/
Текст
О. М. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД
О-
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1984
22.19 Б 43
; УДК 519.6
Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1984, —520 с.
Кинга посвящена описанию новых численных моделей применительно к задачам механики сплошных сред (вычислительный эксперимент). На основе уравнений Эйлера, Навье—Стокса и Больцмана проводится построение с помощью схем расщепления различных численных методик для исследования нестационарных «переходных» течений со сложной внутренней структурой. Изучаются движения в зонах срыва за кормой тела как для предельных случаев течения, так н при различных числах Рейнольдса. Исследуются многомерные задачи обтекания тел и летательных аппаратов потоком разреженного газа. Проводится построение численных схем различной точности, и исследуются многомерные задачи обтекания для различных режимов движения. Рассматриваются течения при наличии физико-химических превращений, излучения, а также задачи физики плазмы.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук В. С. Рябенький;
доктор физико-математических наук Р. П. Федоренко
1702070000-179
..053 (021-64 ~~ КБ~7'43'8
библиотека
С) Издательство «Наука» Главная редакция ф| зико-ма7ематической литературы, 1984
€имф» роиольскиго госуиивврситвта
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................ 5
Общее введение......................................................... 9
литература............................................................ 21
Глава I. Метод крупных частиц.................................. 23
§ 1. Введение..................................................... 23
§ 2. Описание метода. Схемы расщепления для уравнений Эйлера ... 27
§ 3. Исследование разностных схем метода крупных частиц с помощью дифференциальных приближений............................... 38
§ 4. Асимптотика звуковых течений. Сравнение с численными результатами ........................................................... 48
§ 5. Методические расчеты. Результаты численных исследований задач газовой динамики 51
§ 6. Расчет упруго-пластических задач............................. 73
§ 7. Численное* исследование течений с излучением и задач физики плазмы............................................................ 76
§ 8. Алгоритм метода крупных частиц для решения пространственно-трехмерных нестационарных задач газовой динамики. Расчет релей-тейлоровской неустойчивости. Обобщение на случай вязких течений газа. О точности метода крупных частиц для задач газовой динамики...................................................... 88
§ 9. Заключение............................................. . 109
литература.......................................................... 114
Глава II. Методы расщепления для исследования течений визкой несжимаемой жидкости................................................ 120
§ 1. Введение.................................................... 120
§ 2. Монотонная разностная схема метода релаксации для расчета стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости.............. 122
§ 3. Решение уравнений Навье—Стокса в переменных «скорость—-давление» (схемы расщепления для плоских, осесимметричных и пространственных течений)............................................. 132
§ 4. Конечно-разностное представление граничных условий. Исследование схем метода расщепления...................................... 139
§ 5. Расчет обтекания тел конечных размеров потоком вязкой не: сжимаемой жидкости............................................... 146
§ 6. Моделирование движения крови в сосудах с локальным сужением (стеноз)......................................................... 169
§ 7. Исследование периодических течений вязкой жидкости в до-критических и закритических режимах.............................. 176
§ 8. Численное моделирование стратифицированных течений вязкой несжимаемой жидкости........................................... 196
§ 9. Некоторые результаты расчетов нестационарных (периодических) течений в следе за цилиндром................................. 208
§ Ю. Заключение ............................................. 219
литература.......................................................... 220
3
Глава III. Метод потоков для расчета течений реального газа ... j . 225
§ 1. Введение........................................................... 225
§ 2. Описание метода потоков (нестационарный и стационарный варианты) .......................................................... 227
§ 3. Конечно-разностные схемы метода потоков. Исследование модельных уравнений..................................................... 233
§ 4. Расчет течений вязкого теплопроводного газа у сферы................ 241
§ 5. Численное моделирование трансзвуковых движений газа и срыв-ных течений ..................................................... 25£>
§ 6. Деформационно-потоковый метод..................................... 274
§ 7. Исследование характеристик обтекания тел сложной формы потоком вязкого газа................................................ 285
§ 8. Упруго-вязко-пластические задачи. Движение вязкой жидкости в пористых средах................................................... 293
§ 9. О численном моделировании задач турбулентности ............... 316
§ 10. Заключение ....................................................... 339
литература.................................................................. 341
Глава IV. Статистический метод частиц в ячейках........................ 347
§ 1. Введение........................................................... 347
§ 2. Статистическая модель частиц в ячейках....................' . 358
§ 3. Анализ частоты столкновений в схемах прямого статистического моделирования .................................................... 367
§ 4. Оценка погрешности при определении функции распределения в схеме Бёрда ............................................... 372
§ 5. Марковские модели столкновительных процессов и уравнение Больцмана......................................................... 376
§ 6. Пути дальнейшего повышения эффективности метода.................. 380
§ 7. Модификация метода для решения задач турбулентности .... 387
§ 8. Вычислительные аспекты метода и расчет структуры ударной волны............................................................. 393
§ 9. Применение метода к исследованию течений разреженного газа и задач турбулентности.............................................. 405
§ 10. Заключение........................................................ 425
литература ............................................................... 425
Глава V. Сеточно-характеристические методы численного моделирования многомерных задач аэрогазодииамики................................. 430
§ 1. Введение........................................................... 430
§ 2. Сеточно-характеристический метод построения многомерных разностных схем для квазилинейных уравнений гиперболического типа.............................................................. 433
§ 3. Вопросы устойчивости, аппроксимации и монотонности схем сеточно-характеристического метода.................................. 437
§ 4. Разностные уравнения для установившихся сверхзвуковых и нестационарных течений газа......................................... 443
§ 5. Решение многомерных задач газовой динамики сеточно-характеристическим методом............................,.................. 456
§ 6. Численное моделирование некоторых задач лазерного сжатия оболочек.......................................................... 465
§ 7. Построение явных разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений.................................................. 487
§ 8. Заключение......................................................... 510
литература.................................................................. 512
Список обозначений ......................................................... 510
Предметный указатель........................................................ 518
ПРЕДИСЛОВИЕ
Использование современных электронно-вычислительных машин открывает очень широкие возможности для решения нелинейных задач механики, где классические методы анализа для получения количественной информации оказываются в большинстве своем непригодными. За последние годы математическое моделирование стало активно внедряться в практику научных, прикладных и опытно-конструкторских разработок при исследовании сложных явлений и процессов, происходящих в механике, физике, химии, биологии и других науках. Таким образом, построение достаточно общих (и экономных) численных методик представляется весьма актуальным.
Данная монография посвящена разработке новых численных моделей и методов решения нелинейных задач механики сплошных сред и физики плазмы. Указанные подходы позволяют исследовать широкий класс аэрогазодинамических течений со сложной внутренней структурой, а также некоторые явления и процессы, возникающие в механике твердого тела и при взаимодействии мощного лазерного излучения с веществом.
В работе делается, по существу, акцент на рассмотрении двух актуальных проблем современной механики и математической физики. Это, во-первых, изучение свойств так называемых переходных явлений в газовой динамике и физике плазмы и, во-вторых, решение -многомерных (пространственн о-н естационар-ных) задач нелинейной механики.
Переходные явления характеризуются ярко выраженной нестаци-онарностью и нелинейностью происходящих процессов, наличием больших перемещений среды и сложным, разнохарактерным механизмом взаимодействия. Сюда относятся, например, такие газодинамические задачи, как расчет «закритических» трансзвуковых потоков, местных сверхзвуковых зон, областей срыва; дифракционные явления; взаимодействие «вдуваемой» струи с основным потоком; течение в следе за конечным телом и др. В ряде случаев (течение в следе, при наличии «вдува» и т. п.) движения носят турбулентный характер, другие же явления по своей структуре примыкают к таковым. Течения в зонах срыва за кормой тела и летательного аппарата изучаются как для предельных (слабовязких) режимов движения, так и при различных числах Рейнольдса.
Проводится численное моделирование многомерных явлений динамики разреженного газа. Изучается также для различных реоло
5
гических уравнений состояния и с учетом пространственного характера процесса напряженно-деформированное состояние твердых тел в очаге деформации (волочение, прокатка, прессование).
Разработанные методики (вычислительный эксперимент) позволяют исследовать для предельных режимов течения на основе моделей идеальной среды осредненные характеристики и крупномасштабные макроструктуры некоторых задач турбулентности в инерционном интервале движения. Моделирование же «околокритиче-ских» течений проводится с помощью моделей Навье—Стокса или статистическим путем на базе кинетических уравнений.
Особое внимание уделяется построению и реализации экономных численных алгоритмов для исследования пространственных задач аэрогазодинамики, описываемых уравнениями гиперболического типа.
При рассмотрении здесь столь широкого класса явлений наблюдается вместе с тем стремление исследователей к единству идеологии построения численных алгоритмов (основанному на принципах расщепления) для разнообразных задач механики сплошных сред и физики плазмы. Пять глав книги:
глава I —Метод крупных частиц;
глава II —Методы расщепления для исследования течений вязкой несжимаемой жидкости;
глава III—Метод потоков для расчета течений реального газа; глава IV —Статистический метод частиц в ячейках;
глава V —Сеточно-характеристические методы численного моделирования многомерных задач аэрогазодинамики — отражают пять направлений, которые в последние годы активно развиваются в лаборатории вычислительной физики ВЦ АН СССР и на кафедре вычислительной математики МФТИ.
Первые четыре главы, которые посвящены в большей мере исследованию переходных нестационарных явлений механики, объединены единой вычислительной концепцией, построенной на основе принципов расщепления и консервативности (вычислительный эксперимент). Формулируется общий принцип расщепления по физическим процессам, и последовательно рассматриваются численные модели для уравнений Эйлера, Навье—Стокса и Больцмана, а также МГД-уравнений. Приводятся результаты методических расчетов и исследования конкретных задач со сложной внутренней структурой.
Характерной особенностью рассматриваемых здесь схем и алгоритмов является то, что они базируются на достаточно ясных и простых моделях и предпосылках. Благодаря этому численную реализацию указанных алгоритмов можно рассматривать как своего рода моделирование- на ЭВМ соответствующего физического эксперимента. Такой подход к вычислительным схемам представляется нам наиболее пледотворным при изучении нелинейных задач вычислительной механики и физики.
Рассматриваемые здесь подходы численного эксперимента опираются на ряд основных принципов. Это, во-первых, физичность вычислительного процесса, связанная, по существу, с моделирова-
6
нием законов сохранения, записанных для конечных элементов—ячеек эйлеровой сетки. Во-вторых, для построения вычислительного алгоритма здесь эффективно используется принцип расщепления на малом временном шаге А/ общего моделируемого явления на более элементарные физические процессы.
Наиболее четко обе эти идеи проведены в методе крупных частиц (гл. 1) и в методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа и задач турбулентности (гл. IV), хотя между этими двумя подходами существует принципиальное различие как относительно области применения, так и в смысле реализации вычислительных процессов.
Идея эффективности построения физичных вычислительных схем находит свое отражение и в главе III. Здесь рассматриваются консервативные подходы для гидродинамических уравнений сжимаемого вязкого газа, реализующие прямое численное моделирование интегральных за«онов сохранения, записанных для каждой ячейки неподвижной эйлеровой сетки.
Применению метода расщепления к уравнениям Навье — Стокса для несжимаемой вязкой жидкости посвящена глава II, где схема расщепления второго порядка точности выстраивается для уравнений Навье—Стокса, записанных в переменных скорость—давление. Такой подход позволяет проводить расчеты по единому алгоритму для плоских, осесимметричных и пространственных течений газа. Целесообразность выбора указанной схемы проявилась, в частности, в том, что здесь отпал традиционно сложный вопрос о постановке нефизичных граничных условий на твердой поверхности тела. Это позволило повысить точность и эффективность решения задач для уравнений вязкой несжимаемой жидкости.
И, наконец, в главе V (где построение алгоритмов также базируется на принципах расщепления) отражено одно из важных направлений в численных методах решения систем уравнений гиперболического типа, основанное на использовании такого фундаментального понятия, как их характеристические свойства (сеточно-характеристические методы). Главное внимание здесь уделяется исследованию многомерных (пространственно-нестационарных) задач аэрогазодинамики и физики плазмы.
Структура расположения материала в монографии соответствует лекциям, прочитанным автором как у нас в стране, так и за рубежом *).
) Белоцерковский О. М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Ойлера, Навье — Стокса и Больцмана.— Генеральная кармановская лекция (Институт. динамики жидкости им. Т. Кармана, Брюссель, 15—19 марта 1976 г.).— В КН ' R И?ЛеННЫе методы в Динамике жидкостей. М.: Мир, 1981, с. 348—398. ь. . е ° s е г к о v s k i i О. М. New computational models in continuum mec-anics. Technical Report № AE-79-1. University of‘Maryland, College Park, Dept, Aerospace Engineering, 1979.
7
Нумерация формул и рисунков, а также литературы проводится раздельно по главам.
Хотелось бы выразить большую благодарность за предоставленный материал и помощь в подготовке рукописи моим ученикам и коллегам по работе в указанных направлениях Ю. М. Давыдову (гл. I), В. А. Гущину, В. В. Щенникову, С. О. Белоцерковскому (гл. II), А. В. Бабакову, А. П. Зюзину, А. Г. Решетину, Л. И. Се-веринову (гл. III), В. Е. Яницкому, А. И. Ерофееву (гл. IV), А. С. Холодову (гл. V), а также Л. В. Авериной, 3. И. Багровой, Н. Н. Филатовой и Р. М. Романовой, взявших на себя большой труд по оформлению рукописи. Также хочется поблагодарить В. С. Рябенького, Р. П. Федоренко, В. В. Щенникова, С. А. Ку-тасова и М. В. Липавского, которые прочли рукопись книги (или отдельные ее части) и сделали ряд ценных замечаний.
Автор признателен академикам А. А. Дородницыну и Н. Н. Янен-ко за внимание к работе.
О. М. Белоцерковский Марьино, Курской Области Январь 1983 г.
ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ
1. Сегодня практика выдвигает перед учеными-прикладниками различного рода задачи, полное исследование которых может быть проведено в большинстве случаев лишь численным путем или с помощью тщательно поставленного физического эксперимента.
В точных науках возникает много важных проблем, изучение которых связано с решением систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных или интегральных уравнений, выражающих, например, законы сохранения. Газовая динамика, механика сплошных сред, физика плазмы относятся как раз к числу наук, исследующих такие явления, которые описываются уравнениями указанного вида. При этом во многих задачах приходится иметь дело с разрывными решениями, областями больших градиентов и т. п.
За последнее время ученые-вычислители внесли важный вклад в развитие механики сплошных сред. Особенно наглядно это проявилось, на наш взгляд, при исследовании задач авиационно-космической техники, где наиболее остро стоит проблема получения с высокой точностью полей обтекания летательных аппаратов и определения их аэродинамических характеристик. Для многих режимов движения лабораторный эксперимент здесь трудно осуществим, так как требует для полного моделирования практически натурных условий. При теоретических исследованиях таких задач мы имеем дело с весьма сложными математическими моделями, решение которых без привлечения численных методов не только сейчас, но и в обозримом будущем вряд ли будет возможно. Действительно, многомерность и сильная нелинейность указанных явлений таковы, что численные подходы представляют практически единственное средство для их достаточно полного теоретического исследования.
Вообще можно сказать, что одной из характерных черт современных исследований стала математизация физического познания, интенсивное применение методов математического моделирования. Вот почему важна в настоящее время разработка общих численных методик (алгоритмов) для изучения задач математической физики.
Что же такое математическое моделирование? Это, по существу, определение свойств и характеристик рассматриваемого явления, процесса или состояния путем решения с помощью ЭВМ системы неких уравнений—математической модели. Важно так «сконструировать» приближенную модель, чтобы она достаточно точно отражала характерные свойства рассматриваемого явления; при этом могут быть
9
опущены несущественные и второстепенные свойства явления с тем, чтобы приближенная математическая модель была доступна для исследования на данном уровнё развития вычислительной техники. Понятно, что все это представляет большие трудности. Лишь с помощью современных ЭВМ удается проводить численное моделирование достаточно сложных природных и технических процессов. Рассмотрение же физических основ самого явления дает качественную картину, с помощью которой проверяется и уточняется исходная постановка задачи.
В связи с появлением ЭВМ большой мощности значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической физики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных общих теоретических моделей для изучения сложных физических явлений.
Численное моделирование особенно важно там, где не совсем ясна физическая картина изучаемого явления, не познан до конца внутренний механизм взаимодействия. В процессе численного эксперимента происходит, по существу, уточнение исходной физической модели. Путем расчетов на ЭВМ различных вариантов ведется накопление фактов, что дает возможность в конечном счете произвести отбор наиболее реальных и вероятных ситуаций.
Применение методов численного моделирования кажется особенно актуальным в задачах математической физики, физики плазмы, механики сплошных сред (газовой динамики, теории упругости и т. д.) *), что объясняется рядом обстоятельств.
а) Т рудности проведения эксперимента. При изучении явлений, имеющих место, например, при гиперзвуковых скоростях полета, возникают высокие температуры, которые приводят к эффектам диссоциации, ионизации в потоке, а иногда появляется даже «свечение» газа. В этих случаях чрезвычайно затруднено моделирование явления в лабораторных и натурных условиях, так как для подобия между натурой и модельным экспериментом уже недостаточно удовлетворить лишь классическим критериям подобия —равенствам чисел Маха и Рейнольдса для модели и натуры. Требуется также равенство абсолютных давлений и абсолютных температур, что возможно лишь при условии равенства размеров модели и натурного объекта. Все это свидетельствует о больших технических сложностях и дороговизне эксперимента, не говоря уже о том, что данные опытных измерений во многих случаях носят весьма ограниченный характер.
Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок. В тех случаях, когда физический эксперимент трудно осуществим, математическое моделирование служит практически единственным инструментом исследования.
*) В основном именно эти задачи и будут рассматриваться в данной монографии.
10
Однако при этом ни в коей мере не должно принижаться принципиально важное значение эксперимента. Опыт всегда останется основой всякого исследования, подтверждающего (или отвергающего) схему и решение при теоретическом подходе.
б) Сложность рассматриваемых уравнений. Глубокое проникновение численных методов в механику сплошных сред и физику плазмы объясняется также и тем, что уравнения, описывающие происходящие здесь явления, представляют собой наиболее сложную (по сравнению с другими областями математической физики) систему дифференциальных уравнений в частных производных.
В общем случае это нелинейная система смешанного типа с неизвестной формой поверхности перехода (где уравнения изменяют свой тип) и подвижными границами — граничные условия задачи ставятся на поверхностях или линиях, которые сами определяются в процессе вычислений. Причем область изменения исходных функций настолько широка, что обычные методы аналитического исследования (линеаризация уравнений, разложение в ряды, выделение малого параметра и т. п.) здесь в общем случае не проходят для получения полного решения задачи.
Заметим, что для подавляющего большинства задач газовой динамики не только не доказано никаких математических теорем существования и единственности, но даже часто нет уверенности в том, что такие теоремы могут быть получены. Сама математическая постановка задачи, как правило, в точном смысле не сформулирована, а дается только физическая постановка, что далеко не одно и то же. Математические трудности изучения такого типа проблем связаны, как уже отмечалось, с нелинейностью уравнений, а также с большим числом независимых переменных. Таким образом, численный эксперимент в механике сплошных сред приобретает в настоящее время практически равные права с традиционным физическим экспериментом.
Кажущаяся простота численного эксперимента, однако, таит в себе значительные трудности, связанные с построением соответствующей математической модели—численного алгоритма решения задачи и необходимостью обоснования полученных результатов. Имеющийся опыт показывает, что определяющими условиями успеха численного эксперимента являются удачно выбранная модель явления, численный метод решения соответствующей математической задачи и способ реализации алгоритма на ЭВМ. При этом удачным является именно тот метод решения, который а определенном смысле адекватен рассматриваемому явлению.
Таким образом, выбор и построение соответствующего оптимального (для данной задачи) метода решения^является, на наш взгляд, центральным моментом теоретических подходов и в настоящее
Думаю, что в ближайшем будущем не столько мощности жж ’ сколько разработка рациональных моделей будет определять эффективность внедрения вычислительного эксперимента в различные области науки и техники.
11
Следует заметить также, что при постановке больших сложных задач на машинах предварительное аналитическое изучение различных локальных свойств проблемы может оказать большую помощь, а иногда является просто решающим для успешной реализации численного алгоритма.
В конечном счете гладкость представляемых функций определяет успех использования того или иного алгоритма при возможно меньших затратах машинного времени. Поэтому выбор независимых переменных, различные формы записи исходной системы уравнений (которые могут быть математически эквивалентны, но не равноценны с точки зрения их приближенного представления), использование точных интегралов системы, определение направлений, вдоль которых проводится представление функции, структура расчетных сеток —все это играет важную роль при разработке численного алгоритма.
Остановимся еще на одной особенности алгоритмов, используемых при решении конкретных задач механики сплошных сред и физики плазмы. В настоящее время, как известно, численные методы прочно входят в практику исследований конструкторских бюро и научно-исследовательских институтов. Многочисленные успехи в изучении космоса, в практике оптимального управления, выборе рациональных форм летательных аппаратов, исследовании явлений взаимодействия мощного лазерного излучения с веществом и т. д. в немалой степени обязаны проведению серийных вычислений и использованию полученной таким образом информации. При правильно поставленной, хорошо смоделированной и рационально алгоритмизированной задаче объем информации, который получается из расчетов, значительно полнее и обходится существенно дешевле соответствующих экспериментальных исследований. Однако широкое внедрение численных методов для практических целей требует от них достаточной простоты и надежности.
Итак, с одной стороны, здесь приходится иметь дело с весьма сложными математическими задачами, а с другой стороны — необходимо разрабатывать достаточно простые и надежные численные подходы, позволяющие в условиях проектных институтов и конструкторских бюро проводить серийные расчеты.
Основной принцип использования математических результатов состоит в том, что условия, обеспечивающие рещение задачи в более простых и частных случаях, должны выполняться и для более общих и сложных задачт Параллельно с этим рассмотрение физики явления дает качественную картину, с помощью которой проверяется и уточняется постановка задачи. Наконец, окончательная экспериментальная проверка позволяет судить о правильносги сделанных предположений и дать оценку алгоритма и полученного решения, в частности его точности. Здесь следует заметить, что оценка точности численного решения сформулированной дифференциальной (или интегральной) задачи должна производиться чисто математически, без привлечения данных физического эксперимента. Последними можно пользоваться для качественных сравнений, количественное же сравнение расчета с экспериментом должно давать информацию
1 о
о том насколько принятая физическая модель -близка к реальным условиям.
На всех этапах исследования математическая теория, физическии и численный эксперимент на ЭВМ должны применяться совместно и согласованно. Всякое противопоставление здесь неуместно и бессмысленно. Только творческое объединение «сильных сторон» и методологий различных инструментов познания может привести к успеху при решении конкретных нелинейных задач (а также определить возможные и наиболее перспективные направления развития математической теории).
Как это осуществляется на каждом этапе, лучше всего иллюстрировать на конкретных примерах, что и будет сделано ниже. По нашему мнению, практическая ценность численных методик опреде-' ляется в первую очередь их применимостью (и полученными результатами) к исследованию сложных нелинейных явлений.
Прежде чем коротко охарактеризовать основные принципы построения различных численных методик, сделаем одно замечание.
Все численные подходы в механике сплошных сред (независимо от того, какие предположения закладываются заранее) используют дискретное представление среды: эйлеровы или лагранжевы ячейки, крупные частицы, конечные элементы, дискретные вихри, частицы — молекулы и т. п. Если в классических подходах на дифференциальном уровне устанавливается связь для «точечных» объемов, то приемы вычислительной математики используют, по существу, приближенное представление уравнений баланса для указанных элементарных (но конечных) объемов. Установление адекватности такого представления и рассматриваемого явления — одно из центральных звеньев вычислительного эксперимента.
2. Существует много универсальных численных методик, которые применяются для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Отметим некоторые из них.
Метод конечных разностей. Этот численный подход более всего развит в данное время и широко используется для решения как линейных, так и нелинейных уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. Область интегрирования1 здесь разбивается на счетные ячейки с помощью некоторой, как правило, прямоугольной фиксированной сетки. Производные функции по всем направлениям заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений (приемы построения разностных уравнений весьма разнообразны), причем чаще всего используются так называемые неявные разностные схемы. Тогда на каждом шаге приходится решать систему линейных алгебраических уравнений, содержащих иногда несколько сот неизвестных. Литература по этому направлению очень обширна (см., например, [1 —12]). Много внимания,, при этом уделяется исследованию свойств разностных уравнении (точность аппроксимации, условия устойчивости, диссипативные эффекты схем и т.п.) [1—3, 13]. В последнее время все большее применение находят и подходы, связанные с использованием дифференциальных приближений, когда на уровне дифферен-
13
циально-разностных представлений схемы удается оценить ее свойства (в том числе и для нелинейных уравнений) ([14—17] и др.).
Метод интегральных соотношений. В этом методе, представляющем собой обобщение известного численного метода прямых, область интегрирования разбивается на полосы с помощью кривых линий, форма которых определяется видом границ этой области. Система уравнений в частных производных, записанная в дивергентной форме, интегрируется поперек этих полос, а затем подынтегральные функции представляются определенными интерполяционными выражениями (консервативно-дифференциальные схемы). Полученная в результате аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется численно. Основная трудность здесь состоит в решении краевой задачи для системы высокого порядка. Метод интегральных соотношений, как и метод конечных разностей, применим к уравнениям различных типов ([18—22] и др.).
Метод характеристик. Данный подход применяется только для решения уравнений гиперболического типа. Решение здесь рассчитывается с помощью характеристической сетки, которая выстраивается в процессе счета [21, 23]. Могут однако использоваться и такие схемы метода характеристик, в которых расчет ведется по слоям, ограниченным фиксированными линиями. Большое внимание в последнее время уделялось разработке характеристических подходов и для решения пространственных задач [24—27].
Метод характеристик позволяет точно определить место возникновения вторичных ударных волн внутри поля течения как результат пересечения характеристик одного семейства. Однако если таких ударных волн появляется много, то встречаются трудности при расчете. Кроме того, в процессе вычислений может наблюдаться значительная деформация расчетной сетки. В этой связи методом характеристик целесообразно рассчитывать такие гиперболические задачи, в которых число разрывов невелико (например, установившиеся сверхзвуковые задачи газовой динамики), или использовать комбинации сеточных и характеристических методик [26, 27].
Метод частиц в ячейках. Указанное направление численного моделирования сочетает в себе в определенных чертах преимущества лагранжева и эйлерова подходов. Область решения здесь разбивается неподвижной (эйлеровой) сеткой; однако сплошная среда трактуется дискретной моделью —рассматривается совокупность частиц фиксированной массы (лагранжева сетка частиц), которые и движутся через эйлерову сетку ячеек. Частицы служат для определения параметров самой жидкости (массы, энергии, скорости), в то время как эйлерова сетка используется для определения параметров поля (давления, плотности, температуры) ([28—30] и др.).
Метод частиц в ячейках позволяет исследовать сложные явления в динамике многокомпонентных сред, частицы хорошо «следят» за свободными поверхностями и линиями раздела сред, взаимодейст-14
вием разрывов. Однако дискретный метод частиц обладает и рядом недостатков. Главный из них, лежащий в самой природе метода, состоит в том, что из-за дискретного представления сплошной среды (конечное число частиц в ячейке) методу присуща вычислительная неустойчивость (флуктуации). Затруднительно также получение информации для сильно разреженных областей, откуда практически уходят все частицы, и т. п. Значительного же увеличения числа частиц не позволяют технические возможности современных вычислительных машин.
Для газодинамических задач обтекания при наличии однородной среды кажется более целесообразным исходить из концепции непрерывности, рассматривая вместо частиц поток массы через границы эйлеровых ячеек ([31—34] и др.).
Метод конечных элементов. Большую популярность за последнее время в нелинейной механике сплошных сред получил метод конечных элементов. Исходные уравнения и динамические краевые условия удовлетворяются здесь только в некотором осреднением смысле для выбранного типичного конечного объема («элемента») среды. При этом аппроксимация различных полей проводится на конечном элементе локально и независимо от его положения в общей модели [35, 36]. Основная сфера приложения указанного подхода—это механика твердого деформированного тела ([35] и др.).
Такой способ построения численного решения отличается от традиционных разностных схем в первую очередь принципом построения континуального приближенного решения. Так, в разностных схемах обязательно присутствуют этапы дискретизации, а затем уже проводится восполнение полученного дискретного решения до континуального. Причем обычно эти процедуры жестко между собой не связаны, что порождает известную неоднозначность континуального восполнения (особенно характерную для схем второго и выше порядков аппроксимации). В методе конечных элементов с самого начала построения численного решения ищется наилучшее (в той или иной норме) приближение точного решения в некотором пространстве (обычно это пространство кусочногладких функций). Таким образом, в этом подходе как бы отсутствует этап восполнения. В целом можно считать подобные аппроксимации математически более строгими и более удобными для обоснований.
С другой стороны, методики этого типа имеют свою область применения и свои характерные трудности. По способу представления приближенного решения (которое обычно непрерывно или непрерывно с рядом производных) такие подходы более приспособлены в первую очередь для нахождения решения задач эллиптического и параболического типов. При решении гиперболических задач методы конечных элементов нельзя считать достаточно эффективными (см., например, [36]). Основная причина заключается в том, что здесь полностью отсутствует использование такого фундаментального свойства гиперболических задач, как конечность облас-
15
ти влияния. Это приводит к неестественному «завязыванию» всех узлов расчетной области, следствием чего являются неоправданно высокие (для задач гиперболического типа) требования к объему используемой памяти ЭВМ.
В [37—39] предложен способ построения явных численных схем решения краевых гиперболических задач для уравнений типа законов сохранения (дивергентных уравнений).- В этом подходе удалось построить континуальный вариант приближенного решения, аналогично методам конечных элементов (в указанном выше смысле), но, с другой стороны, данный подход существенно опирается на конечность области влияния в гиперболических задачах. Построение приближенного решения ведется в классе кусочно-гладких функций, что представляется вполне естественным для гиперболических уравнений.
Большое развитие за последнее время получил также метод дискретных вихрей [40] применительно к расчету отрывных течений на основе модели идеальной несжимаемой жидкости. Непрерывные вихревые слои, моделирующие несущие поверхности и их следы, заменяются системой дискретных вихрей — прямолинейных или кольцевых (в зависимости от формы несущих поверхностей). Временной процесс представляется в виде последовательности расчетных слоев, причем граничные условия задачи выполняются в конечном числе контрольных точек на несущих поверхностях.
Статистические методы. Быстрое развитие вычислительной техники стимулировало разработку численных методов статистического моделирования (методы Монте-Карло) широкого класса задач механики, физики, биологии, химии. Этот класс задач условно можно разделить на два вида.
К первому виду относятся задачи со стохастической природой, когда метод Монте-Карло используется для прямого моделирования естественной вероятностной модели. При этом точная динамика заменяется стохастическим конечномерным процессом. Ко второму виду относятся детерминированные задачи, описываемые вполне определенными уравнениями. Здесь искусственно строится вероятностный процесс, который численно моделируется методом Монте-Карло на ЭВМ, что позволяет получить формальное решение в виде статистических оценок [41]. При этом необходимо показать адекватность построенного вероятностного процесса рассматриваемому кинетическому уравнению.
В механике сплошных сред метод статистического моделирования (в комбинации с методом расщепления) нашел широкое применение при исследовании течений разреженных газов, описываемых уравнениями Больцмана, а в последнее время — и при изучении нестационарных турбулентных процессов, имеющих стохастическую природу.
Как обычно для подходов указанного типа, моделируемая среда здесь заменяется конечномерной системой частиц (молекул) фиксированной массы, для которой с помощью методов Монте-Карло проводится численное моделирование вероятностного процесса. В работах [42, 43] показана принципиальная возможность построения и реализации 16 . • < .
таких численных алгоритмов. Однако данный подход носит эвристический характер и выдвигает очень высокие требования к ресурсам ЭВМ.
Глубокий теоретико-вероятностный анализ, проведенный в [44, 45], а также использование для пространственно-однородного состояния модели Каца [46] позволили построить строго марковский процесс статистического моделирования [44]. Это дало возможность в свою очередь значительно повысить точность расчетов (не снижая эффективности метода) и снизить уровень требований к ЭВМ. Указанный подход успешно используется в настоящее время для расчета пространственных течений разреженного газа и нестационарных задач турбулентности [45, 47, 48].
3. Определим теперь кратко основные этапы вычислительного экспериментирования (параллельно проведем аналогию с физическим экспериментом).
Вначале, на основе анализа исследуемого физического объекта, делается его математическсе описание (выбирается математическая модель). В физическом эксперименте этому этапу соответствуют анализ и выбор схемы эксперимента, проводится уточнение элементов конструкции и самой установки. Затем для отобранного дифференциального (или интегрального) оператора составляется разностная схема, исследуются вопросы ее устойчивости и т. д. В натурном эксперименте на
этом этапе осуществляется конструирование, изготовление экспериментальной установки и ее отладка.
В результате мы получаем средства для исследования (работающую программу или прибор) интересующего нас явления. С помощью этих средств и проводится собственно эксперимент: машинный счет или серия замеров. Следующим этапом является детальный анализ результатов, вследствие чего делаются уточнения в постановке задачи и вносятся коррективы в конструкцию экспериментальной установки и программу (после чего указанный процесс повторяется и т. д.). Такая обратная связь позволяет совершенствовать методологию как численного, так и натурного экспериментов.
В последние годы ряд численных экспериментов по исследованию сложных газодинамических течений был проведен с помощью нестационарного метода крупных частиц (гл. I), построенного на базе уравнений Эйлера. Такие подходы используют расщепление физических процессов на временном шаге и установление процесса для решения стационарных задач. Основное назначение этих работ заключается в попытке рассмотрения математических моделей для более сложных и общих течений газа при наличии больших деформаций.
Кажется перспективным использовать основные принципы данного подхода и для моделирования вязких потоков (гл. II, III), а также для исследования течений разреженного газа и турбулентности. В главе IV изучается применимость статистической разновидности подхода для Р и^?ия Уравнения Больцмана и других кинетических уравнений.
формулируем общий принцип расщепления по физическим процес-ип’ С П°МОЩЬЮ К0Т0Р0Г0 последовательно выстраиваются численные дели для уравнений Эйлера, Навье—Стокса и Больцмана [8].
БИБЛИОТЕКА
Симферопольского
17
Моделируемую среду можно заменить системой из N частиц (жидких частиц для сплошной среды и молекул для дискретной), которые распределены в начальный момент времени по ячейкам эйлеровой сетки в координатном пространстве в соответствии с начальными данными.
Эволюцию такой системы за время М можно расщепить на два этапа: изменение внутреннего состояния подсистем, находящихся в ячейках, в предполжении их «замороженности» или неподвижности (эйлеров этап для сплошной среды и столкновительная релаксация для дискретной), и последующее смещение всех частиц пропорционально их скорости и А/ без изменения внутреннего состояния (лагранжев этап для сплошной среды и свободное движение молекул для дискретной).
Стационарное распределение всех параметров среды (если оно существует) вычисляется после установления процесса во времени.
По существу, указанные подходы используют совместное эйлерово-лагранжево представление. Область решения здесь разбивается неподвижной, фиксированной по пространству (эйлеровой) расчетной сеткой, а сплошная среда трактуется дискретной метелью — рассматривается совокупность частиц (лагранжева сетка частиц), которые и движутся через эйлеровы ячейки. Частицы служат для определения параметров самой жидкости (массы, энергии, скорос-ди), в то время как эйлерова сетка используется для определения параметров поля (давления, плотности, температуры). Таким образом, здесь удается как бы совместить сильные стороны эйлерова и лагранжева представлений. Счет фактически ведется в локально-лагранжевых координатах с последующим пересчетом на фиксированную (эйлерову) расчетную сетку.
Как уже отмечалось, основное внимание в книге будет уделено построению новых численных моделей в механике сплошных сред. Преимущественно исследуются «переходные» задачи аэрогазодинамики, хотя будут приводиться численные схемы и примеры расчетов упруго-вязко-пластических явлений, задач физики плазмы, моделируются течения крови в сосудах и т. д. Рассматриваются также статистические подходы для прямого численного моделирования течений разреженного газа и задач турбулентности.
4. Большой интерес представляет разработка эффективных численных методов решения многомерных эволюционных уравнений чисто гиперболического типа или параболических уравнений, содержащих гиперболическую часть. Такие математические модели описывают многие пространственно-нестационарные задачи механики сплошных сред и физики плазмы (гл. V). Построение вычислительного алгоритма для указанного рода задач представляет весьма сложную проблему, которая обычно решается поэтапно [10, 12, 49, 50]. Сформулируем здесь некоторые общие положения математической технологии построения таких схем.
а) Гиперболичность уравнений. Гиперболическая часть параболических уравнений наиболее «неприятна» в вычислительном плане, так как является источником возникновения больших градиентов в узки>с зонах (в чисто гиперболических задачах появляются
18
разрывы решений). Эффективные методы решения гиперболических уравнений имеют, таким образом, широкую сферу применения. Действительно, методы расщепления по физическим процессам позволяют довольно формально и эффективно вводить практически любой ранее разработанный (для решения гиперболических уравнений) метод в общий алгоритм решения параболической задачи, содержащей гиперболическую часть.
В качестве примеров можно привести расщепление в методе типа частиц в ячейках (на конвективную и неконвективную части); схемы Маккормака (невязкое обтекание и пограничный слой); модификации сеточно-характеристического метода для задач физики плазмы (гиперболическая часть и члены, связанные с электронной теплопроводностью) и др.
б) Многомерность. Наиболее универсальными и эффективными подходами решения многомерных параболических и гиперболических уравнений (для явных и неявных схем) являются разнообразные методы расщепления по пространственным перемен-и ы м. Сюда относятся известные схемы Лисмана и Рэкфорда, Н. Н. Яненко, А. А. Самарского, С. К. Годунова, К. М. Магомедова, А. С. Холодова и др. *). Используя такой подход, можно практически любой одномерный численный алгоритм естественным образом обобщить на многомерный случай. Исходная задача, таким образом, существенно упрощается и сводится'к поиску «хороших» одномерных схем.
в) Нелинейность. Консервативность. Разностные схемы, построенные для линейных уравнений, могут быть обобщены, вообще говоря, и на случай квазилинейных и даже нелинейных уравнений. Для явных схем это, например, интегро-интерполяционный метод, для неявных — метод Рунге-Кутта. При этом неконсервативная схема может быть «сделана» консервативной.
г) Характеристические свойства уравнений гиперболического типа. Эти понятия являются фундаментальными для указанного типа задач, поскольку именно-вдоль характеристических многообразий происходит распространение возмущений в среде. Их учет и введение в численную схему позволяет правильно определять область зависимости решения, что представляется важным при построении экономного алгоритма расчета.
Более того, использование характеристических свойств уравнений гиперболического типа позволяет «расщепить» исходную гиперболическую систему на существенно более простые условия совместности вдоль некоторых характеристических направлений (в частности, в линейном одномерном случае — на независимые друг от друга простейшие уравнения переноса типа и(±%иж=0, где Д>0). для отдельного же условия совместности удается построить и проанализировать весьма широкий класс разностных схем, провести их оптимизацию и обобщение на случай исходной системы уравнений [10,.
) Ссылки на работы этих авторов содержатся в [50].
19>
49, 50]. При этом, как показывают многочисленные примеры, свойства, заложенные в «элементарные-» схемы, сохраняются и для исходной системы уравнений гиперболического типа. Указанный вид расщепления является важным элементом при построении численных методик для сложных (в том числе нелинейных и многомерных) систем уравнений гиперболического типа [26, 27, 50].
д) Метод неопределенных коэффициентов. Весьма конструктивным является использование метода неопределенных коэффициентов (с введением линейных пространств этих коэффициентов) на этапе анализа разностных схем для простейших уравнений переноса. Этот подход позволяет построить для произвольных сеточных шаблонов все множество разностных схем с положительной аппроксимацией (монотонных или мажорантных схем по другой терминологии), играющих важную роль в вычислительной математике. В самом общем случае удается доказать отсутствие разностных схем с положительной аппроксимацией и с более высоким (чем первый) порядком точности на решениях исходных уравнений. На основе этого же подхода для наиболее употребительных сеточных шаблонов (как явных, так и неявных) построены сеточно-характеристические схемы второго и третьего порядка точности, наиболее близкие во введенном в рассмотрение пространстве коэффициентов к схемам с положительной аппроксимацией [10, 12]. В частности, были получены новые, более эффективные модификации широко употребляющихся в вычислительной практике разностных схем Лакса-Вендрофа, Маккормака, Русанова и др. Данный подход является весьма перспективным и при построении так называемых гибридных схем для эффективной регуляризации разрывных численных решений.
Итак, хорошо развитый в настоящее время аппарат обобщения (одномерных разностных схем на многомерные уравнения, линейных — на нелинейный случай, методов решения гиперболических систем — на параболические уравнения и др.) позволяет построить определенный набор численных схем, разнообразных как по точности, так и в их реализации (явные или неявные, условно или абсолютно устойчивые и т. п.) и пригодных для решения широкого класса нелинейных многомерных задач механики сплошных сред и физики плазмы. В основании такой «пирамиды», выстроенной по указанной математической технологии, лежит в конечном счете та или иная элементарная схема, от выбора которой во многом зависят свойства вычислительного алгоритма в целом.
Теоретические исследования, представленные в главе V, открывают новое перспективное направление целенаправленного поиска эффективных элементарных схем и их обобщения на случай систем уравнений гиперболического типа. Прикладная сторона представленных в этой главе результатов отражает наиболее характерные черты исследований различных многомерных задач аэрогазодинамики и физики плазмы с использованием сеточно-характеристических методов.
Важным качеством всех описанных выше методик является и тот факт, что их практическая реализация «проходит» на электронно-вы-' числительных машинах средней мощности.
20
ЛИТЕРАТУРА
1 Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977.
2 ' рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.— М.: Наука 1978.
3 Годунов С. К-, Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в тео-' рию).—М.: Наука, 1977.
4 Бабенко К- И., Воскресенский Г. П. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа.— ЖВМ и МФ, 1961, 1, №6, с. 1051—1060.
5 Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1977.
6 . Бабенко К- И., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н., Р у-санов В. В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом.— М.: Наука, 1964.
7 . Р о у ч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980.
3. Белоцерковский О. М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье — Стокса и Больцмана.— В кн.: Числ. методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1981, с. 348—398.
Я. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики.— М.: Наука, 1975.
10. X о л о д о в А. С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа.— ЖВМ и МФ, 1978, 18, №6, с. 1476—1492.
11. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов для решения многомерных задач математической физики.— Новосибирск: Наука, 1967.
12. Белоцерковский О. М. О некоторых численных моделях в физике плазмы.— В кн.: Совр. проблемы матем. физики и вычисл. матем. М.: Наука, 1982, с. 48—63.
13. С а м а р с к и й А. А., Г у л и н А. В. Устойчивость разностных схем.— М.: Наука, 1973.
14. Яненко Н. Н., Ш о к и н Ю. И. О корректности первых дифференциальных приближений разностных схем.— ДАН СССР, 1968, 182, № 4, с. 776—778.
15. Н i г t С. W. Heuristic stability theory for finite-difference equations.— J. Comput. Phys., 1968, 2, №4, p. 339—355.
16. Шо ки н Ю. И. Метод дифференциального приближения.— Новосибирск:
17. Белоцерковский О. М.,Давыдов Ю. М. Исследование схем метода крупных частиц с помощью дифференциальных приближений.— В кн.: Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с. 145—155.
18. Д о р о д н и ц ы н А. А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики.— Тр. III Всесоюз. матем. съезда, т. 111. М.: Изд-во АН СССР, 1958, с. 447—453.
19. Белоцерковский О. М., Чушкин П. И. Численный метод инте-9П кРаЛЬНЫХ соотношений.— ЖВМ и МФ, 1962, 2, №5, с. 731—759.
•Белоцерковский О. М., Булекбаев А., Голомазов М. М. и Др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Теоретические и экспериментальные исследования.— Тр. ВЦ АН СССР / Под ред. О. М. Белоцер-21 чВСК°Г0 (ИЗД' 2-е’ испРавл- и Дополн.). М.: ВЦ АН СССР, 1967.
т ушки н П. И. Затупленные тела простой формы в сверхзвуковом потоке 22 Д3а Прикл. матем. и механ., 1960 , 24, вып. 5, с. 927—930.
rn° Р 0 д н и Ц ы н А. А. Об одном методе решения уравнения ламинарного по-раничного слоя.— Прикл, механ. и техн, физ., 1960, 1, №3, с. 111 —118.
ли 4 К ° В а О’ Н-. Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д., Ш у-_ ш н и н а Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных течений газа ме-24. М°М хаРактеРистик. — М.: ВЦ АН СССР, 1961.
г а г 0 м е Д о в К-M. Метод характеристик для численного расчета простоан-25. Ч v НЫХ течений газа,—ЖВМ и МФ, 1966 , 6, Ns 2, с. 313—325.
триоШ»КИН П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых ечении— Тр. ВЦ АН СССР. М.: ВЦ АН СССР, 1968.
21
26. Магомедов К- М., Холодов А. С. О построении разностных схем для» уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений.— ЖВМ и МФ, 1969, 9, №2, с. 373—386.
27. Белоцерковский О. М., Головачев Ю. П., Грудниц-к и й В. Г. и др. Численное исследование современных задач газовой динамики Г Под ред. О. М. Белоцерковского.— М.: Наука, 1974.
28. Evans М. W., Harlow F. Н. The particle-in-cell method for hydrodynamic calculations.— Los Alamos Scientific Lab., Rept. №LA-2139. Los Alamos, 1957..
29. X a p л о у Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики.— В кн.: Вычисл. методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с. 316—342.
30. Н а г 1 о w F. Н., Н i г t С. W. Recent extensions to Eulerian methods fcr numerical fluid dynamics.—ЖВМ и МФ, 1972, 12, №3, с. 656—672.
31. R i ch M. A method fcr Eulerian fluid dynamics.— Los Alamos Scientific Lab., Rept. №LAMS-2826. Los Alamos, 1963.
32. J e n t г у R. A., M a r t i n R. E., D a 1 у В. J. An Eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems.— J. Comput. Phys., 1966, 1, №1, p. 87—118.
33. Белоцерковский O.M., Давыдов Ю. M. Нестационарный метод, крупных частиц для решения задач внешней аэродинамики.— М.: ВЦ АН СССР,. 1970.
34. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц, в газовой динамике. Вычислительный эксперимент.— М.: Наука, 1982.
35. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.— М.: Мир, 1976.
36. С т р э н г Г., Ф и к с Дж. Теория метода конечных элементов.— М.: Мир, 1977.
37. Грудницкий В. Г., Прохорчук Ю. А. Один прием построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных.—ДАН СССР, 1977, 234, №6, с. 1249—1252.
38. Белоцерковский О. М., Грудницкий В. Г. Исследование нестационарных течений газа со сложной внутренней структурой методами интегральных соотношений.— ЖВМ и МФ, 1980, 20, № 6, с. 1400—1415.
39. Г р у д н и ц к и й В. Г. О поведении численного решения краевых задач для эволюционных уравнений в больших областях.— ДАН СССР, 1980, 252, №5, с. 1041 — 1044.
40. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью.— М.: Наука, 1978.
41. М а р ч у к Г. И., Михайлов Г. А. Предисловие к кн.: Методы Монте-Карло в статистической физике.— М.: Мир, 1982, с. 5—6.
42. В i г d G. A. Direct simulation and the Boltzmann equation.— Phys. Fluids,. 1970, 13, № 11, p. 2677—2681.
43. Бёрд Дж. Молекулярная газовая динамика.— М.: Мир, 1971.
44. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа.—ЖВМ и МФ, 1975, 15, №5, с. 1195—1208 (ч I), №6, с. 1553—1567 (ч. II).
45. Белоцерковский О. М., Ерофеев А. И., Яницкий В. Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа.— ЖВМ и МФ, 1980, 20, №5, с. 1174—1204.
46. К а ц М. Вероятность и смежные вопросы в физике.— М.: Мир, 1965.
47. Е р о ф е е в А. И. Расчет обтекания конуса под углом атТки гиперзвуковым потоком разреженного газа.— Уч. зап. ЦАГИ, 1979, 10, № 6, с. 122—127.
48. Белоцерковский О. М., Ерофеев А. И., Яницкий В. Е. Прямое статистическое моделирование задач аэрогидродинамики.— Успехи математики. Варшава, 1982, 5, вып. 3/4, с. 11—40.
49. Belotserkovskii О. М., Kholodov A. S.Numerical investigation of some gas dynamics problems by net-characteristic method. VI Intern. Conf, of Numerical Methods in Fluid Dynamics, Tbilisi, USSR, June 21—24, 1978.— Lecture Notes in Physics. Springer-Verlag, 1979, №90, p. 79—88.
50. X о л о д о в А. С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа.— ЖВМ и МФ, 1980, 20, № 6, с. 1601—1620.
Глава I
МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ
§ 1. Введение
1. За последнее время практика выдвинула целый ряд важных задач, решение которых требует тщательного изучения вихревых околозвуковых движений газа, течений со «вдувом» струи в основной поток, срывных турбулентных зон и т. п. Естественно, интересно получить динамику развития явления, полные картины течений «в целом» и характерные их свойства в широком диапазоне изменения параметров среды, формы тела и т. д. Указанные типы движений характеризуются значительными деформациями, большими перемещениями среды, нестационарностью и нелинейностью происходящих процессов.
Так, в трансзвуковых областях имеют место сложного характера смешанные течения газа, могут возникнуть местные сверхзвуковые зоны, вторичные висячие скачки уплотнения, наблюдается процесс сложного взаимодействия скачков уплотнения с пограничным слоем и т. п.. Механизм образования этихявлений в достаточной мере не изучен; остаются открытыми вопросы о виде минимальной области влияния и о ее перестройке при изменении параметров обтекания, о причинах и условиях возникновения вторичных скачков уплотнения, о свойствах локальных сверхзвуковых зон и т. п. Большой практический интерес имеют также исследования явлений взаимодействия ударных волн с препятствием (особенно в стадии нелинейного развития процесса), течений при наличии физико-химических превращений со вдувом струи, в следе за движущимся телом. Важно изучить возможности моделирования таких явлений с помощью ЭВМ.
Трудности теоретического исследования таких задач определяются весьма сложной математической постановкой (в общем случае это краевые задачи для нелинейных уравнений эллиптико-ги-перболического типа). Только численные методы с использованием быстродействующих электронно-вычислительных машин и тщательно проведенные физические эксперименты позволяют получить полное решение указанных задач и определить необходимые характеристики течения в целом. Таким образом, разработка достаточно о б-Щ и х численных схем, построение рациональных вычислительных алгоритмов, проведение расчетов течений со сложной внутренней структурой, а также изучение аналитических свойств решений задач вой динамики (построение асимптотик, исследование модельных Tepee*61111** И Т’ п’) пРеДставляют в настоящее время несомненный ин-звуВ ЧаСТН°СТИ’ для плоских и пространственных вихревых транс-
У вых течений аналитические и численные методы исследования
23
практически не были разработаны. Классические аналитические подходы, развитые для плоских потенциальных течений и основанные преимущественно на использовании плоскости годографа и различного типа упрощений и линеаризаций исходных уравнений, здесь, как правило, не применимы. Численное решение указанных задач также вызывает ряд трудностей и требует построения специальных схем для интегрирования уравнений эллиптико-гиперболического типа. Это объясняется, видимо, тем, что большинство традиционных численных схем строилось специально для газодинамических задач, описываемых уравнениями чисто гиперболического или чисто эллиптического' типа, с учетом определенных свойств этих уравнений. Случаи же смешанных течений газа (особенно для закритических областей), а также малых сверхзвуковых (или больших дозвуковых) скоростей, изучение турбулентных течений в зонах срыва и т. п. особенно трудны для численного исследования. Это связано с необходимостью построения сложных математических моделей, решением уравнений смешанного типа в неограниченных областях и постановкой специальных краевых условий задачи. Во многих случаях в процессе расчета необходимо осуществлять переход через скорость звука, проводить построение внутренних скачков уплотнения, учитывать эффекты нестационарности и вязкости газа и т. д.
2. Для расчета течений со сложной структурой естественно использовать нестационарные схемы сквозного счета, где вычисления проводятся без предварительного выделения особенностей (поверхностей разрыва и т. п.). В ряде случаев кажется рациональным введение в алгоритмы элементов метода Харлоу частиц в ячейках [1], применение которого граничит, по существу, с проведением численного эксперимента.
В последние годы в ВЦ АН СССР был осуществлен ряд численных экспериментов по исследованию сложных газодинамических течений. Они были проведены с помощью нестационарного метода крупных частиц, толчком к разработке которого послужили работы [1—3]. Основная цель этих экспериментов — построение рациональных математических (численных) моделей для предельных режимов течения среды (Re->oo) при исследовании широкого класса задач современной аэрогазодинамики (от чисто дозвуковых течений до сверхзвуковых режимов, включая трансзвуковые области, зоны срыва и т. п.). Полученные схемы, основанные на методе расщепления для нестационарных уравнений Эйлера, используют сравнительно небольшое число расчетных точек (обычно не более 2—3 тысяч), что позволяет проводить их реализацию на машинах средней мощности и применять их для проведения серийных расчетов в практике отраслевых НИИ и КБ. Возможно, что отдельные локальные свойства численных решений будут определяться при этом недостаточно точно, но, видимо, лишь только таким путем можно получить общие характеристики сложных явлений и картину течений в целом *).
*) Далее будут рассматриваться задачи, в которых малые (локальные) свойства течений не влияют заметно на сбщие характеристики явления в целом.
24
Описание метода крупных частиц применительно к задачам газовой динамики содержится в работах [4—9]. Детальное изложение и развитие численных методик типа частиц, а также описание, исследование и реализация численных схем метода крупных частиц применительно к различным задачам газовой динамики содержатся в монографии [10].
Кратко остановимся на некоторых особенностях этих методик.
Метод частиц в ячейках сочетает в себе преимущества лагранжева и эйлерова подходов. В этом методе область решения разбивается неподвижной, фиксированной в пространстве расчетной сеткой (эйлеровой сеткой); однако сплошная среда трактуется дискретной моделью — рассматривается совокупность частиц фиксированной массы (лагранжева сетка частиц), которые движутся через эйлерову сетку ячеек. Частицы служат для определения параметров самой жидкости (массы, энергии, скорости), в то время как эйлерова сетка используется для определения параметров поля (давления, плотности, температуры).
Метод частиц в ячейках позволяет исследовать сложные явления в динамике многокомпонентных сред, частицы хорошо «следят» за свободными поверхностями и линиями раздела сред, взаимодействием разрывов. Однако дискретный метод частиц обладает и рядом недостатков. Главный из них, лежащий в самой природе метода, состоит в том,’ что из-за дискретного представления сплошной среды конечным числом частиц в ячейке параметры течения в каждой ячейке также изменяются дискретно — как только частица пересечет границу эйлеровой ячейки, то масса, импульс, энергия частицы вычитаются из соответствующих величин прежней ячейки и прибавляются к новым значениям.
Такие скачки, весьма характерные для расчетов по методу частиц в ячейках, приводят к большим нефизическим флуктуациям рассчитываемых величин (особенно плотности), в решениях появляются автоколебания. Кроме того, сами численные схемы этого метода не обладают достаточной вычислительной устойчивостью (особенно в областях застоя, при небольшом числе частиц в ячейке), поэтому приходится вводить в схемы явныедиссипативныечлены с искусственной вязкостью, использовать неявные схемы первого шага, рассматривать частицы различных форм [ 11 ] и т. д.
Затруднительно также получение информации для сильно разреженных областей, откуда практически уходят все частицы. Значительно же увеличить число частиц не позволяют технические возможности современных вычислительных машин. По существу, метод частиц в ячейках благодаря введению дополнительного параметра (числа частиц в данной ячейке) увеличивает на единицу размерность задачи.
Для газодинамических течений однокомпонентной среды оказалось целесообразным отойти от дискретной модели частиц и исходить из концепции непрерывности, рассматривая вместо частиц поток массы через границы эйлеровых ячеек. Плотность газа здесь У е будет определяться не путем деления суммарной массы всех час-
25
тип в ячейке на ее объем, а из закона сохранения массы, записанного для данной эйлеровой ячейки (крупной частицы). При этом естественно сохранить сильные стороны метода Харлоу частиц в ячейках — эйлерово-лагранжев подход и сам процесс организации вычислений [2, 4—8, 11, 12].
Таким образом, вместо совокупности ряда частиц в ячейках здесь рассматривается масса всей ячейки в целом — крупная частица (отсюда и название метода) и на основе конечно-разностных представлений законов сохранения изучаются нестационарные (и непрерывные) потоки этих крупных частиц через эйлерову сетку. По существу, здесь используются законы сохранения, записанные в форме уравнений баланса для ячейки конечных размеров (как это обычно делается в процессе вывода газодинамических уравнений, но без дальнейшего предельного перехода от ячейки к точке).
Описание различных вариантов численных схем метода крупных частиц и полученных результатов содержится в [4—10]. Здесь дается достаточно полное изложение и исследование схем метода применительно к задачам механики сплошных сред и физики плазмы. Изучаются газодинамические течения со сложной внутренней структурой, упругопластические задачи механики твердого деформированного тела, потоки с излучением при наличии гетерогенных процессов. Рассматриваются также трансзвуковые задачи аэродинамики, течения со вдувом струи в основной поток, срывные турбулентные зоны. Используемый подход дает возможность получить плоские, осессимметричные и пространственные картины обтекания тел различной формы в широком диапазоне скоростей движения — от чисто дозвуковых до сверхзвуковых режимов, включая закритическое обтекание и переход через скорость звука.
Подчеркнем, что использование метода крупных частиц позволяет рассмотреть весь этот класс многомерных задач Сединых позиций, с помощью единого численного подхода.
Важно также отметить, что построение указанных моделей проводится на основе нестационарных у равнений Эйлера, что позволяет изучать свойства решений данного класса задач для предельных режимов течения.
Для оценки надежности постановки задачи и полученных результатов вычисления проводились на различных расчетных сетках; проверялось выполнение законов сохранения; результаты сравнивались с имеющимися отдельными расчетами по другим схемам, а также с экспериментальными и аналитическими данными. Практически везде наблюдалось достаточно удовлетворительное согласие.
Разработка метода крупных частиц проводилась совместно с Ю. М. Давыдовым в ВЦ АН СССР с 1965 г. Из других исследований в этой области, использующих эйлерово-лагранжев подход, следует отметить схему FLIC-метода [12] для расчета высокоскоростных течений газа, а также работы [13—201 *).
*) Более подробно об этом см. в [10].
26
s 2. Описание метода. Схемы расщепления для уравнений Эйлера
1. формальное описание нестационарного метода крупных частиц ^8 9]. Основная его идея состоит в расщеплении исходной системы дифференциальных уравнений по физическим процессам. Моделируемая среда заменяется системой из жидких частиц, совпадающих в данный момент времени с ячейкой эйлеровой сетки. Стационарное решение задачи (если оно существует) получается в результате установления, поэтому весь процесс вычислений состоит из многократного повторения шагов по времени. Расчет каждого временного шага Д/ (вычислительного цикла) в свою очередь разбивается на три
этапа:
I этап (эйлеров): пренебрегаем всеми эффектами, связанными с перемещением жидкости (потока массы через границы ячеек нет); на этом этапе на фиксированной эйлеровой сетке определяются промежуточные значения искомых параметров потока <р (u, v, Ё);
Пэтап (лагранжев): вычисляется плотность потока массы при движении жидкости через границы эйлеровых ячеек;
III этап (заключительный): определяются окончательные значения параметров потока ф(м, v, Е, р) на основе законов сохранения массы, импульса и энергии для каждой ячейки рассматриваемой области течения.
По существу, как это и принято в методах частиц, на I этапе рассматривается изменение за время Л/ импульса и энергии лагранжева элементарного объема жидкости (крупной частицы), заключенного внутри эйлеровой ячейки (при этом граница объема смещается относительно начального расположения). На II этапе моделируется движение частиц через границы эйлеровых ячеек и происходит перераспределение частиц по пространству. На III этапе происходит перераспределение массы, импульса и энергии по пространству (здесь определяется за время Л/ изменение параметров потока в элементарной эйлеровой ячейке, полученной возвращением лагранжева объема в исходное положение). Счет фактически ведется в локально-лагранжевых координатах с последующим пересчетом (интерполяцией) на эйлерову расчетную сетку.
Таким образом, эволюция всей системы за время Л/ осуществляется путем следующего расщепления: вначале изучается изменение внутреннего состояния подсистем, находящихся в ячейках — крупных частицах, в предположении их замороженности или неподвижности (эйлеров этап), а -затем рассматривается смещение всех частиц пропорционально их скорости и времени Л / без изменения внутреннего состояния подсистемы с последующим пересчетом расчетной сетки в начальное состояние (лагранжев и заключительный этапы).
2- Движение идеального сжимаемого газа. В качестве исходных возьмем дифференциальные уравнения Эйлера в дивергентном виде
27
(уравнения неразрывности, импульса и энергии): g + div(pV)-0.
|? + div(pUV) + ^-0,
^ + div(p«V) + g-0, 3£ + div(p£V) +div (pV)-O,
Рис. 1.1. Расчетная сетка в методе крупных частиц.
можно обобщение указанного подхода
либо уравнения движения в интегральном виде в форме законов сохранения. Заметим, что при наличии скачков уплотнения в области интегрирования указанная форма записи исходных уравнений в виде за-. конов сохранения является наилучшей. Для замыкания этой системы используется уравнение состояния
р = р(р, 3), 3 = E—V2/2.
Обозначения здесь общепринятые: V—вектор скорости (и, v—составляющие соответственно вдоль X, У), Р — плотность, р — давление, 3, Е—соответственно удельная внутренняя и полная энергии.
Здесь рассматривается двумерный случай по пространству, хотя воз-и на три пространственных
переменных ПО, 21]. Наложим на область интегрирования эйлерову (фиксированную в пространстве) расчетную сетку (рис. 1.1), состоящую из прямоугольных ячеек со сторонами Дх, Дг/ (Дг, Дг — в цилиндрической системе координат).
На 1этапе(эйлеровом) изменяются лишь величины, относящиеся кячейке в целом, а жидкость предполагается моментально заторможенной. Поэтому конвективные члены вида div (фр V), где <р=(1, и, v, Е), соответствующие эффектам перемещения, в уравнениях (1.1) опускаются. Тогда из уравнения неразрывности следует, что поле плотности будет заморожено, и исходная система (1.1) примет вид
Здесь, как уже отмечалось, по существу рассматривается изменение импульса и энергии лагранжева элементарного объема жидкости, заключенного внутри эйлеровой ячейки, за время Д/.
28
Поостейшие явные конечно-разностные аппрок-и м а ц и и первого порядка точности по времени и второго по пространству для (1-2) будут иметь вид
Т.п ..п Pi+i/2,i Pi-1/2, j
------------Е----------~/Ti
п пп
Z.n „,п Pi, j+1/2 Pi, j-1/2 №
Vi, j — Vi, j
Pi, i
Лх
л</
(1-3)
Величины с дробными индексами, относящиеся к границам ячеек, равны полусумме значений соответствующих параметров в соседних ячейках. Например, p"+i/2, ; = (р"/+p?+i,/)/2.
В ряде случаев целесообразно использование схем более высокого порядка точности. Так, для улучшения устойчивости вычислений на этом шаге рассматривались также схемы метода интегральных соотношений, где аппроксимации подынтегральных функций проводились по N лучам (N=3, 4, 5) [6, 10]. Производились также расчеты по неконсервативным схемам с использованием уравнения для внутренней энергии 3.
Несмотря на то, что приведенные численные схемы I этапа обладают, вообще говоря, недостаточной устойчивостью, однако ради простоты вычислений возможно использование аппроксимаций (1.3), так как на последующих этапах проводится соответствующая компенсация неустойчивости этого шага и в целом оператор полного шага оказывается устойчивым [4—6].
На II этапе (лагранжевом) вычисляются эффекты переноса, учитывающие обмен между ячейками при их перестройке на прежнюю эйлерову сетку,— моделируется движение потока массы (частиц) ДМ через границы эйлеровых ячеек, и происходит перераспределение частиц по пространству. При этом предполагаем, что вся масса переносится только за счет нормальной к границе составляющей скорости. Так, например,
АЛ4г + 1/2, j = <pH>i + l/2, j <.Un>i +1/2, / ку Ы.
Знак < > обозначает значения р и и на границе ячейки. Выбор этих величин имеет важное значение, так как он сильно влияет
да устойчивость и точность вычислений (для всех видов записи го хаРактеРен учет направления потока на данной границе) [2—8].
а) Определим значения ДЛ4" по формулам второго порядка
точности. В этом случае ДЛ4"+1/2, , рассчитываем следующим образом: если
«?,/ + «?+!,/> 0,
~п I ui+l, / — ui-l, j j~2------4 i +------------4--------
>0,
29
то
а<и/2>/-=(^/+~“u7~o?-1’/Xp^/+"?+1,7pU0a^AZ; (1Л)
если
и1, / + «i+l, j < О,
то
п ~п \ / п п \
^.,—Ui+2-irUi’iA^ о-4')
В противном случае ДЛ4"+1/2,/ = 0.
Использование в (1.4), (1.4') скоростей на предыдущем временном слое t приводит к неустойчивости [6]. Поэтому в данном случае предопределен порядок вычислений: сначала на эйлеровом этапе вычисляются и, v, а потом они используются на лагранжевом этапе для расчета ДЛ4. Такая последовательность вычислений дает возможность проводить устойчивый счет в целом лишь при условии устойчивости I этапа, для чего в (1.3) вместо термодинамического давления р необходимо ввести
р' = р+я-
Здесь q — нелинейное искусственное вязкостное давление, которое может быть, например, типа Ландшоффа [2, 12]:
q = — Bcph^, J-<0; q = 0, ^->0,
1 r as as ' п ds
трр. В — постоянный коэффициент, с — скорость звука, h — размер ячейки в направлении s — х или у.
Действие вязкостного давления типа Ландшоффа проявляется лишь в волнах сжатия для сглаживания образующихся разрывов. Можно рассмотреть также другие виды искусственной вязкости: линейную, квадратичную, без «зануления» коэффициента вязкости на волнах разрежения.
б) Определим значения ДА4" по формулам первого пор ядка точности *). В этом случае '• l;
I р?, ’zVt+1,/A^AZ>если «I/+ы?<-х
ДМ?+1/2, 2 „ . . . <1.5)
( Р?+1, / ы‘-/+2ц>+1,; А#А/. если /+«"+1, Т < °-
Расчеты и анализ, приведенные в работах [4—6, 8], показали, что формулы (1.5) позволяют проводить устойчивый счет без введения яв-
*) Аналогичная схема используется в FLIC-методе [12]
30
ных членов искусственной вязкости, т. е. при q=0. Устойчивость вычислений обеспечивается при этом внутренней структурой разностной схемы — наличием аппроксимационной вязкости. Здесь также возможно без потери устойчивости использование значений скорости на предыдущем временном слое (применение и и v лишь несколько ускоряет сходимость), поэтому в данном случае мы можем сначала проводить лагранжев этап, а потом --- эйлеров.
Возможна, естественно, комбинация обоих подходов (например, при расчете областей со сложной внутренней структурой целесообразно использовать формулы (1.5), а для зон «гладких» течений — аппроксимации второго порядка точности (1.4)).
в) Можно, конечно, использовать и представление вида
Л-Л4[±1/2. /= j Ay At
или определять ДЛ4" без учета направления потока: \п 1 I . п I п п \
(pU)i±l/2, / — ~2~\Р»±1,/ П»±1, j + Pi. jUi, j).
Однако такие подходы приводят к заметной неустойчивости вычислений всего цикла.
г) Если использовать дискретную модель сплошной среды и рассматривать в данной ячейке совокупность частиц фиксированной массы т, то в этом случае АМп определяется как алгебраическая сумма масс всех (k) частиц, пересекших за время А/данную границу:
k
\Мп= 'Zm;.
» = i
В этом случае получаем консервативный метод частиц в ячейках*), который позволяет изучать движение многокомпонентных сред [10].
Как правило, при конкретных расчетах в зависимости от характера рассматриваемого течения использовались различные формы аппроксимации эйлерова и лагранжева этапов.
Наконец, на III этапе (заключительном) проводится регуляризация сетки (пересчет сдвинувшейся сетки в прежнее состояние), происходит перераспределение массы, импульса и энергии по-пространству и определяются окончательные поля эйлеровых параметров потока в момент времени /o+1=£n+At Как уже отмечалось, уравнения этого этапа представляют собой законы сохранения массы М, импульса Р и полной энергии Е, записанные-в разностной форме:
Е«+1 = Е« + 2Е'г'р, F = (M, Р, Е). (1.6>
Эти уравнения утверждают, в частности, что внутри поля течения нет сточников и стоков, массы, импульса и полной энергии, а их измене-д 0 в >. Описание этого метода и результаты расчетов приводятся в статье Д а в ы-Распвс 10 М"''О-методах «частил» для решения задач газовой динамики».— В кн.:. 1973 cCj4QHe*1Me ДРУГИХ и упруго-пластических волн. Алма-Ата: Изд. АН КазССР,
3₽
ние за время AZ осуществляется только за счет взаимодействия на внешней границе области течения. При этом предполагается, что потоки массы АЛ4'г через границы ячеек, определяемые на II этапе, несут с собой промежуточные значения скорости и удельной энергии, вычисленные на I этапе (величины АЛ!" играют здесь роль весовых функций).
Исходя из этого, окончательные значения параметров потока р, Х= =(и, v, Е) на следующем временном слое вычисляются по формулам
У \МЧ о'?+1- = о'? ______-
Pl’ 1 Ах Аг/ ’
</ pn+J. <./ + р<?+/дхд/
(1.7)
где суммирование проводится по всем границам ячейки.
Можно показать [4, 6], что в данной разностной схеме внутри области интегрирования имеет место строгое выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии. Общее изменение, например, величин Е и Р за время А£ равно сумме их изменений на эйлеровом и заключительном этапах (законы сохранения для всей сеточной области являются алгебраическим следствием разностных уравнений), поэтому в целом разностная схема является дивергентно-консервативной *), т. е. уравнения (1.7) удовлетворяют(1.6). Анализ схемы сточки зрения выполнения законов сохранения представляется важным, так как расчетная схема дает более точные результаты тогда, когда она строго сохраняет те же величины, которые имеют место в рассматриваемом физическом процессе.
Описание алгоритма метода крупных частиц дано здесь для целых ячеек — внутренних ячеек поля течения (со всех сторон окруженных жидкостью) и граничных ячеек, прилегающих к обтекаемому телу так, что его контур совпадает с их границами. В случае же обтекания тел произвольной формы задача значительно усложняется — контур тела при этом пересекает прямоугольную эйлерову сетку, поэтому необходимо вводить в рассмотрение дробные ячейки [6, 7, 12, 87]. Заметим, что использование дробных ячеек более эффективно, нежели другие способы задания криволинейной границы тела (например, расчет в координатах s, п, где s — длина дуги вдоль контура тела, п — нормаль к телу).
3. Постановка краевых условий для задач аэрогазодинамики. В качестве начальных данных обычно используются параметры невозмущенного потока. Граничные условия задачи ставятся следующим образом (см. рис. 1.1): на левой границе АВ используются условия в набегающем потоке газа; на плоскости (или оси) симметрии AOLD — условия симметрии потока; на теле ОЕКЕ — обычные условия на твердой стенке (условия «непротекания» или «прилипания»); на верхней ВС и правой CD открытых границах области проводится экстраполяция параметров течения за рассматриваемую область. Чтобы не нарушать единообразия вычислений и не применять особые формулы для гранич-
*) Анализ разностных схем, например, с точки зрения их устойчивости показывает, что целесообразно использовать энергетическое равенство для полной энергии Е.
32
’ ix ячеек, вдоль всех границ вводятся слои фиктивных ячеек, значения Наоаметров в которых определяются типом границы. Число таких сло-П определяется порядком разностного уравнения (для первого порядка например, один слой и т. д.).
Следует различать два типа границ — т в е р д у ю стенку (или ось симметрии) иоткрытую границу расчетной области. В первом случае, например, при условии непротекания нормальная к стенке компонента скорости меняет знак, а остальные параметры потока берутся без изменения (при условии прилипания обе компоненты скорости меняют знак) *).
Через открытые границы области жидкость может втекать или вытекать, и на них должны быть обеспечены условия непрерывности движения. Пусть жидкость втекает в прямоугольную сетку с левой стороны, тогда на этой границе задаются параметры набегающего потока. На остальных открытых границах области проводится экстраполяция параметров потока «изнутри», т. е. в фиктивный слой переносятся значения параметров из ближайшего (к границе) слоя (экстраполяция нулевого порядка). Возможны и более сложная постановка граничных условий или применение более точных формул экстраполяции (линейная, квадратичная и др.).
При сверхзвуковом течении характер граничных условий (экстраполяция изнутри) не вносит каких-либо осложнений, так как возмущения, распространяющиеся со скоростью звука, «сносятся» потоком. Сложнее при дозвуковом или трансзвуковом течении — здесь необходимо позаботиться, чтобы влияние возмущений на границах было небольшим. Естественно, что внешняя граница области интегрирования должна выбираться «достаточно далеко» от источников возмущения, тогда методы экстраполяции потока вовне возможны. Таким образом, основной принцип постановки краевых условий заключается в том, что через открытые границы области не должны проникать сколько-нибудь заметные возмущения внутрь расчетной зоны [6, 22].
4. Метод крупных частиц для исследования упруго-пластических задач [79]. При численном решении задач механики твердого деформируемого тела, так же как и для задач аэрогазодинамики, представляет интерес провести сравнение эйлерова и лагранжева подходов. Так, при решении одномерных задач предпочтительнее лагранжев подход. Однако при исследовании многомерных задач этот подход становится менее эффективным, чем эйлеров. Особенно сильно недостатки лагранжева подхода сказываются в задачах о высокоскоростном соударении, в которых имеют место большие деформации среды. С другой стороны, при работе с эйлеровыми переменными возникают сложности в областях, где имеются подвижные свободные и контактные границы. Использование эйлерово-лагранжевых схем позволяет для данного класса i дач построить рациональные алгоритмы [9, 23].
гг
скорости"?51 °°оих типов краевых условий характерно образование у тела «дефицита» Вого гпя 'пР0ИСХ0Дит как бы течение со скольжением), что при наличии положитель-ьих поверх*1™ Давдения в слеДе за телом приводит к образованию отрыва на глад-
* О. М R
I • ьелоцегкэвский
33
Рассмотрим, например, задачу о высокоскоростном соударении твердых тел в одномерной постановке [4 — 6, 9, 23]. Для выделения свободных и контактных границ и удовлетворения на них граничных условий разработан специальный алгоритм. Для учета прочностных свойств материала с помощью метода крупных частиц реализована модель упруго-пластического тела. Данные расчетов по методу крупных частиц сравнивались при этом с результатами, полученными по методу Рихтмайера [24], а также с точными значениями всех величин, найденными из условий Рэнкина — Гюгонио.
Например, задача об ударе бойка о неподвижную преграду решалась в одномерном приближении в рамках гидродинамической модели твердого тела. Основная система уравнений имеет вид (1.1). Уравнение состояния записывается в виде
p = (n—l')3p + d (р—р0),
где р—плотность, р—давление, р0 —начальная плотность, с0 — скорость звука в невозмущенной среде, п—константа материала.
В начальный момент времени для бойка имеем р = ро, v = v0, р = 0, 3=0; в преграде р = ро, v = 0, р = 0, 3=0 (боек и преграда могут быть изготовлены из разных материалов, т. е. ро=/=Ро). Граничные условия задачи таковы: р = 0 на свободной границе и условие «неперетока» массы через контактную границу.
а) Рассмотрим вначале алгоритм явного выделения свободной поверхности и постановку на ней условия р = 0. Введем функцию
,n_( 1 для ячейки, заполненной веществом,
1 I 0 для пустой ячейки.
Если ячейка не полностью заполнена веществом, то 0 < f- < 1 (численно характеризует часть ячейки, заполненную веществом). Зная положение свободной границы на предыдущем слое и скорость ее движения, можно найти новое положение границы:
. /Г=Л!+^Д/. j
Чтобы удовлетворить условию р = 0 на свободной границе, давление в незаполненной ячейке находится линейной интерполяцией ) (или экстраполяцией), как показано на рис. 1.2, а. Отсюда следует, что т
= /E-i-0,5]
Pk-l Рк ^_1+0;5‘
Для оценки качества предложенного алгоритма описанным подходом и методом Рихтмайера была решена следующая краевая задача *)• Рассматривался удар двух медных пластин со скоростью о0=0,1 см/мкс ; (ударник имел толщину в два раза меньшую, чем преграда) [9]. |
*) Метод Рихтмайера [24] использует переменные Лагранжа и позволяет легко следить за подвижными границами.
34 ;
Для момента времени /=10 мкс после удара в бойке ударная волна уже вышла на свободную поверхность и отразилась от нее в виде волны разгрузки. В преграде к этому времени ударная волна только подошла к свободной границе (рис. 1.2, б). Свободная граница бойка сместилась на 0,646 см, свободная же поверхность преграды осталась неподвижной (за волной разгрузки скорость и давление имеют отклонения от нуля в третьем знаке).
в)
Рис. 1.2. К расчету задачи о высокоскоростном ударе бойка о неподвижную преграду: а) определение давления в незаполненной ячейке; б) поведение ударных волн при /=10 мкс (------ метод крупных частиц; ------— метод Рихтмайера [24]); в) поло-
жение контактной границы.
Сравнение результатов, полученных методом крупных частиц н методом Рихтмайера, дает хорошее совпадение профилей искомых величин. Также практически совпадают и положения свободных границ. Значения величин за ударными волнами, полученные методом крупных частиц (для давления 0,201 Мбар и скорости 0,05 см/мкс), с точностью до третьего десятичного знака совпадают с данными, полученными по адиабатам Гюгонио. На протяжении всего времени расчета проводился контроль выполнения законов сохранения массы и энергии. Погрешность их выполнения составляла менее 1%.
б) Рассмотрим теперь контактную границу, возникающую из-за того, что в реальных задачах боек и преграда могут состоять из разных материалов. В численных расчетах с использованием эйлеровых переменных возникает необходимость наблюдения за контактной границей и удовлетворения на ней граничных условий. Поэтому здесь приходится разрабатывать специальные алгоритмы для определения в процессе счета контактной границы. Ранее предлагался алго-ригм, в котором методом крупных частиц контактная граница выделялась заранее [25J.
Математическая постановка задачи в этом случае аналогична рас-отренной в п. а). Боек и преграда полубесконечны и состоят из Разных материалов. Контактная граница есть линия, через которую пер ПеРетока массы, поэтому удобно рассматривать ее в лагранжевых
35
На рис. 1.2, в показано положение контакта в произвольный момент времени. В начальный момент все ячейки имеют размер Ах, а ячейка К+1 имеет размер 2Ах. Граница между ячейками К и К+1 совпадает с контактной границей. В зоне контакта вводится местная лагранжева сетка. При движении контакта ячейка К начинает удлиняться, а ячейка К+1 — укорачиваться, причем контакт все время совпадает с границей этих ячеек. Такое движение продолжается до тех пор, пока ячейка К не достигнет размеров 2Ах, а ячейка К+1 — размеров Ах. После этого происходит переключение: ячейка К становится равной Ах, и ячейка К+1 тоже равна Ах, а ячейка К+2 равна 2Ах. Далее ячейка К+1 удлиняется, а К+2 укорачивается и т. д. При этом условие Куранта не нарушается и шаг по времени сохраняется постоянным. Скорость движения контакта определяется так:
„л _ Vk (2Ах—ftn) + cfe+i (Ах—hn) кон — ЗАх
Таким образом, во все формулы разностной схемы вносятся изменения, связанные с изменениями размеров ячеек в зоне^кон-такта.
На эйлеровом этапе имеем
„п „п „п _____пп
+ Pfe+»/2 Pk-l/2 ~п п Pk+3/2 Pfe+1/2
vk~uk Дх4-Л« ’ vk+i — Vk+1
„п пгг ~n
__ Pk+ijZ fe+1/2 1/2 fe—1/2 /1
k (Ax4-ftn)pfe
_n 7,n 7.n
pn ___ pn Pk+3/2Vk+3/2 Kfe+i/2Ufe+i/2
fe+1— &+1 (2Ax—Л«)р"
Потоки массы через границы ячеек, определяемые на лагранжевом этапе, примут вид
АЛ Vfe-i+Vfe + O, 19
ц£_1/2р£А/, vLi+Vfe<0;
vk+ s/aPfe+i AZ, yfe+i+ ^fe+2 + 0, /j giy
%+3/2Pfe+2 AZ, ffe+l+ffe+2 <0.
AM£+*/2=|
AO{
На заключительном этапе имеем
ХГ
wi_ р^Лх+ЛЧ + АЛ^ _ р£_, (2Ах-Л«)-АЛ^++‘/2
“ Ах+Лп + 1 ’ Р&+1~ 2Ах+Лп+1
р^Ах + ^^+А^^А,
рГ1(Ах+Л«+1)
PL, (2Ах-й») Xnk+, - AMg^/2Xg+, х = х(у E}
(1.Ю)
Pfe-i-i* (2Ах—Лп+1)
36
5 Развитие метода крупных частиц для расчета течений излучаю-’ газа [10, 23, 26—28]. Исследование обтекания затупленных тел потоком диссоциированного, ионизированного и излучающего газа является актуальной задачей современной газовой динамики. Для ее ре шения был предложен ряд методов, в которых учет излучения проводился в различных приближениях: объемного высвечивания, плоского слоя, в Pi приближении метода сферических гармоник и др.
Опишем разностную схему метода крупных частиц для расчета течений излучающего газа, позволяющую проводить расчеты обтекания тел сложной формы (в том числе с изломом образующей) без выделения особенностей (поверхностей разрыва типа ударных волн, контактных поверхностей).
При рассмотрении течений с излучением в приложении к задачам сверхзвукового обтекания затупленных тел можно пренебречь радиационным давлением и рассеянием лучистой энергии. Тогда исходная система уравнений записывается следующим образом (для краткости рассмотрим одномерный случай):
Р/ + (Р«)х = °> (р«)* + (р+ри2)х = 0>
(p£)t+[(p + pE)«]x + Q=O, (1.11)
р = р'(р, J), Т = Т(р,3), 3 = Е—1/2и2.
Для замыкания системы (1.11) к ней следует добавить уравнение переноса лучистой энергии, решая которое можно найти Q. Для построения разностной схемы метода крупных частиц с учетом излучения воспользуемся расщеплением (1.11) на две вспомогательные системы:
pt = 0, put + px = 0, pEt + (pu)x + 8Q=Q-, (1.12)
pt+(p«)x = O, (pM)t+(pM2)x = 0, (p£)t+(p«£)x + (l-6)Q=0, (1.13) где 0<6< 1 — параметр расщепления: при 6=0 учет излучения проводится на заключительном этапе, а при 6=1 — на эйлеровом.
„Для аппроксимации (1-. 12) и (1.13) воспользуемся разностной схемой метода крупных частиц с выражением для \Мп первого порядка точности.
На эйлеровом гтапе разностные уравнения записываются в виде
- П П A J.
‘ 2Дх р"’ (1.14)
Et := рп (Pf+1 + р”) (и?+14~Кг) (р”+/Н-1) (Ц7+К?-1) _ S Г) П
1 2Ах 2р1
а иа заключительном этапе—в виде
(Р?+1Ф7+1-р?ф7) Ах =
= <ф>"_1/2ДМГ_,/2— <ф>"+1/2 АЖ1/2, <Р = {1, «Ь „ И“£Г-_р?£;)Дх_ (115»
= <Ж- 1/2 АЖ,/2-<£>?+,/2АЖ 1 /2 + (1 -6) Q? А/,
37
где величины ДЛИ определяются на лагранжевом этапе:
Д<-,/2 = | (й?_х + «?)Д/,
<ф>"_1/2 = ф"_,, если ДЛС^/а^О,
<ф>"-1 /s = ip", если Д<_>/2<0, 1р = {ф, £}.
Подобным образом конструируется разностная схема метода крупных частиц и для осесимметричных течений. При расчете обтекания плоских и осесимметричных тел с криволинейной образующей в исходной прямоугольной системе координат использовалась методика дробных ячеек [7]. При этом граница тела моделировалась с помощью разностных граничных условий, а затем производился сквозной счет по единым формулам для целых ячеек [10]. Излучение учитывалось в двух приближениях: объемного высвечивания и плоского слоя (в зависимости от характера задачи) [9, 10, 23, 26—28].
Для случая объемного высвечивания Q =—4n^k^Bv при
V
7^4000 К, Q=0 при Т < 4000 К. При расчетах в приближении плоского слоя границей ударного слоя считалась та точка (наиболее удаленная от тела), где Т 4000 К.
При проведении расчетов были использованы коэффициенты поглощения воздуха k'v из [29]. Диапазон частот, соответствующий волновым числам п от 1,25х103см-1 до 151,25х Ю’см-1, разбивался на 20 интервалов с Дп = 7,5хЮ3 см-1. Составлялась таблица коэффициентов k'v в диапазоне изменения температуры Т — 6000 ч-Ч- 14000 К с узлами через 2000 К и давления р = 0,14-10 атм с узлами через порядок. При определении промежуточных значений fey, необходимых в процессе счета, рассматривались интерполяционные формулы вида
W~p,T, (1.16)
igfe;~igp,igT. (1.16')
Термодинамические свойства равновесного воздуха определялись с помощью явных аппроксимаций р=р (р, S), Т=Т(р, 3). Примеры расчетов течений с излучением будут приведены ниже.
Численная схема для расчета задач физики плазмы приводится в §7.
§ 3. Исследование разностных схем метода крупных частиц с помощью дифференциальных приближений
1. Детальное исследование полученных разностных схем метода крупных частиц (вопросы аппроксимации, устойчивости, образования механизма диссипации) содержится в работах [4—6, 10, 23, 30, 35, 89—931.
Известно, что при изучении течений идеального газа с разрывами приходится вводить понятие обобщенного решения. Последнее исходит из единообразного описания гидродинамического течения, при этом
38
ветствующие разностные схемы называются однородными. Возмож-С0° два способа такого единообразного описания течений — использо-НЫ ие интегральных законов сохранения и рассмотрение уравнений ва„Овой динамики с диссипативными членами.
Обобщенное решение, определяемое интегральными законами сох-панения в эйлеровых или лагранжевых координатах, является единообразным, поскольку уравнения газовой динамики и условия совместности на разрывах являются следствием законов сохранения. Во вто-
ом подходе рассматриваются уравнения с диссипативными членами, что и приводит к сглаживанию разрывов в процессе счета. За обобщенное решение здесь принимается предел решения полученных таким образом параболических уравнений, когда коэффициент при вязких членах устремляется к нулю [31, 32]. Таким образом, исходя из структуры построения самого метода, можно сказать, что обобщенное решение отвечает предельному режиму течений, когда вязкость v О или число Рейнольдса Re-> оо.
Из сказанного следует, что в рассматриваемом подходе применя-
ются однородные разностные схемы, построенные по второму способу, позволяющие в рамках идеального газа проводить по единым алгоритмам сквозной счет как в областях гладких течений, так и на разрывах. При этом аппроксимирующие (1.1) разностные уравнения должны обладать определенными свойствами, чтобы допускать решения, аналогичные скачку уплотнения. Достигается это путем использования соответствующих диссипативных конечно-разностных однородных схем и аппроксимацией дифференциальных уравнений (1.1), записанных в дивергентной форме.
В качестве исходных уравнений были рассмотрены уравнения газовой динамики для невязкого газа (1.1), однако нашей разностной схеме присущи вязкостные эффекты, которые и обеспечивают единообразие расчетных формул как в области гладких решений, так и на разрывах. Вязкостные эффекты могут быть обусловлены, во-первых, введением в схему явного члена с искусственной вязкостью (вязкостного давления) q и, во-вторых, наличием аппроксимационной вязкости, зависящей от внутренней структуры конечно-разностных уравнений.
Приведенные выше разностные схемы являются многослойными, а разностные уравнения — существенно нелинейными, с переменными коэффициентами. Это делает практически невозможным использование метода Фурье для анализа устойчивости всей схемы в целом, основанного, как известно, на исследовании линейных уравнений с постоянными коэффициентами без учета градиентов.
Исследование вопросов аппроксимации, образования механизма Диссипации (для возможности проведения сквозного счета) и устойчивости нелинейных разностных схем с переменными коэффициен-g|MHQ проводится здесь с помощью разработанной в [4—6, 30, ~~У0] методики последовательного рассмотрения так называемых Дифференциальных приближений. Дифференциальные приближения в°лУчаются из разложения всех членов разностных уравнений Ряды Тейлора по сеточным параметрам Ах, А/, ..., например:
39
и^} = и(х, у, /Н-Л/), м"+1, ; = «(% +Ах, у, t). Члены нулевого (низшего) порядка представляют при этом исходные дифференциальные уравнения, учет в разложении членов более высокого, (£-|-1)-го порядка (k = 0, 1, ...) позволяет определить дополнительные (к уравнениям) члены разложения, а, следовательно, и структуру дифференциального приближения k-ro порядка (fe-ro дифференциального приближения). Вид дифференциальных приближений зависит, естественно, от структуры аппроксимации.
Для одномерных квазилинейных уравнений гиперболического типа исследования разностных схем с помощью первого дифференциального приближения были проведены в работах [33, 34]. Для нелинейных уравнений строгого математического обоснования пока нет, но, как показано в [3], такой подход можно использовать и для них. Применимость метода дифференциального приближения для исследования газодинамических разностных схем показана в [6, 10, 35, 88—92]. Рассматривая последовательно нулевое, первое и второе дифференциальные приближения, можно изучить основные свойства разностных схем, полученных в методе крупных частиц [4—6, 10, 30].
Основной смысл введения дифференциальных приближений заключается в том, что их рассмотрение позволяет весьма наглядно проводить исследование основных свойств разностных схем. При этом можно показать на модельных примерах, что дифференциальное приближение сглаживает начальные данные и разрывы примерно так же, как и соответствующая разностная схема [32, 35 J, а оператор решения разностного уравнения асимптотически совпадает с оператором решения соответствующего дифференциального приближения [31].
Исследуя порядок остаточных членов нулевого приближения, можно показать [30], что во всей области течения — как во внутренних точках, так и на границе с твердым телом — будем иметь для приведенных выше схем первый порядок аппроксимации по времени и первый или второй по пространственным переменным (в зависимости от вида формул для вычисления АЛ4"). Надо иметь в виду, что эти оценки носят асимптотический характер в предположении достаточно гладких решений и малых шагов сетки, так что для нелинейных уравнений и реальных сеток (особенно при наличии сильных разрывов и больших деформаций среды) использование схем формально более высокого порядка кажется нецелесообразным.
2. Вязкостные эффекты схемы. Выписав первое дифференциальное приближение схемы, можно определить характер вязкостных эффектов рассматриваемой схемы [30, 88, 89, 93]. Так, например, при использовании формул второго порядка точности (1.4) первое дифференциальное приближение имеет следующий вид в одномерном случае [4, 6]:
^ + ^ = ° + О(А/, Ах2),
= И)+0(^ М. 0-17)
- ^+в4[«(₽+р£)]=-^-+э4(ре|)+ОЩ,Дх-),
40
при использовании формул первого порядка точности (1.5) будем иметь [6]
Ф + = Дх2),
dt'dx дх\ дх) ' v ’
|.+^£+й2 = _*+^(в*)+0(А(,Ах-), (1.18)
*г+4[и(р + рЕ)] = -* + е^ + |^ + О(А(, Ах-),
dt е = |«|Дх/2.
Аналогичным образом выписывается дифференциальное приближение и для двумерных задач.
Слева в (1.17) и (1.18) получены точные выражения исходных дифференциальных уравнений, а справа выписаны члены, которые являются следствием дискретизации вычислительного процесса (замены дифференциального оператора разностным), что и порождает вязкостные эффекты в разностных уравнениях, т. е. разностная схема является диссипативной. Следует отметить, что порядок уравнений дифференциальных приближений (описывающих движение) выше, чем в исходной системе. Члены с q возникают из-за явного введения в систему искусственной вязкости, а члены с е (схемная, или аппроксимационная вязкость) определяются внутренней структурой приближения и возникают в результате аппроксимации точных дифференциальных уравнений конечно-разностными *). Таким образом, дифференциальные приближения (1.17) и (1.18) имеют различную структуру членов с аппроксимационной вязкостью, что и предопределяет в этих двух случаях разные механизмы диссипации.
При наличии разрывов построение разностных схем с диссипацией желательно, вообще говоря, проводить без введения явных членов с искусственной вязкостью q. Дело в том, что для q=£0 искомое «обобщенное» решение должно получаться здесь асимптотически при q -> 0. Однако такой предельный переход при расчетах сложных задач провести практически оказывается невозможно, так как заметное уменьшение величины q приводит обычно к потере вычислительной устойчивости, а точную оценку границ изменения параметров искусственной вязкости получить бывает очень трудно. Кроме того, в этом случае значительно затрудняется построение алгоритма расчета для течений с двумя или тремя пространственными переменными и особенно для тел с криволинейной образующей, так как способы введения искусственной вязкости в целых и дробных ячейках различны [6, 71. Таким образом, схемы, обладающие лишь внутренней диссипацией (схемной вязкостью е) и позволяющие проводить устойчивый счет без введения явных членов с искусственной вязкостью, являются, на наш взгляд, более ест^ственными и перспективными при построении «обобщенных» решении многомерных задач газовой динамики.
Легко видеть, что при измельчении сетки (Л/, Дх 0) значения пРП ) Более строгое математическое определение аппроксимационной вязкости содержится, например, в [31].
41
8 —>• О и уравнения дифференциального приближения переходят в точную систему исходных уравнений. При конкретных вычислениях (из-за конечности Л/, Дх, ...) в разностной схеме даже при q=Q неявным образом всегда присутствуют члены, которые содержат 8 и, в свою очередь, аналогичны диссипативным членам уравнений Навье — Стокса. При этом роль коэффициента реальной вязкости vM0JI играет коэффициент схемной вязкости 8, зависящий от локальной скорости потока и размера разностной сетки.
Подчеркнем еще раз, что для однородных схем сквозного счета наличие аппроксимационной вязкости в разностных уравнениях обязательно, так как именно ее присутствие обеспечивает единообразие расчетных формул и устойчивость вычислений как в областях гладких решений, так и в зонах разрывов.
В двумерном случае при использовании (1.4) из уравнений импульса следует, что схемная вязкость (при </=()) имеет вид матрицы [4, 6J:
. 1
— 2 Р’
Отсюда видно, между прочим, что схемная вязкость благодаря присутствию векторов Дг, V не обладает инвариантностью относительно преобразований Галилея, причем практически проявляется она лишь в зонах больших градиентов: на ударной волне, которая «размазывается» на несколько счетных ячеек; у поверхности тела, где образуется достаточно широкий пограничный слой, и т. д. При этом коэффициент схемной вязкости (а следовательно, и ширина получаемой размазанной ударной волны) зависит от величины локальной скорости потока и размера ячеек. В областях же гладкого течения, где градиенты параметров потока сравнительно малы, влияние схемной вязкости незначительно.
Задача указанного механизма диссипации — сгладить, размазать сильные разрывы, мелкомасштабные пульсации, что и позволяет проводить сквозной счет в рамках идеального газа по единым численным алгоритмам. При корректном построении алгоритма диссипативные схемы должны обеспечивать, как уже отмечалось, решение, аналогичное по своей структуре скачку уплотнения. На границах «размыва» должны выполняться с определенной точностью соответствующие условия разрыва (например, условия Гюгонио для ударных волн), причем с увеличением интенсивности разрыва «толщина» скачка должна уменьшаться, а при 8-> 0 зона размыва должна асимптотически переходить в поверхность разрыва. Указанным свойством обладают гиперболические схемы первого порядка точности, когда 8~Дх. Если бы удалось построить для расчета сложных течений газа конечно-разностную схему с аппроксимационной вязкостью, пропорциональной величине (Дх)2, то скачки в расчетах получались бы более тонкими. Однако, как правило, гиперболические схемы второго порядка точности являются не диссипативными, а дисперсионными (когда различные фурье-
42
ненты точного решения разностного уравнения распространяют-К°МПпазличными скоростями, но без изменения амплитуды). По этой СЯ ° ине они оказались менее пригодными для практических расчетов, например, при исследовании трансзвуковых течений со скачками уплотнения 122, 36].
Итак, дифференциальное приближение первого порядка позволяет оценить диссипативные эффекты схемы.
3. Оценки устойчивости разностных схем. Из рассмотрения первого и второго дифференциальных приближений следует, что необходимое условие вычислительной устойчивости полной схемы (условие а-пара-боличности) можно получить, оценивая знак коэффициента диффузии
а. у диссипативных членов, содержащих частные производные второго порядка по пространственным переменным [3—6, 30, 89, 93]. Можно показать, что при отрицательном значении а; уравнение дифференциального приближения допускает экспоненциально возрастающее по времени (неустойчивое) решение, причем в линейном случае результаты анализа устойчивости с помощью дифференциального приближения и метода Фурье полностью совпадают [3, 4, 33—35]. Таким об-
разом, требование а;>0, как необходимое условие вычислительной устойчивости, является определяющим при построении соответствую-
щих диссипативно-устойчивых нелинейных схем.
Рассмотрим, какой вклад в неустойчивость дают разные формы записи уравнения неразрывности (второй этап вычислений), считая, что уравнения импульса и энергии устойчивы.
Если AM" определяется по формулам второго порядка точности (1.4), то, разлагая приведенные разностные схемы в ряд Тейлора и удерживая члены, содержащие дгр/дх2, получим в одномерном случае [4, 6]
ар дри_ д 2 азр
dt' дх ~ 1 2 дх2'
(1-19)
В случае вычисления АМп по формулам первого порядка точности (1.5) имеем [6]
^ + ^ = Д* + ^|Ы|_^(Ы2+С2)_^ Д, (1.20)
dt дх 1 1 ( 2 1 1 2 х * 7 4 дх J дх2 ’ х ’
где Дп Д*—члены первого дифференциального приближения, пропорциональные Дх и содержащие первые производные. В практических расчетах
Дх»0,071, Д/^0,0071, р_0О=1, «_„=1. (1.21)
Опыт расчетов широкого класса течений со скачками уплотнения, волнами разрежения и контактными разрывами показал, что
р|«|«1, ^Ах<0,3, |Дх<2. (1.22)
Отсюда следует, что в (1.20) коэффициент при дгр!дхг положителен, а в (1.19) — отрицателен, т. е. схема (1.19) второго порядка точности
43
для ДЛ4Л допускает быстрорастущие решения и является неустойчивой при счете, в то время как схема первого порядка (1.20) устойчива. Это иллюстрирует также рис. 1.3, где показаны профили плотности на линиях r=const перед (цилиндрическим торцом для этих двух случаев (сплошные линии — формулы (1.4), (1.19), штриховые — (1.5), (1.20)). Видно, например, что схема (1.20) допускает устойчивый счет, в то время как для (1.19) сразу за ударной волной возникает существенная неустойчивость. В последнем случае устойчивость вычислений достигается введением в схему явного члена вязкостного давления q.
Рис 1.3. Профили плотности вдоль сечений г=const перед цилиндрическим торцом (------схема второго порядка точности (1.4);----------схема первого порядка точ-
ности (1.5)).
Можно показать также, что использование для вычисления’ДЛ4" формул первого порядка точности (1.5) делает всю нашу разностную схему устойчивой даже без введения явного члена с q [30]. Действительно, проводя разложение разностных уравнений на всех трех этапах в ряды Тейлора с точностью до членов первого порядка по времени и второго — по пространству, получим в одномерном случае [301
4-= Д; 4-J | и (—(Ы2 4-с*) — I + О (А (, Дх2), di ' дх 1 ’ ( 2 1 1 2х 1 1 4 дх) дх2 * ' '
дри д(р + ри*) (Дх , , М . 3 |„|дрл„2_
--------= Д2 + ?р р|«|+уР« ——
—|р^Ах^}£ + О(Д(, Дх2), (1.23) дг+^[« (р+р«2)]=
л* । [Дх । । Дх2, I др Дх2 ди) д-Е . /-,/д, д
= А’ + р-Р|"|—г1и|&4~РЙ^+ ( ’ )’
причем во всех случаях имеют место оценки (1.21), (1.22). Поэтому из-за наличия членов Дх \и | /2, Дхр | и |/2 коэффициенты при вторых производных будут положительны, что и определяет устойчивость
44
/j 23). Мы получили этот результат для всей схемы в целом, сра-с лля всех трех ее этапов. Аналогичные оценки имеют место и для величин в направлении оси у. \
Таким образом, из рассмотрения дифференциального приближения первого и второго порядка можно судить об устойчивости вычислений.
Заметим, что в излагаемом методе' разностные уравнения на эйлеровом этапе являются неустойчивыми. Проводя анализ, напри-мер по методу Фурье в приближении замороженных коэффициентов' легко показать, что введение вязкостного давления q = =___Всркх^ (здесь В—эмпирическая константа, с—скорость звука)
делает и эйлеров этап устойчивым (Reto^O). Тем не менее из-за простоты логики и удобства счета можно использовать при (1.5) заведомо неустойчивую на эйлеровом этапе схему с q = 0. На конечный результат это практически не влияет, так как важна устойчивость разностной схемы на всех трех этапах в целом.
Рис. 1.4. Характер установления плотности в точке торможения (—• — •—•— схема пеРвог° порядка точности (1.5) с <?у=0; --; схема первого порядка точности (1.5)
с 4—0; .... схема второго порядка точности (1.4) с д#=0;---------схема второго
порядка точности (1.4) с <?=0).
Все сказанное иллюстрирует рис. 1.4, на котором приведен характер установления по времени плотности. р0 в точке торможения при числе Маха М^—2. Штрих-пунктирная и сплошная линии соответствуют использованию для вычисления AM" формул первого порядка точности (1.5) соответственно с q и без д; пунктирная и штриховая — Формул второго порядка точности (1.4), также с q и без q. Мы видим,
45
что в случае А7И", вычисленного по ^(1.4), прогрессирует неустойчивость, которую можно устранить лишь введением q. Вычисление же А7И" по (1.5) делает счет устойчивым в любом случае (введение q лишь незначительно ускоряет сходимость). При использовании (1.5) установление по всем параметрам практически достигалось с точностью до 0,0001% (см. [41).
Следует отметить также периодический характер неустойчивости, присущий данной разностной схеме при использовании формул второго порядка точности (1.4). По мере приближения к искомому (устойчивому) решению градиенты параметров потока в областях гладкого течения становятся малы. Вместе с ними становятся малыми вязкостное давление и вязкостные члены первого дифференциального приближения, в результате чего в этих областях вновь начинает прогрессировать неустойчивость. Когда она разовьется настолько, что градиенты станут велики, вязкостные члены опять начнут ее демпфировать, и так далее, т. е. возникают автоколебания. Такая периодическая структура неустойчивости для схемы второго порядка точности отчетливо видна на рис. 1.4.
Таким образом, последовательное рассмотрение нулевого, первого и второго дифференциальных приближений позволило исследовать вопросы аппроксимации, образования вязкостных эффектов и устойчивости численных схем метода крупных частиц [10, 30, 88—93J.
4. Итак, была поставлена задача получить схему сквозного счета, позволяющую в рамках идеального газа проводить непрерывным образом расчет поверхностей сильного разрыва. Здесь мы пришли к тому, что выполнение в конечно-разностных схемах необходимых условий устойчивости для широкого класса газодинамических задач обеспечивается (при использовании формул (1.5)), как правило, лишь схемной вязкостью е (диссипативно-устойчивые схемы). При этом схема имеет решение, соответствующее «размазанному» скачку уплотнения; это достигается наличием соответствующего механизма диссипации в разностных уравнениях и аппроксимацией исходной системы уравнений, записанной в дивергентном виде (дивергентно-консервативные схемы). Оказалось важным также — это следует из структуры дифференциальных приближений — использование уравнения для полной (а не внутренней) энергии Е. Как показали многочисленные расчеты двумерных (по пространству) газодинамических задач, эти схемы обеспечивают устойчивый сквозной счет с постоянными сеточными параметрами практически во всей области интегрирования (при этом, например, ударная волна размазывается на 2—3 счетные ячейки).
В работах [4—6, 10, 22] проводились аналитические и численные оценки и обоснования постановки краевых условий задачи, а также осуществлялся контроль процесса вычислений и полученных данных («склейка» с асимптотикой, расчет на разных сетках аппроксимации, «продолжение» полей течений; сравнение с расчетами по другим методикам, экспериментом и т. п.). Некоторые результаты этих методических исследований будут приведены ниже.
Из самого характера построения расчетной схемы следует, что, пс существу, решается полная система нестационарных уравнений га-
46
ой динамики, причем каждый вычислительный цикл представляет 3°бой законченный процесс расчета данного временного интервала. Пои этом удовлетворяются все исходные нестационарные уравнения, оаничные условия задачи и определяется действительное течение жидкости в соответствующий момент времени. Таким образом, метод крупных частиц позволяет получать характеристики нестационарных течений газа, а также их стационарные значения в процессе установления. Использование такого подхода кажется особенно целесообразным в задачах, когда имеет место разнохарактерное развитие по времени физического явления. Например, при изучении трансзвуковых потоков газа, расчете обтекания конечных тел, где при довольно быстром установлении большей части поля структура течения в местных сверхзвуковых зонах, областях срыва формируется сравнительно медленно.
В отличие от методик [1, 2, 12, 371 (MAC, FLIC и др.), метод крупных
частиц широко используется для систематических расчетов задач обтекания тел сжимаемым газом в широком диапазоне изменения начальных данных (по единому алгоритму рассчитываются, как уже отмечалось, до-, транс- и сверхзвуковые задачи, области срыва, местные сверхзвуковые зоны и т. п.). В этом методе рассматриваются дивергентные формы исходных уравнений, используется уравнение для полной энергии Е, по-новому трактуются этапы вычислительного цикла, граничные условия задачи и т. д. Так, например, для определения AM” применяются разностные представления различных порядков точности (в зависимости от типа течения); на заключительном этапе вводится дополнительный пересчет плотности (что способствует устранению флуктуаций и позволяет получить удовлетворительные результаты при сравнительно небольшом числе узлов расчетной сетки); имеет место строгое выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии [10].
Все это дает возможность получить в методе крупных частиц, в отличие от упомянутых выше подходов, дивергентно-консервативные и диссипативно-устойчивые схемы, позволяющие для большого класса газодинамических задач проводить на электронно-вычислительных машинах средней мощности устойчивый счет без введения явных членов с искусственной вязкостью. Это кажется особенно важным при изучении обтекания тел с криволинейной образующей (способы введения явных членов искусственной вязкости в целых и дробных ячейках различны) и позволяет провести обобщение метода на пространственнотрехмерные задачи [21]. Кроме того, путем изменения лишь второго этапа вычислительного цикла отсюда можно получить консервативный метод частиц в ячейках, так что алгоритм расчета является достаточно общим.
Прежде чем привести результаты численных исследований различных задач газовой динамики, выпишем асимптотику для внешних звуковых течений в плоском и осесимметричном случаях, которая также используется в дальнейшем в качестве одного из контрольных тестов Для оценки надежности полученных результатов на трансзвуковых Режимах [6].
47
§ 4. Асимптотика звуковых течений. Сравнение
с численными результатами /
1 . Асимптотика типа Овсянникова — Франкля для плоских потоков в случае обтекания клиновидного профиля. Аналитические выражения в этом случае можно получить лишь для одного (звукового) режима из трансзвукового Интервала скоростей. Все нижеприведенные рассуждения относятся к областям, достаточно удаленным от тела, поэтому перейдем к уравнению для потенциала скорости <р. С. А. Чаплыгин показал [38J, что потенциал скорости <р и функция тока ф на плоскости годографа удовлетворяют системе линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Такое же утверждение справедливо и для плоскости канонических переменных 6, т] [391:
Фч = 'П5(11)^9. <₽9 = — в(т))Фп, (1-24)
где В (ц)— некоторая функция, удовлетворяющая следующим требованиям: В (т)) > 0, В(г])—>-0 при т]—>оо, В (ц) голоморфна в окрестности г] = 0. Исключая из (1.24) потенциал скорости <р, придем к уравнению Чаплыгина—Франкля для одной функции тока ф:
Wo + Фпч + (Л) Фч = °- С-25)
В первом приближении В (rj) = В (0) = Во. Тогда (1.24) примет вид
Фп = Вот1ф0, Ф9 =—Вофп, (1.24')
а уравнение (1.25) перейдет в уравнение Дарбу—Трикоми:
т)Феэ+Фчп = °- (1-25')
Определяя главный член решения по Франклю [40] и опуская промежуточные выкладки [39], получим законы убывания скорости возмущения V—с.
Вдоль оси симметрии (0 = 0) и—с = |х|~1/2-О(1), и вдоль звуковой линии (т] = 0) и—с = \х |-3/4-О (1), v—с = | у 3/5 • О (1); асимптотическое поведение звуковой линии вдали от профиля имеет вид
| z/| = | х |3/4-0 (1).
Аналогично ведет себя и предельная характеристика S.
На рис. 1.5, 1.6 результаты асимптотических оценок (штриховые линии) сравниваются для клиновидного профиля с расчетами при М0О=1 методом крупных частиц (сплошные линии). На рис. 1.5 приводятся формы звуковой линии С и предельной характеристики 3?, а на рис. 1.6 показаны закономерности убывания компонент скоростей: а) вдоль оси симметрии; б), в) вдоль звуковой линии. Отсюда следует, что уже на расстояниях 2—3 радиусов от тела имеет место весьма удовлетворительное согласие асимптотики с расчетными данными.
48
2 Асимптотика типа Гудерлея — Фальковича для звукового обтекания полубесконечного цилиндрического торца в осесимметричном случае. Имеем \
(c2_u*}^—2uv^ + (ca\-va)^ + — ^-0
(с и ) дг2 zuv дг дг -t- (с -vo ) dfi + - и,
1 1 \ я я О-26)
l(u2-f-u2)+/i = y^ + /i*. « = -^, и=а7>
где __ удельная энтальпия, звездочка обозначает критическое состояние.
Для уравнения (1.26) ставится задача Коши с данными на оси симметрии. Решение ищется в виде ряда
<₽ = c*[z + Sr%.Q)]> (1.27)
* (2/пф)1/3г« ’ 2$3c2\dV2Js' 3 ’ (
Главный член асимптотического решения /Мо(£) (нулевое приближение), впервые полученный в [41, 42], находится путем подстановки (1.27) в (1.26) и пренебрежением всеми членами с /м.(£), где г>1.В результате получается нелинейное дифференциальное уравнение для /Мо©:
( + п (5«—4) £ X
\ d% ) d^2
Х^-(Зп-2)2/Ио = 0. (1.29)
Из асимптотического разложения в (1.29) члена fMo(g) при £-> + оо
вли’ 1’5' Поведение звуковой линии С ом обтекании клина (-_____
Характе₽ убывания
' доль оси еимиртгшш М м
И
л’----1-------1------1----1------
2 3 if 5 в и
6)
предельной характеристики X при звуко-— асимптотика;-------расчет методом крупных частиц).
I компонент скорости при звуковом обтекании клина: оси симметрии; б), в) вдоль звуковой линии (—--------асимптотика;----------
расчет методом крупных частиц).
49
получим соо = (2&—1)/(2—k), п=1/(2—k), где значение k зависит от формы образующей тела.
Подробно асимптотические выражения приводятся в [6]. Здесь следует лишь отметить, что для корректного решения нашей задачи надо учитывать и второй член разложения более высокого (второго) порядка малости /м, (g), который подправляет решение для нулевого приближения. Следует отметить, что функция/М1 (£) не удовлетворяет условиям аналитичности на предельной характеристике, поэтому берется /И1(^)т^0 лишь в области, расположенной вниз по течению от фронта ударной волны. Рассматривая область течения вверх по потоку, мы можем сравнение численных результатов проводить по нулевому приближению /ш„(£), где <в0 = —2/7, п = 4/1.
В трансзвуковом потоке можно выделить несколько особых линий: 1—звуковая линия, 2—предельная характеристика, 3 — линия горизонтальности вектора скорости, 4—ударная волна [41] (рис. 1.7). Вдоль каждой из этих линий £ постоянна, поэтому согласно (1.28) все они имеют вид z = const г4/7.
Рис. 1.7. Поведение звуковой линии (/), предельной’характеристики (2), линии горизонтальности вектора скорости (3) и ударной волны (4) при трансзвуковом обтекании осесимметричного торца (—--------асимптотика;--------расчет методом круп-
ных частиц).
Рис. 1.8. Характер убывания компонент скорости вдоль звуковой линии при трансзвуковом обтекании осесимметричного торца (-------— асимптотика; --------расчет
методом крупных частиц).
На рис. 1.7 для случая обтекания осесимметричного торца асимптотическая форма этих особых линий (штриховые линии) сравнивается с результатами численных расчетов при Моо = 1 (сплошные линии), а на рис. 1.8 приводятся профили изменяющихся величин—компонент скорости потока вдоль звуковой линии (асимптотика здесь такова: vc = dq/dr = cr-^7, uc«l, так как в безразмерном виде и?-(-ц]=1, vc мало). Видно, что хорошее совпадение наблюдается, как и в плоском случае, уже на расстояниях трех-четырех радиусов от тела. г
50 к
Результаты сравнений с асимптотикой для плоского и осесимметричного случаев говорят о надежности полученных численных результатов ио правильной трактовке граничных условий. у' Далее будут приведены результаты методических расчетов, а также численных исследований различных задач газовой динамики.
§ 5. Методические расчеты. Результаты численных исследований задач газовой динамики
1. Общие положения. Вычисления в большинстве случаев проводились на машине БЭСМ-6, при этом область интегрирования разбивалась на 40 по вертикали и от 20 до 60 по горизонтали расчетных ячеек. В основной части расчетов использовалась схема, где для вычисления ДЛ4" применялись формулы первого порядка точности (1.5). Машинное-время расчета варианта не превышало, как правило, одного часа.
Систематический счет проводился по единому вычислительному алгоритму для большой группы плоских (v=0) и осесимметричных (v=l) тел (клинья, конусы, профили, тела с изломом, с криволинейной образующей) в широком диапазоне изменения начальных условий, (включая закритические режимы, переход через скорость звука). Далее рассматривается совершенный газ (показатель адиабаты %=1,4).
Методом крупных частиц проводились исследования трансзвуковых' течений газа (местных сверхзвуковых зон, околозвуковых режимов), а также рассматривались задачи обтекания со вдувом струи: в основной поток, внутренние течения со сложной конфигурацией ударных волн, дифракционные задачи, срывные турбулентные зоны.
Приведенные ниже результаты ни в коем случае не претендуют на' полноту изложения, а являются скорее иллюстрацией возможностей метода. Основное внимание здесь уделяется вопросам обоснования полученных данных, нежели их газодинамическому анализу. Более полная информация содержится в работеДЮ].
2. Методический счет. Он проводился на примере расчета внешнего-обтекания полубесконечного осесимметричного торца [6] — задачи достаточно сложной с точки зрения построения расчетного алгоритма (бесконечный радиус затупления носовой части, наличие точки излома контура, образование ударных волн у тела и в поле течения). Особый интерес вызывает расчет обтекания этого тела на трансзвуковых: режимах и при малых сверхзвуковых скоростях, когда область возмущения за отошедшей ударной волной становится значительной по своим размерам.
На рис. 1.9, а приводится положение головной и внутренней ударных волн и звуковых линий для разных чисел Маха сверхзвукового набегающего потока (l.l^M^U.S). Ударные волны здесь определялись как линии, на которых производная плотности по одному из пространственных направлений имеет максимум. Эти результаты хорошо согласуются с экспериментом (рис. 1.9, б) (М0о=4,1, сплошная дИНд я — расчет методом крупных частиц, штриховая — эксперимент
• А. Губчика), а также с расчетами в плоском случае по схемам Руса-ва. Лакса и Лакса — Вендрофа. Следует заметить, что метод круп-
5k
ных частиц дает меньшее размытие ударной волны и достаточно точно описывает течение в непосредственной окрестности угловой точки [8], Как уже отмечалось, для трансзвуковых задач возникает вопрос о корректной постановке краевых условий на границах области интегрирования (что детально исследовалось в [10,22]). Наибольшую
Рис. 1.9. Сверхзвуковое обтекание осесимметричного торца: а) 1 — Моо=1,1; 2—
М„=1,2; 3 — Моо=1,5; 4 — М„=2,0; 5 — М„=3,0; 6— М„=4,1; 7 — М„=14,5;
сравнение с экспериментом при М„=4,1 (------ расчет методом крупных частиц;
—-------эксперимент А. А. Губчика).
&
погрешность вносит правая открытая граница CD (см. рис. 1.1), поэтому в программе был предусмотрен ряд внутренних контрольных тестов, обеспечивающих надежность получаемых результатов.
Так, например, практиковались расчеты на разных сетках аппроксимации, а также проводилась склейка полей течений: какой-либо
о\________U_________
Z
Рис. 1.10. Склейка полей течений.
Рис. 1.11. Поведение профилей давления в различных сечениях.
внутренний столбец ранее рассчитанного случая использовался в качестве начальных условий для нового поля, и расчеты продолжались вниз по потоку вправо [4]. По согласованию результатов в зоне перекрытия нового и старого полей можно судить о влиянии граничных условий (рис. 1.10).
Далее, при расчете полубесконечного цилиндра (см. рис. 1.9, о) вычисления проводились для разных видов граничных условий на 52
CD и ПРИ Различных его Длинах (тело как бы вдвигалось в область ин-ч----------------------- ------------параметров потока в интере-
/’4 3
тегрирования) до полного установления сующей нас зоне. Как правило, о. небольшие возмущения на правой границе области CD затухают уже яа расстоянии нескольких счетных слоев (2—3 слоя).
При этом для случая обтекания полубесконечного торца усло-
2
1
вия невозмущенного потока выполняются с достаточной точностью на левой (—oonoz) и верхней (+оо пог) границах области интегрирования, /’м а при z +оо (правая граница) в 2 -
в п
в
окрестности тела реализуются условия равномерности потока. На рис. 1.И показано изменение профилей давления по г (поперек области) для равноотстоящих сечений А А, ВВ и СС, полученных при Моо=1 для очень большого поля на сравнительно грубой расчетной сетке (расстояние по оси абсцисс отложено в диаметрах тела). Видно, что др/дг 0 и др/дг -> 0 при z -* +оо (что и обеспечивает параллельность потока поверхности
Л/оо=2
Рис. 1.12. Профили плотности при различных постановках граничных условий на теле.
тела на +оо по z).
Как уже говорилось ранее, для единообразия вычислений вдоль всех границ области интегрирования
вводились слои фиктивных ячеек
171 (см. рис. 1.1). При условии непротекания на поверхности тела в нашей схеме нормальная компонента скорости меняет знак (в терми-нах численной схемы это запишется так: uN+1=uN,vN+1=—vN, где через N обозначена граничная к телу ячейка, а через АА+1 —соответствующая ей фиктивная ячейка внутри тела), а при условии прилипания обе компоненты скорости изменяют знак: uN+l=—uN, vN+1 = ' =Огсюда следует, что на границе этих двух ячеек (на поверхности тела) имеет место разрыв значений скорости. Аппроксимациоп-ная вязкость сглаживает разрывы в граничных условиях, но в обоих СлУчаях реализуется течение со скольжением, что приводит к образованию дефицита скорости у поверхности тела, и значение вихря на поверхности тела QT не равно нулю. Этот факт, ? аРяДу с наличием в разностных уравнениях диссипации, и объясняет, • °'Видимому, причины образования у тела развитого пограничного [ Оя и турбулентного отрыва *). По существу, появление эффектов тре----------------
| ) См. также [44].
53
ния на поверхности тела (а следовательно, и пограничного слоя) свя зано здесь с наличием вязкости е в потоке и существованием градиента скоростей, вызванного неравномерностью поля (дефектом скорости) в окрестности тела.
На рис. 1.12 приведены профили плотности вдоль сечений для условий непротекания (сплошная линия) и прилипания (штриховая линия) [7]. Видно, что даже вблизи тела отличие между этими двумя случаями несущественно, а по мере удаления от тела оно вообще исчезает (хотя дефицит скорости в окрестности тела различен).
Для оценки влияния открытых границ области интегрирования проводились методические расчеты на трансзвуковых режимах. На рис. 1.13 показаны результаты закритического обтекания осесимметричного торца при Моо=0,9 для различных отношений его длины I к радиусу /?. Если поле течения перед телом устанавливается достаточно быстро и в рассматриваемых случаях на расстояниях до ~1,5 7?
М^=0,9
Рис. 1.13. Трансзвуковое закритическое обтекание осесимметричного торца при Мга=0,9: a) l/R=0,56; б) l/R=2,0; в) l/R=2,72; г) UR=7.
слева от среза (z<0) оно практически не меняется, то течение правее угловой точки (z>0) стабилизируется лишь при ///?~2ч-4. При дальнейшем вдвигании торца начинают сказываться краевые условия левой границы.
На рис. 1.13, г приводятся также данные вычисления на больше# расчетной сетке и штрихом отмечена обычно используемая область расчета (60 ячеек по горизонтали и 40 по вертикали), которая здесь,
54
является уже внутренней. Сравнение обоих решений в зоне угловой точки (зона перекрытия расчетных областей) указывает на их хорошее совпадение на всех режимах обтекания [4, 61. В частности, давление торможения в критической точке О (область медленного установления), полученное из вычислений, отличается от точного значения при О.^М^О.Э меньше чем на один процент.
Эти методические расчеты позволили определить оптимальный размер расчетной сетки и число узлов аппроксимации (обычно используется не более 2,5 тыс. расчетных ячеек).
3. Результаты расчетов трансзвуковых режимов [8, 10, 22]. Значительный интерес в настоящее время представляет расчет з а к р и т и-чески х и околозвуковых режимов обтекания при наличии местных сверхзвуковых зон. Обычно такая зона замыкается скачком уплотнения, который, взаимодействуя с пограничным слоем, может вызвать отрыв потока от поверхности тела. Наличие скачка уплотнения и явление отрыва оказывают большое влияние на аэродинамические характеристики профиля. О свойствах этих течений мы располагаем очень небольшой информацией, причем ана
литическое рассмотрение даже локальных характеристик течения здесь весьма затруднительно. Это объясняется сложной структурой течения, механизм которого в полной мере не изучен, и, следовательно, сложной математической постановкой задачи.
Аналитические исследования этих явлений проводились в работах 145—50]. Численные данные содержатся в работах [51, 52] (определение критических значений чисел Маха Ml и расчет звуковых течений), (53, 54] (расчет локальных сверхзвуковых зон) и др.
Приведем здесь некоторые результаты расчетов закритических режимов обтекания методом крупных частиц *). Целесообразно в дальнейшем закритические режимы трансзвукового обтекания тел характеризовать значением критического числа Маха Ml набегающего потока (когда на теле образуется звуковая точка), а также протяженностью локальной сверхзвуковой зоны (по сравнению с характерным размером тела) и ее интенсивностью (максимальной сверхзвуковой скоростью М„, реализуемой в зоне).
На рис. 1.14 для 24% сегментального профиля (v=0) приводятся картины полей течения (линии М=const) от чисто дозвуковых (Моо=0,6) Д° сверхзвуковых режимов (Моо = 1,5). Показана динамика образова-иия и развития локальной сверхзвуковой зоны, переход через критическое число Маха (Ml =0,65), скорость звука и т. п.
/нс. 1.14, б — ж иллюстрируют закритическое обтекание профиля \ >'^М„^1). Отчетливо видно положение скачка уплотнения в облас-'Д/сущения линий M=const, который вместе со звуковой линией ди" ) огРаничивает местную сверхзвуковую зону. За скачком нахо-тся область пониженных скоростей, затем поток, разгоняясь, дости-на большом расстоянии от тела параметров невозмущенного теня. При М^^О.9 зона становится значительной как по размеру,
Для cL/Pn этом используется полная нестационарная система уравнений (1.1) икимаемого газа.
ни
так и по своей интенсивности (реализуются сверхзвуковые значение скоростей вплоть до Моо~1,74-1,8), а в случае звукового режима обтекания (рис. 1.14, ж) линий уровня М=1 уходят на бесконечность.
0=2.4% v=0 mZ = 0,S5
Рис. 1.14. Поведение линий M=const при обтекании 24% сегментального профиля (0,6<М„< 1,5; критическое число Маха М„=0,65).
Обращает на себя внимание асимметрия всего течения (даже при чисто дозвуковых скоростях, рис. 1.14, а), которая вызвана как не-потенциальностью течения (закритические режимы), так и наличием вязкостных эффектов (дозвуковой режим, образование спутного^следэ за телом).
56
При сверхзвуковом обтекании профиля (рис. 1.14, з, Моо=1,5) Нормируется головная ударная волна, которая и ограничивает область возмущения- За волной, в окрестности оси симметрии, реализуется область дозвуковых скоростей, затем происходит разгон потока вдоль образующей тела, и у кормовой части возникает уже хвостовой скачок уплотнения.
^=24% М^0,86
а) д)
г) э)
^ис- 1.15. Поведение линий M=const при обтекании 24% осесимметричного веретенообразного тела (0,8сМооС2,5; критическое число Маха мХ=0,86).
Для сравнения на рис. 1.15 приводятся результаты расчетов указанным методом обтекания 24% осесимметричного (v=l) веретенообразного тела (0,8^Моог^2,5). Здесь критический режим возникает уже
47
при М^=0,86; локальные сверхзвуковые зоны (по сравнению с плоским случаем) менее развиты и более слабой интенсивности (реализуются, например, Моо~1,3-?-1,4), хотя, естественно, основные особен-
ности трансзвукового потока сохраняются.
Как видим, метод крупных частиц позволяет проводить по единому алгоритму расчеты в широком диапазоне чисел Маха набегающего потока (от чисто дозвуковых до сверхзвуковых режимов), что говорит
0,5
0,Z
Рис. 1.16. Поведение линий М= const при трансзвуковом обтекании космического аппарата типа «Аполлон».
ставляет большой интерес, так как
об определенной общности подхода и является особенно важным для практических приложений.
Как пример трансзвукового обтекания тела более сложной формы можно привести рис. 1.16, где нанесены линии М=const для случая звукового режима движения (Моо=1) спускаемого космического аппарата типа «Аполлон». Расчет характеристик обтекания спускаемых аппаратов на трансзвуковых скоростях полета вызывает обычно много трудностей, однако пред-именно на этих режимах проис
ходит в ряде случаев потеря устойчивости движения.
Для оценки надежности полученных результатов был проведен целый ряд сравнений и контрольных тестов. Как уже отмечалось ра-
нее, проводилось детальное изучение постановки задачи и ее краевых условий; численные данные сравнивались с асимптотикой течения (см. рис. 1.5—1.8), а также с результатами, полученными по другим схемам и из эксперимента. Как правило, везде получалось вполне удовлетворительное согласие.
Анализ внутренних контрольных тестов задачи и результатов сравнений позволяет определить рациональное число узлов аппроксимации и показывает, что погрешность расчетов методом крупных частиц не превышает обычно нескольких процентов. Приведем здесь некоторые из этих данных для трансзвуковых режимов [22].
Ниже сравниваются значения критических чисел Маха М^, полученных с помощью метода крупных частиц (М]„), с расчетами из [51], проведенными с достаточно высокой точностью по методу
6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
mL 1,000 0,910 0,790 0,695 0,625 0,562
mL 1,000 0,899 0,783 0,692 0,620 0,563
58
интегральных соотношений во втором и третьем приближениях (М^). Рассматривалась задача об обтекании осесимметричных эллипсоидов вращения (v=l) с различной относительной толщиной Ь = Ь/а (где вертикальная, а—горизонтальная полуоси). Величины М*„ были получены по описанной здесь методике путем интерполирования значений для двух расчетов: один случай выбирался с М„<МХ, другой с Моо>МХ, причем ДМ„<0,1.
Из таблицы видно, что при всех б наблюдается хорошее совпадение результатов при определении такого тонкого параметра околозвуковых течений, как значение критического числа Маха.
Рис. 1.17. Поведение линий M=const при докритическом (М„=0,725) (а) и закрити-ческом (М„=0,761) (б) обтекании 12% профиля (------- расчет методом крупных
частиц; —------— эксперимент [55]).
На рис. 1.17 приведено сравнение полей течений (линии M=const), полученных методом крупных частиц (сплошные линии) и экспериментальным путем (штриховые линии) в [55], для случаев докритического ^Рис- 1.17, а) и закритического (рис. 1.17, б) обтеканий 12% профиля. ^Определение из расчета и эксперимента значения критического числа Маха дает абсолютное совпадение: MX =0,74. Здесь так же хорошо согласуются численные и экспериментальные данные и в поле течения. Наблюдается хорошее совпадение численных результатов с экспери.
59
ментом [56] при сравнении протяженности и интенсивности местных? сверхзвуковых зон. I
На рис. 1.5—1.8 дается сравнение результатов расчетов методом крупных частиц звукового режима обтекания и аналитических дан. ных, полученных из асимптотики. Видно, что уже на расстоянии двух-трех радиусов от тела наблюдается хорошее совпадение.
4. Расчет внутренних течений и дифракционных задач. С помощью метода крупных частиц исследовались также газодинамические задачи, имеющие сложные внутренние структуры, такие, как зоны срыва, взаимодействия разрывов. Рассматривались внутренние течения газа, дифракционные задачи, исследовалось обтекание конечных тел со срьь вом и вдувом потока, а также делались попытки оценок характеристик турбулентных течений.
Рис. 1.18. Движение газа в канале с круговым центральным телом при М„=1,5: а) плоский канал, линии M=const; б) осесимметричный канал, линии rot E=const.
Рис. 1.18 иллюстрирует результаты расчета внутренних движений газа в плоском (v=0, рис. 1.18, а) и осесимметричном (v=l, рис. 1.18,6) соплах — каналах с круговым центральным телом (Моо=1,5), когда при взаимодействии потока с верхней стенкой (совпадающей с верхней границей расчетной области) имеет место случай образования Х-скачка. Об этом свидетельствует, в частности, поведение линий M=const на рис. 1.18, а и rot V=const на рис. 1.18, б. Метод позволяет исследовать и другие сложные структуры внутренних течений [101.
Определенный интерес представляет также рассмотрение неста-ционарных дифракционных задач. На рис. 1.19 показаны в качестве примера результаты расчета задачи о набегании плоской ударной волны (с безразмерной скоростью w=l) на препятствие — ступеньку. Нулевой уровень удельной полной энергии £0=0,4464, так что энергоперепад в волне равнялся ы2/2=+0,50. На рис. 1.19 приводятся линии E=const в различные моменты времени t=Q, 2, 4, 6 (цифрами обозначены уровни энергоперепада). Качественные оценки поведения решения в этой задаче дают близкие результаты.
Аналитические методы позволяют исследовать лишь отдельные частные случаи взаимодействия волны с препятствием (при условии, когда картина дифракции достаточно проста) [57—61], в то время как 60
численные подходы дают возможность рассмотреть достаточно общие случаи *)•
5. Исследование срывных течений. Наиболее интересным приложением метода крупных частиц следует считать, видимо, расчет газодинамических течений при наличии срыва или вдува потока. Изучение осредненных турбулентных характеристик в следе за конечным телом, а также в зонах смешения потоков представляется в настоящее время весьма актуальным и с практической точки зрения [8, 101.
Рис. 1.19. Взаимодействие плоской ударной волны с препятствием (линии £—ccnst)
Рис. 1.20—1.22 иллюстрируют результаты расчетов течений со сложной вихревой структурой у тел конечных размеров при наличии срывных зон за кормой и вдува, когда с поверхности обтекаемого тела навстречу основному потоку вдувается струя. Здесь приводятся случаи взаимодействия основного потока при сверхзвуковом обтекании конечного осесимметричного цилиндра (рис. 1.20, МСО=3,5) и сферы (Рис. 1.22, б, М„=3,5 ; рис. 1.22, в, Мсо=6) со звуковой аксиальной струей (ее параметры: Л4С=1; рс=2,9; ис=—1; ис=0), вытекающей из сопла, расположенного по оси симметрии тела. На рис. 1.22, г демонстрируются результаты расчета, когда с поверхности сферы АВ имеет место распределенный вдув потока. Везде на рисунках приводятся линии тока, ударные волны, линии горизонтальности вектора скорости и звуковые линии; штрихом обозначены разделительные линии, отделяющие область основного течения от зоны выдуваемого потока.
