Текст
THE JOUKOVSKY
CENTRAL INSTITUTE FOR AEROHYDRODYNAMICS
COMMISSION FOR PUBLICATION OF THE WORKS OF Prof. N. E. JOUKOVSKY
Prof. N. E. JOUKOVSKY
COLLECTED PAPERS
VOLUME VII
HYDRAULICS
Edited by Prof. A. P. KOTELNIKOV
PEOPLE’S COMMISSARIAT OF HEAVY INDUSTRY OF THE USSR
ONTI
(UNITED SCIENTIFIC TECHNICAL PUBLISHING HOUSE)
EDITORIAL OFFICE FOR AVIATION LITERATURE
MOSCOW
19 3 7
LENINGRAD
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ институть-^ДО
им. проф. Н. Е. ЖУКОВСКОГО ”
КОМИССИЯ ПО ИЗДАНИЮ ТРУДОВ проф. И. Е. ЖУКОВСКОГО
Проф. Н. Е. ЖУКОВСКИЙ
ПОЛНОЕ
СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ
ТОМ VII
ГИДРАВЛИКА
Под редакцией проф А. П. КОТЕЛЬНИКОВА
3
ОНТИ НКТП СССР
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ АВИАЦИОННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
И О С К В А
19 3 7
ЛЕНИНГРАД
| КНИГА НТВ
S ____ ___i
(1915 г.)
ОТ РЕДАКЦИИ
В настоящем VII томе помещены статьи проф. Н. Е. Жу-
ковского, посвященные вопросам гидравлики.
Среди его работ, имеющих важное значение для водопро-
водного дела, следует указать прежде всего на большую ра-
боту „О гидравлическом ударе". В ней проф. Н. Е. Жуковский
впервые дает теоретическое объяснение гидравлического
удара в трубах и описание многочисленных опытов, произве-
денных им в большом масштабе совместно с инженерами
московского водопровода на Алексеевской водокачке в Мо-
скве и вполне подтверждающих его теорию. Здесь же по-
дробно рассмотрены явления, сопровождающие удар, благодаря
чему работа имеет не только большое теоретическое, но и
практическое значение. Достаточно хотя бы указать на весьма
удобный способ по ударной диаграмме определять место по-
вреждения трубы или место скопления в трубе воздушных
масс. Теория гидравлического удара дала, повидимому, мысль
Н. Е. Жуковскому написать помещенную в этом же томе
небольшую работу „Определение скорости продуктов горе-
ния в заводской трубе по фотографиям дыма".
К водопроводному делу относятся также статьи: 1) „К во-
просу о величине диаметра водонапорной колонны, соединен-
ной с открытыми резервуарами", в которой рассматривается
колебание уровня в колонне при неустановившемся движении
воды в трубе, соединяющей колонну с резервуаром; 2) „О рас-
пределении скоростей в водопроводных трубах", где дается
описание опытов, произведенных американскими инженерами
и 3) „К вопросу о выборе на реке мест забора и выпуска воды
для охлаждения машин больших силовых станций"; в последней
статье определяются условия, необходимые для того, чтобы
6
ОТ РЕДАКЦИИ
вода, спускаемая через трубу в реку, не попадала в другую
трубу, находящуюся недалеко и забирающую воду из реки.
Заглавие этой статьи дано редакцией; статья была написана
для Московской городской управы и была озаглавлена: „Дело
об охлаждении турбин для новой электрической станции на
берегу Москва-реки". К статье приложено дополнение
проф. В. П. Ветчинкина, в котором задача, рассмотренная
Н. Е- Жуковским, решается в предположении, что река
не бесконечно широка, как предполагал Н. Е- Жуковский,
а имеет конечную ширину. Эта статья и добавление к ней
проф. В. П. Ветчинкина печатаются впервые.
Две записки „О повреждении водопроводных труб" были
представлены Н. Е. Жуковским в комиссию, образованную
Московской городской управой для выяснения причин повре-
ждения магистральных труб у Краснохолмского моста и Ка-
лужской площади. Причину катастрофы, случившейся 25 ян-
варя 1914 г., Н. Е. Жуковский видит в смещении грунта, 1
вызванном температурным расширением водостоков, пересе-
кающих направление водопроводных труб и проходящих
вблизи места повреждения. Обе записки о повреждении водо-
проводных труб появляются в печати впервые.
В статьях: „О влиянии давления на насыщенные водой
пески" и „Прибор для определения сопротивлений при дви-
жении воды" дается описание приборов, сконструированных
проф. Н. Е. Жуковским, и описываются опыты, произведен-
ные с ними для выяснения некоторых явлений, сопровожда-
ющих движение подпочвенных вод.
Метод, изложенный Н. Е. Жуковским в его работе „Видо-
изменение метода Кирхгоффа", и упомянутые опыты дали
ему возможность математически характеризовать поверхность
осушения, т- е. поверхность, отделяющую замоченный грунт
от сухого, и весьма изящно решить некоторые задачи о про-
сачивании воды через плотины. Статья „О просачивании воды
через плотины" была проредактирована Н. Г. Ченцовым и
напечатана уже после смерти Н. Е. Жуковского. К тому же
вопросу относится статья под названием „Теоретические ис-
следования о движении подпочвенных вод", в которой дается
теория колодцев и других водосборов.
ОТ РЕДАКЦИИ
7
Статья „О движении воды в открытом канале н о движе-
нии газов в трубах" представляет собой запись двух лекций,
прочитанных проф. Н. Е. Жуковским в Московском высшем
техническом училище для студентов старших курсов; запись
сделана стенографически проф. В. П. Ветчинкиным. В этой
статье рассматриваются: стационарное течение воды в откры-
том канале с горизонтальным дном, газа в цилиндрической
трубе и явление скачка, причем принимается во внимание
трение воды о боковые стенки канала и газа о стенки тру-
бы и даются формулы для определения плотности газа по
длине трубы.
Статья „Аналогия между движением тяжелой жидкости
в узком канале и движением газа в трубе с большой скоро-
стью" содержит в себе решение тех же задач, какие реша-
лись в упомянутой выше статье, но только здесь задачи ре-
шаются в более общем виде и при другом законе трения
газа о стенки. Кроме того, в этой статье излагается движение
газа в трубах переменного сечения. В статье „Об одной за-
даче, относящейся к подпрудной кривой" рассматривается
течение без трения о стенки в открытом канале, ось кото-
рого наклонена к горизонту на угол г.
В статье „О парадоксе Дюбюа" Н- Е- Жуковский дает
свое объяснение этого парадокса и описание сконструирован-
ного им прибора, который служит для опытного доказатель-
ства справедливости данного им объяснения.
В статье „О трении жидкости при большой разности
скоростей ее струй" Н. Е. Жуковский дает описание опытов,
которые он производил, заставляя двигаться в трубке воду,
увлекаемую шнуром, движущимся с большой скоростью вдоль
оси трубки.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ О ДВИЖЕНИИ
ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД
(1889 г.)
§ 1. Теоретические исследования о движении воды в пе-
сках были начаты Дюпюи (Dupuit, Etudes theoriques et prati-
ques sur le mouvement des eaux, Paris 1863), который на
основании закона Дарси (Darcy, Fontaines de Dijon) о про-
порциональности силы сопротивления песков первой степени
скорости разобрал вопросы о движении подпочвенных вод
к рекам и к колодцам. Впоследствии Люгер (Lueger Theorie
der Bewegung des Grundwassers, Stuttgart 1883) пополнил
исследования, относящиеся к первому случаю, рассмотрев:
течение вод, питаемых осушающимися песками, влияние не-
проницаемых пластов внутри песков, течение вод в двух
помещенных один над другим слоях песков и т. д. Что же
касается теории колодцев, то она была более обстоятельно
разобрана Тимом (Thiem, „Journal fur Gasbeleuchtung und
Wasserversorgung", 1870) ,Финком (Fink, Theorie undKonstrukticn
der Brunnen-Anlagen, Berlin 1878) и Форхеймером (Forch-
heimer, Uber die Ergiebigkeit von Brunnen-Anlagen und
Sickerschhtzen, Hannover 1886), причем последний дал общую
теорию течения вод в песках при горизонтальном непрони-
цаемом дне и постоянном давлении на верхнюю поверхность
песков и сделал обширные приложения этой теории к раз-
личным видам водосборов. *
Во всех упомянутых сочинениях принимается закон Дарси,
но некоторые авторы стали сомневаться в удовлетворитель-
ности этого закона, в особенности же в его приложимости
к решению вопроса о движении на очень больших расстоя-
ниях. Так, Смрекер (Smreker, „Zeitschrift des Verelns deutscher
io о ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД§ 2
Ingenieure", 1878- 1879, 1881) нашел, что наблюдениям при
откачках лучше всего удовлетворяет допущение, что сила
сопротивления выражается по скорости v формулой:
и построил на этой гипотезе теорию движения подпочвенных
вод к колодцам без подпочвенного потока и при его присут-
ствии. Наиболее точными кабинетными опытами считаются
опыты Кребера (Krober, „Zeitschrift des Vereins deutscher Inge-
nieure", 1884), из которых следует заключить, что сила сопро-
тивления пропорциональна скорости в степени
8-4-2d
8-j-d ’
где d— диаметр песчинок в мм.
§ 2. В самом общем виде уравнения движения воды в пес-
ках при законе Дарси могут быть выведены Фак.
Пузть
gv
~к
будет сила сопротивления песков, отнесенная к единице массы,
где g-—напряжение тяжести, a k — коэфициент сопротивления.
Если г^, v3 — три компонента скорости го прямоуголь-
ным осям координат, то компоненты силы сопротивления по
этим осям будут:
g g g
kv" ~ к^ ~Г’3'
Вносим эти силы в уравнения гидродинамики, в которых
отбрасываем члены, зависящие от сил инерции, вследствие
очень незначительной скорости воды:
р дх дх к °
g_
р ду ду к
Р dz dz к Vs>
§ 2 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД 11
где р—давление, р — масса единицы объема воды, а /—сило-
вая функция. Пишем эти уравнения в виде:
д'г , Я , #
= v* = ~kdj’ ^ = ~к^' W
где
С==_Р___L
S? g ’
Если жидкость находится под действием силы тяжести,
то /=— gz и
E = z + ^-.
£Р
Функция ? есть пиезометрический напор воды в данной
точке песков. Действительно, если трубка Нортона оканчи-
вается в данной точке, то, вследствие разности давления р
и давления атмосферы р0, вода по трубке поднимается на
высоту zlt определяемую из уравнения
P_-z
g? g?
подставляя это в Е, имеем:
£ = Z Zj — ,
g?
причем постоянный член, не влияющий на формулу (1), мо-
жет быть отброшен. Таким образом формула (1) показывает,
что вода в песках должна течь по нормальному направле-
нию к поверхностям равного пиезометрического напора в ту
сторону, куда напор убывает- Если назовем через dn эле-
мент нормали, то по формуле (1) можем написать:
v = -k^. (2)
an
Подставляя формулу (1) в условие несжимаемости жидкости:
dv, . dvn . dv« n
Si + ^ + ~iS = a'
увидим, что функция £ удовлетворяет уравнению Лапласа:
(3)
V о ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД§ 2
так как уравнения (2) и (3) — те самые, которыми решаются
вопросы о распространении теплоты, то анализ движения
вод в песках на основании закона Дарси тождествен с ана-
лизом движения теплоты, причем роль температуры играет
пиезометрический напор, и роль количества тепла — коли-
чество протекающей жидкости.
В случае движения жидкости в открытых песках, прибли-
зительно параллельного горизонтальному дну, можно прене-
брегать величиной w3 и отождествлять пиезометрический на-
пор с высотой стояния воды в песках. Тогда условие не-
сжимаемости представится в виде:
и формулы (3) и (2) заменятся формулами:
, ^(^)_ п
(4)
Задача приводится здесь к определению функции S2 двух
переменных х, у, которая представляет изотермический пара-
метр линий равного напора. Изыскание такой функции при
различных граничных условиях легло в основание упомяну-
того сочинения Форхеймера.
Простейший случай представляет нам движение жидкости,
проникающей в вертикальном направлении через горизонталь-
ный слой песков высоты h, на верхней части которого
имеется напор а на нижней Е2. Мы удовлетворяем урав-
нению (3) и граничным условиям положением:
где z—расстояние от верхнего слоя. Скорость течения жид-
кости по формуле (2) будет:
« = *ЦА, (5)
§ 3 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД 13
а количество Q протекающей жидкости выразится через
f __f
Q = k^-^~^ s, (6)
где s__площадь горизонтального сечения слоя ил — коэфи-
циент насыщенности песков.
Легко доказать теоретически, как это сделал Люгер, что
при сферичности песчинок X не зависит от диаметров их
и равен 0,27, но вследствие отступления песчинок от сфери-
ческой формы X оказывается на практике более этого числа
и по измерению Кребера равен 0,39. Что касается коэфициента
сопротивления к, то, полагая в формуле (5) —Е2 = Л, видим,
что коэфициент сопротивления к представляет скорость
протекающей в вертикальном направлении воды через го-
ризонтальный слой песков под действием своего собствен-
ного веса.
Чтобы судить, насколько к постоянен, я приведу здесь
один ряд чисел из наблюдений Кребера над песком, имею-
щим d = 0,54 мм.
£.2 — ^ = 5; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 80; 100; 120.
Q = 0,09; 0,19; 0,40; 0,61; 0,81; 1; 1,19; 1,58; 1,96; 2,35.
lOOOr-%- = 18; 19; 20; 20,3; 20,2; 20; 19,8; 19,7; 19,6; 19,6.
*1
Здесь первый ряд дан в см, второй—в см3, третий ряд
чисел должен бы быть при постоянном к постоянен, но он
сначала немного возрастает, потом уменьшается.
§ 3. Граничные условия, которым должно удовлетворять
течение жидкости в песках, состоят в том, что на поверхно-
стях соприкосновения водоносного слоя с непроницаемыми
грунтами нормальные скорости суть нули; на поверхности пе-
сков, омываемой водой, давление равно давлению омывающей
воды, а на осушенной открытой поверхности песка давление
равно давлению воды, уменьшенному волосностью. Если возь-
мем сосуд, наполненный песком и водой и имеющий отвер-
стия сверху и снизу, причем нижнее отверстие прикрыто
кисеей и сообщено с резиновой трубкой, оканчивающейся
стеклянной трубкой, то, держа стеклянную трубку вертикально,
14 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД§ 3
будем получать равные уровни воды в трубке и в сосуде;
но как только выпустим с помощью резиновой трубки столько
воды, что поверхность песка в сосуде осушится, то увидим,
что вода в стеклянной трубке может стоять ниже воды в пе-
сках, причем упомянутая разность высот имеет максимум
для различных песков различный.
Я делал наблюдения с песком d = 0,2 и нашел наиболь-
шую подвешивающую силу 0,4 м. В том месте, где насыщен-
ный песок соприкасается с осушенным, находится воздух или
другие газы, и этот-то газообразный слой, прикрытый сверху
непроницаемым грунтом (если бы пески были открытые, то
все-таки часть воздуха была бы заключена между смочен-
ными верхними песчинками в виде пузырьков), по моему мне-
нию, является причиной падения воды в буровых скважинах
при увеличении атмосферного давления (это явление с боль-
шою точностью наблюдалось этим летом Н. П. Зиминым на
Алексеевской водокачке).
Для подтверждения своей мысли я сделал следующий
опыт. В сосуд, имеющий отверстия сверху и снизу, вставля-
лись две стеклянные трубки: короткая и манометрической
формы, причем сосуд предварительно заполнялся песком
и водой, которая не закрывала поверхности песка и потому
останавливалась в манометрической трубке немного ниже
уровня песка. Концы обеих стеклянных трубок сообщались
с помощью резиновых трубок с сосудом, в котором по же-
ланию можно было сгущать воздух и тем производить оди-
наковое давление на поверхность песка и воды в манометре.
Когда это давление производилось, то уровень воды в маноме-
трической трубке сильно падал и становился иногда ниже всего
сосуда. Я объясняю это явление тем, что воздух, заключен-
ный в мокром песке в виде пузырьков (которые всегда по-
являются, если воду наливать сверху), при увеличении давле-
ния сжимается, и вся масса песка захватывает в себя воду,
которая подается из манометрической трубки потому, что
сила волосности препятствует понижению уровня воды в песке,
заключенном в сосуде. Когда поверхность песка была по-
крыта водой, то при произведении давления вода в трубке
немного падала, но потом опять поднималась до уровня воды
§ 4 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД 15
в сосуде. При тщательном обезвоздушивании песка явление
не замечалось.
Я думаю, что подобно тому, как в описанном опыте, про-
исходит и влияние изменения атмосферного давления на вы-
соту воды в скважинах. Присутствием газообразного слоя
в верхних частях водосодержащих грунтов объясняется, по
моему мнению, и явление постепенного распространения да-
вления в этих грунтах. Замечается, что при начале откачки
вода в ближайших нортонах опускается очень скоро, а в от-
даленных— по прошествии некоторого времени, но это время
далеко не столь велико, чтобы могла образоваться воронка
осушения, которая бы вызвала понижение. Если принять при-
сутствие газообразных тел» то они дадут распространение
давления в виде некоторой волны.
§ 4. Если водосодержащие грунты не покрыты сверху
непроницаемым слоем, то при начале откачки вода берется
из верхних слоев песков, прилегающих к колодцу. Функция
5 должна определяться под условием, чтобы она удовлетво-
ряла уравнению (3), давала на нижнем горизонтальном дне
нормальную скорость, равную нулю, а на свободной поверх-
ности песков обращалась в постоянную величину Н. Вообразим
сначала очень длинную горизонтальную галлерею диаметра е,
заложенную на расстоянии 8 от дна песчаного слоя, имею-
щего высоту Л. Горизонтальное дно примем за плоскость ху,
а плоскость yz направим через галлерею. Вследствие симмет-
рии во всех точках плоскости yz, кроме точек, прилегающих
к галлерее, которую сначала возьмем бесконечно тонкой, ско-
рость vt будет равна нулю. Мы удовлетворим уравнению (3)
и граничным условиям, если положим, что
Е = H \ry_iAie cos
zn
где i будем приписывать все нечетные значения от 1 до оо.
Для определения коэфициентов Д,- составим по формуле (1)
скорость vt для точек плоскости yz'.
fct v д . “iz
16
о ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ вод
§ 4
Умножаем обе части этой формулы на cos dz и берем от
обеих ее частей интеграл от 0 до h. Во второй части инте-
гралы вида
ъ
Jztz TZl z ,
cos 2Л COS ‘2hdz
0
уничтожаются вследствие нечетности i и i', и мы получаем:
* - 7 • Й • Л 7 -
г KIZ , . kzi Г o^iz J A.:k~i
J ^cos^Jz^A^J cos^dz^—^.
о о
Подинтегральная функция для всех точек, лежащих на оси
Oz, кроме весьма малого элемента, приходящегося на галле-
рею, есть нуль. Для упомянутого же элемента мы можем
вынести за знак интеграла cos ху- и получить:
тг/В Q А{к ~i
COS 2Л ‘ 2k 4~
где Q есть все количество воды, притекающей на единицу
длины галлереи с правой и с левой сторон. Таким образом
находим:
А(
2Q •птВ
Ж/ COS 2h ’
Подставляем в выражение для £:
t = H— — (cos ai A cos bi),
где для сокращения письма положено, что
= е Ж *(8 + *) , -(8-^)
’ a~~2h~' b~~2fT‘
Ряд, входящий в формулу для £, легко суммируется. Возьмем
1 , 1+п
"2 |2Г- и=“
4
О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД
17
и, положив в нем
и = a (cos а 4* sin aV — 1),
сравним между собой действительные части:
1 1Д- а2 4~ 2а cos а . 1 „
— —5 т--------= « cos а 4- — сс3 cos За 4~
4 * 1 4 — 2а cos а 3
-|--i-a5cos5a
Отсюда и из подобной же формулы для b получим соот-
ношение:
Q ,
4&Xu g
(1 а2 -|- 2а cos о) (1 4- а2 4'2а cos b)
(14~ а'2 — 2а cos а) (14~ “2 — 2а cos b)
(7)
Собственно говоря, формула (7) выведена в предположе-
нии о бесконечной малости радиуса галлереи, поэтому все
струйки жидкости, получаемые с помощью ее, сходятся в од-
ном центре (мы говорим о течении в плоскости xz); проведя
по всем этим струйкам ортогональную линию, мы можем при-
нять ее за контур галлереи конечных размеров, так как при
этом на всех точках упомянутого контура ? будет равно по-
стоянной величине £0. Полагаем, что наш контур пересекает
ось Oz выше центра на расстоянии е; тогда в формуле (7)
можно принять: х = 0, z = 8 4~ е> — -о- Это дает нам для е,
малого сравнительно с h, формулу:
Q= —
1g
k~\ (Н—Ео)
(8)
Кроме того, я нашел формулу для количества воды, взятой
с определенной верхней части песков. Называя через q часть
воды, взятой с района, для которого—п > х > п, и принимая
8 = 0, я вычислил:
~ = 4,549; 2,060; 1,339; 0,703; 0,244;
п
Q — q
-q—= 0,0006; 0,0032; 0,0063; 0,0318; 0,0636.
. аким образом за пределами пространства х > 4А почти уже
не берется воды, и вся она подается с мест, ближе лежащих.
Зак. 2386. — Н. Е. Жуковский, т. yj.1, _ _______
| КН И Д'A JHfBj
2
18 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД
§ 5
Для начала откачки из колодца, в котором фильтр идет
через всю длину слоя и расширяется вниз в виде конуса,
я нашел приближенную формулу:
< = , (9>
2~Мт. х
в которой г есть расстояние от точки пересечения колодца
с верхней поверхностью насыщенных песков, z— расстояние
от этой поверхности, а х — расстояние от оси колодца. На по-
верхности песков и в бесконечности формула дает ; = Н.
Количество воды будет:
/ 2А \ ~1
Q = , (Ю)
где е — иижний радиус колодца.
§ 5. Главную роль для теории водосборов играет устано-
вившееся движение вод. Здесь надо различать три случая:
когда водосбор закладывается в слое песков, через который
нет потока, что имеет, например, место на водоразделе под-
почвенных вод; когда он закладывается в подпочвенном по-
токе и когда он закладывается при водоприемниках (реках,
озерах и т- д.). Первый случай мы можем теоретически рас-
сматривать, как случай горизонтального водосодержащего
слоя. Основные формулы Дюпюи для течения вод к колодцу
в этом случае суть:
(12)
причем уравнение (11) относится к пескам, покрытым непро-
ницаемым грунтом, и удовлетворяет уравнению (3), а уравне-
ние (12) — к открытым пескам и удовлетворяет уравнению (4).
Величины £ и обозначают пиезометрические напоры на
расстояниях г и г от колодца.
Эти формулы, удовлетворяя с достаточной степенью
точности высотам Нортонов вблизи колодца, не могут быть
приложимы для точек, отстоящих на значительном расстоя-
нии от колодца. Если, например, возьмем показания трех
§ 5
о ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ вод
19
Нортонов при Мытищинской добавочной откачке 14 сентября
(расстояние Нортонов 10, 30, 100 сажен, понижение в них
воды 73, 44, 32 сотых сажени) и составим отношения после-
довательных расстояний к первому и разности между первым
понижением и другими, то получим числа: 3, 10, ...; 29, 41.
По формуле (11), в которую при большой глубине h перехо-
дит и формула (12), видим, что если первые числа соста-
вляют геометрическую прогрессию, то вторые должны соста-
влять прогрессию арифметическую. Напишем эти прогрессии:
100 . 1000
3 9
10000
27
29; 41; 53; 65; 77---
Отсюда следует, что на расстоянии 3703 саженей мы
должны иметь не понижение, а повышение нортона на 0,04
сажени. Обыкновенно называют радиусом действия колодца
расстояние, на котором понижение Нортона есть нуль. Радиус
действия выходит при некоторых откачках небольшой вели-
чиной. Я вычислил для московских откачек № 1, 2 и 5 ра-
диусы действия: 250, 187 и 7982 саженей. Учение о радиусе
действия не отличается ясностью. Форхеймер определяет
его, как радиус круга, площадь которого, собирая атмо-
сферные осадки, питает колодцы, но тогда остаются непонят-
ными малые радиусы действия, например, в 187 саженей.
Для разъяснения дела надо допустить одно из двух: или
формулы (11) и (12) верны только приблизительно вследствие
неточности закона Дарси, как это думает Смрекер, или закон
Дарси может быть прилагаем к рассматриваемому случаю,
но формулы (11) и (12) неверны вследствие упущения неко-
торых добавочных условий. Если бы, например, мы приняли,
как это вытекает из формулы сопротивления Кребера, силу
сопротивления пропорциональной v^, где у- > 1, то получили бы
формулу для величины т( понижения уровня нортона:
1 / О \г
<13>
Э га формула при г=оа дает т] = 0 и позволяет без вся-
кого радиуса действия определить понижение воды в колодце
2 ’
20
О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ вод
§ 5
при данном Q. С другой стороны, если бы мы обратили
внимание на все обстоятельства водоносного пласта, то всегда
нашли бы в нем источники питания: они могут заключаться
в осушении пласта в тех местах, в которые может входить
воздух, или в проникновении воды через отверстия в не-
проницаемом дне из нижних известковых слоев и т. д. Если
назовем через расстояние рассматриваемой точки от источ-
ника питания, а через г — ее расстояние от колодца, то най-
дем, что
’1=d®r'4- <14>
Здесь R изменяется с изменением места иортона и при
бесконечном удалении нортона от колодца и от источника
питания a т] = 0. Но есть одно обстоятельство, кото-
рому не удовлетворяет ни одна из написанных нами формул.
По формуле (14) отношение должно быть постоянно
с изменением Q, по формулам (13) и (12) это отношение должно
с увеличением Q уменьшаться: на самом же деле во всех
, - Q
имеющихся у меня наблюдениях дробь -— возрастает с уве-
личением Q.
Привожу здесь некоторые числа:
т] = 185; 261; 406.
<? = 1008; 1656; 2620.
— = 5,99; 6,34; 6,45.
•Ч = 480; 819; 1376; 71= 24; 103; 130;
/ = 1100; 641; 360; t= 230; 41; 29;
/П = 528 000; 524979; 495360; /т] = 5520; 4223; 3770.
Первый ряд чисел относится к весьма глубокому колодцу,
заложенному К. Э. Лемке в Костромской губ., второй к от-
качке № 5 и третий к добавочной откачке при Яузе, т; дано
в тысячных сажени, Q — в ведрах в сутки, t есть время
наполнения бака в секунду. Найденный результат показывает,
что сила сопротивления песков выражается формулой более
о ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ вод
21
сложной, нежели данной Кребером и Смрекером, и должна
быть такой функцией скорости, которая сначала при воз-
растании v возрастает, а потом убывает, как это можно
усмотреть из вышеприведенного опыта Кребера над мелким
песком.
§ 6. Принимая R в формуле (14) за постоянную величину
для данного места, мы можем, по примеру Форхеймера, срав-
нивать относительные достоинства водосборов различных
систем, заложенных в этом месте.
Пусть имеем п колодцев, которые подают количество
воды Q, причем количества воды, подаваемой каждым отдель-
ным колодцем, находятся в отношении:
Pi ••Н2:Н3:- •
а расстояния всех колодцев от первого и радиус первого
колодца есть:
г* гъ, rf.
Складывая понижения, даваемые формулой (14) при дей-
ствии всех колодцев, для точки, лежащей на краю первого
колодца, получаем для понижения воды в первом колодце:
>)• (15)
Приложим эту формулу к двум примерам.
Все колодцы имеют равные радиусы b и заложены в вер-
шинах правильного n-угольника. Полагаем в формуле (15):
Pi == Р-2== Рз == • - == 1>
-- /. __ q Q . О, о . (п 1)
’1 — °’ r.2 = 2asin—, г8 = Ча sm — ,..., rn = 2а sin '-—
п п п
где а есть радиус круга, описанного около многоугольника.
1олучаем:
т^-2-Х
2^1/1 Х
Х Vs R ~ f Ь № ’ sin — sin — ... sin fn~1)TC-1). (16)
’ n L n n n JJ
Г’
CJ 1И бы мы желали получить то же количество воды
и то же понижение t] с помощью одного колодца радиуса г*
22 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД § 6
то должны были бы сравнить формулу (16) с формулой (14).
Это дало бы нам:
6 = / _r_ V______________1________________
а \ а ) „п-i . к . 2т . (п — 1)^’
2 sin — sin — ... sin----------
п п п
Таким образом, полагая, что
_ а
7 10, П 6,
будем иметь:
а
6 000000'
Для второго примера возьмем колодцы, расположенные
по одной прямой, или так называемую Бруклинскую галлерею.
Принимаем, что центры колодцев представляются проекциями
вершин правильного четного n-угольника на прямую, прохо-
дящую через его центр перпендикулярно двум сторонам его,
так что две соответственные вершины нижией и верхней
половин многоугольника будут проектироваться в одну точку.
Полагаем в формуле (15):
I-*-i = • = 1 > п = 6.
Что же касается расстояний т-2, rs, .. - колодцев от какого-
нибудь одного, то они могут быть рассматриваемы, как проек-
ции хорд, соединяющих вершину многоугольника, соответ-
ствующую этому колодцу с вершинами, соответствующими
другим колодцам. Называя через i нечетное число делений
дуги описанного круга радиуса а, стягивающей хорду двух
вершин, проектирующихся в рассматриваемый колодец, най-
дем, что То, г>, . .., гп будет получаться из произведения двух
факторов. Одни из этих факторов
/п V» —2 • 11 . .тг — 1 4
(2а) sin — sin — . . . sin----п
п п п
. г*
sin —
L 71
соответствует произведению проектируемых хорд. Для полу-
чения второго фактора, который образуется из косинусов
о ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ вод
23
углов хорд с направлением галлереи, проведем через вершину
многоугольника, соответствующую рассматриваемому колодцу,
касательную к описанному кругу и заметим, что она образует
с направлением галлереи угол
Углы последовательных
хорд найдем, прибавляя к этому
Углу -
2—
п
. так что искомый фактор будет:
f it (z —1)- к (i — 2)т (г—zz + 1)tc]|
cos ——---------- cos ту------------...cos------------— } ,
2 n J [ 2 71 J L n Ji
где надо брать только абсолютные величины косинусов и
ТС
отбросить cos ту-. Этот фактор можно написать так:
Таким образом
я . 2~ , (п—1) к
п 2 sin — sin — .. . sin-----------
3- п п п
П >2. . . г,, = (2а) - --------------7-------------
Zlt
sin —
п
На основании всего сказанного
примера формула (5) обращается в
Т| 2KH7i{,g/?
2 - г , ,9 /Ч- - - 2к
-----1g b(2a) - sin — sin —
п-----п п
видим, что для нашего
2 . . г* I
— Ig sin —
п п )
(17)
24 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД § 7
Если п очень большое число, то последний член в фор
муле (17) может быть опущен, вследствие чего по сделанному
предположению зода во всех кслодцах будет, стоять на од-
ной и той же высоте.
Определим теперь предельное значение произведения
1 1 Г. 71 - 2тс . 3“ . (п-—I)77
— lg sin — sin — sm — ... sm----------
n L n n n n
при очень большом n. Для этого
ваемом предположении формула
заметим, что в рассматри-
(16) должна обращаться в
так как она должна при этом соответствовать формуле ко-
лодца радиуса а.
Сравнение этой формулы с формулой (16) дает нам
1 , / . 77 . 2* . (п — I)77! , 1
— 1г I sin — sm — ... sm------I = 1г -.
ns\n n n ) s 2
Отсюда следует, что формула (17) при п = оо обращается в
= (1g — 1g ----1g2а ) = , (1gR — 1g 4г) •
2~k).h \ s s 4 / 2~kih \ s s 2 /
Итак, Бруклинская галлерея тождественна с колодцем,
диаметр которого равен половине длины галлереи.
§ 7. Обнаружим, что понижение уровня нортона в случае
колодца, заложенного в подпочвенном потоке жидкости,
то же, что при отсутствии потока. Функция Е', соответ-
ствующая течению потока без колодца, должна удовлетворять
уравнению (3), на непроницаемых стенках должна давать
нормальную скорость, равную нулю, и на открытых поверх-
ностях песков должна иметь данную величину.
Если назовем через Е пиезометрический напор потока,
в котором заложен колодец, то увидим, что функция Е
должна удовлетворять тем же условиям с добавочными усло-
виями на стенках колодца, так что разность ц = Е'—-Е будет
удовлетворять всем упомянутым условиям, только на свобод-
ной поверхности песков она будет обращаться в нуль (а также
о ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ вод
25
на большом расстоянии от колодца). Таким образом т) без
потока и при его присутствии определяется по одним и тем
же условиям и может быть в присутствии потока найдено
по формуле (14), при этом нам нет нужды обращать внима-
ние на нивелирные отметки первоначальных уровней
нортонов. Это теоретическое соображение находит хорошее
подтверждение в Богородской откачке, заложенной в месте,
в котором линия депрессии делает необычайно резкий изгиб.
Несмотря на это, высоты Нортонов Довольно хорошо удо-
влетворяются формулой (14), принимая во внимание только
одни понижения тр
Если Нортоны, находящиеся на одном и том же расстоя-
нии от колодца, дают довольно различные понижения, то при
определении коэфициента kkh из наблюдений с помощью
формулы (14) следует брать среднее значение ц из-всех
показаний нортонов на одном и том же расстоянии от
колодца.
Для доказательства этого заметим, что функция ц подобно
логарифмическому потенциалу удовлетворяет теореме Грина:
где первые интегралы той и другой части распространяются
иа круг, очерченный оконо колодца радиусом г, а вторые —
радиусом г.
Так как
f^*'= =
J dr J dr klm
то, положив в вышенаписанной формуле ds—rd? uds' — rdo,.
получим:
2^1/1 lg г — lg г
Q № 2c ’
f Vd<? — ^z [ rfd?
О и
что г требовалось доказать.
Понятно, что при горизонтальном дне в написанной формуле
можно брать вместо т; величину —Е, а в случае открытых
26
О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД
§ 7
песков величину — (в этом последнем случае в первой части
формулы надо писать к^Х).
Причина, вследствие которой величина т( выходит различ-
ная для точек, равно отстоящих от колодца по различным
направлениям, заключается или в изменяемости kh или в том,
что поток жидкости имеет конечную ширину- При этом воз-
можно, что в случае очень широкого потока существует раз-
рыв в сплошности течения вод, вследствие которого и коло-
дец, заложенный в таком потоке, влияет только на ленту
потока ограниченной ширины (как это предполагает Fink).
Пусть будет I—ширина потока, h — его глубина, о— рас-
стояние колодца от одного из краев потока, Q — количество
воды, забираемое в колодец, и Q' — количество воды потока,
протекающее мимо колодца. Вообразим, что плоскость xz
совпадает с одной из сторон потока, а плоскость zy прохо-
дит через колодец, и будем считать » функцией х и у. Если бы
Q' = 0, то к колодцу бы притекало с той и другой стороны
Q пл
количество воды — Мы удовлетворим в сделанном предпо-
ложении уравнению (3) и граничным условиям, положив, что
О т • _
? = Н^~ х ' Ai cos е
где сумма распространяется на все целые значения i от
1 до со. Для определения коэфициентов Af поступаем так же,
как в § 4, т. е. составляем vt для х — 0:
Q
*'i =
V A COS-'Л
потом умножаем обе части полученного равенства на
•к iy
cos —j-
dj и берем от них интеграл между 0 и I. Получаем:
С ,7 л f чт ^У j Afk-rd
I vt cos t dy —А, I cos- dy — ,
о о
тде в первом интеграле vx = 0 для всех у, кроме значений
его, бесконечно близких к 8, так что
тЛЪ Q
— cos —,
/ 2 i-h,
Aj^ik
~2~
о ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ вод
27
откуда
Q ~г<>
А =------гтт--cos ~г •
Подставляя эти величины коэфициентов в нашу формулу
для ;, находим:
$ = НА „,Я,- х------ У ~ (cos ai - cos bi),
1 21/tlk ArA.kh —J i
где
V -(й + //) , “(8~ y)
:i= e , a =---------, b =----------j.
Ряд, входящий в найденную формулу, суммируется с по-
мощью строки:
lgr(l —и) = — (« + -у+ + •• j
Полагаем в ней
и = a (cos а sin a \ — 1)
и сравниваем действительные части:
lg (1 4“ а2 — 2а cos а) =
(, а2cos 2а . а3cosЗа . \
а cos а 1----------h ---з-----f- ... | -
Отсюда и из подобной же формулы для Ь находим:
’ = Н^- х +
4* 1 а2 — 2® cos а) (1 4- aS — cos 6)].
Когда Q' не равно нулю, то к написанной формуле сле-
дует еще прибавить изменение напора от потока с постоян-
ной скоростью
Q’
1Ккк ‘
Это дает нам
+ “4^^ 1g [(14- — 2а cos а) (1 4- — 2« cos 6)]. (18)
28 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД § 8
Эта формула будет определять Е для точек с положитель-
ным х, которые по предположению лежат в той стороне, откуда
Q
идет поток; для точек с отрицательным х надо взять--
и изменить знак степени у выражения я, чтобы эта степень
вышла все-таки отрицательной.
На большом расстоянии от колодца формула (18) дает нам
обыкновенную формулу течения воды по склону. Следует
прибавить, что высоты смоченного песка h и h' до и после
колодца должны находиться в отношении:
Л:Л' = 0' + 2-.0---£.
Если бы мы желали рассматривать открытые пески и изме-
няющееся h, то должны бы в формуле (18) брать согласно
формуле (4) вместо 5 величину С2.
§ 8. Водоприемники могут быть двух родов: одни из них
проникают всю толщу водоносного слоя и потому тече-
ние вод при входе в такие водоприемники может рассматри-
ваться, как совершающееся параллельно горизонтальному дну;
другие же, как река Яуза, проходят над водоносными слоями,
и подпочвенные воды выходят в них, двигаясь снизу вверх.
В первом случае, чтобы получить искомое течение, мы
должны сложить течение воды к водоприемнику с течением
ее к колодцу и с течением ее из некоторого фиктивного
колодца, который представляет зеркальное изображение зало-
женного колодца в стенке водоприемника. Для случая реки
получаем:
Е=—-1-----— Ь (— V (19)
к \г') ’ ' '
где х— расстояние рассматриваемого нортоиа от реки, г—его
расстояние от колодца, г—его расстояние от изображения
колодца, a v — скорость потока.
Линии тока подпочвенных вод будут при этом расположены
двумя различными способами, смотря по знаку неравенства:
8^-^, (20)
§8 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД 29
в котором 8 есть расстояние колодца от реки. При верхнем
знаке колодец будет отделен от реки некоторым контуром,
края которого удаляются от реки по направлению потока так,
что все струйки жидкости, заключенные в этом контуре,
попадают в колодец. При нижнем знаке неравенства колодец
будет отделен от потока некоторым контуром, упирающимся
концами в реку, и все струйки жидкости, попадающие в коло-
дец, будут итти из реки.
Для водоприемников второго рода я разобрал формулу
галлереи, заложенной под рекой на нижней границе водонос-
ного слоя.
Для этого я воспользовался соображениями, аналогичными
тем, какие были употреблены при выводе формулы (18), и
нашел:
Лп-Кк
4-- 1g [(1 -f- «2 — 2а cos а) (1 а2 — 2а cos 6)] г
1g [(1 +а3 — 2а cos а) (1 а2—-2а cos 6')], (21)
где Q и Q' — количества воды, которые берутся на единицу
длины двумя заложенными одна под другой галлереями, от-
стоящими от дна на расстояниях 8 и 8', h — глубина водо-
содержащего слоя, а
а== *<8 + г) t
h h
, *(B' + z) ^(8'-z)
a =-----д---------, b - -h--,
причем плоскость xy совпадает с непроницаемым дном, а плос-
кость yz проходит через обе галлереи.
Принимаем в формуле (21) 8Л = 0, 8 = 7; и даем галлереям
очертания по линиям равного напора. Пусть контур нижней
галлереи пересекает ось Oz в точке z = e , а контур верхней —
в точке z = h — е, причем верхнюю галлерею мы примем за
реку.
30 О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД g 9
По формуле (21) напоры и Е в галлерее и в реке будут:
• —w+ S »" а-+1г 1б-
£=н+ ль '*sin S" + таг’1216-
Вычитая из нижней формулы верхнюю и заменяя вслед-
ствие малости е и е сравнительно с h синусы дугами, находим:
£ — = Я-lg — (22)
гАу. * ire s ite \ '
Принимая в этой формуле Q — 0 и Q' равным количеству
притекающей подпочвенной воды, найдем необходимую раз-
ность напоров, чтобы вода не пошла в реку. При выводе
формул (20) и (22) мы предполагали одинаковую легкость
вхождения воды в реку и выхождеиия из нее; на самом деле
переход воды из водоприемников, как показали наблюдения,
совершается труднее обратного перехода, вследствие чего
напор в колодцах может быть более понижен, чем дают фор-
мулы (20) и (22), без получения вод из реки.
§ 9. Теперь видно, какие части излагаемой теории требуют
дальнейшей обработки, и какие суждения при существующих
данных отличаются надежностью.
Закон Дарси достаточно удовлетворителен, когда прини-
мают во внимание все граничные условия и не прилагают
его на большие расстояния от колодцев. Поправки, введенные
в закон Дарси Кребером и Смрекером, еще не удовлетворяют
всем наблюденным явлениям при откачках. В трех случаях
заложения водосборов наименее надежный расчет имеет водо-
сбор, заложенный на водоразделе подпочвенных вод, так как
нельзя сказать, возможно ли течение воды к колодцу от очень
удаленного водоисточника, и довольно вероятно, что при этом
для желаемого количества Q совсем не существует устано-
вившегося движения, а получится осушение песков. Более
надежен расчет водосбора, заложенного в подпочвенном
потоке, но самый верный расчет принадлежит водосбору,
закладываемому при водоприемниках. Здесь вода по натураль-
ным склонам сама поДходит к рассматриваемому месту, и
§ 9
О ДВИЖЕНИИ ПОДПОЧВЕННЫХ ВОД
31
потому приложение закона Дарси приходится делать только на
небольшом районе, так как весь эффект водосбора заключается
в изменении направления линий тока от водоприемника
к водосбору, причем с аналитической точки зрения водопри-
емники играют ту же роль, как и водоисточники. Залагая
например, водосбор на берегу большого озера, мы со-
вершенно правильно можем считать за радиус действия
водосбора его двойное расстояние от озера и прилагать
к сравнению относительных достоинств различных систем
водосборов все соображения, изложенные в § 6.
Эга работа была доложена автором 19 ноября 1888 г. в собрании
Политехнического общества и напечатана в „Отчетах Политехнического
общества” 1888—1889, в „Бюллетенях Политехнического общества*,
1888—188? и в „Журнале Русского физико-химического обще ст в
т. XX!, 1889. Прим. ред.
A THEORETICAL INVESTIGATION OF THE MOTION OF UNDER-
GROUND WATER
If the resistance of the sand to the motion of water is as-
sumed to be proportional to the first power of velocity (the law
of Darcy), then the piezometer head £ will be determined — from
Laplace’s differential equation (3), or when the sands are expo-
sed and the motion is parallel to the horizontal bottom — from
equation (4) and boundary conditions. After presenting a des-
cription of his tests on pressure of water in sand Prof. Joukovsky
applies the above equations to the solution of several interes-
ting problems.
In § 4 is considered the problem of determining the head $
in the case of a horizontal gallery of diameter e and of infinite
length, laid at an elevation 8 above the bottom of a layer of
sand of depth h. In this case is obtained for 5 expression (7),
in which Q is the infiltration per unit length of the gallery, H
is a constant, к—resistance coefficient, X—degree of saturation
of the sands. If £0 is the head in the gallery, then Q will be
given by formula (8). In the same paragraph are given without
deduction formulae (9) and (10) for the head £ and the infiltra-
tion Q at the beginning of pumping from a well of which the
filter extends through the whole depth of the layer, widening
towards the bottom in the shape of the cone.
The subsequent paragraphs deal with three cases of steady
motion of water:
1. The intake is laid in a layer of sand through which there is
no flow. Formulae (11) and (12) given by Dupu’t do not yield in
this case fully satisfactory results. Prof. Joukovsky believes this
to be due either to insufficient accuracy of Darcy’s law, or to
the omission in the derivation of the formulae of certain addi-
tional conditions.
SUMMARY
33
If the resistance of sand is assumed to be proportional to
vv-, where P > 1, the loss in head ц will be given by formula (13).
If the existence of a source is assumed, formula (14) will be
obtained, in which R and r are respectively, the distance of
the point under consideration from the source of supply and from
the well.
In § 6 formula (14) is applied to the case of several wells dis-
posed either in line or in circle.
2- The well is situated in a stream of width I and of depth
h at a distance 8 from the borders of the stream. The corres-
ponding formula deduced by Prof. Joukovsky is formula (18)>
where Q is the amount of water flowing into the well, and Q'
the amount of water flowing past the well.
3. The well is situated near a reservoir (a river, a lake, etc.).
When the reservoir extends through the whole depth of the
aquiferous layer and the flow can be assumed to be parallel to
a plane, there is obtained formu’a (19), in which x, r, r are
respectively the distance of the point under consideration from
the bank, from the well, and from its mirror image in the bank. In
the case of an intake laid below a river at the lower boundary
of the aquiferous layer, formula (22) is obtained, in which the
letters with indices refer to the intake and those without indices
to the river.
Зак. 2386 — H. E. Жуковский, т. VII.
3
О ВЛИЯНИЙ ДАВЛЕНИЯ НА НАСЫЩЕННЫЕ ВОДОЙ
ПЕСКИ
(1890 г.)
§ 1. Мы будем здесь рассматривать вопрос о давлении воды,
насыщающей песок. Всякий раз, когда при этом имеется неко-
торая часть свободной поверхности воды, которая покрывает
или всю поверхность песка или не-
которую часть ее, гидростатическое
давление воды внутри песка будет
такое, как будто бы все простран-
ство было наполнено водой с упомя-
нутой свободной поверхностью. Это
легко поверяется на приборе, пред-
ставленном на фиг. 1. Сосуд А на-
полнен насыщенным водой песком,
поверхность которого покрыта слоем
воды BCED. F и F' — стеклянные манометрические трубки,
вставленные с помощью пробок в стенки сосуда и погружен-
ные концами, затянутыми кисеей, в песок. (Сперва надо
вставить манометрические трубки, потом взболтать в некото-
ром сосуде воду вместе с песком и налить массу в сосуд А.
Когда вода отстоится, тогда песок ляжет ровным слоем на
дно.) Во всех манометрических трубках такого сосуда вода
будет стоять на уровне хх , совпадающем с свободной по-
верхностью ВС.
Но если вся поверхность песков открыта, то жидкость
в манометрических трубках может иметь высоту меньшую,
чем она имеет в песке. Чтобы обнаружить это на нашем при-
боре, будем вытягивать воду из манометрических трубок
§ з
О ВЛИЯНИИ ДАВЛЕНИЯ
35
(ртом или с помощью сифона из резиновой трубки) до тех
пор, пока поверхность песка осушится. Мы заметим, что при
начале осушения вода в манометрах будет стоять на высоте
горизонтали DE.
Если же еще вытянуть немного воды, то уровень мано-
метров упадет и может остановиться на горизонтали уу',
лежащей ниже дна сосуда. Разность между уровнем мано-
метров и уровнем воды в песке может изменяться от нуля до
некоторого максимума, зависящего от диаметра песчинок.
Мы исследовали этот максимум для мелкого песка, диаметры
песчинок которого были в среднем
0,2 мм. Для этого был употреблен
прибор, представленный на фиг. 2.
Стеклянная труба А, диаметром
в 8 см и высотой в 60 см, ставилась
на дно сосуда В с водой- Потом в
особом сосуде вода взбалтывалась
вместе с промытым песком, и полу-
ченная масса выливалась в трубу А,
причем труба немного поднималась
вверх. Часть песка переходила в со-
суд В, и, когда вода отстаивалась,
то получалось расположение воды и песка, представлен-
ное на фиг. 2, причем уровень воды в трубе и сосуде В
был один и тот же- После этого мы вытягивали воду
с помощью резинового сифона С из сосуда В до тех
пор, пока в трубе А замечалось осушение песка до некото-
рого уровня хх (осушенный песок покрыт белыми пятнами
от вошедшего воздуха, а насыщенный имеет более темный
и ровный цвет). Тогда оставалось только измерить расстоя-
ние h от уровня уу' воды в сосуде В до уровня хх' стояния
воды в трубе А, чтобы получить максимум потерянного на-
пора от действия волосности. Мы находили для рассматри-
ваемого песка величину h от 38 до 40 см.
То обстоятельство, что потерянная высота изменяется от
нуля до некоторого максимума, мы объясняем себе различной
степенью смоченности граничных песчинок. Вообразим (фиг- 3)
две песчинки А и В, пересекаемые поверхностью стояния
36
О ВЛИЯНИИ ДАВЛЕНИЯ
§ 1
воды в песке. Жидкость может смачивать эти песчинки, обра-
зуя маловогнутый мениск аЬ, и тогда потерянная высота не-
велика, или она может смачивать их, образуя многовогнутый
мениск ah’, и тогда потерянная высота будет большая.
о b Здесь представляется интересная
S’ задача по теории капиллярности об
/ у р \ определении вида наиболее вогнутого
I /? 1 ° 1 мениска (по трем песчинкам, центры
X. У которых образуют треугольник) и об
установлении теоретической связи меж-
Фис 3. ду диаметрами песчинок и максимумом
потерянной высоты.
Пользуясь потерянной высотой от волосности песков, мы
устроили прибор, изображенный на фиг. 4.
На штативе А укрепляется сосуд D, до половины напол-
ненный насыщенным водой песком, и сосуды С и В. В дно
сосуда D с помощью пробок вставлены
стеклянные трубки х и у, верхние концы
которых вставлены в песок и затянуты ки-
сеей, а нижние концы доходят до дна сосу-
дов С и В. Если налить воду сверху песка
в сосуд D, то она сначала будет вытекать
из него по трубкам х и у в сосуды С и В.
Когда же поверхность песка в сосуде D
осушится, то мы заметим, что вода из со-
суда С начнет переливаться в сосуд В, как
будто бы трубки х и у вместе с песком
сосуда D образовывали сифон. Объяснение
этого явления, разумеется, заключается
в потере напора при осушенной поверх-
ности, вследствие которой эта поверхность
действует, как непроницаемая стенка, пока
уровнем сосуда С менее упомянутой наибольшей потерянной
высоты.
§ 2. Переходим к главному содержанию нашего реферата:
к влиянию давления на насыщенные водой пески. Для иссле-
дования этого явления мы расположили опыт, как представлено
на фиг. 5. Сосуд А, наполненный песком и водой, имеет
высота ее над
§ 2
О ВЛИЯНИИ ДАВЛЕНИЯ
37
сверху отверстие, прикрытое пробкой со стеклянной трубкой,
на которую надета резиновая трубка I, сообщающая сосуд А
с трехгорлою склянкой В. В бок сосуда А вставлена с по-
мощью пробки манометрическая трубка D, конец которой,
затянутый кисеей, погружен в песок, а другой конец посред-
ством резиновой трубки т сообщается с трехгорлой склянкой В.
В пообку третьего горла этой
склянки вставлена стеклянная
трубка, которая с помощью
резиновой трубки п с краном i
соединяется с напорным сосу-
дом С, наполненным водой.
Предположим сначала, что
кран i закрыт и резиновые
трубки I и т с сосуда А сняты;
воды же в сосуде А имеется
столько, что она покрывает
песок слоем abdc. (Всякий раз,
как мы перед началом опыта
подольем воды в сосуд А через
его верхнее отверстие, следует
взболтать ее с песком, при-
держивая рукой , манометриче-
скую трубку D, и дать песку
осесть ровным слоем.) При этом
она будет стоять на уровне х, совпадающем с горизонталь-
ной плоскостью ab. Наденем резиновые трубки т и I на
сосуд А и откроем кран i. Вода из сосуда С устремится
в сосуд В, и воздух сожмется в нем до давления, превышаю-
щего атмосферное на давление водяного столба h. Это давле-
ние передается одновременно и на поверхность воды в со-
суде А и на поверхность воды в манометрической трубке D.
Мы увидим, что при открытии крана I вода в манометрической
трубке быстро опустится от уровня х немного вниз, потом
возврг,тится назад и остановится на одной высоте с водой в
сосуде А, но высота эта будет очень немного ниже уровня ab.
Если закроем кран / и снимем трубки I и т с сосуда А, то воды
в манометрической трубке и в сосуде займут прежнюю высоту.
§ 3
О ВЛИЯНИИ ДАВЛЕНИЯ
39
38 О ВЛИЯНИИ ДАВЛЕНИЯ § 2 -
Для второй части опыта, прежде чем надеть резиновые
трубки на сосуд А, вытягиваем из манометрической трубки D
понемногу воду ртом до тех пор, пока поверхность песка не
откроется. При этом надо постараться, чтобы вода в мано-
метрической трубке D остановилась на уровне у поверхности
песка или немного ниже. Наденем после этого резиновые
трубки на указанные места сосуда А и откроем кран i. Мы
увидим, что при этом вода в манометрической трубке D бы-
стро упадет и останется в равновесии на уровне z, который
может иногда находиться ниже дна сосуда А. Это положение
воды будет сохраняться, пока сохраняется давление. Если
поднимать сосуд В, то вместе с этим будет подниматься и
уровень z, стоя все время ниже уровня воды в песках.
Если закрыть кран i и отнять от сосуда В трубку т вместе
с пробкой, то вода в манометре быстро поднимется и станет
приблизительно на прежнюю высоту.
Мы усмотрели причину описанного явления в присутствии
в насыщенном песке воздушных пузырьков, освободиться от
которых очень трудно (в особенности если, повторяя опыт, мы
наливаем на песок сосуда А воду сверху), и во влиянии
потерянного напора у поверхности осушенного песка. Прини-
мая особые меры предосторожности и наполняя сосуд А под
водой понемногу хорошо промытым песком, мы достигали того,
что описанные явления почти переставали быть заметными.
Допустим, что в массе песка сосуда А имеются воздуш-
ные пузырьки, и посмотрим, как объяснятся тогда описан-
ные явления.
При проведении первой части опыта с увеличением давления
все упомянутые пузырьки немно го сжимаются, и песок вбирает
в себя немного воды, которая берется как из манометриче-
ской трубки, так и из воды, покрывающей поверхность
песка. При этом, как легко вычислить на основании
теории движения вод в песках, в манометрической трубке
вода должна падать скорее, нежели на поверхности песка.
Но весьма скоро после открытия крана i устанавливается
равновесие, при котором уровень воды в манометре D и со-
суде А должен быть одинаков, но немного ниже прежнего
уровня, причем понижение уровня, умноженное на площадь
сечения сосуда и манометра, измеряет количество воды,
поглощенной песком.
Во второй части опыта поверхность песка осушена и во-
лосность препятствует извлечению воды из верхней части
песка поэтому вода, поглощаемая песком, берется из мано-
метрической трубки и может в ней упасть на высоту xz, до-
ходящую до размеров максимум потерянной высоты. Но если
бы песок заключал в себе столько воздушных пузырьков,
что количество поглощаемой им воды при увеличивании дав-
ления было бы больше количества воды, подаваемой маноме-
трической трубкой при ее понижении против стояния воды в пе
сках на на ибольшую по-
терянную высоту, то вода
взялась бы и из верхних
слоев песка, которые за-
полнились бы при этом
воздухом. Подтвержде-
нием нашего объяснения
Фиг 6.
является то обстоятельство, что, оперируя с песком, диа-
метры песчинок которого были 0,2 мм, мы не замечали
падения манометра на величину более 38 см.
§ 3. Опыт, описанный в предыдущем параграфе, может, по
нашему мнению, послужить для объяснения одного интересного
явления, замеченного при изысканиях для постройки москов-
ского водопровода В. Г. Шуховым и Н- П, Зиминым. Они нашли,
что высота стояния подпочвенных вод в буровых скважинах
уменьшается с увеличением атмосферного давления и
увеличивается с его уменьшением, причем явление осо-
бенно резко при быстрых изменениях барометра. Хотя
(фиг. 6) водоносные пески А, залегающие глубоко и прикры-
тые твердыми породами и не содержат в себе воздушных
пузырьков (как это было замечено при бурениях), но они
находятся в гидравлическом сообщении с некоторыми водо-
пропускающими слоями В, выходящим! на поверхность земли.
Вот эти-то слои В в своих верхних частях заключают пу-
зырьки воздуха и других газов. Дождевые воды, проникая
по водопропускному грунту В в водоносный слой А, непре-
менно уносят с собой воздух, который закупоривается в слое В
'II
III
40
О ВЛИЯНИИ ДАВЛЕНИЯ
§ 3
в виде пузырьков. Когда атмосферное давление увеличи-
вается, то все такие грунты В начинают вбирать в себя воду,
от этого происходит течение воды из слоя А в слой В
и понижение напора в буровой скважине х, заложенной
в слое А.
Эта работа была доложена автором 28 октября 1888 г. в Отделении
физических наук Общества любителей естествознания (с демонстрацией
опытов) и 15 ноября 1888 г. в Московском математическом обществе;
работа была напечатана в „Трудах Отделения физических наук Общества
любителей естествознания", т. Ill, вып. 1, 1890. Прим. ред.
ON THE EFFECT OF PRESSURE ON SATURATED SAND
In this paper Prof. Joukovsky describes several experiments
which he carried cut by means of the apparatus shown in
Figs. 1, 2 and 3, and explains the phenomena observed.
When in a vessel A filled with saturated sand the height of
water BC is greater than that of the surface of the sand, the
columns of water in pipes F and F' will settle at a level equal
to that of water in the vessel A. In this case the hydrostatic
pressure in the sand will be the same as if the whole volume
were occupied by water.
When the whole surface of the sand is disclosed, the height
of water in the manometer pipes may be less than the height
of water in the sand. The difference between the two heights
may vary from zero to a certain maximum depending on the
diameter of sand grains; with grains of 0,2 mm diameter the
maximum is from 38 to 40 cm. Prof. Joukovsky explains this
phenomenon by the formation of a meniscus of greater or lesr
ser curvature, between adjacent grains (Fig. 2) on the borde-
between the moist and the dry sand.
Making use of the loss in head due to capillarity, Prof. Jou-
kovsky devised the apparatus shown in Fig. 4. So long as the
height of water is above the surface of the sand, water excapes
through both tubes. When the surface of the sand in vessel D
becomes dry, water will flow from vessel C into vessel В just
8s if a siphon were formed by pipes x and у and the sand in
the vessel D.
1 he apparatus shown in Fig. 5 gives the possibility by allo-
wing the water to pass from the tank C into the vessel B, to
produce an equal increase in pressure both in the manometer
xy and on the water level in the vessel A-
42
SUMMARY
If the pressure is made to increase, when the surface of the
sand is covered with water then the column of water in the
manometer will settle at the same level as that of water in ves-
sel A. When the surface of the sand is dried up, the increase
in pressure will cause the level of water in the manometer to
fail below the level in the vessel A (get not lower than 38 cm1
when the diameter of grain is 0,2 mm).
The existance of such pressures Prof. Joukovsky ascribes to
the presence in the saturated sand of bubbles of air whose
volume dimin-shes as the pressure increases. In the second part
of the experiments the drawing of water from the upper layers of
sand is prevented by the capillarity of sand, hence the absor-
bed water is drawn from the manometer pipe.
The experiments just described explain the changes in the
height of water in the pit-holes by changes in the atmospheric
pressure.
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
(1891 г.)
§ 1. Дюбюа1 и Дюшмен2 показали, что сила удара Р
жидкости, текущей со скоростью v, о неподвижную пластинку
более силы сопротивления Q, которую испытывает пластинка,
движущаяся с той же скоростью в покоящейся жидкости.
Оба ученые пользовались для этой цели прибором, изобра-
женным на фиг. 1. Он состоит из узкого жестяного ящика ABCD
(у Дюшмена 0,3 м в стороне) с дырочками и с пиезометрической
трубкой z, в которую погружен поплавок со стержнем, указы-
вающим высоту воды в трубке. С этим прибором производи-
лось два ряда наблюдений. Прибор погружался в воду с
помоста, соединяющего две лодки, которые двигались в покой-
ном пруде равномерно со скоростью v. Открывая поочередно
ту или другую дырочку 3 при случае, когда они расположены
в сторону движения или повернуты в обратную сторону, опре-
деляли высоту Н поднятия или падения поплавка в трубке z
сравнительно с его высотой при неподвижном приборе и не-
подвижной воде.
Потом прибор помещался неподвижно, будучи погружен
в воду быстробегущего канала, и опыт повторялся в том же
порядке.
Составляя среднюю величину Н для всех дырочек в слу-
чае, когда они расположены вперед или назад, нашли для
Dubuat, Principes d’Hydraulique verifies par un grand nombre d’ex-
periences faites par ordre du gouvernement, Paris 1786—1816.
^uc liemi n, Recherches experimentales sur les lois de la resistance
des s'‘adeS’ Paris 1842.
Дюбюа в некоторых наблюдениях для определения среднего давле-
ния открывал сразу все дырочки. Такой прием я считаю неправильным.
44
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
первого случая положительную величину, а для второго—
отрицательную.
Это показывает, что передняя часть пластинки получает
некоторый избыток давления против гидростатического, а зад-'
няя — некоторую убыль. Дюбюа назвал эти избыток и убыль
давлением и недавлением- Для случая пластинки, движущейся
в покоящейся жидкости, Дюбюа нашел для давления величину,
близкую к
tf2
2F’
где 7 = 1000 — плотность воды,
s — площадь пластинки и
g = 9,8 — напряжение тяжести.
Для недавления он получил:
—0,433
2#
так что вся сила Q выходит
такою:
Q = 1,433
2g
В случае неподвижной пластинки в жидкости, текущей со
скоростью v, Дюбюа нашел, что давление равно
1,186 ys —,
2g
а недавление имеет величину
2g ’
откуда вся сила Р будет:
Р= 1,856 ~ .
2g
Таким образом по наблюдениям Дюбюа получается отно-
шение:
Q 1,3‘
§ 2
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
45
Дюшмен из своих наблюдений и вычислений получает
для этого отношения почти 1,5. Но мы думаем, что этот
вывод получился от несколько туманного воззрения Дюш-
мена на гидродинамическое давление (он разделяет абсолют-
ное и относительное давления) и что при обыкновенном
расчете из его наблюдений получается для упомянутого отно-
шения число даже меньшее 1,3.
Весьма интересно указание Дюшмена, что разность между
р и Q уменьшается с увеличиванием длины погруженного тела
и перестает существовать, когда длина тела превосходит бо-
лее чем в три раза его поперечные размеры.
§ 2. Не только величины сил Р и Q, определяемые для
пластинки, между собой различны, но и все детали течения
жидкости относительно пластинки в двух рассматриваемых
нами случаях получаются различные. Вот, например, как рас-
пределяются в одном из опытов Дюшмена давления на пе-
реднюю часть вышеупомянутого прибора в случае, когда он
движется в покойной воде или неподвижен в текущей воде:
№ дыры Л. И № дыры h Н
1 0,056 0,058 1 0,054 0,082
2 0,051 0,035 2 0,054 0,065
3 0,053 0,022 3 0,054 -0,005
4 0,057 0,034 4 0,054 0,058
5 0,049 0,007 5 0,054 —0,018
Здесь первая колонна дает номера дырочек, вторая выра-
жает в метрах высоту h скорости течения жидкости,
определяемую с помощью трубки Пито, помещенной ря-
дом с прибором, а третья колонна дает в метрах показание Н
поплавка трубки z. Мы видим, что в случае неподвижной
пластинки все высоты Н положительны и уменьшаются от
Центра к краям менее быстро, чем при движущейся пластинке;
ПРИ Движущейся же пластинке на дырочки 3 и 5
получаются отрицательные давления Н, т. е. в этих местах
гидродинамическое давление менее гидростатического.
46
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
§ 2
Вид струй жидкости относительно пластинки был весьма
тщательно определен Дюшменом с помощью особого изобре-
тенного им флюгерного прибора. Эти струи для двух рас-
сматриваемых случаев изображены на фиг. 2 и 3.
Фиг. 2.
ч Мы видим на фиг. 2, что относительно движущейся пла-
стинки струи, срываясь с краев А и D, опять сходятся за
пластинкой, приблизительно на расстоянии, равном поло-
вине ее поперечника, при-
чем за пластинкой обра-
зуется некоторое вихревое
кольцо.
На фиг. 3 при непод-
вижной пластинке струи
в их абсолютном движе-
нии, срываясь с краев,
текут почти параллельно,
и все пространство между
этими параллельными струями наполняется вихревыми нитями.
Дюшмен нашел, что в первом случае (фиг. 2) жидкость
относительно пластинки течет, как будто бы она была заклю-
чена в канале, поперечник которого A'D' в 6 раз более по-
перечника пластинки AD, а во втором случае (фиг. 3) жидкость
течет, как бы в канале, поперечник которого в 4 раза более
поперечника пластинки.
§ 3
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
47
§ 3. Понселе1 в основание своего теоретического опреде-
ления величины сил Р и Q полагает вышеупомянутое соот-
ношение между поперечниками и А Т) и получает для
отношения сил Р и Q величину, близкую с найденной из
опыта. Но, разумеется, как разница в числах 6 и 4, так равно
и разность всех деталей движения относительно пластинки
в двух рассматриваемых случаях является на первый взгляд
одинаково парадоксальной.
Известно, что прибавление ко всем точкам системы общего
равномерного поступательного движения ничего не изменяет
в движении частей системы друг относительно друга и во
взаимных давлениях между частями системы. Вообразив пла-
стинку, движущуюся в покоящейся жидкости со скоростью v,
мы можем прибавить к пластинке и всей массе жидкости
скорость v в обратном направлении и получить неподвижную
пластинку и жидкость, текущую на нее со скоростью v. Как
в первом, так и во втором случае все обстоятельства движе-
ния жидкости относительно пластинки должны быть одина-
ковыми. Между тем, наблюдения показывают противное. Отчего
это происходит?
Дюбюа видит причину явления в том обстоятельстве, что
„спокойная вода представляет сравнительно с движущейся
больше легкости раздвиганию ее частей". Дюшмен видит
причину явления в некотором множителе 4/5, который полу-
чается при сравнении высот Н в обоих явлениях, но по
поводу причины появления этого множителя говорит: „Объяс-
нения, которые я бы мог дать на этот предмет, были бы
длинны, не будучи вполне удовлетворительными". Д. И. Мен-
делеев2 в своей прекрасной работе „О сопротивлении
жидкостей и о воздухоплавании" пишет: „Я не вижу ничего
невозможного в выводе Дюбюа, потому что тело, двигающееся
в неподвижной жидкости, дает повод к движению около него
жидкости, к движению иного рода, чем то, которое расхо-
дуется в жидкости, обтекающей препятствие. Здесь скорости
Poncelet, Introduction a la Mecanique industrielle, Paris 1870,
p. 723.
Менделеев, О сопротивлении жидкостей и о воздухоплавании.
С. Петербург 1880, стр- 41.
48
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
§ 4
жидкости уменьшаются, рождающееся от их потери тепло
происходит от той же жидкости, которой передается. Там
скорости жидкости образуются и прекращаются, потеря ско-
рости происходит в теле, оно теряет энергию, а образую-
щееся от него тепло передается жидкости. Процессы сходны,
но не тождественны". По нашему мнению, все дело стано-
вится совершенно ясным, когда мы останавливаемся на мысли,
что причина разницы между Р и Q происходит не от самой
пластинки, а от разницы в движении жидких масс, в кото-
рые мы погружаем пластинку.
В первом опыте мы погружаем пластинку в неподвижную
жидкость, а во втором — в жидкую массу, которая в природе
никогда не движется, как твердое тело, во всех точках
с одинаковой скоростью, а бывает завихрена. Вихри зарож-
даются на стенках канала от трения о стенки и на свободной
поверхности от трения о воздух и от действия ветров. Эти
вихри заполняют в большей или меньшей степени всю теку-
щую жидкость. Мы можем, например, наблюдать их при
течении весенних вод в реках, вся поверхность которых
покрывается воронками, отмечающими концы вихревых шну-
ров. Случаи покоящейся жидкости и жидкости, текущей
завихренным движением, не могут быть переведены из одного
в другой посредством прибавления поступательного дви-
жения как без пластинки, так и с пластинкой, покоя-
щейся в завихренном движении и движущейся в незави-
хренной жидкости, неподвижной на большом расстоянии от
пластинки.
Присутствие вихревых шнуров в движущейся жидкости
увеличивает силу ее давления на пластинку. Вихревое кольцо,
например, ударяется о бумагу с значительной силой, произ-
водя даже некоторый стук. Присутствие вихрей во всяком
движении жидкости в природе и является причиной того,
что Р> Q. Если бы мы устранили вихри, заставляя тихие
воды пруда вместе с его берегами двигаться со скоростью
v на неподвижную пластинку, то получили бы P=Q.
§ 4. Чтобы не оставалось сомнения в том, что при отсут-
ствии завихренности в течении жидкости устраняется разница
между силами Р и Q, я устроил прибор, изображенный
§ 4
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
49
в 1/2о натуральной величины на фиг. 4’. Он состоит из двух
одинаковых цилиндрических сосудов А и />, имеющих 1 м
вышины и 0,2 м в диаметре. Сосуд В неподвижен, а сосуд А
плавает в сосуде С, имеющем 2 м вышины и 0,3 м в дия-
метре. Сосуды А и В наливаются водою так, чтобы она
отстояла на равные расстояния от их краев (воды мы нали-
ваем столько, сколько можно, чтобы сосуд А не утонул).
В эти сосуды на одинаковое расстояние от их дна поме-
щаются тонкие медные диски D и Е диаметром в 0,1. Диски
подвешиваются на стальных прутьях, укрепленных на под-
весах Роберваля F и G. Подвес F укреплен к неподвижной
подставке, а подвес G к ползуну, могущему с помощью ро-
ликов и направляющих двигаться вверх и вниз вдоль под-
ставки прибора- Стальные прутья ввинчиваются в медные
палочки, от которых идут нити х и у, перекинутые через
блоки К и L, помещенные на концах равноплечего коромысла.
Это коромысло с помощью ножа опирается на неподвижную
подставку. Нить х, обогнув блок К, привязывается непод-
вижно, а нить у, обогнув блок L, проходит через отводный
блок N и вступает на блок М. На этот же блок вступает
нить z', которая держит ползун от подвеса Роберваля G.
Обе нити, обогнув блок М, идут вместе по направлению z
и привязываются к краю сосуда А. Воду из. сосуда С можно
выпускать с помощью широкой гуттаперчевой трубки 5,
которая с помощью тройника соединяется с трубками Т и F,
проведенными в сосуды С и В. При этом трубка F по
желанию может быть зажата особым зажимом.
Предполагаем, что прибор приведен в положение, пред-
ставленное на фиг. 4, и трубка F зажата зажимом. Потом
открываем пробку трубки 5 и даем воде выливаться из со-
суда С в ушат. Скорость истечения в небольшое время
будет почти постоянна; ее можно также регулировать, нажи-
мая на трубку (впрочем в постоянной скорости нет особой
нужды, так как теоретические соображения показывают, что
и при переменном v должно для пластинки получиться Р= Q)-
При изобретении и выполнении этого прибора мне оказали деятель-
ное содействие мои ученики: студенты В. Кузнецов и Н. Андре, которым
приношу мою искреннюю благодарность.
Зак. 2386 — ц. Е. Жуковский, т. VII. 4
50
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
§ 4
От убывания воды в сосуде С сосуд А будет в нем опу-
скаться с некоторой скоростью v. С этой скоростью будут
тянуться нити z' и у, вследствие чего гподвес G вместе
Фиг. 4.
с диском Е будет подниматься
вверх. Но так как нити z' и у
тянутся через блок М с одина-
ковыми скоростями, то это дви-
жение не нарушает равновесия
рычага KL. Последнее может
только нарушиться от разности
в силах натяжения нитей у и х,
так как двойные силы этих натя-
жений приложены к центрам бло-
ков L и К. Натяжевие нити х
измеряет силу Р удара жидкостиг
движущейся со скоростью v вместе
с сосудом А вниз на неподвиж-
ный диск D, а натяжение нити
у измеряет силу Q сопротивления
жидкости в неподвижном сосуде В
на диск Е, движущийся в ней
с той же скоростью v, поэтому
к левому плечу нашего коромысла
будет приложена сила 2F, а к пра-
вому— сила 2Q. Опыт показы-
вает, что при упомянутых дви-
жениях коромысло остается не-
подвижным. Отсюда следует,
что Р= Q.
Потом мы производим другой
опыт. Нити z отвязываются от
сосуда А и привязываются к не-
подвижной подставке. Сосуд наполняется водой, как пред-
ставлено на фиг. 4, причем зажим с трубки Р снимается. Со-
суды В и С сообщаются между собой широкой трубкой, и уровни
воды в них одинаковы. Потом вынимают пробку из трубки .$ и
выпускают воду. Уровни воды в сосудах В и С остаются все
время выпускания одинаковыми. Сосуд А опускается вниз с
О ПАРАДОКСЕ ДЮБЮА
51
§ 4
некоторой скоростью v, но с той же скоростью опускается
вниз и уровень воды неподвижного сосуда В. На диск D про-
изводится давление, которое на основании первого опыта равно
давлению Q диска, движущегося в спокойной воде; на не-
подвижный же диск Е производится удар Р воды, текущей
со скоростью v в неподвижном сосуде В и завихривающейся
о его стенки. Опыт показывает отклонение рычага LK
в правую сторону, откуда следует, что Р> Q.
Описанный прибор пожертвован мною Московскому поли-
техническому музею.
Эта работа была доложена автором 1 февраля 1891 г. в физико-мате-
матической комиссии Отделения физических наук Общества любителей
естествознания (с демонстрацией прибора); 6 апреля 1891 г. автор демон-
стрировал в собрании Политехнического общества прибор, устроенный им
для разъяснения парадокса Дюбюа. Работа была напечатана в „Бюллетенях
Политехнического общества" в 1890—1891 гг. и в „Трудах Отделения
физических наук Общества любителей естествознания", т. IV, вып. 1.
1891. Прим. ред.
1900
4”
ON THE PARADOX OF DUBUAT
The paradox of Dubuat consists in the assertion that the
pressure Q on a plate moving in a stationary liquid differs
from the pressure P on the same plate held at rest in a flow
impinging against it, the velocity of the plate in the former
case, and that of the flow in the latter, being equal. According
to Prof. Joukovsky, the difference between P and Q is due not
to the plate itself, but to the difference in motions of the
masses of fluid in which the plate is immersed.
In the first experiment the plate is immersed in a fluid at
rest, while in the second experiment it is immersed into a
mass of fluid which in nature never moves like a solid with a
velocity equal for all of its particles, but is made of vortices.
The fact that P> Q is due to the presence of these vortices.
To prove the truth of the explanation above given, Prof.
Joukovsky has constructed the apparatus represented in Fig. 4.
The apparatus consists of two identical cylindrical vessels
A and B, of which В is immovable while A floats in a vessel
C (and may be lowered). Vessels A and В are filled with water,
in which are immersed two identical plates, D and E, secured
to rods suspended from the ends of a lever KL having equal
arms. By letting out the water from vessel C the vessel A is
made to sink, while at the same time the plate E whithin
the immovable vessel В will rise with an equal velocity, plate D
remaining immobile. Thus plate E moves in the resting liquid
of vessel Bt while the immobile plate D is washed by the moving
liquid of vessel A, and since that liquid, moving with the vessel,
is free of vortices, pressures on plates D and E are the same.
On the other hand, if the water is let out simultaneously from
vessel C and vessel B, the two plates D and E being hold
immobile, both plates will be washed by flows having the
same velocity but while the flow in A will be free of vortices
that in В will be vortical and as it is shown by the apparatus,
pressure on plate E will be greater than that on plate D.
ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИИ
ПРИ ДВИЖЕНИИ ВОДЫ
(1895 г.)
Прибор для определения потерянного напора при раз-
личных случаях движения воды, который я демонстрирую на
этом съезде, построен мною для механического кабинета
Московского университета.
Он состоит, как видно нафиг. 1, из вертикальной стойки АА,
устанавливаемой тремя уравнительными винтами, и из
трех отдельных частей В, С, D, скользящих по вертикальной
стойке с помощью медных четырехугольных муфт с зажим-
ными винтами.
