
= /’26+1 при х=2л&/3 +------.26, k£Z, — /26
6 R
1
arccos -7=
я . 2nk . / 26 49
при X=j-| g—|---------g-----. ^Z; 8) f/max=-g при x =
Q «Т
= (—1)* arcsin -т~+л&, fcgZ, ymin = 0 при х=-у+2л&, &gZ;
9) #min = 2 при x=0; 10) f/max = l при x=^-, 6gZ, r/min=l/4
R R 2_______ R
при х = л/4 + л£/2, ZjgZ. 3. Например, y — Vx+l/x. 4. Напри-
мер, #f = x+sin x, г/2 — — x.
ЗАДАНИЕ 2
1. х = 0,— локальный минимум, х ——1 и х= 1—локальные
максимумы; 2) х — — 1—локальный максимум, х = 0 —локаль-
ный минимум; 3) х = 0—локальный минимум, х = — 1/У~2 и
х = 1// 2—локальные максимумы; 4) х = 0 — локальный мини-
— / ”2
мум. 2. 1) Ып = 3/4 при х =—1/2; 2) утЫ = ~——^ ПрИ х =
R __ R 4+2У 2
= -1~К2, при х=-1 + Л; 3) уш>п=-4
R 4—2/ 2 R
при х=—л/2 + 2л&, Утах = 0 прих=л/2 + 2л£; 4) у min = 0 при
R [1; 3]
х=1, у щах — 1прих=3;о'у min =0 при х=л/2+2л/г,
[1; 3] {(2л£; я+2л/е, 6eZ}
1 3
&£Z; 6) #тш—— 5 при х=—Зл/14+2л&/7 —— arccos , 6gZ,
R з
arccos -g-
*/max = 5 при х=л/14+2лй/7—-------, 6gZ; 7) #гаах=2при
R * R
x = 2nk, ^gZ, ^min=V2 при x = —л + 2л£, 6gZ; 8) ymin=l
R R
при 2^x^3; функция не ограничена сверху; 9) у тах =7
564
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
при х=0, у mifl =3 при х=1 и х=—1;
[-1; Ц
х=л&/2, &gZ, #га1п=1/2 при ^=л/44-д^/2,
R
мер, р==х». 4. Например, yt (x) = log2
Уз (х) = log, -j—£j—г.
|«*w»X I X[
10) Утах**! при
R
6gZ. 3. Напри-
2x
-sin — log2 x(l— x),
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) 2^13-, 2) 1/2; 3) 2; 4) 2 4-log, 3; 5) Зл2/4; 6) -5.
2. 1)0; 2) 1/32; 3) —Зл/2; 4)—9/8; 5) 2; 6) arctg (—1). 3. 4 =—19
при x =—5 и y=3. 4. Квадрат.
ЗАДАНИЕ 4
1. 1) Кб(1 + Kt3); 2) 8/4^ 3) —9/4; 4) 24; 5) 2/3;
6) 7 </(5/6)». 2. 1) 7+К13б; 2) 243; 3) 4; 4) 12; 5) 16; 6) л».
3. 4 = 4 при х=2 и у=—3. 4. Квадрат.
Упражнения
1. 1) х = —1/4—локальный минимум; 2) х= 1/2—локальный
максимум; 3) х= —1/2—локальный максимум; 4) х=0—нестро-
гий минимум, х=1—нестрогий максимум, на множествах
(— оо; 0) и (1; 4-оо) функция постоянная; 5) х = 2 и х = 3 —
локальные минимумы, х=5/2—локальный максимум; 6) х = —1
и х = 1—локальные минимумы; 7) х = 0, х=— 6их = 6—локаль-
ные минимумы; ж»—2 и х=2—локальные максимумы; 8)х=1
и х=2 — нестрогие локальные минимумы, на множестве (1; 2)
функция постоянная; 9) х = я/2-[-2л&, л gZ,—локальные макси-
мумы; 10) х = л/2-|-2л^—arccos, &gZ,— локальные
максимумы, х =—л/2 + 2лfe—arccos > kQZ,— локальные
минимумы; 11) х=л/^*й»локальные нестрогие минимумы, (2л&;
л+2л&), ^gZ,—функция постоянная, Зл/24-2л&, &gZ,— ло-
кальные максимумы; 12) х=0 —локальный максимум, х =
= -1/К2 и х=1//"2 —локальные минимумы; 13) х=л/2 + 2л&,
^gZ,—локальные максимумы, х=—л/2-[-2л&, 6gZ, — ло-
кальные минимумы; 14) х=л/44-л&, &gZ,—локальные макси-
мумы, л/2-|-л&, &gZ,— локальные минимумы; 15) х = 0—ло-
кальные максимумы, х = — 1/У 2 и х— MV" 2—локальные мини-
мумы; 16) х = 0—локальный минимум, х = —1 и х=1—локаль-
ный максимум; 17) точек локального экстремума нет; 18)х=0—
точка локального минимума; 19) х = 0—локальный максимум;
20) точек локального экстремума нет; 21) х=—1—нестрогий
локалньый максимум, х=1— нестрогий локальный минимум;
22) х = 2 и х = 3—локальные мунимумы, х = 5/2—локальный
максимум; 23) при а < 1/2 х=1/2— локальный минимум, при
2 > а 1/2 экстремумов нет; 24) указание: у—--s
У 2 cos
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
565
при х = 4э
= 62+Н-1
то У шах =
(й; Ь]
локальных экстремумов нет. 2. 1) у max = 27
[-2’4]
у m:n =2 при х= —1; 2) если a^s—1/2, то у max
[-2; 4] [а; Ь]
при х = Ь, у min = а24-^+1 при л: = а; если 1/2,
[а; д]
=а24-а4-1 при х = а, у min =624-^+-1 прих = 6; у min = 3/4 при
[а; Ь] • [а; Ь]
х=х— 1/2; у max ==а24-а+1, если а< —1/2 < b и &+а + 1 < 0;
[а; Ь]
У max“Ь24~1» если а < 1/2 b и /> + а + 1 > 0; 3) ^max =
[а;д] _ jR
=2/К 3 при х~—1/2, утах = 1/2 при х = 1 и х—~ 1, 4)0min=O
_ R R _
при х==0; 5) ymax — V 2/4 при х — ~ 1 + V 2, </min = — V 2/4
R _ Л
/— V з—1 г-
при х =—1 — V 2; 6) ymar,~——7= при х = —2 + У 3,
R 6—2 V 3
__। i/’ ~g ___
^т5п==: -- при ^ = -2--к 3; 7)#тах=1при — 00 <ж—4,
Я 6+2 УЗ R
^min = ~~l ПРИ —1 < + оо; 8) у Шах =4/ min = 1»
Я Е-1;0] Ы;0]
9) у т1п =2 при х— 1, функция не является ограниченной
^тах=6 при х=л/2+2л^ —arccos 4",
R 4 5
х = Зл/2+2л£—arccos у , &gZ; 11) ух
1
сверху; 10)
► k£Z,
289
'Т“32
ymin = —* ПРИ
R
при х = (—1)^+1 arcsin ^+л/г, 6gZ, ^min = 0 при я=Зл/2+2л£,
Z?gZ; 12) у max =4 при х = 0, х = л и х = 2л, у rain =1 при
[0; 2зх] [0; 2л]
х = л/2 и х = Зл/2; 13) у max — при * —3, у min —4 при
[1; 3] * [1;3]
Х=1, 14) ^/max^l при Х = Л/2 + яЛ, 6gZ, #min =—1 при х = stk,
D ‘ я
У шах =16 при Х = 2л,
[3; 10]
если а==0, то у тах = 4
[2; 3]
__ , „ . а > 0, то у max = 9а-f“4
(2; 3] [2; 3]
при х = 3, у min = 4а + 3 при х = 2; если а <—1/4, то у тах =
[2; 3] [2; 3]
= 4а4-3 при х = 2, г/min =9а-|-4 при х = 3; если 0 > а^—1/6,
[2; 3]
то у max =9а4-4 при х = 3, у rain =4«+3 при х = 2; если
[2;3] [2^3] 1
—1/4 <—1/5, то {/max тт ПРИ Xs=2 st» У min =9а+4
[2; 3] 4а га [2.3J
при х=3; если -у < а < у, то ^=1-^ при х= -1,
У min =4а4-3 при х=2; 18) Ьах =Д= при
£2; 3] Я О V о
16
Я
15) у min =2 при
(0; л/2)
У min = 1/4 При Х = я и
[3;10]
при х = 3; у min =3 при
х = л/4; 16)
х = 3л; 17)
х = 2, если
566
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
= ± arccos-р=^4-2л;£, kgZ, tfmin =
= ± arccos f—р1^Л + 2л;&, 19)
4
---7r= ПОИ X =
ЗУ 3
К 2
^х==тпри хж
V 2
г/Г="л<зпри х=
== £ arccos -рк=-4-2л£, k^Z,
1 л
= ± arccos -уг= -}-2л&, &gZ; 20) Утах = 1 при x^==-^--\-nkf
У 6 R 2
1 при х = л&, ££Z; 21) у max =2 при
Я Я\{л + 2л/г | kQ Z}
х = 2л&, &(£Z, функция не является ограниченной снизу;
22) z/mln=3 при х=~3+^ и х= — ~ 5 - Функция не
R * *
является ограниченной сверху; 23) Указание: максимальные
значения данной функции и функции 4у2(х) достигаются в одной
и той же точке х0; поскольку 4х2 + (1—4х2)si, го наибольшее
значение функции 4х2(1 — 4х2) будет при таком х0) что 4хо =
= 1—4хо, т. е. при х$=—и хо = — —; у тах =
2 У 2 2 У 2 [—1/2; 1/2]
1 1 1
==-- -~=- при Х=-------, у т1п =-----------------7=- при Х==
4/2 2/2 [-i“;i/2] 4/2
= — --47--Я ; 24) если а=0, то у тах =2 при х=1, у min =—2
2 У 2 Я\{а} Я\{а}
при х=—1; если а & 0, то у тах =2 + « при х=1+а,
Я\{«}
у tnin =—2+« при х=-14-«; 25) у ть = 2а2 при х==|а1
Л\{а} Я\{0}
и x=-|al; 26) + при
3. 1) (0; 0); 2)_(0; л/2-|-2лй), k&Z-, 3) (2лЛ; / 2), (2лй; — /li),
(л+-2л£; / 2), (л+2яА; —/2), k£Z-, 4ji (0; 1); (0; -I);
5) (3; n/4+nk), fcgZ; 6) (io’'*5; 1), (lO"1' 3; 1); 7) (0; 0);
8) (л/£+лй/2; л/2+2л/), AgZ, ZgZ. 4. 100 =50 + 50. 5. 20 =
= /20-/20. 6. Точка пересечения медиан треугольника ABC,
7. Зха—36х+96. 8. 2х’+8х+15,. 9. а=1. 10. —4х«+4х+24.
§ 6
ЗАДАНИЕ 1
2. 1) л; 2) 2л; 3) 2л; 4) л. 3. Существует точка х0€-^ такая,
что Хо + Т или х0**Г не принадлежит X либо не выполняется
равенство f (х0 + Т)=/(х0)-
ЗАДАНИЕ 2
2. 1) 4л; 2) зг> 3) 2л; 4) 2л. 3. Для любого числа Т 0 най-
дется точка х^Х такая, что х0 + ^ или х0 — Т не принадле-
жит X либо не выполняется равенство f(xo + T)=f(xo)- 5. 1) Нет;
2) да, 6. Да; главный период равен 2л, 7. Например, Т^л/Уз.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
567
Упражнения
4. 1) л; 2) 4л; 3) л; 4) л; 5) л/т; 6) 2л; 7) 2л; 8) 1/2; 9) л;
~ л тт ( U х*~ рациональное число,
10) 2л/у 2. 8. Например, «/==< л
* миг “ и | 0, х—иррациональное число,
9. Нет. 10. f(x) = cosx; g(x) = sinx.
13. 1) f (x) = x + sinx, g(x)= — x+sin x;
m Hrf-J siax’ x*n/2, (sinx, х^л/2,
2) t(x) — i/2> x=n/2, S(x> \ 2, х = л/2.
14. 1) /(x)=ctgx, g(x)=4 *’ Xx^q’
ft \__/ sinx, х(Е12л6; л + 2л/г], /egZ,
\ 0, х£(л-|-2л£; 2л + 2л/г), /egZ,
j sinx, х£[2л&; л4~2л£], &gZ,
х£(л + 2лт; 2л + 2л/п), mgZ.
15. ^(2) = 0:/(4)m(14-4)=/(4)=-4^(-257) =
==/_24y) =ff-23y) =... -y ) =/(1 ~4) (t)=
_/3\2 3 12
“ \ 7 ) 7 — 49 '
19. 1) -i-arcsin ( sin л •
{0, xg[ — t+2«; 4-+2nl, n£Z,
1 /1 3 \ J
|x—2n—1 |—y, хЦу+2/г; y+2nj, n^Z;
3
3) ^=—arccos (cosx) — 1.
§ 7
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) Выпуклая вниз на всей числовой прямой; 2) выпук-
лая вниз на (0; +<ю), выпуклая вверх на (—оо; 0); 3) на
£л&; -^+л&^ , выпуклая вниз, на л&; л&^,
fcgZ, выпуклая вверх; 4) на [0; +оо) выпуклая вверх, на (— оо; 0)
выпуклая вниз. 3. Правильный п-угольник.
ЗАДАНИЕ 4
1. 1) На оо; 0) и (0; 4~оо) выпуклая вверх; 2) на
(—оо; —2/ выпуклая вниз, на (—2; +оо) выпуклая вверх;
3) на “~|-2л&; ~-|-2л6^, ^gZ, выпуклая вверх, на
£ —~Ь-|-2л^; — ~рН~2л£^ выпуклая вниз; 4) на
/ 1 1 Г 1 .X
оо; _-__j и 4-00J выпуклая вниз, на
(— UY 3; 1/К 3) выпуклая вверх, 3. Равнобедренный®
568
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Упражнения
1. 1) На (—оо; 2) выпуклая вниз, на (2; +00) выпуклая
вверх; 2) на [—л/2-[-2л&; л/2 + 2л&], 6gZ, выпуклая вверх,
на [л/2+2л&; Зл/2-|-2л&], &gZ, выпуклая вниз; 3) на (—- оо; —2)
выпуклая вниз, на (—2; 4>оо) выпуклая вверх; 4) на (—оо; 0]
и [0; 4-оо) выпуклая вверх; 5) на (0; 1] выпуклая вниз, на
[1; +оо) выпуклая вверх; 6) на (—оо; —1J и [0; 4-оо) выпук-
лая вниз, на [—1; 0] выпуклая вверх; 7) на (0; + °0) выпуклая
вниз, на (— оо; 0) выпуклая вверх; 8) на (—- оо; —1] выпуклая
вниз, на [—1: Ч~оо) выпуклая вверх; 9) выпуклая вниз на всей
числовой прямой; 10) на ^0; [Зл/4; 5л/4] и [7л/4; 2л]
выпуклая вверх; на [л/4; Зл/4], [5л/4; 7л/4] выпуклая вниз;
11) выпуклая вниз на всей числовой прямой; 12) выпуклая
вниз на всей числовой прямой; 13) выпуклая вверх; 14) выпук-
лая вверх на (0; 4~оо); 15) выпуклая вниз ^указание:
5х+12 2 . 3 \ л
: 16) выпуклая вниз*
ГЛАВА 8
§ 1
ЗАДАНИЕ 1
2. 1) д); 2) в); 3) в); 4) б); 5) а); 6) а).
