/
Текст
ТНЕ Л О Е1 К О V 8 К У
СЕМК А1 1М8Т1Т17ТЕ РОК А Е К О Н V В К О О V Ы А МI С §
1’гоЕ И. Е. ЮиКОУЗКУ
♦
СОЬЬЕСТЕО РАРЕК8
ЕЕСТ1ШЕ8
755ЧЕ 7
ТНЕОКУ ОР АТТРАСТЮМ
Н V О К О М Е С Н А ЫIС 8
Ебйей Ьу ргоЕ А. Р. КОТЕЕМ1КОУ
РЕОРЕЕ’8 СОММ188АК1ЛТ ОЕ АУ1АТЮМ 1№Е18ТКУ ОР ТНЕ Е88К
8ТАТЕ Р0ВЫ8Н^0 НОН8Е ОР ОЕРЕ1МСЕ 1КО08ТКУ
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
им. проф. Н. Е. ЖУКОВСКОГО
Проф. Н. Е. ЖУКОВСКИЙ
ПОЛНОЕ
СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ
ЛЕКЦИИ
ВЫПУСК 7
ТЕОРИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
ГИДРОМЕХАНИКА
Под редакцией проф. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА
НКАП СССР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ОБОРОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
О ЗАК.).*ЧЧ
жи'^
4 6 / з У/
+ 5 КЪ
'НИГЛ ПП .
Н. Е. Жуковский
в студенческие годы
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этом томе помещены лекции Н. Е. Жуковского: по теории
притяжения, гидростатике и гидродинамике, которые он читал
в Московском университете, начиная с 1885 1886 гг. Суще-
ствует несколько литографированных изданий этих лекций, но
печатаются они впервые.
В распоряжении редакции настоящего печатного издания
имелось три литографированных издания лекций по теории
притяжения (1889, 1892 и 1914 гг.), отличающихся друг от
друга только качеством чертежей. В настоящем издании воспро-
изведены хорошие чертежи издания Родзевича 1914 г.
По гидростатике и гидродинамике редакция имела лито-
графированные издания лекций, выпущенные в свет в 1890,1893 гг.,
и еще третье издание, год которого не указан. Эти издания,
сходные между собой по содержанию, отличаются друг от
друга редакцией некоторых мест и выбором примеров. При
подготовке к печати настоящего тома все эти издания были
использованы, причем редакция выбрала наиболее удачное изло-
жение отдельных мест литографированных лекций; примеры же,
помещенные в различных изданиях, все включены в настоя-
щий том.
Заканчивая настоящим выпуском издание полного собрания
сочинений проф. Н. Е. Жуковсйого, редакционная коллегия
считает необходимым отметить, что значительная доля ответ-
ственной работы по изданию проделана Надеждой Матвеевной
Семеновой, выполнившей следующие работы подготовку рукописи
и ответственную корректуру всего издания (кроме томов II и III)
проверку всех дат и составление библиографических примечаний
к статьям, систематическое научное наблюдение за печатанием.
Тщательная и аккуратная работа Н. М. Семеновой в значитель-
ной мере способствовала высокому качеству издания— почти
полному отсутствию опечаток в нем.
ТЕОРИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
I
I
ГЛАВА I
ПРИТЯЖЕНИЕ ТОЧКИ, ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ И ТЕЛА
§ 1. Общие формулы теории притяжения. Пусть две мате-
риальные точки А и В (фиг. 1) взаимодействуют друг на друга
по линии, их соединяющей, пропорционально массам и пропор-
ционально некоторой функции расстояния /(г) Если массы этих
точек назовем через т и т', а силу взаимодействия через Р,
то для этой силы будем иметь выражение:
где р. есть некоторый фактор пропорциональности. Сила взаи-
модействия может быть притягательная или отталкивательная,
что указывается ее знаком.
Пусть имеем сплошное тело М (фиг. 2), которое притяги-
вает материальную точку т массы, равной единице, пропорцио-
нально массам частиц тела и некоторой функции расстояния /(г).
Для нахождения силы взаимодействия этого тела на матери-
альную точку поступаем так. Разбиваем все тело плоскостями,
параллельными плоскостям координат, на бесконечно малые пря-
моугольные параллелепипеды и определяем силу действия массы
каждого параллелепипеда на материальную точку, а потом ищем
равнодействующую всех этих сил, которые, очевидно, будут
иметь равнодействующую, так как все они приложены к одной
материальной точке
Назовем координаты точки т через л, у, г. а бесконечно
малого параллелепипеда т' через В, ть С. Масса т' выразится
произведением объема на объемную плотность
т'
Сила притяжения точки т точкой (г. е. бесконечно малым парал-
лелепипедом) пг' будет:
йР = «1 тт'/ (г) = «гр бР с1^ б/'С / (г)
(мы берем т = 1). Компоненты этой силы по осям найдем, умно-
жая выражение силы на косину.
Фиг. 3.
ы ее углов с осями координат.
Но косинусы углов получим,
если из координат притягиваю-
щей точки вычтем соответст-
вующие координаты притяги-
ваемой и полученную разность
разделим на расстояние меж-
ду точками. Так, если притя-
гивает точка А (х,у,г) (фиг. 3),
то СО8 (Р, л) положителен, и из
прямоугольного треугольника
АВС имеем:
соз(Р, х) — х
если же притягивает точка
и мы получим:
СО8(Р', Л)
В (с, С), го сов (Рх) отрицателен,
Таким образом компоненты силы йР по осям координат
будут:
ах
а у = аХ=р /(г),
(12-= г~С/(г).
Компоненты по осям силы притяжения всего тела выразятся
тройными интегралами от написанных выражений, распростра-
ненными на все параллелепипеды:
х = — I р/(Г)—сП сП,
У = и ['Ц^(г)у^сПаг>сК,
2 = — н / \р/(г) аг а..
формулы (2) выведены для сил притяжения; если имеются силы
отталкивательные, то для них получаются те же результаты,
но обратными знаками.
§ 2. Потенциальная функция для сил притяжения телом
материальной точки. Теорема. Если какое-нибудь тело взаи-
модействует на материальную точку, то сила притяжения,
и мест силовую функцию, т. е. всегда компоненты, силы
являются частными производными по соответствующим коор-
динатам от некоторой функции координат.
Это предложение мы докажем для того случая, когда точ-
ка находится вне тела, так что г ни в каком случае не обра-
щается в нуль. Пусть:
аг.
Возьмем от функции Ф(г) частные производные по координатам
х, у, г, причем будем выражать г через координаты-
г - [(X - ;)2 + (у-ф2!-(г ;ЛТ
Тогда частная производная по х
дх 74 'дх а \ / г
Пользуясь этим, выражение компонента X в формулах (2) мож-
но написать так:
х -^ (Ц^^^а-^а-..
Легко усмотреть, что частные производные от функции:
и " //'/' ф^а'аг‘а",
по координатам х, у, г точки т будут компоненты силы. Дей-
ствительно, взявши производную от и по х:
%
получим ту же формулу, которой выразился компонент силы X.
Отсюда следует, что:
у ди у ди 7 _ди
дх 7 г оу ' 02
Таким образом, каков бы ни был закон притяжения, сила притя-
жения всегда имеет силовую функцию.
Теорему эту можно считать доказанной лишь для того сли-
чая, когда притягиваемая точка находится вне притягивающего
тела. Если же точка лежит в самом теле, то потинтегральная
функция в формулах (2) и в выражении V для прилегающих
к точке элементов может обратиться в бесконечность (для сил,
обратно пропорциональных положительной степени расстояния),
и интегралы в этом случае подлежат особому исследованию.
Укажем, во что обращается силовая функция 17 для некото-
рых сил притяжения. Для сил, прямо пропорциональных рас-
стоянию, когда /(/") = Л имеем:
Ф (г) = у гйг = ~ ,
и силовая функция выразится так:
(3)
Для сил Ньютонианского притяжения, т. е. притяжения, обрат-
но пропорционального квадрату расстояния, /(г) = -Д, и мы бу-
дем иметь:
= 7
Силовая же функция выразится так:
+ (4>
§ 3. Закон притяжения, пропорционального расстоянию.
Интегрирование формул (2), совершаемое кубатурой, представ-
ляет довольно сложную операцию при большинстве законов
притяжения /(г), которая тем сложнее, чем сложнее форма
гела Но существует один закон, когда интеграция не зависит
от формы тела, именно, когда сила притяжения прямо пропор-
циональна расстоянию, так что /(г) = г
Если в формулах (2) заменим в выражении для Х,/(п через
г, то выражение этого компонента по сокращении примет вид-
х = - ; Г Г Г? (л - *) аг а^ аг.
Разбиваем вторую часть на два интеграла и, заметив, что х
не зависит от переменных ;, т], С, представляем выражение для
X так:
X = -^^///рага^а: ^^ага^аг].
Замечаем, что: ^^рага^аг^м, У у у ^агачаг = м-г,
где М— масса притягивающего тела, а ? — координата центра
тяжести; поэтому:
Х=-р/И(л Т),
У = — у. М (у - к;),
X ?).
Вот формулы, выражающие компоненты силы притяжения телом
массы М материальной точки, масса которой единица. Сама
сила выразится так:
Р = /X2 + У2 + 22 =
= р/И| (Л ~Г)2 + (У - Т)2 = р/И/?, (5)
где /? — расстояние точки от центра тяжести притягивающего
тела. Косинусы углов этой силы с осями координат будут, сле-
довательно, равны:
х _ (х-Т) _г (»'-?) х (г-с)
р ~ р ’ р р > р р '
Если мы вообразим, что в центре тяжести С(с, т(, С) наше-
го тела (фиг. 2) сосредоточена вся его масса, то сила, с кото-
рой эта точка будет притягивать данную точку т при том же
законе притяжения, будет как раз [т = 1]:
Р = у.М%
Отсюда следует:
Теорема. При силах, пропорциональных расстояниям,
тело, какой бы оно ни было формы, притягивает материаль-
ную точку так, как ее притягивал бы при том же законе
центр тяжести тела, в котором сосредоточена вся масса тела.
Если бы в природе существовал закон притяжения, пропор-
ционального расстоянию, то, как мы видели, исследование его
было бы чрезвычайно просто. Но на самом деле в природе
имеет место закон Ньютона. Этим законом мы и будем интере-
соваться в дальнейшем.
Будем рассматривать тела однородные, для которых плот-
ность р - величина постоянная. Кроме притяжения телами, рас-
смотрим также притяжение материальными линиями и поверх-
ностями. Материальную линию будем считать пределом тела,
когда два измерения его делаются бесконечно малыми. Масса
элемента длины с1з материальной линии выразится через р'с?$,
где р' есть плотность, отнесенная к единице длины. Под мате-
риальной поверхностью будем подразумевать предельный случай
материального слоя, заключенного между двумя параллельными
поверхностями, толщина которого уменьшается до нуля. Если
выделим элемент площади (/о, то масса этого элемента будет
р'7/з; здесь р* есть плотность, отнесенная к единице площади.
§ 4. Закон притяжения Ньютона. Притяжение телом весьма
удаленной точки. Имеем некоторое тело (фиг 4), притягиваю-
щее весьма удаленную точку М единицы массы. Выразим по-
тенциальную функцию силы притяжения. Возьмем в этом теле
начало прямоугольных осей координат О и назовем координаты
притягиваемой точки через х, у, г. Если текущие координаты
точки С тепа назовем через ;, т(, С,
Фиг. 4.
расстояние этой точки от
притягиваемой точки че-
рез г, то для потенциаль-
ной функции будем иметь:
Назовем через рас-
стояние притягиваемой точ-
ки от начала координат,
через 0 угол между /? и
осью г, наконец, через с₽
угол, который образует с
осью х проекция на пло-
скость ху. Как известно,
при этом имеют место со-
отношения:
X =/?81П 6 СО8 Ф, у’—/? 81П 6 81П Ф, % /?СО8^.
Пользуясь этими соотношениями, преобразуем знаменатель в под-
интегральной функции. Заменим /? его значением и раскроем
квадраты:
/=[(% Е)2 + (у__7])2 + (г. Г)2]-Г =
г2 2(Л'+^ + г') + ;24-Ч2 + Л 2
Заменяя л, г, г их значениями и заметив, что
х2+у/2 + г2 /?2,
имеем:
1 _ 1
г ~ 2/? (: 81П 6 СОЗ Ф + ') 81П 6 81П Ф 4 С СО8 0) 4~62 4 т(2 4 ',а\ 2 =
И 1 0 9 соз ф 4 т) 81п 9 81П V -г С соз 0) 4 ~2- |
Разлагаем выражение, стоящее в скобках, в ряд, получаем:
у- = [1 + с 81П 9 соз ф + Т, 81П 9 81П ф 4 С соз 9) 4 ~ |,
где А означает сумму остальных членов ряда, из которых выне-
сено за скобки ~^2 . Подставляя это в потенциал, найдем:
У — Д У I сК (1\ (1Г- + [31П 9 соз Ф У У р 4
-г зш 9 81и ф уу(1^ 4 соз 9ууурс ас] 4 ’
где
& = }>//
Из пол) ценной формулы видно, что с возрастанием /?, 1/
уменьшается и при /? = эо и обращается в нуль. Допустим
теперь, что /? не есть оо , а некоторая весьма большая величина,
так что ~ . СУТЬ бесконечно малые величины первого
порядка, второго порядка и т. д. Ограничиваясь в выражении
потенциальной функции бесконечно малыми величинами первого
порядка, найдем:
и = (6)
где /И — масса всего тела. Эта формула показывает, что за
потенциал тела на бесконечно удаленную точку может быть
принят потенциал любой точки тела, в которой сосредоточена
вся масса тела, на упомянутую точку, причем будет сделана
ошибка порядка .
Если бы за начало
тягивающего тела, то
тем обратились бы
координат мы взяли центр тяжести при-
тогда в ряде для I] члены с множите-
В нуль, потому ЧГО при ; — — О И
I ] ~
Поэтому, если за потенциал тела примем потенциал не произ-
вольной его точки, а центра тяжести, то делаемая при этом
ошибка будет порядка
Что касается силы притяжения, которая есть
р (1Ц______ __ р_М /уч
н “ ах “ 7?2' ’ ' '
то она есть бесконечно малая величина порядка Допуская,
что тело притягивает, как любая из его точек, мы делаем
ошибку порядка , если же примем, что тело притягивает.
как его центр тяжести, в кото-
ром сосредоточена вся масса, то
происходит ошибка порядка Л
§ 5. Притяжение материаль-
ной дугой круга точки, поме-
щенной в ее центре. Пусть
имеем дугу круга АВ (фиг. 5) и
материальную точку массы еди-
ница, помещенную в центре
круга О. Назовем плотность,
отнесенную к единице длины,
Фиг. 5.
через Элемент с1з, масса которого есть притягивает
точку О силой --рд^- , где р —некоторый коэфициент притяже-
ния, а — радиус круга. Проведем средний радиус ОС, который
пусть образует с ОВ угол а. Легко заметить, что равнодействую-
щая сил притяжения всех элементов направлена по оси ОС.
Поэтому, если мы спроектируем силу притяжения дз на направ-
ление ОС и возьмем интеграл от проекции, распространенный
на все элементы дуги АВ, то и получим равнодействующую.
Называя силу притяжения дуги АВ через Р, имеем:
+«
Р = I СО8 С.
СГ
—а
Заметив, что = по подстановке получим:
Р = у* соз (1ц = | 81п ;
—а —а
откуда:
р = 2ар'8»па (8)
а * 1
При а = , т. е. когда АВ есть полуокружность, сила притя-
жения есть:
р = 2^
а
§ 6. Притяжение материальной прямой. Пусть имеем некото-
рую материальную прямую АВ (фиг. 6), плотность которой,
отнесенная к единице
длины, есть /, и некото-
рую материальную точ-
ку О единицы массы.
Ищется сила притяжения
прямою АВ материальной
точки. Соединим точку О
с концами А и В данной
прямой и, опустив из О
перпендикуляр Н на АВ,
опишем из О, как из
центра, дугу круга ради-
усом Н. Пусть эта дуга
пересекает прямые ОА
и ОВ в точках Г) и С Докажем, что сила притяжения прямою
АВ точки О равна силе притяжения той же точки дугою ОС.
Отложим для этого элемент дз, концы которого соединим с О
прямыми аО и ЬО, пересекающими дугу ОС в точках с1 и с\
_ г _ ас-рь
5 Ос СО8 а 9
проведем через с прямую с/ параллельно аЬ Из подобных тре-
угольников О/с и ОаЬ следует соотношение:
аЬ _ ОЬ
/с Ос ’
откуда /с. оъ
аЬ--Ос
Но (С = ПОЭТОМУ
’ СОЬ <3
аЬ
где (1с есть элемент дуги ОС, который назовем через На-
пишем выражение силы, с которой притягивает элемент аЬ
точку О; оно есть: рр' Заменив (18 его значением, имеем:
, (1с-ОЬ , аз'
(ОЬ)2Ос сов а ОЬ созавй ’
но ОЬ • соз а = И, так как углы /ей и ЬОМ равны, как углы
с перпендикулярными сторонами; поэтому
, аз' ______ , аз'
О&-СО5Я-/2 Л2 ’
а это есть сила, с которой притягивает элемент йзг дуги круга
точку, помещенную в его центре О. Отсюда следует:
Теорема. Материальная прямая притягивает матери-
альную точку так же, как материальная дуга той же пло-
тности, заключенная внутри угла, под которым из данной
точки видна прямая, и проведенная из этой точки, как из
центра, радиусом, равным расстоянию точки от прямой.
Итак:
о , 6
2р.р'51П -
р =—
К 9
где 6 есть угол АОВ
Из этой теоремы следует, что бесконечно длинная прямая
притягивает материальную точку, как соответствующая полу-
окружность свой центр, т. е. сила притяжения бесконечной
прямой есть
р = 2^Р'
к 9
где Н есть расстояние притягиваемой точки от прямой.
Определим линию уровня (равной силовой функции) для
случая притяжения отрезка прямой. Как известно, линиями и
поверхностями уровня называют линии и поверхности, обладаю-
щие тем свойством, что они во всех точках перпендикулярны
к направлениям сил. Пусть имеем прямую АВ (фиг. 7), которая
Н. Е. Жуковский, вып. 7—407—2 17
равная силе притяжения той же
притягивает точку О. Если теперь примем точки А и В за
фокусы и построим эллипс, проходящий через О, то для всех
точек, находящихся на этом эллипсе, сила притяжения отрез-
ком АВ будет перпендикулярна к эллипсу, так как эта сила,
точки дугой СО, делит угол
радиусов-векторов внутрен-
ним образом попола ;сле-
довательно, в данном случае
эллипс есть линия уровня.
Решим еще следующую
задачу. Имеем две беспре-
дельные полупрямые А и В
(фиг. 8), направленные по
одной и той же линии; из
них прямая А притягивает
точку О, а прямая В оттал-
кивает ее. Найдем линию
уровня.
Опускаем перпендику-
ляр А из О на направле-
ние данных линий и, опи-
сав окружность этим пер-
пендикуляром из О, заме-
чаем, что линия А притяги-
вает точку О, как дуга
круга СР, где С и Р суть
точки пересечения дуги
круга с прямыми, соединяю-
щими точку О с концами
линии А, причем одна из
этих прямых параллельна
А, так как один конец А
уходит в бесконечность.
Подобным образом и прямая В отталкивает точку О так же,
как отталкивает дуга ОО. Если построим дугу РЬ, равную и
противоположную дуге ОО, то легко видеть, что сила оттал-
кивания дугой ОО может быть заменена силой притяже-
ния дугой РЬ, так что все действие прямых А и В может быть
заменено притяжением точки О дугой СРЬ. Равнодействующая Р
делит угол АОЬ пополам или же пополам угол ВОА внешним
образом. Так как нормаль к гиперболе обладает тем же свой-
ством, т. е. делит угол между радиусами-векторами внешним
образом пополам, то отсюда заключаем, что искомая линия
уровня есть гипербола, имеющая фокусами концы А и В дан-
ных прямых.
§ 7. Притяжение материальной площадью. Имеем пла-
стинку М (фиг. 9) какой-нибудь формы, равномерно покрытую
материей, и некоторую точку О единицы массы, которую при-
тягивает упомянутая пластинка Вместо всей силы притяжения
18
мы определим нормальную ее составляющую. Опустим из точки О
перпендикуляр на плоскость пластинки и примем этот перпен-
дикуляр за ось 2. Выделим элемент площади б/з и построим
малый конус, соединив контур с1з с О. Сила притяжения элемен-
том йз точки О есть —, где г есть расстояние точки О от
элемента Л; нормальная составляющая этой силы есть:
, /у рр (1с ~
ал = —-2 соз О
Преобразуем выражение этой силы. Проведем из точки О сферу
радиусом, равным единице, которая пусть высекает из конуса
элемент площади (фиг. 10). Если пересечем конус в точке а
плоскостью, параллельной плоскости пластинки, так что полу-
пим элемент йо', то на основании того, что площади парал-
лельных сечений конуса относятся как квадраты соответствен-
ных расстояний от вершины, будем иметь:
ас г2 , , , 2
. = или аз—аз
(1~ 1
Но Ло = д!а'со8 9, где 6 есть угол между перпендикулярами
к элементам йз' и йм>, откуда й<з = — ~и , а потому: йз = •
Подставив это в выражение нормальной составляющей, имеем:
йХ = ар" ~ СО8 9 = б/со.
Нормальная составляющая X силы притяжения всей пластинки
выразится интегралом от йЕ. распространенным на всю пла-
стинку, т. е.
2 — |лр" у ^й®.
Фиг. 11.
Интеграл от даст нам часть поверхности сферы, описанной
из О радиусом, равным единице, высеченную конусом, имеющим
основанием пластинку и вершиною точку О. Называя эту часть
сферы через 2, имеем:
2=^/2. (Ю)
С другой стороны, 2 есть тот угол, под которым виден контур
пластинки из точки О, и называется телесным углом. Итак:
Теорема.
Плоская материальная пластинка конечных размеров при-
тягивает по нормали материальную точку единицы массы
с силой X = р-р"2, где 2 есть телесный
угол, под которым виден контур пластин-
ки из притягиваемой точки.
Найдем притяжение точки бесконечно
большой материальной площадью. Вообра-
зим, что имеем кружок М (фиг. 11), кото-
рый притягивает точку, находящуюся на
его оси; по предыдущему будем иметь:
Р =
где 2 — телесный угол, под которым виден
контур кружка из притягиваемой точки.
Пусть теперь радиус кружка а увеличи-
вается беспредельно. При этом будет уве-
личиваться и телесный угол 2 и стремить-
ся к поверхности полусферы радиуса еди-
ницы, так что при а — оо, 2 будет равна 2^.
Следовательно, сила притяжения бесконечной материальной пло-
щадью есть:
Р = 2кир";
она не зависит от расстояния материальной точки от площади.
§ 8. Притяжение
бесконечным плоским
материальным слоем
конечной толщины.
Решим еще следующий
вопрос. Определим
притяжение мате-
риальной точки беско-
нечным материальным
слоем конечной толщи-
ны, заключенным меж-
ду двумя параллель-
ными плоскостями.
Имеем бесконеч-
ный слой И (фиг. 12) фиг- 12-
толщины а, который
притягивает точку О, находящуюся на расстоянии Ь от него.
Разобьем этот слой на бесконечно тонкие слои толщины аг,
которые можем принять за материальные площади. Сила притя-
жения каждого такого слоя по предыдущему выразится так:
ар = 2^",
где г" есть плотность, отнесенная к единице площади Если
плотность объемную назовем через р, то между объемной плот-
ностью и плотностью, отнесенной к единице площади, будет
иметь место соотношение р</г = р". Поэтому выражение аР
можно написать так:
аР — 2дрр а?.
Это есть сила притяжения бесконечно
же притяжения всего слоя выразится
интегралом от аР в пределах от Ь
до Ь + а, т. е.:
Ь+а
р = 2кио I* с!х = 2ъщ>а. (11)
ь
Следовательно: сила притяжения
бесконечным материальным плоским
слоем внешней точки зависит толь-
тонкого слоя йг. Сила
Фиг. 13.
ко от толщины слоя и не зависит от расстояния притяги-
ваемой точки от слоя.
Посмотрим, каково притяжение в том случае, когда притя-
гиваемая точка находится внутри слоя.
Разобьем данный слой М (фиг. 13) плоскостью, параллельной
основанию слоя и проходящей через притягиваемую точку т,
на два слоя; из них один слой будет толщины г, а другой
толщины а - г. Материальная точка т по отношению к двум
полученным слоям внешняя. Следовательно, по предыдущему,
силы притяжения этих слоев выразятся так:
Рх = 2^<лр (а — г) и Рп = 2ттрг.
Заметив, что эти силы прямо противоположны, для равнодей-
ствующей их будем иметь:
Р = 2яирг — (а — г) = 2тшо (2г — а)
(12)
Полученный результат показывает, что сила притяжения в
данном случае зависит от места точки т внутри слоя. При
г = ~2~’ Р = 0, т. е. тогда слой совсем не притягивает матери-
альной точки; при ?>-|-- сила притяжения направлена вниз, а
при г < ----вниз.
§ 9. Притяжение бесконечно длинными цилиндрами Имеем
бесконечно длинный цилиндр произвольной формы (фиг. 14) и точ-
ку т. Вырежем из данного цилиндра бесконечно тонкий цилиндр,
который можно принять за материальную прямую. Как было пока-
зано. бесконечно длинная прямая притягивает точку силой
2|^р, где г/ есть плотность, отнесенная к единице длины, а г
расстояние. Если объемную плотность цилиндра назовем через р,
то р' = рб7о, где оЪ есть элемент
площади, служащей основанием
бесконечно тонкому цилиндру.
Пользуясь этим, силу притяже-
ния бесконечно тонким цилинд-
ром можем представить так:
Фиг. 14.
—. Проведем через точку т
плоскость, перпендикулярную
к цилиндру. Она высечет из ци-
линдра площадку М Положим,
что эта площадка покрыта рав-
номерно материей так, что плот-
ность, отнесенная к единице пло-
щади, -равна удвоенной объем-
ной плотности, т. е. о" = 2р. Сила
рр" а
Г
представит тогда силу притяжения элементом площади с1а этой
пластинки материальной точки т по закону, обратно пропор-
циональному расстоянию. Взяв от с1Р интеграл, распространен-
ный на всю площадь пластинки Н, получим силу притяжения
всей пластинки, которая будет равна силе притяжения всего
бесконечно длинного цилиндра. Отсюда следует:
Бесконечно длинный цилиндр притягивает материальную
точку по Ньютонаанскому закону так, как эта точка притя-
гивается по закону, обратно пропорциональному расстоянию,
материальной площадью, полученной от сечения цилиндра ор-
тогональною плоскостью, проходящей через притягиваемую
точку, если предположим, что плотность, отнесенная к еди-
нице площади, равна двойной объемной плотности цилиндра.
На основании этого, вместо того, чтобы рассматривать при-
тяжение по закону Ньютона бесконечно длинными цилиндрами,
можно рассматривать притяжение точки материальными площа-
дями, лежащими в плоскости этой точки, по закону, обратно-
пропорциональному расстоянию.
§ 10. Притяжение бесконечно длинным круглым цилиндром.
Постараемся определить притяжение бесконечно длинным круг-
лым цилиндром. На основании сказанного будем рассматривать
притяжение материальной точки по закону, обратно пропорци-
ональному расстоянию, площадью круга, равномерно покрытого
массою так, что поверхностная ее плотность равна двум объ-
22
емным плотностям цилиндра. Так как всякую материальною
круговую площадь концентрическими кругами можно разбить
на материальные окружности, то рассмотрим сначала притяже-
ние точки материальною окружностью.
Имеем материальную окружность радиуса а (фиг. 15), кото-
рая притягивает точку /И, находящуюся от центра окружности
на расстоянии 5. Элемент дуги с1з, масса которого есть р' • йз
(о линейная плотность), притягивает точку /И силой:
|Лр' (18
где г расстояние 7И от рассматриваемого элемента. Равнодей-
ствующая сил притяжения всех элементов очевидно будет на-
/Л Л/ о !*р'
правлена по ОМ; поэтому мы ее найдем, проектируя — на
направление ОМ и взяв интеграл от полученного выражения,
распространенный на все элементы с1з Называя искомую силу
через Р, а угол между г и ОМ через 6, имеем:
г-, / (18 г\
Р = / — СОЗ 6.
Преобразуем подинтегральную функцию. Проведем через А пря-
мую, составляющую угол 0 с радиусом ОД круга. Эта прямая
пересечет ОМ в точке С, место которой постоянно для данной
точки М9 какой бы элемент йъ мы ни рассматривали. Действи-
тельно, из подобия треугольников ОД С и Д/ИО, имеющих рав-
ные углы, вытекает, что
ОС __ АС _ОА
ОА ~~ АМ ~ ОМ ’
ИЛИ
ОС_ АС ^а
а г % ’
отсюда следует, что ОС Л = а2. Так как 2 постоянно для данной
точкй /И, то и ОС постоянно. Точки М и С называются в гео-
метрии взаимными и обладают тем свойством, что поляра одной
из них проходит через другую.
Назовем угол АС с ОМ при С через <₽ и, приняв этот угол
за независимое переменное, выразим через величины, входя-
щие в выражение для Р. Соединив В с С, опишем из С, как
из центра, дугу круга радиусом С А. Дуга АЕ, соответствующая
бесконечно малому углу равна АС • с другой стороны,
АЕ = АВсозВАЕ или АЕ = ^«созО. Поэтому
АЕ АС с!®
соз 4 соз Ь
Подставляем в подинтегральную функцию для Р найденное зна-
чение с1з:
АС И® соз 6
соз Ь г
т т АС а
Но мы имели - = —; поэтому:
Р = ир'-|-
Интеграл нужно распространить на всю окружность: поэтому
пределы интеграции будут 0 и 2~, так
что
2г
, а Г , ар' 2тш
р=м> 5 = —.
о
Но р' • 2-а = т, где т — масса всей
окружности, следовательно,
Р = ^. (13)
Итак, материальная окружность
С' притягивает внешнюю точку по зако-
Фиг. 16. ну, обратно пропорциональному рас-
стоянию, так, как будто вся масса
окружности сосредоточена в ее центре, и центр действует
на материальную точку по тому же закону.
Покажем, что материальная окружность при законе, об-
ратно пропорциональном расстоянию, внутренней точка не
притягивает. Пусть притягиваемая точка А (фиг. 16) лежит
где-нибудь внутри материальной окружности. Проведем две
хорды через точку А; они высекут из окружности два элемента
дз и посмотрим, как притягивают эти элементы данную
точку А. Во-первых, легко видеть, что силы притяжения тем
и другим элементом направлены по одной прямой, за которую
можно принять ВС, в противоположные стороны. Элемент д8
притягивает силой а элемент йз' силой Проведя ив
А радиусами АВ и АС дуги, заметим, что:
, АВ М , , АСМ
аз = —; , аз — —;.
8Ш а 8Ш а
По замене с1з и с1з' этими значениями в выражениях Сил при-
тяжения получим:
цр аз , а^ ар аз
я — = ао - — • -
АВ ‘ • 51П а ’ АС
, аь
0,0 —:— .
‘ ‘ 81па
Таким образом эти силы равны, а
уничтожаются, так как направлены по
воположные стороны. Так как
вся окружность может быть
разделена на такие пары эле-
ментов, то ясно, что равнодей-
следовательно, взаимно
ствующая притяжения
окружности есть нуль,
рема доказана.
Определим теперь
притяжения сплошного
всей
Тео-
силу
мате-
риального круга. Разобьем
площадь круга (фиг. 17) кон-
центрическими окружностями
на бесконечно тонкие кольца,
одной
прямой в проти-
/У
Фиг. 17.
которые можно рассматривать, как материальные окружности,
массы которых назовем через с1т Каждая такая материальная
окружность притягивает внешнюю |точку М силой . Сила
притяжения всех окружностей будет:
а Г ц.М
где М масса всей площади круга. Называя поверхностную
плотность через о", для М будем иметь: Л4 = тп22р"; поэтому
ар" тел2
Р =
(14)
Пусть теперь материальная точка находится на самой площади
круга в М\ Проведя через ЛГ круг из центра О, увидим, что
точку Мг будет притягивать только круг радиуса ОМ', так
что сила притяжения будет:
Р
}лр" я (ОМ)2 ир 'тс^2
= ар т:с.
(15)
е
Формула (15) показывает, что при законе, обратно пропорцио-
нальном расстоянию, материальный круг притягивает внут-
реннюю точку (и точку, лежащую на его окружности) прямо
пропорционально расстоянию точки от центра круга.
Рассмотрим притяжение плоского материального кольца. На
основании вышеизложенного, если притягиваемая точка лежит
внутри кольца, то кольцо ее не притягивает. Если точка нахо-
дится вне кольца, то вопрос решается по формуле:
р_____р-41
где /И
масса кольца, расстояние точки от центра кольца.
Разберем случай, когда притягиваемая точка находится на
кольце. Разбиваем данное кольцо (фиг. 18) окружностью кон-
центрического круга, проходящего через притягиваемую точку,
на два кольца, из которых внешнее точку притягивать не
будет. Что касается притяжения кольца /, то его определить
можем так Положим, что нашу точку притягивает сплошной
круг радиуса В и отталкивает сплошной круг радиуса а, где а
внутренний радиус кольца. Равнодействующая двух этих сил
будет, очевидно, сила притяжения кольца I. По формулам
(14) и (15) имеем:
Р = тгр-Ч' - ^"[1 й2) (16)
Мы знаем, что если поверхностную плотность р" заменить
объемной плотностью 2р, то задача притяжения материальной
площадью по закону, обратно пропорциональному расстоянию,
обращается в соответствующую задачу о притяжении беско-
нечно длинным цилиндром по закону Ньютона. Поэтому, если
имеется бесконечно длинное цилиндрическое кольцо (фиг. 19)
с радиусами а и Ь, то, пользуясь формулой (14), для силы при-
тяжения этим кольцом точки, найдем:
р___ итср" (Ь2 — а2) _ 2икр (Ь2 — а2) М 7)
Следовательно, бесконечно длинное цилиндрическое кольцо
внешние точки притягивает к своей оси. Внутренних точек это
кольцо совсем не притягивает. Что касается точек, находя-
щихся в самом теле кольца, то по формуле (16) оно их притя-
гивает силой:
Р = 2™.рх — 2™<, ~ . (18)
При а —0, т. е. когда имеем сплошной цилиндр:
Р = .
(19)
§ 11. Притяжение сфер. Задачу о притяжении сфер можно
вести таким же геометрическим путем, как и задачу о притя-
жении материальными площадями. Именно, сферический слой
можно разбить на бесконечно тонкие сферические слои и. таким
образом, задачу о притяжении сфе-
рическим слоем свести к задаче о при-
тяжении сферической поверхностью.
Рассмотрим два случая притяже-
ния поверхностью сферы: 1) когда
притягиваемая точка находится внут-
ри сферы и 2) когда она лежит вне
сферы. Покажем, что в первом слу-
чае поверхность сферы точки не
притягивает.
Итак, имеем поверхность сферы
(фиг. 20), равномерно покрытую мате-
рией, и точку С единицы массы, лежа-
щую внутри сферы. Построим беско-
нечно тонкий конус, имеющий вер-
шину в притягиваемой точке, кото-
рый вырезает из поверхности сферы
элементы сР> и йэ и котором} соответствует телесный угол с1&.
Усечем конус сферами, описанными из С, как из центра, радиу-
сами С А и СВ. Пусть эти сферы дают сечения I и II с конусом.
Так как площадь нормального сечения равна телесному углу,
умноженному на квадрат расстояния этого сечения от вершины
конуса, то площадь / = б/<о-ЛС2, площадь 11= • ВС2. Называя
угол между площадями 1 и через а, легко усмотреть, что
СОЗ а СОЗ а
или:
1 Део АС2 , , (1<л ВС2
аз = л
СОЗ а ’ СОЗ а
Элементы поверхности с1з и с1з' притягивают точк\ С по Нью-
тонианскому закону силами
ар'б/а __ ир' «До АС2 ______ ир'
АС2 АС2 соз а соз а
и
р-р' с1а _ р.р (1<л ВС2 ар'бЛо
ВС2 ВС* сс&а СОЗ а *
Таким образом элементы б/з и б/з' притягивают точку С рав-
ными силами; так как эти силы очевидно направлены по одной
прямой, за которую можно принять прямую АВ, в противо-
положные стороны, то они уничтожаются.
Итак, сферическая поверхность внутренней точки по Ныо-
тонианскому зако-
ну не притягивает.
Рассмотрим вто-
рой случай. Пусть
притягиваемая точ-
ка М (фиг. 21) на-
ходится вне сферы
на расстоянии В от
центра ее. Выделим
элемент поверхно-
сти б/з; этот элемент
притягивает точку
М силой:
Цр' бЬ
—7Г~ •
где г расстояние точки от рассматриваемого элемента. Равно-
действующая сил притяжения всех элементов пойдет по ОМ
и будет равна интегралу, распространенному на всю поверх-
ность сферы, от проекции силы притяжения элемента б/з на
линию О/И:
Р = /V/ уг соз 6 ,
где 9 есть угол между г и Проведем через точку А прямую
А^ под углом 6 к радиусу О А. Легко заметить, что треуголь-
ники ОА^ и САМ подобны, так как в них углы равны Из по-
добия их следует:
ОМ а АМ .
- “ —= откуда О1М- ОМ = а2 — сопз!,
а ОМ г > ’
т. е. точка имеет постоянное место на прямой ОМ, какой
бы элемент б/з мы ни брали. Вообразим, что все точки эле-
мента сЬ соединены с точкой ЛГ; называя телесный угол полу-
ченного тонкого конуса через б/со и пересекая конус сферой,
описанной из М радиусом А1Ч, будем иметь б/з = —, а = Ло АМ2,
а следовательно,
Подставляя найденное значение й- в подинтегральную функ-
цию, находим:
г. " Г сКо Д7У2 соб В „ > АМ2
р=',/- ; г^созо •
Но
4№ а2 я2
г2 — ОМ*~ 52 —С0П5*;
поэтому •
Р = М
Интеграл берется на всю поверхность сферы так, что сумма
элементов гй» дает 4~, т. е. поверхность сферы радиуса еди-
ница. Итак:
Р = 4^Р>±= , (20;
где М — 4ш2р"— масса всей поверхности. Эта формула может
быть выражена так:
Материальная поверхность сферы по закону Ньютона при-
тягивает внешнюю точку так, как ее притягивает по тому
же закону центр тяжести этой сферы, в котором сосредо-
точена вся масса поверхности.
Если имеется сферический слой, то, разбив его на беско-
нечно тонкие слои и рассматривая эти слои, как материальные
сферические поверхности, по формуле (20) найдем силу при-
тяжения для каждого бесконечно тонкого слоя, а следовательно,
и для всего слоя.
Если притягиваемая точка лежит внутри слоя, то, поступая
подобным же образом, легко убедиться, что сферический слой
внутренней точки не притягивает.
Рассмотрим теперь тот случай, когда притягиваемая точка
находится внутри сплошной материальной сферы. Имеем сплош-
ную сферу (фиг. 22) и материальную точку внутри этой сферы,
лежащую на расстоянии В от центра сферы. Разобьем эту сферу
концентрической сферической поверхностью, проходящей через
рассматриваемую точку, на сферический слой А и сплошную
сферу В. Сферический слой А, будучи внешним относительно
притягиваемой точки, не притягивает ее. Сфера же В притяги-
вает точку силой, которая по формуле (20) есть:
р = ^м
Но М = у поэтому:
о 4
(21)
Отсюда следует, что сплошная сфера при Ньютонианском при-
тяжении притягивает точку, находящуюся внутри (или на
поверхности} ее, силой прямо пропорциональной расстоянию от
центра.