Нижняя часть В представляет платформу, на которую
помещается прибор Е, в котором развивается определяемое
сопротивление движению воды, и плоский сосуд F, в который
вода стекает. На фигуре прибором Е является круглый ци-
линдрик, заключающий колонну песку и завязанный снизу
полотном. Верхняя часть цилиндрика прикрыта пробкой
с небольшой стеклянной трубкой, на которую надевается
резиновая трубка х.
Вторая часть С представляет круглую медную подставку,
на которую ставится двухгорлая склянка Gс боковым отвер-
стием, соединяющимся с помощью пробки и горизонтальной
стеклянной трубки с резиновой трубкой х.
В одно из верхних горл склянки G входит манометри-
ческая трубка р, а в другое — стеклянная трубка, одетая ре-
зиновой трубкой у, причем концы обеих трубок помещаются
против отверстия сбоку склянки. Склянка G служит для опре-
деления напора, под которым вода проходит через прибор Е.
Этот напор определяется высотой воды от свободной поверх-
54
ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Фиг. 1.
ности в сосуде F до стояния уровня воды в манометрической
трубке р.
Третья, верхняя часть D представляет длинную муфту,
служащую для грубой установки. По этой муфте скользят
две другие, соединенные с
помощью медной полосы на
неизменное расстояние и
поддерживающие две круг-
лые подставки Di и D2.
Установив муфту D, мы мо-
жем уже по ней микрометри-
ческим винтом t сообщать
движение этим подставкам
' Di и Z)2, не изменяя при
этом их взаимного расстоя-
ния.
На подставку Dt поме-
щается трехгорлая склянка
Вульфа Н. В ее горла вста-
влены пробки со стеклянными
трубками, доходящими почти
до дна. Первая трубка, ко-
роткая, одевается рези-
новой трубкой у, вторая —
манометрическая трубка а,
третья — опять короткая,
имеющая снизу узкое отвер-
стие, одевается резиновой
трубкой z.
На подставку D2 ставится
большого размера Мариот-
тов сосуд К, имеющий у
дна горизонтальное отвер-
стие, которое с помощью пробки и короткой стеклянной трубки
соединяется с резиновой трубкой z. Верхнее горло мариоттова
сосуда прикрыто пробкой с передвижной трубкой г. Секунд-
ное количество воды, протекающее из мариоттова сосуда
в склянку Вульфа, определяется высотой напора, которая
ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ
55
измеряется от нижнего конца трубки г до уровня воды
в манометрической трубке.
Основная идея прибора состоит в том, что мы производим
испытание сопротивления, не изменяя количества протекаю-
щей воды, т. е. с постоянной скоростью воды.
Пусть, например, желаем узнать потерю напора при про-
хождении водою известной колонны песку длиной I с опре-
деленной скоростью. Расположив части прибора, как пред-
ставлено на фиг. 1, пускаем его в действие.
Все три резиновые трубки х, у, z могут быть закрыты
<с помощью надеваемых на них зажимов. Для приведения
прибора в действие надо снять сперва зажим с трубки z. Тогда
вода поднимется в трубке q до конца трубки г. Потом следует
снять зажим с трубки у, чтобы вода, заливаясь в склянку G,
закрыла концы вертикальных стеклянных трубок. После
этого нужно снять последний зажим с трубки х-
Устанавливаем передвижением трубки г определенное
количество протекающей воды и отмечаем высоты воды
в трубках q и р (я делаю отметку, перевязывая трубку
ниткой).
После этого прекращаем действие прибора, закрывая
последовательно трубки х, у, z. Помещаем вместо сосуда Е
другой такой же сосуд Е', в котором имеется колонна та-
кого же песку большей высоты иа длину I'. Опять пускаем
прибор в действие. Мы увидим, что уровень воды в мано-
метре р поднимается. Это будет показывать, что в данном
случае песок представляет большее сопротивление. Вместе
с этим уровень воды в манометре q тоже поднимется, что
будет обусловливать меньшее количество протекающей воды-
Чтобы сравнивать второе наблюдение с первым, возвра-
щаемся к прежнему количеству протекающей воды, поднимая
подставки D, и Z)2: сперва грубым движением, потом с по-
мощью микрометренного винта t. Поднимаем их до тех пор,
пока уровень воды в манометре q вступит на замеченное
деление.
Тогда опять будет протекать прежнее количество воды,
но уровень в манометрической трубке р будет стоять выше
отмеченного уровня на 8 делений. Эта высота 8 и будет на-
65
ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ
пором, теряемым при прохождении водой с рассматриваемой
скоростью колонны песку I.
Понятно, что аналогичные наблюдения могут делаться
при определении иных гидродинамических потерь напора:
сопротивления при различных диаметрах труб (речь идет
о движении в трубках Пуазеля), от их колен, от поставок,
суживающих или расширяющих отверстия в трубах, от формы
отверстий истечения и т. д. Прибор очень чувствителен и
дает, например, хорошо заметить изменение коэфициент
трения воды с изменением температуры.
Описываемый прибор имеет главным образом значение,
как лекционный демонстративный прибор, так как на нем
производство того или другого опыта занимает только не-
сколько минут.
Автор демонстрировал 15 февраля 1891 г. в заседании Отделения фи-
зических наук Общества любителой естествознания прибор для определе-
ния гидродинамических сопротивлений; 20 марта 1893 г. автор сделал
доклад на I Русском водопроводном съезде на тему „Прибор для опре-
деления сопротивлений при движении воды" (с демонстрацией прибора).
Статья „Прибор для определения сопротивлений при движении воды“
была напечатана в „Трудах I Русского водопроводного съезда в Москве*
в 1895 г. Прим. ред.
apparatus for determination of resistance in a
MOVING FLUID
The apparatus consists of three parts В, C, D, shifting along
a vertical prop. The jar G with a manometrical tube p serves
for the determination of the pressure under which the water
passes through the resistance E. In shifting of the part D the
distance between the stands Dx and does not change. The
amount of liquid flowing through the jars # and H as well as
through the whole apparatus in a second of time is regulated
by the shifting of the tube r in the vessel of Mariot.
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ
(1899 г.)
§ 1. Вступление. Предлагаемое сочинение заключает
в себе теоретическую обработку результатов наблюдений над
ударами воды в водопроводных трубах. Эти наблюдения
производились в 1897 и 1898 гг. по инициативе заведующего
московским водопроводом Н. П. Зимина на Алексеевской
водокачке инженерами: К. П. Карельских, В. В. Ольденбор-
гером и Н. Н. Березовским; руководство же наблюдениями
было поручено мне.
Опыты делались над трубами 2, 4 и 6" в диаметре, поло-
женными по поверхности земли на дворе водокачки и соеди-
ненными с главной магистралью г. Москвы, которая имеет
24" в диаметре г. Наблюдалось изменение гидродинамического
давления в трубе и распространение этого давления вдоль
трубы при прекращении течения воды посредством весьма
быстрого закрытия задвижки при конце трубы. Эти опыты
дали интересные результаты, которые, насколько мне изве-
стно, до сих пор не указаны в технической литературе. Ока-
залось, что все явления гидравлического удара объясняются
возникновением и распространением в трубах ударной волны,
происходящей от сжатия воды и от расширения стенок трубы-
§ 2. Литература, относящаяся к рассматриваемому вопросу.
Теоретические исследования о распространении изменения
гидродинамического давления вдоль труб с упругими стен-
ками возникли главным образом при объяснении физиоло-
гических (распространение пульса) и звуковых явлений.
Для объяснения опытов, которые делал Магеу над распро-
странением напора воды вдоль каучуковых труб, Resal2 пред-
1 Так как диаметры труб выражаются в целых числах дюймов, то за
меру длины в нашем сочинении приняты дюймы, футы и сажени.
Н. Resal, Note sur les petits mouvements dun fluide incompressible
dansuntuyeau elastique, „Journal de Mathematiques pures etappliquees*, 1876.
§ 2 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 59
ложил весьма простой анализ, принимая воду за тело несжи-
маемое. Он нашел, что скорость X распространения ударной
волны вдоль трубы выражается формулой:
i — l/" Ее%
х”1/ W
где Е — модуль упругости каучука, е — толщина стенок трубы,
g — напряжение тяжести, 2R— диаметр трубы и у—-плотность
жидкости.
Более полный анализ того же явления при отсутствии
сжатия воды, но принимая во внимание влияние инерции
стенок трубы и трения жидкости, был сделан проф. Гро-
мекой’. Он дал биквадратное уравнение, корни которого вы-
ражают две скорости распространения волн.
Анализ явления, принимая во внимание сжатие воды (при-
менительно к распространению звука) сделал Korteweg2. Он
дает, между прочим, следующую приближенную формулу ско-
рости звука в упругой трубке, наполненной жидкостью:
) __ ^1^2
где Xj есть скорость звука в рассматриваемой жидкости,
а Х2—скорость волны в несжимаемой жидкости, наполняю-
щей трубу, определенная по формуле, которую дал Resal.
Korteweg рассматривает трубку, как упругую перепонку, и
не обращает внимание на силы упругости, на сгибание и
срезывание стенок трубы. Все эти обстоятельства принял во
внимание Lamb3 в его недавно появившейся работе о распро-
странении звука в трубах, наполненных жидкостью. Он вы-
водит биквадратное уравнение, из которого можно опреде-
лить две скорости волны при рассматриваемом явлении. При
этом один из корней упомянутого уравнения при небольшой
И- Громека> о скорости распространения волнообразного движе-
ния жидкостей в упругих трубках, Казань 1883.
D- Korteweg, Over Voorplating-snelheid van golven In elastische
buizen, Leiden 1878.
Lamb, Ober die Geschwindigkeit des Schalles unter Einfluss der
Elastizitat der Wande, Proceedings of the Manchester. Soc., 1898. Краткий
отчет о работе см. в Wiedemanns Beiblatter, Heft 9, J 898.
60
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
толщине трубы (не превосходящей 0,1 радиуса) близко под-
ходит к скорости, которую дает Korteweg.
Задача техники о распространении вдоль водопроводной
трубы гидравлического удара, образующегося вследствие
быстрого прекращения истечения воды из трубы, обыкно-
венно не ставилась в связь с вышеупомянутыми теоретиче-
скими исследованиями.
Инженеры, которые занимались этой задачей, не обратили
внимания на то, что при весьма быстром закрытии задвижки
вода останавливается и давление поднимается только при
задвижке, и это состояние воды передается по трубе по за-
кону распространения волнообразного движения. Я полагаю,
что упомянутое обстоятельство было упущено из виду по-
тому, что наблюдения не делались над длинными трубами;
в коротких же трубах, ввиду громадной скорости распро-
странения ударной волны (около 4200 фут.), поднятие да-
вления представляется происходящим вдоль всей трубы
одновременно.
В 1890 г. проф. Church1 напечатал исследование над ко-
лебанием напора воды возле закрываемого крана водопро-
водной трубы. Исследователь полагает, что наибольший на-
пор, наблюдаемый при этих колебаниях, зависит от времени
и способа закрытия крана (мы увидим ниже, что в том слу-
чае, когда время закрытия крана менее времени двойного
пробега ударной волны от крана до магистрали, наибольший
напор зависит только от скорости истечения воды).
Наиболее обстоятельные исследования над гидравлическим
ударом в водопроводных трубах были сделаны по плану, ко-
торый предложил проф. Carpenter2, студентами Silbey Col-
lege. Наблюдался удар в трубе, имеющей в диаметре
при скорости истечения воды, достигающей 8,6 фута. Опыты
были расположены, как представлено на фиг. 1.
Вода под напором 2 ат подавалась в трубу AF от А к F.
Скорость истечения регулировалась краном А и опре-
делялась с помощью трубки Pitot Е. Затвор производился
1 Church, “Journal of Franklin Institute", 1890.
2 Carpenter, Some experiments on the effect of water-hammer, “The
Engineering Record", vol. 30, 1894.
о ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
61
задвижкой D, которая закрывалась посредством быстрого
действия рукой на рычаг.
Изменение давления воды определялось с помощью инди-
атора Crosby С, который вычерчивал диаграмму, причем
стрелка, изображенная на нашем схематическом рисунке,
заменялась карандашом, пишущим по вращающемуся цилиндру.
Перед задвижкой D помещался воздушный колпак В, который
поворотом около оси трубы вниз мог быть обращен в во-
дяной колпак и мог быть также совсем снят.
Фиг. 1.
Опыты производились с воздушным колпаком, с водяным
колпаком и без колпака. Этим трем случаям соответствуют
виды диаграмм верхней, средней и нижней, данные на фиг. 2.
Начало первых двух диаграмм обозначено буквой а, на-
чало же последней — буквой Ь. Самая плавная диаграмма есть
верхняя, получаемая при воздушном колпаке; она имеет изо-
хронные волны, постепенно понижающиеся с возрастанием
времени. При увеличивании объема воздуха в колпаке наи-
больший напор при ударе уменьшался, но это уменьшение
не было пропорционально объему колпака.
Для трубы без колпака получалась нижняя неправильная
диаграмма. Удар в этом случае вызывал заметное дрожание
трубы. На диаграмме после быстрого поднятия давления на
высоту Ьс замечалось его падение, идущее ниже линии атмо-
сферного давления АВ до точки d, потом давление опять
быстро поднималось до точки е, которая большей частью
была выше точки с. Carpenter не дает объяснения этих, на
первый взгляд, загадочных изменений давления и пользуется
полученным им материалом только для определения наиболь-
ших давлений при различных скоростях истечения.
I
62 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ § 2
Скорость v в футах Избыток давления Р в ат
2,91 4,3
3,35 6,1
4,20 7,7
5,05 9,7
6,02 13,3
7,07 15,7
8,60 17,3
Приводим здесь в сокра-
щенном виде таблицу этих
давлений для трубы без
колпака, причем мы выра-
жаем давления в атмосферах
и вычитаем из них 2 ат,
чтобы получить избыток да-
вления против гидростатиче-
ского. Мы видим, что избыток
давления составляет прибли-
зительно 2 ат на каждый
фут потерянной при ударе
скорости. Это число, как увидим ниже, менее того, которое
получилось из опытов
предположить, что
Carpenter употреблял
для своих наблюде-
ний трубки с более
тонкими стенками,
нежели мы, или что
время затвора его ры-
чажной задвижки бы-
ло более времени
пробега ударной вол-
ной двойной длины
трубы DA, считая от
задвижки до маги-
страли. Последнее
предположение мне
кажется вероятным,
так как все вершины
при Алексеевской ‘Водокачке. Надо
Фиг. 2.
волн на диаграммах
фиг. 2 заострены
1 Carpenter определяет из диаграммы время 0,03 сек., протекшее от
точки Ь начала поднятия давления до его наибольшего значения в точке с
и предполагает, что это есть время затвора. Я думаю, что это —двойное
время пробега ударной волной от задвижки до магистрали. Время же за-
твора у него, вероятно, более 0,03 сек.
§3
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
63
Опыты, которыми руководил Carpenter, насколько мне
известно, являются главными исследованиями над ударом
в водопроводных трубах.
Остальные работы этого рода или относятся непосред-
ственно к гидравлическому тарану, или представляют прибли-
женные теоретические исследования, как, например, исследо-
вание Menabrea х.
§ 3. Применение формулы Korteweg к явлению гидра-
влического удара. Направим (фиг. 3) ось Ох вдоль оси трубы
Фиг. 3.
навстречу текущей воде, скорость которой будем считать по-
ложительной в направлении, обратном оси Ох.
Предположим, что вследствие быстрого закрытия задвижки
при точке О вода возле этой задвижки останавливается, и эта
остановка постепенно передается* по трубе, причем вода- сжи-
мается, а стенки трубы расширяются.
Выделим мысленно массу воды М, заключенную между
двумя смежными перпендикулярными сечениями трубы А и В,
и напишем для этой массы теорему об изменении со време-
нем количества движения:
r^P~r.R'2p'-^2r. Ip^-Rclx = — M~,
где R и R' — внутренние радиусы трубы в сечениях А и В,
Р и Р — гидродинамические давления в этих сечениях,
a v скорость центра тяжести массы М. Предположив, что
Meissner, Die Hydraulik und die hydraulischen Motoren, lena 1870,
Bd. I, S. 404.
64
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
сечения А и В бесконечно близки, и заменив массу М через
^R2pdx, где р — плотность жидкости, найдем, что
др dv
(1)
Здесь v есть скорость в рассматриваемом сечении жид-
кости, р0 — плотность воды до удара, которую мы пишем здесь
вместо р вследствие весьма малой сжимаемости воды, а пол-
ная производная по времени имеет следующее значение:
d _ д д
di di v дх
Определим теперь количество жидкости, вошедшей в про-
должение элемента времени dt в объем, заключенный между
смежными сечениями А и В, и напишем:
D,a , , „„ r> С dR М др
^R'2p'v — idRVpv — 2^ I р -т— Rdx —---------,
J dt p dt
^откуда, переходя к бесконечно близким сечениям, получаем:
dv _ 1 dp . 2 dR . .
di “ dt 1 dt ’
где Ro — значение R до удара.
Назовем через k модуль упругости воды (отношение уве-
личивания давления к уменьшению объема, отнесенное к еди-
нице объема), через р0— давление до удара и напишем:
Р—Ро=(1 —
Эту формулу вследствие малой изменяемости плотности
можно представить еще так:
р-Ро=£=^А. (3)
го
Вообразим теперь (фиг. 3) бесконечно тонкое полукольцо аЬ,
представляющее половину части трубы, отрезаемой нашими
сечениями А и В при их бесконечно близком расположении,
и выразим, что силы упругости, развивающиеся в сечениях а
§ з
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
65
и b этого полукольца, равны сумме проекций сил давления
жидкости на средний радиус полукольца:
2 dx е = 2R dx(p — р0),
где е — толщина стенок трубы, а Е — модуль упругости ее
вещества. Вследствие малой изменяемости R написанное ра-
венство может быть представлено в таком виде:
pF
p-p0=^(R-R0). (4)
Определяем величины р и R из формул (3) и (4) и под-
ставляем их в формулу (2):
dv / 1 . 2R0 \ с?р
dx \ k " ' еЕ I dt
Если для сокращения письма положим, что
Х =---г 1______ , (5)
, /Ро , 2Ropo
V к ~еЕ
то написанная выше формула представится в следующем про-
стом виде:
dv dp
,^=Л-
(6)
Формулы (1) и (6) решают вопрос о распространении удар-
ной волны в трубе. Раскрывая в них полные производные по
времени, будем иметь:
(7)
Согласно способу исследования, который предложил Rie-
mann , умножаем первое из этих уравнений сперва на потом
Riemann, Uber die Fortpflanzung ebener'Luftwellen von endlicher
Schwingungsweite, Gesammelte Werke, 1876, S. 145.
Зак. 2386 —Ц E. Жуковский, т. VII.
5
66 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ§3
на — X, и оба раза складываем со вторым. Получаем:
д д
77 (р + РоМ = (х + *0 77 (р+РоМ,
д д (8)
72 (р ~ РоМ = — (к—*’) 77 (р — РоМ-
Введем для сокращения письма обозначения:
2s=p —р0Ч
2г = р + р0Хщ
и заметим, что на основании формулы (8)
ds = 77 + 7)tdt=z7)x [с?х “ —
, , (10)
dr = dx + дГ{ dt=£ [dx + (X 4- v)dt\.
Эти уравнения показывают, что значение функции s пере-
носится вдоль трубы в положительную сторону оси Ох со ско-
ростью волны X—v,_ а значение функции г переносится
в прямо противоположную сторону со скоростью X-j-w. Обе
эти скорости не равны между собой и переменны вследствие
изменяемости V, но в рассматриваемых нами опытах v не
более 10 футов, тогда как постоянная величина X, как будет
показано ниже, около 4200 футов. Вследствие этого мы можем,
делая очень малую ошибку, сказать, что значения обеих функ-
ций s и г переносятся: одна в положительную сторону оси Охг
а другая — в отрицательную сторону ее с постоянной ско-
ростью X.
Эта мысль выражается математически следующими фор-
мулами:
r= Po-hW __PoxFi(x+Xf)> (n)
где F и F.—некоторые произвольные функции, а постоянные
величины и множители прибавлены для удобства дальнейших
выводов.
3 3 ° ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 67
-Зная s и г, мы можем на основании формулы (9) опреде-
лить во всякой точке трубы и во всякое время v и р. Эти
функции будут:
v = F(x — kt) — Ft(x X/), |
p — Po = ho — F(x— kt) — /ч(х + х0]РоХ- /
Входящие сюда произвольные функции F и Ft должны
быть определены по начальному состоянию течения жидкости
и по граничным условиям в концах трубы.
Скорость распространения ударной волны X будет дана
формулой (5). Если бы стенки трубы были нерастяжимы, то
мы должны были бы положить Е = <х> и тогда получили бы
для скорости ударной волны величину:
<13>
где у — плотность жидкости, отнесенная к весу, a g—напря-
жение тяжести. Это и есть скорость распространения звука
в свободной жидкости. Если же, наоборот, мы бы имели не-
сжимаемую жидкость, то надо бы положить к — оо, и мы
нашли бы формулу:
(М)
которую вывел Resal для скорости распространения изменения
давления несжимаемой жидкости вдоль упругой трубки.
В предположении сжимаемости жидкости и расширяемости
стенок трубы мы получаем формулу (5), которой можно дать
следующий простой вид:
^•1^2
2’1
(15)
К
^2 / .
2
Это есть формула, которую дает Korteweg для распро-
странения звука; сказанное доказывает, что она может быть
применена и к гидравлическому удару.
Заметим еще, что вошедшая в наш анализ формула (4)
является приближенной, так как при выводе ее мы не обра-
тили внимания на силы упругости, развивающиеся в сечениях
5*
68
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 3
нашего полукольца, перпендикулярных оси трубы, и на силы
инерции вещества полукольца при его движении.
Первое обстоятельство не должно оказывать заметного
влияния при наблюдениях над водопроводными трубами, так
как последние стыкаются из большого числа отдельных
частей, которые могут быть рассматриваемы, как упругие
кольца конечной длины. Что касается сил инерции вещества
трубы, то при имеющемся в наблюдениях времени затвора
влияние этих сил является совершенно ничтожным сравни-
тельно с эффектом сил упругости трубы. Действительно, если
принять во внимание силы инерции вещества трубы, то фор-
мула (4) должна быть заменена следующей:
рЕ tPR
Р — Po = R^(R~~ AJo) + ehj^>
где h — плотность чугуна.
Время закрытия задвижки, при всем нашем старании сде-
лать его по возможности коротким, не могло быть сделано
cPR
менее, как 0,02 сек.; поэтому за наибольшее значение 2
надо считать величину:
Ж^«)= 5000 (/?_/?„).
Подставляя это в вышенаписанную
ее на основании формулы (14) в таком виде:
формулу, представим
Р Ро — 2р0 (R R0)R0
Г/М2
lUo)
2Г У- 5000
‘^•'0 Ро
Для трубы в Ч" в диаметре \, как будет показано в конце
этого параграфа, около 1834 саженей, так что
р9) = (154056)2,
ко /
а
5000 ’ ~ = Г • 7>8 • 5000 = 6500.
2R0 р0 б
§ з
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
69
Второе число, выражающее влияние инерции, является со-
вершенно ничтожным сравнительно с первым. Этим объяс-
няется то обстоятельство, что при всех наших наблюдениях
индикаторы ни разу не обнаруживали давлений жидкости, пе-
редаваемых по трубе с двумя различными скоростями, о кото-
рых говорят Lamb и проф. Громека.
Величина представляет скорость распространения звука
в свободной жидкости, т. е. в нашем случае в воде. Эта ско-
рость, как известно, равна 1435 м или 673 сажени, поэтому
мы будем брать:
Xj = 673 сажени.
Что касается скорости Х2, то она определяется по фор-
муле (14) и выходит различной для труб различных диаметров,
потому что дробь
е
2^’
входящая в упомянутую формулу, по правилам, установленным
в практике, берется тем менее, чем диаметр трубы более.
В таблицах, данных на Московском водопроводном съезде,
имеем для труб, употребляемых в России, следующие соотно-
шения между диаметром и толщиной:
2/?0 е / е
в дюймах в дюймах 2/?0
2 10 32 1 8 /Тб-
4 11 32 1 8 Л V 2
6 13 . 32 1 8 Л 13^ И 3
24 22 32 1 8 / и V 6
Вычислим скорость
Х2 для трубы диаметром
в 2" и выразим эту ско-
рость сначала в м. Мо-
дуль упругости для чу-
гуна, из которого де-
лают водопроводные
трубы, можно принять
около 1 000 000 кг1см2
или 1010 кг1м2,* так что
f=1010.
Полагая в формуле
(14):
g = 9,8, у = 1000,
70
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
найдем для трубы в 2" по приведенной таблице:
, 1 ,/10"-9,8 Ю000 1/Q- qQ1„
Ха=’8 ]/ -1№~==“8~1/9’8===3913 М
Таким образом для трубы в 2" в диаметре
Х2 = 1834 сажени.
Если эту величину Х2 умножим соответственно на
то получим скорости Х2 для труб в 4, 6 и 24"; пользуясь же
формулой (15), определим по Xj и Х2 величину X.
В нижеследующей таблице даны величины Х2 и X для труб
четырех рассматриваемых диаметров.
§ 4. Теоретические опре-
2/?0 в дюймах ^2 в саженях X в-*саженях деления наибольшего увели- чения давления во время гидравлического удара. После момента закрытия за- движки в точке О при конце
2 1834 632
4 1360 604 трубы (фиг. 3) вдоль трубы
6 1207 588 будет, как ясно из сказан-
24 786 511 ного в § 2, передаваться
со скоростью X фаза, соот-
ветствующая скорости нуль
и наибольшему подъему давления р — р0. Пусть сечения А и В
в нашей трубе расположены в данный момент времени так
что в сечении А скорость жидкости есть нуль и давление
есть наибольшее давление р, а в сечении В скорость жид-
кости есть г>0 и давление есть давление до удара р0 (мы пред-
полагаем сначала для простоты рассуждения, что давление до
удара одинаково во всей трубе).
Количество жидкости, прошедшее через сечение В и равное
*/?02 vodt,
поместится в пространстве между сечениями В и А, потому
что во время dt точка, с которой начинаются деформация
§ 4
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
71
трубы и изменение плотности р, подвинется вправо на про-
странство X dt. Освободившийся от этой причины объем будет:
\dt.
Ро /
Сравнивая между собой оба объема и пользуясь соотно-
шениями (3) и (4), найдем, что
, ч /2Л>0 1\
Из этой формулы определяется искомая величина р — р0
приращения давления от удара, которую мы будем обозначать
через Р: V()
vo
(2R(J , IV
\ е£ к )
На основании формулы (5) это равенство преобразуется
так: ,
ё
(16)
Мы видим, таким образом, что приращение давления
в трубе от гидравлического удара прямо пропорционально
скорости, потерянной на ударе, и скорости распространения
волны в трубе.
Формула (16) может быть точно так же выведена и из
теоремы живых сил.
Пусть длина трубы есть I. Вся живая сила воды, напол-
няющей трубу, будет:
^о2Ро^2-
4-'
Эта живая сила потратилась на работу расширения трубы
и сжатия воды.
Так как первоначальное давление р0 уравновешено давле-
ниями стенок трубы и упругости воды, то работу будет
производить приращение давления, которое изменяется от
нуля до Р, Работа на расширение стенок трубы будет по
формуле (4):
[ Pd(R — Ro) = JPdP=^Q-P2;
72 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 4
подобным же образом работа на сжатие воды на основании
формулы (3) выразится так:
^.Jpj(p_p0) = ^J pjp=^L^
Приравнивая сумму этих работ вышенаписанной потерян-
ной живой силе, найдем:
п 2 = Г 2^°Р° -4— В» 1 Р2
Р° ° L еЕ Ф kV’
откуда на основании формулы (5) сейчас же получим фор-
мулу (16).
Величина ,
g ’
входящая в фомулу (16), выражает нам высоту столба воды,
соответствующую определенному давлению Р. Если выразим
эту высоту в футах и разделим на 34 (средняя высота
атмосферного давления), то найдем число атмосфер Л, на
которое прирастает давление на каждый фут потерянной ско-
рости. Полагая, что g = 32 футам, а скорость К выражена
в саженях, получим для определения h формулу:
По этой формуле составляем следующую теоретическую
табличку величин Л:
2/?0 в дюймах Л в ат
2 4,066
4 3,886
6 3,783
24 3,287
Первые три числа этой таблицы близки к 4, так что на
основании теоретических соображений следует для труб 2, 4
и 6" ожидать 4 ат добавочного давления на каждый фут
потерянной скорости.
§ 5
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
73
§ 5. Теоретическое определение вида ударной диаграммы
в различных точках трубы. Задача о виде диаграммы, ко-
торую вследствие быстрого прекращения истечения воды бу-
дет вычерчивать карандаш индикатора, соединенного с трубой
в какой-нибудь ее точке, решается через определение произ-
вольных функций, входящих в формулу (12). Это определение
должно быть сделано так, чтобы удовлетворить заданным
значениям v и р во всех точках трубы в начальный момент
времени и условиям, которыми стеснены v и р при конце и
начале трубы, за все время после начала закрытия задвижки.
В начальный момент времени вдоль всей трубы v имеет
постоянное значение мы будем сначала принимать для
простоты, что и величина р0 вдоль всей трубы при этом
постоянна и мало отличается от давления в магистрали \
с которой труба соединена (это приблизительно имеет место,
когда вода истекает из трубы при мало открытой задвижке)
Если 1 будет время затвора, то от момента закрытия задвижки
за время т, скорость v при конце трубы будет выражаться
некоторой функцией времени:
зависящей от способа закрывания задвижки.
Эта функция за время т убывает от v0 до 0. По истечении
времени т будем для всего дальнейшего времени иметь при
конце трубы v = 0. При начале трубы, считая магистраль
очень большого диаметра сравнительно с трубой, будем все
время иметь постоянное давление р = р0.
Для большего удобства мы будем вместо величины р
рассматривать величину Р — р — р0 и скажем относительно
нее, что она в начальный момент равна нулю вдоль всей
трубы и все время равна нулю у начала трубы при ма-
гистрали. Будем предполагать, что величины v и Р, данные
формулой (12), слагаются из суммы величин:
® = + Р=Р1 + /Э2,
В § И будет показано, как отражается на виде индикаторной
диаграммы то обстоятельство, что гидравлическое давление падает от на-
чала к концу трубы.
74
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 5
где
vt = F (х — X/),
Л = ho — F(x — Xf)J,
Wo = F\ (х + ^0, 1
Р2 = -рЩ(х + П). /
(18)
(19)
Фаза состояний Wj и Рг будет передаваться по трубе
вправо со скоростью X и будет называться нами правой
волной; а фаза состояний v2 и Р2 будет передаваться по трубе
со скоростью X влево и будет называться нами левой волной.
Фиг. 4
Если длина трубы есть I, то функция F, определяющая
правую волну, должна быть найдена для всех значений аргу-
мента от I до — оо, а функция Flt определяющая левую
волну, должна быть найдена для всех значений аргумента
ст 0 до оо.
Дадим здесь графическое построение этих функций, или,
что все равно, построим диаграммы правой и левой волн.
Пусть .
с6 = 4-
л
представляет выраженную во времени пробега ударной вол-
ной длину трубы (фиг. 4). Примем отрезок cb за половину
§5 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
75
основания прямоугольника abde, высота которого будет:
со = v0.
Построим кривую cft ординаты которой отсчитываются
вниз от горизонтали ое и выражают скорости воды у
задвижки за время затвора-
v=f(t) = F(-M),
причем абсциссы t откладываются по ое от о к е, так
что of=~-
Кривая с/ разделит наш прямоугольник abde на две фи-
гуры (1) и (2).
Из этих фигур и складываются диаграммы, которые пред-
ставляют правую и левую волны. На фиг. 4 римскими цифрами
I и II обозначаются упомянутые фигуры в том случае, если
их пришлось положить на плоскость чертежа стороной, про-
тивоположной той, какой они лежат на плоскости, составляя
прямоугольник abde. Над горизонталью, проходящей через
трубу cb, помещена на фиг. 4 диаграмма правой волны, ко-
торая составлена последовательно из контуров: (2), (7), (//),
(/),...; под упомянутой горизонталью помещена диаграмма
левой волны, которая составлена последовательно из конту-
ров: (2), (I), (II), (7),..., причем c1b = cb.
Величины v в правой волне даются вертикальными рас-
стояниями горизонтали ed от точек линии bcfcj^..., а давле-
ния Р даются, согласно формуле (18), расстояниями упомя-
нутой линии от горизонтали ab, умноженными на р^. Вели-
чины v в левой волне даются отрицательными значениями
расстояний от горизонтали аЬ точек линии cCj/jCg/з, а давле-
ния Р, согласно формуле (19), даются отрицательными значе-
ниями тех же расстояний, умноженными на рХ.
Легко видеть, что построенные нами диаграммы правой
и левой волн удовлетворяют всем вышеупомянутым началь-
ным и граничным условиям. Действительно, предположив, что
эти диаграммы движутся со скоростью, равной единице (еди-
ница скорости по горизонтали сЬ соответствует скорости У-
по длине трубы), одна направо, другая налево, найдем для
начального момента времени вдоль всей трубы cb скорость
76
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ S
® = и давление Р = 0; далее, начиная от момента закры-
тия задвижки, получим при ней скорость, представленную
расстояниями точек кривой с/ от горизонтали ed, т. е. изме-
няющуюся по заданному закону f(t). После полного закры-
тия задвижки вдоль трубы cb будет передаваться скорость
v = 0 и давление P—v0рХ. В тот момент, когда точка с
правой волны подойдет к началу Ь трубы, к этой же точке
подойдет и точка левой волны. С этого момента начнется
сложение положительного давления ^bk (см. фиг. 4 под
точкой 6), приносимого правой волной, с отрицательным
давлением — ркЪки приносимым левой волной. Так как
Ьк = Ьк1г то эт*о сложение будет давать для значения Р при
начале трубы величину Р = 0; то же будет иметь место, когда
правая волна будет приносить к точке b значение Рг = г»орХ,
а левая Р% = —т>орХ. Когда точка с2 правой волны подойдет
к точке о, а точка сг левой волны подойдет к точке с
(см. фиг. 4 над точкой с), то при конце трубы с начнется
сложение положительной скорости ok, приносимой правой
волной, с отрицательною скоростью cklt приносимой левой
волной (см. фиг. 4 над точкою с). Так как во всякий момент
времени ok = ck1, то все время при задвижке и = 0; то же
будет иметь место, когда правая волна будет приносить
к задвижке скорость v0, а левая — скорость — v0.
Продолжая рассуждать таким образом, убедимся, что за
все время после удара при начале трубы будем иметь Р=0,
а при конце т = 0. Построим теперь диаграмму индикатора
для какой-нибудь точки трубы, отстоящей от конца трубы на
расстояние Е. Пусть ci будет это расстояние, выраженное во
времени его пробега ударной волной:
. Е
С1~ X *
Мы должны бы были для желаемой цели к каждой вели-
чине Р, взятой (фиг. 4) на диаграмме левой волны на расстоя-
нии i вправо от Z, придать алгебраически величину Р, взятую
с диаграммы правой волны на расстоянии t влево от i; но
вместо этого мы можем просто вообразить, что чертеж
(фиг. 4) перегнут около вертикали и и левая его половина
§ 5
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
77
наложена на правую. При этом симметричные относительно
оси Н точки прямой г/3 и прямой if%, совпадут, как это пред*
ставлено на фиг. 5, на которой контуры диаграмм левой и
и правой волн обозначены теми же буквами, какими они
обозначены на фиг. 4.
Мы видим, что диаграмма индикатора будет иметь вид
зачерненной линии cfgqnTnc^ftf^. Можно дать удобный практи-
ческий способ построения таких диаграмм для различных
точек трубы. Надо сделать линейку N и обрезать ее сверху
по контуру сс1/1с3/3с4 левой волны; потом начертить на бу-
Фиг. 5.
маге повернутую слева направо правую волну cfafacji и при-
ложить к ней линейку, как показано на фигуре, причем
ес = 2г.
Соображая после этого алгебраическую сумму Рх -|- Р%
в соответственных точках, мы сейчас же вычертим контур
cfgqnmcJ-jcit представляющий диаграмму индикатора (ординаты
контура надо умножить на рХ). Длина этого контура по на-
правлению прямой Р = 0 будет:
4Z
сс4— к ,
т. е. представит учетверенное время пробега ударной волной
всей трубы, причем из данного построения видно, что с те-
чением времени указанная диаграмма будет периодически
повторяться.
78
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 5
Заметив, что проекции кривых с/, q/j, ... на направле-
ние сс равны времени затвора ", найдем для различных
частей нашей диаграммы следующие величины:
CCj = пк
fg = mcs
.2(1—Ъ)
л
2 (Z—с)
X
, 2e
С1П = ЛС4 =-т-,
Л
. 2Е
qn =/8c4 = -j-_
Л
(20)
Из первой формулы следует, что время, протекшее от
начала поднятия давления Р до начала его падения, равно
двойному времени пробега ударной волной расстояния от
индикатора до магистрали.
Это положение принято нами в основание метода опреде-
ления Л, причем диаграммы снимались по большей части у
задвижки, и получалась через разделение двойной длины
трубы на упомянутое время.
Когда индикатор поставлен настолько близко к концу
трубы, что
2£
л <т’
тогда на диаграмме не получается прямых qn и /Зс4 нулевого
значения Р; равным образом, когда он поставлен настолько
близко к началу трубы, что
2(7-;)
К
то не получается прямых fg и тс3 наибольшего положитель-
ного и отрицательного Р.
Таким образом в рассматриваемой задаче могут существо-
вать три вида диаграмм, изображенных на фиг. 6.
Диаграммы, снимаемые при задвижке, имеют всегда второй
вид, при этом следует обратить внимание на то, что в этом
случае первая диаграмма не вполне симметрична с последую-
щими периодически повторяемыми диаграммами, так как
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
79
проекция на прямую Р = 0 кривой с/ есть ", проекции же на
эту прямую gq, mq и с3/3 есть в последующих же диа-
граммах проекции всех четырех упомянутых боков суть -g- . На
третьей диаграмме выступ и впадина уменьшаются с прибли-
Фиг. 6.
жением к началу трубы, и при самом начале индикатор дол-
жен нам дать прямую Р=0.
§ 6. Расположение наблюдений над гидравлическим
Ударом при Алексеевской водокачке. Три системы труб,
диаметрами в 4, б и 2", из которых первая имела длину
150,0 сажен, вторая — длину 152,3 сажени, а третья —
длину 356,3 сажени, были заложены по двору Алексеевской
водокачки, как это показано на фиг. 7.
Рубы в 4 и 6" брали свое начало от колодца F главной
магистрали в 24" в диаметре и имели выпускную за-
движку около колодца G; они располагались в виде двух
80
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 6
рядом идущих петель. На фиг. 7 внутренняя, незачерченная
труба есть труба в 4", а наружная, представленная черной
чертой, есть труба в 6". Труба в 2" примыкала к магистрали
в 24" у колодца G и, сделав длинную петлю, идущую около
забора двора водокачки, представленного крайним пунктиром,
возвращалась назад к выпускной задвижке, расположенной
около того же колодца. Выпускной конец для всех трех
труб был сделан общий, так что одна и та же задвижка
могла служить для затвора любой из труб при их надлежа-
щем соединении с выпускной трубой. Над задвижкой воз-
вышалась двунога (фиг. 8), служащая для подъема груза
с помощью проволочного каната, перекинутого через блок.
Этот груз падал во всех наших опытах с одной и той же
высоты и, дергая посредством проволочного каната за
рычаг задвижки, закрывал ее в продолжение около 0,03 сек.
Около двуноги находилась постоянная будка № 11
в которой помещался индикатор Кросби, соединяемый с кон-
цом испытуемой трубы.
Количество вытекающей воды при наблюдениях над
трубой в 2 определялось в фунтах с помощью малого
металлического бака, поставленного прямо на десятичные
§6 о ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 81
весы, а при наблюдениях над трубами 4 и 6" это количество
определялось в пудах с помощью большого деревянного
бака, снабженного водомерной трубкой, градуированной на
пуды. Эти баки видны на фиг. 8 налево от двуноги.
При пользовании малым баком опыт производится так.
Рукав, соединенный с выпускной трубой, оканчивался
короткой изогнутой металлической трубкой, которая подве-
Фиг. 8.
шивалась на крючок на высоту малого бака. Водовыпускная
задвижка открывалась до желаемой степени, и вода изливалась
на землю. Когда скорость истечения устанавливалась, то
конец рукава быстро нацеплялся на край бака, и вода при-
нималась в бак в продолжение 1 мин., после чего конец
Рукава быстро переносился опять на прежний крючок. Затем
спускали гирю и быстрым затвором задвижки производили
гидравлический удар. Когда наблюдение оканчивалось, то
приступали к взвешиванию бака, который перед началом
опыта был уравновешен на десятичных весах. Таким обра-
зом определялся в фунтах вес воды, вылившейся в бак, а по
этому весу определялась скорость движения воды в трубе в 2 -
Зек. S3S6 — и. Е. ЖукопскпД. т. VII. 6
82
О гидравлическом ударе
8 6
При пользовании большим баком опыт располагался так:
конец рукава укреплялся неподвижно над большим баком;
задвижка открывалась до желаемой степени, и течение воды
устанавливалось; после этого при продолжающемся течении
воды определялось, насколько поднимается вода в водомерной
трубке в 1 мин. Когда это наблюдение было сделано,
тогда производился гидравлический удар. Так как на каждый
фут скорости (в секунду) из трубы в 4" выливается в 1 мин.
9,05 пуда воды, а при трубе в 6" выливается 20,35 пуда, то
Фиг. 9.
скорости в футах при опытах над этими трубами могут
быть получены делением числа найденных пудов в 1 мин. на
упомянутые числа.
Скорость воды в трубе в 2" получается делением числа
излившихся в 1 мин. фунтов на 90,51.
На фиг. 9 имеется фотография петель труб в 4 и 6",
снятая от начала петель.
В середине фиг. 9 видна будка № I; направо от нее
трубы 4 и 6" поворачивают к колодцу F, а налево от нее
видно начало и конец трубы в 2". Дальнейшее расположение
петли трубы в 2" можно усмотреть на фиг. 10.
Петля трубы идет около забора, ограничивающего двор
водокачки, на этой петле поставлены передвижные будки
№ П и III, из которых первая видна на фотографии с ле-
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
83
вой стороны (фиг. 10). Человек, изображенный на фотогра-
фии, стоит у конца петель труб в 4 и б".
§ 7. Определение наибольших давлений в различных
точках трубы с помощью манометров. Первоначальные
наблюдения на Алексеевской водокачке были направлены
к тому, чтобы показать, что максимальное давление при
Фиг. 10.
гидравлическом ударе во всех точках трубы одинаково и
распространяется от задвижки к магистрали с некоторой
постоянной скоростью. Опыты производились сначала над
системой труб в 4", а потом над системой труб в 2 .
Вдоль линии трубы в 4" было поставлено одиннадцать
манометров Бурдона, снабженных фрикционными стрелками
для отметки наибольших показаний манометров. Манометры
№ 1> 2, 3, 4, 5, 6, 7 были расположены по правой стороне
петли (если смотреть от задвижки) на расстоянии друг от
друга 10 сажен, причем манометр № 1 был около самой
задвижки. Манометры же № 8, 9, 10, 11 были располо-
жены по левой4 стороне петли на расстояниях около
20 сажен, причем манометр № 11 отстоял около сажени от
начала трубЬ1. На фИГе 7 упомянутые манометры изобра
жены маленькими кружочками. Сначала до открытия задвижки
6*
84
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
все фрикционные стрелки подвигались к стрелкам манометров,
которые показывали давление главной магистрали, равное
4,5 ат (сверх атмосферного давления). Потом задвижка
открывалась до желаемой степени, и происходило истечение
воды, скорость которой определялась с помощью бо ь юго
бака. Когда это определение было сделано, гиря, поднятая
на двуногу, спускалась, и производился гидравлический удар.
По окончании удара показания всех фрикционных стрелок
осматривались и записывались.
Результаты опытов, произведенных над трубой в 4
в 1897 г. июня 23 и 24, помещены в приложенной ниже
таблице.
Наблюдения посредством манометров 23 и 24 июня 1897 г. над
наибольшими давлениями при гидравлическом ударе в трубе 4"
№ наблюдения Скорость воды в футах Показания манометров в ат Среднее из де сятй маномет- ров си 0) X о> о. О £ II си
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 7,0 40 37 48 37 36 48 38 38 45 38 8 40,5 36,0 28,0
2 7,0 40 40 53 38 42 48 38 38 47 38 8 42,2 37,7 28,0
3 4,7 28 28 29 26 26 38 27 30 27 27 7 28,6 24,1 18,8
4 6,4 28 26 25 25 25 34 27 27 28 26 7 27,1 22,6 25,6
5 2,8 18 15 15 15 15 18 16 17 17 16 5,5 16,2 11,7 11,2
6 2,6 18 14 14 12 13 18 15 15 15 14 5,5 14,8 10,3 10,4
7 9,9 50 50 68 50 52 50 37 44 53 34 7 48,8 44,3 39,6
8 3,5 29 27 29 25 25 37 25 27 27 26 7 27,7 23,2 14
9 4,0 22 23 23 20 22 29 21 24 23 22 6 22,9 18,4 16
10 4,0 25 23 22 20 23 27 21 23 23 22 6 22,9 18,4 16
Рассматривая на этой таблице давления в различных
точках трубы, видим, что они довольно близки к по-
стоянству. Показания манометра № 10, отстоящего от на-
чала трубы на 21 сажень, в некоторых наблюдениях почти
совпадают с показанием манометра № 1, стоящего у задвижки.
Таким образом удар передается без ослабления вдоль всей
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
85
трубы. Манометр № 11, стоящий почти у конца трубы,
показывает, как это и следует из § 5, давление, прибли-
жающееся к давлению магистрали; поэтому при составлении
среднего давления мы не пользовались этим показанием.
Некоторое непостоянство показаний манометров Бурдона
может быть объяснено неприспособленностью этих приборов
к определению ударного давления (влияние инерции разги-
бающейся трубки) и тем обстоятельством, что при больших
скоростях воды фрикционная стрелка показывает максималь-
ное давление не первой волны, а иногда второй (см. § 9).
Эти же обстоятельства должны влиять на то, что величина Р,
определенная из среднего показания манометров и данная
в предпоследней колонне, выходит более теоретической вели-
чины Р=4и.
При опытах с трубой в 2„ было поставлено вдоль линии
трубы 11 манометров. Манометры № 1, 2, 3, 4, 5, 6 шли
на левой стороне трубы (при взгляде от задвижки), причем
манометр № 1 был у самой задвижки, манометры же
№ 7, 8, 9, 10, 11 шли по правой стороне (около забора),
причем манометр № 11 был у самого начала трубы. На
фиг. 7 изображены черными точками места, на которых
можно было привинчивать манометры; начиная от задвижки,
шли манометры № 1, 2, 3 на расстояниях друг от друга
около 20 сажен, потом на расстояниях около 40 сажен •
манометры № 5 и 6. Последняя черная точка на левой сто-
роне трубы не была занята манометром; первая же точка
с правой стороны занималась манометром № 7, за ней мано-
метры № 8, 9, 10, 11 были поставлены через одно место1
на расстояниях около 40, 60 и 40 сажен.
Б нижепомещенной таблице [см. стр. 86] даны результаты
опытов над наибольшим давлением при гидравлических ударах
В ’ сделанные 1 и 23 сентября 1897 г-
3 этой таблицы мы усматриваем также, что показание
нометра передается без потери вдоль всей трубы, причем
больеКОТОРЫХ наблюдениях показания манометра № 10 даже
ольше показаний манометра № 1. Полного постоянства
В к азаниях мы и здесь не замечаем по причине, объяснен-
но выше, при этом средняя величина Р, вычисленная из
86
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 8
Наблюдения посредством манометров 1 и 23 сентября 1897 г. над
наибольшими давлеинямн при гидравлических ударах в трубе 2'
Хе наблюдения Скорость в футах Показания манометров в ат Среднее из де- сяти маномет- ров Оч 0> <р S ф Q. О II А.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 4,4 27 23 25 24 30 30 33 32 30 28 5 28,2 23,7 17,6
2 4,4 30 24 25 22 34 30 32 30 32 30 5 28,9 24,4 17,6
3 3,3 20 18 18 20 25 23 28 30 22 24 5 22,8 18,3 13,2
4 3,2 20 18 18 20 20 26 30 32 23 24 5 23,1 18,6 12,8
5 4,5 30 30 20 23 23 20 27 25 35 29 5 26,2 21,7 18,0
6 4,4 25 30 20 25 35 25 27 26 27 30 5 27,0 22,5 17,6
7 4,4 29 30 20 25 35 20 27 26 27 30 5 26,9 22,4 17,6
наблюдений, еще более превышает теоретическую величину
4v, чем в наблюдениях с трубой 4".
§ 8. Определение скорости распространения ударной
волны А с помощью хронографа Марея. Согласно теории,
изложенной в § 5, скорость распространения ударной волны
по трубам может быть определена посредством измерений
ударной диаграммы. Но для того чтобы с возможной пол-
нотой оправдать излагаемую мной теорию, я счел полезным
заняться сначала непосредственным определением времени
пробега ударной волной между двумя точками трубы. Для
этого, как показано на фиг. 11, в двух точках трубы в 4",
отстоящих друг от друга на 100 сажен, были ввинчены две
манометрические дугообразные трубки, которые раскрыва-
лись при увеличении давления и выдавливали медные стержни,
замыкающие ток. При этом стержень, раз выдвинутый,
удерживался трением об особую пружинку и назад не возвра-
щался. Действие стержня первого манометра (по направлению
течения) замыкало некоторый ток, отсылаемый в машинное
здание водокачки, в котором стоял хронограф Марея; этот
ток поднимал якорь хронографа, который двигал перо,
чертящее по закопченной бумаге барабана. Сдвинутое перо
возвращалось на прежнее место в тот момент, когда ударная
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
87
волна подбегала ко второму манометру, и он,
стержень, делал курцшлюс тока, посылаемого в
выдвинув
машинное
здание водокачки.
Таким образом перо хронографа вычерчивало зубец,
длина которого, выраженная во времени, давала время про-
бега ударной волной 100 сажен. Время, соответствующее
Фиг. 11
длине зубца, определялось в сотых долях секунды с помощью
показаний, наносимых на тот же барабан пером- Это перо
приводилось в движение особым небольшим током, преры-
ваемым камертоном, делающим 100 колебаний в 1 сек.
На фиг. 12 дана фотография употребляемого нами хроно-
графа и камертона. Полусекундный маятник, видный на
этой фотографии, прерывал и замыкал особый ток, посы-
лаемый в наблюдательные будки с индикаторами Кросби,
о которых будет изложено в § 10.
К сожалению, при указанном способе определения не
получалось вполне постоянных чисел, что происходило, по
моему мнению, от влияния остаточного магнетизма в электро-
магните пера и от зависимости момента отскакивания якоря
от установки оттягивающей его пружинки.
88 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 8
Приводимая ниже таблица дает результаты наблюдений
22 и 24 июня 1897 г.
Наблюдения 22 в 24 вювя 1897 г. для определения /
в трубе 4" с помощью хронографа
№ опыта Скорость воды в футах Время пробега 100 саж. в сек.
1 10,8 0,170
2 4,6 0,160
3 3,1 0,140
4 3,5 0,180
5 4,0 0,140
6 3,9 0,160
7 4,1 0,165
8 7,1 0,190
9 9,1 0,180
Из этой таблицы заключаем, что в среднем время про-
бега ударной волной 100 сажен есть 0,165 сек. Этому вре*
мени соответствует скорость
л = 606 сажен,
весьма близкая к теоретической скорости, данной в § 3.
Фи.. 12.
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
89-
§ 8______________________________________________________
Подобные же наблюдения были произведены над трубой
в 2" причем манометрические аппараты были поставлены
друг* от друга на 178 сажен в местах, обозначенных на
фиг 7 маленькими черточками. При этом получились вре-
мена пробега, написанные в следующей таблице:
Наблюдения 23 сентября 1897 г. для определе-
ния 1 в трубе 2" с помощью хронографа
№ опыта Скорость воды в футах Время пробега 178 саж. в сек.
1 3.07 0,306
2 1,80 0,302
3 1,80 0,297
4 0,80 0,297
5 1,54 0,300
Среднее время пробега выходит здесь 0,300 сек., что
дает нам скорость
л = 593,3 сажени
меньшую теоретической, которая, как было показано в § 3,
должна быть более, чем скорость для трубы 4м.
Впоследствии будут даны многочисленные наблюдения
над скоростью волны в трубе 2" другими более точными
методами. Эти наблюдения покажут, что скорость для
трубы в 2 несколько более скорости X для трубы в 4".
думаю, что употребленный нами хронографический
метод давал несколько большие времена пробега против дей-
ствительных, так как на отнятие якоря хронографа упру-
гостью пружинки требуется вследствие остаточного магне-
тизма более времени, нежели на его притяжение.
90
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 9
§ 9. Ударные диаграммы, снимаемые с помощью инди-
каторов Кросби различных местах трубы. Индикаторы
Кросби помещались при наших опытах в особых будках, из
которых будка № I находилась всегда в конце трубы
Фиг. 13.
у задвижки возле колодца С (фиг. 7), а две другие № II
и № III помещались вдоль испытуемой трубы, обыкновенно на
расстояниях !/з и 2/з ее длины от конца трубы. На фиг. 7
видна постановка будок № II и III на трубе в 2" и будки
№ II на трубах в 4" и 6".
Приводим на фиг. 13 фотографию внутреннего помещения
будки. На этой фотографии виден индикатор Кросби с при-
поднятым рычагом карандаша. Цилиндр индикатора соединен
железной трубкой, проходящей сквозь стенку будки, с водо-
§9 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 91
проводной трубой. Карандаш, будучи опущен на бумажную
ленту вращающейся катушки, чертил по ней при изменении
давления в трубе диаграмму давления. Катушка вращалась
механизмом, приводимым в движение грузом, и двйгалась до-
вольно равномерно, хотя к ней и не было присоединено
регулятора. На ленту наносились отметки полусекунд уда-
рами острия (острие ударяло по зачерненной неподвижной
бумажке, которая от удара прижималась к ленте и давала на
ней точку), приводимого в колебание электромагнитом, ток
которого регистрировался полусекундным маятником, стоящим
в машинном отделении водокачки (фиг. 12). Ленты были
устроены, как изображено на фиг. 13. Они имели большую
длину, чем окружность катушки, и держались в натянутом
состоянии с помощью тяжелого медного цилиндрика
с закраинами, который клался на нижнюю часть ленты.
Эго приспособление, сделанное инж. В. В. Ольденбор-
гером, оказалось весьма практичным и позволяло без всякой
задержки заменять исписанную ленту новой.
При первых наших наблюдениях выступы диаграмм полу-
чились с резкими зигзагами; но потом выяснилось, что
зигзаги могут быть ослаблены и почти совершенно уничто-
жены употреблением весьма тугих пружин в индикаторе (мы
остановились на пружинах, дающих на 3/4 мм показания
карандаша 1 ат давления) и малым открытием крана, соеди-
няющего индикатор с трубкой, идущей к испытуемой водо-
проводной трубе.
Укажем здесь на употребляемый нами порядок снятия
диаграмм. Наблюдатель в будке № I давал электрический
сигнал двум наблюдателям в будках № II и III для снятия
линии атмосферного давления. При этом кран, соединяющий
цилиндр индикатора с водопроводной трубой, закрывался,
а Другой кран, соединяющий этот цилиндр с воздухом,
открывался; катушка пускалась в ход; карандаш опускался
Иа бумагу и чертил на ней желаемую прямую. После этого
карандаш поднимался; воздушный кран закрывался; водо-
проводный кран открывался; карандаш опускался на катушку
и вычерчивал прямую гидростатического давления. Когда эти
прямые были начерчены, то наблюдатель из будки № I
92
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 9
давал команду лицам, стоящим при задвижке и измерительном
баке, чтобы задвижка была открыта и количество истекающей
воды измерено, как объяснено в § 6. В продолжение этого
измерения наблюдатель будки № I и, по данному им электри-
ческому сигналу, наблюдатели в двух других будках снимали
прямую динамического давления. Получив извещение о том,
что количество воды измерено, наблюдатель будки № I давал
контакт, приводящий в движение рычаги, отбивающие полу-
секунды сразу во всех трех будках, и подавал команду о спуске
гири. С этого времени карандаши индикаторов во всех трех
будках вычерчивали ударные диаграммы, и черчение это пре-
кращалось посредством поднятия карандаша и остановки
отметок секунды только тогда, когда была уже пройдена,
большая часть ленты.
Когда скорость v движения воды в трубе невелика, тогда
ударная диаграмма представляет нам над линией динамиче-
ского давления (которое почти совпадает со статическим)
ряд выступов и впадин, как это изображено на фиг. 14,
дающей фотографии ударных диаграмм, снятых с трубы в 6"
при скорости V — 0,64', причем давление было Р=3 ат.
Первая диаграмма была начерчена в будке № I, а вторая —•
в будке № II. Под каждой из диаграмм помещены отметки
полусекунд. Эти отметки наносились ударами острия над
диаграммой и были потом для компактности фигуры пере-
несены вниз. Таким же образом помещены полусекунды на
всех фотографиях, приводимых ниже.
Сравнивая действительные диаграммы фиг. 14 с двумя
теоретическими диаграммами в верхней части фиг. 6, мы
замечаем в тех и других полное сходство. Для будки № I
диаграмма образована выступом и впадиной; для будки № II она
образована выступом, чертой (мы будем называть так прямую,
следующую за выступом или впадиною), впадиной и чертой.
При этом упомянутый контур периодически повторяется.
На наших диаграммах получилось около 12 полных волн
с постепенным уменьшением высоты выступов и впадин
которое происходит от потери энергии на трение и от ухода
ее в магистраль.
Когда ударное давление Р превосходит давление
§ 9
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
93
в магистрали (в наших опытах давление в магистрали 4,5)
более чем на 1 ат, тогда построенная, согласно теории § 5,
0=6" v^Ofib'
Фиг. 14.
впадина диаграммы соответствовала бы отрицательному
давлению в трубе. Наблюдения показывают, что в этом
случае первый выступ для диаграммы в будке № 1 и первый
выступ • с первой чертой для диаграмм в будках № II и III
0=2"
Фиг. 15.
вычерчиваются ^вполне согласно теории; что же касается до
впадины, то глубина ее опускается ниже атмосферной прямой
не более как на 1 ат (обыкновенно менее этого).
Фиг. 15 даны фотографии ударных диаграмм, снятых
в будках № J, к JU с Трубы 2" при скорости истечения
v 1,8 и ударном давлении Р—1 ат.
94
о гидравлическом ударе
Мы видим, что первая диаграмма состоит только из вы-
ступа, вторая — из выступа и короткой черты, третья — из
короткого выступа и длинной черты.
Выраженные во времени расстояния от начала поднятия
кривой каждой диаграммы до начала ее падения должны рав-
няться двойным временам пробега от рассматриваемой будки
до начала трубы (до магистрали). Эти расстояния на нашем
опыте находились в отношении 3:2:1; в таком же отношении
D-6" v-56'
находятся определенные по фиг. 15 вышеупомянутые времена
пробега. Мы видим на фиг. 15, что черта, входящая в состав
диаграммы, не совпадает с прямой гидростатического давле-
ния, а несколько выше ее. Это происходит от того, что
удар, перейдя в магистраль, останавливает воду в послед-
ней и немного поднимает гидростатическое давление ма-
гистрали.
На фиг. 16 даны ударные диаграммы, снятые в будках
№ I и II при скорости истечения v — 5,6' и ударном давлении
25 ат. Мы видим, что по этим диаграммам удобно измерять
время, протекшее от начала подъема давления до начала его
падения, а также и величину ударного давления Рг которую
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
95
§ 9
мы определяем расстоянием от динамической прямой (средняя
прямая на фиг. 16) горизонтальной части выступа.
Что касается зигзагов, которые начинают выступы, то
они по моему мнению, происходят от удара воды в трубке,
соединяющей индикатор Кросби с водопроводной трубой. При
этом то обстоятельство, что эти зигзаги показывают давление
иногда в два раза белее Р, объясняется эффектом тупиков,
о котором будет сказано в § 13.
Мы видели, что диаграмма будки № П, представленная
в нижней части фиг. 16, дает нам почти ту же величину Р,
как диаграмма будки № I. Это обстоятельство имело место
Фиг. 17.
при всех наших наблюдениях. На диаграмме будки № II мы
замечаем замену короткой черты, которая должна бы следовать
за выступом, некоторой линией, расположенной выше линии
гидростатического давления. Это происходит, как было ска-
зано, от подъема давления в магистрали.
Так как первые половины диаграмм при малых и при боль-
ших скоростях (4v более 5,5) выходят согласными с теорией,
то по ним можно для различных скоростей определять вели-
чины X и Р. Дадим теперь изображение второй половины
диаграммы, получаемой при больших скоростях.
На фиг. 17, снятой в будке № I, с трубой 6" при скорости
3,8 фута, причем ударное давление было около'15,3 ат, впадина
значительно растянута и ниспадает ниже прямой атмосферного
давления. Выступ, следующий за этой впадиной, начинался рез-
ким зигзагом, превосходящим зигзаг, соответствующий началу
первого выступа. Для того же опыта на диаграмме будки № П,
которая изображена на фиг. 18, впадина тоже растягивается*
96
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
S 9
но на том месте, где должна бы появиться вторая черта ста-
тического давления, появляются отдельные острия. Такие
острия на пространстве пониженного давления никогда не на-
блюдались нами на диаграммах будки № I при задвижке.
Изложу здесь представляющееся мне объяснение вида
второй половины диаграммы при больших скоростях исте-
чения. Начиная с момента закрытия задвижки, вода вдоль
трубы постепенно останавливается, причем она сжимается,
труба расширяется, и давление увеличивается на Р. Когда
это состояние добегает со скоростью X до магистрали,
тогда от последней подается назад по трубе давление
магистрали (несколько повышенное ударом в самой маги-
страли) и скорость воды v по направлению к магистрали.
Эта фаза пробегает сперва перед будкой № III и II, вслед-
ствие чего давление в их индикаторах падает до давления
в магистрали. Когда же упомянутая фаза дойдет до задвижки,
то вследствие того, что скорость воды направлена от за-
движки,— произойдет сразу понижение давления у задвижки.
Если при этом скорость v настолько велика, что по теории
пониженное давление должно бы быть отрицательным, то про-
исходит разрыв колонны жидкости. Эта колонна отстает от
задвижки, перед которой образуется небольшое разреженное
пространство. Подобные же разрывы могут образоваться
и в некоторых других частях жидкой колонны, на которые
распространилось пониженное давление. Образовавшиеся
разреженные пространства наполняются парами воды и раз-
реженным воздухом, причем возможно вхождение некоторого
количества воздуха через задвижку и поршни индикаторов.
Освободившаяся от задвижки масса жидкости сохраняет
некоторую скорость по направлению от задвижки, а пони-
§9
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
97
женное давление передается вдоль неразорванной колонны
жидкости со скоростью X к магистрали; от последней по-
дается назад давление магистрали и движение жидкости
по направлению к задвижке. При этом возможно соуда-
рение между колоннами жидкости, движущимися к задвижке
и от задвижки. Подобное соударение вызовет быстрое под-
нятие давления и потом быстрое его падение, когда удар-
ная волна добежит до конца получившей удар колонны жид-
кости и принесет от этого конца назад пониженное давление-
Это быстрое повышение давления, а затем его падение
почти до атмосферной черты может быть отмечено только
индикатором будки, стоящей перед концом ударенной колонны,
например, индикатором будки № II, но не может отразиться
на показании индикатора в будке № I. Число острий на
месте черты нулевого давления зависит от характера разры-
вов жидкой колонны; иногда мы наблюдали одно или два
острия. То обстоятельство, что водяная колонна отстает от
задвижки, удлиняет продолжительность пониженного давления
и делает второй удар энергичнее первого, так как он совер-
шается со скоростью, с которой колонна жидкости устрем-
ляется в разреженное пространство.
В зависимости от образовавшихся разрывов жидкости будет
усложняться вид дальнейшей части диаграммы, но первая по-
ловина волны вычерчивается на диаграммах при всех наблю-
денных нами скоростях всегда однообразно и, как было упо-
мянуто, вполне согласно с изложенной в § 5 теорией явления.
Эта часть диаграммы и служила нам для определения X и Р-
Здесь следует упомянуть об одной предосторожности, кото-
рую следует иметь в виду при наблюдениях явления гидра-
влического удара.
Когда мы приступили к нашим опытам при Алексеевской
водокачке, то пускали сначала в испытуемые трубы воду из
магистрали при работе нагнетательных насосов в машинном
здании. При этих насосах для смягчения ударов при их ра-
боте имеются маленькие всасывающие воздух отверстия. Вса-
сываемый воздух вгоняется в магистраль и растворяется
водой. Такого рода вода, содержащая маленькие воздушные
пузырьки, давала нам при ударах в наших трубах сравни-
Зак. 2386 — ц j? Жуковский, т. VII.
98
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ Ю
тельно меньшую скорость распространения волны (около
500 сажен) и более слабый удар, обозначаемый непостоян-
ными размытыми диаграммами. Чтобы наблюдать явление
в чистоте, мы решили останавливать работу насосов, питаю-
щих г. Москву, предварительно накачав полными баки Але-
ксеевской водокачки, и пользоваться напорной водой, идущей
от этих баков. Эта вода уже не показывала присутствие воз-
душных масс, и явления гидравлического удара могли быть
наблюдаемы с полной отчетливостью.
§ 10. Определение X и Р из диаграммы индикатора при
наблюдениях над трубами 4' и 6". Время t, соответствующее
пробегу ударной волной’ двойной длины трубы, определялось
нами преимущественно по диаграммам будки № I, выражая
во времени расстояние по прямой динамического давления от
начала поднятия давления до начала его падения. Вместе
с этим мы определяли это время еще из диаграмм будки № II,
выражая во времени расстояние по прямой динамического да-
вления от начала поднятия давления до конца так называемой
черты; кроме этого, мы выражали во времени длину многих
полных волн и делили его на удвоенное число волн-
Время затвора ~ можно определять, согласно сказанному
в § 5, — или с помощью расстояния cs = ~ диаграммы будки
№ I, изображенной на фиг. 6, или с помощью расстояния
данного на той же диаграмме.
Так как диаграмма начиналась обыкновенно зигзагом
(фиг- 16), то мы пользовались вторым способом определения.
Ударное давление в опытах над трубами 4" и 6" определялось
нами высотой гребня выступа над прямой динамического да-
вления. (Параллельность гребня к этой прямой, как увидим
в следующем параграфе, только приближенная.) Это давление
определялось нами одновременно в будках № I и II и выхо-
дило почти одинаковым из обеих диаграмм.
Приводим таблицу [см. стр. 99] наблюдений, сделанных
20 ноября 1897 г. над трубой 6", длина которой, как было
сказано в § 6, была 152,3 сажени.
Время пробега двойной длины трубы, т. е. 304,6 сажен,
на основании данных этой таблицы, заключается между 0,52
§ 10
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
99
Наблюдения посредством индикаторов 20 ноября 1897 г. над гидравли-
ческими ударами в трубе 6"
№ опыта Скорость воды в футах Время / из будки № I в сек. Время t из будки № II в сек. , Mt'; е rt . Время t по мно- гим волнам в сек. Время " в сек. Р в ат ив будки № I Р в ат из будки № II а II в.
1 3,3 0,52 0,52 0,03 15,7 15,7 13,2
2 1.9 0,52 0,52 0,52 0,03 7,3 7.1 7,6
3 0,6 0,52 0,52 0,52 0,04 3,0 3,0 2,4
4 1,4 0,51 0,52 0,52 0,04 6,0 6,1 5,6
5 3,0 0,52 — 0,52 0,03 12,1 11,44 12,0
6 4,0 0,51 0,51 0,52 0,03 15,6 15,2 16,0
7 5,6 0,52 0,52 0,51 0,04 25,2 25,2 22,4
8 7,5 0,51 — 0,53 0,04 29,0 29,0 30
9 7,5 0,51 Произошел разрыв трубы 11,7 11,3 30
и 0,51 сек. Так как первое число повторяется гораздо чаще
и соответствует почти всем определениям из многих волн (для
определения бралось число волн от 5 до 8), то его и следует
принять для определения X. По этому времени находим:
Х = 586 сажен
число, близко совпадающее с теоретическим.
Что касается времени затвора, то оно выходит при наших
опытах между 0,03 и 0,04 сек. Раньше сделанные наблюдения
над тем же затвором с помощью электрических контактов
и хронографа дали нам:
____№ опыта 1 2 3 4 5
Время т
в секундах 0,003 0,003 0,002 0,003 0,025
К*
сожалению, при этих опытах не определялась скорость
истекающей воды, и по ним нельзя судить о изменении вре-
мени затвора с увеличиванием открытия задвижки.
еличина ударного давления Р, как видно из колонн
7» & и приближенно выражается формулой P=4v.
Г
4100 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ§ И
Если бы мы взяли данную в § 4 формулу Р = 3,78г>, то по-
лучили бы величины ударных давлений несколько меньшие
действительных.
Переходим к наблюдениям гидравлического удара в трубе 4",
имеющей длину 150 сажен. Эти наблюдения велись в том же
порядке, как вышеописанные наблюдения с трубой 6". Поме-
щаем здесь соответствующую им таблицу.
Наблюдения посредством индикаторов 4 ноября 1897 г. над гидравли-
ческими ударами в трубе 4"
№ опыта Скорость воды в футах , опреде- из будки ек. Время t, опреде- ленное из будки № II в сек. Время t по мио- 1 гим волнам в сек. I Время т в сек. Р в ат из будки № I Р в ат из будки № II II Q,
Время t леиное № 1 в с
1 3.3 0,49 0,51 — 0,04 13,3 13,3 13,2
2 1.9 0,50 0,50 0,04 7,8 78 7,6
3 4,1 0,49 0,50 0,03 15,8 15,9 16,4
4 9,2 0,49 0,50 0,04 35,0 35,9 36.8
5 2,9 0,49 0,50 0,05 11,3 11,3 11,6
6 0,5 0,50 0,50 0,50 0,04 2,0 25 2,0
7 1,1 0,50 । 0,49 0,51 0,04 4,4 4,3 4.4
Здесь время t пробега двойной длины трубы получается
между 0,49 и 0,51 сек., причем наиболее преобладает число
0,50, которое мы и примем за время пробега 300 саженей. Это
дает нам для трубы 4":
>. = 600,
что довольно близко подходит к величине, вычисленной в § 3.
Величины ударного давления, выраженные по формуле
Р = 4п, весьма хорошо удовлетворяют действительным наблю-
дениям, хотя и более близкая к§ 4 формула /’=3,90» дает
вполне удовлетворительные результаты. ♦
§ 11. Определение X и Р из диаграмм индикатора при
наблюдениях над трубой 2". Длина трубы в 2" была взята
нами в 356,3 сажени, вследствие этого при больших скоростях
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
101
§ 11
истечения получалась вдоль трубы довольно значительная
потеря напора, которая отмечалась тем, что прямая динами-
ческого давления в будках № III, II и I все более и более
отдалялась от прямой гидростатического давления.
То обстоятельство, что на протяжении всей трубы гидро-
динамический напор постепенно падал, отразилось при боль-
Фиг. 19.
ших скоростях (более 3 фут.) на виде ударных диаграмм.
Выступы диаграмм уже не имели гребня, почти параллельного
динамической прямой, а этот гребень шел, возвышаясь, как
это видно на фиг. 19, дающей фотографию ударной диаграммы
у будки № I при скорости воды 3,67 фута.
Время t пробега ударной волной двойной длины трубы
будет здесь, как и во всех случаях, измеряться выраженным
во времени двойным расстоянием, считая по динамической
Фиг. 20.
прямой, от начала поднятия давления до начала его падения;
что же касается определения Р, то, чтобы сделать его пра-
вильно, следует глубже вникнуть в теорию исследуемого
явления.
Рассмотрим сначала один идеальный случай гидравличе-
ского удара. Вообразим трубу АВ (фиг. 20), наполненную
водой и разделенную задвижками С, Ср С2, С8 . -. на несколько
полостей АС, ССХ .. ., в которых вода находится под различ-
ными Давлениями.
102
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
Предположим, что эти давления идут, возрастая в правую
сторону, и будем измерять их избыток над давлением в полости
СА (давление которой будем считать нулевым); обозначим их
последовательно буквами р, р1г р.2 ... Пусть теперь задвижка С
быстро открывается, и происходит гидравлический удар между
соприкоснувшимися колоннами воды под различными давле-
ниями. От этого удара частицы воды при сечении С получат
скорость v по направлению к концу А. Вследствие образова-
ния этой скорости, согласно § 4, давление справа от С упадет
на vh, а давление слева от С возрастет на ту же величину.
Мы будем иметь:
р — vh = vh,
Фаза, охарактеризованная давлением и скоростью ,
побежит вправо и влево от слоя С со скоростью л. Предпо-
ложим, что в тот момент, когда эта фаза подбегает к за-
движке С], последняя открывается, и происходит удар между
двумя соприкоснувшимися колоннами в слое С,-
От этого удара в слое Су зарождаются новая скорость
Pi—р . р,—р
— _ по направлению к А и новое давление —=— , кото-
2п 2
рые прибавятся к скорости и давлению, принесенными от С,
так что полные давления будут
и полные скорости будут
2А '
Фаза, охарактеризованная давлением
Pi
2
и скоростью
вле-
во 2^ > будет уноситься со скоростью л
вправо и влево от се-
чения Су. Когда эта фаза дойдет до задвижки С2, то послед-
няя сразу открывается и т. д.
Состояние жидкости влево от последовательно открываю-
щихся задвижек на основании всего сказанного может быть
дано таким построением.
Вычерчиваем (фиг. 20) над трубой ступенчатый контур,
высоты которого равны половинам давлений в соответственных
полостях трубы, а основания ступеней равны двойным длинам
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
103
полостей; потом воображаем, что вычерченный контур бежит
со скоростью налево, а сама вершина ударной волны вы-
двигается направо с той же скоростью л. Тогда ординаты
контура будут выражать давления во всех точках трубы, ле-
жащих налево от подвижной вершины волны, а величины этих
ординат, разделенные на Л, будут давать скорости жидкости
в соответственных местах. Число задвижек мы можем в пре-
деле принять бесконечно большим и рассматривать непре-
рывно изменяющееся давление жидкости, которое начинает
производить свое действие только тогда, когда в данное место
прибегает ударная волна.
С подобным идеальным случаем совпадает близко рассма-
триваемая нами задача об ударе воды в трубе, в которой при
истечении с довольно значительной скоростью (около 3 — 4 фут.)
напор резко падает вдоль трубы. Начиная с момента закры-
тия задвижки, вода в трубе постепенно останавливается, и этим
освобождаются напоры, которые удерживались трением теку-
щей воды. Эти освобождающиеся напоры передаются по трубе
совершенно так, как объяснено в предыдущей задаче, и вся
неточность рассуждения заключается только в том, что не
принято во внимание трение в трубе для скоростей, остаю-
щихся в ней после удара.
Так как эти скорости невелики сравнительно со скоростью
истечения воды (например, освободившийся напор в 3 ат
дает по § 4 скорость 0,75 фута), то упомянутая неправиль-
ность может быть допущена.
Посмотрим, какое влияние на ударную диаграмму произве-
дут освобождающиеся напоры. Давление в магистрали у нас
было 4,5 ат свыше атмосферного, а при конце трубы при
скорости 3,5 фута, например, это давление было 1 ат. Вся
потеря напора 3,5 ат, распределенная на длину 356 саженей
трубы, дает около 0,01 ат потери на погонную сажень (трубы
были новые и давали несколько меньшую потерю, нежели
следует по Дарси и Базену; по таблицам Бихеле надо бы иметь
потерю около 0,014. Наибольшая скорость, которую мы по-
лучали, теряя весь напор, была 4,5—4,3 фута).
Назовем потерю напора на единицу длины трубы через а
и построим (фиг. 21) контур Ozz', ордината которого у по
105
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
абсциссе х, отсчитываемой от точки О, выражается уравне-
нием:
а
Этот контур, по сказанному выше, движется со скоростью А
влево, а вершина zz' ударной волны движется вправо с той же
скоростью X.
Так как, подходя к закрытой задвижке А, фаза, выражен-
ная ординатами контура zz'O, приносит скорость
АЕ
h ’
на-
правленную к задвижке, то у задвижки зарождается другая
волна, идущая направо и развивающая у задвижки такую же
Ф и-. 21.
скорость воды с направлением к магистрали. Легко усмотреть,
что это будет волна AEz, представляющая отражение вол-
ны АЕ О.