ЗАДАНИЕ 2
2. 1) а); 2) б); 3) а)\ 4) в); 5) б); 6) а).
ЗАДАНИЕ 3
2. Например: __
1) х-ЬУ^^-х; 2) «/=log2 (—х2+2х);
3) V ; 4) Ig(3х~л2)+177т=и==Т ’
Г у (l—x) (2—х)
5) у=Пх+2)2(*-^); 6) ]/
7) /(х+2)2 (х+ 1)а х; 8) у = log2 | х |.
8. Например, (/= .
ЗАДАНИЕ 4
2. Например:
i/Th-----ГТ--ЕГ дч ]/"(* +5)2 (2х—X2)
б) У = V х- (1 —х) (х—5); 6) yss' -----о-------
Л А
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
669
7) у = К(х-Ь2)а ха (ж_ 1); 8) у= уж2__ж{
9/ у=У— (х-2)2 (х—3)а (х- 4)2 (х—5)2.
3. Например, #=l/log2x.
ЗАДАНИЕ 5
2. Например:
i/ZZT±
Г 1 -1- X2 X ’
1) #=1/х2; 2) # = log2 (Зх—х2—2); 3) #«
ЗАДАНИЕ 6
2. Например:
1) VА-1; 2){/=/(x+2)2(x-x2)±iX|
Л Г | Л I Л X*""* 1
__ , / 4.3.2.4.5.6.x2 "
6}У~~ V х* (6-х) (х—5) (х-4) (х+2) (х+3) (х + 4) ‘
Упражнения
2. Например: ___
1)9=/2+1; 2)у= ^+2 ; 3) 9-)<(9-1) (4-х)|
Л “““* х Л " 1
6) : 7) НЙ5 8)^ = l°g2(x~2){
9) у =/7^2; 10) у = К=^+Т; Н) y = log6(-1-х);
1О. * * * * * 4 V 2х—х2 У 2х—х2
,2> v~ х (х—2)(х— 1) ; 13> х— 1 ’
14) (х-0 й-2) 1 15) V= ^-<x-3)2^-5)ai
16) ^ = /F^24-K2^; 17) К(х4-1)2 х;
18) s=±i±i>L£;” и, 9=Х--7.|*+2>-<4-» .
20) у=У (х4-3)2(х-2)(3-х);
9П ... _К(^+1)2(х-2)2(х-х2) .
21) у-------ж(ж-1) •
22) у^(У(,г4-1)(3~х) + К(х-1)(х-2)) 1/(х2~1);
23) у=У—sin2пх4-1/1^ х; 24) y=V^—sin2nx;
25) y—V — sln2nx--; 26) у—1/Уsinwx;
COS-T
27) у = j/"sin nx 4- 1/V'"x— 1;
_ / (x 4- 2) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5) (6 - x) .
; y (x?-4)(x-3)(x-4)(x^5)
В70
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
от У (х4-2)(х-2)(х-3)2 .
29) у----------,
30) у — V х (х— 1) (х—2)2 (х—3) (х—4) (х—5)а (х—6) (7—х).
3. Например:
1) j/ = —(х4-2)(х + 3); 2) f/=(x4-3)(x4-2)x(l—х);
3) У = V(х + 3)(-х-2); 4) у = Их4-3) (-х-2) £±|;
У(х4-3)(-Х~2) .
1 У~ (х + 3)(х+2) ’
К (Х4-3) (-х-2)
х ф —2,5,
х= — 2,5; _______
х2)хг^+(х+1)
f х—х2 ‘ 4 1 '
6) у—
У =
«4-2,5
. 5.
/(х+3)(-х-2).
Т>У----(х4-3)(х+2) ’ 8)
9) У— V (5 —-2х).
4. Например: 1) ^ = 2-—3x4-2“ 1*1; 2) ^==|х|—* 2“1*1;
_v . 1 1 I п лч I X Зх-j-l X2
3) £/ = 1 х~ 1 14-2; 4)^ = х4--у-р^; 5) ; 6) _ ;
х3 оч 2х2 т । х2 —1 1Ч
7)^7a7ZT: 8) ^=T2ZT‘> 9) ?=sinx4--5—т. 5.1)0 =
У^ТхЬг1 2) 3) у=-^;
4) 0=3^ sign х. в. 1; д; 2) а); 3) в); 4) а); 5) ас); 6) б); 7) л)-
8) в); 9) л); 10) а); 11) «); 12) лг); 7. 1) ж); 2) д); 3) к); 4) б);
Б) з); 6) ж)\ 7) и)\ 8) е); 9) а); 10) в); 11) л); 12) а).
§2
ЗАДАНИЕ 27
1) #==(14-cos х)/2; 2) ^==2 cos (х4-л/3); 3) ^=~sin2x;
4) г/==х, х^О; 5) y=|slnx|; 6) y=xt х > 0; 7)#=х2, х?£0;
8) ^=2 log21 х |; 9) х Ф •у4“"Т’> 10) f/ = sin2x==
тг <4
» (l**cos 2х)/2; 11) #s=-j-sin2 2х=(1 —cos 4х)/8; 12) ^=1/2,
4gZ; is) s_k+ii«+i)_{ ’>=;;
14) 0=х24-1, х > 0, xj4 1} 15) 0=44-]- cos 4х; 16) 0 =
Ж 4
( X, xfe 1,
~\Цх, 0<х<1.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
571
ЗАДАНИЕ 28
1) 4' = |-»1; 2) y=]/"2jsin-j |; 3) у=х—\, x^l;
4) 0 = cos2x, л/4 + л&Сх«сЗл/4 + л&, £gZ;
б) y=21oga|x-l|; 6) £«1, х^уА, fegZ;
7) yg=cos8x=^~^~^>S —, — п/2-|-лй < x < Л/2-4-ЛЙ, k(£Zf
8) у — \ cos 2х|; 9) 0=1—ха, xg(0; 1);
Ю)
H)
13)
14)
I 101/10) / (*+2)2> х^—2,
у-\х+2\(х+2) — j _(х+2)2> х<_2.
. it > 1 тх ( l/Я, 0 < X
J,=|x—1[, х?Ы; 12) j/=< x5a)
#=sinx, x 56 л/2+лй, &£Z;
^=| sin x | + | cos x| =
К 2 sin (х+л/4),
К”2 sin (x—л/4),
— К"2 sin (х+л/4),
k — j<2sin (х<**л/4),
15) у = ]/*l cos (x+л/4),
16)jr=KCtgX’ Х>Л
1 y 10, x < 0,
х$(2лх; л/2+ 2л/г],
xg [л/2-|-2лх; л + 2л&],
xg[n+2;ri/?; Зл/2 + 2л&],
xg[3H/2-)~2n/?; 2л+2л^],
Х56—4+^» k^Z.
х $£ л/24~л&, £ = 0э 1, 2.
&gN;
&£Z,
fegZ,
k£Z,
k^Z;
17) 1; 18)
х—— 1 ’
X*- 1
y = \
ЗАДАНИЕ 31
. _( x—2лй, xg[—я/24~2л&; jt/24-2h&], ^gZ,
)У <—х+л+2л^; xg[ я/2+2л^; Зл/2-]-2эт&1, k£Z\
2) z/=x, xCl-l; 1];
3) уs= arcsinsin (л/2—x) = —arcsinsin^x—=
__f — x+W2 + 2flA xg[2n£; л + 2л&], &gZ;
\ x—Зл/2-—2л^, х£[л4-2л/г, 2л + 2л&]» k£Z\
4) y = V 1—x2; 5) y^n/2, xg[—1; 1];
6) r/ = л/2-—2arcsin x; ____
7) 0 = 2 sin arcsin x cos arcsinx=2x К1 —x2;
8) 0 = 2x2 — 1, xg[—1; 1]; 9)0=2xj/T^x^
10) 0=4x3—3x, xgb-1; 1].
2. 1) 3л—10; 2) 7 —2л; 3) 37— Юл—Зл/2,
ЗАДАНИЕ 32
1 п ( х—2л^,
— —х+2л^,
2) 0«х, xgl-l; lh
xg[2n&; л + 2л&], k^Zt
xg[—-л-]-2л£; 2л&], &gZ;
Б72
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
3) у = arccos cos (л/2—я) = arccos cos ^х—% } =
( х—л/2—2л&, xg[ л/24-2л/г; Зл/2 + 2л&], k g Z,
—-х +л/24-2л&, х g [—згс/2-|-2л&; л/24~2л&], k g Z;
4) z/= У 1 ~—x2; 5) # = л/2 —2 arccos x;
6) y=l—2x2, xg[—1; 1]; 7) у = 2х^Т^;
8) y=l, xgl—1; 1]; 9) «/=-1—2x2; 10) y—3x—4x3.
2. 1) 10—7л/2; 2) 25—8л; 3) —11-|-9л/2.
ЗАДАНИЕ 33
1. 1) = л/г, xg(—л/2-|-л/г; л/24-л/г), /egZ; 2) r/ = x,
x(~R; 3) у =—х + л/2 + л/г, x^(—л/2-j-л/г; л/2-|~л&), &(~Z;
Ъ 1 га /О га %x Г7\ X2~~ 1 m —2x
4)^=--y; 5) у=я/2; 6) y^-—^-, 7)y=-—-.- s) y=-^—-p
,0> i-
2. 1) 5 —2л; 2) —17 + Зл/2; 3) 5л/2 —8.
ЗАДАН И Е 34
1. 1) у--х—л/г, х^(л&; л-|-л&), k^Z\ 2) z/=l/x; 3) г/=х,
л
x^R; 4) у—-^—х-\-як, x£(nk; л-|-лй), £gZ;5) у=я/2—2arcctgx;
в) ^ = (1-х2)/2х; 7) у = 2хЦх2-1)-, 8) // = -!; ?) ^=(1-ха)/2х;
Ю) (/=1/1 — х. 2. 1) 23—7л; 2) 13л/2—19; 3) 9л/2—11.
ЗАДАНИЕ 35
1) y — 2x-f-1; 2) у——У х, х(£(0; -{- оо); 3) у — х2, xg(0; 1);
4) у—arcsin х;
xg(-l; 4-оо);
Х0Л/2; Зл/2].
5) у = л—arcsin х, xg[0; 1];
7) у—— Кlog2x, xg(l; 4-оо);
6>
8) # = sinx,
ЗАДАНИЕ 36
1) у = {\— Зх)/2; 2) хё(0;4-оо); 3) у = ха,х€(1;2);
4) f/=arccos х; 5) #~2л—arccos х, xg[—1; 0]; 6) #=(1+2х)/(х—1),
xg(-oo; 1); 7) </=-(1/7)^; 8) у=-1-/-х-2, х^-оо; ^2).
5) 0; 6) х=1; 7) 0; 8) Х! = 7; 9) х==0, х = 4; 10) х = 0, х =
х—L 2. 1) х = 24-а, xs=2—а при а > 0; х~2 при а = С
НИЙ
при
ЗАДАНИЕ 37
1. 1) х=2, х=—6; 2) х«С1; 3) —5^х^3; 4) х^—1/2;
:--1,
!=0; реше-
нет при а < 0; 2) х = 2 + а, х=а—2 при agR; 3) х~а/2
а > 0; х > 0 при «=0; решений нет при а < 0; 4) х = —-
1
1 < + оо; х=—-т—7, х=----- при 0<а < 1; х = 0 при
CL “т~ 1 1 *~“tZ
а=0; *=--т-7 при — оо < а <—1; решений нет при — 1<а <0.
й’Т" 1
при
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
573
ЗАДАНИЕ 38
1. 1) х=4, х=~1; 2) х==—5/2; 3)—2<х<1; 4) х=1;
5) х = 0, х= 1, х=2, х=3; 6) х=—2; 7) х=1; 8) №=0, х=1,
х=2; 9) х=0; 10) х==—1, х=1. 2. 1) х=а— 1, х — — а—1 при
а < 0; х=—1 при а = 0; решений нет при а>0;2)х=-Ц^,
х= при agR; 3) х=^_1 при —1 < а; х^—1 при
а =—1; решений нет при а <—1; 4) х=0, х=1/а, х =—1/а
при а > 0; х=0 при а<0.
ЗАДАНИЕ 39
1. 1) xg(—оо;_j-l)U(5;+oo); 2)_х£(—3; 1);3)xg(-l/2; +оо);
4) хе(-со;-К 5)U(-1; 1)U(K 5; +«); 5) х £ (-оо;-3/4);
6) х£(— 1; —1/3); 7) xg[2; 4-оо); 8) х=—1, х£[1; 4-оо)}
9) х£(—1; 2); 10) х€(—00; — 2]Щ1; +00). 2. 1) xg(a4-2; 4-oo)(J
(J(—оо; 2—а) при а > 0; x$RX{2} при й=0; xgR при а < 0;
2) а—2<х<а4-2; 3) х£(а/2; 4~°°) при а > 0; решений нет
при .асО; 4) xg (jqrj' ПРИ ° < а < *€0/2; 4*®)
при а= 1; xg f— оо; -~т—г) при — оо < а < —1; решений нет
у d 1 J
ЗАДАНИЕ 4Q
1. 1) xg(—1; 3); 2) х€(—<*>; —1)U(O; 4-со); 3) х£(-1/2; + оо»
4) хв~2; 2)\{0}; 5)xg(-oo; —1)U(O; +оо); 6) xg(- oo; —1/2>j
7). Л € (— oo; — 1]; 8) л € (— 1; 0) и (2; + oo); 9) x € (— oo; 0) и (0; +оо);
10) х^(—5; —2)U(—2; — 1). 2. 1) x£R при а > 0; х^Ноо; — 1)Ц
и<—1; 4-оо) при а = 0; xg(— со; — 1-H)U(— 1 —а; + оо) при
л п. - / — !—*« 1—**а\ о. - /а-*1 \
а < 0; 2) xg [—; —гр ) 5 3) ( —?р; +00 ) приа>—1;
решений нет при а^**1; 4) х^(—1/я; 0)U1/я) при а > 0;
xg(— оо; 0)U(0; 4-оо) при а<0.