Если имеется сферический слой, внутренний радиус которого
есть Ь (фиг. 23), то притяжение этим слоем точки, лежащей
в теле его, можно определить так: разобьем весь слой на
два — внешний и внутренний относительно притягиваемой точ-
ки. Внешний слой точки не притягивает. Притяжение внутрен-
него слоя может быть заменено притяжением сплошной сферы
Фиг. 22. Фиг. 23.
радиуса ; и отталкиванием сплошной сферы радиуса Ь, кото-
рые определяются по формуле (21), так что для искомой силы
притяжения будем иметь:
или:
(22)
Все сказанное о притяжении сферическим слоем матери-
альной точки позволяет графически представить изменение
силы в зависимости от положения притягиваемой точки внутри
слоя, в самом слое и вне слоя. Возьмем прямоугольные оси
координат ху (фиг 24) и будем откладывать на оси х расстоя-
ния В точки от центра слоя, а на оси у соответствующие силы
Р. Пока точка находится внутри слоя, т. е. пока В < Ь, где
Ь — внутренний радиус слоя, сила равна нулю. В промежутке
30
между В = Ь и В = а, т. е. когда точка находится в самом слое,
сила возрастает по закону
Далее, точка находится уже вне слоя, ; > а. сила убывает по
закону кубической гиперболы, выражаемой уравнением.
е2 •
§ 12. Аналитическое исследование притяжения сфер. Ис-
следуем вопрос о притяжении сфер аналитически. Имеем сферу
радиуса а (фиг 25), которая равномерно покрыта материей
Плотность, отнесенную к единице поверхности, назовем
Определим, чему равен потенциал поверхности сферы, частные
производные которого по координатам и будут компоненты
силы притяжения
Отнесем сферическую поверхность к полярной системе коор-
динат, имеющей полюс в центре сферы. Потенциал Ньютони-
анской силы притяжения в полярных координатах есть:
йз = площ. АВСО = АВ-ВО. Но АВ — а<ЛЬ, где а —радиус сферы;
ВО = ВЕ б/®. Из △ ОВЕ имеем: ВЕ = азтЪ, откуда ВГ)—
~ а. 81п 9 (1ф и
^- = аМа 81п 6(1® = а281П 6йу.
Подставляя это значение в выражение О, получим:
ГТ • С Га2 5*п в А®
Определим пределы интеграции. Изменяя угол 6 от 0 до ъ,
получим потенциал пояса ЛГ; изменяя после того угол ф от О
до мы обойдем всю поверхность сферы; следовательно:
- 2- г.
_. „ Г а2 8111 6 Г 1 о „ о С 5111 6
I) = I а21 ~ ~г *
0 0 о
Выразим переменное 6 через г. Из треугольника ОМВ имеем;
г2 = а2 + -2 2сй соз 6.
Диференцируя это равенство, получим:
Г (1г = СЁ 81П 6 йб,
откуда:
. л * г аг
зш 6 б/6 — —.
По подстановке в выражение потенциала, получим:
6=тс 6=п
= 2^ Г аг=2^Г аг
о=о о=о
Если притягиваемая точка внешняя, то пределам 6 = 0 и 0— -
соответствуют предельные значения: г = В — а и г — а\ по-
этому для потенциала внешней точки найдем:
1} = 2к;<а Г аг==2^р_ + а _ Е а);
?—а
откуда:
и = 4^'а^ = , (23)
где М — 4ка2р" есть масса сферической поверхности. В случае
внутренней точки г изменяется от а — В до « + ъ и Для потен-
циала имеем:
[у=2^рау’ ^2^(а+. а + 0.
(I—
откуда:
(24)
Мы видим, что потенциал для внутренней точки есть величина
постоянная; частные производные его по координатам, т. е.
компоненты силы притяжения, суть нули; следовательно, по-
верхность внутренней точки не притягивает.
Найдем теперь потенциал сплошной сферы и сферического
слоя. Разбивая сплошную сферу на бесконечно тонкие слои,
32
для потенциала сплошной сферы в случае внешней точки по
формуле (23) найдем:
(25)
где т есть масса бесконечно тонкого сферического слоя, а
/И — масса всей сферы. Полученная формула показывает, что
сплошная сфера внешнюю точку
притягивает, как одна матери-
альная точка, именно, как центр
тяжести, в котором сосредото-
чена вся масса сферы.
Для определения потенциала
сферического слоя можем по-
ступить так же. Имеем сфериче-
ский слой (фиг. 26) с радиусами
и /?2- Разбиваем этот слой на
бесконечно тонкие слои, тол-
щина которых пусть йа. Назо-
вем объемную плотность слоя
через р; для поверхностной плот-
ности тогда будем иметь: р* =
— рс1а. Если притягиваемая точ- Фиг. 26.
ка находится внутри слоя, то
потенциал каждого тонкого слоя определится по формуле (24),
а для потенциала всего слоя получим:
/?2
и ] 4т:р.р"а == 4тс|хр I а с1а =2тср.р (/?2 — /??).
#1 /?!
(26)
Для точки внешней потенциал каждого слоя определится по
формуле (23), и для полного потенциала получим:
л2 р3 — р3
г Т Г 4кр.р"а2 4лар / 9 л 4 ^2 'Ч
и=у -1—=-гУа с/а= з —~
Их Их
Заметив, что:
где М — масса всего
слоя, потенциал можем представить так:
т •
(27)
Наконец, если точка находится между крайними поверхностями
слоя, то, разбив слой концентрической сферой, проходящей
через притягиваемую точку, получим два слоя; для одного из
этих слоев точка будет внутренняя, для другого — внешняя.
Потенциалы этих слоев определятся формулами (26) и (27) и
И- Е. Жуковский, вып. 7—407—3 33
в сумме дадут искомый потенциал в такой форме:
и = 2тгрр (/?а — ;2) + з “Р-Р ~•
Решим следующую задачу. Определить притяжение
У.
е
-а
ной полусферой
находящейся у
дошвы.
(28)
сплош-
точки,
ее по-
Имеем полусферу ра-
диуса а (фиг. 27) и притя-
гиваемую точку, находя-
щуюся в О. Начало коор-
динат возьмем в притя-
гиваемой точке и распо-
ложим оси координат так,
чтобы ось х была направ-
Фиг. 27. лена вертикально вверх,
а плоскость хх была диа-
метральною плоскостью полусферы; сила притяжения очевидно
будет лежать в плоскости хх, так что компонент У = 0. Компонент
по оси х есть половина силы притяжения сферы; следовательно,
1 иМ 1 4 „ 2
2 = 2 з-^Р = Т^-
Для определения компонента силы притяжения по оси х от-
несем полусферу к сферическим координатам, имеющим полюс
в О и полярною осью ось Ох. Разбиваем полусферу на весьма
тонкие конусы, имеющие вершину в О. Элемент объема выра-
зится следующим образом:
(IV — Г М Г 81П 9 (1г — Г2 81П 9 йг
Он притягивает точку О силой
=,хр 8(П 0 с1г(1ч
Эта сила направлена по радиусу-вектору г, который составляет
с осью Ох угол 6, а его проекция на плоскость ух составляет
с осью Ох угол <р. Поэтому, чтобы найти составляющую по оси
2, нужно, спроектировав эту силу на плоскость ух, полученную
проекцию спроектировать на ось г. Тогда получим:
(IX = р-р 81п 9 (1г г/9 81П 9 соз ф.
Вся сила притяжения по оси х есть интеграл от элемен-
тарной силы (IX, распространенный на весь полушар, т. е.
= р.р У У'У 81П2 9 соз о» (1г йу М.
Определим пределы интеграции. Будем вести сначала интегра-
цию по бесконечно тонкому конусу А При этом г будет ме-
34
няться от 0 до ‘2а соз 0. Изменяя затем 6 от 0 до—, а дальше
$ _ от-----+ 2 > ПОЛУЧИМ интеграл, распространенный на
весь полушар. Следовательно:
• 2 2 2а СОЗ 9
7 = соз с1'ь у з!п2 6 М I с1г
г. ° о
' 2
Совершим самую интеграцию:
+ 2 ~2~
7 = ир соз ф у ею2 0 г/6 2а соз 6 =
_______ о
2
= 2щ>а § со§ ср 6/ф 8-п3— —у ща
о
2
Итак,
V
А = у ,
7 4
А — уарр.
+г
I 4 л
81П<? = — уЛр.р.
гс
”"2~
(29)
§ 13. Притяжение многогранников. Вопрос о притяжении много-
гранников может быть весьма просто решен помощью двух
теорем, из которых одна предложена проф Сомовым, а другая
Меллером.
Теорема Сомова относится к силе притяжения пирамидой
ее собственной вершины и заключается в следующем.
Теорема. Пирамида притягивает точку, помещенную в
ее вершине, силой, компонент которой по направлению высоты
есть: ^рА2, где Л — высота пирамиды, 2 — телесный угол, под
которым видно основание пирамиды из вершины, и ? —объемная
плотность.
Имеем пирамиду какой-нибудь формы (фиг. 28). Разбиваем
основание этой пирамиды на бесконечно малые площадки да,
которые соединяем с вершиной О; получим весьма тонкие пира-
мидки О да, для которых и ищем силы притяжения. Пусть со-
ответствующий одной из таких элементарных пирамид телесный
угол есть Элемент объема д*е, отстоящий от вершины на
расстоянии г, выразится произведением дг да', где да' — площадь
сечения пирамидки на расстоянии г от вершины. Из пропорции
№
г2 ~~ р
имеем: <7У = г2: а потому
(IV — с1г й(2 г2.
он притягивает точку О силой
(IV
г*
\ц(1г(19.
Сила притяжения всей пирамиды есть
У с1г с19,
причем г изменяется от 0 до , где О есть угол между г и
И Проектируя эту силу на направление И, которое примем за
направление оси найдем, что компонент силы притяжения
элементарной пирамидки по направлению высоты есть:
и
СО8 6
йХ= йг-Л'-Л сох Ч.
6
Замечаем, что ^2 и созб постоянны для рассматриваемой элемен-
тарной пирамидки; поэтому
п
(12. = ирб/2 СОЗ 6 Г (1г — СОЗ 6 //
о
Интеграция (12, распространенная на всю пирамиду, даст нам
искомую силу Х\
X == ирА У г/У =;>.рАУ. (30)
О
Теорема Меллера. Проекция силы притяжения много-
гранником внешней материальной точки на какую-нибудь ось
равна сумме произведений потенциалов всех граней многогран-
ника относительно рассматриваемой точки (полагая, что
поверхностная плотность выражается тем же числом, что и
объемная) на косинусы, углов внутренних нормалей граней с упо-
мянутой осью.
Пусть эта ось есть ось х. Если потенциалы граней многогран-
ника относительно притягиваемой точки назовем через О2,...,
Фиг. 29.
причем полагаем, что объемная плотность и поверхностная выра-
жаются одним и тем же числом, а углы внутренних нормалей
граней с осью х назовем через аъ а2,..., то теорему Меллера
можно выразить такой формулой:
X = С\с08 ах + 672со$ а2 4- ...
Рассмотрим сначала для общности тело, органиченное какой-
нибудь поверхностью. Пусть имеем такое тело произвольной
формы (фиг. 29), которое притягивает точку т (л, у, г).
Будем рассматривать это тело относительно осей хуг, из
которых ось х есть данная ось. Разбиваем тело плоскостями,
параллельными плоскостям координат ху и гх, на весьма тонкие
призмы, параллельные оси Ох. Эти призмы с обеих сторон тела
вырежут элементы поверхности ск>21.. . Объем элемента призмы
есть йъ — сила притяжения этим элементом равна
Рф у* 1
а^аг{йг-_. Проекцию этой силы на ось Ох получим, умножив на
С _
косинус угла силы с осью Ох, именно на ——тогда бу-
дем иметь:
Проекция силы притяжения всей призмы выразится так:
Весь же компонент по оси Ох будет:
Выполним интеграцию по ?. Легко показать, что
х == а_(х \
г3 а^\г) '
действительно:
У = [(; л)2 + (т-у/ + (:-2)2] 2
и
(1 / 1 \ йг~1 __„ аг 12. $ — х
а1^) = ~аГ= г г-22(г^) 22(е-л)= .
Пользуясь этим, выражение для X переписываем так:
Интеграл по ? распространяется на призму с основанием
причем г меняется от гх до г2,; поэтому:
х = —у ачаг' у = рр =
Если проведем нормали /гх и п2, то легко заметить, что
б?тг соз а1 = — с1з2 соз а2 .
Раскрыв скобки под интегралом, заменим тем и другим
значением; будем иметь:
б/а2СО8 а2'
Г~2 .
Интеграл
СО8 «!
берется для части тела, находящейся по левую сторону от кон-
тура Л, по которому цилиндр с образующей, параллельной оси
Ох, прикасается к телу; а интеграл
/ г а<^2 со» я2
для части тела по правую сторону этого контура; поэтому выра-
жение для А' можно переписать в виде:
V Г /’ СО8
где интеграция распространяется на всю поверхность тела.
Пусть теперь данное тело есть многогранник. В этом случае
вСе с1з представляют элементы граней многогранника, а все
углы а углы нормалей к граням с осью х. Но нормаль для
всех элементов одной и той же грани имеет одно и то же на-
правление, вследствие чего соз а для соответствующей грани
есть величина постоянная, — поэтому силу X можно представить
формулой:
х = соз ахуу соз а2 / /
где интеграция в первом слагаемом распространяется только
на первую грань, во втором только на вторую грань и т. д.
Если теперь положим, что объемная плотность равна поверхно-
Г Г &
стнои плотности, то легко усмотреть, что выражения № I I у—
потенциалы всех граней, на которые распространяется интегра-
ция. Называя эти потенциалы соответственно через 1У19
имеем:
X = и± соз аг ф- 672 соз а2 + 173 соз а3 + ...,
и теорема Меллера доказана. В силу этой теоремы определение
силы притяжения многогранника сводится к отысканию потен-
циалов его граней.
Рассмотрим один частный случай
определения потенциала плоской фи-
гуры, именно, найдем потенциал пря-
моугольного треугольника. К этому
случаю можно свести определение
потенциалов всяких многоугольников,
потому что всякий многоугольник
можно разбить на прямоугольные тре-
угольники.
Имеем прямоугольный треуголь-
ник АВС (фиг. 30). Найдем его потен-
циал относительно вершины А. Примем АВ за полярную ось, а
точку А за полюс и разобьем треугольник на малые площади
"з == г с1у • с1г. Тогда потенциал всего треугольника выразится
так:
= и I [р Г(1^аГ-
Здесь г меняется в пределах от нуля до , где с = АВ,
а - от нуля до а, где а = / ВАС. Совершим интеграцию
по г:
а СОЗ 4
и = ар С с!Ф / с1г = ЩС I •
./ У У СОЗ Ф
О о
Введем вместо ? угол ф, который с ф связан условием:
ф *—ф. Из этого условия имеем С08? = 81пф, с1и = — и,
следовательно, при = 0, ф = * , а при <₽ = а, ф = •*, где р = лАСВ.
Теперь потенциал I) выразится так:
или:
=,Л.,сг___________
7 51П ф ' <Ь Ф
" 2 8Ш5С08 о
2 ₽ 2 2
4 _•*!_
6/=!л?С Г 2 СОЗ24 .
3 2
Произведя интеграцию, получим:
к
2
и = р.рс 11п
1
3
(^4)=-№с1п(ш I),
Определяя по теореме
или, наконец,
С/ = !хрс1п(с1ё-0. (31)
Пусть теперь имеем пря-
моугольный треугольник ОВС
(фиг. 31), и ищется его потенциал
относительно точки А, нахо-
дящейся где-нибудь на оси,
перпендикулярной к плоскости
ОВС и проходящей через верши-
ну I). Соединяем А с В, С и
получаем пирамиду АОВС, высо-
та которой АО пусть равна Л.
гра составляющую по оси АО
силы притяжения всей пирамидой точки А, имеем:
7. — С/г 81п + (72 со817 ~ 8Ш ах —
где Ц есть потенциал грани ЛВС, а О2 — потенциал грани ОВС.
(Внутренние нормали к остальным граням составляют с АО
40
угол -тр так что их потенциалы по умножении
дают нуль.)
По теореме Сомова имеем:
7 = ир К 2;
кроме того, по формуле (31):
=р.рс1п^с(я
где с — АВ и 3 = / АСВ-, поэтому
р.рк 2 = ррс 1п(с1§ |-)81па — О2,
на косинус угла
откуда определяется искомый потенциал:
Л/2 = ар
(32)
К разобранному случаю сводится нахождение потенциалов всех
возможных многоугольников. В самом деле, пусть имеем грань
какой-нибудь формы, для которой ищем потенциал относительно
точки А (фиг. 32). Опустив из А перпендикуляр АО на грань,
из полученной точки О разбиваем многоугольник на прямоуголь-
ные треугольники, для которых и ищем потенциалы по фор-
муле (32). Сумма этих потенциалов даст искомый потенциал
грани
(7=Ц + 672 + [/3+ ...
ГЛАВА II
ПРИТЯЖЕНИЕ ЭЛЛИПСОИДОВ
§Д. Теорема Ньютона. Однородный эллиптический слой,
заключенный между двумя подобными концентрическими эл-
липсоидами, внутренней точки не притягивает.
Имеем эллиптиче-
ский слой и внутри его
притягиваемую точку
М (фиг. 33). Вообра-
зим бесконечно тонкий
конус с вершиной в
притягиваемой точке;
он высекает из той и
другой части объемы
АВВ'А' и СОО'С. Рас-
смотрим притяжение
этими объемами точки
М. Если телесный угол,
соответствующий бес-
нусу, назовем через ди, то элемент
масса его —через $г2сО>с1г, а
элементом с1<и — через
у-’р г2 а& аг
^2 >
конечно тонкому ко-
объема выразится через
сила притяжения таким
поэтому объем АВВ'А' притягивает точку Л4*силой:1|
МА
МВ
Гр. о г2 б/со аг
7
МВ
дг = \щс1и>(МВ -|/ИД) = ирдтВА.
МА
Подобным же образом найдем, что сила притяжения объемом
СОО'С' точки М есть Сравнивая эти силы, мы видим,
что они направлены по одной прямой, за которую можно при-
нять ОВ, в противоположные стороны и равны, так как ОС = ВА.
Что ОС = ВА, вытекает .из свойств подобных концентри-
ческих эллипсоидов. Действительно, если мы проведем для
внешнего эллипсоида диаметр, сопряженный хорде ВО, то этот
42
диаметр разделит хорду ВО пополам, так что О' В =0'0
С другой стороны, этот диаметр есть также сопряженный для
хорды АС внутреннего эллипсоида, поэтому О'А = О'С. Вычтя
второе равенство из первого, получим ВА=О*С.
Таким образом пара элементов объема АВВ'А' и СОО'С'
притягивает внутреннюю точку силами, равными и противопо-
ложными; эти силы взаимно уничтожаются, следовательно,
точка Л1 парой элементов не притягивается. Так как весь слой
состоит из таких пар элементов, то ясно, что весь слой не
притягивает точки М,
Теорема эта, доказанная для эллиптического слоя, верна
вообще для всякого слоя, заключенного между двумя подобными
концентрическими поверхностями второго порядка, ибо каждые
две подобные концентрические поверхности второго порядка
обладают тем свойством, что отрезки хорд между этими поверх-
ностями равны.
§ 2. Теорема Айвори. Поверхность уровня для бесконечно
тонкого эллиптического слоя есть софокусный ему эллипсоид.
Выведем предварительно
понятие о соответственных
точках. Имеем два концентри-
ческих эллипсоида с полуося-
ми а, Ь, с и аъ сх (фиг. 34).
Точки, координаты которых
удовлетворяют соотношениям:
X .гг у ? 2г
а агу Ь Ь1 с сх
называются соответственны-
ми точками по отношению
Фиг. 34.
к этим эллипсоидам. Легко
показать, что для точки, лежащей на первом эллипсоиде, соот-
ветственная точка лежит на втором. Действительно, координаты
точки первого эллипсоида удовлетворяют уравнению:
Если заменим из данных соотношений, то получим:
т« е. уравнение второго эллипсоида.
Если одна из соответственных точек лежит на эллипсоиде,
подобном эллипсоду I, то другая точка лежит на эллипсоиде,
подобном эллипсоиду II.
Пусть эллипсоид, подобный эллипсоиду I, имеет полуоси ка,
кЬ и кс\ координаты точки, лежащей на нем, удовлетворяют
уравнению
координаты соответственной ей точки удовлетворяют уравнению
а это есть уравнение эллипсоида с полуосями ках, кЬг и ксг, т. е.
подобного эллипсоиду II.
Так как соответственные точки связаны линейными соотно-
шениями, то точкам, лежащим на некоторой прямой или на
плоскости, соответствуют точки, которые лежат также на неко-
торой прямой или на плоскости. Действительно, уравнение
плоскости, проходящей через точку (л, у, г), есть:
Ах Ву Т- С г “I- Е) = 0;
координаты соответственной точки должны удовлетворять урав-
нению
А^Х1 + В^У1 + С^г1 + О=0,
“1 С1
которое также есть уравнение плоскости.
Если эллипсоиды I и II разобьем на бесконечно малые прямо-
угольные параллелепипеды, то каждому параллелепипеду в точке
(х, у, г) внутри первого будет соответствовать параллелепипед
в соответственной точке второго. Объемы этих параллелепипедов
будут относиться, как произведения полуосей а, Ь, с и аъ Ь19 сг.
В самом деле, определяя из данных в начале параграфа соот-
ношений х, у, г через имеем:
а ь
а1
отсюда
с1х — (1хх, йу = с1уи йг = — с1гг.
так что:
Составим объем бесконечно малого
параллелепипеда:
йх-йу-йг = йх^у-^г^
откуда
(1Х'(1у*(12 ____________ аЬс
• б/ у! • (1Хг ’
Положим теперь, что основные
эллипсоиды I и II (фиг. 35) софокусны,
а! — а2 — Ь2 - Ь2 = с* — с2.
Возьмем на этих эллипсоидах две пары соответственных точек
д А В, В’ и, соединив их накрест, докажем, что АВ' = В А'.
Назовем’ координаты точек А и В через х, у, г и В, ть С, а
координаты соответственных точек через хъ уг, и т(1,
Тог (Дв')а = (г1-^)2 + (’11->')2 + (:1 г)2-
(ВА')2 = П - хГ + И) - У Г + С - *1)2.
Отсюда
(АВ’)2 - (ВА')2 = & - х)2 - И - хГ + (ти ~ У)2 ~ (?1 - У Г +
+ (С1-г)2-(С-г1)2.
Но
(т^)2 О-х^^1 х)2-(е х^)2=
= х‘аУ (^а -•*а1)2] =
= а2)
Наконец,
01 х)2
х2 (а* — а2) 2ааг; х + 2ааг $ • х].
/в Ч9 (&2-х2)(«2-«2)
О Л') ---------- -
Точно так
же
(ъ-уУ -О-л)2 =
С'12->а)(^-ь2)
/>2
С1-г)2 (с-гг)2
С2—г2) (с2—с2)
” с2
Поэтому
(? — х2)(а{— а*)
(АВ'У - (ВА'У --------’--У
(^-у2)У>2-Ь2)
Ь2
(С2—г2)(с2-с2)
+ с2 '
Замечая, что
а[ — а2 = Ь1 — Ь2 = С1~ с2,
переписываем равенство так:
(АВ)2-(ВА'У = (а1-а2)[^ + ^ +л1_^+^ + ^)|.
Так как точки А и В лежат на эллипсоиде (а, Ь, с), то
^ + ^ + ^=1 + = 1
02~&2Т^сг а2^ Ь2 “ С2
и мы имеем:
(АВ'У — (ВА'У = 0,
АВ' ВА'.
Таким образом, взятые накрест расстояния двух пар соответ-
ственных точек, лежащих на софокусных эллипсоидах, равны.
Перейдем, наконец, к доказательству теоремы Айвори. Имеем
бесконечно тонкий слой, заключенный между подобными эллип-
соидами, полуоси которых
суть: наружного — а9 Ь9 с
и внутреннего — ка9 кЬ, кс,
где к<\, но бесконечно
мало от нее отличается.
Возьмем где-нибудь вне
данного слоя точку Мг
(фиг. 36) и проведем через
эту точку эллипсоид, софо-
кусный наружному эллип-
соиду, так что, если назо-
вем полуоси второго эллип-
соида через а19 Ь19 с19 то
будет иметь место соотно-
Фиг. 36. шение:
— а2 = Ь1 Ь2 = С1~ с2.
Если бесконечно близко к эллипсоиду, проходящему через
проведем другой эллипсоид с полуосями ка19 кк19 кс19 легко
видеть, что он будет софокусным внутреннему эллипсоиду дан-
ного слоя, потому что
(ка^2 - (ка)2 = (кЬ^2 - (кЬ)2 = (кс^2 - {кс}2.
Выберем на наружной поверхности внутреннего слоя точку М,
соответственную точке М'. Рассечем внутренний слой на беско-
нечно малые объемы (IV, а внешний — на такие же объемы
с соответственными точками. Называя потенциал внутреннего
слоя на точку ЛГ через /7, будем иметь:
С другой стороны, называя потенциал внешнего слоя на
через будем иметь:
точку М
Но г = г и (IV \ йъ' = аЬс : так как точки М и М', А и Аг
соответственны, поэтому
с С
‘ 1 у у г’
или
= «АС1 и
1 аЬс
Результат этот получен в предположении, что оба слоя имеют
одинаковую плотность р; если же плотность различна, то:
Р1 аФ1С1 Г 1
раЬс
(V
Когда точка М будет перемещаться по внутреннему слою,
тогда соответственная точка М' будет перемещаться по внеш-
нему слою; но точка Л1 находится внутри внешнего эллипти-
ческого слоя, а по теореме Ньютона эллиптический слой внут-
ренней точки не притягивает, отсюда следует заключить, что
потенциал внешнего слоя для внутренних точек есть вели-
чина постоянная; в противном случае производные по коорди-
натам от этого потенциала в нуль не обращались бы, и притя-
жение имело бы место. Если = сопз1, то и 1} = сопз!, так как
для данных слоев — величина постоянная. Таким образом
аЬс
для точек, лежащих на эллипсоиде, проходящем через АГ,
потенциал данного слоя 1У есть величина постоянная. Отсюда
следует, что эллипсоид, проходящий через М' и софокусный
с данным слоем, есть поверхность уровня для данного слоя.
А в этом и состоит теорема Айвори
§ 3. Теорема Маклорена. Два эллиптические слоя, ограни-
ченные софокусными эллипсоидами, или два софокусные сплош-
ные эллипсоида притягивают
внешнюю точку силами, одина-
ково направленными, величины
которых относятся, как массы,
эллипсоидов или эллиптических
слоев.
Докажем сначала теорему
Маклорена для бесконечно тон-
ких эллиптических слоев. Имеем
два бесконечно тонкие эллип-
тические слоя I и II (фиг. 37).
Назовем полуоси эллипсоидов
внешнего и внутреннего первого
слоя через а, Ь, с и ка, к-Ь, кс,
второго слоя через а^, Ьг, сг и Фиг. 37.
ка1г кЬъ ксх. Проведем через
какую-нибудь внешнюю точку Л1 эллипсоид, софокусный с дан-
ными, и построим эллиптический слой III, ограниченный полу-
осями а2, Ь2, с2 и ка2, кЬ2, кс2. Назовем через С/ потенциал
слоя I на точку М, через 1Д потенциал слоя II на ту же точку,
а через (72 — потенциал слоя III на какую-нибудь внутреннюю
точку. По формуле (1) для слоев I и III имеем:
1} __ уаЬс
/У2 Р2
дачее для слоев II и III
— Р1 а1^1с1
О2 р2 а 2Ь2с2 ’
Деля эти соотношения одно на другое, получим:
V _ р аЬс
рх
или
С7=_ра^_ц
р! а1Ь1с1
Если продиференцировать последнее равенство последовательно
по л, у, г, то, заметив, что производные потенциалов по коор-
динатам дадут соответствующие силы, найдем:
X Р икс Р1 «1&1С1 ъ Г = У1, Р1 а1Ь1с1 У р аЬс 7 Р1«ЛС1 ъ * (2)
Эти формулы показывают, что проекции сил на оси пропорци-
ональны, откуда следует, что силы имеют одинаковое направ-
ление. С другой стороны, компоненты сил находятся в отно-
р аЬс
шении г , которое, как легко заметить, есть отношение
масс эллипсоидов или эллиптических слоев I и II, так как
паЬс __ р аЬс (1—&3) _ раЬс—р-ка-кЬ-кс
Р1 Р1 (1 — ^3) — Р1 • кЬ^к^
Отсюда следует, что и сами силы относятся, как массы слоев-
Теорема, доказанная для бесконечно тонких эллиптических
слоев, легко распространяется на сплошные эллипсоиды и слои
конечной толщины. Пусть имеем два слоя, ограниченные эллип-
соидами с полуосями а, Ь, с и ка, кЬ, кс для первого слоя и
с полуосями для второго Ь1,с1 и каъ кЬ±, ксъ где л2 — =
= к2 — Ы = с2 — Г1, а к — величина конечная меньше единицы.
Разбиваем 1 -к на п частей, где п весьма большое число, и
рассматриваем слои с полуосями:
а1, Ы, </ + '/), +
<1,/, 0.4 г,/; +
где 1 > I > 1 — к. Эти слои будут снаружи и внутри ограничены
софокусными эллипсоидами, и по предыдущей теореме их потен-
циалы на внешнюю точку будут находиться в отношении
о аЬс
таком же отношении будут потенциалы данных слоев
конечной толщины Следовательно, силы притяжения будут
48
одинаково направлены и будут находиться в указанном отно-
шении.
Переходя от эллиптических слоев конечной толщины к целым
эллипсоидам, обнаружим, что два софокусные эллипсоида при-
тягивают внешнюю точку по одному и тому же направлению
пропорционально их массам.
§ 4. Теорема Лапласа. с
Бесконечно тонкий эллиптический
слой притягивает точку,
сти, силой, направленной
равной • Е, где
Е толщина слоя в
притягиваемой точке
Имеем бесконечно
тонкий эллиптический
слой и на внешней его
поверхности притяги-
ваемую точку М. Если
бы точка М была внеш-
лежащую на его внешней поверхно-
по нормали к этой поверхности и
няя,
то направление
силы притяжения это-
го слоя было бы нор-
мально к софокусному
эллипсоиду, проведен-
ному через притяги-
ваемую точку, так как фиг 38
по теореме Айвори со-
фокусный эллипсоид, проходящий через притягиваемую точку,
есть поверхность уровня для бесконечно тонкого эллиптического
слоя. По мере того, как внешняя притягиваемая точка прибли-
жается к внешней поверхности слоя, софокусный эллипсоид
также приближается к этой поверхности, и, когда точка всту-
пает на поверхность слоя, софокусный эллипсоид сливается с
этой поверхностью, так что внешняя поверхность слоя для
точек, на ней лежащих, становится поверхностью уровня. Если
это так, то сила нормальна к внешней поверхности слоя на
основании свойств поверхности уровня.
Проведем в точке М (фиг. 38) нормаль М8 к внешней по-
верхности слоя и найдем проекцию силы притяжения данным
бесконечно тонким слоем точки М на эту нормаль. Разобьем
для этого весь слой на бесконечно тонкие конусы, имеющие
вершину в /И. Возьмем один из таких конусов, которому пусть
соответствует телесный угол
Сумма проекций на нормаль М8 сил притяжения двух вы-
резков, которые высекает этот конус из данного слоя, предста-
с1Р =
МЫ
У? / '
О
мь
/Г2 (1<Р &Г
г2
МГ
соз 6 =
= рр с1ш соз 6 (МЫ + Мй — МР) = р.р дш соз 6 (ЛЕУ ф- ЬР),
М. Е. Жуковский, вып. 7—407—4
где 6 — / РМ8. Так как внешние и внутренние поверхности слоя
суть подобные эллипсоиды, то по свойству подобных эллипсо-
идов МИ = ЬР, так что
(1Р = 2[хр б/ш СОЗ 6 МИ,
а, следовательно,
Р= 2ир / соз О МИ,
где интеграция распространяется на весь слой. Но 7И/У’СОз0==
= МК~Е, где Е, толщина слоя в 714, — постоянная величина;
поэтому искомая сила притяжения по нормали есть:
Р = 2у$Е / б/со.
Интеграл от б/со распространяется на все телесные углы кону-
сов, имеющих вершину в М, т. е. на поверхность полусферы;
следовательно, сЕ* — 2^, так что
р = 4т:р,р Е,
(3)
что и требовалось доказать.
Из теоремы Лапласа вытекает одно весьма важное следствие.
Пользуясь этой теоремой, можно составить компоненты по
осям координат силы притяжения бесконечно тонким эллипти-
ческим слоем точ-
ки, лежащей на его
внешней поверх-
ности. Будем рас-
сматривать слой от-
носительно прямо-
угольных осей х, у, г
(фиг. 39), имеющих
начало в центре
эллипсоида. Заме-
чаем, что толщина Е
слоя может быть
выражена с по-
мощью длины пер-
пендикуляра, опу-
щенного из центра
эллипсоида на каса-
тельную к нему плоскость в точке М. Проведем через 714 каса-
тельную плоскость к внешней поверхности слоя и опустим из
начала координат О перпендикуляр ОА на эту плоскость, длину
которого назовем через И. Этот перпендикуляр будет лежать
в одной плоскости с нормалью 7145, так как обе прямые парал-
лельны. Вследствие этого легко убедиться в подобии прямо-
угольных треугольников ОД714 и И'КМ, имеющих по равному
острому углу. Из их подобия следует соотношение: МК: МН'
= О А: ОМ, откуда:
МК-Е^МК’.
Назовем через а, Ь, с полуоси наружного эллипсоида, через
с1а, Ь -йЬ, с — с!с — полуоси внутреннего; вследствие подо-
бия этих эллипсоидов имеем: МРГ -.МО = Да :а.\ таким образом
для Е имеем:
с. .Ла
Е = л—.
а
Подставляем найденное значение Е в формулу (3):
р = а-.
а
Составим проекции этой силы на оси координат. Если угол
внешней нормали эллипсоида с осью х назовем через а, то про-
екция силы Р на ось х выразится так:
Р* — ЬкщН соз а.
Посмотрим, как выражаются И и соз а. Из прямоугольного тре-
угольника О АМ имеем к — г- соз <₽; так как ср есть также угол
нормали с г, то
к = г (соз а * + соз 3 у + соз 7 ^ = х соз а + у соз ₽ + г соз 7.
Но нормаль к эллипсу, выражаемому уравнением
«2 + ^2 + ^ н
образует с осями координат углы, косинусы которых опреде-
ляются формулами:
соз а =
X
а2
СОЗр =
V
ь*
V а4' Ь4^ с4
х2
с*
2
соз 7 =
поэтому:
Л'2 32
, Л2 +^2 +^2
/7 = —-р-. —
1
Ь* с4
Пользуясь этим, соз а можно представить так:
соз а =
Нх
а2'
Подставив значение соза в выражение для Рх, имеем этот ком-
понент и, аналогично, компоненты Ру и Р2 в следующем виде-
Рл » п (1с1 X
х ‘ ‘ а а?'
т-х л 1 л(1Ь У
Ру = -4^р/г2т^,
Р = - 4к|хр/г2 —4-
2 ‘ ‘ с С2 )
(4)
§ 5. Метод Шаля. Французский геометр Шаль, опираясь на
теоремы Ньютона, Маклорена и Лапласа, дал геометрическое
Фиг. 40.
решение задачи о притяжении
однородным сплошным эллип-
соидом внешней точки. Изло-
жением метода Шаля теперь
и займемся.
Имеем сплошной эллипсоид
с полуосями А, В, С (фиг. 40),
причем А < В < С, и точку М
вне этого эллипсоида, коорди-
наты которой суть х, у, 2.
Разобьем данный эллипсоид
подобными эллипсоидами на
бесконечно тонкие эллипти-
ческие слои. Возьмем один из
таких слоев /С, ограниченный
эллипсоидами с полуосями а,
Ь, с и ка, кЬ, кс, где к < 1 и
весьма близко к ней. Построим
этому слою софокусный слой
Ь, проходящий через притя-
гиваемую точку и ограничен-
ный эллипсоидами с полуосями
Ь19 с\ и каг, кЬг, ксх (для различных слоев К будут полу-
чаться различные слои Ь, как показано пунктиром). Точка /И,
находясь на слое Ь, может считаться внешней и для слоя Р
так что, допуская, что плотности этих слоев одинаковы, по тео
реме Маклорена будем иметь:
Р аЬс
Р' а1Ь1с1 ’
откуда
р __ рг
ахЬгсх'
где Р есть сила притяжения слоем К точки М, а Р’ — слоем Ъ-
Эти силы по теореме Маклорена имеют одно и то же направ-
ление; проектируя их на оси координат, будем иметь и
проекций соотношение:
Так как Л1 лежит на слое Ь, то сила Р'х определяется по тео-
реме Лапласа формулой (4):
Р’ =
По Рх можно определить и
в выражение для Р* имеем:
Рх. По подстановке значения Р'х
, аЬс 1 (1ал
4тсир - , — № —-1
а1^1с1 1 аг
Если определим Р для всех бесконечно тонких слоев, на кото-
рые мы разбили эллипсоид, и сложим все эти проекции, то по-
лучим компонент X силы притяжения сплошным эллипсоидом
точки М; поэтому Рк = с1Х, или:
/ V 4 а^С 1.9 х
аХ = — 4*»хр — .
1 ах
Аналогичные выражения получим и для ^диференциалов осталь-
ных компонентов силы притяжения. Преобразуем это уравне-
ние. Так как
йа =а — ка, ка19
откуда:
следовательно, — а~. Уравнение для
X перепишется так:
1 V Л а&с х
аХ = 4тги.р -----------------------
а1Ь1с1 1 а а±
(а)
Примем за параметр, характеризующий место тонкого слоя К,
вместо полуосей а, Ь, с отношение ~ = и, и постараемся вы-
разить через и остальные переменные. Имеем:
Ь* Ь2 = а2 — а2; 62 = а2 + Ь2 - а2,
Ч = а2 и~2 +
й2 —а2
а2
р — р' а^1С^
ах = аи 1 :
ах а.
с2 — с2 = а2 — а2, с2 — а\ 4* с2 — а2.
Так как эллипсоид с полуосями а, Ь,
с полуосями А, В, С, то
с подобен эллипсоиду
Л2
В2 —
Д2
с2 — а2
а2
С2—_42
А2
Если положим:
В2— А2 9
~д— = е2;
С2—Д2 2
Д2 ~в1’
(Ь)
9 2
где е* и ег существенно положительные величины, так как
А < В < С, то для Ьг и сг будем иметь:
= а V и—2 + е2, с± = а уи~* + е\.
Составим отношение :
аЬс __ аЬс _ Ьс 1
ЛАС1 а3«—11/\'~24-/?2 ц—2 а2а“1 V и~'2 + е2 и~г 4- е\
т т Ьс ВС „ /1 \
Но -^2=—^-, а из отношении (о) имеем;
В = А 7 1 + е2; С = А Г 1 + е1
поэтому
аЬс _ 1^1 + ег • у \ + е,2
~ 7 +7^ 7 «-2-Т4 ’
Найдем теперь А2, как было показано:
А1 = ~ ------
I / — 4- у2 4-
I а4^ 6* с4
Подставим вместо аъ Ь1г сг их значения:
________ а1
^7+_______Ш______+
и-4 {и ~2 + <>2)2
22
й^+7?)2
(с>
(ф
Для определения йа ищем соотношение между а и и. Так как
точка М(х, у, г) лежит на эллипсоиде с полуосями аь Ьу, с1г
то удовлетворяется уравнение
или
Это соотношение между а и и диференцируем, считая х, у, г
за постоянные, так как точка М неизменна:
откуда
—-----с1и
а2
а2 и~~2
Наконец, имеем:
(е)
(0
Подставляем найденные результаты в уравнение (а); тогда по
сокращении оно примет вид:
__4«(лр 1 (1 + е2) (1 4- е2) х Ли
V (н -2 + е2)(и-2 + Л)
Положив постоянное:
имеем
или
4тг;».р1/( 1 е2) (1 = <7,
с1Х = -дх . — ,
1/(И-3 + ^)(«-2 + ^)
<чл (1и
ал = — ах г ..—г--...