Ударное давление Р во всяком сечении /, отсчитываемое
от динамического давления в конце трубы, будет теперь скла-
дываться из ударного давления vh и из суммы давлений ik
и in.
Таким образом находим:
Р=хЛ + (« + т) -y + tf-’O
где £— расстояние от задвижки вершины ударной волны
(Г V
-4---время, протекшее от момента закрытия задвижки) а
л / ’
т, — расстояние от задвижки рассматриваемого сечения.
Наша формула получает вид:
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
105
и показывает, что все изменение, внесенное в форму выступа
ударной диаграммы потерей напора при течении воды в трубе
до удара, состоит в том, что к гребню ударной диаграммы
присоединяется соответственный отрезок линии потерянных
давлений, в котором масштаб абсцисс удвоен и выражен во
времени.
Если продолжим влево гребень диаграммы (фиг. 19), сня-
той в будке № I через зигзаги, и проведем через получен-
ное таким образом начало гребня линию, параллельную дина-
мической прямой (динамическая прямая на фиг. 19 есть сред-
няя прямая), то расстояния точек гребня от втой параллели
дают нам соответственные напоры, потерянные на трение при
истечении воды до удара. На приведенной фотографии видно,
что расстояние конца гребня от упомянутой параллели равно
расстоянию между гидростатической и гидродинамической
прямой.
Это вполне согласно с формулой (21), которая, будучи
применена к будке № I, дает при $ = 2/:
Р = vh 4“ la.
Так как в том же предположении имеем при ; = 0:
P=vh,
*
то можно установить следующее правило определения vh по
диаграмме в будке № I.
Величина vh по диаграмме у задвижки определяется
высотой начала выступа над динамической прямой (про-
пусти зигзаги) или высотой конца выступа над прямой
гидростатического давления.
Если применим формулу (21) к диаграмме, снятой в каком-
нибудь сечении на расстоянии от задвижки, то для полу-
чения высоты начала выступа мы должны положить: ;='Ь
что дает:
Р = г-А-Ь^Г‘;
для получения же высоты конца первого выступа надо поло-
жить '==т|}-2(/— vj), что дает:
Р=. vh + al-°^-
106
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ И
Обе высоты отсчитываются от динамической прямой
“будки № I. Если будем отсчитывать первую высоту от дина-
мической прямой для сечения i, то найдем:
P=vh-^,
а если вторую высоту будем отсчитывать от гидростатической
кривой, то получим:
Таким образом величина vh по диаграммам, снятым
в каком-нибудь сечении, равна высоте начала выступа над
динамической, или высоте конца выступа над гидростати-
ческой прямой с прибавкой - .
В нижеприведенной таблице [см. стр. 107) помещены на-
блюдения над гидравлическими ударами в трубе 2", произве-
денные 23 сентября 1897 г.
Диаграммы снимались в трех будках: № I, II, III (фиг. 7),
.расположенных от начала трубы на расстояниях: 356,34,
234,33 и 117,43 сажени, отношение которых близко £ 3:2:1.
Время t сек. двойного пробега ударной волной двойного
расстояния всей трубы определялось из всех трех диаграмм,
как было объяснено в § 10.
Величина ударного давления P = vh определялась из вы-
гот конца выступов над статической прямой и для диаграмм
будок № II и III
поправлялась прибавкой
Так как буд-
2 ‘
ка № II отстояла на 2/3 длины трубы от конца, а будка № III
на ’/з, то это сводилось к тому, что в будке № II измерялась
высота конца выступа над прямой, лежащей ниже статической
на ’/4 ее расстояния от динамической прямой, а в будке
№ III измерялось расстояние от динамической прямой. При
этом величины, найденные из высот конца выступов, выходили
близкими тем, которые получались из высот начала гребней.
Время затвора определялось по концу первого выступа на
диаграммах № II- Давление в магистрали было 4,5 ат.
§ 12
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
107
Наблюдения посредством индикаторов 23 сентября 1897 г. над гидра-
влическими ударами в трубе 2'
№ опыта Скорость в трубе в футах Время t из будки Ns 1 в сек. Время t из будки Ns II в сек. Время t из будки Ns III в сек. время про- удки № II е время про- будки № III 1ла Время z в сек. Р в ат из № I Р в ат из Ns II Р в ат из Ns III а '-г II о.
с с к =S С а бега от б до начала
с ЕС 9S С О Ч бега от до иаче
1 4,52 1,16 1,15 1,15 0,77 0,38 0,08 18,5 18,0 18,0 18,1
2 4,30 1,13 1,15 1Д5 0,78 0,39 0,06 17,8 17,5 16.7 17,2
3 4,16 1,14 1,13 1,13 0,78 0,40 0,06 17,0 16,6 16,0 16,6
4 3,67 1,15 1,13 1,13 0,76 0,37 0,06 15,1 15,0 14,5 14,7
5 3,67 1,14 1.13 1,14 0,75 0,40 0,05 14,5 14,4 14,6 14,7
6 3,66 1,14 1.13 1,13 0,76 0,39 0,06 14,6 14,6 15,0 14,6
7 1,79 1,14 1,14 1,13 0,76 0,39 0,05 6,3 5,9 6,3 7,2
8 1,76 1,14 1,14 1,13 0,76 0,39 0,06 7,3 7,3 7,2 7,0
9 0,64 1,14 1,15 1,14 0,75 0,39 0,06 2,8 2,8 2,5 2,6
10 1,52 1,14 — 1,15 — 0.39 0,05 6,3 6,3 6,3 6,1
11 1,52 1,13 1,13 1,13 0,75 0,38 0,06 6.3 6,3 6,1 6,1
12 4,23 1,14 1,13 1,13 0 76 0,39 0,07 17,3 16,7 16,1 16.9
Среднее время пробега двойной длины трубы, т. е.
712,68 сажени 1,14 сек. Этому времени соответствует скорость
ударной волны
X = 625.
Если бы мы воспользовались числами шестой или седьмой
коллонны, дающими время пробега ударной волной расстоя-
ний 468,66 и 234,86 сажен, тс должны бы взять средние
величины этих чисел 0,76 и 0,39. Это дало бы нам несколько
меньшие значения скорости ударной волны: X — 617 и Х = 602.
Ударное давление хорошо согласуется с формулой § 4.
Время т увеличилось от перемены задвижки.
§ 12. Определение X и Р из диаграмм индикатора при
наблюдениях над трубой 24". Труба в 24", над которой мы
делали наблюдения, была главная магистраль г. Москвы,
108
О ГИД°АВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
12
идущая от Алексеевской водокачки к Крестовским башням.
На протяжении от места удара при колодце G (фиг. 22) до
Крестовских башен она имела 1001 сажень; расстояние же
от колодца G до воздушного колокола было 30 сажен.
При наблюдении насосы были отделены от трубы задвижкой,
и весь колокол А был наполнен водой (было обращено суще-
ственное внимание, чтобы в нем не осталось воздуха). Вода
выпускалась из колодца G через ту же задвижку, которую
§ 12
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
109
мы употребляли при ударе в трубах 6 . Индикатор был со*
единен с магистралью через колодец G и был помещен
в будке № 1; на нем ставились сравнительно слабые пружины
<8 мм___1 ст) и на его катущку помещалась удлиненная бу-
мажная лента (фиг. 13). Маятник для нанесения отметок на
ленте употреблялся при этих опытах не полусекундный, как
прежде, а секундный.
По прошествии некоторого времени с момента падения
гири и закрытия задвижки ударная волна добегала до воз-
душного колпака, в котором происходило сжатие воды, и да-
вление передавалось по трубе 24", вдоль которой происхо-
дила постепенная остановка воды. При таком условии удара
Фиг. 23.
не наблюдалось быстрого подъема давления на диаграмме,
как в наших прежних опытах, и вид диаграммы вследствие
эффекта водяного колпака был таков, как будто задвижка
закрывалась медленно. При этом начало диаграммы имело
волнистый вид, как это видно на фиг. 23, дающей в умень-
шенном виде диаграмму при потерянной скорости в трубе
0,48 фута и ударном давлении 1,6 ат. Эта волнистость,
объяснение которой будет дано ниже, позволяла нам хорошо
определять начало падения давления на диаграмме и вычислять
время, протекшее от начала удара до начала этого падения.
Упомянутое время, как сейчас увидим, равно времени про-
бега ударной волной по трубе 24" двойного пространства от
колодца G до Крестовских башен. Если v0 будет скорость
в трубе 24" при истечении воды от задвижки, то в момент
закрытия задвижки побегут от места удара две волны с удар-
ным давлением
одна налево к Крестовским башням и другая направо к во-
дяному колоколу А. Левая волна несет скорость налево.
по
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
S 12
эта скорость присоединяется к скорости направо v0, и остается
/г z«
скорость — ; правая же несет скорость направо. Доое-
жав до колокола А, правая волна отражается от него и несет
назад к индикатору давление колокола А, которое еще не
успело возрасти.
Таким образом, индикатор показывал в наших наблюде-
ниях сначала подъем давления, потом его падение, причем
от начала удара до начала первого падения давления проте-
кало время около 0,18 сек. В колокол А жидкость начинает
втекать не со скоростью у, а со скоростью v0, потому что.
г/,.
кроме прежней скорости при начале трубы (у колокола),
vo
зарождается еще направленная к колоколу скорость ~ вслед-
ствие падения давления.
После этого для объяснения дальнейшего хода явления
мы должны разрешить такую задачу: к колоколу по трубе 24",
имеющему то же давление, как в трубе, вода притекает со
скоростью г)0; определить ход изменения давления в коло-
коле А-
Пусть избыток Р давления в колоколе над его прежним
гидростатическим давлением по скорости v вталкиваемой
в него жидкости определяется формулой:
IP I.
где к есть постоянное, зависящее от объема воды в колоколе
и толщины его стенок. Берем производную от обеих частей
этой формулы по времени и пользуемся соотношением:
dv___ 1 dP
~dt~ Г
где h есть величина,
Получаем:
определяемая по § 4 для трубы 24".
d
dt
^ । 2
Л + h
S 12
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
Ш
Таким образом
В начальный момент
Р=0,
at
поэтому постоянное
С есть kv0 и
dP
hv0 — P h
Интегрируя это уравнение, находим:
voh — Р=Схе ''
Так как при Р=0
/ = 0,
то
Ci = voh
и
Р = —е
(22).
Давления Р, образующиеся в колоколе А, должны со ско-
ростью волны передаваться по нашей трубе 24" и восприни-
маться индикатором при колодце G, который таким образом
после упомянутого падения давления будет показывать все
увеличивающееся давление, быстро приближающееся к voh..
Это показание будет продолжаться до того времени, когда
к колодцу С подбежит волна, отраженная от резервуаров Кре-
стовских башен, при которых поддерживается постоянное да-
вление вследствие открытых резервуаров ’. Момент подхо-
ждения этой волны выразится началом падения давления на
диаграмме. Время, протекшее от начала удара до начала этого
падения (мы не считаем первое падение давления от эффекта
колокола), будет равно времени, в которое ударная волна от
Мы употребляем слово „отраженная" волна в более широком смысле,
нежели принято обыкновенно: всякую новую волну, зародившуюся при
границах, мы называем волной, отраженною от втих границ.
112
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 12
колодца G дошла до Крестовских башен и потом возвра-
тилась назад к колодцу G, т. е. прошла пространство 2002
сажени.
Так как кривые, выражающие давление Р, на наших диа-
граммах шли прежде начала падения почти параллельно пря-
мой гидростатического давления, то можно принять, что по-
казываемая ими максимальная высота близка к voh. Разумеется,
было бы желательно произвести опыты над ударом с трубами
больших диаметров, не осложненные присоединением воз-
душного колокола, но в наших наблюдениях встречалось
практическое затруднение—отделить от главной магистрали
г. Москвы воздушный колокол. Выступ, представленный на
фиг. 23, сменялся на дальнейшей части диаграммы впадиной
и, таким образом, получалось на ленте до пяти волн, но эти
выступы и впадины вследствие эффекта колокола не были
вполне тождественны, что можно объяснить на основании
вышеизложенной теории. Во всяком случае для определения
величин л и Р было вполне достаточно первого выступа.
Ниже приводится таблица наблюдений, сделанных 25 июля
1897 г. [см. таблица на стр. 113].
В этой таблице дана скорость воды до сотых долей фута,
которая получалась при делении минутного количества воды
в пудах на 325,76. Величину Л, которая по § 4 должна бы
быть 2,7, мы принимаем равной 3- (Это число соответствует
наблюденному л = 473.)
Среднее из времен, записанных в третьей колонне этой
таблицы, будет 4,23 сек.; деля на это число расстояние
2902 сажени, будем иметь:
л = 473.
Эта скорость выходит более данной в § 3. Если же остано-
виться на числах шестой колонны, дающих для времени про-
бега от колодца G до воздушного колокола, т. е. 60 саженей,
среднюю величину 0,18 сек., то получим скорость волны
X = 333; НО точность этого последнего результата невелика,
так как момент начала опускания первого возвышения диа-
граммы было затруднительно измерять (фиг. 23). Что касается
прмулы Р==3г>, принятой нами для определения ударного
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
ИЗ
Наблюдения 25 июля 1897 г. вад гидравлическими ударами
в трубе 24", сделанные посредством индикатора
№ опыта Скорость в тру 1 бе в футах Время двойного пробега до Крест, башни (в сек.) Длина 1 то вы- ступа во времени (в сек.) Длина 1-ой впа- дины во времени (в сек.) Время двойного пробега до ко- лодца (в сек.) Наблюденное да- вление в ат СО II 9,
1 0,18 6,44 7,02 — 0,45 0,54
2 0,56 4,24 6,43 7,00 0,19 1,81 1,68
3 0,55 4,39 6,30 6,85 0,16 1,66 1,65
4 0,54 4,20 6,24 6,96 0,20 1,77 1,62
5 0,55 4,18 6,20 6,89 0,18 1,80 1,65
6 0,41 4.20 6,40 7,00 0,18 1,23 1,23
7 0,40 4,18 6,32 6,70 0,16 1,27 1,20
8 0,16 — 6,24 7,18 — 0,42 0,48
9 0,16 — 6,44 6,68 — 0,42 0,48
10 0,09 — 6,70 6,60 — 0,29 0,27
давления, то она, как видно из сравнения граф 7-й и 8-й
довольно удовлетворительна.
§ 13. Возрастание величины гидравлического удара при
переходе ударной волны в тупики. Установив основные дан-
ные о гидравлическом ударе в водопроводных трубах различ-
ных диаметров, мы перешли к исследованию обстоятельств,
могущих увеличить силу удара. Особенно значительное возра-
стание силы гидравлического удара происходит при переходе
ударной волны от толстых труб на тонкие и проявляется
в тупиках тонких труб.
Наблюдения производились нами над переходом ударной
волны, образовавшейся в трубе 4" на трубу 2". Для этой цели
труба в 2" была разобрана и оставлена только ее ветка
в 73,82 сажени, идущая от постоянной будки № I (фиг. 7)
до будки № II. Эта ветка была соединена возле будки № I
с концом трубы в 4", которая была оставлена в своем преж-
нем виде, и соединялась с выпускной задвижкой и индика-
тором будки № I, причем трубка, идущая к индикатору была
Зак. 2386 — и. Е. Жуковский, т. VII.
8
114
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
прикреплена к трубе 4" несколько дальше точки ее соедине-
ния с веткой трубы в 2\ Конец ветки в 2” соединялся
с индикатором будки № II и оканчивался краном. Из этого
крана перед началом опыта выпускалась вода- чтобы убедиться,
что в трубе в 27 нет воздуха. Потом кран закрывался, и ветка
обращалась в тупик. Производилось обычным образом исте-
чение воды из трубы в 4W через задвижку с определением
количества вытекающей воды и записью гидродинамических
прямых в будках № I и II (при конце трубы в 2); потом
спускалась гиря, производящая затвор задвижки, и снимались
ударные диаграммы в упомянутых будках.
Постараемся сначала теоретически определить вид этих
диаграмм. Пусть Р будет ударное давление, образова-
вшееся в трубе 4" в момент закрытия задвижки. Это да-
вление будет передано на трубу в 2" и будет распространяться
в ней со скоростью волны X' вместе с зародившейся в трубе 2Л
скоростью течения воды и, направленной к тупику, причем
на основании § 4
Р
п = —,.
рл
Так как вследствие этого течения из трубы в 4" в трубу
в 2" в первой будет оставаться по направлению к задвижке
скорость
Р р
рк' R2’
где г — 1 и R — 2, то ударное давление в трубе 4" должно
будет уничтожить только скорость
Р Р
V рХ' R-'
где v — скорость воды в трубе 4" во время истечения.
Называя через X скорость волны в трубе 4", можем теперь.
по § 4 написать, что
откуда
ирХ
X г2
~R2
23
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
115
§ 13
Таким образом присоединение тупика уменьшает ударное
давление в трубе 4 . Это уменьшение вследствие близости
7 г2 1 \
л и X' между собой будет для нашего случая
составлять потерю /5 всего ударного давления, так что, при-
нимая рХ = 4 ат, будем иметь:
о 16
(24)
В момент подхода ударной волны к концу тупика должна
быть уничтожена скорость п, направленная к его закрытому
концу. Это разовьет новое ударное давление, равное Р, кото-
рое присоединится к прежнему давлению Р, и манометр
в будке № II покажет давление
Ру = 2Р. (25)
Фаза с давлением 2Р и скоростью нуль побежит назад
по трубе 2" и достигнет до конца трубы 4" прежде, чем удар-
ная волна, отраженная от магистрали, подойдет по трубе 4"
к задвижке. Произойдет подъем давления в конце трубы 4"
до величины Р', заключенной между Ри2Р. Эту величину Р1
следует определить. От падения давления при начале трубы
в 2" на 2Р— Р' в ней зародится скорость, направленная
к трубе 4" и равная
2Р-Р’
рХ'
Эта скорость даст в трубе 4" по направлению к маги-
страли скорость
2Р—Р'
[/Р \ К ) ’
но так как в трубе имелась скорость
Р / _/V
рл' \ R ) ’
направленная к задвижке, то добавочная сила удара Р' — Р
должна будет прибавить к этой скорости по направлению
к магистрали скорость
ЗР -Р' [j-y
Р' \Р) '
8*
116
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 13
Мы получаем соотношение:
Л-Р=р(ЗР-Л)(^)2.
откуда следует, что
(26)
Для рассматриваемого случая можно будет написать:
F = (27)
На основании формулы (26) скорость в трубе 2" будет:
2Р—Р'
{‘Р
Фаза, несущая эту скорость, направленную к трубе 4", и
давление Р', побежит по трубе 2" и, достигнув конца тупика,
произведет, так сказать, отрицательный удар. Для того чтобы
уничтожилась вышеупомянутая скорость, направленная от
конца тупика, при этом конце должно развиться добавочное
отрицательное ударное давление:
которое, соединившись с принесенным положительным давле-
нием Р\ заставит индикатор при будке № II показать
давление
(28)
что для нашего случая дает
(29)
8 13
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ, УДАРЕ
117
Так как в наших наблюдениях длина тупика в 2" была
73, 82 сажени, а длина трубы 4" от задвижки до магистрали
была 150 сажен, то ударная волна успевала пробежать вдоль
трубы 2" четыре раза прежде, нежели при задвижке трубы 4"
происходил отрицательный удар вследствие отрицательной
скорости, поданной от магистрали. Когда этот удар наступал,
то происходило падение давления при задвижке до нулевой
черты, которое передавалось по трубе 2" и вызывало по про-
шествии времени пробега ударной волной длины этой трубы
подобное же падение давления в конце тупика.
На основании всего сказанного ударные диаграммы в буд-
ках № I и II имели каждая вид двух ступеней, почти равных
по длине (по времени). Ступени на диаграмме № I шли воз-
7
вышаясь и, согласно формуле (27), были Р и -у Р; ступени
же на диаграмме № II шли понижаясь и, согласно формулам
(25) и (29), были 2Р и Р.
На фиг. 24 даны фотографии подобных диаграмм при
скорости в трубе 4", равной 5,9 фута, причем правая диа-
грамма соответствует будке № II, а левая будке № I.
ы видим, что вид этих диаграмм вполне согласен
с изложенной теорией, при этом высота первой ступени,
считая от динамической прямой, на правой диаграмме есть
118
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
13
36 ат и ровно в два раза более наибольшей высоты первой
ступени левой диаграммы, которая равна 18 ат.
На фиг. 25 даны диаграммы, наблюденные при скорости
в трубе 4", равной 9,4 фута. Здесь давление в тупике 56 ат
правой диаграммы тоже в два раза более давления в 28 ат
левой диаграммы, но вторых ступеней нет. Это произошло
от того, что в тот момент, когда ударная волна с двойным
давлением пришла от тупика к трубе 4", произошел разрыв
в колене, соединяющем трубу 4" с задвижкой, причем из
этого колена вырвало большой кусок трубы.
Р-2"
Фиг. 25.
Ниже помещается таблица наших наблюдений над ударами
в трубе 4", соединенной с тупиком 2", которые производились
4 ноября 1897 г.
В этой таблице, между прочим, записано и время двойного
пробега ударной волной двойной длины тупика, т. е. 147,64
сажени. Это время определялось, как средняя величина между
шириной первых ступеней на диаграммах № I и II, причем
показания из обеих диаграмм были одинаковы или разнились
на 0,01 сек.
В этой таблице графы 7, 9 и 11 составлены по формулам
(27), (25) и (29), причем в них за Р принята его теоретиче-
ская величина, взятая из графы 5. Рассматривая таблицу,
видим, что теория, изложенная в этом параграфе, весьма
удовлетворительно подтверждается наблюдениями. Мы сочли
интересным определить время пробега ударной волной двой-
ной длины тупика, так как здесь явление несколько отли-
чается от предыдущих, и удар в тупике производится не
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
119
|»ння 4 ноября 1897 г. над передачей ударной аолны нз
трубы 4" на тупик в 2"
№ опыта Скорость V в тру- 1 бе 4 в футах Двойное время пробега тупика 1 в сек. Р в ат из буд- ки № I а 11 О. Р' в ат из бул- ки Ns I II о. Pt в ат из буд- ки Ns И 9, CS II оГ Pi' в ат из буд- ки № II 9, -т |из II
1 8,6 0,240 27,5 27,5 38,6 38,5 54,6 55,0 23,3 22,0
2 7,3 0,235 23,5 23,4 32,0 32,8 46,6 46,8 20,0 18,7
3 5,7 0,246 18,6 18,2 25,3 25,5 37,3 36,4 16,0 14,6
4 9,8 0,240 30,7 31,4 42,7 43,9 60,6 62,8 26,6 25,1
5 10,2 0,250 33,3 32,6 4ч,0 45,6 61,3 65,2 26,6 26,1
6 1,6 0,230 5,3 5,1 7,0 7Д 10,6 10,2 4,1 4,1
7 1,9 0,210 5,9 6,1 8,3 8,5 12,0 12,2 4,7 4,9
остановкой текущей в нем воды, а быстрым поднятием давле-
ния у его начала. Среднее время пробега выходит 0,24 сек.,
что дает нам
/• = 615.
Это число близко с теми, которые были найдены в § 11.
Кроме наблюдений над переходом ударной волны из
трубы 4" на тупик в 2", были еще сделаны нами аналогич-
ные наблюдения, соединив вышеупомянутый тупик 2" с тру-
бой 6", которая была оставлена без изменения, как показано
на фиг. 7 (наружная черная петля в 152,3 сажени). Формулы
(23), (26), (25) и (28) для случая = ~ дают:
Р = 0,9 — 3,6 v,
Р = ^Р,
Pt=2P, '
(30)
Приводим ниже таблицу, содержащую данные о результа-
тах трех наблюдений, сделанных 8 декабря 1897 г.
120
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ § 14
Наблюдения 8 декабря 1897 г. над передачей ударной волны нз
трубы 6" на тупик в 2"
№ опыта С VzKOpOCTD V в тру- бе 6" в футах Р в ат из буд- ки Ns I Р — 2>fiv Р' в ат из буд- ки Ns I чз |'Г> II О, Р] в ат из буд- ки Ns II Q, сч II Р/ в ат из буд- । ки Ns II 0, сч|т II
1 3,0 9,7 10,8 12,3 12,9 20 2 21,6 5,5 4.3
2 5,0 16.5 18,0 20,3 21,6 33,3 36,0 8.5 7,2
3 8,0 27,5 28,8 32,6 34,6 52,6 57,6 14,3 11,5
§ 14. Отражение ударной волны от открытого конца
трубы, из которого вытекает вода. Мы воспользовались
присоединением трубы в 2" к трубе в 6", чтобы исследовать
отражение ударной волны от струи истекающей воды. Эти
опыты представляли интерес, как подтверждение той мысли,
что удар распространяется по текущей воде по тем же зако-
нам, как вдоль покойной воды, и определяется только по
потерянным скоростям.
Опыт располагался так: кран при конце тупика открывался,
и вода из трубы 2" изливалась; потом открывалась задвижка
в конце трубы 6" и определялось количество воды, истекаю-
щей из-под поднятой задвижки; после чего производилось
быстрое закрытие задвижки и снималась ударная диаграмма
в будке № I.
Определим теоретически, каков должен быть вид этой
диаграммы. В момент закрытия задвижки при основании
трубы в 2" развивается давление Р, определяемое по фор-
муле (23), где скорость и находится только по скорости
воды, истекающей из-под задвижки, скорость же в трубе 6",
происходящая от истечения воды в трубу 2', остается
в трубе 6" без перемены и не оказывает влияния на удар.
От момента закрытия задвижки в трубе 2" побежит удар-
ное давление Р и добавочная скорость
Р
направленная к концу трубы 2".
$
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
121
Когда эта волна дойдет до открытого конца трубы, тогда
от последнего побежит к трубе 6" фаза, определенная давле-
нием 0 и скоростью
2-^г,
рл
направленной к концу трубы в 2".
Когда эта волна дойдет до трубы 6 , то в ней давление
повысится сразу до Р'. От поднятия давления на Р' при на-
чале трубы в 2" зародится скорость
ол'
так что новая ударная скорость, которая разовьется у начала
трубы 2" по направлению к ее концу (мы не считаем прежнюю
скорость тут j • будет:
р}/
Эта скорость разовьет при начале трубы по направлению
задвижки скорость
(Р+Р')г?
что вызовет уменьшение давления на
Таким образом
Р 5<Р+Л)==Л’
откуда
р, Р Л г‘2\
Р = ~W <31>
-г)/ R*
Применительно к рассматриваемому случаю, в котором
приблизительно ). = ?/ и
г2 1
R- 9 ’
122
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
будем иметь:
Р — 0,9?Х® = 3,6 v,
Р' = 0,8 Р.
Приводим здесь результаты трех наблюдений, произведен-
ных 3 декабря 1897 г.
Наблюдения 3 декабря 1897 г. над отражением удара, принесенного
на трубы 6" в трубу 2" с открытым концом
№ опыта Скорость в трубе 6", соответ. истечению в бак Давление Р по диа- грамме № I Р = З.бо Давление Р по диа- грамме № I Р' = 0,8Р
1 5,7 21,7 20,5 19,5 16,4
2 8,0 27,1 28,8 24,0 23,0
3 7,4 26,3 26,6 23,5 21,3
§ 15. О безопасном времени закрытия водовыпускных
кранов. Так как гидравлический удар происходит от быстрого
прекращения скорости течения воды в трубах, то он может
быть ослаблен и почти совсем уничтожен приспособлениями,
допускающими только медленное запирание водовыпускных
кранов и задвижек. Определим время t этого запирания под
условием, чтобы ударное давление не превосходило данной
величины Р. Предполагая для простоты, что во время запи-
рания крана количество изливающейся жидкости уменьшается
пропорционально времени, найдем, что скорость в трубе v
уменьшится на
v 21
/ т
в то время, как ударная волна, отразившись от магистрали
или вообще от того места, где имеется постоянное давле-
ние, — возвратится назад к крану и принесет к нему это
постоянное давление; при этом I есть длина трубы до маги-
страли, а X— скорость ударной волны.
Указанному уменьшению скорости соответствует поднятие
давления на величину:
t к
§ 16
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
123
где Л определяется по § 4. Из написанной формулы полу-
«аем:
vh 2Z
Р к •
(32)
Здесь vh есть ударное давление при мгновенном закрытии
задвижки Р—наибольший допустимый прирост давления
2Z
против гидродинамического и -т--время двойного пробега
ударной волной длины трубы.
Положим, например, что в опыте 12 с трубой 2", изложен-
ном в таблице § 11, мы бы желали при той же скорости 4,23 фута
получить ударное давление не в 17,3 ат, а только в 1 ат,
тогда мы должны бы сделать затвор во время:
17 3
/ = • 1,14 = 19,72 сек.
Формула (32) показывает, что время затвора, при ко-
тором удар имеет данную величину, возрастает пропорцио-
нально скорости и длине трубы. Если время затвора более
времени двойного пробега ударной волной длины трубы,
то формула (32) перестает иметь место, и получается макси-
мальный удар.
§ 16. Воздушные колпаки. Мы видели при исследовании
удара в трубе 24" эффект большого водяного колпака, по-
фиг. 26.
ставленного при основании трубы. Эффект этот аналогичен
замедлению времени затвора. Подобным же образом действует
и воздушный колпак. Мы занялись исследованием действия
колпаков, поставленных на самой линии труб, по которым
распространяется удар. Воздушные колпаки малых и больших
124 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ§ 16
размеров помещались на нашей петле трубы в 2" (фиг. 7)
на расстоянии 152,87 сажени (близко к концу петли с ее
левой стороны, считая от задвижки), так что они приходились
между будками № II и III. Удар производился нашим
обыкновенным способом. Диаграммы снимались во всех трех
будках, но для наших исследований были нужны только
диаграммы № I и III.
Для воздушного колпака малых размеров (около 60 куб.
дюймов) диаграммы эти имели вид, изображенный на фиг. 26
и 27, которые соответствуют скорости истечения 4,4 фута.
Фиг. 27.
Мы видим, что действие колпака указанных размеров
нисколько не уменьшает высоту первого выступа диаграммы,
снятой перед колпаком, который дает давление 17,3 ат,
довольно согласное с теоретическим 4-г? =17,6 ат. Что ка-
сается высоты второго выступа, то она, благодаря эффекту
колпака, возрастает почти в 1,3 раза против высоты первого
выступа. Третий и последующие выступы резко ослабевают.
Фиг. 28.
На диаграмме, снятой за колпаком в будке № III, мы
имеем незначительное ослабление наибольшего удара до 14,6 ат,
при этом выступы закругляются и быстро потухают.
Мы видим> что воздушный колпак указанных размеров,
поставленный на линии трубы, является бесполезным для
ослабления передачи удара. Совершенно иной эффект полу-
чается при увеличении размеров колпака. На фиг. 28 дана
ч 16 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 125
диаграмма в будке № I при колпаке 548 куб. дюймов и ско-
рости воды 1,8 фута.
Эта диаграмма очень похожа на обыкновенную ударную
диаграмму при отражении удара от магистрали. Ударное
давление здесь 7,1 ат довольно согласно с теоретическим
4^ — 7 2. Что касается до диаграммы в будке № III,
то она представляет прямую, сливающуюся со статиче-
ской прямой.
Таким образом можно сказать, что колпак взятых разме-
ров совсем не пропускает через себя гидравлический удар
рассматриваемой величины.
Укажем на некоторые теоретические соображения, позво-
ляющие определить размеры воздушных колпаков, не про-
пускающих ударную волну.
Пусть щ будет объем воздуха в колпаке при истечении
воды в трубе до удара, ап — его переменный объем в про-
должение гидравлического удара.
Во время истечения из магистрали вода через трубу 2"
с одного конца входит в колпак со скоростью v, а с другого
из него выходит с той же скоростью. Это будет продол-
жаться и некоторое время после падения ударной гири, пока
ударная волна не добежит до колпака, что в наших опытах
происходит через ’/а сек. С этого момента при отверстии
трубы, принесшей фазу Р = Р0 и г> = 0, ударное давление
падает до нуля (мы говорим о добавочном давлении к гидро-
динамическому), и жидкость начинает истекать в колпак
со скоростью v, так что в колпак с обоих концов трубы будет
излияние воды со скоростью v. Давление в колпаке от умень-
шения объема начинает возрастать, и это возрастание по за-
кону передачи волны передается вдоль обоих концов трубы.
При этом возрастание давления до величины Р производит
уменьшение скорости втекающей в колпак воды до
Р
h '
Это соображение позволяет нам написать уравнение:
— du = %(v — уЛ ~ dt. (83)
\ Л/ 4
126 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ§ 16
Так как вследствие быстроты удара процесс изменения
воздуха в колпаке должен быть принят адиабатный, то
Uft(P+p1) = U1*p1,
где k = 1,4 есть отношение теплоемкости воздуха с постоян-
ным давлением к его теплоемкости с постоянным объемом,
а Р] есть начальное гидродинамическое давление в колпаке.
Отсюда имеем:
так что
U\PiкdP
(/’Ч-Р.)к
dP
2 1 *+1
Рх*А (рУР) к (Ро —F)
Мы заменили здесь hv на Pq.
Для большего удобства введем подстановку:
г= Р'4£, P=z(Pl + P0)-Pl (34)
Pi I 'О
и напишем нашу формулу в виде:
fc+i
откуда по совершении интеграции имеем:
где
z — Р)
1 Руко-
положим для сокращения письма, что
dz
~k±i----> (35)
**(i-*)
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 127
и введем вместо величину объема колпака и0 при гидро-
статическом давлении р0, положив:
„ _Ро«О.
Р1
тогда искомый объем колпака п0 выразится формулой:
Л±1
_ (Pl + Ро\ * Pl2
U°~2^)\ Р. ) КРо ‘
(36)
В этой формуле за t надо принять время, в которое
ударная волна, отразившись от задвижки или магистрали,
вернется назад к колпаку (то, которое меньше).
В наших опытах это время есть сек. Величина z
определяется по наибольшему удару, который мы позволяем
пропустить через колпак.
Если речь идет о ничтожном ударном давлении, которое
позволяют перепустить через колпак, то в формуле (35) раз-
ность пределов интеграции z — zx будет очень мала и можно
будет положить:
fc±i
6(z) e _ ____= (Ъ±Р1\ k Р-
{ 5±? \ Pi / Л)'
Zi*(l-Zi) 4 П 7
Мы получим для определения искомого объема следующую
приближенную формулу:
_k~d2 fp£
u°~ 2 vtPoP'
(37)
Эта простая формула, собственно говоря, и имеет главный
интерес в практическом отношении, так как колпаки ставятся
с целью получить Р возможно меньшее.
Для пользования формулой (36) надо бы составить таблицы
Функции и; но мы ПрИ применении ее пользовались двумя
пределами, между которыми заключена функция ф. Так как
по формуле (34) z < 1, то положив в интеграле формулы (35)
л = 1, получим величину б, > 6, а положив к —2, найдем
128
О ГИДОДВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
16
величину 4.3 < 6. Эти функции Л, и служащие нам пре
делами функции •!», суть:
где 1g — знак логарифма Непера, a y = ]/z.
Прилагаем здесь таблицу шести наблюдений [см стр. 129],
произведенных над воздушными колпаками 9 октября 1897 г.
Здесь в первом горизонтальном ряду таблицы дано
среднее из трех наблюдений, которые были сделаны при
одной и той же скорости истечения 4,4 фута и при одном
и том же объеме колпака 60 куб. дюймов. Числа pt шестой
графы определялись нами по диаграмме. № II, снимаемой
близко от воздушного колпака (к сожалению, не снималась
диаграмма давления в самом колпаке, как это было бы нужно
для пользования нашими формулами). Первые два теорети-
ческие объема колпака, написанные в графе 10, вычислялись
по формуле (36) с двумя предельными значениями из
формулы (38), а объемы для опытов 5 и 6, в которых верхний
предел z — есть небольшая величина, определялись по
формуле (37). Мы видим, что теоретические объемы довольно
близки с действительно имевшимися, и потому рекомендуем
для применения в практике наши формулы (36) и (37).
В графе 11 таблицы дается для диаграммы № I отношение
второго выступа к высоте первого. Мы видим, что это
отношение более единицы и при малых размерах колпака и
больших скоростях доходит до 1,5.
Объяснение этому обстоятельству мы находим в сказанном
в конце § 9 о разрыве жидкости. При отставании колонны
жидкости от задвижки эта колонна будет отброшена назад
к задвижке под действием повышенного давления в колпаке
и произведет второй удар, более сильный, нежели первый.
Достойно внимания еще то обстоятельство, что отношения
длины первого выступа к длине первой впадины, которые
даны в 12-й графе нашей таблицы, для малых размеров
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
129
S 16
Иаблюяення 9 октября 1897 г. над гидравлическими ударами в
пшлид трубе 2", передаваемыми через воздушные колпаки
№ опыта Скорость v в футах Время t двойного про- бега до колпака в сек. | Pq по диаграмме № I 1 II Гидростатическое да- вление ро Гидродинамическое давление р± Ртах в колпаке Ug в куб. дюймах ио в куб. дюймах по формуле Отношение давления в 1 и 2-м выступах диа- граммы № 1 Отношение длины вы- ступа и впадины диа- граммы № I
1,2. 3 4,4 0,50 17,3 17,6 5,4 2,7 14,6 60 55—69* 1,3 1,5
4 3,7 0,50 14,8 14,8 5,3 2,5 13,4 40 41—66 * 1,5 2,0
5 3,9 0,50 15,7 15,6 5,4 3,1 0,7 548 523 1,1 0,4
6 1,8 0,50 7,1 7,2 5,4 4,6 0,7 548 532 1,1 0,4
колпака значительно больше единицы, тогда как для колпаков
больших размеров оно выходит, согласно со сказанным в § 9
менее единицы.
Причина уменьшения длины впадины при малых размерах
колпака может быть разъяснена при рассмотрении правой и
левой волн, которые характеризуют явления удара в рас-
сматриваемом случае. Аналогично фиг. 4 мы будем для нашего
случая иметь фиг. 29.
На этой фигуре сВ будет длина трубы, выраженная во вре-
мени пробега ударной волной, от задвижки до колпака,
Числа 55—69 и 41—66 неверны. Они должны быть ваменены соот-
ветственно 71—89 и 53 64. Прим. ред.
Зак. 2386— jj Е. Жукопсккй, т. VII.
130
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
т. е. сВ ~ у. Часть правой волны с/с2 строится по закону
затвора задвижки, причем
( 21
^=т“г-
Когда точка с правой волны подойдет к колпаку, то
в последнем избыток Р давления над гидродинамическим
будет сначала 0, а потом Р начнет возрастать. Мы примем,
что за время " это возрастание невелико, и ограничим начало
левой волны кривой С]Д, симметричной относительно В
кривой cf. Затем условие при колпаке будет состоять в том,
чтобы положительное давление, приносимое в точку В правой
волной, вместе с отрицательным давлением, приносимым
в эту точку левой волной, давало величину Р, определяемую
по значению z из формулы (36).
Чтобы выполнить это условие, надо ограничить левую
волну контуром /jf3, расстояния которого от горизонтали
через /, дают соответственные величины -у Р. Этот контур
при колпаке малых размеров будет быстро приближаться
к продолжению прямой сВ. Продолжим его на пространство
, 2Z ,
Когда точка ct левой волны подойдет к задвижке с,
тогда к этой точке подойдет точка с2 правой волны. Для
того чтобы скорость v у задвижки была равна нулю,
необходимо, чтобы контур правой волны был бы одинаков
с контуром Cj/,/3 левой волны.
Рассуждая подобным образом и обращая одновременно
с этим внимание на закон изменения давления в колпаке, мы
можем построить дальнейшие очертания левой и правой
волн. Но для нашей цели достаточно сказанного.
Повернув, как это объяснено в § 5, правую волну около
вертикали П, проходящей через задвижку, и сложив совмещен-
ные при этом величины давления правой и левой волн, мы полу-
чим очертание ударной диаграммы при будке № I. Это очерта-
ние представлено на фиг. 29 зачерненной линией. Мы видим, что
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ 131
эффект колпака может суживать впадину. Это сужение при
колпаках чрезвычайно малых размеров вследствие быстрого
приближения линии /,/. к с,/8 может обратить всю впадину
в узкую щель, начертанную на диаграмме трубы без колпака,
как будет показано в § 18.
Мы исследовали эффект воздушных колпаков, поставленных
на линии трубы, но выведенные нами формулы (36) и (37)
могут быть применены и к расчету колпаков, поставленных
при водовыпускной задвижке, при этом нам пришлось бы
k~d'2 k~d'2
только заменить в этих двух формулах —на —.
Это пришлось бы сделать потому, что вода вливается
в колпак с одного конца, и в исходной формуле (33) не надо
писать множитель 2. Таким образом при тех же условиях
размеры воздушного колпака, поставленного при конце
трубы, выходят в два раза менее размеров колпака,
поставленного на линии трубы.
Воздушные колпаки надлежащих размеров вполне могут
предохранить следуемую за колпаком (по направлению рас-
пространения ударной волны) часть трубы от гидравлического •
удара, эти надлежащие размеры выходят довольно большие.
Если бы мы, например, в опыте 8 с трубой в 6", изло-
женном в таблице § 10, желали удар 29 ат свести до 1 ат,
то нашли бы по формуле (37) для воздушного колпака, поста-
вленного при задвижке, принимая приближенно р0 = р! = 5,4,
объем
. по = 9810 куб. дюймов = 5,68 куб. фут.
Но главное практическое неудобство при применении
колпаков состоит в том, что трудно сохранять постоянный
объем воздуха в колпаке. При вышеописанных наблюдениях
9 октября 1897 г. мы заметили, что объемы 60 и 40, бывшие
Д° опытов, после опытов обратились в 50 и 37. Эта
изменчивость объемов заставляет употреблять механические
Приспособления для пополнения объемов воздуха, уносимого
водой во время ударов, что затрудняет применение воздушных
колпаков и делает предпочтительнее употребление предохра-
нительных клапанов.
9*
132 О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ § 17
§ 17. Предохранительные клапаны. Мы делали опыты
с предохранительными клапанами на той же линии трубы 2",
о которой говорили в предыдущем параграфе. Пружинные
конические клапаны помещались почти в том же месте, где
раньше помещались колпаки на расстоянии 153,84 сажени от
задвижки.
По прошествии ’/4 сек. после падения гири ударная волна
подбегала к предохранительному клапану и, открыв его,
разбрасывала воду коническим фонтаном, который длился
в продолжении */2 сек., пока к клапану от задвижки не под-
ходила волна пониженного давления; тогда клапан закры-
вался. Такое закрытие и открытие клапана периодически
повторялось несколько раз, вследствие последовательных
Фнг. 30.
отражений ударной волны от задвижки и от открытого кла-
пана, до тех пор, пока ударное давление настолько ослабе-
вало, что клапан переставал открываться.
Ударные диаграммы снимались в будке № I при задвижке
и в будке № III за предохранительным клапаном. Подобные
диаграммы для скорости в трубе v = 3,81 фута представлены
на фиг. 30.
Верхняя диаграмма соответствует будке № I и дает
в первом выступе ударное давление 15,3 ат, близкое
к теоретической величине 4г>=15,2; нижняя диаграмма
соответствует будке № III и дает давление первого выступа
на 3,1 ат выше гидростатического, согласное с упругостью
пружины предохранительного клапана. Приводим здесь
результаты шести наблюдений, сделанных над предохрани-
тельными клапанами 9 октября 1897 г. [см. стр. 133].
Числа четвертой графы таблицы дают ударное давление
перед предохранительным клапаном, вполне согласное с фор-
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
133
§ 18
Н 6 ю ения 9 октября 1897 г. над предохранительными клапанами А на трубе 2Л/
№ опыта Ско- рость V в футах Двойное время пробега до кла- пана в сек. Давле- ние Р по диа- грамме № I Р — Давле- ние по диаграм- ме № III над гид- ростати- ческим Отношение высот пер- вого и вто- рого высту- пов в диаг- рамме № I
1 4,39 0,50 17,3 17,6 3,5 1,4
2 4,39 0,50 17,3 17,6 3,5 1,5
3 3,79 0,50 15,5 15,2 3,1 1,5
4 3,81 0,50 15,5 15,2 3,6 1,5
5 3,81 0,50 15,3 15,2 3,1 1,5
6 2,58 0,49 10,3 10,3 3,5 1,4
мулой 4v; что же касается давления за предохранительным
клапаном, то оно выходит одинаковым при опытах 1 и 6
с различными скоростями и зависит только от силы пру-
жины клапана. Графа седьмая, дающая отношение высот
первого и второго выступов диаграммы № I, свидетельствует
о быстром затухании ударного давления. Как результат
опытов может быть выставлено положение, что предохрани-
тельный клапан перепускает через себя только такую силу
удара, которая равна упругости его пружины. Разумеется,
такой результат и следовало ожидать.
§ 18. Отыскание мест на линии трубы, в которых
произошло скопление воздуха. На фиг. 31 изображена
ударная диаграмма, снятая при будке № I с нашей трубы 2м
(фиг. 7) при образовавшихся в некоторых местах трубы
небольших скоплениях воздуха.
Такой вид получили диаграммы целой серии наших опытов,
произведенных 1 сентября 1897 г. над трубой 2" с целью
оправдания формулы § 4. Эти опыты были признаны негод-
ными, так как диаграммы прорезывались тремя щелями,
которые с удивительным постоянством появлялись на одних
и тех же местах.
134
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 18
По осмотре линии трубы было обнаружено, что на рас-
стояниях 193,86, 295,14 и 335,81 сажени от задвижки обра-
зовались скопления воздуха. Эти скопления образовались
в трубках, которые остались от снятых с трубы манометров.
Принимая во внимание, согласно сказанному в конце § 15,
что щели являются вследствие присутствия малых воздушных
колпаков, постараемся употребить упомянутую серию диаграмм
для отыскания места в трубе этих колпаков.
Так как щель на диаграмме № I образуется в тот
момент, когда ударная волна подбегает к воздушному кол-
паку, то выраженные во времени расстояния Щелей диаграммы
от ее начала дают двойное время пробега ударной волны до
искомого воздушного колпака. Помещаем здесь таблицу,
составленную по семи диаграммам, снятым в будке № I.
Определение мест скопления воздуха в трубе 2" из наблюдений,
произведенных 1 сентября 1897 г.
№ опыта Скорость ВОДЫ V в футах Расстояние от первой щели в сек. Расстояние от второй щели в сек. Расстояние от третьей щели в сек.
1 4,42 0,64 1,00 1,15
2 4,42 0,65 1,00 1,13
3 4,37 0,64 1,00 1,14
4 4,34 0,65 1,00 1,14
5 3,29 0,64 1,00 1,14
6 3,17 0,63 0,96 1,13
7 3,18 0,65 0,99 1,15
Средняя величина двойного времени пробега ударной
волны до искомых колпаков будет 0,64, 0,99 и 1,14 сек.
Принимая для рассматриваемого случая X = 600 саженей
(это показывало прямое наблюдение скорости в данном случае),
найдем для искомых колпаков расстояния: 192, 297 и 342 са-
жени, которые довольно близко подходят к действительным
местам воздушных масс.
Заметим здесь, что на фиг. 31 первая щель отстоит от
начала диаграммы дальше, нежели от ее конца. Это обстоя-
тельство не оставляет в нас сомнения в том, что в трубе
§ 19
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
135
имеются три воздушных колпака. Если бы вторая щель от-
стояла в два Раза дальше первой от начала диаграммы, то
она могла бы явиться эффектом волны, отброшенной
от
первого
колпака и потом отраженной от задвижки.
Фиг. 31.
§с19- Определение с помощью ударной диаграммы места
утечки в водопроводной трубе. Подобно тому, как ударная
диаграмма позволяет обнаружить место скопления в трубе
воздуха, может она обнаружить и место утечки, образовав-
шейся в трубе; способ этого обнаружения, может быть, по-
лучит важное практическое значение.
Для разъяснения поставленного вопроса были произве-
дены нами наблюдения 25 сентября 1897 г. На линии петли
трубы 2" было сделано несколько отверстий (отмеченных
JD=2" v-^2''
Фиг. 32.
точками на фиг. 7), которые поочередно открывались и обра-
зовывали фонтаны воды. Задвижка трубы с таким фонтаном
открывалась, количество истекающей из-под нее воды опре-
делялось, и потом обыкновенным образом производился ги-
дравлический удар. Ударные диаграммы снимались в будках
- 1. П и Ill, хотя для определения места фонтана достаточно
ы ^было одной диаграммы № I.
а фиг. 32 дана фотография такой диаграммы при ско-
рости истечения воды 4,2 фута и при тоненьком фонтане,
бьющем из трубы на расстоянии 135,56 сажени от задвижки.
136
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
£ 19
Мы видим, каким ясным падением высоты диаграммы
отмечается место фонтана. Определяя время 0,44 сек., про-
текшее от начала поднятия давления, и умножая его поло-
вину на л, находим при X — 600 расстояние 132 сажени,
довольно близкое к действительному.
Укажем на некоторые теоретические соображения, отно-
сящиеся к рассматриваемому вопросу.
Когда ударная волна, образовавшаяся от уничтожения
скорости посредством быстрого закрытия водовыпускной
задвижки, подойдет к отверстию фонтана, тогда ударное да-
вление
Р — vh
понизится до величины Р. При этом разовьются скорости:
в части трубы между фонтаном и задвижкой скорость
Р — Р'
h
по направлению к фонтану, а в части трубы между фонтаном
Р'
и магистралью скорость по направлению к магистрали;
последняя соединится с имеющейся в трубе по направлению
к фонтану скоростью v -f- w и даст скорость
р' р__р'
1) -4- 12)-— = 12) _]----
' h 1 h
по направлению к фонтану.
Все секундное количество воды, которое при этом должно
выбрасываться через отверстие фонтана, будет:
Секундное количество воды, изливавшееся из фонтана до
удара, было:
4 4 |/ у
где d и d'— диаметры трубы и отверстия фонтана, р_____коэ-
фициент истечения из фонтана, а р— давление до удара.
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
137
Фаза с давлением Л и скоростью
Р— Р
h
будет передаваться к задвижке и образует при ней отрица-
тельный удар с давлением Р„ определяемый по формуле:
= р' - Р~Р' h = 2P'- Р=Р-2(Р — РУ,
так что
и
Выше данная
таким образом:
2/> = Р+ Р,
P>P'>PV
величина Q может быть теперь представлена
о=4(”+—Л)
С другой стороны:
= . 1 /2Р-<Р~ Р.)~г2р
' 4 1/ 7
Сравнивая величины Q, получим уравнение для определе-
ния P—Pt:
=0, (39)
\ « / 7 J \ п / 7
где w было выражено по р.
Если отношение очень мало и Р велик сравнительно
с Р> то можно вместо уравнения (39) пользоваться следую-
щим приближенным уравнением:
Р— Pi = 93,3 u J VP, (40)
где Р и Pt выражены в атмосферах.
138
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
Предположив, что $ есть расстояние фонтана от задвижки
и что целая часть дроби — есть п, будем иметь п отражений
ударной волны от задвижки, прежде нежели ударная волна,
отраженная от магистрали, дойдет до задвижки (видоизме-
няясь эффектом фонтана).
Назовем через Р» Ps, Р±,- • • ударные давления при за-
движке при втором, третьем и т. д. отражении, а через_
Р', Р"',— назовем второе, третье и т. д. ударные давления
при фонтане.
На основании рассуждения, с помощью которого мы вы-
вели соотношение
2/> = Р+Л,
можем получить ряд соотношений:
2Р ~Р H-Р,,
2/>' = />+Л,
(41)
из которых следует, что
Л = 2(Р—Л),
Л = 2(Р' —Р"),
Pi=Pl—2(P'—P"'),
Pi —Pi — 2(P"—P'"),
Укажем порядок, в котором располагаются величины
Р, Л, л,...,Л, Р", Р",...
Когда отраженное от задвижки давление PY дойдет до
фонтана, при котором имеется большее давление Р, то да-
вление при фонтане обратится в Р', причем
(42)
Из части трубы, идущей к магистрали, начнет изливаться
к фонтану новое количество воды
Р—Р’
4 h ’
а от фонтана в трубу, идущую к задвижке, будет уходить
количество воды
Рг — Р,
4 h ;
% 19
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
139
между тем
как прежде к нему подходило количество воды
Р—Р'
4 Л
Таким образом секундное количество воды изливаю-
щееся теперь в фонтане, определится по Q соотношением:
С, = С+^ [2 (Р - Р')+Р, - fl.
которое по формуле (42) будет:
Так как вследствие Р' < Р надо иметь Q, < Q, то
Р.А > Л-
К этому неравенству по формуле (42) и (41) присоеди-
няются еще следующие:
Р.г < Р, Р, > Р'.
Когда после второго отражения от задвижки давление Р->
подойдет к фонтану, то имеющееся при ием давление Р' за-
менится на Р", причем
Р"' > Р'
В часть трубы, идущую к магистрали, будет изливаться
от фонтана новое количество воды
т.<1* {Р"’—Р")
4 h
а из части трубы к задвижке будет изливаться к фонтану
(Р.-Р")
4 h
тогда как прежде от фонтана уходило
~d* Р' — Р,
4 h •
Секундное количество выбрасываемой фонтаном воды уве-
личится и обратится в Q2, где
Q-2 = Q. + [2 {Р'~ Р”) + Р2 - Р,]
140
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 19
или по формуле (42):
<22=<2,+^-(Я-Я).
Так как Q2 > Qi> то
Я < Я-
Сюда присоединяются еще по формулам (42) и (41) нера-
венства:
Я>Я> Р.<Р".
Продолжая рассуждать подобным образом, придем к за-
ключению, что разности:
Я—Я« Я —Я. Я-Я.---
рг__Р' р>__Р" Р"___Р"'
представляют знакопеременные ряды постоянно убывающих
членов.
Секундные объемы, изливаемые в фонтан в последова-
тельные промежутки времени, на основании сказанного могут
быть представлены в виде:
(43)
Эти величины показывают нам, что скорость истечения
фонтана попеременно увеличивается и уменьшается.
Воспользовавшись формулой (43), мы можем составить
для определения Р—Р( уравнения, аналогичные (39) и (40).
Эти уравнения могут быть прямо получены из уравнений (39)
и (40) через замену в них Р— Рх на Р— Pt и величины Р на
^+Я-1
2
Когда произойдет п отражений от задвижки, тогда удар-
ная волна, отраженная от магистрали, подойдет раньше
141
о ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§19
к фонтану, нежели волна, отраженная от задвижки. Эта волна
принесет к концу трубы у фонтана добавочное давление
/Хи) — /*
и добавочную
скорость к магистрали
h '
У фонтана разовьется давление н к количеству
выбрасываемой им воды прибавится
р/ рп)_______р___рп+i) рп)— рп+1) ’
h
Qn-i
~d2
4
h
h 1
[2Р»> — 2F — 2/*”+1)].
Таким образом будем иметь:
r.d2 Г , Р—2Р'+2РМ — Рп—2/*”+1)'
Q» = -4-[® +-----------------h -
к<Р Г . - Pt + Pn-i — ]
— — w _J--------------— .
4 L " J
Эта формула показывает, что Pn+i> или отрицательно,
или удовлетворяет неравенству
2/Хп+1) < /Хп-1)_р
Изменение давления при фонтане будет передаваться
к задвижке, к которой подбежит волна, несущая добавочное
давление
рп+1)__рп)
и добавочную скорость
Р»)__рп+1)
h ’
направленную к фонтану. Эта волна произведет отрицатель-
ный удар при задвижке, при котором должно бы развиться
давление
Pn+l = 2Рп< i> — 2/у"’ Ч- Рп.
Это давление по вышеприведенному неравенству само
должно удовлетворять неравенству:
Рп+1 < Рп-! — л — 2Р<п) 4- рп
142
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 19
или по формуле (41):
Л+1
Таким образом при задвижке разовьется отрицательное
ударное давление, и выступ диаграммы окончится резким пе-
реходом во впадину. Длина всего выступа для будки № I
2Z
будет . -. Он будет состоять из п - -1 ступеней, из которых
2s
первые п имеют длины —.
Эти ступени имеют высоты
Р, Pt,..., разности которых Р—Pit Pt—Р2,--- идут, посте-
пенно уменьшаясь и попеременно меняя знаки.
Фиг. 33.
Если п — 1, т. е. фонтан ближе к магистрали, нежели
к задвижке, то диаграмма будет о двух ступенях и будет
иметь вид, изображенный на фиг. 32.
На фиг. 33 дано изображение диаграммы о трех ступе-
нях для случая фонтана, отстоящего на 136 сажен от за-
движки (п = 2).
Здесь двойное время пробега ударной волны до фонтана
равно 0,46 сек. и дает теоретическое расстояние 138 сажен.
Диаграммы будок № II и III дают, смотря по тому, нахо-
дится ли фонтан между будкой и задвижкой или будкой и
магистралью, ступени высоты Р, Р, Plt Р',... Или ступени
Рг ТУ' ТУ" 7
, * , Г . . .
d'
Мы не определяли -j-, так как изменение отверстия фон-
тана получалось большим или меньшим открытием крана,
20
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
143
выпускающего фонтан. Все наше внимание при наблюдениях
было сосредоточено на определении места фонтана по удар-
ной диаграмме-
Привожу здесь таблицу опытов, произведенных 25 сентября
1897 г. [см- стр- 144].
Мы пользовались здесь для определения расстояний ско-
ростью ударной волны Х = 600 сажен, хотя, как видно из
чисел, дающих время пробега двойной длины трубы, т. е.
712 68 сажени, только в начале получалась эта скорость,
потом же скорость была около 619 сажен.
Прн Х = 619 следовало бы взять теоретические расстоя-
ния в 1,03 раза большие. Я полагаю, что при более тщатель-
ном измерении времени указываемый нами метод может дать
способ для определения места утечки трубы, нахождение ко-
торой иногда требует раскопки трубы на большом расстоянии.
§ 20. Заключение. Резюмируем результаты вышеописан-
ных опытов.
1. Гидравлический удар распространяется вдоль водопро-
водной трубы с постоянной скоростью, величина которой не
зависит заметно от силы удара. Эта скорость зависит от веще-
ства трубы и от отношения толщины ее стенок к диаметру трубы.
Так как в обыкновенных чугунных водопроводных трубах упо-
мянутое отношение несколько уменьшается с увеличением
размеров трубы, то скорость распространения ударной волны
для труб больших диаметров несколько меньше, нежели для
труб средних диаметров. Для труб средних диаметров (от 2
до 6") эта скорость около 600 сажен, а для труб больших
диаметров (24") около 470 сажен. Скорость ударной волны
остается одна и та же, получается ли удар вследствие оста-
новки течения воды в трубе или вследствие весьма быстрого
поднятия давления при начале трубы.
2. Гидравлический удар распространяется по водопроводной
Рубе с одинаковой силой. Величина его пропорциональна
потерянной при ударе скорости течения воды и скорости
распространения ударной волны в трубе. Для обыкновенных
чугунных водопроводных труб среднего диаметра (от 2 до 6")
на каждый фут потерянной скорости мы имеем силу удара
около ащ, для трубы 24" — около 3 ат.
144
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
§ 20
Опыты 25 сентября 1897 Г. над определенней места утечки И трубе Ч", имеющей длину 356,3 сажени
эиниолэ -эвд ЭОНЧУЭЛИНЛЭИЭ^ | 1 1 1 дки № Ш 20,2 80,9
эиииолэ -эвд эохээнилэдоэ^ 1 1 1 1 ие от бу 19,2 81
III «КГ эи><е(1леиН on вывлиоф ov влэд -odn олоииоаР Kwadg 1 1 1 1 расстоян 0,064 0,27
эиниолэ -эеб эончуэлиялэиа^ 1 76,9 76,9 146 6 \о сч 40 «51 \о" со I со г* 1 со 1 *-* к 197,9
ЭИИИОЛЭ -oed aoxodbHiadoaj^ 1 75 75 149 141 «ие от буд 75 138 40 оо т—<
’МЭЭ я II '1КГ bwwbcJjbhV on внешоф oV влэд -odn ojoHHOntt Kwadg I tc о m in xr «> t- m 40 CN OS тГ О СЧ I ] code й о 1 о 1 о. 0,62
иххия^ве ю эиниохэ -эвб эончуэ1ин±эиэу 56.5 VO 4D4 40 */ Г- r~ CO *—< 40 04 О' 40 40 in СО СО О С СО 04 04 m in Т-» T-с т-< см СЧ 315,0
имжияР -ве ло внвхноф вин -Boioaed BoaoBhHiBdoaj, О 1П CO 00 CS 00 00 oo 4£ \O Г" Г" CO СП c\ о 1Л Ti r—< T-ч T-« T-ч СЧ о 306
•ЯЭЭ Я ] ЭИ -ивблвиУ on внвхноф oV ИЯЖИЯГВЕ io Bj3g -odn ojohhobV Kwodg c c c 1П 40 40 ТГ 40 40 40 СЧ CS I CN CN -гГ тГ 404000000 > о о о о с5 о о о т-Г
•мээ я ragXdi B.iag -odn ojohhohV Kwadg oo 40 in 1П in co Ш -гг in T—1 r—< »—’ t—’ T—< T-’ в—« у—(
хелЛф я 1чГоя qioodoM^ СЧ 40 00 T- °0 ’-I 4£ CO CO XT & •_ S 00 т? 00 53 Й Г со со СО тзГ
rtdratf cO'S-^vc,'O -S Л о Г- Г- 00 ад ~
В1ППО t-< CN co m 40 с- ад o »—<
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
145
§ 20
3. Явление периодического колебания ударного напора
в водопроводной трубе вполне объясняется отражениями
ударной волны от концов трубы (от задвижки и от маги-
страли).
4 Транзитное течение воды не имеет влияния на удар,
и последний определяется только по потерянным скоростям.
В случае ударной волны, проходящей по трубе, из кото-
рой изливается вода, ударная волна отражается от начала
струи так же, как она отражается от бака с постоянным
давлением.
5. Опасное возрастание ударного давления происходит
при переходе ударной волны с труб большого диаметра на
трубы малого диаметра. При этом, достигнув концов тупиков,
сила ударного давления удваивается. Такое удвоение может
повториться несколько раз, так что давление может при не-
благоприятных условиях возрасти до больших размеров.
6. Простейшим способом ограждения водопровода от ги-
дравлических ударов являются приспособления к медлеииому
закрытию кранов. При этом продолжительность закрытия
должна быть пропорциональна длинам труб. Воздушные кол-
паки надлежащих размеров, поставленные при кранах и за-
движках, почти совершенно уничтожают гидравлический удар
и не пропускают через себя ударную волну, если они поста-
влены на линии трубы, но сохранение воздуха в колпаках
весьма затруднительно. Что касается предохранительных кла-
панов, поставленных на линии труб, то они пропускают через
себя удар только той силы, которая соответствует упругости
их пружины.
7. По ударной диаграмме, снятой с водопроводной трубы,
можно определять место скопления воздушных масс в трубе
И величину этих масс. Ударная диаграмма может служить для
определения места утечки воды в трубе и вообще дать
полные сведения о состоянии трубы.
Заь. 2386 — и j. .Жуковский, т уп.
10
116
О ГИДРАВЛИЧЕСКОМ УДАРЕ
Автор сделал ряд сообщений на тему о гидравлическом ударе в тру-
бах. 26 сентября 1897 г. им был сделан доклад в собрании Отделения фи-
зических наук О. Л. Е. на тему: „Гидравлический удар в трубах".
30 января 1898 г. — доклад в Физико-математической комиссии
Отделения физических наук О. Л. Е. на тему: „О приборе для теоретиче-
ского построения диаграммы индикатора при ударе воды в водопроводных
трубах*.
21 февраля 1898 г. — доклад в собрании Политехнического обществ;
на тему: ГО гидравлическом ударе в водопроводных трубах* (результаты
опытов на Алексеевской водокачке).
Работа „О гидравлическом ударе в водопроводных трубах" была
полностью доложена автором три раза: 24 апреля 1898 г. в заседании Рус-
ского технического общества, 13 мая 1898 г. в собрании Физико-матема-
тического отделения Академии наук и в 1899 г. — на IV Русском водо-
проводном съезде.
Работа была напечатана в „Бюллетенях политехнического общества*,
№ 5, 1899, и в „Трудах IV Русского водопроводного съезда", 1899.
Извлечения из работы были переведены на французский и английский
языки и напечатаны в “Proceedings of the American Water Works Associatloi
Twenty-Fourth Annual Convention", St Louis 1904, и в „Annales des ponts
et Chaussees", I partie, 1907. Прим. ред.
ON WATER-HAMMER IN PIPES
In this great work Prof. Joukovsky first pointed out the con-
nection between the phenomenon of water-hammer in pipes and
the theoretical investigations of Resal, of Gromecka, of Korte-
weg and of Lamb, on the variation of pressure along a pipe
with elastic walls. Prof. Joukovsky states the theory iof water-
hammer and applies it to explain the phenomena observed un-
der different conditions, viz. water-hammer in a blind pipe, the
reflection of the shock wave by the open end of a pipe, the
effect on the water-hammer of the time of closing of the tap,
the effect of air cowl and of water cowl, of safety valves, of
accumulations of air, and of the leaks through damaged por-
tions of the pipe.
The fundamental equations of the theory are equations
(1), (2), (3) and (4). The first is obtained from the theorem of
momentum, the second is the equation of continuity; the third
is the physical equation giving the relation between the pres-
sure and the density; the fourth is obtained from the condition
of equilibrium of the halfring ab (Fig. 3) representing one half
of the pipe between two infinitely near cross-sections of the
pipe. In the last equation the inertia forces are ignored, as
their magnitude is shown by Prof. Joukovsky to be negligible
in comparison with that of the elastic forces.
From the above equations, by eliminating p and R the equa-
tions (7) are obtained. Investigating these and observing that the
ve ocity of fiow of wafer jn pipe) js smal| as compared
wit t e value of X, we obtain the integrals in the form (12).
qua ions (12) show that the values of the quantities v and
P Po are translated both in the positive and the negative direc-
on . t e x-axis with a velocity X given by formula (5) (the x-axis
as its origin at the end of the pipe and is directed up-stream).
10*
148
SUMMARY
By means of the quantities Xj and X2, (13) and (14), formula (5)
can be reduced to the form (15), and thus made identical
with Korteweg’s formula of the velocity of propagation of sound
in pipes. In § 3 is given a table of values of X for different
pipe diameters (the diameters are given in inches, velocity X in
sajens).
It is seen that, after the instant of closing the gate-valve at
the point О at the end of the pipe (Fig. 3), the phase corres-
ponding to zero velocity of flow and to maximum pressure
p — Po~ P is propagated with a velocity X along the pipe. To
obtain the magnitude of P Prof. Joukovsky determines the
increase of volume contained between the cross-sections A and
В of the pipe in an infinitely small lapse of time di, due to the
travel of the schock wave with a velocity X, and equates it to
the volume of liquid passing through the cross-section A. He
thus obtains formula (16), which shows the rise of pressure in
the pipe due to water-hammer to be directly proportional to
the velocity expended in the schock, and to the velocity of pro-
pagation of wave in the pipe. From (16) is obtained formula (17),
in which h is the rise of pressure, expressed in atmos-
pheres per foot of velocity lost in the schock. For pipes of 2",
4", and 6" dia. h is seen to be equal to about 4 atmospheres
(see the table at the end of § 4).
Having resolved in equation (12), the velocity and the pres-
sure rise P into two parts (formulae 18 and 19), Prof. Jou-
kovsky gives in § 5 a very simple method of construction of
a theoretical diagram of pressure during water-hammer at an
arbitrarily chosen point of the pipe. It is seen that the time
elapsed between the beginning of the rise of pressure P and
the instant, at which the pressure begins to drop, is equal to
twice the time of the travel by the shock wave of the distance
from the indicator to the water main. In general, the diagram must
have the form of the first diagram of Fig. 6, where cc4 is equal
to four times the time, in which the shock wave traverses the
whole length of the pipe. At the end of the pipe, at the gate-
valve, the portions gn and become zero and the se-
cond diagram is obtained. Towards the origin of the pipe the
portions fg and me, are reduced, becoming zero at the origin,
SUMMARY
149
hence there is obtained the third diagram of Fig. 6, correspon-
ding to the origin of the pipe.
The theoretical results were checked by a great number of
tests on pipes at the Alexeiev pumping station of the Moscow
water supply- Diameters of the test pipes were 2", 4" and 6",
and the lengths 356.3 sajens, 150sajens and 152.3 sajens respectively.
The outlet is shown in Fig. 7. Referring to Fig. 7 the first pipe was
connected to the main at G, and the other two at F; all three
had outlet valves at the well G. The main represented in Fig. 22
had a length of 1001 sajens; the distance from the cowl A to
the well G was 30 sajens. Pressure diagrams were taken by
Crosby’s indicators; maximum pressures at different points were
measured by means of Bourdon’s pressure gauges-
The object of the first tests, which are described in § 7 and § 8,
was to show that the maximum pressure P during water-ham-
mer is the same at all points of the pipe, and is propagated
from the gate valve towards the main with velocity X. Maximum
pressures were measured by means of Bourdon’s pressure gau-
ges; velocities [X were recorded by Mareys chronographs. The
tests were found to be in good agreement with the theory. The
discrepancies between the experimental and the theoretical va-
lues of X and the divergence between the value of P and
the value 4v, according to Prof- Joukovsky, are due to insuffici-
ent accuracy of Marey’s chronograph, and to unsuitability of
Bourdon’s pressure gauges for the measurement of dynamic pres-
sures.
As it follows from the theory both the maximum pressure
and velocity can be determined from the pressure diagrams.
In fact, the values of X and P obtained by the method are
more accurate and in better agreement with the theory.
Pressure diagrams were taken on each of the four pipes tes-
ted- I'be diagrams taken on pipes 4" and 6" at small velocities
о ow were in full agreement with the theory (Figs. 14 and 15).
The diagrams obtained at high velocities in some cases showed
irregu arities (zigzags) in the second half (Fig. 18), Prof. Jou-
kovs у explajns these by discontinuities in the water column,
occurring at great falls of pressure. As it is seen from the tab-
les of § 9 and § 10, the values, of X and P obtained from
150
SUMMARY
the diagrams agree with those calculated by the theoretical
formulae.
In tests on the pipe 2", owing to large length of the pipe,
at great velocities was observed a considerable loss in head
along the pipe. This was shown by the fact that the crests of
the projecting portions in the diagram had an upward slope, as
in Fig. 19, instead of being nearly parrallel to the straight line of
dynamic or of hydrostatic pressure.
The theory of water-hammer in the case of the loss in head
along the pipe is developed by Prof. Joukovsky in § 11. In
the same paragraph is given a rule for determining the mag-
nitude of P according to the diagram. As it will be seen on
reference to the table of § 11, the experimental results agree
with the theory.
Due to the presence of the air cowl A (Fig. 22), the diagrams
taken on the main at 24" are of a somewhat different character
(Fig. 23). In § 12 Prof. Joukovsky gives a theoretical explanation of
waves, which are observed on the diagram, and presents a table
of experimental data. The values of >. and P determined from
these data are in agreement with the theoretical formulae.
The theory of water-hammer enables Prof. Joukovsky to
analyse several attendant phenomena. In §13 is stated the theo-
ry of the increase in intensity of the shock during the pas-
sage of the shock wave into blind pipes, and are given the re-
sults of observations on the transfer of the shock wave from
pipe 4" into the pipe 2". At the end of the blind pipe the in-
tensity of the shock wave is doubled (Fig. 24), and this doub-
ling may be repeated several times.
In § 14 are given the results of tests, which confirm the
validity of the assumption, that the propagation of the shock
in flowing water follows the same laws as in the case of res-
ting water, and depends solely on the loss in velocity. The
shock wave passing along a pipe which is discharging water
is reflected from the origin of the jet just as it is reflected
from a constant pressure vesse'.
In § 15 is given a formula expressing the relation between
the time of closing of the tip and the rise of pressure P in
the pipe — formula (32).
SUMMARY
151
In § 16 Prof. Joukovsky states the theory of the air cowl
and deduces formulae for the determination of the volume u0
of the air chest. In these formulae (formula 36 and formula 37
referring to the case when the difference z — Zj is small)
denotes the dynamic pressure; px is the hydrodynamic pressure
in the air chest during the flow of water; Щ is the volume of
the air chest at pressure p,;, p0 — the hydrostatic pressure cor-
responding to volume u0; d—diameter of the pipe; £=1,4;
v___velocity of flow; t — time in which the shock wave, reflec-
ted from the gate valve or from the main, will return to the
air chest (the lesser of the two times being used); <b(z) is gi-
ven by formula (35). As it will be seen on reference to the
table of experimental data, the theoretical volumes, calculated
from formulae (36) and (37), are in sufficient agreement with
the actual ones (column 9).
Tests carried out in the presence of safety air chests moun-
ted along the pipe showed that the valves allowed the passage
of shocks only of the intensity corresponding to the resistance
of their springs.
The formation in the diagrams of slots described in § 18 is
due to the presence in the pipe of small air chests, as a result
of accumulations of air left after the removal of the pressure
gauges. The theory of the air chest enables to determine from
a pressure diagram the location of accumulated air in the pipe
and its volume.
In § 19 is considered the effect on the shape of the pres-
sure diagram of a leak developed in the pipe. The theoretical
considerations are confirmed by the results of tests on the У
Pjpe, which for this purpose was provided with holes. The loca-
tion of the leak can be determined from the pressure diagram,
n column 9 of the accompanying table are given the distances
? holes from the gate-valve as obtained from the diagram, and
in column 10 the actual distances.
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS JN WASSERLEFTUNGS-
ROHREN
(1900)
§ 1. Einleitung. Vorliegende Abhandlung enthalt eine theore-
tische Bearbeitung der Resultate der Beobachtungen uber die Stosse
des Wassers in Wasserleitungsrohren. Diese Beobachtungen wur-
den in den Jahren 1897 und 1898 auf Initiative des Verwaiters der
Moskauschen Wasserleitung N. Simin bei der Aleksejewschen
Wasserleitungsstation von den Ingenieuren K. Kareljskich,
W. Oldenburger und N. Berjosovsky angestellt; die Leitung der
Beobachtungen war mir anvertraut.
Angestellt wurden die Versuche mit Rohren von 2, 4 und 6
Zoll1 Durchmesser, welche Rohren im Hofe der Station auf die
Oberflache des Bodens gelegt und mit der 24 Zoll Durchmes-
ser grossen Magistralrohre der Stadt Moskau verbunden waren.
Beobachtet wurde eine Veranderung des hydrodynamischen
Druckes in der Rohre und eine Fortpflanzung dieses Druckes
langs der Rohre bei einer Unterbrechung des Wasserzuflusses
vermittelst eines sehr raschen Schliessens des Schiebers am
Ende der Rohre. Diese Versuche gaben interessante Resultate,
welche, soweit mir bekannt, bis jetzt in der technischen Litera-
tur nicht nachgewiesen sind. Es zeigte sich, dass alle Erschei-
nungen des hydraulischen Stosses erklart werden durch Erzeu-
gung und Fortpflanzung der Stosswelle in den Rohren, we'che
Welle durch Kompression des Wassers und Ausdehnung der
Rohrenwande hervorgerufen wird.
§ 2. Literatur inbetreff der betrachteten Frage. Theoretische
Untersuchungen uber die Verbreitung der Veranderung des
hydrodynamischen Druckes langs Rohren mit elastischen Wan-
1 In unserer Arbeit sind als Langenmasse Zoll und Fuss angewandt, da
die Durchmesser der Rohren Zollen mit ganzen Zahlen entsprachen.
§ 2
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
153
den ergaben sich hauptsachlich be der Erklarung der physio-
logischen (Verbreitung der Pulsschlage in den Arterien) und
Schallerscheinungen.
Zur Erklarung der Versuche, welche Marey uber die Verbrei-
tung des Wasserdruckes langs Kautschuckrohren anstellte, bot
Resal1 eine sehr einfache Analyse, indem er das Wasser fiir
einen nichtzusammendriickbaren Korper annahm. Er fand, dass
die Geschwindigkeit X der Verbreitung der langs der Rohre
gehenden Stosswelle durch die Formel:
ausgedriickt wird, wo E der Modul der Elastizitat des Kauschucks,
e die - Dicke der Rohrenwand, g die Gravitationsbeschleuni-
gung, 2R der Durchmesser der Rohre und f die Dichtigkeit der
Fliissigkeit ist.
Eine vollstandigere Analyse derselben Erscheinung bei Abwe-
senheit von Kompression des Wassers, aber mit Beriicksichti-
gung des Einflusses der Tragheit der Rohrenwande und der Reibung
der Fliissigkeit, wurde vom Prof. Gromeka gemacht2.