Для сравнения на рис. 1.21 и 1.22, а приводятся случаи бесструй-н°го обтекания тех же тел, т. е. без вдува струи в основной поток
в *) См., например: Давыдов Ю. М., Ш е в ы р е в С. П. Расчет некоторых -рывных задач методом крупных частиц.— В кн.: Аэродинамика. Саратов: СГУ, 19'5, вып. 4 (7), с. 108—118.
6»
Наличие струи значительно усложняет картину течения. Например, при обтекании конечного цилиндра головная ударная волна ABCD (см. рис. 1.20) выдувается навстречу потоку и ее отход от тела значительно увеличивается. Струя, вытекающая от тела со звуковой скоростью параллельно оси симметрии, расширяется, и при этом образуется локальная струйная сверхзвуковая область 0LMNP0, которая замыкается системой Z-скачков уплотнения (боковых МР, косых MN и переднего ML), имещих общую точку М. Перед телом образуется застойная зона со сложной вихревой структурой: звуковая
Моо = 3,5
Рис. 1.20. Картина течения при сверхзвуковом обтекании конечного осесимметричного цилиндра со вдувом струи с параметрами Л4С=1; рс=2,9; ис=—1; ос=0 (-* линии тока; ------ударные волны; .... линии горизонтальности вектора скорости;
о о о о звуковые линии;----------разделительные линии).
линия BQ располагается значительно ниже по сравнению с бесструи ным обтеканием; за точкой замыкания передней застойной зоны возникает вторичный скачок уплотнения QC, который на некотором расстоянии от тела сливается в точке С с головной ударной волной ABCD, и т. д. В окрестности точки отрыва (интересно отметить, что на рис. 1.20, 1.21 точка отрыва лежит несколько ниже задней угловой точки тела) образуется «кормовой» скачок уплотнения FF'. Поток в зонах возвратно-циркуляционного течения существенно дозвуковой и весьма разрежен (плотность и давление газа здесь малы), так что влияние вязкости в зоне весьма незначительно.
За «плохообтекаемыми» телами (см. рис. 1.20, 1.21, 1.22) как прй течениях со вдувом, так и при бесструйном обтекании видно образование срывных циркуляционных зон возвратного течения. Эти зоны в рассматриваемых случаях (сверхзвуковое обтекание) являются
62
Мх=2 М^О
Рис. 1.21. Картина течения при сверхзвуковом (М^=2) обтекании конечного осесимметричного цилиндра без вдува струи (—<• линии тока; -------- ударные волны;
---------разделительная линия).
6)
М^-3,5
а)
мс=1,»=1
р 5) г>
в с‘ i-22. Картина течения при сверхзвуковом обтекании сферы: а) М„=3,5, без ==пВ.а (Мс=0); б) М„=3,5, со вдувом струи (Л4С= I); в) Мсо=6, со вдувом струи (Мс~ Удап 3 М.” = 4, распределенный вдув вдоль АВ (Ме=0,5) (—> линии тока;--------
4 Рные волны; .... линии горизонтальности вектора скорости; о о о о звуковые линии;----------------------------- разделительные линии).
г,т
стационарными и замкнутыми, локализуются за кормой тела и ограничены от внешнего течения линией непротекания — контактной по-верхностью, отмеченной на рисунках штрихом. Далее вниз по потоку наблюдается образование турбулентного следа.
Рис. 1.23. Теоретическая модель Чэпмена течения сжимаемого газа в донной области за тупым телом при больших числах Рейнольдса и сверхзвуковом обтекании [62]: 1 — область отрыва, 2 — слой смешения, 3 — область возвратно-циркуляционного течения, 4 — область присоединения, 5 — разделяющая линия тока, 6 — хвостовой скачок.
В рассматриваемых случаях при сверхзвуковом обтекании тел точка отрыва на гладких поверхностях (сфера, цилиндр) всегда располагалась на подветренной стороне тела (<ротр~110°, где угол <р отсчитывается от передней критической точки) *). Общая картина полученного таким образом течения хорошо согласуется с теоретической моделью
Рис. 1.24. Характерные области течения в следе при обтекании кругового цилиндра с М„, = 5,7, Red=66X103 (эксперимент Маккарти и Кубота [63]): 1 — точка отрыва, 2 — линия раздела, 3 — горловина следа, 4 —° след, 5 — донная область, 6 — хвостовой скачок, 7 — головная ударная волна, 8 пограничный слой на цилиндре.
Чэпмена [62J (рис. 1.23) и экспериментальными данными [63 J (рис. 1.24) для движения сжимаемого газа в донной области за тупым телом при больших числах Рейнольдса и сверхзвуковом обтекании.
Остановимся несколько подробнее на течениях с распределенным вдувом. При входе спускаемых космических аппаратов с большой
*) Как отмечается в [63], при сверхзвуковом обтекании сферы точка отрыва п<г тока перемещается ближе к экватору, что вызвано эффектами взаимодействия погра' яичного слоя и косого скачка уплотнения.
64
скоростью в плотные слои атмосферы происходит интенсивное нагревание и испарение теплозащитного покрытия лобовой поверхности. Это явление в определенной степени моделируется течением с распределенным вдоль образующей вдувом. На рис. 1.25 приводится рассчитанная картина течения. С лобовой поверхности ОЕ обтекаемого торца ОЕК производился распределенный вдув навстречу набегающему
Рис. 1.25. Сверхзвуковое обтекание цилиндрического торца при наличии распределенного вдува с лобовой поверхности ОЕ с М,о=2; и0=—0,15; £0=Q,9464 (—> линии тока; .... контактная поверхность; — — — — ударная волна).
потоку. На левой границе АВ рассчитываемой области ABCD задавался равномерный сверхзвуковой поток с Мсо=2. Параметры вдуваемого газа (в общем случае с другим показателем адиабаты х) изменялись вдоль поверхности ОЕ следующим образом:
н(г) = н0(1—r/R), v(r)=Q, E(r)=E0,
где R — высота тела ОЕ, и0 — значение горизонтальной компоненты скорости на оси симметрии в точке О. Для случая, приведенного на Рис. 1.25, «„=—0,15, Ео=О,9464.
В результате столкновения набегающего и выдуваемого потоков в поле течения образуется такая контактная поверхность LM, что внешний поток обтекает не собственно торец ОЕК, а эффективное тело образованное этой поверхностью. Поэтому ударная волна расположена здесь дальше от тела 0ER, чем в случае течения без вдува. Вдоль контактной поверхности LM. реализуется так называемый висячий пограничный слой («размыв» контактной поверхности).
На рис. 1.26 приводятся профили тангенциальной к поверхности ВЛ4 компоненты скорости вдоль нормалей QQ, RR, SS. Поскольку в спользованной разностной схеме сквозной счет осуществлялся бла-°Даря аппроксимационной вязкости, профили в висячем погранич-
ен M. Белоцерковский 65
ном слое следует уточнить. Это можно осуществить двумя способами; либо введя в расчет алгоритм решения уравнений Навье — Стокса, как это было сделано выше, либо применяя итеративные аналитические методы, так как полученное решение дает нам асимптотику — разрыв тангенциальной скорости Ацт на контактной поверхности.
Для оценки влияния аппроксимационной вязкости (напомним, что е~\u\h, где h — шаг сетки) на свойства течений проводились расчеты срывных зон на разных сетках аппрокси-
о
п
Рис. 1.26. Профили тангенциальной компоненты скорости их в зоне контактной поверхности LM вдоль нормалей SS, RR, QQ (см. рис.
1.25).
мации. Размеры ячеек — крупных частиц — изменялись при этом в несколько раз — на корме тела размера 7? размещалось, например, от 4 до 30 счетных интервалов (рис. 1.27). Во всех случаях имел место многократный запас вычислительной устойчивости.
На рис. 1.27 приведены области срыва за кормой осесимметричного цилиндра (Мсо=2) для случая А?=14Аг/. Показано последовательное развитие течения по времени (в условных единицах) от £=21 до £=31, когда зона практически локализовалась. Здесь сплошными линиями отмечены линии тока, а стрелочками— направление векторов скорости. Из анализа картины течения следует, что начиная с ~10Аг/ при £2^25 течение в зоне срыва практически сформировалось, хотя и продолжает «дышать». Интересно отметить, что весьма близкие картины течений— положение контура зоны, точек отрыва, замыкания ит. п. — наблюдались и на более мелкой сетке *), причем (что очень важно) «дыхание» зоны — изменение ее размеров, внутренней структуры течения и т. д.— происходило примерно в одни и те же интервалы времени (в одних фазах) при расчетах на разных сетках аппроксимации.
И наконец, на рис. 1.28 демонстрируются результаты интересного качественного численного эксперимента, проведенного с помощью метода крупных частиц. Здесь приводятся линии тока, полученные расчетным путем в донной области при обтекании сферы при Моо=0,3: а) сжимаемым газом; б) несжимаемой при p=const жидкостью. Отчетливо наблюдается образование турбулентных срывных циркуляционных зон в обоих случаях. Если в сжимаемом газе срывная зона замкнута и локализуется за телом, то в несжимаемой жидкости эта зона развивается до значительных размеров и, оставаясь нестационарной,
*) При очень сильном измельчении расчетной сетки формирование осрецненного течения в зоне срыва уже не наблюдалось.
66
R~4-Ay
R=30Ay
#Ay Да
3
R~7Ay
• №
-3 Л®
Рис. 1.27. Формирование области срыва за кормой осесимметричного цилиндра (Моо=2).
6)
Рис. 1.28. Зоны срыва при стационарном обтекании сферы (М^—0,3): а) сжимаемый газ; б) несжимаемая жидкость (р= const).
изменялись незначительно
уходит за пределы рассматриваемой области, принимая характер турбулентного следа. В последнем случае имеет место также увеличение относительной толщины срывной зоны, что подтверждается натурным экспериментом и теоретическими исследованиями [64—661.
Как видим, наша расчетная схема (разностный Эйлер) отбирает в рассматриваемых случаях качественно реальное решение. При этом происходит устойчивое формирование течения в целом; размеры и общие характеристики срывных зон хорошо согласуются с экспериментом и качественной теорией; на границах — контактных поверхностях — удовлетворяются краевые условия задачи (равенство давлений) для срывных зон в предельных течениях (когда число Рейнольдса Re-> оо или коэффициент кинематической вязкости vM0JI ->- 0); положение точки отрыва на сфере и круговом цилиндре во всех рассматриваемых случаях находилось в районе <р~110° [10] (угол отсчитывается от передней критической точки), что соответствует отрыву турбулентного потока; при расчетах на различных сетках аппроксимации размеры и параметры срывных зон место слабая зависимость положе
ния точки отрыва и границы зоны от величины аппроксимационной вязкости); процесс расчета — численный эксперимент — хорошо отражает нестационарную специфику явления (наблюдаются плавные колебания — «дыхание» — зон).
Исследование макроструктур отрывных течений и свойств ближнего следа при больших (предельных) числах Рейнольдса проводится здесь с помощью нестационарных схем разностного Эйлера (см., например, (1.17), (1.18), а также (1.51)), обладающих приближенным механизмом диссипации. Структуру такой диссипациии (различную для разного рода аппроксимаций) можно определить из дифференциальных приближений, причем решающим фактором в выборе эффективного механизма является условие устойчивости полученного «сглаженного» решения во всей области интегрирования.
По существу, здесь вырабатывается эффективная вязкость процесса Л’эФФ^'е- Дело в том, что при расчетах отрывных течений и турбулентных потоков для больших чисел Рейнольдса молекулярная вязкость является слишком малой величиной, чтобы ее можно было использовать для обеспечения вычислительной устойчивости. В этом случае приходится использовать большие значения эффективной вязкости
68
к рассматривать отличный от молекулярного приближенный механизм диссипации с тЭфф^>тМ0Л [101 ).
А Образование срывных зон при сильном взаимодействии объясняется, видимо, тем, что из-за вязкостных эффектов схемы (наличие механизма диссипации) и отмеченной трактовки краевых условий (см. оИс. 1.12) на самом теле реализуются условия для течения со скольжением — У поверхности тела образуется некий «дефицит» скорости, и значение вихря на теле QT=5^0. В окрестности тела возникает достаточно широкий вихревой «пограничный слой» (соизмеримый с толщиной тела на его корме), который затем, отрываясь от тела под действием положительного градиента давления, образует за его кормовой частью срывную зону. Дальнейший расчет по времени приводит, как показывает практика, к устойчивому образованию при М„>1 за кормовой частью тела замкнутой стационарной срывной зоны возвратноциркуляционного течения со сложной вихревой структурой. Установление картины течения наступает достаточно быстро (см. рис. 1.27 и др.).
Таким образом, при расчетах на большие временные интервалы в случае стационарного сверхзвукового обтекания тела сжимаемым газом отчетливо наблюдается формирование стационарных срывных зон, причем, как уже отмечалось, реализуется положение точки отрыва, характерное для турбулентного режима. Вводимые возмущения не из? меняли характера течения при сверхзвуковых скоростях набегающего потока *) **).
Следует подчеркнуть, что, хотя здесь пограничный слой и возникает из-за вязкостных эффектов схемы, в самой срывной зоне влияние аппроксимационной вязкости е (которая пропорциональна величине локальной скорости и размеру расчетной сетки) достаточно мало. Дело в том, что в этих зонах реализуются небольшие значения дозвуковых скоростей (М~0,24-0,3), а расчеты на разных сетках аппроксимации показали незначительное (в пределах одного-двух шагов) изменение контура зоны. Величина вязкости е не играет, видимо, существенной роли и в механизме отрыва — здесь важен сам факт ее существования и образование дефицита скорости у тела.
Эти соображения вполне согласуются с исследованиями [44], где показано, что в механизме турбулентного отрыва (в отличие от ламинарного режима) ответственной является область нелинейного вихревого течения, где влияние молекулярной вязкости и турбулентного прения (напряжений Рейнольдса) несущественно. Положение точки отрыва на гладкой поверхности определяется образованием косого скачка уплотнения и дефицитом скорости у тела, что и организует
*) При этом следует, однако, помнить, что в расчетах с аппроксимационной вязкостью можно претендовать на получение решения лишь в тех областях, где влияние последней незначительно. Более подробно об этом см. в [10], а также в § 9 этой главы.
) Расчет обтекания кругового цилиндра при дозвуковых закритических коростях показал, что наличие кратковременного несимметричного возмущения Риводит к образованию второго устойчивого режима — нестационарного периодиче-ог° течения за кормой тела (см. гл. III).
69
отрыв при наличии положительного градиента давления. Сама величина этого дефицита роли, вообще говоря, не играет (важно, чтобы на теле QT=^0) *).
Полезно здесь также вспомнить и аналитические оценки из работы [67], утверждающие, что при достаточно больших значениях чисел Рейнольдса силы вязкости в области возвратно-цирку-ляционного течения малы по сравнению с силами инерции и движение в зоне срыва можно считать невязким (их отношение порядка О [К/He) Re- 1/2], где р,с, —значения коэффициентов динамической вязкости в зоне срыва и на границе пограничного слоя соответственно). Ширина вязкого слоя смешения (отнесенная к длине зоны), по тем же оценкам, будет порядка О (Re-1/2) **).
Кроме того, на примере модельных уравнений показано, что оператор решения разностного уравнения с аппроксимационной вязкостью асимптотически совпадает с оператором решения соответствующего дифференциального приближения [31, 68].
Из эксперимента и теории пограничного слоя также известно, что положение точки отрыва на гладком теле при закритическом обтекании, вообще говоря, слабо зависит от числа Рейнольдса [69, 70]. Как отмечено в [70], из теории пограничного слоя следует, что при неизменном распределении скорости внешнего потока положение точки нулевого трения на стенке не зависит от числа Рейнольдса. Таким образом, обращение в нуль напряжения трения в некоторой точке и предположительно связанное с ним явление отрыва пограничного слоя существуют и в пределе при vMOJI->-0.
Факт слабой зависимости свойств решения от аппроксимационной вязкости e~|u|/i и, следовательно, от «расчетного» числа Рейнольдса Repac=t/Z,/e обеспечивает адекватное описание явления и говорит, между прочим, о том, что при вычислениях практически реализуются значения очень больших (турбулентных) чисел Рейнольдса. Таким образом, можно надеяться, что приведенные выше расчеты срывных зон несут и определенную количественную информацию для предельных случаев течений (Re->oo), как, например, расчеты ударных волн по схемам с искусственной вязкостью. При этом|внутренние характеристики скачков уплотнения, узких зон смешениями т. п. (определяемые молекулярной диффузией) здесь, естественно, не рассматриваются.
Исследование макроструктур отрывных течений и свойств ближнего следа за конечным телом в реальном газе при больших (предельных) числах Рейнольдса — это, видимо, еще один тип газодинамической задачи, где, грубо говоря, важную роль играет
*) В работе [44] исследуется явление отрыва турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости от гладкой поверхности твердого тела. Показано (без привлечения каких-либо гипотез для замыкания уравнений Рейнольдса), что отрыв является самоиндуцированным и происходит под действием большого локального градиента давления. В главных членах он определяется процессом взаимодействия, обусловленным влиянием нелинейной части пограничного слоя, где действие сил трения несущественно (см. также сноску на с. 64).
**) В предположении, что слой смешения аналогичен обычному ламинарному пограничному слою.
70
сам факт существования вязкости (а не ее величина), что и обеспечивает единственность решения задачи в рамках данной модели. Таким образом, изучение подобных режимов движения на основе нестационарных уравнений Эйлера с приближенным механизмом диссипации является, на наш взгляд, вполне оправданным. При необходимости структура, разрывов может быть уточнена с помощью уравнений Навье — Стокса, используя в качестве необходимых данных для них результаты данных расчетов (например, положение точки отрыва и замыкания, контур зоны).
Заметим, однако, что если при расчетах на лобовой части тела параметры потока устанавливаются сравнительно быстро, то локальные сверхзвуковые зоны, срывные области продолжают, как уже отмечалось, «дышать» в процессе вычислений, что связано, по-видимому, с физической природой (нестационарностью) самого явления. Применение здесь разностных схем сквозного счета нестационарного метода крупнах частиц кажется особенно оправданным.
Данный подход исследования отрывных течений для больших .(предельных) чисел Рейнольдса, основанный на моделях идеальной среды и нестационарных уравнениях Эйлера, по своей методологии близок к работам [44] и [65]. При этом важно отметить, что указанная научная концепция выработана и реализована в различных подходах: в [65] используется метод дискретных вихрей для исследования течений несжимаемой идеальной жидкости у тонких крыльев; в данной работе методом крупных частиц исследуются срывные течения сжимаемого газа у толстых конечных тел, а в [44] с помощью асимптотичес-'
ких разложений изучаются свойства течений в окрестности точки отрыва турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости от гладкой поверхности твердого тела.
6. Результаты численного эксперимента по исследованию турбулентных характеристик струйных течений. На рис. 1.29 дана картина сверхзвукового обтекания цилиндрического торца (Моо=3,5), вблизи угла которого из кольцевой щели навстречу потоку (параллельно оси симметрии) вытекает струя. Параметры струи следующие: Л4е= 1, рс=2,9 ис=—1, vc=0. В районе угловой точки происходит интенсивное смешение струи с набегающим потоком, и, естественно, в этой области главную роль играет турбулентный обмен. Здесь делается попытка оценить по результатам расчетов напряжение турбулентного трения и коэффициент турбулентной вязкости [8].
На рис. 1.29 изображены линии тока, звуковая линия, ударная волна, изолинии уровня напряжения турбулентного трения, линии уровня коэффициента турбулентной вязкости. Следует отметить, что характеристики турбулентного движения здесь определялись по осредненной картине течения. Так, напряжение турбулентного трения ттур = —рАцДц, а коэффициент турбулентной вязкости [711 k — Ттур
L J «тур ду/дп
возможно, что эти характеристики нуждаются в уточнении, но не менее они несут в себе весьма важную информацию. Видно,
например, что по мере приближения к зоне смешения величина ттур увеличивается. Коэффициент турбулентной вязкости £тур, как и следовало ожидать [71], является переменной величиной. Наиболь-
Рис. 1.29. Оценка турбулентных характеристик в зоне взаимодействия набегающего звукового потока М,„=3,5 со звуковой струей (—> линии тока; --------- ударная
волна;---------звуковая линия; о о о о напряжение турбулентного трения ttjp;
.... коэффициент турбулентной вязкости йТур).
При течениях газа вблизи стенки могут осуществляться, как известно, два режима обтекания: ламинарный и турбулентный. В первом случае жидкость обладает лишь молекулярной вязкостью, которая не изменяется при переходе от одной точки к другой; при этом профиль скорости, как следует из уравнений Навье — Стокса, является линейным. Во втором случае при наличии турбулентной вязкости (с переменным коэффициентом йтур) реализуется логарифмический профиль скорости. Метод крупных частиц, как показали расчеты, позволяет получать логарифмический профиль скорости, т. е. моделировать определенные турбулентные эффекты.
Возвращаясь к рис. 1.29, отметим, что коэффициент турбулентной вязкости может быть не просто переменным, но и менять знак: это зависит от ориентации нормали к линии тока в данной точке.
г Используя указанный подход, можно построить для расчета турбулентных движений на инерционном интервале «каскадную» модель турбулентности, где величина эффективной вязкости v34)4) выбирается в зависимости от масштаба турбулентности X *).
*) Более подробно указанные вопросы обсуждаются в § 9 этой главы, в гл. 1П> а также в работе [119].
72
§ 6. Расчет упруго-пластических задач
Приведем в качестве примера результаты расчетов некоторых упруго-пластических задач. Описание численной схемы метода крупных частиц для этого класса явлений было дано в § 1 этой главы [9].
1. Задача об ударе бойка (с начальной скоростью 0,2 см/мкс) о неподвижную преграду. Пусть материалом бойка является медь с начальной плотностью р0=8,9 г/см3, скорость звука в невозмущенной
Рис. 1.30. Положение контакта и ударных волн (профили давления р и скорости v) при /=5 мкс в задаче об ударе бойка о неподвижную преграду (-метод крупных
частиц;--------метод Рихтмайера [24]).
среде с0=0,396 см/мкс, константа материала п=3,5, а материал преграды— алюминий, р0=2,7 г/см3, со=О,54 см/мкс, п=3. Полная разностная сетка содержала 100 ячеек с шагом Ах=0,1 см, шаг по времени А/=0,05 мкс [79].
На рис. 1.30 показано расположение контакта и профили ударных волн (профили давления и скорости) в момент времени 5 мкс после
Рис. 1.31. Профили полной энергии'/? (а) и плотности р (б) при /=5 мкс в задаче об Ударе бойка о неподвижную преграду (---метод крупных частиц;--------ме-
тод Рихтмайера [24]).
Удара. За это время контактная граница сместилась на 0,698 см от начального положения. В расчетах по методу [24] контакт сместился на 0,690 см, т. е. расхождение не превышает 0,1 Ах. Образовавшиеся площадки давления и скорости (а также энергии и плотности) с высокой точностью совпадают со значениями,..полученными из ударных адиабат. На рис. 1.31 представлены профили полной энергии и плот
ности при £ = 5 мкс. В результатах, полученных по методу крупных частиц, отсутствует скачок энергии и плотности на контактной границе, присущий методу Рихтмайера (в данном подходе скачок энергии и плотности происходит в пределах одной ячейки, т. е. контактная граница не размазывается).
Была также решена задача, в которой боек был алюминиевый, а преграда — медная. За 5 мкс расхождение положений контактов, полученных двумя методами, составило 0,15Ах. Рассчитанные площадки давления, скорости, энергии и плотности совпадают с полученными из уравнений Ренкина — Гюгонио.
Рис. 1.32. Профили давления р в разные моменты времени в задаче о соударении двух пластин.
При комплексной проверке работы алгоритмов для свободных и контактных границ (см. § 1) была решена задача о соударении двух пластин конечной толщины (одна из меди, другая из алюминия). Как и раньше, расчет проводился по двум методикам. Разностная сетка содержала 90 ячеек. Вещество находилось в первых 80 ячейках, боек из меди занимал 20 ячеек, преграда — 60 ячеек.
На рис. 1.32 представлено распределение давления в разные моменты времени для этой задачи. При £=4 мкс за ударной волной в давлении образуется площадка /7=0,263 Мбар. В последующие моменты времени ударная волна выходит на свободную поверхность бойка. При £=6,8 мкс по бойку идет волна разгрузки (в преграде еще движется ударная волна). В момент времени £=11,2 мкс волна разгрузки продолжает двигаться как от свободной поверхности бойка, так и от свободной поверхности преграды. При £=14,2 мкс волна разгрузки, двигаясь в бойке, отразилась от контактной границы, и в боек пошла волна сжатия, а в преграду — волна разрежения. В момент £=15,5 мкс в преграде встречаются две волны разрежения. Это приводит к появлению высоких отрицательных давлений (—0,11 Мбар).
Положения свободных и контактных границ совпадают в расчетах по обоим методам. Положения ударных волн и волн разгрузки также совпадают, но в результатах по методу Рихтмайера они имеют более крутой профиль. Во всех' вариантах производился контроль законов сохранения. Наибольшая погрешность не превышала 1%.
Таким образом, можно сделать вывод, что алгоритмы выделения свободной и контактной границ работают с достаточной точностью-
74
Существует возможность для их применения и к решению двумерных зада4-
2. Упруго-пластическая модель. Для учета прочностных свойств материала необходимо использовать тензор напряжений. В одномерном случае он имеет вид
ах~—(1.30)
где S — девиатор тензора напряжений. Используя в (1.30) уравнение Прандтля — Рейеса для компонент девиатора упругой области, будем иметь
dSx 4 dv dSz 2 dv
~di~~~3^dx' ~дГ~~дГ~ ~ ~зР(Ьс'
В области пластического течения, используя условие текучести Мизеса, имеем [72]
fsx=±|r0, s,=±4r0.
Здесь Yo — динамический предел текучести при простом растяжении, р — коэффициент Ламе.
Рассчитывалось соударение медного ударника и медной преграды. Боек имел конечную толщину (р0=8,9 г/см3, п=3,5, со=О,39 см/мкс, Уо=О,О1 Мбар, р=0,46, цо=О,1 см/мкс). Результаты представлены в моменты времени/=5 мкс и /=10мкс(рис. 1.33). Из рис. 1.33, а видно, что впереди основной ударной волны появляется упругий предвестник, который несет напряжение cts=0,0194 Мбар, что равняется пределу текучести Гюгонио. Значение этого предела можно получить по формуле
36-Нц у г 6ц z °’
где р=0,46, 6=1,39—модуль объемного сжатия. В основной ударной волне напряжение достигает значения 0,2 Мбар.
-<5,MffapL ~s,MSap
Рис- 1.33. Распределение напряжения ст при i=5 мкс (а) и i=10 мкс (б) в задаче о соударении ударника и преграды (упруго-пластическая модель).
Из рис. 1.33, б следует, что в преграде бежит ударная волна, а в оике — волна разгрузки. Для последней характерна ступенька Дст, еличина которой должна быть равна Аст=2стг. Таким образом,
75-
наблюдается хорошее согласие численных результатов с точными зна-чениями. Аналогичная краевая задача была решена также методом Уилкинса [72]. Результаты, полученные по двум методикам, практически совпали [9].
§ 7. Численное исследование течений с излучением и задач физики плазмы
1. Результаты численных исследований методом крупных частиц течений излучающего газа [10, 23, 26—28]. Краткое описание схем метода дано в § 1. На рис. 1.34 показано распределение лучистого теплового потока qr по лобовой поверхности осесимметричного цилиндра
Рис. 1.34. Распределение лучистого теплового потока <?г/<7гкр по лобовой поверхности-цилиндра с плоским торцом (М«,=40,2; //=57 км; /?=0,5—3 м).
Рис. 1.35. Зависимость лучистого теплового потока в критической точке qrKV от радиуса цилиндра R.
с плоским торцом (Л40о=40,2, Н=Ы км). Интересно, что это распределение стабильно в широком диапазоне радиусов цилиндра (7? =0,5— 3,0 м). На рис. 1.35 приведена зависимость лучистого теплового потока в критической точке qrK[> от радиуса цилиндра. Изменение лучистого теплового потока на оси симметрии в ударном слое дается на рис. 1.36. Во всех случаях использовались интерполяционные формулы (1.16'). Сравнение данных по определению лучистого теплового потока в критической точке, полученных методом крупных частиц и другими методами (интегральных соотношений, прямых; методикой Би-бермана), дало удовлетворительные результаты [9, 10].
Методом крупных частиц также исследовалась абляция теплозащитного покрытия затупленного тела под действием лучистого теплового потока, моделируемая распределенным вдувом воздуха с лобовой поверхности тела в ударный слой [10].
На рис. 1.37—1.40 приводятся результаты расчетов осесимметричного обтекания цилиндра с плоским торцом при различных скоростях вдува и радиусах цилиндра. На рис. 1.37, 1.38 приведены векторы скорости (единичной длины) для различных интенсивностей вдУ' ва. На рис. 1.37—постоянные скорости вдува: а) ис~—0,1, б) ис^
7Й
____о,2, в) ис=—0,3; на рис. 1.38 — линейно распределенная скорость по торцу: от ис=—0,1 (вверху) до ис=—0,2 (внизу). Во всех случаях плотность вдуваемого газа рс=50; параметры набегающего потока: ==1, ию=33, v°°=0, М^=33, км; радиус цилиндра R=
^0 5 м. Заметим, что на контактной поверхности наблюдается большой перепад плотностей; в некоторых случаях имеет место даже неустойчивость контактной поверхности (см. рис. 1.37, в).
Рис. 1-36. Изменение лучистого теплового потока qr в ударном слое вдоль оси симметрии цилиндра с плоским торцом (М0о= =40,2; /7=57 км).
На рис. 1.39 показано распределение лучистых тепловых потоков вдоль оси симметрии цилиндра при наличии вдува потока (ие=—0,2). Данные приводятся в ударном слое перед телом и в слое вдуваемого газа *). Отчетливо видно, например, положение контактной поверхности, достигнув которой лучистый тепловой поток ослабевает из-за частичного поглощения коротковолновой составляющей лучистого теплового потока (в режиме сильного вдува поглощение будет полным). На рис. 1.40 показано влияние вдува на величину лучистого теплового потока qr в критической точке тела (сплошные линии соответствуют полному учету излучения, штриховые — без излучения **)). Результаты расчетов показали, что с увеличением скорости вдува лучистый тепловой поток в критической точке тела уменьшается, асимптотически приближаясь к некоторому значению а* (см. рис. 1.40, б).
Более подробная информация по исследованию течений излучающего газа содержится в [10].
2. Построение численных моделей для задач физики плазмы. Проблемы, связанные с исследованием взаимодействия излучения с веществом, являются в настоящее время весьма актуальными. Очевидна большая сложность задач указанного типа — построение адекватных физических и математических моделей, численных алгоритмов Расчета, определение структуры механизма взаимодействия и т. д. Следует иметь в виду, что по своей природе данные явления носят ярко выраженный нестационарный характер и требуют рассмотрения, вообще говоря, пространственной постановки.
**) Качественно поведение кривых хорошо согласуется с [73]. ) «Вмороженное» излучение.
77
Рис. 1.37. Поле векторов скорости при обтекании цилиндра с плоским торцом (М =33; /?=0,5 м) при наличии вдува потока с постоянной скоростью: а) ис=— б) ис=—0,2; в) ис=—0,3.
Рис. 1.38. Поле векторов скорости при обтекании цилиндра с плоским торцом (М, =33; 7?=0,5 м) при наличии вдува потока со скоростями, распределенными по нейному закону вдоль торца ис=—(0,1—0,2).
Рис. 1.39. Распределение лучистых тепловых потоков qr вдоль оси симметрии цилиндра с плоским торцом (Л=0,1—0,5 м) при наличии вдува потока (М„о=33; Н~ =40 км; ис——0,2; ---------------с излучением;----------без излучения).
Рис.
Лид ндРа с плоским торцом (Моо=33; Я=40 км): а) зависимость qr от радиуса ци-Дра 7? (.-------с излучением;----------без излучения); б) зависимость qr от ско-
рости вдува ис (7?=0,5 м).
Фундаментальные численные исследования в этой области проводятся А. А. Самарским и его учениками [74—78]. Были детально изу. чены проблемы, связанные с различными механизмами взаимодействия излучения с веществом, гидродинамикой сжатия, рассматривались различной формы мишени и оболочки, исследовалась физика сжатия лайнеров, многослойные мишени с различным подбором оболочек и т. д. Проведены также аналитические исследования ряда автомодельных задач, что позволило проследить за поведением важных физических параметров и получить рекомендации для повышения эффективности численного расчета.
В последние годы в ВЦ АН СССР и на кафедре вычислительной математики МФТИ разработанные численные подходы (метод крупных частиц, сеточно-характеристический метод и др.) применялись для решения задач физики плазмы [23, 79—82]. Использование таких н е-традиционных методик для расчета задач взаимодействия излучения с веществом особенно оправдано для многомерных случаев, в областях больших градиентов и перемещений материалов. Возможно, что такие подходы позволят достаточно отчетливо проявить общую картину явления, в то же время для детального рассмотрения внутренних структур предпочтительнее лагранжевы методики.
В этой книге будут описаны численные модели для двух групп задач физики плазмы — расчет прожига мишени лазерным импульсом, проведенный по схемам метода крупных частиц [79, 82], и исследование некоторых задач лазерного сжатия оболочек, где применялись сеточно-характеристические эйлеровы схемы [80—82] *).
Вначале опишем одну из численных схем метода крупных частиц, разработанную Ю. М. Давыдовым и С. А. Кутасовым для решения этого класса задач (следуя [23, 82]). Используется следующая физическая модель. Вещество описывается как одножидкостная двухтемпературная плазма, состоящая из электронов и ионов с зарядовым числом 7. Учитывается гидродинамическое движение среды, поглощение лазерного излучения, теплопроводность, обмен энергией между электронной и ионной компонентами в результате электрон-ион-ных столкновений.
Математическая модель изучаемого процесса описывается системой уравнений в эйлеровых переменных:
$- + div (pV) = 0,
+ div (pukV) + a(pf+pf) = 0,
к (1-31)
+ div (р£ V) 4-div (ре + pz) V= —di v/у—- div,
1^+div (pezV) + p( div V= Qei.
*) Применение сеточно-характеристического метода к задачам физики плазма описано в гл. V.
80
Здесь xk = ,iX, у, z}—пространственные координаты; uk—компонента вектора скорости V вдоль оси xk; —удельная внутренняя энер-гИя ионной компоненты; £ = ее 4-+ 1V |2/2—полная удельная энергия; ре—давление электронного газа; р(-—давление ионного газа; Я—плотность потока энергии лазерного излучения; z?T—плотность потока энергии, переносимой за счет теплопроводности; Qei— энергия, передаваемая в единицу времени в единице объема от электронов к ионам; р—плотность вещества.
Для замыкания системы (1.31) служат уравнения состояния. В настоящей работе рассматриваются простейшие уравнения состояния идеального электронного и ионного газов:
9 14 9 14
Р<=д-Ре<> е<= ЛГ 2~0/’ Pe=-^Pse< =
где М — масса иона вещества, те— масса электрона, Q=kT — температура соответствующей компоненты (в энергетических единицах).
Заметим, что в системе (1.31) используется уравнение для полной энергии в дивергентном виде (в отличие от традиционно применяемого уравнения для внутренней энергии электронного газа), что позволяет достичь консервативности.
Для удобства численного решения на ЭВМ система (1.31) приводилась к безразмерному виду, при этом левая часть системы (1.31),. описывающая гидродинамическое движение, не изменялась, а в правой части появлялись соответствующие численные множители.
При численном решении системы (1.31) методом крупных частиц используется, как известно, расщепление по физическим процессам: эйлеров гидродинамический этап (разностный оператор Лэ), лагранжев гидродинамический этап (Лл), заключительный гидродинамический этап (Л3), учет теплопроводности (Лт), расчет электрон-ионного обмена (Ло) и поглощения лазерного излучения (Лп). Таким образом, суммарный разностный оператор Л перехода от одного временного слоя к другому, аппроксимирующий исходную систему (1.31), можно формально записать в таком виде:
Л = Лэ Лл -f- Л3 Лт + Ло 4- Лп.
Коротко опишем расщепленные разностные операторы для этого класса задач, следуя [23]. Первые три этапа (эйлеров, лагранжев и заключительный) составляют гидродинамическую фазу расчета. Так как определяющую роль в формировании разлета облучаемого вещества играют гидродинамические процессы, фаза гидродинамики занимает центральное место в задаче. Лагранжев этап (Лл), на котором определяются потоки массы А7И'! через границы ячеек, переносится без изменения из традиционного метода крупных частиц для задач тазовой динамики, а на эйлеровом (Лэ) и заключительном (Л3) эта-Пахи производится обобщение на случай двухтемператур-11 ° й среды. Это обобщение заключается в использовании в уравнениях импульса и полной энергии в качестве давления суммы давлений ионной и электронной компонент p=pe+pi, а также в добавлении нергетического соотношения для ионной энергии.
81
Таким образом, система дифференциальных уравнений э й л е р 0. в а этапа, полученная путем расщепления из (1.31), будет иметь ВИД
n I d(pe+Pj) _ п ' ? dt dxk ~ ’
p^ + div[(pe+P;.)i/]=o, (1.32)
p-|r+p<div ^=°-
Для получения Лэ используется центрально-разностная аппроксимация (1.32).
На заключительном этапе на основании законов сохранения находятся новые значения параметров потока гидродинамической фазы. Оператор Л3 аналогичен газодинамическому — в неге лишь добавлено условие баланса ионной внутренней энергии.
На этапе учета поглощения лазерного из лучения расщепленный дифференциальный оператор имеет вид р-^ = —div?. (1.33)
Если считать, что лазерный луч направлен вдоль оси х, то можно ограничиться решением следующего одномерного (по координате) уравнения:
p^ = -So/(O<p(r)^, (1.34)
где So — максимальная интенсивность излучения, f(t) — множитель, описывающий зависимость интенсивности от времени, <р(г) — множитель, описывающий пространственное распределение интенсивности излучения относительно оси.
Для ?! имеем
dqi _ дх
К(х)Ч1,
отсюда
<7i = exp
' X
и
где К—коэффициент поглощения лазерного излучения. Вид данного коэффициента при hv^kT, согласно [83], определяется следующим образом:
„______4,97gZ2ra,rae__
пс X20j/2 V 1—пе/пс
Здесь Ge—kTe — электронная температура (кэВ), X — длина волнЫ излучения (мкм), nt — концентрация ионов (см-3), пе — концентрация электронов (см-3), g — множитель Гаунта, пс — критическая
82
Г ониентрация электронов; пс=1021Х~2 см-3. Множитель Гаунта выби-I Кался исходя из пРиведенной в [83] зависимости g от электронной температуры для излучения с %= 1,06 мкм.
[ В программе при малых плотностях поглощение считалось сквоз-= ным образом; в точке, где достигалась критическая плотность, осу- дествлялось полное поглощение. Действительно, как показывают экс-’ периментальные данные [84], при потоках лазерного излучения порядка IQi3__Ю14 Вт/см2 коэффициент отражения от алюминия составляет менее 1%. Аналогичные оценки получены и при численном тестиро-- вании методом крупных частиц.
Ё На этапе теплопроводности решается следующее уравнение, получившееся при расщеплении системы (1.31):
Р^= — div?T« или = —div^T, (1.35)
где пе — электронная концентрация. Основная роль в переносе тепла принадлежит электронам. Их свободный пробег обычно много меньше характерных размеров задачи, поэтому для теплового потока qT можно воспользоваться формулой Фурье:
----X(9,)V9„
где, согласно [85],
ад
О,9703/2 /п]/22е4ЛкуЛ
(1.36)
Здесь те, е — соответственно масса и заряд электрона, Z — зарядовое число ионов, Лкул — кулоновский, логарифм.
Для решения уравнения (1.35) могут использоваться различные разностные схемы: как явные, так и неявные. В случае использования явной разностной схемы условие устойчивости будет [86]
ТТ <• 1 min ((3/2)гае\ /I 3?\
/I2 2 т1П \ Х(0е) )’
где h — пространственный шаг сетки, тт — временной шаг на этапе теплопроводности.
При взаимодействии мощного лазерного излучения с веществом образуется область с относительно невысокими значениями пе и большими величинами электронной температуры 9е — так называемая корона. Найдем соотношения между сеточными параметрами тт и тг, необходимые для устойчивости соответственно на этапах теплопроводности и гидродинамики. Подставляя (1.36) в (1.37), получим
Здесь h — в см, т — вс, 9е— в кэВ, у=пе1пс, пс=1021см-3 — критичная концентрация электронов для излучения неодимового лазера.
Если L — характерный размер задачи, Т — характерное время, то Ременной шаг тг, определяемый, условием устойчивости гидродина
83
мических уравнений, удовлетворяет неравенству
тг<//гТ/(2L). /
Отсюда можно получить следующее соотношение между тт и yZLh .. „
тт=Стгф^. (1.38)
В задачах ЛТС L ж 0,1 см, Т « 10-ec, Z=1 (водород), Лкул=5 Для обеспечения надлежащей разрешающей способности разност-ной сетки на характерном размере L поместим 100 узлов; следо. вательно, h = 0,001 см. Тогда уже при 0е = 1 кэВ из (1.38) получаем
тт </ тгу-10-2,
т. е. если в короне у~10“2 (достаточно плотная корона), то на т налагаются весьма сильные ограничения. Поэтому для эффективности счета на данном этапе [86] целесообразно использовать неявные разностные схемы.
Последним расчетным этапом излагаемого метода крупных частиц является учет электрон-ионного обмена. Энергия лазерного излучения, поглощаемая электронами, передается ионам путем электрон-ионных столкновений. В результате расщепления исходной системы (1.31) получим уравнение, описывающее этот процесс:
При максвелловских распределениях энергии
I
Здесь vei—средняя частота электрон-ионных столкновений с передачей импульса, равная, согласно [85],
4|^2л и(-22е4Акул
VeZ= 3m'/202/2 '
При малых значениях 0е величина Qei сильно возрастает. Чтобы при этом не накладывать дополнительных ограничений на временной шаг, Qei ограничивается таким образом, чтобы в результате расчета электрон-ионного обмена знак разности электронной и ионной температур не изменялся. j
Перейдем к рассмотрению результатов некоторых численных рас-; четов, проведенных с помощью описанного выше метода крупных частиц. Программа строилась по модульному принципу. К библиотек6 модулей, решающих двумерные задачи газовой динамики, добавлялись модули описанных выше новых физических этапов *).
*) Давыдов Ю. М. Пакет прикладных программ КРУЧА.— М.: Изд-АН СССР, 1979 / В инф. бюлл.: Алгоритмы и программы, ВНТИЦ, 1980, №4 (ЭР’’ П004355, с. 39.
84
Первоначально по полученной двумерной программе были прове-лены многочисленные тестовые расчеты одномерных задач. Большое вНимание при этом уделялось сравнению с проведенными ранее расчетами других авторов [79].
На рис. 1.41, 1.42 приведены сравнения с данными [74]. Расчет одномерного сжатия плоской пластины (мишени) лазерным импульсом проводился в постановке, взятой из [74], при следующих значениях параметров: начальная плотность 0,2 г/см3, 2=1, время действия лазерного импульса 10-8 с, энергия лазерного импульса 6,6X10’ Дж/см2. Зависимость формы импульса от времени — треугольная.
Рис. 1.41. Профили максимальных значений электронных 0е и ионных 0, температур при одномерном сжатии плоской пластины лазерным импульсом (__метод
крупных частиц; ° данные [74]).
Рис. 1.42. Профили максимальных значений плотности р/р0 при одномерном сжатии плоской пластины лазерным импульсом (-----метод крупных частиц; о—о—о—о
данные [74]).
На рис. 1.41 показаны профили максимальных значений 0е, 0; — электронных (сплошные линии) и ионных (штриховые линии) температур по времени, на рис. 1.42 — соответствующие профили максимальной плотности. Линии с кружочками соответствуют данным [74], линии без кружочков — расчетам методом крупных частиц. Видно, что результаты достаточно хорошо совпадают.
В заключение приведем результаты численного эксперимента по исследованию двумерного прожига пластины лазерным Учом [23]. Облучалась пластина из алюминия толщиной бОмкм, Ри этом полагалось Z=10. Использовалась неравномерная про-с Ранственная сетка. Пластина первоначально помещалась в среду зовЛОТНОСТЬЮ Р° (Ро/Рпласт = Ю~4)- При моделировании были исполь-аны характеристики импульса реально существующего лазера.
85
Общая энергия импульса £'0=117Дж, кривая f (/) из (1.34) аппро. ксимировалась кусочно-линейно по 8 точкам, кривая ср (г) из (1.34) гауссовой кривой <р(г) = ехр{—(г//?0)2} с радиусом пятна ^0=240 мкм. При этом пиковая интенсивность импульса So равнялась 3,78 х Ю13 Вт/см2. Длина волны неодимового лазера Х=1,06мкм продолжительность импульса 3,45 нс.
Рис. 1.43. Изолинии плотности р/р0 в области короны при двумерном прожиге пластины лазерным лучом.
На рис. 1.43 приведены изолинии плотности р/р0 в области короны в момент времени, соответствующий окончанию импульса. Заштриховано первоначальное положение мишени. Как видно из рисунка, в окружающем фоновом газе, как и в натурных экспериментах, распространяется квазисферическая ударная волна, вызванная образованием плазменного факела.
На рис. 1.44 приводится динамика структуры прожига внутри пластины (параметры взяты из [74]). Толщина пластины равнялась 2,5 мм, на ней помещалось 20 счетных ячеек. На этих рисунках приведены изометрические поверхности плотности в последовательные моменты времени. На рис. 1.44, а показано начальное (/=0,05 нс) распределение плотности в области счета: пластине соответствует выпуклая вверх ступенька. Луч лазера шириной в одну ячейку направлен слева направо по ближнему ряду ячеек. Момент окончания лазерного импульса (/=1 нс) примерно соответствует времени образования ударной волны внутримишени (при/=1,2 нс, ртах/рм = 1,5). Движение правой границы мишени начинается в момент времени /=2,7 нс, а через /=4,4 нс плотность на оси становится меньше начальной. На рис. 1.44г б—г показано состояние мишени в моменты времени /=1,16 нс, /=4,01 нс, /=4,36 нс.
Как показали результаты многочисленных расчетов, использование метода крупных частиц кажется оправданным для задач с большими перемещениями среды, турбулентным перемешиванием и т. Д-86
РИс> 1-44. Динамика двумерного прожига пластины лазерным лучом (изометрические поверхности плотности в последовательные моменты времени).
§ 8. Алгоритм метода крупных частиц для решения пространственно-трехмерных нестационарных задач газовой динамики. Расчет релей-тейлоровской неустойчивости. Обобщение на случай вязких течений газа. О точности метода крупных частиц для задач газовой динамики
За последние годы Ю. М. Давыдовым и др. было проведено обобщение, развитие и обоснование численных схем метода крупных частиц, основанного на расщеплении системы уравнений газовой динамики по физическим процессам и использовании метода дифференциального приближения для их исследования [21, 79, 87—92].
Был построен класс многопараметрических схем расщепления [21], позволяющий исследовать большой спектр разностных схем (включая общие схемы метода крупных частиц) применительно к задачам аэрогазодинамики, теории упругости, физики плазмы и др. Рассматривались также схемы метода крупных частиц для расчета нестационарных трехмерных течений газа [21, 93], проводилось построение схем для уравнений Навье — Стокса [79, 94] при наличии физико-химических превращений [10, 23, 26—28]. Рациональные способы построения численных схем позволили проводить их реализацию на электронно-вычислительных машинах средней мощности.
Изучались также основные положения теории дифференциальных приближений применительно к вопросам устойчивости разностных схем [89, 93]; исследовалась устойчивость разностных формул для дробных ячеек в методе крупных частиц, и проводился анализ полученных условий устойчивости [87, 91, 93]; проводилось рассмотрение структур матриц аппроксимационной вязкости [90, 92, 93].
Некоторые из этих аспектов кратко освещаются в данном параграфе. Более подробно этот материал изложен в [93].
1. Алгоритм расчета методом крупных частиц пространственнонестационарных задач аэрогазодинамики [21]. Система уравнений газовой динамики для трехмерных течений записывается в виде
Pt + (Р«)х + (pv)y + (роОг = °.
(p«)t+рх + (Р«2)х + (р^)у + (Р< = °.
(pf)t + Ру + (Р«»)х + (Р^ + (рЧ = °,
(рш) t + pz + (fiuw)x + (pvw)v 4- (рш2)г = о, (1 •39)
(p£)t+[(р+р£) “L+[(/>+р£) +Е(р+р£) WL=°,
р = р(р,3), 3 = E-^(^ + v2 + ^),
где и, v, w — компоненты вектора скорости соответственно вдоль осей X, у, Z.
Сначала рассмотрим традиционную разностную схему метода крупных частиц с ЛМп первого порядка точности [1, 20, 22]. Как И для двумерных (плоских и осесимметричных) задач, расчет каждого шага по времени разбивается на три этапа:
88
I этап (эйлеров) — пренебрегаем всеми эффектами, связанными с движением жидкости (потока массы через границы нет); зТо соответствует пренебрежению конвективными членами в (1.39);
П этап (лагранжев) — вычисляются потоки массы, импульса и энергии через границы ячеек;
Ш этап (заключительный) — определение окончательных значений параметров потока <р={р, и, v, w, Е} на основе интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии для каждой ячейки.
Такая конструкция соответствует расщеплению по физическим процессам [95]: учет сил давления производится на эйлеровом этапе, а эффектов конвективного переноса — на лагранжевом и заключительном.
Введем равномерную сетку по пространству с сеточными параметрами Дх, Дг/, Дг и индексами i, /, k соответственно вдоль осей х, у, 2. Шаг по времени Д/ может быть переменным.
На эйлеровом этапе будем использовать центрально-разностные аппроксимации:
7,n 1!П < fl fl Pi+1, j, k — Pi-1, j, k At
Uijk — ^ijk 2^x n Pijk
if- и fl fl pi, j+i, k — pi, j-1, k At
''ijk — vijk 2\y n Pl/fe
П Л /
Zji pi> !, k + 1 — Pt, j, fe-1 Ы
-----------2E----------
(1-40)
т^п m I 1 / fl fl ^.fi
— VPt+1/2,/, feWt + 1/2, /, k Pi-l!b,i, fe^t-1/2, j,k) +
I 1 / n fl fl \ I
T \Pk J+1/2» /+1/2, k pi, /-1/2, kVi, /_ 1/2, kJ “Г
1 / n n n n
+ \pi, /, k +1/2 Wi, jt fe + 1/2 pi, J, k-1/2 Wi91, k-
Разностные формулы на лагранжевом и заключительном этапах запишутся в виде
Ш1—Рг/fe) Дх Д г/ Дг = ДЛ4?_ 1/2, Л k—ДМ-+1/2, Л k +
4- Д44/, j-i/г, k—ДД4(, /+i/а, fe-f- Д44/, j, k-1/2 Д-44г, /, k+1/2>
Wl~PHW Дх Д г/ Дг = J 41
= <ф>г-1/2, /, feA44j_ 1/2,/, k <фХ'+1/2, /, feA44; + j/а, /, k +
+ /-1/2,йД44г,/-1/2,fe <ф>г,/+1/2,*ДЛ4г,/+1/2, k 4*
4" <ф>г. /, й-1/гД-Л4г, /, fe- i/г /, fe+1/2 Д-44/, /, k+1/2»
где ,
Д44(_1/г, j, k— 2 P?-i, /, k (^г-i, j,fe + Мук) Ay At,
89
если
u1-i, j, k~}~u?ik 0, ДМ?_1/г, j, k = у i. fe + /, fe) ДУ Дг ДЛ
«Р>"-1/2,/,* = ф"/й, ....
где <p= {и, v, w, E\.
Первое дифференциальное приближение (п.д. п.) по Дх и нулевое по Д/ разностной схемы (1.40), (1.41) запишется следующим образом:
Pt+(pM)x + (P»)!z + (P“’h =
= у (Ы рх)х Д*+у (Ы рЛ Д у+у (И pJz
(Р«) t + рх + (р“2)х + (р««)у + (Р“4 =
= у (Ы (р«)х)х Д% + у ('v I (Р«)Л ДУ + у (Iw I (Р«)Л Дг, (Ру)/ + Pj + (PUV)X + (Р^2)у + (Р«“»)г =
= у (I и 1(ру)х)хд^ + у (I УI (Р0Л Ду +у (I “Н (Puhh Дг, (1.42) (р“0 t + Рг + (Р«»у)х + (рМу + (Р®2)2 =
= у (I и I (P“0Jx Дх + у (М AУ + у (I w I (Pw)z)z Дг, (p£)t + [<Р + рЕ) «L + [(У + рЕ) v].j + [(р + р£) ш], =
= у (М (рЕ)х)х \х + у (| v | (рЕ)у)у Ду + у (| w | (рЕ)2)г Ьг.
Из [90, 93] следует, что разностная схема (1.40), (1.41) может быть получена путем аппроксимации системы п. д. п. (1.42) явной двухслойной центрально-разностной схемой, если при аппроксимации членов первого порядка малости по Дх, Ду, Дг (т. е. диссипативных членов) использовать величины с волнами и, v, w, Ё (использование и, v, w, Е приводит к разностной схеме метода крупных частиц без расщепления).
2. Расчет обтекания пространственных тел конечных размеров со срывом потока. Заметим, что при решении пространственнотрехмерных газодинамических задач могут возникать качественно новые явления, не наблюдаемые в двумерных случаях.
Рассмотрим сверхзвуковое (Моо=2,84) установившееся обтекание прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.45, 1.46) при нулевых углах атаки со и крена 6 (Н — отношение ширины параллелепипеда к высоте). Расчеты проводились и для ненулевых значений указанных углов на до-, транс- и сверхзвуковых режимах, а также для нестационарных граничных условий, но в этих случаях картина течения оказывается чрезвычайно сложной и требует пространственного описания.
На рис. 1.45, 1.46 приведены проекции векторов скоростей на плоскости, перпендикулярные скорости набегающего потока и пере' секающие срывные области за кормой. Из-за со =6=0 в поле течения 90
91
левая вертикальная ОА и нижняя горизонтальная ОВ плоскости являются плоскостями симметрии.
В трехмерном случае наблюдается, как видим, поперечная закрутка областей возвратно-циркуляционного течения, что приводит к спиралевидному сходу вихревой пелены с кромки тела. Структура потока, выявленная в ходе численного эксперимента, зависит от наличия и числа реально существующих плоскостей симметрии течения. При наличии двух упомянутых плоскостей (ОА и ОВ) срывная область состоит из четырех спиралевидных «жгутов» (на рис. 1.45 показана 1/4 области течения). Заметим, что в этом случае высота кормы меньше ее ширины; в случае же, когда высота кормы больше ее ширины, направление закрутки меняется, как показали расчеты, на противоположное. Если высота кормы равна ее ширине и не вводятся иные возмущения, в потоке реализуется еще одна плоскость симметрии— диагональ ОС (рис. 1.46) и число спиралевидных жгутов в срывной зоне увеличивается вдвое. При произвольных <о, б в отсутствие плоскостей симметрии картина, естественно, несимметрична.
3. Развитие трехмерных возмущений при релей-тейлоровской неустойчивости (РТН). Помимо несомненного теоретического интереса, эта задача имеет большое значение для ряда важных практических проблем, например, при изучении устойчивости сжатия оболочек в задачах лазерного термоядерного синтеза, при получении сверхсильных магнитных полей и др.
Большой вклад в развитие обсуждаемой проблемы внесли работы Ферми [96]. В них рассматривается развитие тейлоровской неустойчивости на границе жидкость — вакуум в линейном и нелинейном случаях, а также на границе двух жидкостей: тяжелая — легкая. При этом в нелинейных случаях приводятся постановки, геометрически близкие к численным. В частности, плавная поверхность раздела аппроксимируется кусочно-линейной ступенчатой функцией.
В развитии РТН прослеживаются следующие ярко выраженные стадии: линейная, промежуточная, регулярная асимптотическая и турбулентная [97, 98]. Линейная стадия характеризуется малостью амплитуды а, по сравнению с длиной волны возмущения L, и экспоненциальной скоростью роста. Когда величина амплитуды возмущения а достигает 0,4Е, процесс вступает в стадию, промежуточную между линейной и регулярной асимптотической. На регулярной асимптотической стадии, наступающей при а«0,75Е, окончательно формируются «пики» тяжелой жидкости, проваливающиеся с постоянным ускорением, и «пузыри» легкой жидкости, всплывающие с постоянной скоростью. Эта стадия РТН является неустойчивой [97, 98] и сменяется турбулентной стадией, в ходе которой происходит интенсивное взаимодействие возмущений различных длин волн и перемешивание жидкости.
РТН наиболее исследована для случая плоской поверхности разодела и стремящегося к бесконечности отношения плотностей тяжелой и легкой жидкостей. Линейная стадия подробно изучена в классических работах Релея, Тейлора и Льюиса [99—101], регулярная асимпто-
92
Еическая — в работах Биркгофа [102], в [103] развита феноменологическая теория турбулентной стадии, а в [98] высказаны некоторые соображения о механизме ее образования.
; Однако аналитического математического аппарата для анализа в ^елом столь сложного явления, как РТН, недостаточно, экспериментальные же исследования весьма трудоемки. Наиболее полная информация может быть получена из численных расчетов. Так, случай свободной поверхности изучался в [104], случай двух несжимаемых жидкостей— в [105], двух сжимаемых сред — в [106]. Отметим также работу [107], где проводится численный расчет РТН сжимаемой оболочки.
, До сих пор во всех как аналитических, так и вычислительных работах исследовался только двумерный случай. Однако двумерная модель не адекватна, вообще говоря, физике явления: в физическом эксперименте двумерные структуры разрушаются из-за поперечной коротковолновой неустойчивости и превращаются в трехмерные.
Численные методы, примененные в [104, 105], в принципе могут )ыть распространены и на трехмерный случай. Однако это ведет к уголь значительному увеличению времени счета и возрастанию объема Необходимой машинной памяти, что подобные расчеты на современных ЭВМ нереальны.
t- Алгоритм метода крупных частиц для расчета пространст-з е н н о-т рехмерных нестационарных течений весьма экономичен и позволяет рассматривать обсуждаемую задачу [10, 21, 106, 108].
h Методом крупных частиц здесь решается полная пространственно-грехмерная нестационарная система вихревых уравнений Эйлера с учетом гравитационного поля [108]:
; dp/d/4-div (рУ) =0,
dpu/dt 4- div (ри V) + др/дх = 0,
, дрц/д/4-div (pt’K)4-dp/dz/4-pg'=0, (1-43)
; дриуд/+ div (ршУ) +др/дг = 0,
dpE/dt + di v (pfV^ + div (р У) pgv = 0,
Де У={м, v, w} — вектор скорости, р — плотность среды, Е=3 + РУ2/2 — удельная полная энергия, 3 — удельная внутренняя энергия, р — давление, ускорение свободного падения g направлено по эси у.
• Данный численный эксперимент был выполнен в рамках пакета прикладных программ КРУЧА (крупные частицы) с добавлением модулей, отражающих специфику задачи (гравитацию, начальные данные). Отметим, что, хотя в качестве уравнения замыкания системы 1-43) используется уравнение состояния идеального газа 3 = *=р/[(х— 1)р] (х — показатель адиабаты), сжимаемость мало влияет на Характер процесса (значение числа Маха в расчетной области нигде ае превышает 0,3).
; „Расчет производится сквозным образом, без выделения контактен поверхности раздела тяжелой и легкой жидкостей. Двумерные
93
расчеты показали, что, несмотря на размазывание контактной поверх I ности раздела (7—8 ячеек в районе пика и 4—5 ячеек в районе пузЬ11 ря), ее с достаточной точностью можно отождествлять с поверхность^ ! на которой p=0,5(pi+p2), где р2 — плотность тяжелой' жидкости’ Pi — легкой (близкие результаты дает определение этой поверхности разрыва другим эвристическим способом: по max grad р).
Для сравнения с данными других авторов по трехмерной програм.] ме были рассчитаны двумерные тестовые задачи. Начальные данные и параметры тестов были идентичны используемым в [105], за исклю. чением того, что рассматривалась среда с уравнением состояния иде-ального газа. Из-за малости числа Маха в расчетной области сжимаемость здесь проявляется слабо, поэтому возможно сравнение с расчетами течений несжимаемой жидкости. Ниже приводятся некоторые из полученых результатов [108].
Размеры расчетной области составляли 20 ячеек по горизонтали (ось х) и 60 по вертикали (ось у). На всех границах области стави-
лись условия симметрии, так что потоки массы, импульса и энергии на границах области обращались в нуль. Так как на верхней и нижней границах с>=0, то из уравнения для вертикальной компоненты импульса имеем dp/dy-\-pg=0. Это краевое условие ставилось* на верхней и нижней границах для исключения на них возможно-! сти генерации возмущений. В момент времени t=0 задавались нача-[ льные данные: в верхнем полупространстве тяжелая жидкость с плотностью р2, в нижнем — легкая с плотностью pi=0,l р2. На границе сред 3,2/(х—1) = 10, 3'1/(х—1) = 100, в обеих средах d3/dy——g.
Таким образом, в начальный момент dp/dy+pg=0 и развитие неустойчивости идет из положения равновесия. Начальное возмущение задавалось в виде поля скоростей:
и — A sin-^- [2Я (у) — 1] ехр 1 * * * j-, v= A cosexp У-^>
где Н (у)—функция Хэвисайда:
расчета* 1,-,, 17=0
L — поперечный размер области. В безразмеренных единицах L=2, g=l, Д=0,78, Дх=Ду=0,1. Здесь Дх, Ду—размеры ячейки рас-
четного поля соответственно по осям х, у.
Заметим, что при задании начального возмущения в со сжимаемыми средами важно везде соблюдать условие
(за исключением поверхности раздела). Иначе возникнут возмущения плотности, которые могут исказить картину развития РТН.
Двумерные расчеты РТН методом крупных частиц показали хорошее совпадение с результатами [105]. На рис. 1.47, а приведень1 формы контактной поверхности при p2/pj = 10 в различные моменть1 времени: 0,25, 0,49, 0,73, 0,97, 1,21; сплошные линии соответствуют расчетам методом крупных частиф, штриховые—результата*1 [105]. График скорости движения пика также близок к приведи
94
i
f MV в [Ю5], среднее ускорение пика, как и в [105], составило ^пимерно половину ускорения силы тяжести. Отношение радиуса ривизны пузыря к длине волны возмущения R/(2L) составило 0,40, то ближе к значению 0,39, приведенному в [104], и теоретическому качению 0,35 [102], чем 0,48 в [105]. Скорость подъема пузыря оказалась несколько большей, чем в [105]. В [108] получено зна-= 0,44, в [Ю5]—соответственно 0,32, тео-этой величины, полученное Биркгофом,
„ /Р-2 — Pl ffpV1/2 чение ив [ рз 1 ретическое значение для
S)-
’ис. 1.47. форма контактной поверхности в различные моменты времени при двумер-юи релей-тейлоровской неустойчивости (----------- расчет методом крупных частиц;
, ---------- данные работы [105]).
Заметим, что, несмотря на размазывание контактной поверхности, детод крупных частиц позволяет также проследить развитие неустойчивости Кельвина — Гельмгольца при малых значениях p2/pi. На ’ис. 1.47,6 приведены формы контактной поверхности при p3/pi=2 [моменты времени 0,45, 0,89, 1,34, 1,79.
L Перейдем к рассмотрению результатов численного моделирования Р е хм е р н ой РТН методом крупных частиц. Размеры расчетной власти составляли 20, 60, 20 ячеек соответственно по осям х, у, z. 4ри этом Дх=Дг/=Дг. В трехмерном случае возмущения поверхности аздеда могут образовать либо гексагональную, либо квадратную ре-етки. В данной работе выбран последний случай (не представляет ДРУДнений промоделировать гексагональную решетку). Для его реа-
Зации (в кинематической постановке) начальное возмущение
95
t=0,6
Рис. 1.48. Динамика формы поверхности раздела при трехмерной релей-те! ской неустойчивости в перспективной проекции (p2/pi=10).
скорости задавалось в виде *)
. . лх лх гптт I •. 11 (— 2л 11/11
и = A sin — cos — [2Н (у) — 1J ехр <-—г»
я лх лх ( —2л I у 11 v= A cos — cos exp <------->
Л7ТХ • ЛХ гл гт / \ 11 I 2л I у I |
cos-^- sin — [2Я (у)—1] ехр <-д"| '
В остальном все начальные, граничные условия и параметры задачи
были такими же, как и в двумерном случае.
На рис. 1.48 приведены поверхности раздела в перспективной проекции, построенные в последовательные моменты времени £=0,6, 0,9, 1,2, 1,5. Отчетливо видно «всплывание» широких пузырей и «проваливание» достаточно узких пиков [108]. Основная задача состоит в том, что здесь необходимо «пройти» на большие временные интервалы, чтобы установить моменты распада (или стабилизации) процесса.
Заметим, что «высоты» (размеры по оси у) пузыря и пика на рис. 1.48 в действительности не одинаковы. Это объясняется тем, что точка поверхности раздела с координатами x==z=n/(2L), z/=0, в которой первоначально ы=ц=ш=0, движется вниз с ускорением, примерно
Рис. 1.49.
Форма контактной поверхности в сечениях плоскостями при трехмерной релей-тейлоровской неустойчивости (/=1,5).
равным половине ускорения пика. Более четкое представление о характере процесса дает рис. 1.49, на котором изображены сечения контактной поверхности в плоскостях х=0 (г=0), x=z, х=—z при р = ==0>5(р1-|-р2) в момент времени /=1,5.
Отношение радиуса кривизны пузыря к длине волны возмущения £'(2L) составляет 0,34 в сечениях х=0 (z=0) и 0,31 в сечении x=z. теоретическое и экспериментальное значения этой величины, полученные при исследовании подъема воздушных пузырьков в вертикаль-НЬ1Х трубах, заполненных жидкостью, составляют 0,35, по Биркгофу
*) В
ЖИДКОСТИ
динамической постановке граница раздела в первоначально покоящейся имеет возмущенную форму.
С. М. Белоцерковский
97
4
[109]. Безразмерная скорость подъема пузыря ив (2Lg)~'^ равнялась 0,31+0,02, в то время как, согласно данным [109], для цилиндриче^ ких труб она составляет 0,32, а для труб прямоугольного сеченид (с отношением сторон прямоугольника 1 : 4) составляет 0,29. Ускорение пика было примерно на 20% больше, чем в двумерном случае, в т0 время как сам пик был несколько шире.
Вполне возможно, что указанные расчеты требуют уточнения, но совершенно ясно, что и они представляют значительный интерес.
4. Схема расщепления метода крупных частиц для уравнений Навье — Стокса. В настоящее время наблюдается повышенный интерес к изучению потоков вязкого теплопроводного газа. Однако здесь исследователи наталкиваются на значительные трудно-сти, связанные с попыткой получения численного решения уравнении Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса. Известно, что при превышении некоторого критического числа Рейнольдса (порядка 102—103) разностная схема становится либо неустойчивой, либо полученные результаты не отвечают, вообще говоря, уравнениям Навье — Стокса, хотя вычислительный алгоритм формально позволяет проводить устойчивый счет сквозным образом практически для всех Re.
Такая альтернатива имеет, по-видимому, глубокий смысл [10, 79, 94]. Уравнения Навье — Стокса, выводимые в предположении прямой пропорциональности тензора напряжений и тензора скоростей деформаций, справедливы для тонких пограничных слоев или для потоков газа со значительной вязкостью, где все течение определяется молекулярными эффектами (малые и умеренные Re). Значительная величина молекулярной вязкости делает эти течения гидродинамически (и численно) устойчивыми. Ламинарные течения при больших числах Рейнольдса гидродинамически неустойчивы. Малой величины молекулярной вязкости уже недостаточно здесь для стабилизации ламинарного течения, и оно становится турбулентным. В возникающей при турбулентном обмене эффективной турбулентной вязкости доля молекулярной вязкости весьма незначительна [71] (обычно Рмол/Нтур^Ю^+Ю-6). Механизм переноса становится, таким образом, иным: вместо молекулярного — турбулентным. Поэтому в разностных схемах (обычно высокого порядка точности [ПО]), достаточно адекватно описывающих при больших числах Рейнольдса уравнения Навье—Стокса [111], молекулярный диссипативный механизм становится недостаточным для обеспечения устойчивого решения (а другого механизма переноса в алгоритм не заложено). Это и не позволяет получать устойчивое решение.
В разностных схемах сквозного счета постоянно присутствует значительная аппроксимационная вязкость, обеспечивающая Ус" тойчивость вычислений. При малых и умеренных числах Рейнольдса величина этой аппроксимационной вязкости мала по сравнению с членами, учитывающими молекулярные эффекты, поэтому получаемое решение отвечает уравнениям Навье—Стокса. При больших числах Рейнольдса молекулярные эффекты становятся малыми по сравнению со схемными, и получаемое решение, несмотря на вычислительную устойчивость, уже не отвечает уравнениям Навье—Стокса.
98
Следует отметить, что наличие в разностной схеме членов с моле-куЛярн°й вязкостью делает решение зависимым от ее величины не только при малых числах Рейнольдса (где она определяет течение), но при умеренных значениях ReM0JI, где величины схемной и молекулярной вязкостей становятся сравнимыми. Даже в том случае, когда величина аппроксимационной вязкости значительно превышает величину молекулярной вязкости, эта зависимость может иметь место (что и наблюдается в некоторых расчетах), хотя течение уже определяется схемными эффектами.
Подобная ситуация наблюдается, по-видимому, и в динамике разреженных газов при решении задач с малым числом Кнудсена (Кп). Переход от свободномолекулярного режима к режиму сплошной среды при уменьшении Кп с вычислительной точки зрения встречает трудности, аналогичные тем, которые возникают при увеличении Re (уменьшении коэффициента молекулярной вязкости) в уравнениях Навье — Стокса. Наличие малых параметров (р, Кп и т. д.) в уравнениях обусловливает существование их критических величин в разностных схемах, когда влияние соответствующих членов на решение становится сравнимым с влиянием аппроксимационных эффектов.
Повышение порядка аппроксимации разностных схем не дает, вообще говоря, принципиального решения этой проблемы. Может оказаться, в частности, что схема первого порядка точности на реальных сетках точнее схемы второго порядка точности [112]. Это происходит потому, что сравнение разностных схем по порядку точности целесообразно проводить лишь асимптотически при малых значениях сеточных параметров. Используемые же на практике реальные сетки довольно крупны, и на них асимптотические оценки могут «не работать». К тому же практическое построение разностных схем высокого порядка точности, обладающих необходимыми качествами, представляется весьма сложным и реализуется лишь на достаточно простых моделях.
Схема расщепления метода крупных частиц (1.2)—(1.7) может непосредственно использоваться и для построения численного решения Уравнений Навье — Стокса. В [79] приводится один из вариантов такого подхода для течений сжимаемого вязкого газа. При этом, по существу, изменяется лишь первый шаг расчета, куда входят вязкостные члены, содержащие производные второго порядка по пространственным переменным. Так, например, первое уравнение (1.2) принимает здесь следующий вид:
+ <'-44)
тде ц, х—соответственно первый и второй коэффициенты вязкости \^ = Лр). Дифференциальное приближение уравнения импульса в одномерном случае запишется в виде [79]
^£ + 5(р + рг?)=Г (Л + 2) + р|ы|^, ^ + 0(Д/) д%2)> (145)
"Ричем [ц(Д+1)+р|ы|Ах/2] — диссипативный коэффициент эффектной вязкости, р|и|Дх/2 — схемная вязкость.
4*
99
Отсюда видно, между прочим, что при увеличении числа Рейнольд, са (уменьшении vM0JI) для достижения нужной точности и выполне-ния условий устойчивости вычислений требуется использовать все более мелкие шаги расчетной сетки.
Для указанного типа задач целесообразно ввести понятие адекватности полученного численного решения уравнениям Навье — Стокса
Рис. 1.50. Зависимость допустимых значений чисел Рейнольдса от шага разностной сетки при численном решении уравнений Навье — Стокса с заданной точностью в зоне возвратно-циркуляционного течения С.
(точность аппроксимации вязкостных членов). Условием такой адекватности может быть, например, отношение аппроксимационной вязкости в (1.45) к величине всего диссипативного коэффициента нашей разностной схемы (доля схемной вязкости) [119]:
Это отношение накладывает дополнительные ограничения на шаги расчетной сетки (при этом величина б сильно зависит от числа Рейнольдса).
100
Из 6-условия (1.46) следует, что для аппроксимации (1.45)
р | и | Дх/2 s
И (А + 2) + р | и | Дх/2
(1-47)
Отсюда можно получить конкретные зависимости (они имеют вид гипербол) предельно допустимых шагов расчетной сетки (при заданном де), обеспечивающие нужную точность при аппроксимации вязкостных членов:
Re Лх = const (6). (1-47')
На рис. 1.50 приводится такая зависимость [79] для зоны С воз-
вратно-циркуляционного течения, откуда видно, например, что для де==Ю0 при аппроксимации вязких членов с точностью 6—5% тре
буются шаги расчетной сетки Дх^0,06. Для областей А и В макси мально допустимое число Re (при
постоянных значениях h и 6) на порядок меньше.
Разностная схема метода крупных частиц позволяет получать (с учетом условий (1.47), (1.47') надежные результаты как при малых, так и при умеренных числах Рейнольдса. В качестве примера приведем результаты расчета вязких течений по описанной выше методике [94]. Вид области интегри
Рис. 1.51. Схема обтекания затупленного тела конечных размеров вязким потоком газа: А — зона слабовозмущенного течения, В — ударный слой, С — зона возвратно-циркуляционного течения.
рования и форма обтекаемого тела приведены на рис. 1.51.
Был осуществлен следующий численный эксперимент. В невозмущенный плоскопаралле-
льный сверхзвуковой поток (М.^—
=2) в первоначальный момент времени помещалось тело. Расчет вна-
чале проводился по разностной схеме метода крупных частиц без учета молекулярной вязкости (т. е. при р=0) от (=0 до установления. Поскольку сквозной счет осуществлялся с аппроксимационной вязкостью, то структуры потока внутри областей разрыва (например, Ударных волн) не соответствовали реальному течению. Однако на границах этих зон (2—3 счетные ячейки) асимптотика течения (условия Гюгонио для ударных волн) выполнялась с хорошей точностью. После Достижения установления управляющий модуль программы временно прекращал счет старого (невязкого) эйлерова этапа и осуществлял поиск нового (вязкого) модуля эйлерова этапа (соответствующего решению уравнений Навье — Стокса), комплексировал модифицированную программу и возобновлял счет до нового установления. Полученное решение соответствует уже течению вязкого теплопроводного
Следует ожидать, что в областях невязкого течения параметры газа останутся те же. На ударных волнах и других поверхностях разрыва
in I
профили гидродинамических параметров изменятся и будут соответствовать течению газа, обладающего молекулярной вязкостью и теплопроводностью с определенным числом Рейнольдса. Проведенные расчеты показали, что полученное решение в основном ведет себя указанным образом [94].
Рис. 1.52. Профили плотности р (а) и числа Маха М (б) вдоль оси симметрии QO (см. рис. 1.51) при сверхзвуковом (54^=2) обтекании затупленного тела (----- (х=0;
• • • • р=0,1).
Некоторые результаты данного численного эксперимента [79] приведены на рис. 1.52, где показаны профили плотности р и числа Маха вдоль оси симметрии QO (см. рис. 1.51). Сплошные линии соответствуют течению без молекулярной вязкости, пунктирные — с ее учетом. Параметры вязкого газа были таковы: Моо=2, р=0,1, Д = =—2/3. В данном случае расчеты проводились при неизменном во всем поле течения коэффициенте молекулярной вязкости. Однако введение в описанную схему надлежащего закона изменения р не представляет особых затруднений. По приведенной разностной схеме можно проводить счет от произвольных начальных данных (как при решении уравнений Эйлера), в том числе и от первоначально невозмущенного плоскопараллельного потока. Однако при этом время счета будет значительно больше, чем в случае использования невязкого модуля эйлерова этапа.
Разностные схемы такого типа предпочтительны при решении нестационарных аэродинамических задач при наличии разнохарактерных областей взаимодействия (течения со вдувом, струйные задачи, турбулентные движения и др.).
5. Точность метода крупных частиц при решении задач газовой динамики. Дальнейшее изложение материала будет дано, следуя [113].
Один из аспектов повышения эффективности метода крупных частиц связан с усилением устойчивости первого этапа вычислительного 102
цикла. Это является ссобенно важным при расчете застойных и сильно разреженных областей, где возникают осцилляции нефизической природы. Как уже отмечалось, здесь целесообразно использование неявных схем [86, 95], введение аппроксимационных полиномов метода интёгральных соотношений [6, 10] и т. д. Для задач волновой динамики был предложен способ гашения таких осцилляций путем введения искусственной вязкости в точках нерегулярности [25, 114, 115].
Естественно, возникает вопрос и о построении схем более высокого (например, второго) порядка точности. Один из таких подходов описывался ранее (см. п. 2 § 2). Возможно также использовать аппроксимации консервативного метода потоков [116], в котором для определения значений всех функций и первых производных применяются симметричные формулы, а для расчета плотности (или потока массы) — несимметричные представления. В этом подходе рассматриваются только две соседние ячейки, но достигается точность аппроксимации второго порядка. Для таких подходов, однако, схемной вяз-кссги недостаточно для обеспечения устойчивости вычислений и необходимо введение искусственной вязкости.
Таким образом, представляет интерес изучение влияния точности аппроксимации и различных видов искусственной вязкости в рамках метода крупных частиц на результаты численного решения двумерных задач газовой динамики. Аппроксимация второго порядка точности применялась для расчета одномерной задачи об отражении ударной волны, при рассмотрении двумерной задачи о сильном взрыве и для расчета взрыва цилиндра на жесткой поверхности. Все результаты сравнивались с данными, полученными методом крупных частиц первого порядка аппроксимации, с аналитическими решениями, а также с расчетами, проведенными по другим численным методам [113].
Несимметричные формулы второго порядка точности типа [116] были использованы для расчета потоков массы через границы эйлеровых ячеек на втором этапе схемы крупных частиц:
ДМ,А-../. 148)
7 I 1,5р,+110,5р,.+21/«г+!!1/, «I+V2,/<O.
Для получения устойчивости счета в этом случае было необходимо ввести на первом этапе искусственную вязкость. Расчеты проводились с квадратичной вязкостью
| b (&и/Ьх)ъ &х р, Ды/Дх < 0,
7==\ 0, Д«/Дх>0, (1'49)
а также с линейной вязкостью
j —Ь^р/рУ^рЛи, Ли/Лх<0,
q~\ 0, Д«/Дх > 0, ( • }
где Ь — постоянный коэффициент.
Использование квадратичной вязкости (1.49) не дало здесь желаемого результата (это эффективно лишь там, где скорость течения имеет порядок скорости звука). В области же, где скорость течения значительно меньше скорости звука, квадратичной искусственной вязкости недостаточно, и это создает необходимость введения большего коэффициента вязкости Ь, что, в свою очередь, приводит к сильному «размазыванию» ударной волны.
Рис. 1.53. Расчет одномерных ударных волн (профили давления р): а) первый порядок (--------6=0, т=20; • • • • 6=1, /п=40;-----------6=1, т=20); б) второй порядок (— ------— 6=0,25, /п=20;-----------6=0,5, т=40; .... 6 =0,5,
/п=20); ----- аналитическое решение.
Оптимальным в приводимых ниже расчетах оказалось использование линейной вязкости (1.49'). В алгоритме она вводилась на границе смежных ячеек при вычислении граничного давления на первом этапе:
Pi+i/2, j = (Р<, j + P<+i, /)/2 + 7z+i/2, /»
104
где
^'+|* —b[y(pi + 1,j + Pi,^ (Pz + by + p,-,;)]'72 («,+1.,), «z+i/а. / < О,
(1.50)
Рис. 1.54. Расчет одномерных ударных волн (профили плотности р): а) первый порядок (—• — •---• b=l, т=20;------------Ь= 1,
т=40); б) второй порядок (— •—•—• — 6=0,5, т=20;----------6=0,5, т=40); ------- ана-
литическое решение.
а) Расчет ударных волн, плоской преграды. Методом второго порядка точности производился волн с различной амплитудой. Одномерная ударная волна распространялась по эйлеровой сетке из т ячеек (т=20, 40) с пространственным шагом Az (соответственно Az=l, 0,5). На границе последней ячейки реализовывались условия непротекания, что обусловливало отражение ударной волны. На рис. 1.53 изображены профили давления, а на рис. 1.54— профили плотности до отражения (в момент времени /=10) и после отражения (/=24) ударной волны, имеющей следующие начальные параметры: на скачке давление р=2 и плотность р=1,625, массовая скорость и=0,62, начальное фоновое давление рв= 1, плотность Ро=1. (На рис. 1.53—1.56 сплошная линия — аналитическое решение.) Расчеты проводились при различных значениях коэффициента аппроксимационной вязкости в (1.50) 6=0, 0,25, 0,5, 1.
Видно, что при расчетах своими методами на профили давления оказывает сильное влияние искусственная вязкость (особенно это ска-
зывается на отраженной ударной волне за ее фронтом). Схемной вязкости метода крупных частиц уже недостаточно для расчета этой застойной области, и введение искусственной вязкости необходимо.
Аналогичные расчеты были выполнены для ударной волны с большим и малым начальным перепадом давления (соответственно Ар =
отражающихся от крупных частиц первого и расчет одномерных ударных
105
= 500 и 0,1). Результаты показали, что подбором значений искусствен* ной вязкости можно получить гладкие профили газодинамических величин. В случае волны малой амплитуды на результаты расчета оказывает сильное влияние точность, с которой вычисляются начальные значения давления, плотности, массовой скорости за фронтом ударной волны. Неточность в задании начальных параметров приводила к возникновению у границы сетки неустойчивости, затухающей на 5—Ю ячейках. Кроме определенной точности задания начальных парамет-
ров для полного устранения неустойчивости у границы сетки было необходимо введение искусственной вязкости на внешних границах первой и последней счетных ячеек.
Следует отметить, что при расчете ударной волны малой амплитуды устойчивый счет достигается методом первого порядка при меньшем коэффициенте искусственной вязкости (Ь= =0,2), что приводит к увеличению крутизны скачка. Коэффициент искусственной вязкости Z?=0,5 является минимальным для схемы второго порядка точности, так как при меньших значениях b начинает проявляться неустойчивость счета.
б) Задача о сильном в з р ы в е. По схемам первого и второго порядка точности были проведены расчеты задачи о взрыве без противодавления. Результаты сравни-
Рис. 1.55. Расчет двумерной задачи о сильном взрыве без противодавления (зависимости от времени положения фронта ударной волны r(t), давления p(t) и скорости на фронте волны «(/)) (--------первый порядок, сетка 40X40;
—•—• — •—первый порядок, сетка 80X80; . . . . второй порядок, сетка 40X40; —-------------
второй порядок, сетка 80X80;------аналити-
ческое решение [117]).
вались с аналитическим решением [117]. Безразмерные начальные параметры идеального газа в расчете были следующие: р=1064, и=0, р = 1. Расчеты производились в цилиндрической системе координат на двумерных сетках размером 40x40 и 80x80 ячеек. Начальная область взрыва занимала соответственно 4x4 = 16 и 8x8=64 ячейки. Начальный размер эйлеровой ячейки Az=Ar равен соответственно 1 и 0,5. В расчетах (при достижении областью, охваченной движением, внешних границ сетки) производилось автоматическое удвоение эйлерова шага сетки вдоль осей OZ и OR так, что максимальное количество ячеек расчетной сет
106
ки сохранялось постоянным. Результаты расчетов вдоль оси OZ представлены на рис. 1.55, 1.56.
Как видно на рис. 1.55, зависимость положения фронта ударной волны от времени r(t), рассчитанная методом первого порядка точности на сетке 40x40, практически совпадает с аналитическим решением, в то время как расчет методом второго порядка дает завышенный результат даже на сетке 80x80. Давление p(t) и скорость u(t) на
Рис. 1.56. Расчет двумерной задачи о сильном взрыве без противодавления (распределение давления) (----первый порядок, сетка 40X40; —— •—•— первый порядок, сетка 80X80; • • • • второй порядок, сетка 40X40; - аналити-
ческое решение [117]).
фронте ударной волны оказываются меньше аналитических значений. Следует отметить, что вдоль оси OR давление, плотность и скорость на фронте ударной волны несколько больше, чем эти же параметры вдоль оси OZ.
На рис. 1.56 приведены графики распределения приведенного давления р/ра при сильном взрыве в различные моменты времени. Величины р0, г0 являются аналитическими значениями соответственно давления на фронте ударной волны и ее радиуса. Видно, что аналитическому решению в области разрежения в лучшей степени соответствует расчет методом первого порядка на сетке 80x80 ячеек. Во всех случаях, однако, наблюдаются сильно заниженные значения давления и плотности на фронте ударной волны.
„Наиболее приемлемое распределение скорости за фронтом ударной волны получается при расчете методом первого порядка на сетке 80 X 80 ячеек. Метод второго порядка точности и более грубые сетки (40 X 40 ячеек) дают сильную неустойчивость решения в центре взрыва, причем метод второго порядка точности дает завышенную скорость движения фронта.
в) Расчет сильного взрыва на плоскости. Результаты двумерного расчета сильного взрыва на плоскости сопоставлялись с результатами численного решения [118] этой же задачи.
107
Источником взрыва, как и в [118], был цилиндр с диаметром 1 м и высотой 1 м, помещенный на жесткой плоскости z=0 и содержащий воздух плотности 0,1 г/см3. Данные расчетов для размеров эйлеровой ячейки 12,5 см и 6,25 см, относящиеся к моменту времени /=30 мкс, приведены на рис. 1.57 (схема первого порядка точности) и рис. 1.58 (второй порядок точности). Отсюда видно, что схемы первого и второго
Рис. 1.57. Расчет по схеме первого порядка точности взрыва цилиндра на плоскости (давление на фронте ударной волны) (-------Дг= Дг=6,25; • • • • Дг= Дг= 12,5;
------— расчет [118] при Дг= Дг=6,25; —•—•—•— расчет [118] при Дг=Дг= 12,5).
Рис. 1.58. Расчет по схеме второго порядка точности взрыва цилиндра на плоскости (давление на фронте ударной волны) (------- Аг= Дг=6,25; • • • • Дг=Дг=12,5;
---------расчет [118] при Аг= Дг=6,25;-----—•— расчет[118] при Аг— Дг=12,5).
порядка дают приблизительно одинаковые результаты для величины предельного сжатия и давления на фронте ударной волны. Как следует из результатов расчета задачи о сильном взрыве, схема второго порядка дает завышенную скорость ударной волны. Поэтому расчеты по схеме первого порядка следует считать предпочтительными. Данные расчета, как и в [118], сильно зависят от размера эйлеровой ячейки для обеих схем.
Можно, таким образом, сделать следующие выводы [113]. Проведенные расчеты показали, что схема второго порядка точности дает удовлетворительные результаты, согласующиеся с аналитическими расчетами и с уже имеющимися численными данными. Схемы первого и второго порядка точности не дают принципиальных различий в результатах расчетов для указанного класса задач. Однако схема второго порядка точности нуждается в обязательном введении искусственной вязкости, что, в свою очередь, затрудняет расчеты, так как необходимо подбирать коэффициенты вязкости для каждого конкретного случая. Кроме того, как показано в пунктах б), в), схема второго порядка точности дает завышенную скорость фронта ударной волны. 108
Число эйлеровых ячеек во всех случаях сильно сказывается на расчетах. Удовлетворительные результаты могут быть получены уже при размере сетки 40x40.
Таким образом, схема с аппроксимацией второго порядка точности не имеет особых преимуществ перед схемой метода крупных частиц первого порядка точности. Учитывая, что схема второго порядка менее экономична при ее реализации, можно сделать вывод, что предпочтительнее пользоваться схемой метода крупных частиц первого порядка точности.
§ 9. Заключение
1. Число примеров расчета, иллюстрирующих возможности метода крупных частиц, можно было бы значительно увеличить, однако важнее, на наш взгляд, проанализировать полученные результаты.
При рассмотрении картины столь сложных течений, естественно, возникает вопрос о надежности и реальности получаемых результатов. Во всех рассматриваемых случаях большое внимание уделялось методическим расчетам; детально изучалась постановка задачи, краевых условий; численные данные сравнивались с асимптотикой течений, а также с результатами, полученными по другим схемам и из эксперимента. Как правило, везде получали вполне удовлетворительное согласие (погрешность расчетов методом крупных' частиц не превышает обычно нескольких процентов).
Напомним еще раз вид дифференциального приближения конечноразностных уравнений метода крупных частиц, откуда и следует наличие диссипативного механизма в численной схеме. В двумерном случае при отсутствии явных членов с искусственным давлением дифференциальные приближения имеют вид («разностный Эйлер»)
dt "Г V vt" у —
дри । - / IZ, . др д ( ди\ , д f ди\
~д1 |- V (puV) +~д~ — ) +g^ ^р8у ,
*L + V((x,V) + | = ^(pS^)+'|;(ps,t). (1.51)
где ех = | и | Ах/2, ег/=|и|Аг//2 — коэффициенты аппроксимационной вязкости. В левой части находятся точные выражения исходных дифференциальных уравнений Эйлера, а справа — диссипативные члены, возникающие при разложении исходного дифференциального оператора по сеточным параметрам и зависящие от вида используемых представлений. В двумерном случае схемная вязкость имеет вид матрицы *).
*) Интересно отметить, что структура коэффициентов аппроксимационной вязкости е ~|v | h очень напоминает структуру коэффициента турбулентной вязко-Сти ^.-масштаба ^тур ~ (это объясняется, видимо, одной причиной их возникновения— нелинейностью происходящих процессов). Если турбулентному
109
Таким образом, как следует из приведенных выражений, реализуемые при конкретных вычислениях уравнения (разностный Эйлер) являются диссипативными (хотя в качестве исходных использовались дифференциальные уравнения Эйлера), причем механизм диссипации определяется внутренней структурой разностных схем.
Как уже отмечалось ранее, роль коэффициента молекулярной вязкости vM0JI здесь играет коэффициент схемной (аппроксимационной) вязкости 8, зависящий от локальной скорости потока и размера разностной сетки h. Задача указанного приближенного механизма диссипации — сгладить (размазать) сильные разрывы, что позволяет проводить сквозной устойчивый счет в рамках идеальной среды по единым алгоритмам во всей области интегрирования. При этом важно отметить, что в методе крупных частиц моделируется, в принципе, точный механизм нестационарности развития явления.
Для устойчивости вычислений коэффициент диффузии at дифференциальных приближений должен быть положительным; на границах размыва должны выполняться с определенной точностью соответствующие условия разрыва, например условия Гюгонио для ударных волн. Разностные уравнения должны допускать, таким образом, решение, аналогичное по своей структуре «размазанному» скачку уплотнения, причем 8—>0 при й—>0 и зона размыва асимптотически должна переходить в поверхность разрыва.
Вид матрицы аппроксимационной вязкости (а следовательно, и вид разностной схемы) определяется из анализа дифференциальных приближений и может иметь различную структуру для разного класса задач. Указанный анализ может проводить, в принципе, электронно-вычислительная машина, так что при таком подходе машина, используя отмеченные выше критерии, практически сама конструирует или подправляет соответствующую математическую модель задачи.
Рассматриваемые в методе крупных частиц однородные конечноразностные схемы являются дивергентно-консервативными и диссипативно-устойчивыми: они аппроксимируют исходные дифференциальные уравнения, обеспечивают устойчивый счет (не «пропускают» экспоненциально возрастающих по времени неустойчивых возмущений) *) и имеют решение, аналогичное по своей структуре «размазанному» скачку уплотнения. По существу, эти критерии и являются определяющими при построении диссипационного механизма соответствующих
вихрю (масштаба % и движущемуся со скоростью п^) соотнести крупную частицу (размером h и скоростью п), то выражения для s и vTyp^ будут совершенно идентичны. Положив их ~ е.у ~ vTyp, получим, что дифференциальные приближения (1.51) при р = const (несжимаемая жидкость) примут вид точных уравнений Навье—Стокса, где вместо коэффициента молекулярной вязкости v,I0.i будет стоять коэффициент эффективной турбулентной вязкости vTyp [119].
*) Это условие может быть ослаблено. Можно, например, потребовать, чтобы конечно-разностная схема отражала неустойчивость движения при больших числах Рейнольдса. Для этого спектральные свойства линеаризованных уравнений Навье — Стокса и соответствующих конечно-разностных уравнений должны быть близки ДРУГ к другу [120, 121].
ПО
разностных схем (разностного Эйлера), аппроксимирующих исходную систему уравнений. С их помощью исследуются осредненные характеристики сложных задач газовой динамики для предельных режимов течений.
Точное моделирование временного цикла дает возможность изучать динамику нестационарных явлений. Приближенный механизм диссипации (с аппроксимационной вязкостью) позволяет определять с достаточной точностью положение, скорость распространения и характер взаимодействия разрывов: скачков уплотнения, контактных поверхностей, узких слоев смешения в следе за телом и т. п. Однако внутренние структуры этих разрывов, которые определяются молекулярными эффектами, таким подходом не улавливаются, так как влияние аппроксимационной вязкости в разностных уравнениях «забивает» молекулярные эффекты. Здесь, естественно, необходимо использовать модели Навье — Стокса.
Подчеркнем, что в однородных разностных схемах сквозного счета наличие аппроксимационной вязкости, обязательно. Именно ее присутствие в схеме позволяет единым образом описать гидродинамические течения, расчетные формулы которых становятся одинаковы в различных точках сетки независимо от того, находится ли данная точка в области гладкого решения или на разрыве.
Построение разностных схем с приближенным механизмом диссипации для рассматриваемых предельных типов течений целесообразно проводить на основе уравнений Эйлера. Дело в том, что при расчетах течений при больших числах Рейнольдса для устойчивости вычислительной процедуры необходимо, чтобы эффективная вязкость была достаточно большой и подавляла флуктуации, которые в противном случае будут увеличиваться и результате действия конвективных членов. Для течений при малых числах Рейнольдса это может достигаться различными путями. Наиболее желательным является использование для этих целей достоверных значений вязкости, или же необходимо проводить уменьшение диффузионных (второго порядка) ошибок аппроксимации. Однако для больших чисел Рейнольдса молекулярная вязкость является слишком малой величиной, чтобы ее можно было использовать для обеспечения вычислительной устойчивости. В этом случае приходится использовать большие значения эффективной вязкости и рассматривать отличный от молекулярного механизм диссипации [122].
При этом следует помнить, что конвективные члены разностной схемы могут порождать положительную диссипацию нефизической природы, которая допустима, если оказываемое ею влияние на осред-иенное движение пренебрежимо мало. Строго говоря, при расчетах с аппроксимационной вязкостью можно претендовать на получение Решения в тех областях, где влияние последней незначительно.
Ранее было показано путем исследования дифференциальных принижений и численного экспериментирования, что схемы метода кРУпных частиц допускают решения, аналогичные по своей структуре «Размазанному» скачку уплотнения. Это приводит к выглаживанию ильных разрывов, контактных поверхностей (на границах которых
111
выполняются краевые условия для предельных течений), причем обобщенное решение — предельный режим течения — получается здесь при расчете на большие временные интервалы и при измельчении расчетной сетки. По существу, аппроксимационная вязкость здесь играет роль возмущения.
Таким образом, если в уравнения идеального газа введены диссипативные члены, то (как показали исследования и расчеты) при достаточно широких предположениях относительно характера диссипации обобщенное решение большого класса задач для предельных режимов течения (^мол—>0) можно получить с определенной точностью путем предельного перехода из уравнений с приближенным механизмом диссипации, а не из уравнений Навье — Стокса [123, 124].
2. Если трактовать турбулентный поток как устойчивое нестационарное течение для средних характеристик, формирование которого происходит в процессе достаточно больших временных интервалов независимо, в определенных пределах, от конкретных начальных данных [122, 125] *), то можно предположить, что указанный подход будет справедлив (как по постановке задачи, так и по разработанной методике) и для численного исследования осредненных характеристик достаточно общих турбулентных явлений [8, 10]. Такие течения имеют место, например, когда пульсации турбулентного движения носят случайный характер, а самые большие вихри, возникающие в потоке, значительно меньше размеров области сдвигового течения (турбулентные потоки при больших числах Рейнольдса в трубах, в пограничных слоях на стенках, в свободных струях, в зонах следа за телом).
Действительно, схемы метода крупных частиц с приближенным механизмом диссипации позволяют ввести в поток вихревые (турбулентные) возмущения, а расчеты на большие временные интервалы при точном моделировании нестационарности позволяют получить для сформировавшегося течения осредненный по времени турбулентный (по определению) поток. При этом турбулентному вихрю масштаба А, можно соотнести крупную частицу размером h. Если теперь для такой ячейки эйлеровой сетки записать уравнения баланса (типа (1.51)), то это приведет к сглаживанию мелких вихрей **).
Приближенный механизм диссипации разностных уравнений позволяет определять (из условий устойчивости решения в целом) эффективные значения коэффициентов переноса, что и дает возможность феноменологически ввести турбулентность. Диссипативные (сглаживающие) члены в (1.51) при соответственном представлении эффективной вязкости е должны приближенно отражать для данного уровня разрешения (A~/i) вклад мелкомасштабной турбулентности А<Д [119] ***).
*) При рассмотрении турбулентного движения в течение достаточно больших промежутков времени конкретные начальные условия перестают играть какую-либо роль [125].
** ) Выбор размера расчетной сетки h в разностном Эйлере (1.51) должен обеспечивать содержание основной части энергетического спектра при Да/г (сетка здесь не должна быть фильтром).
** *) В. М. Иевлев показал, что при численном моделировании крупномасштабной турбулентности существует принципиальная возможность получения правильных 112
Построенные таким образом на основе модели Эйлера расчетные схемы дают возможность, вообще говоря, изучать в инерционном интервале осредненные характеристики не только «упорядоченных» структур крупномасштабных турбулентных движений, отвечающих большим числам Рейнольдса, но и турбулентности масштаба где I — основной масштаб турбулентности порядка величины характеристических длин, определяющих размеры области, — внутренний масштаб турбулентности, Re?„)~l *) (см. [125]).
Локальные свойства турбулентного течения могут быть описаны, например, из соображений размерности на основе концепции Прандт-Ля — Колмогорова всего двумя величинами — кинетической энергией пульсационного движения и «масштабом» турбулентности [126].
3. Описанные выше результаты, методические расчеты и аналитические оценки позволяют сделать следующие выводы:
— Для исследования большого класса задач (в том числе течений с ударными волнами, местными сверхзвуковыми зонами, в донной области за конечным телом, турбулентных движений при больших числах Рейнольдса и др.) вполне допустимо и целесообразно использование в качестве исходной системы нестационарных уравнений модели идеальной среды.
— Рассматриваемые здесь дивергентно-консервативные и диссипативно-устойчивые разностные схемы метода крупных частиц с приближенным механизмом диссипации и точным моделированием неста-ционарности обеспечивают при сравнительно небольшом числе узлов расчетной сетки (1,5—2,5 тыс. ячеек) реализацию устойчивых вычислительных процедур при решении широкого класса сложных задач аэрогазодинамики.
— Влияние аппроксимационных диссипативных членов разностных уравнений проявляется в расчетах, согласно физической постановке задачи, лишь в узких зонах (слои смешения, ударные волны и т. д.), структуры которых в этом подходе не изучаются (расчеты на разных сетках аппроксимации подтвердили справедливость этого вывода и правомерность математической постановки задачи).
— «Обобщенное» решение рассматриваемого класса задач для предельного режима течения находится путем предельного перехода для больших интервалов времени из уравнений с приближенным механизмом диссипации.
статистических результатов с помощью сглаженных уравнений движения (где вклад Мелкомасштабных вихрей представлен приближенно) без требования правильного-Расчета «истинных» полей пульсирующих величин (см. также: И ев л ев В. М. Турбулентные движения высокотемпературных сплошных сред.— М.: Наука, 1975).
) Как отмечено в [125], все величины, относящиеся к турбулентному движению ® масштабах /.5>>л0, не могут зависеть от молекулярной вязкости v (более точно, эти ^личины не должны меняться при изменении v и неизменных остальных условиях, которых происходит движение). Расстояние порядка ^0=Z/Re3'4 является границей Рименимости уравнений Эйлера к турбулентному движению.
ви „ким образом, турбулентные движения в инерционном интервале (масштабы д„ХРе® могут изучаться на основе моделей Эйлера с приближенным механизмом сипации, отражающим вклад мелких вихрей [119]. Более подробно об этом см.
гл, ]Ц
113
Вводя в рассмотрение время и крупную частицу (массу дискретной ячейки), метод и сам процесс расщепления каждого временного шага, получили большую физическую наглядность и аналогию с реальным экспериментом при изучении газодинамических течений. Наложив начальные и граничные условия, остается только наблюдать за развитием процесса. Весьма целесообразно применять здесь для вывода информации автоматизированные графопостроители, дисплейную тех-нику и другие устройства, способные отражать динамику развития процесса.
Использование указанных вычислительных методик типа частиц в ячейках (численный эксперимент) позволяет существенно расширить класс исследуемых задач аэрогазодинамики. Примерно те же принципы (описанные в гл. II—IV) успешно применяются и для построения численных алгоритмов, основанных на уравнениях Навье — Стокса и Больцмана [127].
ЛИТЕРАТУРА
1. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики,— В кн.: Вычисл. методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с. 316—342.
2. R i с h М. A method for Eulerian fluid dynamics.— Los Alamos Scientific Lab., Rept. № LAMS-2826. Los Alamos, 1963.
3. H i r t C. W. Heuristic stability theory for finite-difference equations.— J. Com-put. Phys., 1968, 2, №4, p. 339—355.
4. Белоцерковский О. M., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод крупных частиц для решения задач внешней аэродинамики.— М.: ВЦ АН СССР, 1970.
5. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод крупных частиц для газодинамических расчетов.— ЖВМ и МФ, 1971, 11, № 1, с. 182—207.
6. Д а в ы д о в Ю. М. Метод крупных частиц для задач газовой динамики.— Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: МФТИ, 1970.
7. Давыдов Ю. М. Расчет обтекания тел произвольной формы методом крупных частиц.— ЖВМ и МФ, 1971, 11, №4, с. 1056—1063.
8. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Численное моделирование сложных задач аэрогазодинамики методом крупных частиц.— Уч. зап. ЦАГИ, 1977, 8; № 3, с. 1—18 (ч. I); № 4, с. 1—9 (ч. II); № 5, с. 1—23 (ч. III).
9. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц (схемы и приложения).— М.: МФТИ, 1978.
10. Белоцерковский О. М. .Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент.— М.: Наука, 1982.
11. Яненко Н. Н.,Анучина Н. Н.,Петренко В.Е., Ш о к ин Ю. И.
О методах расчета задач газовой динамики с большими деформациями.— В кн.: Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1970, 1, № 1, с. 40— 62.
12. J е п t г у R. A., Martin R. Е., D а 1 у В. J. An Eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems.— J. Comput. Phys., 1966, 1, № 1, p. 87—118.
13. Дьяченко В. Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными.— ЖВМ и МФ, 1965, 5, №4, с. 680—688.
14. Н о х В. Ф. СЭЛ — совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач.— В кн.: Вычисл. методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с 128—184.
15. А н у ч и н а Н. Н. О методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими деформациями.— В кн.: Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1970, 1, № 4, с. 3—84.
114
15. X ё р т С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод.— В кн.: Числ. методы в механ. жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 156—164.
17. К Р 0 У л и У- FLAG — свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях.— В кн.: Числ. методы в механ. жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 135—145.
18. Н и к о л с Б. Дальнейшее развитие метода маркеров и ячеек для течений несжимаемой жидкости. В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 165—173.
19. ф р а н к Р. М., Лазарус Р. Б. Смешанный метод, использующий перемен-ныеЭйлера и Лагранжа.—Вкн.: Числ. методы в гидродинамике. М.: Мир, 1937. с. 55—75.
20. Харлоу Ф., Амсден Э.,Хёрт С. Численный расчет течений жидкости при произвольном числе Маха.— В кн.: Числ. методы в механ. жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 189—196.
21. Давыдов Ю. М. Многопараметрические схемы расщепления для решения пространственно-трехмерных нестационарных задач.— ДАН СССР, 1979, 247, №6, с. 1346—1350.
22. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Расчет методом крупных частиц трансзвуковых «закритических» режимов обтекания.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, № 1, с. 147—171.
23. Д а в ы д о в Ю. М. Метод крупных частиц (расщепление по физическим процессам).— В кн.: Числ. методы решения задач переноса. Часть 1. Минск: ИТМО АН БССР, 1979, с. 57—85.
24. Р и х т м а й е р Р. Д., Мортон К- Разностные методы решения задач,— М.: Наука, 1975.
25. Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И. Применение модифицированного метода крупных частиц к решению задач волновой динамики.— ЖВМ и МФ, 1976, 16, 4, с. 1017—1026.
26. Давыдов Ю. М.. Кутасов С. А.,Скотников В. П. Расчет гиперзвуковых режимов обтекания методом крупных частиц. — М.: 1978 (деп. в ВИНИТИ, №3484-78).
27. Д а в ы д о в Ю. М., Кутасов С. А., Фомин В. Н., Щелконогов А. Н. Расчет течений равновесного, диссоциированного, ионизованного и излучающего газа методом крупных частиц.—ЖВМ и МФ, 1982, 22, № 5, с, 1269—1273.
28. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю. М.,Скотников В. П.. Фомин В. Н. Исследование обтекания затупленных тел с учетом излучения
< методом крупных частиц.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1982, № 4, с. 106—112.
29. Оптические свойства горячего воздуха / Под ред. Л. М. Бибермана — М.: Наука, 1970.
30. Белоцерковский О. М.,Давыдов Ю. М. Исследование схем мето-t да крупных частиц с помощью дифференциальных приближений.— В кн.: Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с. 145—155.
31. Рождественский Б. Л., Я неико Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике,—М.: Наука, 1978.
32. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в тео-рию).—М.: Наука, 1977.
33. Я н е н к о Н. Н., Ш о к и н Ю. И. О первом дифференциальном приближении ? разностных схем для гиперболических систем уравнений.— Сибирский матем. | журн., 1969, 10, №5, с. 1173—1187.
Я Ш оки н Ю. И. Метод дифференциального приближения.— Новосибирск: На-| Ука, 1979.
Д а в ы д о в Ю. М. Об одном методе исследования устойчивости нелинейных разностных уравнений.— Тр. МФТИ. Сер. Аэрофизика, прикл. матем. М.: МФТИ, , 1971, с. 79—92.
»• М е р м а н Э., К P У п п Дж. Решение трансзвукового уравнения для потенциа-
; ла с помощью смешанной системы конечно-разностных схем.— В кн.: Числ. методы в механ. жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 49—61.
*'• Harlow F. Н., Н 1 г t С. W. Recent extensions to Eulerian methods for numerical fluid dynamics.— ЖВМ и МФ, 1972, 12, №3, с. 656—672.
115
33. Чаплыгин С. А. О газовых струях.— Дисс., 1902. М., 1949.
3: ). О в с я н н и к о в Л. В. О движении клиновидного профиля со скоростью зву-ка,—Тр. ЛКВВИА. Л.: ЛКВВИА, 1950, 33, с. 25—51.
40. Ф р а н к л ь Ф. И. Исследования по теории крыла бесконечного размаха, дци, жущегося со скоростью звука,—ДАН СССР, 1947, 57, №7, с. 661—664.
41. Г у д е р л е й К- Г. Теория околозвуковых течений.— М.: ИЛ, 1960.
42. Ф а л ь к о в и ч С. В., Ч е р н о в И. А. Обтекание тела вращения звуковым потоком газа.— Прикл. матем. и механ., 1964, 28, вып. 2, с. 280—284.
43. Е m е г у A. F. Ап evaluation of several differencing methods for inviscid fluid flow problems.—J. Comput. Phys., 1968, 2, № 3, p. 306—331.
44. Сычев В. В., Сычев Вик. В. О турбулентном отрыве.— ЖВМ и МФ, 1980 20, №6, с. 1500—1512.
45. Никольский А. А., Серебрийский Я. М., Сычев В. В. Аэродинамика установившегося обтекания тел при дозвуковых скоростях.— В кн.: Механ. в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1970, т. 2, с. 85—102.
46. Христианович С. А. Обтекание тел газом при больших дозвуковых скоростях.— Тр. ЦАГИ. М.: ЦАГИ, 1940, вып. 481.
47. Ф р а н к л ь Ф. И. К образованию скачков уплотнения в дозвуковых течениях с местными сверхзвуковыми скоростями.— Прикл. матем. и механ., 1947, 11, вып. 1, с. 199—202.
48. Никольский А. А., Таганов Г. И. Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального течения.— Прикл. матем. и механ., 1946, 10, вып. 4, с. 481—503.
49. G е г m a i п Р. Ecoulements transsoniques avec onde de chock.— Compt. Rend. Paris, 1956, 243, p. 1190—1192.
50. Шифрин Э.Г. Об одном условии разрушения области непрерывного сверхзвукового течения при обтекании выпуклого профиля с отошедшей ударной волной.— ДАН СССР, 1967, 176, № 4, с. 797—800.
51. Чушкин П. И. Обтекание эллипсов и эллипсоидов дозвуковым потоком газа.— В кн.: Вычисл. матем. М.: Изд-во АН СССР, 1957, № 2, с. 20—44.
52. Чушкин П. И. Расчет некоторых звуковых течений газа.— Прикл. матем. и механ., 1957, 21, вып. 3, с. 353—360.
53. Л и ф ш и ц Ю. Б. О расчете трансзвукового обтекания симметричного профиля в свободной струе.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1969, № 1, с. 52— 56.
54. Л и п н и ц к и й Ю. М., Лифшиц Ю. Б. О расчете обтекания тел вращения трансзвуковым потоком.— Прикл. матем. и механ., 1970, 34 вып. 3, с. 508—513.
55. F е г г а г i С., Т г i с о m i F. Transonic aerodynamics.— N. Y.: Acad. Press, 1968.
56. К a p м а н T. Сверхвуковая аэродинамика.— M.: ИЛ, 1948.
57. L i g h t h i 1 1 M. I. The diffraction of blast. 1.— Proc. Roy. Soc., 1949, 198, Ser. A, № 1055, p. 454—470.
58. T i n g L., L u d 1 о f f H. F. Aerodynamics of blasts.— J. Aeronaut. Sci., 1952, 19, №5, p. 317—328.
59. Г о л у б и н с к и й А. И. Набегание ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью.— Прикл. матем. и механ., 1964, 28, вып. 4, с. 778—779.
60. Б е ж а н о в К- А. Дифракция ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью.— Прикл. матем. и механ., 1969, 33, вып. 4, с. 631—637.
61. К о л г а н В. П. К задаче о дифракции ударной волны на клине, движущемся со сверхзвуковой скоростью.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1971, №6, с. 23—29.
62. С h а р m а п R. D., К u е h n, Larson Н. К. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition.— NASA Rept., 1958.
63. M а к к a p т и Д. (мл.), К У б о т а Н. Исследование следов за круглым цилиндром при М„—5,7.— Ракетная техника и космонавтика, 1964, №4, с. 51— 60.
64. Ч ж е н П. Отрывные течения.— М.: Мир, 1972.
65. Белоцерковский С. М., Н и ш т М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью.—М.: Наука, 1978.
116
(Й. Son I. S., Н а n г a t t у T. I. Numerical solution for the flow around a cylinder at Reynolds numbers of 40, 200 and 500.— J. Fluid Meeh., 1969, 35, № 2 p. 369—384.
jy. Маккарти Дж. Ф. Гиперзвуковая газодинамика тупых тел.— В кн.: Совр. проблемы газовой динамики. М.: Мир, 1971, с. 191—244.
де Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики.— М.: ° ’ Мир, 1982.
69. Д 0 РОДИ и ц ы н А. А. Основы теории пограничного слоя и теплопередачи.— М.: МФТИ, 1968.
70. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.— М.: Мир, 1973.
71. Миллионщиков М. Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах.— М.: Наука, 1969.
72. У и л к и н с М. Расчет упруго-пластических течений.— В кн.: Вычисл. методы в гидродинамике. М.: Мир, 1971.
73. С т у л о в В. П„ Мирский В. Н. Течение излучающего газа около затупленного тела при интенсивном испарении.— Теплоф. высоких температур, 1976, 14, № 1.
74. А ф а н а с ь е в Ю. В., Б а с о в Н. Г., В о л о с е в и ч П. П. и др. Нагрев дейтериево-тритиевой плазмы до термоядерных температур с помощью излучения ОКТ.— М., 1972. (Препринт / ФИАН СССР: №66).
75. Афанасьев Ю. В., Б асов Н. Г., В о л о с е в и ч П. П. и др. Анализ физических процессов в лазерных мишенях для эксперимента на уровне энергии 230 джоулей.— Квантовая электроника, 1975, 2, №8, с. 1816—1818.
76. А ф а н а с ь е в Ю. В., Б а с о в Н. Г., В о л о с е в и ч П. П. и др. Лазерное инициирование термоядерных реакций в неоднородных сферических мишенях.— Письма в ЖЭТФ, 1975, 21, вып. 2, с. 150—155.
77. Курдюмов С. П., Змитренко Н. В. V- и S-режимы сжатия конечной массы плазмы и особенности режимов с обострением (обзор).— Прикл. механ. и техн, физ., 1977, № 1, с. 3—25.
78. В о л о с е в и ч П. П., Г а м а л и й Е. Г., Г у л и н А. В. и др. Двумерные эффекты при лазерном сжатии стеклянных оболочек.— Письма в ЖЭТФ, 1976, 24, вып. 5, с. 283—286.
79. Давыдов Ю. М. Численное экспериментирование методом крупных частиц (теоретические основы численного эксперимента и его реализация).— В кн.: Прямое численное моделирование течений газа (численный эксперимент в газовой динамике). М.: ВЦ АН СССР, 1978, с. 65—95.
80. Белоцерковский О. М., Холодов А. С. Численное исследование некоторых задач газовой динамики сеточно-характеристическими методами.— В кн.: VI Междунар. конф, по числ. методам в гидродинамике (Тбилиси, 20— 25 июня 1978 г.). М.: ИПМ АН СССР, 1978 , 2, с. 37—47.
81. Белоцерковский О. М., Демченко В. В., Косарев В. И., Холодов А. С. Численное моделирование некоторых задач лазерного сжатия оболочек.— ЖВМ и МФ, 1978, 18, №2, с. 420—444.
82. Б елоцерковский О. М. О некоторых численных моделях в физике плазмы.— В кн.: Совр. проблемы матем. физики и вычисл. матем. М.: Наука, 1982, с. 48—64.
83. Бракнер К-, Джорна С. Управляемый лазерный синтез.— М.: Атом-издат, 1977.
^Крохин О. Н. и др. Экспериментальное исследование отражения и поглощения мощного светового излучения в лазерной плазме.— Тр. ФИАН СССР.— 1976, 85, с. 143—192.
8о. Митчнер М., К р У г е р Ч. Частично ионизованные газы.— М.: Мир, 1976. «6. Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1977.
87. Давыдов Ю. М., Скотников В. П. Исследование дробных ячеек в методе крупных частиц.— М.: ВЦ АН СССР, 1978.
88. Давыдов Ю. М., Скотников В. П. Дифференциальные приближения разностных схем.— М.: ВЦ АН СССР, 1978.
™ Давыд ов Ю. М., Скотников В. П. Метод крупных частиц: вопросы аппроксимации, схемной вязкости и устойчивости.— М.: ВЦ АН СССР,
Д а в ы д о в Ю. М., Скотников. В. П. Анализ метода крупных частиц с помощью дифференциальных приближений.— М.: ВЦ АН СССР, 1979.
117
91. Д а в ы д о в Ю. М. Исследование устойчивости разностных схем на границах расчетной области методом дифференциальных приближений.— ДАН СССР 1979, 244, №6, с. 1298—1302.
92. Д а в ы д о в Ю. М. Структура аппроксимационной вязкости.—ДАН СССР 1979, 245, №4. с. 812—815.
93. Д а в ы д о в Ю. М. Дифференциальные приближения и представления разно, г-ных схем.— М.: МФТИ, 1981.
94. Давыдов Ю. М. Расчет потоков газа, обладающих молекулярной вязкостью методом крупных частиц.— Гидромеханика. Киев: Наукова думка, 1980, № 42* с. 34—43.
95. М а р ч у к Г. И. Методы вычислительной математики.— М.: Наука, 1977.
96. Ферми Э. Научные труды.— М.: Наука, 1972. Т. 2.
97. Б и р к г о ф Г. Неустойчивость Гельмгольца и Тейлора.— В кн.: Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964, с. 68—94.
98. I п о g а m о v N. A. Turbulent phase of the Rayleigh-Taylor instability._
Черноголовка: Институт теоретич. физ. им. Л. Д. Ландау АН СССР, 1'978.
99. L о г d Rayleigh. Theory of sound.— N. Y.: Dover Publications Inc., 1894 V. 2.
100. Taylor G. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes. I.— Proc. Roy. Soc., 1950, 201, Ser. A, № 1065 p. 192—196.
101. L e w i s D. J. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to ths:T planes. II.— Proc. Roy. Soc., 1950, 202, Ser. A, № 1068, p. 81—96.
102. В i r k h о f f G. Los Alamos Scientific Lab., Rept. № LA-1862. Los Alamos, 1955.
103. Беленький C. 3.. Фрадкин E. С. Теория турбулентного перемешивания,— Tp. ФИАН СССР, 1965, 29, с. 207—238.
104. Harlow F. Н., W е 1 с h J. Е. Numerical study of large amplitude free surface motion.— Phys. Fluids, 1966, 9, №5, p. 842—851.
105. Daly B. J. Numerical study of two fluid Rayleigh-Taylor instability.— Phys. Fluids, 1967, 10, №2, p. 297—307.
106. Давыдов Ю. M. Численное исследование тэйлоровской неустойчивости в нелинейном приближении.— В кн.: Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1978, 9, №3, с. 67—69.
107. Волкова Р. А., Головизнин В. М., У л и н и ч Ф. Р., Фаворский А. П. Численное моделирование обжатия магнитного поля кумулирующим лайнером.— М., 1976. (Препринт / ИПМ АН СССР, № 111).
108. Давыдов Ю. М., Пантелеев М. С. Развитие трехмерных возмущений при релей-тейлоровской неустойчивости.— Прикл. механ. и техн, физ., 1981, № 1, с. 117—122.
109. Бир кг оф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны.—М.: Мир, 1964.
ПО. Валиуллин А. Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики.— Новосибирск: НГУ, 1973.
111. Толстых А. И. О численном расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого газа.— ЖВМ и МФ, 1966, 6, № 1, с. 113—120.
112. Самарский А. А. О консервативных разностных схемах.— В кн.: Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с. 129—136.
113. Р о м а н о в Г. С., Сузденков М. В., Тетерев А. В. О точности метода крупных частиц для задач газовой динамики.— ЖВМ и МФ, 1981, 21, №3, с. 798—803.
114. И в а н д а е в А. И. Об одном способе введения псевдовязкости и его применении к уточнению разностных решений уравнений газодинамики.— ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 2, с. 523—527. м
115. Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. IF Модифицированный метод крупных частиц для расчета нестационарных водно вых процессов в многофазных дисперсных средах.— ЖВМ и МФ, 1977, *<’ №6, с. 1531—1544.
116. Белоцерковский О. М., Северинов Л. И. Консервативны** метод потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким теплопр водным газом.— ЖВМ и МФ, 1973, 13, №2, с. 385—398.
118
117. С е д о в Л. И. Методы подобия и размерности в механике.— М.: Наука, 1977. J18. Б р о у д Г. Проблемы, связанные с расчетом взрывных взаимодействий в воздухе.— В кн.: Расчеты взрывов на ЭВМ. Газодинамика взрывов. М.: Мир, 1976, с. 217—238.
Ц9. Белоцерковский О. М. Прямое численное моделирование «переходных» течений газа и задач турбулентности.— В кн.: Механика турбулентных потоков / Под ред. В. В. Струминского. М.: Наука, 1980, с. 70—109.
120. М о и с е е н к о Б. Д., Р о ж д е с т в е н с к и й Б. Л., С и д о р о в а В. К. Спектральные характеристики разностных схем и условия численного моделирования предельных режимов течений вязкой жидкости.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, №6, с. 1499—1515.
121. Л е в и т а н Ю. Л., Моисеенко Б. Д., Приймак В. Г. и др. Методы численного моделирования турбулентного течения жидкости в канале.— ЖВМ и МФ, 1981, 21, №3, с. 737—747.
122. Дали Б., Харлоу Ф. Учет турбулентных эффектов при численном решении газодинамических задач.— В кн.: Числ. методы в механ. жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 277—288.
123. Куликовский А. Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами. Волны рекомбинации в магнитной гидродинамике.— Прикл. матем. и механ., 1968, 32, вып. 6, с. 1125—1131.
124. Mises R. On some topics in the fundamentals oi fluid flow theory.— Proc. First Nat. Congr. Appl. Meeh., Chicago, 1950, p. 667—671.
125. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Механика сплошных сред.— М.: Гос-техиздат, 1953.
126. Колмогоров А. Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости.— Изв. АН СССР. Сер. физ., 1942, VI, № 1—2, с. 56—58.
127. Белоцерковский О. М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на оснсве уравнений Эйлера, Навье — Стокса и Больцмана. Кармановская лекция. Годовые кар-мановские чтения (Брюссель, 15—19 марта 1976).— В кн.: Числ. методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1981, с. 348—398.
Глава II
МЕТОДЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Введение
В течение многих лет усилия математиков и механиков были направлены на изучение задач динамики вязкой несжимаемой жидкости* списываемых уравнениями Навье — Стокса. Сюда относятся задачи о движении жидкости в ламинарном и турбулентном режимах у тел конечных размеров; течения в зоне следа и областях срыва потока, в слоях смешения, в пограничных слоях у поверхности тела; задачи обтекания тел при наличии радиального вдува; течения стратифицированной (по плотности) жидкости и др. Появление ЭВМ придало новый импульс этим исследованиям, что позволило получить количественные результаты при решении практически важных задач о движении реальной жидкости при умеренных числах Рейнольдса. Нелинейность уравнений Навье — Стокса и наличие малых параметров при старших производных создают серьезные трудности как при их аналитическом исследовании (оно, по существу, возможно лишь для модельных уравнений или частных задач), так и при численном интегрировании этих уравнений с помощью ЭВМ. Следует подчеркнуть, что большинство существующих методик не позволяют практически получать достоверные результаты при изучении свойств течений вязкой жидкости у тел сложной формы (например, при определении характеристик современных летательных аппаратов), а также для больших чисел Рейнольдса, не говоря уже о турбулентном режиме движения. Точные количественные данные, сравнимые с физическим экспериментмом, получены в основном для ламинарных режимов течения в двумерных задачах. Таким образом, проблема построения численных алгоритмов для решения уравнений Навье — Стокса с высокой точностью (особенно в многомерном случае) остается на сегодня весьма актуальной.
Разработка численных алгоритмов для решения уравнений Навье — Стокса, описывающих течения несжимаемой жидкости, ведется, как известно, в нескольких направлениях. Большинство работ выполнено здесь для задач пограничного слоя. Много внимания уделялось также созданию численных схем повышенной точности на фиксированном сеточном шаблоне (в частности, схемы четвертого порядка точности по поперечной координате на трех узлах) с использованием итерационных методов решения разностных уравнений.
При рассмотрении классической задачи обтекания тела конечных размеров вязкой несжимаемой жидкостью широко использовались как явные, так и неявные схемы различных порядков точно' сти. Существенным моментом, по мнению многих исследователей, яВ'
120
дяется условие монотонности разностной схемы, позволяющее правильно описывать решение и в областях больших градиентов. Однако следует отметить, что в целом ряде случаев построить монотонную разностную схему высокого порядка точности бывает весьма затруднительно. При этом надо иметь в виду, что если явные методики дают ограничение на числа Рейнольдса, то неявные схемы с симметричной аппроксимацией конвективных членов связаны с жестким условием монотонности на шаг сетки, а неявные схемы с несимметричной аппроксимацией первого порядка конвективных членов способствуют появлению значительной аппроксимационной вязкости, сравнимой с молекулярной.
Большая часть численных методов была разработана применительно к системе уравнений относительно функции тока ф и вихря ®. Общим недостатком этих методов является использование в том или ином виде граничного условия для вихря на твердой поверхности, которое отсутствует в физической постановке задачи. Наличие дополнительного итерационного процесса, связанного с этим граничным условием, лимитирует скорость сходимости численных алгоритмов. Кроме того, очевидная ограниченность методов решения (ф, ®)-системы, связанная с невозможностью развития их на случай пространственных течений вязкой жидкости и течений сжимаемого газа, объясняет возросший в последнее время интерес к численному решению уравнений Навье — Стокса, записанных в естественных переменных скорость — давление:
1K + (HV)V----Vp + vAV, VK = 0,
где р — давление, V — вектор скорости, v — коэффициент кинематической вязкости. Здесь и ниже в случае несжимаемой однородной жидкости, без ограничения общности, положим плотность р=1.
Далее для широкого класса течений вязкой несжимаемой жидкости будут описаны численные алгоритмы, полученные при решении различных задач В. А. Гущиным, В. В. Щенниковым и С. О. Белоцерковским с помощью методов релаксации и расщепления. Основная Цель этих разработок — создание достаточно общих и рациональных численных методик для решения многомерных уравнений Навье — Стокса при умеренных числах Рейнольдса, способных весьма точно описать локальные свойства течений. С помощью единого принципа построения численных алгоритмов удается исследовать широкий класс плоских, осесимметричных и пространственных задач динамики вязкой жидкости.
Главным образом изучаются нестационарные переходные течения Жидкости (в частности, крови), которые характеризуются нелинейностью происходящих процессов, большими перемещениями среды и сложным механизмом взаимодействия. Проводится также детальный Методический численный анализ задач обтекания конечных тел вязким несжимаемым потоком.
Рассматривается проблема гидродинамической у с-сичивости течения вязкой несжимаемой жидкости при нали
121
чии периодической по пространственным переменным внешней силы* проводится аналитический и численный анализ докритического и за-критического режимов течения, а также численно исследуется на основе полных уравнений Навье — Стокса задача о движении стратифицированной (по плотности) жидкости в поле силы тяжести. Приводятся общие картины течения, исследуется динамика их поведения в переходной области, определяются критические параметры потока как для стационарных, так и для автоколебательных режимов движения.
Дальнейшим развитием метода расщепления является обобщение его на случай стратифицированных течений. С использованием указанного подхода решается задача о плоском нестационарном течении, возникающем в результате коллапса однородного пятна в стратифицированной по плотности вязкой жидкости. Проводится сравнение полученных результатов с расчетами других авторов, а также с некоторыми теоретическими и экспериментальными данными. И наконец, приводятся некоторые результаты численных расчетов обтекания тел конечных размеров стратифицированным и однородным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Выявлено наличие автоколебательного режима для такого рода течений в следе за телом. Изучение этих проблем представляет несомненный теоретический и практический интерес, что связано с вопросами возникновения турбулентности.
§ 2. Монотонная разностная схема метода релаксации для расчета стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости
Известно, что требование монотонности разностной схемы оказывается существенным в тех случаях, когда искомое решение имеет локальные области больших градиентов. Отказ от монотонности в этих случаях часто приводит к необходимости введения в разностные схемы стабилизирующих или сглаживающих членов, которые снижают эффективность численного метода. С другой стороны, как уже отмечалось во введении, условие монотонности и требование построения разностной схемы высокого порядка точности (например, второго) могут исключать друг друга [1]. В связи с этим представляет определенный интерес построение разностной схемы, удовлетворяющей этим двум условиям. Аналогичная идеология может использоваться и при численном решении уравнений Навье — Стокса.
Рассмотрим, следуя [2], модельное дифференциальное уравнение с малым параметром при старшей производной вида
где а(х) — непрерывная на [Ь, с] функция, которая может менять знак, v — малый постоянный параметр (х<У1).
Выбор этого уравнения объясняется двумя обстоятельствами-С одной стороны, оно в известной степени моделирует уравнение пере' носа вихря в течениях вязкой жидкости, с другой — соответствую'
122
щИм выбором функции а(х) можно сравнительно просто моделировать дВе наиболее типичные области больших локальных градиентов решения (пограничный слой у поверхности обтекаемого тела и свободный пограничный слой в потоке), возникающие при достаточно малых значениях параметра v.
Введем равномерное разбиение отрезка [Ь, с] с шагом h=(c—b)/N точками Xi^b+ih (i=0, 1,. . N). Пусть разностное уравнение
У a(,ci)z+ft = 0, 1 = —1,0, ...,2V—п, n<N (2.2)
ft=i
^+s = ci)(xz+ft), a!k—постоянные коэффициенты) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (2.1) с порядком р. Рассмотрим различного вида разностные схемы (2.2).
1. Явная схема. Предположим, что существует =/= 0 (для всех I из (2.2), I < т < п). Тогда, разрешая (2.2) относительно (о1+т, имеем
^i+m------г 2 (2.3)
«т k = l кфт
Справедливо следующее утверждение: явная разностная схема (2.3) монотонна, если выполнены следующие условия'.
а)а'1<0,
б) ®о^О, сох>0, ..., со5>0, (2.4)
®дг^О, coiV_x0, ..., cov_r0, где s-\-r = n—3;
в) начальное приближение — знакопостоянная функция, удовлетворяющая условиям б).
Если к тому же выполнено условие
У (2-5)
Й=1 k^m
то разностная схема (2.3) устойчива. Доказательство этого утверждения достаточно просто, поэтому мы приводить его здесь не будем.
Разностная схема, полученная при симметричной аппроксимации второй производной и односторонней аппроксимации первой производной в уравнении (2.1) с учетом знака а(х)(а(х)>0), имеет вид
+ + (2-6)
Очевидно, что эта схема удовлетворяет условиям (2.4), (2.5), однако имеет первый порядок точности.
. Широко распространенная полностью симметричная разностная схема в применении к уравнению (2.1) имеет вид
TJ®/ = (дУ-4+1 + + ) ®|-1- (2‘7)
123
Легко видеть, что схема (2.7) удовлетворяет условиям (2.4), (2.5) если h^2.v!|а|. Это ограничение на шаг h оказывается весьма обременительным с вычислительной точки зрения, когда v мало.
В [3] предложена безусловно монотонная разностная схема. Применительно к уравнению (2.1) она может быть представлена при а(х)>0 следующим образом:
(2v* о,- \ v* . /' v* . а; \ /Оп
где v* = v/(l-}-0,5/i|a,-|/v).
Как показано в [3], уравнение (2.8) имеет схемную вязкость вида T=v7?2/(1+P), где 7?=0,5/i|«i|/v. Если зафиксировать h и устремить v к нулю, то в результате получим T=0(/i). Таким образом, схема (2.8) имеет асимптотически первый порядок точности. Выбранная асимптотика отвечает возникающей в практических расчетах ситуации, когда на малом (но фиксированном) шаге h желают получить численные результаты для возможно малых v.
Рассмотрим следующее разностное уравнение [21:
Нетрудно показать, что разностная схема (2.9) аппроксимирует (2.1) в точке i —1/2 с погрешностью второго порядка О (/г2).
Пусть аг-_1/з > 0, тогда разрешим уравнение (2.9) относительно со,-: ("Ьг5"*-2Л2-) =-2/? 2Л2 ) 2Й2-®'-2- (2-10 )
Полученная разностная схема, очевидно, удовлетворяет условиям (2.4), (2.5), т. е. является монотонной и устойчивой, если /i>v/2|a|, coj^O.
Аналогично, для случая а(-_1;г<0, разрешая (2.9) относительно получим
(l/i2- 5г2) 2Л2-) 2Л2’(0'-2- <2-10)
Схема (2.10") удовлетворяет условиям (2.4), (2.5), если /i^v/2|a|,
Удовлетворить условиям или cojV_1/J;0 можно, если, например, в узлах хх или xN_r записать схему (2.8).
В узлах, где нарушается условие v/21 а |, следует записывать схему (2.7). В этом случае
A<v/2[a| (2.П)
и достаточное условие монотонности и устойчивости схемы (2.7) (^ ^C2v/|a|) «вложено» в (2.11).
