Полное собрание сочинений. Том 4. Волны. Вязкость. Реакция жидкости - Жуковский Н.Е.

Автор: Жуковский Н.Е.

Теги: физика механика собрание сочинений гидродинамика полное собрание сочинений

Год: 1937

Похожие

Полное собрание сочинений. Том 7. Гидравлика

Полное собрание сочинений. Том 1. Общая механика

Полное собрание сочинений. Том 9. Математика. Астрономия. Речи. Доклады характеристики и биографии

Сочинения. Том 2. Солнце, жизнь и хлорофилл

Текст

THE JOUKOVSKY
CENTRAL INSTITUTE FOB AEROHYDRODYNAM I СS
Инг ii Hi i mi I hi li IL. ifru рГ^і-jji- gi— I —-i i— ■■■—■■ и пПміпи-жі .|i ■■ Iiii.W.1.— .1—.ё
COMMISSION FOR PUBLICATION OF THE WORKS OF Prof. N, E. JOUKOVSKY
Prof. N. E. JOUKOVSKY
VOLUME IV
WAVES. VISCOSITY
FLUID REACTION
Edited by prof. A. P, KOTELN1KOV
PEOPLE'S COMMISSARIAT OF HEAVY INDUS!HY OF THE USSR
ONTI
(UNITED SCIENTIFIC TECHNICAL PUBLISHING HOUSE)
EDITORIAL OFFICE FOR AVIATION LITEHATUBE
MOSCOW 1937 LENINGRAD

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ни. проф. Н. S. ЖУКОВСКОГО
КОМИССИЯ ПО ИЗДАНИЮ ТРУДОВ проф. Н. Е. ЖУКОВСКОГО
Йроф. Н. Е. ЖУКОВСКИЙ
о
ТОМ IV
Под (идлкцнеи. проф. А. П. КОТЕЛЬНИКОВ А
ОНТИ НКТП СССР
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ АВИАЦИОННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 193 7 ЛЕНИНГРАД

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Академик С.А. ЧАПЛЫГИН, член-квррвеп. Лкндямин наух СССР проф. А.И.НЕКРАСОВ,
проф. В. П. ВЕТЧИШИН, шм. В. А. АРХАНГЕЛЬСКИЙ
ГлавкыВ редактор засл. деятпль нации н техники проф. А. П. КОТЕЛЬНИКОВ
EDITORIAL BOARD
М. Ао. о/5с. о/the USSRS.A. CHAPLYGIPt, CORRESPONDINGMEMBERAc.ofSc.afiha USSR
Prof. A. J. N£KRASOV, Prof. V. P. VETCHINKIN, Engin. V. A. ARKHANGELSK
CHIEF EDITOR: Honoured War/to of Seiuw W ГиАло/njy Prof. A. P. КОТЕШІКОѴ

t
^t
Л
is
чей-
Я. £. ЖУКОВСКИЙ
(1S90 i.)

ОТ РЕДАКЦИИ
В томе IV помещены статьи, посвященные вопросу о
реакции вытекающей и втекающей жидкости, статьи, имеющие
отношение к движению судов и качанию их па волнах, и
статьи о движении вязкой жидкости.
В первых двух статьях выясняется различие между
реакцией втекающей и вытекающей жидкости, в
третьей—излагается теория реактивного судна, причем явление реакции
изучается совместно с сопротивлением движению судна, и
исследуется влияние всасывания жидкости на сопротивление.
В статье „О спутной волне" определяется вид волны,
образующейся при движении судна, рассматривается судно
наименьшего волнового сопротивления для мелкой воды и
подробно разбирается один обвод судна для глубокой воды.
В статье „О форме судов" автор дает метод, который
позволяет определить течение потока жидкости, обтекающего
тело с остроконечным контуром, и определяет сопротивление
такого контура по фрикционной теории Ранкина.
В работе „Движение волны со скоростью, большей
скорости звука" рассматривается плоская волна сгущения или
разрежения, движущаяся со скоростью, большей скорости
звука, и определяется скачок, который претерпевают на
поверхности волны скорость частиц, температура и плотность газа
в зависимости от скорости распространения волны.
Статья „Действие .волнующейся жидкости малой глубины
на плавающие на ее поверхности тела" была напечатана
впервые после смерти Н. Е. Жуковского. В ней автор
рассматривает плоскую задачу о колебании плавающего на
мелкой воде тела в зависимости от набегающих на него и
расходящихся от него волн. Подробности, касающиеся редакции

6
ОТ РЕДАКЦИИ
этой статьи, читатель найдет в небольшом предисловии,
помещенном перед статьей (стр. 78).
Следующие пять статей (8,9,10,11,12-я) касаются движения
вязкой жидкости; из них последняя „О трении смазочного
слоя между шипом и подшипником" написана Н. Е. Жуковским
совместно с С. А. Чаплыгиным.
Статья восьмая „Упрощенный вывод уравнений движения
вязкой несжимаемой жидкости" дает оригинальный вывод
уравнений, принадлежащий Н. Е. Жуковскому. Вывод был
записан В. П. Вегчинкиным по лекции Н. Е. Жуковского и
одобрен автором.
В статье девятой рассматривается задача о движении воды
на повороте реки. В ней излагается в упрощенном виде
анализ этой задачи, данный Буссинеском, кроме того дается
распространение этого анализа на всякое течение жидкости,
обтекающей неподвижные контуры по изотермическим линиям,
и приводится решение задачи в том случае, когда число
Рейнольдса очень большое.
Остальные три статьи {10,11, 12-я) посвящены
гидродинамической теории смазки между шипом и подшипником. В статье
десятой рассматривается подшипник особого вида (см. фиг. 1,
стр. 235), а в следующих двух (11 и 12-й) изучается
движение вязкой жидкости между двумя цилиндрами с
параллельными осями и определяется сила действия жидкости на
внутренний цилиндр, причем в статье одиннадцатой предполагается,
что оба цилиндра вращаются в разные стороны с одинаковой
угловой скоростью, а в двенадцатой, написанной совместно
о С. А. Чаплыгиным, — что наружный цилиндр неподвижен,
а вращается только внутренний.
Наконец, в последней (13-й) статье описан изобретенный
Н. Е. Жуковским прибор, который позволяет весьма просто
сравнивать коэфицаенты вязкости двух сортов масла.

О РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ И ВТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
У
(1882 г.)
§ 1. Вопрос об истечении жидкости из сосудов
представляет наиболее разработанный отдел гидравлики как со
стороны теории, так и со стороны опыта. Работы Сен-Ве-
нана и Бусине поставили исследование этого вопроса на
правильный теоретический путь, а многочисленные опыты Поы-
селе, Лесбро, Вейсбаха, Борда и других разъясняли его со
стороны наблюдения, Но, несмотря на это, еще и теперь
можно указать некоторые стороны упомянутого вопроса,
исследование которых не лишено
интереса- Одной на таких
сторон, ' на наш взгляд,
представляется определение реакции
втекающей жидкости, о
которой, насколько нам известно,
не упоминает ни один из
авторов по гидравлике.
В этой заметке мы
определяем однообразным приемом
как реакцию вытекающей, так
и реакцию втекающей жидкости.
Первую мы называем прямой,
а вторую обратной реакцией-
§ 2. Вообразим два сосуда А и В, наполненные жидкостью
(фиг. 1), которой посредством поршней ab и kl сообщены
давления р и р'. Эти сосуды соединены горизонтальной
трубкой С, площадь сечения которой равна а. Принимая р более р',
получим истечение жидкости из сосуда А в сосуд Б. При
атом, если трение жидкости внутри трубки С весьма незна-
а
г.
\\\
А
Ф
ь
d ш
&
С <?
Г
Л h
* В
'%-
л-
п
Л
Фиг. 1.

S О РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ И ВТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
чительно, то внутри этой трубки установится давление р'.
Возьмем оси координат так, чтобы ось Ок была параллельна
трубке С, и назовем через R слагающую по оси Ох силы
давления жидкости на стенки сосуда А. Сила, действующая
по оси Ох на жидкую массу, заключенную в сосуде А и трубке С,
будет R— р'°- По теореме количества движения импульс этой
силы
(R—p'o) dt
будет равен приращению количества движения упомянутой
массы во время dt. Предполагаем, что поршень аЬ спускается
во время dt до положения cd, а слой жидкости е/ занимает
по прошествии этого времени положение gh. Приращение
количества движения нашей жидкой массы будет равно
разности между количествами движения, заключенными в об'ьема'х efhg
и acdb, но в слое acdh все частицы движутся параллельно
оси Од и не имеют количества движения по направлению оси
Ок, поэтому все приращение количества движения равно
количеству движения в объеме efhg. Таким образом мы получим
равенство:
(Я —р'о) dt^Q-vdt,
а
в котором Q есть объем жидкости, проходящей через трубку С
в 1 сек-, у — плотность жидкости, g — напряжение тяжести,
и —скорость истечения. Из написанного равенства
определяем R:
R = p'a + Qv. (1)
Величины Q к ѵ определяются по известным формулам
гидравлики:
где k — коэфициент скорости, а кх — коэфициент количества
вытекающей жидкости. Подставляя эти величины, находим:
Цщ-р'а+Ш1<>(р — р').
Слагающая по оси Ох сил давления жидкости на стенки
сосуда В, которую мы назовем через R', определяется по той

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
9>
жѳ формуле, так как R—R'. Последнее можно доказать так.
Вся рассматриваемая нами масса жидкости по направлению'
оси Ох находится под действием силы R— R', поэтому
импульс (R—R')dt должен быта равен приращению по оси Ох
количества движения во всей жидкой массе. Предполагая, что
поршень Ы переходит во время dt в положение тп, найдем,
что все приращение количества движения равно разности
между количествами движения в объемах kmrd и acdb; но
частицы жидкости в этих объемах движутся перпендикулярно
оси Ох, поэтому количество их движения по направлению
этой оси равно нулю. Мы получаем:
(R—R') Л = 0,
откуда
R^R'.
§ 3. Предполагаем (фиг, 2), что сосуд Б, возрастая в
размерах, захватывает в себя сосуд А, причем поршень Id может
быть заменен свободной поверхностью
жидкости, на которую производится
атмосферное давление. Прибавляя к силе R
внутреннего давления слагающую по
направлению трубки С сил внешнего давления,
найдем силу Р прямой реакции
P=R — ffQ.
Подставляем сюда величину R из формулы (1):
Р^2ЫсМр-р'). (2)'
В случае, когда жидкость изливается в пустоту, мы-
должны положить р' = 0, что дает:
P=2kklap. (3>
Формула (2) имеет место не только относительно
неподвижного сосуда, как это предполагал Вейсбах, но и
относительно сосуда, движущегося с какой угодно постоянной
скоростью, так как теорема о количестве движения, с помощью'
которой она выведена, имеет место и в относительном дви-
жении-
г й

10 О РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ И ВТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
Переходим теперь к предположению, что сосуд А,
возрастая, захватывает в себя сосуд В (фиг. 3), и определяем
еилу Р', слагающуюся из силы R' и сил
давления по направлению трубки С на
внешние стенки сосуда Б. Эта сила Р' обратной
реакции будет:
Так как R' = R, то по формуле (1):
Фиг. 3.
Р = (Ш1 — 1)-о(р~р'). (4)
В случае, когда жидкость втекает в пустой сосуд, надо
положить р' = 0. Это дает:
P' = {2kk1-lhP. (5)
§ 4. Коафициент к, как следует иэ опытов ВеЙсбаха,
есть величина, довольно близкая к единице; обыкновенно
принимают £ = 0,98. Что касается коэфициента ки то он зависит
от сжатия струи. Надлежащим устройством трубки С можно
■совершенно избежать сжатия струи, и в этом случае к1 = к=
= 0,98. Делая подобное предположение, найдем по формуле (2)
такую величину прямой реакции:
Р = 2- 0,96., {р-р1),
что близко подходит к известному результату: прямая
реакция равна двойной разности между внутренним и
внешним гидростатическим, давлением на площадь отверстия.
Для случая обратной реакции при выходящей трубке,
подобной той, которая представлена на фиг. 3, нужно на
основании опытов Борда положить k^=1j.i. Это дает по
формуле (4);
F = 0,Q2°(p— p').
Таким образом: обратная реакция есть весьма
незначительная величина сравнительно с прямой реакцией.
§ 5- Опыты подтверждают найденный нами результат
о незначительности обратной реакции.
Мы устраивали сосуды (фиг. 4 и 5), которые
поддерживались на воде с помощью пробковых поплавков и сообща-

СТАТЬЯ ПЕРВАЯ
11
лись гуттаперчевыми трубками с небольшим воздушным
насосом. Вдувая и вытягивая воздух, мы заставляли вытекать
воду из сосуда или вбегать в него. При атом обнаружилось,
Фиг. 4. Фш\ 5.
что сосуд остается неподвижным, как бы сильно в него ни
втягивали воду, И сейчас же приходит в движение, как скоро
вода выталкивается. Таким образом, совершая
последовательное втягивание и выталкивание воды,
можно получить быстрое движение сосуда в
сторону, обратную выталкиванию воды.
Слабость обратной реакции подтверждается
также на опыте с сегнеровым колесом. Два сосуда
(фиг. 6) А и В соединены гуттаперчевой
трубкой. В див сосуда Л установлено маленькое сег-
верово колесо, через которое трубка сообщается
с сосудом В. В оба сосуда налито некоторое
количество воды. Если поставить сосуд Б выше
сосуда А, то вода начнет переливаться из Б а А, и сегнерово
колесо придет во вращательное движение; но если сосуд5
поставить значительно ниже сосуда А, то вода будет переливаться
из А в В, а сегнерозо колесо будет оставаться неподвижным.
(Этот опыт был сделан А. X. Репманом.)
Эта работа была сообщена автором 22 ноября 1882 і\ в фиоичесном
отделении Общества любителей еетестБозпония в Москве и напечатана
впервые в „Журнале Физико-химического общества", т. XIV, 1882 г.
Вторично работа была напечатана в трудах ЦАГИ, вып. 112, 1932 г,
Прим. ред.
Фил 6.

ON THE REACTION OF AN OUTFLOW/NO AND AN INFLOWING
LIQUID
ARTICLE 1
Applying the principle of conservation of the momentum
moment to the case of a liquid flowing from a vessel A into
another vessel В through a pipe С (Fig. I), there is obtained
for the force—R of pressure exerted by the liquid on the wales
of the vessel A [formula (I)], in which p—pressure in the vessel A,
p!—pressure in the vessels, c—area of the pipe cross-section C,
Q—discharge, 7—density, v~velocity of flow in the pipe C,
k~velocity coefficient, and kt—discharge coefficient. From
formula (1) there are deduced expressions (2) and (3) for the
reaction of the outflowing liquid, and expressions (4) and (5)
for the reaction of the inflowing liquid. As it is seen, the first
of the reactions named is many times as great as the second.
In Fig. 4, 5 and 6 are shown the apparatus for an experimental
verification of the obtained conclusion.

О РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ И ВТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
СТАТЬЯ В ТО РАЯ
(1836 г.)
§ 1. В заметке, помещенной под тем же названием в.
„Журнале Физико-химического общества"1, мы определили силу
реакции (т. е. силу, действующую на сосуд, погруженный
внутрь жидкости вследствие того, что из него
выбрасывается или в него всасывается жидкость) в предположении,
что давление жидкости на внешние стенки сосуда везде
одинаково. Это предположение при выбрасывании жидкости
оправдывается тем, что выбрасываемая жидкость образует луч
жидкости (Fliissigkeitsstrahl), причем прилегающие к этому
лучу частицы внешней жидкости получают медленное
движение, а вся внешняя жидкость сохраняет приблизительно свое
гидростатическое давление2. В случае же втекающей
жидкости мы предполагали, что она втекает в сосуд через трубку>
вдающуюся во внешнюю жидкую массу так, что давление на
внешние стенки сосуда, начиная от основания трубки, можно
тоже приближенно принять равным гидростатическому. При
таком способе вхождения жидкости мы положили в нашей
формуле (5), согласно опытам Борда, &і=5І/а и нашли, что
реакция втекающей жидкости весьма мала. После того как наше
сочинение было уже напечатано, мы познакомились с работами
Шенемана, из весьма тщательных опытов которого следует
придти к заключению, что реакция втекающей жидкости близка
к нулю при всевозможных способах ее вхождения в сосуд8.
,._...-. j._i-i. — *- ■ —шт.. ■- _— —* ■
і Том XIV, 1882,
и Klrchhoff, Gesammelto Abhandlungen, S. 416.
BSclionemnnn, MonatsboHchte der Konigl. Akademle der Wissen-
schaften zu Berlin, April IS, 1858. Также ем. Das Harlsontal-Dy osmometer wtd.
seine Anwendang: auf Mechapik, von Th. S с Ь. о n e га a ц п,

14 О РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ И ВТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
Теоретического доказательства этого интересного
результата почтенный немецкий ученый не дает, ввиду чего мы
и решились напечатать эту вторую заметку, из которой
следует, что в беспредельной жидкости, при отсутствии трения
и разрывов, обе реакции для неподвижного сосуда должны
бы быть равны нулю. Таким образом оказывается, что
результат, найденный Шёнеманом, вполне согласуется с теорией,
а требует особого объяснения конечная величина прямой
реакции. Это объяснение заключается в том, что при втекании
жидкости скорости внешней жидкой массы до самого
отверстия сосуда изменяются непрерывно, скорости же вытекающей
жидкости прерывны и образуют луч жидкости.
§ 2. Основанием нашего вычисления служит одно
преобразование поверхностного интеграла в объемный, которое
несколько общее теоремы Грина. Пусть имеем замкнутое од-
носвяэное пространство ІЗ, для каждой точки которого (х, у, г)
даны компоненты /, т, п некоторого вектора и некоторая
функция t (х, у, z). Предположив, что компоненты /, т, п
удовлетворяют условию
будем рассматривать tyt mty, nty как компоненты, скоростей
некоторой сжимаемой жидкости, заполняющей пространство Е,
и напишем, что объем жидкости, протекшей через границы
пространства Е внутрь его, равен сумме сжатий всех
элементов объема жидкой массы:
I & (I cos а + т cos ft -f- п cos f) da t=
Здесь двойной интеграл распространяется на все
элементы da ограничивающих поверхностей, а р, і суть углы
нормали к элементу da, считая ее направление внутрь £1,
а тройной интеграл распространяется на все
пространство й.

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
15
Найденное равенство, на основании формулы (1),
преобразуется в искомое соотношение:
ф (I cos a -|- m cos (Э + я COS f) efe =
§ 3. Вообразим покоящийся сосуд А (фиг. 1),
погруженный в массу однородной несжимаемой жидкости, которая
ограничена снаружи стенками внешнего сосуда и свободной
поверхностью, беспредельно
удаленной от Л. В сосуде
имеется горизонтальное отверстие
Ьекс, через которое с
помощью поршня //жидкость
всасывается в полость В или
выбрасывается из нее. Построим
оси х, у, г, имеющие начало
в точке сосуда О и
расположенные так, что ось Ох
направлена горизонтально в сторону
отверстия, а ось Ог — по
вертикальной линии вверх.
Предположим, что сначала поршень If
и вся жидкая масса были в покое; потом поршень пришел
в движение, вследствие чего во внешней жидкой массе
установилось некоторое стационарное течение. Проведя некоторую
поверхность Ас, замыкающую отверстие сосуда А, и сферу S
весьма большого радиуса г, имеющую центр в О, назовем
через К пространство, ограниченное этой сферой и
замкнутой поверхностью аЬса. Если в этом пространстве не
произошло разрыва сплошности и трением жидкости можно
пренебречь, то в нем жидкость будет течь с потенциальной
функцией скоростей (р (х, д, z), которая на весьма большом
расстоянии г от сосуда А получит вид: '
,-с+£. * (з)
1.
KlrcliUof f, Vorlesiiiigen iiber Mathematisclie Physllr, S. 191.

16 О РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ И ВТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
~^—■■ ■- ■ .... ......а
где С и М—постоянные, а на конечном расстоянии от Л
вполне определится по скоростям, на поверхности Ьс.
Найдем теперь величину составляющей X по оси Ох
гидродинамических давлений на внешнюю поверхность Ьас нашего
сосуда. Принимая, что на частицы жидкой массы . действует
только сила тяжести, выразим гидродинамическое давление
через:
^---да+(!)'+(&)г <4)
где h—'постоянное, р>—плотность, a g—напряжение тяжести.
Полагаем в формуле (2) ty = p, 1 = 1, т = 0, и = 0; тогда для
пространства 2, взятого в stow параграфе, найдем, что
I р cos a dv =
Так как гидростатическое давление не дает
составляющей по оси Ох, то при подстановке сюда величины р из
формулы (4) мы можем отбросить р (й — gz); при этом окажется,
что вся часть двукратного интеграла формулы (5),
относящаяся к сфере 5, обратится в нуль, так как подинтегральная
функция будет, на основании формулы (3), четвертого поряд-
1
ка относительно —; получаем:
I р cos й rfo = — Х-\- I р cos a da,
Ьс.
где приписка к интегралу Ьс показывает, что он
распространяется только на поверхность Ьс. Что касается трехкратного
интеграла формулы (5), то его снова можно преобразовать
по формуле (2), положив:
д'р , дц д<о д<р
т Ли дх дц dz

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
17
Таким образом находим:
— Х-\- I I pcos я da-
Но здесь часть второго двукратного интеграла,
относящаяся к сфере S, равна нулю, так как подинтегральная
функция будет четвертого порядка относительно —.Часть его,
относящаяся и поверхности Ьас, тоже равна нулю, потому что
эта поверхность является поверхностью тока
рассматриваемого течения жидкости, так что нам остается взять только
его часть, относящуюся к поверхности Ьс.
Мы видим иа сказанного, что
ЛГа-р//Йл*+//'СОЯвЛ' (6)
tit Ьс
где дп — элемент нормали поверхности Ьс, направленный
внутрь £. Предположив для большего удобства, что
поверхность Ьс ортогональна к линиям токов, положим в формуле (б):
до д<о
^ = «соЯа,^ = И,
где и есть скорость жидкости, которой следует приписать
знак-|~в случае вытекания и знак — в случав втекания.
Получаем;
Х=р I I ѵ2 cos a di-f- I fpcosadi. (7)
Ьс Ьс'
Теперь перейдем к определению составляющей X' по
оси Ох всех сил давления и сил трения на внутреннюю
поверхность belfgkkc сосуда А. Предположив, что частицы,
прилегающие к поршню //, не имеют скоростей по Ох,
приложим к жидкой массе, ограниченной поверхностью belfghkc
и поверхностью Ьс, теорему о количестве движения:
— X'—jfpco$a.da~ pj J ща COS а (Ь,
be Ьі
Oiu:, № ѴШ, П. И. ИЕувоисшгК. Том IV 2

18 О РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ И ВТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
отсюда
X' = — р / / ѵъ cos « da — / I p cos a da. (8)
і*с be
На основании формул (7) и (8) полная реакция Р будет:*
Р^Х+Х' = 0. (9)
Этот вывбд относился бы одинаково как к случаю
втекающей, так и к случаю вытекающей жидкости, если бы в
пространстве £ 8 обоих случаях не происходило разрыва
сплошности5, но так как при вытекающей жидкости такой разрыв
происходит, то он верен только для реакции втекающей
жидкости. Для вытекающей жидкости можно приближенно принять,
что давление внешней жидкости, окружающей жидкий луч,
равно гидростатическому давлению //, и положить:
Х= ffp'cosada, (10)
br.
так что
P=«—?J'j'vicoMtdv — J,J'(p — j/)c(aada. (11)
be be
На границах луча р' = р, И если отверстие невелико, то
второй интеграл в формуле (11) можно отбросить.
% 4. Наш вывод можно распространить и на тот случай,
когда сосуд Л движется поступательно по направлению оси Од:
с постоянной скоростью от. Вообразив неподвижные оси
координат х', у', г', которые в рассматриваемый момент
времени і' совпадают с нашими осями х, у, z, присоединенными'
< к телу А, мы выразим скорости абсолютного движения по
подвижным осям функцией скоростей <р (х, у, z), которая
относительно неподвижных осей представляется так:
?С*. з, *)«<р|У —ю(<—О. з', А- С^>
Эта функция на весьма большом расстоянии от тела
выражается формулой (3), а на конечном расстоянии от него вполне
определяется по нормальным скоростям жидкости на
поверхности тела Ьас и на поверхности be.
ХВ полости могут происходить разрывы, треииа и удаіры.

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
19
Так как функция ф, выраженная относительно координат
х'> и', z', содержит время, то гидродинамическое давление будет:
-^л-тн^нш
что для момента времени і', на основании формулы (12),
напишется так:
Вследствие вошедшего сюда добавочного члена'-^-о)
формула (5) для рассматриваемого случая принимает вид:
//'«•*-///{(£-)£(&)*
Зде сь часть двукратного интеграла, относящаяся к сфере S,
не может быть вся опущена, и мы должны положить, что
J J Pcosat& — —-^Н" J J P cos a da ~\~ p I J ~- wco&ada.
be n
Трехкратный интеграл может быть преобразован по
формуле (2), если положить в ней:
Таким образом находим, что
— Х~\- I /pcosarfo + p j J д-^-я»сОа« (ft =
be ■ s
—'Ш{(£--)"»'+£~>+£~т}*-(15)
Во второй части этого равенства двойной интеграл,
относящийся к сфере 5, приведется к третьему интегралу первой
части и сократится с ним; интеграл второй части,
относящийся к поверхности Ьас сосуда А обратится в нуль, потому

20 О РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ И ВТЕКАЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ
что эта поверхность является поверхностью тока
относительного движения со скоростями:
fa~W' Jj' Tz''
нам остается поэтому распространить интеграл второй части
только на поверхность be, которую для большего удобства
примем ортогональной к скоростям относительного движения
жидкости. Положив для этой поверхности
/да \ . д<? „ , дѵ
( Э7 " w j cos а+~djj cos Р+Щ cos ч = °'
"Т I
где и есть относительная скорость жидкости, которой
следует приписывать знак-]- при вытекающей и знак —при
втекающей жидкости, находим из формулы (15):
р/ I »acos «flfo-j- рда / /<у</а~}-/ tpcosadi. (16)
Z=P
6s " fie "
Что касается силы X', то она определится по прежней
формуле (8), так как теорема о количестве движения равно
приложима как относительно неподвижных осей, так и
относительно осей, имеющих поступательное прямолинейное и
равномерное движение. Складывая силу X, представленную
формулой (16), с силой X', данной формулой (8), находим полную
силу реакции:
Р=рт / J Vila.
be
Прилагая эту формулу к реакции втекающей жидкости,
берем ѵ отрицательным и полагаем:
P=-pQw, (17)
где Q — объем жидкости, втекающей в сосуд А в одну
секунду. Для реакции вытекающей жидкости по указанной
причине найденная формула непрялошша. Нам кажется естест-

СТАТЬЯ ВТОРАЯ
21
венным допустить, что в этом случае движение жидкости
в пространстве £ слагается из движения с потенциальной
функцией скоростей, которая имела бы место, если бы
поверхность be отвердела, и из движения, при котором
выбрасываемая жидкость образует луч жидкости, а вся
окружающая его жидкость неподвижна. Так как для первого движения
вся поверхность ЬасЬ является поверхностью тока
относительного движения, то вместо формулы (16) мы получим
формулу (10), где р'— давление, соответствующее первому
движению, и вся реакция Р вытекающей жидкости представится
формулой (!!)■
Эта работа была сообщена 17 декабря 1885 г. в Московском
математическом общество и напечатана впервые в „Математическом сборнике",
т. ХЛ, 1886 г. Вторично работа была напечатана в „Трудах ЦАГИ",
вып. Ш, 1932 г. Прим. ред.

ON THE REACTION OF AN OUTFLOWING AND AN INFLOWING
LIQUID
ARTICLE 2
The author proves that in an inbounded liquid, provided
there is no friction and the variation of velocity is continuous,
both the reaction of a liquid flowing; into a stationary vessel and
the reaction of a liquid flowing: out of a vessel are equal to zero.
Yet owing to the formation of a jet, on the surface of which
the variation of velocity is discontinuous, the obtained conclusion
does not apply to the outflowing: liquid, and the corresponding-
reaction is g;iven by the formula (11).
When the vessel is not stationary the reaction of the
inflowing1 liquid will differ from zero and wili be expressed by the
formula (17), in which Q — ibe, amount of liquid flowing in per
unit of time, and w — speed of the vessel motion. The
corresponding reaction of the outflowing; liquid remains the same as
in the preceding case (formula 11).

К ТЕОРИИ СУДОВ, ПРИВОДИМЫХ В ДВИЖЕНИЕ СИЛОЙ
РЕАКЦИИ ВЫТЕКАЮЩЕЙ ВОДЫ
(1908 г.)
§ 1. В двух моих заметках, напечатанных в 1882 и 1886 гг.1,
я рассмотрел вопрос о реакции втекающей и вытекающей
жидкости по отношению к сосуду, погруженному в
беспредельную массу покоящейся или движущейся жидкости. При этом
оказалось, что, принимая непрерывное распределение
скоростей жидкости, мы получаем как для силы реакции
втекающей, так и для силы реакции вытекающей жидкости величину
нуль, если жидкость покоится в бесконечности; если же она
на некотором расстоянии от сосуда течет со скоростью н, то
реакция втекающей жидкости равна /пи и направлена по
потоку жидкости, а реакция вытекающей жидкости равна ти
и направлена против потока жидкости, причем т—секундная
масса всасываемой или выбрасываемой жидкости. Отсюда бы
следовало, что полная сила реакции на сосуд, всасывающий
и выбрасывающий массу жидкости т, была бы в обоих
случаях равна нулю, если бы и процесс всасывания и процесс
выбрасывания совершался при непрерывном распределении
скоростей. Но непрерывное распределение скоростей имеет
место только при всасывании жидкости, при выбрасывании
же ее образуется свободная жидкая струя, текущая с
образованием поверхности раздела среди остальной массы жидкости.
Вследствие этого обстоятельства сила реакции вытекающей
жидкости равна то, где ѵ—скорость выбегающей жидкости,
которую в случае потока мы принимали, в направлении
скорости и.
1 „О реакции втекающей и вытекающий жидкости", Журнал Физико-ки^и-
чесгеого общества, т. Х1Ѵ[ „О реакции втекающей и вытекающей жидкости
<статвя вторая), „Математический сборник", т. XII.

24
К ТЕОРИИ СУДОВ
Вследствие зтого обстоятельства полная реакция жидкости
на сосуд, всасывающий и выбрасывающий секундную массу
т, погруженный в покоящуюся жидкость, выражается
формулой:
R = mvt (І)
а на сосуд, погруженный в поток жидкости, текущей со
скоростью и, или на сосуд, движущийся со скоростью и среди
покоящейся жидкости, равна:
R=m(v — и). (2)
Последнюю формулу обыкновенно берут в основание
теории судов, приводимых в движение силой реакции1, но
при этом не принимают во внимание ослабление в силе
сопротивления судна его движению, которое происходит от
эффекта всасывания жидкости. В этой статье мы
рассматриваем явление реакции совместно с обстоятельствами,
обусловливающими сопротивление движению судна, и исследуем,
как изменяется это сопротивление от всасывания жидкости.
Мы считаем такое исследование важным, так как во всех
теориях реактивных судов,
включая сюда и обстоятельную
теорию Цейнера fl, аффект
всасывания рассматривается как эффект
от вхождения в судно свободных
масс в данном направлении, между
тем как это явление чисто
гидродинамическое, и следует обращать
внимание на изменение давлений
воды ка судно.
§ 2. Рассмотрим сначала две схемы, в которых движущийся
сосуд не окружен жидкостью, а несет запасы жидкости
с собой или забирает жидкость с помощью трубки из рядом
стоящего жолоба. Пусть сосуд А с широким верхним
резервуаром, в котором жидкость налита до высоты Л. (фиг. 1),
двигается с постоянной скоростью и и поднимает груз R
1 Biisley, Die Schiffsmas chine, ilu-e Kens truk lien, Wlrkungswelse und
Bedleming, Kiel, 1436.
a Zee пег, Vorlcsimgen iiber Theorle der Turblncn, Leipzig, 1896, S.104.
Фнг. 1.

К ТЕОРИИ СУДОВ
25-
силой реакции жидкости, вытекающей из трубки х,
находящейся у два сосуда, со скоростью ѵ. Применяем к сосуду,,
rpysy и массе жидкости, обрезанной при конце трубки х„
теорему живых сил:
т dtgk —Radt = ^ >- — —— , (3>
где dt — элемент времени, #—напряжение тяжести, а т —
секундная масса вытекающей жидкости. Так как скорость-
истечения жидкости не изменяется от равномерного
поступательного движения, то
И *
R^™[tf -fua— (о — и)а] => тѵ. (Г>
Мы приходим для выражения силы реакции к формуле,,
тождественной с (1).
Полезная работа а 1 сек. в этом случае будет 'mviz, а вся
затраченная работа будет: mgk — для поднятия массы т на-
высоту h и работа -~ для сообщения этой массе
скорости поступательного движения и, так что, называя эту
затраченную работу через Т, получаем:
Г=^+-^. (4).
Коѳфициент полезного действия в рассматриваем ой
схеме выразится через1
1-^Т^* (5)
1 Этот- ковфнцнент поденного действия принят для реактивных судов
А. И. Пермяковым в'его статье „Пароходы, приводимые в движение
струен воды", .Бюллетени Политехнического общества", 1908 г., №6.

26
К ТЕОРИИ СУДОВ
all
Во второй схеме (фиг. 2) мы предположим, что в коробку
А, движущуюся равномерно со скорортью и и поднимающую
с помощью реакции струи груз R, секундная масса воды
____ т забирается трубкой
у ив жолоба z.
Вследствие того что эта
масса имеет относительно
коробки скорость и,
она может подняться
в резервуаре В на
высоту h' над уровнем
жолоба. Из
резервуара В вода с помощью
работы машины
поднимается еще на высоту h
до верхнего уровня
другого сосуда С, из которого она изливается через отверстие
трубки х под напором h-\~k'. Применим теорему живых сил
к коробке, резервуарам, грузу R и массе воды, обрезанной
на концах трубок ліу, Будем иметь:
^
Е)иг. 2.
mdtgh — Ru dt=*mdt
-.*(«—О'
(6)
■причем живая сила воды в абсолютном движений перед
отверстием у берется равной нулю.
Так как скорость истечения из сосуда С выражается по
формуле:
g(h + h')-%,
■а высота h', на которую поднимается вода в относительном
движении со скоростью и, есть;
..а
*Л' = -
иа
то

К ТЕОРИИ СУДОВ
27
Подставляя это выражение в вышеприведенную формулу,
находим, что
, £ |у - и» - (ѵ ~ иП = т {ѵ ~ и). (2'J
Л:
Это соответствует нашей формуле (2).
Затраченная работа на передвижение груза R ;во второй
схеме есть работа машины mgh и выражается так:
„2
Т=
тпѵ*
ти-
так что коэфнциент полезного действия будет1:
'ц)ц_ _2«
-ий *t-\~u '
2(о-
іЯ
(V)
(8)
Умножая здесь числителя и знаменателя на ѵ, найдем,
что при ѵ > а коэфнциент, данный формулой (8), менее
коэфициента, выраженного формулой (5).
§ 3. Мы предположили, что конец трубки у направлен в
сторону скорости и (фиг. 2). Можно бы было подумать, что при
ином его направлении выражение работы машины не будет
соответствовать формуле (7). Так, можно было бы подумать,
что при повороте конца
трубки у в сторону, обратную
скорости н, сосуд В (фиг. 2)
придется поставить таким образом,
чтобы его свободная
поверхность лежала ниже поверхности
воды в жолобе. Здесь мы
встречаемся с гидродинамическим
парадоксом, смысл которого
легко объясняется. Пусть
жидкость изливается со скоростью
и из широкой трубы АВ, в
которую вставлена манометрическая трубка аЬс (фиг.З). Конец
а этой манометрической трубки, заключенный в трубе АВ,
Фиг. 3.
1 ТпкоЙ воэфициент применяетая для реактивных судов Буслеем
и Погодиным.

28 К ТЕОРИИ СУДОВ
изогнут по направлению течения воды. При неподвижности водь?
в манометрической трубке мы обнаруживаем при ее конце а
давление ниже атмосферного, но если начать высасывать
воду из отверстия /, лежащего ннже уровня с в манометре, то
получаем постоянное истечение жидкости со скоростью, мало-
отличающейся от той, которая получится, если конец а
поставить навстречу течению в трубке В- Это объясняется тем,
что при равновесии воды в манометре струи жидкости еры"
ваются при конце а с носика трубки # образуют так
называемое „недавление". Когда же жидкость начинает втекат»
в манометрическую трубку, то струн уу' (фиг. 3J изгибаются?
при этом, согласно теореме Бернулли, мы можем, пренебрегая
гидродинамическими потерями, написать:
где а — скорость истечения иэ отверстия /, а А —высота точки
а над /, так что и>ы.
Если в нашей второй схеме к етаякам трубки у прибавить
поверхность тока в относительном движении, опирающуюся
на края отверстия у, то получится (фиг. 3) трубка, открытая
в направлении движения судна. Обрезая эту добавочную
трубку на значительном расстоянии от у, мы получим
отверстие у'д', перпендикулярное к скорости и направленное
навстречу набегающей жидкости. Вместо промежуточных
сосудов В а С мы можем прямо вообразить насос, который
качает воду из жолоба г посредством трубки у в трубку х,
тогда в формуле (6) вместо члена mdtgh надо писать прямо
работу насоса Tdt, причем величина Т очевидно выражается
по формуле (7). Таким образом формула (2) будет иметь место
при нашей второй схеме, каким бы способом мы ни забирали
воду из жолоба z. Но в нашем рассуждении при разборе схемы
второй не принято во внимание сопротивление воды в жолобе
движущейся трубки у. Это сопротивление будет изменяться
в зависимости от того, всасываем ли мы в трубку у воду или
не всасываем, и в зависимости от того, как мы ее всасываем.
§ 4. Если на фиг. 2 высота Л будет отрицательна и
машина будет совершать отрицательную работу, чтобы перепу-

К ТЕОРИИ СУДОВ
29
екать без скорости воду из резервуара В в резервуар С, то v
выйдет меньше и. Формула (2') дает нам при этом
отрицательную величину полной реакции, и груз R на фиг. 2 надо
будет повесить с левой стороны для того, чтобы происходило
равномерное движение коробки А со скоростью и налево.
Реакция будет создавать сопротивление движению. Но такой
результат опирается на допущение, что при отсутствии
подсасывания и выбрасывания жидкости никаких' сопротивлений
нет- Если бы мы обратили внимание на это сопротивление
и определили, как оно изменяется эффектом всасывания воды,
f
то получили бы при — > 0,3 от действия реакции некоторую
помощь движению. Пусть трубка J? имеет отверстие площади /,
направленное против набегающей воды. Тогда при
запертом кране у сосуда В она испытывает от удара воды
сопротивление
r~kgpfy*, (9)
где р есть плотность жидкости, отнесенная к массе, a kg
имеет величину около 0,7. Чтобы двигать коробку А при за-
«рытом кране, надо слева повесить груз R. Когда же коробка
двигается при открытом кране, подсасывая массу т и
выбрасывая ее со скоростью ѵ, меньшей и, вся сила г
пропадает и заменяется, как было сказано, силой т (и — ѵ). Но
легко усмотреть справедливость неравенства;
т(а — ѵ)<к&№, (Ю)
которое приводится к виду:
или
так как kg имеет величину около 0,7, то ->0,3.
§ 5. Мы переходим теперь к поставленной нами задаче.
Пусть фиг. 4 представляет план подводной лодки,
приводимой в движение реакцией выбегающей жидкости. Эта жид-

30
К ТЕОРИИ СУДОВ
кость с помощью насоса Z всасывается с передней части
лодки трубами уу и выбрасывается у ее кормы трубами хх.
Предположим сначала, что обводы лодки весьма совершенны,
и струи воды, набегая на нее с носа, сбегают с кормы, не
образуя за кормой поверхностей раздела и завихренного
пространства. Тогда все сопротивление лодки без действия воды
найдется по закону трения воды о стенки и будет по Фруду:
F=(U4iAS, (11)
где S—смоченная поверхность лодки, или, точнее, так
называемая приращенная поверхность Ранкина.
Предполагаем теперь, что насос Z действует и, забирая
массу т воды через отверстия уу, выбрасывает ее через
отверстия хх. Сообщаем судну и всей жидкой массе общую
скорость поступательного движения и в сторону, обратную и,
так что получим неподвижное судно в потоке жидкости,
текущем со скоростью и. Охватим нашу подводную лодку
цилиндрической поверхностью ААСС, достаточно широкой и
с достаточно удаленными от лодки сечениями АА и СС, чтобы
можно было считать во всех точках этой цилиндрической
поверхности скорость частиц жидкости равной и. Так как
количества движения жидкости, вытекающей через площадь
сечения СС и втекающей через площадь сечения АА,
одинаковы, то, называя через р и. р' гидродинамические
давления в этих сечениях, напишем по теореме о количестве
движения, отнесенной к жидкой массе, заключенной в цилиндре
ААСС (сюда относится и жидкость в трубопроводах лодки):
(P — P')Q.Jt~Rdt = 0t (12)
где R есть сила действия жидкой массы на подводную лодку.
Эта сила по закону действия, равного противодействию, равна
и прямо противоположна силе действия лодки на воду.
В нашем случае лодка находится в относительном покое,
и эффект реакции уравновешивается эффектом силы трения
F; поэтому Л = 0, и уравнение (12) приводит нас к
заключению, что
Р-Р'■ (13)

К ТЕОРИИ СУДОВ
31
Прилагаем теперь ко всей жидкой массе, заключенной;
в АЛСС, теорему живых сил.
Для атого надо написать, что элементарная работа
машины Tdt без работы трения Fudt и без работы,
потерянной на удар струй в жидкость, текущую около сечения СС
с постоянной скоростью, равна нулю. При этом работу,
потерянную на удар, определяем по теореме Карно.
Получим:
ГЛ-ЛА-^ІЕ^Ід.о, (14>
откуда
Г-Л, + ^р£. (15)
Что касается секундной работы насоса Z, то ее мы
определяем, прилагая теорему живых сил в относительном
движении к массе жидкости, заполняющей трубопроводы
подводной лодки, причем эту массу считаем обрезанной в концах,
трубопроводов хх и уд.
Получаем:
где р" и р"' — гидродинамические давления в точках у и лу
q и ѵ — скорости жидкости в этих точках, a *f — плотность
жидкости. Чтобы исключить из формулы (16) величины р"
и р"\ воспользуемся теоремой Бернулли на струях ад и bd,.
причем точка d близка к свободному лучу жидкости,
выбрасываемому из х. Мы имеем:
р . ^=в!^1
где № — скорость жидкости в точке d. Эта скорость
вследствие эффекта трения меньше, чем скорость и.
На основания формул (16) и (17) получаем:
Гв.™! ™£. (18>

■32
К ТЕОРИИ СУДОВ
Подставляя это выражение в формулу (15), находим, что
тгР __ тыа т (ѵ — и)3 , ти2 m-afi „
:ИЛИ
т(в-И)^(і-£)=/г (19)
Левая часть, которая уравновешивает силу внешнего
трения, могла бы быть названа силой полной реакции. Мы видим,
что эта сила более, нежели т(ѵ — а). Когда иі очень мало-
тогда сила реакции обращается в т I ѵ -— •=■); когда же w близко
к и, тогда сила реакции выражается через т (ѵ — ы).
Для расчета реактивного судна в предположении, что и>
близко к н, мы будем иметь формулы:
где /— сумма площадей отверстий хх. Последняя формула'
может быть представлена в виде:
/=с_!і iizT) 3=°т4ішг"s- <22)
и \и I и \ ц
Если, например, ѵ = 1и, то
/=0,0007 5
и
2
После этого, задавшись величиной и и зная ѵ=*2и,
найдем количество выбрасываемой жидкости по /, а по формуле
(11) определим величину F; зная же F и коэфициент полезного
действия, определим работу машины.

К ТЕОРИИ СУДОВ 33
§ 6. Если бы струи жидкости срывались с лодки передкор-
мой с некоторой скоростью w, то обсудить вопрос об
эффекте реакционного пропеллера на изменение сопротивления,
испытываемого движущимся телом, можво было бы, прибегая
к способу, предложенному
Сен-Веианом1 для
определения сопротивления судов,
Сен-Венан предполагает, что
тело движется внутри
некоторого цилиндра, за
пределами которого лежит
покоящаяся жидкость. Этот
цилиндр (фиг. 4) АЛСС
будет иметь площадь сечения Q, сравнимую с площадью ми-
делевого сечения ш. Для обыкновенных скоростей отношение
Q
— —около 10- Средняя скорость ял в суженной части между
Фиг. 4
телом и цилиндром будет даваться формулой:
2 т
zu = u
о.
где
- ш р (Q — to)'
,=»1
(23)
В формулу живых сил (14) для рассматриваемого случая
следует ввести потерю живой силы на удар струй,
срывающихся с бортов подводной лодки при корме со средней
скоростью іи, о жидкость, текущую около сечения'СС со
скоростью и- Вследствие этого формула (14J получит вид:
откуда
Т»Fa-f QUP<2=^-!-*<?-=«£-"iSpO". (25)
Что касается секундной работы машины Т, то она может
1 Sai n t-Veu a n t, Memoives de I'Academic des sciences, vol.
XL1V, 1887.
Зав. M ІШ, IT, И. аКукоішипЯ. To» IV 3

34
К ТЕОРИИ СУДОВ
быть попрежнему выражена формулой (18). Подставляя это
значение Т в формулу (25), находим:
m (ѵ — н)а
= Fa-{-Qup
mto1 mu* m(w — «)-
___ ^ _
(іи — и)э
или
m (щ — w) = ^-j- Gp(-^- -^-. (26)
Если бы мы хотели определить силу сопротивления воды
судну при недействующем насосе Z, то должны бы были
определить Я из формулы (12), полагая р>//. При этом
формула (24) написалась бы в следующем виде:
(р ~р) Qh Л — Fa dt—Qu?№~£ ~- 0. (27)
Исключая отсюда р'—р с помощью формулы (12), имеем:
где
ч>.
■ и
(29)
Здесь величина я/, как видно из формулы (23), более
нежели w во второй части формулы (26). Коэфнциентом
полезного действия следует считать отношение ,-, где вместо R
можно взять вторую часть формулы (26), умножив ее на
некоторый ковфициент Е, больший единицы. Что касается работы
машины Т, то она определяется по формуле (18). Мы
получим:
Этот коэфициент может выйти более того, который дается
формулой Буслея, вследствие того что % более единицы.
§ 7. Теперь является вопрос, откуда выгоднее забирать
воду: с передней части судна, с бока его или с кормы. Наша
',-=«-—-. (30)

К ТЕОРИИ СУДОВ
35
формула (IS) для работы Т остается одинаково справедливой,
из какой бы части лодки, считая от носа до сечения ЕВ,
с которого начинается схождение струй с лодки, мы нк брали
воду. Коэфициент полезного действия надо подсчитать по
формуле (30), приписав отношению тг~~~ значение,
удовлетворяющее опытным данным. Если же вода забирается у кормы,
то может образоваться особое явление. Струи, загибающиеся
в сосущие отверстия, как бы исправят очертание лодки.
Коэфициент полезного действия должен будет по дочитываться
при этом с помощью формулы (19), где zu менее и
вследствие трения о стенки лодки. Вообще для обводов с резкими
очертаниями можно ожидать выгоду от постановки
всасывающих труб близко к корме. Известно, что Цейнер
рекомендовал постановку всасывающих отверстий н передней части
лодки, но не надо забывать, что трение в трубопроводах
лодки, которое мы не подсчитывали в этом исследовании,
увеличивается с расположением отверстий в передней части.
Очень важно произвести эксперименты, которые бы решили
вопрос о наивыгоднейшем месте забора воды. Такие
эксперименты в малом лабораторном размере производятся при
механическом^кабинете Московского университета. Они
показали при первоначальных наблюдениях, что реакция
втекающей жидкости, понимая под ней изменение в полном
сопротивлении тела, погруженного в поток жидкости, больше, когда
всасываем жидкость с передней части или с борта, и меньше,
когда всасываем ее с кормы. Во всех случаях от всасывания
получается увеличение силы сопротивления текущей жидкости,
т. е. реакция всасывающей жидкости направлена по потоку,
но йто увеличение самое малое при сосании с кормы.
Эта работа была дважды сообщена автором: 28 октября 1908 г.
в Московском математическом обществе иі ноября 1908 г. в
Политехническом обществе Работа была впервые напечатана в .Бюллетенях
Политехнического общества", № 8, 1903 г. Вторично статья была напечатана
в „Трудах ЦАГИ", вып. 112, 1932 г. Прим. ред.
3,:

ON THE THEORY OF VESSELS PROPELLED BY THE REACTION
OF AN OUTFLOWING LIQUID
In this article the reaction of an outflowing liquid is
considered in conjunction with the resistance to motion of a reaction-
propelled vessel, and an analysis is given of the variation of
this resistance due to the suction effect.
The author considers first two cases, represented by Figs.
1 and 2, in which the vessel is not surrounded by the liquid
and either carries itself a supply of liquid or is supplied from
trough by the aid of a pipe- By the principle of conservation
of the momentum moment the reaction in the first case is
expressed by the formula (1'). The work spent on in raising the
liquid to a height h and in imparting a velocity и to the liquid
is given by the formula (4) and the efficiency by the formula
(5). In the second case the reaction is given by the formula (2'),
the work spent on in raising the liquid from the vessel В to
the vessel С— by the formula (7) and the efficiency — by the
formula (8).
In the second part of the work (§ 5, 6, 7) the author
determines the reaction of the outflowing liquid, the liquid being
sucked in at the fore part of a moving boat, by means of
a pump Z (Fig. 4) through pipes yy, and then ejected at the
stern through pipes xx. In the case of a streamline form of the
boat so that the currents which impinge at the bow ciose in
behind the stern without producing1 any surfaces of discontinuity
and eddies, the reaction F is expressed by the formula (19) and
the efficiency—by the formula (20), where u — speed of the
boat, v—velocity of the ejected liquid, w — velocity ot the
water at the orifice xx.

SUMMARY
37
When the currents break away before the stem with a
velocity to, the reaction will be expressed by the formula (26),
where Q — area of cross-section of the cylinder A AC С in which
the boats is moving and outside of which the water is at rest,
the efficiency is given by the formula (30) where ?>1.
From a comparison between the two cases there is reason to
expect that the resistance to motion will be reduced i£ the
water is sucked in at the stern and not at the stem. This
conclusion was supported by experiments carried out in the laboratory
of the Moscow University.

О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
(1903-1909 гг.)
§ І. Когда я сообщал эту работу в Математическом
обществе, мне не было известно напечатанное в 1898 г. сочинение
Мичеля' „О волновом сопротивлении корабля", результаты
которого близко подходят к найденным мной.
Но так как данный мной анализ более прост, нежели
анализ Мичеля, и в моей работе имеется определение
очертания судна наименьшего волнового сопротивления для мелкой
воды и подробный разбор одного интересного обвода судна
для глубокой воды, чего нет в работе Мичеля, то я счел
небесполезным напечатать мое сообщение.
§ 2. Предполагаем, что на мелкой воде глубины Л
движется судно цилиндрической продолговатой формы,
погруженное при вертикальной образующей в воду на глубину, близкую
к К. Пусть основание судна имеет ось симметрии, по которой
направлена скорость судна V. Расположим плоскость хОу на
поверхности невозмущенной воды так, чтобы ось Оу
направилась по оси симметрии судна в сторону, обратную его
скорости, а ось Oz возьмем по вертикальной линии вниз.
Прибавим ко всей системе (судно и вода) скорость, обратную
скорости К, и будем рассматривать установившееся движение
воды относительно неподвижного судна.
Компоненты скорости частицы воды в этом движении
будут: и, ѵ-\- V, -w, где «, ѵ и w—малые величины.
Представим уравнение возмущенной свободной поверхности воды
в виде:
* = С, (1)
1 Michel I, The 'Wave-Resistance of a Ship, „Philosophical MagwJne*,
vol. 45.