Er gab eine biquadratische Gleichung, deren Wurzeln zwei
Geschwindigkeiten der Verbreitung von Wellen ausdriicken.
Eine Analyse des Erscheinung mit Beriicksichtigung der Was-
serkompression (inbetreff der Fortpflanzung des Schalles) gab
Korteweg 8.
Er gibt, unter anderem, folgende annahernde Formel der
Geschwindigkeit des Schalles in einer elastischen Rohre, welche
mit Fliissigkeit gefiillt ist:
r- ------,
<jans ' ~ e * s * * ® 1> Note sur les petlts mouvements d un fluide incompressible
SaUn *uy®u elastique, „Journal de Mathematiques pures et appliquees", 1876.
... । ' r ° m e к a, Ober die Geschwindigkeit der Fortpflanzung wellen-
(Russlsch) ^e'vegun£ von Fliissigkeiten in elastischen Rohren, Kasan 1883
, . korteweg, Over Voortplating-snelheld van golven In elastische
buizen, Leiden 1878.
154
Ober den hydraulischen stoss
§ 2
wo X, die Geschwindigkeit des Schalles in der betrachtete
Flussigkeit, X2 die Geschwindigkeit der Welle in der nicht zu-
sammendruckbaren Flussigkeit, welche die Rohre fullt, nach der
von Resal gegebenen Formel ausdruckt.
Korteweg betrachtet die Rohre als elastische Membran.
Die Betrachtung der Rohre als eines elastischen Korpers
wurde von Lamb1 ausgefiihrt in seiner uniangst erschienenen
Arbeit uber die Verbreitung des Schalles in Rohren, die mit
Flussigkeit gefullt sind.
Lamb leitet eine biquadratische Gleichung ab, aus welcher
man 2 Geschwindigkeiten der Welle bei der betrachteten Er-
scheinung bestimmen kann. Dabei kommt die eine der Wurzeln
der erwahnten Gleichung, bei geringer Dicke der Rohrenwand
(nicht uber ’/10 des Radius), nahe der Geschwindigkeit, welche
Korteweg gibt.
Die Aufgabe der Technik fiber die Verbreitung des hydrau-
lischen Stosses langs einer Wasserleitungsrohre, welcher Stoss
infolge der schnellen Unterbrechung des Herausstromens des
Wassers aus der Rohre entsteht, wurde gewohnlich nicht in
Verbindung mit den obenerwahnten theoretischen Folgerungen
gebracht.
Die Ingenieure, welche sich mit dieser Aufgabe beschaftigten,
achteten nicht darauf, dass bei sehr schnellem Schlusse des
Schiebers das Wasser aufgehalten wird und der Stossdruck sich
nur beim Schieber einstellt, und dieser Zustand des Wassers
wird langs der Rohre hinubergetragen, nach dem Gesetz der
Fortpflanzung wellenartiger Bewegung. Ich nehme an, dass der
erwahnte Umstand deshalb ausser Acht gelassen wurde, weil die
Beobachtungen nicht bei langen Rohren angestellt wurden; in
kurzen Rohren hat es den Anschein, infolge der gewaltigen
Geschwindigkeit der Fortpflanzung der Stosswelle (gegen 4200
Fuss), als wenn eine Hebung des Druckes gleichzeitig die ganze
Rohre entlang stattfande.
Im Jahre 1890 veroffentlichte Professor Churche2 seine Unter-
1 H. Lamb. Ober die Geschwindigkeit des Schalles unter Einfluss der
Elastizltat der Wande. Proceedings of the Manchester Soc. 1898. Einen
kurzen Bericht uber diese Arbeit siehe in Wiedeman’s Beiblatter Heft 9,
1898.
2 Church e. “Journal of the Franklin Institute", 1890.
§ 2
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS 155
suchungen uber die Schwingungen des Wasserdruckes neben dem
augenblicklich geschlossenen Krahne der Wasserleitungsrohre.
Der Forscher vermutet, dass der starkste Druck, welcher bei
diesen Schwingungen beobachtet wird, von der Zeit und der
Art des Schliessens des Krahnes abhangt. (Wir werden unten
sehen, dass in dem Faile, wo die Zeit des Schliessens geringer
ist als die Zeit des doppelten Durchlaufens der Stosswelle von
dem Krahne bis zur Magistrate, der starkste Druck nur von
der Geschwindigkeit der Stromung des Wassers abhangt).
Fig. 1
Ausfiihrlichere Untersuchungen uber den hydraulischen Stoss
in Wasserleitungsrohren wurden nach einem Plane des Prof.
Carpenter1 von den Studenten des Sibley College angestellt.
Man beobachtete den Stoss in einer Rohre von Fl’/2 Zoll Durch-
messer, bei einer Geschwindigkeit des Wassers bis zu 8, 6
Fuss. Die Versuche wurden, wie folgende Fig. 1 zeigt, gemacht.
Das Wasser drang bei 2 Atmospharendruck in die Rohre
AF von A nach F. Die Geschwindigkeit der Stromung wurde
durch den Krahn A reguliert und mit Hilfe einer Pitot’schen
Rohre E bestimmt. Der Verschluss erfolgte durch den Schieber D,
welcher infolge schneller Bewegung der Hand auf den Hebei
verschlossen wurde. Die Veranderung des Wasserdruckes wurde
bestimmt mit Hilfe des Indikators Krosby C, welcher ein Dia-
gramm zeichnete, wobei der Zeiger, welcher in unserer schema-
tischen Zeichnung dargestellt ist, durch einen Bleistift ersetzt
wurde, welcher auf einem rotierenden Zylinder schrieb. Vor
dem Schieber D war eine Luftglocke В angebracht, welche
urchDrehung um die Achse der Rohre unten in eineWasser-
£_2^-ke verwandelt und auch ganz abgenommen werden konnte.
_ r p en t e r, Some experiments on the effect of water-hammer. The
Engineering Record", vol. 30, 1894
156
Ober den hydraulischen stoss
§ 2
Die Versuche wurden mit der Luftglocke, mit der Wasser-
glocke und ohne Glocke gemacht. Diesen drei Fallen entspre-
chen die Formen des oberen, mittleren und unteren Diagramms,
welche in Fig. 2 gegeben sind.
Der Anfang der ersten zwei Diagramme ist mit dem Buch-
staben a bezeichnet, der Anfang des letzten mit b. Das gleich-
massigste Diagramm
ist das oberste, wel-
ches bei der Luftglocke
sich ergab; es hat
isochronische Wellen,
welche allmahlich mit
dem Wachsen der Zeit
abnehmen. Bei Ver-
grosserung des Luft-
volumens in der Glo-
cke verminderte sich
der grosste Druck
bei dem Stosse, aber
die Verminderung war
nicht proportional dem
Vo lumen der Glocke.
Fiir die Rohre ohne
Fig. 2. Glocke erhielt man
das untere unregel-
massige Diagramm. Der Stoss rief in diesem Faile ein
bemerkbares Zittern der Rohre hervor. In dem Diagramm
bemerkte man nach schneller Steigerung des Druckes bis
zur Hohe be ein Fallen desselben, welches niedriger ging,
als die Linie des atmospharischen Druckes AB, bis zum Punkte d,
darauf stieg der Druck wieder rasch bis zum Punkte e, welcher
meist hoher war, als der Punkt c.
Carpenter gibt keine Erklarung dieser, auf den ersten
Blick, ratselhaften Veranderungen des Druckes und benutzt das
von ihm gefundene Material nur zur Bestimmung der grossten
Drucke bei verschiedenen Geschwindigkeiten der Stromung.
Wir geben hier in verkiirzter Gestalt eine Tabelle dieser
Drucke fiir eine Rohre ohne Glocke, wobei wir die Drucke in
§ 2
Ober den hydraulischen stoss
157
Atmospharen ausdrucken und davon 2 Atmospharen subtrahie-
ren, um einen llberschuss des Druckes gegeniiber dem hydro-
statischen zu gewinnen.
Geschwindigkeit v in Fussen Oberschuss des Druckes P in Atmospharen
2,91 3,35 4,20 5,05 6,02 7,07 8,60 4,3 6,1 7,7 9,7 13,3 15,7 17,3
Wir sehen, dass der Uberschuss des Druckes annahernd
2 Atmospharen auf jeden Fuss der Geschwindigkeit ausmacht.
Diese Zahl ist, wie wir unten sehen werden, kleiner als die,
welche sich bei den Versuchen an der Aleksejew’schen Sta-
tion ergab. Man muss voraussetzen, dass Carpenter fiir seine
Beobachtungen Rohren mit diinneren Wanden benutzte, als
wir, oder dass die Zeit des Verschlusses seines Hebelschie-
bers geringer war, als die Zeit, welche die Stosswelle zum
Durchlaufen der doppelten Lange der Rohre DA gebrauchte,
gerechnet vom Schieber bis zur Magistrate. Die letztere An-
nahme erscheint mir wahrscheinlich, weil alle Hohen der Wellen
auf den Diagrammen Fig. 2 zugespitzt sind1.
Die Versuche, welche Carpenter leitete, erscheinen, so weit
nur bekannt, als die Hauptuntersuchungen iiber den Stoss in
Wasserleitungsrohren. Die iibrigen Arbeiten dieser Art beziehen
sich entweder unmittelbar auf den hydraulischen Widder, oder
ver£, arpenter bestimmt aus dem Diagramm mit 0,03 sec die Zeit, welche
hochst$ V°m Punkte dem Anfange der Hebung des Druckes, bis zu seinem
ses БеГ"! ^erte P“n'<te c und nimmt an, dass das die Zeit des Verschlus-
wej|e C me*n®, dass das die doppelte Zeit des Durchlaufens der Stoss-
vom Schieber bis zur Magistrate 1st. Die Zeit des Verschlusses hin-
egen 1st bei ihm wahrscheinlich grosser als 0,03 sec.
158 Ober den hydraulischen stoss§ з
geben annahernde theoretische Untersuchungen, wie z. B. die
Untersuchung Menabrea’s
§ 3. Anwendung der Formel Korteweg’s auf die Erschei-
nung des hydraulischen Stosses. Wir richten die Achse Ox
langs der Achse der Rohre entgegen dem stromenden Wasser,
dessen Geschwindigkeit wir als positiv in einer, der Achse Ox
entgegengesetzten Richtung annehmen (Fig. 3).
Wir setzen voraus, dass infolge des schnellen Verschlusses
des Schiebers beim Punkte О das Wasser neben diesem Schie-
ber angehalten wird und dieses Anhalten sich allmahlich in der
Fig. 3.
Rohre fortsetzt, wobei das Wasser zusammengedriickt wird und
die Wande der Rohre sich ausdehnen.
Wir scheiden in Gedanken eine Masse Wassers M aus,
welche eingeschlossen ist zwischen 2 perpendikularen benachbarten
Durchschnitten der Rohre A und B, und schreiben fur diese
Masse das Theorem uber die Bewegung des Schwerpunkts:
^p-^p' + ^J
wo R und R' — die inneren Radien der Rohre in den Schnitten
A und B, p und p' die hydrodynamischen Drucke in diesen
Schnitten und v die Geschwindigkeit des Schwerpunkts der
Masse M ist.
Nehmen wir nun an, dass die Schnitte A und В unendlich
nahe sind und ersetzen wir die Masse durch ~/?sp dx, wo p die
Dichtigkeit der Fliissigkeit ist, so finden [wir, dass
1 Meissner, Die Hydraulik und die hydraulischen Motoren, Jena 1870,
Band I, S. 404.
§ 3
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
159
Hier ist v die Geschwindigkeit in dem betrachteten Schnitte
der Fliissigkeit, Po die Dichtigkeit des Wassers vor dem Stosse,
die wir infolge der sehr geringen Zusammendriickbarkeit des
Wassers statt p schreiben, und der totale Differentialquotient
nach der Zeit hat folgenden Ausdruck:
_d_2_ A
dt dt V dx'
Wir bestimmen jetzt das Quantum der Flussigkeit, welche
im Laufe des Zeitelements dt in das Volumen hineinkommt,
welches zwischen den Nebenschnitten A und В eingeschlossen
ist, und schreiben:
r.R'^'v' — rd&pv — 2* f p R dx = —
• * J dt p dt
woraus wir, ubergehend zu unendlich nahen Schnitten, erhalten:
dv____________________ 1 dp . 2 dR
dx~ p dt + Ro dt’ { ’
wo Ro der Wert von R vor dem Stosse ist.
Wir benennen mit к den Modul der Elastizitat des Wassers
(das Verhaltnis der Steigerung des Druckes zur Verminderung
des Volumens, welches Verhaltnis in Beziehung gebracht ist
zur Einheit des Volumens), mit p0 den Druck vor dem Stosse
und schreiben:
P — Po=(l— y)*-
Diese Formel kann man auch infolge der geringen Verander-
lichkeit der Dichtigkeit so darstellen:
p-p^^^k. (3)
ГО
Wir stellen uns jetzt (Fig. 3) einen unendlich diinnen Halbring
°, VOr’ welcher die Halfte des durch unsere Schnitte A und В
a gesonderten Teiles der Rohre darstellt, und schreiben, dass
ie der Elastizitat, welche sich in den Schnitten a und b
p , albringes entwickeln, gleich sind der Summe 'der
Projektionen auf den mittleren Radius des Halbringes:
2 dx eE = 2Rdx(P — Po),
160
Uber den hydraulischen stoss
§ s
wo e die Dicke der Rohrenwand und E der Modul der Elasti-
zitat des Rohrenmaterials ist. Infolge einer geringen Verander-
barkeit von R kann die notierte Gleichung auch so dargestellt
werden:
eE
Wir bestimmen nun die Grossen p und R aus den Formein
-(3) und (4) und fugen sie in die Formel (2) ein:
dv / 1 I 2/?0 \ dp
дх \ к eE ) dt‘
Wenn wir zur Abkiirzung annehmen, dass
-i /~ Po । 2Ropo
V eE
so stellt sich unsere obige Formel in folgender einfacher Ge-
stalt dar:
Die Formein (1) und (6) entscheiden die Frage von der
Verbreitung der Stosswelle in der Rohre. Wenn wir in diesen
Formein die Totalen Differentialquotienten nach der Zeit auf-
losen, so haben wir:
dp (dv dv\
dx \dt v dx/’
In Ubereinstimmung mit der Untersuchungsmethode, welche
Riemann1 bietet, multiplizieren wir die erste dieser Gleichungen
zuerst mit sodann mit — k, und addieren wir beide Male mit
der zweiten Gleichung, so erhalten wir:
(P + PoM = + w) j (p + PoM,
d d &
-§1^ — PoM = — (*—(p—PoM-
1 Riemann, ber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endllche
Schwlngungsweite, Gesammelte Werke, 1876, S. 145.
3 OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS 161
Wir fiihren nun zur Verkurzung des Ausdrucks folgende
Bezeichnung ein:
2s = p —p0Xn, ]
2r = p + p0Xw, J
und notieren, dass auf Grund der Formel (8)
ds=4^dx + -||d/‘ = ^|[dx —(X —И)Л], j
1 Э 7 > (10)
J ’ Diese Gleichungen zeigen, dass der Wert der Funktion s
s:ch langs der Rohre auf die positive Seite der Achse Ox mit
der Geschwindigkeit der Welle X — v iibertragt, und der Wert
der Funktion r auf die gerade entgegengesetzte Seite mit
der Geschwindigkeit X-j-w. Diese beiden Geschwindigkeiten
sind unter einander nicht gleich und sind veranderlich infolge
der Veranderbarkeit o; aber in den von uns betrachteten Ver-
suchen ist v nicht grosser als 10 Fuss, wahrend die konstante
Grosse X, wie unten gezeigt werden wird, gegen 4200 Fuss
hat. Infolgedessen konnen wir mit einem ganz geringen Fehler
sagen, dass die Werte beider Funktionen s und r sich iibertra-
gen: der eine auf die positive Seite der Achse Ox, der andere
auf die negative, mit konstanter Geschwindigkeit X.
Dieser Gedanke wird mathematisch durch folgende Formel
ausgedriickt:
. } (ID
r==Po±W^_poXFi(x + xo> I
wo F und Fj einige willkiirliche Funktionen sind, aber die kon-
stanten Grossen und die Multiplikatoren hinzugefiigt sind, zur
equemlichkeit weiterer Folgerungen.
л wir s und r kennen, so konnen wir auf Grund der For-
me (9) -u und p jn jec|em punkte der Rohre und zu jeder Zeit
stimmen. Diese Funktionen sind:
v = F{x Xf) Ft (x -J- Xf), I (12)
p ~~ Po = [®o—F(x — kf) — Fj (x 4- Xfl] pox. f
Зак. 2386 и E Жуковский, т. VII. И
162
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ 3
Die hierher gehorenden willkiirlichen Funktionen F und F\,
miissen bestimmt werden nach dem Anfangsstadium der Stro-
mung der Fliissigkeit und nach den Grenzbedingungen an den
Enden der Rohre.
Die Geschwindigkeit der Fortpflanzung der Stosswelle
wird gegeben durch die Formel (5). Wenn die Wande der Rohre
nicht ausdehnbar waren, so miissten wir E = oo annehmen, und
dann erhielten wir fiir die Geschwindigkeit der Stosswelle die
Grosse:
wo T die Dichtigkeit der Fliissigkeit in Bezug auf das Gewicht,
dagegen g die Gravitationsbeschleunigung ist. Das ist die Ge-
schwindigkeit der Fortpflanzung des Schalles n der freien Fliis-
sigkeit. Wenn wir aber, umgekehrt, eine nicht zusammendriick"
bare Fliissigkeit batten, so miisste к = oo gesetzt werden, und
wir batten dann die Formel:
(14>
welche Resal fiir die Geschwindigkeit der Fortpflanzung der
Druckveranderung einer Fliissigkeit langs der elastischen Rohre
gegeben hat.
Bei der Voraussetzung der Zusammendriickbarkeit der Fliis-
sigkeit und Ausdehnbarkeit der Rohr - .vande erhalten wir die
Formel (5), der man folgende einfa. e Gestalt geben kann:
Das ist die Formel, welche Korteweg fiir die Fortpflanzung
des Schalles gibt; das Gesagte beweist, dass diese Formel
auch auf den hydraulischen Stoss angewandt werden kann.
Fiir die von uns untersuchten Gusseisenrohren erhalt man
nach dieser Formel (15) die Geschwindigkeit der Stosswelle,
wobei die Geschwindigkeit des Schalles im Wasser gleich ist
>>i = 4710 Fuss,
welche folgende Tabelle darstellt:
§ 3
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
163
2 Rq in Zollen e in Zollen X in Fussen
2 10 32 4424
4 11 32 4 228
6 13 32 4116
24 22 32 2 996
Wir bemerken noch, dass die in unsere Analyse fallende
Formel (4) als eine approximative erscheint, da wir bei Aufstel-
lung derselben nicht beriicksichtigen die Krafte der Elastizitat,
welche sich in den der Achse der Rohre perpendikularen Schnitten
unseres Halbringes entwickeln, und die Krafte der Tragheit des
Stoffes des Halbringes bei seiner Bewegung.
Der erste Umstand darf bei den Beobachtungen uber die
Wasserleitungsrohren keinen bemerkbaren Einfluss zeigen, da
diese Rohren aus einer grossen Zahl einzelner Teile zusammen-
gesetzt sind, welche als elastische Ringe von endlicher Lange
betrachtet werden konnen. Was die Krafte der Tragheit des
Rohrenstoffes betrifft, so erscheint bei der fiir die Beobachtungen
angewandten Zeit des Veschlusses der Einfluss dieser Krafte
als vollig unbedeutend im Vergleich zu dem Effekt der Krafte
der Rohrenelastizitat. In der Tat, wenn man die Krafte der
Tragheit des Rohrenstoffes beriicksichtigt, so muss die Formel (4)
durch folgende ersetzt werden:
P Po R 2 ^o) 4“ ePl ’
wo Pi die Dichtigkeit des Gusseisens ist. Die Zeit des Schlus-
ses des Schiebers konnte, bei all unserem Bemuhen sie mog-
lichst zu verkurzen, nicht geringer als 0,02 sec gemacht werden;
^cPR mUSS таП *^еП ^ussers^en Wert der Beschleunigung
df~ f°lgende Grosse halten:
(0 02)2 = 5000 (R — Ro).
164
LIBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ 4
Indem wir diesen Ausdruck in die obige Formel einsetzen,
geben wir sie auf Grund der Formel (14) so:
f f f \ 2 P 0 I
+^5000|-
Fur eine Rohre von 2 Zoll Durchmesser ist ungefahr
12 838 Fuss, so dass
() \2
= (154056)*
o-o /
und
5000 • 7Л5-— = 4- 7,8 • 5000 = 6500.
2/?0 Po b
Die zweite Zahl, welche den Einfluss der Tragheit ausdriickt,
erscheint als vollig unbedeutend im Vergleich zur ersten. Da-
durch erklart sich der Umstand, dass bei alien unseren Versuchen
die Indikatoren kein einziges Mai Drucke der Flussigkeit zeigten,
welche in der Rohre mit zwei verschiedenen Geschwindigkeiten
fortgepflanzt werden, von welchen Lamb und Prof. Gromeka
sprechen.
§ 4. Theoretische Bestimmung der hochsten Hebung des
Druckes wahrend des hydraulischen Stosses. Nach dem Moment
des Hebelverschlusses im Punkte О am Ende der Rohre (Fig. 3)
wird langs der Rohre, wie aus dem in § 2 Gesagten hervorgeht,
mit der Geschwindigkeit л sich eine Phase fortpflanzen, welche
der Geschwindigkeit Null und der grossten Hebung des Druckes
p — p0 entspricht.
Wir nehmen an, dass die Schnitte A und В in unserer
Rohre im gegebenen Moment der Zeit so gelegen sind, dass in
dem Schnitte A die Geschwindigkeit der Fliissigkeit gleich
Null ist und der Druck seinen grossten Wert p hat, in dem
Schnitte В dagegen die Geschwindigkeit der Fliissigkeit gleich
v0 und der Druck gleich dem Drucke p0 vor dem Stosse ist.
(Zur Vereinfachung nehmen wir anfangs an, dass der Druck vor
dem Stoss in der ganzen Rohre ein und dieselbe Grosse hat)
Die Fliissigkeitsmenge, welche durch den Schnitt В geflossen
ist und gleich ist
dt,
§ 4
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
165
wird in dem Raume zwischen В und A deshalb PJatz finden,
weil wahrend der Zeit dt der Punkt, von welchem die Defor-
mation der Rohre und die Veranderung der Dichtigkeit p anfangt,
sich nach rechts urn die Strecke bdt vorwarts bewegen wird.
Das durch diese Ursache gewonnene Volumen wird gleich sein:
к (R- — X dt + r.RJ ( ?—) X dt.
\ Po /
Bei der Vergleichung der beiden Volumina unter einander
und mit Benutzung der Formein (3) und (4) finden wir, dass
Aus dieser Formel wird die gesuchte Grosse des durch den
Stoss erfolgten Druckzuwachses p— p0 gefunden, welche wir
mit P bezeichnen wollen:
wo
X
2/?0
eE
1
к
Auf Grund der Formel (5) lasst sich diese Gleichung so
umformen:
(16)
g
Wir sehen auf diese Weise, dass der infolge des hydraulischen
Stosses gekommene Druckzuwachs gerade proportional ist der
beim Stoss verlorenen Geschwindigkeit des Wassers und der Ge-
schwindigkeit der Fortpflanzung der Stosswelle in der Rohre.
Die Formel (16) kann ebenso aus dem Theorem der leben-
digen Krafte abgeleitet werden.
Die Lange der Rohre sei gleich I. Die ganze lebendige
Kraft des die Rohre fiillenden Wassers ist:
^o2Po^^-
А ^*e.Se lebendige Kraft wurde verwandt auf die Arbeit der
us e nung der Rohre und der Kompression des Wassers.
166
Ober den hydraulischen stoss
§ 4
Da der Anfangsdruck p0 im Gleichgewicht mit den Drucken
der Rohrenwande und der Elastizitat des Wassers ist, so wird
der Druckzuwachs, welcher sich von Null bis P verandert,
diese Arbeit ausfiihren. Die Arbeit zur Ausdehnung der Rohren-
wande wird nach Formel (4) sein:
frRolfpd(R — R0) = PdP=^- Ph
auf ahnliche Weise wird die Arbeit zur Kompression des Was-
sers auf Grund der Formel (3) so ausgedriickt:
PJ(p - p0) = J PdP= Fh
Po J KJ Zk.
Indem wir die Summe der Arbeiten der obengeschriebenen
lebendigen Kraft vergleichen, finden wir:
Po'2 ®o2 =
2^0 pQ J Pq
eE ' k
woraus wir auf Grund der Formel (5) sogleich die Formel (16)
erhalten.
Die Grosse
g '
welche in die Formel (16) hineinkommt, driickt die Hohe der
Wassersaule aus, welche dem zu bestimmenden Drucke P ent-
spricht. Wenn wir diese Hohe in Fussen ausdriicken und durch
34 dividieren (die mittlere Hohe des Wasserbarometers), so
finden wir die Zahl der Atmospharen h, bis zu welcher der
Druck auf jeden Fuss der verlorenen Geschwindigkeit anwachst.
Wenn wir g = 32 Fuss annehmen und die Gdschwindigkeit л in
Fussen ausdriicken, so bekommen wir fur die Bestimmung von h
die Formel:
._____L_
1088 '
(17)
§ 5
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
167
Nach dieser Formel stellen wir folgende theoretische Tabelle
der Grossen h auf:
2R in Zollen h in Atmospharen
2 4,066
4 3,886
6 3,783
24 3,287
Die ersten 3 Zahlen dieser Tabelle sind nahe zu 4, so dass
man auf Grund der theoretischen Betrachtungen fur die Rohren
von 2, 4, 6 Zoll vier Atmospharen des Druckzuwachses auf
jeden Fuss der verterenen Geschwindigkeit erwarten muss.
§ 5. Theoretische Bestimmung der Form des Stossdia-
gramms in den verschiedenen Punkten der Rohre. Die Aufgabe
fur die Form des Diagramms, welches infolge schneller Unter-
brechung des Stromens des Wassers der Bleistift des mit der
Rohre in irgend einem Punkte vereinigten Indikators zeichnet,
wird durch Bestimmung der willkurlichen Funktionen gelost,
welche in die Formel (12) hinein kommen. Diese Bestimmung
muss so gemacht werden, dass sie den gegebenen Werten v
und p in alien Punkten der Rohre im Anfangsmoment der Zeit
entspricht und ebenso den Bedingungen, welche v und p am
Ende und Anfang der Rohre fur die ganze Zeit nach Beginn
des Verschlusses des Schiebers genugen mussen. Im Anfangs-
moment der Zeit, die ganze Rohre entlang, hat v den konstan-
ten Wert von v0‘, wir wollen anfangs der Einfachheit wegen
annehmen, dass dabei auch die Grosse p0 langs der ganzen
Rohre konstant ist und sich wenig von dem Drucke der
Magistrate *, mit welcher die Rohre verbunden ist, unterscheidet;
(das findet annahernd statt dann, wenn das Wasser bei wenig
geoffnetem Schieber aus der Rohre fliesst). Wenn ~ die Zeit
es Verschlusses ist, so lasst sich die Geschwindigkeit v am
I dlk t"1 wlrd gezeigt werden, welchen Einfluss auf die Form des
rdiagramms der Umstand hat, dass der hydrodynamische Druck vom
ang der Rohre zum Ende derselben fallt.
168
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ S
Ende der Rohre, von dem Moment des Verschlusses des
Schiebers an, fiir die Zeit ~ durch eine Funktion der Zeit
*=/(')
ausdriicken, welche Funktion von der Art des Verschliessens des
Schiebers abhangt.
Diese Funktion fiir die Zeit ” fallt von v0 bis 0. Nach
Verlauf der Zeit ~ werden wir fiir jede weitere Zeit am Ende
der Rohre v — 0 haben.
Wenn wir die Magistrale, im Verhaltnis zur Rohre, mit sehr
grossem Durchmesser annehmen, so werden wir beim Anfange
der Rohre, wahrend der ganzen Zeit den konstanten Druck
p — p0 haben. Zur grosseren Einfachheit werden wir statt der
Grosse p die Grosse P=p—Po betrachten und betreff dieser
sagen dass sie im Anfangsmoment gleich Null ist, die ganze
Rohre entlang, und gleich Null, die ganze Zeit hindurch, am
Anfang der Rohre bei der Magistrale.
Wir werden annehmen, dass die Grossen v und P, welche
in der Formel (12) gegeben sind, sich zusammensetzen aus der
Summe der Grossen:
wo
», = S(x-K), , (18)
Pi = pX[«0 — P(x— X/)]; J
Die Phase der Zustande vt und Pj wird sich in der Rohre
nach rechts mit der Geschwindigkeit X fortsetzen und wird von
uns rechte Welle genannt werden; die Phase dei ustande v2
und P2 wird sich in der Rohre nach links mit der Geschwindig-
keit X fortsetzen und von uns linke Welle genannt werden.
Wenn die Lange der Rohre I ist, so muss die Funktion F,
welche die rechte Welle bestimmt, fiir alle Werte des Argu-
ments von I bis — oogefunden werden, und die Funktion Fit
welche die linke Welle bestimmt, muss fur alle Werte des
Arguments von 0 bis -j- oo gefunden werden.
8 5
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
169
Wir wollen hier eine graphische Konstruktion dieser Funk-
tionen geben, oder, was dasselbe ist, die Diagramme der rechten
und linken Welle konstruieren. Es sei
“4.
die durch die Zeit des Durchlaufens der Stosswelle (Fig. 4)
ausgedriickte Lange der Rohre. Wir nehmen die Strecke cb
fiir die Halite der Grundlinie des Rechtecks abde, dessen Hohe
co = v0.
Wir ziehen eine Kurve cf, deren Ordinaten unten von der
Horizontale oe abgemessen werden und driicken die Geschwin-
digkeiten des Wassers beim Schieber wahrend der Zeit des
Verschlusses aus durch:
v=f(t) = F( — It),
wobei die Abszissen t auf oe von о nach e abgemessen werden,
so dass
o/=t.
Die Kurve cf teilt unser Rechteck abde in 2 (Figuren 1 und 2).
Aus diesen Figuren werden auch die Diagramme gebildet,
welche die rechte und die linke Welle darstellen. Auf der
Zeichnung 4 sind mit romischen Ziffern I und II die erwahnten
Figuren in dem Faile bezeichnet, wenn es notig wurde sie auf
die Ebene der Zeichnung mit der Seite zu legen, welche
entgegengesetzt ist der, mit welcher s’e auf der Ebene liegen,
indem sie das Rechteck abdea bilden. Uber der Horizontalen,
welche durch die Rohre cb geht, ist in der Fig. 4 das Diagramm
der rechten Welle gegeben, welches aufeinanderfolgend aus
den Konturen: (2), (I), (II), (1),... zusammengesetzt ist; unter
der erwahnten Horizontalen ist das Diagramm der linken Welle
gegeben, welches aufeinanderfolgend aus den Konturen (2), (I),
(I), (1)... zusammengesetzt ist, wobei cvb=cb ist.
Die Grossen v in der rechten Welle werden gegeben durch
*e ,vert*kalen Abstande der horizontalen Linie ed von den
Punkten der Linie bcfc2f2..., und die Drucke P werden, iiber-
einstimmend mit Formel (18), gegeben durch die Abstande der
170 Ober den hydraulischen stoss § 5
erwahnten Linie von der Horizontalen ab, welche Abstande mit
?X multipliziert sind. Die Grossen v in der linken Welle ergeben
sich durch die negativen Werte der Abstande der Punkte der
Linie von der Horizontalen ab, und die Drucke
P ergeben sich, iibereinstimmend mit der Formel (19), aus
den negativen Werten derselben Abstande, multipliziert mit pX.
Es ist leicht zu sehen, dass die von uns konstruierten
Diagramme der rechten und linken Welle alien obenerwahnten
Anfangs und Grenzbedingungen entsprechen. In der Tat, wenn
wir voraussetzen, dass die Diagramme sich mit einer Geschwin-
digkeit bewegen, welche gleich ist der inheit (die Einheit der
Geschwindigkeit auf der Horizontalen cb entspricht der Ge-
schwindigkeit л in der Lange der Rohre), ^das eine nach rechts,
das andere nach links, so finden wir fur den Anfangsmoment
der Zeit langs der ganzen Rohre cb die Geschwindigkeit v = v0
und den Druck P — 0; ferner, wenn wir vom Moment des
Verschlusses des Schiebers anfangen, so erhalten wir bei dem
Schieber eine Geschwindigkeit, welche durch die Abstande der
Punkte der Kurve cf von der Horizontalen ed dargestellt ist,
das heisst, welche sich nach dem gegebenen Gesetze f (t)
verandert. Nach dem vollstandigen Verschlusse des Schiebers
wird sich die Geschwindigkeit v — 0 und der Druck P=wopX
die Rohre cb entlang fortpflanzen. In dem Moment, wo der
Punkt c der rechten Welle zum Anfange b der Rohre kommt,
kommt zu diesem Punkte auch der Punkt C; der linken Welle.
Von diesem Momente an beginnt die Zusammensetzung des
positiven Druckes pXZ»A: (siehe Fig. 4 unter dem Punkte b),
welcher von der rechten Welle gebracht ist, mit dem negativen
Drucke—?kbklr welcher von der linken Welle gebracht ist. Da
bk = bkit so wird diese Zusammensetzung fur den Wert P beim
Anfange der Rohre die Grosse P~Q geben; dasselbe wird
stets stattfinden, wenn die rechte Welle dem Punkte b den
Wer Px = v0 pX bringen wird, und die linke den Wert
= —f0PX-
Wenn der Punkt c8 der rechten Welle zum Punkte о kommt,
und der Punkt ct der linken Welle zum Punkte c, so beginnt
am Ende der Rohre c die Zusammensetzung der positiven
Geschwindigkeit ok, welche von der rechten Welle gebracht
§ 5
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
171
wird, mit der negativen Geschwindigkeit cklf welche von der
linken Welle gebracht wird (s. Fig. 4 uber dem Punkte c). Da
in jedem Zeitmoment ok — ck}, tso ist die ganze Zeit beim
Schieber w = 0; dasselbe wird stattfinden, wenn die rechte
Welle zum Schieber die Geschwindigkeit vQ, die linke die
Geschwindigkeit — v0 bringen wird. Fahren wir fort, auf diese
Weise zu urteilen, so iiberzeugen wir uns, dass wir fiir die
ganze Zeit nach dem Stosse beim Anfange der Rohre P = 0
und am Ende w = 0 haben werden. Konstruieren wir jetzt ein
Fig. 4.
Indikatordiagramm des Druckes fiir irgend einen Punkt der
Rohre, welcher von dem Ende der Rohre einen Abstand von
q hat. Es sei ci dieser Abstand, ausgedriickt durch die Zeit des
Durchlaufens der Stosswelle:
£
Cl~~ x •
Wir miissten fiir den gewiinschten Zweck zu jeder Grosse
, welche (Fig. 4) auf dem Diagramme der linken Welle in
рПДГ Entbrnung t rechts von z genommen ist, die Grosse
inzufiigen, welche dem Diagramm der rechten Welle im
Abstande f links von i entnommen ist; aber statt dessen konnen
wir einfach uns vorstellen, dass die Zeichnung (4) um die
172
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ 5
Vertikale ii gebogen ist, und ihre linke Halfte auf die rechte
gelegt ist.
Dabei fallen die inbetreff der Achse ii symmetrischen Punkte
der Geraden i/:i und if2 zusammen, wie das aus Fig. 5 ersicht-
lich ist, wo die Konturen des Diagramms der 1 inken und der
rechten Welle durch dieselben Buchstaben gegeben sind, mit
welchen sie auf Fig. 4 bezeichnet waren.
Wir sehen, dass das Indikatordiagramm die Gestalt der
geschwarzten Linie cfgqnmc^f^c^ haben wird. Man kann e:ne
bequeme praktische Methode der Konstruktion solcher Dia-
gramme fur die verschiedenen Punkte der Rohre geben. Man
V c f.
Fig. 5.
muss ein Lineal TV machen und es von oben nach der Kontur
ccificsfsci der linken Welle ausschneiden; darauf muss man auf
Papier die von links nach rechts gedrehte rechte Welle cfc.2f2c4fi
aufzeichnen und das Lineal an dieselbe an!egen, wie in der
Figur gezeigt ist, wobei cc = 2-l-.
Bestimmen wir darnach die algebraische Summe /\-bF2 in
den entsprechenden Punkten, so zeichnen wir sofort die Kontur
cfgqnmc.>f„tci,
welche das Indikatordiagramm darstellt.
Die Lange dieser Kontur in der Richtung der Geraden
/-’=0 wird sein:
. I
cc4 = 4-
d. h. sie wird die vierfache Zeit des Durchlaufens der Stosswelle
durch die ganze Rohre darstellen, wobei aus der gegebenen
Konstruktion ersichtlich ist, dass im Verlaufe der Zeit das
gezeichnete Diagramm sich periodisch wiederholen wird.
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
173
Nachdem wir notiert haben, dass die Projektionen der Kurven
cf Ctfi--- аи^ Richtung cc gleich sind der Zeit des
Verschlusses ", so finden wir fur die verschiedenen Teile unse-
res Diagramms folgende Grossen:
, 2 (/-J)
ccj = nk =----r---
f 2(Z-0
fg — mc.} —---г---
2$
cxn = kct = —,
f 2’ -
7n = /:;Cj = ----
(20)
Aus der ersten Forme) folgt, dass die Zeit, welche vom
Anfange der Hebung des Druckes P bis zum Anfange des
Fallens desselben. verging, gleich ist der doppelten Zeit des
Durchlaufens der Stosswelle durch die Strecke vom Indikator
bis zur Magistrate.
Dieser Satz ist von uns zur Grundlage der Methode, um X zu
bestimmen, genommen worden, wobei die Diagramme grossten-
teils beim Schieber gezeichnet wurden und X gefunden wurde
durch Teilung der doppe’.ten Lange der Rohre bdurch die
erwahnte Zeit. Wenn der Indikator dem Ende der Rohre
soweit nahe gestellt wird, dass
2*
X <
dann erhalt man auf dem Diagramm nicht die Geraden qn und
/3С4 des Nullwertes P; ebenso, wenn der Indikator soweit nahe
zum Anfange der Rohre gestellt wird, dass
2(Z-E)
x
erhalt man nicht die Geraden fg und mcs des grossten positiven
und negativen P.
Auf diese Weise konnen in dem betrachteten Problem drei
Formen er in Fig. 6 dargestellten Diagramme existieren.
174
Ober den hydraulischen stoss
§ e
Die Diagramme, welche beim Schieber gezeichnet wurden,
haben immer die zweite Form, wobei man die Aufmerksamkeit
darauf lenken muss, dass in diesem Faile das erste Diagramm
nicht ganz ahnlich den folgenden sich periodisch wiederholenden
Diagrammen ist, da die Projektion auf die Gerade P— 0 der
Kurve cf gleich т ist, und die Projektionen auf diese Gerade
Fig. 6.
gq, mq, c3f3 gleich -g- sind; in den folgenden Diagrammen
aber sind die Projektionen alter vier erwahnten Seite
n -g-. Auf
dem dritten Diagramm vermindern sich die Erhebung und die
Vertiefung mit der Annaherung zum Anfange der Rohre, und
unmittelbar beim Anfange muss uns der Indikator die Gerade
P=0 geben.
§ 6. Anordnung der Beobachtungen uber den hydraulischen
Stoss bei der Aleksejew’schen Wasserleitung. Drei Systeme
von Rohren mit den Durchmessern von 4, 6, 2 Zoll, von denen
Ober den hydraulischen stoss
175
8 6
das erste eine Lange von 1050 Fuss, das zweite eine Lange
von 1066 Fuss, das dritte von 2494 Fuss hatte, waren auf dem
Hofe der Aleksejew’schen Wasserstation so gelegt, wie es Fig. 7
zeigt Die Rohren von 4 und 6 Zoll fingen beim Brunnen F der
Hauptmagistrale von 24 Zoll Durchmesser an und hatten einen
Schieber beim Brunnen G; sie waren gelegt, wie Fig. 7 zeigt,
wo die innere, nicht geschwarzte Rohre, eine Rohre von 4 Zoll,
die aussere, durch einen schwarzen Strich bezeichnete, eine von
Fig. 7.
6 Zoll ist. Die Rohre von 2 Zoll schloss sich an die Magistrale
von 24 Zoll beim Brunnen G an und, nachdem sie um den Zaun
des Hofes der Wasserstation, welcher durch die punktierte
Grenzlinie dargestellt ist, gegangen war, kehrte sie zu dem
Auslasschieber zuriick, welcher in der Nahe desselben Bran-
nens G sich befand. Das Auslassende fiir alle 3 Rohren war ein
gemeinsames, so dass ein und derselbe Schieber zum Verschluss
einer beliebigen dieser Rohren bei ihrer respektiven Vereinigung
mit der Auslassrohre dienen konnte. Uber dem Schieber erhob
sich (Fig. 8) ein Holzgestell, welches dazu diente, mit Hilfe eines
uber einen Block geworfenen Drahttaues eine Last zu heben.
Diese Last fiel bei alien unseren Versuchen aus ein und derselben
Hohe und, indem sie vermittelst des Drahttaues an dem Hebei
176
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ 6
des Schiebers zog, verschloss sie den Schieber im Verlauf einer
Zeit von 0,03 sec.
Die Menge des herausfliessenden Wassers wurde bei unseren
Beobachtungen an der Rohre 2" in Pfunden berechnet, unter
Benutzung einer kleinen metaliischen Tonne, welche gerade auf
eine Dezimalwage gestellt war; bei den Beobachtungen an den
4" und 6" Rohren wurde diese Menge des Wassers in Puden
Fig- 8.
berechnet, unter Benutzung einer grossen holzernen Tonne,
welche mit einer nach Puden gradierten Wassermessrohre ver-
sehen war. Diese Tonnen sind auf unserem Bilde (Fig. 8) links
von dem Holzgestell sichtbar.
Bei Benutzung der kleinen Tonne ging der Versuch so vor
sich: der Schlauch, welcher mit der Auslassiohre verbunden war
endigte in einer kurzen metaliischen Rohre, welche an einen
Hacken in der Hohe der kleinen Tonne gehangt war. Der das Was-
ser hinauslassende Schieber wurde bis zum gewiinschten Grade
geoffnet, und das Wasser ergoss sich auf die Erde. Wenn die
Geschwindigkeit .des Ausfliessens stationar geworden war, so
h kte man das Ende des Sch’auches schnell am Rande der Tonne
fest und das Wasser wurde im Verlaufe einer Minute in die Tonne
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
177
S 6
aufgenommen, wonach das Ende des Schlauches schnell wieder
auf den friiheren Haken iibertragen wurde. Darauf liess man das
Gewicht fallen und durch schnellen Verschluss des Schiebers
brachte man einen hydraulischen Stoss hervor. Als die Beobach-
tung beendet war, schritt man zum Wiegen der Tonne, welche
zu Beginn des Versuches auf der Dezimalwage ins Gleichgewicht
gebracht war.
Auf diese Weise wurde das Gewicht des in die Tonne
geflossenen Wassers in Pfunden bestimmt und nach diesem
Gewichte wurde die Geschwindigkeit der Bewegung des Wassers
in der Rohre von 2" bestimmt.
Bei Benutzung der grossen Tonne wurde der Versuch so
angestellt: das Ende des Schlauches wurde uber der grossen
Tonne unbeweglich befestigt; der Schieber wurde bis zum ge-
wiinschten Grade geoffnet und man wartete, bis das Fliessen
des Wassers stationar wurde; darauf wurde bei fortgesetztem
Fliessen des Wassers bestimmt, umwieviel sich das Wasser in
der Wassermesserrohre in einer Minute hebe. Nachdem diese
Beobachtung gemacht war, wurde ein hydraulischer Stoss aus-
gefiihrt.
Da auf jeden Fuss Geschwindigkeit (in der Sekunde) aus
der 4" Rohre in einer Minute 9,05 Pud Wasser sich ergoss, und
bei der 6" Rohre 20,35 Pud, so konnen die Geschwindigkeiten
in Fussen bei den mit diesen Rohren angestellten Versuchen
gefunden werden durch Teilung der Zahl der in einer Minute
gefundenen Pude durch die erwahnten Zahlen. Die Geschwindig-
keit des Wassers in der Rohre von 2,/ wird gefunden durch Tei-
lung der Zahl der in einer Minute ergossenen Pfunde durch 90,51.
Auf Fig. 9 ist eine Photographic der Rohren von 4" und 6"
gegeben, welche vom Biegungspunkte der Rohre gemacht wurde.
In der Mitte der Figur ist ein Hauschen No. I sicbtbar; rechts
davon wenden sich die Rohren von 4Z/ und 6” zum Brunnen F,
links davon sind Anfang und Ende der 2" Rohre sichtbar. Die
we’tere Richtung der Rohre von I" kann man auf der Photogra-
P ie (Fig. 10) betrachten. Die Rohre geht den Zaun, welcher den
° ^er Station begrenzt, entlang vorwarts und an dieser Rohre
waren die transportierbaren Hauschen No. II und III (Fig. 7) auf-
geste t, von welchen das erste auf der Photographic links sichtbar
Злк. 2386— ц E. Жуковский, r. VH.
178
Ober den hydraulischen sto
S 7
ist. Der Mensch, we'.cher auf der Photographie dargestellt ist,
steht an der Biegung der Rohre von 4 7 und 6".
Fig- 9.
§ 7. Bestimmung der grossten Drucke an verschiedene
Punkten der Rohre mit Hilfe von Manometern. Die ersten Ver
suche auf der Aleksejew’schen Station waren darauf gerichtet, zu
Fig. 10.
zeigen, dass der Maximaidruck beim hydraulischen Stosse in alien
Punkten der Rohre ein und derselbe ist und sich vom Schieber
bis zur Magistrale mit einer gewissen konstanten Geschwindig-
keit fortpflanzt. Die Versuche wurden anfangs mit einem System
Ober den hydraulischen stoss 179
von Rohren von 4", spater aber mit Rohren von 2" gemacht.
Langs der Linie der Rohre von 4" waren 11 Burdon’sche Mano-
meter aufgestellt, welche mit Friktionszeigern zur Notierung der
grossten Bezeichnungen der Manometer versehen waren. Die Ma-
nometer No. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 waren auf der rechten Halfte der
Rohre angebracht (vom Schieber aus gesehen), in Abstanden von
70 Fuss von einander, wobei der Manometer No. 1 unmittelbar am
Schieber stand. Die Manometer No. 8, 9, 10, 11 waren auf der
linken Halfte der Rohre in Abstanden von 140 Fuss aufgestellt,
wobei der Manometer No. 11 etwa 7 Fuss vom Anfange der
Rohre entfernt war. Auf Fig. 7 sind die erwahnten Manometer
durch kleine Kreise dargestellt. Anfangs, vor Offnung des
Schiebers, bewegten sich alle Friktionszeiger zu den Zeigern der
Manometer, welche den Druck der Hauptmagistrale anzeigten,
welcher Druck gleich 4,5 Atmospharen war (oberhalb des Atmo-
spharendruckes). Darauf wurde der Schieber bis zum gewiinschten
Grade geoffnet und es erfolgte ein Hinausfliessen des Wassers,
dessen Geschwindigkeit mit Hilfe der grossen Tonne bestimmt
wurde. Nachdem diese Bestimmung gemacht war, wurde das
Gewicht, welches auf das Holzgestell gehoben war, hinunterge-
jassen und es erfolgte ein hydraulischer Stoss. Nach Beendigung
des Stosses wurden die Bezeichnungen aller Friktionszeiger
beobachtet und notiert. Die Resultate der Versuche, welche mit
der Rohre von 4" am 23 und 24 Juni 1897 gemacht wurden,
sind in folgender Tabelle niedergelegt.1
Betrachten wir aus dieser Tabelle die Drucke in verschiedenen
Punkten der Rohre, so sehen wir, dass sie annahernd konstant
sind. Die Bezeichnungen des Manometers No. 10, der vom Anfang
der Rohre 147 Fuss entfernt war, fallt bei einigen Beobachtungen
fast zusammen mit der Bezeichnung des Manometers No. 1, wel-
cher beim Schieber stand. Auf diese Weise wird der Stoss ohne
Abschwachung die ganze Rohre entlang weitergegeben. Der
Manometer No. 11, welcher fast am Ende der Rohre steht,
2eigt, wie das auch aus § 5 folgt, einen Druck, welcher
dem Druck der Magistrale sich nahert; deshalb benutzten wir
ei Zusammenstellung des mittleren Druckes diese Bezeichnung
nicht.
Selte 180 Anmerkung der Schriftleitung.
12*
180
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ 7
Beobachtungen vom 23 und 24Juni 1897 uber die grossten Drucke bei hydraulischem Stoeee in der Rohre von 4"
vermittelst Manometer
II Q. О О 00 \£> 04 оо оо оо vo* v-Г o' с? 2* O4O4T-tO4t-’’-,cr)’^ ’^
d UOA V’JA лэ"1ШП О Г— т-« \D ко г-Г -rr ем v-Г о co co CO CO 04 CN 1—' V—t 04 1—< 1—’
илэ}эшои1гдо 01 sn® лэлэ^ВД mes'Oi-<c^cqcor^<3s. 6 «5 r-’ iC и e- ei w rr^re^cN—,-re<ic<ic4
Bezeichnungen der Manometer in Atmospharen T—« vo VO OOCOO-O-VOV-Tr-O-vDO
о CCCO^'^'xD'^'-^vDMCN COC00404v-tv-te0040404
о woo-o-coo-v^cno-cncn ^<^0404v-tv-HV0040404
00 OOOOOO’t^-VOTrO-’^CO C0cnc004v-<v-«^r040404
о- OOOOO'O-vDV^O'VO’-’v-’ CO CO 04 04 v—< v—* CO 04 04 04
\D OOOOOO^OOOOOO-CT'O- Tr-^*C0C0v-<v-HV0C0O4O4
VO \0O4\DVOVOCOO4MOO4CO CO 04 04 v—< v—< VO 04 04 04
тГ 0-00'>OVOV0040ir)00 CO CO 04 04 v—t v—< MO 04 04 04
СП 00C0CT'V0V0’rT*00OsC0O4 -^V0040J^-<^H\0010404
04 F'-OOOkDVO^OO'COCO CO ^3* 04 04 r-t т-e V) 04 04 04
т—* OOOOOOn^oOOOOluo Tf 04 04 1—' v—« wo 04 04 04
Udssnj ui SJesse^ S»p ’Mips0£) 00 4© o vo о о оГ я^Г чО 04* О? о< со -т'
Sunjtpeqoag лэр -ojj v-»04CO^VO\Do-oOCXO v-^
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
181
§ 7
Ein gewisses Schwanken in den Bezeichnungen der Burdon-
schen Manometer kann erkiart werden durch die Nichtgeeignet-
heit dieser Apparate zur Bestimmung eines Stossdruckes (Einfluss
der Tragheit der sich auseinanderbiegenden Manometerrohre)
und durch den Umstand, dass bei grossen Geschwindigkeiten
des Wassers der Friktionszeiger den Maximaidruck nicht der
ersten Welle, sondern bisweilen der zweiten anzeigt (s. ,§ 9).
Diese Umstand? nun miissen darauf Einfluss haben, dass die
Grosse P, welche aus der mittleren Bezeichnung der Manometer
bestimmt ist und in der vorletzten Kolumne gegeben ist, sich
viel grosser erweist, als die theoretische Grosse P=Av.
Bei den Versuchen mit der Rohre 2" waren die Linie
der Rohre entlang elf Manometer aufgestellt. Die Manometer
No. 1, 2, 3, 4, 5, 6 an der linken Halfte der Rohre (vom
Schieber aus gesehen), wobei der Manometer No. 1 unmittelbar
am Schieber stand, wahrend die Manometer No. 7, 8, 9, 10, 11
an der rechten Halfte (am Zaune) aufgestellt waren, wobei der
Manometer No. 11 unmittelbar am Anfange der Rohre stand.
Auf Fig. 7 sind mit schwarzen Punkten die Orte bezeichnet,
an welche man die Manometer anschrauben konnte; beginnend
beim Schieber gingen die Manometer No. 1, 2, 3 in Abstanden
von 140 Fuss von einander, darauf die Manometer No. 5 und 6
in Abstanden von 280 Fuss. Der letzte schwarze Punkt auf der
linken Halfte der Rohre war von keinem Manometer eingenom-
men, dagegen der erste Punkt auf der rechten Halfte vom Ma-
nometer No. 7, hinter diesem waren d;e Manometer No. 8, 9,
10, 11 in Abstanden von 280, 420, 280 Fuss, mit Auslassung je
eines Punktes, aufgestellt.
In der folgenden Tabelle1 sind gegeben die Resultate der
Versuche uber den grossten Druck bei hydraulischen Stossen in
einer Rohre von 2W, welche am 1 und 23 September 1897 ange-
stellt wurden.
, Aos dieser Tabelle sehen wir auch, dass die Bezeichnung
es an°meters ohne Verlust die ganze Linie entlang weiter
w°bei bei einigen Beobachtungen die Bezeichnung
eS anometers No. 10 sogar grosser ist, als die des Manome-
erS °’ Eine voile Ubereinstimmung in den Bezeichnungen
Seite 182. Anmerkung der Schriftleitung.
182
Ober den hydraulischen stoss
§ 7
einer £ II Q, 17,6 17,6 13,2 12.8 0‘81 17,6 9‘Ll
tossen in d “О* рэмршуи 23,7 24,4 18,3 18,6 22,5 22,4
ulischen S -oueW од идэ;эш snc ради 28,2 28,9 22,8 23,1 26,2 27,0 26,9
d h ro US ч—< ч—< tn КП ш 1Л КП ш КП
ke bei etern с т-* оо 04 О СП 04 04 08 04 с СП О
g§ ° s sE c о :d О' о 04 СП 22 сП 04 кп сП 04 04
grosste e von ©. tn О s со 04 СП о СП О СП 04 СП 1Л 04 V© 04 \© 04
897 uber die >n 2V mit Hili c г* СО сП 04 СП СО 04 С СП 04 04 04
CJ E о <C К© О СП О СП 04 к© 04 С 04 <П 04 С 04
> ф Ф g J £ »© i der M КП R СП Ш 04 О 04 СП 04 МО СП КП сП
QJ 1Л s bo 04 04 04 О 04 С? 04 04 tn 04 кп 04
und 2: о z сП кп 04 КП 04 ОО т-< 00 г-1 С 04 О 04 С 04
S © 04 СП 04 04 00 т-“< СО ч—< О СП О СП О
uaSun 04 О СП о 04 о 04 О сП КП 04 Ох 04
•g * Ul uassnj 4рэ[3 ipujMipsar) 4,4 4,4 3,3 3,2 4,4 4,4
Sunppeqoag лэр о[^ г-4 04 СП V-J Г-
Ober den hydraulischen stoss 183
bemerken wir auch hier nicht, aus der oben erwahnten Ursache,
dabei iibersteigt die mittlere Grosse P, welche aus den Beobach-
tungen resultierte, noch mehr die theoretische Grosse 4v, a!s
in den Beobachtungen mit der Rohre von 4"-
8 8 Bestimmung der Geschwindigkeit der Fortpflanzung
der Stosswelle > mit Hilfe des Marey’schen Chronographen.
In Ubereinstimmung mit der in § 5 dargelegten Theorie kann
die Geschwindigkeit der Fortpflanzung der Stosswelle in der
Fig. 11.
Rohre durch Ausmessungen des Stossdiagramms bestimmt werden.
Um aber mit moglichster Vollstandigkeit d.e von mir dargelegte
Theorie zu rechtfertigen, hielt ich es fiir niitzlich, mich anfangs
mit unmittelbarer Bestimmung der Zeit zu beschaftigen, wahrend
welcher die Stosswelle zwischen zwei Punkten der Rohre hin-
durchlauft. Dazu wurden, wie in den Photographieen Fig. 11
gezeigt ist, an zwei Punkten der 4" Rohre, welche von einander
um 700 Fuss entfernt waren, zwei manometrische bogenformige
° rc“en hineingeschraubt, welche sich bei Vergrosserung des
rue es auseinander bogen und zwei kupferne Stabchen in
ewegung setzten, die infolgedessen den elektrischen Strom
sch ossen. Dabei wurde das verschobene Stabchen durch Reibung
184
Ober den hydraulischen stoss
§ 8
an einer besonderen Feder gehalten und ging nicht zuriick. Die
Wirkung des Stabchens des ersten Manometers verschJoss einen
Strom, welcher in das Maschinengebaude der Wasserstation, wo
der Chronograph Marey stand, gelenkt wurde. Dieser Strom hob
den Anker des Chronographen, welcher Anker die Feder bewegte,
die auf einem von Rauch geschwarzten Papier des sich drehen-
Flg. 12.
den Zylinders zeichnete. Die verschobene Feder kehrte auf den
fruheren Platz in dem Moment zuruck, wo die Stosswelle zum
zweiten Manometer lief und dieser bewirkte, nachdem er das
Stabchen in Bewegung gesetzt hatte, einen Kurzschluss des
Stromes, welcher in die Maschinenabteilung der Wasserstation
geleitet wurde.
Auf diese Weise zeichnete die Feder des Chronographen
eine Zacke, deren Lange, ausgedriickt durch Zeit, die Zeit gab,
welche die Stosswelle zum Durchlaufen von 700 Fuss notig hatte.
Die Zeit, welche der Lange der Zacke entspricht, wurde bestimmt
in Hundertsteln einer Sekunde mit Hilfe von Zeichnungen, welche
cine zweite Feder auf denselben Zylinder schrieb. Diese Feder
Ober den hydraulischen stoss
185
wurde in Bewegung gebracht durch einen besonderen, nicht
starken, Strom, der von dem Kammerton, der 100 Schwingun-
gen in der Sekunde macht, in regelmassigen Pausen unter-
brochen wurde.
In Fig. 12 ist die Photographie des von uns gebrauchten
Chronographen und des Kammertones gegeben. Ein Halbsekun-
denpendel, sichtbar auf dieser Photographie, unterbrach und
verschloss den besonderen Strom, welcher in die Beobachtungs-
hauschen mit Krosby-Indikatoren geleitet war, woriiber in § 10
gehandelt werden wird.
Leider ergaben sich bei der geschilderten Methode der Be-
stimmung von >• nicht vollig konstante Zahlen, was, nach meiner
Meinung, abhing von dem Einflusse des in dem Elektromagneten
ubrig gebliebenen Magnetismus und von der Abhangigkeit des
Moments des Abspringens des Ankers von der ihn abziehenden
Feder. Die hier beigebrachte Tabelle gibt die Resultate der
Beobachtungen vom 22 und 24 Juni 1897.
Beobachtungen vom 22 und 24 Juni 1897 zur Bestimmung
von i. in einer Rohre von 4" mit Hilfe eines Chronographen.
No. des Versuches Geschwindigkeit des Wassers In Fussen Zeit des Durchlaufens von 700 Fuss in 1 Sekunde
1 10.8 0.170
2 4,6 0.160
3 3.1 0.140
4 3,5 0,180
5 4.0 0,140
6 3,9 0,160
7 4.1 0.165
8 7,1 0,190
9 9,1 0.180
Aus dieser Tabelle schliessen wir im Durchschnitt, dass die
Zeit, in welcher die Stosswelle 700 Fuss durchlauft, gleiC
0,165 sec ist. Dieser Zeit entspricht die Geschwindigkeit
> = 4242 Fuss,
186
Ober den hydraulischen stoss
§ 9
Beobachtungen vom 23 September 1897 zur Bestimmung von
in einer Rohre von 2' mit Hilfe eines Chronographen
No. des Versuches Geschwindigkeit des Wassers in Fussen Zeit des Durchlaufens von 1246 Fuss in 1 Sekunde
1 3.07 0,306
2 1.80 0.302
3 1,80 0,297
4 0,80 0.297
5 1.54 0,300
welche der in § 3 gegebenen theoretischen Geschwindigkeit
sehr nahe kommt. Ahnliche Beobachtungen wurden bei Rohren
von 2" gemacht, wobei die manometrischen Apparate in Abstan-
den von 1246 Fuss von einander aufgestellt waren an Orten,
welche in Fig. 7 mit kleinen Strichen bezeichnet sind. Dabei
erhielt man die Zeiten des Durchlaufens, welche in der zweiten
Tabelle notiert sind.
Als mittlere Zeit des Durchlaufens ergibt sich hier 0,300 sec,
was uns eine Geschwindigkeit von/-=4153 Fussgibt, diegeringer
ist, als die theoretische, welche, wie in § 3 gezeigt, grosser
sein musste, als die fiir die Rohre von 4".
Im Folgenden werden nach anderen, genaueren Methoden
zahlreiche Beobachtungen iiber die Geschwindigkeit der Welle
in der Rohre 2" gegeben werden.
Diese Beobachtungen werden zeigen, dass die Geschwindig-
keit >- fiir die Rohre von 2" etwas grosser ist, als die Geschwin-
digkeit a fiir eine Rohre von 4".
Ich meine, dass die von uns angewandte chronographische
Methode etwas grossere Zeiten des Durchlaufens gegeniiber den
wirklichen gab, weil auf die Abziehung des Ankers des Chrono-
graphen durch die Elastizitat des Federchens, infolge des iibrig
gebliebenen Magnetismus, mehr Zeit erfordert wurde, als bei
seiner Anziehung.
§ 9. Die mit Hilfe der Indikatoren Krosby an verschiede-
nen Punkten der Rohre gezeichneten Stossdiagramme- Die
Jndikatoren Krosby waren bei unseren Versuchen in besonderen
Ober den hydr xulischen stoss
187
§9
(Fig- 7),
Hauschen untergebracht, von welchen das Hauschen No. I sich
imnier am Ende der Rohre beim Schieber neben dem Brunnen G
die zwei anderen, No. II und III langs den zu prufen-
ren, gewohnlich in Abstanden von ’/з und 2/з ihrer
Lange vom Ende der Rohre, befanden. Auf Fig. 7 ist die Stel-
lung der Hauschen No. 11 und III an der Rohre von 1" und des
Hauschens No. II an den Rohren von 4" und 6" sichtbar. Wir
fiigen hier (Fig. 13) eine Photo graphie der inneren Einrichtung
des Hauschens bei.
Auf dieser Photographie ist der Indikator Krosby mit dem
etwas gehobenen Hebei des Bleistifts zu sehen. Der Zylinder
des Indikators ist durch eine eiserne Rohre, welche durch die
Wand des Hauschens geht, mit der Wasserleitungsrohre verbun-
den. Der Bleistift zeichnete, nachdem er auf den Papierstreifen
des sich drehenden Zyiinders gesenkt war, auf dem Papierstrei-
fen bei Veranderung des Druckes in der Rohre ein Diagramm
des Druckes. Der Zylinder drehte sich vermittelst eines Mecha-
nismus, welcher durch eine Last in Bewegung gesetzt wurde,
und bewegte sich ziemlich gleichmassig, obgleich kein Regulator
mit demselben verbunden war. Auf das Band wurden iibertragen
die Not’erungen der Halbsekunden durch Schlage der Spitze
(die Spitze schlug auf das geschwarzte unbeweg’iche Papier,
welches infolge des Schlages sich an das Band anschmiegte und
auf demselben den Punkt hervorrief), welche Spitze in Bewe-
gung gebracht wurde durch einen Elektromagneten, dessen
Strom durch ein Halbsekundenpendel registriert wurde, das in
der Masch’nenabteilung der Wasserstation stand (Fig. 12). Die
Bander waren so angebracht, wie es Fig. 13 zeigt. Sie hatten
erne grossere Lange als der Umkreis des Zyiinders und wurden
’n gespanntem Zustande gehalten vermittelst eines schweren
jUpfernen kleinen Zyiinders, welcher an den Enden Ran-
er atte; dieser Zylinder wurde auf den unteren Teil des Ban-
des gelegt.
. 'eser> vom Ingenieur W. Oldenburger verfertigte, Apparat
halt das' Se^r Praktisch und gestattete ohne jeden Aufent-
Bei S escFriebene Band durch ein neues zu ersetzen.
der Dia nSeren ersten Beobachtungen ergaben sich Erhebungen
gramme mit scharfen Zickzacken; aber spater zeigte sich
188
Ober den hydraulischen stoss
§ 9
die Moglichkeit, diese Zickzacke zu vermindern und fast vollig
aufzuheben durch Anwendung sehr barter Federn im Indikator
(wir benutzten Federn, welche auf :,/4 mm des Vorriickens des
Bleistifts einen Druck von einer Atmosphare gaben) und infolge
Fig 13.
einer geringen Offnung des Krahnes, welcher den Indikator mit
der Rohre verband, die zu der untersuchten Wasserleitungsrohre
hinging.
Wir wollen hier die von uns angewandte Methode zur Gewin*
nung des Diagramms beschreiben. Der Beobachter im Hauschen
No. I gab den zwei Beobachtern in den Hauschen 11 und III ein
elektrisches Signal, zur Zeichnung der Linie des Atmospharen*
Ober den hydraulischen stoss
189
§ 9
druckes. Dabei schloss man den Krahn, welcher den Zylinder
des Indikators mit der Wasserleitungsrohre verbindet, wahrend
der andere Krahn, welcher diesen Zylinder mit der Luft ver-
bindet, geoffnet wurde; den Zylinder setzte man in Gang; der
Bleistift wurde auf das Papier gesenkt und zeichnete auf dem-
selben die gewiinschte Gerade. Darauf wurde der Bleistift geho-
ben der Luflkrahn geschlossen, der Wasserleitungskrahn geoffnet,
der Bleistift wurde auf den Zylinder gesenkt und es wurde eine
gerade Linie des hydrostatischen Druckes gezeichnet.
Nachdem diese Geraden gezeichnet waren, gab der Beobach-
ter aus dem Hauschen No. I den Personen, welche beim
Schieber und bei der Messtonne standen, das Kommando, damit
der Schieber geoffnet und die Menge des herausfliessenden
Wassers gemessen werde, wie in § 6 erklart ist. Wahrend die-
ser Messung zeichneten der Beobachter des Hauschens No. I
und, auf ein von ihm gegebenes elektrisches Signal, die Beoba-
chter in den zwei anderen Hauschen die Gerade des dynami-
schen Druckes. Nachdem der Beobachter des Hauschens No. I
die Nachricht erhalten hatte, dass die Menge des Wassers
gemessen se:, machte er einen Kontakt, welcher die Hebei
in Bewegung brachte, die nun zu gleicher Zeit in alien 3 Haus-
chen die Halbsekunden anschlugen, und gab das Kommando
zum Herablassen des Gewichtes. Von diesem Zeitpunkte an zeich-
neten die Bleistifte der Indikatoren in alien 3 Hauschen die
Stossdiagramme, und diese Zeichnung wurde beendigt vermit-
telst Aufhebens des Bleistifts und Sistierens der Notierungen
der Sekunde erst dann, als der grosste Teil des Bandes schon
bezeichnet war.
Wenn die Geschwindigkeit v der Bewegung des Wassers in
der Rohre nicht gross ist, dann zeigt uns das Stossdiagramm
uber der Linie des dynamischen Druckes (welcher mit dem sta-
tischen fast zusammenfallt) eine Reihe von Hebungen und Sen-
ungen, wie das in Fig. 14 dargestellt ist, welche die Photo-
graphieen des Stossdiagramms gibt, welche Photographieen von
er 6 Rohre bei einer Geschwindigkeit г» = 0,647 genommen
WUr .en\ w°bei der Druck P=3 at war. Das erste Diagramm
wur e in dem Hauschen No. I gezeichnet, das zweite in dem
Hauschen No. II
190
Ober den hydraulischen stoss
§ 9
Unter jedem der Diagramme sind die Notierungen in Halb-
sekunden gesetzt. Diese Notierungen wurden durch die Stosse der
Sp'tze iiber den Diagrammen gemacht und sodann, der An-
schaulichkeit wegen, von mir unter die hier abgedruckten Figuren
iibertragen. Auf dieselbe Weise sind die Halbsekunden auf alien
Phctographieen, welche unten gebracht werden, verzeichnet.
Wenn wir die wirklichen Diagramme Fig. 14 mit den zwei
theoretischen Diagrammen in oberen Teile Fig. 6 vergleichen,
so bemerken wir bei diesen, wie bei jenen, vollige Ahnlichkeit.
Fur das Hauschen No. 1 ist das Diagramm gebildet durch Erhe-
D v-0,6^
Fig. 14.
bung und Vertiefung; fiir das Hauschen No. II durch Erhebung
und Strich (wir werden so die Gerade nennen, welche nach der
Erhebung und nach der Vertiefung folgt), Vertiefung und Strich.
Dabei wiederholt sich die erwahnte Konture periodisch.
Auf unseren Diagrammen erhielten wir ungefahr 12 voile
Wellen mit allmahlicher Verminderung der Hohe der Erhebun-
gen und Vertiefungen, welche Verminderung dadurch hervorge-
rufen wird, dass einige Teile der Energie infolge der Reibung
und infolge des Oberganges in die Magistrate verloren gehen.
Wenn der Stossdruck P den Druck in der Magistrate (bei
unseren Versuchen ist der Druck in der Magistrate 4,5) um
mehr als eine Atmosphare ubertrifft, dann wiirde, iibereinstim-
mend mit der Theorie § 5, die geschilderte Vertiefung des
Diagramms dem negativen Drucke in der Rohre entsprechen.
Die Beobachtungen zeigen, dass in diesem Faile die erste Erhe-
bung fiir das Diagramm im Hauschen No. 1 und die erste Erhe-
bung mit dem ersten Striche fiir die Diagramme in den Haus-
chen No. 11 und Ill volhg iibereinstimmend mit der Theorie
191
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ 9
gezeichnet werden; was aber die Vertiefung betrifft, so senkt
sich die Tiefe derselben niedriger als die atmospharische Ge-
rade aber nicht mehr, als urn eine Atmosphare (gewohnlich
weniger).
Auf Fig- sind die Phctographieen der Stossdiagramme
gegeben, welche in den Hauschen No. I, II und III von der
Rohre 2" bei einer Geschwindigkeit des Ausfliessens z> = l,8
und einem Stossdrucke P=7 at genommen wurden.
Wir sehen, dass das erste Diagramm nur aus Erhebung
besteht, das zweite aus Erhebung und einem kurzen Striche, das
dritte aus kurzer Erhebung und langem Striche.
Die durch Zeit ausgedriickten Abstande vom Anfange der
Erhebung der Kurve eines jeden Diagramms bis zum Anfange
es Fallens der Kurve miissen gleich sein den doppelten Zeiten
es Durchlaufens der Stosswelle von dem betrachteten Hauschen
,s zum Anfange der Rohre (bis zur Magistrale). Diese Abstande
. e anden sich bei unseren Versuchen in dem Verhaltnis 3:2:1;
in emselben Verhaltnis befinden sich die (Fig. 15) bestimmten,
о enerwahrten Ze:ten des Durchlaufens. Wir sehen auf Fig- 15,
192
Ober den hydraulischen stoss
§ 9
dass der Strich, welcher in den Bestand des Diagramms hinein-
kommt, nicht mit der Geraden des hydrostatischen Druckes
zusammenfallt, sondern ein wenig hoher als diese ist. Das kommt
daher, weil der Stoss bei seinem Ubergange in die Magistrale
das Wasser in letzterer anhalt und den hydrostatischen Druck
der Magistrale ein wenig hebt.
Auf Fig. 16 sind die Photographieen der Diagramme gege-
ben, welche in den Hauschen No. I und II bei einer Geschwin-
digkeit des Ausfliessens von v = 5,6 und einem Stossdrucke
von 25 at genommen wurden. Wir sehen, dass es nach diesen
Diagrammen bequem ist, die Zeit zu messen, welche verfloss
vom Anfange der Hebung des Druckes bis zum Anfange des
Fallens desselben, und auch die Grosse der Stosswelle P, welche
wir nach dem Abstande des horizontalen Teiles der Erhebung
von der dynamischen Geraden (die mittleren Geraden auf den
Figur) bestimmen.
Was die Zickzacke anlangt, welche die Erhebung anfangen, so
entstehen sie, nach meiner Meinung, durch den Stoss des Was-
sers in dem Rohrchen, welches den Indikator Krosby mit der
Wasserleitungsrohre verbindet. Dabei erklart sich der Um stand.
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS 193
dass diese Zickzacke einen Druck zeigen, der bisweilen urn 2
Mai grosser ist als P, durch den Effekt der am Ende geschlos-
senen Rohre, von dem in § 13 gesprochen werden wird.
Wir sahen, dass das Diagramm des Hauschens No. II, wel-
ches im unteren Teile der Fig. 16 dargestellt ist, uns fast die-
selbe Grosse P giebt, wie das Diagramm des Hauschens No. I.
Dieser Umstand fand statt bei alien unseren Beobachtungen. Auf
dem Diagramm des Hauschens No. II bemerken wir eine Veran-
derung des kurzen Striches, welcher nach der Erhebung folgen
sollte, durch eine Linie, welche hoher als die des hydrostatischen
Fig. 17.
Druckes gelegen ist. Das kommt, wie gesagt, durch die Hebung
des Druckes in der Magistrale.
Da die ersten Halften des Diagramms bei geringen und bei
grossen Geschwindigkeiten (4v grosser als 5,5) sich als iiber-
einstimmend mit der Theorie erweisen, so kann man nach ihnen
die Grossen к und P fiir die verschiedenen Geschwindigkeiten
bestimmen. Wir geben jetzt eine Darstellung der zweiten Halfte des
Diagramms, welches bei grossen Geschwindigkeiten erhalten wurde.
Auf Fig. 17, welche in dem Hauschen No. I von einer Rohre 6,z
bei einer Geschwindigkeit von 3,8 Fuss gezeichnet wurde,
wobei der Stossdruck etwa 15,3 at war, ist die Vertiefung
bedeutend ausgedehnt und fallt niedriger, als die Gerade des
Atmospharendruckes. Die Erhebung, welche auf diese Vertiefung
folgt, begann mit einem scharfen Zickzack, welcher den Zickzack
u ertrifft, der dem Anfang der ersten Erhebung entspricht. Fiir
el^Sp^en Versuch auf dem Diagramm des Hauschens No. II
U rl 18 dargestellt) dehnt sich die Vertiefung auch aus, aber
an er Stelle, wo der zweite Strich des statischen Druckes erfol-
Зак. 2386 — H. j? Жуковский, т. VII.
194
Ober den hydraulischen stoss
S 9
gen sollte, erscheinen separate Spitzen. Solche Spitzen wurden
im Raume des verminderten Druckes niemals von uns auf
den Diagrammen des Hauschens No. I, beim Schieber,
beobachtet.
Ich will jetzt darlegen, wie ich mir die Erklarung der Form
der zweiten Halfte des Diagrainms bei grossen Geschwindigkei-
ten des Ausfliessens vorstelle. Anfangend von dem Moment des
Schlusses des Schiebers wird das Wasser der Rohre bestandig
angehalten, wobei es zusammengedriickt wird, die Rohre dehnt
sich aus und der Druck wird urn P vergrossert. Wenn dieser
Zustand mit der Geschwindigkeit X bis zur Magistrale lauft, so
wird von letzterer ein Magistraldruck riickwarts die Rohre ent-
Fig. 18.
lang (etwas erhoht durch den Stoss in der Magistrale selbst)
und eine Geschwindigkeit des Wassers, welche in der Richtung
zur Magistrale gerichtet ist, iibertragen.
Diese Phase lauft zuerst an den Hauschen No. Ill und II vor-
bei, infolgedessen der Druck in den Indikatoren dieser Haus-
chen bis zum Drucke der Magistrale fallt. Wenn aber die
erwahnte Phase bis zum Schieber gelangt, so entsteht moment..n
infolgedessen, dass die Geschwindigkeit des Wassers vom
Schieber aus gerichtet ist, eine Herabminderung des Druckes
beim Sch:eber. Wenn dabei die Geschwindigkeit v so gross ist,
dass nach der Theorie der verminderte Druck ein negativer sein
musste, so entsteht eine Zerreissung der Wassermasse. Die Was-
sersaule wird vom Schieber, vor welchem sich ein geringer ver-
diinnter Raum bildet, abgerissen. Ahnliche Zerreissungen konnen
sich auch in anderen Teilen einer fliissigen Saule bilden auf
welche Teile der verminderte Druck sich verbreitete.
Diese sich gebildet habenden verdiinnten Raume fallen sich mit
Wasserdampfen und verdunnter Luft, wobei es moglich ist dass
Ober den hydraulischen stoss
195
eine gewisse Menge von Luft durch den Schieber und die Kol-
ben der Indikatoren eindringt.