124
Рис. 2.1. Поведение решения <в(х) при М=100, v=10-3: 1—а(х)= =—0,5 (Зх— 1); 2 — а(х)=
=0,5 (Зх— 1).
Таким образом, предлагаемая разностная схема (2.9) включает себя схемы (2.10'), (2.10") с использованием в приграничных узлах /где нарушается условие /i^v/2|a|) схем (2.8) или (2.7).
' С целью проверки возможностей предложенной схемы было проведено сравнение результатов численного решения уравнения (2.1) с граничными условиями
®(0) = — 1/v, со(1) = О
для двух случаев:
а) а(х) = —у(3х—l),v=10-3;
б) a (x)=y (Зх— 1), v=10-3, полученных с использованием четырех разностных аппроксимаций:схемы (2.6), симметричной схемы (2.7), схемы Самарского (2.8) и предложенной здесь схемы (2.9) — (2.10). Результаты сравнения приведены на рис. 2.1—2.3.
На рис. 2.1 построены интегральные кривые решения ®(х). Кривая 1 соответствует случаю а), кривая 2 — случаю б). Число расчетных точек равнялось 7V=100.
На рис. 2.2 изображено поведение функции бсо(х)— разности между решениями, полученными с использованием различных схем (N—100). Кривая 1а отвечает разности решений (2.8) и (2.7); кривая 2а соответствует разности между решениями, полученными по предложенной монотонной схеме (сокращенно МС) и симметричной схеме (2.7); кривая За — разности решений (2.8) и МС. Кривая 15 соответствует разности решений (2.8) и МС, а кривая 25 — разности решений (2.6) и МС *). На рис. 2.3 приведено аналогичное сравнение для N= -20. Кривые 1а, 16 соответствуют разности решений, полученных по схемам (2.8) и МС для случаев а) и б), кривая 2а — разности решений (2.6) и МС. Разделение в масштабе такое же, как и на рис. 2.2. Из приведенных результатов видно, что, например, схема (2.8) дает значительное расхождение в областях больших градиентов. Причем, как и было предсказано, это расхождение особенно заметно при малом числе точек разбиения.
Обобщим предложенную схему на двумерный случай. Проиллюстрируем схему на примере уравнения вида
да , да дх 1 ду
д2а\ ду* /
(2-12)
где и, v—известные функции переменных х, у. Введем в рассмотрение равномерную прямоугольную сетку с шагами h1 = \x, h2 = &у. Вусть и > 0, v < 0 (остальные случаи могут быть исследованы ана-
*)
>б,2б
Масштабы для кривых 1а — За нанесены справа (на оси х=1), а для кривых — слева (на оси х=0).
125
логично). Тогда разностное уравнение, аппроксимирующее (2.12) с погрешностью второго порядка О (/it Л|) на 8-точечном шаблоне (рис. 2.4), разрешенное относительно имеет вид
+ (“i-i, /+1 + ш;, /-г), (2-13)
где и, = ц(-_1/2. v* = Vf-i/г,1/2. При построении этой схемы
Случай 5) Случай а)
Рис. 2.2. Поведение функции 6со(х) — разности между решениями, полученными с использованием различных схем (М=100). Кривая 1а отвечает разности между решениями, полученными по схемам (2.8) и (2.7); 2а — разности решений по монотонной схеме (МС) и (2.7); За — разности решений (2.8) и МС (масштаб для кривых 1а — За нанесен на оси х=1). Кривая 16 отвечает разности решений (2.8) и МС; 26 — разности решений (2.6) и МС (масштаб для кривых 16, 26 нанесен на оси х=0)-Рис. 2.3. Поведение функции 6<в(х) (М=20): 1а, 16 соответствуют разности решений (2.8) и МС для случаев а), б); 2а — разности решений (2.6) и МС.
Случай ff)
Случай а) &a№j
вторые производные аппроксимировались с использованием симметричных разностей, а первые производные—с помощью односторонних разностей. Исследуем указанную схему. Потребуем, чтобы коэффициенты перед в правой части (2.13) были неотрицательны.
126
В результате получим следующие условия: и* 2у_____________________________________2v 0
hi hl h.2 hl^ ’
>o,
(2.14)
(2-15)
", , v_________v
/. ~Г , 2 “Г ,2 "1 /lX “2 /l2
Условие (2.14) выполнено, если
it* hi
2v , 2 hi
/i2
2v
Й2
ИЛИ
2v
I'M ’
. - 2v
«2^1----
* In.
/11 >
(2.16)
Ограничения на шаги сетки (2.16), по существу, аналогичны соотношениям, полученным при рассмотрении одномерного уравнения (2.1). Рассмотрим теперь условия
(2.15). Пусть
и* —Ь — —v*—b^L
hi 1 hl ’ h2 •
(2.17)
Согласно (2.16) ^>1, fe2> 1. С учетом (2.17) условия (2.15) можно записать в следующем «свернутом» виде:
l^(l-Y)-^Yl< 1/2, (2.18)
В случае h1 = h2 условие (2.18) принимает простой вид:
1*1-Л|<1.
Очевидно, что условие (2.18) не является серьезным ограничением, если u.t и —п» достаточно близки по своим значениям и шаги сетки щ, h2 либо равны, либо мало отличаются (последнее обстоятельство имеет место в практических расчетах). Значения же w* и —v* могут, вообще говоря, различаться существенно. В этом случае следует несколько изменить схему.
Пусть, например, значение и* превосходит значение —п*. Тогда вместо (2.12) рассмотрим следующее уравнение, тождественное Исходному:
<2J9)
127
где U*=u*—6х, —6, x = 6 — некоторое положитель.
ное число. Аппроксимируем (аналогично предыдущему) первые дВа члена левой части уравнения (2.19) и заменим остальные члены в левой части (2.19) выражением
которое, очевидно, аппроксимирует член 6 [х (5ю/5х)*4-(dw/dy) 1 в (2.19) со вторым порядком точности. Разрешим теперь полученное разностное уравнение относительно
Из анализа схемы (2.20) следует, что для положительности ее коэффициентов необходимо, чтобы было выполнено условие (2.16) и
К 1/2, (2.21)
где
^ = t/A/(2v).
Легко видеть, что соответствующим подбором числа 6 можно удовлетворить условию (2.21) (если нарушается условие (2.16), то схема (2.13) или (2.20) заменяется на обычную 5-точечную симметричную схему). Таким образом, выводы, полученные в одномерном случае относительно предложенной схемы, справедливы и для двумерного
случая.
Для того чтобы завершить описание явной разностной схемы для
решения задачи стационарного обтекания тел потоком вязкой несжимаемой жидкости, отметим, что уравнение Аф=(о, замыкающее систему Навье — Стокса, может быть аппроксимировано с помощью обычной симметричной 5-точечной схемы.
Результаты конкретных расчетов, полученные с использованием предложенной схемы, будут приведены в § 5.
2. Неявная схема. Для решения четырехточечных конечно-разностных уравнений вида (2.9), (2.10) можно воспользоваться и неявными методами. Ниже приводится и обосновывается метод прогонки для решения краевой задачи, описываемой уравнениями вида (2.9),
(2.10) с соответствующими граничными условиями.
Пусть для определенности щ_1/2> 0, т. е. матрица {аЦ (см. 2. имеет две «поддиагонали» и одну «наддиагональ» (если а;-1/2
2)) О,
то число под- и наддиагоналей меняется местами). Тогда соответст-
вующую краевую задачу можно записать в следующем виде: аГЧ-2 + аГ1шг--1 + аК + аЧч-1 = 0> « = 2, 1, (2.22)
(2.23)
®oeHo> 4v=l1W'
128
Недостающее условие для cot можно получить, если в точке i=l записать схему (2.7) или (2.8).
Для оценки решения задачи (2.22), (2.23) воспользуемся принципом максимума. Рассмотрим следующий разностный оператор:
(Лсо),=а7Ч-2 + аГЧ-1 + аХ + сх)со,.+1, i = l, • • •> 1, (2.24)
где
(k=^0) и по крайней мере в одной точке
1
а" < 0, —а" > 2 af2 = 0.
* = -2 k =# о
(2.25)
Теорема 1. Если выполнены условия (2.25), то при (Лео),-О ((Лсо),-^О) для всех i функция со,-, отличная от постоянной, не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точках i=l, ..., N—1.
Доказательство. Предположим, что в некоторой внутренней точке достигается положительный максимум. Тогда, так как const, то найдется точка i = i0, в которой
со,-= шах ®, = Л10>0, 0 о < I < N
а в одной из соседних точек, например в точке t = i0—1, выполняется строгое неравенство со,- < Мо.
Запишем оператор (2.24) в виде
(Лсо),. = а} (со,-+1—со,-) —аД (со,—
—ат2 (со,—со,-_2) + (af2 + аД + а? + а)) со,..
В точке i = i0 из условия (2.25) следует неравенство
(Лсо),о = а)о (со,.о+1—со,.о)—а"1 (со,-,—со,.^) —а,;2 (со;<)—со,-о_2) +
+ (аГ»2 + аГ/+а? +ас)®/ —аГ1 (Ы1 —со,- _,) < 0,
что противоречит требованию (Лсо),о^О. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Следствие 1. Если (Лсо),<СО (i=l, 2, ..., N—1), со0^0, то функция со,- неотрицательна, со,-^0 (i = l,2, ...,N—1). Если (Лсо),ДэО (i = 1, 2, ..., N—1), со0^0, cov гД 0, то со,- О при с=1,2.......N—1.
Следствие 2. Если выполнены условия (2.25), то единственным решением задачи
(Лсо),=— Зф i=l,2, ..., N—1, со0 = р0, 0)^=^ (2.26)
при 3\ = 0, po = p,N = O является тождественный нуль, и, следовательно, задача (2.26) однозначно разрешима при любых 3~it р0, pjV.
Теорема 2. Пусть со,-—решение задачи (2.26), а —реше-
ние задачи, которая получается при 'замене в (2.26) 3:, р0, 5 О. М. Белоцерковский 129
соответственно на t, р0, p.v. Тогда при (Г=1, 2, ...
..., N—1), | ца | <Г ца (а = 0, N) справедлива оценка (i = 0, 1, ..., N). _
Доказательство. Так как ГД; 0, то согласно следствию 1 из теоремы 1 ®;-^0. Функции и( = со;—со,-, и,-= со,--|-со,- удовлетворяют уравнению (2.26) соответственно с правыми частями JF,-—S'., S’i + ff'i и граничными условиями ца—ра, ра+ра (а = 0, N). Применив следствие 1 из теоремы 1, получим, что м;^0, Г^О, т. е. | со,-1 <Г со,-.
Следствие. Для решения задачи (2.26) при <F; = 0 справедлива оценка
||®||сЛ<шах{|р0|, IhjvH.
Для доказательства рассмотрим вспомогательную задачу
(Aco); = 0, i=l,2, ..., N—1, соо =<f>N = p,
где p = max (|p,01, |[Лу|}. Согласно теореме 2 имеем
Нсл<Нсл’
а из теоремы 1 следует, что
11®11сд
Будем решать задачу (2.22), (2.23) с помощью четырехточечной схемы (2.10), за исключением точки 1=1, где записывается трехточечная схема (2.7) или (2.8), методом факторизации (прогонки). Решение задачи ищем в виде
со^РАч-i + Y/, i = 0, 1, ..., N— 1, (2.27)
где Pz, —неизвестные коэффициенты. Подставляя (2.27),
COf-X = Р(₽,®; + 1 + Т/) + Т;_1(
Ю/-2 = ₽/-2 (Р|-1 (Р/Ч-И +?/) + Т/-1) +?/- 2
в уравнение (2.22), получим
®г+1 (₽< (₽<-i (Рг-г^ + а?1) +а?) + «}) +
+ Yz (₽/-1 (₽г-2«Г2 + “Г1) + «?) + (₽,--2аГ2 + «Г1) + ?,-_2аГ2 = °-
Отсюда видно, что уравнение (2.22) будет выполнено, если потребовать выполнения равенств
₽/ (₽z-i (Р<-2а72 + af1) + а?) + а1 = 0,
V,- (₽/-1 (Р/-2аГ2 + аг1) + а?) + уг-_х (Р,-_2аГ2 + “Г1) + Т,--2аГ2 = 0.
130
Таким образом, рекуррентные соотношения для прогоночных коэффициентов имеют вид
о ___ 0^1
Pz-i (₽/- 2ai2 + ai1) + (2 28)
= — ТГ-1(Р1-2«Г2+ аГ1) + У1-2аГ2
Р/-1 (Р/~ 2а1 2_Ь ai Х)+а*
В точке i = l, используя схему (2.7) или (2.8), для коэффициентов получим выражения
Pi = ~R -17 o'. Ъ = - R о , (2-29)
PoCti -|-ai Po^i +ai
где в силу граничных условий (2.23)
₽о = 0. Yo = Ho- (2-30)
Итак, решение краевой задачи (2.22), (2.23) можно получить в виде (2.27), где
С0(. = Р;С0/+1 + У/, 1=0, --1, (ОЛ, = рЛг,
^1
Pz = “ ₽,•_! (р/._2аГЧа71) + а? ’
—Yi-i (Р/-2аГ 2+®Г Х)+Т|-2а} /о qi\
Y i ==--□--77,-------—=ТП—о— » • °11
Pl-1 (Pi-2ai +ai ) + «*
r«1 То^Г1
Ро<21 +а1 Роа1 + а1
Ро = °> Yo = Ho*
Для схемы (2.7) имеем
а-2 = — an = (ai-ii2 _2L\
2Л2 ’ —— 2/г2)'
„о_____( ai-i/2 , у \ 1 — _v_ • 2 3 1V_________1
а£— h + 2h2 у , “l — 2/|2 ’ 1 ’> • • • ’ 2V
а-1 —Г—-I- —a0 — — — «! = —
1— [2h + h2)’ 1— h2 ’ 1 \ 2/i /i2 J
и для схемы (2.8)
_j_JYl) „о_______«i = —
“i — ( h + h2 ) > “i — ( л + л2;» ai л2
Формулы (2.31) можно назвать формулами правой прогонки. Аналогично получаются формулы левой прогонки (al_i/2<0).
Формулы прогонки (2.31) устойчивы, если |Р;|^1. Можно Показать, что условия (2.25) достаточны для устойчивости. 5* 131
Действительно, ро = 0, 1, и если 0 Р(., 1, то
Р if i - ia i+1 + P ia i+i+a i+1
_ ________________«i+1_______________
' a|+1- 2 a^i+a-p/JarA+a-fiP-'-i)^ k=-2
Таким образом, метод прогонки для четырехточечной схемы (2.10) устойчив при выполнении условий (2.25), т. е. устойчив, если
/i>v/(2|a|). (2.32)
В точках сетки, где нарушается условие (2.32) (для h<vl(2\a|)), целесообразно пользоваться схемой (2.7), которая монотонна и устойчива при /i^2v/|a|.
§ 3. Решение уравнений Навье — Стокса в переменных скорость — давление (схемы расщепления для плоских, осесимметричных и пространственных течений)
1. Общие принципы построения схем. В настоящее время известно достаточно большое количество численных методов решения уравнений Навье — Стокса, описывающих течения несжимаемой вязкой жидкости. Большая часть этих подходов была разработана применительно к системе уравнений относительно функции тока ф и вихря со. Подробный анализ методик подобного типа можно найти в [4—6] *). Общим недостатком этих методов является использование в том или ином виде граничного условия для вихря на твердой поверхности тела, которое отсутствует в физической постановке задачи. Наличие дополнительного итерационного процесса, связанного с указанным граничным условием для вихря, лимитирует скорость сходимости численных алгоритмов.
Можно высказать следующее предположение. Разностная схема, позволяющая рассчитывать течения вязкой несжимаемой жидкости без использования граничного условия для вихря на твердой поверхности, при всех прочих равных условиях обладает большей эффективностью. Так, результаты расчетов, приведенные в [7], подтверждают правильность высказанного предположения (заметим, что разностная схема [7] удовлетворяет указанному выше требованию). Очевидная ограниченность методов решения (ф, со)-системы, связанная с невозможностью развития их на случай исследования пространственных потоков вязкой жидкости, а также течений сжимаемого газа, объясняет возросший в последнее время интерес к численному решению уравнений Навье —
*) См. также: Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980; К о в е н я В. М., Я н е н к о Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.— Новосибирск: Наука, 1981.
132
Стокса, записанных в естественных переменных:
----Vp + vAV, ?И=0. (2.33)
Основная трудность при численном решении системы уравнений (2.33) связана с расчетом поля давления. Первый значительный успех в преодолении отмеченной трудности был достигнут благодаря использованию идеи искусственной сжимаемости [8, 9]. Существо этой идеи состоит во введении в уравнение неразрывности дополнительного члена вида (d/dt) (р+У2/2). В результате получается модифицированная система уравнений вида
^+(Kv)K = -Vp + vAy, d(p + V2/2) , п др , ,, п
dt +V^ = 0, или -^- + vK = 0,
для решения которой могут быть использованы различные варианты метода расщепления [3, 10]. В качестве примера отметим работы [11, 12]. В отличие от [11], где рассматривается классическая схема формального расщепления на одномерные операторы, в [12] была использована идея расщепления, лежащая в основе метода частиц в ячейках PIC [13]. Согласно этой схеме вначале рассчитывается промежуточное поле скоростей V из уравнения
_|_ (у»у) уп = v д уп
(величины Vn предполагаются известными). Затем это поле под правляется с учетом градиента давления
у«+1_ у_т
где р—стационарное решение уравнения
dp/dt + V V — т Ар.
В результате указанных этапов удовлетворяются оба уравнения (2.33). Аналогичный прием расчета давления используется и в методе МАС [14].
В указанных подходах в качестве граничного условия на твердой поверхности тела используется уравнение движения в проекции на нормаль к поверхности в граничных точках. Последнее обстоятельство снижает эффективность численных методов, поскольку это условие отсутствует в физической постановке задачи.
В методе SMAC [15] благодаря последовательному использованию идеи расщепления [13, 14] и замене давления р на потенциальную функцию <р, обеспечивающую соленоидальность поля V'i+1 и удовлетворяющую однородным граничным условиям, удалось Избежать отмеченного недостатка метода МАС.
,В [16] предлагается оригинальная модификация граничных условий метода МАС, позволяющая получить однородные граничные условия для давления.
133
Следует отметить, что в схемах SMAC и модифицированном методе МАС [16] в силу выбранных разностных представлений выполнение условия прилипания приводит, с необходимостью, к определению граничного значения вихря на твердой поверхности тела удовлетворяющего условию Тома [5]. Последнее, как известно^ является условием первого порядка точности относительно шага пространственной сетки. Более того, условие прилипания в методе SMAC не обеспечивает баланса сил на твердой поверхности. Погрешность при этом имеет порядок O(v).
2. Схема расщепления. В отличие от классической схемы формального расщепления нами используется явная схема расщепления по физическим факторам[17, 18]. Введем следующие обозначения: VxV=w, vV=£>, \V — D.
Пусть в некоторый момент времени tn = nx (т—шаг по времени, п—число шагов) известны поля скорости V и давления р. Тогда схему определения неизвестных функций в момент времени /п+1 = = (п-|-1)т можно представить в виде трехэтапной схемы расщепления:
I: F~ F" = — (VnV) Vn—v Vxto"; (2.34)
II: Ар ——, так как £)n+1 = 0; (2.35)
III: т =—Vp. (2.36)
Уравнение (2.35) получается путем взятия дивергенции от обеих истей равенства (2.36) с учетом уравнения неразрывности (условия соленоидальности divVn+1 = 0).
Предлагается следующая физическая интерпретация приведенной схемы расщепления. На I этапе предполагается, что перенос количества движения (импульса единицы массы) осуществляется только за счет конвекции и диффузии. Полученное таким образом промежуточное поле скорости V, вообще говоря, не удовлетворяет условию несжимаемости (£>=/= 0). Следует, однако, отметить, что промежуточное поле скорости V имеет вполне определенный физический смысл. Действительно, если применить оператор rot к исходному уравнению (2.33) и к уравнению (2.34), а также учесть, что rot grad р = 0, то получим rot V=rot Vn+1 = con+1, т. e. уже на I этапе промежуточное поле скорости во внутренних точках исследуемой области течения дает правильные вихревые характеристики.
На II этапе по найденному промежуточному полю скорости с учетом условия соленоидальности вектора скорости Vn+1 находится поле давления.
На III этапе предполагается, что перенос осуществляется только за счет градиента давления (конвекция и диффузия отсутствуют).
134
Таким образом, вычислительный цикл имеет следующий вид: I — по известному в начальный (или предыдущий) момент времени полю скорости из уравнения (2.34) находится промежуточное поле скорости, определяя тем самым правую часть уравнения (2.35); II — решается уравнение Пуассона (2.35) для определения давления; III — подправляется окончательное (на данном слое по времени) поле скорости (2.36). Цикл повторяется до выполнения некоторого критерия установления (если существует стационарное решение) или до заданного момента времени.
3. Конечно-разностные схемы метода расщепления для различных классов задач [17, 18].
1) Прямоугольная декартова система координат (плоский случай). Покроем исследуемую область течения (рис. 2.5) равномерной по х и у сеткой ячеек
( х1+1/2 = Ц4-1/2)Дх, Дх>0, 1 = 0,1, ...,ЛГ; (JV+1) Дх=Хтах, Й=1 У/+1/2=(/Ч-1/2)Ду, \у> 0, / = 0, 1, (М+1)Ду=Гтах,
пространстве, как показано на рис. 2.5.
£
н
&
Рис. 2.5. Сеточный шаблон для метода расщепления (случай двух пространственных переменных).
где Дх, Ду — размеры шагов сетки, N, М — число ячеек сетки соответственно в направлении х, у (точка с координатами (i, /) совпадает с центром ячейки).
Здесь используется «шахматная» сетка, т. е. координаты сеточных функций разнесены в Это дает возможность наглядно интерпретировать каждую ячейку как элемент объема среды, который характеризуется рассчитываемыми в его центре давлением ptj (плотностью, температурой, энергией и т. д.), а также дивергенцией D (в зависимости от знака величина D характеризует наличие источника или стока в данном объеме). Знание же нормальной составляющей вектора скорости на границе ячейки позволяет непосредственно вычислять поток количества движения (импульса единицы массы) через эту границу.
Следует отметить еще одно преимущество таких Шаблонов. Поскольку давление рассчитывается в центре ячейки и предполагается, что Рассматриваются только согласованные сетки, т. е. для ячейки,
е.
135
смежной с границей dQ, сторона этой ячейки в точности совпадает с частью <5Q, то при расчетах нет необходимости знать условия ддя давления на dQ, которые, как правило, отсутствуют в физической постановке задачи. И это не последнее преимущество рассматриваемого шаблона. Как было показано в [19], спектральные свойства разностных уравнений, построенных с использованием шахматной сетки, существенно ближе к спектральным свойствам их дифференциальных прообразов, чем для обычных сеток (когда все сеточные функции рассчитываются в одних и тех же узлах). Это становится особенно важным при расчетах для больших чисел Рейнольдса.
Для случая декартовой системы координат и равномерной сетки (см. рис. 2.5) двумерная разностная схема имеет следующий вид:
Цг + 1/2, / ui+ 1/2, / _ (“//) ' (“1 + 1,/) , (““)} +1/2, /—1/2 (W)i+l/2, /+1/2_
т Дх ' Дг/
г- / 71П 7,п ..П ____. п ,
____У_ / и1+1, /+1/2 Ч, /+1/2 Mi+l/2,/+l “1+1/2,/ \
Дг/ [д Дх Дг/ /
/ ,,п __,,п ,,П ___\-|
__/ vt + l,/—1/2 ui, j-1/2 ui + l/2,j \ ,n oy, \ Дх Дг/ / J ’ ' '
vi, /' +1/2 vi, / + 1/2 _ (uv'>i-l/2, /+1/2 (uv^i+l/2, /+1/2 . (vij) ,
T ~ '
, v / *7+1, j+l/2~Vi, i-n/2 Ui+l/2, j+ 1 Ui + 1/2, /\_
Дх \ Дх Дг/ /
/ _,,n ,.n __________..n ч -1
___/ VZ, /+1/2 C1-1, /+1/2 “/-1/2,/+1 “1-1/2,/ \ , \ Дх_________________________________________________Дг/ / J
Da
-Д , (2.38)
Pi+i,j 2pij~\~Pi—i,j Pi,j + i 2,Pij~\~Pi, j—1
Дх2 । Д^2
,,гг+1 «1+1/2, j - п+ 1 vi, i+ 1/2 = = «i + 1/2, / — д% (Р/ +1, 7— pij), т ~vi, / + 1/2 д^(Р/,/ + 1 Pij}-
Легко видеть, что схема (2.37) — (2.39) аппроксимирует уравнения (2.34) — (2.36) со вторым порядком точности по пространственным переменным (погрешность аппроксимации порядка 0(т, /г2), где /г=тах(Дх, А//)).
2) Цилиндрическая и сферическая системы координат (плоский и осесимметричный с л У’ чаи). В цилиндрической и сферической системах координат (г, “) целесообразно ввести преобразование одной из независимых перемен^ ных z=ln г, обеспечивающее при постоянном шаге по z более мелкий шаг сетки вблизи твердой поверхности, где градиенты исследуемых функций велики. В преобразованной системе координат разностная 136
схема имеет вид (Аг, А9 — шаги сетки соответственно по г, 9)
«,•+1/2, / “l"+l/2, /_ z.-Zi + i/Q Г “^+1/2, / (“"+1, / Uij) I
------L Az
• Vl+1/2, / (“i+1/2, 1 + 1/2 “i+1/2, /-l/г) i n \2
<” Д0 \Vi+l/2,j)
f n _(.n 4
- ve-Z^[ai+1/2’i+1/\Q f+1/2-'-1/2' + Pctg9X+1/2./), (2.40)
V,- i + 1/2 — Vi. i+1/2 _ „~г;[ ui, i + l/2(Vi + i/2, i + l/2~vi-l/2, i+1/2) ,
—1-------\z +
^i+lMi+1-^
Д0
(uu)/, i+i/2 +
+ ve~zi( m?+1/2-' + 1/2<i/2./+i/2 p n \ 2^-(P+1)[e-Zi+l/2(p1+i,7— Рц)+е 2‘“1/2 (P/j—A-i,/)] +
+ i^~2‘+1/2 (A+i,/—A/)—e”Zf-1/2 (Pa—A-i,y)] +
. ~,.[Pi,j + i — Pij Pij—Pi,j-1 , P , Q , .I Dif
+ e '[ до2 as2 + 2Д0 ctg0‘‘(A, 7+1 Pi, у-i) J — —;
(2.41)
n+1 ~ те 1 + 1/2 , .
ui+l/2, i — ^i+l/2,i Д- \Pi+i,j Piib
-Z (2.42)
n+1 * %e ( x
^i, i+1/2 — vi, i+1/2 Д0- \Pi4j+l Pijb
^i+1/2, i+1/2 —
— p~Zi+l/2( V^+1- i+lb~Vi. i + 1/2 I П Ui+l/2, i+l—u"+1/2, j \
~e I------------------Гг-----------f-^ + l/2, 1 + 1/2 Д0---------- J,
(2-43) ₽u;7ctg07.
D _ 7. /о I 1\ “i+1/2. i ui-l/2, i 1 vi, i+1/2 vi,i-l/2 ,
'i<i~ «<7lP+ Tz 1 Д0 *
Конечно-разностная схема (2.40) — (2.43) аппроксимирует уравнения (2.34) — (2.36) с погрешностью О (т, h2'), где /i = max(Az, А0).
дИс- 2.6. Сеточный шаблон для метода расщеп-"ения (случай трех пространственных переменных).
137
Здесь и, v—составляющие вектора скорости соответственно вдодь z, 9; (В — 0 соответствует цилиндрической системе координат (3 = 1—сферической системе координат.
3) Трехмерный случай (пространственные течения). В случае равномерной сетки расчетные ячейки представляют собой прямоугольные параллелепипеды с ребрами Дх, Ду, Дг (рис. 2.6). Давление piJk определяется в центре ячейки, где i, /, k~~ номера ячеек соответственно в направлениях х, у, г. Составляющие вектора скорости находятся в центрах соответствующих граней ячеек. Например, щ+1/2,/, * *—составляющая вектора скорости в направлении оси х, которая рассчитывается в центре грани между ячейками (i, j, k) и (i-f- 1, /, k).
Разностная схема в трехмерном случае имеет следующий вид [18]:
Ui+H2. j, к~и?+1/2, j, к (“"+1, /, fe)2~(^t7fe)2
т Дх
_ (UV)i + 1/2, / + 1/2, fe (UV\+l/2, /- 1/2, k_ (UW}j+llz, i, fe+1/2 (ЦШ)г+1/2, /, fe— 1/2
Дг/ Дг
г ,,n __,n , n
ui+l, /+1/2, k Vi,j+l/2,k Vi+1, /—1/2, k'Vi, i-1/2, k
L
Ui+l/2, j+1. k 2“i+l/2, i, fe + Ml+l/2, /— 1, k by*
,,n ___П..П <,,n
Ui + l/2, j, k+1 ZUi+l/2, i, JT “/+1/2, i, k-1 I
Дг2
| Шг'+1, / , fe + 1/2 Ш/, /. fe+1/2 Шг + 1, / , fe-1/2 + Ш/, /, fe-1/2
"Г" Дх Дг ’
' 1, /+1/2, k Vi, /+1/2, fe (ЦЬ’\' + 1/2, / + 1/2, fe (“Ф/-1/2, /+1/2, fe
T Дх
__ K/ + l,fe)2-(^fe)2 _ W” /+1/2, fe+l/2-М” 7+1/2, fe-1/2 _ Дг/ Дг
wi, / +1, fe+1/2* wi, j, fe + 1/2 wi, j+1, k-l/2~i~wi, j, fe-1/2
~VL Дг/Д*
Vi, / + 1/2, fe+1 ^vi. /+1/2, k~^vi. j^-1/2, k-1 _
Az2
__ Vi+1. j+1/2, fe ^Vi, i+l/г, k~^vi-l, / + 1/2, fe , Дх2 '
,.n __,,n __ n \.n -|
I “i + l/2,/ + l.fe i H/2,/, fe “i-l/2,/+1, feT^“i-l/2,/, fe /I) Щ
• + Дх Дг/ J ’ ( !
wi, j, fe+1/2 wi, j, fe+1/2 (цпц)г + 1/2, /, fe+1/2* (ЦШ)/-1/2, /, fe + 1/ __
г Дх
_ / + 1/2, fe M/2~(m)-, i-1/2, k + l/2 _ H,/.fe+l)2-Hfe)2 _
Дг/ Дг
r ,,n __,,n __,,n , n
__иг + 1/2./, fe+1 ui + l/2,j,k ui-i/2, i, k + l‘ui-l/2. j, k .
Дх Дг
a 38
Wj — 1, j, fe-> 1/2 %Wl, j, k+l/2~^Wi-l, j, fe+1/2 Дх2
/ + 1, fe+1/2 %Wi. j, fe+1/2 ~^Wi, / — 1, fe+1/2
Дг/1 2 ~
__,,п __,,п i ,,п ui, 7' +1/2. fe ui, / — 1/2, fe + l~rui~, / —1/2, fe
Дг/ Дг
/, fe — 2/’i/fe + /’i-i, у, fe . Pi, / + 1, k~^-PijkA-Pi, 7—1, fe
д%2
Дг/2
Diik
Дг2 n+1 ~ V / X
Ui+1/2, j, fe — Mi + l/2, /, k \pi + i, f, k Pijkh
Vi. / + 1/2, fe= Vi, / + i/2, k ^(Pi,j+1, k Pijk)’ Wi. j, fe+1/2 = VPi, j, fe + 1/2 Дг (Pi, j, /, + 1 Pijk)'
(2.45)
(2.46)
Очевидно, что схема (2.44) — (2.46) аппроксимирует систему (2.34) — (2.36) со вторым порядком точности (погрешность аппроксимации порядка О (г, /г2), где /г=тах(Дх, Ду, Дг)).
§ 4. Конечно-разностное представление граничных условий.
Исследование схем метода расщепления
1. Аппроксимация граничных условий. При замене дифференциальной задачи конечно-разностным представлением особое внимание следует уделять аппроксимации граничных условий, так как конкретная аппроксимация последних влияет на точность метода, устойчивость схемы, а также на скорость сходимости.
В работе [20] было обращено внимание на то, что использование неявного условия (Тома, Вудса или их модификаций) при решении уравнений Навье — Стокса в переменных ф, со требует дополнительного контроля за выполнением условия прилипания.
Избавившись при реализации алгоритма от необходимости знать давление на границе dQ области Й,мыв то же время лишили себя возможности в точности удовлетворить условию прилипания на твердой поверхности тела, так как касательная составляющая скорости рассчитывается при этом всегда на расстоянии й/2 (где h — шаг сетки) по нормали от этой поверхности. Однако предложенная здесь схема метода расщепления позволяет реализовать условие прилипания с контролируемой точностью. Действительно, заменим точное условие прилипания приближенным следующим образом (см. рис. 2.5):
о „п+i п+1 Дг/ fdu\n+i Дг/2 /<Э2гг\п+1 .
л?),
Отсюда следует, что
„п+1 _Дг//дгг\п+1 Дг/2
«г + 1/2, 0- 2 ^;i+1/2. 0— 8
г+ 1/2. о
139
С использованием уравнения движения в проекции на ось х, запи-санного в точке (г-р 1/2, 0), можно получить
Д’/2 / д2и \п+1 _ Дг/2 / др \n+i । л
8 \ SV' //+1/2, 0 “ 8v дх Ji+1/2, о + \ v / ’
В этом случае п+1 ~ ,'др\п + 1 _ / . Дг/3 . \
«/ + 1/2, о —«/+1/2, о г° ^'dxJi + i/2 &У )>
где
- Дг/ ( ди \ п _ ^У2
ui + i/2. о— Т Ц+цг, о’ To-_8^-
В исследуемых задачах возможны следующие типы границ: входная граница потока, выходная граница потока, ось (плоскость) симметрии и твердая поверхность. Рассмотрим для простоты постановку граничных условий на примере течения, происходящего в плоскости (х, у).
Пусть АВ — входная граница потока (рис. 2.7) и жидкость втекает в исследуемую область снизу вверх. На такой границе задаются условия в невозмущенном потоке, т. е.
Vi. /-1/2 = Ко (задано), (2
«i±i/2, J-1— «/ ± i/2,/> pi, i-i—po (задано).
АВ—выходная граница потока. Жидкость вытекает из исследуемой области снизу вверх. Здесь возможны различные варианты:
а) скорость истечения задана и направлена вдоль оси у, тогда
Vi. /-i/2 = V (задано),
«/±1/2,/ = — «/±1/2,/-1, Pij = P0 (задано); ’
б) при свободном истечении
«/ ± 1/2, / = 2«1 ± 1/2, / — 1 «/ ± 1/2, / — 2 »
Vi, j + i/2 = Vi, i-1/2 («/+1/2, / «/-i/г,/), (2.49)
P,7 = 2P/,/-i—P/./-2-
AB—ось (плоскость) симметрии. Если йсследуемая область течения находится над АВ, то граничные условия записываются в виде
«/ ± 1/2, /-1 =«/± 1/2, /, У/, /-1/2=0, Pl (2.50)
АВ—твердая поверхность. Если жидкость находится над поверхностью АВ, то условие непротекания представляется в виде
Vi, /-1/2=0,
(2.51)
140
а условие прилипания—в виде
± 1/2, /-1/2 =0.
(2.52)
Из последнего условия следует
а) в случае прямоугольной декартовой системы координат (плоский случай)
«/+i/s, / = -^4^ + -ЫГ+1/62’--/+1 +0(Aj/3); (2.53)
б) в цилиндрической (Р = 0) и сферической (0=1) системах координат (рис. 2.8)
Vi,/+l/2= (1 + ^) ( У2+1/2 +5+VJ.+ V2 +0 (Дг8). (2.54)
в) в трехмерном случае
ш,.!. +0(Да»), (2.55)
В большинстве известных подходов в качестве граничного условия для давления на твердой поверхности используется уравнение движения в проекции на нормаль к этой поверхности в граничных точках. Последнее обстоятельство снижает эффективность численных
--х—
Рис. 2.7. Расчетная сетка при постановке граничных условий на границе АВ в методе расщепления.
Рис. 2.8. Расчетная сетка при реализации условия прилипания на твердой поверхности АВ в случае цилиндрической и сферической систем координат.
алгоритмов, поскольку такой прием связан с дополнительным итерационным процессом, лимитирующим скорость сходимости методов.
Как было отмечено выше, условие для давления на твердой по верхности тела в большинстве случаев отсутствует в физической постановке задачи. Следовательно, желательно так построить алгоритм
141
расчета задачи, чтобы и с к л ю ч и т b z вычисление давления непосредственно на твердой поверхности. Это, в частности, имеет место в предлагаемом здесь подходе. В случае необходимости определения давления на этой поверхности достаточно провести экстраполяцию по найденным значениям в центрах соседних ячеек.
При расчете поля давления в указанных подходах однородность граничных условий достигалась использованием приема, аналогичного [16].
1) Прямоугольная декартова система координат (плоский случай). Учитывая условие непротекания u1;^i1/2 = 0 для любого п, из второго уравнения (2.39) имеем
(Ра—(2-56)
С учетом (2.56) разностное уравнение для расчета давления в приграничных (смежных с твердой поверхностью) ячейках примет вид
_ 1 / Pi+i,j+pi-i,j Pi,j+1+рц п,\ 9
Pij — 2 (т0/Дх2 + т/Дг/2) V0 № Дг/2 )' ' '
где
Г)' _ “ 1+1/2, / — “1-1/2, / . У 1, /+1/2 Дг/2
— Дх Г Д</ ’ ° - 8v '
2) Цилиндрическая (0 = 0) и сферическая (0 = 1) системы координат. При 0 = 0 имеем
P'J~ 2 (т/Дг2 + т0/Д02) [ Дг2 (Л+1./ + Pij) "^де5’ ^Р^ /+1 + Р1./-1) ^0'] ’
(2.58) где
_ ei + 1/27ii+1/2> . /1 - - _е2г>’Дг2
— Дг + де /+1/2— Vi, /-1/2/’ Т0 — 8v •
При 0 = 1 имеем
[TSin 0/ / г г \
2 (е« + 1/2+е 1-1/2^)-
т„рг“ „ „ ']-1Гт5т 0/ / г. г. \
— (sin 0/ +1/2 + Sin0/ _ 1/2) j [( г ‘ + V2 р,-+1, у + г ‘ - V2 р. J
—"Лб2" (s'n :+ 4^Pi< i+i + sin , (2.59)
где
2Z . „ , j-,, sin0,-e 1+1/2 ~ . e2zi' , . o - . o - x
г>1/ — ---------Wj + i/2> j + AQ (sin 0; + i/2 Vit j+ i/2 — Sin 0; -1/zVi,
е2г‘'Дг2
T0 ~ 8v
142
3) Трехмерный сличай. Здесь
1 Г Pi+1, J, fe + pi-1, j, к
Pijk 2 (То/Лх2 + т/Дг/2 + t0/Az2) [T\° Дх2
, ~Pi, /+1, k + pijk , 'Pi, j, k + l + pi.J, k-1 1 /о cn\
+ T-----A?------------------КД----------DHk\’ (2’6°)
ГДе
sy ____ Mi + l/2, j, к “t- 1/2, / k , vi, j+ 1/2, fe , wi, j, fe+i/2 wi, j, fe-1/2
T _A*/2 T°- 8v •
2. Условия устойчивости полученных схем метода расщепления. Воспользуемся (для схем I этапа) аппаратом дифференциальных приближений [21]. Первое дифференциальное приближение, соответствующее конечно-разностным уравнениям (2.37), имеет вид [17]
ди , диг . дии ( г , \ 52и . / г , Дг/2 до \ 52и
ди , дии . диг I г „ Дх2 ди \ д2и . ( г дги (2-61)
-тт + -5-Н—= v— тт “-------— ч- v— тт У ^-51 •
dt 1 дх 1 ду \ 2 4 дх] [дх2 1 \ 2 ] дуц
Отброшенные члены в (2.61) имеют более высокий порядок малости. Члены нулевого порядка в (2.61) представляют собой исходные дифференциальные уравнения (без членов с градиентом давления), причем дифференциальное приближение (2.61) совпадает с последними с точностью до О(т, /г2), где /г=гпах(Дх, Ду).
Подобный анализ разностных схем с использованием аппарата дифференциальных приближений, как отмечено в [22], был предложен впервые А. И. Жуковым. Для одномерных квазилинейных уравнений гиперболического типа вопросы устойчивости с помощью дифференциальных приближений изучались в работах [21, 23, 24]. Для анализа устойчивости нелинейных разностных уравнений аналогичный подход применялся в работах [25, 26].
Воспользуемся эвристическим подходом к анализу устойчивости разностных схем, основанным на рассмотрении параболической формы [21] их дифференциальных приближений и пригодным Для нелинейных уравнений [25, 26]. В рассматриваемом подходе оценивается знак коэффициентов диффузии соответствующих дифференциальных приближений и необходимые условия устойчивости получаются из условия их параболичности (т. е. положительности рассматриваемых коэффициентов диффузии). Как отмечалось в гл. I, из теории устойчивости линейных уравнений известно, что при отрицательном значении коэффициента диффузии у диссипативных членов дифференциального приближения, содержащих частные производные второго порядка по пространственным переменным, уравнение Дифференциального приближения допускает экспоненциально возрастающее по времени (неустойчивое) решение.
Для дифференциальных приближений (2.61) условия положительности соответствующих коэффициентов диффузии имеют следующий
143
вид (необходимые условия устойчивости/(2.37)):
v— у и2 > О,
2 At/2 dv
4 ду
Дх2 ди ~4~~дх
> О,
Т 9
V-уУ2
>0,
>0,
т V-yH
т
или
v >max (ы2, и2),
> max
Дх2 ди 4 дх ’
&у2 dv \
~Г^1) '
(2.62)
v
В трехмерном случае соответствующие условия устойчивости имеют вид [18]
v>ymax(M2, v2, w2),
. ( Дх2 ди Ay2 dv Дг2 dw \ (2.62 )
v>max ——г--?-, -j-т- •
V 4 дх ’ 4 ду ’ 4 дг /
Следует отметить, что для линейных уравнений результаты анализа устойчивости с помощью дифференциальных приближений и метода Фурье полностью совпадают. Устойчивость второго и третьего этапов предложенного метода легко устанавливается с использованием стандартных приемов.
3. Процедура расчета. Сначала в исследуемой области задается начальное приближение, удовлетворяющее граничным условиям. Далее по формулам I этапа находится промежуточное поле скорости V, затем рассчитывается поле давления, и, наконец, по формулам III этапа получается окончательное поле скорости. Вычислительный цикл повторяется либо до выполнения некоторого критерия установления (если существует стационарное решение), например, в виде
| (2.63)
где 6* — малая величина, либо до некоторого заданного момента времени.
Заметим, что проверку на установление (2.63) в целях экономии машинного времени следует проводить не на каждом временном слое, а через некоторое конечное число шагов /, зависящее от характера задачи.
Таким образом, указанный подход позволяет с единых позиций численно исследовать плоские, осесимметричные и пространственные течения вязкой несжимаемой жидкости.
4. Дальнейшее развитие метода расщепления в направлении повышения его эффективности. Целесообразно повысить запас устойчивости метода за счет использования неявного счета первого этапа.
141
рассмотрим следующий вариант реализации этой идеи:
I: V~XV~ +(^ПУ) V = v А У— Vp";
II: Д(бр) = ^, где 8р = рп+1—рп\ (2.64)
уп + 1_у
III: 1——v (6р).
Нетрудно убедиться в том, что предложенная модификация схемы позволяет избавиться от жесткого ограничения на шаг по времени, присущего основной схеме метода расщепления. Другое преимущество такого подхода состоит в том, что в модифицированной схеме на втором этапе отыскивается не само давление, а его приращение во времени 8р. Известно, что это может привести к ускорению счета.
Другая модификация основной схемы связана с реализацией идеи, предложенной в [27] применительно к расчету течений вязкого сжимаемого газа. Рассмотрим уравнение движения, записанное в дифференциально-разностной форме:
Vn + l Vn = (уп+1^ yn + i + v^Vn + i_ypn + i' (2.65)
Введем следующие вспомогательные функции:
<рп=Уп___V"~1, ега+1 = У'г+1_Уп+1.
Здесь У,г+1—вектор скорости на (п-|-1)-м временном слое, найденный посредством линейной экстраполяции по значениям скорости на двух предыдущих временных слоях:
V’n+1 = 2Vn— Уп-1 = <рп-[- У».
Подставляя полученные выражения в уравнение (2.65), получаем
—^- = — (Уп+17) (en+1+ y’+l) + vA (еп+1+ Уп+1) — урп+1. (2.66)
Схема реализации метода расщепления применительно к решению уравнения (2.65) с учетом (2.66) и уравнения неразрывности запишется следующим образом:
I:
е— еп
-I- (yn+1v — vA) ё = —<рп—
— (Уп+1?) y«+1 + v АУП+1—Vpn', А(бр) = ^ + ^;.
1 __ <?
-------= —v(6p), 8p = pn+1—рп.
(2.67) использована также идея первой модификации, расчетом поля давления. Заметим попутно, что в рам
II:
III:
В схеме связанная с
(2.67)
145
ках погрешности аппроксимации коэффициент Ул+1 уравнения (2.65) заменен на Vn+1. Очевидно, что использование высокоскоростных методов обращения оператора Лапласа, базирующихся на идее тензорного расщепления операторов, позволит также ускорить про. цесс нахождения поля давления (II этап метода расщепления).
§ 5. Расчет обтекания тел конечных размеров потоком вязкой несжимаемой жидкости
1. Поперечное симметричное обтекание кругового цилиндра. Анализ эффективности разработанных здесь метода совместной релаксации (МСР) [28] и метода расщепления (МР) [17] удобно проиллюстрировать на примере решения хорошо изученной задачи о поперечном обтекании кругового цилиндра равномерным (на бесконечности) потоком несжимаемой однородной вязкой жидкости. Проведем также сравнение полученных В. А. Гущиным результатов с данными других авторов.
Предположим, что через боковую поверхность цилиндра возможен вдув (отсос). Если рассматривать равномерный радиальный вдув (отсос), то в этом случае не возникает трудностей с постановкой граничных условий вдали от тела, поскольку одним из этих условий может быть равномерный поток с наложенным на него решением типа источника (стока): ф=Ф0, где Ф — интенсивность источника (стока). Заметим, что при радиальном вдуве (отсосе) не нарушается условие прилипания на теле.
Рис. 2.9. Расчетная область течения в задаче о симметричном обтекании цилиндра: у — твердая поверхность тела (г=0), Г — достаточно удаленный от тела контур (г « гх), С±— ось симметрии.
С учетом симметрии течения граничные условия для МСР имеют следующий вид (рис. 2.9):
С_: й = 0, ф=Фл, С+: со = 0, ф = 0, ль (2. об)
у: ф = Ф6, л =0> Г: ф = ехр (гао)з1п0-]-Ф0, й = 0,
где Г — достаточно удаленный от тела контур (z«z„).
Задача решалась при следующих значениях параметров. Суммар-ное число точек разностной сетки 61x61=3721; размеры шагов по радиальной и угловой координатам соответственно Az=0,05, Д0= 3 (-0,052); zoo=3,0 (г„«20,1).
Необходимые интегральные характеристики в задачах обтекания кругового цилиндра и сферы определялись по следующим ф°Р' мулам:
146
давление в передней критической точке (z=0, 0=л)
р(л) =
р(л)—Роо _ pt/L/2 ~
4 (1+Р) Г* Ло|
Re J 50 |е=л О
распределение давления по поверхности обтекаемого тела
Л-0
р(е) = р(9)~/“ = р(л)--А- С de-,
Р ’ pUl/2 Re J [dz 1 1 J* = o
‘ JC
коэффициент сопротивления трения
л
Cd=^~ С со (О, 0) sin 0[1+р (2 sin0—1)] de-,
J tj
0
коэффициент сопротивления давления
CD ——p (0)cos 0[1 +P (2 sin0—1)] de-, P V
0
суммарный коэффициент сопротивления
= ^Df + Cdp-
Некоторые результаты решения описанной задачи, полученные с помощью МСР [28], приведены в табл. 1, где Re = 2p[7xa/v — число Рейнольдса (а—радиус цилиндра), CD—суммарный коэффициент сопротивления, р(л)—давление в передней критической точке (отнесенное к pt/1/2), 05—угол отрыва потока, отсчитываемый от задней критической точки, L—протяженность застойной зоны.
ТАБЛИЦА 1
Re CD р (л) ф 0г град L Re CD р (Л) ф S гр ад L
1 12,632 4,589 0 50 1,519 1,123 0 56,4 4,59
1 13,355 4,573 0,1 50 0,985 1,119 0,05
10 3,103 1,516 0 29,5 0,473 50 0,653 1,114 0,1
10 2,374 1,498 0,1 50 0,460 1,110 0,15
30 4,468 1,215 —0,15 100 7,290 1,077 -0,15
30 2,464 1,202 -0,05 100 2,215 1,068 -0,05
30 1,808 1,195 0 50,1 3,22 100 1,167 1,065 0 65,8 9,59
30 1,388 1,189 0,05 100 0,614 1,062 0,05
30 1,048 1,184 0,1 100 0,331 1,059 0,1
30 0,767 1,179 0,15 200 0,968 1,034 0 74,2 13,88
50 5,149 1,138 —0,15 500 0,902 1,016 0 84,0 15,12
50 2,313 1,128 -0,05
147
Рис. 2.10. Зависимость распределения давления по поверхности цилиндра от интенсивности Ф вдува (отсоса) для Re=50 (расчет МСР).
Рис. 2.11. Линии тока 4l=const при обтекании ИИ' линдра для Re=50: a) =—0,15; б)Ф=0;в) Ф==0>1Э (расчет МСР).
Зависимость распределения давления по поверхности обтекаемого тела от интенсивности вдува (отсоса) представлена на рис. 2.10 для Re=50. На рис. 2.11 (выполненных на графопостроителе) изображены картины линий тока i|>=const при Re=50: а) Ф=—0,15, б) Ф=0,
Ф=0,15.
Аналогичная задача решалась с помощью метода расщепления (МР) И7]. Граничные условия здесь имеют следующий вид (см. рис. 2.9):
С±: и= дё= д¥ = 0, 1, = 0’ м = 0’ (2.69)
Г: H = t/xcos0, и = —f/ooSinO, р = рх.
Рис. 2.12. Линии тока ip=const при обтекании цилиндра.
₽ис. 2.13. Распределение вихря <о(0) по поверхности цилиндра (-----метод совместной (блочной) релаксации (МСР); ---------- метод расщепления (МР)).
На рис. 2.12 представлены картины линий тока около цилиндра (при наличии оси симметрии) для чисел Re = 1, 10, 30, 50, 100. На рис. 2.13 приведено распределение вихря и (9) по поверхности цилиндра для чисел Re=30, 50, 100, 200, 500. Точка Поверхности, в которой вихрь обращается в нуль (0S), соответствует т°чке отрыва потока. Штриховые кривые — результат, полученный по МСР, а сплошные кривые — по МР. Как видно из данного
149
графика, при Re=30 кривые практически совпадают, а при Re-=50, 100 несущественное различие наблюдается лишь в окрестности лобовой части цилиндра при 120°<0<180°. На рис. 2.14 показано рас-
с результатами [29—35] и с некоторыми экспериментальными данными [36, 37]. Для иллюстрации этих сравнений представлена зависимость давления в передней критической точке р(п) от числа Рейнольдса
Рис. 2.15. Зависимость распределения давления в передней критической точке р(л) от числа Рейнольдса — сравнение результатов данной работы (о расчет МСР [28]; у расчет МР [17]) с данными других авторов (Д из [31]; X из [34];--- аппрокси-
мационная зависимость (1+5,985/Re) из [31]).
(рис. 2.15), угла отрыва потока 0S, отсчитываемого от задней критической точки (рис. 2.16), протяженности застойной зоны Lla (рис. 2.17) и суммарного коэффициента сопротивления CD (рис. 2.18). Совпадение результатов достаточно хорошее, что свидетельствует об эффеК' тивности изложенных здесь методик.
150
Рис. 2.19 моделирует картину «распада следа» при обтекании препятствия (полуцилиндра с осью симметрии). Здесь приведены изолинии функции тока для Re=103 в моменты времени Т=162, 166, 170. В этом случае наблюдается нестационарная картина течения (имеет место определенный рост застойной зоны, и в некоторый момент времени происходит «схлопывание» и выброс жидкости из застойной зоны). Возможно, что отмеченный здесь результат требует уточнения.
90' в,
30'
► oo oo ►
( X OQ> ft j
1 й t 1 I 1 J L LX i til . i J-i i 1 t > t t 111
во
о____,________________________________________
10° 101 10z _ WJ
Re
Рис. 2.16. Зависимость угла отрыва потока 0S от числа Рейнольдса (обозначения см. на рис. 2.15; □ из [29]; <2> из [30]; + из [32]; V из [33]).
Рис. 2.17. Зависимость протяженности застойной зоны Lta от числа Рейнольдса (обозначения см. на рис. 2.16; • из [35]; ф из [36]).
2. Исследование обтекания кругового цилиндра без предположения о симметрии течения. Как известно, при вязком обтекании даже симметричных тел для сравнительно небольших чисел Рейнольдса сим-
151
метрия течения часто нарушается. Поэтому численное (и достаточно детальное) исследование данной задачи представляет большой методический и практический интерес. В настоящее время делаются все более настойчивыми попытки вычислителей провести в более широком масштабе численное моделирование срывных течений и задач турбулентности. В. А. Гущин и С. О. Белоцерковский провели очень большую (и весьма полезную, на наш взгляд) работу в этом направ-
Рис. 2.18. Зависимость суммарного коэффициента сопротивления Сд от числа Рейнольдса (обозначения, см. на рис. 2.16).
Рис. 2.19. Моделирование нестационарного следа за препятствием для Re=10 (линии тока, расчет МР).
лении для задач обтекания конечных тел вязкой жидкостью, что позволило выявить основные эффекты явления, оценить влияние краевых условий и т. п. [38, 39, 56, 91].
Формулировка задачи совпадает с приведенной выше постановкой (2.69), за исключением условия симметрии течения, которое в данном случае отсутствует. Для решения был использован метод расщепле-152
дня. Исследования проводились при числе Рейнольдса Re = 100. Сделаем вначале небольшое отступление.
При сверхзвуковом обтекании конечных тел возникают стационарные зоны отрыва, причем набегающий поток оказывает здесь стабилизирующее влияние на движение в следе. Указанные режимы отрыва наблюдаются в натурных условиях и поддаются теоретическому анализу (см. гл. I и III).
Движения в следе за конечным (симметричным) телом при дозвуковых скоростях обтекания и, в частности, в случае несжимаемой жидкости при небольших и умеренных числах Рейнольдса могут проходить, вообще говоря, на двух режимах *): I) симметричном стационарном; II) несимметричном периодическом.
При небольших числах Рейнольдса, Re<ReKp (для кругового цилиндра ReKp?e354-40), эксперименты и расчеты показывают, что реализуется I стационарный режим течения, который устойчив независимо от величины мгновенного начального возмущения. Дело в том, что все реально существующие в природе движения должны не только удовлетворять соответствующим уравнениям гидродинамики, но должны еще быть и устойчивыми (т. е. малые возмущения, возникающие в потоке, затухают со временем).
Для Re>ReKp эксперименты отчетливо указывают на образование за конечным телом нестационарного течения (типа дорожки Кармана), в то время как расчеты позволяют получать оба режима (причем стационарный режим является здесь метастабильным: он устойчив по отношению к достаточно малым возмущениям, но неустойчив по отношению к более интенсивным возмущениям).
Численное моделирование такого рода задач имеет следующую специфику: в силу симметрии тела, начальных и граничных условий, а также алгебраической симметрии самих аппроксимирующих уравнений решение здесь получается симметричным. Видимо, возмущение чисто схемного происхождения (например, ошибки округления) не в состоянии (до определенного времени) разрушить симметрию, которая в натурных условиях легко разрушается естественными возмущениями. Поэтому на практике и реализуется именно несимметричный и нестационарный тип движения в следе, который является абсолютно устойчивым.
*) Как следует из работы [47], экспериментальные исследования для несжимаемой жидкости показывают, что при малых числах Рейнольдса вихревое течение в зоне отрыва и в следе за телом носит ламинарный характер; при
> 30 (круговой цилиндр) и Red > 130 (сфера) оно становится нестационарным, а при Red > 103 (круговой цилиндр) и Red>2-103 (сфера) течение в следе становится турбулентным.
Отрыв ламинарного потока (с турбулентным следом) наблюдается для кругового цилиндра при 103 < Red < 105 (причем точка отрыва ламинарного пограничного слоя располагается на поверхности цилиндра при <ротр ~ 82°) и для сферы—при 2-103 < Red < 2-105 (<p0Tp ~ 83,5°). Турбулентный режим течения— отрыв турбулентного пограничного слоя и турбулентный след'—наблюдается Для кругового цилиндра при Red > 105 (<p0Tp ~ 1Ю°) и для сферы при Red >
2-105 (фотр —- 110°). Как отмечает Чжен, положение точки отрыва с учетом Сжимаемости практически не меняется. (В приведенных данных угол <рОтр от-считывается от передней критической точки.)
153
Для численной имитации периодического режима при обтекании тел конечных размеров обычно вводят начальную асимметрию потока (например, вихри перед телом, вращение тела, сдвиг потока и т. и.), т. е. мгновенные начальные возмущения, энергии которых уже доста-
точно, чтобы перевести решение в абсолютно устойчивое состояние т=50,5 (режим II).
Была сделана также попытка промоделировать периодическую структуру течения, не вводя искусственной начальной асимметрии потока, а используя е с т е с т-т=7ов венные условия, а именно устойчивую стратификацию по плотности. При этом движение в следе для о дно-
Рис. 2.20. Обтекание кругового цилиндра (линии i|?=const) для Re=l00, z«,—3, /•«,=20,1 (условия на внешней границе Г: u=cos 0, v=—sin 0, р=0).
Рис. 2.21. Зависимость радиальной составляющей и(г, 0) вектора скорости от f при фиксированном значении 0.
родной жидкости можно получать со стратифицированного поля, «зануляя» эффекты стратификации.
Методические расчеты для указанной задачи пр0' водились в основном на стационарном режиме. Исследовались разли4'
154
яЫе постановки граничных условий, варьировалась расчетная сетка и т. д. Для получения представления о поведении кривой нейтральной устойчивости здесь рассматривались при раз-пых Re различные типы возмущений, которые сохраняли (или нарушали) симметрию течения. Некоторые результаты расчетов периодических нестационарных течений в следе приводятся в § 9 этой главы. (Более подробно об этом см.
в [90, 91].)
Рис. 2.22. Зависимость угловой составляющей v(r, 0) вектора скорости от г при фиксированном значении 0.
Рис. 2.23. Зависимость давления р от г при фиксированном значении 0.
На внешней границе Г задавались условия равномерного потока w—cos 0, t>=—sin 0, р=0. В качестве начального приближения было выбрано установившееся решение (при 7=52,5) симметричной задачи, отображенное на нижнюю полуплоскость.
На рис. 2.20 приведены картины линий тока (i[?=const) соответственно для моментов времени 7=60,5; 70,5; 80,5; 90,5; 100,5. Как видно, с ростом времени ширина застойной зоны изменяется незначительно, но ее протяженность растет приблизительно до 7=100,5, после чего картина течения становится стационарной и практически симметричной. Назовем эту задачу задачей 2, а исходную задачу — о симметричном обтекании цилиндра — задачей 1.
Приведем выполненные на графопостроителе профили изменения скоростей и давления в разных сечениях (задача 2). На рис. 2.21 представлено изменение радиальной составляющей и вектора скорости вДоль координатной линии г для некоторых фиксированных значений Угла 0 (везде угол 0 отсчитывается от задней критической точки), а йа рис. 2.22 приведена аналогичная зависимость угловой составляющей v вектора скорости. Изменение давления р в зависимости от г Доказано на рис. 2.23.
155
На рис. 2.24 приведены профили и, и вдоль 0 при некоторых фиксированных значениях г. Изменение давления р вдоль угла 0 показано на рис. 2.25, а рис. 2.26 иллюстрирует поведение вихря со.
Рис. 2.25. Зависимость давления р от угла 0 при фиксированном значении г.
Все приведенные графики соответствуют безразмерному времени Т=95,5. Немонотонный характер кривых (особенно в области вниз по потоку от обтекаемого тела) обусловлен недостаточной степенью удаленности внешней границы (здесь г„=3,0, г„=20,1) *)• Влияние разных постановок граничных условий исследуется ниже.
♦) См. также рис. 2.32—2.38, где z„=4,5, г„=90,02.
156
Влияние возмущения. Была сделана попытка ввести возмущение в поток и проследить его эволюцию. Возмущение вводилось в момент времени Т=60,5 следующим образом: на оси симметрии перед телом (т. е. на линии (г, /И3+1/2), где Л43=29) в точках г-=0, 1, 2, 3 составляющие скорости по углу 0 задавались как 0,0324,
Рис. 2.26. Зависимость вихря <в от угла 0 при фиксированном значении г.
0,0243, 0,0162, 0,0081. Это соответствует внесению в пяти точках перед телом вихря, равного 1/10 максимального его значения на теле.
На рис. 2.27 приведена эволюция картины течения во времени в случае течения без возмущения (задача 2) и при его наличии (задача 3). Как видно, уже при 7=69,5 картины течений практически совпадают, т. е. внесение мгновенного возмущения указанного типа и заданной величины не приводит к искажению симметричной картины течения при расчете на указанные времена. Более подробное сравнение данных можно найти в табл. 2.
Влияние вида граничных условий на «бесконечности» («мягкие» граничные условия). На части внешней границы Г2(|0 |)<С24°) в момент времени 7=60,5 задаются условия вида
df/dz=Q, f=(u, v, р). (2.70)
остальной части границы 1\ условия прежние (задача 4).
157
ТАБЛИЦА 2
Цилиндр, Re=100, 7 = 69,5, zmax = 3,0 (rmax = 20,086)
№ задачи Р (") Р (0) Cf СР CD
1 (Т = 52,5) 1,062 —0,690 0,307 0,918 1,225
2 1,0549 —0,7592 0,3110 1,1357 1,4467
3 1,0549 —0,7592 0,3110 1,1357. 1,4467
4 1,0548 —0,7301 0,3069 1,1131 1,4200
5 1,0549 —0,7588 0,3110 1,1358 1,4468
6 1,0547 —0,7226 0,3059 1,1077 1,4136
7 (2тах = 4,5) 1,0129 —0,2516 0,2925 1,0014 1,2939
[29] (zmax=2,5) 0,336 0,954 1,290
[34] 1,060 —0,393 0,282 0,774 1,056
На рис. 2.28 проводится сравнение картин течения задач 2 и 4 (сравнение интегральных характеристик можно найти также в табл. 2). Влияние (2.70) сказывается только в окрестности внешней границы, незначительно изменяя интегральные характеристики (максимальное расхождение менее 4%).
Рис. 2.27. Эволюция картины течения во времени: а) течение без возмущения; б) при наличии возмущения (линииconst, Re=100, г„=3, г„=20,1; условия на внешней границе Г: u=cos 0, v=—sin 0, р=0).
Использование асимптотики. Пусть теперь на внешней границе (г = rmax = 20,l) заданы асимптотические условия [40] (задача 5):
ы = (1 — A)cos0+^, v =— (1 — A) sin 6, (2.71)
158
где
д — cd 1 / ехо / — г sin2 —
А ~ 2 V 2лг еХр I 2 Г Sin 2
Соответствующее сравнение приведено на рис. 2.29 и в табл. 2. Полученные здесь для момента времени Т=91,5 (2^=3, г„=20,1) профили изменения величин и, v и р вдоль гиб практически совпадают с данными, приведенными на рис. 2.21—2.26.
® ff)
Рис. 2.28. Эволюция картины течения £ с времени: а) условия на внешней границе Г: u=cos 0, v=—sin 0Jp=O; б) «мягкие» условия на части внешней границы Г2(|0]<24°): df!dr=Q, f= (и, v, р) (линии i|)= const, Re=100, г„=3, г„=20,1).
Комбинация асимптотики и «мягких» условий. Пусть на части внешней границы Г1(|0|>24°) заданы условия (2.71), а на Г2(|01^24°) — условия (2.70) (задача 6). Сравнение этого варианта с исходным (задача 1) приведено на рис. 2.30 и в табл. 2.
Нетрудно заметить, что вид граничного условия на бесконечности слабо влияет на интегральные характеристики, а картины течения различаются только в окрестности этой внешней границы. Поэтому, если интерес представляет течение не только в окрестности тела, но и вдали от него, то внешнюю границу следует выбирать так, чтобы ее положение не оказывало заметного влияния на интересующую область течения.
Влияние удаленности внешней границы. Рассмотрим задачу 2 при условии, что 2^=4,5 (г^ =90,02); тогда, если" N=29, то Дг=0,15. Шаг по углу 0 остается прежним: А0=6° (М=59) (задача 7). На рис. 2.31 приведена картина течения const при Re = 100 для Т=95. Отсюда видно, что картина течения Практически симметрична. На рис. 2.32—2.38 показаны зависимости и> v, р, о от г и 0 в различных сечениях. Сравнение данных на
159
Рис. 2.29. Эволюция картины течения во времени: а) условия на внешней границе Г: m=cos 0, о=—sin 0, р=0; б) условия на Г — асимптотика (2.71) (линииip= const, Re=100, 2^=3, г «=20,1).
Рис. 2.30. Эволюция картины течения во времени: а) условия на Г1(|0|>24°): =cos 0, v=— sin 0, p=0; б) условия на (]0[>24°) — (2.71) из [40]; в обоих случая* на Г2(]0]<24°) «мягкие» условия: df/dn=O, f— (u, v, p) (линии const, Re=lWl Zoo=3, r„=20,l).
рис. 2.21—2.26^=3,0, ^=20,1) ирис. 2.32—2.38(z„ =4,5,г„ =90,02) доказывает, по существу, характер влияния внешней границы.
Таким образом, выбрав zx =4,5 (/•„ = 90,02), можно быть уверенным, что влияние внешней границы на интересующую нас область течения будет незначительным. Полученные графики и (г) и и (г) достаточно хорошо согласуются с соответствующими данными работы [41]. Указанный методический счет позволяет провести оценку различных эффектов рассматриваемого явления, выбрать оптимальные размеры расчетной сетки и т. п.
Рис. 2.31. Обтекание цилиндра (линии ф= const, Re= 100, Т=95) при z„=4,5, г„= =90,02.
3. Расчет обтекания сферы. Параметры течения здесь были выбраны такими же, как и в задаче о симметричном обтекании цилиндра. Решение проводилось с помощью метода расщепления [39].
Картины линий тока для Re=l, 40, 100*) представлены на рис. 2.39. На рис. 2.40, 2.41 дается распределение вихря co/KRe и давления р(0) по поверхности сферы при Re = 40, 100. Результаты сравнивались также с некоторыми другими теоретическими и экспериментальными данными [42—49]. На рис. 2.42 представлена зависимость от числа Рейнольдса угла отрыва потока 0, (измеренного от заданной критической точки), на рис. 2.43 — протяженности застойной зоны L/d (d = 2a) и на рис. 2.44 — суммарного коэффициента сопротивления CD. На рис. 2.44 кривая 1 соответствует формуле Стокса [42] CD = 24/Re, кривая 2— формуле Озеена [42] СО = 24 (1+ 3Re/8)/Re и кривая 3—формуле CD = 24/Re + 4,4/J/ Re + 042, полученной экспериментальным путем [49] с учетом сил вязкости и инерции. Эти результаты также достаточно хорошо согласуются с другими расчетами и с экспериментом, что свидетельствует о надежности полученных данных.
4. Обтекание прямоугольного бруска и цилиндра, ось которого параллельна вектору скорости набегающего потока. Интересно провести также численное моделирование обтекания тел с острыми кромками (плоский брусок, цилиндр) [39 , 50]. Картины движения (линии тока) около бруска для Re=8, 40 (Re=2HUJv, где 2Н — полная высота бруска) представлены на рис. 2.45. В силу симметрии течения рассматривается только верхняя полуплоскость. Аналогичные картины Движения около цилиндра, диаметр которого 2Н, для Re=40, 100 Показаны на рис. 2.46. Толщина бруска и длина цилиндра ВС равны ЗЯ, Ах=Ау=0,25.
*) При указанных числах Рейнольдса в следе реализуется стационарный симметричный режим течения (для сферы ReKp « 130).
О. М. Белоцерковский 161
Рис. 2.32. Зависимость радиальной составляющей и (г, 0) вектора скорости от г при фиксированном значении 0.
Рис. 2.33. Зависимость угловой составляющей и (г, 0) вектора скорости от г при фиксированном значении 0.
Рис. 2.34. Зависимость давления р(г, 0) от г при фиксированном значении 0.
Рис. 2.35. Зависимость и (г, 0) от угла 0 при фиксированном значении г.
Рис. 2.36. Зависимость и (г, 0) от угла 0 при'фиксированном значении г.
Рис. 2.37. Зависимость давления р(г, 0) от угла 0 при фиксированном значении
Рис. 2.38. Зависимость вихря со (г, 0)’от угла 0 при фиксированном значении
Рис. 2.39. Обтекание сферы (линии ф -const, Re=l, 40, 100).
Рис. 2.40. Распределение вихря co/'KRe по поверхности сферы (Re=40, 100).
Рис. 2.41. Распределение давления /?(0) по поверхности сферы (Re=40, 100).
Рис. 2.42. Зависимость угла отрыва потока 05 от числа Рейнольдса (Г расчет методом расщепления [39]; + из [48]; □ из [46]; X из [45]).
Рис. 2.43. Зависимость протяженности застойной зоны Ltd (d=2a) от числа Рейнольдса, (V расчет методом расщепления [39]; ---------- из [44]; + из [48]; о из
[47]; Д из [43]; X из [45]; □ из [46]).
Рис. 2.44. Зависимость суммарного коэффициента сопротивления Ср от числа Рейнольдса: 1 — формула Стокса [42], 2 — формула Озеена [42], 3 — формула из [49] (V расчет методом расщепления [39]; о из [42]; □ из [46]).
Рис. 2.45. Обтекание бруска (линии т|5—const).
Рис. 2.47. Распределение давления р и вихря со по поверхности бруска.
Рис. 2.48. Распределение давления р и вихря ш по поверхности цилиндра.
На рис. 2.47 дается распределение давления по поверхности бруска
ABCD соответственно для Re=8, 40. На этом же рисунке для тех
же Re приводится распределение вихря по поверхности бруска. Рис. 2.48 иллюстрирует распределение тех же характеристик по поверхности цилиндра для Re=40, 100.
5. Расчет трехмерных течений. Метод расщепления может быть без каких-либо модификаций применен и для исследования как стацио-
Рис. 2.49. Схема течения около куба. нарных, так И нестационарных пространственных течений в случае умеренных чисел Рейнольдса. Задачи подобного типа имеют широкое практическое применение, не ограничивающееся только проблемами гидро- и газодинамики (например, изучение вопросов, связанных с защитой окружающей среды, загрязнением воздушного и водного бассейнов, проблемы океанологии).
. Rb=7 Re=S Re=4Z7 Re=W ‘ Re=7Z7Z7fe=2«9
Рис. 2.50. Распределение скорости и в сечениях Qx, Q2< • • (снизу вверх, сечение Qr-совпадает с гранью куба х—а, расстояние между сечениями Дх=0,25а): a) Re=l; б) Re=8; в) Re=40; г) Re= 100; д) распределение скорости и для Re=100 (х=2а) при ^=1, Т2=4, Т3=7, Т4=10, Т8= 11,4, Тв=12,6.
168
В качестве примера пространственного течения была рассмотрена задача об обтекании куба (с ребром а=2), одна из граней которого перпендикулярна вектору скорости набегающего потока [18] (рис. 2.49). Предположим, что течение симметрично относительно плоскостей XOY и XOZ, при этом естественно строить решение только для четверти куба (например, верхней правой), учитывая при постановке граничных условий, что XOY и XOZ являются плоскостями симметрии. Здесь будут представлены лишь значения составляющей скорости и, параллельной вектору U„, в различных сечениях Q(x= =const).
На рис. 2.50, а для числа Рейнольдса Re=l (Re=at/„/v) показано распределение и в сечениях Qi, Q2, • • (снизу вверх). Сечение совпадает с гранью куба х—а. Расстояние между всеми сечениями одинаковой равно 0,25а. На рис. 2.50, б — г приведены аналогичные результаты соответственно для Re=8, 40, 100. Как видно из рис. 2.50, в, г, при Re=40, 100 наблюдается возвратно-циркуляционная зона (и-СО), интенсивность которой падает по мере удаления от тела и в то же время растет (для данного сечения) с увеличением Re.
На рис. 2.50, д для Re=100 показано изменение во времени распределения составляющей скорости и в сечении Q=const(x=2a) при Тх=1, Т2=4, Т3=7, 7\ = 10, Т8 = 11,4, Те = 12,6 (снизу вверх). Более подробная информация об этом классе течений содержится в [18].
Приведенные в этом параграфе результаты свидетельствуют о широких возможностях разработанной методики, позволяющей по единому алгоритму проводить численное моделирование большого класса задач динамики вязкой жидкости.
§ 6. Моделирование движения крови в сосудах
с локальным сужением (стеноз)
За последнее время возник определенный интерес к проблемам гемодинамики — изучению свойств движения крови в сосудах. Рассмотрим здесь простейшую постановку этой задачи, позволяющую, однако, моделировать такие явления и в многомерном случае. Предполагается, что кровь представляет собой несжимаемую вязкую ньютонову жидкость, течение которой описывается уравнениями Навье — Стокса. Рассматривается стационарное движение такой жидкости в плоском канале и в цилиндрической трубе, имеющей локальное сужение; стенки предполагаются твердыми и непроницаемыми. Решение таких задач проводится в [51].
Выбирая в качестве характерных величин среднюю скорость на входе в сосуд £/ср и ширину (диаметр) сосуда d=2a, уравнения Навье— Стокса можно записать в следующем виде (полагая р = 1):
ди , ди , ди и л-4-v^- = - dt 1 дг ' дг др । дг 1 2 д , v .
dv . dv . ди -^г+ «-5-+V-5- =- dt дг 1 дг др дг 2 д Re Y дг (г^со), (2.72)
д (ryv) । д (Yu) _ q _ dv ди dr dz ’ ^~~дг~~дг
169
где у = 0, 1 соответственно для плоского и осесимметричного слу. чаев; Re = t/cp-d/v; и, v—составляющие вектора скорости соответственно вдоль осей z, г; со—вихрь.
Во входном (z = z1) сечении потока задавался профиль Пуазейля: и= ’й5’) ’ и = 0> р = const. (2.73)
В выходном (z = z2) сечении ставились «мягкие» условия (типа (2.70)). На оси (плоскости) симметрии (г = 0) использовалось условие симметрии потока
-JL = -^ = O, и = 0 (2.74)
дг дг ’ ' '
и на твердой непроницаемой поверхности Г канала (сосуда) — условие прилипания
и = и = 0. (2.75)
В качестве начального приближения задачи (2.72)—(2.75) выбиралось либо течение Пуазейля
ы = Дг(1—и = 0> Р = —v^J1(t+1)-z-либо известное решение для других чисел Рейнольдса или другой величины стеноза, определяемого формулой
s = [l — (l—6)7+1]. 100%, где 6—величина отклонения диаметра сосуда от его первоначального размера а. Схематически картина движения изображена на рис. 2.51.
Рассмотрим вначале течение в плоском канале (у = 0) при Re = 20 (Re = 2(7cp/v) с «уступом» высоты 6 = 0,5 (s = 50%) и шириной А = 0,2. Для этой задачи были рассчитаны два варианта [51]: a) zx =— 2, z2 = 2; б) zt = — 2, z2 = 4 (варьировалась длина канала). В обоих случаях hz = =/гг = 0,1.
На рис. 2.52 представлено распределение составляющей скорости и вдоль г вблизи оси канала (при г = 0,05). Кривая 1 соответствует варианту а) (г2 = 2, число ячеек N вдоль оси z равно 40), кривая 2—варианту б) (z2 = 4, М = 60). На рис. 2.53 показано распределение при г = 0,05. Как видно из последнего
рисунка, наличие уступа приводит к снижению давления в выходном сечении приблизительно на две единицы (давление отнесено к pt/ср) и возникновению двух возвратно-циркуляционных зон. Одна зона (перед препятствием) с малой интенсивностью и размерами приблизительно 0,1 х0,1, вторая—за препятствием. Протяженность 170
Рис. 2.51. Схема движения крови в сосудах с локальным сужением (стеноз).
давления р вдоль оси
рис. 2.52. Распределение скорости и вдоль г при r=0,05, Re=20, s=50%: 1 — z2=2 (W=40); 2 — г2=4 (W=60).
Рис. 2.53. Распределение давления р вдоль г при r=0,05, Re=20, s=50%: 1 — z2=2 (N=40); 2 —г2=4 (N=60); 3 — s=0 — без уступа, г2=4 (N=60).
Рис. 2.54. Профили скорости и(г) в различных сечениях z=const, Re=20, s=50%: 1~ г=гх=— 2; 2 — г=— 0,2; 3 — z=0; 4 — г=0,4; 5 — г=1; 6 — г=2,5.
2Z7 40 б'О #(z)
Рис. 2.55. Распределение скорости и вдоль г при г=0,05, s=75%: 1 — Re=20, г2=2 (W=40); 2 — Re=20, г2=4 СЛ7=6О); 3 —
Re=50, г2=4 ^=60).
второй зоны zs« 0,8 (при z2 = 2, 4). Точка отрыва потока находится на подветренной стороне уступа и имеет координаты (0,1; 0,55).
На рис. 2.54 представлены профили скорости и (г) в различных сечениях z=const. Области с отрицательными значениями скоростей отвечают возвратным течениям. Как видно из приведенных графиков, влияние в области уступа параметра z2 (при z2J>2) незначительно (так, профили и (г) на входе г——2 и выходе z=2,5 из канала практически совпадают) и величины z2=2,5 достаточно для проведения расчетов в плоском канале при Re=20.
Рассмотрим теперь течение в круглой цилиндрической трубе (у = 1) с кольцевым уступом [51]. Была выбрана величина стеноза s=75% (6=0,5). Параметры сетки аналогичны случаю плоского канала (Re=20, 50).
На рис. 2.55 дано распределение компоненты скорссти и вдоль
оси z при г=0,05 вблизи оси сосуда, а на рис. 2.56 представлено в том же сечении распределение давления; прямые 4 и 5 соответствуют распределению давления вдоль оси сосуда постоянного диаметра
Рис. 2.56. Распределение давления р вдоль г при r=0,05, s=75%: 1 — Re=20, г2=2 ^=40); 2 — Re=20, г2=4 (У=60); 3 — Re=50, г2=4 (Л7=6О); 4 — Re=20, s=0, г2=4; 5 — Re=50, s=0, г2=4.
(s=0) соответственно для Re=20, 50. Отсюда следует, что величины z2=2 уже недостаточно для правильного описания течения даже при Re=20 (z2=4 тоже мало для точного описания структуры движения
172
при Re=50). Тем не менее в области сужения влияние величины z2 существенно меньше. Как видно из рис. 2.56, давление на выходе (2=г2) из стенозированного сосуда еще в большей мере зависит от наличия стеноза.
Возвратно-циркуляционная зона перед сужением обнаружена только при Re=20, и по размерам она такая же, как и в случае плоского канала. Протяженность основной застойной зоны для Re=20 равна zs = l,45 (при z2=2) и zs=1,51 (при z2=4). Точка отрыва потока имеет радиальную координату rf=0,57 (при z2=4). Для Re=50 получены zs=3,22, rs=0,58.
Рис. 2.57. Профиль скорости и (г) в различных сечениях 2=const при г2=4, Re=20, s=75%: 1— z=zx=— 2; 2 —г=—0,2; 3 — г=0; 4 — г=0,4; 5 — г=1; 6 — г=2,5.
Рис. 2.58. Профиль скорости и (г) в различных сечениях г= const при г2=4, Re=50, s=75%: 1—z=zx=— 2; 2 — г=—0,2; 3 — г=0; 4 — г=0,4; 5 — г=1; 6 — г=2,5.
На рис. 2.57, 2.58 представлены профили скорости и (г) для Re= = 20 и 50 соответственно (z2=4, обозначения такие же, как и на рис. 2.54).
Координаты точек отрыва (zs, rs) для осесимметричного случая (s=75%) приведены в табл. 3. Здесь ытах— максимальное значение продольной компоненты скорости и на оси сосуда. Для сравнения в скобках даны результаты [52]. Незначительное различие в zs можно
173
объяснить, видимо, слишком грубой сеткой вдоль оси г, выбранной в работе [52].
Рассмотрим, наконец, более интересное (с точки зрения гемодинамики) движение в цилиндрическом сосуде с плавным локальным сужением (рис. 2.59). Твердая поверхность сосуда в области сужения задавалась в виде /?(z) = l—6е~422,
Рис. 2.59. Схема конфигурации сосуда с плавным локальным сужением.
ТАБЛИЦА 3 s = 75%
Re “max гз rs
20 50 6,25 (5,94) 5,65 1,51 (1,4) 3,22 (3,05) 0,57 0,58
причем минимальное сечение сосуда расположено на расстоянии 2а от входного сечения. С помощью преобразования r'—r!R(z), z'=z
Ct)
5)
6)
Re = 4^
Рис. 2.60. Картина течения в сосуде (линии ф= const, s=75%, 6=0,5).
174
криволинейная область переводится в прямоугольную область в плоскости (г', г').
На рис. 2.60 приведены картины течения (линии if>=const) для ре=10, 20, 30, 40 при 6=0,5 (s=75%), где отчетливо видно образование возвратно-циркуляционных зон. На рис. 2.61 представлены профили скорости и (г) в разных сечениях z=const при Re=25, s= =75% (слева направо профили соответствуют сечениям z=z!a—1,04; 1,36; 1,68; 2; 2,32; 2,64; 2,96; 3,28). Для сравнения там же нанесены крестиками данные, полученные в работе [53]. Отрицательные значения скорости и в пристеночной области (в сечениях, расположенных
Рис. 2.61. Профили скорости и (г) в различных сечениях z=const при Re=25, s=75%.
вниз по потоку за минимальным сечением сосуда) указывают на наличие зоны обратного течения. Точки отрыва и присоединения потока имеют соответственно координаты (0,35; 0,69) и (1,8; 1,0).
На рис. 2.62 кривая 1 показывает распределение давления вблизи оси сосуда (r'=0,05, Re=25, s=75%), а прямая 2 — распределение давления вдоль оси в цилиндрическом сосуде без сужения. Дефицит
Рис. 2.62. Распределение давления р вдоль z при Re=25: 1 —г'=0,05, s=75%; 2— r'=0, s=0; XX XX из [53].
давления обусловленТналичием сужения, которое приводит к падению давления. На рис. 2.63 дано распределение вихря со по стенке сосуда (Re=25, s=75%). Максимальное значение вихрь достигает на сгенке сосуда в окрестности сужения (вверх по потоку от области максимального сужения). Область отрицательных значений вихря соответствует области возвратного течения. Учитывая связь между вихрем и напряжениями трения, можно сделать вывод, что именно в области сужения сосуда имеется наибольшая вероятность разруше-
175
ния стенки сосуда и эритроцитов (гемолиз). Для сравнения на рис.
2.62, 2.63 приведены также данные из работы [53]. Распределение
Рис. 2.63. Распределение вихря со по стенке сосуда при Re=25, s=75%: ---- ре-
зультаты данной работы; ХХХХ из [53].
Рис. 2.64. Распределение давления р вдоль г при г'=0,05 для различных чисел Рейнольдса и s=75%.
давления вблизи оси сосуда (г'=0,05) для Re=10, 20, 30, 40 показано на рис. 2.64.
Представляет также большой интерес исследование пространственных задач гемодинамики.
§ 7. Исследование периодических течений вязкой жидкости в до-критических и закритических режимах
В данном параграфе рассматриваются в комплексной постановке (аналитическое исследование — численный расчет) вопросы гидродинамической устойчивости течения вязкой несжимаемой жидкости под действием периодической в пространстве силы и проводится прямое численное моделирование з а к р и т и-176
ч е с к о г о режима такого течения. Приведем здесь некоторые результаты этих исследований [54—56] *).
Изучение устойчивости ламинарных течений по отношению к ма-ЛЬ1М возмущениям, которые всегда существуют в природе, представляет определенный интерес как с точки зрения теории, так и для практических приложений. Это объясняется прежде всего тем, что именно с вопросами устойчивости связано объяснение многообразных сложных движений жидкости, а также проблемы возникновения турбулентности.
Так, согласно [57] (см. также [58—60]), при переходе числа Рейнольдса (или какого-либо иного параметра, характеризующего течение) через критическое значение стационарное течение теряет устойчивость, и устанавливается новый, вообще говоря, периодический автоколебательный режим (вторичное течение), который, в свою очередь, устойчив только в определенном интервале значений этого параметра. Далее он снова теряет устойчивость и т. д. Предполагается, что по мере роста параметра могут последовательно появляться новые виды возмущений (бифуркации) и при этом будет возникать условнопериодическое движение со все большим числом частот. Поэтому при достаточно большом значении Re течение можно считать турбулентным.
В [57] рассматривается рождение периодического автоколебательного режима как первого шага в переходе от ламинарного течения жидкости к турбулентному. Известно, что в плоском случае не существует, вообще говоря, строго определенной точки перехода: ламинарное течение преобразуется в полностью турбулентное всегда на протяжении некоторой переходной области, где на основное течение налагаются вторичные, как правило колебательные, движения. Эти движения, не изменяя в целом ламинарного характера основного потока, существенно влияют на его осредненные характеристики.
Представляется особенно важным получение общих картин течений в переходной области как для стационарных, так и для автоколебательных режимов, изучение динамики их поведения, определение критических значений параметров потока, а также нахождение периодов автоколебательных периодических течений. Для геофизических приложений представляет интерес исследование устойчивости такого класса течений, для которых масштабы неустойчивых возмущений соизмеримы с пространственным масштабом основного течения. Такое исследование, по-видимому, может дать ключ к объяснению эволюции циклонов и антициклонов в атмосфере и синоптических вихрей в океане, картины их взаимодействия со средними течениями и т. д.
Математические модели указанного типа течений представляют собой краевые задачи для нелинейных уравнений в частных произ-В°дных (в общем случае, как уже отмечалось, это многомерная нестационарная система уравнений Навье — Стокса). Здесь рассматри-вается задача о плоском течении вязкой несжи-——____________
*) См. также [85, 86].
177
маемой жидкости под действием периодической в поперечном направлении силы. Эта задача была предложена А. Н. Колмогоровым 161] и в линейной постановке исследовалась в работах [62—64], где был доказан факт потери устойчивости основного ламинарного течения относительно пространственно-периодических возмущений с большой длиной волны вдоль течения. Задаче о нелинейном развитии возмущений и возникновении вторичных стационарных или периодических течений при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости посвящены работы [54, 65—68]. Экспериментальные исследования плоского периодического течения приведены в [69]. Однако вопрос о существовании устойчивых стационарных или автоколебательных режимов вторичного течения в значительной степени оставался открытым. Необходимо было также изучить влияние начального потока на рассматриваемое движение.
1. Постановка задачи. Определение критических значений параметров течения. Рассмотрим задачу о плоском течении вязкой несжимаемой жидкости под действием внешней периодической в пространстве силы, направленной по оси х и равной у sin t\y (параметр у>0). Указанное движение описывается системой уравнений Навье — Стокса. Вводя масштаб длины г]-1, скорости T]~2vl-y и времени тугу-1 и переходя к безразмерным переменным, можно для указанной задачи записать систему уравнений движения и неразрывности в виде
ди . ди2 , duv др . 1 Л . 1
^7 + аГ+~ sin
| 1 д (2>7б)
dt 1 дх 1 ду ду 1 Re ' '
ди . dv _л
~ду~ '
Здесь и, v — составляющие вектора скорости V соответственно по осям х, у, р — давление, v — кинематический коэффициент вязкости, Pe=y/(v2i]3) — число Рейнольдса.
Течение исследуется в области Q, на границах которой ставятся условия периодичности по х (с периодом 2л/а, а>0) и по у (с периодом 2л).
Среднюю скорость движения жидкости q будем считать заданной:
(2’77)
Заметим, что (2.77) эквивалентно заданию расходов жидкости через стороны прямоугольника Q.
Система уравнений (2.76) при заданной условием (2.77) средней скорости 0=0 имеет стационарное решение, соответствующее ламинарному течению вдоль оси х при постоянном давлении.
u=sin у, v=0, p=const. (2.7^)
178
Будем рассматривать стационарные решения системы (2.76) типа (2.78) и их устойчивость относительно возмущений, гармонических до х с длиной волны 2л/а (а — волновое число) и по у с длиной волны 2л, в области
Q= {(х, у), |х|^л/а, (2.79)
Далее, задачу, определенную первоначально в элементарной ячейке (2.79), удобно периодически продолжить по х и по у соответственно с периодом 2л/а и 2л.
Граничные условия имеют следующий вид (условия периодичности):
/(—л/а, у)=/(л/а, у), f(x, —л)=/(х, л), (2.80)
где М«, и, р).
Вводя функцию тока ф и = dty/dy, v = — dtydx,
получаем, что она удовлетворяет уравнению вида
(-£—Дф-р (Аф, Ф)=4-СОЗУ> \ at Re/ r 1 v т> т/ ре
(2-81)
где
3 (Дф, ф)
дф дАф ду дх
дф дАф дх ду
есть якобиан. Функция тока стационарного плоскопараллельного течения (2.78) имеет вид
ф=—cos у.
(2.82)
Картина течения (2.82) (линии ф=сопз1) при а=0,5 приведена на рис. 2.65, а. Аналогичная картина течения получена в результате численного решения задачи (2.76), (2.77), (2.80) при Re=0,5, а= =0,5, <7=0.
Решение (2.82) единственно и устойчиво при любых числах Рейнольдса, если [63]. Таким образом, наиболее интересен для исследования случай а<1. Как показано в работах [62—64] (для линейной постановки задачи), в случае а < 1 стационарное решение (2.82), соответствующее ламинарному течению, неустойчиво относительно длинноволновых продольных возмущений при определенном значении параметра Re. Это значение назовем критическим числом Рейнольдса ReKp. Причем когда а —> 1 — 0, то ReKp (а) оо,
когда а — 4-0, то ReKp (а) — /2 4-0.
Интересно найти зависимость критического числа Рейнольдса °т а для малых (но конечных) значений а и провести изучение Свойств решений как для докритического режима, так и для вторичных течений в зависимости от q [55].
I Используя асимптотическую технику для решения соответствующей периодической задачи Орра—Зоммерфельда, разработанную *164], можно найти выражение для ReKp = ReKp(a) при малых
179-
значениях а [55]:
ReKp = /2+|/2a2 + O(a4). (2.83)
Формула для определения критического числа Рейнольдса (2.83) совпадает с выражением, приведенным в работе [671.
-0,5
— О
0,5 тт
0,5
- 0
-0,5
-п а
'о
0,5 —
-тт 0,5
у
-0,5
ах
а)
№
ах
5)
Рис. 2.65. Основное течение в докритической области при Re=0,5: a) q(0, 0)=0; б) 9(0,05; 0,05)=#0.
Прежде чем привести результаты исследований течений в до- и закритическом режимах, кратко опишем схему прямого численного решения полной системы уравнений Навье — Стокса (2.76), (2.80) [55, 56, 85, 86].
2. Численное моделирование плоского течения вязкой жидкости под действием внешней периодической силы. Решение ищется в прямоугольной области й=(|х|^2л/а, |у| 2л), на границах которой ста-
вятся периодические условия (2.80). В качестве начальных данных задается некоторое поле скорости и давления:
и (х, у, 0) = 71(х, у), v(x, у, Q) = q2(x, у), р(х, у, 0) = 93 (х, у), (2-84) где qt (х, у), 1=1, 2, 3,— заданные функции, удовлетворяющие гра' ничным условиям (2.80).
180
Характерными параметрами рассматриваемого течения являются: число Рейнольдса Re, волновое число а и средняя скорость движения жидкости q (2.77), которая в численном эксперименте задается с помощью начального поля qt и q2 (2.84). Размер области по у принимается постоянным: Н= 1/т]=2л, а размер области по х равен L= ==1/(т]а)=2л/а.
Используется следующая схема расщепления для уравнений (2.76) *):
I: IzZl=_(Pv) P- + J-AP> + F;
II: Ap = V~;
III: V«+i = V—rvp,
(2.85)
где F=((l/Re) sin y, 0) — внешняя периодическая в пространстве сила.
Для случая декартовой системы координат и равномерной сетки (рис. 2.66) из (2.85) получаем двумерную конечноразностную схему
^£ + 1/2, / Ui+l/2,/ (Н//)2 (Ut' + 1, р2 । (W)t + l/2, J—1/2 0<t'’)t + l/2, / + 1/2 .
Т hx ' h2
ЦГ+3/2, / ^“t + 1/2, /~ЬЦ>-1/2, / i
hl
, Ц£ + 1/2,/ + 1 2«(+i/2, /+ц£ + 1/8,/-1
hi
. 1 •
-t-R-eSm^
Vi, j + 1/2 Vi, j + 1/2 (W)('-l/2 , / + 1/2 (UV^i + l/2, j + 1/2 , ^й) {Ч, j+1)
T — hi h2 '
Pi+1, j — 2P|/ + Pz-1, j ! Pi, J-i— %Pij+Pi, j + 1 Dij
72 1 l2 ~ ’
ht h2 т
где
f. ui + l/2,i ui-i/2, j ,vi, j + 1/2 vi, i-1/2
U‘* i - hl 1 hi
Ui + 1/i, j = «£ + 1/2, i (Pi + 1, j Pij), ^i, j+1/2 Vi, j + 1/2 (Pi, j + 1 Pij)*
*) В отличие от рассмотренных ранее схем здесь на этапе I расщепления перенос УЩествляется не только за счет диффузии и конвекции, но также и внешней силы.
181
Схема (2.86) аппроксимирует исходную систему дифференциальных, уравнений (2.76) с погрешностью О(т, h2), где т — шаг по времени A=max(/i1, h2), hu h2 — шаги по пространственным переменным х, у\ Нетрудно также записать периодические граничные условия (2.80) в разностном виде [55, 56].
Критерий устойчивости используемой разностной схемы на этапе I (при /ii=/i2) имеет вид
r^4/Re(«2+u2).
Исключив р из остальных уравнений, с помощью метода Фурье легко.
В качестве начального приближения выбирается поле скорости и давления (2.84), удовлетворяющее граничным условиям (2.80). Стационарное решение задачи (если оно существует) получается в результате повторения этапов I—III до выполнения, например, следующего критерия установления:
тах|и?+1%,/—«"-ил,/|<б, (2.87)»
где ы(+1/2,/—сеточная функция, 6—достаточно малое число (k > 0).
Для отработки выбранного метода была решена хорошо изученная многими авторами классическая задача о движении вязкой жидкости в прямоугольной области с одной подвижной стенкой [70]. Совпадение полученных данных с результатами других авторов достаточнохорошее. Также была рассмотрена задача о движении жидкости в замкнутом бассейне под действием периодической в пространстве силы [70], которая описывается системой уравнений (2.76) с граничными условиями прилипания и непротекания, соответствующими твердой непроницаемой поверхности И|г=0, где Г — граница области Й.
Полученные картины течения дают некоторое представление о структуре движения и для задачи с периодическими граничными условиями, например, наблюдается увеличение угла наклона оси центрального вихря с ростом Re.
Как уже было указано, при рассмотрении периодического по х и у течения наиболее интересен случай малых а (в дальнейшем пола-182
гается а=0,5). Для всех расчетов, приведенных в этом параграфе, была выбрана равномерная сетка с шагами /ij=4n/61, /i2=2n/29. Попытки расчетов на более грубой сетке /ii=4n/16, /i2=2n/16 (что, естественно, дает уменьшение времени счета) показали, что получаются неплохие качественные результаты, но количественные данные определяются недостаточно точно.
3. Течение жидкости в докритическом режиме. Исследуем вначале аналитически поведение решения задачи (2.76), (2.80) в докритическом режиме. Пусть средняя скорость движения жидкости ^0. Будем считать течение стационарным и решение системы уравнений (2.76) представим в виде
и(х, у, f)=u(y)+U, v(x, у, t)=V, р(х, у, Z)=const, где U, V—компоненты вектора q(U, V), причем U, V=const.
Подставляя решение в (2.76), получаем в этом случае обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. С учетом условия периодичности (2.80) и вида решения (2.78) при q=0, решение при заданном q(U, У)^=0 будет иметь вид [551
и (х, у, /) =, , ,1 ¥..2 (sin у—Re V cos у) 4- U,
v ' i + (Rep)2V । > (2.88)
и(х, у, t)=V, р(х, у, t)= const
или для функции тока
Ф = — 1 + (реу)2 (cosy + Re^ s>iny) + Uy—Vx. (2.89)
Очевидно, что решение (2.88) инвариантно относительно преобразования сдвига по оси х.
Назовем данное общее решение, описывающее ламинарное течение в докритическом режиме при любому, основным. Если U=V=Q (<7=0), то течение, описываемое формулой (2.89), совпадает с течением (2.82), которое показано на рис. 2.65, а. При U=V=Q,Q5 (Re=0,5, а=0,5) картина основного течения (2.89) (линии ip=const) приведена на рис. 2.65, б.
Численное решение задачи на основе полной системы уравнений (2.76), полученное в [551 при тех же значениях параметров U, V, а и Re=0,5 (что соответствует докритическому режиму — согласно (2.83) ReKp«l,9 при а=0,5), устойчиво и стационарно*). Картины течения (полученные аналитически и численно) полностью совпадают и здесь (рис. 2.65, б).
4. Течение жидкости в закритической области. Когда средняя скорость движения q=0, то исследования течений для закритических Режимов можно провести и аналитически [55, 85]. Сопоставим резуль-
*) Для проверки устойчивости изучаемых течений на решение, полученное при ^1==<?2=0,05, в восьми центральных точках были наложены возмущения порядка --0,05 для и и о. Такое поле было принято за начальное, и снова было найдено реше-"Ие, которое практически совпадает с полученным ранее, что свидетельствует об ус-т°ичивости рассматриваемых течений.
183
тэты аналитического и численного решений в закритической области которые получаются при потере устойчивости основного течения при q=Q (2.78) или (2.82), представленного на рис. 2.65, а.
Результаты линейной теории устойчивости позволяют найти критические значения параметров задачи, при достижении которых малые возмущения, наложенные на основной поток (2.78), начинают расти и, следовательно, их амплитуды могут достигать конечных значений. Поэтому с этого момента процессы, происходящие в гидродинамической системе, уже нельзя изучать с помощью линейной теории и для описания эволюции конечных возмущений приходится привлекать полную нестационарную систему нелинейных уравнений гидродинамики (2.76).
Процедура исследования вторичного течения основана на аппроксимации уравнений гидродинамики конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений — метод Галеркина [60L В качестве базисных функций здесь выбираются наиболее неустойчивые моды, найденные из линейной теории устойчивости течения (2.78). Было получено [54, 55, 85] общее выражение для функции тока вторичного течения, учитывающее общую зависимость (2.83) для ReKp(a):
(*, У) = _______________
ReKp ReKp (Re ReKp) fl. .2 . I
=-----H— cos у----------=----------< — sinax 4- -5— cos ax sin у >.
Re Re (a ' ReKp
(2.90) Здесь первый член соответствует функции тока основного течения, а второй — функции тока конечных возмущений.
Анализ решения показал, что при Re<ReKp устанавливается ламинарный режим (2.78). При переходе Re через критическое значение этот режим становится неустойчивым и возникает вторичное стационарное течение. Формула (2.90) описывает различные режимы вторичного стационарного течения, которые будут дальше исследованы как аналитически, так и численно.
Вторичное течение (2.90), полученное с учетом взаимодействия лишь первых гармоник возмущения со средним потоком, содержит несколько параметров: a, ReKp(a), Re. Представляется целесообразным изучить структуру этого течения при Re > ReKp и некотором фиксированном a< 1, что, как легко видеть, охватывает все возможные случаи изменения определяющих параметров *). С этой целью удобно перейти в (2.90) к новой функции тока
Ф1 = — -уФ=Фо + Фв. (2’91>
*) Наряду с изучением стационарного течения (2.90) в ряде работ рассматривался вопрос об устойчивости этого течения по отношению к более мелкомасштабным (по сравнению с основной гармоникой потока) волновым возмущениям. Так, в работах [66, 67] показано, что вторичные течения типа (2.90) в случае малых а неустойчивы относительно этого класса возмущений. Приведенное выше рассмотрение вторичного течения при Re>ReKp показало, что для течения (2.90) имеется ряд последовательных бифуркаций. Однако с увеличением числа Рейнольдса могут появляться новые виды возмущений (которые взаимодействуют как между собой, так и со средним потоком), 11 пренебрежение ими может привести, вообще говоря, к неверным результатам.
184
где
ReKp 1 . 2
фо = —jr~ cos у, фв = — sin ах + -5— cos ах sin у, о а ХеКр
b=[ReKp (Re-ReKp)]v*.
Здесь ф0—функция тока чисто сдвигового течения, фв—функция тока конечных возмущений, которая фактически зависит лишь от одного параметра а (и не зависит от Re).
Анализ выражения (2.91), проведенный в [54], показывает, что существуют некоторые характерные значения чисел Рейнольдса Rex (а) й Re2(a), причем каждому из интервалов ReKp<Re^Relt Rei < < Re Re2, Re > Re2 отвечает определенная картина течения. При переходе через указанные границы происходит качественная перестройка структуры движения.
Величины Ret и Re2 определяются такими формулами:
/ Ра4 \
Re1(a) = ReKp(a)(l+a^), Re2 (a) = ReKp (a) 1 +^-) . (2.92)
В рассмотренном случае при a = 0,5 ReKp(a)«l,9, Re, (a) л; 2,4, Re2 (a) 8,8. Изучим аналитически и численно каждый диапазон
чисел Рейнольдса в отдельности (все расчеты в дальнейшем будем проводить при a = 0,5) [54—56, 85].
Первый диапазон (ReKp<Re^Rex): функция тока конечных возмущений фв меньше ф0, и поэтому возникает система вихревых цепочек, параллельных оси х, разделенная зонами горизонтальных струйных течений. Картина течения, полученная аналитически из (2.91), в рассматриваемом случае представлена на рис. 2.67, а при Re=2 (напомним, что при a=0,5 ReKp~= l ,9, Re,«2,4). Видно, что под действием сдвига появляется наклон оси вихрей, а направления углов поворота при последовательном переходе от одной вихревой полосы к другой чередуются. С увеличением числа Рейнольдса (при Re-* Re,) максимальная ширина вихревой полосы увеличивается, а зоны струйного течения уменьшаются.
На рис. 2.67, б для сравнения приведена картина стационарного течения в закритическом режиме, полученного в результате прямого численного решения полной исходной задачи (2.76), после потери устойчивости основного течения, представленного на рис. 2.65, а. Хотя численное решение получено при Re=3,l, картина течения, Данная на рис. 2.67, б, соответствует первому типу течения. На рис. 2.67, в приведены данные эксперимента при Re>ReKp (слабая надкритичность) [69]. Совпадение результатов достаточно хорошее.
Заметим, что для Re^3 численное решение соответствует плоскопараллельному ламинарному течению и оно совпадает с аналитическим решением, полученным при Re=0,5 (рис. 2.65, а). При Re>3 Картина течения резко меняется и образуется система чередующихся вихрей. Так, при Re=3,1 численно получаем также стационаров решение, но соответствующее уже закри-пческому режиму, которое показано на рис. 2.67, б. Для Равнения с этим решением следует взять картину течения, получен-
185
ную в результате аналитических исследований (рис. 2,67, а), построенную при Re=2 (что соответствует также первому типу течения в закритической области). Качественное совпадение результатов достаточно хорошее.
J''—=/_— —•— ^0,5———
^7— —^—^7 '
—0 - 0,5 —Z — O—yyZ- -0.5-^
л—
О)
ff)
Рис. 2.67. Вторичное стационарное течение в первом диапазоне (ReKp<Re«<Rei' при <х= 0,5, q (0, 0)=0: а) Re=2, аналитическое решение; б) Re=3,l, расчет; в) эксперимент при Re>ReKp.
Таким образом, при изменении числа Рейнольдса от 3 до 3,1 о? новное течение, построенное численно для полной системы у рае не ни11 Навье — Стокса (2.76), теряет устойчивость и устанавливается н0' 186
^ьЛ (первый) стационарный режим, соответствующий вторичному течению, хотя, согласно линейной теории, критическое число Рейнольдса, определенное формулой (2.83), при а=0,5 равно 1,9. Такое различие в определении ReKp, по-видимому, объясняется тем, что выражение для критического числа Рейнольдса (2.83) получено в лилейном приближении при конечных (но малых) значениях а, а при численном моделировании решается полная система нестационарных уравнений и волновое число а=0,5. Следует также отметить, что в отличие от аналитического исследования, которое проводится только с учетом основных гармоник, при численном моделировании учитываются как гармоники с длинами волн, большими 2/г (где h — шаг пространственной сетки по х и по у), так и их нелинейные взаимодействия между собой.
Второй диапазон (Re^ReCRe-j): значение фв в аналитическом решении (2.91) больше ф0, и поэтому образуется система вертикально расположенных вихревых полос, которые отделяются друг от друга областями вертикальных струйных течений. В пределах одной и той же вихревой полосы оси вихрей имеют один и тот же наклон, а при переходе к соседней полосе направление углов поворота меняется на противоположное; при этом вихри несколько вытянуты в поперечном направлении (рис. 2.68, а, а=0,5, Re=5).
На рис. 2.68, б для сравнения приведена картина стационарного течения, полученного численно для (2.76) (ос=0,5, Re=5), а на рис. 2.68, в — данные эксперимента при Re>l,25 ReKp [69]. Как видим, качественное совпадение результатов тоже достаточно хорошее.
Таким образом, численно показано, что при изменении Re от 3,1 до 5 происходит перестройка структуры течения. Это’ подтверждает доказанный аналитически и исследованный экспериментально [69] факт существования различных качественных режимов стационарного течения в закри-тической области. Достаточно хорошее совпадение картин течения, полученных в результате численного решения задачи (на основе полной системы уравнений (2.76)), и картин закритического течения, полученных аналитически с учетом только взаимодействия ссновной гармоники (возмущений по х) со средним потоком, подтверждает правильность описания аналитическим выражением (2.91) вторичного течения в случае Re, близкого к ReKp (хотя формула (2.83) выведена в предположении малых а, а мы берем конечное значение а=0,5).
Третий диапазон (Re>Re2) (где из (2.92) Re2?e8,8 при «=0,5): происходит еще одна перестройка структуры потока, и картина течения (2.91) чрезвычайно усложняется (рис. 2.69, a, Re=50). Хотя система вертикальных вихревых полос здесь аналогична второму случаю, но наклон основных вихрей увеличивается и внутри них образуется новая подсистема вихрей типа «восьмерок». Как ВиДно из рис. 2,69, а, данный режим существенно отличается от всех предыдущих случаев наличием у течения тонкой вихревой структуры.
При Re=50 численное решение (2.76), (2.80) также стационарно (рис. 2.69, б), но оно уже качественно отличается от анали-
1R7
тического (рис. 2.69, а) нет, например, тонкой структуры. Это можно, видимо, объяснить, с одной стороны, недостаточной разре-шающей способностью разностной сетки, а с другой стороны, тем, что
S)
Рис. 2.68. Вторичное стационарное течение во втором диапазоне (Re1<Re«:Re2) при а=0,5, 0(0, 0)=0: a) Re=5, аналитическое решение; б) Re=5, расчет; в) экс перимент при Re>l,25 ReKp.
при больших числах Рейнольдса могут возникнуть новые виды возмущений, и в аналитических исследованиях нельзя уже ограничиваться рассмотрением одной гармоники по х и гармоник по у лии,ь с номерами п=0, ±1.
188
Итак, когда средняя скорость движения жидкости задается равной нулю, все численные решения в закритическом режиме стационарны, т. е. выполняется условие (2.87).
В заключение сделаем следующее замечание. Анализ устойчивости вторичного течения в случае конечных а для больших чисел Рейнольдса является довольно сложным. В связи с этим при аналитическом исследовании устойчивости течений при q=£0 (типа (2.88), (2 89))
Рис. 2.69. "Вторичное стационарное течение в третьем диапазоне (Re>Re2) при а=0,5, q(0, 0)=0: а) Re=50, аналитическое решение; б) Re=50, расчет.
относительно малых возмущений возникают большие трудности. В закритической области могут появляться автоколебательные режимы, для описания которых уже необходимо учитывать все виды возмущений. Так, при рассмотрении вторичного течения, возникающего в результате потери устойчивости ламинарного течения (2.88), в работе [63] высказано предположение о появлении нестационарности — автоколебательного режима с периодом Т~2л/(а,и). По-видимому, в данном случае именно численный подход на основе полных нестационарных уравнений Навье — Стокса (2.76) позволит подробнее исследовать рассмотренный класс течений.
5. Автоколебательный режим течения в закритической области. Рассмотрим теперь течение в закритической области, которое получается при потере устойчивости основного течения (2.88), (2.89) при 9=А0 приведенного на рис. 2.65, б (представленное здесь решение
189
получено с начального поля при <7!=72=0,05, а=0,5, Re=0,5). Такой анализ удается провести только численно [55, 56, 86].
Решение задачи (2.76), (2.79), (2.80) при Re=5 (<7(0,05; 0,05)^0) получается устойчивым, но нестационарным, и мы рассматриваем картину течения в зависимости от времени (рис. 2.70).
Рис. 2.70. Вторичное нестационарное течение (расчет) при Re=5, а=0,5, q (0,05; 0,05)^0, Т«250: a) <=75; б) <=125; в) <=175.
В качестве начальных условий (2.84) выбирается поле скорости и давления основного течения, представленного на рис. 2.65, б.
Как видно из рис. 2.70, линии тока образуют систему вертикально расположенных вихревых полос, которые отделены друг от дрУга 190
областями вертикальных струйных течений. В пределах одной и той же вихревой полосы оси вихрей имеют один и тот же наклон, а при переходе к соседней полосе направление углов поворота меняется на противоположное.
В отличие от картины стационарного течения, представленной на рис. 2.68 при тем же Re=5 и q=0, картина течения, полученная в
Рис. 2.70. Вторичное нестационарное течение (расчет) при Re=-5, <х=0,5, 9(0,05; 0,05)#=0, 7^250: г) /=225; 5) /=275; е) /=325.
этом случае (^#=0), имеет более сложную структуру, и функция тока Не Удовлетворяет условию периодичности по х и по у. Более того, это течение нестационарно: происходит движение системы вих-
191
рей в положительном направлении оси х. При этом интенсивность центрального вихря W (рис. 2.70) (а также всей вихревой полосы в которой находится вихрь W) по мере движения уменьшается, если вихрь находится в области (2k—l)n/a^.x^.2kn/a (k=0, ±1, и увеличивается, если вихрь находится в области 2£л/а^х^ (2&+1)л/а (£=0, ±1, ...). Как видно, картина линий тока повторяется по времени приблизительно через 250 безразмерных единиц, т. е. получается автоколебательный режим с периодом 7^250.
Определим теперь, как будет меняться характер нестационарного течения при изменении компонент #1; q2 вектора средней скорости q(qi, и числа Рейнольдса Re>ReKp *).
В случае, когда составляющие вектора средней скорости начального потока q, определяющего основное течение, Qi=q2=0,005 (т. е. в десять раз меньше, чем в предыдущем варианте), мы получаем при том же Re=5 также нестационарную картину течения, представленную на рис. 2.71, а Между первой и третьей картинами течения здесь Д^=50 (безразмерных единиц).
Сравним теперь картины течения, полученные в предыдущем случае (рис. 2.71, б) (Re=5, Q(0,05; 0,05), Ai=5, 7^250), с картиной течения, представленной на рис. 2.71, a (Re=5, #(0,005; 0,005), Д£=50). На рис. 2.71, а и рис. 2.71, б верхние и нижние картины близки между собой (например, если судить по размеру и интенсивности центрального вихря W, находящегося в области 0^х^л/а). Отсюда можно сделать вывод, что во втором варианте период автоколебательного движения будет 7^2500, т. е. в десять раз больше, чем в первом случае (во столько же раз, во сколько qt во втором случае меньше, чем qt в первом).
Поэтому, когда qi=q2~+ 0 при Re>ReKp, период автоколебательного движения стремится к бесконечности и численное решение становится стационарным. Картины такого течения для Re=3,l; 5; 50 при #(0, 0)=0 представлены соответственно на рис. 2.67,6, 2.68,6, 2.69, 6.
Рассмотрим теперь картину течения в закритической области при потере устойчивости основного течения, когда ^=0,05, a q2=0. Те* чение при Re=5 будет нестационарным; картина линии тока (ip=const) в зависимости от времени показана на рис. 2.72. Если сравнить данные результаты с картиной течения, представленной на рис. 2.70, где период 7'=250, то увидим, что соответствующие картины близки между собой. В обоих случаях, в зависимости от времени, наблюдается одинаковое смещение всей картины вдоль оси х и интенсивность центрального вихря W уменьшается.
По аналогии с рис. 2.70 можно сделать вывод, что течение в последнем случае будет также автоколебательным и его период равен Т«250.
Если составляющие вектора скорости потока, которого определяет основное течение, равны <?i=0, q2=0,05, то после потери
*) Напомним, что результаты численного моделирования дают ReKp~3,l-
192
Рис. 2.71, а. Вторичное нестационарное течение (расчет) при Re=5, а=0,5, q (0,005; 0,005)^0, А^=50, Т«2500.
устойчивости основного течения закритический режим течения при Re=5 получается устойчивым и стационарным (рис. 2.73).
Таким образом, период автоколебательного движения не зависит от начального потока v(x, у, Q)=q2, определяющего основное течение,
Рис. 2.71, б. Вторичное нестационарное течение (расчет) при Re=5, а=0,5, q (0,05; 0,05)#=0, Дг=5, Т«250.
а зависит лишь от и(х, у, 0)=Qi (см. (2.84)). Начальное поле скорости (Qi, <7г) определяет среднюю скорость потока (2.77) q(U, У) при расчете докритических режимов течения.
Правильность полученных в этом параграфе результатов подтверждает приведенная в работе [63] теорема.
Теорема. Для тех значений чисел Рейнольдса, при которых система (2.76) в случае q=0 имеет нетривиальные решения, те же уравнения (2.76) в случае q(U, 0)#=0 имеют нетривиальные решения, периодические по времени
T=2a/(aU). (2.93)
Так, при задании средней скорости начального потока </=(0,05; 0) период автоколебательного течения в численном расчете равен 7'=250,
194
в)
Рис. 2.72. Вторичное нестационарное течение (расчет) при Re=5, а=0,5, q (0,05; 0)#=0, ТягбО: а) /=100; б) /=150; в) <=200.
а период, вычисленный по формуле (2.93), равен Т=251 (в нашем рассмотрении а=0,5). По-видимому, совпадение значений для Т полученных по формуле (2.93), со значениями периодов автоколебательного движения, определяемых численно, дает нам право сделать такой вывод: Формула (2.93) применима для всех закритических режимов течения.
Рис. 2.73. Вторичное стационарное течение (расчет) при Re=5, а=0,5, q(0; 0,05)#=0.
Таким образом, от задания средней скорости начального потока q, определяющей основное течение, зависит получение в закритической области устойчивых (все режимы, полученные в этой главе, устойчивы относительно малых возмущений) стационарных (когда Т —оо) или автоколебательных режимов с периодом Т=2n/(aU).
Приведенные здесь численные результаты и сравнение их с аналитическим решением и экспериментальными данными показывают, что путем прямого численного решения полной системы уравнений Навье — Стокса (2.76), (2.86) удается построить как стационарные, так и нестационарные устойчивые течения для закритического режима движения.
Правда, здесь следует оговориться. Для данного класса задач и системы уравнений типа (2.76) вычисление при Re>ReKp (где ReKp»3) удается проводить с высокой точностью, однако при исследовании закритических режимов и задач турбулентности в более сложных случаях (например, для течений в трубах, слоях смешения, струях, в следе за конечным телсм), где ReKp достаточно велико, решение полной многомерной системы уравнений Навье — Стокса при Re>ReKp весьма затруднительно [71].
§ 8. Численное моделирование стратифицированных течений вязкой несжимаемой жидкости
Теория движения стратифицированных по плотности жидкостей и газов в поле силы тяжести — раздел современной гидродинамики, быстро развивающийся в последнее время, весьма интересный в теоретическом отношении и связанный с важными практически-196
ли приложениями в технике (энергетике, гидротехнике) и геофизике (океанологии, метеорологии и гидрологии). Достаточно полные обзоры, отражающие современное состояние различных разделов теории стратифицированных течений, можно найти в [72, 73]. Здесь предлагается один из подходов к численному исследованию течений вязкой несжимаемой стратифицированной по плотности жидкости в поле силы тяжести, основанный на рассмотрении полной системы уравнений Навье — Стокса.
В настоящее время известен целый ряд численных методик, разработанных для исследования течений неоднородной вязкой жидкости [74—79]. Большинство из них исторически основано на решении уравнений Навье — Стокса в форме Гельмгольца (в переменных вихрь — функция тока (со, ф)) [74—76], что ограничивает область применимости этих методов случаем двумерных течений. Общим недостатком этих подходов, как уже отмечалось, является использование в том или ином виде граничного условия для вихря на твердой поверхности тела, которое отсутствует в физической постановке задачи.
В последнее время все большее внимание уделяется разработке численных методов решения уравнений Навье — Стокса в естественных переменных давление — вектор скорости (р, V) [77—79]. В этих подходах (кроме [78]) принимается приближение Буссинеска, согласно которому изменение плотности жидкости учитывается лишь в силах плавучести. Основное преимущество использования естественных переменных (р, V) заключается в том, что здесь, в принципе, возможно обобщение численных алгоритмов и на пространственный случай. Однако остаются определенные затруднения в корректной формулировке, аппроксимации граничных условий и вводе стратификации.
В данном параграфе на примере решения задач о динамике пятна (коллапса) и обтекании кругового цилиндра в устойчиво-стратифицированной по плотности жидкости дается обобщение метода расщепления [17, 18] на случай течения неоднородной вязкой жидкости [55, 56, 801. Как будет показано ниже, данный подход может быть использован и для исследования течений неоднородной несжимаемой вязкой жидкости в случае двух и трех пространственных переменных как в прямоугольной (декартовой), так и в ортогональной криволинейной системе координат. Предусмотрена возможность задания стратификации (по плотности) и вязкости либо в виде аналитических формул, либо в виде таблиц, полученных в результате обработки экспериментальных данных, что существенно расширяет круг рассматриваемых течений. Указанная методика может быть также обобщена и на случай исследования некоторых турбулентных течений. Проведем здесь изложение материала, следуя [56].
1. Основные уравнения задачи. Схема метода расщепления для расчета стратифицированных течений. Уравнения Навье — Стокса, неразрывности и условие соленоидальности, описывающие нестационарное течение неоднородной (стратифицированной по плотности) несжимаемой вязкой жидкости, в векторной форме имеют следующий
107
вид (вязкость жидкости считается постоянной):
^ + (^V)V = -lvp + |AV+g-, ^- + V-(pV) = 0, VV = O.
Здесь V — вектор скорости, р — давление, р — плотность, ц — коэффициент динамической вязкости, g — внешняя сила (в данном случае— сила тяжести).
Наличие стратификации и внешней силы существенно усложняет процесс вычислений по сравнению с методикой [17], так как неоднородность жидкости требует дополнительного расчета поля плотностей. Пусть в некоторый момент времени tn=rw, где т — величина шага по времени, п — число шагов, известны поля скорости И, давления р и плотности р. Тогда порядок определения неизвестных функций на временном слое tn+1— (п+1)т можно представить в виде трехэтапной схемы расщепления (верхний индекс k соответствует номеру итерации по плотности на данном временном слое).
I этап. Вычисление промежуточных значений скорости и плотности:
(K»V) K’ + jAP+ff, (2.95а) 1-----------------------------------р
р-----—Р- = — V (pnVn). (2.956)
II этап. Расчет поля давления:
v(^^vpn+1>ftJ=v- (2-95в)
III этап. Определение окончательных значений скорости и плотности:
1Лп + 1>й_у 1
------;---= -^Ti7ftVpn+1-ft, (2.95г) Р^’^-Р”^ _ v (р»+1, kVn+i, ку (2.95д)
Таким образом, на I этапе предполагается, что перенос количества движения осуществляется лишь за счет конвекции, диффузии и внешних сил (2.95а), и из (2.956) находится «промежуточное» поле плотности. Далее, на II этапе проводится расчет полей давления—решается уравнение эллиптического типа (2.95в) с известной правой частью D/т, где D = VV. На этом этапе учитывается, что в силу уравнения неразрывности на каждом временном слое должно выполняться условие соленоидальности vVn+1 = 0. По уравнениям (2.95г), (2.95д) этапа III находятся «окончательные» (для данного временного слоя) поля скорости и плотности.
Следует отметить, что с целью обеспечения устойчивости счета на каждом временном слое после нахождения промежуточного поля 198
скорости V по известным в момент времени tn полям V и р из уравнения (2.956) определяется промежуточное значение рп+1’ \
Выпишем конечно-разностную схему уравнений (2.94). Пусть исследуемая область течения покрыта равномерной по х и у сеткой ячеек:
f Xi + in =ihlt ^>0, ~ I У/ +1/2 = /Л. h2>0,
i = 0, 1, j=0, 1....M,
где hi, h2 — размеры шагов сетки, N, M — число ячеек сетки соответственно в направлении х и у (точка с координатами (г, /) совпадает с центром ячейки). Здесь, как и в исходном методе расщепления, используется «шахматная» сетка (рис. 2.66). Это дает возможность наглядно интерпретировать каждую ячейку как элемент объема среды, который характеризуется рассчитываемыми в его центре давлением рц, плотностью Pij (возможно, температурой, энергией и т. п.), а также дивергенцией D;, (в зависимости от знака D характеризует наличие источника или стока в данном объеме). Знание же нормальной составляющей вектора скорости на стороне ячейки позволяет непосредственно вычислять поток количества движения (импульса единицы массы) через эту сторону.
Для случая декартовой системы координат и равномерной сетки (см. рис. 2.66) двумерная разностная схема имеет вид
*9+1/2,/ *9 + 1/2,/ _
т
__ (*9/) (ut+l, /) (W)i+l/2,/-1/2 (**У)/+1/2, / + 1/2 hi h2
, H | *9+3/2, / 2*9+l/2, / *9-1/2, / ,
“Г I,2 "r
Pi+1/2,/ L "1
11^ | Д
! *4+1/2,/ + ! Z*4+l/2, / । *4+1/2,/-!
+ hl
+ ёх> (2.96a)
vi, / + 1/2 ~~ Vi, j + 1/2 (^i-l/i, / + 1/2 (W)j + l/2, / +1/2 .
T hi ”1”
, (^o)2 — (Vi. /+1)2 , H UF+i,/ + l/2~2t'" / + 1/2 + t*"-1,/ + 1/2 J
nn+l, 1 n Pii — Pt/
T
199
n+1, k п+1, k п+1, k П+1, к.
Pi+1, 1 Pij Ptj —Pi-1, j .
h2nn+1’ k h2nn+1 k
"lPf+1/2,/ "lPl-1/2,/
n+l,k n+1, k n + l,k n + 1, k n
Pi,i+1—Pii Pij —Pi,j-1 Di J
"I 1,2„П+1, k r.2 n+1, k =
“2Pi, j+1/2 “2P(, / — 1/2 T
где
n ____ Ui + l/2, i Ui-l/2,j , vi, i + 1/2 Vi, j— 1/2
4 ht H h2 '
n + 1, fe ~ T , ,
«1 + 1/2,/— «i + 1/2, / -7—-- (Pi+l,j---Pij),
"1P/+1/2, j
n + 1, k ~ T , .
Vi, i+l/2-Vi, / + 1/2
Pit1- k+1-pn = _ Г ^i+i^i-^i^j 1 _
_ ~ (Р^)/,Г+-1/2-(Р0?,Г-1/2 ' ^2
(2.96b)
(2 .95 r)
(2.95д)
Рис. 2.74. Расчетная сетка при исследовании стратифицированных течений.
В тех случаях, когда возникает необходимость определять значения функций в точках сетки, не соответствующих их положениям на рис.2.66, следует воспользоваться средним арифметическим, например:
1 , 11
Pi+i/2, i = ~2 (Р/+1, /+ Ptj),
1
(«V)i + l/2, / + 1/2 =~2 (4i + l/2, i + 1 «i+1/2, /)X
1 .
X у (Vi, j + 1/2 +fi + l, / + 1/2)-
Для членов вида u2tj используется аппроксимация
«i/ = «i+1/2, j «i-1/2, /•
Легко видеть, что конечно-разностная схема (2.96) аппроксимирует систему уравнений (2.94) с погрешностью порядка О(т, h2), где /i=max (/ij, h2). Таким образом, приведенная разностная схема (2.96) имеет второй порядок точности по пространству.
Существенным моментом данного метода является аппроксимация граничных условий, отвечающая порядку точности построенной схемы. Основное внимание здесь уделяется формулировке граничных условий на твердой поверхности, так как именно их постановка вызывает наибольшие затруднения.
Пусть у—-твердая непроницаемая поверхность (рис. 2.74); тогда
У-1/2,/ + 1/2 =0 (условие прилипания), ц_1/2>/ = 0 (условие непротекания).
(2.97)
200
Из условия прилипания с учетом (2.96а) можно получить [17]
Уо. /+1/2 —
и0, /+1/2 2
„П
V>, / + 1/2
6
h2 лп
П1 Рр, 1 + 1/2
8 р.
gy + O(hl).
(2.98)
При выводе условия (2.98) предполагалось, что течение стационарно, т. е. dV/dt = O. Поэтому при рассмотрении течений, зависящих от времени, целесообразно использовать для пригра’нич-ных с твердой поверхностью ячеек соотношение вида
Уо, / + 1/2 —Уо,/+1/2 Т
18 (ut>)j/2> j + 1/2 (да)з/2, / + 1/2 8 (uw)o, j + 1/2
12/Й
Vo, /-3/2 /-1/2 ~Ь^0, /+3/2 V0, j+b/2
I2h2
_______H j + 1/2 V2, j + 1/2 25v0, j + 1/2 ,
Po. j+1/2 \ 5/if
+ ^0. / + 3/2 - 2^0 .^+ !/2 + ^0. / - !/2 _ g 1 + Q
которое также получается из второго уравнения (2.96а) с использованием условий (2.97). Условие (2 99) весьма общее, и его можно применять также в случае стационарных течений жидкости. Однако оно достаточно громоздко, и для не зависящих от времени течений рекомендуется пользоваться формулой (2.98). Для расчета поля плотности в «приграничных» ячейках рассматривается следующее представление (см. рис. 2.74):
рп+1, fe+i = pn_т (ры)^2- /+1/2~ (р1,)о'' '~1/2 Н-О(/г2). (2.100)
Получение однородных граничных условий на твердой поверхности при расчете поля давления обеспечивается приемом, изложенным в § 4 этой главы [56]. Приведенные краевые условия для расчета скорости, плотности и давления в «приграничных» ячейках имеют порядок точности по пространственным переменным не ниже второго. Заметим, что в рамках предлагаемого подхода условие типа (2.99) позволяет избавиться от введения слоя фиктивных ячеек (внутри твердого тела), а также не требуется рассчитывать значение вихря на твердой поверхности (которое отсутствует в физической постановке задачи). Условие, аналогичное (2.99), можно получить и для внешних границ рассматриваемой области *), а также для оси (плоскости) симметрии. Однако равенство нулю вихря на этих границах позволяет ввести слой фиктивных ячеек вдоль границы такого типа, что существенно упрощает постановку граничных условий [56, 801.
Условия устойчивости уравнений I этапа, полученные с помощью анализа дифференциальных приближений в случае однородной жид
*) На внешних, открытых границах области предполагается, что изменения /—(.и, v. р, р) малы, и обычно здесь используются условия df/dn=O или d2f/dn2=0, где п — нормаль к границе [38, 56, 80].
201
кости [17] (условия а-параболичности схемы), записываются в следующем виде:
Re> 2 ’ Re > 4 U м'
где /i = max(/ilt /г2), ^/Л1 = тах(м, u), U'M = max[ди/дх, dvidy).
Как показал опыт численных расчетов, выполнение указанных соотношений обеспечивает устойчивость счета и в случае неоднородной жидкости.
На каждом временном слое для достижения устойчивости расчета плотности после вычисления промежуточных значений скоростей V находится промежуточное поле плотности р"+1’1с использованием уравнения (2.966), в котором все функции, входящие в правую часть, берутся с предыдущего слоя п. Далее из уравнения (2.96в) рассчитывается поле давления (II этап) (здесь используется метод верхней релаксации) и с учетом полученного поля давления из уравнений (2.96г) и (2.96д) «подправляются» поля скоростей и плотности. Затем на данном временном слое опять повторяется расчет поля давления с учетом вновь найденного поля плотности и так далее до тех пор, пока не будет выполнено условие
шах | р^1’ *+1—р?/-1'k | < 6Х. (». /)
Вычислительный цикл повторяется либо до выполнения некоторого критерия установления (если существует стационарное решение) например, в виде
maxftj\ <62, где f = (u, v, р, р), (». /)
либо1 до некоторого заданного момента времени (6Х, 62 — малые величины).
Заметим, что проверку на установление в целях экономии машинного времени следует проводить не на каждом слое по времени, а через некоторое конечное число шагов /, зависящее от параметров задачи.
2. Расчет нестационарного ламинарного течения, возникающего в результате коллапса однородного «пятна» под действием силы тяжести. С помощью описанного метода была решена задача о плоском нестационарном течении, возникающем в результате коллапса однородного «пятна» в тяжелой линейно-стратифицированной по плотности вязкой несжимаемой жидкости [55, 56, 80].
Коллапс «пятна» в стратифицированной жидкости и связанные с ним вопросы возникновения и распространения внутренних волн (при отсутствии турбулентности) исследовались в ряде теоретических и экспериментальных работ [74, 75, 77—82].
Рассмотрим плоскую нестационарную задачу о ламинарном течении, возникающем при коллапсе (схлопывании по вертикали) области однородной жидкости А (с круговым или квадратным сечением), окруженной устойчиво- и непрерывно-стратифицированной по плотности (для определенности — по линейному закону) жидкостью (рис. 2.75).
202
Уравнения Навье—Стокса, описывающие ламинарное течение такого типа, имеют вид (2.94). Будем считать, что в начальный момент времени (/=0) система в области R2 находится в покое, т. е. u = v = Q. Плотность жидкости в пятне А постоянная (р = р0), а вне пятна, т. е. в области Я2\Л,
Р = Р»(1-^)>
В качестве начального приближения для давления использовалось следующее представление:
(—РоёУ, (х, у) £А,
Р[—р0ё{у—^У2), (х, z/)CR2\X.
Рис. 2.75. К постановке задачи о расчете коллапса однородного «пятна» под действием силы тяжести.
внешних границах 2—4 (в
Поскольку давление в случае несжимаемой жидкости определяется с точностью до произвольной постоянной, то, не ограничивая общности, можно полагать давление равным нулю на уровне у=0. В силу симметрии задачи относительно плоскости x=Q естественно искать решение только в одной полуплоскости, например, при х>0. В отличие от всех предшествующих работ симметрия относительно оси х здесь не предполагается.
Решение задачи будем искать в прямоугольной области {х, у: О^х^Х, —Y^y^Y} (см. рис. 2.75). На левой границе (7) этой области ставятся условия симметрии течения:
м = 0, ^ = ^=5р=0. дх дх дх
Существенное влияние на картину течения может оказать, вообще говоря, вид выбранных краевых условий на
настоящей работе здесь использовалось условие типа d2f/dn2=<Y). Верхняя (2), правая (3) и нижняя (4) «открытые» границы расчетной области должны быть выбраны на достаточно большом расстоянии от источника возмущений (пятна), чтобы приближенная постановка краевых условий на этих границах (необходимых для решения задачи)
не оказывала заметного влияния на результаты расчета.