ЗАДАНИЕ 43
1, 1) 2 корня при а > 1/4 и а = 0; 3 корня при а= 1/4;
4 корня при 0 < а < 1/4; нет корней при а < 0; 2) 2 корня при
а> 2 и а < —2; 1 корень при а=2 и а=—2; нет корней при
—2 < а < 2; 3) 1 корень при любом а; 4) 1 корень при а=—1/4
и а > 0; 2 корня при —1/4 <а<0; нет корней при а <**1/4;
5) 2 корня при а < (—3— 8)/2,J-3 + К 8)/2 < а <0 и а > 0;
1 корень при а = 0, а_=(—8)/2 и а==(-~3-[-8)/2; кор-
ней нет при (—3***К 8)/2 < а < (—З-f-]/" 8)/2; 6) 2 корня при
а = 9/4 и а < 2; 3 корня при а = 2; 4 корня при 2 < а < 9/4;
нет корней при а > 9/4. 2. 1) 4 решения при а=1 и а =1/2;
8 решений при 1/2 < а < 1£ решений нет при а > 1 и а < 1/2;
2) 1 решение при а=|/~2 и а = —1^2; 2 решения при
— "2 < а < К 2; решений нет при а > и а <
574
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ЗАДАНИЕ 44
1. 1) 2 корня при а —0 и а < —1/4; 3 корня при а = —1/4;
4 корня при —1/4 < а < 0; нет корней при а > 0; 2) 2 корня
при а < 0 и а = 1; 3 корня при а = 0; 4 корня при 0 < а < 1;
2 2
нет корней при а > 1; 3 1 корень при а <-%—=иа > - ;
3/3 3/3
2 2
2 корня при а =--------и а = —- 3 корня при
зу 3 зу 3
2 2
----< а <.......-а—— ; 4) 2 корня при любом значении а;
3^3 Зр/з
5) 2 корня при а <— 4—2 К 3> —4+2 Y 3 < а < 0_и а > 0;
1 корень при а — 0, а = —4—2}^ 3_и а=—4+2 У 3; корней
нет при —4—2 Y 3 <а < — 4+2 ]/" 3; 6) 1 корень при а < 0
и а—1/4; нет корней при а> 1/4; 2 корня при 0«Са < 1/4.
2. 1) 4 решения при а—1 и а = 1/~~2; 8 решений при 1 <а <j/~2;
решений нет при а < 1 и а > 2; 2)_ 2 решения при
— У 8 <а < V~ 8; 1 решение при а =— У 8 и а = 8; реше-
ний нет при а < — К 8 и а > у 8.
Упражнения
5. 1) у = (4х—1)/3, xg[-1/2; 7/4]; 2) у = (х-3)/2,
3;+сю); 3)//=—2+рЛ3—х, xg(3; —00); 4) 1—4,
хё(4;+оо); 5) * € [0; + оо); 6) 0=+1
_________________________________________ X-f~ 1
х€(-оо; -1); 7) у=24-2*; 8) $f=- У~1. «€(0; Ц;
9) # = — >/'1— х2, xg[0; 1]; 10) ^=arcctg2x» xg(l/2; + оо);
И) ^=arcsin (х—1); 12) i/—я—arcsin (х—1); 13) у=2л+агссоз х,
xg[0; 1]; 14) z/=n+arctgx, xg[0; +<»); 15) ^=2^ + arctgx,
xg(-oo; 0]; 16) r/= 10Л-1—4; 17) y=log8I+, xg(0; 1);
18) y^logs^+^^+J?; 19)j/=2^,xgR\{0};20)g=^2f(
xg(-oo; 0); 21) * + **, xg[-l; 0); 22) /?=
f1"-*^ 1 — X* n / ( r I < 1 I V 1 —.v2
= j X ’ 0 < 1 X| <T’ 23) уЛН±-£_ , x € (0; U;
( 0, _ x=0;
24) у=arcsin x; 25) «/ = In (x-f- x2)> x g [1; +00);
26) ff = l/1—Xs; 27) y={x}+2, xg(0; 1); 28) y=x—
xg[l; +_oo); 29) y=— xg[0; +«>); 30) y =
= ( К x, xg[0;+oo), 31)у/ 2-/T=2, xg[2; +»),
\ У x, x€(—oo; 0]; I 4—x, xg(—oo; 2J;
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
575
32) г/ = хН-4л, х£[—л/2; л/2]; 33) г/=7л—х, xg{—л/2; л/2];
. х
___ л—arcsin-у
34) у= , xg]0; 1); 35)у= /1 х | signх; 36) у=-=---
У 1—х2 6
37) у=3 sin 4 > * € ]—Зл/2; Зл/2]; 38) у=— cos х, xg [0; л/2];
О
х
F5
39) у = arcsin
л/4;
4°) х € (0; +оо);
41) р=
1—У 1—х, х<(—оо; 0],
-14-К14-х([[0; 4-<ю);
42Н =
ха4- 1
2х
xg(—со; —I].
6. 1) х=—1, х=2; 2) х^2; 3) —3<х<2; 4) х=—5, х=0,
х=2, х=6; 5) х=0, х=3; 6) х=1; 7) х=—2; 8) х——1,х=0,
х=1; 9) х=—1; 10) х£(— со; —2]Щ6; 4-®)1 П) х=0, х=1;
12} х=1; 13) х=1; 14) х = 0, х=3; 15) х=0, х = 1; 16) х=—1,
х=0, х=1; 17) —1<х<0; 18) х=—8, х=0, х=8; 19) х=4;
20) х= 1, х=4; 21) х=0; 22)х=1; 23) х= 1/2, х= 1/4,
х = а, где х—единственный корень уравнения (1/16)* = х.
7. 1) xg(—со; — 1)U(3; 4-®)1 2) х£(-5; 1); 3) х€(—1/3; 1);
4) х€(—со; —2,5); 5) 0; 6) х€(-оо; —O,5)U(1.5; 4-®);
7) х€(—со; 0); 8) х^(—оо; —2/3]Щ0; 4-оо); 9)_х=—1, х = 0,
х=1; 10) х^]-2; 2); И) х g (- со; - К 5)и(/5; -f-oo);
12) х£(—оо; — 1](J(1; 4-®); 13) х£(—8; 4-оо); 14) x£R;
15) хё[1; 4]; 16) xg(—со; 0]; 17) х£[— 1; 0]; 18) х£(— оо; 7);
19) х€(1; 4-со); 20) х£(0; 1/8). 8. 1) x=«4-3, х=—а-]-3 при
а > 0; х=3 при а — 0; решений нет при а < 0; 2) х—а— 1,
х ——а—3 при а > — 1; х±~—2 при а =—1; решений нет при
а <—1; 3) х=(1-Н)/2, х = (п —1)/2; 4) х —{— а—1)/2 приа < 1;
х^—1 при а = 1; решений нет при а > 1; 5) x — O-j-lK 1+4а)/2,
х = (! — ]< 14-4а)/2 при а > 1/4; х = (14- К 2)/2, х = (1 — У 2)/2,
х=1/2 при а =1/4; х = (1-|-Vе 1 +4а)/2, х=(1 — /"14-4а)/2,'
х=(14-Уг 1—4а)/2, х=(1 —К1 —4а)/2 при 0 < а < 1/4; х=0-
п I 2
х—1 при а==0; решений нет при а < 0; 6) х~—~ при а > 2;
х^—2 при а = 2; решений нет при а < 2; 7) х = (14-а)/(а — 1)
при а > 1; решений нет при0<а<;1; х ——1 при д=0;
х = (1+а)/(а—1) при 1; х = (1+а)/(а—1), х==(а—1)/(а+1)
при — 1 < а < 0; 8) х=24-л, х=—2— а при —2 < а < 2; х=0
при а=—2; решений нет при а <—2; х=2+«» х——2—а,
х=0 при а —2; х=2+«, х==—2—а, х-а—2, х=2—при
а > 2; 9) xg(0; 1] при а=1; х—, х==2^-^при—1 <а<1;
xg[—1; 0] при «=—1; решений нет при а^(—«о; —1)U(H +00);
Ю) х=0, х=1 при а = 0; х = (1-f при а < 0;
х=(1-|- V х=(1 — Y 1*“*4а)/2 при 0 < а < 1/4; х=1/2
при 1/4; решений нет при а > 1/4; 11) х= (а-|-КЯ2-8)/2,
Х=(а—Yx=(a-f- Vа24- 8)/2 при а <—2/ 2; х=/2,
х=24- V 2 при в=—2 У 2; х=(— а-^Уа2+ 8)/2 при а >—2У 2;
676
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
—14“ К 14-4$ — i -j- j/* 1 -j-46z л
12) х = , х = — у — —!----при а > 0;
-| - "У~ мша
х=0 при а — 0; решений нет при а < 0; 13) х — ,
х при а < 0 и а > 8; х — ~ при а = 8; решений
„р. 0<а<8; 14) ,= :±ЩЛ5М!,
^^(а+[)^Ка3+14а + 1 при „ _Р Г/'У <о<0
и а > 0; х===3 при «=~0; х = (б —4 КЗ)/8 К~3—14 при
а^—7 + 4 у' з; х = (б + 4 КЗ)/—8 КЗ—14_при а = — 7—4/3;
решений нет при —7—4 V 3<а<~7 + 4К 3; 15) х=а/(1—2а)
при а 1/2; решений нет при а— 1/2; 16) х=(3-|-2а)/(а—2) при
а>2 и 2; х =—3/2 при а = 0; х = (3 4-2я)/(а— 2),
х~(2а—3)/(а4~2) при —2 < а < 0; 17) х=1 при а — 1/2; х~6
при а = 0; х = (14~К 1 —4а2)/2а, х = (1 — К1 — 4а3)/2а при
0 < а < 1/2 и —1/2 < а < 0; х =—1 при а = —1/2; решений нет
при а > 1/2 и а < — 1/2; 18) х<—1 при а=1; х = —(14~а)/2
при — 1 < а < 1; х^О при а =—1; решений нет при а > 1 и
а < —1; 19) х — 4~4а2 д х~ — у 1 + К1 + 4а“ ПрИ
а > 0; х=—1, х = 0, х=1 при а = 0; решений нет при а < 0;
(—14.Kl + 4а V
-----------!——5----J при а^0; решений нет при а < О,
9. 1) xg(—оо; 1—a)(J(l+«; +оо) при а^эО; xgR при а < 0;
2) xg(2—а; а-}-4) при а>—1; решений нет при 1;
3) xgf^^; 4~оо^ при а > — 4; решений нет при а «С—4;
4) xg[—Ц-; 4~оо^ при 1 < а <+оо; xgf—оо; —ЦЛ при
\ а ***** 1 у------\ а 1 j
—оо < a<-l; xg^ — при — 1 < а < 0; решений
/2 \
нет при 0«са^1; 5) х < —2 при a = 0; xg ( у; 4-°° ) U
/ 2 \ ( __2 \
U —оо; ) при а > 1; xg(—оо; --pj 1 при 0<а<1и
—1 .< а < 0; 6) л:€((1-~/Т+4а)/2; (1 + У Г+4П)/2) при —1/4 <
< а<0; —а; (1 + 1^ 1+4а)/2) при а > 0; решений нет при
—1/4; 7) xg(—оо; —1**а]иП+а; +00) при а > 1;
xg(—оо; —2](J[2; +<»)U{0} при а = 1; xg(—оо; —1— а]Н
Ul—1+а; 1 — a]Ull+^+.°°) ПРИ 0 < # <1> ПРИ
8) xg(— оо; (—1 **К 1—4а)/2а) U (—14“К1 ~-^4д)/2а; + °0) при
О <а<1/4; xgR при а > 1/4; xg((— 1 + К1 -*4а)12а\
(—1 —/1 — 4а)/2а:) при а < 0; 9) xg(—оо; (1 — К1+4а)/2а) U
U ((—1 + К 1 + 4а)/2а; + оо) при а > 0; xg(— оо; — 1)U(U + <»)
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
577
при а = 0; х^((14-1^1+4а)/2а; (1 —/1 + 4а)/2а) U
U((—1 + К 1 + 4а)/2а; (—1 — / 1+4а)/2а) при —1/4 < а < 0;
решений нет при —1/4; 10) xg((a— j/"aa— 4)/2;
(а4-^^+4)/2) U ((— а— Ка2 + 4)/2; (— а+ /а2 — 4)/2) при
а > 2; решений нет при а ^2,
ГЛАВА 4
§ 1
ЗАДАНИЕ 1
1. а); в); г) значение предела функции совпадает со значе-
ниями функции в точке х=1; е). _ ____
2. Например: 1) 0<б<]/5-2; 2) 0 < 6</9/2—2;
3) 0 < 17/4—2; 4) 0 < S<min{1; е0/3}.
ЗАДАНИЕ 2
1. Например:
1)Ш=5х-7; 2Н(х)={
ft рациональное число,
' /{ ) — \ —2f х—иррациональное число.
2. Например: 1) 0< о^1/2; 2) 0 <б<:1/4; 3) 0 < 6^
< 1/200; 4) 0 < б<е0/2.
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) Л"; 2) Л2—В; 3) (Л + 1)(В-2); 4) 5) х0А +
4-хоВ; 6) В sin Л. 2. 1) 5; 2) -gj+/2; 13) 17 sin 2; 4) 0; 5) 1;
6) (^13+0/4.
4. Например:
/ х+2, х < 0, ( Х'+1, х < О,
О fW=< b х=0, g(x) 1 х+3, х > 0, 2HW = (x, х^О, 8^\ ЗАДАНИЕ 4 1. 1) Л2-В2+2; 2) ; 2) 2 sin 2; 3) 13/4; 4) 8/3; 5) 2; 6) — ==< 2, х=0, 1 х, х < 0; х, х < 0, 1, х > 0. 3) cos А; 4) | А |. 2. 1) 1; =т= . 3. Например, f(x) =
= -|х-1|-1. 4. Например: ( х* 1) fW = { 2, 1 1—X, х > 0, х=0, ^(х)=1 + /(х); х<0
49 Задачи по математике. Начала анализа
578
ОТВЕТЫ № УКАЗАНИЙ
( х, х > О,
.2) /(*)=£« = 5, х-0,
11, х < 0.
ЗАДАНИЕ 5
1. 1) 4; 2) 5; 3) 10; 4) 2^2; 5) 4/3; 6) 6; 7) —44/3; 8) я//#,'
9) 1; 10) 1/2. 2. 1) Существует положительное е такое, что для.
любого положительного б найдется х0 такое, что для любого х:
0 < | х—х01 < 6 выполняется неравенство | f (х) — А | 8; 2) для
любого числа А найдется положительное число 8 такое, что для
любого положительного числа 6 найдется х0 такое, что для
любого х: 0<| х—х0 |<б выполняется неравенство | f (х) — А |^>е.
ЗАДАНИЕ 6
1. 1) 6; 2) 3; 3) 1; 4) 1/4; 5) 12/5; 6) 1/24; 7) т/п; 8) 13;
9) (п—£)/2; 10) —1/2.