Die vom Schieber abgerissene Fliissigkeitsmasse bewahrt eine
gewisse Geschwindigkeit in der Richtung vom Schieber zur
Magistrale, und der verminderte Druck iibertragt sich weiter,
langs der nicht zerrissenen Fliissigkeitssaule, mit einer Geschwin-
digke't k, zur Magistrale hin; von letzterer wird ein Druck der
Magistrale und eine Bewegung der Fliissigkeit in der Richtung
zum Schieber riickwarts iibertragen. Moglich ist dabei ein Zusam-
menstoss zwischen den Fliissigkeitssaulen, welche sich zum Schie-
ber hin und vom Schieber^fort bewegen. E:n solcher Zusammen-
stoss ruft auch eine schnelle Hebung des Druckes und darauf,
wenn die Stosswelle bis zum Ende der gestossenen Fliissigkeits-
saule gelaufen ist und von diesem Ende einen verminderten
Druck zuriickbringt, ein schnelles Fallen desselben hervor.
Diese schnelle Erhohung des Druckes und das darauf folgende
Fallen fast b>s zum atmospharischen Striche kann nur durch den
Indikator des Hauschens notiert werden, welches vor dem Ende
der gestossenen Saule steht, z. B. durch den Indikator des Haus-
chens No. II, aber sie kann auf dem Diagramme des Indikators
im Hauschen No. I nicht notiert werden. Die Zahl der Spitzen
an der Stelle des Striches des Nulldruckes hangt vom Charakter
der Zerreissung der Fliissigkeitssaule al# zuweilen beobachteten
1902
wir eine oder zwei Spitzen.
Der Umstand, dass die Wassersaule vom Schieber abgerissen
ist, verlangert die Dauer des verminderten Druckes und macht
den zweiten Stoss starker als den ersten, weil er mit der Ge-
schwindigkeit erfolgt, mit welcher die Fliissigkeitssaule in den
verdiinnten Raum hineinstrebt.
In Abhangigkeit von den sich gebildet habenden Zerreissun-
SPn der Fliissigkeit wird sich die Form des weiteren Teiles des
iagramms komplizieren, aber die erste Halfte der Welle wird
‘•uf den Diagrammen bei alien ven uns beobachteten Geschwin-
>8 eiten immer gleichformig bleiben und, wie erwahnt, vollig
E erf*n.St'mrnend se:n mit der § 5 dargelegten Theorie der
sc einurlg. Dieser Teil des Diagramms war es, der uns zur
es immung von x und p diente. Hier ist noch eine Vorsicht zu
e,wa nen, welche man bei den Beobachtungen der Erscheinung
13’
1%
Ober den hydraulischen stoss
§ 10
des hydraulischen Stosses im Auge haben muss. Als wir uns an
unsere Versuche in der Aleksejewschen Wasserstation machten,
liessen wir anfangs in die zu priifenden Rohren das Wasser aus
der Magistrale wahrend der Arbeit der Druckpumpen in Maschi-
nengebaude. An diesen Pumpen befinden sich zur Minderung
der Stosse bei ihrer Arbeit kleine, die Luft einsaugende Offnun-
gen. Die eingesogene Luft wird in die Magistrale getrieben und
vermischt sich mit dem Wasser. Wasser von dieser Art, welches
kleine Luftblaschen enthalt, gab uns bei den Stossen in unseren
Rohren eine geringere Geschwindigkeit der Fortpflanzung der
Stosswelle (ungefahr 3500 Fuss) und einen schwacheren Stoss,
welcher bezeichnet ist durch unbestandige und undeutliche Dia-
gramme.
Um die Erscheinung in ihrer Reinheit zu beobachten, ent-
schlossen wir uns, die Arbeit der Pumpen, welche die Stadt
Moskau versorgen, zu sistieren, nachdem wir vorlaufig die Behal-
ter der Krestowskischen Turme gefiillt batten, urn uns des von
diesen Turmen ausfliessenden Wassers zu bedienen. Dieses
Wasser zeigte keine Anwesenheit von Luftmassen, und die Er-
scheinungen des hydraulischen Stosses konnten mit voller
Genauigkeit beobachtet werden.
§ 10. Bestimmung von X und P aus den Diagrammen der
Indinatoren bei unseren Beobachtungen mit Rohren von 4"
und 6". Die Zeit /, welche dem Durchlaufen der Stosswelle durch
die doppelte Lange der Rohre entspricht, wurde von uns vorherr-
schend nach den Diagrammen des Hauschens No. I bestimmt, indem
wir die Entfernung vom Anfange der Erhebung des Druckes bis
zum Anfange seines Fallens in Zeit ausdriickten; diese Entfer-
nung wurde nach der Richtung der Geraden des dynamischen
Druckes bestimmt. Zugleich bestimmten wir diese Zeit noch aus
den Diagrammen des Hauschens No. II, indem wir, nach der
oben gezeigten Richtung, die Entfernung vom Anfang der Hebung
des Druckes bis zum Ende des sogenannten Striches in Zeit
ausdriickten. Ausserdem driickten wir auch die Lange vieler
Wellen in Zeit aus und teilten die Zeit durch die doppelte Zahl
der Wellen. Die Zeit des Verschlusses ~ kann, iibereinstimmend
mit dem in § 5 gesagten, entweder mit Hilfe der Entfernung
cs = ~ des Diagramms des Hauschens No. I, welches in Fig* 6
§ 10
Ober den hydraulischen stoss
197
dargestellt ist, oder mit Hilfe der Entfernung 0^ = —, welche
in demselben Diagramm gegeben ist, ausgedriickt werden.
Qa Jas Diagramm gewohnlich mit einem Zickzack (siehe
Fig 16) anting, so wandten wir die zweite Methode der Bestim-
mung an. Der Stossdruck bei den Versuchen mit Rohren von 4"
und 6" wurde von uns nach der Hohe des Kammes der Erhe-
bung, uber der Geraden des dynamischen Druckes, bestimmt.
(Der Parallelismus des Kammes mit dieser Geraden ist, wie
wir im folgenden § sehen werden, nur ein annahernder). Dieser
Druck wurde von uns gleichzeitig in den Hauschen No. I und II
bestimmt und ergab sich aus beiden Diagrammen als genii-
gend ahnlich.
Wir bringen eine Tabelle 1 der Beobachtungen, welche am
20 November 1897 bei der Rohre 6", deren Lange, wie in § 6
gesagt, 1066 Fuss war, angestellt wurden.
Die Zeit des Durchlaufens der doppelten Lange der Rohre,
d. h. 2132 Fuss, ergiebt sich auf Grund der Daten dieser Tabelle
als zwischen den Zahlen 0,52 sec und 0,51 sec liegend. Da die
erste Zahl sich weit ofter wiederholt und fast alien Bestimmun*
gen aus vielen Wellen entspricht (die Bestimmungen wurden
gemacht, nachdem wir die Zahl der Wellen von 5 bis 8 ge-
nommen batten), so muss man sie auch zur Bestimmung von
annehmen.
Nach dieser Zeit finden wir: X = 4100 Fuss. Eine Zahl, die
mit der theoretischen nahe zusammenfaEt.
Was die Zeit des Verschlusses anlangt, so ergibt sie sich
in unseren Versuchen als zwischen 0,03 sec und 0,04 sec.
Die uber denselben Verschluss mit Hilfe elektrischer Kon-
takte und des Chronographen friiher gemachten Beobachtungen
gaben uns:
No.
des Versuches 1 2 3 4 5
Zeit т sec 0,003 0,003 0,002 0,003 0,025
eider wurde bei diesen Versuchen nicht die Geschwindig-
•1 *^es hinausfl lessen den Wassers bestimmt und man darf aus
Пеп keine Schliisse ziehen auf die Veranderung der Zeit des
ersc Jusses bei Vergrosserung der Offnung des Schiebers.
Selte 198 und 199. Anmerkung der Schriftleitung.
198
Uber den hydraulischen stoss
io
Beobachtungen, angestellt am 20 November 1897 vermittelst
No der Beobachtung Geschwindigkeit des Wassers in Fussen Die Zeit t sec aus dem Hauschen No. I Die Zeit t sec aus dem Hauschen No. II ~~
1 3.3 0.52 —
2 1.9 0,52 0,52
3 0,6 0,52 0.52
4 1,4 0,51 0.52
5 3,0 0.52 —
6 4.0 0,51 0,51
7 5,6 0.52 0,52
8 7.5 0,51 —
9 i 7.5 0,51 Es erfolgte
Beobachtungen vom 4 November 1897 uber die hydraulischen DrucKe
No. der Beobachtung Geschwindigkeit des Wassers in Fussen Die Zeit t sec aus dem Hauschen No. I Die Zeit t sec aus dem Hauschen No. II
1 3.3 0,49 0,51
2 1.9 0,50 0,50
3 4,1 0,49 0,50
4 9.2 0,49 0,50
5 2.9 0,49 0,50
6 0.5 0,50 0,50
7 1,1 0.50 0,49
Die Grosse des Stossdruckes P, wie aus den Saulen 7, 8, 9 zu
ersehen ist, lasst sich annahernd ausdriicken durch die Formel
P — 4v.
Nehmen wir die in § 4 gegebene Formel P=3,78v, so wiir-
den wir die Grossen der Stossdrucke als etwas kleiner im Ver-
gleich zu den wirklichen finden.
Gehen wir nun uber zu den Beobachtungen des hydraulischen
Stosses in der Rohre von 4", welche eine Lange von 1050 Fuss
hatte.
§ 1°
Ober den hydraulischen stoss
199
Indikatoren, uber die hydraulischen Stosse in der Rohre von 6"
—— Die Zeit t sec Die Zeit т sec P in Atm. aus dem Hauschen No. I P in Atm. aus dem Hauschen No. II P = 4v
vermittelst vieler Wellen
0.52 0,03 15.7 15,7 13.2
0.52 0,03 7.3 7,1 7,6
0.52 0,04 3,0 3.0 2,4
0.52 0,04 6,0 16.1 5.6
0.52 0.03 12.1 11,44 12,0
0.52 0,03 15,6 15,2 16,0
0,51 0,04 25.2 25,2 22,4
0,53 0,04 29,0 29,0 30
eln Zerspring. d Rohre 11.7 11.3 30
in einer Rohre von 4", vorgenommen mit Hilfe von Indikatoren
Die Zeit t sec vermittelst vieler Wellen Die Zeit т sec P in Atm. aus dem Hauschen No. I P in Atm. aus dem Hauschen No. Il P=4z>
— 0,04 13.3 13,3 13,2
— 0.04 7,8 7,8 7.6
— 0,03 15,8 15.9 16,4
— 0,04 35.0 35,9 36.8
— 0,05 11.3 11.3 11,6
0,50 0.04 2,0 2,5 2,0
0,51 0,04 4,4 4.3 4,4
Diese Beobachtungen wurden in derselben Ordnung vorgenom
men, wie die oben beschriebenen Beobachtungen mit der Rohre 6 .
Wir geben hier die ihnen entsprechende Tabelle.
Hier ist die Zeit t des Durchlaufens der Stosswelle durch
die doppelte Lange der Rohre z^Hschen k0,49 sec und 0,51 sec,
wobei die Zahl 0,50 das Ubergewicht hat, welche Zahl wir deshalb
als die Zeit des Durchlaufens von 2100 Fuss annehmen. Das
gibt uns fur die Rohre 4"
k = 4200 Fuss,
200
Uber den hydraulischen stoss
§ 11
was der in § 3 ausgerechneten Grosse nahe kommt.
Die Grossen des Stossdruckes, nach der Formel P=4v
ausgedriickt, geniigen den wirklichen Beobachtungen sehr gut,
obgleich auch die dem § 4 naher kommende Formel P = 3,9v
vollstandig geniigende Resultate gibt.
§ 11. Bestimmung von X und P aus den Diagrammen der
Indikatoren bei den Beobachtungen mit der Rohre von 2".
Die Lange der Rohre von 2" war von uns mit 2494 Fuss ge-
nommen, infolgedessen ergab sich bei grossen Geschwindigkei-
ten des Ausfliessens langs der Rohre ein ziemlich bedeutender
Verlust des Wasserandranges, welcher Verlust dadurch bemerkt
wurde, dass die Gerade des dynamischen Druckes in den Haus*
Fig. 19.
chen No. Ill, II, 1 sich immer mehr von der Geraden des hydro-
statischen Druckes entfernte. Der Umstand, dass auf der Aus-
dehnung der ganzen Rohre der hydrodynamische Druck fortge-
setzt fiel, zeigte sich bei grosseren Geschwindigkeiten (mehr als
3 Fuss) in der Form der Stossdiagramme. Die Erhebungen der
Diag’-amme batten keinen Kamm mehr, der fast parallel der
dynamischen Geraden war, sondern dieser Kamm ging sich
erhohend, wie Fig. 19 zeigt, welche die Photographie des Stoss-
diagramms bei dem Hauschen No. I bei einer Geschwindigkeit
des Wassers von 3,67 Fuss gibt.
Die Zeit t des Durchlaufens der Stosswelle durch die dop-
pelte Lange der Rohre wird hier, wie in alien Fallen, durch die
in Ze:t ausgedriickte Entfernung, gerechnet nach der dynami-
schen Geraden, vom Anfange der Erhebung des Druckes bis
zum Anfange des Fallens gemessen werden; was aber die Be-
stimmung von P anlangt, so muss man, um sie richtig zu ma-
chen tiefer in die Theorie der zu untersuchenden Erscheinung
eindringen-
11
Ober den hydraulischen stoss
201
Betrachten wir zuerst einen idealen Fall von hydraulischem
Stosse. Stellen wir uns (Fig. 20) eine Rohre AB gefiillt mit
Wasser vor und durch die Schieber C, Cn C2, Ca... in einige
Teile AC, CCi,... geteilt, in welchen das Wasser sich unter ver-
schiedenen Drucken befindet.
Setzen wir voraus, dass diese Drucke nach der rechten Seite
wachsend gehen, und messen wir sie durch den Uberschuss
iiber den Druck in dem Teile CA (dessen Druck wir = 0 set-
zen); bezeichnen wir sie der Reibe nach mit den Buchstaben
Fig. 20.
P> Pi, P«,— Angenommen der Schieber C wird jetzt schnell geoffnet
und es erfolgt e'n hydraulischer Stoss zwischen den sich beriih-
renden Wassersaulen unter verschiedenen Drucken. Durch diesen
Stoss werden die Wasserteilchen bei dem Schnitte C in der
Richtung zum. Ende A hin die Geschwindigkeit v erhalten.
Infolge der Bildung dieser Geschwindigkeit, entsprehend § 4,
fallt der Druck rechts von C um vh, und der Druck links von
C wachst um dieselbe Grosse. Wir werden also haben:
p — vh = vh,
die Geschwindikeit
2h
cha-
Die durch den Druck und
de^C S*erte Phase lauft rechts und links von der Schicht C mit
eschwindigkeit a. Setzen wir voraus, dass in dem Moment,
und ie,Se ^^asc zum Schieber Cx lauft, letzterer geoffnet wird
с .. и?1.-^055 zwischen zwei sich beruhrenden Saulen in der
i entsteht. Durch diesen Stoss in der Schicht Cj wird
eine neue Geschwindigkeit in der Richtung auf A erzeugt
zri
202 Ober den hydraulischen stoss § n
und ein
neuer Druck , welche beide der Geschwindigkeit
und dem Drucke hinzugefiigt werden, welche von C kommen,
so dass die vollen Drucke und die vollen Geschwindigkei-
ten V' sind. Die Phase, welche durch den Druck ^l~ und durch
2n 2
die Geschwindigkeit nach links ,f,' charakterisiert war, wird sich
zn
m:t der Geschwindigkeit X nach rechts und nach links vom
Schnitte Cj bewegen. Wenn diese Phase bis zum Schieber C2
gelangt, so wird letzterer momentan geoffnet u. s. w.
Der Zustand der Flussigkeit, welche sich links von dem letz-
ten geoffneten Schieber befindet, kann auf Grund des Gesagten
so geschildert werden: Wir ziehen uber der Rohre eine stufen-
formige Konture, deren Stufenhohe den Halften der Drucke in
den entsprechenden Rohrenteilen gleich ist, wahrend die Stufen-
langen den doppelten Langen der Rohrenteile gleich sind. So-
dann denken wir uns, dass die gezeichnete Konture mit der
Geschwindigkeit >. nach links lauft, wahrend das Stosswellenende
sich mit derselben Geschwindigkeit X nach rechts bewegt. Dann
werden die Ordinaten der Konture die Drucke in alien Punkten
der Rohre, welche links vom laufenden Stosswellenende liegen,
ausdriicken und die Grossen dieser Ordinaten, dividiert durch h,
werden die Geschwindigkeiten der Flussigkeit an den entspre-
chenden Orten geben- Die Zahl der Schieber kdnnen wir als
unendlich gross annehmen und den ununterbrochen sich veran*
dernden Druck der Flussigkeit betrachten, welcher seine Wirkung
nur dann-auszuiiben beginnt, wenn die Stosswelle zum gegebe-
nen Orte lauft.
Mit einem ahnlichen idealen Faile fallt nahe zusammen das
von uns betrachtete Problem uber den Stoss des Wassers in
einer Rohre, in welcher unter Hinausfliessen mit ziemlich be-
deutender Geschwindigkeit (etwa 3 und 4 Fuss) der Andrang
langs der Rohre scharf fallt. Beginnend mit dem Momente des
Verschlusses des Schiebers wird das Wasser in der Rohre be-
standig angehalten und dadurch werden die Andrange frei,
welche friiher mit der Reibungskraft des fliessenden Wassers
Ober den hydraulischen stoss 203
jm Gleichgewicht standen. Diese freigewordenen Andrange wer-
den in der Rohre ganz ebenso weitergetragen, wie es beim vor-
hergehenden Problem erklart wurde, und die ganze Ungenauig-
keit des Raisonnements besteht nur darin, dass die Reibung in
der Rohre fiir Geschwindigkeiten, welche in ihr nach dem
Stosse iibrig bleiben, nicht beachtet wurde.
Da diese Geschwindigkeiten im Vergleich mit der Geschwin-
digkeit des Ausfliessens des Wassers, nicht gross sind (z. B. der
frei gewordene Andrang von 3 at gibt nach § 4 eine Ge-
schwindigkeit von 0,75 Fuss), so kann die erwahnte Ungenauig-
keit zugelassen werden. Betrachten wir nun, welchen Einfluss
die freigewordenen Andrange auf das Stossdiagramm ausiiben.
Fig. 21.
Der Druck in der Magistrale war bei uns um 4,5 at hoher,
als der atmospharische Druck, und am Ende der Rohre, bei
einer Geschwindigkeit von 3,5 Fuss z. B., war dieser Druck um
1 at. hoher. Der ganze Verlust des Andranges von 3,5 at,
verteilt auf die Lange der Rohre von 2492 Fuss, giebt ungefahr
0,01 at Verlust auf 7 Fuss. (Die Rohren waren neu und gaben
einen etwas geringeren Verlust, als nach Dar?y und Bazeine folgt,
nach deren Tabelle man einen Verlust von etwa 0,014 at 1
hatte). Die grosste Geschwindigkeit, welche wir erhielten, unter
Verlust des ganzen Andranges, war 4,5 b;s 4,3 Fuss. Benennen
wir den Verlust des Andranges auf die Einheit der Lange der
Rohre mit a und konstruiren wir die Konture (Fig. 21) Ozz',
eren Ordinate у bei der vom Punkte О subtrahierten Abszisse x
durch die Gleichung ' -
a
4
• ausgedruckt wird.
Nach den Tabellen von Bichele.
204
Ober den hydraulischen stoss
§ и
Diese Konture bewegt sich nach dem Obengesagten mit der
Geschwindigkeit X nach links, aber das Wellenende zz' der
Stosswelle bewegt sich nach rechts mit derselben Geschwindig-
keit X.
Da beim Herankommen zum geschlossenen Schieber A die
Phase, ausgedriickt durch die Ordinaten der Konture zz'O, eine
Geschwindigkeit
h
mitbringt, welche zum Schieber gerichtet
ist, so wird beim Schieber eine neue Welle erzeugt, welche
nach rechts geht und beim Schieber eine eben solche Geschwin-
digkeit des Wassers erzeugt, mit der Richtung zur Magistrale.
Man kann leicht sehen, dass das die Welle AEz ist, welche
den Reflex der Welle AEO darstellt.
Der Stossdruck P in jedem Schnitte i, subtrahiert von dem
dynamischen Drucke am Ende der Rohre, wird sich jetzt aus
dem Stossdrucke vh und den Summen der Drucke ik und in
zusammensetzen.
Auf diese Weise finden wir:
wo c die Entfernung des Stosswellenendes vom Schieber und
T|die Entfernung des betrachteten Schnittes vom Schieber darstellt.
Unsere Formel erhalt die Gestalt:
P=vh + ^- (21)
und zeigt, dass die ganze Veranderung, welche in die Form der
Erhebung des Stossdiagramms durch Verlust des Andranges
beim Fliessen des Wassers in der Rohre vor dem Stosse hinein-
getragen wurde, darin besteht, dass mit dem Kamme des Stoss-
diagramms eine entsprechende Linie der verlorenen Drucke
sich vereinigt, in welcher Linie der Masstab der Abszissen ver-
doppelt und durch Zeit ausgedriickt ist.
Wenn wir die Gerade, welche die Erhebung des Diagramms
(Fig. 19) des Hauschens No. 1 begrenzt, ohne auf die Zickzacke
Riicksicht zu nehmen, verlangern (nach links) und durch den
so gefundenen Anfang des geneigten Kammes eine Linie ziehen
Ober den hydraulischen stoss
205
welche der dynamischen Geraden parallel ist (die dynamische
Gerade auf unserer Fig. 19 ist die mittlere Gerade), so geben
Entfernungen der Punkte des Kammes von dieser Parallelen
uns die entsprechenden Andrange, welche auf die Reibung beim
Ausfliessen des Wassers vor dem Stosse verloren gingen. Auf
der beigefiigten Photographie ist zu sehen, dass die Entfernung
des Endes des Kammes von der erwahnten Parallelen dem
Abstande zwischen der hydrostatischen und hydrodynamischen
Geraden fast gleich ist.
Das stimmt vollig iiberein mit Formel (21), welche auf
das Hauschen No. I angewandt, wenn £ = 2Z ist,
P=vh-\- la
giebt.
Da wir bei derselben Voraussetzung bei E = 0 haben:
P=vh,
so lasst sich folgende Regel bei der Bestimmung vh nach dem
Diagramm im Hauschen No. I aufstellen:
Die Grosse vh auf dem Diagramme beim Schieber wird
durch die Hohe des Anfangs der Erhebung uber der dynami-
schen Geraden (mit Auslassung der Zickzacke), oder durch die
Hohe des Endes der Erhebung Uber der Geraden des hydrosta-
tischen Druckes bestimmt.
Wenn wir die Formel (21) auf das Diagramm anwenden,
welches bei irgend einem Schnitte in der Entfernung t; vom
Schieber gezeichnet wurde, so miissen wir, um die Hohe des
Anfanges der Erhebung zu finden c = 7] setzen, was
p=vh+-T
gibt.
Um aber die Hohe des Endes der ersten Erhebung zu fin-
en> muss man S = tq -|- 2 (Z — r() setzen, was
p=vh-\-al — ^
gibt.
eide Hohen werden von der dynamischen Geraden des
ausc ens bjo j aus gerechnet Wenn wir die erste Hohe von
206 Uber den hydraulischen stoss § ц
_ . - - ' ~ ll~— 1 „I
der dynamischen Geraden aus fiir den Schnitt i rechnen, so Нц»
den wir:
о i, a7l
und wenn wir die zweite Hohe von der hydrostatischen Gera-
den abrechnen, so erhalten wir:
о j. aT‘
P==vA__.
Somit ist die Grosse vh auj den Diagrammen, die in zrgenJ
einem Einschnitte gezeichnet wurden, gleich der Hohe des
Anfanges der Erhebung uber der dynamischen, oder der HOhe
des Endes der Erhebung iiber der hydrostatischen Geraden, mit
Hinzufiigung von
2 ’
In der folgenden Tabelle sind die Beobachtungen iiber die
hydraulischen Stosse in der Rohre 2" niedergelegt, welche am
23 September 1897 gemacht wurden.
Beobachtungen vom 23 September 1897 fiber die hydraulii
No. des Versuches Geschw. in der Rohre in Fussen Zeit t sec aus dem Haus- chen No. I Zeit t sec aus dem Haus- chen No. Il Zeit t sec aus dem Haus- chen No. Ill Dopp. Zeit J Durchl. von Hauschen No. bis zur Mag strale ]
1 4,52 1,16 1,15 1,15 0.77
2 4,30 1.13 1.15 1,15 0,78
3 4.16 1,14 1.13 1,13 0.78
4 3,67 1,15 1,13 1,13 0,76
5 3.67 1.14 1.13 1,14 0,75
6 3,66 1,14 1,13 1,13 0,76
7 1,79 1,14 1,14 1,13 0,76
8 1,76 1,14 1.14 1.13 0,76
9 0,64 1,14 1,15 1,14 0,75
10 1.52 1,14 - — 1,15 —
11 1,52 1.13 1,13 1,13 0,75
12 4,23 1.14 1,13 1,13 0,76
Ober den hydraulischen stoss
207
Die Diagramme wurden in den 3 Hauschen I, II, III (Fig. 7)
gezeichnet, welche vom Anfange der Rohre in Abstanden ven
2494, 1640 und 822 Fuss aufgestellt waren, deren Verhaltnis
etwa wie 3:2:1 war. Die Zeit t sec des doppelten Durchlaufens
seitens der Stosswelle durch die dcppelte Entfernung der gan-
zen Rohre [wurde aus alien 3 Diagrammen so bestimmt, wie
§ 10 erklait; die Grosse desj Stossdruckes P=vh wurde aus
den Hohen des Endes der Erhebungen fiber der statischen Ge-
raden bestimmt und wurde fiir die Diagramme der Hauschen
No. Il und 1П durch Hinzufiigung ven korrigiert. Da das
Hauschen No. II um 2/s der Lange der Rohre vom Anfang
abstand und das Hauschen No. Ill um '/.j, so fiihrte das dazu,
dass im Hauschen No. II die Hohe des Endes der Erhebung
iiber der Geraden, welche niedriger a’s die statische um ’/j ihrer
Entfernung von der dynamischen Geraden lag, gemessen und
in dem Hauschen No. Ill die Entfernung von der dynamischen
Geraden gemessen wurde.
Dabei kamen die aus den Hohen des Endes der Erhebungen
Stosse in der Rohre 2", vorgenommen mit Hilfe von Indikatoren
Dopp. Zeit des Durchl. vom Haus. Ill bis zur Magistrale Zeit т sec P In Atm. aus dem Hauschen No. I P in Atm. aus dem Hauschen No.II P In Atm. aus dem Hauschen No. Ill P = $v
0,38 0.08 18,5 18,0 18,0 18.1
0,39 0,06 17,8 17,5 16,7 17.2
0,40 0.06 17.0 16,6 16,0 16.6
0,37 0,06 15,1 15,0 14,5 14.7
0.40 0,05 14,5 14,4 14,6 14,7
0,39 0,06 14,6 14.6 15,0 14,6
0.39 0,39 0,05 6,3 5,9 6,3 7,2
0,39 U,06 7,3 7,3 7,2 7,0
0,39 0,06 2,8 2,8 2,5 2,6
0,38 0,05 6,3 6,3 6,3 6.1
0,39 0.06 6,3 6,3 6.1 6,1
0,07 17,3 16,7 16,1 16,9
208
Ober den hydraulischen stoss
§ 12
gefundenen Grossen nahe denen, welche sich aus den Hohen
des Anfangs der Kamme ergaben. Die Zeit des Verschlusses
wurde nach dem Ende der ersten Erhebung auf den Diagram-
men No. II bestimmt. Der Druck in der Magistrale war 4,5 at.
Die mittlere Zeit des Durchlaufens der doppelten Lange der
Rohre, d. h. 4988 Fuss, ist 1,14 sec.
Dieser Zeit entspricht die Geschwindigkeit der Stosswelle:
7 = 4375 Fuss.
Wenn wir die Zahlen der sechsten oder siebenten Saule be-
nutzen wollten, welche die Zeit des Durchlaufens der Stosswelle
durch die Entfernungen 3280 und 1644 Fuss geben, so miissten
wir die mittleren Grossen dieser Zahlen 0,76 sec und 0,39 sec
nehmen. Das gabe uns etwas geringere Werte der Geschwindig-
keit der Stosswelle:
7 = 4316 und 7 = 4215 Fuss.
Was den Stossdruck betrifft, so stimmt er gut mit Formel
§ 4 iiberein. Die Zeit т sec war bei diesen Versuchen grosser
als friiher, infolge einer Veranderung des Schiebers.
§ 12. Bestimmung von 7 und P aus den Diagrammen des
Indikato -s bei Beobachtungen mit der Rohre von 24". Die
Rohre von 24", betreff deren wir unsere Beobachtungen
anstellten, war die Hauptmagistrale der Stadt Moskau, welche
von der Aleksejewschen Station bis zu den Krestowskischen Tiir-
men ging. Sie hatte eine Lange von 7007 Fuss, in der Strecke
vom Orte des Stosses beim Brunnen G (Fig. 22) bis zu den
Krestowskischen Tiirmen; der Abstand vom Brunnen G bis zum
Windkessel betrug 210 Fuss. Bei der Beobachtung waren die
Pumpen durch einen Schieber von der Rohre getrennt und der
ganze Windkessel A war mit Wasser gefiillt (es wurde darauf
geachtet, dass gar keine Luft in demselben zuriickblieb). Das
Wasser wurde aus dem Brunnen G vermittelst desselben Schie-
bers hinausgelassen, welchen wir bei dem Stosse in den 6"
Rohren anwandten.
Der Indikator war mit der Magistrale durch den Brunnen G
verbunden und war in dem Hauschen No. I untergebracht; auf
den Indikator stellte man verhaltnissmassig schwache Federn
(8 mm — eine Atmosphare) und auf seinem rotierenden Zylin*
Ober den hydraulischen stoss
209
§ 12
der war ein verlangertes Papierband (Fig. 13) angebracht. Als
Pendel zur tlbertragung der Notierungen auf dem Bande wurde
bei diesen Versuchen nicht ein Halbsekunden- sondern ein Se-
kundenpendel angewandt.
Nach Verlauf einiger Zeit, seit dem Moment des Fallens des
Gewichtes und des Schlusses des Schiebers, lief die Stosswelle
bis zum Windkessel, in welchem die Kompres-
sion des Wassers und Erweiterung der Wande
stattfand, und der Druck nach der Rohre 24"
wurde bestandig fortgeflanzt, langs welcher
Rohre ein bestandiges
erfolgte. Unter solcher
kein schnelles Heben
Diagramme beobachtet,
Anhalten des Wassers
Stossbedingung wurde
des Druckes in dem
wie bei unseren friihe-
F>g. 22.
ren Versuche, und die Form des Diagramms war infolge des
Effekts des Windkessels eine so’che, wie wenn der Schieber
Зам.
H. E. Жуковский. T. vh.
14
210
OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ 12
langsam geschlossen wurde. Dabei hatte der Anfang des Dia-
gramms eine wellenartige Form, wie das auf Fig. 23 zu sehen ist.
Diese Figur zeigt in verkleinerter Form das Diagramm bei ver-
lorener Geschwindigkeit von 0,48 Fuss in der Rohre und bei
einem Stossdrucke von 1,6 at. Diese Wellenformigkeit, deren
Erklarung unten gegeben werden wird, erlaubte uns den Anfang
des Fallens des Druckes auf dem Diagramm genau zu bestim-
men und die Zeit zu berechnen, welche vom Beginne des Stos-
ses b‘s zum Beginne seines Fallens verstrich.
Fig. 23.
Diese Zeit war, wie wir gleich sehen werden, gleich der Zeit
des Durchlaufens seitens der Stosswelle durch die Rohre von 24"
der doppelten Strecke vom Brunne G bis zu den Krestowski-
schen Tiirmen.
Wenn v0 die Geschwindigkeit in der Rohre 24", bei dem
Ausflusse des Wassers vom Ventil aus, so laufen im Moment
des Schlusses des Schiebers vom Orte des Stosses zwei Wellen
mit Stossdruck
die eine nach links, zu den Krestowskischen Tiirmen hin, die
andere nach rechts zum Windkessel A. Die linke Welle (Fig. 22)
tragt die Geschwindigkeit —- nach links; diese Geschwindigkeit
vereinigt sich mit der Geschwindigkeit rechts v0 und es bleibt
so eine Geschwindigkeit ~ iibrig; die rechte Welle tragt die
Geschwindigkeit y- nach rechts. Nachdem die rechte Welle bis
zum Windkessel A gelaufen ist, wird sie vom Windkessel re-
flektiert und tragt zuriick zum Indikator den Druck des Windkes-
sels A, welcher noch nicht Zeit gefunden hatte zu wachsen. Auf
§12
Ober den hydraulischen stoss
211
diese Weise zeigte der Indikator in unseren Beobachtungen an-
fangs eine Hebung des Druckes, darauf sein Fallen, wobei vom
Anfange des Stosses bis zum Anfange des ersten Fallens des
Druckes an Zeit ungefahr 0,18 sec verfloss.
Im Windkessel A beginnt die Flussigkeit zu fliessen nicht
mit der Geschwindigkeit , sondern mit der Geschwindigkeit
«0, weil ausser der friiheren Geschwindigkeit am Anfange
der Rohre (bei dem Windkessel), infolge des Fallens des Druckes
noch eine Geschwindigkeit erzeugt wird, welche zum
Windkessel gerichtet ist. Darnach haben wir zur Erkla-
rung des weiteren Ganges der Erscheinung ein solches
Problem zu losen: Langs der Rohre 24" fliesst das Wasser mit
einer Geschwindigkeit z/0 zu dem Windkessel, welcher denselben
Druck, wie die Rohre, hat; es ist zu bestimmen der Gang der
Veranderung des Druckes im Windkessel A.
Angenommen der Uberschuss P des Druckes im Windkessel
fiber dessen friiheren hydrostatischen Druck lasst sich nach der
Geschwindigkeit v, mit welcher die Fliissigkeit im Windkessel
getrieben wird, durch die Formel
dP L
di=kv
bestimmen, wo к eine Konstante ist, welche vom Volumen des
Wassers jm Windkessel und von der Dicke seiner Wande ab-
hangt. Wir nehmen den Differentialquotienten der Zeit beider
Teile dieser Formel und bedienen uns des Verhaltnisses:
dv 1 dP
dt h dt '
Wo Л eine Grosse
wurde.
Wir erhalten:
ist, die nach § 4 fiir die Rohre 24" bestimmt
1495
d \dP k
dt[dt'V~h
= 0.
P
14*
212
Ober den hydraulischen stoss
Auf diese Weise ist
dP. k
dt^ h
Im Anfangsmoment ist
dP
P=0,
daher ist die Konstante C = kv0 und
__ЯР = £
hv^—P h
Integrieren wir diese Gleichung, so finden wir:
voh — P= С\е A .
Da, wenn P=0, auch / = 0, so ist
Cj = voh
und
Р=«ой[1 —e-rf]. (22)
Die Drucke P, welche sich im Windkessel A bilden, mussen
sich mit der Geschwindigkeit der Welle in unserer Rohre von
24" fortsetzen und von dem am Brunnen G befindlichen Indika-
tor aufgenommen werden, welcher auf diese Weise nach dem
erwahnten Fallen des Druckes den sich immer vergrossernden
Druck anzeigen wird, der sich rasch voh nahert. Dieses Anzei-
gen wird so lange sich fortsetzen, bis zum Brunnen G die Welle
lauft, welche von den Reservoiren der Krestowskischen
Tfirme reflektiert wurde, bei welchen ein konstanter Druck
infolge geoffneter Reservoire unterhalten wird Der Mo-
ment des Ankommens dieser Welle kennzeichnet sich durch
Beginn des Fallens des Druckes auf dem Diagramme. Die
Zeit, welche verlief vom Anfange des Stosses bis zum
Anfange seines Fallens (wir zahlen nicht das erste Fallen des
Druckes von dem Effekte des Winkessels), wird gleich sein
1 Wir gebrauchen den Ausdruck „reflektierte Welle” in welterem Sinne,
als gewohnlich angenommen: jede neue Welle, welche an den Grenzen erzeugt
wird, nennen wir eine „von den Grenzen reflektierte Welle".
Ober den hydraulischen stoss
213
§J2
^er Zeit, in welcher die Stosswelle vom Brunnen G zu den
Krestowskischen Tiirmen ging und sodann zum Brunnen G
zuriickkehrte, d. h. eine Strecke von 14 014 Fuss machte.
Da die Kurven, welche den Druck P bezeichnen, auf unseren
Diagrammen vor Beginn des Fallens fast parallel gingen der
Geraden des hydrostatischen Druckes, so kann man annehmen,
dass die von ihnen gezeigte Maximalhohe nahe kommt voh. Es
ware naturlich wiinschenswert Versuche fiber den Stoss mit
Rohren von grossen Durchmessern zu machen, welche nicht
kompliziert sind durch Vereinigung mit dem Windkessel, aber
bei unseren Beobachtungen begegnete uns eine praktische
Schwierigkeit — den Windkessel von der Hauptmagistrale der
Stadt Moskau abzutrennen. Die in Fig. 22 gezeigte Erhebung
wechselte im weiteren Teile des Diagramms mit einer Vertiefung
und auf diese Weise erhielt man auf dem Bande bis zu 5 Wel-
len, aber diese Erhebungen und Vertiefungen waren infolge des
Effekts des Windkessels nicht vollig identisch, was sich auf Grund
der oben dargelegten Theorie erklaren lasst. Jedenfalls war zur
Bestimmung der Grossen X und P die erste Erhebung vollig
ausreichend. Weiter wird eine Tabelle der am 25 Juli 1898 ge-
machten Beobachtungen geboten.
In dieser Tabelle1 ist die Geschwindigkeit des Wassers bis
zu Hundertsteln eines Fusses gegeben, welche man erhielt, wenn
man die Minutenquantitat des Wassers in Puden durch 325,76
teilte. Die Grosse h, welche nach § 4 sein miisste 2,7, nehmen
wir gleich 3. (Diese Zahl entspricht dem beobachteten X = 3313
Fuss). Das Mittel aus den Zeiten, die in der dritten Kolumne dieser
Tabelle verzeichnet stehen, ist 4,23 sec. Teilen wir durch diese
Zahl die Entfernung 14 014 Fuss, so haben wir
X = 3313 Fuss.
Diese Geschwindigkeit geht weiter, als die in § 3 gegebene.
e‘ ' man aber bei den Zahlen der sechsten Kolumne, welche
sei deS Durchlaufens vom Brunnen G bis zum Windkes-
-Д20 Fuss, die mittlere Grosse 0,18 sec geben, so erhalten
W,r ,e Geschwindigkeit der Welle
---------__ X = 2333 Fuss.
214 und 215. Anmerkung der Schriftleitung.
214
UBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
§ 13
Beobachtungen vom 25. Juli 1898 uber die hydraulischen
No. des Versuches Geschwindigkeit in der Rohre in Fussen Zeit des doppelten Durchlaufens bis zu den Krest. Turmen Lange der ersten Erhebung in Zeit
1 0,18 — 6,44 sec
2 0,56 4,24 6,43
3 0,55 4.39 6,30
4 0,54 4,20 6,24
5 0,55 4,18 6,20
6 0.41 4,20 6,40
7 0,40 4.18 6,32
8 0,16 — 6,24
9 0,16 — 6,44
10 0,09 — 6,70
Aber die Genauigkeit dieses letzteren Resultates ist nicht
gross, da der Moment des Anfanges des Fallens der ersten Erhebung
auf dem Diagramme schwierig auszumessen war (Fig. 23). Was
die Formel P=3v betrifft, die von uns zur Bestimmung der
Stosswelle angewandt war, so ist sie, wie ein Vergleich der 7
und 8 Kolumne zeigt, ziemlich geniigend.
§ 13. Anwachsen der Grosse des hydraulischen Stosses
beim Ubergange der Stosswelle in Rohren mit geschlossenem
Ende. Nach Feststellen der Grunddaten iiber den hydraulischen
Stoss in Wasserleitungsrohren verschiedener Durchmesser gingen
wir iiber zur Untersuchung der Umstande, welche die Kraft des
Stosses erhohen konnen. Ein besonders bedeutendes Anwachsen
der Kraft des hydraulischen Stosses entsteht beim Ubergange
der Stosswelle von Rohren mit grossem Durchmesser in Rohren
mit kleinem Durchmesser und zeigt sich in den Rohren kleiner
Durchmesser, die am Ende geschlossen sind. Unsere Beobachtun-
gen wurden angestellt beim Ubergange einer Stosswelle, welche
sich in einer Rohre von 4" gebildet hatte, auf eine Rohre von 2".
Zu diesem Zwecke war ein Teil der Rohre 2" abgenommen
und nur ein Zweig derselben von 517 Fuss iibrig gelassen wel-
cher vom bestandigen Hauschen No. I (Fig. 7) zum Hauschen
No. Il ging. Dieser Zweig war neben dem Hauschen No. I mit
Ober den hydraulischen stoss
215
§ 13
Drucke in der Rohre von 24", vermittelst Indikatoren angestellt
Lange der ersten Vertiefung in Zeit Zeit des doppelten Durchlaufens bis zum Brunnen Beobachteter Druck In Atmospharen /J = 3v
7,02 sec — 0,45 0,54
7,00 0,19 sec 1,81 1,68
6,85 0,16 1,66 1,65
6,96 0,20 1,77 1,62
6,89 0,18 1,80 1,65
7,00 0,18 1,23 1,23
6,70 0,16 1,27 1,20
7,18 — 0,42 0,48
6,68 — 0,42 0,48
6,60 — 0,29 0,27
dem Ende der 4" Rohre, welche in ihrem friiheren Zustande ge-
lassen war, verbunden und vereinigte sich mit dem Auslasschie-
ber und dem Indikator des Hauschens No. I, wobei das Rohr-
chen, welches zum Indikator ging, an der Rohre 4" befestigt
war, etwas weiter, als der Punkt ihrer Vereinigung mit dem
Zweige der Rohre von 2". Das Ende des Zweiges von 2?/ wurde
mit dem Indikator des Hauschens No. Il verbunden und endigte
in einen Huhn.
Aus diesem Hahne wurde vor Beginn des Versuches das
Wasser herausgelassen, um sich zu iiberzeugen, dass in der
Rohre 2" keine Luft sei. Dann wurde der Hahn geschlossen und
der Zweig wandte sich in die Rohre mit geschlossenem Ende.
Es erfolgte auf gewohnliche Weise ein Herausfliessen des Was-
sers aus der Rohre 4Z' durch das Ventil unter Bestimmung der
Menge des hinausfliessenden Wassers und Notierung der hydro-
dynamischen Geraden in den Hauschen No. I und II (am Ende
,er ^dhre 2"); darauf wurde das Gewicht hinabgelassen, welches
• eiJ erschluss des Schiebers' hervorrief und die Stossdiagramme
W‘ erw^n^en Hauschen wurden gezeichnet.
Ir wollen versuchen zuerst theoretisch die Form dieser
lagramrne Zu bestimmen. P sei der Stossdruck, der in der
Ro re sich im Moment des Verschlusses des Schiebers bil-
216
Cber den hydraulischen stoss
§ 13
dete. Dieser Druck wird auf Rohre 2V iibertragen und wird sich
in derselben mit der Wellengeschwindigkeit X' fortpflanzen,
zugleich mit der in Rohre 2" sich gebildet habenden Ge-
schwindigkeit u des Fliessens des Wassers, welche ihre Rich-
tung zum geschlossenen Ende der Rohre nahm, wobei auf Grund
von § 4
P
Da infolge dieser Stromung aus der Rohre 4Z/ in die Rohre
2 in der ersteren eine Geschwindigkeit in der Richtung zum
Schieber bin bleiben wird von
pX' R* ’
wo r=l und R = 2, so muss der Stossdruck in der Rohre 4",
nur die Geschwindigkeit
P P
V pX' R*
vernichten, wo v die Geschwindigkeit des Wassers in der Rohre 4"
wahrend des Ausfliessens.
Benennen wir mit X die Geschwindigkeit der Welle in der
Rohre 4", so konnen wir jetzt nach § 4 schreiben, dass
P=v?k — P~~~
P R* ’
woher
wpX
(23)
Auf diese Weise vermindert die Vereinigung der Rohre mit
geschlossenem Ende mit der Rohre 4" den Stossdruck in der
Rohre 4".’’
Diese Verminderung wird infolge der Nahe X Uncj unter
einander fiir unseren Fall I — 1 einen Verlust von */s des
§13
Ober den hydraulischen stoss
217
ganzen Stossdruckes bilden, so dass, wenn wir pA = 4 at neh-
men, wir haben werden:
D 16
(24)
Im Moment wo die Stosswelle zum Ende der Rohre 2" kommt,
muss die Geschwindigkeit и vernichtet werden, welche nach
deren geschlossenem Ende gerichtet war. Dies wird eine neue
Stosswelle entwickeln, gleich P, welche sich mit dem friiheren
Drucke P vereinigt, und der Manometer im Hauschen No. II
wird einen Druck
Л=2Р (25)
anze;gen.
Die Phase mit dem Drucke 2P und mit der Geschwindigkeit
Null wird langs der Rohre 2" zuriick laufen und zum Ende der
Rohre 4" friiher gelangen, als „die Stosswelle, welche von der
Magistrale reflektiert wurde, langs der Rohre 4" zum Schieber
kommt. Efe entsteht eine Hebung des Druckes am Ende der
Rohre 4" bis zur Grosse P', die zwischen P und 2P liegt. Diese
Grosse P’ ist zu bestimmen. Von dem Fallen des Druckes beim
Anfange der Rohre 2" auf 2P—P' wird in demselben eine
Geschwindigkeit erzeugt, die ihre Richtung zur Rohre 4" hat
und gleich ist
2P-P'
P*'
Diese Geschwindigkeit wird in der Rohre 4" in der Richtung
zur Magistrale eine Geschwindigkeit geben von
2Р— P' / г V
рл' Ы’
aber da in der Rohre eine Geschwindigkeit von
vorhanden war, welche zum Schieber gerichtet war, so muss die
rganzungskraft des Stosses P—P zu dieser Geschwindigkeit
,П er Richtung zur Magistrale hin eine Geschwindigkeit
hinzufugen.
3P— P i r \-
pA' \ R )
.218 Uber den hydraulischen stoss § 13
Wir erhalten eine Relation
P~P=^r(3P-P)^
woraus folgt, dass
Fiir den betrachteten Fall kann man auch schreiben:
7
P = -~P. (27)
Auf Grund der Formel (26) ist die Geschwindigkeit in der
Rohre 2"
Die Phase, welche diese zur Rohre 4" gerichtete Geschwin-
digkeit und den Druck P' tragt, lauft durch die Rohre 2" und,
nachdem sie das geschlossene Ende erreicht hat, bringt sie, so
zu sagen, einen negativen Stoss hervor. Um die obenerwahnte
Geschwindigkeit zu vernichten, welche vom geschlossenen Ende
gerichtet ist, muss sich bei diesem Ende ein erganzender nega-
tiver Stossdruck
entwickeln, welcher nach seiner Vereinigung mit dem hinzuge-
brachten positiven Drucke P, den Indikator beim Hauschen
No. Il zwingen wird, den Druck zu zeigen:
(28)
Ober den hydraulischen stoss
219
§ 13
was fiir unseren Fall gibt:
(29)
Da bei unseren Beobachtungen die Lange der Rohre 2" mit
geschlossenem Ende gleich 517 Fuss war und die Lange der
Rohre 4" vom Schieber bis zur Magistrale 1050 Fuss, so vermochte
die Stosswelle langs der Rohre 2" vier Mai friiher zu laufen,
als beim Schieber der Rohre 4" der negative Stoss infolge der
von der Magistrale gegebenen negativen Geschwindigkeit er-
folgte. Als dieser Stoss eintrat, so erfolgte ein Fallen des
Druckes beim Schieber bis zum Nullstrich; dieses Fallen setzte
sich in der Rohre 2W fort und rief nach Verlauf der Zeit, in
welcher die Stosswelle die Lange dieser Rohre durchlief, ein
ahnliches Fallen des Druckes beim geschlossenen Ende hervor.
Auf Grund des Gesagten hatte jedes der Stossdiagramme
in den Hauschen No. I und II die Form zweier Stufen von fast
gleicher Lange (nach der Zeit). Die Stufen auf dem Diagramm
°- I gingen sich erhebend und hatten ubereinstimmend mit
ormel (27) die Hohe P und 7/r, P-, die Stufen im Diagramm
°" gingen sich senkend und hatten ubereinstimmend mit
den Formein (25) und (29) folgende Hohe: 2P und */6 P.
“ Eig. 24 sind die Photographieen solcher Diagramme
gege en, bei einer Geschwindigkeit in der Rohre 4" von 5,9 Fuss,
220
Ober den hydraulischen stoss
§ 13
wobei das rechte Diagramm dem Hauschen No. II, das linke
dem Hauschen No. I entspricht.
Wir sehen, dass die Form dieser Diagramme vo'.ig m.t der
dargelegten Theorie iibereinstlmmt, dabei hat die Hohe der er-
sten Stufe, gerechnet von der dynamischen Geraden, auf dem
rechten Diagramme 36 at und ist genau zweimal grosser, als
die grosste Hohe der ersten Stufe des linken Diagramms, welches
gleich 18 at ist.
Auf Fig. 25 sind die Diagramme gegeben, welche bei einer
Geschwindigkeit von 9,4 Fuss in der Rohre 4" beobachtet wur-
den. Hier ist der Druck in der Rohre mit geschlossenem Ende
von 56 at des rechten Diagramms auch um zweimal grosser,
als der Druck von 28 at des linken Diagramms, aber es gibt
keine zweiten Stufen. Das kam daher, weil in dem Moment, wo
die Stosswelle mit doppeltem Drucke von der Rohre mit ge-
schlossenem Ende zur Rohre 4” kam, ein Platzen in dem Teile
der Rohre vorkam, welcher die Rohre 4" mit dem Schieber
verbindet, wobei ein grosses Stiick der Rohre herausgerissen
wurde.
Weiter unten folgt eineTabelle unserer Beobachtungen der Stos-
se in der Rohre 4", welche mit einer Rohre mit geschlossenem Ende
von 2" vereinigt war; die Beobachtungen wurden am 4 Novem-
ber 1897 gemacht. In dieser Tabelle ist, unter anderem, auch
notiert die Zeit des doppelten Durchlaufens der Stosswelle
Beobachtungen vom 4 November 1897 uber die Ubertragung der
No. des Ver- suches Geschw. v in der Rohre 4ff in Fussen Dopp. Zeit t d. Durchl. der Rohre mit geschlossen. Ende Druck P aus dem Haus- chen No. I P-16 P = -5-o Druck Pr aus dem Hauschen No. I
1 8,6 0,240 sec 27,5 27,5 38,6
2 7,3 0.235 23,5 23,4 32,0
3 5,7 0,246 18,6 18,2 25,3
4 9,8 0,240 30,7 31,4 42,7
5 10,2 0,250 33.3 32,6 44,0
6 1,6 0,230 5,3 5.1 7,0
7 1,9 0,240 5,9 6,1 8,3
§ 13 Ober den hydraul’s^hen stoss 221
durch die Lange der Rohre mit geschlossenem Ende, d. h-
1034 Fuss.
Diese Zeit wurde bestimmt als mittlere Grosse zwischen
der Breite der ersten Stufen auf den Diagrammen I und П, wo-
bei die Angt-ben beider Diagramme entweder gleichartig waren,
oder um 0,01 sec auseinandergingen.
Fig. 25.
Auf dieser Tabelle sind die Kolumnen 7, 9, 11 nach den
Formein (27), (25) und (29) zusammengestellt, indem wir in den-
selben die theoretische Grosse, welche aus Kolumne (5) genom-
men war, P nennen.
Wenn wir die Tabelle betrachten, so sehen wir, dass die in
diesem § dargelegte Theorie durch die Beobachtungen vollig
Stosswelle aus Rohre 4'' auf die Rohre mit geschlossenem Ende 2"
7 Druck P' aus dem Hauschen No. 11 P, = 2P Druck Р/ aus dem Hauschen No. 11 II
38.5 54,6 55,0 23,3 22,0
32,8 46,6 46,8 20,0 18,7
25.5 37,3 36,4 16,0 14,6
43,9 60,6 62,8 26,6 25,1
45,6 61,3 65,2 26.6 26,1
7,1 10,6 10,2 4,1 4.1
8,5 12.0 12,2 4,7 4,9
222
Ober den hydraulischen stoss
§ 13
geniigend bestatigt wird. Wir halten es fiir interessant, die Zeit
zu bestimmen, in welcher die Stosswelle die doppelte Lange
der Rohre mit geschlossenem Ende durchlauft, da hier die
Erscheinung sich ein wenig von der vorhergehenden unterscheidet,
und der Stoss in der Rohre mit geschlossenem Ende nicht durch
Anhalten des in derselben fliessenden Wassers hervorgerufen
wird, sondern durch schnelles Steigen des Druckes bei ihrem
Anfange. Als mittlere Zeit des Durchlaufens ergibt sich 0,24 sec,
was uns
X — 4308 Fuss
gibt. Diese Zahl kommt nahe den in § 11 gefundenen.
Ausser den Beobachtungen fiber den Ubergang der Stoss-
welle aus der Rohre 4" auf die Rohre mit geschlossenem Ende 2",
waren von uns auch analoge Beobachtungen gemacht, nachdem
die obenerwahnte Rohre mit geschlossenem Ende 2" mit der
Rohre 6’z vereinigt war, welche ohne Veranderung gelassen war,
wie in Fig. 7 gezeigt (die aussere geschwarzte Rohre von
1066 Fuss). Die Formein (231, (26), (25) und (28) geben fiir den
P И ( r \2_ 1
Fa \ R / 9 ’
P— 0,9 pXv = 3,6 v,
Л«=2/>
Wir geben hier die Resultate dreier Beobachtungen, welche
am 8 Dezember 1897 gemacht wurden.
Beobachtungen vom 8 Dezember 1897 uber die Obertragung einer
(30)
No. des Versuches Geschw. v in der Rohre 6" in Fussen Druck P im Hauschen No. I P = 3.6« Druck P' aus dem Hauschen No. I
1 3,0 9,7 10,8 , 12,3
2 5,0 16,5 18,0 20,3
3 8,0 27,5 28.8 32,6
§ 14 Ober den hydraulischen stoss 223
§ 14. Reflektierung der Stosswelle von dem geoffneten Ende
der Rohre, aus welchem das Wasser herausfliesst. Wir benutzten
die Vereinigung der Rohre 2" mit der Rohre 6", urn die Re-
flektierung der Stosswelle von dem Strahl des fliessenden Was-
sers zu untersuchen. Diese Versuche boten ein Interesse als
Bestatigung des Gedankens, dass der Stoss sich in fliessendem
Wasser nach denselben Gesetzen fortpflanzt, wie in ruhigem
Wasser, und nur nach den verlorenen Geschwindigkeiten bestimmt
wird. Die Versuche wurden so angestellt: Der Hahn am Ende
der Rohre mit geschlossenem Ende wurde geoffnet, und das
Wasser aus der Rohre 2" ergoss sich; darauf wurde der Schieber
am Ende der Rohre 6" geoffnet, und es liess sich die Menge
des Wassers bestimmen, welche unter dem geoffneten Schieber
herausffoss; darauf erfolgte ein schneller Verschluss des Schiebers,
und das Stossdiagramm wurde im Hauschen No. 1 gezeichnet.
Wir wollen theoretisch bestimmen, wie ein solches Diagramm
aussehen muss. Im Moment des Schlusses des Schiebers am
Anfang der Rohre 2W entwickelt sich der Druck P, welcher nach
Formel (23) bestimmbar ist, wo die Geschwindigkeit "V in der
Rohre 6" nur nach der Geschwindigkeit des Wassers gefunden
wird, welches unter dem Schieber herausfliesst; die Geschwin-
digkeit dagegen, welche .durch das Herausfliessen des Wassers
in die Rohre 2" entsteht, bleibt in der Rohre 6" ohne Veran-
derung und zeigt keinen Einfluss auf den Stoss.
Von dem Moment des Schlusses des Schiebers bei Rohre 2,л
lauft ein Stossdruck P und eine Erganzungsgeschwindigkeit
P
gerichtet zum Ende der Rohre 2".
tosswelle aus Rohre 6" auf eine Rohre mit gechlossenem Ende 1"
P' =^p 5 1 Druck Pv aus dem Hauschen No. II A = 2P Druck P^ aus dem Hauschen No II
12,9 20,2 21.6 5.5 4,3
21,6 34.6 33,3 52,6 36.0 57,6 8,5 14,3 7,2 11.5
224
Ober den hydraulischen stoss
§ 14
Wenn diese Welle bis zum offenen Ende der Rohre gelangt,
so lauft von letzterem zur Rohre 6" eine Phase, welche bestimmt
ist durch den Druck 0 und die Geschwindigkeit
2 P
P*”
Ende der Rohre 2" gerichtet ist.
Welle zur Rohre 6”, so erhoht sich in ihr der
ois zu P. Info'ge der Hebung des Druckes
Anfcnge der Rohre 2" eine Geschwindigkeit
welche nach dem
Gelangt diese
Druck potzlich
auf P wird am
р>/
erzeugt, so dass die neue Stossgeschw.’ndigkeit, welche am An-
fange der Rohre 2" in der Richtung zum Ende derselben hin
/ p \
I wir nehmen nicht die friihere Geschwindigkeit -у? I erzeugt wird,
pX'
sein wird.
Diese Geschwindigkeit entwickelt am Anfange der Rohre 6'
in der Richtung zum Schieber die Geschwindigkeit
(J>+P)r*
pX'fl* ’
was eine Verminderung des Druckes um
hervorruft.
Auf diese Weise ist
woher
(31)
X'
1 4-A —
X' P
In Anwendung aui unseren Fall, wo annahernd X=X' und
A = —, werden wir haben:
У
P=0,9pXw = 3.6v,
P' = 0,8P.
§ I5
C’BER DEN HYDRAULISCHEN STOSS
225
Wir bringen jetzt die Resultate von drei Beobachtungen,
welche am 3 Dezember 1897 angestellt wurden.
Beobachtungen vom 3 Dezember 1897 uber das Reflektieren des aus der
Rohre 6" in die Rohre 2" (mit offenem Ende) gebrachten Stosses
No. des Versuches Geschw. in Rohre 6" entsprechend dem Fliessen In die Tonne Druck P auf Dia- gramm I P — 3,6v Druck P' nach Dia- gramm I Pr = 0.8P
1 5,7 21.7 20.5 19,5 16,4
2 8,0 27,1 28,8 24,0 23,0
3 7,4 26.3 26,6 23.5 21,3
§ 15. Uber die gefahrlose Zeit des Schliessens der Was-
serauslasshahne. Da der hydraulische Stoss durch schnelle
Unterbrechung der Geschwindigkeit des Fliessens des Wassers
in den Rohren hervorgerufen wird, so kann er geschwacht und
fast ganz vernichtet werden durch Vorrichtungen, welche nur
ein langsames Verschliessen der Hahne, Schieber und ver-
schiedener Ventile zulassen. Bestimmen wir die Zeit t dieses Ver-
schlusses mit der Bedingung, dass der Stossdruck die gegebene
Grosse P nicht iibertreffe. Nehmen wir der Einfachheit wegen an,
dass wahrend der Zeit des Verschliessens des Hahnes die Quan-
titat des herausfliessenden Wassers sich proportional der Zeit
vermindert, so finden wir, dass die Geschwindigkeit in der
Rohre v sich um
v 21
t >
in der Zeit vermindern wird, wo die Stosswelle, welche von
der Magistrale oder iiberhaupt von der Stelie, wo ein konstanter
Druck sich befindet, reflektiert wurds, zum Hahne zuriick kehren
und ihm diesen konstanten Druck bringen wird; dabei ist I die
Lange der Rohre bis zur Magistrale, X — die Geschwindigkeit
e*" Stosswelle. Dieser eben notierten Verminderung der Ge-
sc w’ndigkeit entspricht die Hebung des Druckes um die Grosse:
p___ V L
, t X h’
wo nach § 4 bestimmt wird.
Зак. 2386 —ц E Жушяклшй. т. VII. I5
226
Ober den hydraulischen stoss
§ 16
Aus der gegebenen Formel erhalten wir:
_________________________ vh 21
T-
Hier ist vh der Stossdruck bei momentanem Schluss des
Hahnes, P—das grosstzulassige Anwachsen des Druckes gegen
21
den hydrodynamischen und у die Zeit des doppelten Durch-
A
laufens der Rohre seitens der Stosswelle. Angenommen z. B.,
dass beim 12-ten Versuche mit der Rohre 2", der in Tabelle
§ 11 dargelegt ist, wir bei derselben Geschwindigkeit von
4,23 Fuss einen Stossdruck nicht von 17,3 at, sondern nur
von 1 at wiinschten, dann miissten wir den Verschluss machen
in der Zeit:
17 3
/ = —^—•1,14=19,72 sec.
Die Formel (32) zeigt, dass die Zeit des Verschlusses, bei
welcher der Stoss die gegebene Grosse hat, proportional der
Geschwindigkeit v und der Lange der Rohre wachst. Wenn
die Zeit des Verschlusses grosser ist, als die Zeit des doppel-
ten Durchlaufens der Rohrenlange seitens der Stosswelle, so
findet die Formel (32) nicht mehr statt und man erhalt einen
Ma ximalstoss.
§ 16. Die Windkessel. Wir sahen bei Untersuchung des
Stosses in der Rohre 24" den Effekt des mit Wasser gefiillten
Kessels, welcher am Anfange der Rohre aufgestellt war. Dieser
Effekt war analog der Verlangsamung der Zeit des Verschlusses.
Auf ahnliche Weise wirkt auch der Windkessel. Wir beschaf-
tigten uns mit der Erforschung der Wirkung der Windkessel,
welche unmittelbar auf der Linie der Rohren, langs welcher der
Stoss sich fortpflanzt, aufgestellt waren. Die Windkessel von
geringen und grossen Dimensionen waren auf unserer Rohre
von 2" (Fig. 7) in einer Entfernung von 1070 Fuss aufgestellt
(auf der linken Seite der Rohre, vom Schieber gerechnet nahe
der Biegungsstelle derselben), so dass sie zwischen den Hauschen
No. II und III zu stehen kamen. Der Stoss erfolgte nach unserer
gewohnlichen Methode. Die Diagramme wurden in alien 3 Haus-
chen gezeichnet, aber fiir unseren Zweck waren nur die Dia-
q 16 Ober den hydraulischen stoss 227
gramme I und HI notig. Fiir den Windkessel mit geringem
Luftvolumen (ungefahr 60 Kubikzoll) batten diese Diagramme
die in Fig. 26 und 27 gegebene Form, welche der Geschwindig-
keit des Ausfliessens von 4,4 Fuss entspricht.
I
Fig 26.
Wir sehen, dass die Wirkung des Windkessels der erwahnten
Dimensionen die Hohe der ersten Erhebung des Diagrammes,
welches im Hauschen No. I gezeichnet wurde (welche Hohe
gleich 17,3 at ist und mit der theoretischen 4v=17,6 at
geniiger.d iibereinstimmt), nicht vermindert. Was die Hohe der
zweiten Erhebung anlangt, so wachst diese, dank dem Effekt
des Windkessels, fast um 1,3 Mai im Vergleich zu der Hohe
der ersten Erhebung. Die dritte und folgenden Erhebungen
nehmen stark ab.
Auf dem Diagramm, welches im Hauschen No. Ill gezeichnet
wurde, haben wir eine unbedeutende Abnahme des grossten
tosses bis zu 14,6 at, dabei runden sich die Erhebungen und
nehmen schnell ab.
ir sehen, dass der Windkessel der gezeigten Dimensionen,
kunC aU^ ^еГ Linie der Rohre aufgestellt war, sich als wir-
Einen °S ScbwScbu^ Obertragens des Stosses erweist.
in n ganz anderen Effekt erhalt man bei Vergrosserung der
imensionen des Windkessels. Auf Fig. 28 ist das Diagramm
15*
228
Ober den hydraulischen stoss
§ 16
im Hauschen No. I bei einem Luftvolumen von 548 Kub. Zoll
und einer Geschwindigkeit des Wassers von 1,8 Fuss gegeben.
Dieses Diagiamm ist sehr ahnlich dem gewohnlichen Stossdia-
gramm bei Reflektierung des Stosses von der Magistrale. Der
Stossdruck ist hier 7,1 at, geniigend iibereinstimmend mit dem
theoretischen 4v — 7,2. Was das Diagramm im Hauschen No. Ill
betrifft, so zeigt es eine Gerade, welche mit der statischen
Geraden zusammenfallt.
Auf diese Weise kann man sagen, dass der Windkessel der
genommenen Dimensionen durchaus keinen hydraulischen Stoss
von der betrachteten Starke durch sich hindurchlasst.
Fig. 28.
Wir wollen auf einige theoretische Erwagungen hinweisen,
welche uns erlauben die Dimensionen der Windkessel, welche
keine Stosswelle durchlassen, zu bestimmen.
Es sei das Luftvolumen in dem Windkessel beim Aus-
fluss des Wassers in der Rohre vor dem Stosse, u sein veran-
derlicher Wert im Verlaufe des hydraulischen Stosses. Beim
Ausfliessen der Flussigkeit geht das Wasser aus der Magistrale
durch die Rohre I" von dem einen Ende in den Windkessel mit
der Geschwindigkeit v, und von dem anderen Ende geht es aus
demselben mit der, gleichen Geschwindigkeit. Das wird sich
auch noch einige Zeit nach dem Fallen des Stossgewichts fort-
setzen, bis die Stosswelle zum Windkessel gelaufen sein wird,
was bei unseren Versuchen 1/4 sec ausmacht. Von diesem Mo-
mente an fallt bei der Offnung der Rohre, welche die Phase
P= Po und v —0
brachte, der Druck bis Null (wir sprechen von dem zum hydro-
dynamischen hinzukommenden Erganzungsdrucke), und die Fliis-
sigkeit fangt an in den Windkessel mit einer Geschwindigkeit v
zu fliessen, so dass von beiden Enden der Rohren ein Ausflies-
§ 16
Ober den hydraulischen stoss
229
sen des Wassers in den Windkessel mit der Geschwindigkeit v
stattfindet. Der Druck in dem Windkessel beginnt infolge der
Verminderung des Volumens zu wachsen, und dieses Wachsen
pflanzt sich nach dem Gesetze der Ubertragung der Welle
langs beiden Enden der Rohren fort. Dabei erzeugt das Wachsen
des Druckes bis zur Grosse P eine Verminderung der Geschwin-
P
digkeit des in den Windkessel fliessenden Wassers bis .
Diese Erwagung erlaubt uns die Gleichung zu schreiben:
— du = 2lv—
\ H /
4*.
(33)
Da infolge der Schnelligkeit des Stosses der Prozess der
Veranderung der Luft in dem Windkessel als adiabatisch ange-
nommen werden muss, so ist
ma(P+Pi)=“i*Pp
wo k = 1,4 das Verhaltnis der spezifischen Warme der Luft
bei konstantem Drucke zur spezifischen Warme der Luft bei
konstantem Volumen ist, und der hydrodynamische Anfangs-
druck in dem Windkessel. Hieraus folgt
—— — UlPi к dP
clu k 1 ’
(P+P!) к
so dass
. "d2 dt dP
к 2 Z —121 *+1
Pikh (pt + P) * (P0~P)
Wir ersetzen hier hv durch Po.
Zu grosserer Bequemlichkeit nehmen wir an:
= P=^(Pi + Po)-P! (34)
Pl T ' 0
und schreiben unsere Formel so:
230
Ober den hydraulischen stoss
§ 16
wo
woher wir nach Vollendung der Integration haben:
= Pi
A + Po ‘
Setzen wir zur Verkiirzung des Ausdrucks:
(35)
und fiihren wir statt щ die Grosse des Volumens des Windkes-
sels ц, ein, bei einem hydrostatischen Drucke p0, nachdem wir
„ __PoU0
“i — „
Pi
gesetzt haben; dann wird das Volumen des Windkessels durch
folgende Formel ausgedriickt werden:
“o
fc + i
= k~<P / рг -f- P(, \ k pf
2ф(2) \ Pi / PэРо
(36)
In dieser Formel muss man als t die Zeit annehmen, in wel-
cher die vom Schieber oder der Magistrale reflektierte Stosswelle
zuriick zum Windkessel kehrt (die kleinere von diesen Zeiten).
In unseren Versuchen ist diese Zeit */2 sec. Die Grosse z wird
nach dem grossten Stosse bestimmt, welchen wir durch den
Windkessel zulassen.
Wenn die Rede ist von dem unbedeutenden Stossdrucke,
welchen man durch den Windkessel hindurchlassen darf, so wird
in der Formel (35) die Differenz der integralen Grenzen z_______Zj
sehr klein sein, und man kann setzen:
z— zx
fe+l
Zt k (1— Zt)
fc+1
(PO+P1\k p
\ Pl I Po'
ч 16 Ober den hydraulischen stoss 231
Wir erhalten zur Bestimmung des gesuchten Volumens fol-
gende Formel:
. k~d'2 , p?
U°~ 2 Vt PoP'
(37)
Diese einfache Formel hat eigentlich das Hauptinteresse in
praktischer Hinsicht, da die Windkessel zu dem Zwecke aufge-
stellt werden, um P moglichst klein zu bekommen.
Zur Benutzung der Formel (36) miisste man Tabellen fiir die
Funktion 'b ausrechnen; aber wir benutzten bei ihrer Anwendung
zwei Grenzen, innerhalb derer die Funktion '!> eingeschlossen ist.
Da nach Formel (34) z < 1, so erhalten wir, wenn wir in der
Integrate (Formel 35) Л=1 setzen, die Grosse % > 6; setzen
wir aber к = 2, so finden wir die Grosse < ф. Diese Funktio-
nen und % sind:
wo In das Zeichen des Neper’schen Logarithmus und y = \^z ist.
Wir bringen hier die Tabelle von 6 Beobachtungen, welche
von uns am 9 Oktober 1897 mit Windkesseln gemacht wurden.1
Hier ist in der ersten horizontalen Reihe der Tabelle das
Mittel dreier Beobachtungen gegeben, welche bei ein und dersel-
ben Geschwindigkeit des Ausfliessens 4,4 Fuss und bei ein und
demselben Luftvolumen (60 Kub. Zoll.) gemacht wurden. Die
Zahlen pj der 6 Kolumne wurden von uns nach dem Diagramm
No. II bestimmt, welches nahe bei dem Windkessel gezeichnet
WUrde (leider wurde das Diagramm des Druckes in dem Wind-
kessel selbst nicht gezeichnet, jwie das zur Benutzung unserer
0,™eln notig gewesen ware).
Je ersten zwei theoretischen Luftvolumina, in 10 Kolumne
erzeichnet, wurden nach Formel (36) berechnet, mit zwei Ье-
S. nzten Werten aus den Formel (38), und die Volumina fiir
ersuche 5 und 6, in welchen die obere Grenze z—zt eine
~ *-----------------------------------------------------------
232 und 233. Anmerkung der Sc hr ifile Hung.
232
Ober den hydraulischen stoss
§ 16
Beobachtungen vom 9 Oktober 1897 iiber den hydraulischen Stoss
No. des Versuches Geschw. V in Fussen Zeit t des doppelten Durchl. bis zum Windk. Pq nach dem Dlagr. No. 1 P0 = 4o Hydrosta- tischer Druck Po
1, 2, 3 4,4 0,50 17,3 17,6 5,4
4 3,7 0.50 14,8 14,8 5,3
5 3,9 0,50 15,7 15,6 5,4
6 1,8 0,50 7,1 7,2 5,4
nicht bedeutende Grosse ist, wurden nach Formel (37) berechnet.
Wir sehen, dass die theoretischen Volumina ziemlich nahe kom-
men den wirklich gefundenen, und deshalb empfeh!en wir zur
Anwendung in der Praxis unsere Formel (37).
Die Kolumne 11 gibt fiir das Diagramm No- I das Ver-
haltnis der Hohe der zweiten Erhebung zur Hohe der ersten.
Wir sehen, dass dieses Verhaltnis grosser ist als die Einheit
und bei geringen Dimensionen des Windkessels und grossen
Geschwindigkeiten bis zu 1,5 geht.
. Eine Erklarung fiir diesen Umstand finden wir in dem, am
Ende des § 9, iiber das Zerreissen der Fliissigkeitsmasse Gesag-
ten. Nach der Trennung der Fliissigkeitssaule vom Schieber wird
diese Saule zum Schieber zuriickgeworfen unter der Wirkung
des erhohten Druckes im Windkessel und erzeugt einen zweiten
Stoss, starker als der erste. Aufmerksamkeit verdient auch der
Umstand, dass die Verhaltnisse der Lange der ersten Erhebung
zur Lange der ersten Vertiefung, welche in der 12 Kolumne
unserer Tabelle gegeben sind, fiir einen Windkessel von gerin-
gen Dimensionen bedeutend grosser sind als die Einheit, wah-
rend fiir Windkessel grosser Dimensionen diese Verhaltnisse
kleiner als die Einheit sind.
Die Ursache der Verminderung der ’Lange der Vertiefung
bei geringen Dimensionen des Windkessels kann erklart werden
bei Betrachtung der rechten und linken Wellen, welche die Stoss-
erschei nungen in dem betrachteten Fall charakterisieren.
Analog mit Fig. 4 werden wir fiir unseren Fall die Fig. 29
haben.
§ ю
Ober den hydraulischen stoss
233
jn der Rohre 2", welcher durch den Windkessel hindurchging
Hydro- dynaml- scher Druck Pl Pmax in dem Windk. «0 in Kubik- zollen «0 in Kubik- zollen nach der Formel Verhaltnis des Druckes in der ersten und zwei- ten Erhebung d. Diagr. No. 1. Verhaltnis d. Breite der Erhebung und der Vertiefung d. Diagr. No. 1
2,7 14,6 60 55—69* 1,3 1,5
2,5 13,4 40 41-66* 1,5 2,0
3,1 0,7 548 523 1,1 0,4
4.6 0.7 548 532 1,1 0,4
Auf dieser Figur wird cB sein die durch die Zeit des Durch-
laufens der Stosswelle ausgedriickte Lange der Rohre vom Schie-
ber bis zum Windkessel, d. h.
Fig. 29.
Der Teil der rechten Welle c/с., wird konstruiert nach dem
Gesetze des Verschlusses des Schiebers, wobei
Wenn der Punkt c der rechten Welle zum Windkessel В kommt,
so wird in letzterer der Oberschuss P des Druckes iiber der
hydrodynamischen anfangs 0 sein und sodann beginnt P zu
wachsen. Wir nehmen an, dass fiir die Zeit "s dieses Wachsen
nicht gross ist und begrenzen den Anfang der linken Welle
durch die Kurve cxfv symmetrisch der Kurve cf. Dann wird die
edingung bei dem Windkessel -darin bestehen, dass der posi-
k*Ve ,^ruck, welcher zum Punkt В durch die rechte Welle ge-
rac t wird, zusammen mit dem negativen Drucke, welcher in
. Jn Written vom Ende gerechneten Spalte sind falsche Zahlen 55—69
an£egeben. Sie miissen entspechend durch die Zahlen 71—89 und
ers®tzt werden. Anmerkung der Schriftleitung.
234 Ober den hydraulischen stoss § u
diesen Punkt durch die linke Welle gebracht wird, die Grosse
P gebe, welche nach dem Werte z aus Formel (36) bestimmt
wird. Um diese Bedingung zu erfiillen, muss man die linke
Welle durch die Konture /j/д begrenzen, deren Entfernungen
von der horizontalen Geraden, welche durch den Punkt ft gezo-
gen ist, die entsprechenden Grossen Д- P geben.
Diese Konture bei dem Windkessel von geringen Dimensio-
nen wird sich schnell der Fortsetzung der Geraden cB nahern.
Verlangern wir diese Konture auf die Strecke
Wenn der Punkt ct der linken Welle zum Schieber c geht,
dann geht zu diesem Punkte auch der Punkt c2 der rechten
Welle. Damit die Geschwindigkeit v beim Schieber gleich Null
werde, ist es notwendig, dass die Konture с24Л der rechten
Welle gleichartig sei mit der Konture Cj/j/., der linken Welle.
Wenn wir auf diese Weise weiter schliessen und gleichzeitig
unsere Aufmerksamkeit auf das Gesetz der Veranderung des
Druckes in dem Windkessel richten, so konnen wir die weiteren
Konturen der linken jUnd rechten Welle zeichnen. Aber fiir
unseren Zweck genugt das Gesagte.