/(1 + еМ(1+4«2)
Не трудно написать подобные выражения и для (ГУ и АХ\ для
чего, обращаясь к формуле (а), замечаем, что (IX, УГУ, йХ отли-
чаются множителями так как остальные множи-
«1 с2
тели постоянны и, кроме того, аа
Поэтому ” ‘ '
с1У =
х и “ + е
Заменяя (IX его раньше полученным значением, окончательно
имеем такие уравнения:
ах = — дх и2 с1и
V (1 + с2к2)(1 + е’н2)
ау = — яУ и2 йи
/(Г+ е2и2)3 (1 + е?и2) ’
ах = — дх и2 йи
/(Ц-г2«2)(1+е?«2)3
Интегрируем уравнения (§) Определим пределы интеграции.
Мы имели — = п; а меняется в пределах от нуля до А; когда
а =0, эллипсоид обращается в точку, софокусный эллипсоид
обращается в шар, проходящий через точку XI и имеющий
центр в О, так что а1^0; следовательно, при а — 0 и и— 0;
при а — А, и = А~, где А± есть полуось эллипсоида, софокус-
ного наружному слою данного эллипсоида. Итак, пределы ин-
теграции суть нуль и .
Интеграция дает:
А
9 4
п2 (1и
А
л и2 йи
ЯУ / /’(Г +е2 и2)3 (1 +ф?) ’
О
А
Л 9
/и2 с1и
-7.-- .
(5)
Вот какими формулами выражаются компоненты сил притяже-
ния по осям координат сплошным эллипсоидом внешней точки.
Интегралы эти эллиптические, и только в частном случае, когда
эллипсоид есть эллипсоид вращения, они обращаются в обыкно-
венные интегралы.
Если притягиваемая точка находится на внешней поверх-
ности эллипсоида, то А = Аг и формулы (5) принимают вид:
1
и2 йи
и2 д.и
./ /(1 + е2«2)3 (1 _|_ г2и2)
О
У— — ЦУ
(6)
и2 йи
УГ (\ + е2н2)(1 +^н2)з
Легко убедиться, что этими же формулами выражаются
силы притяжения и в том случае, когда притягиваемая точка
находится в теле эллипсоида Действительно, проведем в этом
случае через притягиваемую точку подобный данному эллип-
соид, который разобьет его тело на две части,— на эллипсоид,
на котором будет лежать притягиваемая точка, и на эллипти-
ческий слой, по отношению к которому притягиваемая точка
будет внутренней. По теореме Ньютона эллиптический слой
внутренней точки не притягивает; следовательно, притягивает
только эллипсоид, на котором лежит точка. Хотя в этом эллип-
соиде полуоси будут не те, что в
данном наружном, но отношения их
будут те же; формулы же (6) зависят
только от этих отношений, а потому
будут иметь место и для внутреннего
эллипсоида. Формулы (5) и (6) даны
в этой форме Гауссом, и носят его
имя.
§ 6. Притяжение эллипсоидами
вращения. Применим формулы Гаус-
са к одному частному случаю. Опре-
делим притяжение эллипсоидом вра-
щения. Имеем эллипсоид вращения
вокруг меньшей оси, которая есть фиг* 41’
ось координат л, так как по пред-
положению А < В <С (фиг. 41). Тогда, при В —С найдем, что
е = е1г так как
_в2 — А2 2 С2— А2
А2 ’ 31 ~~ А2
Далее:
д = 4~<хр/71 е2)(1 = 4ттр(1 + в2)
Формулы (6) (предполагаем, что точка внутренняя или лежит
на самом эллипсоиде) принимают вид:
х
и2 Ни
+ е2и2
-4^у(1+е2,^т^._
о
2 = — 4-ар х (1 + е2)
Г и2 (1и
I (1 +ёа«2)2
о
Берем интегралы, входящие в эти формулы; интеграл в фор-
муле X ‘выразится так:
1 1 * 1
Г и2 Ди _ 1 Г 1+б»2гГ—1 , ___ 1 . 1 /’ (1и
] Т+~ё^и2 ~ ] 1 + е2и2 аи ~ ] а11 ~ ~е2 ] 1 + е2и2
О О ОО
1 1
= ^[ и 7 | агс^(еп)] =-^(1-у агс^*) . (а)
О о
Интеграция по частям интеграла в выражении V дает:
1 1
Г и2 с1и Г и аи
7 (Т+“ез«2)2 ~ ] и а+^и2)2
О V
1 1
1_ и_______. 1 Г____Ли _
— 2е2 [ 1 + <?2и2 ' 2е2 7 1 + е2н2 —
V О
1
= 23^? +2?'7 агс18(е«) =
О
= 2?| Г+е2 + тагс18^=24з[агс1ё^ (Ь)
Подставляя полученные результаты (а) и (Ь) в выражения для
X и V, а также составляя и выражение для 2 на основании
у
того замечания, что 2 = — х, окончательно получим такие фор-
мулы:
X = 4-р.р х (е — аге 1§е), |
У=- (агс^е — т|-е2) , ’ (7)
2 = - г 1 е3е- (аге |
Пользуясь формулами (7), можно решить вопрос, где больше
сила притяжения,—на полюсе или на экваторе. Сделаем это, но
сначала покажем, что найденные силы суть притягательные.
Это обнаруживается из того, что скобки в выражениях сил
существенно положительные величины, т. е.
е- агс1^>0 и агс — у-^—3 > 0.
Действительно, если положим е = то
е — агс 1^ е = Ф — ф.
Эта разность всегда больше нуля, так как тангенс всегда больше
своей дуги. Далее:
агс 1с в___е — Ф_____ —
агс1&е 1 +
= Ф------
СОЗ
81П Ф
= ф —81Пф • СОЗ ф.
Так как косинус всегда меньше единицы, а дуга больше своего
синуса, то
ф 81пФ*СОзФ>0.
Для сравнения сил на полюсе и на экваторе, т. е. сил X
и К, преобразуем их выражения. Пусть е (сжатие эллипсоида) —
малая величина; будем пренебрегать малыми величинами выше
третьей степени Разлагаем в ряд агс1§е:
/?3 л5
агс1§е=е —-у+-— ...
Следовательно,
е —агс^е = -3- — у + ... ,
у-(е —агс^е) = з —т+ ,
-75 (е —агс^е) =(-3 — у) (1+е2) =
-Т+Т5е’“т(1 + 5С’)'
По подстановке в выражение А’ (7), находим:
Л' = -АЯИ?Л(1 +1 е2). (с)
в°т какова сила притяжения сжатым эллипсоидом вращения
точки, находящейся на его полюсе А (фиг. 41). Если сравним
ее с силою притяжения шара, радиус которого есть меньшая
полуось, именно с силой:
Л' = —
то легко видеть, что эллипсоид притягивает сильнее, чем шар.
Преобразуем теперь выражение для У из формулы (7). пре-
небрегая бесконечно малыми выше третьей степени.
Имеем:
! “ р = е — е3 + е5 — е7 + ... ;
(агсЧее- 1 + е2) = 4^-А^+... ;
(агс^^--1^72)^ = 2—
-’4 ' (аге е - = (1 + е2, (| —| е2) =
По подстановке в выражение У получим:
Это есть сила притяжения на экваторе, например, в точке В.
Если бы имели шар радиуса, равного большей полуоси эллип-
соида, то притяжение было бы:
У = — у ,
т. е. шар притягивал бы точку' сильнее, чем эллипсоид.
Пользуясь формулами (с) и (д), можно решить вопрос, где
больше притяжение,—на полюсе или на экваторе.
Если точка находится на полюсе, то х =А, если же на эква-
торе, то у = В, но
5 = Л/Г-РТ2 = Д (1 + е22) ,
поэтому
х= укррД (1 +-|е3),
Так как
то
г=_4,к,Д(1+24
Видим, что притяжение на полюсе больше, чем на экваторе.
Разность сил есть:
X— V • е2
а отношение —приолизительно равно у0-
Мы разобрали случай сжатого эллипсоида вращения. Теперь
разберем случай растянутого эллипсоида вращения, т. е. эллип
соида вращения вокруг большей оси
Если имеем эллипсоид вращения во-
круг большей оси, то при А < В < С
(фиг. 42) будет:
А^В, е2=^^-" = 0,
, С2 - Л2
ег А2 •
д = 4к|1.р 1 -Е е*.
Формула (6) для X принимает вид:
^ = -4^х/1+^Г
7 у 1 4- ерг2 Фиг. 42.
О
Берем интеграл. Интеграция по частям дает:
и Ли
1 1 4- е\и2
1
и2 Ли
1 е%и2
о
1 + е\игёи =
= 4/1+^1------------(/1 + е\и*(1и.
е1 е1
Но
/.---------1 Г» 1 г ^1
/1 + ё*и?с!и = — / ——ёи —
е\ ] 1 14- е\и2
I 1
1 1 1 / । /”» ) о 91 । Ли
= -9 — 1 1п (е^ + 1 1 + е^) + I 7 —
в! । с/ 1 I 4~ б1и2
о
о
=41п ^г+1 +^Г) + / ’ —"3 й", - •
у 1 4- е\и2
о
Поэтому
Подставляем в выражение X:
V 1 + е?
[е, /! + — 1п (X + У1 4- е2
Для определения силы У имеем по подстановке в формулу (6)
У = — 4^.?у /1 + е2 Г .
Д V 1 + е^и*
Следовательно,
Г — 2^оу 1п (ех +/1 + е2
Определим Д Третья из формул (6) для данного случая напи-
шется так:
Таким образом:
/1+е2
X. —4тсдрг
е1
1п(ех + /1 + ^)
е1
V 1Т<г?
Итак, формулы, выражающие компоненты сил притяжения эллип-
соида вращения вокруг большей оси, получат следующий вид:
X = — 2-р.рл^'4^— • [е^ 1 + е}— 1п (бх+/1 + б2)],
у = — •1п^1+ /1 +^)],
। 1 + е? Г / г--------- р
— 4-<лрг---д— 1п(ех -ф /1 + е?) — .
е1 ь V 1 + е2 1
(8)
Преобразуем выражения для X и 7.,
малыми выше третьей степени:
пренебрегая бесконечно
1
У (1 + 6?) 2 аег,
О
1 е? 1 • 3 . 1 • 3 • 5 с
(1+е;гу-]--2 +2-4^-2.4.тг^+--
/ (1 + е;гЬ/е1 = <,-1- . =
= 1п (^1 + 1 +е2) ;
^1/1 +е2 = в? —4^1+ - • •) =
1 3 1
— в\ + • • •
е11 1 +е|-1п(е1+/14-^)=|е|—1-е?+...
4 р1 ’ 1 -1п (бх+/1 + 6?)]= | 6? ,
2.+±’_^=2(1 + ^
3 ‘ 3 5 3 \ ‘ 5/
Для X, следовательно, имеем:
4 / е*\
Х = — з + 5Ч
Подобным образом преобразуем и X:
в 1 ~ I 3 Ту
- =~ = е1 (1 + ^1) 2 = 61 -"о е1 + о е1>
V 1 + е\ г ъ
г______ р । г з
1п(е1+1 1 + <?1) ^-—--==3в1
г 1 т С,
=/г+к(4-^О=.(’+^-)(Г-1^)-
Йй + -3'е: = т(1 - Н)-
По подстановке в выражение X находим:
Исследование, подобное произведенному для сжатого эллипсо-
ида, привело бы нас к заключению, что у растянутого эллипсоида
вращения сила притяжения на экваторе больше, чем на полюсе,
и что разность выразится формулой:
Х-2 = -|-^рА1е?.
§ 7. Силы притяжения эллипсоидами в форме Дирихле.
Дадим теперь выражение сил притяжения эллипсоидами в фор-
ме Дирихле. Формулы Гаусса были получены нами из уравнений:
. аЬс ,2 х (1а
аХ = — 4тз|хр-----Лх --- • —,
а1Ь1с1 а~ а
лу л аЬс ,2 У аЬ
ЯГ =~4^р ^1—
о
л аЬс ,22 (1с
ал = 4^р —- Их — • —,
причем мы заменяли все сюда входящие переменные величины
через одно переменное и = -- где а есть полуось какого-ни-
будь слоя эллипсоида, аг — соответствующая полуось софокус-
ного слоя, проходящего через притягиваемую точку. Дирихле
вместо переменного и вводит другое переменное 5, связанное
равенством:
. Л2
5 = /
а1
где
к = а2 — а2 = Ь2 — Ь2 = с2 — с2,
А же есть полуось наружного слоя эллипсоида. Выразим через
это новое переменное а все величины, входящие в нашу фор-
мулу для с1Х:
а2 = а2 + к = к
Д2«2
Д2
= ^(Х^ + Л2) = дИ« + ^2),
в±
Но вследствие подобия слоев:
откуда:
по подстановке имеем:
Д = В _ с
а Ь с ’
В2 __ А2
Ь2 а2'
Подобным образом найдем:
с\ = -§ (5 + С2).
Составим теперь отношение
аЬс
^1^1
Затем:
аЬс ___________________АВС
а1Ь1с1 У (5 + А2) (5 4-В2) (5 + С2)
1 1
а4
/?2 -. 1 _
1 •у2 2:2 л'2 у2 7 *2
«1 + + С1 (5 + А2)2 + + й2)2 + (« + С2)2
Отношения
&2 с2
В2" и О~
заменяем через
Далее
Д2
а2
а2 ’« + Д2‘
Найдем теперь так как слой (аъ Ь1У проходит
притягиваемую точку (х, у, з), то:
через
Н. Е. Жуковский, вып. 7— 407—5
65
Заменяя (11, К, <+ находим:
х2 . у2 . г2 _ а2
5 + Да + 5 + В2' « + С2 ~ А2 •
Диференцируем это уравнение для нахождения связи между аа
и йз. Замечая, что координаты х, у, х притягиваемой точки —
постоянные величины, так как точка неизменна, имеем:
I___। .У2 । *2 1 аа
I (х + А2)2 ' (5 + в2)2 “ (5 + С2)2 I А2 '
откуда
Оа_ __ А2 Г х2 , у2 _ , г2 1 ,
а 2а2 [(« +Л а)2 'г(5 + В2)2 "г (« + С2)2 |
Подставляем найденные результаты в выражение для <1Х'.
а* А2
1 А4 а2
= 4ди.р- — - —5 4^ да X
(5 + Л2)2 + (5 + Л2)2 + (у + С2)2
У _ 21Г , .у2 , 1 а8
А 2а.2 [(5 + Л2)2 + (5 + В2)2 + (5 + С2)2 ]
По сокращении получим:
Для получения силы X интегрируем это уравнение. Определим
пределы интеграции: а меняется от а = 0 до а = Д; когда а=А,
то ах — Ах, л = Д1 — А2, 8 = Д1—Д2; при а = 0, 8 = оо. Если
возьмем интеграл в указанных пределах, то получим:
Л2—А2
Х= 2дррл У д 4. ла) •
ОО
Меняя здесь пределы интеграции и составляя аналогично вы-
ражения для К и 2, окончательно найдем:
ОО
ДГ = — 2тгр.рх У Д(5 4_ д2) >
А2—А»
ОО
У— 2*+ру У ,Д(У4.В2Г (9)
Л*—Д2
ОО
^ = —2лирг у д (5 + сг)
д2— А2
Это суть формулы Дирихле.
Если притягиваемая точка находится на поверхности эллип-
соида, то Дх = Д, и формулы (9) принимают вид:
со
У = ~ 2-Ч»?4а</+-л.>.
О
оо
О
(10)
оо
7 = — 2~”?2 /г(«+<?)•
о
Формулами (10) выражаются компоненты силы притяжения
эллипсоида и в том случае, когда притягиваемая точка нахо-
дится в теле эллипсоида. Действительно, пусть притягиваемая
точка находится внутри эллипсоида. Разбиваем данный эллип-
соид на две части подобным эллипсоидом, проходящим через
притягиваемую точку; внешний слой по теореме Ньютона вну-
тренней точки не притягивает; внутренняя часть представляет
собою эллипсоид с некоторыми полуосями А7, В', С'; она будет
притягивать точку, лежащую на ее поверхности, по оси х
силой:
со
Но эллипсоид (Д', Б', С) подобен эллипсоиду (Д, В, С), поэтому
А'_ _ В' __
А ~~ В ~~С‘
Введем вместо х' новое переменное х, положив:
, Л'2 В'2 С'2
5 ~8~А2~8~ь^~8 ~са
Если в выражении для X' заменим х' через х, получим:
ОО
Г'.
/ —. а8
X’ = - 2т:ир% / ----------_..А2 --
•у (5Л2- + А'2)Г 0+зг)(’+^)(1 + с*’)
или
ОО
Х'= - 2Т.Р.ОХ / д (5 + Л2Г
о
т. е. получилась одна из формул группы (10).
§ 8. Потенциал силы притяжения эллипсоида. Определим
сначала потенциал силы притяжения эллипсоида для того слу-
чая, когда притягиваемая точка находится внутри эллипсоида.
Известно, что диференциал от потенциальной функции равен
элементарной работе сил, т. е.
аи Хс1 х + У йу + 2 йх.
Пользуясь формулами (10), заменим силы X, У, 2. их значени-
ями; тогда для (112 будем иметь:
<18
Совершая интеграцию под знаком интеграла, получим:
,2
’ X2
.5 + А2'
о
« + С2
Пусть
оо
с — т:ир у*— 4 Ср
о
где Сг и интеграл в данных пределах постоянные величины.
При такой замене С выражение для 1} можно представить так:
оо
о
Вот выражение потенциала для внутренней точки.
Легко убедиться, что эта формула дает также потенциал
и для внешней точки, при соответственном изменении пределов
интеграции.
Покажем, что действительно потенциал внешней точки вы-
ражается формулой:
оо
/ АО тАг. 4А-АА>+С <12>
Л2
Если С/ есть потенциал внешней точки, то, взяв частные про-
изводные от него по координатам, мы должны получить про-
екции силы притяжения на оси координат, т. е. формулы (9).
Берем производную от (7 по х. Переменное х входит в под-
интегральную функцию и в нижний предел интеграции, именно
в поэтому диференцировать нужно, как по х, явно входя-
щему, гак и по параметру 41- Диференцируем:
йх. ’Г‘и‘0 ] Д (« + АI 2)
а[—а‘
1 /, X2 у2________________22 \ЙЛ‘1
“ ;=лз_л< л V «4-Л2 5 + В2 ~ Г+ С2)~Ох'
Но
1 Л _уа_______г!_Л _
4 л2-д> д ' 8+А* 8 + в* ° + С2)
так как эллипсоид (Дх, В1г С,) проходит через притягиваемую
точку (х, у, г), вследствие чего
х2 . у2 , г2
Поэтому
со
41} О /’
- = 2т:ао х I
4х ‘ ,/
А*— А‘
это есть одна из формул (9). Подобным образом легко обна-
ружить, что производными по у и % от и будут остальные две
формулы группы (9). Отсюда ясно, что формула (12) дает потен-
циал для внешней точки.
Определим теперь произвольное постоянное С, входящее
в выражение потенциала. Будет доказано, что потенциальная
функция меняется непрерывно; на основании этого С должно
быть одним и тем же для потенциала как внутренней, так и
внешней точки. Пользуясь этим соображением, определим про-
извольное постоянное, рассматривая потенциал для бесконечно
удаленной точки.
Имеем бесконечно удаленную точку; определяя потенциал
по формуле:
легко видеть, что при г = оо потенциальная функция обращает-
ся в нуль, т. е.
Пт 6/ - 0.
Посмотрим теперь, во что обращается интеграл уравнения (12)
для бесконечно удаленной точки. Назовем значение этого ин-
теграла для бесконечно удаленной точки через /, так что
X2
I = Игл /
Лг- оо 4
А,— А2
Л2
5 + Л2
.9 + В2
Легко убедиться, что этот интеграл I меньше, чем
11т АВС /
Д,—оо 8 '2
Д*— Д2
Действительно, во-первых,
1 АВС
Д 8чг 9
потому что, отбрасывая во множителях знаменателя единицы,
мы их увеличиваем; во-вторых, выражение:
1 ______________-Л2-. га\
НА2 НВ2 5 + С2 V4/
есть правильная положительная дробь. Поэтом}
ОО
К АВС /’ ~ или К2АВС
Д2
Д?—Д2
или
I
т
2АВС
Л? — А2
1
При Аг = оо вторая часть обращается в нуль, поэтому и
Пт / = 0.
Лх=оо
Нам остается показать, что выражение (а) положительно и
меньше единицы. Мы имели:
I Л2 Л2 2
х + А2 = -^-а1; х
,2
2
I /"’? /^*9. Л2 2
X 4- С2 = С2 — = с.;
следовательно.
. х2 у2 X2
1 « + Д2 — х +В2 ~ 5 +7?2 —
Если и и I суть н}ли, то и С равно нулю. Таким образом про-
извольное постоянное С в выражении потенциала (12) есть нуль.
ГЛАВА III
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
координат точки.
когда
Выше мы уже вывели потенциал тела на весьма удаленную
точку. Разберем теперь основные свойства потенциальной функ-
ции вообще и докажем несколько относящихся сюда теорем.
§ 1. Свойства потенциальной функции. Теорема I. Если
размеры, притягивающего тела и его плотность суть величины
конечные, то потенциальная функция и сила притяжения
всюду конечны.
Имеем тело, плотность которого вообще неодинакова во
всех точках тела, а есть некоторая
Отнесем тело к каким-нибудь пря-
моугольным осям координат х, у, г
(фиг. 43), имеющим начало в теле;
для потенциальной функции имеем
выражение:
Так как для всех точек тела г есть
величина, большая нуля, если при-
тягиваемая точка находится вне
тела, то ясно, что в этом случае 17
нигде не обращается в со.
Рассмотрим теперь тот случай,
находится в теле. Пусть она лежит в точке О, которую и при-
мем за начало координат. Выразим потенциал 17 в полярных
координатах, взяв за полюс точку О. Назовем через 6 угол ра-
диуса-вектора г с осью х, через — угол проекции радиуса-
вектора на плоскость ух с осью у. Тогда имеем:
точка
гт С С С Г2 51П ггг . п ,
^ = Р‘/у/р г = р. / | ргяпбйб б/г.
Интеграл распространяется на все тело; поэтому
2я Я
и = р- эхо о б/в у у р гйг.
О 0 0
Пусть наибольшее значение плотности есть ртах; ясно, что:
я
рГАг < Ртах У гАг,
О О
или
П
1'рг^г<ртах ^ №.
о
Если заменим /? его наибольшим значением, то легко видеть,
что имеет место неравенство.
тс 2к
к) Р',ртах~2“ /?тах $1П 6 6?ср
О О
Совершая квадратуру в указанных пределах, имеем:
кА 2^/?2тах ртах.
Полученный результат показывает, что кА — величина конечная,
так как по условию ртах и /?тах суть величины конечные.
Рассмотрим теперь самую силу притяжения. Проекция этой
силы на ось х есть:
Выражая эту силу в полярных координатах, получим:
V С С С г2 81п 6 • б/б а® • аг п
---------------------------со8° =
= [X Уу р 81п6 СОЗ .
Интеграция распространяется на весь объем тела, поэтому
к 2^ /?
X = у 81п 9 соз 9 с10 Ау } р Аг
О 0 0
Разобьем этот интеграл на два интеграла таким образом:
п
2 2 Я
X = р- У 8Ш 6 соз в У р с1г +
о об
л 2г Я
+ Р' У§1п 9 • соз 6 • АО / А'^ У р Аг
г 0 0
2
Первый из этих интегралов есть величина положительная, а вто-
рой— величина отрицательная; поэтому, если мы заменим в пер-
вом интеграле р и 7? их максимумами, во втором же—миниму-
мами, то полученное выражение будет более X. Сделав указанную
замену, найдем по интеграции:
2 2 г.
X < Р'Ртах 7?шах [ 81П О С08 04/9^ +
о о
к 2к
+ Р'Рппп /?пип / 81п6со8 9г/9^ф,
~ о
ИЛИ
V т.
2'7Г’1рП]ах Т^пах | — -р 2'^^р1п1и 7?пип |
О 7С
откуда
X ^р. (ртах 7?тах ртт 7?пнп) •
Так как
вторая часть неравенства есть конечная
величина, то
отсюда следует, что и сила есть конечная величина.
Итак, ни потенциальная функция, ни сила притяжения в бес-
конечность не обращаются, что и требовалось доказать.
Теорема II. Производные от потенциальной функции по
координатам притягиваемой точки равны проекциям силы
притяжения на соответствующие оси координат.
Теорема эта была доказана нами вообще для всякой силы
притяжения в том случае, когда
вне притягивающего тела.
Рассмотрим теперь случай,
когда притягиваемая точка
находится внутри тела.
Пусть притягиваемая точка
находится в положении А
(фиг. 44), и пусть потенциал
тела на эту точку есть (7.
Отнесем данное тело к пря-
моугольным осям коорди-
нат х, у, г и проведем че-
рез точку А прямую Ах'
параллельно оси х. Рассмот-
притягиваемая точка находится
Фиг. 44.
рим производную от 1} по х.
Берем для этого на прямой л' точку А! на расстоянии Дх от А.
Назовем потенциал тела относительно точки через При-
ращение потенциала на расстоянии Ьх есть —и. Если возь-
мем отношение приращения потенциала к пути Дх и перейдем
к пределу, то получим производную от И по х.
Следовательно, нам нужно доказать:
цт
Напишем выражения потенциалов [/х и (/ и составим разность
— С/. Потенциалы выразятся так:
и=,
Поэтому:
= —У)=и уг/ рг-=Хад
Взяв отношение приращения потенциалов к Ах, получим:
Представим это равенство в полярных координатах, приняв за
полюс точку А, а за полярную ось прямую Ах'; получим:
/71 — 17 С С Г г—г-1 г 6 а® б/0 (1г , ч
Легко убедиться, что г и -у16 суть количества, меньшие
единицы. Действительно, из треугольника АА±М видно, что раз-
ность двух сторон г — г\ меньше третьей стороны Дх; далее,
Г81п0 есть перпендикуляр МП, опущенный из М на Ах'. Ясно,
что г-81п6<г1, так как г-81п9 есть катет, а г±— гипотенуза
в треугольнике АГМП.
Выделяя мысленно часть интеграла (а), соответствующую части
тела, лежащей внутри бесконечно малой сферы, проведенной из
центра А, увидим, что эта часть равна нулю, ибо подинтеграль-
ная функция, по сказанному, меньше единицы. Отбросив эту
часть в интеграле, будем рассматривать точки М, находящиеся
на конечном расстоянии от точек А и Ах. Посмотрим, во что
обращается в пределе при Дх = 0 интеграл (а). Заметив, что
г —• г± = А Е = Дх * СО8 9
и что отношение = 1, когда точки А и А1 сливаются, будем
иметь:
Игл
Цг—Ц
Ал
р СО8 6 • 8Ш 0 • М • (Н • Г/Г .
Это есть компонент силы притяжения по оси х; таким образом
теорема доказана.
Теорема III. Потенциальная функция и компоненты силы
притяжения изменяются во всем пространстве непрерывно.
Что потенциальная функция изменяется непрерывно, это вы-
текает из двух предыдущих теорем. Именно: по второй теореме
сила есть производная от потенциальной функции, а по первой
теореме сила имеет везде конечное значение; следовательно,
производные от потенциальной функции везде конечны, а по-
тому потенциальная функция всюду непрерывна. Остается по-
казать. что производные по координатам от силы во всем про-
странстве конечны. Этим мы докажем, что сила изменяется
непрерывно.
Преобразуем предварительно выражения для сил. Имеем
притягиваемую точку Д, координаты которой назовем через
х, у. г. Сила притяжения по оси х есть:
Легко убедиться, что
- — = д (1 \
г3 \ г /
Это обнаружим, заменив г его значением и совершив диферен-
цирование по Е. Поэтому
Пусть плотность тела р не одинакова для всех точек, а есть
функция координат точки; тогда наше уравнение может быть
переписано так:
Х==-!г +
Интеграция в обоих членах распространяется на все тело; ее
будем вести в следующем порядке. Разбиваем все тело (фиг. 45)
Ж
Фиг. 45.
на тонкие призмы плоскостями, параллельными плоскостям
координат ху и хх, и ведем интеграцию по такой призме. Пер-
вый интегральный член может быть представлен таким образом:
Совершаем интеграцию по $, причем г изменяем от гг до г2.
Называя через рх и р2 плотности точек, характеризуемых ради-
усами-векторами гг и г2, находим:
Но
б/т] ‘ СО8 ах — — бЬ2 • СО8 а2 ,
где ах и а2 суть углы внутренних нормалей к элементам и
с осью х. Заменяя тем и другим значением, получим:
гг /_Р1_Рг \ = п Г Г Созах Рх
АГ1 г2/ ‘‘77 г3
7б?а2 • СО5 а2 • р?
Первый интеграл берется для части тела, находящейся по ле-
вую сторону от некоторого контура, по которому цилиндр
с образующей, параллельной оси Ох, прикасается к телу; а
второй — для части тела по правую сторону этого контура. По-
этому выражение интеграла мы можем представить так:
'Ч/ (#“^) =^/~НаС08а’
где интеграция распространяется на все тело. Пользуясь этим
преобразованием, силу X можно выразить следующей формулой:
X = ,> //? у у* <й Ж.
Сила X представлена, таким образом, в виде суммы двух потен-
циалов. Первый из них есть потенциал поверхности тела в пред-
положении, что поверхностная плотность есть р-соза. Второй
потенциал есть объемный потенциал тела, причем объемная
др
плотность есть которая, вообще говоря, может быть и от-
рицательной.
Это приведение силы к потенциалам позволяет свести во-
прос о непрерывности силы к вопросу о непрерывности по-
тенциалов. Объемный потенциал, как мы видели, изменяется
непрерывно, — следовательно, второй член в выражении силы
изменяется непрерывно. Что касается первого члена, то, чтобы
судить о нем, рассмотрим предварительно, как изменяется по-
тенциал поверхности.
Возьмем кружок, покрытый равномерно материей, и составим
потенциал этого кружка на точку, лежащую на оси его. Пусть
точка находится в А (фиг. 46). Разобьем кружок на весьма
тонкие кружки и рассмотрим потенциал в полярных координатах,
76
иняв за полюс основание О оси Ох и направив полярную
ПРИ как-нибудь в плоскости кружка. Потенциал элемента пло-
°С1ди = р • / • (где — радиус-вектор) относительно точки А
есть
р.р / (11
= 2т.^?а /22 4- /2 = (|/ 22+ Я2 — 2")
О
Если притягиваемая точка находится по другую сторону кружка
в В, то координата г отрицательна, и потенциал в этом случае
есть:
672 = 2^р (/г2 + а2 + г).
По мере того, как точки А и В приближаются к О, коорди-
наты г и —г стремятся к нулю и в пределе, когда А и В сли-
ваются с точкой О, потенциалы обращаются в:
64 = 2~ира, 672 = 2~ира,
т. е. делаются равными, откуда следует, что при переходе
через кружок потенциал изменяется непрерывно
Пользуясь этим свойством потенциала поверхности, нетрудно
показать, что первый интеграл в выражении для X изменяется
непрерывно. Действительно, мы можем вырезать из поверхности
в рассматриваемом месте кружок, и, представив себе, что этот
кружок равномерно покрыт материей с поверхностной плот-
ностью р • соз а, обнаружим, что потенциал поверхности при
переходе через поверхность изменяется непрерывно.
Таким образом доказана и вторая часть нашей теоремы, что
сила изменяется непрерывно.
Теорема IV. Производная от силы остается непрерывной
везде внутри тела и вне его, но изменяется скачком при пе-
реходе через поверхность тела.
Мы видели, что проекция силы на ось может быть пред-
ставлена в виде некоторого потенциала. Поэтому вопрос о не-
прерывности производной силы можно свести к вопросу о
непрерывности производной потенциала. Наша сила
представляет, во-первых, некоторый объемный потенциал. Про-
изводная от объемного потенциала есть сила притяжения неко-
торым телом; эта сила, как было показано в третьей теореме,
изменяется во всем пространстве непрерывно; следовательно,
второй член в выражении силы X изменяется непрерывно.
Что касается другого члена (первого в выражении для X),
представляющего некоторый поверхностный потенциал, то про-
изводная от него есть сила притяжения некоторой материаль-
ной поверхностью. Эта сила будет изменяться непрерывно, пока
мы не проходим через поверхность. Рассмотрим, как изменяется
она при переходе через поверхность. Мы имели для потенци-
алов кружка выражения:
— 2я<лр (1 22 + а2 — г) ,
(/г2 + а2 + ?).
Будем определять проекцию силы на ось г (фиг. 46). Для этого
берем производные от и по 2, причем считается в
направлении от О к А, а от В к О:
Л = --1=2к11р1/ г — 1),
аг \ У г2 + а2 )
"7 2 Г) / । 1 \
Когда приближаемся с обеих сторон к точке О, то при г = О
силы принимают значения:
= — 2яр.р, ^2 = 2т:ир.
Отсюда следует, что при переходе через кружок сила изме-
няется скачком, именно:
А— 2Г2 = —4кир .
Таким образом производная от потенциала по нормали к плос-
кости кружка изменяется скачком на —4тг<лр при переходе че-
рез кружок.
Пользуясь этим, можно заключить, как изменяется произ-
водная от силы X. Выделим мысленно на поверхности тела
малый кружок и назовем через пе и щ (фиг. 47) внешнюю [и
внутреннюю нормали к поверхности в этом месте. Производная
от силы X. взятая по направлению нормали, есть:
б/А . ^/А
с1пе йщ
— — 4~у.р СО8 ? ,
причем производная считается от О к С и от О к О и осоз?
есть поверхностная плотность.
Величина —4гсир-со8а одна и та
же для всех случаев, по какой бы
линии мы ни переходили через по-
верхность. Если, например, нужно
перейти от А к В, то мы сначала
можем перейти от А к С, потом от
С к О, пересекая поверхность, и,
наконец, от О к В. На пути АС
и ИВ производная от X остается
непрерывной, на пути же СР, как мы
видели, изменение совершается скач-
ком в точке О при переходе через
поверхность. Отсюда ясно, что в ка-
ком бы направлении мы ни перехо-
дили через поверхность, всегда про-
изводная от X по нормали при этом
переходе будет изменяться скачком на
Фиг. 47.
— 4-ир соз а.
Из доказанных теорем следует:
Потенциальная функция и ее первые производные всюду ко-
нечны и непрерывны, вторые же производные, оставаясь везде
конечными, изменяются непрерывно для точек внутренних и
внешних, при переходе же через поверхность изменяются
скачком.
§2. Теорема Лапласа. Теорема. Для всякой внешней
точки второй диференциальный параметр от потенциальной
функции равен нулю.
Вторым диференциальным параметром называется сумма вто-
рых производных от потенциальной функции; он обозначается
через Д2Р, так что
_ дх2 ф ду2 ф дх2 '
1ак как
у ди — V — 7
дх “ ду ’ дх
то, следовательно,
д26/=^+^+^_
- дх ‘ ду 1 дх
Но
Так как потенциальная функция не обращается в бесконечность
в пределах интеграции, то можно диференцировать по х под
знаком интеграла; поэтому
дХ / Г Г I 1 3(х — $) дг | , ...
НО
дг_ __ 2 (х — $) __ х-В ,
дх ~~ 2г г
поэтому
дХ I*/' С Г 1 з(х-5)2 \ . г,
дх =-?))) -
и аналогично
Складывая эти выражения, получаем:
- - г (((' [4 - з <-* - № <г =2-] л а„ а-
выражение в скобках по сокращении и приведении есть нуль,
а потому
д2г/ = о,
что и требовалось доказать.
§ 3. Теорема Пуассона. Теорема. Для всякой точки,
лежащей внутри тела, второй диференциальный параметр от
потенциальной функции равен 4кр.р0, где р0 плотность тела
в том месте, где находится притягиваемая точка.
Докажем теорему Пуассона сначала в том предположении,
что тело однородно, т. е. что р - сопзТ Имеем где-нибудь
внутри тела притягиваемую точку М (фиг. 48). Возьмем начало
координат в теле так, чтобы из него можно было описать сферу,
внутри которой лежала бы данная точка и которая не пересе-
кала бы поверхности тела. Вообразим, что такая сфера прове-
дена. Назовем потенциал тела через й, потенциал сферы через
671; а потенциал остальной части тела через С/2, так что
и = и1-}-и2. Такое же соотношение будет и между вторыми
диференциальными параметрами, именно:
= Л2{7х + _\2ц.
По теореме Лапласа Л2(72 = 0, так как притягиваемая точка
находится вне части тела, имеющей потенциал 673. Далее:
х и дг^
~2 1 дх ‘ ду дг ’
где У1, А суть компоненты силы притяжения материальной
точки сферой. Так как сфера притягивает точку, находящуюся
внутри ее, силой
|^рг,
ТО
х/ 4 X 4
Л = — у Г — — — тшр Л,
4 у 4
V = — 3-^рг-у- = — 3 тщу,
7 4 г 4
2 = — 3-лр.рг- = — —яр.рг.
Составив производные от этих сил по соответствующим коорди-
натам х, у, г и сложив их, получим:
Д2Ц- -уКр.р-3 = 477|Лр,
что и требовалось доказать.
Положим теперь, что тело неоднородно и плотность его
есть функция положения точек. Назовем координаты притяги-
ваемой точки А (фиг. 49) через х, у, г и возьмем эту точку за
начало новых осей координат х', у', г*, которые параллельны
прежним осям. Выразим силы X, У, 2 в полярных координатах,
приняв за полюс притягиваемую точку А, за полярную ось —
ось х' новой системы координат Характеризуя положение точек
тела углами 6 и <р и радиусом-вектором г, имеем:
С С С г2 81В 0 б/з б/о б/г о
Х = ------------?------С0!в'
7 Г Г С 51п 6 б/О 4т б/г . д .
= V* I I I ? --------81П 6 81П ср
Н. Е. Жуковский, вып. 7 407—6
Или по сокращении:
X = $Ур 81п 6 со8 6 М (1ц (1г,
V = I1///? 8^2 0 СО8 ?
Х = Ур81п26 81п фйб (1$ йг.
Составим-производные от сил по координатам х, у, г. Заметим
прежде, что радиус-вектор меняется от нуля до /?, где /? есть
значение радиуса-вектора для точек, лежащих на поверхности.
Пользуясь этим замечанием, составляем производную от силы X
по координате х. Она есть:
я
и&с'/С08 ® Ж? ] Р
о
При диференцировании изменяются ри/?, так как эти величины
зависят от места точки А и суть функции ее координат х, у, г;
поэтому
= Р У У /*81п 6 со8 0 ~ б/г + р. [81116 со8 0 М рх
где рх есть значение р при г = /?, т. е. это есть плотность
точки, лежащей на поверхности и имеющей /? радиусом-векто-
ром. Подобным же образом получим:
= У8ш2бс°8^0^|^+р.у /з1п26 со8<?бЛ сйррх
~ ] 8*п2 $ 8*п ’х У] 8*п2 $ 8*п ‘°х^ ’
Складывая эти производные, получаем:
я
У2/У = |1 уу 5Ш О М б/ф I СО8 О + ~ 81П 6 СО8 81П 9 81П йг +
о
81п $ Р1 (эх С08 ® 8*П 6 С08 5г 8*п 6 8*П
Преобразуем скобки в подинтегральных функциях. Пусть
ч о,
где В, /], С суть координаты относительно старой системы осей
какой-нибудь точки тела. Так как эти координаты через коор-
динаты х, у, г точки А и полярные координаты г, 0, <р какой-
нибудь точки тела выражаются так:
Е = л + ГСО820,
—у + Г81П 6 СО8 Ф,
- == г + г 8ш 9 81п ф,
Р = /(л + г соз 0, у + г 81п 6 соз % г 4- г зщ в 81п ф).