ЗАДАНИЕ 7
1. 1) 2; 22 5/3; 3) 4/9; 4) 25/14; 5) 1/2; 6) 1; 7) 1; 8) cos а;
9) 0; 10) /2. 2. 1) е2; 2) в4; 3) е“2; 4) е~3; 5) 1; 6) In 2;
7) In 3/2; 8) 2/3; 9) In 5-1/2; 10)
ЗАДАНИЕ 8
1. 1) ‘3/7; 2) а3/р; 3) 0; 4) 1; 5) 2/3; 6) 1/2; 7) cos а;
8) (я2 —m2)/2; 9) 2/3; 10) —1. S. 1) e3/2; 2) e"1; 3) e~\ 4) 1/2;
5) —1; 6) 11/21; 7) 1/9; 8) In2; 9) 1/7; 10) aalny.
ЗАДАНИЕ 9
1. 1) /+ (0)=2, /_ (0) = — 4, f+ (1)=1, /_ (1)=1; 2) f+ (0) =
*=/- (0) = 1; 3) f+ (0)= 1. f+ (l) = 0, f_ (1) = 1; 4) f+ (0)=
= /_(0)=l, + 2)=f_(2)=l.
ЗАДАНИЕ 10
1. l)f+(0) = l f_(0)=l, f+ (!) = /_ (l)=2j 2) f+(0)=l.
/- (0)=—1 f+ (n)=f (л)=0; 3) + (0)=0, (0)=—1, f+ (2)=2.
f_(2)=l, f+(5/2) = f_(5/2) = 2; 4) /_ (0) = f+ (0)= 1 при 6=1;
/_(0)=1, f+(0) = 6 при 5*1; /_(!) = /+(!)=*+!.
ЗАДАНИЕ 11
1. Например: 1) f (x) = l/(x—I)2; 2) f(x)=—l/(x—I)2;
3) f(x) — l/(x— 1). 4. 1) oo; 2) —oo; 3) +oo; 4) 1.
ЗАДАНИЕ 12
3
2 X
1. Например: 1) 2) /(x) =
3
~2~~x x
= x(x— I)2(2—x)2 : 3) 3- o °0’ 2) 00’ 3) +°°;
4) 4/3; 5) oo; 6) oo.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
579
ЗАДАНИЕ 13
1. Например: 1) f(x) = e~*+l; 2) f (х) = 2-|-—; 3) f(x) =
X
х 9
= jqTr 4) f W = { I arctgх|. 3. 1) 1/2; 2) 1/3; 3) 0; 4) 0; 5) i;
6) 0; 7) 2; 8) не существует. 4. 1) r/=x;_2) y = x; 3) y=—x при
x—> oo; # = —Зх при x—> oo; 4) 2x—1.
l.7 ЗАДАНИЕ 14
3- 1) 1; 2) 1/2; 3) 216/335; 4) 1/2; 5) 0; 6) 1; 7) 2; 8) 0; 9) 3;
10) —3. 4. 1) у—х—«1; 2) y=— x; 3) y~—1/2 при x—>4-oo;
л . 1 .v > «пс . я»
r/=2x+-y при x —> —oo; 4) у—x4--^ при x —> +oo; t/=x*«-—
Z 2» Z
при X —oo.
ЗАДАНИЕ 15
!♦ Например:
1) f(x) = l/x\ 2) f (x)= —1/sinx;
3) =
4) fM =
t]- t€"’
x *
£
x ’
£
x ’
n TT (x4-4)(x—2) P x(x2+l) (x—2)
2. Например: 1) f (x) = ; 2) f (x) = ^3—Z-ZJ__2.
3. 1) Для любого положительного числа М существует х9
такое, что для каждого х, х > х0, выполняется неравенство
f (х) > М\ 2) для любого отрицательного числа М существует х9
такое, что для каждого х, х < х0, выполняете# неравенство
f(x) < М; 3) для любого положительного числа М существует
Хо такое, что для каждого х, |х| >|х0|, выполняется неравен-
ство |/(х) | > М. Например: 1) /(х)~х2; 2) f(x) = x3;
< п, 2п—1 < |х|2n, ngN,
3) f(x) = < —n, 2n < | х| ^2/i-f-l, ngN,
I 0, |x|<l.
ЗАДАНИЕ 1G
1. Например:
1) f(x)=-ctgx; 2) /(x)=2=^;
' —Ц, xg[ 4 —; 1H — 1, fegN,
Л f X— 1 1 92Й-1 1 O2fc-2 I
3)/W = < . Lz j i 4J
T2_, xg(i^,_L; 1 + fcgN;
V 1—x 1 22A /
19*
580
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
х£[1/22*-1; 1/23*-?], 5gN, .
x€(l/2?*; 1/22*~*), AgN;
4) /(х)=1/х?;
( 1/х\
5) /(*) = < 1/х.
I —1/х,
6) f(x) =
( 1/х, x€[1/22A-j, l/22*-2]UI—1/22»"2, —1/22*-*], AgN,
I —1/х, x€(l/22* l/22*-J)U(—1/22*-1, —1/22*), fcgN.
2. Например: 1) ' 2>
= —l+—.
1 X
3. 1) Для любого положительного числа М существует
такое, что для каждого х, х < х0> выполняется неравенство
2) для любого положительного числа М существует число
такое, что для каждого х, х > Хо, выполняется неравенство
^(*Йапрямер: 1)/(х) = 2"^;
х€12л— 1, 2л), ngN,
xg(2n, 2n+l), ngN.
Упражнения
4. 1) /_ (0)=—1, f+ (0) = 1, /_ (л/2)=/+ (л/2) = 1; 2)'/_ (0) =
= f+ (0)=1, /_ (-1) = /+ (—1)=0; 3) / (0)=/+ (0)=0, /_ (1/л)=
= /+(1/л) = 0; 4) /_ (0) = /+(0) = —3, /_(—3) = 6, /+(3)=—6;
5) /_ (l)=f+ (l)=Z>4-c, (0) = 2; f+ (0) = 5; при 5 = 2 и любом
с функция имеет предел в точке х=0; 6) /_ (1) = /+(1) = 0,
/_(—1)=2, /+(—1) = 0; 7)/_(0) = 2, /+(0)=5 при 5 = 2 и
любых с и d функция имеет предел в точке х=0;
«) f_(0) = /+(0) = 0, /_(л/2) = я/2, f+ (л/2) = -л/2,
/_ (л)=/+ (л) = 0; 9) /_ (0)=-1, /+ (0)=1; 10) /_ (0)=/+ (0)=0;
Н) f_ (ty — f+ (0) = 0. 5. 1) 5/2; 2) —2; 3) 3/2; 4) 2; 5) 2; 6) —1;
7) 3/2; 8) л/2; 9) 0; 10) 1/4; 11) 1/2; 12) 1/16; 13) —2/3; 14) 1/6;
15) £2; 16),^; 17) 1п-|; 18) In-g-/ln 42; 19) 1/е; 20) е*я;
21) е~№; 22) —7/75; 23) 1; 24) е2. 6. 1) 2; 2) sin 1; 3) 10/3;
4) 1; 5) 1/4; 6) cos 1; 7) sin 4/7; 8) ; 9) sec2 7; 10) tg /З;
11) tg 4; 12) —1/л; 13) 0; 14) /2; 15)2; 16) 1/2; 17)' /3;
18) —б/З; 19) /3/2; 20) —l/З/З; 21) 1/2; 22) ; 23) -SXJ;
4 у 7
бу
24) 0; 25) 0; 26) 0; 27) . 7. ц тз/пз. 2) 1/4;
z cos21 у cos 1
3) 1; 4) —1/12; 5) 1/16; 6) 3; 7) —8 In 2/л; 8) 1/е; 9) 9/25; 10) 1/5;
11) 6/7; 12) ё*', 13) -1/2; 14) -24; 15) 3/4; 16) 1п-|; 17)
18) е"*/2; 19) в-1/я; 20) 0; 21) 1/6; 22) 1; 23) 2; 24) 6; 25) 8;
26)
ОТВЕТЫ ’И УКАЗАНИЯ 581
8. Например, f(x) = ^ _
( 5»
9. Например, f(x) —
х—рациональное число,
х—иррациональное число.
х=2,
sin —J-д, х # 2,
х—2
' И. Например:
1) / (х)=—g(x)=signx; 2) f (х) =g(x) = sign х\
( 1, х = 0,
3) f(x)=signx; 4) f(x)=J 1 J_ 0
к X* X
12. Нет. Рассмотреть примеры функций
. /О, х^О, . . ( 5, х^О,
х < о, g(x)=to. *<<>•
13< Нет. Рассмотреть примеры функций
g(x)=x2;
2, х^О,
О, х < 0.
х=0,
15. Нет. Например, функция
f(x)=J 2,
V 1—*>
/(x)=sini,
Л
... /О, xSsO,
j х<0>
{Х^
1’
gi W =
х —О,
х < О
ограничена в окрестности точки х=0, но она не имеет предела
при х —> 0.
16. Например: 1) f (х)=^(х)=х; 2) /(х)=х2, g(x)—x;
3) f (x) ==x, g (x) = x3; 4) f (x) =x, g (x) =—x3; 5) f (x) =x, g (x) = x2;
6) f(x)=xa+1, g — x, если a > 0; f(x)—x, g(x) — x1-a, если a^O.
19.1) lim f(x)==—oo, lim /(x) = oo, lim f(x) = oo;2) lim f(x)—
x-> 1 x -> 0 x -> 2 X -> 1
= oo, lim f(x) =—oo, lim /(x) = oo;3) lim /=—oo, lim f(x) —
x~>0 x —>• 2 x->l x->0
=t«—oo, lim f(x)=oo. 20. 1) oo; 2) + oo; 3) op; 4) + oo; 5) oo;
x-> 2
6) + oo, если tn четное; — oo, если tn нечетное; 7) oo; 8) 0, если
f = l; — 1/2, если p = 2; — oo, если $ — k g N; oo, если P =
= 2£4-l, k £ N. 24. Например: 1) f (x) = l/x2, g(x)=x3; 2) f (x) =
= 1/X2, g (x) =x2; 3) f (x) = 1/x4, g (x) =x2; 4) f (x) = 1/x4, g (x) =—x2.
25. Например: 1) ;2)/(x)== J ,
s W“-2 (r^)9; 3) f • 8{x}=~ (i)2; 4) f(x}=
(1 \2 /1\4 /1\2
—) ; 5) fw==(—) . ; 6) /W =
’V' 11 яП 1
-(x-ajV^W- (x—a)V
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
582
27. Например, f (х)=Н'Н'еСЛИ Х~ Рациональное число,
r г | 2/|х|, если х—иррациональное число.
31. 1) 2; 2) 1; 3) 1; 4) —1; 5) 101; 6) 2Ч-331; 7) 1; 8) 1//2;
9) —1/2; 10) — оо; 11) 4/3; 12) —1; 13) 3; 14) не существует, так
как lim f(x)^ lim / (х); 15)1/2; 16) е~*; 17) е8;. J8) — 2;
х + <х> х - со
19) 3; 20) не существует, так как lim /(х)=0, lim f(x) =
«-{-оо; 21) 1/2; 22) 1/4. 32. 1) #=х4~3/2 при х—-> + оо;
=— х*-3/2 при х —> —оо; 2) r/= 1 при х —> + °°; при
х —3) //—Зх при х —> + °°; —х при х —> — оо; 4) г/— х
при х—> + оо; £/=х-|-л при х —> — оо; 5) у—х при х—> + °°*,
6) г/=х—5/2. 33. 1) а = 1, & = —1; 2) а=—1,6= 1/2; 3) а =—1,
6 = 1/2. 34. 1) Для любого положительного числа М существует
6 > 0 такое, что для каждого х, 0 < х—а < б, выполняется не-
равенство /(х)>Л4; 2) для любого положительного числа М
существует о > 0 такое, что для каждого х, —б < х—а < О,
выполняется неравенство /(х) > М; 3) для любого положитель-
ного числа /И существует б > 0 такое, что для каждого х, 0 <
< х**а < б, выполняется неравенство f (х) < —/И; 4) для любого
положительного числа М существует б > 0 такое, что для каж-
дого х, — б < х—а < 0, выполняется неравенство | f (х) | > М\
5) для любого положительного числа М существует х0 такое,
что для каждого х, х > х0, выполняется неравенство / (х) <—/И;
6) для любого положительного числа М существует х0 такое, что
для каждого х, х > х0, выполняется неравенство |/(х) | >/И;
7) для любого положительного числа М существует положитель-
ное число б такое, что для каждого х, 0 < х—а < б, выполняется
неравенство I f (х) | > М; 8) для любого положительного числа М
существует о>0 такое, что для каждого х, —б<х«—а<0,
выполняется неравенство /(х) < — М; 9) для любого положитель-
ного числа М существует х0 такое, что для каждого х, J х | >
> | х01, выполняется неравенство f (х) < —/И; 10) для любого
положительного числа М существует х0 такое, что для каждого х,
х < х0» выполняется неравенство |f(x)| > М. 35. 1) f+ (0) = 1/2,
(0)=— 1/2; /+(1) = +оо, (1)=— оо; f+ (2)=/L (2) = + оо;
2) /+(0)=/_(0)=0; /+(!)=/_ (!) = +«; f+ (2)=/_ (2)=3/2;
3) /+ (0)=/_ (0)=— оо при а четном; /+ (0) =— оо, /_ (0) = 4-оо
при а нечетном; f+(l)=f_ (1)=—оо;/+(2) = 4/2“,/_(2)==—4/2“;
4) К (0)=—оо, /_ (0)=+оо; f+ (1)=+«, f_ (1)-----оо; f+ (2)=
==/_ {2)=+оо. 37. Например: 1) f(x)=x, g(x)=— х; 2) f (x)==
= х-|-5, g(x)=— х-, 3) f(x)=2x,g(x)=—x; 4) f(x)=2x,_g(x)—x;
5) /(x)=x, g(x)=x2; 6) f (x)=A g(x)=x; 7) f(x) = ^/ x, g(x) =
= 1//x; 8) /(x)=gW=/7; 9) /(x)=2; 10) f (x) = 0, g(x)=l/x.
§2
задание 1
1. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) нет; 6) да; 7) нет; 8) нет,
2. 1) х = 0; 2) х=2, х=3, х = 4, х=5, х = 6, х=7, х=8; 3) х=
= k € Z; 4) х=1; 5) х=-1, х=2; 6) х=2; 7) x=ak,
k £ Z; 8) х=2, х=—2. 3. 1) Л= 1; 2) Л= 1/2.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
( I, Х<0,
4. Например, f(x) = -| 2, х=0,
V 3, х>0,
6. 1) — 5 < х <— 4, 2 < х < 3; 2) —1 <х*Ск
{3, х < О,
2, х=0,
1, х>0.