О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
39
где малая величина £ является функцией х и у, и подберем вту
функцию так, чтобы удовлетворить уравнениям гидродинамики
положениями:
h — z &
го— ■
А
ъѵ-
(2)
Первые два уравнения гидродинамики, принимая во
внимание, что движение есть установившееся, и отбрасывая
малые члены выше первого порядка, дают нам:
д', да tr
дх'
Л = ди ѵ
8 ду дуѴ'
(3)
третье же уравнение при отбрасывании вертикального
ускорения частиц жидкости обращается в тождество.
Что касается условия несжимаемости, то оно на основании
формулы (2) будет такое:
дх ду ду h
Возьмем от обеих частей этого равенства производную по
у и напишем на основании формулы (3):
дК _ У* -
дх* і
->,'■* дК
ду*>
где
X^Vgh
есть скорость волны на рассматриваемой мелкой воде.
Примем, что
V>Vhg,
(4)
(5)
(6)
и положим

40
О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
Общий интеграл уравнения (4) напишется при этом в виде:
Z^F(g-kx)i-F1(g + kx), (8)
где F и Fl суть произвольные функции.
Берем для части жидкости, лежащей с левой стороны
судна (считая по фиг, 1 по его движению), Fj = 0 и полагаем:
Z = F(g — kx). (9)
При этом для всех точек, лежащих
на одной из прямых семейства
У~кх = <}> (10)
величины С одинаковы. Что касается па-
раметра q, то он представляет отрезок
упомянутой прямой на оси Оу. Вообразим, что начало О
помещено на носу судна, и будем приписывать функции F(q)
значение нуль для всех"! отрицательных q, а. равно и для
всех положительных значений q, больших /, где I — длина
судна. Значение F{cj) при />»?>- 0 найдется по уравнению
обвода судна ОАБ: ■
*=/(?), (И)
в котором л' мы будем считать малой величиной сравнительно
с I. Определим на уравнений (9) и (3) малую скорость и:
и= -у F(g-kx)^ ~^F(q). (12)
По малости и тангенс угла наклонения горизонтальной
проекции линии тока к оси Од получится через разделение
и на ѵ-\-Ѵ или с приближением — просто на V. Отсюда
следует, что
%--^Пя). (13)
Этому диференциальному уравнению должно удовлетворять
уравнение (И) горизонтального обвода судна. На основании
формулы (10) подставим в формулу (13)
di] — dq-\~k dx

О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
41
и напишем:
Отсюда следует, что
t = Ffo)
С помощью уравнения (14) будем знать высоту жидкости:
во всех точках, заключенных между прямыми 0D и БЕ,
проведенными через нос и корму судна под углом а к оси Оу,.
причем:
Что касается горизонтальных проекций траекторий частиц,
жидкости между прямыми OD и BE, то все они согласно-
формуле (13) будут тождественны с линией обвода судна ОАВ..
Таким образом вне пространства, заключенного между
прямыми OD и BE, траектории относительного движения
жидкости прямолинейны и z = 0, в промежутке же между
упомянутыми прямыми горизонтальные проекции траектория имеют-
форму обвода судна.
Посмотрим, как в атом промежутке изменяется высота,
воды С. Вследствие малости /'(<?) формулу (14) можно
приближенно написать в виде:
С--^/'(7). (140-
Здесь при изменении q от 0 до I, т. е. при перемещении
от носа к корме, мы имеем (фиг. 1) убывание производной]
/' (q) от положительного значения ее в точке О до
отрицательного значения ее в точке В с переходом через нуль
в некоторой точке обвода Л. Это показывает, что величина..
С сначала отрицательна, потом переходит через нуль и
делается положительной. На фиг. 2 представлена поверхность,
воды, омывающей судно,
ѵу (я)
(14>

42
О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
Из всего сказанного видно, что деформированная
поверхность воды слева от судна будет заключена между иаралле-
.лями OD и BE. Эту деформированную поверхность и
называют спутдой волной. Подобно тому, как мы построили левую
спутную волну, мы можем построить правую спутную волну,
положив в формуле (8) F—0 н приняв
Так* как мы предположили, что обводы судна симметричны
относительно оси Од, то F1(q) = F(q), и правая спутная
Фиг. 2. Фиг 3.
волна будет во всех своих частях симметрична левой. Если
бы правый обвод судна отличался от левого, то правая
спутная волна отличалась бы от левой, но границы ее
остались бы симметричными границам левой спутной волны,
т. е. правая волна была бы заключена между двумя
прямыми OD и BE, образующими с осью Од вышеуказанный
угол «.
Рассмотренное явление служит объяснением стоячих волн,
образующихся на быстро бегущих мелких потоках и имеющих
.вид, изображенный на фиг. 3.
От левого берега отходят левые спутные волны, а от
правого —правые. Слагаясь, эти волны образуют рябь в форме
ромбов.
§ 3. Определим теперь волновое сопротивление R судна
от действия спутной волны.
Мы имеем:
Л = 2Л (pi*ds.

О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
43
Заменяем с приближением ds на dy и замечаем, что
вследствие малости -j- по (10) имеем:
dg = dq,
Так как постоянный для данной горизонтали член gz
в формуле (2) не имеет влияния на R, то можно написать:
Подставляем сюда выражение (14'):
R--
2рѴѴі
і
к
о
jlf'WJq. (16)
Пользуясь формулой (16), можно подобрать форму
горизонтальных обводов плоского судна данного водоизмещения
и данной длины так, чтобы волновое сопротивление R
представляло наименьшую величину.
Для определения функции f(q) мы должны искать
наименьшее значение
о
под условием
о
і
ff(f,)dq = l, (17)
где а — водоизмещение.
Вводя постоянный множитель — \і, берем:
8
о ' 'о
при этом мы приняли во внимание, что при </=0 и q — l
имеется;
\[{ - tf(<?)+1/' (?)?} dq=/а ит і ~ i» - ѵ" т м « 0;

44
О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
Диференциалъиое уравнение наивыгоднейшего обвода
будет:
''■ w 2 с/?1'
Интегрируя и принимая во внимание условия л: = 0 при
9 = 0 и ? = /, находим:
x = \qij-q)> (18)
или
I рр р ( I
16-4 12 -■ <18'>
Последний вид уравнения показывает, что наивыгоднейший
обвод представляет параболу -405, для которой касательная,
параллельная оси Ogt сопряжена с направлением передней
границы OD спутной волны фиг. 1. Так как при q — -^ имеем:
Х~\6'
то эта последняя величина есть полуширина миделевого
сечения. Что касается постоянного множителя у-, то он
определяется через а из формулы (17):
34^-ді Н-—ИГ* (19)
Отсюда по уравнению (18'):
*'=g(;-29w<?).
Подставляем в формулу (16) и принимаем приближенно
k=Vi\, Получаем:
(Г
"Jcz-ayjv^-^^-^pW. (20)
Эта формула показывает, что сопротивление при
наивыгоднейшей форме для данного водоизмещения обратно
пропорционально кубу длины судна.

О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
45
§ 4. Переходим к рассмотрению спутной волны на
жидкости большой глубины. Сообщаем всей системе скорость V,
обратную скорости движения судна, и, расположив оси
координат, как в предыдущих параграфах, будем рассматривать
установившееся относительно судна течение жидкости с
компонентами скоростей u, v-\~V, tv.
Постараемся подобрать малую величину С в
деформированной поверхности такой функцией х, у, при которой
уравнения гидродинамики удовлетворяются положениями:
Р — Ра_,
■(z~~(e V),
<ш — е *-г- V.
(21)
Подстановка этих формул в уравнения гидродинамики
при условии малости и, у, я/ и С дает нам:
Ѵд3
Ѵдхе ду'
ду'
(22)
причем последняя из этих формул приводится к виду:
0. (23)
Берем условие несжимаемости, обращая внимание на
вторую формулу (21):
дх ' ду і* оу
Составляем производную по у от первой части;
"2
д
дх

4е
О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
и преобразуем с помощью двух первых формул (22):
i5fi_^U^^-0 (24Y
Это уравнение на основании формулы (23) приводится
к виду:
Формулы (23) и (25) служат для определения С.
Мы удовлетворяем им положением:
С=— AXY, (26)
где X есть функция одного х, a Y есть функция одного у,
определяемые из диференциальиых уравнений;
(27)
Удовлетворяя этим уравнениям, мы можем взять:
г—іі/ягм-чі/іни
тогда
Точно так же мы можем взять:
тогда
Составляем разность и сумму двух указанных решений С
и складываем результаты при коэфициентах А и А^.

О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
47
где для сокращения положено:
k = tK'j=gH:.
Vh-
(29)
Формула (29) аналогична формуле (7) для мелкой воды,
причем произвольная длина [і играет роль Л для мелкой воды.
Примем, что длина р- удовлетворяет неравенству
Ѵ>Ѵ&, (30)
и остановимся для левой спутной волны на предположении.
А , =0, так что
V IT
г, = —Ааі
sin
(31)
Скорости и, ѵ, tv для левой волны на основании формул
(21), (22) и (31) будут:
Vg\>- іу — кх)
0) =
■А
/?•"'
V_^t (ѵ ~ М
cos
(32).
Эти компоненты скорости имеют потенциал скоростей:
» = Л i/gii е ^ cos
V2g> 0/ —he)
V а
(33)
поэтому рассматриваемое движение жидкости есть вевихревое,
Формулы (31) и (32) показывают, что все точки, лежащие
с левой стороны ыа одной и той же прямой
y-kx^q, (34)
будут иметь одну и ту же высоту и будут двигаться одинаково.
Если выберем длину [>■ под условием
V ѵ.
= 2*.
(35)

.48
О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
где / — длина судна, то при q = 0 и д = I будем иметь
и = и —£ = 0. Мы можем сомкнуть равномерное и
прямолинейное движение со скоростью V жидкости, лежащей вне
.пространства, заключенного между вертикальными плоскостями
у — кх = 0, с/ — кх=*1,
с движением жидкости между этими плоскостями,
совершающимся с потенциалом скоростей
при этом на граничных плоскостях высота С и гориаовталь-
.яые составляющие скорости будут одинаковы, но вертикальные
составляющие скорости получаются различные, именно с
одной стороны от = 0, ас другой
tu — — /і \/ -ре
Эта неточность внесет некоторое изменение в высоту С
■ около границ спутной волны, заключенной между упомянутыми
вертикальными плоскостями.
Первое уравнение (32) позволяет нам определить
горизонтальные обводы судна при рассматриваемом движении
жидкости.
Мы имеем при г = 0, заменяя приближенно ds на dy;
dx_Agk . fl-,/~g \_ dx
-■ЧѴІ
dy W ан,\ѴѴ и У dq-\-kdx'
откуда
Agk
dx^ _V_
1~T~ yt
sin(v]/iq)
Здесь по малости А можно взять:
! = ^n(A,/l,), (36)

О СПУТНОИ ВОЛНЕ
49
или с несколько меньшим приближением, полагая, что
(37)
написать:
Интегрирунм и определяем постоянное под условием: х = О
при q = 0.
Получаем:
„A[l-m(ty і)]. (38)
_^айденная ^кривая "прикасается к оси Од в точках 0 = 0
к q = l, как это представлено на фиг. 4. Все горизонтальные
Фиг. 5.
проекции траектория поверхностных частиц жидкости внутри
лезоЙ спутной волны будут иметь тот же вид, как указанные
обводы судна. Правая спутная волна найдется подобным же
образом, положив:
причем мы будем 'иметь полную симметрию справа и слевя.
Что касается высоты жидкости (— С), то она, согласно
формуле (31), при изменении q от 0 до I начинает подниматься
у носа судна, достигает своего наибольшего значения при q = -.,
обращается в нуль при ^г = ^ипотом в симметричной порядке
понижается ниже спокойной воды, как это представлено на.
Зпіі. Хі 1Ѵ0О. П. Ж Жуковский. Шок IV і

50
О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
фиг. 5. Формула (38) дает нам горизонтальные обводы судна
при поверхности воды.
Если бы мы желали найти горизонтальные обводы судна
на глубине z, то следовало бы воспользоваться уравнением:
= ^[l-co.(*f *)].
(39)
Мы видим, что при одном и том же q закон изменевил х
с глубиной г выражается логарифмикой, миделевое сечение
рассматриваемого нами судна имеет
сходство с сечениями, употребляемыми ка
практике (фиг. б).
§ 5. Переходим к определению силы
сопротивления R, оказываемой
рассматриваемому судну спутной волной. Элемент
этой силы dR на часть смоченной
поверхности, заключенную между двумя весьма близкими
горизонтальными сечениями, отстоящими друг от друга на dz,
выражается аналогично формуле (16) и ,согласно формуле (39)
в виде:
Фиг. 6.
dR
к у-
sin*
g
q)dq:
~йе ѵ-ldz.
к у.
, Называя глубину погружения судна через А> будем иметь:
Мы будем считать h значительно большим, нежели у, и
положим приближенно:
так что
Л-
' 2к
(40)'

О СПУТНОЙ ВОЛНЕ
51
Коэфициен-г А определяем с помощью водоизмещения а.
Мы имеем по формуле (39):
h
Г *
а = АІ I e~7 dz = Afy, A = ~.
о
Подставляем в (40):
p — ifi^ _ №а?-
где
\ = ^ (41)
Но по формуле (35)
Р-^ (42)
поэтому
*-*¥^. ■ т
Эта формула имеет сходство с формулой (20), причем роль Л
играет р, и вместо числового коэфкциента 24 входит несколько
меньший коэфициент З^3 = 19,74.
Суда рассматриваемого типа при данных а, I и V вполне
определены, ибо по формулам (41) и (42) имеем:
, sL .._ **"
2кѴ г 4яРѴ*'
(44)
Что касается силы R, то она по указанным данным
выражается формулой:
Д = ^Ѵ. (45)
Работа была 16 сентября 1903 г. сообщена в Московском математнческой
обществе я напечатана в .Трудах отделения физических яаук Общества
любителей естеетвовноиип", т. XIV, вып. 1, 1909. Вторично работа была
напечатана в „Трудах ЦАГИ", вып. 112, 1932 г. Прим. ред.
4*

ON THE WA VE BEHIND A SHIP
The article deals with waves that are formed on water during
the passage of a ship- In the first part of the article (§ 2 and 3)
it is assumed that the depth of water is small and that the ship
is bound by a veritcal cylindrical surface extending almost to
the bottom. Waves are propagated within the strips OD and BE
(Fig. 1) on both sides of the ship; beyond the strips the liquid
is at rest. In the equation for the wave profile the values ol F(t?)
will be obtained from the formula (14) by means of the
equation z~—f{q)=f(y — kx) of the shape of the hull. The wave
resistance is given by the formula (16) and is a minimum
[formula (20)] when given a definite displacement the ship is bound
by two parabolic arcs (Fig. 1).
In the second part (§ 4 and 5) an interesting case of waves
in deep water is discussed. Formula (31) is the equation for the
wave profile, formula (35) gives the shape of the hull and
formula (45) — the wave resistance.

О ФОРМЕ СУДОВ
(7887-1890 гг.)
§ 1, Насколько мне известно, до сих пор не
рассматривалось течение беспредельного потока жидкости, обтекающего
тела с остроносыми контурами. Вопрос о невихревом течении
беспредельного потока несжимаемой жидкости в двух
измерениях, обтекающего контуры различных форм, был весьма
обстоятельно исследован Ранкиным (Rankine, On plane water-
lines in two dimensions, «Miscellaneous Scientific Papers», p.495),
, A^
V
У
в
в
Фиг. 1. Фиг. 2.
но он не нашел своим методом вполне остроносых форм,
а только формы вида, представленного на фиг. 1. Чтобы
распространить фрикционную теорию Ранкина на суда,
желательно бы знать течение потока, обтекающего контуры,
нос и корма которых образованы вогнутыми кривыми,
прикасающимися к оси симметрии всего контура.
Для изыскания таких течении мы предполагаем
рассматривать прямоугольные декартовы координаты х, у каждой
точки жидкости как функции некоторых изотермических
параметров X и Ѵ-, которые в свою очередь суть функции от
изотермических параметров f и $, представляющих потенциал
скоростей и количество жидкости, протекающее между
постоянной и данной линией тока.

54
О ФОРМЕ СУДОВ
Между параметрами X, р, <р, ijj мы устанавливаем
соотношение:
(p-j-^^&cos (|і — U), (1)
где к — некоторая постоянная величина, а
Из этого соотношения, пользуясь обозначениями
гиперболических функций, получаем:
<? = к cos 51 ch л, I
<|j = & sin [J. ah \ . ] ^>
Направим ось Ox по оси симметрии судна в ту сторону,
в которую течет беспредельный поток жидкости. Пусть ABCD
(фиг. 2) будет рассматриваемый контур. Очевидно, что при
этом прямая х'А будет служить линией тока. В точке А эта
линия тока будет разделяться на две половины ABC и ADC,
образующие боковые обводы судна; в точке же С эти обводы
будут переходить опять в прямую линию тока Сх.
Примем на рассмотренной линии тока >{і = 0. Тогда при
удалении от нее в положительную сторону ординат будем
иметь возрастание ^ от 0 до-|-со, а при удалении от нее
в отрицательную сторону ординат будем иметь убывание
функции ty от 0 до — оо (при этом мы предполагаем
руководиться таким правилом: чтобы узнать, в какую сторону от
данной линии тока функция ty возрастает, надо повернуть
вектор, представляющий скорость жидкости, около его начала
в том направлении, при котором положительная ось Ох
переходит и положительную ось Од).
Далее, предположив, что а точках В и D имеем »==0,
будем иметь при передвижении по линии х'АВ или х'AD
возрастание «от — од до 0, а при передвижении по линии ВСх
или DCs— возрастание и от 0 до-р-00- Идя по всякой
другой линии тока в направлении течения жидкости, мы будем
иметь возрастание <о от — со до -j- со. Мы остановимся здесь на
предположении, что контур симметричен также и относительно
оси уу', в силу чего для всех точек этой оси будем иметь
« = 0. ■

О ФОРМЕ СУДОВ
55
Все указанные изменения функций ? и f найдутся из
формул (2), приписывая параметру \ положительные значения
от 0 до оо и изменяя параметр у- от 0 до 2я.
При [J. = w и изменении ^ от оо до 0 будем иметь ф — О
и изменение ® от — со до — к. Примем, что к есть] значение
функции <о в точках А я С; тогда при указанных значениях
параметров [і и X будем получать часть линии тока х'А-
Далее, при * = 0и изменении \<- от тг до 0 будем иметь ф = 0
и изменение ¥ от — к до-\~к, так что это изменение
параметров будет соответствовать части линии тока ABC. Равным
образом при ?Х = 0 и изменении \ь от -к до 2« будем иметь
ф = 0 и изменение ш от —к до -j-&, что соответствует части
линии тока ADC. Наконец, при ^ = 0 я изменении ). от 0 до
оо будем иметь ф = 0 и изменение а от к до оо, что
соответствует части линии тока Сх.
Укажем условия, которым должны удовлетворить функции
<р и '} в бесконечности. Так как частная производная от
функции ш по х, .равная частной производной от функции
<]> по д, должна давать компонент скорости жидкости по оси
Ох, то на весьма далеком расстоянии от судна мы должны
иметь:
до <5іЬ
где w — скорость потока в бесконечности. Точно так же, так
как частная производная функции <? по у, равная
отрицательному значению частной производной функции ф по х, должна
давать компонент скорости по оси Од, то в бесконечности
дв д<\ -
__„ ™й—.;
Это показывает, что функции <р и ф в бесконечности должны
стремиться к величинам;
® = wx,
ф = он/.
(3)
абсолютное. Прим. ред.

56
О ФОРМЕ СУДОВ
(4)
Отсюда и иг формул (2) следует, что х и у на весьма
далеком расстоянии от судна выражаются через J. и [і с
помощью формул:
т
и =вв~ sin іь sh. X.
Так как
я, следовательно, по формуле (1)
x+gi^Ffa — 'to'),
где / и F—знаки некоторых функций, то
дх ду
дх___ду
Это диференциальные уравнения, которым должны
удовлетворить искомые нами функции, выражающие х и у по
параметрам X а |а.
Мы удовлетворим этим уравнениям, а также и уравнениям
(4) в бесконечности, если положим, что
(5)
(б)
х=я — (cos |i ch *S — >4„е~,,А cos m ja),
#= — (sin [J. sh Х + ^Л^'^зтту),
(7)
где сумма распространяется на какие-нибудь положительные
значения т. Но для того, чтобы контур был симметричен
относительно осей координат и линия тока \ = 0 имела
вышеуказанный вид, нужно приписывать т только положительные
целые нечетные значения. Действительно, в этом
предположении при |l = 7c и изменении л от со до 0 будем иметь # = G
и изменение х от — <эо до
к
.ОА^~1'-(1-У1Лш).

О ФОРМЕ СУДОВ
57
При f. = 0 и ss изменяющемся от it до 0 или от ж до 2ъг
будем иметь одинаковые для того и другого предположения
значения х и противоположные по знаку, но равные по
величине, значения у, что соответствует контурам ABC и ADC.
При втом достаточно рассматривать один верхний контур,
для которого получаем уравнения;
х = — (cos |і- — 2Лт cos т р.),
J = — SMm sin m [J.
W
при параметре |a, изменяющемся от 0 до тг.
Наконец, при j*=0 я )>, изменяющемся от 0 до-(-си,
будем иметь у — 0 и дг, изменяющийся
от ОС - — (1 — 5И«) ДО ».
Мы рассмотрели поток жидкости, обтекающей неподвижное
судно, но если сообщим потоку и судну поступательное
движение со скоростью иі, обратной скорости течения потока,
то получим жидкость, покоящуюся в бесконечности, и судно,
движущееся в направлении хх' со скоростью to. форма
контура этого судна найдется из уравнений (8), а течение
жидкости относительно судна охарактеризуется формулами (7).
§ 2. Формулы (8) позволяют определить контуры, для
которых относительная скорость жидкости в точках А и С
равна нулю или есть конечная величина. Хотя нас интересует
главным образом последний случай, но для более полного
объяснения нашей теории возьмем сначала простой пример,,
относящийся к первому случаю.
Пусть имеем:
д,=Л= ■■■=<>■
Формулы (8) обращаются в
A t) cosy-,
(9)
*=>= — (1 — 4,)oosfc
w
k л ■
va= A Sin \Ь
w

58
О ФОРМЕ СУДОВ
и показывают, что контур судна есть эллипс:
где
-=яі<1-^
(Ю)
(И)
I
Из уравнений же (7) заключаем, что относительное
течение жидкости, соответствующее этому эллипсу, дается
формулами:
к
W
(cos [t ch X — А1е ~1 соа у-),
j/ = —■ (яіп [J.sh X-j-^i e^sin ;a).
«і
(12)
Определим скорости относительного движения жидкости
на поверхности нашего эллиптического судна. По формуле
(2) пишем:
d® d<? rfvi. , . dp
v = ~ = -?•--£■= — £ sin i*~-,
as ф as as
(13)
где s — длина дуги контура судна, отсчитываемая от А к С
По формулам (9) и (11):
ds = У&р + Щр = — ]^sin> + PcosV dp, (14)
так что
<о =
к sin !*■
l/«asin8ij.-f Pacose|*.*
(15)
Мы видим, что в точках А и С, соответствующих
вершинам эллипса, скорость равна нулю. Наибольшая величина
скорости получится в двух других вершинах эллипса В и D
и будет:
J*_« + l
■ѵ.
■■а.

О ФОРМЕ СУДОВ
59
Выведем теперь, согласно теории Ранкина, силу
сопротивления, происходящую от течения жидкости около боковых
обводов нашего судна. Ранкин замечает, что к поверхности судна
прилегает вихревой слой жидкости, в котором жидкость течет
со скоростями, отличными от скоростей, вычисляемых длн
невихревого движения. Такие скорости получаются только на
внешней границе слоя; внутри жѳ слоя скорости меньше и на
стенках судна они могут быть равны нулю. На основании
опытов, определяющих потерю напора жидкости, текущей над
неподвижной стенкой, Ранкин находит, что работа, потерянная
на каждом элементе ds стенок, будет fvsds, где /—некоторый
коэфициент, а it — скорость в верхней части упомянутого слоя.
Понятно, что вся работа, поглощенная в вихревом слое,
облегающем судно, разделенная на скорость судна, дает нам
искомую силу сопротивления жидкости R- Если положим
ѵ
■т
то найдем, на основании сказанного, формулу Ранкина:
R=~fu>2 fr?*ds, (16)
где интеграция распространяется на весь контур судна.
Заметим здесь, что, считая fvuds за силу поверхностного
трения, приложенную к стенке судна, мы были бы должны, как
справедливо замечает Д. И. Менделеев („О сопротивлении
жидкостей и о воздухоплавании", СПБ, 1880 г., стр. 88),
составить сумму проекций втих сил на ось судна и получить
под знаком интеграла о-3- Но такое вычисление было бы не
согласно с воззрением Ранкина, по которому относительная
скорость жидкости на поверхности судна совсем не есть ѵ
и может быть даже равна нулю.
Подставляем в формулу (16) значения q и ds, определенные
ив формул (14), (15):
■at J aa9inV + Pacosa|i w J «3sina(* +
n 0
PeosV

60
О ФОРМЕ СУДОВ
Вводим здесь новое переменное cos|J- = z, что дает:
R
_4Ц^_ Г (l—z*)di
аа J 1 — •
где
Совершив интегрирование, получаем:
Я-
wa?ea
1-е» /1-fa
lg __
или, подставив вместо к его выражение через а и е:
e-j^l + e
(17)
Это есть искомая величина силы сопротивления. Для
круглого контура, т. е. для е = 0, она обращается в
§ 3. Переходим теперь к остроносым формам судов, т. е.
к тому случаю, при котором скорость жидкости в точках А
и В не есть нуль. Это будет тогда, когда производная j-,
определенная из формул (8), обращается в нуль в точках А
и В. ВозьмеМ) например:
Д = Л7=...=0,
так что формулы (8) обращаются в
х ="" I (1 — A)cos p — A* cos 3 |J. 1,
■w
у = — {Аі sin |А -|- Ай sin 3 ji).
чи
Упомянутая производная будет:
Ф/ _ А соз Ц + 3 As cos 3 }*
(£х~~ (1 —A,) sin "А — ЗА, sin
Знав)
(19)

О ФОРМЕ СУДОВ 61
Так как знаменатель этой дроби обращается в нуль при
ij. = к и [* = 0, то для выполнения нашего условия необходимо
иметь:
А——ЗЛ,,. (20)
При атом условии дробь (19) получает в точках А и В не-
0
определенный вид тг ; но, взяв отношения производных
числителя я знаменателя по [<■, убеждаемся, что она обращается
в этих точках в нуль.
На', основании условия (20) формулы (18) обращаются в
х — — [cos н- — Ал (cos 3{і. — 3 cos \£) ],
ID
у = —А§ (sin 3f—3 sinfi-).
Преобразуем эти выражения на основании известных
формул тригонометрии:
cos 3)і = — 3 cos і* -\- 4 cos4 у-,
sin З'і* = 3 sin f» — 4sinV-
Получаем:
(21)
к
y==— /IsiiiVi
w
где положено:
Формулы (21) дают нам вид контура судна, который
представлен на фиг. 21. Полагая АС~2я и DB = 2$, найдем:
1 Мы будем рассматривать только тот случай, когда А<^^ .

62
О ФОРМЕ СУДОВ
Определим скорости относительного движения жидкости
по контуру рассматриваемого судна. Для этого подставляем
в формулу (13) на основании формул (21) величину:
&=. *^/7і4- А л)2 — бЛ cosG і* бІп }* <fy. (23)
Это дает нам:
р= " ^Д8^, (24)
у /l + A^]a~6^cos3.u.
Отсюда следует, что скорости жидкости в точках А н В
будут иметь наибольшую величину, даваемую формулой:
w
Определим теперь для рассматриваемого контура силу
сопротивления R. Внося величины, даваемые формулами (23)
и (24), в формулу (16), находим:
а
Л —2М Л ,ainxM£L
1 + 5.-4)— бЛсоз'Ѵ
—
Подставляем
R
4/wJb Г
0
COS [1 =
(.
sin ц rf
(^і*)-
= 2:
1
Г dz
1 м*г
2fak , * + 2
!А
6А cosa V
— 6Az:i
А+УШ
(1ЦА}УЪА\^Ъл-у-^

О ФОРМЕ СУДОВ
или, исключая к с помощью первой формулы (22):
р _ 8Ѵ« 2+ЗЛ+2КР
(2 + Л) (2 + 3^)КбЛ g2 + 3,4-2j/~o^~
~(2+Л)(2 + ЗЛ))7бЛ г 1__ ^7П*
При -4, приближающемся к нулю:
!.lw 3
„IlO^/Si
Поэтому бесконечно тонкому судну рассматриваемого вида
соответствует сила сопротивления:
Й = 4/то»в. (25)
Это заключение вполне согласно с опытами Фроуда.
§ 4. Мы закончим нашу статью некоторыми общими
замечаниями о формулах (8), Если бы был найден способ
уравнения всякого данного контура с помощью некоторого
параметра у. представлять в виде (8), то вопрос 'о течении
беспредельного потока жидкости, обтекающего всякий заданный
контур, был бы вполне решен.
Аналогичное рассуждение имеет место и в задаче о
распределении электричества на бесконечно длинном
цилиндрическом кондукторе. Называя через <р потенциальную функцию
электрического отталкивания и через ^ — функцию,
постоянную па направлению силовых линяй, получаем для точек,
лежащих вне контура нормального сечения цилиндра-.
x'+yi = Fte + i/i). (26)
На самом контуре мы должны иметь для » постоянное
значение, которое, положим, есть нуль; в бесконечности же мы
должны иметь:
а , jrs -4- ws , о , а

64
О ФОРМЕ СУДОВ
где q — количество электричества на единице длины
кондуктора.
Из этих формул следует, что в бесконечности:
7 — ? 2т.
х = ке9 cos — ф,
— о (ІТГ
и = &е ? sin — '> ,
(27)
J
■а из формулы (26) видим, что во всех внешних точках
относительно рассматриваемого контура должны быть
удовлетворены диференциальные уравнения:
^ = ^ 1
дѵ с№' !
дх ду J
д$ Ар' J
Мы удовлетворим всем этим условиям, положив:
, / -% 2- , ѵ, -~'»<р 2тг \
j: = &(e' cos —7-h^iA»e e cos—mty),
(28)
= 6^яіп^6-УА..я-~«™'- 2'
і/ — к [ е а sin — V
' ^л..,ие
sin-— т'\
Я
(29)
При зтом контур цилиндра будет выражен уравнениями:
(30)
х = к I cos—-'■!>-{-2jA»cos — даИ,
г/ = Л і sin — ''■/ — 2Дв sin ~ "1Г!*) j
в которых в случае симметрии контура относительно осей
координат т может получать только положителные целые
нечетные значения.
Возьмем, например, эллиптический контур:
для которого формулы (30) обращаются в
х = к(1-\~А{) cos— mfys
2rt
у — и (1 — j4j) sin — m ^,

О ФОРМЕ СУДОВ
65
где
и, следовательно,
«а —^ = 4Ыі.
Все же остальные линии равного потенциала найдутся из
формул (29), которые для нашего случая будут:
( ?*„ _2ЛІ\ о**
y=kl еэ —-4je і 1 sin —-(-.
Легко усмотреть, что эти линии будут тоже эллипсы:
£І д. ■?! — 1
которые софокусны данному контуру, потому что
«;_р5 =4^4, — «з —р2.'
Из сказанного видно, что решение основной задачи теории
цилиндрического потенциала заключается в умении выразить
уравнение всякого данного контура с помощью некоторого
параметра ■—- в виде формул (30).
Мне приходилось беседовать об этом интересном вопросе
с П. А. Некрасовым, и он указал мне на некоторые
соображения, которые могли бы лечь в основание решения
упомянутой задачи. Я буду очень рад, если печатание моей статьи
побудит его подробнее развить эти соображения-
Эта работа была сообщена 27 марта 1837 г. и напечатана впервые
в «Трудах отделения физически* яаук Общества любителей
естествознания», т. III. вып. 1,1890. Вторично работа была напачатанн в „Трудах
ЦАГИ", вып. 112, 1932 г. Прим. реА.
Зап. Мі ІШ. Н, Е. Жуиовекн*. Тон IV.
5

ON THE FORM OF SCHIPS' HULLS
The object of the author is to determine the How past a ship
having a sharp bow,
The relation connecting the velocity potential <?, the
flow-function fy and the coordinates x and у of a particle is established by
the aid of auxiliary variables * and j± connected with ? and § by
equations (1) and (2) and with x and у by equations [7). These
last equations conformally transform the plane of the complex-
variable z = x -f- iff it? the plane of the variable p — Д, the
region occupied by the liquid being' transformed into an infinite
strip (0< X < со, О^рз^Э-гс) bound by straight lines ]J. = 0,
[i = 2^, and Xi=0. For a ship symmetrical witSi respect to the
axes x and i/ the quantity m in the equation (7) must have odd
positive values only.
The general formulae are applied to two cases. When Au =
= j4ss= ...=0 then according to the formula (8) the forme
of the ship is reduced to an ellipse, and according to Rankine's
theory expression (17) for the resistance is obtained, where и
is the major semi-axis of the ellipse, parallel to the direction of
motion of the ship, and e denotes the excentricity. When A6~
=-4j = 0;^i=—3j4,(, the form of the ship is that shown in Fig- 2,
and the resistance is given by the formula (25).
The method outlined in the article can be applied to the
problem of the distribution of electricity .over a cylinder of
infinite length.

ДВИЖЕНИЕ ВОЛНЫ СО СКОРОСТЬЮ, БОЛЬШЕЙ
СКОРОСТИ ЗВУКА
(1919-1920 гг.)
§ 1. Здесь рассматривается распространение плоской волны,
заключенной между двумя параллельными плоскостями, вдоль
неподвижной воздушной массы. Воздушной массе между
параллельными плоскостями сообщается перпендикулярная к
плоскостям скорость т, которая может быть более звуковой
скорости X окружающего воздуха.
По скорости от определяются плотность Y и давление р'
внутри рассматриваемой волны под условием, чтобы волна
без изменения распространялась в одну определенную сторону
вдоль окружающего спокойного воздуха.
Мы будем называть волной сгущения волну, для
которой і'>Т) гДе 1 — плотность окружающего воздуха, и волной
ра$ре/кения— волну, для которой-['< f.
Мы покажем, что волна сгущения распространяется в
сторону движения воздушной массы со скоростью ѵ, большей '.
и большей скорости движения я>, а волна разрежения
распространяется в сторону, обратную направлению скорости
движения рі, со скоростью ѵ < X.
В основу нашего исследования положена теория скачка,
при котором сохраняется полная энергия и выполняется
теорема о количестве движения. Это исследование отличается
от анализа Римана1 тем, что мы не считаем р' заданной
функцией f't а требуем сохранения полной анергии и
теоремы о количестве движения, через что устанавливается
соотношение между р' и ■[', отличное от закона Пуассона, и, с
другой стороны, элементы волны подбираются так, чтобы она
распространялась только в одну сторону.
і R І е m и п, Ges. АЫі., S. 43, 1858,
5*

68
ДВИЖЕНИЕ ВОЛНЫ
§ 2. Пусть воздух плотности 7 и давления р движется
в трубе справа налево со скоростью ѵ да сечения АВ (фиг. 1).
Б этом сечении он претерпевает скачок сгущения, изменяя
сразу свою плотность на і и давление на р', причем его
скорость уменьшается и обращается в ѵ'. Это движение
продолжается до сечения CD, где снова возникает скачок, но уже
не сгущения, а разрежения, причем давление и плотность
снова возвращаются к значениям р и f и скорость опять
становится скоростью ѵ.
Рассмотрим скачок в плоскости сечения АВ, выражая, что
вся энергия единицы веса газа справа и слева от
перегородки АВ остается без перемены и секундное изменение
количества движения равно импульсу силы р' — р. Мы получаем,
считая площадь сечения равной единице:
2§ "Г A f 2g ^ А ' (1)
Р'-Р = '££\ѵ~ѵ'),
где Та Т'■—-абсолютные температуры, а с„ есть теплоемкость
с постоянным давлением.
Представляем первую формулу в виде:
Ч А
и подставляем в нее величины 7* и Т' из соотношений
Р р'__ _ Ѵ7_І*
:(Т if " А ''
где си — теплоемкость при постоянном объеме, т. е.
'{(с„—с j 1Ъ,—с„) '
Получаем:

ДВИЖЕНИЕ ВОЛНЫ
69
или
2g S*
у— 1
іі —1
„1
V-
L 7'
■р'-р
[р'-р
. т' ■
р
f
р
-Р
('-
('"
(Ь
-+)j
-Я
?)]
=
т
так как в устновившемся движении *[і> —-[и.
Подставляем сюда р' — р из теоремы о количестве
движения:
Р
■2г
и, —1
g
■\ѵ
(w — и')
Сокращаем на (ы — о') и умножаем на 2g (^—1);
2№
<{і_1) („+„') = 2|Ш'--
f
где
*■»-
Р-^Р
есть квадрат скорости звука в воздухе,
лежащем вправо от АВ.
Определяем из полученного уравнения ѵ':
{х,-1)у + 2~ (2}
Если бы мы рассматривали скачок разрежения, который
по Сделанному предположению имеет место при сечении CD,
то для него пришлось бы написать те же формулы (1), я мы
получили бы из них ту же связь (2) между скоростью і)' и •ѵ.
Обратную связь можно получить, написав формулу (2) в виде
н-Н-1
(3)
и замечая, что первая часть равенства не изменяется от замены
букв без значка „прим" на буквы со значком „прим". Этим
же свойством должна обладать и вторая часть равенства-
Вследствие этого
.,,_fr-l)r's + 2//s
Ѵ- + 1
ѵѵ'
(4)

ТО
ДВИЖЕНИЕ ВОЛНЫ
откуда следует, что
ѵ=
(5)
ц + 1
Прибавляем теперь к установившемуся движению,
рассмотренному на фиг. 1, скорость ю в правую сторону. Тогда
воздушные массы, лежащие справа от плоскости раздела АВ и
слева от плоскости раздела CD, остановятся: сами плоскости
раздела получат вправо скорость V, а воздух между
плоскостями раздела будет иметь скорость вправо:
я, — w—V. (6)
Мы получим плоскую волну, движущуюся вправо со
скоростью V и несущую скорость я), направленную тоже вправо.
Эта волна будет иметь плотность ч' и давление р'.
§ 3. Покажем, что все элементы найденной волны: скорость
распространения V, плотность і' и давление р'
определяются по w.
Мы имеем согласно формулам (2) и (3):
fc — l)w + 2— 2І ѵ~—\
-•--T+r-^-Wr^ сч
откуда
wa — ^-i^aw-Xa==0. .(8)
Решая это квадратное уравнение, получаем два корня:
„ = ф»±/(Ш^Ѵ. (9)
Положительный корень соответствует рассмотренной на
фиг. 1 волне сгущения.
Мы видим, что скорость ее распространения более X и
более oj, потому что, положив і. = 0, получаем:
ѵ^ 2 w'
где у-= 1,41.

ДВИЖЕНИЕ ВОЛНЫ
П
Отрицательное значение і) показывает, что скорость
распространения волны идет в сторону, обратную скорости от
Это значение скорости по абсолютной величине будет
менее X, потому что неравенство
приводит к очевидному следствию:
§ 4. Когда ѵ определено по w, тогда мм сейчас же
находим по нему у' и р'.
Из уравнений (б) -и (7) находим:
\-±„Л 2_^ (Г)
или
ТГ |і— 1 2 Ьв
f (*+і ц+г wa'
(10)
Отсюда определяется ?'.
Для определения /?' поступаем следующим образом.
По формуле (1) имеем;
р gp
Принимая во внимание, что
• Г=втн Effigy,
р gp ^2 V
или, на основании формулы (7'),
находим:
а

72
ДВИЖЕНИЕ ВОЛНЫ
Отсюда получаем формулу:
Р > + 1 (4-1 *а' (11)
по которой определяется р'. Перемножая формулы (10) и (11),
находим соотношение:
данное Н, Г. Ченцовым, которое заменяет в рассматриваемой
задаче соотношение Пуассона для адиабатного процесса:
Р \ 1
Если бы газ двигался адиабатным процессом по узкому
каналу различных площадей сечения, ось которого
прямолинейна, то на основании теоремы Бернулли для всех сечений
имеет место соотношение
-£-v-/^ = conrt,
в котором мы должны положить р^куР. Это дает:
/?-*/
..У-lj.—Pfr1^"1 ІР_
v—l Сн- — і)т
и по подстановке приводит к соотношению:
2 г[ь— 1 2 ^!J. — 1'
(13)
Точно такое же соотношение мы получаем для двух сторон
поверхности раздела ив наших формул (3) и (4). Но в адиабатном
процессе газ не выделяет теплоты, тогда как при скачке
теплота выделяется и идет частью на нагревание, частью на
образование живой силы. При скачке к сохранению полной
анергии присоединено еще условие о количестве движения,
тогда как в трубке изменяющегося сечения это условие
требует еще введения силы давления стенок.

ДВИЖЕНИЕ ВОЛНЫ
73'
Изменение температуры, которое произойдет в
рассматриваемой нами волне, может быть найдено из формул (10) и (11),
которые дают:
Т'_р'у__{ fry Е-1И 2 \* ,н^і\
^ + 1 *а P + 1/W + 1 0*^^ + 1/■
(14)'
Т рі
Причем, зная отношение температур, мы анаем и отношение
■скоростей звука, так как
іа
Г '
Фиг. 1.
§ 5. Покажем теперь,
что под эффектом
разности давлений р' — р
правые конец волны
(фиг. 1) будет нарастать,
а левый конец ее затухать, что и образует перемещение волны'
направо со скоростью ѵ.
Мы имеем из формулы (&):
с С
А А
Подставляем ату величину
в формулу (11):
D в'
Фиг. 2.
Отсюда следует, что
Р_
Р
Ц.ЦЯ)
)Р
г
(іб>
Если теперь допустим (фиг. 2), что волна распространяется
вправо со скоростью ѵ, то найдем, что поверхности раздела
АВ и CD передвинутся в А'В' и CD' на пространство
AA' = CC*=vdL
Приращение количества движения в слое АВА'В', который
сначала был неподвижен, а потом получил скорость та, будет:'
■2- zosv dt,

74
ДВИЖЕНИЕ ВОЛНЫ
где с — площадь сечения АВ, а масса воздуха зависит от
скорости ѵ движения волны. Это приращение должно быть равно
сумме импульсов сил давления (р'— p)vdt. Поэтому получаем
равенство:
^w ?v dt = (р' — р)з dt, (17)
о
которое по сокращении обращается в уравнение (16). Такой
же импульс действует с левой стороны на воздух, который,
выйдя из волны, занимает положение СВС'.ТУ. Масса этого
воздуха будет тоже — си dt, и потерянное ею количество дви-
ѵ
жения вырааитсн через — avdtw. Приравнивая это количество
движения импульсу силы давлений, получаем то жѳ
уравнение (16).
Мы сделали предположение, что рассматриваемая волна есть
волна сгущения, при которой р' > р и ѵ > л. Если бы имелось
по абсолютной величине ѵ < л и корень в уравнении (9) был
бы отрицателен, то формула (11) дала бы нам р' < р.
Действительно, полагая в'этой формуле и = л, находим
'И__— 1. Отсюда следует, что-^- при уменьшении ѵ сделается
менее единицы, т. е. волна будет волной разрежения,
движущейся в сторону, обратную скорости то, на вашей фиг. 1 —
налево. Эго заключение получается и при рассмотрении фиг. 2.
Так как р~>р', то количество движения в слое АВА'В' будет
пропадать, а количество движения в слое CDCD' будет
возникать.
Покажем еще, что плотность f', которая возникает от того,
что слой АВА'В' сжимается, переходя в волну, будет согласна
с формулой (10).
Волна пробегает во время di пространство АА' ~ѵ dt,
а воздух от края волны пробегает путь чѵ dt; следовательно,
масса воздуха от объема aw dt переходит к объему о (и — w) dt.
Поэтому отношение плотностей должно быть такое:
L^v~m (18)

ДВИЖЕНИЕ ИОЛНЫ
75
Согласно формуле (8) имеем:
(ti. -f 1) о (в — да) — 2W + (р — 1) г.2,
v — ti) ^ 2 А* . р.--].
Подставляя в формулу (18), получаем формулу (10).
Эта работа была сообщена в Московском математической обществе
16 ноября 1919 г., доложена в Комиссии особых артиллерийски* опытов на
яаондании 3 декабря 1920 г. и напечатава отдельным ияданпеи, ГАУ, Пегро-
і'рвд, 1920, Прим. ред.

MOTION OF A WAVE WITH A SUPERSONIC SPEED
In this article prof. Joukovsky considers the propagation
of a plane wave bound by two parallel planes, a velocity tli,
that may exceed the velocity of sound >. in the surrounding air,
being imparted to the mass contained between the planes in the
direction perpendicular to the planes.
To obtain such a wave, prof. Joukovsky considers first a
motion defined below. The air of a density and under a pressure
p, is moving within a pipe, from right to left, with a velocity
v, up to a secbion AB {Fig. 1), where the density and pressure
are suddenly raised to correspondingly 7' and p', the velocity
dropping to v'. The resulting motion is continued up to a section
CD, where the pressure and density suddenly drop to their
initial values, p and т and the velocity becomes again equal to v.
The analysis of the motion as defined above is based on the
theory of a jump, in which the total energy is conserved and the
theorem of momentum is satisfied. By considering the jump in
the plane AB there are obtained equations (1) and in addition
to this the equation of condition
lf~i'f~~ A
and the equation of steady motion Yw~*fV.
These five equations allow to eliminate the four variables
7> T', t'j i, and to determine the relation between velocities
v and v' [formulae (2), (3), (4), (5)]. By X and 'k' are denoted
the velocities of sound.
If to the steady motion thus obtained is added a motion with
a velocity v from left to right, the masses of air to the right
of AB and to the left of CD will be stopped, while the surfaces

SUMMARY
77
of discontinues will obtain a velocity « from left te right, and
tke air contained between — a velocity v— v' = iuin the same
direction. Thus there will be obtained a plane wave moving from left
to right with a velocity «, and carrying a velocity ти in the same
direction. The pressure and the density of this wave will
correspondingly be p' and f'.
By means of the above formulae the quantities v, f' a"d
p' may be expressed in terms of ■w = v — v'. Thus the formulae
(9), (10) and (11) will be obtained from which the relation (12)
is derived, which is due to N. G. Tschentzov, and which
substitutes Poisson's relation for an adiabatic process.
As it is shown two different values for the velocity v al the-
wave are obtained; one that is positive and is larger than \
with р'У-р (a compression wave), and one that is negative and
is less than X in absolute value, with p'Kp (a depression wave).

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
НА ПЛАВАЮЩИЕ НА ЕЕ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА
ОТ РЕДАКЦИИ
После смерти проф. Н. Е. Жуковского осталось несколько
рукописей.
Одна из них (назову ее № 2) на XXV листах, исписанных
с одной стороны, содержащая почти исключительно формулы,
3 или 4 существенно различных чертежа и несколько
пояснительных фраз, была передана мне комиссией по изданию
полного собрания сочинений проф. Н. Е. Жуковского для того,
чтобы расшифровать, если возможно, смысл математических
выкладок этой рукописи.
При внимательном рассмотрении оказалось, что рукопись
представляет собой решение плоской задачи о малых качаниях
на волнах плавающего на поверхности жидкости тела с
прямоугольным сечением. По поручению комиссии к этим выкладкам
был мной составлен пояснительный текст, причем я старался,
насколько мог, точнее воспроизвести ход мыслей проф. Н. Е.
Жуковского-
Впоследствии В. П. Ветчинкиньш среди бумаг Н. Е.
Жуковского была найдена другая рукопись на 7:/а листах писчей
бумаги (назову ее № 1), посвященная той же задаче и
представляющая, невидимому, начало рукописи № 2. Эта рукопись
так же, как и составленный мной первоначально на основании
рукописи № 2 текст, начинается с вывода уравнений теории
волн (§ 1, Кэ 1). В следующих двух параграфах (§§ 2 и 3,
Ns 1) рассматривается случай, когда твердое тело, на которое
набегает волна, будучи погружено в жидкость, удерживается
в ней неподвижно.

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 79-
Начиная с § 4 (№ 1), научаются колебания плавающего
на поверхности жидкости тела. Проф. Н. Е. Жуковский
начинает с простейшего случая, когда тело может иметь только
поступательные колебания по вертикальному направлению
(§§ 4 и 5, № 1), переходит затем к предположению, что тело
может только вращаться вокруг неподвижной точки (§§ 6 и 7,
№ 1) и, наконец, рассматривает, колебания, сложные из этих
двух (§ 8, № І).
В каждом из этих случаев проф. Н. Е. Жуковский
составляет сначала диференциальные уравнения для собственных,
колебаний тела (/=0, §§ 4, б, 8), а затем в первом я во'
втором случаях повторяет их вывод для качаний тела под
влиянием набегающей волны (/фО, §§5, 7J. Наконец, в
рукописи № 2 рассматривается общий случай при набегающей
волне f/ф О).
Начиная с § 4, рукопись № 1 становится все менее и менее
обработанной и обрывается на выводе диференциальных
уравнений собственных колебаний тела в общем случае, рукопись-
же № 2, как уже было упомянуто, не имеет почти совершенно
пояснительного текста.
Принимая во внимание указанный характер рукописей
и придерживаясь плана работы проф. Н. Е. Жуковского,
я средактировал ее следующим образом.
Первые три параграфа представляют без всяких изменений
начало рукописи № 1. В §§ 5 и б изложено содержание §§ 4,5, б,
7 и 8 рукописи № 1 в несколько сокращенном виде в том
смысле, что, во избежание повторений, я ограничиваюсь только
изложением вывода диференциальных уравнений колебаний
плавающего тела под влиянием набегающей волны, f^ 0,
случай же /=0 рассматриваю как частный случай.
Для большей отчетливости и сжатости изложения перед
этими параграфами я счел нужным вставить § 4, который
одинаково относится ко всем случаям движения. Содержание
§ 7 и всех следующих до § 12 включительно взято из
рукописи № 2, текст же их принадлежит мне и на мне леишг
ответственность за его правильность. Параграф 13 и три
примечания, касающиеся различных мест рукописей проф. Н Е..
Жуковского, добавлены мной.