Выбирая в качестве характерного линейного размера радиус пятна Л?о в момент времени / = 0, в качестве характерной плотности р0—плотность в пятне в начальный момент времени и харак-
терного времени —У-1, где та—Вейсяля, перейдем = (х, у, t, u, v, р, р):
N= |/ —aS—частота Брен-к безразмерным переменным f =
х = х/?0, y=yR0, t = u — uR0N,
v = vR0N, p = pp0R20N2, p = pp0.
203
Тогда исходные уравнения примут в безразмерных переменных следующий вид (черту сверху опускаем):
— jvp+jl; av+^.2.,
^ + V(pV)=0, W = o. (2.101)
Начальные условия:
u = v = 0, (x, у) £ R2,
P=l, (x, y)£A, (2.102)
p=l—Fry, (x, y)€R2\A.
Граничные условия:
и = 0, J = ^ = ^ = 0, x = 0, -Д- = 0, x2-|-y2 —> oo (2.103) ’ дх дх ox on* 1 v v 7
где число Рейнольдса Re = po#ojV/p, а число Фруда Fr = R0N2/g. Разностная задача (2.101) — (2.103), аппроксимирующая исходную дифференциальную систему, записывается так же, как это сделано в предыдущем пункте. Геометрия задачи в точности совпадает с вариантом, рассмотренным Янгом.и Хёртом в [78], и имеет следующий вид: Х=220 см, У=60 см, /?о=15,6 см, Дх=5 см, Ду=4 см, т. е. расчетная сетка имеет NXM=44x30 ячеек.
Расчеты проводились при различных числах Рейнольдса (300-< <Re<1000) и различных числах Фруда(0,0156<Рг<0,156), что позволило определить характер влияния каждого из этих параметров. С целью выяснения влияния первоначальной формы пятна проведены расчеты для пятна с круговым и квадратным сечениями [56, 80].
Развитие картины течения в зависимости от времени для пятна, имевшего первоначально форму круга, приведено на рис. 2.76 (Re= =301, Fr=0,156). Здесь изображены линии равной плотности с интервалом 0,04 (без средней линии р=1) в моменты времени ^=5, /2=Ю, t3= 15, /4=20. Форма пятна в данном случае отслеживалась с помощью маркеров.
Аналогичная картина течения в случае квадратного пятна для тех же моментов времени показана на рис 2.77. Форма границы пятна в этом случае определялась в результате решения уравнения |£ + ?(сИ)=0,
где с—концентрация примеси.
Во внутренних точках пятна концентрация примеси бралась равной 50 единицам, а вне пятна — равной нулю. Граница пятна определялась как линия, где с— 19, что соответствовало начальному радиусу пятна из работы [78].
Графики зависимости горизонтального размера пятна х/#0 от времени показаны на рис. 2.78, 2.79 (рис. 2.79 отвечает начальной стадии развития пятна). Кривые 1 соответствуют верхней и нижней границам
204
: горизонтального размера пятна, полученным экспериментально 181J (Круг, 6,5-103^Re 4,5-lCH, 10"3s^Fr 0,5-10-1), кривая 2 взята
лз работы [77] (расчет, квадрат), 3 — из [78] (расчет, круг, Re=301, рг=0,0156), 4 — из [74] (расчет, квадрат, Re=oo, Fr=0,115), 5 — из [82] (линейная теория, Re=oo). Кривые 6—9 — результаты данной
Рис. 2.76. Развитие картины течения для круглого пятна (линии p=const) при Re= =301, Fr=0,156, Zj=5, Z2=10, Z3=15, Z4=20.
Рис. 2.77. Развитие картины течения для квадратного пятна (линии p=const) при Re=301, Fr=0,156, ^=5, f2=10, ^3=15, f4=20.
работы, причем кривые 6а, б соответствуют Re=301, Fr=0,0156, 7а, б— Re=301, Fr=0,156, 8а, б— Re=953, Fr=0,156, 9а — Re=7622, Fr=0,156 (кривые 6а, 7а, 8а, 9а отвечают пятну цилиндрической формы, 66, 76, 86 — пятну с прямоугольным сечением).
Заслуживает особого внимания тот факт, что изменение горизонтального размера пятна при больших временах носит немонотонный характер (то же относится и к вертикальному размеру пятна). Более того, развитие пятна, по всей видимости, происходит несимметрично Относительно оси ОХ [80]. • ' '
205
Рис. 2.78. Зависимость горизонтального размера пятна x/R0 от времени: 1 — [811 (эксперимент, круг, 6,5-103^Re^4,5 • 104, 10-3^Fr^0,5-10-1); 2 — [77] (расчет, квадрат); 3 — [78] (расчет, круг, Re=301, Fr=0,0156); 4—[74] (расчет, квадрат, Re= оо, Fr=O, 115); 5 — [82] (линейная теория, Re= оо); 6 — (Re=301, Fr=0,0156j: 7 —(Re=301, Fr=0,156); 8 — (Re=953, Fr=0,156); 9— (Re=7622, Fr=0,156) (a — цилиндр, 6 — прямоугольник; 6—9 — результаты данной работы).
Рис, 2,79. Зависимость горизонтального размера пятна x/R0 от времени в начальной фазе развития (обозначения см. на рис. 2.78).
206
Как видно из рис. 2.78 (кривые 6, 7), величина числа Фруда с л а-б о влияет на степень изменения горизонтального размера пятна со временем. В то же время с ростом числа Рейнольдса расчетная кривая лучше соответствует экспериментальным данным (кривая 9а, Re= ==7622, Fr=0,156). Одна из причин некоторого различия полученных результатов и данных эксперимента [81] при больших временах кроется, видимо, в отличие чисел Рейнольдса (а точнее, коэффициентов вязкости и) при фиксированной стратификации. Например, при расчете варианта с Re=953, Fr=0,156 величина ц бралась равной 0,8-П, в то время как вязкость рабочей жидкости в эксперименте (подсоленная вода) существенно меньше: ц«10-2-П. Следовательно, число Рейнольдса, при котором выполнялся эксперимент, больше, чем в численном расчете, и заключительная (вязкая) стадия коллапса при численном моделировании наступает раньше, так как раньше начинает сказываться превалирующее действие вязких сил.
По этой же причине наблюдаются некоторые различия полученных результатов с результатами линейной теории Као [82], справедливой для невязкой жидкости (Re=oo), а также с расчетами [74] (Re=oo, Fr=0,115). С другой стороны, отличие кривых 6 (Re=301, Fr=0,0156) и кривой 3 ([78], Re=301, Fr=0,0156) до t—10 не превосходит 5%, что подтверждает надежность расчетов при малых временах (рис. 2.79).
Следует также отметить, что первоначальная форма пятна, по-видимому, не сказывается сильно на поведении линейных размеров при больших временах. Различие возможно только на малых временах.
Рис. 2.80. Исследование внутренних волн для Re=301, Fr=0,156: а) линии равной фазы при Z=8; б) зависимость угла наклона 0 линий равной фазы от координаты з/7?0 (1 — из [81], 2 — из [78], 3 — из [75], 4 — результаты данной работы, 5 — из [84]).
Небольшое расхождение результатов (рис. 2.78) в случае цилиндрического (кривые 6а, 7а, 8а) и прямоугольного (кривые 66, 76, 85) пятен (относительная ошибка не превышает 10%) объясняется также и различными подходами в определении формы границы пятна.
Проведем анализ внутренних волн, возникающих при коллапсе пятна. На рис. 2.80, а приведены линии равной фазы др/дх=0
207
для варианта Re=301, Fr=O, 156 К=8), что соответствует «гребням» и «впадинам» внутренних волн. Эти линии практически являются прямыми (за исключением, разумеется, некоторой окрестности начала координат, где проявляется влияние конечности размеров пятна). Такое поведение подтверждается и экспериментальными данными By [81]. Зависимость угла наклона 0 линий постоянной фазы от координаты s/R0 при y!Ro= 1 показана на рис. 2.80, б. Кривая 1 соответствует результатам экспериментальной работы [81], 2 — из [78], 3 — из [75], 4 — данной работы. Здесь же приведена кривая 5 из работы [84], соответствующая формуле s/z/=ctg 0, полученной при решении линеаризованной задачи о динамике внутренних волн (индуцируемых мгновенным точечным источником возмущений поля плотности, помещенным в начале координат, х=у=0). Как видно, полученные результаты достаточно хорошо согласуются как с экспериментальными данными, так и с расчетами других авторов. Аналогичные расчеты проводились и для случая пятна сферической формы. Более подробная информация содержится в [80].
Несомненный интерес представляют также расчеты коллапса пятна в неоднородной вязкой жидкости при наличии турбулентности.
§ 9. Некоторые результаты расчетов нестационарных (периодических) течений в следе за цилиндром
Рис. 2.81. К постановке задачи о расчете обтекания цилиндра неоднородной жидкостью.
1. Неоднородная вязкая жидкость. Рассмотрим задачу об обтекании стратифицированной (по плотности) средой круглого цилиндра радиуса R0=l, ось которого перпендикулярна вектору скорости набегающего потока (рис. 2.81). Исходя из общей постановки задачи, сформулированной во введении, представляется особенно интересным изучить свойства движения следа за телом в переходной области, когда реализуется периодический (автоколебательный) режим течения.
Как уже отмечалось ранее (§ 5), при численном моделировании таких процессов необходимо вводить искусственную начальную асимметрию потока или рассматривать течения вязкой жидкости с «естественной» стратификацией.
Выбирая в качестве характерной скорости скорость невозмущенного потока Ux, характерной длины—радиус цилиндра 7?0,
характерной плотности—плотность р0 на уровне z/ = 0, характерного масштаба изменения плотности—A = f—1 и переходя \ Ро оу/ г
к безразмерным переменным f = f/f0 в ортогональной криволинейной системе координат (г, 0), где г = 1п]/х2-)-z/2, 0 = arctg (у/х), уравнения (2.94) запишем в следующем виде (черту сверху 208
опускаем):
2 <9о) 1 . Q
Б--е z -Ч7Г — Т^51П0,
Re р <50 2Fr ’
ar; , „ ( dv . dv . \ 1 _, dp i 2 _ <3(0 1 д
£-+е-г u-r+v^+uv =-----e —e ~л-------------k^-cosO,
gt 1 ( dz 1 of) 1 J p dB Rep dz 2Fr
(2.104)
>+г-(^+Р«+^>0.
du , dv d7 + d0
Здесь co = e~z (dv!dz-\-v—du,!d&)-, u, v—составляющие вектора скорости соответственно вдоль г, 0; Не = р0£/ю2/?0/р,; Fr = t/t/(2/?0g) — число Фруда, выражающее отношение сил инерции к силам плавучести.
Граничные условия задавались следующим образом (см. рис. 2.81). На твердой поверхности у—условия прилипания и непротекания:
у: о = 0, и = 0; (2.105)
на удаленном от тела контуре Г в невозмущенном потоке:
(на «бесконечности»)—условия
Г: и = cos 6, и = —sin0, р = рх(0), р = рм(0). (2.106)
Разностная задача, аппроксимирующая исходную систему дифференциальных уравнений, выписывается аналогично тому, как это сделано в (2.96) для декартовой системы координат. Схема получения разностных граничных условий также была описана.
В качестве начальных условий для скорости задается равномерный поступательный поток
u = cos0, о = — sin0. (2.107)
Предполагается, что жидкость стратифицирована по линейному закону:
р= 1—Л-1/?ое2 sin 0 = 1 — ^ezsin 0, (2.108)
гДе Fr4 = 2J?0№/g- = 2J?0/A—отношение масштабов (или частотное число Фруда). Начальное приближение, необходимое при решении Уравнения для давления, определяется из уравнения гидростатики
^L = _^isin0, -^ =-----7Д-СО3 0. (2.109)
dz 2Fr 50 2Fr v '
209
Вычисление интегральных характеристик осуществлялось п0 следующим формулам:
р(л)
Р(0)
Р (*^) Рос (1/2) Ро1/~
dz,
р (9) — (1/2) р0(Л
л+е
PW+2 J [а л
^егсоз(Л dB, 2Fr Jz=O
CD/
2л
2 С ди . а
— -б— \ е г-=—sm 0 Re ,) дг
о
dB, г-О
2 л
Св =—s' ? р (0) cos 0 dB, CD = CD +Cd , p д j p
0 z=0
2л 2л
= e"^cos0 d0 —yj P(0)sin 0 dB.
О г=0 0 z=0
Здесь р (л) — давление в передней критической точке, р (0) — распределение давления по поверхности тела, Cof — коэффициент сопротивления трения, CD — коэффициент сопротивления давления, CD — суммарный коэффициент сопротивления, Су — коэффициент подъемной силы.
Задача (2.104) — (2.109) решалась на сетке 29x59 при следующих значениях параметров: 6г=0, 15, 60=6° («0,105), z^= 4,5 (^=90,07).
На рис. 2.82 представлены картины изолиний функций тока (ф = =const) при обтекании стратифицированной жидкостью цилиндра при Re=100, Fr=0,315, Fr4=0,0067 в моменты времени ^=170, t2— 177,5, /3 = 185, tt= 192,5. Наблюдается нестационарная картина течения. Имеет место определенный рост застойной зоны в нижней полуплоскости, а после «схлопывания» и выброса жидкости из этой области вновь образуется застойная зона и происходит ее увеличение, но уже в верхней полуплоскости и т. д. Таким образом, возникает строго периодический (автоколебательный) режим движения в следе за телом (период колебаний F«15, число Струхаля, характеризующее частоту отрыва вихрей, Sh=2/?0/(£Л,Т)« «0,143). При этом цилиндр становится несущим.
На рис. 2.83 более подробно «развернута» картина такого течения для одного периода при ^=170, /2=175, t3= 180, /4=185.
Следует отметить, что при Re= 100 (/ < 270) в однородной вязкой жидкости в случае отсутствия внешних возмущений отмеченной периодической картины течения не наблюдалось *) (рис. 2.84).
*) С ростом t при наличии нестационарных граничных условий на поверхности тела указанное стационарное решение теряет устойчивость и переходит в автоколебательный режим.
210
На рис. 2.85 для того же варианта приведена зависимость коэффициента подъемной силы Су от времени, что также дает возможность сделать вывод о квазипериодичности полученного режима течения с периодом Т 15 (Sh « 0,143).
2. Однородная вязкая жидкость. Расчет течений однородной жидкости при числах Рейнольдса Re>ReKp (для кругового цилиндра ReKp« 354-40) представляет особый интерес. Как известно, в реальных потоках всегда присутствуют достаточно сильные физические
tf = 17O
Re =100, Г** 15,
±г = 177,5
±3 = 185
Рис. 2.82. Обтекание цилиндра стратифицированной жидкостью (линии i|?=const) при Re=l00, Fr=0,3l5, Fr?=0,0067, £1=170, t2= 177,5, f3=185, £*=192,5 (автоколебательный режим с периодом 15, Sh«0,143).
возмущения (неоднородность набегающего потока, разная степень шероховатости различных сторон обтекаемого тела и т. д.), которые приводят к ярко выраженной несимметрии течения. Характерно, что асимметричная картина обтекания наблюдается лишь при сравнительно больших молекулярных числах Рейнольдса, так как наличие большой вязкости сглаживает физические неоднородности. В качестве примера можно привести экспериментальные данные Хомана, взятые из монографии Шлихтинга [87] (рис. 2.86). Здесь показаны картины течения масла за круговым цилиндром при различных числах Рей-
211
Re = 100, T « 75, SA % 0,/43
Рис. 2.83. Картина течения (линии ф= const) для одного периода (Т~ 15) при обтекании цилиндра стратифицированной жидкостью при Re= 100, Fr=0,3l5, Fr4 — = 0.0067 ti= 170, t2=l75, t3=l80, t4= 185.
Цилиндр (emau.) Re-100, Fr = °° , Fr4 =0
Рис. 2.84. Обтекание цилиндра однородной жидкостью (линииф=соп81) при Re= 100, Fr=oo, Fr4=0 (стационарный режим).
Il
Рис. 2.85. Зависимость коэффициента подъемной сити Су от времени при обтекании цилиндра стратифицированной жидкостью (Re=100, Fr=0,315, Fr4=0,0067>.
Рис. 2.86. Течение масла за круговым цилиндром при различных числах Рейнольдса — переход от ламинарного течения к вихревой дорожке (эксперимент Хомана [87]).
нольдса: 32^Red=27?t/0O/v^281. Из рис. 2.86 следует, что сильная асимметрия потока (дорожка Кармана) наступает в данном случае уже при Red=65. На рис. 2.87 крупным планом показано развитие дорожки Кармана для Re=105 (эксперимент [88]).
При помощи разработанной методики была сделана попытка про-моделировать численно указанный класс течений для приведенного выше диапазона чисел Рейнольдса. Расчеты движений вязкой однородной жидкости в следе проводились как путем введения мгновенных
Рис. 2.87. Дорожка Кармана за круговым цилиндром при Re=105 (эксперимент [88]).
начальных возмущений (энергии которых было достаточно, чтобы вывести решение из стационарного состояния), так и путем вычислений со стратифицированного поля (с последующим «занулением» эффектов стратификации). Важно отметить, что оба подхода привели к абсолютно идентичным и устойчивым результатам [91].
Приведем некоторые данные из серии таких расчетов, выполненных с помощью метода расщепления.
На рис. 2.88 показаны мгновенные картины течений (линии тока) за круговым цилиндром соответственно при Red=55 (рис. 2.88, и), Red=102 (рис. 2.88,5) и Red=225 (рис. 2.88, в), которые хорошо согласуются с экспериментом (рис. 2.86, 2.87). Зависимость от времени коэффициента подъемной силы Су для различных чисел Рейнольдса приводится на рис. 2.89.
Отчетливо видно, что наблюдается периодический характер течения в следе. Так, для Rerf=55 период колебаний Тх 15,8, а число Струхаля Sh а; 0,126; при Red=102 имеем соответственно 7"«12, Sh# «0,167 *) и при Red=225 — Т«10, Sh « 0,20. Рис. 2.90 иллюстрирует полученную из расчетов зависимость числа Струхаля от числа Рейнольдса, а также экспериментальные данные из [89].
*) При Re^ и 100 экспериментальные исследования показывают, что Sh =» = 0,125 4- 0,168.
214
рис. 2.88, а. Картины течений (расчет линий1р=соп51) для одного периода при обтекании кругового цилиндра однородной жидкостью: Red=55, Т~ 15,8, Sh~0,126, (1=167,5, tk= 186,25, Д(=3,75.
215
Рис. 2.88,6. Картины течений (расчет линий ip=const) для одного периода при об' текании кругового цилиндра однородной жидкостью: Red=102, Т~\2, Sh~0,16/’ 6i=75, 6ft=87,5, Л6=2,5.
216
о
рис. 2.88,в. Картины течений (расчет линий x|?=const) для одного периода при об-т®кании кругового цилиндра однородной жидкостью: - 225, Т~ 10, Sh~0,20,
it=75, tk==S5, М=2,5.
217
Ре ~55
Pe=2Z5
Рис. 2.89. Зависимость к°эФФи^и®^£
• --- подъемной силы Су °т времен rV2?Re= S
Зависимость Kv^-vy ,. . р ее. м Re=65; в) ке— /3, г) кл
•„л.«дРз ««»»» К-№.iA=-2»
218
Хорошее согласие результатов расчетов и экспериментов подтверждает надежность используемой модели при изучении свойств течений со столь сложной структурой.
Рис. 2.90. Зависимость числа Струхаля от числа Рейнольдса при обтекании цилиндра однородной жидкостью: о— расчет; заштрихованная область — данные эксперимента [89].
Более подробная информация об исследовании указанного класса задач содержится в [90, 91].
§ 10. Заключение
Приведенные здесь примеры свидетельствуют о том, что численные схемы метода расщепления являются достаточно эффективным средством исследования широкого класса задач динамики несжимаемой вязкой жидкости. Разработанные алгоритмы расчета обладают определенными преимуществами, среди которых можно выделить такие аспекты:
— использование естественных переменных давление — скорость;
. — высокий (второй) порядок точности;
— алгоритмы свободны от постановки нефизических граничных условий (для вихря или давления) на твердых поверхностях;
— метод позволяет по единому подходу проводить расчеты (для умеренных Re) плоских, осесимметричных и пространственных нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости;
— численные схемы допускают возможность их реализации на машинах средней мощности.
Указанные численные методики позволили весьма детально и при достаточно общих предположениях изучить свойства течений при обтекании тел конечных размеров. Особый интерес здесь представляют, конечно, исследования пространственных потоков, движений в следе за конечным телом. Для классической задачи обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью получено хорошее совпадение с данными других авторов и экспериментом.
Кажется перспективным более широкое использование таких подходов и для задач гемодинамики, где, в частности, существенная нелинейность и пространственность потоков (движение крови в ветвящихся сосудах, стеноз и т. п.) играют важную роль. Для такого рода задач следует рассматривать и более сложные модели жидкости (крови).
Аналитически и численно проведено достаточно полное исследование плоского движения вязкой однородной несжимаемой жидкости, возникающего под действием периодической в пространстве силы, как в Докритическом, так и в закритическом режимах.
219
Аналитически найдено точное решение, соответствующее докритиче-скому режиму, а также предлагается процедура построения вторичного течения. Аналитическое исследование дополняется и существенно расширяется численным расчетом, с помощью которого показано сущест во-вание устойчивых как стационарных, так и автоколебательных режимов течения в закритической области. В результате численного эксперимента найдена зависимость периода автоколебательного движения от величины начального потока, наложенного на основное течение.
Было дано обобщение схем метода расщепления на случай движения стратифицированной (по плотности) вязкой жидкости и проведено численное исследование задач о коллапсе ламинарного пятна и нестационарного течения стратифицированной и однородной жидкости около цилиндра. В последнем случае возникают (при Re=55, 100 и 225) строго периодические (автоколебательные) режимы движения в следе за телом типа дорожки Кармана и цилиндр становится «несущим». Указанный класс течений (даже для однородной жидкости) сравнительно мало изучен, хотя играет важную роль в понимании физических процессов, происходящих в океане и атмосфере, а также при возникновении турбулентности. Приведенные численные методики могут быть рекомендованы и для решения задач гидрофизики (например, при изучении потоков с учетом вращения Земли). Понимание многих явлений, свойственных стратифицированным течениям, важно также в задачах рационального использования и охраны природных водоемов и атмосферы.
О трудностях прямого численного моделирования задач турбулентности мы уже говорили (об этом речь пойдет и дальше). Приведенные в этой главе исследования вторичного (закритического) течения и автоколебательного режима, когда наступает срыв м е т а с т а б и л ь-н о г о стационарного течения, можно считать первыми (но очень важными) шагами в этом направлении.
Среди многих возможных путей дальнейшего повышения эффективности алгоритмов метода расщепления целесообразно, на наш взгляд, выделить следующие:
1) развитие метода для расчетов течений при больших значениях чисел Рейнольдса;
2) исследование пространственных движений вязкой жидкости;
3) моделирование более широкого класса течений со стратификацией и задач турбулентности.
ЛИТЕРАТУРА)
1. Годунов С. К- Разностный метод численного расчета разрывных решении гидродинамики.— Матем. сб., 1959, 47, вып. 3, с. 271—306.
2. Гущин В. А., Щенников В. В. Об одной монотонной разностной схеМе второго порядка точности.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, № 3, с. 789—792.
3. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.— М.: Наука, 19/1-4. Браиловская И. Ю., Кускова Т. В., Чудов Л. А. Разностные методы решения уравнений Навье — Стокса (обзор). — В кн.: Вычисл. метод61 и программирование. М.: МГУ, 1968, вып. XI, с. 3—18.
5. Кускова Т. В., Чудов Л. А. О приближенных граничных условиях Д-1® вихря при расчете течений вязкой несжимаемой жидкости.— В кн.: Вычпс-1' методы и программирование. М.: МГУ, 1968, вып. XI, с. 27—31.
220
6. Л ю л ь к а В. А., Щ е н н и к о в В. В. Численное решение уравнений Навье — Стокса.— В кн.: Сб. теор. работ по гидродинамике. М.: ВЦ АН СССР, 1970, с. 107—149.
7. П о л е ж а е в В. И., Грязнов В. Л. Метод аппроксимации граничных условий для уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости.— В кн.: Тр. Всесоюз. школы по теоретич. иссл. численных методов механ. сплошной среды, Звенигород, 20—26 декабря 1973 г. Тезисы докладов. М., 1973. (Ротапринт/ ИПМ АН СССР).
8. Владимирова Н. Н., Кузнецов Б. Г., Я ненко Н. Н. Численные расчеты симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости.— В кн.: Некоторые вопросы вычисл. и прикл. матем. Новосибирск: Наука, 1966, с. 186—192.
9. С h о г i n A. J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems.— J. Comput. Phys., 1967, 2, № 1, p. 12—26.
10. Я н e н к о H. H. О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений.— Сибирский матем. ж., 1964, 5, №6, с. 1431—1434.
]1 . Тейлор Т. Д., Ндефо Э. Расчет течения вязкой жидкости в канале при помощи метода расщепления.— В кн.: Числ. методы в механ. жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 218—229.
12 С h о г i n A. J. Numerical solution of Navier-Stokes equations.— Math. Comput., 1968, 22, p. 745—762.
13. Харлоу Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики.— В кн.: Вычисл. методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с. 316—342.
14. Н а г 1 о w F. Н„ W е 1 с h J. Е. Numerical calculation of time-dependent viscouse incompressible flow of fluid with free surface.— Phys. Fluids, 1965, 8, № 12, p. 2182—2189.
15. A m s d e n A. A., H а г 1 о w F. H. The SMAC method.— Los Alamos Scientific Lab., Rept. № LA-4370. Los Alamos, 1970.
16. Easton C. R. Homogeneous boundary conditions for pressure in MAC method.— J. Comput. Phys., 1972. 9, №2, p. 375—379.
17. Б e л о ц e p к о в с к и й О. M., Г у щ и н В. А., Щ е н н и к о в В. В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости,—ЖВМ и МФ, 1975, 15, № 1, с. 197—207.
18. Г у щ и н В. А. Пространственное обтекание трехмерных тел потоком вязкой жидкости,— ЖВМ и МФ, 1976, 16, № 2, с. 529—534.
19. Р о ж д е с т в е н с к и й Б. Л., М оисее н ко Б. Д., С и д о р о в а В. К-Условия численного моделирования предельных режимов течений вязкой жидкости.— М., 1973. (Препринт/иПМ АН СССР : 24).
20. Отрощенко И. В., Федоренко Р. П. О приближенном решении стационарных уравнений Навье—Стокса.— М., 1976. (Препринт/ИПМ АН СССР: 6).
21. Я н е н к о Н. Н., Ш о к и н Ю. И. О корректности первых дифференциальных приближений разностных схем.— ДАН СССР, 1968, 182, № 4, с. 776—778.
22. Рождественский Б. Л., Я н е н к о Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике.— М.: Наука, 1978.
23. Я н е н к о Н. Н., Шокин Ю. И. Об аппроксимационной вязкости разностных схем.—ДАН СССР, 1968, 182, №2, с. 280—281.
24. Ш о к и н Ю. И. Метод дифференциальных приближений.— Новосибирск: Наука, 1979.
25. Н i г t С. W. Heuristic stability theory for finite-difference equations.— J. Comput. Phys., 1968, 2, № 4, p. 339—355.
26. Белоцерковский О. M., Давыдов Ю. М. Исследование схем метода крупных частиц с помощью дифференциальных приближений.— В кн.: Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с. 145—155.
27. Махвиладзе Г. М., Щербак С. Б. Разностная схема для численного исследования нестационарных двумерных движений сжимаемого газа.— М., 1978. (Препринт/ИПМ АН СССР: 112).
Гущин В. А., Щ е н н и к о в В. В. Об одном численном методе решения . уравнений Навье — Стокса.— ЖВМ и МФ, 1974, 14, №2, с. 512—520.
Ham ilec А. Е., R а а 1 J. D. Numerical studies of viscous flow around circular cylinder.— Phys. Fluids, 1969, 12, № 1, p. 11 —17.
221
30. Son J. S., H a n г a t t у T. J. Numerical solution for the flow around a cylinder at Reynolds numbers of 40, 200 and 500.— J. Fluid Meeh., 1969, 35, №2 p. 369—386.
31. T a к a m i H., К e 1 1 e r H. B. Steady two-dimensional viscous flow of an incompressible fluid past a circular cylinder.— Phys. Fluids, 1969, 12, № 12, Supp] II, p. 51—56.
32. Jain P. C., R а о K- S. Numerical solution of unsteady viscous incompressible fluid flow past a circular cylinder.— Phys. Fluids, 1969, 12, № 12, Suppl. Ц p. 57—64.
33. T 0 m a n D. C., S z e w c z у к A. A. Time-dependent viscous flow over a circular cylinder.— Phys. Fluids, 1969, 12, № 12, Suppl. II, p. 76—86.
34. Dannis S. C., Chang Gau-Zu. Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Re number up to 100.— J. Fluid Meeh., 1970, 42, №3, p. 471 — 489.
35. Ta Phuoc Loe. Etude numerique de Tecoulement d’un fluide visqueux incompressible autour du cylindre circulaire.— C. R. Acad. Sc. Paris, 1973, 276 №7, Ser. A, p. 567—570.
36. T a n e d a S. Experimental investigation of the wake behind cylinders and plates at low Reynolds numbers.— J. Phys. Soc., Loc., Japan, 1956, 11, p. 302—307.
37. Tritton D. J. Experiments on the flow past a circular cylinder at low Re — J. Fluid Meeh., 1959, 6, p. 547—567.
38. Гущин В. А. Численное исследование обтекания тела конечного размера потоком несжимаемой вязкой жидкости.— ЖВМ и МФ, 1980, 20, № 5, с. 1333— 1341.
39. Гущин В. А., Щ е н н и к о в В. В. Решение задач динамики вязкой несжимаемой жидкости методом расщепления.'— В кн.: Прямое численное моделирование течений газа. М.: ВЦ АН СССР, 1978, с. 114—133.
40. Бабенко К. И., Введенская Н. Д., Орлова М. Г. Краевая задача для уравнений Навье — Стокса в плоской задаче обтекания.— М,, 1971. (Пре-принт/ИПМ АН СССР : 39).
41. Бабенко К-И..Введенская Н. Д.,Орлова М. Г. Результаты расчета обтекания бесконечного кругового цилиндра вязкой жидкостью.— М., 1971. (Препринт/ИПМ АН СССР: 38).
42. К У с к о в а Т. В. Численное моделирование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости.— В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. М.: МГУ, 1971, вып. III, с. 7—136.
43. Jenson V. Viscous flow round a sphere of low Reynolds numbers.— Proc. Roy. Soc., 1959, 249, Ser. A, p. 346—366.
44. Ван-Дайк M. Методы возмущений в механике жидкостей.— М.: Мир, 1967.
45. R i m о n Y., Cheng S. I. Numerical solution of a uniform flow over a sphere at intermediate Reynolds numbers.— Phys. Fluids, 1969, 12, №5, p. 949—959.
46. H a m i 1 e с A. E., H 0 f f m a п T. W,, Ross L. L. Numerical solution of the Navier-Stokes equations for flow past spheres. Part 1. Viscous flow past sphere with and without radial mass efflux.— A. I. Chem. E. J., 1967, 13, p. 212—220.
47. Ч ж e н П. Отрывные течения.— M., Мир, 1972, т. I.
48. Т a n е d a S. Experimental investigation of the wake behind a sphere at low Reynolds numbers.— J. Phys. Soc., Japan, 1956, 11, № 10, p. 1104—1108.
49. А л e м а с о в В. E., Д p e г а л и н А. Ф., Тишин А. П. Теория ракетных двигателей.— М.: Машиностроение, 1969.
50. Гущин В. А., Щ е н н и к о в В. В. Решение задач несжимаемой вязкой жидкости методом расщепления.— В кн.: Вычисл. матем. и матем. физ. М.: МГПИ им. В. И. Ленина, 1975, вып. 2, с. 3—12.
51. Г у щ и н В. А., О н у ф р и е в а Н. П. Численное моделирование движения крови в системе ветвящихся сосудов.— М.: МФТИ, 1977. Научно-техн, отчет № Б673169, № гос. регистрации 77072845.
52. С г а п е С. М., Burley D. М. Numerical studies of laminar flow in ducts and pipes.— J. Comput. Appl. Math., 1976, 2, №2, p. 95—112.
53. Lee J., F u n g G. Flow in locally constructed tubes at low Reynolds numbers. J. Appl. Meeh., 1970, 37, p. 9—16.
222
54. Белоцерковский С. О., Мирабель А. П., Чусов М. А. О построении закритического режима для плоского периодического течения.— Изв. АН СССР. Сер. Физ. атмосф. и океана, 1978, 14, № 1, с. 11—20.
55. Белоцерковский С. О. Моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнений Навье — Стокса. Автореф. Дисс. канд. физ.-матем. наук.— М., 1979.
56. Белоцерковский С. О., Гущин В. А. Моделирование некоторых течений вязкой жидкости.— М„ 1982. (Препринт/ВЦ АН СССР : 66).
57 Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности.— ДАН СССР, 1944, 44, №8, ’ с. 339—342.
58. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М.: Гостех-издат, 1953.
59 Монин А. С., Я г л о м А. М. Статистическая гидромеханика.— М.: Наука, ’ 1965. Ч. 1.
60. Должанский Ф. В., Кляцкин В. И., Обухов А. М., Чусов М. А. Нелинейные системы гидродинамического типа.— М.: Наука, 1974.
61. А р н о л ь д В. И., Мешалкин Л. Д. Семинар А. Н. Колмогорова по избранным вопросам анализа (1958—1959).— УМН, 1960, 15, № 1, с. 247—250.
62. М е ш а л к и н Л. Д., Синай Я. Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости.— Прикл. матем. и механ., 1961, 25, вып. 6, с. 1140—1143.
63. Ю д о в и ч В. И. Пример рождения вторичного стационарного или периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости.— Прикл. матем. и механ., 1965, 29, вып. 3, с. 453—467.
64. Ю д о в и ч В. И. О неустойчивости параллельных течений вязкой несжимаемой жидкости относительно пространственно-периодических возмущений,— В кн.: Числ. методы решения задач матем. физики. М.: Наука, 1966, с. 242—249.
65. Ю д о в и ч В. И. Об автоколебаниях, возникающих при потере устойчивости параллельных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых периодических возмущений.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1973, № 1, с. 32-35.
Кляцкин В. И. К нелинейной теории устойчивости периодических течений.— Прикл. матем. и механ., 1972, 36, вып. 2, с. 263—371.
Непомнящий А. А. Об устойчивости вторичных течений вязкой жидкости в неограниченном пространстве.— Прикл. матем. и механ., 1976, 40, вып. 5, с. 886—891.
Green J. S. Two-dimensional turbulence near the viscous limit.— J. Fluid Meeh., 1974, 62, №2, p. 273—287.
Бондаренко H. Ф., Гак M. 3., Д о л ж а н с к и й Ф. В. Лабораторная и теоретическая модели плоского периодического течения.— Изв. АН СССР. Сер. Физ. атмосф. и океана, 1979, 15, № 10, с. 1017—1026.
Белоцерковский С. О., Гущин В. А. Численное моделирование плоского течения вязкой жидкости под действием внешней периодической в пространстве силы.— ЖВМ и МФ, 1977, 17, №3, с. 791—795.
Белоцерковский О. М. Прямое численное моделирование переходных течений газа и задач турбулентности.— В кн.: Механика турбулентных потоков. М.: Наука, 1980, с. 70—109.
Васильев О. Ф., Квон В. И., Лыткин Ю. М., Розовский И. Л. Стратифицированные течения. Гидромеханика. (Итоги науки и техники.) — М.: ВИНИТИ, 1975 , 8. с. 74—131.
Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях.— М.: Мир, 1977.
Кузнецов Б. Г., Ч е р н ы х Г. Г. Численное исследование поведения однородного «пятна» в идеальной стратифицированной по плотности жидкости.— Ж. прикл. механ. и теор. физ., 1973, №3, с. 120—126.
Лыткин Ю. М., Черных Г. Г. О внутренних волнах, индуцируемых коллапсом зоны смешения в стратифицированной жидкости.— В кн.: Матем. вопросы механики. Динамика сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1975, вып. 22, с. 116—132.
С и м у н и Л. М. Численное исследование явления «блокировки» при обтекании препятствия стратифицированной жидкостью.— Изв. АН СССР. Сер. Механ жидк. и газа, 1976, № 4, с. 151 —153.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
223
77. W e s s е 1 W. R. Numerical study of the collapse of a perturbation in a infinite density stratified fluid.— Phys. Fluids, 1969, 12, № 12, p. 171—176.
78. Young J. A., H i r t C. W. Numerical calculation of internal wave motions J. Fluid Meeh., 1972, 56, № 2, p. 265—276.
79. D u g a n J. P., Wa rn -V ar n as A. С., P i a c s e к S. A. Numerical results for laminar mixed region collapse in density stratified fluid.— Computers and Flu-ids, 1976, 4, №2, p. 109—121.
80. Г у щ и н В. А. Метод расщепления для решения задач динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости.— ЖВМ и МФ, 1981, 21, №4, с. 1003—1017.
81. W u J. Mixed region collapse with internal wave generation in a density-stratified medium.— J. Fluid Meeh., 1969, 35, №3, p. 531—544.
82. Kao T. W. Principal stage of wake collapse in a stratified fluid: Two-dimensional theory.— Phys Fluids, 1976, 19, № 8, p. 1071—1074.
83. Зацепин А. Г., Федоров К. H., Воропаев С. И., Павлов А. М. Экспериментальное исследование растекания перемешанного пятна в стратифицированной жидкости.— Изв. АН СССР. Сер. Физ. атмосф. и океана, 1978, 14, № 2, с. 234—237.
84. К о h R. С. Y. Transient motions induced by local disturbances in a linearly density-stratified fluid.— J. Hydraulic Res., 1971, 9, Ns 3, p. 335—352.
85. Белоцерковский С. О., Гущин В. А. Численное моделирование за-критического режима при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости.— Изв. АН СССР. Сер. Физ. атмосф. и океана, 1984, 20, № 9, с. 810-819.
86. Белоцерковский С. О. Пример численного моделирования автоколебательного режима течения вязкой несжимаемой жидкости.— Изв. АН СССР. Сер. Физ. атмосф. и океана, 1984, 20, № 10, с. 915—921.
87. Ш л и х т и н г Г. Теория пограничного слоя.— М.: ИЛ, 1956.
88. V а п Dyke М. An Album of fluid motion.— California: Parabolic Press, 1982.
89. R о s h k о A. On the development of turbulent wakes from vortex streets.— NASA Rept. 1191, 1954.
90. Б а б а к о в А. В., Г у щ и н В. А., Д а в ы д о в Ю. М., Толстых А. И. Численное моделирование отрывных течений.— В кн.: V Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике, Алма-Ата, июнь 1981. Аннотации докладов. Алма-Ата, 1981, с. 37.
91. Белоцерковский О. М., Белоцерковский С. О., Г у-щ и н В. А. Численное моделирование нестационарного периодического течения вязкой жидкости в следе за цилиндром.— ЖВМ и МФ, 1984, 24, № 8, с. 1207—1216.
Глава III
МЕТОД ПОТОКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА
§ 1. Введение
В связи с развитием авиационной и ракетно-космической техники все большее внимание уделяется исследованию аэрогазодинамических течений с учетом реальных свойств среды. Так, полет спускаемых космических аппаратов на больших высотах над поверхностью Земли (порядка 50—80 км) происходит в условиях, когда газ еще можно считать сплошной средой, а влияние вязкости оказывается существенным во всей возмущенной области потока. Для таких режимов классическая концепция разделения области возмущения на пограничный слой и невязкое внешнее течение оказывается неприемлемой, поэтому исследование потока газа у поверхности тела необходимо проводить на основе решения полных уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа.
Численное моделирование течений вязкого газа при различных числах Рейнольдса оказывается весьма важным, так как экспериментальные исследования в этой области являются дорогостоящими и позволяют получить лишь ограниченную информацию. Аналитические подходы часто связаны со многими упрощающими предположениями, что значительно сужает область их применения.
Разработка численных методик для расчетов указанного типа течений представляет, таким образом, значительный интерес с практической точки зрения, а также с позиций самой вычислительной математики, так как речь идет о построении дискретной численной модели вязкого сжимаемого теплопроводного газа-, являющейся одной из самых сложных (и общих) моделей в механике сплошной среды.
Сразу оговоримся, что использовать модель Навье —• Стокса (особенно для объемных, многомерных задач) целесообразно, по нашему мнению, лишь для небольших и умеренных чисел Рейнольдса, где влияние молекулярной диффузии существенно. При очень больших (турбулентных'} числах Рейнольдса, когда образуется молярный механизм переноса (где роль молекулярных эффектов незначительна), следует рассматривать уже модели другого рода.
Не случайно, видимо, решение при больших значениях Re полных Уравнений Навье — Стокса с сохранением влияния членов молекулярной вязкости весьма затруднительно. Основная трудность, возникающая при их применении, состоит в достаточно точном «разрешении» структуры потока при не слишком малых размерах расчетной сетки (шаг сетки должен быть таким, чтобы погрешность аппроксимации конвективных членов была бы много меньше разностных представлений вязкостных членов). Эта трудность может быть частично преодолена g
О. М. Белоцерковский 225
применением сгущающихся в нужных местах сеток и схем повышенной точности.
При расчете таких моделей на реальных («грубых») сетках формальное решение может быть получено и для больших значений чисел Рейнольдса. Однако, как уже отмечалось в конце гл. I, такое решение может, вообще говоря, не соответствовать уравнениям Навье — Стокса, так как молекулярные эффекты здесь могут «забиваться» схемной (эффективной) вязкостью, обеспечивающей вычислительную устойчивость решения «в целом» *). Данный подход (с приближенным механизмом диссипации) можно использовать лишь для задач, где влияние вязкости незначительно и течение автомодельно по Re. Таким образом, представляется важным, чтобы алгоритм расчета вязких течений позволял осуществлять предельный переход к моделям идеального газа, когда молекулярная вязкость v -> 0.
Другая особенность при численном исследовании уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа заключается в требовании построения достаточно эффективных алгоритмов, что связано с большими затратами машинного времени при расчетах двумерных и особенно пространственных течений. Как и для задач динамики вязкой несжимаемой жидкости, здесь широко используются как явные, так и неявные методики. В явных схемах условия устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви накладывают значительные ограничения на величину шага по времени (в зависимости от размера пространственной сетки). Неявные же методики позволяют, в принципе, использовать большие размеры временных шагов, но требуют значительного объема итерационных вычислений на каждом временном слое.
Далее описывается один из численных подходов к изучению свойств течений сжимаемого газа •— метод потоков, разработанный в рамках общей концепции, рассматриваемой в книге. Отличительная черта указанного подхода заключается в численном решении с помощью консервативных разностных схем общих нестационарных уравнений, записанных в виде законов сохранения в интегральной форме для вязкого теплопроводного сжимаемого газа. Такой подход позволяет, по существу, избежать трудностей, связанных с аппроксимацией старших производных уравнений Навье — Стокса. Разделение вектора плотности потока на конвективную и вязкую составляющие дает возможность без труда использовать данную методику и для расчета движений идеальной среды.
Метод потоков нашел широкое применение на практике. Консервативность метода позволяет по единому алгоритму производить численное моделирование ряда сложных газодинамических течений во всей области интегрирования для плоских, осесимметричных и пространственных задач, вплоть до достаточно больших чисел Рейнольдса (где наблюдается хорошее совпадение с данными расчетов для идеальной среды).
*) См. условия адекватности (1.46) численного решения уравнениям Навье-" Стокса.
226
Основная сфера приложений метода — изучение характеристик обтекания тел конечных размеров и летательных аппаратов в широком диапазоне параметров движения (до- и сверхзвуковые режимы), а также исследование нестационарных срывных течений газа и некоторых задач турбулентности.
Указанная методика нашла за последнее время активное приложение также при исследовании напряженно-деформированного состояния твердых тел в очаге деформации (волочение, прокатка, прессование). Применение численных схем позволило учесть более сложные (например, упруго-вязко-пластические) свойства материалов, а также пространственный характер явления.
Наконец, кажется весьма перспективным использовать данный подход и для моделирования сложных переходных явлений и задач турбулентности. Далее исследуется (для предельных режимов движения) класс срывных течений сжимаемого газа, возникающих при обтекании цилиндра на дозвуковых и сверхзвуковых скоростях. Интересно отметить, что при дозвуковом обтекании в следе за телом, помимо стационарных срывных зон, наблюдается образование устойчивого периодического нестационарного течения типа «дорожки Кармана».
Метод потоков позволяет исследовать на основе моделей идеальной среды осредненные движения и крупномасштабные макроструктуры турбулентности. Путем введения коэффициентов эффективной турбулентной вязкости удается оценить и локальные характеристики турбулентных движений.
§ 2. Описание метода потоков (нестационарный
и стационарный варианты)
Обсудим вначале общие принципы построения конечно-разностных схем метода потоков, а затем опишем нестационарный и стационарный варианты указанного подхода, разработанного Л. И. Севериновым и А. В. Бабаковым, [1—4].
В переменных поля метод порождает явную разностную схему, которая, как показывают расчеты и исследования на модельном примере, является условно-устойчивойиусловн о-м о н о т о н-н о й. Схема в силу способа ее построения является консерв а-т и в н о й по массе, по составляющим импульса и полной энергии [5].
Будем рассматривать эти методики (как общий случай) для вязких движений сжимаемого газа при обтекании тел конечных размеров, а также применительно к упруго-пластическим задачам *).
По приложениям данный подход примыкает к циклу исследований 16—12]. В каждой из этих работ применялся свой численный метод к изучению течений вязкого газа при сверхзвуковых скоростях движения. Достаточно полные обзоры содержатся, например, в [11, 12].
1. Общие принципы построения алгоритма (нестационарный случай). Решение задачи будем искать в области D, границы которой
*) Описание алгоритмов в дальнейшем проводится для задач газовой динамики.
образованы контуром обтекаемого тела и некоторой достаточно удаленной от тела замкнутой поверхностью Г. Разобьем эту область на малые фиксированные в пространстве объемы-ячейки Q (рис. 3.1). Каждую ячейку будем характеризовать массой М, составляющими им-
Рис. 3.1. Область интегрирования; система координат.
пульса X, Y, Z и полной энергией Е газа, находящегося в Q.
Зная значения М, X, Y, Z, Е, можно вычислить средние для данной ячейки величины плотностей распределения перечисленных количеств р, т], £, е:
p = Al/Q, g = X/Q, л = К/й, £ = Z/Q, e = £/Q. (3.1)
Полученные значения отнесем к некоторым характерным точкам объемов Q.
От функций %, т], £, е легко перейти к общепринятым переменным поля — составляющим и, v, w вектора скорости V и удельной внутренней энергии газа е:
и = %/р, ц = т]/р, о) = £/р, е = е/р—(м24-ц2-|- &у2)/2. (3.2)
Припишем эти величины тем же характерным точкам ячеекQ, к которым уже отнесены плотности распределения.
Используя некоторые процедуры интерполирования и численного дифференцирования, определим значения переменных поля и первых производных от и, v, w, е на границах s ячеек й. Знания этих величин достаточно для того, чтобы вычислить на s векторы плотностей потоков массы R, составляющих импульса F, О, Н и энергии газа Q.
Выпишем теперь законы сохранения массы, импульса и энергии, определяющие фундаментальные свойства среды, в виде поверхностных интегралов от векторов плотностей потоков 0F по поверхности s каждой ячейки Q. В общем (нестационарном) случае эти законы имеют вид
W= ~ $®Fnds. (3.3)
Уравнения (3.3) справедливы для произвольного объема, и естественно потребовать их выполнения для минимального объема-ячейки разностной сетки Q. Здесь 0F—вектор плотности потока величины F~{M, X, Y, Z, Е}, п — единичный вектор внешней к s нормали. Векторы плотностей потоков 0f определяются на поверхности s переменными газодинамического поля, их производными и плотностями распределения.
Естественными дополнительными условиями для системы (3.3) являются значения векторов плотностей потоков каждого из количеств на поверхностях, ограничивающих область интегрирования. Вид этих условий зависит от рассматриваемого явления.
228
Сформулированная выше задача сводится теперь к следующему: необходимо определить значения переменных газодинамического поля и плотностей распределения в характерных точках объема Q так, чтобы уравнения (3.3) выполнялись с требуемой точностью для каждого элементарного объема.
При численном решении задачи интегралы в (3.3) вычисляются по квадратурной формуле
где векторы плотностей потоков определяются по значениям плотностей распределения и переменных газодинамического поля в характерных внутренних точках объемов Q. Величины Fn+1 вычисляются с погрешностью 0(т2).
Уравнения (3.4), выписанные для каждой аддитивной характеристики среды {Л4, X, Y, Z, Е} во всех элементарных объемах (ячейках), составляют систему нелинейных алгебраических уравнений относительно переменных газодинамического поля. Так как в нашей задаче требуется определить значения переменных поля в одной точке элементарного объема (ячейки) Q, то система уравнений (3.4) вместе с соотношениями (3.1), (3.2), дополненная уравнением состояния и граничными условиями, является замкнутой.
Остановимся на отличительных чертах рассматриваемой численной модели. Все переменные в (3.3) естественно разделяются на две группы: первую — переменные газодинамического поля (составляющие вектора скорости, давление и температуру) и вторую — переменные плотности распределения количеств, для которых сформулированы законы сохранения (3.3).
Переменные первой группы являются в физическом смысле активными, интенсивными и имеют локальный характер. В их терминах формулируется причинная часть законов переноса. В терминах •переменных второй группы формулируется количественная часть законов переноса, т. е. с л е д с т в и е. Переменные этой группы, называемые экстенсивными, представляют собой плотности распределения аддитивных характеристик среды. Например, поток импульса определяется плотностью распределения импульса (экстенсивная переменная), величинами газодинамического поля и их производными (интенсивные переменные) и т. д.
В соответствии с р а з н ы м физическим смыслом переменных кажется естественным, что их определение на границах s элементарного объема Q также должно быть различным.
В методе потоков плотности распределения аддитивных характеристик среды вычисляются с учетом направления вектора скорости, что приводит к использованию несимметричных аппроксимационных формул. Направление вектора скорости учитывается в том смысле, что плотность распределения любой аддитивной характеристики среды в некоторой точке определяется плотностями распределения в точках, лежащих от рассматриваемой точки против течения.
229
Наличие конвективного переноса делает пространственные направлю, ния неравнозначными, что естественно учитывать при конструиро-вании разностных схем.
Переменные же газодинамического поля и их производные (в тензоре вязких напряжений и законе теплопроводности) определяются по симметричным формулам. На аппроксимацию переменных газодинамического поля накладывают ограничения и другие законы механики.
Таким образом, если при разностном представлении уравнений (3.3) соблюдаются законы механики (исходя из которых и получаются уравнения Навье — Стокса), то естественно ожидать, что между областями зависимости разностных и дифференциальных уравнений будет соблюдаться правильное соответствие. В представлении (3.4) обычно используется равномерная пространственная сетка.
Переход к интегральным законам сохранения (3.3) требует, по существу, аппроксимации производных на единицу меньшего порядка по сравнению с прямыми методами численного решения уравнений Навье — Стокса.
Нетрудно заметить, что по своей сущности метод потоков обладает свойством консервативности по массе, импульсу и полной энергии на каждом временном слое [1], причем консервативность здесь имеет место как локально (для каждой ячейки разностной сетки), так и интегрально, т. е. для всей расчетной области [5]. Как следует из (3.3), свойство консервативности обеспечивается тем, что данный подход основан на разностной аппроксимации законов сохранения, выписанных для каждой ячейки расчетной сетки в терминах поверхностных интегралов от векторов плотностей потоков 0F, т. е. закон сохранения используется в форме, справедливой для произвольного объема газа.
Действительно, при решении конкретной задачи поверхностные интегралы в (3.4) вычисляются на отдельных участках поверхностей s, являющихся границами между двумя соседними объемами Q. В зависимости от направления векторов потоков значения К={Л4, X, Y, Z,E} изменяются (в одних ячейках увеличиваются, а в других уменьшаются) на величины, определяемые потоками массы, импульса и полной энергии через совпадающие участки границы. Такой способ вычислений не может привести с точностью до ошибок округления к потере или образованию количеств F из-за вычислительных процедур, что и свидетельствует о его консервативности.
Здесь проводится перенос (а следовательно, и аппроксимация) «комплексов» функций — плотностей распределения количеств массы, импульса и энергии, что отвечает физике явления. В основу указанного подхода заложена общность фактора переноса (откуда и название — метод потоков). Анализ схемы с точки зрения выполнения законов сохранения представляется важным, так как известно, что расчетная схема дает наиболее точные результаты, когда она строго сохраняет те величины, которые сохраняются в рассматриваемом физическом процессе.
С помощью указанного подхода проводилось систематическое изучение характеристик обтекания конечных тел вязким потоком га-230
за в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Метод формально «работает» и при больших значениях Re. Однако эти результаты носят надежный характер, пока толщина пограничного слоя намного больше шага расчетной сетки, а также в задачах, где влияние молекулярной диффузии незначительно. Следует отметить, что разделение вектора плотности потока (~)г на конвективную и вязкую составляющие позволяет без труда использовать данный алгоритм и для расчета течений идеальной среды.
Для решения стационарных задач (а большинство их изучалось в таком подходе) рассматриваются две методики:
1) расчет на «установление» системы алгебраических уравнений (3.4), возникающих при аппроксимации разностного аналога нестационарных уравнений (3.3);
2) решение с помощью некоторого итерационного процесса системы стационарных нелинейных алгебраических уравнений, следующих непосредственно из
Д’д 0fnds'\ = O. (3.5)
\s /
Остановимся более подробно на втором подходе, следуя [2].
2. Стационарный вариант метода потоков. Задача формулируется здесь так: найти значения переменных газодинамического поля в характерных внутренних точках ячеек разностной сетки, при которых система стационарных уравнений (3.5) тождественно удовлетворяется, если заранее заданы значения векторов плотностей потоков на границах области интегрирования.
В настоящее время традиционным способом конструирования численных методов является подстановка разностных представлений в дифференциальные уравнения. Хотя сами дифференциальные уравнения и выражают законы сохранения локально (т. е. в точке), такой способ дискретизации приводит к тому, что разностные схемы, если не принимать специальных мер, оказываются не консервативными и не энтропийными [5, 13—15]. Еще один принципиальный недостаток неконсервативных схем связан с тем, что сгущение сетки, от которого обычно ожидают увеличения точности, может даже увеличить ошибку [5]; поэтому проверять сходимость численного метода по сетке, вообще говоря, целесообразно лишь для консервативных численных методик.
Метод потоков, основу которого составляет разностная аппроксимация законов сохранения (3.5), обладает консервативностью по массе, импульсу и полной энергии. Минимальный неустранимый дисбаланс аддитивных характеристик присутствует и вызывается лишь погрешностями округления.
Еще одна особенность обсуждаемого метода заключается в том, что непосредственно приходится аппроксимировать, как уже отмечалось, выражения составляющих векторов плотностей потоков, порядок которых на единицу ниже, чем порядок соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому аппроксимируемые выражения в методе
231
потоков более простые, чем при традиционном подходе с использованием уравнений Навье — Стокса.
Метод последовательных приближений решения уравнений (3.5) основан на следующих предпосылках. Стационарное поле плотностей распределения аддитивных характеристик среды, активных переменных и поле векторов плотностей потоков определяются значениями векторов потоков на границах области интегрирования. Кажется естественным считать, что «роза возмущений» некоторой плотности распределения вытянута вдоль соответствующего вектора плотности потока, т. е. возмущение плотности распределения, внесенное в некоторую точку, сильнее всего влияет по направлению соответствующего вектора плотности потока. В идеальном газе, например, возмущение плотности массы распространяется главным образом вдоль линии тока, по направлению вектора скорости. Конечно, это возмущение скажется везде, потому что изменение плотности повлияет на давление, что приведет к трансформации трубок тока.
Пусть состояние газодинамического поля на итерации с номером k известно. Тогда исправление некоторой плотности распределения надо начинать (используя соответствующий закон сохранения) с ячеек, примыкающих к участку границы области интегрирования Г, где вектор потока количества с исправляемой плотностью направлен внутрь области D. И вообще, переход на новую итерацию в некоторой ячейке производится тогда, когда этот переход уже совершен во всех соседних ячейках, лежащих против потока соответствующего количества.
Из рассуждений, приведенных выше, следует, что вычисленное исправление должно быть использовано при расчете всех ячеек, лежащих ниже по потоку, чтобы учесть распространение влияния втекающего потока с затратой возможно меньшего количества итераций (аналог метода Зейделя для решения систем линейных уравнений).
На практике плотность массы на каждой итерации вычисляется из уравнения сохранения массы, составляющие вектора скорости — из закона сохранения соответствующей компоненты импульса, температура — из закона сохранения энергии. Это определяет главную переменную в каждом из уравнений системы (3.5).
Существо перехода на новую итерацию излагается ниже в предположении, что среда является ньютоновской. В некоторой ячейке по известному состоянию вычисляются скорости конвективного переноса, коэффициенты вязкости и теплопроводности. В разностные уравнения (3.5) подставляются вычисленные функции и значения всех переменных по известному состоянию, кроме главной. После такой подстановки каждое из уравнений (3.5) превращается в линейное алгебраическое уравнение относительно главной переменной.
Пусть fl’k — решение этого уравнения. Другими словами, fl'k—такое значение главной переменной, которое удовлетворяет соответствующему закону сохранения, если значения всех остальных переменных, скорости конвективного переноса и коэффициентов вязкости и теплопроводности фиксированы. Значение любой переменной на новой
232
итерации номера k+1 определяется по формуле
p+i==fk + x^i,k_fk-)t т>0. (З.б)
В нелинейном случае величина т определяется экспериментально.
Примеры, иллюстрирующие эффективность такого подхода при решении стационарных задач, будут рассмотрены ниже.
Конкретный вид численного алгоритма приведем вначале для нестационарной задачи обтекания сферы потоком вязкого сжимаемого газа.
§ 3. Конечно-разностные схемы метода потоков.
Исследование модельных уравнений
1. Описание метода. Приведем здесь, следуя [1], конкретный вид нестационарной конечн о-p азностной схемы метода потоков. Рассмотрим задачу об обтекании сферы потоком вязкого теплопроводного газа.
Предполагается, что газ является ньютоновским и совершенным, а также имеет постоянное отношение удельных теплоемкостей у. Решение задачи будем искать в области между обтекаемой сферой Rt и сферой R2 большего радиуса (см. рис. 3.1). Разобьем эту область на секторы плоскостями, проходящими через ось симметрии задачи, с малым углом <р между ними. Из-за осевой симметрии достаточно найти решение задачи в одном секторе.
Пусть плоскость D проходит через ось симметрии и делит некоторый сектор пополам. Введем в плоскости D ортогональную криволинейную систему координат х, у. Пусть координатные линии x=const суть перпендикуляры к сфере Ru а линии z/=const — равноотстоящие от Rt. Начало координат поместим в переднюю критическую точку. Будем считать, далее, х, у безразмерными независимыми переменными, получающимися делением линейных размеров на радиус обтекаемой сферы. Тогда коэффициенты Ламе запишутся так:
Нх=\+у, Ну=\.
В плоскости (х, у) область интегрирования имеет вид прямоугольника (Х(х<Х где уе — расстояние между сферами Rt и
R2. Введем в этом прямоугольнике расчетную сетку, стороны ячеек которой образованы линиями
yj — h2j,
i = 0,l,...Л, j = Kht = n, Nh2 = ye.
Пусть границы объема ячейки Q, пересекающие плоскость D, образуются сторонами ячеек при вращении нашей сетки вокруг оси симметрии на угол <р/2 в обе стороны относительно себя самой. Две боковые границы Q совпадают с границами сектора, в котором определяется решение задачи.
233
В качестве характерных внутренних точек объемов, к которым будем относить переменные поля, возьмем на плоскости D точки с координатами
xm = h1/2 + tnh1, yn=h2/2 + nh2,
m = Q, 1, ..., K-1, n = 0, 1, ..., N— 1.
Через Qm, n будем обозначать объем, содержащий точку (хт, уп) (см. рис. 3.1).
Вектор количества движения газа в объеме п- -будем задавать двумя проекциями X, Y' на местные направления х, у в точке (•Хт> Уп)-
Остановимся подробнее на вычислении потоков количеств М, X, Y, Е через четыре участка внешней поверхности Qm,n, которые пересекаются координатной плоскостью (х, у) и обозначены соответственно через sm+1/2.n, sm_1/2.„, sm, я+1/2, sm, „_1/2, так что Sm+1/г.п разделяет „ и Qm+1, „ и т. д. Используем квадратурную формулу прямоугольников с центральной узловой точкой. Координаты узла на границе sm+1/2,„, например, равны
4-1/2 =/11 (/П 4-1), ya = h2/2 + nh2.
Такая квадратурная формула требует определения в узловых точках переменных поля и первых производных от составляющих вектора скорости и удельной внутренней энергии. Эти величины в дальнейшем будем обозначать с помощью полуцелых индексов, например: W/n+i/2,n на Sm+i/2, п-
В предлагаемом методе потоков в основу вычислительного ал-горитма положены нестационарные уравнения (3.3).
Если в момент времени tl = xl известны значения =
X1, Y1, Е1, где т—шаг интегрирования по времени, то в момент ^+1 = (/4-1)т эти величины с погрешностью О (т2) могут быть вычислены следующим образом:
Ml+1 = М1—Rln ds,
s
Xl + 1 = X‘—x^Flnds, s
Yt+1 = Yl—x Glnds, (3,7)
s
Е1+1 = Е1—x<$Qlnds. s
Дадим теперь способ вычисления составляющих векторов плотностей потоков (3.7') массы, импульса и энергии на границе sm+1/2, „. Так, формулы для проекций векторов плотностей потоков на ось х, являющуюся нормалью к sm+1/2, л, 234
имеют вид [1]
/?/п + 1/2, п — {pw}m + l/2, п,
0»+,/,.»={п«—Д С,—«;)}„„«,„• (37>
„ ( , I 2 ц ,. -, , 2ц / 1 ди . v \ \
Qm+1/2, л-|еи + ри—y-^-div v+ Re^ \j]-xfa + HJ )и~ р / ди . 1 dv и \ уц 1 де 1
Re^\ду ' Нхдх НХГ Рг Ре^ Нх дх j т + 1/2, п’
,. 1 ди , dv . и cos х , 2v
div и =7т-д- + -------г-п-,
Нхдх ду г пх'
г = (1 + У) sinx, р = (у—1)ре.
Уравнения (3.7) записаны в безразмерных переменных: составляющие вектора скорости и (по х) и v (по у) отнесены к модулю К» вектора скорости Vx в невозмущенном потоке; давление р, плотность и удельная внутренняя энергия—соответственно к p^V't, р®, VI,', коэффициент вязкости р—к ц«,; остальные обозначения общеприняты.
В уравнениях (3.7) использовано предположение Стокса о равенстве средних значений главных напряжений (с обратным знаком) и давления. При достаточной гладкости переменных поля и выполнении предположений, использованных при вычислении векторов плотностей потоков массы, импульса и энергии, из законов сохранения (3.3) следуют полные уравнения Навье — Стокса для сжимаемого газа, если объем Q произволен.
Все величины, заключенные в фигурные скобки в уравнениях (3.7), вычисляются в точке с координатами (хт+1/2,уп). Как уже отмечалось ранее, в методе потоков аппроксимации вводятся по типу переноса: для диффузионного переноса (интенсивные переменные) используются симметричные формулы, а для конвективного (экстенсивные переменные) — несимметричные.
Итак, при определении значений всех функций, кроме плотностей распределения (3.1) р,|, г|, ей встречающихся первых производных, используются симметричные формулы, например:
(Um + 1, n~Vu т, п)/2,
(Um+l,n—Um, J//11, (3.8)
(Кл, п + 1 ит, п-1 Н- +1, n + 1 Um + 1, п-1))/(^г)-
Чт + 1/2, п — ди \ ___
дх J т + 1/2, п ди \ дут + 1/2, п
Эти формулы обеспечивают точность аппроксимации второго порядка.
Для вычисления значений плотностей распределения р, £, т), е используются несимметричные формулы, также дающие
235
Рт + 1/2, п —
аппроксимацию второго порядка, например:
l’5pm,n 0,5pm_!, Wm + 1/2,
l’5pm + i, п ^^т + 2,п< ^m + 1/г, п 0•
Представление (3.9) означает, что плотность распределения любой величины на границе элементарного объема-ячейки определяется экстраполяцией по направлению скорости частиц газа.
Производные от и, v, е на поверхности обтекаемого тела вычислялись по формулам численного дифференцирования, обеспечивающим аппроксимацию второго порядка, например:
дв \
\~ду ) т w = (- ет, о
Индекс w в этой формуле показывает, что значение функции берется при г/ = 0.
Количество массы, импульса и энергии, перешедшее за время т через sm+1/2,n, равно произведению соответствующей составляющей вектора плотности потока, вычисленной в точке (хт+1/2, у), на зт+1/2,;гт. Погрешность вычисления при этом имеет второй порядок по т и третий по h.
Граничные условия задачи должны давать возможность вычислить на внешней сфере R2 векторы плотностей потоков массы, импульса и энергии. Внешняя сфера должна иметь достаточно большой радиус, чтобы можно было считать, что на ней при 0^х^л/2 поток газа является невозмущенным, а при л/2<х^л переменные поля имеют малые производные по направлению у. В соответствии с этим в расчетах полагалось, что на сфере R2 при л/2<л^л имеют место равенства df/dy=Q, где / — любая переменная поля.
Опыт расчетов показал, что «разумное» граничное условие при х> >л/2 на сфере R2 влияет на решение в узком слое вблизи границы, имеющем ширину в несколько ячеек разностной сетки. На слабое влияние этого граничного условия указывает тот факт, что решение вначале устанавливается на наветренной стороне обтекаемой сферы. Вопрос о граничном условии на сфере R2 при х>л/2 требует, конечно, дальнейшего исследования. На поверхности обтекаемого тела задавались температура и условия прилипания.
В качестве начальных условий можно использовать, в принципе, произвольное распределение величин М, X, Y, Е в области интегрирования. Если имеется некоторое решение, то его выгодно взять в качестве начального для получения нового варианта расчета, особенно если их определяющие параметры являются близкими. Первый расчет начинался, как правило, от невозмущенного потока, в который внезапно помещалось тело.
2. Исследование модельного нестационарного закона сохранения [I]. С целью пояснения выбора способов аппроксимации (3.8) и (3.9) в уравнениях (3.7) рассмотрим для примера простой закон сохранения величины w с плотностью распределения и и вектором плотности
236
потока С:
---#C«ds.
(3.10)
Пусть проекция вектора С на ось х имеет вид
Сх = — аи—a = const>0, p = const>0. (3.11)
Ограничимся изучением одномерного случая. Тогда плотность распределения и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, являющемуся следствием закона сохранения (3.10) и равенства (3.11):
ди ди . д2и
= (3-12)
В последнем уравнении коэффициент а играет роль, аналогичную скорости частиц в газе, р, подобен коэффициенту вязкости. Предполагается необходимая гладкость изменения функции и.
Используем описанные ранее способы (3.8), (3.9) вычисления плотности распределения и ее первой производной на границах ячеек при аппроксимации закона сохранения (3.10). При определении и надо пользоваться экстраполяцией справа в силу того, что в (3.11) а> 0.
Из (3.10), таким образом, получается следующее разностное уравнение для плотности распределения:
^т = ^m4"®( 1-f- 2ит+1 0,5ыт+2) -f* 7 ^m-l)> „
(о. 1 о) a, = ax/h1,^[q = \ix/h{.
Для сравнения рассмотрим еще два разностных представления (3.10):
Um ~ Um"I*® (ит+1 ^т) “Ь9i(^m+i ^Ыщ-^^т-х)» (3.14)
= U^m -f- Р (Um+l-~^т—1) 9 (Цт+1~~^т-1), (3.15)
р = цт/(2ед.
Разностные уравнения (3.13) — (3.15) аппроксимируют дифференциальное уравнение (3.12) с первым порядком точности по времени. По пространственной переменной уравнения (3.13) и (3.15) обеспечивают второй, а уравнение (3.14)—первый порядок аппроксимации.
Представление (3.14) получается из (3.10), если значения плотности распределения ит+1/2 на границе ячейки определять из равенства ит+1ц = ит + 1. Это означает «снос» значения и из Центра правой ячейки в соответствии со знаком коэффициента а, определяющего направление конвективного переноса. При выводе (3.15) использована симметричная аппроксимация
Um + 1/2 ~ (Щн| + 1 “I” Ит)/2.
237
Метод Фурье дает следующие условия устойчивости по начальным данным разностных уравнений (3.13)—(3.15):
£+^4 <313>' <3-16>
v+4';1 (3.14), (3.17>
ДЛЯ (3.15). (3.18)
Ml
Выпишем теперь получающиеся после элементарных выкладок условия монотонности для уравнений (3.13) — (3.15) (т. е. условия того, что разностные уравнения переводят монотонный на некотором шаге по времени профиль в монотонный на следующем шаге):
4Am+l + Am> Ат+2, Ат = 4г+1 —<>0 ДЛЯ (3.13), (3.19)
для (3.15). (3.20)
Разностное уравнение (3.14) является безусловно-монотонным, так как оно оставляет монотонным любой первоначально монотонный профиль, вне зависимости от величины шагов разностной сетки, коэффициентов уравнения и «крутизны» профиля искомой функции. При выводе условий (3.19), (3.20) предполагалось, естественно, что условия устойчивости (3.16) — (3.18) выполняются.
Проведенный анализ показывает, что разностное уравнение (3.13), обеспечивая второй порядок аппроксимации дифференциального уравнения (3.12) по пространственной координате, имеет не слишком обременительные условия устойчивости (3.16) и монотонности (3.19). Это и объясняет выбор способов вычисления (3.8), (3.9) переменных поля и их первых производных на границах элементарных объемов Q при вычислении составляющих векторов плотностей потоков (3.7).
Наиболее жесткими являются условия устойчивости и монотонности (3.18), (3.20) симметричной разностной схемы (3.15), налагающие значительные ограничения на шаги по времени и по пространству. Эти условия показывают, например, что симметричная разностная схема при р—>- 0 превращается в неустойчивую и немонотонную. Это объясняется тем, что наличие конвективного переноса делает пространственные направления не равноценными, что и желательно учитывать при конструировании разностного метода.
3. Стационарный случай. Рассмотрим теперь стационарный вариант метода потоков, который является более экономичным при решении стационарных задач [2].
При аппроксимации поверхностных интегралов в (3.5) использована формула прямоугольников с центральной узловой точкой, координаты которой на sm+1/2 вычисляются по формулам
xffl+i/2 = fti(m+l), yn = h2/2-l-h2n.
Обозначим, как и ранее, через /?, F, G, Q векторы плотностей потоков массы, проекций импульса на оси х, у и полной энергии. 238
238
Пусть Rm+i/2,n—нормальная к площадке sm+1/2>n проекция вектора плотности потока массы, остальные нормальные составляющие векторов /?, F, О, Q будем обозначать аналогично.
Система законов сохранения для ячейки (т, п) запишется теперь в виде
(Rs)m-i/2, п 4" n-i/2 (Rs)m + l/2, п (Rs)m, п + 1/2 — О,
(FS)m-1/2, га С 4" га -1/2 (Fs)m +1/2, га С (FS)m, n+1/2
— (Gs)m_1/2;„d — (Gs)m + 1/2. „d+2 CM™, „sin (<p/2) COSXm=0,
(Gs)m-1/2, n C -j- (Gs)m> ra-1/2 (Gs)m +1/2, n C (Gs)rai, n + 1/2 4" (3.21)
4* (^s)гаг-1/2, n d. 4“ (FS)rai + i/2, n d-j-2 (p1S)m, n Sin (ф/2) SinXrai == 0,
(Q з)гаг-1/2, n 4“ (Q s)m, ra-1/2 (Q s)rai + i/2, n — (Qtym, n + 1/2 = 0>
c = cos(/i1/2), d = sin(/i1/2),
p 1 = p + _|1L_ div F_ 2p_«cosx+vSinx и 1 SRe^ Re^ r
Остаточный член формул (3.21) имеет величину О (hl, hl). Ниже приводятся составляющие векторов плотностей потоков в безразмерных переменных. Безразмерные составляющие и, v вектора скорости V, давление р, плотность р, удельная внутренняя энергия е и температура Т получены делением размерных значений соответственно на р^, V^, Т„. Согласно [2] имеем
/?х = ри, Rv = pv, Fx = p + %u—axx, Fy = lv—oxy,
Gx = x\u — oxy, Gy =p + nv—oyy,
Qx = ue- + pu—о и—ox v—
^x r xx ХУ Pr Reoo Hx dx ’
Q. vu de
У = ге + V-V-ряк
= — TTr~div ^+тгМтгт+7Й. <3-22)
xx 3 Re^ Re„ \Hxdx 1 Hx]' v ’
__ |i ! ди 1 dv и \
°xu ~ Re^ \ dy Hx dx Hxj'
2 u. ,. .. , 2u. dv
aw ~ 3 Re„ dlV Reoo dy ’
,. 1 du , dv , и cos x . 2v
div V = тг x- + д- H---h -n—,
H xdx dy r Hx ’
r = (1 -|- y) sinx, p = (y — 1) pe, l = pu, r] = pu, e = p (e + (uz + v2)/2).
Для вычисления всех переменных газодинамического поля и, v, р, Т и всех встречающихся в (3.22) первых производных на границах объемов-ячеек через значения соответствующих функций в характерных внутренних точках используются симметричные формулы (3.8), обеспечивающие аппроксимацию второго порядка. Плотности распределе-НИя Р. е на границах Q вычисляются по несимметричным формулам (3.9), также имеющим погрешность второго порядка. Смысл по
239
следних сводится к тому, что любая плотность на границе элементар» ного объема вычисляется путем экстраполяции по двум характерным внутренним точкам, лежащим против потока соответствующего количества.
В расчетах на обтекаемой сфере Rr задавались температура и условие прилипания. На внешней сфере /?2 при 0^х^л/2 поток считался невозмущенным, при предполагалось, что все векторы пото-
ков имеют равную нулю производную по у.
Ниже приводятся, следуя [2], две формулы, поясняющие, каким образом на каждой итерации уравнения (3.21) сводятся к линейным для определения величин fl-k в процессе (3.6). Будут выписаны проекции векторов составляющей импульса на направление х и потока массы на нормаль к площадке sm+1/2,n> так как последние подставляются во второе уравнение системы (3.21). Предполагается, что ы^+1/2 п~> 0 и слой ячеек с координатой т—1 уже находится на итерации В первом уравнении системы (3.21) главной переменной является плотность ргап, во втором—итп, первой определяется р,лп. Имеем
R т + 1/2, п = (1 Pm^-1, л/2) 4+1/2,
F т + 1/2, п = р + () п^т—1, п) Uk
I 2 U / 1 4 + 1, п — Umn , (4+1, и4~4/^) C0S Х । 2v \
+ 3 Re», Й1 ‘'Л/’Г' 2г + Нх)
2ц / 1 Um + 1, п — U-mn । Г \
Re», \HX /ц ^HXJ'
U-m+1/2, n. “ (^zn+1, n “f" > 0-
В правой части второго выражения у всех функций и их производных опущены нижние индексы (они такие же, как в левой части). В разностной форме представлены только члены, содержащие ведущую переменную второго уравнения системы (3.21).
4. Линейная модель стационарной схемы. Чтобы составить хотя бы относительное представление о свойствах устойчивости процесса (3.6), далее анализируется линейная одномерная модель [21.
Рассматривается закон сохранения количества U с плотностью распределения и и вектором плотности потока G, проекция которого на ось х есть Gx=au—рди/дх, a,p=const>0.
Разностное уравнение, аппроксимирующее закон сохранения количества U при применении обсуждавшегося способа аппроксимации, записывается в виде
а (-1,54* + 24il-0,54tl) + ц = 0.
Предполагается, что ячейки сетки перебираются в направлении возрастания т, т. е.
( a (Щ-ОЖН Um+1~Um ) (4+i + 4) > 0.
240
Аналог уравнения (3.6) запишется в виде
..k + 1 _ uk I _ ( —0.5цт-2 + 7 (4нт4-1) k\ /7 — цl(ah\
Um 1 5 + 2q Um/’ V —
Проверим устойчивость полученного уравнения на частных решениях вида А.М*'”. Требование (А.|^1 для произвольного ф приводит к следующему неравенству, которому должны удовлетворять значения т:
2’-TsW+2»’-1)>0-
Из выписанного неравенства получаются условия устойчивости одномерной модели:
2р, (1,5<z/z —|-2[л) (аЛ + ц) (ah—2ц)’
ah > 2ц,
< 2ц (1,5аЛ-|-2ц)
(a/i + ц) (2ц — ah) ’
ah < 2р.
(3.23)
(3.24}
В предельном случае р 0, соответствующем отсутствию вязких, эффектов, из (3.23) следует условие т 0. Если а -->• 0, т. е. влияние-вязкости делается преобладающим, из (3.24) получается условие т<2.
Анализ линейной модели дает, конечно, весьма мало сведений для выбора значения т в нелинейной задаче (что делается экспериментально). Однако неравенства (3.23), (3.24) дают основание предполагать,, что и в нелинейном случае параметр т не будет иметь сильной зависимости от коэффициента вязкости, а также от пространственных шагов. Это существенно при расчете течений в сложных по форме областях с применением преобразований координат, которые приводят к появлению существенно различных по линейным размерам ячеек разностной сетки. Опыт расчетов подтверждает это предположение.
Указанный подход при решении стационарных задач оказывается эффективнее метода установления по числу итераций более чем на порядок. Примеры расчетов по стационарной методике приводятся в конце следующего параграфа.
§ 4. Расчет течений вязкого теплопроводного газа у сферы
Рассмотрим более детально задачу обтекания сферы потоком вязкого теплопроводного сжимаемого газа. Численные исследования ее проводились в [1—4, 16—19] для различных режимов течения (от дозвуковых до гиперзвуковых скоростей) в широком диапазоне чисел Рейнольдса (75^Re^lO4). Помимо чисто методических результатов, изучались такие важные с практической точки зрения характеристики обтекания, как поведение коэффициентов теплопередачи и сопротивления тела, свойства течения в зоне срыва; исследовалась зависимость полного сопротивления сферы от числа Рейнольдса и вклад в него сопротивления донной области и т. д.
24 L
Результаты далее излагаются, следуя работам [2, 3, 16—18]. Вначале приведем данные, полученные методом установления [II, а затем проведем сравнение со стационарным подходом [2].
1. Основные формулировки и предположения. Рассматривается задача о течении вязкого теплопроводного газа у сферы при больших числах и умеренных числах Re^, когда влияние вязкости существенно во всей возмущенной телом области, а поток газа ламинарный. Главной целью исследования является вычисление силового и теплового воздействий потока на тело и изучение свойств течения газа вблизи тела, особенно в донной области [31.
Расчеты проводились при следующих предположениях: газ ньютоновский, совершенный, отношение удельных теплоемкостей у постоянно, коэффициент вязкости р. имеет степенную зависимость от температуры (р. Т“), выполнено предположение Стокса о равенстве дав-
ления и среднего арифметического трех главных напряжений, взятого с обратным знаком, число Прандтля постоянно (Рг=0,72). Если особо не указано, то <о=0,5, у=1,4.
Областью интегрирования является шаровой слой, заключенный между обтекаемой сферой радиуса Ri и внешней сферой большего радиуса R2 (см. рис. 3.1). Значение Т?2 должно быть велико настолько, чтобы была допустима постановка на внешней сфере соответствующих граничных условий, и, с другой стороны, оно должно быть мало, чтобы достаточная для практики точность достигалась на разностной сетке с умеренным числом узлов и с приемлемыми затратами машинного времени.
Разобьем область интегрирования на секторы плоскостями, проходящими через ось симметрии задачи, угол <р между которыми мал. Из-за осевой симметрии достаточно найти решение в одном секторе. Пусть выбранный сектор делится пополам плоскостью D, проходящей через ось симметрии. Введем в этой плоскости ортогональную криволинейную систему координат х, у с центром в передней критической точке. Пусть х — координата «вдоль тела», а ось у направлена по нормали к нему (см. рис. 3.1). Значения х определим так, чтобы после перехода к безразмерным координатам, осуществляемого делением линейных размеров на радиус внутренней сферы коэффициенты Ламе приняли вид Нх=1-\-у, Hy=i.
В координатах х, у область интегрирования есть прямоугольник Os^xscjr, Q^y^ye, ye^Ri—R1-
Введем в этом прямоугольнике равномерную разностную сетку с шагами Дх, Ду. В дальнейшем расчетную сетку будем характеризовать парой (произведение, число). В произведении первый множитель — число ячеек сетки по х, второй — по у, число — значение уе. Например, пара 30x30, 0,75 означает, что расчетная сетка имеет 30 ячеек по х, 30 по у при R2 — 7?г=0,75.
Обсуждаемые ниже результаты получены методом установления [1]. Способы аппроксимации поверхностных интегралов в (3.7') и искомых функций на границах объемов-ячеек описаны в предыдущем параграфе. Итогом является явная, условно-устойчивая и условно-монотон-242
ная разностная схема, обладающая свойством консервативности по массе, импульсу и полной энергии. Существенно, что вычисление плотностей распределения всех количеств на границах ячеек производится по несимметричным формулам (3.9), учитывающим направление вектора скорости.
На поверхности обтекаемой сферы задавались температура и условия прилипания. На внешней сфере Т?2 при 0^х^л/2 поток газа считался невозмущенным. При л/2<х^л предполагалось, что переменные поля или составляющие векторов плотностей потоков на направление у имеют пренебрежимо малые производные по у.
В качестве начальных условий может быть использовано в принципе произвольное по объемам-ячейкам сетки распределение массы, импульса и энергии. На практике первый расчет при новом значении М„ начинался с невозмущенного потока, в который внезапно вносилось тело. Если изменялось Rerxj, то в качестве начальных условий использовался расчет с близким значением числа Rerx.
Вычисления велись до выработки стационарного решения. Момент окончания вычислений определялся по величине производной по безразмерному времени от любой искомой функции. Состояние считалось стационарным, если эта производная имела порядок 0,001. За характерное время взято отношение RJV^, где — модуль вектора скорости в невозмущенном потоке.
Все встречающиеся далее переменные безразмерные. Давление р, плотность р, энтальпия 1г и внутренняя энергия е, температура Т, составляющие скорости и на направление х и v на у отнесены соответственно к р„ Vi, р„, VL, T„, V„.
Используемое число Рейнольдса вычисляется по радиусу обтекаемой сферы (Reoo = p00E00R1/p00). Важным критерием подобия является число Рейнольдса, вычисленное по температуре адиабатического торможения (Re0 = рооУ00/?1/р.0). Эти числа связаны формулой
Re^ReJl-PMY-W)".
Местные коэффициенты трения и теплопередачи, приводимые на графиках, определяются выражениями
„ _2(pduldy)w „ _ (kdT/dy)w f РоД* ’ ’
где ц, к — соответственно коэффициенты вязкости и теплопроводности; индекс w указывает, что соответствующая величина вычисляется на поверхности обтекаемой сферы; Н — энтальпия торможения.
2. Методические расчеты. Ниже обсуждаются расчеты, показывающие сходимость численного решения при уменьшении шагов разностной сетки {сходимость по сетке), изучается влияние граничных условий, сравниваются расчеты, полученные методом потоков, с результатами других авторов и экспериментом.
Серия расчетов для изучения сходимости численного решения по сетке была проведена при условиях Моо = 20, Reoo = 100, TwfT0 = = 0,05. На рис. 3.2 приведены давление и коэффициенты С{ и СЛ
243
на поверхности обтекаемой сферы. Расчеты проведены при различных значениях Ду (шаг Дх во всех расчетах оставался постоянным, равным л/30). Вариант 1—сетка 30x30, 0,75; 2—30x20, 0,75-3—30x15, 0,75; 4—30x30, 1,125. Такой выбор изменения шагов кажется обоснованным тем, что все газодинамические переменные вблизи тела изменяются быстрее по направлению нормали к нему, чем вдоль тела. Сравнение кривых на рис. 3.2 показывает, что имеет место практическая сходимость метода по сетке.
Рис. 3.2. Профили давления р и местных коэффициентов трения Сг и теплопередачи СЛ на различных сетках при Моо=20, Re0o= 100: 1 — сетка 30X30, 0,75; 2 — 30X20, 0,75; 3 — 30X15, 0,75; 4 — 30X30, 1,125.
Варианты 2 и 4 на рис. 3.2 имеют одинаковые значения Дх и Ду, но разные значения R2- Поэтому возможное отличие решений в вариантах 2 и 4 могло быть объяснено только влиянием граничных условий, ставящихся на внешней сфере. Решения в вариантах 2 и 4 совпадают полностью по всем искомым функциям. Отсюда следует, что граничные условия на внешней сфере не искажают решение даже при весьма малом значении разности /?2 — Ri, например равном 0,75. Конечно, этот вывод справедлив при гиперзвуковых числах М„ и не слишком малых числах Re^. Подтверждением указанного обстоятельства служат приводимые далее значения коэффициентов сопротив-
Вариант
1 2 * 1 4
Сх 1,536 1,534 1,517 1,522
0<х<л/2 Ср 1,009 1,000 0,993 0,999
Cf 0,527 0,534 0,524 0,523
Сх 1,703 1,673 1,657 1,657
0 < х < л Ср 1,006 0,996 0,998 0,993
Cf 0,697 0,678 0,669 0,664
244
лен и я всей сферы и передней полусферы, получившиеся в обсуждаемых вариантах [31.
В таблице приведены коэффициенты полного сопротивления Сх, волнового Ср и коэффициенты сопротивления трения Cf, вычисленные по формуле Симпсона.
Все расчеты проведены при соблюдении второго порядка аппроксимации для переменных и их первых производных на границах ячеек сетки, кроме трения и теплового потока на поверхности обтекаемого -тела, которые вычислялись по формулам первого порядка. Специально проведенные расчеты показали, что формулы второго порядка для вычисления трения и теплового потока дают в донной области менее точные и даже качественно неверные результаты. Опыт подтвердил [5], что при расчетах на реальных сетках главным критерием выбора формул является точность результата, а не формальный порядок аппроксимации.
Для суждения оточности вычислений особый интерес представляло бы сравнение экспериментальных данных и данных, вычисленных методом потоков, однако эксперимент при малых числах Рейнольдса дает большой разброс. Сопоставление рассчитанных и экспериментальных величин показывает, что первые хорошо укладываются в полосу разброса эксперимента.
Рис. 3.3. Профили давления р(у) вдоль передней оси симметрии (/, 2, 3) и распределение давления р(х)1р'а по сфере (4, 5, 6, 7) при М0о=6: 1,2,4 — метод потоков (/ — сетка 30X30, 0,75; 2 — 30X60, 0,75); 3, 6 — расчет [21]; 5 — расчет [20]; 7 — эксперимент [22] при Моо=6,05, Reoo=6,43-10°.
На рис. 3.3 дается сравнение профилей давления, полученных методом потоков [20, 21] и из эксперимента [22]. Все расчеты проведены при М0О= 6, эксперимент — при М„= 6,05, в методе потоков и эксперименте Кею=6,43-106. На рис. 3.3 линии 1, 2, 3 — давление р(у) на оси симметрии; 4, 5, 6, 7 — распределение давления р(х)1р'а по телу (р'— давление в передней критической точке); варианты: 1 — метод потоков, сетка 30x30, 0,75; 2— метод потоков, 30x60, 0,75;
245
3 — расчет [21]; 4 — метод потоков; 5 — расчет [20]; 6 — расчет-121 ]; 7 — эксперимент [22].
Распределение давления по телу р (х)/р'о хорошо совпадает во всех случаях. Для профиля давления р(у) кривые 1 и 2 лежат ниже крц. вой 3, так как они дают распределение давления не точно по оси сим-метрии, а «почти» на ней — при х=л/60 (такую координату имели в расчетах центры ячеек, граничащих с осью симметрии). Несмотря на то, что в методе потоков ударная волна не выделялась, давление хорошо совпадало с расчетами [21] везде, кроме окрестности ударной волны. Так как число Rerxj в расчете было велико, обсуждаемый пример показывает, что метод потоков дает асимптотически (при Rerxj^oc). правильные результаты по давлению и размерам возмущенной области.
В настоящее время разными авторами опубликованы результаты численного исследования потока вязкого теплопроводного газа у лобовой части сферы. Интересно провести сравнение этих данных для выявления возможностей различных схем.
Рис. 3.4. Распределение по сфере давления р и местных коэффициентов трения С/ и теплопередачи Сд при М„ = = 10,^600=63: 1, 3, 5 — метод потоков; 2, 4, 6 — расчет [8].
Рис. 3.4 иллюстрирует сравнение расчетов, выполненных методом потоков (варианты 1, 3, 5), с результатами работы [8] (варианты 2, 4, 6) при Моо=10, Reoo=63, <в=0,5, hw=h„. Сетка в обоих случаях характеризуется парой 30x30, 0,75. Аналогичное сравнение в [3] проводилось и с результатами [7].
Сравнение показывает, что давление на поверхности обтекаемого тела в методе потоков хорошо совпадает с расчетами [7] и удовлетворительно с [8]. Распределения Cf и Ch совпадают хуже. Разница в значениях коэффициента теплопередачи в критической точке между значениями [8] и данной работы около 5%. Наибольшего значения эта разница достигает при х л/4. Отличие между коэффициентами трения в окрестности максимума несколько больше, чем между СЛ.
Здесь были приведены графики, на которых сравниваются параметры на поверхности обтекаемого тела. Анализ возмущенных телом областей приводит к следующим выводам. Наибольшая разница между значениями энтальпии, давления и скорости на оси симметрии имеет место на переднем фронте возмущенной области, где достигают наибольших значений производные от искомых функций по у. Возмущенная область в консервативном методе потоков меньше по размерам, чем в методах [7, 8]. Абсолютные значения разницы между
246
сравниваемыми функциями весьма велики, хотя качественно они ведут себя одинаково.
Основным критерием надежности полученных результатов при расчете донной области в настоящее время является сходимость по сетке, так как расчетов, выполненных другими методами, и экспериментальных результатов, относящихся к донной области тела конечных размеров, в литературе пока мало. Проводить такую проверку имеет смысл, вообще говоря, только для численных методов, обладающих свойством консервативности. Сгущение сетки, на которое можно было бы рассчитывать для повышения точности в случае неконсервативных схем, может даже увеличить ошибку.
Для оценки сходимости численного решения по сетке была проведена серия расчетов при условиях Моо=20, Re0O= = 1500, Tw/To=O,O5. Результаты расчетов приведены на рис. 3.5. Варианту 1 соответствует сетка 30x20, 0,75; 2— 30x30, 1,125; 3— 30X30, 0,75; 4 — 30x30, 0,5. Здесь приведены графики давления р и коэффициентов Cf и Ch на поверхности сферы в донной области. Видно, что имеется сходимость решения по сетке. Особенно быстро сходятся давление и местный коэффициент трения — графики этих величин в вариантах 3 и 4 практически совпадают. Энтальпия и давление совпадают в этих вариантах в большей части области интегрирования, примыкающей к телу [3].
Рис. 3.5. Распределение в донной области сферы давления р, местных коэффициентов трения Сг и теплопередачи при расчете на различных сетках для Моо=20, ^«,= 1500: 1 — сетка 30X20, 0,75; 2 — 30X30, 1,125; 3 — 30X30, 0,75; 4 — 30X30, 0,5.
Анализ рис. 3.5 подтверждает ранее сделанный вывод о допустимых размерах области интегрирования. В вариантах 1 и 2 внешняя граница практически не влияет на поведение газодинамических переменных на поверхности обтекаемой сферы (ее влияние заметно лишь в полосе области интегрирования шириной в 4—5 ячеек разностной сетки, примыкающей к внешней сфере).
247
3. Расчеты гиперзвукового течения вязкого теплопроводного газа у тела конечных размеров. Все обсуждаемые в этом и следующем пункте-расчеты были проведены при Моо=20, TJТо=0,05 (То — температура адиабатически заторможенного газа) и различных значениях числа Рейнольдса, лежащих в диапазоне от 75 до 104. Это позволило изучить, влияние числа Re^ на аэродинамические характеристики тела конечных размерови свойства, возмущенной области при гиперзвуковых числах Маха [3, 16, 181,.
Рис. 3.6, Г'рофили плотности р поперек ударного слоя при М„=20 и различных Re„ (—--------------------------идеальный газ, Re00=oo [21]).
На рис. 3.6 представлено поведение плотности в направлении, поперечном ударному слою, при х=л/60, т. е. в районе оси симметрии. Там же изображен график плотности в идеальном газе (Reoo=oo) при Моо=20, у=1,4 [21]. Рис. 3.7 иллюстрирует поведение (по нормали к телу) энтальпии 1г и составляющей скорости v. Штриховой линией нанесено распределение соответствующих функций в идеальном газе. Поведение кривых показывает, что все функции при Re^oo стремятся к своему предельному значению в невязком нетеплопроводном газе; отчетливо видна также тенденция к образованию ударной волны.
Из расчетов следует, что до Rею= 1500 при Моо=20 можно не выделять ударную волну, если целью вычислений является получение параметров течения во всей возмущенной области. Если требуется определить сопротивление и тепловой поток к обтекаемой сфере, то расчеты могут быть проведены без выделения ударной волны и при значительно больших значениях числа Re^. Погрешности, появляющиеся в области больших производных при использовании схем сквоз-
248
ного счета, не сказываются практически на характеристиках течения, ;а также на силовых и тепловых воздействиях потока на тело.
Рис. 3.7. Профили энтальпии h и нормальной составляющей скорости v поперек ударного слоя при Моо=20 и различных Rc„ (-------------•—— идеальный газ, Re0o=
= оо [21]).
Рис. 3.8. Распределение по сфере местного коэффициента теплопередачи СЛ при различных Re„ (Моо=20).
На рис. 3.8 показано распределение по поверхности сферы местного коэффициента теплопередачи СЛ, а на рис. 3.9 — местного коэффициента трения Cf. Максимальное значение Cf имеет место при значениях х, несколько больших чем л/4, где достигается максимум Cf в свободно-
го
молекулярном потоке. Координата максимума увеличивается при возрастании Rerxj. Штриховой линией на рис. 3.9 нанесен график Cf в свободномолекулярном потоке.
На рис. 3.10 представлены графики давления р'о и коэффициента теплопередачи Ch в передней критической точке, а также макси-
Рис. 3.9. Распределение по сфере местного коэффициента трения Сf при различных Re„ (М„=20).
мального на сфере значения коэффициента трения Cf в зависимости от числа Рейнольдса.
Рис. 3.11 иллюстрирует влияние вязкости на коэффициенты полного сопротивлени Сх, волнового сопротивления Ср и сопротивления трения CF, обусловленного наличием вязкости.
Рис. 3.10. Зависимости от Ре„ давления р0, местных коэффициентов трения Cf (максимального на теле) и теплопередачи Сл (в передней критической точке сферы) при
М „=20.
Рис. 3.11. Зависимости от Re„ волнового сопротивления Ср, сопротивления трения CF и полного сопротивления Сх для сферы (Моо=20).
Указанные величины вычисляются как для полусферы (сплошные линии), так и для всей сферы (штриховые линии), что позволяет оценить вклад донной области и трения в полное сопротивление тела конечного размера. Видно, что уже при Re^» 750 вклад трения в полное сопротивление составляет около 20% и увеличивается с падением ReM. Значительную часть сопротивления трения всей сферы составляет сопротивление донной области. При Reoo=100 вклад донной области
250
(л/2<х<^л) в полное сопротивление составляет около 15%, сопротивление трения обеспечивает больше одной трети суммарного сопротивления; сопротивление трения донной области составляет почти одну четверть сопротивления трения всей сферы.
С ростом Rem вклад сопротивления трения и сопротивления донной области быстро падает. Например, при Reoo=550, 750, 1500 коэффициенты сопротивления имеют соответственно следующие значения: полное сопротивление сферы—1,14; 1,09; 1,01 (полусферы —1,10;
Рис. 3.12. Зависимости от Rem давления в задней критической точке р и характеристик зоны возвратно-циркуляционного течения xs (точка отрыва), ys (длина зоны) (Моо=20).
1,06; 0,99); волновое сопротивление сферы — 0,90; 0,89; 0,88 (полусферы — 0,91; 0,90; 0,89); сопротивление трения сферы — 0,24; 0,20; 0,13 (полусферы — 0,19; 0,16; 0,10) [3].
4. Исследование течения в донной области *) [3, 16, 17]. Результаты численных расчетов показывают, что, начиная с Re^» 600, течение носит отрывный характер. Зависимости от Re„ характеристик зоны возвратно-циркуляционного течения (положение точки
Рис. 3.13. Структура полей температуры (а) и плотности (б) в донной области сферы (Mm=20, Rem=1500).
отрыва на поверхности сферы xs, длины возвратнс-циркуляционной зоны вдоль задней оси симметрии ys, а также давления в задней критической точке р) даются на рис. 3.12. Увеличение числа Рейнольдса
*) Использовалась расчетная сетка 30X30, 0,75.
251
приводит к возрастанию размеров возвратно-циркуляционной зоньц На рис. 3.13 показана структура течения в донной области при Re.^ = 1500, М„=20, Рг=0,72, Tw/T0=Q,Q5, у= 1,4, ®=0,5(на рис. 3.13, а приводятся изотермы, а на рис. 3.13, б — линии постоянной плотности).
На рис. 3.14 дано поведение давления р (штриховые линии) и коэффициента Cf (сплошные линии) вдоль поверхности обтекаемой сферы.
Рис. 3.14. Распределение давления р и местного коэффициента трения Cf в донной области сферы при различных Rem (Mm=20).
Давление в донной области имеет минимум и возрастает, выходя на участок с медленно меняющимся значением (так называемое плато давления [23]). При Reoo=550 течение в донной области носит безотрывный характер. При Reoo=750 и больших значениях наблюдается срыв потока, граница которого на теле движется в сторону меньших значений х при увеличении Retx. Срыв потока во всех случаях происходит в области, где давление на теле возрастает от своего минимального значения до значения на плато. Численные результаты находятся, таким образом, в соответствии с классической концепцией отрыва потока Прандтля, изложенной, например, в [24]. Давление на поверхности сферы и положение точки отрыва потока качественно ведут себя так же, как и на цилиндре [23].
Давление в задней критической точке (0=л) и в донной области является немонотонной функцией числа Re^, этим свойством обладает и местный коэффициент трения Су в срывной зоне. Коэффициент Q вне срывной зоны и Ch при всех х в рассматриваемом диапазоне являются монотонными функциями числа Retx. При Reoo> 750 коэффициент теплопередачи имеет слабо выраженный минимум в окрестности точки срыва.
Максимум давления в задней критической точке имеет место при Re^,» 3000. Экстремальное значение давления примерно в 5 раз больше давления в невозмущенном потоке. Немонотонный характер зависимости донного давления от числа Рейнольдса отмечается, например, в [24] в другом диапазоне чисел М„ и Retx. При малых числах Мж донное давление меньше давления в набегающем потоке.
252
И наконец, на рис. 3.15 приводятся графики давления (сплошные линии) и плотности (штриховые линии) вдоль оси симметрии (2—Reoo= =750, 3 — 1500, 4 — 3000, 5 — 10 000). Видно, что с увеличением числа Re^ вблизи тела образуется область с быстрым изменением переменных. Особенно заметно возрастание производной по у вблизи тела на графиках плотности. По-видимому, обсуждаемая область
Рис. 3.15. Профили давления р и плотности р вдоль задней оси симметрии при различных Re^: 2 — Re„=750; 3 — 1500; 4 — 3000; 5 — 10 000.
может быть истолкована как зарождающийся пограничный слой. Давление на оси симметрии имеет минимум, находящийся внутри возвратно-циркуляционной зоны. Плотность сильно меняется только вблизи тела, в большей части донной области плотность почти постоянна и немонотонно зависит от Reixj.
Плотность газа на большей части оси симметрии значительно меньше pixj. Температура, наоборот, в большей части донной области более чем в 10 раз превышает Т^. Давление на поверхности тела не удовлетворяет условию dpidy=Q, как это принято в пограничном слое. Для
Рис. 3.16. Структура поля в донной области сферы Reoo=1500).
давления р (Моо=20,
более подробного представления о структуре поля давления в донной области на рис. 3.16 даются линии постоянного давления для Reoo= = 1500, проведенные через 0,001. Здесь же отмечены точка срыва потока на поверхности сферы и граница возвратно-циркуляционной
253
области на оси симметрии (штриховая прямая, ограничивающая область срыва со стороны потока, проведена условно).
В работе [17] проведено численное исследование влияния теплового режима поверхности тела (сферы) на характеристики течения в донной области. Расчеты проводились на сетке 30x30, 0,75 для Re0O= 1500, Моо=20, Рг=0,72, -у=1,4 и со=0,5. В качестве параметра, характеризующего температуру поверхности, взята величина k—Tu-ITo (напомним, что здесь Т,,: — температура поверхности, То -температура адиабатически заторможенного газа).
Исследовались течения в донной области при значениях k, равных 0,5 (вариант 1); 0,375 (2); 0,25 (3); 0,15 (4); 0,05 (5). Отметим, что при этих значениях k численное решение носит отрывной характер, за исключением &=0,5, где отрыв, возможно, только зарождается.
Рис. 3.17. Распределение местного коэффициента теплопередачи Ch в донной области сферы при различных значениях температуры поверхности (Моо=20, Reoo=1500): 1 — 7ш/70=0,5; 2 — 0,375; 3 — 0,25; 5 — 0,05.
На рис. 3.17 (кривые 1—3, 5 соответствуют указанным значениям k) показано распределение по поверхности сферы местного коэффициента теплопередачи С/г. В области х^5л6 при &^0,05 с увеличением k увеличивается и Ch, в то время как при л/2<х^5л/6 значение Ch уменьшается.
Рис. 3.18. Профили нормальной компоненты скорости v вдоль оси симметрии в донной области сферы при различных значениях температуры поверхности (Мо„=20, ReO0= 1500): 1 — Т№/То=О,5; 2 — 0,375; 3 — 0,25;
4 — 0,15; 5 — 0,05.
На рис. 3.18 приведены графики нормальной к поверхности тела скорости v вдоль задней оси симметрии. Из них видно, что уменьшение Л вызывает рост длины возвратно-циркуляционной области за сферой.
Распределение по поверхности сферы давления р и местного коэффициента поверхностного трения Q дано на рис. 3.19. Поведение С/ указывает на то, что уменьшение k приводит к перемещению точки отрыва вверх по поверхности сферы. Отрыв имеет место в области поло-
254
деятельного градиента давления, что находится в соответствии с общей концепцией отрыва Прандтля. Давление в донной области с ростом х выходит, как видим, на плато давления. Имеется слабо выраженный максимум давления в задней критической точке при &»0,25.
Рис. 3.19. Распределение давления р и местного коэффициента трения Cj в донной области сферы при различных значениях температуры поверхности (М„—20, Re0O= = 1500): 7 — 7’и/7"0—0,5; 2 — 0,375; 3 — 0,25; 4 — 0,15; 5 — 0,05.
На рис. 3.20 показано влияние параметра k (или, что то же самое,, температуры поверхности) на координату точки отрыва потока xs, длину возвратно-циркуляционной области по задней оси симметрии у& и на значения р и Ch в задней критической точке. Видно, что давление
Рис. 3.20. Зависимости давления р, местного коэффициента теплопередачи Ch в задней критической точке сферы и характеристик xs, ys возвратно-циркуляционной зоны от температуры поверхности А=7Ш/7’О (М«,=20, Reoo=1500).
Рис. 3.21. Зависимости коэффициентов сопротивления трения Cf и полного сопротивления Сх от температуры поверхности сферы k=TwlT0 (Моо=20, Reoo=1500).
В задней критической точке практически не зависит от температуры поверхности (по крайней мере в исследованном диапазоне изменения k). Положение точки отрыва и длина возвратно-циркуляционной области заметно меняются при уменьшении температуры поверхности: при
255
$=0,5 течение носит безотрывный характер; охлаждение поверхности тела приводит к возникновению отрыва и увеличению возвратно-циркуляционной области.
Рис. 3.21 иллюстрирует зависимости коэффициентов полного сопротивления сферы Сх и сопротивления трения СР, обусловленного наличием вязкости, от температуры. С охлаждением поверхности сферы полное сопротивление и сопротивление трения уменьшаются.
5. Расчеты по стационарной методике. Проведем сравнительный анализ эффективности вычислительного процесса при расчете обтекания сферы, используя стационарную схему (3.5), (3.6), (3.21), (3.22) [2].
Главная задача обсуждаемых примеров — показать большую эффективность стационарного подхода по сравнению с методом установления [1] и свойства процессов сходимости. Сходимость метода по сетке и влияние граничных условий и размеров области интегрирования здесь не исследуются.
Расчеты проведены при следующих значениях определяющих параметров: Моо=20, Reoo=100, со=0,5, Рг=0,72, T'[t,/T'o=O,O5. Сетка была равномерной и имела 20 ячеек по х и 30 по у при А?2—А?!=0,75.
Применение метода установления в виде, описанном ранее, потребовало около 30 000 шагов по времени. Стационарное состояние при этом характеризуется тем, что производная повремени от любой функции в любой точке области интегрирования не превосходила 0,0015.
Рис. 3.22. Характер сходимости давления по итерациям: 1 — нестационарный вариант метода потоков; 2,3,4 — стационарный вариант.
Производная от безразмерных функций вычислялась по безразмерному времени, полученному из размерного делением на Характер
установления давления в передней критической точке показан на рис. 3.22, где по оси ординат отложено давление, отнесенное к своему стационарному значению. Начальными условиями во всех расчетах, обсуждаемых здесь, служил невозмущенный поток, в который внезап-
256
но вносится тело. Кривая 1 на рис. 3.22 соответствует нестационарному варианту метода потоков [1]. Варианты 2, 3, 4— расчеты стационарным вариантом метода потоков и различаются порядком перебора уравнений системы (3.21) при переходе на новую итерацию в (3.6).
Главный вывод, который следует из результатов, представленных на рис. 3.22, заключается в том, что предлагаемый стационарный метод решения системы нелинейных уравнений во много раз эффективнее метода установления-, количество итераций, необходимых для получения стационарного решения, уменьшается примерно на порядок.
Расчеты 2, 3, 4 мало отличаются друг от друга по эффективности, но все они существенно экономичнее простого метода установления. Наиболее экономичен вариант 2, где с наибольшей последовательностью был проведен уже формулировавшийся принцип перебора (п. 2 § 2): смещение на новую итерацию по (3.6) в любом элементарном объеме производится по некоторой переменной после того, как это смещение произведено во всех соседних объемах, лежащих против потока соответствующего количества. Другими словами, переходя на новую итерацию в (3.6) от ячейки к ячейке, следует двигаться по направлению вектора плотности потока.
На практике при расчете варианта 2 вычисления в (3.21) были организованы следующим образом. Слои ячеек при m=const рассчитывались от т=0 в порядке возрастания значения т на том основании, что все векторы плотностей потоков имеют при обтекании сферы положительную проекцию по направлению х везде в области интегрирования, кроме области возвратного течения, если таковая имеется. При т= const (что соответствует х=const) смещение переменной на новую итерацию начиналось от внешней границы, если соответствующий вектор плотности потока направлен внутрь области интегрирования, и продолжалось в сторону убывания п, пока вектор плотности потока не изменял свое направление. В оставшихся ячейках производился переход на новую итерацию от п=0 в сторону возрастания значения п. В вариантах 2 и 4 вначале во всех ячейках подправлялась плотность, затем, по порядку, и, v, е. Как видно из рис. 3.22, стационарное состояние вырабатывается в обсуждаемом варианте примерно за 1000 итераций. Количество решаемых уравнений в системе (3.21) равно при этом 4x20x30.
Вариант 4, оказавшийся наименее быстро сходящимся из вариантов 2—4, соответствует перебору уравнений системы (3.21) по правильному циклу: т менялось от т=0 до своего максимального значения, при фиксированном т значения п брались по порядку от 0 до N—1. Вариант 4 существенно экономичнее метода установления и не слишком сильно (примерно на 20%) увеличивает необходимое количество итераций по сравнению с вариантом 2. Промежуточное положение по эффективности между вариантами 2 и 4 занимает расчет 3. Он отличается тем, что при m=const учитывалось направление потоков, но переход к расчету (т+1)-гослоя производился после того, как все переменные на /n-м слое уже получили новые значения.
На рис. 3.23—3.25 показан процесс изменения давления, нормальной к телу составляющей скорости и температуры на оси симметрии (со
О. М. Белоцерковский 257
Рис. 3.23. Сходимость профиля давления вдоль передней оси симметрии по итерациям для стационарного варианта: 1—30 итераций; 2 — 90; 3 — 210; 4 — 540. 5 — стационарное решение.
Рис. 3.24. Сходимость профиля нормальной компоненты скорости вдоль передней оси симметрии по итерациям для стационарного варианта: 1 — 30 итераций; 2 — 90; 3— 210; 4 — 540; 5 — стационарное решение.
Рис. 3.25. Сходимость профиля температуры вдоль передней оси симметрии по итерациям для стационарного варианта: 1 — 30 итераций; 2 — 90; 3 — 210; 4 — 540;
5 — стационарное решение.
стороны набегающего потока) в зависимости от числа итераций. Кривая 5 на каждом из рисунков — стационарное решение.
Сплошные кривые 1—4 — графики перечисленных функций после 30, 90, 210, 540 итераций в самом экономичном варианте 2. Штриховые кривые соответствуют расчету 4 после такого же количества последовательных приближений. Штриховые кривые на всех рисунках отстают от соответствующих сплошных кривых. В варианте 2 все функции монотонно стремятся к своим предельным значениям. В варианте 4 на начальной стадии имеется незначительная немонотонность по скорости при небольшом числе итераций (см. штриховую кривую 1 на рис. 3 24).
Рис. 3.26. Сходимость распределения давления по сфере по итерациям для стационарного варианта: 1 — 30 итераций; 2 — 90; 3 — 210; 4 — 540; 5 — стационарное рёшение. t
' ' Рйс. 3.26 иллюстрирует характер изменения давления на поверхности обтекаемой сферы в вариантах 2 и 4. Соответствие между номерами кривых и числом последовательных приближений такое же, как на рис. 3.23—3.25. На большей части сферы давление сначала (за 15—20 итераций) возрастает до значения, в 1,5—2 раза превосходящего стационарное, и затем монотонно стремится к нему.
Все расчеты стационарного варианта метода потоков проведены при т=0,4 (см. [21). Если т=0,5, то последовательные приближения расходятся. При промежуточных значениях т расчеты не проводились.
§ 5. Численное моделирование трансзвуковых движений газа
и срывных течений
Как уже отмечалось ранее, разработанный метод потоков с успехом может использоваться и для численного исследования течений слабовязкого сжимаемого газа (при v -> 0) или в случае Движения идеальной среды. Указанный предельный переход в численных схемах осуществляется без труда благодаря
9*
259
разделению (с соответствующей аппроксимацией) векторов плотностей потоков на составляющие, связанные с конвективным пере-носом (экстенсивные переменные) и диффузионным (интенсивные переменные). Следует, однако, оговориться еще раз, что такого рода расчеты справедливы лишь для задач, где эффекты молекулярной диффузии не являются определяющими.
В этом параграфе исследуются задачи о трансзвуковом движении газа и будут построены некоторые численные модели срывных течений. Указанные явления характеризуются очень сложным механизмом взаимодействия, что затрудняет проведение надежного эксперимента. Таким образом, применение методов численного моделирования для данного класса задач
кажется весьма актуальным.
1. Исследование звуковых и околозвуковых режимов. Особый интерес представляет изучение свойств дозвуковых и трансзвуковых течений газа на основе рассмотрения полной системы газодинамических уравнений. Это вызвано рядом обстоятельств. Во-первых, большое число летательных аппаратов движется
в околозвуковых режимах, что ставит задачу определения характеристик указанного типа течений при взаимодействии потока с аппа-
ратом; во-вторых, надежных экспериментальных данных для донной области тела конечных размеров в околозвуковом диапазоне чисел Маха в литературе практически не имеется.
Серия расчетов методом потоков была посвящена исследованию
влияния числа Маха на течение сжимаемого газа у сферы. Произве-
дены, в частности, расчеты течений в диапазоне чисел Маха от 0,5 до
Рис. 3.27. Распределение давления по сфере при дозвуковом режиме (Мю=0,5): 1 — сетка 30X60, 10; 2 — 30x60, 15; 3 —несжимаемый потенциальный поток.
2, т. е. от дозвуковых (докри-тических) течений до сверхзвуковых [16, 18].
На рис. 3.27 приведено распределение давления по сфере (отнесенного к давлению в критической точке) при дозвуковом режиме обтекания (Моо=0,5). Графики иллюстрируют сходимость решения по сетке (1 — сетка 30X60, 10; 2 — 30x60, 15): при уменьшении размеров пространственных шагов сетки кривые 1 и 2 практически совпадают при х<л/2. Для
несжимаемого потенциального потока картина должна быть симметричной относительно х=л/2 (штриховая линия).
Как видно из рис. 3.27, расчет не дает полностью симметричной картины и полного восстановления давления в задней критической точке. На сетке 2 давление в задней критической точке примерно на 8% меньше давления в передней критической точке, однако на более
260
мелкой сетке 1 разница в давлениях составляет около 4%. Видно, что влияние сжимаемости приводит к более медленному падению давления вблизи критических точек и наблюдается более резкий и глубокий минимум в окрестности л/2 [16].
Как было сказано выше, отмечается хорошее совпадение результатов расчета методом потоков при очень больших числах Рейнольдса (Re„-> оо) с данными для идеального газа. На рис. 3.3 для сферы проводится сравнение полученных результатов расчета с экспериментальными данными Г. М. Рябинкова при МОС=6,05, Reoo = =P00K00Pi/ji00=6,43-106, 7=1,4, где также нанесены результаты расчетов для идеального газа по другим методам. Показаны распределение давления по поверхности сферы и профиль ударной волны на передней оси симметрии.
Рис. 3.28. Распределение давления р по сфере (М«,= 1): 1, 2 — расчет методом потоков (1 — сетка 30X60, 10; 2 — 30X60, 15); 3, 4 — эксперимент Г. М. Рябинкова, А. Г. Рябинкова, Г. Е. Сидельникова.
Серия расчетов была посвящена исследованию влияния числа Маха набегающего потока на характер течения сжимаемого невязкого газа у сферы. Приведенные результаты заимствованы из [18].
Представляет интерес сравнение расчетных результатов с экспериментальными данными, полученными Г. М. Рябинковым, А. Г. Ря-бинковым, Г. Е. Сидельниковым для обтекания сферы при звуковом потоке на бесконечности (М0О = 1). На рис. 3.28 приводится сравнение экспериментального и расчетного распределений давления по поверхности сферы. Расчеты выполнены на двух сетках: 30x60, 10 (кривая /) и 30x60, 15 (кривая 2); 3, 4 — эксперимент (<? — Hv.4~ = 150 мм, 3=12,5 мм; 4 — //р ч=200 мм, d=12 мм). Расчетные кривые сливаются везде (кроме окрестности минимума давления перед Ударной волной, замыкающей сверхзвуковую зону), что свидетельствует о сходимости по сетке. Наблюдается хорошее совпадение с экспериментальными данными при х<л/2. В донной области (при х>л/2)
261
совпадения нет. Измеренное экспериментально давление в этой области сильно зависит от условий эксперимента: высоты рабочей части Др ч и размера модели d.
На рис. 3.29 приведены графики распределения давления по поверхности сферы при различных значениях Му от 0,5 до 2, включая закритический режим обтекания. Эти данные позволяют с точностью в несколько процентов определить положение ударной волны, замыкающей сверхзвуковую зону.
Рис. 3.29. Распределение давления р по сфере при различных числах М„ (1 — несжимаемый потенциальный поток).
Рис. 3.30 иллюстрирует зависимости от Ми: давления в передней критической точке р'о, коэффициента волнового сопротивления Ср и координаты звуковой точки xs на сфере (которая определяет положение звуковой линии на поверхности тела). Давление р'о хорошо совпадает с теоретической зависимостью ро(Мх) (см. [1]). Для коэффициента волнового сопротивления Ср характерно резкое возрастание при увеличении от критического числа Маха. Наблюдается максимум коэффициента волнового сопротивления при Ммл;1,2.
Проведенные расчеты позволили определить (путем анализа зависимости местных значений числа Маха от MJ значение критического числа Ml для сферы, которое оказалось равным 0,556, что находится в хорошем соответствии с данными [25], где Ml =0,563.
В экспериментальной аэродинамике хорошо известен закон стабилизации газовых параметров., пр и обтекании тел потоком с околозвуковой скоростью. Этот закон, впервые установленный экспериментально, в дальнейшем подтвержден результатами проводившихся во многих странах опытов [26]. Математический анализ автомодельных решений уравнения Кармана [27, 28] дает не только качественную, но и количественную формулировку закона стабилизации.
Сущность закона стабилизации состоит в следующем: при увеличении числа Маха дозвукового набегающего потока параметры
262
Рис. 3.30. Зависимости давления ро в передней критической точке, волнового сопротивления Ср и координаты звуковой точки х3 на сфере от числа М„.
газа до скачка уплотнения (замыкающего сверхзвуковую зону) меняются медленнее по сравнению с изменением скорости невозмущенного течения^ если она близка к звуковой.
Полученные в [27] формулировки закона стабилизации обоснованы, вообще говоря, для тонких тел, с относительной толщиной б~ ^|М„—1|1/2. Там же эти закономерности проверены путем численного решения потенциальной задачи о движении потока газа около тела вращения с плавной хвостовой частью, меридиональным сечением которого служит симметричный профиль Чаплыгина (числа Мх в диапазоне 0,96—1,0).
Представляет интерес оценить возможность выполнения закона стабилизации и для толстого тела, каким является, например, сфера [18].
Количественная формулировка закона стабилизации указывает [27], что при вариации скорости набегающего потока (около звукового значения) параметры газа как во внешнем потоке, так и на поверхности обтекаемого тела отличаются от соответствующих на чений при звуковом обтекании на величину, пропорциональную
е = |Ми-1|^.
Рис. 3.31 иллюстрирует согласие результатов расчетов, сделанных методом потоков, с указанной закономерностью. Видно, что расчетные точки превосходно ложатся на прямые линии, начиная с Мос = 0,8, причем наклон их очень слабо зависит от координаты х. Кроме того, асимптотическая теория предсказывает следующий вид разложения коэффициента волнового сопротивления по степеням (1—Мм)1;'3 [28]:
АС^ (1)-^ (MJ = С1 (1-MJV3 +с2 (1 -М.р/з +
-Ьс3(1-М„)з/з + ... (з.25)
Анализ зависимости С?(Мх), приведенной на рис. 3.30, показывает, что при околозвуковых скоростях набегающего потока Ср меняется пропорционально числу Маха невозмущенного течения: Ср~(1—MJ, т. е. коэффициенты ct и с2 в разложении (3.25) для сферы близки к нулю.
26
Таким образом, результаты сравнения расчетов по методу потоков с количественными формулировками [27, 28] указывают на справедлив вость закона стабилизации и для достаточно толстых тел. Указанная закономерность практически начинает выполняться для сферы уже с Моо=0,8.
2. Численные модели срыва. Изучение свойств отрывных течений — одна из наиболее актуальных и важных с практической точки зрения задач аэрогазодинамики. Известно, что движение большинства современных летательных аппаратов в различных режимах полета сопровождается появлением зон срыва потока, которые значительно
Рис. 3.31. Закон стабилизации зависимости давления р (в различных точках на сфере} от числа Мое.
усложняют определение динамических и тепловых характеристик этих объектов. Данный класс явлений, вследствие н е ста ц и о-нарности (в общем случае) и нелинейности происходящих процессов, оказался весьма сложным и трудоемким для детальных исследований как экспериментально, так и теоретически.
Можно надеяться, что методы численного моделирования с использованием современных ЭВМ позволят получить необходимую информацию для столь важной задачи газодинамики срыва, как, например, течения в следе за конечным телом.
Первые работы по численному моделированию отрывных течений принадлежат Тому, который еще в 1930 г. на клавишных машинах посчитал обтекание цилиндра при малых числах Рейнольдса. Несмотря на такие ранние успехи, проблема исследования отрывных течений до сих пор остается малоизученной, что и побудило нас использовать различные методики для рассмотрения указанного класса явлений. Практически отсутствуют систематические данные для течений при больших числах Рейнольдса, при трансзвуковых и сверхзвуковых режимах движения, а также для сжимаемого газа. Особый ийтерес представляют, конечно, задачи расчета областей срыва при очень больших (турбулентных) числах Рейнольдса, где явления носят в основном волновой характер, что характерно для- многих задач газовой динамики.
264
Если в предыдущей главе изучались свойства течений в следе для несжимаемой жидкости при умеренных значениях Re (ламинарный режим), то здесь, как и в гл. I, рассматриваются движения сжимаемого газа для предельных режимов (когда Re-э-оо). Как уже отмечалось ранее, макроструктуры отрывных течений и свойства ближнего следа за конечным телом в реальном газе для предельных режимов целесообразно изучать, на наш взгляд, на основе моделей идеальной среды и нестационарных уравнений Эйлера (или соответствующих им законов сохранения), так как вязкостные эффекты заметной роли здесь не играют *).
Рис. 3.32. Сверхзвуковое обтекание кругового цилиндра при М0О=3 (линии тока стационарные срывные зоны).
Сначала о стационарных срывных зонах. При сверхзвуковых значениях числа Маха набегающего потока (оказывающего стабилизирующее воздействие на все течение) в натурных условиях наблюдается образование устойчивых стационарных зон отрыва. Это, видимо, единственный режим отрыва для такого рода задач. Указанный тип течений хорошо моделируется и численно.
На рис. 3.32 приведена картина линий тока течения около кругового цилиндра при М0О=3, у = 1,4, полученная методом потоков на основе нестационарных законов сохранения (3.3) для невязкого сжимаемого газа. Рис. 3.33 иллюстрирует сравнение расчетных и экспериментальных данных [30] по распределению давления на поверхности
*) Механизм отрыва существенно зависит от Мм. Более подробно эти аспекты обсуждаются в § 9 данной главы, а также в гл. VII из [29].
265
цилиндра для М0О=3. Полученная картина срыва также хорошо согласуется с экспериментом Маккарти, Кубота и классической схемой Чэпмена срывной зоны за круговым цилиндром (см. рис. 1.23 1.24).
Интересно отметить, что при численном моделировании обтекания
кругового цилиндра дозвуковым закритическим (невязким нетеплопроводным) потоком сжимаемого газа (Моо=0,54, у=1,4) отчетливо наблюдается возможность суще-
ствования двух режимов отрыва: симметри-
чного стационарного и несимметричного периодического. Имеет место хорошее согласие с экспериментальными данными. Остановимся более подробно на этих результатах, полученных А. В. Бабаковым [31].
При задании симметричных (относительно продольной
оси) начальных данных получаем с т
Рис. 3.33. Распределение давления по поверхности цилиндра при 51^=3: 1 — расчет методом потоков; 2 — расчет методом интегральных соотношений [20]; 3 — эксперимент [30].
ационарный режим течения, который является метастабильным (его существование подтверждается экспериментом [34]). Как следует из рис. 3.34, за кормой тела образуются две симметричные циркуляционные зоны, где линии тока замкнуты. Точки отрыва располагаются на поверхности цилиндра при <рш»180о±60о (угол
<Ри, отсчитывается от передней критической точки), что определяется положением скачка уплотнения, замыкающего местную сверхзвуко-
вую зону.
Оказалось, что здесь можно получить второй абсолютно устойчивый, но уже нестационарный режим, реализующий вихревую дорожку. Он характеризуется сходом вихревой пелены с точки на поверхности, совершающей периодические движения от 120° до 240°. Если первая (передняя) критическая точка очень мало отклонялась от значения <р=0°, то вторая — «бегала» по поверхности цилиндра в диапазоне углов <р»180°±60° (замедляясь в верхнем и нижнем положениях и быстро проходя значение ф=180°). Именно с наличием этой второй точки и связан сход с цилиндра вихревой пелены, которая образует вихри разных
знаков, распространяющиеся вниз по течению.
На рис. 3.35, а—д приведена рассчитанная мгновенная визуализация поля течения (линии тока). Верхняя картина течения построена в системе координат, связанной с покоящимся цилиндром, нижняя — с набегающим потоком. В первом случае линии тока в следе за цилиндром имеют, как видим, волнообразную структуру; во втором — четко наблюдается образование замкнутых вихревых структур, расположен-
266
них «в шахматном порядке» *). На рис. 3.35, е (М<х>=0,45, Re=l,l« 105) и рис. 3.35, ж (Моо=0,64, Re=l,35-10e) представлены экспериментальные данные из [122], где также отчетливо видно образование вихревой дорожки.
В расчетах для достижения этого режима в начальный момент времени вводилось мгновенное возмущение и изучалась эволюция картины течения по времени- Возмущение осуществлялось в виде вдува потока в верхней (задней) части цилиндра либо путем поворота поля скоростей потока за цилиндром на некоторый угол А<р.
Рис. 3.34. Дозвуковое обтекание цилиндра при Моо=0,54 (линии тока; стационарные срывные зоны).
Независимо от типа возмущения наблюдалась одна и та же устойчивая периодическая картина упорядоченного движения (автоколебательный режим), хорошо согласующаяся с наблюдаемой в эксперименте [32—34, 122] **).
Целесообразно также сравнить количественные характеристики полученной «нестационарное™» с экспериментом.
*) Расчеты проводились на сетке 60x60, 25 с измельчением пространственного шага по мере приближения к телу; шаг по времени Д/=0,002 (изменение шага по времени на решение практически не влияло).
**) Эксперименты Д. В. Баженова и Л. А. Баженовой [33, 34] проводились в малошумной аэродинамической трубе с открытой рабочей частью; степень турбулентности потока была менее 0,5%.
267
Рис. 3.35. Мгновенная визуализация поля течения (линии тока) при обтекании цилиндра (нестационарный автоколебательный режим, М„=0,54): a) /=70; б) /=73,2.
Рис. 3.35. Мгновенная визуализация поля течения (линии тока) при обтекании цилиндра (нестационарный автоколебательный режим, МОС=0,54): в) /=74,6; г) /=75,6.
Рис. 3.35. Мгновенная визуализация поля течения (линии тока) при обтекании цилиндра: д) нестационарный автоколебательный режим, М0О=0,54, /=76; е) эксперимент [122], МОС=0,45, Re= 1,1 -105; ж) эксперимент [122], Моо=0,64, Ке=1,35-106.
На рис. 3.36 показаны изменения со временем аэродинамических коэффициентов сопротивления Сх и подъемной силы Су (тело становится «несущим»), а также положения точки отрыва фц,. Оказывается, что число Струхаля *), характеризующее частоту срыва вихрей, в расчетах составляет Sh =-0,178, в то время как в экспериментах [321 Sh=0,18.
Рис. 3.36. Нестационарный автоколебательный режим — зависимости от времени коэффициентов сопротивления Сх, подъемной силы Су и положения точки отрыва <pw.
При закритическом режиме обтекания сжимаемым газом (для кругового цилиндра М*р~0,4) положение точки отрыва на теле навязывается скачком уплотнения: замыкающим сверхзвуковую зону. Нестационарный характер течения в следе определяется, в основном, волновым процессом. Как показали расчеты **), для закри-тических чисел Маха при 1 течение становится все более стационарным, т. е. дорожка за телом «выравнивается» и амплитуда колебаний значений Су падает (|Cj,|max0) ***). При этом устойчивость течения повышается и, следовательно, время установления решения увеличивается. Данные расчетов хорошо согласуются с экспериментом (см., например, рис. 221, 222 в [122]).
На адекватность полученных расчетных данных с реальной картиной течения указывает также сравнение значений Сх. Так, среднее значение коэффициента сопротивления Сх в нестационарном режиме составляет в экспериментах [33, 34] и в расчетах Сж=0,9 (абсолютное совпадение!); в стационарном режиме эксперимент дает значение Сх~0,45; в расчетах — Сж~0,34. Таким образом, и в натурных измерениях, и при численном эксперименте (проведенном на основе модели идеальной среды) отмечено значительное
*) Число Струхаля Sh=£)/(7'V«>), где D — диаметр цилиндра, Т — период, — скорость набегающего потока.
**) Бабаков А. В., Белоцерковский О. М., Зюзин А. П. О двух режимах течения сжимаемого газа у цилиндра.— ДАН СССР, 1984, 279, №2.
***) Из расчетов обтекания кругового цилиндра следует, что при увеличении от 0,54 до 1,0 максимальное значение | Су |тах уменьшается примерно иа порядок.
271
уменьшение Сх при переходе от периодического (автоколебательного) режима к стационарному.
Рис. 3.37 иллюстрирует изменение по времени профиля давления p=p/(p«,Vl) в точках на поверхности цилиндра при фю = 180о±45° (Фв = 135°, Фл = 180°, фс=225°).
Рис. 3.37. Нестационарный автоколебательный режим — изменение во времени давления р в точках на поверхности цилиндра (фв=135°, фл=180°, фс=225°).
Проводить сравнение рассчитанных (мгновенных) значений давления с результатами измерений практически очень трудно. Осреднен-ные же данные сильно зависят от характера осреднения и частотных характеристик самих датчиков (времени запаздывания измерительной аппаратуры). Расчетное давление в задней критической точке фл = = 180° (осредненное по периоду Т колебательного процесса) практически точно совпадает с экспериментальным.
Интересно отметить, что в стационарном случае. (см. рис. 3.34) распределение давления вдоль поверхности цилиндра, полученное из расчетов по «чистой» модели, явно носит турбулентный характер (если проводить сравнение с несжимаемой жидкостью). На рис. 3.38 приведены эти данные для коэффициента давления Ср: сплошными линиями обозначены результаты эксперимента для несжимаемой жидкости (1 — докритический режим при Re=l,86-105; 2 — сверхкритический режим при Re=6,7- 1СР) *); треугольниками и штриховой линией (3) — данные расчетов методом потоков (сжимаемый газ, Re--oo). Видим, что турбулентному отрыву в расчетах и эксперименте соответствует значительно больший (чем для ламинарного режима) положительный перепад давления. Такой же эффект наблю
») См. [24], т. 1, с. 27.
272
дается для различных способов осреднения и в нестационарном случае.
При экспериментальном исследовании свойств течений в зонах срыва за телом на трансзвуковых режимах из-за несимметрии внешних условий (начальных данных, формы тела и т. п.), а также в результате волновых процессов и явлений взаимодействия обычно реализуется второй (автоколебательный) режим обтекания (см. рис. 3.35),
Рис. 3.38. Распределение коэффициента давления вдоль поверхности кругового цилиндра: 1,2 — экспериментальные результаты для несжимаемой жидкости (1 — докритический режим при Re=l,86-105, 2— сверхкритический режим при Re= =6,7-105); 3 — данные расчетов методом потоков (М„=0,54).
который оказался устойчив к широкому диапазону возмущений *). Однако, как утверждают Рошко и Фиждон (1969 г.), стационарная схема пригодна для описания среднего течения, полученного осреднением нестационарной картины по некоторому большому интервалу времени, например, периоду Т срыва вихрей (см. также [34]).
Итак, исследование указанного класса задач {макроструктуры отрывных течений) проводилось здесь, как и в методе крупных частиц, на основе моделей идеальной среды. Нестационарные уравнения Эйлера (или соответствующие им законы сохранения (3.3)) в разност
♦) Указанный тип течения можно, видимо, характеризовать как упорядоченное Движение равновесных когерентных структур [124—126].
273
ном представлении обеспечивают корректное описание волнового механизма, который является, видимо, основным в механизме отрыва указанного типа для предельных режимов течения*). Как показывают оценки, схемная вязкость «разностного Эйлера» в срывной зоне достаточно мала, что и обеспечивает адекватное описание картины течения реальному явлению **). Сравнение с экспериментальными данными показывает, что имеется не только хорошее качественное, но и количественное согласие между результатами физических и численных экспериментов (см. рис. 3.35).
Таким образом, исследование осредненных характеристик упорядоченных крупномасштабных структур для предельных режимов срыва целесообразно и оправдано проводить на основе нестационарной модели идеальной среды. Это находится в полном согласии с методологией С. М. Белоцерковского и М. И. Ништа [36], где исследуются отрывные течения идеальной несжимаемой жидкости.