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) нет; 6) да. 2. 1) х = — 1;
2) х = яп, п g Z; 3) х=1, х=—1; 4) х = 0; 5) х=7; 6) х=0.
3. 1) Л = 0; 2) Л=е"1/4.
. „ П . f 1, Х^О, t . fl, Х^О,
4. Например, f(x) = j 1/2> х=0> g(x) = j 2> х==0
6. 1) — л/2 <х< — I, —1 < х < л/2; 2) О < х < 1, л < х < 4.
Упражнения
1. 1) xSs—5; 2) х € R; 3) х ё (— оо; 1) Ц (1; + оо); 4) хё R;
5) х=й, AgZ; 6) xg(—оо; — 1)(J(— 1; +<»); 7) xg(—оо; —1) (J
U (—1; 0) U (0; + оо); 8) х ё R; 9) х g (— оо; 0) (J (0; + оо);
10) х = 2, х=1; И) x£R; 12) х £ R\{n/2+nft/2}, k f Z.
2. 1) x = —2; 2) x=l; 3) x=0; 4) x=k, k ё Z; 5) x=0; 6) x=0,
x=—4; 7) x=0, x=—1; 8) x—l, x=—1; 9) x=0, x=—1, x=l;
10) x=0, x=l; 11) x ё R\{0}; 12) во всех рациональных числах.
5. Например, g(x)=x—х0. 7. Не обязательно; например,
к*)={ 2,’ xij г(ж)аа{1’ Uia 9- НапР”меР- /W’
К (2-х) (5-х)
(х—3) (х—4) •
-Л _т х. ч ( 1, х—рациональное число,
10. Например, /(х) = < ' г
г г» \ । —j, х—ИррацИоНальНое число.
11. Да. 12. Да. 13. Непрерывна при х = 0. 14. 1) Нет; 2) да;
например, х0 = 3. 15. Нет. 21. f (e) — f (л) = 7/9. 24. 1) х=1;
2) х < —1; 3) —1/2 < х < 1/2, х > 1; 4) — 5 < х < 7; 5) — V 2<
<х<0, х^1; 6) xSsl/2.
ГЛАВА 5
§ 1
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) 0,0201; 2)—0,75. 2. 1) 1;2) 1;3)—1. 3. 1)Зх3; 2)—2sta2x;
3) —4. /'(О =7, Г (2) = 13, Г (-2) =-11. 5. -J-.
2 У х cosax
6. 1) х2— х34-2х; 2) —L=--|-J—_ j-А_ ; 3) —2 (1 —х);
' Т 2fx 3 j/x* 4 у х3 ’ ' 1
4) 3(х+ /х)2^1+ 2^—у, 5) 2* 1п2+3* In3—4-* In4 +
+ 6* In 6;
< 12 1 1
ж+ил-т: cos х+3 siD х+^ 5
584
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
8) ...Л _ ~ Jb-L ; 9) 1 gx cos x4-g^ sinx;
cos2x sin2 я у 1 — x2
10) (1 + ^)2+2»22jc In 24-Зх2 sin х+х3 cos х;
' (sin х+cosx)2 ’
1 2~* -2-*ln2arctgx-2-^—Lj
12) —t= —------1-/ x---------------------1±£_
2 И x arctg x arctg2 x
2)
6.
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) 0,0099; 2) —0,101. 2. 1) 2; 2) 3; 3) 1/3. 3. 1) 3cos3x;
Зх24-2х; 3) —2/л®. 4. f'(l) = 0. /'(—!) =—12, /'(0)=—3.
----4— . 6. u'vw+uv'w+uvw'.
sin2x
7. 1) 20*»-d_; 2)------------3) 3*ln3J----— •
’ /2x x® x* xln3
л 1 । . 1 -4 /2\* 2 , 1 1
4) —r-7="+sinx-------; 5) i — ) In—-----;
5$/x* sin2 x \3j 3 x x2
X2
6) e*(sinx+cosx); 7) 2xarcctgx—rj—5;
lnx-)-l 2x2 In x . 9) 6x—5x4 * * 7'» ln3
' 1+x2 (1+x2)2’ ' 3(1-®/x)2 3*+*
10) 2sin2x;
о
11) 2 (1+x+x2) (2x4-1); 12)-~arccosx
x3
13>
M)
j-j-bg (2* 4-x2)—arctg x (2* In 2+2x)
(2*-|-x2)2 ;
V xcosx——^=^sinx— K^sin x In 6
2y x
x6*
15) 9* In 9 —~У + 1 ц.9* ; 16) —-fd-L,
V x 2xK X x«
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) — 5sln5x; 2) 100(14-x)M; 3) l/]<2x^l;
4) ; 5) 2**+*+1 (2jc+ ° In 2:
6) ex In »+2> (In (x4-2)«|.-^5^ ;
\ 4 “ /
7) 3 sin2 (x — x2) cos (x ** x2) (1 — 2x) (----X
\ sin2 У 1/х /
ОТВЕТЫ й 'указания
585
8) 1__________In 2 _
2/2x(l + /S) xln2x’
9) —6 sin (2 cos3 4x) (sin 8x) (cos 4x); 10) — >
11) ==• 1 —; 12) x* (14- In x).
/arcsin (l+2x) /1 —(l + 2x)2 7
3. Например, f(x) = { °’ либо f(x) = |x2—x|.
4. Например:
'>'«={?: ‘it:
2)/(*)=«(*)={ £
,;2, j;1,;
fl/<*)=₽<*)=! i’
5. y' (2)=32 sin -y—4 cos , y'(0) = 0.
ЗАДАНИЕ 4
h Sta42T+3j ’ 2) 3xsin(2x2)smx2;
3) -{rwarcctgS(d^T+(7w); 4) e”1,*<2*+D>
5) ---!------7=1=-!-.
arccos2 In x Y 1 —ln2x x
1 1__£ J___1 1 .
' logs (Iog4X)log4x x In 2 ln3 ln4 *
7) 1 00,(005^-) (-Sin-^)^2 ;
2 у (Sincos-^j-
8)2tg(ctg
2x+l
(x+x«)lnl
9) ----,---1
^y^log1/2(x+x3)
X
im In4 1 "r« 2 1 •
WJ 'rin«(—X) —X 1
586
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
11) (sin x)cos* (— sin х In sin x+ctg x cos x);
5/~Z f*4-2V/7 , 248 / 4 18 ,8(l+2x)
l2) У* J (*+*) ^5x (x+2)(x—1)+ x+xi
3. Например, f(x) = | x(x+1)l(* + 2) (x-]-3) |.
4. Например:
г / v f 1> x # 2, z 4 j' 0, x # 2,
О fW-j 2> x=2, £(*)-{ 1, x = 2;
£ / x f 2, x Ф 2, . 4 fl, x # 2,
2) /(*)-j 3> x==2, ffW-j 3/2, x=2.
6./(l) = sinl + cosl —1, у'(0) = 1/2.
Упражнения
1. 1) —1; 2) 0; 3) 2; 4) 0; 5) —2; 6) 2 In 2; 7) 0; 8) —2.
2. 1) 2*4-1; 2) 2|?=; 3) Зх2; 4) I 5) 5cos5x;
6) —7sin7x; 7) 8) -(y)*ln3; 9) j,'=/ £
X \ О J I ^Л, X v,
10) 0' = / f’ 3. 1) _lx-3/24-2x-l/2+6xV*;
I 19 X U • A
2) з(х4-у-2К7у(1—3) 0 при x # 0;
4)
X ,
УТ+х2
In к 1—x2; 6)
31n21n31n4
xln4x
7) 0 при xg(—1; 1);
4 л
8) 0; 9) 2(х-Н) при х > 0; 10) (^+е-^8; И) —1 прих#=-£--|-
+ nkt
12)
1
лх X
2tg^-
l-sindntgx)^^;
9 la*
13) _ J.-_; 14)-7==-; 15) - -— ; 16) e« +
' In 2 cos 2x 2)^1 —x2 J^l-l-e2*
+«^6*4-/^^; 17) у (x4-|/'*4-|/14-*2)-2/3X
x(l 4-y ^Х+У1 + *2) 2/3)(1 +y (’+x2)-2/32x); 18)
19) 2(14-x2) 1 20)
. 1
In arocos —7г=-
К X
1
arccos" ___
Vx
1
/x«=T2
px-x* (1 —2x);
21)
3x2 arcsin У x
x3_____ 2xcos x—x2 sinx .
2УхУь=х X*cos»x
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
587
22)
23)
25)
1 f 1 । I (
1 . т f 1 । 1 1 \ X2 + 1 , , И
•— 4-1п —-~|-1п— ) I —I* 1п—
X ' \ X 1 X J ( X ' X
In 2 ( 2х , 2 2 ( 2 \ 1 14-2х
—и .....7 In х2--In (х2— 1) т-г-5 ; 24) —ь=г—-.
х!п2х \х2 + 1 х 1п2х2 7 2J^x2+x4-1
(-^Inx+A-); 27) xC0S*X
—-sinx In x+^3 Y 28) x*x (x* (1 + Inx) lnx-f-—Y
5. 1) /=2 (x+1); 2) = {
x > 0,
-1<х<0, 4) / = 0, x*%k, k£Z;
1+х* (1 +1п х); 26) х1}*
j______i_
х2 х
3) / = <
2,
О,
—2,
( 2x,
< ~6x6,
I 0,
x<0 6) «'-I bxgC-l.OJUdl+oo),
x < 0, b) у х€(_да._1)и(0.1}
6* Например:
1) /(x) = -|
2) /(x) = j
g(*) = j
0, x—рациональное число,
1/2, x—иррациональное число,
0, х—рациональное число,
—1/2, х-* иррациональное число,
0, х—рациональное число,
—1/2, х—иррациональное число;
1, х — рациональное число,
0, х—иррациональное число.
7. Например:
п /(х)=/ °’ *€(-1; 1).
4 'W 11, х€(— оо; — 1JUU; +«),
1, хё(-1; 1),
g(*) =
0, xg(-2; 1JU11; 2),
5, xg(-oo; -2Ш12; +оо);
2)
3>
Нх) =
gW=
/w=
gd) =
0, х—рациональное число,
1, х — иррациональное число,
—-/(х), х#х3,
2, x=s=x3;
1, х—рациональное число,
2, х—иррациональное число,
1, х—рациональное число,
1/2, х—иррациональное число.
8. Например:
( х2, х — рациональное число,
' 0, х—иррациональное число;
588
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
m г J х2 (х—I)2, х—рациональное число,
' 0, х—иррациональное число;
г/ \ /х2(х—1)2...(х—п + 1)2,х—рациональное число,
( 0, х—иррациональное число.
9. <р(а). 10. я!. 11. 1) 4 = 1, 4=—1; 2) 4 =4 = 4; 3) 4 =
= 1,4=5; 4) 4=+1. 4=~fi 5) 4 = 1, 4=0; 6) 4=0,
4=-2; 7)4 = 1, 4=-1; 8) 4=2, 4 = 0; 9) 4 = 4='0;
10) 4=—1, 4 = 1- 12. я=2х0, b——xt 13.я= 1, &= 1/2.-15. На-
пример, f=x®+2.
1Я\ п 1 — («+1)*п+пх"+х .
18) 0 -------’
2) 1 + 2х - (я +1)* х” + (2п*.+ 2п — 1) хп+1 + ях»+2 j 3 а.
' (1—-х)3
н и е: данная сумма равна xf"-\-f't где f (х) = х+х2 + ♦.. +х").
§ 2
ЗАДАНИЕ 1
: 1. 1)у=12х—16; 2) у=—&x+-^-i±^. 2. 1)у =
= (2+2}<2)х—3—2/Y, у=(2—2/Т)х-3+2/Г; 2) у =
1 , о 5 1
= — .х+3............., у==— .- — х+
2Y 14+6 У 5 2К14 + 6]<5 ' 2И14—6/5
+ 3--- 5 г-^. 3. (1; 0), (-1; -~).4. l)2arctgl;
2г 14 — 6/5 X 6 *4 *
2) 0,
ЗАДАНИЕ 2
1 2
1. 1) у~ех\ 2) z/==x4-l. 2. 1) z/=-^г=х + ---^=г,
: * 3 + 2/ 2 1 + / 2
3-2/2-‘,+747Т; 2> »=/^+2-
3. (0; 2), (-2; 0). 1. » arctg 2) »rMg '
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) arotg2; 2) arotg (—2). 2. 1) л/2; 2) ai = jt/2, а2 = л/4.
4> / 1 о ох nx f ( 1 \3/? 1 1 \ / ( 1 \3/з t , 1 \
з-1)(-1«2;2К2>^+ . 1—jT»). (- +) ; Чу=).
D С ; !_ 5 \ Л_ 2 ; 1+ S \ 2) (3 _Л
<Кв 61^6 } \ К6 6/6/ Ч2’ J
с —1 1
5» Л —11 > а —— “"“/К—-" • ‘к*
У 2 У 2 < ’
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
589
ЗАДАНИЕ 4
L 1) arctg2; 2) arctg. 2. 1) arctg У5~; 2) arctg-—.
3. I) 4); J>
4(1— V*Т’ "1'1 7Г /в)’ 4‘ 11 |;; 2* (зна’|оу-2TFT2<
Упражнения
1. \)у=-Х-1- 2) у=-4х+7; 3) у=»+-}-,
* У 5 У 5
4) у = 2х—е; 5) у— УЗх-}--— . 2. 1) у— 1, у——4х+5;
2) у=3х—2, у=3(44-2Кз)х— 12/3"—20, у=3(4—2/3 )х+
+ 12/Г— 20;3)//=(—3+2/3)х—4+2/3, у={—3—2/з)х—
-4-2/З"; 4) 0=л;4-1; 5) у=-(3+2 /2 )х+2+2 /2,
0=(2/2—3)х—2/2+2. 3. (0; 1/2+л/з7б). 4. 1) у =
= — 4x4-5; 2) у— — 4х+8, «/ = 4x4-8; 3) у — х—kit, k^Z.
5. у=2. 6. (8;0), (0;0). 7. 1) (1+/2; — /Г), (1 —/Г; /2);
2) (1; —3); 3) (2лп; 0), n£Z, (л/3+2лт; —/3/4), m£Z,
(—л/3+2л/; /3/4), /gZ; 4) (5/4; 1п4); 5) (л/9+2лй/3; 1//3),
ftgZ; (—л/3+2л//3; —1//з), l^Z. 8. 1) Таких точек не су-
ществует; 2) (—1/2; 3/4); 3) (2лЛ; 0), fegZ; 4) _(лт; 0), mgZ;
5) (1/2; — In 2).». (11/2; 7/2). 10. (л/6; 1/2+л/2/3). 11. (—3; И).
12. (3; —15). 13. у=хг—х+1. 14. у= —х+5/2. 15. (—1; 76/15),
(3; —8). 16. л/4. 17. (1; 6), (—18. (1/8; -1/16).