Возьмем производную от р по г:
I® = СОЗ 9 + 81П 9 СОЗ <р + у 81П 6 81П Ф,
ИЛИ
/г = /х С08 6 + /у 8'П 9 СО8 <? + д2 81п 6 81п *•
При помощи этого преобразования интеграл скобки первого
члена в выражении А2С/ обращается в
т?
]д/гЛг = ^-^
О
где Р1 есть плотность на поверхности при г=Я, направление
которого задано углами 6 и ф, а р0 — плотность в точке А при
г =0.
Для преобразования второй скобки посмотрим, как ме-
няется Я- Величина радиуса-вектора Я есть некоторая функция
координат точки А(х, у, г) и направления, именно:
Я = ф (х, у, г, 6, ф).
Если перейдем от А к А , оставляя Я параллельным самому
себе, т. е. не изменяя <? и 0, то будем иметь:
дх ду 1 дх ’
ИЛИ
7 7") о/? 1 . дР^ 1 . о!^ 1
с/Р = - ах 4- ч- с1у + . йг.
дх 1 ду -' дх
Назовем ДА' через (18, тогда:
(1х = (1$ соз а, с1у = йз со§ р, (1г = (18 соз 7,
где а, 3, суть углы отрезка АД' с осями. Поэтому:
= (аг СО8 а + 57С08 + со,8 ?) й5-
Положим теперь, что йз направлено по Я, т. е. мы перемещаем
точку А по самому радиусу-вектору /?, тогда:
СОЗ а = соз 6, СОЗ В == 81П В СОЗ <р, СОЗ 7 = 51П 6 8111 ф.
Взятый в этом смысле диференциал от будет:
С1К= соз о + 81П 6 СОЗ у + 81П Ь ср(18.
Но так как мы перемещаем точку по/?, то —(18, поэтому
— 1 дк СО8 + оу 8Ш СО8 $ + дх 81П 81П
Таким образом вторая скобка в выражении Л26/ есть—1. Поль-
зуясь этими замечаниями, представляем так:
= <>УУ81П 6 (рх — р0) 4/6 ф — «.уурх 81П 6 4/6
откуда:
р0 8Ш 6 4/6 4/<р.
Совершая квадратуру в должных пределах, от 0 до я по 6 и
от 0 до 2к по ф, найдем: А2/7— 4яу.р0, и теорема Пуассона
доказана.
§ 4. Теорема Грина. Теорема Грина заключается в преобра-
зовании объемного ин-
теграла в поверхност-
ный. Пусть имеем две
функции координат ф
и <!>. Рассмотрим инте-
грал:
Фиг.
50,
тонкой призме с основанием с1у •
тело в точках а, Ь, с,й. Получаем:
распространенный на
некоторый замкнутый
объем (фиг. 50). Со-
вершим в этом инте-
грале интеграцию по
х. Интегрирование по
х распространяется на
часть объема, заклю-
ченную в бесконечно
которая пусть пересекает
/Д аг/ддх(у
(1ус12 есть проекция на плоскость уг всех элементов поверх-
ности, которые высекает тонкая призма из поверхности, огра-
ничивающей данный объем, так что, называя углы внутренних
нормалей этих элементов с осью х через ах, а2, а3, а4, будем
иметь:
йу (12 = (1а1 СОЗ ах = — б/о2 С08 а2 = б?а3 СО8 а3 — — СО8 а4.
Если в нашем интеграле заменим йуйх то тем, то другим
его значением, то получим сумму произведений всевозможных
84
лементов на соответствующие косинусы углов внутренних
нормалей; поэтому можно написать:
Ш/Жъ*)ахауаг-
где двойная интеграция распространяется на всю поверхность,
ограничивающую данный объем. Аналогично:
/ Г/ду Ь ах^У^=~//ч дду соз
////г(^) ах ау аг = ~/А Й4/3 СО8
Складываем три полученные равенства, раскрыв в первых
частях производные:
Г + дЛ + ^^хаул2 +
/ / / \дхдх 1 дуду ‘ дх дх)
+)//? (3+^+2)
/,МЙ
.Эф о , сб
соз а + соз р + -г соз ;
ду 1 дх ‘
Вторая часть этого уравнения может быть написана в более
сокращенном виде. Если будем рассматривать значения ф для
точек, лежащих на направлении нормали п (фиг. 51), и считать ф
функцией длины нормали (которая отсчитывается от поверх-
ности тела внутрь его), то легко видеть, что:
дх
дп
— соз а,
—= созр,
дп г’
дх
дп
= СОЗ
поэтому:
Эф .Эф о . Эф
^СО8а + ^СО8? + ^СО87 =
__ Эф дх . Эф ду . Эф дх д^
дх дп ‘ ду дп' дх дп дп
Пользуясь этим и заметив, что
Э2ф д^ д^ф _ .
дх2 ‘ ду2 “И дх2 ~ 2 *’
получим:
' д / \ дх дх оу ду дх дх) у
ах ау аг-
Здесь первая часть симметрична относительно <р и ф, поэтому
к написанному равенству можно прибавить еще второе:
у &$с1хйу дх—
=)^паа+]/^^ЛхЛуах.
Это и есть формулы Грина.
Посмотрим, какие условия должны быть наложены на функ-
ции <? и 6, чтобы полученные результаты имели место. Мы
диференцировали ? и^и интегрировали выражение дх.
Следовательно, чтобы имело место первое равенство Грина,
функция ф и первые производные от ф должны быть конечны и
непрерывны внутри данного объема. Если конечны
и непрерывны, то и Д2Ф есть величина конечная. Вторые же про-
изводные от ф могут изменяться и скачками, что не нарушит
нашего вывода. Чтобы имело место второе равенство Грина, ф
и первые производные от <р должны быть конечны и непре-
рывны. Следовательно, чтобы имели место обе формулы Грина,
функции « и ф и их первые производные должны быть конечны
и непрерывны. Это суть те условия, которые характеризуют
потенциальную функцию тел конечной плотности.
§ 5. Теоремы Гаусса. Теорема I. Интегралвзя'
тый по замкнутой поверхности, внутри которой нет масс,
характеризуемых потенциалом И, равен нулю. Если же внут-
ри рассматриваемой замкнутой поверхности находятся массы,
то упомянутый интеграл равен 4яуЛ1, где М — сумма всех
масс внутри поверхности.
Воспользуемся формулой Грина в виде:
)] А \$<1хдуд2 =
=/Г' + /^Ь^дхдудг.
Полагаем ф = 1, ф — тогда
Г + / ^ ^Ийх с1у дх = 0.
Но = 0 по теореме Лапласа, так как внутри поверхности I
(фиг. 52) нет масс; поэтому
что и требовалось доказать.
Пусть теперь внутри поверхности I (фиг. 53) имеются массы
конечной плотности. Тогда, поступая таким же образом и
замечая, что по теореме Пуассона второй диференциальный
параметр есть 4крр для всех мест, наполненных массами, найдем:
//апа:>== аг-
Тройной интеграл, распространенный на объемы всех тел, лежа-
Фиг. 52.
щих внутри поверхности, представляет не что иное, как массу
этих тел; называя эту массу через М, получим искомое:
ЦЯ'Ь-К.М.
Разберем теперь тот случай, когда плотность р не всюду
конечна. Пусть внутри поверхности I (фиг. 54) масса распреде-
лена по некоторым точкам и линиям. Вообразим сферу беско-
нечно большого радиуса и приложим формулу Грина к простран-
ству между рассматриваемой поверхностью и поверхностью
сферы, в предположении, что между ними нет масс. Положив
= 1, ф = II, имеем:
I II
где у ^относится к поверхности тела I и дп' есть элемент внеш-
I
ней нормали, а распространяется на бесконечно большую
<феру и (1п есть элемент внутренней нормали. Взяв на поверх-
ности бесконечно большой сферы производные в направлении
к ее центру О и заметив, что потенциал для бесконечно уда-
ленных точек есть —, найдем:
I II
Отсюда
I II
Так как где йп — элемент внутренней нормали по-
ин (Л /
верхности I, и поверхность бесконечно
4я/?в, ТО
большой сферы есть
Поэтому
//^* = 4^Л4.
Теорема и в этом случае имеет место.
Теорема II. Среднее значение потенциальной функции на
сфере, не заключающей внутри притягивающих масс, равно
значению ее в центре сферы.
Имеем сферу радиуса г0 (фиг. 55). Проведем малым радиу-
сом гТ концентрическую сферу и напишем формулу Грина для
объема между этими сферами. Положив в этой формуле = /7.
<р = - , где г—расстояние точки от центра сферы, имеем:
7 У Го (1п 1 У У гг Уп
I II
Заметив, что
I II
так как в I мы имеем диференцирование по внутренней нор-
мали, а в II —по внешней, получим:
По предыдущей теореме
I II
так как внутри сфер нет притягивающих масс. Далее по беско-
нечной малости поверхности II во всех ее точках значение и
можно считать постоянным; поэтому:
Л' иаа =
'' II II
где V, — значение потенциальной функции в центре сферы II
Совершив подстановку, имеем:
откуда:
ц=А /7
4~г(, Л Л
Вторая часть есть среднее значение потенциала, — теорема до-
казана.
§ 6. Теоремы Дирихле. Теорема I. Если внутри объема
нет масс, то потенциальная функция везде внутри объема
определена, если дано ее значение на поверхности, ограничи-
вающей данный объем. Если же дана на этой поверхности
производная от потенциальной функции по нормали, то потен-
циальная функция внутри объема будет определена до постоян-
ного.
Приложим формулу Грина к рассматриваемому объему. По-
ложим, что кроме некоторого определенного значения и потен-
циальная функция может при данных условиях иметь еще иное
значение 1}^ Положив в формуле Грина
= и ц,
сравнивая первую и вторую части ее, будем иметь:
я; гяя+ сяя2] -
Я (а)
Функции I] и на поверхности должны иметь данное значе-
ние, так что на поверхности /7 -67х—0. Кроме того, и и Ц
удовлетворяют теореме Лапласа, так как внутри объема нет
масс, поэтому
Й^)‘+ С =“'
чтобы удовлетворялось это уравнение, необходимо условие:
щ-о. (Ь)
Отсюда следует, что для всех точек внутри объема 17 - =
= соп§1. Но на поверхности 47 — 6^ = 0, поэтому соп§1 = 0, и на-
ходим и=
Итак, существует только одно значение 47, и если дано зна-
чение 17 на поверхности, то значение 17 внутри объема опреде-
лено.
Положим теперь, что дано значение производной по нормали
от потенциальной функции на поверхности. Тогда на поверх-
аи
ности при этом предположении и первый интеграл вто-
рой части уравнения (а) обратится в нуль, второй же интеграл
равен нулю по теореме Лапласа. Опять получим формулу (Ь),
из которой найдем 17 -17^ — сопз1. Но теперь нельзя доказать,
ЧТО СОП81 = 0.
Замечание. Если потенциальная функция на поверхности
постоянна, то и внутри объема она постоянна. Если бы в фор-
муле Грина положили ср = ф = 47, то получили бы:
дЫ _ М7 = дЦ
дх ду дх 9
т. е. 17 = сопз! везде внутри данного объема.
Также легко обнаружить, что везде внутри объема 47 = сопз1,
4/7 п
если на поверхности а~ = 0.
Теорема II. Для данного расположения масс существует
только однд, функция, которая удовлетворяет всем свойствам
потенциальной функции.
Пусть в пространстве помещено несколько масс конечной
плотности. Было обнаружено, что потенциал этих масс удовле-
творяет свойствам:
1) во всем пространстве эта функция и первые ее произ-
водные конечны и непрерывны;
2) в бесконечности она обращается в нуль порядка ;
3) в точках пространства, где нет масс, второй диферен-
циальный параметр этой функции равен нулю, а везде внутри
тела этот параметр равен — 4-;хр.
Докажем, что не существует другой функции, удовлетво-
ряющей всем этим свойствам. Пусть кроме V есть еще функ-
ция 61, удовлетворяющая всем свойствам потенциальной функ-
ции. Проведем сферу бесконечно большого радиуса А? и при-
ложим формулу Грина ко всему объему, заключенному внутри
этой сферы. Положим при этом, что ф = <р==Г7— 6^ и сравним
первые две части формулы Грина. Имеем:
йхйуйг =
= 1'1’ (и~ и.) а° + /// V- ^1) № а*
Легко обнаружить, что второй член второй части равняется
нулю. Действительно, разность Д2Я— Д26\ по третьему свойству
потенциальной функции всегда есть нуль, будет ли точка вну-
тренняя или внешняя относительно притягивающих масс. Осталь-
ные члены могут быть преобразованы. Функции Г и Ц на
бесконечно удаленной сфере будут малые величины порядка
1 (Ш ас\ . 1
я, а производные и бесконечно малые порядка .
Поэтому можно положить:
Я^-ад-Я
Пользуясь этим, представляем вторую часть так:
Я<ц - ад Я - ад *=-«• Ялв
Но
= А2 СОЗ 6 4/9 Й'7,
поэтому
^1) г/с = -Г Г/лес05 9= 0.
так как — бесконечно большое число, а интеграл во второй
части представляет конечную величину. Таким образом формула
после преобразования принимает вид:
Л/ -)’+ (-'Л-УI мУ- °-
Эго уравнение может быть удовлетворено только при условии:
^==-^- ^)=°>
ведущем к равенству:
и — = сопя!.
Но для бесконечно удаленной точки и и обращаются в бес-
конечно малые величины порядка , поэтому сопв1=0. и мы
получаем:
Л = Лх.
Таким образом с> ществует только одна функция, удовлетворяю-
щая всем свойствам потенциальной функции.
ГИДРОСТАТИКА
§ 1. Основное свойство жидкости- Гидростатика занимается
равновесием жидкостей. Жидкости разделяются на капельные
жидкости и газы, или жидкости несжимаемые и сжимаемые. Усло-
вия равновесия как капельной жидкости, так и газов выража-
на друга нормальны
Фиг. 1.
ются одними и теми же уравнениями, если смотреть на жидко-
сти и на газы, как на динамические системы, характеризуя
их тем, что давления смежных частей друг
к поверхности их раздела. Но капельная
жидкость может быть принята и за гео-
метрическую систему, если мы будем >
характеризовать ее тем, что объем каж-
дого элемента ее массы не может умень-
шаться. Увеличиваться этот объем также
не может, но масса может рассыпаться на
части, как угодно малые,*причем жидкость
будет представлять уже не сплошное тело,
а систему свободных точек.
Будем рассматривать жидкость сна-
чала, как динамическую систему. Вообра-
зим внутри жидкости некоторую пло-
щадку о (фиг. 1). Все давление на эту
площадку сводится к некоторой силе Р,
нормальной к площадке. Это свойство
вполне характеризует жидкость, как
динамическую систему. Взяв отноше-
ние силы Р к площади о, мы получим величину , которая
представит собой среднее давление на единицу площади (это
давление будет среднее, а не истинное, потому что давление
может быть и неодинаково во всех точках). Предел же этого
отношения, когда о будет бесконечно убывать, представит со-
бой давление р в точке О. Это давление р называется гидро-
статическим давлением, если жидкость находится в равновесии.
Гидростатическое давление есть некоторая непрерывная функ-
ция координат данной точки и различно в разных точках жидко-
сти. Если назовем через бесконечно малую площадку, то
для силы давления Р на эту площадку будем иметь:
Р = рсЬ.
Теорема 1 Гидростатическое давление в данной точке
не зависит от направления площадки, т. е. от углов, которые
делает с осями координат нормаль к площадке.
Пусть имеем жидкость, находящуюся в равновесии. Вооб-
разим в этой жидкости бесконечно тонкий цилиндр, имеющий
основанием некоторую площадку сЬ (фиг. 2). Сделаем нормаль-
। ? ное сечение дз этого
, | цилиндра и вообразим,
__------------------------ что вся масса внутри него
д 1 в----------------------отвердела. Так как эта
масса была в равновесии,
О----------------------------% то она будет находиться
в^равновесии также и в
Фиг. 2. твердом состоянии под
действием тех же сил;
следовательно, эти силы
должны удовлетворять условиям равновесия твердого тела, а имен-
но: сумма проекций сил на каждую ось должна быть нулем, и сум-
ма моментов сил около каждой оси также должна быть нулем.
Составим сумму сил, действующих по оси Ох, которую берем
параллельно образующим цилиндра. В А действует нормальная
сила давления /20- дзч параллельно оси Ох в сторону Ох; в В дей-
ствует сила давления р • б/о, которая по оси Ох даст составляю-
щую — р • соз а, где а угол нормали к площадке с1~ с осыоОл;
боковые давления на стенки цилиндра составляющей по оси Ох
не дают, так как они нормальны к этой оси. Остается, нако-
нец, сила, действующая на массу цилиндра АВ. Пусть на каж-
дую единицу массы действуют по осям силы X, V и 7. Разобьем
цилиндр АВ на бесконечно малые цилиндры с основанием дз и
высотой с1х; объем каждого такого цилиндрика есть йз • дх,
масса [1дзс1х, где р— плотность, а сила, действующая на массу
этого цилиндра по направлению оси Ох, Х^дздх. Вся же сила,
действующая на массу всего цилиндра АВ по оси Ох, выразится
интегралом
У Х^дздх.
Найденные нами силы, действующие по оси Ох, должны удовле-
творять условию равновесия: сумма проекций их на ось должна
быть равна нулю; следовательно,
р0 дз р б/з соз а + у Хр дз йх = 0.
Заметив, что йзсоз а = дз> и что дз есть величина постоянная,
мы можем вынести ее из-под знака интеграла и полученное
уравнение представить в виде:
/’о р+ [ X? с1х =0,
откуда:
р =Ро+ [ Х',Лх.
(1)
Это равенство показывает, что давление р на площадку г/з
не зависит от угла а, т. е. от направления площадки. Кроме
того, легко усмотреть, что гидростатическое давление при
передвижении параллельно Ох меняется непрерывно, так как
меняется обыкновенно непрерывно.
§ 2. Жидкость, как динамическая система Выведем теперь
уравнения равновесия жидкости как системы динамической.
Пусть имеем некоторую массу
жидкости, находящуюся в равно-
весии под действием внешних сил.
Вообразим в этой массе бесконечно
малый параллелепипед, стороны
которого Их, с1у и с1х параллельны
осям координат; предположим, что
он отвердел, и рассмотрим усло-
вия его равновесия. Так как, от-
вердев, он попрежнему будет в
равновесии под действием тех же
сил, то действующие на него силы
должны удовлетворять условиям
равновесия твердого тела. По-
смотрим, какие на него дейст-
вую. силы. Внешняя сила, действующая на массу этого парал-
лелепипеда, дает по осям составляющие:
йх йу йх. У р йх йу йх, Ту Дх йу йх.
Далее по оси Ох действуют гидростатические давления на грани
параллелепипеда, параллельные плоскости ух Для определения
этих давлений обозначим гидростатическое давление в центре
параллелепипеда через р\ давление это изменяется при пере-
ходе от центра. Если мы перейдем от центра в положительную
сторону оси Ох на расстояние -у , т. е. к передней площадке,
то давление р изменится в
ор дх
дх 2 ’
для задней же площадки
гидростатическое давление блдет:
др дх
Р дх 2 ’
И Е. Жуковский, вып. 7—407—7
97
Сила давления на
так как эта сила
заднюю площадку
переднюю площадку даст по оси Ох силу
- ( Р + 57 3е) Лу ,
направлена от х к О; сила же давления на
даст по оси Ох силу
Таким образом мы нашли все
чтобы имело место равновесие,
была нулем, т. е.
силы, действующие по оси Ох\
необходимо, чтоэы сумма их
с! у (1г + АЧ с/х йу <1г = О,
откуда по сокращейии находим:
др
дх
также найдем:
(2)
Полученные уравнения суть основные уравнения гидроста-
тики, представляющие собой условия равновесия жидкостей..
Они показывают, какая существует связь между силами, дав-
лением и плотностью. В случае существования свободной по-
верхности для равновесия кроме уравнений (2) необходимо,
чтобы гидростатическое давление на поверхности было равно
внешнему нормальному давлению. Что касается до гидроста-
тических давлений на стенки сосуда, то каковы бы ни были эти
давления, они всегда будут уравновешиваться нормальными со-
противлениями стенок.
При выводе формул (2) мы воспользовались только тремя
условиями равновесия твердого тела, именно: суммы проекций
действующих сил на каждую ось равны нулю; тремя же осталь-
ными условиями: суммы моментов сил относительно каждой из
осей равны нулю, мы не пользовались.
Покажем теперь, что эти последние три условия сами собой
удовлетворяются при существовании уравнений (2) и никаких
новых связей между силами, давлением и плотностью не дают.
Возьмем для этого параллелепипед конечных размеров, грани
которого пусть параллельны плоскостям координат (фиг. 4).
Будем составлять сумму моментов сил относительно оси Ох.
Силы будут слагаться из сил, действующих на массу, и из сил
давления. Вырежем бесконечно тонкую призму с основанием о'о,
98
параллельную оси Оу,
действующих на призму
площади оснований
уравнение
И
ПО
и
докажем, что сумма моментов сил,
направлению оси Оу, и давлений на
сЬ’ равна нулю. Возьмем для этого
г ‘ ду
и, умножив его на хс1уй$ (где х есть координата йо и вообще
всех точек призмы), проинтегрируем его вдоль призмы, считая
за переменное у. Получим:
.1 гйрск — г(1о(р — р'\
(3)
где р есть гидростатическое давление на йъ, а на йъ'. Легко
усмотреть, что первая
часть нашего равенст-
ва представляет собой
момент силы, действу-
ющей на массу призмы
по оси Оу относитель-
но оси Ох. В самом
деле, объем этой приз-
мы* есть
с/у б/а;
масса
^йусЬ-,
сила, действующая на
массу по оси Оу,
Ур с!у Ль.
Момент этой силы,
как известно, полу-
чится, если спроекти-
руем силу на пло-
скость, перпендикуляр-
ную оси моментов, т. е.
в данном случае на
плоскость ух, и умно-
жим на расстояние
Фиг. 4.
этой проекции от начала координат. Проекция нашей силы бу-
дет равна самой силе, так как сила параллельна оси Оу. а рас-
стояние будет х, следовательно, момент силы будет:
х ^У^йуй^^ хУуйуйъ.
Что касается второй части уравнения (3), то она представ-
ляет сумму моментов сил давления на площадки сЬ и (№ отно-
сительно оси Ох, взятую с обратным знаком. Действительно, на
площадь (Ъ действует сила давления момент которой есть
грек, а на площадь М действует сила р'йз' р'ск, момент
которой есть гр' ск'; следовательно, сумма моментов этих сил
равна:
гсЬ(р р’)= — гсЬ (р' — р);
таким образом мы видим, что сумма моментов сил на основа-
нии соотношения (3) равна нулю.
Такой же результат мы получим, если станем вырезать
призмы, параллельные оси Ог, и брать момент сил, параллель-
ных оси Ог, относительно оси Ох. Положение наше мы дока-
зали для параллелепипеда конечных размеров, но, разумеется,
оно справедливо и для как угодно малого параллелепипеда.
§ 3. Обобщенная формула Грина. Прежде, чем мы обратимся
к выводу условий равновесия несжимаемой жидкости как си-
стемы геометрической, докажем одну аналитическую теорему,
дающую возможность выразить объемный интеграл через по-
верхностный. Эта теорема будет более общая, чем теорема
Грина; из нее может быть получена последняя
Пусть имеем тройной интеграл
//7 + 4 м + -0Г ®)) ах аУ
распространенный на некоторый замкнутый объем. В этом ин-
теграле количества ф, п, V, суть некоторые функции коорди-
нат. Докажем, что
/-('?«) + (<?*>) + -^-Ллауах =
С05 а + У СО8 р + 10 СОЙ у) ЙЗ,
где с1а — элемент поверхности, ограничивающей данный объем,
а а, р, ч углы, которые образует внутренняя нормаль к г/з
с осями координат (если в этой формуле положим, что
дФ дф дф
дх ’ ду 1 дх
где 6 какая-нибудь функция координат, то получим формулу
Грина).
Рассмотрим интеграл
//(ч^йхауа?,
в котором совершаем интеграцию по х, считая у и г за постоян-
ные. Это значит, что мы ведем интеграцию по призмочке, па-
□аллельной оси Ох (фиг. 5). Эта призмочка высекает из по-
верхности, ограничивающей объем, элементы поверхности йа, и
(/з.. Назовем углы внутренних нормалей к этим площадкам
с осью Ох через а, и а2. Тогда, проектируя эти площадки йа,
и йз2 на плоскость уг, будем иметь:
йз = йу (1г =йаг • соз а, —- — йз2 соз а2,
причем мы берем абсолютную величину площади, так как пло-
щадь существенно положительная величина, и через йх обозна-
Фиг. 5.
чаем площадь поперечного сечения призмы. Совершив указан-
ную интеграцию, найдем:
[с1у (1з [ (и и)с1\ =/ /йуйг(Ф2п2—а-л),
где срп иъ х2, СУТЬ значения функций ср и и на и б/з2 Если
в полученном интеграле заменим произведение бЛ’йг сначала
одним, а потом другим его значением, то получим суммы про-
изведений всевозможных элементов поверхности на косинусы
углов внутренних нормалей с осью Ох\ поэтому мы можем на-
писать:
[ [ Г дх I С08
где двойная интеграция распространяется на всю поверхность,
ограничивающую данный объем Аналогично
0) =-= ‘ СОЗ Зак.
Г / / / ср IV соз 7 Л,
где 3 и ; суть углы внутренних нормалей элементов поверх-
ности с осями Оу и Ог. Складывая эги равенства, получим:
~ (и соз а. + п соз 3 + соз ;•) </г, (4)
что и требовалось доказать.
Если мы будем рассматривать и, ч) и но как проекции по
осям координат некоторого вектора V, то легко усмотреть, что
и соз а + ® соз р + ни соз 7 = V у соз а + у соз р + у соз 7 =
— V соз (И, п).
При этом интеграл наш представится так:
//) + М + ’Э7<<₽И')] = —/Г? Гсо5(И’ «)^а- (5>
§ 4. Условие равновесия несжимаемой жидкости, как гео-
метрической системы. Пусть имеем сплошную жидкую массу.
Положим, что эта жидкость
как-нибудь переместилась и
координаты х, у, г каждой
точки получили приращения
ох, оу, 8г. Эти бесконечно ма-
лые приращения суть вообще
некоторые функции коорди-
нат, хотя и бесконечно малые;
их можно рассматривать так-
же, как функции конечной
величины с постоянным для
всех бесконечно малым мно-
жителем. При движении жид-
кости некоторое количество
ее войдет в данный объем, а
некоторое количество выйдет из него; при этом количество
вошедшей жидкости не может быть больше количества вышед-
шей, потому, что жидкость несжимаема. Оно может быть или
равно или меньше количества вышедшей; в последнем случае
имел бы место разрыв жидкости. Будем называть количеством
вошедшей жидкости разность между количествами вошедшей
и вышедшей.
Посмотрим, как можно определить количество жидкости,
вошедшей в данный объем.
Пусть §5 есть то перемещение, проекции которого суть ох,
оу, ог. Вообразим на поверхности данного объема малую пло-
щадку йа (фиг. 6) и построим на ней цилиндр, образующие
которого суть оз. Если назовем 0 угол между перемещением 8$
и нормалью к йа, то высота упомянутого цилиндрика будет
102
оз соз 6, а объем его йа озсозб. Этот объем займет жидкость,
прошедшая через площадку йа (знак при соз 6, надлежащим
образом взятый, покажет, вошла ли жидкость внутрь объема
или вышла из него). Все же количество жидкости, прошедшее
через всю поверхность внутрь объема, выразится двойным ин-
тегралом.
У У 88 СОЗ 9 Йа,
распространенным на всю поверхность данного объема По вы-
шесказанному это количество должно быть или равно нулю,
или меньше нуля, т. е. мы должны иметь
У У08 СОЗ 6 йа < 0.
(6)
Преобразуем это выражение по формуле (5). Положив в ней
ф = 1, и = 8х, V = оу, те» = ог, И = 08,
найдем
(у58-созбйз=—У+^(&у) + ~№)^йхйуйх.
Пользуясь этим равенством, условие (6) можем представить так:
УУУ[-^ (^) + (ЭД + 4- ^)] йх йу йг > 0.
Так как это условие справедливо для всякого объема, то оно
справедливо и для бесконечно малого объема; в этом случае
полученное условие можно представить так:
\1^ + ^7 (г-'’> + /// 0.
Заметив, что
[ \йхйуйг
есть величина положительная, как элемент объема, мы по со-
кращении находим:
или:
Ж С*)+(М=гс. ст
где 6С существенно положительная величина.
Вот условие, которым стеснены возможные бесконечно малые
перемещения всякой точки жидкости, характеризуемой как
геометрическая система.
Если жидкость прилегает к неподвижной стенке сосуда,
уравнение которой
/ (•*> У, = с1,
ЮЗ
то возможные перемещения у стенок стеснены также уравнен
нием:
д/ > . д[ > , дг :
1х + ду "У + 62 = оС1>
если при переходе со стенки внутрь сосуда функция /(л, у, г)
возрастает, то оСх должно быть или больше нуля или равно
нулю.
Чтобы вывести условия равновесия по методу Лагранжа,
нужно, как известно, составить элементарную работу всех
действующих сил и, прибавив к ней условия, стесняющие воз-
можные перемещения, умноженные на произвольных множите-
лей. приравнять полученную сумму Действующие силы суть:
сила, действующая на массу, и сила, действующая на свобод-
ную поверхность.
Назовем через X, У и 2 компоненты силы, действующей на
массу, отнесенную к единице массы; тогда на элемент (1т
= ойхйу(1г будет действовать сила, компоненты которой будут:
Хрйхйуйг, Урйхйуйг, Хрйхйуйг.
Элементарная работа этой силы, есть
{Хох + Уоу + о (1х йу йг.
Сумма же элементарных работ всех сил, действующих на всю
массу, выразится тройным интегралом:
У У {Хох + Уоу + Хог) ?(1х(1ус1х,
распространенным на весь данный объем.
Ищем теперь элементарную работу сил, действующих на
свободную поверхность. Назовем через X', У , И компоненты
сцлы, действующей на свободную поверхность, отнесенной
к единице площади. На площадь бЬ будут действовать силы
Х'й^ У'(1а, Х'(1ач
элементарная работа которых есть:
(Х'ох+ У'оу
Вся же работа сил, действующих на всю свободную поверх-
ность, представляется интегралом:
/./ (Х'?>х + У'оу + 7'ог) с1а
1
индекс 1 указывает на то, что интеграл распространяется
только на свободную поверхность жидкости). Условие Лагранжа
напишется так:
/Г/? (Хох + ^У + Хог) Лх йу (1г +
./'(Х'оХ “Н } 'оу X'ог} (1а ~ о~.
Возможные перемещения стеснены уравнениями (7) и (8). Умно-
жим условие (7) на \с1хс1у(1х-, так как в каждой точке жид-
кости имеет место это условие, то для всего объема жидкости
оно представится тройным интегралом, распространенным на
весь объем, именно:
Г) } х [77 (бл) +17 (ЧУ) + (йг) |
(7')
Умножаем также условие (8) на р. б/з и, заметив, что оно стес-
няет только перемещения частиц при стенках сосуда, мы для
всех этих частиц найдем
//“ '“Х + ду (8')
где индекс 2 показывает, что интеграция распространяется на
всю поверхность данного объема кроме свободной поверхности.
Складываем, наконец, (7') и (8') с условием Лагранжа. Находим:
У У ур (А ох 4- V Зу + 7. о?) с!х с1ус!г +
+ У .11 к I дх Т дг йх йг +
+// (*'3х + Г' 2 ог)Л | ]] у ( | ЧУ Ь % =
о- 7
] /НС(1хс1у с!г
(9)
Преобразуем второй член первой части так, чтобы освободиться
от вариаций, стоящих под знаком производной:
I /Х[<Ь {г'л) + ег)|^хт/ут/г
= I * (Ход)|с?х^^г
-!.П^х^+^ту + ^^ахауаг
Первый член этого равенства по формуле (4) заменим по-
верхностным интегралом, положив в этой формуле
(р — и — ох, V — о”, да - од,
находим:
= У” (ол СОЗ а + оу СО8 р + 02 СО8 7) Йа =
~ ~ [Х(§ЛСО8 а 4- оу СО8 Р+ 8г СОЗ 7) 4?3—
1
— /У"). (8х соз а + оу соз р + ог соз 7) 4/3,
2
где первый интеграл распространяется на свободную поверх-
ность, а второй на стенки сосуда. После этого преобразования
уравнение (9) примет вид:
^'г(Хьх-\-ТЪу7,ьг)(1х йу йх—
]/] ^(Х'ол+Г'оу4-2'8г)д?з-
1
—УУ ($•* соз а+8у соз Р+§г соз 7) </<з4- уох+|~ЧУ*2)
1 2
—У ] к С08 а + СО8 СО8
2
=ок+ [ [\ 8 с (йх йу й2)+Сг йа
2
ИЛИ
Ц(?Х ~^)^х + ^У ^)гУ+(р^ -дУ)'^\с1х(1ус1г +
+ У*У"[(^' лсоза)ох+(У' - к соз Р) оу +(Х'— к соз 7) ог! </з +
I -*
+ /Л.^ ддх Х СО8 а) +(н °/у }' С0§ ?)8^ +(н ТГ Х С08 '0 | =
+ } ^ (1х йу (Лх -\- ^ ^ у. 0С1 (1с.
(Ю)
Вот уравнение, представляющее собой условие Лагранжа для
жидкости. Вообразим такое перемещение жидкости, при кото-
ром частицы на свободной поверхности не перемешаются, объ-
емы элементов жидкости не изменяются, и жидкость не от-
стает от поверхности стенок, так что 8С = 0 и 8Сг = 0; тогда
уравнение (10) дает:
— ~ + (р^ ' 5?)8г]^Л аус1г
Так как надлежащим подбором к мы можем коэфициент при
.',г обратить в нуль, а ох и оу» совершенно произвольны, то
Р х = О,
‘ дх
рГ ^ = 0,
1 ду '
Р7 ^=°-
(11)
Вообразим теперь перемещения частиц, лежащих на свободной
поверхности жидкости; выбирая эти перемещения различными
способами, мы придем к заключению, что для удовлетворения
уравнения (10) необходимо, чтобы:
X' — X соз а = 0,
У — X соз р =0,
У — X соз 7=0.
(12)
Наконец, рассматривая бесконечно малые перемещения при
стенках, мы придем к заключению, что
и -2- — X соз а 0,
‘ дх у
{А — Л. СО8 р = 0, !
1 ду ‘
-е — л соз 7 = 0.
1 дг ‘
(13)
При существовании всех этих уравнений (11), (12), (13) из урав-
нения (10) останется еще:
0 —+ [ оСХ с1 х <1у с!г + У
Предположим, что жидкость переместилась так, что от стенок
она не отстала, так что оСх = 0 и что все элементы сохранили
свой объем, кроме элемента (117, так что для всех элементов
8С = 0, кроме элемента (117, для которого оС> 0. При таком
перемещении последнее уравнение приводит к условию:
0 = от? оСк (11У,
которое показывает, что X существенно положительная величина,
так как оС>0; о6г>0 и от?<0. Также покажем, что р.8С1>0.
Найденные нами уравнения (11) (12), и (13) решают вопрос
о равновесии жидкости, как геометрической системы. Рас-
смотрим в отдельности эти уравнения и покажем их механи-
ческий смысл.
Если мы сравним уравнения (11) с уравнениями равновесия
жидкой системы, выведенными нами динамическим способом,
то четко усмотреть, что
л р + сопз! (14)
Таким образом а, входящая в уравнение (И), представляет со-
бой гидростатическое давление плюс произвольное постоянное
Ниже мы покажем, что X равна гидростатическому давлению, т. е.
сопз! 0. Заметим, что р должно быть некоторой положитель-
ной функцией, так как Х> 0. Обратимся к уравнениягл (12). Эти
уравнения мы можем представить в симметричной форме
х У = X'
Соза соз соз •( ’ '
Они показывают, что сила, действующая на свободную поверх-
ность жидкости, при равновесии должна быть направлена нор-
мально к поверхности. Если мы назовем это нормальное дав-
ление на поверхность через р, то найдем
X' р соз а, У' = р соз 2.' — р соз
Эти уравнения при сравнении их с уравнениями (14') дают:
' Р,
т. е. на свободной поверхности, а следовательно, и во всей
жидкости сопз! в уравнении (14) равняется нулю и X равно
гидростатическому давлению; так как ). > 0, то давление направ-
лено всегда внутрь жидкости.
Наконец, уравнения (13) дают
дГ д/ д/
ох ^ = ^ = соза:соз>:соз;.
Эти соотношения никаких стеснений на силы не налагают.
Таким образом мы нашли, что жидкость находится в равно-
весии при соблюдении следующих двух условий.
1. Внешнее давление на свободную поверхность должно быть
направлено по нормали к этой поверхности.
2. Должна существовать такая положительная функция
р, которая удовлетворяет условиям:
'^Х -д~ ь У ,7. = ор
~ дх ’ ду ’ дг
§ 5. Следствия из общих уравнений равновесия. Уравнения
(11) показывают, что в случае равновесия рХ, рУ, рХ суть
частные производные по л, у, г от одной и той же функции;
следовательно,
др - р (X дх ф- Уду -’- Xдх) (15)
есть полный диференциал. Если же силы и плотность такие
Функции х, у, г, что выражение (15) не представляет полного
диференциала, то равновесие невозможно, и жидкость может
быть только в движении. Таким образом не при всяких силах
и плотности возможно равновесие жидкости.
Если условия равновесия соблюдаются, то для определения
давления р надо уравнение (15) интегрировать по правилу инте-
грирования полных диференциалов. Получим:
Р=/(х,У, 2) + С,
причем произвольная постоянная С определится, если дано дав-
ление в одной какой-нибудь точке. Если давление на свободной
поверхности р0 нам дано, то уравнение свободной поверхности
будет
/( х, у, г) + С = рп.
Когда эта поверхность замкнутая, то жидкость может нахо-
диться в равновесии без стенок; когда эта поверхность не
замкнута, то жидкость должна быть заключена в сосуд. Давая
в уравнении
Р =/(х, У, г)+С
разные постоянные значения р, получим ряд поверхностей, на
каждой из которых давление постоянно
Рассмотрим подробнее следующие четыре случая.
Случай 1. Жидкость несжимаема и р = сопз!. Если
Р = соп81, то трехчлен
X дх + У ду + 7. дх
должен представлять собой полный диференциал и, следова-
тельно,
дХ _д_У оХ дХ дХ ^дХ
ду дх’ дг Оу ’ дх ог '
Эти равенства представляют собой условие существования
силовой функции для силы X, У, X. Таким образом капельная
жидкость может быть в равновесии только под действием
силы, имеющей силовую функцию. Если сила силовой функции
не имеет, то как бы мы ни заключали ее в сосуд, она никогда
не пришла бы в равновесие под действием упомянутых сил, а
была бы в движении Называя силовую функцию через С, мы
имеем:
Хдх-У Уду + гдх = ди,
и уравнение (15) представится в виде:
др = р дС/,
откуда
Р^д+с,
ко
где С произвольная постоянная. Давая /7 постоянные значения,
мы получим ряд поверхностей уровня. Так как при /7 = сопз!
и р = сопз1:, то эти поверхности уровня будут вместе с тем и
поверхностями постоянного давления. На свободной поверхности
давление постоянно, и потому свободная поверхность должна
быть поверхностью уровня.
Если нам известно давление р0 в какой-либо точке и значение
силовой функции в этой точке равно {70> то
/70 = рЦ, + С.
Исключая из этого уравнения и предыдущего произвольную
постоянную, получаем для любой точки:
Р=А + р(^-^о)-
Если рц будет давление на свободной поверхности, то /7=/7^
В будет уравнением этой поверхности
,7/ Если две жидкости различных плотно-
р стей соприкасаются между собой по какой-
М , нибудь поверхности, то эта поверхность
.Ж р должна быть поверхностью уровня и равного
а л/ ' давления для той и другой жидкости.