§ 6. Деформационно-потоковый метод
В предыдущих параграфах этой главы описаны два направления развития консервативного метода потоков — нестационарный [1] и стационарный [2] варианты. Как отмечается в [4], при решении стационарных задач механики сплошных сред метод последовательных приближений [2] по числу итераций почти на порядок экономичнее, чем метод установления [1]. Однако стационарный вариант хорошо «работает» при малых и умеренных числах ReM, когда в области интегрирования нет областей с большими градиентами искомых функций. С ростом числа ReM итерационный параметр метода [2] резко уменьшается и необходимое количество последовательных приближений возрастает во много раз. Кроме того, стационарный вариант начинает сходиться не при любом начальном приближении. Ухудшение свойств метода [2] связано, однако, не с предпосылками, на которых он основан, а с возрастанием погрешностей определения грубого решения (в сторону которого происходит смещение) на реальных сетках при наличии зон типа размытой ударной волны. По-видимому, метод [2] эффективен при расчете достаточно гладких решений [4].
В [4] Л. И. Севериновым предложен новый численный способ решения нестационарных (или стационарных на основе принципа установления) нелинейных краевых задач, являющийся развитием консервативного метода потоков. Указанный подход достаточно эффективен и свободен от отмеченных недостатков стационарного варианта метода потоков [2].
Вводя в рассмотрение соответствующие уравнения для внутренней энергии U и кинетической энергии К, удается, помимо консервативности по полной энергии Е, добиться
*) Эти вопросы обсуждались в гл. I (§ 5, п. 5) и в гл. II (§ 5, 9).
**) Более подробно об этом см. в § 9 этой главы.
274
выполнения балансов внутренней и кинетической энергий. Это качественно отличает данную к о-нечномерную модель сплошной среды от моделей [1, 2].
Проведем изложение указанной численной модели, следуя [4].
1. Описание метода. Опорные значения плотностей распределения р, L Л, £> е, и> х количеств М, X, Y, Z, Е, U, К однозначно определяют массу, составляющие импульса, виды энергии в каждом элементарном объеме и значение активных переменных во внутренних характерных точках.
Пусть внутренняя (тепловая) U и кинетическая К энергии каждого элементарного объема (ячейки) й связаны с опорными значениями плотностей распределения и, х формулами
(7=иЙ, /<=хЙ, E=U+K, е=и+х.
В методе потоков плотность кинетической энергии во внутренней характерной точке элементарного объема определяется через и, v, w (составляющие вектора скорости V соответственно по осям х, у, z) *):
р (и2 + п2+ш2)
X g •
Активными переменными здесь являются составляющие вектора скорости и, v, w, температура Т и давление р, пассивными — плотности распределения.
Сформулируем правила, которые позволяют по опорным значениям однозначно определить все переменные на границах элементарных объемов, а также составляющие рг-7-, 0г7- тензоров напряжений Р и скоростей деформаций 0 в любой точке области интегрирования.
Предлагаемый разностный метод [4] основан на применении к каждому элементарному объему й законов сохранения в форме, справедливой для произвольного объема:
гт L dt\h- (ff) QPn ds , S h F = {M, X, Y, Z}, (3.26)
Г-1 =- L dt\h tjj) Qvn ds s Л $55^70<7dQ] > .a J h (3.27)
rm _ L <>t\h (jj) QKn ds s + ГЩа7Мй] . h L Q J h (3.28)
*) По правилам составления дискретной модели плотность массы р является средней по объему, а составляющие вектора скорости — средними по массе элементарного объема. Так как произведение (деленное пополам) средней по объему плотности на сумму квадратов скоростей, вообще говоря, не является средней (по объему) плотностью кинетический энергии, то указанная формула определяет кинетическую энергию с некоторой конечной погрешностью. Внутренняя энергия также определяется с погрешностью, хотя консервативность по полной энергии в методе потоков имеет место. Влияние конечной погрешности на численный результат на грубых сетках, вообще говоря, не может быть определено заранее из-за нелинейного и многомерного-характера рассматриваемых задач.
275-
Здесь QP—вектор плотности потока количества F, п—единичный вектор внешней к s нормали.
В выписанной системе уравнений символ [ • ]Л означает разностное представление выражения, заключенного в скобки. В таком представлении интегралы заменяются некоторыми квадратурными формулами, производные — разностными отношениями. Опорные значения функций в (3.26)—(3.28) используются для вычисления всех переменных в узловых точках для применяемых квадратурных формул.
Законы сохранения (3.26)—(3.28) вместе с уравнением состояния и есть подлежащая решению система нелинейных алгебраических уравнений относительно плотностей распределения во внутренних характерных точках элементарных объемов Q.
Как следует из уравнений (3.26), численный метод обладает консервативностью по массе и импульсу. Выполнен также разностный аналог первого закона термодинамики (3.27). При определении кинетической энергии из (3.28) оказывается выполненным разностный аналог теоремы живых сил (баланс кинетической энергии).
Консервативность по полной энергии
(3'29) L s J h
следует из (3.27), (3.28) в силу равенств
Е — U-\-K, QE=Qu + QK.
Выполнение балансов внутренней и кинетической энергий и, как следствие, закона сохранения полной энергии качественно отличает используемую здесь конечномерную модель сплошной среды от подходов [1,2].
Потребуем от способов вычисления напряжений на границах объемов Q и интегралов для составляющих импульса выполнения третьего закона Ньютона (закона равенства действия и противодействия), а также четвертого закона механ и-к и, выражающего независимость действия сил.
От разностных уравнений (3.26)—(3.28) будем требовать инвариантности по отношению ко времени, а также к выбору системы координат (что свойственно любым законам механики).
Работа, затрачиваемая на деформирование сред ы,— это последние члены в правых частях (3.27), (3.28). Поэтому применяемый в настоящей работе численный метод и назван деформационнопотоковым.
Минимальный набор разностных уравнений, которые используются для каждого элемента Q, состоит из уравнения состояния, уравнений сохранения массы и количества движения (3.26) и уравнения (3.27) для определения температуры. Если кинетическая энергия представляет самостоятельный интерес, то она вычисляется из (3.28). В этом случае можно также использовать любую пару уравнений из тройки (3.27)—(3.29) и формулу E=U+K.
276
Ограничимся в дальнейшем случаем вязкого сжимаемого ньютоновского газа, для которого справедлив закон теплопроводности Фурье. Если объемы Q фиксированы в пространстве, то
Qtz = wV—/j*grad7’, QK = xV-f-PV, Рц = Р^ц—^ij div V—2p0;/, где бг;, k*, X, p — соответственно символ Кронекера, коэффициенты теплопроводности, объемной и сдвиговой вязкостей.
2. Решение краевой задачи. Переходя к рассмотрению многомерной нелинейной краевой задачи, заменим производную по времени в правых частях уравнений (3.26)—(3.28) простейшим разностным отношением
= (3-30)
где т — временной шаг, k — индекс. Если правые части этих уравнений отнести ко времени xk, то получим простой явный метод [1]. При решении стационарной задачи этим способом для выработки предельного состояния приходится делать десятки тысяч шагов по времени.
Если отнести правые части уравнений (3.26)—(3.28) к моменту времени т(&+1), то условия устойчивости разностной краевой задачи могут оказаться более свободными, однако для вычисления решения на каждом временном шаге придется решать нелинейную систему весьма высокого порядка. По трудности это эквивалентно определению стационарного решения.
Упрощая задачу, выделим в каждом из уравнений (3.26)—(3.28) главную переменную. Ею является плотность распределения количества (баланс которого выражается уравнением) в характерной внутренней точке рассматриваемой ячейки.
Будем использовать следующие формулы, связывающие количества в некоторой ячейке с опорными значениями плотностей распределения (последние величины связаны с активными переменными в характерных внутренних точках элементарных объемов):
M = pQ, X = |Q,^..., =
| = рц, T] = pt>, £ = рда, и = рс071 = ре,
где cv, е —• соответственно удельная теплоемкость при постоянном объеме и внутренняя энергия.
Последняя группа равенств, справедливая в каждой точке сплошной среды, по аналогии применяется и в дискретной модели. Формулы (3.31) и определяют используемые правила осреднения. Из них следует, что опорные значения плотностей распределения являются средними по объему каждого элемента Q ; опорные же значения компонент скоростей и удельной тепловой энергии являются средними по массе. Формулы (3.31), очевидно, не являются единственно возможными. Так как плотность массы р определяется из закона сохранения массы, то фактически главными переменными в уравнениях для импульса являются компоненты скоростей, в (3.27) — температура, а в (3.28) — плотность распределения кинетической энергии.
(3.31)
277
Подставим теперь в каждое из уравнений (3.26)—(3.28} вычисленные (по известному состоянию) значения скоростей конвективного переноса на границах элементарного объема, коэффициентов вязкости и теплопроводности, а также всех переменных, кроме главной. Тогда правые части уравнений (3.26)—(3.28) запишутся в виде Af+B, где f — любая главная переменная, А, В — алгебраические выражения, не содержащие главной переменной (значения А, В известны).
Если имеется в виду решение стационарной задачи методом установления, то определение значения любой главной переменной fk+1 в момент т (/г-]-1) будет проводиться из следующего, уравнения:
(ak+1fk+1—akfk)£l/-t = Akfk+1 + Вк. (3.32)
В такой форме записывается каждое из уравнений (3.26) — (3.28). Коэффициент а=1 в уравнении для М и в (3.28), а = р в уравнениях для X, У, Z и a = pcv в (3.27).
Предлагаемый метод имеет аппроксимацию первого порядка повремени. Он основан на вынесении в правых частях уравнений (3.26)— (3.28) на верхний слой двуслойной разностной схемы т о л ь-к о главной переменной. Уравнения (3.32) являются линейными, поэтому не возникает трудностей их решения.
Если рассматривается нестационарная задача, то требуемая точность может быть достигнута или уменьшением шага т при сохранении схемы вычислений (3.32), или применением последовательных приближений на каждом временном шаге.
Пусть L — выбранное количество последовательных приближений,. I — номер приближения; тогда одним из возможных вариантов для нестационарной задачи является следующий итерационный процесс:
^ak + l/Lfk+l/L_akf^Q/r=z Akl^l-l}/Lfk + l/L +Bk + (l-V/L , (3.33)
где Z==l, 2, ... , L.
В [4] реализуется, как пример, решение стационарной задачи методом установления с вычислениями по схеме (3.32). Опыт расчетов показал, что допустимый шаг по времени может быть в несколько десятков раз больше, чем в [1], что и приводит к уменьшению количества приближений более чем в десять раз.
Заметим, что при решении стационарной задачи по схеме (3.32)' третий и четвертый законы Ньютона и условие консервативности для любой части области интегрирования, составленной не менее чем из двух элементарных объемов, выполняются только на предельном решении. Если решается нестационарная задача по (3.33), то эти требования будут выполнены на каждом шаге по времени при L -> оо (вместе с тем консервативность для каждой отдельной ячейки будет сохраняться всегда).
Метод [1], если последовательные смещения по времени не применяются, не нарушает консервативности по массе, импульсу и полной 278
энергии на любом шаге по времени как для отдельной ячейки, так и для всей области интегрирования или любой ее части, составленной из ячеек.
3. Исследование линейной модели. При решении нелинейных задач комбинации шагов разностной сетки и итерационных параметров, обеспечивающие устойчивость решения, подбираются экспериментально. Однако чтобы получить хотя бы наводящие указания об их выборе, далее анализируется одна простейшая линейная модель [4].
Рассмотрим закон сохранения количества U с плотностью распределения и и вектором плотности потока Q, проекция которого на ось х есть Qx=au—[idu/dx, a, p=const>0. Ограничимся одномерным случаем. Пусть т, h — временной и пространственный шаги. Разностное уравнение, являющееся балансом количества U для т-го элемента при соблюдении способа аппроксимации переменных [1], может быть записано в двух формах:
4+,~Um = d (— 1,5u^+1 + 2«^_1 — 0,5и„_2) +<7 (ukm+i—2u%1 4- «*_j)
(3.34) или
"m+1 — Ukm = d (—1,5«*+1 + 2u^_\ — 0,5м*+Л) + q (»m+l —2«m+1 +
(3.35) d = cn:h, q = nx/h2.
Форма (3.34) соответствует случаю, когда все переменные смещаются на новый шаг по времени одновременно. Форма (3.35) предполагает, что переменные смещаются последовательно: полученное в некоторой ячейке uk+1 учитывается в конвективных членах при расчете остальных ячеек, и элементы й перебираются по направлению скорости конвективного переноса.
Проверим у ст о й ч и в о ст ь уравнений (3.34), (3.35) на частных решениях вида ukm = Kke^m (|3 — действительное). Требование (А,для произвольного р приводит к следующим неравенствам, которым должны удовлетворять параметры сетки, если используется (3.34):
d2^2q (14-1,5d + 2?), d<2. (3.36)
Уравнение (3.35) является абсолютно устойчивым. Из (3.36) следует, что (3.34) является абсолютно устойчивым, если отсутствует конвективный перенос, т. е. d=0. Если q=0, т. е. нет вязкого переноса, то (3.34) неустойчиво.
Опыт расчетов на реальных сетках показывает, что не реализуется ни неустойчивость (3.34) при q=0, ни абсолютная устойчивость (3.35). Вид условия устойчивости (3.36) для (3.34) и абсолютная устойчивость (3.35) позволяют надеяться, что неявный нестационарный метод (3.32) не будет подчиняться характерному для схемы [1] жесткому требованию, чтобы шаг т был порядка квадрата шага по пространству.
279
4. Реализация метода. Ниже приводятся примеры расчетов стационарного течения вязкого теплопроводного газа у тела сферической формы [4].
В дополнение к уже сделанным предположениям газ считается термически и калорически совершенным, т. е. имеет постоянные удельные теплоемкости, отношение которых у=1,4, и подчиняется уравнению состояния р=(у—1)ре, коэффициент сдвиговой вязкости (со=const), объемная вязкость —2ц/3, число Прандтля постоянно. Область интегрирования заключена между обтекаемой сферой радиуса и внешней сферой большего радиуса /?2 (см. рис. 3.1). Из-за осевой симметрии решение вычисляется в секторе, заключенном между двумя плоскостями, проходящими через ось симметрии. Вводится, как показано на рис. 3.1, система координат х, у.
Характерные внутренние точки элементарных объемов лежат в координатной плоскости и являются центрами ячеек разностной сетки. Для аппроксимации поверхностных интегралов используется формула прямоугольников. Узлами выбраны центры каждого из участков поверхности s, которые отделяют рассматриваемый объем от одного из соседних (или совпадают с границами сектора, являющегося областью интегрирования). Объемные интегралы в (3.27), (3.28) вычисляются как произведения подынтегрального выражения в характерной внутренней точке элемента Q на величину его объема. Эти разъяснения определяют смысл скобок [- ]А в правых частях (3.27)—(3.29).
Значения плотностей распределения на границах элементов вычислялись, как это принято в методе потоков, через опорные значения по несимметричным формулам, активные переменные и их первые производные— по симметричным [1].
Правые части уравнений (3.26) и (3.29) приведены в [2] в тех же предположениях (см. (3.21), (3.22)). Поэтому ниже выписано лишь разностное уравнение первого закона термодинамики (3.27) [4]. В этом уравнении буквой Q с одним дробным индексом обозначены составляющие вектора плотности потока энергии на внешнюю нормаль к соответствующему участку s:
] д = (Q 1/2, п (Q s)m, п+ 1/2 + (Qs)m-1/2, п “1“ (Q S)m, п-1/2 “Ь + й [- р diV V(div V)2 + (9t + 6^ + 0<ха)2 + 0^/] Л '
срр дТ см дТ д _ 1 ди , V
Q.x — реи— pr Re^ , Qy — pev — ₽r Re~ , хх нхдх + Нх' (3.37) а ди д и cos x-pv sin х д 1 /ди . 1 dv и \
— 7 ’ — у \ду'1Т^Ъх~ Д7 / ’
div V= 9^ + 9^ +0асс, Hx=i+y, r = (l + t/)sinx.
Здесь tn, n—целочисленные координаты элемента П, которые определяют координаты внутренней характерной точки:
xm = h,rn—h,/2, y„ = h„n—hJ2, n=\, . . ., N, tn=\, ..., M; ffl L I' ' U 6 ’ »' ' ’
280
sm+i/2, n—общий участок поверхностей „ и Qm+li„. В формулах (3.37) переменные и, v (компоненты скорости на направлениях х, У), р, р, Т, X, р отнесены к V^, р^, Tm, X., линей-
ные размеры отнесены к RY, Re^ = p^V^/fV, —значение любой переменной в невозмущенном потоке.
На внешней сфере при задается невозмущенный поток,
при л/2<х^л — условие dfldy=O, f — любая искомая переменная. На обтекаемой сфере задаются условия прилипания и температура Tw.
В дальнейшем разностная сетка, как обычно, характеризуется парой: произведение, число (первый множитель произведения — количество ячеек сетки по х, второй — по у, число в паре — значение
Рис. 3.39. Характер сходимости величины давления по итерациям при Моо=20, tw= =0,05: 1, 2, 4 — расчет неявным нестационарным методом (/ —т=0,015, Re„=100; 2— т=0,01, Reoo=100, 4 — т=0,015, Reoo=750); 3 — расчет стационарным методом (Re„=100).
Использован метод последовательных приближений (3.32) *); пересчет (3.33) на каждом слое по времени не проводился. Вычисленные на новом шаге по времени значения искомых переменных в любом элементе Q использовались при расчете других ячеек.
Рис. 3.39 иллюстрирует эффективность предлагаемого метода последовательных приближений (3.32). На нем даются графики давления в передней критической точке (отнесенного к своему стационарному значению) в зависимости от числа последовательных приближений k. Расчеты проводились на сетке 20x30, 0,75 при следующих значениях определяющих параметров: М„=20, Pr=0,72, Re„=100, <о=0,5, tw = Tw/To=0,05 (T’o — температура торможения). Начальными условиями служил невозмущенный поток, в который внезапно вносилось тело.
Кривая 1 на рис. 3.39 соответствует предлагаемому методу при значении шага по времени т=0,015; 2 — т=0,01; 3 — решение урав-
*) Способ получения разностных уравнений в форме (3.32) описан в [4].
281
нений (3.26)—(3.28) методом [2] при значении итерационного параметра 0,5. Заметим, что стационарный метод [2] решения разностной краевой задачи применен здесь к другой, чем в [2], дискретной модели. Все расчеты настоящей работы используют модель (3.26)—(3.28), которая учитывает баланс внутренней и кинетической энергий и не допускает какого-либо разностного механизма взаимного превращения тепловой и кинетической энергий.
Неявный нестационарный метод расходится при указанных условиях, если т=0,02 (для 0,015^т<0,02 расчеты не проводились). При выбранных значениях определяющих параметров метод [21 также расходится, если итерационный параметр равен 0,55.
Рис. 3.40—3.42 дают представление о процессе вы р а б от-к и стационарного состояния в возмущенной области; здесь же проводится сравнение со стационарным методом [21. Графики построены при х=4,5° (такое значение х имеют ближайшие к передней оси симметрии центры ячеек). На рис. 3.40 нанесена температура в зависимости от у, на рис. 3.41 — давление и на рис. 3.42 — нормальная к телу составляющая скорости (все значения переменных являются безразмерными). Кривая 4 на каждом из этих рисунков — это предельное стационарное решение. Сплошные линии — расчет данным неявным нестационарным методом [41, штриховые — расчет методом [21 для модели (3.26)—(3.28). Кривые 1, 2, 3 дают соответственно зависимость указанных функций от у после 30-го, 90-го, 270-го шага по времени.
Рис. 3.40 показывает, что изменение качественных свойств дискретной модели изменяет свойства процесса сходимости. В [21 приводятся графики температуры (для разного количества последовательных приближений) в точности в тех же условиях, что и штриховые кривые на рис. 3.40. Единственное отличие в [21 — это другая дискретная модель (не было учета баланса внутренней и кинетической энергий). Как следует из [2], при нарушении первого закона термодинамики (3.27) температура монотонно стремится к своему стационарному значению при всех у на прямых x=const. Поведение же штриховых кривых на рис. 3.40 показывает, что при учете указанного баланса на нескольких первых итерациях вблизи тела происходит резкий заброс температуры выше предельной. Далее температура монотонно стремится к предельному значению (кривая 4) вблизи поверхности тела сверху, а у фронта возмущенной области — снизу. Скорость v сходится монотонно при всех значениях у (см. рис. 3.42).
Рис. 3.39—3.42 показывают, что предлагаемый неявный нестационарный метод решения краевой задачи сходится практически так же быстро (или ненамного медленнее), как и стационарный метод [2J, если число Re^ невелико: приМ^^! оно порядка 100. Однако с ростом Re^ сходимость метода [2] резко ухудшается, если используется сквозной счет на реальных сетках.
Сходимость же деформационно-потокового неявного нестационарного способа с увеличением Re^, наоборот, улучшается. В качестве 282
Рис. 3.40. Характер сходимости профиля температуры в окрестности оси симметрии при Моо=20, Reoo=100, ^=0,05: ~------ расчет неявным нестационарным методом;
---------расчет стационарным методом (1 — при числе шагов Д^=30т; 2 — Ы= = 90т; 3 — /V—270т; 4 — предельное стационарное решение).
Рис. 3.41. Характер сходимости профиля давления (обозначения см. на рис. 3.40).
Рис. 3.42. Характер сходимости профиля скорости (обозначения см. на рис. 3.40).
примера на рис. 3.39 приведена кривая 4, соответствующая Reoo=750 (сетка 30X30, 0,75, т=0,015). При постоянном т увеличение Re^ ведет, как видим, к уменьшению потребного для выработки стационарного решения количества последовательных приближений. Так, при Reoo=100 и т=0,015 давление в неявном нестационарном методе отличается менее чем на 1 % от предельного после 400 последовательных приближений. При Reoo=750 и т=0,05 такая точность достигается уже к 180-му шагу по времени.
Стационарное решение вырабатывается при расчетах сначала в окрестности передней критической точки; при больших значениях х установление происходит позже. В варианте Reoo=750 точность в 1% при х=л/2 достигается к 400-му шагу по времени. Ниже в таблице приводятся значения давления в четырех точках на поверхности обтекаемой сферы в зависимости от числа проделанных последовательных приближений. Она показывает свойства процесса сходимости предлагаемого метода при Reoo=750 и характер выработки стационарного решения при разных значениях х (давление в таблице отнесено к
k X k X
3° 33° 63° 87° 3° 33° 63° 87°
90 0,9304 0,6548 0,2063 0,04423 450 0,9189 0,6241 0,2065 0,05318
180 0,9269 0,6266 0,2070 0,04434 540 0,9189 0,6244 0,2065 0,05295
270 360 0,9237 0,9197 0,6277 0,6244 0,2057 0,2070 0,04856 0,05014 630 0,9189 0,6244 0,2065 0,05295
Постепенная выработка стационарного решения, начиная от передней критической точки, позволяет вести расчеты только в донной области после того, как вся наветренная часть области интегрирования уже установилась. Такое свойство деформационно-потокового метода делает его особенно удобным для расчета переходных течений газа, для которых характерно наличие областей с разными законами установления.
Опыт расчетов и изучение линейной модели показывают, что предлагаемый здесь метод свободен от жесткого ограничения на шаг по времени, свойственного явной разностной схеме [1], где требуется величина временного шага порядка квадрата пространственного. Описанный способ устойчив при шаге по времени порядка первой степени пространственного. При решении стационарной задачи на основе принципа установления неявный нестационарный деформационно-потоковый метод эффективнее метода [1] по числу последовательных приближений более чем в десять раз.
Неявный нестационарный способ также более экономичен по отношению к объему машинной памяти: для каждого элементарного объема Q приходится хранить только по одному значению каждой искомой функции.
284
Таким образом, описанные в данной главе численные схемы метода потоков позволяют, вообще говоря, проводить расчеты и для больших значений Re. Кажется весьма целесообразным использовать их и для изучения характеристик турбулентности, вводя в (3.26)— (3.28), например, коэффициент эффективной турбулентной вязкости *),
§ 7. Исследование характеристик обтекания тел сложной формы потоком вязкого газа
Приведем, следуя [191, результаты исследования обтекания тел и летательных аппаратов сложной формы вязким газом на основе метода потоков и полуэмпирических приближенных подходов.
При проектировании летательных аппаратов приходится всесторонне анализировать различные варианты компоновочных схем, отличающихся размерами и формой внешних обводов. При этом одна из основных проблем заключается в комплексном изучении влияния вариаций аэродинамической компоновки и режимов полета на газодинамические особенности обтекания, аэродинамические характеристики и динамические свойства аппарата. Для эффективного решения этой проблемы необходимо создать комплексную вычислительную систему, моделирующую обтекание летательного аппарата в широком диапазоне режимов и позволяющую проводить расчет аэродинамических характеристик реального аппарата сложной геометрической формы.
Хорошим инструментом моделирования газодинамического поля течения являются численные методы решения полных уравнений движения вязкого теплопроводного газа. Однако современный уровень развития вычислительной техники и численных методов не позволяет в широком объеме решать задачи пространственного обтекания тел сложной формы, поэтому в настоящее время одним из реальных способов исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов сложной формы являются полуэмпирические приближенные методы [19].
Далее использованы оба эти подхода. Численный метод потоков, основанный на разностной аппроксимации законов сохранения, применялся для моделирования обтекания тел достаточно простой формы (сфера, затупленный конус,- цилиндр, плоская пластина конечной длины и др.). Это позволило выявить особенности движения тел, определить влияние различных параметров компоновки и обтекания (М^, Re, tw=Tw!T0) на структуру течения и распределение газодинамических величин по обтекаемой поверхности аппарата, а также на их локальные и суммарные аэродинамические характеристики. Для расчета аэродинамических характеристик аппаратов сложной формы при гиперзвуковых скоростях полета разработан полуэмпири-ческий метод, основанный на использовании зависимости коэффици
*) Более подробно об этом см. в § 9 этой главы.
285
ентов давления и трения от локальных характеристик (местного угла атаки, формы и размеров обтекаемой поверхности и т. д.).
Закономерности, выявленные при исследовании течения вязкого теплопроводного газа около тел простой формы, наряду с данными экспериментов позволяют определить полуэмпирические зависимости локальных коэффициентов взаимодействия от геометрических параметров аппарата и параметров режима обтекания. Расчеты для условий, трудно реализуемых в эксперименте, позволили оценить точность расчетов указанных методик.
Сочетание численного моделирования обтекания с полуэмпи-рическим расчетом аэродинамических характеристик является м о-бильным и эффективным подходом с точки зрения затрат ресурсов ЭВМ и оперативности получения информации для конструкторских проработок. Отдельные (контрольные) варианты просчитываются по достаточно общим и полным моделям, а детальный учет конкретных свойств компоновки и режимов полета осуществляется с помощью полуэмпирических подходов.
1. Расчет характеристик обтекания затупленных тел и пластин. Для точного решения уравнений движения вязкого газа около затупленных тел простой формы, пластины конечной длины и бесконечного размаха использовался консервативный численный метод потоков [1—41. Метод основан на разностной аппроксимации интегральных законов сохранения массы М, составляющих импульса X, Y, Z и полной энергии газа Е, записанных для каждой ячейки расчетной сетки [2, 3]:
QFnds = 0, s
где Q — вектор плотности потока, F — одно из количеств, s — поверхность ячейки, п — внешняя к s нормаль. При расчетах применялся также деформационно-потоковый вариант метода потоков, где используется уравнение баланса для внутренней энергии. Это позволяет точнее определять параметры, связанные с процессами теплопередачи. Однако в области больших градиентов переменных указанный подход требует большого числа ячеек расчетной сетки.
Разбиение области интегрирования на ячейки в случае затупленных тел вращения с малым удлинением проводилось при помощи естественной системы координат (s, п — координаты). Для тел с большим удлинением использовалась полярная система координат с плавающим фокусом и сжатием сетки; для пластины выбиралась декартова система координат *). . ••.
Граничные условия ставятся следующим образом: ц.а внешней границе (на наветренной стороне) поток не возмущен, ^.на',подветренной — градиенты всех переменных по нормали к телу малы. На теле формулируются условия прилипания и задается температура поверхности. При рассмотрении задачи об обтекании пластины в области
*) См. Котов В. М. Расчет поля вязкого сверхзвукового течения около пла стины под нулевым углом атаки.— Деп. № 035-2011, .ЦНТИ «Поиск», 1978.
286
умеренных чисел Рейнольдса в качестве граничных условий для уравнений Навье — Стокса на твердой поверхности записывались условия скольжения и температурного скачка [19]:
__ 2—а . I ди I .3 р, I дТ I
Uw~ | ду |ш +Т’рт|'^|ш’
j, р, 2—а 2у I I дТ I
w а у+ 1 Рг I ду ’
где / — средняя длина свободного пробега, о — коэффициент диффузного отражения, а-— коэффициент аккомодации энергии. Использование указанных граничных условий для уравнений Навье — Стокса позволяет получить решения, совпадающие вне тонкого пристеночного слоя (слоя Кнудсена) с точностью навье-стоксовского приближения с решением уравнения Больцмана, где задаются истинные кинетические условия на стенке.
При расчетах число Прандтля и отношение удельных теплоемкостей предполагаются постоянными и равными соответственно Рг=0,72 и у= 1,4, коэффициент вязкости считается степенной функцией температуры: Все переменные, как и ранее, безразмерны.
Расчетным путем получены характеристики обтекания сферы, затупленных конусов с различными углами полураскрытая и радиусами затупления, цилиндра, затупленного по сфере, цилиндрического торца, удлиненного тела вращения под нулевым углом атаки и пластины конечной длины под углом атаки для чисел Маха = 5ч-40, чисел Рейнольдса Reoo=pcoKa>Z,/p0 (где L — радиус миделя) от 20 до 1000 и температурного фактора iw=0,05ч-1,0.
Методические расчеты показали сходимость решения по сетке, причем, например, отличие полученной величины коэффициента теплопередачи в передней критической точке сферически затупленного тела от значения, рассчитанного по данным Фея и Ридделла [37] при Моо=20, Reco=1500, ^=0,05, не превышает 5%.
В качестве примера зависимости параметров течения при обтекании затупленных тел от числа Re на рис. 3.9 приведено распределение местного коэффициента трения Cf на поверхности сферы для различных чисел Re^. Полученные результаты хорошо согласуются с данными работы [38], пересчитанными при Моо=20. Как уже отмечалось, максимум Cf достигается при значениях х, несколько больших л/4, где имеет место максимум в свободномолекулярном потоке. Координата максимума растет при увеличении Re*,.
Расчеты обтекания затупленных конусов (Reco=100, Моо=20) показали, что, хотя коэффициент сопротивления трения падает с увеличением угла полураскрытия 0S (0S изменялся от 35° до 55°), полное сопротивление значительно возрастает за счет сильного увеличения волнового сопротивления. В то же время суммарное сопротивление не очень сильно зависит от радиуса затупления r=r!L (г изменяется от 0,3 до 0,7), так как падение С} с увеличением г в значительной мере компенсируется увеличением волнового сопротивления. В качестве примера расчета обтекания тел с большим удлинением на
рис. 3.43 приведены данные по распределению давления р, местных коэффициентов трения Cf и теплопередачи Ch на поверхности цилиндрического торца (с удлинением Х=6) при Моо=20, Reoo=100, tw=0,05. Указанные зависимости по давлению качественно совпадают с данными [39], полученными методом крупных частиц для идеального газа. Небольшие пики в окрестностях угловых точек (рис. 3.43, б) в распределении Cf и СЛ соответствуют результатам работы [40], согласно которым вблизи угловых точек возможно резкое увеличение
Рис. 3.43. Распределение давления р и коэффициентов трения Cf и теплопередачи Сй на поверхности цилиндрического торца при Моо=20, Re„,=100, /w=0,05: а) вдоль радиуса; б) вдоль оси симметрии.
теплового потока и напряжения трения. Данные, полученные при расчетах обтекания затупленных тел с большим удлинением, показывают резкое возрастание трения при уменьшении числа Рейнольдса. Например, при Reoo = 11 и Моо=20 суммарный коэффициент трения тела вращения с радиусом затупления г=0,5 и удлинением Х=7 превышает коэффициент волнового сопротивления в четыре раза.
Примеры результатов расчетов обтекания пластины бесконечного размаха показаны на рис. 3.44, где приведены профили плотности поперек пластины в различных сечениях x=const (М0О=6,9, Reco=42, /w=l). Имеется удовлетворительное совпадение настоящих расчетов уравнений Навье—Стокса (штрих-пунктирная линия) с расчетами, основанными на решении уравнений Больцмана (метод Монте-Карло — сплошная линия), и экспериментальными данными ЦАГИ (штриховая линия) [41]. Видно, что фронт размытой ударной волны образуется не от носика пластины, а несколько дальше вверх по потоку, что характерно для обтекания с умеренными числами Рейнольдса.
В качестве примера влияния режима течения на суммарные характеристики на рис. 3.45 показана зависимость суммарного коэффициента трения СР от Re*, для различных значений tw (М0О=5, = 1,4, Полученные1 результаты хорошо соответствуют экспе-
риментальным данным [421 (заштрихованная область).
2. Исследование характеристик обтекания тел сложной формы. На практике необходимо определять аэродинамические характеристики 288
реальных аппаратов при различной ориентации вектора скорости набегающего потока, когда при обтекании аппарата реализуется сложное пространственное течение. Для расчета
Рис. 3.44. Профили плотности поперек пластины в различных сечениях x=const при М0О=6,9, Re0O=42, /и,= 1: 1 — расчет методом Монте-Карло; 2 — эксперимент ЦАГИ [41]; 3- — расчет методом потоков.
аэродинамических характеристик аппаратов сложной формы в гиперзвуковых режимах обтекания разработан приближенный метод, использующий идею элементарных площадок [19]. Поверхность аппарата
аппроксимируется совокупностью достаточно малых плоских элементов, на которых расчет сил давления и трения производится по методике, разработанной на основе гипотезы локальности взаимодействия гиперззукозого потока с обтекаемой поверхностью. По этой гипотезе коэффициенты давления р и трения f (отнесенные к скоростному напору <7оо=0,5ра>VI) для элементарной площадки As с учетом вращения относительно центра масс записываются в виде
hpJW+pM, f=[0WxW +hwnwx, (3.38)
I ’ OO I
Рис. 3.45. Зависимость суммарного коэффициента трения Ср на пластине от Re*, при М0О=5, у=1,4, У Т: 1 — tw=\\2—<ш=0,17; заштрихованная область — эксперимент Мулика [42].
где со—угловая скорость вращения относительно центра масс, /?— радиус-вектор от центра масс аппарата к площадке, Wn и Wx — проекции W на внутреннюю нормаль п и касательную т. При этом векторы п, т, W лежат в одной плоскости. Входящие в (3.38)
Ю О. М. Белоцерковский
289
коэффициенты обмена импульсом р1У р2, f0, описывают различные модели обтекания. Они зависят от параметров обтекания (М^, Re^, tw, у) и, будучи осредненными по поверхности, зависят также от ф о р м ы обтекаемого аппарата. Теоретические оценки позволяют получить значения коэффициентов обмена импульсом для предельных случаев — континуального и свободномолекулярного режимов обтекания. Для выявления зависимостей коэффициентов обмена импульсом в переходных режимах необходимо использовать данные аэродинамических экспериментов и результаты численных расчетов обтекания различных тел с учетом вязкости и теплопроводности газа.
Анализ экспериментальных данных позволяет выявить закономерности поведения осредненных интегральных характеристик от параметров течения, а результаты численных исследований позволяют проанализировать структуру течения и зависимость локальных коэффициентов трения и давления от М„, Re^, tw.
На основе анализа теоретических и экспериментальных результатов в работе [43] были предложены аналитические зависимости коэффициентов рг и Д от Re^ и tw. Однако эти зависимости не дают удовлетворительных результатов при расчете аэродинамических коэффициентов тонких тел, таких, как острые конусы, длинные затупленные тела, тонкие пластины и др. Была проведена корреляция соотношений p1(Reoo) и Д (ReJ с данными численных расчетов и экспериментов в зависимости от геометрической формы (удлинения и относительной толщины) обтекаемого тела.
Для коэффициента р2 вводилась аппроксимация, аналогичная рг. Такое представление согласуется с теоретическими и экспериментальными данными для р2 при расчетах по модифицированной ньютонианской теории при Reоо и со значением рсв. „ при Свободномолекулярном гиперзвуковом обтекании с полной аккомодацией энергии [44]. При расчете аэродинамических характеристик аппаратов с развитыми несущими поверхностями необходимо также учитывать коэффициент Д, зависимость которого от М., Re^, tw можно получить из анализа расчетных и экспериментальных данных по обтеканию плоской пластины и удлиненных тел.
Предлагаются следующие полуэмпирические зависимости коэффициентов обмена импульсом [19] в (3.38):
ГЯ (у— 1) , 1 1/2 ,
—-tw\ exp^i,
Pi — р'о + (Рсв. м. — ро) ехр ki,
/о = (1—^)а (0,12—М-1) (1+4 ^)1/6 ехр k2,
= 5,233 [R +6,88 ехр й3]-1/2,
(3.39)
Ж
где
= ю- (0,125 + 0,078^) Re.,
Ъ = -0,8 (1g Ие„ + щ-0,08Zw—1,48) ,
k3 = 72• 10-‘7?-16.10-^, R= ICT0'25 (I+|z J "2/3 Re.,
Здесь h = hlL, s = smin/smax, h—толщина аппарата, L—его длина, smin, smax—минимальное и максимальное значение площади проекции аппарата.
Из соотношений (3.38), (3.39), расписав W, W„, WT через направляющие косинусы внутренней нормали п (1п, тп, пп) и направляющие косинусы V. (Z, т, п) и предполагая везде | ® | = | coL/n. |<^ <^1, получаем формулы, полностью определяющие составляющие аэродинамической силы F{ и их вращательные производные F^i = = dFi/dti] для элемента As. Например, для составляющей Fx имеем (отбрасывая члены второго порядка малости)
Fx = F*x + XZ (r2m„ — r^„) +
+ /о [(J—ln sin aM) (rzm—ryn) — ln (rzmn—rynn)\ + Z„FJ +
+ G(ZZ„ + sinaM)] +
+ foW~^sinaM) (rxn—rzl) — ln(rxn„—rzln}—rz] + Z„F2}+ ' '
+ {/i [rlt + sin aM) — rxlmn] +
+ /о [(/—ln sin aM) (ryl—rxm) — ln (ryln—rxmn) + ry] + lnFs}, Fx = /о (I—ln sin aM) + [/yZ + Z„ (/?! + (p2—A) sin aM)] sin aM.
Здесь sinaM = lln-\-mmn->rnnn, aM—местный угол атаки элемента As при tt> = 0, F*—составляющая аэродинамической силы при стационарном обтекании (® = 0). Составляющие аэродинамического момента и их вращательные производные выражаются с учетом (3.40) обычным образом:
M = RxF.
По этим формулам вычисляются составляющие аэродинамической силы и момента, а также их вращательные производные для всех плоских элементов, аппроксимирующих поверхность аппарата. Эти величины полагаются отличными от нуля в случае W»>0. Условие Wn<$ определяет затененную часть обтекаемой поверхности, где величины относительного давления полагаются равными нулю. Суммарные аэродинамические характеристики определяются суммированием по всем элементарным площадкам.
10* 291
Алгоритм представления поверхности исследуемого аппарата основан на кусочной аппроксимации поверхности по поперечным и меридиональным сечениям, что обеспечивает возможность задавать поверхности сложных тел достаточно малым количеством исходных данных (по сравнению, например, с работами [45, 46], где для достаточно точного задания сложной поверхности необходимо предварительно определять и вводить в ЭВМ координаты нескольких тысяч угловых точек элементарных площадок). Разработанный алгоритм допускает представление поверхности практически любого тела с плоскостью симметрии. На форму аппарата накладывается единственное ограничение: в любом поперечном сечении область, ограниченная поверхностью тела, должна быть односвязной.
Степень сложности поверхности исследуемого аппарата определяет объем необходимых для ее описания исходных данных. Например, для описания сферы достаточно задать координаты 4 точек; для описания затупленного конуса нужно 12 точек; для представления более сложного аппарата типа несущий корпус (без осевой симметрии) — 30 точек и для представления аппарата типа самолета с несущими поверхностями, кабиной, хвостовым оперением — 100—150 точек.
Для проверки работоспособности вышеописанного метода были сделаны расчеты аэродинамических характеристик широкого класса тел при различных режимах обтекания. Сравнение с результатами расчетов другими методами и данными экспериментов показало, что точность метода является вполне приемлемой для практики, и он
Рис. 3.46. Аэродинамические характеристики «несущего корпуса» при Моо=8, tw=0, у=1,4: ----- расчет локальным методом;-----расчет сеточно-характеристи-
ческим методом (k—коэффициент качества, а—-угол атаки).
может использоваться для определения суммарных аэродинамических характеристик аппаратов сложной формы при гиперзвуковых режимах от континуального до свободномолекулярного обтекания, включая переходную область.
Ниже приведено несколько примеров расчета аэродинамических характеристик различных тел данным локальным методом. На рис. 3.46 представлены аэродинамические характеристики о ж и-
292
в ал ь н о го тела с плоским косым срезом при Моо=8, tw=0 (идеальный газ с у=1,4). На этом же рисунке штриховыми линиями даны результаты расчетов сеточно-характеристическим методом полных
эффициентов качества k от Re„ при обтекании аппарата с несущими поверхностями: ------расчет локальным методом; --------зависимость k (а=
=30°) из [48]; .... эксперимент [19].
уравнений [47] для тела той же формы и того же режима обтекания *). Разработанный метод позволяет рассчитывать аэродинамические характеристики и более сложных типов аппаратов.
Рис. 3.47 иллюстрирует некоторые результаты расчетов аэродинамических характеристик аппарата сложной формы с несущими поверхностями. Сплошные линии—расчетные зависимости от Rem величин Сх и Су при максимальном (по углу атаки) качестве /?тах и зависимости kmax от Re„, а также /e(ReJ при а = 30°. Штриховая линия—зависимость для k из работы [48], а точками нанесены экспериментальные данные [19].
Комбинация эталонных расчетов по методу потоков и применение полуэмпирического л о-кального метода позволяет исследовать, таким образом, ’аэродинамические характеристики аппарата1’ сложной формы.
§ 8. Упруго-вязко-пластические задачи. Движение вязкой жидкости в пористых средах^
Несущие детали конструкций современных летательных аппаратов выполняются в виде тонкостенных элементов типа стержней, пластин и оболочек [49]. При их изготовлении широко применяются методы обработки металлов давлением, такие, как волочение, прокатка, прессование и др., что определяет интерес к исследованию напряженно-деформированного состояния в очаге деформации. Интенсификация технологических процессов, использование материалов со сложными механическими свойствами и структурами показывают, что применяемые в настоящее время одномерные расчетные схемы (основанные, например, на гипотезах Кармана [50]) и простейшие жестко-пластические модели материалов являются явно недостаточными. Необходимы разработки и освоение новых численных (и экспериментальных) методик, позволяющих учесть как Упруго-вязко-пластические свойства материалов, так
*) См. гл. V.
293
и пространственный характер явления [51—55]. Одним из таких направлений является проведенное И. В. Ширко и С. И. Ковалевым [56—61] применение численного метода потоков к широкому классу моделей механики сплошных сред, для которых реологические соотношения записываются в специальном виде.
На примере задачи о волочении полосы исследовалась устойчивость и сходимость метода и рассмотрена зависимость решения от типа реологии. Результаты численного решения двумерной задачи о прокатке полосы сопоставляются с данными, полученными при помощи одномерной модели Кармана. Установлены границы применимости одномерного решения.
1. Формулировка задачи для неизотермического течения упруговязко-пластических материалов. Существенным отличием этого класса задач (например, от задач внутренней газовой динамики) является весьма сложный, нелинейный вид уравнений, связывающих напряженное и деформированное состояния металлов, а также широкое разнообразие возможных краевых условий. Остановимся на этих вопросах более подробно.
Поведение материала в процессе деформирования определяется его реологическими свойствами, которые в конечном счете устанавливают связь между силами, действующими на тело, и вызванными ими деформациями. Для установления такой связи между напряженным и деформированным состояниями в механике деформируемого твердого тела соответствующие тензоры представляются в виде суммы шарового тензора и тензора-девиатора [51]. Так, компоненты тензора напряжений <т;/ и скоростей дефор-
1 fdVt . дТ/х
мации т]..=_ ^ + —) имеют вид
^у = 5// + б/Л т)/7 = £,74-6,.Д/3.
(3-41)
Здесь а = — среднее гидростатическое напряжение, В =
= —скорость относительного изменения объема, 6^-—символ
Кронекера (по повторяющимся индексам проводится суммирование от 1 до 3).
Обычно рассматривают реологические уравнения, связывающие изменение объема (и формоизменение) с действующими нагрузками.
Для металлов объемная деформация является упругой, т. е. первый инвариант тензора напряжений
а = /Се4-ае (0О—9), (3.42)
где е—относительное изменение объема, /С—объемный модуль упругости, а0 — коэффициент температурного расширения, 0—температура (индекс 0 относится к недеформированному состоянию).
Относительное изменение объема связано с изменением плотности р соотношением e = ln(p0/p), и поэтому (3.42) можно переписать в виде
о = -/<1п(р/ро) + а0(0о-0). (3.42')
294
Формоизменение материала определяется девиатором скоростей деформации сдвига, компоненты которого (£Z/) выражаются через компоненты вектора скоростей (У(-) следующим образом:
1 / dVi dV,-\ 1 dVn „
~3dx^‘J- (3-43)
Введем теперь уравнение, описывающее механические свойства материалов. Связь девиатора скоростей деформации с напряженным состоянием для большинства моделей твердого деформируемого тела (вязко-пластичность, упруго-вязко-пластичность и т. п.) может быть записана в виде достаточно общего реологического уравнения [52]
^7 = Ф15(уЧ-ФЗ,7- (3.44)
Здесь Sij — компоненты девиатора напряжений — компоненты девиатора скоростей изменения напряжений. Функции и Ф2 зависят, вообще говоря, от инвариантов тензоров напряжений, скоростей деформаций, самих деформаций, а также температуры (их выбор определяет рассматриваемая модель материала).
Для линейных сред функции Фъ Ф2 являются постоянными и для вязкой жидкости имеют вид Ф1=0, Ф2=р (р — коэффициент вязкости). Для упругого (гипоупругого) материала Ф1=1/(2С), Ф2=0, где G — модуль упругости второго рода [53]. В этих простейших случаях уравнения (3.41)—(3.44) позволяют однозначно выразить компоненты напряжения через производные векторов скорости (для вязкой жидкости) или смещения (для упругого тела). После подстановки последних в уравнения движения (равновесия) получаем замкнутую систему трех дифференциальных уравнений относительно трех искомых функций. В теории вязкой жидкости это будут уравнения Навье — Стокса, а для упругого материала — уравнения Ламе.
В качестве инвариантов соответствующих тензоров, определяющих функции Фъ Ф2, обычно выбираются следующие величины:
а) интенсивность касательных напряжений
т = /4 s4sm
б) интенсивность скоростей деформации
я = ]/ЖЛд (3-45)
в) интенсивность скоростей пластической деформации
г) степень пластической деформации t
Hp(x)dT.
О
29'
При вычислении интеграла в последнем соотношении интегрирование ведется вдоль траектории движения рассматриваемой материальной частицы.
Основные результаты в обработке материалов давлением получены с помощью модели жестко-пластического неупрочняющегося материала. В этом случае упругими деформациями пренебрегают, а интенсивность касательных напряжений в пластической области считается постоянной: Т=rs=const, где — предел текучести на сдвиг. В уравнении (3.44) при этом следует положить
ф1=0- (3-46)
и в таком виде эти уравнения называются уравнениями пластического течения Сен-Венана — Леви — Мизеса.
Все реальные материалы обладают определенным скоростным (вязкостью) и деформационным (пластичностью) упрочнением [551. Интенсивность касательных напряжений не будет постоянна в пластической области и функция Ф2 запишется для вязко-пластического материала так:
ф. = °- ®> = 2ЙЯДТ>- <3'47>
Если учитывать и упругие деформации, а также зависимость механических свойств от температуры 0, то в уравнении (3.44) для такого упруго-вязко-пластического материала необходимо принять [521
Функции Т(Нр, е) в (3.47) и Т(Нр, е, 0) в (3.48) являются известными (экспериментально определяемыми) характеристиками материала; в дальнейшем при численных расчетах они будут использоваться в безразмерном виде, отнесенные к пределу текучести т5.
Таким образом, для достаточно сложных моделей материалов соотношения (3.41)—(3.44) неразрешимы в явном виде относительно напряжений. При этом образуется дополнительная система уравнений (3.44) и (3.46)—(3.48), которую следует интегрировать совместно с уравнениями сохранения массы, импульса и энергии.
Запись реологического уравнения в виде (3.44) весьма удобна для численных расчетов, поскольку позволяет с единых позиций рассматривать различные модели материалов. Аналогичный подход был развит и в [521 при расчете оболочек с учетом их геометрической и физической нелинейности.
Для большинства практически важных процессов рассматриваемые течения являются медленными, т. е. (роо)'т5<^1 (здесь р — плотность, Оо —• характерная скорость, т5 — предел текучести рассматриваемого материала на сдвиг). Поэтому в уравнениях движения можно пренебречь инерционными членами. Кроме того, обычно считают, что вну-296
тренняя энергия зависит лишь от температуры 0, а немеханический перенос тепла осуществляется только за счет теплопроводности, и тогда уравнение энергии заменяется уравнением теплопроводности.
С учетом этих замечаний для установившегося течения уравнения сохранения массы, импульса и энергии для конечного объема материала принимают вид
pVjfijds = 0, (3.49)
s
ds = 0, (3.50)
s
§ [cpl/,0-vk<yk/-хД] nfds = 0, (3.51)
i, j, k= 1, 2.
Здесь tij — направляющие косинусы нормали к поверхности s, X — коэффициент теплопроводности, с — теплоемкость материала.
Отметим, что в уравнение сохранения энергии (3.51) входят компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации, учитывающие тепло (выделяемое в результате пластической деформации), а температура, в свою очередь, входит в уравнение (3.44) через коэффициенты (3.48).
Перемещаясь в процессе течения, материальная частица может перейти из пластического состояния в упругое, т. е. произойдет разгрузка. При выявлении областей разгрузки в поле течения обычно используют следующее правило. Для рассматриваемой материальной частицы рассчитывают процесс течения за малое время Дт, используя соотношения упругости; если при этом величина Т (3.45) уменьшится, то, значит, произошел процесс разгрузки; в противном случае разгрузка не имела места, и производится перерасчет с использованием соотношения пластичности (3.44).
При формулировке краевых условий следует иметь в виду, что в большинстве процессов обработки металлов давлением существует зона контакта материала с инструментом, а на остальных (свободных) участках поверхности отсутствуют напряжения и можно пренебречь теплообменом. На контактной поверхности возможны либо условия полного прилипания, либо условия проскальзывания.
В случае прилипания материала к инструменту на границе контакта формулируются следующие условия длй скоростей: скорости материала равны скоростям инструмента.
В случае проскальзывания формулируются краевые соотношения как для скоростей, так и для напряжений. Для скоростей это будет условие непротекания среды сквозь инструмент, а для напряжений используется какой-либо закон трения. Так, касательные напряжения, возникающие в зоне контакта, могут зависеть от разности скоростей материала и инструмента (вязкое трение), определяться давлением инструмента на материал (сухое трение) либо иметь постоянную (заданную) величину. Развитый ниже численный подход позволяет
297
использовать в зонах контакта также и зависимости между напряжениями, найденными экспериментально.
2. Модификация численного метода потоков для исследования установившегося течения упруго-вязко-пластических материалов в состоянии плоской деформации. На основании численного метода потоков [11 был разработан метод расчета течения вязко-пластических [56] и упруго-вязко-пластических [57] материалов. Рассмотрим его подробнее на примере установившегося изотермического течения материала сквозь симметричную матрицу Y (хх) произвольной формы в состоянии плоской деформации [61]. Вследствие симметрии будем изучать только верхнюю половину поля течения.
Для численного интегрирования ограничим область течения слева и справа отрезками прямых линий LOL'O и L-JY, параллельных оси х2 и отстоящих друг от друга на расстоянии х0 (рис. 3.48).
Граничными соотношениями будут условия равномерности потока на отрезках прямых L0L'Q, условия симметрии вдоль оси х^, условие непротекания и какой-либо закон трения на части кривой Y (xj, задающей форму матрицы; а также условия отсутствия напряжений:
0*22 ~ О, ОГ12 = 0»
на границах области (L0A и ВЬг) перед входом в матрицу и после выхода из нее.
Построим расчетную сетку. Область интегрирования разобьем на конечные, но малые по сравнению с ней ячейки. Для этого проведем между осью хх и кривой Y (xt) N—1 отрезков прямых, параллельных оси х2 и отстоящих друг от друга на расстоянии А1 = х()/Л/ (х0 = L'qLiY Каждый из этих отрезков разобьем на Л4 равных частей и полученные точки соединим ломаными. Таким образом, область интегрирования разбита на NxM трапециевидных ячеек, причем граница аппроксимируется, как следует, из рис. 3.48, некоторой ломано !. Пронумеруем каждую ячейку двойным индексом п, т, где п—номер ячейки вдоль оси х1г т—вдоль оси х2. В каждой ячейке выберем опорную точку с координатами х1п<т = (га—0,5) hlf х2п,т — (.т—0,5) Y (х1Плт)/М.. Значениям всех величин в этих точках 298
припишем индекс п, т~, величины в серединах границ ячеек обозначим дробными индексами.
Выразим с учетом конвективного переноса значения всех величин в серединах границ ячеек и необходимые производные в этих и опорных точках через значения величин в опорных точках. Плотность р, как это принято в методе потоков [1], будем аппроксимировать по несимметричным формулам, например:
рп+1/2’т и,5р„+1,от-0,5р„+2,и, 7„<0.
Здесь Vn — компонента вектора скорости, перпендикулярная к рассматриваемой стенке ячейки. Все остальные величины будем представлять по симметричным формулам. Так, для компоненты скорости Vi (индекс 1 далее опускаем) будем иметь
Vn+l/2,m = 0,5 +
Для аппроксимации производных отобразим плоскость (xlt х2) на плоскость (гц, т]2) по формулам
Т]1 = Х1/х0, Т]2 = ^2/У’(Х1).
В плоскости (т]1, т]2) область интегрирования будет разбита на прямоугольные ячейки размером /ii=l/N вдоль оси гц и h2=l/M вдоль оси т]2. Производные в этой плоскости будем аппроксимировать по симметричным формулам
dV I ___Vn + l,m Vn — l,m
Зщ |л, т 2/ц ’
3V I Vn+l.m 'Vn,m ,о
^|п + 1/2,т =----К------- ’ <3'52)
ЗИ I + т+ + т Vn-l,m + l ^п — 1,т
Зщ |/г, m + 1/2 4/ц ’
причем
д 1 д x2Y' (хх) д д 13
dxL ~ х0 Зщ Y2 (хх) Зг]2 ’ дх2 ~ Y (хх) Зг]2 '
Для аппроксимации производных и самих функций в узлах, прилегающих к оси и к «открытым» границам области LOL'O, LiL[, введем фиктивные ячейки (в опорные точки которых значения всех величин заносим таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям). Наряду со значениями всех величин в узлах сетки неизвестными являются также компоненты вектора скорости на верхних границах ячеек, примыкающих к кривой Y (хх).
Численный метод потоков, описанный в работах [1, 2], позволяет, в частности, исследовать течения материалов, в которых компоненты девиатора напряжений выражаются через производные скоростей. В этом случае неизвестными функциями будут компоненты вектора скорости Vi и плотность р. При исследовании течения материалов с реологией типа (3.44) сюда добавляются еще компоненты девиатора напряжений Si}.
299
Выпишем разностный аналог девиатора скоростей из* менения напряжений (входящий в реологическое уравнение (3.44)) в точке В, которая может быть либо опорной точкой, либо серединой границы ячейки. Для этого рассмотрим линию тока, приходящую в точку В. Эта линия пересечет в некоторой точке А отрезок прямой, соединяющий два узла соседних ячеек. Считая распределение всех необходимых величин между опорными точками линейным, выразим их значения в точке А через значения в узлах. За время
Д/ = 2Дх/(У1Л 4- У1Я)
материальная точка переместится из точки А в точку В (здесь Дх — расстояние между проекциями точек Л и В на ось хх). За это же время окрестность материальной точки повернется как жесткое целое на некоторый угол ®, который приближенно можно выразить через производные от скоростей в точке:
2 \ dxj dx2/jB
Запишем теперь аппроксимации девиатора скоростей изменения напряжений в точке В в виде
— (3.53)
Индекс 0 показывает, что компоненты девиатора напряжений в точке А повернуты на угол ®.
Используя аппроксимации (3.52), (3.53) и реологическое уравнение (3.44), получим выражение для девиатора напряжений 8ц в точке В:
д7'в= ф1 + ф2д/
(3.54)
Разностный аналог законов сохранения массы и импульса (3.49), (3.50) можно представить для каждой ячейки в виде *)
X [рРЛ-]Л = 0, & = 0, (3.55)
1 k=1
где
Ст,7 = —/C6,yln(p/p0)4-S,7, (3.56)
hk—размер сторон соответствующих ячеек.
В уравнениях (3.55) компоненты девиатора напряжений Sz7 на границах п-\-1/2, тип, т—1/2 связаны со скоростями Vj при помощи уравнений (3.54) и (3.56). Вместе с граничными условиями на кривой Y (xj они составляют систему из 6/VM-f-2/V нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных величин SiJnm, Рпт, Vbn.M+i/2, которые и аппроксимируют исходную систему уравнений с первым порядком точности.
*) Для неизотермических течений аналогичным образом представляется и уравнение энергии (3.51).
300
Таким образом, в отличие от [1, 2], в исходную систему уравнений, помимо законов сохранения массы (3.49) и импульса (3.50), входит еще квазилинейное реологическое соотношение (3.44) и к числу неизвестных функций добавляются три компоненты тензора напряжений.
Полученная система алгебраических уравнений решается методом последовательных приближений типа [2], примененным в [56] для расчета вязко-пластического течения.
Предположим, что k-e приближение известно, опишем переход к (£+1)-му. Проведем, как и в [1], линеаризацию, выделив в каждом уравнении главную переменную. Во всех внутренних ячейках в уравнении (3.54) это будут соответствующие компоненты девиатора напряжений, а в уравнениях (3.55) — плотность р и соответствующие компоненты вектора скорости в опорной точке рассматриваемой ячейки.
В ячейках, примыкающих к свободным от напряжений поверхностям, главными переменными будут: плотность р в уравнении <т22п,м+1/2 =0. компонента скорости Е2п,м+1/2 в уравнении (3.55), компонента девиатора напряжений S12 в уравнении <S12n,м+1/2 =0 и компонента скорости Ещ.м+г/г в уравнении (3.54). Аналогичным образом главные переменные можно выделить и в ячейках, примыкающих к матрице АВ.
Построенная таким образом процедура описывается линейной системой диагонального вида относительно главных переменных. Пусть /* есть решение одного из ее уравнений. Припишем величине, которая входила в это уравнение как главная переменная, следующее значение на &+1-Й итерации:
= + т (/*—/*) (3.57)
Здесь т—релаксационный параметр, который определяет устойчивость счета.
Решать уравнения будем последовательно для каждой ячейки, которые затем перебираются по преимущественному направлению потока: сверху вниз и слева направо (см. рис. 3.48). Во внутренних ячейках сначала подправляются величины девиатора напряжений В!}-пт, затем—плотность р и, наконец, компоненты вектора скорости Vjnm. В ячейках, примыкающих к границе Y (х*), сначала подправляются значения Р/п,м+1/2. а затем уже все остальные величины (в том же порядке, как и во внутренних ячейках).
Отметим, что при расчете упруго-пластического течения при переходе на (£-|-1)-ю итерацию компоненты девиатора напряжений подправляются по упругому закону. Если в результате итеративного процесса выполняется условие текучести Мизеса, то производится пересчет по упруго-пластическим формулам. Указанная процедура позволяет автоматически рассчитывать и области разгрузки, которые могут возникнуть в поле течения.
Решение считается полученным, если изменение значений всех величин в ячейках в течение заданного количества итераций удовлетворяет требуемой точности.
Оценим локальную устойчивость метода на примере одномерной разностной схемы для вязко-пластического мате
301
риала. В этом случае напряжения определяют простым дифференцированием вектора скорости и уравнение (3.54) не оказывает влияния на устойчивость.
Запишем линеаризованную разностную схему следующим образом:
4 р^1- 4 +4 p^+i+рф -4) =°.
I / 1 \ (3.58)
4ei+^(i-4)-^+1=°.
Собственные значения матрицы перехода для системы (3.58) имеют вид
_________Т—1_______
1 1 + т/3(е-21® — 4е~'®) ’
Х2 = 1—т (1—е‘и).
Требование приводит к условию устойчивости для выбора релаксационного параметра Следует отметить условность
этого соотношения. На практике (в нелинейных задачах) условие устойчивости находят из численных экспериментов; для большинства случаев оказывается 0<т<0,2.
3. Расчеты упруго-вязко-пластических задач.
Волочение полосы. Рассмотрим изотермическую задачу о волочении полосы сквозь прямолинейную идеально смазанную матрицу [57, 61]. Пусть начальная толщина половины полосы Л0Л„ в безразмерных единицах (линейные размеры отнесены к х0) равна Яо= =0,25; конечная ffk=0,2; длина проекции матрицы на ось Xj равна Л=1/3 (см. рис. 3.48). Область интегрирования включает в себя участки полосы до входа в матрицу и после выхода из нее (равные длине проекции матрицы на ось Xj). На отрезке прямой Ь0Ц зададим граничные условия вида
dVt дхг
0, У2 = 0, р=1, Si7 = 0
(3.59)
и на границе ЦЦ
У± = ^, V2 = 0, ^- = 0.
1 Hk ’ 2 ’ дхг
(3.60)
Решение считали полученным, если в ячейке с n — Nl2, т=\ целая часть величины 103-аи оставалась неизменной в течение двадцати итераций. Все расчеты проводились при значении параметра релаксации в (3.57) т = 0,1. Рассматривались различные варианты сеток TVxM: а) 60x15; б) 48x12; в) 36x9. Все варианты были просчитаны для упруго-вязко-пластического материала со значениями модулей К = 1000, G = 50 и функцией Т в (3.48) вида
Т(Нр, ё)= 1-рае, (3.61)
где а= 1,5. '
302
Рис. 3.49. Характер сходимости величины напряжения <7И по итерациям при =0,25, tffe=0,2, L=l/3: а) сетка 60X15; б) 48X12; в) 36X9.
Рис. 3.50. Эпюры напряжений <тп вдоль оси хг для разных значений итераций: /— после 2000 итераций; 2J— после 1500; 3 — после 1000; 4 — после 500.
На рис. 3.49 даны значения напряжений сг11 в ячейке с n = N/2, т = 1 в зависимости от числа итераций k (буквы соответствуют рассмотренным вариантам сеток) *).
Рис. 3.52. Профили скорости 14 (а) и эпюры напряжений оп (б) вдоль оси хг для различных реологических уравнений: 1,2 — пластическое течение (1 — а=0;(2 — а=2,5); 3, 4, 5 — упруго-пластическое течение (3 — G=200, а=0; 4 — G=50, а=0;
5 — G=50, а=2,5).
На рис. 3.50 приведены эпюры напряжений сгп вдоль оси Xj (сечение х2=0) для разных значений итераций при расчете варианта б). Кривая 1 построена после 2000 итераций, кривая 2 — после 1500, кривая 3 — после 1000 и кривая 4 — после 500 итераций. На рис. 3.51
*) Здесь и далее значения упругих модулей в выражении (3.47) для компонент тензора напряжений отнесены кт$ (предел текучести на сдвиг), а компоненты вектора скорости — к значению скорости течения полосы на входе в очаг деформации.
304
изображены эпюры напряжений сг22 вдоль оси хт (кривые /) и сгпп вдоль стенки матрицы Y(х^ (кривые 2). Буквенные индексы у кривых соответствуют разным вариантам расчетных сеток. Рисунки иллюстрируют хорошую сходимость решения как по итерациям, так и па сеткам.
Для данной задачи проводилось исследование влияния вида реологического уравнения (3.44) на результаты расчетов. На рис. 3.52, а изображены профили скорости Vlt а на рис. 3.52, б — эпюры напряжений сгц вдоль оси Xi, полученные для различных реологических соотношений. Кривые 1, 2 построены по результатам расчета пластического течения, а кривые 3, 4, 5 — упруго-пластического (/ — а=0; 2 — а=2,5; 3 — G=200, а=0; 4 — G-50, а=0; 5 — G=50, а=2,5).
Рис. 3.53. Эпюры напряжений в центральном сечении матрицы для идеально-пластического материала при /7о=О,228, //*=0,169, L= 1/3: ----- расчет методом потоков; -------------решение Хилла для жестко-пластического течения [62].
Результаты расчетов показали, что кинематические параметры поля течения (рис. 3.52, а) слабо зависят от вида уравнения (3.44) и значений реологических параметров. В то же время напряжения, возникающие в поле течения, существенным образом определяются реологической моделью и параметром упрочнения (рис. 3.52, б). Следует отметить, что при использовании упруго-пластической модели на выходе из очага деформации у скорости Ух появляется локальный максимум, который отсутствует для жестко-пластической модели.
Аналогичная задача с параметрами Яо=О,228, Я*=0,169 и L —1/3 была рассчитана в качестве методического примера и для идеально-пластического материала. Решение этой задачи в жесткопластической постановке было предложено в [62], а в [63] дано обобщение для криволинейных матриц. Материал полосы обладал упругой объемной сжимаемостью с модулем /С= 1000. На рис. 3.53 приведены эпюры компонент тензора напряжений сгп, <зг2 вдоль отрезка прямой, параллельной оси, в центральном сечении матрицы. Сплошными линиями представлены данные расчета методом потоков, а штриховыми — результаты жестко-пластического решения. Хорошее согласие Данных говорит о надежности принятой модели.
305-
Прокатка полосы. Геометрические характеристики процесса прокатки без уширения определяются параметрами L/Hm и е, где L есть длина проекции линии контакта металла с валком на ось л1; #m=#cp=O,5(#o+//ft), е=(#0—Hk)/H0 (Яо — толщина полосы перед входом в валки, Hk — после выхода из них, рис. 3.54).
В настоящее время для определения силовых параметров указанного процесса используют обычно одномерную модель прокатки Кар-
Рис. 3.54. Расчетная область в задаче о прокатке полосы.
мана [50], которая построена на основе гипотезы плоских сечений. В этом случае напряжения сгц, сг22 считают постоянными по толщине полосы и для упруго-пластического материала их определяют из обыкновенных дифференциальных уравнений. Интересно провести сравнение с двумерным случаем.
Краевые условия в данной задаче для изотермического случая отличаются от граничных соотношений в задаче о волочении лишь видом закона трения на поверхности валка. Рассмотрим процесс прокатки полосы в предположении о вязком характере трения между материалом и валком (возможно, естественно, использовать и другие законы трения, в том числе и полученные непосредственно из эксперимента). Полагаем, что возникающие на валке касательные напряжения xnt пропорциональны разности скоростей материала вятся
и валка и при достижении определенной величины они стано-постоянными, т. е.
T„t/TS =
рОО (VB-Vf) = A,
1,
— 1,
А> 1;
А<— 1.
(3.62)
Здесь Vt—касательная к АВ (см. рис. 3.54) компонента вектора скорости на линии |контакта металла с валком, Кв—окружная скорость валка.
Область интегрирования включала в себя участки полосы (длиной L) до входа в валки и после выхода из них. На отрезках прямых LOL'O и задавались условия (3.59), (3.60). При расчете всех вариантов Af = 45, Л4 = 10, G= 100, /(= 1000, а функция Т имела вид (3.61) с а = 0. Решение считалось полученным, если целая часть величины cru-103 в ячейке с м = 22, т = 1 оставалась неизменной в течение 10 итераций.
Напряжения, определенные при помощи гипотезы плоских сечений Кармана, сравнивались с результатами, рассчитанными численным методом для двумерной прокатки.
На рис. 3.55 изображены эпюры напряжений сгц для LlHm—3 (рис. 3.55, а) и LlHm=\ (рис. 3.55, б). Кривые 1 обозначают эпюры вдоль оси х±; кривые 2 — вдоль линии контакта металла с вал
306
ком; кривые 3— эпюры средних (по толщине) значений напряжений; кривые 4 — напряжения, определяемые при помощи гипотезы плоских сечений (одномерная задача) [50]. При расчете всех вариантов параметр Ув в формуле (3.62) выбирался таким образом, чтобы в соответствующем одномерном решении концы полосы были свободны от напряжений.
Проведенные исследования показали, что для больших значений параметра L!Hm одномерная модель в очаге деформации дает качест
Рис. 3.55. Эпюры напряжений аи при Ынт-3'-(а) и UHm—\ (б): 1, 2, 3—расчет двумерной задачи методом потоков (1 — вдоль оси хг, 2 — вдоль линии контакта металла с валком, 3 — средние значения напряжений); 4 — одномерная задача (гипотеза плоских сечений Кармана [50]).
венно верное представление об усредненном напряженном состоянии. Однако для всех значений параметра L!Hm она не позволяет определить растягивающие горизонтальные напряжения, возникающие в центре полосы при входе в очаг деформации, которые могут привести к разрушению полосы. Из оценки суммарного давления металла на валки следует, что для UЯт]>1,75 отличие результатов, полученных по двумерной и одномерной моделям, не превышает 10%, и в инженерных расчетах можно применять гипотезу Кармана.
На рис. 3.56, 3.57 для случая изотермической прокатки упруго-вязко-пластического материала с у п-рочнением приведены взятые из работы [60] эпюры напряжений crn и сг22 (рис. 3.56), а также скорости Vi и степени деформации е (рис. 3.57) в разных сече
ниях очага деформации. Здесь LlHm=2,№, е=0,427, коэффициент-трения р=0,8, безразмерные значения упругих модулей K=G=500,. а функция Т(Нр, е) имеет вид Т (Нр, e)=i+ae-VfiHp, где а,. ₽ — параметры упрочнения.
Кривые 1,2,3 — это упруго-вязко-пластический материал с р аз-ным упрочнением (/: а=|3=0; 2: а=2, [3=0; 3: а=0, 0 = 1);. кривые 4 — вязко-пластический материал (а=0=О). Из рисунков следует, например, что при прокатке полосы из упруго-вязко-пластического материала существенное влияние на возникающие в очаге-деформации и напряжения оказывают значения параметрову прочнения
ЧЛ7-
аир (кривые 1, 2, 3). Рис. 3.57 иллюстрирует также влияние реологической модели на кинематические величины. Сравнение кривых 1 п4
' xJh
Рис. 3.57. Эпюры скорости 1С и степени деформации е для упруго-вязко-пластического материала (7, 2, 3 — обозначения те же, что и на рис. 3.56) и вязко-пластического материала (4 — а=р=0).
показывает, что величина кинематических параметров в основном зависит лишь от вязких свойств материала, а вид реологической модели и величина деформационного упрочнения практически не изменяют их значений [60].
308
Существует ряд технологических процессов, в которых теплообмен между материалом и инструментом и тепловыделение при пластических деформациях приводят к значительным температурным напряжениям. В этих случаях расчетные схемы с использованием изотермических моделей являются недостаточными.
Рассмотрим неизотермическую прокатку упруговязко-пластического материала. Обычно можно пренебречь теплообменом полосы со средой (воздухом) по сравнению с теплообменом в зоне контакта с валком. Поэтому в качестве граничных условий для уравнения теплопроводности (3.51) необходимо задавать равенство нулю теплового потока через поверхности L0A, BL^ (см. рис. 3.54), а на линии АВ (контакт металла с валком) — поток тепла <?в, направленный из материала к валку (при прокатке в охлаждаемых валках).
Рис. 3.58. Неизотермическая прокатка — эпюры температуры 0, скорости Vj и напряжений оп в разных сечениях очага деформации при L/Hm=\, е=0,1: 1 — ?в=1; 2-?в=0,5; <?-7в=0.
На рис. 3.58 приведены результаты расчетов [59] в виде эпюр для различных сечений полосы и следующих значений безразмерного теплового потока qB = 7в/(т5ц0): 1—qB = 1; 2—qB = 0,5; 3—qB = 0 (отсутствие теплообмена на поверхности АВ). Геометрические параметры очага деформации имели значения: LlHm=\, е = 0,1;
309
функция Т (Нр, е, 0) имела вид Т= 1 -J--/7^-|-5 (1—0), G = 500,. 0 = 0/0о.
При численном интегрировании системы уравнений (3.49) — (3.51), наряду с введенными выше безразмерными модулями упругости /С и G, использовались безразмерные параметры ag = -^, X = ——° , с = £Ро0о, которые в данном примере были равны: а0 = 25, Х = 0,1^ с = 5. Результаты расчета показывают существенное влияние условий теплообмена на решение, причем наблюдается неравномерное распределение напряжений по сечению, что указывает на неодномерный характер течения.
Исследование процесса прокатки с использованием рассмотренного численного алгоритма метода потоков проведено в работах [58—61]. Приведенные результаты были получены на сетке ./V=30, Л4 = 10 (при значении релаксационного параметра, равном 0,1).
И в заключение этого параграфа приведем результаты исследований движения вязкой жидкости в пористых средах (И. В. Шир-ко, М. Ю. Негинский).
4. Численное исследование установившегося течения вязкой жидкости в пористых средах. Движение жидкости и газа сквозь пористые среды лежит в основе многих промышленных процессов химической и родственных ей технологий. В настоящее время существует определенный разрыв между практикой проектирования и эксплуатации насадочных адсорбционных и ректификационных колонн, реакторов с неподвижным слоем катализатора, фильтрационного оборудования и т. п. и теоретическими представлениями о происходящих в них процессах, основанными, в частности, на уравнении Дар-с и [64].
Следует отметить, что классическое уравнение Дарси не позволяет, вообще говоря, адекватно описать многие физические явления, наблюдаемые в эксперименте. Примером может служить существенная неоднородность профиля скорости потока при течении через стационарный слой гранулированного материала, засыпанного в круглую трубу [65—72], и т. д.
Для описания установившегося течения вязкой жидкости и газа в стационарных гранулированных слоях в работах [73, 741 предложена система уравнений, на основе которой может быть проведено изучение широкого класса задач в данной области. В неподвижной декартовой системе координат (связанной с гранулированным слоем) интегральная форма этой системы [76] (выражающая собой баланс импульса и закон сохранения массы) имеет вид
§ ( pV(V,—a,7 ) п,- ds = - j f j £ V,- dQ, i = 1,2, 3, (3.63) s Q
pV/tij- ds = Q.
(3.64)
310
Здесь р — плотность протекающей среды, Vt — компоненты вектора скорости фильтрации, р, — коэффициент динамической вязкости, п}- — компоненты вектора единичной нормали к поверхности s, ограничивающей произвольный конечный объем пространства Q. В качестве замыкающего реологического соотношения для системы (3.63), (3.64) используется модель ньютоновской вязкой жидкости:
а,7 = -рб,74-2^,7, (3.65)
где р — давление, (З2 — коэффициент эффективной вязкости. Коэффициент проницаемости k* в (3.63) задается модифицированной формулой Кармана—Козени [72]:
Д2₽3
<3-66)
где d — эффективный диаметр частиц гранулированного слоя, е — пористость.
Коэффициент эффективной вязкости (З2 [73] по своей физической природе связан с явлением поперечного перемешивания при продольном обтекании частиц гранулированной среды, поэтому в широком диапазоне изменения пористости справедливо соотношение Р2|>ц. Предполагается [77], что Р2 имеет такую структуру:
р = Ф(е)(Х = { 1+2,5 (1-1) +Л (3.67)
где е — в общем случае функция координат х(, А — коэффициент, численное значение которого определяется эмпирически путем сравнения расчетных и экспериментальных данных.
В случае течения сжимаемой среды задается еще связь между давлением и плотностью в виде
р=Фо(р), (3.68)
где Фо — функция, определяющая закон сжимаемости.
Заметим, что на базе предложенной системы (3.63), (3.64) возможно единообразное (с математической точки зрения) описание течения как в стационарных гранулированных слоях, так и вне их. Действительно, область свободного течения определяется соотношением е(хг)=1, после подстановки которого в выражения (3.66), (3.67) система (3.63), (3.64) переходит в интегральную форму полных уравнений Навье — Стокса.
Для численного решения предложенной системы уравнений (3.63), (3.64) применялись схемы метода потоков. Так, в работах [75, 76] построен алгоритм расчета задач внутренней гидродинамики установившегося изотермического течения вязкой жидкости и газа при малых дозвуковых скоростях в каналах осесимметричной конфигурации, полностью или частично заполненных пористой гранулированной средой.
При этом соотношение (3.68) записывается в виде модельного закона 'искусственной сжимаемости среды:
р = К(р/р0-1), (3.69)
311
где ро — характерное значение плотности среды, К — коэффициент сжимаемости. Уравнение (3.69) эквивалентно линеаризованному уравнению состояния совершенного газа или предположению об упругой объемной деформации для нагруженных сред [71].
При конечно-разностной записи (3.63), (3.64) в цилиндрической системе координат объемный интеграл в (3.63) расписывается в виде произведения подынтегральной функции в центре ячейки (п, т) на
Рис. 3.59. Расчетная область в задаче о движении фильтрационного потока в круглой трубе со вставкой (Д£) из гранулированного материала.
величину ее объема. Значения функции Ф(е) на границах элементарной ячейки расчетной сетки определяются по симметричным формулам
Фл-1/s.m (е) =Ф[0,5 (ея>га + £„-!, и)].
В остальном аппроксимация выражений (3.63), (3.64) аналогична методу потоков [1, 2]. В качестве главных переменных при линеаризации полученной системы конечно-разностных уравнений используются значения давления и компонент скорости в опорной точке рассматриваемой ячейки (п, т). Решение данной системы проводится методом последовательных приближений с использованием
одношаговой итерационной схемы, аналогично стационарному варианту метода потоков [2].
Построенный алгоритм и работа соответствующих программ для ЭВМ были проверены на примере решения ряда методических задач внутренней гидродинамики и течений в пористой среде, имеющих известное аналитическое решение [75—77]. При этом было найдено, что при значениях безразмерного коэффициента сжимаемости /С>10г
численное решение практически не зависит от его величины и хорошо совпадает с соответствующим несжимаемым случаем.
Исходная система уравнений (3.63), (3.64) с учетом (3.65)—(3.67) и (3.69) (записанная в безразмерной форме) применялась для исследования свойств фильтрационного потока при течении в круглой трубе со вставкой (конечной длины ДА) из гранулированного материала (рис. 3.59).
Имеющиеся экспериментальные данные [69, 72] свидетельствуют о том, что при заполнении трубы зернистыми частицами значения пористости меняются в зависимости от расстояния до стенки, причем максимальные значения е наблюдаются у стенки трубы (на расстояниях от стенки порядка 5d пористость достигает постоянного значения). При численном решении закон изменения пористости по радиусу задается формулой
[ 0,32+ 0,32 (г—0,4)2, е(Г) = \0>32,
| г | >0,4, | г | <0,4.
(3.70)
312
Этот закон получен из обработки экспериментальных данных [69] при отношении радиуса трубы к диаметру зерна Rld = S.
В задаче используется ряд безразмерных параметров, определяющих физическую картину течения при исследовании данного про-десса, а именно: AL/R— отношение длины вставки к радиусу трубы; Re„2 =Р(Уо#/₽т—число Рейнольдса, подсчитанное по максималь-ной величине коэффициента эффективной вязкости; z=7?2p,/(^*p^)— безразмерный коэффициент сопротивления гранулированного слоя.
В качестве граничных условий на стенке трубы ставятся условия непротекания и прилипания:
vr=v2=o,
а. на оси симметрии—обычные условия симметрии:
JZ &У z др Q v г дг дг
На входе в расчетную область формулируются такие условия:
р = const, V =~=0, г ’ г дг ’
а на выходе—мягкие краевые условия:
дУг д (рУ2) д2Р a дг дг дг2
При ДЛ/7?>10 процесс можно моделировать течением в трубе, полностью заполненной гранулированной средой переменной проницаемости. Расчетная область разбивалась на АЛЛ1=20-40 ячеек. Размер области интегрирования по оси z определялся слабым влиянием краевых условий (обычно Az=l).
Полученное численное решение свидетельствует о наличии в центральной области трубы ядра потока с примерно постоянной 'Скоростью течения, а также о существенной неоднородности распределения скорости при приближении к стенке трубы. Путем сравнения численного решения и экспериментально измеренного профиля скорости [69] были получены оценки величины эмпирического коэффициента, входящего в соотношение (3.67): А =304-35. Кроме того, в целях удобства проведения инженерных расчетов была рассмотрена серия вариантов в предположении [32=const в поле течения. Было найдено, что наилучшее совпадение с экспериментом наблюдается в диапазоне 220р,^Р2^250р. Это соответствует порядку величины Р2, определенному в [74] путем сравнения решения системы (3.63), (3.64), построенного в приближении пограничного слоя, с соответствующими экспериментальными данными.
Для определения профиля скорости и свойств его поведения при малой толщине вставки был рассмотрен вариант с ДБ/7?=О,2, в котором
( 224р. в слое, | эе(г) в слое,
Р2 = ] эе = \ п (3.71}
( р, вне слоя, ( 0 вне слоя,
и использовался прежний закон (3.70) изменения е(г).
313
Методический расчет, проведенный с целью выяснения влияния постановки граничных условий на характер полученного решения при различных величинах AAj и AL2, показал, что с точностью 5% возможно при дальнейших расчетах использовать значения ^LJR — =0,63 и АА2/#=0,97. Общее количество ячеек разбиения области (Az=2, 7? = 1) равнялось 30-30.
Рис. 3.60. Профили вектора скорости V/Vz в различных сечениях трубы.
_На рис. 3.60 показана картина распределения вектора скорости V/Vz в различных сечениях трубы (Vz — среднее по сечению трубы значение осевой скорости). Видно, что в области до входа в слой уже про-
исходит'соответствующее перераспределение скорости потока и непо-
неоднородным. Линии тока при приближении к вставке отклоняются в пристеночную область, обладающую меньшим коэффициентом сопротивления. При течении в самом слое профиль скорости является прак-
311
-тически неизменным вплоть до выхода из слоя. В области за слоем линии тока отклоняются от стенки в центральную часть трубы и происходит перераспределение скорости, ведущее к сглаживанию неоднородности профиля потока.
Расчет поля течения в диапазоне изменения параметров A.L/R = = 0,2—0,3 и Re„2 = Ю-2— 10 показал независимость гидродина-Р/п
мической картины течения в слое от этих величин. В то же время определяющее влияниеJ на структуру потока оказывает величина
Рис. 3.62. Зависимость профиля осевой составляющей скорости потока в слое VZIV2 ст коэффициента сопротивления среды эе(г) (обозначения те же, что и на рис. 3.61).
Рис. 3.63. Параметры течения при разных значениях 9e™i'X: 1 — относительное превышение скорости в слое (Vmax/Vmin— 1); 2 — расстояние положения максимума от стенки трубы (1—r*/R).
введенного безразмерного коэффициента сопротивления гранулированного слоя эе(г). Так, на рис. 3.61 представлены графики используемых в численном расчете функций эе(г) в слое. Полученные результаты свидетельствуют о том, что уменьшение величины эе™ах и ее сближение с минимальным значением приводит к уменьшению неоднородности профиля скорости в слое и смещению области максимальных значений скорости от стенки трубы. Соответствующие данные расчета профиля скорости потока в слое приведены на рис. 3.62, где номера кривых соответствуют обозначениям на рис. 3.61. Результаты расчета относительного превышения скорости в слое утахд/тш—j (КрИВая и положения максимума от стенки 1 — r*/R (кривая 2) представлены на рис. 3.63 в исследованном диапазоне изменения эе™х.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что путем введения заданной зависимости (реально это означает специальную укладку частиц в слое) можно добиться практически не возмущенного профиля скорости потока, что является важным фактором повышения эффективности многих промышленных про-щессов, использующих аппараты со стационарным слоем зернистого наполнителя.
315
§ 9. О численном моделировании задач турбулентности
В настоящее время одной из самых актуальных проблем механики сплошных сред и физики плазмы является прямое моделирование с помощью современной вычислительной техники, алгоритмов и подходов прикладной математики сложных переходных и турбулентных движений (в том числе и для задач многомерных, с учетом сжимаемости среды, в широком диапазоне изменения параметров потока и т. п.).
Часто встречающиеся на практике так называемые переходные течения характеризуются ярко выраженной нестационарностью и нелинейностью происходящих процессов, наличием больших перемещений среды, разнохарактерным и сложным механизмом взаимодействия, диссипацией энергии. Сюда относятся, например, такие газодинамические явления, как трансзвуковые и дифракционные задачи, течение в следе за конечным телом, взаимодействие вдуваемой струи с основным потоком и др. В механике твердого деформированного тела переходные явления имеют место, например, при изучении упруго-вязко-пластических состояний. В задачах физики плазмы указанные процессы наблюдаются при численном моделировании задач о взаимодействии мощного лазерного излучения с веществом и др. В ряде случаев (течения в следе при наличии вдува; процессы, происходящие при лазерном сжатии оболочек, и т. п.) явления носят турбулентный характер, другие же задачи по своей структуре близки к ним.
В настоящее время значительно возрос интерес к построению общих численных методик, реализация которых граничит с проведением численного эксперимента. Построенные на базе метода расщепления по физическим процессам численные подходы (в том числе и рассматриваемый в этой главе метод потоков) позволяют для различных режимов движения рассматривать широкий класс переходных течений и некоторые задачи турбулентности.
Указанные вопросы уже обсуждались в гл. I, когда исследовались возвратно-циркуляционные течения в донной области за телом. В гл. II для вязких потоков несжимаемой жидкости были построены вторичные закритические течения как для модельных периодических процессов, так и для случая движения в спутном следе за телом. Наблюдалось (при умеренных значениях чисел Рейнольдса) образование нестационарного автоколебательного режима (дорожки Кармана), что, видимо, можно рассматривать как первую фазу зарождения бифуркационного процесса (псевдотурбулентность) [121]). И наконец, в § 5 этой главы при расчете обтекания (для больших значений Re) сжимаемым газом цилиндра со срывом потока также имело место в закритическом режиме образование в следе за телом устойчивого периодического (упорядоченного) течения типа вихревой дорожки со сложной внутренней структурой. Более подробно проблемы численного моделирования задач турбулентности будут обсуждаться ниже. Статистические подходы будут продемонстрированы в гл. IV на примере решения задачи о «распаде» турбулентного пятна.
316
Основная трудность при рассмотрении указанного класса задач — это выработка общей концепции построения конструктивных численных моделей турбулентности. Перед тем как более детально обсуждать эти вопросы, позволим себе кратко сформулировать точку зрения автора на рассматриваемый круг проблем.
В силу индивидуального характера нестационарного упорядоченного движения крупномасштабных макроструктур турбулентности их исследование на инерционном интервале следует проводить во всей области возмущения путем прямого численного моделирования, основанного на рассмотрении полных динамических уравнений для идеальной среды — нестационарных уравнений Эйлера (или соответствующих им законов сохранения) с приближенным механизмом диссипации, отражающим «вклад» мелкомасштабных пульсаций.
Изучение локальных эффектов (стохастическойсоставляющей) турбулентности — характера распределения рей-нольдсовых напряжений, плотности турбулентной энергии, скорости ее диссипации и др.— осуществляется в зонах больших градиентов статистическим путем с привлечением, например кинетических моделей турбулентности.
Исследование свойств турбулентных движений на малых (внутренних) масштабах вязкого интервала турбулентности естественно проводить с помощью уравнений Навье — Стокса. По существу, указанная концепция и реализуется в данной работе. Интересно, на наш взгляд, рассмотреть для исследования турбулентности также направления, основанные на комбинации описанных здесь численных методик.
1. Рассмотрим более подробно вопросы о возможности применения численных методик для прямого моделирования явлений турбулентности. Далее мы будем обсуждать главным образом подходы, где используется при описании турбулентного движения на больших интервалах времени полная (и замкнутая) система динамических уравнений для истинных значений скоростей и давления, а также статистические методы. Совместное использование этих двух подходов позволяет нам глубже продвинуться в понимании структуры турбулентности и определить рациональные пути построения соответствующих моделей.
Как известно [99, 121, 127], турбулентное движение при достаточно больших значениях чисел Рейнольдса характеризуется наличием беспорядочного изменения параметров течения: скорость,, давление, температура и другие параметры пульсируют вокруг своего среднего значения, причем размах этих пульсаций, вообще говоря, не мал по сравнению со средними значениями этих величин. Истинное распределение скоростей и других параметров движения в любой момент времени при турбулентном движении рассчитать невозможно не только потому, что это недоступно даже при использовании наиболее мощных вычислительных машин, но и по принципиальной причине [127]: это распределение не опреде-
317
ляется однозначно только уравнениями движения и заданными начальными и граничными условиями —• на него сильно влияют (вследствие неустойчивости такого нерегулярного движения) малые случайные возмущения. В связи с этим описание турбулентных потоков носит вероятностный, статистический характер *).
Вследствие нерегулярности и сложного характера движения имеет смысл рассматривать только средние значения функций мгновенных локальных величин (хотя способы определения средних значений в разных случаях бывают существенно различными) [119]. Заметим при этом, что осредненный турбулентный поток обладает свойством максимальной устойчивости [103].
Основная задача теории турбулентности — это изучение общей динамики и природы развития турбулентности, т. е. изучение эволюции турбулентного движения с течением времени.
Как известно, изменение распределения скоростей в пространстве по времени определяется уравнениями Навье — Стокса. Анализ развития и вырождения турбулентности возможно проводить, в принципе, двумя путями [79]:
— общее решение уравнений Навье — Стокса при произвольном начальном распределении скоростей в пространстве (после чего результаты должны осредняться);
— получение единственного динамического уравнения, описывающего изменение полного распределения вероятностей с течением времени (проблема представления статистического распределения в функциональном ространстве).
В полном виде эта задача ставится так (следуя [127]): задано распределение вероятностей различных полей скоростей и других пульсирующих величин в начальный момент времени', необходимо найти вероятности реализации различных пространственно-временных распределений этих величин.
Хотя для несжимаемой жидкости и было получено замкнутое функциональное уравнение, соответствующее указанной полной формулировке проблемы турбулентности (уравнение так называемого характеристического функционала поля скорости [128]), однако его использование для решения каких-либо конкретных задач пока не представляется возможным.
Естественно, что основные характеристики турбулентных движений — нестационарность и нелинейность происходящих процессов, возможность переноса групп молекул (молярный механизм переноса), наличие непрерывного потока энергии по каскаду вихрей, разные механизмы взаимодействия для различных масштабов движения, явление вязкостной диссипации и др.— должны по возможности правильно отражаться при численном моделировании турбулентности. При этом можно ставить, вообще говоря, такие задачи:
*) При этом не отрицается применимость уравнений гидродинамики к индивидуальным движениям, входящим в рассматриваемую статистическую совокупность 179].
318
(I) детальное изучение турбулентных структур (включая эффекты флуктуаций);
(II) расчет области перехода ламинарного течения в турбулентное (распад устойчивого ламинарного течения при ReKp);
(III) определение основных характеристик турбулентности без детального рассмотрения ее структуры и др.
Численная реализация указанных общих концепций, теории турбулентности проводится в разных направлениях:
— интегрирование полных нестационарных уравнений Навье — Стокса без дополнительных предположений о характере переноса (конечно-разностные подходы [80—83], спектральные фурье-методы *) [84—87] и др. используются для сравнительно простых задач конвекции, диффузии, при моделировании распада ламинарного режима, и т. п.);
— расчет тех же моделей на более грубой разностной сетке с использованием полуэмпирических переменных коэффициентов переноса (эффективной вязкости и т. п.) [88];
— решение уравнений Рейнольдса или Буссинеска для средних, элементов движения и рейнольдсовых напряжений вместе с приближенными уравнениями переноса [89, 90];
— применение статистических подходов и кинетических уравнений [79, 91-93, 118, 127, 128].
Для приближенного описания турбулентности широко используются также дифференциальные уравнения для моментов различных порядков, хотя эти уравнения являются незамкнутыми [121,. 127, 128]. Записав соотношения для плотностей вероятности различных значений пульсирующих величин в какой-либо группе точек потока и используя для приближенного замыкания некоторое конечномерное распределение вероятностей, можно найти средние-значения — математические ожидания — любых функций от этих пульсирующих величин (в том числе и средние значения произведений, указанных величин, взятых в различных степенях, т. е. моменты разных порядков). Наибольший интерес представляют моменты низших порядков, так как они описывают свойства турбулентного потока,, имеющие ясный физический смысл [127]. К настоящему времени указанное направление кажется достаточно исчерпанным.
Методики изучения турбулентности, основанные на уравнениях Навье — Стокса, тесно связаны, как известно, с исследованием свойств этих уравнений (в частности, диссипации энергии) при наличии с л а-бой вязкости, т. е. при v 0 **). Главная трудность моделиро
*) Спектральный метод основан на возможности аппроксимации любой случайной функции суммой не коррелированных между собой гармонических случайных функций. Путем осреднения уравнений Навье — Стокса получается незамкнутая система уравнений для спектральной плотности, которая описывает, в частности, изменение со временем энергосодержания вихрей с различными волновыми числами. Поскольку механизм обмена энергией между вихрями не выяснен, то для получения замкнутой системы используются различные гипотезы [79, 87, 128].
**) В работе [94] высказывается предположение о природе вполне развитого однородного и изотропного турбулентного потока: турбулентность не является результатом развития неустойчивости, происходящей вследствие возрастания числа
31»
вания турбулентности связана практически с построением для больших, закритических чисел Рейнольдса нестационарного устойчивого (в целом) численного решения*), адекватного уравнениям Навье — Стокса. Дело в том, что для обеспечения условий аппроксимации и устойчивости решения при расчетах шаг сетки h должен быть таким, чтобы погрешность аппроксимации конвективных членов в уравнениях Навье — Стокса была бы много меньше разностных представлений вязкостных членов **). Следовательно, при больших числах Рейнольдса молекулярная вязкость v является слишком малой величиной, чтобы ее можно было использовать для обеспечения вычислительной устойчивости решения при расчетах на реальных сетках. Оценки для модельных уравнений показывают, что приближение к реальному решению может быть достигнуто при условии Re-/i<jl, т. е. расчет течений с молекулярным механизмом диссипации для больших (турбулентных) значений Re если и можно проводить, то лишь на очень мелких разностных сетках (сравнимых, вообще говоря, с молями пульсаций) ***).
Важно еще добавить, что при Re>ReKp образуется другой (отличный от молекулярного), молярный механизм переноса, при котором наблюдаются хаотические движения отдельных групп молекул, а в возникающей при турбулентном обмене эффективной турбулентной вязкости доля молекулярной вязкости незначительна <обычно vTyp6/vMOJI~1054-106). Кроме того, при исследовании задач турбулентности необходимо, вообще говоря, рассматривать трехмерные (по пространственным переменным) нестационарные уравнения Навье — Стокса. При этом возможна неединственность решения таких задач при больших числах Рейнольдса (хотя доказано, что нестационарные одномерные и двумерные задачи для уравнений Навье—’Стокса всегда имеют единственное решение на всем интервале времени (>0) [96]. Следовательно, условия возникновения турбулентности должны, вообще говоря, соответствовать и условиям неединственности нестационарных решений уравнений Навье—-Стокса [97].
Таким образом, в прямой постановке задача (I) о детальном изучении развитой турбулентности на основе модели Навье —• Стокса кажется трудновыполнимой даже при использовании самых мощных ЭВМ.
Рейнольдса вязкого течения, а возникает через конечное время t0 при энергетической катастрофе в невязком потоке (до f0 пространственная ковариация аналитична, спектр имеет конечные моменты всех порядков и энергия сохраняется; после t0 ковариация больше не аналитична, спектр при больших волновых числах подчиняется закону Колмогорова и имеется конечная диссипация энергии при нулевой вязкости).
*) При Re>ReKp появляется устойчивое (в осредненном смысле) нестационарное решение, которое и осуществляется реально в движущейся жидкости 199, 100].
**) См. также 6-условия (1.46), (1-47).
***) Проводить вычисления с шагами расчетной сетки порядка внутреннего масштаба турбулентности нереально (даже на самых мощных современных ЭВМ) и нецелесообразно для большинства задач. Мелкомасштабные пульсации должны «с г л а ж и в а т ь с я» на протяжении ячеек расчетной сетки и временного шага.
320
При расчетах тех же моделей на реальных (грубых) сетках при больших числах Рейнольдса приходится использовать для обеспечения устойчивости получаемого нестационарного решения большие значения эффективной -или аппроксимационной вязко-
сти и рассматривать отличный от молекулярного приближенный механизм диссипации. Расчет полных уравнений Навье — Стокса с аппроксимационной вязкостью, обеспечивающей однородность разностных схем и вычислительную устойчивость решения, позволяет
А
в принципе получить формальное решение и для больших значений чисел Рейнольдса. Однако указанное решение, вообще говоря, не соответствует модели Навье — Стокса, так как молекулярные эффекты здесь «з а-б и в а ю т с я» схемной вязкостью. Данный подход (с приближенным ме-
В
Т) С
ханизмом диссипации) можно использовать, видимо, лишь для задач, где влияние молекулярной вязкости незначительно (если выполняется принцип подобия по числу Рейнольдса [119]).
Обратимся в качестве примера к уже упоминавшимся в гл. I ре-
Рис. 3.64. Схема сверхзвукового обтекания прямоугольного препятствия: А — зона слабовозмущенного потока; В — зона торможения перед телом; С — зона возвратноциркуляционного течения.
зультатам численного эксперимента, проведенного Ю. М. Давыдовым. Из него следует, в частности, что при сверхзвуковом обтекании плоского «уступа» (рис. 3.64) в областях А (зона слабовозмущенного потока) и В (зона торможения перед телом) значения
скорости и плотности сравнительно велики и получение устойчивого решения уравнений Навье—Стокса (например, для Re = 500 с аппроксимационной вязкостью составляющей 6 = 5%
от молекулярной вязкости) практически невозможно на равномерной сетке (здесь схемная динамическая вязкость pc ~ р | V | h ~ ~ 0,025-1-0,05 и должен использоваться шаг расчетной сетки h ~ 10~5-у-10-6). В то же время в области С—зоне возвратно-циркуляционного течения с пониженной плотностью, где влияние схемной вязкости сравнительно мало (рс~ 0,001), такие расчеты могут проводиться с h ~ 0,015 (при постоянных значениях h, 6 максимально допустимое число Рейнольдса в области С примерно на порядок больше, чем в областях А, В).
Мы видим, таким образом, что непосредственное численное моделирование на базе уравнений Навье—Стокса задачи (II) о срыве ламинарного режима при ReKp также весьма затруднительно*).
*) В [83] указаны специальные условия, которые следует предъявить к разностному алгоритму, чтобы полученное решение задачи правильно описывало качественные свойства решений уравнений Навье — Стокса при Re~ReKp (в частности, отсутствие при больших Re устойчивых стационарных решений). Для этого спектральные свойства линеаризованных уравнений Навье — Стокса и соответствующих разностных уравнений должны быть близки друг к другу (см. также Рождественский Б. Л., Симакин И. Н. Нестационарные вторичные течения в плоском канале и устойчивость течения Пуазейля относительно конечных возмущений.— ДАН СССР, 1982, 266, №6, с. 1337—1340).
11 О. М. Белоцерковский 321
Как отмечается в [95], развитие теории нелинейной устойчивости (что тесно связано с проблемой возникновения турбулентности) идет в основном в двух направлениях:
1) аппроксимация уравнений гидродинамики конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Галер-кина) *);
2) использование идей Л. Д. Ландау [99, 100] об образовании и развитии турбулентности в результате роста малых возмущений и последовательном дроблении вихрей из-за их неустойчивости, что приводит к возникновению условно-периодического устойчивого (в определенном интервале значений параметров) движения с большим числом степеней свободы и частот **).
В ряде случаев полуэвристические подходы, связанные с введением эффективных коэффициентов переноса (v3iii>v) в полные (ламинарные) уравнения Навье — Стокса [88], или рассмотрение незамкнутых уравнений Рейнольдса — Буссинеска для средних элементов движения [89, 90J и т. п. (с приближенными уравнениями переноса) дают хорошие практические результаты при определении основных характеристик турбулентности без детального изучения ее структуры (задача (III)). Отметим только, что при введении полуэмпириче-ских соотношений и уравнений переноса делается обычно много предположений, оценить которые априори невозможно. Особенно затруднительно конструирование таких уравнений для пространственных задач турбулентности.
Подход, связанный с изучением пульсационных уравнений, представляет интерес, однако в прямом виде этот путь кажется весьма сложным для практических расчетов ***). На последних направлениях, основанных на рассмотрении незамкнутых уравнений турбулентности, останавливаться здесь не будем (интересующие читателя подробности можно найти в цитируемой литературе).
Используя современное представление о структуре турбулентности, нам кажется оправданным и перспективным применение для изучения свойств турбулентных движений глобальных численных моделей, построенных на основе принципа расщепления для уравнений Эйлера, Навье — Стокса и кинетических уравнений [78, 118].
2. Прежде чем привести общую схему таких исследований, сделаем ряд замечаний. Если в первые годы изучения турбулентности эти процессы трактовались как полностью стохастические (определяемые случайными распределениями пульсационных вели
*) Обзор работ указанного направления и обширная библиография имеются в [95]. Интересные результаты по исследованию вторичного (закритического) режима для течений Колмогорова содержатся в [98].
**) Прямая реализация идей Л. Д. Ландау даже на первом шаге (при Re~ReKIp наталкивается на большие математические трудности [95, 99].
***) В [101] отмечается, в частности, что для определения среднего турбулентного движения пульсационные параметры потока могут быть определены приближенно с точностью до осредненных' квадратичных членов, поэтому нет необходимости отыскивать точные решения для пульсационных элементов.
322
чин), то к настоящему времени произошел, на наш взгляд, принципиальный поворот в понимании указанных явлений. Оказалось, что турбулентности свойственно (как элементу) и организованное движение крупномасштабных структур; вопросы соотношения детерминированного и хаотического начал сейчас активно изучаются [119—126].
Многие эксперименты и исследования показали (см., например, [119—123] и др.) *), что широкому классу турбулентных потоков с поперечным сдвигом (как при свободных течениях, так и в пристеночной области) присуще нестационарное организованное движение крупномасштабных образований (больших вихрей) со слабой пульсацией — относительно упорядоченное движение когерентных структур, которые имеют устойчивую и типичную (для данной задачи) форму. Внутренняя зона указанных течений, например для струйных задач, имеет турбулентный (стохастический) характер и состоит из неупорядоченных мелкомасштабных пульсаций достаточно высокой интенсивности, но примерно однородной структуры.
Так, в свободных сдвиговых течениях (спутные следы, струи) наблюдается [119] двойная — перемежающаяся — структура турбулентности. Основная зона турбулентной жидкости имеет сравнительно малый масштаб, однородна и содержит основную часть энергии. На нее налагается внешняя система устойчивых медленных (нетурбулентных) больших вихрей, которая и переносит полностью турбулизо-ванную жидкость от одной части течения к другой **).
Таким образом, упорядоченные структуры составляют собственный базис турбулентного сдвигового движения ***). Следуя [125], проведем классификацию структур турбулентности.
Динамические структуры существуют вблизи точки перехода от ламинарного течения к турбулентному и имеют бифуркационное происхождение (структурная стохастичность — «хаос рождается из порядка» — может возникать либо непосредственно как новообразование, либо в результате сто-
*) На указанные работы наше внимание обратил О. С. Рыжов. Автор признателен ему за полезные обсуждения рассматриваемых здесь проблем.
** ) Причиной перемежаемости турбулентности является создание большими вихрями искривленной граничной поверхности между нетурбулентной и турбулентной жидкостями, т. е. между областью с нулевой (или слабой) пульсацией вихря и полем со значительными пульсациями. Это подтверждают осциллограммы изменения продольной компоненты пульсационной скорости и ее производной для турбулентной спутной струи [119, 121]. Так, кинетическая энергия турбулентности, диссипация и коэффициент вихревой (турбулентной) вязкости в центральной области следа изменяются очень слабо, а в направлении к его границе — быстро уменьшаются. После внесения поправок на коэффициент перемежаемости эти величины в значительной части поперечного сечения следа оказываются практически постоянными [121].
** *) Новые результаты исследований советских ученых в области теории структурной турбулентности содержатся в [124].
11» 323
хастизации детерминированных структур, существующих в докри-тической области).
Квазиравновесные структуры образуются в областях с развитой турбулентностью, когда хаотическое движение настолько велико, что система близка к термодинамическому равновесию (структурность такого стохастического движения — «р о ж-дение порядка из хаоса» — связана с упорядочивающим воздействием интегралов сохранения и наличием некоторой малой степени неравновесности, которая привносится дополнительно, например, в виде модели каскадного процесса).
Потоковые структуры занимают промежуточное место между первыми двумя видами структур (они существуют далеко от области перехода в условиях, когда основные бифуркационные процессы уже произошли, а неравновесность, или потоковость, еще не является малым параметром).
В свободных сдвиговых турбулентных движениях — струях, следах и в слоях смешения — когерентные структуры наблюдаются при произвольно больших числах Рейнольдса. Структуры этого типа часто имеют двумерную (или квазидвумерную) форму [126]. Форма, интенсивность и масштаб такого низкочастотного упорядоченного движения квазидетерминированы (т. е. индивидуальны) для данного типа течений, и в рассматриваемой статистической совокупности для их описания целезообразно использовать уравнения гидродинамики (а не статистические подходы). Причем размеры больших вихрей сравнимы с характерным размером течения и значительно больше масштабов энергонесущих вихрей, составляющих собственно турбулентное движение.
Как отмечается в [119], интенсивность пульсаций в свободном турбулизованном потоке является почти постоянной (за исключением непосредственной близости границ, где происходит процесс захвата неподвижной жидкости). При этом турбулентность в следе обладает и вполне достаточной степенью локальной изотропности (по отношению к интенсивностям пульсаций скорости по разным направлениям, а следовательно, и по отношению к энергетическим характеристикам) *) [121].
Совместное существование основного турбулизованного поля со сравнительно малыми вихрями и упорядоченного движения когерентных макроструктур создает два физически различных типа турбулентного переноса. Это градиентная диффузия, представляющая собой локальный эффект мелкомасштабной турбулентности на перенос диффундирующей величины в направ
*) При больших числах Рейнольдса в изотропной (и пространственно-однородной) турбулентности свойства энергонесущих вихрей не зависят практически от величины вязкости (имеет место принцип подобия по Re). Наблюдается также слабая связь между крупно- и мелкомасштабными движениями, и, следовательно, поведение мелкомасштабных вихрей универсально для разного класса сдвиговых течений, что позволяет использовать здесь известный закон Колмогорова — Обухова [99, 120].
324
лении градиента средней интенсивности, и объемная конвекция, где масштаб переносящих вихрей сравним с характерным масштабом распределения диффундирующей величины и зависит, вообще говоря, от общей картины течения.
Основной вклад в турбулентный перенос вносят, естественно, движения крупномасштабных структур, которые поглощают энергию основного потока, а часть своей энергии передают «по каскаду» мелкомасштабным вихрям. В свою очередь крупномасштабный перенос турбулентной жидкости осуществляется, по-видимому, организованным движением группы больших вихрей, которые обусловливают искажение границы турбулизованного поля и осуществляют перенос турбулентной жидкости поперек потока [119, 120]. Следовательно, именно движение упорядоченных когерентных макроструктур формирует, в основном, динамические и энергетические характеристики течения «в целом», что определяет свойства и глубинной турбулентности, где происходит диссипация энергии. Обратное же влияние мелкомасштабной турбулентности (и молекулярной диффузии) на основные характеристики организованного потока для свободных сдвиговых турбулентных течений, по-видимому, незначительно, так как это эффекты разных порядков, а процесс передачи энергии односторонний.
Таким образом, изучение свойств упорядоченного движения нестационарных крупномасштабных структур, как определяющего фактора течения, является, на наш взгляд, центральным звеном при рассмотрении широкого класса сдвиговых турбулентных потоков. Крупномасштабные структуры при этом должны исследоваться детально, а для мелкомасштабных вихрей целесообразно использовать статистическую аппроксимацию.
Отмеченные выше положения определяют, по существу, идеологию организации вычислительного процесса при прямом численном моделировании задач турбулентности. Общий цикл исследований распадается здесь на д в е взаимосвязанные задачи.
1) Расчет нестационарного движения упорядоченных и крупномасштабных структур. Большой масштаб и организованный характер такого движения позволяют использовать при его описании численные схемы, основанные на нестационарных уравнениях гидродинамики для модели идеальной среды (разностный Эйлер) и обладающие неким приближенным диссипативным механизмом. Этот механизм, обеспечивая устойчивость решения в целом, должен отражать (в сглаженном виде) вклад мелкомасштабных пульсаций. Свойства крупномасштабных движений определяются в основном объемной конвекцией и зависят от решения в целом. Следовательно, расчет должен проводиться непосредственно во всем поле течения на «реальных» разностных сетках с последующим определением необходимых осреднен-ных характеристик турбулентного потока (например, моментов различного порядка) путем соответствующей статистической обработки полученных результатов.
Здесь, естественно, возникает важный вопрос о корректности постановки задачи численного моде
325
лирования крупномасштабного турбулентного движения, т. е. вопрос о том, какое отношение к действительности будут иметь такие расчеты.
Как показал В. М. Иевлев (см. также [127]), существует принципиальная возможность получения правильных статистических результатов с помощью сглаженных уравнений движения, где вклад мелкомасштабных вихрей представлен приближенно (без требования правильного расчета «истинных» полей пульсирующих величин) *). (При исследовании характеристик спутного следа за телом в § 5 этой главы приводятся результаты расчетов упорядоченного движения таких когерентных (равновесных) структур в следе за цилиндром для достаточно больших чисел Рейнольдса, когда молекулярными эффектами по сравнению с турбулентными можно пренебречь.)
2) Численное моделирование стохастической составляющей турбулентного сдвигового потока (мелкомасштабная турбулентность). Расчет этого типа течений естественно проводить статистическими методами или феноменологически, вводя соответствующие коэффициенты турбулентной вязкости [78]. Здесь также возможно использовать алгоритмы, основанные на рассмотрении пульсационных уравнений [101], где параметры среднего течения определяются из решения задачи (1).
При этом важно отметить, что расчеты указанных течений целесообразно осуществлять лишь в ограниченных подобластях, «вырезая» в общей картине потока зоны больших градиентов. Такой подход основан на предположении о том, что при масштабе турбулентности, малом по сравнению с масштабом среднего движения, локальная структура турбулентности универсальна для различных течений и определяется лишь локальными условиями (турбулентный перенос характеризуется здесь градиентной диффузией) [119]. Все это позволяет использовать при вычислениях вполне определенные модели и необходимые достаточно мелкие расчетные сетки, причем уровень требований, предъявляемых к ресурсам ЭВМ, здесь резко снижается.
*) Расчет по сглаженным уравнениям принципиально может обеспечить получение правильных статистических характеристик потоков, зависящих от крупномасштабной турбулентности, хотя детальная пространственно-временная картина такого пульсационного движения не будет при этом воспроизводить какой-либо реальный процесс. В § 4 [127] сформулированы для общих уравнений движения условия корректности такой постановки для значения плотности вероятностей случайных величин fn (определяющих состояние движение среды; скорость, плотность и др.), а также выписаны в терминах условных математических ожиданий (входящих в правые части уравнений для /„) некоторые соотношения, на основе которых возможно приближенное замыкание уравнений для без применения Эхмпирических констант. Эти соотношения должны, по возможности, удовлетворяться и при выборе моделей для мелкомасштабных структур.
Автор благодарен В. М. Иевлеву за весьма конструктивное обсуждение указанных вопросов.
326
Как известно, осреднение уравнений Навье — Стокса по Рейнольдсу проводится сразу по всем масштабам турбулентности для больших интервалов времени, что требует моделирования сразу всех структур. Нереально, таким образом, для различных классов движения сконструировать универсальную модель турбулентности. В отличие от этого подхода, описанная выше концепция основана на расщеплении общего движения на крупно- и мелкомасштабные структуры. При этом движение крупномасштабных вихрей (размера Х^г/i, где h — шаг разрешения разностной сетки) определяется непосредственно путем интегрирования уравнений гидродинамики *), а моделируются (сглаживаются) лишь подсеточные мелкомасштабные пульсации, которые не разрешаются в явном виде при численном интегрировании и обладают, как уже отмечалось, вполне универсальными свойствами. Указанная концепция адекватна и так называемым моделям подсеточного замыкания [129, 1301. Все дело, однако, в том, как организовать указанный процесс расщепления (осреднения) и на базе каких моделей выстраивать приближенные (сглаженные) уравнения, описывающие движение крупномасштабных структур. При этом, естественно, возникают проблемы, связанные с выбором аппроксимаций для мелкомасштабных вихрей и оценкой их влияния на крупномасштабные движения. И, конечно, центральное место должны занимать аспекты, связанные с реализацией указанных подходов **).
3. Используя описанные в этой книге общие численные методики и основные положения структурной турбулентности, предложим одну конструктивную схему прямого численного моделирования задач турбулентности, где в зависимости от масштаба разрешения используется соответствующая модель диссипативного механизма (так называемая каскадная модель турбулентности) [781. Сформулируем вначале кратко наиболее важные положения, которые закладываются в основу такого вычислительного эксперимента:
— исходная математическая модель должна быть нестационарной;
— рассматриваются полные динамические уравнения для истинных значений скоростей и давления;
— турбулентное движение при достаточно больших числах Рейнольдса трактуется как осредненное устойчивое нестационарное (упорядоченное) течение крупномасштабных структур плюс стохастическая составляющая турбулентности, состоящая из турбулентных пульсаций [119—126] ***);
*) При таком подходе осреднение, по существу, выполняется только по интервалам времени, характеризующимся появлением однотипных событий (метод условных выборок).
**) Во многих случаях, например в моделях для подсеточной турбулентности [129, 130], математические трудности, возникающие при рассмотрении указанных проблем, поч'И идентичны проблемам, связанным с решением осредненных уравнений Рейнольдса.
***) Все реально существующие течения должны удовлетворять условию устойчивости по отношению к малым возмущениям (здесь имеется в виду устойчивость ос-редненного движения в целом, т. е. в глобальном смысле, на достаточно больших мас-
327
— турбулентная среда представляется совокупностью элементов — турбулентных вихрей разных масштабов ~'К *);
— конкретные начальные данные в случае достаточно длительного рассмотрения турбулентных движений не играют решающей роли;
— основными элементами механизма турбулентного перемешивания являются: перенос групп молекул, последовательное дробление вихрей из-за их неустойчивости, непрерывный процесс передачи кинетической энергии по каскаду вихрей, диссипация энергии в мелких масштабах;
— величина потока турбулентной энергии по «иерархии вихрей» является основной характеристикой турбулентного движения во всех масштабах и определяется динамикой крупномасштабной турбулентности;
— нестационарная модель Эйлера (с приближенным механизмом диссипации) справедлива для исследования осредненных характеристик движения крупномасштабных структур (при где
Re>.„~l); л л
— вязкостные потери A,<gX0 (диссипация энергии при л^л0) описываются нестационарной моделью Навье—Стокса (течение здесь ламинарно).
Основная идея предлагаемого здесь подхода для изучения развитой сдвиговой свободной турбулентности заключается в том, что при исследовании различных структур турбулентных движений весьма рациональным представляется расщепление общего явления на области (интервалы) с разными масштабами взаимодействия и соответственно с разными численными моделями. При этом моделируются лишь мелкомасштабные структуры, численная же реализация указанного подхода проводится от осредненного поля упорядоченных крупномасштабных образований, которое рассчитывается непосредственно на основе нестационарной модели идеальной среды **). Остановимся на этом подробнее.
Для больших чисел Рейнольдса весь спектр (интервал равновесия) масштабов вихрей X турбулентного движения с размерами (/ — основной масштаб турбулентности) целесообразно разбить на два интервала: инерционный (включая область локальной турбулентности) и вязкий (диссипативный)
штабах). Как показывает опыт, любые возмущения, внесенные в осредненный турбулентный поток, вследствие интенсивного перемешивающего действия турбулентных пульсаций быстро затухают [103]. Таким образом, осредненное турбулентное движение является консервативным, т. е. его характеристики весьма устойчивы по от-1 ошению к внешним возмущениям [106].
Оценку условий устойчивости общего численного решения в нелинейном случае можно получить из экспериментального счета (вводя, например, возмущения разной интенсивности) или используя метод дифференциальных приближений.
*) При численном моделировании турбулентности, например методом крупных частиц или потоков, вихрю масштаба можно сопоставить крупную частицу или элементарную ячейку размера ~h.
* *) По существу, вместо введения единого (для всего поля течений) коэффициента эффективной турбулентной вязкости здесь предлагается использовать спектр таких коэффициентов в зависимости от порядка длин рассматриваемых масштабов.
328
Для инерционного интервала движения (масштабы вихрей где Хо— внутренний масштаб турбулентности;
Rex0~l) основным процессом является передача кинетической энергии по каскаду вихрей со скоростью <§, при этом дробление вихрей идет лишь под действием сил инерции, а вязкость несущественна (вторая гипотеза подобия А. Н. Колмогорова о сохранении потока энергии) [104]. Указанный тип движения имеет место при очень больших числах Рейнольдса, причем для масштабов вихрей Л^>Л0 целесообразно использовать соотношения локальной турбулентности [99, 1021.
По существу, моделирование здесь начинается, как уже отмечалось, с масштабов локальной турбулентности, арасчет упорядоченных структур и крупномасштабных движений проводится непосредственно. Дело в том, что наиболее крупные энергонесущие вихри в турбулентном движении анизотропны вследствие ориентирующего действия среднего течения. Однако благодаря хаотическим процессам дробления вихрей степень анизотропии должна все более ослабляться при переходе ко все более мелким масштабам, и статистические характеристики последних должны быть уже достаточно однородными и изотропными [1041. Таким образом, моделирование, как таковое, оправдано лишь для мелкомасштабных структур, где можно воспользоваться универсальными законами *).
Вязкий (диссипативный) интервал движения (АлО-о) целиком определяется силами вязкости. Наименьший из масштабов турбулентности характерен тем, что локальное число Рейнольдса для него порядка единицы (Rei„~l) и турбулентное движение возможно только в достаточно больших объемах, где Re>l. Вязкость препятствует развитию турбулентности в меньших объемах, следовательно, движение наименьших из существующих вихрей ламинарно, причем они осуществляют большую часть всего рассеяния энергии [87, 102, 1051. Таким образом, самые мелкомасштабные течения и вязкостные потери (диссипация энергии) описываются нестационарными уравнениями Навье — Стокса при небольших значениях чисел Рейнольдса.
Выделение вязкого интервала как бы аналогично пограничному слою — его изучение проводится независимо, но на базе данных «основного» (инерционного) интервала движения крупномасштабных структур.
Указанное разделение явления на области больших и малых структур турбулентности с разным характером обмена (и, следовательно, разными величинами эффективной вязкости) весьма физично, причем здесь не требуется, как видим, решение
*) Если скорости и длины для турбулентных движений измерять в единицах внутренних масштабов Ло и , то статистические характеристики безразмерных разностей скоростей будут одинаковыми (в силу общих выводов теории Размерностей) для всех локально-однородных и изотропных турбулентных потоков [104].
329
уравнений Навье — Стокса для больших значений Re.
4. Обсудим вопрос о возможности количественных оценок свойств турбулентных движений с помощью описанной выше схемы [781.
На инерционном интервале турбулентности роль вязкости незначительна, и естественно в этом случае проводить исследование упорядоченных и крупномасштабных образований непосредственно путем построения обобщенного решения для нестационарной мод е.,л и Эйлера (например, (1.51)) с некоторым прибли же иным механизмом диссипации при точном моделировании временного процесса (разностный Эйлер). Точное моделирование нестационарности позволяет исследовать динамику развития процесса; приближенный механизм с «быстрой» диссипацией в разностных уравнениях Эйлера позволяет, по существу, определять из условий устойчивости эффективные значения коэффициентов переноса. При такой трактовке диссипативный механизм в разностном Эйлере, обеспечивая устойчивость решения в целом, должен отражать вклад мелкомасштабных (подсеточных) пульсаций в рассчитываемый класс движений с Х^/г.
Построенные на основе модели Эйлера расчетные схемы дают возможность изучать не только характеристики крупномасштабных турбулентных движений, отвечающих большим числам Рейнольдса, но, вообще говоря, и свойства локальной турбулентности масштаба />л>>лп *).
Общую структуру уравнений разностного Эйлера демонстрирует, например, система (1.51). В ней еж, &у — некоторые коэффициенты аппроксимационной вязкости, определяющие вязкостные свойства решения и обеспечивающие его устойчивость (и аппроксимацию исходных уравнений) на- данной разностной сетке. Можно так у п-р а в л я т ь указанным диссипативным механизмом, что он будет в определенной мере отражать (при соответствующих масштабах разрешения) вклад подсеточных мелкомасштабных вихрей для различных X. Если расчет движения нестационарных упорядоченных макроструктур (зависящего от всей области движения) проводится по схемам разностного Эйлера со схемной вязкостью типа
e~|V|/i, (3.72)
то при изучении энергонесущих турбулентных
*) Как отмечается в [99], все величины, относящиеся к турбулентному движению в масштабах X > Хо, не могут зависеть от молекулярной вязкости v; точнее, эти величины не должны меняться при изменении v и неизменных остальных условиях, в которых происходит движение. Расстояния порядка /.о ~ Z/Re3^4 являются границей применимости уравнений Эйлера к турбулентному движению. Таким образом, турбулентные движения масштаба X > могут изучаться, вообще говоря, на основе уравнений Эйлера с приближенным механизмом диссипации, отражающим вклад мелких вихрей.
330
вихрей в областях больших градиентов возможно в приближенный механизм диссипации ввести турбулентную вязкость вида
'’турб л ~ Aw • I, (3.73)
где Ды—изменение средней скорости на расстояниях порядка I, а для зон локальной турбулентности, определяемых местными градиентами, целесообразно использовать в разностном Эйлере эффективную вязкость vTyF6X, удовлетворяющую известному закону Колмогорова—Обухова [99, 102]:
л? С /fjA2
Щ или s = ~ vTyr6 XV, (3.74)
откуда
vTyp6 х ~ (3-75)
Здесь S— диссипация турбулентной энергии по каскаду вихрей (эту величину можно непосредственно получать из расчетов крупно масштабных образований); v\—изменение скорости (в основном пульсационной ее составляющей) на протяжении расстояний Д*).
Введение в расчетную схему (1.51) соотношения (3.75) позволяет правильно смоделировать закон затухания турбулентности для разных масштабов X. При этом для вязкого интервала движения, где происходит полная диссипация энергии (на расстояниях h ~ Хо, Rex„ ~ 1), в областях больших градиентов влияние молекулярной вязкости становится существенным, и здесь необходимо переходить к расчету уравнений Навье—Ст окса с молекулярным механизмом диссипации (ex = 8!/ = v).
Последовательно понижая масштаб разрешения, возможно пройти, таким образом, весь спектр турбулентности. При этом вводятся новые коэффициенты турбулентной вязкости, соответствующие своему масштабу движения, и проводится численное моделирование (на новых сетках) вихрей разных масштабов для инерционного и вязкого интервалов движения. Чем мельче масштаб разрешения, тем, вообще говоря, грубее могут быть оценки подсеточных пульсаций (все большая часть спектра «попадает» под прямое разрешение). Смена типа эффективной вязкости (склейка решения) производится при выполнении условия сохранения потока энергии по каскаду вихрей в областях, где старое решение становится неустойчивым и требуется переход на более мелкие шаги (масштабы) расчетной сетки. Указанная идеология построения численного эксперимента, вполне адекватна, как нам кажется, основной идее развития турбулентности по Ландау [99, 100].
*) В зонах локальной турбулентности (Х^>Х0) рассматривается относительное движение жидких частиц на этом участке (а не абсолютное, когда весь участок — ячейка — движется как целое, что характерно для крупных масштабов и следует из (3.72)) [99].
331
Важно при этом отметить следующие обстоятельства:
1) выбор размера h в разностном Эйлере должен обеспечивать содержание основной части энергетического спектра при (сетка не должна быть жестким фильтром);
2) при таком подходе не требуется, как видим, решение уравнений Навье — Стокса для больших значений чисел Рейнольдса;
3) «истинный» масштаб турбулентности (а также соответствующие коэффициенты переноса) вырабатывается здесь в процессе расчета нестационарного движения *).
5. Вычисления по сглаженным уравнениям с приведенным диссипативным механизмом проводятся на интервалах времени до ф о р-мирования осредненного течения, т. е. появления устойчивых характерных (в общем случае — нестационарных) структур, после чего для определения осредненных характеристик пульсационного турбулентного потока (моментов) необходима соответствующая статистическая обработка полученных результатов. Ее можно производить непосредственно по результатам вычислений или же используя вероятностные подходы.
Остановимся на этом подробнее, следуя работам В. М. Иевлева ([127] и др.). Общую систему уравнений механики сплошных сред для задач гидродинамики можно записать в следующем виде:
dV: . dv; г . 1 о О
+ = 1 = 1, 2, 3,
dt R oxh ‘ ’
^- = — dt ' k dxk " dxt ’
%-’ + ^^ = П(й), m=l, 2, ..., У. dt R dxk ’
(3.76)
Здесь символом |(от) обозначены все независимые параметры, определяющие состояние и движение среды, кроме скорости среды V и плотности р; vk — компонента полной скорости V вдоль оси xk (по повторяющимся индексам предполагается суммирование по всем осям координат); Е;-—правая часть уравнения количества движения. Так, для несжимаемой жидкости
С _ ‘Л | ?
‘ р дх{ ' дхкдх^*
В турбулентном потоке мгновенные значения vt, р, 5(га) пульсируют и являются случайными величинами. Выберем какую-либо группу из п точек в потоке и обозначим /„ плотность вероятностей различных значений случайных величин пг, р, |(т) в этих точках в один и тот же момент времени t. Пусть Ап означает совокупность величин vit р и во всех выбранных точках; величинам, относящимся к какой-либо точке у, приписываем индекс (у). Зная плотности вероятности fn, можно найти осредненные значения **) (математиче*
*) Автор благодарит А. М. Обухова и А. Т. Онуфриева за обсуждение указанного подхода.
**) Рассматривается осреднение по ансамблю многих статистически равноценных реализаций потока. Если поток статистически однороден по каким-либо коор.
332
ские ожидания) любых функций от Ап, в частности осредненные значения самих величин vit р и £(я>) в каждой из рассматриваемых точек, одно- и многоточечные моменты более высокого порядка и др.
Уравнение, описывающее изменение во времени, имеет следующий вид [127J *):
+ J — О"
(3.77)
Здесь символ < >дп обозначает условные математические ожидания стоящих в угловых скобках величин при заданных значениях всех аргументов Ап, координат точек и времени.
Приведенное уравнение для fn является точным, но н е з айкнут ы м, так как входящие в правые части условные математические ожидания различных величин не могут быть определены только по значениям fn (для их определения надо знать еще /„ + i, а иногда и более многоточечные распределения вероятностей).
Наряду с истинными значениями величин v;, р и |((Я) можно ввести в рассмотрение их приближенные значения р(-, ри|(я), определяемые по уравнениям со сглаженными правыми частями: .
~ dv№
1‘=1’ 2- 3’
dt dxj* Р
A5(v)
°s(m)_zn(v)x-r m_i о дг ~дГ + Vk ’ m-1, A-'-’ N'
(3.78)
Ап ’
где Ан означает совокупность значений vt, p и g(m) во всех точках п.
Пусть величины vz, р и |(и) принимают случайные значения (в силу неустойчивости самих решений сглаженных уравнений или из-за случайности в начальных и граничных условиях). Тогда, как показал В. М. Иевлев, уравнения для плотности вероятностей /„ совокупности An{vit р, £,т} будут иметь вид, совпадающий с (3.77). Если при этом задать одинаковые начальные и граничные услэвия для fn и fn, то функции fn и fn полностью совпадут, т. е. совпа'дут все статистиче-
динатам или времени (т. е. fn не зависит от t), то осреднение может проводиться не по ансамблю реализаций, а по этим координатам (путем смещения всей группы точек) или по в р е м е н и.
*) См. также: Иевлев В. М. Уравнение для конечномерных распределений вероятностей пульсирующих величин в турбулентном потоке,—ДАН СССР, 1973, 208, №5, с. 1044—1047.
333
ские характеристики потока, определяемые через Ап и Ап соответственно (хотя зависимости njv), p<v> и от времени совершенно не будут совпадать при одинаковых начальных условиях с истинными распределениями p(V) и
Таким образом, расчет по сглаженным уравнениям принципиально может обеспечить получение правильных статистических характеристик потока, зависящего от крупномасштабной турбулентности, хотя детальная пространственно-временная картина такого пульсационного движения не будет при этом воспроизводить какой-либо реальный процесс.
Назовем этот фундаментальный результат принципом Иевлева. Он, по существу, положительно отвечает на вопрос о возможности прямого численного моделирования нестационарного (пульсационного) крупномасштабного турбулентного движения с помощью сглаженных уравнений движения. При этом, естественно, требуется правильное задание условных математических ожиданий в правых частях сглаженных уравнений (3.78). Отметим также, что правые части в сглаженных уравнениях (3.78) однозначно определяются величинами vit р и £(т) в узлах расчетной сетки (в отличие от точных уравнений (3.76), где в правые части входят еще дополнительные случайные колебания). Таким образом, замыкание в (3.78) проводится путем соответствующего моделирования (сглаживания) эффектов подсеточной мелкомасштабной турбулентности. Такое представление должно аппроксимировать с определенной точностью правые части этих уравнений и отражать влияние мелкомасштабных вихрей (см. (1.51), (3.72) — (3.75)).
6. С помощью указанного подхода и схем расщепления проводилась большая группа численных экспериментов [29, 31, 98, 115, 118] по расчету движения упорядоченных крупномасштабных структур в спутном следе за телом (§ 5 гл. I, § 9 гл. II, § 5 этой главы). Если расчеты при умеренных числах Рейнольдса (проделанные на основе уравнений Навье — Стокса) характеризуют зарождение первого бифуркационного процесса в динамической когерентной структуре (псевдотурбулентность [121]) (см. рис. 2.82, 2.88, 2.89), то рис. 3.35—3.38 иллюстрируют уже развитие упорядоченных крупномасштабных равновесных структур для предельных режимов течения как при закритическом, так и при сверхзвуковом (см. рис. 1.20—1.22, 3.32) обтекании.
Как и ожидалось, локальные и мелкомасштабные структуры слабо влияют на кинематические характеристики и общую картину таких течений. Можно надеяться, таким образом, на получение здесь объективной количественной информации. Эти результаты хорошо согласуются и с данными экспериментов [122].
Оценка величины потока энергии и турбулентной вязкости для стохастической составляющей турбулентности в раз-334
них масштабах движения в следе за телом также проводилась по приведенной выше методике в случае обтекания прямоугольного препятствия (см. рис. 3.64) и ступеньки (сжимаемый газ, Мос=2,00, 1,89). Формирование осредненного течения (характеризуемое образованием типичной картины) наступало примерно после 1,5 тыс. шагов по времени (Т=1500 А/).
Приведем по предварительным данным для различных масштабов турбулентности соответствующие коэффициенты эффективной вязкости в зоне возвратно-циркуляционного течения С. Величина аппроксимационной вязкости по (3.72) е—|V|/i- 10“2; коэффициенты турбулентной вязкости крупномасштабных вихрей по (3.73) примерно того же порядка:
-Aw Ах-0,009, v-Ац Aw-0,0075, а для масштабов локальной турбулентности (где влияние осредненного течения сравнительно мало) согласно (3.75) имеем
vx~Cr^~3-10-% v ~£М-б.10-\ х (Ди)2 ’ У (Ду)2
Величина потока энергии <£ —3-10-5, причем Aw, Ац—изменения скорости в ячейке соответственно на расстояниях Ах, Аг/.
