УДК 593

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ СРЕД
c 2020 г.

М. У. НИКАБАДЗЕ

СОДЕРЖАНИЕ

1. О некоторых недостатках классической теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Различные подходы к построению математических моделей сред со структурой . . . . .
Глава 1. О некоторых основополагающих аксиомах механики сплошных сред . . . . . . . .
3. Аксима 1 (аксиома сплошности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Примерная иерархия структурных уровней материи. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Классификация по характерным масштабам расстояния lo и времени t0 . . . . . . .
4. Аксиома 2 (евклидовость пространства) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Аксиома 3 (существование абсолютного времени) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Некоторые вспомогательные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Пространственные (эйлеровы) и материальные (лагранжевы) координаты . . . . . .
7. Аксиома 4 (аксиомы сохранения массы и тензора микроинерции (момента инерции микрочастицы)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Аксиома 4.1 (аксиома сохранения массы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Аксиома 4.2 (аксиома сохранения тензора микроинерции (момента инерции микрочастицы)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Уравнения неразрывности в переменных Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему . . . . . . . . .
7.5. Уравнения неразрывности в переменных Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Аксиома 5 (аксиома изменения количества движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Аксиома 6 (аксиома изменения момента количества движения микрополярной теории .
9.1. Определяющие соотношения в мокрополярной теории упругости . . . . . . . . . . .
9.2. Теорема живых сил в микрополярной теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Аксиома 7 (аксиома изменения полной энергий микрополярной теории) (первый закон
термодинамики) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Аксиома 8 (аксиома притока тепла) (второй закон термодинамики) . . . . . . . . . . . .
11.1. Граничные и начальные условия теплового содержания . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Постановки начально-краевых задач в термомеханике твердого деформируемого тела .
Глава 2. Определяющие соотношения классической и микрополярной теорий упругости . .
13. Определяющие соотношения для модели линейного упругого тела . . . . . . . . . . . .
Глава 3. О представлениях решений задач в классической теории упругости . . . . . . . . .
14. Представления решений динамических задач в классической теории упругости . . . . .
14.1. Представление решения динамических задач для изотропного материала в классической теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15. Граничные и начальные условия. Постановки начально-краевых задач в динамической
классической теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1. Кинематические граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2. Статические граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3. Смешанные граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4. Начальные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5. Постановки начально-краевых задач в динамической классической теории упругости

5
5
7
7
8
8
8
9
10
10
10
10
11
12
13
13
13
14
15
17
17
18
21
22
22
22
29
29
29
30
30
31
31
31
31

c 2020 МГУ им. М.В.Ломоносова

3

4

ВВЕДЕНИЕ

15.6. Представление решения динамических задач для трансверсально-изотропного материала в классической теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7. Представление решения динамических задач для ортотропного материала в классической теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16. Представления решений динамических задач в классической плоской теории упругости
Глава 4. О представлениях решений задач в микрополярной теории упругости . . . . . . .
17. Представления решений динамических задач в микрополярной теории упругости . . . .
17.1. Представление решения динамических задач для изотропного материала в микрополярной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2. Представление решения динамических задач для трансверсально-изотропного материала в микрополярной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3. Представление решения динамических задач для ортотропного материала в микрополярной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18. Представления решения динамических задач в микрополярной плоской теории упругости
Глава 5. Традиционное расщепление начально-краевых задач в анизотропной линейной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19. Уравнения движения относительно векторов перемещений и вращений для упругого
материала без центра симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20. О статических граничных условиях в линейной трехмерной микрополярной теории
упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21. Расщепление уравнения движения для однородной изотропной микрополярной среды .
22. Расщепление статических граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23. Характеристическое уравнение для тензорно-блочного матричного оператора второго
ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24. Расщепление уравнений в перемещениях классической теории упругости для
трансверсально-изотропного тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25. Расщепление статических граничных условий классической теории упругости для
трансверсально-изотропного тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26. Канонические представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26.1. Определитель и тензор алгебраических дополнений суммы шести тензоров . . . . .
26.2. Характеристическое уравнение линейной комбинации тензоров второго ранга . . .
27. Канинические представления тензора-оператора уравнений и его определителя, а также
тензора-оператора напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.1. Случай изотропной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2. Квазистатическая задача микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28. Условия совместности деформации. Тензор кривизны Римана–Кристоффеля . . . . . . .
28.1. Условия совместности деформации в классической теории . . . . . . . . . . . . . .
28.2. Условия совместности в напряжениях. Уравнения Бельтрами–Мичелла . . . . . . .
28.3. Традиционная и новая постановки краевой задачи в напряжениях . . . . . . . . . .
28.4. Вариант условия совместимости относительно тензора деформаций для изотропного упругого материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.5. Традиционная и новая постановки краевой задачи относительно тензора деформаций
28.6. Тензор кривизны Римана–Кристоффеля. О числе независимых условий совместности деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.7. Условия совместности деформации в микрополярной теории . . . . . . . . . . . . .
28.8. Традиционные условия совместности в тензорах напряжений и моментных напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.9. Условия совместности в тензорах напряжений и моментных напряжений со симметричными тензор-операторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29. Традиционная и новая постановки краевой задачи относительно тензоров напряжений
в моментных напряжений в микрополярной теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29.1. Традиционная постановка краевой задачи относительно тензоров напряжений и
моментных напряжений в микрополярной теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31
31
32
32
32
32
34
34
34
34
35
35
37
38
39
39
40
42
42
43
44
45
45
46
46
52
54
54
57
57
60
62
63
64
64

2. РАЗЛИЧНЫЕ

ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СРЕД СО СТРУКТУРОЙ

29.2. Новая постановка краевой задачи относительно тензоров напряжений и моментных
напряжений в микрополярной теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30. Определяющие соотношения некоторых математических моделей сплошных сред . . . .
30.1. Определяющие соотношения идеальной и вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . .
30.2. Определяющие соотношения повторно-градиентной теории упругих тел . . . . . . .
30.3. Определяющие соотношения теории вязкоупругости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.4. Определяющие соотношения повторно-градиентной теории вязко-упругих тел . . .
30.5. Определяющие соотношения теории пластичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30.6. Определяющие соотношения теории Миндлина–Ерингена . . . . . . . . . . . . . . .
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

64
65
65
65
65
65
65
65
66

ВВЕДЕНИЕ
1.

О

НЕКОТОРЫХ НЕДОСТАТКАХ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Классическая теория упругости оказывается не в состоянии удовлетворительно объяснить закономерности некоторых явлений, которые можно наблюдать в реальных упругих телах, не говоря о
телах другой реологии.
1. На основании классической теории упругости не удается объяснить и предсказать законы
распространения коротких акустических волн в кристаллических твердых телах, поликристаллических металлах и высоких полимерах.
2. Классическая теория также не дает достаточно удовлетворительной согласованности ее результатов с экспериментальными данными для тел с ярко выраженной поликристаллической структурой в условиях сложного напряженного состояния с большим градиентом напряжений. В частности, эта теория не может дать какого-либо вразумительного объяснения влиянию градиента
напряжений на усталостные характеристики поликристаллических материалов. (Причину этой
несогласованности теории и опыта, очевидно, надо искать в том, что сплошная упругая модель
твердого тела, лежащая в основе классической теории упругости, принципиально не в состоянии
отобразить те упругие свойства реальных тел, которые определяются их дискретной структурой.
Следовательно, для объяснения этих явлений нужно новая модель твердого тела механики сплошной среды, в которой свойства, вытекающие из дискретной структуры реальных тел, были бы явно
отражены).
3. Дисперсия упругих поверхностных волн Рэлея, не могут быть объяснены в рамках классической модели сплошной среды. В рамках же среды Коссера (или более обобщенной среды) этот
эффект имеет объяснение. При этом степень затухания амплитуды рэлеевской волны с глубиной,
а также эллиптичность волны зависят от материальных констант среды, в том числе и от параметров, описывающих моментные свойства. Это обстоятельство позволяет надеяться на эффективное
применение такого типа волн в возможных экспериментальных исследованиях, направленных на
обнаружение моментного поведения материала и далее на определение материальных параметров.
4. Предположения классической теории приводят к некорректностям в теориях трещин и дислокации, а также при рассмотрении тел с угловыми (иррегулярными) точками.
В 2009 году во Франции был симпозиум, посвященный монографии братьев Коссера:
«Cosserat E. and Cosserat F. Theorie des Corps Deformables. Hermann et Fils, Paris, 1909.»
На основании вышесказанного заключаем, что необходимо и актуально рассматривать среды с
микроструктурой, а также создать соответствующие трехмерные и двумерные теории.
2.

РАЗЛИЧНЫЕ

ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СРЕД СО СТРУКТУРОЙ

В настоящее время достаточно четко сформировались три различных подхода к построению
математических моделей сред, отражающих внутреннее взаимодействие элементов структуры:
1) континуальный подход базируется на обобщении континуальной модели среды за счет расширения понятия представительного объема среды, учета ротационных степеней свободы микрочастиц и аффинных деформаций мезообъема (континуум Коссера, микроморфная среда ЭрингенаМиндлина). Основные трудности этого подхода заключаются в выявлении физического

6

ВВЕДЕНИЕ

смысла моментных напряжений высших порядков и в отсутствии теории макроскопических
экспериментов, на основании которых можно было бы найти связь материальных констант
среды с параметрами ее микроструктуры;
2) структурно-феноменологический подход связан с теорией кристаллической решетки и физикой твердого тела;
3) статистический подход основан на пространственном усреднении свойств микронеоднородных
сред и переходе от уравнений движения микроэлементов к рассмотрению уравнений макродвижений, отражающих взаимодействие элементов микроструктуры.
Так как мы в основном будем заниматься континуальным подходом к построению математических моделей сред со структурой, то подробней остановимся на этом подходе. Континуальный подход, базируется на понятиях полярности и нелокальности материала, имеющего
микроструктуру. Полярность указывает на то, что, помимо деформации окрестности частицы
структуры, допускается ее жесткое вращение, в общем случае не связанное с полем перемещений, а нелокальность указывает на зависимость физических свойств материала от влияния
частиц окружения. Мысленное разбиение тела на части ограничено некоторым пределом, выражающимся в том, что на некотором уровне происходит качественное изменение физических
свойств. Существуют материалы, у которых качественные изменения происходят постепенно, но
у кристаллических твердых тел этот предел выражен достаточно четко. Получение представлений о пределах, проявляющихся при измельчении материалов с микроструктурой, представляет
проблему поэтапного познания материи. По мере накопления знаний о микроструктуре, которая
влияет на механическое поведение материалов, происходит переход на новый уровень познаний,
способствующий создавать теорию, позволяющую с новых позиций объяснить механическое поведение. Для укрепления фундаментальной базы теории соответствующего этапа должна быть
установлена связь между характеристиками уровня микроструктуры и макроскопическими характеристиками. Поэтому большая роль отводится механике субмакроскопического уровня, устанавливающей переход от микро- к макро-, а также критерии макро- и микроскопических свойств.
К структурно-чувствительным материалам (материалам с микроструктурой) в чистом виде неприменима методология континуума. Тем не менее, допустимо распространение методов механики
сплошных сред, занимающейся изучением механического поведения материи на макроуровне, на
микроуровень. Они оказываются весьма эффективными для объяснения поведения материалов.
По классификации Ерингена А. К. (Eringen A. C.) рассматривают различные среды с микроструктурой (микроконтинуальные среды), в частности, микроконтинуум уровня N. В этом случае
внутренняя структура (кинематика) среды описывается с помощью N векторов, называемых векторами структуры. В случае микроконтинуума уровня N=1 рассматривают следующие среды:
1. Микроморфный континуум (микроморфная среда) (micromorphic continua): полимеры
с гибкими молекулами, жидкие кристаллы с боковыми цепями, кровь животных с деформируемыми клетками (ячейками), суспензии с деформируемыми элементами, турбулентные жидкости с
гибкими вихрями (воронками) и др.
2. Микроконтинуальная среда с растяжением-сжатием (microstretch continua): легкие животных, шипучие жидкости, гидросмесь, жидкий цементный раствор, глинистая суспензия, жидкая глина, загрязненные атмосфера и жидкости, упругая суспензия, смеси с дыхательными элементами, пористая среда, биологические жидкости: колонии насекомых, вирусов, маленьких животных, рыб, которые живут в земле, воздухе и морях и др.

Следует заметить, что «вес одного коронавируса – 0,85 оттограмм = 0,85x10−18 грамм =
85x10−20 грамм». Чтобы поразить одного человека нужны примерно 70 миллиардов = 7x1010
вирусов с весом 5,95x10−8 грамм. Известно, что общая численность инфицированных в мире было около 4 миллионов = 4x106 . Общий вес вирусов, поразивших такое количество людей – 0,238
грамм. Значит, 0,238 грамм (!) вирусов поставил на дыбы все человечество. Какое тут сравнение
с мегатоннами тротила всех ядерных бомб вместе взятых?. . .
В 1945 году на Хиросиму в Японии США бросили бомбу с весом 500 килотонн тратила, и было
уничтожено 300000 = 3x105 человек. Значит, для уничтожения 4 миллиона человека понадобилось
бы 13,33x500=66 665 килотонн (тратила)»...

3. АКСИМА 1 (АКСИОМА

СПЛОШНОСТИ)

7

3. Микрополярная среда (micropolar continua): жидкие кристаллы с твердыми молекулами,
твердые суспензии, кровь животных с твердыми клетками, композиты с рубленными волокнами (chopped fiber composite), кости, магнитные поля, облака с пылью, бетон с гравием, мутная
жидкость и др. Общие теории перечисленных выше сред довольно подробно излагаются в монографии Ерингена А.К. (A. Cemal Eringen Microcontinuum Field Theories I. Foundations and Solids.
Springer-Verlag New York, Inc., 1999).

ГЛАВА 1
О НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ СРЕД
Объектами механики сплошных сред являются материальные тела, которые — часть всеобщей
материи. Более близкое к математике определение тела можно дать следующим образом: материальное тело — множество B, состоящее из элементов M , называемых материальными частицами.
В свою очередь материальная частица, размеры которой сколь угодно малы, состоит из континуального множества материальных точек. Само понятие материальной точки в МСС является
первичным — аксиоматическим так же, как понятие геометрической точки в геометрии. В частности, для материальной точки можно дать следующее определение: Геометрическая точка, которая
имеет массу, называется материальной точкой. В силу сказанного выше для сплошной среды можно дать следующее определение.
Определение 2.1. Сплошной средой называется материальное тело B, для которого существует
взаимно-однозначное отображение Fe, ставящее в соответствие каждой материальной точке M ∈ B
ее образ в некотором в метрическом пространстве χ, т.е.
Fe : B → Fe(B) ⊂ χ,
или
A = Fe(M ),

M ∈ B,

A ∈ χ.

(2.1)

Множество всех сплошных сред B называется вселенной U .
Взаимно-однозначное отображение материальных точек и точек метрического пространство χ
позволяет изучать не само материальное тело, а только ее образ. Поэтому в дальнейшем различие
между материальной точкой и ее образом делать не будем.
Данное выше определение обычно дополняют тремя основными аксиомами.
3.

АКСИМА 1 (АКСИОМА

СПЛОШНОСТИ)

Аксима 1 (аксиома сплошности). Образ Fe(B) сплошной среды́ B образует континуальное
множество (континуум) в пространстве χ.
Аксиома сплошности вводит основную модель МСС — континуальное множество, которое является идеализацией реальных тел, состоящих из дискретных атомов и молекул. С физической
точки зрения, существует предельное расстояние lmin , при уменьшении которого (l 6 lmin ) в
окрестности материальной точки M ∈ B может не оказаться ни одной материальной точки. В
сплошной среде́ (и в ее образе) в любой как угодно малой ε-окрестности U (A) любой точки
A ∈ Fe(B) ⊂ χ содержится бесконечное число других точек этой среды́. Следовательно, аксиома
сплошности можно еще сформулировать в виде: среда́ называется сплошной, если в любой как
угодно малой окрестности любой ее точки находится бесконечное число других точек этой среды.
Таким образом, сплошная среда является моделью реальных тел и при интерпретации результатов
расчетов в МСС по отношению реальным телам для расстоянии между точками l 6 lmin следует
относиться осторожно. Однако, несмотря на это, в целом применение аксиомы сплошности весьма эффективно, так как она позволяет использовать методы математического анализа, тензорное
исчисление и других математических наук.

8

ГЛАВА 1. О

НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

3.1. Примерная иерархия структурных уровней материи. Для обозначения границ применимости методов МСС рассмотрим примерную иерархию структурных уровней материи, которым
соответствуют различные характерные размеры (масштаб l0 ):
1) элементарные частицы и поля – l0 ∼ 10−15 м;
2) атомы и молекулы – 10−12 м 6 l0 6 10−8 м;
3) микро- и мезо-системы – 10−8 м 6 l0 6 10−3 м (вирус – l0 ∼ 10−6 м );
4) макроскопические тела – 10−3 м 6 l0 6 103 м;
5) геологические системы – 103 м 6 l0 6 107 м
6) планеты и другие астрофизические системы – l0 > 107 м.
Следует заметить, что ощутимые размеры (электронные микроскопы и телескопы) меняются в
промежутке 10−34 м 6 l0 6 1026 м. Например, радиус галактик — ∼ 1020 м, расстояние от Земли до
Солнце — 1, 5 × 1011 м, радиус Земли — 6, 371 × 106 м, радиус вируса — ∼ 10−6 м, радиус атома —
∼ 10−10 м, радиус протона — ∼ 10−14 м,
Приведенная классификация достаточно условна и указанные границы расплывчаты. Тем не
менее она отражает важную особенность материи — иерархию ее структурных уровней: низшие
уровни «вложены» в высшие. Например, атомы и молекулы состоят из элементарных частиц, а
макроскопические тела — из атомов и молекул. Классическими объектами МСС являются субстанции материи, находящиеся на 3-, 4- и 5-м структурных уровнях, т.е. в которых содержится
«много» атомов и молекул, но в то же время их масштаб l0 существенно меньше расстояний,
характерных для астрофизических объектов.
3.2. Классификация по характерным масштабам расстояния lo и времени t0 . Ниже приведем характерные величины расстоянии и времени, применяемые в различных теориях:
1) квантовая механика – 10−11 м 6 l0 6 10−10 м, 10−16 с 6 t0 6 10−12 с;
2) молекулярная динамика – 10−9 м 6 l0 6 10−6 м, 10−13 с 6 t0 6 10−10 с;
3) дислокационная динамика – 10−8 м 6 l0 6 10−5 м, 10−12 с 6 t0 6 10−8 с;
4) динамика границы зерна (Grain Boundary Mechanics) – 10−6 м 6 l0 6 10−3 м, 10−10 с 6 t0 6
−6
10 с;
5) континуальная механика (МСС) – l0 > 10−3 м, t0 > 10−6 с;
4.

АКСИОМА 2 (ЕВКЛИДОВОСТЬ

ПРОСТРАНСТВА)

Аксиома 2 (евклидовость пространства). В качестве метрического пространства χ, в котором
рассматривают сплошные сре́ды, можно выбрать метризованное точечно-евклидово трехмерное
пространство Єa3 , χ = Єa3 .
Тогда отображение (28.74) можно записать следующим образом:
Fe : B → Fe(B) ⊂ Єa3 ,
или
(4.1)
A = Fe(M ), M ∈ B, A ∈ Єa3 .
Таким образом, аксиома 2 позволяет применять для описания материальных точек сплошной
среды инструментарий точечно-евклидовых пространств: в пространстве Єa3 может быть введена
единая для всех сплошных сред прямоугольная декартова система координат Ok1 k2 k3 , представляющая собой совокупность некоторой точки O и ортонормированного базиса ki (i = 1, 2, 3). В
этой системе координат Ok1 k2 k3 каждой материальной точке M взаимно-однозначным образом
−−→
ставится в соответствие ее радиус-вектор r = OM . Расстояние l(M, N ) между точками M и N
измеряют с помощью длины вектора
−−→ −−→
l(M, N ) = |M N | = (M N · M N )1/2 .
С физической точки зрения аксиома 2 вполне приемлема для тел «не слишком большим» расстоянием l между точками l 6 lmax , где lmax — расстояние, соответствующее примерно 5-му
структурному уровню подраздела 1.1.
Длина l(M, N ) задает метрику в пространстве Єa3 , поэтому его называют метрическим.

5. АКСИОМА 3 (СУЩЕСТВОВАНИЕ

АБСОЛЮТНОГО ВРЕМЕНИ)

9

N Вспомним определение метрического пространства. Понятие метрического пространства —
одно из важнейших понятий современной математики.
Определение 4.1. Метрическим пространством [15] называется пара (X, ρ), состоящая из некоторого множество (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ(x, y), определенной для любых x и y из X и одчиненной
следующим трем аксиомам:
1) ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y,
2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии),
3) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) (аксиома треугольника).
Само метрическое пространство, т.е. пару (X, ρ), как правило, обозначается одной буквой. Например, R = (X, ρ). H
В метризованном пространстве определено понятие области V , а в точечно-евклидовом — понятие прямой и плоскости. Кроме того, в метризованном пространстве определяется понятие сходимости последовательности точек, непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости функций
и др.
В силу изоморфизма точечно-евклидовых пространств одинаковой размерности в качестве пространства Єa3 всегда можно рассматривать пространство элементарной геометрии E3a , точками в
котором являются обычные геометрические точки, а векторы можно изобразить направленными
отрезками в пространстве. Пространство E3a позволяет наглядно геометрически изображать различные объекты МСС. В качестве присоединенного к Єa3 векторного пространства в МСС обычно
рассматривают либо E3 , либо R3 . Поскольку Єa3 — конечномерное, а Fe(B) ⊂ Єa3 — континуальное
множество, являющееся компактным, то оно замкнуто и ограничено. Так как множество Fe(B)
является кроме того связным, то можно ввести такую ограниченную область V ⊂ Єa3 , что ее
замыкание V совпадет с Fe(B):
V = Fe(B).
Область V содержит все внутренние точки множества Fe(B) и будет широко использоваться в
дальнейшем.
Рассмотрим пару (M, t), где M ∈ B, t ∈ R+0 — некоторое неотрицательное вещественное число.
эта пара является элементом декартова произведения B × R+0 .
5.

АКСИОМА 3 (СУЩЕСТВОВАНИЕ

АБСОЛЮТНОГО ВРЕМЕНИ)

Аксиома 3 (существование абсолютного времени). Для всякой сплошной среды B существует отображение
F : B × R+0 → V ⊂ Єa3 ,
или в виде функции
A = F (M, t),

M ∈ B,

t ∈ R+0 ,

A ∈ V ⊂ Єa3 .

(5.1)

Параметр t называют абсолютным временем (или просто временем). Отметим, что обе аксиомы
1 и 3 устанавливают соответствия между точками M и A, для исключения неоднозначности
полагают выполненным условия согласования: предполагают, что отображение (2) совпадает с
(3) для некоторого значения t = t1 :
Fe(M ) = F (M, t1 ),

∀M ∈ B.

(5.2)

Аксиома 3 позволяет изучать движение тела B, которое определяется как изменение радиус−−→
векторов r = OM материальных точек M ∈ B в единой для всех M ∈ B системе координат
Ok1 k2 k3 при изменении времени t.
Для одной и той же материальной точки M при разных значениях времени t1 и t2 получаем,
вообще говоря, различные радиус-векторы r1 и r2 в системе координат Ok1 k2 k3 .
Абсолютизм времени проявляется в том, что само t не зависит от радиус-вектора r точки M в
системе координат Ok1 k2 k3 , т.е., говоря физическим языком, «время течет одинаково» для всех
материальных точек M . Физически эта аксиома справедлива только для движения тел со скоростями много меньше скорости света, в противном случае становится существенными релятивистские

10

ГЛАВА 1. О

НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

эффекты и аксиома 3 перестает адекватно описать реальные процессы (явления). Релятивистские
эффекты в данном курсе МСС не рассматриваются.
6.

НЕКОТОРЫЕ

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1. Пространственные (эйлеровы) и материальные (лагранжевы) координаты. Пространственная система координат эта система, которая связана с пространством, относительно которого
происходит движение сплошной среды. Координаты точек среды в пространственной системе координат называются пространственными или эйлеровыми координатами. Часто их обозначают через
x1 , x2 , x3 (с индексами наверху!). Материальные (лагранжевы) координаты — тройка чисел, которые приписываются каждой точке (частице) сплошной среды и которые остаются неизменными
в процессе движения. Часто их обозначают через q 1 , q 2 , q 3 и называют еще индивидуальными
координатами.
Движением среды определяется место каждой ее частицы в любой момент времени t, которое
задается радиус-вектором
r = r(q 1 , q 2 , q 3 , t).
(6.1)
Соотношение (28.77) называется векторным уравнением сплошной среды (СС). В момент времени
t (28.77) в пространстве определяет область, обозначаемая через V и называемая актуальной конфигурацией (АК) СС. При t = t0 (часто принимают, что t0 = 0) (28.77) в пространстве определяет
◦

область, обозначаемая через V и называемая отсчетной конфигурацией (ОК) СС. При t = 0, т.е.
◦
в начальный момент времени радиус-вектор точки СС обозначается через r. Следовательно, из
(28.77) имеем
◦
(6.2)
r = r(q 1 , q 2 , q 3 , 0).
◦

Следует заметить, что необязательно считать, что отсчетная V -конфигурация является одной
из актуальных конфигураций при фиксированном t (например, при t = 0), однако часто это во
многих случаях удобно. Координаты r в пространственной системе координат, как было сказано
◦
◦ ◦ ◦
выше, обозначим через x1 , x2 , x3 , а координаты r — через x1 , x2 , x3 . Обозначая ортонормированный
базис пространственной системы координат через ki , i = 1, 2, 3, будем иметь1
◦

r = xi (q 1 , q 2 , q 3 , t)ki ,

◦

◦

(6.3)
r = xi (q 1 , q 2 , q 3 )ki .
→
−
Далее наряду с ki , i = 1, 2, 3, применяются и обозначения k i , i = 1, 2, 3 и некоторые приведенные
выше соотношения повторяются.
Зметить, что криволинейные координаты q i , i = 1, 2, 3, могут быть декартовыми координатами,
обозначаемые, например, через ai , i = 1, 2, 3, радиус-вектора частицы в отсчетной конфигурации
Сюда надо включить материал на дополнительных листах (см. pdf-файл).
снепщшгорпекв47к879шьтоимс754к899лщз
гакевгзхэдэлзщор8щнуы544е9хзрпску7хъ
АКСИОМЫ МСС
7.

АКСИОМА 4 (АКСИОМЫ

ПРОДОЛЖЕНИЕ

СОХРАНЕНИЯ МАССЫ И ТЕНЗОРА МИКРОИНЕРЦИИ

(МОМЕНТА

ИНЕРЦИИ

МИКРОЧАСТИЦЫ))

7.1. Аксиома 4.1 (аксиома сохранения массы). Для всякой сплошной среды B существует
скалярная функция M (B, t) (т.е. отображение M : B × R+0 → R+ ), называемая массой сплошной
среды (СС) и обладающая следующими свойствами:
1) M > 0 (положительность),
2) M (B1 + B2 , t) = M (B1 , t) + M (B2 , t), ∀B1 , ∀B2 , ∀t > 0 (аддитивность),
3) инвариантность по отношению к любым преобразованиям координат и к любым движениям.
1

Применяются обычные правила тензорного исчисления [8, 22, 43, 45, 65]. В частности, строчные латинские индексы
принимают значения 1, 2, 3, а прописные — 1, 2. По повторяющимся строчным латинским индексам происходит
суммирование от единицы до трех, а по повторяющимся прописным латинским индексам — от единицы до двух.

7. АКСИОМА 4 (АКСИОМЫ

СОХРАНЕНИЯ МАССЫ И ТЕНЗОРА МИКРОИНЕРЦИИ

(МОМЕНТА

ИНЕРЦИИ МИКРОЧАСТИЦЫ))

11

Из последнего свойства следует, что масса в любой актуальной конфигурации не меняется
(7.1)

M (B, t) = const (= M (B, t0 )).

Замечание. Закон сохранения массы имеет место только для СС, которое содержит один и те
же материальные точки на всем рассматриваемом промежутке времени [0, t]. Если же среда B
во время движения "теряет"материальные точки или наоборот, их "приобретает"(в этом случае
говорят, что происходит фазовые превращение сред), то закон сохранения массы в форме (7.2) не
выполняется. Также закон сохранения массы не будет выполняться если отказаться от аксиомы
3 и рассматривать движения со скоростями, близкими к скорости света, однако в классической
МСС релятивистские явления не рассматриваются.
Закон (7.2) можно записать в другой форме
dM
= 0.
dt
Из аддитивности массы следует, что M можно представить в виде
R
M = dm,

(7.2)

(7.3)

V

где dm — масса элементарного объема dV , содержащего материальную точку M из рассматриваемой области V СС.
Определение 7.1. Отношение
ρ=

dm
dV

(7.4)

называется плотностью вещества в точке M .
В силу положительности массы M и объема dV , масса dm и плотности ρ всегда положительны
ρ > 0,

(7.5)

dm > 0.

Учитывая (7.3) и (7.4), из (7.2) получаем
d R
ρdV = 0.
dt V

(7.6)

Следовательно, для элементарного объема (7.6) получить вид
d
(ρdV ) = 0.
dt
Отсюда в свою очередь имеем
◦

◦

(7.7)

ρdV = ρdV ,
◦

◦

где ρ и ρ — плотности вещества в АК и ОК конфигурациях соответственно, а dV — элементарный
объем в отсчетной конфигурации.
Соотношение (7.6) называется законом сохранения массы в интегральной форме, а (7.7) — в
дифференциальной.
7.2. Аксиома 4.2 (аксиома сохранения тензора микроинерции (момента инерции микрочастицы)). Следует заметить, что так как микрополярная сплошная среда состоит из континуального множества абсолютно твердых материальных микрочастиц, которые могут испытывать
жесткое вращение вокруг своих центров масс, то для изучения вращательного движения материальной микрочастицы надо ввести определения тензора момента инерции микрочастицы, для
которого аналогично массе имеет место закон сохранения. Обозначая тензор момента инерции
микрочастицы через J, его законы сохранения аналогично (7.6) и (7.7) можно представить в виде
e
Z
◦ ◦
d
JdV = 0, JdV = JdV .
(7.8)
dt e
e
e
V

12

ГЛАВА 1. О

7.3.

НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Уравнения неразрывности в переменных Лагранжа. Рассмотрим в ОК элементарный
◦

объем dV параллелепипеда, построенного на элементарных радиус-векторах, направленных по
◦
◦
ковариантным базисам (dr)α = rα dq α , hα = 1, 2, 3i. Следовательно, в АК ему соответствует объем
параллелепипеда, построенного на векторах (dr)α = rα dq α , hα = 1, 2, 3i1 . Элементарные объемы
◦

dV и dV в этом случае вычисляются с помощью формул
◦

q
◦
dV = (r1 × r2 ) · r3
= gdq 1 dq 2 dq 3 ,
√
dV = (r1 × r2 ) · r2 dq 1 dq 2 dq 3 = gdq 1 dq 2 dq 3 .
◦

◦

◦

dq 1 dq 2 dq 3

(7.9)

В инвариантной форме (7.9) можно представить следующим образом:
◦
1
1 ◦
dV = C ijk dq i ∧ dq j ∧ dq k , dV = Cijk dq i ∧ dq j ∧ dq k ,
3!
3!
q
◦
◦
√
C ijk = gЄijk Cijk = gЄijk .

(7.10)

Здесь ∧ — знак внешнего произведения и dq i ∧ dq j ∧ dq k = dq 1 dq 2 dq 3 Єijk , а Єijk и Єijk — символы
√
Леви-Чивиты. Заметим, что часто через V = g = (r1 ×r2 )·r2 обозначают объем параллелепипеда,
q
◦
◦
◦
◦
◦
построенного на ковариантных базисных векторах r1 , r2 и r3 в АК, а через V = g = (r1 × r2 ) · r3
◦

◦

◦

— объем параллелепипеда, построенного на ковариантных базисных векторах r1 , r2 и r3 в ОК.
◦

Заметим также, что выше через V и V мы обозначили области, занимаемые сплошной средой в АК
и ОК соответственно. В этой связи читателю следует быть внимательным при чтении материала.
Хотя, из контекста в каждом конкретном случае всегда видно, что эти буквы обозначают.
Нетрудно заметить, что в силу (7.7) и (7.9) (см. также (7.10)) имеем
s
◦
◦
◦
ρ
dV
g
∂xk
◦
= ◦ = ◦ = ◦ = det F, F = ∇r, ∇ = ri ∂i .
(7.11)
ρ
e
e
∂ xl
g
dV
Соотношение (7.11) — уравнение неразрывности в переменных Лагранжа.
Докажем теперь следующие применяемые часто соотношения:
∂v
d√
dri
√
= i = ∇i v j rj ,
g = g∇ · v.
dt
∂q
dt
Доказательство. Нетрудно видеть, что имеем
d
d ∂r
∂ dr
∂v
d√
d
ri =
= i
= i = ∇i v j rj ,
g = [(r1 × r2 ) · r3 ] =
dt
dt ∂q i
∂q dt
∂q
dt
dt
d


d 
d
=
r1 × r2 · r3 + r1 × r2 · r3 + (r1 × r2 ) · r3 = (∇1 v i ri × r2 ) · r3 +
dt
dt
dt
+(r1 × ∇2 v j rj ) · r3 + (r1 × r2 ) · ∇3 v k rk = (∇1 v 1 + ∇2 v 2 + ∇3 v 3 )(r1 × r2 ) · r3 =
√
√
= ∇i v i g = g∇ · v,

(7.12)

что требовалось доказать. Заметим, что при доказательстве второй формулы (7.12) была использована первая формула.
Упражнение 1. Доказать следующие формулы:
r
r
d g
d(dV )
g
dV
= ◦ ∇ · v,
= V ∇ · v,
= dV ∇ · v,
dt g◦
dt
dt
g

dV
◦

dV

=

r

g

◦.

g

(7.13)

Упражнение 2. Доказать справедливость формул
◦

◦

g = g det(E + 2εε) = g[1 + 2I1 (εε) + 4I2 (εε) + 8I3 (εε)],
e
e
e
e
e
◦
◦
r
p
dV − dV
ρ−ρ
g
=
= ◦ − 1 = 1 + 2I1 (εε) + 4I2 (εε) + 8I3 (εε) − 1.
◦
ρ
e
e
e
g
dV
1

Запись hα = 1, 2, 3i означает, что по повторяющемся греческому индексу α суммирования не происходит

(7.14)

8. АКСИОМА 5 (АКСИОМА

13

ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

◦

◦

Здесь E — единичный тензор второго ранга, ε — тензор деформаций, (dV −dV )/(dV ) называется
e
e
относительным
изменением объема.
Упражнение 3. Доказать формулы
d 1
1
√ = − √ ∇ · v,
dt g
g

d
Cijk = Cijk ∇ · v,
dt

d ijk
C = −C ijk ∇ · v,
dt

dri
= −∇v i .
dt

(7.15)

7.4. Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему. Рассмотрим интеграл


RRR
I(t) =
a r(t), t dV
(7.16)
V (t)

и найдем производную от него.
В силу второго и последнего соотношений (7.12) из (7.16) имеем
!
◦

r g ◦

r g


RRR d
d RRR
d RRR
I(t)
=
a r(t), t
a r(t), t
a r(t), t dV =
dV =
dV =
◦
◦
dt
dt V (t)
dt ◦
dt
◦
g
g
V
V
!




r
r
r
◦
RRR da
RRR da
RRR da g
d g
g ◦
+a
dV =
+ a∇ · v
+ a∇ · v dV.
=
◦ dV =
dt g◦
dt g◦
dt
dt
◦
◦
g
V
V

V

Таким образом, производная по времени от интеграла по подвижному объему представляется в
виде






RRR da
RRR ∂a
I(t)
d RRR
a r(t), t dV =
=
+ a∇ · v dV =
+ ∇ · (v ⊗ a) dV.
(7.17)
dt
dt V (t)
dt
∂t
V
V
Следует заметить, что формула (7.17) верна для любой тензорной функции любого ранга, в том
числе и для скалярной функции.
7.5. Уравнения неразрывности в переменных Эйлера. Применяя правило дифференцирования
по времени (7.13) к интегралу по подвижному объему (7.6), получим






RRR dρ
RRR ∂ρ
d RRR
ρ r(t), t dV =
+ ρ∇ · v dV =
+ ∇ · (ρv) dV = 0.
(7.18)
dt V (t)
dt
∂t
V
V
Так как (7.18) верно для произвольного объема V , то по лемме о равенстве нулю интеграла по
произвольному объему подынтегральная функция равна нулю, т.е.
dρ
∂ρ
+ ρ∇ · v =
+ ∇ · (ρv) = 0.
dt
∂t

(7.19)

Заметим, что соотношениями (7.18) и (7.19) даны различные представления уравнения неразрывности в эйлеровых координатах в интегральной и дифференциальной формах соответственно.
Упражнение 4. Исходя из (7.7) и используя третью формулу (7.13), доказать (7.19).
8.

АКСИОМА 5 (АКСИОМА

ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Определение 8.1. Вектор
Q=

RRR

vdm =

V

RRR

ρvdV

(8.1)

V

главным вектором количества движения СС с объемом V .
Аксиома 5 математически формулируется следующим образом:
dQ
d
=
dt
dt

ZZZ

ZZZ
ρvdV =

V

ZZ
ρFdV +

V

P(n) dS,
S

где F — вектор массовой силы, P(n) — вектор поверхностной силы.

(8.2)

14

ГЛАВА 1. О

НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Аксиома 5 можно сформулировать в виде: производная по времени вектора количества движения
равна главному вектору внешних массовых и поверхностных сил.
Следует заметить, что имеет места формула Коши, связывающая вектор поверхностной силы с
тензором напряжений [17, 40, 57, 71]:
n · P = P(n) ,
(8.3)
e
где n — единичный вектор нормали к поверхности S, P — тензор напряжений.
e (8.3) и формулу Остроградского-Гаусса
Учитывая закон сохранения массы (7.7), формулу Коши
(8.2) получим
 d RRR


 d RRR ◦ ◦
RRR
RR
RRR
RR
ρvdV =
ρFdV +
n · PdS ⇒
ρdV =
ρFdV +
P(n) dS ⇒
dt V
dt ◦
e
V
S
V
S
V
 RRR ◦ dv ◦


RRR
RRR
RRR dv
RRR
RRR
⇒
ρ dV =
ρFdV +
∇ · PdV ⇒
ρ dV =
ρFdV +
∇ · PdV ⇒
dt
dt
e
e
◦
V
V
V
V
V
V 


 RRR
dv
dV = 0
⇒
∇ · P + ρF − ρ
dt
e
V
т.е. имеем соотношение
RRR 
V

dv 
∇ · P + ρF − ρ
dV = 0.
dt
e

(8.4)

Отсюда по лемме о равенстве нулю интеграла по произвольному объему заключаем, что подынтегральная функция равна нулю, т.е.
dv
∇ · P + ρF = ρ .
dt
e

(8.5)

Таким образом, соотношение (8.5) является следствием 5-ой аксиомы.
9.

АКСИОМА 6 (АКСИОМА

ИЗМЕНЕНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ

Следует заметить, что в микрополярной теории, кроме массовых и поверхностных сил, различают массовых и поверхностных пар или другими словами массовых и поверхностных моментов,
которые надо учитывать при формулировке 6-ой аксиомы.
Определение 9.1. Вектор
KO =

RRR

(ρr × v + k)dV

(9.1)

V

главным вектором момента количества движения СС с объемом V или кинетическим моментом.
Здесь k = J · ω — вектор момента количества движения жестко вращающейся микрочастицы, J
e
e
ϕ — вектор угловой скорости микрочастицы,
— тензор момента
инерции микрочастицы, ω = (d/dt)ϕ
ϕ — вектор вращений микрочастицы.
Математическая формулировка аксиомы изменения главного вектора момента количества движения в микрополярной теории имеет вид
ZZZ
ZZZ
ZZ


dKO
d
=
(ρr × v + k)dV =
ρ(r × F + m)dV +
r0 × P(n) + µ (n) dS,
(9.2)
dt
dt
V

V

S

где m и µ (n) — векторы массовых и поверхностных пар соответственно. Их называют также
векторами массовых и поверхностных моментов.
Следует заметить, что наряду с (8.3) имеет место формула [17, 40, 57, 71]

где µ — тензор моментных напряжений.
e

n · µ = µ (n) ,
e

(9.3)

9. АКСИОМА 6 (АКСИОМА

15

ИЗМЕНЕНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ

Учитывая аксиому сохранения массы (7.7), аксиому сохранения тензора момента инерции микрочастицы, формулу Коши (8.3) и аналог формулы Коши (9.3), формулу Остроградского-Гаусса
(8.2), будем иметь
RRR d
d RRR
d RRR
d RRR
d RRR
(ρr × v + k)dV =
ρr × vdV +
kdV =
ρ(r × v)dV +
kdV =
dt V
dt V
dt V
dt
dt V
V
RRR
RRR
dv 

d RRR
dv
d RRR
=
ρ(v × v + r ×
dV +
kdV =
ρr ×
dV +
kdV,
dt
dt V
dt
dt V
V
V


RR 0
RR
RR
RRR
RR
r × P(n) + µ (n) dS = −
n · P × r0 dS +
µ (n) dS = −
∇ · (P × r)dV +
µ (n) dS =
e
e
S
S
S
V
S
RR
RRR
RR
RRR
−
(∇ · P × r + Pi × ri )dV +
µ (n) dS =
(r × ∇ · P + ri × Pi )dV +
µ (n) dS =
e
e
V
S
V
S
RRR
RR
2
=
(r × ∇ · P + C
⊗ P)dV +
µ (n) dS.
'
e
e
V
S
Таким образом,
RRR
d RRR
dv
d RRR
(ρr × v + k)dV =
ρr ×
dV +
kdV,
dt V
dt
dt V
V


RR 0
RRR
RR
2
r × P(n) + µ (n) dS =
(r × ∇ · P + C
⊗
P
)dV
+
µ (n) dS.
e ' e
S
V
S

(9.4)

Учитывая (9.4), из (9.2) получим

RRR

RRR
RRR
RR
2 

d RRR
dv
kdV =
ρ(r×F+m)dV +
r×∇ · P +C
⊗P dV + µ (n) dS
ρr× dV +
'
dt
dt V
e
e
V
V
S
V




RRR
RRR
RR
2
d RRR
dv 
⇒
kdV =
r × ∇ · P + ρF − ρ
dV +
ρm + C
⊗ P dV +
µ (n) dS .
'
dt V
dt
e
e
V
V
S

Отсюда в силу (8.4) находим
ZZZ
ZZZ
d
kdV =
dt
V

V

2



C
⊗ P + ρm dV +
'
e


⇒

ZZ
µ (n) dS.

(9.5)

S

Видно, что соотношение (9.5) выражает изменение главного вектора момента количества движения микрочастиц в объеме V
В силу (7.13), закона об изменении тензора момента инерции микрочастицы (7.8), аналога
формулы Коши (9.3) и формулы Остроградского–Гаусса, аналогично (8.5) будем иметь
2
ω
dk
dω
∇·µ +C
⊗
P + ρm =
+ k∇ · v = ρJ ·
.
'
dt
dt
e
e
e

(9.6)

Таким образом, соотношение (9.6) является следствием аксиомы изменения главного вектора
момента количества движения в микрополярной теории.
Соотношения (8.5) и (9.6) — векторные уравнения движения микрополярной среды (микрополярной теории) относительно тензоров напряжений и моментных напряжений. Выпишем вместе
эти уравнения
dv
∇ · P + ρF = ρ ,
dt
e

2
ω
dk
dω
∇·µ +C
⊗ P + ρm =
+ k∇ · v = ρJ ·
.
'
dt
e
e dt
e

(9.7)

9.1. Определяющие соотношения в мокрополярной теории упругости. В линейной микрополярной теории упругости определяющие соотношения (обобщенный закон Гука) для неоднородного
анизотропного тела без центра симметрии при малых перемещениях и вращениях и изотермических процессах имеют вид [17, 40, 57, 83]
2

2

κ,
P = A ⊗γγ + B ⊗κ
e
e e e e

2

2

κ
µ = C ⊗γγ + D ⊗κ
e e e e e

(γγ = ∇u − C
· ϕ,
'
e

ϕ),
κ = ∇ϕ
e

(9.8)

16

ГЛАВА 1. О

НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

а при неизотермических процессах в силу обобщенного принципа Дюгамеля–Неймана [17, 40, 57,
69, 71, 83] можно представить в виде
2
2
2
2
(9.9)
κ (T ) , µ = C ⊗γγ (T ) + D ⊗κ
κ (T ) ,
P = A ⊗γγ (T ) + B ⊗κ
e
e e
e e
e
e
e
e
e
ϕ
ϕ — тензор кручениягде γ = ∇u−C
·ϕ
—
тензор
деформаций
в
микрополярной
теории
[17], κ = ∇ϕ
'
e
(T
)
(T
)
e
γ
κ
ϕ
γ
= − aϑ,
= κ − dϑ, верхний
изгиба, u и
— векторы перемещений и вращений,
e
e
e иe моментных
e
e
индекс (T ) означает зависимость от температуры, P и µ — тензоры напряжений
e
T
e
напряжений, A, C = B и D — материальные тензоры четвертого
ранга, C
— дискриминантный
'
e e
e2
e
тензор третьего ранга, ⊗ — внутреннее 2-произведение [8,40–43,45], верхний индекс T обозначает
операцию транспонирования, ∇ — набла-оператор Гамильтона, ϑ — перепад температуры.
Учитывая выражение для γ , κ , γ (T ) и κ (T ) определяющие соотношения (9.9) можно записать в
e
e e e
форме
2

где

2

2

ϕ − A ⊗C
P = A ⊗∇u + B ⊗∇ϕ
· ϕ − bϑ,
e e
e
e '
e
2

2

2

2

ϕ − C ⊗C
µ = C ⊗∇u + D ⊗∇ϕ
· ϕ − β ϑ.
e
e '
e
e e

2

2

(9.10)

2

(9.11)
b = A ⊗a + B ⊗d, β = C ⊗a + D ⊗d,
e
e e e e
e e e e
e
— тензоры теплового расширения.
Нетрудно видеть, что при изотермических процессах, учитывая выражение для γ и κ , из (9.8)
e e
аналогично (9.10) получим
2
2
2
2
2
2
(9.12)
ϕ − A ⊗C
ϕ
µ
ϕ
P = A ⊗∇u + B ⊗∇ϕ
·
,
=
C
⊗∇u
+
D
⊗∇ϕ
−
C
⊗C
· ϕ.
e e
e
e '
e
e '
e e
Заметим, что (9.12) еще можно получить из (9.10) при b = 0 и β = 0.
e
Вводя в рассмотрение тензорные столбцы тензоров eдеформаций
и изгиба-кручения и тензоров напряжений и моментных напряжений, а также тензорно-блочную матрицу тензоров модулей
упругости


 (T ) 


γ
γ
P
(T )
X=
X =
Y=
(9.13)
e
e
e (T )
κ
µ
κ
e
e
e
e
e
e




A B
M=
MT = M ,
(9.14)
e e
C D
e
e
e
e e
ОС (9.8) и (9.9) можно записать в виде
2

Y = M ⊗X,
e
e e

2

Y = M ⊗X(T ) .
e
e e

(9.15)

Следует заметить, что для материалов с центром симметрии C = BT = 0, с учетом которых
e
e вид.eВ частности, в этом
приведенные выше соотношения (9.8) — (9.12) получат соответствующий
случае, например, из (9.8) и (9.9) имеем
2
2
2
2
(9.16)
κ;
κ (T )
P = A ⊗γγ , µ = D ⊗κ
P = A ⊗γγ (T ) , µ = D ⊗κ
e
e e e
e e
e
e e
e e
e
соответственно. Заметим, также что тензорно-блочная матрица тензоров модулей упругости (??)
получит вид тензорно-блочно-диагональной (или диагональной тензорно-блочной) матрицы


A 0
M=
,
(9.17)
e e
0 D
e
e e
где 0 — нулевой тензор четвертого ранга.
e

10. АКСИОМА 7 (АКСИОМА

ИЗМЕНЕНИЯ ПОЛНОЙ ЭНЕРГИЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ)

(ПЕРВЫЙ

ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ)

17

9.2. Теорема живых сил в микрополярной теории. Умножим уравнение (8.5) на некоторый
вектор w, а уравнение (9.6) — на вектор ψ . Затем интегрируем полученные соотношения по объему
V, применяя при этом формулу
2

∇ · (Q · a) = ∇ · Q · a + Q ⊗ ∇a, ∀ Q, a
e
e
e
e
и теорему Остроградского–Гаусса. Тогда в результате найдем следующие интегральные тождества:
RRR
2
n · P · wdS −
P ⊗ ∇wdV ,
e
e
V
V
S
V
RRR
R
RR
RRR
2
2
ψ−P⊗C
ω · J · ψ dV = ρm · ψ dΣ +
µ ⊗ ∇ψ
· ψ )dV.
ω̇
n · µ · ψ dS −
(µ
e '
e
V
V
S
V
e
e
RRR

ρv̇ · wdV =

RRR

ρF · wdV +

RR

(9.18)

Здесь и далее точка над величинами означает производную по времени, например, v̇ =
Складывая почленно соотношения (9.18), с учетом (8.3) и (9.3) получим
RRR
RRR
RR
ω · J · ψ )dV =
(ρv̇ · w + ω̇
ρ(F · w + m · ψ )dV + (P(n) · w + µ (n) · ψ )dS−
e
V
V
S
RRR
2
2
ψ ]dV.
−
[P ⊗ (∇w − C
·
ψ
)
+
µ
⊗
∇ψ
'
e
V
e

dv
.
dt

(9.19)

Полагая, что w = v и ψ = ω , из (9.19) получим теорему живых сил (ТЖС) в виде
ZZZ
ZZZ


d
1
ρv2 + ω · J · ω dV =
ρ(F · v + m · ω )dV +
dt
2
e
V

V

ZZ

ZZZ
(P(n) · v + µ (n) · ω )dS −

+
S

V

2

2

(9.20)



κ dV.
P ⊗ γ̇γ + µ ⊗ κ̇
e e e e

κ = ∇ω
ω , v = u̇, ω = ϕ̇
ϕ.
Здесь γ̇γ = ∇v − C
· ω , κ̇
'
e обозначения: e
Вводя
RRR v2 1
E=
(ρ + ω · J · ω )dV
2
2
e
V
(e)

(9.21)

(e)

для кинетической энергии, δA(e) = δA1 +δA2 — для изменения работы внешних сил и моментов,
состоящей из сумм изменений работ внешних массовых сил и моментов
RRR
(e)
ϕ)dV
δA1 =
(ρF · du + ρm · dϕ
(9.22)
V

и внешних поверхностных сил и моментов
RR
(e)
ϕ)dS,
δA2 = (P(n) · du + µ (n) · dϕ
S

(9.23)

а также
δA(i) = −

RRR
V

2

2

κ )dV
(P ⊗ dγγ + µ ⊗ dκ
e
e
e e

(9.24)

для изменения работы внутренних сил и моментов, ТСЖ (9.19) можно записать в краткой форме
dE = δA(e) + δA(i)
10.

АКСИОМА 7 (АКСИОМА

ИЗМЕНЕНИЯ ПОЛНОЙ ЭНЕРГИЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ)

(9.25)
(ПЕРВЫЙ

ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ)

При рассмотрении неизотермических процессов требуется привлечение основных законов термодинамики.

18

ГЛАВА 1. О

НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Первый (аксиома 7) из этих законов постулирует существование функции состояния U , называемой внутренней энергией, и в микрополярной теории в интегральном виде представляется
следующим образом:
ZZZ
ZZZ


1
d
2
ω
ω
ρU + (ρv + · J · ) dV =
ρ(F · v + m · ω + q)dV +
dt
2
e
V
V
(10.1)
ZZ
(P(n) · v + µ (n) · ω − q(n) )dS,
+
S

где q — приток тепла, q (n) = n·q — проекция вектора внешнего потока q на нормаль к поверхности
S.
Следует заметить, что для классической теории (10.1) имеет вид [69]
ZZZ
ZZZ
ZZ




d
v2 

ρ U+
dV =
ρ F · v + q dV +
P(n) · v − q (n) dS.
(10.2)
dt
2
V

V

S

Нетрудно видеть, что, вычитая из (9.20) соотношение (10.1) почленно, получим
ZZZ
ZZZ
ZZ


2
2
d
κ + ρq dV −
ρU dV =
P ⊗ γ̇γ + µ ⊗ κ̇
q(n) dS.
dt
e e e e
V

V

(10.3)

S

Применяя к поверхностному интегралу в соотношении (10.4) формулу Остроградского–Гаусса,
получим первый закон термодинамики в дифференциальной форме
2
2
dU
κ=ρ
−∇ · q + ρq + P ⊗ γ̇γ + µ ⊗ κ̇
.
dt
e e e e

(10.4)

Отсюда в случае классической теории будем иметь
2
dU
.
−∇ · q + ρq + P ⊗ ∇v+ = ρ
dt
e

11.

АКСИОМА 8 (АКСИОМА

ПРИТОКА ТЕПЛА)

(ВТОРОЙ

(10.5)

ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ)

Второй закон термодинамики постулирует существование некоторой функции состояния H,
называемой энтропией, и в интегральной форме имеет следующее представление [69]:
ZZZ
ZZZ
Z Z (n)
ZZZ
d
q
q
1
q · ∇T 

ρ HdV =
ρ dV −
dS +
W∗ −
dV.
(11.1)
dt
T
T
T
T
V

V

S

V

Здесь T — температура, а W ∗ — так называемая функция рассеивания, причем W ∗  0. Если
функция рассеивания равна нулю, то среда называется обратимой, если она строго больше нуля, то
среда необратимая. Последнее слагаемое в правой части (11.1) называется производством энтропии
H ∗ , причем
RRR 1
q · ∇T 

H∗ =
W∗ −
dV > 0
T
T
V
Заметим, что внутренняя энергия и энтропия, как и любая функция состояния, зависят от внешнего термодинамического параметра состояния, которым является температура T , и некоторых
внутренних параметров состояния, которые характеризуют рассматриваемую среду.
Не представляет большого труда записать в дифференциальной форме и второй закон термодинамики. В самом деле, в силу соотношения
 q  ∇ · q q · ∇T
∇·
=
−
T
T
T2

11. АКСИОМА 8 (АКСИОМА

ПРИТОКА ТЕПЛА)

(ВТОРОЙ

ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ)

19

производство энтропии представляется в виде
H∗ =



RRR 1
RRR 1
RR q (n)
q · ∇T 

W∗ −
dV =
W ∗ − ∇ · q dV +
dS,
T
T
T
T
V
V
S

с учетом которого из (11.1) получим искомую дифференциальную форму второго закона термодинамики
dH
(11.2)
−∇ · q + ρ q + W ∗ = ρ T
.
dt
Введем функцию состояния Ψ, называемую свободной энергией, по формуле
Ψ = U − T H.
Тогда имеет место соотношение
 dΨ
 dU
dH 
dT 
−T
=ρ
+H
.
ρ
dt
dt
dt
dt
Отсюда в силу (10.5) и (11.2) закон сохранения [69] получим в форме
 dΨ
2
dT 
ρ
+H
+ W ∗ = P ⊗∇v.
dt
dt
e
Далее заметим, что физическое соотношение между вектором потока тепла q и градиентом температуры [69] представляется в виде
Λ · grad T = −Λ
Λ · ∇T (q + c · q̇ = −Λ
Λ · grad T = −Λ
Λ · ∇T ),
q = −Λ
(11.3)
e
e
e
e
e
где положительно определенный симметричный тензор Λ — тензор теплопроводности.
e
Линейное определяющее соотношение (11.3) носит название
закона теплопроводности Фурье. С
помощью него второй закон термодинамики (11.2) можно записать в форме


dH
∇ · Λ · ∇T + ρ q + W ∗ = ρ T
.
dt
e

(11.4)

Второй закон термодинамики в виде (11.4) называется уравнением притока тепла.
По закону Дюлонга-Пти у твердых веществ [69] для температуры выше некоторой, называемой
температурой Дебая, теплоемкость (при постоянном давлении) cp = const. В этом случае, считая
теплоемкость вещества заданной, энтропия H в классической теории полностью определяется
законом связи [69] между тензорами напряжений и деформаций и представляется в форме

2
T
ρ H = ρ cp ln
+ a ⊗ F̌ ε − aϑ , ϑ = T − T0 .
T0 e e e e
Тогда в силу этого последнего соотношения уравнение притока тепла (11.4) примет вид



dT
d 2 
(11.5)
,
∇ · Λ · ∇T + ρ q − T
a ⊗ F̌ ε − aϑ + W ∗ = ρ cp
dt e e e e
dt
e
где a — тензор теплового расширения среды, ε — линейный тензор деформаций. Уравнение притока
e (11.5) — нелинейное дифференциальное
e уравнение. Нелинейность проявляется в третьем
тепла
члене в левой части (11.5).
Далее рассмотрим линейно-упругий материал. В этом случае

2 
P = F ε − aϑ = A ⊗ ε − aϑ .
e
e e e
e
e e
Поэтому

2
2 
2
(11.6)
a ⊗F ε − aϑ = b ⊗ ε − aϑ , b = a ⊗A.
e e e e
e e e
e e e
На основании (11.6) уравнение притока тепла (11.5) для упругого материала можно записать в
виде



d 2
dT
(11.7)
∇ · Λ · ∇T + ρ q − T
b ⊗ ε − aϑ + W ∗ = ρ cp
.
dt e e e
dt
e

20

ГЛАВА 1. О

НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Следует заметить, что, если рассматривается микрополярная теория, то в уравнении притока тепла
линейный тензор деформаций ε нужно заменить на тензор деформаций микрополярной теории
e
γ = ∇u − C · ϕ . После такой замены,
например, из (11.7) получим
'
e



d 2
dT
∇ · Λ · ∇T + ρ q − T
b ⊗ γ − aϑ + W ∗ = ρ cp
dt e
dt
e
e e
или



d 2
dT
∇ · Λ · ∇T + ρ q − T
b ⊗ ∇u − C · ϕ − aϑ + W ∗ = ρ cp
.
(11.8)
'
dt e
dt
e
e
Видно, что уравнение притока тепла (11.8) в силу (11.3) можно представить в виде

dT
d 2
b ⊗ ∇u − C · ϕ − aϑ + W ∗ = ρ cp
,
(11.9)
'
dt e
dt
e
или в более общей форме [40, 71] уравнение притока тепла в микрополярной теории для сред с
центром симметрии представляется следующим образом:
−∇·q + ρ q − T

−∇·q + ρ q − T



2
2
d
dT
µ + W ∗ = ρ cp
a ⊗P + d ⊗µ
,
dt e e e e
dt

(11.10)

а для сред без центра симметрии будем иметь
−∇·q + ρ q − T



4
d
dT
M ⊗ Z(T ) + W ∗ = ρ cp
,
dt e e
dt

(11.11)

где Z(T ) — тензорный столбец четвертого ранга вида
e

 
  (T ) 
a 0
a ⊗ γ (T )
γ
(T )
Z =
= e e ⊗ e (T )
= K ⊗ X(T ) .
e⊗κ
(T )
e
d
κ
0 d
e
e e
e e
e
e e
Здесь


a 0
K= e e
0 d
e
e e
— диагональная тензорно-блочная матрица тензоров теплового расширения a и d, которые, вообще
e e
говоря, — несимметричные тензоры.
Если материал однородный и материальные функции не зависят от времени, то из (11.8) будем
иметь
2
2
ϕ
dT 

dT
dϕ
Λpq ∇p ∇q T + ρ q − T bpq ∇p vq − b ⊗C ·
− b ⊗a
+ W ∗ = ρ cp
.
'
dt
dt
dt
e
e e
Отсюда в свою очередь получаем

 dT
2
2
ϕ

dϕ
Λpq ∇p ∇q T + ρ q − T bpq ∇p vq − b ⊗C ·
+ W ∗ = ρ cp − b ⊗a T
.
(11.12)
'
dt
dt
e
e e
Уравнение (11.12) можно еще записать в виде
2
ϕ

dϕ
dT
Λpq ∇p ∇q T + ρ q − T bpq ∇p vq − b ⊗C ·
+ W ∗ = ρ cv
,
'
dt
dt
e
где cv — теплоемкость при постоянном объеме и
2

ρ cv = ρ cp − b ⊗a T
e e
Если рассматривается классический изотропный упругий однородный материал, то
2

2

(11.13)

(11.14)

(11.15)
Λ = ΛE, a = aE, b = A ⊗a = 3aKE, b ⊗a = 9a2 K.
e
e
e
e
e
e e
e
e e
Учитывая соответствующие соотношения (11.15), уравнение притока тепла (11.13) для изотропного однородного упругого материала примет форму
dT
(11.16)
Λ∆T + ρ q − 3aKT ∇·v + W ∗ = ρ cv
, 3K = 3λ + 2µ.
dt

11. АКСИОМА 8 (АКСИОМА

ПРИТОКА ТЕПЛА)

(ВТОРОЙ

ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ)

21

В силу последнего соотношения (11.15) из (11.14) получим
ρ cv = ρ cp − 9a2 KT.