19. у=±х+1, у=2х—2. 20. л/4. 21. (1/2; —15/32). 22. arctg-l.
аЬ О
§3
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) На [2; 4-о°) возрастает, на (—оо; 2] убывает; 2) на
(—оо; 0)U[4/3; 4-оо) возрастает, на [0; 4/3] убывает; 3) на
j—оо; —1]U[1; 4-оо) возрастает, на [—1; 1] убывает; 4) на
(0; 1/е] убывает, на [1/е; +00) возрастает. 2. 1) х = 0—точка
локального максимума, х—У2 и х=— У2"—точки локаль-
ного минимума; 2) х=0—точка локального минимума; 3) х=1—
точка локального максимума; 4) экстремальных точек нет.
3. 1) На (0; 4-оо) выпуклая вниз, на (— со; 0) выпуклая вверх;
/ _4 —i/lfl Г— 44-/6 \
2) на ( — оо;--------- I и I ----; 4~ 00 ) выпуклая вниЭ|
\ I I Z
590
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
на
—4 — /6 . —4+ /6
4 2 ; 2
выпуклая вверх; 3) на (—оо; 0]
и [1/2; + оо) выпуклая вниз, на [0; 1/2] выпуклая вверх; 4) на
(—оо; —1) и [0; +оо) выпуклая вверх, на (—1; 0] выпуклая
вниз.
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) На (—оо; —1] и [1; + оо) возрастает, на [—1; 1] убы-
вает; 2) на (— оо; —1), (—1; 1) и (1; + оо) убывает; 3) на (—оо;0]
и [2; +00) убывает, на [0; 2] возрастает; 4) на (—оо; —27/64]
убывает, на [—27/64; + оо) возрастает. 2. 1) х=0—точка локаль-
ного минимума, х= 2/3—точка локального максимума; 2) х=0—
точка локального минимума, х=8/27—точка локального мак-
симума; 3) х=е—точка локального максимума; 4) экстремаль-
ных точек нет. 3. 1) На (— оо; 1/6] выпуклая вверх, на [1/6; + оо)
выпуклая вниз; 2) на (—оо; 0] и [0; + оо) выпуклая вверх;
3) на (0; выпуклая вверх, на [е~3^2; +оо) выпуклая
вниз; 4) на (—оо; —1] и [0; +<х>) выпуклая вверх, на [—1; 0]
выпуклая вниз.
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) На (—оо; 1] и [3; +оо) возрастает, на [I; 3] убывает,
х=1—точка локального максимума, х=3—точка локального
минимума; 2) на (— оо; 0) и [4/3;+оо) убывает, на (0; 4/3]
возрастает, х=4/3—точка локального максимума; 3) на
[Л -М Г , 1 л 1 л
0; arcsin 1 возрастает, на | arosln-р ;-g-1 убывает, х =
1
= arcsin—точка локального максимума; 4) на (—оо; 2/3] и
[1; Ч-оо) возрастает, на [2/3; 1] убывает, х=2/3—точка локаль-
ного максимума, х= 1 —точка локального минимума, 2. 1) На
вверх; 2) на [2л£; 2л/3+2л£], &gZ, и [л+2л&; 4л/3+2л&],
&gZ, выпуклая вниз, на [2л/3+2л&; л+2л&], и [4л/3-[-2л&;
2л4-2л£], £gZ, выпуклая вверх; 3) на (— оо; —1] и [1; 4-оо)
выпуклая вниз, на [—1; 1] выпуклая вверх; 4) на (— оо; 0) и
(0; + оо) выпуклая вниз.
ЗАДАНИЕ 4
1. 1) На (0; 1/2) и (1/2; 1] возрастает, на (— оо;0) и [1; 4-оо)
убывает, х=0—точка минимума, х=1—точка максимума;
2) на (—оо; —1] и [1/2; 5] убывает, на [—1; 1/2] и [5;+оо)
возрастает, х=—1—точка минимума, х= 1/2—точка максиму-
ма, х—5—точка минимума; 3) на [—л/2; —л/3] и [л/3; л/2]
ОТВЕТЫ Й УКАЗАНИЯ
501
на
убывает, на [—л/3; л/3] возрастает, я=— л/3—точка миниму-
(1 31
— оо; — 1и-д- г убывает,
J
возрастает, х—-^-In——точка минимума.
2. 1) На (—оо; —2] и [2;-(-оо) выпуклая вверх, на [—2\ 2]
выпуклая вниз; 2) на (—оо; 1] и [Г,+оо) выпуклая вверх;
;$) на [2&л; (2&+1) л], 6gZ, выпуклая вверх, на [(2&-J-1)зт;
(26+ 2) л], 6gZ, выпуклая вниз; 4) на (0; 1) и [а2; + °0) вы-
пуклая вверх, на (1; е2] выпуклая вниз.
Упражнения
1. 1) На [0;
(— оо; 0] и П
( 1 —/2!
-оо;-----5—
оо) возрастает, на (—оо; 01 убывает; 2) на
оо) возрастает, на [0; 1] убывает; 3) на
Г 1 + К22 . \ х Г1—у 22
и —L—-------; оо I убывает, на I --~;
!-I возрастает; 4) на (— оо; 0] и [2; 4-оо) возрастает,
о I
на [0; 1) и (1; 2] убывает; 5) при а <10 возрастает на всей чис-
ловой прямой; при а > 0 возрастает на (—оо; —У а/3] и
[Ка/3; +00), убывает на [—У а/3; У а/3]; 6) при убы-
вает на всей числовой прямой; при а > О возрастает на (— оо;
— К1/ (За)] и [К 1/(За); + оо), убывает на [—У l/(3a); У1/ (За)];
7) на (—оо; 0) и (0; 1/2] убывает, на [1/2; +оо) возрастает;
8) на (— оо; —1), (—1; 1) и (1; + оо) возрастает; 9) на [—9/2; —3]
и [0; +°о) возрастает, на [—3; Of убывает; 10) на (— оо; —2) и
(—2; 2] возрастает, на [2; Н-оо) убывает; И) на (—со; 1/5] воз-
растает, на [1/5; +<») убывает; 12) на (— оо; 0) и (0; +00) убы- .
вает; 13) на (0; 1/У е ) убывает, на [1/Уе ; возрастает;
14} на (— оо; —1/У 2*] и [l/J^2 ; + оо) возрастает, на[—l/J^2 ;0)
и (0; 1/УТ] убывает; 15) на (—оо; 0] и [2; +оо) убывает, на
[0; 2] возрастает; 16) на (—оо; 0] и [4/11; +оо) возрастает, на
[0; 4/11J убывает; 17) на [л/б4-л&; 5л/64-л&], &gZ, возрастает
на [— л/6 + лй; л/6+л£], убывает; 18) на (—оо; —1] и
[1; + оо) возрастает; 19) на (0; 1] и [е4; + оо) убывает, на [1 ;e*J
возрастает; 20) на (0; 1/ё\ убывает, на [1/е; -f-oo) возрастает;
21) на (—оо; —1] и (0; 1] убывает, на [—1; 0) и [1; +со) воз-
растает; 22) на (— оо; —1), (—1; 0), (0; 1) и (1; + оо) убывает;
23) на (0; Ц-оо) убывает; 24) на (—оо; —1] и [1; -f-oo) убывает,
на [—1; 1] возрастает. 2. 1) х——2—У5—точка максимума;
2) х==1—точка минимума, х = —2—точка максимума; 3) х =
= —2—точка максимума, х = 2— точка минимума; 4) х=9/2—
точка максимума, х — 5—точка минимума; 5) х=1—точка мак-
симума; 6) х~ 19/4—точка максимума; 7) х ——1/2—точка мак-
симума, х ——1 и х = 0—точки минимума; 8) х=^2—точка
минимума; 9) %—1—точка максимума, х =—1/2—точка мини-
мума; 10) х=-^-|-л/г, /egZ, — точки максимума, х —
ftgZ,—точки минимума; 11) 1/5—точка максимума; 12) х=ж
592 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
= 1/4—точка минимума; 13) х— 1/6—точка минимума; 14) х=1
их——1—точки минимума; 15) х =—1, х = 0 и х=1—точки
минимума, х=—1/^3" и х= 1/1^3—точки максимума; 16) х —
= ~-|-2л&, k£Zt—точки максимума, (—1)й+1 -2—|~nk, k£Zf—
2 и к
точки минимума; 17) х=0—точки минимума, х= 1 и х=—1 —
точки максимума; 18) х=-^4-ля, я gZ,—точки максимума, х~
=—|-л/, /gZ,—точки минимума; 19) х ———--|-4л£, k£Z, —
точки минимума, х=4л/п, mgZ,—точки максимума; 20) х=1 —
точка минимума; 21) х=2л&, kgZ,—точки максимума; 22)х=1—
точка минимума; 23) х=4/3—точка минимума, х = 2—точка
максимума. 3. 1) На (—оо; 2/3] убывает, на [2/3; + оо) воз-
растает, а —2/3—точка минимума; 2) на (—оо; —3] и [—Г, 4-оо)
убывает, на [—3; —2) и (—2; —1] возрастает, х = —3—точка
минимума, х——1—точка максимума; 3) на (— оо; 0] и (1; +оо)
убывает, на [0; 1) возрастает, х=0—точка минимума; 4) на
(— оо; 2] и [5/2; 3] убывает, на [2; 5/2] и 13;Н~оо) возрастает,
х = 5/2—точка максимума, х = 2 и х=3—точки минимума;
5) на [0; 2/3] убывает, на [2/3; 3] возрастает, х = 2/3—точка
минимума; 6) на [0; 1/5] возрастает, на J. 1/5; 2] убывает, х =
= 1/5—точка максимума; 7)_на [—2)^2;—2] и [0; 2] воз-
растает, на [—2; 0] и [2; 2 ]/"2] убывает, х=0—точка миниму-
ма, х=—2 и х = 2—точки максимума; 8) на (0; 1) и [е2; + оо)
возрастает, на (1; е2] убывает, х=е2—точка минимума; 9) на
(0; 1/е] возрастает, на [1/е; 1) и (1; +оо) убывает, х=1/е —
точка максимума; 10) на [—1^2;—1] и [1; ]^2] убывает, на
1—Г, 1] возрастает, х =—1—точка минимума, х=1—точка
максимума; 11) на (2; 3) возрастает, на (3; + оо) убывает, х — 3—
точка максимума; 12) на (—2; 0] убывает, на (0, + оо) возра-
стает, х = 0—точка минимума. 5. а^[—У 3; У 3]. 6. а < 3/8.
7. ag(0; +оо), х=1пя. 8. ag(—оо; — 2 — У 5) U (/* 5; + оо).
9., ag(-co; -у (0+3)) (J (-§-(/ 7-1); + «). 10. ag
(—оо; з/р/ 4). 11. *~fl при | a|g[O; 1), (1+а)2/6 при
|а|€[1; 2), (2+а2)/4 при | а | £ [2; + оо). 12. ag[3/4;+oo).
(( 32 \
р; — Р3+Р ),
27 J
32 \
2уР®+₽; ₽)•
§ 4
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) 4. —24; 2)2, 125, 1; 3) 1Д); 4) 21 +31п2, 0, 2.«=*+«,
;<=г,=а/2 3, 3 К 2/8. 4. 4R V 5/5, R / 5/5.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
593
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) 17, 0; 2) —2, —10/3; 3) 4, 2; 4) 105, 1/3. 3. /2. 4. 4S.
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) 1, 0,8; 2) 2 V 3/3, 1; 3) 5, 0; 4) 1, —1/3. 2. 3. 3. а = 1.
4. М (4; 2). 5. ос —л/3.
ЗАДАНИЕ 4
1. 1) ^/9/2; 2) 16, 2; 3) 4 У 6, 0; 4) я/2, — я/2. 2. 2.
4. 993,5 5. R«tgy.
Упражнения
1. 1) 60, —2 У 3/9; 2) 8/3, —8/3; 3) 0, —25; 4) 6, 1; 5) 1,
2—In 4; 6) 0, —1/4; 7) 9, 4; 8) 4, 0; 9) 900, 0; 10) ,
3 У"3—5л 17 2 е«+4е+2 10—?1п2
6 : 4 In 16’ In 2* l ) 2_ ’ 2 5
13) 5, 4; 14) 3/2, 1; 15)_7/4, —9/4; 16) р/Зб/з, 1; 17) 17, 0;
18) —57, —118; 19) 3 К 3/8, 0; 20) 1/3, 1/9; 21) 0, —2/е; 22) О,
—14/е; 23) 4+In 2, 0; 24) 0, —3(7+In 2); 25) е6 * * *, — е»; 26)_е\ 0;
27) —3/4, —3; 28) —15/4, —10. 2. 1) —1; 2) 1; 3) XZ±£:
4) —2; 5)0; 6) 1! 7) ХД. 3. 1) 3 arcsin ХД+Г'"2;
£i О
2) -у; 3) 64; 4) 5) 3; 6) —204; 7) —-%* 7. 1) л;
2)l+81n5;3)241n3; 4)1+^^; 5) 1+д^. 8. 1)3/4;
2) 2/3; 3) 6(1 —1пЗ); 4) 12л—1. 9. 1) х=1; 2) х=1; 3) х==2;
4) х~—1 (указание: возвести обе части уравнения в квад-
рат); 5) х = 2 (указание: переписать уравнение в виде
a f • 10- 0 ЦР-; 2)3; 3) /”2; 4)2 /2-
5) /2. 11. 1) А ; 2) . 12. 13. М (0; 2). 14. М (Al;
) • 15. М , 16. М (л; 1). 17. /И (3/2; 0).
18. 32_У”з/9. 19. 32. 20. 3 К"3/2. 21. М (3/2; 13/4). 22. а = Ь = .
= У s. 23. Высота бассейна вдвое меньше стороны квадрата
основания^ 24. 32. 25. а/2^а/2, аУ2—з/2. 26. 2а. 27. /р^З/З.
28. г=Кб/?/3, Н=2 У 3R/3,_V = 4yinR/9. 29. 64 У 3,2л/75.
30. 2. 31. Х=5У 2, /=5К 2. 32. R=4, Н=4. 33. Я = 4,
т/"?
34» ВС=8. 35. a = arctg
А
594
ОТВЕТЫ и УкАзанйя
§s
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) (Z-у) (х-у) (х-2); 2) (ir-2)(2-X)(jr-x)(x2+J/2 +
+2.1) > *> з.
ЗАДАНИЕ 2 ' 1,1
1. 1) sin2 г/; 2) —; 3)
' xyz 1 (xyz)2
задание 3
3. ag(— оо; 11). 4. Два корня при а£(—\/е; 0), один корень
при а =—1/е и а^[0; -)-оо). 6. х = 3.