Мы видим, таким образом, что для разных уровней масштабов турбулентности наша «каскадная» модель качественно правильно (по порядку величин) оценивает вязкостные эффекты турбулентного движения — по мере перехода на все более мелкие масштабы значения эффективных коэффициентов турбулентной вязкости стремятся к своей величине для молекулярного течения v. Эти результаты нуждаются, естественно, в уточнении.
Расчет локальных статистических характеристик турбулентности проводится в гл. IV (рис. 4.30—4.37) [118J.
Интересно рассмотреть для исследования турбулентности также направления, основанные на комбинации указанных выше подходов. Например, осредненные крупномасштабные характеристики для течения «в целом» изучаются с помощью отмеченных выше методик на основе модели идеальной среды во всей области движения, а локальные (статистические) свойства вырождения определяются на основе полученных данных локально (внутри пятна — эйлеровой ячейки) методами статистического моделирования [78, 118].
7. Изучение локальных свойств турбулентности (характер поведения плотности турбулентной энергии, вязкостные потери, процесс затухания и др.) возможно проводить и с привлечением полуэмпири-ческих моделей. Приведем здесь в качестве примера некоторые результаты расчета задачи ораспаде турбулентного образования (пятна), полученные А. В. Бабаковым методом потоков с использованием К—^-модели турбулентности *).
*) Результаты прямого расчета этой задачи статистическим методом описаны в гл. IV [118].
335
Существо К—-модели состоит в добавлении к исходной системе соответствующих уравнений для кинетической энергии турбулентности Л и скорости ее диссипации <§, а также в замене тензора напряжений т на эффективный тензор напряжений тэфф в уравнениях движения. Традиционно эти соотношения записываются в следующем виде [90, 116, 117]:
дрК dpKvj^ д ЦэффдЛ _
dt дх[ dxi Ок дх, ' ’
^ + ^йьффф£ | (c.D-c 2pS) • ( ’79)
dt oxi дх; Og дх; К v 1 2r '
Здесь [1Эфф—коэффициент эффективной вязкости, /С, §—плотности кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации; Од-, о^, q, с2—эмпирические константы. Тензор напряжений, присутствующий в уравнениях движения, принимается в виде
/дгу . 2 / диЛ с.
xii — Нэфф [ дх. + дх .) + з (р-К + Рэфф дХ[) На-
следуя общим принципам построения численной схемы метода потоков, выпишем для объема (ячейки) Q в интегральной форме модельные аналоги законов сохранения кинетической энергии турбулентности К® и скорости ее диссипации Sa (в дополнение^ уравнениям движения и неразрывности):
£ИЙ-
(ft A A ЦО (3.80)
-аГ = — ^&snds + ^Fgd^.
s Q
Здесь Од-, Qg—векторы соответствующих плотностей потоков; FK, Fg—источниковые члены:
(вл.-ФК)»,+^g, (ел,-М?)«, + ^.
FK = D—pS, Fg = ^-(CiD—c2p^).
Для члена D, характеризующего производство кинетической энергии турбулентности, и коэффициента эффективной вязкости Р-эФФ принимаются следующие (также традиционные) зависимости:
Т'7’ Рэфф = сиР(3.81)
При исследовании задач несжимаемой жидкости полученная система уравнений (3.79) — (3.81) должна быть еще дополнена условием несжимаемости
§ Vnds = 0
336
с соответствующим изменением алгоритма. Если же рассматриваются течения сжимаемого газа, то необходимо в уравнении для полной энергии Е соответствующим образом видоизменить выражение вектора плотности потока полной энергии, добавив сюда источнико-вые члены.
В качестве примера использования описанной выше методики рассмотрим задачу о динамике турбулентного однородного пятна, находящегося в вязкой несжимаемой стратифицированной жидкости.
За область интегрирования G примем прямоугольник (подобласть, занимаемую пятном с характерным размером L в начальный момент времени /=0, обозначим через Go (см. рис. 3.65)). Введем в центре пятна прямоугольную систему координат (х, у). Будем считать, что в области пятна Go жидкость однородна по плотности и турбулизо-вана. Пусть кинетическая энергия турбулентности в области пятна в начальный момент времени распределена по следующему закону:
/С(х, r/) = /Coe-₽^+^, а плотность массы постоянна и равна р„.
Вне области пятна жидкость в начальный момент времени стратифицирована (по плотности) по линейному закону:
р(«/)=Ро(1+“«/),
Область G расположена в поле силы тяжести g, при этом компоненты скоростей для t=0 в области G считаются нулевыми. Начальное поле давления определяется из условия гидростатического равновесия.
Поставленная задача обладает плоскостью симметрии, поэтому решение будем отыскивать в области G только при х^О, формулируя здесь соответствующие граничные условия симметрии. На остальных, открытых участках внешней границы G задавались условия гладкости переменных.
При численном решении эмпирические константы К—^-модели в (3.79) — (3.81) имели такие значения [90]: сц = 0,09; с1=1,45; с2=1,9; <Тд-=1; о^=1,3. Определяющие параметры в задаче: стратификация
начальный уровень турбулентности
/Со = 25 L2ga = 0, l^Lg
(время t отнесено к характерному значению LlVK^.
На рис. 3.65 показано поведение во времени коэффициента эффективной турбулентной вязкости (кривая 7), плотности турбулентной энергии К (кривая 2) и скорости ее диссипации S (кривая 3) в центре пятна (х = у = 0). Все величины отнесены к соответствующим значениям при t = 0. Как отсюда следует, эффективная вязкость, плотность турбулентной энергии и скорость ее диссипации
337
убывают со временем (при /^=0,3) практически по экспоненциальному закону. Некоторое отличие характера убывания этих величин от экспоненциального распределения при £^0,3 связано, видимо, с неточностью задания начального поля скорости
Рис. 3.65. К—^-модель турбулентности в методе потоков — динамика турбулентного пятна в несжимаемой стратифицированной жидкости: 1 — зависимость от времени в центре пятна коэффициента турбулентной вязкости Цэфф/ро^ 2 — плотности турбулентной энергии К!Ко', 3 — скорости диссипации
Рис. 3.66. К—^-модель турбулентности в методе потоков — динамика турбулентного пятна в несжимаемой стратифицированной жидкости: профили кинетической энергии турбулентности К в вертикальном сечении пятна (х=0) в различные моменты времени (/=0,1; 0,3; 1,0; 2,0).
диссипации кинетической энергии турбулентности, которая «забывается» только к указанному моменту времени.
На рис. 3.66 приведены профили плотности кинетической энергии турбулентности в различные моменты времени по вертикаль
338
ному разрезу пятна (при х = 0). Анализ этих и других данных, указывает на то, что изменение вертикальных размеров турбулентной области (по крайней мере до времени t ~ 5L/J/"/Q весьма слабое.
Хорошо известно соотношение Колмогорова — Обухова, полученное из соображений размерности [99], которое утверждает, что скорость диссипации энергии турбулентности пропорциональна кинетической энергии турбулентности (в степени 3/2) и обратно пропорциональна масштабу турбулентности. Поскольку в рассматриваемой К — ^-модели для скорости диссипации и кинетической энергии турбулентности выписываются два независимых уравнения, представляет интерес проверить выполнение этого закона на основе полученных численных результатов.
Анализ поведения во времени отношения №/2/</? к его осреднен-ному значению в интервале времени показывает, что оно
остается постоянным с погрешностью до 1—2% (интервал 0^^<1 не принимает участия в осреднении из-за неточного задания начальной скорости диссипации). Данный результат, по всей видимости, означает, что соотношение Колмогорова — Обухова справедливо для данного класса задач, при этом характерный масштаб для турбулентного пятна меняется слабо, по крайней мере при /^6.
Итак, применение полуэмпирических моделей для описания турбулентности (к которым, в частности, относятся и К—(^-модель),. наряду с прямым численным и статистическим моделированием, позволяет определить основные количественные характеристики и закономерности поведения турбулентности для широкого класса задач.
§ 10. Заключение
Итак, консервативный метод потоков нашел широкое применение при численном исследовании задач механики сплошных сред.
Позволим себе еще раз остановиться на особенностях этого подхода. Отличительная черта рассматриваемого здесь численного метода изучения вязких сжимаемых течений заключается в численном решении (с помощью консервативных разностных схем) уравнений нестационарных законов сохранения, записанных в-интегральной форме. Такой подход позволяет, по существу, избежать, трудностей, связанных с аппроксимацией старших производных уравнений Навье — Стокса. Метод потоков дает возможность по ед и-ному алгоритму производить вычисления во всей области интегрирования для плоских и осесимметричных тел конечной формы вплоть до больших чисел Рейнольдса. Наблюдается хорошее согласование полученных результатов при больших числах Рейнольдса с данными расчетов идеального газа. Консервативность данного алгоритма позволяет проводить численное моделирование сложных газодинамических течений (включая области срыва, местные сверхзвуковые зоны и т. п.), а также изучать свойства напряженно--деформированного состояния в очаге деформации (волочение, прокатка и др.).
339
Переход к интегральным законам сохранения требует, по существу, аппроксимации производных на единицу меньшего порядка по сравнению с методами численного решения уравнений Навье — Стокса. При аппроксимации векторов плотностей потоков в данном методе существенным является разделение вектора плотности потока на конвективную и вязкую составляющие. Плотности распределения аддитивных характеристик (таких, как плотности величин F) вычисляются на границе s объема Q несимметричным образом (экстраполяцией по направлению потока газа), в то время как остальные величины, например давление, скорости переноса аддитивных величин, производные от и, v и Т в тензоре вязких напряжений и законе теплопроводности, вычисляются по симметричным формулам. Это, на наш взгляд, позволяет правильно учитывать области влияния величин, что является важным фактором при исследовании сложных физических картин течений. Наличие конвективного переноса делает пространственные направления неравнозначными, что и учитывается при конструировании разностных схем.
По своей сущности метод потоков обладает свойством консервативности по массе, импульсу и полной энергии, причем консервативность здесь имеет место как локально (для каждой ячейки разностной сетки), так и интегрально, т. е. для всей расчетной области. Свойство консервативности обеспечивается тем, что данный подход основан на разностной аппроксимации законов сохранения, выписанных для каждой ячейки расчетной сетки в терминах поверхностных интегралов от векторов плотностей потоков т. е. закон сохранения используется в форме, справедливой для произвольного объема газа.
Действительно, при решении конкретной задачи поверхностные интегралы вычисляются на отдельных участках поверхностей s, являющихся границами между двумя соседними объемами Q. В зависимости от направления векторов потоков значения F={M, X, У, Е} изменяются (в одних ячейках увеличиваются, а в других уменьшаются) на величины, определяемые потоками массы, импульса и полной энергии через совпадающие участки границы. Такой способ вычислений не может привести, с точностью до ошибок округления, к потере или образованию количеств F из-за вычислительных процедур, что и свидетельствует о его консервативности.
Здесь проводится перенос (а следовательно, и аппроксимация) комплексов функций — плотностей распределения количеств массы, импульса и энергии, что отвечает физике явления. В основу указанного подхода положена общность фактора переноса (откуда и название — метод потоков). Анализ схемы с точки зрения выполнения законов сохранения представляется важным, так как известно, что расчетная схема дает наиболее точные результаты, когда она строго сохраняет те же величины, которые имеют место и в рассматриваемом физическом процессе.
С помощью указанного подхода проводилось систематическое изучение характеристик обтекания конечных тел вязким потоком газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Метод формально «ра
340
ботает» и при больших значениях Re, однако результаты носят надежный характер, пока толщина пограничного слоя намного больше шага расчетной сетки. Следует отметить, что разделение вектора плотности потока на конвективную и вязкую составляющие позволяет без труда использовать данный алгоритм и для расчета течений идеального газа.
Разработка стационарного варианта метода (путем организации соответствующего итерационного процесса) позволила значительно повысить эффективность решения стационарных задач. Перспективным также кажется дальнейшее развитие и использование (особенно при изучении свойств переходных явлений и задач турбулентности) деформационно-потокового варианта метода, где вводится в рассмотрение уравнение баланса для внутренней энергии.
В качестве иллюстрации возможностей метода рассматривается задача о дозвуковом обтекании сферы (данные расчетов сравниваются с потенциальным случаем), а также исследуется влияние чисел Рейнольдса в диапазоне 75^Re^lO4 на течение вязкого сжимаемого теплопроводного газа у сферы. Изучаются такие важные с практической точки зрения характеристики обтекания тел конечных размеров, как распределение коэффициентов теплопередачи и сопротивления тела, свойства течений в зоне срыва и т. п. Комбинация указанного подхода и приближенного (локального) метода элементарных площадок позволила с допустимой точностью исследовать свойства пространственных течений, возникающих при движении летательных аппаратов различных видов. Безусловно, заслуживает большого внимания и использование указанного подхода к изучению свойств упруго-вязко-пластических задач (особенно в многомерной постановке).
Первые результаты расчета срывных течений газа и задач турбулентности оказались весьма обнадеживающими. Развитие этой методики в. направлении численного исследования турбулентных режимов кажется особенно перспективным. Представляет интерес прямое моделирование движений нестационарных упорядоченных макроструктур турбулентности, а также изучение (на базе полученных данных) стохастической составляющей турбулентного сдвигового потока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоцерковский О. М.. Северинов Л. И. Консервативный метод потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким теплопроводным газом.— ЖВМиМФ, 1973, 12, №2, с. 385—397.
2. Бабаков А. В., Северинов Л. И. Стационарный вариант метода потоков для решения задач механики сплошной среды.— ЖВМиМФ, 1976, 16, № 1, с. 140—151.
3. Бабаков А. В., Белоцерковский О. М., Северинов Л. И. Численное исследование течения вязкого теплопроводного газа у тупого тела конечных размеров,—Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1975, № 3, с. 112— 123.
4. Северинов Л. И. Способ решения нелинейных разностных краевых задач механики сплошной среды.— ЖВМиМФ, 1978, 18, №4, с. 974—986.
341
5, Самарский А. А. О консервативных разностных схемах.— В кн.:: Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с. 129—136.
6. Толе т.ы х А. И. О численном расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого газа.— ЖВМиМФ; 1966, 6, № 1, с. ИЗ—120.
7. Павло# Б. М. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого газа.— В кн.: Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. IV. М.: МГУ, 1971, с. 181—287.
8. Молодцов В. К. Численный расчет сверхзвукового обтекания сферы потоком вязкого совершенного газа.— ЖВМиМФ, 1969, 9, № 5, с. 1211—1217.
9. Полежаев В. И. Численное решение системы одномерных нестационарных уравиений Навье — Стокса для сжимаемого газа.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1966, № 6, с. 33—44.
10. Головачев Ю. Н., Кузьмин А. И., Попов Ф. Д. О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел с использованием полных и упрощенных уравнений Навье — Стокса.— ЖВМиМФ, 1973, 13, №4, с. 1021 —1028.
И. Ковеня В.М., Я ненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.— Новосибирск: Наука, 1981.
12. Р о у ч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980.
13. Тихонов А. Н., С а м а р с к и й А. А. Об однородных разностных схемах.— ЖВМиМФ, 1961, 1, № 1, с. 5—63.
14. П о п о в О. П., С а м а р с к и й А. А. Полностью консервативные разностные схемы.— ЖВМиМФ, 1969, 9, №4, с. 953—958.
15. Г о л ь д и н В. Я., И о н к и н Н. И., К а л и т к и н Н. Н. Об энтропийной схеме расчета газодинамики.— ЖВМиМФ, 1969, 9, №6, с. 1411—1413.
16. Белоцерковский О. М., Северинов Л. И., Бабаков А. В. О некоторых применениях консервативного метода потоков.— В ки..: Аэромеханика и газовая динамика. М.: Наука, 1976, с. 124—136.
17. Б а б а к о в А. В., С е в е р и н о в Л. И. Численное исследование влияния теплового режима поверхности на течение в донной области тела конечных размеров.— Ж- прикл. механ. и техн. физ. 1977, № 1, с. 73—76.
18. Б а б а к о в А. В., С е в е р и н о в Л. И. Консервативный численный метод потоков для решения задач механики сплошной среды.— В кн.: Прямое численное моделирование течений газа (численный "Эксперимент в газовой динамике). М. ВЦ АН СССР, 1978, с. 96—112.
19. Решетин А. Г.,Л ыч к и н Е.Н.,Котов В.М.,Ще л к о и о г о в А. Н. Обтекание тел сложной формы потоком вязкого газа.— В кн.: Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1980, 11, №6, с. 110—122..
20. Белоцерковский О. М. Расчет обтекания осесимметричных тел с отошедшей ударной волной.— М.: ВЦ АН СССР, 1961.
21. Любимов А. Н., Русанов В. В. Течение газа около тупых тел.— М.: Наука, 1970.
22. Белоцерковский О. М., Голомазов М. М., Грудницкий В.Г. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа.— М.: ВЦ АН СССР, 1967.
23. Маккарти Дж. Ф. Гиперзвуковая газодинамика тупых тел.— В кн..: Совр. проблемы газовой динамики. М.: Мир, 1971, с. 191—244.
24. Ч ж е н П. Отрывные течения.— М.: Мир, 1972.
25. Ч у ш к и н П. И. Обтекание эллипсов и эллипсоидов дозвуковым потоком газа.— В кн.: Вычисл. матем. М.: Изд-во АН СССР, 1957, № 2, с. 20—44.
26. Гальперин С. А., Горский И. П., Ковалев А. П., X р и с тиа-нов и ч С. А. Физические основы околозвуковой аэродинамики.— Уч. зап. ЦАГИ; 1974 , 5, № 5.
27. Диесперов В. Н., Лифшиц Ю. Б., Рыжов О. С. Закон стабилизации для трансзвуковых течений около тел вращения.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1974, № 5, с. 49—54.
28. Д и е с п е р о в В. Н., Лифшиц Ю. Б. О сопротивлении тел вращения при трансзвуковых скоростях потока.— Прикл. матем. и механ., 1975, 39, вып. 2, с. 290—297.
29. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент.— М.: Наука, 1982.
342
30. Ш в е ц А. И., Швец И. Т. Газодинамика ближнего следа.— Киев: Наукова думка, 1976.
31. Б а б а к о в А. В., Г у щ и н В. А., Д а в ы д о в Ю. М., Толстых А. И. Численное моделирование отрывных течений.— В кн.: V Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике. Аннотации докладов. Алма-Ата, 1981, с. 37.
32. Кузнецов О. М., П о п о в С. Г. Вихри в плоском газодинамическом следе за цилиндром.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1967, № 2, с. 112—113.
33. Баженов Д. В., Баженова Л. А. Влияние звукового возмущения на характеристики эолова тона.— В кн.: Тр. II Всесоюз. симпозиума по физике акустико-гидродинамических явлений в оптоакустике. М.: Наука, 1982, с. 105—108.
34. Баженов Д. В., Баженова Л. А., Римский-Корсаков А. В. Экспериментальное исследование влияния внешних возмущений на процессы вихреобразования и флуктуацию подъемной силы на круговом цилиндре, обтекаемом потоком.— В кн.: V Всесоюз. съезд по теор. и прикл. механике. Аннотации докладов. Алма-Ата, 1981, с. 42.
35. Сычев В. В., Сычев Вик. В. О турбулентном отрыве.— ЖВМиМФ, 1980, 20, №6, с. 1500—1512.
36. Белоцерковский С. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью.— М.: Наука, 1978.
37. Фей Дж., Ридделл Ф. Теоретический анализ теплообмена в передней критической точке, омываемой диссоциированным воздухом.— В кн.: Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. М.: ИЛ, 1962, с. 190— 224.
38. Молодцов В. К-, Толстых А. И. О расчете сверхзвукового вязкого обтекания затупленных тел.— Тр. Секции по числ. методам газовой динамики II Междунар. коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем. М.: ВЦ АН СССР, 1971, 1, с. 63—78.
39. Численные исследования современных задач газовой динамики/Под ред. О. М. Белоцерковского.— М.: Наука, 1974.
40. Нейланд В. Я- К асимптотической теории расчета тепловых потоков около угловой точки тела.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1969, № 5, с. 53—60.
41. Г у с е в В. Н., Ерофеев А. И., Климова Т. В. и др. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа.— Тр. ЦАГИ, 1977, вып. 1855, с. 3—43.
42. М о u 1 i с Е. С. Induced measurements on a sharpedged insulated flat plate in low density hypersonic flow.— Univ. California, Rept. NSF Grant — 2520, 1966, Ser. 7, №3.
43. Г а л к и н В. С., E p о ф e e в А. И., Толстых А. И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа.— Тр. ЦАГИ, 1977, вып. 1833, с. 6—10.
44. Коган М. Н. Динамика разреженных газов.— М.: Наука, 1967.
45. Абрамович Ю. В.,Широкопояс Е. И. Инженерный метод расчета на ЭЦВМ аэродинамических характеристик летательных аппаратов при гиперзвуковых скоростях полета.— Тр. ЦАГИ, 1974, вып. 1580, с. 3—29.
46. Aeroelastic re-entry aerodynamic characteristics of arbitrary three-dimensional shapes of hypersonic speeds.— ICAS Paper № 66-25, 1970.
47. M а г о м e д о в К- М., Холодов А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений.— ЖВМиМФ, 1969, 9, №2, с. 373—386.
48. S u г b е г Т. Е., О 1 s е n D. С. Orbiter aerodynamic development.— AIAA Paper № 74-991, 1974.
49. О б p а з ц о в И. Ф.,0 наиов Г. Г. Строительная механика скошенных конструкций.— М.: Машиностроение, 1973.
50. Karman Th. Beitrag zur Theorle des Walzvorgangs.—Z. angew. Math, und Meeh., 1925, 5, № 2, S. 139—141.
51. Co к оловский В. В. Теория пластичности.— М.: Высшая школа, 1969.
52. П э ж и н а П. Основные вопросы вязко-пластичности.— М.: Мир, 1968.
53. П р а г е р В. Введение в механику сплошных сред.— М.: ИЛ, 1963.
343
54. О л ь ш а к В., М р у з 3., П э ж и.н а П. Современное состояние теории пластичности.— М.: Мир, 1964.
55. Ильюшин А. А. Некоторые вопросы теории пластического течения,— Изв. АН СССР. Отд. техн, наук, 1958, № 2, с. 64—68.
56. Ковалев С. И., Северинов Л. И. Численное решение задач стационарного вязко-пластического течения консервативным методом потоков.— Тр. МФТИ. Сер. Аэрофизика, прикл. матем. 1975, с. 41—47.
57. Ковалев С. И., Ш и р к о И. В. Течение упруго-пластического материала! в стационарных процессах обработки металлов давлением.— В кн.: Пластическая деформация легких и специальных сплавов. Вып. 1. М.: Металлургия, 1978 с. 82—99.
58. К о в а л е в С. И., Ш и р к о И. В. Определение напряженно-деформированного состояния при прокатке высоких полос из упруго-пластического материала.— Изв. АН СССР. Сер. Металлы, 1980, № 1, с. 103—107.
59. Щ е р б а к о в А. М. Численное исследование стационарных неизотермических течений упруго-вязко-пластических материалов.— Тр. VI конф, молодых ученых МФТИ. М.: МФТИ, 1981, с. 85—90.
60. Ковалев С. И. Влияние реологических свойств материалов на напряженно-деформированное состояние при прокатке.— Изв. АН СССР. Сер. Металлы, 1980, №1, с. 116—120.
61. Белоцерковский О. М., Ш и р к о И. В. Численное исследование установившегося течения упруго-вязко-пластических материалов.— В кн.: Совр. проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение, 1982, с. 64—74.
62. Хилл Р. Математическая теория пластичности.— М.: Гостехиздат, 1956.
63. Ш и р к о И. В. Некоторые задачи теории пластичности со смешанными граничными условиями.— Инж. журн. 1961, 1, вып. 3, с. 305—310.
64. D а г с у Н. Р. G. Les fontaines publiques de la ville de Dijon.— Paris: V. Dal-mont, 1856.
65. Г о л ь д ш т и к М. А., Лебедев А. В., Сорокин В. Н. Клапанный эффект в зернистом слое.— Инж.-физ. журн. 1978, 34, № 3, с. 389—393.
66. Попов Е. К-, Смирнова Е. В., Абаева Т.Н. и др. Вопросы исследования реакторов в неподвижном слое катализатора.— В кн.: Аэродинамика химических реакторов. Новосибирск: Ин-т катализа СО АН СССР, 1976, с. 65—68.
67. Табунщиков Н. П. Поле скорости газа в шахтных известковых печах.— Ж- прикл. химии, 1956, 29, вып. 1, с. 32—40.
68. Linnet J. W., Reynor Е. J., S i n g t о п E. P. C. The flow of air stream' through a layer of granules.— Trans. Farad. Soc., 1950 , 46, №4, p. 270—281.
69. Shwartz С. E., Smith J. M. Flow distribution in packed beds.— Ind. and Eng. Chem., 1953, 45, № 6, p. 1209—1218.
70. E г g u n S. Fluid flow through packed columns.— Chem. Eng. Prog.., 1952, 48, № 2, p. 89—94.
71. P e й н e p M. Реология.— M.: Наука, 1965.
72. В e n e n a t i R. F., В r as i 1 о w С. B. Voids fraction distribution in beds of spheres.— Am. Inst. Chem. Eng. J., 1962, 8, №3, p. 359—361.
73. Ill и p к о И. В. О некоторых особенностях течения жидкостей в пористых средах,—М., 1980 (деп. во ВТИЦ, №Б 8220424).
74. Ш и р к о И. В. Вязкие свойства течений в гранулированных средах.— В кн.: Доклады IV Национал, конгресса по теор. и прикл. механике. София: Изд-во! Болгарской АН, 1981, 1, с. 912—917.
75. Н е г и н с к и й М. Ю., Ш и р к о И. В., К о в а л е в С. И. Численное решение задач внутренней гидродинамики течения жидкости и газа в пористой среде.— М„ 1981 (деп. в ВИНИТИ, № 3653-81).
76. Н е г и н с к и й М. Ю. Численный расчет течения жидкости в трубе с пористым, наполнителем.— Тр. VI конф, молодых ученых МФТИ. М.: МФТИ, 1981, с. 102—108.
77. Негинский М. Ю. Численное решение задач стационарного осесимметричного течения вязкой сжимаемой жидкости в трубах и каналах.— Тр. XXVI научной конф. МФТИ. М.: МФТИ, 1981.
78. Белоцерковский О. М. Прямое численное моделирование переходных течений газа и задач турбулентности.— В кн.: Механика турбулентных потоков/ Под ред. В.В. Струминского. М.: Наука, 1980, с. 70—109.
344
79. Бэтчелор Дж. К- Теория однородной турбулентности.— М.: ИЛ, 1955.
#0. Herring J. R., Orszag S. A., Kraichman R. H., Fox D.S. Decay of two-dimensional homogeneous turbulence.— J. Fluid Meeh., 1974, 66, № 3, p. 417—444.
®1. Lilly D. K. Numerical simulation on developing and decaying two-dimensional turbulence.— J. Fluid Meeh., 1971, 45, №4, p. 395—415.
32. Грязнов В. Л., Полежаев В. И. Численное моделирование турбулентного режима конвекции в вертикальном слое.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1977, №5, с. 8—15.
83. Моисеенко Б. Д., Р о ж д е с т в е н с к и й Б. Л., Сидорова В. К,-Спектральные характеристики разностных схем и условия численного моделирования предельных режимов течений вязкой жидкости.— ЖВМиМФ, 1974, 14, №6, с. 1499—1515.
34. О г s z a g S. A. Numerical methods for the simulation of turbulence.— Phys. Fluids, 1969, 10, № 3, p. 250—257.
35. Fox D. G., Orszag S. A. Pseudospectral approximation to two-dimensional turbulence.— J. Comput. Phys., 1973, 11, № 1, p. 612—619.
36. Fornberg B. A numerical study of 2-0 turbulence.— J. Comput. Phys., 1977, 25, № 1, p. 1—31.
37. Горбацкий В. Г. Космическая газодинамика.— М.: Наука, 1977.
38. Г о с м е и А. Д., П а н В. М., Р а н ч е л А. К- и др. Численные методы исследования течений вязкой жидкости.— М.: Мир, 1972.
.89 . Дали Б., Харлоу Ф. Учет турбулентных эффектов при численном решении газодинамических задач.— В кн.: Числ. методы в механ. жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 277—288.
90. Pope S. В. The calculation of turbulent recirculating flows in general orthogonal coordinates.— J. Comput. Phys., 1978, 26, № 3, p. 197—217.
91. Струминский В. В. О возможности применения динамических методов для описания турбулентных течений.— В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1974, с. 19—33.
92. Кадомцев Б. Б., Канторович В. М. Теория турбулентности в гидродинамике и плазме.—Изв. вузов. Сер. Радиофизика, 1974, 27, № 4, с. 511—540.
93. Белоцерковский О. М., Ерофеев А. И., Яницкий В.Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа.— ЖВМиМФ, 1980, 20, №5, с 1174—1204.
94. В г i s s a u d A., F г i s с h U., L е о г a t I. et al. Catastrophe energetique et nature de la turbulence.— Ann. geophys., 1973, 29, № 4, p. 539—546.
95. Должанский Ф. В., К л я ц к и н В. И., Обухов А. М., Чусов М. А. Нелинейные системы гидродинамического типа.— М.: Наука, 1974.
96. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.— М.: Наука, 1970.
97. Л я х т е р В. М. Вероятностная природа турбулентных течений и пути замкнутого описания турбулентности.— В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1974, с. 136—140.
98. Белоцерковский С. О., Мирабель А. П., Чусов М. А. О построении закритического режима для плоского периодического течения.— Изв. АН СССР. Сер. Физ. атмосф. и океана, 1978, 14, № 1, с. 11—20.
99. Л а и д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М.: Гостех-издат, 1953.
100. Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности.— ДАН СССР, 1944, 44, № 8.
101. Струминский В. В. Об одном новом направлении исследования проблемы турбулентности.— В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1977, с. 20—24.
102. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса.— ДАН СССР, 1941, 30, №4.
103. Гольдштик М. А. Принцип максимальной устойчивости осредненных турбулентных течений.— ДАН СССР, 1968, 182, №5, с. 1026—1028.
104. Г о л и ц ы н Г- С. Теория подобия в советских работах по геофизической гидродинамике.— Изв. АН СССР. Сер. Физ. атмосф. и океана, 1977, 13, № 11, с. 1132—1149.
105. Бюргерс И. М. Об одной математической модели, иллюстрирующей теорию турбулентности.— В кн.: Проблемы механики. М.: ИЛ, 1955, с. 422—445.
345
106. Кутателадзе С. С., Миронов Б. П., Накор я ков В. Е-, X а-бахпашева Е. М. Экспериментальное исследование пристеночных турбулентных течений.— Новосибирск: Наука, 1975.
107. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод крупных частиц для газодинамических расчетов.— ЖВМиМФ, 1971, 11, №1.
108. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Численное моделирование сложных задач аэрсгазодинамики методом крупных частиц.— Уч. зап. ЦАГИ. 1977, 8; №3, с. 1 — 18 (ч. I); №4, с. 1—9 (ч. II); №5, с. 1—23 (ч. III).
109. Гущин В. А.,Щенников В. В. Об одном численном методе решения уравнений Навье — Стокса.— ЖВМиМФ, 1974, 14, №2, с. 512—520.
ПО. Белоцерковский О. М., Г у щ и и В. А., Щенников В. В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.— ЖВМиМФ, 1975, 15, № 1, с. 197—207.
111. Гущин В. А. Пространственное обтекание трехмерных тел потоком вязкой жидкости.— ЖВМиМФ, 1976, 16, № 2, с. 520—534.
112. Яницкий В. Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации неравновесного газа.— ЖВМиМФ, 1973, 13, № 2, с. 505—510.
113. Я н и ц к и й В. Е. Применение процессов случайных блужданий для моделирования свободномолекулярного движения газа.— ЖВМиМФ, 1974, 14, №1.
114. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа.— ЖВМиМФ, 1975, 15, № 5, с. 1195—1208 (ч. I); № 6, с. 1553—1567 (ч. II).
115. Белоцерковский О. М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье—Стокса и Больцмана (будущее развитие вычислительной газовой динамики). Кгрмгновская лекция. Годовые кармановсюе чтения (Брюссель, 15—19 марта 1976).— В кн.: Числ. методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1981.
116. L a u n d е г В. Е., S р а 1 d i n g D. В. Mathematical models of turbulence.— HL. Acad. Press, London, 1972.
117. H j e r t a g e г В. H., Magnussen B. F. Calculation of turbulent three-dimensional jet induced flow in rectangular enclosures.— Computers and Fluids, 1981, 9, №4, p. 395—407.
118. Белоцерковский О. M., Ерофеев А. И., Яницкий В. Е. Прямое статистическое моделирование задач аэрогидродинамики.— Успехи механики. Варшава, 1982, 5, вып. 3/4, с. 11—40.
119. Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом.— М.: ИЛ, 1959.
120. Cantwell В. J. Organized motion in turbulent flow.— Ann. Rev. Fluid Meeh. Palo Alto, California, 1981, 13, p. 457—515.
121. X инце И. О. Турбулентность.— М.: Физматгиз, 1963.
122. Van Dyke М. Album of fluid motion.— California: Parabolic Press, 1982.
123. Structure and mechanisms of turbulence. I, II.— Leet. Not. in Phys. Berlin: Springer-Verlag, 1978, 75 (1); 76 (II).
124. Структурная турбулентность: Сб. научных трудов / Под ред. М. А. Гольдшти-ка.— Новосибирск: Наука, 1982.
125. Гольдштик М. А. Динамические, равновесные и потоковые структуры в турбулентности.— В кн.: Структурная турбулентность. Новосибирск: Наука, 1982, с. 5—12.
126. Кузьмин Г. А. Статистическая механика завихренности в двумерной когерентной структуре.— В кн.: Структурная турбулентность. Новосибирск: Наука, 1982, с. 103—115.
127. Иевлев В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред.— М.: Наука, 1975.
128. Монин А. С., Я г л о м А. М. Статистическая гидромеханика.— М.: Наука, ч. I, 1965; ч. II, 1967.
129. Deardorff I.W. The use of subgrid transport equations in a three-dimensional model of atmospheric turbulence.— J. Fluid Engineering. 1973, 95, Ser, I.
130. Ferziger I. H. Large eddy numerical simulations of turbulent flows.— AIAA J., 1977, 15, №9, p. 1261 — 1267.
Глава IV
СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ЧАСТИЦ В ЯЧЕЙКАХ
В данной главе приводятся результаты разработки прямого «статистического метода моделирования течений разреженного газа. Предлагается марковская модель пространственно-неоднородной эволюции одноатомного газа, которая является статистической разновидностью численных моделей типа частиц в ячейках. Уравнение этой модели аппроксимирует уравнение Больцмана с точностью до величины статистической зависимости частиц. Предлагается метод Монте-Карло реализации модели, являющийся прямым моделиро-«ванием идеального одноатомного газа.
В вычислительном отношении указанный подход столь же эффективен, как и известный метод Бёрда, но обладает большей точностью аппроксимации уравнения Больцмана. В его основе лежит «синтез идей расщепления и построения строго марковской модели для процессов столкновения в идеальном газе. Такой метод характеризуется умеренными требованиями к ресурсам ЭВМ, что позволяет эффективно решать многомерные задачи обтекания тел и летательных аппаратов разреженным газом на вычислительных машинах средней мощности. Приводится модификация метода для решения задач турбулентности.
§ 1. Введение
В последние годы в связи с появлением ЭВМ большой мощности значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением численного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической физики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных и общих теоретических моделей для исследования сложных физических явлений. На основе численных схем метода расщепления за последние годы в ВЦ АН СССР была разработана группа численных подходов (схемы методов крупных частиц, потоков), использующих расщепление физических процессов на временном шаге А£ и установление процесса для решения стационарных задач. Основное назначение этих работ заключается в попытке рассмотреть математические модели для более сложных и общих течений газа при наличии больших деформаций. Такой подход эффективно применяется для решения как уравнений Эйлера (гл. I), так и уравнений Навье — Стокса (гл. II, III).
347
В данной работе предлагается статистическая разновидность метода частиц в ячейках для расчета пространственно-неоднородных течений разреженного газа (газ считается одноатомным), а также задач турбулентности.
1. Развитие космонавтики, высотной авиации и вакуумной техники в последние 15—20 лет явилось мощным стимулом к расширению исследований в области кинетической теории газов. Прогресс здесь стал особенно заметен после внедрения и освоения мощной вычислительной техники, так как появилась реальная возможность численно моделировать течения разреженного газа в нелинейной и многомерной постановке [1—5, 7—25].
Таким образом, интенсивное применение численных методов является в настоящее время одним из основных направлений в исследовании динамики разреженного газа. Разработка теоретических основ методов, поиски эффективных алгоритмов позволили р ас ш и-р и т ь круг решаемых задач, усложнить их физическую постановку. Анализ численных методов приведен в обзорах О. М. Белоцерковского и В. Е. Яницкого [8, 9]. Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных численных подходов в динамике разреженных газов, естественно привести классификацию используемых здесь численных подходов и режимов течения разреженных газов.
С физической точки зрения оправдано разделение режимов течения на 4 группы: 1) при малых числах Кнудсена (Кп<0,1), т. е. режимы течений, близких к сплошной среде; 2) при умеренных числах Кнудсена (Кп~0,1Ч-1)— так называемый переходный режим-, 3) при умеренно больших числах Кнудсена (Кп~1-4-10)— течения, близкие к свободномолекулярным; 4) при больших числах Кнудсена (Кп>10) — свободномолекулярный режим.
Численные методы для расчета течений типа 1), по-видимому, только зарождаются. Методы расчета течений типа 3), 4) уже достаточно сформировались и успешно применяются на практике. В настоящее время особенно интенсивно развиваются методы расчета течений типа 2). В основном о них и пойдет речь дальше. В соответствии с этим каждую численную методику следует рассматривать с той точки зрения, каким образом в данном подходе предлагается преодолеть основные трудности в решении уравнения Больцмана и как это может повлиять на точность и эффективность его численного моделирования.
Главный итог работ, проведенных за последние несколько лет, свя:ан с численным моделированием в нелинейной постановке плоских, осесимметричных и (в отдельных случаях) трехмерных течений разреженного газа для переходных режимов течения. При этом рассматривались как усложненные модели кинетического уравнения, так и собственно полное уравнение Больцмана [8, 9]. В значительной степени успех был достигнут благодаря широкому применению нестационарного метода прямого статистического моделирования течений разреженного газа (статистического метода частиц в ячейках),
348
который впервые был предложен Бёрдом [1], а затем теоретически обоснован и развит в работах [2—4].
В данной главе достаточно подробно излагаются основные положения метода статистического моделирования, описываются пути его усовершенствования и приводятся некоторые результаты расчетов задач динамики разреженного газа. Важно отметить, что указанный подход применим и для исследования явлений, существенно отличающихся по своему физическому содержанию от течений разреженного газа. Целесообразно, по нашему мнению, использовать метод прямого статистического моделирования и для изучения турбулентности [5]. В данной главе также рассматривается одна из модификаций статистического метода частиц в ячейках для решения задач такого класса [76, 77].
2. Основы базового метода излагаются применительно к задачам динамики разреженного газа, отмечаются главные особенности постановки таких задач, и проводится классификация численных методов их решения.
Как известно, основным уравнением динамики разреженного газа является кинетическое уравнение Больцмана. Его свойства достаточно полно описаны, например, в монографиях [6, ~7]. Уравнение Больцмана — это нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно функции распределения fit, х., с). В простейшем случае одноатомного газа функция распределения определяет плотность числа частиц в шестимерном фазовом пространстве (х,с) молекулы df(t, х, с) df (t, х, е) ,
dt дх —
= $[/(/, х, c'i fit, х, c'J—fit, х, с) fit, х, c1)]gdodc1, где /[/Л]—интеграл столкновений,
с'=4[(с + с1Жс — с11£]’ A = ‘
Здесь с', ci—значения скоростей двух бесструктурных частиц [г, с, t\, сЦ после их столкновения в точке х; e = {sin0cos%, sin 0 sin %, cos0[—единичный вектор, определяющий направление относительной скорости £ = |с—сх | после столкновения; do = ~ о (g, 0) sin 0 cf0 —дифференциальное сечение упругих столкновений.
При выводе уравнения Больцмана для простого газа делаются следующие предположения [6, 7]:
1) механизм столкновений описывается классическим образом;
2) силовые поля молекул сферически симметричны;
3) происходят только бинарные столкновения (в любом столкновении участвуют две молекулы);
4) молекулы движутся хаотически, причем функция распределения пар молекул представляется в виде
f2(t, х, clt с2)=^(/, х, cjf^t, х, с2);
349
5) время столкновения исчезающе мало.
Интеграл / [/Д], определяющий действие столкновений в уравнении Больцмана, содержит интегрирование по всем возможным скоростям сг той частицы, с которой сталкивается данная частица, имеющая скорость с. Кроме того, здесь проводится интегрирование по всем значениям углов рассеяния 0 и / сталкивающихся частиц. Высокая кратность интеграла столкновений (в общем случае равная пяти) является одним из главных препятствий построения численного алгоритма для решения уравнения Больцмана. Отсутствие точных решений (даже для простейших случаев) сильно затрудняет оценку пригодности приближенных методов.
Если молекулы имеют конечное сечение рассеяния (в случае упругих шаров о (g) = const), то интеграл столкновений I [/Д] естественным образом разбивается на сумму двух сходящихся интегралов /+ и
где
inrr^ffig^dc., ч/г]=$ лсг.
Здесь
K = х, cj, = х, с’), х, с[)
и предполагается, что
о (g) = do = J о (g, 0) sin 0 dG d% ф oo.
Выражение /“(обычно его называют интегралом прямых столкновений) характеризует скорость убывания числа частиц из окрестности фазовой точки (х, с) за счет столкновений. Этот интеграл, естественно, пропорционален плотности числа частиц f в точке (х, с) и частоте столкновений v = Д go (g) dct.
Интеграл обратных столкновений / + , который содержит член Д (/, х, с') fi (t, х, с'г), характеризует прирост числа частиц в фазовой точке (х, с) за счет столкновений частиц. Он имеет значительно более громоздкую структуру, так как аргументами у подынтегральных функций / являются «штрихованные» скорости частиц с' и с'х после столкновения. Таким образом, в подынтегральное выражение для /+ входит не просто произведение /Д (аргументами которого являются скорости с, Ci), а некий образ F (с, с±) этого произведения, полученный переходом от «нештрихованных» скоростей к «штрихованным».
Общая постановка задачи о расчете течения разреженного газа состоит в построении решения уравнения Больцмана, удовлетворяющего заданным начальным и граничным условиям.
Если Q означает область контрольного объема и Г — границу Q, включающую и поверхность обтекаемого тела, то задача сводится
350
к нахождению решения f(t, х, с), удовлетворяющего уравнению Больцмана
+ = ff^gdodc,, (4.1)
заданным начальным данным
/(/ = <0, х, c) = f0(x, с), xgQ, —оо < сЛ, г <4-00, (4.2) и граничным условиям
fr(t, хг, с) = j К (С,Cj f (t, хг, c^dc^ c-n(xr)>0,
^•«(ХгХО. (4.2')
Здесь п, (хг)—нормаль к поверхности Г в точке Хг£Г, направленная внутрь объема Q, вид ядра К определяется законом взаимодействия «газ—поверхность».
Трудность построения решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана определяется как большим числом независимых переменных (в общем случае их семь: время, геометрические координаты и компоненты скоростей молекул), так и сложной структурой интеграла столкновений. Квадратичная нелинейность в подынтегральных выражениях, зависимость их от «штрихованных» функций распределения (определяемых значениями скоростей молекул после столкновения), а также высокая кратность интеграла столкновений и сложная структура граничных условий (4.2') — вот основные особенности, затрудняющие получение решения уравнения Больцмана (4.1) и применение к нему классических методов численного моделирования.
3. Развитие численных методов решения уравнения (4.1) в настоящее время идет, как уже отмечалось, в основном по пути разработки и применения методов статистических испыта-ний *). Большинство из апробированных в практических расчетах методов Монте-Карло для неупрощенного уравнения Больцмана имеет общий недостаток, ограничивающий их применение одномерными течениями или простейшими плоскими задачами [7, 10, 11, 14—22]. Основной недостаток таких подходов — это слишком высокий уровень требований к объему машинной памяти, намного превышающий оперативную память современных ЭВМ. Предложенные приемы снижения уровня требуемой памяти можно реализовать либо для псевдомаксвелловской модели межмолекулярных сил [21], либо имея дополнительную информацию о виде искомого решения [18]. По-видимому, в общем случае указанные трудности можно было бы преодолеть, сопоставив с уравнением Больцмана ветвящийся марковский процесс. Для этого необходимо свести решение уравнения Больцмана к решению итерационной схемы. Возможные пути такого сведения обсуждаются в работе С. М. Ерма
*) См., например: СобольИ. М. Численные методы Монте-Карло.— М.: Наука, 1973; Е р м а к о в С. М. Об аналоге схемы Неймана — Улама в нелинейном случае,—ЖВМиМФ, 1973, 13, №3, с. 564—573.
351
кова и др.*), однако достаточно эффективные способы реализации этой идеи пока не найдены.
Другой подход к решению задач разреженного газа — это прямое моделирование течений идеального газа. Основное вычислительное преимущество известного метода Бёрда [1, 23, 24], использующего этот путь, заключается в сравнительно низком уровне требований к памяти ЭВМ, что в то же время не связано с какими-либо существенными ограничениями на вид искомого решения и потенциала межмолекулярных сил. Однако до настоящего времени фактической основой построения вычислительных алгоритмов этого метода являлась, по существу, физическая интуиция. Возможность использования физических предпосылок в решении всегда является привлекательной стороной, но сконструированная Бёрдом модель столкновительной релаксации, вообще говоря, искаженно отражает статистику столкновений в идеальном газе и имеет сравнительно низкую точность аппроксимации уравнения Больцмана. В целом же важно отметить, что идея расщепления процесса на физические составляющие (как по времени А/, так и по шагу Ах вдоль координаты) представляется достаточно конструктивной основой построения более совершенных математических моделей.
Проведем классификацию численных методов, используемых при решении задач динамики разреженных газов [8, 9].
I. Регулярные методы развиты главным образом для решения модельных и линеаризованных кинетических уравнений. В их основе лежат классические (конечно-разностные или квадратурные) представления этих уравнений. Определенный вклад в развитие данного направления внесли работы [10—13].
Эффективное численное решение полного уравнения Больцмана классическими методами вряд ли возможно при современном уровне развития ЭВМ, поэтому большее распространение получают методы статистических испытаний.
II. Полурегулярные методы основаны на использовании статистического метода Монте-Карло как вспомогательного средства расчета интеграла столкновений в нелинейном уравнении Больцмана. Базой для таких подходов является метод Нордсика — Хикса [14], с помощью которого проводится вычисление интеграла столкновений, а затем (в следующей итерации) определяется функция распределения путем прямого интегрирования уравнения Больцмана. Развитие указанного подхода проводится в работах [15—18]. В настоящее время эти методы дают достаточно надежные результаты численного решения задач лишь с одной пространственной переменной.
III. Статистические методы непосредственно используют метод Монте-Карло для моделирования течений разрежен-
*) Ермаков С. М„ Н е к р у т к и н В. В., Прошкин А. Я., Сизов А. Ф. О решении методом Монте-Карло нелинейного уравнения Больцмана.— В кн.: Методы Монте-Карло в вычисл. матем. и матем. физ. Новосибирск: Наука, 1974, с. 254—261.
352
ного газа без обращения на любой стадии к решению кинетических уравнений.
Для линейных задач эффективный алгоритм такого рода (метод ВГК) был разработан В. И. Власовым, С. Л. Гореловым, М. Н. Коганом [19]. Для стационарных нелинейных задач широко развит метод Хэвиленда, строгое обоснование и дальнейшее развитие которого содержится в работе Ю. Н. Григорьева, М. С. Иванова и Н. И. Харитоновой [20]. Оригинальная модификация этого метода, позволившая существенно сократить объем требуемой памяти ЭВМ, была предложена в [21, 22].
В настоящее время в динамике разреженных газов с наибольшим успехом при численном решении нестационарных нелинейных задач используются методы прямого статистического моделирования процессов столкновений и смещений молекул газа.
Первоначальная полуэвристическая схема нестационарного прямого моделирования была предложена в 1963 г. Бёрдом [23]. С ее помощью было решено большое число разнообразных задач, включая задачи для одномерных, нестационарных, плоских и осесимметричных течений различных конфигураций (см., например, [24, 25]).
Метод прямого статистического моделирования зарекомендовал себя как наиболее мощное средство решения задач динамики разреженного газа. По своей сути он является статистической разновидностью методов частиц в ячейках, общие положения которых заключаются в следующем.
— Моделируемая среда заменяется системой из <№ частиц фиксированной массы (жидких частиц для сплошной среды и молекул для дискретной). Частицы распределены в начальный момент времени по ячейкам неподвижной эйлеровой сетки в координатном пространстве х в соответствии с начальными данными.
— Процесс эволюции такой системы на временном шаге А/ можно расчленить на два этапа:
Этап I. Изменение внутреннего состояния подсистем, находящихся в ячейках, в предположении неподвижности частиц (эйлеров этап для сплошной среды и столкновительная релаксация для дискретной).
Этап II. Смещение частиц пропорционально их скоростям и шагу по времени А/ без изменения внутреннего состояния подсистем (лагранжев этап для сплошной среды и бесстолкновительное движение молекул для дискретной).
— Стационарное распределение всех параметров среды (если оно существует) вычисляется после установления процесса во времени.
Специфика рассматриваемых ниже статистических методов частиц в ячейках заключается в том, что состояние каждой частицы характеризуется векторами координат г и скоростей с. Таким образом, состояние всей моделирующей системы характеризуется 6о№-мерным вектором \rlt clt ..., r^, *).
*) Обычно течения разреженного газа моделируется системой примерно из ты-
^2 О. М. Белоцерковский 353
Кроме того, для численной реализации первого этапа (столкновения частиц в ячейках), а часто и для этапа II расщепления (бес-столкновительное смещение) используется статистическое моделирование. Очевидно, что наибольшая сложность связана с реализацией этапа I.
4. Рассмотрим вначале основные идеи предложенной Бёрдом методики моделирования столкновений частиц в данной ячейке (э т а п I расчетного цикла) [1, 23, 24].
Предположим, что в объеме V данной пространственной ячейки находится точно W частиц, скорости которых обозначим соответственно через Сх, . . ., cN. Было предложено не учитывать координаты г, частиц в ячейке при расчете столкновений, т. е. полагать их случайными величинами, распределенными по объему ячейки. Тогда столкновения частиц являются случайными событиями, при этом они предполагаются парными, мгновенными, а частицы разных ячеек друг с другом не сталкиваются. Второе существенное предположение связано со способом вычисления времени, отделяющего очередное столкновение от предыдущего. Для этого предложено использовать следующую формулу:
= (4.3)
где g = | с1—с2|—относительная скорость сближения двух сталкивающихся молекул. Моделирование столкновений сводится, таким образом, к случайному выбору пары частиц (с,-, с,-) (всего таких пар столько, сколько возможно сочетаний из N элементов по 2, т. е. N (N—1)/2) и к последующему розыгрышу их упругого удара по формулам механики, при этом случайным образом разыгрываются и прицельные параметры удара. Такой процесс последовательного моделирования парных столкновений можно было бы продолжать бесконечно долго, и для его обрывания требуется учет времени Т между столкновениями.
При разработке статистической модели динамики разреженного газа мы исходили из следующих аспектов. Как уже отмечалось, в описанной выше схеме имеется элемент произвола в выборе конкретного статистического метода моделирования столкновений в ячейках. Остается, в принципе, открытым вопрос: не искажает ли указанная вычислительная процедура природу уравнения Больцмана (см. [1], с. 2676)? В [1] показано, что в такой схеме средняя частота столкновений совпадает с больцмановской, если используется следующее условие прекращения расчета столкновений:
s(AO
Ss(&t)=kt, где SS(At)= X Tmi. (4-4)
сячи частиц, которые можно рассматривать в качестве характерных представителей многих триллионов молекул в действительном потоке.
354
Здесь mt — номер пары молекул, реализующих i-e столкновение; s(A/)— число столкновений за время А/ в одной реализации; Тт== =T(gm) — время, отделяющее данное столкновение, реализуемое парой с номером т (т—\, 2, . . ., N (N—1)/2), от предыдущего столкновения. Это время вычисляется по формуле (4.3).
Прежде чем перейти к описанию разработанной схемы статистического метода частиц в ячейках, отметим слабые стороны подхода [1], для того чтобы по возможности их устранить в дальнейших разработках. Возникающая большая ошибка аппроксимации в схемах Бёрда связана с чисто математической точки зрения с тем, что равенство (4.4), вообще говоря, невыполнимо, так как слева стоит случайная величина Ss(ao, а справа — фиксированная величина АЛ Уровень мощности современных ЭВМ не позволяет практически для многих задач аэродинамики разреженного газа «выдерживать» условие (4.4) с удовлетворительной точностью. Тот же вывод сделан и в работах [2, 26], где вычислена дисперсия счетчика времени S и установлено ее неприемлемо большое значение для расчетов, использующих (4.4).
Более полный анализ точности метода расчета столкновений по (4.4) выполнен В. Е. Яницким [27] при следующем условии прекращения расчета столкновений:
Ss (до А/ < Ss (дц + 1.
Приведем основные результаты этого анализа.
Пусть N — число частиц в ячейке, А/—отношение размерного шага по времени А/ к среднему времени свободного пробега молекулы. В пределе, когда N—>оо, А7—>0 так, что NAt/2 остается постоянной величиной s* (равной среднему числу столкновений по Больцману), бёрдовская частота столкновений v (как функция от s„) является решением уравнения типа уравнения восстановления. Известные асимптотические свойства решений таких уравнений *) позволяют заключить, что частота столкновений по схеме [1] v (s*) сходится к частоте столкновений по Больцману v в пределе, когда N—> оо, At—>0 так, что среднее число столкновений s# за время At стремится к бесконечности (s* = MA7/2—>оо). При этом получается следующая асимптотика для отклонения рассчитанной частоты от больцмановской:
v(s,)/v, = l—O(l/s»), s, = MA7/2>l. (4.5)
Эта асимптотика означает, что данный метод вносит в частоту столкновений ошибку порядка О (l/s#) ~ О (1/(МА/)), поэтому расчеты по методу Бёрда требуют использования весьма большого числа частиц в ячейке и сравнительно больших шагов Ах расчетной сетки (Ах связано с At условием вычислительной устойчивости). Указанная ошибка в частоте столкно
*) См., например: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2,— М.: Мир, 1967.
’2* 355
вений в ряде случаев может достигать нескольких десятков процентов.
Если равенство (4.4) понимать лишь в каком-то заранее оговоренном приближенном смысле, то это позволит определить и точность метода. Так, подразумевая выполнение условия (4.4) в среднем за достаточно большой интервал наблюдения, можно получить такую оценку для относительного отклонения бёрдовской функции распределения от больцмановского решения [26]:
ofAln^V (4.5'}
Здесь — характерное значение числа частиц в ячейке; tr — время установления; е=2,71...— основание натурального логарифма.
Оценка (4.5') показывает, что с уменьшением временного шага Kt необходимо увеличивать No по логарифмическому закону. Это требует использования большого числа частиц в ячейках и затрудняет эффективное применение метода на мелкой или неравномерной сетке, при больших градиентах плотности и т. п.
В целом же важно отметить, что идея о расщеплении процесса на физические составляющие (как по времени А/, так и пэ шагу Ах вдоль координаты) представляется достаточно конструктивной основой построения более рациональных математических методик. Такие модели, хорошо аппроксимирующие уравнение Больцмана, можно построить, если использовать более совершенную схему расчета столкновений частиц в ячейке.
5. Отличительная особенность нашей модели, предложенной в работах [2—4], состоит в том, что на этапе I (столкновитель-ная релаксация) подсистема в ячейке рассматривается как N-частичная модель Каца [28], и, следовательно, моделирование столкновений сводится к монте-карловской реализации эволюции модели [28] или аппроксимирующего процесса.
В основе модели Каца и бёрдовского метода расчета столкновений лежат, вообще говоря, одинаковые физические предпосылки: столкновения частиц считаются парными и мгновенными, а координаты молекул — случайными величинами, распределенными по объему ячейки. Различие же в этих подходах состоит в том, что в модели Каца время между столкновениями рассчитывается в правильном соответствии со статистикой столкновений в идеальном одноатомном газе, причем эволюция этой модели является строго марковским процессом. Это означает, что время Тт, отделяющее столкновение данной пары от предыдущего, является случайной величиной, распределенной по показательному закону, одинаковому для любой пары молекул т.
В модели релаксации, предложенной в [1], время ожидания очередного столкновения T(grrd определяется парой (Cim, с2щ), которой будет реализовано это столкновение. Следовательно, время ожидания скачка в системе зависит от состояния, в котором окажется система после скачка. Такие процессы не являются маоковскими, они принадлежат классу полу марковских [29]. Представляется,
356
что это — одна из основных причин в определенном смысле «невыгодной» для метода Бёрда асимптотики (4.5), (4.5'). Во всяком случае модель Каца, как будет показано ниже, обеспечивает тождество v(s!|!)=v# в пределе при М—>оо, Д/->0 так, что среднее число столкновений s* остается произвольной константой: N&t/2— =const =s# (что и позволяет использовать достаточно мелкие шаги расчетной сетки и существенно меньшее число частиц в ячейках). Следует заметить, что марковский характер пространственно-однородной эволюции идеального газа из N частиц был доказан в [30], исходя из уравнения Лиувилля.
Таким образом, предлагаемая здесь марковская модель пространственно-неоднородной эволюции идеального газа является, на наш взгляд, более физичной, прежде всего, с точки зрения соответствия больцмановской статистике столкновений. Далее мы более подробно изучим свойства этой модели.
Сформулируем вкратце основные положения разработанной нами статистической модели пространственно-неоднородной эволюции идеального газа [2—4].
1. Для приближенного исследования на больцмановской уровне течений разреженного газа удалось построить статистическую модель
{/?(/), C(t)} = {r1(t),
идеального одноатомного газа из <№ частиц с координатами rt и скоростями Ci, причем такую, что уравнение эволюции этой модели аппроксимирует уравнение Больцмана при единственном дополнительном предположении о статистической независимости частиц {гипотеза о молекулярном хаосе [67, 28]).
Решение задачи с помощью указанной модели сводится к численной реализации конечного числа траекторий {*(0, С(0) , что позволяет вычислить любой макропараметр газового потока, осредняя, например, изменения по всему множеству реализованных траекторий.
2. Указанная статистическая модель построена на основе синтеза основных идей расщепления метода частиц в ячейках и пространственно-однородной марковской модели идеального одноатомного газа, которая была предложена Кацем.
Моделирование столкновений в ячейках является [этапом расчета эволюции пространственно-неоднородной модели; оно осуществляется с помощью монте-карловской реализации [28]. Основное уравнение этой модели является линейным (в отличие от уравнения Больцмана), что существенно упрощает численное решение этой задачи.
На II э т а п е расчета эволюции за время At моделируется бес-столкновительное перемещение частиц. Для реализации этого этапа целесообразно применять монте-карловские алгоритмы, не требующие запоминания в памяти ЭВМ значений пространственных координат частиц. Такой подход существенно экономит память ЭВМ.
357
3. Отличие предложенной здесь статистической модели частиц в ячейках от подхода [1] заключается в использовании более совершенных методов моделирования столкновений частиц и в более точной аппроксимации уравнения Больцмана.
4. Простейшие из численных алгоритмов рассматриваемого здесь подхода соответствуют решению явных по времени условно-устойчивых конечно-разностных схем первого порядка точности соответственно для уравнения Каца и свободномолекулярного уравнения Больцмана. Более сложные (но не менее эффективные) алгоритмы, используют центрально-симметричную схему расщепления, точное моделирование процессов Каца и свободнэмолекулярного переноса.
5. Применимость и достаточная эффективность данной модели для расчета течений разреженного газа были подтверждены численным моделированием структуры прямого скачка уплотнения и теплопередачи между параллельными пластинами, а также практикой использования данного метода для расчета существенно многомерных и нелинейных течений [26, 32, 35].
6. Предлагаемая модель модифицируется и для численного моделирования задач турбулентности [5, 76, 77].
§ 2. Статистическая модель частиц в ячейках
1. Алгоритм столкновений. Принципиально новым моментом предлагаемой модели пространственно-неоднородной эволюции газа является рассмотрение каждой подсистемы из N частиц в ячейках как некой вероятностной модели [28], обладающей свойством строгой марковости. Рассмотрим основные свойства этой модели, следуя [4].
Пусть {Ci (/), ..., cN(t)} = С (t) есть ЗА-мерный вектор, компонентами которого являются скорости N частиц, образующих замкнутую изолированную систему. Случайный процесс C(t) (по определению) есть модель К.аца, если прямое уравнение Колмогорова [29] для этого процесса имеет вид
^-^=4 Е М[ф(/> с;/)-(р(/’
1 < i < / < JV
£</ = |<ц—do,/ = CT(gf,7, e,7)sine,yde,7dx,7, (4.6) Сц = [Сх, ...jCj'-j, Ct, ci+1, • . • , Су_х, Сj, С..., Cw}.
Здесь симметричная функция ф(/, С) переменных сх, ..., cN является плотностью вероятностного распределения состояния С в момент времени t\ Сц—состояние модели после столкновения пары частиц (с,-, Су); нормировочная константа V определяется выбором единицы времени.
Если обозначить
Л
g-cr (g) — 2л ) go (g, 6) sin 6 de,
0
358
то при дополнительном предположении об ограниченности функции ga(g) на любом конечном отрезке [0, а], а <оо, модель Каца можно ввести феноменологически с помощью следующих двух определений [27].
Определение 1. Столкновением называется случайное событие, в результате которого точка С = ^с1, . мгновенно
изменяет свое положение в пространстве 3N измерений и принимает новое значение С', удовлетворяющее следующим постулатам:
1) результатом столкновения может быть изменение значений лишь какой-либо одной пары векторов (cz, Су); будем говорить, что эта пара испытала столкновение-,
2) новые значения векторов c't, Cj пары, испытавшей столкновение, являются случайными величинами, но такими, что О,-у = = (с,- + Су)/2 и£,у = | с,-—Cj \ не меняются в результате столкновения;
3) вероятность того, что после столкновения пары (с;, су) новый вектор gij попадает в телесный угол dQ, есть
gijQ (gij, Оу) gij^ (gij)
dQ.,
e,,.
=arccos
g'b
Определение 2. Система Af векторов ..., Cn} называется пространственно-однородной марковской моделью идеального одноатомного газа из N частиц, если эволюция точки С (/) определяется последовательностью столкновений, разделенных случайными интервалами времени Т, причем:
1) вероятность того, что в момент t столкнулась пара частиц (сг-, с7) (при условии, что в момент t столкновение одной из пар состоялось), равна
2) время ожидания очередного столкновения имеет распределение <F(t) = P]7,^t} = 1—ехр {— Хт}, (4.7)
не зависящее от выбора начала отсчета времени и от пары (с;, Су), реализующей это столкновение, и определяемое состоянием С всей системы в целом до столкновения.
Эволюция состояния С (t) так определенной модели является однородным скачкообразным марковским процессом, сосредоточенным на гиперсфере постоянных энергий и импульса всей системы. Очевидно, нетривиальным с физической точки зрения в определениях 1 и 2 является лишь распределение (4.7), которое постулирует свойства строгой марковости [29]. Физичность постулата (4.7) не вызывает сомнения, так как следствием определений 1 и 2 является уравнение (4.6), которое следует также из уравнений Лиувилля в предположениях о пренебрежимой малости времени взаимодействия молекул и о конечности числа частиц N [30].
Замечательное свойство решений задачи Коши для уравнения (4.6) было открыто Кацем и является центром внимания большого числа
359
теоретико-вероятностных работ [33]. Предположим, что в начальный момент 1=0 скорости частиц статистически независимы (гипотеза о молекулярном хаосе [6, 7, 28, 33]), т. е.
N
Ф(/ = Ч-О, G, ..., ГлО = П^о(^)-
1 = 1
Тогда для распределений
Л7
ФИЛ clt ..., cs) = $ <Р(Л с) п dCi
i=s+ 1
скоростей данных s частиц при всех t > 0 и s 1 почти всюду
тт N
lim (/, clt . • •, cs) = 11 <F (t, С;), = n = const,
N, i=l V
причем S' (t, с) является решением уравнения Больцмана
= ni
с начальными данными
S'(t = 4*0, с) = S'0 (с).
Это свойство распространения хаоса означает, что модель Каца асимптотически эквивалентна уравнению Больцмана без конвективной производной (пространственно-однородный случай).
Точное моделирование столкновений частиц в ячейках, соответствующее модели Каца при произвольной, но ограниченной функции g-o(g), является следствием определений 1 и 2 и свойств, вытекающих из строгой марковости [29].
Пусть h — заданный шаг по времени, Тг—-время, отделяющее столкновение частиц с номером г от столкновения частиц с номером г—1. Введем величину
г = 1 означающую полное время ожидания столкновения частиц с номером s. В модели Каца слагаемые Тг суть случайные величины, распределенные по показательному закону:
Р(7\>т}=ехр{— Хт}, (4.8)
где частота столкновений
= У (gij)
1 < i < ! < N V
Тогда моделировать столкновения молекул-шаров необходимо следующим образом.
360
Шаг 1. Из распределения (4.8) выбирается случайное время'Тр, и вычисляется Sr=Sr_i+7\. Считается, что столкновение произошло, если в противном случае процесс расчета столкновений в ячейке прекращается.
Шаг 2. Если столкновение произошло, то выбирается пара частиц в ячейке со скоростями и Cj, которая реализует это столкновение в соответствии с условной вероятностью столкновения
уу________Sija (8ij)
11 S (gij) Ki<KN
Ш а г 3. Вычисляются скорости после столкновения по формулам c'i =4 + Cj} + I ci—CJ I е1
причем единичный вектор е генерируется как случайный (равномерно распределенный по всем направлениям вектор в случае модели упругих шаров).
Шаг 4. Процедура повторяется, начиная с шага 1 при г=г+1.
Недостатком этой процедуры является то, что после каждого столкновения необходимо пересчитывать частоту Z, что требует N (N—1)/2 операций. Таким образом, полное число операций при расчете столкновений пропорционально
^(Л^-1)
2
где scp—среднее количество столкновений в ячейке.
Получена весьма сильная зависимость времени счета от числа частиц в ячейке, но она проявляется лишь при значениях N 3. Как будет показано ниже, расчеты можно проводить даже при N ~ 1 и указанная зависимость практически не проявляется *). Кроме того, быстродействие счета можно увеличить, ' если выбор сталкивающейся пары (шаг 2) выполнять следующим образом.
Шаг 2а. Равновероятным образом выбирается пара частиц с номерами i, ( из числа имеющихся в ячейке.
Шаг 26. Проверяется условие Р (g,y)M, где константа А выбирается так, что Л ^max [g;7o(gy.)], и R — равномерно рас-
И
*) Здесь N ~ 1 означает, что в среднем число частиц в ячейке порядка 1. В методе частиц в ячейках благодаря сдвигу мгновенное значение Л' флуктуирует, подчиняясь закону Пуассона: P{N = n}—y^-e N . Условие У=1 не означает, конечно, что У=1. Вероятность, что число частиц в ячейке достаточно Для столкновений, равна Р (N г-2} = 1—е-ЛГ (1-|-У) и является достаточно большой величиной даже при У=1.
36)
пределенное в (0,1) случайное число. Если это условие выполнено, то считается, что именно выбранная пара (г, /) сталкивается. Если означенное условие не выполнено, то процедура повторяется с шага 2а.
Указанным способом обрабатываются все ячейки физического пространства.
Алгоритм моделирования столкновений, быстродействие которого существенно слабее зависит от N, состоит из выполнения для каждой пары компонент (cr, cs) вектора {tj, ..., Cn} следующих процедур [4].
1. Разыгрывается столкновение пары (cr, <\) с вероятностью, равной
п __Srsa (grs)
Г rs у LXi •
2. Если столкновение состоялось («успех»), то скорости cr, cs заменяются на с'г, c's:
с г=4 + Srse\, C’s = 4 [(cr + cs) —grse].
При этом сферические координаты (0, %) единичного вектора в выбираются из распределений
f (х) dx=g-, f (0) df)=g"g^’e) sin 0 de.
\&rs)
3. В случае «неуспеха» испытания векторы сг и cs своих значений не изменяют.
Этот алгоритм является разновидностью схемы из N (N—1)/2 испытаний Бернулли с разными вероятностями успеха. Он порождает марковскую цепь-С(а), которая аппроксимирует на сетке ta процесс столкновений €(1) в смысле определений 1 и 2. Этот факт станет очевидным, если заметить, что распределение ф (а, С) состояния С (а) является решением интегро-конечно-разностной схемы для уравнения (4.6):
ф(а+1, C)=[l—у- £ Ф (а,С) +
+ Y 12 Sr Л Ф («, С„) dors + О(Д/2).
Для так называемых псевдомаксвелловских молекул (go (g) = const) частота столкновений Х = У(У—1)/V = const не изменяется в процессе столкновений в подсистеме (tj, ...,Cn\ и точный процесс Каца вырождается в пуассоновский. Тогда, следуя [2], целесообразно разыграть сначала число столкновений s из распределения Пуассона
362
а затем равновероятно выбрать s столкнувшихся пар из системы и пересчитать их скорости. Иначе говоря, в случае псевдомаксвелловских молекул точное моделирование—это самый простой и быстродействующий алгоритм этапа I.
Итак, алгоритм столкновений частиц (этап I), характеризующий пространственно-однородный случай, построен. Для пространственно-неоднородных задач следует, согласно методу расщепления, рассмотреть также сдвиг частиц (этап И).
2. Пространственно-неоднородная марковская модель идеального одноатомного газа может быть построена на основе идей расщепления метода частиц в ячейках в статистической трактовке Бёрда и модели Каца. Вначале будут описаны принципиальные аспекты такого подхода [2, 3, 4], а теоретико-вероятностный анализ основных схем моделирования будет проведен ниже [26, 27].
В контрольном объеме вводится неподвижная эйлерова сетка с номерами ячеек / Непрерывное время t € [0, +°°) за-
меняется дискретным ta (а = 0, 1, ...). В любой момент ta в /-й ячейке находится N (а, /) частиц со скоростями {сх, ..., с,у («,/>} = = С (а, /). Полное число частиц в контрольном объеме равно
у
<№ (а) = X N (а, /), /=1
и состояние модели в целом характеризуется вектором
{АГ (a), C(a)} = {N(a, 1), С (а, 1); ... ; N (а, /), С (а, /)}. (4.9)
Состояние (а-]-1), С(«+1)] получается из {ДГ(а),С(а)[ в соответствии с принципом расщепления процесса.
Этап I. Независимо в каждой ячейке / реализуется траектория марковского процесса С (h, j) (h^.ta+i— ta), выходящая из начального состояния С(а,/) и аппроксимирующая столкновения (в смысле определений 1 и 2).
Этап II. Реализуется марковский процесс, аппроксимирующий бесстолкновительное движение молекул, например, типа [3]. Ясно, что объединенный процесс С (а,)} также марковский,
и в этом состоит, на наш взгляд, принципиальное отличие данной модели от бёрдовской.
Этап II расчета (бесстолкновительное смещение), как и этап I, может быть реализован в двух формах — точной и приближенной. Точный алгоритм сдвига тривиален: каждая i-я частица смещается по формуле
xt (t+h)=Xi(t)+cxih.
Приближенный алгоритм сдвига (так же как и приближенный алгоритм столкновений) может быть реализован схемой испытаний Бернулли. Для одномерного течения он приведен в [3]: с вероятностью |схгА^/Ах| каждая i-я частица смещается по оси х в
363
соседнюю ячейку в соответствии со знаком сх или остается неподвижной с вероятностью 1—|схгД//Дх|.
Обобщение на плоские и пространственные течения состоит из последовательности одномерных смещений вдоль координатных осей. Это соответствует расщеплению многомерного уравнения переноса
щ + = ° (4-Ю)
dt ' дх v '
на последовательность одномерных конечно-разностных схем:
, . A±f
+ 1 = 1,2,3, (4.10')
А/ 1 Ах,- ’ ’ ’ ' '
где
J Д,, с,-<0, Дд[/(п) = [/(п+1)_t/(n), д= <
(у,-, Q > 0, (n) s U (п)—U (п—!)•
Преимущество приближенного алгоритма сдвига по сравнению с точным заключается в том, что он использует неполную информацию о положении частиц в координатном пространстве (вида {N (а, /); Ci, . . ., с.х)}, т. е. здесь не требуется запоминания в памяти ЭВМ значений соответствующих пространственных координат частиц. Это значительно снижает требования к объему оперативной памяти ЭВМ, что существенно повышает эффективность метода по сравнению с «координатным» вариантом. Недостаток приближенного алгоритма состоит в необходимости выполнения требования Д^/Дх~ ~0,1, связанного с устойчивостью аппроксимирующей схемы в наиболее вероятном диапазоне изменения молекулярных скоростей сг.
3. Точность аппроксимации и соответствие построенной модели уравнению Больцмана проще всего устанавливаются в случае использования приближенных алгоритмов моделирования столкновений и смещений частиц.
Пусть / — номер ячейки координатного пространства, а — момент дискретного времени, соответствующий ta. Статистическое распределение состояний (4’.9) модели естественно описывать последовательностью функций
{®v(«, j, С1, ..., сЛ-)[, М>0, а^О,
Дифференциал Фу (<z, j, С) dC имеет смысл вероятности того, что в ячейке / в момент времени а находится точно N частиц и вектор их скоростей принадлежит ЗУУ-мерному объему dC, примыкающему к точке С. Однако для выяснения точности, с которой модель аппроксимирует уравнение Больцмана, необходимо ввести функции /\(а,/, ...,cs), имеющие смысл плотности математи-
ческого ожидания и аналогичные обычным s-частичным функциям распределения [6,7]. Они однозначно определяются последовательностью распределений ]Ф,У}.
3G4
Действительно, введем цепочку распределений Ф», Да, /, с,, ...,с.), эквивалентную ФЛн
р N
®N. 5 = (“, ...,G) = J ФдДа. ],С) П dCi, s<tf,
l = s+ 1
<х>
2 Фу, • .dcs= 1, Ф.у, дг==Флг-
N = 0
Каждая Фд^ эквивалентна паре распределений PN и <p.Vi 4:
» s
Pn /) = } ®v, 5 («, Л G. • • • > II dch
1 = 1
m (п. i г - OjV’ Да’/’сь
ФЛ', s (а. Л G, • • •. Cs) - PN(a,j) ’
где Py(a, /)—вероятность обнаружения в ячейке / в момент времени а точно N частиц, * *(<у, 5—условная плотность распределения скоростей любой данной группы из s частиц в ячейке при фиксированном полном числе частиц N.
Обозначим через (N)S = N (N——s-|-l) убывающий s-фак -ториал от N. Интересующие нас функции fs определяются равенствами
00
f, /. Cl.......cs) = 2 (W)A, , (a, /, Clt ..., cs) =
N = s
CD
= 2 WSPN (a, /) tpjv Да, /, G, ..., cs). (4.11)
N = s
Гипотеза молекулярного хаоса—это предположение о справедливости следующих равенств [7]:
S
/Да, /.Cj, ...,С5) = П71(а> Л С>), s>l. (4.12) i = 1
В уравнении Больцмана заложено, как известно, предположение о молекулярном хаосе, или о статистической независимости частиц. В нашей модели имеются те же предпосылки, что и в уравнении Больцмана, но без предположения о молекулярном хаосе. Таким образом, в рассматриваемой модели, в принципе, может существовать статистическая зависимость частиц, что может приводить к возмущению молекулярного хаоса *). Остановимся на этом подробнее [4]. Гипотеза о молекулярном хаосе справедлива в том и только том случае, если
S
Флц Да,/, •••, ^) = Пф1(а,/,О)- (4-13)
/=1
P n(P, /) = exp {— М [ЛДа, /) ]), (4.14)
*) Следует отметить, что принципиально существующая здесь статистическая зависимость заложена в алгоритм (как и в модель Каца) теоретическими и физическими предпосылками и не зависит от размера сетки (она существует и при Д%->0).
365
где M[tV(a, /)] = ) fi (a, j, c) de—математическое ожидание числа частиц в ячейке / в момент времени а и
Необходимость (4.13) очевидна. Это равенство отражает независимость частиц, принадлежащих одной ячейке. Чтобы доказать необходимость (4.14), проинтегрируем (4.12) по dclt ..., dcs, тогда получим M[(,V)S] = [M (AZ)]S. Последнее — необходимое и достаточное условие (4.14), что легко проверяется методом производящих функций [36]. Достаточность равенств (4.13), (4.14) для выполнения (4.12) проверяется их подстановкой в (4.11).
Для нашей модели характерно нарушение как (4.13), так и (4.14). В силу конечности числа частиц N, сталкивающихся в ячейке на I этапе расчета, равенство (4.13) нарушится, даже если оно было справедливо для момента времени а—1. Чтобы продемонстрировать нарушение равенства (4.14), рассмотрим следующий пример.
Пусть с помощью описанной модели решается задача о релаксации газа, находящегося в ящике с зеркально отражающими стенками. Тогда полное число частиц
у
<№ (а) = S N (а, /) = const /=1
и, в силу равноправия всех ячеек, стационарное распределение PN(oo, j) является биномиальным:
«м-ттчГ’- <4Д5>
\ *' / \ V / \ V /
Для (4.15) имеет место равенство
М [N (N — 1)] _ 1
[М (Л/)]2
Отсюда следует, что в приведенном примере равенство (4.14), определяющее статистическую независимость частиц в координатном пространстве, выполняется с точностью до величины поряд-к а О (At, Ах).
Итак, марковская модель газа, построенная на основе синтеза идей расщепления и модели Каца, содержит все физические предпосылки уравнения Больцмана, исключая гипотезу о молекулярном хаосе. По-видимому, статистической зависимостью частиц этой модели можно пренебречь в задачах динамики разреженного газа (естественно, в пределе, когда At, Ах->0 и 3, (№->-оо). Этот вывод подтверждается результатами проведенных нами численных экспериментов.
Установим точность, с которой предложенная модель, реализуемая бернуллиевскими схемами испытаний для I и II этапов расчета, аппроксимирует уравнение Больцмана.
Пусть fs=fs/Vs, и рассмотрим для простоты одномерное течение. Тогда с помощью рассуждений, учитывающих конечность At и Ах (а в остальном подобных феноменологическому выводу уравнения
366
Больцмана [6J) *), получим
+ = (4.16)
Дг 1 x Ax u 2J x Ax v '
При дополнительном предположении Д, (a, j, clt c2) = f\ (a, j, ct)X xA(a,/, G) соотношение (4.16) превращается в интегро-конечноразностную схему. Она условно-устойчива, как и (4.10) (см. также [3]), и аппроксимирует уравнение Больцмана с точностью до О (At, Ах). Отметим, что метод Бёрда [1] имеет те же /2 et \
составляющие ошибок плюс добавочный член О ( дНпд7 ) , обусловленный нарушением частоты столкновений.
Следовательно, наша модель точнее аппроксимирует уравнение Больцмана (с точностью до выполнения равенств, определяющих гипотезу о молекулярном хаосе) **).
Как уже отмечалось, указанные оценки позволяют сделать вывод о том, что рассматриваемая модель допускает использование достаточно мелких шагов расчетной сетки (см. § 8, п. 1).
В. Е. Яницким проведен теоретик о-в ероятностный анализ основных положений метода [26, 27] и рассмотрены пути дальнейшего повышения его эффективности. Остановимся на этом подробнее, следуя [26]. Вычислительные аспекты указанного подхода и результаты расчетов приводятся в §§ 8, 9.
§ 3. Анализ частоты столкновений в схемах прямого статистического моделирования
1. Многие результаты проводимого анализа основаны на т е о р и и процессов восстановления [36]. Приведем некоторые положения этой теории, которые будут использованы в дальнейшем. Рассмотрим суммы Sn вида
So = 0, 5„ = Л + . ..+Тп, (4.17)
в которых слагаемые 7\ — взаимно независимые положительные случайные величины с общим распределением F, удовлетворяющим условию F(0)=0.
Определение. Процессом восстановления называется последовательность {Sn} (n=0, 1, . . .) случайных сумм вида (4.17).
Представим себе бесконечное число независимых экспериментов, в каждом из которых накапливается сумма вида (4.17) до тех пор, пока ее значение не превысит заданной величины t. Максимальное число членов последовательности So, . . ., Sn, . . . таких, что Sn^t,
*) См. §5, п. 3.
**) Строго говоря, в нашей модели (как и в модели Каца) эта гипотеза несправедлива. Однако численные эксперименты показывают, что в задачах динамики разреженного газа ее нарушение практически неуловимо [4, 5, 8].
9R7
будет случайной величиной, меняющейся от эксперимента к эксперименту. Обозначим через U (t) среднее число таких членов. Таким образом,
t/ (t) = st + 1,
где число слагаемых st в сумме (4.17) определяется условием
SSt^t<SSi+i. (4.18)
Функция U (/) всегда существует, и для нее справедлива следующая теорема.
Теорема восстановления (см. [36]). Если распределение F не является арифметическим *), то при любом фиксированном /г —* 0 и t —+ОО
U (t)—U — , p^TdF (Т) = Т. (4.19)
И o’
Из этой теоремы, в частности, вытекает, что при больших t функция U (t) ведет себя как Z/р. Справедлив и более сильный результат [36]:
Утверждение. Если неарифметическое распределение F обладает дисперсией о2, то
00 o2=C(T-p)MF(T). (4.20)
О
Основой для получения свойств (4.19), (4.20) и многих других является уравнение восстановления, которое нам потребуется в частной форме. Пусть F имеет плотность f, тогда решение уравнения восстановления
t
u(t) = f(t) + ^u(t—T)f(T)d.T (4.21)
о
является плотностью функции U (/) в смысле
t
[/(/) = 1 + и (х) dx о
и утверждение (4.19) теоремы восстановления сформулируется в следующем виде:
и (t) —> р-1, t —->оо.
2. Схема моделирования столкновений по Бёрду [1, 23, 24] допускает эквивалентную формулировку [2], удобную для аналитического исследования.
*) Этот частный случай соответствует максвелловским молекулам и является на самом деле наиболее простым.
58
Пусть в ячейке с объемом V находится точно N частиц со скоростями clt cN- Через g=c1 — с, и a(g-) будем обозначать соответственно относительную скорость двух сталкивающихся частиц и полное сечение столкновений. Тогда алгоритм Бёрда можно реализовать следующим образом.
Шаг 1. Разыгрывается номер т— 1,2, ..., k = N(N—1)/2 пары частиц (с,-, с,-) в ячейке в соответствии с вероятностным распределением
k
Рт = Т’ Х = (a=g°(g)/V- (4.22)
т— 1
Ш а г 2. «Счетчик времени» 5] 7\ увеличивается на соответствующую выбранной паре пг величину
Шаг 3. Скорости (с,-, су) пары частиц с номером т заменяются на их значения (c't, c'j) после столкновений, вычисленные в соответствии с принятой моделью межмолекулярных сил.
Шаги 1—3 циклически повторяются до тех пор, пока не выполняется (в том или ином смысле, например в среднем за большой интервал времени) условие
1т,.=Д/, (4.23)
i— 1
где i=l, 2, ..., s—номер столкновения, реализованного на данном интервале времени ДС
Таким образом, задача сводится к исследованию процесса п
восстановления {SJ, где S„=S7\, и каждое слагаемое с i -1
вероятностью (4.22) принимает значение (&(ои)-1.
Начнем со случая, когда число столкновений st на полуинтервале времени (0, /] определяется условием (4.18). В силу теоремы восстановления при t оо имеет место следующее асимптотическое приближение для среднего числа столкновений s*:
S/’-sU/ — Ы/Т*, t->-co. (4.24)
Среднее время Т* ожидания столкновения равно k
m= 1
Таким образом, при t —»• оо имеем
s' = St— St-ы —* Аг1 к. (4.25)
Отметим, что Л имеет смысл условной частоты столкновений пар при фиксированном наборе glt ..., gk относительных скорос-
369
тей g. Действительно, если f(g) — плотность распределения относительных скоростей, то абсолютное среднее величины
= gk)
т
есть
£ ____________________
•••, gk) II f (gm) dgm ^ka=N(N~l}^~
J m=l z v
что совпадает с известным выражением кинетической теории для частоты столкновений молекулярных пар в объеме V. Здесь использовано предположение, что совместная плотность распределения k
относительных скоростей gx, ..-,gb равна Ц f(gm)> что соответ-т— 1
ствует гипотезе о молекулярном хаосе [7]. В левой части (4.25) стоит также условное среднее числа столкновений. Для получения аналогичного соотношения для безусловных значений средних st и к необходимо проинтегрировать (4.25) по всем gm с весом k
П f(gm), в результате чего получим при t—> оо т = 1
se = sf—st_At—к. (4.26)
Следовательно, используя условие (4.23) для прекращения расчета столкновений, получаем верное предельное выражение для частоты столкновений sc (оо)/Д/.
Оценим теперь погрешность в частоте столкновений на первом шаге по времени, когда t = At. Условие прекращения расчета столкновений на этом шаге примет вид
SSc^At <SSc+1. (4.27)
При ДС>Л-1 можно воспользоваться оценкой (4.20). Заметим, однако, что s* = U(At) — 1, значит,
—1<S;—= 1. (4.28)
Здесь учтено, что р. = 7\, о2 = Т,— Т2*. Очевидно, что k к
m = 1 zn= 1
Следовательно, m = \ п, m \ m±n '
Q7n
Проинтегрируем (4.28) по всем gm с весом Ц/^). Интегри-т — 1
рование всех слагаемых со^/со^ суммы даст одно и то же значение coco-1 (в силу независимости со„ и сош при n=/=m). Тогда
л т12 k 1 ____________
W- II dgm = -^[k + k(k— i) coco-1] «г coco-1, £>1.
0 T* m=l
Следовательно, интегрирование (4.28) дает при k^>\
— 1 se—At Х-эД^сою-1— 1).
Величина X At = (N/2) v A£ = s есть среднее число столкновений, вычисленное по точной формуле для частоты столкновений в разреженном газе. Таким образом, при s5g> 1 имеем асимптотическое равенство
Sc/S ~ 1 —(1—72£OCO-1)/S.
Пусть, например, моделируется газ из упругих шаров (п(£) = = const) и плотность f (g) соответствует максвелловскому равновесию; тогда ю£о-1 = 4л и оценка погрешности расчета частоты столкновений равна
sc/s ~ 1 — ((л — 2)/л) s-1. (4.29)-
Оценка ((л—2)/л)з~1 для относительной погрешности в частоте столкновений при значении безразмерного шага по времени v Д£=1 и числе-частиц в ячейке N=2Q дает значение 0,085, но при меньших интервалах At приходится вводить пропорционально большее число частиц ДЕ На эту неприятную особенность схемы Бёрда указывалось в ряде работ [2, 4]. Если на любом временном шаге At применять условие (4.27) так же, как на первом, то к моменту времени tr уже накопится значительная погрешность, порядка O(2tr/(N At)), что и заставляет ставить вопрос об усовершенствовании метода.
3. На первый взгляд кажется, что указанный выше недостаток метода легко преодолеть. Действительно, используя условие (4.18), получаем верное предельное выражение (4.26) для частоты столкновений, значит, трудность будет преодолена по крайней мере для стационарных задач. Именно такой путь и предлагается в [1, 24].
Практически все сводится к тому, что после каждого цикла расчета столкновений в ячейке за время At значение счетчика времени запоминается для использования на следующем временном шаге. Однако методические расчеты по схеме Бёрда указывают на зависимость результатов от характерного значения No числа частиц в ячейках (это отмечается и в [1, 24]).
На рис. 4.1 в качестве примера представлена зависимость безразмерного коэффициента нормальной силы Сп от No, полученная при расчетах обтекания пластины потоком разреженного газа из молекул-шаров [38, 39]. Легко видеть, что при Аг0<30 схема обладает заметной
371’
Рис. 4.1. Зависимости коэффициента нормальной силы С„ от Л'^ при обтекании пластины разреженным газом.
вычислительной погрешностью, которая уменьшается от 0,2 до 0,1 при увеличении Л70 от 10 до 20. Такое же поведение результатов предсказывает и оценка (4.29) для общей схемы, использующей неравенство (4.27) независимо на каждом интервале А/. Таким образом, схема, использующая условие (4.18), полностью не устраняет отмеченного недостатка метода.
Кажущееся противоречие расчетов и соотношения (4.26) легко понять, если заметить, что теорема восстановления утверждает лишь эргодичность, т. е. существование стационарного значения X среднего числа столкновений в единицу времени. Конкретные же значения /. = kgo (g)>V определяются плотностью / (g) распределе
ния скоростей g, которая для теоремы восстановления является заданной. Напомним связь значений go с f (g): со
^=5 g°(g)f(g)dg. о
Этой теореме не противоречит никакая степень отличия f (а следовательно, и go) от истинных ее значений в газе.
Таким образом, никакие результаты теории восстановления, в том числе правильный (в пределе) общий вид формулы
т- , ga N
Z = v--r
JV—1 — go,
не являются достаточными для утверждений, касающихся поведения функции распределения скоростей. Для этого необходимо рассмотреть кинетическое уравнение df/dt = L[f] модели, соответствующей данной схеме вычислений.
§ 4. Оценка погрешности при определении функции распределения в схеме Бёрда
Ограничимся качественным анализом решения кинетического уравнения, соответствующего алгоритму Бёрда и вытекающего из схемы его реализации.
Оператор L [/] кинетического уравнения исследуемой модели состоит из двух частей: оператора Lr [/], соответствующего этапу расчета бесстолкновительных перемещений модельных частиц (он аппроксимирует конвективную производную (—cdfjdr)). и оператора I [/], соответствующего этапу расчета столкновений частиц в ячейках (он аппроксимирует больцмановский интег-
372
рал столкновений). Таким образом, кинетическое уравнение указанной схемы имеет следующую структуру:
dfidt = Lf [/] + /[/]• (4.30)
Интеграл столкновений I [/] определяется, в частности, условной и безусловной частотами столкновений (в схеме Бёрда они не равны соответственно X и Nv/2 при конечных значениях /). (Далее в этом параграфе, где это допустимо, конечный интервал заменяется дифференциалом dt в связи с качественным характером ана-‘‘ лиза.) Обозначим через 6v„ невязку условной частоты столкновений:
---х]. (4.31)
k
Интегрирование Sv* с весом JJ f (gm) дает невязку безусловной частоты
Sv = 8vt [Л = Ш II f d^~v- <4’31') ’ 4 ' т — \
При любом стационарном распределении / величина [/] ведет себя как 2/(Л/7) в силу асимптотических законов (4.20) и (4.29). Невязкам (4.31) соответствует аналогичная невязка интеграла столкновений
s/d/J = /[/]-/„[/].
где 70[/] — интеграл столкновений, построенный по верной формуле Х = Для условной частоты и соответствующий выражению Nv/2 для безусловной частоты. Итак, кинетическое уравнение алгоритма Бёрда имеет вид
dfldt = Lr\f] + !0[f] + bl[f\. (4.32)
Наряду с (4.32) рассмотрим уравнение
df/dt = L, [/] + /„[/], (4.33)
которое условно назовем уравнением Больцмана (см. § 5). Очевидно, что алгоритм столкновений, использующий условие (4.18), может быть пригоден лишь для нахождения стационарных решений уравнения Больцмана (4.33). Если при заданных граничных условиях решение /Б уравнения (4.33) имеет стационарный предел /:
lim /б =7,
I -► 00 то этот предел является решением уравнения
М7] + Л>[7] = 0. (4.34)
373
Покажем, что стационарное решение / уравнения (4.33) не является стационарным решением уравнения (4.32), и оценим соответствующее отклонение. Для этого рассмотрим решение задачи df/dt=Lr[f] + l0[f] + ^t\fl
'(4-35) /(^ = 0) = /, /г = /г.
Здесь последнее равенство означает совпадение f и / на границах Г физического пространства. Решение задачи (4.35) ищем в виде ^ = /-рф, где возмущающая функция ф<^/. Тогда, учитывая линейность оператора Lr и условие (4.34), получаем уравнение для ф: ^=лг[ф]+^[ф]+б^[7+ф],
где [ф]—линеаризованный в окрестности решения f интеграл столкновений 70|7]. Заметим теперь, что 6/1 мало по сравнению с 3~f, значит, можно пренебречь ф в аргументе / + ф последнего члена. Окончательно задача для нахождения ф принимает вид
^ = £г[ф] + 5?[ф] + 67Д7].
(4.36) ф(7 = 0)=0, фг = 0.
Обозначим через и0(7) и со0 (7) следующие интегралы по физическому и скоростному пространствам:
ю0 (0 = dr ю12/ 1f2dc1 dc2, w0 (0 = $ dr $ dct dc2, = I О—c21 or (I cr—c2 |)/V, fi = f (Cl), 1=1,2.
Разность Л(0=юо(0—co0 с точностью до величин порядка ф2 равна А = dr J со12 (фх + ф2) dcr dc2,
и ее можно принять в качестве меры отклонения функции ф от нуля. Учитывая (4.36), находим
dct dc2 J со12 (Lr [фх] + Lr [ф3]) dr +
+ dr J(o12 [ф1] + [фг]) dcxdc2 +
+J dr J co12 (811 [Д] + 8/1 (Q) dC1 dc2. (4.37)
Первый интеграл в правой части (4.37) равен нулю, так как Lr [ф,] соответствует производной (—Cidtyi/dr) и интегрирование по dr можно заменить интегрированием функции (—<»(уС,ф(-) по с1Г границы Г в физическом пространстве, на которой ф,- = 0.
371
Второй интеграл равен нулю, так как величина
Д[со] = $ о>12 (3+ 3^ [гр2]) dC1 dc2
имеет смысл линеаризованного интеграла столкновений, характеризующего изменение условной частоты столкновений молекулярной пары в результате ее столкновения. Но со зависит лишь от относительной скорости g и поэтому не меняется в этом процессе. Остается последний интеграл, который убывает во времени как (6vf)/~ ~2//(Not) (см. асимптотики (4.20), (4.29)). Учитывая, что нас интересует лишь порядок величины Л, последний интеграл в (4.37) заменим на —(2/Уо/)соо. Таким образом, будем исследовать модельное (по отношению к (4.37)) уравнение
Заметим, что это уравнение, так же как (4.32), (4.33) и (4.36), правильно отражает поведение решения лишь при больших t. При t~kt нужно учесть дискретное изменение времени в схеме моделирования и соответственно заменить производную dldt в указанных уравнениях ее разностным аналогом Д/ДЛ Тогда, принимая f за начальное приближение для решения задачи (4.35), получаем
H^=L=Lr[7]+/o[/-]+6/A47]
или, учитывая (4.34), 1р(Д/)=/(Д0-7=А^/дяЛ-
Соответствующее выражение для Л будет иметь вид 9 —
Это равенство может служить начальным условием для нахождения A(Z) при t > Д/ из уравнения (4.38). Принимая отношение Л/ю0 за меру относительной погрешности в функции распределения f и сохраняя за ней прежнее обозначение Л, приходим к следующей задаче для нахождения этой ошибки:
=---L t > \t Л(ДП =_—
dt Not' L ( No
Решение данной задачи имеет вид
л<')—(4-39>
Итак, вопреки ожидаемому результату, что A(Z)-—>0 при t —> оо, формула (4.39) показывает, что Л (Z) неограниченно возрастает. Это означает, что отклонение частоты столкновений
375
от выражения
затухает слишком медленно, в результате чего происходит накопление локальных погрешностей и линеаризованный вариант (4.36) схемы Бёрда оказывается неустойчивым алгоритмом.
Указанная неустойчивость слабая, поскольку погрешность Л(/) нарастает по логарифмическому закону. Можно надеяться, что по истечении характерного времени релаксации tr (когда начнут проявляться нелинейные эффекты исходной задачи (4.35)) произойдет выход на некоторое стационарное решение fr. Наличие процесса установления действительно подтверждается численными экспериментами: максимальная накопленная погрешность в функции распределения оказывается равной
max|/f-7|/7 = 0(^lng) . (4.40)
Логарифмический закон нарастания погрешности предпочтительнее, чем линейный (к которому мы пришли бы, обрывая процесс столкновений по условию (4.27) на каждом шаге At). Однако и такая погрешность остается существенным недостатком метода. Необходимо также отметить, что при решении пространственно-однородной задачи аппроксимационную погрешность схемы Бёрда можно вообще не обнаружить. В этом случае стационарным решением уравнения Больцмана является максвелловское распределение /м, которое инвариантно по отношению к преобразованию скоростей при столкновении. Следовательно, f„ не искажается при любом развитии процессов столкновений во времени, важно только, чтобы скорости после столкновений рассчитывались по верным формулам. Значит, максвелловское распределение удовлетворяет условиям
ШЖМАЛ-о, Ш]=о
и является стационарным решением для схемы Бёрда. Это единственное исключение для логарифмического закона (4.40).
§ 5. Марковские модели столкновительных процессов
и уравнение Больцмана
1. Предыдущий анализ показал необходимость того, чтобы на каждом шаге по времени А/ выполнялось равенство
k
s* = &t к = Ы У ю,„ m = 1
либо точно, либо с погрешностью существенно иного вида, чем в схеме [1]. Попытаемся изменить основную формулу Бёрда, связывающую приращение времени Т с относительной скоростью £[4,26].
Ч7А
Найдем такую плотность / (Т) распределения слагаемых T[t чтобы условное среднее число столкновений s* удовлетворяло равенству
s*t=fK. (4.41)
Искомая плотность f (Т) является решением уравнения (4.21), в котором и (t) =ds*t/dt = X. Подстановка вместо u(t) величины X приводит (4.21) к виду
t
k = f(t) + ^f(T)dT.
о
После дифференцирования по t получим
df/dt = — If. (4.42)
Только одно решение уравнения (4.42) является плотностью вероятности, а именно:
f
соответствующее ему распределение F имеет вид
t k
F(t)=\f (Т) dT = 1 —е~и, X = S (4.43)
О m=l
Принципиальная особенность распределения (4.43) состоит в том, что время ожидания Т очередного столкновения определяется состоянием всей подсистемы из N частиц в ячейке, и, следовательно, оно одно и то же независимо от того, какая пара m выбрана в качестве претендента на очередное столкновение. Такой процесс является марковским, а показательный закон (4.43) для распределения времени Т делает его строго марковским [36].
Схема же Бёрда порождает полу марковский процесс, в котором время ожидания зависит от будущего состояния системы (от номера пары т, которая столкнется, и, следовательно, от состояния системы после столкновения).
Алгоритм моделирования столкновений строго марковским процессом может быть описан следующим образом.
Шаг 1. В системе из W векторов ..., cN) выбирается пара (с,, cf) с номером т в соответствии с условной вероятностью столкновения Рт=(Лт1\.
Шаг 2. Разыгрывается время ожидания Т столкновения данной пары в соответствии с распределением (4.43), и это время накапливается в счетчике:
1=1
Шаг 3. Если то скорости cz и cf заменяются на
скорости c*i и Су после столкновения.
Q77
Цикл, состоящий из этих трех шагов, повторяется ровно sc раз, где
5S(, si AZ <С SSc+1.
Данный алгоритм впервые был предложен в [34, 37J. Он т о ч н о отражает статистику столкновений в идеальном газе на любом интервале времени Af, но с вычислительной точки зрения является громоздким. Полное число операций, необходимых для точного моделирования столкновений, пропорционально №. Следовательно, применение этого алгоритма для решения реальных многомерных задач вряд ли может быть оправданным, но такой подход дает теоретическую основу для построения приближенных алгоритмов, обладающих хорошей аппроксимацией [2, 4].
Один из наиболее простых и эффективных в реализации приближенных алгоритмов [4] состоит из поочередного перебора всех пар т=1,2, ..., k вида (с;, с,) и выполнения для каждой из них следующих процедур:
1) разыгрывается столкновение m-й пары (с,-, су) с вероятностью = (4.44)
2) если столкновение принято, то скорости (с,-, су-), заменяются на скорости после столкновения (бф, С/), в противном случае значения скоростей не изменяются.
Данная схема моделирования аппроксимирует точный процесс столкновений с интегральной погрешностью (за полное время наблюдения порядка O(ZfAZ'). Через t' обозначено безразмерное время (отнесенное ко времени свободного пробега молекулы).
Эффективность предложенного алгоритма не сразу очевидна, так как число операций, необходимых для его реализации, пропорционально числу пар, &~№. Однако, как показывают численные эксперименты, расчеты с применением такого подхода можно проводить при малом числе частиц в ячейке, №~ 1 (§ 8), причем квадратичная зависимость времени счета от У заметно не проявляется. С другой стороны, принципиальная возможность проводить расчеты при малых № и А? существенно расширяет область применимости метода и его эффективность *).
2. Полный теоретический анализ моделирующего процесса предполагает построение и исследование соответствующего ему кинетического уравнения и сравнение последнего с уравнением Больцмана.
Рассмотрим эволюцию ЗЛЛмерного вектора C(Z), компонентами которого являются скорости Ct (Z) молекул, предполагая, что столкновения моделируются алгоритмом с распределением времени ожидания Т по показательному закону (4.43). Указанный вектор С={сг, . . . , CN}
*) Слабая зависимость погрешности данного метода от Уо иллюстрируется рис. 4.9, где сравниваются результаты расчетов го указанной методике структуры ударной волны в газе из молекул-шаров при числе Маха в набегающем потоке Л4();13 и при средних значениях Мо в ячейках набегающего потока, равных Мо=1 (точки) и Мо=12 (крестики) [4, 40].
Q7«
характеризует состояние /V-частичной модели пространственно-однородного идеального газа. Основным уравнением случайного процесса C(t) является уравнение эволюции плотности ср (/, С) распределения состояний С в момент времени t. Оно может быть выведено непосредственно из приведенного выше описания алгоритма моделирования столкновения и имеет вид [4, 28]
Е £4[<жс;'’)_(Ж С)Ж'-’ (4-45>
1 < i < / < N
gij = \Ci—Cj], dGi — aigij; 0) sin
{Ср • • • > C_,, Ci , 0 + 1' • • • ’ /-1> 0’ ’ ^/+1’ ’ Ovl >
где Cij—состояние модели после столкновения пары частиц (с/( с/). Это уравнение (master equation) [28] было получено Кацем для модели упругих шаров (da = const/(4л)).
Алгоритм приближенного моделирования, основанный на вероятности (4.44), является разновидностью схемы из М (М—1)/2 испытаний Бернулли с разными вероятностями успеха. Он порождает марковскую цепь С (а), которая аппроксимирует на сетке ta процесс, столкновений С (/) в смысле приведенного выше конструктивного определения модели Каца. Этот факт станет очевидным, если заметить, что распределение ср (а, С) состояния С (а) является решением разностной схемы уравнения (4.45):
<р(а-|-1,С) = 1—Т t < Ф(а-Q +
+ 41 Е C^dOij + 0^).
1 < i < i < n
3. Как уже отмечалось в § 2, этап II расчета (бесстолкновительное смещение частиц), как и этап I, может быть реализован в двух формах — точной и приближенной.
Точный алгоритм сдвига очевиден: каждая i-я частица смещается по формуле
Г,.(/ + ДО = Г;(/) + с,-А/.
Приближенный алгоритм сдвига, так же как и приближенный алгоритм столкновений, может быть реализован схемой испытаний Бернулли [3]. Преимущество приближенного алгоритма сдвига по сравнению с точным заключается в том, что он использует неполную информацию о положении частиц в координатном пространстве (вида {М (а, /); clt ..., Сдф), т. е. не требуется запоминания в памяти ЭВМ значений соответствующих пространственных координат частиц.
Соответствие построенной модели уравнению Больцмана проще всего устанавливается в случае использования приближенных алгоритмов моделирования столкновений и смещений частиц (§ 2, п. 3). Пусть j — номер ячейки координатного пространства, а—момент дискретного времени, соответствующий ta.
370
Обозначим через fs(a, j, clt ..., cs) аналог s-частичной функции распределения частиц, находящихся в момент ta в ячейке с номером /. Величина Л (a, j,c)dc—математическое ожидание числа частиц в ячейке / в момент ta, со скоростями в элементе de окрестности значения с. Пусть f's = fs/Vs и рассматривается одномерное течение. Тогда с помощью рассуждений, учитывающих конечность At, Ах, а в остальном аналогичных феноменологическому выводу уравнения Больцмана, получим [4] уравнение (4.16):
+ сх = I [f'] -Atcx
При дополнительном предположении f2 (a, j, ct, с2) = /\(а, j, ct) х Х/((а,/, с2) (гипотеза о статистической независимости частиц или о молекулярном хаосе) это соотношение превращается в условно-устойчивую схему уравнения Больцмана с точностью апроксимации О (At, Ах).
Таким образом, модель, использующая схемы испытаний Бернулли на этапах столкновений и смещений частиц, имеет в качестве основного уравнения разностную схему уравнения Больцмана. В этом и состоит, соответствие нестационарного метода прямого статистического моделирования уравнению Больцмана.
Отметим, что метод Бёрда имеет те же составляющие погрешности плюс добавочный член
О f^-ln >
\ No At ) ’
обусловленный нарушением частоты столкновений. Следовательно, предложенная здесь модель точнее аппроксимирует уравнение Больцмана при малом числе частиц в ячейке Wo. Она позволяет более эффективно решать задачи на координатных сетках с мелкими или неравномерными шагами, что необходимо при расчетах течений с малыми числами Кнудсена, с большими градиентами плотности, при решении трехмерных задач и т. д. Кроме того, предложенная схема обеспечивает существенно большую точность расчетов процессов, нестационарных во времени и пространственно-неоднородных.
§ 6. Пути дальнейшего повышения эффективности метода
1. В. Е. Яницкий и Н. Н. Славянов установили, что в рамках отмеченных выше основных идей можно повысить эффективность метода, если применить центрально-симметричную схему расщепления совокупного процесса на элементарные физические компоненты *). При таком подходе на временном интервале
*) Славянов Н. Н., Яницкий В. Е. Пути повышения эффективности методов прямого статистического моделирования на ЭВМ течений разреженного газа-В кн.: Тр. V Всесоюз. конф, по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. Долгопрудный: МФТИ, 1979.
380
0</<Д^ интегрирование уравнения
осуществляется в три этапа.
Этап 1. На полуинтервале 0 t Д//2 интегрируется уравнение
^-, = ^/(1’,/(1’)- (4.46')
Этап 2. На интервале О^^^Д^ интегрируется уравнение
При этом за начальные данные принимается решение с этапа 1 /(1) (£ = Д//2).
Этап 3. На полуинтервале Д£/2^Д^Д/ вновь решается уравнение этапа 1
= (4.46'")
с начальными данными /<3> (Z = Д//2), взятыми с этапа 2, /к2)(/ = Д/). Окончательное решение в момент t = № принимается равным
Этапы 1 и 2 соответствуют этапам столкновительной релаксации и свободного сдвига в статистическом методе частиц в ячейках.
Напомним, что в рассматриваемых здесь методах Монте-Карло интегрирование уравнений заменяется моделированием соответствующих случайных процессов. Переход от обычного расщепления (первый порядок точности по Д/) к центрально-симметричному расщеплению (4.46), обеспечивающему второй порядок точности по At, осуществляется незначительным изменением программы. Сравнение соответствующих блок-схем показано на рис. 4.2, 4.3. Быстродействие обоих алгоритмов оказывается одинаковым.
Моделирование этапов столкновений и сдвига частиц в схеме первого порядка точности также можно производить с первым порядком точности. Если же хотим получить второй порядок точности, то, применяя схемы центрально-симметричного расщепления, мы, естественно, должны с не меньшей точностью моделировать и каждый из этапов. Для этого проще всего использовать точное моделирование обоих этапов, причем вычислительное быстродействие не снижается *).
*) Этот, кажущийся парадоксальным, факт имеет следующее объяснение. Вычислительная эффективность точной реализации процесса Каца при моделировании столкновений оказалась высокой благодаря отмеченной В. Е. Яницким [4,5,40] возможности вести расчеты при малом (порядка единицы) числе частиц в ячейке. Использование точного моделирования столкновений и смещений и применение центрально-симметричного расщепления позволило значительно ослабить ограничения на шаг Дх и соотношение Д//Дх: если прежняя схема требовала Дх~0,1 и Д//Дх~0,1, то теперь стало возможным вести расчеты с Дх~ 1 и Д//Дх~1.
381
Повышение точности расчетов за счет применения центрально-симметричного расщепления иллюстрируется на рис. 4.4. Здесь представлена зависимость теплового потока от числа Кнудсена для известной задачи о
теплопередаче между пластинами (температурное отношение в этом расчете равнялось четырем). «Пря-
Ри:. 4.2. Блок-схема моделирования, соответствующая обычному расщеплению.
Рис. 4.3. Блок-схема моделирования, соответствующая центрально-симметричному расщеплению.
мые» и «косые» кресты означают соответственно результаты расчета по схеме с обычным характером расщепления и с центрально-симметричным расщеплением в схеме. Расчеты проведены на одинаковой сетке (использовалось пять расчетных ячеек по х, Д//Дх=0,8). Сплошной линией отмечены данные прямого численного интегрирования уравнения Больцмана [701. Положительный эффект очевиден, и его тем более следует ожидать при решении существенно нестационарных задач.
Рис. 4.4. Зависимость потока тепла от числа Кнудсена (+ + + + схема с обычным расщеплением на грубой сетке; X X X X схема с центрально-симметричным расщеплением на той же сетке; ----- результат прямого чис-
ленного интегрирования уравнения Больцмана [70]).
Преимущества использования центрально-симметричной схемы при решении нестационарных задач были известны давно (см., например, [41]). Интересен, на наш взгляд, и тот факт, что при интерпретации этой схемы расщепления в нестационарном методе прямого статистического моделирования выигрыш в точности проявился даже при ре-
382
щении стационарной задачи. Он особенно заметен при определении теплового потока, который в задачах динамики разреженного газа является наиболее чувствительной характеристикой (для профилей температуры и плотности этого выигрыша нет) *).
2. Использование пространственно-однородной модели Каца [281 как основы построения алгоритмов моделирования столкновений частиц в ячейках при расчете течений разреженного газа значительно повысило эффективность статистического метода частиц в ячейках [41. Тем не менее для задач с тремя пространственными переменными этот подход представляется достаточно громоздким, и основная сложность его использования связана с невозможностью построения рациональной расчетной сетки исходя из объема оперативной памяти ЭВМ. (Идеально подходящий для трехмерных задач метод прямого моделирования должен был бы вообще обходиться без сетки в координатном пространстве, но пока такой подход реализован лишь при моделировании свободномолекулярных течений.)
В. Е. Яницкий предпринял интересную попытку построения статистического метода прямого моделирования движений и столкновений конечного числа частиц е№ в неоднородном координатном пространстве, который не требует введения сетки в координатном пространстве. При построении такой модели естественно исходить из предположения, что она должна быть обобщением модели Каца на неоднородное координатное пространство (т. е. должна быть вероятностным аналогом уравнения Больцмана с конвективной производной}. И, конечно, такая модель должна хорошо аппроксимировать уравнение Больцмана при сравнительно малом (полном) числе частиц во всем контрольном объеме (например, при е№ порядка нескольких десятков).
Ниже приводятся результаты этого исследования для случая одной пространственной переменной, так как лишь в этом варианте модель была соответствующим образом проверена в численных экспериментах. В качестве объекта для исследования была взята задача о теплопередаче между параллельными плоскост я м и в разреженном газе, молекулы которого считаются упругими шарами. Расчеты проводились при различных числах Кнудсена и различных числах частиц е№ во всем координатном пространстве. Отношение температур на стенках: Т\!Т\=\, это соответствовало пространственно-однородной задаче, 712/7'1=4 — пространственно-неоднородный случай. Основой построения модели была следующая схема ее реализации.
Моделируется свободномолекулярное движение всех <№ частиц до момента времени \t, когда произойдет либо встреча двух каких-то частиц i и /, либо столкновение какой-нибудь частицы
*) По нашему мнению это связано с тем, что сама модель является существенно нестационарной, поэтому смещение момента измерений влияет на статистику результатов. Стационарный режим в применении к статистической модели следует понимать в смысле выхода (при /~>оо) осредненных по времени t характеристик потока на постоянные значения.
383
с твердой стенкой, от которой она отражается (по диффузионному, в численных экспериментах, закону (рис. 4.5)).
Встреча двух частиц означает, что они попали на одну вертикальную плоскость, т. е. х,•=%,•. Столкновение двух частиц возможно лишь при встрече с вероятностью
g = c^-C1 = {gx, gr gz}, (4.47)
которая находится из соображений, лежащих в основе статистического
определения сечения упругого рассеяния для молекул-шаров.
После реализации акта столкновения частиц друг с другом (или одной частицы с твердой стенкой) процесс моделирования продолжа-
Рис. 4.5. Плоскость «встречи», где возможно столкновение с вероятностью W.
ется до достижения заданного момента времени Т.
Ожидалось, что буквальная численная реализация этой схемы на ЭВМ в пространственно-однородном случае (T,2/7'i=1) будет эквивалентна по своим результатам е№-частичной пространственно-однородной модели Каца. Однако это предположение ^оказалось неверным. Частоты столкновений частиц друг с
другом сильно отличаются от частот столкновений v0 в модели Каца (табл. 1). Это означает, что буквальное прямое моделирование движений и столкновений частиц в координатном про-
странстве по новой схеме не может дать хорошей аппроксимации уравнения Больцмана при малых JT (е1)Г~2). Анализ показал, что для введения координатного пространства в модель Каца прежде всего необходимо изменить понятие встре
ч и двух частиц.
ТАБЛИЦА 1
Относительные частоты столкновений в пространственно-однородном случае (Т2/7’1 = 1, < = 2, Ь = 1/К«)
ь 0,2 1 5 10
v/v0 0,69 0,34 0,11 0,058
При обычной встрече частиц они затем разлетаются, даже если произошло их столкновение. Таким образом, допускается лишь однократное столкновение двух данных частиц при их встрече в обычном понимании.
В новом .определении встречи — сложная встреча — допускаются многократные столкновения при встрече. Прослеживается движение системы до первой встречи какой-то пары частиц, и разыгрывается с вероятностью W (4.47) столкновение этих частиц. Затем с
384
вероятностью 1—IF разыгрывается их же повторная встреча, и, если она происходит, то вновь разыгрывается столкновение с вероятностью IF и т. д. (до тех пор, пока при розыгрыше какой-то n-й встречи не выяснится, что она не происходит, — тогда частицы смещаются до момента столкновения одной из них с границей). После отражения частицы от границы система вновь прослеживается до новой первой встречи, и реализуется указанный выше процесс. Любая непрерывная последовательность из п встреч (п — номер последней встречи) дает число столкновений s(l^s^n). Будем называть такую последовательность сложной встречей.
В процессе моделирования сложной встречи вероятность того, что очередная простая встреча не будет последней (равная 1—IF), не остается постоянной величиной, так как столкновения (вообще говоря, многократные), происходящие во время сложной встречи, изменяют значение |g’x|, а следовательно, и IF.
Очевидно, что приведенное выше конструктивное описание не ограничено случаем gIF=2 и применимо для о№>2 с одним дополнением: если произошла первая простая встреча для частиц с номерами i и /, то порождаемая этой простой встречей сложная встреча определяется вероятностью IF,;.
Результаты численных экспериментов по проверке относительных частот столкновений частиц друг с другом v/v0 и с границами R/Ro (где /?0=(1Д)<|сж|» в пространственно-однородном случае Т21Тг=\ и оМ*=2 представлены в табл. 2.
ТАБЛИЦА 2
ь 0,2 1 5 10
v/v0 0,98 0,97 0,97 0,99
RIRo 0,99 0,99 0,99 0,99
Очевидно хорошее совпадение с теоретическим значением по Кацу, причем оно улучшается при е№>2.
Конструктивное описание модели, изложенное выше, может быть приведено к более удобной (с теоретической точки зрения) форме. Для этого введем две новые вероятностные характеристики: IF*— вероятность того, что в процессе сложной встречи произошло хотя бы одно столкновение; /* (g) — распределение вектора относительной скорости g после завершения процесса моделирования сложной встречи, но при условии, что хотя бы одно столкновение произошло. Тогда моделирование можно проводить так же, как в обычной модели, но вместо IF и f(g) использовать IF* и /* (§).
Для модели упругих шаров и одномерного координатного пространства эти функции имеют следующий вид:
W_______________
* — 1 — 1F(1 — Г)’
13 О. М. Белоцерковский
385
где
Рис. 4.6. Сферические координаты в пространстве относительных скоростей сталкивающихся частиц.
Вектор g после столкновения имеет координаты {g’x, g'y, g'z\-В сферической системе с осью Ох, перпендикулярной пластинам (рис. 4.6), g' = {gcos0, gsinOsinq), gsinOcostp], Оказывается, что после сложной встречи и при условии хотя бы одного столкновения угол <р равномерно распределен в [0, 2л], a cos0 = e распределен по закону с плотностью вероятности
/* (е) ~ 1 _ г) con st’ (ЛГ^00’
где
Данная модель была применена для расчета пространственно-неоднородной задачи о теплопередаче при 712/7\=4 и при различных е№ и числах Кнудсена (Ь"1). Результаты
для потоков тепла qx и импульса Рхх в зависимости от и b представлены на рис. 4.7, 4.8 (сплошные линии). Нетрудно видеть, что уже при с№=20 указанные потоки совпадают с решениями больцмановского
Рис. 4.7. Поток тепла при расчете пространственно-неоднородной задачи о теплопередаче ------ модель, в которой столкновение является результатом
сложной встречи частиц;---------модель с обычным определением встречи частиц;
ХХХХ решение уравнения Больцмана.
уравнения до Кп=10-1 (они отмечены крестиками). Там же штриховыми линиями представлены результаты, полученные по модели с обычным определением встречи. Неточности модели особенно сильно сказываются на потоке импульса и частотах столкновений (см. табл. 1).
386
Представляется, что обобщение идей такой новой модели на д в у х-и трехмерное координатное пространство позволит получать
0.5
I I I I I________________I_____I---1-----1---1-----
0 2 0 6 8 10 1/Кп
Рис. 4.8. Поток импульса при расчете пространственно-неоднородной задачи о теплопередаче (Т2/Т1=4) (обозначения, как на рис. 4.7).
надежные результаты расчетов (если не совсем без координатной сетки, то по крайней мере на сетке с весьма незначительным числом ячеек).
§ 7. Модификация метода для решения задач турбулентности
1. Рассмотрим теперь основные идеи приложения статистического метода частиц в ячейках для расчета процессов переноса в т у р б у-лентных потоках [76—78].
Сделаем одно замечание. Прямое статистическое моделирование турбулентного переноса (так же как и молекулярных процессов в динамике разреженного газа) — это, по существу, применение методов Монте-Карло для решения некоторых кинетических уравнений. При этом, однако, изменится терминология подхода, но прежними останутся основные принципы построения модели — это использование совокупности частиц в ячейках, принцип расщепления по физическим процессам, применение марковских процессов и установление соответствия эволюции статистической модели и кинетических уравнений, описывающих турбулентность.
Статистический подход моделирования, основанный на кинетических уравнениях, особенно оправдан, по нашему мнению, для изучения стохастической составляющей турбулентности, когда масштаб турбулентного движения, вообще говоря, достаточно мал. Приближенная теория смешения Прандтля здесь недостаточно эффективна, как и теория Чэпмена — Энскога в динамике разреженного газа на режимах течения с числом Кнудсена порядка единицы. Следовательно, статистический подход должен дополнять гидродинамический, особенно в рамках структурной турбу-13* 387
лентности, когда проводится разделение указанных явлений на движение крупномасштабных упорядоченных нестационарных образований (больших вихрей) и собственно стохастической составляющей сравнительно мелкомасштабной турбулентности *).
Дополнительные трудности моделирования задач турбулентности на кинетическом уровне связаны с нестационарно с т ь ю самого явления иотсутствием здесь универсального кинетического уравнения, аналогичного уравнению Больцмана в динамике разреженных газов.
В настоящее время предложено большое количество кинетических уравнений для описания турбулентных флуктуаций гидродинамических параметров (см., например, [42—46]). В последнее время появились данные о попытках численного решения такого рода уравнений методами, которые ранее применялись в динамике разреженного газа [47]. Поэтому кажется естественным использовать разработанный статистический метод частиц в ячейках и для решения задач турбулентности, что ранее нами отмечалось в [5].
Необходимо выбрать кинетическое уравнение, наиболее близкое по своей структуре к кинетическим уравнениям разреженного газа. Таковым, на наш взгляд, является релаксационное кинетическое уравнение, рассматривавшееся в работах [45, 46, 48]. Это уравнение описывает эволюцию одноточечной функции распределения флуктуаций макропараметров невязкой стратифицированной жидкости и аналогично по своей структуре уравнению Крука [7], которое хорошо себя зарекомендовало в динамике разреженного газа. Приведем его здесь.
Рассмотрим турбулентные флуктуации и гидродинамической скорости U:
u = U—<U>,
где <С7>— среднее значение скорости. Пусть f(t, х, U)—функция распределения мгновенных значений скорости U. В любой момент времени t функция f является решением релаксационного кинетического уравнения [45, 46]
1 + < + <4-48)
Здесь т = 1/2; Д = 3,86—эмпирическая константа; L, Е—соот-
ветственно масштабы турбулентности и плотность турбулентной энергии. К моменту t
- х, U)u2dU, p = J/(/, х, U)dU.
Масштаб турбулентности L не является функционалом одноточечного распределения f — он, вообще говоря, определя-
*) См. об этом подробнее в § 9 гл. III.
388
этся двухточечной корреляционной функцией. В полуэмпирических кинетических теориях турбулентности закон изменения L выбирается из различных соображений. Он определяется, например, геометрией задачи или находится из приближенных уравнений, связывающих эволюцию масштаба L с изменением средних характеристик турбулентной среды [45, 461.
Здесь, подчеркивая лишь идею подхода, будем полагать связь L=L(E) заданной. В ряде случаев зависимость действительно может быть установлена. Например, в турбулентном потоке за решеткой L и Е связаны инвариантом Лойцянского Z?E=const.
Распределение /м означает максвелловское распределение скоростей U с нулевым средним значением (нормальный закон):
где
<f7> = lj Uf(t, х, U)dU.
Величины F, входящие в уравнение (4.48) как некие силы (в общем виде они учитывают стратификацию по плотности, давлению, солености), зависят от флуктуаций температуры Т и скорости и [45]. Пренебрегая флуктуациями температуры и солености, можно принять для F следующее выражение:
F=G — --г >
о L
где G— линейная комбинация двух внешних по отношению к жидкой частице сил (поле тяжести и градиент гидродинамического давления), а0 = 0,345—эмпирическая константа.
Исходное релаксационное кинетическое уравнение (4.48) удобно теперь записать в форме
<4-49)
2. Статистический метод решения конкретных задач осуществляется прямым моделированием на ЭВМ (4.49) системой, состоящей из конечного числа частиц ок. Каждая частица является моделью малого турбулизованного элемента жидкости и характеризуется положением х (t) и мгновенной гидродинамической скоростью U(0- Таким образом, состояние всей модели характеризуется вектором {хп иг, ...,х^>, U^>} размерности бок с ok-точечной функцией распределения
Функция распределения s частиц (s^ok), как обычно [7], имеет вид
.р| р ок
к (к ...,XS, ^) = -й^уг^
389
Идея использования таких моделей в численном исследовании турбулентности высказывалась и ранее [44]. Основное требование к модели состоит в том, чтобы ее уравнение эволюции, записанное для одночастичного распределения f±(t, х, U), совпадало (в некотором асимптотическом смысле при е№ —* оо) с к и н е т и ч е с к и м у р а в-не н и ем (4.49).
Для определения законов эволюции используем здесь уже известные приемы построения таких моделей для уравнения Больцмана [4, 27]. Согласно общему подходу уравнение (4.49) расщепляется по физическим процессам на следующие этапы [76—78].
Эта"1: 1+£'ж + о<=°- (•>5°)
Этап II: ^_^(»1/)=0. (4.51)
Этап III: (4.52)
Этап I (перенос турбулентности)—расчет эволюции на)] временном шаге АС, основное уравнение модели должно совпадать с(4.50), которое описывает движение системы изе№ невзаимодействующих между собой частиц в силовом поле О. Уравнения движения каждой частицы имеют вид
= 2, ....oiy. (4.53)
Этап II (диссипация турбулентной энергии — описывается уравнением (4.51)) требует введения координатной сетки с размерами ячеек Ах и рассмотрения подсистемы из N частиц, находящихся в ячейке; на этом этапе изменяются лишь скорости Uj частиц в ячейках:
S------,'-1.2...........ЛГ. (4.54)
где . А
uj = U]—<U>,
/ = 1
Система (4.54) допускает аналитическое решение, если зависимость £(£), а следовательно и т(£), определяется инвариантом Лойцянского.
Прямой пересчет скоростей по уравнениям (4.54) и представляет собой реализацию этапа диссипации энергии.
Этап III (перераспределения турбулентной энергии) заключается в моделировании пространственно-однородного уравнения Крука (4.52), что также предполагает рассмотрение N частиц в ячейке координатной сетки.
Теория моделирования пространственно-однородных уравнений больцмановского типа была развита в [27]. Она основывается на з а-390
мене исходного уравнения (для одночастичной функции распределения) соотношением для (V-частичной функции распределения скоростей Ult . . UN. Пусть <р(/, Ui, . . Ux) — плотность такого распределения. Прежде чем записать уравнение для <р (адекватное уравнению Крука), построим соответствующую статистическую модель *).
Из уравнения (4.52) нетрудно получить законы сохранения импульса и энергии подсистемы. Здесь мы также должны положить, что на этапе перераспределения энергии сохраняются следующие величины:
N N
S-'E.U’i.
/=1 /=1
Таким образом, конец вектора {Z/j, ..., UN\ описывает траекторию на гиперсфере постоянных значений энергии и импульса (т. е. лежит в пересечении гиперсферы <§ = const с гиперплоскостью Р = const в пространстве ЗЛ' измерений). Для изучения движения точки на данной гиперсфере необходимо перейти к новым (нормальным) координатам [27].
Пусть \Т (i, /=1, ...,Л')—ортогональная матрица, у которой det= 1, а компоненты последней строки суть TNj- = = 1/|/Л? (/= 1, [Она порождает преобразование вращения
Л'
z,= 2 Т»и,. Следовательно, /= 1
N-1
Z -LJJ1р У
В пространстве 3(N—1) измерений последнее условие определяет гиперсферу радиуса R=V'<£— P2lN размерности 3 (М—1) — 1. Нетрудно видеть, что выражение для R приводится к виду
= R-^ЫЁ.
/ = 1 х ' j = 1
Обозначим через dQN(E, Р) элемент указанной выше гиперсферы. Пусть <р (/, Л)^й^-—вероятность того, что точка {zlf в момент времени t окажется в окрестности dQN точки А, принадлежащей гиперсфере ОЛ,. Рассмотрим следующий характер эволюции конца z вектора \гг, ..., z^^}. В течение времени 0П распределенного по показательному закону для вероятности р:
р{0^/) = ехр (/т[, (4.55)
точка z остается неподвижной. По истечении времени 0! она совершает скачок, и ее положение после скачка равновероятно
*) Эта модель должна быть аналогом модели Каца, но, естественно, аппроксимирующая не уравнение Больцмана, а уравнение Крука и переходящая в уравнение Крука при У-»-со.
391
распределено по поверхности гиперсферы QA.. Это равновероятное распределение имеет плотность
Ф*(Д) =!/$„(£, Р).
Здесь Sn(E, Р) — площадь поверхности гиперсферы радиуса R и размерности 3N — 4, равная
5 2nv+i r,2v+i ____3N — 5
T(v+1) К ’ V— 2 ‘
После первого скачка точка z снова находится в покое в течение нового интервала времени 02 с показательным распределением (4.55). По истечении интервала 02 точка z совершает второй скачок, аналогичный первому, и т. д.
Уравнение только что описанной модели имеет вид
5<р(/, Л)ф*(Л)-<р(г, Л) м гл.
Заметим, что если многочастичное распределение является равномерным на гиперсфере с плотностью ф*(Д), то соответствующее ему распределение ф* (£/) любой компоненты Z7;. при оо асимптотически нормально [27] со средним значением <£7> и дисперсией
N
=____!__У u^-Tti—E
3(^-1)^- и! ~ 3 •
Таким образом, переходя обычным путем от уравнения (4.56) для многочастичной функции распределения ф(/, Д) к соответствующей одночастичной ф1(^, U), получим при У О 1
drift. U) = Фм(^) —Ф(^, U) /4 57.
dt т ’ ' ’ '
ГДе /гл /4л£\-з/2 / 3(U—
Фм(^=^—) exp<J---1 4£ " j- .
Уравнение (4.57) аналогично уравнению Крука, ив этом смысле реализация третьего этапа моделирует решение этого уравнения.
Итак, реализация модели на временном шаге А/ состоит в последовательном моделировании на ЭВМ двух динамических этапов (переноса турбулентной энергии и ее диссипации) и одного (для каждой ячейки) статистического строго марковского процесса скачкообразного блуждания точки на гиперсфере постоянных энергии и импульса (для каждой подсистемы в ячейке).
Таким способом можно проследить эволюцию модели от t=0 до заданного Е=Т. Имея ансамбль начальных состояний модели (разыгрываемых в соответствии с начальной функцией распределения), находим ансамбль состояний в заданный момент t=T. О с р е д н е н и-ем по ансамблю конечных состояний опреде-
392
л я ем все интересующие нас средние х а р а к-теристики турбулентного потока. Так решается нестационарная (в смысле средних параметров) задача. Стационарная задача может быть решена (как и в динамике-разреженного газа) по одной достаточно долго прослеживаемой траектории с последовательными запоминанием состояний в моменты и осреднением по их со-
вокупности (это разновидность метода установления в применении к статистическим моделям частиц).
3. Из приведенного описания модели для задач турбулентности ясно, что частица теперь имеет д ругой смысл, нежели она имела в задачах динамики разреженного газа. Каждая частица является теперь носителем мгновенных гидродинамических скоростей (или их флуктуаций). Различие станет особенно ясным, если мы захотим учесть флуктуации температуры. Тогда частица станет еще и носителем мгновенного значения температуры. При этом характерная для динамики разреженного газа связь
3 т . .
"2 kT — ~2<.U >
выполняться уже не будет.
Результаты расчета по указанной методике для задачи о распаде ту р'б улентного пятна приводятся ниже (см. рис. 4.30—4.37).
§ 8. Вычислительные аспекты метода и расчет структуры ударной волны
Остановимся вначале на вычислительных аспектах метода [4].
1. Рассмотрим вопросы, связанные с вычислением макропараметров разреженного газа. Полагая, что статистическая зависимость частиц пренебрежимо мала, численную реализацию исследуемой модели можно интерпретировать как метод генерирования независимой выборки М(1) (а, /), ..., М(=г?) (а, /) из пуассоновского распределения PN (а, /) и слабокоррелированной выборки j) из распределения скоростей (pt (а, /, с).
Причем — это полное число проведенных экспериментов и m=lt ...,№> (a, j) — номер частицы в ячейке j в момент времени а в i-м эксперименте (а = 0, 1, ...; / = 1,2, ..., .7; i= 1, 2, ...,
Пусть t, (N), ф (с) — соответственно некоторые функции числа частиц N и молекулярной скорости с. Соответствующие макропараметры являются математическими ожиданиями и определяются выражениями
£ (а, /) = S £ (W) PN (а, /) = М [ЛГ (а, /)]}, (4.58>
л/=о
ф(а, /) = $ Ф(с) Ф1(а, /, с) de = М{ф [с (а, /)]}. (4.59)
С . 393
Статистическую оценку величин (4.58) и (4.59) можно производить
по следующим формулам (аргументы a, j для простоты обозначений опускаем):
1=1
<ф(Ф=г? =
JE N (1)
Е £ m
t=l т — 1
X <N>je •
(4.58')
(4.59')
Очевидно (4.58') является несмещенной оценкой *) математического ожидания (4.58) при любом распределении PN. Формула (4.59') с точностью до величины статистической зависимости частиц дает состоятельную оценку *) математического ожидания (4.59). Действительно, входящая в (4.59') величина
JS N(i)
-4 Е
i=1 т = 4
является несмещенной оценкой для М[ЛАф(с)], ибо
М
JS яй) 1 оо .. г у
4"Е Е = Е i Е Ф(^)
i = l т=0 J N = 1 J Lw=l
N
Фдг (clt ..., cN) П dct —
1 = 1
00
= S ЛМф'(с)(1>у ! (c) de = АЛ [Уф (с)]. w = i J
Если частицы являются независимыми [4], то Фдг, t (с) = ='^>л,(Р1 (с)< причем <pj не зависит от N, поэтому АЛ [Уф (с)] = = М(У)АЛ[ф(с)]. Учитывая последнее, а также закон больших чисел [2, 3], получаем окончательно
М [«р (C)>jg] = АЛ [ф (с)],
что и означает состоятельность оценки (4.59').