(11.17)

Нетрудно заметить, что с помощью (11.17) из (11.16) будем иметь
Λ∆T + ρ q − 3aT

dp
dT
+ W ∗ = ρ cp
,
dt
dt

p = K(θ − 3aϑ).

(11.18)

Если среда обратимая, то в приведенных выше уравнениях
притока тепла следует положить


W ∗ = 0. Если, кроме того, величина p = (1/3) I1 P не меняется со временем, то из (11.18)
e уравнение теплопроводности.
получим замкнутое относительно температуры линейное
Из (11.17) следует, что обе теплоемкости cp и cv не могут быть одновременно постоянными (не
зависящими от температуры). Поэтому очень часто принимается допущение [69], что в третьем
слагаемом левой части уравнения (11.5) температуру T можно заменить на температуру T0 . Тогда
уравнение (11.5) представляется в виде



dT
d 2 
a ⊗ F̌ ε − aϑ + W ∗ = ρ cp
.
∇ · Λ · ∇T + ρ q − T0
dt e e e e
dt
e

(11.19)

Следовательно, в этом случае из (11.17) получаем
ρ cv = ρ cp − 9a2 KT0 .
Аналогично (11.19) можно представить и уравнения (11.7)–(11.13), (11.16) и (11.18).
11.1. Граничные и начальные условия теплового содержания. Рассмотрены граничные условия первого, второго и третьего родов и начальные условия [69].
1. Граничное условие первого рода (условие типа Дирихле). В этом случае на некоторой
части Sq поверхности S (Sq ⊆ S) тела задается температура:
T (x1 , x2 , x3 , t)

Sq

= T 0 (x1 , x2 , x3 , t).

(11.20)

2. Граничное условие второго рода (условие типа Неймана). В этом случае на некоторой
части Sq поверхности S (Sq ⊆ S) тела задается поток тепла:
n · Λ · ∇T
e

Sq

= −n · q

Sq

= −q 0 (x1 , x2 , x3 , t).

(11.21)

3. Граничное условие третьего рода (условие, соответствующее теплообмену с окружающей средой по закону Ньютона). В этом случае граничное условие представляется в виде


n · Λ · ∇T Sq = −n · q Sq = β T (x1 , x2 , x3 , t) Sq − Tc (x1 , x2 , x3 , t) .
(11.22)
e
Здесь Tc — заданная температура окружающей среды, а β — коэффициент теплоотдачи. Следует
заметить, что могут встретиться и более сложные (нелинейные) граничные условия, например, для
случая теплоотдачи с излучением. Однако мы будем рассматривать только линейные граничные
условия.
4. Начальное условие. При рассмотрении нестационарной задачи нужно задать и начальное
условие:
T (x1 , x2 , x3 , t)

t=0

= T (x1 , x2 , x3 , 0) = T 0 (x1 , x2 , x3 ).

(11.23)

Заметим, что для тел конечных размеров начальное условие оказывает влияние лишь на первой
стадии нестационарного процесса. Начиная с некоторого момента наступает режим, при котором
распределение температуры практически не зависит от начального условия. В этом случае говорят,
что решается стационарная задача [69].
Заметим также, что вид функции рассеивания W ∗ конкретизируется при выборе модели термомеханики деформируемого твердого тела (ТМДТТ).

22

12.

ГЛАВА 2. О

ПОСТАНОВКИ

НЕКОТОРЫХ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИХ АКСИОМАХ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ТЕРМОМЕХАНИКЕ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

ГЛАВА 2
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ И
МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ
Приведены определяющие соотношения различных математических моделей механики сплошных
сред при различных случаях анизотропии [57, 64, 69]. В частности, даны математические модели: классической и микрополярной линейных теорий упругости, классической и микрополярной
линейных теорий вязкоупругости, повторно-градиентных теорий упругости, теории наноупругих
сред. а также теории пластических сред.
13.

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ТЕЛА

Наиболее простой моделью МДТТ является модель линейного упругого тела. Почти все деформируемые твердые тела (а иногда даже и жидкости) в той или иной степени обладают упругими
свойствами, хотя бы при кратковременных нагрузках.
1. Обобщенный закон Гука для анизотропного линейного упругого тела. Этот закон представляется в виде
2
(13.1)
P = A ⊗εε, P pq = Apqkl εkl ,
e
e e
где тензор 4-го ранга A — тензор модулей упругости, который для композита является разрывной
функцией координат. e
Обратный к (13.1) закон для упругой среды имеет вид


2
1
(13.2)
ε = J ⊗P, εkl = Jklpq P pq ε = (∇u + ∇uT ) ,
e e e
e 2
где тензор 4-го ранга J — тензор упругих податливостей, который для композита также является
e
разрывной функцией координат,
причем тензоры A и J взаимно-обратны, т.е.
e e
2
2
(13.3)
A ⊗J = J ⊗A = ∆ , Apqkl Jklmn = Jmnkl Aklpq = ∆pq
mn .
e e e e
e
Здесь E = ∆ — единичный тензор четвертого ранга, а ε = 1/2(∇u + ∇uT ) — линейный тензор
e
e
e
деформаций.
Заметим, что в рассматриваемом случае существуют потенциалы, имеющие вид
1 2 2
1
1 2 2
1
W = ε ⊗A ⊗εε = Apqkl εpq εkl ; w = P ⊗J ⊗P = Jpqkl P pq P kl ,
2e e e 2
2e e e
2
с помощью которых тензоры напряжений и деформаций определяются соотношениями
∂W
∂w
∂w p q
∂W
(13.4)
P=
=
rk rl , ε =
=
r r .
∂εε
∂εkl
∂P pq
e
e ∂P
e
e
Нетрудно доказать (вытекает из (13.4)), что в самом общем случае тензоры A и J имеют 21
e
e
независимую компоненту.
В случае анизотропии общего вида тензор A можно изобразить в виде симметричной матрицы
e
6 × 6, составленной из его независимых компонент
[64]
√
√
√


A1111 A1122 A1133 √2 A1112 √2 A1113 √2 A1123

A2222 A2233 √2 A2212 √2 A2213 √2 A2223 




A
2
A
2
A
2
A
3333
3312
3313
3323


(A) = 
(13.5)

2A1212
2A1213
2A1223




2A1313
2A1323
2A2323
Из-за симметрии матрицы (13.5) ее элементы ниже главной диагонали не выписываем.
Следует заметить, что (A) — матрица компонент тензора модулей упругости A, представленного
e
в четырехвекторном мультибазисе, составленном из ортонормированного относительно
операции

13. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

23

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ТЕЛА

внутреннего 2-произведения двухвекторного мультибазиса, в котором представляются тензоры напряжений и деформаций и который имеет вид
1
1
1
eα = eα eα , α = 1, 2, 3, e4 = √ (e1 e2 + e2 e1 ), e5 = √ (e2 e3 + e3 e2 ), e6 = √ (e3 e1 + e1 e3 ).
2
2
2
e
e
e
e
Тензоры напряжений, деформаций и модулей упругости представляются в форме
6
6
6 P
6
2
P
P
P
εα eα , A =
Aαβ eα eβ , ep ⊗eq = δpq , p, q = 1, 6.
P=
Pα eα , ε =
e e e e
e α=1 e e α=1 e
e α=1 β=1

Ниже мы представим матрицу (A) при различных видах анизотропии и для некоторых важных
случаев анизотропии выпишем закон Гука.
2. Упругое тело обладает плоскостью симметрии. Пусть плоскостью симметрии является
плоскость x1 , x2 . Тогда связь между новыми (штрихованными) и старыми координатами имеют
вид
0
0
0
x1 = x1 , x2 = x2 , x3 = −x3 ,
поэтому и компоненты тензора деформаций преобразуются так:
e10 10 = e11 ,

e20 20 = e22 ,

e30 30 = e33 ,

e10 20 = e12 ,

e10 30 = −e13 ,

e20 30 = −e23

и, как нетрудно вычислить тензор A имеет 13 независимых компонент [19,57,64,65,73], а матрица
e
(A) представится в виде [64]
√


0
A1111 A1122 A1133 √2 A1112 0


0
A2222 A2233 √2 A2212 0




A3333
2 A3312 0
0
.
(13.6)
(A) = 


2A1212
0
0



2A1313 2A1323 
2A2323
3. Упругое тело обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии.
Пусть эти плоскости — x1 , x2 и x1 , x3 . Тогда нетрудно доказать, что и третья плоскость x2 , x3 тоже является плоскостью симметрии и тензор A имеет 9 независимых компонент [19, 57, 64, 65, 73],
а матрица (A) получит представление [64] e


A1111 A1122 A1133 0
0
0


A2222 A2233 0
0
0




A3333 0
0
0

.
(A) = 
(13.7)

2A1212 0
0




2A1313 0
2A2323
Упругое тело, обладающее двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, называется ортотропным упругим телом.
Следует заметить, что тензорным базисом для ортотропной среды является [65, 69]
(α)

γij = δαi δαj ,

< α = 1, 2, 3 >

и компоненты тензора A представляются через него в виде [65, 69]
e
(1) (2)
(2) (1) 

(1) (2)
(1) (2)
(2) (1)
(2) (1) 

Aijkl = Λ1 γij γkl + γij γkl + Λ2 γik γjl + γil γjk + γik γjl + γil γjk +
1
(3) (3)
(3) (3)
(3) (3) 

(1) (3)
(3) (1) 

+Λ3 γij γkl + γij γkl + Λ4 γij γkl + γik γjl + γil γjk +
3
1
(1) (3)
(3) (1)
(3) (1) 

(1) (1)
(1) (1)
(1) (1) 

(1) (3)
+Λ5 γik γjl + γil γjk + γik γjl + γil γjk + Λ6 γij γkl + γik γjl + γil γjk +
3
1
(2) (2)
(2) (2)
(2) (2) 

(2) (3)
(3) (2) 

+ Λ7 γij γkl + γik γjl + γil γjk + Λ8 γij γkl + γij γkl +
3
(2) (3)
(2) (3)
(3) (2)
(3) (2) 

+Λ9 γik γjl + γil γjk + γik γjl + γil γjk .

(13.8)

24

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

СООТНОШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ И МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ

4. Трансверсально-изотропное упругое тело. Такое тело не меняет своих свойств при преобразовании координат вида
0

x1 = x1 cos α + x2 sin α,

0

x2 = −x1 sin α + x2 cos α,

0

x 3 = x3 ,

где α — произвольный угол. В этом случае тензор A имеет 5 независимых компонент [19, 57, 64,
e
65, 73], а матрица (A) — представление [64]


A1111 A1122 A1133 0
0
0


A1111 A1133 0
0
0




A3333 0
0
0

.
(A) = 
(13.9)

2A
0
0
1212




2A1313 0
2A1313
При этом в матрице (13.9) следует положить
1
A1212 = (A1111 − A1122 ).
2
Заметим, что тензорный базис трансверсально-изотропной среды составляют [65, 69]
δ3i ,

γij = δ1i δ1j + δ2i δ2j (= δij − δ3i δ3j )

и компоненты тензора A имеют представления [65, 69]
e




Aijkl = Λ1 γij γkl + Λ2 γik γjl + γil γjk + Λ3 γij δ3k δ3l + γkl δ3i δ3j +


+Λ4 δ3i δ3j δ3k δ3l + Λ5 γik δ3j δ3l + γjk δ3i δ3l + γil δ3j δ3k + γjl δ3i δ3k .

(13.10)

(13.11)

(13.12)

Нетрудно заметить, что в силу (13.11) тензорный базис трансверсально-изотропной среды составляют тензоры
γ = γij ei ej = e1 e1 + e2 e2 = eI eI ≡ I, (γγ = E − e3 e3 )
(13.13)
e e e
e
Упражнение 1. Учитывая (13.13), дать представление тензора A = Aijkl ei ej ek el , где выражеe
ния для Aijkl представлены соотношением (13.12).
e3 ,

5. Изотропное упругое тело. Закон Гука. В этом случае тело не меняет своих свойств относительно полной ортогональной группы преобразований (всех вращений и отражений) и нетрудно
доказать, что тензор A имеет только две независимые константы (постоянные Ламе)
e
1
(13.14)
λ = A1122 , µ = (A1111 − A1122 ),
2
а матрица (A) имеет вид [64]


λ + 2µ λ
λ
0
0
0

λ + 2µ λ
0
0
0 



λ + 2µ 0
0
0 

.
(13.15)
(A) = 
2µ 0
0 



2µ 0 
2µ
∆ и J = λ0 E ⊗E + 2µ0∆ . Поэтому
В этом случае тензоры A и J представляются A = λE ⊗E + 2µ∆
e
e
e
e
e
e e
e e
e
прямой и обратный законы Гука получат соответственно вид

2


2
2
∆ ⊗∇u = λI1 (εε)E + 2µεε Pij = λI1 (εε)δij + 2µεij ,
P = A ⊗εε = A ⊗∇u = λE ⊗E + 2µ∆
(13.16)
e 
 e2
e
e e
e
e
e
e2 e e


ε = J ⊗P = λ0 E ⊗E + 2µ0∆ ⊗P = λ0 I1 (P)E + 2µ0 P εij = λ0 I1 (P)δij + 2µ0 Pij .
e e e
e e
e
e
e e
e
e
Совершенно аналогично A можно рассмотреть тензор упругих податливостей J и представить
e
его в виде матрицы (J). eОчевидно, и для этой матрицы справедливы приведенные
выше все
представления (13.4)–(13.9), (13.15) и соотношение (13.10) при условии, что в них нужно заменить
букву A на J, причем вместо (13.14) будем иметь
λ
ν
1
1
1+ν
λ0 = J1122 = −
= − , µ0 = (J1111 − J1122 ) =
=
.
(13.17)
2µ(3λ + 2µ)
E
2
4µ
2E

13. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

25

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ТЕЛА

В этой связи, не останавливаясь на выписывании представлений матрицы (J) при различных
случаях анизотропии, так как, как уже выше об этом было сказано, их легко получить заменой
буквы A в представлениях матрицы (A) на букву J, ниже приведем представления (J) только
для ортотропного, трансверсально-изотропного и изотропного упругого тела в так называемых
технических постоянных.
6. Представление (J) в технических постоянных и закон Гука для ортотропного упругого
тела. Это представление имеет вид










(J) = 










1
E1
ν21
−
E1
ν31
−
E1

ν12
−
E2
1
E2
ν32
−
E2

ν13
−
E3
ν23
−
E3
1
E3

0

0

0
0


0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1
2G12

0

0

0

0

0

1
2G13

0

0

0

0

0

1
2G23










,










(13.18)

где E1 , E2 , E3 — модули Юнга в трех главных направлениях ортотропии, т.е. в направлениях,
ортогональных к плоскостям симметрии материала; ν12 , ν13 , ν21 , ν23 , ν31 , ν32 — коэффициенты
Пуассона, характеризующие поперечное сокращение (расширение) в плоскостях, ортогональных к
направлению растяжения (первый индекс показывает направление сокращения или расширения,
второй индекс — направление действия силы); G12 , G13 , G23 — модули сдвига, характеризующие
искажение углов между плоскостями симметрии (между главными направлениями).
Ввиду симметрии матрицы (13.18) имеем следующие зависимости:
ν21
ν12
=
,
E2
E1

ν23
ν32
=
,
E3
E2

ν31
ν13
=
.
E1
E3

(13.19)

Теперь нетрудно заметить, что обратный закон Гука в силу (13.18) можно представить в форме
1
ν12
ν13
P11 −
P22 −
P33 ,
E1
E2
E3
1
ν23
ν21
P11 +
P22 −
P33 ,
ε22 = −
E1
E2
E3
ν31
ν32
1
ε33 = −
P11 −
P22 +
P33 ,
E1
E2
E3
1
εαβ =
Pαβ , α 6= β, < α, β = 1, 2, 3 > .
2Gαβ
ε11 =

(13.20)

Нетрудно заметить, что в силу (13.19) закон Гука (13.20) можно еще представить в виде


1
P11 − ν21 P22 − ν31 P33 ,
E1


1
ε22 =
− ν12 P11 + P22 − ν32 P33 ,
E2


1
ε33 =
− ν13 P11 − ν23 P22 + P33 ,
E3
1
εαβ =
Pαβ , α 6= β, < α, β = 1, 2, 3 > .
2Gαβ

ε11 =

(13.21)

26

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

СООТНОШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ И МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ

Разрешая (13.20) относительно компонент тензора напряжений, получим

E1 
(1 − ν23 ν32 )ε11 + (ν12 + ν13 ν32 )ε22 + (ν13 + ν12 ν23 )ε33 ,
∆0

E2 
P22 =
(ν21 + ν23 ν31 )ε11 + (1 − ν31 ν13 )ε22 + (ν23 + ν21 ν13 )ε33 ,
∆0

E3 
(ν31 + ν32 ν21 )ε11 + (ν32 + ν31 ν12 )ε22 + (1 − ν12 ν21 )ε33 ,
P33 =
∆0
Pαβ = 2Gαβ εαβ , α 6= β, < α, β = 1, 2, 3 >,
∆0 = (1 − ν23 ν32 ) − ν12 (ν21 + ν23 ν31 ) − ν13 (ν31 + ν32 ν21 ).
P11 =

(13.22)

Аналогично (13.22), разрешая (13.21) относительно компонент тензора напряжений, будем иметь

1 
E1 (1 − ν23 ν32 )ε11 + E2 (ν21 + ν23 ν31 )ε22 + E3 (ν31 + ν21 ν32 )ε33 ,
∆0

1 
P22 =
E1 (ν12 + ν32 ν13 )ε11 + E2 (1 − ν31 ν13 )ε22 + E3 (ν32 + ν31 ν12 )ε33 ,
∆0

1 
P33 =
E1 (ν13 + ν12 ν23 )ε11 + E2 (ν23 + ν13 ν21 )ε22 + E3 (1 − ν12 ν21 )ε33 ,
∆0
Pαβ = 2Gαβ εαβ , α 6= β, < α, β = 1, 2, 3 >,
∆0 = (1 − ν23 ν32 ) − ν12 (ν21 + ν23 ν31 ) − ν13 (ν31 + ν32 ν21 ).
P11 =

(13.23)

Заметим, что первые три соотношения (13.23) можно еще получить из первых трех соотношений
(13.22) с учетом (13.19) и обратно.
В произвольной криволинейной системе координат, как легко усмотреть, например, (13.20) и
(13.22) соответственно представляются в виде


1
ν12
ν13
g1k g1l −
g2k g2l −
g3k g3l P kl ,
E1
E2
E3


ν21
1
ν23
ε22 = −
g1k g1l +
g2k g2l −
g3k g3l P kl ,
E1
E2
E3


ν32
1
ν31
g1k g1l −
g2k g2l +
g3k g3l P kl ,
ε33 = −
E1
E2
E3
1
εαβ =
gαk gβl P kl , α 6= β, < α, β = 1, 2, 3 >;
2Gαβ
ε11 =


E1 
(1 − ν23 ν32 )g 1k g 1l + (ν12 + ν13 ν32 )g 2k g 2l + (ν13 + ν12 ν23 )g 3k g 3l εkl ,
∆0

E2 
P 22 =
(ν21 + ν23 ν31 )g 1k g 1l + (1 − ν31 ν13 )g 2k g 2l + (ν23 + ν21 ν13 )g 3k g 3l εkl ,
∆0

E3 
P 33 =
(ν31 + ν32 ν21 )g 1k g 1l + (ν32 + ν31 ν12 )g 2k g 2l + (1 − ν12 ν21 )g 3k g 3l εkl ,
∆0
αβ
P = 2Gαβ g αk g βl εkl , α 6= β, < α, β = 1, 2, 3 > .

(13.24)

P 11 =

(13.25)

7. Представление (J) в технических постоянных и закон Гука для трансверсально изотропного упругого тела. В этом случае, как это следует из сказанного выше, через каждую
точку тела проходит плоскость, в которой все направления являются эквивалентными в отношении упругих свойств. Тогда, если за ось x3 примем ось, перпендикулярную к этой плоскости и
введем обозначения
ν13 = ν23 ≡ ν 0 , ν31 = ν32 ≡ ν 00 ,
E
≡G=
, G13 = G23 ≡ G0 ,
2(1 + ν)

ν12 ≡ ν,
G12

E1 = E2 ≡ E,

E3 ≡ E 0 ,
(13.26)

13. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ТЕЛА

27

из (13.18) получим










(J) = 









1
E
ν
−
E
ν 00
−
E

ν
−
E
1
E
ν 00
−
E

ν0
− 0
E
ν0
− 0
E
1
E0


0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1
2G

0

0

0

0

1
2G0

0

0

0

0

0

0

1
2G0










,









(13.27)

где, очевидно, ввиду симметрии имеем зависимости
ν 00
ν0
= 0.
E
E

(13.28)

В представлении (J) (13.27) E — модуль Юнга для направлений в плоскости изотропии;
G = E/[2(1 + ν)] — модуль сдвига для плоскости изотропии; E 0 — модуль Юнга для направления,
перпендикулярного плоскости изотропии; G0 — модуль сдвига для плоскостей, нормальных плоскости изотропии; ν — коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости изотропии
при растяжении в той же плоскости; ν 0 — коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение
в плоскости изотропии при растяжении в направлении, перпендикулярном ей; ν 00 — коэффициент
Пуассона, характеризующий сокращение в направлении, перпендикулярном плоскости изотропии
при растяжении в плоскости изотропии. В рассматриваемом случае упругой симметрии направление, перпендикулярное плоскости изотропии, и все направления в этой плоскости являются
главными.
Не представляет большого труда выписывать в рассматриваемом случае закон Гука. В самом
деле, в силу (13.27) или, учитывая обозначения (13.26) в (13.20), легко найдем обратный закон
Гука
ν
ν0
1
1
ε12 =
P12 ,
ε11 = P11 − P22 − 0 P33 ,
E
E
E
2G
ν
1
ν0
1
(13.29)
ε22 = − P11 + P22 − 0 P33 ,
ε13 =
P13 ,
E
E
E
2G0
ν 00
ν 00
1
1
E
ε33 = − P11 − P22 + 0 P33 , ε23 =
P23 , 2G =
.
0
E
E
E
2G
1+ν
В силу (13.28), очевидно, (13.29) можно записать в форме


1
P11 − νP22 − ν 00 P33 ,
E


1
=
− νP11 + P22 − ν 00 P33 ,
E


ν 00
=
− ν 0 (P11 + P22 ) + P33 ,
0
Eν

1
P12 ,
2G
1
=
P13
2G0
1
=
P23 ,
2G0

ε11 =

ε12 =

ε22

ε13

ε33

ε23

(13.30)
2G =

E
.
1+ν

Разрешая (13.29) относительно компонент тензора напряжений (или учитывая (13.26), из (13.22)),
будем иметь

E 
(1 − ν 0 ν 00 )ε11 + (ν + ν 0 ν 00 )ε22 + ν 0 (1 + ν)ε33 ,
0
∆0

E 
P22 = 0 (ν + ν 0 ν 00 )ε11 + (1 − ν 0 ν 00 )ε22 + ν 0 (1 + ν)ε33 ,
∆0

E0 
P33 = 0 ν 00 (1 + ν)(ε11 + ε22 ) + (1 − ν 2 )ε33 ,
∆0
0
∆0 = (1 + ν)(1 − ν − ν 0 ν 00 ).
P11 =

P12 =

E
ε11 ,
1+ν

P13 = 2G0 ε13 ,
P23 = 2G0 ε23 ,

(13.31)

28

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

СООТНОШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ И МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ

Совершенно аналогично (13.31), разрешая (13.30) относительно компонент тензора напряжений
(или учитывая (13.26), из (13.23)), получим

1 
E(1 − ν 0 ν 00 )ε11 + E(ν + ν 0 ν 00 )ε22 + E 0 ν 00 (1 + ν)ε33 ,
0
∆0

1 
P22 = 0 E(ν + ν 0 ν 00 )ε11 + E(1 − ν 0 ν 00 )ε22 + E 0 ν 00 (1 + ν)ε33 ,
∆0

1 
P33 = 0 Eν 0 (1 + ν)(ε11 + ε22 ) + E 0 (1 − ν 2 )ε33 ,
∆0
0
∆0 = (1 + ν)(1 − ν − ν 0 ν 00 ).
P11 =

P12 =

E
ε11 ,
1+ν

P13 = 2G0 ε13 ,

(13.32)

P23 = 2G0 ε23 ,

8. Представление (J) в технических постоянных и закон Гука для изотропного упругого
тела. В этом случае представление (J) легко получим, если в (13.27) положим E 0 = E, ν 0 = ν 00 =
ν, G0 = G ≡ E/[2(1 + ν)]. Будем иметь
 1

ν
ν
−
−
0
0
0
 E

E
E


1
ν

−
0
0
0 


E
E




1


0
0
0


E

.
(J) = 
(13.33)

1


0
0


2G




1

0 


2G


1
2G
Нетрудно заметить, что прямой и обратный законы Гука в рассматриваемом случае в силу (13.33)
представится в виде (13.16). Поэтому здесь их выписывать не будем.
Кроме рассмотренных прямолинейно анизотропных тел ниже рассмотрим также цилиндрически
анизотропные тела.
9. Цилиндрически анизотропное тело. С цилиндрически анизотропным телом неподвижно
связана прямая — ось анизотропии (она может проходить как внутри, так и вне тела). Цилиндрической называют анизотропию тела, обладающего следующими упругими свойствами: все направления, пересекающие ось анизотропии под прямым углом, эквивалентны между собой; все
направления, параллельные оси анизотропии, и все направления, ортогональные к первым двум,
соответственно эквивалентны между собой [3,4]. При общем случае анизотропии и в этом случае,
как и при прямолинейно анизотропных тел, число независимых упругих постоянных равно 21. В
случае цилиндрической анизотропии тоже возможны частные случаи анизотропии с различными
видами упругой симметрии. Например, если в каждой точке тела имеются три плоскости упругой
симметрии, из которых одна нормальна оси анизотропии, другая проходит через ось, а третья ортогональна первым двум, то в этом случае тело называется ортотропным телом с цилиндрической
анизотропией.
Определяющие соотношения ортотропного тела с цилиндрической анизотропией, если цилиндрическая система координат r, ϑ, z так выбрана, что ось z совпадает с осью анизотропии, в
технических постоянных аналогично (13.20) представляются в виде
1
νrϑ
νrz
Prr −
Pϑϑ −
Pzz ,
Er
Eϑ
Ez
νϑr
1
νϑz
εϑϑ = −
Prr +
Pϑϑ −
Pzz ,
Er
Eϑ
Ez
νzr
νzϑ
1
εzz = −
Prr −
Pϑϑ +
Pzz ,
Er
Eϑ
Ez
εrr =

1
Prϑ ,
2Grϑ
1
εrz =
Prz ,
2Grz
1
εϑz =
Pϑz ,
2Gϑz

εrϑ =

(13.34)

где Er , Eϑ , Ez — модули Юнга для главных направлений упругости r, ϑ, z соответственно; Grϑ ,
Grz , Gϑz — модули сдвига, характеризующие изменения углов между главными направлениями r

14. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

29

РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

и ϑ, r и z, ϑ и z; νrϑ , νrz , νϑr , νϑz , νzr , νzϑ — коэффициенты Пуассона (первый индекс показывает
направление сокращения–расширения, а второй индекс — направление действия силы).
Ввиду симметрии здесь тоже существуют аналогичные (13.19) зависимости, а именно
νrϑ
νrz
νzr
νϑz
νzr
νϑr
,
=
,
=
.
=
(13.35)
Eϑ
Er
Ez
Er
Ez
Er
В рассматриваемом случае число независимых упругих постоянных равно девяти.
Аналогичным же образом можно записать приведенные выше определяющие соотношения и
для других случаев упругой симметрии в цилиндрической системе координат. В частности, для
случая трансверсально-изотропного тела с цилиндрической анизотропией имеют место аналогичные (13.26)–(13.28) соотношения и учитывая их, на основании (13.34) и (13.35) легко получим
нужные соотношения. В связи с этим и с целью сокращения письма на этом останавливаться не
будем.

ГЛАВА 3
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
14.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

14.1. Представление решения динамических задач для изотропного материала в классической теории упругости. N Уравнение движения классической теории упругости относительно тензора напряжений и определяющие соотношения для любого анизотропного неоднородного
линейно-упругого материала, а также уравнения движения в перемещениях представляются в виде
∂2u
∇ · P + ρF = ρ 2 = ρ∂t2 u,
∂t
e
2

2

2

P = A ⊗ ε = A ⊗ ∇u,
e
e e e
3

2

◦ ◦ ◦
2 
◦ ∂ u
∇ · P + ρF = ρ 2 ,
∂t
e

[∇ · (A ⊗ ∇u) + ρF = ρ∂t2 u] ⇒ (A ⊗ ∇∇u + ∇ · A ⊗ ∇u + ρF = ρ∂t2 u);
e
e
e


1
√ i
i
2
2
ij
j
2
j
(∇i P + ρF = ρ∂t u) ⇒ √ ∂i ( g P ) + ρF = ρ∂t u, ∇i P + ρF = ρ∂t u ,
g

(14.1)

P ij = Aijkl εkl = Aijkl ∇k ul , Aijkl ∇j ∇k ul + ∇m Amikl ∇k ul + ρF i = ρ∂t2 ui ,


(Aijkl ∇j ∇k + ∇m Amikl ∇k − g il ∂t2 )ul + ρF i = 0 ⇒


ri rl (Aijkl ∇j ∇k + ∇m Amikl ∇k − g il ∂t2 ) · u + ρF = 0
Вводя обозначение
(14.2)
M = ri rl (Aijkl ∇j ∇k + ∇m Amikl ∇k − g il ∂t2 ) = ri rl (Aijkl ∇j ∇k + ∇m Amikl ∇k ) − E∂t2 ,
e
f
векторное уравнение движения относительно вектора перемещений для произвольного неоднородного анизотропного линейно-упругого материала можно записать в виде
M · u + ρF = 0,
(14.3)
f
где M — дифференциальный тензор-оператор второго ранга и второго порядка и он называетf
ся дифференциальным
тензор-оператором векторного уравнения движения относительно вектора
перемещений.
В случае изотропного материала
A = λC(1) + µ(C(2) + C(3) ), Aijkl = λg ij g kl + µ(g ik g jl + g il g jk ),
e
e
e
e
Aijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk ).