В самом деле, пусть две жидкости, плот-
ности которых суть р и р', соприкасаются
Фиг- 7. по поверхности АВ (фиг. 7). Давление во
всех элементах с той и другой стороны
поверхности должно быть одинаково, чтобы имело место рав-
новесие. Это давление для элементов первой жидкости есть
/7 = р6г + С, а для другой р' =р'(7С'. Следовательно,
р и + с +
откуда
(р~р')/7-С'ч-С.
Так как р* — р = сопз!, С' — С = сопз!, то 17 = сопз!, т. е. по-
тенциальная функция на поверхности АВ имеет постоянное зна-
чение, следовательно, АВ есть поверхность уровня.
Случай II. Плотность на всем протяжении есть функция
давления, т. е. р = /(р).
Этим свойством обладают тела газообразные при постоянной
температуре. Для идеальных газов р = ар.
Подставим в уравнение (15) вместо р его значение и, разде-
лив уравнение на /(р), будем иметь:
Ус/у + Хс1г.
Называя через Р интеграл первой части, которая есть функ-
ция одного давления р, перепишем наше равенство так:
с1Р= Хс1х+ Уйу + Хаг.
по
Так как первая часть есть полный диференциал, то и вторая
часть должна быть полным диференциалом. Это условие, как
было показано, ведет к тому, что действующие силы должны
иметь силовую функцию. Следовательно, все сказанное о капель-
ной жидкости, имеет место и для газов. Следует только при-
бавить, что поверхность уровня, будучи поверхностью равного
давления, есть также поверхность равной плотности, ибо при р
ПОСТОЯННОМ Р =/(р} = СОП81.
Случай III. Плотность р изменяется по какому-нибудь за-
кону, являясь функцией координат. Силы имеют силовую функ-
цию.
Пусть
? =/(•*. У, г).
Если существует силовая функция, то
йр = р (IV.
Вследствие того, что йр есть полный диференциал, мы за-
ключаем, что р (Ш должно быть тоже полным диференциалом.
Это будет только тогда, когда р есть некоторая функция от
I}, т. е.
Отсюда следует, что при равновесии плотность на поверхностях
уровня должна быть постоянна. Для давления при этом будем
иметь:
р = с. (16)
Таким образом мы видим, что при существовании силовой функ-
ции жидкость может быть в равновесии только тогда, когда на
поверхностях равного потенциала плотность постоянна.
Если бы мы имели газ, температура которого I не везде одна
и та же, то
? о
причем температура была бы некоторой функцией от коорди-
нат; мы видели, что на той поверхности, на которой р = сопз1,
и р = соп81, следовательно, на этой поверхности и I должна быть
постоянной. Отсюда, между прочим, понятно, почему земная
атмосфера находится в постоянном движении. Равновесие было
бы возможно лишь в том случае, если бы для всей земной
поверхности слои с одинаковой температурой составляли бы
приблизительно концентрические сферы около центра земли,
так как поверхности уровня для силы тяжести очень близки
к сферам.
Случай IV. Плотность р изменяется по какому-нибудь за-
кону, являясь функцией координат. Силы не имеют силовой
функции.
Рассмотрим, может ли быть при этом условии жидкость в
равновесии. Мы имели:
1р = р(Хс?л+УЛу + 7,с1г\ (17)
где вторая часть непременно должна быть полным диференци-
алом. Но скобка полным диференциалом быть не может, потому
что силы не имеют силовой функции Следовательно, остается
допустить, что р есть интегрирующий множитель трехчлена:
ХЛх Ь Уау + Хйх.
Чтобы р было интегрирующим множителем, необходимо соблю-
дение условий:
^(г-п = 5,т
которые в раскрытой форме могут быть написаны так
__у др _ г (дУ _ дХ\
ду 1 дг ~ \дг ' ду)’
у др — Ор 102 дХ\
Л дг ^дх~~^\дх дг)’
у др у др _ (дХ дУ \
дх ду *' дх)'
Эти уравнения могу г быть удовлетворены только тогда, когда
существует некоторая связь между проекциями силы. Для опре-
деления этой связи умножим эти уравнения соответственно на
X, V и 2. и сложим их. Тогда первая часть тождественно обра-
тится в нуль, и мы будем иметь:
Но, так как вообще р7“0, то необходимо, чтобы:
/дУ дХ\ у (дг дХ\.7(дХ оУ\ п ,1СЧ
Ч~дг ~Ту) + У(дх ~дГ)+Чду ~д^)=° С8)
Вот какому условию должны удовлетворять проекции силы,
чтобы существовал интегрирующий множитель. Таким образом
мы видим, что равновесие жидкости возможно, если силы удов-
летворяют условию (18), причем плотность р подберется, как
интегрирующий множитель уравнения (17).
Покажем геометрический смысл уравнения (18). Положим,
что условие (18) соблюдается и существует интегрирующий
множитель р, так что
с1р = р (.V йх + У с1у 4- X (1г) ЛЬ,
(19)
гДе некоторая функция от координат. Построим семейство
поверхностей
6 = а
для различных значений параметра а и проведем к ним нор-
мали. Так как косинусы углов нормали к поверхности <Ь = а
дф дф дф
с осями координат пропорциональны величинам -ф то из
равенства (19) следует, что сила (Д’, У, 2) направлена по нор-
мали к поверхности ф=а. Таким образом при соблюдении условия
(18) существует семейство поверхностей, ортогональных к силовым
линиям (силовую линию, проходящую через данную точку, мы
получим, идя из этой точки постоянно по направлению силы).
В рассмотренных нами первых трех случаях существовала
силовая функция Ц причем совпадали поверхности уровня,
давлений и поверхности равных плотностей. В четвертом слу-
чае, при отсутствии I), совпадают поверхности равных давле-
ний и поверхности, ортогональные к силовым линиям, но с этими
поверхностями поверхности постоянной плотности не совпадают.
Если давление на свободной поверхности постоянно,то свобод-
ная поверхность есть поверхность уровня, и всегда ортогональ-
на к силовым линиям.
Замечание. Томсон показал, что иногда может существо-
вать силовая функция, при которой равновесие не возможно.
Это будет тогда, если силовая функция есть функция много-
значная. Так, если силовая функция есть
и = агс у,
то она, возрастая, когда точка (х, у) (фиг. 8) пойдет по окруж-
ности вокруг начала координат по
часовой стрелке, увеличится на 2т
после обхода точкой полной
окружности и сделается равной
С’-^ + агс у-
Так как р ~ + С. то при разных
значениях силовой функции давле-
ния будут не одинаковы с обеих
сторон АВ, и жидкость придет в
движение.
• § 6. Примеры равновесия жид-
кости. Жидкая масса находится
под действием центральной силы, 4
Р=^гт, притягивающей к началу
координат. Определить форму жидкой массы
П. Е. Жуковский, вып. 7—407—.ч
113
Компоненты притягивающей силы по осям координат суть:
т X т — 1 т-1
X = — |ХГ — = — иГ Л; } = иГ у;
7 т~1
У = иГ 2.
Подставим значения силы в уравнение:
(1р = + V с1у +
найдем:
, т — 1
ар — — у-рг (хах + у с1ух(1г)
Но
хс/х+ус1у 4- гйг —гс1г,
гак как г2 = л2 + у2 + з2, поэтому
с1р = — щ>гт(1г-,
откуда по интеграции находим:
р =-----?—
Л т + 1
т 4-1
№
Произвольное постоянное определим по следующим данным.
Положим, что жидкость находится в пустоте, так что на сво-
бодной поверхности давление р = 0. Пусть, кроме того, для
какой-нибудь точки поверхности г = а; тогда в этой точке
л I
о —----------р-ра
/72-4-1 ‘ Г
исключив С,
находим:
1 / ™ м
г г Р-Р I а
т 4- 1 г‘ У
/» +1\
г )
(20)
Р =
Если в полученном равенстве положим р — 0, го для свободной
поверхности найдем г — а. Следовательно, везде на свободной
поверхности г = а, т. е. свободная поверхность есть сфера:
при равновесии жидкая масса примет форму сферы. Все поверх-
ности уровня, равно как и все поверхности равного давления,
суть сферы. Давление будет увеличиваться по мере того, как
будем приближаться от свободной поверхности к центру сферы,
и будем иметь наибольшее значение в центре сферы, где
1 т + 1
Р = №
Предположим теперь, что некоторая твердая сфера окружена
жидкой массой, которую притягивает по закону Ньютона
(фиг. 9). Покажем, что в этом случае жидкость может быть в
равновесии.
Из теории притяжения известно, что сфера внешнюю точку
притягивает по ньютонианскому закону так, как притягивает
по тому же закону ее центр в предположении, что в нем за-
к1Ючена вся масса сферы Пренебрегая притяжением жидкого
слоя самого на себя, мы будем иметь, что эта сила
р ш
Г2 >
где г есть расстояние притягиваемой точки от центра. Если
в формуле (20) положим т = 2, р. = кМ, то получим давление
для данного случая:
= кМ? — г.
г / ‘ аг
Р
Давление р б) дет меняться, увеличиваясь
с приближением к центру; самое большое
значение оно имеет на поверхности тела М
при г~ЬУ где
Фиг. 9.
р = кМ? .
г ‘ аЬ
Легко усмотреть, что поверхности уровня в данном случае суть
сферы, потому что при р = сопзТ г также есть постоянная ве-
личина. Отсюда заключаем, что и свободная поверхность, будучи
поверхностью уровня, есть сфера.
2 Частицы жидкости притягиваются друг к другу по за-
кону Ньютона. Требуется определить, какую форму равновесия
примет жидкость, если никакие другие силы на нее не дей-
ствуют.
Эта задача приводится к следующей. Найти, какой поверх-
ностью должно быть ограничено однородное тело, чтобы си-
ловая функция для сил, с которыми частицы тела притягивают
материальную точку по закону Ньютона, имела бы поверхность,
ограничивающую тело своей поверхностью уровня. Задача ре-
шается обыкновенно путем попыток. Именно, задаются какой-
нибудь формой поверхности тела, определяют его силу притя-
жения, находят давление р и смотрят, будет ли р на поверх-
ности тела постоянно. Известны три формы равновесия, удов-
летворяющие требуемому условию: форма шара, беспредельного
слоя и беспредельного цилиндра.
Так, например, положим, что жидкость, частицы которой
притягиваются друг к другу по закону Ньютона, имеет форму
сферы, и покажем, что она может быть формой равновесия.
Из теории притяжения известно, что сплошная сфера при-
тягивает каждую частицу, находящуюся внутри ее, к центру
силой
р =
Полагаем в формуле (20) 1, р. находим:
р -^Ар(й2 л2).
Эта формула показывает, что свободная поверхность есть де1ь
ствительно сфера.
3. Определить равновесие жидкой массы, частицы которец
взаимно притягиваются силами, прямо пропорциональными рас-
стояниям. Пусть имеем тело произ-
вольной формы; будем рассмотри
вать его относительно осей с на-
чалом в центре тяжести данного
тела (фиг. 10). Из теории притя-
жения известно, что при силах,
прямо пропорциональных расстоя-
ниям, тело, какой бы формы оно
ни было, притягивает материаль-
ную точку так, как притягивает ее
при том же законе центр тяжести
тела в предположении, что в
центре тяжести сосредоточена вся
масса тела. Пусть масса жидкости
есть М. На основании сказанного
любой элемент жидкости притягивается к началу координат
силами:
X — у-Мгу = —рТИх; У уМу;
2 — - у.Мх.
Пишем уравнение равновесия жидкости в виде-
др = р (X дх + У ду + 2дх)
и заменяем силы данными значениями. Находим:
др рТИр (х дх + у ду + г дх).
Но х2 + у2д г2 — г2. вследствие чего х дх + уду + х дх = г дг\
поэтому:
др \>.Мьг дг.
Интегрируя это уравнение, получаем
р = ~ р,Мгя2 ф- С.
Произвольное постоянное С определим по следующим данным:
пусть свободная йоверхность не подвержена никакому давле-
нию, так что на свободной поверхности р 0; пусть, кроме
того, мы знаем расстояние одной какой-нибудь точки свобод-
ной поверхности от центра тяжести, например, пусть для
точки А г а. Тогда для точки А последнее уравнение будет:
0= -ЫуМъа2 ,-С.
^сключнв С из двух последних уравнений, получим:
р = Тр.Л4р(а2 /2).
Легко усмотреть, что в рассматриваемом случае сфера есть
единственная возможная форма равновесия. В самом деле, если
положим р=0, то получим урав-
нение свободной поверхности
в виде г = а, которое предста-
вит сферу радиуса а.
4. Жидкая масса постоян-
ной плотности находится под
действием силы тяжести. Пусть
имеем жидкость, помещенную
в сосуде (фиг. 11). Возьмем на-
чало координат в какой-нибудь
точке свободной поверхности
и направим ось г вертикаль-
но вниз, а оси х и у располо-
жим как-нибудь в горизонталь-
Фиг. н.
х
ной плоскости, проходящей через О. Сила тяжести, отнесенная
к единице массы, дает по осям составляющие
X -0; У=0; 7.
Уравнение равновесия при этом будет:
которое по интеграции дает:
Р +
Постоянное С определяем по следующим данным: пусть на
свободную поверхность, где г — 0, действует атмосферное дав-
ление /70; тогда
Ро 0 + С;
следовательно, для давления во всякой точке имеем:
Р = + (21)
Легко усмотреть, что свободная поверхность есть плоскость.
В самом деле, на свободной поверхности р = р^, так что для
свободной поверхности находим:
§{»2 = 0 или х = 0
Это есть уравнение плоскости лу, которая выбрана нами го-
ризонтальной.
Все плоскости, параллельные свободной поверхности, т. е.
все горизонтальные плоскости, данные уравнением
Ро + ё?? соп${,
будут поверхностями уровня или равного давления. Пользуясь
уравнением (21), легко определить величину давления во вся
кой точке. Это уравнение показывает, что давление на элемент
площади равно атмосферному давлению плюс вес столба жид.
кости, имеющего основанием этот элемент, а высотой его рас-
стояние до свободной поверхности.
Если бы мы искали, где давление равно атмосферному, т. е.
то мы нашли бы единственную плоскость, а именно,
свободную поверхность.
Положим теперь, что мы имеем два сообщающихся сосуда,
в которые налиты две разнородные жидкости (фиг. 12). Одна из
Фиг. 12.
жидкостей, именно жидкость с боль-
шей плотностью, займет положение
АВВ', перейдя из одного сосуда в дру-
гой, а другая займет положение А'В'.
, Положим, что на свободную поверх-
ность одной жидкости действует атмо-
сферное давление /?0, а свободная по-
верхность другой пусть подвержена
постоянному давлению р'о какого-ни-
будь газа. Жидкости эти будут сопри-
касаться по горизонтальной плоскости
ВВ', так как поверхность соприкоснове-
ния должна быть поверхностью уровня, а
поверхность уровня для данного случая есть горизонтальная
плоскость. Называя расстояния свободной поверхности той и
другой жидкости от плоскости ВВ' через Н и А', для давлений
в В и В' будем иметь:
В в р=р0+ё^,
в В' р = р'0 + ёр'И’.
Но плоскость ВВ' есть поверхность равного давления, следо-
вательно:
Ро+ёрЪ = Р'о+ёР'^'-
Если на обе жидкости действует атмосферное давление, то
^рй=^р,Л' или (22)
Это есть формула сообщающихся сосудов, показывающая, что
в сообщающихся сосудах жидкости располагаются так, что вы-
соты их обратно пропорциональны плотностям.
Если, положим, что во втором сосуде нет совсем жидкости,
а только находится газ, то получим общую формулу манометров:
Ро+ёрк=р’п (23)
(здесь берется А =0).
5. Равновесие тяжелой жидкости во вращающемся сосуде.
Пусть некоторый сосуд, содержащий жидкую массу, вращается
118
около вертикальной оси с постоянной угловой скоростью; ойре-
1елить форму, которую примет при этом свободная поверхность
Жидкости (фиг. 13).
Примем ось вращения за ось г, точку, в которой встречает
эТа ось свободную поверхность, за начало координат, а оси
V и V расположим как-нибудь в горизонтальной плоскости, про-
(едящей через О.
Задача наша состоит в отыскании относительного равновесия
жидкости во вращающемся сосуде. На основании динамической
теоремы Кориолиса задачу об относительном равновесии можно
трактовать, как задачу об абсолютном равновесии, если при-
бавить к действующим силам еще
одну силу, которая равна произ- 1
ведению массы на ускорение вле-
чения и направлена в сторону, пря-
мо противоположную ускорению.
Движение влечения в нашем слу-
чае есть равномерное вращение
около оси ускорение этого дви-
жения будет состоять, следова-
тельно, только из ускорения цент-
ростремительного, перпендикуляр-
ного к оси вращения ?, и потому
составляющие по осям х и у этого
ускорения суть — <о2х и — со2у, где
— угловая скорость вращения
сосуда. Сила Кориолиса, отнесенная к единице массы, будет:
со2%, оз2у, 0.
Что касается внешних сил, то имеется только сила тяжести,
которая направлена по оси г вниз и для единицы массы равна
—у. Итак, действующие силы суть
X = сь2л, V — <о2_у, 2 = —
Напишем уравнение равновесия:
с1р = о (X с1х + V йу + 2 йз),
в которое подставим данные значения сил. Находим.
с!р = рсо2(лб/х + уйу)
Интегрируя это уравнение, получаем'
р = рш2 ё ? г + С.
Произвольное постоянное С определим из следующего условия.
Пусть в точке О на свободной поверхности давление р равно
атмосферному р0- Тогда при х — у=г = О найдем рц = С. По
замене С получим:
Р — Ро = Г'°>2 ~ ~ ё ' 2
Решим это уравнение относительно г:
ц)2
2:
"г 2^
(24)
для свободной поверхности, где р = р0, это уравнение примез
вид:
(I)2
- V- -Г^ '
Это есть уравнение параболоида вращения
О)2
метром ,
Остальные поверхности уровня тоже
и выразятся уравнением (24), где р == соп§1.
Легко усмотреть, что они тождественны
около оси г с пара-
будут параболоиды
по форме с первым
и только передвинуты по оси х на расстояние •
Так как форма поверхности от плотности не зависит, то раз-
личные жидкости расположатся также по одинаковым парабо
лоидам и только относительное положение этих параболоидов
будет зависеть от плотности.
Рассмотрим, насколько понизится свободная поверхность при
относительном равновесии сравнительно с абсолютным равно-
весием при неподвижном сосуде.
Пусть при неподвижном сосуде аЬ будет поверхностью жид-
кости (фиг. 13). Назовем расстояние ОА через о. Положим, что
сосуд цилиндрический и радиус основания этого цилиндра есть
а. Количество жидкости, занимающее объем аЬсй = т;а2о, при
вращении сосуда займет объем ЛШОса1УОЛ1, ограниченный по-
верхностью параболоида и плоскостью ху. Для определения
этого объема поступим так: разобьем его подобными цилин-
драми на цилиндрические кольца. Площадь основания каждого
(О2
такого кольца будет 2кхс1х, а высота л2 (в плоскости
лг). Объем кольца есть 2л х йх • г; весь объем получим, взяв
интеграл от этого элемента по л в пределах от нуля до а.
Тогда получим:
тш2о = (2^х с1х • г— /^2^ = — Iх3</х,
о о л
ох КШ2
= —
а4
4 ’
отсюда
ч ш2аа
12о
6. Поверхность воронки вытекающей жидкости. Если мы
в дне сосуда проделаем отверстие, чтобы жидкость вытекала,
ю достаточно незначительного толчка, который сообщил бы
частицам самую ничтожную угловую скорость, чтобы образо-
валась воронка, идущая сквозь всю струю (фиг. 14). Решим
вопрос о том, какова форма этой воронки. Суть дела заклю-
чается в том, что угловые скорости частиц на поверхности во-
ронки не одни и те же, а зависят от расстояния от оси г и тем
больше, чем это расстояние меньше. Чтобы уяснить себе [это
обстоятельство, рассмотрим движение бесконечно тонкого кольца
жидкости. Пусть масса этого кольца—т, а угловая скорость его
частиц <о. Пусть наше кольцо, вращаясь, стекает к центру (фиг.
15). Момент количества движения такого кольца — ^гтг = пи» г\
где г радиус кольца, по теореме площадей есть величина по-
стоянная. Следовательно,
СО г2 = СОП81 = к,
откуда
к
Так как г при приближении к центру уменьшается, то угло-
вая скорость будет возрастать, стремясь к оо. Выберем ось г
гак, чтобы она совпадала с осью воронки, а начало координат
возьмем где-нибудь на этой оси. Тогда компоненты сил, дей-
ствующих на частицы жидкости, выразятся
При этом мы пренебрегаем тем, что жидкость вытекает из со-
суда, принимая скорость истечения весьма малой, так как в про-
тивном случае мы имели бы задачу не гидростатики, а гидро-
динамики.
Написанные нами силы мы должны вставить в уравнение
^- = хах + гау + ха?
Получаем:
<*Р ах + У аУ> (г2 * п
у —-------Н-------2г^ & аг
Интегрируя, получаем:
Р . Г>
Р ~ У
или
(|)’ + ^-С—Е. I
Эта кривая линия есть гипербола третьего порядка. Она пред-
ставляет собой меридиан свободной поверхности воронки выте-
кающей жидкости.
Нетрудно показать, что в случае вращающейся жидкости
можно всегда задать какую угодно форму свободной поверх-
ности и затем подобрать угловые скорости частиц так, чтобы
эта форма оказалась формой равновесия. Задача сводится к опре-
делению угловых скоростей отдельных поясов. Основным урав-
нением в этом случае будет написанное нами раньше уравнение
у = <в2(л4/х + у йу) —
В предыдущей задаче мы предполагали, что ш = сопД, а те-
перь пусть
0^=-^
г йг
Тогда
Переменные в этом уравнении разделены, следовательно, интег-
рируя, получаем:
7 =/(И ~ & + С.
Пусть при х = у =2 = 0, р = р0; тогда = /(0) + С, откуда
= +/(г)-/(о)-^. ।
Для свободной поверхности жидкости ~ ~ \
[/(г)-/(0)] <!>(/).
Так как уравнение свободной поверхности задано наперед:
2 (г).
у [/(г)-/(О)] =ф(г);
откуда
= </)
гПг г '
Таким образом мы видим, что угловые скорости могут быть
подобраны так, чтобы всякая заданная поверхность представляла
собой форму равновесия.
7. Одним из самых, важных и интересных вопросов гидроста-
тики является вопрос о форме однородной жидкости, равно-
мерно вращающейся около некоторой оси, причем частицы
жидкости, по закону Ньютона, взаимно притягиваются. Ре-
шение этой задачи встречается в небесной механике, именно,
в теории фигур небесных тел.
Пусть х, у, г—координаты какой-нибудь точки М, взятой
в жидкой массе, находящейся в равновесии, X, У, X — компо-
ненты по осям силы, отнесенной к единице массы и действую-
щей в точке /И, р — плотность жидкости и р — давление в той же
точке. Мы видели, что при равновесии
др = ?(Хдх + У ду + Хдг} . (25)
Если давление на поверхность, ограничивающую жидкость,
постоянно, то эта поверхность должна быть поверхностью уровня,
и ее уравнение будет:
Хдх + Уду + 7.дх = ди = Ь (26)
или
Н = сопз!,
где 11 есть силовая функция.
В том же случае, когда жидкость равномерно вращается
вокруг некоторой постоянной оси, по динамической теореме
Кориолиса нужно к действующим силам присоединить фиктив-
ную центробежную силу, слагающие которой по осям будут:
О, и^у, ,
если за ось вращения возьмем ось х и через ш обозначим уг-
ловую скорость вращения; таким образом, мы сводим случай
относительного равновесия на случай абсолютного Присоединяя
центробежную силу, мы будем иметь для уравнения поверх-
ности, ограничивающей тело, вместо уравнения (26)
X дх + (У + ^у) ду +(7 + Л) дх = 0 (26 )
или
-~^(у^ + г2) + и = соп8(.
Теперь решим намеченную выше задачу.
Дана масса М жидкости однородной, несжимаемой, плот-
ности р. Эта жидкость обладает равномерным вращением с уг-
ловою скоростью вокруг некоторой оси Ох, причем частицы
жидкости притягиваются по закону Ньютона. Требуется найти
форму относительного равновесия жидкости, в предположении,
что на поверхности жидкости давление постоянно.
Пусть Ф(л, у, г)=0 уравнение поверхности жидкости. Для
всех ее точек
дФ * . дФ , . дФ , Л
Сравнив это уравнение с уравнением (26'), находим:
X — У + ^2у — 2 +
дФ дФ ~ дФ
дх ду дх
Функция Ф должна быть определена, как интеграл уравне-
ния (28). Решение этой задачи усложняется тем, что X, К, 2
сами зависят (и зависимость эта очень сложная) от вида по-
верхности, ограничивающей жидкость, т. е. от функции Ф. Ре-
шение этой задачи во всей полноте до сих пор неизвестно, и
только весьма недавно Пуанкаре удалось сделать важный шаг
в общем решении этой задачи.
Теперь покажем, что эллипсоид, одна из главных осей ко-
торого совпадает с осью вращения Ох, есть возможная форма
относительного равновесия.
Возьмем за оси Оу и Ох две другие оси эллипсоида. Тогда
уравнение его будет:
у 2 V2 2Г2
ф = А- + 4 + 4—1=о
а2 п- с2
Если положим:
Ь2 — а*
а2
и е
М = з -раЬс == ыа? I 1 + ё2 1 + е'2,
о зли г о , ,18
У ------—+--------------(+2+ЛГЗ’
0 (Д + е2&)2 (14-е'222)3 о
I оо
п — ’^м / о_/ Г
4 а3 У Л к У (Ь2 +5) Д’
о (1 + е*&)2 (14-е'2;2) 2 о
(28)
1 ОО
з/м {• _ о-л Г _
’ ~«3 У 2_ ± ~ /? ./ (с2 + «) Д ’
0 (1 +?252)2 (1+е'222)2 «
то. как известно из теории притяжения, компоненты притяже-
ния эллипсоида на точку (х, у, г), находящуюся на его поверх-
ности, выразятся так:
X- — Рх, У —Ъ, X - —Рг,
и уравнение (28) примет вид:
___ ой_у — С[у __ щ2г — У?г
х у_ г ’2У‘
д2 *» Т2"
так как:
дФ. __2 х дФ _________ у дФ________?
дх а2 ’ ду Ь2 ' дг ~ с2 '
или: л _
Ра = ((? — О?) й2 (/? — С?) с2, (30)
= Ц~ & ^Р =
с2/? — *2^
с2- &2
(1 ±р2) /?-(1 + е2)_О_
е'2 — г2
(31)
р
Ь°-С^ Ц к_ <1 _р 2 /] _|_ ,2ч 2__Я.
Л2 с2_/,2 Ч-ГГ>и-|-< ^'2_?2 •
Угловая скорость действительна, если а2Р < Ь20 и < с2Р, т. е-
в силу уравнений (28') а2 < Ь2 и < с2; следовательно, ось вра-
щения есть наименьшая ось эллипсоида. Формулы (31) дают
наконец:
о2 ^2(1 — (32)
4г/р ) 1 ~е2 V I +- е'2 о (I +^2)° (1 + ^2)2
(е2 — е'2) 11 - ^О-^'Ч2)Л_ = 0
,/ ~2~ ~2~
Последнее равенство распадается на следующие два:
1) б2 =е2;
е2(1 — $2)(1- ^'Ч2)б/е
(33)
, I 2 2
о (1 е2&) (1-Уе'2^2)
При первом из равенств (33) имеем Ь = с, и эллипсоид есть эл-
липсоид вращения вокруг оси вращения жидкости, а второе
соответствует трехосному эллипсоиду.
Мы рассмотрим только эллипсоид вращения, как фигуру рав-
новесия.
Заменяя в уравнениях (31) Р и С? выражениями:
Р = 4-/р (.е — агс е).
0. Цз- ( агс е
(34)
выведенными в теории притяжения, найдем:
,, ш2 3 + е2 3
^=2^ е* агс1§^~ ,,2 • (35)
С другой стороны,
&2=й2(1+^аз=4яо(1Х^-
Следовательно, уравнение поверхности жидкости будет:
2 у* + **
л + ] -|_ е2 • — а • (5 /)
Считая данными ш, /, р, /И, мы должны определить е из транс-
цендентного уравнения (35), а затем соотношения (36) дад\т
а и Ь
Рассмотрим уравнение (35). Мы можем написать
^ = 2^ (38)
Ф00 = агсе - 32 • (39)
Но, разложив агс е для е<1 в ряд по возрастающим степе-
ням е, получим:
ио) ?н1Г(г^г. (40)
Если эллипсоид будет удлинен по оси
вращения, то а2 > Ь2,
— Л2, Л2< 1;
следовательно,
оо
6 (е) = — V 4" /г2"
•’7 (2т 1)(2л+3)
1
будет величиной существенно отрицательной, и уравнение (38)
становится невозможным. Отсюда следует, что удлиненный по
оси вращения эллипсоид не может быть фигурой равновесия.
Формула (40) показывает, что 6(е) = 0 для е =0; кроме того,
из (39) следует, что (<1>е) =-0 для е = со. Из уравнения (39) сле-
дует также, что
Ф'00 (41)
где
(л 7г3 -г
Теперь допустим (докажем это далее), что 6 (е) имеет один и
только один положительный корень Е и что6(е)>0 для е < Е
126
н О(е)<0 для е > Е. Допуская эти предположения, видим, что
у (г) положительно дтя е, заключенных между 0 и Е, и отри-
цательно для е> Е-, следовательно, уничтожившись для
е = 0, начинает возрастать до е — Е, при котором она дости-
гает тах^тит, а затем начинает убывать и опять обращается
в 0 при е = со. Если мы построим кривую, для которой абсцис-
сами будут - - - -
е, а ординатами
Ь(ё), то она будет иметь вид
(фиг. 16).
Пусть
ОН
СО2
2п/р ’
если ОН > РИ' или
б(е),
2тс/р ‘ п
то уравнение (35) не имеет действительных корней; если
ОН < Р'Н' или
0)2
то } равнение (35) будет иметь два действительных корня
же
по-
ложительных:
ех = 0Рг < Е и е2 = ОР2 > Е.
Нам остается теперь только оправдать наше допущение, что
уравнение 6(^)=0 допускает один и только один положитель-
ный корень. Уравнение (41) показывает, что 9(е)=0 для е О
в 9(е) =----для — со; непосредственное вычисление дает:
6'(е) = - 8е4(3~е2)___
к ’ {е" + I)2 (е2 + 9)2 ’
Мы видим, чго эга производная положительна для значений ег
заключенных между 0 и У 3, а при остальных значениях е
отрицательно. Следовательно, 6(е), уничтожившись для е_=0,
начинает затем возрастать и достигает шах при е=у/~3, за-
тем уменьшается до-----у- при е = со. Уравнение 6 (е) 0 до-
пускает только один положительный корень.
Вычисление показывает, что
Е = 2,5293, 6 (Е) = 0,22467;
следовательно, если
~ > 0,22467.
2*/р
то нет действительных корней для уравнения (35), и эллипсоид
вращения не може! быть фигурой равновесия В случае же
0)2
2л/7
< 0,22467
уравнение (35) имеет два действительных корня е1 и е2 и, стало
быть, существует два эллипсоида вращения, удовлетворяющие
равновесию, причем е2>е1. Имея в виду числовую величину
Е и формулу:
= +е2),
мы найдем, что корень е2 дает: &>2,72я, и эллипсоид будет
весьма сжатый. В небесной механике обыкновенно рассматри-
вается эллипсоид, соответствующий меньшему положительному
корню уравнения (35) еъ так как среди небесных тел значи-
тельного сжатия не замечается. По чертежу видно, что если ОН
стремится к 0, то и е± стремится также к 0, а е2 к со. В этом
последнем случае, как показывают формулы:
1 1 1
а =
зм
4*р(1
а стремится к 0, а Ь к со. Таким образом, если угловая скорость
вращения, убывая стремится к 0, то один из эллипсоидов рав-
новесия приближается к сфере, а другой к круговому диску бес-
конечно большого радиуса
Все эти рассуждения и представляют теорему Маклорена.
Он первый доказал, что эллипсоид вращения есть возможная
форма равновесия: затем Даламбер показал, что существуют
тва эллипсоида равновесия при данных условиях; совсем закон-
чил этот вопрос Лаплас.
§ 7. Давление тяжелой жидкости на погруженные тела.
Рассмотрим сначала давление жидкости на погруженные в нее
Фиг. 17.
пластинки.
♦Пусть имеем сосуд, заключаю-
щий тяжелую жидкость постоян-
ной плотности (фиг. 17); в жидкость
погружена пластинка, площадь ко-
торой назовем через з. На каждый
элемент сЕ пластинки жидкость
оказывает давление, которое на-
правлено по нормали к элемешу.
Равнодействующая всех этих гид-
ростатических давлений дает то
давление, которое оказывает жид-
кость на всю пластинку. Оно бу-
дет, очевидно, суммой всех гидро-
статических давлений, оказываемых
на все элементы пластинки. Точ-
ка приложения этой равнодействующей называется центром
давления и найдется как центр параллельных сил.
Мы видели выше, что давление тяжелой жидкости с плот-
ностью р определяется формулой
Р =Ро + ё{‘2,
где Ро давление атмосферы и координата г отсчитывается от
горизонтальной свободной поверхности жидкости. Для удобства
дальнейших вычислений будем отсчитывать координату г от
другой горизонтальной плоскости, которая лежит выше поверх-
ности жидкости на расстоянии
тогда предыдущая формула для давления примет более простой
вид:
Р = ё?* •
Эту плоскость мы будем называть приведенной плоскостью-, мы
ее примем за плоскость ху.
Давление на элемент с7з при равновесии пластинки есть ро'з.
Все же давление, которое оказывает жидкость на пластинку,
выразится двойным интегралом от рд~, распространенным на
всю площадь □, т. е.
Р=Л
Подставив вместо р его значение, имеем:
р=// ё?*^ ё? //
и, заметив, что
Л^з = г-з,
где х есть координата центра тяжести пластинки, найдем
Р = ? • (42)
Полученная формула и дает величин) давления. Заметив, что
есть вес единицы объема жидкости, х— расстояние центра тя-
жести погруженной пластинки от приведенной плоскости, го объ-
ем цилиндра с основанием о и высотой г, мы заключаем, что
давление на пластинку, погруженную в жидкость, равно
весу столба жидкости, имеющего основанием погруженную
пластинку, а высотой расстояние центра тяжести пластинки
от приведенной поверхности жидкости.
Этой формулой определяются давления на дно и стенки со-
суда, так как в сущности погруженная в жидкость пластинка
представляет собой стенку.
Найдем теперь точку приложения этого давления, центр
давлений.
Примем за ось Ох линию пересечения приведенной поверх-
ности с плоскостью пластинки и предположим, что плоскость ху
пересекает плоскость пластинки по линии Оу', которая с осью Оу
образует уголз и служит главною осью инерции для пластинки.
В плоскости пластинки мы примем за оси координат оси Ох и Оу'.
II. Е. Жуиивсний, вып. 7—407—9 129
Между координатами точки (х, у'), лежащей в плоскости пла-
стинки, относительно осей хОу' и координатами этой точки
(х, у, г) относительно осей Охуг мы имеем следующие соотно-
шения:
Х л, _у у'С08а, 2= у' 81П а .
Пользуясь этими соотношениями и формулой
для координат центра давления ($, т/) относительно осей хОу
в плоскости пластинки по формулам для центра давления, на-
ходим:
; = = о. (43')
ибо ось Оу' есть главная ось инерции пластинки и
У У ху'б/з =0;
затем
Но
Р = уу г о - ууу' 81П а- □,
где 2 и у'—координаты центра тяжести пластинки; следовательно:
Уравнение (43') показывает, что центр давления лежит в плос-
кости ух. Что касается формулы (43), то выражение, стоящее
во второй части, представляет собой длину физического маят-
ника, образованного пластинкой; осью качания этому маятнику
служит линия пересечения приведенной плоскости с плос-
костью пластинки. Таким образом центр давлений лежит на
плоскости пластинки, причем расстояние его от оси Ох. приве-
денной поверхности жидкости равно длине физического маят-
ника для площади пластинки.
Пример. Пусть пластинка имеет форму трапеции и погру-
жена в жидкость так, что о.ща из параллельных сторон лежит
на свободной поверхности жидкости (фиг. 18).
Легко показать, что центр давлений лежит на линии МЫ,
соединяющей середины параллельных сторон. Действительно
возьмем бесконечно узкую полоску тп, давление на эту по-
лоску по всей ее длине не меняется, так что равнодействующая
давлений пройдет через ее середину. Середины же всех полосок
лежат на линии МЫ; следовательно, центр давлений лежит на
той же линии МЫ.
Чтобы определить положение центра давлений, берем оси,
указанные на чертеже (43), и пользуемся формулой, которая
теперь принимает вид
а =22^’
При выводе формулы (43) предполагалось, что давление р
определяется по формуле
Р
причем координата х отсчитывается от приведенной плоскости,
а не от свободной поверхности.
Поэтом}, пользуясь формулой (43) и отсчитывая х от сво-
бодной поверхности, мы определяем центр давления не на плас-
Фиг. 18.
тинку, погруженную в жидкость, а на стенку сосуда, подвер-
женного со всех сторон давлению атмосферы р0.
Разобьем всю площадь на бесконечно малые пластинки; пло-
щадь такой пластинки есть
оЬ— тп&.
Назовем параллельные стороны соответственно через а и & и
через I высоту трапеции. Выразим тп через ее расстояние с
от АО, Если проведем СК II АВ (фиг. 19), то легко усмотреть,
что
тп = Ь + тр :
далее из подобия треугольников ОСК и тСр следует, что
тр __(1С
БК ~~ ОС ’
отсюда
Но
вк = а — ь- ос = 1; ас = ос~оа = 1—1.
Поэтом)
а — к //
тр ——(I — .
Подставив это в выражение тп, мы найдем:
тп = Ь + - 7 - (/ — ;);
а для йа имеем:
Л = а~- (/ —
Вычислим теперь интегралы, входящие в выражение В, за-
метив, что интеграция ведется по с от ;=0 до $=/:
Ц\ь + ^^(1 —= * + [ (!—№& =
о о
Ы3 , а — Ь п а — Ь п /3 . л о 1 о / ч
= т+ 3 1---------Т~1 (4«-Зп + 3/>) =
__(а Ч~ З#) »3
~ 12
I I
} /Р+ (/ “Ё) = + =
О о
__ а /2___& 12 ___ & 4~ /2
~2’Г 2 3 6 Л
Подставив найденные результаты в выражение найдем:
7“_ а-р-ЗЬ .
" “ 2 (а+2Ь) ' •
Таким образом центр давлений лежит на линии, соединяющей
середины параллельных сторон, и отстоит от свободной поверх-
ности по этой линии на расстоянии:
а -У ЗЬ 1
2 (а+ 2^)
В частном случае, когда Ь = 0, т. е. погруженная фигура есть
треугольник, то
—/
Если же а—0, так что вершина треугольника лежит на сво-
бодной поверхности, то
Г=— I
Наконец, если а — Ь, т. е. погруженная фигура есть паралле-
132
лограм, то
§ 8. Закон Архимеда. Обратимся теперь к определению давле-
ния жидкости на погруженные тела. Пусть имеем сосуд с жидкостью
и тело, вполне погруженное в жидкость. На каждый элемент по-
верхности этого тела жидкость оказы-
вает нормальное давление. Докажем,
что все силы давления жидкости на по-
верхность погруженного тела сводятся
к одной равнодействующей, которая
равна весу жидкости, имеющей тот же
объем, что и погруженное тело, прило-
жена к центру тяжести объема тела и
направлена по вертикальной линии
вверх.