. 80 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Главнейшие формулы, которые приводятся в том виде,
в каком они встречаются в рукописи, отмечены звездочками (*)■
Я старался сохранить все обозначения и чертежи проф.
Н. Е. Жуковского. Все места текста, взятые без изменения
из рукописи, отмечены мною кавычками.
Содержание первой из этих рукописей, как показывает
надпись, на ней сделанная, было доложено 18 марта 1903 г.(?)
в Московском математическом обществе, содержание же
второй, повидимому, служило предметом доклада, сделанного
в Политехническом обществе (см. речь проф. В. В, Зворыкина
.„Инженерная работа Н. Е, Жуковского в Политехническом
обществе", помещенную в сборнике „Памяти проф. Н. Е.
Жуковского").
А. П. Котельников

•у- <«Ч
-■4л.
*- -^2*
"• Т« у4
««*.
-££-#'* *А^
*^:4*
-J-i
■^fl^bH^i
0 =:
i •
F
a
9-
P|1-M ••'-(
_ i Jr. ■* 1,
- - JC,-V)
„ «-- *^1 .,^
v Ь
' О
Ф
&-^ lh~.tr,
11k it- * fa и£л- /
,_ Факсимиле первого листа рукописи № 2.
(О
Звл. У, tlOS, Н. И. Жукопс.шй, Том IV

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 81
§ 1. „Мы предлагаем здесь простой анализ, позволяющий
разъяснить действие волнующейся тяжелой жидкости на тела,
плавающие на ее поверхности, для случая, когда жидкость
заключена в резервуаре с горизонтальным дном весьма
незначительной глубины h сравнительно с горизонтальными
размерами резервуара и напряжением тяжести g (единица времени
1"). Припомним уравнения волнообразного движения тяжелой
жидкости малой глубины. Пусть плоскость координат хОу
совпадает со свободной поверхностью покоящейся жидкости,
а ось Ог направлена по вертикали вниз. .
Представим уравнение свободной поверхности волнующейся
жидкости в виде
* = С, (1)
где С есть некоторая функция от х, д, t, малая сравнительно
с Л. Постараемся удовлетворить уравнениям гидродинамики,
считая компоненты скорости и и ѵ по осям Ох и Од функциями
х, д, t, а компонент скорости чп по оси z представляя в виде
/Л . Л , Л \ A— ж
Л гдх" ' дд") h '
что удовлетворяет условию (1) и дает при z~h, w~0. По
незначительности и и ѵ и малости С, а следовательно, в его
Л (X. ,
производных ч—, -т— (мы исключаем случай резкого изгиба
свободной поверхности), мы можем опустить в вышенаписанной
формуле члены, зависящие от скоростей и. и ѵ, и написать:
сК h — z п\
«"=*■' — ■ і2)
Зин, М Ѵ!Ш. И, К, іКувопекиЙ. Том IV б

83 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
(3)
Эта формула позволит нам представить условие
неизменяемости объема в виде
да . дѵ__1 Л
дх^~дд~k ' dt'
Составляем теперь третье уравнение гидродинамики,
отбрасывая в нем члены, содержащие произведения скоростей на
их производные:
1 др_ _дК h — z
Р dz £ dp k "
Умножаем на dz и интегрируем в пределах от С до z
Р
" Р
z— С
'dt*
z — X,
2Л
С4)
Здесь третий член, содержащий два весьма малых множи-
дК , _. , z-\-Z
теля зд и (г—"-,} (отношение „, мы считаем конечной
величиной), может быть отброшен, и мы получим выражение
гидродинамического давления:
P = Po-\-iP(z — 9 (5)
такое же, какое имело бы место в гидростатике.
Пользуясь формулой (5), напишем два первые уравнения
гидродинамики при отбрасывании в них членов, зависящих от
произведений скоростей и их производных
ди_ дС
dt~gdi'
дѵ
ас
dt~gdg'
(6)
Формулы (3), (5), (6) решают задачу о волнообразном
движении жидкости. .
Исключая из (3) и (6) величины и и ѵ, найдем для
определения С уравнение с частными производными:
\дК дК]_дК
где для сокращения письма положено:
(7)
(8)

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ S3
Определив функцию С, удовлетворяющую уравнению (7)
и граничным условиям, будем на основании формулы (1) аяать
свободную поверхность жидкости, а по формулам (5) и {6}
найдем р, и и ѵ.
В частном случае, когда движение жидкости совершается
в двух измерениях и ^ = 0, уравнение (7) принимает вид:
->*^£ (9)
djfi
и удовлетворяется общим интегралам
С =/(а(—*) + ?(«* + *).
(10)
где / и <р — произвольные функции, из которых первая
соответствует вправо бегущей волне со скоростью а, а вторая волне,
бегущей с той же скоростью влево.
Формулы (3) и (б) для рассматриваемого случая движения
в двух измерениях получают вид:
да_1 (К
дх h' dt*
да Л
dt
•=е
дх
(11)
Подставляя сюда значение С иа формулы (10), находим:
w-
'dt h
§ 2. „Переходим теперь к интересующему нас вопросу,
который рассмотрим
подробно для случая
движения жидкости в двух
измерениях. Пусть скачала
тело АВ, имеющее форму
прямоугольной доски,
погружено на некоторую
глубину Ь! в рассматриваемую нами волнующуюся жидкость
и держится неподвижно (фиг. 1),
б*

84 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Давление Р на смоченный вертикальный край доски А
будет:
■-/„Л.
Подставляем сюда значение р из формулы (4), в которой
ди
в нашей случае вследствие и = 0 член, зависящий от -т—,
не приблизительно, а вполне точно отсутствует. Мы получаем
( г вК
с точностью до членов второго порядка I относительно t и"ш
Допустим, что величина С (эта величина отличается на
малые неличины высших порядков от величины, данной
формулой (10), выведенной иа приближенного анализа
волнообразного движения) имеет для всех своих нечетных степеней за
большой промежуток времени среднюю величину нуль:
0 .
и составим за этот промежуток среднее значение />;
Последний член этой формулы может быть выражен через
Средний квадрат скорости по вертикали. Действительно, так как
м
■о,
то
tjdt\dr)
■ (£)--(ІГ-
Принимая это во внимание, можем выразить избыток Q
давления волнующейся жидкости против гидростатического
давления в следующем виде:

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 85
і
1
И і
ІШ ^
і
Фиг. 2.
Если Л' будет малая величина порядка С и ят»т°
избыток давления представится в следующем простом виде:
Q=f m- as)
Легко усмотреть, что вторая часть найденной формулы
представляет нам отнесенную к единице площади дна
среднюю потенциальную энергию
волнующейся жидкости- Пусть над
элементом площади dz столб жидкости
имеет высоту меньшую или
большую h на С, а вся остальная
жидкость сохраняет высоту А (фиг. 2).
В случае приподнятой жидкости
мы имеем массу веса £p£tfj, центр тяжести которой над
высотой h приподнят на к ; поэтому запас работы или
потенциальная энергия будет: _а
Такой же запас работы мы будем иметь, если на
спокойной жидкости будет углубление шириной -do и глубиной С,
Таким образом формула (15) может быть выражена так:
среднее давление жидкости на край погруженного в нее тела равно
отнесенной к единице площади дна средней потенциальной
энергии соответственного вертикального столба жидкости".
§ 3. „Примем h' весьма незначительным сравнительно с А
и будем предполагать, что горизонтальная скорость и
передается от волнующейся жидкости — жидкости, перекрытой
плавающим телом; что же касается до весьма малой
вертикальной скорости «J, то она имеет место (фиг, 1) налево от
вертикали АС, направо же от этой вертикали «і = 0 вплоть до
вертикали ВИ, направо от которой мы имеем опять
свободную волнующуюся жидкость. Представим набегающую и
отраженную волну с левой стороны нашего тела формулами:
С=/(0;-*)+<р(«'+*). 00')
£[_/(а(_^)+(р(аЧ^)] (і2')
/

86 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
и отбегающую волну с правой стороны тела — формулами:
и'=-у j-Hat-x) | (1б)
и постараемся определить <о и ф по данному /. Для
сокращения письма примем, что формулы (10') и (12') относятся
к осям координат, имеющим начало в А, а формулы (16) к
осям, имеющим начало в В.
Так как горизонтальная скорость во всем пространстве Cfi
постоянна, а на границах СЕ и DH она равна скорости,
правой и левой волнующейся жидкости то и=и' при х—=0 и,
следовательно,
откуда (17)
ф(аі)«/(а0-т(<гі).
Определим теперь массу жидкости, находящейся под
телом, длину которого назовем 11. Принимая, что Л — К весьма
мало разнится от h, будем иметь для упомянутой массы,
отнесенной к единице ширины, величину 2lhp. Эта масса
получит ускорение -тт под действием разности напоров (h — С)—
— (Л — U) —С — С; поэтому
£Р(С'-С)А = 2Мр^,
что на основании формул (10'), (12') и (16) даѳт:.
§[.И^)~ЛаО-?М]-=2/]/"|ѴІЛ[-/'и^-?'И]
или
Ф (at) - f(at) ~ о (at) = 21 [—f (at) + ?' (atfi.
Исключим отсюда ф по формуле (17). Получим:
?' («0 + у f № ~f (at) = 0. (18)
Когда функция /, определяющая пришедшую с левой
стороны волну, дана, тогда, интегрируя линейное диференциалъ-
ное уравнение (18), найдем функцию <р, характеризующую.

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ S7
отраженную волну, а по формуле (17) найдем функцию $,
характеризующую волну, прошедшую под телом.
Сила, толкающая наше тело по направлению прошедшей
волны, будет на основании формулы (15) такая:
Я + f (Ѵ — Щ,
что на основании формул (10'), (16) и (17) приведется к виду
R=§ {ЕТЙ+тЧ^Й' ~ №T=?"<aOFl >
R = 2g?f{at)<?(ai)',
Покажем, что эта величина всегда положительна. Для этого
умножим уравнение (18) сначала на f(at), потом на » (а^ивычтем:
<?' (at)f(at) - <?' М 9 М + J /(«0 <Р («0-| <Р2 (<й) —
~f(at)f(af,-\-?(at)f(at) = Q.
Если теперь возьмем среднее значение первой части
равенства за большой промежуток времени н заметим, что все
полные диференциалы при этом сократятся, то получим:
v(at)f(at)=;v*(at).
Таким образом найдем окончательно:
Л-2?р^И". (19)
Давление набегающей волны на погруженное тело равно
учетверенной средней потенциальной энергии отраженной
волны. Для примера рассмотрим случай набегающей
гармонической волны, для которой
f (аі-х) = А віпЩ (at-х), (20).
где X—'длина волны. Определим функции о и if. По
формуле (18) имеем:

88 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Полагаем at = £ и умножаем на е'
і ,
¥<*)
..н
■-4 у cos "у* ' е -
Интегрируя и обращая внимание на формулу
sin ах 4- — cos ах ) еь*
cos ахеЬх dx = ; тт. ■
получаем:
?(<)
.4
Щ^"
' . 2^
(21)
Подставляя это выражение в формулу (17), получаем закон
волны, прошедшей под плавающим телом: '
Ф(6) =
А±-
*+(я
л . 2w 2я. ■
х уі2~Л"Т*- C0STSN
(22)
Эта формула показывает, что при I, весьма значительном
сравнительно с длиной волны л, пропущенная волна
становится весьма слаба я при этом фазы волн с левой и правой
сторон тела разнятся на
2'
Переходим к определению волнового давления R по
формулам (19) и (21).
Мы находим:
А*
#=£Р
14
К \а "
2кІ
Обращая внимание на формулы (20) и (15), приходим к
заключению, что давление на рассматриваемое нами погружен-

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 89
Фиг. 3.
ное тело менее учетверенной 1 потенциальной анергии
подходящей волны. По мере увеличения размера тела / это
давление увеличивается и обращается в учетверенную
потенциальную анергию упавшей волны при очень большом /
сравнительно с У.
§ 4. Мы предполагали, 'что тело ABCD неподвижно.
Перейдем теперь к рассмотрению колебаний тела, плавающего на
поверхности
волнующейся жидкости.
Проведем на теле,
плавающем в
спокойной жидкости,
ватерлинию и обозначим
буквой S ее середину и
буквой У ее
расстояние от дна тела. Угол, который образует проведенная на
теле линия с осью х, и координату точки S обозначим при
колебаниях тела соответственно через Ѳ и С0 (фиг. 3).
Проведем в жидкости через начало и конец плавающего
тела два вертикальных сечення А я В, перпендикулярные к тому
направлению, по которому идут волны. Проф. Н. Е, Жуковский
в своей рукописи рассматривает вращение тела около его центра
тяжести и поступательное движение в вертикальном
направлении. Если точка S удерживается неподвижной или если
тело вращается около центра тяжести и центр тяжести
находится от точки S на расстоянии первого порядка малости,
то сечения АиВиля остаются неподвижными, или претерпевают
малые перемещения, которые будут второго порядка по
отношению к углу &• Мы можем поэтому перемещениями сечений
А и В пренебречь и считать их неподвижными 2.
1 В рукописи Н, Е. Жуковского стоит „удвоенной", что неправильно,
ибо потенциальная энергия подходящей волны, рассчитанная на единицу
площади дна, 1
ЕР С 2я , Лі
g; J A4bfl-x{at — x)dx=gt-4.
. ° TTfiUM. ред.
a В приложении 1 показано, что сечения АаВ можно считать
неподвижными также и в том случае, если их перемещения буцут первого порядка
малости. Прам. ред.

90 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Начало координат возьмем посредине между А и В на
расстоянии I от того и другого.
Сечения А и В разделяют всю жидкость на три части,
влево от плавающего тела, откуда идет волна, под плавающим
телом и вправо от него, куда убегает волна. Так же, как и
а случав неподвижного тела, влево и вправо от плавающего
тела движение свободно волнующейся жидкости будет
определяться уравнениями (10') (12') и (16), причем так же, как и рань-
А д ше, будем считать, что
в уравнениях (10')
и (12') координата х
о тсчиты в ае тся от точ -
ки А, а в уравне-
Фиг. 4. нии (16)—от В. Для
части жидкости,
находящейся между сечениями А и В, под плавающим телом,
пограничным условием является требование, чтобы
поверхность жидкости совпадала с нижней поверхностью тела.
§ 5. Допустим сначала, что плавающее тело может иметь
только поступательное движение по вертикальному
направлению. При поступательном движении уравнение дна будет (фиг. 4):
На основании уравнения неразрывности, выраженного
первым уравнением (11), мы имеем:
Ё* = — . І1°
dx h ' di
и затем
„«■JL. J+Uo, (24)*
где иа — функция времени.
Закон распределения давления под плавающим телом
мы найдем, интегрируя диференцяальные уравнения
гидродинамики, которые при отбрасывании в них членов,
зависящих от произведений скоростей и их производных, имеют вид:
*« І.& о-,-І*.&. (25)
at р дх s р дг

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 91
Из этих уравнении мы получаем:
dp ди , . ,
и, принимая во внимание (24),
(26)*
Р 2Л dfi di^gz^U- {Л)
Чтобы определить постоянные интегрирования С и и0(
мы сначала „выразим условие, что скорость вытекающей из-
под колеблющегося тела жидкости равна горизонтальной
скорости жидкости, колеблющейся в свободном пространстве".
Сравнивая скорости, которые дают формулы (12') и (16)
в точках А я В, со скоростями, полученными из (24) при
х= — / и х== -{•!, мы получим:
/
/
} (28)*
откуда
2 |//Ч = ?-/-*. (29)*
^■^-'^ (30)
где вместо / (at), в (af), ^ («О написано просто /, <?, 4.
„Из уравнения (27) мы можеи найти еще соотношение
между функциями /, «риф, выражая, что давление на
свободной поверхности жидкости в точках А и Б одинаково и
равно р0":

92 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Складывая эти уравнения и вычитая одно из другого,
получим:
С-£--&-4*</+Т + « + *р (32)
или, исключая при помощи формул (29) и (30) функции <р и $,
l^-\-auo+gf=0. (35)*
Подставив значение С (34) в формулу (27), окончательно
найдем:
Зная закон, по которому изменяется давление под
плавающим телом, мы можем найти полное давление на дно и
составить диференциалъное уравнение движении тела.
Действительно, на основании закона движения центра тяжести мы
имеем уравнение:
-И
M^^-](p-Po)dx + 2fcft'Pl (37)
-і
в котором М есть масса тела, первый член второй части
выражает давление жидкости на тело, а второй равен весу
тела. Для вычисления первого члена мы должны выражение
Р—ро, которое получим по формуле (36), заменив в нем
z через ^,-\-іі', подставить под знак интеграла и тогда после
интегрирования получим:
Это уравнение вместе с уравнением (35) дает
возможность па данной набегающей волне / определить щ и Іц и за-

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 93
тем при помощи уравнений (28) найти отраженную волну ®
и прошедшую под телом волну і/.
В частном случае, когда нет набегающей волны, в
предыдущих уравнениях мы должны положить /=()■ Тогда
„посредине тела при л: = 0 имеем вследствие симметрии и = щ —
= 0", и уравнения (24), (29), (30) и (38) принимают вид;
х
'h
dt '
■■*=*■
dt'
Af-
з
к
d&~*~ a
dt
+ 2^.0 = 0.
(39У
(40)*
(41)
Уравнение (35) обращается в тождество.
В другом частном случае, рассмотренном в § 3, когда
ff-0, но тело неподвижно и Q} = const, уравнение (38) теряет
смысл, уравнения же (24), (28) обращаются в
JQ>
4«о = Ч>-/=-Ф-
(17)*
В этом случае уравнение (35) становится тождественным
с уравнением (18). Действительно, вследствие равенства (17),
уравнение (35) сначала
обращается в
■Ф'+ТФ-
I
Фиг. S.
а затем, после замены '\
через /—и и ф' через
/' — w', переходит в
уравнение (18).
§ б. Перейдем теперь к предположению, что центр
тяжести погруженного в жидкость тела неподвижен, тело же
может около него вращаться (фиг. 5).

94 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
В этом случае * уравнение дна будет:
и в первое уравнение (11) надо подставить
Мы
будем
иметь:
dt'
ди
дх~
u==2h
dQ
х d®
k ' dt'
dS .
(44)*
(45)"
(46)*
Гидродинамическое давление под телом определится
уравнением (26), которое теперь на основании (46)- принимает
вид:
dp і & (Рв . du0\ , . ,
и после интегрирования приводит нас к уравнению
f—£•£-*&+«■+* і«г
Чтобы определить постоянные интегрирования' ив и С,
сначала сравниваем, так же как и раньше, скорости и,
которые дают в точках А и В формулы (12'), (16) и формула (46):
2Л-^ + ко=1/|(-/+'Р)>
откуда
(48)*
._ . „4-,,. = — 1/ 4-Ф. I
2А dt»
/—? = +, (17Г
1 Проф. Н, Е, Жуковский ничего не говорят о полоиеиии в теля центра
тяжести. Если ае судить по чертежу, находящемуся в рукописи (фиг. 5),
то надо думать, что оа или считает центр тяжести совпадающим с точкой,
которая в § 4 была обовначена буквой S, или считает, что точка S
неподвижна. Прим. ред.

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 95
а потом, замечая, что по формуле (47) мы должны в точках А
и В получить давление, равное атмосферному р0, напишем:
Сложив эти уравнения и вычитая одно из другого,
находим;
С=^-!<Лт-г-Н), («Г
или после исключения ?и|і при помощи (48)
C^f-gf, (51)
Подставив найденное значение С в формулу (47), получаем
закон давления под плавающим телом:
Присоединим к этим формулам уравнение моментов:
г
I^T~-f(p-pa)xdx\ (54)
„а
в котором / означает момент инерции тела относительно оси,
проходящей через неподвижную точку или центр тяжести,
1 Относительно этого уравнения надо явметитв, что в нем не принят
во внимйняе момент давления во переднюю и заднюю стенки тела. Этот
пропуск был потом замечен Н. Е. Жуковским и исправлен я рукописи № 2
при рассмотрении общего случаи. Впрочем, если центр тяжести находится
в точке S, то (54) будет частным случаем уравнения (84) § 11 при /f=0
и будет столь же точно, как и последнее. Прим. ред.

96 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
вторая же часть равняется моменту сил давления. Подставив
под знак интеграла значение р-—р0 по формуле (53), в
которой z надо заменить через h'~{-Bx, получим:
рР \ dm №Р ащ , 21 пгй _ .
'-ШІаі—Г '"л+Т***"0, (55)
Это уравнение вместе с тремя уравнениями (48) и (52)
дает возможность по данной набегающей волне / найти
четыре функции времени ц0, Ѳ, <р, <\>, т. е. определить колебания
тела и найти как отраженную волну о, так и прошедшую под
телом, ф. Чтобы решить эти уравнения, мы должны сначала
составить уравнение, в которое входила бы только одна
неизвестная. Исключим и0 из уравнений (55) и (52). С этой
целью диференпируем эти уравнения и исключаем из них —у—- ;
а потом из полученного уравнения и уравнения (55) — "ъ~-
Таким обравом будем иметь:
Т^45 Л /Л* ' а Ѵ^15 h J dP^
+ ~ /*g? (/ ^|- + аѲ +/) =. 0. (56) '
Определив из этого уравнения функцию Ѳ, из уравнения (52)
найдем и0, а затем по уравнениям (48) —функции <р и $.
При отсутствии набегающей волны /—О уравнение (17)
обращается в
? = -*, (S7f
■в уравнении же (56) надо положить /' = 0.
§ 7, Переходим, наконец, к самому общему случаю
колебаний свободно плавающего тела. В этом случае в уравнении
дна плавающего тела (фиг. 3)
С = Л'-+С0+Ѳ.ѵ (58)

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 91
А' будет величиной постоянной, а (0 и Ѳ функциями времени и
Л "" Л "+" *d7'
Подставляя это значение -Z- в уравнение (11) после его
интегрирования, мы получаем:
где и0, значение и при лг —О, есть функция только времени.
Зная и, при' помощи уравнения (26) находим:
Р 6Л Л» 2Л Л* *-^- + £2+c, (60)
где постоянная по отношению жиг величина С может
зависеть от времени.
Таким образом влево от плавающего тела к, С и р
определяются формулами (10'), (12') и (5), под плавающим телом
(58), (59), (60) и вправо от него (16) и (5). На границах этих
трех участков на поперечных сечениях А и В (§ 4) функции
и и р должны изменяться непрерывно.
Выразив это условие, мы получим четыре уравнения.
По формулам (12') и (16) для скоростей в сечениях An В
мы имеем соответственно:
«-уЧ[-/+*! «.«—-]/і
Ч
где для краткости вместо f(at), '& {at), b(at) поставлено
просто /, '?, 'Ь.
Эти скорости должны быть равны скоростям, которые
получим по формуле (59), полагая в ней один раз х = — /
а в другой раз дг = -\-1-
Зіік. Л' ]7»:і, II, Е, ЩувотишИ. Тип IV

98 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Мы имеем таким образом два уравнения:
2Л * dt '
2k ' dt'
h
_/_
A
-.-/f<-
-/+?).
Л
? + «<> =
i/Ъ
(61)*
Складывая их и вычитая второе из первого, находим:
a dt '
<D-\-i = f-
W+21/ -ир
h
(62)*
(63)*
І1 Ё*
a dt'
Подобным же образом по формулам (10'), (12'), (5) мы
получим для сечения А:
п для сечения В
(62,)
(63,)
Формула же (60) для давления в тех же сечениях
А(х = — 1), В(х^^І) дает:
JL= Z'' ^__А 45в
Р 6Л ' А* 2Л ' dt* ' 1 Л
/Іі rfSQ /2 ^ d
-g + l^+g'+C,
.а=
Сравнивая эти результаты, получаем:
6А ' dt> 2А
Р dm- Р d>
P
Pi)
^ + Г^ + ,(/+,)4-С.
rfu0
P 6Л Л» 2A ' dt* ' dt '
Складываем вти уравнения и вычитаем из первого второе:
f—2
jf ' dt
'3gh
d*Q
dfl '
(65)*

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 99
Исключая '■? — >\> и © -J- ^ при помощи уравнений (62) и (63),
получим:
З^Л ' rf^+a ■ Л" + 2І ' ^+2К -«0 + 2/^0(67)*
Подставив значение С (66) в (60), приведем эту формулу
к окончательному виду:
р 6Л ' А« *" 2/г Л3 * Л "•" а ' Л "і~
+ **-*Л (69)*
■ Три уравнения (62), (63), (68) могут служить для
определения трех функций времени на, <? и ф, если нам известны
функции/, С0 и Ѳ. Последние две определяют качание
плавающего тела, / характеризуют набегающую волну, функции
же w и ф — две волны, бегущие вправо и влево от качающегося
тела и вызванные его движением.
Таким образом „если тело данным способом колеблется,
то оно развивает вполне определенную волну".
Если в уравнениях (61), (66), (68), (69) будем считать
один раз Ѳ, а другой раз С0 постоянными, то получим из них
как частные случаи уравнения (28), (34), (35), (36) или (48),
(51), (52), (53). Сравнивая (66) с (34) и (68) с (52), мы видим,
что С зависит только от С0, т- е- от поступательного
движения тела, а скорость ц0 только от Ѳ, т. е. от движения
вращательного.
§ 8. Определив давление под плавающим телом,
обращаемся к движению центра тяжести, к колебаниям его в
вертикальном направлении.
Найдем сначала давление на переднюю и заднюю граня
плавающего тела. Как на ту, так и на другую давление
определяется формулой (5) и распадается на давление постоянное
7*

100 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
по всей грани и равное атмосферному давлениьо. р0 и
давление g (г — С) на часть грани, погруженную в жидкость.
Давления атмосферные на переднюю и заднюю грани равны
и прямо противоположны и взаимно уничтожаются. Вторая
же часть давления выразится формулой
Уй>(г —С)Л,
где ds— элемент длины передней или задней стороны
поперечного сечения тела, и интеграл распространяется на
смоченную часть. Так как угол Ѳ мал, то cos в отличается от 1
на малую величину второго порядка и мы можем положить:
dz — ds cos Ѳ = ds,
тогда
Для передней грани пределами интегрирования служат
2 = С и z = С0 -\- А' — Ѳ/, а для задней z = С и z = С0 -\- h' -f- 8/ .
Таким образом мы найдем, что давление на переднюю
грань равно
и на заднюю
Если разность их
(70)*
81
2
■=*р(Со + Л'-Ц^-1<С'.
-С —2W)
мы умножим на sin Ѳ или Я для того, чтобы найти сумму
проекций их на вертикальную ось, то мы получим величину
малую второго порядка, которой можно пренебречь.
Разность давлений на верхнюю поверхность и на дно
плавающего тела выразится интегралом
/(pt} — p)<?s,

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 101
распространенным на дно. Проекция этой разности на ось z
будет:
г У
J (pa —p)ds cas@ = j (p0—p)dx.
—i
Присоединяя к атому интегралу вес плавающего тела,
равный водоизмещению 2/Л', умноженному на плотность р и
на g, мы получим:
-М
J(Pc-p)dX + m'pg.
~і
Предположим, что центр тяжести плавающего тела при
покое находится над точкой S (§ 4) на высоте И над
ватерлинией- При качании его ордината г будет равна
С0 — #cos0
или вследствие малости угла Ѳ
Со-Я.
Поэтому проекция ускорения центра тяжести на ось z рав-
dK0
няется j«- и закон движения центра тяжести дает нам
уравнение:
тождественное с уравнением (37).
Под знак интеграла мы должны подставить значение
р—Ръ для точек дна плавающего тела, которое мы найдем
по формуле (69), заменив в ней z на основания уравнения (58)
через С = С0 + Л'-|-вл, Сделав эту подстановку и совершив
интегрирование, мы будем иметь:
или
(*+§ • Ш"^-^ш^2ф^^(72)

102 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
линейное диферѳнциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэфиц цента ми и со второй частью, которым и
определяются колебания плавающего тела в вертикальном
направлении. Это уравнение тождественно с (38), в него не входит'
ни угол Ѳ, ни его производные, следовательно, „поступательное
колебание совершенно не зависит от вращательного".
Коэфициент при —щ-
можно назвать „приведенной массой". Замечая, что масса
тела равна водоизмещению, умноженному на плотности
приведенную массу можно представить таким образом;
Если мы обозначим через [А
или
"-—Іг1 <73)*
,._____, (7,)
то уравнение (72) примет вид:
§ 9. Исследуем при помощи этого уравнения сначала
собственные колебания плавающего тела, т. е. предположим,
что набегающая волна отсутствует, /= 0, а есть только волны,
расходящиеся от плавающего тела в обе стороны,
вызываемые его колебательным движением.
Интегрирование уравнения приводится к решению
характеристического уравнения
,А» + ~Ь + 1=0,

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 103
корни которого
*—•&-
или
или
где
1=я L-+--L-./P
2у-а 2\>.а у
V
1
Р
(2^)2
1
—_ . t
/ /e-f 12AA'
-2Ка~Ш'
2т ]/ з ~~ у 7
- /
всегда мнимы.
Интеграл уравнения
і_
^е 2»°' (Asui<ot-\-BcOBv() (76)
или
С0^е '*"' Rsm(®t-j-k)
показывает нам, что ао отношению к координате £0
равновесие тела всегда устойчиво и что собственные колебания тела
всегда будут затухающими,
Период колебаний
ш
|/ 2ф ' 12 Ф V g Г12 яа
или
/в-НЗАА'
Г~4ТГ'Ѵ%Л(Р-|-12ЛЛ'Г
Предполагая, что ? очень велико, находим из этой формулы,
что время колебания очень длинного тела
■* 3 в

104 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
яли
т. е. s 1,15 раз больше того времени, которое нужно волне для
того, чтобы пройти расстояние, равное длине окружности,
описанной радиусом, равным половине длины тела.
Если же К велико сравнительно с /, то
т. е. период колебания равняется периоду качания маятника,
длина которого равна К .
Когда плавающее тело имеет только поступательное
колебание, то функции ш и г|і определяются очень простым
уравнением (40):
L ^о
а ' dt '
ш = і[* = —— • —- е 2[w sin (чіі-\-к-\-пг) ,
из которого находим:
А^ I I
где
Заменяя в этой функции t через-———, мы получаем
закон расходящихся от плавающего тела в обе стороны волн.
§ 10. Рассмотрим далее вынужденные колебания
плавающего тела, вызываемые гармонической волной:
C=/(af—*)== Л ein y («* — *)>
где А — амплитуда и X —длина волны.
Теперь
f — Asm ~y-t
и частный интеграл уравнения (75) будет:

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 105-
где R и k определяются уравнениями:
т.
А 2*. 1
откуда
R = -
А . 2кг I
к- sin -т- к =
К к а
А
}
07}
V
2ъд
к
1 Да
2jwV
к
Таким образом вынужденные колебания будут также
гармоническими. Амплитуда колебаний R всегда остается
конечной, так что равновесие плавающего тела по отношению
к набегающей волне будет устойчиво. Однако в зависимости
от величины знаменателя R может случиться, что при
некоторых значениях к амплитуда колебания центра тяжести
плавающего тела будет больше „волновой" амплитуды А. Такие
волны назовем „опасными". Исследуем условия, при которых
они возможны, и определим их длину.
Прежде всего из формулы для R мы видим, что с
неопределенным увеличением длины волны X амплитуда колебания R
приближается к амплитуде волны А, и для всех тел R = A
при*- = со. Также и в том случае, когда / и /і/, т. е- размеры
плавающего тела, малы, как видно из формулы (74), р- будет
также мало, и R будет мало отличаться от А для всех вол»
конечной длины- ■
Опасными волнами будут те, для которых функция
'2таЛ"~
к
1-М^Р
"ГааІ і ,
к
от \ стоящая под корнем знаменателя R, будет меньше еди
ницы, и самыми опасными те, для которых ti достигает
минимума.
Чтобы исследовать, как изменяется ѵ с изменением к,
положим:
2 га
= Е,
~^у,^ = у.
(78)*
(79)*

105 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Тогда
0 = Cl_y)»-(-*fl
йудет равно квадрату расстояния г точки Р (х,у) от точки Q
<0, 1) и
При изменении І. от сю до нуля £ будет меняться от 0 до
бесконечности и точка Р будет перемещаться по параболе,
уравнение которой
9 = ^* (80)*
яіолучаем, исключая £ из уравнения (79). Каждой волне будет
■соответствовать точка параболы и обратно. Опасным волнам
будут соответствовать точки, расстояние которых от Q (0, 1)
сбудет меньше единицы, т. е. точки, лежащие внутри круга
(1-^ + ^=1, (81)
описанного радиусом, равным единице, около точки Q.
Положение этого круга по отношению к параболе зависит от того,
будет ли радиус кривизны для вершины параболы
Р >
2уа« <
Если в эти неравенства вместо f* подставить его
выражение (74), то они представятся в другом виде:
>
Г1 = 6ЛЛ'.
<
В первом случае круг Q будет лежать внутри параболы,
а вое точки параболы (за исключением начала координат,
которому соответствует бесконечно большая волна) будут
вне круга, их расстояние от точки Q будет больше единицы
яЙ<А:

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 107
Таким образом для длинного тела />1/бЛЛ' амплитуда
колебаний тела всегда меньше волновой амплитуды, и только
для бесконечно длинной
волны R = A. В этом случае
опасных волн не существует. В
третьем случае, когда i<.\'6hh't
круг Q будет выходить за
пределы параболы, часть которой
вблизи вершины будет лежать
внутри круга Q (фиг. б). Чтобы
определить эту часть, найдем
ординату д0 точек М и Л/
пересечения круга и параболы,
решая совместно их уравнения
(80) и (81):
2яѴ —/*
Уа =
а>
Этой ординате у0 будет соответствовать волна, длина
которой найдется из уравнений (78) и (79):
h I
откуда при помощи формулы (74)
19»
РЧ-ЗЛА'
1,0 ~2" i/sW^
-Р)
(81')
Точкам Р, лежащим на параболе между М и N, будут
соответствовать ординаты меньше у0 и волны более длинные,
чем V Эти точки будут лежать внутри круга Q я определять
опасные волны. Наиболее опасной будет волна, для которой
ѵ будет минимум. Выразив X2 на основании уравнения (80)
через у, мы получим
и найдем значение
Зі.-
" 2яѴ 2 '

108 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
при котором ѵ достигает минимума, из уравнения
Соответствующие значения X и R определяются
формулами (79): _
R^h/34- 2Ш±. (82)
Таким образом для короткого тела, если /<убЛЛ', все
волны от л0 до со являются опасными, и наиболее опасная из
них имеет длину Х1=']/2 • Х0, причем Х„ определяется
формулой (81').
Если, наконец, / = bhh', то круг Q будет кругом кривизны
параболы в вершине ее и будет с ней иметь касание 3-го
порядка. Вся парабола будет лежать вне круга и опасных
волн не будет. Но для волн большой длины амплитуда R.
будет оставаться почти постоянной и будет мало отличаться
от волновой амплитуды.
§ 11. Составим теперь диференцыальное уравнение
вращения тела около центра тяжести.
Мы видели выше, что давления на переднюю и заднюю
стенки определяются формулами (70). Величины C0-f-/i.'-f-
-|-Ѳ/—С' и C0-J-A' — Ѳ/—Е, представляют собой расстояния
от поверхности жидкости до дна плавающего тала в заднем
и переднем его конце. Они малы, и мы можем принять, что
моменты давлений на переднюю и заднюю грани относительно
центра тяжести соответственно равны:
где И—высота центра тяжести над ватерлинией. Складывая
эти моменты, мы получим выражение:
= я^(л' + !:0-с-±і')(2Ѳ/~-с'+о)

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 109
в котором можно пренебречь произведениями
как 8еличинами второго порядка малости и ограничиться
только двумя членами
THlgpk'Q—Hgptf (С — С). (83)*
Но „если hf мало, то второй член можно отбросить, первый
же член как содержащий произведение 1Ш, равное
водоизмещению, надо оставить".
Момент давлений на верхнюю и нижнюю поверхности
плавающего тела представится интегралом
I
0~*°)^о7Гл'
распространенным на все дно. В этом интеграле элемент дна
Ах
ds можно заменить через гг, совЕѲ через 1, и за перемен-
COS W
нуга интегрирования взять х; тогда он преобразуется в
следующий:
~ f (p — Po)x<ix.
Таким образом, обозначая через / момент инерции
плавающего тела относительно оси, проходящей через центр
тяжести, мы имеем на основании закона моментов количеств
движения диференциальное уравнение:
JJF^ ~~ /Чр-Ро)«Ь + 2МА'#Ѳ. (84)*
—;
Вместо разности р — р0под знак интеграла мы должны
подставить ее значение по формуле (69), заменив в ней С по
формуле (5S) через £„ -f- h' + Ѳ*. После интегрирования мы
получим:

110 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
или
lHs-?)£-!*§+**(S-M') <>-<>■<*>•
Это уравнение вместе с (68) определяют две неизвестные
функции иа и Ѳ. Так как в них С0 не входит, то ни
вращательные колебания, ни скорость щ не зависят от
поступательных колебаний. Чтобы проинтегрировать уравнения (68)
и (85), исключим из них одну из функций и0 или Ѳ,
например uQ.
Исключая сначала -ут > получим:
і' + 45 Л ) <& + 3 a dt Ь2 У g 3 "0 +
+ 2&р (| - Ш) в -| -1 /Ѵ= 0. ' *
Продиференцируем это уравнение:
/,4-2 Ш^^-А &? ^2іЛ ^ ^4-
и скова исключим из него-^ при помощи уравнения (85):
,/,,2. /5pW80 , / 4 /"р\гіяѲ,
Т + 45 ' Т^ + Т + В ' ¥Jrf^ +
(86)*
Таким образом мы получаем линейное дифереициальное
уравнение третьего порядка с постоянными коафициѳнтами,
которыми определяются малые вращательные колебания
вокруг центра тяжести. Проинтегрировав вто уравнение и
определив Ѳ, интегрированием уравнения (68) найдем и0, а затем,
предполагая, что £0 уже найдено из уравнения (72), при помощи
формул (62) и (63) определим я волны ч> и ф, разбегающиеся
от плавающего тела.

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 111
В частном случае /7=0 уравнение (86) обращается в
уравнение (56).
Введем в уравнение (86) для краткости следующие
обозначения:
т-?(4-*'і.
Уравнение тогда примет вид:
(87)
Ы
d&Q . dm -[а2 і ,dB
S+^S + 'f ('f+* Н^-а . Щ
§ 12. Исследуем сначала собственные вращательные
колебания тела, положив /= 0. Интеграл уравнения (88) без
последней части находится с помощью корней
характеристического уравнения:
Щ = (М + а*,) V + ^ (fi + я) = 0. (89)
„Легко усмотреть, что это уравнение имеет
действительный отрицательный корень, заключенный между — оо и т-,
так как при первом пределе левая часть, которую обозначим
черев т,, отрицательна, а при втором
Т( = а(а, — а) = а$
положительна",
„Чтобы сделать более подробное суждение о корнях
уравнения, рассмотрим вид кривой третьего порядка
WO) (9°f
[і
при различных значениях двучлена ^т; Я".
„Кривая при всех значениях двучлена проходит через точку
/ а_ аі
\ ~1 ' Р

112-ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
„Когда двучлен равен нулю и
кривая имеет вяд ABOD (фиг. 7), она пересекает ось л- с
отрицательной стороны в точке F на расстоянии OF= -тД и
прикасается к оси Оі в начале
координат". „Чтобы получить
вид кривой (90) при различных
значениях упомянутого
двучлена, надо к координатам
вычерченной кривой прибавить
ординаты прямой MN или M'N'
смотря по знаку двучлена
Jih', проходящей через
точку Е I —-у ,0 I. Из этих
соображений ясно, что при
#А'<0
Фиг. 7.
3
кривая имеет вид GBK и уравнение (89) имеет три
действительных корня, иа коих два отрицательны, а один
положителен, вследствие чего плавание будет неустойчиво".
„При
^-Hh'>0
кривая имеет вид CBF, и уравнение (89) имеет только один
действительный отрицательный корень, заключенный между
.- и -~, в чем убеждаемся, замечая, что при подста*
ноике этих величин в полином /(E) мы получаем величины:
(а, —я) а к (а —я,)«

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 113
противоположных знаков. Два других корня будут иннмы и
сопряжены, сумма их будет действительна и равна удвоенной
действительной части каждого из них. Так как сумма всех
корней уравнения (89) равняется ^, вещественный же ко-
а йя.
рень заключается между — -= и р, то сумма мнимых
корней будет заключаться в пределах
la ' / I г 1а. ' [а '
т. е. будет отрицательна. Таким образом вещественные части
мнимых корней отрицательны и при -д Hh' мы будем иметь
устойчивое плавание".
„Что касается случая
для которого один, ко рень отрицательный и два корня равны
нулю, то соответствующий ему интеграл есть
Ѳ = .4 + Д* + СІГ*"г
и дает неустойчивое плавание".
„Таким образом, принимая во внимание аффект
образующихся волн, мы получаем тот же необходимый и
достаточный признак устойчивости:
3h'>H'
который мы выводим из одних гидростатических
соображений".
§ 13. Общий интеграл уравнения (S8) представится
суммой рассмотренного выше интеграла уравнения без последней
части и частного интеграла, удовлетворяющего уравнению
с последней частью. Предполагая по предыдущему, что
набегающая волна гармоническая и
Япіс. Ms Ш). Ы. Ж аКуконвішй. Тон IV 8

114 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
находим частный интеграл:
Ѳ = R sin ~ (at + к),
где R и k определяются уравнениями
2*й „ 2 Pgn . 2*£ /2пд\а я3
2кй . 2 ^?p 2яЛ
(90
откуда
2 ., 2тса
з л^р' -г
Т -в — йаі
2ад\н
или
й«і . Й Д- (92)
3 It г~ іп »■>-,. -г —Twrmi • 1*4*
j/V«(WM—(?)
. ... . , . .2W.
Положим:
(¥)'- <->
и исследуем, как будет с изменением х меняться амплитуда
Лк2 ftp Л
3 Л /- 1 * (94)
При этом естественно ограничиться предположением, что
ЗД' ~~ ■"> Р следовательно, я f положительны, ибо только в этом
случае, как было показано выше, плавание может быть
устойчивым-
Величина х может быть только положительна и при
увеличении длины волны от 0 до оо будет изменяться от оо до 0.
При положительном значении х амплитуда R всегда конечна,
ибо подкоренная величина может обратиться в нуль только
_Т
при х — -и при том только в том случае, когда я1 = и, что
ВОЗМОЖНО ИДИ цри /= ОО ИЛИ При I = 0.

ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 115
Наиболее опасными будут -волны, для которых R будет
максимум, а полином
ff=/(*) = (Y —«*)а+± (Г — ъх)*
(95)
минимум.
Покажем сначала, что при положительных значениях х
полином f(x) имеет наименьшие значения для х, заключающе-
гося между — н -_ Рассматривая
кривую (95), мы видим, что
ордината ее представляет сумму
ординат двух кривых:
ді = (т — axf и ys = - (7 — «,х)а.
Первая из них-—парабола
с осью, параллельной оси у,
касается оси х в точке Р\—, 0 \,
вторая, — гипербола с
асимптотами
* = 0, д = *j> — 2«iT
касается оси х в точке О | — . О
(фиг, 8). Так как ^ > а, то
точка G лежит ближе к началу координат, чем точка Р. При из-
Т
менении х от нуля до —обе ординаты у% и уѵ а следовательно,
«і
и ордината # ~ (ft + #а уменьшаются; при изменении же х от
-до со обе ординаты уі и у% и их сумма увеличиваются. От-
сюда следует, что между - и -ордината кривой (95) имеет,
по крайней мере, один минимум. Чтобы доказать, что есть
только один минимуму надо обнаружить, что уравнение
/' (х) = f (х) = 2 яѴ -f- (V — 2 «г) *3 — f = 0, (96)
Фиг. S.

116 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
которое служит для определения максимума и минимума
функции /(*) и получается, если приравняем нулю ее
производную, имеет в упомянутых пределах только один корень.
Возьмем производную от «(х):
ѵ> (х) = ?! (х) = 6*Ѵ + 2 К3 — 2П)*>
и, разделив f(x) на fi(x), найдем остаток от деления с
измененным знаком:
Ъ W ~д- ^^ Х Т Т ■
Так как функция '?э(*)для положительных значений je
всегда остается положительной, то по теореме Штурма число
корней уравнения 9 (х) = 0, заключенных между -- и -, равно
числу потерянных перемен знака в ряду функций
при переходе от—к -, Вычисляя величины» I ~ ),<р( — L«M ■-),
мы находим:
'Т_
•20(«i-«W(j)-S«-^
и видим, что первая отрицательна, а две другие положительны.
Каков бы ни был знак ?і(~ ) в рядах знаков функции Штурма
— =t + ДЛЯ -I , 4--Г-Т- ДАЯ-J-,
теряется при переходе от— к- только одна перемена. Таким
образом в пределах от ^- до - функция <о(х) имеет только
один корень, и на основании вышесказанного он определяет
минимум функции f(x) и максимум амплитуды R,

. ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ 117
По формуле (93) значениям х, равным-и—,
соответствуют волны
.,= 2,/}/|н^2./|/^
причем *д < ^2- Подставив же величины — и — вместо хп (94)
к принимая во внимание, что «j-—а = р = — - —, находим,
2 ;6р
что этим волнам соответствуют амплитуды
/ |/ f / т
Если в Rx и R% введем длины волн ^, Ха, то получим
формулы:
Р — ?. 4 -Jl — 1 44 i'J_
Лв=4-7^-^032.4
■з *р І ѵР
выражающие /?, и R% через амплитуду, длину волны и через
объем шара, описанного радиусом, равным половине длины
тела, и через площадь большого круга этого шара.
Сопоставляя все сказанное, мы видим, что статический
признак устойчивости .
Р
является достаточным и в том случае, когда тело качается
под влиянием набегающей волны. При атом, каковы бы ни
были постоянные, характеризующие размеры, массу и
распределение массы тела, всегда существует волна, для
которой амплитуда вынужденного колебания имеет максимум.
Длина этой волны определяется положительным корнем ура-
внения (96), заключенным в пределах — я —, и лежит между
\ и \, а соответствующая амплитуда более наибольшей из
двух величин R, и R2.

118 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Степень устойчивости характеризуется величиной ^77 "~ Н
или зависящей от нее величиной ?. Чем меньше т, тем больше
будут \ и Ц: для судов малой устойчивости опасными являются
длинные волны.
Эта работа, подготовленная к печати проф. А. П. Котелвникопым
после смерти проф. Н. Е. Жуковского, была впервые напечатана с прим(-
чаииями и дополнениями проф. А. П. Котельникова н „Трудах ЦАГИ",
вып. 85, 1931 г- Примечания и дополнения проф. А. П. Котельникова
(приложения 1, 2, 3) печатаются ниже. Прим. ред.
Примечания
1. На последнем листе своей рукописи № 2 проф. Н. Е.
Жуковский занимается научением полинома
(<? — ЬиУ-\-(с — аи)*и,
где
который стоит под корнем в знаменателе формулы (94). Но
мы не находим в рукописи окончательных результатов этого
исследования, и оно осталось, повидимому, незаконченным.
Последнего параграфа, в котором рассматривается зависимость
амплитуды/? от длины волны, нет в рукописи Н. Е.
Жуковского и он добавлен мною.
2. Как было указано, проф. Н- Е. Жуковский
предполагает в своем анализе, что тело качается под влиянием
волны, набегающей с одной стороны. Надо, однако, заметить,
что этот анализ с небольшим изменением может быть
распространен и на случай волн, идущих навстречу одна другой.
Действительно, если мы пре.ш шэжим, что вправо от
плавающего тела, кроме волны, убегающей от него, есть еще
другая, идущая ей навстречу, то интегралы для правой
стороны будут не (16), а
t'^k(at + x)-\-b(at— x),
*'^'\f\ [*<e*-f*)-T(rf —*)]. (97)

ПРИМЕЧАНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 119
Считая, что в этих формулах, так же, как и раньше, х
^отсчитывается от точки (В), вместо уравнения (61) получим:
•откуда
«Р + Ф-т-Й^-^, (98)
Подобным же образом, сравнивая давления) которые дают
в сечениях А к В формулы (5), (60), (10'), (97), мы будем
иметь:
Р 6h A» 2k dP~ dt
P 6Л А* 2Л Л» ^ f ?^tWt4
откуда
c~¥+& ■ $--Ь^-ь^^-н), (100)
. , , _ / dua la d*Q (лпи
T-t = A-/-27 ■ -£-Щ • W. (101)
и затем на основании (98) и (99), (60)
Р ~ 6Л " <№ "г" 2А ' Л3 х Л "•" в ' Л "1"
-4-Я*—j(/+fe).

120 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Теперь вместо уравнения (72) мы получаем уравнение:
(*+!■£) &+'£»£+
+ 2^рС0-2^Р (H-fe) = 0, (103)
или
t'S'+T- § + Co-tf+*)-0' С104)
Совершенно так же вместо (86) получаем:
,/,,2 І»Р\^Ѳ, / , 4 /5PW20,
+ %*(~ЯЛ') ('^ + °в) + |^(Г-^) = 0 (105)
нли
*S+«.S+£ (' §+»*)+> <''-*'>=°- <106>
Каждое из уравнений (102) и (106) в отдельности ничем
существенно не отличаются от уравнений (72) и (88)
соответственно, ибо /, к, f, k'.f+k, /' + £', f—k, f' — к'
представляют собой функции от at.
3. На основании чертежей, находящихся в рукописи проср.
Н, Е. Жуковского,' надо думать, что он буквой Н
обозначает расстояние центра тяжести плавающего тела от
ватерлинии, как это и сказано в нашем тексте. Но в таком
случае, если считать, что нельзя пренебрегать величиной Л'в
и произведениями ее на малые величины первого порядка,
формула (83) и зависящие от нее уравнения (85) и (86) должны
См. факсимиле—вклейка меікду стр. 80—81. Прим. ред.

ПРИМЕЧАНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 121-
быть исправлены. Действительно, чтобы получить момент
давлений на переднюю и заднюю стенки относительно
центра тяжести, надо их умножить не на величину Н, как это
делает проф. Н. Е. Жуковский, а на плечи, соответствующие'
центрам давление. Эти плечи для передней и задней стенок-
равны соответственно
Я+Л'-і(А'+С0-Ѳ/-диЯ+А'-і(А' + С0 + Ѳ/-СО;..
так что сумма моментов давлений на боковые стенки будет:.
^(Я+Л'-ІП1)-^(Я+Л'-І„),
где для краткости положено
„^Л'-f-Co — В/— С, п^Л' + Со + Ѳ/— С.
Вынося в этой сумме множитель
п, —п = 2/Ѳ —С —С
первого порядка малости за скобки, мы можем в выражении;'
(Я -1- k') -^±Sl _.1 (у + ПП| + ^j,
оставшемся в скобках, отбросить члены первого и высших,
порядков и положить:
вследствие чего момент давления примет вид:
(//-4-|а')л'(2/в-с+С).

122 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Таким образом одно из двух: или формула (83) должна
>быть исправлена заменой Н через И-j- -у А' и такую замену
следует поэтому сделать во всех следующих формулах и
уравнениях, или под Н мы должны подразумевать расстояние
центра тяжести плавающего тела не от ватерлинии, а от
^центра тяжести вытесненной жидкости.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ОБЩАЯ КАРТИНА КОЛЕБАНИЙ ПЛАВАЮЩЕГО ТЕЛА
Как было сказано в § 4, в анализе проф. Н. Е. Жуковского
предполагается, что сечения А я В остаются неподвижными.
Это предположение можно считать соответствующим той степени
точности, которой органячивается проф. Н. Е. Жуковский,
только в том случае, когда точка S, середина ватерлинии,
остается неподвижной или движется по вертикальной линии,
т. е. только в случае поступательного движения тела по
вертикальному направлению, или при вращении вокруг центра
тяжести, когда он совпадает с точкой S. Если же центр
тяжести не совпадает с точкой S, то при вращении тела сечения
А и В получают перемещения ИВ первого порядка малости
и не могут считаться неподвижными, Их нельзя считать
неподвижными также и в том случае, когда тело будет иметь
колебания в горизонтальном направлении. Таких колебаний
проф. Н. Е. Жуковский не рассматривает в своей рукописи,
и можно показать, что их и не будет, если мы ограничимся
только теми членами, которые проф. Н. Е. Жуковский
удерживает в уравнении моментов.
Действительно, ограничиваясь в сумме проекций на ось х
давлений на переднюю и заднюю стенки
членами первого порядка, имеем:
— 2ЙрА'Ѳ+йА'(і/ —С).