(14.4)
H

30

ГЛАВА 3. О

ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Учитывая (14.1)2 и (14.4), из (14.1)1 получим
µ∆u + (λ + µ)∇∇ · u + ρF = ρ∂t2 u,

(14.5)

Уравнение (14.5) можно записать в виде
[E(µ∆ − ρ∂t2 ) + (λ + µ)∇∇] · u + ρF = 0,
e
Вводя в рассмотрение дифференциальный тензор-оператор
M = E(µ∆ − ρ∂t2 ) + (λ + µ)∇∇] = aE2 + b∇∇ = EQ2 + b∇∇ M = EQ2 + b∇∇,
e
e
f e
f e
где введены обозначения
ρ
a = µ, b = λ + µ (a + b = λ + 2µ), Q2 = a2 = µ∆ − ρ∂t2 , 2 = ∆ − ∂t2 ,
a
уравнение (14.6) можно представить в виде

(14.6)

(14.7)

(14.8)

M · u + ρF = 0.
(14.9)
f
Обозначая через |M| определитель тензора-оператора M, через M∗ тензор-оператор алгебраиf
f
ческих дополнений, после
простых вычислений получим f
|M| = a2 (a + b)1 22 = Q1 Q22 , Q1 = Q2 + b∆ = (a + b)1 = (λ + 2µ)∆ − ρ∂t2 ,
f
(14.10)
ρ
M∗ = a[(a + b)E1 − b∇∇]2 = (EQ1 − b∇∇)Q2 , 1 = ∆ −
∂t2 .
a+b
e
e
f
Здесь Q1 — волновой оператор продольных волн, Q2 — волновой оператор поперечных волн.
Нетрудно показать, что имеет место соотношение
M · M∗ = M∗ · M = a2 (a + b)E1 22 = EQ1 Q22 .
e
e
f f
f f
Введем в рассмотрение еще дифференциальный тензор-оператор

Тогда легко видеть, что

N = (a + b)E1 − b∇∇ = EQ1 − b∇∇.
e
e
e

M∗ = NQ2 , M · N = N · M = EQ1 Q2 .
e
e f e
f
f e
Будем искать решение уравнения (14.9) в виде (аналогично методу Галеркина)

(14.11)

(14.12)

(14.13)

u = N · V.
(14.14)
e
Подставляя (14.14) в (14.9) и учитывая второе равенство (14.13), получим относительно вектора
V уравнение
Q1 Q2 V + ρF = 0.
(14.15)
Применяя поочередно дифференциальные тензоры-операторы M∗ и N к уравнению (14.9), в
e
f
силу (14.11) и (14.13) получим соответственно следующие уравнения

15.

ГРАНИЧНЫЕ

Q2 [Q1 Q2 u + N · (ρF)] = 0,

(14.16)

Q1 Q2 u + N · (ρF) = 0.

(14.17)

И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

ПОСТАНОВКИ

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В

ДИНАМИЧЕСКОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Приведены кинематические, статические и смешанные граничные условия, а также начальные
условия. Даны постановки трех начально-краевых задач в динамической классической теории
упругости.
15.1. Кинематические граничные условия. В этом случае на границе тела S задается вектор
перемещений
u

S

= U.

(15.1)

15. ГРАНИЧНЫЕ

И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ.

ПОСТАНОВКИ

НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ДИНАМИЧЕСКОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
31

15.2. Статические граничные условия. В этом случае на границе тела задается вектор напряжения
(n · P)
e

S

=P



2

(n · A ⊗ ∇u)
e

S


=P .

(15.2)

15.3. Смешанные граничные условия. В этом случае на одной части границы S1 задается
вектор перемещений, а на другой части S2 вектор напряжения
u

S1

= U,

(n · P)
e

S2

= P (S1 ∪ S2 = S,

S1 ∩ S2 = ∅).

(15.3)

15.4. Начальные условия. Во всех (внутренних и граничных) точках тела задаются начальное
перемещение и начальная скорость
u

t=t0

= u0 ,

du
dt

t=t0

= v0 .

(15.4)

15.5. Постановки начально-краевых задач в динамической классической теории упругости. Даны постановки трех начально-краевых задач в динамической классической теории упругости.
15.5.1. Постановка первой начально-краевой задачи в динамической классической теории
упругости. Включает в себя: уравнения движения для произвольной анизотропной среды (14.3)
(для изотропной среды (14.9)), кинематические граничные условия (15.1) и начальные условия
(15.4).
15.5.2. Постановка второй начально-краевой задачи в динамической классической теории
упругости. Включает в себя: уравнения движения для произвольной анизотропной среды (14.3)
(для изотропной среды (14.9)), статические граничные условия (15.2) и начальные условия (15.4).
15.5.3. Постановка третьей начально-краевой задачи в динамической классической теории
упругости. Включает в себя: уравнения движения для произвольной анизотропной среды (14.3)
(для изотропной среды (14.9)), смешанные граничные условия (15.3) и начальные условия (15.4).
Следует заметить, что из приведенных выше постановок начально-краевой задачи в динамической классической теории упругости соответствующие постановки краевых задачи в классической
теории упругости при равновесии получаются если уравнения движения для произвольной анизотропной среды (14.3) (для изотропной среды (14.9)) заменить на уравнения равновесия, которые
из (14.9) ((14.9)) получаются пренебрежением инерционными членами, т.е. уравнения равновесия
будут иметь вид
L · u + ρF = 0,
e
где тензор-оператор уравнения равновесия представляется в форме

(15.5)

L = ri rl (Aijkl ∇j ∇k + ∇m Amikl ∇k ) = ri rl (Aijkl ∇j ∇k + ∇m Amikl ∇k ) (L = Eµ∆ + b∇∇)
e
e e
и, кроме того, если пренебрегать начальными условиями (15.4).

(15.6)

15.6. Представление решения динамических задач для трансверсально-изотропного материала в классической теории упругости.
15.7. Представление решения динамических задач для ортотропного материала в классической теории упругости.

32

ГЛАВА 4. О

16.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В КЛАССИЧЕСКОЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ

ГЛАВА 4
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ В МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
17.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

17.1. Представление решения динамических задач для изотропного материала в микрополярной теории упругости. В линейной микрополярной теории упругости закон Гука при неизотермических процессах в силу обобщенного принципа Дюгамеля–Неймана [69,71,83] можно представить в виде
2
2
2
2
(17.1)
κ − dϑ), µ = C ⊗(γγ − aϑ) + D ⊗(κ
κ − dϑ),
P = A ⊗(γγ − aϑ) + B ⊗(κ
e
e e e
e e e
e
e e
e e e e
ϕ — тензор
где γ = ∇u − C
· ϕ — тензор деформаций в микрополярной теории [17], κ = ∇ϕ
'
e
e
кручения-изгиба, A, B, C, D — материальные тензоры четвертого ранга, ϑ = T − T0 — перепад
e e e теплового расширения.
температуры, a, d e— тензоры
e
e
Учитывая выражение для γ , (17.1) можно записать в форме
2

2

2

2

2

2

ϕ − A ⊗C
ϕ − C ⊗C
P = A ⊗∇u + B ⊗∇ϕ
· ϕ − bϑ, µ = C ⊗∇u + D ⊗∇ϕ
· ϕ − β ϑ,
e e
e
e '
e
e
e '
e e
e
где для тензоров термомеханических свойств введены обозначения
2

2

b = A ⊗a + B ⊗d,
e
e e e e
В случае изотропного материала, например

2

(17.2)

2

β = C ⊗a + D ⊗d.
e e e e
e

A = a1 C(1) + a2 C(2) + a3 C(3) , D = d1 C(1) + d2 C(2) + d3 C(3) ,
e
e
e
e
e
e
e
e
Aijkl = a1 g ij g kl + a2 g ik g jl + a3 g il g jk , Aijkl = a1 δij δkl + a2 δik δjl + a3 δil δjk ,
Dijkl = d1 g ij g kl + d2 g ik g jl + d3 g il g jk , Dijkl = d1 δij δkl + d2 δik δjl + d3 δil δjk ,
(17.3)




A = λC(1) + µ C(2) + C(3) + α C(2) − C(3) , a1 = λ, a2 = µ + α, a3 = µ − α,
e 

e
e 

e
e
e
D = γC(1) + δ C(2) + C(3) + β C(2) − C(3) , d1 = γ, d2 = δ + β, d3 = δ − β.
e
e
e
e
e
e
Следует заметить, что уравнения движения в микрополярной теории относительно тензоров
напряжений и моментных напряжений представляются в виде (см. (9.7))
2

(17.4)
∇ · P + ρF = ρ∂t2 u, ∇ · µ + C
⊗ P + ρm = ρJ · ∂t2ϕ .
'
e
e
e
e
Упражнение 1. Доказать, что уравнения движения в микрополярной теории (17.4) в компонентах представляются следующим образом:
∇i P ij + ρF j = ρ∂t2 uj ,
∂i Pij + ρFj = ρ∂t2 uj ,

∇i µij + C j· i·k· P ik + ρmj = ρJ jk ∂t2 ϕk ,
∂i µij + Єjik Pik + ρmj = ρJik ∂t2 ϕk .

Упражнение 2. Доказать, что уравнения движения в микрополярной теории (17.4) можно еще
представить в виде
1
√
√ ∂i ( g Pi ) + ρF = ρ∂t2 u,
g

2
1
√ i
µ )+C
⊗
P + ρm = ρJ · ∂t2ϕ ,
√ ∂i ( gµ
'
g
e
e

где Pi = P ij rj и µi = µi = µij rj называются контравариантными составляющими тензоров напряжений и моментных напряжений соответственно.

17. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

33

Учитывая ОС (17.2) для изотропного материала с центром симметрии (B=C=0) при изотерe e микрополярной
мическом процессе, из уравнений движения (17.4) получим уравнения движения
теории упругости в перемещениях и вращениях для изотропного материала в виде [17, 57, 83]
ϕ + ρF = ρ∂t2 u,
(µ + α)∆u + (λ + µ − α)∇∇ · u + 2αrotϕ

(17.5)

ϕ + ρm = J∂t2ϕ .
(δ + β)∆u + (γ + δ − β)∇∇ · ϕ + 2αrotu − 4αϕ
e
Легко видеть, что уравнения (17.5) можно представить в виде
{E[(µ + α)∆ − ρ∂t2 ] + (λ + µ − α)∇∇} · u − 2α(C
· ∇) · ϕ + ρF = 0,
'
e
−2α(C
· ∇) · u + {E[(δ + β)∆ − 4α] − J∂t2 u + (γ + δ − β)∇∇} · ϕ + ρm = 0.
'
e
e
Введем в рассмотрение следующие дифференциальные тензоры-операторы:
A = E[(µ + α)∆ − ρ∂t2 ] + (λ + µ − α)∇∇, B = −2αC
· ∇,
'
e
e
e
2
C = E[(δ + β)∆ − 4α] − J∂t + (γ + δ − β)∇∇.
e
e
e
Тогда в силу (17.7) уравнения можно записать в форме

(17.6)

(17.7)

A · u + B · ϕ + ρF = 0, B · u + C · ϕ + ρm = 0.
(17.8)
e
e
e
e
Получим уравнения в отдельности относительно векторов u и ϕ . В этой связи применим к первому уравнению (17.8) оператор B со следующим скалярным умножением, а второму уравнению
e
оператор A. В результате получим
e
(B · A) · u + (B · B) · ϕ + B · (ρF) = 0,
e e
e e
e
(17.9)
(A · B) · u + (A · C) · ϕ + A · (ρm) = 0.
e e
e e
e
Учитывая коммутативность операторов A и B относительно скалярного произведения и из
e
второго уравнения вычитая первое, получимe
(17.10)
(A · C − B2 ) · ϕ + A · (ρm) − B · (ρF) = 0.
e e e
e
e
Применим теперь к первому уравнению (17.8) оператор C со следующим скалярным умножениe
ем, а второму уравнению оператор B. Очевидно, будем иметь
e
(C · A) · u + (C · B) · ϕ + C · (ρF) = 0,
e e
e e
e
(17.11)
(B · B) · u + (B · C) · ϕ + B · (ρm) = 0.
e e
e e
e
Учитывая коммутативность операторов A и C, а также B и C относительно скалярного произвеe
e получим уравнение
e
e
дения и из первого уравнения вычитая второе,

Вводя обозначения

(A · C − B2 ) · u + C · (ρF) − B · (ρm) = 0.
e e e
e
e

D = A · C − B2 ,
e
e e e
уравнения (17.10) и (17.13), можно представить в виде
D · u + C · (ρF) − B · (ρm) = 0, D · ϕ + A · (ρm) − B · (ρF) = 0.
e
e
e
e
e
e
Далее, считая J = JE, после простых вычислений найдем
e
e
A = EQ2 + d∇∇, B = −2αC
· ∇, C = EQ4 + h∇∇,
'
e
e
e
e
e
A · C = EQ2 Q4 + (hQ1 + dQ4 )∇∇, B2 = −4α2 (E∆ − ∇∇),
e e
e
e
e
D = E(Q2 Q4 + 4α2 ∆) + (hQ1 + dQ4 − 4α2 )∇∇,
e
e
D∗ = (Q2 Q4 + 4α2 ∆)[EQ1 Q3 − (hQ1 + dQ4 − 4α2 )∇∇,
e
e
|D| = Q1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)2 , D · D∗ = D∗ · D = E|D|,
e
e e
e e
ee

(17.12)
(17.13)

(17.14)

(17.15)

34

ГЛАВА 5. О

ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ В МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

где введены обозначения
c = µ + α,

d = λ + µ − α,

Q1 = Q2 + d∆,

f = δ + β,

Q2 = c∆ − ρ∂t2 ,

g = 4α,

Q3 = Q4 + d∆,

h = γ + δ − β,
Q4 = f ∆ − g − J∂t2 .

(17.16)

Введем в рассмотрение дифференциальный тензор-оператор
N = EQ1 Q3 − (hQ1 + dQ4 − 4α2 )∇∇.
e
e
Тогда в силу (17.15) и (17.17) имеем
D∗ = (Q2 Q4 + 4α2 ∆)N,
e
e
D · N = N · D = EQ1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆),
e e
e e
e
N · B = −B · N = −2αQ1 Q3 C
· ∇,
'
e e
e e
N · C = C · N = Q3 [EQ1 Q4 − (dQ4 − 4α2 )∇∇],
e e
e e
e
N · A = A · N = Q1 [EQ2 Q3 − (hQ2 − 4α2 )∇∇].
e e
e e
e
Если решения уравнения (17.14) будем искать в виде (аналогично Галеркину)

(17.17)

(17.18)

u = N · V, ϕ = N · ψ ,
(17.19)
e
e
то, учитывая соответствующие соотношения (17.15) и (17.18), в силу (17.17) из уравнений (17.14)
получим относительно V и ψ следующие уравнения:
Q1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)V + (EQ4 + h∇∇) · (ρF) + 2α(C
· ∇) · (ρm) = 0,
'
e
(17.20)
ψ + (EQ2 + d∇∇) · (ρm) + 2α(C
Q1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)ψ
·
∇)
·
(ρF)
=
0.
'
e
Применяя теперь тензор-оператор N к уравнениям (17.14) со следующим скалярным умножениe
ем и учитывая (17.18) будем иметь следующие
уравнения:

2
Q3 Q1 [(Q2 Q4 + 4α ∆)u + 2α(C
· ∇) · (ρm)] + [EQ1 Q4 − (dQ4 − 4α2 )∇∇] · (ρF) = 0,
'
e

ϕ + 2α(C
Q1 Q3 [(Q2 Q4 + 4α2 ∆)ϕ
·
∇)
·
(ρF)]
+
[E
Q2 Q3 − (hQ2 − 4α2 )∇∇] · (ρm) = 0.
'
e
Отсюда, очевидно, можем написать
Q1 [(Q2 Q4 + 4α2 ∆)u + 2α(C
· ∇) · (ρm)] + [EQ1 Q4 − (dQ4 − 4α2 )∇∇] · (ρF) = 0,
'
e
(17.21)
2
2
ϕ + 2α(C
Q3 [(Q2 Q4 + 4α ∆)ϕ
· ∇) · (ρF)] + [EQ2 Q3 − (hQ2 − 4α )∇∇] · (ρm) = 0.
'
e
17.2. Представление решения динамических задач для трансверсально-изотропного материала в микрополярной теории упругости.
17.3. Представление решения динамических задач для ортотропного материала в микрополярной теории упругости.
18.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В МИКРОПОЛЯРНОЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ

ГЛАВА 5
ТРАДИЦИОННОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В
АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрены некоторые вопросы о расщеплении начально-краевых задач теорий упругости для
некоторых анизотропных сред. В частности, начально-краевые задачи микрополярной (классической) теории упругости представлены с помощью введенных тензорно-блочных матричных операторов (тензоров-операторов). В случае изотропной микрополярной упругой среды (изотропной и

20. О

35

СТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В ЛИНЕЙНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

трансверсально-изотропной классических сред) найдены соответствующие тензорно-блочным матричным операторам (тензорам-операторам) данных начально-краевых задач тензорно-блочные матричные операторы (тензоры-операторы) алгебраических дополнений, которые позволяют расщеплять начально-краевые задачи.
19.

УРАВНЕНИЯ

ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЕКТОРОВ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ВРАЩЕНИЙ ДЛЯ УПРУГОГО
МАТЕРИАЛА БЕЗ ЦЕНТРА СИММЕТРИИ

Определяющие соотношения для линейно-упругого неоднородного анизотропного тела без центра симметрии при малых перемещениях и вращениях и изотермических процессах имеют вид
2
2
2
2
(19.1)
κ , µ = C ⊗γγ + D ⊗κ
κ (γγ = ∇u − C
ϕ),
P = A ⊗γγ + B ⊗κ
· ϕ , κ = ∇ϕ
'
e
e e e e
e
e
e
e
e
e
e
где P и µ — тензоры напряжений и моментных напряжений; γ и κ — тензоры деформаций и
e
e
e, C e= BT и D — материальные
изгиба-кручения;
u и ϕ — векторы перемещений и вращений; A
e e
e
2e
тензоры четвертого ранга; C
— дискриминантный тензор третьего ранга; ⊗ — внутреннее 2'
произведение [8,40–43,45]; верхний индекс T обозначает операцию транспонирования; ∇ — наблаоператор Гамильтона.
Учитывая (19.1), из уравнений движения микрополярной среды
2

∇ · P + ρF = ρ∂t2 u, ∇ · µ + C
⊗P + ρm = J∂t2ϕ
'
e
e
e
e
получим уравнения движения в перемещениях и вращениях в форме
A · u + B · ϕ + ρF = 0, C · u + D · ϕ + ρm = 0,
(19.2)
e
e
e
e
где ρ — плотность тела; F — массовая сила; m — массовый момент; J — внутренний момент
e
инерции, а дифференциальные тензоры-операторы A, B, C и D представляются
выражениями:
e e e
e
A = A0 − Eρ∂t2 , A0 = rj rl (Aijkl ∇i ∇k + ∇i Aijkl ∇k ),
e
e
e
e
· · Amnkj )∇ − C l · · ∇ Amnij ],
B = rj rl [B ijkl ∇i ∇k + (∇i B ijkl − C·l mn
k
· mn i
e
j · · mnkl
klij
klij
C = rj rl [B ∇i ∇k + (∇i B
+ C· mn A
)∇k ], D = D0 − J∂t2 ,
(19.3)
e0
e
e
e
j l
j
ijkl
ijkl
l
s
·
·
mnkt
D = rj rl {D ∇i ∇k +[∇i D +(gs gt −gs gt )C· mn B
]∇k −
e
·
·
j
pqij )}.
· · (Apqmn C
−C·l pq
mn · +∇i B
Здесь и далее E — единичный тензор второго ранга; gij — смешанные компоненты тензора E;
e
Aijkl , B ijkl , C ijkle и Dijkl — контравариантные компоненты тензоров A, B, C и D соответственно;
e
e
e
e
l
·
·
; ∇i — оператор ковариантной производной; ri
C· mn — компоненты дискриминантного тензора C
'
— ковариантный базисный вектор.
Введя матричный дифференциальный тензор-оператор и вектор-столбцы векторов перемещений
и вращений и векторов объемных сил и моментов






A B
u
ρF
M=
, U=
, X=
,
(19.4)
e D
e
C
ϕ
ρm
e
e e
уравнения (19.2) можно коротко представить в виде
(19.5)

M · U + X = 0.
e
20.

О

СТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В ЛИНЕЙНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ

Учитывая (19.1), статические граничные условия
(n · P)
e

S

= P,

(n · µ )
e

S

=µ

36

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

можно записать таким образом:


ϕ
T(1) ·u+T(2) ·ϕ
e
e

S

= P,




ϕ
T(3) ·u+T(4) ·ϕ
e
e

S

µ,
=µ

(20.1)

где P и µ — заданные на поверхности тела векторы напряжения и моментного напряжения;
2

T(1) = rj rl ni Aijkl ∇k , T(2) = rj rl ni B ijkl ∇k − n · A ⊗ C
,
e (3)
e (4)
e 2 '
T = rj rl ni C ijkl ∇k , T = rj rl ni Dijkl ∇k − n · C ⊗ C
'
e
e
e
— дифференциальные тензоры-операторы.
Введя тензорно-блочный матричный оператор напряжения и моментного напряжения и векторный столбец векторов напряжения и моментного напряжения
 (1)



T
T(2)
P
T=
,
(20.2)
e (3) T
e (4) , Q =
µ
T
e
e
e
статические граничные условия (20.1) можно представить в форме
 (1)
 
 

T
T(2)
u
P
=
,
e (3) T
e (4) · ϕ
µ
T
e
e
или, используя второе соотношение из (19.4) и формулы (20.2) — в форме
(T · U) S = Q.
e
Заметим, что кинематические граничные условия запишутся следующим образом:





u
f
US =H
U=
, H=
.
ϕ
ψ

(20.3)

(20.4)

Смешанные граничные условия примут вид
U

S1

= H,

а начальные условия — вид
U|t=t0 = U0

(T · U)
e

S2

= Q,

V|t=t0 = V0 ,

(20.5)

где





ϕ
dU
du
dϕ
u0
v0
U0 =
, V0 =
=
, v0 =
, ω0 =
.
ϕ0
ω0
dt t=t0
dt t=t0
dt t=t0
Здесь P и µ — заданные на поверхности тела векторы напряжения и моментного напряжения; f
и ψ — заданные на поверхности тела векторы перемещений и вращений; t — время; u0 и ϕ 0 —
заданные в начальный момент времени (при t = t0 ) векторы перемещений и вращений; v0 и ω 0
— заданные в начальный момент времени векторы скорости и угловой скорости; S — поверхность
тела; S1 ∪ S2 = S; S1 ∩ S2 = S.
Формулировка начально-краевых задач. Введем определения.
Определение 1. Первая начально-краевая задача в перемещениях и вращениях включает: уравнения движения в перемещениях и вращениях (19.5), кинематические граничные условия (20.4) и
начальные условия (20.5).
Определение 2. Вторая начально-краевая задача в перемещениях и вращениях включает: уравнения движения в перемещениях и вращениях (19.5), статические граничные условия (20.3) и
начальные условия (20.5).
Определение 3. Смешанная (третья) начально-краевая задача в перемещениях и вращениях
включает: уравнения движения в перемещениях и вращениях (19.5), кинематические граничные
условия (20.4) на одной части границы тела, статические граничные условия (20.3) на остальной
части границы тела и начальные условия (20.5).
Исключая из приведенных выше определений характеристики микрополярной теории,
получим соответствующие определения для классической МДТТ.

21. РАСЩЕПЛЕНИЕ

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ СРЕДЫ

37

Следует заметить, что кинематические граничные условия и начальные условия нет необходимости расщеплять, так как они задаются в расщепленном виде. Значит, для расщепления первой
начально-краевой задачи достаточно расщеплять лишь уравнения движения, поскольку, как уже
было сказано, кинематические граничные условия и начальные условия расщеплены. В этой связи
большой интерес представляет расщепление статических граничных условий. Если уравнения движения (19.5) и статические граничные условия (20.3) при каких-то условиях можно расщепить, то
при тех же условиях расщепляются все сформулированные выше начально-краевые задачи. Значит,
следует установить условия, при выполнении которых уравнения движения (19.5) и статические
граничные условия (20.3) расщепляются.
21.

РАСЩЕПЛЕНИЕ

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ СРЕДЫ

В этом случае, как некоторые авторы (см., например, [83]) считают, B = 0 и дифференциальные
тензоры-операторы A, B, C и D (см. (19.3)) представляются в форме e
e e e
e
A = EQ2 +d∇∇, B = C = −2αC
· ∇, D = EQ4 +m∇∇,
'
e e
e e
e e
2
2
Q2 = b∆−ρ∂t , Q4 = g∆−l−J∂t , Q1 = Q2 + d∆, Q3 = Q4 + m∆, J = JE,
e
e
d = λ + µ − α, l = 4α, b = µ + α, g = δ + β, m = γ + δ − β,
где Q1 , Q2 , Q3 и Q4 — волновые операторы, а тензоры модулей упругости — в форме
A = a1 C(1) +a2 C(2) +a3 C(3) , D = d1 C(1) +d2 C(2) +d3 C(3) ,
(21.1)
e
e
e
e
e
e
e
e
где C(1) , C(2) и C(3) — базисные изотропные тензоры четвертого ранга; для материальных констант
e
e
e
приняты
обозначения
a1 = λ, a2 = µ, a3 = α, d1 = γ, d2 = δ и d3 = β.
Пусть
!
Â
B̂(1)
e
e
M∗ =
(21.2)
e
B̂(2)
Ĉ
e
e
— тензорно-блочный матричный оператор алгебраических дополнений для тензорно-блочного матричного оператора M уравнения (19.5). Тогда после простых, но громоздких вычислений получим
e
 = Q3 P R (ÂT = Â), B̂ = B̂(1) = B̂(2) = Q1 Q3 P B (B̂T = −B̂),
e
e e
e
e
e
e
e e
e
(21.3)
Ĉ = Q1 P T (ĈT = Ĉ); R = EQ1 Q4 −(dQ4 −4α2 )∇∇, B = −2αC
·∇,
'
e
e e
e 2e
e
e
2
T = EQ2 Q3 −(mQ2 −4α )∇∇, P = Q2 Q4 + 4α ∆.
e
e
Нетрудно видеть, что в силу (21.3) тензорно-блочный матричный оператор алгебраических дополнений (21.2) можно представить следующим образом:
! 



Q3 R̂ Q1 Q3 B
P Q3 0
0
(1)
(2) P Q3
M∗ = P
(21.4)
N =N
,
e
e =
0 P Q1 e
0 P Q1
e
e
Q1 Q3 B Q1 T̂
e
e
где введены в рассмотрение тензорно-блочные матричные операторы




R
Q1 B
R
Q3 B
(1)
(2)
N =
.
(21.5)
e
e , N =
e
e
Q3 B
T
Q1 B
T
e
e
e
e
e
e
Нетрудно доказать, что имеют место соотношения


EQ1 P
O
(1)T
(2)T
M·N
=N
· M= e
, |M| = det(M) = Q1 Q3 P 2 .
(21.6)
e
O
EQ 3 P
e
e e
e
e
e
e
e
Если решение уравнения (19.5) будем искать в виде (аналогично методу Галеркина)





u
v
(1)T
U=N
·V
U=
, V=
,
ϕ
ψ
e
то придем к следующим расщепленным уравнениям:
Q1 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)v + ρF = 0,

ψ + ρm = 0.
Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)ψ

(21.7)

38

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Применяя к (19.5) слева оператор N(2)T , будем иметь расщепленные уравнения
e
Q1 [(Q2 Q4 + 4α2 ∆)u+2α(C
·∇)·(ρm)]+[EQ1 Q4 −(dQ4 −4α2 )∇∇]·(ρF) = 0,
'
e
(21.8)
2
2
ϕ
Q3 [(Q2 Q4 +4α ∆)ϕ + 2α(C
·∇)·(ρF)]+[EQ2 Q3 −(mQ2 −4α )∇∇]·(ρm) = 0.
'
e
При α = 0 (случай редуцированной среды) из первого уравнения (21.8) следует классическое
уравнение, а из второго уравнения получается уравнение, аналогичное классическому.
22.

РАСЩЕПЛЕНИЕ

СТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

В случае изотропного микрополярного тела без центра симметрии в силу (21.1) и равенства
B = b1 C(1) +b2 C(2) +b3 C(3) имеем
e
e
e
e
(1)
T = a2 En ·∇+a1 n∇+a3 (n∇)T , T(2) = b2 En ·∇+b1 n∇+b3 (n∇)T −(a2 −a3 )n · C
,
'
e
e
e
e
(3)
(4)
T
T
T = b2 En ·∇+b1 n∇+b3 (n∇) , T = d2 En ·∇+d1 n∇+d3 (n∇) −(b2 −b3 )n · C
.
'
e
e
e
e
Следует заметить, что некоторые авторы (см., например, [83]) считают, что B — несимметричный
e
тензор, поэтому в случае изотропной среды он равен нулю, как это полагалось
выше. Однако в
публикации [7]) доказывается, что B — симметричный тензор, поэтому в случае изотропной среды
e
он не равен нулю и как всякий изотропный
тензор четвертого ранга в общем случае определяется
тремя параметрами, что и принято в настоящей работе.
Далее нетрудно заметить, что
0

T(2) = T(3) − (a2 − a3 )n · C, T(4) = T (4) − (b2 − b3 )n · C,
'
'
e0
e
e
e
T (4) = d2 En · ∇ + d1 n∇ + d3 (n∇)T .
e
e

(1)

(3)

Предполагая, что тело имеет кусочно-плоскую границу и обозначая через T∗ и |T(1) |, T∗ и
0 (4)
0
e
e
e
|T(3) |, T∗ и |T (4) | дифференциальные тензоры-операторы алгебраических дополнений и опреде0
e
eдля тензоров-операторов
e
лители
T(1) , T(3) и T (4) соответственно, после простых, хотя громоздких
e
e
e
вычислений будем иметь
(1)

T∗ = [(a1 + a2 )(a2 + a3 )En·∇ − a3 (a1 + a2 )n∇−
e
e
−a1 (a2 + a3 )(n∇)T ]n·∇ + a1 a3 [∇∇ + (nn − E)∆],
e
3
|T(1) | = a2 [(a1 + a2 )(a2 + a3 )nnn ⊗∇∇∇ − a1 a3 ∆n·∇] =
e
2
= a2 [(a1 + a2 )(a2 + a3 )nn ⊗∇∇ − a1 a3 ∆]n·∇,
(3)

T∗ = [(b1 + b2 )(b2 + b3 )En·∇ − b3 (b1 + b2 )n∇−
e
e
−b1 (b2 + b3 )(n∇)T ]n·∇ + b1 b3 [∇∇ + (nn − E)∆],
e
2
(3)
|T | = b2 [(b1 + b2 )(b2 + b3 )nn ⊗∇∇ − b1 b3 ∆]n·∇,
e0
(4)
T∗ = [(d1 + d2 )(d2 + d3 )En·∇ − d3 (d1 + d2 )n∇−
e
e
−d1 (d2 + d3 )(n∇)T ]n·∇ + d1 d3 [∇∇ + (nn − E)∆],
e
2
0 (4)
|T | = d2 [(d1 + d2 )(d2 + d3 )nn ⊗∇∇ − d1 d3 ∆]n·∇.
e
Отметим, что наша цель — для u и ϕ по отдельности получить граничные условия. Для крат0
кости рассмотрим случай, когда b2 = b3 , a2 = a3 . Тогда T(2) = T(3) , T(4) = T (4) и граничные
e
e
e
e
условия (20.3) можно записать в виде
ϕ = P,
T(1) ·u+T(3) ·ϕ
e
e

0

ϕ = µ.
T(3) ·u+T (4) ·ϕ
e
e

24. РАСЩЕПЛЕНИЕ

УРАВНЕНИЙ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

39

В данном случае легко получить граничные условия по отдельности для u и ϕ :


(3)
(4)
(3)
(4)
µ,
|T0(4) |T∗ T ·T(1) − |T(3) |T0 ∗ T ·T(3) · u = |T0(4) |T∗ T ·P − |T(3) |T0 ∗ T ·µ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
(22.1)


(1)
(3)
(1)
(3)
µ.
|T(3) |T∗ T ·T(3) − |T(1) |T∗ T ·T0(4) · ϕ = |T(3) |T∗ T ·P − |T(1) |T∗ T ·µ
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
Следует заметить, что в виде (22.1) представлены граничные условия для системы уравнений
(21.8). При этом первое соотношение (22.1) — граничные условия для первого векторного уравнения (21.8), а второе — второго. Граничные условия для системы уравнений (21.7), которые
следует получить относительно v и ψ , имеют довольно сложные выражения и поэтому их расщепление — непростая задача. В этой связи предпочтительно иметь дело с уравнениями (21.8),
а не с (21.7). Заметим также, что некоторые вопросы о расщеплении начально-краевых задач
рассмотрены в [40, 46].
23.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ТЕНЗОРНО-БЛОЧНОГО МАТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО
РАНГА

Характеристическое уравнение для тензорно-блочной матрицы M имеет вид [43, 45]
e
η 6 − I1 (M)η 5 + I2 (M)η 4 − I3 (M)η 3 + I4 (M)η 2 − I5 (M)η + I6 (M) = 0,
e
e
e
e
e
e
где инварианты Sk = Ik (M), k = 1, 6, вычисляются по формулам
e
s1
1
··· 0
0
s2
s1 · · · 0
0
1
···
· · · · · · · · · · · · , k = 1, 6,
Sk =
k! s
s1 k
k−1 sk−2 · · ·
sk sk−1 · · · s2 s1

(23.1)

k

z
}|
{
sk = I1 (M ), k = 1, 6, M = M · M · . . . · M.
e
e
e e
e
Обратные к (23.1) соотношения представляются в виде
k

sk =

S1
1
0
2S2
S1
1
···
···
···
kSk Sk−1 Sk−2

k

···
···
···
···

0
0
, k = 1, 6.
···
S1

Заменяя здесь M на тензорно-блочные матричные операторы уравнений в перемещениях и враe
щениях при различных
анизотропных средах, получим характеристические уравнения для них.
Если найдем корни (собственные операторы) этих характеристических уравнений для тензорноблочных матричных операторов уравнений в перемещениях и вращениях, то их определители
можно представить в виде произведения собственных (простых) операторов. Тем самым уравнения
расщепляются.
24.