Обнаружим сначала, чго существует
равнодействующая. Пусть плоскость ху
(фиг. 20) совпадает со свободной по-
верхностью жидкости, ось г направлена
по вертикали вниз, и тело, как сказано выше, вполне погру-
жено. Давление будет определяться формулой:
Р~Ро +
Элемент поверхности тела испытывает давление рс1з. Проекции
этого давления на оси суть:
X = рсоза- Л, V = рсозв . йЬ, Х = рсо$\-(Р,
где а, 8, у — углы внутренней нормали к поверхности тела с осями
координат. Заменим все силы давления одной силой, приложен-
ной в начале координат, и одной парой. Пусть Р, С?, Р — сла-
гающие по осям этой силы, а А, /И, /V—слагающие по осям ли-
нейного момента составной пары Тогда
Р = 5 х= /'(рсозаЛ, 0 = ^рсозЗ^,
Р - ^2 = у рсозуг/з;
Р ~ — г) ) = / р(^СО8у —2СО8р)б/з;
М = —лД) = р (г соз а — лсО8';)^а;
= 5ДГУ уХ) = р(лсозЗ—у соз а) б/з.
Интегралы распространяются на поверхность тела. Если система
133
сил имеет равнодействующую, то, как известно,
Р1 + <2М+№ = 0.
Покажем, что это равенство удовлетворяется. Преобразуем ин-
тегралы, пользуясь выведенным выше равенством (5).
Р) Полагая = р, и = 1, т? = ад=О, находим:
Но
следовательно,
р=~] Г] д^х(1хс1ус1х.
Р=Рп + ё['2 и О,
Р =0.
Р) Полагая ?=р, и=ад=0, я =1, имеем:
дРу АхйУ^
НО
? =0,
ду
следовательно,
р о,
/?) Полагая <р = р, и = V ~ 0, ад = 1, имеем:
Р = — ГУ с1хс1у аг-
ор
но следовательно,
р = — /* уу руахауаг — —у,
где V обозначает объем погруженного тела, а руУ есть вес
жидкости в объеме тела
А) Полагая ф = р, и -0, т =—г, IV — у, находим:
Но
рг = рог + §г,г (к. + г): РУ =РоУ +КУ^+х);
следовательно,
1 = ~/} / роу ах ау аг = — $уахауах.
Координаты л, у центра тяжести объема определяются, как из
вестно, по формулам:
— С( Г х ах аУ аг — I"/ Г У Ох ау аг
х -- — р , у = •——р-- - .
Следовательно,
Л -=—&У -у.
М) Полагая у р, и = г, н = 0, но =—х:
ЯО
д-(^)=0 д-^1 -ргх
дх и’ дг ~ Х ’
Следовательно,
/И = ^У • х
М) Полагая <р = р, и — —у, -у = х, по — 0,
*=-
Но
<Нру) = 0 д(рх) _ 0.*
дх ’ ду ’
следовательно,
ЛГ = О.
Подставляя все найденные значения в выражение
рь + С}м + р^
видим, что оно обращается в нуль. Поэтом) давление на тело
приведется или к равнодействующей силе или к равнодействую-
щей паре, если составная сила1 равна нулю. Но у нас составная
сила не равна нулю, она равна /?. Следовательно, существует
такая точка, перенося в которую все силы, получим момент
составной пары, равный нулю, и останется одна равнодействую-
щая /?. Найдем эту точку,— точку приложения равнодействую-
щей силы /?. Пусть ?, С ее координаты. Известно, что момент
равнодействующей силы относительно какой-либо оси равен
сумме моментов сил составляющих относительно той же оси:
/?т< — — рГ[ = дг.
Подставляя величины Р, С), /?, I, М, IV, найдем
Р^ = — $?Уу или —&рУ У —ёрУ^ откуда ^=у.
— /?; = &рУ х или @;р Ух = &рУс, откуда I = х .
Последнее соотношение дает 0 = 0. Итак, 3 = л, ъ=У> I — вели-
чина неопределенная, т. е. за точку приложения силы Р мы
можем взять любую из точек прямой, параллельной оси г, про-
ходящей через центр тяжести объема. Но лучше взять за точку
приложения силы самый центр тяжести, как точку вполне
Главный вектор. Прим ред.
определенную в каждом теле; тогда, как бы мы ни повернули тело
около центра тяжести его объема, точка приложения равнодей-
ствующей давлений не меняется. Итак, мы получили теорему
Архимеда:
Все давления жидкости на погруженное в нее тело имеют
равнодействующую, равную весу вытесненного объма жидкости,
направленную вертикально вверх-, точка приложения ее нахо-
дится в центре тяжести погруженного в жидкость объема.
Этот результат не зависит от глубины погружения тела и
от того, есть ли давление на свободной поверхности.
Положим теперь, что тело не вполне погружено в жидкость,
а некоторая его часть выступает из жидкости (фиг. 21). Пусть
на свободной поверхности жидкости и на
выступающей части давление одно и то же.
Вообразим, что тело рассечено на две части
свободной поверхностью жидкости и по
плЪскости
гой части
внешнему
сечения приложены к той и дру-
тела нормальные силы, равные
атмосферному давлению. Тогда
наружная часть будет находиться под оди-
наковыми давлениями со всех сторон, так
фиг 21 что все силы давления на эту часть уравно-
весятся; что касается другой части, то она
представляет собой тело, вполне погру-
женное в жидкость, и сила давления на нее найдется по дока-
занному выше закону. Отсюда следует, что:
Вся сила давления жидкости на тело, частью только по-
груженное в жидкость, сводится к силе давления на погру-
женную часть и приложена в центре тя-
жести объема погруженной части тела.
Вообразим теперь, что имеем две жидко-
сти и тело погружено частью в одну
жидкость, а частью в другую (фиг. 22).
Для определения силы давления рассечем
тело поверхностью раздела жидкостей на
две части. Пусть давление на поверхности
раздела есть р0, — оно будет постоянно на
всей поверхности, так как поверхность раз-
дела есть поверхность равного давления.
Приложим к обеим частям тела по поверхности сечения нор-
мальные давления /?0. Тогда нижняя часть представит собой тело,
вполне погруженное в первую жидкость. Сила давления на
эту часть равна весу вытесненного объема первой жидкости,
приложена в центре тяжести этого объема и направлена по вер-
тикали вверх.
Что касается второй части, то она погружена вполне во вто-
рую жидкость, так что сила давления Р2 равна весу вытеснен-
ного объема второй жидкости, приложена в центре тяжести
этого объема и направлена по вертикали вверх. Эти две силы
со стороны дна на часть ас тела таково,
рг и Р2 приводят к одной равнодействующей, равной их сумме
и приложенной в центре тяжести объемов вытесненных жидко-
стей. Таким образом мы видим, что:
Если тело погружено своими частями в две жидкости, то
давления обеих жидкостей на всю поверхность тела сводятся
к одной равнодействующей, равной сумме весов объемов вытес-
ненных жидкостей, приложенной к центру тяжести этих
объемов и направленной по вертикальной линии вверх
Заметим, что рассмотренный закон Архимеда справедлив и
приложим в тех только случаях, когда жидкость давит на всю
поверхность тела, в остальных же слу-
чаях не применим. Рассмотрим следую-
щие два случая:
1 Тело прижато
дну (фиг. 23).
В этом случае
жидкость давит
только на одну часть
поверхности тела.
Нельзя сказать, что
давление на часть ас
таково же, как и на
дно сосуда Ье, так
как жидкость за ас
не заходит,—только
лишь при последнем
условии была бы
приложима теоре-
ма Архимеда. Давлег
что уравновешивает все остальные силы, на него действующие:
силу тяжести тела и давление жидкости на часть поверхности
аде.
Если, например, на дно стакана мы положим конус, более
легкий, чем вытесненная им жидкость, которую осторожно на-
льем в стакан (фиг. 24), то конус в жидкости плавать не будет,
а останется на дне, несмотря на то, что вес его меньше веса
вытесненной им жидкости.
2 . Тело выступает из отверстия сосуда (фиг. 25).
В этом случае давление на часть аЬс не направлено по вер-
тикали вверх и не приложено в центре тяжести объема. Таково
было бы давление, если бы еще на часть а{с действовало дав-
ление, равное гидростатическому давлению на соответственных
высотах; правда, выше мы принимали во внимание еще постоян-
ное давление на часть поверхности а/с и находили равнодей-
ствующую всех давлений; но здесь, как легко видеть, это дав-
ление на а/с не равносильно давлению на ас, которое, как
сказано, нужно бы прибавить, чтобы получилась равнодействую-
щая по теореме Архимеда. В самом деле, мы предполагали, что
р0 равно давлению на свободной поверхности. Давление на
часть а/с равносильно давлению р0 на внутреннюю часть ас\ это
легко видеть, прибавив на ас два равных и противоположных
давления /?0, — тогда давление р0 на замкнутой поверхности ас/
никакого действия не производит, и остается давление на ас
направленное внутрь части асЬ. Это последнее давление не равно
соответственном) гидростатическому давлению, так как внутри
сосуда
Р -Ро + я?г.
Если бы
ло теореме
давление жидкости в данном случае определялось
Архимеда, то можно было бы устроить машину, ко-
Фиг 25
Фиг. 26.
торая одним давлением жидкости приводилась бы в постоянное
движение: если вставить в круглое отверстие шар с центром
на прямой аЬ, то он вращался бы около оси, проходящей через
О и перпендикулярной к плоскости чертежа (фиг. 26). Но в
данном случае давления жидкости, равно как и атмосферное, на
каждый элемент направлены к
центру О; следовательно, и равно-
^действующая их проходит через О,
т. е. через точку, лежащую на оси,
и потому вращения около оси про-
извести не может.
§ 9. Равновесие плавающих
тел. Пусть имеем какое-нибудь те-
ло, плавающее в тяжелой жидкости
(фиг. 27). Пусть V — объем тела,
V'—объем погруженной его части,
тела мысленно продолженной сво-
бодной поверхностью жидкости, 7'— вес единицы объема жидко-
сти. Тогда по теореме Архимеда сила давления жидкости будет:
Затем на тело действует сила собственного веса Р приложенная
в центре тяжести тела О и направленная по вертикали вниз.
Берем для простоты тело однородное, тогда
т. е. объем, отсеченный от
Р = 7К
где 7 - вес единицы объема тела
138
Для равновесия тела под действием только этих двух сил
необходимо, чтобы Р = откуда
7И = 7'1/:,
7 —величины определенные, данные; следовательно, и V'—
величина определенная. Таким образом, мы имеем первое усло-
вие равновесия.
1. Равновесие возможно только тогда, когда погружена
определенная часть объема тела
Но при соблюдении этого условия силы могут образовать па-
ру, вращающую тело, если они не идут по одной линии. Чтобы
силы Р и Р уравновесились, плечо пары должно быть равно нулю.
Это возможно лишь в том случае, когда прямая ОС вертикальна.
Итак, второе необходимое условие равновесия следующее:
2. Прямая, соединяющая центр тяжести тела с центром
тяжести погруженного объема, должна быть нормальна к сво-
бодной поверхности жидкости, т. е. вертикальна.
Эти два условия не только необходимы, но и достаточны.
Таким образом задача об отыскании положений равновесия
сводится к следующей геометрической задаче: провести в теле
плоскость так, чтобы она отсекала от тела данный объем ( V' =
и чтобы при этом прямая, соединяющая центр тяжести всего тела
с центром тяжести отсеченного объема была нормальна к секу-
щей плоскости. Если мы поместим тело в жидкость так, чтобы
секущая плоскость, удовлетворяющая этим двум условиям, сов-
пала со свободной поверхностью жидкости, то тело и будет в
равновесии.
Решение этой задачи заключается в трех теоремах, данных
Дюпеном. Но прежде, чем заняться выводом этих теорем, усло-
вимся в некоторых терминах, предложенных Давыдовым.
Всякую плоскость, отсекающую данный объем от тела, будем на-
зывать плоскостью сечения. Когда плоскость сечения будет пер-
пендикулярна к линии, соединяющей центр тяжести всего тела
с центром объема вытесненной жидкости, то она соответствует
положению равновесия и называется плоскостью плавания. Плос-
кость сечения при своем непрерывном перемещении огибает не-
которую поверхность, которую называют поверхностью сечения.
При этом перемещении плоскости сечения центр тяжести отсе-
ченных постоянных объемов будет перемещаться по некоторой
поверхности, которую будем называть поверхностью центров,
I. Теорема Дюпена. Плоскость сечения прикасается к
поверхности сечении в центре тяжести площади фигуры, отсе-
каемой на плоскости сечения поверхностью тела.
Пусть МЫ— тело, поверхность которого пересекается плос-
костью сечения по фигуре АВС. Возьмем другую плоскость сече-
ния А'В', бесконечно близкую к первой. Линия пересечения
плоскостей, СО, в пределе касается поверхности сечений, как
прямая пересечения двух бесконечно близких касательных плос-
костей; следовательно, на линии СО лежит точка прикосновения
плоскости АВ к поверхности сечений; покажем, что на СО лежит
и центр тяжести площади АСВО (фиг. 28).
Объем АМВ = объему А'МВ' = V .
< Отнимая от каждой части объем А МВОС.
\ имеем:
I объем САД'О = объему СВ'ВО.
/ Примем плоскость АВ за плоскость
ху, за ось у—прямую СО. Пусть (1и—
угол между секущими плоскостями.
Возьмем на плоскости ху бесконечно
малый элемент площади б/о; х есть рас-
х стояние элемента от оси у и х&р длина
дуги, описываемой точкой элемента при
вращении плоскости АВ около СО до
положения А'В'. Площадка б/о опишет
Фиг. 28. при этом вращении бесконечно тонкую
изогнутую призму, объем которой есть
хс1у (Ь; отсюда
объем
СВ ВО ] х сЬ — х сЬ,
свв свв
где интеграция распространяется на площадь СВО Точно так же
найдем:
объем С А А'О /(—х)^(О = [(—х)(Ь.
*соа СОА
Здесь х отрицательно, мы пишем поэтом} впереди знак ( ),
ибо мы определяем абсолютную величину объема. Таким образом:
[х сЬ,
свв сва
//хсО^-] хсЬ =] /хсО = 0.
СВВ СВ А А СВВ
Последней интеграл распространяется на всю площадь АВ. Коор-
дината х центра тяжести площади определяется по формуле:
Таким образом для площади АВ х = 0, т. е. центр тяжести пло-
щади АВ лежит на СО. Подобно этому, взяв другие плоскости
сечения, бесконечно близкие к АВ, найдем, что центр тяжести
лежит на всякой касательной, лежащей в плоскости АВ. Все эти
касательные проходят через точку прикосновения плоскости АВ
к поверхности сечений, и все они проходят через центр тяжести
фигуры АВС; следовательно, центр тяжести фигуры находится в
140
точке прикосновения плоскости АВ в поверхности сечений, что
и требовалось доказать.
II Теорема Дюпена. Касательная плоскость к поверх-
ности центров параллельна соответствующей плоскости сечения
(т. е. плоскости сечения, отсекающей объем, в центре тя-
жести которого проведена касательная плоскость).
Проведе]/ бесконечно близкие секущие плоскости АРВ и
А'РВ' (фиг. 29), которые отсекают от тела равные объемы. На-
зовем объемы А'ЕВРМ, А ЕРА и
ВЕРВ' соответственно через г», и
и и' (и ~ и'}, и пусть центры тя-
жести этих объемов суть С, О и С'.
Определим центры тяжести объ-
емов, которые отсекают от тела
секущие плоскости АРВ и А'РВ'.
Так как объем АВМА, отсекаемый
плоскостью АРВ, состоит из объ-
емов А'ЕВРМ, и из АРЕА', то центр
тяжести его лежит на линии СО,
соединяющей центры тяжести сла-
гаемых объемов, и делит расстоя-
ние СО обратно пропорционально
этим объемам (тело считается однородным, так что отношение
объемов частей характеризуется отношением весов их). Обозна-
чая центр тяжести этого объема через О, будем иметь:
ОС: ОО = и:у.
Для определения центра тяжести объема А1 В'МА' замечаем,
что объем этот состоит из объемов А ЕВРМ и ВЕРВ , следо-
вательно, центр тяжести его лежит на линии О'С и делит эту
линию в отношении
О'С.О'О' и'\ю.
Но V + и = V + и', и и' и потому
ОС:ОО = О'С:О О',
-т. е.
ОО' II ОО'.
В пределе линия О'О лежит на плоскости АВ, и, следовательно,
ОО' делается параллельной плоскости АВ. Но прямая ОО' в
пределе одна из касательных к поверхности центров, как про-
ходящая через две бесконечно близкие точки ее два центра
О и О', и эта касательная параллельна плоскости АВ Если будем
брать всевозможные плоскости сечения, бесконечно близкие к АВ,
то найдем, что все касательные к поверхности центров в точке О
параллельны плоскости АВ, следовательно, плоскость, касатель-
ная к поверхности центров, будет параллельна плоскости АВ.
III. Теорема Дюпена. Чтобы, найти все плоскости поло-
жжения равновесия плавающего тела, нужно из центра тяже-
сти тела опустить нормали к поверхности центров и про-
вести соответствующие этим нормалям плоскости сечений.
Эти плоскости будут искомые плоскости плавания.
Пусть О есть центр тяжести тела (фиг. 30), 5 поверхность
тела, V — поверхность центров и С — поверхность сечений.
Опустим нормали из центра тяжести тела О на поверхность
центров. Пусть одна из таких нормалей есть ОА. Если мы про-
Фиг зо
ведем плоскость хх, перпендикулярно к нор-
мали ОА, которая была бы касательной
плоскостью к поверхности сечений, то легко
усмотреть, что эта плоскость будет та пло-
скость сечения, которая отсекает объем с
центром тяжести А. Действительно, пло-
скость хх, будучи нормальна к ОА, парал-
лельна плоскости уу, касательной к поверх-
ности центров в точке А, и по теореме II
есть соответствующая центру А плоскость
сечения. Если теперь погрузим тело в жид-
кость так, чтобы плоскость хх стала пло-
скостью плавания, то тело будет находиться
в равновесии.
Проводя другие нормали и соответствую-
щие им плоскости сечения, мы найдем раз-
личные плоскости плавания, дающие раз-
личные положения равновесия.
Очевидно, чтобы находить различные плоскости плавания,
нужно знать предварительно поверхность центров. Следова-
тельно, вся задача о положениях равновесия плавающего тела
сводится к отысканию поверхности центров этого тела. Раз
найдена поверхность центров, вопрос о положении равновесия
плавающего тела будет вполне решен.
Обратимся теперь к отысканию поверхности центров. Пусть
поверхность данного тела определяется уравнением:
/(х, у, г) = 0,
а уравнение плоскости сечения
г = ах + Ьу + с.
(44)
(45)
Усечем поверхность плоскостью (45) и определим объем усе-
ченной части. Объем этот выразится некоторой функцией пара-
метров а, Ь, с, так что, обозначая его через V, будем иметь
У = Р(а, Ь, с).
Так как при разных положениях плоскости сечения всегда дол-
жен быть отсекаем постоянный объем, то должны иметь
V — Р(а, Ь, с) = соп8(
(46)
Определим теперь координаты центра тяжести х, у, х объема.
142
V. Эти координаты представятся некоторыми функциями пара-
метров а, Ь, с, так что
л = <р(а, Ь, с); у ^(а, Ь, с); г = ?2 (°> Ь, с). (47)
Если мы теперь исключим параметры а, Ь, с из уравнения (46)
и из уравнений (47), то получим связь между х, у, г в виде:
' <1)(х, у, г) = соп81,
(48)
которая и представит собой поверхность центров. Затем следует
отыскать нормали к этой поверхности, проходящие через центр
тяжести тела.
Данный способ, простой в теории, приводит к весьма слож-
ным и трудным вычислениям. Это неудобство устранил Давы-
дов, который предложил искать уравнение поверхности центров
в диференциальной форме, а потом это уравнение интегриро-
вать. Мысль эта оказалась весьма плодотворной. Давыдов пред-
ложил этот способ к отысканию поверхностей центров разных
тел, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка.
Поверхности центров, найденные для всех этих случаев Давы-
довым, — поверхности второго порядка и их комбинации (т. е.
поверхность центров состоит из нескольких частей
верхностей второго порядка).
Приложим этот способ Давыдова к нахождению
плавания прямых призм и цилиндров однородных
которых плотность симметрична относи-
тельно среднего сечения АА1ВВ1 (фиг. 31).
Будем искать только те плоскости плава-
ния, которые параллельны образующим ци-
линдров. Их нужно выбрать из числа
А
разных по-
плоскостей
или таких,
Фиг. 32.
Фиг. 31.
плоскостей сечения, также параллельных образующим. Каждая
такая плоскость должна отсекать от призмы постоянный объем
и1, где I есть длина призмы, а и площадь АгВВ19 отсекаемая
от площади АА1ВВ1 плоскостью сечения. Так как I есть вели-
чина постоянная, то условие, чтобы 1и — сопз1, сводится к тому
чтобы и —площади А^Вх была постоянна.
Центр тяжести всего тела О будет лежать в плоскости АА-^ВВ^
но вообще не совпадает с центром тяжести площади АА^В^
Центр тяжести отсеченного объема О совпадает с центром тя-
жести отсеченной площади А^ВВ^ При равновесии линия, соеди-
няющая центры тяжести тела и площади А^ВВ^ будучи пер-
пендикулярна к плоскости плавания, будет нормальна и к пря-
мой АХВЪ представляющей след плоскости плавания на пло-
скости ААГВВХ. Таким образом задача определения плоскости
плавания сводится к следующей: провести на площади ААГВВХ
прямую так, чтобы она отсекала от АА1ВВ1 данную площадь
и чтобы прямая, соединяющая центр тяжести цилиндра с цент-
ром тяжести отсеченной площади, была нормальна к секущей
прямой. Это задача о равновесии плавающей площади.
След плоскости сечения на плоскости симметрии будем назы-
вать прямой сечения.
Прямая сечения при непрерывном перемещении обогнет неко-
торую кривую - линию сечений. Центры тяжести отсекаемых
площадей образуют линию центров.
Доказанные выше теоремы Дюпена для случая плавающей
площади могут быть формулированы так:
1. Прямая сечений АУВХ прикасается к линии сечении 52 в
своей середине (фиг. 32).
2. Касательная к кривой центров параллельна соответ-
ствующей прямой сечения АгВх.
3. Чтобы, найти все положения равновесия плавающей пло-
щади, нужно построить линию центров 5У из центра тяжести
О опустить на нее всевозможные нормали ОС1 и отыскать
соответственные прямые плавания.
Основываясь на этих теоремах, обратимся теперь к выводу
уравнений Давыдова.
Отнесем площадь среднего сечения призмы к прямоугольным
осям координат хОу, и пусть уравнение контура относительно
этих осей есть
V =/(*)• (49)
Пусть линия сечения АВ, данная уравнением:
у — ах + Ь, (50)
пересекает данный контур в двух действительных точках А и В.
Координаты этих точек определятся из уравнений (49) и (50)
и будут выражены в функциях а и Ь. Чтобы определить
координаты х, стоит только подставить у из (50) в (49), тогда
корни полученного уравнения:
ах + Ь = /(х)
и дадут значения хх, х2 для точек А и В.
По найденным значениям х легко определятся соответ-
ствующие значения у из любого из данных уравнений (49) или (50).
Пусть координаты точек А и В (фиг. 33) суть х1? уг и х2,уг.
Проведем секущую А'В', бесконечно близкую к АВ и отсекаю-
щую от данной площади ту же площадь, что и линия АВ. Точка
пересечения С этих линий по первой теореме лежит в середине
прямой сечения АВ, так как она есть точка прикосновения се-
144
кущей к линии сечения; координаты этой точки, следовательно,
суть:
-У1 + Х2 _У1 + Д'з
2 ’ 2
Так как точка С лежит на прямой АВ, то координаты ее дол-
жны удовлетворять уравнению (50), так что мы должны иметь:
Л+л=^1+^а + 1>. (51)
С другой стороны, точка С принадлежит и другой прямой сече-
ния А'В', параметры которой бесконечно мало разнятся от
параметров а и Ь\ следовательно, мы должны иметь
I/2 = (а + йа) 4- Ь + аь. (5Г)
Вычтя уравнение (51) из уравнения (5Г), получаем:
с1а + М=0 (52)
Это есть первое уравнение Давыдова; оно дает связь между
изменениями параметров а и Ь прямой сечения.
Второе уравнение Давыдова получается из второй теоремы
Дюпена. Если мы назовем через I и текущие координаты
линии центров, то представит собой тангенс угла наклоне-
ния касательной к линии центров с осью л; по второй теореме
Дюпена эта касательная параллельна соответствующей прямой
сечения; следовательно,
иг
= а-
ас.
(53)
Это есть второе уравнение Давыдова.
Найдем теперь третье уравнение Давыдова. Если мы назовем
через и площадь отсеченной части АОВ, то легко усмотреть,
что координата В ее центра тяжести будет (фиг. 33):
и
(54)
Линия А'В', бесконечно близкая к А В, отсекает площадь А'ОВ',
которая также есть и. Координата центра тяжести новой отсе-
ченной части будет отличаться бесконечно мало от $, и для
определения ее будем иметь:
(54')
$ + & =
[* [* г/а-Х-]- ^с-х— I* [ Д?а-Х
'апсв ‘ ВСВ' " аса'
и
Определяя из (54) и из (54*) й;, находим:
Н. Е. Жуковский, вып. 7—407—10
145
Совершим указанные интеграции. Первая двойная интеграция
распространяется на всю площадь ВСВ . Разобьем ее на беско-
нечно малые элементы дугами кругов, описанных из С, как из
центра (фиг. 34). Если назовем угол ВСВ' через то длина
дуги будетплощадь элемента 1(1^й1-, координата х центра
тяжести этого элемента равна координате точки С плюс /созф,
где <о — угол АВ с осью х, так что:
Л1 Хп . <
X = ' 2 2 +1 соз ф.
Подставив это значение х в первый интеграл и заметив, что I
меняется от нуля до /0 — СВ, получим:
Фиг. 33.
/о
I (1а-X — С 1(1^ (11 ( А1 2 + / соз
ВСВ’ о
Точно так же найдем:
1о
= I I (1& (II /со8<р),
АСА' О
и затем
/о
I (11 ( Х1 + Х?-- + I соз с? — Л- + IСО8 ср |;
о
отсюда:
4
(№ = -Ту 2/2 соз ч (1®(Ц.
У
Заметив, что со8(р-б/х- при интеграции по I не меняется, имеем.
Но
/о
1г~ ___ 2 СОЗ ср б/ср Г 1 » 2 1
а- =--------------------/ I2 а1 — соз ср я?ср • /0.
о
/0СО8(р
у Л2 ““ Иг]|
0 — 2 соз ср ’
следовательно.
ЙЕ = (Л'а —лт)3
# ' 12НСО$2Ф
или, так как (§ ® а, - = йа,
04 СО52 Ф ’
*-^г* <55>
Это и есть третье уравнение Давыдова.
Диференциальными уравнениями (52), (53) и (55) решается
вопрос о плавании площади.
Укажем на общий ход решения задачи о равновесии при
помощи этих уравнений.
Из данных уравнений контура и прямой сечения определя-
ются хъ ух и х2, у2 в функциях а и Ь. Подставив значения лх
и х2 в уравнение (52), по интеграции находят связь между а
и Ь, которая пусть будет:
ф(а, Ь) = С. (56)
Обращаются далее к уравнению (55), в которое подставляют
значения х2 и хг, исключают Ь на основании (56) и по интегра-
ции находят связь между В и а\ пусть эта связь есть:
? = Ф(а) + Сх. (57)
Определив отсюда (14 и подставив в (53) уравнение, по интегра-
ции находят т] в функции а:
-Г, = фг(а) + с2. (58)
Исключают затем а из уравнений (57) и (58) и находят, таким
образом, связь между 4 и /], т. е. уравнение линии центров
Раз найдена линия центров, то дальнейшее решение сво-
дится к опусканию нормалей на линию центров из центра тяже-
сти данного тела и к проведению соответственных линий пла-
вания. Если назовем через хну координаты центра тяжести
тела, то линия, проходящая через центр тяжести тела и центр
отрезанной части, образует с осью х угол, тангенс которого
есть:
.У- -
X — «
Эта линия должна быть перпендикулярна к прямой сечения,
угловой коэфициент которого есть а- следовательно,
^12Е.а+1 = 0. (59)
X — в
Из этого уравнения и определится а, которое, вообще говоря,
имеет несколько значений. Различные значения а дают различ-
ные углы наклонения для линии плавания; что касается до Ь,
то соответствующее его значение найдется из уравнения (56),
и линии плавания будут вполне определены.
Примеры
Пример 1. Определить положение равновесия плавающего
параболического цилиндра.
Пусть имеем параболический цилиндр, погруженный в жид-
кость так, что образующие его горизонтальны. Как было нами
показано, вопрос о равновесии этого цилиндра сводится к во-
просу о равновесии сечения этого цилиндра вертикальной пло-
скостью, перпендикулярной к образующим. В данном случае
сечение это будет представлять собой параболу, ось которой
будем считать направленной
вертикально вверх.
Примем ось параболы за
ось у, а касательную в вер-
шине за ось х (фиг. 35). Урав-
нение параболы относительно
этих осей есть:
л2 = 2ру (60)
Пусть уравнение прямой се-
чения:
у ах + Ь. (61)
Определим координаты точек
пересечения параболы с пря-
мой сечения.
Умножив обе части уравнения (61) на 2р и сравнив получен-
ный результат с уравнением (60), получим уравнение:
л2 = 2рах + 2рЬ
Решая его, находим:
= ра 4- /р^ц? + 2рЬ, |
л2 = ра — ^р2а2 + 2рЬ. I
Составляем полусумму х1 и л2:
X, 4- X»
(62)
и вносим ее в первое уравнение Давыдова (52)
--у — да дб — 0
Находим:
ра-да + дЬ = 0
Интеграция этого уравнения дает:
ра2 + 2Ь = С. (63)
Произвольное постоянное С определим по счедующим началь-
ным данным. Пусть в начальном положении линия сечения па-
раллельна оси х и отстоит от нее на расстоянии й0; тогда при
а = 0, Ь =Ь0 мы получим С = 260; следовательно,
р«2 + 26 = 2&0. (63')
Обращаемся теперь к третьему уравнению Давыдова (55):
= (Ха~Х1)3^а,
в которое подставляем х± и л2 из уравнений (62). Определяя из
уравнений (62) разность х2 — хъ находим:
х2 — •*!= 2 Vр2а2 + 2рЬ — 2 > р (ра2 + 2Ь).
или на основании уравнения (63):
л2 - = 2 у 2рь^ = 2 /рс.
Что касается площади и = пл. Л0ОВ0, то, как известно, площадь
2
части А0ОВ0 параболы равна -у площади соответствующего пря-
моугольника А0МЫВп. Высота этого прямоугольника есть Ьо,
основание
ММ = 2/2р^с,
следовательно,
и = Ьй • 2/2р60= ~С г рС,
так как замечено было, что С = 2Ъ0.
Подставляя найденные значения в уравнение (55), находим:
& = 8РсКр^_ аа = рЛа,
12—3 СУрС
отсюда
г^ра + С^ (64*)
Определим С\ из рассмотрения начального положения прямой
сечения. Легко усмотреть, что центр тяжести части параболы
А0ОВ0 лежит на оси у, так что 2 = 0. Кроме того, для Лово,
а=0, следовательно, и Ст = 0, и мы получим:
В = ра. (64)
Найдем теперь т4. Пользуемся для этого уравнением:
в которое подставляем г/В, получаем:
= арс1а\
откуда по интеграции:
ра2 ।
т(=^-+С2. (65)
Для определения С2 обращаемся к начальным данным. Щсть
координата т( центра тяжести части Д0О50 есть г/, тогда'при
а = 0, найдем С2 = т/. Что касается т/, то нетрудно его опреде-
лить. По формуле:
./’/-у
' I
Если разобьем площадь А0ОВ0 на элементы, параллельные оси х,
то площадь каждого такого элемента будет.
с1а = с1у 2х = 2 ] 2ру йу.
Подставив это в формулу для ф и заметив, что интеграция ве-
дется по у от у = 0 до у = 6П, найдем:
Ьо
.1" 2 ~Г 2р у ау у
О
/ 2 1Г2ру с1у
О
ИЛИ
_ ЬЧ. -1 2 5
2 1 2р^ у 2 ау -у ь0 2
__ о 3 ,
‘ I ~~ 9 Г 5
2 } у 2 з ь 2
о
Итак,
^2 — 5 ^о-
Исключим теперь параметр а из уравнений (64) и (65); тогда
мы получим уравнение линии центров Из (64) имеем:
По подстановке в (65) находим:
Откуда
^2 = 2р(7(-С2).
Это есть уравнение параболы с тем же параметром, как и у
данной, продвинутой вверх по оси у на расстояние С9 -3- Ьп.
л 5 0
Таким образом мы нашли линию центров. Определим те-
перь параметры а и Ь. Пусть координаты центра тяжести_дан-
ной площади, ограниченной параболой КОЬ, суть х и у.
Условие, что прямая сечения перпендикулярна к нормали,
проведенной из (х, у) к линии центров, выражается, как было
показано, уравнением:
^“> + 1=0.
X — 6
Из этого уравнения и определяется а.
Заменив ; и их значениями из уравнений (64) и (65), мы
получим:
(у — — с2) а + х — ра = 0.
Уравнение это третьей степени относительно а, откуда сле-
дует, что для параметра а мы получим три решения. Остано-
вимся на частном случае, предположив, что центр тяжести
данной параболы лежит на главной ее оси, так что х — 0.
Тогда уравнение наше может быть представлено в виде:
а (у Р2 ~ Р) = 0
Один из корней этого уравнения есть:
а = 0
остальные же два корня получатся из квадратного уравнения:
^=У-С2-р;
откуда: __________
Первое решение а = 0 всегда действительно и показывает, что
прямая сечения параллельна оси л, т. е. горизонтальна. Что
касается остальных двух решений, то они действительны только
тогда, когда
у > С2 + р,
и в этом случае мы будем иметь еще два положения равно-
весия.
Пример 2. Определить положение равновесия плавающей
призмы, образующие которой параллельны свободной поверх-
ности.
Пусть сечение призмы вертикальной плоскостью представ-
ляет собой многоугольник М. Если мы найдем положение
равновесия этого многоугольника /И при его плавании, то наша
задача будет решена.
Примем одну из сторон за ось у, а за начало координат
возьмем точку, в которой ось у пересекается с какой-нибудь
другой стороной (фиг. 36). Найдем, по какой кривой переме-
щается центр тяжести площади, отсекаемой прямой АВ, пока
эта прямая АВ перемещается так,
чго все время пересекает выбран-
ные нами стороны (7) и (2). Пусть
уравнение линии сечения АВ есть:
у = ах-[-Ь-, (66)
уравнение стороны (1) данного
контура есть:
х = 0, (67)
а стороны (2):
у = Ах, (68)
где А —• некоторая постоянная величина. Определяя точки пере-
сечения прямой сечения со сторонами данного контура, находим:
Лх —0; —
Л2=д^: (69)
пишем первое уравнение Давыдова:
^Ц^-2 аа + аь = о,
в которое вносим значения и л2. Заметив, что
। Ъ
= “л-- ,
1 2 А —а ’
по подстановке находим:
2^—= 0.
Разделим переменные:
(1а ! 2(1Ь п
А—а' Ь
По интеграции находим:
— 1п(Д — а) + 1п&2 = 1пС;
откуда
&2 = С(Д а). (70)
Обращаемся теперь к уравнению:
• Ла
г
I
Подставляем в это уравнение значения х2 и ад. Находим;
__ д3йа
~ 12(Л-я)3п ’’
но из (70) ________
Ь = УС(А - а);
поэтому _____ _
,, С(А—а) /С(Д — а) • йа _ С 1'С 4а
а' . 12« (Д — а)3 12« _1 ’
(А — а) 2
Интегрируя это уравнение, находим:
. С У С 2 , г сУс . г
12н ) А^а 6« У А - а
(71)
Далее определяем /] из уравнения:
(1г
-1- = а
откуда
Подставляем значение с1‘.
= аск.
находим:
. С С а йа
--------------------±-
2
(Д — а)
в
Чтобы интегрировать это
виде:
уравнение, представим его
таком
\2и
А
з
(Д — а) 2
А — а
1Е
(Д - «)2
йа =
А йа
йа
12п
(А — аУ
(Д - «)2
По интеграции получаем:
I
С
А
А — а
V Л — а
’2>
или
А
би
УА-а +
2’
(72)
Исключаем а из уравнений (71) и (72) Из (71) имеем:
/д’ 1
1/1 ° — би 5 —С,’
I
По подстановке в (72), получаем:
откуда
С2 — е _ С1 ’ ЗбН2 + А
Од +
С] С 1 1
бы —Сх]’
(73)
Это есть искомое уравнение линии центров. Оно представляет
собой гиперболу, одна из асимптот которой параллельна оси у;
действительно, при В=СХ, т] = оо; другая же асимптота парал-
лельна второй стороне. Это следует из того, что обе стороны
равноправны.
Итак, когда прямая сечения перемещается так, что пересе-
кает две какие-нибудь стороны данного контура, то центры тя-
жести отсеченных частей перемещаются по дуге гиперболы;
ясно, что когда прямая сечений переходит через вершину кон-
тура, то центры тяжести следующих отсекаемых частей пере-
мещаются по дуге другой гиперболы, вполне определенной для
каждой пары сторон, именно каждой паре сторон соответствует
своя гипербола, асимптоты которой параллельны этим сторонам.
Вся линия центров сомкнется из дуг гипербол. Перемещение
центра тяжести по гиперболе будет только тогда, когда вы-
бранная пара сторон не представляет собой пары параллель-
ных сторон.
Посмотрим
теперь, какова будет линия центров, когда две
будут параллельны Возьмем одну из
этих сторон за ось у (фиг. 37),
пересекаемые стороны
тогда уравнения выбранных сторон
будут:
X - 0; х а,
где а некоторое постоянное. При
этом для точек пересечения прямой
сечения с этими сторонами будем
иметь:
Х1 = 0, л’г = а.
Так как
А-1 “|“ -А-2 зс
2 = 2 ’
то первое уравнение Давыдова для этого случая будет:
с1а + М = 0,
которое по интеграции дает:
а.а + 2Ь = С
(74)
Далее замечаем, что л2 — хх = а, и пишем третье уравнение
Давыдова; оно будет:
сП = ,а„- с1а.
\2.и
Интегрируя, находим.
^^- + СХ. (75)
Что касается ть то она определится из уравнения:
а3
с1ъ -- — ас1а\
1 12и
откуда
Т‘=2^а2 + С^ (76)
Исключаем теперь из уравнений (75) и (76) параметр а и по-
лучаем уравнение линии центров:
0 с&=^-сл, (77)
которая представит собой параболу с осью, параллельной оси у».
Итак, когда прямая сечения перемещается, пересекая две
параллельные стороны контура, то центр тяжести отсекаемой
части перемещается по дуге параболы, ось которой параллель-
на этим сторонам.
Таким образом
в случае плавающей многоугольной площади линия центров
представляет криволинейный многоугольник, состоящий из дуг
парабол и гипербол.
Легко показать, что эти дуги криволинейного многоугольника
не пересекаются в вершинах многоугольника, а соприкасаются.
В самом деле, пусть В есть одна
из вершин криволинейного много-
угольника (фиг. 38). Проведем ка-
сательную в точке В к ветви АВ.
Эта касательная по второй теореме
Дюпена параллельна соответствую-
щей линии сечения МЫ, которая
отсекает площадь, центр тяжести
которой есть В. Но линия МЫ будет
параллельна также касательной, проведенной к ветви ВС в точке
В, так как точка В принадлежит и ветви ВС; следовательно,
касательные к той и другой ветви в точке В совпадут, а это
значит, что эти ветви соприкасаются в точке В. Посмотрим, из
скольких дуг будет состоять криволинейный многоугольник,
если данный контур имеет п сторон.