Drehen wir, wie § 5 erklart wurde, die rechte Welle um die
Vertikale ii, welche durch den Schieber geht, und addieren wir
die?dabei zusammengefallenen Grossen der Drucke der rechten
und linken Welle, so erhalten wir die Konture des Stossdia-
gramms beim Hauschen No. I. Diese Konture ist auf Fig. 29
durch-eine geschwarzte Linie gegeben. Wir sehen, dass der
Effekt des Windkessels die Vertiefung verengen kann. Diese
Verengung bei Windkesseln von iiberaus geringen Dimensionen
kann, infolge Schneller Annaherung der Linie fj3 zu c{fs, die
ganze Vertiefung in eine enge Spalte verwandeln, wie auf dem
Diagramm Fig. 31 gezeichnet ist und im § 18 erklart werden
wird.
Wir untersuchten den Effekt der Windkessel, welche auf der
Linie der Rohre aufgestellt waren, aber die von uns beigebrach-
ten Formein (35) und (37) konnen Anwendung finden auch auf
< 17 Ober den hydraulischen stoss 235
die Berechnung der Windkessel, welche bei dem Absperrungs-
schieber aufgestellt waren, wobei wir nur in diesen 2 Formein
2~ m,t
zu vertauschen brauchten.
4
Das ware deshalb zu machen, weil das Wasser in dem Wind-
kessel von einem Endpunkte aus sich ergiesst und in der
Ausgangsformel (33) man den Multiplikator 2 nicht zu schreiben
braucht. Dabei sind, bei denselben Bedingungen, die Dimensio-
nen des am Ende der Rohre aufgestellten Windkessels um 2 Mai
geringer, als die Dimensionen dss auf der Linie der Rohre
aufgestellten Windkessels.
Die Windkessel von erforderlichen Dimensionen konnen den
hinter denselben (in der Richtung der Fortpflanzung dar Stoss-
welle) folgenden Teil der Rohre vor dem hydraulischen Stosse
bewahren; diese erforderlichen Dimensionen sind ziemlich gross.
Wenn wir z. B. beim Versuche (8) mit der Rohre 6", welcher
in der Tabelle § 10 dargelegt ist, einen Stoss von 29 at bis
auf 1 at fiihren wollten, so fanden wir nach Formel (37) fiir
den beim Schieber aufgestellten Windkessel, wenn wir annahemd
(p0 = Pi=5,4) annehmen, das Volumen:
uo = 981O Kub. Zoll = 5,68 Kub. Fuss.
Aber die Hauptunbequemlichkeit bei der Anwendung von
Windkessel in der Praxis besteht darin, dass es schwer ist ein
konstantes Volumen von Luft in dem Windkessel zu konser-
vieren. Bei den oben beschriebenen Beobachtungen vom 9
Oktober 1897 bemerkten wir, dass die Volumina 60 und 40,
vor dem Versuche, sich nach dem Versuche in 50 und 37 ver-
wandelten. Diese Veranderlichkeit der Volumina zwingt uns,
mechanische Vorrichtungen anzuwenden, um das Volumen an
Luft zu vervollstandigen, welches durch das Wasser wahrend
der Stosse absorbiert wird; dieser Umstand erschwert die Anwen-
Ung der Windkessel und lasst den Gebrauch von Sicherheits-
venttlen ratsam erscheinen.
S . Die Sicherheitsventile. Wir stellen Versuche mitSicher-
ei sventilen an auf derselben Linie der Rohre 2", von welcher
wir im vorigen § sprachen. Konische Ventile mit einer Feder
wur en ast an dersej|,en Stelle angebracht, wo friiher die Wind-
esse sich befanden, 1077 Fuss vom Schieber. Nach Verlauf
236
Uber den hydraulischen stoss
§ 17
von sec nach dem Fallen der Last lief die Stosswelle zum
Sicherheitsventile, offnete es und warf das Wasser als konische
Fontane hinaus, was l/2 sec dauerte, bis zum Ventil vom Schieber
aus eine Welle mit gemindertem Drucke kam; dann schloss sich
das Ventil.
Solch ein Schliessen und Offnen des Ventils wiederholte
sich periodisch einige Mai infolge der wiederholten Reflektie-
rungen der Stosswelle vom Schieber und von den geoffneten
Ventilen aus, bis die Stosswelle so weit abgeschwacht war, dass
das Ventil sich zu offnen aufhorte. Die Stossdiagramme wurden
im Hauschen No. I beim Schieber und im Hauschen No. Ill hin-
ter dem Sicherheitsventile gezeichnet. Ahnliche Diagramme fiir
Fig. 30.
die Geschwindigkeit in der Rohre z> = 3,81 Fuss sind in Fig. 30
gezeigt.
Das obere Diagramm entspricht dem Hauschen No. I und
gibt in der ersten Erhebung ein Stossdruck 15,3 (nahe der
theoretischen Grosse 4w=15,2); das untere Diagramm entspricht
dem Hauschen No. Ill und gibt den Druck der ersten Erhebung
mit 3,1 at hoher, als der hydrostatische ist, entsprechend der
Elastizitat der Feder des Sicherheitsventils.
Wir bringen jetzt die Resultate von 6 Beobachtungen, die
am 9 Oktober mit Sicherheitsventilen angestellt wurden.
Die Zahlen der vierten Kolumne geben die Stossdrucke vor
dem Sicherheitsventile, vollig iibereinstimmend mit der Formel 4v;
was aber den Druck hinter dem Sicherheitsventile betrifft so ist
er bei den Versuchen 1 und 6 gleichartig bei den verschiede-
nen Geschwindigkeiten und hangt nur von der Kraft der Ven-
tilfeder ab. Die Kolumne 7, welche das Verhaltnis der Hohen
der ersten und zweiten Erhebung des Diagramms No. I gibt,
§’18
Ober den hydraulischen stoss
237
Beobachtungen vom 9 Oktober 1897 betreff der Sicherheitsventile an der
Rohre 1"
No. des Ver- suches Gesch- windig- keit V In Fussen Doppelte Zeit des Durchlau- fens bis zum Ven- til Druck P nach dem Diag- ramm No. 1 P = bv Druck iiber der Hydro- statischen, nach Dia- gramm No. Ill V erhaltnls der Hohen der ersten und zweiten Erhebung im Dia- gramm No. 1
1 4,39 0,50 sec 17,3 17,6 3,5 1.4
2 4,39 0,50 17,3 17,6 3,5 1.5
3 3,79 0,50 15,5 15,2 3,1 1.5
4 3,81 0,50 15,5 15,2 3,6 1.5
5 3,81 0,50 15,3 15,2 3,1 1,5
6 2,58 0,49 10,3 10,3 3,5 1,4
zeugt von der schnellen Verminderung des Stossdruckes. Als
Resultat der Versuche kann der Satz aufgestellt werden:
Das Sicherheitsventil lasst durch sich hindurch nur eine
solche Kraft des Stosses, welche gleich ist der Elastizitat der
Feder.
Natiirlich war ein solches Resultat auch zu erwarten.
§ 18. Aufsuchen von Stellen auf der Linie der Rohre, in
welchen eine Ansammlung von Luft erfolgte. Auf Fig. 31 ist
ein Stossdiagramm dargestellt, welches im Hauschen No. I von
Fig. 31.
unserer Rohre 2" (Fig. 7) gezeichnet wurde, wenn sich an eini-
&en Stellen der Rohre geringe Ansammlungen von Luft gebil-
det batten.
Eine solche Gestalt erhielten die Diagramme einer ganzen
unserer Versuche, welche am 1 September 1897 mit der
° re 2 Zum zwecke (jer Rechtfertigung der Formel § 4 ange-
238
Ober den hydraulischen stoss
§ 18
stellt wurden. Diese Versuche wurden fiir ungeeignet erkannt,
da die Diagramme durch 3 Spalten durchschnitten waren, welche
mit bewunderungswiirdiger Bestandigkeit an ein und denselben
Stellen erschienen.
Bei Besichtigung der Linie der Rohre zeigte es sich, dass
Ansammlungen von Luft sich in Entfernungen von 1357, 2066
und 2351 Fuss vom Schieber gebildet hatten. Diese Ansamm-
lungen bildeten sich in den Rohrchen, welche von den von der
Rohre abgenommenen Manometern iibrig geblieben waren. Indem
wir beriicksichtigen, dass, nach dem am Ende des § 15 Gesag-
ten, solche Spalten infolge der Anwesenheit kleiner Luftmassen
sich zeigen, wollen wir uns bemiihen, die erwahnte Serie von
Diagrammen zur Aufsuchung der Stellen dieser Luftmassen in
der Rohre zu verwenden. Da die Spalte im Diagramm No. I
sich in dem Moment bildet, wo die Stosswelle zur Luftmasse
lauft, so geben die in Zeit ausgedriickten Entfernungen
der Spalten des Diagramms von seinem Anfange — die dop-
pelte Zeit des Durchlaufens der Stosswelle bis zur gesuchten
Luftmasse.
Wir bringen hier eine Tabelle, welche nach 7 in dem
Hauschen No. I gezeichneten Diagrammen zusammengestellt ist.
Bestimmung der Stellen der Luftansammlung in der Rohre 2" nach den am
1 September angestellten Beobachtungen
No. des Versuches Geschwin- digkeit des Wassers v In Fussen In Zeit ausge- driickte Entfer- nung von der ersten Spalte In Zeit ausge- druckte Entfer- nung von der zweiten Spalte In Zeit ausge- driickte Entfer- nung von der dritten Spalte
1 4,42 0,64 sec 1,00 sec 1,15 sec
2 4,42 0,65 1,00 1,13
3 4,37 0,64 1,00 1,14
4 4,34 0,65 1,00 1,14
5 3,29 0,64 1,00 1,14
6 3,17 0,63 0,96 1,13
7 3,18 0,65 0,99 1,15
Die mittlere Grosse der doppeitcn Zeit des Durchlaufens
der Stosswelle bis zu den zu suchenden Luftmassen wird sein:
Ober den hydraulischen stoss
239
§ 19
0,64 sec; 0,99 sec; 1,14 sec. Nehmen fiir unseren Fall 1 = 4200
Fuss (das zeigte die direkte Beobachtung der Geschwindigkeit
1 im gegebenen Faile), so finden wir fiir die gesuchten Luft-
massen die Entfernungen:
1344, 2079, 2394 Fuss,
welche ziemlich nahe kommen den wirklichen Stellen der Luft-
massen. Wir wollen hier bemerken, dass auf Fig. 31 die erste
Spalte vom Anfange des Diagramms weiter als vom Ende ent-
fernt ist. Dieser Umstand gestattet uns keinen Zweifel, dass sich
in der Rohre drei Luftmassen befinden. Wenn die zweite Spalte
2 Mai weiter als die erste vom Anfange des Diagramms entfernt
ware, so konnte sie als Effekt der Welle erscheinen, welche von
der ersten Luftmasse zuriickgeworfen und dann vom Schieber
reflektiert wurde.
§ 19. Bestimmung der Stelle des Leeks in der Wasserlei-
tungsrohre mit Hilfe des Stossdiagramms. Wie das Stossdiag-
ramm uns gestattet die Stelle der Luftansammlung in der Rohre
zu finden, so kann es auch die Stelle des Leeks angeben,
welches sich in der Rohre gebildet hat, und eine Methode
diese Stelle zu finden, kann eine wichtige praktische Bedeutung
gewinnen. Zur Erklarung der angeregten Frage waren von uns
am 25 September Beobachtungen angestellt worden.
Auf der Linie der Rohre 2W wurden einige Offnungen ge-
macht (auf Fig. 7 durch Punkte angedeutet), von denen je eine
geoffnet wurde und Wasserfontanen bildete. Der Schieber der
Rohre mit solchen Fontanen wurde geoffnet, die Menge des
aus der Rohre hervorstromenden Wassers bestimmt und darauf
wurde ein hydraulischer Stoss hervorgebracht. Die Stossdiag-
ramme wurden in den Hauschen No. I, II, III gezeichnet,
°bgleich zur Bestimmung der Stelle der Fontane das eine
Diagramm im Hauschen No. I geniigend gewesen ware.
Figur 32 gibt die Photographic eines solchen Diagramms
bei einer Geschwindigkeit des Wasserfliessens von 4,2 Fuss
und bei einer diinnen Fontane, welche aus der Rohre in einer
Entfernung von 949 Fuss vom Schieber heraussprang.
Wir sehen, durch ein wie deutliches Fallen der Hohe des
Diagramms der Ort der Fontane bezeichnet wird.
240
Ober den hydraulischen stoss
Wenn wir die Zeit, welche vom Anfang der Hebung des Dru-
ckes verfloss, mit 0,44 sec bestimmen und die Halfte dieser Zahl
mit X multiplizieren, so finden wir, wenn X = 4200 Fuss, eine
Entfernung von 924 Fuss, was der Wirklichkeit ziemlich nahe
kommt. Wir wollen auf einige theoretische Erwagungen hinweisen,
welche mit unserer Frage in Beziehung stehen.
J. v^,2
Fig. 32.
Wenn die Stosswelle, welche sich infolge der Aufhebung der
Geschwindigkeit vermittelst raschen Schlusses des Absper-
rungsschiebers bildete, zur Offnung der Fontane gelangt, so
wird der Stossdruck P= vh bis zur Grosse /y fallen. Dabei
werden sich Geschwindigkeiten entwickeln: in dem Teile der
Rohre zwischen Fontane und Schieber die Geschwindigkeit
P-P'
h
in der Richtung zur Fontane, und in dem Teile der Rohre
zwischen Fontane und Magistrale die Geschwindigkeit -y in
der Richtung zur Magistrale, welche Geschwindigkeit sich mit
der in der Rohre in der Richtung zur Fontane vorhandenen
v-^-w verbinden und eine Geschwindigkeit
p—p
h
----— = w
* h
in der Richtung zur Fontane geben wird.
Die ganze Sekundenmenge des Wassers, welche dabei durch
die Offnung der Fontane hinausgeworfen werden muss, wird
sein:
Q =
t.cP
4
^4-2
P—P \
h /’
§ 19
Ober den hydraulischen stoss
241
Die Sekundenmenge des "Wassers, welches vor dem Stosse
aus der Fontane sich ergoss, war:
4 4 И 7
wo d und d' die Durchmesser der Rohre und der Offnung der
Fontane, p- der Koeffizient des Ausfliessens aus der Fontane
und p der Druck vor dem Stosse sind. Die Phase mit dem
Drucke P und der Geschwindigkeit
P—P
h
wird sich zum Schieber fortpflanzen und dort einen negativen
Stoss mit dem Drucke Pt bilden, welcher sich nach der For-
mel
Pt = Л — P- h = 2P — P= P—2(P—P)
bestimmen lasst, so dass
2P = P-f- Px
und
P> P > Pv
Die oben gegeben Grosse Q kann jetzt durch folgenden
Ausdruck dargestellt werden:
andererseits ist
Vergleichen wir die Grossen Q, so erhalten wir die Glei-
chung zur Bestimmung von P— Pt:
МЧ¥)Ш1/?+
+•/* Л1 _2..2(4Г Й_о, (39)
\ d / -y J \ d )
WO durch p ausgedriickt ist.
Зак. 2386 — н. E. Жуковский, с. VII.
242
Ober den hydraulischen stoss
§ 19
Wenn das Verhaltnis sehr gering ist und P gross im
Vergleich mit p, so kann statt der Gleichung (39) folgende
annahernde Gleichung benutzt werden:
p— p1 = 93,3h (4-) (40)
wo P und Pj in Atmospharen ausgedriickt sind.
Vorausgesetzt, dass s die Entfernung der Fontane vom
Schieber und dass der ganze Teil des Bruches — —n ist, so
werden wir n Reflexe der Stosswelle vom Schieber aus haben,
bevor die Stosswelle, welche von der Magistrale reflektiert
wurde, bis zum Schieber gelangt (sich durch den Effekt der
Fontane in der Gestalt verandernd).
Wir benennen mit P-2, Ps, P4 ... die Stossdrucke beim
Schieber beim zweiten, dritten u. s. w. Reflex, und mit P",
P'" den zweiten, dritten u. s. w. Stossdruck bei der Fontane.
Auf Grund der Betrachtung, mit deren Hilfe wir die Rela-
tionen 2P' = P~H P, ableiten, konnen wir eine Reihe von Rela-
tionen erhalten
2P' 2P" 2P’ 2P"" II II II II (41)
woraus folgt, dass
P, = P — 2 (Р—Р') • 1
P2 = P — 2(Р' —Р'), • .
— 2(Р' — Р"), (42)
Л = — 2(Р"' — F I
die Reihenfolge zeigen, in welcher die Grossen
Wir wollen
der Drucke:
P, P„ P,, ... P', F", P'", ...
geordnet sind.
Wenn der vom Schieber reflektierte Druck P, bis zur Fon-
tane gelangt ist, bei welcher der starkere Druck P' stattfindet,
§ 19 Ober den hydraulischen stoss 243
so verwandelt sich der Druck bei der Fontane in P", wobei
P'<P.
Aus dem Teile der Rohre, welcher zur Magistrale geht,
be gin nt eine neue Quantitat Wassers
P — P'
4 h
sich zur Fontane zu ergiessen, und von der Fontane wird sich
in die Rohre, welche zum Schieber geht, eine Quantitat Was-
sers
^P'-P, .
—г- ----- entternen;
4 A
wahrend friiher zur Fontane eine Quantitat Wassers '
t&P—P,. .
—:----——- hinzukam.
4 h
Auf diese Weise wird die Sekundenquantitat des Wassers
welche sich jetzt durch die Fontane ergiesst, nach Q durch
folgende Gleichung bestimmt:
<21 = <2+^[2(Р'-Р") + Л-П
welche Quantitat nach Formel (42) sein wird:
rd2
+ (P-P2).
Da infolge von P" < P' man haben muss Qi < Q, so
ist P2 > Pp
Mit dieser Ungleichheit verbinden sich nach den Formein
(42) und (41) noch folgende:
P2<P,
Л > P".
Wenn nach dem zweiten Reflex vom Schieber der Druck P-2
zur FontSne gelangt, so wird der bei ihr befindliche Druck P
in P iibergehen, wobei
P">P'.
16*
244
Ober den hydraulischen stoss
§ 19
In den Teil der Rohre, welcher zur Magistrale geht, wird
sich von der Fontane eine neue Quantitat Wassers
~d- I P" — P" \
— | ----------\ ergiessen,
und aus dem Teile der Rohre, der zum Schieber geht, wird
sich zur Fontane ergiessen:
/ Л— Р"^\
4 \ h J’
da friiher von der Fontane sich
r.(PP" — Pl tf *
-7- ------- entfernte.
4 Л
Die Sekundenquantitat des aus der Fontane geworfenen Was-
sers wird sich vergrossern und in Q2 verwandeln, wo
Q-2 - Qi[2 (P"-P") + Р,-Л1
oder [nach Formel (42)]
zd'2
Q2 = Q1+^r(^-P8).
Da Q> > Ql, so ist Рл < P>.
Hierzu konnen nach Formel (42) und (41) noch folgende
Ungleichheiten gefiigt werden:
P3 > Pu Р-л < P ".
Fahren wir fort auf ahniche Weise zu urteilen, so kommen
wir zu dem Schlusse, dass die Differenzen
Р-Р» Р^-Р» Р-2~РЛ, •••
zeichenveranderliche Reihen von konstant abnehmenden Gliedern
darstellen.
§ 19
Ober den hydraulischen stoss
245
Die Sekundenvolumina, die sich durch die Fontane in den
aufeinanderfolgenden Zeitintervallen ergiessen, konnen auf Grund
des Gesagten in folgender Form dargestellt werden:
Diese Grossen zeigen uns, dass die Geschwindigkeit der
Fontane sich abwechselnd vergrossert und vermindert.
Unter Benutzung von Formel (43) konnen wir zur Bestim-
mung P—Pi Gleichungen aufstellen, welche analog sind For-
weln (39) und (40).
Wenn n Reflexe vom Schieber entstehen, so geht die Stoss-
welle, welche von der Magistrale refiektiert wurde, friiher zu
der Fontane, als die Welle, welche vom Schieber refiektiert
wurde. Diese Welle bringt zum Ende der Rohre bei der Fon-
tane den Erganzungsdruck P**— P und die Erganzungsge-
schwindigkeit
P
h ’
welche zur Magistrale gerichtet ist.
Bei der Fontane entwickelt sich der Druck Pu+I) und zu
der Quantitat Qu-i des durch die Fontane hinausgeworfenen
Wassers wird hinzugefiigt:
^d2 / P P(”>________P'___Pln ° P'"’__/>(«+!) \
T \ ~~h“I h 1 h /=
'= [2PW — 2P — 2P"+l)].
Auf diese Weise werden wir haben:
-d2 ( , — P, 4- P„_,- 2Pn+11 \
4 \ h )
246
Uber den hydraulischen stoss
S 19
Diese Formel zeigt, dass entweder negativ ist, oder
der Ungleichheit
27х"1 ° < Pn-i — Л geniigt.
Die Veranderung des Druckes bei der Fontane wird sich
zum Schieber fortpflanzen, zu welchem die Welle lauft, welche
den Erganzungsdruck 7x,i+1)— /*"’ und die Erganzungsgeschwin-
digkeit
fXu)__pin-tl)
h
tragt, welche zur Fontane gerichtet ist.
Diese Welle bringt am Schieber einen negativen Stoss her-
vor, bei welchem sich ein Druck
P„+1 = 2/x"+1)—+ Л
entwickeln miisste.
Dieser Druck muss nach der obenbeigebrachten Ungleichheit
selbst der Ungleichheit genugen:
рн.1<Л-1-р1-27х"> + 7’„
oder, nach Formel (41)
Рц+1 < Pi-
Auf diese Weise wird sich beim Schieber ein negativer
Stossdruck entwickeln, und die Erhebung des Diagramms wird
mit einem scharfen Ubergange in eine Vertiefung endi-
gen. Die Lange der ganzen Erhebung fiir Hauschen No. I
. , - 21
wird sein —.
л.
Die Erhebung wird bestehen aus n 1 Stufen, von welchen
2s
die ersten n die Langen — haben.
Л
Diese Stufen haben die Hohen P, Pi deren Differenzen
P—Pi, Pi — Py — sich allmahlich verringernd und stets die
Zeichen wechselnd gehen. Wenn n = l, d. h. die Fontane naher
zur Magistrale als zum Schieber ist, dann wird das Diagramm
aus zwei Stufen bestehen und die in Fig. 32 dargestellte Form
haben.
§ 19 Ober den hydraulischen stoss
247
Auf Fig. 33 ist eine Darstellung des Diagramms von 3 Stufen
gegeben fiir den Fall, dass die Fontane 952 Fuss vom Schieber
entfernt ist (n = 2). .
Hier ist die doppelte Zeit des Durchlaufens der Stosswelle
bis zur Fontane = 0,46 sec und gibt eine theoretische Entfernung
von 966 Fuss.
Die Diagramme der Hauschen No. II und III geben, je nach-
dem, ob die Fontane sich zwischen Hauschen und Schieber oder
Fig. 33.
zwischen Hauschen und Magistrale befindet, entweder die Stu-
fen der Hohe P, P, Plt P, ... oder die Stufen der Hohe
P' pr p"
Wir bestimmten -j- nicht,
weil die Veranderung der Off-
nung der Fontane infolge grosseren oder geringeren Offnens
des Hahnes eintrat, welcher die Fontane herausliess. Alle un-
sere Aufmerksamkeit bei den Beobachtungen war konzentriert
auf die Bestimmung der Stelle der Fontane nach dem Stoss-
diagramm. Ich bringe hier eine Tabelle1 der Versuche, welche
am 25 September 1897 gemacht wurden.
Wir nehmen hier zur Bestimmung der Entfernungen die Ge-
schwindigkeit der Stosswelle к = 4200 Fuss, obgleich eine
solche Geschwindigkeit der Welle nur im Anfange der Beobach-
tung stattfand. Spater aber, nachdem das Wasser von Luftteil-
chen frei geworden war, ergab sich eine Geschwindigkeit von
^s4333 Fuss. Bei letzterer Geschwindigkeit der Welle miisste
man die theoretische Entfernung um 1,03 Mai grosser nehmen.
Seite 248. Anmerkung der Schriftleitung.
248
Ober den hydraulischen stoss
§ 20
Versuche vom 25. September 1897 zur Bestimmung der Stelle des Leckes
in der Rohre 2", welche eine Lange von 2494 Fuss hatte
No. des Versuches No des Loches Geschwin- digkeit des Wassers in Fussen Zeit des doppelten Durchlaufens vom Schieber zur Fon- tane nach dem Diagramm des Hauschens No. 1 Theoretische Entfernung der Fontane vom Schieber in Fussen Wirkliche Entfernung der Fontane vom Schieber in Fussen
1 3 3,92 0,20 sec 420 396
2 4(a) 3,86 0,25 525 538
3 4(a) 4,18 0,26 546 538
4 6 3,61 0,46 966 949
5 6 3,60 0,44 924 949
6 7(a) 3,87 0,66 1386 1357
7 7(a) 4,42 0,66 1386 1357
8 8(a) 3,87 0,86 18% 1754
9 8(a) 4,42 0,82 1722 1754
10 10 4,13 1,02 2142 2205
Ich vermute, dass bei sorgfaltigerem Messen der Zeit die
von uns gezeigte Methode ein Hilfsmittel geben kann, um die
Stelle des Leeks der Rohre zu bestimmen, deren Auffindung bis-
weilen das Aufgraben der Rohre auf eine grosse Strecke notig
macht.
•§ 20. Schluss. Fassen wir die Resultate der obenbeschriebenen
Versuche zusammen.
1. Der hydraulische Stoss verbreitet sich langs der Wasser-
leitungsrohre mit konstanter Geschwindigkeit, deren Grosse,
soweit bemerkt, nicht von der Kraft des Stosses abhangt. Diese
Geschwindigkeit hangt von dem Material der Rohre und dem Ver-
haltnis der Dicke ihrer Wande zum Durchmesser der Rohre ab.
Dabei gewohnlichen Gusseisenwasserleitungsrohren das er-
wahnte Verhaltnis sich mit der Vergrosserung der Dimensionen
der Rohre ein wenig vermindert, so ist die Geschwindigkeit der
Fortpflanzung der Stosswelle fiir Rohren von grossen Durch-
messern etwas geringer, als fiir Rohren von mittleren Durch-
messern. Fiir Rohren mittlerer Durchmesser (von 2 bis 6 Zoll)
betragt diese Geschwindigkeit ungefahr 4200 Fuss, fiir Rohren
grosser Durchmesser (24 Zool) ungefahr 3290. Die Geschwin-
§ 20 OBER DEN HYDRAULISCHEN STOSS 249
digkeit der Stosswelle bleibt ein und dieselbe, mag der Stoss
nun erfolgen durch Anhalten des Stromens des Wassers in der
Rohre oder durch sehr schnelles Aufheben des Druckes am An-
fange der Rohre.
2. Der hydraulische Stoss pflanzt sich in der Rohre mit
gleichformiger Kraft fort. Seine Grosse ist proportional der
beim Stosse verlorenen Geschwindigkeit des Stromens des Was-
sers und der Geschwindigkeit der Fortpflanzung der Strosswelle
in der Rohre. Fiir gewohnliche Gusseisenwasserleitungsrohren
mittleren Durchmessers (von 2 bis 6 Zoll) haben wir auf jeden
Fuss verlorener Geschwindigkeit eine Kraft des Stosses von
ungefahr 4 at, fiir eine Rohre von 24" ungefar 3 at.
3. Die Erscheinung des periodischen Schwingens des Stoss-
andranges in der Wasserleitungsrohre erklart sich vollstandig
durch die Reflektierungen der Stosswelle von dem Ende und
Anfange der Rohre (von dem Schieber und der Magistrale).
4. Das Transitstromen des Wassers hat keinen merklichen
Einfluss auf den Stoss und letzterer wird nur nach den verlore-
nen Geschwindigkeiten bestimmt. In dem Faile, wenn die Stoss-
welle durch die Rohre hindurch geht, aus welcher das Wasser
hinausfliesst, wird die Stosswelle vom Anfange des Wasser-
strahles ebenso reflektiert, wie sie von dem Wasserbehalter bei
bestandigem Drucke reflektiert wird.
5. Ein gefahrliches Anwachsen des Stossdruckes entsteht beim
Ubergange der Stosswelle aus Rohren grossen Durchmessers
in Rohren kleineren Durchmessers. Dabei wird die Kraft des
Stossdruckes, wenn er das geschlossene Ende der Rohre erreicht
hat, verdoppelt. Eine solche Verdoppelung kann sich einige
Mai wiederholen, so dass der Druck unter ungiinstigen Bedin-
gungen zu grossen Dimensionen anwachsen kann.
6. Als einfachstes Mittel zum Schutze der Wasserleitung vor
hydraulischen Stossen erscheinen Vorrichtungen zu langsamem
Verschlusse der Hahne und Schieber.
Dabei muss die Dauer des Verschlusses proportional sein
den Langen der Rohren. Windkessel von entsprechenden Di-
mensionen, aufgestellt bei den Hahnen und Schiebern, vernichten
fast vollstandig den hydraulischen Stoss und lassen die Stosswelle
nicht durch sich hindurch, wenn sie auf der Linie der Rohre
250
Ober den hydraulischen stoss
§ 20
aufgestellt sind, aber das Konservieren der Luft in den Wind-
kesseln ist sehr schwierig. Was die Sicherheitsventile betrifft,
welche auf der Linie der Rohren aufgestellt sind, so lassen sie
durch sich hindruch nur einen Stoss von der Kraft, welche der
Elastizitat ihrer Feder entspricht. '
7. Nach dem Stossdiagramm, welches der betrachteten Rohre
entspricht, lasst sich die Stelle der Ansammlung von Luft-
massen in der Rohre und die Grosse dieser Massen bestimmen.
Das Stossdiagramm kann dienen zur Bestimmung der Stelle des
Leeks in der Rohre und kann iiberhaupt Nachricht uber den Zu-
stand der Rohre geben.
Эта работа была напечатана в „Записках Императорской академии
наук", VIII серия по физико-математическому отделению, т. IX, № 5,
1900. Прим. ред.
О ТРЕНИИ ЖИДКОСТИ ПРИ большой разности
СКОРОСТЕЙ ЕЕ СТРУЙ
(1902 1)
§ 1. Теоретические и опытные исследования над трением
жидкости привели к заключению, что существуют два типа ее
движения, при которых потеря напора от трения проявляется
различным образом.
В движении жидкости первого типа сохраняется перма-
нентность, и изменение скорости внутри жидкости при пере-
ходе от одной точки к другой непрерывное; при втором типе
движения струйки жидкости колеблются около некоторых
средних положений, и внутри жидкости происходят резкие
изменения скорости с образованием водоворотов. Потеря
напора от .трения при первом типе движения жидкости про-
порциональна первой степени средней скорости, а при вто-
ром она пропорциональна квадрату средней скорости. Дви-
жение жидкости первого рода удовлетворяет уравнениям
гидродинамики вязкой жидкости в форме Навье; при иссле-
довании же движения второго рода можно пользоваться фор-
мулами Бусинеска *, предложившего рассматривать во всякой
точке потока среднюю скорость за большой промежуток
времени и считать коэфициенты трения в формулах Навье
зависящими от средней скорости на периметре живого сечения
и от места точки.
Для того чтобы жидкость имела движение первого рода,
необходимо соблюдение известных условий- Для течения по
трубкам по закону Пуазеля требуются малый диаметр трубок,
небольшая скорость и отсутствие резких выступов на стенках
1 Во
u s s f n е s q, Essal sur la theorie des eaux courantes.
252
О ТРЕНИИ ЖИДКОСТИ
8 2
трубок. Существуют интересные опыты Осборна *, в кото-
рых показывается, как перманентный поток жидкости пере-
ходит в колебательный. Осборн пускал воду вдоль стеклян-
ной трубки из-под напора и располагал аппарат так, чтобы
по оси трубки бежала
Фиг. 1.
еще из-под того же напора струйка
окрашенной воды. Пока скорость
потока не достигала известного
предела, окрашенная струйка была
резко очертана и направлялась по
оси трубки; но когда скорость тече-
ния переходила этот предел, вся
жидкость в трубке смешивалась и
делалась окрашенной.
Интересные опытные исследова-
ния над двумя указанными типами
движения жидкости можно прочитать
в сочинении Couette 2.
Мое сообщение будет заклю-
чаться в изложении опытов, которые
я делал над трубками разнообраз-
ных диаметров, заставляя в них
двигаться воду, увлекаемую шнуром,
движущимся с большими скоростями
вдоль оси трубки, причем шнур в
виде бесконечного шнура натяги-
вался между двумя блоками.
Теоретическое исследование наблюденных мною явлений
излагается в сочинении, которое будет напечатано в „Бюлле-
тенях политехнического общества", а здесь я изложу только
результаты моих опытов, сделанных в 1900 г. в Московском
университете, и вытекающие из них практические приложения.
§ 2. На фиг. 1 представлено расположение опытов. Бес-
конечная нить перекидывалась через блоки А и В и приво-
дилась в быстрое движение посредством ремня QQ, надетого
на электромотор. Я употреблял сначала электромотор
1 Osborne Reynolds, Proceedings of the Royal Society of Lon-
don, t. XXXV.
- Couette, Etudes sur le fiottement des liquides, Theses, Paris 1890.
§ 2
О ТРЕНИИ жидкости
253
с постоянным током, а потом — с переменным, причем во
втором случае для получения различных скоростей пользо-
вался ступенчатыми шкивами. Восходящая .часть нити про-
ходила вдоль оси стеклянной трубки, имеющей сверху рас-
ширение в виде стаканчика Е с загнутыми краями. В этот
стаканчик помещалась стеклянная пробка G, пустая внутри,
сквозь узкие дырки которой проходила нить. На нижний
и верхний выступы пробки надевались гуттаперчевые соски
Н и Н, тоже с маленькими дырками, пропускающими нить;
края этих сосков привязывались проволокой к закраинам
стаканчика Е. Такое расположение, внося незначительное
трение, давало прочный затвор, не выпускающий воду из
трубки, несмотря на весьма большое давление, которое раз-
вивалось в стаканчике Е*.
При начале трубки, в точке С, и при конце ее, в точке D,
имелось два насадка для резиновых трубок х и у, идущих
к манометру, показывающему разность Р давлений в точках
С и D. Расстояние I — CD изменялось в различных опытах
от 10 до 100 см, причем при той же скорости обнаружена
пропорциональность напора Р расстоянию I. В некоторых
трубках я делал три насадка, причем насадок F помещался
на середине расстояния между С и D. При этом оказывалось,
что разности давлений между F и С и между D и F одинаковы.
Произведенные мною опыты были двух родов.
В первой категории опытов вода из трубки не выпуска-
лась. Она поднималась вверх вместе с нитью и била фон-
таном в стаканчике Е, из которого она опускалась вниз по
стенкам трубки. Такую циркуляцию воды можно было иногда
заметить по движению воздушных пузырьков, которые по
краю трубки быстро опускались вниз. При этих опытах
наблюдалось возрастание Р напора на длину I трубки в зави-
симости от скорости нити v, диаметра нити d и диаметра
трубки D.
Во второй категории опытов вода бралась из стеклянной
трубки обыкновенно с помощью резиновой трубки у, которая
подавала воду под постоянный напор. При этих опытах
Эта деталь Ьыла изобретена моим даровнтым помощником при опы-
тах студентом Московского университета Труткиным.
251
О ТРЕНИИ ЖИДКОСТИ
§ 3
наблюдалось количество подаваемой воды в зависимости oY
скорости v нити и от других элементов. По количеству воды
я обыкновенно определял среднюю скорость v и составлял
V
отношение — = т(, которое можно назвать коэфициентпом
V
наполнения аппарата.
§ 3. Приращение напора при переходе от точки С к точке
D определялось мною в сантиметрах водяного столба с по-
мощью наблюдения разности уровней воды в других поста-
вленных рядом вертикальных стеклянных трубках, соеди-
ненных с резиновыми трубками х и у. При этом трубка,
соединенная с у, шла по стене лестницы механического каби-
нета через два этажа. При очень больших скоростях нити
получалась величина Р настолько значительная, что прихо-
дилось пользоваться ртутным манометром.
Скорость нити V иногда определялась по числу оборотов
шкива А, но по большей части она находилась, прямо под-
считывая число пробегов всей бесконечной нити, которая
имела 12 jw; для этого на нити делалось пятно и определя-
лось число прохождений пятна через определенную точку
в данное время.
Мое главное внимание было обращено на определение
. зависимости между Р и v- Оказалось, что начиная со ско-
ростей, при которых вода поднимается в трубках (в узких
трубках около 3 -м), Р изменяется приблизительно пропор-
ционально о2. Движение жидкости надо таким образом
отнести здесь ко второму типу, несмотря на то, что речь
идет о трубках малого диаметра.
Приводим здесь таблицу опытов со стеклянной трубкой
диаметра 3,5 мм [см. стр. 255].
Из этой таблицы видно, что закон пропорциональности
Р
напора скорости, который вытребовал постоянства совер-
шенно не удовлетворяется, так как эта величина быстро
увеличивается вместе со скоростью и; закон же пропор-
циональности напора квадрату скорости нити удовлетворяется
довольно близко вследствие малой изменяемости ~ .
8 з
О ТРЕНИИ жидкости
255
Опыты 27 июля 1900 г.
Z = 750 мм, D = 3,5 мм, d = 0,3 мм
№ опыта U В М р в см р V р V2
1 3,57 59 16,53 4,65
2 4,42 90 20,36 4,61
3 5,69 154 27,06 4,74
4 7,87 291 36,97 4,70
5 8,45 340 40,24 4,76
6 10,45 533 51,00 4,88
7 10,84 555 51,20 4,72
8 11,73 665 56,69 4,83
Ниже приводится вторая таблица подобных же опытов,
в которых жидкость увлекалась тремя соединенными вместе
нитями толщины <7 = 0,3 мм (обыкновенная швейная бумага
„Медведь" № 20), для того чтобы указать, какие громадные
напоры уожно получать с помощью описываемого способа.
Опыты 15, 17 и 24 марта 1900 г.
I = 1000 мм, D = 2,8 мм, три нитки d - 0,3 мм
К» опыта V в м р в см 1 — 1 V 1 р
1 3,97 250 62,97 15,86
2 4,40 300 68,18 15,49
3 4,69 375 79,26 16,90
4 5,32 450 84,59 15,90
5 5,49 500 91,07 16,59
6 5,87 600 102,21 17,41
7 6,37 690 108,32 16,98
8 7,38 880 119,24 16,15
9 7,58 1000 131,93 17,40
10 8,57 1200 140,01 16,34
11 9,29 1450 156,08 16,80
12 9,49 1600 168,60 17,78
13 10,76 2000 185,87 17,27
256
О ТРЕНИИ ЖИДКОСТИ
§ 3
В этой таблице постоянство слабее, чем в предыдущей,
что, вероятно, произошло оттого, что опыт делался с теми же
нитями в течение трех дней. Мы видим, что давление Р
доходило почти до 2 ат, несмотря на то, что фактором,
производящим это давление, являлись три тоненькие швейные
нитки. Этот парадоксальный на первый взгляд результат при
разборе теории явления получает полное объяснение и находится
в согласии с величинами коэфициентов трения воды, введен-
ных Бусинеском. Указанный мною способ получения больших
давлений, может быть, найдет практическое применение для
устройства гидравлических прессов без поршней и клапанов.
Желая определить влияния толщины нити на величину Р>
я делал опыты с одной и той же трубкой: / = 250 мм,
0 = 4,3 мм, в которой образовывался напор с помощью и
нитей в 0,3 л/л/, причем делалось три серии опытов, при
Опыты 31 января 1900 г. 1 — 250 мм, D - - 4,3 мм, d = 0,3 мл п = 1, п = 2, п = 4 и из каж- дой определялась средняя Р величина vi Результаты этих опытов выразились в следующей таблице.
Число нитей 1 " Средняя величина Р •V1 р
I- .
1 0,73 0,73 Таблица показывает, что
2 1,42 0,71 Р
3 3,56 0,73 —х мало изменяется и, сле- пи2 довательно, сила напора при- близительно пропорциональ-
на числу ниток. То обстоятельство, что с уменьшением тол-
щины ведущего шнура до очень малых размеров Р не стремится
к определенному пределу, дает важное заключение для
теории явления, так как вследствие этого нельзя принять,
что жидкость, прилегающая к шнуру, движется со скоростью
шнура.
Что касается влияния диаметра, то сделанные нами опыты
при одной и той же нити относятся к трубкам с диаметрами,
мало изменяющимися, и потому довольно трудно установить
из них влияние диаметра.
§ 4
О ТРЕНИИ ЖИДКОСТИ
257
Теоретически это влияние выражается сложно. Приводим
здесь среднюю величину серий наблюдений над трубкой
2=250 мм при четырех ни-
Опыты 8 и 13 декабря 1899 г.
ТЯХ 0’ ’ I = 250 .4.4, четыре нитки d = 0,3 мм
Здесь оправдывается при---------------------------------
близительно обратная про- Диаметр D Р PD
порциональность величины Р В мм V2
диаметру D- § 4. Переходим ко вто- 3,5 4,54 15,9
рой категории опытов, жащих для определения слу- коэ- 3,9 4,3 4,21 3,56 16,4 15,3
фициента наполнения.
При употреблении аппарата (фиг. 1) вода подавалась рези-
новой трубкой у в литровку, причем изливающий конец
трубки у ставился на высоте насадка D, а длина I измеря-
лась от нижнего конца стеклянной трубки до D. Привожу
таблицу опытов.
Опыты 30 апреля 1900 г.
I = 1000 ЛС4, D = 4 .4.4, d = 1 ММ
№ опыта V в м V в м V v 1
1 2,63 0,68 0,26
2 2,95 0,81 0,27
3 3,10 0,88 0,28
4 3,60 1,21 0,34
5 4,32 1,63 0,38
6 5,63 2,41 0,43
7 6,82 2,94 0,43
8 7,55 3,63 0,48
Из таблицы видно, что с возрастанием скорости v коэфи-
циент tq увеличивается, приближаясь к 1/2. Такой же результат
был найден мною и из многих других опытов. Приведу еще
таблицу опытов, в которых направляющей трубкой служила
вертикально натянутая резиновая трубка в 6 м длины.
Зак. 2386 —И. Е. Жуковский, т. VII. I7
258
О ТРЕНИИ ЖИДКОСТИ
§ 4
Опыты 18 мая 1900 г. 1 = 6000 мм, D — 4 мм, d = 1,1 мм
№ опыта V в м V в м II
1 3,26 1,33 0,41
2 4,02 1,66 0,41
3 5,52 2,65 0,48
4 8,38 4,24 0,51
5 8,71 4,71 0,54
Вообще при гладких нитях и отношении мы по-
лучали при наибольших доступных нам скоростях нити
коэфициент наполнения около 1/2- Этот коэфициент увели-
чивается при употреблении шнуров с выступами или цепей-
Для его увеличения выгодно пускать в одной и той же трубе
несколько цепей рядом, на некотором расстоянии друг от
друга. Я пробовал делать практическое приложение иссле-
дуемого явления к подъему воды.
Бочка воды помещалась в иижнем этаже на лестнице
математического факультета, и вода поднималась из нее на
третий этаж, на высоту 13 м. Были сделаны два аппарата
с гуттаперчевыми направляющими трубами: D —12,7 мм и
D — 3\.,1 мм, причем бесконечной нитью в первом аппарате
служила цепочка в 5 мм в среднем поперечнике, надеваемая
на гладкие блоки с резиновой набивкой, а во втором —
цепочка с плоскими прямоугольными звеньями 15 X 20, на-
деваемая на зубчатые шкивы.
Направляющий резиновый рукав своим верхним концом
прикреплялся к особому центробежному приемнику (фиг. 2)>
а своим нижним концом — к свободно висящей раме, на кото-
рой находился нижний шкив цепочки. Опыты показали, чт о
устройство свободно висящего нижнего шкива не вызывает кру -
чения устроенной системы, которая при ходе цепочки держится
вполне устойчиво. При скорости v=8m производительность
малого аппарата была 0,3 л/сек., а большого — 2,6 л/сек-
§ 4
О ТРЕНИИ ЖИДКОСТИ
259
Фиг. 2.
(761 ведро в час). Коэфициент полезного действия мне не уда-
лось еще определить прямым опытом, но простое теоретическое
соображение показывает, что он должен быть менее tj, а так
как т) был около ’/а» то построенные аппараты имели низкий
коэфициент полезного действия. Но зато они отличаются
простотой и транспортивностью. Я
думаю, что для временных откачек,
где нужна быстрая установка, они
могут быть полезны. Точно так же
надо ожидать их применимости для
добывания нефти из скважин, где
вследствие обилия топлива главное
значение не в механической эконо-
мичности, а в дешевизне и компакт-
ности приемника. Прибавлю в окон"
чание моей заметки, что инженер
А. А. Саткевич, который слушал мой
доклад на Киевском водопроводном
съезде, любезно сообщил мне, что
еще в 1782 г. французский механик
Vera 1 с успехом пользовался верти-
кальным бесконечным шнуром для
подъема воды на значительные вы-
соты. При этом он не употреблял на-
правляющего рукава. Подобные же
исследования в г. Москве были сделаны относительно подъема
нефти инженером В. Г. Шуховым, результаты которых, к сожале-
нию, не опубликованы. Теоретически рассуждая, можно сказать,
что способ открытого шнура, увлекающего за собой жидкость,
дает более высокий коэфициент полезного действия (я пока-
зываю в своей теоретической статье, что коэфициент этот может
быть доведен до 0,8). Но здесь, как показал Parcieux из рас-
смотрения водоподъемников, осуществленвых по типу Vera,
коэфициент полезного действия уменьшается с увеличением
высоты подъема, вследствие потери воды со шнура; между тем
как действие водоподъемника с направляющим рукавом одина-
1 Parcieux, Dissertation sur le moyen d’elever 1’eau par la rotation
d une corde vertlcale sans fin. Paris 1782.
17*
260
О ТРЕНИИ ЖИДКОСТИ
ково при всякой высоте подъема. Теперь я предпринимаю
опыты, в которых потеря воды устраняется без помощи напра-
вляющего рукава; о них сообщу в моей теоретической статье
в „Бюллетенях Политехнического общества".
По этому докладу по предложению докладчика принято
следующее постановление в дополнение к докладу инж. Д. Н. Ве-
никова:
„Представляется желательным, чтобы были произведены
исследования не только потерь напора в трубах, но и ис-
следования давлений в различных местах поперечного сече-
ния трубы и скоростей в различных точках этого сечения*1.
Эта работа была доложена автором 24 марта 1901 г. V Водо-
проводному съезду в Киеве и напечатана в „Трудах V Водопроводного
съезда", 1902 и в „Бюллетенях Политехнического общества", 1901.
Прим. ред.
ON FRICTION IN A LIQUID WHEN THERE IS A GREAT NON-
UNIFORMITY OF VELOCITY DISTRIBUTION
In this paper Prof. Joukovsky gives a description of his
tests, in which a string was made to move at great speed along
the axis of a tube filled with water. The apparatus used is
shown on Fig. 1. An endless thread was passed round pulleys A
and' В and was driven at high speed by means of a belt QQ.
The ascending portion of the thread was passed along the axis
of a tube provided on top with a bell mouth E. The bell-
mouth was kclosed with a hollow glass stopper through which
passed the thread. The top and the bottom of the stopper
were covered by rubber caps, each provided with a small
hole for the thread. This arrangement introduced negligible
friction, while providing a very strong seal preventing the
leakage of water, notwithstanding the high pressure in the bell-
mouth E. The tubes C and D were connected with a mano-
meter.
The investigation comprised two series of tests.
In tests of the first series water was passed through the tube
from below, together with the thread and formed a jet in the
bellmouth E, which remained open during the test. The head
was found to increase rdirectly as the length of the tube I as
the square of velocity v'2, as the diameter of the thread d and
inversely as the diameter of the tube D (Tables, 1, 2, 3 and 4).
In tests of the second series the bellmouth E was closed
by the stopper as described above, and water was 'let off
through the pipe Dy. The tests comprised the measurement
of discharge as affected by the speed of travel of the thread
and other factors, and of the mean velocity v of water, and the
determination of the ratio r( = — .
v
262
SUMMARY
As it will be seen on reference to Tables 5 and 6, when v is
increased the ratio vj increases also, its value tending to ’/2-
At the end of the paper is given a description of an
apparatus (Fig. 2), by means of which water was raised by
a moving string to 13 m height. Prof. Joukovsky estimates
the efficiency of this apparatus to be less than i. e. less
than Vs- ”
К ВОПРОСУ О ВЕЛИЧИНЕ ДИАМЕТРА ВОДОНАПОР-
НОЙ КОЛОННЫ, СОЕДИНЕННОЙ ДЛИННОЙ ТРУБОЙ
С ОТКРЫТЫМ РЕЗЕРВУАРОМ
(1902 г.)
Если водонапорная колонна соединена трубой большой
длины с открытым резервуаром, то, при незначительности
диаметра колонны, может получиться колебательное движение
воды с весьма большой амплитудой, которое будет выпле-
скивать жидкость из колонны. Ввиду этого является весьма
важным вопрос об определении надлежащего диаметра ко-
лонны по длине водопроводной трубы, считая ее от колонны
до открытого резервуара, и по диаметру этой трубы. Пусть
I — длина трубы С, ° — площадь ее сечения, Л — высота воды
в колонне над уровнем в резервуаре В, необходимая для
движения воды по трубе с желаемой скоростью v0, <•> — пло-
щадь сечения колонны А и х—высота переменного уровня
колонны во время колебания воды, отсчитываемая от уровня
в резервуаре.
Пусть приток воды из машины прекращается (на фиг. 1
вто соответствует закрытию крана /), и вода, продолжая дви-
гаться по трубе, захватывает за собой жидкость из колонны.
Пишем уравнение живых сил в диференциальной форме,
считая dx отрицательным (понижение):
w2\ v2 , I <u \ . v2 ,
ГГ 2J;: "’‘ aZ1
ЭТО дает нам:
I \______dx v2 /. w02 \ xl 2Ag h to
\t»02/ h ®02\ ‘ I °
(1)
264 О ВЕЛИЧИНЕ ДИАМЕТРА ВОДОНАПОРНОЙ КОЛОННЫ
Если для сокращения письма введем положения:
/и\2_„ х _► 2 h g h ,
| —I — ч r—„a • 7 0 ~k
(2) •
«о2
и заметим, что при большой длине трубы h выходит велико,
v 2
а дробь 2^: мала, то уравнение (1) напишется в такой окон-
чательной форме:
(3)
Чтобы интегрировать это уравнение, умножаем его на
__и
е й представляем его в виде:
Получаем:
Се_** 5 = Ее_*5-|--^Д + С'.
к
(4)
Так как в начальный момент мы имели:
С = 1 (v - vQ), Е -1 (x — h),
то для постоянного С находим величину:
—к
е
(5)
О ВЕЛИЧИНЕ ДИАМЕТРА ВОДОНАПОРНОЙ КОЛОННЫ 265
Подставляем ее и умножаем уравнение (4) на е+*£; на-
ходим:
<; = ( + ! [1(6)
формула (6) показывает, что при 5 = 0 величина С еще
остается положительной. После этого момента величина 5
делается отрицательной (уровень воды в колонне становится
ниже уровня в резервуаре). Называя через h' = k'h абсо-
лютную величину наибольшего понижения уровня воды в ко-
лонне сравнительно с уровнем резервуара, найдем для опре-
деления 5' уравнение:
— 1 * а+Е’) =0, (7)
к l е
Так как левая часть этого уравнения при 5' = 0 положи-
тельная, а при
Е'Ч (8)
отрицательная, то, очевидно, искомый
корень менее -г.
При
к большем единицы, уравнение (8) будет давать довольно
близкую величину искомого корня.
Числовой пример
(Диаметр колонны D = 1 саж.)
Случай 1. Вода идет по трем водоводам.
1. Средняя скорость г>0 = 3,35 фт. в 1 сек.
2. Разность уровней колонны и резервуара h = 9,31 саж.
h = 48,31 — 39,00 = 9,31 X 7 = 65,17 фт.
3. Ускорение силы тяжести £ = 32 фт. в 1 сек.
4. Длина трубы до колонны I = 5019 саж.
5. Отношение высоты к длине=0,0018.
1-й вариант- Колонна на одну 36" трубу.
Отношение площадей колонны и трубы
co 7® 49
T = = f (36" = 3фт.)
•266 О ВЕЛИЧИНЕ ДИАМЕТРА ВОДОНАПОРНОЙ КОЛОННЫ
Вычисляем величину члена
и его обратную ве-
личину:
2hg 2 X 65,17 X 32 _ 4170,88
~ (3,35)2
Ц?1
1^2- = 371,ОО;
2hg 371,00 °’0027-
\ «о2 /
Находим значение постоянного количества к:
, 2hg h w 371,00X0,0018X49
^0 I ° 9
Для амплитуды колебания получаем:
г'=|=з^=°да-о^
Следовательно, полное понижение уровня воды в колонне
h' = Г • h = 9,31 X 0,28 = 2,61 саж.
2-й вариант. Колонна для двух 36" труб.
Отношение площадей колонны и трубы
<0 72 _ 49
° 2Х32 18 ‘
Произведя те же самые вычисления, что выше, будем
иметь:
2*1 = 371,00; , = gw X 0.0018 X 49 = 18179.
и0" 18
J = 0,5500 0,55;
h' = Г • h = 9,31 X 0,55 = 5,12.
Случай II. Вода идет по четырем водоводам:
1. Средняя скорость г/0 = 2,5 фт. в 1 сек.
2. Разность уровней колонны и резервуара h = 5,44 саж.
h = 44,44 — 39,00 = 5,44 X 7 = 38,08 фт.
h 5 44
3. Отношение высоты к длине у = — = 0,00108.
О ВЕЛИЧИНЕ ДИАМЕТРА ВОДОНАПОРНОЙ КОЛОННЫ 267
Остальные данные остаются без изменения.
1-й вариант. Колонна на одну 36" трубу.
о ы 49
Отношение площадей — = —.
о 9
Вычисляя, находим:
2А g _ 2X38,08 X 32 2437,12 qRQ
©о» (2,5)2 6,25 У,Уд’
<77 2 1
Щ = 389да=ВД°26;
А . = 389,93 X 0 00108 X 49
v02 I а 9
Е' = Ь2^78 = 0-4361та0’44;
h' = г • h = 0,44 х 5,44 = 2,39 саж.
2-й вариант. Колонна для двух 36" труб.
Отношение площадей — = тб;
о 1о
2hg _ ООО OQ. L _ 2hs h <0 _ 389,93X0,00108 X 49 _
«О2 г'о2 I а 18
5 -|=ТП639-=0’8722=!0-88-
h' = t' -h = 5,44 X 0,88 = 4,78 саж.
Сводя в таблицу найденные выше данные, имеем:
При трех водоводах . . . 1 На 1 трубу „ 2 трубы Л'.== 2,61 Н = 5,22
При четырех водоводах | На 1 трубу , 2 трубы Н = 2,39 h' = 4,78
Эта работа была впервые напечатана в „Бюллетенях Политехнического
общества", № 2 1902.
о
° ““стоящем издании размеры на метрическую систему не переводились
и даны согласно оригиналу. Прим. ред.
ON THE QUESTION OF DETERMINING THE DIAMETER
OF A STANDPIPE CONNECTED BY A LONG PIPE TO AN OPEN
RESERVOIR
In this paper Prof. Joukovsky determines the amplitude of
change of level in a standpipe (Fig. 1) when the delivery of
water to ithe standpipe is stopped (in the schematic] drawing
this corresponds to the closing of the tap). Denoting by I the
length ;pf the pipe, “ — the area of cross-section of the pipe,
h — the depth of water in the standpipe required to ensure the
desired velocity v0 of water in the pipe, ° — the area of cross-
section of the standpipe A, x — the variable height of water level,
Prof. Joukovsky writes the equation of energy (1); hence intro-
ducing the notations (2) and neglecting the term
the case of a long pipe is small, equation (3) is
, which in
obtained. On
integration it is found that the absolute value of the maximum
depressicn of the water level in the standpipe as compared with
the water level in the reservoir is h' = t'h, where H' is the
root of equation (7). When k > 1 the approximate value of the
„ . ,, 1
root c is c = -j-.
At the end of the paper is given a numerical example.
г
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ, ОТНОСЯЩЕЙСЯ К ПОДПРУДНОЙ
КРИВОЙ
(1906 г.)
Мы даем здесь решение одной задачи, находящейся в связи
с устройством водомера инж. Г. Г. Либау. Эта задача заклю-
чается в нижеследующем. Жидкость течет по открытому каналу
с постоянным профилем перпендикулярного сечения, который
симметричен относительно вертикальной плоскости, проходя-
щей через ось канала, причем эта ось наклонена к горизонту
под углом I- Через верхнее сечение канала А проходит ко-
личество жидкости Q, а в сечении В, отстоящем от А вниз
по течению на расстояние L, поддерживается посредством
поплавка постоянная глубина h. Действие поплавка состоит
в том, что он регулирует быстроту впуска воды в сечении С,
отстоящем от В на расстояние I вниз по течению. Определить
высоту воды h' в сечении С-
Принимаем вертикальную плоскость, проходящую через
ось канала, за плоскость хОу; начало координат О располагаем
в нижней точке сечения С, ось Оу направляем по вертикали
вверх, а ось Ох по горизонтали навстречу водному потоку.
Энергия массы т воды, заключенной между двумя весьма
близкими плоскостями, перпендикулярными оси Ох, будет:
где у— ордината подпрудной кривой, a v — средняя скорость
жидкости в рассматриваемом слое.
Если при небольшом L-[~l будем пренебрегать трением
воды, то уравнение подпрудной кривой представится в виде:
Н—2 = const-
270 О ЗАДАЧЕ, ОТНОСЯЩЕЙСЯ К ПОДПРУДНОЙ КРИВОЙ
Преобразуем это уравнение с помощью соотношений:
Hv = Q, £ = у—xsinz,
в которых С представляет глубину канала.
Получаем:
Q2 Q2
gxsini = g(h-]rlsini)-]-^2— . (1)
Для определения h' надо в уравнении (1) положить х — 0,
С = Л/. При малом расстоянии I корень h' кубического урав-
нения, соответствующий решению нашей задачи, будет дан
формулой:
Л-А' = J^L. (2)
Так как вторая часть мала, то можно принять, что высо-
та h' воды между лрпатками водомерного колеса .равна по-
стоянной величине Л.
Но подобное заключение перестает иметь место, когда
знаменатель в формуле (2) приближается к нулю, т. е. когда
в сечении В скорость воды имеет величину, близкую той,
которая определяется из формулы:
v = Vlh. (3)
Тогда разность h — h' перестает быть малой, и высота h'
может быть значительно больше или меньше А, несмотря на
небольшое расстояние I. Это объясняется тем, что вблизи
сечения В подпрудная кривая образует скачок. В этом случае
водомер системы инж. Г. Г. Либау может дать показание,
отличающееся от действительно протекающего количества
жидкости. Заметим, что опасная скорость для аппарата, вы-
ражаемая формулой (3), соответствует скорости распростра-
нения волны при глубине сечения В.
21 февраля 1906 г. автор сделал сообщение в Московском математи-
ческом обществе на тему „Заметка о подпрудной кривой*.
Работа „Об одной задаче, относящейся к подпрудной кривой*, была
напечатана в „Трудах Отделения физических наук О. Л. Е“, т. ХШ, вып. 2,
1906. Прим. ред.
ON A PROBLEM RELATING TO THE BACKWATER CURVE
In this note Prof. Joukovsky gives the solution of a problem
in connection with the construction of a water meter designed
by G. G. Leebau.
In a canal having its bottom inclined at an angle i to the
horizon at a cross-section В a constant depth Л is maintained
by means of a float. The effect of the float is to regulate the
velocity of water entering the cross-section C at a distance I
downstream of B. It is required to find the depth h' at the
cross-section C. Equation (1) of the backwater curve is obtained
from the equation of conservation of energy. In equation (1) Q
is the discharge, C— depth of canal, x—abscissa measured from
the point C along a horizontal axis directed against the stream.
Assuming that I and h — h' are small, from this equation, on
substituting x — 0, there is obtained according to formula (2)
the root C = h' answering the problem. As the numerator of the
right-hand side is small, h' may be taken equal to the constant h,
provided the denominator does not approach zero. When the
velocity of flow is approaching that determined by the formula
v = Vgh, i. e. the velocity of propagation of waves having the
depth of section В the denominator also will be small and h'
can be considerably greater, or less, than h.
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ
ТРУБАХ
(1907 г.)
В этом докладе я имею в виду сделать сжатое изложение
обширных исследований американских инженеров над распре-
делением скоростей воды в водопроводных трубах.
Эти исследования напечатаны в “Transactions of the Ame-
rican Society of Civil Engineers", vol. XLVII, april 1902, и
заключают в себе наблюдения над прямыми трубами с диа-
метром от 2 до 30" и над трубами с закруглениями. Наблю-
дения производились с помощью трубок Пито, тарированию
которых была посвящена предварительная часть работы
американских инженеров.
На фиг. 1 представлены наконечники различных трубок
Пито, употребляемых при рассматриваемых наблюдениях.
Все наконечники имеют одно отверстие, направленное на-
встречу текущей жидкости, и другое, приходящееся под пря-
мым углом к струям. Разность давлений текущей воды на
эти два отверстия измеряется разностью колонн воды в двух
трубках, идущих от этих отверстий и соединенных между
собой воздушной полостью (с разреженным воздухом), как
это представлено на фиг. 2.
Разрежение воздуха производится с помощью воздушного
насоса, соединенного с краном, представленным на левой стороне
фиг. 2, или с помощью спускания вниз ртути, которая наливается,
как это представлено на фиг. 3, в особую воронку, а потом, по за-
крытии крана при воронке, спускается в резиновую трубку. Для
тарирования трубка Пито помещалась на коловратную машину
(фиг. 5), имеющую радиус около б футов, причем наконечник
трубки погружали в кольцевой жолоб в 9" шириной и 8"
вышиной. Трубка Пито с помощью резиновых трубок соеди-
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ 273
нялась с наблюдательным аппаратом, представленным на
фиг. 3, рядом с которым на особую скамейку, вращающуюся
вместе с коловратной машиной, помещался наблюдатель. Вся
коловратная машина (фиг. 5) приводилась во вращение с по-
мощью бесконечного ремня, надеваемого на верхний шкив ее
вертикальной оси. Скорость у наконечника трубки Пито
Фиг. 1.
определялась по числу оборотов коловратной машины и
сравнивалась с теоретической скоростью
х = V 2gh,
где h — разность высот колонн жидкости, связанных с перед-
ним и боковым отверстиями трубки Пито. На фиг. 4 даны для
различных наконечников четыре линии у =; f (х), близко под-
ходящие к прямым. Для уменьшения размеров чертежа ось
х-ов наклонена под углом 45° ниже горизонтальной линии,
а ось 1/-ов — ПОд углом 45° выше ее. Два деления на осях
соответствуют одному футу скорости.
Величины х отсчитываются от точки пересечения упомя-
нутых прямых с осью х-ов. Тангенсы углоз наклонения изо-
Зак. И. Е. Янковский, т. VII
1S
274 О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ
браженных прямых с осью х-ов будут, начиная с верхней
прямой, такие:
0,97; 0,86; 0,86; 0,95-
Тарированные трубки Пито помещались в испытуемой
водопроводной трубе с помощью особых насадков, как это
Фиг. 2
представлено на фиг. 6. При этом наконечник трубки мог
быть помещаем в различных точках диаметра сечения трубы.
Кроме этого, американские инженеры употребляли еще
особый фотографический аппарат, называемый фотопитомет-
ром (фиг- 7). С помощью этого аппарата можно сразу фото-
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ 275
Фиг. 3.
Фиг. 4.
18»
276 О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ
Фиг 7
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ 277
графировать коленчатую трубку, соединенную с двумя ходами
от трубки Пито (колено содержит внизу воздушную массу),
и манометр, показывающий общее давление в трубе.
На фиг. 8 представлены диаграммы скоростей в различ-
ных точках вертикального и горизонтального диаметров (ско-
в 12" диаметром. При этом числа, помещенные по горизон-
тальной линии, представляют скорости в футах.
С помощью таких диаграмм определялась средняя ско-
рость воды в трубе V,H и составлялось ее отношение к цен-
Ии1
тральной скорости Ve. Это отношение -у" , как видно на
графике (фиг. 9), для одной и той же трубы близко к по-
стоянству. На фиг. 9 по оси абсцисс отложена центральная
скорость Vc, а по оси ординат — средняя скорость (обе
в Футах).
Значок х соответствует старой трубе с диаметром в 20 ,
значок о — новой трубе с диаметром в 16", значок Л ста-
рой трубе в 12", значок v — новой трубе в 4", значок L
новой трубе в 6". Отношения '. Vc Для этих пяти труб
выходят соответственно такие:
0,66; 0,82; 0,87; 0,92; 0,97.
278 О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ
Составляя среднюю величину рассматриваемой дроби из
многочисленных наблюдений, американские исследователи при-
ходят к заключению, что для всех случаев практики с точ-
ностью до 3°[0 можно определять среднюю скорость воды
в трубе, умножая центральную скорость на 0,84.
Что касается закона распределения скоростей, то он
на основании описываемых наблюдений всего ближе подхо-
дит к эллиптическому закону. Это хорошо видно на фиг. 10,
на которой по одному н тому же месту нанесены из ряда
различных наблюдений над трубой в 30" графики при цен-
тральных скоростях З1// и 4Л//. Теоретический разбор эллип-
тического закона скоростей дает в рассматриваемом сочине-
нии М. Tutton. Мы приведем здесь с небольшим изменением
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ 279
интересный анализ этого автора. Он разлагает движение жид-
кости в трубе на поступательное, совершающееся со ско-
ростью ®0» соответствующей скорости скольжения о стенки
трубы, и на другое движение, скорость которого v, идя по
радиусу от стенки трубы к центру, возрастает от 0 до неко-
торого значения V. Tutton принимает, что сила вязкости
текущей жидкости пропорциональна производной по радиусу
Фиг. 10.
от квадрата скорости v, и выражает эту силу, отнесенную
к единице площади, формулой:
R" vdv
* 2m dr
где R— радиус трубы, р— плотность жидкости, г, п, т не-
которые постоянные величины, а г — переменная величина,
представляющая расстояние рассматриваемой точки от центра
трубы.
Назовем через 5 напор, потерянный на единицу длины
трубы, и напишем:
r.r2?gS = — 2"грг
R" vdv
2т dr
(1)
или
vdv =
V2 Д
R‘rdr-
(2>
280 О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ
где для сокращения положено:
mgS
sR"-2 ’
(3)
Интегрирование уравнения (2) и определение произволь-
ного постоянного, под условием г = 0, v = V, приводит нас
к соотношению:
R2
1,
(4)
которое показывает, что добавочная к г-0 скорость v выра-
жается ординатой эллипса, большая ось которого есть диа-
метр трубы 2R, а малая ось есть 2V, причем v0-}-V есть
центральная скорость Vr.
Так как объем, получаемый от вращения около оси трубы
рассматриваемого полуэллипса (фиг. 10), выражается формулой:
то средняя скорость воды в трубе будет:
9
или по формуле (3):
К, = г-0 + зJ/4R 2 (5)
Что касается скорости при стенках трубы г-0, то она най-
дется по закону трения о стенки:
r.R2grjS = ~RfovQ2,
где / — коэфициент внешнего трения.
Из написанного уравнения получаем:
«о = [/" j I RS. (6)
Подстановки выражения (6) в формулу (5) приводят нас
к следующей общей формуле для средней скорости:
у
v w
(7)
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ 281
Давая здесь постоянному п различные значения, мы можем
получать эмпирические формулы, предлагаемые различными
авторами.
При п = — 1 получаем формулу Dupuit:
при п = 0 получаем формулу Manning:
Г,„ = (а + б/Л) VRS-,
ПрИ п = 1 получаем формулу Darsy:
которая при надлежащем подборе коэфициента а~\~Ь и была
положена в основание вычислений американских инженеров.
Главную новость в работе американских инженеров пред-
ставляет исследование распределения скоростей при закругле-
ниях труб. Оказалось, что эффект закруглений совершенно
изменяет закон распределения скоростей, причем замечается
резкое приближение наибольшей скорости к выпуклой части
трубы. На фиг. 11 изображена диаграмма скоростей при раз-
личных количествах протекающей воды в трубе диаметром
в 2 при радиусе закругления, равном 9 диаметрам.
282 О РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ В ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБАХ
На фиг. 12 даны линии равных скоростей в сечении этой
трубы. Наибольшая скорость, прилегающая к выпуклому
краю трубы на этой фигуре, равна 6,1 фута, а поверхностная
скорость — 2 футам.
Эти наблюдения показывают, что при определении количе-
ства протекающей жидкости с помощью умножения централь-
Фиг. 12.
ной скорости на 0,84 и на площадь сечения надо избегать
места наблюдения частей трубы, близких к закруглениям.
Эта работа была доложена автором 5 апреля 1905 г. VII Русскому
водопроводному съезду н напечатана в „Трудах VII Русского водопровод-
ного съезда в Москве*, в 1907 г. Прим. ред.
ON VELOCITY DISTRIBUTION IN WATER MAINS
The paper is a summary of a comprehensive investigation
carried out by American engineers, on the distribution of velo-
cities of water in pipes for water supply, an account of which
was given in the Transactions of the American Society of Civil
Engineers, April, 1902.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ПРОДУКТОВ
ГОРЕНИЯ В ЗАВОДСКОЙ ТРУБЕ ПО ФОТОГРАФИИ
ВЫБРАСЫВАЕМОГО ЕЮ ДЫМА
(1914 г.)
Рассматривая клубы дыма, выходящего из труб, мы заме
чаем, что эти последние следуют один за другим тем чаще,
до топки и потом от
тем меньшую длину имеет труба.
Причина клубов дыма заключается
в том, что по закону распростране-
ния волн пониженное давление от
верхней части трубы передается
к топке, а потом от топки перено-
сится повышенное давление к верх-
нему концу трубы, и т. д. Если
на фотографической пластинке за-
несены одновременно труба и вы-
ходящий из нее дым и можно из-
мерить расстояние z по вертикали
между вершинами выпуклостей двух
последовательных клубов дыма у
отверстия трубы (фиг. 1), то ско-
рость v течения газа по трубе най-
дется с помощью нижеследующего
простого рассуждения. Время про-
бега волны от верхней части трубы
топки до верхней части трубы
f , 2V+s)
л
где I — длина трубы, л — скорость распространения волны,
a $— расстояние от топки до трубы, так что в это расстоя-
о СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ДЫМА В ТРУБАХ
285
ние входит длина топки, дымоходов (например, под котлами)
и борова. Длина эта каждый раз должна быть измерена; но
за среднее можно принять s = • В это время газ, выходя-
щий из трубы, образует один клуб дыма и проходит в верти-
Фиг. 2.
Фиг. 3.
кальном направлении пространство z. Результат деления этого
пространства на указанное время дает нам искомую скорость v:
lz
V =--------.
2(Z + *‘)
Так как величины z и I изображаются на одной и той же
фотографической пластинке, то отношение z: / может быть
определено прямо на этой пластинке.
На фиг. 2 и 3 приведены две фотографии дыма, снятые
с одних и тех же заводских труб.
На фиг. 2 отчетливо видно расстояние z между двумя
клубами дыма для левой трубы. Мы имеем z — 0,5 мм при
длине трубы I = 12,5 мм, так что
— = 0,020.
2Z
286
О СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ДЫМА В ТРУБАХ
На фиг. 3 отчетливо видно расстояние между двумя клу-
бами дыма для правой трубы. Мы имеем z = 0,7 мм, при
I = 12 мм, так что
^ = 0,029.
Принимая Х = 420 м/сек и s=^, найдем скорость тече-
ния газов в левой трубе:
v — 5,6 м/сек
и в правой трубе:
г/ —8,1 м/сек.
Эта работа была впервые напечатана в „Трудах Отделения физиче-
ских наук О. Л. Е.“, т. XVIII, вып. 2, 1914. Прим. ред.
DETERMINATION OF THE MOTION VELOCITY OF THE PRODUCTS
OF COMBUSTION IN A FACTORY CHIMNEY FROM PHOTOGRAPHS
OF THE ISSUING SMOKE
The formation of the curling clouds of smoke issuing from a
chimney Prof. Joukovsky explains by the assumption that the
reduced pressure in the upper portion of the chimney is propa-
dated according to the law of propagation of waves to the fur-
nace and, subsequently, the rise in pressure in the furnace is
communicated to the upper portion of the chimney. This expla-
Xz
Т(7+?Г
nation enables Prof. Joukovsky to deduce the formula v =
expressing the motion velocity of smoke in the chimney in terms
of the length of the chimney I, of the distance of the furnace from
the chimney s, of the velocity of propagation of wave X and of the
vertical distance z between the vortices of the convex portions
of two successive curling clouds of smoke at the mouth of the
chimney. The value of z can be determined from a photograph
of the smoke issuing from the chimney (Figs. 1, 2, 3).
О ПОВРЕЖДЕНИИ ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБ, СЛУЧИВ-
ШЕМСЯ 25 ЯНВАРЯ 1914 г.
(1914 г.)
Записка I
По поручению комиссии я просмотрел статью Е. Фишер,
помещенную в „Journal fiir Gasbeleuchtung und Wasserversor-
gung“ за 1907 г. (S. 928), в которой автор объясняет образо-
вание продольных трещин в трубках вестфальского водопро-
вода расширением труб
Фиг. 1.
от изменения темпера-
туры; он принимает
коэфициент линейного
расширения для чугун-
ной трубы
а = 0,00001
и замечает, что 1000 м трубы при изменении температуры
на 20° С изменяют длину на 0,2 м. Предполагая, что концы
трубы в 1000 м неподвижны, он получает (фиг. 1) стрелу
прогиба по формуле:
h = 1/(500,1)- — (500)- = 10 м.
Эта значительная стрела прогиба, заставляющая трубу от-
клониться в сторойу, вызывает в ней ломающие моменты,
которые могут расколоть раструб; раскол же раструба вызовет
вследствие внутреннего давления воды продольную трещину.
Хотя около 25 января и произошла резкая смена холода
на тепло, и температура повысилась более, чем на 10°, но
причину катастрофы едва ли можно отнести к расширению
самих водопроводных труб, так как благодаря движению
ЗАПИСКА ПЕРВАЯ
289
в них воды и их расположению ниже промерзающего слоя
их температура сохраняется за зиму около 6 и претерпевает
изменение только за большие промежутки времени, например
летом и зимой.
По моему мнению, причину, вызвавшую разрыв труб, го-
раздо вероятнее усматривать в действии водостоков на во-
допроводные трубы. Оба разрыва, как 36" трубы у Красно-
холмского моста, так и 30" трубы на Калужской площади
произошли в тех местах, где трубы проходили над водосто-
ками, пересекая его направление на расстоянии 0,04 сажени
от верхней стенки водостока. Внутри водостоков температура
- di -
Фиг. 2.
подвергается значительному изменению вследствие циркули-
рующего в них воздуха. Это изменение должно быть осо-
бенно сильным в водостоке около Краснохолмского моста,
который выходит открытым концом на Москва-реку вблизи
места разрыва трубы в 36" и принимает в себя воды, спу-
скаемые из бань.
В прилагаемой в конце таблице наблюдений [стр- 294[
температур воды в этом водостоке за 22 и 23 февраля пока-
зано колебание в 1,5°, несмотря на то, что в эти дни была
малоизменяющаяся теплая погода. Чтобы приблизительно оце-
нить, какие напряжения в материале водопроводной трубы
могут вызвать температурные изменения в водостоке, я при-
меню к рассматриваемой задаче соображения, положенные
в основание прекрасной работы Бусинеска (Boussinesq, Essai
th6orique sur 1’equilibre des massifs pulverulents, Paris 1876).
Предположим, что грунт, прилегающий к водостоку, не
может скользить по его стенкам и при деформации частицы
so бетона получают вдоль оси (фиг. 2) те же смещения, какие
§ получают и прилегающие к водостоку частицы земли.
Зак. 2386_н.Е Жуковский т vn 19
290
о повреждении водопроводных труб
Выразим смещения вдоль оси как для грунта, так и для
бетона, общей формулой:
и = Af (х), (1)
где для бетона А — постоянная величина, а для грунта А есть
функция г — расстояния точки грунта от оси водостока.