РАСЩЕПЛЕНИЕ

УРАВНЕНИЙ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

В этом случае уравнения равновесия и граничные условия представляются в форме
L · u + ρF = 0, T · u = P (L = rj rl Aijkl ∇i ∇k , T = rj rl ni Aijkl ∇k ),
e
e
e
e
где тензор упругости A, тензор-оператор L, тензор-оператор алгебраических дополнений L∗ для
e
e
e
L и определитель |L| имеют
вид
e
e
A = A2 C(1) + (A1 − A2 )E + A3 (Ie3 + e3 I) + A4 e3 e3 +
e
e
e
ee
ee
e e
+A5 (eI e3 eI e3 + e3 eI e3 eI + eI e3 eI + e3 Ie3 ),
e
e


2L = (A1 − A2 )I + 2A5 e3 ∆ + (A1 + A2 )∇0 ∇0 +
e
e
e
+2(A3 + A5 )[e3 ∇0 + (e3 ∇0 )T ]∂3 + 2(A5 I + A4 e3 )∂32 ,
e
e

40

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

2L∗ = 2I{A1 A5 ∆2 + [A1 A4 − A3 (A3 + 2A5 )]∆∂32 + A4 A5 ∂34 }−
e
e
−{(A1 + A2 )A5 ∆ + [(A1 + A2 )A4 − 2(A3 + A5 )2 ]∂32 }∇0 ∇0 −
−[(A1 − A2 )(A3 + A5 )∆ + 2(A3 + A5 )A5 ∂32 ][e3 ∇0 + (e3 ∇0 )T ]∂3 +
+e3 [A1 (A1 − A2 )∆2 + (3A1 − A2 )A5 ∆∂32 + 2A25 ∂34 ],
e
2|L| = (A1 −A2 )A1 A5 ∆3 +{(A1 −A2 )[A1 A4 −A3 (A3 +2A5 )]+2A1 A25 }∆2 ∂32 +
e
+[(3A1 − A2 )A4 A5 − 2A3 A5 (A3 + 2A5 )]∆∂34 + 2A4 A25 ∂36 ,
2

ei · ej = δij , i, j = 1, 2, 3, em ⊗ en = δmn , m, n = 1, 2, . . . , 6,
e
e
√
e1 = e1 e1 , e2 = e2 e2 , e3 = e3 e3 , e4 = (1/ 2)(e1 e2 + e2 e1 ),
e
e
e√
√ e
e5 = (1/ 2)(e2 e3 + e3 e2 ), e6 = (1/ 2)(e3 e1 + e1 e3 ).
e
e
Здесь δij — дельта Кронекера; ei , i, j = 1, 2, 3, — ортонормированный базис; I = eI eI — изотропный тензор второго ранга, C(1) = I I; 2E = C(2) + C(3) , а C(2) = eI eJ eI eJe, C(3) = eI IeI —
e
ee e
e
e
e
e
e
изотропные тензоры четвертого ранга.
Нетрудно заметить, что
2I1 (L) = (3A1 − A2 + 2A5 )∆ + 2(A4 + 2A5 )∂32 ,
e
2I2 (L) = [(3A1 − A2 )A5 + A1 (A1 − A2 )]∆2 + [(3A1 − A2 )A4 − 2A3 (A3 + 2A5 )+
e
+(2A5 + 3A1 − A2 )A5 ]∆∂32 + 2(2A4 + A5 )A5 ∂34 , I3 (L) = |L|.
e
e
Определитель тензора-оператора L можно записать и в виде произведения простых операторов:
e
|L| = A∆3 + B∆2 ∂32 + C∆∂34 + D∂36 = k(∆ + k1 ∂32 )(∆ + k2 ∂32 )(∆ + k3 ∂32 ),
e
где
k = A, k1 + k2 + k3 = B/A, k1 k2 + k1 k3 + k2 k3 = C/A, k1 k2 k3 = D/A,
A = (1/2)(A1 −A2 )A1 A5 , B = (1/2){(A1 −A2 )[A1 A4 −A3 (A3 +2A5 )] + 2A1 A25 },
C = (1/2)[(3A1 −A2 )A4 A5 −2A3 A5 (A3 +2A5 )], D = A4 A25 .
При этом расщепленные уравнения будут иметь вид


|L|u+L∗ ·(ρF) = 0 или если u будем искать в виде u = L∗ ·v, то |L|v+ρF = 0 .
e
e
e
e
25.

РАСЩЕПЛЕНИЕ

СТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА.

В этом случае граничные условия можно записать в виде
(T ·u) = P (T = rj rl ni Aijkl ∇k ),
S
e
e
где тензор-оператор напряжения T, тензор-оператор алгебраических дополнений T∗ к T и опреe
e
e
делитель |T| представляются следующим
образом:
e
1
T = A2 n0 ∇0 + (A1 − A2 )[In0 · ∇0 + (n0 ∇0 )T ] + A3 (n0 e3 ∂3 + n3 e3 ∇0 )+
2
e
e
+A4 e3 n3 ∂3 + A5 [e3 n0 · ∇0 + n3 (e3 ∇0 )T + (n3 I + e3 n0 )∂3 ],
e
e
e
1
T∗ = A5 n0 ·∇0 [A1 I n0 · ∇0 − A2 n0 ∇0 − (A1 − A2 )(n0 ∇0 )T ] − A3 A5 n23 (I∆ − ∇0 ∇0 )+
2
e
e
e
1
2
0
0
2
0
0
+ {[(2A1 −A2 )A4 −A3 ]I n ·∇ − (A2 A4 −A3 )n ∇ − [(A1 −A2 )A4 −A25 ](n0 ∇0 )T }n3 ∂3 +
2
e
2
+A5 [(A4 n23 − A3 |n0 |2 )I + A3 n0 n0 ]∂32 + C ⊗n0 ∇0 {A2 A5 [n3 C · (e3 ∇0 )T − e3 C · n0 ∂3 ]−
e
e
e
e
−AA3 (C · n0 e3 ∂3 − n3 e3 C · ∇0 )} − An0 · ∇0 {A5 [n3 (e3 ∇0 )T + e3 n0 ∂3 ]+
e
e
+A3 (n0 e3 ∂3 +n3 e3 ∇0 )}−A25 [n23 (e3 ∇0 )T ∂3 + n3 e3 n0 ∂32 ]−A3 A5 (n23 e3 ∇0 ∂3 + n3 n0 e3 ∂32 )+
2

+e3 e3 [−AA2 (1−n23 )∆+A(A1 +A2 )n0 n0 ⊗∇0 ∇0 +(A1 A5 +AA3 )n3 n0 ·∇0 ∂3 +A25 n23 ∂32 ],

25. РАСЩЕПЛЕНИЕ

СТАТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА.41

2

|T| = AA5 {[−A2 + (A2 − A3 )n23 ]∆ + (A1 + A2 )n0 n0 ⊗∇0 ∇0 }n0 ·∇0 +
e
+{A2 (A25 − AA4 ) + AA23 − [(A2 + A3 )A25 + A(A23 − A2 A4 )]n23 }n3 ∆∂3 +
2

+[2A(A25 − A23 ) + (A1 + A2 )AA4 ]n3 n0 n0 ⊗∇0 ∇0 ∂3 + A5 [−AA3 +
+(AA3 +3AA4 +A2 A4 −A23 )n23 ]n0 ·∇0 ∂32 −A25 [A3 −(A3 +A4 )n23 ]n3 ∂33 ,
где
2

∆ = ∂12 +∂22 , n0 = nI eI , ∇0 = eI ∂I , n0 n0 ⊗∇0 ∇0 = nI nJ ∂I ∂J , A = 1/2(A1 −A2 ).
Нетрудно видеть, что расщепленные граничные условия будут иметь вид
|T|u = TT∗ · P.
e
e
Следует заметить, что уравнения движения (равновесия) в перемещениях для любого однородного анизотропного тела можно записать в форме

При этом

M ·u + ρF = 0 (L ·u + ρF = 0), где M = L − Eρ∂t2 , L = Apiqj ei ej ∂p ∂q .
e
e
f
f e e

(25.1)

I3 (M) = |M| = I3 (L) − I2 (L)ρ∂t2 + I1 (L)ρ2 ∂t4 − ρ3 ∂t6 ,
e
e
e
f
f
M∗ = M2 − I1 (M)M + I2 (M)E = L∗ + [L − I1 (L)E]ρ∂t2 + Eρ2 ∂t4 =
e
e
e
e
f
f
f f
f e
= L2 − L[I1 (L) − ρ∂t2 ] + E[I2 (L) − I1 (L)ρ∂t2 + ρ2 ∂t4 ],
e
e
e
e
e
e
L∗ = L2 − I1 (L)L + I2 (L)E.
e
e
e e
e e
Применяя M∗ (L∗ ) к уравнениям движения (равновесия) (см. (25.1)), получим следующие расe
щепленныеf
уравнения:


|M|u + M∗ ·(ρF) = 0 |L|u + L∗ ·(ρF) = 0 .
e
e
f
f
Далее представим |M| в виде произведения простых операторов:
f
|M| = I3 (L)−I2 (L)ρ∂t2 +I1 (L)ρ2 ∂t4 −ρ3 ∂t6 = (a−ρ∂t2 )(b−ρ∂t2 )(c−ρ∂t2 ) =
e
e
e
f
= abc − (ab + ac + bc)ρ∂t2 + (a + b + c)ρ4 ∂t4 − ρ3 ∂t6 ,
где
I1 (L) = a + b + c, I2 (L) = ab + ac + bc, I3 (L) = abc.
e
e
e
Ясно, что a, b и c — собственные операторы (значения) для L, а a − ρ∂t2 , b − ρ∂t2 и c − ρ∂t2 —
e
собственные операторы (значения) для M.
f среды. Тогда соответствующие тензоры-операторы и
Рассмотрим теперь случай изотропной
дифференциальные операторы представятся в виде
M = EQ2 +(λ + µ)∇∇, M∗ = Q2 N, N = EQ1 −(λ+µ)∇∇,
e e e
f e
f
|M| = Q1 Q22 , Q1 = (λ + 2µ)∆ − ρ∂t2 , Q2 = µ∆ − ρ∂t2 ,
f
M · M∗ = M∗ ·M = E|M|, M · N = N · M = EQ1 Q2 .
f f
f f e f f e e f e
Применяя сперва оператор M, а затем N к уравнению движения (25.1), получим следующие
e
расщепленные уравнения: f
Q2 [Q1 Q2 u + N ·(ρF)] = 0, Q1 Q2 u + N · (ρF) = 0.
e
e
Видно, что второе уравнение имеет на две единицы меньший порядок, чем первое. Это, конечно,
дает ему преимущество перед первым.
Рассмотрим задачу на собственные значения для M, которая заключается в следующем. Найти
f M · a = λa, где λ — скалярный оператор.
все векторы a 6= 0, которые удовлетворяют уравнению
f
Характеристическое уравнение и его решения имеют вид




det(M − λE) = 0 ⇔ λ3 − I1 (M)λ2 + I2 (M)λ − I3 (M) = 0 ,
e
f
f
f
f
λ1 = Q1 , λ2 = λ3 = Q2 ,

42

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

где
I1 (M) = Q1 +2Q2 , I2 (M) = Q2 (2Q1 +Q2 ), I3 (M) = Q1 Q22 .
f
f
f
Волновые операторы являются собственными операторами для тензора-оператора M. При этом
второй волновой оператор — двукратный корень характеристического уравнения. Дляf
определения
собственных векторов получаем уравнения
(E∆ − ∇∇) · a1 = 0, ∇∇ · a2 = 0,
e
решениями которых являются, например, следующие собственные векторы:
a1 = ∇ϕ, a2 = ∇ × ψ + 1/3µr,
где ϕ — произвольная скалярная функция, ψ — произвольная векторная функция, µ — некоторый
числовой коэффициент, r — радиус-вектор.
26.

КАНОНИЧЕСКИЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Заметим, что оператор L можно записать в виде
e
L = Asitj ei ej ∂s ∂t = ei ej Aistj ∂s ∂t = ei ej Ai(st)j ∂s ∂t = ei ej Āijst ∂s ∂t ,
e
Aijst = Ai(st)j = 1/2(Aistj + Aitsj ), Āijst = Ājist = Āstij .

(26.1)

Если решим задачу на собственные значения для A и Ā, т.е.
e
e
6
6
P
P
A=
λk wk wk , Ā =
λ̄k w̄k w̄k ,
(26.2)
e k=1 e e
e k=1 e e
где λk и wk (λ̄k и w̄k ), k = 1, . . . , 6, — собственные значения и собственные тензоры для A и Ā
e
e
e
e
соответственно, то уравнения можно записать в виде




6
6
2
P
P
L ·u + ρF = 0 L = λk wk ·∇wk ·∇ , L̄ ·u + ρF = 0 L̄ = λ̄k w̄k w̄k ⊗∇∇ .
e
e k=1 e
e
e
e k=1 e e
С целью расщепления последних уравнений нужно найти алгебраические дополнения L∗ и L̄∗ к
e
e
L и L̄, для этого в свою очередь надо найти выражения для определителя линейной комбинации
e
e
нескольких тензоров второго ранга (от двух до шести и более).
26.1. Определитель и тензор алгебраических дополнений суммы шести тензоров. Пусть
Ai , i = 1, 6 — шесть тензоров второго ранга. Тогда определитель их суммы представляется в
e
форме
6
6
6
6
 P

P
P
P
|
Ak | =
|Ak | +
I2 (Ai ) δii
I1 (Aj ) − I1 (Ai ) +
e
e
e
i=1
j=1
k=1 e
k=1 e
3
6
 P

P
+
I1 (A2i−1 )I1 (A2i ) δii
I1 (Ak ) − I1 (A2i−1 ) − I1 (A2i ) +
e
e
e
e
e
i=1
k=1
3 
6  P
6
 P

Q
2
+
I1 (A2i−1 ) + I1 (A2i ) +
I1 (Ai ·Aj ) − I1 (A3i ) +
(26.3)
e
e
e e
e
i=1
i=1 j=1
4
5
6


P
P
P
+
I1 Ai ·(Aj ·Ak + Ak ·Aj ) −
e e e
e e
i=1 j=i+1 k=j+1
6
5
6
P
 P

P
−
I1 (Ai )
I1 (Aj ·Ak , δii = 1, (i = 1, 6).
e
e e
i=1
j=1 k=j+1
Тензор алгебраических дополнений суммы шести тензоров представляется в виде
2
6
6
5
6

 P
P
P
P
4A ·A ; A ≡ ∂|Ai | , 4A ≡ ∂ |Ai | .
Ai ∗= Ai∗ +
(26.4)
e
e
i∗
j
i∗
i∗
∂Ai
∂Ai ∂Ai
e
e
e
i=1 j=i+1 e
i=1 e
i=1 e
e
e e
Учитывая I1 (4Ai∗ ·Aj ) = I1 (Ai )I1 (Aj ) − I1 (Ai ·Aj ), из предыдущей формулы получим
e e
e
e
e e
6
6
6
5
6 

 P

 

 P

 P
P
P
I1 (Ai )I1 (Aj )−I1 (Ai ·Aj ) .
I1
Ai ∗ =I2
Ai = I2 Ai +
(26.5)
e
e
e
e e
i=1 e
i=1 e
i=1
i=1 j=i+1

26. КАНОНИЧЕСКИЕ

43

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

26.2. Характеристическое уравнение линейной комбинации тензоров второго ранга. Характеристические уравнения для тензора второго ранга A и тензорно-блочной матрицы M второго
e
e
ранга имеют вид
η 3 − I1 (A)η 2 + I2 (A)η − I3 (A) = 0;
e
e
e
η 6 − I1 (M)η 5 + I2 (M)η 4 − I3 (M)η 3 + I4 (M)η 2 − I5 (M)η + I6 (M) = 0,
e
e
e
e
e
e

1
Sk = Ik (M) =
k!

s1
s2
···
sk

1
0
s1
2
···
···
sk−1 sk−2

···
···
···
···

(26.6)

0
0
, k = 1, 6,
···
s1
k

sk = I1

(M)k




, k = 1, 6,

(M)k

}|
{
z
= M · M · . . . · M.

Обратные соотношения представляются в виде
S1
1
0


2S
S
1
2
1
sk = I1 (M)k =
···
···
···
kSk Sk−1 Sk−2

···
···
···
···

0
0
, k = 1, 6.
···
S1

Заменяя здесь A (M) на линейную комбинацию тензоров (тензорно-блочных матриц), а также
e e
на дифф. тензоры-операторы
уравнений в перемещениях (в перемещениях и вращениях) при различных анизотропных средах и учитывая полученные выше формулы для инвариантов линейной
комбинации тензоров, получим характеристические уравнения для них. Найдя корни (собственные операторы) полученных характеристических уравнений для тензоров-операторов уравнений
Ляме, определители тензоров-операторов можно представить в виде произведения собственных
(простых) операторов. Тем самым урвнения Ляме расщепляются.
Рассмотрим каноническое представление трансверсально-изотропного тензора модулей
упругости с символом анизотропии {1,1,2,2}:
A = µ1 w1 w1 + µ2 w2 w2 + µ3 (w3 w3 + w4 w4 ) + µ5 (w5 w5 + w6 w6 ).
e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
Трансверсально-изотропные материалы могут быть следующих видов: {1,1,2,2}, {1,2,1,2},
{1,2,2,1}, {2,1,1,2}, {2,1,2,1}, {2,2,1,1}.
Здесь собственные значения определяются формулами
p
(A11 + A12 − A33 )2 + 8A213 ), µ3 = µ4 = A11 − A12 ,
p
µ2 = 1/2(A11 + A12 + A33 + (A11 + A12 − A33 )2 + 8A213 ), µ5 = µ6 = A55 ,
µ1 = 1/2(A11 + A12 + A33 −

а собственные тензоры представляются в виде
√

√
2
2
w1 = −
sin α(e1 + e2 ) + cos αe3 = −
sin αI + cos αe3 , eα = eα eα , α = 1, 2, 3,
e
e
e
e √ 2
e
e e
√2
√
2
2
w2 =
cos α(e1 + e2 ) + sin αe3 =
cos αI + sin αe3 , e4 = (1/ 2)(e3 e2 + e2 e3 ),
2
e
e
e
e
e
e e
√2
√
2
2 2A13
w3 =
(e1 − e2 ), w4 = e4 , w5 = e5 , w6 = e6 , tg2α =
,
2 √e
A11 + A12 − A33
e
e
e
e
e √ e
e
e
e5 = (1/ 2)(e1 e3 + e3 e1 ), e6 = (1/ 2)(e2 e1 + e1 e2 ).
e
e

44

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

27.

КАНИНИЧЕСКИЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕНЗОРА-ОПЕРАТОРА УРАВНЕНИЙ И ЕГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ, А
ТАКЖЕ ТЕНЗОРА-ОПЕРАТОРА НАПРЯЖЕНИЯ

6
P
µk wk ·∇wk ·∇ = e1 e1 1/2[µ3 ∆ + (µ1 sin2 α + µ2 cos2 α)∂12 + µ5 ∂32 ]+
L=
e
e k=1 e

+e2 e2 1/2[µ3 ∆+(µ1 sin2 α+µ2 cos2 α)∂22 +µ5 ∂32 ]+e3 e3 [1/2µ5 ∆+(µ1 cos2 α+µ2 sin2 α)∂32 ]+
√
+(e1 e2 +e2 e1 )1/2(µ1 sin2 α+µ2 cos2 α)∂1 ∂2 + (e2 e3 +e3 e2 )1/2[ 2(µ2 −µ1 ) sinα cosα+
√
+µ5 ]∂2 ∂3 + (e3 e1 + e1 e3 )1/2[ 2(µ2 − µ1 ) sinα cosα + µ5 ]∂1 ∂3 , ∆ = ∂12 + ∂22
или короче в инвариантном виде имеем
L = (a1 I + a3 e3 e3 )∆ + a2 ∇0 ∇0 + a5 [e3 ∇0 + (e3 ∇0 )T ]∂3 + (a3 I + a4 e3 e3 )∂32 ;
e
e
e
L∗11 = a3 (a1 +a2 )∆2 −a2 a3 ∆∂12 +{[(a2 +a3 )a4 +a23 −a25 ]∆+(a25 −a2 a4 )∂12 }∂32 −a3 a4 ∂34 ,
L∗22 = a3 (a1 +a2 )∆2 −a2 a3 ∆∂22 +{[(a2 +a3 )a4 +a23 −a25 ]∆+(a25 −a2 a4 )∂22 }∂32 −a3 a4 ∂34 ,
L∗33 = a1 (a1 +a2 )∆2 +a3 (2a1 +a2 )∆∂32 +a23 ∂34 , L∗13 = L∗31 = −a1 a5 ∆∂1 ∂3 −a3 a25 ∂1 ∂33 ,
L∗12 = L∗12 = −a2 a3 ∆∂1 ∂2 +(a25 −a2 a4 )∂1 ∂2 ∂32 , L∗23 = L∗32 = −a1 a5 ∆∂2 ∂3 −a3 a25 ∂2 ∂33 ,
L∗ = (a1 +a2 )(a3 I + a1 e3 e3 )∆2 − a2 a3 ∆∇0 ∇0 − a1 a5 [e3 ∇0 + (e3 ∇0 )T ]∂3 +
e
e
o
nh
i
+ [(a2 + a3 )a4 + a23 − a25 ]I + a2 (1a1 + a2 )e3 e3 ∆ + (a25 − a2 a4 )∇0 ∇0 ∂32 −
e
−a3 a5 [e3 ∇0 + (e3 ∇0 )T ]∂33 − a3 (a4 I − a3 e3 e3 )∂34 ;
e
3
2 2
4
|L| = A∆ + B∆ ∂3 + C∆∂3 + D∂36 = b(∆ + b1 ∂32 )(∆ + b2 ∂32 )(∆ + b3 ∂32 );
e
T = (a1 I +a3 e3 e3 )n0 ·∇0 +(a2 −a1 )n0 ∇0 +a1 (n0 ∇0 )T +n3 [(a5 −a3 )e3 ∇0 +(e3 ∇0 )T ]+
e
e
+[n3 (a3 I + a4 e3 e3 ) + (a5 − a3 )n0 e3 + a3 e3 n0 ]∂3 .
e
T∗ = T∗ij ei ej ,
e
T∗11 = a3 (a1 n1 ∂1 +an2 ∂2 )n0 ·∇0 −ca3 n23 ∂22 +[(a1 a4 +a23 )n1 ∂1 +(aa4 −c2 )n2 ∂2 ]n3 ∂3
+(a4 n23 − cn22 )a3 ∂32 ,
T∗12 = a3 (bn1 ∂2 −a1 n2 ∂1 )n0 ·∇0 +[(c2 +ba4 )n1 ∂2 +(a23 −aa4 )n2 ∂1 ]n3 ∂3 +ca3 (n23 ∂1 ∂2 +n1 n2 ∂32 ),
2

T∗13 = −(ba3 n3 ∂2 +a1 cn2 ∂3 )C ⊗n0 ∇0 − a1 (a3 n3 ∂1 +cn1 ∂3 )n0 ·∇0 − a23 n23 ∂1 ∂3 − ca3 n1 n3 ∂32 ,
e
T∗21 = a3 (bn2 ∂1 −a1 n1 ∂2 )n0 ·∇0 +[(c2 +ba4 )n2 ∂1 +(a23 −a1 a4 )n1 ∂2 ]n3 ∂3 +ca3 (n23 ∂1 ∂2 +n1 n2 ∂32 ),
T∗22 = a3 (a1 n2 ∂2 +an1 ∂1 )n0 ·∇0 −ca3 n23 ∂12 +[(a1 a4 +a23 )n2 ∂2 +(aa4 −c2 )n1 ∂1 ]n3 ∂3 +
+(a4 n23 − cn21 )a3 ∂32 ,
2

T∗23 = (ba3 n3 ∂1 +a1 cn1 ∂3 )C ⊗n0 ∇0 − a1 (a3 n3 ∂2 +cn2 ∂3 )n0 ·∇0 − a23 n23 ∂2 ∂3 − ca3 n2 n3 ∂32 ,
e 2
T∗31 = (ca1 n3 ∂2 +ba3 n2 ∂3 )C ⊗n0 ∇0 − a1 (cn3 ∂1 +a3 n1 ∂3 )n0 ·∇0 − ca3 n23 ∂1 ∂3 − a23 n1 n3 ∂32 ,
e 2
T∗32 = −(ca1 n3 ∂1 +ba3 n1 ∂3 )C ⊗n0 ∇0 − a1 (cn3 ∂2 +a3 n2 ∂3 )n0 ·∇0 − ca3 n23 ∂2 ∂3 − a23 n2 n3 ∂32 ,
e
2
T∗33 = ba1 (1−n23 )∆+a1 (a−b)n0 n0 ⊗∇0 ∇0 +(aa3 +a1 c)n3 n0 ·∇0 ∂3 +a23 n23 ∂32 , T∗ = T∗ij ei ej ,
e
где введены обозначения
A = aa1 a3 , B = a(a23 +a1 a4 )+ca1 (a3 +a5 ), C = a3 [aa4 +c(a3 +a5 )]; a = a1 + a2 , c = a3 − a5
2
2
D = a23 a4 , a1 = (1/2)µ3 , a2 = (1/2)(µ
√ 1 sin α+µ2 cos α), a3 = (1/2)µ25 , 2
2
2
a4 = µ1 cos α+µ2 sin α, a5 = (1/2)[ 2(µ2 − µ1 ) sinα cosα + µ5 ], ∆ = ∂1 + ∂2 ,
2

n0 = nI eI , ∇0 = eI ∂I , n0 n0 ⊗∇0 ∇0 = nI nJ ∂I ∂J , C = CIJ eI eJ , b = a1 − a2 .
e

27. КАНИНИЧЕСКИЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕНЗОРА-ОПЕРАТОРА УРАВНЕНИЙ И ЕГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ, А ТАКЖЕ ТЕНЗОРА-ОПЕРАТОРА НАПРЯЖЕНИЯ
45

27.1. Случай изотропной среды. Изотропные материалы надо искать среди материалов с символами анизотропии 2: {1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}. Из них рассмотрим, например, материалы {1, 5} и {5, 1}. Тензоры модулей упругости представляются соответственно в виде
{1, 5} : A = (λ1 −λ2 )w1 w1 +λ2 E; {5, 1} : A = λ1 E −(λ1 −λ6 )w6 w6 .
(27.1)
e
e e
e
e
e
e e
Здесь E = (1/2)(C(2) + C(3) ) — единичный тензор четвертого ранга. Вообще, материалы
e
e
e
{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1} не являются изотропными.
В случае изотропной среды будем иметь
1
1
(27.2)
{1, 5} : A = (λ1 − λ2 )EE + λ2 E; {5, 1} : A = λ1 E − (λ1 − λ6 )EE.
3
3
e
ee
e
e
e
ee
Определение. Символ {α1 , α2 , . . . , αk }, где k — число различных собственных значений тензора,
а αi — кратность собственного значения λi (i = 1, 2, . . . , k), называется символом анизотропии
(структуры) тензора.
1
1
{1, 5} : L = λ2 E∆ + (2λ1 + λ2 )∇∇; M = E(a∆−ρ∂t2 )+b∇∇ = EQ2 +b∇∇,
2 e
6
e
e
f e
1
1
Q2 = a∆−ρ∂t2 , Q1 = Q2 +b∆ = (a + b)∆−ρ∂t2 , a = µ = λ2 , b = λ + µ = (2λ1 + λ2 ),
2
6
M∗ = Q2 (EQ1 −b∇∇) = Q2 N, N = EQ1 −b∇∇, M ·N = N ·M = EQ1 Q2 ,
e
e e e
f
f e e f e
Q1 Q2 u+N ·(ρF) = 0, |M| = Q1 Q22 , T = a1 n∇+ a2 [En ·∇ + (n∇)T ], a = a2 , b = a1 + a2 ,
e
e
e
f
T∗ = a2 [(a1 + a2 )[2En·∇ − n∇ − 2a1 (n∇)T ]n · ∇ + a1 a2 [∇∇ + (nn − E)∆],
e
e
e
2
1
1
|T| = a22 [2(a1 + a2 )nn ⊗∇∇ − a1 ∆]n·∇, a1 = (λ1 − λ2 ), a2 = λ2 ;
3
2
e
1
1
{5, 1} : L0 = λ1 E∆ + (λ1 + 2λ6 )∇∇; M0 = E(c∆−ρ∂t2 )+d∇∇ = EQ02 +d∇∇,
2 e
6
e
e
f e
1
1
Q02 = c∆−ρ∂t2 , Q01 = Q02 +d∆ = (c + d)∆−ρ∂t2 , c = λ1 , d = a01 + a02 = (λ1 + 2λ6 ),
2
6
M0∗ = Q02 (EQ01 −d∇∇) = Q02 N0 , N0 = EQ01 −d∇∇, M0 ·N0 = N0 ·M0 = EQ01 Q02 ,
e
e
e
e
e f e
f
f e
Q01 Q02 u+N0 ·(ρF) = 0, |M0 | = Q0 1 Q0 22 , T0 = a01 n∇+ a02 [En ·∇ + (n∇)T ],
e
e
e
f
T0∗ = a02 [(a01 + a02 )[2En·∇ − n∇ − 2a01 (n∇)T ]n · ∇ + a01 a02 [∇∇ + (nn − E)∆],
e
e
e
2
1
1
0
0
2
0
0
0
0
0
|T | = (a2 ) [2(a1 + a2 )nn ⊗∇∇ − a1 ∆]n·∇, a1 = − (λ1 − λ6 ), a2 = c = λ1 .
3
2
e
27.2. Квазистатическая задача микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях. С целью сокращения письма рассмотрим материал с центром симметрии. Тогда в случае
квазистатики будем иметь уравнения (и здесь соттнощения, как и выше было сказано, должны
сохранять свои формы. Это надо получить)
Q∗1 (Q∗2 Q∗4 + 4α2 ∆)u + S∗ = 0,

ϕ + H∗ = 0;
Q∗3 (Q∗2 Q∗4 + 4α2 ∆)ϕ

S∗ = 2αQ∗1 (C
·∇)·(ρm) + [EQ∗1 Q∗4 −(dQ∗4 −4α2 )∇∇]·(ρF),
'
e
H∗ = 2αQ∗3 (C
·∇)·(ρF) + [EQ∗2 Q∗3 −(mQ∗2 −4α2 )∇∇]·(ρm),
'
e
Q∗1 = (b + d)∆, Q∗2 = b∆, Q∗3 = (g + m)∆ − l, Q∗4 = g∆ − l,
d = λ + µ − α,

l = 4α,

b = µ + α,

m = γ + δ − β,

(27.3)

(27.4)

g = δ + β.