124 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
С другой стороны, вычисляя сумму проекций на ось
х давлений на верхнюю и нижнюю грани
в / (р — р0) dx
±і
после подстановки вместо (р— р0) его выражения (69), где s
надо заменить через ^0-\-hf-\-9х, мы получим с той же
степенью точности:
+ 2/£РЛ'Ѳ.
Следовательно, полное давление в горизонтальном
направлении равно:
Это выражение того же порядка, как и второй член
в формуле (S3) § 11. Поэтому, если мы ограничимся той
степенью точности, как и проф. Н. Е. Жуковский, который
этим членом пренебрегает, то давление на тело в
горизонтальном направлении мы должны считать равным нулю, и движение
центра тяжести в этом направлении может быть только
равномерным, но не колебательным.
Проф. С. А. Чаплыгин обратил, однако, внимание на то,,
что второй член, отброшенный проф. Н. Е, Жуковским
в формуле (83), § 11, того же порядка, как и первый. Если
мы сохраним оба члена, то уравнение моментов получит
несколько иной вид, вместе с тем мы должны удержать
соответствующий член и в сумме давлений по горизонтальному
направлению, и эта последняя не будет равна нулю. Плавающее
тело будет совершать горизонтальные колебания и вместе
с ним будут перемещаться и те сечения А и В, проведенные
через начало и конец плавающего тела, которыми мы разделим
жидкость на части. Но в таком случае возникает вопрос, как
это движение отразится на всех, полученных проф. Н. Е.
Жуковским результатах, и является необходимость пересмотреть
весь анализ задачи с самого начала.
Предположим, что плавающее тело совершает малые
колебания около положения равновесия. Проведем на теле, плавающем
в спокойной жидкости, ватерлинию и отметим на ней точку S,
находящуюся на ее середине. Начало неподвижной системы

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 125
координат мы возьмэм таким образом, чтобы при малых
качаниях плавающего тела точка S всегда оставалась бы вблизи
начала координат. Тогда не только угол Ѳ, образѳаанный
ватерлинией, проведенной на теле, с осью х, но и координаты
точки S (50, С0) будут во время движения оставаться величинами
малыми, квадратами и
произведениями которых на
другие величины, считающиеся
малыми, мы пренебрегаем.
Проведем четыре
вертикальных сечения: два сечения
А и В неподвижных, одно
влево, другое вправо от
начала координат яа
расстоянии / от него, и два
сечения А' и В' через нос и
корму плавающего тела,
движущихся вместе с ним.
Интегралами диференциальных уравнений малых колебаний
жидкости влево от сечения А' и вправо от В' будут те же,
что и s § 3 (10, 12, 16)
CD
(2)
(3)
Фиг. 9.
Рассмотрим, не изменят ли своего вида интегралы (59) и (60)
§ 7 для части жидкости, находящейся под плавающим телом
между сечениями А' и В' (фиг. 9). Воаьмем, кроме неподвижной
системы координат, еще систему, связанную с плавающим телом,
имеющую начало в точке S, ось х', совпадающую с
ватерлинией, и ось zr, перпендикулярную к ней; между координатами
относительно осей х, г и х',г' мы будем иметь соотношения,
«п-Со + Ѳх' + Л
<4)

126 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
из которых следует, что уравнение дна плавающего тела
будет:
г — С0 — Л' = Ѳ(х —г0 + ѲА')
или, пренебрегая членами ѲЕ0 и Ѳ3А',
с=с0-ЬАЧ-ѳ*.
Это уравнение тождественно с уравнением (58) § 7 и
потому, подставляя значение £ в уравнение (11), мы получаем
прежние интегралы (59) и (60) § 7:
л* rfaB х <Кв , ,чч
р 6Л Л* 2А А» *л+£*^^ W
для части жидкости между сечениями А' и 5'.
Переходя к соотношениям, которые вытекают из требова--
ния, чтобы скорость и и давление р в сечениях А' и В'
изменялись непрерывно, будем считать, что в формулах (1) и (3)
х отсчитывается не от точек А-я В, & от общего начала
координат. Сравнение скоростей и по формулам (2) и (4) для
сечения А'
= ]/f{[-/(^+/)+?(«/-0i+^(/'+9')f
и
.._(—i+Q* <*» , (-/+у л
2А Д1 A А
+ "а
при той степени точности, которой мы ограничиваемся,
приводит нас так же, как я в § 7, к первому из уравнений (61).
То же можно сказать и относительно результатов сравнения
скоростей в сечении В' и давлений в сечениях А' и В'. Таким
обраіюм и теперь мы имеем те же основные уравнения (61), я
;+? ѵ- лg dt 3gk dfi , (7)

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕАЬНИКОВА 127
Р-ро = *;І Ж і /"-*" ^о__ ^o,g? Ла,
Р 6Л rf/n ~г" 2Л <Й« * Л "г* а ' dt T
+ **-*/, (8>
которые мы имели и раньше. Эти результаты показывают нам,
что при малых качаниях около положении равновесия и при
той степени точности, которой мы ограничиваемся, скорости,,
давления и ординаты С и U будут определяться теми же фор-,
мулами, как и в том случае, когда сечения А' и В' остаются
неподвижными и совпадают с сечениями А к В.
В уравнении {71), § 8 мы должны, строго говоря, за
пределы интегрирования взять —/-Н0и -(-/-Мо> но, ограничиваясь
снова членами первого порядка малости, мы получим после
интегрирования для определения С прежнее уравнение (72) § 8.-
Параграфы 9 и 10 остаются поэтому без изменения.
Если в формуле (83) § 11 для момента сил давления отно--
сительно центра тяжести
2Hlh'gpe — Hh'g?{U — С)
мы не отбросим второго члена, как это делает проф-
Н. Е. Жуковский, то для углаѲ мы получим диференцкалъное
уравнение:
несколько отличное от диференциального уравнения (84).
Перемена прежних пределов интегрирования —/, -\-1 на
новые ■—/-Н0, / + £0 отразится только на членах второго
порядка и при нашей точности не внесет никаких,
изменений в прежние результаты интегрирования. Разность С — t
значений С в сечениях А' и В' на основании формул (1) и (3):-
С'-£=^-/-е0)-/<^ + /-У-?(^-/ + У =
-* + —/—%

і128 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
если отбросим члены второго порядка. Итак, принимая во
внимание уравнение (7), мы будем теперь иметь вместо
уравнения (85):
/ ' 1 *р,1 ^ \^Ѳ
_2/р(|_^)^ + 2^в(|~#А')=0. (11)
Исключим из этого уравнения при помощи уравнения (9)
-тт так, как мы исключали ату производную из уравнения (85),
•% 11. Мы получим:
/(гл. 2 рЛ*Ѳл. (гл. 2 р?\№л.
+ 2я/Р(/^-Ь«Ѳ+/)|=0. (12)
"Это уравнение отличается от уравнения проф. Н. Е. Жуков-
•ского коэфицнентами при ~ж и / .
Пользуясь прежними обозначениями
а-ГЛ-2- ^ 2W н,,
■и заменяя прежний коэфициент
■іновым его значением
, 1 г , 4 >ЙР 2- Я/г' л_.
с^+А-^-.^--^ — , (13)
імы приведем это уравнение к виду:
"Ж + ^^ + Т ^+«0+f -0. (14)

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 129
Положив /=0, для определения собственных колебаний
тѳла, мы получаем характеристическое уравнение
/© = «(* + «) ев + ^(Ив + 3«Д + За«) = 0. (15)
Нетрудно убедиться, что это уравнение так же как и
уравнение (89) § 12 имеет отрицательный корень, лежащий
между — оо и г. Чтобы определить характер двух других
корней, рассмотрим кривую третьего порядка
■4=/ГО (16)
при различных значениях двучлена §■ — Hh'. Когда этот
двучлен равен нулю, то кривая
■П=/(Е)=«(Й + *)Р
имеет вид ABOD (фиг. 7); она пересекает ось х с
отрицательной стороны в точке F на расстоянии OF = у от начала
координат и касается оси ? в начале координат. Чтобы полу-
р
чить кривую при-—Hh', неравном нулю, мы должны к
ординатам кривой ABOD прибавить ординаты параболы
которая, очевидно, не пересекает оси Е. Она вся находится
по одну сторону оси 5, ординаты ее точек все одного и того
же знака: положительны при у>0 и отрицательны при 7 < 0.
Отсюда следует, что кривая (16) при ■[ > 0 пересекает оси £
только в одной точке с отрицательной стороны и при т<0
в трех точках, из которых одна находится на положительной
части оси S. Таким образом уравнение (15) имеет только один
действительный отрицательный корень при 7 > 0 и три
действительных, один из них положительный, при f < 0, и плава-
ние может быть устойчивым только при ^ — Hh' > 0.
Зіи;. 2& І7ЙЭ, И. К. Жуіянимпій. Той IV 9

130 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Рассматривая этот последний случай, мы можем представить
полином /(£) в том же виде, как и раньше
/©«(М + а^+^СЯ + а).
Так как при f > 0 новое значение коэфициента а так же
как и прежнее положительно и притом аг > я, то все
рассуждения конца § 12 остаются в силе и, таким образом, обнаружи-'
вается, что найденный проф. Н. Е. Жуковским признак
устойчивости качания на волнах остается беа изменения
и в том случае, если в уравнении (84J мы добавим
отброшенный проф. Н, Е. Жуковским член.
В частном интеграле
характеризующем вынужденные колебания под влиянием
гармонической волны, амплитуда RQ и фаза к0 будут определяться
уравнениями:
\
\ * '
А
А
та2 . 2тс,
Та" 2гс7
а^і
2ъа
>«т
а
■т7
а31
а"
I
2%а
(17)
из которых мы имеем
К
А
I
V
•ы
Н-
Т — аі
2x1
(18)
Это выражение амплитуды отличается от (92) только
множителем за радикалом, независящим от длины волны. Поэтому
все заключения § 13 остаются в силе, только значение
коэфициента (*! будет теперь другим.
Надо, однако, обратить внимание на одно важное отличие
формулы (92) § 12 от полученного теперь выражения (18)
для R0, В последнем в числитель входит величина 7,
характеризующая устойчивость, так что при малой устойчивости

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВ А 131
и амплитуда вынужденных колебаний будет мала. Если мы
отбросим квадраты и высшие степени У, го получим
Ко-~ТГ
Составим теперь днференциальное уравнение движения
центра тяжести по горизонтальному направлению.
Отбрасывая в сумме проекций давлений на переднюю
и заднюю стенки
2
І^ + А'+ѲОо-/)-
^ + Л' + Ѳ&-Н)-
\_£Р_
2
= £Р & - ^¥- + «о + Л') (С - С - 2/Ѳ)
.?'
члены второго и высших порядков, имеем
ЯЛ'(С' —Q —2&рЛ'Ѳ.
Сумма проекций на ось л давлений на верхнюю и нижнюю
грани, как видели выше, выразится интегралом
t+S.
&j(p-Po)dx
и приводится так же, как и раньше, к одному только члену
2g!ph'Q.
Таким образом проекция на ось х полного давления будет
равна
£РА'(С' —С)
ИЛИ, принимая во внимание, что С — і — $—f—u>, на
основании формулы (7)
W 2^+-^r
dt ' ЗЛ dt
и затем, после исключения-^при помощи уравнения(1.1),
**{*+j ■$■<£)■
9*

132 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Так как координата х центра тяжести равняется 50+Ѳ//
(здесь Н означает расстояние центра тяжести тела от ватер-
ияин), то закон движения центра тяжести дает нам уравнение
Заменим здесь М через 2/Л'р и приведем уравнение каиду
■^=^ + (т'х-я)-^- (19)
Если мы обозначим дважды взятый интеграл от функции Н
по времени через Ѳ.>, то частным интегралом этого
уравнения будет
Общий же получится, когда сюда добавим линейную
функцию Аі-\-В с произвольными коэфициентами. Эти члены
появляются вследствие того, что равновесие плавающего
тела в горизонтальном направлении безразлично. Присутствие
их в общем интеграле не служит признаком неустойчивости,
а указывает на возможность одновременного существования
движения равномерно поступательного вдоль оси х с малыми
качаниями около среднего положения. Вопрос о том, не
внесет ли равномерное движение каких-либо изменений в
колебательное, не разрешается предыдущим анализом и требует
дополнительных исследований.
Рассматривая только колебания около положения
равновесия, мы должны отбросить функцию At-\-B к ограничиться
частным интегралом (20). Он приводит нас к следующим
заключениям.
Горизонтальные колебания не зависят от вертикальных
и связаны с вращательными около центра тяжести. Так как
собственные вращательные колебания тела затухающие, то
таковыми же будут и колебания его в горизонтальном
направлении. Если тело качается на гармонической волне
f^As\u~i, ' (21)

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 133
то для вынужденных колебаний в горизонтальном
направлении по формуле (20) мы получим
••-(-"+т-т-*й=»>)в (22)
или, полагая
&o=-rfl. (24)
По истечении достаточного промежутка времени
собственные колебания тела затухнут и останутся только колебания
вынужденные. Займемся их подробным исследованием,
предполагая, что тело качается на гармонической волне (23).
Напомним, что у нас были две системы координат. У
неподвижной— ось х шла по покойной поверхности жидкости
слева направо по направлению набегающей волны, ось z была
вертикальна и направлена вниз. Начало S подвижной системы
находится посредине отмеченной на теле ватерлинии, ось х'
идет по этой линии, и ось z' к ней перпендикулярна.
Вращение вокруг начала координат мы считаем положительным,
если оно совершается в направлении движения часовой
стрелки.
Для координат £q, Со подвижного начала S относительно
неподвижных осей и угла Ѳ между осями х и х' но формуле
(24) и §§ 10 и 13 мы имеем
2к
<d^R0 sin y(^-K^o).
£0 = j-Ro sin ~ (at -\- k0), C0 = R sin у (at + к)
(25)
или
где
ИД^|ео.,Ѳ-|й,?і-вѲ'( (26)
9= £<&_-*), (27)

134 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
В этих формулах R, Ra> к, ка определяются уравнениями (77)
§ 10 и (17), которые мы теперь перепишем таким образом
A sin -г- к = —Rz,
2it / йэ
^-As\n^k0 = R0(^-l).
(28)
(29)
где положено
2tf
Движение плавающего тела характеризуется параметрами
Rt R0, к, ко, г.
Величину г мы отложим по оси г', т. е. построим точку F,
координаты которой
х'^0, z' = r. (30)
Величины же R, Ra, к, к0 мы представим двумя векторами
R и R0 так, чтобы угол между осью х и вектором R был
2*к
равен-у-, а угол между отрицательной осью z и вектором
Кй равнялся-т-—. При таком расположении векторов, угол, на
который надо повернуть в положительном направлении (от
оси х к оси г) вектор R, чтобы совместить его с вектором
R0, будет
2Я" " *' * -Ф (31)
j,-to-*)-~2--<
1С
т
И Sin<f = COS7i COS<? = —SinUJ.
Эти два вектора и точка F будут служить основными
для всех наших дальнейших построений. Они все зависят от
длины волны. Величины R и R0 были изучены в §§ 10 и 13,

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 135
Теперь мы рассмотрим, как меняются с изменением *-
величины <?иг.
С этой целью при помощи формул (28) и (29) составим
выражения
А* ДНcos у^RRa
1—г-^°а) (ѵа—г)Н-°а (<»2™т)
,(32)
l_^enj'tMe_Tj—<аіЯ9_т)|а (33)
i4a-lsin«p —ЙЛо
« —«,И ^|^+
Л2 -j- cos ?=яя,
""V (35)
а3 а2
Мы видим, что cos» равняется нулю в двух случаях: если
о = О (К = со), или если:
<jB =
/3
аца'
« — «,-j-f
|J.ay
(36)
Принимая во внимание формулы (74) § 8 и (13), можем о3
представить таким образом:
;а
или
ЗАЛ'
(36)
(37)
a P + 3hh''
Длина соответствующей волны, \т на основании формулы
(§13):
(38)
*/?
будет

136 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
или
X
Она больше длины волны Х^
Таким образом cos f = 0 в двух случаях: для волн
бесконечно длинных и для волн Хя, Для воля короче ХЕ cos?
будет отрицателен, а для волн больших Х3 положителен.
Приравнивая нулю sin*, мы получаем более сложное
биквадратное уравнение
(«-« І^)°*+(«і-т + ^)«>-т~о. (41)
Корни его для as будут действительны, если
(«.-Т + Т^)+4Т(в-«І^)>0
или
При соблюдении этого неравенства в зависимости от
знаков коэфициентов оба корня ой будут положительны, или
только один или оба корня будут отрицательны. Нетрудно
было бы показать, что при неравенствах
следствием которых является неравенство (42), и
Т>/3"-«і
будет иметь место последний случай.
Таким образом возможны три случая:
1. Волны, для которых sin ы> = 0, не существуют, и тогда
sin <р для всех волн отрицателен.
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что вы-
R.R
ражение-——^ представляет собой дробь, числитель которой не
зависит от с, а знаменатель равен корню квадратному из
полинома 5-й степени относительно <Л Поэтому, когда а стре-

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 137'
мится к бесконечности, а л к нулю, sin о стремится к нулю,.
costp к —1, а угол ? к -.
2. Существует только одна волна \, для которой sin -р = 0,.
и тогда sin ® положителен для волн < ^ и отрицателен для
волн > ).б.
3. Существует две волны ^ и ?.н > ^А, для которых sin <р = О,
и тогда для волн, меньших lt и больших ^а, sin« отрицателен,.
■а для волн, заключенных между л4 и Хв,— положителен.
Величина г и положение точки F на оси г', как видно из.
формулы (23), зависит не только от длины волны, но от
величины *f, характеризующей устойчивость. Точка F находится;
тем ниже, чем меньше устойчивость и чем меньше длина.
волны X. Самое низкое ее положение соответствует волне
X = 0, при которой
I к
h
r=r0—Я+4-- - (W>
Она совпадает с центром тяжести для волны
\~2ziy -• (45).
Для волн более коротких, чем \, она находится ниже
центра тяжести, а для волн ббльших ^ — выше. Волна,
которой соответствует наибольшая амплитуда Ra угла в,,
больше ^: точка F, соответствующая наиболее опасной волне,,
находится выше центра тяжести. При помощи длины X,
координату г точки F можно представить таким образом:
Формулам (44) и (46) можно дать весьма простое
толкование. В самом деле, каждой волне і. соответствует
некоторая длина S математического маятника, время качания
которого
*/-
равняется периоду волны--. Такой маятник назовем зквива-

138 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
. лентным волне. Его длина S связана с длиной
соответствующей волны соотношением
"'(к)'-
Вычисляя по этой формуле длину 3j маятника,
эквивалентного волне \и мы получим
. Ра
„и потому
/Ъ — #+81. (47)
Если, следовательно, от центра тяжести по оси х' мы от-
.ложим вниз отрезок, равный длине математического маятника,
.эквивалентного волне \, то мы получим точку F0, самое ниэ-
■кое положение точки F. Введя в формулу (23) вместо У-
величину 8, мы приведем ее к виду
г-/■„-8. (48)
Таким образом точка F, соответствующая волне Х-ДО,
лежит выше точки F0. Расстояние FF0 зависит только от
длины волны и равняется длине S математического маятника,
-эквивалентного волне.
Перейдем к изучению и построению траекторий различных
■точек плавающего тела.
Координаты одной и той же точки, отнесенной к
неподвижной в подвижной системе координат xOz, x'Sz', связаны
■между собой формулами преобразования координат, которые,
.вследствие того, что мы ограничиваемся величинами первого
шорядка малости, имеют вид
х — ^ = S0 — z'Q,
ц0
(49)
Мы рассмотрим сначала движение точек S и F.
Если в предыдущие формулы мы подставим координаты
■точка F(x' = 0, z'^r) и заменим в них % через гѲ, то для
координат точки F относительно неподвижных осей мы
полупим
* = 0, г = С0 + г. (50)

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 139
Эти формулы показывают нам, что точка F совершает
прямолинейное колебание по неподвижной вертикальной оси г.
Исключая из уравнения (25) время, мы находим, что
точка S (Z0, CD) совершает гармонические колебания по
эллипсу Е:
& sina <?Ѵ + №„ — R cos <?S0)3 => №Ra*wx* <?■ (51)
Из его уравнения мы усматриваем, что ось z и прямая
гВД, — Д cos ч*с = 0 (52)
образуют два сопряженных диаметра. Половину диаметра, ле-
.жащего на оси г, мы получим, полагая в уравнении эллипса
С0 = R sin « = R cos ^.
Она равна проекции вектора R на вектор Rq. Координаты
конца сопряженного диаметра найдем, решая совместно
уравнения (51) и (52):
£0 ы ,-R0, Со = R cos <? =» — R sin ф. (53)
Чтобы построить этот диаметр, построим сначала вектор rRQ
(принимая во внимание знак г), а потом повернем
треугольник, образованный векторами R и rR0, вокруг начала О так,
чтобы вектор rRQ совпал с осью X, Через конец вектора R
проведем прямую Л, параллельную оси х, а через конец
вектора rR0 — прямую и, параллельную оси г. Точка пересечения
прямых /іиии будет концом диаметра, сопряженного с осью г.
Подобным образом можно построить и диаметр, лежащий на
оси г: надо повернуть треугольник ORrR0 так, чтобы вектор rR0
совпал с осью z, и снова через конец R провести прямую h,
.параллельную оси х, а через конец rR0 прямую ѵ,
параллельную оси z. Точка их пересечения, которая очевидно лежит
на оси z, и будет концом диаметра. Зная два сопряженных
диаметра, по правилам геометрии можем построить и самый
эллипс.
Его можно построить еще иначе. Строим так же, как
и раньше, векторы R и rRD. Проведя через конец вектора R
іпрямую А, параллельную оси х, и через конец вектора /7?0
ярямую ѵ, параллельную оси z, в пересечении их получим
точку S0, положение точки S в момент ( = 0. Если теперь мы

140 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
будем равномерно вращать треугольник ORrR0, образованный
векторами R и rR0, вокруг начала координат, с таким расчетом,
чтобы время его оборота равнялось периоду волны, то точка .5"
пересечения прямых h и ѵ, проходящих соответственно че
рез концы R и RrQ и остающихся параллельными первая оси л>
а вторая — оси г, будет двигаться согласно
формулам (25).
Чтобы определить положения точки S через равные
промежутки времени, опишем из начала О две окружности
радиусами R и rR0 и разделим их на одинаковое число равных
частей, начиная деление с начального положения концов R.
и rR0. Мы получим таким образом на первой окружности
точки R°, R1, /?3,. - . и на второй Я0°, R0\ £0В,. . . Через Л°,
RJ, Rl, ■ ■ ■ проведем прямые Л0, А1( Лй,. . ., параллельные оси х,
а через RQ°, й0!, £0е, ■ . - прямые о0, а,, 1І2,. . ., параллельные
оси z. Пересечения соответствующих линий А и ѵ дадут нам
положении SQ, Su S2I... точки S через равные промежутки
времени. По этим точкам можно построить и вллипс.
Направление, по которому будет двигаться точка S по
своей траектории, зависит от угла между векторами R и rR0.
Можно показать, что точка S будет двигаться по часовой
стрелке, если угол между векторами R и rR0 острый, и в
обратном направлении, если он тупой, Действительно, вычисляя
двойную секториальную скорости точки S, мы получим по
формуле (26)
И видим, что направление вращения будет зависеть от
янака г cos1}. Если векторы R и >R0 образуют острый угол,
то секториальная скорость и направление вращения
положительны. Если же угол между векторами R к rR0 тупой, тс
секториальная скорость и направление вращения отрицательны..
Оси эллипса Е совпадают с осями координат только в том
случае, когда cos<p = sin'!' = 0, т. е. векторы R и rR6 лежат на
одной прямой. Если кроме того R = rRa, то эллипс Е
превращается в круг.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 141
Эллипс Е сплющивается в прямолинейный отрезок,
уравнение которого
если sinc> = — 008^ = 0, т. е. векторы R и rR0 взаимно
перпендикулярны, причем в этом уравнении ыы должны взять
знак, одинаковый с cos<£.
Если эллипс Е построен, и нам известна величина г, то
мы можем считать, что нам известно и движение тела.
Действительно тогда нам известны траектории двух точек тела F
и S и, следовательно, аная расстояние FS=r, мы можем для
любого положения одной из них найти соответствующее
положение другой, а следовательно, и положение всего тела-
Движение же каждой из них по своей траектории, точки F по
оси z, точки S по эллипсу Е, вполне определяется его
характером (оно гармоническое) и тем условием, что период его
равен периоду волны.
Точка F находится на оси г', т. е. на прямой, проходящей
через S и перпендикулярной к отмеченной на теле
ватерлинии. Построив соответствующие положения точек F и S, мы
получим поэтому положение ватерлинии, если через S проведем
прямую, перпендикулярную к FS.
Указанным способом на чертеже (фиг. 10) построен ряд
положений ватерлиния через равные промежутки времени.
По данному аллипсу Е и величине г были сначала определены
точки Рі и Ра, между которыми происходит движение точки F,
а потом при помощи круга, построенного на Р^Р^, как на
диаметре, были построены положения точки F через равные
промежутки времени. По точке F строилось соответствующее
положение S и ватерлинии.
Таким образом мы видим, что качание плавающего тела
на гармонической волне подобно движению шатуна
вертикальной паровой машины, у которой крейцкопф совпадает
с точкой F, а шейка кривошипа с точкой S, причем, однако,
точка S движется не по кругу, как в паровой машине, а
совершает гармоническое колебание по эллипсу Е.
Рассмотрим далее траектории других точек плавающего
тела.

142 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Подставим выражения 50, С0 и Ѳ (25) в формулы
преобразования координат (4), мы получим
9":
х — х' = (г —х') R0 sin -^- (al-j- ka),
Л
z — z' = (Лсов в -f- /?„*') sin -j- (a* -j- kQ) ■
— /^sin^cos-r- (at-\-ko)
(54)
Фиг. 10.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 143
или
z-z' = (£Cos<P + *0*')~--£5m^- ■ Ъ- (55)
Исключив из этих уравнений время, найдем, что точка (V, z')
описывает эллипс:
RtS\n*y(x-xy-\-[RD(z>-r) {z—z') +
+ (R cos 9 + R0x!) (x — л')]2 = (?' — r)a R4?,« sin3 <?. (56)
Его центр находится в точке, координаты которой по
отношению к неподвижным осям xOz суть х', z', т. е,
совпадает с положением рассматриваемой точки, когда оси x'Sz'
совпадают с осями xOz.
У всех точек, расположенных на прямой, проходящей
через точку F и параллельной ватерлинии, для которых %' = г,..
траектории сплющиваются в прямолинейные отрезки. Каждая
из этих точек совершает гармоническое колебание по
вертикальной прямой, которое определяется формулами
z = г -\- (R cos <? 4- #0*')аіп -т-(я*+к0) •
— ^sincjcos it-(at-\- ко)..
Амплитуда колебаний равняется
\/\R cos?4-#o*')a-f #asin2 a
(57)"
и очевидно имеет наименьшую величину
R sir <p
для точки
R R ■ , ■■
х — □ cos <р е=з -к- sm 7 = р. г = г-
л0 л0
(58)
(59)
Эту точку К мы назовем центром качания. Прямую KF,.
на которой лежат точки, имеющие прямолинейные
траектории, проходящую через К и параллельную отмеченной на теле
ватерлинии х', и прямую, проходящую через К и
перпендикулярную к первой, мы назовем главными осями качания и
обозначим буквами х" и z".

144 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Из формул (25) видно, что в те моменты
flrf-1-Ao —°> 7) > *>.■-,
'йогда центр качания находится в своих крайних положениях,
■ось х" становится горизонтальной.
Сравнивая координаты точки К с координатами конца
.диаметра вллипеа Е, сопряженного с вертикальным
направлением (формула 53), легко видеть, что прямая KS, которая
соединяет центр качания с точкой 5, будет перпендикулярна
.■к упомянутому диаметру, если мы оси x'Sz' совместим с осями
xOz. Поэтому центр качания можно определить очень
простым построением: он находится в пересечении прямой,
проведенной через S перпендикулярно к диаметру эллипса Е,
.сопряженному с вертикальным направлением, и прямой,
проведенной через точку F и параллельной ватерлинии (фиг 10).
При помощи координаты р мы можем представить
амплитуду колебании точки (х', г) формулой
яз которой вытекает весьма простое ее геометрическое
построение по амплитуде точки К и величине R0.
У точек, лежащих на оси z", для которых
х — — cos ? = -—Sin if (61)
траектории суть эллипсы
•= (г' — г)» ЯЧ^" sin* о (62)
■с осями, параллельными неподвижным осям xOz. Дна из них,
(соответствующие точкам С, и С3:
R R . ,
--p-coso = p~sm'\
R ■ + R
~R0s,n^r-R-0
(63)

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 145
представляют собой окружности
(х — x'f -f (z — z'f = R* sins f (64)
с одинаковыми радиусами, равными амплитуде центра
качания, і?яіпш.
Точки Сг и Са, движущиеся по круговым траекториям,
мы назовем круговыми точками. Они находятся на оси z" на
равных расстояниях -g- cos у от центра качания и на равных
ко
расстояниях =- от точки F. Замечая, что
«о
мы видим, что равные треугольники /^АГ я Н?аЛГ подобны
треугольнику, который мы получим, опуская из конца
вектора R перпендикуляр на вектор rRQ, причем отношение
соответствующих сторон равно отношению
г
FS
rR0 rR0-
Пользуясь этим, легко построить круговые точки С± и Са.
Совместим оси x'Sz' с осями xOz, повернем треугольник,
образованный векторами R и rR0, так, чтобы вектор rR$
совпадал С осью х', и через точку F проведем прямую,
перпендикулярную к направлению вектора R; точка ее пересечения
с осью z* и будет одной из круговых точек (см. фиг. 10).
Из уравнений движения круговых точек
х — x,s=>dzR sinipsin-r-(a£-l-&0),
2 — z' ==R sin » cos ~r-(at-\-k0)
(65)
видно, что они движутся равномерно по своим траекториям
Зав. Ці 1Ж. Н. Н. Жутеопогсяй, Том IV 10

146 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
в противоположных направлениях. Нетрудно проверить, что
расстояние между ними при а^ + ^ = 0 равно расстоянию
2 „-sin?
К0
между центрами их траекторий. Оно при движении должно
оставаться постоянным, ибо обе точки неизменно связаны
с плавающим телом. Поэтому четырехугольник, который мы
получим, соединив соответствующие положения круговых
точек, центры их траекторий и проведя к ним радиусы, будет
к"онтрпараллелограмом и будет оставаться таковым во все
время движения.
Положение всего тела можно задать положением двух его
точек.
Если положение тела мы будем определять центром
качания и одной из его круговых точек, то качание его на
гармонической волне представится нам как движение шатуна
вертикальной паровой машины, у которого крейцкопф
совпадает с центром качания, а шейка кривошипа,
вращающегося с угловой скоростью —г-, с круговой точкой.
Если же положение тела будем определять двумя его
круговыми точками, то движение его представится как движение
шатуна контрпараллелограма, подвижные шарниры которого
совпадают с круговыми точками, а неподвижные с центрами
их круговых траекторий.
Полагая в уравнении эллипса (56), который описывает
какая-нибудь точка (x't z'), х — х', мы найдем, что у всех
эллипсов полудиаметры, параллельные оси z', имеют одну и ту же
длину
z — z' = #sin f
и равны амплитуде центра качания. Если решим уравнение
диаметра
R0 (*' -r)(z- z') -+■ (R cos «p + #0x') О - *0 = 0, (66)
сопряженного с осью z, совместно с уравнением эллипса, мы
получим для координат конца диаметра:
(л:-*') = (*'-г) Я0, s~zf = (xf—p)R0 (67)

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 147
и затем для длины полудиаметра
§-ЗД (68)
где d есть расстояние центра эллипса (х', z') от центра кача-
ния (р, г). При помощи координат р, г мы представим
уравнение диаметра (66) в таком виде:
(У -р)(х — х') + (*' -r){z~ /) = 0. (69)
Из этого уравнения видно, что диаметр перпендикулярен
к прямой, соединяющей центр эллипса с центром качания К,
если оси x'Sz' совпадают с осями xOz.
Таким образом каждая точка плавающего тела,
качающегося яа гармонической волне, движется по эллипсу. Центр
его совпадает с положением точки при покое тела.
Вертикальная прямая и линия, перпендикулярная к прямой,
соединяющей центр эллипса с центром качания, образуют два
сопряженных диаметра. Длина первого диаметра у всех эллипсов
одна и та же и равна амплитуде центра качания. Длина
второго пропорциональна расстоянию центра эллипса от центра
качания, причем множитель пропорциональности равняется
амплитуде R0 угла в.
По этим свойствам можно легко построить траекторию
любой точки тела и весьма просто решить задачу: по
траекториям двух точек определить центр качания, найти его
амплитуду и амплитуду угла Ѳ, причем одна траектория
может быть задана произвольно, у другой же можно задать
произвольно только центр и направление диаметра,
сопряженного с вертикальной линией. Имея для двух эллипсов
диаметры, сопряженные с вертикальным направлением, мы
проводим через центры линии, к ним перпендикулярные, и
находим в точке их пересечения центр качания. Длина
вертикального диаметра данного эллипса определяет амплитуду центра
качания, R sin <р, а отношение длины сопряженного
полудиаметра к расстоянию центра эллипса от центра качания
равняется Ru-
Точки, находящиеся выше оси х", все будут двигаться
в одну сторону, противоположную той, в которую движутся
10*

148 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
точки, находящиеся ниже оси х". Действительно, вычисляя
удвоенную секториальную скорость точки (У, z')
= (r_3)_sin9_,
мы видим, что она меняет знак вместе с величиной г' — г,
которая положительна для точек ниже оси х" и отрицательна
для точек выше оси х".
Когда sin <р = О, то круговые точки и центр качания
совпадают с точкой
где двойной знак соответствует знаку cos о = гр lj и остаются
неподвижными. В этом случае траектории всех точек
сплющиваются в прямолинейные отрезки и тело совершает
вращательные колебания около неподвижного центра качания.
Плавающее тело превращается в физический маятник,
которому соответствует математический, эквивалентный
волне.
Чтобы характеризовать движение тела, мы пользовались
точками S, F, Кя"Сѵ С2. Но для той же цели могла бы
служить всякая другая пара точек. Таким образом мы можем
составить картину колебаний плавающего тела на
гармонической волне самыми разнообразными способами, которые
однако все, строго говоря, противоречат один другому и
находятся между собой в согласии только благодаря тому, что
мы ограничиваемся в своих вычислениях величинами первого
порядка малости. Возможно, что все эти картины одинаково
плохи, но возможно, что при более глубоком анализе или при
опытной поверке одна из ник окажется ближе к истине, чем
все остальные.
Положение центра качания зависит от длины волны. При
помощи формул (35) и (46) мы можем представить координаты
его (59) в функции параметра о:

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 119
r=-H+g^
PI 1 1
где для краткости положено
2W
ав\в,9 . <&
2*1
^Ѵ °а=ѵ * = ^'
(70)
Фиг. 11.
Возьмем систему координат xF$, начало которой
находится в точке F0, ось д направлена по оси z' вверх и ось х
параллельна и одинаково направлена с осью х' (фнг. 11).
Относительно этой системы координата х центра качания равна

150 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
р, а координата у его равняется длине эквивалентного волне
маятника
— ^ ^ g_
y~~g (2ад)3 — а" " «9*
и потому первое из уравнений (70) мы можем переписать
таким образом:
х=А^кр£и (7і)
или
где
&(x + A) + gl(c-2f)x-Ml+xf*™0, (72)
(73)
я 5ц Эа обозначают длины маятников, эквивалентных волнам
J.J И V
Так как все величины А, Ь, е, / не зависят от длины волны
К то уравнение (71) представляет собой уравнение кривой,
по которой будет перемещаться центр качания при изменения
длины волны. Исследуя эту кривую третьего порядка,
нетрудно убедиться, что ее асимптота
Х + А = 0; (74)
она вертикальна, находится всегда влево от оси § (г') и
пересекает кривую в точке с ординатой
Вся кривая расположена между двумя вертикальными
касательными, ординаты точек прикосновения их суть корни
квадратного уравнения
ф (2/_ Ь - с) - 2Ру,+ bf> =* 0,

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 151
которое получим, приравняв нулю производную -у-.
Уравнение этих касательных
с (с — 4/) *9 — 2 А (Ас — 2Й/+/3) х 4- АЧ* = О
получим, определяя те значения х, при которых корни
уравнения (72) делаются равными.
Сосью i/(z') кривая пересекается в двух точках .Fo (и = 0)
MFB 6 = 4 = 8,,).
В зависимости от значения 2/—А — с мы можем
различать три случая:
1. Если 2/—Ь — с > 0, то ордината у0 > О и оба корням
и г/й положительны.
2. Если 2/—6 — с = 0, то ордината #о=сэ, один из кор-
/ L й
ней Si обращается в бесконечность, а другой у3=-^ = Л,
3. Если 2/—6—с<0, то ордината ?0<0и корни г^и^,
разных знаков.
В нашей механическойзадаче^^-О, ипотому для нас имеет
значение только та часть кривой, которая расположена выше
точки F0 и проведена сплошной толстой чертой. По этой части
перемещается центр качания, когда меняется длина волны.
Начиная свое движение из точки FQ при X = 0, он проходит
при ^ = ^ через точку FB, переходя с правой стороны оси у
(zr) на левую, и затем, поднимаясь все выше и выше, уходит
в бесконечность при волне бесконечно длинной.
Мы видим теперь, какие изменения в характере движения
вносит отброшенный проф. Н- Е. Жуковским член.
1. Он изменяет значение двух коэфяциентов в диферен-
циальном уравнении для угла Ѳ, вследствие чего в
выражении амплитуды R0 угла Ѳ вынужденных колебаний появляется
множитель "f, зависящий от степени устойчивости.
2. Он меняет характер горизонтальных колебаний. Точки,
колебание .которых происходит по вертикальным прямым,
существуют только при гармонической волне, причем
положение точки F зависит от длины волны. При отбрасывании
рассматриваемого чдена центр тяжести тела всегда движется

152 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
по вертикальной прямой, точка F всегда совпадает с центром
тяжести, а центр качания при изменении длины волны
перемещается по прямой, параллельной ватерлинии и
проходящей через центр тяжести.
3. Добавление отброшенного члена не вносит никаких
изменений ни в вертикальные колебания, ни в найденный проф.
Н. Е. Жуковским динамический признак устойчивости.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г
ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА КАЧАЮЩЕЕСЯ НА ВОЛНАХ ТЕЛО
Формулы проф. Н. Е. Жуковского дают возможность
составить ясное представление о том давлении, которое
волнующаяся жидкость производит на плавающее на ее поверхности
тело.
Если из уравнения:
мы исключим при помощи уравнений
Ж Ѵ_2/^_/-?_^ = _(С + С), {62)
^По'+^в" = -/-Т + Ф —С + С (65>
величины и0' и С0', то для давления под плавающим телом мы.
получим формулу;
WV+* Ѵ^-Ч*-*1/-^)' »>
которая позволяет рассматривать разность р—р0> как состоя-.
щую из трех частей:
Первая часть зависит только от ускорения С0"
поступательного движения плавающего тела в вертикальном направления.
Изображая графически коэфициеит при ^", мы получаем
параболу:
(см. фиг. 12).

154 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Первая часть давления на все дно приводится к одной
вертикальной равнодействующей, равной площади параболы,
умноженной на С":
+ і
Ч> Р
"р.
'X'
2h
dx~3h
(4)
Вторая часть давления на дно зависит только от углового
■ускорения Ѳ". Кривую третьего порядка, изображающую коэфи-
у циент
пропорциональности (фиг, 13):
#2 = Р*
/а.
6Л
gffl
(5)
легко построить, умножая
соответствующие
ординаты параболы (3) на ^ ,
Равнодействующая
этого давления равна нулю, и
второе давление на все
дно приводится к паре,
момент которой равзн:
dx = —~ pW".
(6)
Первые два давления зависят таким образом от ускорений,
■я их можно отождествить, как увидим далее, с силами
инерции.
Что же касается третьей части, то ее можно рассматривать
как гидростатическое давление. Действительно, соединим
точки А л В, находящиеся на поверхности, волны спереди
и сзади плавающего тела, прямой линией и назовем эту
линию волновой, а плоскость, через нее проходящую и
перпендикулярную к плоскости чертежа,--—волновой плоскостью

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА
15S
(фиг. 13). Так как координаты точек А и Б в системе
координат xOz (см. приложение 1 и фиг. 19) суть
то уравнение волновой линии имеет вид:
2/ ' С'—С
или, если ограничимся малыми величинами первого порядка
V — С , С' + С
2 '
г = *-
2/
(7)
Разность, стоящая в скобках в формуле (2), представляет
собой, следовательно, расстояние по вертикальному направле-
Фиг. 13.
нию точки жидкости от волновой линии: давление
пропорционально этому расстоянию. Такому же закону следует давление,
которое испытывают передняя и задняя стенки тела, ибо,
положив в выражении (2) * = / и х = —1, мы получим формулы
(62,) и (63,)-
Чтобы определить полное гидростатическое давление на
все тело, мы поставим несколько более общую задачу:
определить давление на любое тело, погруженное в жидкость, пред-

156 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
полагая, что давление в каждой точке жидкости
пропорционально расстоянию точки до какой-либо (вообще наклонной)
плоскости:
г = ах -\- by -\~ с
(ось г вертикальна, направлена вниз), т. е. выражается
формулой:
p = g?(z — ax — bg — c).
Преобразовав интегралы, распространенные на поверхность
тела:
/ р cos (га, х) ds, I р cos (п, у) ds, і р cos (n, z) ds,
f p[gcas(n,z)—z cos (n, у)] ds, p[z cos (n,x) — x cos (n,z)] ds,
I p[xcos(n,y) —у cos (n, x)} ds,
где n — направление внутренней нормали, в объемные, мы
получим проекции давления на оси;
ag? V, bgp V, —gp V
и моменты относительно осей:
— (yJrbz)gpV, (az-{-x)gpV, (bx-ay)gpV,
где х, yr z — координаты центра тяжести вытесненного телом
объема жидкости и V — объем тела. Эти формулы приводят
нас к такому заключению.
Если давление жидкости в какой-либо точке
пропорционально расстоянию точки по вертикальному направлению от
некоторой горизонтальной или наклонной плоскости к,
причем множитель пропорциональности равен весу единицы объема
жидкости, то давление на погруженное в жидкость тело
приводится к одной силе, приложенной к центру тяжести
вытесненного телом объема. Направление этой силы перпендикулярно
к плоскости т, а проекция ее на вертикальную линию
равняется весу вытесненного телом объема жидкости.
Применим эту теорему к вычислению третьей части
давления на плавающее тело.
Обем вытесненной плавающим телом жидкости мы должны
считать ограниченным сверху волновой плоскостью; он будет
равен площади трапеции ABCD, умноженной на единицу.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОМ 157
Уравнение волновой линии в системе координат x'Sz':
'-w(¥-°)+^. <8>
которое мы получим из уравнения (7) при помощи^ формул
преобразования координат:
* = £0 + *'-г'Ѳ, г^С + С' + л'Ѳ,
дает нам полусумму параллельных сторон трапеции
затем объем вытесненной жидкости
2/(аЧ-С„-Ц^]
и, наконец, вертикальную составляющую Р давления, равную
весу вытесненной жидкости
/> = 2*р/(аЧЛ—Ц^-), (9)
Горизонтальную составляющую давления F получим, если
умножим вертикальную Р на тангенс угла нормали к волновой
линии с вертикальной осью г, т. е. на угловой коэфнциент
волновой линии (7) в системе координат xOz, и ограни-
2/
■чимся величинами первого порядка:
^(ѵ+^-Цг)с-^~*рА' К'-ч-
(Ю)
Силу F можно считать равной ее вертикальной
составляющей, т. е. весу вытесненной жидкости, ибо вследствие
малости угла между силой Fh вертикальной линией косинус этого
угла можно принять равным единице. Для того чтобы
определить момент силы F относительно центра тяжести тела
G, разделим объем вытесненной жидкости, проведя через точку
S (см. фиг. 13) линию, параллельную волновой линии, на две
части CDKL и KLAB и соответственно разложим силу F на

158 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
две параллельные F± и F%, равные весам этих объемов и
приложенные к их центрам тяжести:
F1 = 2g?lh', F^2gpl^0-
Первая из них пересечет ось z' в метацентре Е,
находящемся от центра тяжести тела G на расстоянии
где—Н есть координата z центра тяжести С Так как угол
между, осью z? и направлением силы F равен углу между
волновой линией и осью х' вследствие перпендикулярности
соответствующих сторон этих углов, то тангенс угла между
осью г' и направлением силы FL будет равен угловому коэфи-
циенту волновой линии в системе координат x'Sz' (8):
V '
тг-ѳ-
Вследствие малости этого угла плечом силы Fl по
отношению к центру тяжести будет
/U — I
11
и ее моментом
Ѳ
2^Л'в(4г-0)- (11)
Моментом же второй составляющей, силы ¥ъ, мы можем
пренебречь, ибо как сама сила, так и ее плечо будут малыми
величинами первого порядка, а момент—второго порядка.
Соединяя все три давления, мы получим по формулам (4),
(9), (10), (11) и (6) для полного давления на плавающее тело
проекции на горизонтальную и вертикальную оси
и момент относительно центра тяжести тела

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА
159
Присоединяя к давлению силу тяжести, равную весу тела.
2gp!h', на основании наконов количеств и моментов количеств
движения получим диференциальные уравнения движения тела
в следующем виде:
Первое и второе давления, зависящие от ускорений, мы
можем отождествить с силами инерции. Перенеся во 2-м н
в 3-м уравнениях первые члены вторых частей в левую сторону
и соединяя их с левыми частями, мы можем считать, что'
результатом первого давления является увеличение массы
плавающего тела в вертикальном направления на величину
-т.-,-, а результатом второго давления — увеличение момента.
инерции тела на величину 7F7- После такого преобразования.
во вторых частях диференциального уравнения останутся
только проекции и момент гидростатического давления.
Таким образом, если мы присоединим к массе плавающего
тела для вертикального направления массу тйт « к моменту
инерции тела относительно горизонтальной оси, проходящей
через центр тяжести тела, момент дтт( то качание тела на
волнах можно рассматривать так, как будто бы давление
волнующейся жидкости сводится только К гидростатическому
давлению, которое имеет одну равнодействующую,
перпендикулярную к волновой поверхности, приложенную кцентру
тяжести вытесненного плавающим телом объема жидкости.
и имеющую вертикальную составляющую, равную весу
вытесненной жидкости.
(12)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
О МАЛЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ПЛОСКОСТИ
Естественно ожидать, что вынужденные колебания твердого
тела под действием периодической гармонической силы, будут
также гармоническими. Мы займемся поэтому изучением
кинематических свойств малых гармонических колебаний
независимо от динамических условий задачи, причем рассмотрим
только колебания, параллельные плоскости.
Возьмем ва движущейся плоскости оси х'О'у' и на
неподвижной— оси хОу; пусть £0, т]0 суть координаты подвижного
начала О' относительно неподвижных осей и Ѳ—угол между
осями х и х'. Мы рассмотрим малые гармонические колеба-
шия плоскости х'Оу', т. е. предположим, во-первых, что %0, і\0,
Ѳ суть гармонические функция времени одного и того же
периода:
І0 = a sin (<t>t + к), %=b sin («rt+&i)t 1 ,..
где амплитуды а, Ь, Ѳ0, фазы к, k„ k0 и период
Г= —
Н)
суть данные постоянные величины, и, во-вторых, что а, Ь, Ѳ„
суть величины малые, квадратами и произведениями которых
можно пренебречь.
Формулы (25) приложения 1, определяющие колебания
. плавающего тела, представляют собой частный случаи формул
(1), когда фазы Ѳ и £о равны между собой.
Координаты (х, у) относительно неподвижных осей какой-
либо точки М движущейся плоскости будут выражаться через

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬННКОВА 161
координаты (х', д') той же точки относительно подвижных
осей формулами преобразования координат
3 = '%-\-y,Jrx'®
(2)
которые получим из формул аналитической геометрии, заменив
в них, вследствие малости угла В, соаѲ через 1 и sin Ѳ
через Ѳ.
Подставляя в эти формулы вместо %,, т1о их выражения (1),
мы получаем:
или
х = xf -\-а sin(<at^- к) — д'@0віт\(&і-{-ко),
х = х' -J- (a cos к —g'^h cos ка') sin u>f -j-
-j-(a sin к—^'Ѳо sin ко) cos <*Ч,
V — у' -\-{b соѣкх + x'@ucosk^) sinoi^-J-
-|-(6siiii1-j-^'^os'n^o)coSCU'
(3)
(4)
уравнение движения точки M (х', у,у) подвижной плоскости.
Мы рассмотрим сначала, не существует ли на подвижной
плоскости такой точки М (х1 у'), колебания которой
происходят по прямой линии
Ах-\-Вд + С = 0; (5)
Координаты х, у такой точки должны удовлетворять
уравнению прямой при всяком значении і; поэтому, если мы
подставим выражения (4) для л: и if в уравнение прямой (5), то
в полученном уравнении коэфициенты при sin ®t, cos u>t и член>
не зависящий от времени, все должны обратиться в нуль,
и мы будем иметь для определения четырех неизвестных:
координат х', у' точки М и отношений величин А, В, С только
три уравнения:
А (я cos к—д'Ѳ0 cos к0) -{-Б(Ь cos к\ -\- д/Ѳ0 cos к0) = 0, ]
А(азіак — y'%smke) -\-B (Asin kt -f л'ѲовІпі0) =0, 1(6)
Ах'+Вд'+С = 0> )
Существует поэтому бесчисленное множество точек,
колебания которых будут прямолинейными.
Зіщ. № J70S, Н. J5. Жуксиотиіі. Том ЗУ. 11

162 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Иа первых двух уравнений мы получим одно и то же
отношение:
В ___ acosk—j/'BqCOS&q a sin к — ff'eosin&Q
А Ъ cos kx -f- лг'0о cos ка Ъ sin ку -р *'Ѳ0 si» £0'
(7)
если
а cosk—y'B0 cos t0, 6 соя^-р-х'Ѳо cos k0
а sin к — г/'Ѳ0 sin £0, Ь sin &х -f- УѲ0 sin кй
= аб sin (к — fc:) + aB0jt' sin (к — к0) -\-
+ &eoS'sin(u, — frB) = 0, (8)
т. е, если точка Л/ (*', у') будет лежать на прямой,
определяемой последним уравнением (8). При соблюдении этого
условия отношение —г ве будет зависеть от х' и у''.
Действительно, умножая числитель и знаменатель первого отношения
(7) на sin ка, а второго на cos к0, по свойству сложной
пропорции имеем:
^ — __ Qsin(fc—*о) /0,
Л 6віп(&, —£0)' W
и мы можем положить:
v4 = 6sin(&j — ка), 5=— asm(i — Ло). (10)
Вектор, проекции которого на неподвижные оси равны
asm(k — kli)= —Б, Ьsin (кг — h) = А, (11)
мы будем обозначать буквой Su.
Зная А и В, коэфициент С определяем иа уравнения (6),
и уравнение прямой (5), по которой будет двигаться точка
М {х\ у'), лежащая на прямой (8), приводим к виду:
*яіп(А[ —^(*—У) —ввіп(А —Ль)&—$') = 0. (12)
Направление этой прямой не зависит от положения точки
М (■*'> У') на прямой (8); она параллельна вектору В0, и когда
оси х'О'у' делаются параллельными с осями хОу, то прямая
(8) движущейся плоскости становится к ней перпендикулярной.
При заданном гармоническом движении это случится в тот
момент, когда Ѳ = 0 и
«*= ■— Ѵі-птс. О-3)
где п — целое число.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 163
Таким образом все точки подвижной плоскости,
расположенные на прямой (8) (назовем ату прямую центральной),
будут колебаться по прямым (12), параллельным вектору й0
и перпендикулярным к положению центральной прямой в
моменты (13). .
Определим далее амплитуды колебаний точек центральной
прямой (8).
Из пропорций (7) для точки х', у' центральной прямой мы
получаем:
a cosk—-y'00coskQ = — -^{bcoski -j--r'0ocos&o),
a sin к — У^о sin kQ = — -М} sin kt -\- x'QB sin k0),
(14)
a затем при помощи этих формул преобразуем уравнения (4)
в следующие:
х — х' = — ~2 [(5 cos k} -f- лг'Ѳ0 cos к0) sin otf -j-
-j- (A sin к, -J- #'Ѳ0зіп >o) cos «if] ,>
у — у' = (Ь cos & -J- *'во cos ^o) s'n ^ "*~
-f (6 sin к + л'Ѳ„ sin k0) cos «rf.
Положив:
AR cos<* = b cos ki~^-x'Qc cos кѵ,\
AR sin « = b sin ^ -j- *'Ѳ0 sin k0, ) '13J
или, что все равно (в силу уравнения 7):
BR cos а = ■— a cos к + г/'Ѳа cos £„,
BR sin а =* — asinA:-|-J?'eos!n^0,
(16)
уравнения (4) можем написать в более простом виде:
*==*'.—аЯsin(**-f<*), у =#' + -<4Каш (»/+«). (17)
Из этих уравнений видно, что точка подвижной плоскости
М (х', у'), лежащая на центральной прямой, будет колебаться
около точки х~х', у—у' неподвижной плоскости
прямолинейно, причем амплитуда колебаний будет равна:
И*

164 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
где R определится или из уравнений (15) или из уравнений
(16):
АЖ* = Ь* + Ѳ0Ѵ« -f-.26B0*' cos (А, - U 1,
5a^a=ae + e0Vfl — 2ae0y'cos^ — к0). / ^
Наименьшее значение R?, а следовательно, и наименьшую
амплитуду будет иметь точка К, координаты которой:
V = — и" cos (кг — к0), y0r = р~ cos (4 — £„) (20)
"о 'о
удов летв о ряю т ур ав нения м:
Нетрудно убедиться подстановкой координат (20) в
уравнение (8), что точка X" лежит на центральной прямой. Точку
К будем называть центральной. Для нее по формулам (15)
(18) и (19) имеем:
A*R* = b*enfi(kl—kJ, B*№=~a*sin*(k — ка),
квадрат амплитуды
V = Л5 -^В* = Ь* sin3 (А, — k0) + я9 sin (к—к») (21)
и фазу
7 _]_ "
« = А0 ±: ц ,
2
где знаки — соответствуют знакам в равенстве А? = :±:1.
Какой бы знак для R мы ни ваяли, уравнения (17) для
точки К имеют вид:
х =» V — В cos (erf 4- К), У = и/ + Л cos («* + *о). (22)
Сравнивая амплитуду колебания точки /Г (21) с проекциями
вектора й0 (18), мы приходим к такому заключению.
Наименьшую амплитуду колебаний имеет центральная
точка К, координаты которой по отношению к подвижным
осям определяются формулами (20). Те же формулы (20)
определяют относительно неподвижных осей координаты точки К0,
около которой колеблется точка К. Колебания точки К
происходят параллельно вектору S0, амплитуда их равна В0, а фаза
-. т:
отличается от фазы t) на ^.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 165
Формулу (18) для амплитуды колебаний какой-либо другой
точки М (х1, у') центральной прямой, находящейся от точки К
на расстоянии т^=МК, мы можем представить в другом виде:
уЛч^я^і/Ѵ+ѳТл (23)
если предварительно преобразуем формулы (19) таким
образом:
A*R* = 6s sin* (k, — ka) + (b cos (*, — k0) + Ѳ0 ху
B*№ = aa-sin*-(k —/Q + {aeos (k — к0)~%уУ
и затем no формулам (20) заменим Ь соя (k^ —&0) и а сой (к — к0)
через — в0л-'0 и Ѳ0і/0'. Амплитуда равняется гипотенузе
прямоугольного треугольника с
катетами §0 и Ѳ0г.
Чтобы построить точки К и
К0, займемся сначала изучением
траектории начала О' подвижной
системы; радиус-вектор ОО',
проведенный к точке О' из
неподвижного начала, обозначим буквой 3,
Точка О' (%о, '%} описывает,
как . показывают формулы (1),
эллипс Е0, центр которого
находится в начале О неподвижной
системы. Построение этого
эллипса (фнг. 14) не представляет
труда. Построим два вектора, един а, образующий
с осью х угол -ту —к и имеющий длину, равную а, и
другой Ь, образующий с осью у угол -х к.! и имеющий длину,
равную Ь. Если оба втих вектора повернем на угол — ш£ в
положительном направлении (от оси х к оси у), т. е. на угол «f
в сторону вращения часовой стрелки, то проекция первого
на ось х будет £0 —д cos (■=■ — к—<аі) = a sin (<at-\-к), а
проекция второго на ось у будет %=Ь cos (-„- — ку — ю£ I =
= Ь sin («rt-j-^i)» и потому прямая /, проведенная через конец век-
Іиг. 14

1G6 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
тора а, параллельная оси д, и прямая т, проведенная через
конец вектора Ь, параллельная оси х, пересекутся в точке О',
в которую прядет подвижное начало в момент (. Таким
образом, когда мы будем вращать треугольник, образованный
векторами а и 6, не изменяя угла между ними, вокруг точки О
равномерно с угловой скоростью и в сторону движения
часовой стрелки, то точка пересечения прямых /и т, проведенных
через концы этих векторов и параллельных осям у и х, будет
всегда совпадать с подвижным началом О' и опишет
траекторию этой точки, эллипс Е0.
Направление движения точки О' по ее траектории
определится знаком ее удвоенной векториальной скорости:
W — ''ІоѴ = «6«і sin (к — £J.
Если к — kt > 0 и угол между векторами а и Ь тупой, то
точка О'будет двигаться против часовой стрелки; если к—kt < О
.и угол между векторами а и Ь острый, то—в сторону движения
часовой стрелки.
Вектор S0 (И) представляет собой радиус-вектор точки О'
в момент о)(= —-kfy. Его мы, следовательно, построим, если
векторы а и Ь повернем на угол к0 против часовой стрелки
в положение аа, Ь0 (фиг. 15) и определим точку пересечения
прямых I и 7ті; эта точка и будет концом вектора S0.
Нетрудно также построить и вектор Ь1
a cos {к — ка), Ъ cos (ks — &0), (24)
нбо его проекции суть координаты точки О' в момент ш/ =
— — к0-^--п: повернем векторы а0, Ьа на прямой угол по
часовой стрелке в положение Ищ ^оп точки пересечения
прямых I и т будет концом вектора S, (фиг. 16).
Докажем теперь, что два радиуса-вектора точки О',
соответствующие двум моментам, отличающимся на четверть пе-
риода„~, лежат на сопряженных диаметрах эллипса.
Действительно, скорость точки О' в момент t
Е0' = «оі cos (<■>*+£), Ѵ = і<в cosfW-j-^) (25)
по свойству эллипса параллельна диаметру, сопряженному с
радиусом-вектором Ь = 00', соответствующим тому же моменту,

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 167
ибо скорость имеет направление касательной, а касательная
в точке О' (фиг. 16) параллельна сопряженному с 00'
диаметру. Но, представив проекции скорости таким образом:
E„' = a<osinUf-)-/£ + ^-j, ■>]0' = Ь<йsinЫі-І-кі +у),
мы видим, что они пропорциональны проекциям вектора 3 ,
«оответствутощѳго моменту t'-\-yr-; следовательно, вектор 8'
будет лежать на диаметре, сопряженном с вектором й.
Из этого свойства вектора 3 = 00' следует, что построен-
Фвг. 15. Фиг. 16.
ные нами векторы 30 и 5„ соответствующие моментам ш/ =
== — к0 и Ы — — ко + -я, образуют два сопряженных полудиа-
метра эллипса Е(І.
При помощи вектора \ легко построить как центральную -
точку К, так и точку К0, около которой она колеблется. Из
формул (20) для координат точки Ко видно, что
направление ОК0 мы получим, если вектор Sj (24) повернем против
часовой стрелки на 90" в положение Ва (фиг. 15). Расстояние же
ОЛГ0=^Ѵ6«со^(*о —ЛО+в5"008'^ —А)
или
ok0~w\\
п0
где t Зх |= [ Ва I обозначает длину векторов 6t и V

168 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Таким образом (фиг. 17) прямая ОК0 идет по направлению
вектора 89, перпендикулярного к полудиаметру 8j,
сопряженному с вектором Зц, и расстояние Ол0 связано с длиной по-
лудиаметра Sj простым соотношением
Зная положение точки Ка на неподвижной плоскости,
построим и центральную точку К- на плоскости движущейся,
Фиг. 17.
ибо координаты этик точек, по отношению к осям
неподвижным для первой и осям подвижным для второй, одинаковы.
Обратим внимание на то, что вектор 32 можно построить
без помощи вектора 8,. В самом деле, если мы вместе с
вектором 8, повернем на прямой угол против часовой стрелки
всю' фигуру, образованную векторами я01, 601, Sj и прямыми
/ и т, то векторы Ьіг аш, Ь01 совпадут соответственно с ва,
«о, 60, а прямые I в т займут положение Іг и тѵ Чтобы
построить вектор Вв, надо, следовательно, через конец вектора
а0 провести прямую /,, параллельную оси х, и через конец
вектора Л0 — прямую ти параллельную оси у: точка их
пересечения и будет концом вектора 32, При построении векторов

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА- 169-
й0 и йа мы будем иметь, таким образом, фигуру (фиг. 18).
более простую, чем фиг. 15.
Из уравнений (4) движения точки М (х', у') подвижной
плоскости видно, что всякая точка, не лежащая на
центральной прямой, описывает эллипс. Е, центр которого (фиг. 17)
находится в точке, имеющей относительно неподвижных осей'
те же координаты х', д', какие точка М имеет относительно
подвижных. Проекции радиуса-
вектора р=ОтМ, проведенного
из центра эллипса к точке М,
на неподвижные оси, равны:
х~х', д—д'.
Фиг. 18..
-кц радиус-векгор-
В момент ті^= ~—к0 радиус-
вектор р имеет проекции:
х — х' = a sin (к — ка),
y — y' = bsm (kx — к0),
не зависящие, от координат х'
и д', равные проекциям вектора
S0 (И); следовательно, в момент atf =
точки М р0 = 30, где бы точку М на подвижной плоскости мы
ни взяли. Б момент ш/= —£0-|-~через промежуток времени^.
равный :/.| периода, вектор р = р± будет иметь проекций:.
х — х' — a cos (к — 1<о) — д'%,
g — y' = bcos (kL — к0) -j- х'Ѳ0
или на основании формул (20):
(26)
векторы р0 и pt лежат на сопряженных диаметрах эллипса Е,
в чем нетрудно убедиться, показав, что скорость точки ЛГ
в момент ">f= —к0 параллельна вектору p-j..