Сила, с которой грунт воздействует на затушованную на
фигуре весьма тонкую часть поверхности водостока, будет:
лл
кр rf(X)Ldx’ &
где к— некоторый коэфициент, р—-нормальное давление
грунта на трубу и L — периметр сечения поверхности водо-
стока.
Смещения, изменяясь по оси водостока, образуют вытяжку
бетона:
d“ = Af(x) (3)
и развивают на каждый см площади сечения водостока
силу:
EAf(x), (4)
(где Е— модуль упругости бетона), а на всю площадь вЕсм
сечения трубы, силу:
EEAf(x). (5)
Рассматривая равновесие эатушованной на фиг. 2 элементар-
ной вырезки водостока, найдем, что
дД
кр f(x) Ldx = EFAf" (х) dx.
Отсюда, введя обозначение: , дД L
находим: (7)
Это диференциальное уравнение удовлетворяется положе-
нием: /(x) = sin (рх+?), (8)
где — произвольная постоянная величина.
ЗАПИСКА ПЕРВАЯ
291
Подставляя это значение f(x) в формулу (1), найдем для
выражения смещения точек бетонной трубы формулу-
H=/4sin(p-x + 3).
Что же касается напряжения Т материала бетонной трубы
на 1 см1, то мы найдем это напряжение, принимая во внима-
ние смещения трубы и ее температурные изменения. Пред-’
полагаем, что температура изменилась от до /0° а грунт
препятствует расширению трубы, мы получим силу, с кото-
рой грунт сдавливает трубу по длине:
— £a(f—/0),
где а — коэфициент линейного расширения бетона.
Это отрицательное напряжение прибавится к положитель-
ному напряжению (4), и мы получим все напряжение бетона
на 1 см1 сечения водостока:
Т= - £а (t - /0) + W (%) =
=— Ea(t—10) EA\i cos (рх + 3). (10)
Постоянные .,3 и А в формулах (9) и (10) определяются
по условиям в начале водостока. Если это начало водостока,
как у Краснохолмского моста, выходит из-под грунта наружу,
то при х = 0 надо положить в формулах (9) и (10) « = 0 и
Г—0.
Это приводит к заключению, что
,3 = 0; А= .
U
I
Формулы (9) и (10) получают при этом вид:
(П)
(12)
(13)
Т= — Еа (t — tQ) (1 — cos \ix).
Мы видим, что изменение температуры вызывает неравно-
мерное растяжение трубы, а ее растяжения и сжатия, кото-
рые идут от конца трубы по гармоническому закону, тоже
относятся и к напряжению материала водостока. Наибольшее
напряжение материала будет на расстоянии от начала водо-
стока, которое определяется по формуле:
2р ’
(14)
19
292
О ПОВРЕЖДЕНИИ ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБ
а соответствующее наибольшее напряжение материала бетона
будет:
T= — Ea(t—t0).
К сожалению, отсутствие опытных данных о величине
коэфициента k для различных грунтов лишает нас возмож-
ности указать, на каком расстоянии от конца бетонной трубы
развивается в ней наибольшее натяжение материала. Мы сде-
лаем гипотезу, что это расстояние соответствует тому пункту,
в котором произошел разрыв водопроводной трубы, и под-
считаем Ттл* в предположении, что резкое изменение темпе-
ратуры к 25 января соответствовало ее повышению на 10е.
Для бетона коэфициент расширения а = 0,0000135, а
модуль упругости £"=56000 кг 1см2— на расширение и
140000 кг}см2 — на сжатие. Так как при нагревании грунт не
дает трубе расширяться и происходит сжатие бетона, то надо
положить, что
7'тях = 140000 X 0 0000135 X 10 = 19 kiJcm2.
Согласно прилагаемому при сем рисунку была определена
площадь сечения бетона в водостоке, равная 1,6 л2=16000сл«2.
Это даст для силы наибольшего напряжения во всей толще
бетонной трубы
19X16000 = 300000 кг = 300 т.
Эта сила, сдерживаемая грунтом, в некоторой своей части
передалась водопроводной трубе, залегающей в грунте на
весьма близком расстоянии от водостока. Чтобы определить,
какая часть этой силы передалась на водопроводную трубу,
надо выразить и в функции г.
Согласно теории Бусинеска, мы удовлетворим условию
равновесия грунта, если подберем и такой функцией А, чтобы
Д2и = 0.
Это приводит нас к уравнению:
—.а
дх2‘ г dr V дг) ~и- (15)
ЗАПИСКА ПЕРВАЯ
293
Подставляя сюда выражение (9), находим для определе-
ния функции Л: дг2 г дг - ,^А = 0 (16)
или, положив Z — гр-,
д'2-А , 1 дА . _
dzs~^~ z dz А °' (17)
Уравнение (17) показывает, что А выражается функцией
Бесселя:
IC
Л = — f cos (z COS <»)
о
Для этих функций составлены таблицы (Е. Lommel, Stu-
dien uber die Bessel’schen Funktionen, Leipzig 1868), из кото-
рых видно, что при z = 5,4 функция А — 0. Принимая это
значение за район распространения действия трубы на грунт,
найдем для радиуса этого района:
5,4
г — — >
р.
к сожалению, в величину р входит неизвестная нам величина к.
На прилагаемом чертеже я принял г = 8 м, и тогда по
отношению площади, занимаемой трубой, и кругом, очертан-
ным радиусом действия, я отнес на водопроводную трубу 14%
всей силы, сообщаемой смежным водостоком грунту. Это со-
ставило 42000 кг. Такая нагрузка приходилась бы на отрезок
трубы в 8 м, посреди которого имеется стык, представляю-
щий слабое сопротивление на излом; эта нагрузка могла
легко вызвать раскол раструба.
Я полагаю, что оба разрыва труб 25 января вызваны
водостоками, над которыми эти трубы заложены. Может быть
первый разрыв произошел в трубе 36" у Краснохолмского
моста, которая находилась в худших условиях (вследствие
открытого конца водостока), а второй разрыв трубы 30 был
уже вызван первым после закрытия задвижек и падения дав
лення в трубе, уже поврежденной действием водостока, на
Калужской площади. Ввиду важности вопроса о влиянии
294
О ПОВРЕЖДЕНИИ ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБ
грунта на водопроводную сеть, я теперь предпринял иссле-
дования для определения коэфициентов для различных пере-
данных мне грунтов, пользуясь маленьким гидравлическим
прессом механического кабинета Московского университета.
Табляда температуры воды в водостоке у Красно-
холмского моста, измерявшейся на расстоянии
2 саженей от его устья 22 н 23 февраля
Часы 22 февраля 23 февраля
12 час. дня 0,7 С 0,1 с
2 » „ 0,1 0,3
4 „ „ 0,3 0,6
6 „ веч. 0,2 0,8
8 . » 0,1 1,0
0,1 1,2
Записка II
Ввиду того что предварительные опыты показывают, что
при давлениях на грунт не очень больших, сила трения грунта
о находящиеся в нем тела удовлетворяет скорее обыкновен-
ным законам трения, а не законам, аналогичным с упругим
телом, я даю здесь определение силы воздействия водостока
на лопнувшую водяную трубу, пользуясь обыкновенными за-
конами трения, причем коэфициенты трения грунта и плот-
ности земли заимствую из сочинения В. Г. Залесского
На фиг. 3 повторен чертеж, данный в записке I. Называя
через и смещение бетона и предполагая, что он трется о грунт,
мы будем иметь силу от растяжения бетона в направлении Ох,
равную
EF^- (1)
1 Архитектура, изд. 1904 г., стр. 33, табл. 2
ЗАПИСКА ВТОРАЯ
295
Эта сила должна уравновеситься постоянной силой трения
на элемент площади, соответствующий dx, т. е. на площадь
Sdx, где 5=6,37 л/ представляет периметр внешнего сече-
ния трубы- Так как наибольшая глубина залегания водостока
Л = 4,7 м значительно меньше 14 м, то можно воспользоваться
табл. 2 из сочинения В. Г. Залесского, согласно которой
сила трения крупного песка и гравия по гладкой притертой
цементной штукатурке определяется в 1500 кг'м2, уменьшив
эти числа вдвое.
Фиг. 3.
Предполагая, что смещение и происходит к открытому
концу водостока, т. е. в сторону отрицательных х, получим
силы трения направленными на фиг- 1 вправо, откуда имеем
уравнение:
— EF~ dx 4- 750 Sdx — 0.
дх2
Здесь F— площадь сечения водостока, которая по новому
чертежу равна 1,72 м1 (она является несколько больше вы-
численной в моей первой записке по схематическому чертежу
площади в 1,6 м2);
Е = 14Х 10s
отсюда
д-и । 750X6,37 . oxz.n-r, 1 । /п\
^=+1,72X14X10-=+2Х1° “ = + “ <2>
Интегрируя это уравнение, получим:
и = + + Ьх + с- (3)
Натяжение Т будет равно:
ди .
дх~ + Т= — fF(+«x-|-6) = —24X108(-W4-^)«?- (4)
296
О ПОВРЕЖДЕНИИ ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБ
Когда температура возрастает на (f —t0), тогда в предполо-
жении, что длина всех частей водостока сохраняется, обра-
зуется в трубе сжатие, из которого надо вычесть найденное
растяжение. Сила от температурного сжатия, данная в первой
1,72
записке, будучи умножена на отношение площадей , дает:
325 000 кг = 325 т.
Получим силу, с которой труба стремится расшириться.
Мы берем ее так же, как в записке I, со знаком минус:
7\ = 325 000 — EF( + ах -j- Ь).
Для определения начальных данных мы должны принять:
1) прн открытом конце водостока (у Москва-реки), где
х = 0, имеем: 7’1 = 0; что касается конца трубы, то он может
выдвигаться. Это дает: *
EFb = — 325000; 6 = —= —135Х Ю“6; , (5)
2) вторым условием, если считать грунт однообразным и
водосток очень длинным, явилось бы следующее: на некото-
ром расстоянии х0 от начала трубы смещение и прекращается,
и натяжение Т достигает своего наибольшего значения
325000 кг, вследствие чего при этом значении л0 имеем:
2
и = 4—4~ Ьхо + с — о >
ах0 + 6 = 0;
из последнего уравнения имеем:
—G
х0
135 X Ю
2 X 10“
i68 м.
(6)
а
За этой точкой сдвиг стенок водостока прекращается, и
он везде будет с точки зрения теоретической сохранять по-
стоянное наибольшее напряжение.
Мы предположили, что кроме трения грунта, никакие пре-
пятствия не задерживают водостока; но в рассматриваемом
случае на расстоянии х = 48 м от Москва-реки на верхней
части водостока лежала водопроводная труба 36". Если пред-
положить, что она осела на водосток и задерживала его сме-
ЗАПИСКА ВТОРАЯ
297
щение, то произвольные постоянные бис надо подсчиты-
вать при условии, что 7'1=0 при х—О, а и = 0 при х = 48л/.
При этом величина Ь будет та же, а величина с определится
из условия:
+ ^-4824-6-48 + с = 0.
Определим Т для х = 48 м:
Т= 24 X Ю8 [135 X 10-6 — 2 X 48 X 1(ГС],
= — 325 000 + 24 X Ю8 (135 X Ю-6 — 2 X 48 X Ю~6) =
= — 325 000 + 94 000 кг. (7)
Что касается части водостока, которая пойдет от за-
держанной точки в глубину грунта, то там будет постоянное
Фиг. 4.
напряжение в 325000 кг. Если бы вся задержка водостока
происходила от водопроводной трубы, то последняя находи-
лась бы под действием ломающей ее силы в 94 000 кг = 94 т.
В Действительности могла бы получиться только некото-
рая доля этой силы. Если предположить, что грунт, прилега-
ющий к стенкам водостока, несколько размыт, то трение
его о стенки стало бы меньше, и ломающая трубу сила сде-
лалась бы больше.
298
О ПОВРЕЖДЕНИИ ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБ
Что же касается температурных изменений, то из при-
сланных мне еженедельных бюллетеней по г. Москве за
январь усматривается, что температура воздуха повысилась
от — 23° до-}-3°, т. е. на 26°.
На фиг. 4 приведены графики силы напряжения Tt и сме-
щений и, полученные согласно гипотезам записок I и II.
„Записки I и II о повреждении водопроводных труб, случившемся
25 января 1914 г.“, были составлены проф. Н. Е- Жуковским по пору-
чению комиссии по расследованию причин повреждения магистральных
труб москворецкого водопровода, к работам которой ои был привлечен.
Записка I была доложена Н. Е. Жуковским в заседании комиссии
7 марта 1914 г. (предварительные соображения были им сообщены в засе-
дании 28 февраля 1914 г.); записка II была доложена в заседании этой же
.комиссии 21 марта 1914 г.
Печатаются записки впервые. Прим. ред.
PROF. JOUKOVSKY’S NOTE ON THE DAMAGE TO WATER MAIN
IN JANUARY 25, 1914
Prof. Joukovsky is of the opinion that the damage to water
main, which occured in January 25 1914, cannot be attributed to
the expansion of the pipes, but must be due to the influence
of sumps passing below the water main crossing its direction
at a distance of 0,04 saj. from the upper walls of the sumps.
The interior of the main, filled with moving water, is not sub-
ject to sudden changes of temperature; on the contrary, the
interior of a sump, owing to the circulation of air, may undergo
greater and sharper temperature changes. The expansion of the
sump brings about a displacement of particles of the soil, and
thus produces a lateral pressure on the water main which may
cause its subsequent damage.
To estimate the magnitude of the pressure on the water
main, Prof. Joukovsky in his first note assumes that there can
be no sliding of the adjacent soil along the- walls of the sump,
that the displacements of the particles of concrete along the
-*>axis (axis of the main) are the same as the displacements и
of particles of the soil adjacent to the sump, and that friction
of the soil follows the laws similar to those for the elastic for-
ces and viscosity. The displacement и along the x-axis is expres-
sed by the genera] formula и — Af(x), where for concrete A is
a constant, and for the soil A is a function of the distance r
°f the particle from the axis of the sump. To determine A and
/(x) Prof. Joukovsky forms two equations. One, equation (7).
expresses the condition of equilibrium of an element of the
sump and gives /(x) = sin (u.x-j-6); the other, equation (16),
follows from the conditions of equilibrium of the soil, and de-
termines 4 as a Bessel’s function of r. 1 aking the radius of
.ction of the displacement of the sump to be equal to the
minimum value r = 5,4 m making A equal to zero, and comparing
300
SUMMARY
the area of a circle of radius r with the area occupied
within this circle by the water main, Prof. Joukovsky obtains
for the pressure exerted on the water main by the soil a value,
of 42000 kg.
This pressure is applied to an 8 m section of the main
having in the middle a joint presenting weak resistance to rup-
ture and thus may easily cause a break of the main.
In his second note Prof. Joukovsky makes a different assump-
tion as regards the friction force, based on preliminary tests.
He assumes that particles of the soil do not adhere to the
walls of the concrete sump, and that the force of friction
of the soil with the embedded bodies follows the usual laws
of friction. Hence equation (7) of the first note is re-
placed by equation (2), the corresponding integral being
ax'2
~T
u=
^-bx-j-c, where и is the displacement of a particle
of the sump in the direction of its axis. The constant a
is determined from tests; b is determined by the condition that
at the free end of the sump the stress T= 0.
It is assumed that the water main has settled on the sump,
thus checking its displacement, there is obtained u —0 for
x = 48 m, i. e. equal to the distance of the main from the end
of the sump. This condition determines the value of the con-
stant c, hence the stress in the main at the point of crossing
with the sump. If the displacement of the sump were impeded
solely by the water main, the corresponding lateral load would
be equal to 94000 kg.
к'ВОПРОСУ о ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫ-
ПУСКА ВОДЫ ДЛЯ ОХЛАЖДЕНИЯ МАШИН БОЛЬШИХ
СИЛОВЫХ СТАНЦИЙ
(1915 г.)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ
Предполагая сначала дно реки плоским и глубину от дна
до поверхности называя через С, примем за плоскость ху дно
реки, а ось z направим вверх.
Уравнения гидродинамики можно представить в таком виде:
Здесь во второй части
отброшены члены, зави-
сящие от произведения
малых скоростей и, v, w
и их производных; точ-
но так же можно отбро-
сить в
скобках левой части. Коэ-
фициент Н для струйного
движения представлял бы
коэфициент вязкости, но
так как мы имеем дело
с тУРбулентным движе-
нием, то коэфициент Н,
302
О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОТА И ВЫПУСКА ВОДЫ
согласно Бусинеску, должен считаться некоторым постоян-
ным числом, зависящим от средней скорости потока и и от
средней толщины С слоя жидкости:
Я=рЛСй,
где А—некоторый отвлеченный коэфициент.
Так как скорость движения невелика, то гидродинами-
ческое давление р можно заменить гидростатическим:
р = Ро + я?(’ — *);
положим также
U = gpz.
При этой подстановке скобка получит вид:
(Ро+Л
Примем, что на дне жидкость неподвижна и на свободной
поверхности, как это требует Бусинеск,
ди ______________________ dv _
Мы удовлетворим этим условиям, приняв параболический
закон распределения скоростей го высоте, как это предста-
вляется на фиг. 1, т. е. положив:
С2 G —z)2
2а, 2а, ’
w = — bz,
где параметры парабол а, а,, а также b зависят от х и у.
Подставим все указанные величины в уравнение (1):
д', Н
gp^— =------->
s дх а
д: н
&ду = ~\' (2)
gp = 0.
s' dz
При этом мы пренебрегаем во второй части членами, со-
держащими малые величины z и сравнительно с членами, их
не содержащими.
О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫПУСКА ВОДЫ 303
Третье из написанных уравнений (2) удовлетворяется тожде-
ственно, так как С зависит только от х и у.
Определим теперь а и о, по количествам жидкости, про-
текающим в направлении осей х и у через площадки высоты
перпендикулярные к той и другой оси и имеющие основа-
ниями единицу; эти величины представятся площадями
парабол, из которых qx изображена на фигуре и затушована:
2 С • С 2 С3
За ’
гз
¥"=3<
Вследствие сказанного уравнение (2) можно написать
в таком виде:
о <3)
где
ф=5н'' + в- <4>
Здесь В — произвольное постоянное.
Условия неизменяемости объема сводятся к следующему.
подставляя сюда значения qx и qy из уравнения (3), получим.
Таким образом фун.Ц»д® “частХГиироиавм»»»»
НИЮ Лапласа, а qx и qy должны оплинатам.
от этой функции по соответствующим ко е_ для простоты
Обращаемся теперь к предложенно1 с расСтоя-
примем ширину реки весьма большой сравни £сди бы все
нием между местами забора и выпуска вод пункте Щ
движение жидкости происходило только от то ,
304 О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫПУСКА ВОДЫ
она подсасывается, а в пункте 7V выбрасывается, то функция
Фг, удовлетворяющая уравнению Лапласа, была бы такая:
где Q—количество собираемой жидкости; действительно,
приняв эту величину, мы найдем, что количество жидкости,
вытекающей через полукружок радиуса С, представлялось бы
так:
я=с
— ~с
дф,
dR ’
„ 1 1
где величиной -j- перед пренебрегаем.
Если теперь положим
то значение функции Ф->, соответствующее этому течению
реки без забора воды, будет таково: Ф% = —qx‘, когда рассма-
триваем забор воды из текущей реки, то надо положить:
= — qx- (5)
* Натуральный логарифм.
О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫПУСКА ВОДЫ 305
отыщем точку, не имеющую скорости: по симметрии эта точка
должна получиться при = г, т. е. на оси е/, и должна удо-
С>Ф _ п
влетворять условию О.
Это условие приводит к уравнению:
Q
1 dr . 1 dR\ - п
-тъ+иъ )-»=0
или
откуда:
(6)
Существование такой критической
точки нулевой скорости
характеризуется условием:
±-2->1
~ ql
В рассматриваемом случае имеем: забор Q = 4,66 м'1сек;
„ - 7 м?[сек
средний расход воды на единицу ширины реки q = д~ ' =
= 0,0825 м~1сек; расстояние между местами забора и выпуска
воды 1 = 80 м; отсюда:
--2-= 0,90.
т. ql
Это показывает, что на оси у точки с нулевой скоростью
не сУЩеств.ует; по этой причине будем искать точки с нулевой
скоРостыо на оси х, для чего надо будет положить в выра-
женИи ф значение у = 0 и рассматривать уравнение:
дх
а,:’ -39G — ц. е, Жукквскпй, г. VII.
20
306 О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫПУСКА ВОДЫ
что дает:
откуда:
Таким образом будут существовать две критические точки
5] и 5 нулевой скорости на берегу реки, на расстоянии 12,6 м
вверх и вниз по течению от середины пролета MN. Замечая, что
в критических точках линии тока поворачивают под прямым
углом, получим расположение их, представленное на фиг. 3.
Из этого расположения видно, что при имеющихся число-
вых данных в приемник будет забираться только свежая
вода, нагретая же вода будет вся спускаться вниз по течению.
Такой результат получается при нормальной работе станции
на четыре машины, когда забор охлаждающей воды
х — 4,66 мя'сек. Если же станция производит максимальный
забор воды при работе на все пять машин, то будет
О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫПУСКА ВОДЫ 307
Q = 5,83 м^сек. Подставляя это в уравнение (6) при прежних
числовых значениях остальных величин, получим для v дей-
ствительное значение: у д
= Т ]/ V 0,0845~Х80 ““ 1 = 4°Г Ы25 — 1 = 14,15 м.
Расположение струй в этом случае будет такое, как пока-
зано на .фиг. 4.
Для того, чтобы решить, какое количество воды вернется
из места выпуска к месту забора, надо, как видно на фиг. 4,
определить количество жидкости, протекшей через сечение ОЕ.
Оно
выразится формулой:
Иг Иг
о 2v, - . (8)
= 2^-arc X',-----
численно это равно: 3(
а с 1ОА9—1167==0.095л£/С ’
• 5,83X0,340—0,0845X14,15 — 1,262
т. е. менее 2% всего забора.
20 s
308 О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫПУСКА ВОДЫ
Найдем теперь, насколько будет понижен уровень воды на
точках радиуса С около приемника.
Для этого воспользуемся формулой (4), которую представим
в таком виде:
Для другой точки будем иметь:
С4
так как С изменяется очень мало, то можно приближенно
написать:
С'4 —!? = (72 — С2) 27 2 = (7 — С) 47
Отсюда следует, что
Из промеров, данных городской управой (план, подписан-
ный инж. Кнорре, красные цифры 1914 г.), получается падение
0,08 сажени на 850 сажен, что дает уклон реки приблизи-
тельно в 1/10 000; поэтому, рассматривая две точки, лежащие
на прямой, параллельной оси х на далеком расстоянии от
берега и на расстоянии друг от друга 100 м, мы будем иметь
по формуле (5) вследствие R = г и 7 — г, = 0,01 м:
Ф'-Ф = д- 100 = 8,25
и по формуле (9):
12Я 8,25
g? 4Х0,75:>’
откуда: 12— = 0,00204; -Д'у = 490. ay 1 Zrz
Вследствие этого для рассматриваемого течения формула (9)
принимает вид:
С'-'.—(S')
О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫПУСКА ВОДЫ 309
Отнесем эту формулу к двум точкам, из которых одна
лежит на линии, параллельной оси у и проходящей через
точку М, и отстоит весьма далеко от берега, а другая лежит
на той же линии на расстоянии радиуса С водосборного полу-
круга.
Для первой точки R=r; х — — —; глубина 7=^=0,75 лг;
I R
для второй точки R — 7 ж, г — 80 м, х — ~ ; = 0,0875;
jo- _ = — 2,45; — • 1g w = — 4,56. Подставляя это в формулу (9'),
найдем:
Г-'-С = ТЙ5 456 • = (т. е.
около 6 мм).
Здесь мы пренебрегаем понижением уровня вследствие эф-
фекта скорости втекающей жидкости, отбрасывая члены
второго порядка от скоростей. Это допущение не будет иметь
места при самом водосборе, где для определения скорости
надо пользоваться обыкновенной формулой водослива, при-
няв верхний уровень воды пониженным на величину 6 жлг.
Это понижение, приблизительно равное ~, будет при
» = 0,35 м)сек равно
2х1й“0’0062
е. тоже 6 мм.
Скорость входа v = 0,35 м дана в пояснительной записке
городской управы.
На основании данного приближенного анализа задачи мож-
но пРитти к заключению, что при заборе воды 4,66 м3'сек при
низком уровне Москва-реки и количестве протекающей в реке
жидкости 7 мл[сек всасывающий приемник будет получать
олько свежую воду, вся же выбрасываемая вода будет уте-
кать вниз. Если при том же состоянии реки будет произво-
диться максимальный забор 5,83 мя1сек, то в водосбор будет
попадать около 2% отработанной воды.
310 О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫПУСКА ВОДЫ
Что касается понижения уровня, то при плоском дне и
глубине реки 0,75, это понижение будет около 12 мм.
Для большего приближения явления к результатам, дан-
ным изложенным анализом, следовало бы углубить дно реки
перед водосбором.
Эта статья была написана проф. Н. Е. Жуковским по поручению Мо-
сковской городской управы 4 июня 1915 г.
Печатается работа впервые. Прим. ред.
ON THE CHOICE OF LOCATION IN A RIVER OF THE INTAKES AND
OUTLETS FOR THE COOLING OF ENGINES FOR LARGE POWER
STATIONS
In this note Prof. Joukovsky investigates the flow in the vi-
cinity of the water intakes and outlets of the power station on
the Moscow River.
Assuming the velocity distribution along the vertical to follow
parabolic law, and neglecting the products of small velocities u, v,w,
and of their derivatives and the products of the quantity C and its de-
rivatives, Prof. Joukovsky reduces the equations of turbulent motion
to the formula (2). In equations H— pA £ u, where A is a dimension-
less coefficient, C and u are respectively the mean depth and the
velocity of water, C is the coordinate z of point of the surface of the
river (the x-axis and the у-axis are on the bottom, the x-axis being
directed downstream), a and aA are two parameters of the parabo-
lic law referring respectively, to velocities и and v. According
to the parabolic law of velocity distribution the amounts qx and
9V of water passing through areas normal to the axes of x and
of у and having the base equal to unity and the height C are
expressed by the formula qx = ^sl3a and qy — hence equa-
tions (2) can be reduced to forms (3) and (4) and the condition
of incompressibility requires that the function Ф of two varia-
bles x and у should satisfy the equation of Laplace ^Ф — 0.
У this condition is being determined the function GO given by equa-
" where Q—amount of liquid drawn from the river, q—mean
isc arge in the river through the area of a rectangle of unit
ofSp* a.nd and r are respectively the distance of a particle
ned^11*^ ^roin ^e intake and from the outlet. Having determi-
ne У means of this function the position of critical points, i. e.
? POlnts of which the velocity is zero, the author comes to the
following conclusions:
312
SUMMARY
When Qi2^ql <1 (I denotes the distance between the in-
take and the outlet) two critical points are on the x-axis»- equa-
tion (7), the lines of flow have the form shown in Fig. 3 and
only fresh water will be drawn into the receiver while warm
water will be carried downstream. When QI2 ~ql > 1 the cri-
tical point will be on the «/-axis, the lines of the current will
be of the form shown in Fig. 4, and the discharged warm water
will be partly drawn again into the receiver [formula (8)].
The lowering of the water level at the intake is given by
formula (4), which is subsequently reduced to the formula (9).
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В. П. ВЕТЧИНКИНА К СТАТЬЕ
„К ВОПРОСУ О ВЫБОРЕ НА РЕКЕ МЕСТ ЗАБОРА И ВЫ-
ПУСКА ВОДЫ ДЛЯ ОХЛАЖДЕНИЯ МАШИН БОЛЬШИХ
СИЛОВЫХ СТАНЦИЙ"
(1915 г.)
Проф. Н. Е. Жуковский в своей объяснительной записке
дал приближенное решение задачи, считая реку бесконечно
широкой, причем указал, что поправка на влияние второго
берега будет невелика. Большей точности решения не требо-
Фиг. 1.
валось, так как действительный профиль дна Москва-реки,
согласно плану, сильно отличается от принятого теоретиче-
ски (фиг. 1).
Когда я передавал записку Н. Е. Жуковского на электри-
ческую станцию, то мне, в связи с его пожеланием об углуб
лении дна перед водосбором, были показаны чертежи перс
устройства дна, из которых видно, что профиль реки перед
водосбором будет иметь вид, как на фиг. 2, что значительно
ближе подходит к теоретическому профилю постоянной глу
бины, с вертикальными берегами; со стороны же водосбора
более чем наполовину ширины реки профиль ее и берег сов
падают с теоретическими. Поэтому я посчитал не лишним до-
вести решение задачи до конца, принимая во внимание вто
рой берег.
314
ДОПОЛНЕНИЕ-ИНЖ.-МЕХ. В. П. ВЕТЧИНКИНА
То, что второй берег является не вертикальным, а наклон-
ным, должно бы при оценке на-глаз уменьшать его влияние
на искомый поток по сравнению с влиянием берега верти-
кального. Глубину реки мы принимаем равной глубине дна
перед водосбором, т. е. больше средней гидравлической глу-
бины ее, причем сечение обращаем в прямоугольное с сохра-
нением прежней площади (фиг. 2).
Уменьшая этим среднюю скорость течения по всей реке,
тогда как у места впуска воды скорость в действительности
оставлена прежняя, мы ставили менее благоприятные условия,
нежели в действительности. Поэтому можно думать, что ко-
Фиг. 2.
личество воды, перетекающей из места выпуска в место за-
бора, будет меньше, нежели вычисленное в этих предполо-
жениях.
Имеем реку глубины С, ширины Ь с прямолинейными вер-
тикальными берегами. Расход воды на единицу ширины
реки 9, так что полное количество протекающей воды будет
qb — 1 м3(сек.
Рассматриваемая отдельно функция
представляющая первый член уравнения (5) из записки проф.
Н. Е. Жуковского, дает линии тока, как на фиг. 3, и не удов-
летворяет граничным условиям у берега FG, где скорости
должны быть параллельны берегу. Если мы поставим в без-
граничные потоки источники М' и 2V, являющиеся зеркаль-
ным изображением источников М и N в береге FG, то полу-
чим линии тока, как на фиг. 4, причем линия тока FG будет
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В. И. ВЕТЧИНКИНА
315
прямолинейна и на ней может быть поставлена твердая стенка
(берег реки).
В .свою очередь источники М' и ЛГ нарушают прямолиней-
ность линии тока (берега) AMONB, которая может быть ис-
правлена постановкой новых источников М' и 7V7, являющихся
зеркальным изображением источников М nN в береге АВ
и т. д. до бесконечности.
Фиг. 4.
Функция Фи взятая в предположении трех пар источни-
ков, будет такая (фиг. 6):
®i' “ ~ (lg lg R' + lg R" — lg r—lg г — lg r") =
=о1гк^. а»
T. s Г • Г • г
316
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В. П. ВЕТЧИНКИНА
Функция Ф, данная уравнением (5) статьи проф. Н. Е. Жу-
ковского, принимает вид:
Ф' = ф/ + ф/=~ (2)
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В П. ВЕТЧИНКИНА
317
точка, не имеющая скорости и лежащая на оси у, т. е. при
/? = г, R' = г, R" — г", найдется по уравнению:
Q I £ । 1 dR'
г. \ г дх * R дх г' дх ' R' дх
1 dr" , 1 dR"\ -_п
г" дх + R" дх) 4 °’
(3)
Замечая, что здесь
^=^=(4)2+^«
/?,^/ = Т + (26~^Г’
/?" = /' = ^+(26+у)2,
получим аналогично найденному у проф. Н. Е- Жуковского:
QF 1 L 1 1 1 “_п
— -р---------F п Ир 7 —°;
“ Т + (26-у)2 7 + (26+у)2
принятие во внимание вторых,
жений вносит добавочные члены
I
третьих и т. д. пар изобра-
вида:
I
11 + (2кЬ-уУ
1^+^Ь^уУ-
2/^+(2Л6Г+уч-
ll + W+y
-(4^г
где k — целое положительное число, возрастающее до беско-
вечности.
Отсюда получаем точную формулу для отыскания крити-
ческой точки на оси у.
S,
1
~Р~~
*=1
Р , о
~4 +^'
,2 2-(4МуУ
-9 = 0; (4)
318
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В. П. ВЕТЧИНКИНА
для критической точки, расположенной на оси х, имеем:
R'- = R''t = (2ьу + (4+-г)2;
/2 = /'2=(26)2+(4-Х)2;
откуда добавочный член будет:
21 + 4 —х2)
\ 4 /
/2 \2
4Ь2±~ — х-1 +166V2
Распространяя результат иа все изображения, получим:
(2^+^-х2
/5 та
(2^)2 + £_х2 +(4ВД2
-9-0. (5)
I
2
Так как 6 по условию больше —, а х по смыслу задачи
I
меньше , то всегда будет ох
Совершенно также, по смыслу задачи, имеем Ьу < Ь~.
Главный член в знаменателях под знаками У в уравнениях
(4) и (5) есть 16&464, и остальными членами перед ним можно
пренебрегать. Действительно, уже при к. = 2 имеем в уравне-
нии (4):
1663 + 4 +№
2566' + 86* (Р - 4^) -J- +у2
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В. П. ВЕТЧИНКИНА
319
и поправка в худшем случае (при у = Ь) ие превзойдет 10°/oJ
в тех же пределах будет при к=2 и поправка добавочного
члена уравнения (5):
1662 + -^~х2
2566' + 8b* (Р + 4х8) 4- ( — х8 V ’
сами же члены суммы при к = 2 становятся уже достаточно
малыми. Поэтому достаточно принять формулу для критиче-
ской точки на оси у:
Суммирование ряда дает:
= 1,6449,
где сумма первых 15 членов вычислена непосредственно,
сумма же остальных членов взята приближенно интегрирова-
нием, причем погрешность интеграла не превосходит 0,0002,
так что можно утверждать, что 1,6448 < 5 < 1,6450. Отбра-
сывая первый член, находим:
Л=оо
4 ^4=°.'1и5'
*=2
Уравнение (5) для определения критической точки на оси х:
перепишется приближенно так:
g
СлУчае существования критической точки на оси у ко-
ество Q протекающей в водосбор отработавшей жидкости
Уравнение (8) записки проф. Н. Е. Жуковского] опреде-
320
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В. П. ВЕТЧИНКИНА
лится интегрированием умноженного на gy уравнения (3)
в пределах 0 и уЕ, что дает:
<2, = 2® arctg-Y* +
0 О
Распространяя сумму и преобразуя разность арктангенсов,
получим:
Qi=2?
arctg^H- ^arctg
1 A'.l
р 2
-4-^
— 4!h
Р
Пренебрегая, при к > 2, членами —у2 по сравнению
с членами 4к2Ь'2 и заменяя arctgz через z, получим:
Qi=2^ arctg
=2^Г
——4-arete_________4-^Vl
4^+ ^—уг k~
arc tg + arc tg--------1- 0,3223
46^+^-^
— ЧУ г =
ЧУ- (6')
Переходим к подсчетам. По данному мне плану разрезов
береговых откосов около приемника 2-й Центральной элек-
трической станции м- г. д. (уч. 12, 13, 14, 15) и нанесенному
на нем карандашом профилю выемки около водосбора полу-
чается, что с устройством выемки площадь сечения реки
увеличится приблизительно на 52 м-, что с прежней пло-
щадью 63 м2 дает 115 м2.
Средняя глубина выемки 1,7 м, что дает ширину прямо-
/ С СК
угольного русла 6=68 м. Количество м =0,103 л^/сек.
Количество забираемой в турбины жидкости остается преж-
нее 4,66 м31сек для нормальной и 5,83 м'1сек для форсиро-
ванной работы турбин. Расстояние мест забора и выпуска
воды / = 80 м.
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ- В. П. ВЕТЧИНКИНА
321
Отыскиваем критическую точку на оси у по формуле (4):
4>б6 . 80 = 118 MijceK. .5’83 . 80 = 148
О 32 • 25 1
=О'000070 = 14300;
110 14Я
нзоо-’0'0'®; изо»"0'0101
Таким образом
1)
Г 1 , 2-18 500+ 1600 +У3 ]
116 [1600+у2 "* (20100 + — 74 000у2]
+ 0,0082 — 0,103 = 0;
полагая сначала у = 0, получим:
- I1-8-*- + 0,0118 + 0,0082 — 0,103 = 0;
1600+У- ’
следовательно, в этом случае вода перетекать не будет;
2) 1б^+0'0148+0'0103-0'103 ~°'0779=0'
= _2±L_ 1600 = у1900 — 1600 = 17,3 М-, у2 = 300 м’-,
20100 + 300 ==21204^10^ = ооооо93.
204002 + 4710 ' 438 • Ю6
0,093 • Ю3 • 148 = 0,0138; 0,103 — 0,0103 — 0,0138 = 0,0789.
Поэтому во втором приближении
«=/ о.огаз-1^”1'275’ 16'6 "'
Зек. 2386-н. Е. Жуков-кпИ, т. VII.
21
322
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В. П. ВЕТЧИНКИНА
Подсчитаем теперь по формуле (6) количество перете-
кавшей в водосбор отработанной воды:
2'5’83 = 3,71; уе = 16,6 л»; = 0,415;
arc tg 0,415 = 22°30',
2v«r
или в долях радиуса arc tg ~ "g" ~ 0,393,
80- 16,6 _ 1326
arctg 20100 — 275 19325 °’067’
03225 >=4’^,0,3225 = 0,0231;
0,393 4- 0,067 + 0,023 = 0,483; = 1,79 —1,71 = 0,08 м'[сек.
Итак, в случае максимального забора воды Q = 5,83 м8[сек
обратно может попасть лишь ничтожная (около 1,5°/0) часть
теплой воды, уже прошедшей через турбины.
Произведенные подсчеты по точным формулам и сравнение
их с результатами, приведенными в докладной записке
проф. Н. Е. Жуковского, показывают, что вполне законно
пользоваться тем приближением (полагать реку весьма ши-
рокой), каким пользовался проф. Н. Е. Жуковский. Действи-
тельно, он получает для ординаты критической точки уг зна-
чение, равное 14,15 м, по точной же формуле уЕ = 16,6 м.
Количество перетекающей жидкости, найденное равным
= 0,095 лг’’1сек, получилось у нас равным 0,080 м8[сек, ана-
лиз же значительно усложнился.
Главная цель приводимого анализа — выяснить влияние
выемки около водосбора и связанного с ней уменьшения
средней скорости протекания воды, которое, как мне казалось,
может увеличить количество перетекающей жидкости. Но
оказалось, что выемка не представляет опасности в этом
смысле.
Взяв теперь высокое стояние воды 0,75 сажени и тот
же расход воды в Москве-реке 7 м^сек, должны будем под-
ставить следующие числа: площади сечения реки 198-|-52 =
= 250 м~, глубину около водосбора на протяжении 50 м от
ДОПОЛНЕНИЕ ИНЖ.-МЕХ. В. П. ВЕТЧИНКИНА
323
него поперек реки , —1,7 -J- 0,90 • 2,13 — 3,6 л»; эту глубину
можно принять за среднюю глубину всей реки, так как глав-
ную роль играют ближайшие к источникам места.
При этом получим ширину прямоугольной реки
^Г = 69,5 м,
3,о
т. е. почти в точности прежнее значение.
Уменьшение средней скорости течения воды в реке потому
не играет роли, что с увеличением глубины уменьшается и
скорость перетекания выпущенной воды к водосбору, выра-
женная функцией Ф.
В приведенный анализ скорость течения v не
а входит лишь количество воды q, протекающее за единицу
времени через такое сечение, ширина которого равна единице,
а высота — во всю глубину реки.
Понижение уровня перед водосбором я не вычислял, так
как результат получился бы весьма близкий к приведенному
в записке проф. Н. Е. Жуковского.
входит,
Дополнение к работе Н. Е. Жуковского было написано В. П. Ветчин-
киным 7 июня 1915 г.
Печатается дополнение впервые. Прим. ред.
21*
PROF. VETCHINKIN’S ADDITION TO PROF. JOUKOVSKY'S NOTE "ON
THE CHOICE OF LOCATION IN A RIVER OF THE INTAKES AND OUT
LETS FOR THE COOLING OF ENGINES FOR LARGE PO WER ST A TIONS"
In addition to Prof. Joukovsky’s note Prof. Vetchinkin gives
a solution of the same problem on the assumption, that the
river has a finite width and parallel vertical banks. In this case
there must be considered, besides the source TV and the intake
M an infinite series of their mirror images M'N', M"N", etc.
(Figs. 4 and 5) on straight lines parallel to the banks and distant
26 from one another. Accordingly, instead of formula (6) and
(7) by Prof. Joukovsky are obtained formula (4), or approximate
formula (4') corresponding to the critical point on the у axis and
formula (5), or approximate formula (5')» corresponding to cri-
tical points on the x-axis. In the case when there is a critical
point on the «/-axis the amount Q of discharged liquid drawn
in again is given by formula (6), or by approximate formula (67)-
A comparison of results obtained by the exact formulae
with the results of calculations of Prof. Jourkovsky shows that
it is quite legitimate to use the assumption which was made by
Prof. Joukovsky (viz. to assume that the river is very wide).
ПРОСАЧИВАНИЕ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
(1923 г.)
§ 1. Поверхность осушения. В задаче о
воды через плотины играет весь-
просачивании
ма важную роль поверхность,
которую я называю поверх-
ностью осушения. Эта поверх-
ность отделяет замоченны й
грунт, по которому течет грун-
товая вода, от сухого грунта.
В задаче о водосборах грунто-
вых вод вводилось рассмотре-
ние подобной поверхности под
названием воронка осушения.
Предполагалось, что уровни
трубок Нортона, расположен-
ных вокруг места откачки во-
ды, лежат на такой воронке.
Но то обстоятельство, что по-
казание трубок Нортона сей-
час же устанавливается, когда
начинается откачка, делало
невероятным упомянутое пред-
положение, так как для его
оправдания требовалось бы,
ЧТОбы иа „
из грунта в короткое
вРемя было отнято громадное
количество воды.
и Изысканиях над мытищинскими
вилось Мио
“неиие, которое и подтвердилось
Фиг. 1.
водосборами устано-
иа деле, что иор-
326
О ПРОСАЧИВА11ИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
§ 1
тоны дают не границу, отделяющую смоченный грунт от
сухого, а дают пиезометрические высоты для тех точек смо-
ченного грунта, в которых находится конец нортоновой
трубки. Эти пиезометрические высоты зависят от скорости
течения грунтовой воды и сейчас же устанавливаются, когда
начинается откачка. Это будет одинаково иметь место, при-
крыт ли слой, в котором помещен конец нортона, сверху
водонепроницаемым слоем или осушенным водопропускным
слоем.
Во время моих работ при комиссии по изысканиям мыти-
щинского водосбора мною был построен и демонстрирован
в заседании московского отделения Русского физико-хими-
ческого общества фильтрационный аппарат, рассмотрение
которого имеет большое значение для интересующего нас
вопроса (фиг. 1).
Сосуд А наполнялся насыщенным водой песком. К нему
присоединялся манометр В и две трубки С и D. Оконечности
манометра В и трубок С и D вставлялись в песок, будучи
обернуты кисеей. Конец манометрической трубки помещался
немного ниже верхней поверхности песка.
Трубки С и D опускались в сосуды с водой Е и F, при-
чем сосуд F ставился ниже сосуда Е-
Опыт производился так. Поверх поверхности песка налива-
лось немного воды, которая, проникая через толщу песка, изли-
валась по трубкам С и D в сосуды Е и F. Манометр В при этом
показывает высоту Н, немного меньшую высоты уровня воды
в сосуде А. Так будет продолжаться до тех пор, пока уровень
воды в сосуде А не дойдет до поверхности песка. Когда это
произойдет, и поверхность песка начнет осушаться, тогда
вода перестанет втекать в сосуд Е, а, наоборот, начнет выте-
кать из этого сосуда через песок в более низко стоящий
сосуд F. Весь аппарат начинает работать, как сифон.
Показание манометра опускается до некоторого уровня С,
так что в точке прикрепления манометра под осушенным
слоем мы имеем некоторый вакуум, измеряемый высотой ВС.
Эта высота до некоторой степени увеличивается при опус-
кании вниз сосуда F; но существует некоторый предельный
вакуум, который может выдержать осушенная поверхность
§ 1
о ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
327
песка. Вакуум зависит от свойств грунта и тем более, чем
грунт мельче. К сожалению, мною не было тоЕда произведено
обратного опыта, но объяснение, которое я тогда давал дей-
ствию моего аппарата, дает надежду на удачу этого обратного
опыта. Он будет состоять в том, что на осушенную поверх-
ность песка будет насыпан слой сухого песка той же породы.
После этого сосуд F предполагается поднять над сосудом А,
так что вода под напором будет проникать через насыщенный
песок сосуда А и изливаться в сосуд Е. Небольшое коли-
чество воды пройдет через смоченный верхний слой в сосуд
А и будет вталкиваться между сухими
песчинками. Надо ожидать, что вслед-
ствие этого образуется раздельный слой,
который будет выдерживать некоторый
напор. Этот напор обозначится на по-
казании манометра В, которое подни-
мется над Н на высоту НК, которая не
может превзойти некоторой величины,
зависящей от свойств песка. Когда этот
предельный напор превзойден, то вода
будет вступать в сухой песок и будет
его постепенно насыщать; при этом надо
Фиг. 2.
ожидать, что мы будем получать не
вполне насыщенный песок, а массу его, наполненную частью
водой, частью пузырьками воздуха.
Объяснение, которое я давал действию моего фильтра-
ционного аппарата, состоит в следующем. Я предполагаю,
что на поверхности осушенного слоя, от которого вода от-
тягивается, образуются капиллярные воронки, как это изобра-
жено на верхней части фиг. 2- Эти воронки дают скачок
понижения давления, когда мы переходим через осушенный
слой. Если вода не оттягивается от поверхности смоченного
песка, а, наоборот, выталкивается через эту поверхность
в сухой грунт, то надо ожидать, что образуются капиллярные
мешочки, как это изображено на нижией части фиг. 2. Эти
мешочки дают при переходе через поверхность раздела сверху
вниз скачок повышения давления, максимальная величина
которого будет зависеть от свойства грунта.
328
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
§11
Если поверхность осушения образовалась при откачке
воды из водосбвра, то на ней надо ожидать скачка понижения
давления и предполагать, что пиезометрические трубки, концы
которых расположены на этой поверхности, покажут нам при-
сутствие за этой поверхностью некоторого постоянного
вакуума.
На фиг. 3 изображена такая поверхность GBE. АВ пред-
ставляет водосбор, a CD, CD', C"D" — трубки Нортона,
которые все дают одно и то же понижение DE=h против
' Если же поверхность осушения образовалась при проса-
чивании воды через плотину, как это представлено на фиг. 4.
то надо ожидать, что пробивающаяся через нижний грунт
плотины вода образует поверхность осушения EF, на которой
будет иметься постоянный скачок повышения давления. Мы
предполагаем (фиг. 4), что вода просачивается через дно
водовместилища GA, задерживается шпунтом АВ и, проры-
ваясь под него, образует поверхность осушения BF, во всех
точках которой получается постоянный скачок повышения
давления ED = h, который показали бы трубки Нортона,
концы которых расположены на поверхности осушения BF.
В чем же с математической стороны заключается условие,
характеризующее поверхность осушения?
§ 1 О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ 329
Согласно закону Дюпюи скорость v течения жидкости
в грунте выражается по изменению потерянного напора
формулой:
Л dn
где к — коэфициент водопроницаемости грунта, Н—СЕ—
величина потерянного напора, 7— плотность и dn — элемент
нормали к поверхности равного напора, по направлению кото-
рого скорость считаем положительной.
Мы будем называть потенциальною функцией функцию
v = kr{H\
эта функция вследствие условия несжимаемости удовлетворяет
Уравнению Лапласа:
Д2<р — 0.
Когда речь идет о плотинах, то задачу можно рассматри-
вать как плоскую и считать а функцией координат х, у на
плоскости хОу, перпендикулярной к плотине.
месте с потенциальною функцией » здесь рассматри-
вается функция тока б, которая тоже удовлетворяет уравне-
нию Лапласа Д.,4 = 0. Эти два семейства поверхностей:
« = const и 4 = const
330
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
§ 2
дают два взаимноортогональных изотермических семейства
линий: эквипотенциальные линии и линии тока. По второму
семейству происходит течение грунтовой воды, скорости ко-
торой ортогональны первому семейству.
Приращение о при переходе от одной эквипотенциальной
линии к другой дает нам приращение напора, а приращение
'Ь при переходе от одной линии тока к другой дает нам ко-
личество жидкости, протекающее между этими двумя лини-
ями. Отсчитывая в задаче фиг. 3 и 4 потерянный напор Ну
от горизонтали АС, за которую на фиг. 4 удобно принять
продолжение уровня воды в водовместилище, а на фиг. 3 го-
ризонталь, к которой асимптотически приближаются воронки
осушения, мы будем иметь:
H=CE = CD±DE,
где Н=
<?
, DE =h — постоянный напор или вакуум, выдер-
живаемый поверхностью осушения, a CD —у — расстояние
точки поверхности осушения от некоторой горизонтальной
линии. Отсюда следует, что для всех точек поверхности осу-
шения имеет место равенство:
о
РА
или
« — к-(у = hk-[.
О)
Но вместе с этим поверхность осушения есть поверхность
тока, т. е- на ней = const. Таким образом мы получаем
искомое математическое условие, характеризующее поверх-
ность осушения.
Поверхность осушения есть такая поверхность тока
= const, на которой '? •— /с^у есть величина постоянная.
§ 2. Течение грунтовой воды под гидравлическими со-
оружениями без образования поверхностей осушения. До
сих пор разрабатывалась теория течения грунтовой воды под
гидравлическими сооружениями в предположении, что грани-
цами грунта, по которому движется вода, являются линии
® = const или линии 4- = const. Через первые — эквипотенци-
альные линии — вода входит в насыщенный водой грунт или
3 2 ° ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ 331
выходит из него, а вторые границы—линии тока—предста-
вляют водонепроницаемые бетонные стенки, вдоль которых
протекает вода.
Поставленная таким образом задача являлась тождествен-
ной с задачей о конформном преобразовании одной части
плоскости на другую и могла быть разрешаема методом
Шварца и Христоффеля, который с успехом был применен
Н. Н. Павловским ко многим задачам из теории плотин и изло-
жен в его сочинении, представленном под названием „Тезисы
теории движения грунтовых вод под гидротехническими соору-
жениями" в Управление ирригационных работ в Туркестане.
Во всех этих задачах границы ® = const суть некоторые
горизонтальные линии, а границы 6 = const представляют
ломаные контуры.
Я думаю, что задача в этом виде более просто разре-
шается моим способом образующих и направляющих сетей,
нежели методами конформного преобразования Шварца и
Христоффеля.
Мой способ был напечатан еще в 1890 г. в моей статье
„Видоизменение метода Кирхгоффа" 1 и применительно к дан-
ному вопросу располагается нижеследующим образом. Пред-
ставляя сопряженные функции переменных х и у, функции
'? и 4 являются коэфициентами действительной и мнимой
части некоторой функции комплексного переменного
z = JC~t~iy, где i = V— 1-
Назовем эту функцию через
7.= ? “Ь'#•
Введем вспомогательное комплексное переменное
и = £
и будем рассматривать его значения на полуплоскости под
осью О;. Будем рассматривать / и z как функции и, одно-
значные, непрерывные и конечные для всех точек полуплос-
кости и могущие иметь полюсы и точки разветвления только
ления Н" £ Чуковский. Видоизменение метода Кирхгоффа для опреде-
_ Движения жидкости в двух измерениях при постоянной скорости, дан-
и на неизвестной линии тока. -Математический сборник", т. XV,
Москва 1890.
332 О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ § 2
на оси О;. При выборе таких функций коэфициенты их дей-
ствительных и мнимых частей для всех точек полуплоскости
представятся однозначными функциями £ и »].
Приравнивая эти коэфициенты постоянным, мы получим
иа полуплоскости две сети взаимноортогональных линий (раз-
деляющих плоскость на бесконечно малые квадраты):
v = const, ф = const;
х — const, у = const.
Я называю первую сеть линий образующей сетью, а вто-
рую сеть — направляющей сетью. Переменное / мы выражаем
такою функцией от и:
и
- = f qdu (2)
z J )/(н —С,)(и— c.2)(u —с8). . .’
где с, < с2 < с3 < ... суть действительные количества,
а т = ~ 1 или лп = ±|/—1.
Интеграл берется по какому-нибудь контуру на рассма-
триваемой полуплоскости от постоянной точки до какой-
нибудь точки и. Когда мы ведем интеграцию по оси О;, то
подъинтегральиая функция в формуле (2) поочередно делается
то мнимой, то действительной. Если всех скобок под корнем
четное число, то при изменении и от до с2 корень будет
мнимый, при изменении и от с2 до с8 — действительный и т. д.
Ввиду этого при передвижении по оси 0$ будет поочередно
оставаться постоянной то действительная, то мнимая часть
функции Это показывает, что образующая сеть, подходя
к оси О;, охватывает своими линиями отрезки этой оси, ко-
торые поочередно становятся то линиями ® = const, то ли-
ниями 'Ь = const.
Точки сп с,, с (, •... я называю фокусами образующей сети-
Если два фокуса сливаются, например Cj=c2 = e, то из-под
корня в формуле (2) выходит миожитель и — е. Мы называем
в этом случае точку е полюсом образующей сети. Одна линия
из семейства линий образующей сети охватывает полюс е,
а бесчисленное множество линий другого семейства пересе-
кается в этой точке. Мы будем подбирать т так, чтобы ли-
ния, охватывающая полюс, была <а = const, а линии, его
g 2 ° ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ 333
пересекающие, принадлежали семейству •!» = const. Легко усмо-
треть, что в полюсе и;—- е постоянное значение устрем-
ляется к логарифмической бесконечности, а значения ф при-
растают на определенную величину.
По смыслу задачи фильтрации мы будем подбирать тп так,
чтобы в бесконечность обращалось о, а получало при пе-
реходе через точку п = е приращение. Величина этого при-
ращения согласно формуле (2) определится выражением:
= f------ -----t
J pe,,iy(e — c:1)(e — c4)...
где интеграция совершается по полукругу бесконечно малого
радиуса р, обходящему полюс е (мы считаем число фокусов
сй, с4 четным и берем /п = 1). Получаем:
Л6 = —. (3)
Г(е — с8Хе — с4)
Что касается функции z, то мы будем приписывать ей
смотря по задачам, значения:
z = а’2($— е)2 , ।
Г hdu [
J \/(и — 6j)(u — b.2)(u — 68) ... ]
(4)
(5)
где а, р, е, h, blt b.2,...— действительные величины. Таким
образом направляющая сеть будет представляться или коор-
динатной сеткой, или системой концентрических полуокруж-
можем
линию
линию образуЮщей
найдем j
воды. Но
ностей и радиусов, имеющих центр в точке е на оси ОН, или
будет иметь такой же вид, как образующая сеть, характери-
зуемая формулой (2). Предположив, что направляющая и обра-
УюЩая сети на полуплоскости вычерчены, мы сейчас же
получить любую линию тока или эквипотенциальную
интересующей нас задачи. Взяв на полуплоскости 5*1
сети = const, мы во всех ее точках
значения х и у действительного течения грунтовой
"* в задачах фильтрации, по большей части, нужно
334
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
8 3
только определить основные элементы фильтрации: падение
напора и количество фильтруемой жидкости. Для этого нет
нужды знать все линии тока, а достаточно только рас-
смотреть изменение ® и на границах течения грунто-
вой воды.
Ниже мы даем решение четырех основных задач, которые
трактуются в тезисах Н. Н. Павловского.
§ 3. Фильтрация под плотиной через бесконечный филь-
трующий слой. На фиг. 5 представлена схема рассматривае-
мого течения грунтовой воды. Для направляющей сети берем
первую формулу (4):
У
Фиг. 5.
т. е. полагаем:
Для образующей сети полагаем в формуле (2):
с, — — с; с2 = = с; т = — i.
Получаем для образующей сети:
« . ф . С du
————г = — I —. - — - = arc cos — .
q q J у c2 — и2 C
* T. e. направляющей сетью являются два семейства прямых, парал-
лельных координатным осям.
§ 3
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
335
Обернем эту формулу:
? 1 Ф . ? .'? х | . и
cos — сп----1 sin — sh — =------г--i—
q q q q с c ’
и сравняем действительные и мнимые части:
x = c-cos — ch—, |
q q I
. ? , * I
u =—c • sin—sh —.
q q J
(6)
Мы получим здесь уравнения линий тока и эквипотенци-
альных линий в водоносном Грунте. Исключая из формулы (6)
параметр
—, находим для линий тока семейство софокусных
эллипсов:
— +— (7)
с2 ch2 — с2 sh2 -у-
Ч h
6
а, исключая из уравнения (6) параметр —, с помощью соот-
ношения:
ch’2-^-—sh2^ = l,
q q
получаем для эквипотенциальных линий семейство софокус-
ных гипербол:
Q 9 » О • Q «
C-COS-— с- sin2—
Ч Ч
Фокусным расстоянием семейств является ширина плотины
24S==2c, а величина параметров ® и '•< по полуосям а и Ь
определяется так:
(_ \ ф
ch’2 ——sh2 ' I = с’2 ch 2 —— =
Ч Ч ! Ч
= a’2-j-Z>2==2a2 —с2,
? _ Ь_ _ ] а2 — с2
£ q а а
(9)
336
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
На линии тока, непосредственно прилегающей к АВ (фиг. 5)
имеем 6 = 0 и а = с, а потому:
ф
ch2—= 1,
Я
или
ф !
е2Т -J-е""’ _
2
откуда '!> = 0.
Так как приращения 6 между двумя линиями тока дают
нам количество жидкости, протекающей между этими лини-
ями, то количество жидкости, протекающее под плотиной
до определенной линии тока, представляется величиной ’!<,
определяемой по первой формуле (9).
Что касается до величины д, то она определяется из
второй формулы (9) по потерянному напору. Согласно этой
формуле, потерянный напор представляется углом Й, который
асимптота ОМ соответствующей гиперболы CD образует
с осью Ох- Так как этот угол при переходе по линии тока
от А до В (фиг. 5) изменяется от 0 до ", то весь потерян-
ный напор г0 определяется из уравнения:
?о __ _
Я
откуда:
9=4- (1°)
На основании первой формулы (9) количество 4 жидкости,
протекающей в единицу времени между плотиной и линией
тока, соответствующею эллипсу с полуосью а, будет полу:
чаться из формулы:
2^_2^ « ип
?о с2 ?о с
Эта величина будет беспредельно расти с возрастанием а.
Но, так как размер водовместилища не беспредельно ве-
лик, как изображено на фиг. 5, а имеет конечную ширину
СА — а — с (фиг. 6), то можно с приближением принять эллипс
CD за граничную поверхность тока течения жидкости в грунте-
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
337
§ 4
тем более, что скорость течения по эллипсам убывает по
мере их удаления от фокусного расстояния АВ
Количество воды, протекающей через плотину ширины
2с при ширине водовместилища а-с будет, таким образом
определяться по формуле (11). f ’
§ 4. Фильтрация через водоносный слой, заключенный
в водонепропускающем грунте. Мы предположим теперь,
что вода, просачивающаяся через дно резервуара, движется
между двумя водонепроницаемыми поверхностями, как это
изображено на фиг. 7. На хА мы имеем постоянное значение
для <р; на постоянное значение для и, наконец, на
*’Х|1 ' опять постоянное значение для ’}'•
брощрощая сеть этой задачи получается из формулы ( )>
если положить:
ci = — с, с2 = с3 = 0, с4 = с, т = — i;
За*. 2386. — и „
• Е- Жуковский, т. VII.
22
338
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
взяв вместо д постоянную величину сд, получаем:
Фиг. 7.
Обертывая эту формулу, получаем:
С г ? ’t' _L • I? •
— — сп — cos--г- г sn — sin —.
ugg д д
Подставляем сюда:
и = г (cos л -j-1 sin л),
i = — (cos X — i sin X),
и г
§ 4 О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ 339
и сравниваем действительные и мнимые части, умножив по-
лученные равенства на с.
с2 , <? ф ]
— COS л = с • ch cos — , I
г Ч Ч I
с2 о . 4 | ^3)
— sin X = — с • sh — sin — -
Г q q ]
Соответствующая этим формулам сеть представляет ин-
версию из начала координат эллиптической сети, данной
формулами (6), с той разницей, что теперь <р = const на
эллипсах, а ф = const на гиперболах.
Для инвертирования нужно угол X каждого радиуса век-
тора с осью О? оставить без перемены, а радиус вектор р
изменить на г = уПри этом получается ортогональная изо-
еР *ическая сеть, представленная на фиг- 8. В ней рассто-
я между фокусами FF' = 2с.
СКих Направляющую сеть мы примем систему концентриче-
пои К₽УГОв» проведенных из точки О, и их радиусы (фиг. 9),
с°гласно второй формуле (4), в которой примем:
Р = с, е = 0,
22:
340
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
положим: . г
Х = ‘'^' I (14)
у = аХ- J
Наложим образующую сеть фиг. 8 на направляющую
фиг. 9 так, чтобы осн координат совпали, и пойдем по оси
Ю от оо до точки F. Мы будем прн этом на основании фор-
мулы (13) иметь постоянное значение для <р. Далее, переме-
щаясь от точки F до О, будем иметь, на основании той же
формулы (13), постоянное значение для Величина у, на
основании равенства X = 0, согласно формуле (14), будет на
Что касается величины х, то по первой формуле (14) она
будет положительна на бесконечном отрезке $F, перейдет
через 0 в точке F; сделается отрицательной на отрезке FO
и обратится в—оо в точке О.
Дойдя до точки О, повернем под прямым углом вниз и
пойдем по оси Cty от точки О до оо. При этом и будет
чисто мнимой величиной, а вторая часть формулы (12) будет
действительной величиной, следовательно, будет постоянно-
Так как Х = —, то на всем этом пути по формуле (14)
иметь: _17
У = «2-
Все рассматриваемое нами течение на плоскости t1»] мы
будем считать представленным в квадранте ЕОг]. В действи-
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
341
§2
тельном течении на плоскости фиг. 7 мы будем иметь ю = const
на бесконечном отрезке хА, причем точка А на фиг. 7 соот-
ветствует точке F на фиг. 8. На отрезке Ах' будем иметь
const, и, наконец, напрямой будем иметь тоже ^=const.
Это соответствует тому течению, которое мы искали.
Определим теперь количество протекающей жидкости,
причем предположим, что на прямой Ах' имеем ф = 0; тогда
значение ф на прямой х^х^ и будет это количество. Если
в точке А имеем ф = 0, то согласно формуле (13), в которой
надо положить г~с, Х = 0, получаем:
l=ch^.
Ч
Это показывает, что в точке А « = 0.
Количество протекающей жидкости представится значе-
нием ф = ф0 на плоскости Xjx/; прн этом, если мы считаем
это значение ф0 положительным, то должны рассматривать
течение жидкости на фиг. 7 справа налево и должны считать
что начиная от точки А в правую сторону, возрастает.
Это вытекает из правила знаков ф. Правило это такое:
если даны две линии тока и направление текущей между
ними жидкости, то для получения направления, в котором ф
возрастает, надо скорость течения, рассматриваемую как
вектор, повернуть около его начала на прямой угол в на-
правлении от положительной оси Ах к положительной оси Ау.
Разумеется, если мы найдем количество протекающей
жидкости справа налево при возрастании напора <р направо,
то это же количество будет выражать протекшую жидкость
слева направо при таком же возрастании напора справа налево.
Рассмотрим теперь точку В (фиг. 7).
Для нее по сказанному ф — 0, X = 0, х = — Ь, ® = '-?о- Г1°
формулам (14) и (13) имеем для этой точки:
г
— 6 = a 1g —, г—се °,
iT=0,
Л CS
е а = ch — ,
Ч
(15)
342
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
§ 4
причем второе уравнение (13) обращается в тождество. Пере-
ходим к точке D, лежащей под точкой В на нижней линии
тока, для которой
X = , х = — Ъ, у = h, ? = <?0'.
Получаем:
ь
“7 , *
г = се , у = ft = а-% ,
0=ch—cos—,
Я Я
Ъ ' !
Г , ®о • ?о
е = sh —sin-».
Я Я
(16)
Второе уравнение (16) дает нам:
(17)
Третье же принимает вид:
е“ = sh —. (18)
Я
Так как с беспредельным возрастанием b напоры <?0 и <?0
беспредельно возрастают, согласно формулам (15) и (18), то
при достаточно большом b можно считать и <?' большими
величинами и полагать:
Таким образом при достаточно большой длине плотины
АВ = Ъ уравнения (15) и (18) делаются тождественными и
обращаются в
или
а=^ + 1й2. («>
q а 1 *
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ 343
Из уравнений (17), (16) и (19) получаем окончательную фор-
мулу, определяющую количество просачивающейся воды по
разности напоров <э0, глубине канала h и длине плотины Ь:
6K + 2Alg2‘
2Л + 1«2
§ 5. Фильтрация воды под плотину со шпунтом. Мы рас-
смотрим для простоты случай одного шпунта, симметрично
расположенного под плотиной.
На фиг. 10 дана схема такого течения. По симметрии
очевидно, что ось ODy должна быть эквипотенциальной по-
верхностью. За образующую сеть в этой задаче мы прини-
маем эллиптическую сеть, изображенную на фиг. 5, которую
повторяем на фиг. 11, а направляющую сеть составляем по
первой формуле (5), приняв сначала е = 0. Полагая
£ + f\i = г (cos X + i sin X),
пайдем для направляющей сети:
4 х
х — а г cos -Q-,
2 (21)
4 7 . X
у = а г sin g.
344 О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ § 5
Эта сеть представит нам семейство взаимно ортогональных
софокусных парабол, имеющих фокус в начале координат
(фиг. 12).
На параболах, обращенных вогнутостью в левую сторону
(левая парабола), мы будем иметь постоянное значение для у,
а на параболах, обращенных вогнутостью в правую сторону,
будем иметь постоянное значение для х. Накладываем теперь
Фиг. 11.
сеть фиг. 11 на сеть фиг. 12 так, чтобы оси совпали (фиг. 12х)
Пойдем от -|- оо до — оо по прямой, прилегающей беско-
нечно близко к оси К7 (немного ниже ее). Для всех тех точек
пути kF мы будем иметь а = 0 и, так как через эти точки
проходит левая парабола (формула 21) с параметром у~0,
то во всех их будем иметь изменяющийся х при у = 0.
На отрезке FF' имеем ф = 0; при этом от F до О через
точки бесконечно тонкого эллипса будут проходить ,/евые
параболы, и мы будем иметь у — Q при изменяющемся х.
Вступая в точку О в начале отрезка OF', мы увидим, что
левые параболы сразу заменятся правыми. Мы получим на всем
отрезке OF' значение х = 0 при возрастающем у. Когда мы
дойдем до точки F' (для которой будет г=с) это зна-
_1 1_
2 2
чение увеличится до у =я с .
§5
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
345
При дальнейшем передвижении по отрезку F'V постоянной
величиной сделается координата х будет тоже оставаться
постоянной х = о, коорди-
ната же у будет продол-
жать возрастать до бес-
конечности. Таким обра-
зом вся полуплоскость,
расположенная на фиг. 5
под осью К' (мы пред- £
полагаем, что на фиг. 5
буквы х и у заменены
на 5 и т|), на фиг. 10 пре-
вратится в квадрант хОу.
Течение, симметричное
'i
Фиг. 12.
данному и расположенное
в квадранте уОх, в кото-
ром на оси Оу будут ско-
рости, одинаковые по ве-
личине и направлению
со скоростями вышенай-
денного течения, сомкнув-
шись с ним, дает все
течение грунтовой воды
в нашей задаче со шпун-
том. Разрешим вопрос о
количестве протекающей
воды под плотину со
Шпунтом. Формулы (6), в
которых мы заменим
х и у на Е = г cos X,
rsin X, напишутся так:
rcosX = ccos j
rsmX = __Csin A.shi. I
9 4 J
мы имеем Х = 0 и г=с. Это тре
и ф = 0
Для Точки А (фиг. 10)
бует, чтобы в рассматриваемой точке было ® = 0
346
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
При этом, так как на всем отрезке Ах (соответствующем Л;)
функция 9 должна быть постоянна, т. е. нулем, то, с возра-
станием г, 41 будет беспредельно возрастать.
Согласно правилу: для получения направления, в котором
возрастает ty, надо вектор, представляющий скорость, повер-
нуть около его начала в направлении от положительной оси Ох
к: положительной оси Оу,—заключаем, что формулы (22)'дают
нам на фиг. 10 течение жидкости с правой стороны на левую.
Функция а при этом возрастает, идя под плотиной в левую
сторону. Но, разумеется, количество протекшей жидкости при
таком расположении будет то же самое, как при течении
слева направо, изображенном на фиг. 10. Надо будет только,
чтобы напор » в точке В в первой задаче был равен раз-
ности напоров в точках А и В в заданной задаче.
Определение ф по разности напоров в точках А и В и
данным с и а по уравнению (22) будет такое же, как опреде-
ление этой величины по формуле (6).
Полагая для точки Е (фиг. 10):
® = 0, X = 0, г = а,
найдем:
6___а
Я с
ch
(23)
С другой стороны, для точки D имеем л = к, г = с, ф = 0,
%
и функция а имеет значение > равное половине разности всего
напора, удерживаемого плотиной. Поэтому первая фор-
мула (22) дает для этой точки
cos 5s —
2g
Отсюда заключаем, что
_/о
2g
g =
ТО
2к
(24)
§ 5
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
347
Исключая с помощью этой формулы q из формулы (23), на-
ходим:
(25)
Здесь надо выразить а через величину ОЕ = а0 и с через
величину ОА = с0. На основании формулы (21) имеем при
Х=0, г=а:
£ £ 2 1
2 2 2 2
а0 = а а , с0 = а с ,
откуда:
Подставляя в формулу (25), находим:
, 2к<Ь а02
Уо со
(26)
где 2с0 на фиг. 10 будет ширина плотины АВ.
Сравнивая формулу (26) с формулой (11), отбросив в фор-
муле (11) величину (— 1), видим, что количество воды, про-
текающей без шпунта, больше количества воды, протекаю-
щей при шпунте.
Рассмотренный нами случай, полученный из первой фор-
мулы (5) при е = 0, дает нам на фиг. 10:
АО = OD = с0,
Т- е. соответствует длине шпунта, равной половине ширины
плотины. Для получения формулы, выражающей количество
протекающей воды при произвольной длине шпунта, надо по-
ложить:
Полагаем:
Получаем:
£ £
х + <уг = “20 — e + ^z)2 •
£— e = pcosp» TQ = psinH-
i i
"«-Г u.
Х = сГр~ cos-^,
1 1
2 2- Р
У = а Р Sin 2 •
(27)
(28)
348 О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
Формула (28) показывает, что направляющая сеть будет
попрежнему состоять из софокусных взаимноортогональных
парабол (фиг. 12), только теперь, в силу соотношения (27),
надо будет при наложении направляющей сети на образую-
щую поместить фокус парабол на ось ОЕ в точку М фиг. Ц
на расстояние ОМ=е от точки О и считать х и у (фор-
мула 28) от этой точки. Мы принимаем е < с, так что этот
фокус попадает на отрезок OF фиг. 12".
Предполагая, что такое наложение сетей друг на друга
сделано, пойдем от -|- оо к — оо по оси ЕЕ'.
Рассуждая по предыдущему, найдем, что на пути EF будем
иметь ® = 0, у = 0, х изменяющийся; на пути FM будем иметь
Ф = 0, у — 0, ах изменяющимся; при переходе на отрезок MF'
получаем Ф = 0, х = 0, у изменяющийся, и, наконец, на от-
резке F'E получаем ® = const, х = 0, у беспредельно возра-
стающий.
Величина р в формуле (28) представляет расстояние рас-
сматриваемой точки сети (фиг. 12") от М, а угол р- для точек
отрезка ЕЛ/будет равен нулю, и для точек отрезка Л// будет
равен «. На основании этого формулы (28) дают нам располо-
жение линий тока, изображенное на фиг. 13.
Здесь:
1 1
М=а2(с-е)2,
£ 1
MD = а? (с-\~ е) 2.
(29)
К полученному течению, заключенному в квадранте хМу,
мы присоединяем симметричное течение, заключенное в квад-
ранте уМх', так чтобы скорости на отрезке Dy были оди-
наковы по величине и по направлению. Тогда получим все
искомое течение, изображенное на фиг. 13. Количество про-
текающей воды определится по формуле (25), в которой а
и с надо заменить элементами, взятыми на фиг. 13. Введем
обозначения:
МЕ = а<_„ МА = с0, MD = h.
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
349
На основании формулы (29) и аналогичного выражения для а0
имеем: * t
с8=а2 (с—е)2 ,
1 1
а0 = а2 (а —е)2 ,
. 2 2
Л==а2(с+е)2>
— («о2 — со2)~а~ с,
а
- (а02 + А2) = а + с,
а
откуда:
а — [2а02 — (с02 — А2)],
С = ^(А2+с02).
(30)
Подставляем выра-
жение’(13) в формулу
(25), получаем:
, 2^"“
сп---=
2ар2 —с02 + А2 ,„п
“ А2 + с02 '
При А=срэта формула
обращается в формулу
, (25); если же h мало
сравнительно с с0, то
Фиг. 13.
2а02 . I__А2
2а02 — с02-|-А2 _ с02 с02 2а02 _ j
А2 + с02 _А^ ср2
1 । 2
° А
и формула (31) обращается в формулу (11). Увеличивание
уменьшает правую часть формулы (31), т. е. увеличение длины
шпунта при той же ширине резервуара и плотины умень-
шает количество протекающей жидкости. При приближении
350
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
§ 6
h к оо вторая часть формулы (31) обращается в единицу, и
мы получаем ф = 0, т. е. плотина жидкость не пропускает.
§ 6. Движение грунтовой воды с образованием поверх-
ности осушения. В § 1 разъяснено, что на поверхности
осушения о — k~[y есть величина постоянная; вместе с этим
эта поверхность должна быть поверхностью тока, т. е. на
ней должно быть = const. Чтобы отыскать течение, которое
ограничено известными поверхностями тока и эквипотенци-
альными поверхностями и подлежащей определению поверх-
ностью осушения, рассмотрим две изотермические ортого-
нальные сети, из которых первая сеть, которую будем
называть образующей сетью, состоит из линий
о = const и ф = const,
а вторая сеть, которую будем называть направляющей сетью,
состоит из линий
с— kyy — const, ф-f- к"\х = const.
Так как X ==? + ’}'* есть функция мнимого переменного
z = x-\-yi и
? + + — к~[у + (ф + кч x)i
есть тоже функция этого переменного, то, положив
6i = <?~к1у, )
6„ = Ф-|-А-тх. I
(32)
и установив некоторую гсвязь между z = х -|- yi и мнимым
переменным и = £ tjz, можем рассматривать
Х = ? + Фг и 6 = 61-]-08г,
как функции мнимого переменного и. Зададим теперь на
полуплоскости Е-»] выражение х и 0 в функции от и
формул (2) и (5) (вторая формула):
и
в виде
_________qdu_____
'u — cjiu — c^u—c^ ’
hdu
6 = т
Ц — Ь1)(и — Ь2)(и—Ьз) ... ’
(2)
(5)
§ 7
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
351
Мы будем иметь на отрезке с)1спл.1 оси абсцисс или
о = const, или 4 = const, а на отрезке b„bll+1 будем иметь
f)1 = const, или % — const. Если на рассматриваемом отрезке
одновременно о = const и 0, = const, то мы найдем горизон-
тальную эквипотенциальную поверхность; если же на этом
отрезке имеем одновременно ф = const и б2 = const, то мы
получим вертикальную стенку для поверхности тока; нако-
нец, если на рассматриваемом отрезке <р = const и 01=COnst,
то это будет соответствовать поверхности осушения.
7. Просачивание воды под плотину со шпунтом с обра-
зованием поверхности осушения. Предположим, что стена
плотины BD водонепроницаема. Эта стена погружена на глу-
бину AD в водопроницаемый грунт. Вода, находящаяся в ре-
зервуаре на глубине В А = Л, проникает сквозь его горизон-
тальное дно СА\ потом вода, примыкающая к плотине, дви-
жется по вертикальной поверхности тока BD и, устремляясь
при точке D в водопроницаемый грунт, образует поверхность
осушения DE, которая может пересечь земляной край пло-
тины BE и образовать в точке Е выход воды за плотину.
Построим для этой задачи образующую и направляющую
сети. Для первой сети берем в формуле (2) под корнем только
один множитель и полагаем т = — г.
7. = '? + ^= —/ С — — — 2qi(u—c)^ .