В силу (27.4) уравнения (27.3) можно записать в виде


(λ + 2µ)∆2 (µ + α)(δ + β)∆ − 4αµ u + S∗ = 0,


∆[(γ + 2δ)∆ − 4α] (µ + α)(δ + β)∆ − 4αµ ϕ + H∗ = 0.

(27.5)

46

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Отсюда, осуществляя простые выкладки, получим
[(λ + 2µ)(µ + α)(δ + β)∆3 − 4αµ(λ + 2µ)∆2 ]u + S∗ = 0,

(γ + 2δ)(µ + α)(δ + β)∆3 −4α[µ(γ +2δ)+(µ+α)(δ+β)]∆2 +16α2 µ∆ ϕ +H∗ = 0.
При α = 0, т.е. в случае редуцированной среды, из (27.3) (или из (27.5)) получим следующие
уравнения:
∆2 u + G = 0, ∆2ϕ + H = 0;
(27.6)
1
[E(λ + 2µ)∆ − (λ + µ)∇∇] · (ρF),
µ(λ + 2µ) e
1
H=
[E(γ + 2δ)∆ − (γ + δ − β)∇∇] · (ρm).
(δ + β)(γ + 2δ) e
Заметим, что первое из уравнений (27.6) — классическое уравнение, а второе уравнение имеет
аналогичный ему вид.
G=

28.

УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

Выведены условия совместности деформации в классической и микрополярной теориях. Даны различные их представления. Дано определение тензора кривизны Римана–Кристоффеля и
приведены некоторые свойства его компонент. Дано удобное представление тензора кривизны с
помощью двух индексов.
28.1. Условия совместности деформации в классической теории. Как известно, если задан
вектор перемещений u(x1 , x2 , x3 , t) в каждой точке и в каждый момент времени, то линейный и
конечный тензоры деформаций определяются формулами
1
e = (∇u + ∇uT ),
e 2

1
ε = (∇u + ∇uT + ∇u · ∇uT )
e 2

(28.1)

соответственно.
Поставим теперь обратные задачи: а) найти вектор перемещений u(x1 , x2 , x3 , t), если в каждой
точке и в каждый момент времени задан линейный тензор деформаций e, б) найти вектор перемещений u(x1 , x2 , x3 , t), если в каждой точке и в каждый момент времениe задан конечный тензор
деформаций ε .
e в начале задачу а), т.е. найдем вектор перемещений u(x1 , x2 , x3 , t), если в кажРассмотрим
дой точке и в каждый момент времени задан линейный тензор деформаций e. Решению этой
e
задачи предпошлем несколько предварительных замечаний, позволяющих предугадать
некоторые
результаты.
Следует заметить, что тензор деформаций определяет изменение формы бесконечного малого
элемента тела вблизи данной точки. Таким образом, задание тензора деформаций как функции
координат и времени x1 , x2 , x3 , t определяет изменение формы каждого бесконечно малого элемента тела в каждый момент времени. Очевидно, указанное выше задание определит и деформацию
всего тела как целого, т.е. определит значение вектора перемещений u(x1 , x2 , x3 , t) как функцию
координат и времени x1 , x2 , x3 , t. Видно также, что вектор перемещений однозначно не определяется. На самом деле, если найден вектор перемещений, соответствующий данному тензору
деформаций, то, присоединив произвольный (бесконечно малый) вектор перемещений всего тела
как жесткого целого, получим другое значение вектора перемещений, соответствующего тому же
самому тензору деформаций, ибо вектор перемещений всего тела как жесткого целого никакого
влияния на деформацию не оказывает. Чтобы сделать задачу определенной, можно, например,
дополнительно задать вектор перемещений какой-либо произвольной выбранной точки M0 тела,
а также вектор вращения в этой точке. Заметим также, что вектор перемещений по принятому
условию — однозначная вектор-функция и имеет непрерывные производные до третьего порядка.
Значит, заданный тензор деформаций должен быть также однозначен и иметь непрерывные производные до второго порядка. Эти условия, обычно, считаются выполненными. Нетрудно видеть
заранее, что тензор деформаций должен удовлетворять также представляющим для нас большой

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

47

интерес определенным соотношениям, для того чтобы задача имела решение. Это следует из такого грубого рассмотрения. Представим себе тело разбитым на бесконечно малые элементы, скажем, кубики (не считая элементов, примыкающих к границе). Если мы подвергнем каждый кубик
деформации с заданным тензором деформаций и затем попытаемся вновь сложить полученные
бесконечно малые параллелепипеды так, чтобы точки их граней, соприкасавшихся до деформации, снова соприкасались, то это окажется, вообще говоря, невозможным: при попытке сложить
отдельные элементы между некоторыми из них или образуются зазоры, или грани элементов, которые должны были совпасть, окажутся сдвинутыми друг относительно друга, или, наконец, для
некоторых элементов не окажется достаточно места. В силу сказанного заключаем, что тензор
деформаций должен удовлетворять некоторым соотношениям, для того чтобы была возможна деформация без разрывов. Ниже, решая задачу а), найдем искомые соотношения, которым должен
удовлетворять тензор деформаций, имеющий непрерывные производные до второго порядка, для
того чтобы первое тензорное уравнение (28.1) имело решение относительно вектора перемещений
u(x1 , x2 , x3 , t).
Нетрудно видеть, что каждое из тензорных уравнений (28.1) в компонентах представляет собой
систему шести дифференциальных уравнений первого порядка для определения трех неизвестных компонент u1 , u2 , u3 вектора перемещений при заданном тензоре деформаций. Это еще раз
указывает на то, что задача в обеих случаях не может иметь решения, если заданный тензор
деформаций (или его компоненты) не подчинен некоторым соотношениям. В начале решая задачу
а), найдем эти соотношения, затем займемся задачей б).
Пусть V — односвязная область, занятая телом, т.е. это — область изменения координат
x1 , x2 , x3 , в которой задан тензор деформаций e и в которой ищется вектор перемещений
e
u(x1 , x2 , x3 , t). Напомним, что односвязной называется
область, обладающая следующим свойством: всякий замкнутый контур, проведенный внутри области, может быть стянут в точку путем
непрерывного изменения, не выводящего контур из области. Такой областью является, например,
область, занятая шаром, кубом, параллелепипедом и пр. В дальнейшем временную переменную t
с целью сокращения письма опускаем.
Заметим, что сказанное выше в этом подразделе, которое одинаково относится как к задаче а),
так и к задаче б), с некоторыми изменениями заимствован из книги Н.И.Мусхелишвили [28].
Пусть M0 (x10 , x20 , x30 ) — какая-либо точка области V , u0 — значение вектора перемещений, а ω 0
— значение вектора вращений в этой точке. Пусть M1 (x11 , x21 , x31 ) — какая-либо другая точка области V . Поставим себе задачей найти вектор перемещений в этой точке. С этой целью перепишем
первое уравнение (28.1) в виде
∇u = e − Ω ,
(28.2)
e e
ΩT кососимметричная часть транспонированного градиента вектора перемещений ∇uT ,
где Ω = −Ω
e
т.е. e
2
1 2
1
1
1
(28.3)
· ω, ω = − C
⊗Ω = C
⊗ ∇u = ∇ × u = rotu.
Ω = (∇uT − ∇u) = −C
'
'
'
2
2
2
2
e
e
Здесь ω — вектор вихря или сопутствующий кососимметричному тензору Ω вектор.
e что в силу (28.2) будем иметь
e
Видно,
du = dr · ∇u = dr · (e − Ω ) = dr · e − dr · Ω = e · dr − dr × ω = e · dr + ω × dr
e e
e
e e
e
Таким образом,

(28.4)

ω × (r1 − r)] + (r1 − r) × dω
ω.
du = e · dr + ω × dr = e · dr + ω × d(r1 − r) = e · dr + d[ω
(28.5)
e
e
e
Здесь r1 — радиус-вектор точки M1 , а r — радиус-вектор произвольной точки на линии, соединяющей точки M0 и M1 .
Упражнение 1. Доказать, что
Ω = ki (∇eTi −∇ei ), dΩ
Ω = dr·∇Ω
Ω = (∇eTi −∇ei )dxi ,
∇Ω
e
e
e
2
1 2
ω=− C
Ω=C
dω
⊗dΩ
⊗∇e · dr = (∇ × e) · dr.
'
2'
e
e
e

(28.6)

48

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Учитывая последнее соотношение (28.6), из (28.5) будем иметь

14.05.2020. ФНМ

ω × (r1 − r)] + [e + (r1 − r) × (∇ × e)] · dr.
du = d[ω
(28.7)
e
e
Интегрируя (28.7) по линии, соединяющей точки M0 и M1 и находящейся в области V, получим
искомую формулу в виде
u1 (x11 , x21 , x31 , t)

=

u0 (x10 , x20 , x30 , t)

ZM1
+ (r1 − r0 ) × ω 0 + [e + (r1 − r) × (∇ × e)] · dr.
e
e

(28.8)

M0

Формула (28.8) носит название формулы Чезаро. Она определяет вектор перемещений в любой
точке M1 и в любой момент времени, если даны вектор перемещений u0 и вектор вращений ω 0 в
какой-либо одной, раз навсегда выбранной, точке M0 (x10 , x20 , x30 ).
Следует заметить, что формула (28.8) для определения вектора перемещений, содержит интеграл, взятый по некоторой линии, соединяющей точки M0 и M1 и лежащей в области V. вектор
перемещений является вектор-функцией координат x11 , x21 , x31 и времени t и не зависит от пути интегрирования, так как в силу (28.6) интегрирование рассматривалось от полного дифференциала
du. Следовательно, для того чтобы задача а) имела решение, необходимо, чтобы интеграл, фигурирующий в формуле (28.8), не зависел от пути интегрирования. Другими словами, необходимо,
чтобы этот интеграл по замкнутому контуру Γ, который находится внутри области V и образуется
при M1 → M0 , равнялся нулю, т.е.
I
I
[e + (r0 − r)×(∇ × e)] · dr = dr · [e − (∇×e)T ×(r0 − r)] = 0.
(28.9)
e
e
e
e
Γ

Γ

При написании (28.9) были использованы формулы
Q · a = a · QT , (a × Q)T = −QT × a.
e
e
e
e
Теперь вспомним формулу Стокса, которую для тензора второго ранга Q запишем в виде


e
H
RR
RR
dr · Q =
n · (∇ × Q)dΣ = (n × ∇) · QdΣ
dr (· · · ) ↔ (n × ∇) (· · · ) .
(28.10)
Γ
Σ
Σ
e
e
e
Здесь Σ — произвольная незамкнутая поверхность (поверхность «шапки»), натянутая на замкнутый контур Γ и лежащая в 
области V, n — единичный вектор внешней нормали к Σ, запись
dr (· · · ) ↔ (n × ∇) (· · · ) означает, что формула Стокса верна, если в криволинейном интеграле dr · Q заменить на dr (· · · ), а в поверхностном интеграле (n × ∇) · Q — на (n × ∇) (· · · ),
e
e
где — любая
допустимая математическая операция (однократное умножение,
векторное умножение, тензорное умножение), а (· · · ) — любая тензорная функция (скалярная функция, тензорная
функция любого ранга).
Теорему Стокса (формулу Стокса) (28.10) можно сформулировать следующим образом: циркуляция тензора равна потоку его ротора через поверхность «шапки».
На основании формулы Стокса (28.10) из (28.9) находим
I
Γ

ZZ
dr · [e − (∇×e)T ×(r0 − r)] =
(n × ∇) · [e − (∇×e)T ×(r0 − r)]dΣ =
e
e
e
e
Σ
ZZ
n
o
=
n · ∇ × [e − (∇×e)T ×(r0 − r)] dΣ = 0.
e
e

(28.11)

Σ

Из (28.11) в силу произвольности поверхности «шапки» Σ заключаем, что для того чтобы поверхностный интеграл был равен нулю, необходимо и достаточно равенство нулю подынтегральной
функции, т.е. имеем
(28.12)
(∇ × [e − (∇×e)T ×(r0 − r)] = 0.
e
e

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

49

Преобразуем левую часть (28.12). Будем иметь
∇ × [e − (∇×e)T ×(r0 − r)] = ∇ × e − ∇ × [(∇×e)T ×(r0 − r)] =
e
e
e

T

Te
= ∇ × e − ∇ × ∇×e ×(r0 − r) − ki × ∇×e ×∂i (r0 − r) =
e
e

e

T
T
= ∇ × e − ∇ × ∇×e ×(r0 − r) − ki × ∇×e ×∂i r =
e
e

e

T
T
= ∇ × e − ∇ × ∇×e ×(r0 − r) − ki × ∇×e ×ki ;
e 

e
e
T
ki × ∇×e ×ki = ki × (kj × kk kl ∂j ekl )T × ki = (ki × kl )(kj × kk ) × ki ∂j ekl =
e
= (ki × kl )[kk (kj · ki ) − kj (kk · ki )]∂j ekl = (ki × kl )(kk δij − kj δik )∂j ekl =

(28.13)

= kj × kl kk ∂j ekl − kk × kl kj ∂j ekl = kj × ∂j (ekl kl kk ) − (kj ∂j ekl kk × kl )T =
= ∇ × e − (∇ekl kk × kl )T = ∇ × e, так как ∇ekl kk × kl = 0
e
e
Таким образом, вводя обозначение Ink e = ∇ × (∇ × e)T , на основании (28.12) и (28.13) получим
e
e
∇ × [e − (∇×e)T ×(r0 − r)] = Ink e ×(r0 − r) = 0,
e
e
e
а отсюда, учитывая произвольность r0 − r, получим искомое соотношение в следующем виде
(28.14)
η ≡ Ink e = ∇ × (∇ × e)T = 0.
e
e
e
Следует заметить, что Ink — первые три буквы слов «Inkompatibility» на английском языке
и «Inkompatibilität» на немецком языке. Перевод этих слов на русский язык звучит следующим
образом: «несовместимость». Поэтому тензор второго ранга η ≡ Inke называется тензором несовместимости. Значит, для того чтобы задача а) имела решение e(первоеeуравнение (28.1) относительно
u было совместимо) необходимо тензор несовместимости был равен нулю. Тензор η ≡ Inke —
e
e соотношесимметричный тензор (см. ниже). Поэтому тензорное соотношение эквивалентно шести
ниям в компонентах. Они называются условиями совместимости деформации Сен-Венана (Barré
de Saint-Venant, 1797–1886), так как были впервые найдены им (доложены Société Philomathique в
1860 г., опубликованы в 1861 г.). Традиционные условия совместимости деформации Сен-Венана
представляются в следующей форме:
∂32 e22 + ∂22 e33 = 2∂2 ∂3 e23 ,

∂2 ∂3 e11 = ∂1 (−∂1 e23 + ∂2 e31 + ∂3 e12 ),

∂12 e33
∂22 e11

= 2∂3 ∂1 e31 ,

∂3 ∂1 e22 = ∂2 (−∂2 e31 + ∂3 e12 + ∂1 e23 ),

= 2∂1 ∂2 e12 ,

∂1 ∂2 e33 = ∂3 (−∂3 e12 + ∂1 e23 + ∂2 e31 ).

+
+

∂32 e11
∂12 e22

(28.15)

Упражнение 2. Из тензорного условия совместимости деформации Сен-Венана (28.14) получить условия совместимости деформации Сен-Венана в компонентах тензора деформаций (28.15).
Упражнение 3. Доказать, что тензор несовместимости можно представить в виде
η ≡ Inke = Cijk Clmn ∇j ∇m ekn ri rl = Cijk Clmn ∇j ∇m ekn ri rl =
e
e

gil
gjl

gim gin
gjm gjn

gkl gkm gkn

∇j ∇m ekn ri rl =

(28.16)


T
2
= −∆e − ∇∇I1 (e) + ∇(∇ · e) + ∇(∇ · e) + E[∆I1 (e) − ∇∇ ⊗ e] = 0.
e
e
e
e
e
e
e
Упражнение 4. Доказать, что для любого несимметричного тензора Q
e

T
2
(28.17)
InkQ = −∆Q − ∇∇I1 (Q) + ∇(∇ · Q) + ∇(∇ · QT ) + E[∆I1 (Q) − ∇∇ ⊗ Q].
e
e
e
e
e
e
e
e
Упражнение 5. Доказать, что




(28.18)
(InkQ)T = InkQ ⇔ QT = Q .
e
e
e
e
Упражнение 6. Доказать, что для любых тензоров P и Q и для любых чисел a и b имеем
e
e
Ink(aP + bQ) = aInkP + bInkQ,
(28.19)
e
e
e
e
т.е. тензор несовместимости линейный оператор.

50

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1
Упражнение 7. Доказать, что если Q = S + Ω , где S = (Q + QT ) — симметричная часть
2 e
e e
e
e
e
1
T
тензора Q, а Ω = (Q − Q ) — кососимметричная часть, то
2 e
e
e
e
Ω,
Ink(S + Ω ) = InkS + InkΩ
(28.20)
e e
e
e
при этом

T
(28.21)
Ω = −InkΩ
ΩT = ∆Ω
Ω + ∇(∇ · Ω ) − ∇(∇ · Ω ) .
InkΩ
e
e
e
e
e


1
Упражнение 8. Найти выражения для Ink ε , где ε = ∇u + ∇uT + ∇u · ∇uT
e
e 2
Упражнение 9. Доказать, что

T
2
I1 (ηη ) = ∆I1 (e) − ∇∇ ⊗ e, ζ = ζ (e) ≡ −∆e − ∇∇I1 (e) + ∇(∇ · e) + ∇(∇ · e) = 0. (28.22)
e
e e ee
e
e
e
e
e
Упражнение 10. Доказать теорему
Теорема 28.1.






η (e) = 0 ⇔ ζ (e) = 0, I1 (ηη ) = 0 ⇔ ζ (e) = 0 .
(28.23)
e
e
e
ee
ee
e
ee
Нетрудно видеть, что на основании теоремы 28.1 (см. также (28.23)) заключаем, что вместо
условий совместимости деформации Сен-Венана η (e) = 0 (см. (28.14)) можно рассматривать услоe eζ (e) e= 0, т.е.
вия совместимости деформации Сен-Венана в виде
e
ee

T
(28.24)
∆e + ∇∇I1 (e) = ∇(∇ · e) + ∇(∇ · e) .
e
e
e
e
Упражнение 11. Получить из (28.24) условия совместимости деформации Сен-Венана в традиционной форме (28.15).
Вернемся теперь к соотношению (28.4) и запишем его в виде
du = dr · ∇u = dr · (e − Ω )
e e
Интегрируем (28.25) по замкнутой линии Γ, находящейся в области V . Получим
H
H
H
du = dr · ∇u = dr · (e − Ω) = 0.
e e
Γ
Γ
Γ

(28.25)
(28.26)

Применяя формулу Стокса (28.10) к (28.26), будем иметь
RR
RR
(n × ∇) · ∇udΣ =
n · (∇ × ∇u)dΣ =
Σ

Σ

(28.27)
RR
(n × ∇) · (e − Ω )dΣ =
n · [∇ × (e − Ω )]dΣ = 0,
e e
e e
Σ
Σ
где, как и выше, Σ — произвольная поверхность «шапки», натянутая на замкнутый контур Γ и
лежащая в области V, n — единичный вектор внешней нормали к Σ.
Из (28.27) в силу произвольности Σ получим
=

RR

∇ × ∇u = 0 = ∇ × (e − Ω) = ∇ × e − ∇ × Ω = 0.
e
e e
e
e e
Отсюда в свою очередь находим
∇ × e = ∇ × Ω.
e
e
Нетрудно заметить, что в силу первой формулы (28.3) имеем

(28.28)

∇ × Ω = −∇ × (C
· ω ) = rj × ri rk Cjkl ∇i ω l = C jim Cjkl ∇i ω l rm rk = (gkI glm − glI gkm )∇i ω l rm rk =
'
e
1
ω T − ∇ · ω E = ∇ω
ω T , так как ∇ · ω = ∇ · (∇ × u) = 0.
= ∇i ω l rl ri − ∇i ω i rk rk = ∇ω
2
e
Таким образом,
ωT .
(28.29)
∇ × Ω = ∇ω
e
На основании (28.28) и (28.29) можно написать
ω = (∇ × e)T = (∇ × Ω )T или dr · ∇ω
ω = dr · (∇ × e)T = dr · (∇ × Ω )T .
∇ω
e
e
e
e

(28.30)

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

51

Интегрируя второе соотношение (28.30) аналогично (28.26) по замкнутой линии Γ, а затем к
полученному соотношению применяя формулу Стокса, аналогично (28.27) получим соотношение
RR
RR
RR
ω )dΣ =
n · (∇ × ∇ω
n · [∇ × (∇ × e)T ]dΣ =
n · [∇ × (∇ × Ω )T ]dΣ = 0.
e
e
Σ
Σ
Σ
Отсюда, учитывая определение тензора несовместимости, имеем
RR
RR
RR
ω )dΣ =
Ω dΣ = 0.
n · (∇ × ∇ω
n · Inke dΣ =
n · InkΩ
e
e
Σ
Σ
Σ

(28.31)

В силу произвольности поверхности «шапки» из (28.32) получим соотношения
ω = 0,
∇ × ∇ω
e

Inke = 0,
e e

Ω = 0,
InkΩ
e e

(28.32)

среди которых второе соотношение — условия совместимости деформации Сен-Венана.
Введем теперь в рассмотрение изотропный тензор шестого ранга вида
6C

= C iljmkn ri rl rj rm rk rn = Cijk C lmn ri rl rj rm rk rn =

e

gil
gjl

gim gin
gjm gjn

gkl

gkm

ri rl rj rm rk rn .

(28.33)

gkn

Тогда нетрудно видеть, что с помощью тензора (28.33) условия совместимости деформации (28.14)
(см. также (28.16)) можно записать в различных видах:

 2
4
2
2
(28.34)
η (e) = 6 C ⊗ ∇∇e = 6 C ⊗ ∇∇ ⊗ e = Π ⊗ e = 0,
e
e
e
e e e e
ee
2
где Π = 6 C ⊗ ∇∇ — дифференциальный тензор-оператор четвертого ранга и второго порядка. Его
e
e
целесообразно
назвать дифференциальным тензором-оператором несовместимости.
Упражнение 12. Доказать, что компоненты тензора 6 C симметричны относительно первой,
e
второй и третьей пар индексов, т.е.
Ciljmkn = Cjmilkn = Cknjmil = Cilknjm = −Cjlimkn =
−Ckljmin = −Cilkmjn = −Cimjlkn = −Cinjmkl = −Ciljnkm .

(28.35)

Упражнение 13. Раскрывая определитель, входящий в выражение для тензора 6 C, представить
e
его в виде суммы шести изотропных тензоров шестого ранга, а также найти выражение
для
2

тензора-оператора Π = 6 C ⊗ ∇∇.
e
e
Упражнение 14. 1. Сформулировать и решить задачу на собственные значения тензора 6 C.
e 3Указание. В множестве таких тензоров единичным тензором шестого ранга относительно
3

произведения (3-кратного произведения)
— тензор 6 E = ri ri rj rj rk rk . 3-произведение двух
e
тензоров 6A = Aji11ij22ij33 ri1 rj1 ri2 rj2 ri3 rj3 и 6 B = Bkl11lk22l3k3 rk1 rl1 rk2 rl2 rk3 rl3 , а также тензоров 6 A и
e
e
e
3 D = D ri rj rk определяется следующим образом [43, 45]:
ijk
e
6A

3

6B

= Aji11ij22ij33 Bkl11lk22l3k3 (ri1 rj1 ri2 rj2 ri3 rj3 )

3

(rk1 rl1 rk2 rl2 rk3 rl3 ) =

e
e
= Aji11ij22ij33 Bkl11lk22l3k3 (ri1 rj1 · rk1 rl1 )(ri2 rj2 · rk2 rl2 )(ri3 rj3 · rk3 rl3 ) = Aji11ij22ij33 Bjl11lj22lj33 ri1 rl1 ri2 rl2 ri3 rl3 ;
3

3 D = Aj1 j2 j3 D
i1 i1 i3
i1 i2 i3 j1 j2 j3 r r r .
e
e
2. Доказать, что
6A

6

3

3

3

3

A 6 E = 6 E 6A = 6A, 3 D 6 E = 6 E 3 D = D.!!!
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
Упражнение 15. Сформулировать и решить задачу на собственные значения для тензора2

оператора Π = 6 C ⊗ ∇∇.
e
e

52

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

28.2. Условия совместности в напряжениях. Уравнения Бельтрами–Мичелла. С целью получения условий совместимости в напряжениях или уравнений Бельтрами–Мичелла воспользуемся условиями совместимости деформации в виде (см. (28.24))

T
(28.36)
∆e + ∇∇I1 (e) = ∇(∇ · e) + ∇(∇ · e)
e
e
e
e
и обратным законом Гука
ν
1+ν
(28.37)
e = λ0 I1 (P)E + 2µ0 P = − I1 (P)E +
P.
E
E e
e
e e
e
e e
где E — модуль Юнга, ν — коэффициент Пуассона.
Упражнение 16. Доказать, что имеют место формулы (см. еще приложение V в [69])
1
1+ν
λ
µ(3λ + 2µ)
=
, ν=
, E=
,
2µ
E
2(λ + µ)
λ+µ
νE
λ
ν
λ0
=
, λ0 = −
=− .
λ=− 0
0
0
2µ (3λ + 2µ )
(1 + ν)(1 − 2ν)
2µ(3λ + 2µ)
E
λ0 = −

ν
,
E

2µ0 =

(28.38)

Нетрудно заметить, что в силу обратного закона Гука (28.37) после простых вычислений будем
иметь
I1 (e) = (3λ0 + 2µ0 )I1 (P), ∇∇I1 (e) = (3λ0 + 2µ0 )∇∇I1 (P),
e
e
e
e
∇ · e = λ0 ∇I1 (P) + 2µ0 ∇ · P, ∇∇ · e = λ0 ∇∇I1 (P) + 2µ0 ∇∇ · P,
e
e
e
e
e
e
(28.39)
∇∇ · e + (∇∇ · e)T = 2λ0 ∇∇I1 (P) + 2µ0 [∇∇ · P + (∇∇ · P)T ],
e
e
e
e
e
∆e + ∇∇I1 (e) = 2µ0 ∆P + λ0 ∆I1 (P)E + (3λ0 + 2µ0 )∇∇I1 (P).
e
e
e
e e
e
Учитывая последние два соотношения (28.39), из (28.36) получим
2µ0 ∆P + λ0 ∆I1 (P)E + (λ0 + 2µ0 )∇∇I1 (P) = 2µ0 [∇∇ · P + (∇∇ · P)T ].
e
e e
e
e
e
Найдя первый инвариант обеих частей (28.40), получим
2
µ0
∇∇ ⊗ P.
∆I1 (P) = 0
0
λ +µ
e
e
На основании (28.41) соотношение (28.40) можно записать в виде
2
λ0 µ0
2µ0 ∆P + (λ0 + 2µ0 )∇∇I1 (P) + 0
E∇∇ ⊗ P = 2µ0 [∇∇ · P + (∇∇ · P)T ].
0
λ +µ e
e
e
e
e
e
Нетрудно видеть, что соотношение (28.42) можно записать в следующих видах
2
2
λ 0 µ0
2µ0 ∆P + (λ0 + 2µ0 )(E∇∇)T ⊗ P + 0
E∇∇ ⊗ P = 2µ0 [∇∇ · P + (∇∇ · P)T ],
0
e
e
e λ +µ e
e
e
e
2 

0
2
2
µ
2µ0 ∆P + (λ0 + 2µ0 )[(E∇∇)T + E∇∇] ⊗ P − λ0 + µ0 + 0
E∇∇ ⊗ P =
0
λ +µ e
e
e
e
e
e
0
= 2µ [∇∇ · P + (∇∇ · P)T ].
e
e
Поделив обе части на 2µ0 и учитывая формулы

λ0
1
+1=
,
0
2µ
1+ν

λ0
ν
=−
,
0
0
2(λ + µ )
1−ν

(28.41)