170 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
Из формул (26) видно, что вектор Рі перпендикулярен
к прямой ОтК0 и что длина его
I Р, І = Ѳ0У (Хо'-х'^-].(ра'-УГ (27)
или
| Рі | = Ѳ0 ■ ОЯІК0.
Таким ;бразом все точки плоскости, не лежащие на
центральной прямой, описывают эллипсы. У всех эллипсов полу-
Фиг. 19.
диаметр, параллельный вектору 30і равняется атому вектору,
а полудиаметр, сопряженный с направлением В0,
перпендикулярен к прямой, соединяющей центр эллипса с точкой К0,
и пропорционален расстоянию O„JC0 центра эллипса от точки Kqi
причем множителем пропорциональности служит амплитуда
Ѳ0 угла Ѳ.
Обратим внимание на одно следствие, вытекающее из этой
теореііы.
Проведем ка неподвижной плоскости через точку К0
прямую, параллельную вектору 80 (фиг. 19), и через центральную
точку ЛГ на движущейся плоскости прямую, перпендикулярную

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. Аг П. КОТЕЛЬНИКОВА 171
к центральной линии, В момент ®t= —k0-\-n^ эти линии
совпадают, и если мы в обе стороны от точки К0 по первой
линии отложим равные отрезки К,}С и КцС^ (фиг. 17), а от
точки К—ао второй линии такие же по величине отрезки KN
я KNlt то координаты точек N и WL относительно подвижных
осей будут такие же, как и координаты точек С а Су
относительно неподвижных. Поэтому точки N и Л^ будут
описывать одинаковые эллипсы, центры которых будут находиться
в точках С и С[. Рассмотрим один из этих эллипсов,
например, описанный точкой N. Полудиаметр его Ро, лежащий на
прямой К0С, будет равен Ь0, а диаметр сопряженный pt =
=Ѳа ■ К0С, причем второй полудиаметр будет перпендикулярен
к линии К0С, а следовательно, и полудиаметру первому:
полудиаметры Ро = 8„ и Рі будут полуосями эллипса. Такие же
полуоси будет иметь к эллипс, описанный точкой TV,. Если
мы расстояния КаС = К!)С1 = KaN = KaN^ возьмем так, чтобы
IP, l^fVKoCH Ь0\, (28)
то эллипсы, описанные точками N и Nlt обратятся в
окружности.
Итак, всегда на подвижной плоскости существуют две точка
N и JV, движущиеся равномерно по окружностям радиуса 80,
Эти .точки лежат на прямой, перпендикулярной к центральной
прямой и проведенной через центральную точку К на равных
расстояниях
4М (29)
"о
от нее, а центры этих окружностей на прямой, проведенной
через точку Кц параллельно вектору 30 на тех же расстояниях
от К0.
Если мы кз конца вектора'^, который обозначим буквой*,
проведем векторы 60 и —S0 и концы этих последних обозначим
через с и clt то вследствие параллельности вектора S0 с
прямой СК^Су и равенств (фиг. 17]
[ й0 І=.Ѳо-АГоС=Ѳ0./Г0Сі! |52( = Ѳ0.КоО
фигура СКСуО будет подобна фигуре ckcfi н может быть

172 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
получена из этой последней умножением из центра О на
■L
«V
Таким образом, чтобы по данным амплитудам а, Ъ, Ѳ0
и фазам к, къ ка построить точки С, Сѵ Ко (фиг. 18), мы
строим сначала векторы oq и Ьа, по длине равные а и Ь, так,
чтобы вектор «о составлял с осью х угол -^—^-f-^o, а
вектор 6о —с осью і/ угол-^- — &і4-&оі и проводим через концы
их прямые /[ и 77і, параллельные оси х, и прямые / и mlf
параллельные оси г/..Прямые / и т пересекутся в конце
вектора 30, прямые lL и т^ — в конце вектора й2. Через конец
вектора 83 (точка &) проводим векторы 80 и —30 (концы их:
точки с и С;). Умножив фигуру скс из центра О на?;-, по-
лучим точки С,Кц,Сѵ
Движение плоскости определяется движением двух ее
точек. Если за эти две точки мы возьмем точку К, колеблющуюся
прямолинейно, и точку Л/, движущуюся по окружности, то
гармонические колебания плоскости представятся как
колебания шатуна паровой машины, крейцкопф которой находится
в точке К, а палец кривошипа в точке N, причем кривошип
вращается равномерно с угловой скоростью ш.
Вместо точки N можно было бы взять точку Nt и за
шатун принять прямую KNV
Если же за точки, определяющие движение плоскости,
взять точки N и JVj, то колебания плоскости представятся
как колебания шатуна контрпараллелограма CNN^C,,
кривошипы которого СЛ/ и CjiV, вращаются равномерно с угловой
скоростью <о в противоположные стороны (фиг. 17 и 19).
Характеризовать гармонические колебания плоскости можно
еще иначе, определив подвижную и неподвижную полодии.
Диференцируя уравнения (4) и приравнивая нулю
производные, мы имеем уравнения:
(acosk — t/'BgCOS&o) cose>t--(asink~i//(-)()sm ka)s'm іаі^О, ]
(bcosk1+x'®0 cos k0) cos e»f—(A ain /ц+х'% sin k0) sin at— 0, ) ^

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОФ. А. П. КОТЕЛЬНИКОВА 173
которыми определяется положение (x't j/) мгновенного центра
на движущейся плоскости. Исключив из них время, мы
получим уравнение подвижной полодии, тождественное с
уравнением (8). Таким образом центральная линия служит
подвижной полодией.
Чтобы упростить определение неподвижной полодии, мы
изменим оси координат (фиг. 19): перенесем начало
неподвижной системы в точку Ка и за направление оси у возьмем
направление вектора \, начало подвижной системы перенесем
в центральную точку К и за ось х' возьмем центральную
линию. Тогда уравнения (22) колебания точки К будут:
^о — °. Ъ ~ 3о cos W + h)
и уравнения движения точки М(х', д') примут вид!
. х = У —#' Ѳ„ sin (<at -Ь £0),
ya-y-j-^cos(erf+Ao) + yft03m(arf-f*e),
и вместо уравнений (30) мы будем иметь уравнения:
/eocos(^ + t0)-0f
из которых найдем координаты мгновенного центра:
y-^t2(«* + U ^ = 0. (32)
Последнее уравнение снова показывает, что центральная
линия, которая теперь служит осью х', будет подвижной
полодией. Если же значения х' и д' подставим в уравнения (31),
то получим координаты мгновенного центра на неподвижной
плоскости:
(31)

174 ДЕЙСТВИЕ ВОЛНУЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
и затем, исключив из
пения неподвижной полодии:
или
этих уравнении
лодии:
&-\*+%*А
время, получим урав-
(33)
Она представляет собой гиперболу, у которой центр
находится в точке Ка, действительной полуосью служит вектор &0,
и угол между асимптотами равен 2Ѳ0,
Таким образом мы можем воспроизвести гармонические
колебания плоскости, заставив центральную прямую катиться
по гиперболе (33),
Сравнивая уравнение, гиперболы с формулой (23), мы
видим, чго ординаты гиперболы равны амплитудам колебаний точек
центральной прямой: точки центральной прямое будут
колебаться по прямым, параллельным действительной оси
гиперболы между ее ветвями.

THE EFFECT OF WA VES IN A LIQUID OF SMALL DEPTH ON BODIES
FLOATING ON ITS SURFACE
The present work has formed the subject of two
communications by Prof. Joukovsky to the Moscow Mathematical Society
and to the Polytechnieal Society, and was compiled from two
unfinished manuscripts, the bulk of which contained only
calculations.
Thfi two-dimensional problem of Hydrodynamics, treated by
Prof. Joukovsky, is to determine the pressure experienced by
a body floating on the surface of a liquid in wave motion, hence
to form and to investigate the differential equation of the
oscillatory motion of the body. In solving this problem Prof. Joukovsky
first recalls the derivation of the differential equation of wave-
motion in a liquid of small depth (§ 1), then considers various
cases of motion of a floating body in the form of a rectangular
parallelepiped washed by a wave moving from left to right. The-
wave is partly reflected from the body, and partly passes beneath.
the body to its right-hand side.
In §§ 2 and 3 is considered the case when the floating body
is held stationary. The mean lateral pressure produced by the
wave is equal to four times the mean potential energy of the
wavecorrespondingtothe unit area of the bottom (19). The general
formulae obtained (17), (18) and (19) are then applied to a
harmonic wave (21), (22), (23),
Beginning with § 4 are considered the cases when the floating
body does not remain stationary. It is assumed that when the
body is oscillating on a wave the coordinates determining the
position of the body, viz., Su, 0) — the coordinates of the point
S, and the angle Ѳ of the body with the horizontal (Figs. 3 and 9)
remain small quantities,, the squares and the products of which
may be neglected. By vertical sections Л and В (Figs. 3 and 9)

176
SUMMARY
the liquid is divided into three portions: one to the left of the
body — the portion from which the waves move, one beiow the
body, and one to the right of the body.
The differentia] equations of motion of the liquid remain the
same for all the three portions (11), but the boundary conditions
are different: in the left-hand portion and in the right-hand portion
the pressure on the surface of the liquid must be constant, and
below the body the surface of the liquid must coincide with the
surface of the bottom of the body. The difference in the boundary
conditions brings about a difference in the integrals of the
equations: for the left-hand portion there are obtained the
integrals (10'), (12') and (5), for the right-hand portion — (16) and (5),
and for that below the body — (58), (59J and (60). In these
formulae С and £', are the C-coor'dinates of a point on the surface
of the liquid, /i = the depth of the liquid, /i'=the depth of
immersion of the body, /, <p, i are correspondingly the ordinate
of the oncoming wave, of the reflected wave, and of the wave
that has passed to the right-hand side of the body, щ and С are
arbitrary functions of time introduced in integrating the differential
equations. The arbitrary functions are determined by the condition
that at sections A and B, i. e. on the boundaries of the individual
portions of the liquid, the velocity and the pressure p must be
continuous. By comparing the values of a and p to the left and
to the right of the sections A and В equations (68) and (69), are
obtained, where 11 denotes the length of the body in the direction
•of the wave propagation.
Equations (62), (63) and (68) connect the functions <p, <!> and
u0 with the function / characterizing the oncoming wave, and
with the coordinates C0 and в of the body. Equation (69) gives
the pressure at various points of the bottom of the body. Given
the functions £0, Ѳ and /, from equations (62), (63) and (68)
there can be determined the functions ••» and % i. e. the body
oscillating in a given manner on a given wave generates waves
of a definite kind.
Formulae (5) and (69) make it possible to calculate the
pressure produced on a floating body by a liquid in wave motion,
and to form the differentia! equation of .motion of the body. By
■applying the momentum theorem to the vertical direction, and

SUMMARY
177
the theorem of the moment of momentum, Prof. Joukovsky
obtains two differential equations with constant coefficients: one
of the second order (72) and the other of the third order (86).
These equations are particular in that the variables Cq and Ѳ are
separated, so that equation (72) contains only C„, and equation
■(86) only в, hence the vertical oscillations of the body are
Independent on the rotational oscillations.
The derivation of the fundamental equations (62), (63), (68)
and (69) of. Prof, joukovsky is given- in § 4 and 7, and the
derivation of equations (72) and (86) in § 8 and Ц. In § 5
and 6 is discussed the derivation of the same equations for
two particular cases: 1) when the body is oscillating in a vertical
direction and has no rotation (Fig. 4), and 2) when the body
lias only a rotational motion about the point S.
In § 9 and 10 is given a discussion on the integral of the
differential equation (72), i. e. there are considered the vertical
oscillations of the floating body-—free oscillations in § 9 and
forced in § 10, The quadratic characteristic equation for equation
(72) has always imaginary roots with a negative real part, hence
the free oscillations of the body will be always damped. The
forced oscillations of the body on a harmonic wave will also be
harmonic, and their amplitude will always he finite, hence the
body will always be stable as regards to vertical oscillations.
Yet for certain values of the Wave length /- the amplitude of the
vertical oscillations can become greater that the amplitude of
the wave. Such waves are termed by Prof. Joukovsky as
„dangerous waves". For a long body (ft > 6hk') there are no
dangerous waves. For a body for which Iй < 6hh' all waves of
-a length *■ > \, (81') are dangerous, the most dangerous
(producing the maximum amplitude) being the waves of a length of
]/ 2 ■ X0. As the wave length increases, X tending to infinity, the
amplitude of the vertical oscillations approaches that of the waves.
In § 12 and 13 the integrals of the differential equation (86)
are investigated, i. e. are considered the rotational oscillations
(angle B) about the centre of gravity, both free (§ 12) and forced.
The characteristic equation for equation (86) is of the third
degree and has always one negative root; the other two roots
can be both complex with negative real parts, or both real, in
Злк, Jii ДТШ). H. E, Жукаоотгвйг. Тон IV
12

278
SUMMARY
which case one will be positive, or both equal to zero, depending
/a
on whether ■=-—Hh' is greater or less, or equal to zero, H
denoting the distance of the centre of gravity of the body from
the centre of gravity of the displaced liquid. The body will be
stable in the first of the above cases only, hence, taking into
account the effect of the waves generated by the body, there
is obtained the same necessary and sufficient condition of stability
P > 3 Hh' which is derived from considerations of hydrostatics.
Forced oscillations of the body on a harmonic wave will also
be harmonic and of the same period as the wave. The amplitude
increases from zero (for *■ = ()), attains a maximum for a certain
wave, then diminishes and becomes again equal to zero when
X = oo.
As it may be seen from Note 1, the investigation of the
amplitude of the angle Ѳ in the original manuscript was left
unfinished.
In Note 2 it is shown that Prof. Joukovsky's analysis can be
extended to the case of waves coming both from the right and
from the left of the body. In such.case instead of equations (72)
and (86) equations (104) and (106) are obtained by the aid of
which it is possible to analyze the oscillations of the body on
a standing wave.
In Note 3 it is pointed out that in equation (82) the letter
H denotes the distance of the centre of gravity of the body
from the centre of gravity of the displaced liquid and not from,
the water line.
In Appendix 1 is discussed the question of horizontal
oscillations of the centre of gravity of a floating body. In Prof.
Joukovsky's manuscripts this question is not discussed, and it
can be shown that no such oscillations wili be produced, i. e.
that the centre of gravity will oscillate in a vertical direction
only, if there, are considered only the terms retained in the
moments equation by Prof. Joukovsky. In fact, for the horizontal
pressure produced on the body by the liquid the expression
gphW-Q (A)
is obtained and the expression obtained by Prof. Joukovsky

SUMMARY
179
in calculating tbe pressure moment about the centre of gravity is
2Hlgph'Q~Hgph'(Z' — Q. (83)
The second term in this expression is of the same order of
magnitude as the horizontal pressure (A). Prof. Joukovsky
ignores the second term and retains in the equation of moments the
first term only. But in such case the horizontal pressure
produced by the liquid can also be igflored, hence there will be по>
horizontal oscillations of the centre of gravity.
But, as it was pointed out by Prof. S. A. Chaplygin, both
terms in expression (83) § 11 are of the same order of magnitude,
and if we retain the first term then we must retain the second
term also. Hence the horizontal pressure (A) cannot be taken
equal to zero, and the centre of gravity will have horizontal
oscillations.
The possibility of horizontal oscillations does not affect the
fundamental equations (62), (63) and (69) § 7. Equation (72)
§ 8 for the vertical oscillations also retains its original form,
and § 9 and 10 remain unchanged- Equation of moments (84)
§ 11 takes the form. (10) owing to the introduction of the second
term (83) § 11, and instead of equation (86) § 11, for the angle
Ѳ, after transformations, the equation (12) is obtained, differing
from that given by Prof, joukovsky by the coefficients of ■> 3 ■■■
and f. Yet the change of coefficients does not affect the
character of the rotational oscillations, and the results stated in § 12
and 13 remain essentially unchanged.
Applying the momentum theorem to the horizontal direction
and taking into account the pressure (A) the differential equation
(19) isobtamed, which shows that the horizontal oscillations are
independent on the vertical oscillations, but are connected with
the rotational oscillations. Hence for a stable equilibrium of the
floating body (P > SHk') free oscillations will be damped, and
forced oscillations on a harmonic wave will be harmonic and of
the same period as the wave.
From the above discussion there follows that when the
conditions of stability (/ 2> 3JHh') is fulfilled all free oscillations will
12*

130
SUMMARY
be damped oscillations and after a certain interval of time will
die away. Forced oscillations on a harmonic wave will also be
harmonic. All the three coordinates E0, Co and H of the floating body
will be of the same period; the phase of 50 will be equal to that of
Ѳ, but the phase of '0 will in general be different. Depending
on the dimensions of the body, the phase difference & of C0 and
Ѳ is either never reduced to zero, whatever the wave length 'k,
or is reduced to zero for only one or only two definite wave
lengths; but there always exists a wave for which the phase
difference r-? = 90°,
The amplitudes of the coordinates ій, С,), ваге all proportional
to the wave length, the amplitude of the ^—coordinate being equal
to rR0, where /?0-amplitude of the angle ft, and r is given by
formula (23) or (46) and depends both on the dimensions of the
body and on the wave length,'.. The value of r can be expressed
as the difference
■in which the length r0 depends on the dimensions of the body
only and
depends on the length of the wave only (a is the velocity of
propagation of the wave; 3 is the length of a mathematical
pendulum the time of oscillation of which is equal to that of the wave).
A point F on the body lying in the same vertical line with
the centre of gravity of the body and having the coordinate
j=f=i'o — 3 executes harmonic oscillations in a vertical line.
Other points on the body lying on a horizontal through F also
move in vertical lines. All these points have different amplitudes
of oscillation, and one of them will have the least amplitude.
This point К is termed the centre of oscillation.
The position of the point J5* on the vertical through the centre
of gravity is changed with a change of wave length, as it is seen
From formuia (46). The lowest position of the point F, F0
corresponds to the wave length X —0. With an increase of the wave
length the point Fis raised, the distance FF0 being equal to 3,
i. e. to the length of the equivalent mathematical penduJum.

SUMMARY
181
The position of the centre of oscillation К depends on the
wave length also. For X = 0 it coincides with the point Fa and
as the wave length is increased it is raised together with the
point F and moves in a curve of the third degree (71).
All the points of the body which are not situated on the
horizontal through F describe elliptic paths, the vertical semi-
diameters of which are the same and equal to the amplitude of
the centre of oscillation. The diameter conjugate with the vertical
direction is at right angles to the straight line from the centre
of the ellipse to the centre of oscillation; the length of this
diameter is equal to twice R0d where R0 = the amplitude of the
angle B, and d = the distance from the centre of the ellipse
to the centre of oscillation.
Among these ellipses there are two circles: two points en the
body („the circular points"), situated on the same vertical with
the centre of oscillation, one above it and one below, and
equidistant from this centre, describe circles of radii equal to the
amplitude of the centre of oscillation.
Since the position of the floating body is determined by the
position of two points on this body, forced oscillations of the
body on a harmonic wave can be regarded as oscillations of
a connecting rod of a vertical steam engine in which the cross-
head coincides with the centre of oscillation, and the crankpin
coincides with one of the circular points, the shaft of the engine
rotating at uniform speed and making one revolution in the time
equal to the period of the wave, or as oscillations of the
connecting rod of the countei-parallelogramm, linking together two
„circular points".
In Appendix 2 it is shown that the pressure exerted by a liquid
in wave motion can be treated as consisting of three parts: the
first part (4) produces an increase of the mass of the body in the
vertical direction, the second part (6) increases the moment of inertia
of the body, and the third part (Fig. 13) is the hydrostatic pressure
proportional to the distance of the point from the surface of the wave.
In Appendix 3 a, discussion of the kinematics of small
harmonic oscillations, regardless of the dynamical conditions, is given.

упрощенный вывод уравнений движения вязкой
несжимаемой жидкости
(1914 г.)
Уравнения движения вязкой жидкости выводятся обычно
так же, как и уравнения теории упругости, — рассматривая
деформацию бесконечно малой частицы жидкости и
являющиеся вследствие этого силы вязкости. При этом вводят сначала
два различных коэфициеита; затем показывают, что один из
них пропадает вследствие условия
несжимаемости.
Но можно вывести (') 1 те же
уравнения значительно проще, основываясь на
ньютоновом определении вязкости, сов-
— я местно с условием несжимаемости. Такой
фнг_ і_ вывод мы и предлагаем в настоящей
статье-
Если вообразить движение, параллельное оси х (фиг. 1),
то, согласно этому определению, отнесенная к единице
площади сила вязкости будет:
5-р|; (»
как видно из этой формулы, размер коэфициеита вязкости
размер [|і] = [кг' ■ м^3 ■ сек1].
Обычно в практике пользуются другим коэфициентом ѵ,
который называется кинематическим коэфициентом
вязкости. Он представляет коафициент вязкости, разделенный
на плотность жидкости, а именно:
.-?; й)
1 См. примечания в конце статьи. Прим. ред.

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 183
так как
то
размер [р] = [кг* ■ лі_і • сека],
размер [ѵ] га [діа ■ сек~ 1),
т. е. одинаков с размером циркуляции скорости.
Этот коэфициент равен:
длявоадухаѵ = 0,0000133 мй(еек при 0°и760 мм давления
0,0000245
0,00133
для воды ѵ = 0,00000178
0,00000100
0,00000056
0,00000030
для ртути ѵ =0,000000125
0,000000091
для глицерина ѵ =0,00068
v-jg''
IS
IB
Н
Я
10
100° „ 760 ,,
0°„ 7,6 „
0°„
20°,,
50° „
150°,,
0°„
100°,,
20\
s
\
Г \~
_j
-
„.
и,а
г
0\ J J—i-l I I I I I I г
о - го 40 во so юо'с
Фиг. 2.
x
Фиг. З.
Кривая вязкости воды в зависимости от температуры
представлена на фиг. 2. Мы видим, что вода при 0° С оказывается
в 7,5 раз менее вязкой (относя вязкость к единице массы)
нежели воздух, и разница эта еще увеличивается с
повышением температуры.
Вырежем из жидкости, движущейся параллельно оса х,
бесконечно малую призму ABCD (длину ее по направлению
оси у можно принять равной единице) и рассмотрим условия

184 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ее равновесия (фяг. 3). На верхнюю ее площадку действует
сила
S dx = is--^- dx,
oz
и такая же сила в обратном направлении действует на ее
нижнюю грань, что дает пару с моментом:
S dx • dz = а т- dx dz,
dz
вращающую призму по направлению часовой стрелки. Чтобы
призма не вращалась (2), на боковые ее грани должны
действовать силы 5', дающие в направлении, обратном часовой
стрелке, пару с моментом:
S' dz ■ dx = у. -г- dz dx:
1 dz '
таким образом, не вдаваясь в природу и происхождение
перпендикулярных скользящим слоям добавочных сил вязкости S't
заключаем, что они должны возникнуть, как
уравновешивающие, и что они равны основным силам вязкости:
Вырежем теперь из жидкости прямоугольный параллелепипед
со сторонами dx, dg, dz и рассмотрим проекции
действующих на него сил, возникающих от вязкости. За ось проекций
примем ось х. На фиг- 4, на которой направления сил
вязкости даны в предположении, что производные от скоростей
по координатам положительны, видно, что проекция основных
сил вязкости S, параллельных оси х, равна
Обращаясь к фиг. 5, вычерченной также в предположении
положительных производных от скоростей по координатам,
найдем, что проекция добавочных сил вязкости S', параллель-
ных оси х, будет:
^dXdy.^)d^~[dxdz-<,^)dy~
j J j l Ь%т i д*ѵ\ , , . д (дѵ , dw

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 185
Прибавляя и вычитая внутри скобок члены у- иаамечая,-
что для несжимаемой жидкости
да | дѵ dtv
найдем искомую проекцию сил 5' равной
л j л &*
— dxdydz- V-fai-
Если бы поток в направлении оси дг можно было считать
несжимаемым, то все силы, действующие на наш параллеле-
4т^ьі
&.
-s*as
^-S^^'^
-*-и
Фиг. 4.
//
У
s*%;
Фиг. 5.
-X
пипед в этом направлении, свелись бы к рассмотренным
силам S и S'. Но так как поток несжимаемой жидкости нужно
считать сжимаемым в направлении каждой из осей в
отдельности (4), т£> мы должны еще предположить существование
нормальных сил N, действующих в направлении осей
координат на площадки, перпендикулярные этим осям.
Определим величину силы Ы, действующей параллельно
оси х. Заметив, что -у- есть скорость скошения (уменьшения)
прямого угла ВАЕ (фиг. 6), мы ставим условием, чтобы скорость,
изменения прямого угла DAC, умноженная на {ц давала
тангенциальную силу в сечѳнии АС (5). Посмотрим, каково отие-

13S ВЫЗОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
so'
\
■*Jt\
S
-"-
£ С?'
^f
^ ,
А
сенное к dt изменение (увеличение) прямого угла DAC. Оно
будет;
[■^-AB-j-jr-BC smO:~—г-— ■r-AB — ^r~BD] coso: 7, =
\Oz 'ax I sin В \oz ox ) ' cos'i
= ^(sina Ѳ — cosa Ѳ) + 2 ^sin Ѳ cos fl.
Напишем теперь, чго трехгранная призма, имеющая в
направлении оси g высоту dg и основанием треугольник ABC
находится в равновесии; при этом,
так как на фиг, сила S,
действующая на нижнюю грань
призмы AD и выражаемая через
уменьшение прямого угла BAD, направ-
ди
лена влево при -ѵ- положительном,
то на фиг. 6 силу 5[ нужно счи-
ф тать действующей на грань АС
вправо, так как теперь она
выражается через увеличение угла DAC. Приравняем нулю сумму
проекций сил по направлению АС:
j* ^(sin2U — cosa0)-|-2^smQ cos ЙІ^С—W ■ АВ cos 0 +
oz dz
Это дает нам:
Л/=2^- (4>(°)
Таким образом к площадкам, перпендикулярным осям, надо
прибавить силы по этим осям, равные
„ да п дѵ „ дт
Разность этих сил, действующих в направлении оси х
«а весь параллелепипед, изображенный на фиг. 4,5 и 7, будет:
§-USdz.2V^\dx^dxdud,.^dy,

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 187
и сумма проекций всех действующих на параллелепипед сил
вязкости в направлении оси х равна
dx dg dz
= dx dy dz
' dg*^~dz*
Обозначив через (? отнесенную к единице массы силу,
возникающую от вязкости, и через qr, qs, qt ее проекции на оси,
найдем:
q*9dxd9dz = V.dxdgdzl^ + 2-s+2g[
откуда, так как — = ѵ,
(5)
Этот трехчлен и аналогичные ему для осей у и z
называются вторыми вихрями, на том
основании, что если вихревые
линии данного течения принять
за линии токов нового, а
компоненты вихрей 5, і\, С данного
течения — за компоненты
скоростей нового, то компоненты
вихрей і/, 7|', С нового течении
выразятся через суммы вторых
производных от скоростей
данного течения по квадратам
координат. Действительно, компоненты „первых вихрей"
выражаются через скорости и, ѵ, іо так:
5 1 (dw дѵ \ 1 (дп dw \
Фиг. 7.
2 \dg 'дхГ ^ 2 Vdz
дх}1
- 2
дѵ
дх
да
'дд
компоненты „вторых вихрей":
** .. . fo \ 1 ( д*Ѵ д*и д*и 1 g8g>
*Ч

183 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
что вледствие указанного выше преобразования
дх*
дх\ду~Ѵ dz)~ л-а
обращается в
(6)
аналогично
■' = _ 1/^! гЛіі —
г, — _1 /<Э«ш
4 l.dr2 ' <Эу3 ' £»2В
■ew,
= --Д>ш.
(6')
Таким образом ускорения от сил вязкости выражаются
через вторые вихри так:
?„=-4<
?,, = —44,
7, —4*';
, = — 4W = — 4 ѵ У Vя + *П" + £'"■
(7)
(Г)
Отсюда получаем теорему: сила вязкости равна 4ѵ,
умноженному на вектор «', представляющий второй вихрь, it
направлена в сторону, обратную этому вектору.
Прибавляя ускорения ^, (??/> 9.- к обычным уравнениям
движения идеальной жидкости, получаем уравнения движения;
вязкой жидкости, называемые уравнениями Стокса (Stokes):
о ах
да ди
-77 — UT"
Ди
д«
<Ji/ dz
1&=Г_44 *?
д«
дх дд
дѵ дѵ
02
1_др
р дг
:Z~4<'~ "■
дги дъи
dt
дх
dza dm
. ѵ _ гіІ
дк '
(8)

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 189
Если движение совершается с потенциалом скоростей F,
т. е. компоненты скорости выражаются через производные от
потенциальной функции по координатам:
dF dF dF
дх' дг/' dz '
то компоненты первых вихрей тождественно равны нулю:
£ = ѵ) = С = 0;
в этом случае очевидно, что и компоненты вторых вихрей
также равны нулю;
следовательно) и вектор q—0.
Отсюда заключаем, что при существовании потенциала
скоростей вязкость не оказывает влияния на движение внутри
жидкости, а также не влияет и на распределение давлений
внутри ее. Влияние вязкости при существовании потенциала
скоростей может проявляться только при стенках сосуда или
обтекаемого тела, где зарождаются вихри и постепенно
распространяются внутрь жидкой массы. При рассмотрении
движущегося в жидкости тела следует найти функцию потенциала
скоростей, при которой это тело оказалось бы обтекаемым,
и по ней определять скорости около тела. Вихри же,
располагаясь сравнительно тонким слоем около тела (особенно при
больших скоростях), сбегают с его кормы в виде цепочки из
вихревых шнуров или колец. Это и развивает поверхностную
силу трения, которую в практике считают пропорциональной
квадрату скорости и площади-
Эта статья была впервые напечатана в „Трудах отделения
физических наук Общества любителей естествознания", т. ХѴІГ, вып. 2, 1914.
Вторично работа была напечатана в „Трудах ЦАГИ", вып. 95, 1931 г.
При переиздании работа была снабжена примечаниями П. А, Вальтера,
сохраняемыми И в настоящем издании. Примечании П. А. Вальтера
печатаются далее (он, стр. 190]. Прим. ред.

190 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
■ ■■- ■ ■■-■ — ——- ■———-——
Примечавии
1. Едва ли можно согласиться с тем, что рассуждения,
заключающиеся в этой статье, являются выводом уравнений
Стокса-Навье из равенства (1), выражающего так называемый
закон Ньютона. Наоборот, автор доказывает, что одного
предположения, заключающегося в равенстве (1), мало и что его
приходится дополнить предположением, заключающимся в
равенстве (3). Точно так же вывод, даваемый автором, далеко
не прост и в сущности гораздо сложнее, чем обычный вывод,
основанный на понятиях тензорного анализа (см., например,
Р. АрреП, Traite de Mecanique Rationelie, t. Ill, или Lamb,
Lehrbuch der Hydrodynamik).
Значение печатаемой здесь статьи приходится поэтому
видеть не в выводе уравнений Стокса-Навье иа закона
Ньютона, а в анализе соотношения, в котором находится закон
Ньютова к этим уравнениям. Незнание этого соотношения
и довольно распространенное убеждение в том, что закон
Ньютона полностью описывает явления, происходящие
ввязкой жидкости, часто приводит к грубым ошибкам. Особенно
часто ошибаются в этом отношении техники, для которых
в сущности и предназначена данная статья.
2. Выражение, употребленное автором в тексте, не
является особенно точным. Как обычно, автор сводит случай
движения к случаю равновесия, присовокупляя к действующим
силам так называемые силы инерции. Так как силы инерции,
действующие на призму ABCD, вращающего вокруг точки О
момента не создают или, вернее, создаваемый ими момент
такого рода будет иметь бесконечно малую величину второго
порядка, то внешние силы S и S', действующие на эту призму,
должны образовать пары с равными, но противоположно
направленными моментами.
3. Существование сил S' приходится допустить, так как
только таким образом мы в состоянии удовлетворить
основным требованиям механики наипростейшим образом, С другой
стороны, существование этих сил доказывает, что закон
Ньютона, выражаемый формулой (1), не является и не может
являться исчерпывающим описанием явлений, происходящих
в частице двигающейся вязкой жидкости.

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
191
4. Автор хочет сказать, что частицы несжимаемой
жидкости могут, деформируясь, уменьшаться (сжиматься) или
увеличиваться (расширяться) в любом направлении. Необходимо
только, чтобы сжатие в одном направлении компенсировалось
расширением в другом, и общий объем частицы оставался бы
неизменным.
5. Величина -^- есть скорость уменьшения угла ВЛЕл от
перемещения линии ВА. Помноженная на [і скорость эта
дает силу Ньютона, определяемую равенством (1). Скорость
уменьшения того же угла, происходящая от перемещения АЕ,
дает после помноженвя на ^ добавочную силу типа силы,
определяемой формулой (3). В результате полная касательная
сила, действующая по сторонам прямого угла, образуемого
осями координат, будет равна скорости изменения этого
угла, помноженной на [*<.
Требование, поставленное автором в тексте, чтобы ѳтот
закон имел значение не только в случае прямого угла,
составленного осями координат, но и вообще для всякого угла,
следует из того, что здесь мы имеем дело с некоторым
законом природы, который не должен зависеть от случайности
выбора системы координатных осей, относительно которых
мы ориентируем пространство.
6. Итак, во второй раз, исходя из условий равновесия,
автор приходит к заключению о необходимости существования
некоторой дополнительной силы. Нетрудно понять, что теперь
мы исчерпали полностью все содержание условий равновесия,
так как в первый раз было написано уравнение моментов,
а во второй —уравнение проекции сил по любому направлению.

A SIMPLIFIED DEDUCTION OF THE EQUATIONS OF MOTION
OF AN INCOMPRESSIBLE VISCOUS FLUID
In this article the author makes an attempt to deduce Stokes-
Navier equations of motion of a viscous fluid, on the basis
of Newton's law of viscosity, which is given m the text in the
form of the equality (1). Considering1 the conditions of equilibrium
of an elementary parallelepiped the author first proves, that to
forces of viscosity given by Newton's law there must be added
the supplementary forces defined by equalities (3) and (4) of
the text. Then, by considering the system of forces as a whole,
the author obtains the equations of Stokes-Navier.
These equations are written by Prof. Joukovsky in the form
given by equality (8), where V, "i)',C are the components of the
vertex of the second order, І. e. of the vortex of the velocity
vortex, obtained from the following set of equalities:
2\дд dz)'[~2\dz дх)'^~2\дх Syj'
where a, v, <zi> are the components of the velocity of flow along
the coordinate axes.

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
(7914 !.)
§ 1. В 1868 году Бусинеск 1 напечатал интересное
исследование о течении воды, возникающем в плоскости живого
сечения вследствие поворота струй, которое гонит воду по
дну реки от вогнутого берега к выпуклому, а по поверхности—
от выпуклого к вогнутому.
Он разрешил теоретически
задачу об ѳтом течении для
случая движения воды по
горизонтальному круговому каналу
прямоугольного сечения, малой
высоты сравнительно с
шириной и внутренним радиусом
канала. К сожалению,
указанная им причина возникновения
упомянутого течения воды
осталась мало известной. Ока
заключается в повороте
вихревых нитей, увлекаемых тече- Фиг. I.
нием воды.
■ На фиг. 1 дана .фотография канала, устроенного проф.
А, Я. Малевичем а в Донском политехникуме. На дне этого
канала при течении жидкости тонким слоем справа налево
получаются донные струи, отмеченные краской, вводимой в
различные точки дна с помощью пипетки, изображенной на фигуре.
1 Boussineffq, Memoire surf infiaennedes frottemenfs dims les movements
reguliers des fluides, „Journal de Mathematiques puree et appllquees", 1868.
2 А. Я. Ми л о ни ч. Доклад в Политехническом общество при
Техническом училище 20 декабря 1913 г.
Эаге. М І?09. IT. В, ЗКуігапогсиІЕ, Жоп ГГ
13

194 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
Все эти дониые струи, участвуя в общем течении
жидкости, имеют добавочное течение от вогнутого края канала
к выпуклому. С точки зрения Бусинеска явление объясняется
так: двигаясь по правой прямолинейной части канала, жидкость
завихривается трением о дно канала. Образовавшиеся
вихревые нити опираются о стенки канала. При переходе на
закругленную часть канала концы вихрей двигаются по
выпуклой стенке его быстрее, нежели по вогнутой, вследствие того
что нет вертикальных вихрей. Это обстоятельство
перекашивает горизонтальные вихри, которые сообщают точкам
жидкости, лежащим вблизи дна канала, некоторую скорость по
направлению к выпуклому берегу, и точкам, лежащим при
поверхности, — скорость по направлению к вогнутому берегу.
Анализ Бусинеска показывает, что при движении жидкости
по горизонтальным кругам со скоростью, увеличивающейся
по мере удаления от дна канала, возникают вертикальные
силы инерцки, не имеющие потенциальной функции. Для того
чтобы могло существовать установившееся движение, нужно
прибавить к рассматриваемому круговому течению добавочное
течение в плоскости живого сечения- В анализе Бусинеска
это добавочное течение подбирается так, чтобы получаемая от
него сила вязкости жидкости, направляющаяся но радиусам
канала, вместе с вышеупомянутой вертикальной силой инер-
іНіи имела силовую функцию-
В этой статье излагается анализ Бусинеска в упрощенном
виде, пользуясь рассмотрением вихрей первого и второго
порядка. Кроме того, в ней дается распространение
анализа Бусинеска на всякие течения жидкости малой высоты,
обтекающей неподвижные контуры по изотермическим
линиям, и показывается решение задачи в том случае, когда
число Рейнольдса получается большое и когда силы
инерции значительно превосходят силы, получаемые от вязкости.
Этот случая, разумеется, имеет главный практический
интерес.
§ 2. Вихри первого а второго порядка. Если а, ѵ, <ш
будут проекции скоростей V движения частицы жидкости на
прямоугольные оси координат, то компоненты вихря первого
порядка выражаются известными формулами:

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 195
Е =
Т| =
с =
1 (дт
= 2\д3~
1 (да
~ 2\dz
1 Ідо
' 2\дх
дѵ
~dz~
dm
_ди
ду
<Ч
'0.
(О
Величины £, Г|, С можно рассматривать как скорости
некоторой несжимаемой жидкости, потому что
дх' ду^~ dz
Если в этом течении составим вихри первого порядка:
'dt^dji
[дд dz
'йе d|c
,dz дх
\дх ду
то получим компоненты вихрей второго порядка для первого
течения жидкости.
С помощью величин I, 'і\, t., Е/ і\/ Ц уравнения движения
вязкой жидкости представляются в весьма удобной форме.
Возьмем обыкновенные уравнения Сен-Венана для
установившегося движения:
ди ди
f\
f'
(2)
1дР dU . Я. ди
— ■—-= -=-— -4 Дон — и ч—
Р дх дх р * дх
'Ту
■ѵ)
Ідр dU , Я. Л) йо
Р ду ду
ду
-ей
1 dp dU , Я. дда Ида
р dz dz ' Р " о* Сг/
0z>
d_w
dz'
-ID-
где Я—коэфициент вязкости, £/—силовая функция,
дродннамическое давление в р — плотность жидкости.
Преобразуем первое уравнение, написав:
dtp rr . Ѵ*\ Н. _. / да, дѵ, дѵ>
р — ги-
діі ди
ди Н,
'дх
ду
wTz
13*

196 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
Г
и заметив, что
1 Л
4 [фсду'
"ду* dz*
4д„
4 le»*0-"1"^^^'] 4
получаем после умножения на р для оси Ол и для двух
других осей уравнения гидродинамики в желаемом виде:
ѵу
1
дх
Л
ду
L
дг
тЛр~иР+
,-№+£
Ч
P-UP +
= 2р(щС — ал|) — 4/Л',
= 2р(я* — аУ — 4Ят,',
— 2р(иѵ|— «9 — 4W.
(3)
Фиг. 2.
Для существования рассматриваемого установившегося
движения необходимо, чтобы вторые части формул (3J были
частными производными от некоторой
функции координат по х, у, z. Другими
словами, необходимо, чтобы силы,
представляющие эти вторые части, имели
силовую функцию.
Эти силы слагаются из двух сил, из
которых первая направлена в
противоположную сторону скорости конца
вектора V от вращения частицы жидкости
я равна этой скорости, умноженной на 2р(')!, а вторая
направлена в сторону, противоположную вихрю второго порядка,
и равна скорости вращения этого вихря, умноженной на 4//.
§ 3. Поплавок проф. Миловича. Анализ Бусмнеска. На
своем докладе проф. Милович показывал
кинематографическую ленту движения поплавка, который представляет крест,
сделанный из двух взаимно перпендикулярных пластинок,
прикрепленных к пробке. Поплавок помещается в начале
правого приводного канала (фиг. 2) так, что нижняя часть креста
погружается в воду. На кинематограмме было отчетливо видно,
что крест движется по закруглению канала, оставаясь сам
себе параллельным. И это обстоятельство имеет место при
См. примечания в конце статьи. Прим. ред.

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 197
всяком начальном положении креста и всякие скоростях.
Этот опыт доказывает, что жидкость не завихривается около
вертикальной линяй. Действительно, предположив, что ось Ог
вертикальна, а оси Ох и Оу лежат на свободной поверхности
и направлены в данный момент параллельно пластинкам,
составляющим крест, напишем для точек свободной поверхности
жидкости (х, у), близких к центру креста (л-0, #0):
и ~а0 = ^(д.— ^-f-Jf (#—#„),
Рассмотрим скорости двух точек жидкости, отстоящих на
одинаковых расстояниях I от центра креста, из которых
первая прилегает к пластинке, параллельной Ох, и вторая — к
пластинке, параллельной Оу. Первая г |
точка будет иметь по
направлению, нормальному к стенке
креста, скорость
дѵ
дх
I,
а вторая — скорость
да .
%
Отсутствие вращающего
момента в данном случае является
следствием равенства
£/*=*?/, Фиг.З.
ах оу
которое на основании формулы (1) показывает, что С = 0.
Переходим к анализу Бусинеска. Он предполагает
сначала, что жидкость (фиг. 3) течет по горизонтальным кругам,
имеющим центры на вертикальной оси круговой трубы с
прямоугольным сечением весьма малой высоты 2/г сравнительно
с шириной и радиусом внутренней стенки. Принимая, что
С = 0, он выражает скорость по кругам формулой:
u = 7(1_Si
(4)(в)

198 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
где Л — постоянная величина, а г — расстояние точки от оси Ог,
направленной по оси трубы. Оси Ох и Од направлены, как
показано на фиг. 3: ось Од разделяет пополам живое
сечение, а ось Ох перпендикулярна к нему и направлена в
сторону движения жидкости.
Составляя по формулам (1) и (2) компоненты вихрей
первого и второго порядка, находим:
, _ 1 бы Az r „ 1
1 fit л А ' <5>С>
* 2 dz 2W * U' ' U,j
Отсюда заключаем, что вихри первого рода направляются по
радиусам, и вращение их совершается для точек верхней
половины живого сечения для наблюдателя, глядящего от у
к О против солнца, а для точек нижней половины-—по солн-
щу; вторые же вихри перпендикулярны живому сечению и
вращаются для наблюдателя, глядящего от л: к О, по солнцу,
т. е. векторы, представляющие эти вихри, направлены в
сторону течения жидкости. Если положим dx=!rd'?, где ?■—-угол
радиуса г с некоторым постоянным радиусом, то в первой
формуле (3) можно сократить —и написать ее в виде:
в
dtp
Таким образом
„ , V , „АН
=0. (6) С)
*%-* со
представляет потерю напора на единицу длины дуги <?
вследствие вязкости жидкости.
На основании формул (4), (5) и (7) можно написать:
а~йНгѴ Л",
71 ~~ 2Hr k •
Но найденное движение не есть установившееся, потому что
мы будем иметь от вращения т\ инерционную силу, направлен-

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 199
ную в сторону, противоположную скорости конца вектора и,
и равную этой скорости, умноженной на 2р, которая не имеет
потенциальной функции. Эта сила будет параллельна оси Oz
if будет иметь величину:
саЛ8р
cm-? z і. z-\
2р^-2-^2д(1-^). (9)
Она-то и вызывает добавочный поток жидкости в живом
сечении.
Бусинеск подбирает этот поток так, чтобы развившиеся от
него силы вязкости были направлены по г и вместе с силой,
выраженной формулой (9), имели силовую функцию.
Пусть ѵ и w будут скорости этого добавочного потока по
радиусу и по вертикали.
Между скоростями ѵ а иі на основании условия
несжимаемости должно существовать соотношение:
Если для удобства вычисления заиеним переменное г
переменным t, положив
то формулы (9) и (10) примут вид:
ді п гдг ■ <12>
Формула (12) показывает, что вертикальная Скорость w
является малой величиной относительно К более высокого
порядка, нежели ѵ. Бусинеск принимает, что скорость ѵ
выражается формулой:
.-£. аз)
где f(t) должно быть такой функцией, которая обращается
в нуль при < = ±:1, т. е. скорость ѵ на обеих горизонталь-

200 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
ных стенках трубы есть нудь. Скорости ѵ и w развивают
вихри первого порядка:
£ 1dz~ 2hdt' (14>
направленные по оси х. При этом мы пренебрегаем величиной
діи дѵ) „ дѵ _
= -—-, которая против производной -*-- имеет лишний
множитель (А2) (6). Составляя от вихрей 5 вихри второго
поде <* л
рядка, замечаем, что производная-т— = -д- будет иметь против
производной -т- лишний множитель А, и потому в принятом
приближении надо обращать внимание только на вихрь второго
порядка:
Л 2 dz 4 Ла Й» ' (15>
направленный по оси Off С).
Силы вязкости
-4#Ѵ = дз^г (16)
вместе с инерционной силой, данной формулой (11), должны
иметь потенциал. Это приводит нас к условию:
которое на основании формул (11) и (13) даст:
^/(0=£wp_
дР Нй ^ }' (18)
Интегрируя это уравнение два раза, получаем:
df(t) сзА°р /*•
&t Н*
4o~Bt+D)>
причем произвольное постоянное D — Q, потому что на
середине живого сечения £=0 скорость ѵ, а следовательно, и f(t)

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 201
должны иметь максимум (8). Третья интеграция дает:
/СО-
сЛ6р It*
Я8 124
120'
-¥+4
где постоянное Е определяется под условием: при t = =t I
f(f)~Q. Это дает:
где положено М = АВ.
Постоянное М определяется под условием, чтобы
количество жидкости, протекающей через вертикальные стенки трубы,,
было равно нулю. Это требует равенства:
/Л0Л = 0 (20)
Л
и дает М = ^.
Внося эту величину, находим:
A0=-^r(i~'a)(f-:5-5^+n-c+^) =
94
(2 —#У-у
(21)
Таким образом радиальная скорость выражается формулой:
рсвА6
*-<!
2 +
i/f-S)
X
х(-/|-Я-
(22).
Что касается скорости to по вертикали, то она получится
согласно формулам (12) и (19) в таком виде:
oPeW ,
35 Vх 3/ ЗІ/ 5
15
Мы не ставим здесь произвольного постоянного, потому что-
скобка обращается в нуль при f = :il.