J (и — с)2
Подставляем сюда
и — с = г (cos X -f- i sin X).
Получаем:
» 4.x
2^ =r sinT’
4- 4 x
= ---r - COStt .
(33)
Это семейство представляет софокусные пара олы,
Щие фокус F на расстоянии OF= с. Для получения
вляющей сети полагаем во второй формуле (5):
— bx = b.2 = e.
352
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
§ 7
Это будет эллиптическая сеть, построенная (фиг. 15) на
фокусном расстоянии FF4. Предположив ее совмещенной с па-
раболической сетью так, как представлено на фиг. 15, пойдем
по оси К'.
На отрезке ZF имеем по формуле (34):
’1=0. ^2 = 0,
и по формуле (33):
1 = 0, 9 = 0;
§ 7 _______О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ 353
посему АГ = О; на отрезке FF' получаем по формуле (34):
•*] = (), б-|-£т*=о,
и по формуле (33):
>• = », 4 = 0,
а посему х = 0, наконец, на отрезке Л' имеем по формуле (34):
п <?— £уу
*1 — °’ -2/---= =
и, по формуле (33):
л = -, 6 = 0;
поэтому мы будем иметь Ft' поверхность осушения, опреде-
ляемую по постоянной величине
*тЛ = 29'к. (35)
Составим теперь уравнение этой линии осушения DE
(фиг. 14).
Первая формула (34) дает на отрезке Е
, kyx
5= —ech о г>
2?
по первой же формуле (33) находим, обращая внимание на
Фиг. 15:
®as. 23Se. — н. Е. Жуковский, т. VII.
23
354
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
Но на отрезке F;':
в=2
2/
следовательно, исключая ;, находим:
2q V \
Так как •
то найденную формулу можно будет написать еще так, обра-
щая внимание на формулу (35):
= - ух
2q 1 4q'
Входящий сюда параметр у' определяется по формуле (35):
, kyh
Я =—
(36)
2~
что же касается до параметра q\/ е, то мы его определяем
по высоте шпунта AD = Н.
Подставляя в формулу (36) х = 0, у — Н, найдем:
k^h-\-H) = yTe
2q
Следовательно,
/ = ch —
л + н 4с' '
Так как по формуле (35):
2/-Щ-,
то уравнение кривой осушения представляется в такой про-
стой форме:
Л+Т?-сЬ2Х
(37)
„ d-y
1ак как —положительна, то ливияосушения располагается
к горизонтальной оси Ох своей выпуклой стороной, как это
§ 8
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
355
изображено на фиг- 14. То обстоятельство, что мы считаем
координату х на линии DE отрицательной, не влияет на фор-
мулу (34\ так как ch —четная функция. В точке D на
фиг. 14 направление скорости движения подпочвенной воды
изменяется скачком. Это показывает, что точка D является
Фиг. 16.
критической точкой нулевой скорости, и линии токов возле
этой точки расположены так, как представлено на фиг. 16.
§ 8. Воронка осушения. Мы рассмотрим эту задачу при
течении грунтовой воды в двух измерениях. Предположим,
что горизонтальный водосбор отсасывает на единицу своей
длины из водоносного слоя количество воды 2Q; при этом
вследствие продолжительности действия водосбора около
него в песках водоносного слоя образовалась поверхность
осушения.
Пусть ABCD (фиг. 17) будет живое сечение водосбора,
в котором вода вытекает из дна DC вверх, a ED и CL, сим-
метрично расположенные правая и левая поверхности осуше-
ния. Согласно сказанному в конце § 1, на поверхностях осу-
шения мы должны иметь ® — к~1У = hkyt, где согласно нашей
фиг. 17 у есть отрицательная ордината, a h есть подвешенная
’ 23 s
356
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
§ 8
волосностью высота. Это можно увидеть и непосредственно
на фиг. 17. Жидкость течет от Е к D под разностью напоров
PQ—ST= — PQ),
an
так что
h
но
PQ = (-y)-h-,
следовательно,
— —у —Л, <? — kyy = k'(h.
Рассматривая фиг. 17, мы будем иметь для половины гра-
ницы рассматриваемого течения контур EDOy, состоящий из
линии осушения ED, горизонтальной эквипотенциальной ли-
нии DO и вертикальной линии тока Од. Здесь за направляю-
щую сеть надо принять софокусные параболы, а за обра-
зующую сеть софокусные эллипсы и гиперболы и располо-
жить их так, как это представлено на фиг. 18.
Часть ZF будет соответствовать на фиг. 17 линии осуше-
ния ED, часть FF' горизонтальной эквипотенциальной линии
DO и часть F** вертикальной поверхности тока Оу.
§ 8
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
357
Называя через т и X полярные координаты^ соответствую-
щие полюсу F'у устанавливаем нижеследующие связи:
9 —Uy —= \ X ]
29 i 2’ I (38)
Л + ^ + ^' = гт<;о^| , ’
На отрезке zF будем иметь по формуле (38), при X — О,
9 — Т ky - к khz
по формуле (39), при = 0, будем иметь = 0, что дает нам
линию осушения; на отрезке FF' по формуле (38) будем
иметь, при Х = 0,
9— ^ky = ykh,
а по формуле (39), при т( = О,
9 = 0;
следовательно, у = —h, что дает горизонтальную эквипотен-
циальную поверхность; наконец на F"z' при X = к имеем.
4 + f кх у kh' = 0,
а по формуле (39) при tq = O имеем:
9 = 2-9', (40)
358
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
откуда:
2^9'-)-7 ЛА'
При этом, приписывая постоянному h' значение:
найдем х = 0, т. е. отрезок F'z' представит нам вертикальную
поверхность тока Оу.
Составим теперь уравнение линии осушения DE.
Согласно второй формуле (38) и фиг. 18, имеем при >• = О,
6 = 0:
(41)
^Ч
С другой стороны, первая формула ^39) дает при т( = 0:
*=0,
е = есЬ *!&+*).
А
Исключаем Е из уравнений (41) и (42):
Г е I j + ch + П ,
29 \ \ 29 /
или
=VТе ch .
2д 1 4/
(42)
(43)
Входящие сюда параметры q’, q н | е определяются так.
Приращение 6 от точки D до точки О (фиг. 17) есть поло-
вина всего количества воды 2Q, высасываемого на единицу
длины водосбора. Поэтому на основании формулы (40):
6 = Q.r.q' = — Q, 2q =------.
С другой стороны, если ширина водосбора есть 26, то
ПрИ х = Ь мы должны иметь у= —А. Поэтому:
[-J9to+A)1.
а также
^±±^ = /21
2?
О ПРОСАЧИВАНИИ ВОДЫ ЧЕРЕЗ ПЛОТИНЫ
359
Разделяя друг на друга эти два равенства:
Ivtx+Q _ , r.k'i (у’ — h)
Ы + Q Ch 2Q
(44)
Это будет уравнение линии осушения ED, причем ордината у'
откладывается на
фиг. 17 вверх. То обстоятельство, что
dy
есть положительная величина, показывает что кривая ED
обращена к оси Оу своей выпуклой стороной, как изобра-
жено на фиг. 17. Кривая осушения вполне определяется по
ширине водосбора и по количеству 2Q отсасываемой им воды.
Решенная здесь задача одинаково относится и к задаче о пи-
тании реки водоносны^ слоем. При этом интересно указать,
что, определяя из уравнения (44) величину у’ по заданному х,
мы находим глубину колодцев на расстоянии х от рекн.
Эта работа была написана проф. Н. Е. Жуковским в 1920 г. Напеча-
тана работа была в „Издании опытно-мелиоративной части НКЗ“, вып. 30,
1923 г. под редакцией преподавателя Московского высшего технического
училища Н. Г. Ченцова.
Следует отметить, что в втой посмертной статье проф. Н. Е. Жуковского
есть неточности н не совсем ясные места. Так, доцент Саратовского уни-
верситета Б. К. Рнзенкампф обратил внимание на допущенные промахи
прн решении двух последних задач.
Редакция предполагает поместить заметку по поводу этих неясностей
в X томе, посвященном посмертным работам проф. Н. Е. Жуковского.
Прим. ред.
LEAKAGE OF WATER THROUGH DAMS
In the analysis of the problem of the leakage of water
through dams a certain surface, which is termed by Prof. Jou-
kovsky “the drainage surface", enters into consideration. This
surface divides the wet soil through which ground water is
flowing, from the dry soil. Experiments conducted by means of
the apparatus shown is Fig. 1 lead to the conclusion, that on
the surface of the drained layer from which water is drawn
there are formed ’capillary funnels, as shown at the top of the
drawing in Fig. 2. These funnels bring about a fall in pressure
observed, when the drained layer is being crossed. When the
water instead of being drawn away from the surface of the
wetted sand is, on the contrary, driven out through the sur-
face into the dry soil, the formation of capillary bags must be
expected, as shown in the lower part of Fig. 2. When the sur-
face of division is traversed in a downward direction, these
bags give a rise in pressure, the maximum of this rise depen-
ding on the properties of the soil.
Starting from these properties of the drainage surface and
basing on the law established by D u p u i t, according to which
the velocity of flow of a liquid through the soil is equal to
the gradient of the function <? = k^H, where к is the coefficient
of permeability, 7 = density, and H loss of head, Prof. Joukov-
sky deduces the following mathematical condition defining the
drainage surface.
The drainage surface is a surface of flow = const, on which
о—k^y is a constant.
In problems relating to the leakage of water through dams
it can be assumed, that the motion of water is parallel to the
vertical plane at right angle to the dam. In such case the
potential function and the current function will be functions
SUMMARY
361
of two coordinates x and у and 7. — 9 will be a function
of the complex variable z = x'-\-iy. To establish the relation
connecting the variables / and z Prof. Joukovsky uses the
method given in his paper “A Modification of Kirchhoffs Method",
introducing an auxiliary variable u = c + fr(, and putting
du
/(u — c^lu — c2)(u — c3)... ’
where Cj < c2 < c3, • - - are real numbers, and m is equal either
to —1 or to ztz. The variable z has in different problems dif-
ferent meanings, viz
z — и (a); z = lg U g-е (b); 2 = a 2 (u — e) 2 (c);
Mu (d),
и — bj(u — b,2)(u— bs)...
hdu
z = m
u — bj(u — b.2)(u — b3)...
/ (e),
where a, f, e, 62,... are real numbers.
Equating the real or the imaginary part of the function /
to a constant an orthogonal set of curves is obtained below
the c-axis (the rpaxis being directed downward) in the plane
of u, called by Prof. Jourkovsky the generating set. Similarly,
equating to a constant either the real or the imaginary part
of the function z, or of the function O==/Zrpz-f~z another ortho-
gonal set is obtained in the plane of u, which Prof. Joukov-
sky calls the directing set. Superposing the two sets of curves,
the function /. or 6 and the function z, corresponding to the
same point in the plane of u, are obtained and thus there is
established the relation between the two functions.
The functions /, 6, z were chosen by Prof. Joukovsky so as
to make constant either the real or the imaginary part of the
function 7 or 0 on certain portions of the $-axis, or of the
rraxis representing on a plane u the boundaries of the liquid,
thus the portions of the E-axis or of the ^-axis referred to were
made to correspond either to lines of flow, or to equipotentia
lines or the drainage surface.
362
SUMMARY
Prof. Joukovsky applies the general theory to solve the
following six problems, of which the first four deal with the
flow of water under hydraulic structures, when there is formed
no drainage surface.
Problem 1. Filtration of water under a dam through an infi-
nite filtrating layer (Fig. 6). In this problem it is taken for the
generating set a system of confocal ellipses and hyperbolas
(Fig. 5), and for the directing set a system of straight lines
parallel to the ;-axis and parallel to the rj-axis [formula (a)]. The
volume of water passing under the dam is given by formula
(11), in which % = head difference, a=OC and c = OA.
Problem 2. Filtration through an aquiferous layer enclosed
between impervious strata (Fig. 7). For the generating set is
taken a set (Fig. 8) obtained from a set of confocal ellipses and
hyperbolas by inversion in a circle having the segment between
the foci as diameter and for the directing set — one shown in
Fig. 9 [formula (b)]; (e = 0; p — c). The volume of water passing
under the dam is given by formula (20), in which % — head dif-
ference, b — width of the dam, h — depth of the canal.
Problem 3. Filtration of water under a dam provided with
sheet piling at a depth equal to half the width of the dam
(Fig. 10). For the generating set is again taken the elliptic set
shown in Fig. 11, and for the directing set — one formed by con-
focal parabolas (Fig. 12; formula 3). The volume of water Ф pas-
sing under the dam is given by formula (25) in which 2c0 — width
of the dam and a0 = OE (Fig. 10).
Problem 4. Filtration under a dam provided with sheet pi-
ling at a depth h~MD (Fig. 13), which is not equal to half
the width of the dam c0 = MA. The directing set and the
generating set are the same as in the preceding problem, only
the focus of the parabolic set is located not at the centre of
the elliptic set but at the point M at a distance e from centre О
(Fig. 12). The volume of water passing under the sheet piling
is given by formula (31), where <p0 — head difference, Oq and co
have the same meaning as before.
Problem 5. (§7). Filtration of Water under a dam provided
with sheet piling, when a drainage surface is formed. The di-
recting set and the generating set are the same as in the two
SUMMARY
363
preceding problems, but the focus of the parabolic set coincides
with the right hand focus F of the elliptic set.
This latter is taken as the set of the function 0, i. e. for
one family of lines, on the ellipses о — k^y = const, and for
the other family, on the hyperbolas -j- kyx = const. Equation
(37) is the equation of the drainage surface. The meaning of
the notations: h = AB, H—AD (Fig. 14).
Problem 6. (§8) To determine the drainage surface for an
intake drawing from the ground a volume of water Q per unit
length of the intake (Fig. 17). The directing and the genera-
ting sets remain the same, but now the focus of the parabolic
set coincides with the left focus of the elliptic set, the latter
being set of the function 0 — z-f- ikyz \ + ?7i).
О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ В ОТКРЫТОМ КАНАЛЕ И
О ДВИЖЕНИИ ГАЗОВ В ТРУБАХ
(1922 г.)
§ 1. Задача о движении газов в трубах. Задачу о дви-
жении газов в трубах я буду рассматривать, имея в виду вы-
сокие напоры, большие скорости и трубы небольшого диа-
метра; тогда потеря напора, главным образом благодаря тре-
нию, становится очень большой. Прямо парадоксальным ка-
жется, как сильно падает давление при течении воздуха по
весьма тонким трубам.
В Московском университете производились опыты над
истечением воздуха из котла через трубочку 2 мм диаметром
и 20 см длиною; на такой незначительной длине давление
падает на несколько атмосфер.
Я буду рассматривать задачу применительно к движению
воздуха, хотя для вас было бы интереснее прослушать о дви-
жении пара; но перегретый пар можно рассматривать, как
воздух.
Вычисленная по обыденным формулам гидравлики потеря
напора при движении газа в трубе получается большей, чем
в действительности.
В гидравлике обычно считается, что потеря напора на
трение пропорциональна коэфициенту трения газов о стенки
трубы и квадрату скорости и обратно пропорциональна ра-
диусу трубы, так как потеря относится к массе протекающей
жидкости, а трение пропорционально величине поверхности
стенок трубы1.
1 Сила треиия в таком случае пропорциональна поверхности стенок
трубы и плотности газа. Прим. ред.
§ 2 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ 365
Точная формула для потери напора значительно отступает
от указанной.
§ 2. О скачке воды в открытом канале. Существует
большая аналогия между движением газа в трубе и течением
жидкости в открытом узком канале с вертикальными стен-
ками. Ту роль, которую при движении жидкости между двумя
Фиг. 1.
стенками играет высота ее, при движении газа в трубе играет
его плотность.
Все понятия, которые имеют место при движении жид-
кости, особенно понятие о скачке (фиг. 1), имеют место и
при движении газа.
На фиг. 1 представлен прибор, находящийся в меха-
ническом кабинете Московского университета для изучения
скачка воды-
Вода, налитая до некоторого уровня в сосуде А, вытекает
через отверстие В в канал, образованный двумя параллель
ными вертикальными стеклами СС, и стекает в бочку. Ши
рина отверстия В равна расстоянию между стеклами 10 см,
высота отверстия может изменяться задвижкой D. Расход
воды в сосуде А возмещается притоком ее из водопровода.
366 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ § 2
Дно канала сделано также из зеркального стекла и располо-
жено горизонтально-
При горизонтальном расположении дна канала все явле-
ния, связанные с трением воды о стенки, выступают наибо-
лее просто и наглядно.
В курсах гидравлики обычно рассматривают движение
воды в наклонном канале, причем основные черты явления
затушевываются подробностями.
Выведем законы движения воды в этом канале, принимая
во внимание трение ее о боковые стенки и пренебрегая тре-
Фиг. 2.
нием о дно и о воздух
(прилегающий к жидкости
сверху). Количество воды
Q, вытекающее в единицу
времени (секунду), опре-
деляется непосредственно,
так как вся вытекающая
вода собирается в бочку,
и количество ее точно
измеряется.
Движение считается установившимся, и потому количе-
ство вытекающей в секунду воды Q постоянно и от вре-
мени не зависит.
Основное уравнение расхода будет:
vby = Q,
(1)
где все величины должны быть выражены в однообразных
единицах; если, например, ширина канала Ь выражена в м
и скорость v — в м1сек, то количество вытекающей жидкости Q
должно быть выражено в м31сек.
Деля количество вытекающей воды на ширину канала Ь
и на высоту уровня воды у, получаем скорость.
Где высота меньше, там скорость получается больше.
Составим диференциальное уравнение движения жидкой
массы, текущей в канале (фиг. 1). Проведем два весьма близ-
ких сечения, перпендикулярных оси канала, на расстоянии dx
друг от друга (фиг. 2) и найдем внешние силы, действующие
на заключенную между ними жидкую массу. С достаточной
§ 2
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ
367
степенью точности можно принять, что давление жидкости
распределяется по гидростатическому закону, т. е. возрастает
пропорционально глубине.
Величина этого гидростатического давления на расстоянии
z от дна канала равна:
KG —z),
где т—весовая плотность жидкости (вес единицы объема).
Умножая гидростатическое давление на элементарные пло-
щадки bdz и суммируя по всей высоте у, получим полное
давление на выделенный объем слева равным:
?/
J — z) bdz = —-tУ—, (2)
и
таким образом давление слева равно весу столба жидкости,
имеющего основанием данную площадку, а высотой — рас-
стояние центра тяжести площадки от свободной поверх-
ности жидкости. Также найдем и давление справа.
Чтобы найти силу, действующую на выделенный объем
в положительную сторону оси х, нужно взять диференциал
выражения (2) и поставить перед ним знак —. Получим:
,/ Ьу2\ , , л
— Т I = — \bydy *.
Так как на фиг. 2 dy < 0, то силы гидростатического давле-
ния (в нашем случае) действуют вправо.
Сила трения о боковые стенки канала равна коэфициеиту
трения ;, умноженному на площадь стенок lydx и на квадрат
скорости 4
— ;и2 • ‘lydx.
я Действительно, разность давлений слева и справа равна:
= _]М„.
1 По иытам в Московском университете (для воз-'уха
? = 0,0002 кг • сек.2 • jh-4. Бресс на основании опытов с трубами предла-
гает брать для воздуха 3 = 0,00033 кг-сек--м 4. Разницу в найденных
значениях : можно объяснить тем, что в трубе н в открытом канале
явления различные.
Если воздух обтекает доску, поставленную параллельно потоку (Zahm».
Сорокоумовский), то коэфициент треиия ; получается меньше, чем при те
чении воздуха в трубе (Морошкин, Адамчик).
368 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ § 2
По теореме Эйлера все внешние силы, действующие на
некоторый объем жидкости, по величине и направлению
эквивалентны разности секундных количеств движения выте-
кающей и втекающей жидкости.
Полагая скорость по всему сечению трубы одинаковой и
равной v, найдем количество движения втекающей жидкости
равным:
mv = — Q v — — byv2,
S g
где
g — 9,81 м':сек2,
7— вес 1 лг‘ жидкости,
Q
Отсюда, после подстановки, находим:
Тогда разность количеств движения вытекающей и втекаю-
щей жидкости будет равна
,/ ______L Qa dy
\ by ’ g / g ' b ’ у2 '
Теорема Эйлера для нашего случая напишется так:
— d ( 7 Ь I — 2ydxvu2 = d I v^by— j ; (3)
или, раскрывая диференциалы,
— -ibydy — 2ydxrf = ~' "у- ’ <3 ')
отсюда определяем наклон уровня текущей жидкости в на-
правлении течения:
dy __ %.уу*_____2; gyv2
~s’~
§ 2 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ
369
Из этой формулы можно вывести важное заключение,
а именно, определить, когда уровень воды падает и когда он
поднимается.
В гидродинамике доказывается, что волна на поверхности
мелкой воды распространяется со скоростью
X=Kj?.'7- (4)
Если глубина воды у значительна, то скорость волны
довольно велика; если же вода течет тонким слоем, то волны
по ее поверхности распространяются медленно.
Замечая, что gy есть не что иное, как квадрат скорости
dy
волны, выражение для можем представить в виде:
dy 2; л2 V-
dx yb v2 — №
В результате оказывается следующее: если высота, кото-
рую мы имеем в данном месте, такова, что скорость волны
больше, нежели скорость течения жидкости в этом месте, то
знаменатель формулы (5) будет отрицательным. Если,
наоборот, скорость течения больше скорости волны, соответ-
dy с.
ствующеи высоте канала в данном месте, то будет поло-
жительно, и жидкость в канале будет забираться вверх. Там,
dy
где v равно X, знаменатель превращается в нуль, a j вЭО!
подходя к этому месту, вода забирает все вверх и вверх и,
дойдя до него, сразу вскакивает наверх; образуется скачок,
так называемый, скачок подъема.
В механическом кабинете Московского университета над
скачком воды делались мною наблюдения, и результаты их
весьма хорошо совпадают с теорией.
Действительно, скачок получается там, где высота уровня
воды равна той высоте, при которой скорость волны равна
скорости течения жидкости-
Примеры образования таких скачков можно наблюдать
после дождя прн течении воды по асфальту или в выемках
трамвайных рельс.
Зак. 2386. — H. Е. Чуковский, т. VII.
24
370
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ § 2
Скачки эти происходят вследствие
тонким слоем, скорость волны мала, и
в скоростях течения воды делают эти
то меньше скорости волны-
Интегрируя уравнение (3), найдем
поверхности воды, текущей в канале- Заменяя в уравнении (3)
Q
v через и меняя знаки, получим:
того, что вода течет
маленькие изменения
скорости то больше,
уравнение свободной
А л i_2cyQ2
dx =
1.2. if.
g ’ Ь у2’
умножая на у, получим:
2Е(? , т Q~ dy ,
- р- dx = • 7 • — \by-dy,
о- g О у
откуда:
2;Q’x
b2
j 5 -- Т
(6)
В правой части стоит функция одного у, поэтому, давая
произвольному постоянному С различные значения, мы тем
самым продвигаем всю кривую вправо или влево параллельно
оси х- Чтобы вычертить кривую, изображаемую уравнением (6),
можно придать С какое-нибудь постоянное значение и
затем, задаваясь рядом последовательных положительных
значений у, начиная от нуля, вычислять х- При у —0 будет
х = — сю; затем х возрастает, достигает некоторого макси-
мума, и затем снова, уменьшаясь, уходит в — оо.
Значение xmal находится обычным путем, ' приравнивая
нулю производную по у от правой части уравнения (6):
Х^±_7бу,2=о, g ь у,
откуда: <’>
тогда xmaI должно удовлетворять уравнению:
-*чпах ” <8>
§ 2 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ 371
Таким образом оказывается, что высота воды yt при
х хтел вполне определяется по количеству протекающей
воды.
При у<У1 член Л- в уравнении (6) весьма мал, кривая
в своей нижней ветви мало отличается от логарифмической
кривой.
При значении у > ух член 1g у по сравнению с ста-
новится малым, и кривая в своей верхней ветви близка
к кубической параболе. Для каждого значения у имеется
одно значение х, а каждому х < хтах соответствуют два
значения у.
х Ц=0,05мЗ/сек Ь*0,05м ^0.3
0,12
0,10
0fi8
О, (К
О _______
0.5м О/. 0,3 0,2 0,1
Фиг. 3.
О2
Заменяя в уравнении (7) — через и принимая
во нимание, что <4^1 = л12, получим:
.?У1 'ч2
т. е., при скачке г>, = л„ х имеет максимум, а ^==оо.Если
каждая кривая (6) вычерчена по данным Ь, 7 и Q, то с ее
помощью могут решаться различные вопросы о виде свобод-
ной поверхности воды, текущей в канале, и о месте скачка.
Для данного канала, характеризуемого шириной Ь и коэ-
фициентом трения Е, и для данного расхода воды Q кри-
вая (6) имеет вполне определенный вид и размеры, так как
все коэфициенты уравнения (6) известны.
Например, на фиг. (3) представлена кривая, вычерченная
по размерам изображенного на фиг. 1 прибора Московского
университета.
24
372 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ § 2
Если в каком-нибудь месте канала, например при входе
в него воды из сосуда А через отверстие В (фиг. 1), дана
высота уровня у (равная высоте отверстия В), то сейчас же
можно найти то место канала, где должен произойти скачок.
Действительно, зная у, найдем по уравнению (6) соответству-
ющее х, а затем по уравнению (8) — абсциссу места скачка
xmaV Разность х — хты. дает расстояние места скачка от
входа воды в канал. Практически следует вычертить кривую
по формуле (6) в том же масштабе, в каком вычерчен канал,
и заставить ось х-ов скользить по дну канала (см. фиг. 4),
пока кривая не пройдет через верхний край отверстия; тогда
самая кривая укажет линию уровня, а вершина кривой —
место скачка.
Если с краем отверстия совпадет нижняя ветвь кривой,
то скачок будет скачком повышения. Если верхняя—то
скачком понижения.
Приведенный анализ не учитывает того обстоятельства,
что вблизи скачка слои жидкости не параллельны, и не
принимает во внимание вертикальных скоростей. В действи-
тельности, перед скачком происходит крутой подъем воды.
Вследствие этого, чтобы иметь право делать допущения пре-
дыдущего анализа, вблизи места скачка нужно теорему
о количестве движения прилагать уже к конечному объему
жидкости между теми сечениями канала, где скорости на
поверхности воды можно считать горизонтальными, взяв за
§ 2
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ
373
конечное сечение после скачка сечение, проходящее через
вершину волны. Пренебрегая трением на той небольшой
длине канала, на которой происходит скачок, можем написать
аналогично уравнению (3):
W2 , 1У'2 , Т п, , .
у- 6--у-6 = — ~v).
(9)
Заменяя у~ через -р — , получим:
Фиг. 5.
откуда:
Qg v + v'
26 v2 v'2
или
v'2---
Qg .
2bv2 V
Qg
2bv
Из этого квадратного уравнения по заданной скорости v
определим v'; заменяя
(Ът
в нем -т— через X2, получим:
bv
„ X2 , X2 л
(Ю)
Если в уравнении (10) вместо v подставим X, то
= = (ю7)
4'4
отсюда видно, что
если v < X, то v' > X;
если v > X, то v' < X.
Действительно, пусть v < X, тогда подставляя в уравне-
ние (10) X вместо v, уменьшаем v' и при этом получаем ее рав-
ной X. Следовательно, v' > X, и наоборот.
Допустим, что первый скачок был скачком повышения,
т. е. мы перешли от v > X к v' < X; прилагая тот же анализ
к следующему участку по длине канала, перейдем от найден-
ной скорости v' < X к некоторой другой скорости v
374 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ § 2
следовательно, внутри рассматриваемого участка опять был
скачок, но уже скачок понижения. После этого вода опять
может приподняться, и таким образом мы будем иметь то
скачки понижения, то повышения.
При первом скачке в точке А вода движется со скоростью
а, потом поднимается до точки В, снова впадает вниз и опять
получает скорость а (в точке С) при той же высоте уровня
—у, что и в точке А. В точках Е, G, Н
'к и т. д. имеем опять-таки ту же скорость
у' А при том же уровне воды ух. Выходит,
_______ 11/ будто вода течет без всякой потери энер-
фиг 6 гии, а между тем потеря энергии несом-
ненно имеется, так как промежутки от
А до С, от С до Е и т. д. она проходит под влиянием
трения о стенки канала. Это явление может быть названо
парадоксом.
В основу нашего анализа положено, что движение будет
продолжаться и после скачка установившимся *, но на самом
деле это движение не может быть установившимся. Если
канал имеет наклонное дно, то в этом случае существует
сила, которая совершает работу и преодолевает трение;
в нашем случае, когда дно горизонтально, такой силы совсем
нет и нельзя объяснить явления, предполагая движение уста-
новившимся. После скачка жидкость течет, волнуясь все
время. Посмотрим, отчего это происходит. Найдем полную
энергию столбика жидкости, выделенного двумя сечениями,
* При установившемся движении в данной точке пространства, зани-
маемого жидкостью, величины и направления скоростей точек жидкости
не меняются со временем.
§ 2 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ 375
перпендикулярными оси канала и находящимися на расстоянии
dx друг от друга (фиг. 8). Объем этого столбика bydx
и масса
•у
т — — bydx-,
для определения полной энергии нужно найти работу, затра-
ченную на сообщение живой силы этой массе, на поднятие
ее центра тяжести и на введение ее под напор. Живая сила
этой массы будет:
mtf__ т
"2 ~ 2 6V
Работа, затраченная на
поднятие центра тяжести
рассматриваемой массы (считая от дна канала), равна:
* у- •
Кроме того, все элементарные объемы bdxdz жидкости
нужно вдвинуть каждый под свой напор у (у — z), если
z— высота от дна канала; затраченная на это работа будет
равна:
Уbdxdz^(y—z) =| — ybdx^^—^— =tbydx - 2 ’
о о
Складывая, найдем полную энергию столбика равной:
<«>
Разыщем минимум этой энергии, для чего приравняем
нулю ее производную по у:
аЭ n Qi 4^0.
^- = 0, или
Получим:
2-, <12>
7 b-g
376 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВАВ ТРУБАХ § 2
т. е. то же выражение у{, которое
[см. уравнение (7)]. Так как >
определяет место скачка
О, то здесь имеется, несо-
мненно, минимум.
Энергия при этом имеет значение.
Меньше этого энергия не может быть.
Как бы вода ни шла после скачка: с возрастанием скорости
и уменьшением высоты, или с убыванием скорости и возра-
станием высоты, она должна иметь для этого больше энергии,
чем имела при высоте уровня у и скорости X.
Между тем, воде не только неоткуда получить энергию,
но еще приходится тратить ее на трение. Поэтому, допуская,
что после скачка вода течет установившимся движением,
мы впадаем в ошибку.
Нужно заметить’ еще, что при переходе жидкости с боль-
шой скорости на малую происходит потеря живой силы на
удар, которую можно определить, прилагая теорему Борда.
Разъяснение парадокса заключается в том, что после
скачка движение перестает быть установившимся’, уровень-
жидкости в одном и том же месте то повышается, то пони-
жается, и все теоретическое рассуждение, приведенное на
фиг. 7, не имеет места. Одновременно с этим теряет силу
основное уравнение расхода (1), и количество переносимой
жидкости в одних местах больше, а в других меньше, и вся
картина движения со временем изменяется, так что низкие
уровни в известные моменты могут соответствовать
малым скоростям. Этот пункт, по существу довольно про-
стой, ранее не получал надлежащего объяснения (например,
проф. С. А. Чаплыгин полагал, что если формулы не дают
установившегося движения, то его нельзя и допускать, но
физической причины этого не указывал).
Пользуясь изложенной теорией, мы можем решать всякие
задачи на движение жидкости, пока это происходит без
скачка. Движение после скачка надо рассматривать при
помощи другого анализа.
§ 2 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ 377
Пример. Имеем узкий канал длины 1=АС (фиг. 9)
с двумя вертикальными стенками, так что трением о дно
можно пренебречь. Какой нужен напор, чтобы заданное
секундное количество воды Q могло пройти весь канал
и подойти к точке С, имея уровень DC. Иначе говоря, на-
сколько левый уровень ВА должен быть выше правого DC,
чтобы движение могло произойти без скачка. Решим эту
задачу сначала элементарным путем, а затем при помощи
предложенного анализа.
При элементарном подсчете поступают обычно так: опре-
деляют потерю напора на единицу длины канала у его вы-
ходного сечения, т. е. на ординате CD, и, считая эту потерю
постоянной по всей длине канала, находят уровень ВА, из
которого должна вытекать вода, чтобы заданное количество
ее Q было подано в конец канала на уровне CD. При таком
способе определения потерь не принимают во внимание ко-
личества движения жидкости. Разность давлений справа и
слева будет — "{bydy (см. выше). Сила трения о боковые
стенки канала равна —2ydxw2.
Пренебрегая изменением количества движений жидкости
и составляя уравнение проекций всех сил на ось х, должны
написать:
— fbydy — 2Zyv2dx — О,
378
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ
§ 2
откуда:
} (13)
I
J
постоянным по
4_У
dx
2; 2_ _21_Q‘2
lbV tb b'-y'1'
Считая найденный уклон уровня воды
всей длине канала и равным наклону по ординате CD=yt
найдем:
= (14)
Принимая во внимание изменение количеств движения,
мы получим уравнение (5), которое можно представить в виде:
dx 76 Р—76 6V X* —о2 ' '
Пока вода течет с понижением уровня, о < л и множи-
тель-yj-e > 1. Следовательно, уровень воды в канале
падает несколько быстрее, чем по элементарному подсчету
в том же месте.
Действительный расчет потери напора следует произво-
дить по уравнению (6). Обозначая уровень АВ через у и
уровень CD через у0, получим:
2=^'=7-?1г^ + т(!/1-л
или
4ь’-«’)=24!'+7т^1’ <15'>
1 У
где 1g — положителен.
Уо
Представляя кривые изменения уровня воды графически
(фиг. 9), получим при элементарном подсчете прямую BD,
а по точной формуле кривую BD, близкую к кубической
параболе.
Наклон кривой BD в точке D несколько более наклона
прямой BD, но при большой длине канала потеря напора,
§ 3
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ 379
вычисленная элементарным способом, получается больше
чем действительная, как это ясно на фиг. 9. Особенно часто
подобный элементарный способ подсчета применяется при
определении потерь напора движущегося по трубам газа, дви-
жение которого, как увидим ниже, выражается формулами,
аналогичными только что выведенным для воды.
Проф* Е. Г. Кестнер говорит, что по элементарным фор-
мулам требуется чрезвычайно большой напор, чтобы подать
определенное количество пара по длинной трубе. На самом
деле он несколько меньше. Если канал длинный, то какой
бы ни сделать высокий напор в его начале, все-таки опре-
деленное количество воды через него нельзя прогнать со ско-
ростью большей, нежели скорость волны в нем при этом
количестве, а далее скорость возрастать не станет, потому
что далее вода не может течь по законам установившегося
ее движения, и наступит движение колебательное.
Это рассуждение по отношению к газам представляет
знаменитый парадокс Сен-Венана.
§ 3. Движение сжатого воздуха в цилиндрической трубе.
Движение сжатого газа в трубе (перегретый пар можно
причислить к газам) вполне аналогично движению воды
в открытом канале. Роль высоты жидкости играет здесь
плотность газа.
Объем газа, протекающего по трубе в секунду, равен
•zr-v, вес его Q = кг-иу, где у — весовая плотность (вес 1 л3)
газа.
Будем полагать:
yv = p; О 6)
эта величина является постоянной при протекании газа по
цилиндрической трубе установившимся движением.
Располагая ось х по оси трубы, мы будем иметь движе-
ние совершающимся лишь по направлению оси х. Уравнения
Эйлера для этого случая [см. „Теоретические основы возду
хоплавания**, стр. 14, уравнение (7)] сведутся к одному.
1 dp
р dx
— X—v
dv
dx ’
380 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ § 3
где через v обозначена скорость газа по трубе (т. е- по оси х).
Труба горизонтальна; поэтому силы тяжести в уравнение не
входят, и все внешние силы, которые должны быть отнесены
к единице массы (см. там же, стр. 7), сводятся лишь к силе
трения газа о стенки трубы. Рассматривая движение на эле-
менте dx, будем иметь поверхность трения:
2~rdx
и силу трения:
2~rdx -Z-V2. *
Масса жидкости здесь равна ~г-— dx.
2г
* Фиг. 10.
Сила трения, отнесенная к единице массы, будет:
отсюда видно, что сила трения обратно пропорциональна
радиусу, так что в узких трубках сила трения очень большая.
Подставляя X в уравнение Эйлера, получим:
В это уравнение входят три неизвестных:
v, р,
но между р и у всегда существует связь:
P = h",
(18)
* Проф. Н. Е. Жуковский считает в дальнейшем, что коэфициент Е не
зависит от плотности гива. В прикладной механике обычно полагают Е
пропорциональным какой-нибудь степени плотности, по большей части
первой. Грим. ред.
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ
381
I
§ 3
лучим:
получим:
Известно,
мулой:
Jr
перенесем
где p 1,41 есть показатель адиабаты, если истече-
ине происходит с большими скоростями, и жидкая масса не
успевает ни принять, ни отдать тепла1. Если истечение со-
вершается с меньшими скоростями, то р нужно считать пока-
зателем политропы; тогда
1,00 < р < 1,41.
При изотермическом процессе р = 1. Преобразуем уравне-
ние (17). На основании уравнения (18) будем иметь:
dp , u-i d\
-<Е=к^ <Ь'
далее, взяв логарифм от уравнения (16) и
вав его, найдем:
1 dv 1 .
v dx 1 dx ’
подставляя это
вуравнение (17) и умножая
j ~ j
dx g dx
в
продиференциро-
Т
его на-----, по-
g
v* d~( 2;
v-',
левую часть и умножим
д. И-1 = _Р .
Y
w — ’Л
(19)
на g, замечая, что
(20)
что скорость звука в воздухе выражается фор*
1 =
Р
(21)
1 При этом, очевидно, допускается или что все тепло, обравующее^
за счет работы трения, удаляется из газа, или что работа^ трения nepe^_
дит в энергию вихревого движения, не учитываемую живой силой ПОСТУ
тельного движения газа, которая вводится в наши уравнения. рим.
382
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ
Эта формула похожа на формулу (4) для скорости распро-
странения волны по поверхности неглубокой жидкости, так
р
как величина - формулы
(21) есть пиезометрическая высота,
соответствующая высоте у в формуле (4). Формулу (20) можно
переписать:
d'( _ 2gw!
dx r(v2 — X2) ’
(22)
что аналогично формуле (5), относящейся к движению воды.
Опять мы видим, что если v > л, то плотность у увеличи-
вается, а, если v < л, т. е. скорость газа еще не дошла до
t/т'
скорости волны, то убудет отрицательно и плотность газа
будет уменьшаться. Вместе с этим будет увеличиваться ско-
,
рость, пока, наконец, не достигнет скорости Л; тогда обра-
тится в бесконечность, и плотность газа получит скачок.
Прилагая то же рассуждение, что и раньше для движения
воды, получим, что дальнейшее установившееся движение
невозможно, и должно наступить неустановившееся колеба-
тельное движение-
Бресс дает ? = 0,00033 'кг сек1 • л*-4, но это значение под-
лежит проверке, о чем мы упоминали выше.
Для вас окажется совершенно неожиданным, какая колос-
сальная потеря энергии получается при движении газа в тон-
ких трубах.
Найдем кривую изменения плотности газа, движущегося
в трубе.
Поставим в урасненг е (19) и = -уи умножим его на g-,
разделяя переменные, получим по сокращении:
2; , , ugk х
— gdx = </у----— 1 d-;, (23)
откуда:
2с *g k , , , „
= 1-----7+У ^Г+-+С, (24)
§ 3
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ
383
где по уравнению (18):
Ру .
к
кривую, выражаемую этим уравнением, можно построить,
полагая С = 0 и задаваясь различными значениями 7. В зави-
симости от изменения С вся кривая будет продвигаться
вправо или влево, не меняя своей
формы и размеров. При С посто-
янном кривая идет вправо, затем
член 72+и берет перевес, и кривая
направляется влево (фиг. 11). Наи-
большее вначение х найдем, при-
dx
равнивая нулю производную-^ :
1 — "g А ^+1 = 0, (25)
9“
откуда по уравнениям (16) и (21) получим:
(259
7 7'2v- 7 v- \ v~ ’
следовательно, х обращается в максимум, когда v = 1.
Опять, если бы далее газ проходил установившимся дви-
жением, то неоткуда было бы взять энергию на трение газа
о стенки;следовательно, после того как скорость дойдет до
скорости распространения волны по трубе, дальше устано-
вившееся движение становится невозможным, и наступает
движение колебательное.
Чтобы определить, какой нужен напор, чтобы подать
определенное количество газа под заданный напор, надо вы-
чертить кривую по уравнению (24) применительно к данным
размерам трубы и количеству подаваемого газа и продви
гать ее так, чтобы плотность в выходном сечении трубы А
(фиг. 12) была равна заданной величине АВ; тогда ордината
кривой CD в начале трубы даст плотность, а, следовательно,
и давление газа, которое нужно установить при входе в тру
бу, чтобы это количество газа было подано.
384
ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ
§ 3
Решение обратной задачи: о подаче из данного резервуара
определенного секундного количества газа, находящегося
в нем при определенной плотности и давлении, через задан-
ную трубу — не всегда возможно с помощью установивше-
гося движения. Если длина трубы превосходит некоторый
предел, то в ней, наверное, образуется скачок, после кото-
рого начинается неустановившееся движение.
Если газ входит в трубу со скоростью меньшей скорости
звука, то чем больше эта скорость, тем короче должна быть
труба, чтобы движение совер-
шалось без скачка-
Подобные задачи могут
встречаться при устройстве
выхлопных труб для двигате-
лей внутреннего сгорания, длин-
ных трубопроводов от парового
котла к машине и т. п.
Наибольшее количество га-
за, которое может быть подано
по трубе, определяется по урав-
нениям (25) и (25') под усло-
dx
вием, что —г-
Ji
должно быть меньше нуля; отсюда найдем:
= ч2 < 1. Q < т.п2 У И-1 , (26)
причем y относится к тому месту, где v — к.
Если бы мы стали подсчитывать напор по элементарной
формуле, думая, что в трубе имеется определенная скорость
газа, соответствующая скорости в выходном сечеиии трубы,
то получили бы требуемый напор больше вычисленного по
точной формуле, так как пришлось бы провести приблизи-
тельно касательную D'B к кривой DBAC в точке В (фиг. 12).
Чтобы определить р в функции х, надо подставить:
Т
§ 4 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ 385
в уравнение (24); тогда получим:
_ - 1 - —
2; __/ р \ ;х \>-g к н ’£±£
U/ “7+Г > +С. (27)
§ 4. Закончив на этом теоретическую часть, опишем опыты
над истечением газа, произведенные в механическом каби-
нете Московского университета.
Воздух выпускался через трубочку 2 мм диаметром и 20 см
длиной, на которой имелся ряд сопел, идущий от тонких
Фиг. 13.
отверстий в трубочке (фиг. 13). Из этих отверстий запаива-
лись все, кроме одного — х, которое соединялось с мано-
метром, и определялась разница между давлением в котле и дав-
лением в трубочке против отверстия х. Проходя таким образом
последовательно по всем отверстиям для давлений в котле
(избыточных против атмосферного) в 1, 2, 3, 4,..., 7 ат, нахо-
лодили кривые понижения давлений в трубочке, т. е. находили р
® Функции х. Получилось, что на протяжении всего лишь
см давление падает более, чем на 3 ат при давлении
в котле 7 ат. Кривые давлений представлены на фиг. 14.
оак. 23S6. — Н. Е. Жуковский, п. VII.
25
386 ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ В КАНАЛЕ И ГАЗОВ В ТРУБАХ § 4
Коэфициент трения ?, быть может, получился несколько
более вследствие боковых отверстий в трубочке (15 отвер-
стий через каждые
I1/» см).
Главная трудность
этих опытов 'заклю-
чается в определении
количества вытекаю-
щего из котла газа.
До сих пор нет ни при-
бора, ни метода, по-
зволяющего хорошо
определить скорость
вытекающего газа.
В университете количество газа определяли так, что про-
должали опыт 10—12 секуид и определяли падение давления
в котле за время опыта, а по падению давления определяли
количество вышедшего воздуха.
Этим я окончу, так как хотел отметить вам только главный
абрис явления, а вы можете в дальнейшем подумать об этом.
Статья „О движении воды в открытом канале и о движении газов
в трубах" представляет собой запись лекции, прочитанной проф. Н. Е. Жу-
ковским 1 и 4 мая 1917 г. в Московском высшем техническом училище
для студентов старших курсов, специализирующихся по водопроводам ^паро-
проводам.
Работа была опубликована в посмертном издании по стенографической
записи инж.-мех. В. П. Ветчиикина, обработанной В. П. Ветчннкиным,
В. В. Соколовой и И. Н. Садиковым, в .Трудах ЦАГИ“, вып. 1, 1925.
В 1922 г. работа была опубликована под ’редакцией проф. С. Г. Пет-
ровича Комиссией особых артиллерийских опытов. Прим. ред.
FLOW OF WATER IN AN OPEN CHANNEL AND FLOW OF GASES
IN PIPES
This paper is a lecture read by Prof. N. E. Joukovsky on
May 1 and 4 1917, in the Moscow High Technical School before
the senior students specializing in steam and water mains
written down in shorthand by V. P. Vetchinkin.
The paper establishes an analogy between the flow of gas
in a cylindrical pipe with wall friction and the flow of water
in an open rectangular channel of constant breadth with friction
with its vertical side walls.
In both cases a steady motion proves to be possible only
in that part of the channel or of the pipe, which is above the
place, where the velocity of flow becomes equal to the velocity
of propagation of the wave; the velocity of the steady flow up
to this place can be either lower or higher than the wave velocity:
if at the entrance of the channel or pipe the velocity of the
flow is lower than that of the wave (v < X), then the velocity increa-
ses downstream until it reaches the value of the wave velocity;
if at the entrance of the channel or pipe the velocity is higher
than that of the wave (о > X), then the velocity decreases
downstream until it becomes equal to the wave velocity. Thus
the fluid in a steady flow seems to have a tendency to approach
the velocity of the wave propagation. A steady flow below the
place, where the velocity of the flow is equal to the wave
velocity is impossible.
In the case of water moving in a channel Prof. Joukovsky
shows also the physical reason, why in a steady motion the
velocity of the flow cannot pass over the velocity of wave- the
full energy of a particle of flowing liquid, composed of the
kinetic energy of the energy of position and of the piezometrical
energy, has for the velocity equal to the velocity of wave its
25’
388
SUMMARY
minimum value, and therefore any deviation of the velocity of
the flow from that of the wave should involve an increase of
this energy which is impossible, since the friction force acting
on the liquid is a resisting force and cannot increase the energy
and there are no other forces which could effect this increase.
The analysis by the aid of which the above deductions were
obtained was based on the assumption, that the condition of
liquid and of gas (pressure, density, temperature) and their velo-
city are the same at all points of the same cross-section of the
channel, and that the friction force is proportional to the friction
area and to 'the square of velocity.
Upon these conditions there is obtained the following equation
for the free surface of water in a channel:
Q'x т Q2 , b 3 । r /z-x
2;-^=7-rlgy~i;T^+c’ (6)
or in a different form:
Here ; — coefficient of friction of water with the walls of
the channel,
b — breadth of the channel,
Q — discharge of water in channel per second,
7— weight of a unit volume of water (density),
x — is measured along the axis of the channel in the
downstream direction,
y, y0—depht of channel at different places,
I—distance between two sections of the channel, con-
sidering the upstream direction as positive.
The distribution of densities of gas in a cylindrical pipe is
expressed by the equation:
+ C 124'
or
„„ l W?
2;Я 7 = 7 + 2 ^'a~VT2) —(f —Tfo),
SUMMARY
389
where ;, у and I have the same meaning as before,
r — radius of a cylindrical pipe,
q — weight of the gas flowing per second through unit
area of the cross-section,
u— adiabatic exponent,
к — constant in the adiabatic equation: p = k^.
In Figs. 3 and 11 are shown curves derived from these equa-
tions. Both curves have the maximum abscissa corresponding to
that section, where the velocity is equal to the velocity of wave,
i. e. both curves are situated above this section and have not
points below it.
It should be noted that Prof. N. E. Joukovsky’s conclusions
as to the general properties of the flow of gas in a cylindrical
pipe hold also true if it is assumed that the friction force is
proportional to any power of the density of the gas.
АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ДВИЖЕНИЕМ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ
В УЗКОМ КАНАЛЕ И ДВИЖЕНИЕМ ГАЗА В ТРУБЕ
С БОЛЬШОЙ СКОРОСТЬЮ
(1925 г.)
§ 1. Свободная поверхность воды в канале постоянной
ширины. Количество воды, протекающей в одну секунду через
любое сечение канала, выражается формулой:
Q = vby, (1)
где Ь—ширина канала, v — скорость на каком-нибудь сечении,
у — ордината поверхности воды, причем ось х взята на гори-
зонтальной плоскости дна канала (см. фиг. 2 статьи „О дви-
жении воды в канале и о движении газов в трубах").
По теореме Эйлера приращение количества движения
жидкости между двумя сечениями прямолинейного канала при
установившемся движении равно сумме проекций всех сил,
взятых на направление течения:
d v2by j — 2ydxw2,
где
2ydx;v2 — сила трения жидкости на площади 2ydx боко-
вых стенок;
; — коэфициент трения воды о стенки;
~{у2Ь
— -----давление на левое сечение струи, направленное
вправо;
Y К
— = vQ ----количество движения жидкости на ле-
вом сечении.
§ 2 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ
391
Производя диференцирование и выражая скорость v тече-
ния через количество протекающей жидкости на основании
формулы (1), получим:
— ybydy — 2ydxvu2
— l^dy^
g b у
Решая это уравнение относительно производной на-
dx ’
ходим:
dy %УУ2
(Принимая во внимание, что
скорость воды в канале связана
• с высотой струи уравнением:
b = Vgy,
переписываем предыдущую
мулу в виде:
dy 2; W
dx I 6(w9 — л2)
(3)
(2)
фор-
dy
v < л производная отрица-
При скорости течения
тельна, и уровень воды вниз по течению понижается; при
производная будет положительна, и уровень воды
л dy____________________________________________
по течению будет повышаться; при v = К, — °°» и
вниз
струя
v
испытывает скачок.
§ 2. Вывод уравнения. Перепишем уравнение (а) в сле-
дующем виде:
О2 . 1 Q~ dy
lbydy + 2'y dx= - ь -г-
Разделяя переменные, находим:
2-dx = j by"dy’
b1 g b у
392
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ § з
что, после интегрирования, дает:
о- Q1 1 Q21 iby3
2;х-7 г = — > Igu-----~-
b- g Ь 3
(4)
При максимальном значении координаты хшах высота струи
у{ должна удовлетворять уравнению:
I Qii_
g Ь у{
= О,
откуда находим:
(5)
и 8 = —
yl g&
§ 3. Скачки повышения и понижения. Применим теорему
количеств движения к объему жидкости, выделенному двумя
сечениями, проведенными в том месте, где поверхность
жидкости может считаться горизонтальной и скорости течения
на сечениях одинаковыми (см. фиг. 5 статьи „О движении
воды в канале и о движении газов в трубах").
Получим:
ЧУ'Ь iy'2 , Q . , .
2-----2^ 6 = 7 7(w ~v)-
В левой части стоит разность давлений на сечения струи;
в правой части — разность количеств движения на тех же
сечениях. Выражая у и у' через скорости жидкости на левом
и правом сечениях, получим:
Y лу / 1_____1 \ iQ , , v
26 Q U8 g~ (v v)-
Сокращая уравнение на (v' — v), находим:
Qg v + v' ___
26 v-v'2
Помножая уравнение на v'2 и
сторону, получим квадратное
в следующем виде:
перенося все члены в левую
уравнение относительно v'
Qg
2bv
= 0.
§ 4 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ 393’
Замечая, что
Q — bvy и l? = gy,
можем Q положить равным:
Q==—
g
и предыдущее квадратное уравнение представить следующим!
образом:
,э *’2 , >-’2 л
’ S'" “Г=о-
Решая его, находим:
(6)
§ 4. Расширяющийся канал. Теорема Эйлера (количеств
движения) для расширяющегося канала дает уравнение:
— (~2~) — 2«/;v2t/x=</
Q2 1\
by g /
где ширина канала b есть теперь величина переменная.
Выполняя диференцирование, находим:
и2 - , 0~Ч ( dy db
— V^-db— ybydy — 2yw2dx = — ( — у.ь —
„ dy
Решая уравнение относительно производной j , имеем.
2' 2Г2 /01— —
dy _ у V_____\ b -y 2 / dx __
dx b(v2 —)'2)
b (v2 — X-)
(7)
394
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ § 5
Для слабо расширяющихся каналов:
при
при v >X
dy
производная -у— < О,
ах
dy „
производная > О,
при
v = X производная = с*3, и свободная поверхность
ах
жидкости в канале испытывает скачок.
v X
§ 5. Движение сжатого воздуха в цилиндрической трубе.
Вес газа, протекающего в единицу 'времени через единицу
площади поперечного сечения, равен:
q=iv,
(8)
где -у — плотность газа (вес единицы объема), a v— скорость
течения.
Уравнения Эйлера для движения газа вдоль трубы све-
дутся к одному:
1 dx dx г
Коэфициент ; этой формулы имеет другое значение, чем
в статье проф. Н. Е. Жуковского „О движении воды в канале
и о движении газов в трубах". В то время, как в упомянутой
статье коэфициент с имеет размерность плотности, здесь он
§ 5 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ
395
является отвлеченной величиной. Численное значение его
если основываться на опытах Бресса, будет равно:
, _ 0,00033
Р
0,°в°33 = 8.0,00033 = 0,00264.
8~
Предполагая термиче-
ский процесс в газе адиа-
батным, имеем связь между
давлением и плотностью
газа в виде:
р =
и для скорости волны в
газе имеем формулу:
Фиг. 4
Кроме того, для установившегося движения:
1 dv 1 dy
v dx 7 dx
Пользуясь этими соотношениями, преобразуем дифереи-
циальное уравнение движения газа к виду:
, 1 dy 2v2 ,
dx g 7 dx rg
Вынося за скобки, имеем:
dx
1
Y2
dy
dx
2v^
rg
(b)
Принимая во внимание уравнение (9), находим:
dy____________________ 2!да2 q
dx~~r(v2 — r2) ’
При v <C * плотность 7 вниз по течению понижается,
при v > X плотность у вниз по течению увеличивается,
при v = X будет скачок плотности.
396
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ § 6
§ 6. Кривая распределения плотности воздуха по длине
трубы. Полагая в уравнении (Ь) скорость течения воздуха
на основании уравнения (8) равной:
получим:
Умножая это уравнение на 72 и интегрируя, находим:
2 ►
— = lg 7
(П)
где к вычисляется по
нибудь месте трубы:
давлению р0 и плотности т0 в каком
Ру
V
Для максимального значения х будет иметь место урав-
нение:
___= 0
7 <72
Отсюда при максимальном значении х плотность 7 должна
удовлетворять уравнению:
1_
Т
7ЧР '
Освобождаясь от величины 7 в знаменателе, находим:
1 = 1 = Т _ 1“
v2 V2 v2
так как к^ 1==~~> а на основании формулы (9) рав-
но 2. Формула показывает, что при максимальном значении х
скорость течения v равна скорости волны X.
§ 7 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ
397
р’ Г v:
p,Y,v
7777777777777^777г77777Ш777777777777777.
Фиг. 5.
§ 7. Скачки сгущения и разрежения в цилиндрической
„ „ dp dv _ _
трубе. В месте скачка j— и -j- равнялись бы бесконечности,
и диференциальные уравне-
ния гидродинамики были бы
неприменимы. Возьмем сече-
ние канала по разные сто-
роны от скачка, но настоль-
ко близко, что силами тре-
ния и их работой можно пренебрегать, и напишем для выде-
ленного объема теорему количеств движения:
p — p=-^(y' — v), (12)
и выражение постоянства суммы кинетической и потенциаль-
ной энергии:
g+-f+,r=S+F+,'r'’ • <13>
где v и v' — теплоемкости при постоянном объеме.
Кроме того, напишем уравнение постоянства количества
протекающей жидкости через любое сечение трубы:
t v = /г/ — q. (14)
Характеристическое уравнение газа дает соотношения:
T=TR- г ~7к' (,5)
где R— характеристическая постоянная газа.
Исключая температуры Т и Т из уравнений постоянства
энергии, получим:
Заменяя в этом уравнении р' на основании теоремы коли-
честв движения:
Р=Р----~(v' — v)
398
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ’И ГАЗА В ТРУБЕ § 8
и к и / на основании уравнения постоянства расхода:
н
§ 8. Сокращая уравнение на разность (и' — v) и замещая
q через 7 v, получим:
Решая это уравнение относительно v', находим:
Г
Но
-Н R i
-— = u; =u — 1,
V ‘ V
где и. есть показатель адиабаты;
<т -5- ц — X2;
1
следовательно,
/2
v(* — 1) -J- 2 —
/ V
Эта формула дает возможность вычислить скорость тече-
ния после скачка по скорости течения до скачка.
Если v = X, то v' получается равным X, при v < X числитель
возрастает с убыванием v.
§ 9. Течение газа в конической трубе без трения. Закон
изменения площади поперечного сечения в конической трубе
выражается уравнением:
W = Сх2.
§ 9 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ
399
Уравнение постоянства расхода будет:
откуда скорость
Диференциальное уравнение гидродинамики будет:
dp __ v • dv
Принимая термический процесс в газе адиабатным и вы-
ражая в предыдущем уравнении у и v через плотность f
и через расстояние х рассматриваемого сечения трубы от
вершины конуса О, получим:
d'{
= ,___2 _\
“ f dx \tdx~^ х) g я°2 П3 x6^- J ’
Для интегрирования этого диференциального уравнения
переходим к новому переменному, полагая
1
х4 Z *
Тогда
dz =-----д dx,
и уравнение
принимает вид:
/_1_________
haZ 2-r2 dy)
или
dz 2z > о j u л
^-т+г*ёт"’-
(18>
400 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ § 10
§ 10. Переносим последний член в правую часть и умно-
жая уравнение на у—2 для того, чтобы оставшаяся часть пред-
ставляла полный диференциал. Находим:
T2f/z — 2zfdy , з’2 u-2 ,
----- A.J- = — 2\>kg у d у.
Интегрируя, получим
(19)
1 А
где у0 — плотность газа на том сечении, где z = —т = U, т. е.
х4
где х = с'с.
Предыдущее уравнение, дающее распределение плотностей
газа в трубе, может быть переписано в следующем виде:
-Т = ^12^^(то^1-Г"1)т2- (19')
Наименьшее значение для х получится при плотности,
удовлетворяющей уравнению:
2-гпо^1- (*л + 1) т/=о,
что дает для у, значение:
1
(2 \ 1
л+1) • (20)
Таким образом установившееся течение газа в расширяю-
щейся трубе возможно только в более широкой ее части.
Кривая распределения плотности газа вдоль по трубе при
адиабатном процессе (для которого р. = 1,4) изображена на
фиг. 4 статьи Н. Г. Ченцова (Движение газа в трубах с тре-
нием о стенки, № 63 „Труды ЦАГИ“).
§ 11. Движение воздуха в расширяющейся трубе с тре-
нием о стенки. Условие установившегося движения дает урав-
нение:
v -voj - Q — const. (21)
Уравнение адиабаты
р = к у1"'.
§ 10 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ 401
Скорость волны определяется из уравнения:
Диференциальное уравнение движения по оси трубы бу-
дет:
7 ч. •> dt v dv ‘Iv1 „
J —------------j----— ’•
dx g dx r
На основании уравнения постоянства расхода имеем:
1 dv _________dt 1 J<u
v dx 7 dx <u dx
Исключая при помощи этого
dv
уравнения из предыдущего
уравнения, получим:
2тг ► V- da>
г ’ ug dx ’
откуда:
2v'-\g v- du
1 dt _ г_________и dx
t dx v~ — X2
При v <
dt
dx
плотность уменипастся вниз по те-
чению;
при v > X плотность увеличивается вниз по течению, так
как в этом случае
dt
dx
>0;
при v — X будет иметь место скачок плотности.
Зак. 23Н«. -Н. Е. Жуковский, т. VII.
26
402 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ И ГАЗА В ТРУБЕ
Статья „Аналогия между движением тяжелой жидкости в узком канале
и движением газа в трубе с большой скоростью" была напечатана в .Тру-
дах ЦАГИ“, вып. 1, 1925.
Работа эта была доложена проф. Н. Е. Жуковским в заседании Поли-
технического общества 6 октября 1912 г. Формулы этого сообщения были
записаны В. П. Ветчинкиным; текста сообщения проф. Н. Е. Жуков-
ским написано ие было; краткий пояснительный текст к формулам со-
ставлен Н. Г. Ченцовым. Прим. ред.
AN ANALOGY BETWEEN THE MOTION OF HEAVY LIQUID IN
A NARROW CHANNEL AND THE HIGH VELOCITY MOTION OF
GAS IN A PIPE
This paper presents a solution of the same problem as that
analyzed in the first paper by Prof. N. E. Joukovsky, with the
difference that the question is treated in a more general form
and the law of friction of gas with the walls is different, namely,
the frictional force is considered as directly proportional to the
friction area, to the square of velocity and to the first power
of density.
Adopting this law of friction for the distribution of density
of gas along the pipe’s length there is obtained instead of equa-
tion (6) of the previous paper the equation:
2-7 = l^-TO)f+' + C (11)
The coefficient of friction ; in this formula is an dimension-
less quantity and is different from the coefficient 5 in formula (6)
of the previous paper, which is measured in units of density.
The meaning of other letters is the same as in the previ-
ous paper.
Since in formula (11) x has its maximum for the velocity of
flow equal to the velocity of sound, the steady flow is possible
only above that section of the pipe where the velocity of flow
is equal to the velocity of sound, which was obtained also
for the law of friction of gas with the walls adopted in the ,
previous paper.
As to the pipes of variable section were nut considered in
the previous paper, the distribut on of the density of gas along
26*
4о4
SVMMARY
the length of a conical pipe is given by the following
equation:
A. J*- ““ 1
where x — the distance of the section from the cone vortex;
70 — the density of gas at an infinite distance from the
cone vortex;
“ — the coefficient in formula <в = ах2 connecting the sec-
tion area of the pipe and the distance from the cone
vortex.
The formula (20) gives the minimum x for the density:
q \ S’—1
b=*(pfi) • <20)
Thus the steady flow in a conically broadening pipe is pos-
sible only in its broader part (Fig. 9).
Besides a smooth steady flow there is also considered a mo-
tion with leaps and are given formulae connecting the velocities
of flow before and after leaps both for the flow of a heavy
liquid in a channel and for the flow of gas in a pipe.
The velocity of water after the leap v' is connected with
the velocity of water v before the leap by the equation:
, Ik2 f k4 . №
v~ 77+У 16«2 ’"'2 ’ W
where f==Vgy > »• e- *s velocity of the surface wave, cor-
responding to the channel depth at the point of the leap.
The velocity of gas in a pipe after the leap v' is connected
with the velocity v before the leap by the equation:
k2
«(Н —1)+2 —
"'° fr-l)+2 • <16>
The formulae, which are given in this paper, were presented
by Prof. N. E. Joukovsky at a meeting of the Moscow Polytech-
nical Society on octobre 6,1912, but he had written no text to
them. The brief explanatory text is now given by N. G. Chentzov.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции............... 5
Теоретическое исследо-
вание о движении
подпочвенных вод . 9
Резюме................... 32
О влиянии давления на
насыщенные водой
пески................ 34
Резюме................... 41
О парадоксе Дюбюа ... 43
Резюме................... 52
Прибор для определения
сопротивлений при
движении воды ... 53
Резюме................... 57
О гидравлическом ударе
в водопроводных
трубах............... 58
§ 1. Вступление ......... 58
§ 2. Литература, относящаяся к
рассматриваемому вопросу 58
§ 3. Применение формулы Kor-
teweg к явлениям гидравли-
ческого удара........... 63
§ 4. Теоретические определе-
ния наибольшего увеличе-
ния давления вовремя гид-
равлического удара ... 7U
§ 5. Теоретическое определе-
ние вида ударной диаграм-
мы в различных точках
трубы.............- • • ;
§ 6. Расположение наблюдений
над гидравлическим ударом
при Алексеевской водо-
качке.............. * ’ \
§ 7. Определение наибольших
давлений в различных точ-
ках трубы с помощью ма-
нометров ...................83
§ 8. Определение скорости
распространения ударной
волны Л. с помощью хро-
нографа Марея.............. 86
§ 9. Ударные диаграммы, сни-
маемые с помощью инди-
каторов Кросби в различ-
ных местах трубы .... 90
§ 10. Определение X и Риз диа-
граммы индикатора при
наблюдениях над трубами
4 и 6 дюймов............... 98
§ 11. Определение X н Риз диа-
граммы индикатора при
наблюдениях над трубой
2 дюйма ...................100
§ 12. Определение Хи Риз диа-
граммы индикатора при
наблюдениях над трубой
24 дюйма....................Ю7
§ 13. Возрастание величины
гидравлического удара при
переходе ударной волны в
тупики......................ИЗ
§ 14. Отражение ударной вол-
ны от открытого конца
трубы, из которого выте-
кает вода..................120
§ 15. О безопасном времени
закрытия водовыпускных
кранов.....................122
§16. Воздушные колпаки . . . 123
§17. Предохранительные кла-
паны ......................132
§ 18. Отыскание мест на ли-
нии трубы, в которых про-
изошло скопление воздуха 133
§ 19. Определение с помощью
ударной диаграммы места
утечки в водопроводной
трубе . ...................135
406
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 20. Заключение...............143 |
Резюме........................147
Uber den hydraulischen
Stoss in Wasserlei-
tungsrShren ..... 152
§ 1. Einleitung..............152
§ 2. Literatur inbetreff der
betrachteten Frage . . . 152
§ 3. Anwendung der Formel
Korteweg’s auf die Erschei-
nung des hydraulischen
Stosses.......................158
§ 4. Theoretische Bestimmung
der hochsten Hebung des '
Druckes wahrend des hyd-
raulischen Stosses .... 164
§ 5. Theoretische Bestimmung
der Form des Stossdia-
gramms in den verschiede-
nen Punkten der Rohre . . 167
§ 6. Anordnung der Beobach-
tungen fiber den hydrauli-
schen Stoss bei der Alek-
sejew’ sehen Wasserleitung 174
§ 7. Bestimmung der grossten
Drucke an verschiedenen
Punkten der Rohre mit Hilfe
von Manometern................178
§ 8. Bestimmungder Geschwin-
digkeit der Fortpflanzung
der Stosswelle A mit Hilfe
der Marey’schen Chrono-
graphen.......................183
§ 9. Die mit Hilfe der Indlka-
toren Krosby an verschie-
denen Punkten der Rohre
gezeichneten Stossdlag-
ramme . • ..................186
§ 10. Bestimmung von >. und P
aus den Diagrammen der
Indikatoren bei unse-
ren Beobachtungen mit Roh-
ren von 4" und 6" ... 196
§ 11. Bestimmung von A und P
aus den Diagrammen der
Indikatoren bei den Beobach-
tungen mit der Rohre
von 2"........................200
§ 12. Bestimmung von 1 und P
aus den Diagrammen des
Indikators bei Beobachtun-
gen mit der Rohre von 24w 208
§ 13. Anwachsen der Grossen
des hydraulischen Stosses
beim Obergange der Stoss-
welle InRohren mit geschlos-
senem Ende ...................214
§ 14. Reflektierung der Stoss-
welle von dem geoffneten
Ende der Rohre, aus wel-
chem das Wasser heraus-
fliesst ......................223
§ 15. Ober die gefahrlose Zeit
des Schliessens der Was-
serauslasshahne .... 225
§ 16. Die Windkessel..........226
§17. Die Slcherheltsventile . . 235
§ 18. Aufsuchen von Stellen auf
der Linie der Rohre, in wel-
chen eine Ansammlung von
Luft erfolgte.............237
§ 19. Bestimmung der Stelle des
Leeks In der Wasserleitungs-
rohre mit Hilfe des Stcss-
dlagramms ......... 239
§ 20. Schluss.................248
О трении жидкости при
большой разности
скоростей ее струй . 251
Резюме........................261
К вопросу о величине
диаметра водонапор-
ной колонны, соеди-
ненной с открытым
резервуаром..................263
Резюме..................268
Об одной задаче, отно-
сящейся к подпруд*
ной кривой .........269
Резюме..................271
О распределении скоро-
стей в водопровод-
ных трубах..........272
। Ревюме.................283
ОГЛАВЛЕНИЕ
407
Определение скорости
движения продуктов
горения в заводской
трубе по фотографии
выбрасываемого ею
дыма..................284
Резюме........... .... 287
О повреждении водопро-
водных труб, слу-
чившемся 25 января
1914 Г. (Записки I
и П)...................288
Резюме......................299
К вопросу о выборе на
реке мест забора и
выпуска воды для
охлаждения машин
больших силовых
станций ... 301
Резюме.................311
Дополнение инж.-мех.
В. П. Ветчинкина к
статье „К вопросу о
выборе на реке мест
забора и выпуска
воды для охлажде-
ния машин больших
силовых станций** . 313
Резюме................324
Просачивание воды че-
рез плотины........325
Резюме................360
О движении воды в от-
крытом канале и о
движении газов в
трубах .... .... 364
Резюме................387
Аналогия между движе-
нием тяжелой жид-
кости в узком канале
и движением газа в
трубе с большой ско-
ростью ............390
Резюме.................403
CONTENTS
Editorial................... 5
A Theoretical Investiga-
tion of the Motion of
Under-Ground Water 9
Summary.................... 32
On the Effect of Pressure
on Saturated Sand . . 34
Summary.................... 41
On the Paradox of Dubuat 43
Summary ...... 52
Apparatus for Determina-
tion of Resistance in
a Moving Fluid ... 53
Summary................... 57
On Water-Hammer in Pi-
pes ................... 58
§ 1. Introduction ...... 58
§ 2. Bibliography concerning
the discussed problem . . 58-
§ 3. Application of Korteweg
formulae to the phenome-
non of hydraulic Impact . . 63
§ 4. Theoretical determination
of the maximum Increase
of pressure during the hyd-
raulic impact.............. 70
§ 5. Theoretical determination
of the impact diagram form
in different points of the
pipe....................... 72
§ 6. Distribution of observa-
tion points on the Alexeev
water tower for the study
of the hydraulic impact . . 79
§ 7. Determination of the maxi-
mum pressures in different
points of the pipe by means
of manometers.............. 83
§ 8. Determination of the ve-
locity of propagation of the
shock wave X by means of
the Marey chronograph . . 86
§ 9. Impact diagrams as obtai-
ned by means of Crossby
Indicators in different po-
ints of the pipe ..... 90
§ 10. Determination of X and P
from indicator .diagrams as
obtained for 4" and 6" pipes 98
§ 11. Determination of X and P
from indicator diagrams as
obtained for 2" pipes . . . 100
§ 12. Determination of X and P
from indicator diagrams
as obtained for 24" pipes . 107
§ 13. Increase of the hydraulic
impact at the entry of the
shock wave into impasses . 113
§ 14. The repulsion of the shock
wave from the open end
of the pipe where the wa-
ter flows out...................120
§15. On the safe time closing
the water-discharge cocks 122
§ 16. Air chambers........123
§ 17. Safety valves.......132
§ 18- Determination of air locks
on the pipe line...........133
§ 19. Determination of leaks in
a water pipe from impact
diagrams...................135
§ 20. Conclusion...............143
Summary............... .... 147
Uber den hydraulischen
Stoss in Wasserlei-
tungsrShren.............152
§ 1. Efnleitung ....... 152
§ 2. Llteratur inbetreff der be-
trachteten Frage ..... 152
CONTENTS
409
§ 3. Anvendung der Formel
Korte we g's auf die Erschei-
nung des hydraulischen
Stosses .......................
§ 4. Theoretische Bestimmuug
der hochsten Hebung des
Druckes wahrend^des hyd-
raulischen Stosses ....
§ 5. Theoretische Bestimmung
der Form des Stossdia-
gramms In den verschiede-
nen Punkten der Rohre . .
§ 6. Anordung der Beobach-
tungen fiber den hydrauli-
schen Stoss bei der Alek-
sejew’sehen Wasserleitung .
§ 7. Bestimmung der grossten
Drucke an verschiedenen
Punkten der Rohre mit
Hilfe von Manometern . .
§ S. Bestimmung der Geschwin-
digkeit der Fortpflanz-
ung der Stosswelle X mit
Hilfe der Mareyschen
Chronographen..................
§ 9. Die mit Hilfe der Indika-
toren Krosby an verschie-
denen Punkten der Rohre
gezeichneten Stossdia-
gramme.........................
§ 10. Bestimmung von X und P
aus den Diagrammen der
Indlkatoren bei unseren
Beobachtungen mit Rohren
von 4" und 6" .................
§ 11. Bestimmung von X und P
aus den Diagrammen der
Indlkatoren bei den Beo-
bachtungen mit der Rohre
von 2" .......................
§ 12. Bestimmuug von X und P
aus den Diagrammen des
Indikators bei Beobach-
tungen mit der Rohre von
24".......................j • •
S 13. Anwachsen der Grossen
des hydraulischen Stosses
beim Ubergange der Stoss-
welle in Rohren mit ge-
schlossenem Ende . . . .
§ 14. Reflektierung der Stoss-
welle von dem geoffneten
Ende der Rohe, aus wel-
che m das Wasser heraus-
fiiesst.................... •
§ 15. Ober die gefahrlose Zeit
des Schllessens der Wasser-
158
164
167
174
178
183
186
196
200
208
214
223
auslasshahne........225
§ 16. Die Windkessel........226
§ 17. Die Sicherheitsventile . . 235
§ 18. Aufsuchen von Stellen auf
der Linie der Rohre, in wel-
chen eine Ansammlung von
Luft erfolgte...............237
§ 19. Bestimmung der Stelle des
Leeks in der Wasserlel-
tungsrohre mit Hilfe des
Stossdlagramms...............239
§ 20. Schluss....................248
On Friction in a Liquid
when there is a Great
Nonuniformity of Ve-
locity Distribution... 251
Summary..........................261
On the Question of De-
termining the Diame-
ter of a Standpipe
Connected by a Long
Pipe to an Open Re-
servoir ..............263
S ummary..................268
On a Problem Relating to
the Backwater Curve 269
Summary ..................271
On Velocity Distribution
in Water Mains .... 272
Summary ..................283
Determination of the Mo-
tion Velocity of the
Products of Combus-
tion in a Factory
Chimney from Pho-
tographs of the Issu-
ing Smoke................284
Summary .................287
Prof. Joukovsky's Note on
the Damage to Water
Main in January 25,
1914.....................288
410 CONTENTS
Summary.................299
On the Choice of Loca-
tion in a River of the
Intakes and: Outlets
for the Cooling of
Engines for Large
Power Stations.... 301
Summary............... . 311
Prof. Vetchinkin’s Addition
to Prof. Joukovsky’s
Note “On the Choice
of Location in a Ri-
ver of the Intakes
and Outlets for the
Cooling of Engines
for Large Power Sta-
tions* ....................313
Summary ................324
Leakage of Water through
Dams................325
Summary ................360
Flow of Water in an Open
Channel and Flow of
Gases in Pipes .... 361
Summary.................387
An Analogy between the
Motion of Heavy Li-
quid in a Narrow
Channel and the High
Velocity Motion of
Gas in a Pipe .... 390
Summary.................403
Ц 2 Я Я
Редактор Г. К. Холоманов.
Техн, ред. А. И. С а в а р и.
Сдано в набор 1.1ЦХ 1937 i.
Подписано к печ. 21 X 19i7 I.
Автор. до1. Ai 2.18.
Инд. 10-5-4. Тираж 3000.
Колич. печ. лист. 25.75.
Кол. печ. зн. в бум. листе 89.088.
Учетно-авт. лист. 19.67. Фор-
мат бум. 62 X 94. Упали. Глав-
лита Ля Б-26691. Заказ Ли 2.186.
2-я тип. ОНТИ им. Евгении
Соколовой. Ленинград, пр. Крас-
ных Командиров. 29.
СПИСОК ОПЕЧАТОК
Стр. С грока Напечатано Следу ет По чьей вине
254 5 снилу пора Напора тип.
290 9 сверху кр -^-f(x)Ldx kp-^- Lf(x)dx тип.
361 П 2 = 2 = a,S 0 ред.
400 12 . 1 4 1 х« тип.
Зак- 2386. Н. Е. Жуковский. Собр. соч.» т. VII.