Всякий раз, как прямая сечения переходит через вершину дан-
ного контура, получается новая линия центров. Так как каждый
конец прямой сечения пройдет через каждую вершину данного
контура, то отсюда следует, что совпадение концов прямой
сечения с вершинами контура будет 2/г раз, так что мы полу-
чим 2/г различных дуг.
Таким образом мы видим, что если данный контур есть
и-угольник, то линия центров есть криволинейный 2/г-угольникч
‘ Ясно, что криволинейный многоугольник будет сомкнутый, так
как, перемещая прямую сечения из какого-нибудь положения и
обойдя весь контур, мы опять попадем в начальное положение
прямой сечения.
§ 10. О наибольшем числе положений равновесия призмы, пла-
вающей по образующим. По третьей теореме Дюпена, чтобы най-
ти все возможные положения равновесия, нужно опустить из
центра тяжести призмы все возможные нормали на линию
центров. Число действительных нормалей, опущенных из центра
тяжести на линию центров, представит собой наибольшее число
положений равновесия призмы.
Аналитическое решение этой задачи довольно сложно, так
как приходится решать уравнения высших степеней. Мы уже
видели, что если линия центров есть парабола, то нужно решить
уравнение третьей степени для отыскания всех направлений
нормалей; для случая же гиперболы нужно решить уравнение
четвертой степени. Давыдов именно здесь и шел аналитическим
путем и первый указал на наибольшее число решений. Но эти
исследования весьма длинны и сложны. Вопрос этот решается
проще по способу, предложенному Татариновым, который мы
здесь и изложим.
Известно, что наибольшее число нормалей, которые можно
провести из данной точки к параболе, есть три, так как мы по-
лучили уравнение 3-й степени для определения числа нормалей
для параболы; на гиперболу же из данной точки можно опустить
четыре нормали, и так как
на одну ветвь можно опустить по
крайней мере одну нормаль, то
наибольшее число нормалей, ко-
торые можно опустить на другую
ветвь гиперболы, будет три.
Докажем одну вспомогательную
лемму:
Л е м м а . Пусть имеем ветвь
параболы или гиперболы, удаляю-
щейся одним концом в бесконеч-
ность, и точку О, находящуюся
в плоскости данной кривой (фиг 39).
Соединим точку О с точкой А;
если угол между линией АО и
ветвью кривой острый, то на эту
ветвь можно наверное опустить по крайней мере одну нормаль
(причем направление линии АО считается от А к О, а направ-
ление кривой — от ее начальной точки в бесконечность).
Пусть АВ есть дуга кривой, О — данная точка. Пусть угол
ОАВ острый. Если мы будем соединять точку О с другими
точками кривой, то угол непрерывно будет изменяться, все
время увеличиваясь, и для бесконечно удаленной точки угол
этот будет тг. Ясно, что одно из промежуточных значений угла а,
изменяющегося в пределах от а< ^-доа = я, есть т. е.
линия ОА становится нормалью к кривой. Таким образом лемма
доказана.
Теорема Наибольшее число положений равновесия
п - гранной призмы, плавающей по образующим, есть 4п.
Пусть имеем призму с п сторонами Линия центров для
этой призмы есть криволинейный 2я-угольник, состоящий из
дуг гипербол и парабол. Так как наибольшее число нормалей,
которые можно опустить на дугу параболы или ветвь гипер-
болы, есть три, то число всех нормалей, которые можно
вести к сторонам криволинейного 2п-
2п -3 = 6п. Это было бы тогда,
про-
быть
должно
угольника,
если бы возможно было провести
все нормали. Покажем, опираясь на
доказанную лемму, что из всех воз-
можных 6/г нормалей 2п отпадают,
так что останется только 4п. Возь-
мем какую-нибудь вершину криво-
линейного многоугольника с двумя
прилежащими сторонами АВ и ВС
(фиг. 40) и покажем, что при всякой вершине этого многоугольника
происходит пропажа одной нормали. Соединим центр тяжести О с
вершиной В. Эта линия с ветвями кривых, не входящими в кри-
волинейный многоугольник, может образовать тупой, острый или
прямой угол. Пусть она образует с ветвью Ва острый угол,
тогда по доказанной лемме на эту ветвь можно опустить одну
нормаль, и так как эта ветвь в криволинейный многоугольник не
входит, то одна нормаль пропадает; если бы линия ВО образовала
тупой угол с ветвью Ва, то тогда она образовала бы острый
угол с ветвью ВЬ другой кривой, и в этом случае опять
пропала бы одна нормаль, так как ветвь ВЬ в криволинейный
многоугольник не входит. Что касается того случая, когда ВО
образует прямой угол, то в этом случае мы имели бы совпаде-
ние двух нормалей, проведенных к ветвям ВА и ВС, так как
линия ВО была бы одновременно нормалью к обеим этим
кривым.
Таким образом мы видим, что образует ли линия, соединяю-
щая вершину криволинейного многоугольника с центром тяжести
О, острый, прямой или тупой угол со сторонами многоуголь-
ника, во всяком случае пропадает одна нормаль. Так как всех
вершин 2п, то отпавших нормалей будет 2п, так что из всевоз-
можных нормалей останется 4п. Таким образом теорема доказана.
Задача. Определить положения равновесия трехгранной
призмы, плавающей при горизонтальности образующих.
В силу доказанной теоремы мы знаем, что наибольшее
число положений равновесия трехгранной призмы, плавающей
по ребрам, есть 12. Остановимся на частном предположении,
что данная призма есть равносторонняя, и обнаружим, что
равносторонняя призма, плавающая по образующим, при над-
лежащем выборе плотности имеет все 12 положений равно-
весия.
Предложение это принадлежит Давыдову; при доказательстве
его мы будем пользоваться доказательством Слудского. Пусть
щиной В и линия хх есть одна
имеем равносторон-
нюю трехгранную приз-
му. Все положения ее
равновесия, как из-
вестно, соответствуют
положениям равнове-
сия ее сечения верти-
кальной плоскостью
перпендикулярно реб-
рам. Сечение это
представляет равносто-
ронний треугольник.
Пусть это сечение
есть треугольник АВС
(фиг. 41).
Положим, что тре-
угольник этот погру-
жен в жидкость вер-
линий плавания. Отметим
центры тяжести всего треугольника
и отсеченной части. Извест-
э
но, что центр тяжести площади треугольника лежит на ^ ли-
нии, соединяющей какую-нибудь вершину с срединой противо-
положной стороны, считая от вершины, поэтому центр тяжести
треугольника АВС найдем, разделив АС пополам в точке I) и
2
отложив на линии ВО отрезок ВО — ВО; точно так же найдем
центр тяжести отсеченной части ЕКВ, отложив по линии ВЕ (где Е
средина ВЛ) линию ВС = -| ВЕ. Соединив точку 6 с О и Е с О,
легко усмотреть, что линии 60 и ВО параллельны. В самом
деле, по построению имеем:
во _ 2 _ во .
во ~ з ~ ВЕ ’
это показывает, что линии 60 и ОВ отсекают от сторон угла
ОВЕ пропорциональные части и, следовательно, параллельны.
Если линия хх есть линия плавания, то линия 60, соединяю-
щая центры тяжести всего тела и отсеченного объема, перпенди-
кулярна к линии плавания хх- а если 60 > хх, то и ОЕ Ехх.
Соединим теперь точки Р и К, в которых линия плавания
пересекает стороны данного треугольника, с точкой О, тогда мы
получим линии ОР и ОК, которые равны между собой, как
наклонные, равноудаленные от перпендикуляра. Это показывает,
что точки К и Р лежат на окружности круга5 описанного из
точки О. Таким образом точки пересечения линией плавания
сторон треугольника лежат на окружности круга, описанного из
средины третьей стороны, как из центра.
Следовательно, если разделим сторону треугольника пополам,
очертим окружность из средины этой стороны и соединим
точки пересечения этой окружности с двумя другими сторо-
нами, то полученная линия и будет
этим, Слудский и ищет линии пла-
вания трехгранной равносторонней
призмы.
Будем искать линии плавания
площади АВС, погруженной вер-
шиной В в жидкость (фиг. 42).
Проведем каким-нибудь радиусом
окружность из средины О линии
АС так, чтобы она пересекала две
другие стороны треугольника.
Пусть эти точки будут: а, Ь, с и
б/. Соединив эти точки попарно
так, чтобы точки каждой пары ле-
жали на разных сторонах, мы по-
лучим четыре линии плавания: аЬ,
ей, ай и сЬ. Из этих линий линию аЬ
линией плавания. Пользуясь
Фиг. 42.
Слудский называет верхней линией плавания, ей нижнеи и ай
и сЬ — боковыми. Посмотрим, в каких пределах изменяется пло-
щадь отсекаемой части для каждой из этих линий плавания.
Наименьшее сечение для верхней линии плавания, которое
мы получим, описывая из О окружность, будет сечение, полу-
ченное от окружности круга наименьшего радиуса. Легко
усмотреть, что круг наименьшего радиуса будет круг, касающийся
сторон АВ и ВС. При этом мы получаем одну линию ее', кото-
рая и будет наименьшая верхняя линия плавания. Вычислим
площадь части еВе'. Эта часть представляет собой равнобед-
ренный треугольник, так что площадь ее есть:
пл. еВе'
Ве2 • 5Н1 60
2
Но Ве = ВА еА, а из прямоугольного треугольника ОеА
еА = АО • соз 60° = . поэтому Ве = АВ и
„О.' 9 Л 02 81П60
пл. еВе = — АВ^—„—
16 2
Если мы назовем через 5 площадь всего треугольника АВС, то
тогда
АВ2 ып 60°
2
и для площади отсеченной части будем иметь:
О 9
пл. еВе — 8.
16
Это есть наименьшее значение отсеченной площади для верх-
ней линии плавания. С увеличением
радиуса верхняя линия плавания от-
секает все большую площадь, и наи-
большее значение этой площади
будет 5, так как наибольшая верх-
няя линия плавания есть сторона АС
треугольника АВС.
Посмотрим теперь, в каких преде-
лах изменяется площадь, отсеченная
нижней линией плавания. Нижняя
линия плавания имеет наибольшую
величину в положении ее', а потом
уменьшается до нуля, так как она
перемещается вниз и в конце кон-
цов обращается в точку А.
Отсюда ясно, что площадь, отсеченная нижней линией пла-
о
вания, изменяется в пределах от до нуля.
Рассмотрим, наконец, пределы изменения площадей, отсекае-
мых боковыми линиями плавания. Боковая линия плавания
отсекает площадь, уменьшающуяся с увеличением радиуса. Дей-
ствительно, возьмем левую линию плавания. Пусть 1С = х,
дС—у (фиг. 43); площадь/дС = 81^ 60 и ее диференциал:
с1 (1дС) = (л йу + у с1х\
Но треугольники дОк и ЮР равны; следовательно, 1Р — Кд и
сЦ1Р)=(1(Кд), = Лу,
й(1дС)=-^— (у -х)ах.
Из чертежа видно, что х>у; поэтому с1(1дС) отрицательно, и
площадь при увеличении х уменьшается. Одно из предельных
положений боковой линии есть положение ее, где она сливается
с другими линиями плавания; другое же ее предельное положе-
ние есть А/', когда дуга круга проходит через вершины А и С
(фиг. 42).
В первом случае площадь отсеченной части есть-^х, во вто-
ром же случае она равна ^-х, так как аА/'В = ^. АВС. Сле-
довательно, для боковой линии площадь отсекаемой части изме-
9 1
няется в пределах от 5 до 2 5.
Итак, площади, отсекаемые линиями плавания, изменяются
в пределах:
для верхней линии
„ нижней
боковой ..
9
от —л
16
9 л
" ^доо,
9
(78)
1
Посмотрим теперь, какова должна быть плотность, чтобы иметь
наибольшее число положений равновесия. Если и есть площадь
погруженной части, 5— площадь всего треугольника, р — плотность
жидкости, а р' — плотность погруженного тела, то, как известно,
чтобы имело место равновесие, необходимо, чтобы:
и __ р’
р •
Если теперь мы выберем плотность так, чтобы
9 рх 1
1б >у> 2
(79)
то легко усмотреть, что в этом случае мы будем иметь три
положения равновесия, из которых одно соответствует нижней
линии плавания, а два — двум боковым. В самом деле, если
плотность удовлетворяет условию (79), то:
9 и 1
К> 5 > 2 ’
откуда следует, что
9 п
9 1
165>И> 2 5
т. е. площадь и может быть отсечена нижней линией плавания
9 р'
и каждой из боковых. Если же плотность такова. чтоТЕ< —<1,
16 р
то мы имеем только одно положение равновесия, соответствую-
щее верхней линии равновесия, ибо в этом случае:
9 и 9 .
, ~ < — <1 или 5 < и < 5,
16 5 16 ’
и площадь иу определяемая из этого неравенства по условию (78),
есть площадь, отсекаемая верхней линией плавания. Таким об-
разом мы видим, что, для треугольника, погруженного верши-
ною в жидкость, наибольшее число положений равновесия,
соответствующее этой вершине, равняется трем при надлежащем
выборе плотности [условие (79)].
Н. Е. Жуковский, вып, 7—407—11
161
Погружая последовательно каждую вершину, мы полу-
чаем другие положения равновесия. Всех положений равновесия,
соответствующих погруженным вершинам, будет 9 или 3. Но
погружением вершин по одной не исчерпываются все случаи
плавания, так как могут быть погружены две вершины зараз.
Нам нужно поэтому рассмотреть и тот случай, когда погружены
два угла, т. е. целая сторона.
Докажем предварительно одну лемму.
Лемма. Если погруженное в жидкость тело находится
в равновесии и отношение плотностей тела и жидкости есть
у- , то, повернув тело на 180° около линии плавания, изме-
нив плотность тела из р' в р", так что-. — = 1 —мы по-
Р р
лучим опять равновесие.
Пусть, например, имеем тело, объем которого есть V, плот-
ность р' и центр тяжести О'(фиг. 44). Пусть это тело находится
в равновесии, будучи погру-
жено в жидкость плотности р
своей частью и, центр тяжести
1 объема которой есть С. Если
тело находится в равновесии,
то:
" __ Рг
У ” р ’
и линия СО перпендикулярна к
хх. Заметим, что на линии СО
должен лежать и центр тяжести С' непогруженной части. В са-
мом деле, центр тяжести всего тела мы найдем, складывая
веса обеих частей тела, приложенные в центрах тяжести этих
частей, откуда следует, что точки С, О и С' лежат на одной
прямой линии.
Повернем теперь тело на 180° около хх. Тогда линия СО
будет опять перпендикулярна к хх. Погруженный объем будет
И—и. Чтобы тело было в равновесии, необходимо, чтобы его
плотность р" была такова, чтобы
V — и __ р"
-у •
Но
И~Ц = 1_____“ — 1 ₽'
V * 1 * * * У V ~ 1 ’
следовательно,
7=7; (80)
Итак, если мы повернем тело на 180° и изменим плотность
согласно условию (80), то условия равновесия будут соблюдаться
и при новом положении тела.
Пользуясь этой леммой, мы рассмотрим те случаи положе-
ния треугольника, когда треугольник погружен в жидкость одной
стороной.
Мы имели, что при погружении треугольника вершиной
в жидкость отсекаемые площади изменяются в пределах:
9 о
для верхней линии плавания: — 5 < и < 5, 10
, нижней 9 „ — 5 > и > 0, 16
„ боковой „ 9 1 Т65>И>2.5'
Разделив эти неравенства на 5 и заменив отношение площадей-
отношением плотностей, перепишем их в виде:
о 9 р'
ДЦЯ верхней линии плавания — < — < 1,
1Ь о
„ нижней
„ боковой
9 р' 1
1б>Т> 2
Перевернем теперь треугольник гак, чтобы он был погружен
вместо вершины противоположной стороной. Тогда по доказан-
ной лемме для положения равновесия будем иметь:
для верхней линии плавания 9 16 " Р < 1.
. нижней „ „ 9 16^* 1— Р > 0
„ боковой или 9 16 > 7 1-^ Р >/_> 1 > 2
для верхней линии плавания — 7 Р — < Р <— < Р 0,
„ нижнеи „ боковой л „ 16 7 16 1 . 1 2
Если плотность такова, что удовлетворяется первое неравенство,
то имеем одно положение равновесия, соответствующее верхней
линии плавания; если же плотность удовлетворяет третьему не-
равенств} , которое заключает в себе и второе, то имеем три
положения равновесия, соответствующие нижней и двум боко-
вым линиям плавания.
Пусть плотность определяется неравенством:
9 22. 7
16 р 16*
(81)
Это возможно в двух случаях:
9 р' 1^7
ИЛИ 77 > — > — > 77 ,
16 р 2 16
9 1 р • 7
ИЛИ 77 > -7Т > --- > 77 ;
16 2 Р 16 ’
в первом случае имеем три положения равновесия при погруже-
нии угла и одно (нижнее) при погружении стороны; во втором
случае мы получим три положения равновесия при погружении
стороны и одно при погружении угла. Следовательно, если плот-
ность удовлетворяет неравенству (81), то треугольник имеет 9
положений равновесия при погруженных вершинах и 3 при по-
груженных сторонах или, наоборот, так что всех положений
равновесия будет 12.
Таким образом мы доказали предложение Давыдова.
§ 11. Об устойчивости равновесия плавающих тел. Мы
ограничимся исследованием устойчивости равновесия тел цилин-
дрических, однородных или таких, в которых плотность распре-
делена симметрично относительно среднего сечения, и плавающих
так, что образующие их горизонтальны. Задача о плавании таких
тел сводится, как было показано, к аналогичной задаче о пла-
вании материальных площадей, представляющих собой их сред-
нее сечение. Поэтому мы будем рассматривать вопрос об устой-
чивости плавающих площадей и относить полученные результаты
к плавающим телам.
Известно, что те положения равновесия системы суть устой-
чивые, в которые тело стремится вернуться при малом откло-
нении от них; а те положения равновесия, в которые тело не
возвращается, будучи отклонено, суть положения неустойчивого
равновесия.
Пусть имеем цилиндрическое тело, плавающее и находящееся
в равновесии, причем линия плавания есть аЬ, О — центр тяжести
всей массы плавающего тела, С — центр тяжести погруженной
части (фиг. 45 и 46). Линия ОС, как известно, перпендикулярна
к аЬ Выводим тело из положения равновесия, поворачивая его,
как показывает на чертеже стрелка первая, причем со свобод-
ной поверхностью жидкости совпадает линия сечения а'Ъ'; центр
тяжести погруженной теперь части будет в С*, причем С и С'
лежат на линии центров; но линия С'О уже не будет перпен-
дикулярна к а'Ь', а линия С'М, перпендикулярная к а'Ъ', пере-
сечет ОС в точке Л4.
Точка М называется метацентром. Она представляет собой
точку пересечения двух бесконечно близких линий, проходящих
через центры тяжести вытесненных объемов для данного поло-
жения площади и для повернутого и перпендикулярных к соот-
ветствующим линиям сечений. Легко усмотреть, что метацентр
представляет собой центр кривизны линии центров. В самом
деле, по теореме Дюпена касательные в центрах тяжести С и С'
параллельны соответствующим линиям сечения ад и а'д'-, следо-
вательно, линии СМ и С'М суть две бесконечно близкие нормали
к линии центров, и точка пересечения их есть центр кривизны
линии центров.
В отклоненном положении на тело будут действовать две
силы: 1) сила тяжести всего тела, приложенная в его центре
тяжести О и перпендикулярная тс а'Ь', которую назовем Р, и
2) равнодействующая сил давления жидкости, приложенная в С ,
равная силе Р и также перпендикулярная к а'Ь' и направленная
вверх. Назовем эту силу через Р' и перенесем ее точку прило-
жения в метацентр. Мы получим пару Р, Р'
Если метацентр /И лежит выше центра тяжести тела, то эта
пара будет стремиться вращать тело, как показывает стрелка 2
на чертеже (45), т. е. вернуть тело в его прежнее положение
равновесия, и равновесие при линии плавания ад будет устой-
чивым.
Если же метацентр М лежит ниже центра тяжести тела, то
силы составят пару, стремящуюся повернуть тело, как пока-
зывает стрелка 2 на чертеже (46), т. е. будет еще больше от-
клонять тело от положения равновесия, и равновесие будет не-
устойчивое.
Из всего сказанного вытекает следующая теорема:
Если в положении равновесия плавающего тела метацентр
лежит выше центра тяжести, то положение будет устой-
чивым ; если же метацентр лежит ниже центра тяжести
плавающего тела, то положение будет неустойчивым
Так как метацентр М есть центр кривизны линии центров,
то расстояние его до центра тяжести вытесненного объема, МС,
будет равняться радиусу кривизны р линии центров и, если
^=/(-) будет уравнением линии центров, определится по фор-
муле;
Пользуясь обозначениями, ранее принятыми, мы имеем:
~~ л*)3 аа •
12а
__ йа \2и
(К ~а ] ~й& ~ ~а^ ~ (х2 — хО3 •
Предположим, что ось х параллельна линии плавания; тогда:
= а = 0; х2 — лх = 21,
где 21 есть хорда плавания и, следовательно,
_ 2/3
За *
Если через о мы обозначим расстояние между центром О тя-
жести всего тела и вытесненного объема, то равновесие будет
устойчивым или неустойчивым, смотря по тому, будет ли:
§ 12. Барометрическая формула для определения высоты
места подъема над поверхностью земли. Над поверхностью
земли находится воздух, подверженный действию силы тяжести,
которая обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра
земли. Если обозначим через радиус земли, через г расстоя-
ние точки от поверхности земли, через / коэфициент пропор-
циональности и через т массу точки, то сила, действующая на
точку, будет:
тГ
(Я + *)2 '
Когда точка будет на поверхности земли, то х = 0, и сила будет
равна силе тяжести на земной поверхности:
т/
;
отсюда / = и
т/__
(Я + (Я + ^)2 ‘
Если ось х мы направим по вертикали вверх, то в уравнении:
= хах + уау 4- ха?,
Л=о, Г-0.
и, следовательно,
ар______к2ё
р “ (Л + г)2
Плотность р изменяется с температурой и давлением. Известно,
что между р, р и температурой Т существует такая зависимость:
-----
где к и а постоянные. Обыкновенно принимают а=273> но Ла-
плас нашел, что можно получить более близкие к истине вели-
чины, если взять а = 250 (приняв во внимание влажность воздуха).
Для приближенных вычислений можно предположить, что
атмосфера имеет постоянную температуру, среднюю между тем-
пературой на поверхности земли и температурой / на высоте
г. Тогда
Р==7 , 2&+0 =$Р>
+ 1000
где
3 —______-_ _
1000
Подставляя это значение р в формулу (82), найдем:
а-
Р ~ +
и после интеграции:
1п р =
/? + 2
Если давление на поверхности земли при г = 0 равняется р0,
то
*П Ро — р>
и, следовательно, исключая С, получим:
= (83)
Из этой формулы можно определить ?, если давление будем
отсчитывать по анероиду. Если же будем пользоваться ртутным
барометром, то должны принять во внимание, что вес ртути
уменьшается с подъемом над землей. Пусть вес единицы объема
ртути на земле и на высоте г, 7. Тогда
- №
7о № + *)2
И
р0 = к0-[0,
где //0 и А—приведенные высоты барометра к температуре, рав-
ной 0. Из этих формул мы получаем:
р __ Л 7 __ Л/?2
Ро Лоуо ~ Ло (/? + г)2 ’
Подставляя — в формулу (83), найдем:
Ре
ш А + 21п »
П /\ К ~г %
Развернем в ряд:
гг>Н'+й=М' 4'+'---)-
Ограничиваемся величинами первой степени:
1п4=^г-2^=г(^-|)-
Окончательно
? = ЛЧп .
н
По Лапласу:
г_ 18 393»|1+2^+-й|1п4" .
ГИДРОДИНАМИКА
Займемся сначала выводом уравнений гидродинамики. Урав-
нения гидродинамики могут быть получены на основании нача-
ла Даламбера и соответствующих уравнений гидростатики. По
началу Даламбера, если мы вообразим, что жидкость останов-
лена, и прибавим к внешним силам силы инерции, то будем
иметь равновесие. Поэтому, если мы напишем уравнения рав-
новесия сил X, У, X и сил инерции
(Рх _ (Ру (Рх
ар’ ар' ар ’
рассчитанных на единицу массы,
. < 7 — д-Р-
? ар) - дх ’
или
у _ 1 у_ 1 7 — 1 ГВ
Л ~0Р~~ р дх’ Г ~ ' ар~ р ду’ ар р дх’ ' '
то эти уравнения и будут уравнениями движения жидкости под
действием сил X, У. X.
Обыкновенно уравнения гидродинамики употребляются в
другом виде или в форме Эйлера или в форме Лагранжа.
Уравнения гидродинамики, как в форме Эйлера, так и в
форме Лагранжа, получаются из уравнений (1) по замене в них
вторых производных от х, у, г первыми производными от ско-
ростей точек жидкости; но в то время, как Эйлер характери-
зует скорость жидкости, отнеся ее к данной точке пространства,
т. е. считает ее за функцию времени и координат х, у, г той
точки пространства, через которую частица жидкости проходит
в момент I, Лагранж рассматривает движение одного элемента
жидкости, начиная от данного начального положения этого
элемента, и выражает скорость элемента в функции времени и
координат начального положения элемента жидкости.
§ 1. Уравнения гидродинамики в форме Эйлера. Движение
жидкости будем рассматривать относительно неподвижных пря-
моугольных осей координат. Отметим какую-нибудь точку про-
странства Л, через которую проходит элемент жидкости (фиг. 1).
Жидкость, вступая в точку Д, получает вполне определенную ско-
рость V, зависящую от положения этой точки в пространстве и от
Фиг. 1.
времени;если во всех точках
пространства для всякого вре-
мени будут определены ско-
рости, то этим вполне б\дет
охарактеризовано движение
всей жидкости. Исходя из
этого положения, Эйлер и
составляет диференциальные
уравнения для определения
скорости жидкости в функции
ее координат х, у, г и вре-
мени I.
Пусть проекции скорости V
по осям координат суть п, V,
мы их рассматриваем, как
функции координат и времени:
и у, г, 1\, V = /х(л, у, г, /)
& =/Лх, У, г, I).
Посмотрим, как из этих равенств могут быть получены уско-
рения:
02х О2у 02х
~ор' ~ор' аГ2,
(I2 X
есть проекция полного ускорения какой-нибудь определен-
ной частицы жидкости на ось х\ ее мы можем представить, как
производную Пт проекции скорости на ось х той же частицы,
положив:
02х__ (1 /0х\ _Ои
И2~а1 \аГ) ~ 01 ’
получаем:
Ои _ ди , ди Ох . ди Оу . ди дх
01 д1 ' дх 01 ' ду 00 ‘ дх 01 '
Точно так же найдем:
02у ди ' ди Ох ' ди Оу . ди Ох
ОР д1'дхО1 ’ ду 01 ' дх01 ’
_ ди) ди) Ох } ди) Оу ди) Ох
ОР д? ‘ дх 01 ‘ ду 01 дх (Р
вторых производных в урав-
Подставим найденные выражения
нение (1), тогда мы получим:
1 — X ди ди Ох ди Оу ди Ох
р дх УХ д! дх 01 ду 01 дх 01
1 др = У ди д1 __ ди Ох дх 01 ди Оу ду 01 ди Ох дх 01 1
1 Ор р дх х ди) ~дТ ди) Ох дх 01 ди) Оу ду 01 ди) Ох дх 01
(2)
или
1 др ди ди ди ди 1
р дх = X д1 — тг «— дх дг ’
1 др = у дV дV —• и — дV (2)
~ ~д1 дх ду дг ’
1 др гу дм дм дни . дм
р дг — 2 д( дх “ ду дг
Эти уравнения суть уравнения гидродинамики в форме Эйлера
Они представляют собой три уравнения с частными производ-
ными первого порядка с четырьмя неизвестными функциями п,
-г, и р. Трех уравнений, очевидно, недостаточно для опреде-
ления четырех неизвестных функций; поэтому нам нужно найти
еще одно соотношение между ними. Это соотношение мы по-
лучим из рассмотрения геометрических связей.
Пусть жидкость несжимаема. Это свойство жидкости мы
геометрически характеризуем тем, что объем каждого элемента
жидкости не может уменьшаться. Выше мы нашли, что это
геометрическое стеснение связывает бесконечно малые возмож-
ные перемещения условием:
дох доу . дог ~
дх ** ду дг
Будем рассматривать такие только перемещения, при которых
жидкость не освобождается от геометрических стеснений (т. е.
предположим, что жидкость при движении не разрывается);
тогда связь между бесконечно малыми перемещениями будет
выражаться равенством:
дол . доу дог ~
дх + ду " ~дг ~ "
Так как действительные бесконечно малые перемещения йх, (1у,
йг суть одни из возможных перемещений, то мы можем на-
писать полученное равенство для действительных перемеще-
ний. Заметив, что:
с1х^= и (11, йу = V сП, йг = ™ (11,
найдем:
\дх 1 ду дг}
или, гак как яТгТО, то
ди । дъ , дш
дх ' ду ‘ дг
(3)
Полученное уравнение представляет условие неизменяемости
объема. Эйлер назвал его условием неразрывности жидкости
Уравнениями (2) и (3) вполне решается вопрос о движении
жидкости в случае жидкости несжимаемой, для которой
р соп§1.
Из этих четырех уравнений с частными производными первого
порядка определяются неизвестные функция «, д © и р в функ-
циях независимых переменных х, у, х и I, причем в оконча-
тельные результаты войдут четыре произвольные функции, вид.
которых определяется по начальным данным.
Прежде чем перейдем к рассмотрению начальных данных,
посмотрим, какими уравнениями характеризуется движение
жидкости в случае тел газообразных.
Если имеем газообразную жидкость, то мы получим те же
уравнения (2), но неизвестных функций будет уже не 4, а 5,
так как в этом случае и р неизвестно. Следовательно, к урав-
нениям (2) нужно еще прибавить два уравнения, чтобы задача
стала определенной. Одно из этих
уравнений есть уравнение, анало-
гичное уравнению (3), которое на-
зывается условием неизменяемости
массы. Выводом этого уравнения
мы и займемся.
Вообразим некоторый конечный
замкнутый объем и посмотрим,
какое количество материи входит
в этот объем за время й1. Пусть
жидкость движется в точке А со
скоростью V. Выделим бесконечно малый элемент поверхности
йо и построим цилиндр с основанием йа и образующей Уй1
(фиг. 2); количество материи, прошедшей через элемент йа во
время йй, выразится объемом этого цилиндрика:
ЙаУЙ/СОЗ (У, и),
умноженный на плотность жидкости р:
йа Vй1 • соз'(У, п) • р,
(п есть внутренняя нормаль к йа). Вся же масса, вошедшая в
данный замкнутый объем, выразится двойным интегралом:
йа V й1 соз (У, п) • р,
где интеграция распространяется на всю поверхность, ограничи-
вающую объем. Так как й1 не изменяется при этой интеграции,
то мы можем вынести его из-под знака интеграла:
й1§^рУ соз (У, п) йа
и преобразовать полученное выражение по формуле для пере-
хода от объемного интеграла к поверхностному. Мы видели,
что
—У У"«> У • соз (У, п) йа —
=/] } + & + 37 ау йг’
где и. V и да суть компоненты V по осям. Полагая в этой фор-
муле <₽ = р, найдем:
<11^] р С°8 (К «) • =
= ~М/.1 } + 57 (Рда) }^хаус1г.
Это есть количество материи, вошедшей во время М в конеч-
ный объем. Так как формула эта верна для всякого объема, то
мы можем отнести ее к бесконечно малому объему:
тогда часть подинтегральной функции, заключенную в скобки,
мы можем вынести из-под знака интеграла и найдем, что коли-
чество материи, вошедшей в бесконечно малый объем Ло во
время Л, есть:
+ ТГг(рда)}
Определим это количество с другой точки зрения. Пусть во
время I плотность жидкости есть р, тогда количество материи
в объеме с1ы будет р Ло. По прошествии времени Л плотность
изменится в
и количество материи в том же объеме представится произве-
дением:
Следовательно, количество вновь вошедшей жидкости будет:
(р + (11^ с1ы — рс1т = ~ сП с1т.
Сравнивая это выражение с вышеполученным выражением коли-
чества жидкости, мы найдем что:
= - ^{^(ри)
откуда
др хд(ры) , д(рУ> , д(рге/) _ п /о/х
дС+ дх + ду + ~дГ~ “ °- '
Это и есть уравнение неизменяемости массы.
Что касается до другого уравнения, то оно получается из
условия самой задачи. Например, если газ движется при по-
стоянной температуре, то по закону Мариотта имеем р = Ар.
Вообще из условий задачи находится зависимость между плот-
ностью и давлением:
р =/(?)•
(4)
Таким образом для решения вопроса о движении жидкости
в случае тел газообразных мы имеем пять уравнений [три урав-
нения (2), уравнение (3) и уравнение (4)] для определения пяти
неизвестных функций и, V, чю, р и р.
Выше было замечено, что произвольные постоянные и про-
извольные функции интеграции определяются по начальным
условиям задачи и по начальным данным. К этим условиям отно-
сятся граничные условия и условия на свободной поверхности
жидкости.
Граничными условиями называются те условия, которым
должны удовлетворять частицы жидкой массы при их движении
по стенкам и на свободной поверхности. Если уравнение стенок
сосуда есть:
Ж у, 2) = О,
то скорости и, н, но должны быть такими функциями х, у,
чтобы при движении частицы жидкости по стенке ее коорди-
наты х, у, г удовлетворяли уравнению стенки. Во время 1 + (11
координаты х, у, г изменятся зх + исИ, у + н(И, г + по М (где
исИ — йх, '0(11= йу, по (11= (1г), и по сказанному мы должны
иметь:
/(% + и (11, у + '0(11, г + по (11) = О
Раскрывая первую часть этого равенства в строку Тэйлора и
пренебрегая бесконечно малыми выше первого порядка, имеем:
Л*’ У, г) + (^«+|^ + ^^ = о.
Так как /(л, у, з)=0 и Л^О, то:
д/ । д? , д/ „
+ -5- 0. (5)
дх 1 ду 1 дх ' 7
Вот граничное условие, которому должны удовлетворять ско-
рости точек, движущихся по стенке в случае неизменной стенки.
Если бы стенка двигалась по какому-нибудь определенному
закону, то в уравнение ее входило бы время I, так что уравне-
ние ее было бы:
/(л, у, 0 = о.
В этом случае уравнение, которому должны удовлетворять коор-
динаты точек, движущихся по стенке во время + будет:
/(х + и сП, у + ^с11, г + ж сП, I + Л) = 0.
Это уравнение приводит к другому граничному условию:
которому должны удовлетворять скорости частиц жидкости на
стенках в слдчае подвижной стенки.
Аналогичном) условию должны удовлетворять скорости
частиц на свободной поверхности. В самом деле, пусть при
решении задачи для гидростатического давления получим*
Р = Ф (х, У, I)-
На свободной поверхности это давление должно быть равно
внешнему давлению р0 и потому быть постоянным для всех
точек свободной поверхности; следовательно, полная производ-
ная по времени от р должна быть нуль, т. е.
д1 дх ду 1 дх
или
ХХ + |г’ + Х = <> <6)
Это и есть условие для точек свободной поверхности.
§ 2. Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа. Ла-
гранж характеризует движение жидкости с иной точки зрения.
Он следит за движением каждой частицы и считает движение
жидкости вполне определенным, если координаты движущейся
частицы выражены в функциях времени и координат начального
положения этой частицы, которые предполагаются известными.
Пусть координаты начального положения какой-нибудь ча-
стицы суть а, Ь, с, а по прошествии времени I суть х, у, г.
Задача будет решена, если мы выразим х, у, г и р в функциях
а, Ь, с и /, т. е. если мы найдем:
х —/(а, Ь, с, I)-.
у к, с, г— /2(а, Ь, с, )
р = Ф (а, Ь, су I) I
(7)
Легко усмотреть, что вторые производные от х, у, г по вре-
мени представляются вторыми производными от /х, /2, /3 по явно
входящему времени, так как а, Ь, с от времени не зависят.
Напишем уравнения гидродинамики в общем виде:
1 др у Э2д\ 1 др __ у___Э2\у 1 др_у й2х
^"дх~~ л~си2'' у ду ~~ г ~~м2*' ~^д2~л~а^
и, умножив эти уравнения соответственно
их. Найдем:
дх ду
на . , . ,
да’ да1
дх
да ’
др дх др ду
дх да ‘ ду да
др дх \
дх да)
Г г х у । 7 дх____д2у ду д2х дх
да да ‘ да (II2 да Э/2 да Э/2 да9
СЛОЖИМ
(8)
1
Р
Легко показать, что скобка в первой части представляет собой
полную производную от р по а. Действительно, р является
некоторой функцией х, у, г и (:
р — (\х, у, г, /).
Н. Е. Жуковский, вьш, 7—407—12
177
Если возьмем полную производную от р по а, то, заметив, что
а не явно входит через л, у, х, найдем:
др
да
др дх . др ду
дх да ду да
др дг
дх да’
Допустим далее, что силы
дх
имеют силовую функцию ^7, так что:
У _ дЦ 7 __дЛ
У дг ’ “* дх ’
Г огда । д(7 ду . *д[} дх ду да ' дх да дЦ да
да да 1 да ди дх дх да
Пользуясь этими преобразованиями, напишем в виде: 1 др __ д[] а2х дх а2у ду й2х дх. р да да аР да (1Р да аР да’ аналогично . Л лгт м 1 др __ д[] а2х д г а2у ду д2х дх Т дЬ~ дЬ~ОРдЬ с1Р дЬ аР дЬ’ 1 др д[} а2х дх а2уду а2хдх р дс дс ОР дс д12 дс дР дс уравнение (8) (9)
Если имеется капельная жидкость, то р = СОП81, И мы можем
написать, что
1 др _ д 1 'Р\. 1 др д / Р у
р да да ’ <р/’ о дд д# \ р / ’ рдс дс \ р /’
в случае же газа имеем: р =/(р), тогда:
1 др дР_ р да да ’ 1 др __дР. 1 др _дР р дЬ дЬ ’ р дс дс ’ где '_<1р Лр)
Таким образом уравнения (9) как для капельной жидкости, так
и для газа могут быть представлены в виде:
д2х дх . а2у ду дР да д/2 да . дх ' д12 да = / (/7- да 4 Р),
а2х 1 &2У &У ОР дЬ ар дЬ . а2х дх ар дь = ^(67- дЬ 4 Р), (10)
й2х дх . д^у ду (И2 дс * дР дс . а2х дх ‘ ар дс = / дс 4 Р),
<• ГЛ Р
причем в случае капельной жидкости Р = - , а в случае газа:
₽=И-
Эти уравнения и суть уравнения гидродинамики в форме Ла-
гранжа. Они представляют собою три уравнения с частными
производными второго порядка от искомых функций л, у, х и Р
при независимых переменных а, Ь, с и 1.
Чтобы иметь достаточное число уравнений для отыскания
четырех неизвестных функций, нужно прибавить к этим уравне-
которое в форме Лаг-
Фиг. з.
неизменяемости массы,
ниям еще условие
ранжа представляет-
ся иначе, чем в фор-
ме Эйлера. Выведем
это условие.
Вообразим оси
координат д', у', г',
которые движутся
вместе с жидкостью,
оставаясь параллель-
ными осям д, у, г
(фиг. 3). Пусть на-
чало 1 их служит
точка 7И, координа-
ты которой относи-
тельно неподвижных осей х, у, г суть а, Ь, с.
Возьмем на осях координат д', у', три точки
Д, В и С, отстоящие от начала М соответственно на
расстояниях йа, с1Ь, (1с, и построим элементарную
пирамиду АВСМ, Объем этой’ пирамиды есть
йа(1Ь (1с. Если назовем через р0 плотность жидкости в рассмат-
риваемый момент времени, то масса йт жидкости, заключенной
в этот объем, будет:
~с1ас1Ьс1с.