202 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
Вычитая из скобки ѳе значение при f = :±:l, которое есть
нуль, находим:
11 кі-^-^а-^+^а-^
3-35^ ' 15 ѵ ' ' 7-15
— 2 ^'((l-^tS-?),
7-120 №i*
вследствие чего
2 peW z
til '—' * —^- -^- ■.
7-120 H*r* h
[-(f)]
S—(f ) I- (23)
Формулы (22) и (23) решают задачу о течении жидкости
в живом сечении трубы.
Давление во всякой точке живого сечения на основании
формул (6) и (9) найдется из уравнения:
cWp
^2#М
V2
ШЧ (*)'+&]-«-* (24)(,)
в котором, вследствие малости и и w перед и, можно
положить V— н. Так как в среднем сечении трубы на
плоскости хОд имеем z = 0, я» = 0, -г- = 0. т- = 0, то эта плоскость
UZ UZ
является поверхностью тока, на которой поверхностные силы
вязкости суть нули (10). Мы можем принять эту поверхность
за свободную поверхность жидкости и рассматривать течение
в открытом круговом канале, допуская что свободная
поверхность, подобно гелисоиде, медленно опускается вниз, давая
на единицу дуги <р падение —. При этом на свободной
поверхности будем иметь Up — cp, и формула (24) дает на ней
р = const (u).
Тангенс угла Ѳ наклонения струй к окружностям, которые

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 203
бы описывали частицы жидкости при отсутствии завихренности,
будет, на основании формул (21) и (8), такой:
5 и
рсА*
60№^
/?-£)(»-/?--£)■<*>
На дне канала при z = —h этот
тангенс отрицателен (1а), что
показывает, что данные струи текут к
выпуклому берегу.
Это течение к выпуклому', берегу
продолжается, пока г, возрастая,
достигает величины—0,433&, при
которой струи направляются по
кругам (і3). При дальнейшем
возрастании z до нуля tg- & делается
положительным, и струи текут к
вогнутому берегу.
Наибольшая скорость ѵ получается
на свободной поверхности и на
расстоянии от нее 0,754 k (и).
Произведение скобок в формулах (25), (22) и (23) дано в
нижеследующей таблице^
Фиг. 4.
2
X
0,000
— 0,433
— 0,754
— 1.000
£■
Ш
111!
Произведение скобок
при tg 0 [ при ѵ
+ 0,714
0,000
— 1,236
— 2,236
+ 0,714
0,000
— 0,534
0,000
при И/ (№)
0,000
— 1,377
— 0,623
0,000
На фиг. 4 дана фотография донвых струе, снятая
И. И. Куколевскнм с небольшого закругляющегося канала
в гидравлической лаборатории Технического училища.
На фиг. 5 даны фотографии струй, пускаемых одновременно
около дна и около свободной поверхности.
Любопытно отметить на фиг. 5, что струи, близкие к.
поверхности, как будто отразились под равным углом от
вогнутой стенки канала. На самом деле, приближаясь к вогнутой

204 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
стенке, они опускаются вниз и переходят в пространство,
отстоящее от свободной поверхности на расстоянии, большем
0,433 Л, в котором получают направление к выпуклой
поверхности.
Струи, идущие ближе к дну, приближаясь к выпуклому
берегу, поднимаются вверх вследствие добавочного течения,
исправляющего условие при
берегах (1б), и направляются
к вьшуклому берегу. Резко
отмеченная струя на фиг. 5
была пущена по дну.
Приведенная выше таблица
показывает, что наибольшее
отклонение дают донные струи.
Формула (22) показывает,
что при всяком отрицатель-
фиг. 5. ном значении z скорость w
отрицательна. Это значит,
что частицы жидкости при некотором удалении от выпуклого
берега всегда опускаются вниз.
Существует простая зависимость между скоростью п>
и расстоянием г во время движения одной и той же частицы
жидкости по струе. Она находится, исключая /(f) ив
уравнения (10), представленного в виде
и очевидного равенства:
которому удовлетворяют диференциалы dr и dz при движении
по струе. Иа этих равенств следует:
dw, діи dz , 2ѵ w ' 2и> ,
~r~az = -r- --j-dr = - dr = — dr.
Oz . uz dr r v r
Кроме того, из (23) простым диференцированием имеем:
дго 4го
dr r

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 205
Подставляя все это в формулу:
, діі> , dw ,
dw = , dr -j- -г- dz,
dr ' cfe
получаем:
Отсюда следует, что
dw
■си
,а_
2dr
г
const.
(26)
На свободной поверхности и на дне скорость еи = 0.
Частица жидкости, лежащая несколько ниже свободной
поверхности, опускается, как было сказано, вниз и вместе с этим
приближается к вогнутому берегу; опустившись на глубину
z = — 0,433 к от свободной по- г,
верхности, она поворачивает к
выпуклому берегу и продолжает
опускаться вниз.
У боковых стенок получаются
скорости, нормальные
составляющие которых не равны нулю, и
изложенный анализ должен быть
исправлен прибавлением к
рассмотренному течению жидкости
добавочного невихревого течения,
уничтожающего эти скорости (").
Так как Л мало и согласно
условию (20) количество жидкости,
проходящей через боковые стенки,
равно нулю, то это добавочное течение будет иметь очень
малое влияние на скорости точек жидкости, лежащих не очень
близко около боковых стенок.
§ 4. Распространение аналнза Бусине ска на жидкость,
текущую тонким горизонтальным слоем ао изотермическим
линиям. Предположим (фиг. 6), что жидкость движется по
горизонтальному дну по направлению изотермических линий s,
и проведем ортогональные им линии s{.
Семейство линий s, будет, как известно, представлять
тоже изотермические линии, причем, если бы жидкость двига-
Фиг. б.

206 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
лась по линиям s^, то она ииела бы во всякой точке такую
же скорость іі0, какую имеет при движении по линиям s (18).
Предполагаем, что вследствие трения о дно скорость по
линиям s выражается формулой:
и~Ащ(і~^, {27}
и определяем вихри первого и второго порядка. Вихри
первого порядка будут направлены по оси Од и выразятся
формулой:
■п = ~ъа°> (28)(19)
т. е. будут вращаться вследствие отрицательного значения z
по солнцу (?°).
Вихри второго порядка направятся по оси Ох и будут
иметь величину
р, 1 ЛИд
5 2 А3 '
совершая вращение по солнцу для наблюдателя, смотрящего
от х к О. Этим вихрям соответствует сила вязкости:
— 4Я£' = — ~2#. (29)
Внося эту силу в первое уравнение (3), получаем:
Пусть q и qx будут изотермические параметры,
соответствующие семействам линий $ и slt так что линии s
выражаются уравнением:
q = const,
а линии $! — уравнением:
9, = const;
тогда

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 207
и рассматриваемое уравнение по сокращения на и0 может быть
представлено в таком виде:
^(p-t/P + pJJ + 2^//7,)-0. (зо)
Оно вполне аналогично уравнению (6) и показывает, что
на каждую единицу приращения параметра ^ давление
прирастает на величину
ОД
^f-я. (зі)
Если исключим А с помощью этой величины с из
формул (27) и (28), то получим:
СЛ.
'2Н^Ѵ "А»
ch z
(32)
От вращения ч) развивается направленная по оси Oz сила
инерции
Так как она не имеет потенциала, то к течению жидкости,
выраженному формулой (27), присоединяется медленное
течение, совершающееся по линиям sL. Предполагаем, что
скорость этого течения по линиям' зх выражается формулой:
*=Щ^, (34)
где г есть радиус кривизны линий s, который берется со
знаком (-{-), если направлен в сторону, противоположную оси Од
на фиг. 3, а скорости по вертикали суть to.
Условие несжимаемости представляется в таком виде."
А. Т^ J. .Л, и *■ >>
dz ~ ds ds
, da, , da
откуда, по подстановке ds=——, 03! = — и по замене z
ио "о
через ht, получаем:
ж+^Ш=а- (35)

20В О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ Р КИ
Это уравнение показывает, что w будет против ѵ иметь
лишний малый множитель h.
При отбрасывании членов более высокого порядка
относительно Л перед членами менее высокого порядка мы
получим для вяярей первого и второго порядка от прибавленного
течения величины, данные формулами (14) и (15) (йа). Это
покажет, что с рассматриваемой степенью точности
прибавленное течение внесет только одну добавочную силу,
выраженную формулой (16). Эта сила будет направлена на фиг. б
по оси Од и должна будет вместе с силой, выраженной
формулой (33), направленной по оси Oz, дать потенциальную
функцию. Мы получаем условие:
, dq
■ которое вследствие ds1 = — принимает вид:
д /Нд»ѵ\ д „ .
(36)
Подставляя сюда выражения, данные Формулами (33) в (34),
находим:
\_frfft _
с2ЛвР дий1ы
-Р).
(37)
Фиг. 7.
г др
Легко показать, что
! = _£*>.
Г dq
Действительно, вследствие
того, что течение по линиям sx со
скоростью н0 не дает сжатия,
д
dsi
(и0 ds) = 01
.яли
Но
на
фиг.
7
да
видно,
+1
^ds
что
АВ
АС
d(ds)
ED
AD'
= 0.

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 209
где
откуда
ds,
1 d(ds)
r ds ds! '
и формула (36) оправдывается.
На основании формулы (37) уравнение для определения
вида f(t) получается одинаковое с уравнением (18):
(38)
Так как условия, налагаемые на функцию /(0, будут такие
же, как в предыдущем параграфе, то выражение для нее
будет дано предыдущей .формулой (21). Что же касается
скорости ѵ, то она на основании формулы (33) представится так:
х(>-/!-£)■
23
7 "
X
(39)
Здесь направление скорости ѵ надо отсчитывать по
радиусу кривизны линий s от центра кривизны. Переходя к
определению скорости я> по формулам (39) и (35), находим
аналогично сказанному в § 3, что
№ °° да\гІ hV~'h4 Ла
w = ■
7 ■ 120 № "° дч\ . .
А так как, согласно уравнению (37),
д
Та
д дыЛ
1 дЧІ
dq °dq~~ 2 dq*
ТО
l pw , ач'
2-71-20 #a ° d«»
5-4
(40)
(41)
Характер движения будет такой же, какой указан в § 3.
Поверхностные струи отклоняются от траекторий s в сторону
Зак. JS 1709. Ж. В, ЖувовевиЯ. Есіг IV" Ц

210 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
выпуклости этих траекторий. Такое же отклонение имеют
струи, глубины которых не более 0,433 Л. На этой глубине
отклонения нет, а ниже до самого дна отклонение идет
в сторону вогнутости траекторий s, причем на дне
отклонение самое большое. Вертикальное течение, будучи нулем на
свободной поверхности и на дне, всегда направлено вниз.
Скорость w этого течения определяется равенством,
аналогичным формуле (26). На основании формулы (35)
или, по формулам (34) и (40),
Из формул (39), (40) и (41) видно, что в случае очень
большого радиуса кривизны г течение в живом сечении
канала пропадает. В канале проф. Миловича (фиг. 1) оно
пропадает в подающей и отводной части канала. Если от слоя
жидкости толщины h со свободной поверхностью перейдем
к слога жидкости малой толщины 2Л, текущему между двумя
параллельными стенками, то получим анализ движений,
осуществляемых при демонстрации
спектров цветных струй воды и
воздуха в приборах Гиль-Шау,
Вельнера, Вагнера и др. Во всех
этих приборах получается
медленное течение жидкости по
изотермическим линиям, причем
давление, на основании формулы (30),
постоянно на ортогональных
линиях qv = const. Мы приводим
здесь три интересные фотографии, снятые И. И, Куколевсквм
с медленно движущегося горизонтального слоя жидкости со-
свободной поверхностью.
На фиг. 8 струи подтекают слева к отверстию, в которое
изливаются. Подойдя к правой стенке, средние струи
опускаются вниз и движутся по дну, уклоняясь в сторону
вогнутости основных струй.

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ ЗП
На фиг. 9 средние струи, протекающие справа, обтекают
по изотермическим кривым указанный контур, но, подходя к
нему, часть струй
опускается вниз и образует донные
струи, идущие от контура.
Эти струи заворачивают
в кормовую часть контура,
и которой жидкость
крутится около двух центров,
и движутся, направляясь
в сторону вогнутости
траекторий этого движения.
На фиг. 10 струя жидкости
направляется на клапан,
который она обтекает средними струями по изотермическим
кривым, а образующиеся от опускания жидкости вниз донные
струи текут в стороны центров кривизны основных траекторий
и, заворачивая в пространство за клапаном, в котором
жидкость крутится около двух центров, приближаются к этим,
центрам. Я думаю, что в аналогичном движении жидкости
перед быками мостов заключается причина, вследствие
которой грунт перед быками
вымывается н заносится!
за быки-
§ 5- Исследование
потока жидкости в живом
сечении в
предположении, что число Рейнольд-
са большое. Если
размеры потока жидкости и-
скорость его движения
довольно значительны, то
силы вязкости делаются
малыми сравнительно с
силами инерции.
Отношение сил инерции к силам вязкости характеризуется так
называемым числом Реинольдса. В нашей задаче, где
главный линейный размер характеризуется глубиной потока Л,
14*

212 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
число Рейнольдса выражается формулой:
puh uh
R = ir=
(42)
где для воды при 0°
ѵ-= - = 0,0000018 мНсек (іВ).
Р
Рейнольде показал, что для труб движение совершается
по законам Пуазеля, пока отвлеченное число R удовлетворяет
неравенству:
R < 1900.
Пользуясь данными, приведенными проф. Миловячем для
его канала, мы находим для рассмотренных им движений
следующие числа:
h = 0,0045 0,080 0,138
а = 0,037 0,0066 0,00813
R = 166 530 1120
и убеждаемся, что они не заходят за предельное число
Рейнольдса, Температуру воды при этих опытах мы предполагали
в 20° С, чему
соответствует ѵ = 0,0000010 м'ісек.
Если бы мы
подсчитали такие числа для
реки, то усмотрели бы, что
они во много раз
превосходят это число. Здесь
приведены глубины и
средние скорости, взятые из
измерений инженера Н. И.
Максимовича над
скоростью течения Днепра
около Николаевского
репного моста, фотография которого приведена на фиг. 11.
Измерения производились в 1890 году 4 апреля, 20 апреля
и 4 сентября. Температуру воды в эти дни мы предполагаем
Фиг, 11.

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 213
Фиг. 12.
в 5, 10 и 13° С. Мы берем среднюю скорость и и среднюю
гидравлическую глубину реки А.
Л = б,38 5,78 2,52
к = 0,820 0,654 0,420
ѵ = 15-10-7 13-10"1 12-Ю-*1
R = 350 ■ 101 290 ■ 10'' 88 ■ Ю1.
Мы видим на этом примере, что силы инерции в задачах
о движениях рек становятся несравненно более сил от
вязкости. Бусинеск в своем
трактате „Essay sur la
theorie des eaux couran-
tes" предлагает разрешать
задачу и в этой случае
с помощью тех же
уравнений (3), в которых для
движения жидкости слоем
высоты h коэфициент
внутреннего трения надо полагать выраженным формулой:
Н=&АЬщ, (43)
причем дли отвлеченного числа А приписывается значение
А = 0,00064.
Если жидкость трется о дно, то коэфициент внешнего
трения надо выражать формулой
и приписывать для В такое значение:
5 = 0,00081.
Бусинеск доказывает справедливость своей теории с
помощью рассмотрения средних скоростей течения жидкости*
колеблющейся около некоторого среднего течения. Если
руководиться этим приемом, то задачу о движении в реках при
всяких очертаниях русла, при всяких контурах омываемых
островов и гидравлических сооружений можно разрешать с
помощью наложенного в § 4. Но мы имеем в виду указать
одно точное гидродинамическое решение задачи, при котором.

214 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
-0.9S4
-аз7о
-0.981
на повороте реки силы инерции 2ріл[, не имеющие потенциала,
уравновешиваются силами инерции течения, возникающего
в живом сечении реки.
Пусть река делает
завороты, представленные
на фиг, 12, причем
главное течение совершается
по горизонтальным
изотермический линиям s со
скоростями, выраженными
формулой:
u^i4J(t), (44)
am
107
2.13
*<■*
537
$.12
-0.928-
-0.332-
Скорость
Фиг. 13.
где щ — наибольшая скорость. Закон скоростей и пусть взят
непосредственно из гидравлических наблюдений и
представляется в виде диаграммы фиг. 13, которую мы берем из промера,
сделанного 20 апреля 1890 г. на середине Днепра (в сече-
вѵк__А8 ва фиг. 14) возле Николаевского моста
о,гіз
Для бертикалрных рѵссітмниіі
. го нянино so m«
і огне
:0ч
Фиг.*14. Поперечное сечение Днепра у Николаевского цепного моста по
промером 2.1 апреля 1890 г. На рейке+ 2,15 м; ширина реки — Шл;
площадь живого сечения реки — 4090 лг; средняя гидравлическая глубина
реки — 5,78 м; средняя скорость всего сечения — 0,654 м/сек.
Тан как вследствие изменения и с глубиной —z\ t = j-1
получаются вихри первого порядка [см. уравнение (5)]
то возникают направленные по вертикали Ох силы инерции:
2?M^fulf(t)f(t),
(46)

О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ 215
не имеющие потенциальной функции. Легко усмотреть, что мы
можем уравновесить эти силы инерции, допуская, что по
горизонтальным линиям S[, ортогональным к линиям s,
совершается добавочное течение со скоростями:
ѵ~паѴТ~[№¥. (47)
От этого течения разовьются вихри первого порядка:
«_ !*>_.*, fit)-f(t)
которые дадут по оси Oz силы инерции:
-2prf«—|aJ/(0/(0, (49)
уничтожающиеся вместе с силами инерции, данными формулой
(46). Тангенс угла Ѳ дается формулой:
w^=Y±=iim. (so)
Когда глубина (—г) достигает того места, в котором
скорость и имеет наибольшее значение, тогда f(t)—l, и струи
направляются по линиям s. При дальнейшем увеличении
глубины корень в формуле (50), пройдя через нуль, изменяет
знак, и направление отклонений струй от линий s совершается
в обратную сторону. Из формулы (49) не видно, в какие
стороны совершаются отклонения поверхностных и донных струй.
Но раз это отклонение началось в известную сторону, то оно при
дальнейшем течении по линиям s сохраняется. Начало
отклонения вызывается силами трения, которые, как показано в §4,
гонят воду по поверхности к вогнутому берегу, а по дну к
выпуклому берегу. Сохранение этого отклонения имеет своим
источником сохранение вихрей. Из формул (45), (48) и (50) следует, что
5-=Д (51)
и $
Таким образом в найденном движении жидкость течет по
направлению вихревых нитей и, вследствие ее несжимаемости,
как направление вихрей, так и их напряжение в каждой точке
вихря сохраняются.

216 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
Для всякой горизонтальной плоскости существуют свои
изотермические траектории, мало отклоняющиеся от линий 5
(течение получается от сложения двух изотермических течений
-по линиям $ и s,)- Подходя к берегам, струи этих траекторий
подмывают вогнутый берег снизу, а выпуклый сверху, нанося
снизу песок по дну. Город Киев стоит на вогнутом правом
берегу Днепра. Этот берег, как видно на фиг. 14,
представляющей контур живого сечения у Николаевского цепного
моста, подмывается, причем грунт переносится на левый берег.
Я думаю, что вместе с наблюдением скоростей по направлению,
перпендикулярному живому сечению, было бы весьма важно
определять скорости а живом сечении рек, потому что тогда
имелись бы данные для установления ' правильной теории
изменения фарватера рек — для решения задачи, столь важной
в практическом отношении.
Работа эта была сообщена в Московской математическом обществе
21 января 1914 г. и напечатана в „Математическом сборнике", т. ХХѴШ,
1914 г. Вторично работа была напечатана и „Трудах ЦАГИ", вып 95, 1931 г.
При переиздании работа была снабжена прим ечн вид ми П. А. Вальтера,
сохраняемыми и в настоящей издании. Примечания П. А, Вальтера
печатаются ниже. Прим. ред.
Примечавна
1. Вообразим, что вектор скорости частицы Кссоставляю-
щими и, ѵ, ги, проведенный из центра частицы, неизменно
связан с этой частицей и вращается вместе с ней. Ось этого
вращения проходит через центр частицы, а вектор угловой
скорости имеет составляющие £, і], С по осям координат.
Конец вектора V при этом вращении будет иметь скорость
с составляющими: іуш — іѵ, Сы—Ew, %ѵ — "ци. Изменив
направление этой скорости и умножив ее на % получим из ее
составляющих первые члены правых частей равенства (3).
2. Это — окружная скорость, и поэтому ее было бы более
правильно обозначить не через и, а другим значком,
например, ѵи. Дальше автор пользуется тем обстоятельством, что
в длинном, изогнутом по окружности канале скорости
течения в соответственных точках двух различных сечений должны

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
217'
быть равны. Рассматривая одно из таких сечений, он
заставляет ось Од совпасть с плоскостью сечения. Ось Oz тоже
совпадает с этой плоскосью, поэтому ось Ох перпендикулярна
к ней.
3, Формулы (5) читатель проще всего получит, если, введя
цилиндрические координаты, обозначить через ѵ„ »,„ vs
радиальную, окружную и осевую слагающие скорости, через.
•wr, zow, tus — такие же слагающие вихря первого порядка,
и, наконец, через 1-г, ?>„, ^s — слагающие вихря второго по-
рядка. Тогда, пользуясь общеизвестными равенствами:
1 (дѵг дѵЛ
^""2 \dr~1~ г гд>?
и аналогичными им формулами:
2 \гд<? dz
— і. /dwr dwA
к"~2 [dz дг}'
1 1 / дти і wlt да>г
без труда, на основании:
Wr = 0; ии= —и= —-г ( 1-га)' ^ = 0-
Л1
получим сначала:
Az
я затем:
При выводе этих формул мы полагаем ив равным — аг
а не -f- м, потому что вместе с автором хотим положительным.

•213 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
.вращением считать вращение, соответствующее левой системе
координат.
Кроме Toroj формулы
1 (дѵг оѴа
. 1 / діі>г дчо
"г "шг
Г
2 \ dz д
діолучены, предполагая, что в плоскости zy положительно
то вращение, которое положительную ось z сближает с
направлением начального радиуса. Автор за положительное
.вращение в этой плоскости принимает вращение
противоположного направления и потому у него
Е'- X - 1 А
После сказанного нетрудно видеть, что полученные формулы
равносильны формулам (5) текста.
Несомненно, что сам автор получает эти формулы иным
образом. Он их прочел непосредственно с чертежа, пользуясь
■своей прекрасной интуицией и высокой аналитической
техникой. Для дальнейшего полезно усвоить себе порядок
мышления автора.
Величина \ равна нулю, потому что плоскость zy
ортогональна к линиям струй н, следовательно, на всяком контуре,
.лежащем в этой плоскости, циркуляция равна нулю.
Для определения величины -ц автор вычисляет циркуляцию
:яа элементарном контуре abed, лежащем на цилиндрической
■поверхности. Стороны ad и be при этом можно не принимать
во внимание. Остальные стороны дают:
Разделив это на двойную площадь элемента 1rd®dr,
получим %
Наконец, при определении С множитель ("Д тИ в
формуле (4) играет роль постоянной, выражение же — дает ско-

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
219
рости известного потенциального потока, соответствующего
вихревому шнуру с циркуляцией 2ъА, расположенному по
оси г. Вихрь, соответствующий этому потоку, равен нулю
везде, кроме точек д—#■ = 0. Поэтому С~0.
Переходим к определению І', ч\' и £'. При вычислении І'
можно пользоваться формулой (2) без всяких изменений. Это
дает:
2 dz 2 гДа '
Величина С равна нулю, потому что цилиндрические
поверхности с осью Oz ортогональны к линиям течения и,
следовательно, всякий контур, расположенный на одной из таких
поверхностей, имеет циркуляцию, равную нулю-
Наконец, при определении С величина Z постоянна- Это
дает для распределения скоростей в соответствующей
плоскости, параллельной плоскости хОд, картину,
соответствующую стоку в точке х = у=0. Поток такого рода
потенциален и, следовательно, С = О.
4. Автор снова пользуется тем обстоятельством, что в силу
осевой симметрии потока нам безразлично, какое именно из
его поперечных сечений мы будем рассматривать, и выбирает
между ними то сечение, которое совпадает с плоскостью
* —0.
5. Автор пишет уравнение несжимаемости в той его форме,
которая получается при употреблении цилиндрических
координат.
6. Так как векторное поле, образуемое скоростями ѵ и н»
(радиальной и осевой), симметрично относительно оси z
и так как оно не имеет окружной составляющей и, го вихри
ц к С (радиальный и осевой) должны быть равны нулю. Что
касается окружной составляющей вихря £, то ее можно
определить вначальном сечении, пользуясь первым из равенств(1).
В полученном таким образом выражении производная -ч—
имеет по сравнению с производной ч— множитель № потому,
что, во-первых, w имеет по сравнению с ѵ множитель Л,

ПО О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
дѵ 1 дѵ , dw
во-вторых, ~д~~т 7і7 имеет " а знаменателе, a -j— такого
множителя в знаменателе не имеет.
7. Опять-таки сказанное можно понять и без употребления
цилиндрических координат. Формулы (2) применимы, если
мы вводам декартовы координаты- В них в силу замечания,
сделанного в тексте, следует опустить вое производные, кроме
производных по z. Получаем, следовательно, сокращенные
формулы:
*—№■• "-*§> *-<>■
С другой стороны, дифѳренцирование по г производится
в цилиндрической системе так же, как в декартовой. Поэтому
сокращенные формулы применимы уже без всяких оговорок.
Они дают нам:
ч -и, -а - 4 да dfj , t, -и.
8. Такое заключение основано на интуиции- Более
последовательный вывод того, что D = 0, получаем, если обратимся
к исследованию условий на границе.
т, df(f)
Имеем, интегрируя выражение для -d-s~i:
Так как f(t) обращается в нуль для <f = г±г 1, то
Составляя теперь разность:
и написав, что она должна равняться нулю, получим
требуемое доказательство.
9. Здесь заканчиваются рассуждения автора, которые
можно свести к следующему.
Условимся отмечать величины, относящиеся к . первому
потоку одной чертой, а относящиеся ко второму двумя чер-

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА 221
тами. Ииеѳм, употребляя цилиндрические координаты, для
скоростей первого потока:
(l-^)j o-0j w = 0, (l)
« = — I 1
а для второго
ы = 0; ѵ = ѵ\ ги —ги. (2)
Вихри первого порядка для этих потоков будут:
вихри второго порядка будут:
Налагаем теперь один поток на другой и рассматриваем
наложение. Пишем для равнодействующего потока равенства
{3) текста. Легко понять, что они представятся в следующем
виде:
д I „ , Ѵ2Р\
«ЗрКю + ^^+Т) —^+^)(С + С)] —4ff(V-r-»t'),

222 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
С другой стороны, пользуясь формулами (3) — (б), легко
доказать, что
Az
Azo
2{ot— в»ч)-=0; 2(ot — a>t\)-=2a>-jj = 2 —-t,
■А9
-=: — -d,
2(и$ — u^)=0; 2(ВД& — ut) = 0,
(8)
Единственная, стоящая в этих равенствах справа, не
равная кулю величина 2 —j-1 содержит, согласно формуле (23)
текста, Л в шестой степени и с во второй. Так как с на
основании (7) текста само содержит Л3 в знаменателе, то вели-
. Aid , _ ,
чина г—і-і будет иметь множитель п во второй степени.
Hi
Сверх того, как доказано в тексте:
2(адІ —иС) = 0,
2 (к іі— ѵІ)--
и
Л
-4^-г- 1-^,— ^-:ч
й«й8
г^А А \ А*/ 2НѴ А
л /~ f = =? \ го дѵ
3 —
А*
(9>
(10)
Величина
'А9
eW
2#ѵ
* (1 — if3) содержит Л.
Та
в первое степени в знаменателе. Величина •—~ ~ еодеряіит
h в 4-й степени, а величина -г- ^т—в 3-Й степени. Последнимн
величинами, как и величиной 2—г-г в равенствах (8), можно-
пренебречь.
После всего сказанного равенства (7) на основании
формул (5) и (6) приобретают вид:

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА 22$
д
д
и?-
Ѵ*р
ы>-«+7
_9^
'А» д&'
(И>
или, принимая во внимание формулы (б), (7) и (9) текста:
2
д
P-Up
с» =
ft" "Sf31
В
еличины
Нд*ѵ
(12>
и 2ры"П на основании равенства (17) тек-
ста могут быть представлены таким образом;
Л2 дР дг'
dF
2рц-г] =
&'
(13>
где / — какая-то функция от координат точки гиг или, что-
то же, от величин іиг. Функцию ату нам надо сейчас
определить.
Второе из равенств (13) на основании равенства (9) текста,
дает:
dF
<Wp д ( z* z*
т. е.
F~-
2ЯѴ дг\2№ 4А1
(14).
где а(г)—какая-то функция одного только г.
Подставляя полученное для F выражение в первое иа
равенств (13), мы будем иметь:
Л» #* №?Л2№ 4А*
da (г)
dr '
(15>

■224 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
д*ѵ Г (і)
Но -д-jj- на основании формулы (13) текста равно ~- ,
поэтому равенство (15) дает:
НГМ^ЫЧ{£_?\ , da (г)
Л2 Н дё,л \2 4} ' <fr ' U0J
•йткуда, так как tfa(r)~ функция только одного г, мы
заключаем, что
da(r) С
dr г1'
..где С—какая-то константа.
Для определения константы С пишем равенство (16):
(17)
•и полагаем в нем £ = 0. Тогда будем иметь:
с-£г(0).
После этого формула (19) текста без затруднения дает:
С~И£&- . г-2ЛЛ=—^М (IS)
А» 8Н> ( ^М' 4№ ' '
Принимая во внимание найденное в тексте значение М, будем
иметь окончательно:
Формула (17) теперь дает:
а(г) = _ ^ + const = _ |gg. + const, {20)
& формула (14):
„_ с«А«р / z" г'1 , 11 \ .

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА 225
Пишем теперь равенства (12) при помощи формул (13)
таким образом:
д
■ и?-
Ѵ*Р
й?] = 0,
д.
8F
дг'
Интеграция этих последних соотношений дает:
■иР+
КЙР
.e»=F+ const,
(22)
или, на основании (21):
с'/Ѵр
-АЛ
= const.
2 ' "r ' 2HW\2h* 4Л5 ' 140 7
10. Автор основывается здесь на известных равенствах,
дающих величины сил вязкости на элементе,
перпендикулярном к оси г;
'да , dw\ __/ди д;&\
Н\ $z ~т ,,„
dz~dx
/дчѵ . ді)
Формулы эти для плоскости 2 = 0 дают:
л г 1 Ре2*"
л*=о, psv = o, Ргі= —рЛ-^гон^'
dw
причем для вычисления -у- следует воспользоваться
равенством (23) текста.
Мы видим, таким образом, что касательные силы рЕа, рв,;
на плоскости z = 0 действительно равны нулю. Но
нормальная сила не равна р и отличается от него добавочным членом:
210 "№г4 ■
Звіс. Jib IMS. Ы. Е. Жуиоиетспй. Том IV
15

226 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
Член этот содержат множитель Л во второй степени я
потому может быть отброшен наравне с другими
отбрасываемыми автором членами.
Если бы мы захотели принять его во внимание, то у нас
оказалось бы, что свободная поверхность канала в
радиальном разрезе имеет вид не прямой, а некоторой слабо
изогнутой кривой-
11. Имеем U— —gz и, следовательно, на поверхности:
pdU=— pgl ~™J?J = crf?.
С другой стороны, предполагая г и z неизменными, а о
изменяющимся, получаем из (24) путем диференцирования:
dp — р dU -{- с <&> = О,
т. е. dp = Q.
/"23"
12. Имеем I/ -=- = 1,812, поэтому вторая скобка в
равенстве (25) текста равна:
0,188 —~<0.
13. При соотношении j- = —0,433 вторая скобка, равная
0,188-g,
обращается в нуль.
14. Наибольшее ѵ получается при условии обращения
в максимум выражения
Полагая [-г\ = х, ищем максимум величины:
.-(.-4+/?-) (а-/?-*)-
= (1-х)[(2-х)*-Щ.

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
227
Это дает уравнение:
g=_J(2-*)*-^j-(l-*)2(2-*) =
= —(З*8 —10*+-7-)=0.
Отсюда
70± [/702 — 4 ■ 21 ■ 33 70 =£ 46,12
2-21 42
Длл нас представляют интерес значения х только
меньшие единицы. Для таковых имеем:
* = 23,88:42 = 0,5682.
Этому х соответствует
х = ±0,754 А.
Свободная поверхность соответствует z = 0. Здесь ѵ не
имеет максимума. Однако, прилагаемая дальше таблица
показывает, что здесь ѵ больше, чем в других точках
рассматриваемой области.
15. Здесь автор дает значения произведения:
г-Ч
*-ь
16. Об этом течении будет речь дальше-
17. Так как конформное отображение прямоугольника на
окружность нам известно, то такое течение нетрудно
получить при помощи средств, предлагаемых теорией
аналитических функций.
18. В теории аналитических функций доказывается^ что
семейство изотермических линий s всегда может быть задано
уравнением вида:
q = const, (1)
где ^ — некоторая гармоническая функция. Функция эта
непременно входит в качестве составного члена в
аналитическую функцию ^іН""1'?' причем #і — тоже гармоническая
функция, связанная с д равенствами Коши:
дх~ду' ду дх' К)
15*

22S О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ РЕКИ
Уравнение:
qi — const (3)
определяет семейство линий slt ортогональных к линиям s.
Одно из течений идеальной жидкости, совершающееся по
лияиям s, имеет составляющие скорости по осям х и у, равные:
а_^і, „=&.. .(4)
дх ду
Абсолютная величина скорости этого течения дается
выражением:
н0
-/№(£)'■
Одно из течений, происходящих яо линиям s„ задается
равенствами:
причем абсолютная величина его скорости
дх} ^\ду!
на основании уравнения Коши равна скоростям движения,
совершающегося по линиям s.
Следует, однако, заметить, что по линиям s может
происходить не только течение, задаваемое равенствами (4), но
и всякое другое, скорости которого получаются из скоростей
этого последнего при помощи умножения на некоторое
постоянное число- То же самое относится к движению по линиям sr
19. Здесь с небольшими изменениями можно повторить
сказанное в примечании 3.
Рассматривая некоторую точку А, вводим для нее
специальную декартову систему координатных осей, При этом Од
у нас касательная к линиям slt проходящей через точку Л,
Ох параллельна касательной к линии s, a Oz перпендикулярна
к плоскости канала.
Для любой плоскости z = const множитель при и0
становится постоянным и, следовательно, течение, определяемое

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
229
формулой (27), совпадает с одним из возможных, имеющих
потенциал скоростей, течений, происходящих по линиям s.
Это нам дает С = 0.
Величину £ мы получим, если будем рассматривать
цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси z,
и с направляющей — линией slt проходящей через А-
Поверхность эта ортогональна к линиям струй. Поэтому для любого
контура, расположенного на этой поверхности, циркуляция
скоростей равна нулю. Следовательно, £ = 0-
Для
71 ~ 2 \дж дх
дѵ>
имеем д~- — U, и поэтому
дх
1 да А
z
Обращаясь теперь к вычислению V, і\', С,
рассматриваем %, і), С как компоненты поля скоростей некоторого
потока.
Проведя в области этого потока плоскость z = const,
нетрудно убедиться, что в проведенной плоскости поток имеет
скорости, совпадающие со скоростями одного из
возможных, имеющих потенциал, потоков, для которого линии ^
являются линиями течения. Отсюда следует, что £' = 0.
Рассматривая циркуляцию скорости на контуре,
расположенном на цилиндрической поверхности с направляющей
линией s, легко получить, что V —0.
Наконец, равенство:
2\ду dz
Л п й| А
в котором ^-=(J> а "з- = — р-ио» Дает нам:
г, , 1 ^В°
" ~ ~*~ 2 Ай *

230 О ДВИЖЕНИИ ВОДЫ НА ПОВОРОТЕ Р
Итак, окончательно:
і = 0, 'f}=~jsu0' с = °>
& ~2 Ь» '^ '^
20. Автор предполагает, что здесь, как и в предыдущей
задаче, канал расположится ниже плоскости Охд.
21. Рассматриваем прямой цилиндр с образующими
параллельными оси 2 и пысотои, равной dz, у которого в
основании лежит элементарный криволинейный прямоугольник,
образованный ортогональной сетью линий s и su со сторонами,
равными ds и dst (фиг- 7). Вычисляя отнесенное к единице
времени приращение количества жидкости в ѳтом цилиндре
к приравнивая его нулю, получаем:
или по сокращении:
дѵ> , 1 д (у ds) __ п
dz ds ds^
22. В равенствах (1) текста, написанных для декартовой
системы координат, мы, на основании сказанного в
примечании 7, можем опустить все прэизводные, кроме производных
по z. В получающихся в результате этого равенствах:
величину-ч- следует положить равной нулю- Таким образом
имеем:
Точно так же равенства (2) текста переписываем:
5 2de,r| 2<Ѵ ^ -U'
или
с— п и/— _
4А2 й* '
б'-о^'^-^Й^'-о.

ON THE MOTION OF WATER AT A TURN OF A RIVER
In this article, which appeared in 1914, the problem of the
flow of water at a turn of a river is treated. The liquid is
assumed to be viscous, the depth of the river small as compared
with the width, and the cross-section rectangular. This last
assumption can be replaced by a more general one, since the analysis
given is applicable to any cross-section in which over the greater
part of the width the bottom is a horizontal straight line.
The author takes up first the case when the banks of the
river are defined in plan by two concentric circular arcs. Such
a problem has been solved already by Boussinesq. While
expounding the analysis given by Boussinesq the author uses his own
original method.
He introduces the idea of a curl of the second order (curl curl
W=R'~\-}r[-{•}£.') i, І. e. curl of a curl (curl to ■=> й ■+-/»] + Ю
of the velocity (W = iu-\-jv-\-kw) reducing the usual equations
of Stokes-Navier to the form represented by formula (3) on p. 196.
From these equations the author concludes, that in order
that the viscous motion might exist, it is necessary that the
vector having the components
2pC»: — on)) — 4W, 2р(яй — иЦ—4№r\ 2p(irn —w$) —4ЯИ",
i. e. the vector
2рИ?Хсиг1Г-~4г7 curl curl W
should be the gradient of a certain function.
The properties of this vector are used by the author in his
solution of the problem of Boussinesq, where he systematically
1 By the letters i, /, к are, es usual, denoted, the unit vectors taken along
the coordinate ares.

232
SUMMARY
omits all the terms Involving the powers higher than the first of
the ratio kjb, where k is the depth and b the width of the river.
The author comes to the conclusion, that the motion of water
in the river in the case considered is made up of two streams.
The velocities of the first or the main stream are given by
equality (4) on p. 197 and are directed along circumferences. By
puttings' const there is obtained in the corresponding plane the
velocity distribution characteristic for the flow of an perfect
liquid.
The second stream is a displacement of the particles of the
liquid over the cross-section of the channel, the upper layers being
carried away by the current from the centre of curvature of the
path of the main stream (the centrifugal velocities), while the
lower ones, which are nearer to the bottom, move in an opposite
direction (the centripetal velocities). The surface of discoutinuits
between the layers moving in opposite directions Is at a depth
equal to 0,433 of the depth of the river-
All these conclusions, which for the case of a circular turn
of the river were arrived at by Boussinesq, in the second part
of the work are extended to the case of a turn having other than
a circular shape, in which case the lines of flow form a certain
isothermal family, chosen beforehand.
The velocities of the main stream are now expressed by
formula (32) on p. 207, being no the velocity of motion with a velocity
potential corresponding to the set of isothermal lines chosen. It
is easily seen that in this case too the velocity distribution for
z = const corresponds to a flow having a velocity potential.
Upon the main stream there is superimposed another
additional stream where the velocities are considerably less) and which
forces the upper layers to move in a centrifugal direction, and
the lower layers — in a centripetal direction. The velocities of
this stream are given by equalities (39) and (41) on p. 209-
The conclusions obtained from theoretical considerations are
supported by several photographs of streams. These photographs
were taken in 1912 in the Laboratory of the Moscow High School
of Mechanical Engineering by prof. I. I. Kukolievsky.
In the concluding part of his article prof. Joukovsky supposes,
the Reynolds number to be high and on the ground of this

SUMMARY
233-
supposition omits in equalities (3) on p. 196 the terms
depending on the curl of the second order.
The motion in this case is turbulent, hence the author, for
evident reasons, does not attempt to obtain an analytical solution
by integrating the equations of Stokes-Navier. The problem
which he undertakes to solve is a simpler one: having assumed
a certain arbitrary relationship — e. g. relationship obtained as
a result of an experiment between the velocity of the main stream
and the depth of the layer under consideration [see formula (44)
on p. 214], he shows that the secondary motion must be chosen
so as to balance the inertia forces 2{-u'i\ acting along the vertical.
Oz, and gives an exact method by which such a flow can be
determined.
In the same way as it was in the cases previously considered,,
the secondary motion forces the upper layers to move towards
the concave bank of the river and the lover (the bottom),
layers—towards the convex one.

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ ХОРОШО
СМАЗАННЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(1886 г.)
§ 1. Читая обширные теоретические и опытные исследо-
-вания проф. Н. П. Петрова1, мы встретились с одним
затруднением, на которое хотим обратить внимание читателя
этой заметки. В основу своей теории автор берет задачу о
^движении жидкого слоя между двумя вращающимися
концентрическими поверхностями круглых цилиндров в предположении,
что гидродинамическое давление вдоль всего слоя постоянно;
во всех же приложениях он имеет дело с подшипниками, в
которых упомянутый слой в некоторых местах находится под
атмосферным давлением, так что по смыслу рассматриваемого
движения жидкости давление вдоль всего слоя должно быть
тоже равно атмосферному давлению. Откуда же берется сила,
уравновешивающая давление шипа на подшипник?
§ 2- Если предполагать, что покоящийся шип находится
в непосредственном соприкосновении с подшипником и сма-
..зочный слой образуется вследствие движения шипа, то это
может случиться только при таком движении жидкости, при
котором гидродинамическое давление возрастает при переходе
лнутрь слоя. Такое движение будет значительно отличаться
■от того, которое исследует проф. Петров, Оно могло бы быть
.получено при рассматривании движения весьма тонкого
жидкого слоя, заключенного между двумя неконцентрическими
цилиндрическими поверхностями- Но ввиду трудности
подобной задачи мы укажем здесь на один простой случай, в
котором мог бы быть объяснен гидродинамический напор, подни-
1 Журнал Русского физико-химического общества, т, XVI, стр. 14, 176,
"29і, и т. XVII, стр. 20; „Инженерный журнал", 1883; .Известия С.-Петербург-
іского технологического института", 1885.

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ 235
мающий подшипник. Пусть (фиг. 1) к шипу А, обильво
смазываемому маслом, прижимается подшипник В посредством
груза Q,
прикрепленного к концу
рычага DC.
Нижняя часть
подшипника состоит из
двух
пришлифованных к шипу
узких частей аЬ
и cd и широкой
бороздки be.
Предположим, что эта Фиг. 1.
бороздка
наполнена маслом и шип приведен по направлению часовой
стрелки в быстрое вращательное движение; при этом
рычаг DC немного повернется около- своей точки опоры С
вверх, и масло, увлекаясь трением, будет по каналу ah
входить с возрастающим давлением в пространство Ьс и утекать
из него с убывающим давлением по каналу cd. Примем
приближенно, что каналы аЬ и cd имеют постоянные толщины
ѣ и е', находящиеся в соотношении:
.' = &,
(1)
где £ зависит от длины плеч рычага, и исследуем течение
масла по этим каналам. Уравнения гидродинамики,
отнесенные к полярным координатам г к <р, имеющим полюс в 0, н
на*писанные в предположении, что частицы жидкости не имеют
скорости по г, будут О)1;
др и1
др I д*и
Іди
г дг
и
,4 І>
<2)
См, примечания п конце статьи. Прим. ред.

236 О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
где р — гидродинамическое давление, р — плотность жидкости,
V-—коэфициент внутреннего трения, а и — скорость частицы
жидкости. Последнее уравнение, полученное из условия
несжимаемости, показывает, что и зависит только от ;-.
Принимая это во внимание и интегрируя первое из уравнений (2J,
находим, что
где q есть функция одного w. Определив из формулы (3)
частную производную:
dq_dp
d<? dtp
и подставив ее во второе из уравнений (2), умножаем его
на г и берем от обеих частей частную производную по г.
d ( duu . du и\ n
a-r[rd^^rr-7j^0-
Отсюда получаем диференциальыое уравнение:
cfa« t 1 du и ___ к ...
в котором постоянное к не зависит ни от и, ни от г.
Для определения этого постоянного к составим формулу
гидродинамического давления. Так как по уравнению (4) и
второму из уравнений (2) производная ■£ или, что все равно,
da
производная ~ есть рк, то
д = рк'-о-\-const,
следовательно, по уравнению (3J:
Р= Р I ~ ^ Ц-рй? 4" const. (5)
Замечая теперь, что в точке а давление жидкости равно
атмосферному давлению р0, а в точке b оно равно некоторому
давлению РоЛ~Рч найдем по формуле (5):
*=-£Ц (6)

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ 237
где <Рі — величина дуги аЬ в долях радиуса. Принимая cd = ab,
найдем для движения по каналу cd подобным же образом, что
*=-^. (7)
Отыскание общего интеграла уравнения (4) не представ:
ляет никакого затруднения, но так как мы имеем здесь дело с
весьма тонкими слоями, в которых и изменяется очень быстро,
радиус же г остается почти постоянным, то будет удобнее
положить в уравнении (4) г = а, где а есть радиус шипа, и
dv=d (a-j-x). Получим линейное уравнение с постоянными
коафициентами:
d2u ,lda a __ к
общий интеграл которого будет такой:
и= — ka~\-Cem-\- Cttf*; (9)
здесь к и Р суть корни уравнения:
* + 7-£e0- (10)
Для определения постоянных С и CL надо выразить, что
на поверхности шипа и подшипника силы внешнего трения
уравновешиваются тангенциальными слагающими сил
внутреннего трения. Мы примем для простоты, как это делается в
трубках Пуазеля, что коафициент внешнего трения весьма
велик сравнительно с ковфиуиентом внутреннего трения, так
что на поверхности шипа при х = О положим h = w, где ч> —
скорость шипа, а иа поверхности подшипника при х = е
поломим и = 0.
Таким образом получим, что
С~\-С1 = ѵ + ка,
Се^ + С^^Іа,
откуда
•о + ка „ ка .
С = -,
•&
е?' — е" е$" — е"
■о~\-ка ., . ка
С = -
1 gjle„_g« с I е{ІЕ gun
(И)

238 О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
Подставляем эти величины постоянных в формулу (9):
и= — ка-\- ѵ ——
-е"
е*
Разлагаем в этой формуле первую дробь до членов
нулевого порядка относительно малых величин е и *(й):
еР-+«Е— e°a+frc ^ (|3 — g)e — (р—а)х _ _ х
вторую же дробь мы разложим до членов второго порядка
относительно &кх, так как будем принимать впоследствии к за
_1
S2
большую величину порядка —а-.
Мы имеем:
efs еис е«г е^ж еяя . ерет
_|_
і (ре™ — а&) -f -^ (рѴ» — « V) -f -5- (рве"" — eW)
*(?-a) + ~(Pa-«3) + f №в-«°)
й"0> _- ЖЯ
і-«ФѵЧ-^- о
Так как по уравнению (10)
то „£=__,
ePi — e» efh — e-—Зо-^ "'"Г*-
Подставляя найденные величины дробей в формулу (12),
найдем для скорости и следующее, простое выражение:
ѵх , kx^ ksx /1Q\
и = ѵ ^.__.„ _-. (13}
в ' 2а 2а
Пользуясь этой формулой, легко определить силу трения
на поверхности шипа аЬ = $:

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ 239
а также и количество масла, протекающее через разрез-
канала аЬ:
<2 = /^^-g. (15).
о
Для получения же аналогичных формул для канала cd'
мы должны будем заменить е на / и переменить знак при к.
Принимая во внимание формулу (1) и замечая, что
количество масла, притекающее по каналу ab, должно равняться
количеству масла, утекающего по каналу cd, найдем из
формулы (15) соотношение:
«(l-O-^a+s3)-', (16).
иа которого следует, что толщина слоя е будет:
Е^|/ 1-н3 V к-
Подставляем сюда величину к из формулы (6) и полагаем:-.
/
6(1—У
получаем
W (17)'
Входящий в ату формулу избыток рх гидродинамического
давления над атмосферным определяется по моменту груза.
Q и моменту силы трения относительно центра С.
Пренебрегая малым моментом силы трения перед весьма большим-
моментом груза Q, можем написать:
где п есть некоторое постоянное, зависящее от. устройства
рычага CD.
Полная сила трення на окружности шипа, на основании
формулы (14) и аналогичной формулы для канала cd, будет:;
г-Щі + \).+%М.-*

240 О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
или, по формуле (16):
' ■ 1 , 3(1-Е) (1-Е) «
' + !' 1 + Р а
F=^
F=^
i + г
А так как в еличина -, равная отношению толщины
масляного слоя к радиусу подшипника, должна быть невелика,
■то, опуская ее, получаем окончательно:
1 , 3(1-£)(!-£)•
1+Р
Подставив сюда величину е из формулы (17) и положив
.для сокращения письма, что
іг , і , за-0(і-о
1_^Е ' 1-И3
.найдем окончательно:
уг=С /цаврг (IS)
§ 3. Перейдем к предположению, что покоящийся шип,
несмотря на большую силу, прижимающую его к подшипнику,
отделен от него во всех своих точках смазочным слоем.
Отсутствие металлического соприкосновения шипа и подшипника
могло бы быть здесь объяснено только образованием в
смазочном слой большого гидростатического давления от
действия молекулярных сил. Представив это гидростатическое
давление через Рц-\-рі, где р0 выражает попрежнему
атмосферное давление, a plt вообще говоря, будет некоторой функцией
■места, мы можем решить задачу о движении жидкости в
нашем слое при вращении шипа следующим образом: сначала
об интегрировать уравнения гидродинамики, принимая
гидродинамическое давление равным р0 и пренебрегая действием
молекулярных сил, потом принять, что найденное движение
:жадкости имеет место при молекулярных силах, изменив
■в нем только давление ив р0 на ра~\~Рі- Эта точка зрения
совпадает, по нашему мнению, с теорией проф. Петрова.
Из сравнения своей формулы силы тревия с опытами
Кирхвегера и Терстона он принял в своем приближении
а }/Рі = const, (19)

О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ 241
где е — толщина слоя1. Если бы эта эмпирическая формула
оправдалась и при более тщательных опытах, то для
решения вопроса о трении оставалось бы только определить
величину const в зависимости от постоянных капиллярности
вещества масла, шипа и подшипника; но, к сожалению, при
более тщательных опытах оказалосьа, что езависит не только
от статических условий шипа и подшипника, но и от и и !>-,
что уже противоречит взгляду, принятому в основание этого
параграфа. Другое дело будет при динамическом образовании
смазывающего слоя, как это видно из формулы (17),
дающей при постоянных ^, ѵ и s то же соотношение между
s и pL, как формула (19) (в). Кроме того, не следует забывать,
что, допуская гидростатическое давление, поддерживающее
шип, мы входим в новую неисследованную область
молекулярных явлений, так как все изученные до сих пор явления
имеют свое объяснение в поверхностных натяжениях жидкости,
а для тел, вполне погруженных в жидкость, доказывается
закон Архимеда, принимая во внимание действие молекулярных
сил ■'. Правда, ато доказательство неприложимо, когда тело
приближается к дау сосуда на расстояние, при котором, по
мнению Пуассона, молекулярные силы изменяют плотностьжид-
кости, но будет ли такова толщина смазочного слоя, которая
в различных опытах, описанных в последней книжке проф.
Петрова, изменяется от 0,5 до 0,001 мм?
Эта статья была напечатана впервые в „Журнале Русского физико-
химического общества", т. XVIII, 1886| вторично — в „Труден ЦАГИ",
вып. 95, 1931 г. При переиздании работа была снабжена примечаниями
П. А. Вальтера, сохраняемыми в настоящем издании. Примечания П. А.
Вальтера печатаются ниже. Прим. рвд.
Примечания
1. В дальнейшем автор, употребляя уравнения движения
вязкой жидкости, пишет их то в одной, ТО в другой
упрощенной применительно к случаю форме. Чтобы позволить
L „Журнал Русского фивико-химического общества", т. XVI, стр. 17.
2 „Известия С.-Петербургского технологического института", 1Й85,
стр, 330.
8Давндон, Теория капиллярных явлений, М., 1851, § 33.
Эиіі. № 1703, Н. Ж Жукшіскітіі. Том IV ',6

242 О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
читателю более легко обозреть эти различные по виду, но
однородные по существу формулы, напомним следующее.
Уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости,
написанные в общем виде, будут (см. H.Lamb, Hydrodynamics.
Cambridge 1924 г- и П. Аппель. Руководство теоретической
механики, т. III, М. 1911 г.):
Da ѵ \др .
Dt р дх '
Dv ѵ 1 др . .
Dt р дуп
Dm „ 1 dp . ,
ut p dz '
(А)
В этих формулах через и, ѵ, w обозначены составляющие
скорости частицы жидкости в прямоугольной системе
координат; через X, У, Z—такие же составляющие силы
действующей на частицу жидкости, отнесенной к единице объема;
через р — давление жидкости; и, наконец, через ѵ —
кинематический коэфициект трения жидкости.
Кроме того, знак j=?z обозначает производную от
составляющей скорости по времени t при условии следования аа
движущейся частицей, а знак А — лапласову производную от
функции. Например:
л _д*и,Ри,д*и
*и~W'Tд&'Т-дз* ■
Пользуясь условием несжимаемости, жидкости:
да . дѵ . (ко
последнее выражение можно преобразовать к другому виду.
Имеем :
а~дх*Л dy*+dz*'
0—AL (^-L — -L—\ — ^а I д3« г д «*
дх\дх~і~дд~*~ дх) ~дх*^дхдд + 4хдх'
Поэтому, вычитая второе равенство из первого, получим:
д_ /да дгі>\
dz \ dz дх)'
■ д_/да дѵ\ .
~~ду\ду dxj <

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
243
Обозначим компоненты вихря (curl) вектора скорости
буквами Е, Ч|, £. Они даются нам формулами:
dw дѵ ди dw „ дѵ ди
6 =
ду dz
ч
ск
Т-ШІ j <-l IS ѴЦ
дх'
ах ду'
Обратим внимание, что при этом мы различаем, как это
делается в векторном анализе, вращение частицы и вихрь
скорости. Первое в два раза меньше, чем второй.
Выражая Ди через £, f\, ~, будем иметь:
Ли;
дЧ dz'm
И точно так же:
. /Й дИ
д.__ _„_
Дя»= —
ді
'?9І'
Отсюда следует, что величины Да, До, Дш — суть
составляющие вихря вектора (Е, і], С) взятые с отрицательным
знаком. А так как сам вектор Ё, і], С есть вихрь скорости,
то можно сказать, что вектор Дм, &ѵ, Ди» есть вихрь вихря
скорости, взятый в обратном направлении-
При помощи полученных формул равенства (А) принимают
вид:
1_д_Р
[і дх
гдр
~рду'
Ідр
Da
= г-
Dv_
Dt
Dtu_ ~ ^jsy ч
Dt ~ р dz
ѵ т-
Л
ду
ді
dz
Л,
дх
(В)
Если теперь мы применяем, как это делает автор в тексте,
ие прямоугольную, а цилиндрическую систему координат и,
соответственно с этим, введем в рассмотрение w„ tu№, гог —
проекции скорости на радиус, касательную и ось круга, и
R, U, Z — проекции силы на те же направления, то прежде
16*

244 О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
._. Du Dv
всего в равенствах \а) надо заменить выражения: -f7i> fn
Dt
выражениями:
w*
Dt
Dw„
1 Dt
wjw„
Di
' Dt
где r—радиус окружности, соответствующей рассматриваемой
D
точке, а =~-—операция, определяемая символическим
равенством: ■
D д . д . д , д
Затем компоненты вихря по координатным направлениям
будут в атом случае:
dw„. дщ_ь
dz '
К
^г _
гд<?
\
1 — ^wr ^5
" ~ dz дг '
к
дг гд<? г
(С)
А компоненты вихря ог вихря вычисляются при помощи
аналогичных равенств:
(D)
' і-д<?
r дК
Ки dz '
л* дг
"■■и
dz '
дК
dr '
ПК ,К
Таким образом в окончательной форме равенства (В)
в цилиндрических координатах принимают вид:
Dt г ~К 'рдг
дК
' ді
Di
■a>f<wu
Dt ~г
£
rdf
р го1» \ dz дг
р дг \дг г д'.р ^ г
<Е)

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
245
Кроме того, условие несжимаемости жидкости, выраженное
в цилиндрических координатах, дает уравнение:
Все указанные здесь, относящиеся к цилиндрическим
координатам, равенства выводятся сами собой при помощи
формул преобразования координат.
Читатели, затрудняющиеся сделать этот вывод
самостоятельно, могут найти его в книге А. В, Basset A Treatise on
Hydrodynamics, V. I, Cambridge, 1888, или же в книге
A. Stodola, Die Dampfturbinen.
Для случая, рассматриваемого в тексте, все производные
по z и f равны нулю; кроме того: R=U—Z~0 и tvr=we=0;
w„ = u. Поэтому \, = XK = 0; ^г —з—I—> и затем:
Did, __ Рщ Dwa ди_
~DT~ Dt~ ' Dt~~u7d^m
В силу указанного равенство (Е') даст нам:
равенства же (Е) принимают вид:
р дг г
prcb
Чтобы получить отсюда равенства (2) текста, достаточно
заметить, что ѵр = ^ — коэфициенту вязкости жидкости.
2. Величины « и р, как это видно иа равенства (10), имеют
конечные значения, равные количествам:
■ У5-1 /5+1
2а ' 2а •

246 О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
3. Замечая, что х — величина одного порядка малости с з,
и ограничиваясь в разложениях по х членами третьего порядка,
мы легко получим:
е(Ре""— аеР») -f % (рѴ8 —- а Ѵ№) -\- *-($ Vя — aV*) =
При этом очевидно, что, вычисляя величину выражения
мы, благодаря присутствию множителя-^-, можем ограничиться
одним первым членом разложения по степеням х. Точно так
же в выражении ^(^е"1—а-е^*) можно ограничиться двумя пер-
выми членами разложения по х и т, д.
Из написанного равенства затем следует, что
~1+ 2 в (ft —в) ' 2<" J-
Отсюда без труда следует приводимое в тексте выражение.
4, Речь идет об окружной силе, равной моменту сил
вокруг точки О, деленному на а.
Направим ось л: по г, а ось у по касательной к
окружности шипа. Тогда сила на единицу элементарной площади
жидкости di) dz, направленная по оси у, будет равна (см. Lamb,
Hydrodynamics, Cambridge, 1924):
(дѵ , ди\
где ѵ и и, как объяснено выше,— составляющие скорости по
осям у и х.