ЗАДАНИЕ 4
3. ag(O; 621/16). 4. Два корня при ag(O; 27/е3), один корень
при со; 0] и а=27/е3. 6* х=2 ^указание: рассмотреть
г_________________ х2 \
функции Зх—2 и #=—-jja
ЗАДАНИЕ б
1. *(£(— оо; —2). 3. xi=*2=*a = 3» *4=— 2. 5/xi=2, #f = 2;
х2=—2, #а=—2.
ЗАДАНИЕ 6
1. О < х < 16. 3. хг = х2 = хз =3/х4=—4. 5. *=л/4, #=л/4*
ЗАДАНИЕ 7
„а 2. 4. 3,.
ЗАДАНИЕ 8
I. х=81.
„ ,v хп2хп+2—(2и24-2п— l)xn+i4-(rt+l)2xn—х— |
' (х—1)? *
2) 16-?ЦЗ»+ . 3. а=-К27/2.
Упражнения
1. П х=—1; 2) х = 0; 3) х=—1/2; 4) л= 1; 5) xf = 0,
*2=1/2, х3 = 1; 6) х = 1; 7) х = 40,5; 8) *= 16; 9) х= 1; 10) *1 = 1/2,
*2 = 3/2; 11) *1 = 1, r/= 1; 12) х — е, у~ — л4-2л&, 13) х=0,
у=-у4-2л&, k£L. 2. 1) 6(a-c)(a+c-Z>)2; 2) (х^-^+1)х
Х(*^+2*—#+1); 3) (*2 + 2х—у) (х2—2*+^+2). 3. Два.
4. 1) Один; 2) один; 3) решений нет; 4) один. 5. 1) * > 2;
2) ОС* < 3/5, 3/5 < х < 4-оо; 3) х±=—1, х2=0, *3=1, х4=2;
4) 0 < х< 4; 5) х< — 6) х>—1; 7) Xf=—2, х2=—1}
8) — 1/2 < х < 0; 9) 0 < х < 1/2; 10) (—2/3; 0). 9. 1) xf=х2=2,
х3==3; 2) Х1 = х2=1, х3 = —1, х4 = 3; 3) xi=x2 = —4, х3=х4=1;
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
595
4) Х£=—1, х2 = х3 = 3, я4 = 4; 5) xi = x2=2, х3 = 1 + К 3, х4 = 1—
—К 3; 6) Xt—х2 = *з=1, х4—л5 —2; 7) х1=х2=х3=2, x4=xs = —2.
10. 1) При любом а решения; 2) при а < 1 одно решение,
при а> 1 три решения, при а=1 два решения (Х£, х2 = х3);
3) одно решение при а^О и а=1/е, два решения при 0 <а <
< 1/е, при а > \/е решений нет; 4) нет решений при а<:0, одно
решение при 0 < а < е2/4, два решения при а=е2/4, три корня
при а > е2/4; 5) нет решений при |а| > 3 Y 3/16, одно_решение
при | а| = 3 У' 3/16, два решения при 0 < | а| < 3 V 3/16, три
решения при а = 0; 6) при |а|<2три решения, при |а|=2
два решения, при |а| > 2 одно решение; 7) при |aj > 216 одно
решение, при |а|=216 два решения, при 88 < | а | < 216 три
решения, при | а | = 88 четыре решения, при |а| <88 пять ре-
шений; 8) при а<0 решений нет, при а = 0 и а > 4/е2 одно
решение, при 0 < а < 4/е2 три решения, при а = 4/е2 два реше-
ния; 9) при а<0 и а > е1,е нет решений, при 0<а< \/ее
три решения, при 1/ее< 1 и а=е1/е одно решение, при
1 < а < е1^ два решения; 10) при а < 0 и а = е одно решение,
при а > е два решения, при Ъ^а<е решений нет; 11) при
а < —189 не. решений, при а——189 одно решение, при —189<
< а <—64 и а > 0 два решения, при а~—64 и а=0 три реше-
ния, при —64 < а < 0 четыре решения; 12) при а < 0 и а — е
одно решение, при а > е два решения, при 0<:я < е нет реше-
ний. 11. 1) а <—188/27, а >175; 2) ^=122, а2=—800/27;
3) а > 0; 4) а > eln 10; 5) 0 < а < 1, а=в1/е; 6) f аf < 1.
1 ( я+ 1 п+ 1 . пх . X .
19. —2— cos —— х sin -jr- sm 77 4-
, о X \ 2 2 2 2 1
sln2 т
. П . п + 1 ПХ л X 1 Я 4 1 , пх х\
+ у sm—5г- * cos sln 2~ Y sin ~2“ х sin Т C0S Т ) ‘
20. /(«)=—2х»+3х«. 22. 1) ~-Р ” ;
2) • 23‘ /W=x2-y- *
2) -4=-; 3) -Д=-. 29. 30. а<0. 31. о<0,
' Кб
а>1. 33. 1)я= 1,6=0; 2) а= 1,6=0; а=—1, 6=0. 35. ^±4
30. Л=Й=С=О.
ГЛАВА в
ЗАДАНИЕ 1
1. 1) 1; 2) 2/1п2; 3) 15/4; 4) 1/4; 5) 1п 2; 6) 1. 2. 81/4.
ЗАДАНИЕ 2
1. 1) е»«); 2) sinx; 3) —р-(6»+i_e»+i);
4) ае“—е«+1; 5) у In ab In; 6) -1—1. 2. 992/5.
596
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ЗАДАНИЕ 3
1. 1) 1; 2) 0; 3) 4; 4) л/8. 2. 1) Первое число больше; 2) вто-
рое число больше; 3) первое число больше; 4) второе число
больше. 3. 1) 2/л; 2) \/е (указание: рассмотреть 1пап);
3) е—1; 4) 2.
ЗАДАНИЕ 4
*• ° 2)4,5; 3) НИ 4)4(1Н)-
2. 1) Первое число больше; 2) второе число больше; 3) первое
число больше; 4) первое число больше. 3. 1) -^-(2 К 2-—1);
2) у я; 3) 2; 4) у.
ЗАДАНИЕ 5
1. 1) х> 0; 2)
2. 1) f W+^W+C; 2) f (x)g(x)+C.
COS X , 1 1
3. 1) In*; 2) ^y=-+^cos -s .
4. 1/3—15 In 3. 8. l/(«4-l).
ЗАДАНИЕ 6
1. 1) x 0; 2) *#n/2-f-nn, ngZ. 2. 1) In |/(*) Ц-С;
2) -Lp(x)-^C. 3. 1) sin V~x/x-, 2) 2*/(l+*e).
4. 3. (2»+«-!)/(»+!).
ЗАДАНИЕ 17
3 jc3
1) x*+3x+C-, 2) x3/3—4xa+5x+C; 3) 4—X^^.X^C;
z о
4) _ 1/*—l/*24-l/*34-C; 5) 4-*8/a + ln|*|+C; 6) —3x~lla —
О
— 6*a/s+-^*6/8+C; 7) 4*—e*+C; 8) 2*/ln 2 + 2^/ln 4 +
О
4-2’*/ln8+C; 9) 3*—2(3/2)^lny4-C; 10) — 2 cos *—3sin*+C;
1 1
y*4-sin*/24-C; 12) tg*—ctg*+C; 13) arctg
—Ur In
H)
14)
16)
2 — V 3*
2+УЪ
4-C; 15) In | V~2x+V2*«+l |+C;
y=-ln|K3i+/3^4|+C; 17) -y=- arcsin -yy+«l
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
597
18) *+arctg*+C; 19) In ||^-^|+arctg *+С;
о 11 """"Х I
20) -I In 1I--------7=- arctg
8 I 1+-Ч 4/3 /3^
ЗАДАНИЕ 18
• I) х*/2—х8+3х2—6х+С; 2) ^-х?—Л-^+^+С; 3) — 1/х+
<5 £»
+ 1/х2+С; 4) in |х|+4 /х+х+С; 5) tx*/» _
-|««»+С; в)^-т?т.з«+с; 7) ^+с; 6) 2^-2Г;+С;
9) — cosx+2sinx+C; 10) |х-8-у+С; 11) — ctgx—tgx+C;
12)
14)
1 arctg ' < г. iq\ 1 in г 7—। £«
/ 6 arCtg /3 +С’ 13) т1Т/7+/5х +С‘
’ ln|/3x+/iWI+C; 15) -4=rarcsin/Зх+С;
16) 4=ln|K 2х+/2х3-5|+С; 17)-£-x4--i-ln|M+C;
1/2 о л j 1—х ।
18) arctg х+ In ||у4|+С;
---7=r arctg -4=-+С;
/3 /3
19) ----1— In _
10 / 2 I / 2+х
20) arcsin х + In | х + У' 1+ х214- С.
ЗАДАНИЕ 19
1) ±1п|2х+3|+С; 2) -4-cos5x+C; 3) — 1(1-х)8+С;
Z О о
4) ^(1^2х)’.~(1-2х)’+С; 5) 1 (х-1)5/2+4 (х-1)3'2+
2 , 2х+ 1
7=- arctg '
г3 /3
8) —4^ In -
+С; 2VTX
К 2+x-l I
' I *Т* >
4
10) In (х2 +3x4-4)--1_х
9) A In (х2+1) +arctg х+С;
X arctg ?^^+С; 11) —(1 — х2)3/2+С; 12) sin х—sin8 х/З+С;
13). cos —+С; 14) —L_ln
; х ' 8 /2
10$ — 1п| cosx|+C; 17) — arctg (cosx)+6;
+ С; 15) 2arctg/х+<?;
1п^ X
18) ^4-с;
598
ответы' и укйания
19) In I tax|+C; 20) 21)
22) In | tgy|+C; 23)Хх4-у1»|4х-7Ц-С; 24) X(i+x)3/2+
+ 4(x-1)s/2+C.
О
ЗАДАНИЕ 20
1) ‘ ln|l-3x|4-C; 2) ^2i-|-C; 3)
4) ^(2>-3)1<>4-1 (2x-3)’+C; 5) -1(1-хУ'^±-(1-хГ^-
-4 (l-«)"+C; e> arctg ^+C; 7) ^resm^g+C;
8) ln|x2 —4| —|ln| — |4-C; 9) -2/ | x2-2x+41 4-~x
V 1 1
Xarctg^+C; 10) -i-(1 +x2)3'2+C; 11)
уз d
I 1 X3
12) -slny4-C; 13) -g-arctgi-4-С; 14)
15) In|sinxf4-C; 16) X arctg ХГГ-f-C;
4 &
18) In fin lnx|-|-C; 19) X^’-f-C; 20)
О
cos3 к
~T~
cos *+<?;
ln|1 + ^.f 4-C;
1-K x
О
17) 4 (In x)3*2 + C;
<5
--1(^+2Г24-С;
21) lnltg(^4-i')Uc; 22) Ax-g inf 5x4-3
I V " “ ✓ I v zv
23) In |14- lA+ik^ 24) 2Г1+е*+С.
I л T Л I
ЗАДАНИЕ 21
1) (14-x)ln(x4-l)-x-f-C;2)y (lnx-X)4-C;3)—e-*(24-
у2 у
4-2x4-x2)4-C; 4) — xcosx-f-sin x-f-C; 5) sin2x-f-
4-X cos 2x4-C; 6) —x ctg x+ In | sin x | -f-C; 7)-X- (cos ^+sin -f-Cj
8) ln|x4-}/'x5=4 |+C;9) ±/2^x24-arcsinp=4-Cj
10) x arc cos x—j/'l—x2+C.
ЗАДАНИЕ 22
1) x (In x— 1)4-C; 2) y21n/x+^—1 (x—1)8—1”.I0'H|C}
3* x2 1
3) 1^23(xIn3— 1) + C; 4) xsinx-|-cosx-|-C; 5) ——^-xsin2x^-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
599
—|-cos2x+C; 6) xtgx+ln|cosx|fC; 7) **(sin*
o 2
8) £/-jq3+-|-in|x+K^q^3|+C; 9) +
5 jc г..
+y arcsin —|-C; 10) x arcsin x+y 1 я24~С.
ЗАДАНИЕ 23
1)^(1-x)7'2 +4(1— х)Ч*-~1(1—x)8/2+C; 2)|sit№x+C;
/DO О
3) ‘Д^+С; 4) ±К?+4+21п|х+К^5+4|+С; 5)
6 __ л — У з
X^^Q^K^^+arcsin )+С; 6) 2/'1-21п(1+/х)+
+С;7)х+4У^+4 ^*4-2 К х+3 ^7+6 In |1—£/х|+С;
D 2
v 1
8) .- —arcsin х + С;9) In (г*—I)2—х+С\ 10) arcsin—।-|-С.
ЗАДАНИЕ 24
1) ^(1-х)4«+у(1-х)7/з_А(1_х)ю/з+С; 2) —
-y-sta^+ySin’x+C; 3) ~^3*4-С; 4) у/+=’7Е +
+ -g-arcsin -^=- 4-С; 5) ^±1х--|--^1п|У 2х+К5+2^|+С;
6) —2/х—2 In | 1—К^+С; 7) 2]Гх—4у^7+4 In |1 + Ух +С;
8) +С; 9) 11п|е* + 11-х+С; 10) -1п|Ш^!±11+ с.
у 1 + X2 6 I 61 I х
ЗАДАНИЕ 25
19 1
1) 2/3; 2) —1/2; 3) л/2; 4) я/3; 5) ±1п4+л/2—?rarctg~;
4 о 2 /
6) 2/3; 7) 4/3—5К2/6; 8) 23/8; 9) 7; 10) 1.
ЗАДАНИЕ 26
1) 5/3; 2) у ^2-у 1/7+1/12; 3) л/4 + 1/2; 4) л/6;
5)ЗбТГ25+21°§64: 6) ^(38-25/5); 7) -1/132; 8) 5/24;
.9) 19,5; 10) 2,5.
600
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ЗАДАНИЕ 27
1) 2) я/2—1; 3) 1/4—|-е-2; 4) л/4—^-Х
X In (^4-1); 5) cosl + sin 1 g—1/2; 6) 1; 7) 4 In 2-15/16.
ЗАДАНИЕ 28
1) In-i; 2) л; 3) л/2—1; 4) 1—Цр; 5) 1/2+л2/32—л/8;"’
6) 1 (Щ 2-1/3) +1/3; 7) л2/8—я/4+4 In (ла/16+1).
<5 х
ЗАДАНИЕ 29
1) 4>п2; 2) 3/4—К 7/12; 3) -12,5; 4) 1/3; 5) 1/6; 6)л/3—
- / 3/2; 7)3-3«/2+6arctgl; 8) ln
+ -Д=- In
jf 10
tg-£-3-/10
—л-----7^ +
tg-2—з+К ю
о
; 9> 4 : 10) - К 3-л/6+2К2+агс81п1.
ЗАДАНИЕ 30
l)lln-i; 2)1/6; 3) 1/5; 4) 1/4; 5) 1 In ; 6) Г 7 +
+ -| In 1 7) 81Л/16; 8) 1 arctg ; 9) л/3-
- arccos 4; 10) 2/”2—4^/2+4 In l±^C?+2.