Температуры, вязкие напряжения и тепловые потоки связаны
с центральными моментами распределения <р1( т. е. с математическими ожиданиями вида М[ф(с—W)], где W = M(c). Для вычисления таких величин можно использовать следующие формулы для состоятельных оценок:
je
S S Ф(с^—«?>,-) _i = 1 пг= 1
<ф (с—<с»>^ =
(4.60)
Они удобнее, чем (4.59'), так как соответствующие вычисления программируются в виде рекуррентной процедуры.
*) См. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло.— М.: Наука, 1973.
394
Следует применении
соблюдать известную осторожность при формулы
Л£ Л'(О
<Ф (с)>*^ = 4 £ -4 X (4.61)
которая на первый взгляд кажется более естественной для вычисления макропараметров (4.59). Оказывается, что формула (4.61), вообще говоря, не дает состоятельной оценки математического ожидания (4.59). Действительно,
ле
М[<ф(с)>*^] = М
= 1
N
(С1> • • • > Cn) IT ^Ci =
i— 1
= 5 5ф(с)фл\ i(^)^=M[’i’(c)] i pN-N=l J W=1
В последнем равенстве S Pn~ 1 — ^o^l-
N= 1
Следовательно, М[<ф(с)>^]=0=М[ф(с)] и отношение М[<ф(с)>^]: ГМ[ф(с)]=1—Ро не зависит от значения 2? и, значит, не равно 1 при 2-^оо. Величина смещения может стать пренебрежимо малой лишь при расчетах с большим числом частиц в ячейках, так как Р0 = ехр{—714 (А)}.
При моделировании неустановившихся течений газа строится последовательность из 3 независимых начальных состояний {ЛГ(г)(О), С(!'! (0)}= [ЛД'>(0, 1), С('’(0, 1); (0, 5), С‘> (О, S')},
(4.62) соответствующих предположению о статистической независимости частиц при а = 0. Вначале для фиксированного i каждая ячейка j заполняется частицами в количестве N{i} (0, /), выбираемом как независимое случайное распределенное по пуассоновскому закону Py(0, /); затем каждая частица т=1,2, ..., Л/1,) (О, /) наделяется скоростью с%, выбираемой как независимый случайный вектор, распределенный с заданной плотностью <рх (0, /, с).
Алгоритм расчета состояния (N(a), C(a)} модели по известному ее состоянию {N (а— 1), С (а—1)) [4] позволяет сопоставить с каждым начальным состоянием (4.62) состояние (N(a), С (а)} в момент времени а. Таким образом, вычисляются независимых состояний {7V(/) (а, /), С(,) (a, /)] для каждой ячейки j и момента времени а, которые необходимы для нахождения макропараметров газа с помощью оценок (4.58'), (4.59'), (4.60).
Для моделирования макроскопически стационарных течений газа удобно применять метод установления в той форме, какая была предложена в [1,24]: прослеживается одна траекто
395
рия {N(a), С(а)}, и после достаточно продолжительного времени наблюдения |3 производится периодическое измерение макропараметров с периодом Л|>1, выбираемым эмпирически. Накопление выборки осуществляется по правилу
= + С<1)(₽ + г'Д)}, i = l,2,
2. Способы моделирования условий на бесконечности. При расчетах на ЭВМ эволюции модели рассматривается контрольный объем с некоторой границей Г. Взаимодействие системы с границей можно рассматривать как дополнительный этап расчета, предшествующий свободномолекулярному смещению частиц или следующий за ним перед очередным циклом моделирования столкновений.
Остановимся на взаимодействии частиц с участками границы Г, соответствующими бесконечно удаленным точкам. Для простоты исследуем лишь одномерное (по координате) течение; тогда искомыми участками Г являются две плоскости, разделяющие внутренние и внешние граничные ячейки (у= 1,3 соответствуют внутренним граничным ячейкам, а у=0, 5' + 1 — внешним граничным ячейкам). -
Частицу назовем положительной (соответственно отрицательной), если проекция ст скорости этой частицы с на направленную внутрь контрольного объема нормаль п к границе Г является положительной, (соответственно отрицательной, с("’<;0).
Через
N
Ф)Да, у, сг, ..., CN) Ude,-i = i
обозначим вероятность того, что во внешней граничной ячейке (у = 0, 5 4-1) в момент времени а находится точно 2V положительных частиц и вектор их скоростей С принадлежит ЗЛ/-мерному
N
объему Д dch примыкающему к точке ...,cN\. Функция i=i
N
Фк(а, у, с,, ..., cN) Y[dc;
i= i
дает аналогичную вероятность для отрицательных частиц, находящихся во внутренней граничной ячейке (у = 1, 5).
Задание вида распределений Фд, (а, у, clt ...,cN) для у = 0, 3 4- 1 дает простейшие граничные условия на бесконечности, не зависящие от неизвестных априори распределений Ф^(а, у, clt ...,cN) для у=1, 5. Зеркально отражающая плоскость (см., например, [31]) является другим простейшим условием, при котором Фд, (a. 7, Ci, . CN) определяется соответствующим распределением Ф/д (а, у, clt ..., Сдг).
Построим алгоритмы в предположении, что справедливы гипотезы о молекулярном хаосе и локальном термодинамическом равновесии [7] газового потока на бесконечности. Тогда во внешней граничной ячейке в заданный момент
396
времени имеем (см. также [4])
Фл-• • •, eft) = е~^ - П Фо (ср), п = , (4.63)
Фо (с(")) = (2п0)-1/2 ехр^— ^...)z^(.))2j. , Фо(сш) = (2п0)~1ехр<[— (с(±)'^(±))2 } •
Здесь W = M(c), 0 = D (с(">) = 1/2О (сш)—соответственно макроскопическая скорость и температура газового потока; обозначает проекцию скорости с на граничную плоскость, разделяющую внутреннюю и внешнюю граничные ячейки. Отметим, что поперечная скорость сш является независимой случайной величиной с одним и тем же распределением (4.64) для положительных и отрицательных частиц, а также для частиц, пересекающих границу. Поэтому ниже рассматриваются лишь распределения, связанные с продольными скоростями ср.
По определению функции Фдрср, . ..,ср), она дает вероятностное распределение суммы следующих несовместимых событий.
В системе из r = AZ, 7V1, AZ-jf-2, ... частиц возможно:
— частицы 1,2, ..., N— 1, N имеют скорости ср,... ,ср (сР>0), остальные г—N частиц отрицательны;
— частицы 1,2, ...,N—1, AZ-J-1 имеют скорости ср, ..., ср’ (ср > 0), остальные г—N частиц отрицательны;
— частицы г—N + 1, г—Nф-2, ..., г—1, г имеют скорости ср, ..., ср (cP > 0), остальные г—N частиц отрицательны.
Если в каждом из этих событий произвольно переставить положительные частицы, то получим событие, тождественное исходному в силу принципа тождественности частиц [7]. Поэтому выше приведем все множество несовместимых событий для фиксированных г, N, их число есть число сочетаний из г по AZ, равное
/ г )_ г!
NJ Л'1 (г — ^)l ’
Значит, с учетом симметричности функции Ф,. (ср, cP) получим
Ф^(ср, ..., сР) = Д (;)ф+>Л,(сР, ..., ср), (4.65) 0 0 о
ф,+. N (ср, ср)= $ dcft+1 $ dcP+2... $ Ф,(ср, ..., cP)dcP =
— QO — со - — 00
О г
= ( Ф,(С<*>) Ц dep, С(">={ср, ..., ср}.
* i — л; _l 1
397
В случае справедливости (4.63) распределение (4.65) приводится к виду
Ф^(с(">)=^Пфо+т. с?>о. (4.66)
i=i
Здесь
piv- (Д>д ехр(—to*}, +erf(««)]. (4.67)
(4.68)
О
Значит, моделировать граничные условия на бесконечности можно следующим образом.
Перед началом очередного этапа II расчета эволюции модели (бес-столкновительное смещение частиц) каждая внешняя граничная ячейка заполняется положительными частицами, число которых А/+ распределено по пуассоновскому закону (4.67). Любая из этих частиц наделяется скоростью с, продольная компонента которой с(,,) есть независимое положительное случайное число с плотностью распределения (4.68), а поперечная составляющая C<-L) является независимым случайным вектором с распределением (4.64).
Затем реализуется этап II расчета с помощью бернуллиевской схемы испытаний в каждой ячейке, включая и внешние граничные (см. § 3 в [4]). Частицы, которые в течение этапа II перешли из внутренних граничных ячеек во внешние, в дальнейшем расчете не участвуют, вместо них учитываются частицы, перешедшие из внешних граничных ячеек во внутренние.
Построим теперь алгоритм, эквивалентный приведенному выше, но не требующий введения внешних граничных ячеек. Для этого найдем распределение числа частиц, перешедших за время Д£ из внешней граничной ячейки во внутреннюю, предполагая, что сдвиг реализуется бернуллиевской схемой испытаний.
S
Через i|-s+ (с<">, ..., с‘"’) П^ср обозначим вероятность того, что i = 1
из внешней граничной ячейки во внутреннюю перешло точно s частиц и вектор их скоростей принадлежит s-мерному объему S
ПДср, примыкающему к точке {ср, ..., cf’}. i=i
Пусть во внешней ячейке имеется точно N положительных частиц со скоростями {с)"’, ..., ср};=С'"’ и {/1( ..., —произ-
вольное s-сочетание номеров этих частиц. Вероятность, что именно это сочетание частиц (при фиксированном значении С("') перешло во внутреннюю ячейку, равна
~N-s
Pi,
/ЛС<">)=[П^|^|] [II (1-
(4.69)
398
Здесь {mlt mN_s\ является (ЛА—$)-сочетанием частиц, оставшихся в ячейке. Безусловная вероятность связана с условной (4.69) очевидным соотношением
<(С<Л с<">)= £ 2 $4.........(4.70)
..is} о l'=i ‘
где под знаком суммы по N стоит сумма по всем сочетаниям из N частиц по s.
С учетом выражений (4.66) — (4.69) распределение (4.70) приводится к виду
< «>, ..., с<">) = Qt II 'Фо’ (с)"’), ср > 0.
1=1
Здесь
Qs+ = (A^ + )'exp{-A^}, (4.71)
q* s J| | фо(^>)б/сгп=(2<Э)1/2 J^Pl=L^l-|_^[l+erf ;
о
^(^>)==1^Г) . (4.72)
Следовательно, граничные условия на бес конеч--н о с т и можно учитывать таким образом: после реализации этапа II расчета в ячейках контрольного объема/ = 1, 2, .... 5 во внутренние граничные ячейки (/=1, 3) вводятся положительные частицы вместо ушедших отрицательных; число вошедших частиц s разыгрывается в соответствии с пуассоновским распределением (4.71), и каждая частица наделяется положительной продольной составляющей с(,,) скорости с, распределенной по закону (4.72), и поперечной составляющей c(-L), распределенной по закону (4.64).
Отметим, что для разыгрывания положительных случайных чисел с распределениями (4.68), (4.72) удобен метод отбора Неймана.
3. Предложенная модель была использована для численного моделирования прямого скачка уплотнения в одноатомном газе из упругих шаров (о (§) = <? = const) в диапазоне чисел Маха 1,25—4 с различными сетками {ta, и разным средним числом частиц в ячейках. Единицами измерения скорости и длины являлись соответственно наиболее вероятная тепловая скорость со = (20о)1/2 и длина свободного пробега /0 = (21/2стЛА0/7)-1 молекул в набегающем потоке (здесь ЛА0—среднее число частиц в граничной ячейке, соответствующей набегающему потоку).
В этих единицах измерения выражения для вероятностей столкновения пары частиц в ячейках и перехода частицы из данной ячейки в соседнюю имеют соответственно вид (см. § 3 в [4])
= l<r<s<M(a, /), = 1<г<ЛА(а,/).
399
Начальные данные соответствовали неподвижной бесконечно тонкой ударной волне в виде ступеньки, размещенной в середине контрольного объема (число ячеек выбиралось четным, 3 = = 251/2). При этом одночастичная начальная функция распределения имеет вид
/(О, j, с) =
' Л\,л~3/2ехр {— (с —Wo)2}, ^i(2^Qi)~3;2expj—,
W7 = {ry, 0, 0}, / = 0, 1.
Здесь параметры NWj и 0, связаны соотношениями Рэнкина — Гюгонио для неподвижной ударной волны;
N==NJ^L, г^Го^Ц-3, 1 "м^ + З 1 ° 4Мо
@i = @о (Мо2+3) (5М2—1) w/ _ !
‘'=М А-± <4'73>
Мо, О0 — 2
16М„
Соотношения (4.73) определяют также и граничные условия в невозмущенном потоке до ударной волны и за ней.
Таким образом, параметрами, определяющими механизм эволюции модели, являются величины Дх, At, No, Мо. Так как нас интересует предельное решение при Дх<^1, Д^/Дх<^1 (см. также [31), то ф и з и-ческими критериями подобия модели могут быть лишь Мо (число частиц в ячейке) и Мо (число Маха в набегающем потоке).
Как известно, при решении задачи о структуре ударной волны с помощью уравнения Больцмана возникает один критерий подобия — число Маха [7]. Поэтому безусловный интерес представляет зависимость результатов, полученных с помощью предлагаемой здесь марковской модели течения идеального газа, от характерного числа частиц в ячейках No.
Вариант М0 = 3 был просчитан с числом частиц Мо=1; 3; 12. Результаты показывают, что, по крайней мере при достаточно малых Дх, влияние конкретного значения NB не сказывается практически на поведении плотности и температуры внутри ударной волны (с точностью до статистических флуктуаций, определяемых заданным числом измерений L). На рис. 4.9 представлены безразмерные плотность п (х) и температура Т (х) при Мо=1 (точки) и М0=12 (крестики), определяемые как
Т-^(Т„ + 2ТЛ
Т„ —f (£'-F)> VMdc, —Ъ- J (Cuy v (C) de.
В расчетах с M0=l,5; 2; 3; 4 шаг по координате Дх равнялся соответственно 0,5; 0,3; 0,2; 0,18. Вариант Мо = 3 был просчитан также при Дх = 0,1. Результаты подверглись статистической
400
обработке и представлены в виде кривых, являющихся аппроксимацией в смысле метода наименьших квадратов с учетом законов
*+ + + • + •+•+
+
+ +
,+'+‘+'+ + ,+
Q Z 4 6 8 10 11 74 х
а)
Рис. 4.9. Структура ударной волны при Мо=3: а) поведение плотности п; б) поведение температуры Т (. . . . 1; 4—No=12).
сохранения. Они сравнивались с результатами, полученными различными методами прямого численного интегрирования Уравнения Б о л ь цм а н а [ 15, 16], физическимэкспери-"ентом Шмидта*) и методом [Бёрда [31].
*) S с h m i d t В. Electron beam density measurement in shock wave in Ar' 8°n.—J. Fluid Meeh., 1969, 39, № 2, p. ,361—373.
401
На рис. 4.10—4.13 сплошными линиями представлены для раа личных чисел Маха рассчитанные по данной методике график плотности п (х) и температур: продольной Тц(х), поперечной Т\ (л и полной Т (х). Каждая приведенная величина А есть
Д 71 Ад
Л1 — Ад
где Ао, Аг— значения безразмерного параметра в невозмущенно: потоке соответственно до скачка и за ним.
Рис. 4.10. Моделирование ударной волны при Мо=2: —----- плотность п(х) и тем
пературы (продольная Тц (х), поперечная (х) и полная f (х), рассчитанные данньп методом;---------плотность п(х), полученная по аппроксимации Мотт-Смита [7]
ХХХХ расчет [16] для п(х).
Рис. 4.11. Моделирование ударной волны при Мо=3, Дх=0,2; -----температурь
Т|| (х) и Т(х), полученные данным методом; -[—|—|—F данные [31] для Тц(х); . . .
данные [31] для Т(х).
Прямое численное интегрирование уравнения Больцмана дл^ решения задачи о структуре ударной волны было выполнено в [15], а также в [16]. Расхождения с данными работы [15] в толщинах профиля п (х) лежат в пределах 5—10%. Сравнение профиля п (xi для М0 = 2 с данными из [16] (крестики) приведено на рис. 4.10 и дает очень хорошее совпадение.
Косвенное сравнение полученных данных с результатами физического эксперимента Шмидта на аргоне проведено по величине отклонений полученной функции п (х) от профиля плотности в приближении Мотт-Смита.
Шмидтом получены толщины ударной волны dAr большие, чем толщины dAr по Мотт-Смиту. Для М0 = 2,8; 4 относительная величина расхождения толщин 6Ar = (dAr—<Дг)/'Д\г разбросана в измерениях Шмидта в пределах 0—0,11, при этом профили п (х) для
402
д\,= 2,8 практически совпадают с функцией
(4.74>
где х0—координата центра профиля п (х), d—его экспериментальная толщина, d~1 = max (dti/dx). При Мо = 4 отклонение профиля пАг (х) от функции (4.74) составляет приблизительно 2% (по величине асимметрии профиля в смысле Шмидта).
Рис. 4.12. Моделирование ударной волны при М0=3, Дх=0,1:------- плотность п(х)
и полная температура Т(х), рассчитанные данным методом;-------результаты [12]
для п(х) и fix).
Рис. 4.13. Моделирование ударной волны при М0=4: ---- плотность п(х) и температуры Тц (х), Т^_(х), Т(х), рассчитанные данным методом;-----плотность.
п(х) по аппроксимации Мотт-Смита [7].
Полученные изложенным методом функции «сф (х) для газа из упругих сфер практически совпадают с <F (х) для всех Мо О 4 (см. рис. 4.10, 4.13—штриховая линия) и бсф = (dclJ)—d*^)/d^x «0,7—0,12 при числах Маха М0 = 3; 4 (d?$ является толщиной по Мотт-Смиту для упругих сфер).
Таким образом, сравнение профилей плотности показало хорошее соответствие результатов численного моделирования с данными прямого численного решения уравнения Больцмана, а также с экспериментом.
В уравнение Больцмана заложено, как известно, предположение о молекулярном хаосе, или о статистической независимости частиц. В нашей модели имеются те же предпосылки, что и в уравнении Больцмана, но без предположения о молекулярном хаосе (статистическая зависимость, вообще говоря, отлична от нуля). Отмеченное выше согласие результатов расчетов с решением уравнения Больцмана и практическое совпадение данных, полученных для разного числа частиц в ячейке, говорят о том, что в задачах разреженно
403
го газа статистическая зависимость , частиц, присущая данному методу, проявляется слабо, и ею можно, по-видимому, пренебречь.
На рис. 4.11 представлены результаты расчета ударной волны с числом Маха Мо=3 при Ах=0,2 (сплошные линии) и данные [311. Толщина температурных профилей в наших расчетах оказалась на 30—35% меньше, чем в [31].
Прежде чем объяснить это расхождение, уместно отметить, что при сравнении результатов различных авторов профили параметров в ударной волне .совмещались до совпадения максимума продольной температуры Т,А. Вертикаль, проходящая через точку max Tii, является характерной линией для скачков средней и большой интенсивности, так как значения Т||(хкр) и п (хкр) точно определяются из закона сохранения вещества и импульса и не могут зависеть от метода расчета (для М0 = 3 в хкр имеем max Тц = 1,226, лкр = 0,438).
Возвращаясь к частоте столкновений v, напомним, что в методе Бёрда [1, 24, 31] она характеризуется следующей асимптотикой:
<4-75'
если используется условие прекращения расчета этапа I в том виде, в каком оно было изложено в § 1 и исследовано в работе [27]*).
Для газа, состоящего из молекул-шаров при наличии термодинамического равновесия, член О (1/s*) равен При тех значениях параметров счета Ах и /Уо, которые представляются реальными в расчетах на ЭВМ современного уровня мощности (Ах ~ 0,1, No ~ 20—30), величина (2s*)-1 может достигать перед ударной волной порядка 30—40% (за ударной волной величина (2s*)-1 в несколько раз меньше). Учитывая знак (минус) перед членом O(l/s*) в оценке (4.75) для частоты столкновений, нетрудно увидеть, что длина свободного пробега в модели Бёрда больше истинной, причем это искажение сильнее всего сказывается в передней части скачка, где плотность газа ниже**).
Таким образом, все профили макропараметров ударной волны, полученные Бёрдом, должны спускаться к своим равновесным значениям (перед скачком) медленнее, чем это имеет место в действительности. Именно такие закономерности и наблюдаются на рис. 4.11, где сравниваются наши данные (сплошные линии) и данные Бёрда (крестики—для 7 ц и точки—для Т). Более «резкое»
*) В более поздней работе [26] получена оценка точности метода Бёрда для наиболее употребимого условия прекращения расчета столкновений. Эта
N f et 1 -1
оценка имеет тот же вид (4.75), но при s*=-g- In -ду- > где tr — время установления.
**) Другой возможной причиной этого расхождения может быть использованный в [31] способ моделирования граничных условий.
404
поведение полученных нами профилей говорит о более точной •аппроксимации уравнения Больцмана.
В связи с вопросом о сходимости полученных результатов при измельчении размера ячейки Ах вариант М0 = 3 был пересчитан на координатной сетке с вдвое меньшим шагом (Дх = 0,1, см. рис. 4.12).
Полученные при этом профили плотности и температуры имеют меньшие толщины, чем в расчете при Ах = 0,2. (Величина уменьшения составляет би 12% соответственно для профилей плотности и температуры.) В целом эти данные оказались близки к результатам численного интегрирования (на сетке с Ах=0,05), осредненного по поперечным скоростям уравнения Больцмана*) (на рис. 4.12 эти результаты обозначены штриховой линией).
На рис. 4.13 приведена рассчитанная предлагаемым методом структура ударной волны при числе Маха Мо = 4. Следует обратить
внимание на образование максимума поперечной температуры
Т j_(x), который несет основную ответственность за образование
максимума полной температуры Т (х) (при этом тепловой поток q(x) был везде отрицательный)**). Как известно, решение Мотт-Смита так-
же дает максимум полной температуры [7], при этом нетрудно убедиться, что поперечная температура в этой аппроксимации больцмановского решения является строго монотонной функцией.
§ 9. Применение метода к исследованию течений разреженного газа и задач турбулентности
1. Здесь приводятся, следуя [26], результаты расчетов обтекания тел (двумерная и пространственная задачи) нестационарным методом прямого статистическо-
Рис. 4.14. Расчетная область при решении плоских задач обтекания тел разреженным газом.
го моделирования, выполненных А. И.
Ерофеевым и В. А. Перепуховым ([26, 32, 38, 39] и др.). Остановимся
вначале на некоторых аспектах постановки задачи. Около обтекаемого тела выделяется область р с границей Г (рис. 4.14). Эта область разбивается на ячейки, линейный размер которых h выбирается меньше местной длины свободного пробега. При решении дву-
мерных задач использовались равномерные сетки, а в трехмерном случае применялось и неравномерное разбиение области на ячейки. В каждую пространственную ячейку в начальный момент помещается
*) Рыков В. А. Об осреднении кинетического уравнения Больцмана по поперечной скорости для случая одномерных движений газа.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидкости и газа, 1969, 4, с. 120—127.
**) Ж у к В. И., Рыков В. А., Шахов Е. М. Исследование структуры плоского скачка уплотнения в одноатомном газе на основе нескольких уравнений Больцмана.— В кн.: Численные методы в динамике разреженных газов. Вып. 1. М.: ВЦ АН СССР, 1973, с. 176—194.
405
некоторое число «молекул» (частиц) со скоростями, соответствующими начальной функции распределения (вообще говоря, произвольной).
На границах вверх по потоку функция распределения молекул по скоростям предполагается максвелловской'.
?°° = (2лУ??’»)3'2 ехР ) — ( ’ (476)
и на границах х = 0, у = 0 (см. рис. 4.14) на каждом шаге по времени в расчетную область влетает необходимое число молекул в соответствии с потоками частиц Qx, Qy за время А/:
Qx=Fx^CxL(c)dcM, (4.77)
Qy=^ffiCX(c)^AZ, (4.78)
где Fx, Fy—площади границ.
В соотношении (4.76) величины п^, — соответственно плот-
ность и температура газа в невозмущенном потоке, и*—скорость потока газа. На границах x = xk, у=ук ставится условие отсутствия градиента функции распределения. На поверхности твердого тела в большинстве случаев принимается полностью диффузное отражение молекул, температура которых считается равной температуре поверхности Tw. В ряде примеров на поверхности тела ставится условие диффузно-зеркального отражения молекул.
Поток импульса jp и поток энергии je на единичную площадку с нормалью nw определяются соотношениями
i JP = J с; (с^) f; (C;) dct + j cr (crnw)f(cr)dcr, . 2 2
!e = j ~?Г fi (С;) dC; — ^ (Crnw) f (Cr) dcr,
где индекс i относится к падающим частицам, г — к отраженным. Молекулы попадают на поверхность и отражаются от нее с плотностью вероятности, пропорциональной соответственно cinft и crnfr, где cin> сгп— проекции скорости молекул на нормаль к элементу поверхности. Вычисление потоков сводится к суммированию соответствующих величин при каждом попадании молекулы на элемент поверхности dFw за время t, т. е.
м
-^JP = (dFwt)~1Y4 (cik + crk), k= 1
м je^(dFwt)-^ ^tf-c*), k= i
где М — число молекул, попадающих на элемент dFw за время t.
Делая величины Jp, je безразмерными и вычисляя нужные компоненты скорости, можно получать величины, ^характеризующие 406
локальный обмен импульсом и энергией, например коэффициенты трения Q, давления Сп, теплопередачи С„:
2 м
Cn = -^-(dFwt)-1V +
fe=i
9 M
Cj= -(dFwt) 1 (citfe crt*), nu k=i
r — 2
3 Je>
P°°“oo
где cT, cn—касательная и нормальная к элементу поверхности составляющие скорости молекул. Вычисляются также коэффициенты сопротивления тела Сха и подъемной силы Суа. Приведем некоторые результаты расчетов, следуя [26, 76, 77].
2. При реализации метода существенным фактором является в е-личина погрешности вычислений выходных параметров задачи (для аэродинамики разреженного газа это силы и моменты, действующие на тело, распределение потоков импульса и энергии, газодинамические параметры в поле течения). В методе нестационарного прямого моделирования погрешности расчетов являются суммой статистической и систематической погрешностей, обусловленных конечными размерами расчетной области и шагами по координате и времени.
0,36
_______।______।______।_____।______।______।__»_
О 2000 0000 6000 Oyg
Рис. 4.15. Статистическая сходимость при определении коэффициента сопротивления конуса для прямого моделирования в зависимости от числа ударов молекул о поверхность (обтекание пластины, Моо=10, Reo=20, tw==1).
Статистическая погрешность при вычислении какой-либо величины зависит от числа испытаний Nn и оценивается величиной O((V7/2)- Поскольку метод расчета нестационарный, то вычисление параметров начинается после выхода на квазистационар-ный режим. Величина статистической погрешности определялась различными способами: по статистической сходимости результатов в течение счета, по вычисляемой в ходе расчетов дисперсии искомых величин.
407
На рис. 4.15 приведен пример расчета при Моо=10, Reo=2O, tw=l коэффициента сопротивления конуса в зависимости от числа* ударов молекул о поверхность иллюстрирующий сходимость метода. Здесь же приведена оценка погрешности, вычисленная по дисперсии. Практика решения аэродинамических задач динамики разреженного газа показывает, что для получения суммарных аэродинамических характеристик с относительной погрешностью порядка 3—5% необходимо, чтобы число испытаний, т. е. число попаданий молекул на поверхность, составляло от 2000 до 5000 в зависимости от вычисляемого параметра. Следует отметить, что из-за статистической погрешности получить достаточно точные значения локальных параметров трудно. В аэродинамике это особенно проявляется при рассмотрении трехмерных задач, требующих большого времени счета даже при получении только суммарных аэродинамических характеристик.
Рис. 4.16. Результаты расчета (поля плотностей) при обтекании пластины разреженным газом: а) пластина расположена вдоль набегающего потока (Моо=10, а=0, Re0= = 50,7, Zw=l); б) пластина расположена поперек набегающего потока (Моо=10, а= =л/2, Re0=3, t =1).
Для определения величины систематической погрешности, вызванной конечными геометрическими размерами расчетной области и шагом сетки, расчеты проводились для различных значений этих параметров. При решении аэродинамических задач размер области определяется многими факторами. При больших числах М„ существенную роль играет геометрия тела. Так, при обтекании пластины под нулевым углом атаки граница области вверх по потоку (рис. 4.16) может быть приближена к передней кромке на расстояние, равное нескольким длинам свободного пробега молекул в невозмущенном потоке (XJ, в то время как при поперечном обтекании пластины 408
эта граница должна быть отодвинута на расстояние нескольких размеров пластины. Рис. 4.16 иллюстрирует сказанное на примере расчета полей плотности [32, 39] при Мм = 10, tw=\. На рис. 4.16, а а=0, Reo=5O,7. На рис. 4.16, б а=п/2, Re0=3.
Поскольку изменение функции распределения молекул происходит на расстоянии, по порядку величины равном длине свободного пробега молекул, то обычное требование к размерам сетки заключается в том, чтобы шаг сетки был меньше местной длины свободного пробега молекул.
Влияние шага сетки h показано на рис. 4.17 на примере расчета аэродинамических характеристик пластины, расположенной под нулевым углом атаки.
Расчеты проводились при следующих значениях параметров (М0О= = 10): рис. 4.17, а — Re0=12, tw=\, рис. 4.17, б—Re0=12, tw=0,1, ц~Т. Как видно, величина шага сетки существенно зависит от граничных условий (от температуры поверхности тела), сильно влияющих на параметры газа и на длину свободного пробега молекул
Рис. 4.17. Влияние шага сетки на расчет аэродинамических характеристик пластины с нулевым углом атаки (М0О= 10): a) Re0=12, tw=l, р.~7'; б) Re0=12, <„,=0,1, Р~Т.
Рис. 4.18. Влияние закона межмолекулярного взаимодействия на коэффициент сопротивления пластины в зависимости от: a) Re0; б) ReM (- р,~7’;-------
в возмущенной области около тела: в случае «холодной» поверхности плотность газа вблизи пластины увеличивается, длина пробега уменьшается, поэтому расчеты необходимо проводить на более мелкой сетке, чем в случае «горячей» пластины.
3. Анализ, проведенный в [49], показал, что при гиперзвуковом обтекании тел в переходной области основным критерием подобия является число Рейнольдса
409
Re0=p„ в котором коэффициент вязкости р, вычисляется
по температуре торможения.
Физический смысл параметра Re0 заключается в том, что при одном и том же Re0 для разных законов межмолекулярного взаимодействия длины пробегов молекул одинаковы. А поскольку в возмущенной зоне около обтекаемого тела температура имеет порядок То, то это и приводит к лучшей сопоставимости. В качестве иллюстрации на рис. 4.18 представлены результаты расчетов коэффициента сопротивления пластины при обтекании под нулевым углом атаки для двух моделей межмолекулярного взаимодействия: для псевдомаксвелловских сфер, где р,~Т, и для молекул твердых сфер, где (Моо=10, /w = l). Эти результаты представлены в виде зависимостей Cj^lRej и Cxa(Re0), которые показывают хорошую корреляцию данных во втором случае.
Приведем результаты расчетов суммарных аэродинамических характеристик в зависимости от критерия Re0. Все расчеты проведены с использованием таких моделей молекул: твердые шары, степенные и псевдостепенные потенциалы. В этих случаях поэтому в качестве параметра, характеризую-
щего вид зависимости потенциала взаимодействия между молекулами от расстояния между ними, выбран показатель со. Внутренние степени свободы молекул задаются отношением удельных теплоемкостей у.
На первом этапе расчетных исследований гиперзвуковых течений разреженного газа изучались свободномолекулярные и близкие к ним режимы обтекания. При этом удалось теоретически установить важную особенность поведения аэродинамических характеристик в переходной области, а именно немонотонность зависимостей аэродинамических коэффициентов от числа Re0 для тонких тел. Увеличение значений этих коэффициентов в режиме течений, близких к свободномолекулярному, по сравнению с их значениями при свободномолекулярном обтекании впервые было отмечено в [51] и подтверждено затем расчетами в рамках теории первых межмолекулярных столкновений [52, 53]. Экспериментально немонотонность изменения аэродинамических характеристик в переходной области показана в [49, 54].
Дальнейшее развитие численных методов позволило перейти к расчету аэродинамических характеристик в широком диапазоне значений Re0 и выявить влияние различных определяющих параметров: числа М0О=що(уДТД-1/*, температурного фактора tw=Twn\, угла атаки а, параметра со, внутренней структуры молекул (с учетом вращательных степеней свободы), вида закона отражения молекул от поверхности. Следует, однако, отметить, что, несмотря на достигнутый прогресс в решении задач динамики разреженного газа, расчет каждого конкретного варианта является еще достаточно трудоемким процессом.
В настоящее время подробные данные о влиянии перечисленных выше параметров получены для случая обтекания пластины бесконечного размаха и — в существенно меньшей сте
410
пени — для тел другой формы. Хотя задача обтекания пластины и является наиболее простой, ее решение позволяет выявить ряд о с-новных закономерностей обтекания тел в переходной области. В частности, на этом примере виден процесс установления режима гиперзвуковой стабилизации в переходной области. Будет показано, что перечисленные выше параметры существенным образом влияют на аэродинамические характеристики пластины, расположенной под достаточно малым углом атаки; с увеличением угла атаки это влияние в значительной степени уменьшается. Поэтому задача обтекания пластины может быть полезной для оценки влияния различных критериев подобия на аэродинамические характеристики острых и тупых тел разной формы.
4. Численное исследование обтекания пластины в переходном режиме методом нестационарного прямого моделирования проведено в ряде работ (см., например, [55—58]). Одновременно эта задача решалась методом стационарного прямого моделирования [50, 58] и на основе модельного кинетического уравнения [59, 60].
Рис. 4.19. Результаты, иллюстрирующие немонотонный характер поведения функций С.™ (Re0) в переходном режиме обтекания пластины (а=0): -- расчет дтя
максвелловских сфер -------- расчет для твердых сфер (со=1/2); о о о о
данные [58]; X X X X данные [59]; Л Л Л Л данные [62].
Для пластины под нулевым углом атаки на рис. 4.19 представлены зависимости коэффициента сопротивления Сха от числа Re0, иллюстрирующие немонотонный характер функций Сха (Re0) в переходной области. В режиме течений, близких к свободномолекулярным, на величину СхГХ сильное влияние оказывает число Мм; это влияние с увеличением числа Re0 существенно уменьшается. Такая тенденция согласуется с соответствующими зависимостями, имеющими место в предельных режимах обтекания — свободномолекулярном и режиме сильного вязкого взаимодействия. Действительно, при свободномолекулярном обтекании Сд.а~М^1, как видно из рис. 4.19, «расслоение» зависимости Сха (МД по числу сохраняется при малых числах Re0. Уменьшение зависимости аэродинамических характеристик от числа при увеличении Re0 согласуется с теорией сильного вязкого взаимодействия, когда влияние числа отсутствует [61].
411
Достаточно сильным оказывается влияние температурного фактора на суммарные аэродинамические характеристики. Влияние у на Сха проявляется следующим образом: при малых Re0 коэффц. циент сопротивления увеличивается быстрее для меньших значений и Cxa(tw = O,1) > Cxa(tw= 1); с увеличением числа Re0 значения становятся тем меньше, чем меньше tw. При малых Re0 описанное поведение Сха при различных значениях температурного фактора tw согласуется с теорией первых межмолекулярных столкновений [51], ко-
Рис. 4.20. Влияние вращательных степеней свободы на аэродинамические характеристики: а) для коэффициента сопротивления; б) для коэффициента нормальной силы.
тора я дает следующую зависимость коэффициента сопротивления от Re0 и tw: Cxa=CJCC.M(l+aRecZ-1 -j, где а—постоянная, зависящая от вида потенциала взаимодействия между молекулами.
Влияние параметров межмолекулярного взаимодействия (влияние вида закона изменения коэффициента вязкости от температуры) исследовалось для двух молекулярных моделей: твердых сфер (со = 1/2, штриховые кривые) и максвелловских сфер (со= 1, сплошные кривые). Как видно из рис. 4.19, влияние параметра со на суммарные аэродинамические характеристики пластины при небольших числах Re0 значительно меньше, чем влияние Мто и tw. Наибольшее отличие в величине Сха достигается в области максимума зависимости Cxa(Re0), причем различие тем больше, чем больше число Мж.
На рис. 4.19 приведены также
результаты расчетов методом стационарного прямого моделирования [58] (кружочки), решение модельного уравнения [59] (крестики), результаты расчетов по уравнениям Навье — Стокса с граничными условиями скольжения и температурного скачка [62] (треугольники). Эти данные показывают хорошее согласие результатов, полученных при решении кинетических уравнений. Отметим также хорошее совпадение данных, полученных на основе кинетических уравнений и на основе уравнений Навье — Стокса. Приведенные выше результаты относились к обтеканию пластины одноатомным газом, в то время как в натурных условиях следует учитывать внутренние степени свободы. Влияние вращательных степеней свободы изучалось в [57] с помощью модели двухточечных центров отталкивания, для которой у=1,4, со = 1/2.
На рис. 4.20 приведены результаты расчета коэффициентов сопротивления и нормальной силы, отнесенных к их свободномолекулярным значениям, при 5^ = 9,13, tw—\, в зависп-
412
мости от параметра zR (равного отношению времен релаксации вращательных и поступательных степеней свободы и характеризующего интенсивность обмена энергией между поступательными и вращательными степенями свободы): zR к- 5, 10, оо для N2 при Т = = 300 К. С увеличением температуры zR увеличивается, т. е. обмен энергией становится более затрудненным [63]. На рис. 4.20, б приведены результаты расчетов для одноатомного газа. В обоих случаях одинаковыми были взяты значения скоростного отношения
= «„о 1/2 и температура поверхности TW = TO (То рассчи-
тана при у = 5/3), что обеспечивает одинаковые условия обтекания в свободномолекулярном режиме. Видно, что внутренние степени свободы не столь существенно влияют на величину Сха (различие составляет примерно 10%), но сильно влияют на Сп (~30%).
В приведенных выше примерах в качестве граничного условия на поверхности пластины ставилось условие полностью диффузного отражения молекул. Следует отметить, что такое граничное условие принимается в большинстве работ. Исключение составляют лишь работы [55, 64], в которых изучалось влияние вида функции распределения отраженных от поверхности молекул на примере задачи обтекания пластины под нулевым углом атаки.
Рассмотрим влияние закона взаимодействия молекул с поверхностью на обтекание тел в переходной области в схеме диффузно-зеркального отражения, где варьируются коэффициент диффузности и коэффициент аккомодации энергии. Функция распределения отраженных молекул имеет вид fw(t) = (1—Ф/з(С)+^„(С, «г, [Л)-Здесь /3 (с)—функция распределения, соответствующая зеркальному отражению, /м (с, пг, Тг)—максвелловская функция, ст—коэффициент диффузности. Параметры пг, Тг определяются из условий непротекания на стенке и обмена энергией, определяемого через коэффициент аккомодации энергии ае.
Рассмотрим два случая: 1) <т#=1,
= 1; 2) о = 1, ае =£ 1. Соотношение между о и ае выберем так, чтобы при свободномолекулярном обтекании для обоих случаев был одинаков ком газа и поверхностью тела.
Результаты расчетов коэффициента сопротивления пластины при “ = 0 приведены на рис. 4.21 (Моо = 20, /к, = 0,1, р~7'1/2), где кривые соответствуют следующим значениям параметров (о; ае): 1—для (1; 1); 2—для (1; 0,8); 3—для (0,8; 1). Как видно, наличие зеркально отраженных от поверхности молекул уменьшает Сха па '-'равнению с полностью диффузным отражением, причем с увеличе
Рис. 4.21. Влияние закона взаимодействия молекул с поверхностью пластины в переходном режиме при М„=20, /да=0,1: 1 — 0=1, ае=1;. 2 — о=1, ае=0,8; 3 — а=0,8,
ае= 1.
обмен энергией между пото-
413
нием числа Re0 различие в Сха для этих двух случаев увеличивается. Так, если в свободномолекулярном режиме значения Сда при а=1; 0,8 различаются на 20%, то при Reo = 3O это различие достигает 40%. Этот факт, по-видимому, может быть объяснен двумя причинами: во-первых, каждая молекула при 0 = 0,8 передает поверхности меньший тангенциальный импульс (в среднем на 20%), а во-вторых, наличие зеркально отраженных молекул уменьшает возмущение набегающего потока отраженными от поверхности молекулами, что приводит к уменьшению потока частиц на поверхность и, как следствие, к уменьшению коэффициента сопротивления.
Анализ расчетов обтекания пластины под малыми углами атаки позволяет проследить переход к режиму гиперзвуковой стабилизации, когда аэродинамические характеристики не зависят от числа М„. В предельных режимах обтекания—свободномолекулярном и режиме вязкого взаимодействия—гиперзвуковая стабилизация имеет место при Мма|>1. При этом условии в свободномолекулярном пределе имеем (пренебрегая членами порядка S~2)
„ О • I 4 \ 1/2 • 2
Cxa = 2sma+[i------nt,.,} sura,
AW» \ Y j
y — 1 ,
V4*
1/2
sin a cos a.
Ctin ---
Эти соотношения позволяют оценить влияние tw и у на аэродинамические характеристики в режиме, близком к свободномолекулярному. Так, влияние tw на Сха, не очень велико, и при у = 5/3 различие в Сха при tw = l составляет всего 5% при а = 5° и 14% при а=15°. Влияние tw на Су(х очевидно: СуГХ~С^.
На рис. 4.22 приведены результаты расчетов коэффициента сопротивления СХ(Х при обтекании пластины под углом атаки a = 5° (рис. 4.22, а) и а =15° (рис. 4.22,6) для tw=\, и~Т и Моо = 5, 10, 20, которые иллюстрируют уменьшение влияния числа МЛ с ростом угла атаки, так что при а=15° картина обтекания уже для Мто > 5 в большей мере соответствует режиму гиперзвуковой стабилизации. Отметим, что при a > 15° коэффициент сопротивления монотонно убывает с увеличением числа Re0. Немонотонность зависимостей C„a(Re0) (а также (Re0)) сохраняется, но величины максимумов относительно свободномолекулярных значений уменьшаются (по сравнению со случаями а = 0°, 5°). С увеличением угла атаки уменьшается и влияние вида моделей межмолекулярных взаимодействий.
Наиболее сильное влияние на Суа оказывает температурный фактор и внутренние степени свободы молекул. Соответствующие результаты расчетов приведены на рис. 4.23 для a =15°. Здесь же приведены и экспериментальные данные [65]. Расчеты проведены при следующих значениях параметров: рис. 4.23, a—для Моо = 20, р~Т1/2; рис. 4.23,6—для S„ = 9,13, /да = 1, ц-Т'/-, г^ = 5, оо. Сравнение показывает, что учет внутренних степеней свободы молекул (вращение) существенно сближает расчетные и экспериментальные результаты.
414
5. Имеющиеся в настоящее время данные по расчету трехмерных течений относятся в основном к свободномолекулярному и близким к нему режимам обтекания (см., например, [52, 66, 67]). Ниже приводятся результаты расчетов обтекания пластины конечных размеров (прямоугольной и треугольной) и острого конуса, полученные методом нестационарного прямого моделирования [35, 68].
Рис. 4.22. Влияние числа Маха на аэродинамические характеристики пластины при tw=l, \i~T для различных углов атаки: а) а=5°; б) а=15°.
Рис. 4.23. Влияние температурного фактора tw (а) и внутренних степеней свободы (б) на аэродинамические характеристики пластины при М«,=20, |л~7’1/2, а=15°: -------- прямое численное моделирование; //// экспериментальные данные [65].
Картина расчетной области и геометрической конфигурации пластины дана на рис. 4.24. В отличие от двумерных задач, в которых расчеты проводились на равномерной сетке, в этом случае для повышения точности расчетов предусмотрено разбиение области течения около пластины на ячейки с меньшим линейным размером (зона 1), чем в остальной области течения (зона 2). Одновременно было предусмотрено введение различных статистических весов молекул в разных областях течения (методы расщепления и рулетки). Предполагается, что при пролете молекул внутрь выделенной области происходит расщепление траекторий, а при вылете из выделенной области часть траекторий обрывается. Коэффициент расщепления принят равным двум.
Аэродинамические характеристики треугольной пластины с углом при вершине 20=53° при обтекании под углом атаки
415
а=30° для Мто=20 приведены на рис. 4.25 (сплошные линии). Здесь же приведены результаты расчетов для пластины бесконечного размаха (штриховые линии), показывающие, что наиболее сильное влияние пространственности проявляется в величине подъемной силы. Звездочками на рис. 4.25 отмечены результаты расчета обтекания треугольной пластины в случаях, когда навстречу потоку обращена не вершина треугольника, а его основание. Эти данные свидетельствуют о
Рис. 4.24 Расчетная область при решении трехмерных задач обтекания пластины.
Рис. 4.25. Аэродинамические характеристики треугольной пластины с углом при вершине 20=53°, М„о=20, а=30°: a) fw=l‘, б) /„,=0,1 ------навстречу потоку
обращен угол при вершине пластины; **** навстречу потоку обращено основание пластины;-------------------пластина бесконечного размаха).
том, что при заданной площади и длине аэродинамические характеристики слабо зависят от формы пластины. Такое свойство течений известно в теории первых межмолекулярных столкновений (теорема обратимости) [7]. Здесь же оно получено при существенно меньших числах Кнудсена, когда теория первых столкновений неприменима. Слабая зависимость коэффициента сопротивления от формы при малых углах атаки таких тел, как пластина и конус (если за характерную площадь принимать площадь омываемой поверхности), ранее была экспериментально обнаружена в [69].
Расчет обтекания острого конуса проводился по программе, позволяющей в общем случае решать задачи обтекания з а-тупленных по сфере конусов и полуконусов. Для сопоставления с экспериментальными данными [62] расчеты проводились для конуса с полууглом раствора 0С = 1О°. Как и в случае пространственного обтекания пластины, использовалась неравномерная сетка с введением статистических весов молекул, находящихся
416
в различных зонах течения: вблизи поверхности конуса проводится разбиение области на ячейки, объем которых в два раза меньше объема ячеек в остальной области; при этом линейный размер ячеек вдоль оси конуса был одинаков, а изменялся их линейный размер в направлении, перпендикулярном этой оси.
Результаты расчетов и экспериментальные данные по аэродинамическим характеристикам конуса представлены на рис. 4.26 (а=10°). При вычислении коэффициентов сопротивления Сха, подъемной силы Суа, продольного момента tnz и числа Re0 в качестве характерного линейного размера принималась длина конуса, в качестве характерной площади—площадь основания; тг рассчитывается относительно носика.
Рис. 4.26. Аэродинамические характеристики конуса (полуугол раствора 0е=1О°) под углом атаки а=10°:--------прямое численное моделирование (7—М.= 10,
tw=l, w=l; 2 — М„=10, tw=l. ш=1/2; 3 — Моо=10. /Е,= 0,1, <о= 1; 4 — М„=10, ^w=O,l, (о=1/2; 5 — Мм=20, /г:,= 0.1, ы=1/2); экспериментальные данные в потоке воздуха при М0О = 5—10 (о о □ о tw~ 1; . ... t =0,5).
Расчеты проводились для одноатомного газа при следующих значениях параметров: 1 — для Моо = 10, /да=1, ®=1; 2—для №„ = 10, /да=1, ©=1/2; 3—для М„ = 10, /то = 0,1, со = 1; 4—для М„=10, /и, = 0,1, <0=1/2; 5—для М„ = 20, /w = 0,l, и = 1/2; экспериментальные данные получены в потоке воздуха при числах М„=5—10 и значениях температурного фактора /w=l (кружочки) и 0,5 (точки). Расчетные данные показывают, что коэффициент сопротивления конуса монотонно уменьшается с увеличением числа Re0. Не превышает своего свободномолекулярного значения и Суа при /да=1. Сильное влияние на коэффициенты подъемной силы и продольного момента оказывает (при небольших значениях */г 14 о. ДА. Белоцерковский 417
числа Re0) температурный фактор. С увеличением Re0 это влияние уменьшается. Аналогично влияние tw и на Сха, но изменение коэффициента сопротивления при изменении tw существенно меньше чем Суа и тг.
Результаты расчетов коэффициента сопротивле ния достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными. По-видимому, здесь, как и в случае пла стины бесконечного размаха, влияние внутренних степеней свободы молекул на Сха, незначительно (расчеты проводились для одноатомного газа, эксперименты — в воздухе). Что касается сравнения расчетных и экспериментальных данных по Суа, и тг, то следует подчеркнуть, что расчет при tw—\ не дает превышения коэффициентов подъемной силы и момента mz над их свободномолекулярными значениями, а в эксперименте такое превышение имеется. В этом случае, по-видимому, сказывается неполная адекватность условий, при которых проводились расчеты и эксперимент.
Рис. 4.27. Аэродинамические характеристики при обтекании конуса (7), полуконуса (2) и пластины (3) с одинаковым характерным сечением (0=20°); Reo=2O, М.= 10, tw=i, и-КтТ
Приведем также некоторые результаты по исследованию влияния объема тела на аэродинамические характеристики на примере задачи обтекания треугольной пластины, конуса и полуконуса (рис. 4.27). При расчете обтекания полуконуса навстречу потоку была обращена плоская поверхность. При вычислении аэродинамических характеристик в качестве характерной площади принята площадь треугольной пластины. Из качественных особенностей отметим близкие значения коэффициентов подъемной силы для пластины и конуса, а также сближение значений коэффициентов сопротивления и подъемной силы пластины и полуконуса при увеличении угла атаки.
6. В плане развития указанного метода для других проблем гидромеханики делается попытка исследования нестационарных 418
задач турбулентности, не содержащих граничных условий в виде твердых стенок. В качестве примера рассмотрим задачу о распаде турбулентного пятна [76, 77]. Здесь, как и в динамике разреженного газа, задача решается на уровне функции распределения, но теперь это будет распределение пульсаций скорости v' жидкой частицы. На определенную аналогию между разреженным газом и турбулентностью указывал еще Прандтль.
в ДРГ
атома
— положение атома €— скорость атома
В турбулентности
Частица
Модель жидкого объема х- — положение объема v-— мгновенная скорость объема
Функция распределения
Одночастичная
f = f (Р г, с) f de = р- плотность
Одноточечная
f = f (t, х, v) fdv=l -нормировка
Моменты
cf 47с = а-скорость газа (с-п)-тепловая скорость
Макропараметры
Р vf dv—n-средняя скорость течения (г>-и)-пульсационная скорость
Рис. 4.28. Сравнительное описание среды функцией распределения для задач динамики разреженного газа (ДРГ) и турбулентности.
В построенной В. Е. Яницким имитационной модели (которая реализована Н. Н. Славяновым на ЭВМ для моделирования задач турбулентности) каждая частица в ячейке имеет новое смысловое содержание (рис. 4.28). Модель по-прежнему характеризуется положением и скоростью, но является теперь моделью жидкой частицы. Трудность создания такой модели связана с нестационарно-с т ь ю явления и с отсутствием для турбулентности универсального кинетического уравнения, аналогичного уравнению Больцмана. Вопросы описания турбулентности кинетическим уравнением рассматривались в работах [42—46, 71—75]. В принципе моделирование можно проводить для разных видов кинетических уравнений. Одну из попыток мы здесь продемонстрируем. Основные положения используемой методики изложены в § 7 этой главы.
14* 419
За основу построения имитационной модели было взято релаксационное кинетическое уравнение [45, 46] для одноточечной функции распределения f(t, г, ®') пульсаций v':
г I 3 \з/2 [ 3(о')2\ - со /1/К-
где /м=[4^) ехр <--------— нормальный закон; T1 = =Sr1/r -с,
х2 = У Е\ =2’1£<2v‘“,)/2 = const!, J2^2^-')/2 = const,—законы изменения интегральных масштабов; Е—плотность турбулентной энергии. Известна аналогия кинетического уравнения (4.79) с уравнениями Больцмана и Крука.
Основными эмпирическими константами модели являются показатели степени и у2 в законах изменения интегральных масштабов в зависимости от интенсивности турбулентности Е:
0/2.
Схема моделирования построена по тем же принципам, что и в динамике разреженных газов; Это жидкие частицы в ячейках и расщепление эволюции модели на шаге А/ на основные физические процессы:
— конвективный перенос I
, , 2 1 д , , \
— диссипация турбулентной энергии ( —2т” агК® '' / ’
— перераспределение энергии по степеням свободы —J.
Численно решалась задача о диффузии турбулентности, энергия которой первоначально сосредоточена в области с характерным радиусом г0 (задача о п я т н е — рис. 4.29). С течением времени меняется характерный радиус пятна r(t) и плотность турбулентной энергии Ет (f) в центре пятна. Начальные данные здесь таковы (/=0): поле энергии
£0(г) = £«»ехр /—0,69 41 , £^ = £,л(0);
I о /
функция распределения f (0, г, v)=f0(r, v< пульсаций v'
, , ,. Г 3 1 Г З(и')2 ]
/о(Г- Н- [4я£о(г)] ехР { 4E0(r)f
На рис. 4.30, 4,31 для случая однород ного пятна [76, 77] приведено сравнен» данных расчета с экспериментом Наудашера [79]. На рис. 4.30 показано изменение во време
ни относительного характерного радиуса пятна Г1/2 = г1/2/гс (под г1/; здесь понимается радиус, на котором плотность энергии £(/, г1!2) составляет половину ее значения в центре пятна: £(/, г1/2)~ —1/2Em(t)'). Рис. 4.31 иллюстрирует аналогичное сравнение для
Рис. 4.29. Задача о диффузии турбулентного пятна (начальная область).
420
плотности турбулентной энергии в центре пятна: Ет (/) — Ет (t)lEm (0). Наблюдается, как видим, согласованность численного и физического экспериментов.
Распределение энергии по радиусу пятна автомодельно (рис. 4.32):
Где E = E(t, r)/Em(t), l = r/r1/2—относительный радиус. Физический эксперимент [79] для автомодельной кривой /(g) дает следующую функцию:
/(g) = ехр {—0,69g2}.
Рис. 4.30. Изменение характерного размера однородного пятна со временем: • • • • эксперимент Наудашера [79] (----- среднеквадратичная ап-
проксимация); —|—Н+ прямое численное моделирование.
недостатком этих моделей, кото-
При численных расчетах эта кривая обычно задается в качестве начальных данных. Любопытно, что затем она перестраивается и принимает вид быстро спада- _ ющей функции, которая хорошо %м аппроксимируется зависимостью
ng)=^0 m
Здесь а«1,5; 30—функция Бесселя нулевого порядка.
Данное расхождение численных результатов с физическим экспериментом характерно для большинства численных моделей. Следовательно, это общий недостаток, отражающий неадекватность наших представлений о физике данного явления. То, что мы пренебрегаем отличием коэффициента перемежаемости турбулентности от единицы (характерное для всех численных моделей данной задачи), является, возможно, общим
рый ответствен за указанное расхождение с физическим экспериментом.
Метод прямого статистического моделирования принципиально позволяет получить одноточечную функцию распределения пульсаций или ее м о м е н т ы. На рис. 4.33, 4.34 представлены полученные в разные моменты времени (по относительному радиусу g=r/ri/2(/)) распределения показателей асимметрии аг и эксцесса Рг. Показатель асимметрии ar(g)=pi3/pi2/2 характеризует третий момент функции распределения (поток турбулентной энергии), а показатель эксцесса Pr(g)=p,4/(3p|)—1 отвечает четвертому моменту функции распределения (по гипотезе М. Д. Миллионщикова 0Г=О). Отчетливо прослеживается здесь граница пятна.
Проводились также расчеты и для стратифицированного (по плотности) пятна [77]. На рис. 4.35 в логарифмическом масштабе в виде, не зависящем от стратификации (путем введения И* О. М Б.лэцерковскпй 421
Рис. 4.31. Изменение плотности турбулентной энергии в центре однородного пятна со временем (обозначения, как на рис. 4.30).
Рис. 4.32. Распределение энергии по радиусу пятна: ------эксперимент; ( J J J J /=3; +++4- /=6; X X X X /=11) — прямое статистиче
ское моделирование.
Рис. 4.33. Показатель асимметрии для однородного турбулентного пятна.
Рис. 4.34. Показатель эксцесса для однородного турбулентного пятна.
частотного числа Фруда Frn), приведено сравнение результатов В. Е. Яницкого и Н. Н. Славянова с экспериментом [80] по скорости затухания осевой пульсации скорости здесь FrD = ^— частотное число Фруда, ReD = ^—число Рейнольдса, N = ^-х
Рис. 4.35. Характер затухания осевой пульсации скорости в переменных (X, Г|) для стратифицированного турбулентного пятна (ДДДД Ргд=23, Rec=2 -104; о о о о Frp=31, Reo—3-101) — эксперименты Лина и Пао [80]; —|—|—прямое статистическое моделирование.
На рис. 4.36 представлена зависимость от времени (отнесенного к периоду Вейсяля Т) величины 0(/), равной значению относительной потенциальной энергии перемешанности лт (/) в центре пятна:
0 (t\ = —________
где Е™ (t) =Ег (t, z/ = 0, z = 0) — кинетическая энергия вертикальных пульсаций в центре пятна, z/ = 0, z = 0).
Если принять первый максимум за условное начало коллапса пятна, то это будет соответствовать моменту времени (от начала to развития пятна) —/о~О,27 Т, что близко к экспериментальной
оценке Т/3 [81].
Заметим, что в начальный момент пятно считалось непере-мешанным (перемешанность здесь возникает лишь за счет турбулентности). В качестве степени перемешанности величина 0 не пригодна, так как она дает завышенную верхнюю оценку. Если принять определение показателя перемешанности, следуя [81], то численные Результаты дают для него значение, равное ~0,10—0,15 в момент начала коллапса, что соответствует эксперименту [80]. Таким образом, физический и численный эксперименты дают низкую оценку степени перемешанности, обусловленную только турбулентностью. 14** ,,,,
На рис. 4.37 представлено распределение по оси стратифицированного пятна горизонтальной компоненты потока турбулентной энергии,
нормированного как асимметрия функции распределения пульсаций:
а (Л =
Qy = <v' (u'2 + v'2-j-w'2)>.
Видно, что максимальная величина так определенной асимметрии функции распределения пульсаций достигается приблизительно на половине периода Вейсяля.
Подводя итоги возможностям применения указанных подходов к задачам турбулентности, отметим, что перспективность использования метода прямого статистического моделирования связана с построением
Рис. 4.36. Относительная потенциальная энергия перемешанности в стратифицированном турбулентном пятне (начало коллапса пятна при 74,~0,27 в расчете и при /*~0,33 в эксперименте Меррита [81]).
Рис. 4.37. Распределение по оси стратифицированного пятна горизонтальной компоненты потока турбулентной энергии (асимметрия функции распределения пульсаций).
кинетических моделей турбулентности, замкнутых на уровне функции распределения пульсаций. Такие модели имеют, как правило, меньшее число эмпирических констант (например, в случае однородного пятна основных констант две — это у, и у2, а константы и — интегральные масштабы в начальный момент времени — связаны с начальными условиями). В то же время кинетические модели более информативны, так как они дают функцию распределения пульсаций.
Данное направление интенсивно развивается, и, в частности, можно надеяться на успех в решении более сложных задач турбулентности, когда крупномасштабные процессы вычисляются непосредственно по схемам расщепления для конечно-разностных уравнений переноса (например, с помощью ме
424
тода крупных частиц или потоков), а локальные мелкомасштабные флуктуации моделируются статистическим путем [82].
§ 10. Заключение
Метод прямого статистического моделирования зарекомендовал себя как одно из наиболее мощных средств решения задач динамики разреженного газа.
Теоретико-вероятностный анализ частоты столкновений в схемах Бёрда и качественный анализ соответствующего кинетического уравнения выявляют невысокую точность этих схем: ошибка аппроксимации имеет порядок tr/s=2tr/(N0\t) или (2/М0) In (etr/А/), в зависимости от применяемого способа прекращения расчета столкновений. Такая ошибка приводит к сильной зависимости результатов от характерного числа частиц в ячейке Мо. Строго марковская модель столкновителfa-ной релаксации (модель Каца) лишена указанного недостатка. Построенные на ее основе алгоритмы моделирования столкновений частиц в ячейках позволяют проводить расчеты при Мо~1-
Предложенная в настоящей главе модель для решения пространственно-неоднородных задач (и, вообще говоря, нестационарных по времени) представляет собой синтез двух следующих идей:
1) расщепление процесса на столкновения частиц в ячейках (этап I расчета) и бесстолкновительное смещение частиц (этап II расчета);
2) моделирование столкновений марковскими процессами.
Данная модель эффективнее модели Бёрда при решении задач на координатной сетке с неравномерными или мелкими ячейками, а также при расчетах нестационарных во времени пространственно-неоднородных процессов. Таким образом, появляется возможность рассматривать более сложные задачи с двумя и тремя пространственно-временными переменными. Этим методом решен ряд задач аэрогазодинамики в двумерной и трехмерной постановке, выявлено влияние различных параметров на аэродинамические характеристики тел и поля течения. Проводится развитие метода и для исследования простых нестационарных задач турбулентности.
Указанный подход характеризуется умеренными требованиями к ресурсам ЭВМ, что позволяет эффективно решать многомерные задачи обтекания тел и летательных аппаратов разреженным газом в переходных режимах движения и некоторые задачи турбулентности.
ЛИТЕРАТУРА
1. В i г d G. A. Direct simulation and the Boltzmann equation.— Phys. Fluids, 1970, 13, № 11, p. 2676—2681.
2. Я н и ц к и й В. E. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации неравновесного газа.— ЖВМиМФ, 1973, 13, №2, с. 505—510.
425
3. Яницкий В. Е. Применение процессов случайных блужданий для моделирования свободно-молекулярного движения газа.— ЖВМиМФ, 1974, 14, № 1, с. 259—262.
4. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа.— I. ЖВМиМФ, 1975, 15, №5, с. 1195—1208; II. №6, с. 1553—1567.
5. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистическое моделирование течений идеального одноатомного газа.— В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1977, с. 34—42.
6. Чепмен С., К а у л и н г Т. Математическая теория неоднородных газов.— М.: ИЛ, 1960.
7. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. — М.: Наука, 1967.
8. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Численные методы в динамике разреженного газа.— Тр. IV Всесоюз. конф, по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М.: ЦАГИ, 1977, с. 101 —183.
9. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Проблемы численного моделирования течений разреженного газа.— Успехи механики. Варшава, 1978, 1, вып. 1/2, с. 69—112.
10. Численные методы в теории разреженных газов / Под ред. В. П. Шидловского.— М.: ВЦ АН СССР, 1969.
11. Численные методы в динамике разреженных газов / Под ред. О. С. Рыжова.— М.: ВЦ АН СССР, 1973, вып. 1; 1975, вып. 2; 1977, вып. 3.
12. Жук В. И., Рыков В. А., Шахов Е. М. Кинетические модели и задача о структуре ударной волны.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1973, №4, с. 135—141.
13. Вахман М., Гамель Б. Метод дискретных ординат для решения нелинейного уравнения Больцмана применительно к задаче о релаксации псевдоскачка.— В кн.: Вычисл. методы в динамике разреженных газов. М.: Мир, 1969, с. 259—275.
14. Н о р д с и к А., Хикс Б. Вычисление интеграла столкновений Больцмана методом Монте-Карло.— В кн.: Вычисл. методы в динамике разреженных газов. М.: Мир, 1969, с. 215—230.
15. Н 1 с k s В. L., Y е п S. М. Solution of the non-linear Boltzmann equation for plane schock waves.— Rarefied Gas Dynamic. 6th Simp. N. Y. Acad. Press, 1969, 1, p. 313—317.
16. Ч e p e м и с и н Ф. Г. Численное решение кинетического уравнения Больцмана для одномерных стационарных движений газа.— ЖВМиМФ, 1970, 10, № 3, с. 654—665.
17. А р и с т о в В. В., Черемисин Ф. Г. Расщепление неоднородного оператора уравнения Больцмана.— ДАН СССР, 1976, 231, № 1, с. 49—52.
18. Л и м а р Е. Ф. О численном решении уравнения Больцмана.— ЖВМиМФ, 1973, 13, №6, с. 1573—1580.
19. Власов В. И., Горелов С. Л., Коган М. Н. Математический эксперимент для вычисления коэффициентов переноса.— ДАН СССР, 1968, 176, №6, с. 1293—1296.
20. Григорьев Ю. Н., Иванов М. С., Харитонова Н. И. К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнений динамики разреженных газов методом Монте-Карло.— В кн.: Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1971, 2, №4, с. 101 —107.
21. В л а с о в В. И. Улучшение метода статистических испытаний (Монте-Карло) для расчета течений разреженных газов.— ДАН СССР, 1966, 167, № 5, с. 1016— 1018.
22. В л а с о в В. И. Расчет методом Монте-Карло обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа.— Тр. IV Всесоюз. конф, по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М.: ЦАГИ, 1977, с. 353— 357.
23. В i г d G. A. Approach to translational equilibrium in a rigid sphere gas.— Phys. Fluids, 1963, 6, № 10, p. 1518—1519.
24. Б ё p д Г. Молекулярная газовая динамика.— M.: Мир, 1981.
25. V о g е n i t z F. W., T a k a t a G. Y. Rarefied hypersonic flow about cones and flat plates by Monte-Carlo simulation.— AIAA J., 1971, 9, № 1, p. 94—100.
426
26. Белоцерковский О. М., Ерофеев А-.И., Яницкий В. Е. О не стационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа.— ЖВМиМФ, 1980, 20, №5, с. 1174—1204.
27. Я и и ц к и й В. Е. Применение некоторых статистических моделей для численного решения уравнения Больцмана.— Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1974.
28. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике.— М.: Мир, 1965.
29. Г и х м а и Й. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 2.—М.: Наука, 1973.
30. Пригожин И. Неравновесная статистическаа механика.— М., Мир, 1964.
31. Бёрд Г. Функция распределения скоростей в ударной волне.— В кн.: Вы-числ. методы в динамике разреженных газов. М.: Мир, 1969, с. 148—158.
32. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет поперечного обтекания пластины потоком разреженного газа.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1976, №4, с. 106—112.
33. G г u n b a u m F. A. Propagation of chaos for the Boltzmann equation.— Arch. Ration. Meeh, and Analysis, 1971, 42, №5, p. 323—344.
34. Денисик С. А. .Лебедев С. H., M а л а м а Ю. Г., О с и н о в А. Н. Применение метода Монте-Карло для решения задач кинетики газов.— Физ. горения и взрыва, 1972, 8, № 3, с. 331—349.
35. Ерофеев А. И. Пространственное обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа.— Уч. зап. ЦАГИ, 1978, 9, № 5, с. 77—83.
36. Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2.— М.: Мир, 1967.
37. Д е н и с и к С. А., М а л а м а Ю. Г., Л е б е д е в С. Н., Полак Л. С. Решение задач физической и химической кинетики методом Монте-Карло.— В кн.: Применение вычисл. матем. в хим. и физ: кинетике. М.: Наука, 1969, с. 179—231.
38. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины бесконечного размаха потоком разреженного газа.— Уч. зап. ЦАГИ, 1976, 7, № 1, с. 102—106.
39. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа.— Уч. зап. ЦАГИ, 1975, 4, № 3, с. 51—57.
40. Яницкий В. Е. Статистическая модель течения идеального газа и некоторые ее особенности.— В кн.: Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск: Наука, 1975, 6, №4, с. 139—150.
41. Г о л ь д и н В. Я., Данилова Г. В., К а л и т к и н Н. Н. Численное интегрирование многомерного уравнения переноса.— В кн.: Числ. методы решения задач матем. физики. М.: Наука, 1966, с. 190—192.
42. Струминский В. В. О возможности применения динамических методов для описания турбулентных течений.— В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1974, с. 19—33.
43. Жигулев В. Н. Исследование цепочки уравнений Н. Н. Боголюбова для сильно коррелированных статистических систем.— Теор. и матем. физика, 1971, 7, №1, с. 106—119.
44. И е в л е в В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред.— М.: Наука, 1975.
45. Онуфриев А. Т. О модельном уравнении для плотности вероятности в полуэмпирической теории турбулентного переноса.— В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 1977, с. НО—117.
46. Онуфриев А. Т. Об уравнениях полуэмпирической теории турбулентного переноса.— Ж. прикл. механ. и техн, физ., 1970, №2, с. 62—72.
47. S г i п i v a s a n R., G i d d е п s D. Р., В а п g е г t L. Н., Wu J. С. A rarefied gas dynamics numerical method applied to problem in statistical turbulence.— 11th Rarefied Gas Dynamics Symp. Cannes, 1978, № 76.
48. L u n d g r e n. T. S. Model equation for non homogeneous turbulence.— Phys. Fluids, 1969, 12, №3, p. 485.
49. Гусев В. H., Коган М. Н., Перепухов В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока.— Уч. зап. ЦАГИ, 1970, 1, № 1, с. 24—33.
427
50. Власов В. И. Расчет обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа.— Уч. зап. ЦАГИ, 1973 , 4, № 1, с. 17—24.
51. Коган МН. О гиперзвуковых течениях разреженного газа.— Прикл. матем. и механ., 1962, 26, вып. 3, с. 520—529.
52. Перепухов В. А. Применение метода Монте-Карло в динамике сильно разреженного газа.— В кн.: Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика. Тр. ЦАГИ, 1972, вып. 1411, с. 15—72.
53. Коган М. Н„ Дегтярев Л. М. О расчетах течений при больших числах Кнудсена.—Astronautica Acta, 1965, № 1, р. 36—42.
54. W а 1 1 а с е J. В., В u г k е А. Т. On experimental study of surface and flow field effects in hypersonic low density flow over a flat plate.—4th Int. RGD Symp. 1. Toronto, 1965, p. 487—507.
55. Vogenitz F. W., Broadwell J. E., Bird G. A. Leading edge flow by Monte-Carlo direct simulation technique.— AIAA J., 1970, 8, № 3, p. 504—510.
56. L e n s о и V. G. Viscous flow rounds a sphere at low Reynolds numbers (<40).— Proc. Roy Soc., Ser. A, 1959, 249, p. 346—366.
57. Горелов С. Л., Ерофеев А. И. Влияние внутренних степеней свободы на обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жндк. и газа 1979, № 6, с. 151—156.
58. Власов В. И., Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины потоком разреженного газа.— Тр. ЦАГИ, 1979, вып. 1974.
59. Ш а х о в Е. М. Обтекание пластины потоком разреженного газа.— В кн.: Числ. методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, 1973, с. 102—146.
60. Н u a n g А. В., Н w а п g Р. Е., G i d d е n s D. P., S r i n i v a s a n R. High-speed leading edge problem.— Phys. Fluids, 1973, 16, № 6, p. 814—824.
61. Г а л к и н В. С., Ж б а к о в а А. В., Н и к о л а е в В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических трубах.— Тр. ЦАГИ, 1970, вып. 1187.
62. Гусев В. Н„ Ерофеев А. И., Климова Т. В. и др. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа.— Тр. ЦАГИ, 1979, вып. 1855.
63. L о г d i J. Е., М a t е s R. Е. Rotational relaxation in nonpolar diatomic gases.— Phys. Fluids, 1970, 13, №2, p. 291—308.
64. Черемисин Ф. Г. Численное исследование влияния характеристик взаимодействия газ— поверхность на движение разреженного газа.— В кн.: Числ. методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, 1975, с. 11 —18.
65. Гусев В. Н„ Климова Т. В., Липин А. В. Аэродинамические характеристики тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока.— В кн.: Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика. Тр. ЦАГИ, 1972, вып. 1411, с. 3—53.
66. Закиров М. А. Исследование внутренних и внешних свободномолекулярных течений около произвольной группы сложных тел.— В кн.: Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика. Тр. ЦАГИ, 1972, вып. 1411. с. 73—151.
67. В i г d G. A. Simulation of multi-dimensional and shemically reacting flows.— 11th Int. RGD Symp., 1. Paris, 1979, p. 365—388.
68. Ерофеев А. И. Расчет обтекания конуса под углом атаки гиперзвуковым потоком разреженного газа.— Уч. зап. ЦАГИ, 1979, 10, № 6, с. 122—127.
69. Гусев В. И., Крюкова С. Г. О несущих свойствах тел в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока.— Уч. зап. ЦАГИ, 1973, 6, № 6. с. 25—31.
70. Л и м а р Е. Ф., Седова Е. С., Я и и ц к и й В. Е. Сравнение двух решений задачи о теплоопередаче в разреженном газе.— В кн.: Числ. методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, 1979, вып. 4, с. 117—129.
71. М о н и н А. С. Уравнения для конечномерных распределений вероятности поля турбулентности.— ДАН СССР, 1967, 177, №5, с. 1036—1038.
72. Новиков Е.А. Кинетические уравнения для поля вихря.— ДАН СССР, 1967, 177, №2, с. 299—305.
73. Lundgren Т. S. Distribution function in the statistical theory of turbulence.— Phys. Fluids, 1967, 10, № 5, p. 969—975.
428
74. Ж и г у ле в В. Н. Некоторые проблемы неравновесной статистической механики и их связь с вопросами статистической теории турбулентности.— Тр. ЦАГИ, 1969, вып. 1135.
75. И е в л е в В. М. Уравнения для конечномерных распределений вероятностей пульсирующих величин в турбулентном потоке.— ДАН СССР, 1973, 208, №5, с. 1044—1047.
76. Белоцерковский.О. М., Ерофеев А. И., Яницкий В. Е. Прямое статистическое моделирование задач аэрогидродинамики.— Успехи механики. Варшава, 1982, 5, вып. 3/4, с. 11—40.
77. Belotserkovskii О. М., Е г о f f е е v A. I., Y а п i s t s k 1 i V. E. Direct statistical simulation of problems in aerohydrodynamics. XIII Intern. Simp, in Rarefied Gas Dynamics. Novosibirsk, 1982.— Book of Abstracts, No-vosibirck. Inst. Thermophysics, 1983, 1, p. 152—153.
78. Я н и ц к и й В. E. Уравнение переноса тензора скоростей деформации и описание идеальной несжимаемой жидкости системой уравнений динамического типа,— ДАН СССР, 1982, 266, № 2, с. 305—308.
79. N a u d a s h е г Е. Flow in the wake of self-propelled body and related sources of turbulence.— J. Fluid Meeh., 1965, 22, №4, p. 625—656.
80. Lin J. T., P a о J. H. Wakes in stratified fluids.— Ann. Review fluid Meeh., 1979, 11, p. 317—338.
81. M e p p и т Г. Развитие и коллапс следа в стратифицированном потоке.— Ракетная техника и космонавтика, 1974, 12, № 7, с. 73—85.
82. Белоцерковский О. М. Прямое численное моделирование переходных течений газа и задач турбулентности.— В кн.: Механ. турбулентных потоков. М.: Наука, 1980, с. 70—109.
Глава V
СЕТО Ч НО- ХАРА КТЕРИСТ И ЧЕС К НЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ АЭРОГАЗОДИНАМИКИ
§ 1. Введение
1. Численные методы составляют важный аппарат исследования разнообразных задач механики сплошных сред, и за последние годы развитие целого ряда разделов этой обширной области во многом определялось достижениями вычислительной математики. Особенно наглядно это проявилось при исследовании задач аэрогазодинамики летательных аппаратов и смежных областей, где наиболее остро стоит проблема определения с высокой точностью аэродинамических характеристик и полей обтекания. Для многих режимов движения аппаратов лабораторный эксперимент пока просто невозможен, так как требует для полного моделирования практически естественных условий.
При теоретических исследованиях таких явлений приходится иметь дело с чрезвычайно сложными математическими моделями, изучение которых без привлечения численных методов вряд ли будет возможно не только сейчас, но и в обозримом будущем. Действительно, многомерность и сильная нелинейность задач таковы, что численные методы практически являются единственным средством для их решения.
За последние годы разработано большое количество различных численных подходов к решению многомерных задач газовой динамики. Достаточно полные обзоры приведены, например, в [1—6]. Одно из наиболее перспективных направлений в этой области связано с применением метода характеристик, первые разработки которого были проведены еще в начале нашего века Массо. Большой вклад в развитие указанного направления внесли А. А. Дородницын, М. В. Келдыш, Курант, Ферри, Франкль, Фридрихе, С. А. Хри-стианович.
Создание ЭВМ позволило резко увеличить точность вычислений и использовать метод характеристик в наиболее общей его форме для расчета сложных одномерных нестационарных задач, сверхзвуковых течений газа с учетом физико-химических процессов. В работах А. И. Жукова, О. Н. Капковой, А. Н. Крайко, И. Н. Наумовой, П. И. Чушкина, Элерса и других авторов [7—12] получено большое количество результатов в этой области. Однако, когда на повестку дня встали пространственные задачи, первые попытки использования характеристических подходов для их решения, в общем, оказались неудачными. Главная особенность, присущая методу характеристик,— нерегулярность разностной сетки — оказалась серьезным препятствием для обобщения этого метода на многомерный случай. Кроме того, в пространственном случае возникает 430
неоднозначность при построении расчетной схемы в характеристических переменных. Существенное продвижение здесь было получено за последние годы в работах К. М. Магомедова, В. Б. Ми-носцева, В. В. Русанова, П. И. Чушкина [13—18] и др., основанных на сочетании метода характеристик и конечно-разностных подходов.
Для систем квазилинейных уравнений гиперболического типа наиболее общий характеристический подход был разработан в работах К. М. Магомедова и А. С. Холодова (сеточно-характеристические методы [4, 19]). Здесь удалось соединить наиболее привлекательные черты метода характеристик (учет области зависимости решения, «естественность» построения вычислительного алгоритма на границах области интегрирования и др.) и разностного подхода, которому свойственна регулярность расчетной сетки. Сеточно-характеристические методы (СХМ), в особенности последние достижения в этой области [20—24] как в теоретическом, так и в прикладном плане, позволили рассмотреть широкий круг явлений и стали рабочим инструментом решения сложных многомерных задач газовой динамики, физики плазмы, механики деформируемого твердого тела. В этой главе будет рассмотрено построение некоторых сеточно-характеристических алгоритмов для расчета многомерных задач аэрогазодинамики и смежных задач физики плазмы.
Несколько слов о свойствах характеристик. Как известно, в гиперболической области слабые возмущения распространяются в потоке вдоль определенных линий (поверхностей), именуемых характеристическими. Это линии Маха — в двумерном течении и поверхности конического типа (коноиды) — в трехмерных потоках. Некоторая линия (или поверхность) есть характеристика, если и е-возможно однозначно определить на ней производные от всех искомых функций (что связано с невозможностью решения задачи Коши с начальными данными на такой линии или поверхности). Некоторой линейной комбинацией исходных уравнений в гиперболической области можно добиться того, что в исходные уравнения будут входить только внутренние производные вдоль характеристических поверхностей и не будут содержаться производные, выводящие за характеристические многообразия.
Использование такой (математически эквивалентной) системы уравнений для построения численного алгоритма имеет определенные преимущества перед другими численными методиками: на характеристических поверхностях значительно упрощаются решаемые уравнения; характеристическая сетка точно учитывает область зависимости решения; метод характеристик обладает большой математической строгостью (для него во многих случаях доказано, например, существование и сходимость решения и т. д.). Эти обстоятельства и обеспечили достаточно широкое применение численного метода характеристик для решения гиперболических задач.
2. При построении численных схем метода характеристик в двумерных и трехмерных задачах используются как прямые чисто характеристические схемы (здесь область интегрирования покрывается
431
криволинейной характеристической сеткой), так и обратные чис ленные схемы, позволяющие вести вычисления по слоям. В [igj приведен достаточно подробный обзор специфических подходов такого рода, разработанных для уравнений газовой динамики.
В данной главе излагается предложенный в [19] сеточно-характеристический метод, являющийся одним из обобщений на многомерный случай известной схемы Куранта — Изаксона — Риса [20]. Здесь же приводятся некоторые результаты его применения к задачам аэрогазодинамики. При этом используются постановки задач с выделен и-е м основных особенностей в потоке (ударных волн и т. п.); в областях же гладкого решения применяются недивергентные варианты метода.
В § 6 исследуются некоторые задачи физики плазмы (взаимодействие мощного лазерного излучения с веществом применительно к проблеме лазерного термоядерного синтеза). Для таких явлений традиционная постановка задач с выделением поверхностей разрывов затруднительна, поэтому здесь рассматриваются однородные консервативные варианты сеточно-характеристического метода [21].
И наконец, в заключение этой главы (§ 7) приводится дальнейшее развитие сеточно-характеристического подхода, рассматриваемого как специфический метод аппроксимации не исходной системы уравнений гиперболического типа, а эквивалентных ей условий совместности вдоль некоторых характеристических направлений. В сочетании с методом неопределенных коэффициентов (что позволяет рассматривать разностные схемы как элементы некоторых линейных пространств этих коэффициентов) и другими эффективными подходами к построению разностных схем (методы Рунге — Кутта, расщепления по пространственным переменным, интегро-интерполяционный метод и т. и.) удается получить ряд интересных результатов общего характера для указанного класса задач [22]. В частности, рассмотрены новые эффективные модификации ряда известных и широко распространенных разностных схем [23, 24].
Прикладная сторона приведенных в главе результатов исследований связана с решением двух крупных и важных для практики циклов задач: аэрогазодинамика спускаемых космических аппаратов и лазерное взаимодействие с веществом. При этом основное внимание уделяется эффектам, связанным с многомерностью этих сложных явлений.
В многомерные задачи указанного класса не следует, видимо, закладывать слишком глубокие физические модели. Здесь и без того достаточно своих проблем (связанных именно с многомерностью), которые, как показывает опыт, сравнительно слабо зависят (в определенных пределах) от закладываемого в модель физического смысла. Иначе просто не было-бы продвижения в рассмотрении таких задач при современном уровне развития вычислительной техники. Именно на основе отмеченного подхода, т. е. опираясь на минимально допустимые физические модели, удалось с помощью сеточно-характеристических методов достаточно далеко продвинуться в исследовании ряда пространственно-нестационарных задач механики сплошных сред и физики плазмы.
432
§ 2. Сеточно-характеристический метод построения многомерных разностных схем для квазилинейных уравнений гиперболического типа
1. Общие положения. Рассмотрим, следуя работам [4, 19], систему квазилинейных уравнений первого порядка в частных производных гиперболического типа достаточно общего вида:
ut+Aux+Buy+ ... =/, (5.1)
где матрицы А, В, . . . и вектор-столбец правых частей f могут быть функциями t, х, у, ... и вектор-функции и искомых переменных с N компонентами. Далее ограничимся выписанными в (5.1) членами, т. е. рассмотрим трехмерный случай, так как распространение метода на большее число переменных производится формально.
Предположим, что матрицы А, В имеют только действительные собственные числа. Пусть р;, ®г (i= 1, 2, . . ., N) — собственные числа и соответствующие им линейно независимые собственные векторы матрицы Л', а р,, ®, (i=N-\~ 1, . . ., 2N) — собственные числа и собственные векторы матрицы В'. Тогда уравнения (5.1) могут быть приведены к одной из следующих характеристических (нормальных) форм:
(dittt.^&if—id^BUy), i=l, 2, .... У,
—<д((Аих), i = N-\-1, • ••, 2У.
Здесь Ut. = ut + yiUx (z=l, ..N), Ut. = utA-PiUy = N+^, • • ..., 2N)—производные вдоль двумерных характеристик соответственно на поверхностях у = const и х = const или, другими словами, вдоль линий пересечения характеристических и координатных поверхностей.
Рассмотрим теперь систему 3N уравнений (5.1), (5.2). Очевидно, что число независимых уравнений среди них равно N. Этим фактом можно воспользоваться для построения явных разностных схем, в частности не требующих аппроксимации частных производных по хи у.
Пусть на слое Z=/0=const решение известно, найдем его теперь в точке Н на слое /=/0+т. Записав уравнения (5.1), (5.2) в разностной форме при /=/0+(1—v)t (O^v^l), получим
Чн~u9+xv(Aux+Buy—/)0 + т(1— v) (АихА-Вау—f)H =
= 0 [(1—2v) т24-т3],
®z (ин~ Ui) 4- tv®,- (Виу —f)i 4- т (1 — v) ®,- (Buy—f)H =
= 0[(1—2v)t24-t3], 1=1, 2, ..., N, (5.3)
(«*—«,.) 4-tv®,. (Л«ж_/).4-т (1—v) ®,- (Aux—f)H =
= 0[(l— 2v)t24-t3], 1 = У4-1, ..., 2N.
433
Здесь индексами i и 0 обозначены значения функций в точках Пеп сечения характеристик и линий x=const, z/=const (проведенных и точки Н) с поверхностью t=t0. Касательные векторы этих характер/ стик имеют вид {1, рг, 0} при 1=1, 2, . . N и {1, 0, при ; =^+l,...,2^.
Система (5.3) содержит 3N неизвестных ин, ихН, uyt1 и столько же уравнений. Можно показать, что исключением ихН, и н Из этой системы получаются разностные уравнения, аппроксимирую, щие (5.1):
= X, у, u(t0, X, у), UH, VXUx(t0, X, у), VXUy(f0, X, z/)] + 4-O[(l—2v) т24-т3]. (5.4)
Заметим, что при выводе этого соотношения конечно-разностными выражениями заменялись только обыкновенные производные вдоль определенных линий. Сохранение в разностных уравнениях частных производных по х и у при t=t0 зависит, как видно из (5.3), от выбора v.
Если v = l/2, то уравнения (5.4) имеют второй порядок аппроксимации по t и, вообще говоря, содержат их, иу при t=t0. В этом случае необходимо также усреднять значения о, в формулах (5.3). При v=0 (первый порядок аппроксимации по t) частные производные на плоскости t=t0 выпадают.
Преобразовав область, в которой ищется решение, к прямоугольному виду, введем фиксированную сетку t = nx (п = 0, 1, ...), x = mh1, y=lh2 (tn, 1 = 0, 1, ...) и обозначим значения функций в узлах сетки через Если теперь указана связь параметров с индексами 0 и i (i = 1, 2, ..., 2N) с известными значениями на каждом слое t = tn = nx, то получаем обычную конечно-разностную схему на фиксированной сетке:
СГ = 5С,7«^+и+/ + тФ(^, /л+1), (5.5)
О'
где С;.—матрицы, элементы которых для схем первого порядка точности зависят только от параметров при t = tn, а в схемах второго порядка для квазилинейных уравнений еще и от u^i1.
В отличие от известных вариантов метода характеристик, обзор которых сделан в [18], изложенный выше подход не связан формально ни с размерностью пространства, ни с конкретным видом уравнении и использует удобную фиксированную разностную сетку.
Рассмотрим разностную схему (5.5), когда связь параметров (с индексами 0 и i, 1 = 1, 2, . . ., 2N) с сеточными функциями устанавливается линейной или квадратичной интерполяцией-Тогда соотношения (5.5) могут быть записаны в обычном для теории разностных схем компактном виде (с шаблоном, определяемым количеством привлекаемых для интерполяции точек).
431
следующие обозначения:
= \mV = (С+1,1 — z)/2,
= \2mv = (С + 1,1 —Wml + C-l, z)/2,
Л2® = = (C, z+1—C. z-i)/2,
= bjv = (C, z+i—2Cz + C, z-i)/2, а^т/Zzj, <t2 = t//i2,
г®11 '®^+l >1 о . .0 " "(ijv+i 0 .0
Й! = <В2 , Й2 = ®^+2 0 Иг- .0 , Л2= 0 PW+2- .0
_о 0 . •Им. Lo 0 .(12.V..
Матрицы йп й2, строками которых являются линейно независимые векторы о),-, очевидно, не вырождены и имеют обратные матрицы ЙГ1, й-
Интерполяционные формулы для определения значении параметров в точках встречи характеристик соответственно с осью х и у при t = tn могут быть записаны в виде
»z = Cz—+ 2, N,
^• = Cz—A®44ff2|Hzl)vAz2®, i = N+\, 2N,
где у=1 для линейной интерполяции и у=2 для квадратичной интерполяции.
Используя ранее введенные обозначения, эти формулы можно заменить матричными соотношениями
Qyiz^fiyCz—+ / = 1,2. (5.6)
Здесь AV—диагональные матрицы с элементами
ЛУ = (1Н11Т. АГ, I.MA MHI^+ilv. .... AzvIA
Умножая последние два уравнения (5.3) на матрицы соответственно йр1 и й^1, эти разностные соотношения можно привести к виду
«Я—«о4-TV (Аих + вау—/)04-т(1— V) (Аих + Виу— f)H =
= О[(1—2v) т2 + т3],
«н-ЙГ1 {й, [«—Tv](B«y—/)],.} + т (1 -v) (Bu-f)H =
= О[(1—2v)t24*t3], z=1, 2, ..., N,
ин~^1 {Й2 [«—tv (Даж—/)].}+т (1 — v) (Лах— f)H =
= О[(1—2v)t24-t3], i = М-4-1, .... 2N.
Вычитая из суммы последних уравнений первое уравнение и используя интерполяционные формулы (5.6)'для нахождения й^
435
и Q2i>z, получим обычную форму записи разностных уравнений: «mt1 = anml—+
—<t2Q2 и + <r£Q2 xA£Q2Af« + rvf^t + т (1 — v)f%1 —
_T2V [^+^] + vt2[A (B^)x + B(A«^] + O[(1-2v)t2 + t2].
(5.7)
При выводе (5.7) учитывается тот факт, что коэффициент при vt2 достаточно брать с точностью до членов порядка
Кроме того, этот член необходимо принимать во внимание только для схемы второго порядка точности (v= 1/2, у = 2), причем для вычисления смешанных производных нужно использовать дополнительно точки на слое t — tn. В дальнейшем эту схему будем называть схемой II.
Следует еще отметить, что для схемы первого порядка точности—схемы I (v = 0, у=1) — по аналогии с (5.7) могут быть сразу выписаны формулы для любого количества пространственных координат, как только матрицы Аа будут приведены к диагональному виду: Aa = Q-1AaQa (a=l, 2, ...).
2. Сеточно-характеристический метод для дивергентных уравнений. Идея сеточно-характеристического метода может быть использована также для построения разностных схем для уравнений, записанных в дивергентной форме. Рассмотрим сначала систему уравнений гиперболического типа от двух независимых переменных
»t + Fx=/ (F=F(«), х, и)). (5.8)
Пусть матрица с фиксированными элементами М, заданная в пространстве а, имеет собственные значения (i=l, 2, . . ., N) того же знака, что и собственные значения матрицы Fu, т. е. диагональная матрица Z. = {sign р1; sign ц2, . . ., sign pjv} для них одна и та же.
Умножая скалярно (5.8) на линейно независимые собственные векторы со, матрицы М, будем иметь
4-®,^ = «,-/, г =1,2,..., N.
Эта система (в силу независимости ®г) эквивалентна исходной системе (5.8). Аппроксимируя последнюю с учетом характеристических направлений матрицы М односторонними разностями по х, получим
un+1—ип Fn —Fn
... m "m I m+1 m
1 т 1 1 h
11П + 1 tin pn pn
.. um Umi,. гт r m-1
1 т 1 h
Н,- < 0,
и,- > °,
или, в более компактной форме, дП + 1____________ цП
<>/ ? ~п + [AmF- sign pz A^F] = .
Умножая эти разностные уравнения, записанные в матричной форме, слева на Q-1 и используя ранее введенные обозначения, получим
436
сх^му первого порядка точности
\ ^^««-аД^ + ой^ШЛ^Г+тД. (5.9)
Для систем уравнений гиперболического типа от большего числа переменных
ut + Flx + Fiy+...=f (5.10)
схема первого порядка может быть записана по аналогии с (5.7) и (5.9) в виде
Wm 1 = »rnz—ду7!—cr2AzF2 +
4-Cr2Qr1^2^2^Z2F2+ • • • 4-T/mz + O (т2 4- hl + /l2).
Отметим,.что наиболее простой вид эти схемы принимают при решении задач в областях, где собственные значения матриц Fi«, F2U, ... не меняют знака. Тогда входящие в разностные соотношения матрицы достаточно вычислять в одной точке.
Приведем в заключение (без вывода) схему второго порядка точности для уравнений (5.10):
«mZ1 = «mZ~ <T2AZF2 + <7^1 + CT2^2AZ2F2 +
+ Т (л +1 Фпт1) + О(Т3 +/1? + hl).
^1 = F1k, ^2 = F2k,
ф = AtF2xy + A2F1Xy - (А1Х + А 2у) (f- Flx - F2y) +ft - A Jx - AJy.
Значения А1г A2, Ф вычисляются в точке (n, m, l) с точностью до членов порядка 0(/ii+/i2). Следует отметить, что хотя эти разностные схемы и строятся для уравнений в дивергентной форме, однако они не являются консервативными.
§ 3. Вопросы устойчивости, аппроксимации и монотонности схем сеточно-характеристического метода
От любой разностной схемы требуется, естественно, ее сходимость,, т. е. разностные уравнения должны давать приближенное решение исходной задачи, причем тем точнее, чем мельче сетка разбиения области. Как известно, для линейных задач из аппроксимации и устойчивости следует сходимость (теорема эквивалентности Лакса — Рябенького), причем для исследования устойчивости разностных уравнений с постоянными коэффициентами обычно используется метод Фурье [25—27].
Ниже такой подход применяется для изучения локальной устойчивости полученных в § 2 разностных схем с использованием обычного* принципа линеаризации и замораживания коэффициентов.
1. Рассмотрим дифференциальные уравнения (5.1) и аппроксимирующие их разностные уравнения (5.7) при X=const, В=const, f=0 и периодических начальных условиях. Устойчивость (и вытекающую из нее по теореме эквивалентности сходимость)
437-
разностных схем можно получить, анализируя решения (5.7), методом Фурье:
Чт1 = '°П^Vn = GnV°, ({>a = kaha, ka = 0, ±1, ...
Исследуем вначале двумерный случай. Матрица перехода G от слоя к слою здесь имеет вид
G = G (т, ср) =Е—crvQ-1AvQ(l—cos ср)—sin ср.
Необходимое условие устойчивости Неймана
шах | | = шах ([1 —crv |цг- |v (1 —cos Ф)]24-сг2р2 sin2(p}1/2 1,
где X,— собственные значения матрицы перехода G, будет выполняться при о|рг |^1 (г = 1,2,. . ., А), т. е. при выполнении условия Куранта — Фридрихса—Леви (КФЛ). Это условие заключается в том, что область зависимости для дифференциального уравнения должна находиться внутри области зависимости разностного уравнения. Условие КФЛ является и достаточным здесь, так как равномерная по т ограниченность G" следует из соотношения
G'J = Q~1
- X? ... О -
Таким образом, схемы I и II сеточно-характеристического метода устойчивы в случае двух независимых переменных. Отметим, что для схемы первого порядка (схемы I) доказательство устойчивости разностной задачи Коши можно провести при менее строгих ограничениях. Для квазилинейной системы доказательство сходимости схемы, подобной (5.7), дано в [20].
Рассмотрим теперь случай трех независимых переменных (5.1). При v = 0 (у = 1) для (5.7) матрица перехода имеет вид
<j = G(t, (f.j, ф2)=£—(1—cos ф^ А—/c^sinq^X —
—<т2 (1 —cos(p2) В—jo2 sin(p2B,
X = Qr1A]Q1, Л-О^АД,
5 = £2,^0., B^tl^ASl,.
Найдем условие устойчивости Неймана в предположении симметричности матриц А, В. Пусть г = хА~!У—собственный вектор G. Учитывая равенство (Gz, z) = X | z |2 и симметричность матриц А, В,
получаем
]Х|2<
[1
—(TiQi (1—cos фх)— <t2Q2(1—cos ф2)]2 +
Q.O.
_ (АаХ, Х) + (АаУ, У) \г\2
+ [<?11 Л11 sin Ф114-0-21 Р211 sin ф21]2.
С । И 1“тах =Ш(аХ । ^1“’
_ (Аах, х) + (Аау, у)^. п
— (г2(
а—i>2,
(5.11)
А1 — A, А2 — В< А1 = А, А2 — В.
438
Из неравенства (5.11) видно, что условие устойчивости Неймана I | будет справедливо при ^Qj + ^Q^max (с^ | | + <т21 1) sgJ, ч
т. е. при выполнении условия КФЛ. При выводе этого условия использовалась симметричность матриц А и В. Но рассмотрение отдельных примеров с несимметричными матрицами позволяет предположить, что условие Неймана для схемы I выполняется при соблюдении условия КФЛ и в более общем случае.
В случае одного скалярного уравнения (5.1) (А/=1) условие устойчивости (5.11) принимает вид
| Ц1|Д |(!—созф1)—о2|В|(1—cos(p2)]2 +
4- [of! | A sin 1 + сг21 В sin <p21]2 1..
Это соотношение, являющееся необходимым и достаточным условием устойчивости в случае уравнений с постоянными коэффициентами, эквивалентно условию (5.11) (по крайней мере при симметричных матрицах).
Поэтому основные свойства разностных схем предлагаемого выше-метода могут быть выявлены на простейшем примере
AuxA~BUy—f, Л^О, В^О. (5.12^
Добавляя к пяти симметричным точкам на слое t=tn новую точку (т—1, I—1), выбранную с учетом направления характеристики, разностные схемы сеточно-характеристического метода (5.7) можно записать для уравнения (5.12) в следующем виде:
Umi1 = (1 — at—al + 2vata2) + 2va1aiu^_1_ l_1—
—J-(l-«r) u^+1, z + f(l -НГ1) «,Vi. i -% 0-al-1) unm, z+1 +
+ ^(1+«Г)^, /-i + t[v(/! + /2+/0) + (1-v)^z] +
+ O[(l-2v)T2 + T3 + /I2 + /ii], = a2 = g. (5.12'),
Применяя метод Фурье, можно исследовать вопросы устойчивости различных схем, получающихся из этого соотношения. Опуская выкладки, отметим некоторые из этих вопросов.
При линейной интерполяции (v = 0, у= 1) схема устойчива при выполнении условия КФЛ. При квадратичной интерполяции (у = 2) схема оказывается устойчивой при выполнении условия КФЛ лишь для v = l/2 (схема II). Для остальных значений v схема устойчива при а2=0(т)(а=1, 2), т. е. когда шаг по времени существенно меньше шагов по пространственным координатам. В последнем случае шах | Х| = 1 + «24-«2 и рост начальной погрешности 80 в процессе счета характеризуется величиной е0 (1 4-й24-а|)/''т.
Привлечение добавочных узлов на плоскости t = tn ухудшает устойчивость. Например, применение линейной интерполяции с вы полнением условия КФЛ при использовании еще одной точки (т—2, I) сделает схему вообще неустойчивой. При интерполяциях
более высокого порядка (с привлечении новых точек) получаются схемы, устойчивые лишь при = О (т) (а = 1, 2).
Возможны также схемы, устойчивые при выполнении условия КФЛ по одному из направлений (например, а± < 1), в то же время по другому направлению требуется, чтобы al = O(r). В частности, такова предложенная ранее схема [15]. При практическом счете по этой схеме шаг по переменной у выбирался так, что имела место оценка а22^ 10-4 (при этом е0 через 103 шагов по t увеличивалась до 1,2е0, что, вообще говоря, вполне допустимо). Этот пример свидетельствует о том, что такие схемы можно применять, если «2<С1-
2. Сравним диссипативные свойства сеточно-характеристического метода (5.7) и хорошо известной схемы Лакса. Для уравнения ut = Аих схема Лакса имеет вид
ит (ит-1 д Um+i— Um-1 1 'Vi
т ~ л 2h 7
Схема устойчива при выполнении условия Куранта | Л| x^h.
Рассмотрим теперь вопросы аппроксимации. Использовав, следуя [28], разложения в ряд Тейлора и учитывая следствие из исходного уравнения utt = А2ихх (Л = const), получим первое дифференциальное приближение для (5.13):
= 4^) w«4-0(T3 + /i3). (5.14)
Если мельчить сетку с соблюдением условия t//i = const, то (5.14) аппроксимирует исходное уравнение. Но если предельный переход осуществляется при т/й2 = const, то (5.14) аппроксимирует уравнение теплопроводности. Такие схемы называются негибкими или условно-аппроксимирующими [26, 28].
К каким последствиям может приводить использование негибких схем, видно из того же примера. Пусть Л является сильно меняющейся функцией от х. Из условия устойчивости Куранта значение т при данном t следует выбирать по шах|Л(х)|, т. е.
X
T = Tfflin. Это приводит к тому, что коэффициент при ихх в (5.14) (искусственная, или аппроксимационная, вязкость) становится значительным и может исказить решение.
Сеточно-характеристический метод для уравнения (5.13) дает первое дифференциальное приближение вида
ut = Aux.+ (^~-^) Uxx + 0(y> + h2).
Отсюда следует, что при любом порядке стремления т и h к нулю коэффициент при ихх стремится к нулю для 1 ^у^2 и а = Лт/й^СЕ
3. Обычно монотонными называются схемы, не нарушающие монотонного характера рассчитываемых профилей. Часто приходится встречаться с численными схемами, которые «пропускают» колебания около основного решения. Иногда такие колебания принимают за неустойчивость, хотя это, видимо, разные явления.
440
К классу монотонных схем, следуя [28], можно отнести п о л о-жительныепо Фридрихсу схемы. Покажем, что схема I сеточнохарактеристического метода относится к этому классу, т. е. коэффициенты (5.5) неотрицательны и сумма их равна единице.
Для скалярного уравнения при v=0 и у=1 это сразу следует из (5.12'). В общем случае схема I для (5.7) может быть записана в виде
«т/1 = Тa4nl 4-7’iWm+l, / + Тl+i + Z-l,
т = £—ц1Йг1Л1Й1—(Г,Й21Л12Й2,
Л = ЙГ1 (Al-AJй1( 7\ = ЙГ1 (Al + Ax) ,
T3 = Йг1 (Al — Л2) Й2, Й2~1 (Al+Л2) Й2.
Из этих соотношений следует очевидное равенство
7’о + Л + Л + Л + Л = £-
Можно показать, что при выполнении условия КФЛ oJAJ-t-4-о2|]А2|К1 матрица То имеет лишь положительные собственные значения. Так как Л[ ± Лх = Kim, ..., | p.jV| ±ц v[ и I Hz I ±Н/ 0
(аналогично и для Л1±Л2), то матрицы Та (а = 1, ..., 4) также имеют неотрицательные собственные значения.
Таким образом, матрицы Та (а = 0, 1, ..., 4) — неотрицательно определенные и их сумма равна единичной матрице. Итак, рассматриваемая схема положительна по Фридрихсу и монотонна (при схема (5.7) не может быть монотонной).
4. Известно, что довольно часто приходится встречаться с поиском разрывных решений уравнений газовой динамики (например, при наличии ударных волн и контактных разрывов в течениях невязкого нетеплопроводного газа). Наиболее точный путь расчета таких течений — выделение встречающихся особенностей и их рачет по особым алгоритмам,— очевидно, не всегда применим из-за сложной структуры задачи (особенно в многомерном случае). К настоящему времени разработаны разностные методы, позволяющие получать достаточную информацию о разрывных решениях с помощью единого алгоритма.
Здесь возможны два подхода. Первый из них связан с аппроксимацией интегральных законов сохранения, справедливых как в области гладких решений, так и при наличии разрывов. Такие схемы называются консервативными или дивергентными [26, 28].
Другой подход связан с построением обобщенного решения гиперболических уравнений как некоторого предела гладких решений уравнений параболического типа при стремлении коэффициентов при вторых производных к нулю. Учет физической вязкости, характеризующей реальную толщину зоны разрыва, не приводит к цели из-за малости членов с молекулярной вязкостью. Однако вводя вязкость искусственно (подход Неймана—Рихтмайера) или получая ее из аппроксимации (как, например, в схемах
441
Лакса), можно приблизить исходную систему гиперболических уравнений к уравнениям параболического типа.
Не останавливаясь на первом подходе, изложенном достаточно подробно в [25], рассмотрим причины возникновения аппроксимационной вязкости в разностных схемах.
Для уравнений в дивергентной форме «t + ^-О, F=F(a), где и, F—вектор-функции, наиболее распространенные схемы могут быть записаны в виде [28] „п + 1 п рП Рп „п с. п | п
Um —Um г .* m + 1—* т-1 г> ит+1— 4Um~\~Um-l
---х----+-----Th----= -------•
(5.16) разностные
(5.16.
Здесь В—неотрицательно определенная матрица.
При т—>0, h—>0 схема (5.16) аппроксимирует уравнения параболического типа
ut + Fx = p,Buxx.
Для схемы Лакса имеем В = Е и аппроксимационная вязкость р = й2/(2т).
Интересно рассмотреть, в каких пределах следует выбирать р. Пусть (5.16)—скалярное уравнение, и пусть В=1. Тогда из условия устойчивости этой схемы можно получить
i 2рт Д2т2 A — \F I
Отсюда видно, что максимально допустимой является лаксовская вязкость р = й2/(2т). Минимально допустимую вязкость р = Л2т/2 дает, как можно убедиться, схема второго порядка аппроксимации. Отметим, что с этой точки зрения все явные схемы второго порядка для уравнений (5.15) совпадают, а схемы первого порядка отличаются лишь величиной р.
Для схемы I сеточно-характеристического метода р = Ah/2, причем стремление к нулю имеет место при любом соотношении т и h. Эта схема обладает еще одним важным свойством, а именно: она дает минимальную вязкость, при которой схема (5.16) еще остается монотонной.
Действительно, полагая F=Au и записывая (5.16) в виде
r/n+i_( 1__2тр \ п , /__Ах । рт \ п । / Ах , рт \ „
«т ( 1 Д2 I 11т~Г [ 2/г ' ft2 / “m+1 ' \ 2Д ' /12 J m~'L'
а также требуя неотрицательность коэффициентов, получаем границы монотонности схемы
/г2 А/г
2т ^Р^Т ’
Таким образом, на основании проведенного выше исследования свойств схем сеточно-характеристического метода можно сделать следующие выводы.
412
Наилучшей с точки зрения устойчивости является схема первого порядка точности с линейной интерполяцией (схема /). Эта схема является монотонной и содержит необходимые диссипативные члены для определения также негладких решений.
Схема II может «пропускать» колебания для негладких решений, но в то же время позволяет выбирать при заданной точности вычислений более крупные шаги сетки. Поэтому схемой II целесообразно пользоваться для численного построения достаточно гладких решений.
Для задач с сильными разрывами целесообразно пользоваться дивергентными схемами.
§ 4. Разностные уравнения для установившихся сверхзвуковых и нестационарных течений газа
Ранее разностные схемы рассматривались на сетках, все узлы которых лежали на координатных поверхностях (что позволило использовать одномерную интерполяцию и компактную запись этих схем). В случае более сложных областей интегрирования (например, в задачах обтекания) такую ортогональную разностную сетку выбрать затруднительно, поэтому приходится либо записывать исходные уравнения в неортогональных системах координат, либо отказаться от одномерной интерполяции и строить разностные схемы несколько иначе, особенно вблизи границ (например, на ударной волне и поверхности тела при сверхзвуковом обтекании тел сложной формы).
В этом параграфе используется второй подход, который и будет изложен ниже вначале для трехмерных нестационарных уравнений газодинамики (с учетом типичной области интегрирования при сверхзвуковом обтекании тела), а затем для установившихся чисто сверхзвуковых течений газа [4].
1. Итак, запишем нестационарные уравнения газодинамики стремя пространственными перемени ы м и в матричной форме:
з
«<+2^=/. (5.17)
/=1 1
Здесь и — вектор-столбец искомых газодинамических функций с компонентами р (давление), и, v, w (компоненты вектора относительной скорости V в некоторой связанной с телом ортогональной криволинейной системы координат slt s2, s3).
Вид вектор-столбца f зависит от выбора системы координат и характера нестационарности. Например, для сферической системы координат 9, гс, <р и стационарного набегающего потока компонентами его будут соответственно
рс2Л = — рс2 (и ctg 9 + 2v)/rc, /2 = (да2 ctg 9—uv)/rc,
/з = (и24-и’2)//'с. Д== —®(Mctg94-o)/rc.
443
В системе (5.17) приняты следующие направления дифференцирования:
__ du ди . и ди . v ди t w ди
* dt dt ' Нг ds-t ' Н2 ds2 'Н3 ds3 ’
1 ! ди ! ди <5-18>
Xi Hr dS1 ’ Н2 ds2 ’ Их’ “ Н3 ds3 ’
а матрицы коэффициентов имеют вид
Л7.= Н4, /=1, 2, 3; k, г=1, 4,
а}2 = (Аз = ah = ре2, = ah = ah = 1/р.
Остальное компоненты этих матриц нулевые. Здесь приняты следующие обозначения: р = р(р, 4) — плотность; с = с(р, &)—скорость звука (эти две функции определяются уравнением состояния); А — энтальпия; Я1? Н2, Н3—коэффициенты Ламе.
К системе уравнений (5.17) следует добавить уравнение энергии,, которое можно записать в виде
#-ГТ7-0' <5'20>
а также соотношения на ударной волне
V= V„—(1—/с).0Х, к = к(р, А) = 1/р, Р = Р„ + (1-*)®2, А = Аоо + (1-^)©72,
причем
= vN-e
есть скорость перемещения поверхности ударной )волны с уравнением s2 = R(t, st, s3) по нормали
ДГ f ^2^ ill ^1/ 1/ 1 _L|/Z/2 dR V I
™ ( //x<WJ. H3ds3(LV Ui dS1 J \H3ds3) •
И наконец, необходимо воспользоваться условием непротекания на поверхности тела с уравнением s2 = rT (slt s3):
Я2 dr Н2 drT
V TFFj— u —ТГ -5— i^ = 0.
ds-i H3 ds3
(5.22)
Для построения соответствующей расчетной схемы на границах (ударная волна, поверхность тела) представляется удобным перейти в системе (5.17) к новой нормированной системе координат
/1 = /Д1 = 5 L = _2--------у 3)— ?3 = s3. (5.23)
1 > Ъ1 1, Ъ2 7? (/, Sx, S3) —rT (Sx, S3) ’^3 3 V
В этой системе координат ударной волне соответствует £2 = 1, поверхности тела соответствует £2 = 0.
444
Для этого случая принято, что в (5.17) ___________ди , и ди j w да _ 1 ди .
а^~дГ±7Г1д^±7Г3д^' а^~Н2 (/?-rT) dg? Vх24)
Производные uXt, иХз и матрицы Дх, А3 останутся прежними, т. е. •такими, как в (5.18)—(5.19), а матрица А2 имеет следующие компоненты:
Ла = {аЦ, й1г = 0 при & = 2, г = 3, 4; £ = 3, г = 2, 4; k = 4, г = 2, 3;
4fe = ₽2 (£=1, 4); а22 = — Pipe2, af3 = pc2, (5.25)
«14 = —Рзрс2- «21 = — Pl/Р. «31=1/Р, «и = —Рз/Р-
Здесь
Перейдем теперь к аппроксимации системы (5.17) разностными соотношениями. Для этого, следуя §2, приведем систему (5.17) к характеристической (нормальной) форме и аппроксимируем в (5.17) конечными разностями производные по t, а в условиях совместности — производные вдоль соответствующих характеристических направлений.
В результате получим 16 разностных уравнений (5.26)—(5.29), связывающих значения функции и и пока не аппроксимированных пространственных производных иХх, иХ2, иХз в точке Я((м4-1)т, si/7, S2H< Ssfj на слое ^ = («+ 1) т = const (например, в некотором узле фиксированной сетки) и в ряде точек (вообще говоря, неузловых) слоя ( = пт = const, на котором решение известно:
«я — «о + О— '’)т(Л1ИЛ1 + Д2а;Са + Л3аЛз— f)H +
4-vt (Д^, + А2аХг + A3ux—f)„ = О [(1 — 2v) т2 4-т3]; (5.26)
[(1 — v) «>,.„ +v®(7] (ин—«z) + (l— v) т©,я (А2иХ2 + А3их—/)н +
+ v™ii(A2tiX2+AaiiX2— /),=О[(1— 2v)t2 + t3], i=l, 2, 3, 4;
(5-27) к1 —v) ©,„ + VW,.;] (Uff—Ui) + (1 — v) т©,-я (Д1ЙХ1 + A3uX3—f)H +
+ vt©,,. (Aji^ + A3ux —f); = 0 [(1 —2v) t24-т3],
i = 5, 6, 7, 8; (5.28) [(1—v) ©,.„4-v©,,] (a„—и,.) + (1— v) T:aiH(A1uXi + A2ux—f)f{ +
+ vt©,,. (XtaXi4- A2iiX2—f)i = 0 [4-1—2v) т2 4-т3],
i = 9, 10, 11, 12. (5.29)
В этих уравнениях ©,•—линейно независимые собственные векторы транспонированных матриц Aj (/=1, 2, 3), а параметр O^v^l задает порядок аппроксимации по t. Видно, что при v = 1 /2 схема имеет второй порядок точности по t, а в остальных случаях—первый. Индексами 0 и i (i = l, ..., 12) обозначены значения функций
445
в точках пересечения с плоскостью t = пт = const характеристик, проведенных из точки Н.
Система (5.26)—(5.29) содержит 16 неизвестных ин, (uXi)H, («Хз)я, (иХз)н и столько же уравнений. Из этой системы всегда можно исключить (иХ1)н, (ах3)н и определить ин. Действительно,
обозначив
(1—v)t(X1«J// = X, (1— v)T(A2itX2)H= У, (1— v)T(43aJ„ = Z,
получим
Здесь
А"-)- У-(- Z = Fq, (5.30)
□1[(l-v)«H+r4-Z] = F1I (5.31)
Q2[(1-v)«h + X+Z] = F2, (5.32)
Q.3[(l-v)«„ + *+r] = F3. (5.33)
F7 = Fz[ot, sx, s2, s3, и (от, sx, s2, s3), aH,
аХ1(пт, slt s2, s3), иХ1(пт, sx, s2, s3), иХз(пт, sn s2, s3)J,
Q2, Q3—матрицы, строками которых являются компоненты векторов (i=l, 2, 3, 4), (л;н (i = 5, 6, 7, 8), (aiH (i = 9, 10, 11, 12) соответственно. Так как и,- выбраны линейно независимыми, то матрицы Qy. (j = 1, 2, 3) всегда имеют обратные матрицы Ц”1 (j = 1, 2, 3). Исключая из (5.30)—(5.33) X, У, Z, получим искомые разностные уравнения, аппроксимирующие (5.17):
(1 — 3v) ин = + QyxF2 4-Q;7’F3—2F0. (5.34)
Отметим, что разностная система (5.26)—(5.29) формально позволяет найти (яХ1)н. (иЯ2)я, (их3)н> однако следует помнить, что они определяются с точностью до О[(1— 2v)t-]-t2], в то время как Uff определяется с точностью до О[(1—2v)t24-t3].
Уравнения (5.34) позволяют определять параметры в точке Н, лежащей внутри рассчитываемой области, через значения функций (а при vy=0 также через их производные по х1г х2, х3) только в 7 точках i=0, 1,2, 5, 6, 9, 10, так как точки i=3, 4, 7, 8, 11, 12 здесь совпадают сточкой i=0 (матрицы А, при /=1, 2, 3 имеют одинаковые собственные числа ц—0, i=3, 4, 7, 8, 11, 12).
В этом случае следует воспользоваться выражениями Ajllx. (j= = 1, 2, 3) из формул (5.18), (5.19), откуда получим в явном виде 1
„ Рт + Рз + Рб + Рв + Рэ + Рю । I ui — + — t’e + ^'g — |_ г )
Рн=----------2 гР6 \ 2 TtT/iy »
_“1+“2 । Pi-Ps , f «я-—
^=^4-^—+ V3. (5.35)
^ = J^ + £2=£1» + t/i.
446
(Из-за громоздкости расчетные формулы приведены лишь при v=0.) Параметры с индексами i (i=0, 1, 2, 5, 6, 9, 10) определяются интерполяцией на слое t=nx в точках с координатами (v=0)
sji = sjH—ASjt, j = 2, 3, i = 0, 1, 2, 5, 6, 9, 10,
| ит!Н1, i = 0, 5, 6, 9, 10,
AS1' = | T[U — (_ 1)'с]/Я1( i=l, 2,
1 vx/H2, i = 0, 1, 2, 9, 10, (5.36)
As • = < 21 1 Т[п-(_1)ГС]/Я2, i = 5, 6,
( wx/H,, i = 0, 1, 2, 5, 6,
3‘ \ т|>—(—l)'c]/tfs, i=^9, 10.
Остановимся теперь на расчете граничных точек. Если точка Н принадлежит границе, например ударной волне или поверхности тела, то следует воспользоваться выражением для и(, пх , А 2 из (5.24), (5.25). Для ударной волны точки i=6, 7, 8 лежат вне рассчитываемого поля (точки i=3, 4, 11, 12 совпадают с точкой i=0), а для тела должна быть выброшена из рассмотрения точка 1=5 (точки i=3, 4, 7, 8, 11, 12 совпадают с точкой 1=0). В этом случае схема строится несколько иначе. Соотношение (5.28) записываем в виде
®/h[(1-v)>h + X+Z] = F4, 1 = 5, 6, 7, 8. (5.37)
Далее, из (5.30), (5.31), (5.33) исключаем У и определяем сумму ЯД-Z, после подстановки которой в (5.37) получаем уравнение, связывающее на ударной волне параметры в точках Н и i = 0, 1, 2, 5, 9, 10 (одно соотношение), а на теле—три уравнения, связывающие параметры в точках Н и z = u, 1, 2, 6, 9, 10.
Итак, имеем
[(1—3v) ин+= е4.
В явном виде при v = 0
+ Pi-2Ро + РС {^+«24-cV1-
У 1 + Р1 + рз L 4 г
-Рз(^4^ + ^— ^о + ф^ + ф]}, 1- = 5, 6, (5.38)
«/г + РЛг = + “-ф + Ра v0 + Т (Л 4- Ш, (5.39)
+ Рз^ = + Рз^о + т (Л + Рз/=з). (5.40)
447
Координаты точек i (i = 0, 1, 2, 5, 6, 9, 10) определяются соотношениями (связь £2 с t, st, s2, s3 дана в (5.23))
U = i = 0, 1, 2, 5,
Д|2. = 0, i = 0, 1, 2, 9,
At _[₽2—(—1)' eV 1+Р1 + Рз]т (/?-rT)//2
6, 9, 10, 10,
i = 5, 6.
Выражения для S1i=si; и ?3,-=s3; берем из (5.36).
2. Вернемся к постановке задачи об обтекании стационарным сверхзвуковым потоком затупленных тел. Течение вблизи затупления рассчитывалось в нестационарной постановке в области, ограниченной ударной волной, поверхностью тела и некоторой плоскостью z=const, полностью лежащей в сверхзвуковой области течения. В качестве начальных данных задавалась достаточно произвольная форма ударной волны (в расчетах это был параболоид), некоторое распределение параметров по телу (например, осесимметричный поток на теле с линейным распределением скорости вдоль образующей) и линейное распределение параметров между телом и волной.
Счет проводился по слоям Z=nr=const, при этом газодинамические параметры р, и, v, w, А определялись в узлах равномерной сетки £i=const, ?2=const, B3=const (см. (5.23)).
Для внутренних узлов расчетными формулами являются соотношения (5.35), а также выражение
+ Ро)/Р, (5.41)
которое получается из конечно-разностной аппроксимации уравнения энергии (5.20). Уравнение (5.20) записано вдоль траектории частицы, т. е. в характеристической форме, и поэтому в предыдущих выкладках не участвовало.
Для расчета точек ударной волны с уравнением s2=/?(Z, slt s3) используются обычные соотношения на скачке уплотнения (5.21), уравнение (5.38) при i=5 и два геометрических соотношения, получаемых из условия независимости порядка дифференцирования функции R(t, Si, s3), т. е., согласно [29], из
d2R _ &R &R d2R dt dst dsj dt ’ dt ds3 css dt '
Параметры точек, принадлежащих поверхности тела с уравнением s2=/'t(Si, s3), рассчитываются по формулам (5.38) при i=6, (5.39), (5.40), (5.41). К ним следует добавить условие непротекания (5.22).
На поверхности z=const (замыкающей рассчитываемую область) счет ведется так же, как внутри поля, так как все 7 точек (i=0, 1, 2, 5, 6, 9, 10) на слое /=пт лежат внутри рассчитываемой области. Следует заметить, что возникающие в системе (5.17) из-за выбора системы координат особенности (например, при 0=0 в сферической системе координат 0, гс, ф) устранялись переходом в окрестности «координатной» осо-
448
бенности к другой системе координат, не имеющей особенностей в этой области.
Так определяется в процессе установления стационарное решение вблизи носка затупленного тела (при >-оо, т. е. практически после достаточно большого числа шагов по времени — обычно порядка 600). Приняв теперь «установившиеся» параметры на ограничивающей рассчитываемую область плоскости z=const в качестве начальных данных, далее рассчитываем течение около боковой поверхности тела, используя обычную стационарную постановку задачи и стационарный вариант сеточно-характеристического метода.
Ниже приведены в качестве примера соответствующие разностные соотношения для расчета точек внутри поля течения в случае трехмерных стационарных уравнений газовой динамики.
Выберем в качестве независимых переменных цилиндрические координаты г, гц, <р, а за искомый вектор и возьмем вектор-столбец с компонентами р, ц, £, где р—давление, q = tgyl, £ = tgy2— параметры вектора скорости, определяемые соотношениями V — = V {cos Yj cosy2, siny1cosy2, siny2[. Сделаем еще переход к местной декартовой системе координат
_ V _ 1 дег _ дег е1— У У — cosy2 f ’
связанной с вектором скорости V.
Тогда исходную систему уравнений газодинамики в системе координат c\, е2, с3, приведенную в [30], можно записать в виде (5.17):
Здесь
L<?i
»( + ЛИх, + Л2Иха =/•
(5-42)
VT] vL
о
•2
о
'0 о
,ф(1-Н2) о
~ег \р'
1/(Ф /м2—1 /Т+Тр /1-|_ ^) о о
о 1/(ф(М2-1)(1 + £2))
0 0 о
ttx = х2
VP" vn vL
4 =
Ux =
г 3
f 3 е 3
о '
о о -
1/(ф (м2— 1) /1 +ц2 /Гн2)
С2 /1+///Т+Р
-ц£К1 + £7К1+'п2
Ф (Р> ^) = 1/(р^2), Р—плотность, Л—энтальпия, М—число Маха. В систему (5.42) не входит уравнение энергии (его аппроксимацию рассмотрим позднее).
Проделав все необходимые преобразования, как это сделано с уравнением (5.17), получим окончательные разностные уравнения, выражающие искомые параметры во внутренней точке через их значения на
449
предыдущем слое:
[а0—е0 (ах—а2)/(е1—е2)—с0 (а3 —а4)/(с3— с4)]ря =
= ео (^1 — -z)/(ei ег) со (^з ^<)/(сз с<) 4"^ (/l3),
(ej—е2) Лн = (aie2~<>й) рн + ^2е— S4e2—vhzele2 (&—Q 4-0 №), (5,43) (С3 С4) (й3С3 ^4^з) pH 4" ^4^3 ^3^4 '’^Z^'3^'4 (Лз 1Ъ)4-0 (Нг),
где ау., Cj, ej, Sy. известным образом выражаются через параметры на предыдущем слое.
К уравнениям (5.43) следует добавить еще одно соотношение, например для энтальпии, выполняющееся вдоль линии тока:
Л/у = ^о4-(Ря—Р»)/Р4-О (^23). (5.44)
Заметим, что соотношение (5.44) совпадает с ударной адиабатой, если брать
1/р = (1/Ро4-Vp//)/2. (5.45)
Поэтому при численных расчетах использовалась формула уравнения энергии (5.44) с тем, чтобы можно было считать без выделения по крайней мере слабые внутренние скачки уплотнения. При линейной интерполяции члены второго порядка точности, которые явно выделены в уравнениях (5.7), носят диссипативный характер. Если в (5.44) вычислять р по формуле (5.45), то в уравнение энергии также войдут диссипативные члены с соответствующим знаком.
В соотношения (5.43) входят параметры в точках пересечения бихарактеристик и линий тока с предыдущим слоем z=const, а при v^=0 — также смешанные производные от т], £. Поэтому при v=^0 для их определения необходимо рассмотреть по крайней мере одну дополнительную точку (не лежащую на прямых x^const, x2=const), чтобы можно было вычислять соответствующие смешанные производные. При v=0 необходимое число точек уменьшается, и оно определ я-е т с я способом интерполяции, выбор которого зависит от характера поведения искомого решения.
§ 5. Решение многомерных задач газовой динамики сеточно-характеристическим методом
По изложенным выше схемам были рассчитаны поля течения около ряда затупленных тел вращения различной формы. Геометрия тел и принятые системы координат показаны на рис. 5.1. Ниже приведены некоторые результаты расчетов сверхзвукового обтекания сферы, цилиндра с плоским торцом, тела типа «Аполлон», круговых конусов (в том числе с большими углами раствора и изломами образующей), а также дается пример расчета течения в кольцевом сопле заданной геометрии.
1. Основные свойства сеточно-характеристического метода изучались на задаче расчета пространственного сверхзвукового установившегося течения на боковой поверхности затуплен-
450
них конусов. Для этой задачи накоплено большое количество результатов, полученных различными численными методами (см. [311 и др.).
Расчеты показали, что параметры на теле и ударной волне вычисляются с ошибкой 1—2% как по схеме I, так и по схеме II сеточно-характеристического метода. При этом схема I требует по сравнению со схемой II примерно в четыре раза больше узлов для получения той же степени точности. Но схема второго порядка дает колебания («рябь»)
3) U)
Рис. 5.1. Геометрия рассчитываемых тел и принятые системы координат.
около некоторой усредненной кривой, особенно заметные при расчете профилей газодинамических функций в областях с резким изменением параметров и с разрывами производных.
Наиболее характерным в этом отношении является пример, изображенный на рис. 5.2. Здесь показаны профили давления р в разных меридиональных плоскостях ср=const на расстоянии 5 радиусов от затупления для притупленного по сфере конуса с полууглом раствора 10°, обтекаемого потоком совершенного газа с показателем адиабаты х=1,4 при числе Маха М„=6 и угле атаки а=5°. Здесь и всюду в этом параграфе давление отнесено к величине Сплошными линиями показаны результаты расчета по прямой схеме метода характеристик [32], крестиками и кружочками указаны данные расчета соответственно по схемам I и II сеточно-характеристического метода.
Видно, что если метод [32] четко выделяет изломы (они возникают из-за разрыва кривизны в точке сопряжения конуса со сферой), то се-
451
точно-характеристический метод сглаживает эти изломы, причем схема I делает это монотонно, а схема II — с заметными колебаниями.
Рис. 5.2. Профили давления в плоскости г=5 для притупленного по сфере конуса (полуугол раствора конуса 01=1О°, Мте=6, х=1,4, а=5°): кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют меридиональным плоскостям <р=0°, 54°, 90°, 126°, 180° (--- прямая
схема [32]; X X X X сх-метод первого порядка; о о о о сх-метод второго порядка).
Аналогичная картина наблюдается также при расчете сквозным образом областей разрывов функций. Для проверки возможности
применения сеточно-характеристического метода к сквозному счету
разрывных решений рассматривались разные задачи. Два примера
таких расчетов [33] приведены на рис. 5.3, 5.4.
На рис. 5.3 показаны Гкартина течения и распределение давления р по
Рис. 5.3. Картина течения и распределение давления по поверхности двухступенчатого конуса (М«,=3, х=1,4, а=0°):-------------сх-метод первого порядка; —--------
расчет [34] с выделением внутреннего скачка.
Рис. 5.4. Картина течения и распределение давления по поверхности плоского тела с вогнутой образующей (М0О=5, х= 1,4, а=0°): 1 — положение головной ударной волны; 2 — положение «висячего» скачка уплотнения; 3 — распределение давления (---------сх-метод первого порядка; -------- расчет [34] с выделением висячего
скачка).
поверхности тела двухступенчатого конуса при Моо=3, х=1,4. Внутренний присоединенный скачок рассчитывался сквозным обра-
452
зом по схеме 1. Сплошными линиями даны результаты из [34]. На рис. 5.4 приведены картина течения около плоского тела и распределение давления на теле при Моо=5, х=1,4. Здесь головная ударная волна 1 выделялась при расчете, а «висячий» скачок уплотнения 2 получен сквозным образом. Верхняя кривая 2 изображает точное положение скачка.
Рис. 5.5. Картина течения около цилиндра с «юбкой» (М0О=6, х=1,4, а=10°).
2. Примеры расчета пространственного обтекания тела с изломом образующей приведены на рис. 5.5, 5.6. Рассчитывалось при М„=6, а=10° (х=1,4) обтекание затупленного по сфере цилиндра с конической «юбкой». На рис. 5.5 показана картина течения около тела, где четко видна область взаимодействия внутреннего скачка (он
Рис. 5.6. Профили давления в плоскости симметрии течения около цилиндра с «юбкой» (наветренная сторона, <р=0°, М ., —6, х=1,4, а=10°): кривые 1, 2, 3, 4, 5, б соответствуют сечениям г=8, 7, 16, 4, 3, 2 (• • • • данные А. В. Антонца).
условно нанесен линией по максимальным градиентам давления) с основным, который в расчетах выделялся. Внутренний скачок размазы-вается схемой на 2—3 шага по координате
гц-гт(г)
(г''’
453
о чем свидетельствует рис. 5.6, на котором показаны профили давления в меридиональной плоскости ср=О° при различных значениях координаты z. Здесь точки — данные А. В. Антонца, полученные с выделением
внутреннего скачка.
Относительно применения сеточно-характеристического метода для сквозного счета разрывных течений следует заметить следующее. Рас
четы показали, что не слишком сильные разрывы могут быть получены по схеме I сеточно-характеристического метода. Эта схема не является дивергентной, однако в случае сверхзвуковых течений в нее входят давление и углы наклона вектора скорости (см. (5.43)), которые определяются независимо от уравнения энергии. При этом входящие в схему коэффициенты зависят в основном от местного числа Маха и во многих задачах меняются сравнительно слабо.
Уравнение энергии используется здесь в форме (5.44), (5.45), так что диссипативный член при наличии скачка уплотнения дает условие Гюгонио для связи давления и энтальпии. Если необходимо пройти сквозным образом сильные разрывы, например головную ударную волну, то следует (для повышения точности) использовать уже дивер-
гентные схемы сеточно-характеристического метода.
3. Как известно, многие задачи газовой динамики требуют о д н о-
Рис. 5.7. Характер установления давления р и отхода ударной волны 8 при обтекании сферы равновесно диссоциирующим воздухом (М0О=8, /«,=2,43 км/с, а=0°): --------отход s=R(t, 0)—rT(0) (1—0=90°; 2 —0=0°); ----- давление р (3— тело, 0=0°; 5 — тело, 0=90°; 4 — ударная волна, 0=0°; 6— ударная волна, 0=90°).
1,0 '
Рис. 5.8. Картина течения около сферы (х=1,4): -----положение ударных волн!
-------— положение звуковых линий; 1, 2 соответственно М0О=3 и М0О=Ю;
• ••• данные [35]; XX XX данные [12, 36].
временного расчета областей дозвукового и сверхзвукового стационарного течения. Для того чтобы сделать возможным применение сеточно-характеристиче ского метода к таким задачам, можно ввести новую независимую переменную t так, что уравнения всюду станут гиперболическими и реше
454
ние при /-->оо даст решение исходных уравнений. Для уравнений газовой динамики это сравнительно просто сделать, вводя, например, физическое время Л Именно таким образом решались сеточно-характеристическим методом стационарные задачи обтекания сферы, цилиндра с плоским торцом, сегментально-конических тел, сильно затупленных конусов и прямая задача о течении в сопле.