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
247
Вводя цилиндрическую систему координат, будем иметь:
да dw, oj„
дѵ _ dw„
дх~ дг
Поэтому
Такая же сила, но в обратном направлении, действует на
единицу площадки шипа.
Обращая внимание на то, что для площадки, прилегающей
п дя>ѵ да
к шипу, мы имеем: w„ =«, «ir —U, —^-л—~т~> иі наконец,
х = 0, мы без труда получим формулу (14) текста.
5. Автор хочет сказать, что выведенная им формула (17),
давая закон, изображаемый равенством (19), в то те время
объясняет, зависимость входящей в это равенство константы
от [t и ѵ.

ON THE HYDRODYNAMICAL THEORY OF FRICTION OF WELL
LUBRICATED SOLID BODIES
This article is at present chiefly of historical interest. From
the article it may be seen that already in 1894 prof. Joukovsky.
under the influence of the works of another Russian scientist
prof. N. P. Petrov, turned his attention to the theory of motion
of the lubricant in a bearing.
In his article prof. Joukovsky objects to the views held by
prof. Petrov, who maintained that the ability of the lubricant to
counteract the pressure exerted upon it by the shaft was due
solely to the effect of molecular farces, which owing to the
extremely small breadth of the clearance between the journal and
the bushing:, are brought into play and prevent the lubricant
from being; forced out notwithstanding the high intensity of the
pressure.
If рх is the additionary pressure developed by the lubricant
due to the molecular forces, and г —the thickness of the layer,
then the relation between these two quantities, according to prof.
Petrov, is expressed by formula (19).
Against these considerations prof. Joukovsky advances the
theory of dynamical balance of the journal pressure, which theory
is in perfect agreement with modern views on this subject.
The possibility of a dynamical balance of a shaft is proved
by prof. Joukovsky on the particular example of a bearing
working as shown on the diagranvof fig. 1. In this case the lubrication
layer is formed along the joints ab and cd only constituing
a small portion of the circumference of the journal. Between the
joints ab and cd there is a large cavity which is rilled with oil
under pressure as the shaft rotates and it is this pressure that
counteracts the pressure Q of the journal.

SUMMARY
249
Having written the corresponding; equations of Hydrodynamics,
the author performs the integration by an approximate method'
based on the fact that the thickness of the layer along ab and
cd is small hence the terms involving the squars of this quantity
can be omitted. He is enabled to prove, that the magnitude of
the elevated pressure p acting on the lubricant in the cavity
between the joints ab and cd is determined by the conditions
or equilibrium of the load Q and that it is due to this
complementary condition only, that the problem becomes determinate-
as it makes possible the calculation of the values of the constants
on which the solution depends.
The circumferential force which determines the resistance
couple acting on the shaft is given by expression (18) and the
relation between the thickness of the layer of oil e and the
excess pressure in this layer—by formula (17). This formula
agrees in form with that given by Petrov (formula 19), but in.
Joukovsky's formula the constant depends on the design of the
bearing and on the arrangements of its parts.
Such a relation is supported by experiments, which according*
to prof. Joukovsky should not have been the case, if the excess
pressure were due to the molecular forces which are independent
on the motion of the layer, and not to the dynamical actio»,
of the viscous layer.

О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ЗАКЛЮЧЕННОЙ
МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИШИ
П.ИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
{1887 і.)
§ 1. В нашей заметке „О гидродинамической теории трения
хорошо смазанных твердых тел" х мы указали, что движение
.жидкости с трением между двумя концентрическими
цилиндрическими поверхностями не может объяснить гидродивами-
ческий напор, который необходим для ураішовешивания силы
давления шипа на подшипник, и заметили, что подобный
напор можно бы ожидать при движении вязкой жидкости между
двумя эксцентрическими поверхностями круглых цилиндров.
Нам удалось теперь найти решение задачи о движения
весьма вязкой жидкости, заключенной между поверхностями
двух эксцентрических круглых цилиндров, вращающихся около
своих осей, не стесняя ее малой разностью радиусов цилиндров,
причем оказалось, что при таком движении действительно
проявляется сила действия жидкости на внутренний цилиндр,
направленная перпендикулярно плоскости, проходящей через
оси цилиндров.
Но, к сожалению, найденный нами интеграл еще не
представляет полного решения вопроса, так как в нем
устанавливается некоторая связь между скоростями вращения цилиндров.
Вследствие этого мы решаем задачу проф. Петрова только
в предположении, что шяп я подшипник вращаются с равными
скоростями в противоположные стороны. Кроме того, мы
прилагаем наше решение еще к одному частному случаю,
интересному с теоретической стороны.
„Журнал Русского физико-химического общества*, т. XVIII, стр, 209)

О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 251
■ Начинаем изложение с напоминания теории неймановых
координат, которая легла в основание нашей работы.
§ 2. Отложив на
оси Ох
прямоугольных декартовых
координат точки F и F'
(фиг. 1) на
расстояниях -\-а и —а. от
начала координат
выразим параметры 8 и?
рассматриваемой
изотермической системы
криволинейных
координат с помощью
положения:
. ft + 91 =
(1)
'лН-а-р-гд'
Если /■ и / суть расстояния точки плоскости М от F и F',
а а и а' — углы, образуемые этими радиусами с осью Ох, то
х — а = гсозз, y = /-sin«, х-\-а~ г'cosa\ у = / sin a', (2)
так что
+ <pi = Jg: 4 + (« — «')/
lg—, О =!«-—«',
(3)
Вторая из формул (3) показывает, что ? есть угол,
заключенный между радиусами г и /, так что семейство
координатных линий » = const представляет окружности,
опирающиеся на хорду FF*. При этом следует заметить, что, идя
по какому-нибудь замкнутому контуру AMBN, пересекающему
хорду FF', в направлении, обратном, часовой стрелке, мы
получаем такое изменение угла и>: от А до Б ^ 9 изменяется
от 0 до s а от Б цо А — от к до 2*\
Первое из равенств (3) показывает, чгр второе семейство
криволинейных координат, ортогональное первому и имеющее

252 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
уравнение Я—-canst, представляет тоже окружности, центры
которых расположены по оси Ох вне хорды Ft .
Действительно, проведя через точку М прямую МС, так чтобы
^FMC = ^CFM,
найдем из /\FMCco /\F'MC, что
€£ — £ ^ — L
МС г' МС /'
откуда (!) и.
--VL,
7~? 7~?
Положив здесь МС = р, ОС = йи пользуясь обозначениями
гиперболических функций, найдем по второй формуле (3), что
?^£т)'^ас&Ъ. (4)
Таким образом при постоянном ft величины р и 8 постоянны,
что доказывает желаемое.
Составим первый диференциальныЙ параметр найденной
системы координат (3). Для этого определим х и у через
11 и '-о. Из формулы (1) имеем:
х — а-\-ді = е~"'(соя? -^-/sin<p) (x-\-a-]-gi).
Сравнивая здесь действительную и мнимую части и решай
полученный уравнения относительно х и у, находим (а):
chtl — cosf j ,c\
sin w I
* сЬй — cos?" j
Теперь мы можем составить первый диференциальный
параметр И, пользуясь функциями х или у- Воспользуемся
последней функцией:
dg cos f ch fl — 1 1
dif sin?sh&
d\\ "(chS — cos?)3
(6>
Си. примечания в конце статьи. Прим. ред.

О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 253
Х-(кУл-(длѴ-
scosa?chn4-(l"CQ52?)(ch2& — l) — 2coaychft+l
(cb й — cos у)11
откуда
Я=£(сЬ» —соя?). (7)(4)
§ 3. Переходям к нашей задаче. Воображаем (фиг. 1), что
круги АМВ и А'М'В' представляют перпендикулярные
сечения двух цилиндров, вращающийся около своих осей С и С,
и исследуем движение вязкой жидкости, заключенной между
ними. Предположив, что жидкость имеет небольшую плотность
и весьма значительную вязкость, мы будем (как это делается
в большинстве из решенных задач по движению вязкой
жидкости) пренебрегать силами инерции перед силами трения (в)
и писать уравнения гидродинамики в виде1:
др_ /д%, <?Ѵ
др_ /ёР«, 0Ѵ
ду *\дх*~т~д^
где р — гидродинамическое давление, [і — коэфициент
внутреннего трения, а а и ѵ — проекции скорости жидкости на оси
Ох и Од. Называя через ев вращение частицы жидкости,
напишем:
и заметим, что на основании условия несжимаемости
о*Г дх^ду*'
дц \дх% "^ ду*
1 Если бы на жидкость действовали внешние силы, имеющие силовую
функцию, ТО ОНИ не повлияли бы на движение, а только иаиенилн бы
давление р, прибавляя к нему еоответственное гидростатические давление

254
О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Подставляя это в вышенаписанные уравнения движения
жидкости, найдем:
Й2ш __ 1 др \
' ду рдх' J
Эти уравнения будут удовлетворены всякий раз, как 2«
и - явятся действительной и мнимой частями некоторой про-
извольной функции от х-{~уІ. Так как по формуле (1) х-\-і;і
есть функция от
— і( —& + т/) = ? + Н
то попробуем удовлетворить задаче полояіением:
2т -j- — і = т -f- пі -j-1 cos (о -\- ■! г),
где т, п, I—некоторые постоянные величины.
Сравнивая действительные и мнимые части, найдем:
2ui = m-|-/castpch в,
р- = п —/з"і?яЬ». (Ю)
!1
Известно, что функция w определяет до произвольного
постоянного функцию течения жидкости в двух измерениях
внутри данного контура; найдем это течение.
Называя черев ^ некоторую функцию х и д, удовлетворим
условию несжимаемости положением:
и найдем, что
'} = const
представит семейство линий тока искомого течения.
Подставив формулы (11) в формулу (8), найдем, что

О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 255
а переходя к неймановым координатам и пользуясь
формулой (7), получим:
2„ = (^-)!(g+p). (12)0
Таким образом отыскание функции 6 приводится на
основании формул (10) и (12) к интеграции уравнения с частными
производными:
^_L-^— am-|-/cos»ch_jl .,„-.
д№ Г#?э а (chil— cos?)a ' ^ '
Чтобы найти интеграл уравнений (13), удовлетворяющий
граничным условиям нашей задачи, сделаем подстановку:
где 0 есть функция одного Ь. Найдем:
(сы^.И^^
° (сЫ> —cos?)» U*
Сокращая знаменателя и сравнивая между собой члены,,
содержащие и не содержащие cos <р, придем к заключению,
что Q должна удовлетворить двум диференциальным
уравнениям:
Jan ' f (15)
Общий интеграл первого из этих уравнений будет:
где к и /' — произвольные постоянные (э); подставляя его во-
второе уравнение, найдем, что
аЧ'сЬа —оУсЫК10),

256 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
так что при /' = / удовлетворяем обоим уравнениям (15). Та-
<ким образом мы удовлетворим уравнению (13), представляя
уравнение (14) в виде:
a«(m + 0
¥=■
'2к~ Л)
т + 1
sh&^-ch*
2(ch & —- cos ?)
(16)
Для того чтобы наши граничные круги AMBN и A'M'B'N',
параметры которых назовем через &, и &в С11), были линиями
токов, необходимо, чтобы при 9 = 8^ и & = Йа функция ty не
зависела от '■?, т. е. чтобы числитель ее при этих значениях
обращался в нуль. Для удовлетворения этому условию мы
должны выбрать постоянные т, I, к так, чтобы (12):
/ cth»8— cthf>t
m-\~l
». — ».
_2t__ = ftlCtbft,— l>,cthfti
(17)
Найдя функцию <\, мы можем теперь легко определить
Проекции ffl и 9 скорости ^очек жидкости на касательные
к координатным линиям 9 = const и <? = const. Считая эти
касательные направленными в те стороны, в которых параметры
возрастают] найдем, что они образуют с осями углы,
выражаемые косинусами (іа):
Н
— Н
дх
■яд/,
да'
Я%
вследствие этого по формулам (11) находим:
А
да— — Н
Я=И
ді>
(18)

О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 257
Подставляя сюда і/ из формулы (16), получим (І4):
/О
HI
_ а(т±£\2к
- 2 [ 771 + '
оЫг + яЬв-
т
4?*«] +
+
a(™ + 0[^7"sh* + ch»
sh»
— a(m-\-l)
2 (oh Й- — cos <p)
m.
9 =
~7~7~ sh & -f- ch ^ I sin <s
2(ch*>—cos?)
(19)
Очевидно, что неличина q обращается в нуль при й = йІ
и ft^&ai что же касается чѵ, то при этих значениях она не
зависит от ©, так как второй член первой из формул (19)
обращается при них в нуль. Если теперь назовем черезо^исоа
скорости на окружностях наших вращающихся цилиндров
AMBN и А'М'В N' (,в) и примем коэфициент внешнего
трения неизмеримо большим коэфициент а внутреннего, то для
удовлетворения всей граничным условиям остается только
положить (16):
_"(m + fl ЬКГ 1 , cthfr.-ctbft,
" 2 ""'А'Ѵ
И»і
ша =
__ а(т±0_
sh%
ctb&«
iha*b>
Л, — 8,
(20)
Так как из двух произвольных постоянных т и I
вследствие формул (17) произвольным остается только одно, то
из двух скоростей ѵ>і и оіа мы можем принять одну
произвольную, но ее нельзя положить равной нулю.
Перейдем теперь к определению сил действия жидкости
на внуіренний цилиндр и заменим их некоторой силой Р,
проходящей через точку С, и парой с моментом L, причем
ту и другую относим к единице длины цилиндра, a L
считаем положительным; если он вращает по стрелке часов.
Понятно, что на внешний цилиндр жидкость будет действовать
с противоположной силой и парой. Назовем через NaT
нормальную и тангенциальную составляющую силы действия
жидкости на элемент поверхности внутреннего цилиндра, от-
Зак. X. 1709. Я, Я, Жукоооинй, Тож IV
17

258 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
несенные к единице площади. Силу TV будем считать
положительной по направлению к центру цилиндра, а Т—по
направлению движения часовой стрелки. По известным
формулам найдем:
/Ѵ=р— 2|«, Г = 2|«а, (21)
где е есть коэфициент удлинения по направлению радиуса
внутреннего цилиндра, ,а 2з есть коэфициент скошения
прямого угла между этим радиусом и касательной к кругу
A'M'B'N', направленной по движению часовой стрелки (17J.
Так. как скорость іи на поверхности внутреннего цилиндра
постоянна, то линия тока, бесконечно близкая кругу A'B'M'N',
будет представлять концентрический с ним круг, и потому
е = 0 (18)- Что же касается о, то простое геометрическое
соображение показывает ', что
1 «>2| / ,,<&> \
Ра ' \ rf»7if
где р2—радиус внутреннего цилиндра, а значок 2 во втором
члене показывает, что надо положить в = й3(10). Пользуясь
формулами (4) а (19), найдем:
2*= /ch&2(ch&e — cos?). И
Подставляем в формулы (21) найденные значения е и я, а также
величину р из формулы (10):
Г=ц/сЬ&я(сЬ&» — cos<p). / *■ }
Теперь уже легко определить Р и L. Так как для точек
цилиндра, имеющих координаты <р и 2* — <р, переменные части
силы N равны по величине, но противоположны по знаку,
а переменные части силы 7* равны и по величиие и по знаку,
то сила Р будет параллельна оси ОУ. Если условимся эту
силу считать положительной вверх на фиг. I, то "(а1):
2 и
Р = — /[!■ І ( sh &а sin <р -fr — ch 0a cos y~\da,
1 Си. сочинение автора: О движении твердого тела, имеющего
полости, наполненные однородной капельной жидкостью, «Журнал Русского
физико-химического общества:', т. XVII, стр. 254.

О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 259
или, по формулам (6) {&):
2-
J (ch&a — cos»)2
о
J J (ch i>2 — cos?)2
и u
Подинтегральная функция последнего интеграла, как видно
иэ формул (6), есть dg, и потому этот интеграл между
данными пределами обращается в нуль; первый же интеграл
легко берется, и мы получаем:
P^Tvtya- (23)
Момент L равнодействующей пары по второй формуле (22)
найдется весьма легко:
— = 2*|*&ehV (24)
Ра
Мы видим, что Р и L будут положительны,
если/положителен, а это на основании формул (17) и (20) имеет место,
когда щ положительна, т- е. внутренний цилиндр вращается
.против часовой стрелки (ав).
§ 4. Приложим найденное решение к исследованию
вращения шипа A'MB'N' в подшипнике AMBN, предполагая,
что первый вращается против часовой стрелки, а второй с
такой же скоростью вращается в обратную сторону. Принимая
разность &з — frj весьма малой, поставим в первую формулу
(17j и во вторую формулу (20):
cth &! = cth [&„ — (&s — »,)] = cth 6S -f
Найдем:
1
m + / eh1»,'
IT"

260 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
откуда
иа = ~сЬ02(%-й,).
Исключим отсюда *>2 — &і с помощью формулы (4), из
которой следует, что
4р — Рі — Ра =* a C^f (% — 0j),
или
получим:
оѵ
так что
Z =
2р=
айДР '
Подставляем эту величину / в формулу (23) и формулу (24):
»- 4ччя* (25)
РаД Ре /
£, _ 4^И)3 -L 1Ѵ
— "7—\—т~,—~ ch «■„.
Ра /«Л ЛД_Р_
\Ра/ I, Ра
Сила Р, направленная по'вертикальной линии снизу вверх,
уравновесит силу давления шипа на подшипник, которой мы
припишем противоположное направление (^).
§ 5. Как второй пример рассмотрим случай &і = 0. Для
этого сначала подставим величину (m-\-l) из первой
формулы (17) в формулы (20):
аіі \ — f>, , „ I
^ = -"2l3b*l(clhft1-clh^~sll,>1|'

О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 261
потом сделаем положение ttj = 0:
70!.=
«Jo
a/sh %
Определяем из второй формулы I и подставляем его
величину в первую формулу, а также я формулы (23) и (24):
чв, = — -Аг
Р =
4яцо»8
7h~&7'
— = 4іфя>а cth &а.
Ра
(28)
(29)
(30)
Заметив, что при f^ssO круг AMBN на фиг. 1
обращается в ось Од,, находим, что полученные формулы дают нам
следующий интересный случай движения вязкой жидкости.
Имеем (фиг- 2) тяжелый горизонтальный цилиндр, который,
вращаясь в вязко й жидкости со скоростью wz
против часовой стрелки, помещен перед
вертикальной пластинкой, бегущей снизу вверх со
скоростью Hij, Если вес Р цилиндра в жидкости
и скорость гѵг определяются по формулам (29)
и (28), где &э по радиусу цилиндра р2 и
расстоянию За его оси от пластинки [на основании
формулы (4)] выражается через
сЬОн =
Ра'
Фиг. 2.
то ось цилиндра будет неподвижна; момент же L пары,
вращающей цилиндр, выразится по формуле (30). Сообщив всей
системе вниз поступательное движение со скоростью Wu
будем иметь тяжелый цилиндр, который, вращаясь перед
неподвижной стеной, опускается равномерно вниз.
Эта статья была напечатана впервые d „Сообщениях Математического
общества при Харьковском университете", 1887, вып. 7. Вторично работа
была напечатана в .Трудах ЦАГН^ѵЧнып. 95, 1931 г. При переиздании
работа была снабжена примечаниями П. А. Вальтера, сохраняемыми и в па"
стоящем издании. Примечания П, А. Вальтера печатаются далее. Прим. ред.

262 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Примечания
1. Вычитая из первого равенства второе, получаем:
МС МС
откуда
Кроме того, из равенства
, 1а —
F'С=*МС•—=^——
г _г г
г /
составляем уравнение для ОС:
2а t
■ОС:
Г Г
из которого получаем:
ос= \г --
2. Первым диференциальным параметром функции ѵ (*, #)
называется выражение:
Пусть имеем некоторую аналитическую функцию Z=f(s)
от переменного z. Полагая
Z*='X+ Уі,

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
263
имеем уравнения Коши:
дх '
дХ
дд"
дУ
'д9
Отсюда следует, что
дх)
чш
<УУ
' дх ■
дх) +
(а)
ідУу
т. е. первый дифвренциальный параметр функции X (х, у)
равен таковому же для функции. У {х, у).
Автор применяет сказанное к аналитической функции
— &-}"?*"> обозначает общий дисреренциальный параметр
функции & и <? через М^ и переносит иногда это наименование
на функцию Н.
Кроме того, автор пользуется нижеследующими свойствами
аналитической функции.
Так как
„,, АДГ дХ.
f^^Tx-Ty1
дУ.дУ.
то
""-(£)'+(©'
£)■+(£)-"«'■■
т. е. первый диференциальный параметр функции. Х{х,у) и
У (х,д) равен квадрату модуля производной omf(z) no z.
Если возьмем в плоскости переменного z элемент длины
ets и обозначим соответствующий ему в плоскости Z элемент
длины через dsu то будем иметь:
IfWI
>н*.
Так как z в свою очередь можно рассматривать как
аналитическую функцию от Z, то без труда получаем:
WJ ^Тр-Щ) ^{д?! -\5х) +{ду) '

264 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Для случая, когда Х-\-Уі = — & + <?*', это дает
применяемую ниже формулу:
3. Довольно громоздкие вычисления, получающиеся при
выполнении указываемого автором в тексте приема, можно
значительно упростить, полагая Z = — & -f- 'Н и переписывая
равенства (2) в таком виде:
z — a z
= е .
z + a
Отсюда, решая это равенство относительно z, получаем:
z = a ■—s =а —
1_/ " 1-е-°^
Умножая здесь числителя и знаменателя на сопряженное
знаменателю количество 1 — е~ е-*, будем иметь:
j_ ._(1 + е-Уг) (1-е-* <Г«)
1-j-e —е (е' -j-e *)
Наконец, умножая числителя и знаменателя на е и вводя
тригонометрические и гиперболические функции, получаем:
z= х
или
+
. sbS + г
31 ch
fish ft
chtt — cos to
sin <o
sin
cos
>
<P
<0 '
ch ft — cos fp '
4. При извлечении корня знак выбираем так, чтобы //было
положительно. Надо помнить, что для вещественных & и у
имеем cos tel и т,ч у< 1.

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
265.
5. Иными словами, в уравнениях (А) примечания 1 к статье
„ О гидродинамической теории трения хорошо смазанных
твердых тел", которые в данном случае должны быть написаны таі^
Du dp .
дѵ dp .
Du Dv
мы опускаем члены с множителями ут/ и 7)*"
6. Уравнения эти можно непосредственно получить из
уравнений (В) примечания 2 к статье „О гидродинамической
теории трения хорошо смазанных твердых тел".
7. Пусть Z=X-\~Yi есть какая-то аналитическая функция
от 2=лг-|~(/£. Пусть, кроме того, имеем некоторую функцию
'Н.хуУ) от х и д. Обозначим лапласову производную от это#
функции через Дф, так что
Выразим эту функцию [функцию $ (х, д)] через К и У и
составим от нее лапласову производную относительно втих
новых переменных; обозначим получившуюся производную через.
В анализе доказывается( см. Е. Picard, Traite d'Analise, t-1*
Paris, 1901), что
Д^ = №Д,ф,
где, как и выше,
»-№'ЧШ-
8. Находим без труда:
за
д& ch О — cos » (ch & — cos ср)а'
азф_ д№ 66 shO . д sh&
а^ ~ (eh У — cos <р) б» (ch ft — cos ?)а d& (ch ft — cos ?)a

265 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
и также
д& 9 sin <p
dtp (chit —cos?)2 '
д^ .д_ зіпу
<S'-sa_ (Jo (chft— cos<p)Q '
Затем легко получаем:
sh& chft яЬ»Й
дй (chft — cos?)9 (chft — cos?)a (chft —cos <p)B '
(3 sin <p ___ cos <p smay
^ш (ch ft — cos y)3 (ch ft — cos <p)2 (ch й — cos (p)3
Складывая это и принимая во внимание, что
sh3 ft + sin3 у = ch3 ft — cos2 «p,
имеем:
д sh& , д sin? __ ch & 4~cos У
35 (chft — cos?)2 """З? (chft — cos?)2 — (chft —cos<?)3
ch2 & — cos3 'p ch ft ~\~ cos «
— 2-
(chft — costp)a (chft — costp)3
Применяя эту формулу, легко получим путем сложения
найденных выше выражений для ^гга ЯТЦ' что:
di>a ' <Ѵ (ch& —cos<p)a Lrffl2
(ch ft — cos 9) ■
9. Сначала убеждаемся, что члены, содержащие
произвольные постоянные
овЛЛ9, ^-(ch& — ftshft),
удовлетворяют соответственному однородному уравнению без
постоянного члена. Затем проверкой убеждаемся, что
выражение-к- ch& представляет собой частный интеграл уравнения
■с постоянным членом.

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА 267
10. Опять-таки удобнее убедиться сначала, что члены:
о8* eh ft, as-^±^ch!>
удовлетворяют соответственному однородному уравнению, а за-
тем, что член ^-»вп«дает после подстановки в уравнение
во второй части величину: аЧ' ch &.
11. Двигаясь по окружности F'FM (фиг. 1) от точки F' к
точке F, мы или все время уменьшаем ft или все время его
увеличиваем. С другой стороны, приближаясь к F достаточно
г'
близко, мы увеличиваем отношение — до Ц- оо. Стало быть, fl
при этом растет.
Отсюда заключаем, что
12. Вводя
получаем два
»■>»!
обозначения:
1к
уравнения:
х~у\^-
х~ f?&2 = —
.
1
"т + 1*
•cthftj,
-ctbft,.
Решая их, получаем (17).
13. Согласно сказанному в примечании втором, отношение
элемента плоскости — 9, <р к соответственному элементу,
плоскости х, у равно:
as
Так как затем фиг. 1 должна мыслиться расположенной б
плоскости х, у, то элемент линий ft = const на эгой фигуре,
соответствующий приращению а<р, должен равняться -jr.
Точно так же элемент линий © = const, соответствующий
приращению аЧ, равен -ту .

268 О ДВИЖЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Согласно известной формуле диференциальной геометрии,
элемент дуги: # = const, соответствующий d<p, образует с осями
х й у углы, косинусы которых равняются:
dx .-dx ,,дх
1 ds йф о®
А так как х-\-уі есть аналитическая функция от — 9-f-<p4
то выполняются равенства:
дх __ Ф/ ду __ дх
и, следовательно, мы можем писать:
cos а = Н т-, cos р = —ti-rr. ,
0tp Oil
Точно так же для касательной к элементу линии tp = const
косинусы углов, образуемых ею с осями х и у, будут равны:
dx ,,дх ,. da ,,діі
или
cos « = — Н-Л, cos 0 = #^.
14- Полагая
2 \ m-\-l
представляем (16) в таком виде:
і А
После этого без труда получаем:
„д*і дА . АдН
где
6Ь ~ 2
\ m-f/ m-K /

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
269
И также
где.
-НдЛ- _АдН
дН sin у
до а
15. Величина -из у нас получается проектированием
скорости жидкости на линию; & = const, направленную в сторону
возрастания ?. Поэтому величина эта будет положительна1
когда соответствующая скорость направлена в сторону
возрастания f, и отрицательная, если скорость направлена иначе.
На фиг. 1 окружность AMN изображает линию & = const.
При атом в точке А: в = «— «' = 0; в точке же В- «s = ic.
Итак, положительное гѵ соответствует вращению
против стрелки часов.
Если бы окружность была расположена в области
отрицательных х'с, то результат получился бы обратный.
16. Заметим, что, согласно объясненному выше,
^-тфвН^ + сЬО^О.
т-\-і
Формула (19) даст нам поэтому:
a(m + QJ2fe — /Я, I )
(а)
Wl = .
Но из (а)
Стало быть,
_ а(т + Г) ,' f 1 , / 1
_ _ 8h8l|5_^+_:_j.

270 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Чтобы получить отсюда первую из формул (20),
достаточно подставить значение г—>из (17).
m-f-1
Вторая из формул (20) получается совершенно аналогичным
образом.
17. Направление это обусловливается равенством:
Действительно, мы считаем силу Т, действующую на
элемент поверхности шипа, положительной, если она направлена
по часовой стрелке. На элемент прилегающей жидкости
действует сила, направленная в противоположную сторону.
В этом случае угол между радиусом н элементом жидкости,
направленным против часовой стрелки (при вращении около с'),
растет, Его скашивание отрицательно. Наоборот, угол между
радиусом и элементом, направленным по часовой стрелке,
уменьшается — его скашивание положительно.
Поэтому, обозначая через 2з скашивание этого угла и
соблюдая остальные условия, заключенные относительно знаков
у направления сил, мы, написав
должны выбрать в этом равенстве знак (-)-)•
18. Взяв точку на окружности У=0-а и обозначая
элемент этой окружности через ds, легко получим (см.
примечание 4 к статье „О гидродинамической теории треяяя
хорошо смазанных твердых тел"):
ди дщс | «у
дх ~~ ds ~*~ г
Однако, так как скорость жидкости на рассматриваемой
окружности равна повсюду скорости прилегающих к ней
элементов поверхности подшипника, то щ( = const и -=■"=(). Точно
так же на этой окружности №,. = 0. Поэтому:

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
271
Отсюда и из уравнения расхода:
дх ' ду
имеем:
Н0 = е И] стало быть, ё = 0.
Основная мысль приводимого рассуждения, исходящего
из постоянства wu, очевидно, совпадает с мыслью автора,
19. То же самое можно получить, если, согласно сказанному
в примечании 4 к статье „О гидродинамической теории трения
хорошо смазанных твердых тел", напишем:
ди дщ. я)и
ду гд? г '
дѵ д«і„
дх ~" дг
и, стало быть:
дх'ду дг ' гд® г
Надо только заметить, что в нашем случае имеем:
dwr _
г гд'?
и также, так как яг почти совпадает с— 77, выполняется
равенство:
Кроме того, знак в правой части надо изменить на
обратный, так как Т мы считаем положительным, если оно вращает
шип по часовой стрелке, аши — наоборот.
20. Подставив согласно (4) в выражение, полученное
для 2", вместо р3 величину ■ 'V1»— > будем иметь:
2о:
3ML+(//*£) . (а)

272 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Кроме того, в салу (18) имеем:
' дЬ дЬ д№ ~ "*"Н дЪ "д№'
ІдН\ sh У3 , ,
так как -дг =— , то отсюда при помощи (а) следует,
что
2о_2 — ^5Р)« = ЙЗ- (Ь)
Пользуемся теперь формулой (13), которая нам дает:
или
На основании равенства (16)
d^^ajm + Q \2k-lu \д> I 1
cos 9
Для й = &в выражение в фигурных скобках обращается
ш нуль и, следовательно:
**\ =0
После этого получаем:
— (№ш) ■ =—m-/co«Tchflo,
\ "" /{Ь=8а
2o = 2^b^_m_/ch&9COS?. (с)

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
273
Но из сказанного в примечании 16 к этой статье следует,
что:
Вставляя это в (с), имеем:
23 = m-jWcha0-a— т— /ch&acos <a = /ch 02 (ch f*a — cos «).
21. Заметив, что ІѴ направлено по линии ? = const в сторону
возрастания <р и, следовательно, образует с осями хну углы,
косинусы которых равны:
а Т направлено по 0 = const в сторону убывания « и, стало
быть, косинусы углов, образуемых этой силой с осями
координат, равняются:
. „дх иду_
легко получаем основное равенство:
2гс
Р*
-*/
8Ь»в8ш<рЯ^4-сЬ*9(сМ&а-с0в?)Я^
tf<a
7?'
где величина-ту изображает элемент дуги окружности:
Эта формула без труда дает:
2к Зт
о ' »
Звк. М 1703. Н. Е. Жутовокий. Том IV- 18

274 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
и, стало быть, так как
2г. ■ <с = -М
формулу, приведенную в тексте.
22. Следует воспользоваться равенством:
sh9 & sin2 <р 4" cbs S cos2 a — ch 3 cos ш =
= (ch Я ■— cos <?)s -j- (cos » ch & ■—■ 1),
которое нетрудно проверить, если выразить sha 8 и sin3 о через
ch3^ и соа2» и, кроме того, перенести (ch & — cos?)B влево.
23. Автор предполагает, что окружность BMAN фиг. 1
лежит в области:
*>0.
Это означает, что:
и, следовательно,
г
9=igi->o:
В примечании 11 доказано, что в этом случае fta>#j.
Так как
^cthB==-^<0'
то
и значит
cth 88 < cth &!
cth&a — cth ft, ..
ftB —»! <U-
По теореме Лагранжа имеем:
cth^-cthili-^-v/^cth»
a=l

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
275
где 5 — некоторое число, удовлетворяющее неравенству:
Итак,
СЙЛ-СЙЛ —(f^-njJ^. (а)
Но sh й всегда увеличивается с увеличением 8-, a -rrz при этом
всегда уменьшается. Следовательно,
После этого равенство (а) дает:
и стадо быть:
1>
(oihfta —cthftjehefta
(Ъ)
Помножим теперь второе из равенства (20) на первое (17)
так, чтобы знаменатель т-\-1 одного и числитель т-\-1
другого взаимно сокращались. Получаем:
а/.,! 1 . сіЬЛ — cth&ji cthfl2 — cth»!
Отсюда:
2и>2
Osh08 (ч , ft."*.) !'
t1~l"ehaea(ctb», — ctbftj)/
и, следовательно, так как выражение в фигурных скобках
согласно (Ь) существенно положительно, то для того, чтобы I
было положительно, необходимо, чтобы положительно было wa.
24. Выше объяснено, что w1 мы выбрать не можем, так
как оно задается нам первым из равенств (20).
Подставляем в это равенство разложение:
ctgfls — ethOj 1 ,,& _у|^і-
ва —ft, sha &!+ ( 2 ]' Ж" % '
18*

276 О ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
которое без труда получается путем применения ряда Тейлора
к разности:
Имеем:
Или, так как, согласно сказанному н тексте:
ТО
ги.
А так как (ср. текст)
и разностью
ch»3 —ch^
мм можем пренебречь, то получаем:
ота = '—tun
как это и отмечено автором в начале параграфа.

ON THE MOTION OF A VISCOUS FLUID ENCLOSED BETWEEN TWO
ROTATING EXCENTRICALLY DISPOSED CYLINDRICAL SUBFACES
This work is an attempt to solve the problem of the motion of
an oil layer enclosed between a journal and its bearing. Denoting
by 2iu the rotation (vortex) of a particle of fluid and by p the
pressure the author shows the problem to reduce to that of finding
an analytic function2« + i — which at the boundaries of the
flow, i. e. on the surface of the journal and on that of the bearing
must satisty certain definite boundary conditions.
Making use of Neumann's system of coordinates, in which one
family of coordinate lines & — const forms a hyperbolic set of
circles, while |lthe other family y = const gives an elliptic set
orthogonal to the first, by choosing the sets so as to make the
circumferences of the journal and of the bearing to belong to the
coordinate-lines, the author makes an attempt to satisfy the
boundary conditions by putting
2a> -f- i*~- = m-\-ni-}-l cos (<p + $).
In this he succeeds as regards some of the conditions, only
while the rest has to be omitted.
As the result, the solution obtained is of no practical value,
since the author has to assume that the bearing is rotating also,
its angular velocity being connected with the angular velocity
of the journal by a certain functional relationship.
In spite of the failure the author brings the analysis to the

278
SUMMARY
end and shows the way to obtain, given w and p, the forces
developed between the journal and the bearing;.
The results of this investigation liave subsequently formed
the basis of another work by the author, in which he gave, in
cooperation with another Russian scientist (S, A. Chaplygin),
a complete solution of the problem.

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ МЕЖДУ ШИПОМ И
ПОДШИПНИКОМ
(1904 г.)
§ 1. Движение вязкой жидкости, заключенной в смазочном
слое между шипом и подшипником, было сначала исследовано
Н. П. Петровым, который положил основание
гидродинамической теории трения шипа 1. Н. П. Петров принимал смазочный
слой ограниченным двумя концентрическими цилиндрами.
Влияние на рассматриваемое явление эксцентричности шипа и
подшипника было с помощью приближенного анализа обстоятельно
исследовано Осборном РеЙнольдсома. В этом году довольно
сложный анализ Рейнольдса упрощен Зоммерфелвдома,
который установил теоретическую зависимость между моментом
сил трения, нагрузкой и скоростью шипа и показал, что
пропорциональность момента сил трения его скорости или
его нагрузке суть два предельные случая общего закона
трения шипа в подшипнике, причем первый предельный случай
получается при больших, а второй при малых: скоростях шипа
(сравнительно с нагрузкой) (') 4. Зоммерфельд упоминает в
начале своей статьи, что точное решение задачи о движении
вязкой жидкости в двух измерениях между двумя
эксцентрическими окружностями, равно как и решение аналитической
задачи о равновесии упругой пластинки, ограниченной двумя
эксцентрическими окружностями, до сих пор еще не найдено.
В предлагаемой статье мы даем это точное решение задачи
х N. Petroff, Neue Theoria dar Refbiing, deutsch Von Vurzel,
Hamburg, 1887.
s Osborne Raynolda „Pbllos. Transactions of R. Soc. of London", 1886.
» Sommerfeld „ZeHschrift fur Mathematik und Physlk," 1904,
* См. примечания в конце статвв, Прим. ред.

280
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
о движений смазочного слоя и получаем из него при
предположении, что слой весьма тонок, формулы Зоммерфедьда.
§ 2. Мм будем пользоваться биполярными координатами
Неймана, причем некоторые формулы, относящиеся к ним,
здесь приведем.
Связь между прямоугольными декартовыми координатами
х, у и координатами Неймана I, f\ устанавливается следующими
Е>нг. 1.
соотношениями между мнимыми переменными z = x-j~yi и
Первая из этих формул показывает, что
? = <? — ?',
где р и р' — радиусы-векторы, проведенные к рассматриваемой
точке or полюсов Fn F', отстоящих (фиг. 1) от начала
координат О на расстояния о, а «и<?' суть углы между этими
радиусами и осью абсцисе Ох.
Вторая из формул (1) приводится к виду:
. . . sm (і + щ)
•* 1 —cos (Ч + гіі) '

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ 281
и дает по сравнении действительных и мнимых частей:
shf] sin Е ,„. ...
х = а~т ,, у = а , -г . (2)(е)
chi\ — cos 5' а сМ — cos E ѵ '
Линии \ = const суть окружности, вмещающие хорду FF', а
линии ''і — const суть ортогональные окружности, уравнения
которых получаются через исключение І из формул (2).
Это исключение удобно сделать, составляя сначала
выражение'.
~" сИ — cos 6 w'w
потом подставляя сюда:
,. х&ѵ]—asbf\ /R,
cos £ = —-■■ —. (D) ■
Мы получаем уравнение:
V + J2 — 2а* cih ц -1- а2 = О,
которое показывает, что радиус г упомянутых кругов
выражается формулой:
а их центры лежат на оси Ох на расстояниях:
l = a cth-n (5)СО
от начала координат О.
Величина // первого диференциального параметра
рассматриваемой изотермической системы координат найдется по-
формуле:
и будет на основании уравнения (2) такой:
Я=-{скт| — cos 5). (6)(8)
Вся рассматриваемая система криволинейных координат
может быть охарактеризована величинами г, и т-0 радиусов
двух ее кругов и разностью в~і\і—"і0 соответствующих им^

2В2 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
параметров (fl). Определяем •% и і\0 по =. Пусть г0 — rt = 8,
— = Іс. На основании формулы (4):
А-СЛ-Ч! —Лчо) С10),
откуда
.Далее:
ж потому
sbr11 = (l + ^)sh%. (7)
sh (fi0 -1~ о) = sb rtl = sh % (1 -]- fc),
sb (ill —3) = s*1 **lo = fZHt" *
*k 1 + Jfc —cha
СШ^' (1 + A)shs • W( >
Так как наименьшая величина cth'% получается при 7|0 = °°
и есть единица, то о может изменяться от значения 0 до
значения Ig (l-\-k) (xs).
На основании уравнения (5) эксцентрическое расстояние е
между центрами рассматриваемых кругов будет:
-^г- (9>(1!)
так что, называя вместе с Зоммерфельдом через а отношение
s-, найдем:
■о
sha (9')
sh1»!! — sh 4\q
К сказанному следует еще прибавить указание на некоторые

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
2ѲЗ
определенные интегралы, которое будет весьма полезно в
дальнейшем изложении. Легко показать, что
І- )
I (х cos тг& ch іщ -{-у sin m% sh mi\) di = 2ка,
J (х cos mS sh т'Ц -j-g sin mX ch mi\) d% = 2^G,
о
fx cos m£ Л — 2wae-fl|1i,
(10)
где m — какое-нибудь целое и положительное число, которое
для первой и третьей формул может быть и нулем.
Третья из формул (10) получается через сложение первых,
двух предварительно умноженных на
■ch іщ и — sh тЩ-
Первая формула может быть
выведена из рассмотрения интеграла:
I
ctg—co&midZ,
Фиг. 2.
в котором при интегрировании "Ч считаем постоянным. Этот
интеграл на плоскости мнимого переменного і -\- '<\і берется (фиг. 2)
по отрезку прямой АВ — 2«, параллельной оси 0\, и может быть
заменен интегралом, взятым по контуру АОСВ с обходом
точек бесконечности, находящихся в О и С; при атом обходе
мы пройдем по четвертям" весьма малых кругов, имеющих
центры в О и С Так как в этих центрах имеем для точки О:
lim
С
іш (С ctg; -у cos т£) = %
для точки С:
Кг
(С — 2тс) ctg ~ cos m'-.
= 2,
то при упомянутых обходах интеграл получает прираще-
" ние jj- • і ■ 2 и все приращение его при обходах будет — 2лі.
Что касается до интеграции по отрезкам АО и СВ, то здесь

284
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
результаты интеграции сократятся, так как от замены £ на
£-|-2тс подинтегральвая функция не изменяется. Точно также
результат интегрирования по отрезку ОС будет нуль, так как
в точках (£,0) и (2тг -— Е, 0) подинтегралъная ' функция имеет
значения, равные по величине, но противоположные во знаку.
На основания всего сказанного
ctg -у cos mC di = — 2та,
о
что на основании формулы (1) можно представить в виде:
(х -j- г/і) (cos т$ ch mt\ — і sin mi sh nrq) dl = l^a.
о
Сравнение действительных частей дает нам первую из
формул (10). Чтобы получить вторую формулу (10), рассмотрим1
интеграл:
ctg | sin mr, dl (").
о
Заменив интеграцию по прямой АВ (фиг. 2) интеграцией
по контуру ЛОСВ, мы не должны будем обходить точки О и С,
так как они не являются точками бесконечности. Результаты
интеграции по АО и по СВ взаимно уничтожаются, а
результат интеграции по ОС может быть представлен в виде:
24
и так как (1В)
то о
Sic
2/rt*(|-)sinmE-d$(*),
0
і
Sic
J ctg1 I ■=■ Isin mZ d\ = 2tc.
о
Подстановка сюда, формулы (1) и сравнение мнимых частей
дает нам вторую формулу (10).

О ТРЕННИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
285
§ 2- Уравнения движения вязкой жидкости в двух иэмере-
«иях при отбрасывании сил инерции, которые малы
сравнительно с силами трения, могут быть представлены в виде:
1 др _____ д2ш
'рдх ду
1 др __ д2<а
[ійу дх '
(П) П
где о* представляет угловую скорость вихря, определенную
по компонентам н, ѵ скорости жидкости формулой:
1 (да дѵ\
(12) Г>
и считаемую положительной при вращении вихря по стрелке
часов, р есть гидродинамическое давление, a jj-— коэфнциент
вязкости жидкости.
Формула (11) показывает, что комплексная мнимая величина
— —|—2ші есть аналитическая функция от z, а следовательно,
и функция от С. Введем обозначения операций-
Д =
а**
р#а
^rja-
На основании сказанного имеем:
Д(2ю) = 0, ѵ(2») = 0.
(13)
Назовем через Р/ функцию тока, т. е. количество
жидкости, протекающей в единицу времени между двумя линиями
тока, и положим:
6W
д3>
aw
и = -
ѵ= —
(14)
Подставляя эти выражения в формулу (12), найдем по
уравнениям (6):

286
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
вследствие чего по формуле (13):
ДДІІ^ѵКсЬ^ —cosS)avHH=0. '(16)
Определив функцию тока W, удовлетворяющую
уравнению (16) и граничным данным задачи, мы будем знать по
■формуле (15) величину 2<п, а следовательно, и величину—, так
как
1 др __ д2ю
1 дР ^ д 2с°
jj. д-і\ д%
(17)
Функцию IF мы представим в виде суммы членов,
удовлетворяющих порознь уравнению (16). Такими членами,
очевидно, являются:
х — sh"^ xiJr.Уа і } __ cb-ц
~а~~ chv] — cosS' ѣ 2<zs "' 2~ chfi — cos6!
■уЭЧ~.Уа 1 cos^ X7I f|shf]
2aa 2 ch f)— cos 5' a ch i] — cos i'
2x cos S ch т| sh 2vj cos E
a ch ij — cos £'
x2-\-y2 1 , 2-tcos£shv|__ ch2f] cosS
2a3
сЬт] — cosS
•(18(19)
При этом для оправдания сказанного относительно трех
последних членов надо обратить внимание на формулы:
(19)
ѵ/-/,=/ѵ/,+Лѵ/+2 (11+11).
Сумму из членов (18) мы возьмем в следующем виде:
_j_-4sh(r| — Tj0) + £(f| — %)sn + CcosE[sb(? — 2f]) — sh°] ,2Q>
' ch -r] — cos Ч Л I
Здесь принимается, что ч\ = 'і\о есть окружность
подшипника радиуса гх, і\ = -гц есть окружность шипа радиуса г0>

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
287
5 = ^ —1]0, т = і^ 4- ■% & А, В, С, D суть четыре коэфи-
цпента, которые, как сейчас увидим, могут быть определены
так, чтобы удовлетворить всем граничным данным нашей
задачи.
Представим формулу (20) в виде:
м и-*
W--
ch т) — cos E
(20'>
при
4- С ch чі [sh (t — 2v|) — sh a), I (21) (»).
N = 2>(i]—«to) —C[eh(t —2t)) —she].
Граничные условия будут такие: на поверхности
подшипника и шипа И7 постоянно; на поверхности подшипника
тангенциальная скорость
Я
■О,
а на поверхности шипа
"£--«
(22) Г)-
(23) (2і).
где £/—скорость шипа, считаемая положительной при его-
вращении (на фиг, 1) по часовой стрелке.
Так как при і\ = \ (на поверхности подшипника) имеем
М= N=0, то W на этой поверхности постоянно- Мы
удовлетворим всем остальным граничным условиям положениями::
if) = °.
'f) -о.
Q(22),
■о,
(24).
где Q есть секундный объем жидкости, протекающей между
шипом и подшипником.
Формулы (21) показывают нам, что второе и шестое из.
написанных условии между собой тождественны и вместе
с четвертым условием служат для определения D и Q по С:
Z> + 2Cchc = 0,
Z>a4-2Csh3-bQ = 0.
(25>

.283
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
Для определения А, В и С у нас останутся еще первое,
третье а пятое условия (24), которые напишутся так:
Л + 5зЬ% — 2СсИпсЬ<з = 0, I
Xsho-l-fiodi^ —2Cch-nisho = 0, (26)
/Iche+Bfsh^ + ochi)!) —2Cch(-4t+°) = —aC/.j
Формулы (25) и (26) решают всю рассматриваемую
задачу о движении смазочного слоя( кругом охватывающего
шип, причем все коэфнциенты могут быть определены по о.
Исключаем из первой и второй формул (26) (аа) коафи-
циент А:
В (she sh% — «sh^i)— 2C(chitocho — ch (з-f-i)o) sh тр = О
или
В [sh о sh i]o — с sh ijj -j- 2C sh3 s sh '/j0 = 0.
Эта формула по разделенииsh'Ho и по упрощении на осно-
-вании соотношения (7) приводится к следующей:
2C = sfcKl+*,-sM' (27)
Исключаем А из второй и третьей формул (26):
Stash-r^chs— sh-^sh с— a sh ach"fy) —
— SCfch^jSh'che— shaoh(f]1-|-a)] = Ua sh o.
Делаем здесь преобразование:
S (a sh щ — sh a sh f\t) + 2C sh3 a sh ifr = £/a sh a.
По разделении этой формулы на sh \, на основании фор-
.мул (7) и (4), найдем:
о
В
|_1 + *-аЬо
-2Свп»а=»£/ГіЯ1іа.
Если подставим сюда величину С из (27), то получим
- окончательно:
°~ «~2(1 + Л)вЬ=> + (1+*)Яв' ^
^а следовательно, по формуле (27):
or- {/7і(і+*)[°д+*)-яЬді /29)
shalo —2(l+A)she + (l + Jfc)Bo]' ѵ '

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
289
Теперь мы можем выразить через з количество Q
жидкости, протекающей между шипом и подшипником. Мы имеем
по формуле (25):
Q = 2C(3ch^ — sh=) =
_ £/г,(осЬ<і-вМІя(1 + &)—яЬ<0(1+*)
— [a —2(l+jt)sho + (l + fe)*-»o]eha ■ ^
В предельном случае, когда шип и подшипник делаются
концентрическими, надо в формуле (8) принять тю = оо('2'1),
так что
sh а-\-~ cha == е* = 1 -\-к,
__ Ц>\ ( о ch о — sh a) [ceJ — sh о] е"
У ~ _~[э (1 + е*) — 2е- sh о] sh о' '
В случае очень тонкого слоя к близко- к нулю и з тоже
очень близко к нулю (2В). Так как при в, приближающемся
к нулю, можно принять:
о ch з — sh з 1
с(1+0 — 2e°sha . 2'
ce3~sh==as (M)(
то определяемое значение Q будет:
Это совпадает со случаем, рассмотренным Н. П. Петровым.
В общем же случае количество протекающей жидкости
определяется по параметру а, который, как будет показано ниже,
находится по радиусам шипа и подшипника и по нагрузке Р
на шип.
§ 4. Когда функция W найдена, то формулой (15) сейчас
же определяется (2»). Совершаем операцию у над членами,
Зля, ^ 1709. Ж. Ж ЛВукоиокпй. ЗСои IV
19

290 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
входящими в состав правой части формулы (20); пользуясь
при втом формулами (18) и (19), получаем:
sh(ti —т]0)
ch *г| — cos І
('1— 'flo)sh rq
—'2 sh ■%
(ch '(] — cos S)'2'
2 — 2 cos I ch t)
hi] — cos І / (cb tj — cos I la
/ cos i sh 2f| \ __ — 2 sh 2i) cos 2; + 4 sh ?| cos £
V Uh "<1 — cos S j ~~ (ch f\ — cos S)2 '
/ cosUh_2-n \ _^ — 2 ch 2-1 cos 11 + 4 ch f\ cos £
\ch i) — cos a/ (ch 7] — cos 5)a
cos E [sh (t — 2"f|) — sh a]
chi| — cos £
— 2 cos 25 sh^ — 2-g)-)-4 cos E sh (? — f|) — 2 sh с
(ch 7) — cos E)2
(32Д
2Ti
Пользуясь этими формулами (2В), находим, что
2«аа=—2Xsh-<in + 2S~2Csh° — 2Ясо*ЕсЬтН-
+ 4С cos bh (s — т\) — 1С cos % sh (- — 2»|).
(33)
Рядом с 2ш, согласно уравнению (17), сейчас же
определяется давление жидкости:
£««.
■ IB sin X sh i] — 4С sin E ch (с—ri) +
+ 2Csin^ch(T —2-я). (34) П
Мы не прибавляем здесь проиавольного постоянного,
потому что имеем в виду рассматривать только переменную
часть давления.
Так как нами определены только коэфициенты В к С
[формулы (28) и (29)], то исключим из формулы (33) ковфи-
цнент А с помощью первой формулы (26):
2<яаа = 2В с1ій ^о — 2С (sin 2% ch a -f sh a) —
— 25 cos E ch'f)-[-4Ccos^ sb("— f\) —
— 2C cos 2E sh (t — 2*i). (33') (s0)

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
2М
Если теперь положим т| = %, то найдем угловую скорость
вихря и давление при поверхности подшипника. Представим
их так:
2»вй —2ВсЬ-»ь(сЬ *)„ — cos;)— 2C[shs(l +
-]- cos 2£—2 cos Scbn) + ch о (sh 2% — 2 cos6 sh y]q)],(35) (ai)
^0a =—2 ЙЧ-2С—J—■—- shT|0sint4-
H- L sh a J '
+ 2Csin2Uho. (36) (M)
При этом для получения формулы (36) мы воспользовались
соотношениями (7) и (8).
Формула (36) показывает, что переменная часть
гидродинамического давления зависит от двух членов с множителями
sin І и sin 2?. Для всех точек подшипника, соответствующих
параметрам % и 1-х — £, давления одинаковы, но противоположны
по знаку, так что равнодействующая всех этих давлений
направлена перпендикулярно оси Ох (фиг. 1) (эа). При очень
малых к и о формулы (28) и (29) принимают вид:
3— Ur^ ■. 2С--——^*_-
и формула (36) обращается в такую:
~а3- /Ur\ .,, {-2fl + g)ah^alnS + ^sin2iK П
Л1" зл»)
а так как при малых Ь л формула (S) Дает нам:
cth і]0 = ••-,
то согласно формуле (4):
V- k*r, sh8 % \1 + 2сЬм і)о /L
H-chfioain^]. (37) П
Эта величина р представляется графически отрезками
ординат между двумя синусоидами, иэ которых синусоида с ар-
19*

292 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
гументом 25 имеет меньшую амплитуду нежели синусоида
с аргументом %, так как cos 2%>cos т]а. Заштрихованная часть
на фиг. 3 представляет отрицательное давление, а незаштри-
хованная — положительное. Во всей верхней части
подшипника (изменение £ от 0 до ъ) давление будет отрицательно,
а во всей нижней (изменения £ от т: до 2 ъ) — положительно.
Самое большое изменение давления получается при
приближении к точке В.
§ 5. Обращаемся к определению силы Р и момента L пары,
с которыми смазочный слой действует на шип или, что все
равно, с которыми подшипник действует на смазочный слой.
р На каждый элемент площади сма-
¥ зочного слоя, прилегающего к
подшипнику, будет действовать
некоторая нормальная и
тангенциальная сила. Отнесем эти силы к
единице площади и назовем их через
'■ п и і, причем эти величины мы
будем считать положительными,когда соответствующие им силы
направлены в сторону дсей Мх'.и Мд', указанных на фиг. 1.
Если г/ и <о' суть проекции скорости точки движущейся
вязкой жидкости на указанные оси, то по известным формулам
движения вязкой жидкости найдем:
V
'дх"
П = р — 2]А ■
Ida' . <Ѵ
t=: II, \ —— -4-
]
(38) Г)
Легко усмотреть, что в нашей задаче для точки
подшипника Ы имеют место условия;
ди^_дп'
Действительно, если выразим функцию тока W в
координатах х' и у', то найдем подобно уравнению (14):
,_dW ,_ dW m
и _^ , ѵ _ -д^. ( }
Так как во всех точках подшипника:
и'в+ «'*=. О,

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ 293
то во всех этих точках
d_w aw
дх' ' ду' и*
Возьмем от написанных равенств полные производные
по у', предполагая, что х' выражено через у' с помощью
уравнения окружности подшипника:
d*W d*W dx' &]Р_і_ І!^^_п
дх' ду' + dx'2 dy'' ' dif'i "г ду' дх' dy' ~~ °-
Так как для точки М' имеем -г-? —О, то в втой точке:
dy
дх' ду' дх*" '
h* ду' "а
Добавим, что угловая скорость вихря в точке М' будет:
и представим формулы (38) в следующем простом виде:
n f (38'>
Сила Р образуется от действия сил п и t на каждый
элемент смазочного слоя, прилегающего к подшипнику- Так как,
согласно формулам (36) и (35), в точках подшипника,
соответствующих значению параметра І и 2я — Е, давление р
одинаково по величине, но различно по знаку, а значения 2°> в этих
точках одинаковы по величине и по знаку, то проекция
равнодействующей на ось Ох (фиг. 1) будет нуль, и вся
равнодействующая Р будет направлена по оси Оу (^). Косинусы углов,
которые оси (фиг. 1) Мх1 и -Му' образуют с Оу, будут даны
формулами:
* Н д-(\ дѴ
Н оч\ д\

294 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
Вследствие этого, на основании формул (З8')і
2к
Р 61
2г.
-2»^ <Д
^-«-'/[*а(?НэН
tR.
Вставка между пределами пропадает, и мы получаем:
'--"іК(?)-»яН* (39)
и
При составлении производных по Е от вторых частей
формул (33) и (34) раскроем гиперболические функции,
содержащие т, и напишем:
,&^(Е\ = — гЯсояЕяК — 4C{ch?(cosechf]0-
— cos 2: ch 2чіо) — sh т (cos Ыі % — cos 2 £ sh 2\)
«a ~|^ = 2S sin Sch ч)0 -f AC {ch * (sin 5 sh f]0 —
— sin 2 E sh 2f]0) — sh t (sin I ch % — sin 2 E ch 2i]) }.
(40)
Подставляя эти выражения в формулу (39) и
воспользовавшись формулами (10), увидим, что все члены при коѳфи-
циенте С сокращаются, и у нас получается:
?-*&■ (41)
Подставляем сюда величину В из формулы (28):
,4іф£/>"і (l-|-/e)sba
Р=.~
■2(l + &)sho + (l + &)V
(«')
откуда, заменяя rj=-r— и воспользовавшись формулой (8),
найдем окончательно:
Г _ a[(14-А)* +1] -2(1 -|-к) shT~ • <42J < >

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
295
Переходим к определению момента L, который будем
отыскивать в предположении, что сила Р приложена в центре
шипа. Приведем всю рассматриваемую систему сил к силе Р,
приложенной в центре подшипника, и к паре с моментом U (*'г).
При пе реносе силы Р в центр шипа получается пара с несколько
иным моментом L, причем
L^L' — Pe,
или, по формуле (9):
Что касается момента L', то он будет, согласно второй
формулы (38'), иметь следующую величину:
о
L
или, по формулам (6) и (2) (43):
1я
Ц = ¥*-[і/*х& (44)
о
Подставляя сюда ,2а из формулы (35) и пользуясь
последней формулой (10), мы увидим, что коафициент при she
сократится, и получится:
или по (4):
£' = 4*ц [Scth'/]0 —2Cch о].
Подставляем это выражение в формулу (43), в которой Р
заменяем по формуле (41):
это дает:
L = 4w{B в&ъ — ЯС&а]. (45) С6)
Подставляя сюда значения коэфициентов б иСиа
формул (28) и (29) и пользуясь формулой (8), получаем:
I W ;U°(l + fc)actbs-2(l + *)ca° + l. (4б)

296
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
Р
Формулы (42) к {4б)решают нашу задачу. При данном т^иа (42)
определяем а (4(і) и, подставив эту величину в (46), находим
момент (— Z.) пары, поглощаемый трением. Величина о, как
было сказано, изменяется от значения 0 до значения а0 =
==lg(l"b^)- Пользуясь величиной з0, представим'/5 в таком
виде: __ _______
|/2f | Vcha0~ch3 . .
At^U ~eche0 —яЬо' "■ J 1 '
Посмотрим, как будет изменяться отношение у. при
непрерывном изменении я от 0 до =„. При о = 0 знаменатель
обращается в нуль и при дальнейшем возрастании з возрастает
до тех пор, пока
j- (о сЬ з0 — sh з) = ch з0 — ch з > О,
т. е. до значения а = з0. Числитель дроби (47) идет, убывая
от значения о = 0 до значения о = о0. Таким образом при из-
Р
менении з от О до % дробь -р убывает от бесконечности до О,
как это представлено на фиг. 4.
Составим величину коэфициента трения )•:
х==£~і) _3(l + A)actho + l —2(l + *)ch3 =
"У(Г+ХГ—^^^^^ . (48)
|/ ch =0 — ch с
Эта величина обращается в бесконечность при о = 0иог=оо;
вследствие этого она имеет непременно минимум между
указанными пределами; около этого минимума J. можно
рассматривать как величину постоянную, и считать момент силы
трения пропорциональным силе нагрузки шипа Р, как это
следует из закона трения твердых тел. Другой предельный
. случай получается при а, близком к о0, При этом формулу (48)
преобразуем так:
(l+jfc) (echo —Жа)
X = /2(1 + *J
У ch an — ch a + ~--~7=~ —
Zych 3n— chash О
. (48') (*)

О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
297
При с, близком к в0, первый член пропадает перед вторым,,
и мы получаем на основании формулы (47):
X = 2 irfj.
1 + kU
: 4ТСІЬ -
(1+&)а и
(49) <*)-
sh% Р "~" (1-\~к)а—1 Р'
При заданном/'рассматриваемый предельный случай
соответствует значительным скоростям U (°°). Это дает нам
гидродинамический закон трения шипа в подшипнике, по которому
момент сил, поглощенных тревием смазочного слоя,
пропорционален окружной скорости U и
не зависит от давления Р.
§ 6. Переходим к
предположению, что к есть малая величина,
На основании соотношения
з0 будет порядка малости к, а
следовательно, и переменная величина
о, заключенная в пределах 0 и «0і
будет малая величина порядка
малости к.
Преобразуем формулу (47)
через отбрасывание малых величин
высших порядков перед малыми величинами низших
порядков («):
Р _12тс;д.]Л^Г^5"
( — L) 4вр (3jJ - 2зй)
rJJ " з(3^-аЗ)й
3 j/^-o* ■
(50)
(51)
(52)
Наименьшее значение К, о котором мы упоминали в
предыдущем параграфе, здесь находится очень просто. Оно
получается при (б2):
1

■298
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
.и таково: ___
При малом k формула (8) дает нам:
Подставляя это в формулы (50 я 51), получаем:
Р 12^с1ѵЧ (_ — L) 4^(chav|0 + 2)
U $ sh ^0 (2 oh* чо +1J ' U/-j = о0 (2 сЬЕ тіо +1) • *Ч '
Так как при весьма малом к формула (9') дает нам:
ehV
.и в то же время
«o = Ur (! + *) = *=•-,
то
£/ за(2 + иѴі — «2'
Гі£/ ' a (dS-f 2)-Уі—**' J
Это суть приближенные формулы Зоммерфельда.
(53)
Эта работа дописанная Н. Е. Жуковокям совместно с С. А. Чапди-
г тины и, была напечатана впервые в „Трудах Отделения физически*
наук общества любителей естествознания", т,ХШ, выіг. I, 1904 (на обложке
"1906 г.). Рабата была напечатана вторично в „Трудам ЦАГИ", вып. 95,
1931 г. При переиздании работа была снабжена примечаниями П. А.
Вальтера, сохраняемыми и в настоящем издании. Примечания П. А. Вальтера
.печатаются ниже. Прим. ред.

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
299
Примечании
1. Пусть Р—нагрузка на единицу длины шипа. Ее
размерность в научной системе единиц есть MT~S. Скорость
шипа U имеет размерность LT~L. Поэтому отношение этих
величин не есть отвлеченная величина, но характеризуется
размерностью LTM~l-
Так как, однако, коэфициент вязкости |і имеет размер
ML^T"1, то нетрудно видеть, что отношение ^ есть
отвлеченная величина-
Слова авторов надо понимать в том смысле, что это
отношение должно быть мало.
2. Формула (1) совпадает с формулой (2) статьи: „О
движении вязкой жидкости, заключенной между двумя
вращающимися эксцентричными цилиндрическими поверхностями",
с той, однако, разницей, что там вместо C = £-j-"f|i фигурирует
is-\-ib. То же относится к ряду дальнейших формул, вплоть
до (6), которые с соответственными изменениями в
обозначениях выводятся в упомянутой статье.
3. Сравните формулы (5) статьи: „О двияіении вязкой
жидкости, заключенной между двумя вращающимися
поверхностями", и примечание 3-е к ним.
4. При помощи формул (2) легко получить^
j^+^-rf
(chij — cosE)2 '
Выражая здесь sha't и slna£ через ch2^ и cossS и
сокращая на (сЬт] — cosE) получающуюся таким образом дробь,
приходим к формуле, указанной в тексте.
5. Формула эта получается путем решения первого из
равенств (2) относительно cos І-
6. Знак берется таким, чтобы г было положительным.
В дальнейшем авторы, для того чтобы фиксировать идеи,
предполагают, что sh -(] > 0, т. е. г, > 0. Это означает, что
окружность г\ = const лежит в области положительных х.
При таком предположении формулу (4) можно написать
в следующем виде:
sh-'j ѵ '

SOD
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
7. Если I > 0, то оно откладывается в положительную-
сторону оси х, и наоборот.
Сравни также формулу (4) предыдущей статьи.
8. Следует сравнить это равенство с формулой (7)
предыдущей статьи и примечанием к этой формуле.
Для более легкого понимания дальнейшего текста читателю
потребуются некоторые дополнительные сведения, которые мы
я излагаем здесь.
Прежде всего на основании общего свойства всякого
конформного преобразования имеем;
2
д(х,д)~ дхд!} дхду \дх) ^[dgj ~~П W
(а').
Затем на основании общих правил анализа
дА Ik
дх~д(х,д)1 дх д(хПІ) (Ь>
^0, ч) д (<■,$'
дх дх
Ъд д[х,д)> дЧ Ьі^иУ (Ь>
а (£. *п) а о, ч)
Поэтому, соединяя (а) (а') и (Ь) (Ь') вместе, можем написать:.
дх дт\' дх " Й
% " Лі> вд " дІ. .
(с).
Отсюда на основании формулы (2) следует между прочимг
^ —. ш{ asinEsh і\ \ _ sin £ ah f| 1
их I (dm—cosS)" ^~ a "'
^ = —. № ch-gcosS —1 __ 1 — ch T| cos £
&c (ch-o — мну» а ' j
(d)

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА 301
9. Пусть нам задана совокупность двух, определенным
образом расположенных друг относительно друга,
окружностей. Взаимное расположение их принимаем подобным тому,
которое указано на фиг. 1.
Построив радикальную ось для этих окружностей, без
труда найдем пучок окружностей, имеющих относительно
этой оси ту же степень, что и заданные нам. Пучок этот
будет гиперболический и заданные окружности будут входить
в него в качестве его членов.
Нулевые окружности этого пучка определят нам точки
F и F' (фиг. 1), а половина расстояния между ними будет
равна а. После этого для каждой точки плоскости
определяются при помощи выведенных в тексте формул
,/
■соответствующие ей величины £ и -ц.
Итак, зная две образующие окружности и ия взаимное
расположение, мы всегда можем найти соответствующую
нейманову систему координат, обладающих тем свойством,
что обе из заданных окружностей имеют уравнение т, = const.
Авторы в своих дальнейших выкладках становятся, однако,
на несколько иную точку зрения. Они имеют в виду
определенный (конструктивно осуществленный) подшипник. Стало
быть, у них заданы радиусы подшипника и шипа: >-а и гг
Но взаимного расположения этих окружностей они
первоначально не знают, так как оно определяется
гидродинамическими условиями работы смазочного слоя.
Поэтому они ищут это взаимное расположение.
Формулы (7) — (9') текста имеют целью показать, что,
зная:
а = 7), — ■%,
где
'<\ — ''ю
есть уравнение окружности подшипника, а
■ ■Ч = 'Чі
есть окружность шипа, мы всегда сможем найти: %, 7ц, е и
т. п. Но, зная е, мы знаем взаимное расположение и,
следовательно, соответствующую нейманову систему координат.

302 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
В тексте будет доказано, что при помощи этой системы
координат может быть описано также и все движение жидкого
слоя между шипом и подшипником.
Итак, вся задача сводится к отысканию а. Авторы
показывают, что задача может быть решена, если мы знаем силы,
нагружающие шип (вес шкивов, вала и т. п.)
Авторы предполагают, что сала эта направлена
перпендикулярно к оси Ох и действует в направлении
положительных у'Ь.
Заметим также, что авторы во время своих рассуждений
принимают, что
Чі>*'1о>0-
Отсюда, на основании примечания 11 предыдущей статьи,
следует, что значение % соответствует окружности
подшипника (внешней окружности), а щ— окружности шипа.
Если бы окружность шипа была по отношению к
окружности подшипника расположена не так, как на фиг. 1, т. е.
не сдвинута налево, а наоборот, то нам пришлось бы или
изменить направление оси х, или перейти в область
отрицательных % Последний переход, однако, не представляет
затруднений принципиального характера-
10. Имеем на основании (4):
r1shi)1 = r0shvio = a,
или .
Отсюда
3 «=;■„—-г^—1— (вЬі\і~~ sMu)-
11. Например, для того чтобы получить первую из этих
формул, достаточно в равенстве
sbOio + oJ-tl + tyehTio,
заменить sh(%-|-о) через вЪч\о cho+ ch"«i0 she и затем,
разделив получившееся равенство на sb'to» решить его
относительно cth^lo- Аналогично получается вторая формула.
12. Пишем на основании того, что сказано в тексте:
1~\-к— cha
sh a " "

ПРИМЕЧАНИЯ П. А, ВАЛЬТЕРА . SOS-
Предполагая (см. примечание 9), что о > 0, получаем:
1 + к > ch 5 4- sli a = е°.
Отсюда
0<o<ljr(l + Jk).
IS. Так как '1, > ч\а, то на основании формулы (5)
/ л .і \ ch%shfh—сЬчіаЬ'Пп
e = a(cthu, — cth■«],)= д —щ—г1—г - ■ ■ -— ~
sllT|0sM[
і. а
Но ■/],—%=° и -j = Г|, поэтому
г, sh ст
е =—і ,
14. При этом предполагается, что m =£ 0.
15. Область интегрирования от 0 до 2ті может быть
заменена интервалом 0, к, так как подинтегральная функция»
имеет в точках (Е, 0) и (2т: — £, 0) одну и ту же величину.
16- Имеем:
ctg Л 8Іп 2m* - 3F±7=S 9
аІСС _L, о— і&
_|_e-(B«-i)**j==i.(eswa.i4-2*tB»~8>e<+ ■ ■ - +2е**-|- 2 +
-|-2е-гші4- ■ ■■ +2s-Caw'-a>^-Ье~2,"лі) = cos 2^1*4-
+ 2 cos (2m ~ 2) д: 4-2 cos (2m— 4) л; + ... -]- 2 cos 1х 4-1-
Интегрируя это, получаем:
/
, _ , sin2mx і sm2(m— 1).* , ,
ctff л: sin 2тх ах = —л— 1 ——-z — ~г • • ■ Т~
° 2т • т—1
4- зіп 2х -\- х 4" С
Отсюда
іт 1С
і ctg -к sinm£<# = 2 I ctgxsin 2m* </* = 2 ;> =«.

3154 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
17. Эти равенства отличаются от соответствующих им
равенств (9) и (8) предыдущей статьи знаком- Перемена знака
происходит благодаря тому, что в настоящей статье ш
считается положительным, если вращение происходит по часовой
-стрелке; а в предыдущей статье было наоборот.
18. Сравните примечание 7 к предыдущей статье.
19. Нетрудно заметить, что некоторые из интегралов
уравнения (16), приводимых авторами в тексте, содержатся уже
-в формуле (16) предыдущей статьи. Те из интегралов, которые
являются новыми, получена одним иэ авторов статьи проф-
■С. А. Чаплыгиным на основании следующего общего
соображения-
Уравнение:
■называемое в анализе битармоническим, допускает общий
интеграл такого вида:
где ^ и ^з— две какие-нибудь гармонические функции, т. е.
.•функции, удовлетворяющие уравнению:
Д/=0.
Чтобы доказать это, достаточно применить к /= Хті-Ьта
■ формулу (19) текста, Тогда получим:
Или, так как Д6, = 0, то;
Заметим еще, что верно и обратное положение, а именно:
всякий интеграл бигармонического уравнения может быть
представлен в указанном проф. С. А. Чаплыгиным виде.
Впрочем последнее обстоятельство нам в дальнейшем не
потребуется и потому мы опускаем его доказательство.
Убедимся теперь, что выражения (18) действительно
являются интегралами уравнения (16).

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
305
Для этого, применяя равенство (3), прежде всего
доказываем формулы:
a^+ff3 . 1 chv]
2о" + 2~~сН — созЕ'
*s+g3 __ 1 _ cos S C*>
2aE 2 сЬч— cosS'
затем, применяя формулы (2),. получаем:
хч\ f| sh ■(] 1
q chf| —cose '
2-ccosS dig sh 2*1 cos 5
a ch"(| —cos£'
и, наконец, применяя одновременно (3) и (2), приходим к со
отношению:
_1 _I_2xcosSsh-'l сЬ2у| cosS
2^~
СЬ)
*»+^
(с)
2аа 2~ а <&ч —сояЕ '
Обращаясь теперь к доказательству положения, что все
выражения (18) удовлетворяют уравнению:
ДДІГ=0,
замечаем, что выражения:
х
а
х' + У8
2«а
2 ' 2а9
'2
суть гармонические функции от х, у-
Функция ч] тоже обладает этим свойством.
Наконец, выражения cosSch'»] и costshi), как нетрудно
убедиться прямой проверкой, гармонические функции от £, ч\
и, следовательно) на основании примечания 18 предыдущей
статьи они гармонические также и относительно х, у.
После этого нетрудно видеть, что каждое из выражений
(18) может быть приведено к указанной в начале примечания
форме:
*ті +ѣ»
и, следовательно, все они удовлетворяют уравнению (16).
Из интегралов (18), вводя обозначения:
а = ті1 —1\0 и * = 7і,-И0,
в ait. Хі 1709, И, Е, ЗГСуяовйкнЯ. Той IV
20

306
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
легко составляем интегралы:
_ sh(v|—■%) _ (і\ — ^lQ)sh^ _ cos Е [sh (t — 2t\) — sh д]
°' ch 11 — cos£ ' chfj —cosS ' chf|—-cos5 *
каждый иа которых обращается в нуль для чі = "% и которые,
будучи помножены на постоянные А, В, С, D, образуют
интеграл (20).
Обратим еще внимание на равенства:
а а дх '
, 2х cos 5 ch 1 4 й, . , .
, 2л: cos £ sb 'п 4 Й , „ . ,
д — __— = _ ~ (cosEsh"o),
а а Ох
(е)
легко получающиеся при помощи формулы (19), которые
понадобятся нам в дальнейшем.
20. В числителе последнего члена формулы (20) надо
приписать:
— СсИ [й(т —2ч) —До] +CcH[ah(t —2ч) —she].
21. Сравните формулы (18) предыдущей статьи.
Одинаковые знаки в соответствующих формулах предыдущей и
настоящей статьи, несмотря на то, что здесь U принимается
положительным при вращении по часовой стрелке, а там
(в предыдущей статье) наоборот, объясняются разными
знаками в формулах (14) этой статьи и (11) предыдущей.
22. Чтобы убедиться в том,' что здесь перед Q надо
поставить знак минус, следует возвратиться к формулам (14).
Формулы вти авторами пишутся в таком виде:
dW
ду '
ѵ дх '
Известно, однако, что им можно придать другую форму,
а именно:
dW 8W
а==—0-у' ѵ--^>

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА 307
каковое изменение повлекло бы за собой только изменение
знака у If. И в том и в другом случаях W с точностью до
постоянного можно рассматривать как расход жидкости через
линию, соединяющую рассматриваемую точку с началом
координат. Только в первом случае положительным принимается
расход, если он происходит справа налево (наблюдатель
помещается в начале координат и смотрит по направлению
линии), во втором — наоборот.
Итак, у нас расход положителен, если он происходят
справа налево (по часовой стрелке).
Принимая. Q положительным, если положительно V, т. е.
если жидкость вместе с вращающимся шипом увлекается
справа налево, мы должны написать:
(n,B.„1-(W),=%=+Q.
Отсюда, так как (W)i,=^f,„ = 0 и (Й^^^О, получаем
из (20'):
(Л0^,--<2.
23. При этом преобразовании следует вспомнить, что
и воспользоваться формулами для гиперболических функций
от суммы аргументов,
24. В этом случае формула (9) дает:
г>sh a _ q
Но г± не равен нулю и с — тоже. Следовательно, aba,
обращающийся в нуль для вещественных значений только в случае'
а ~0, тоже не равен нулю. Поэтому
sh %
или
sh ■% = fj0 = оо.
Так. как, однако, для тЧо—со имеем сі1тЧо=1, то первая из
формул (S) дает нам указываемое в тексте равенство.
25. На основании равенства:
IS №
-°«ііг(і + *>»*-£ + т---->
20*

308 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
в этом случае:
a = k.
26. Чтобы убедиться в атом, раскрываем по известным из
диференциального исчисления правилам неопределенности:
о ch о — sh a 1,
afl+e*) — 2e'sho" /q
и
аед — sh о 1
27. Для понимания дальнейшего полезно припомнить
зависимости, устанавливаемые в примечании 19. На основании
равенства
х shv}
a ch f\ — cos £
имеем:
д *3_ = o.
ch Г( — cos к
Следовательно, так как на основании сказанного в
примечании ,18ппредыдущеЙ [статьи имеем для всякой функции от
V/-(chfl— С05^Л/'
sh11 ,o. (f)
то
Ра
веяство
дает:
ch Т| — cos Е
2аа "^2 chf| — cos'
, ch-n 2
Следовательно,
chfi — cosE a'2'
chf] 2
ch 'r\ — cos £ (ch ^ — cos E)2'
После этого получаем на основании (f) и (f):
rsh(fj—%)' __ ■£' ch-o0shi) — sh7)0ch-q __ _ 2sh %
chft — cos E ch ч\ — cos E (ch tj — cos £)a'
(O

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА 309
Точно так же на основании равенства (d) примечания 19:
д £D = д ''I sh ч) ш 2cfr\
a (ch ѵ] — cos S)a а дх '
Пользуясь формулой (d) примечания S, получаем отсюда:
__ '"lsll7l = 2 — 2! cos % ch щ
ch ті — cos E (cosh tj — cos Цa'
Отсюда нетрудно получить:
(т]—fo)shg _ 2 — 2cgSScbT[
chtl — cosS (chii — cosS)*
Переходя к вычислению:
cos £ sh 2ч 2* cos І ch ч
ch t\ — cos; a
имеем на основании (е) примечания 19:
\ch^ — cos5/ адх^ "
откуда при помощи формулы (d) примечания 8:
— 2 cos 2£ sh 2fj -)- 4 cos £ sh t]
~~ a2
или
/ cosEsh2^i \ _ —2cos2Ub2^H~^sh^cosE
"\cli7j — cos£/~ (chr\—cos£)a
Затем
л cos£ch2fi =д /^+|_2_lj 2*cosUb-g
сііч. —cost \ 2aa 2
)-
a? a ox
Но на основании (d) примечания 8:
-г- (cosEshi])=—sin Ssh^-s--!-cos £ ch ■*] ^-=^
= j( — 2 — 2cos2£ch2-Q + 4cosEchfi).

310 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
Поэтому
д 2х cos £ sh tj — 2 — 2 cos 2; ch 2т| -|- 4 cos E ch vj
а а2 "~~ *
откуда
л eos^ch2fl ___ — 2coa2Scli2l4-f-4cos£ch4l
ch?]:—cosE aa '
в, наконец:
соз S ch 2^1 — 2 cos 2E ch 2f| -f- 4 cos % ch vj
сЬч) — cosE (chf| —cosE)2 .
Заметив теперь, что
cosE —(ch f\ — cos E) -f- ch T|
ch 4] — cos E ch ч| — cos E
_ сЬт; 2
ch *| -— cos £ (ch t] — cos E)2'
обращаемся к вычислению последнего из необходимых нам
выражений.
Пользуясь выражениями для гиперболических функций от
суммы аргументов легко получаем:
cos Е (sh (с — 2і)) — sh а] _ , ch2v|cosE __
cht] — cos£ chfj'—cosE
, sh 2"n cos E . cos E
— chiу-j u — shoe -T e
ch^i — cose ch^i — cosE
откуда путем подстановки и несложных преобразований
cos Е [sh (* — 2і\) — sh а]
ch ч\ — cos E
„ — 2 cos 2S sh (-г — 2лі) + 4 cos Е sh рг — -ц) — 2 sh а
(ch ч) — cos EJa
28 И применяя формулу (20),
29. Так как функция, а2 (?+2ад) аналитическая, то
гармонической функции 2шай соответствует сопряженная
гармоническая функция а3 — . Точно так яіе гармонической функции

ПРИМЕЧАНИЯ П, А. ВАЛЬТЕРА 311
sin Ё shf] соответствует функция cos£ ch v\ и функциям
sinE ch (t — ■<)) и sin 2; ch (t — 2т)) соответствуют функция
— cosbh(i:—V]) и —cos2;sh(t—2ri).
30. При этом авторы пользуются формулами:
ch^-l+shMo,
sh2% = 2slni0ch-%.
31. Надо воспользоваться равенствами:
'^-'Іі-Но)
\ = % + =>,
sh Hi = sh ■% ch 5 -f- ch ^0 sh c.
32. Полагая т; — ^a, получаем при помощи (34):
£а*=—2Bsm£Shvio— 4CainUh7]l + 2Csin2Uho =
= —2[й + 2СсЬ%^1 •sinbh-T0 + 2Csin2Uho.
Применяя теперь (7) и (8), будем иметь:
£:a2=-2[g+2c-(1+^°-1
sia £ sh i]0 -f~
+ 2Csin2Sch=.
33. Точки, соответствующие величинам £ и 2^—£ на
окружности ti = const, как видно из фиг. 1, симметричны
относительно оси х.
34. Считая, что с и & суть одного порядка малости,
разделим числитель и знаменатель второй части формулы (28)
иа a(t-)-&). Тогда получим:
Отсюда, так как
1 + *-гТ^-2 + И'-А'-г-...

312 О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
будем иметь:
0rJ|l+-g + ...
-- к2
3 ^
I/ 3 ft* J
Точно так же формула (29) дает:
sha
2С=-
І/г, 1 + І-:
UrAk
oft»
№і
*"Ч5) *М*У
35. При малых Л и о очевидно имеем:
(l-f-A)cha-l ^"'^2/
sb о . оа .
и ch о = 1.
36. Следует положить приближенно:
a = /-jSli% = r0sh%,
и вспомнить, что
і - ^ сЬ2У
* ft
3
37. Уравнения (38) различные авторы пишут в различных
формах.

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
313
Например, Аппелъ в своем „Руководстве теоретической;
механики" (Mockbsj 1917) пишет их так:
_ ди'
/ди' . дѵ'\
'--*[& + &)'
а Ламб (Lamb), (ср- примечание 4 к статье: „О
гидродинамической теории трения хорошо смазанных твердых тел"
несколько иначе:
_і_ п ди'
" Ьр^^,
Форма Аппеля соответствует предположению, что мы
вычисляем усилия, производимые жидкостью, на отрицательную
сторону элемента ду',, перпендикулярного оси х'
(отрицательной стороной называется сторона, к которой мы
приближаемся, если идем яа области отрицательных х')- Форма Ламба,.
наоборот, предполагает, что рассматривается усилие на
положительную сторону.
Авторы настоящей статьи пользуются формулой Аппеля,.
и потому у них Іи п есть усилия, развиваемые подшипником
на элемент жидкости; суммируя эти усилия, они находят силу,
развиваемую подшипником на жидкость и, следовательно,,
на шип-
Формула Ламба нам дала бы, наоборот, усилия,
развиваемые элементом жидкости на подшипник.
38. Здесь важно отметить что вращения от Ох к Од и от
Ох' к Оу' направлены в одну сторону.
39. Смотри примечание 34-
40. Сравни примечание 13 к предыдущей.
41. Заметим, что при сделанных выше предположениях
('1і ■> Ъ > 0) знаменатель этой формулы обязательно
положителен.
Чтобы доказать это, введем в рассмотрение величину:
a0«]g(l + fc),

314
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
которая, согласно сказанному в примечании 9, должна быть
больше а.
Итак,
°о > а- (*0
На основании теоремы Лагранжа о конечном приращении
можем писать:
sh о = а оЬ Оз,
где
Или, так как
то
0<в<1.
ch о0 > ch Oo,
е'Ч
sha<ocb а0 = о
2
Заменяя здесь е"« через (1 -\- к), получаем:
*'<£
или
а[(1+й)а + 1] — 2(І + й) sho>0,
что и доказывает наше утверждение.
Обыкновенно /* должно уравновешивать вес вала и
связанных с ним частей, направленный вниа. Отсюда, так как ось
Од у нас направлена вверх,
£Р>0.
Формула (41') показывает, что это возможно, если
£/>0,
т. е. если шип вращается по часовой стрелке, f,
В случае, если £/<0, за основу расположения шипа и
подшипника надо взять две окружности, расположенные в
области отрицательных xfb (фиг. 1) и принять т)-, < і\а < 0.
42. Авторы считают моменты положительными, если они
вращают тело по часовой стрелке.
43. Формула (б) и первая из формул (2) дают:
х

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
315
44. Во втором члене (при Csh°) получающегося
выражения выражаем гиперболические функции через
показательные, в первом и третьем членах, наоборот, пользуемся
формулами:
e~~r*=ch-q0 — snij0
и
sh 2\ = 2 sh -t\a • ch %.
45. При этом пользуемся формулой:
sh з = sh (-^—ri0) = sh % ch і\0 — sb i\Q ch-»!,.
46. Величина к = —— —, согласно оказанному выше, за-
дана.
47. Подставляем в формулу (42) вместо 1 + £ величину е"«
и пользуемся формулой:
4S. Выражение
(1+fflctha + l ,
" 3(1 +А) '
стоящее в правой части формулы, преобразуем следующим
образом:
<j(l+£)acth° + l .
o(l+i)acth6 + l , ,. .
или, так как
ch а0 = о
а+я+эгЬ
ТО'
(1+fflcths + l , „„
" 2(1 + *)
= і(1 + А;)СяеЛз —1)+оЬво — ch^ =

316
О ТРЕНИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
Подставляя это в (48), получаем, как в тексте:
1 /х-;,-", ;■•.■ Г /-, г~- і (l+fe)(achf — sh о) "I
Х = У2(1 + Л) У ch °0 - ch з + -^ "[ "======*- .
L 2 яп о у сп оа — ch с J
49. При этом надо иметь в виду, что
50. Это следует из того, что о мало отличается ст з0 и,
р
следовательно, величина rj {фиг. 4) должна быть мала.
51. Воспользуемся разложениями гиперболических функций:
»Ьт—Т + УГ273+1.2. 3-4-5 "*" *" "
сп<р = і + _^_ +. -^-^ -г ...
Эти формулы без труда дают:
спз0—-спо= -"_„_
2
а
,a\ „L
сспзй — shs=g(3ao* — о")
где опущены члены четвертого порядка и выше.
Подставляя это в (47), получаем формулу (50).
Переписываем теперь формулу (48') в таком виде:
2 (ch о0 — ch a) sh a -f ■ (1 -\~ k) (° ch о — sh a)
^2(1+*)——^^=^=
Так как acha — sh з = -тг "Hon ~г ■ - •> то, замечая, что А есть
величина не одного порядка малости с е, получим, если
ограничимся в числителе членами третьего порядка:
Х=-/2
<# — &
23 JL—I-
2 ' 3 ЗсЙ —a»
'о
2
т. е. формулу (52).
^і/іііі Зі^:

ПРИМЕЧАНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
317
Формула (51) получится, если помножим (50) на (52),
заметив, что
х 1_
52. Диференцируя выражение, даваемое формулой (52)
для )-, по а и приравнивая числителя производной нулю,
получаем:
или
, <3°g-2°»)3
Отсюда легко имеем:
3ojj — 2o8 = 4(^ — о»),
или
2^ = og.

ON THE FRICTION OF THE LUBRICANT BETWEEN A JOURNAL
AND ITS BEARING
The present work, which was written by prof. N.E. joukovsky
in cooperation with his pupil prof. S. A. Chaplygin, was first
published 1904. The authors revert to the problem of the motion of an
oil layer in a bearing, and they succeed in obtaining; a
complete solution of the corresponding; two-dimensional problem of
the motion of a viscous fluid layer between two eccentrically
disposed circumferences.
Previous to the publication of this work the case of a
layer of small thickness has been treated by Reynolds (1886) and
by Sommerfeld (1904). The article considered allows the
problem to be solved for any layer enclosedbetween two circumferences.
In their analysis the authors make use of the method which
in the history of science is connected with the name of Stokes,
and omit in the equations of fluid motion the inertia terms
which for small values of the Reynolds number are small compared
with those due to friction. Besides the Cartesian coordinates x
and g the authors make use of Neumann's bipolar coordinates ч\
and % in which one family of coordinate linesS — const gives an
elliptic set ot circles and the lines 7]=-const form an hyperbolic
set orthogonal to the first.
The authors denote by 2w the rotation (vortex) of an
elementary particle of the fluid, which is connected with velocities of
motion by the formula
In addition, the authors introduce fhe flow-function W, which
is connected with 2<" by the equality (15) and must satisfy the
relation (16), hence is biharmonic function.

SUMMARY
31Ф
As the result, the problem is reduced to that of finding
a biharmonic function satisfying: the following: boundary conditions:
1. On the surface of the bearing-- and on that of the
journal W is constant.
2. On the surface of the bearing- the tang-ential velocity
3. On the surface of the journal the tangential velocity
<--"■
All these conditions are satisfied by the authors, and the
required W is obtained as a sum of the integrals of equations
(16). The integrals used by the authors are indicated in formula
(18). A series of such integrals is met with in earlier artrcles by
prof. Joukovsky, yet in the article considered there are also
several new integrals, which were obtained by prof. S. A. Cha-
plygin. {See note 19). It is owing to these new integrals prof.
Joukovsky was enabled, on the basis of the methods outlined in
his earlier works, to carry the solution of the problem to the
desired end.
After skilfully 'performed calculations the authors obtain for
the force P of interaction between the journal and the bearing
the value given by the equality (42), where
jj. = coefficient of viscosity,
U= circumferential velocity of the journal surface,
к and о — constants depending on the radii r0 and rL of the
bearing and of the journal, and determined by formulae (7) to-
(90 (see note 9).
In conclusion the derivation of the approximate formulae due
to Sommerfeld from the formulae obtained is shown.

ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ
МАСЕЛ
{1891 г.)
§ 1. По исследованиям проф. Н. П. Петрова сила трения
:шипа а хорошо смазанных подшипниках выражается формулой:
F~^, (1)
е
■ где к— коэфиыиент вязкости масла, s —площадь трущейся
поверхности, ѵ — скорость на окружности шипа и е — толщина
■смазывающего слоя. Эта формула одинаково приложила и для
случая трения ползуна по смазанной плоскости. Из формулы (1)
видно, что достоинство масла может быть определяемо по к
и е, причем к есть функция температуры, а е по наблюдениям
проф. Петрова мало зависит от температуры, но зато зависит от
давленая и обратно пропорционально корню квадратному из
давления. Так как к, в особенности при нефтяных маслах,
очень быстро уменьшается с увеличением температуры, то
с приведением машины в движение замечается поднятие
температуры смазывающего слоя и падение силы трения до
некоторых пределов, достигнув которых обе величины делаются
.постоянными. Эти пределы могут быть, согласно указаниям
проф. Петрова, легко определены. Предположим, что
и вычертим на прямоугольных осях координат кривую ah
(фиг. 1), уравнение которой
? = /(*>■ (2)
ЕІотом выразим через
Q=*A{t-Q (3)

ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ 321
количество теплоты, протекающее в единицу времени через
подшипники от смазывающего слоя до их наружных частей,
температура которых есть і0 (эта температура может
поддерживаться или через омывание холодной водой, или через
потерю тепла в воздухе). Коэфициент А зависит от формы
подшипника и теплопроводности его вещества. Так как работа,
теряемая на силу трения, соответ- у
ствует утекающей теплоте, то
Ші + -ЕАЦ^
(4)
где £ = 425 есть механический
эквивалент теплоты. Напишем
уравнение (4) в виде:
f(t):
eEA(t — t0)
sv
(5)
Фи?. 1.
Потом построим на наших осях координат еще прямую
линию NM, уравнение которой
еЕА, л,
46)
Координаты точки Мпересечения втой прямой с кривой ab,
которую мы будем называть кривой вязкости данного масла,
послужат для решения предложенной задачи. Абсцисса тачки
М дает нам температуру смазывающего слоя, а ордината ее,
умноженная на—, выразит силу г.
Из сказанного видно, как важно значение кривой вязкости
при выборе смазывающего масла. Но, разумеется, одной этой
кривой еще не характериаируется достоинство масла, так как
рядом с малым к по формуле (1) нужно еще иметь малую
толщину слоя е. Эта величина определяет свойство масла не
выходить из-под шипа. Непосредственных наблюдений для
определения е, насколько мне известно, не предпринималось, и в
обширной работе проф. Петрова эта величина находится по силе
F, наблюдаемой прямо при трении шипа.
Зак, № 171)11, II, К Жуиопсипік Той IV
21

322 ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ
§ 2. Для определения кривой вязкости проф. Петров
устроил прибор, который отличается большой точностью) но
требует продолжительных наблюдений и вычислений. Другие
приборы, например прибор Эгена, хотя и позволяют
производить скорое наблюдение, но не могут быть рекомендованы,
так как основаны на наблюдениях над течениями масел, не
подвергнутых ни теоретическим, ни опытным исследованиям.
Ввиду этого мы построили прибор, который, так же как
прибор проф. Петрова, опирается на формулу течения масла
в тонких трубках (трубки Пуазеля), но, благодаря сравнитель-
Фиг. 2.
ному методу, позволяет делать наблюдение очень быстро.
С^помощью втого прибора можно б краткий промежуток
времени вычертить кривую вязкости испытуемого масла, раа
кривая какого-нибудь масла известна. За такую известную
кривую можно принять кривую вязкости сурепного масла,
которая весьма тщательно вычерчена в сочинении проф.
Петрова',
Наш прибор состоит иа медной четырехугольной коробки А
■ (фиг. 2), в которой лежат боком два грушевидные сосуда В
н В' (сосуды для испытания молока), заткнутые гугтаперче-
1 Н. П. Петров, Описание и результаты опытов над трением
жидкостей и машин, „Известия С.-Петербургского Теки а логического института"
1886, Табл, 4.

ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ 323
выми пробками. В каждую из этих пробок входит по две
стеклянные трубки: изогнутые трубки у и у',
оканчивающиеся в горлах сосудов и проведенные другим кондом'через
крышку ящика, и прямые трубки х и х', доходящие до дна
сосудов В и В' и проведенные другими концами через стенку
ящика. Трубки х и х' составляют самую деликатную часть
прибора. Они должны быть совершенно одинаковы. Мы
приготовили их из одной и той же термометрической трубки,
выбирая из многих трубок ту, которая при проверке столбиком
ртути дала наибольшее постоянство диаметра отверстия- Диа~
метр отверстий в нашем приборе 1 мм, а длины трубок 180 мм-
К концам трубок х и х' приставляются колбочки z и z',
разделенные на кубические сантиметры, а на концы трубок у и у'
надеваются резиновые трубки, соединяющиеся посредством
тройника с резиновым шаром С- В крышке ящика, кроме
отверстий для трубок у и у', имеется еще отверстие для
термометра Е и для воронки D; в правой же стенке ящика,
кроме отверстий для трубок х и х', имеется еще кран F для
выпускания из ящика воды, подаваемой в воронку D.
Наполнив сосуд В сурепным маслом, а сосуд В'
испытуемым маслом и расположив прибор, как представлено на
фиг. 2, пускаем в воронку D горячую воду, которая,
наполнив его, будет вытекать через кран F. Изменяя скорость
течения горячей воды, мы можем установить во всем приборе
желаемую постоянную температуру, которая наблюдается на
термометре Е- Когда эта температура получена, тогда сжимаем
шарик С и гоним из него воздух в грушевидные сосуды В
и В'- Он забирается в верхние части этик сосудов и давит
с равными силами давления р на сурепное масло и на
испытуемое.
Пусть dV и dV будут бесконечно малые объемы того
и другого масла, вытекшие в колбочки z и z' к элемент
времени dt. По известной формуле трубок Пуазеля ' получаем:
dV^^r^dt, dV=l£=gZ,*Jt, (7)
где pa — атмосферное давление, г-—радиусы трубок, І — их
і Kir с lib off, Vorlesunjjen iiber Mathematlsche Physik, S. 374.
31*

324 ПРИБОР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ
длина, а к и к' — коэфициенты вязкости сурепного и
испытуемого масла.
Из' формулы (7) находим, что
kdV^k'dV. (8)
Это соотношение будет верно во всякое время) хотя бы
р изменялось от неровности сжатия шарика С (силами
инерции масел можно пренебрегать еравнительно с силами их
трения), а. г и I изменялись от действия температуры.
Интегрируя уравнение (8), будем иметь:
кѴ=к'Ѵ
или
Ь' = уЪ. (9)
Поставив вертикально колбочки z и г', мы определяем
отношение V: V, а умножая на это отношение коэфициент к
сурепного масла для данной температуры, находим ковфици-
ент к''
Весь опыт производится не более двух минут. Сделав его
для различных температур между 10° и 85°Ц (при 85°
коэфициенты вязкости различных масел становятся почти
одинаковыми), изменяем ординаты кривой вязкости сурепного масла,
которая, положим, будет ab (фиг. 1), в отношении найденных
величай V: V; получим кривую вязкости cd испытуемого
масла.
Эта работа была сообщена в Полиі'аяническом обществе при
Московской Техническом училище 30 апреля 1891 г. я напечатана в „Трудах
отделения физических наук Общества любителей естествознании", т. IV,
1В91 г. Прим. ред.

AN APPARATUS FOR MEASURING VISCOSITY OF LUBRICATING
OILS
Based on the results of investigations by prof. N. P. Petrov
at the beginning; of the paper prof. Joukovsky gives a graphical
method of determining; the limiting value which can be attained
by the temperature of the lubricating film during the rise following
the starting of the engine.
. The apparatus for measuring the viscosity is shown in fig. 2.
This apparatus allows to measure the volumes of two grades of
oil passing during the same interval of time through capillary
tubes of equal length and diameter under equal difference of
pressures at the ends.
Since by Poiseuille's formula the ratio of the viscosity
coefficients of two grades of oil in the conditions described
above is, inversely proportional to the ratio of volumes, hence,
when the viscosity coefficient of one oil is known that of the
other can be determined.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От р е. дакция 5
О реакции вытекающей
и втекающей жид-
Костя. Статья первая. 7
Резюме 12
О реакции вытекающее
и втекающей жидко-
СТИі Статья вторая . . 13
Резюме 22
К теории судов,
приводимых в движение
силой реакции
вытекающей воды 23
Резюме , . 36
О сяутяои волне as
Резюме 52
О форме судов 53
Резюме 66
Движение волны со
скоростью, большей
скорости звука 67
Резюме . 76
Действие волнующейся
жидкости малой
глубины на плавающие
ва ее поверхности
тела 81
Приложения проф.
А. П. Котельни-
к о в а 118
Приложения проф.
А. П. Котельни-
кова 123
1. Общая картина
колебаний плавающего
тела 123
2. Давление жидкости на
качающееся на волнах
тело 153
3. О нилыч
гармонических колебаниях
плоскости 160
Резюме 175
Упрощенный вывод
уравнений движения
вязкой несжимаемой
жидкости 182
Примечания П.
А.Вольтера 189
Резюме , 132
Стр.
О движении воды на
повороте реки 193
§ 1 193
§ 2. Вихри первого и второго
норядкв 194
§ 3- Поплавок проф. Милопича.
Анализ Бусин век а 196
§ 4- Распространение анализа
Бусииеска на жидкость,
текущую тонким горивонталп-
ным слоем по
изотермическим линией 205
§ 5. Исследование потока
жидкости в живом сече нии в
предположении, что число
Рейнольдса большое, ... 211
ПримвчанияТІ. А.
Вальтера
216
Резюме 231
О гидродинамической
теории трения хорошо
смазанных твердых
тел 234
ПрамечапалП. А.
Вальтера 241
Резюме 244
О движении вязкой
жидкости, заключенной
между двумя вращаю*
щимнея
эксцентрическими диливдрнчѳски-
мя поверхностями. . . 250
Примечания П. А.
Вальтера 262
Резюме 277
О трении смазочного
слоя между шипом и
подшипником 279
Примечания П. А.
Вальтера 298
Резюме , 318
Прибор для определения
ковфнпиента вяэкости
масел . . , 320
Реаніме

CONTENTS
Editorial 5
On the reaction of an
outflowing- and an
inflowing- liquid. Article 1 7
Summary 12
On the reaction of an
outflowing- and an
inflowing- liquid. Article 2. 13
Summary 22
On the theory of vessels
propelled fey the
reaction of an outflowing
Hqnid 23
Summary 36
On the wave behind я ship. 38
Summary 52
On the form of ships'hulls 53
Summary 66
Motion of a wave with a
supersonic speed .... 67
Summary 76
The effect of waves in a
liquid of small depth on
bodies floating' on its
surface 81
Notesby prof. A.P. Ko-
tle 1 n 1 к о ѵ
118
Appendices by p r a i.
A. P. Kotieblkov. 123
1,. The general mode
of oscillations of a
floating body . . . 123
2. Pressure exerted by
a liquid on a body
oscillating on the
waves 153
3, Kinematics of small
harmonic oscillations
of a plane 160
ummary 175
A simplified deduction of
the equations of motion
of an incompressible
viscous fluid 182
Notes ЬуР.А. Ѵні ter . 189
Summary 192
On the motion of water
at a turn of a river.. .193
§ 1 193
§ 2. Vortices of the first and
second order 194
§ 3. A float of Prof, MUWlch;
analusis of Boussinesq . . . 196
§ 4. Extending of Bousslnesq
analysis to the fluid flowing;
in thin horizontal layers
along lsotermal lines . . . 205
§ 5. Investigation of fluid stream
at a cross-section of a
river upon the assumption,
that the number of Reynolds
be large 211
Notes by P. A. Vatter . 216
Summary 231
On the hydrodynamical
theory of friction of
well lubricated solid
bodies 234
Notes by P. A. Valter . 241
Summary 248
On the motion of a
viscous fluid enclosed
between two rotating ex-
centrically disposed
cylindrical surfaces . . , . 250
Notes by P. A. Valter , 262
Summary 277
On the friction of a
lubricant between a
journal and its bearing:... 279
Notes by P. A. Valter . 298
Summary . 318
An apparatus for
measuring- viscosity of
lubricating oils 320
Summary 325

Редактор Ф. С. Шахацсчо й.
Техн. род- Л. Н* С а а а р ч.
Сдано a навар 23/1 19І7 і.
ПоАпнаано " /ів*і 13/VII 1937 і-
І-Ьд. Л& 3. Латор. дщ. М 767*
Инд. 20-5-4. Тираж 3000.
КоЛЧЧ. ПРЧ. АИІГЛ' 2J'/S. KOMl't.
тки- зн. а ! бум. л. 504QOr
Учптна-аат, лі/ст* 75tO'f. Ss/xt.
л. /0% Формат бум. 62Х94//6.
Упали. Глаалата Mf S-2f8Q3.
, Заказ М 1709.
2-ц тіііюгроірзіл ОНТИ имени
Евгении Со колодой, Ленинград,
просп. Краен. Кпмпнднрап, 2У,

Опечатки
ft.
Строка
Напечатано
Должно быть
По чьей
вине
56
154
196
266
277
313
Первая
формула (7)
8 снвряу
■ (соя [ь сЬ ).£ — А№.
(фиг. 13)
д sin щ '
satiety
— (oosfJ. oWk—JJ Дм.., гиіюгр.
(фшр. 12) Гл, ред.
Й sin у
5? (оЬЭ — eosrp)*
satisfy
— Р Н" 2 ■'■ тиноі'р.
Зак. JVI? 171)9. Ж у тс о и с к иК, Н, Ё., СоПршиис еочзпті-шііі, т. JV.