(28.42)

(28.43)

µ0
1+ν
=
,
0
0
λ +µ
1−ν

которые получены с учетом первых двух формул (28.38), будем иметь
2
2
1
ν
∆P +
(E∇∇)T ⊗ P +
E∇∇ ⊗ P = ∇∇ · P + (∇∇ · P)T ,
e 1+ν e
e 1−νe
e
e
e
2
2
2
1
1+ν
∆P +
[(E∇∇)T + E∇∇] ⊗ P −
E∇∇ ⊗ P = [∇∇ · P + (∇∇ · P)T ].
2
1
+
ν
1
−
ν
e
e
e
e
e
e
e
e
Уравнения (28.44) в таких формах автором были получены в 07.12.2010 г. в 15:30.
Легко видеть, что из уравнения равновесия
∇ · P + ρF = 0
e

(28.40)

(28.44)

(28.45)

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

53

находим формулы
2

(28.46)
∇∇ · P = −ρ∇F, ∇∇ ⊗ P = −ρ∇ · F,
e
e
посредством которых соотношения (28.44) представляются в виде
h
i 2
 ν

1
E∆ +
(E∇∇)T ⊗ P + ρ
E∇ · F + ∇F + ∇FT = 0,
1+ν e
1−νe
e
e
e
(28.47)

o
n

2
2
1+ν
1
T = 0,
[(E∇∇)T + E∇∇] ⊗ P + ρ
E
∇
·
F
+
∇F
+
∇F
E∆ +
1+ν e
1 − ν2 e
e
e
e
e
где, как и выше, E = (1/2)(C(1) +C(2) ) — единичный тензор четвертого ранга относительно операe
eа E — единичный тензор второго ранга относительно операции
ции внутреннего e2-произведения,
e
однократного произведения (или внутреннего
1-произведения).
Вводя в рассмотрение дифференциальные тензоры-операторы четвертого ранга и второго порядка
1
1
(28.48)
M = E∆ +
(E∇∇)T , N = E∆ +
[(E∇∇)T + E∇∇],
1+ν e
1+ν e
e
e
e
f e
а также обозначения

 ν

 1 + ν2
T ,
(28.49)
E
∇
·
F
+
∇F
+
∇F
E∇ · F + ∇F + ∇FT , G = ρ
F=ρ
1−νe
1 − ν2 e
e
e
соотношения можно записать в краткой форме

19.05.20. ФНМ

2

2

(28.50)
M ⊗ P + F = 0, N ⊗ P + G = 0.
e
e
e
e
f e e e
Видно, что M — несимметричный дифференциальный тензор-оператор четвертого ранга и второго порядка, а f
N — симметричный дифференциальный тензор-оператор четвертого ранга и второго
e соотношение (28.50) называется тензорным уравнением относительно тензора напорядка. Первое
пряжений или уравнением Бельтрами–Мичелла с несимметричным дифференциальным тензоромоператором, а второе — называется тензорным уравнением относительно тензора напряжений со
симметричным дифференциальным тензором-оператором. Следует заметить, что каждое из уравнений (28.50) в компонентах представляет шесть уравнений шестью неизвестными (шесть компонент
симметричного тензора напряжений P), т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных.
e
Таким образом, условия совместимости
деформации в напряжениях (уравнения Бельтрами–
Мичелла) в силу простейших вычислений всегда можно с помощью симметричного дифференциального тензора-оператора. Заинтересованного читателя с целью подробного ознакомления с
вопросами о симметризации уравнений Бельтрами–Мичелла отсылаем к работе [67].
Заметим, что уравнения относительно компонент тензора напряжений, которые получаются, если выведенные выше уравнения (см. первые соотношения (28.47) и (28.50)) записать в компонентах, конечно, в иной форме [28, 57] были получены Бельтрами (Beltrami) в 1892 г. при отсутствии
массовых сил, а с учетом массовых сил — Мичеллом (Michell) в 1900 г. [85, с. 112–113].
Учитывая (28.46), из (28.41) получим

1+ν
µ0
(28.51)
ρ∇ · F = −
ρ∇ · F.
∆I1 (P) = − 0
0
λ +µ
1−ν
e
Нетрудно заметить, что, например, первое уравнение (28.47) можно представить в виде
 ν

1
(28.52)
∆P +
∇∇I1 (P) + ρ
E∇ · F + ∇F + ∇FT = 0.
1−νe
e 1+ν
e
e
Применяя к уравнению (28.52) оператор лапласиан и учитывая (28.51), будем иметь
h 1
i
(28.53)
∆2 P + ρ
(νE∆ − ∇∇)∇ · F + ∆(∇F + ∇FT ) = 0.
1−ν e
e
e
Таким образом, на основании (28.53) заключаем, что при наличии массовых сил тензор напряжений удовлетворяет неоднородному бигармоническому уравнению, а при отсутствии массовых
сил (F = 0) из (28.53) следует ∆2 P = 0, т.е. тензор напряжений в этом случае является биe
e что при отсутствии массовых сил из (28.50) имеем
гармонической тензор-функцией. Заметим,
∆I1 (P) = 0, т.е. первый инвариант тензора напряжений — гармоническая функция.
e

54

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Применяя теперь к уравнению (28.52) оператор дивергенции, после простых преобразований
получим
 1

1
∆(∇ · P + ρF) + ∇
∆I1 (P) +
ρ∇ · F = 0.
1+ν
1−ν
e
e
Отсюда, учитывая формулу (28.51), найдем
∆(∇ · P + ρF) = 0.
(28.54)
e
На основании (28.54) заключаем, что вектор-функция f = ∇ · P + ρF являются гармонической
функцией в занимаемой телом области V . Следовательно, если этаe функция на границе S области
V принимают нулевые значения, то в силу свойств гармонических функций она будет принимать
нулевые значения во всех точках внутри области V . Ввиду вышесказанного можно сформулировать
следующую теорему
Теорема 28.2. Если уравнения равновесия ∇ · P + ρF = 0 (движения ∇ · P + ρF − ρ∂t2 u = 0)
e
e
выполняются только на границе S, т.е. имеет место
соотношения


∇ · P + ρF) = 0,
∇ · P + ρF − ρ∂t2 u
= 0,
S
S
e
e
то из уравнения (28.52) или из уравнений (28.50) (из аналогичных уравнений, получаемых с
учетом инерционных членов) следует, что они имеют место во всей области V .
Эта теорема позволяет дать новую постановку задачи в напряжениях. Следует отметить, что
новая постановка задачи (постановка Б.Е.Победри) в классической теории подробно изложена
в [67, 69].
28.3. Традиционная и новая постановки краевой задачи в напряжениях. Традиционная постановка краевой задачи в напряжениях включает в себя: уравнения равновесия (28.45), уравнение
Бельтрами–Мичелла (какое-либо из представлений этого уравнения (28.47), (28.50) и (28.52)) и
статические граничные условия (n · P)|S = P.
e
Следует заметить, что при традиционной
постановке краевой задачи в напряжениях имеем три
уравнения равновесия и шесть уравнений Бельтрами–Мичелла относительно шести компонент
тензора напряжений, а также три статических граничных условия в компонентах. Итак, число
уравнений — девять, а число неизвестных — шесть, т.е. имеем избыток числа уравнений, однако
традиционная постановка краевой задачи в напряжениях корректна. Несмотря на это, возникает
вопрос: можно ли дать такую постановку краевой задачи в напряжениях, чтобы число уравнений совпадало с числом неизвестных? На этот вопрос положительный ответ дал профессор Б.Е.
Победря и сформулированная им постановка краевой задачи в напряжениях называется новой постановкой или постановкой Б.Е. Победри. Им также была доказана эквивалентность традиционной
и новой постановок краевой задачи в напряжениях [67, 69].
Новая постановка краевой задачи в напряжениях (постановка Б.Е. Победри) включает в себя:
какое-либо из представлений (28.47), (28.50) и (28.52) уравнение Бельтрами–Мичелла и следующие граничные условия




n·P
= P,
∇ · P + ρF
= 0,
(28.55)
S
e S
e
которые в компонентах, конечно, представляются шестью соотношениями.
Следует заметить, что при новой постановке краевой задачи в напряжениях имеем шесть уравнений Бельтрами–Мичелла в компонентах с шестью неизвестными и шесть граничных условий в
компонентах, получаемых из (28.55).
28.4. Вариант условия совместимости относительно тензора деформаций для изотропного
упругого материала. Нетрудно заметить, что в силу третьего соотношения (28.39) из (28.36)
получим
∆e + ∇∇I1 (e) = 2λ0 ∇∇I1 (P) + 2µ0 [∇∇ · P + (∇∇ · P)T ].
e
e
e
e
e
Отсюда в свою очередь имеем
∆e + ∇∇[I1 (e) − 2λ0 I1 (P)] = 2µ0 [∇∇ · P + (∇∇ · P)T ]
e
e
e
e
e

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

55

Учитывая выражение для I1 (P), определяемое из первого соотношения (28.39), а также первую
e
формулу (28.46), из последней формулы
для изотропной среды найдем искомое условие совместимости относительно тензора деформаций в виде
λ0 + 2µ0
∆e + 0
∇∇I1 (e) = −2µ0 ρ(∇F + ∇FT ).
0
3λ
+
2µ
e
e

(28.56)

Нетрудно видеть, что условие совместимости относительно тензора деформаций (28.56) с несимметричным и симметричным тензор-операторами T и S, аналогичными (28.48), подобно (28.50)
e
e
можно представить в следующих формах:
2

T ⊗ e + X = 0,
e e e e

где

2

S ⊗ e + Y = 0,
e e e
e

λ0 + 2µ0
1
T = E∆ + 0
(E∇∇)T = E∆ +
(E∇∇)T ,
0
3λ + 2µ e
1 − 2ν e
e
e
e
1+ν
X = 2µ0 ρ(∇F + ∇FT ) =
ρ(∇F + ∇FT ),
E
e
λ0 + 2µ0
1
S = E∆ + 0
[(E∇∇)T + E∇∇] = E∆ +
[(E∇∇)T + E∇∇],
0
3λ
+
2µ
1
−
2ν e
e
e
e
e e
e
 1

2
λ0 + 2µ0
1
+
ν
0 ρ(∇F + ∇FT ) =
T .
Y=− 0
∇∇
⊗
e
E
+
2µ
ρ
∇
·
F
+
∇F
+
∇F
3λ + 2µ0
E
1−ν
e
ee

(28.57)

(28.58)

При написании формул (28.58) были учтены первые две формулы (28.38). Кроме того, последняя
формула была выведена использованием соотношения
2
(1 + ν)(1 − 2ν)
ρ∇ · F,
∇∇ ⊗ e = −
(28.59)
(1 − ν)E
e
получаемого из уравнения равновесия


∇· 2µe + λI1 (e)E + ρF = µ∆u + (λ + µ)∇∇ · u + ρF = 0
(28.60)
e
e e
с применением оператора дивергенции.
Следует заметить, что соотношения (28.56) и (28.57) представляют различные эквивалентные
формы записи условия совместимости деформации относительно тензора деформаций для сжимаемого (ν 6= 1/2) изотропного материала. Случай несжимаемого материала следует исследовать
отдельно. Ниже приводится это исследование.
Найдя первый инвариант обеих частей соотношения (28.56), получим

ρ∇ · F = −

(1 − ν)E
λ 0 + µ0
∆I1 (e) = −
∆I1 (e).
0
0
0
µ (3λ + 2µ )
(1 + ν)(1 − 2ν)
e
e

(28.61)

Применим теперь оператор дивергенции к соотношению (28.56). Имеем


λ0 + 2µ0
∆ ∇·e+ 0
∇I
(e
)
= −2µ0 ρ(∆F + ∇∇ · F).
1
e 3λ + 2µ0
e
Учитывая (28.61) и соответствующие формулы (28.38), из последнего соотношения будем иметь
λ0
1
λ
∆[∇ · e − 0
∇I1 (e) +
ρF] = 0,
∇I1 (e) + 2µ0 ρF] = ∆[∇ · e +
0
2µ
e 3λ + 2µ
e
e
e 2µ
а отсюда в свою очередь находим


∆[∇ · 2µe + λI1 (e)E + ρF] = ∆[µ∆u + (λ + µ)∇∇ · u + ρF] = 0.
(28.62)
e
e e
Итак, на основании (28.62) заключаем, что если выполняется условие совместимости деформации (28.56), то из него следует, что вектор-функция


∇ · 2µe + λI1 (e)E + ρF = µ∆u + (λ + µ)∇∇ · u + ρF,
e
e e
т.е. левая часть уравнения равновесия (28.60) является гармонической функцией. Следовательно,
если эта функция на границе S области V принимают нулевые значения, то в силу свойств

56

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

гармонических функций она будет принимать нулевые значения во всех точках внутри области V .
Ввиду вышесказанного можно сформулировать следующую теорему.


Теорема 28.3. Если уравнение равновесия ∇ · 2µe + λI1 (e)E + ρF = 0 выполняются только
e
e e
на границе S, т.е. имеет место соотношение




= 0,
∇ · 2µe + λI1 (e)E + ρF
S
e
e e
то из уравнения (28.56) следует, что оно имеют место во всей области V .
Эта теорема позволяет дать новую постановку задачи относительно тензора деформаций.
Случай несжимаемого материала. Возникает вопрос: почему для несжимаемого изотропного
тела коэффициент Пуассона ν = 1/2 ? Для того чтобы ответить на этот вопрос, запишем обратный
закон Гука в виде (см. (28.37))
ν
1+ν
e = − I1 (P)E +
P.
E
E e
e
e e
Найдя первый инвариант от обеих частей (28.63), получим

(28.63)

1 − 2ν
(28.64)
I1 (e) =
I1 (P).
E
e
e
Из формулы (28.64) видно, что I1 (e) → 0 при ν → 0, 5, что указывает на то, что для несжиe
маемого материала, т.е. когда относительное
изменение объема I1 (e) = 0, коэффициент Пуассона
e
ν = 0, 5. Значит, для несжимаемого материала тензор деформаций является
тензором девиатором,
обозначаемом через ē. Возникает вопрос: Каким тензором является тензор напряжений? С целью
e
выяснения этого вопроса
помножим обе части (28.64) на λ = (νE)/[(1 + ν)(1 − 2ν)] (см. (28.38)).
Имеем
1 − 2ν
ν
νE
I1 (P) =
I1 (P).
λI1 (e) =
(28.65)
(1 + ν)(1 − 2ν) E
1+ν
e
e
e
Нетрудно видеть, что λ → ∞ при ν → 0, 5. Тогда, учитывая это, из (28.65) получим


1
ν
I1 (P) = I1 (P).
lim λI1 (e) = ∞ · 0 = lim
(28.66)
ν→0,5
ν→0,5 1 + ν
3 e
e
e
Учитывая (28.66), а также то, что тензор деформаций — тензор девиатор, закон Гука можно
представить в форме
E
1
2
(28.67)
P = λI1 (e)E +
ē = I1 (P)E + Eē
1
+
ν
3
e
e e
e
e e 3 e
Если первое слагаемое в правой части (28.67) переносить в левую часть, то в силу определения
тензора девиатора находим
2
(28.68)
P̄ = Eē.
3 e
e
Итак, в виде соотношения (28.68) получили связь между тензорами девиаторами тензоров напряжений и деформаций в случае несжимаемого изотропного тела. Очевидно, тензор напряжений
— обычный симметричный тензор второго ранга, тензор деформаций — тензор девиатор. Следовательно, закон Гука для несжимаемого изотропного тела можно представить следующим образом:


 P̄ = 2 Eē,
 P = 1 I (P)E + 2 Eē,
1
3 e
3 e e 3 e
или
(28.69)
e
e


I1 (e) = 0
I1 (e) = 0.
e
e
Иногда вводят неизвестную величину p = λI1 (e) и закон Гука записывают в виде
e

 P = pE + 2 Eē,
(28.70)
e
e 3 e

I1 (e) = 0.
e
Видно, что, вычисляя первый инвариант от обеих частей первой формулы (28.70), получим
p = (1/3)I1 (P). Поэтому соотношения (28.70) сводятся к (28.69).
e

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

57

28.5. Традиционная и новая постановки краевой задачи относительно тензора деформадеформациях
ций. Традиционная постановка краевой задачи в напряжениях включает в себя: уравнения равновесия (28.60), какое-либо одно уравнение несовместимости относительно тензора деформаций из
приведенных выше трех представлений (28.56) и (28.57) и статические граничные условия
(n · P)|S = n · [λI1 (e)E + 2µe]
e
e e
e

S

= [λI1 (e)n + 2µn · e]
e
e

S

= P.

(28.71)

Следует заметить, что граничные условия (28.71) можно еще записать в других формах. В
самом деле, имеем
[λI1 (e) + 2µn · e · n]
e
e
2µ[n · e · τ ]
e

S

2

S

= [λE + 2µnn] ⊗ e
e
e
2

= 2µ[nττ ] ⊗ e
e

S

S

= n · P = P(n) ,
(28.72)

= P · τ = P(τ ) .

Здесь τ — единичный вектор касательной к поверхности S, P(n) = n · P — проекция вектора
напряжения на нормаль, а P(τ ) = P · τ — проекция вектора напряжения на касательную.
Новая постановка краевой задачи относительно тензора деформаций включает в себя: какоелибо одно представление уравнения несовместимости относительно тензора деформаций из трех
приведенных выше форм (28.56) и (28.57), какое-нибудь представление приведенных выше статических граничных условий (28.71) и (28.72), а также в силу теоремы 28.3 еще следующее
граничное условие




∇ · 2µe + λI1 (e)E + ρF
= 0.
(28.73)
S
e
e e
Следует заметить, что при новой постановке краевой задачи относительно тензора деформаций
имеем шесть уравнений в компонентах с шестью неизвестными и шесть граничных условий в компонентах, получаемых из (28.71) и (28.73). Заметим также, что из соотношений (28.72) и(28.73)
в компонентах получим пять граничных условий.

21.05.2020. ФНМ
28.6. Тензор кривизны Римана–Кристоффеля. О числе независимых условий совместности деформации. Рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся задачи на собственные значения
тензора A ∈ R4 (Ω) со специальными симметриями, где Ω — некоторая область, вообще говоря,
e
четырехмерного
(трехмерного) риманова пространства. Доказано, что в данном случае невырожденный тензор четвертого ранга в случае четырехмерного (трехмерного) риманова пространства
имеет не больше шести (трех) существенных компонент. Как частный случай рассмотрен тензор
кривизны Римана-Кристоффеля. Показано, что число существенных условий совместности деформации Сен-Венана меньше шести.
28.6.1. О задаче на собственные значения тензора четвертого ранга со специальными симметриями. Пусть A — тензор модуля R4 (Ω), состоящего из тензоров четвертого ранга, где
e
Ω — некоторая область,
вообще говоря, четырехмерного риманова пространства (определения
и свойства модулей см. в [8, 42, 43]). При этом компоненты тензора обладают симметриями:
Aijkl = Aklij = −Ajikl . В этом случае его можно представить в виде
6 P
6
P
A = Aijkl ei ej ek el =
Amn em en .
e
e e
m=1 n=1

(28.74)

Здесь ei , i = 1, 2, 3, 4, — ортонормированный базис относительно однократного скалярного умножения, а ei , i = 1, 6, — ортонормированный базис относительно внутреннего 2-произведения, обоe
2
значаемого символом ⊗ и являющегося также в этом случае скалярным произведением [8, 42, 43].
Базис ei , i = 1, 6, и компоненты Amn , m, n = 1, 6, через базис ei , i = 1, 2, 3, 4, и компоненты Aijkl ,
e

58

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

i, j, k, l = 1, 2, 3, 4, выражаются формулами
1
e1 = √ (e1 e2 − e2 e1 ), e2 =
2
e
e
1
e4 = √ (e1 e4 − e4 e1 ), e5 =
2
e
e
A11 = 2A1212 , A12 = 2A1213 ,
A21 = 2A1312 , A22 = 2A1313 ,
A31 = 2A2312 , A32 = 2A2313 ,
A41 = 2A1412 , A42 = 2A1413 ,
A51 = 2A2412 , A52 = 2A2413 ,
A61 = 2A3412 , A62 = 2A3413 ,

1
1
√ (e1 e3 − e3 e1 ), e3 = √ (e2 e3 − e3 e2 ),
2
2
e
1
1
√ (e2 e4 − e4 e2 ), e6 = √ (e3 e4 − e4 e3 ),
2
2
e
A13 = 2A1223 , A14 = 2A1214 , A15 = 2A1224 ,
A23 = 2A1323 , A24 = 2A1314 , A25 = 2A1324 ,
A33 = 2A2323 , A34 = 2A2314 , A35 = 2A2324 ,
A43 = 2A1423 , A44 = 2A1414 , A45 = 2A1424 ,
A53 = 2A2423 , A54 = 2A2414 , A55 = 2A2424 ,
A63 = 2A3423 , A64 = 2A3414 , A65 = 2A3424 ,

A16
A26
A36
A46
A56
A66

= 2A1234 ,
= 2A1334 ,
= 2A2334 ,
= 2A1434 ,
= 2A2434 ,
= 2A3434 ,

(28.75)

а условия ортонормированности базисов представляются в следующем виде: ei · ej = δij , i, j = 1, 4,
2

и em ⊗ en = δmn , m, n = 1, 6, где δpq — дельта Кронекера.
eТак как
e рассматриваемый тензор A — симметричный тензор (симметричность понимается относительно первой и последней пар eиндексов) и кососимметричный относительно первых двух
индексов, а также последних двух индексов, то невырожденный тензор имеет шесть отличных от
нуля действительных собственных значений, где каждое значение считается столько раз, какова
его кратность, а собственными тензорами являются кососимметричные тензоры второго ранга.
Пусть λi , i = 1, 6, — собственные значения (корни характеристического уравнения), а ai , i = 1, 6,
e на соб— соответствующая им полная система ортонормированных собственных тензоров (задачи
ственные значения тензора и тензорно-блочной матрицы любого четного ранга рассматривались
в [43], а частные задачи на собственные значения тензора в [6, 42, 61, 74]). Тогда тензор A можно
e
записать в каноническом виде
6
2
P
A=
λk ak ak (ak ⊗ al = δkl ),
(28.76)
e k=1 e e e
e
где в скобках выписаны условия ортонормированности собственных тензоров. Видно, что число
независимых условий ортонормированности равно 21. Каждый собственный тензор в произвольном базисе имеет 6 существенных компонент. Итак, 36 компонент шести собственных тензоров
связаны между собой 21 условием ортонормированности, поэтому независимыми компонентами
(параметрами) остаются 15 компонент, с помощью которых строится полная система ортонормированных собственных тензоров (их выражения ввиду ограниченности объема статьи мы не
приводим). Они легко получаются из соответствующих формул, приведенных в [43]. В силу представления (28.76) в каноническом базисе в общем случае рассматриваемый невырожденный тензор
A характеризуется не менее одним параметром (случай шестикратного корня характеристического
e
уравнения)
и не более шестью параметрами (случай шести простых корней характеристического
уравнения). Здесь следует отметить, что число независимых (существенных) компонент тензора
— неинвариантная характеристика тензора и, конечно, зависит от выбора системы координат.
Далее, не нарушая общности, занумеруем собственные значения в порядке убывания: λ1 > λ2 >
. . . > λ6 и для классификации тензора A введем определение символа анизотропии (структуры)
e
тензора.

Определение 28.1. Символ {α1 , α2 , . . . , αk }, где k — число различных собственных значений
тензора, а αi — кратность собственного значения λi (i = 1, 2, . . . , k), называется символом анизотропии (структуры) тензора.
Нетрудно заметить, что в этом случае имеет место соотношение
α1 + α2 + . . . + αk = 6,

1 6 αi 6 6 − (k − 1) = 7 − k,

i = 1, k,

1 6 k 6 6.

Имеются 6 классов (групп) анизотропии. Каждый класс содержит несколько подклассов (подгрупп). Всего имеем 32 подгруппы, которые приведены ниже. Для каждого класса указывается
символ анизотропии. Для некоторых тензоров дано каноническое представление. Число тензоров
в каждом классе выражается соответствующим биномиальным коэффициентом.

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

59

1. Символ анизотропии состоит из одного элемента:
{α},

α = 6,

λ ≡ λ1 = λ2 = . . . = λ6 .

Число таких тензоров C50 = 1. Тензор A имеет представление
e
6
6
P
P
A=
λp ap ap = λ
ap ap = λE (E − единичный тензор четвертого ранга).
e p=1 e e
e e
p=1 e e
2. Символ анизотропии состоит из двух элементов:
{α1 , α2 }, α1 + α2 = 6, 1 6 αm 6 5,
{1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}.

m = 1, 2;

Число таких тензоров C51 = 5. Тензор {1,5} имеет вид
6
P
A = λ1 a1 a1 + λ2
ap ap = (λ1 − λ2 )a1 a1 + λ2 E.
e
e e
e e
e
p=2 e e
3. Символ анизотропии состоит из трех элементов:

{α1 , α2 , α3 }, α1 + α2 + α3 = 6, 1 6 αm 6 4, m = 1, 2, 3;
{1, 1, 4}, {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {1, 4, 1}, {2, 1, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 1},
{3, 1, 2}, {3, 2, 1}, {4, 1, 1},
{1, 1, 4} ⇔ (λ1 > λ2 > λ3 = λ4 = . . . = λ6 ) ⇔


⇔ A = (λ1 − λ3 )a1 a1 + (λ2 − λ3 )a2 a2 + λ3 E .
e
e e
e e
e
Число таких тензоров C52 = 10.
4. Символ анизотропии состоит из четырех элементов:
{α1 , α2 , α3 , α4 }, α1 + α2 + α3 + α4 = 6, 1 6 αm 6 3, m = 1, 2, 3, 4;
{1, 1, 1, 3}, {1, 1, 2, 2}, {1, 1, 3, 1}, {1, 2, 1, 2}, {1, 2, 2, 1}, {1, 3, 1, 1}, {2, 1, 1, 2},
{2, 1, 2, 1}, {2, 2, 1, 1}, {3, 1, 1, 1},
{1, 1, 1, 3} ⇔ (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 = λ5 = λ6 ) ⇔
⇔ (A = (λ1 − λ4 )a1 a1 + (λ2 − λ4 )a2 a2 + (λ3 − λ4 )a3 a3 + λ4 E).
e
e e
e e
e e
e
Число таких тензоров C53 = 10.
5. Символ анизотропии состоит из пяти элементов:
{α1 , α2 , α3 , α4 , α5 }, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 6, 1 6 αm 6 2, m = 1, 2, 3, 4, 5;
{1, 1, 1, 1, 2}, {1, 1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 1, 1}, {1, 2, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1},
{1, 1, 1, 1, 2} ⇔ (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 = λ6 ) ⇔
⇔ (A = (λ1 − λ5 )a1 a1 + (λ2 − λ5 )a2 a2 + (λ3 − λ5 )a3 a3 + (λ4 − λ5 )a4 a4 + λ5 E).
e
e e
e e
e e
e e
e
Число таких тензоров C54 = 5.
6. Символ анизотропии состоит из шести элементов:
{α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 }, α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 = 1, 1 6 αm 6 1,
{1, 1, 1, 1, 1, 1} ⇔ (λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > λ5 > λ6 ) ⇔
⇔ (A = λ1 a1 a1 + λ2 a2 a2 + λ3 a3 a3 + λ4 a4 a4 + λ5 a5 a5 + λ6 a6 a6 ).
e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
Число таких тензоров C55 = 1.
5
P
C5k = 25 = 32.
В итоге число всех тензоров равно

m = 1, 6;

k=0

Заметим, что если в качестве A ∈ R4 (Ω) рассматривается тензор кривизны (тензор Римана–
Кристоффеля), то в силу условияe Aijkl + Aiklj + Ailjk = 0 для каждого из приведенных выше
32 тензоров число существенных компонент уменьшается на единицу. Поэтому нетрудно видеть,
что, например, тензора кривизны, символ анизотропии которого состоит из одного элемента или
из шести элементов, не существует. Вообще говоря, аналогичным образом (см. также [42, 43])
несложно осуществить тщательное изучение внутренних структур важных тензора кривизны и
тензора Риччи и установить числа существенных компонент для этих тензоров, которые меньше

60

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

приведенных в научной литературе чисел. Аналогичное изучение внутренних структур тензора
кривизны и соответствующего тензора Риччи в случае пространства любой конечной размерности
в силу работ [42, 43] не составляет труда. На этих вопросах останавливаться не будем.
Следует особо отметить, что если тензор A ∈ R4 (Ω), где Ω — некоторая область трехмерного
e иметь соответственно
пространства, то вместо (28.74) и (28.76) будем
3 P
3
3
2
P
P
λk ak ak (ak ⊗ al = δkl ), i, j, k, l = 1, 2, 3.
A = Aijkl ei ej ek el =
Amn em en , A =
(28.77)
e
e
e e
e k=1 e e e
m=1n=1
Видно, что в случае выполнения условий ортонормированности (см. соотношение в скобках из
(28.77)) полная система собственных тензоров в произвольном базисе определяется с помощью
трех параметров, а невырожденный тензор A в общем случае определяется с помощью этих трех
e
параметров и трех собственных значений, среди
которых могут быть кратные. В зависимости от
кратностей собственных значений число независимых параметров меняется от 4 до 6 включительно. В данном случае классификация невырожденного тензора проводится аналогично указанной
выше для тензора четвертого ранга в четырехмерном пространстве. Случай вырожденного, отличного от нуля тензора подлежит тщательному исследованию. Отметим, что если вырожденный
тензор тождественно равен нулю, то он не имеет независимых (существенных) компонент. Поэтому, по мнению автора, доказательство того, что из равенства нулю тензора кривизны, который
в случае евклидова пространства тождественно равен нулю, следует шесть независимых условий
евклидовости пространства (совместности деформации), нецелесообразно. Согласно сказанному
выше, этих условий намного меньше шести или их вообще нет. Из канонического представления
тензора A ∈ R4 (Ω) (см. второе соотношение из (28.77)) видно, что число параметров, характеe невырожденный тензор в каноническом базисе, не меньше одного и не больше трех, а
ризующих
тензор, который тождественно равен нулю, вообще не имеет ни одной существенной компоненты.
О числе существенных условий совместности деформации Сен-Венана. Как известно
[57, 67, 69] (случай микрополярной среды см. также в [37, 38, 57]), при малых градиентах вектора перемещений условия совместности деформации Сен-Венана сводится к тождественному равенству нулю симметричного тензора-оператора несовместности второго ранга, который не имеет
существенных компонент. Поэтому утверждение, что из равенства нулю тензора несовместности
следует, что число существенных условий совместности Сен-Венана равно шести, по мнению автора, не имеет смысла, а для установления числа существенных условий совместности Сен-Венана
необходимо провести тщательное исследование. Очевидно, что число этих условий меньше шести.