Задача о сверхзвуковом обтекании сферы потоком совершенного газа (х=1,4) была выбрана в качестве модельной, и на ней изучались основные свойства схемы I: точность, устойчивость, влияние размера
Рис. 5.9. Влияние формы затупления на распределение давления по лобовой поверхности тел (х=1,4, а=0°): 1 — торец, М«,=4,1; 2 — тело типа рис. 5.1, и; 3—5 — сферическо-коническое затупление (типа рис. 5.23—5.25), Мсо=15, радиус тороидального скругления 0,005, радиус сегментального затупления г0 и полуугол раствора конуса 0О (3 — го=О,6, 0о=7О°; 4 — го=0,6, 0о=6О°; 5 — го=0,7, 0О= =50°); 6, 7—сегментальное затупление (типа рис. 5.14), М„=2—20, угол лобового сегмента 0О, радиус лобового сегмента г0 и радиус тороидального скругления (6 — 0О»42°, г0=2,56, гг= =0,113; 7 —0о=6О°, го=0,6, Г1« «0,05); 8 — сфера, М<х>= 10 (ДДДД эксперимент для торца, 1^00=4,1; • • • • расчетные данные для сферы, М«,= 10 [35]).
сеточных шагов, скорость установления и др. Расчеты показали, что, например, на сетке 21 х21 требуется до 500 шагов по времени, чтобы получить параметры с 4—5 не меняющимися во времени знаками. При более грубой сетке установление наступает быстрее. Характер установления параметров течения иллюстрирует рис. 5.7, где показано установление давления и отхода ударной волны в случае обтекания сферы при числе Моо=8, V00=2,43 км/с с учетом равновесной диссоциации.
На рис. 5.8 показана установившаяся картина течения около сферы при М0О=3, 10. Линейные размеры отнесены к радиусу сферы. Приведено положение отошедших ударных волн и звуковых линий. Там же точками и крестиками нанесены данные из [12, 35, 361; как видно, совпадение вполне удовлетворительное. Отличие в отходе ударной волны не превышает 2% при расчетах на сетке, имеющей 11 точек поперек Ударного слоя и 21 точку вдоль тела. Об этом свидетельствует и распределение давления на теле (отнесено к давлению торможения рот), показанное на рис. 5.9 (кривая 8). Здесь также точки — данные [35].
Пример расчета существенно более сложного течения приведен на рис. 5.10, 5.11. На рис. 5.10 показана картина течения при сверхзвуковом стационарном обтекании цилиндра с плоским торцом под
455
нулевым углом атаки при М0О=4,1. Приведенное на рис. 5.11 распределение давления на теле, а также профили давления (рис. 5.12) показывают, что схема должным образом реагирует на имеющуюся в течении особенность (угловая точка с сильным течением разрежения в ее окрестности). Заметим, что в расчетах эта особенность не в ы д е-л я л а с ь, т. е. проводился счет сквозным образом, хотя в данном случае можно было воспользоваться каким-либо асимптотическим решением. Однако далеко не всегда такое решение известно, и здесь проверялась принципиальная возможность сквозного счета таких течений.
Рис. 5.10. Картина течения около цилиндра с плоским торцом (Моо=4,1, х= 1,4, а=0°).
Рис. 5.11. Распределение давления, отнесенного к давлению торможения, по поверхности цилиндра с плоским торцом (М0О=4,1, х=1,4, а—0°).
Программа для ЭВМ БЭСМ-6, основанная'на предложенном выше методе, была использована В. Б. Пироговым для рачета течения газа (х=1,4) в кольцевом сопле заданной геометрии. Использовалась прямая постановка задачи: при определенных начальных (одномерная гидравлическая теория) и краевых условиях (на внешнем и центральном телах — условия непротекания, слева — равномерный поток с расходом на выходе сопла) решались полные уравнения газодинамики (5.17) в области между внешним и центральным телами.
На рис. 5.13, иллюстрирующем один из таких расчетов, компонента скорости и (вдоль оси?) отнесена к критической скорости звука скр, давление — к величине Ркрскр(ркр— критическое значение плотности). Здесь показано распределение давления и продольной составляющей скорости вдоль внешнего и центрального тел. В области, прилегающей к центральному телу, течение несколько затормаживается, а затем в районе критического сечения происходит довольно быстрое ускорение и переход через скорость звука.
4. Промежуточное положение между рассмотренными двумя случаями (сфера и цилиндр с плоским торцом) занимает течение около тел сегментально-конического типа (см. рис. 5.1)-456
Пространственное сверхзвуковое обтекание сегментально-конических тел рассматривалось в [37, 38] и других работах.
В работе [37] имеются данные по сверхзвуковому обтеканию под углом атаки капсулы космического аппарата «Аполлон», причем использовалась нестационарная постановка задачи. Ряд результатов, в частности вопрос о перемещении звуковой поверхности с наветренной стороны на боковую поверхность тела при тех углах атаки, которые рассматривали авторы, представляется сомнительным. В работе
Рис. 5.12. Профили давления при обтекании цилиндра с плоским торцом (М0о=4,1, х= 1,4, а=0°): кривые 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 соответствуют значениям координаты 0=0°, 22°30', 40°30', 45°, 49°30', 54°, 69°, 76°30', 90°.
Рис. 5.13. Картина течения и распределение параметров по верхней и нижней поверхностям кольцевого сопла (z=l,4): 1 — распределение продольной компоненты скорости; 2 — распределение давления (-------верхняя граница;------------нижняя
граница).
[38] приведены результаты расчетов (в стационарной постановке) обтекания семейства тел сегментальной формы, поверхности которых аппроксимировались аналитическими выражениями. Рассмотрен случай больших сверхзвуковых скоростей, при этом приближенно учитывалось влияние физико-химических процессов. В трансзвуковой области применялся метод прямых [36], а течение около боковой поверхности рассчитывалось по схеме [39].
Остановимся теперь несколько подробнее на результатах расчетов сеточно-характеристическим методом обтекания затупленного тела малого удлинения, геометрия которого близка к геометрии известного спускаемого аппарата «Аполлон» (форма тела показана на рис. 5.14, 5.15).
В области, включающей зону смешанного течения, расчеты проводились в нестационарной постановке в сферической системе координат 0, гс, ср, связанной с декартовой х, у, z (рис. 5.1, 5.8, 5.10) соотношениями
х = rc sin 0 cos ф, у = rc sin 0 sin ф, z =—rccos0.
, 15 о. М. Белоцерковский 457
Координата z отсчитывается от сечения с максимальной площадью. Для нулевого угла атаки была выбрана сетка с 11 точками поперек ударного слоя и 21 точкой вдоль тела (равномерная по координатам 0 и £ = [гс—гт (0)]/[7? (9, ф) — гт (0)])- Некоторые варианты просчитывались на сетке 21x41. Это обеспечивает точность не ниже
1 — 2% всюду вне области малого скругления, о чем свидетельствует локальный контроль точности по интегралу Бернулли, энтро-
пийной функции на теле, а также сравнение ний на разных сетках.
Расчеты под углом атаки проводились на более грубой сетке 6x11x11 (6 точек поперек ударного слоя). По параметрам
результатов вычисле-
Рис. 5.14. Влияние числа Маха и свойств газа на осесимметричную картину течения около сегментально-конического тела (угол лобового сегмента 0(у~42°, радиус сегментального затупления г0=2,56, радиус тороидального скругления /1 = 0,113, полуугол раствора обратного конуса 01=33°, х= 1,4, а=0°): 1 — Мм=2; 2 — М«,=6; 3 — Моо=20; 4 — равновесный воздух, Мк,= 16,4, У„ = 5 км/с; 5 — равновесный воздух, Мет=23,5, Уоо=7,5 км/с (-------положение ударных волн;------------поло-
жение звуковых линий).
Рис. 5.15. Влияние угла атаки на картину течения около сегментально-конического тела в плоскости симметрии потока (угол лобового сегмента 0О~42°, радиус сегментального затупления г0=2,56, радиус тороидального скругления /1=0,113, полуугол раствора обратного конуса 01=33°, М.,=6, к=1,4): 1 — а=25°; 2— а=20°; 3 — а=10° ( положение ударных волн;-----------------положение звуковых линий
(сечений у=0 звуковых поверхностей)).
установившегося поля течения выдавались данные на слое z = 0, которые служили начальными данными для расчета течения около боковой поверхности. Расчеты проводились сеточно-характеристическим методом в стационарной постановке в цилиндрической системе координат z, га, ф на сетке 21x11 (21 точка по координате £ц).
В случае нулевого угла атаки варьировалось Мм (М0О = 2; 5; 6; 16,4; 20; 23,5) набегающего потока (х=1,4), а при М0О = 6 изменялся также угол атаки а (а= 10°, 20°, 25°). В вариантах с М0О=16,4 (1/^ = 5 км/с) и Моо = 23,5 (У^ = 7,5 км/с) учитывались равновесные
458
физико-химические процессы. При этом использовалась аналитическая аппроксимация термодинамических величин, взятая из [40].
Для указанных условий обтекания на рис. 5.14, 5.15 показано влияние чисел Маха, реальных свойств газа и углов атаки на картину течения около тела. Приведено положение ударных волн и звуковых линий; в пространственном случае картина течения дана в плоскости симметрии потока z/=0. Как всегда при учете равновесных физико-химических процессов, ударный слой получается значительно тоньше, чем в соответствующем замороженном случае. Следует отметить, что в пределах точности расчетов звуковая точка на теле (сечение у=0, наветренная сторона) для рассматриваемых углов атаки от а=0° до а=25° лежит на сопряжении лобового сегмента с тороидальным скруглением.
Рис. 5.16. Влияние числа Маха, угла атаки и свойств газа на распределение давления в плоскости симметрии течения по лобовой поверхности сегментально-конического тела (0О«42°, г0=2,56, Гт = 0,113, 01=33°, и=1,4): 1 — равновесный воздух, М0О=23,5, Vo„=7,5 км/с, а=0°; 2 — равновесный воздух, М»=16,4, Кэ0=5 км/с, а=0°; 3 — М„=2ч-20°, а=0°; 4—М<х>=6, а=10°; 5 — Моо=6, а=20°; 6 — М0О=6, а=25°.
Приведенное на рис. 5.16 распределение давления в плоскости симметрии течения (отнесенного к давлению торможения рОт) показывает, что в осесимметричном случае зависимость от числа Маха несущественна при х = const (кривая 3). При учете рвновесных физико-химических процессов (когда эффективное х уменьшается) кривые для разных М„ (штриховая линия на рис. 5.16 — М0О=16,4, К, =5 км/с; штрих-пунктир — М„=23,5, /„=7,5 км/с) отличаются друг от друга и с ростом М„ становятся ближе к распределению давления по Буземану. Более подробно влияние угла атаки на распределение по лобовой поверхности тела давления и окружной компоненты скорости w (в сферической системе координат) показано на рис. 5.17, 5.18.
Одновременно с расчетом полей течения рассчитывались суммарные аэродинамические характеристики сегментально-конического тела. На рис. 5.19—5.22 для различных чисел Маха и углов атаки приведено распределение коэффициента осевой 15* 459
Рис. 5.17. Распределение давления по лобовой поверхности сегментально-конического тела (Oo~42°, r0=2,56, rz= =0,113, 01=33°, М0О=6, х=1,4): кривым 1,2,3, 4, 5, 6, 7 соответствуют значения координаты г=—0,271, —0,227, —0,008, —0,269, —0,218, 0,053, —0,120 (----а=25°;-----------
а=20°;-------------а=10°).
Рис. 5.18. Распределение окружной компоненты скорости по лобовой поверхности сегментально-конического тела (0о«42°, r0=2,56, ri= =0,113, О^ЗЗ0, М^=6, Х= = 1,4): кривым 1, 2, 3, 4, 5,6 соответствуют значения координаты z=—0,271, —0,227, —0,008, —0,269, —0,218, 0,053(-----а=25°;----------
а=20°;-------------а=10°).
Рис. 5.19. Влияние числа Маха, угла атаки и свойств газа на коэффициент осевой силы сегментально-конического тела (0О~42°, г0=2,56, г1=0,113, 01=33°, х=1,4): 1 — М„=6, а=25°; 2 — М„=6, а=20°; 3 — М„=6, а=10°; 4 — М„=5, а=04; 5 — М„=6, а=0°; 6 — равновесный воздух, М„=16,4, V„=5 км/с, а—0°; 7 — равновесный воздух, Ми,—23,5, Р«,=7,5 км/с, а=0°.
Рис. 5.20. Влияние угла атаки на коэффициент нормальной силы сегментальноконического тела (0о~42°, r0=2,56, r1=0,113, 01=33°, М„=6, х=1,4): 1 —а=25°; 2 — а=20°; 3 — а=10°.
Рис. 5.21. Влияние угла атаки на коэффициент момента сегментально-конического тела (0О~42°, r0=2,56, /i=0,113, 01=33°, М„=6, х=1,4): 1 — а=25°; 2 — а=20°;
3 — а=10°.
Рис. 5.22. Влияние угла атаки на коэффициент качества сегментально-конического тела (0О=42°, r0=2,56, ri=0,113, 01=33°, М0О=6, х=1,4): 1 — а=25°; ? — а=20°;
3 — а=10°.
силы Ст (рис. 5.19), коэффициента нормальной силы CN (рис. 5.20), коэффициента момента т2 (рис. 5.21) и коэффициента качества k (рис. 5.22).
Аэродинамические коэффициенты определялись следующим об разом: ГЛ Z л
Ст = -^- J r^dry J dtp, CN = ^- гт (z) dz J Ср cos cpdcp,
0 0 -0,28 о
Z л
= гт (г) (г + 0,28 + гт (г) r+ (z)) dz cos cprfcp,
-0,28 0
C? = 2(p-pJ/(p^).
5. Сверхзвуковое обтекание тел типа рис. 5.1,з проиллюстрировано на рис. 5.23—5.29. В этих расчетах варьировались форма затупления, угол атаки и показатель адиабаты х = 1,4; 1,3; 1,2. Число Маха выбрано достаточно большим (Моо= 15; 18).
Рис. 5.23. Влияние показателя адиабаты на картину течения около цилиндра со сферическо-коническим затуплением (радиус сферической части затупления го=О,6. полуугол раствора конической части затупления 9о=7О°, радиус тороидального скругления rj— 0,005, а=0°): 1 — М„=15, х=1,4; 2 — М„—18, х=1,3; 3— М„о== = 15, х=1,2 (------положение ударных волн;-----------положение звуковых ли-
ний).
Рис. 5.24. Влияние показателя адиабаты на картину течения около цилиндра со сферическо-коническим затуплением (радиус сферической части затупления го=О,6, полуугол раствора конической части затупления 9о=6О°, радиус тороидального скругления >1—0,005, а=0°): 1 — М„=15, х=1,4; 2 — М„о=18, х=1,3; 3— М«,= = 15, х= 1,2 (----положение ударных волн;----------положение звуковых линий).
Типичные картины течения и геометрии тел даны на рис. 5.23— 5.27. В качестве затупления был выбран сферический сегмент радиуса го=0,6, гладко сопряженный с конусом (полуугол раствора конуса 462
0о=7О° — 50°). Последний через тороидальное скругление радиуса /уяйО.ООб гладко сопрягается с цилиндрической частью тела радиуса 1. Показано влияние угла конусности 0О, показателя адиабаты х и угла атаки а на положение ударных волн и звуковых линий в плоскости симметрии течения.
Рис. 5.25. Влияние показателя адиабаты на картину течения около цилиндра со сферическо-коническим затуплением (радиус сферической части затупления го=О,6, полуугол раствора конической части затупления 0о=5О°, радиус тороидального скругления /д—0,005, М„о=15, а=0°): 1 — х=1,4; 2 — х=1,1 (-------- положение
ударных волн; —--------положение звуковых линий).
Рис. 5.26. Картина течения в плоскости симметрии потока около цилиндра со сферическо-коническим затуплением (радиус сферической части затупления го=О,6, полуугол раствора конической части затупления 0о=7О°, радиус тороидального скругления 0,005, М0О=18, х=1,3, а=20°): ------------ положение ударной волны;
---------положение звуковых линий (сечений г/=0 звуковых поверхностей).
Рис. 5.27. Влияние угла атаки и показателя адиабаты на картину течения в плоскости симметрии потока около цилиндра со сферическо-коническим затуплением (радиус сферической части затупления го=О,6, полуугол раствора конической части затупления 0о=6О°, радиус тороидального скругления /д—0,005, М„о=18): 1—х= = 1,3, а=20°; 2 — х=1,4, а=10° (-------- положение ударных волн;------------по-
ложение звуковых линий (сечений г/=0 звуковых поверхностей)).
Для этих тел интересно проследить изменение осесимметричной картины течения при уменьшении угла конусности 0О и показателя адиабаты х.
Если для тела с углом раствора конуса 20о=14О° при довольно широком диапазоне изменения параметра х (а=0°) наблюдаются в целом обычные картины течения и распределения давления на теле, то с уменьшением значений 0О и х картина резко меняется. В случае 0о=6О°, х=1,2 и 0о=5О°, х=1,4 (рис. 5.24, 5.25) звуковая линия становится
463
сильно вытянутой и почти параллельной телу, причем ближе всего к телу она подходит в области сопряжения сегмента и конуса. В этих вариантах наблюдается перегиб ударной волны около конической поверхности (в сверхзвуковой области), а также немонотонность в распределении параметров вдоль ударного слоя.
Рис. 5.28. Влияние полуугла раствора конической части затупления 0О и показателя адиабаты ае на распределение давления, отнесенного к давлению торможения, по поверхности сферическо-конического затупления (rj—0,005, а=0°): 1 — го=О,6, 0о=7О°; 2 — rQ= =0,6; 0о=6О°; 3 — го=О,7, 0»=5О° (------ М0О=15, х=1,4;------------
Моо=18, х=1,3;------------Моо=15,
х=1,2; ХХХХ М0О=15, х=1,1).
В частности, как видно из рис. 5.28, на котором приведено распределение давления на теле при различных значениях параметров 0О и х, при х<1,3 и 0^60° имеется минимум давления в области сопряжения сегмента с конусом. Если для таких тел рассмотреть асимпто
Рис. 5.29. Распределение давления в плоскости симметрии течения, отнесенного к давлению торможения, по поверхности сферическо-конического затупления (г0= =0,6): 1 — М„=15, х=1,4, а=0°, 0о=6О°, ^«0,005; 2М0О=15, х=1,4, а=10°, 0о=6О°, п«0,005; 3 — М„=18, Х=1,3, а=20°, 0о=6О°, ^«0,005; 4 — Моо=18. х=1,3, а=20°, 0о=7О°, 0,005.
тическую формулу Буземана (х->1), то в точке сопряжения сегмента с конусом должен быть разрыв в давлении — от соответствующего значения на сегменте до значения на конусе (совпадающего с давлением на конусе по Ньютону). Это связано с тем, что на конической части те
464
ла исчезают центробежные силы, присутствующие в формуле Буземана. С уменьшением 0О и х промежуточный максимум давления на теле смещается к кромке. Переход к сверхзвуковому течению около конической части тела осуществляется касанием звуковой линии с телом в области сопряжения сегмента и конуса. В частности, при 0о=5О°, х= = 1,1 течение около конической части тела уже полностью сверхзвуковое.
Влияние угла атаки а(а=0°, 10°, 20°) и угла конусности 0О на картину течения и распределения давления по сферическо-коническому затуплению показано на рис. 5.26, 5.27, 5.29. Данные приведены в плоскости симметрии течения.
На рис. 5.9 приведены распределения давления при различных формах затупления (типа рис. 5.1, д — и) от сферического (кривая 8) до плоского среза (кривая 1).
С помощью описанного здесь метода был решен широкий класс задач обтекания тел сложной геометрической формы с учетом реальных свойств газа в ударном слое: неравновесных физико-химических процессов [41], излучения [42—44], нестационарных задач [45—47] и др.
§ 6. Численное моделирование некоторых задач лазерного сжатия оболочек
Для численного исследования задач, содержащих сравнительно небольшое число особенностей (разрывов), которые заранее можно выделить с постановкой на них соответствующих граничных условий, достаточно эффективными являются недивергентные схемы (например, рассмотренные в §§ 2—5 схемы сеточно-характеристического метода). Приведенные выше примеры численного решения различных задач обтекания тел показывают, что таким образом может быть смоделирован достаточно сложный класс течений и с необходимой точностью получены важные для практических приложений результаты. Вместе с тем во многих случаях подобный подход реализовать довольно трудно и предпочтительнее становится проводить сквозной счет, без выделения возникающих разрывов. В настоящем параграфе рассмотрен другой класс задач — численное моделирование процессов взаимодействия лазерного излучения большой мощности с веществом применительно к проблеме управляемого термоядерного синтеза.
За последнее десятилетие достигнут значительный прогресс в изучении проблем, связанных с лазерным термоядерным синтезом (л. т. с.). Существующее состояние исследований достаточно подробно обсуждается в литературе. Сошлемся, к примеру, на сборники [48, 49] и обзорные работы [50, 51J.
При подходе к этой проблеме с позиций численного анализа возникают два основных вопроса. Во-первых, это адекватность используемой математической модели исследуемому процессу лазерного микровзрыва. В конечном счете, адекватность математического описания требует достаточно ясного и полного представления о характере физических явлений,
465
протекающих при взаимодействии лазерного излучения с веществом мишени. В этой области требуется решить еще целый ряд сложных физических задач, главным образом из физики плазмы. Однако результаты исследований многих авторов свидетельствуют, что существующие математические модели, опирающиеся на сложившиеся к настоящему времени представления о физическом ходе процесса взаимодействия, в основном правильно отражают наиболее существенные черты явления. Это обстоятельство послужило стимулом для проведения многочисленных расчетов, цель которых — получить оценку термоядерного выхода при различных условиях. Отметим, что специфика обсуждаемого процесса взаимодействия (характерное время протекания процессов 10-8 — 10-12 с, пространственный масштаб 10~2 — 10“4 см) не только значительно осложняет экспериментальные исследования, но и предъявляет жесткие требования к алгоритму численного решения соответствующей задачи.
Во-вторых, результаты численного расчета должны быть, в свою очередь, адекватны математической модели, т. е. должны представлять собой достаточно точное решение исходных уравнений.
В настоящее время в соответствующей литературе описано несколько алгоритмов, используемых для численного решения задач л. т. с. в одномерной и двумерной постановке (см. [52—57] и ссылки на методы расчета в [48, 49]). Очевидно, что пополнение числа действующих методов расчета подобных задач весьма желательно, во-первых, из-за большого числа и разнообразия задач, требующих численного решения, во-вторых,— это создает более широкие возможности для сопоставления данных, полученных различными методами. Соответствие результатов, выявленное при сопоставлении, есть, как правило, один из показателей их истинности. Наконец, в вычислительной практике в связи с исследованием различных физических явлений накоплен значительный арсенал численных методов и апробация того или иного из них на тяжелой задаче взаимодействия лазерного излучения с веществом может вскрыть новые, быть может, перспективные возможности метода.
В настоящем параграфе обсуждаются два новых алгорит-м а решения указанной задачи [21]. Один из них довольно близок к методу [52] и опирается на лагранжево описание гидродинамических процессов. Другой — представляет собой модификацию сеточно-характеристического метода [19] (хорошо зарекомендовавшего себя при решении многомерных задач аэродинамики) и использует эйлерово представление уравнений, лежащих в основе математической модели. Несколько нетрадиционный для данных задач выбор переменных Эйлера здесь не является принципиальным. Однако представляется полезным сопоставить эти два подхода.
1. Постановка задачи. При исследовании взаимодействия мощного лазерного излучения с веществом мишени наибольший интерес представляют процессы, протекающие в образовавшейся на начальной стадии взаимодействия плазме.
466
Наиболее полные математические модели рассматриваемой задачи основаны на использовании уравнений магнитной гидродинамики с учетом реальных свойств плазмы (группа уравнений состояний) и большого числа различных физических процессов: поглощение внешнего лазерного излучения, электронной теплопроводности, электрон-ионной релаксации, собственного излучения плазмы, переноса энергии быстрыми электронами, термоядерного выхода и т. д. Уточнение математического описания группы уравнений состояний, а также различных процессов в плазме составляет предмет продолжающихся физических исследований.
В настоящем параграфе используется упрощенная математическая модель, а именно рассматривается поле монохроматического излучения со сферической симметрией и сферические (или близкие к ним) мишени. Из разнообразных физических процессов учитывались основные (первые три из перечисленных выше). Электронная и ионная компоненты плазмы рассматривались как идеальный газ.
В двумерном случае (с учетом сделанных предположений) исходная система уравнений в фиксированной в пространстве ортогональной системе координат 0, г, ср может быть записана в виде [21]
йр ]_ ' д (S23pu) , д (Si3pv) \ _ п
dt "Г А \ 60 “* dr J ’
д (Р«) । 1 fd(S23pu2) д (S13puv) \ . 1 др _ п
dt -г А V 69 дг ) "Г зе ’
+ 5(S^)\ 1 5р=0 5 4(.
dt 1 А \ 30 dr J 1 Нг дг ' '
д (рве) , 1 ( d(S23piief.) д (S18pvee) \
dt А \ 39 "Г dr J "Г
, ре (d(S23u) , d(SX3v)\ , n n n
+ "Г { 69 + ~дГ~ ) + 4s-4t—
6(pe,) , 1 66(S23p/7e,-) , d (Siapusf) \ , dt A V 69 “* dr )
। Pi_ ( d (S23«) . 6 (S13v) \ _ n A \ 69 dr J
Ee = AeTe, ei = AiTi> Pe=(^— Peg, Р/= (x—Ь PeZ,
P = Pe + Pi- (5-47)
Здесь x=const — показатель адиабаты, Ae, Л;=const — удельные теплоемкости при постоянном объеме, геометрические параметры A=Hi Н2 Н3, Si3=HiH3, S23=H2H3 зависят от выбора системы координат и характеризуют элементарный объем и его поверхность, Ни Н2, Н3 — коэффициенты Ламе. Для сферической системы координат с}ра-диальной координатой г, азимутальным углом 0 ^ меридиональным углом ф имеем Н±=г, Н2=\, H3=r sin 0.
467
Для величин Qs, QT, Qei принято следующее описание [58]:
er=-divw—
W = -Y (Те) grad Те = -у (Те) ( ±- ев + ±- ег), (5.48) Y = Vl/2, Qe,. = Qop2Te-3/2 (7\-Т,),
Qs = — div? = — <7 = <7+—<Г.
К = К0Р277 3/г (1-Р/Ркр)~1/2,
где Ркр—критическая плотность. Плотности потока энергии падающего q+ и отраженного q~ от поверхности р (t, 0, г) = ркр лазерного излучения определяются из одномерных уравнений переноса (вдоль направления г)
1
Д дг
±Kq±
(5.49)
с граничными условиями
q+\r=r =qv(t, 0), <7"|р=Ркр = ?+1р=РКр- (5-50)
1 лр лр
В частном случае полного поглощения на слое с критической плотностью имеем
I г q~ = 0, q+ = qF (t, 0) exp ] — j К dr ,
(5.51)
где rF(t, 0)—текущий радиус внешней границы мишени, qr(t, 0)— плотность потока падающего лазерного излучения на границе мишени.
Решение уравнений (5.46) отыскивается в области t 0, 0 ^0^0, 0^г^гг(^, 0) (0 = л/2 или л) при начальных условиях
р (0, 0, г) == р0 (0, г), и, ц(0, 0, г) = 0, Те(0, 0, г) = 7\(0, 0, г) = 7'о(0, г). ’
На внешней границе мишени (граница с вакуумом) требуется выполнение условий
p|r=Cn = 0, flrgrad Г^О, г (5.53)
«г = grad(r—гг(/, 0))/| grad (г—гг)|.
В центре мишени (г=0) и на поверхностях 0=0, 0 в качестве граничных условий используются условия симмметрии. В случае, если мишень является оболочкой с вакуумной полостью, внутренняя граница мише
468
ни до момента «схлопывания» является границей с вакуумом и условия на ней аналогичны (5.53).
2. Лагранжева схема расчета одномерных задач. Опишем алгоритм решения одномерной задачи о взаимодействии лазерного излучения со сферической оболочкой, основанный на лагранжевом представлении уравнений (5.46) [21].
1. В одномерном случае при использовании лагранжевых переменных t, а уравнения (5.46), определяющие принятую математическую модель изучаемого процесса, могут быть записаны в виде
•^- = п, prvdr = f (a) da,
dv ._Iv^ — O
dt 'r f (а) да ’
™ + J_ _L [rvy <p . ю)1+ _L 90s, _L<5-54)
dt f (а) da *• JJT f (a) ,
+ 7^7 (Pi + ®) 4- (rVU) = - Qei
dt / (a) v ' ' da ' 1 p ei
(v = 0,1,2 соответствует плоской, цилиндрической и сферической симметриям). Здесь f (а)—заданная функция; г—эйлерова координата частицы; v—скорость; р—плотность; Е = sev2/2— полная энергия; ее, е;—электронная и ионная внутренняя энергия; p — pe-}-pi—давление; W—поток тепла за счет электронной теплопроводности:
W = — ypr2v —
'г г (а) да
—коэффициент электронной теплопроводности); Qs—поток энергии за счет лазерного излучения:
Qs = — <7(0 ехР
где аг — лагранжева координата внешней границы мишени, р(^) — плотность потока импульса падающего лазерного излучения, К— коэффициент тормозного поглощения:
КоР2/Те/2 оо
при при
Р Ркр>
Р Ркр»
Qei — QoP2^e—T^lT212—обменный член; (о—искусственная вязкость, введенная в уравнения с целью создания механизма дисси-
469
пации, необходимого для реализации численного алгоритма, описанного ниже, в п. 2. Выпишем условия, замыкающие систему (5.54).
Начальные и граничные условия:
р(0, a) = p° = const, Те(0, a) = 7\(0, a) = t»(0, a) = 0,
pe(t, aT) = pi(t, ar) = 0, W (t, ar) = <o(C ar) = 0, W(t, 0)=co(Z, 0) = 0, (5.55)
pe(t,O) = Pi(t, 0) = 0 при r |a=0 > 0,
fe=^ = vl“=“ = ° приГф=о = О.
Приведем также используемую далее «температурную» форму записи энергетических уравнений:
дТе 1 d(rvv) !' dz 1 FcJW'
дТI _ п„ 1 d(rvv) / dzt
dt ( J 4(a) да \ dTi J p’
^+f («)— L
da 11 ' ' p J
(5.56)
где
2. Разобьем область изменения лагранжевой переменной-0 a < аг на К ячеек (частиц) размером ft = аг !К- В момент времени Z = /n = nT (т—шаг по времени) будем соотносить значения Ф = {р, Те, ТI, ре, рА с центром ячеек и обозначать через (£=1,
Рис. 5.30. Шаблон разностной схемы (5.57).
Систему разностных ура ходную систему (5.54), запишем
2, ..., К—номер ячейки слева направо). Значения Чг={г,и, W, будем вычислять для границ ячеек, соответственно обозначая их через (знак плюс для пра-
вой границы, минус—для левой). Кроме того, введем в рассмотрение вспомогательный, промежуточный слой по времени t = t = tn + т? (0 < т„ < т), величины на котором будем отмечать тильдой. Для иллюстрации введенных обозначений на рис. 5,30 изображен фрагмент разностной сетки.
в не ний, аппроксимирующую ис-в следующем виде (ради компакт-
ности верхний индекс у величин на слое t = tn опущен, величины
470
на слое t — tn+1 = tn-[-x отмечены сверху крышечкой):
VkH/2~Vk+l/2 -V + Ц —(P + «)fe
-------- -----— 'fe + 1/2 ----f---Z-------
T Ik+ll2n
1 ,~
^fe+1/2 — (^+1/2 "T^fe+i/a),
-1
fe + 1/2 rfe+l/2 _ ~ ~ ____
------------------— ffe+1/2, Pfe--------
(5.57)
. r VT A - v т A 1 'fe+1/2 'fe—1/2
bl fkh J ’
Ek~E~ = — 7^ {py (P + ®)]fe+1/2 — [rvy (p + co)]fe-1/2} —
Wk+ 1/2 ^fe-1/2 (Qs)fe+ 1/2' (Qs)fe- 1/2
fkh fkh
= _ (‘ Й) (;V^-M/2-(f~V;)fe-l/2 (Qg,)fe .
T 1 fkh Pfe
Здесь (p + ®)fe+1/2 — проекция давления в «полуцелую» точку:
(p + ®)fe+l/2 — Tfe+l/2 = (фй/й + 1 + Tfe + l/feV^/fe+l/a, /fe+1/2 = (/fe 4*/fe + 1)/2,
rfe+l/2=- (TP^’)fe + l/2 ^1+rzOfe, (fe+1/2/1
(Qs)fe-i/2= (Qs)fe+i/z exp { ( f''\ h\,
(Qs)k+i/2 = 7 (fn + T*)-
При известных правых частях, зависящих от величин на вспомогательном слое t = tn-\-x*, соотношения (5.57) дают возможность вычислить искомые параметры на очередном слое t = tn+1.
Для отыскания величин на промежуточном слое используется аппроксимация системы (5.54), в которой последние два уравнения заменяются уравнениями (5.56): ffe + l/2 ffe + l/2 ~
-------------- — Vk +1/2, р —
('4)fe-rg)fe 1 ('Vy)fe+i/2-(^«)fe-i/2
7;--------(P“Jfe^ Дй
(de^-1 ^fe+1/2 ^fe-1/2 I (^s)fe+i/2 (Qs)fe-i/2
“ WTeh L О Г fkh
(Tih-fTih________, , (^0fe + l/2-(^^)fe-l/2 ,
T* l’k fkh + \ OTijk \ p /fe
Наконец, краевые условия, замыкающие системы разностных соотношений (5.57) и (5.58), получаются посредством аппроксимации условий (5.55).
На внешней границе « = «/<+1/2, ^К + 1/2 =®К+1/2 = (ре)к+1/2 = (Pi)k + 1/2 =0.
fkh
-1
kJ
(5.58)
471
На внутренней границе а = а1/2 = 0,
1/2 — ®1/2 — О, (Ре)1/2 = (Д)1/2 = 0 при г1/2>0, (5.59)
(Ре)1/2 = (Ре)1, (Р/)1/2 = (Д')1 ПРИ Й/2 = О.
Расчет начинается от начальных данных
Р* = Р°, М=(Л)? = е, ^+1/2 = 0,
где 8 — малое число, характеризующее начальный холодный фон.
Построенный алгоритм представляет собой схему типа предиктор-корректор. Переход от n-го слоя к (п+1)-му осуществляется в два этапа. Сначала из уравнений (5.58) с привлечением необходимых соотношений из (5.59) отыскиваются величины на вспомогательном слое. При этом в энергетических уравнениях слагаемые, связанные с переносом тепла посредством теплопроводности и обмена, аппроксимируются, как видно, неявным образом (по температурам Те и Т;). Это создает достаточный запас устойчивости, чтобы на втором этапе можно было вычислять окончательные значения параметров на (п+1)-м слое по явной схеме (5.57), (5.59) независимо от обременительного ограничения на шаг т~/г2, которое сопутствует явным схемам для уравнений параболического типа. Однако при расчете данных на промежуточном слое ввиду упомянутой выше неявности приходится использовать прогонку с итерациями по температуре Те.
Не останавливаясь на подробном анализе разностной схемы (5.57)— (5.59), отметим, что она имеет второй порядок точности О (т2, /г2) во внутренних точках сеточной области. В окрестности граничных точек порядок аппроксимации понижается до О(т2, h) за счет несимметричной аппроксимации первого уравнения системы (5.57).
Из формы записи уравнений (5.57) следует непосредственно, что для разностного решения выполняются законы сохранения массы и полной энергии. При выполнении некоторых условий алгебраическим следствием уравнений (5.57) является закон изменения внутренней энергии электронов:
_- (р.+й), _
т fkh
^fe + l/2 ^fe-1/2 (Qg)fe+t/2 (Qs)fe-l/2 / \ •
fkh fkh X P /k
тем самым система (5.57) удовлетворяет условию полной консервативности [59].
Отметим в заключение, что описанный алгоритм весьма близок к методу [52]. В сущности, его можно трактовать как специальный способ организации итераций (при ограничении их числом, равным двум) для получения решения по симметричной неявной схеме [52]. Вычислительная процедура в данном случае, на наш взгляд, более проста, так как здесь нет надобности в последовательных прогонках.
472
Соответствующий анализ на устойчивость, проведенный для модельных уравнений, показывает, что необходимым условием устойчивости является известный критерий Куранта. Однако опыт расчетов показал, что шаг по времени иногда надо брать раза в два-три меньше, чем следует из условия Куранта. В противном случае в окрестности фронта ударной волны появляются нефизические осцилляции численных данных, затрудняющие расчет.
3. Эйлерова схема расчета двумерных задач. Далее опишем несколько иной подход к решению сформулированной в п. 1 данного параграфа задачи, основанный на эйлеровом представлении уравнений (5.46). Здесь также используется тот факт, что в отсутствие некоторых членов в уравнениях энергии (в частности, связанных с электронной теплопроводностью) эта система имеет гиперболический тип и для нее может быть использован сеточно-характеристический метод. Применительно к рассматриваемой задаче метод [19] модифицируется здесь с целью придания ему свойства консервативно с-т и, необходимого для решения сквозным образом задач, содержащих внутри области интегрирования различные особенности (разрывы значительной интенсивности и т. п.) без их явного выделения. Кроме того, в предлагаемой модификации учитывается присутствие в уравнении энергии для электронной компоненты члена (связанного с электронной теплопроводностью), делающего исходную систему уравнений параболической [21].
1. Рассмотрим вначале одномерную квазилинейную систему гиперболического типа
«t-f-B«r4-jf=0. (5.60)
Здесь « — вектор-столбец искомых функций с компонентами их, ... ..., uf, В—квадратная матрица порядка I, элементы которой могут зависеть от t, г и компонент вектора и; f= {Д, ..., fi\ — вектор-столбец правых частей.
Умножая систему (5.60) скалярно на линейно независимые собственные векторы w; матрицы В, определяемые соотношениями wzB = Xzwz или (Вт—Xz£) wz = 0, приведем ее к каноническому виду:
wfuf4-Xzwz«r4-w,/=0, t=l, 2, ..., I. (5.61)
Здесь Xz—собственные значения матрицы В, определяемые из характеристического уравнения Det (В—Х£) = 0; Вт—транспонированная матрица В; Е—единичная матрица.
В силу предполагаемой гиперболичности (5.60) все собственные значения Xz матрицы В действительны и существует базис из собственных векторов wz, т. е. матрица Q = (wz), строками которой являются линейно независимые собственные векторы wz, является неособенной. Тогда матрица В допускает представление B = fi~1AQ, где A = -jXz}—диагональная матрица из собственных значений lz.
Введем в фиксированной в пространстве области интегрирования *>0, О^г^/? такую разностную сетку, например равномерную-
473.
по г с узлами tn = nx (п = 0, 1, ...), rt = (l—l)/i (/=1, 2, L),
что rL^(L—\)h = R, и обозначим, как принято, u1 = u(tn, (рис. 5.31). Аппроксимируем (5.61) односторонними конечно-разностными соотношениями с учетом знаков Х;, т. е. с учетом наклона характеристик dr = Xzd( системы (5.60):
+ № Яг%\~Я? + w,-/=0, 1 = 1, 2, ..., 7. (5.62)
Здесь верхний знак берется при > 0, нижний—при Х;<0, скалярные и векторные коэффициенты X,, wit f можно вычислять
t f
(h1)h
O (M)h
Рис. 5.31. Шаблон разностной схемы (5.62).
в точке \tn, rt\ или осреднять по их значениям в некоторых узлах разностной сетки.
.-«« Вводя обозначения | Л | = (| X,-1), Л+ = 0,5 (Л-ф|Л |), Л" = = 0,5(Л—|Л|), представим (5.62) в векторной форме:
12 («?+1 —«?)—оЛ+й —«?) 4-оЛ_й(«/,!+1—«?)4-тй/=0, а = т//г.
(5.63)
Из (5.63), учитывая, что матрица Q неособенная, получим окончательные разностные соотношения для вычисления й"+1, например, в виде [21]
Unt+1 = Ut — вВ (tti+ ,/2) — т/ +
4-0,5оЙ_1|Л |fi (Ui-l—+ (5.64)
И;±1/2 = 0,5 (w"±i + й”).
Здесь явно выделен член (последний), обеспечивающий устойчивость разностной схемы при выполнении условия Куранта—Фридрихса— Леви:
т h (шах | X,-1)-1. (5.65)
По существу, в исходную систему (5.60) вводится пропорциональный h дополнительный член вида
Curr, С = 0,5Ю-1|Л|Й, (5.66)
который обеспечивает монотонное сглаживание разрывных решений, но одновременно является дополнительным (нефизическим) источником массы, импульса и энергии разностного происхождения (если речь идет об уравнениях механики сплошной среды).
Эта явная схема первого порядка точности [20] и ее обобщение на многомерный случай [19] при выполнении условий (5.65) для сим-
474
метричной матрицы В принадлежат к классу положительно определенных по Фридрихсу [601 разностных схем. Положительная (точнее, неотрицательная) определенность этой схемы видна из следующего эквивалентного (5.64) представления:
««+1=(£—оЙ-1|Л|Й) «?+<тЙ-1Л+Й«?_1— т/. (5.67).
При решении сквози ымобразом нелинейных задач, содержащих внутри области интегрирования различные особенности (разрывы в решении и т. п.), важно обеспечить консервативность-разностной схемы, т. е. выполнение разностных аналогов законов сохранения. В неконсервативных схемах на таких решениях появляются источники и стоки массы, энергии и т. п. разностного происхождения, сильно искажающие решение на грубых сетках. Естественно, исходная система (5.60) при этом должна допускать представление в виде физических законов сохранения (дивергентную форму):
ut + Fr + <jp = 0, B = FU, ty=f—dF)dr. (5.68)-
Для построения разностной схемы вида (5.64), обладающей: свойством консервативности, представим ее в виде
«?+1 = a (F?+1/2—F[_1/2)—т<р +
+ cr[Cz+J/a (tt?+1—u1)/h—Ci_1/2 (и?—(5.69).
Fzn±1/2 =0,5(Fz!±1-]-Fz!).
Отсюда видно, что, хотя для каждой элементарной ячейки длины /и с центром в узлах разностной сетки в этой разностной схеме, помимо физических потоков через границы ячеек (г/±1/г), присутствуют потоки разностного происхождения Сиг, для соседних ячеек, на их общей границе, они, как и физические потоки F, равны и противоположны по знаку, и в целом внутри области интегрирования схема консервативна. Аналогичная схема для многомерных уравнений в дивергентной форме типа (5.68), однако не обладающая свойством консервативности, предложена в [61].
В случае матрицы В с переменными элементами неотрицательная, определенность разностной схемы формально не выполняется, но расчеты по схемам типа (5.69), в том числе и пример рассматриваемой нами задачи, показывают, что реально ее сглаживающие свойства остаются прежними. Отметим, что схема (5.69), в отличие от известной схемы Лакса [62], для которой С=(/г2/4т)£, является абсолютно аппроксимирующей и обладает среди подобных явных схем минимальной аппроксимационной вязкостью (а схема [62] — соответственно максимальной).
Не останавливаясь на деталях обобщения схемы (5.69) на многомерный случай (это может быть сделано различными способами, например, как в [19], или с использованием покоординатного расщепления исходной многомерной системы (см. [2, 3] и др.)), приведем ее в окончательном виде для случая трех независимых
475-
переменных t, 0, г:
Hml = Uml О'! (Фт + 1/2, I /) ^2 (^"m, Z + 1/2-Fm, Z-1/2)-T<jp
+ CTl[Cm+1/2, i {Цт+1, I Mm, ^m-1/2, ifaml &in-l, z)/^i] ”Ь
O2 [Cm, ;+i/2 (Wm> /+1 Umi)lh2 Cm, Z-1/2 (jlml Z-i)/^a],
Ofc = T//lft, k=\, 2. (5.70)
Эта схема с первым порядком точности аппроксимирует систему гиперболического типа
и/ + Фе + ^'г + ч) = 0, (5.71)
и, в предположении симметричности матриц В1 = Фа, B2 = Fa при выполнении условия
^^(l/Ti + l/T,)-1, rk = hk(max £ = 1,2, (5.72)
\m, /, i J
ее неконсервативный вариант, аналогичный (5.67) (см. [19]), является положительно определенной по Фридрихсу разностной схемой. Матрицы Ck, как и в (5.66), имеют вид
^ = 0,5^1 Л, |Qfc, £ = 1, 2, (5.73)
где Afc = ]X^}, Qk = {wt\, как и раньше, составлены из собственных значений и собственных векторов матриц Bk.
2. Система уравнений газовой динамики (5.46) в отсутствие члена, связанного с электронной теплопроводностью в правой части уравнения энергии для электронной компоненты QT, принадлежит к рассмотренному выше классу гиперболических уравнений (5.71). Для нее могут быть проведены соответствующие построения типа (5.61) — (5.70), к которым следует добавить затем ту или иную аппроксимацию QT. Присутствие указанного члена, связанного с электронной теплопроводностью (вообще говоря, делающего систему параболической), вызывает необходимость его неявной аппроксимации. Явная аппроксимация, в отличие от условия (5.72), приводит к более жесткому ограничению на шаг т типа
т^/г2 (2 max у)-1,
характерному для уравнения теплопроводности, что делает расчеты затруднительными. По аналогичным причинам требует неявной ап-проксимации и столкновительный член в правой части уравнений (5.46), т. е. Qei. Явная аппроксимация этого члена в некоторых случаях (например, на переднем фронте тепловой волны, распространяющейся по холодному газу) приводит к не менее жестким ограничениям на т.
Технически удобнее вначале аппроксимировать левую часть системы (5.46) по схеме (5.70), что позволяет вычислить окончательные значения плотности Pmz1==Pmz> компонент вектора скорости v^1==vmi и предварительные значения элек
476
тронной и ионной температур (7’e)mZ и (7’z)mZ:
p'ml' ~ Pml ~ Pml [(^2зРи)т + 1/2, I С^2зРи)т-1/2,
°2 [C-^lsP^Om, Z+1/2 (^isPy)m, 1-1/г\/^т1 4"
4*^1 (^m+1/2,1 ®т-1/2, z) + CT2 (®m, 1+1/2 ®in, Z-1/г)»
(pZZ)mZ (P^)mZ
= (P^)mZ &1 [С^2зР^2)т+1/2, l (^2зР^2)т-1/2, z]/^mZ
- O"2 [(SjgpUt?)^ z+1/2 (51зР^и)т> l-H2\l^ml ®i(Pm+l/2, I Pm—1/2, l)!^ml~\~
4“ Oz {Pm+1/2, I U-m—1/2, /) “F О’з (Pm, 1+1/2 &m, Z-1/2)»
(ру)й1 = (P0»z =
= (P^)mZ *^1 [(^2зРиу)т+1/2, Z (^2sP^0m-l/2, l\/^ml
^2 [(^1зР^2)т, Z+1/2 (^isP^2)^, l-l/2~\/^ml &i(Pm, Z + 1/2 Pm, Z-1/2)/^mZ ~F
4* Д (Pm+1/2, I ®m—l/2, z) 4" <4 (Pm, Z+1Z2 @m, Z-1/2)»
(P&e)ml ~ (P^e)ml ®1 [(^2зР^8<?)т + 1/2, Z (^2sPUSe)m-l/2, (^Д4)
—or2[(S13ptzee)", z+i/2—(Sispve^)", z_1/2]/AmZ —
^1 (Pe)ml [(‘^23U)m+i/2, Z (^23^)т-1/2, z]/^mZ
°2 (Pefml [(^1зу)т, Z+1/2 (^1зу)т, Z-l/2]/^mZ '
^(Qs)mZ“FO4 (Pm+1/2, I ^/n-1/2, z) “F ^2 Z + 1/2 ^m, Z-1/2)»
(P8/)mZ = (P8/)mZ &1 [(S2,P«8/)m+i/2( / ('S23pU8(-)m_1Z2> z]/^mZ
Ст2 [(^1зРу8г)т, Z+1/2 (^1зРуе/)т, Z-l/2]/^mz
^1 (Pi)ml [(^2зи)т+1/2, I (,^23^)m-l/2, '
®2 (Pi)ml [(^1з0т, Z+1/2 (^i3^)m, /-1/2]/^®/”F
4-01 (a«+i/2,7—«m-1/2, z) 4-o2 (a,U t+i/2—a2^ z_1/2).
В этих соотношениях в узловых точках \tn, 6m, rt\, {tn, 0m±i, rt\, {tn, 6m, rz±4 все функции от p, и, v, Te, Т/ вычисляются в соответствии с (5.47)—(5.52), а в полуцелых точках с индексами m±l/2,Z и ш, 1±1/2 усредняются по их значениям в ближайших узловых точках. Геометрические параметры S13, S23, Д, Д1, как отмечалось, характеризуют поверхность и объем элементарных ячеек с центрами в узлах разностной сетки (S13 = /71/73, S23 = Н2Н3, Дт = Д = Н1Я2Я3). Чтобы учесть координатную особенность (точнее, неопределенность), возникшую при расчетах в сферической системе координат узловых точек на оси симметрии (0 = 0, л) и в центре мишени (г = 0), выражения S13, S23, Д, Д1 для этих точек соответствующим образом видоизменяются.
Демпфирующие члены <2^11/2, z, и z±i/2 (t = 1, 2, 5) в со-
ответствии с (5.70), (5.73) имеют вид
5
^m±l/2,Z=i (^Z/)m±l/2, I [(^/)m±i, I {Uj)ml\/hi,
5
am, I ±1/2 —ziz (C//)m, Z± 1/2 [(u/)m, Z ± 1 -(u/)mz]/^2,
U! = p, u2 = pu, u3 = pu, u4 = рег, u5 = pez,
477
где
с1=(Ж =
«1 + |« 1 Р1 0 Pi
_ ж Ц1Рз(а — с2) + pl (а—и2) ^р4 -р сРз 4“ | и 0 ol 1 Pi иР1Щ — Г dse р деi
~2Нг atv Ч 1«1 гр} vpl
ага3 а3₽4 0 «Зр1+ | U | И3Р2
СХ1СХ4 а4₽1 0 а4Р1 “4Р2+ | Ч 1
СЧЖ
а.2 + | v | 0 Pi Pi2 Pi
м «Pi «Р1 uf>2
— “2Я2 ц2р1(а —с2) + Р^ (а —г?2) 0 02 । o2i'i o2i P4 дд q2 । Р4 др ^4+гРз+р| ^₽3-Н—— ^+—^7
а2а3 0
а2а4 0 СХ4Р2 И- | |
Px = u/c, р2 = н/с, </-! = (оф£/с — «Ю, а2 = (оф$/с—ф1), а3 = 8е + ^/Р. а4 = ег- + А7р, = =
₽1 = (К+ 1 Ж 1 Ж-K I, ₽t= (Iн/+11-1 1 Ж,
6е др ег dp r = / dp I Pg | Pi др \ 1/2 Ь — 1
др р дее р дег- ’ \ др -р'2 дее **р2 де, J ’
Разностные соотношения (5.74) служат для вычисления параметров во внутренних узлах разностной сетки
0m = (/n-2)h1, r, = (/-l)/i8, /г, = 0/(Л4 —3),
/г2 = /?/(Л—1), т=1, 2, М, / = 1, 2, .... L, покрывающей фиксированную в пространстве область интегрирования —/i1^0^0+ft1, const. Искомые параметры в граничных
узловых точках г{~(1—1)й2(/=1, 2, . . ., L), 0!=—hlt 0^=(M—2)/и= =04-/ix, а также в центре мишени вычисляются с использованием условий симметрии течения относительно «линий» 0=0, 0=0. Параметры в остальных граничных узловых точках rL=(L—\}h2=R, 0m= = (m—2)/ix (m=2, 3, . . M—1) определяются линейной экстраполяцией (либо просто сносом) по их значениям в ближайших внутренних узловых точках. До того момента, как возмущения, возникающие на внешней границе мишени (расположенной внутри области интегрирования), достигнут внешней границы области интегрирования r=R, параметры в этих точках остаются невозмущенными, т. е. теми же, что были заданы в начальных условиях. На этой границе довольно быстро устанавливается сверхзвуковое течение (разлет за область интегрирования), так что влияние покидающей область интегрирования массы с малой плотностью (и указанной процедуры экстраполяции) на остальное течение несущественно. Это влияние заклю-
478
чается в том, что при в области r>R (с малой плотностью)
происходит частичное поглощение падающего излучения, которое в данном подходе не учитывается.
На следующем этапе производится учет электронной теплопроводности и обмена энергией между электронной и ионной компонентами — вычисление окончательных значений (Д)")1 по
следующей неявной схеме:
Лр£Г № = (р'еХ + ст, { (^L 1/г z [(^Х+Л, I у **1 . Ill -Г 1 / о, >
— X / л, t 1 |
Ap£V (ЛЖ1 = (psXz+т (Qel)Ml
Отсюда, исключая (Г,-)”4;1 и используя граничные условия для электронной температуры (5.53):
(Т^Г-ГХ^О,
(^Xt1-(^Xt1L-1 = o>
получим типичную для нелинейного уравнения теплопроводности краевую разностную задачу относительно кото-
рая решалась итерациями с использованием одномерных прогонок на лучах m = const.
4. Результаты расчетов.
1. С целью проверки изложенных в пп. 2, 3 алгоритмов были рассчитаны одномерные варианты [21], данные для которых приведены в [63]. Начальная плотность DT-мишени р0—0,2 г -см-3, длительность импульса tk—l нс, q0= 13,2 • 101в Вт-см2.
Рис. 5.32. Профили плотности р/р0 (а), электронной Те и ионной 7\ температур (б): плоская мишень из DT, ро=О,2 г/см3, tb=\ нс, q0= 13,2 • 1016 Вт/см2 о о о о данные [63].
Для иллюстрации на рис. 5.32, 5.33 показаны распределения плотности и температур в различные моменты времени в лагранж е-
479
вых (массовых) (рис. 5.32) и эйлеровых координатах (рис. 5.33). Сплошные кривые на рис. 5.32 и штриховые на рис. 5.33 — лагранжева схема из п. 2, сплошные кривые на рис. 5.33 — эйлерова схема из п. 3. Кружочками на рис. 5.32 отмечены данные, полученные в [63]. Сравнение результатов, полученных по разным схемам с использованием лагранжевых и эйлеровых подходов в указанном, режиме, показало вполне удовлетворительное согласие.
Рис. 5.33. Профили плотности р/р0 (а), электронной Те и ионной Т, температур (б): плоская мишень из DT, ро=О,2 г/см3, tk= 1 нс, </0= 13,2 • 1016 Вт/см2 (— -лагранжева схема (5.57); --------------- эйлерова схема сх-метода (5.69)).
В расчетах по лагранжевой схеме использовались разностные сетки с 50 и 80 узлами по массовой координате. Результаты при этом практически совпали. В эйлеровой схеме на начальную массу мишени толщиной 0,5 см приходилось 100 узлов разностной сетки из общего числа 150, т. е. /г=0,005 см. Расчеты проводились также при h= = 0,0025 см. Шаг сетки во всех случаях равномерный.
На рис. 5.34 приведено сравнение некоторых результатов численного решения (по лагранжевой схеме) задачи о взаимодействии ла-480
зерного импульса со сферической мишенью из CD2 (сплошные линии) с данными согласованного по константам и сеточным параметрам расчета по методу [52] (кружочки). Начальный радиус 7?=55 мкм, длительность импульса треугольной формы /й=1 нс, энергия импульса £=300 Дж. Число узлов по массовой координате равно 50, шаг равномерный. В целом совпадение результатов удовлетворительное, хотя в деталях данные различаются несколько больше, чем в плоском случае, что видно из рис. 5.34, а (/=0,55 нс — момент времени, когда достигается максимальное сжатие в ядре мишени).
Рис. 5.34. Профили плотности р (а) и траектории характерных точек (б): сплошная сферическая мишень из CD2, /?=55 мкм, t =1 нс, £=300 Дж (--------------- расчет по
схеме (5.57); —□—о—о— расчет методом [52]).
Необходимо отметить, что решение задачи о взаимодействии мощного лазерного излучения с веществом чрезвычайно чувствительно к влиянию определяющих параметров (а следовательно, и параметров, определяющих структуру расчетного алгоритма). Указанное обстоятельство, по-видимому, отражается в различиях детальной картины процесса, выявленных из расчетов разными методами с использованием грубой сетки.
2. На основе лагранжевой схемы проведена серия расчетов взаимодействия лазерного импульса с мишенью из CD2, имеющей форму сферической оболочки толщиной 10% от внешнего радиуса и вакуумную полость внутри. Форма лазерного импульса, которая использовалась в проведенных исследованиях, имевших в основном методический характер, считалась трапецевидной:
( q.t/O, \tk 9г (/) = ] <7о
Uofo-WA)
при
при 0,1 tk
0,1 tb, /<0,9/А,
при 0,9 tk t tk= 10 10c.
(5.75)
t <
Некоторые результаты этих расчетов представлены на рис. 5.35, где для двух моментов времени / = 0,025 нс (рис. 5.35, а) и /=0,1нс (рис. 5.35, б) даны профили плотности р, электронной Те и ионной Tt температур.
481
3. Формула потока тепла за счет электронной теплопроводности
W = - у grad Те, ч =
при больших значениях Те и grad Те теряет физический смысл, так как максимально возможный перенос энергии за счет теплового движения электронов ~ (&Б7\)3/2ту1/2, где пе—концентрация
Рис. 5.35. Профили плотности р, электронной Те и ионной Т; температур для двух моментов времени: а) £=0,025 нс; б) £=0,1 нс (10% сферическая оболочка из CD2, /?=50 мкм, £ft=0,l нс, £=100 Дж; 1 —д=оо; 2 — д=0,6).
электронов, те — масса электрона, kY1— постоянная Больцмана. Этот вопрос также обсуждается в [50, 64, 65]. В частности, в [50, 65] приводится следующий способ вычисления величины W:
= + (5.76)
где №г =—у (Те) grad Те—классический перенос тепла, 1К2 = = —qne (k3Te)3/2m^1/2—«аномальный» перенос.
Интересно оценить практическое влияние подобного ограничения теплового потока на развитие процесса взаимодействия мощного лазерного излучения с веществом. С этой целью алгоритм ограничения (5.76) был включен в вычислительную схему (лагранжеву) и в режиме Е= 100 Дж, 7? = 5О мкм были проведены расчеты с различными коэффициентами q (рис. 5.35). Значение параметра q = co соответствует классической теплопроводности, q= =0,6 — естественное физическое ограничение.
Как и следовало ожидать, учет эффекта аномального переноса тепла уменьшает коэффициент передачи энергии лазерного излучения к сжатому ядру мишени и в конечном счете — нейтронный (термоядерный) выход. Несомненно, эти эффекты требуют внимательного и более подробного изучения.
4. В заключение приведем некоторые результаты расчета сеточно-характеристическим методом двумерной задачи по эйлеровой схеме, изложенной в п. 3 и в [21]. Для момента времени, соответствующего окончанию лазерного импульса ^ = 0,1нс, на рис. 5.36 482
Рис. 5.33. Изохоры p/p0=const в момент 0,1 нс: сферическая оболочка с гармоническими возмущениями толщины, R=90—100 мкм, Е=300 Дж (------------— на-
чальная форма оболочки).
Рис. 5.37. Изотермы 7’e=const (---) и —const (---------) в момент t=tk=Q,\ нс"
сферическая оболочка с гармоническими возмущениями толщины, 7?=90—100 мкм’ Е=300 Дж.
преставлены изохоры (линии p/p0 = const), а на рис. 5.37—изотермы (7\ = const — сплошные кривые и Tt = const—штриховые). Рассматривалась задача о воздействии сферически симметричного потока энергии лазерного излучения (£ = 300 Дж, форма импульса трапецевидная, (5.75)) на сферическую оболочку переменной толщины. Начальная плотность мишени р0 = 1г-см-3, а константы для материала мишени взяты из [63]. Начальная форма мишени показана
Рис. 5.38. Изохоры p/p0=const в момент /=0,8 нс: сферическая оболочка с 5% возмущениями формы, R—80 мкм, р0=2,26 г/см3, tk=2 нс, Е= 100 Дж (--------------на-
чальная форма оболочки).
штриховыми линиями на рис. 5.36. Внутренний радиус мишени — сфера радиуса 80 мкм, внешний радиус задавался по закону А? (6) = [95-j-5 sin (69—л/2)]мкм, т. е. толщина мишени изменялась от 10 до 20 мкм.
Видно, что даже при столь значительных возмущениях толщины оболочки (50%) параметры во внешней, сильно нагретой области с малой плотностью (короне) слабо зависят от азимутального угла 9 и в ней наблюдается почти симметричная картина течения. В частности, поверхность р(/, 0, г)=ркр^0,004, вблизи которой в основном происходит поглощение лазерного излучения, практически является сферой, что важно для обеспечения симметричной передачи энергии к мишени. В области сжатия в указанный момент времени боковое перетекание также сравнительно слабое, хотя несимметрия течения здесь более выражена.
На рис. 5.38—5.44 представлены некоторые результаты расчета по эйлеровой схеме из п. 3 сжатия более тонкой оболочки лазерным 484
импульсом длительностью is=2 нс с энергией £'=100 Дж. Начальная плотность материала р0=2,26 г-см-3, его теплофизические свой ства выбраны довольно условно, поэтому расчеты носят в основном
мкм,.
10V
Рис. 5.39. Поле скоростей в момент /=0,8 нс: сферическая оболочка с 5% возмущениями формы, /?—80 мкм, р0=2,26 г/см3, t^=2 нс, £=100 Дж (-----------граница
возмущений).
Рис. 5.40. Изохоры p/p0=const в момент /=0,85 нс: сферическая оболочка с 5% возмущениями формы, /? —80 МКМ, р0=2,26 г/сМ3, Д=2 нс, £=100 Дж.
Рис. 5.41. Поле скоростей в момент /=0,85 нс: сферическая оболочка с 5% возмущениями формы, £—80 мкм. р0=2,26 г/см3, /4=2 нс, £=100 Дж.
Рис. 5.42. Изохоры p/p0=const в момент /=0,98 нс: сферическая оболочка с 5% возмущениями формы, R— 80 мкм, р0=2,26. г/см3,/й=2 нс, £=100 Дж (------------об-
_ ласть .движения к .центру).
методический характер. Начальная форма оболочки.изображена штриховой линией на рис. 5.38, форма импульсами начальные возмущения-формы оболочки постоянной толщины показаны там же. Начальная амплитуда возмущений составляла ~5% толщины оболочки.
На рис. 5.38, 5.39 изображены линии равной плотности p/p0=const и поле скоростей в момент /=0,8 нс, непосредственно предшествующий началу схлопывания. Здесь, как и в подобных
Рис. 5.43. Поле скоростей в момент /=0,98 нс: сферическая оболочка с 5% возмущениями формы, /?=80 мкм, р0=2,26 г/см3, /й=2 нс, £=100 Дж (----------- область
разлета плазмы).
Рис. 5.44. Изотермы Те= const (--) и Т;= const (-----) в момент /=0,98 нс:
сферическая оболочка с 5% возмущениями формы, £—80 мкм, р0=2,26 г/см3, / =2 нс, £=100 Дж.
расчетах [54], наблюдается формирование сравнительно малоплотных струй, развившихся из начальных возмущений формы оболочки.
На начальной стадии схлопывания (£=0,85 нс), показанной на рис. 5.40, 5.41 (изохоры p/p0=const — рис. 5.40, поле скоростей — рис. 5.41), в центральной области (г^5 мкм) наблюдается формирование вихревых зон, вызванное затеканием столкнувшихся струек в области пониженного давления.
На более поздней стадии сжатия в целом процесс развивается, как и в соответствующем одномерном расчете. На рис. 5.42—5.44 в момент £=0,98 нс представлены изохоры p/p0=const (рис. 5.42 — сплошные кривые), поле скоростей (рис. 5.43) и изотермы T=const (рис. 5.44: сплошные кривые Те, штриховые линии Т{). В зоне наибольшего сжатия (г-—5—15 мкм) начинается разлет менее нагретой по сравнению с центральным ядром плазмы (рис. 5.43, область между сплошными кривыми). Продолжается движение «холодных» остатков оболочки к центру в области г~15—30 мкм (область между штриховыми линиями на рис. 5.42). Далее расположена практически симметричная по азимутальному углу 0 область разлета горячей, малоплотной плазмы (корона). Средние значения параметров в двумерном расчете по сравнению с одномерным изменяются незначительно (несколько повышается среднее значение плотности, и понижается температура в центральном ядре, г^5 мкм). В этой области наблюдается наибольшая неоднородность по азимутальному углу 0.
§ 7. Построение явных разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений
Как показывают ранее приведенные примеры расчетов различных задач, моделируемых уравнениями гиперболического типа, разностные схемы с положительной аппроксимацией (впервые введенные Фридрихсом в [60]) являются достаточно эффективными и занимают важное место среди других разностных схем. Используя метод неопределенных коэффициентов и характеристические свойства уравнений гиперболического типа, можно выписать достаточно о б-щий класс таких схем и провести их сравнительный анализ, в частности, по величине аппроксимационной вязкости (см., например, [22]). Эти схемы обладают целым рядом несомненных достоинств, среди которых основными являются: отсутствие осцилляций разностного происхождения на негладких решениях и возможность построения эффективных алгоритмов для расчета граничных точек. Однако все эти схемы имеют первый порядок точности, что в некоторых случаях требует (даже при использовании лучших из этих схем [20, 66], имеющих минимальную аппроксимационную вязкость) большого числа расчетных точек разностной сетки и, как следствие, большого объема вычислений.
487
Этот же подход, в котором разностные схемы рассматриваются как элементы линейного пространства неопределенных коэффициентов, может быть использован для построения некоторых схем повышенного порядка точности на решениях исходных уравнений.
Сеточный шаблон, на котором строится та или иная разностная схема заданного порядка точности, довольно часто оказывается избыточным (либо специально выбирается таким). Возникающая при этом определенная свобода выбора той или иной схемы из множества допускаемых заданным шаблоном может быть использована различным образом. Так, в [59] и ряде последующих работ свободные параметры используются для построения полностью консервативных разностных схем, в [67] — для придания схемам определенных свойств инвариантности относительно преобразований, допускаемых исходными уравнениями, в [68] — для обеспечения минимальной дисперсии либо минимальной диссипации разностной схемы и т. д.
Рис. 5.45. Шаблон для явных разностных схем.
Рис. 5.46. Шаблон для неявных разностных схем.
В настоящем параграфе предложенный А. С. Холодовым в [22] подход (в котором разностные схемы рассматриваются как элементы линейного пространства неопределенных коэффициентов) используется для построения схем повышенного порядка точности на решениях исходных уравнений и в некотором смысле наиболее близких к схемам с положительной аппроксимацией [23, 24].
1. Рассмотрим сначала простейшие уравнения переноса
^vx = 0, Х = const, Х>0, (5.77)
и типичные шаблоны, допускающие построение некоторого множества разностных схем с порядком аппроксимации выше первого: для явных схем (рис. 5.45)
(Р+1, xj, (Р, хи_2), ..., (Р, хи+2); (5.78)
для неявных схем (рис. 5.46)
(Р+1, xm_J, хт), (Р+1, хт+1),
(tn, xm_J, (Р, хт), (Р, хи+1). (5.79)
Обозначая
<(5.78), (5.79)
x^n — v(tn, хт), выпишем допускаемые шаблонами (или более общими) линейные разностные схемы
488
вида
f.n + 1 _ у n,v..n+v ц, v
(5.80)
и, используя условия аппроксимации (первого порядка точности)
2 (р--v<J)a£ = — о, o = Xt//i>0, (5.81)
И. V ц, V
исключим, например, коэффициенты alj и aj, соответствующие используемым в обоих шаблонах точкам (tn, xm_v) и (tn, x,n+1):
a°_1 = [l+o— 5 (1—p + vor)a^]/2,
v (5.82)
aj = [l—a—2 (1 + n—va)a^]/2. ц, v
В (5.82) и всюду далее в суммирование не включаются две точки: (р = — 1, v = 0) и (р=1, v = 0).
В линейном пространстве оставшихся неопределенными коэффициентов (рис. 5.47—5.50) любая точка, характеризуемая векторами a = {a^} (a = {aL2, aj, a°] для шаблона (5.78) и « = {«?.!, aj, a]]
Рис. 5.47. Линейное пространство явных разностных схем на шаблоне (5.78) при <т=0,5.
Рис. 5.48. Линейное пространство явных разностных схем на шаблоне (5.78) при
<т=1,5.
для (5.79)), дает разностную схему первого порядка точности для (5.77). Замкнутые многогранники ОА1А3...Ав (при 0 о1, рис. 5.47) и А3А4АвА7 (при 1^о^2, рис. 5.48) для шаблона (5.78), а также ОА1А3...Ав (при O^Co^Cl, рис. 5.49) и Л2Л3Л4Лв (при а > 1, рис. 5.50) для ш а б л о н а (5.79) включают построенные в [22] для произвольных сеточных шаблонов разностные схемы первого порядка точности с положительной аппроксимацией (устойчивые и монотонные
16 О. М. Белоцерковский
489
а?_1^0, aJ^O
(5.83)
схемы), для которых
Рассмотрим последовательно условия аппроксимации более высокого порядка точности на решениях (5.77), которые в принятых здесь обозначениях запишем в виде
Сра = Ьр, Ср = {^4, а=Ю, р = 2, 3, ..., (5.84)
СрЦ = (р,—vo)p—1, bp = 0P—1 при р четном,
СрЦ = (р—va) [(р—va)-?-1—1], Ьр = (г(1—а-Р-1) при р нечетном.
В пространстве неопределенных коэффициентов можно выделить гиперплоскость (5.84) при р=2, на которой расположены все схемы второго порядка точности, «линию» пересечения двух гиперплоскостей
Рис. 5.49. Линейное пространство неявных разностных схем на шаблоне (5.79) при о=0,5.
Рис. 5.50. Линейное пространство неявных разностных схем на шаблоне (5.79) при о=2.
(5.84) при р=2 и р=3 разностных схем третьего порядка точности и т. д., пока не будут исчерпаны все возможности выбранного шаблона. Очевидно, что общее число узловых точек разностной сетки, включаемых в шаблон (k), и порядок точности рассматриваемых разностных схем (р) должны удовлетворять неравенству k—р^2, чтобы линейные системы (5.81), (5.84) имели решение. Более того, это неравенство должно быть строгим, чтобы можно было проводить ту или иную оптимизацию. С другой стороны, выбираемый шаблон должен быть достаточно компактным для реализации алгоритма и, прежде всего, допускать некоторое множество устойчивых разностных схем.
Для шеститочечных шаблонов (5.78), (5.79) система (5.81), (5.84) (при р—2) позволяет построить двухпараметрическое семейство схем второго порядка точности, расположенных на плоскости В^-.В» (рис. 5.47, 5.48) для шаблона 490
(5.78):
y"+1 = a” (— vnm_t + 3v” — 3t>"+14- vnm+2) —
—a°_2 (— vnm_2 4- 3o" .j — 3ц" 4- v^+1) +
4-fm—J №+i —^-i) +-y (fm-i—2t^4-^+i)> (5.85)
и на плоскости B1...B3 (рис. 5.49, 5.50), для шаблона (5.79):
l&+1 = _х) +у MU-^-x) -
— О (! + т) (^-1—^m+t’m+i)] 4-a}[(CVi —<+1) 4-у (С + 1 —С-1)4-+ a(l--J) №-х-2^4-^+х)]+^-у (С+х-С-х) +
4-у(С-х-2С4-С+х). (5.86)
Привлекая дополнительно (5.84) при р=3, получим для каждого из этих шаблонов однопараметрические семейства разностных схем третьего порядка точности на решениях (5.77), расположенных на прямых, проходящих через точки Clt С2, С3, Ct для шаблона (5.78) и С1г С2, В3 для шаблона (5.79). Например, для шаблона (5.78)
a_2 = a£—о(1—о2)/6, (5.87)
С+1 = а°а(С-2—4С-х4-бС—4С+х4-С+2) + С—у(С+х —С-х) +
'4- у- (С-1 -2С4-С+1) +* (1 -*2) (-С-2 4- ЗС-х -ЗС+С+х)/б. .
(5.88)
Точками Сх на рис. 5.47, 5.49 отмечены единственные для рассматриваемых шаблонов (5.78), (5.79) разностные схемы четвертого порядка точности на решениях (5.77).
Используя обычный подход к исследованию устойчивости линейных разностных схем, т. е. решения вида v^ = rnexp можно выписать (с учетом (5.82)) условие устойчивости разностных схем (5.80):
| г (a, Р) | 1, (5.89)
которое в пространстве неопределенных коэффициентов a={aj[} выделяет область устойчивых схем рассматриваемого вида, ограниченную некоторой поверхностью второго порядка. Здесь p=sin2 <р/2 — параметр, и неравенство (5.89) должно выполняться для всех O^P^l. Очевидно, что множество разностных схем с положительной аппроксимацией, удовлетворяющих неравенством (5.83), содержится в области (5.89).
Выпишем для шаблона (5.78) условие (5.89) для разностных схем с порядком аппроксимации выше первого, расположенных на плоскости В с уравнением (5.84) при р=2:
aS=3(a°_24-a°)4-(l- ^)- (5-90)
16»
491
Это условие после исключения из (5.89) в соответствии с (5.90) коэффициента ag имеет вид
p2[16p(a« + a«_2)24-16p(l-p) (a«_ao_2)2 +
4-4(1—2ро2) (a§4-a°_2) 4-8(1 (1—Р) (ag—al2)4-a2 (о2—1)]<0.
Проекция искомой области устойчивых разностных схем с порядком аппроксимации выше первого на плоскость {al2, a2} ограничена линиями
«з + а’-г ag4-a°_2Xo2—1)/4,
4 (ag4-al2)4-8a(ag—a%)4-a2 (a2—1) ^0, (5.91)
[2 (a«4-a°-2) + (1 - a2)]2 + [2 (a«-a«_2) + a]2 < 1
и является непустой при | а | 2. На рис. 5.47, 5.48 границы этой
области на плоскости (5.90) отмечены штриховкой. Точкой В5 отмечена известная схема Лакса—Вендроффа [69], для которой
a% = ag = 0. (5.92)
Точками С2, Ct с коэффициентами
а2° = 0, (5.93)
ag = (а2—1) (3—2а)/24 (5.94)
отмечены две схемы из однопараметрического семейства разностных схем третьего порядка точности (5.88), расположенных на отрезке C1Ci и устойчивых при O^Ca^l.
Аналогично, для шаблона (5.79) условие устойчивости для схем с порядком аппроксимации выше первого имеет вид (после исключения ag из (5.89))
[2 (a[—aLj) 4- о (1 — а^—а})] [2а (aJ—aLt) —
-(2-(14-a2)(l-a1_1-ai))]<0. (5.95)
Границы этой области на плоскости (5.84) отмечены штриховкой на рис. 5.49, 5.50. Как и для шаблона (5.78), эта область включает двухпараметрическое семейство разностных схем второго порядка точности (5.86) и однопараметрическое семейство разностных схем третьего порядка точности (отрезок СгВ3 на рис. 5.49 (о = 0,5) и луч В3Сг на рис. 5.50 (а = 2)), устойчивых при выполнении (5.95). Точкой В5 отмечена схема Лакса—Вендроффа [69], для которой a^jsaJ^O. Точка В4 соответствует другой известной схеме второго порядка точности (прямоугольник) с коэффициентами в (5.86)
aLi = (o—1)/(а4-1), а[ = 0. (5.96)
Точка В2—также схема^ второго порядка точности, имеющая коэффициенты
aLj = a/(o4- 2), a} = 0. (5.97)
Точка С2 соответствует устойчивой при O^Ca^Cl разностной схеме третьего порядка точности с коэффициентами
al4 = (a—1)/(а4-2), а} = 0. (5.98)
492
2. Очевидно, что различного рода осцилляции на негладких решениях, которые наблюдаются у известных устойчивых разностных схем с порядком аппроксимации выше первого и отсутствуют у схем с положительной аппроксимацией (5.80), (5.83), возникают из-за того, что некоторые из коэффициентов в разностном выражении (5.80) для схем повышенного порядка точности являются отрицательными.
Влияние свободных параметров в различных разностных схемах на поведение разрывных решений численно исследовалось во многих работах (см., например, [68, 70, 711). В [22] показано, что гиперплоскость (5.84) при р=2, на которой расположены все схемы с порядком аппроксимации выше первого на решениях (5.77), не пересекает множество точек, удовлетворяющих неравенствам (5.83) (замкнутый многогранник схем с положительной аппроксимацией), т. е. ни для каких сеточных шаблонов не существует монотонных схем с порядком аппроксимации на решениях (5.77) выше первого. При этом ближайшей к гиперплоскости (5.84), р=2 вершине многогранника соответствует разностная схема, построенная на трехточечном шаблоне, включающем рассчитываемую точку (tn+1, хт) и две ближайших к характеристике dx=K dt узловых точки шаблона, лежащих по обе стороны от этой характеристики. Эту вершину в дальнейшем будем обозначать точкой А и характеризовать вектором ал={(о^)л}. На рис. 5.47—5.50 эта вершина обозначена точками Л7, Alt Л2 соответственно. Разностная схема, соответствующая точке А, имеет минимальную аппроксимационную вязкость. Гиперплоскость (5.84), р=2 соприкасается с точкой Л лишь в том случае, если характеристика, исходящая из узловой точки (tn+1, хт), строго попадает в один из узлов шаблона.
Естественно предположить, что поведение конкретной схемы на негладких решениях (амплитуда осцилляций, их характер) определяется величиной отрицательных коэффициентов схемы (например, расстоянием точки в рассматриваемом пространстве неопределенных коэффициентов, соответствующей этой схеме, от области разностных схем с положительной аппроксимацией). Таким образом, немонотонность разностных схем предлагается характеризовать величиной
у = /а—ал|= т/ (аиЪ]! > (5-99)
* |Л. V
где а = — набор коэффициентов в (5.80), соответствующий рас-
сматриваемой разностной схеме (в данном случае схеме с порядком аппроксимации выше первого, расположенные на гиперплоскости (5.84) при р = 2). Не представляет труда для наперед выбранного шаблона, допускающего построение на нем не единственной разностной схемы заданного порядка точности, построить единственную схему с наименьшим значением у.
Для разностных схем второго порядка точности на решениях (5.77) коэффициенты такой схемы определяются обычным геометрическим построением в пространстве « = (0^) точки^пересече
493
ния с плоскостью (5.84), р = 2 нормали, проведенной из точки А: а = ал + ?2С2, у2 = (Ь2—алС2)/(С2С2), у = |у2||С2|, (5.100) или
«^ = (а»я + {(а2-1)-
-S[('7-^)2-l](^)?1}[(p-vo)2-l]/{ £[(<7-то)2-1]2}. (5.101)
<7. г ?, г
Напомним, что при суммировании по q, г исключаются две точки: (^ = —1, г =0) и (<7=1, г=0). Это же ограничение налагается и на индексы р, v. Оставшиеся коэффициенты и а? определяются из (5.82).
Рассмотрим некоторые примеры подобных схем. Для шаблона (5.78) при О^СсгЙС 1 из (5.101) получаем разностную схему с коэффициентами в (5.85) (точка Вв на рис. 5.47, аА = = (а°_2, а?, а2} = {0, 1—о, 0}):
а!2 = а2 = Зег (а—1)/19. (5.102)
Для этого же шаблона при 1^о^2 (точка В„ на рис. 5.48). ал = {о—1, 0, 0})
а°_2 = (о— 1) (134-За)/19, а§ = 3(1—а) (2—а)/19. (5.103)
Для шаблона (5.79) при O^Ca^Cl коэффициенты a!_lt aj в (5.86) имеют следующие значения (a^ = (a-i, ao, a}} = {0, 1—cf, 0}):
aL1==o2(o-l)(a4-2)/[2(J2(a24-4)4-l], a} = o2 (a— 1) (o—2)/[2a2 (o2 + 4) + 1]. (
Для этого же шаблона при о> 1 (ал = {(о—1)/о, 0, 0})
«^ = (0— 1)/ог—о(о— 1)(ст4-2)/[2п2(ст2 + 4)+1], а} = о(1—о) (о—2)/[2о2 (о24)-j-1 ]. '
Для несимметричного пятиточечного шаблона, включающего точки х^), (Z”+\ xj, (/«, x^), (/", xj, (/", xM+1), (5.106) разностная схема rc наименьшей величиной у при O^o^l имеет вид (точка Ве на рис. 5.49, ал = (а1_1, aJ} = {0, 1—о})
aLj = —о2 (1 —о) (24-о)/[о2 (о4-2)24- 1], а} = 0. (5.107)
Для этого же шаблона при о> 1 (точка Вв на рис. 5.50, ал = ((о—!)/о, 0})
a1_1 = (cr—1) [1 4-о2(о4-2) (о4-1)]/(о[(о4-2)2о24-1]}, а}==0. (5.108)
Для разностных схем третьего порядка точности схема с наименьшей величиной у определяется построением точки пересечения с «линией» (5.84) при р=2 и р=3 нормали, проведенной из точки А, т. е.
494
из соотношений
а=ал4-у2С24-у3С3 Т = |у2С2 + у3С3|,
?2 = [(62-алС2) (С3С3)-(й3-алС3) (С2С,)]/[(С2С2) (С3С3)-(С2С3)2],
(5.109)
Тз = [(&з ал^з) (С2С2) (Ь2 алС2) (С2С3)]/[(С2С2) (С3С3)-—(С2С3)2].
Здесь (С,Су) (алС() (г, / = 2, 3) — скалярные произведения векторов С2, С3, ал из (5.84), скаляры Ь2 и Ь3 также определяются соотношениями (5.84).
Из (5.109) для шаблона (5.78) при O^o^l имеем, например, следующую схему третьего порядка точности с наименьшей величиной у (точка С3 на рис. 5.47):
а2 = —о (1 —о) (17—19о)/228. (5.110)
Остальные коэффициенты в случае необходимости вычисляются из (5.88).
Заметим, что уравнение переноса (5.77), по существу, является обыкновенным дифференциальным уравнением вдоль характеристики dx = X dt:
dv n d d , 3 d ~dt~V’ 'dF'~~dF + A'~dx '
и, следовательно, в точке (tn+1, xm) имеем точное значение для t^l+1=av(tn, х), х=хт—лт. Тогда разностные выражения в правой части
Рис. 5.51. Решение модельной задачи (5.77) при а=0,5: 1 — точное решение; С4 — схема четвертого порядка точности; С2) С3, С4 — схемы третьего порядка точности.
(.5.80) при выполнении условий аппроксимации первого порядка точности (5.81), второго порядка (5.81), (5.84) при р = 2, третьего порядка (5.81), (5.84) при р = 2 и р = 3 ит. д., по существу, являются инте р-
495
поляционными формулами соответствующего порядка точности для вычисления t1 (/", х). С этой точки зрения для явных схем (vs=0) правую часть (5.80) в схемах с наименьшей величиной у=)а—аА | можно трактовать как интерполяционные многочлены второго или более высокого порядка для восполнения функции v(tn, х) на участке хт—([о] +1) h х хт—[о] h (наименее уклоняющиеся в норме (5.99) от интерполяционного многочлена первого порядка на этом участке с неотрицательными коэффициентами (а^)л (х) = = 1 —{ст}>0 при р = — [а]; (а°)л (х) = {ст} >0 при р = — [<т] — 1 и («ц)л = 0 для остальных р из шаблона (5.78)). Здесь через [ст] обозначена целая часть ct = Zt//i, (ст} = ст—[ст]—дробная часть ст.
Рис. 5.52. Решение модельной задачи (5.77) при сг=0,5: 1 — точное решение: В5, й6 — схемы второго порядка точности; С3 — схема третьего порядка точности.
На рис. 5.51, 5.52 приведены результаты численного решения модельной задачи (5.77) с краевыми условиями ст(0, х)=1 при х^О и ц(0, х)=0 при х>0 для некоторых из рассмотренных выше разностных схем. Расчеты проведены при ст=0,5.
Так, на рис. 5.51 с точным решением (кривая 1) сравнивается численное решение, полученное по разностным схемам третьего порядка точности (5.93), (5.110), (5.94) (соответствующим точкам С2, С3, Сх на рис. 5.47 и кривым С2, С3, Ci на рис. 5.51), а также по схеме четвертого порядка точности (кривая Сх). Амплитуда осцилляций на данном негладком решении и характер их затухания заметно зависят от близости этих схем (точек С2, С3, С4) к разностным схемам с положительной аппроксимацией (к точке А на рис. 5.47). Разностная схема (5.110), как и ожидалось, имеет наименьшую амплитуду осцилляций с быстрым их затуханием.
На рис. 5.52 аналогичное сравнение проведено для разностных схем (5.92), (5.102), (5.110), соответствующих точкам В5, В6 (второй 496
порядок) и С3 (третий порядок) на рис. 5.47 (кривые В5, В6, С3 на рис. 5.52). Здесь также видно лучшее поведение численного решения у схемы (5.102) по сравнению с другими схемами второго порядка точности на шаблоне (5.78) (так, у (5.92) и в других схемах наблюдаются большие осцилляции).
Рис. 5.53. Решение модельной задачи (5.77) при <7=0,5: 1 — точное решение; В2, В4, В5, В6 — схемы второго порядка точности; С2 — схема третьего порядка точности.
Рассмотрим пятиточечный шаблон (5.106), выбранный для этой модельной задачи таким образом, чтобы можно было организовать «бегущий» счет без привлечения прогоночных соотношений.
На рис. 5.53 (о=0,5) и 5.54 (о=2) с точным решением (кривые /) сравниваются результаты расчетов по схемам второго порядка точности (5.92), (5.96), (5.97), (5.107) — (5.108) (кривые/?,, Bt, В2, Bs соответственно), а также по единственной на данном шаблоне схеме третьего порядка точности (5.98) (кривая С2), соответствующей точке С2 на рис. 5.49. Здесь при 0^о^1 различия между сравниваемыми схемами второго порядка точности более заметны и преимущества схемы (5.107) более наглядны. Видно также, что при сг>1 существенно улучшить «осцилляционные» свойства схем второго порядка точности на данном шаблоне не удается. Это связано с тем, что для данного шаблона с увеличением о гиперплоскость (5.84) удаляется от области разностных схем с положительной аппроксимацией.
3. Построение разностных схем, наиболее близких к схемам с положительной аппроксимацией, выполнено в предыдущем пункте Для отдельного условия совместности вдоль характеристики di
497
одномерной системы гиперболического типа
ut + Aux=f, Л = Й-1АЙ. (5.111)
Эта система обычным образом приводится к каноническому виду:
wiut + kiw!ux = Wjf, г=1, 2, I, (5.112)
или (например, в случае А = const) к еще более простой записи для инвариантов Римана (a;==w,K):
Vit + ^'Vix = Ф/> Ф/ = Wif- (5.113)
Здесь »=={«!, ..и,} —вектор искомых функций; / = —
вектор-столбец правых частей; Л = {А.(-}—диагональная матрица из
Рис. 5.54. Решение модельной задачи (5.77) при о=2: 1 — точное решение; В2 Bt, Bs — неявные схемы второго порядка точности.
собственных значений матрицы А, определяемых характеристическим уравнением Det (Л—Х£)=0; Q = {w(}— неособенная матрица, строками которой являются линейно независимые собственные векторы w; матрицы Л (определяемые с точностью до длины из совокупности однородных линейных систем уравнений адДЛ—л(-£) = = (Лг—KiE)wi = 0, Ат—транспонированная матрица Л).
В том случае, если матрица Л имеет постоянные элементы и f = 0, разностные схемы (5.80) очевидным образом обобщаются на случай квазилинейной системы уравнений (5.111):
= = (5.114)
|Л, V
498
где Дц = {(«ц)J—диагональные матрицы с элементами (а£);, определяемыми значениями o^’k^lh в соответствии с описанной выше процедурой построения конкретных схем (например, разностных схем с наименьшими значениями у = |а —ал|).
По существу, в пп. 1,2 этого параграфа рассматривалась з а-дача восполнения с заданной точностью сеточной функции для определения начальных данных в условиях совместности (5.113) или (5.112). В общем случае квазилинейной системы (5.111) требуется еще построить подходящий способ численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (5.112) с учетом зависимости Х;, Wi,fm искомого решениям и независимых переменных t, х. Здесь могут быть использованы различные подходы. Одним из таких подходов для построения явных разностных схем на шаблонах типа (5.78) является метод Рунге — Кутта, использовавшийся в работе [72] и ряде последующих работ (см., например, [68, 73—751).
В [72] для дивергентной системы
ut + Fx(i, х, й) = ф(^, х, и), dF/du = A = Q-1AQ (5.115) на шаблоне (5.78) построено однопараметрическое семейство разностных схем третьего порядка точности (явная трехшаговая схема предиктор — корректор):
= Мп + Ит+1)/2—ат [(F,£+1—F„)//i—(ф^ +1 + фт)/2], (5.116)
= ^-^(TOa-F^ (5.117)
Um 1 = Ит —3r[(F^+? —F"t?)//l —ф"+₽]/4 —
- Т [ (Fm\! - F^/h - ф" ]/4 + т (Fm\ 2 - 2F^+х + 2Fm\ X-F^_2)/ (12/i) + + g(unm+2-^unm+1 + Qunm-^unm-1 + unm-2), а =1/3, p = 2/3.
(5.118)
Там же показано, что для обеспечения устойчивости этих схем скалярный параметр g (см. также (5.87), (5.91)) необходимо выбирать с учетом условия
— 4-S'о» (о* — 4)/24, о* = max | | x/h еС 1. (5.119)
° пг, i
На рис. 5.55 показана область допустимых значений параметра g (область между кривыми Сг и С4).
Сравнивая схемы (5.116) — (5.118) (однопараметрическое семейство разностных схем третьего порядка точности в частном случае линейного уравнения (5.77)) с (5.88), можно установить связь между свободными параметрами а® и g:
g- = a®4-o(o—2) (2а+ 1)/24. (5.120)
Как показано в п. 2 этого параграфа на линейных уравнениях, предпочтительнее выбирать матрицу вида
Q-1GQ, G={g!\, Q = {w,-}, (5.121)
g. = — | о,- | (72—15|oJ)/456, оу = А(-т//г, t = 1, 2, .... 7,
499
вместо одинакового для всех характеристик dx = kl-dt скалярного параметра g в последнем члене (5.118). Этот член является в не-
порядковым, поэтому данная его модификация не изменяет порядка точности разностной схемы (5.116)— (5.118).
Здесь Q—введенная выше матрица из левых собственных векторов матрицы A = dF/dU; G—диагональная матрица, элементы
которой g[ получены в соответствии с (5.120) при выборе (оф,- согласно (5.110) для 0^ст;.^1 и аналогичным образом для —l^Co-,^0. Таким образом, данная модификация схемы (5.116) — (5.118) (схема С, предложенная в [24]) в линейном случае является аналогом рассмотренной в п. 2 схемы (5.88), (5. ПО) с наименьшей величиной у, и от нее следует ожидать подобного кривой С3 (на рис. 5.51) поведения на негладких решениях. Зависимость gi от величины оу показана на рис. 5.55 (кривая С3, лежащая в области устойчивости). Заметим также,
Рис. 5.55. Область устойчивости явных схем третьего порядка точности: Ci, С4—границы области, С3 — оптимальная схема, С2 — схема Уорминга, Катлера и Ломакса [68].
что последний член в (5.118) с его модификацией согласно (5.121) целесообразнее записать в дивергентной форме:
(й 1GQ)m + 1/2 (— Um-l +ЗЯт — Um+i) —
- (5.122)
В работе [68] приведена более удобная для обобщения на многомерный случай модификация разностной схемы (5.116) — (5.118) (так же, как и в [72], со скалярным свободным параметром g). В этой модификации на вспомогательных шагах (5.116), (5.117) схема Лакса— Вендроффа [69] заменена другой схемой второго порядка точности (схемой Маккормака [76] с нецентральными разностями). В той же работе проведен анализ влияния выбора скалярного параметра g (в допускаемых условием (5.119) пределах) на поведение численного решения на негладких решениях. Рекомендовано его выбирать между кривыми Сг (схема с минимальной диссипацией, g=o*((j*—4)/24) и С2 (схема с минимальной дисперсией, g= = (4о* + 1) (с*—4)/120). Выбором параметра g (р а з н ы м для каждого условия совместности вдоль характеристических направлений dx='ki dt исходной системы (5.111), причем таким, чтобы эти условия совместности аппроксимировались разностной схемой, наиболее близкой в норме (5.99) к схемам с положительной аппроксимацией) можно обеспечить эффективное уменьшение осцилляций, возникающих при расчете негладких решений. Замена (5.116), (5.117) на разностную схему [76] полезна, как отмечалось выше, при обобщении подобных явных схем на
многомерный случай и проводится независимо от выбора скалярного g или матричного Q-1GQ ’свободного параметра.
На этом же шаблоне (5.78) могут быть обобщены на случай квазилинейных систем (5.111) разностные схемы второго порядка точности (5.85), (5.102), (5.103). Например, схема В из [24] — двухшаговая схема с предиктором — схемой Лакса ((5.116) при а=0,5) и с корректором:
Unm+1 = и^-т[(ТО/2-ВД/2)//1-(ф^+<1/2 + ф^?/2)/2)] +
+ (Й-ЗД" +1/2 (-«^ + Зипт-Зи^+1 + ипт+2) --(Й-М_Ж-1/2 (-«"_2 + Зипт-г—3ипт + я"+1). (5.123)
Она устойчива при выполнении условия
tr* = Tmax|X.z|//i^2. (5.124)
т. i
Здесь Л£ = {(оф,-}, Л12 = {(а%) Д (t = l, 2, ..., /)—диагональные матрицы с элементами
(а?), = 3(1 —о,-) (2—а,.)/19, (а0_2),. = (а«),.—(1—<т(.) при 1<а;<2, (а°_2)г = 3 (l-l-cQ (2+°7)/1(а2),-=(а0-2); — (1 +<7) при —2 < <7 < —1,
(5.125)
(ос-г), = (а2)г-= —31а,-1 (1 — |а(-])/19 при |az|<l.
k J Видно, что при выполнении более жесткого, чем (5.124), условия о*^1 схема В ((5.116), (5.123), (5.125)) является дивергентной (консервативной). Первые два слагаемых в правой части (5.123) совпадают с известной схемой [69] и могут быть заменены (вместе с (5.116)) другими модификациями подобных схем, например разностной схемой [76]. В случае F=F(u) и <р = 0 можно построить также консервативную одношаговую безытерационную схему второго порядка точности на решениях (5.111):
ипт+1 = ипт—т [ (F"+!—F" -1)/(2h)] +
+ 0,5т2 [Л£+1/2 (Fnm+1-Fnm)-Л" _1/2 (F^-F^/h* +
+ (Й-«+./3 + 3«^-3«" +1 + апт+2)-
— (Q~14L,Q)"i_i;2 ( — Um-2 + Зи^-! — Зи^ + Ит+1)’
В качестве примера рассмотрим задачу о распаде разрыва для случая одномерных уравнений газовой динамики
й = {р, рц, рЕ[, F={py, pv24-p, (рЕ + р) v}
и начальных условий
р(0, х) = р(0, х) = 2, у(0, х) = 0 при х<0, (5 12б)
р (0, %) = р(0, х) = 1, у (0, х) = 0 при х>0. *' '
501
Рис. 5.56. Задача о распаде разрыва — профили плотности р (0,= !, ^/т=50):----
Рис. 5.57. Задача о распаде разрыва — профили скорости v (<7*=1, //т=50) (обозна* чение см. на рис. 5.56).
На рис. 5.56, 5.57 с точным решением (штриховые линии) сравниваются результаты численного решения (crtl=Tmax{JX/|^//i}=l), т, i
полученного по схемам второго порядка точности: схемы В ((5.116), (5.123), (5.125)), [69, 76]—кривые 1, 2,3 соответственно. На рис. 5.56 приведены профили плотности р, а на рис. 5.57—профили скорости v. Первоначальный разрыв распадается на волну разрежения (слева), контактный разрыв (в центре) и ударную волну (справа). Поведение внутренней энергии е и давления р = (я—1)ре (х—показатель адиабаты) аналогично поведению профилей р и v соответственно.
Рис. 5.58. Задача о распаде разрыва — профили плотности р (о*=0,5, </т= 100): ---------точное решение; 1 — g[— ст?(^—4)/24; 2 — gi=—|crz| (72—15|<т;| )/456, схема С; 3 — gi=—1/8, схема ((5.116) — (5.118)).
Видно, что ив нелинейном случае разностная схема В ((5.116), (5.123), (5.125)) (кривая 7) — будучи нелинейным аналогом схемы (5.85), (5.102), (5.103) — имеет меньшие по амплитуде и быстро затухающие осцилляции на разрывных решениях по сравнению с известными схемами работ [69, 761 (кривые 2, 3), результаты которых в данном случае мало отличаются друг от друга.
503
На рис. 5.58, 5.59 аналогичные сравнения проведены для схемы третьего порядка точности (5.116) — (5.118), Выбор скалярного параметра g производился из области допустимых его значений (5.119) (кривая 1—g = — 4)/24, кривая.?—g =
==—1/8), а матричного коэффициента — в соответствии с (5.121), (5.122) (кривая 2—gi —— | о,-1 (72—15 | сг,- 1)/456, схема С). Расчеты проведены при числе Куранта о* = 0,5. Здесь также наблюдается улучшение осцилляционных свойств у схемы, наиболее близкой к схемам с положительной аппроксимацией (у схемы С).
Рис. 5.59. Задача о распаде разрыва — профили скорости v (Щ=0,5, </т=100): ----------точное решение; 1—gi=o*(o%—4)/24; 2 — gt=—|<Т/](72—15[о,-|)/456, схема С; 3 —g,=—1/8, схема ((5.116) — (5.118)).
На рис. 5.60, 5.61 сравниваются между собой: разностная схема первого порядка точности с положительной аппроксимацией, наиболее близкая к схемам более высокого порядка точности (консервативный вариант схемы [20], предложенный в [21, 22],— схема Л),—кривая Г, разностная схема В второго порядка точности ((5.116), (5.123), (5.125)) — кривая 2 и схема С третьего порядка точности ((5.116) — (5.118), (5.121), (5.122)) — кривая 3 (штриховые линии — точное решение). Видно, что схема первого порядка (Л) вполне сравнима со схемами второго (В) и третьего (С) порядков точности при расчете ударных волн, однако для сквозного расчета контактных разрывов требует гораздо более мелкой разностной сетки.
4. Для обобщения на случай квазилинейной дивергентной системы (5.115) разностных схем типа (5.86), (5.104), (5.105) воспользуемся интегро-интерполяционным методом [77]. Запишем исходные уравнения (5.115) для разностной ячейки xOT-i/2^x^xm+i/2,
504
Рис. 5.60. Задача о распаде разрыва — профили плотности р (<т*= 1, </т=50):-------
точное решение; 1, 2, 3 — схемы первого, второго и третьего порядка точности (Л, В, С) соответственно.
Рис. 5.61. Задача о распаде разрыва'—профили скорости v (<7*=1,//т—50) (обозначения см. на рис. 5.60).
шаблона (5.79) в интегральной форме:
хт +1/2 *тн/2
J и (/л+1, x)dx— й (^"> x)dx +
хт~1/2 хпг-1/2
/П+1 /«+1
+ J F(t, хт+1/2, и) dt — 5 Xm-l/2’ tt)dt =
ta
(П + l xm+
= J J <p (/, x, u)dxdt. tn xm-l/2
Используя теперь интерполяционные формулы необходимого порядка точности для аппроксимации подынтегральных функций и (одинаковых на верхней и нижней границах ячейки) и F (также одинаковых на левой и правой границах ячейки), можнс обеспечить консервативность и соответствующий порядок точности получаемой таким образом разностной схемы. В частности, разностная схема
. й"т+1-^ + т(Гл^-^+_^)//г = 0
при выборе подходящей интерполяционной формулы первого порядка для вычисления = F(tn+1/\ xm±l/2, аппрокси-
мирует co вторым порядком точности исходную систему (5.115). Здесь для простоты рассматривается случай однородной системы (Ф = 0).
Положим, например,
ВД/22= s i^)^^ (5.127)
JX=O V=0
и потребуем, чтобы (5.127) аппроксимировала с первым порядком точности следствие из (5.115) (при ф=0):
^ + ЛГЛ = 0, A = dFldtt, F=F(x, и). (5.128)
Тогда на неопределенные матричные коэффициенты £)ц налагаются два условия:
S S 2 [(2р- 1)Е-ех=02л]0* = 0, (5.129)
Ц = 0 V=0 ц = о v=o
из которых можно исключить, например, D„, D®. Используя аналогичные (5.127), (5.129) интерполяционные формулы для вычисления получим двухпараметрическое (со свободными матрич-
ными коэффициентами £)} и D]) семейство консервативных разностных схем втор'ого порядка точности на ре-506
шениях (5.115), (5.128):
- +к+1 + 1}+
= bnm = -ф tf^F^ + {unm + [(OoX++^ - (Di)r-11/A]4?+”l+1
+ (F^+1-F" .^-{[(DJ)-YA+
H-^imYA-2T^] A^UF^-F^ -
-[(W-YA + (OX-YA-^£] ~Anm+-&(F^-F^n,
D = ±D, Л=уЛ. (5.130)
Сопоставим теперь (5.130) (в случае линейной системы с постоянными элементами F=Au, А = const) с (5.114), (5.86), (5.104), (5.105) (и с аналогичными выражениями для отрицательных значений ст,-= X,-t//i). Отсюда получим нелинейный аналог разностной схемы второго порядка точности на шаблоне (5.79), наиболее близкой к схемам с положительной аппроксимацией:
DJ = Q-l{dJJQ, £} = Q-1 {d},.} Q, i=l, ..., 7. (5.131)
Здесь
Л1 _________—a~lZ_______ J1______________aiz______
°'’ a.-d+a^+a*,-) ’ Ъ + «},•) ’
ali,- = (о,—1)[ 1/а,—а,- (о,- + 2)/с,-],
а},- = а,-(1—a,-) (az—2)/с,- при ст,-> 1, aliz = а? (а,— 1) (а,- + 2)/с,-,
ai. = o4(a;—1) (ст,—2)/с,- при 0 < ст,-< 1, all,-= а},-= 0 при а,-= О,
a1-! i = а? (ст,- + 1) (ст,- + 2)/с,.,
а(,- = ст?(ст,--|-1) (ст,- —2)/с,- при — 1 <ст,- < О,
а1-н = Р,-(ст,-+ 1) (ст,- + 2)/С;,
«L- = (сгг.-I-IJtl/cr^ + cr; (crz—2)/сг] при ст,-< —1,
С/в2ст?(стЦ-4) + 1.
Неявная разностная схема D (5.130), (5.131) была опробована на некоторых задачах одномерной газовой динамики, и, в частности, на задаче о распаде разрыва (5.126). При этом область интегрирования выбиралась таким образом, чтобы возмущения от первоначального разрыва за рассматриваемое время не достигали границ этой области (тогда в качестве граничных условий можно задавать начальные значения искомого вектора и слева и справа от разрыва). Получающаяся при этом обычная трехточечная краевая задача для разностных
507
уравнений решалась методом прогонки с итерациями по нелинейным коэффициентам.
На рис. 5.62, 5.63 сравниваются результаты расчетов по схеме D ((5.130), (5.131)) (проведенных при числах Куранта сг. = т шах {| |/й} = 1, 2, 4—кривые 2, 3, 4 соответственно) и по т, i
схеме (5.130) при Do = D] = O (явная схема, аналогичная [69], при
Рис. 5.62. Задача о распаде разрыва — профили плотности р -----------------------точное
решение; 1 (сг*=1) — явная схема (5.130) с Dj=O]=0; 2 (ст«=1), 3 (а*=2), 4 (а»= =4) — неявная схема D ((5.130), (5.131)).
числе Куранта <т» = 1 — кривая /). Точное решение нанесено штриховой линией. Видно, что при о*^1 разностная схема D ((5.130), (5.131)) ведет себя на разрывных решениях так же, как и явная схема В второго порядка точности ((5.116), (5.123)). При увеличении же числа Куранта увеличивается и амплитуда осцилляций — вначале между контактным разрывом и ударной волной (где число Куранта наибольшее), а затем и на других участках (как и в линейном случае—рис. 5.54). Следует отметить, что в реальных ситуациях число Куранта в области интегрирования может изменяться в значительных пределах. В тех случаях, когда большие его значения достигаются или в области гладкого решения, или
508
в небольшом числе узловых точек и т. п., неявные разностные схемы типа D ((5.130), (5.131)) могут оказаться достаточно эффективными. 9
Подчеркнем, что в рассматриваемых примерах не использовалась явно вводимая искусственная вязкость или другие способы внешней регуляризации, которые обычно связаны с понижением порядка аппроксимации в некоторой части области интегрирования.
Рис. 5.63. Задача о распаде разрыва — профили скорости v (t=2):------------точное
решение; 1 (<j*= 1) — явная схема (5.130) с Do=D}=0\ 2 (сг*=1),3 (0^=2), 4 (<J*= =4) — неявная схема D ((5.130), (5.131)).
Основной частью рассматриваемых здесь разностных схем всегда является та или иная схема первого порядка точности с положительной аппроксимацией, которая затем дополняется членами, обеспечивающими второй или более высокий порядок аппроксимации (с помощью коэффициентов уг (5.100), (5.109)). Представляется целесообразным выбирать эти члены переменными:
509
от нуля вблизи разрывов (схема первого порядка точности) до значений, соответствующих второму порядку аппроксимации в области гладких решений. Подобный подход предлагался, например,, в [78].
Не останавливаясь на детальном обсуждении вопросов, связанных с обобщением рассматриваемых разностных схем на многомерный случай, заметим еще раз, что соответствующий аппарат такого обобщения в настоящее время достаточно хорошо разработан и также может быть здесь использован (например, разнообразные методы расщепления по пространственным переменным).
§ 8. Заключение
Результаты, содержащиеся в данной главе, представляют, на наш взгляд, интерес в двух отношениях: теоретических разработках и прикладной стороне.
В теоретическом плане здесь достаточно полно отражено важное направление в разработке численных методов решения систем уравнений гиперболического типа, основанное на рассмотрении такого фундаментального понятия этих уравнений, как их характеристические свойства (сеточно-характеристические методы). Использование характеристических свойств уравнений гиперболического типа позволяет расщепить исходную гиперболическую систему уравнений на существенно более простые условия совместности вдоль некоторых (характеристических) направлений, и, в частности, в линейном одномерном случае — на независимые друг от друга простейшие уравнения переноса. Это является важным моментом при построении численных методов для сложных (в том числе нелинейных и многомерных) систем уравнений, поскольку именно вдоль характеристических многообразий происходит распространение возмущений в среде. Для отдельного же условия совместности можно рассмотреть и проанализировать (как это сделано в § 7) весьма широкий класс разностных схем, провести ту или иную их оптимизацию и обобщение на случай исходной системы уравнений (выполняя в обратном порядке ранее сделанные алгебраические преобразования исходной дифференциальной системы к характеристической записи, но теперь уже с разностной схемой). При этом, как показывают многочисленные примеры, заложенные в такие элементарные схемы свойства сохраняются и для исходной системы уравнений гиперболического типа.
Новым и весьма конструктивным подходом, описанным здесь, является введение линейных пространств в методе неопределенных коэффициентов на этапе анализа разностных схем для простейших уравнений переноса. Это позволило для произвольных сеточных шаблонов построить все множество разностных схем с положительной аппроксимацией (монотонных или мажорантных схем по другой терминологии), играющих важную роль в вычислительной математике. В самом общем случае удалось
510
доказать отсутствие]разностных схем с положительной аппроксимацией более высокого, чем первый, порядка точности на решениях исходных уравнений. На основе этого подхода для наиболее употребительных сеточных шаблонов (как явных, так и неявных) построены сеточно-характеристические схемы второго и третьего порядка точности, наиболее близкие во введенном в рассмотрение пространстве коэффициентов к схемам с положительной аппроксимацией. В частности, получены новые, более эффективные модификации широко употребляющихся в вычислительной практике разностных схем Лакса— Вендроффа, Маккормака, В. В. Русанова и др. Этот же подход является также весьма перспективным и при рассмотрении так называемых гибридных схем для эффективной регуляризации разрывных численных решений.
Построение вычислительного алгоритма для численного решения современных задач механики и физики, описываемых многомерными нелинейными уравнениями, представляет весьма сложную проблему, которая обычно решается поэтапно. Здесь используется хорошо развитый к настоящему времени аппарат обобщения:
— одномерных численных методов — на многомерный случай (различного рода схемы расщепления по пространственным переменным);
— подходов, развитых для линейных уравнений,— на нелинейный случай (методы типа Рунге — Кутта, интегро-интерполяционный и др., допускающие построение и консервативных схем);
— методов, развитых для отдельных простейших уравнений,— на случай систем уравнений (характеристический подход для гиперболических систем уравнений; выделение гиперболической части в более общих операторах; методы расщепления по физическим процессам и др.).
В основании такой «пирамиды» в конечном счете лежит та или иная элементарная схема, от выбора которой во многом зависят свойства вычислительного алгоритма в целом. Теоретические исследования, представленные в данной главе, открывают новое перспективное направление поиска эффективных элементарных схем и путей их обобщения на случай многомерных систем уравнений гиперболического типа.
Прикладная сторона представленных в главе результатов отражает наиболее характерные черты исследований различных многомерных задач аэрогазодинамики и физики плазмы с использованием сеточно-характеристических методов. Помимо здесь представленных результатов, обширный цикл таких исследований выполнен по динамическим задачам механики деформируемого твердого тела (на основе моделей упругой и упруго-пластической среды, в том числе с учетом конечных деформаций); изучалось пространственное обтекание тел с учетом неравновесных физико-химических процессов и лучистого переноса в ударном слое; рассчитывалось движение тел и летательных аппаратов при произвольных углах атаки (0°sgJa^l80o) и с учетом сильного нестационарного (и неоднородного по поверх
1
ности тела) вдува паров разрушаемого теплозащитного покрытия, а также рассматривались другие нестационарные задачи аэрогазодинамики и физики плазмы.
На основании почти пятнадцатилетнего опыта работы с сеточнохарактеристическими методами можно утверждать, что это направление является одним из перспективных для решения сложных, пространственных задач, моделируемых уравнениями гиперболического типа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Любимов А. Н., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел.— М.г Наука, 1970.
2. Я н е н к о Н. Н. Метод дробных шагов для решения многомерных задач математической физики.— Новосибирск: Наука, 1967.
3. Самарский А. А. Экономичные разностные схемы для гиперболической системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости.— ЖВМиМФ, 1965, 5, № 1, с. 34—43.
4. Белоцерковский О.М.,Головачев Ю.П., ГрудницкийВ.Г. и др. Численное исследование современных задач газовой динамики / Под ред. О. М. Белоцерковского.— М.: Наука, 1974.
5. Г о д у н о в С. К., 3 а б р о д и н А. В., И в а н о в М. Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики.— М.: Наука, 1976.
6. Р о у ч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980.
7. Ж у к о в А. И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики.— Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1960, 58, с. 5—149.
8. Кацкова О. Н., Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д., Ш у-лишнина Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных течений газа методом характеристик.— М.: ВЦ АН СССР, 1961.
9. Наумова И. Н. Метод характеристик для равновесных течений несовершенного газа.— М.: ВЦ АН СССР, 1964.
10. Кацкова О. Н., К р а й к о А. Н. Расчет плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений при наличии необратимых процессов.— Ж- прикл. механ. и. техн, физ., 1963, №4, с. 116—118.
11. Belotserkovskii О. М., С h u s k i n Р. I. The numerical solution of problems in gas dynamics.— Basis developments in fluid dynamics, 1965, 1.
12. Ч у ш к и н П. И., Ш у л и ш н и н а Н. П. Таблицы сверхзвукового течения: около затупленных конусов.— М.: ВЦ АН СССР, 1961.
13. Р у с а н о в В. В. Характеристики общих уравнений газовой динамики.— ЖВМиМФ, 1963, 3, №3, с. 508—527.
14. К а ц к о в а О. Н., Ч у ш к и н П. И. Об одной сх-еме численного метода характеристик.— ДАН СССР, 1964, 154, № 1, с. 26—29.
15. Магомедов К- М. Метод характеристик для численного расчета пространственных течений газа.— ЖВМиМФ, 1966, 6, № 2, с. 313—325.
16. Кацкова О. Н., Чушкин П. И. Трехмерное сверхзвуковое равновесное течение газа около тел под углом атаки.— ЖВМиМФ, 1965, 5, № 3, с. 503— 518.
17. Запрянов 3. ., Миносцев В. Б. Метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. и ма-шиностр., 1964, №5, с. 20—24.
18. Ч у ш к и н П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений,—М.: ВЦ АН СССР, 1968.
19. М а г о м е д о в К. М., X о л о д о в А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений,—ЖВМиМФ, 1969, 9, №2, с. 373—386.
20. С our ап t R.,Isacson Е., Rees Н. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences.— Comm. Pure Appl. Math., 1952, 3, №5, p. 243—254.
512
21. Белоцерковский О. М., Демченко В. В., Косарев В. И., Холодов А. С. Численное моделирование некоторых задач лазерного сжатия оболочек.— ЖВМиМФ, 1978, 18, №2, с. 420—444.
22. Холодов А. С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа.— ЖВМиМФ, 1978, 18, №6, с. 1476—1492.
23. Белоцерковский О. М., Холодов А. С. Численное исследование некоторых задач газовой динамики сеточно-характеристическими методами.— В кн.: VI Междунар. конф, по числ. методам в гидродинамике (Тбилиси, 20—25 июня 1978 г.) М.: ИПМ АН СССР, 1978, 2, с. 37—47.
24. Холодов А. С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений,—ЖВМиМФ, 1980, 20, №6, с. 1601 — 1620.
25. РихтмайерР.Д. Разностные методы решения краевых задач.— М.: ИЛ, 1960.
26. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.— М.: Наука, 1971.
27. Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем.— М.: Физматгиз, 1962.
28. Рождественский Б. Л., Я ненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений.— М.: Наука, 1968.
29. Магомедов К- М., О расчете искомых поверхностей в пространственных методах характеристик.— ДАН СССР, 1966, 171, №6, с. 1297—1300.
ДО. Магомедов К- М. Расчет пространственного обтекания притупленных конусов методом характеристик с учетом равновесных физико-химических превращений.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жид. и газа, 1967, № 3, с. 130—137.
-31. Лунев В. В., Магомедов К- М., Павлов В. Г. Гиперзвуковое обтекание притупленных конусов с учетом равновесных превращений газа.— М.: ВЦ АН СССР, 1968.
32. Григорьев Е. И., Магомедов К- М. Об одной прямой схеме метода характеристик для расчета пространственных течений газа.— ЖВМиМФ, 1969, 9, №6, с. 1413—1419.
33. Косарев В. И. О расчете сверхзвуковых установившихся течений газа с внутренними скачками уплотнения.— ЖВМиМФ, 1971, 11, №5, с. 1262—1271.
34. Дроздова Н. С., Росляков Г. С. Численный расчет ступенчатого конуса.— В кн.: Числ. методы в газодинамике. Вып. II. М.: МГУ, 1963, с. 61—74.
35. Белоцерковский О. М., Булекбаев А., Голомазов М. М. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Теоретическое и экспериментальное исследования.— М.: ВЦ АН СССР, 1967.
36. Гилинский С. М., Теленин Г. Ф., Тиняков Г. П. Метод расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел с отошедшей ударной волной.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. и машиностр., 1964, №4, с. 9—28.
37. Bochachevsky J. О., Mates R. Е. A direct method for calculation of the flow about an axisymmetric blunt body at angle of attack.— AIAA J., 1966, 4, №5, p. 776—782.
38. M и н о с ц e в В. Б., T е л е н и н Г. Ф., Тиняков Г. П. Исследование сверхзвукового пространственного обтекания тела сегментальной формы.— ДАН СССР, 1'968, 179, №2, с. 304—307.
39. Миносцев В.Б. Метод расчета сверхзвукового трехмерного обтекания гладких тел.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1967, № 2, с. 126—133.
40. Синченко С. Г. Аппроксимация термодинамических функций воздуха.— ЖВМиМФ, 1968, 8, №4, с. 917—922.
41. Никулин А. Н. Расчет неравновесного обтекания затупленных тел методом установления.— Тр. МФТИ. Сер. Аэрофиз. и проц, упр., 1974, ч. I, с. 5—9.
42. Белоцерковский О. М., Осетрова С. Д., Фомин В. Н., X о-л о д о в А. С. Гиперзвуковое обтекание затупленных тел потоком излучающего газа,— ЖВМиМФ, 1974, 14, № 4, с. 992—1003.
43. Костры кин В. С., Холодов А. С. О сверхзвуковом пространственном обтекании затупленных конусов излучающим газом.— Тр. МФТИ. Сер. Аэроме-хан. и проц, упр., 1973.
44. Костры кин В. С., Фомин В. Н., Холодов А. С. Пространственное обтекание затупленных конусов и эллипсоидов вращения потоком излучающего газа,—ЖВМиМФ, 1976, 16, №2, с. 451—459.
513
45. Белоцерковский С. М., Турчак Л. И., Холодов А. С. Продольные колебания тел вращения и потока при сверхзвуковых скоростях.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1975, № 5, с. ПО—115.
46. Турчак Л. И. Сверхзвуковое нестационарное обтекание тел при быстром торможении.— Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1976, № 1 с. 166—170.
47. Т у р ч а к Л. И. Вход расширяющегося тела в атмосферу планеты.— ДАН СССР, 1976, 229, №2, с. 318—321.
48. Лазеры и термоядерная проблема.— М.: Атомиздат, 1973.
49. Проблемы лазерного термоядерного синтеза.— М.: Атомиздат, 1976.
50. Прохоров А. М., Анисимов С. И., Пашинин П. П. Лазерный термоядерный синтез.— УФН, 1976, 119, вып. 3, с. 401—424.
51. Белоконь В. А..Ильинский Ю. А..Хохлов Р. В.О возможностях термоядерного синтеза элементов.— Письма в ЖЭТФ, 1976, 24, вып. 10, с. 569—572.
52. С а м а р с к и й А. А. и др. Метод конечных разностей для решения одномерных стационарных задач магнитной гидродинамики.— ЖВМиМФ, 1968, 8, № 5, с. 1025—1038.
53. Д ь я ч е н к о В. Ф. Методы решения нестационарных задач газовой динамики.— В кн.: Числ. методы решения задач механ. сплошных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1969, с. 40—65.
54. Волосевич П. П. и др. Двумерные эффекты при лазерном сжатии стеклянных оболочек.— Письма в ЖЭТФ, 1976, 24, вып. 5, с. 283—286.
55. Волосевич П. П. идр. Процесс сверхвысокого сжатия вещества и инициирование термоядерной реакции мощным импульсом лазерного излучения.— Физ. плазмы, 1976, 2, вып. 6, с. 884—897.
56. Б у н а т я н А. А. и др. Численные исследования развития возмущений при сжатии мишени обостренным импульсом.— М., 1975. (Препринт / ИПМ АН СССР: 71),
57. Головизнин В. М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Вариационный метод получения разностных схем для уравнений магнитной гидродинамики.— М., 1976. (Препринт / ИПМ АН СССР: 65).
58. С п и т ц е р Л. Физика полностью ионизированного газа.— М.: Мир, 1965.
59. С а м а р с к и й А. А., П о п о в Ю. П. Разностные схемы газовой динамики,— М.: Наука, 1975.
60. F г i d г i с h s К. О. Symmetric hyperbolic linear differential equations.— Comm. Pure Appl. Math., 1954, 7, № 2, p. 345—392.
61. Косарев В. И., Магомедов К- М. Дивергентная разностная схема для расчета сверхзвуковых установившихся течений сложной структуры.— ЖВМиМФ, 1973, 13, № 4, с. 923—937.
62. Lax Р. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations.— Comm. Pure Appl. Math., 1954 , 7, № 1, p. 159—193.
63. Афанасьев Ю. В. и др. Нагрев дейтериево-тритиевой плазмы до термоядерных температур с помощью излучения ОКГ.— М., 1972. (Препринт / ФИАН СССР : 66).
64. Мишин Е. В. О температуре плазменной короны ДТ-капли, нагреваемой лазером,—ДАН СССР, 1974, 215, №3, с. 565—566.
65. А р р е г t К- Influence of strongly flux-limited electron therminal conduction on the burn of laser-implcd d DT-spheres.— J. Plasma Phys, and Thermonucl. Fusion, 1975, 15, №6, p. 1189—1190.
66. К e 1 1 e г H. В, W e n d г о f f B. On the formulation and analysis of numerical methods for time dependent transport equations.— Comm. Pure Appl. Math., 1957, 10, №4, p. 567—582.
67. Я н e н к о H. H., Ш о к и н Ю. И. О групповой классификации разностных схем для уравнений газовой динамики.— Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1973, 122, с. 85—97.
68. W а г m i n g R. F., К u t 1 e г P., L о m a x H. Second- and third-order noncentered difference schemes for nonlinear hyperbolic equations.— AIAA J., 1973, 11, №2, p. 189—196.
69. L a x P. D., Wen d r of f B. System of conservation laws.— Comm. Pure Appl. Math., 1960, 13, №2, p. 117—137.
514
70. L e r a t A. Numerical shock structure and nonlinear corrections for difference schemes in conservation form.— В кн.: VI Междунар. конф, по числ. методам в гидродинамике (Тбилиси, 20—25 июня 1978 г.). М.:ИПМ АН СССР, 1978, 1, с. 178—183.
71. Г р и д н е в Н. П., Кацнельсон С. С. Использование разностных схем третьего порядка точности для расчета газодинамических и магнитогидродинамических течений.— В кн.: VI Междунар. конф, по числ. методам в гидродинамике (Тбилиси, 20—25 июня 1978 г.) М.: ИПМ АН СССР, 1978, 2, с. 70— 74.
72. Русанов В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений.— ДАН СССР, 1968, 180, №6, с. 1303—1305.
73. В u г s t е i n S. Z., М i г i n A. A. Third order difference methods for hyperbolic equations.— J. Comput. Phys., 1970, 5, p. 547—571.
74. Балакин В. Б. О методах типа Рунге — Кутта для газовой динамики.— ЖВМиМФ, 1970, 10, №6, с. 1512-1519.
75. Еремин В. В..Липницкий Ю. М. О построении многомерных разностных схем третьего порядка точности.— ЖВМиМФ, 1974, 14, № 2, с. 379—389.
76. Maccormac R.W. The effect of viscosity in hypervelocity impact craterin — AIAA Paper, 1969, p. 69—354.
77. Тихонов A. H., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах.— ЖВМиМФ, 1961, 1, № 1, с. 5—63.
78. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений.— ЖВМиМФ, 1962, 2, №6, с. 1122—1128.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Cd ~~ суммарный коэффициент сопротивления сферы
Cj — коэффициент трения
Cff, Ch — коэффициент теплопередачи
Сп — коэффициент давления
Ср — коэффициент волнового сопротивления
Сх — коэффициент полного сопротивления
Сха — коэффициент сопротивления
Со — скорость звука в невозмущенной среде с — скорость частицы с — теплоемкость
Е — энергия, удельная энергия, плотность турбулентной энергии е — удельная внутренняя энергия
F, G, Н — компоненты вектора плотности потока импульса
F(t) — функция распределения
Fr — число Фруда
f(x, t, с) — функция плотности распределения
g— ускорение свободного падения, относительная скорость сталкивающихся частиц
Нх, Ну — коэффициенты Ламе h — шаг разностной сетки I fi) — интеграл столкновений
— удельная внутренняя энергия
К — кинетическая энергия
Кп — число Кнудсена
L, X — масштаб турбулентности
I — основной масштаб турбулентности
М — масса, число Маха
Моо — число Маха в невозмущенном потоке
М* — критглеское число Маха
N — число частиц в ячейке
оДР — полное число частиц в контрольной области
п — нормаль
Р, р — давление
Р — импульс
Pi — давление электронного газа
Pi — давление ионного газа
Q — плотность потока энергии
q — плотность потока энергии излучения q — искусственное вязкостное давление R — плотность потока массы
Re — число Рейнольдса
ReKp-—критическое число Рейнольдса г — радиус-вектор
Sh — число Струхаля
S(A/) — число столкновений за время А/ s — грань элементарной ячейки
Т — температура t — время
U, V, W 1 и, v,w j
U — внутренняя энергия, гидродинамическая скорость
— компоненты вектора скорости
<(/> — средние гидродинамические скорости и — пульсации гидродинамической скорости К — скорость
V — объем ячейки
W — вероятность столкновения частиц
X, У, 7 — компоненты вектора импульса
х, у — координаты
а — асимметрия функции распределения пульсаций
Г — граница контрольной области
у, х — показатель адиабаты
А — матрица аппроксимационной вязкости
— плотность энергии, энергия частиц в ячейке
<§е — удельная внутренняя энергия электронного газа
Si — удельная внутренняя энергия ионного газа 0 — температура в единицах энергии
X — масштаб турбулентного вихря, частота столкновений пар частиц
X; — собственные числа матрицы перехода разностного оператора
Хо — внутренний масштаб турбулентности
(X — коэффициент динамической вязкости
V — коэффициент кинематической вязкости, частота столкновений частиц £, г], £ — компоненты вектора плотности импульса
р — плотность среды
о — сечение упругих столкновений
т — шаг по времени, итерационный параметр
Ф(/, с) — плотность функции распределения
О — элементарный объем, контрольная область
<о — угловая скорость
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм моделирования столкновений Бёрда 368
— строго марковский 377
Асимптотика 158, 159
Вектор плотности потока 239
Волны внутренние 207
Встреча частиц обычная 384
— — сложная 384
Вязкость аппроксимационная 31, 39, 41, 42, 68 — 70, 98, 100, 101, 109, 1 1 1, 440, 442, 475, 487, 493
— искусственная 469, 509
— турбулентная 320, 330, 335
Гипотеза молекулярного хаоса 357, 360, 365,
366, 367, 396
Метод установления 256
— характеристик 14, 434
— частиц в ячейках 14
— элементарных площадок 292
Механизм переноса молярный 320
Моделирование математическое 9, 10
— турбулентности 317
— численное 465
Модель каскадная турбулентности 327
— Каца 356, 358, 360
— К—§ 336
— пространственно-неодиородиая марковская 363
— пространственно-однородная марковская 359
— статистическая частиц в ячейках 358
— Чэпмена 64
Молекулы псевдомаксвелловские 362
Момент аэродинамический 291
Дорожка вихревая 266
— Кармана 153, 211, 214, 220, 227
Жидкость неоднородная 197
Задача о распаде разрыва 501, 507
Закон стабилизации газовых параметров 262
Зона отрыва нестационарная 266
— — стационарная 265
Интеграл обратных столкновений 350
— прямых столкновений 350
— столкновений 349, 373
Интервалы турбулентного движения 329
Итерация 233
Коллапс однородного пятна 202, 220
Консервативность разностных схем 475, 506
Коэффициент Ламе 233
— обмена импульсом 290
— эффективной вязкости 311
Кривая нейтральной устойчивости 155
Критерий устойчивости 182
Метод Бёрда 355, 367—372
— деформационно-потоковый 276
— дискретных вихрей 16
— интегральных соотношений 14, 29
— конечных разностей 13
— — элементов 14
— Монте-Карло 16
— потоков 226, 339
— — нестационарный 227
— — стационарный 233
— расщепления 121, 133, 135, 146, 149, 153, 168, 197, 219
— сеточно-характеристический 431, 433—
437, 439 — 442, 449 — 462, 465, 473, 482
— совместной релаксации 121, 146, 147, 149
Оценка несмещенная 394
— отклонения функции распределения 356, 367, 375
— ошибки частоты столкновений 355, 357, 369 — 372
— состоятельная 394
Переменные Лагранжа 469, 470
— Эйлера 466
Перенос турбулентный 324, 325
Плотность распределения 228
Поверхность свободная 34, 35, 94
Погрешность систематическая 408
— статистическая 407
Пористость среды 312
Приближение дифференциальное 13, 38 — 41, 90, 109, 143, 201, 440
Принцип линеаризации и замораживания коэффициентов 437
— максимума 129
Прогонка 128, 130
— левая 131
— правая 131
Прокатка полосы изотермическая 306
— неизотермическая 309
Профиль Пуазейля 170
Процесс восстановления 367, 369
— полумарковский 356, 377
— строго марковский 356, 377
Пульсации турбулентности 317
Разрыв контактный 441, 503, 504, 508
Распределение Максвелла 406
— Пуассона 362
Расщепление по физическим процессам 17
Режим автоколебательный 122, 189, 192, 196, 208, 210, 220, 266
— докритический 122, 183, 219
— закритический 122, 176, 183, 185, 189, 196, 219, 220
— метастабильный 153
518
Свойство консервативности 473
Семейство разностных схем двухпараметрическое 490, 506
— — — однопараметрическое 491
Сетка согласованная 135
— «шахматная» 135, 136, 199
Сжимаемость искусственная 133
Сила аэродинамическая 291
Система координат декартова 135, 142
— — сферическая 136, 141, 142
— — цилиндрическая 136, 141, 142
Слой пограничный 23, 53, 54, 65, 69, 70
Собственные значения 436 — 438, 441, 473, 476
Соотношение Колмогорова —Обухова 339
Сопротивление сферы 250
Структуры когерентные 323, 324
Схема испытаний Бернулли 362, 379
— монотонная 123, 125, 440, 442
— неявная 120, 121, 128, 472, 479, 488, 507, 509
— расщепления 132, 134, 139, 181, 510
— — трехэтапная 198
— — центрально-симметричная 380
— явная 120, 121,433,442,472, 474, 488, 496, 499, 500
Сходимость по сетке 231, 244, 260
Тензор напряжений 294
— скоростей деформации 294
— шаровой 294
Теорема восстановления 368
Течение возвратное 172, 175
— вторичное 184, 187, 220
— гранулированной среды 310
— отрывное 254, 255, 264
— пространственное 121, 168, 220, 289
— стратифицированное 120, 122, 196, 197, 220
— упруго-вязко-пластическое 296
Точка отрыва 255
Условие полной консервативности 472
Условия граничные 1 1, 32 — 35, 51, 53, 139, 146, 149, 157, 204, 209, 219
— — для вихря 132, 134
— — «мягкие» 157, 159, 170
— — однородные 1 33, 201
— краевые 24, 32, 33, 46, 52, 68, 69
Условия Куранта 36, 226'
— устойчивости разностных схем 491, 492
Уравнение Больцмана 349, 373, 380
— Колмогорова 358
— Навье —Стокса 42, 66, 71, 72, 98—101, 111, 120—122, 132, 139, 169, 177, 178, 180, 186, 197, 203, 225, 295
— пластического течения 296
— Пуассона 135
— Рейнольдса 70
— реологическое 295
— состояния 28, 34, 94
— Эйлера 24, 26 27, 71, 93, 102, 109
— — вихревые 93
— эллиптико-гиперболического типа 23, 24
Установление по времени 449, 455
Устойчивость гидродинамическая 121, 176, 241
— разностных схем 238, 437 — 440, 442, 443, 455, 473, 474, 492, 499
Форма дивергентная 436, 437, 442, 475, 500
Формула прямоугольников 238
Цилиндр 146, 148 — 151, 157, 161, 167, 208, 211—218
Число Киудсена 348, 382, 386
— Куранта 504, 508
— Маха 400 — 405, 409 — 417, 449 — 455, 458, 459, 462
— Рейнольдса 10, 24, 39, 64, 68, 70, 71, 98, 100—102, 1 1 1, 120, 121, 136, 150, 151, 153, 161, 166—170, 179 — 181, 186, 188, 189, 192, 195, 204, 211, 409 — 418
— — критическое 179, 180
— Струхаля 214, 219
— Фруда 204, 207, 209
— — частотное 209
Эксперимент вычислительный 10, 17
Эргодичность 372
Ячейки дробные 32, 38, 41. ЛЗ- 45, 46, 68
Олег Михайлович БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД
Редакторы И. В. Викторенкова, В. В. Марков Техи. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева, М. Л. Медведская
ИБ № 12226
Сдано в набор 09.04.84. Подписано к печати 06.11.84
Т-21337. Формат 60х90*/1<« Бумага для глубокой печати с мелов ям покрлгнем
Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 32,5. Усл. кр.-отт. 32,5. Уч.-изд. л. 37,36. Тираж 5150 экз. Заказ № 2890. Цена 5 р. 50 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция
-физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113054 Москва, Валовая, 28
Отпечатано во 2«ой типографии изд-ва «Наука».
121099 Москва, Шубинский пер., 10. Зак. 847