О £,
ЗАДАНИЕ 31
1) 4 (8 К 2—l)/7; 2) 10/3;_3) 18; 4) 3/2—In 2; 5) 80/ln27;
6)3; 7)1; 8) 2(6 ]Z 3—5 V 2)/3; 9) 53/15; 10) 3/2—ln'2.,
. ЗАДАНИЕ 32
1) 12; 2) 16/3; 3) 7/6; 4) 9(l/2+ln3); 5) e2—1; 6) л/2+l;
7) 9 / 3; 8) 1/3; 9) 88/15; 10) 8/5.
ЗАДАНИЕ 33
1)9/2; 2)9/2; 3) 8/3; 4) (15—16 In 2)/4; 5) 16 V 3/15;
6) .1/3; 7) i 8) бл/2; 9) 16; 10)11—6 In 3. ?ss
OJl
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
601
ЗАДАНИЕ 34
1) 32/3; 2) 81/2; 3) 1/3; 4) 4—3 In 3; 5) 8/3; 6) 5/12;
7) (Зл-4)/4; 8) 5л; 9) (4-1п 27)/2; 10) 90,5-6 In 2.
ЗАДАНИЕ 35 _
1. 1) 5/6; 2) 2л+4. 2. 1) 9/8; 2) 4/3. 3.-|(1п 2-1)+!^.
4. arctg (27/2) и arctg (27/4).
ЗАДАНИЕ 36
1.1)2(1 — 1п2);2)4л+8.2.1) 128/3; 2) (4 ]/”2+л/2-1б)/16.
8. y(ln2-l)+i-^-. 4. л-arctg А и л-arctg^.
Упражнения
1. 1) cos a-cos 6; 2) Д-Г0*+»-а*+>); 3) е-1; 4) 1; 5)4;
6) 1-4. 2. 1) In 2; 2) 16; 3) -J; 4) %; 5) 2; 6) 1; 7) ±;
л ’ ' 2 , } 1-+>а* 4 (n + l)(n+2)’ (п + 1)(п42)’
3) Где 2п!1 = 2*4«6..,2 (п—1)«2п и-(2п +1)!! = 135.-
'(2п4-1)!!
(/п+ \ \ . ( т \
cos { —я j sin I — л 1
...(2n—1) (2п+1); 4) --------------k±LJ.. 6. 1) Первое
sin#-
2п
число меньше; 2) первое число меньше; 3) первое число боль-
ше; 4) первое число меньше; 5) первое число меньше; 6) первое
число меньше; 7) первое число меньше; 8) первое число меньше;
3 1
9) первое число меньше. 7. 1) -j- sin 4х; 2) 3 tg Зх; 3) cos блг; 4) 0;
5) —4ctg4x; 6) 9. 1) у+^+х+С; 2) 2Г*+2л«/« +
+ 4*6/a+yX’/2+C; 3) £л’/*+^-1/«+С;4)1п|х|—1-х_4+С;
сч 25х 2 .лг > 4* I Г> ЙЧ 1 ( 1 V I 27
5) 1п25 In 10° + 1п4 +С’ 6) +1п4Х
(1 \лс . /32\* 1
т) +С’’ 7) Т —5¥+С; 8) — cos х—sinx-j-C;
Ч / \О / 1 OZ
,П5
1 3 1/” 9
9) —у ctg2x-f-С; 10) x+sinx4-C; 11)—(-—cos x+sinx)+C>
12 v I
i-i-iH-C; 13) tgx—jr-f-C; 14) — ctgx—x+Cj
602
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
15) —1=-1п
4‘”|Ы1+С; 161 Tarct"-jHx
Xarctg^=4-C; 17) —l-^-arctg *+<?; 18) In | x-f- П+? | +<?.
Ю. 1) _^.1п|х + 2|+±1п|х-1|+С;2)1х—}ln|14-2x|+(?;
3) ^(Зх+5)«+С; 4) ^(i_5x)»/»-§(l-5x)^+C;
5) g(l+4x)MA’+C; 6) ^(l-3x)*«-l(l-3x)2124-C;
7) 2 (l + x)7;2_.2(1+x)3/2+C; 8) ln(x«4-4)-
/ 0 О
-4arctg 4-FC; 9) гКхЧ^-З!!! |x+/F+4|+C;
10) —-U1— x2)8'2+C; 11) 4(1+x2)3'2+C; 12) i-arctg xs +C;
О и Z
13) 4-ln|^-4x+7|+-4=-arctg^+C; 14) 2КЙП+С;
z у з уз
15) ln|24-lnx|+C; 16) —21n| 1—e*|—x+C; 17) ycosx —
—-j^cosSx+C; 18)-g-sln 3x—j^sin5x+C; 19) —2 cos К x+C;
О
20) x/2—sin2x/44-C; 21) 5x4-2 sin 2#—~cos2x+^;
22) — cos <?*-{-C; 23) —-i- ctg 7х-±-С; 24) A-In | tg(3x/2+n/4)| +<?;
25) | tg (х/24-я/8) Ц-С; 26) tg^^C. 11.1) —^-xW
4--g-(2—x)5'2—|-(2—x)8/2+C; 2) 2-(i_x2)3/2 _
3) Л cos1»/3 x—4 cos4/8 x-FC; 4) tgx-F-|-tg8x-FC; 5) — ctgx —
— 4-ctg?x+C; 6) 4-tg3x+4-tgsx+C; 7) —x—2e~*/2 +
О dO
+21n(l+^'2)+C; 8) x-ln|l + VTT^I+C; 9)-^g?x
1 3tg|+l
X(2—5x3)6/3+C; 10) pA=-arctg - - y--—FC; 11) 2arcstay —
—±У"4^+С; 12) — 1-~— -arcsin x+C; 13) — 1Q^-—
1. I 1 +/*1 4-X2l 1J|4 tg4x tg^x .
— -g- In j-------1 4~£» 14) —-------g---In j cos x 14- C;
ОТВЕТЫ Й УКАЗАНИЯ
603
15) x-tgl-f-C; 16) 2Kl + x-2ta(l + Kl+x)+C;
17) -|-(1+х)2^~3(1+х)^»+31п|1+|/Г+^1+С; 18) ~-х
191 7,п<1Т??+е; м>Йагс,87Й+е'
»'* 1 1 v2__1 х I
2,) Frrctg7rs+C; 22) iRTW+2arct^+C;
23) .. , х —UC. 12. 1) х 1п2х+2х1пх+2х+С; 2)
V1—х2 3
Xln(l+x)-j+J—J+C; 3) * arctg х~1 In (1+х2)+С;
4) xarcctgx-]-l In (1 4-х2)4-С; 5) у In (14-1 'j i- х —
— 11п| 1-)-х|4-С; 6) — у4""ф*’ arctgх4-С; 7) yarcsinx —
—1arcsinх4~ф V1 — хг; 8) y(sinlnx—coslnx)4-C;
9) 1=^ cos2x4-4 sin 2X4-C; 10) 11+fEg 4-
4-C; 11) —2~^* Kl-x24-yarccosx4-C; 12) (14-x) arctg V"x—
a2X _z>~2x
— / x+C', 13) -g-(2—sin2x—cos2x)4-C; 14) —-—x
x(x24-x+4)+C: 15) -^-е‘хг+с;16)^-^1пЩ+С;
17) 2(K~x—l)ev~+C-, 18) 2(6-x) Kxcos Kx-6(2-x)x
Xsin/74-С; l^^arcsin^-yK^Tsign x+C; 20)-уф-^ +
4-1 arctg x+C. 14. l)2,5-ln2; 2)^; 3) ^|=1; 4) 1;
5) Ц; 6) 0; 7) 1; 8) -2л2; 9) 14; 10)2.1; 11) 200/ 2^
О Ю о
12) Зл/8; 13) 11пЗ—л/2КЗ; 14) 1/6; 15) 14-1п(7!).
15. 1) (27—1)/7—(2е—1)/6; 2) 8/315; 3) 2/15; 4) (]/~ 3— /"2)/2;
5) ла2/4; 6) л2а4/16; 7) 2—л/2; 8) у=-1п —; 9) л//2?
19. 1)1(5е»-2); 2) 4л; 3) 2(1-1/е); 4) =р(4-л)-|-11п2;
5) л2/2—4; 6) у (sin 24-cos 2) —(sin 1 + cos 1)]; 7) л/4 —
-gy=-4-llnl; 8) л2/6-л/4; 9) л2/4; 10) 4л/3-/3.
604
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
21. 1) 121,5; 2) 9; 3) 4/3; 4) 1/3; 5) 4,5; 6) 2/3; 7) 7/3;
8) (8 V 2 —3)/6; 9) 5/3; 10) 7/4; И) 2; 12) (бе—5)/3; 13) 3/2;
14) In 2; 15) 5 In (6/5)—0,5; 16) 14,5-J-ln 16; 17)8/9; 18)2; 19)1/3;
20) Зл. 22. 1) 4/3; 2) 1/6; 3) 1/6; 4) 9; 5) 9; 6) 125/6; 7) 64/3; 8) 4/3;
9) 7/15; 10) 2,5—6 In (3/2). 23. 1) 4/3; 2) 8. 24. 1) 16/3; [2) 18;
3) 1/3; 4) In 2—5/8; 5) (2e9 —101 )/6. 6) -+-Ц^. К7)4—In 3;
8) e—e-K 25. S=l. 26. (1/2; 5/4). 27J3/2; 2/3). 28. p=—1.
29.-S (2) = 32/3. 30. 1) 4—2/л; 2) л—^(1—л/8); 3) 11/3; 4)л.
31. y = xa—4x-{-3, 5 = б4-. 32. $ = -1-(x2 —Xi)8, гдехх, x2—кор-
о о
ни уравнения «уо = О.
h Oil
Дополнение
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
ИЗ ВАРИАНТОВ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ В МГУ ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВА
1. Найти область определения функции у = р/Л (Зх2—2х).
1 2
Отв. —тг<х < 0,
о о
3
2, Найти координаты точки графика функций у-х2—-^,
ближайшей к точке (2; — 1).
Отв. ^1; —
3. Найти координаты точки графика функции у=2 —х2,
(1 3 \
“Т » “о* ) •
4 " /
Л { 1 7\
ow. (д;
4. Найти такое значение х из промежутка — 1^х«с2, что
точка с абсциссой х и ординатой
£== 2х—
удалена на наименьшее расстояние от начала координат.
Отв. xmin=l.
5. Найти такое значение х из промежутка 1<;х<;3, что
точка с абсциссой х и ординатой
12-2x4-1
удалена на наибольшее расстояние от начала координат.
Отв. Ходах =2.
6. Найти наибольшее значение функции
__ 1
У~ —2х»+15х2—36x4-34
на отрезке 1 4.
°тв-
7. Найти наибольшее значение функции
__ 1
у~ — 2х34-Зх24-12х4-8
на отрезке — 3^х«с3.
Отв. ушах=1.
ДОПОЛНЕНИЕ
606
8. Найти наименьшее значение функции
__________________________1______
х3—6х2 4- 9х+20
на отрезке — 1 «С х «с 5.
Отв, ^miu=40«
9. Найти наибольшее значение функции
4
У=хз__| х|
на отрезке —l,l*cx«cl, 1.
Отв.
10. Найти наименьшее значение функции
3 ] | о
j/ = _|x| — X3
на отрезке — 0,7 ^х^ 0,7.
Отв. упнп = 0.
11. Решить неравенство
(х2 —4x4-3) log^— ^cos2 я*+cos *4-2sin2^=2.
Отв. х = 2.
12. Решить неравенство
(6х—10—х2) logy— 1 + cos2 x-|-sin2 л*4-4 sin2 ~ cos2 ^=—2.
Отв. х —3*
13. Решить уравнение
(2х 4-1) (2 4- Y (2х 4- 1 )2 4- 3) + Зх (2 + К9х24-3) == 0.
Отв. хг = 2К2+)/“2, x2=2Ks—2 V~2-
14. Решить уравнение
(2х+1) (1 + К (2х + 1)’4-7)+х (14- V^+7)=0.
- 1
Отв. х~——.
о
15. ^Решить неравенство
9 14-log3(*4-6)
х4-2 л х
„ 2
Отв. — -у < х < 0.
16. Доказать, что при всех х > 0 выполняется неравенство
15
x24-Jtx4~y nsinx > 0.
17. Доказать, что при всех х > 0 выполняется неравенство
х24~л;х+4я cos х > 0.
Г 1 11
I 5 ’ 3 Г
/ИГГСЙЙЕНЙЕ 607
18. Найти площадь фигуры, заданной на координатной пло-
скости соотношением
2 (2 —х)>] у-х* | + | ^+х2|.
Отв, 15.
19. Найти площадь фигуры, заданной на координатной пло-
скости соотношением
w р—+2|4+++2|<(*+2)-
Отв. -у.
20. Найти все значения параметра а, при каждом из кото-
рых область значений функции
а—cosx
^“~2a+sin2x— 1
содержит отрезок
Отв, ng [—-2; 0]U(0; 4/3).
21. Найти все значения параметра а, при каждом из
рых неравенство
| sin2 х-—2 (а— 1) sin х cos х+5 cos2x+2 — а | «С 6
выполняется при любых значениях х.
Отв, ag £1;
22. Найти все значения параметра а, при каждом из
рых неравенство
15 sin2 x+2n sinx cos x+cos2x+«+11^6
выполняется при любых значениях х.
[24 ।
23. Найти наибольшее значение величины а, при котором
неравенство
а Y ~а (^-2х+1)+»^— < «/^51 sin " х I
имеет хотя бы одно решение.
Л <
Отв,
10
кото-
291
5 Г
кото-
Справочное издание
ВАВИЛОВ Валерий Васильевич
МЕЛЬНИКОВ Иван Иванович
ОЛЕХНИК Слав Николаевич
ПАСИЧЕНКО Петр Иванович
ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Начала анализа
Заведующий редакцией Е. Ю. Ходан
Редактор А. Т, Цветков
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор Л, В. Лихачева
Корректоры: М. А. Смирнов, Н. Б._ Румянцева
ИБ № 32844
Сдано в набор 15.04.89. Подписано к печати 10.11.89.
Формат 84ХЮ8/з2. Бумага тип. № 2. Гарнитура лите-
ратурная. Печать высокая. Усл. печ. л. 31,92. Усл. кр.-отт.
31,92. Уч.-изд. л. 39,28. Тираж 150 000 экз. (1-й завод
1—75 000 экз.). Заказ № 670. Цена 2 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Крас-
ного Знамени МПО «Первая Образцовая типография»
Государственного комитета СССР по печати.
113054, Москва, Валовая, 28.
Отпечатано в типографии № 2 Госкомиздата РСФСР.
152901, г. Рыбинск, ул. Чкалова, 10.