28.7. Условия совместности деформации в микрополярной теории. Зная векторы перемещений u и вращения ϕ , тензоры деформаций и изгиба-кручения в линейной микрополярной теории
можно определить соотношениями [17, 57, 83, 86]
ϕ (κij = ∇i ϕj ),
γ = ∇u − C · ϕ (γij = ∇i uj − Cijk ϕk ), κ = ∇ϕ
(28.78)
'
e
e
где ∇ — оператор Гамильтона, а C — дискриминантный тензор третьего ранга. Обратно, чтобы
'

найти векторы перемещений u и вращения ϕ по заданным тензорам деформаций γ и изгибаe
кручения κ , необходимо решить систему 18 дифференциальных уравнений (28.78) относительно
e
6 неизвестных
ui и ϕi . Необходимыми и достаточными условиями разрешимости этой системы
уравнений являются условия совместности (сплошности). Эти условия для односвязной области,
состоящие из 18 уравнений, были получены Н. Сандру в [86] (см. также [57, 83]). Они имеют вид
∂i γjk − ∂j γik + κil ljk − κjl lik = 0,

∂i κjk − ∂j κik = 0,

(28.79)

где ∂i — частная производная по координате xi .
С помощью очевидных равенств
∂i γjk − ∂j γik = ijs smn ∂m γnk , κil ljk − κjl lik = ijs smn κml lnk ,
∂i κjk − ∂j κik = ijs smn ∂m κnk ,
где ijs и smn — символы Леви-Чивиты, после простых преобразований (28.79) можно представить
в независящей от системы координат форме
κ )E − κ T = 0,
∇ × γ + I1 (κ
e e e
e

∇ × κ = 0.
e

(28.80)

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

61

Применяя вначале операцию транспонирования, а затем оператор ротора к (28.80) и учитывая

T
определение тензора несовместности [22, 33, 65, 67, 69] η ≡ Ink Q = ∇ × ∇ × Q и равенства


e
e
e
κ )E = −C · ∇I1 (κ
κ ), ∇ × κ = 0,
∇ × I1 (κ
'
e e
e
e
κ ) — первый инвариант κ , E — единичный тензор
где Q — произвольный тензор второго ранга, I1 (κ
e e
e ранга, получим условия совместности в eвиде
второго
κ ) = 0,
Ink γ − C · ∇I1 (κ
e
e '

Ink κ = 0.
e

(28.81)

Другой способ доказательство формул (28.80) и (28.81). Нетрудно заметить, что на основании (28.78) можно написать следующие соотношения:
ϕ = dr · ∇ϕ
ϕ = dr · κ .
du = dr · ∇u = dr · (γγ + C · ϕ ), dϕ
(28.82)
e
e '
Интегрируя (28.82) по замкнутой линии Γ, находящейся в области V и применяя формулу Стокса
(28.10), будем иметь


H
RR
H
RR
dr · (γγ + C · ϕ ) =
n · ∇ × (γγ + C · ϕ ) = 0,
dr · κ =
n · (∇ × κ ) = 0.
e
e
Γ
Σ
Γ
Σ
e '
e '
Отсюда в силу произвольности поверхности «шапки» Σ будем иметь
∇ × (γγ + C · ϕ ) = ∇ × γ + ∇ × (C · ϕ ) = 0,
'
e
e '
e

∇ × κ = 0.
e e

(28.83)

Упражнение 17. Доказать, что
ϕT = EI1 (κ
κ) − κT ,
∇ × (C · ϕ) = E∇ · ϕ − ∇ϕ
'
e
e e
e

κ )) = −C · ∇I1 (κ
κ ).
∇ × (EI1 (κ
'
e e
e

(28.84)

Нетрудно видеть, что вторая формула (28.83) совпадает со второй формулой (28.80), а из первого
равенства (28.83) с учетом первой формулы (28.84) получим искомое первое соотношение (28.80).
Далее из полученных формул или из (28.80) с применением операции транспонирования найдем
κ ) − κ = 0, (∇ × κ )T = 0.
(28.85)
(∇ × γ )T + EI1 (κ
e e
e e
e
e
e
Применяя оператор ротора к соотношениям (28.85) в силу определения тензора несовместимости
получим искомые условия совместимости (28.81). При этом при выводе первой формулы (28.81)
следует учесть вторые формулы (28.83) и (28.84). Следует заметить, что первое соотношение
(28.81) можно еще получить если из первого равенства (28.85) определить κ и подставить во
e
второе соотношение (28.83) и осуществить простые преобразования.
Нетрудно заметить, что тензор несовместности для любого несимметричного тензора Q выраe
жается следующим образом:






η Q = Ink Q = ζ Q + ηE, η ≡ I1 η .
(28.86)
e
e e
e 
e e
e
где дифференциальный тензор-оператор ζ Q имеет вид
e e





T
(28.87)
ζ Q = −∇2 Q − ∇∇I1 Q + ∇∇ · Q + ∇∇ · QT .
e e
e
e
e
e
Легко доказать, что имеет место
Теорема 28.4. Равенство нулю одного из тензоров-операторов (28.86)–(28.87) влечет за
собой равенство нулю остальных.
На основании этой теоремы условия (28.81) можно заменить на следующие эквивалентные
условия:






ζ γ − C · ∇I1 κ = 0, ζ κ = 0.
(28.88)
e
e
e
e
e
e
Далее, представляя γ и κ в виде суммы симметричных и антисимметричных частей:
e e




1
1
γ = γ S + γ A, γ S = γ + γ T , γ A = γ − γ T ,
2 e e
2
e e
e
e
(28.89)

 e A 1e e T 

1
S
A
S
T
κ = κ +κ , κ = κ +κ , κ = κ −κ ,
2 e e
2 e e
e e
e
e
e

62

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

соотношения (28.81) и (28.88) можно записать для симметричных и антисимметричных частей
раздельно. Например, (28.97) можно представить в виде


Ink γ S = 0, Ink κ S = 0, Ink γ A − C · ∇I1 κ = 0, Ink κ A = 0.
(28.90)
'
e
e
e
e
e
28.8. Традиционные условия совместности в тензорах напряжений и моментных напряжений. Эти уравнения получим для однородного изотропного микрополярного тела, обладающего
центром симметрии. В этом случае прямые и обратные определяющие соотношения представляются в виде
2
2
2
2
(28.91)
P = C ⊗ γ , µ = D ⊗ κ , γ = C0 ⊗ P, κ = D0 ⊗ µ ,
e
e e e
e e
e
e
e 2 e
e e
где P — тензор напряжений, µ — тензор моментных напряжений, ⊗ — знак внутреннего 2e
произведения
[8, 31, 32, 43, 45], eа тензоры модулей упругости и упругих податливостей имеют
следующие выражения:
C = λC(1) + (µ + α)C(2) + (µ − α)C(3) , D = γC(1) + (δ + β)C(2) + (δ − β)C(3) ,
(28.92)
e
e
e
e
e
e
e
e
C0 = λ0 C(1) + (µ0 + α0 )C(2) + (µ0 − α0 )C(3) , D0 = γ 0 C(1) + (δ 0 + β 0 )C(2) + (δ 0 − β 0 )C(3) .
e
e
e
e
e
e
e
e
Здесь C(1) , C(2) , C(3) — изотропные тензоры четвертого ранга, материальные постоянные связаны
e
между eсобойe соотношениями
λ
1
1
2
λ
, µ0 =
, α0 =
, K = λ + µ, ν =
,
6µK
4µ
4α
3
2(λ + µ)
γ
1
1
2
γ
γ0 = −
, δ0 = , β 0 =
, Ω = γ + δ, ε =
.
6δΩ
4δ
4β
3
2(γ + δ)
λ0 = −

(28.93)

Представляя тензоры напряжений P и моментных напряжений µ аналогично (28.89) и обозначая
eчастям PA и µ A векторы через
e q и τ соответственно PA =
сопутствующие кососимметричным


e
e
e в микрополярной теории запишем следующим
C · q, µ A = C ·ττ , уравнения равновесия [17,30,57]
'
'
e
образом:
(28.94)
∇ · PS − ∇ × q + ρF = 0, ∇ · µ S − ∇ × τ + 2q + ρm = 0.
e
e
Далее, найдя первые инварианты, например, от (28.81), будем иметь




2
2
(28.95)
∇2 I1 γ = ∇∇ ⊗ γ , ∇2 I1 κ = ∇∇ ⊗ κ .
e
e
e
e
На основании обратных законов Гука, получаемых с помощью соответствующих соотношений
(28.91) и (28.92), находим






2
2
I1 γ = (3λ0 + 2µ0 )I1 P , ∇∇ ⊗ γ = λ0 ∇2 I1 P + 2µ0 ∇∇ ⊗ P,
(28.96)
e

e

e

2 e
2 e
0
0
0
2
0
I1 κ = (3γ + 2δ )I1 µ , ∇∇ ⊗ κ = γ ∇ I1 µ + 2δ ∇∇ ⊗ µ ,
e
e
e
e
e
а в силу уравнений равновесия (28.94) имеем
2

2

2

2

(28.97)
∇∇ ⊗ P = ∇∇ ⊗ PS = −ρ∇ · F, ∇∇ ⊗ µ = ∇∇ ⊗ µ S = −(2∇ · q + ρ∇ · m).
e
e
e
e
С помощью (28.93), (28.96) и (28.97) из (28.95) получаем

 1+ν

 1+ε
(28.98)
ρ∇ · F = 0, ∇2 I1 µ +
(2∇ · q + ρ∇ · m) = 0.
∇2 I1 P +
1−ν
1−ε
e
e
Учитывая (28.94) и (28.98), из (28.88) на основании несложных преобразований искомые уравнения выразим в форме



T
1
ν
(28.99)
∇2 PS +
∇∇I1 P +
ρ∇·FE + ρ(∇F + ∇FT ) = ∇(∇×q) + ∇(∇×q) ,
1+ν
1−ν
e
e
e


1
ε
∇∇I1 µ +
(2∇·q + ρ∇·m)E + 2(∇q+∇qT ) + ρ(∇m+∇mT ) =
∇2 µ S +
1+ε
1−ε
(28.100)
e
e
e

T
= ∇(∇×ττ ) + ∇(∇×ττ ) ,
∇∇ · q − 2ε0 q = ε0 (ρm + C),

β 0 ∇ · τ = const,

divC = 0,

(28.101)

28. УСЛОВИЯ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ.

ТЕНЗОР

КРИВИЗНЫ

РИМАНА–КРИСТОФФЕЛЯ

63



где введено обозначение ε0 = α(1 − 2ε)/ δ(1 − ε) . Общие решения уравнений (28.9) относительно
q и τ легко найти. Далее, считая известными q и τ , общие выражения кососимметричных частей тензоров напряжений и моментных напряжений представим с помощью формул PA = C · q,
'
e
A
µ = C · τ . После отыскания q и τ , очевидно, первое соотношение (28.94) и уравнение (28.104)
'
e
и второе соотношение (28.94) и уравнение (28.100) составляют расщепленные системы уравнений для нахождения симметричных частей PS и µ S соответственно тензоров напряжений P и
e
e
e
моментных напряжений µ .
e
Применяя оператор дивергенции
к (28.104) и (28.100) и учитывая (28.98), после простых преобразований получим




(28.102)
∇2 ∇ · PS − ∇ × q + ρF = 0, ∇2 ∇ · µ S − ∇ × τ + 2q + ρm = 0.
e
eS
µS −∇×ττ +2q+ρm являются
На основании (29.2.2) заключаем, что функции ∇·P −∇×q+ρF и ∇·µ
e
e
гармоническими функциями в занимаемой телом области V . Следовательно,
если эти функции на
границе S области V принимают нулевые значения, то в силу свойств гармонических функций
они будут принимать нулевые значения во всех точках внутри области V . Ввиду вышесказанного
можно сформулировать следующую теорему
Теорема. Если уравнения равновесия (28.94) (движения — (28.94) с учетом инерционных
членов) выполняются только на границе S, т.е. имеют место соотношения




∇ · PS − ∇ × q + ρF
= 0,
∇ · µ S − ∇ × τ + 2q + ρm
= 0,
S
S
e


e




∇ · PS − ∇ × q + ρF − ρ∂t2 u
= 0,
∇ · µ S − ∇ × τ + 2q + ρm − J∂t2ϕ
=0 ,
S
S
e
e
то из уравнений (28.104) и (28.100) (аналогичных уравнений, получаемых с учетом инерционных членов) следует, что они имеют место во всей области V .
Эта теорема позволяет дать новую постановку задачи в тензорах напряжений и моментных
напряжений.
28.9. Условия совместности в тензорах напряжений и моментных напряжений со симметричными тензор-операторами. Запишем прямые определяющие соотношения для микрополярных упругих тел, обладающих центром симметрии, следующим образом:
PS = c1 I1 (γγ )E + (c2 + c3 )γγ S , PA = (c2 − c3 )γγ A ,
e
e
e )E
eκ S , eµ A = (d − d )κ
e A
κ
µ S = d1 I1 (κ
+ (d2 + d3 )κ
2
3 κ .
e
e
e
e
e
e
Тогда обратные определяющие соотношения можно представить в форме
γ S = c01 I1 (P)E + (c02 + c03 )PS , γ A = 1/(c2 − c3 )PA ,
e e
eA
e S = d0 I (µ
e A = 1/(d − d )µ
0
0 e
κ
µS , κ
2
3 µ ,
1 1 µ )E + (d2 + d3 )µ
e
e
e e
e вид
e
где связь между материальными постоянными
имеет
c2
c3
1
c1
, c02 = 2
, c03 = − 2
, K = c1 + (c2 + c3 ),
c01 = −
3(c2 + c3 )K
3
c2 − c23
c2 − c23
d
d
d
1
1
2
3
d01 = −
, d02 = 2
, d03 = − 2
, Ω = d1 + (d2 + d3 ).
2
2
3(d2 + d3 )Ω
3
d2 − d3
d2 − d3

(28.103)

На основании (28.88), (28.103) и уравнений равновесия (28.104), (28.100), (28.9) и (28.98)
условия совместности в тензорах напряжений и моментных напряжений с помощью симметричных
дифференциальных тензоров-операторов можно записать следующим образом:

T
2
1+ν 2
M ⊗PS +
ρE∇·F + ρ(∇F + ∇FT ) = ∇(∇×q) + ∇(∇×q) ,
2
1−ν e
f e
2
2
1+ε
µS +
N ⊗µ
(2∇·q + ρ∇·m)E +2(∇q+∇qT )+ρ(∇m+∇mT ) =
1−ε2
e e
e

T
= ∇(∇×ττ )+ ∇(∇×ττ ) ,
∇∇·q−2ε0 q = ε0 (ρm+C), β 0 ∇ · τ = const, divC = 0 (PA = C · q, µ A = C · τ );
'
'
e
e

(28.104)

64

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1
1
M = E∆ +
[E∇∇ + (E∇∇)T ], N = E∆ +
[E∇∇ + (E∇∇)T ],
1+ν e
1+ε e
e 
e
e
e
f e

0
где E = 1/2(C(2) + C(3) ), ε = α(1 − 2ε)/ δ(1 − ε) , ν = λ/[2(λ + µ)], ε = γ/[2(γ + δ)], c1 = λ,
e
c2 =eµ + α, ce
3 = µ − α, d1 = γ, d2 = δ + β, c3 = δ − β.
Используя (7.9), нетрудно вывести статические граничные условия, а также условия совместности для симметричных частей тензоров напряжений и моментных напряжений. На этом с целью сокращения письма останавливаться не будем. Отметим лишь, что из первого соотношения
(28.104) при q = 0 (PA = 0) можно получить условия совместности относительно тензора напряжений классической eтеории упругости с симметричным и самосопряженным дифференциальным
оператором.
29.

ТРАДИЦИОННАЯ

И НОВАЯ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОТНОСИТЕЛЬНО ТЕНЗОРОВ

НАПРЯЖЕНИЙ В МОМЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ

Даны традиционная и новая постановки краевой задачи в микрополяроной теории упругости
для изотропного материала.
29.1. Традиционная постановка краевой задачи относительно тензоров напряжений и моментных напряжений в микрополярной теории.
29.1.1.

29.1.2.
жений.

Уравнения равновесия.
∇ · P + ρF = ∇ · PS − ∇ × q + ρF = 0,
e
e
(29.1)
3
S − ∇ × τ + 2q + ρm = 0.
∇·µ +C
⊗
P
+
ρm
=
∇
·
µ
h
e
e
e
Уравнения совместимости относительно тензоров напряжений и моментных напря-



2
1+ν 2
T ) = ∇(∇×q) + ∇(∇×q) T ,
M ⊗PS +
ρE
∇·F
+
ρ(∇F
+
∇F
1−ν 2 e
f e
2
1+ε2
µS +
N ⊗µ
(2∇·q + ρ∇·m)E +2(∇q+∇qT )+ρ(∇m+∇mT ) =
2
1−ε
e e
e

T
= ∇(∇×ττ )+ ∇(∇×ττ ) ,
∇∇·q−2ε0 q = ε0 (ρm+C), β 0 ∇ · τ = const, divC = 0 (PA = C · q, µ A = C · τ );
'
'
e
e
1
1
M = E∆ +
[E∇∇ + (E∇∇)T ], N = E∆ +
[E∇∇ + (E∇∇)T ],
1+ν e
1+ε e
e
e
e
e
f e


E = 1/2(C(2) + C(3) ), ε0 = α(1 − 2ε)/ δ(1 − ε) , ν = λ/[2(λ + µ)], ε = γ/[2(γ + δ)],
e
e
e
c1 = λ, c2 = µ + α, c3 = µ − α, d1 = γ, d2 = δ + β, c3 = δ − β.
29.1.3.

(29.2)

Граничные условия.
(n · P)
e

(n · µ ) = µ
e S
29.2. Новая постановка краевой задачи относительно тензоров напряжений и моментных
напряжений в микрополярной теории.
S

= P,

29.2.1. Уравнения совместимости относительно тензоров напряжений и моментных напряжений.

T
2
1+ν 2
M ⊗PS +
ρE∇·F + ρ(∇F + ∇FT ) = ∇(∇×q) + ∇(∇×q) ,
2
1−ν e
f e
2
2
1+ε
µS +
N ⊗µ
(2∇·q + ρ∇·m)E +2(∇q+∇qT )+ρ(∇m+∇mT ) =
(29.3)
1−ε2
e e
e

T
= ∇(∇×ττ )+ ∇(∇×ττ ) ,
0
0
0
∇∇·q−2ε q = ε (ρm+C), β ∇ · τ = const, divC = 0 (PA = C · q, µ A = C · τ );
'
'
e
e

30. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

СООТНОШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СПЛОШНЫХ СРЕД

1
1
M = E∆ +
[E∇∇ + (E∇∇)T ], N = E∆ +
[E∇∇ + (E∇∇)T ],
1+ν e
1+ε e
e
e
e
e
f e


0
E = 1/2(C(2) + C(3) ), ε = α(1 − 2ε)/ δ(1 − ε) , ν = λ/[2(λ + µ)], ε = γ/[2(γ + δ)],
e
e
e
c1 = λ, c2 = µ + α, c3 = µ − α, d1 = γ, d2 = δ + β, c3 = δ − β.
29.2.2.

Граничные условия.
(n · P) = P, (n · µ ) = µ ,
e S
e
 S
S
∇ · P − ∇ × q + ρF
= 0,
S
e

30.

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ

∇ · µ S − ∇ × τ + 2q + ρm
e



S

= 0.

СООТНОШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СПЛОШНЫХ СРЕД

30.1.

Определяющие соотношения идеальной и вязкой жидкости.

30.2.

Определяющие соотношения повторно-градиентной теории упругих тел.

30.3.

Определяющие соотношения теории вязкоупругости.

30.4.

Определяющие соотношения повторно-градиентной теории вязко-упругих тел.

30.5.

Определяющие соотношения теории пластичности.

30.6.

Определяющие соотношения теории Миндлина–Ерингена.

65

66

ГЛАВА 5. ТРАДИЦИОННОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В АНИЗОТРОПНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров К. С. Упругие свойства анизотропных сред. Автореф. докт. дисс. — М.: Ин-т кристаллогр.
АН СССР, 1967.
2. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979.
3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448 с.
4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987. 360 с.
5. Амбарцумян С.А. Микрополярная теория оболочек и пластин. Ереван: Изд-во НАН Армении. 1999.
214 с.
6. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов// Прикл. мехен. и техн.
физ. 2008. 49. №6. 131-151.
7. Баскаков В.А., Бестужева Н.П., Кончакова Н.А. Линейная динамическая теория термоупругих сред
с микроструктурой. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2001.
8. Векуа И. Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — М.: Наука, 1978.
9. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Наука, 1988.
10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука. 1988.
11. Димитриенко Ю. И. Тензорое исчисление. — М.: Высш. шк., 2001.
12. Димитриенко Ю. И. Механика сплошной среды. Т. 1. Тензорный анализ. — М.: Изд-во МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2011.
13. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. Т. 1, 2. —
М.: Эдиториал. УРСС, 1998.
14. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. Учебник. 3-е изд. — М.: Изд-во, 1990.
15. Колмогоров А. Н., Фомин С. Н. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1989.
16. Коренев Г. В. Тензорное исчисление. — М.: Изд-во МФТИ, 1995.
17. Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. — М.: Наука, 1976.
18. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. — М.: Гостехиздат, 1957.
19. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. — М.: Наука, 1977.
20. Лохин В. В. Нелинейные тензорные функции в пространстве Минковского// В кн.: Научные труды
Ин-та механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. — 31. — С. 6–66.
21. Лохин В. В., Седов Л. И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов//
Прикл. мат. мех. — 1963. — 27, № 3. — С. 393–417.
22. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980.
23. Лурье К. А. Некоторые задачи оптимального изгиба и растяжения упругих пластин// Изв. АН СССР.
Мех. тверд. тела. — 1979. — 6. — С. 86–93.
24. Львовский С. М. Набор и верстка в пакете LATEX. — М.: Космосинформ, 1995.
25. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М.: Наука. 1965.
26. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.—Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.
27. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. —
М.: Физматгиз, 1963.
28. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966,
708 с.
29. Никабадзе М. У. К задаче о нахождении у тензора четного ранга собственных значений и собственных
тензоров// Изв. РАН. Сер. Мех. тверд. тела. — 2008. — 4. — С. 77–94.
30. Никабадзе М.У. Применение систем полиномов Лежандра и Чебышева при моделировании упругих
тонких тел с одним малым размером. Деп. в ВИНИТИ РАН 21.08.08. №720 – B2008. М., 2008.
31. Никабадзе М. У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. I// Соврем. мат. и ее прилож. —
2009. — 62. — С. 67–95.
32. Никабадзе М. У. О некоторых вопросах тензорного исчисления. II// Соврем. мат. и ее прилож. —
2009. — 62. — С. 96–130.
33. Никабадзе М.У., Мардалейшвили Н.В. Тензор несовместимости и его обобщение// Научные труды,
№4. Кутаиси: Кутаис. техн. ун-т. 1997. 25-28.
34. Никабадзе М. У. К построению линейно независимых тензоров// Изв. РАН. Сер. Мех. тверд. тела. —
2009. — 1. — С. 17–36.
35. Nikabadze M. U. On some problems of tensor calculus. I// J. Math. Sci. (N. Y.). — 2009. — 161, № 5. —
С. 668–697.
36. Nikabadze M. U. On some problems of tensor calculus. II// J. Math. Sci. (N. Y.). — 2009. — 161, № 5. —
С. 698–733.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

67

37. Никабадзе М.У. К условиям совместности в линейной микрополярной теории//Вестн. Моск. ун-та.
Матем. Механ. 2010. №5. 48-51.
38. Никабадзе М.У. К условиям совместности и уравнениям движения в микрополярной линейной теории
упругости// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. №1. 63-66.
39. Nikabadze M. U. Mathematical modeling of multilayer thin body deformation// J. Math. Sci. (N. Y.). —
2012. — 187, № 3. — С. 300–336.
40. Никабадзе М. У. Развитие метода ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел. — М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ, 2014.
41. Никабадзе М. У. Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих
тонких тел. Дисс. докт. физ.-мат. наук. — М.: МАИ, 2014.
42. Никабадзе М. У. К построению собственных тензорных столбцов в микрополярной линейной теории
упругости// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. — 2014. — 1. — С. 30–39.
43. Никабадзе М. У. О некоторых вопросах тензорного исчисления с приложениями к механике. Современная математика. Фундаментальные направления. РУДН. 2015. Том 55. С. 3–194.
44. M. U. Nikabadze, “Eigenvalue problems of a tensor and a tensor-block matrix (TBM) of any even rank
with some applications in mechanics”, Generalized continua as models for classical and advanced materials,
advanced structured materials, H. Altenbach and S. Forest, 42, 2016. 10.1007/978-3-319-31721-2_14
45. M. U. Nikabadze, “Topics on tensor calculus with applications to mechanics. In: J. Math. Sci.”, 225(1):1–
194, New York: Springer Science+Business Media, 2017.
46. Nikabadze M. U. To the problem of decomposition of the initial boundary value problems in mechanics//
J. Physi. Conf. Series. 2017. 936. 012056.
DOI: 10.1088/1742-6596/936/1/012.
47. M. U. Nikabadze, “An eigenvalue problem for tensors used in mechanics and the number of independent
Saint-Venant strain compatibility conditions”, Moscow university mechanics bulletin, 72, 3, 2017.
48. M. U. Nikabadze and A. R. Ulukhanyan, “Analytical solutions in the theory of thin bodies”, In book:
Generalized continua as models for classical and advanced materials, advanced structured materials, H.
Altenbach and S. Forest,, vol. 42, 2016.
49. Nikabadze, M., Ulukhanyan, A., Moseshvili, T., Tskhakaia, K., Mardaleishvili, M. and Arkania, Z., “On
the Modeling of Five-Layer Thin Prismatic Bodies”, (Math. Comput. Appl. 2019, 24(3), 69), Mathematical
and Computational Applications, MDPI AG, Basel, Switzerland, 24, 3, 2019.
50. Nikabadze, M., Ulukhanyan, A. and Sakhvadze, G., “To mathematical modeling of deformation of
micropolar thin bodies with two small sizes”, (7th international conference "Problems of Mathematical
Physics and Mathematical Modelling"Moscow, NRNU MEPhI, 25–27 June, 2018), Journal of Physics:
Conference Series, 1205, 1, 2019.
51. Nikabadze, M. and Ulukhanyan, A. , “Mathematical Modeling of Elastic Thin Bodies with one Small Size”,
In: Altenbach H., Müller W., Abali B. (eds) Higher Gradient Materials and Related Generalized Continua.
Advanced Structured Materials,120, (Springer, Cham Switzerland, 2019.
52. Nikabadze, M. , “Splitting of Initial Boundary Value Problems in Anisotropic Linear Elasticity Theory”,
Moscow University Mechanics Bulletin, 74, 5, 2019.
53. Nikabadze, M. , “K rasshchepleniyu nachal’no-krayevykh zadach v anizotropnoy lineynoy teorii uprugosti”,
Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika, 5, 2019. [in Russian]
54. Nikabadze, M. and Ulukhanyan, A. , “Application of Eigenvalue Problems Under the Study of Wave
Velocity in Some Media”, In: Altenbach H., Müller W., Abali B. (eds) Higher Gradient Materials and
Related Generalized Continua. Advanced Structured Materials, Springer, Cham Switzerland, 120, 2019.
55. Nikabadze, Mikhail U., Lurie, Sergey A., Matevossian, Hovik A. and Ulukhanyan, Armine R., “On
Determination of Wave Velocities through the Eigenvalues of Material Objects ”, Mathematical and
Computational Applications, 24, 2, 2019.
56. Nikabadze, M. and Ulukhanyan, A. , “Some Applications of Eigenvalue Problems for Tensor and
Tensor–Block Matrices for Mathematical Modeling of Micropolar Thin Bodies ”, Mathematical and
Computational Applications, 24, 1, 2019.
57. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975.
58. Остросаблин Н. И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния// Динам.
сплошн. среды. — 1984. — 66. — С. 113–125.
59. Остросаблин Н. И. О структуре тензора модулей упругости и классификация анизотропных материалов// Журн. прикл. мех. техн. физ. — 1986. — 4. — С. 127–135.
60. Остросаблин Н. И. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических
сингоний// Динам. сплошн. среды. — 1986. — 75. — С. 113–125.

68

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

61. Остросаблин Н. И. Анизотропия и общие решения уравнений линейной теории упругости. Дисс. докт.
физ.-мат. наук. — Новосибирск, 2000.
62. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983.
63. Победря Б. Е. Теория пластичности анизотропных материалов// Прикл. пробл. прочн. и пластичн.
Всесоюзн. межвуз. сб. — 1984. — 26. — С. 110–115.
64. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. — М.: МГУ, 1984.
65. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: МГУ, 1986.
66. Победря Б. Е. Теория течения анизотропной среды// В кн.: Прочность, пластичность и вязкоупругость
материалов и конструкций. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. — С. 101–108.
67. Победря Б.Е., Шешенин С.В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988.
68. Победря Б. Е. О теории пластичности трансверсально-изотропных материалов// Изв. АН СССР. Сер.
Мех. тверд. тела. — 1990. — 3. — С. 96–101.
69. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. Учеб. пособие. 2-ое изд. — М.:
МГУ, 1995.
70. Победря Б. Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела//
Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. — М.: Физматлит,
2003. — С. 635–657.
71. Победря Б. Е., Георгиевский Д. В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
72. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и начала анализа. Современный курс
для поступающих в ВУЗы. — М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998.
73. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1988.
74. Рыхлевский Я. «Ceiiinosssttuv»: Математическая структура упругих тел. — М.: Ин-т проблем механики
АН СССР, 1983. — Препр. № 217. — 113 с.
75. Рыхлевский Я. О законе Гука// Прикл. мат. мех. — 1984. — 48, № 3. — С. 420–435.
76. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. — М.: Физматгиз, 1962.
77. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. — М.: Наука, 1983.
78. Сокольников И. С. Тензорный анализ. — М.: Наука, 1971.
79. Уоткинс Д. С. Основы матричных вычислений. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
80. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
81. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре. — СПб: Лань, 1999.
82. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость. — М.: Наука, 1988.
83. Eringen A. C. Microcontinuum field theories. 1. Foundation and solids. — N. Y.: Springer, 1999.
84. Green A. E., Zerna W. Theoretical Elasticity. — Oxford, 1954.
85. Michell J. H. On the direct determination of stress in an elastic solid, with applications to the theory of
plates. Proc. London Math. Soc., v. 31, 1900, p. 100–124.
86. Sandru N. On some problems of the linear theory of the asimmetric elastisity// Int. J. Eng. Sci. 1966. 4,
N 1. 81-94.

Михаил Ушангиевич Никабадзе
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, Главное здание, сектор А, ком. 1411
E-mail: munikabadze@yandex.ru