о
Положим теперь, что по прошествии времени I пирамида пере-
местилась и, деформируясь, приняла вид А'Й'С'ЛГ. Вычислим
объем выбранной нами пирамиды в новом ее положении. Опре-
деляем для этого координаты ее вершин. Координаты точки М'
относительно неподвижных осей на основании уравнений (7)
будут:
*=Ж &, с, I]. У=/1(а9 Ь, с, I), г = /2(а, Ь, с, I}.
Координаты точки Л в начальном положении были: а + (1а9 Ьу с\
в момент I точка А будет в А' и ее координаты будут:
/(а + (1а, Ь, с, I), (а + Ла, Ь, с, I), (а + йа, Ь, с, I).
Раскрывая эти функции в строки Тэйлора и пренебрегая беско-
нечно малыми выше первого порядка, найдем:
/(а + (1а, Ь, с, I) =/(а, Ь,с, 1) + ^(1а= х + д^а,
/х(а + (1а, Ь, с, 1) = у + аа,
/2 (а + (1а, Ь, с,1)=г + ~(1а.
Это суть координаты точки А' относительно осей х, у, г. Отно-
сительно же осей х', у', г', как легко усмотреть, они будут:
х' = ^т?а: у' = дус1а; г’ = ^~йа.
да ' да ’ да
Точно так же для точек В' и С' найдем:
' д* л и ’ Оу л и ' 02 ],
л- =-= , аЬ\ у. = аЬ\ хл = ао\
I иЬ ’ -’л дЬ ’ 1 дЬ ’
, дХ 1 ' ду 1 , 0^1
• л=57^; 22 = 5Г^-
Что касается точки ЛГ, то координаты ее относительно осей д',
у', г' равны нулю.
В аналитической геометрии доказывается, что объем пирамиды
через координаты ее вершин выражается одной шестой детер-
минанта, составленного из координат трех вершин, если четвер-
тая вершина лежит в начале координат. Следовательно, объем
пирамиды Д' В'С'ЛГ есть:
дх ,
1 да ^а’
г 1 _ д^йЬ,
1 । ~ б дЬ ’
г2 дх . — ас, дс у
?г-^.
дс 9
дЬ ’
ду .
— йа,
да ’
дг ,
л аа
да
дЬ
%-ас
дс
Вынося общие множители каждой строки за знак детерминанта
и полагая:
дх ду дх
да ’ да 9 да
ох оу 02 ___ \
1 дЬ ’ дЬ ’ дЬ
\ дх ду дх
| дс ’ дс ’ дс
для объема получим:
^йа^йЬ-йс.
Что касается массы, заключенной в атом объеме, то она будет:
йт = ~~(1а*(1Ь>(1оЬ'
ь ’
где р есть плотность жидкости в точке М' в момент I. Так как
масса не должна изменяться, то должны иметь:
йа <1Ь йс = д йа йЬ йс\
о 6 ’
откуда: Л или
ох оу дх 1
да ’ оа ’ да
дх ду дх __ ?о
дЪ ' дЬ * дЬ Р
дх ду_ дх
дс ’ дс ’ дс
(11)
Это и есть искомое условие неизменяемости массы. В случае
жидкости несжимаемой, плотность которой не изменяется, оно
обращается в:
А = 1.
Укажем теперь на граничные условия. Если уравнение стенки
есть:
г)=0, (12)
то этому уравнению должны удовлетворять во все время дви-
жения координаты частиц жидкости при стенке. В начальный
момент времени при х — а, у=Ь, г=с это уравнение дает:
<?(а, Ь,с) = 0. (13)
Подставляя в уравнение (12) вместо л, у, г значения (7), мы
должны получить уравнение (13), т. е. I при той подстановке
должно сократиться; поэтому полная производная по времени
от ф г) должна быть нулем, т. е.:
дер с1х . дер йу . ат (1г _~
дхс11 * ду сП дх сП ’
Что касается до условий на свободной поверхности, то они
состоят в том, что на Свободной поверхности давление во всех
точках одинаково. Если
Р = & (а, Ь, с, I)
есть величина давления внутри жидкости, то на свободной по-
верхности оно должно быть постоянно, и I в выражение Р не
должно входить:
Таким образом вопрос о движении жидкости сводится к инте-
грированию трех уравнений (10) с частными производными второго
порядка и уравнения (11), которое есть не линейное уравнение
с частными производными первого порядка. Произвольные функ-
ции интеграции определяются по данным условиям задачи, ка-
ковы граничные условия, условия на свободной поверхности, и
по другим начальным данным. Интегрирование этих уравнений*
в общем виде до настоящего времени еще не получено.
§ 3. Установившееся движение и движение с потенциалом ско-
ростей. Теоремы Бернулли и Лагранжа. Даниил Бернулли дал
один интеграл диференциальных уравнений движения жидкости
для случая так называемого установившегося движения жидко-
сти. Установившимся движением называется такое, при
котором скорости частиц жидкости в одной и той же точке
пространства не меняются со временем.
При установившемся движении скорости и, V, частиц
жидкости являются только функциями координат, так что в урав-
нениях гидродинамики в форме Эйлера нужно положить:
" =0.-^-0, о
дт 01 ’ 01
и для установившегося движения будем иметь:
1 др „ди ди ди
= X и — — г» — . чек
р дх дх ду дх ’
1 др до оо до
Р ду дх ду дх ’
1 др „ дю дю дю
Р дх дх ду дх
Если силы имеют силовую функцию, то написанные уравне-
нения как для капельных жидкостей, так и для газов могут
быть представлены так: дР д[} ди ди ди 1 дх дх дх11 ду*и дх™' дР д[} оо оо Оо ду ду дх ду дх ' дР дР дю дю дю Ъг~^г~дхП ду^ П4)
где для капельной жидкости:
р
а для газов:
Чг
Из этих уравнений и получается интеграл Бернулли. Прежде
чем перейти к выводу этого интеграла, установим понятие о
линии тока.
Линией тока называется такая линия, касательная к ко-
торой в какой-нибудь точке направлена по скорости частицы
жидкости в этой точке. В случае установившегося движения
скорость в каждой определенной точке пространства с течением
времени не меняется ни по величине, ни по направлению, и линия
тока есть траектория движения частицы жидкости. Легко усмо-
182
треть, что линия тока одна и та же для всех частиц, проходя-
щих через одну и ту же точку пространства, так как траекто-
рия одной какой-нибудь частицы жидкости служит траекторией
и для всех других частиц жидкости, лежащих на ней. Отсюда
ясно, что линия тока при установившемся движении не изме-
няет своего положения в пространстве. Если мы вычертим не-
сколько линий токов, образующих трубочку, то струйка жидко-
сти будет течь так, как будто она заключена в эту трубочку.
Обратимся теперь к доказа:
тельству теоремы Бернулли и 2
укажем на один интеграл, про- .
извольная постоянная которого
сохраняет одно и то же значе-
ние для всех точек одной и
той же линии тока. "
Выделим бесконечно малый 0~... —------------х
элемент дз линии тока и назо-
вем проекции его на оси коор-
динат через дх, ду, дх; легко
усмотреть, что дз можно рас- Фиг. 4.
сматривать, как элемент пути,
пройденный во время д1 частицей жидкости, так что:
дх = и д1; ду —V д1; дх=^ д1;
где п, V, и' суть проекции скорости И частицы жидкости на оси
координат, а дз — Уд1;. Умножим уравнения (14) соответственно
на дх, ду и дх и сложим их; получим:
дР , > дР , I дР , ди 1 . ди , . ди ,
— дх + ду + дх = дх + . ду + . дх —
ох ду -г дх дх ду дх
Первая часть полVченного равенства представляет собой полный
диференциал от Р, взятый по линии тока:
дР , . дР , .
дх --А д V т
дх 1 ду
дР 1 17,
. дх — дР,
дх ’
где дР, по сказанному, есть изменение Р при переходе от одной
точки линии тока к бесконечно близкой точке на той же ли-
нии тока. Точно так же первые три члена второй части пред-
ставляют полный диференциал силовой функции V по линии
тока:
1 । ои 1 . ои 1 1 г»
; дх + л ду + х - дх = д1д
дх ду 1 дх
Преобразуем остальные члены, входящие в уравнение (.14):
+ + д#®) = (Йм^ + 77г’^ + 5®^)“ =
= + ^аУ + % аг)
Точно так же
( ои 1^.1 ди ^*’2
{-дхи+ )'1>а(=с12’
/ди) , ди) . ди) \ ,, .и)2
ии+ дуу+^и,)^^-а-2-
Пользуясь этими преобразованиями, перепишем уравнение
(14) так:
ар =аим+& + ^2);
НО
и2 + <& + -ш2 = 72,
поэтому
ар = аи ~\ау\
“{р <1+ ?)=<>
Интегрируя это уравнение, находим:
Р I) + ~ ' С0П81.
Таким образом мы нашли, что трехчлен Р — [) + ^- для одной
и той же линии тока есть величина постоянная. Это и есть
теорема Бернулли.
Применим полученный интеграл к жидкости несжимаемой и
находящейся под действием силы тяжести; найдем:
р \ । I72 .
-г- + ^ + •> = СОП81-
р &
Этот интеграл Бернулли можно представить в ином виде, поль-
зуясь „пьезометрической высотой*. Если в жидкость вставить
пьезометр, конец которого лежит на рассматриваемой линии
тока, то от гидродинамического давления жидкость станет
в пьезометре на некоторую высоту Н над осью Ох (фиг. 5).
Если предположить, что нет внешнего давления, то для вели-
чины гидродинамического давления будем иметь:
р г).
Отсюда:
~ +ё* = ёк-
г
Величина ~ Л-ёг называется пьезо метрическим напором,
а И — пьезометрической высотой. Пользуясь пьезометрической
высотой, интеграл Бернулли мы можем представить так:
, , V2
^5* + 2 = СОП81.
Теорема Бернулли одинаково приложима и к телам газооб-
разным. Пусть, например, имеем газ, движущийся при постоян-
ной температуре. Тогда по закону
Мариотта р = кр, так что:
р=(ар =л ар =41пР.
7 р ' кр к 1
Подставив значение Р в интеграл
Бернулли и полагая, что движение
происходит под действием сил тяже-
сти, найдем:
р + ё% + -у- = СОП8(.
Теорема Лагранжа. Подобно
Бернулли Лагранж дает интеграл для
неустановившегося движения, при котором скорости частиц
являются частными производными по координатам от некоторой
функции Р(х, у, г, I) координат и времени, которая называется
потенциалом скоростей.
При существовании потенциала скоростей
дР
дх ’
дР
ду ’
дР
дх
(15)
V =
=
и признаком его существования будут уравнения:
дъ дю дю ди ди дг>
дх ду ’ дх дх 1 ду дх *
Прежде чем вывести из уравнений Эйлера общий интеграл,
Лагранж доказывает следующую теорему, доказательство кото-
рой мы приведем после
Если существует потенциал скоростей для какого-нибудь
данного времени, то этим свойством жидкость обладает во
все время движения, если силы имеют силовую функцию
Если, например, в начальный момент времени при /—О
частицы жидкости не имели скоростей, т. е. и — ъ —=0, то
существовал для этого времени т/отенциал скоростей /? = сопз1
и во все время движения будет существовать потенциал ско-
ростей. Движение с потенциалом скоростей имеет место во
многих случаях.
При существовании потенциала скоростей уравнение Эйлера
допускает интеграл Лагранжа в самом общем виде. Обратимся
к его выводу.
Напишем уравнения неустановившегося движения в форме
Эйлера, полагая, что СИЛЫ имеют силовую функцию:
дР ди ди Ои ои ди
дх дх ~дГ , 11 дх. - Т’ ду -х— те*. дх
дР = ди ду ду ду ди
ду ~ ду д1 — и дх ду -дГ™’
дР ди_ дм дм дм дм
дх дх д1 и дх ~д\‘и -5— те/, дх ’
где Р = р — или
р / Р
Пусть существует потенциал скоростей Р, тогда во все время
движения будем иметь:
1 [ри этом уравнения Эйлера по замене и, V, ъи могут быть на-
писаны так:
дР дх ди д дР ( ди . ди . ди \ дх д1 дх \ дх 1 ду ‘ дх )
дР_ ду дР дх ди д дР (до , ду , ду \ ду д1 ду \ дх ду дг ) ди д дР (дм . дм . дм\ = -3 5Т -5 ( и + V + ТО - V . дх д1 дх \ дх ду дх /
Но, если существует потенциал скоростей, то на основании
уравнений (15)
дР дЫ д ( дР\ (ди . ду . дм\
- = <— ) (и . ----л . (16)
дх д% д1 V дх) \ дх 1 дх дх / к
Заметим, что х, у, г, / — суть независимые переменные, так
что можно написать:
д (дР\ д (дР\
д1 \ дх ) дх \ д1 ) '
Далее нетрудно усмотреть, что
ди . ду . дм д и2 4- у2 + м2 д V2
“17 +г'7Г + ®’17= 17---------2---= 17 2’
где V - есть скорость частицы жидкости Пользуясь этими
преобразованиями, уравнение (16) можно переписать в виде:
ди д дР _ д_ V2
— дх дх дх д^ дх 2 ’
аналогично найдем: (17)
дР ои д ОР д ^2 ;
ду ду ду д1 ду 2 ’
дР ди д дР д V2
дх ~~ дх дх д1 дх 2 '
Умножим полученные уравнения на^л, с1у, с1г, считая этиди-
ференциалы совершенно произвольными приращениями коорди-
нат, и сложим их; получим:
(дР . , дР , , дР , \ / ди , , ди . . ди , ,
Ыах +ЦаУ + дг <*г) =(д7ах + -Туау + ~дг аг I
НХ(4>+1(^+4(7М-
Нетрудно заметить, что первая скобка есть полный диферен-
циал от Р, вторая скобка - от /7, третья — от , наконец, чет-
И2
вертая -от 2 ; поэтому
д! 2
Интегрируя это равенство, найдем:
р ’
где Р для жидких гел равно:
р
а для газов
откуда
(18)
Здесь С есть величина постоянная для
может зависеть только от /. Это и
есть интеграл Лагранжа для неуста-
новившегося движения с потенциалом
скоростей.
§ 4. Теоремы Гельмгольца о вих-
рях. Пусть имеем неподвижные оси
координат х, у, х, относительно ко-
торых рассматривается движение
жидкости. Положим, что скорости
течения жидкости и, у, выражаются
функциями от координата, у, г и вре-
мени I. Вообразим точку жидкости О'
и проведем параллельно неподвижным
осям оси х',у', г' с началом в точке О',
всей жидкой массы и
которые пусть перемещаются вместе с О', оставаясь параллель-
ными осям л,у,г (фиг. 6). Вообразим далее ряд точек жидкости,
прилегающих к О'. Пусть эта масса жидкости составляет частиц)
с центром О'. Посмотрим теперь, как движется такая частица
жидкости относительно осей х?,у',г'. Для решения этого вопроса
рассмотрим какую-нибудь точку М. взятой частицы жидкости.
Абсолютное движение точки М относительно неподвижных
осей х,у,г складывается из двух движений: 1) из относительного
ее движения относительно осей х',у',х' и 2) из движения влече-
ния, которое состоит в поступательном движении осей х',у',г'
с началом в точке О' относительно неподвижных осей. Назовем
компоненты скорости абсолютного движения рассматриваемой
точки через и, у, чу, относительного движения через и', у', те»',
а движения влечения через и0, у0, те»0. Тогда легко усмотреть,
что:
и = и0 + и', у = т>0 + у’, те» = те-0 + те»'
или
и'=м —и0, у' = у — у0) те»' = те» —те»0. (19)
Выражая по Эйлеру скорости в функциях координат, мы будем
иметь:
« =/(*> У, Щ _у0, г0),
где х0, Уь, г0 суть координаты точки О’, а л, у, г —точки М
относительно неподвижных осей координат. Назовем координаты
точки М относительно осей х',у’, г’ через х', у', г' и напишем
формулы для перехода от осей х, у, г к осям х',у',х':
х = х0 + х', у=у0+у', г = г04-г'. (20)
Если теперь мы заменим в выражении для « координаты х, у, г
на основании этих соотношений
и=/(х0 + х', у0+у’, ?0 + х')
и разложим эту функцию по степеням бесконечно малых вели-
чин х', у', г', то, пренебрегая бесконечно малыми выше первого
порядка, получим:
и Уо, 2о) + Л' 4- у' + -57 2
или
II = -р
Точно так же найдем:
г» = те0 +
ди , . * + дх ди ду У' + ди дх
дк । ду дV
дх 1 Ф» у' + ~дг 2 ’
дю , , дю дни ,
-д— х 4- дх 1 ду У' дх
На основании последних уравнений уравнения (19) могут быть
написаны так:
\ ди , . ди , 1
и' дх х + оу у г ,
ди , . ди , . ду
дх х + у + -з- ду дг
ди) г . ди) , . ди)
дх х +1уУ + й г'.
(21)
Уравнения (21) дают скорости точек частицы жидкости относи-
тельно осей л:',у',2. Преобразуем по Гельмгольц) выражения
этих скоростей.
Возьмем первое из уравнений (21) и, прибавив ко второй
части выражение:
ду
дх
У' -
ди)
дх
г') = О,
представим его в виде:
, ди , . 1 ди , . 1 ди . 1 ди , . 1 ди
и = 37Л +-2 1уУ + ~2 2 + 2 дг
. 1 ду , , 1 ди1 , 1 ди , 1 ди>
‘ 2 дх У * 2 дх 2 дх У 2 дх
ИЛИ
, ди
и' = д
дх
X’ +
1 / ди . ду\ , . 1 ( ди . ди) \
2^+ дХ)У +2Ы + ^)2
, 1 / ди дгу \ , 1 / ди ди \ ,
‘ 2 \ дг дх ) 2 \ дх ду ) У '
Условимся в следующих обозначениях:
л 1 ( ди) , ди \ А 1 / ди . ди) \ п 1 / ди . ди \ I
= 2 Ы + Э7?’ = 2 № + ~дТ)' 6з = 2 Ьх + ’ I
1 / ди) ди \ 1 / ди ди) \ 1 /ду ди \ |
2 \ ду дг 2 \ дг дх ) ’ Шз 2 \ дх ду ) ’ /
тогда выражение для и может быть написано так:
п' =-^хг + ^Зу' + 62г' + оз2?' —
аналогично
= г/ + °12/ + ^Х’ + 0)зл/ < <23>
, ди) , , л , . . ,1
= ^7 г + V + е1У + Ш1У — Ш2Л • |
Возьмем функцию:
Р = Тх х'2 + ^У"2 + 4г’ 2'2 + + 2ез2'л' + 28зл^') (24)
и возьмем от этой функции частные производные по координа-
189
там л', у', х', найдем:
др ди . . п . л ,
дх' ~ дх + + 92г ’
• л— = 4гУ' + ^1г' + взл'»
ду ду 1 1 1 з >
дР ди» , . п . п г
= -> 2 + бтУ'Ч- 9,Х .
дг' дг 1 х- 1 -
На основании этих соотношений уравнения (23) могут быть пе-
реписаны так: Ц = дх' + ’ , дР , = ду' + С°3* ”0)12 ’ , дР . , , = -й'" (25)
Полученные формулы и представляют собой проекции скорости
точки частицы жидкости относительно осей л', у’, г' в форме
Гельмгольца.
Теорема Гельмгольца I. Движение частицы жидкости
может быть разложено на три движения 7) на поступательное
движение со скоростью центра частицы, 2) на вращательное
движение, при котором компоненты угловой скорости суть <ох,
ш2, ш3 около оси, проходящей через центр частицы и 3) на
движение, имеющее потенциал скоростей (т. е. такое, при ко-
тором скорости являются частными производными по коорди-
натам от некоторой функции).
Выше мы показали, что скорости абсолютного движения
частицы жидкости с центром О' выражаются равенствами:
и = и0 + и', V = ч)п 4- V', -ю = + чю',
где «0, г>0, чх\} суть скорости центра частицы, а и', ч)',чи)' суть
скорости относительного движения точек частицы около осей,
имеющих начало в центре частицы. Заменив и', чУ и чю' их зна-
чениями из формул (25), мы будем иметь:
и — и0 4- И- и>2 2- >
. дР ,
= г'о + + шз * — "Ч2 ,
, дР .
= те/04- 4- «>!у — о>2х .
(26)
Рассматривая эти формулы, легко заметить, что скорость абсо-
лютного движения выражается геометрической суммой трех
векторов: 1) вектора, определяемого проекциями и0, ч)0, че0~
п, дР дЕ дР
2) вектора, определяемого проекциями и, нако-
нец, 3) вектора, проекции которого суть:
со2з' — (о3 у'; о)3х' — ®1У' — 0>2Л',‘
Первый вектор представляет собой скорость прступательного
движения частицы со скоростью центра О'; второй вектор пред-
ставляет скорость движения с потенциалом скоростей, так как
скорости этого движения являются частными производными от
функции Т7, определяемой уравнением (24). Наконец, третий
вектор представляет собой скорость вращательного движения
около некоторой оси, проходящей через начало осей л', у, г',
т. е. через центр частицы О'; проекции угловой скорости этого
движения на оси у', суть <4, ^з-
Таким образОлМ мы видим, что абсолютное движение ча-
стицы жидкости является движением сложным, слагающимся
из трех движений: 1) поступательного со скоростью центра
частицы; 2) вращательного около оси, проходящей через центр
частицы, с угловой скоростью, компоненты которой суть <оь
со2, С0з, и 3) из движения, имеющего потенциал скоростей. По-
следнее движение называется деформацией частицы.
Рассмотрим ближе это движение. Скорости этого движения,
как мы заметили, представляются частными производными от
функции Ру данной уравнением:
2Р = л-'2 + ^у'2 + г'2 + 20,/г' + 262?'л' + 293л'у.
С/А С/у
Это уравнение при постоянном значении 2Р представляет со-
бой центральную поверхность второго порядка с центром в О'.
Если бы мы взяли оси х',У,2' так, чтобы они были направлены
по главным осям этой поверхности, то уравнение ее не содер-
жало бы членов с произведениями координат; тогда:
= о, 62 = 0, 63 = О,
и уравнение поверхности будет:
Л'2 <>“ у'2 _]_ 2'2 = 2Р.
дх ду ' дг
При таком выборе осей скорости деформации частицы будут
определяться формулами:
» ди , ду , • дтя
и- = дГх> =~дуУ' =-д7г-
Эти равенства показывают, что все точки частицы движутся по
осям со скоростями, пропорциональными соответствующим ко-
ординатам.
Чтобы показать, какое изменение претерпевает форма ча-
стицы от деформации, допустим, что частица имела в началь-
ный момент форму шара. Если координаты точки частицы были
в это время л', у', з', то по прошествии времени сП они изме-
нятся и станут соответственно где:
; = л' 4- и. сП = а ' + л'сИ-, Т( = >' 4- у'сПу
С = г' 4* 4г
‘ дг
Подставим эти координаты в уравнение шара:
л'2 + У2 + г'2 = г2,
представлявшего начальную форму частицы. Тогда получим:
^2 г,2 Г2
г2(1 + ди аУ дд2 г2(\ + -д^ аЛ'
\ дх / \ ду ) \ дг )
Это есть уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям.
Отсюда видно, что эффект деформации состоит в том, что
шар изменяется в эллипсоид, причем направления осей эллип-
соида суть те, при которых:
ех = о, е2 = о, 93 = о.
Посмотрим, как изменится при этой деформации объем ча-
стицы жидкости. Объем шара радиуса г:
К =. |
Объем эллипсоида с полуосями:
'('+И'(1 + 14г(1 + Ч“е)
есть:
1'"=4-л(1 + ^л)(1+ >*)('+$ <«)
или, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков,
^=4И1 + (4"
3 [_ 1 \ дл 1 ду 1 дг / |
Сравнивая объемы V и V", найдем:
V \дх ду^ дг ) аГ-
Когда V > И, тогда
। ^ । п
дх ду ‘ дг
Это есть известное нам условие несжимаемости жидкости.
Рассмотрим далее вращательное движение частицы
На основании доказанной теоремы каждая частица жидкости
вращается около своего центра со скоростью ш, компоненты
которой по осям суть:
1 / ди) ду
0)1 “ ~2 \ ду дг
ди) \
~дх ) ’
1 / ди
== Т к дг
_ 1 ( ди ди \
С°3 ~ ~2 \ дх ду )'
(27)
Если = а>2 = со3 — 0, то частица жидкости движется только
поступательно и деформируется.
Когда во всей жидкости = ф2 = о>3 = 0, то существует по-
тенциал скоростей для всей жидкой массы, так как на основа-
нии соотношений (27) имеем тогда равенства:
ди) __ дь
ду ~ дг ’
которые и представляют
циала. Такое движение
частиц или невихревым.
ди ди) . дь ди
дг ~~ дх ’ дх ду 9
собой условие существования потен-
называется движением без вращения
Всякое другое движение, для которого о>2, ш3 не равны
нулю, называется вихревым движением.
Познакомимся с некоторыми терминами и определениями.
Если передвинемся от центра а частицы жидкости (фиг. 7)
по оси вращения на бесконечно малую величину аЬ, потом по-
строим ось вращения частицы с центром
Ь и передвинемся по этой оси на беско-
нечно малую величину Ьс и т. д., то все
точки а, Ь, с образуют некоторую линию,
которая называется линией вихря. Линию
вихря можно охарактеризовать тем, что
касательные к ней суть мгновенные оси
вращения частиц жидкости. Поверхность,
проведенная через ряд линий вихря, назы-
вается поверхностью вихря Если возьмем бесконечно малый
замкнутый контур внутри жидкости и через каждую точку
этого контура проведем линию вихря, то получим бесконечно
тонкую трубку; жидкая масса, выделенная этой трубкой, назы-
вается вихревой нитью. Если мы рассечем вихревую нить нор-
мальной плоскостью, то, составив произведение площади сече-
ния на угловую скорость вращения со частицы жидкости,
получим так называемое напряжение вихря.
Теорема Гельмгольца!!. Вдоль всей вихревой нити
напряжение вихря постоянно.
Положим, что для каждой частицы определены компоненты
угловой скорости вращения о^, <о2 и Для доказательства
теоремы будем рассматривать некоторое фиктивное движение
жидкости, а именно: вообразим, что имеется жидкая масса, ко-
торая течет со скоростью <оь <«2 и <о3. Легко усмотреть, что в
Н. Е. Жуковский, выл. 7—407—13
193
этом фиктивном движении будет удовлетворено условие:
^_ + 4“л + ^ = 0. (28)
дх 1 ду 1 дг ' '
В самом деле, если мы заменим «р о>2, ш3 их значениями по
формулам (27), то получим:
1 / д2ю д*у . д2и д2ш д2у д2и \ _ ~
2 \ дх • ду дх • дг ‘ ду • дг дх • ду ' дх • дг ду - дг )
Такое движение будет совершаться без изменения объема.
Но если жидкость течет со скоростью <*>, то линии токов в
этом фиктивном движении будут линиями вихря в данном дви-
жении так, что трубка токов фиктивного движения есть трубка
вихревой нити. Количество жидкости, протекающей через ка-
кое-нибудь сечение вихревой трубки токов сЬ со скоростью со,
есть Это количество должно быть постоянно, так как
жидкость несжимаема:
ойо = соп§1;
но есть напряжение вихря действительного движения; по-
этому желаемое доказано.
Из этой теоремы вытекает, что вихревая нить в жидкости,
имеющей непрерывные скорости, не может окончиться. В самом
деле, если допустить, что где-нибудь в жидкости вихревая
нить оканчиваемся, так что йо обращается в нуль, то на осно-
вании доказанной теоремы в этом месте <о = со, что противоре-
чит условию, что жидкость имеет непрерывные скорости. За-
метим, что вихревая нить может замкнуться или же лежать
концами на границах жидкости, т. е. на свободной поверхности
или на стенках.
Теорема Гельмгольца III. Вихревые нити всегда оста-
ются вихревыми нитями при существовании потенциальной
функции сил.
Продиференцируем второе из уравнений (2') по г, третье по
у и вычтем третье из второго. Получим:
Совершив диференцирование:
д । и д дю , дш ди _±_ д дчи Л дм ду , д ди> (
д V д1 ‘ ду дх дх ду ’ ду ду ду ду ‘ ду дг
дш дги___д ду~ д ди ___ ди ду д ду ду ду
* дг ду дг д1 дг дх дг дх дг ду дг ду
д ду дю ду м
~~ ~дг~ ~дг =0
и заметив, что вследствие независимости переменных л, у, г и 7:
д ди д ди д дю д дю
дх д1 д1 дх ’ ’ * *’ ду дх дх ду ' ‘ '
перепишем полученное равенство так:
д / дю ду \ д / дю ду X ।_д / дю_ду X . .
д1 \ ду дг ) ' дх \ ду дг ) и ' ду \ ду дг )
д (дю ду X ду ди дю ди . ду ду_ дю ду .
' дг \ ду дг ) ™ ~ дх * дг дх ду ' ду дг ду ду
. дю ду дю дю
Г дг ' дг дг ду ' '
Первая часть этого равенства представляет собой полную про-
изводную от двучлена, который, по нашему обозначению, на
основании уравнений (27) есть 2 Что касается второй части,
то она может быть представлена так:
ди
ди
дг
дю X ди / ду
дх у ‘ дг \ дх
ди
ду
дю / ду . дю X ди / ди дю X . ^и / дп_ ди X .
ду \ ду ' дг ) ду \ дг дх ) ‘ дг \ дх ду )
Пользуясь этими преобразованиями, уравнение (29) по сокраще-
нии на 2 перепишем в таком виде:
(30)
Воспользуемся условие^м неизменяемости массы и исключим
двучлен, стоящий в скобках во второй части. Условие неизме-
няемости массы имеет вид:
« + Л ("Р) + ^-(»Р) + ^(«Р) = О.
Произведя диференцирование
до , до . до . _
‘ + и / + V— +
д1 дх ду
ду । дю
ду ' дг
и заметив, что первые четыре члена представляют полный ди-
ференциал от плотности р по времени, имеем:
л 4-0^1“ л- ^4- =0-
(II ' 1Ц дх ~ ду дг ) ’
отсюда
ду . дю I др ди
ду ‘ дг р сП дх '
Подставляем полученное значение двучлена в уравнение (30);
получаем:
Представим
6/(01 ди , ди , / 1 с!о . ди \
это равенство в виде:
или
аналогично
Пользуясь
(/<0, б/р
Р т — СО1 —~
а! (11 ______________ ди о1 ди <ог . ди <о3
р2 дх р ду р ‘ дг ~р
А ___ ди 031 । ди <о2 ди <о3 ?
(11 \ ? ) дх р ‘ ду р ‘ дг р
Л /<о2 \ ___ ду сох ду <о? ду <о3
Л1 \ р / дх р ‘ ду р * дг р ’
(2°________ дю <ох . дю <о2 дю <о3
\ р / дх р ' ду р * дг р ‘
этими
(31)
уравнениями, мы и докажем третью теорему
Гельмгольца.
Вообразим частицу жидкости с цент-
ром в О' и проведем оси координат
х'у’г' с началом в О' (фиг. 8). Пусть
в данный момент ось вращения частицы
жидкости направлена по О’М. Отложим
' на оси вихря элемент О’М = с1з = е — ,
где е постоянная бесконечно малая ве-
личина. Проекции этого вектора по осям
координат суть:
пр, ОМ =
р ш р ’
—> Я Л ^Ч > Ж Л С1)о
пру О М = е -у ; прг О 714 = г —.
Эти проекции с другой стороны служат координатами конца М век-
тора О'М, так что, называя эти координаты через х',у', г', имеем:
Х' = г-^-, у =гу, г (32)
Вследствие того, что по прошествии времени сП, шх, ш2, <о3,
р и о> изменились, вектор О'ТИ перейдет в положение О'М' и в
этом положении будет равен е у-. Этот вектор получается из
прежнего О'М, если мы к последнему прибавим его геометри-
ческую производную по времени, умноженную на сП, именно:
прАО'М') =г < (г -ЛсИ,
р р с!1 \ Р / ’
прх(О'^')=е-^
р' р (11 \ р
пР'-(О'«')=4"г'7 + ^(гт)Л
Этими формулами будут выражаться в то же время и координаты
(а, у) конца Л?' вектора О'М'-.
Р <11 \ р /
+ ! ,33)
Посмотрим теперь, какое произойдет изменение координат х',
V', г' точки жидкости М от перемещения ее относительно точки
жидкости О . Было показано, что движение точки частицы жид-
кости относительно подвижных осей х'у'г' характеризуется
уравнениями:
ди , । ди г . ди
и' — дх Х ду У
ду , , ду , , ду
V' = дх Л ду У
дю , 1 дУ1) ,
ту' = -т— Л дх + дуУ 4- дх
г
(34)
Подставив в эти формулы значения координат точки М из ра-
венств (32), мы получим скорости точки М по осям:
, ди ди ш2 , ди <о3
дх р ‘ ду р ‘ дх р ’
, ду оз, . ду со2 ду
77 — г “ "I "4----г - I--3-2 -- >
дх р ду р дх р
, дм со, , дно Фо . дип ф3
. г 1 ф- г — + -г— г — .
дх р 1 ду р дх р
Эти формулы на основании формул (31) могут быть представ-
лены так:
»' = =46-); <35>
л\р/ <и \ р / <н \ р /
По прошествии времени сП точка М продвинется по осям коор-
динат на расстояния и'сИ, ъ’сИ, чи'сИ, так что в конце этого
промежутка ее координаты будут:
= х + и сП, У1 = у' + V <а, х-^—г + уо (И
или по замене
формулам (32):
— г
и', V' и VI)' по формулам (35), а х', у', г' по
Сравнивая полученные формулы с формулами (33), мы найдем,
что:
= у,
т. е. точка М по прошествии времени М будет в М', следова-
тельно, опять будет находиться на оси вращения.
Таким образом, если мгновенная ось вращения жидкости
направлена по бесконечно малой прямой жидкости, то по
прошествии времени М она будет проходить через те же
точки жидкости, что и в начальный момент.
Но если мгновенная ось вращения проходит постоянно через
одни и те же точки жидкости, то отсюда следует, что вихре-
вая нить постоянно остается вихревой нитью. Это и есть
третья теорема Гельмгольца.
Теорема Гельмгольца IV. Напряжение вихревой нити
во все время движения постоянно.
Положим, что вихревая нить в начальный момент имеет по-
ложение ОМ (фиг. 9). Выделим элемент трубки вихревой нити
с образующей з - - и назовем сечение
трубки через сН. Массу жидкости, за-
ключающейся в элементе трубки, мы
получим, умножив объем трубки на
плотность жидкости:
Фиг. 9. н
Пусть теперь по прошествии времени
(Н вихревая нить переместилась и за-
няла положение О'ЛГ; при этом трубка вихревой нити ОМ
изменится и обратится в трубку, у которой образую-
щая, по сказанному выше, будете у , а площадь сечения сН.
Для массы жидкости в трубке имеем:
з------ б/з'р' = гы'сН.
р г
Так как объем ОМ перешел в О'М', то:
откуда
зш б/о — г'ы' (Н' •
— О)' бН.
Так как ыйа представляет напряжение вихревой нити в началь-
ный момент времени, а о/б/<з' напряжения той же вихревой нити
по прошествии времени сП, то из полученного равенства за-
ключаем, что напряжение вихревой нити за этот элемент вре-
мени не изменяется, а следовательно, и всегда остается по-
стоянным.
Если напряжение в начале движения равно нулю, то оно и все
время движения будет равно нулю. Этим мы уже без доказа-
тельства пользовались при выводе интеграла Лагранжа.
Две последние теоремы Гельмгольца составляют принцип
сохранения вихрей; этот принцип делает невозможным осуще-
ствление вихря при силах, имеющих силовую функцию. При
практическом осуществлении вихря пользуются обыкновенно
пассивной силой, не имеющей силовой функции, силой трения.
Характерные свойства вихрей — вечность и неделимость
совпадают со свойствами атома. Это совпадение дало Вильяму
Томсону мысль, что различие материи по химическим свойствам
есть результат разнообразных вихревых движений, которые со-
вершают частицы одного и того же вещества эфира, жидкого
или газообразного. Сообразно этой теории атомы являются вих-
ревыми движениями эфира. Подробное развитие этой теории
и попытку приложения ее к химии можно найти в работе
Джемса Томсона.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................ . .......... 5
ТЕОРИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
Глава I
Притяжение точки, линии, плоскости и тела
§ 1. Общие формулы теории притяжения............................. 9
§ 2. Потенциальная функция для сил притяжения телом материаль-
ной точки....................................................... 11
§ 3. Закон притяжения, пропорционального расстоянию............. 12
§ 4. Закон притяжения Ньютона. Притяжение телом весьма удаленной
точки............................................................ 13
§ 5. Притяжение материальной дугой круга точки, помещенной в ее
центре . . . . •............................................... 15
§ 6. Притяжение материальной прямой.................... 16
§ 7. Притяжение материальной площадью.................. 18
§ 8 Притяжение бесконечным плоским материальным слоем конечной
толщины........................................................ 20
§ 9. Притяжение бесконечно длинными цилиндрами....... 21
§ 10. Притяжение бесконечно длинным круглым цилиндром. 22
§11. Притяжение сфер.......................................... 27
§ 12. Аналитическое исследование притяжения сфер................. 31
§ 13. Притяжение многогранников................................. 35
Глава II
Притяжение эллипсоидов
§ 1. Теорема Ньютона............................................. 42
§ 2. Теорема Айвори............................................ 43
$ 3. Теорема Маклорена........................................... 47
§ 4- Теорема Лапласа ... . . 49
& 5. Метод Шаля................................. . . 52
$ 6- Притяжение эллипсоидами вращения....................... • 57
§ 7. Силы притяжения эллипсоидами в форме Дирихле ..... 64
$ 8. Потенциал силы притяжения эллипсоида ........ . . 68
Глава III
Общая теория потенциалов
§ 1. Свойства потенциальной функции......................... . . 71
§ 2. Теорема Лапласа . . 79
§ 3. Теорема Пуассона............................................ 80
§ 4 Теорема Грина............-.................................. 84
§ 5. Теорема Гаусса.............................................. 86
§ 6 Теоремы Дирихле............................................. 89
ГИДРОСТАТИКА
§ 1. Основное свойство жидкости............ . . . . . . . 95
§ 2. Жидкость, как динамическая система ........................ 97
§ 3. Обобщенная формула Грина............................ . 100
§ 4. Условие равновесия несжимаемой жидкости, как геометрической
системы..................................... • . . . 102
§ 5. Следствия из общих уравнений равновесия . 108
§ 6. Примеры равновесия жидкости............................... 113
§ 7. Давление тяжелой жидкости на погруженные тела 128
§ 8. Закон Архимеда . . ... . . ...... 133
§ 9. Равновесие плавающих тел............................... 138
§ 10. О наибольшем числе положений равновесия призмы, плавающей
по образующим.............................. . 156
§ 11. Об устойчивости равновесия плавающих тел.................. 164
§ 12. Барометрическая формула для определения высоты места подъ-
ема над поверхностью земли ... .... 166
ГИДРОДИНАМИКА
§ 1. Уравнения гидродинамики в форме Эйлера . . 171^
§ 2. Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа................- 177
§ 3. Установившееся движение и движение с потенциалом скоростей.
Теоремы Бернулли и Лагранжа . . ....... . . 182
§ 4. Теоремы Гельмгольца о вихрях . ............ - 187
Редактор Г. К. Холоманов
Тех. редактор И. М. Зудакин
Изд. № 64. Сдано в набор 20/11—1939 г.
Подп. к печати 11/Х—1939 г. Индекс
А-Ю-5-2. Тираж 3000. Печ. лист 128/4.
Формат бумаги 60 X 921/16. Уполномоч.
Главлита № А-1655. Учетн. авт. л. 12,84
Учетн № 475. Заказ № 407.
Типография Оборонгиза
Киев, Крещатик, 42.